Cálculo de medidas de posición o centralización para datos a granel

Montoya.-

4.510

6.474.62.68.43.56.47.65.35.4

X

n

dsXX

4.536.536.00.510

6.3

Medidas de centralización Para datos a granel: Considere una muestra de notas de un alumno en la asignatura de matemática :

Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6

Calculo de la media aritmética:

También se puede calcular suponiendo una media y calculando los desvíos respecto de los datos:Ejemplo: supongamos que la media es Xs= 50

Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6

Xi-Xs -0.5 -1.5 1.7 -0.4 0.3 -0.2 1.2 1.4 2.0 -0.4

Suma de desvíos = 3.6

=5.0+

10 6.47.4.62.68.43.56.47.65.35.4 xxxxxxxxx

51.0

6.4

1

7

1

4.6

1

2.6

1

8.4

1

3.5

1

6.4

1

7.6

1

5.3

1

5.4

11

Media geométrica

Para el ejemplo::G=

Media armónica:Para el ejemplo: H=

=5.3

Para el ejemplo: RMS= 3.176.474.62.68.43.56.47.65.35,4 2222222222

La moda para datos a granel (Mo): Es el dato que más se repite, puede haber más de una moda o ninguna, siempre es un dato de la muestra.Para el ejemplo:

Para el ejemplo:

Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6

Mo= 4,6

La mediana para datos a granel (Md): Corresponde al valor central de los datos previamente ordenada (n: impar), o al promedio de los dos datos centrales (n: par).No siempre es un dato de la muestra:Para el ejemplo

Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6

Ordenando los datos:

Notas 3.5 4.5 4.6 4.6 4.8 5.3 6.2 6.4 6.7 7

1.52

3.58.4

Medidas de dispersión para

datos a granel:

n

xxi

4.5X

desvíos

7.110

17

El más elemental es el rango de variación:Rg= mayor valor observado o medido- menor valor observado o medidoPara el ejemplo: Rg= 7-3.5= 3.5

Desviación media: DM=

Para el ejemplo

Notas

4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6

Con:

Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6

desvíos -0.9 -1.9

1.3 -0.8

-0.1

-0.6

0.8 1.0 1.6 -0.8 =0

0.9 1.9 1.3 0.8 0.1 0.6 0.8 1.0 1.6 0.8 =17

DM=

1

2

n

xxS

2

15.1110

96.11

n

xxS

2

09.110

96.11

Desviación estándar:

para la muestraPara el ejemplo:

S=

Desviación estándar para la población: (es solo un estimativo)

Para el ejemplo: S=

Nota: existen otras medidas de dispersión que se estudiaran con datos intervalares.

Ejercicio tipo con datos intervalares.

Cálculo de medidas de centralización para datos cuantitativos intervalares

clases Xi f fr. F% Fa Fa%

485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00

535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50

585.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50

635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00

685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00

735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00

40 1 100.00

Se ordenan los datos de la siguiente forma :

clases Xi f Xi*f

485.55 – 535.50 510.53 4 2042.12

535.51 – 585.46 560.49 9 5044.41

585.47 – 635.42 611.45 10 6114.50

635.43 – 685.38 660.41 7 4622.87

685.39 – 735.34 710.37 8 5682.96

735.35 – 785.30 760.33 2 1520.66

40 25027.52

69.62540

52.25027X

Para el ejemplo:Supongamos como media supuesta la marca de clase de la segunda clase, esto es: 560.49, la tabla con los cálculos correspondientes, se puede ordenar en forma simplificada como se indica:

XiDesviación :Xi - Xs f (Xi-Xs)*f

510.53 510.53-560.49=-49.96 4 -199.84

560.49 560.49-560.49=0 9 0

611.45 611.45-560.49=50.96 10 509.60

660.41 660.41-560.49=99.92 7 699.44

710.37 710.37-560.49=149.88 8 1199.04

760.33 760.33-560.49=199.84 2 399.68

=2607.92

69.62540

92.260749.560 X

Valor que coincide con el calculado anteriormente.

clases Xi f fr. F% Fa Fa%

485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00

535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50

585.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50

635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00

685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00

735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00

40 1 100.00

Luego la abscisa que deja la mitad de la superficie total a cada lado es: 586.465+34.965=621.43

CRITERIO TABULAR O INTERVALAR:

clasesXi f fr. F% Fa Fa%

485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00

535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50

585.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50

635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00

685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00

735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00

40 1 100.00

Md= 587.465+33.922=621.39

EN GENRAL:

clases Xi f fr. F% Fa Fa%

485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00

535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50

587.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50

635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00

685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00

735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00

40 1 100.00

Medidas de dispersión para datos cuantitativos organizados tabularmente

n

fxxi

69.62540

52.25027X

Desviación media: DM=

Para el ejemplo:Se sabe que la media es:

Desviación estándar:

1

2

n

fxxS

para la muestra

S= 78.70140

30.195394

n

xxS

2

89.6940

30.195394

Desviación estándar: para la población.Para el ejemplo:

Rango intercuartílico: Datos que se ubican entre el 25% y el 75% Para el ejemplo:

El 25% de los datos: 25% de 40 = 10

De acuerdo a la tabla:

Corresponderían a los 4 datos de la primera clase más los 6 que faltan de la segunda clase:Datos del primer cuartil:

535,505+ 81.5683.33505,535505.535455.5859

6

Datos del tercer cuartil:75% de los datos: 75% de 40 = 30Habrá que tomar los 4 de la primera clase, los 9 de la segunda, los 10 de la tercera y exactamente los 7 de la cuarta clase (suman 30) .En este caso se toma el límite inmediatamente superior de la cuarta clase, esto es: 685.38.

Es decir el rango intercuartílico corresponde a todos los puntajes que se encuentran entre 568,81 y 685,38 (este criterio permite eliminar los outlier)

Nota: el segundo intercuartílico corresponde a la mediana: En efecto: el 50% de los dados es 50% de 40 = 20Habrá que tomar entonces: los 4 datos de la primera clase, los 9 de la segunda y los 7 restante de los 10 de la tercera clase, esto es: 587.465+

03.621565.33465.587)465.587415.635(10

7

(que corresponde al valor calculado anteriormente)

Nota: cualquier otro intercuartílico se calcula de la misma manera:

Ejemplo: cual es el rango de puntaje entre el tercer decil y el sexto decil?

)505.535455.585(9

8

56.642)425.635375.685(7

1

Tercer decil: 30% de 40 = 12

535.505+=579.905

Sexto decil: 60% de 40 = 24

635.425+

El rango es entonces: 579.91 y 642.56

También se puede calcular parámetros como porcentajes de alumnos que se ubican en determinado rango de puntajes

Ejemplo ¿Qué % de alumnos se ubica entre los 548.34 puntos y los 694.15 puntos?

Se procede como se indica

(585.46-548.34)+10+7+=6.69+10+7+1.40=25.09=25 alumnos .Que corresponde al 62.5% del total .Es decir el

62.5% de la muestra se ubica en ese rango de notas.

95.49

9)39.68515.694(

95.49

8(585.46-548.34)+10+7+ =6.69+10+7+1.40=25.09=25 alumnos .

decir el Que corresponde al 62.5% del total .Es 62.5% de la muestra se ubica en ese rango de notas.

Muchas gracias … Montoya.-