cÁlculo de probabilidades

CÁLCULO DE PROBABILIDADES


• Experiencia aleatoria: aquello cuyo resultado depende del azar.

Ejemplo: Tirar un dado; el color del próximo coche que pase.

• Suceso aleatorio: acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar.

Ejemplo: Sacar un 3 con un dado; que el próximo cocho sea rojo.

• Espacio muestral: conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria: E


• Suceso: cualquier subconjunto de E.Los elementos de E se llaman s.elementales,

s.individuales o casosExiste el suceso vacío o imposible: ØExiste el suceso seguro: ESi E tiene n elementos, existen 2n sucesos.

Pg 240. Ej 1


Operaciones con sucesos

i. Unión: (A U B), suceso formado por los elementos que son de A o de B

ii. Intersección: (A ∩ B), suceso formado por los elementos que son a la vez de A y de B

iii. Diferencia: (A – B), suceso formado por los elementos de A que no son de B.

iv. Complementario: (A’), es el suceso contrario de A.v. Sucesos incompatibles: son dos sucesos que no tienen

ningún elemento en común; A ∩ B = Ø


Leyes de Morgan

1. (A U B)’ = A’ ∩ B’2. (A ∩ B)’ = A’ U B’

Pg 241. Ej resuelto y Ej 2


• Frecuencia absoluta de un suceso S: es el número de veces que ocurre S. f(S)

• Frecuencia relativa de un suceso S: es la proporción de veces que ocurre S. fr(S)=f(S)/N

• Ley de los grandes números:


Propiedades de las probabilidades

i. Cualquiera que sea S: P[S]≥0ii. Si A y B son sucesos incompatibles:

P[A U B]=P[A]+P[B]iii. P[E]=1iv. P[Ø]=0v. P[A’]=1-P[A]vi. P[A U B]= P[A]+P[B]-P[A ∩ B]


Ley de Laplace

Si el espacio muestral E es finito y S es:S={x1, x2,….xn}, entonces:P[S]=P[x1]+ P[x2]+…….+ P[xn]

Si todos los sucesos son equiprobables, P[xi]=1/N P[S]=1/N + 1/N + ….. + 1/N, es decir:

P[S] = (número de elementos de S) / NP[S] = (nº de casos favorables a S) / (nº de casos posibles)


Experimentos compuestos: son el resultado de realizar varios experimentos simplesPor ejemplo, lanzar una moneda varias veces.

El espacio muestral de un E. compuesto se puede calcular con:i. Diagrama de árbolii. Tabla de contingencia: es adecuado cuando el espacio

muestral se reparte según 2 características, para cada una de las cuales hay 2 ó + alternativas excluyentes.

Por ejemplo: agrupar un número x de coches por sus marcas y colores.


Probabilidad condicionada Es la probabilidad de un suceso A, cuando sabemos que ha

ocurrido otro suceso C; se escribe P(A/C) y se lee: “probabilidad de A condicionada a C”

Mide la proporción de veces que ocurre A de entre las que ocurre C.

Utilizando la regla de Laplace: (nº casos favorables/nº casos posibles)

P(A/C) = P(A ∩ C) / P(C) P(A ∩ C) = P(C) · P(A/C)

C / A X / X C / B X / X C / Α X / X

C / B X / A C / Α X / A C / B X / X


Probabilidad condicionada (II)Al calcular una probabilidad condicionada, el espacio muestral se reduce.

P(A) = casos en los que sale A / total de casos = 5/12

P(A/C) = casos en los que salen A y C / casos en los que sale C = 3/6

Ej.1: De las 32 personas que viajan en un autobús, 18 van a trabajar, y de estas, 10 son hombres. De las que no van a trabajar, 5 son mujeres. Si se elige una persona al azar y es hombre, calcula la probabilidad de que no vaya a trabajar.

Ej. 2: En una urna tenemos 2 bolas blancas y 2 azules. Si la primera bola que extraemos no se vuelve a introducir en la urna, halla la probabilidad de obtener una bola azul y después, una bola blanca. (Hacer el diagrama de árbol)


Ej. 1:

P(NoTrabajar/Hombre) = P(NoTrabajar y Hombre) / P(Hombre) =9/19

Ej.2: P(1ª Azul y 2ª Blanca) = (2/4) · (2/3)

Trabajar No trabajar Σ

Hombres 10 9 19

Mujeres 8 5 13

Σ 18 14 32


Sucesos independientesDos sucesos son independientes cuando el resultado del primero no influye en las probabilidades del segundo.

Si dos sucesos son independientes, P(A/C) = P(A)

Entonces: P(A ∩ C) = P(C) · P(A/C) = P(C) · P(A) = P(A y C)

Pg 248. Ej. 1 y 2Ej: De una baraja española se extraen dos cartas. Calcula la probabilidad de

que la primera sea un as y la segunda sea de oros si se reemplaza la carta antes de sacar la segunda


Sucesos dependientesDos sucesos son dependientes cuando el resultado del primero influye en las probabilidades del segundo.

P(1ºA y 2ºC) = P(A ∩ C) = P(1ºA) · P(C/A)

Pg 249. Ejemplo y Ej. 5

Ej: Extraemos dos bolas de una urna en la que hay 4 bolas blancas, 3 rojas y 2 negras sin devolver la primera a la urna. Calcular la probabilidad de que sea la primera blanca y la segunda roja. (Hacer el diagrama de árbol)

P(1ºB y 2ºR) = P(B ∩ R) = P(1ºB) · P(R/B) = 4/9 · 3/8 = 1/6


Probabilidad totalSi tenemos varios sucesos incompatibles ente ellos que forman un espacio muestral (A1, A2, …….An); en un experimento compuesto, la probabilidad de que ocurra un suceso S, es la suma de las intersecciones de S con cada uno de los sucesos Ai. (Realizar diagrama)

P(S) = P(S ∩ A1) + P(S ∩ A2) + ……. + P(S ∩ An) = = P(A1) · P(S/A1) + P(A2) · P(S/A2) + ……. + P(An) · P(S/An)

Pg. 251: Ejercicios resueltos. Ej 1.Ej: Una empresa elabora sus piezas en tres factorías. El porcentaje de piezas

defectuosas y del total de producción en cada factoría es el de la tabla. Halla la probabilidad de que una pieza escogida al azar sea defectuosa.

F1 F2 F3Producción 60% 25% 15%Defectuosas 1% 4% 2%


Teorema de Bayes o probabilidad “a posteriori”

En una experiencia compuesta formada por 2 etapas, si A es un suceso de la primera etapa y S es un suceso de la segunda etapa, es interesante saber cual es la probabilidad de que habiendo sucedido S, esto haya ocurrido después de que hubiera sucedido A.

Es el caso inverso de la probabilidad condicionada.Se expresa: P(A/S) y el teorema de Bayes indica que el resultado es:P(A/S) = P(A∩S) / P(S) , para lo cual hay que calcular previamente la

probabilidad total del suceso S.A

B

S

P

S

P


EjemploUna urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos a cara o cruz una urna y extraemos una bola que resultan ser blanca. Halla la probabilidad de que la urna elegida sea la A.

Como la bola ha sido blanca hay que calcular: P(Blanca) = 0,3 + 0,178 = 0,478 P(A/Blanca) = P(A y Blanca) / P(Blanca) = 0,3 / 0,478 = 0,628

A

B

Blanca

Negra

Blanca

Negra

0,5

0,5

6/10

4/10

5/14

9/14

P(A y Blanca) = 0,5 · 0,6 = 0,3

P(A y Negra) = 0,5 · 0,4 = 0,2

P(B y Blanca) = 0,5 · 0,357 = 0,178

P(B y Negra) = 0,5 · 0,643 = 0,322

cÁlculo de probabilidades

Documents