Calculo 5ed Schaum Frank Ayres

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  • SCHAUM u Problem.« I Resuelto Cálculo Quinta edición ■ Más de mil problemas resueltos ■ Explicaciones concisas de todos los conceptos del cálculo ■ Consejos sobre el uso de graPicadores i Frank Ayres, Jr. • E lliott Mendelson r www.FreeLibros.me
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  • Quinta edición Frank Ayres Jr. E x p ro fe so r y d i r e c to r del d ep a r tam en to de m a te m á t ic a s del D ic k in son Co l lege Elliot Mendelson P ro fe so r de m a te m á t ic a s del Queens Co l lege Traducción Yelka M a r ía Garc ía Profesional en Lenguas Modernas Especia lización en traducción Universidad de los Andes Revisión técnica Verónica Córdoba Morales Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey ( i t e s m ) Me Graw MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SÄO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO www.FreeLibros.me
  • Prefacio El propósito de este libro es ayudar a los estudiantes a com prender y utilizar el cálculo. Todo se ha hecho con el fin de facilitar la com prensión del m ism o, especialm ente a los estudiantes con antecedentes lim itados en m atem áticas o para aquellos que han olvidado su entrenam iento en matem áticas. Los tem as incluyen todos los m ateriales de los cursos estándar en cálculo elem ental e intermedio. La exposición directa y concisa típicas de las Series de Schaum se han am pliado en un gran núm ero de ejem plos, seguidos por m uchos problem as resueltos cuidadosam ente. A l seleccionar estos problem as se ha intentado anticipar las dificultades que norm alm ente afronta el principiante. Además, cada capítulo concluye con un grupo de ejercicios com plem entarios con sus soluciones. En esta quinta edición se han increm entado el núm ero de los problem as resueltos y de los com plem entarios. Además, se ha hecho un gran esfuerzo por tratar puntos delicados del álgebra y de la trigonom etría que pueden confundir al estudiante. E l autor considera que una gran parte de los errores que los estudiantes com eten en el curso de cálculo no se deben a una deficiencia en la com prensión de los principios del cálculo sino a su debili­ dad en el álgebra o en la geom etría que estudiaron en bachillerato. Se recom ienda a los estudiantes a que no pasen al siguiente capítulo sino hasta estar seguros de dom inar los tem as del capítulo que están estudiando. U na buena prueba para determ inar ese dom inio es resolver adecuada­ m ente los problem as com plem entarios. El autor agradece a todas las personas que le han escrito para enviarle correcciones y sugerencias, en parti­ cular a D anielle Cing-M ars, Law rence Collins, L. D. D e Jonge, Konrad Duch, Stephanie, Happs Lindsey Oh y Stephen T. B. Soffer. También se agradece al editor, Charles Wall, por su apoyo y paciencia en la elaboración de esta edición. Elliot M endelson www.FreeLibros.me
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  • Índice de contenido 1 Sistemas de coordenadas lineales. Valor absoluto. Desigualdades 01 U n sistem a de coordenadas lineales / Intervalos finitos / Intervalos infinitos / Desigualdades Problem as resueltos Problem as com plem entarios 2 Sistema de coordenadas rectangulares 09 Ejes de coordenadas / Coordenadas / Cuadrantes / Fórm ula de la distancia / Fórmulas del punto m edio / Dem ostraciones o pruebas de los teorem as geom étricos Problem as resueltos Problem as com plem entarios 3 Rectas 18 Inclinación de una recta / E l signo de la pendiente / Pendiente e inclinación / Ecuaciones de rectas / La ecuación punto-pendiente / Ecuación punto-intersección / Rectas paralelas / Rectas perpendiculares Problem as resueltos Problem as com plem entarios 4 Círculos 29 Ecuaciones de los círculos / Ecuación estándar de un círculo Problem as resueltos Problem as com plem entarios 5 Ecuaciones y sus gráficas 37 L a gráfica de una ecuación / Parábolas / E lipses / H ipérbolas / Secciones cónicas Problem as resueltos Problem as com plem entarios 6 Funciones 49 Problem as resueltos Problem as com plem entarios www.FreeLibros.me
  • Contenido 7 Límites Lím ite de una función / L ím ites por la derecha y por la izquierda / Teoremas sobre lím ites / Infinito Problem as resueltos Problem as com plem entarios 8 Continuidad Función continua Problem as resueltos Problem as com plem entarios 9 La derivada N otación delta / La derivada / N otación para derivadas / D iferenciabilidad Problem as resueltos Problem as com plem entarios 10 Reglas para derivar funciones Derivación / Funciones com puestas. L a regla de la cadena / Form ulación alternativa de la regla de la cadena / Funciones inversas / Derivadas superiores Problem as resueltos Problem as com plem entarios 11 Derivación implícita Funciones im plícitas / Derivadas de orden superior Problem as resueltos Problem as com plem entarios 12 Rectas tangentes y normales Ángulos de intersección Problem as resueltos Problem as com plem entarios 13 Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes M áxim o y m ínim o relativos / Funciones crecientes y decrecientes Problem as resueltos Problem as com plem entarios 14 Valores máximos y mínimos N úm eros críticos / Criterio de la segunda derivada para extrem os relativos / Criterio de la prim era derivada / M áxim o y m ínim o absolutos / M étodo tabular para hallar el m áxim o y el m ínim o absolutos Problem as resueltos Problem as com plem entarios 56 65 72 78 89 92 97 104 www.FreeLibros.me
  • Contenido 15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetría 118 Concavidad / Puntos de inflexión / Asíntotas verticales / Asíntotas horizontales / Sim etría / Funciones inversa y sim etría / Funciones pares e im pares / Sugerencias para trazar el gráfico de y = f x ) Problem as resueltos Problem as com plem entarios 16 Repaso de trigonometría 129 M edida del ángulo / Á ngulos dirigidos / Funciones seno y coseno Problem as resueltos Problem as com plem entarios 17 Derivación de funciones trigonométricas 138 C ontinuidad de cos x y sen x / G ráfica de sen x / G ráfica de cos x / Otras funciones trigonom étricas / Derivadas / Otras relaciones / G ráfica de y = tan x / G ráfica de y = sec x / Ángulos entre curvas Problem as resueltos Problem as com plem entarios 18 Funciones trigonométricas inversas 151 L a derivada de sen-1 x / Función coseno inversa / Función tangente inversa Problem as resueltos Problem as com plem entarios 19 Movimientos rectilíneo y circular 160 M ovim iento rectilíneo / M ovim iento bajo la influencia de la gravedad / M ovim iento circular Problem as resueltos Problem as com plem entarios 20 Razones 166 Problem as resueltos Problem as com plem entarios 21 Diferenciales. Método de Newton 172 L a diferencial / M étodo de Newton Problem as resueltos Problem as com plem entarios 22 Antiderivadas 179 Leyes de las antiderivadas Problem as resueltos Problem as com plem entarios www.FreeLibros.me
  • Contenido 23 La integral definida. Área bajo una curva N otación sigm a / Á rea bajo una curva / Propiedades de la integral definida Problem as resueltos Problem as com plem entarios 24 Teorema fundamental del cálculo Teorema del valor m edio para integrales / Valor prom edio de una función en un intervalo cerrado / Teorem a fundam ental del cálculo / Cam bio de variable en una integral definida Problem as resueltos Problem as com plem entarios 25 El logaritmo natural E l logaritm o natural / Propiedades del logaritm o natural Problem as resueltos Problem as com plem entarios 26 Funciones exponenciales y logarítmicas Propiedades de ex / Función exponencial general / Funciones logarítm icas generales Problem as resueltos Problem as com plem entarios 27 Regla de L’Hôpital Regla de L’hôpital / Tipo indeterm inado 0 ■ ^ / Tipo indeterm inado ^ - ^ / Tipos indeterm inados 00 , ^ 0 y 1“ Problem as resueltos Problem as com plem entarios 28 Crecimiento y decrecimiento exponencial Vida m edia Problem as resueltos Problem as com plem entarios 29 Aplicaciones de integración I: Área y longitud de arco Á rea entre una curva y el eje y / Á rea entre curvas / Longitud de arco Problem as resueltos Problem as com plem entarios 30 Aplicaciones de integración II: volumen Fórm ula del disco / M étodo de w asher / M étodo de capas cilindricas / D iferencia de la fórm ula de capas / Fórm ula de la sección transversal (fórm ula de las rebanadas) Problem as resueltos Problem as com plem entarios 187 195 202 210 218 226 231 240 www.FreeLibros.me
  • Contenido 31 Técnicas de integración I: integración por partes Problem as resueltos Problem as com plem entarios 32 Técnicas de integración II: integrandos trigonométricos y sustituciones trigonométricas Integrandos trigonom étricos / Sustituciones trigonométricas Problem as resueltos Problem as com plem entarios 33 Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales M étodo de fracciones parciales Problem as resueltos Problem as com plem entarios 34 Técnicas de integración IV: sustituciones misceláneas Problem as resueltos Problem as com plem entarios 35 Integrales impropias Lím ites de integración infinitos / D iscontinuidades del integrando Problem as resueltos Problem as com plem entarios 36 Aplicaciones de la integración III: área de una superficie de revolución Problem as resueltos Problem as com plem entarios 37 Representación paramétrica de curvas Ecuaciones param étricas / Longitud de arco para una curva param étrica Problem as resueltos Problem as com plem entarios 38 Curvatura Derivada de la longitud de un arco / Curvatura / E l radio de curvatura / E l círculo de curvatura / E l centro de curvatura / La evoluta Problem as resueltos Problem as com plem entarios 39 Vectores en un plano Escalares y vectores / Sum a y diferencia de dos vectores / Com ponentes de un vector / Producto escalar (o producto punto) / Proyecciones escalar y vectorial / Derivación de funciones vectoriales Problem as resueltos Problem as com plem entarios 255 262 275 284 289 297 303 308 317 www.FreeLibros.me
  • Contenido 40 M ovim iento curvilíneo Velocidad en el m ovim iento curvilíneo / Aceleración en el movim iento curvilíneo / Com ponentes tangencial y norm al de la aceleración Problem as resueltos Problem as com plem entarios 41 Coordenadas polares Coordenadas polares y rectangulares / A lgunas curvas polares típicas / Á ngulo de inclinación / Puntos de intersección / Ángulo de intersección / La derivada de la longitud de arco / Curvatura Problem as resueltos Problem as com plem entarios 42 Sucesiones infinitas Sucesiones infinitas / L ím ite de una sucesión / Sucesiones monótonas Problem as resueltos Problem as com plem entarios 43 Series infinitas Series geom étricas Problem as resueltos Problem as com plem entarios 44 Series con términos positivos. Criterio de la integral. Criterios de comparación Series con térm inos positivos Problem as resueltos Problem as com plem entarios 45 Series alternadas. Convergencia absoluta y condicional. Criterio del razón Series alternadas Problem as resueltos Problem as com plem entarios 46 Serie de potencias Serie de potencias / Convergencia uniform e Problem as resueltos Problem as com plem entarios 47 Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo Series de Taylor y de M aclaurin / Aplicaciones de la fórm ula de Taylor con residuo Problem as resueltos Problem as com plem entarios 328 335 348 356 362 371 379 392 www.FreeLibros.me
  • Contenido 48 Derivadas parciales Funciones de varias variables / L ím ites / Continuidad / Derivadas parciales / Derivadas parciales de orden superior Problem as resueltos Problem as com plem entarios 401 49 Diferencial total. Diferenciabilidad / Reglas de la cadena D iferencial total / D iferenciabilidad / Reglas de la cadena / Derivación implícita Problem as resueltos Problem as com plem entarios 410 50 Vectores en el espacio 422 Cosenos directores de un vector / D eterm inantes / Vector perpendicular a dos vectores / Producto vectorial de dos vectores / Triple producto escalar / Triple producto vectorial / L ínea recta / El plano Problem as resueltos Problem as com plem entarios 51 Superficies y curvas en el espacio 437 Planos / Esferas / Superficies cilíndricas / E lipsoide / Paraboloide elíptico / Cono elíptico / Paraboloide hiperbólico / H iperboloide de una hoja / H iperboloide de dos hojas / Recta tangente y plano norm al a una curva en el espacio / P lano tangente y recta norm al a una superficie / Superficie de revolución Problem as resueltos Problem as com plem entarios 52 Derivadas direccionales. Valores máximos y mínimos 448 Derivadas direccionales / Valores m áxim os y m ínim os relativos / Valores m áxim os y m ínim os absolutos Problem as resueltos Problem as com plem entarios 53 Derivación e integración de vectores 456 Derivación vectorial / Curvas en el espacio / Superficies / E l operador V / D ivergencia y rotacional / Integración / Integrales de línea (curvilíneas) Problem as resueltos Problem as com plem entarios 54 Integrales dobles e iteradas 470 L a integral doble / L a integral iterada Problem as resueltos Problem as com plem entarios www.FreeLibros.me
  • Contenido 55 Centroides y momentos de inercia de áreas planas Área plana por integración doble / Centroides / M om entos de inercia Problem as resueltos Problem as com plem entarios 56 Integración doble aplicada al volumen bajo una superficie y al área de una superficie curva Problem as resueltos Problem as com plem entarios 57 Integrales triple Coordenadas cilíndricas y esféricas / La integral triple / Cálculo de integrales triples / Centroides y m om entos de inercia Problem as resueltos Problem as com plem entarios 58 Masas de densidad variable Problem as resueltos Problem as com plem entarios 59 Ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden Ecuaciones diferenciales separables / Funciones hom ogéneas / Factores de integración / Ecuaciones de segundo orden Problem as resueltos Problem as com plem entarios 477 485 494 506 512 Apéndices 523 www.FreeLibros.me
  • Sistemas de coordenadas lineales. Valor absoluto. Desigualdades Un sistema de coordenadas lineales U n sistem a de coordenadas lineales es una representación gráfica de los núm eros reales (R) com o puntos en una línea recta. A cada núm ero le corresponde uno y sólo un punto, y a cada punto le corresponde uno y sólo un número. Para establecer un sistem a de coordenadas lineales en una recta es necesario: 1. seleccionar cualquier punto de la recta com o el origen y asignar a ese punto el núm ero 0 ; 2 . determ inar una dirección positiva en la recta e indicarla m ediante una flecha; 3. tom ar una distancia fija com o unidad de m edida. Si x es un núm ero positivo, el punto correspondiente a x se obtiene avanzando una distancia de x unidades a partir del origen en dirección positiva. Si x es negativo, el punto correspondiente a x se halla desplazándose una distancia de - x unidades desde el origen en dirección negativa (fig. 1.1.) Por ejemplo, si x = -2 , entonces - x = 2 y el punto correspon­ diente queda a 2 unidades del origen en dirección negativa. ----------1--------- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---------1---- 1---- 1— I----1---------- H--------1---------► -4 -3 -5/2 -2 -3/2 -1 0 1/2 1 V2 2 3^ 4 Fig. 1.1. E l núm ero asignado a un punto por un sistem a de coordenadas se denom ina coordenada de ese punto. En adelante, se hablará com o si no hubiera distinción entre un punto y su coordenada. Así, al mencionar, por ejem ­ plo, el “punto 3” se entenderá el “punto con coordenada 3” . E l valor absoluto Ixl de un núm ero x se define com o sigue: [ x si x es cero o un núm ero positivo x = | - x si x es un núm ero negativo Por ejemplo, I4I = 4, I-3I = - ( - 3 ) = 3 y I0l= 0. Observe que si x es un núm ero negativo, entonces -x es positivo. Así, IxI > 0 para todo x. Las propiedades siguientes se cum plen para cualesquiera núm eros x y y. (1.1) I-xI = IxI Cuando x = 0, I-xI = I-0I = I0I = IxI. Cuando x > 0, - x < 0 y I-xI = - ( -x ) = x = IxI. Cuando x < 0, - x > 0 y I-xI = - x = IxI. (1.2 ) Ix - yI = Iy -x I Esto se sigue de (1.1), ya que y - x = - (x - y). (1.3) IxI = c im plica que x = ±c. Por ejemplo, si IxI = 2, entonces x = ± 2. Para la dem ostración se supone que IxI = c. Si x > 0, x = IxI = c. Si x < 0, - x = IxI = c; entonces x = - ( -x ) = -c . (1.4) IxI2 = x2 Si x > 0, IxI = x y IxI2 = x2. Si x < 0, IxI = - x y IxI2 = (-x )2 = x2. (1.5) IxyI = x • IyI Por (1.4), IxyI2 = (xy)2 = x2y2 = IxI2IyI2 = (IxI ■ IyI)2. Com o los valores absolutos son no negativos, al obtener la raíz cuadrada queda IxyI = IxI ■ IyI. www.FreeLibros.me
  • o CAPÍTULO 1 Sistem as de coordenadas lineales ( 1.6 ) I— I = -¡4 si y * ov 7 I y I lyl 7 Por (1.5), lyl| x | = |y ■ y | = lxl. Se divide entre lyl. (1.7) lxl = lyl im plica que x = ±y Suponga que lxl = lyl. Si y = 0, lxl = lOl = 0 y por (1.3) se obtiene x = 0. Si y ^ 0, entonces por (1.6) se tiene que I — I = ■—- = 1 I y I lyl 1 Así, por (1.3) x/y = ±1. Por tanto, x = ±y. (1.8 ) Sea c > 0. Entonces, lxl < c si y sólo si - c < x < c (fig. 1.2). Suponga que x < 0; entonces lxl = x. Asim ism o, puesto que c < 0, - c < 0 < x. En consecuencia, lxl < c si y sólo si - c < x < c. A hora suponga que x < 0. Entonces lxl = -x . También, x < 0 < c. Además, - x < c si y sólo si - c < x. (Al m ultiplicar o dividir una desigualdad por un núm ero negativo se invierte la desigualdad.) Por ende, lxl < c si y sólo si - c < x < c. (1.9) Sea c > 0. Entonces lxl < c si y sólo si - c < x < c (fig. 1.2). En este caso el razonam iento es sim ilar al de (1.8). |x |s c \x\ 0, x = lxl. Si x < 0, lxl = - x y, por tanto, x = -lxl. ( 1.11) lx + yl < lxl + lyl (desigualdad triangular) Por (1.8), -lxl < x < lxl y -lyl < y < lyl. A l sum ar se obtiene -(lxl + lyl) < x + y < lxl + lyl. Entonces, por (1.8) lx + yl < lxl + lyl. [En (1.8) se rem plaza c por lxl+ lyl y x por x + y.] En un sistem a de coordenadas dado sobre una recta, sean P 1 y P 2 los puntos sobre ésta que tienen coorde­ nadas x j y x2 (fig. 1.3). Entonces (1.12) lx1 - x2l = P 1P 2 = distancia entre P 1 y P 2. Esto resulta claro cuando 0 < x 1 < x2 y cuando x 1 < x2 < 0. Cuando x 1 < 0 < x2 y además se representa el origen con la letra O, entonces P 1P 2 = P 1 O + OP 2 = ( -x 1) + x2 = x2 - x1 = lx2 - x1l = lx1 - x2l. Com o caso especial de (1.12), cuando P 2 es el origen y (x2 = 0): (1.13) lx1l = distancia entre P 1 y el origen. P2 P1 ------------------------------------ 1---------------------------------------------1----------------------- x2 x1 Fig. 1.3 Intervalos finitos Sea a < b. El intervalo abierto (a, b) se define com o el conjunto de todos los núm eros que hay entre a y b, es decir, el conjunto de todos los x tales que a < x < b. Se usará el térm ino intervalo abierto y la notación (a, b) también para todos los puntos entre los puntos con coordenadas a y b en una recta. Observe que el intervalo abierto (a, b) no contiene los puntos extremos a y b (fig. 1.4). E l intervalo cerrado [a, b] se define com o el conjunto de todos los núm eros que hay entre a y b o iguales a a o b, es decir, el conjunto de todos los x tales que a < x < b. Com o en el caso de los intervalos abiertos, se utiliza la m ism a term inología y notación de los puntos en una recta. Observe que el intervalo cerrado [a, b] sí contiene am bos puntos extrem os (terminales) a y b (fig. 1.4). www.FreeLibros.me
  • -----------o ----------------------- o --------- - ----------- • • --------- ► a b a b Intervalo abierto (a, b): a < x < b; Intervalo cerrado [a, b]: a < x < b Fig. 1.4 Por intervalo semiabierto se entiende un intervalo abierto (a, b) jun to con uno de sus puntos extremos. Hay dos de esos intervalos: [a, b) es el conjunto de todos los x tales que a < x < b y (a, b] es el conjunto de todos los x tales que a < x < b Intervalos infinitos Sea (a, ^ ) el conjunto de todos los x tales que a < x. Sea [a, ^ ) el conjunto de todos los x tales que a < x. Sea (-ro, b) el conjunto de todos los x tales que x < b. Sea (-ro, b] el conjunto de todos los x tales que x < b. Desigualdades Toda desigualdad — com o 2x - 3 > 0 o 5 < 3x + 10 < 16— determ ina un intervalo. Resolver una desigualdad significa determ inar el intervalo correspondiente de los núm eros que la satisfacen. EJEMPLO 1.1. Resuelva 2x - 3 > 0. 2x - 3 > 0 2x > 3 (Sumando 3) x > ! (Dividiendo entre 2) Así, el intervalo correspondiente es ( f , EJEMPLO 1.2. Resuelva 5 < 3x + 10 < 16. 5 < 3x + 10 < 16 -5 < 3x < 6 (Restando 10) - 3 < x < 2 (Dividiendo entre 3) Así, el intervalo correspondiente es (— | , 2 ]. EJEMPLO 1.3. Resuelva -2x + 3 < 7 -2x + 3 < 7 -2x < 4 (Restando 3) x > -2 (Dividiendo entre -2) (Observe que cuando se divide entre un número negativo la desigualdad se invierte.) Así, el intervalo correspon­ diente es ( - 2, ^ ). PROBLEMAS RESUELTOS 1. Describa y represente los intervalos siguientes y exprese su notación de intervalos: a) - 3 < x < 5; b) 2 < x < 6; c) -4 < x < 0; d) x > 5; e) x < 2; f 3x - 4 < 8; g) 1 < 5 - 3x < 11. a) Todos los números mayores que -3 y menores que 5; la notación de intervalos es (-3 , 5): ---------------- O------------------------- O------------------------ ► - 3 5 CA PÍTU LO 1 Sistem as de coordenadas lineales www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 1 Sistem as de coordenadas lineales b) Todos los números iguales o mayores que 2 y menores o iguales que 6: [2, 6]: c) Todos los números mayores que - 4 y menores o iguales que 0: ( - 4, 0]: - O - 4 d) Todos los números mayores que 5: (5, ^): -O- 5 e) Todos los números menores o iguales que 2: ( - ^ , 2]: 2 f 3x - 4 < 8 equivale a 3x < 12 y, por consiguiente, a x < 4. Así, se obtiene ( -^ , 4]: 4 g) 1 < 5 - 3x < 11 - 4 < -3x < 6 (restando 5) — 2 < x < -4 (dividiendo entre -3 ; observe que las desigualdades se invierten). Por ende, se obtiene (—2 -f) : ------------------O------------------------ O--------------- ► -2 4/3 Describa y represente los intervalos determinados por las desigualdades siguientes: a) Ixl < 2; b) Ixl > 3; c) Ix - 3I < 1; d) Ix - 2I < 8 > 0; e) Ix + 2I < 3; f ) 0 < Ix - 4I < 8 > 0. a) Por la propiedad (1.9), esto equivale a -2 < x < 2, que define el intervalo abierto (-2 , 2). -O----------------------- O- -2 2 b) Por la propiedad (1.8), IxI < 3 equivale a -3 < x < 3. Al tomar las negaciones, IxI > 3 equivale a x < -3 , o bien, x > 3, lo que define la unión de los intervalos ( -^ , -3 ) y (3, ^ ). ------------ O--------------------O-------------------- ► - 3 3 c) Por la propiedad (1.12), se dice que la distancia entre x y 3 es menor que 1, lo que equivale a 2 < x < 4. Esto define el intervalo abierto (2, 4). -O------------------O- 2 4 Cabe también observar que Ix - 3I < 1 equivale a -1 < x -3 < 1. Al sumar 3 se obtiene 2 < x < 4. d) Esto indica que la distancia entre x y 2 es menor que 8, o que 2 - 8 < x < 2 + 8, lo que define el intervalo abierto (2 - 8, 2 + 8). Este intervalo se denomina vecindad 8 de 2: -O ---------------1---------------- O— 2 - S 2 2 + S www.FreeLibros.me
  • o e) lx + 21 < 3 equivale a -3 < x + 2 < 3. Al restar 2 se obtiene -5 < x < 1, lo que define el intervalo abierto (-5 , 1): --------------o --------------- o --------------► - 5 1 f ) La desigualdad lx - 4l < 8 determina el intervalo 4 - 8 < x < 4 + 8. La condición adicional 0 < lx - 4l dice que x ^ 4. Por tanto, se obtiene la unión de los dos intervalos (4 - 8, 4) y (4, 4 + 8). El resultado se denomina vecindad 8 de 4: — O-------------------O------------------O---► 4 - S 4 4 + 5 3. Describa y trace un diagrama de los intervalos determinados por las desigualdades siguientes: a) 15 - xl < 3; b) l2x - 3l < 5; c) 11 - 4 xl < 2. a) Como l5 - xl = lx - 5l, se tiene que lx - 5l < 3, equivalente a -3 < x -5 < 3. Sumando 5 se obtiene 2 < x < 8, que define el intervalo [2, 8]: b) l2x - 3l < 5 equivale a -5 < 2x - 3 < 5. Sumando 3 se obtiene -2 < 2x < 8; entonces, al dividir entre 2 resulta -1 < x < 4, lo que define el intervalo abierto (-1 , 4): -o------------------------------ o - -1 4 c) Como l1 - 4xl = l4x - 1l, se tiene que 14x — 1 < 2 , que equivale a — 1 < 4 x — 1 < 2. Al sumar 1 se obtiene 2 < 4x < 3 . Dividiendo entre 4 se obtiene 1 < x < f , que define el intervalo ( , §): -O-----------------------O - 1/8 3/8 4. Resuelva las desigualdades siguientes y trace la gráfica de las soluciones: a) 18x - 3x2 > 0; b) (x + 3)(x - 2) (x - 4) < 0; c) (x + 1)2(x - 3) > 0. a) Sea 18x - 3x2 = 3x(6 - x) = 0; se obtiene x = 0 y x = 6. Hay que determinar el signo de 18x - 3x2 en cada uno de los intervalos x < 0, 0 < x < 6 y x > 6 para establecer dónde 18x - 3x2 > 0. Observe que es negativo cuando x < 0 (ya que x es negativo y 6 - x es positivo). Se vuelve positivo cuando se pasa de izquierda a derecha por 0 (puesto que x cambia de signo, pero 6 - x sigue siendo positivo) y se vuelve negativo cuando pasa por 6 (ya que x sigue siendo positivo, pero 6 - x cambia a negativo). Por ende, es positivo cuando y sólo cuando 0 > x < 6. ------- O----------------------- O--------► 0 6 b) Los puntos críticos son x = -3 , x = 2 y x = 4. Advierta que (x + 3)(x - 2)(x - 4) es negativo para x < -3 (pues cada uno de los factores es negativo) y que cambia de signo cuando pasa por cada uno de los puntos cruciales. Por tanto, es negativo para x < -3 y para 2 < x < 4: ---------O------------------------------------------------ O------------------ O----------------------- - 3 2 4 c) Observe que (x + 1)2 siempre es positivo (salvo en x = -1 , donde es 0). Por tanto, (x + 1)2(x - 3) > 0 cuando y sólo cuando x - 3 > 0, es decir, para x > 3: O 3 CA PÍTU LO 1 Sistem as de coordenadas lineales www.FreeLibros.me
  • o CAPÍTULO 1 Sistem as de coordenadas lineales 5. Resuelva Í3x - 71 = 8. Por (1.3), Í3x - 71 = 8 si y sólo si 3x - 7 = ±8. Entonces hay que resolver 3x - 7 = 8 y 3x - 7 = - 8. Se obtiene x = 5 o x = — 3. 2 x + 16. Resuelva ----------- > 3. x + 3 Caso 1: x + 3 > 0. Al multiplicar por x + 3 se obtiene 2x + 1 > 3x + 9, lo que se reduce a -8 > x. Sin embargo, como x + 3 > 0, es probable que x > -3 . Entonces este caso no tiene solución. Caso 2: x + 3 < 0. Al multiplicar por x + 3 se obtiene 2x + 1 > 3 + 9. (La desigualdad se invierte porque se multiplicó por un número negativo.) Esto resulta -8 < x. Puesto que x + 3 < 0, se tiene que x < -3 . Luego, las únicas soluciones son -8 < x < -3. 7. Resuelva | 2 - 3| < 5. La desigualdad equivale a —5 < 2 — 3 < 5. Se suma 3 para obtener -2 < 2/x < 8, y se divide entre 2 para obtener -1 < 1/x < 4. Caso 1: x > 0. Se multiplica por x para llegar a -x < 1 < 4x. Entonces, x > 4 y x > -1 ; estas dos desigualdades son equivalentes a una sola desigualdad: x > 4 . Caso 2: x < 0. Se multiplica por x para obtener -x > 1 > 4x. (Observe que se invirtieron las desigualdades al multiplicar por un número negativo x.) Entonces, x < 1 y x < -1 . Estas dos desigualdades equivalen a x < -1. Por ende, las soluciones son x > 4 o x < -1 , la unión de dos intervalos infinitos y (_ ^ , - 1). 8. Resuelva Í2x - 51 > 3. Se soluciona primero la negación Í2x - 5Í < 3, la cual equivale a -3 < 2x - 5 < 3. Se suma 5 para obtener 2 < 2x < 8 y se divide entre 2 para obtener 1 < x < 4. Como ésta es la solución de la negación, la desigualdad original tiene la solución x < 1 o x > 4. 9. Resuelva x2 < 3x + 10. x2 < 3x + 10 x2 - 3x - 10 < 0 (restando 3x + 10) (x - 5)(x + 2) < 0 Los números cruciales son -2 y 5. (x - 5)(x + 2) > 0 cuando x < -2 (ya que tanto x - 5 como x + 2 son negativas); resulta negativa cuando pasa por -2 (ya que x + 2 cambia de signo) y luego se vuelve positiva cuando pasa por 5 (ya que x - 5 cambia de signo). Así, las soluciones son -2 < x < 5. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 10. Describa y trace la gráfica del conjunto determinado por cada una de las condiciones siguientes: a) -5 < x < 0 b) x < 0 c) -2 < x < 3 d) x > 1 e) Íx Í < 3 f ) ÍxÍ > 5 g) Íx - 21 < 1 h) Íx - 3Í > 1 i) 0 < Íx - 21 < 1 j ) 0 < Íx + 3Í < 1 k) Íx - 21 > 1 Respuestas: e) -3 < x < 3; f)x > 5 o bien, x < -5 ; g) -| < x < 5 ; h) x > -2 o bien, x < -4 ; i) x ^ 2 y 1 < x < 3; j) — 13 < x < — 11; k) x > 3 o bien, x < 1 www.FreeLibros.me
  • o 11. Describa y trace la gráfica del conjunto determinado por cada una de estas condiciones: a) b) c) d) e) I 3x - 71 < 2 I 4x - 1I > 1 x - 2 2 + - < 4 < 4 > 1 < 3f ) Respuestas: a) 3 < x < 3 ; b) x > - o bien, x < 0 ; c) - 6 < x < 18; d) x < — -| o bien, x > -2-; e) x > 0 o bien, x < -1 o bien, - 3 < x < 0 ; f ) x > 3 o bien, x < —| 12. Describa y trace la gráfica del conjunto determinado por cada una de las condiciones siguientes: a) x(x - 5) < 0 b) (x - 2)(x - 6) > 0 c) (x + 1)(x - 2) < 0 d ) x(x - 2)(x + 3) > 0 e) (x + 2)(x + 3)(x + 4) < 0 f ) (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 3) > 0 g) (x - 1)2(x + 4) > 0 h) (x - 3)(x + 5)(x - 4)2 < 0 i) (x - 2)3 > 0 j) (x + 1)3 < 0 k) (x - 2)3(x + 1) < 0 l) (x - 1)3(x + 1)4 < 0 m) (3x - 1)(2x + 3) > 0 n) (x - 4)(2x - 3) < 0 Respuestas: a) 0 < x < 5; b) x > 6 o bien, x < 2; c) -1 < x < 2; d) x > 2 o bien, -3 < x < 0; e) -3 < x < -2 o bien, x < - 4; f ) x > 2 o bien, -1 < x < 1 o bien, x < - 3; g) x > - 4 y x ^ 1; h) -5 < x < 3; i) x > 2; j) x < -1 ; k) -1 < x < 2; l) x < 1 y x ^ -1 ; m) x > 3 o bien, x < —2; n) | < x < 4 3 x 13. Describa y trace la gráfica del conjunto determinado por cada una de las condiciones que siguen: a) x 2 < 4 b) x2 > 9 c) (x - 2)2 < 16 d) (2x + 1)2 > 1 e) x2 + 3x - 4 > 0 f ) x 2 + 6x + 8 < 0 g) x2 < 5x + 14 h) 2x2 > x + 6 i) 6x2 + 13x < 5 j) x3 + 3x2 > 10x Respuestas: a) - 2 < x < 2; b) x > 3 o bien, x < -3 ; c) -2 < x < 6; d) x > 0 o bien, x < -1 ; e) x > 1 o bien, x > - 4; f) - 4 < x < -2 ; g) - 2 < x < 7; h) x > 2 o bien, x < — -| ; i) — 5 < x < 3 3 ; j) -5 < x < 0 o x > 2 CA PÍTU LO 1 Sistem as de coordenadas lineales www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 1 Sistem as de coordenadas lineales 14. Resuelva: a) -4 < 2 - x < 7 3 x — 1 d) 2 x + 3 > 3 b) e) 2x — 1 x 2x — 1 < 3 > 2 x c) f ) x x + 2 x 0 o bien, x < -1 ; c) x > -2 ; d) —10 < x < — -|; e) x < 0 o bien, 0 < x < 1; f ) x < - 4 o bien, x > -1 15. Resuelva: a) I4x - 51 = 3 b) Ix + 6I = 2 c) I3x - 4I = I2x + 1I d) Ix + 1I = Ix + 2I e) Ix + 1I = 3x - 1 f Ix + 1I < I3x - 1I g) I3x - 4I > I2x + 1I Respuestas: a) x = 2 o bien, x = 2; b) x = - 4 o bien, x = - 8; c) x = 5 o bien, x = | ; d) x = — 2; e) x = 1; f x > 1 o bien, x < 0; g) x > 5 o bien, x < | 16. Pruebe: a) Ix2I = IxI2 b) IxnI = IxIn para todo entero n c) ixi= 4 x d) Ix - yI < IxI + IyI e) Ix - yI > IIxI - IyII [Sugerencia: en e), pruebe que Ix - yI > IxI - IyI y Ix - yI > IyI - IxI.] www.FreeLibros.me
  • Sistema de coordenadas rectangulares Ejes de coordenadas En un plano P, se escoge un par de rectas perpendiculares. Si una de ellas es horizontal, entonces la otra será vertical. L a recta horizontal se designa com o eje x y la vertical como eje y (fig. 2.1). y b 1 1 P(a, b)-------- ", - r - 3 i 2 1 i i i “ i i i i i | -2 -1 O 1 2 3 4 5 \a -1 1 Fig. 2.1 A hora se tom a un sistem a de coordenadas lineales sobre el eje x y uno sobre el eje y que satisfacen las con­ diciones siguientes: el origen de cada sistem a de coordenadas es el punto O, donde se cortan los ejes. E l eje x está orientado de izquierda a derecha y el eje y de abajo arriba. La parte del eje x con coordenadas positivas se denom ina eje x positivo y la parte del eje y con coordenadas positivas se designa eje y positivo. Debem os establecer una correspondencia entre los puntos del plano P y pares de núm eros reales. Coordenadas Considere el punto P del plano (figura 2.1). L a recta vertical que pasa por P corta el eje x en un único punto; sea a la coordenada de este punto sobre el eje x . E l núm ero a se denom ina coordenada x de P (o la abscisa de P). La recta horizontal que pasa por P corta el eje y en un solo punto; sea b la coordenada de este punto sobre el eje y. E l núm ero b se denom ina coordenada y de P (o la ordenada de P). Así, todo punto P tiene un par único (a, b) de núm eros reales asociado con él. A su vez, cada par (a, b) de núm eros reales está asociado con un punto único en el plano. Las coordenadas de varios puntos se indican en la figura 2.2. En aras de la sim plicidad, se han lim itado a enteros. www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 2 Sistem as de coordenadas rectangulares y (-3, 7)< (-4, 2)1 • (5, 4) (3, 3) (6, 0) -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 (0, -4) (-3, -4) | > (4, -4) 2 3 4 5 6 EJEMPLO 2.1. Fig. 2.2 En el sistema de coordenadas de la figura 2.3, para hallar el punto correspondiente a las coorde­ nadas (2, 3) se comienza en el origen, se desplaza dos unidades a la derecha y luego tres unidades hacia arriba. > (-4 , 2) _L • (2, 3) - 4 (-3 , - 1 ) * -2 -1 0 -1 -2 y 4 3 2 1 2 3 Fig. 2.3 Para encontrar el punto de coordenadas (-4, 2) se empieza en el origen, se desplaza cuatro unidades a la izquierda y luego dos unidades hacia arriba. Para hallar el punto con coordenadas (-3, 1) se comienza en el origen y se desplaza tres unidades a la izquierda y luego una hacia abajo. El orden de estos desplazamientos no es importante. Por ejemplo, el punto (2, 3) también puede encontrarse em­ pezando en el origen y avanzando tres unidades hacia arriba y luego dos a la derecha. www.FreeLibros.me
  • Cuadrantes Suponga que se ha establecido un sistem a de coordenadas en el plano Entonces todo el plano ^ , salvo los ejes de coordenadas, puede dividirse en cuatro partes iguales, denom inadas cuadrantes. Todos los puntos con am bas coordenadas positivas conform an el prim er cuadrante, llam ado cuadrante I, en la esquina superior de­ recha (fig. 2.4). E l cuadrante II consta de todos los puntos con coordenada x negativa y coordenada y positiva. Los cuadrantes III y IV tam bién se presentan en la figura 2.4. II ( - , +) _L_ ( -1 , 2 )» 2 _L_ _L_ - 3 - 2 ( -2 , - 1 ) * -1 0 -1 - 2 III ( - , - ) I (+, +) • ( 3 , 1) J _______ L • (2, - 2 ) IV (+, - ) Fig. 2.4 Los puntos sobre el eje x tienen coordenadas de la form a (a, 0). E l eje y consta de los puntos con coordenadas de la form a (0 , b). D ado un sistem a de coordenadas, es habitual referirse al punto con coordenadas (a, b) com o “el punto (a, b)” . Por ejemplo, se puede decir que “el punto (0, 1) queda sobre el eje y” . Fórmula de la distancia L a distancia P1 P2 que hay entre los puntos P 1 y P 2 con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) en un sistem a de coorde­ nadas (fig. 2.5) se obtiene m ediante la siguiente fórm ula de la distancia: PP2 = V(x1- x2)2 +(y - y2)2 (2 .1) x Fig. 2 .5 CA PÍTU LO 2 Sistem as de coordenadas rectangulares www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 2 Sistem as de coordenadas rectangulares Para observar esto, sea R el punto donde la recta vertical que pasa por P 2 corta la recta horizontal que pasa por P j. L a coordenada x de R es x 2 , lo m ism o que para la de P 2. La coordenada y de R es y 1 , la m ism a que la de P j . Por el teorem a de Pitágoras, (PJP2) 2 = (PJR ) 2 + (P2 R )2. Si A1 y A2 son las proyecciones de P j y P 2 sobre el eje x, los segmentos P JR y A 1A 2 son lados opuestos de un rectángulo, de m anera que PJR = A 1A 2 . Pero A 1A 2 = Ixj - x2l por la propiedad (1.12); por consiguiente, PJR = Ix1 - x2l . D e igual form a P2R = lyj - y 2I . Por tanto, (PjPz)2 = Ixj - x2l2 + lyj - y2I2 = (xj - x2)2 + ( y - y2)2. M ediante la raíz cuadrada se obtiene la fórm ula de la distancia. (Puede observarse que la fórm ula también es válida cuando P j y P2 quedan en la m ism a recta vertical u horizontal.) EJEMPLO 2.2. a) La distancia entre (2, 5) y (7, 17) es V(2 - 7)2 + (5 - 17)2 = V (-5)2 + ( -1 2 )2 = V25+144 = V Í69 = 13 b) La distancia entre (1, 4) y (5, 2) es V(1 - 5)2 + ( 4 - 2 )2 = yj( - 4)2 + (2)2 = V Í6 + 4 = V20 = S ^ / 5 = 2V5 Fórmulas del punto medio E l punto M(x, y), que es el punto m edio del segm ento que une los puntos P 1(x1, y1) y P 2(x2, y2), tiene las coor­ denadas x = (2 .2 ) Así, las coordenadas de los puntos m edios son los prom edios de las coordenadas de los puntos extrem os o term inales (fig. 2 .6). y Fig. 2.6 Para observar esto, sean A, B, C las proyecciones de P 1, M y P 2 en el eje x. Las coordenadas x de A, B y C son x1, x y x2. En virtud de que las rectas P 1A, M B y P 2C son paralelas, los cocientes P1M / MP2 y A B / B C son iguales. Entonces, P1M = MP2 y AB = B C . Com o AB = x - x1 y B C = x2 - x 2x = Xj + x2 2 (La m ism a ecuación es válida cuando P 2 está a la izquierda de P 1, caso en el que A B = x1 - x y B C = x - x 2). D e form a similar, y = (y1 + y2)/2. x - x j = x2 - x www.FreeLibros.me
  • EJEMPLO 2.3. a) El punto medio del segmento que une (2, 9) y (4, 3) es ^2 + 4, 9 + 3j = (3, 6). b) El punto intermedio entre (-5, 1) y (1, 4) es 2~ , ““2“ )= (_2 ,7). Demostraciones o pruebas de los teoremas geométricos D em ostraciones de los teorem as geom étricos pueden darse m ás fácilm ente usando las coordenadas que m e­ diante deducciones a partir de axiom as y teorem as derivados con anterioridad. Las pruebas o dem ostraciones m ediante coordenadas se denom inan analíticas, a diferencia de las pruebas a partir de axiomas, que se llaman sintéticas . EJEMPLO 2.4. Pruebe analíticamente que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo equivale a la mitad de la longitud del tercer lado. Construya un sistema de coordenadas de manera que el tercer lado AB quede en el eje x positivo, A sea el origen y el tercer vértice C quede por encima del eje x como en la figura 2.7. y Sea b la coordenada x de B (en otras palabras, sea b = A B ). Tenga C las coordenadas (u, v). Sean M x y M2 los puntos medios de los lados AC y BC, respectivamente. Por las fórmulas del punto medio (2.2), las coordenadas de Mj son (-2, 2 ) y las de M2 son (u + b , 2 ) . Mediante la fórmula de la distancia (2.1) M M = |PW ; IVKr =# = i que es la mitad de la longitud del lado AB. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Demuestre que la distancia entre un punto P(x, y) y el origen es ^ x 2 + y 2. Como el origen tiene coordenadas (0, 0), la fórmula de la distancia da -jix— 0 )2+ (y - 0)2 =y¡x2 + y2 2. ¿El triángulo con vértices A(1, 5), B(4, 2) y C(5, 6) es isósceles? A B =V (1 - 4)2 + (5 - 2)2 =V (- 3)2 + (3)2 =-¡9 + 9 = V l8 A C =V (1 - 5)2 + (5 - 6)2 = y¡( - 4)2 + (-1 )2^VTó+T = yfT7 BC =y¡(4 - 5)2 + (2 - 6)2 = y¡(-1 ) 2 + ( - 4)2 ^ 7 1 + ^ ^ 7 1 7 Como AC = B C , el triángulo es isósceles. CA PÍTU LO 2 Sistem as de coordenadas rectangulares www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 2 Sistem as de coordenadas rectangulares 3. ¿El triángulo con vértices A(-5, 6), B(2, 3) y C(5, 10) es un triángulo rectángulo? AB = y¡{-5 - 2)2 + (6- 3)2 = y¡(-7)2 + (3)2 = V49 + 9 = V58 AC = 4 (- 5 - 5)2 + (6 -10)2 = y¡ (-10)2 + ( -4 )2 = V100 +16 = VTT6 BC = y¡( 2 - 5)2 + ( 3 - 10)2 ^ ( - 3 ) 2 + (-7)2 = V9 + 49 = V58 Como AC2 = AB2 + B C 2, el inverso del teorema de Pitágoras dice que AABC es un triángulo rectángulo, con un ángulo recto en B; de hecho, como AB = BC, AABC es un triángulo rectángulo isósceles. 4. Pruebe analíticamente que si las medianas de dos lados de un triángulo son iguales, entonces esos lados son iguales. (La mediana de un triángulo es un segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.) En AABC, sean M T y M2 los puntos medios de los lados AC y BC, respectivamente. Construya un sistema de coordenadas de manera que A sea el origen, B se sitúe en el eje x positivo y C quede por encima del eje x (fig. 2.8). Supón que A M 2 = B M T. Debe probar que A C = BC. Sea b la coordenada x de B, y sean (u, v) las coordenadas de C. Entonces, por las fórmulas del punto medio, M T tiene coordenadas (2, f ) y M2 tiene las coordenadas (-^ 2^ , v ). Por tanto, A M = / M 7 Í Í T y BMT Como A M 2 = BM t , Por consiguiente, (u +4b) + -4- = (u 4b) + -4- y, en consecuencia, (u + b)2 = (u - 2b)2. Así, u + b = ±(u - 2b). Si u + b = u - 2b, entonces b = -2 b y, por tanto, b = 0, lo que es imposible porque A * B. Por tanto, u + b = - (u - 2b) = -u + 2b, de donde 2u = b. Ahora BC = y¡(u - b)2 + v 2 = y¡(u - 2u)2 + v 2 =•>/(-u)2 + v 2 = >/u 2 + v 2 y AC = -7u2 + v 2 . Por tanto, AC = B C . 5. Halle las coordenadas (x, y) del punto Q sobre el segmento de recta que une P T(1, 2) y P 2(6, 7), tal que Q divida el segmento en la razón 2:3, es decir, tal que P1 Q/QP2 = J-. Sean las proyecciones de P T, Q y P 2 sobre el eje x AT, Q ’ y A2, respectivamente, con coordenadas 1, x y 6, correspondientemente (fig. 2.9). Ahora ATQ ' /Q 'A 2 = PTQ/QP2 = f . (Cuando dos rectas son cortadas por tres www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 2 Sistem as de coordenadas rectangulares 10. Si (2, 2), (2, - 4) y (5, 2) son tres vértices de un rectángulo, halle el cuarto vértice. Respuesta: (5, - 4) 11. Si los puntos (2, 4) y (-1 , 3) son vértices opuestos de un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas (es decir, a los ejes x y y), halle los otros dos vértices. Respuesta: (-1 , 4) y (2, 3) 12. Determine si los siguientes tríos de puntos son vértices de un triángulo isósceles: a) (4, 3), (1, 4), (3, 10) b) (-1 , 1), (3, 3), (1, -1 ) c) (2, 4), (5, 2), (6, 5) Respuestas: a) no; b) sí; c) no. 13. Determine si los siguientes tríos de puntos son los vértices de un triángulo rectángulo. Con los que formen el triángulo, calcule el área de éste. a) (10, 6), (3, 3), (6, - 4 ) b) (3, 1), (1, -2 ), (-3 , -1 ) c) (5, -2 ), (0, 3), (2, 4) Respuestas: a) sí, área = 29 u2; b) no; c) sí, área = -j- u2 14. Halle el perímetro del triángulo con vértices A(4, 9), B(-3, 2) y C(8, 5). Respuesta: 7>/2 + V170 + 2V53 15. Encuentre el o los valores de y para los que (6, y) equidista de (4, 2) y (9, 7). Respuesta: 5 16. Halle los puntos medios de los segmentos de recta con los siguientes puntos extremos o terminales: a) (2, -3 ) y (7, 4) b) ( 5 ,2 ) y (4, 1) c) ( ^ , 0) y (1, 4) Respuestas: a) ( 2 ^ ); b) ( j^7 , 2 ) ; c) 2^ 17. Halle el punto (x, y) tal que (2, 4) sea el punto medio del segmento de recta que une (x, y) y (1, 5). Respuesta: (3, 3) 18. Determine el punto equidistante de los puntos A(-1, 7), B(6, 6) y C(5, -1). Respuesta: ( " ^ J , ) 19. Pruebe analíticamente que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equidistante de los tres vértices. 20. Demuestre analíticamente que la suma de los cuadrados de la distancia de cualquier punto P a dos vértices de un rectángulo es igual a la suma de cuadrados de sus distancias a los otros vértices. www.FreeLibros.me
  • 21. Pruebe analíticamente que la suma de los cuadrados de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales. 22. Pruebe analíticamente que la suma de los cuadrados de las medianas de un triángulo es igual a tres cuartos de la suma de los cuadrados de los lados. 23. Pruebe analíticamente que los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados opuestos del cuadrilátero se bisecan uno a otro. 24. Pruebe que las coordenadas (x, y) del punto Q dividen los segmentos de la recta P 1(x1, y¡) a P 2(x2, y2) en la razón rj:r2 y están determinadas por las fórmulas = r x2 + r, x y y = r y2 + y r1 + r; r + f (Sugerencia: use el razonamiento del problema 5.) 25. Halle las coordenadas del punto Q en el segmento P lP 2 tal que P1Q/QP2 = y , si a) P 1 = (0, 0), P 2 = (7, 9); b) P , = (-1, 0), P 2 = (0, 7); c) P , = (-7, -2), P 2 = (2, 7); d) P , = (1, 3), P 2 = (4, 2). Respuestas: a) b) ( - -J7 , 1 4 ); c) ( -5 ,2j8); d) ( i p i 2 ) CA PÍTU LO 2 Sistem as de coordenadas rectangulares www.FreeLibros.me
  • Rectas Inclinación de una recta L a inclinación de una recta se m ide por un núm ero llam ado pendiente de la recta. Sea X una recta y P 1 (x1 , y j) y P 2(x2, y2) dos puntos de X . La pendiente de X se define com o el núm ero m = X r—x r . L a pendiente es el cociente de un cam bio en la coordenada y y el correspondiente cam bio en la coordenada x (fig. 3.1). Para que la definición de pendiente cobre sentido es necesario com probar que el núm ero m es independiente de la elección de los puntos Pj y P 2. Si se selecciona otro par, digam os P 3(x3, y3) y P 4(x4, y4), debe resultar el m ism o valor de m. En la figura 3.2 (véase pág.19), el triángulo P 3P4T es sem ejante al triángulo P 1P 2Q; por tanto, QP2 = T U o y2 - yj = y4 - y3 P1Q P3T 0 x2 - xj x4 - x3 Así, Pj y P 2 determ inan la m ism a pendiente que P 3 y P 4. EJEMPLO 3.1. La pendiente de la recta que une los puntos (1, 2) y (4, 6) de la figura 3.3 (véase pág.19) es 6—j =f- Por tanto, cuando el punto sobre la recta se mueve tres unidades a la derecha, avanza cuatro unidades hacia arriba. Además, la pendiente no se ve afectada por el orden en el que se dan los puntos: y—6= -3 = 3 En general, x2 - x = y - y2. El signo de la pendiente E l signo de la pendiente tiene significado. Por ejemplo, considere una recta X que asciende a m edida que va hacia la derecha, com o en la figura 3.4(a). Puesto que y2 > yj y x2 > x j, se tiene que m = > 0. La pendiente de X es positiva. A hora considere una recta X que baja a m edida que va hacia la derecha, com o en la figura 3.4(b). Ahí, y2 < y j, en tanto que x2 > x j, por lo que m = < 0 . La pendiente de X es negativa. www.FreeLibros.me
  • 4 [ p Fig. 3.3 Sea la recta ^ horizontal, com o en la figura 3.4(c). A hí y1 = y2, de m anera que y 2 - y1 = 0. Además, x2 - x1 ^ 0. Por tanto, m = =0. La pendiente de X es cero. L a recta X es vertical en la figura 3.4(d), donde se observa que y2 - y1 > 0, m ientras que x2 - x 1 = 0. Por consiguiente, la expresión no está definida. La pendiente no está definida para una recta vertical X . (A veces esta situación se describe diciendo que la pendiente de X es “infinita” .) > , • ^P 2(x2, y2) £ P2(x2, y2) " P i(xi> yi) yy x ►-X (c) (d) Fig. 3 .4 Pendiente e inclinación Se considera cualquier recta X con pendiente positiva que pase por un punto P 1 (x 1 , y1) com o la recta m ostrada en la figura 3.5. Se escoge un punto P 2(x2, y2) en X de m anera que x2 - x1 = 1. Entonces, la pendiente m de X es igual a la distancia AP2. A m edida que se inclina la recta, AP2 aum enta sin límite, com o se m uestra en la figura 3.6(a). Así, la pendiente de X aum enta sin lím ite a partir de 0 (cuando X es horizontal) a + ^ (cuando la recta es vertical). M ediante un razonam iento similar, en la figura 3.6(b) se m uestra que a m edida que la pendiente negativa de la recta se inclina, la pendiente decrece a partir de 0 (cuando la recta es horizontal) a - ^ (cuando la recta es vertical). CA PÍTU LO 3 R ectas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 3 Rectas Fig. 3 .5 (a) (b) Fig. 3 .6 y y Ecuaciones de rectas Sea (£ una recta que pasa por un punto P 1(x1, y1) y tiene pendiente m, com o se m uestra en la figura 3.7(a). Para cualquier otro punto P(x, y) sobre la recta, la pendiente m es, por definición, el cociente de y - y1 y x - x1. Así, para todo punto (x, y) en X , m = y —yx — x (3.1) A la inversa, si P(x, y) no está en la recta % com o se presenta en la figura 3.7(b), entonces la pendiente y-x1 de la recta P P 1 es diferente de la pendiente m de X ; por tanto, la ecuación (3.1) no es válida para los puntos que no están en X . Así, la recta X consta sólo de los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación (3.1). En este caso se dice que X es la gráfica de la ecuación (3.1). (a) (b) Fig. 3 .7 www.FreeLibros.me
  • La ecuación punto-pendiente L a ecuación punto-pendiente de una recta X es toda ecuación de la form a (3.1). Si la pendiente m de X es conocida, entonces cada punto (x1, y1) de X da una ecuación punto-pendiente de X . Por tanto, hay infinitas ecuaciones punto-pendiente para X . La ecuación (3.1) equivale a y - y1 = m (x - x1). EJEMPLO 3.2. a) La recta que pasa por el punto (2, 5) con pendiente 3 tiene una ecuación punto-pendiente x-2 = 3. b) Sea ¡£ la recta que pasa por los puntos (3, -1 ) y (2, 3). Su pendiente es m = 3 - i-1*1 = = - 4. Dos ecuaciones punto-pendiente de % son = - 4 y y—| = - 4. Ecuación punto-intersección Si se m ultiplica la ecuación (3.1) por x - x1 se obtiene la ecuación y - y1 = m (x - x 1), que puede reducirse pri­ m ero a y - y 1 = m x - m x 1 y luego a y = m x + (y1 - m x1). Sea b el núm ero y1 - mx1. Entonces, la ecuación para la recta X se vuelve y = m x + b (3.2) L a ecuación (3.2) produce el valor y = b cuando x = 0, así que el punto (0, b) está en X . Por ende, b es la coordenada y de la intersección de X y el eje y, com o se m uestra en la figura 3.8. E l núm ero b se denom ina la intersección de X con el eje y, y la ecuación (3.2) recibe el nom bre de ecuación punto-in tersección de X . EJEMPLO 3.3. La recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, 9) tiene pendiente = 9 - 3 = 6 m 4 - 2 2 3 Su ecuación punto-intersección tiene la form a y = 3x + b . Com o el punto (2, 3) está sobre la recta, (2, 3) debe satisfacer esta ecuación. La sustitución da 3 = 3(2) + b, de la que resulta que b = -3 . Así, la ecuación punto-intersección es y = 3x - 3. O tro m étodo para hallar esta ecuación consiste en escribir una ecuación punto-pendiente de la recta, com o y-2 = 3. Luego se m ultiplica por x - 2 y se sum a 3, con lo que resulta y = 3x - 3. y Rectas paralelas Sean X 1 y X 2 rectas paralelas no verticales y A 1 y A2 los puntos en los que X 1 y X 2 cortan el eje y, com o en la figura 3.9(a). Además, sea B 1 una unidad a la derecha de A1 y B 2 una unidad a la derecha de A2. Sean C1 y C2 las intersecciones de las verticales que pasan por B 1 y B2 con ^ 1 y ^ 2. Ahora, el triángulo A1B 1C1 es congruente con el triángulo A 2B 2 C2 (por el teorem a de congruencia ángulo-lado-ángulo). Por ende, Bx Cl = B 2 C2 y B c B C Pendiente de ^ 1 = 1 1 = ^ 2 = pendiente de Así, las rectas paralelas tienen pendientes iguales. CA PÍTU LO 3 R ectas www.FreeLibros.me
  • r 2 » CAPITULO 3 Rectas % (b) Fig. 3 .9 Recíprocam ente, supón que dos rectas diferentes X 1 y X 2 no son paralelas y se hallan en el punto P, com o en la figura 3.9(b). Si X 1 y X 2 tuvieran igual pendiente entonces serían la m ism a recta. Por tanto, X 1 y X 2 tienen pendientes diferentes. Teorema 3.1. Dos rectas no verticales distintas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. EJEMPLO 3.4. Halle la ecuación punto-intersección de la recta !£ que pasa por (4, 1) y es paralela a la recta M que tiene por ecuación 4x - 2y = 5. Al despejar y en la última ecuación se observa que M tiene la ecuación punto-intersección y = 2x - | . Por tanto, M tiene pendiente 2. La pendiente de la recta paralela !£ también debe ser 2, de manera que la ecuación punto-inter­ sección de !£ presenta la forma y = 2x + b. Puesto que (4, 1) queda en !£, se puede escribir 1 = 2(4) + b. Por ende, b = -7 y la ecuación punto-intersección de !£ es y = 2x - 7. Rectas perpendiculares En el problem a 5 se debe probar lo siguiente. Teorema 3.2. Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1 . 1Si m 1 y m 2 son las pendientes de las rectas perpendiculares, entonces m 1m 2 = -1 . Esto equivale a m 2 = ------- ; por tanto, las pendientes de rectas perpendiculares son cada una la recíproca negativa de la otra. m. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Halle la pendiente de la recta de ecuación 3x - 4y = 8. Trace la recta. ¿Los puntos (6, 2) y (12, 7) están en ella? Al resolver para y en la ecuación se obtiene y = -f x - 2. Esta es la ecuación punto-intersección; la pendiente es f y la intersección con el eje y es - 2. Al sustituir 0 por x se observa muestra que la recta pasa por el punto (0, -2). Para trazar la recta se necesita otro punto. Si se remplaza x por 4 en la ecuación punto-intersección resulta y = - |(4 )- 2 = 1, de manera que (4, 1) también queda sobre la recta, como se presenta en la figura 3.10. (También es posible hallar otros puntos sobre la recta si se sustituye x por un número diferente de 4.) Para probar si (6, 2) queda sobre la recta, se sustituye x por 6 y y por 2 en la ecuación original 3x - 4y = 8. Los dos lados resultan diferentes; por tanto, (6, 2) no está sobre la recta. El mismo procedimiento demuestra que (12, 7) queda en la recta. y www.FreeLibros.me
  • - ^ 23^ Fig. 3 .10 Fig. 3 .11 2. La recta ¡£ es la mediatriz del segmento de recta que une los puntos A(-1, 2) y B(3, 4), como se muestra en la figura 3.11. Halle una ecuación para ¡£. ¡£ pasa por el punto medio M del segmento AB. Por las fórmulas del punto medio (2.2), las coordenadas de M son (1, 3). La pendiente de la recta que pasa por A y B es = 4 = 2. Sea m la pendiente de ¡£. Por el teorema 3.2, -j m = - 1 , donde m = -2 . La ecuación punto-intersección para ¡£ tiene la forma y = -2x + b. Como M(1, 3) queda en ¡£, se tiene que 3 = -2(1) + b. Por ende, b = 5 y la ecuación punto-intersección de ¡£ es y = -2x + 5. 3. Determine si los puntos A(1, -1 ), B(3, 2) y C(7, 8) son colineales, es decir, si se hallan en la misma recta. A, B y C son colineales si y sólo si la recta AB es idéntica a la recta AC, lo que significa que la pendiente de AB es igual a la de AC. Las pendientes de AB y AC son 2---1) = § y 8---1) = § = f . Por tanto, A, B y C son colineales. 4. Pruebe analíticamente que la figura obtenida al unir los puntos medios de los lados consecutivos de un cuadrilátero es un paralelogramo. Coloque el cuadrilátero con vértices consecutivos A, B, C y D en un sistema de coordenadas de manera que A sea el origen, B quede en el eje x positivo y C y D queden por encima del eje x (fig. 3.12 en la siguiente página). Sea b la coordenada x de B, (u, v) las coordenadas de C, y (x, y) las coordenadas de D. Entonces, por la fórmula del punto medio (2.2), los puntos medios M 1, M2, M3 y M4 de los lados AB, BC, CD y DA tienen coordenadas (-|, o), (^ +^, |) , (x^ , 2+2) y (x , 2), respectivamente. Hay que mostrar que M 1, M2, M3 y M4 es un paralelogramo. Para hacerlo, basta probar que las rectas M 1M 2 y M3M4 son paralelas y que las rectas M 2M 3 y M 1M4 también lo son. Se calcula entonces las pendientes de tales rectas: Pendiente (M 1M 2) = Pendiente (M 2 M 3) = V - 0 2 0 u + b 2 y + v b ' 2 V ' 2 V 2 = v U u 2 y 2 y x + u _ u + b x - b x - b 2 2 2 Pendiente (M 3 M 4) = Pendiente (M 1M 4) = y - y + v - v 2 2 = 2 x - x + u - u_ 2 2 2 2 - 0 x - b Puesto que la pendiente de (M1M 2) = pendiente de (M3M 4), M1M 2 y M3M4 son paralelas. Como la pendiente (M2M3) = pendiente de (M1M4), M2M3 y M 1M4 también son paralelas. Por tanto, M 1M2M3M4 es un paralelogramo. y y CA PÍTU LO 3 R ectas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 3 Rectas 5. Pruebe el teorema 3.2. Suponga primero que ¡£l y !£2 son rectas perpendiculares no verticales con pendientes m 1 y m2. Debe demostrar que m 1m2 = -1 . Sean M l y M2 las rectas que pasan por el origen O y que son paralelas a ¡£l y !£2 como se observa en la figura 3.13(a). La pendiente de M l es m y la pendiente de M2 es m2 (por el teorema 3.1). Además, M l y M2 son perpendiculares, ya que ¡£l y !£2 son perpendiculares. Fig. 3 .13 Ahora, sea A el punto M l con coordenada x igual a 1, y sea B el punto en M2 con coordenada x igual a 1, como se presenta en la figura 3.13(b). La ecuación punto-intersección de M l es y = m 1x; por tanto, la coordenada y de A es m1, ya que su coordenada x es 1. De igual forma, la coordenada y de B es m2. Por la fórmula de la distancia (2.1), OB = J (1 - 0 )2 + (m2 - 0 )2 = 7 1 + OA = 7(1 - 0)2 + (m 1 - 0)2 = J 1 + m 2 BA = ^(1 - 1)2 + (m2 - m J 2 = J(m 2 - m J 2 Entonces, por el teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo BOA, BAA = ü B 2 + OA2 (m2 - m 1)2 = (1 + m^) + (1 + m f) m2 - 2m 2 m1 + m 2 = 2 + m2 + m2 m2m 1 = - 1 y x o www.FreeLibros.me
  • Ahora, recíprocamente, suponga que m lm2 = -1 , donde y m 2 son las pendientes de las rectas no verticales ¡£l y ^ 2. Entonces, ¡£l no es paralela a ^ 2. (De lo contrario, por el teorema 3.1, m1 = m2 y, por tanto, m2 = - 1 , lo que contradice el hecho de que el cuadrado de un número real nunca es negativo.) Debe mostrarse que ¡£l y !£2 son perpendiculares. Sea P la intersección de ¡£l y !£2 (fig. 3.14). Sea ¡£3 la recta que pasa por P que es perpendicular a !£v Si m3 es la pendiente de ^ 3, entonces, por la primera parte de la demostración, m1m3 = -1 y, por consiguiente, m1m3 = m1m2. Como m1m3 = -1 , entonces m1 ^ 0; por tanto, m3 = m2. Como !£2 y ¡£3 pasan por el mismo punto P y tiene la misma pendiente, entonces deben coincidir. Puesto que ¡£l y ¡£3 son perpendiculares, ¡£l y !£2 también lo son. y 6. Pruebe que si a y b no son ambos cero, entonces la ecuación ax + by = c es la ecuación de una recta y, recíprocamente, toda recta tiene una ecuación de esa forma. Suponga que b ^ 0. Entonces, si se despeja y en la ecuación ax + by = c se obtiene la ecuación punto- intersección y = (-a/b) x + c/b de una recta. Si b = 0, en consecuencia a ^ 0, y la ecuación ax + by = c se reduce a ax = c; esto equivale a x = c/a, la ecuación de una recta vertical. Recíprocamente, toda recta no vertical tiene una ecuación punto-intersección y = mx + b, la cual equivale a -m x + y = b, una ecuación de la forma deseada. Una recta vertical tiene una ecuación de la forma x = c, la cual también es una ecuación de la forma requerida con a = 1 y b = 0 . 7. Demuestra que la recta y = x forma un ángulo de 45° con el eje x positivo; es decir, el ángulo BOA en la figura 3.15 tiene 45°. y Sea A el punto sobre la recta y = x con coordenadas (1, 1). Se traza una perpendicular AB al eje x positivo. Entonces, AB = 1 y OB = 1. Por tanto, el ángulo OAB = ángulo BOA, ya que son los ángulos de la base del triángulo isósceles BOA. Por consiguiente, el ángulo OBA es recto: Ángulo OAB + ángulo BOA = 180° - ángulo OBA = 180° - 90° = 90° Puesto que el ángulo BOA = ángulo OAB, cada uno tiene 45°. CA PÍTU LO 3 R ectas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 3 Rectas 8. Pruebe que la distancia d de un punto P(x 1, yj) a una recta ¡£ con una ecuación ax + by = c está dada por la, I ax + by - clfórmula d = — , . . .Va2 + b2 Sea M la recta que pasa por P y es perpendicular a ¡£. Entonces, M corta a ¡£ en algún punto Q de coordenadas (u, v) como se muestra en la figura 3.16. Claramente, d es la longitud P Q , de manera que si se puede hallar u y v, entonces resulta posible calcular d mediante la fórmula de la distancia. La pendiente de !£ es -a/b . Por el teorema 3.2, la pendiente de M es b/a. Así, la ecuación punto-pendiente de M es y yj = b .’ 1 _ 1 x - Xj a Luego, u y v son las soluciones del par de ecuaciones au + bv = c y v _ y = b . Tediosos cálculos matemáticos ofrecen la solución 1 u = ac + b2x 1 + aby1 a 2 + b2 y bc — abx1 — a2 yj La fórmula de la distancia junto con cálculos adicionales da, d = PQ =y¡ (Xj — u )2 — (yj — v )2 = -r v < I ax1 + by1 — cl a 2 + b2 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 9. Halle una ecuación punto-pendiente para la recta que pasa por cada uno de los siguientes pares de puntos: a) (3, 6) y (2, -4 ); b) (8, 5) y (4, 0); c) (1, 3) y el origen; d) (2, 4) y (-2 , 4). Respuestas: a) X—3 = 10; b) X— 5 = 5 c) X :_y = 3; d) 2— 2 = 0. 10. Halle la ecuación punto-intersección de cada recta que: a) Pasa por los putos (4, -2 ) y (1, 7) b) Tiene pendiente 3 e intersección con el eje y igual a 4 c) Pasa por los puntos (-1 , 0) y (0, 3) d) Pasa por (2, -3 ) y es paralela al eje x e) Pasa por (2, 3) y sube 4 unidades por cada unidad que aumenta en x f) Pasa por (-2, 2) y baja 2 unidades por cada unidad que aumenta en x g) Pasa por (3, -4 ) y es paralela a la recta con ecuación 5x - 2y = 4 h) Pasa por el origen y es paralela a la recta con ecuación y = 2 i) Pasa por (-2, 5) y es perpendicular a la recta de ecuación 4x + 8y = 3 j) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta de ecuación 3x - 2y = 1 k) Pasa por (2, 1) y es perpendicular a la recta de ecuación x = 2 l) Pasa por el origen y es bisectriz del ángulo entre los ejes positivos x y y Respuestas: a) y = -3x + 10; b) y = 3x + 3; c) y = 3x + 3; d) y = -3 ; e) y = 4x - 5; f y = -2x - 2; g) y = 4 x — i r ; h) y = 0; i) y = 2x + 9; j) y = — f x ; k) y = 1; l) y = x www.FreeLibros.me
  • 11. a) Describa las rectas que tienen ecuaciones de la forma x = a. b) Describa las rectas que tienen ecuaciones de la forma y = b. c) Describa la recta de la ecuación y = -x. 12. a) Halle las pendientes y las intersecciones con el eje y de las rectas que tienen las ecuaciones siguientes: i) y = 3x - 2; ii) 2x - 5y = 3; iii) y = 4x - 3; iv) y = -3 ; v) y+ f = 1. b) Encuentre las coordenadas de un punto distinto de (0, b) en cada una de las rectas del inciso a). Respuestas: ai) m = 3, b = -2 ; ii) m = -f; iii) m = 4, b = -3 ; iv) m = 0, b = -3 ; v) m = - -f, b = 2; bi) (1, 1); ii) ( - 6, -3); iii) (1, 1); iv) (1, -3 ); v) (3, 0) 13. Si el punto (3, k) está en la recta con pendiente m = -2 y pasa por el punto (2, 5), halle k. Respuesta: k = 3 14. ¿El punto (3, -2 ) está en la recta que pasa por los puntos (8, 0) y (-7 , - 6)? Respuesta: sí. 15. Utilice las pendientes para determinar si los puntos (7, -1 ), (10, 1) y (6, 7) son los vértices de un triángulo rectángulo. Respuesta: sí lo son. 16. Utilice las pendientes para determinar si (8, 0), (-1 , -2), (-2 , 3) y (7, 5) son los vértices de un paralelogramo. Respuesta: sí lo son. 17. ¿En qué condiciones son colineales los puntos (u, v + w), (v, u + w) y (w, u + v)? Respuesta: siempre. 18. Halle k de manera que los puntos A(7, 3), B(-1, 0) y C(k, -2 ) sean los vértices de un triángulo rectángulo con ángulo recto en B. Respuesta: k = 1 19. Determine si los pares de rectas siguientes son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos. a) y =■ 3x + 2 y y = 3x - 2 b) y =: 2x - 4 y y = 3x + 5 c) 3x - 2y = 5 y 2x + 3y = 4 d) 6x + 3y = 1 y 4x + 2y = 3 e) x = -4=yy3 f 5x + 4y = 1 y 4x + 5y = 2 g) x = 7.=xy2- Respuestas: a) paralelas; b) ninguna de las dos; c) perpendiculares; d) paralelas; e) perpendiculares; f) ninguna de las dos; g) paralelas 20. Trace la recta determinada por la ecuación 2x + 5y = 10. Establezca si los puntos (10, 2) y (12, 3) pertenecen a esa recta. CA PÍTU LO 3 R ectas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 3 Rectas 21. ¿Para qué valores de k tendrá la recta kx - 3y = 4k las propiedades siguientes: a) pendiente 1; b) intersección con el eje y de 2; c) pasa por el punto (2, 4); d) es paralela a la recta 2x - 4y = 1; e) es perpendicular a la recta x - 6y = 2? Respuestas: a) k = 3; b) k = — -§; c) k = - 6; d) k = -|; e) k = -18. 22. Describa geométricamente las familias de rectas a) y = mx - 3 y b) y = 4x + b , donde m y b son números reales cualesquiera. Respuesta: a) rectas con intersección con el eje y = 3; b) rectas con pendiente 4. 23. En el triángulo con vértices A(0, 0), B(2, 0) y C(3, 3), halle las ecuaciones para a) la mediana de B al punto medio del lado opuesto; b) la mediatriz del lado BC, y c) la altura de B al lado opuesto. Respuestas: a) y = -3x + 6; b) x + 3y = 7; c) y = -x + 2 www.FreeLibros.me
  • Círculos Ecuaciones de los círculos Para que un punto P(x, y) esté en el círculo con centro C(a, b) y radio r, la distancia P C debe ser igual a r (fig. 4.1). Por la fórm ula de la distancia (2.1), P C = y¡(x - a ) 2 + (y - b )2 Por consiguiente, P está en el círculo si y sólo si (x - a ) 2 + (y - b )2 = r2 (4.1) L a ecuación (4.1) se denom ina ecuación estándar del círculo con centro en (a, b) y radio r. / -Nr y Fig. 4 .1 EJEMPLO 4.1. a) El círculo con centro (3, 1) y radio 2 tiene la ecuación (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4. b) El círculo con centro (2, -1 ) y radio 3 tiene la ecuación (x - 2)2 + (y + 1)2 = 9. c) ¿Cuál es el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación (x - 4)2 + (y - 5) = 25? Por (4.1), ésta es la ecuación del círculo con centro en (4, 5) y radio 5. Se dice que ese círculo es la gráfica de la ecuación dada, es decir, el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación. d) La gráfica de la ecuación (x + 3)2 + y2 = 2 es el círculo con centro en (-3, 0) y radio V2. Ecuación estándar de un círculo La ecuación estándar de un círculo con centro en el origen (0, 0) y radio r es x2 + y2 = r2 Por ejemplo, x2 + y2 = 1 es la ecuación del círculo con centro en el origen y radio 1 5 es el círculo con centro en el origen y radio y¡5. (4.2) . L a gráfica de x2 + y2 = www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 4 Círculos L a ecuación de un círculo algunas veces aparece disfrazada. Por ejemplo, la ecuación x2 + y2 + 8x - 6y + 21 = 0 (4.3) resulta ser equivalente a (x + 4 )2 + (y - 3)2 = 4 (4.4) L a ecuación (4.4) es la ecuación estándar de un círculo con centro en (-4 , 3) y radio 2. L a ecuación (4.4) se desarrolla a partir de (4.3) m ediante un proceso denom inado com pletar el cuadrado. En térm inos generales, el proceso im plica hallar el núm ero que debe agregarse a la sum a x2 + A x para obtener un cuadrado. A quí se observa que í x +A j = x 2 + A x + (j J . P °r tanto, en general, se debe agregar (Aj a x2 + A x para obte­ ner el cuadrado í x +A-l. Por ejemplo, para obtener un cuadrado de x2 + 8x se sum a f 8-), o sea, 16. E l resultado,2 J ' r ------------------ ----------------- ~ „v . ™ ^2 x2 + 8x + 16, es igual a (x + 4)2. Éste es el proceso de com pletar el cuadrado. Considere la ecuación (4.3) original: x2 + y2 + 8x - 6y + 21 = 0. Con el fin de com pletar el cuadrado en x2 + 8x se sum a 16. Para com pletar el cuadrado en y2 - 6y se sum a 6j , lo que da 9. Pero com o se agregaron 16 y 9 al m iem bro (lado) izquierdo de la ecuación, tam bién deben sum arse al m iem bro derecho, con lo que se obtiene (x2 + 8x + 16) + (y2 - 6y + 9) + 21 = 16 + 9 Esto equivale a (x + 4 )2 + (y - 3)2 + 21 = 25 y al restar 21 de am bos m iem bros se llega a (4.4). EJEMPLO 4.2. Considere la ecuación x2 + y2 - 4x - 10y + 20 = 0. Al completar el cuadrado se obtiene (x2 + 4x + 4) + (y2 - 10y + 25) + 20 = 4 + 25 (x - 2 )2 + (y - 5)2 = 9 Entonces, la ecuación original es la de un círculo con centro en (2, 5) y radio 3. El proceso de completar el cuadrado puede aplicarse a toda ecuación de la forma x2 + y2 + A x + B y + C = 0 (4.5) para obtener ' A j 2 í B j 2 „ A2 B n x + 2 J + [ y + 2 J + C = T + X A j 2 í B j 2 A 2 + B 2 - 4C x + 2 J + [ y + 2 J = ---------4--------- (4.6) Hay tres casos que dependen de si A2 + B2 - 4C es positivo, cero o negativo. C aso 1: A2 + B2 - 4C > 0. Aquí, (4.6) es la ecuación estándar de un círculo con centro en f - y - f ) y radio ■Ja 2 + b 2 - 4C 2 C aso 2: A2 + B2 - 4C = 0. U na sum a de cuadrados de dos cantidades es cero si y sólo si cada una de las can­ A Btidades es cero. Por tanto, (4.6) equivale a la conjunción de las ecuaciones x + j = 0 y y + y = 0 en este caso, y la única solución de (4.6) es el punto (- y - B ]. Así, la gráfica de (4.5) es un solo punto, que puede considerarse un círculo degenerado de radio 0 . C aso 3: A2 + B2 - 4C < 0. La sum a de dos cuadrados no puede ser negativa, de m anera que en este caso (4.5) no tiene solución. Se puede dem ostrar que todo círculo tiene una ecuación de la form a (4.5). Si su centro es (a, b) y su radio es r , entonces su ecuación estándar es (x - a )2 + (y - b)2 = r2 Al desarrollar se obtiene x 2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2, o x 2 + y 2 - 2ax - 2by + (a2 + b2 - r2) = 0 . www.FreeLibros.me
  • PROBLEMAS RESUELTOS 1. Identifique las gráficas de a) 2x2 + 2y2 - 4x + y + 1 = 0; b) x2 + y2 - 4y + 7 = 0; c)x2 + y2 - 6x - 2y + 10 = 0. a) Primero divida entre 2, para obtener x 2 + y2 - 2x + 2 y + 1 = 0. Luego complete los cuadrados (x2 - 2 x + 1) + (y 2 + 1 y + i ) + 2 = 1 + 16 = 17 (x - 1)2 + (y = 1 )2 = 17 - 1 = 17 - 8 = _9_ (x 1) + (y = 4 ) = 16 2 = 16 16 = 16 Por tanto, la gráfica es el círculo con centro (1, --4) y radio f. b) Complete el cuadrado: x2 + (y - 2 )2 + 7 = 4 x2 + (y - 2 )2 = -3 Puesto que el miembro derecho es negativo, no existen puntos en la gráfica. c) Complete el cuadrado: (x - 3)2 + (y - 1)2 + 10 = 9 + 1 (x - 3)2 + (y - 1)2 = 0 La única solución es el punto (3, 1). 2. Halle la ecuación estándar del círculo con centro en C(2, 3) que pasa por el punto P (-1 , 5). El radio del círculo es la distancia CP = V( 5 - 3)2 + (-1 - 2)2 =y¡22 + (-3 )2 = V4 + 9 = V H de manera que la ecuación estándar es (x - 2)2 + (y - 3)2 = 13. 3. Halle la ecuación estándar del círculo que pasa por los puntos P(3, 8), 2(9,6) y R(13, -2). Primer método: el círculo tiene una ecuación de la forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Sustituya los valores de x y y en el punto P para obtener 9 + 64 + 3A + 8B + C = 0 o 3A + 8B + C = -73 (1) Un procedimiento similar para los puntos Q y R da las ecuaciones 9A + 6B + C = -117 (2) 13A - 2B + C = -173 (3) Se elimina C de (1) y (2) al restar (2) de (1): - 6A + 2B = 44 o -3A + B = 22 (4) Se elimina C de (1) y (3) al restar (3) de (1): -10A + 10B = 100 o -A + B = 10 (5) Se elimina B de (4) y (5) al restar (5) menos (4), con lo que se obtiene A = - 6. Se sustituye este valor en (5) para hallar que B = 4. Luego se resuelve para C en (1): C = -87. Así, la ecuación original para el círculo es x 2 + y2 - 6x + 4y -87 = 0. Al completar los cuadrados se obtiene (x - 3)2 + (y + 2)2 = 87 + 9 + 4 = 100 Por ende, el círculo tiene centro (3, -2 ) y radio 10. Segundo método: la mediatriz de cualquier cuerda de un círculo pasa por el centro de éste. Por tanto, la mediatriz ¡£ de la cuerda PQ cortará la mediatriz M de la cuerda QR en el centro del círculo (fig. 4.2). CA PÍTU LO 4 C írculos www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 4 Círculos La pendiente de la recta PQ es — 1 Luego, por el teorema 3.2 la pendiente de ¡£ es 3. Asimismo, ¡£ pasa por el punto medio (6, 7) del segmento PQ. Luego, una ecuación punto-pendiente de ¡£ es y—6 = 3 y, por tanto, su ecuación punto-intersección es y = 3x - 11. De igual forma, la pendiente de la recta QR es -2 y, por consiguiente, la pendiente de M es y. Puesto que M pasa por el punto medio (11, 2) del segmento QR, tiene una ecuación punto-pendiente de j —tí=2, lo que da la ecuación punto-intersección y = ^x — 7 y se puede escribir 3x— 1 1 = 1 x— | de lo que se obtiene que x = 3. Por tanto, y = 3x - 11 = 3(3) - 11 = -2 Luego, el centro se halla en (3, -2). El radio es la distancia entre el centro y el punto (3, 8): ^ (—2 — 8)2 + (3 — 3)2 =y¡ (—10)2 =V2üÓ = 10 Así, la ecuación estándar del círculo es (x - 3)2 + (y + 2)2 = 100. 4. Halle el centro y el radio del círculo que pasa por P(1, 1) y es tangente a la recta y = 2x - 3 en el punto Q(3, 3) (fig. 4.3). Fig. 4 .3 www.FreeLibros.me
  • La recta ¡£ perpendicular a y = 2x - 3 en (3, 3) debe pasar por el centro del círculo. Por el teorema 3.2, la pendiente de ¡£ es - y. Por consiguiente, la ecuación punto-intersección de ¡£ tiene la forma y = - y x + b . Como (3, 3) está en ¡£, tenemos que 3 = - y (3) + b; por ende, b = f y la ecuación de ¡£ es y = - t x + f . La mediatriz M de la cuerda PQ de la figura 4.3 también pasa por el centro del círculo, de manera que la intersección de ¡£ y M será el centro del círculo. La pendiente de PQ es 1. Entonces, por el teorema 3.2 la pendiente de M es -1 . Luego, M tiene la ecuación punto-intersección y = -x + b '. Como el punto medio (2, 2) de la cuerda PQ es un punto en M, se tiene que 2 = -(2) + b'; por ende, b' = 4 y la ecuación de M es y = -x + 4. Debes hallar la solución común de y = -x + 4 y y = — 1 x + f . Si se establece la igualdad 1 Q _ x + 4 = _ _ x + _ resulta x = -1 . Por tanto, y = -x + 4 = 5, y el centro C del círculo es (-1 , 5). El radio es la distancia PC = V(-1 - 3)2 + (5 - 3)2 = V16 + 4 = V20 . La ecuación estándar del círculo es, entonces, (x + 1)2 + (y - 5)2 = 20. 5. Halle la ecuación estándar de todo círculo que pase por los puntos P(1, -1 ) y Q(3, 1) y sea tangente a la recta y = -3x. Sea C(c, d) el centro de uno de los círculos, y sea A el punto de tangencia (fig. 4.4). Entonces, puesto que CP = CQ, se tiene que CP2 = CQ2 o (c - 1)2 + (d + 1)2 = (c - 3)2 + (d - 1)2 Desarrollado y simplificado se obtiene ( 1) Fig. 4 .4 Además, CP = CA y por la fórmula del problema 8 en el capítulo 3, CA = 3 cJ 0 . Si establecemos la igualdad CP 2 = CA2 resulta (c - 1)2 + (d +1)2 = (3c1+)d) . Al sustituir (1) en el miembro derecho y al multiplicarlo por 10 se obtiene 10[(c - 1)2 + (d + 1)2] = (2c + 2)2, de donde 3c2 + 5d2 - 14c + 10d + 8 = 0 Por (1) se puede remplazar d por 2 - c para obtener 2c2 - 11c + 12 = 0 o (2c - 3)(c - 4) = 0 Por tanto, c = f o c = 4. Entonces (1) da dos soluciones: c = f-, d = 1 y c = 4, d = -2 . Como el radio CA = estas soluciones producen radios de y = >/Í0. Por ende, hay dos círculos de ese tipo y sus ecuaciones estándar son CA PÍTU LO 4 C írculos www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 4 Círculos ( x _ 3 ) + ( y _ 2 ) = 5 y (x - 4)2+ (y + 2)2= 10 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 6. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que satisfagan las condiciones siguientes: a) Centro en (3, 5) y radio 2. b) Centro en (4, -1 ) y radio 1. c) Centro en (5, 0) y radio -y/3. d) Centro en (-2, -2 ) y radio 5^2. e) Centro en (-2, 3) y que pasa por (3, -2). f ) Centro en (6, 1) y que pasa por el origen. Respuestas: a) (x - 3)2 + (y - 5)2 = 4; b) (x - 4)2 + (y + 1)2 = 1; c) (x - 5)2 + y2 = 3; d) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 50; e) (x + 2)2 + (y - 3)2 = 50; f (x - 6)2 + (y - 1)2 = 37 7. Identifique las gráficas de estas ecuaciones: a) x2 + y2 + 16x - 12y + 10 = 0 . b) x2 + y2 - 4x + 5y + 10 = 0. c) x 2 + y 2 + x - y + = 0 . d) 4x2 + 4y2 + 8y - 3 = 0. e) x2 + y 2 - x - 2y + 3 = 0. f x2 + y2 + ^¡2 f - 2 = 0 . Respuestas: a) círculo con centro en ( - 8, 6) y radio 3VIÜ; b) círculo con centro en (2, - -f) y radio y; c) círculo con centro en ( - y,y) y radio ^ ; d) círculo con centro en (0, - 1) y radio y; e) gráfica vacía; f círculo con centro en (-V 2 /2,0) y radio V5/2. 8. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que pasan por a) (-2 , 1), (1, 4) y (-3 , 2); b) (0, 1), (2, 3) y (1,1 + V3); c) (6, 1), (2, -5 ) y (1, -4 ); d) (2, 3), ( - 6, -3 ) y (1, 4). Respuestas: a) (x + 1)2 + (y - 3)2 = 5; b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4; c) (x - 4)2 + (y + 2)2 = 13; d) (x + 2)2 + y2 = 25. 9. ¿Para qué valores de k el círculo (x + 2k)2 + (y - 3k)2 = 10 pasa por el punto (1, 0)? Respuesta: k = 13 o k = -1 10. Halle las ecuaciones estándar de los círculos de radio 2, tangentes a ambas rectas x = 1 y y =3. Respuestas: (x + 1)2 + (y - 1)2 = 4; (x + 1)2 + (y - 5)2 = 4; (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4; (x - 3)2 + (y - 5)2 = 4 11. Halle el valor de k, de manera que x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 sea la ecuación de un círculo de radio 5. Respuesta: k = -12 12. Halle la ecuación estándar del círculo que tiene como diámetro el segmento que une (2, -3 ) y (6, 5). Respuesta: (x - 4)2 + (y - 1)2 = 20 www.FreeLibros.me
  • 13. Halle la ecuación estándar de todo círculo que pase por el origen, tenga radio 5 y cuya coordenada y de su centro sea - 4. Respuesta: (x - 3)2 + (y + 4)2 = 25 o (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25 14. Halle la ecuación estándar del círculo que pasa por los puntos (8, -5 ) y (-1 , 4) y cuyo centro se encuentre en la recta 2x + 3y = 3. Respuesta: (x - 3)2 + (y + 1)2 = 41 15. Halle la ecuación estándar del círculo con centro (3, 5), tangente a la recta 12x - 5y + 2 = 0. Respuesta: (x - 3)2 + (y - 5)2 = 1 16. Halle la ecuación estándar del círculo que pasa por el punto (1, 3 + V2") y es tangente a la recta x + y = 2 en (2, 0). Respuesta: (x - 5)2 + (y - 3)2 = 18 17. Pruebe analíticamente que un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto (fig. 4.5). 18. Halle la longitud de una tangente que va de (6, -2 ) al círculo (x - 1)2 + (y - 3)2 = 1 (fig. 4.6). Respuesta: 7 y Fig. 4 .6 19. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que pasan por (2, 3) y son tangentes a ambas rectas 3x - 4y = -1 y 4x + 3y = 7. Respuesta: (x - 2)2 + y2 (y - 8) = 25 y ^x - 5 j ^y - ^ j = 1 20. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que tienen sus centros en la recta 4x + 3y = 8 y son tangentes a ambas rectas x + y = -2 y 7x - y = - 6. Respuesta: (x - 1)2 + y2 = 2 y (x + 4)2 + (y - 8)2 = 18 21. Halle la ecuación estándar del círculo concéntrico con el círculo x2 + y2 - 2x - 8y + 1 = 0 y es tangente a la recta 2x - y = 3. Respuesta: (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5 CA PÍTU LO 4 C írculos www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 4 Círculos 22. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que tienen radio 10 y son tangentes al círculo x2 + y2 = 25 en el punto (3, 4). Respuesta: (x - 9)2 + (y - 12)2 = 100 y (x + 3)2 + (y + 4)2 = 100 23. Halle las distancias máxima y mínima del punto (7, 12) al círculo x2 + y2 + 2x + 6y - 15 = 0. Respuestas: 22 y 12 24. Sean % 1 y ^ 2 dos círculos que se interesecan y están determinados por las ecuaciones x2 + y2 + A1x + B y + C1 = 0 y x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0. Para todo número k * -1 , muestra que x2 + y2 + A 1x + B 1y + C1 + k(x2 + y2 + A2x + B2y + C2) = 0 es la ecuación de un círculo que pasa por los puntos de intersección % y ^ 2. Demuestra, recíprocamente, que cada uno de los círculos puede representarse por una de tales ecuaciones para un k conveniente. 25. Halle la ecuación estándar del círculo que pasa por el punto (-3, 1) y que contiene los puntos de intersección de los círculos x2 + y2 + 5x = 1 y x2 + y2 + y = 7. \2 Respuesta (usa el problema 24): (x + 1)2 + (y + 1^ 0) = yó69 26. Halle las ecuaciones estándar de los círculos que tienen centros en la recta 5x - 2y = -21 y son tangentes a ambos ejes de coordenadas. Respuestas: (x + 7)2 + (y + 7)2 = 49 y (x + 3)2 + (y - 3)2 = 9 27. a) Si dos círculos x2 + y2 + A 1x + B y + C1 = 0 y x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 se cortan en dos puntos, halle una ecuación de la recta que pasa por sus puntos de intersección. b) Pruebe que si dos círculos se cortan en dos puntos, entonces la recta que pasa por sus puntos de intersección es perpendicular a la recta que pasa por sus centros. Respuestas: a) (A1 - A 2)x + (B1 - B2)y + (C1 - C2) = 0 28. Halle los puntos de intersección de los círculos x2 + y2 + 8y - 64 = 0 y x2 + y2 - 6x - 16 = 0. Respuesta: (8, 0) y (^ 5 , 24). 29. Halle las ecuaciones de las rectas que pasan por (4, 10) y son tangentes al círculo x2 + y2 - 4y - 36 = 0. Respuesta: y = -3 x + 22 y x - 3y + 26 = 0. 30. ( c g = calculadora graficadora). Utilice una graficadora para dibujar los círculos de los problemas 7(d), 10, 14, y 15. (Nota: puede ser necesario resolver para y, es decir, despejar y.) 31. (CG) a) Utilice una graficadora para sombrear el interior del círculo con centro en el origen y radio 3. b) Usa una graficadora para sombrear el exterior del círculo x2 + (y - 2)2 = 1. 32. (CG) Utilice una graficadora para representar las desigualdades siguientes: a) (x - 1)2 + y2 < 4; b) x2 + y2 - 6x - 8y > 0. www.FreeLibros.me
  • Ecuaciones y sus gráficas La gráfica de una ecuación L a gráfica de una ecuación que tiene com o únicas variables x y y consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación. EJEMPLO 5.1. a) ¿Cuál es la gráfica de la ecuación 2x - y = 3? La ecuación equivale a y = 2x - 3, o sea, la ecuación punto-intersección de la recta con pendiente 2 e intersección con el eje y de -3. b) ¿Cuál es la gráfica de la ecuación x2 + y2 -2x + 4y - 4 = 0? Al completar el cuadro se observa que la ecuación dada equivale a la ecuación (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9. Por tanto, la gráfica es el círculo con centro (1, -2 ) y radio 3. Parábolas Considere la ecuación y = x2. Si se sustituyen algunos valores de x y se calculan los valores asociados de y se ob­ tienen los resultados tabulados en la figura 5.1. Es posible ubicar los puntos correspondientes com o se m uestra en la figura. Tales puntos sugieren una curva pronunciada, que pertenece a la fam ilia de curvas llam adas pará­ bolas. En especial, las gráficas de las ecuaciones de la form a y = ex2, donde c es una constante diferente de cero (no nula), son parábolas, igual que otras curvas obtenidas a partir de ellas m ediante traslaciones y rotaciones. y . , . i -10 x y \ - 8 I 3 9 (-x, y) \ - /(-x , y) 2 4 \ -6 1 1 \ ~ 0 0 \ -4 • -1 1 - -2 4 2 / -3 9 V 1 i i i i ^ -3 -2 -1 0 1 2 3 Fig. 5.1 En la figura 5.1 se observa que la gráfica de y = x2 contiene el origen (0, 0), pero sus dem ás puntos quedan por encim a del eje x, ya que x2 es positivo salvo cuando x = 0. Cuando x es positivo y crece, y tam bién crece sin límite. Por tanto, en el prim er cuadrante la gráfica se m ueve hacia arriba sin lím ite a m edida que avanza hacia la derecha. Com o (-x )2 = x2, se tiene que todo punto (x, y) está en la gráfica en el prim er cuadrante; luego, el punto (-x, y) tam bién está en la gráfica en el segundo cuadrante. Así, la gráfica es sim étrica respecto al eje y. E l eje y se denom ina eje de simetría de esta parábola. www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gráficas Elipses Para trazar la gráfica de la ecuación J- + yr = í , de nuevo se calculan algunos valores y se ubican los puntos correspondientes, com o se m uestra en la figura 5.2. L a gráfica sugerida por esos puntos, que tam bién se dibuja en la figura, es un m iem bro de la fam ilia de curvas denom inadas elipses . X2 V2En particular, la gráfica de una ecuación de la form a ^ + J i = í es una elipse, igual que toda curva obtenida de ésta m ediante traslación o rotación. Observe que, a diferencia de las parábolas, las elipses están acotadas. D e hecho, si (x , y ) está en la gráfica de -9- + V4- = í , entonces -9- < -9 + y- = í , y, por tanto, x2 < 9. En consecuencia, -3 < x < 3. Luego, la gráfica queda entre las rectas verticales x = -3 y x = 3. E l punto que se sitúa m ás a la derecha es (3, 0), y el que queda más a la izquierda es (-3 , 0). Con un razonam iento sim ilar se dem uestra que la gráfica queda entre las rectas horizontales y = - 2 y y = 2, y que su punto m ás bajo es (0, -2 ) y el m ás alto es (0, 2). En el prim er cuadrante, com o x crece de 0 a 3, y decrece de 2 a 0. Si (x, y) es cualquier punto en la gráfica, entonces (-x, y) tam bién está en la gráfica. Por tanto, ésta es sim étrica respecto al eje y . D e m anera similar, si (x , y ) está en la gráfica, tam bién lo está (x , - y ) y, por ende, la gráfica es sim étrica respecto al eje x . x y 3 0 2 ± f V T = ± í í ± 3v r = ± í 0 ±2 - í ± 5V T -2 ± § V 5 -3 0 y Fig. 5.2 Cuando a = b, la elipse O1 + y- = í es el círculo con la ecuación x2 + y2 = a 2, es decir, un círculo con centro en el origen y radio igual a a . Por ende, los círculos son casos especiales de elipses. Hipérbolas Considere la gráfica de la ecuación Jr - = í . A lgunos de los puntos en esta gráfica se tabulan y se ubican en la figura 5.3. Estos puntos sugieren la curva que se m uestra en la figura, la cual es un miembro de una familia de curvas denominadas hipérbolas. Las gráficas de las ecuaciones de la forma X-[ - = í son hipérbolas, como lo son todas las curvas obtenidas de éstas m ediante traslaciones o rotaciones. y Fig. 5.3 www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gráficas 2. Trace la gráfica de la ecuación y = - x 2. Si (x, y) está en la gráfica de la parábola y = x2 (fig. 5.1), entonces (x, -y) está en la gráfica de y = -x 2, y viceversa. Así, la gráfica de y = - x 2 es el reflejo de la gráfica y = x 2 en el eje x . El resultado es la parábola mostrada en la figura 5.6. 3. Trace la gráfica de x = y2. Esta gráfica se obtiene de la parábola y = x 2 al intercambiar los papeles de x y y . La curva resultante es una parábola con el eje x como eje de simetría y su “nariz” en el origen (fig. 5.7). Un punto (x, y) está en la gráfica de x = y2 si y sólo si (y , x ) está en la gráfica de y = x2. Como el segmento que une los puntos (x , y) y (y , x ) es perpendicular a la recta diagonal y = x (¿por qué?) y el punto medio , x +^yj de ese segmento está sobre la recta y = x (fig. 5.8), la parábola x = y2 se obtiene de la parábola y = x2 por reflexión en la recta y = x. y Fig. 5.7 Fig. 5.8 www.FreeLibros.me
  • 4. Sea ¡£ una recta y F un punto que no está en ¡£. Demuestre que el conjunto de todos los puntos equidistantes de F y ¡£ es una parábola. Se construye un sistema de coordenadas tal que F quede en el eje y positivo y el eje x sea paralelo a ¡£ y a medio camino entre F y ¡£ (fig. 5.9). Sea 2p la distancia entre F y ¡£. Entonces, ¡£ tiene la ecuación y = -p y las coordenadas de F son (0, p). Considere un punto arbitrario P(x, y). Su distancia a ¡£ es ly + pl y su distancia a F es -Jx2 + (y - p)2 . Así, para que el punto sea equidistante de F y ¡£ es necesario que ly + pl = J x2 + (y - p )2 . Al elevar al cuadrado da (y + p )2 = x2 + (y - p )2, de donde se obtiene que 4py = x2. Ésta es una ecuación de una parábola con el eje y como su eje de simetría. El punto F se denomina foco de la parábola, y la recta ¡£ se llama directriz. La cuerda AB que pasa por el foco y es paralela a ¡£ se conoce como lado recto (latus rectum). La “nariz” de la parábola en (0, 0) es su vértice. 5. Halle la longitud del lado recto de la parábola 4py = x2. La coordenada y de los puntos extremos (terminales) A y B del lado recto (fig. 5.9) es p. Entonces, en estos puntos, 4p2 = x2 y, por tanto, x = ±2p. Así, la longitud AB del lado recto es 4p. 6. Halle el foco, la directriz y la longitud del lado recto de la parábola y = 2 x2; también trace su gráfica. La ecuación de la parábola puede escribirse como 2y = x2. Por ende, 4p = 2 y p = y. Por consiguiente, el foco queda en (0, y), la ecuación de la directriz es y = - 2 y la longitud del lado recto es 2. La gráfica se muestra en la figura 5.10. 7. Sean F y F' dos puntos distintos a una distancia 2c uno del otro. Demuestre que el conjunto de todos los puntos P(x, y) tales que PF + PF' = 2a, con a > c, forman una elipse. y CA PÍTU LO 5 Ecuaciones y sus gráficas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gráficas Construya un sistema de coordenadas tal que el eje x pase por F y F', el origen sea el punto medio del segmento FF' y F quede en el eje positivo x. Entonces, las coordenadas de F y F' son (c, 0) y (-c, 0) (fig. 5.11). Luego, la condición PF + PF' = 2a equivale a .^(x - c)2 + y2 + y¡ (x + c)2 + y2 = 2a. y Después de reorganizar y elevar al cuadrado dos veces (para eliminar las raíces cuadradas) y realizar las operaciones indicadas se obtiene (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2) (5.1) Puesto que a > c, a2 - c > 0. Sea b = Va2 - c2 . Entonces (5.1) se transforma en b2x2 + a2y2 = a2b2, lo que puede reescribirse como Or + fr = 1, es decir, la ecuación de una elipse. Cuando y = 0, x2 = a2; entonces la elipse corta el eje x en los puntos A '(-a, 0) y A(a, 0), llamados los vértices de la elipse (figura 5.11). El segmento A A se denomina eje mayor; el segmento OA se llama eje semimayor y tiene una longitud de a. El origen es el centro de la elipse. F y F ’ son los focos (cada uno es un foco). Cuando x = 0, y2 = b2. En consecuencia, la elipse corta el eje y en los puntos B'(0, -b ) y B(0, b). El segmento B'B se conoce como eje menor; el segmento OB recibe el nombre de eje semimenor y tiene una longitud de b. Observe que b = Va2 - c2 < Va2 = a . Por ende, el eje semimenor es más pequeño que el semimayor. La relación básica entre a, b y c es a2 = b2 + c2. La excentricidad de una elipse se define como e = c/a. Advierta que 0 < e < 1. Además, e = s¡a2 - b2 /a = -j1 - (b/a)2 . Así, cuando e es muy pequeña b/a está muy cerca de 1, el eje menor se aproxima en tamaño al eje mayor y la elipse está cerca de ser un círculo. Por otra parte, cuando e está próximo a 1, b/a se aproxima a cero, el eje menor es muy pequeño en comparación con el mayor, la elipse resulta muy “plana”. 8. Identifique la gráfica de la ecuación 9x2 + 16y2 = 144. La ecuación equivale a x2/16 + y2/9 = 1. Así, la gráfica es una elipse con eje semimayor de longitud a = 4 y eje semimenor de longitud b = 3 (fig. 5.12 en la página siguiente). Los vértices son (-4, 0) y (4, 0). Como c = Va2 - b2 = V16 - 9 = V7, la excentricidad e es c/a = -Jl /4 = 0.6614. 9. Identifique la gráfica de la ecuación 25x2 + 4y2 = 100. La ecuación equivale a x2/4 + y2/25 = 1, una elipse. Como el denominador de y2 es mayor que el denominador de x2, la gráfica es una elipse con el eje mayor sobre el eje y y el eje menor sobre el eje x (fig. 5.13 en la página siguiente). Los vértices quedan en (0, -5 ) y (0, 5). Luego, como c = Va2 - b2 = V2l , la excentricidad es V2T/5 = 0.9165. 10. Sean F y F' puntos distintos, a una distancia de 2c uno del otro. Halle el conjunto de todos los puntos P(x, y) tales que \PF - PF ' = 2a, para todo a < c. www.FreeLibros.me
  • Fig. 5.12 Escoja un sistema de coordenadas tal que el eje x pase por F y F' con el origen como el punto medio del segmento FF' y con F en el eje x positivo (fig. 5.14). Las coordenadas de F y F' son (c, 0) y (-c, 0). Entonces, la condición dada equivale a yj(x - c)2 + y2 - yj(x + c)2 + y2 = ± 2a. Después de las operaciones necesarias para eliminar las raíces cuadradas se obtiene (c2 - a2)x2 - a 2y2 = a2(c2 - a2) ( 1) Como c > a, c2 - a2 > 0. Sea b = -Vc2 - a2 (observe que a2 + b2 = c2). Entonces (1) se vuelve b2x2 - a2y2 = x2 y2a 2b2, lo que se reescribe como = 1, la ecuación de la hipérbola. Cuando y = 0, x = ±a. En este caso la hipérbola corta el eje x en los puntos A '(-a, 0) y A(a, 0), denominados vértices de la hipérbola. Las asíntotas son y = ± a x. El segmento A'A se llama eje transverso. El segmento que une los puntos (0, -b ) y (0, b) recibe el nombre de eje conjugado. El centro de la hipérbola es el origen. Los puntos F y F' se llaman focos. La excentricidad se define como e = a = ^ a-+b- = J 1+( a )2. Como c > a, e > 1. Cuando e está próximo a 1, b es muy pequeño respecto a a y la hipérbola tiene una “nariz” muy puntiaguda; cuando e es muy larga, b es muy larga respecto a a y la hipérbola resulta muy “plana” . y y Fig. 5.14 CA PÍTU LO 5 Ecuaciones y sus gráficas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gráficas 11. Identifique la gráfica de la ecuación 25x2 - 16y2 = 400. x2 _ y2 " 16 25Esta ecuación equivale a 16 _ 25 = 1, que es la ecuación de una hipérbola con el eje x como su eje transverso, los vértices (-4, 0) y (4, 0) y las asíntotas y = ± fx (fig. 5.15). y 12. Identifique la gráfica de la ecuación y2 - 4x2 = 4. La ecuación equivale a y- _ = 1, que es la de una hipérbola, con los papeles de x y y intercambiados, de manera que el eje transverso es el eje y, el eje conjugado es el eje x y los vértices son (0, -2 ) y (0, 2). Las asíntotas son x = + y y o, de forma equivalente, y = ±2x (fig. 5.16). 13. Identifique la gráfica de la ecuación y = (x - 1)2. Un punto (u, v) está en la gráfica de y = (x - 1)2 si y sólo si (u - 1, v) está en la gráfica de y = x2. Por tanto, la gráfica deseada se obtiene de la parábola y = x2 moviendo cada punto de la parábola una unidad a la derecha (fig. 5.17). TJ , . , (x _ 1)2 (y _ 2)214. Identifique la grafica de la ecuación — 4---- + -^—9— - = 1. Un punto (u, v) está en la gráfica si y sólo si el punto (u - 1, v - 2) está en la gráfica de la ecuación x2/4 + y2/9 = 1. Entonces la gráfica deseada se obtiene al mover la elipse x2/4 + y2/9 = 1 una unidad a la derecha y dos x y Fig. 5.16 Fig. 5.17 www.FreeLibros.me
  • unidades hacia arriba (fig. 5.18). El centro de la elipse queda en (1, 2), el eje mayor se sitúa sobre la recta x = 1 y el eje menor queda sobre la recta y = 2. 15. ¿Cómo se relaciona la gráfica de una ecuación F(x - a, y - b) = 0 con la gráfica de la ecuación F(x, y) = 0? Un punto (u, v) está en la gráfica de F(x - a, y - b) = 0 si y sólo si el punto (u - a, v - b) está en la gráfica de F(x, y) = 0. Entonces, en la gráfica de F(x - a, y - b) = 0 se obtiene al mover cada punto de la gráfica de F(x, y) = 0 a unidades a la derecha y b unidades hacia arriba. (Si a es negativo, se mueve el punto lal unidades a la izquierda. Si b es negativo, se mueve el punto Ibl unidades hacia abajo.) Tal movimiento se denomina traslación. 16. Identifique la gráfica de la ecuación y = x2 - 2x. Al completar el cuadrado en x se llega a y + 1 = (x - 1)2. Con base en los resultados del problema 15, la gráfica se obtiene mediante una traslación de la parábola y = x2 de manera que el nuevo vértice es (1, - 1) [observe que y + 1 es y - (-1)], como se muestra en la figura 5.19. Fig. 5 .18 17. Identifique la gráfica de 4x2 - 9y2 - 16x + 18y - 29 = 0. Mediante factorización se tiene que 4(x2 - 4x) - 9(y2 - 2y) - 29 = 0, y luego al completar el cuadrado en x y en y se produce 4(x - 2)2 - 9(y - 1)2 = 36. Al dividir entre 36 se obtiene (x - 2)2 (y - 1)29 4 = 1. Según los resultados del problema 15, la gráfica de esta ecuación se obtiene trasladando la hipérbola ^ = 1 dos unidades a la derecha y una unidad hacia arriba, de manera que el nuevo centro de simetría de la hipérbola sea (2, 1) (fig. 5.20). y y Fig. 5.20 CA PÍTU LO 5 Ecuaciones y sus gráficas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gráficas 18. Trace la gráfica de la ecuación xy = 1. Algunos puntos de la gráfica se tabulan y se ubican en la figura 5.21. La curva sugerida por esos puntos se muestra como una línea punteada. Puede demostrarse que esta curva es una hipérbola con la recta y = x como eje transverso, la recta y = -x como eje conjugado, los vértices ( - 1, - 1) y (1, 1) y los ejes x y y como asíntotas. De igual forma, la gráfica de toda ecuación xy = d , donde d es una constante positiva, es una hipérbola con y = x como eje transverso, y = -x como eje conjugado y con los ejes de coordenadas como asíntotas. Tales hipérbolas se denominan hipérbolas equiláteras. Pueden mostrarse como rotaciones de hipérbolas de la forma x2/a2 - y2/a2 = 1. x y 3 1/3 2 1/2 1 1 1/2 2 1/3 3 1/4 4 -1/4 -4 -1/3 -3 - 1/2 -2 -1 -1 -2 - 1/2 -3 -1/3 i 4 1 -T | 3 - i 2 1 -4 -3 -2 -1 l i l i \ * \ \ «v 1 _ i T -----------^ -------------0 • .. ' X 1» \ \ i 1 - -1 - -2 2 3 \ . 1 - -3 1 T - -4 Fig. 5.21 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 19. a) En una misma hoja de papel, trace las gráficas de las parábolas siguientes: i) y = 2x2 ii) y = 3x2 iii) y = 4x2 iv) y = 2 x 2 v) y = 1 x2 b) (CG = calculadora graficadora) Utilice una graficadora para comparar las respuestas del inciso a). 20. a) En una misma hoja de papel, trace las gráficas de las parábolas siguientes e indique los puntos de intersección: i) y = x2 ii) y = - x2 iii) x = y2 iv) x = - y2 b) ( c g ) Utilice una graficadora para comprobar las respuestas del inciso a). 21. Trace las gráficas de las ecuaciones siguientes: a) y = x3 -1 b) y = (x - 2)3 c) y = (x + 1)3 -2 d) y = -x 3 e) y = -(x - 1)3 f y = -(x - 1)3 + 2 22. (CG) Utilice una graficadora para responder el problema 21. www.FreeLibros.me
  • 23. Identifique y trace las gráficas de las ecuaciones siguientes: a) y 2 - x2 = 1 b) 25x2 + 36y2 = 900 d) xy = 4 e) 4x2 + 4y2 = 1 g) 10y = x2 h) 4x2 + 9y2 = 16 j) 3y2 - x2 = 9 c) 2x2 - y 2 = 4 f ) 8x = y2 i) xy = -1 Respuestas: a) hipérbola, eje y como eje transverso, vértices (0, ±1), asíntotas y = ±x; b) elipse, vértices (± 6, 0) focos (+VTT, 0); c) hipérbola, eje x como eje transverso, vértices (±V2 , 0), asíntotas y = ±x-Jlx; d) hipérbola, y = x como eje transverso, vértices (2, 2) y ( - 2, - 2), ejes x y y como asíntotas; e) círculo, centro (0, 0 ), radio y; f ) parábola, vértice (0, 0), foco (2, 0), directriz x = - 2; g) parábola, vértice (0, 0), foco (0, f ) , directriz y = — -|; h) elipse, vértices (±2, 0), focos (± fV 5 ,0 ) ; 0 hipérbola, y = -x como eje transverso, vértices ( - 1, 1) y (1, - 1), ejes x y y como asíntotas; j) hipérbola, eje y como eje transverso, vértices (0, ±y¡3), asíntotas y = ±xV3x/3. > -o o mo go o3 24. ( c g ) Utilice una graficadora para trazar las gráficas del problema 23. 25. Identifique y trace las gráficas de las ecuaciones siguientes: a) 4x2 - 3y2 + 8x + 12y - 4 = 0 b) 5x2 + y2 - 20x + 6y + 25 = 0 c) x2 - 6x - 4y + 5 = 0 d) 2x2 + y2 - 4x + 4y + 6 = 0 e) 3x2 + 2y2 + 12x - 4y + 15 = 0 f) (x - 1)(y + 2) = 1 g) xy - 3x - 2y + 5 = 0 [Sugerencia: compare con el inciso f)] h) 4x2 + y2 + 8x + 4y + 4 = 0 i) 2x2 - 8x - y + 11 = 0 j) 25x2 + 16y2 - 100x - 32y - 284 = 0 Respuestas: a) gráfica vacía; b) elipse, centro en (2, -3 ); c) parábola, vértice en (3, -1); d) un solo punto (1, -2 ); e) gráfica vacía; f) hipérbola, centro en (1, -2 ); g) hipérbola, centro en (2, 3); h) elipse, centro en (-1, 2); i) parábola, vértice en (2, 3); j) elipse, centro en (2, 1). 26. ( c g ) Utilice una graficadora para trazar las gráficas del problema 25. 27. Halle el foco, la directriz y la longitud del lado recto de las parábolas siguientes: a) 10x2 = 3y b) 2y2 = 3x c) 4y = x2 + 4x + 8 d) 8y = -x 2 Respuestas: a) foco en (0, -Jy), directriz y = —-40, lado recto 10; b) foco en (-1,0), directriz x = —8, lado recto 3 c) foco en (-2, 2), directriz y = 0, lado recto 4; d) foco en (0, -2), directriz y = 2, lado recto 8. 28. Halle la ecuación para cada parábola que satisfaga estas condiciones: a) Foco en (0, -3), directriz y = 3 b) Foco en (6, 0), directriz x = 2 c) Foco en (1, 4), directriz y = 0 d) Vértice en (1, 2), foco en (1, 4) e) Vértice en (3, 0), directriz y = 0 f ) Vértice en el origen, eje y como eje de simetría; contiene el punto (3, 18) g) Vértice en (3, 5), eje de simetría paralelo al eje y; contiene el punto (5, 7) h) Eje de simetría paralelo al eje x, contiene los puntos (0, 1), (3, 2), (1, 3) i) Lado recto (latus rectum) es el segmento que une (2, 4) y (6, 4), contiene el punto (8, 1) j) Contiene los puntos (1, 10) y (2, 4), el eje de simetría es vertical, el vértice está en la recta 4x - 3y = 6 Respuestas: a) 12y = -x 2; b) 8(x - 4) = y2; c) 8(y - 2) = (x - 1)2; d) 8(y - 2) = (x - 1)2; e) 8(x - 3) = y2; f ) y = 2x2; g) 2(y - 5) = (x - 3)2; h) 2 (x — -f-) = — 5(y — ■§)2; i) 4(y - 5) = - (x - 4)2; j) y - 2 = 2(x - 3)2 o bien, y — ^ = 26 (x — § )2. www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gráficas 29. Halle la ecuación para cada elipse que satisfaga las condiciones siguientes: a) Centro en el origen, un foco en (0, 5) y longitud del eje semimayor, 13 b) Centro en el origen, eje mayor sobre el eje y ; contiene los puntos (1,2^3) y (y , VT5) c) Centro en (2, 4), foco en (7, 4), contiene el punto (5, 8) d) Centro en (0, 1), un vértice en (6, 1), excentricidad y e) Focos en (0, ± y ), contiene el punto (y, 1) f Focos (0, ±9), eje semimenor de longitud 12 n _____ . . . . ., *2 , y2 _ *2 , y2 (x - 2)2 , (y - 4)2 1 , ^ x2 , (y - 1)2 ^ , 9y2 _ Rw pm sfás. a) 144 + 169 1; b) 4 + 16 1; c) 45 + 20 1 ; 36 20 1 e) 25 2 2 144 + 225 1 30. Halle una ecuación para cada hipérbola que satisfaga las condiciones que siguen: a) Centro en el origen, con x como eje transverso; contiene los puntos (6, 4) y (-3 , 1) b) Centro en el origen y un vértice en (3, 0); una asíntota es y _ y x c) Tiene asíntotas y _ ±V 2x, contiene el punto (1, 2) d) Centro en el origen, un foco en (4, 0), un vértice en (3, 0) 5 x2 y2 x2 y2 y2 x2 y2 Respuestas: a) - ^ _ 1 ; b) ^ - ^ _ 1 ; c) - x2 _ 1; d) ^ - yr _1 31. Halle una ecuación de la hipérbola que conste de todos los puntos P(x, y) tales que \PF - PF'\ = 2>/2, donde F _ (V2 ,V2 ) y F ' = (-V 2 ,-V 2 ). Respuesta: xy = 1 x2 y2 2 32. (CG) Utilice una graficadora para trazar la hipérbola -9 - ^4 _ 1 y con asíntotas y = ± 3 x. 33. (CG) Use una graficadora para trazar las elipses x2 + 4y2 = 1 y (x - 3)2 + 4(y - 2)2 = 1. ¿Cómo se obtiene la última gráfica a partir del primero? www.FreeLibros.me
  • Funciones Se dice que una cantidad y es una func ión de otra cantidad x si el valor de y queda determ inado por el valor de x. Si f sim boliza la función, entonces la dependencia de y en x se indica m ediante la fórm ula y = f x ) . L a letra x se denom ina variable independiente y la letra y variable dependiente. La variable independiente tam bién recibe el nom bre de argumento de la función y la variable dependiente valor de la función. Por ejemplo, el área A de un cuadrado es una función de la longitud s de un lado del cuadrado, y esa fun­ ción puede expresarse m ediante la fórm ula A = s2. En este caso, s es la variable independiente y A la variable dependiente. E l dominio de una función es el conjunto de núm eros al que puede aplicársele la función, es decir, el con­ jun to de núm eros que se asignan a la variable independiente. E l rango de una función se refiere al conjunto de núm eros que la función asocia con los núm eros del dominio. EJEMPLO 6.1. La fórmula f x ) = x2 determina una función f por medio de la cual a cada número real x se asigna su cuadrado. El dominio consta de todos los números reales. Se puede observar que el rango comprende todos los números reales no negativos. De hecho, cada valor x2 es no negativo. Recíprocamente, si r es cualquier número real no negativo, entonces r aparece como un valor cuando la función se aplica a -Jr, como r = (Vr )2. EJEMPLO 6.2. Sea g la función definida por la fórmula g(x) = x2 - 4x + 2 para todos los números reales. Luego, g(1) = (1)2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1 y g(-2) = (-2 )2 - 4(-2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 También, para cualquier número a, g(a + 1)2 - 4(a + 1) + 2 = a2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 2 = a2 - 2a - 1. EJEMPLO 6.3. a) Sea la función h(x) = 18x - 3x2 definida para todos los números reales x. Entonces, el dominio es el conjunto de todos los números reales. b) El área A de cierto rectángulo, uno de cuyos lados tiene longitud x, se calcula con A = 18x - 3x2. Tanto x como A deben ser positivas. Ahora, al completar el cuadrado se obtiene A = -3(x2 - 6x) = -3[(x - 3)2 - 9] = 27 - 3(x - 3)2 Como A > 0, 3(x - 3)2 < 27, (x - 3)2 < 9, |x - 3| < 3. Por ende, -3 < x - 3 < 3, 0 < x < 6. Luego, la función que determina A tiene en su dominio el intervalo abierto (0, 6). La gráfica de A = 27 - 3(x - 3)2 es la parábola que aparece en la figura 6.1. A partir de la gráfica se observa que el rango de la función es el intervalo semiabierto (0, 27). Así, la función del inciso b) está dada por la misma fórmula que la función del inciso a), pero el dominio de la primera es un subconjunto apropiado del dominio de la segunda. www.FreeLibros.me
  • ^ 5» CAPÍTULO 6 Funciones L a g r á f ic a d e u n a fu n c ió n f se d e f in e c o m o la g r á f ic a d e la e c u a c ió n y = f x ). EJEMPLO 6.4. a) C o n s id e r e la fu n c ió n f x ) = |x|. S u g r á f ic a e s la d e la e c u a c ió n y = |x| y se in d ic a e n la f ig u r a 6 .2 . O b s e r v e q u e f x) = x c u a n d o x > 0, m ien tra s q u e f x ) = - x c u a n d o x < 0. E l d o m in io d e f c o n s ta d e to d o s lo s n ú m e ro s re a le s . (En general, si una función está dada por una fórmula, si no se dice lo contrario, se supondrá que el dominio consta de todos los números para los que se define la fórm ula .) E n la g r á f ic a d e la f ig u r a 6 .2 s e o b s e r v a q u e e l ra n g o d e la fu n c ió n c o n s ta d e to d o s lo s n ú m e ro s r e a le s n o n e g a t iv o s . (En general, el rango de una función es el conjunto de coordenadas y de todos los puntos de la gráfica de una función.) b) L a fó r m u la g(x) = 2x + 3 d e f in e u n a fu n c ió n g, c u y a g r á f ic a e s la d e la e c u a c ió n y = 2x + 3, q u e e s la lín e a r e c ta c o n p e n d ie n te 2 e in te rs e c c ió n c o n e l e je y e n 3. E l c o n ju n to d e to d o s lo s n ú m e ro s r e a le s e s tan to e l d o m in io c o m o e l ra n g o d e g. EJEMPLO 6.5. S e a u n a fu n c ió n g d e fin id a d e e sta m an era: si 2 < x < 4 si 1 < x < 2g(x) = • x I x +1 U n a fu n c ió n e x p r e s a d a d e e sta fo r m a ¿ e stá definida por casos. O b s e r v e q u e e l d o m in io d e g e s e l in te rv a lo ce rra d o [ 1 , 4]. En una rigurosa aplicación de las m atem áticas, una función f se define com o un conjunto de pares ordenados tales que si (x, y) y (x, z) están en el conjuntof, entonces y = z. Sin embargo, esta definición oscurece el signi­ ficado intuitivo de la noción de función. A x y x www.FreeLibros.me
  • PROBLEMAS RESUELTOS Dada f (x) = a) f (0)= x - 1 x2 + 2 0 - 1 halle: a) f(0 ); b) f ( -1 ) ; c) f(2a ); d) f(1/x); e) f ( x + h). -1 - 1 2 0 + 2 b) f (-1) = 1 + 2 3 c) f (2a) = 2a - 1 4a2 + 2 e) f (x + h) = x + h - 1 x + h - 1(x + h)2 + 2 x2 + 2 hx + h2 + 2 f (x + 3)2. Si f (x) = 2x, demuestre que: a) f (x + 3) - f (x - 1) = 15 f (x), y b) f (x _ 1) = f (4). a) f (x + 3) - f (x - 1) = 2x+3 - 2x-1 = 2x (23 - | ) = f f (x) b) f (x + 3) = 2 - 3 = 24 = f (4)f (x - 1) 21-1 2 f (4) 3. Determine los dominios de las funciones: b) y = Vx2 - 16a) y = y¡4 - x2 1 c) y = x - 2 d) y = x2 - 9 e) y = x2 + 4 a) Como y debe ser real, 4 - x2 > 0, o bien, x2 < 4. El dominio es el intervalo -2 < x < 2. b) Aquí, x2 - 16 > 0, o bien, x2 > 16. El dominio consta de los intervalos x < - 4 y x > 4. c) La función se define para cada valor de x excepto 2. d) La función se define para x * ±3. e) Como x2 + 4 * 0 para todo x, el dominio es el conjunto de todos los números reales. 4. Trace la gráfica de la función definida como sigue: f x ) = 5 cuando 0 < x < 1 f x ) = 10 cuando 1 < x < 2 f(x) = 15 cuando 2 < x < 3 f(x) = 20 cuando 3 < x < 4, etc. Determine el dominio y el rango de la función. La gráfica se muestra en la figura 6.3. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos y el rango es el conjunto de enteros 5, 10, 15, 20, ... 50-- o - o - o - - o---------- Fig. 6.3 1 x y 25 20 15 10 x 5. Se requieren 2 000 pies de alambre para cercar un terreno rectangular. Si una de las dimensiones del terreno es x (en pies), exprese su área y (en pies cuadrados) como función de x y determine el dominio de la función. Como una dimensión es x, la otra es y (2000 - 2x) = 1000 - x . Entonces el área es y = x(1 000 - x) y el dominio de esta función es 0 < x < 1 000. 6. Exprese la longitud l de la cuerda de un círculo de radio 8 como función de su distancia x del centro del círculo. Determine el dominio de la función. CA PÍTU LO 6 Funciones www.FreeLibros.me
  • « > 7. En la figura 6.4 se observa que yZ = V64 - x2, de manera que Z = 2V64 - x2 . El dominio es el intervalo 0 < x < 8. ______ CAPÍTULO 6 Funciones De cada esquina de un cuadrado de hojalata de 12 pulgadas de lado se retiran pequeños cuadrados de x (pulgadas) de lado y los extremos se doblan para formar una caja abierta (figura 6.5). Exprese el volumen V de la caja (en pulgadas cúbicas) como función de x y determine el dominio de la función. Fig. 6.5 La caja tiene una base cuadrada de lado 12 - 2x y una altura de x. Entonces, el volumen de la caja es V = x(12 - 2x)2 = 4x(6 - x)2. El dominio es el intervalo 0 < x < 6. A medida que x crece sobre su dominio, V aumenta por un tiempo y luego decrece. Por consiguiente, entre las cajas que pueden construirse hay una con un volumen más grande, digamos, M. Para determinar M es necesario ubicar el valor preciso de x en el que V deja de aumentar. Este problema se estudiará en un capítulo posterior. Si f(x) = x2 + 2x, halle f (a + h — e interprete el resultado. f (a + h) - f (a) = [(a + h)2 + 2(a + h)] - (a2 + 2a) = 2— + 2 + h h h En la gráfica de la función (fig. 6.6), localice los puntos P y Q cuyas abscisas respectivas son a y a + h. La ordenada de P es f(a) y la de Q es f(a + h). Entonces f (a + h) - f (a) _ diferencia de ordenadas h diferencia de abscisas ■ = pendiente de PQ y www.FreeLibros.me
  • 9. S e a fx ) = x2 - 2x + 3. Evalúe a)f(3); b )f(-3 ); c)f(-x); d) f (x + 2); e) f( x - 2); f ) f(x + h); g)f(x + h) - f(x); h) f (x + h) - f (x) a) b) c) d) e) f ) g) h) h f(3) = 32 - 2(3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6 f - 3 ) = (-3)2 - 2(-3) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18 f (-x ) = (-x )2 - 2(-x) + 3 = x2 + 2x + 3 f x + 2) = (x + 2)2 - 2(x + 2) + 3 = x2 + 4x + 4 - 2x - 4 + 3 = x2 + 2x + 3 f x - 2) = (x - 2)2 - 2(x - 2) + 3 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4 + 3 = x2 - 6x + 11 f(x + h) = (x + h)2 - 2(x + h) + 3 = x2 + 2hx + h2 - 2x - 2h + 3 = x2 + (2h - 2)x + (h2 - 2h + 3) f x + h) - f x ) - [x2 + (2h - 2)x + (h2 - 2h + 3)] - (x2 - 2x + 3) = 2hx + h2 - 2h = h(2x + h - 2) f (x + h) - f (x) = h(2x + h - 2) = 2x + h - 2 h h 10. Trace la gráfica de la función f (x) = -J4 - x2 y hace su dominio y su rango. La gráfica de f es la de la ecuación y = V4 - x2. Para los puntos de esta gráfica, y2 = 4 - x2; es decir x2 + y2 = 4. La gráfica de esta última ecuación es el círculo con centro en el origen y radio 2. Como y = V4 - x2 > 0, la gráfica deseada es la mitad superior de ese círculo. En la figura 6.7 se muestra que el dominio es el intervalo -2 < x < 2, en tanto que el rango es el intervalo 0 < y < 2. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 11. Si f x ) = x2 - 4x + 6, halle a) f(0); b) f(3); c) f - 2 ) . Demuestre que f (£) = f © y f(2 - h) = f(2 + h). Respuestas: a) -6 ; b) 3; c) 18 x - 112. Si f (x) = -x +1 Respuestas: a) -1 ; b) 0; c) 3 halla a)f(0); b)f(1); c)f(-2 ). Demuestre que f | x - f ( x) y f ( - 1 f (x ) ' 13. Si f x ) = x2 - x, pruebe que f x + 1) = f - x ) . 14. S ifx ) = 1/x, demuestre que f (a) - f (b) = f ^ 15. Si y = f (x) = 4x+ r5 , pruebe que x = f (y) y x CA PÍTU LO 6 Funciones www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 6 Funciones 16. Determine el dominio de cada una de las funciones siguientes: a) y = x2 + 4 b) y = Vx2 + 4 c) y = Vx2 - 4 2x _ 1 d) y = x + 3 e) y = (x - 2)(x + 1) f) y = g) y = x2 - 1 x2 + 1 h) y = ^ Respuestas: a), b) y g) todos los valores de x; c) |x| > 2; d) x * -3 ; e) x * -1 , 2; f) -3 < x < 3; h) 0 < x < 2 17. Calcule f ( a + h)—f ( a ) en estos casos: h a) f (x) = -----cuando a * 2 y a + h * 2x - 2 b) f (x) = Vx - 4 cuando a > 4 y a + h > 4 c) f (x) = x + 1 cuando a * -1 y a + h * -1 - 1 1 1 Resp“ a) (a - 2 Xa + h - 2 ) ; b) Va + h - 4 W a - 4 ; C' (a + « < + h + 1) 18. Trace las gráficas de las funciones siguientes y halle sus dominios y rangos: Ix - 1 s i0 < x < 1 a) f x ) = -x 2 + 1 b) f (x) = i [2 x si 1 < x c) f(x) = [x] = el mayor entero menor o igual que x d) x2 _4 f (x ) = x - 2 e) f (x) = 5 - x2 f ) g) m -=f(x) h) f(x) = 4/x i) j ) f(x) = x - |x| [x si x > 0 k) f (x) = j si x < 0 Respuestas: a) dominio, todos los números; rango, y < 1 b) dominio, x > 0; rango, -1 < y < 0 o bien, y > 2 c) dominio, todos los números; rango, todos los enteros d) dominio, x * 2; rango, y * 4 e) dominio, todos los números; rango, y < 5 f ) dominio, x > 0; rango, y < 0 g) dominio, todos los números; rango, y > 0 h) dominio, x * 0; rango, y * 0 i) dominio, x * 0; rango, {-1, 1} j) dominio, todos los números; rango, y < 0 k) dominio, todos los números; rango, y > 0 19. ( c g ) Utilice una graficadora para comprobar las respuestas del problema 18. 20. Evalúe la expresión f (x + h)—f ^ para las funciones f que siguen: a) f(x) = 3x - x2 c) f(x) = 3x - 5 b) f (x) = -j2 x d) f (x) = x3 - 2 2 Respuestas: a) 3 - 2x - h; b) ■ =------ ; = ; c) 3; d) 3x2 + 3xh + h2 yj 2( x + h) + \ 2 x 21. Halle una fórmula para la función f cuya gráfica conste de todos los puntos que satisfacen cada una de las ecuaciones siguientes (es decir, resuelva para y en cada ecuación): a) x5y + 4x - 2 = 0 2 + y b) x = 2- y c) 4x2 - 4xy + y2 = 0 x 2 x www.FreeLibros.me
  • 2 _ 4 2 (x _ 1) Respuestas: a) f (x) = ---- ^ b) f (x) = — —i— c) f(x) = 2xX x + 1 22. Trace la gráfica de estas funciones y halle su dominio y su rango: [x + 2 si —1 < x < 0 [2 _ x s i0 < x < 2 [ x2 — 4 . ^ a) f (x) = si 0 < x < 1 | x _ 1 s i3 < x < 4 I 4 six = 2x Respuestas: a) dominio = (-1, 1], rango = [0, 2) b) dominio = (0, 2) u [3, 4), rango = (0, 3) c) dominio y rango = conjunto de todos los números reales 23. ( c g ) Compruebe las respuestas del problema 22 con una graficadora. 24. En cada uno de los casos que siguen, defina una función que tenga el conjunto 3 como dominio y el conjunto $1 como rango: a) % = (0, 2) y $1 = (1, 7); b) % = (0, 1) y $1 (1, ^ ) . Respuestas: a) una de las funciones es f(x) = 3x + 1; b) una de las funciones es f (x) = —.1—x 25. a) Pruebe el criterio de la recta vertical: un conjunto de puntos en el plano xy es la gráfica de una función si y sólo si el conjunto interseca toda recta vertical, a lo sumo, en un punto. b) Determine si cada conjunto de puntos en la figura 6.8 es la gráfica de una función. Respuesta: Sólo (b) es la gráfica de una función. Fig. 6 .8 CA PÍTU LO 6 Funciones www.FreeLibros.me
  • Límites Límite de una función Si f es una función, entonces se dice que A es el lím ite de f (x) cuando x se aproxim a a a si el valor de f (x ) se acerca arbitrariam ente a A cuando x se aproxim a a a. En notación m atem ática esto se expresa así: lím f (x) = Ax^a Por ejemplo, límx^ 3 x2 = 9, ya que x2 se aproxim a arbitrariam ente a 9 a m edida que x se aproxim a a 3 tanto como se desee. La definición puede plantearse en lenguaje matem ático m ás preciso de la m anera siguiente: límMa f (x) = A si y sólo si, para cualquier núm ero positivo seleccionado 5, aunque sea pequeño, existe un núm ero positivo e tal que siempre que 0 < lx - al < 5, entonces f (x) - Al < e . Lo fundam ental de la definición se ilustra en la figura 7.1. Después que se ha seleccionado e [es decir, des­ pués de seleccionar el intervalo ii)], 5 se puede hallar [o sea, el intervalo i) puede determ inarse] de m odo que siem pre que x T a está en el intervalo i), por ejem plo en x0, en toncesf(x ) está en el intervalo ii), e n f (x 0). Es im portante señalar que el que límMa f(x ) = A sea verdad no depende del valor de f (x) cuando x = a. D e hecho, f (x) ni siquiera necesita estar definida cuando x = a. x0 f(xo) - o ----------- O------------O------------ ► x ------o ------------------------------------------- O— ►- f(x) a — 8 a a + 8 A —e A A + e (i) (ii) Fig. 7.1 EJEMPLO 7.1. lím x — 4 = 4, aunque — — 4 no está definida cuando x = 2. Comox^ 2 x - 2 ^ x - 2 x2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 2 x - 2 x - 2 se observa que 4 se aproxima a 4 cuando x se aproxima a 2. EJEMPLO 7.2. Usemos la definición precisa de límite para demostrar que límx ,2(4x - 5) = 3 lím (4x- 5) = 3. Seax--^ 2 e > 0. Se debe producir un 8 > 0 tal que siempre que 0 < lx - 2l < 8, entonces l(4x - 5) - 3l < e . En primer lugar, observe que l(4x - 5) - 3l = l4x - 8l = 4 lx - 2l. Si se toma 8 como e /4, entonces siempre que 0 < lx - 2l < 8, (4x - 5) - 3 = 4lx - 2l < 48 = e . www.FreeLibros.me
  • Límites por la derecha y por la izquierda A continuación se explicará qué son los lím ites laterales de f (x ) cuando x se aproxim a a a por el lado derecho o por el izquierdo. Por límMa- f(x ) = A se entiende que f está definida en algún intervalo abierto (c, a) y f(x ) se aproxim a a A cuando x se acerca a a por valores m enores que a, es decir, cuando x tiende hacia a p o r la iz­ quierda. D e igual forma, límMa+ f(x ) = A significa que f está definida en algún intervalo (a, d) y f ( x ) tiende a A cuando x se aproxim a a a p o r la derecha. Si f está definida en un intervalo a la izquierda de a y en un intervalo a la derecha de a, entonces la afirm ación límx^ a f (x ) = A equivale a la conjunción de las dos afirm aciones límx^ a- f(x ) = A y límMa+ f(x ) = A. M ás adelante verá ejem plos donde la existencia del lím ite por la izquierda no im plica la existencia del lím ite por la derecha y a la inversa. Cuando una función está definida sólo en un lado de un punto a, entonces límMa f(x ) = A es idéntico al límite lateral, si existe. Por ejemplo, si f(x) = 4 x , entonces f está definida sólo a la derecha de cero. Por tanto, como límx^ 0+ y[x = 0 tam bién escribim os límx^ 0 4 x = 0. Claro que límM (r J x = 0 no existe, ya que 4 x no está definida cuando x < 0. Éste es un ejem plo en que la existencia de un lím ite lateral no im plica la existencia de un límite del otro lado. Como otro ejemplo interesante, considere la función g(x) = V1/x, que está definida sólo para x > 0. En este caso, límM0+ VTTx no existe, ya que 1/x aum enta m ás y m ás sin lím ite cuando x tiende a cero por la derecha. Por consiguiente, límx^ 0 \[l/x no existe. v2 ti & I 1 ntíifxra I ^ _á < -v < á í'^tnri íiAmmiA Vi a (EJEMPLO 7.3. La función f(x) = ^ 9 - x2 tiene el intervalo -3 < x < 3 como dominio. Si a es cualquier número del intervalo (-3, 3), entonces l í m ^ ^ 9 - x2 existe y es igual a ,J9 - a2. Ahora considere a = 3. Sea x que tiende a 3 por la izquierda; entonces l í m ^ ^/9 - x 2. Para x > 3, ,J9 - x 2 no está definida, ya que 9 - x2 es negativa. Por tanto, límx^ 3 V9 - x 2 = límx^ 3- y/9 - x 2 = 0. De igual forma, l í m ^ ,/9 - x2 = límx^ 3+ ,J9 - x 2 = 0. Teoremas sobre límites Los teorem as siguientes son intuitivam ente claros. Las dem ostraciones de algunos de ellos están dadas en el problem a 11. Teorema 7.1. Si f(x) = c, una constante, entonces lím f( x) = c.x^a Para los cinco teoremas siguientes, se supone que lím f (x) = A y lím g(x) = B. x^a x^a Teorema 7.2. lím c • f(x ) = c lím f(x) = cA.x^a x^a Teorema 7.3. lím[ f (x) ± g(x)] = lím f (x) ± límg(x) = A ± B.x^a x^a x^a Teorema 7.4. lím [ f (x)g(x)] = l ím f(x )• límg(x) = A • B.x^a x^a x^a í f ( xiN lím f (x) A Teorema 7.5. lím ; { = l? a ( ^ a , si B ^ 0.x^a I g(x) I limg(x) B Teorema 7.6. Infinito lím d f ( x) = ni lím f ( x) = 4 á , si t fA está definida.x^a \ x^a Sea lím f (x) = +°° que significa que cuando x tiende a a, a la postre f (x) poco a poco se vuelve m ayor que cualquier núm ero posi­ tivo previam ente determinado, por grande que fuere. En este caso, f ( x ) tiende a + ^ cuando x se aproxim a a a. M ás exactam ente límMa f ( x ) = + ^ si y sólo si para cualquier núm ero positivo M existe un núm ero positivo 5 tal que siempre que 0 < lx - al < 5, entonces f (x) > M. CA PÍTU LO 7 Lím ites www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 7 Lím ites D e igual modo, lím f (x) = +°ox^a significa que, cuando x tiende a a, a la postre f (x) se vuelve m enor que cualquier núm ero negativo previam ente asignado. En tal caso, se dice que f (x) tiende a - ^ cuando x tiende a a. Sea lím f (x) = -oax^a lo cual significa que cuando x tiende a a, f(x )l progresivam ente se vuelve m ayor que todo núm ero positivo previam ente asignado. Por tanto, límMa f(x ) = ^ si y sólo si límMa f(x)l = + ^ . Estas definiciones se extienden a los lím ites por la derecha y por la izquierda. EJEMPLO 7.4. a) lím -^ = 400 b) lím , c) lím1 = ~x2 «1 (x - 1)2 « 0 x EJEMPLO 7.5. a) lím 1 = +°°- Cuando x tiende a 0 por la derecha (es decir, por medio de números positivos), 1/x es positivo y poco a poco se vuelve mayor que cualquier número previamente asignado. b) lím 1 = ^>0. Cuando x tiende a 0 por la izquierda (es decir, mediante números negativos), 1/x es negativo y poco a poco se vuelve menor que cualquier número previamente asignado. Los conceptos de lím ite ya m encionados pueden extenderse de form a obvia al caso en que la variable tiende a +ro o -ro. Por ejemplo, lím f (x) = Ax— significa que f (x ) tiende a a cuando x ^ + N, entonces f (x) - Al < e . Se pueden dar definiciones sim ilares para las afirm aciones l r n ^ f ( x ) = A, f (x ) = + ~ , f ( x ) = - ^ , límx^a f(x ) = - ^ y f ( x ) = + ~ . EJEMPLO 7.6. l í m 1 = 0 y lím |2 + -1 ) = 2.x ' x2 I Advertencia: cuando l í m ^ f(x) = y l í m ^ g (x) = ± ^ , los teoremas 7.3 a 7.5 no tienen sentido y no pueden utilizarse. Por ejemplo, lím ^ r = +®° y lím ^ - = +°o, pero lím1 ^ = lím x2 =0.1—0 1 /x x— 0 Nota: se afirma que un límite, como l í m ^ f(x) o límx^ +„ f(x), existe cuando el límite es un número real, pero no cuando el límite es + ^ , - ^ o ^ . Por ejemplo, como límx^ 2 = 4, se dice que límx^ 2 existe. Sin embargo, aunque límx^ 0 4r = +“ , no se dice que límx^ 0 -1 existe. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Compruebe los siguientes cálculos sobre límites: a) lím 5x = 5lím x =5 • 2 = 10x—>2 x—>2 b) lím (2x + 3) = 2lím x + lím3 = 2 • 2 + 3 = 7x——2 x——2 x——2 c) lím (x2 - 4 x + 1)= 4 - 8 +1 = -3x—>2 www.FreeLibros.me
  • x_ 2 iím (x- 2 ) , d) lím x , 0 = —- 7y. = 1J 1^ 3 x + 2 lím(x + 2) 5x^ 3 e) lím x2 ~ 4 = 4 ~ 4 = o e) X™ x2 + 4 4 + 4 0 f ) límV25 - x 2 = /lím (25 - x2) =V9 = 3x^4 y [Nota: de estos problemas no infiera que lím f(x) siempre seaf(a).] 2 C x^a g) lím x ~ 25 = lím (x - 5 ) = -10x^ - 5 x + 5 J^ -5V 7 2. Compruebe los cálculos siguientes sobre límites: a) lím 2 x ~ = lím7—,x Z 4 , , = lím—^ = i ­' x^ 4 x2 - x -1 2 x^ 4 (x + 3)(x- 4 ) x^ 4 x + 3 7 La división entre x - 4 antes de pasar al límite es válida porque x ^ 4 cuando x ^ 4; por tanto, x - 4 nunca es cero. ^ x3 - 2 7 (x - 3)(x2 + 3x + 9 ) ,, x2 + 3x + 9 9 b) x m ( x- 3) ( x+ 3) )= üm? x + 3 = 2 c) lím (x + h) - x 2 = lím x 2 + 2hx + h2- x2 = lím 2 hx+ h— = lím (2x + h) = 2xh^ 0 h h^ 0 h h^ 0 h h^ 0 Aquí, y de nuevo en los problemas 4 y 5, h es una variable, de manera que puede pensarse que se está tratando con funciones de dos variables. Sin embargo, el hecho de que x sea variable no tiene relevancia en estos problemas; por el momento, x puede considerarse una constante. „ 4 - x2 ( 4 - x2)(3 + Vx2 + 5) ( 4 - x2)(3 + Vx2 + 5 ) ,, „ , rd) lim ------ , = lim — v — -— , y = lím ----------^ -----2--------- ¿ = lim (3 + y¡x2 + 5) = 6 x^ 2 3 - VX2 + 5 x^ 2 (3 - V x 2 + 5 )(3 + Vx2 + 5) x^ 2 4 _ x x^ 2 e) lím X + X722 = lím (x 7 1)(x ^ 2) = l í m = ^ ; no existe límite(x 1) x—^1 (x 1) x—^1 x 1 3. En los siguientes problemas a) a c), puede interpretar lím como lím o lím , sin importar cuál de los dos sea. Compruebe los límites. , 3x- 2 3 - 2/x 3 - 0 1 a) lím ñ— r ñ = lím n . n / = n , n = t9x + 7 9 + 7/x 9 + 0 3 b) lí 6x2 + 2x +1 lí 6 + 2/x +1 /x2 6 + 0 + 0 6 b) ^ 5x2 - 3x+4 5 - 3/x + 4/x2 = 5 - 0 + 0 = 5 , x2 + x - 2 1/x + 1/x2 - 2/x3 0 _ c) } í m L - x = r = X^L 4 - 1/x3 = 4 = 0 2 x3 2 x d) lím —2— ¡- = lím 2xx2 + 1 x“ -~ 1 + 1/x2 e) 2x 3 2xe) lím —^— T = lím -¡— T T 2 = +oox2 +1 1 + 1/x2 - = — oo f ) lím (x5- 7 x4- 2x +5) = lím x ‘ lím , 7 2 51----------4 -^-- 5X-y 4 -y-5A Av y /1 - 7 - _2 _5_ x x 4 + x5 y = +oo ya que = (1 - 0 - 0 + 0) = 1 y lím x5 = +oo ( 7 2 5 g) _1íit^ (x5 - 7 x4 - 2x +5) = jím^ x511- j - j j + j | = -°°, ya que Hm(1 - 7 - j 2 + 155) = (1" 0 - 0 + 0) = 1 y ^ = — 4. Dado f(x) = x2 - 3x, halla lím f (X + ^ — f(X ) Como f(x) = x2 - 3x, se tiene que f (x + h) = (x + h)2 - 3(x + h) y lím f (x + h) - f (x) = lím (x 2 + 2hx + h2 - 3x - 3h)- (x 2 - 3x) = lím 2hx + h2 - 3h h^ 0 h h^ 0 h h^ 0 h = lím (2x + h - 3) = 2x - 3h^ 0 CA PÍTU LO 7 Lím ites www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 7 Lím ites 5. Dado f (x) = \l5x + 1, halla cuando x > --5 lím f (x + h) ~ f (x) = lím V5x + 5h +1 -/5x + 5h +1 + V5x +1 h~>° h -v/5x + 5h +1 + V 5x +1 _ iím (5x + 5h +1) - (5x +1) h^ 0 h(y¡5x + 5h + 1 + V 5x + 1) 5 5= lím . -----, = ,-------- h^ ° \ 5 x + 5h +1 + v 5x +1 2>/5 x +1 6. a) En cada uno de los casos siguientes, de a) a e), determine los puntos x = a para los cuales cada denominador es cero. Luego observe qué pasa con y cuando x ^ a- y cuando x ^ a+ y comprueba las soluciones dadas. b) ( c g = calculadora graficadora) Compruebe las respuestas del inciso anterior) con una graficadora. a) y = f (x) = 2/x; el denominador es cero cuando x = 0. Cuando x ^ 0-, y ^ cuando x ^ 0+, y ^ + ^ . b) y = f (x) = (x + 3x i- 2) • El denominador es cero para x = -3 y x = 2. Cuando x ^ -3 -, y ^ - ^ ; cuando x ^ -3+, y ^ + ^ ; cuando x ^ 2-, y ^ - ^ ; cuando x ^ 2+, y ^ + ^ . c) y = f (x) = (x +x2-(3- 1) • el denominador es cero para x = -2 y x = 1. Cuando x ^ -2 -, y ^ - ^ ; cuando x ^ - 2+, y ^ + ^ ; cuando x ^ 1-, y ^ + ^ ; cuando x ^ 1+, y ^ - ^ . d) y = f(x) = (x + 2- (3 1) • el denominador es cero para x = 3. Cuando x ^ 3-, y ^ + ^ ; cuando x ^ 3(x 3) y ^ +^. e) y = f (x) = (x +x2-(3~x)• el denominador es cero para x = 3. Cuando x ^ 3-, y ^ + ^ ; cuando x ^ 3 y —> —^ . 7. Para cada una de las funciones del problema 6, determine qué sucede con y cuando x ^ y x ^ +^. a) Cuando x ^ ± ^ , y = 2/x ^ 0. Cuando x < 0, y < 0. Por tanto, cuando x ^ - ^ , y ^ 0-. De igual forma, cuando x ^ + ^ , y ^ 0+. b) Al dividir el numerador y el denominador de (x+3- x1-2) entre x2 (la más alta potencia de x en el denominador) se obtiene 1/x - 1/x2 + + (1 + 3/x)(1 - 2/x) Por tanto, cuando x ^ ± ^ , y ^ ___ 0 ^ 0 ___ = 0 = 0 y (1 + 0)(1 - 0) 1 0 Cuando x ^ - ^ , los factores x - 1, x + 3 y x - 2 son negativos y, por consiguiente, y ^ 0-. Cuando x ^ + ^ , tales factores son positivos, por lo que y ^ 0+. c) Similar a b). d) (x +x2- (3)2 1) = - 6 x ~+9 = 1+6/x+9/x2, después de dividir el numerador y el denominador entre x2 (la potencia más alta de x en el denominador). Por consiguiente, como x ^ ± ^ , y ^ 1 +0~0 = j- = 1. El denominador (x - 3)2 siempre es no negativo. Cuando x ^ - ^ , tanto x + 2 como x - 1 son negativos y su producto es positivo; por tanto, y ^ 1+. Cuando x ^ + ^ , tanto x + 2 como x - 1 son positivos, igual que su producto; por ende, y ^ 1+. e) (x +x2-(3- x) = - x2x- x3+ 2 = - x1-_13+/x2/x, después de dividir el numerador entre x (la potencia más alta de x en el denominador). Cuando x ^ ± ^ , 2/x y 3/x tienden a 0, y -x - 1 se aproxima a ± ^ . Luego, el denominador se acerca a 1 y el numerador tiende a ± ^ . Cuando x ^ - ^ , x + 2 y x - 3 son negativos y 1 - x es positivo; entonces, y ^ + ^ . Cuando x ^ + ^ , x + 2 y x - 3 son positivos y 1 - x es negativo; por ende, y ^ - ^ . www.FreeLibros.me
  • 8. Analice la función del problema 4 del capítulo 6 cuando x ^ a- y cuando x ^ a+ cuando a es cualquier entero positivo. Considere, como caso típico, a = 2. Cuando x ^ 2-, f(x ) ^ 10; cuando x ^ 2+, f(x) ^ 15. Entonces, lím f(x ) no existe. En general, el límite no existe para todos los enteros positivos. (Sin embargo, observe quex—>2 lím f (x) = lím f (x) = 5, ya que f (x) no está definida para x < 0.)x^ 0 x^ 0+ 9. Utilice la definición precisa para demostrar que lím (x 2 + 3x) = 10.x^2 Sea e > 0. Observe que (x - 2)2 = x2 - 4x + 4, y entonces x2 + 3x - 10 = (x - 2)2 + 7x - 14 = (x - 2)2 + 7(x - 2). Por tanto, l(x2 + 3x) - 101 = l(x - 2)2 + 7(x - 2)1 < lx - 2I2 + 7lx - 21. Si se selecciona 8 como el mínimo de 1 y e /8, entonces 82 < 8 y, por consiguiente, 0 < lx - 2I < 8 implica l(x2 + 3x) - 10I < 82 + 78 < 8 + 78 = 88 < e . 10. Si lím g(x) = B ^ 0, demuestre que existe un número positivo 8 tal que 0 < lx - al < 8 implica lg (x)l > ^x^a 2 Con e = lBl/2 se obtiene un 8 positivo tal que 0 < lx - al < 8, y entonces lg(x) - Bl < lBl/2. Ahora, si 0 < lx - al < 8, entonces lBl = lg(x) + (B - g(x))l < lg(x)l + lBl/2 y, por consiguiente, lBl/2 < lg(x)l. 11. Suponga que i) lím f (x) = A y ii) lím g(x) = B. Pruebe:x^a x^a . a) lím [ f (x) + g(x)] = A + B b) lím f (x)g(x) = AB c) lím A si B ^ 0x^a x^a x^a g( x) D a) Sea e > 0. Entonces, e /2 > 0. Por i) y ii), existen 8j y 82 positivos tales que 0 < lx - al < 8j implica que lf (x) - al < e /2 y 0 < lx - al < 82 implica que lg(x) - Bl < e /2. Sea 8 el mínimo de 8j y 82. Entonces, para 0 < lx - al < 8, lf (x) - Al < e /2 y lg(x) - Bl < e /2. Por consiguiente, para 0 < lx - al < 8, f (x) + g(x) - (A + B)l = l(f (x) - A)l + (g(x) - B)l < l f (x) - Al + lg(x) - Bl < f + f = e b) Sea e > 0. Escoja e * como el mínimo de e /3 y 1 y e /(3lBl) (si B ^ 0), y e /(3lAl) (si A ^ 0). Observe que (e* )2 < e * , ya que e * 0, por lo cual existe un 8j positivo tal que 0 < lx - al < 8j implica que lg(x) - Bl < B p - . Por el problema 10, existe un 82 positivo tal que 0 < lx - al < 82 implica que lg(x)l > lBl/2. Sea 8 el mínimo de 8j y 82; entonces 0 < lx - al < 8 implica que 1 1 g(x) B = lB - g(x)l ^ lBl2 e 2 lB llg(x)l ^ 2 ' lBl2 12. Pruebe que para cualquier función polinomial f(x) = a x + an_lxn- 1 + _ + a x + a0, lím f (x) = f (a)x^a Esto se deduce de los teoremas 7.1-7.4 y el hecho obvio de que lím x = a. 13. Pruebe las generalizaciones siguientes de los resultados del problema 3. Seanf(x) = anx n + an-1xn-1 + ...+ ajx + a 0 y g(x) = bkxk + bk-1xk-1 + ... + b1x + b0 dos polinomios a) lím f -(x ) = si n = kx^±- g( x) bk CA PÍTU LO 7 Lím ites www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 7 Lím ites b) lím c) lím d) lím f (x) = 0 f (x) g( x) f (x) g( x) = = +00 s i n < k si n > k. (E s s i y s ó lo s i an y bk t ie n e n e l m is m o s ig n o .) si n > k [E l s ig n o c o rr e c to es e l d e a nb k( - 1 ) n-k.] 14. P r u e b e q u e a ) l ím / * 3 = ; b ) l ím = 1 ; c ) l ím = + c » . M y x^ 2- (x - 2)3 y x^+~ x + 1 'x ^ + ~ x - 1 a ) S e a M c u a lq u ie r n ú m e ro n e g a tiv o . S e s e le c c io n a 8 p o s it iv o e ig u a l a l m ín im o d e 1 y m -. S u p o n g a q u e x < 2 y 0 < lx - 2l < 8. E n to n c e s , l x - 2l3 < S3 lM l = - M . P e ro (x - 2 )3 < 0. P o r c o n s ig u ie n te, ^ - ^ < ¿ . b) S e a e c u a lq u ie r n ú m e ro p o s it iv o , y se a M = 1/ e . S u p o n g a q u e x > M . P o r en d e, x +1 - 1 1 x +1 1 x +1 x M c) S e a M c u a lq u ie r n ú m e ro p o s it iv o . S u p o n g a q u e x > M + 1. E n to n c e s , x r y > x - = x > M . 15. E v a lú e : a ) l ím — ; b ) l ím — ; c ) \ím — -->0_ x 0 x lxl a ) C u a n d o x > 0, lxl = x ; p o r e n d e , lim — = lim 1 = 1x^0+ x x^0+ l xlb) C u a n d o x < 0, lxl = - x ; p o r tan to , lím — = lím - 1 = -1x^0_ x x^0_ lxl lxl lxlc) lím — n o e x is te , y a q u e lím — ^ lím — x^ 0 x x^0~ x x^0+ x PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 16. E v a lú e lo s lím ite s s ig u ie n te s: a) l ím ( x 2 - 4 x ) x^2 b) l ím ( x 3 + 2 x 2 - 3 x - 4 ) c) lím (3x - 1)2 x^i (x + 1)3 d) x m í r i P e) lím x2 ~ 1x^2 x 2 - 1 f ) lím m x2 - 4 xLXÍ x 2 - 5x + 6 g) lím x2 + 3x + 2 6J x^ - 1 x2 + 4 x + 3 h) lím x2 ~ 27 x^ 2 x2 - 4 i) lím ,x ~ 2 =■ x^ 2~J x 2 - 4 í m 4 ^x^2 x 2 - 4 k) lím (x + h)3 ~ x3h^ 0 h x www.FreeLibros.me
  • l) l ím - x 1 x- * 1 J x 2 + 3 - 2 Respuestas: a) - 4 ; b ) 0; c ) 4r; d) 0; e) ■}; f) - 4 ; g ) ^ ; h) -4-; i) 0; j ) ^ , n o e x is te e l lím ite ; k) 3 x 2; l) 2. 17. E v a lú e lo s lím ite s s ig u ie n te s: 7x 9 - 4 x5 + 2x -1 3a) l ím b) lím x^+^ -3 x 9 + x8 - 5x2 + 2x 14x3 - 5x + 27 x4 +10 c) lím 2x5 + 12 x + 5 c) x™ 7x3 + 6 d) lím ~2x3 + 7 d) x ^ 5x2 - 3x - 4 e) lím (3x3 - 25x2 - 12x - 17) f) lím (3x3 - 25x2 - 12x -1 7 ) g ) lím (3x4 - 25x3 - 8)X^ -o-o Respuestas: a) — -J; b) 0; c ) + ^ ; d) - ^ ; e) + ^ ; f) - ^ ; g ) + ^ 18. E v a lú e e s to s lím ite s: 2 x + 3 4 x - 5 2 x2 +1 a) lím x^+^ b) lím x^+^ c) lím x^+^ d) lím x^+^ e) lím x^+^ f ) lím x^+^ g) lím x— ^ 6 + x - 3x2 x x2 + 5 x2 + 5x + 6 x +1 x + 3 3x - 3- 3x - 3- 3x + 3~x Respuestas: a) -j; b) - -|; c) 0; d) + ^ ; e) 0; f ) 1; g) -1 19. Halle lím f (a + h —f ( a ) para las funcionesf de los problemas 11, 12, 13, 15 y 16a, b, d, g) del capítulo 6.h.^0 h Respuestas: 11) 2a - 4; 12) —^ r y ; 13) 2a - 1; 15) — .. 270 2 ; 16a) 2a, b) , a , d) 7—+ ^ 2, g) — — — . y J (a + 1)2 ’ ; ; (4a — 5)2’ ; J yfa r + 4 (a + 3)2 (a2 + 1)2 20. ( c g ) Investigue el comportamiento de ( ) _ í x si x > 0 f (x ) [x +1 si x < 0 cuando x ^ 0. Trace una gráfica y compruébela con una graficadora. Respuesta: lím f (x) = 0; lím f (x) = 1; lím f (x) no existe.x^ 0+ x^0- x^ü 21. Utilice el teorema 7.4 y la inducción matemática con el fin de probar que lím x n = an para todos los enteros positivos n. CA PÍTU LO 7 Lím ites www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 7 Lím ites 22. Para f (x) = 5x - 6, halle 8 > 0 tal que, siempre que 0 > lx - 41 < 8, entonces f (x) - 141 < e , cuando a) e = y tí) e = 0 .001. Respuestas: a) y0-; tí) 0.0002. 23. Utilice la definición precisa de límite para probar que: a) lím5x = 15 x^3 tí) lím x 2 = 4 x^2 c) lím(x2 - 3x + 5) = 3 x^2 24. Use la definición para probar: a) lím — = ™J x^ 0 x b) lím x . = ^x^ 1 x - 1 c) tfm T ~ T = 1x^+^ A — 1 2 d) lím x +1 25. Seanf(x), g(x) y h(x) tales que 1) f(x) < g(x) < h(x) para todos los valores en ciertos intervalos a la izquierda y a la derecha de a, y 2) l í m ^ f(x) = l í m ^ h(x) = A. Pruebe que l í m ^ g(x) = A. (Sugerencia: para e > 0, existe 8 > 0 tal que siempre que 0 < lx - al < 8, entonces f (x) - Al < e y lh(x) - Al < e y, por consiguiente, A - e < f(x) < g(x) < h(x) < A + e ). 26. Pruebe que sif(x) < M para todo x en un intervalo abierto que contiene a a y que si lím f (x) = A, entonces a < M.1 x^a (Sugerencia: suponga que a > M. Escoja e = (A - M ) y llegue a una contradicción.) 27. (CG) Utilice una graficadora para confirmar los límites encontrados en los problemas 1d, e,f), 2a, b, d), 16 y 18. 28. a) Demuestre que lím (x x 2 -1 ) = 0. (Sugerencia: multiplique y divida entre x + >/x2 - 1 .) x—>+° x2 y2 hb) Demuestre que la hipérbola —r ~ fci = 1 se aproxima arbitrariamente a la asíntota y = ^ x cuando x tiende a « ¡x ^ 3 _ J 3 i------ r— 29. a) Halle lím ^---------- -—. (Sugerencia: multiplique el numerador y el denominador por v x + 3 + v 3.) x^ 0 x b) (CG) Utilice una graficadora para confirmar el resultado del inciso a). 30. Sea f(x) = yfx - 1 si x > 4 y f (x) = x2 - 4x + 1 si x < 4. Halle a) lím f(x) b) lím f(x) c) lím f(x)x ^ 4 + x ^ 4 x ^ 4 Respuestas: a) 1; tí) 1; c) 1 31. Sea g(x) = 10x - 7 si x > 1 y g(x) = 3x + 2 si x < 1. Halla a) lím g(x) tí) lím g(x) c) lím g(x) x — + x — x — Respuestas: a) 3; tí) 5; c) no existe x www.FreeLibros.me
  • Continuidad Función continua U na función se define com o continua en x0 si se cum plen las tres condiciones siguientes: 1. f (x 0) está definida 2 . lím f (x)existe x ^ x 0 3. lím f (x) = f (x0) x ^ x 0 Por ejemplo, f ( x ) = x2 + 1 es continua en 2 ya que límx^ 2 f(x ) = 5 = f (2 ) . La prim era condición im plica que una función puede ser continua sólo en los puntos de su dominio. Entonces, f (x) = V 4 - x 2 no es continua en 3 porque f (3 ) no está definida. Sea f una función definida en un intervalo (a, x0) a la izquierda de x0 y un intervalo (x0, b) a la derecha de x0, o am bos intervalos. Se dice que f es discontinua en x0 si f no es continua en x0, es decir, si fallan una o más condiciones de las tres condiciones indicadas no se cumple. EJEMPLO 8.1. a) f(x) = j - j es discontinua en 2 porquef(2) no está definida y también porque lím f(x ) no existe (ya que lím ,^ f (x) = ^ ) , como se muestra en la figura 8.1. Fig. 8 .1 b) f(x) = X -2 es discontinua en 2 porquef(2) no está definida. Sin embargo, límx^ 2f(x) = límx^ 2 (x + 2) ( 2) = límx^ 2 (x + 2) = 4, de manera que se cumple la segunda condición. Se dice que la discontinuidad en 2 del ejem plo 8.1b) es removible porque si se redefiniera la función f en x = 2 com o 4, entonces la función redefinida g sería continua en 2. Observe que g(x) = x + 2 para todo x. Las gráficas de f(x) = J - J y g(x) = x + 2 son idénticas salvo en x = 2 , donde la prim era tiene un “hueco” (fig. 8 .2). Elim inar la discontinuidad consiste sim plem ente en llenar ese “hueco” . www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 8 Continuidad y L a discontinuidad en 2 en el ejem plo 8.1a) no es removible. A l redefinir el valor de f en 2 no cam bia el hecho de que límM2 x l no existe. También se dice que la discontinuidad de una función f en x0 es removible cuando f (x 0) está definida y al cam biar el valor de la función en x0 produce una función que es continua en x0. EJEMPLO 8.2. Defina una función f de la manera siguiente: En este caso límx^ 2 f(x) = 4, pero f(2 ) = 0. Por tanto, la tercera condición no se cumple, de modo que f tiene una discontinuidad en 2. Pero si se cambia el valor de f en 2 por 4, entonces se obtiene una función h tal que h(x) = x2 para todo x, y h es continua en 2. Por consiguiente, la discontinuidad de f en 2 es removible. EJEMPLO 8.3. Sea f la función tal que f (x) = x para todo x * 0. La gráfica de f se muestra en la figura 8.3. f es discontinua en 0 porque f(0 ) no está definida. Además, lím f (x) = lím — = 1 y lím f (x) = lím — = - 1 x^0+ x^0+ x x^0- x^0- x Luego límM0- f(x) * límx^ 0+ f(x). Por tanto, la discontinuidad de f en 0 no es removible. La clase de discontinuidad que aparece en el ejemplo 8.3 se denom ina discontinuidad de salto. En general, una función f tiene una discontinuidad de salto en x0 si tanto límM0- f(x) com o límx^ 0+ f(x) existen y límM0- f(x) * límx^ 0+ f(x). Tal discontinuidad no es removible. 1< >-1 Fig. 8.3. EJEMPLO 8.4. La función del problema 4 del capítulo 6 tiene una discontinuidad de salto en cada entero positivo. Las propiedades de los límites conducen a las propiedades correspondientes de continuidad. www.FreeLibros.me
  • Teorema 8.1. Suponga que f y g son continuas en x0. Entonces: a) La función constante h(x) = c para todo x es continua en todo x0. b) c f es continua en x0, para cualquier constante c. (Recuerde: c f tiene el valor c ■ f(x) para cada argumento x.) c) f + g es continua en x0. d) f - g es continua en x0. e) fg es continua en x0. f) f/g es continua en x0 si g(x0) * 0. g) 4 f e s continua en x0 si ^ f (x0) está definida. Estos resultados provienen de los teoremas 7.1 a 7.6. Por ejemplo, c) se cumple porque lím ( f (x) + g(x)) = lím f (x) + lím g(x) = f (x0) + g (x0) x ^ x 0 x ^ x 0 x ^ x 0 Teorema 8.2. La función identidad I(x) = x es continua en todo x0. Esto se deduce del hecho de que lím x = x0. x—>x0 Se dice que una función f es continua en un conjunto A si f es continua en todo punto A. Además, si tan sólo se dice que f es continua, significa que f es continua en todo núm ero real. L a idea intuitiva original tras la noción de continuidad suponía que la gráfica de una función continua era “continua” en el sentido intuitivo de que era posible trazarla sin levantar el lápiz del papel. Por consiguiente, la gráfica no podría contener ningún “hueco” o “salto” . Sin embargo, la definición precisa de continuidad va m ás allá de tal noción intuitiva original; algunas funciones continuas m uy com plicadas no podrían dibujarse en una hoja de papel. Teorema 8.3. Toda función polinomial f(x) = anxn + an_1xn -1 + ...+ a 1x + a0 es continua. Ésta es una consecuencia del teorem a 8 .1(a-e) y del teorem a 8 .2 . EJEMPLO 8.5. Como un caso del teorema 8.3, considere la función x2 + 2x + 3. Observe que, por el teorema 8.2, la función identidad x es continua y, por tanto, por el teorema 8.1(e), x2 es continua, y por el teorema 8.1b), - 2x es continua. Por el teorema 8.1a), la función constante 3 es continua. Finalmente, por el teorema 8.1c), x2 - 2x + 3 es continua. Teorema 8.4. Toda función racional H(x) = gx), dondef(x) y g(x) son funciones polinomiales, es continua en el conjunto de todos los puntos en los que g(x) * 0 . Esto proviene de los teorem as 8 .1 (f y 8.3. Com o ejemplos, la función H (x) = es continua en todos los puntos excepto 1 y -1 , y la función G (x) = x + y es continua en todos los puntos (ya que x2 + 1 nunca es 0). Se debe utilizar una noción especial de continuidad respecto a un intervalo cerrado [a, b]. En prim er lugar, se dice que una función f es continua a la derecha en a si f ( a) está definida, existe límMa+ f(x) y límMa+ f(x) = f (a). Se dice que f es continua a la izquierda en b s if (b ) está definida, existe límMb- f(x) y límMb- f(x) = f(b). Definición. f es continua en [a, b] si f es continua en cada punto de un intervalo abierto (a, b), f es continua a la derecha en a y es continua a la izquierda en b . O bserve que si f es continua en [a, b], no depende de ningún valor de f , fuera de [a, b]. También advierta que cada función continua (es decir, una función continua en todos los núm eros reales) debe serlo en cualquier intervalo cerrado. En especial, toda función polinom ial es continua en todo intervalo cerrado. Se pretende analizar en profundidad ciertas propiedades sobre las funciones continuas que se utilizarán, pero esas dem ostraciones van m ás allá del objetivo de esta obra. CA PÍTU LO 8 C ontinuidad www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 8 Continuidad Teorema 8.5. Teorema del valor intermedio. Si f es continua en [a, b] y f (a ) * f(b ), entonces, para todo número c en tref(a) y f(b ), existe por lo menos un número x0 en el intervalo abierto (a, b) para el cualf(x0) = c. L a figura 8.4a) es una ilustración del teorem a 8.5, ya que en ella se m uestra que la continuidad a lo largo del intervalo es esencial para la validez del teorema. El resultado siguiente es un caso especial del teorem a del valor interm edio. b) f(x) = 0 tiene tres raíces entre x = a y x = b Fig. 8 .4 y Fig. 8 .5 b) f(x) = 0 no tiene raíz entre x = a y x = b Corolario 8 .6 . Si f es continua en [a, b] y f(b ) tiene signos opuestos, entonces la ecuación f(x) = 0 tiene al menos una raíz en el intervalo abierto (a, b) y, por consiguiente, la gráfica de f corta el eje x por lo menos una sola vez entre a y b (fig. 8.4b)). Teorema 8.7. Teorema del valor extremo. máximo M en el intervalo. Si f es continua en [a, b], entonces f toma un valor mínimo m y un valor yy X Com o ilustración del teorem a del valor extrem o observa la figura 8 .6a), donde el valor m ínim o m ocurre en x = c y el valor m áxim o M en x = d. En este caso, tanto c com o b están dentro del intervalo. Por o tra parte, en la figura 8 .6b) el valor m ínim o m ocurre en el punto extrem o x = a y el valor m áxim o M dentro del intervalo. Para com probar que la continuidad es necesaria para que el teorem a del valor extrem o sea verdadero, considere la función cuya gráfica se presenta en la figura 8 .6c). Existe discontinuidad en c dentro del intervalo; la función tiene un valor m ínim o en el punto extrem o izquierdo x = a , pero la función no tiene valor máximo. www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 8 Continuidad a) f ( x) = x b) f ( x) = x - 1 c) f ( x) = (x + 3)(x - 2) (x + 2)( x - 1) (x - 3)2 d) f ( x) = e) f ( x) = f ) f ( x) = 4 - x2 3 - \[ x x2 + x - 2 (x - 1)2 g) f (x) = [x] = el mayor entero < x h) f (x) = x - [x] i) f (x) = 3x3 - 7x2 + 4x - 2 ... fr , í0 s ix = 0 J) f (x) {2 si x * 0 Ix si x < 0x 2 si 0 < x < 1 2 - x si x > 1 Discontinuidad no removible en x = 0 Discontinuidades no removibles en x = -3 y x = 2 Discontinuidad no removible en x = 3 Tiene una discontinuidad removible en x = 3. [Observe que x3 - 27 = (x - 3)(x2 + 3x + 9).] También tiene una discontinuidad no removible en x = -3 Tiene una discontinuidad removible en x = ±2. Observe que 4 - x 2 3 + y x ^= 3 + 4 x 3 - y ¡ x2 + 5 3 + ■>/x2 + 5 Tiene una discontinuidad no removible en x = 1 Tiene una discontinuidad de salto en cada entero Tiene una discontinuidad no removible en cada entero Un polinomio no tiene discontinuidades Discontinuidad removible en x = 0 Sin discontinuidades 2. Demuestre que la existencia de lím f (x) f (a + h) - f (a)h implica que f es continua en x = a. Pero lím f(x )(f (a + h) - f (a)) = lím í f (a + h f (a) • h lím f (a + hh - f ( a ) . lím h = lím f (a + h¡ ~ f (a) • 0 = 0 x^h h x^h x^h h lím ( f (a + h) - f (a)) = lím f (a + h) - lím f (a) = lím f (a + h) - f (a ).x^h x^h x^h x^h Por tanto, lím f ( a + h) = f (a ) . Observe que lím f ( a + h) = lím f(x ). Así, l ím f (x) = f(a ).x^h x^h x^h x^h 3. Pruebe el teorema 8.8. Por la continuidad de f en c, lím f (x) = f (c ). Si se toma e = f ( c)/2 > 0, existe un 8 positivo tal que 0 < Ix - c|x^h < 8 implica que f (x) - f(c)| < f (c)/2. La última desigualdad también es verdadera cuando x = c. Luego, |x - c| < 8 implica f (x) - f (c)| < f(c)/2 . Esta última implica que -f(c)/2 < f(x) - f(c ) < f(c)/2. Al sum arf(c) a la desigualdad de la izquierda se obtiene f (c)/2 < f(x). PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 4. Determine las discontinuidades de las funciones siguientes y establezca por qué la función no es continua en tales puntos. ( c g ) Compruebe las respuestas representando la función en una graficadora. a) f (x) = x 2 -x3+x2- 10 ^ fr \ - \ x + 3 s i x > 2 ) f | x 2 +1 si x < 2 www.FreeLibros.me
  • «71* c) f (x) = \x \- x g) f(x) = x3 - 7x e) f ( x )= j y ft) f (x) = x 2 - 5x + 6 x2 + 3x + 2 x2 + 4 x + 3 j) f (x) = f - 4 Respuestas: a) Discontinuidad removible en x = -2 . [Observe que x2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5).] b), c), g) Ninguna d) Discontinuidad de salto en x = 0 e) Discontinuidades removibles en x = ±1 f ) Discontinuidades removibles en x = 3, x = -5 . [Observe que x2 + 2x - 5 = (x + 5)(x - 3) y x3 + x2 - 17x + 15 = (x + 5)(x - 3)(x - 1).] h) Discontinuidad removible en x = 2 y discontinuidad no removible en x = 3 i) Discontinuidad removible en x = -1 y discontinuidad no removible en x = -3 j) Discontinuidad removible en x = 2 y discontinuidad no removible en x = -2 k) Discontinuidad removible en x = 1 y discontinuidad no removible en x = -1 5. Demuestre que f(x) = Ixl es continua. _ 4 x _ 21 6 . Si la figura 8.5a) es la gráfica de f (x) = —— 7-, demuestre que existe una discontinuidad removible en x = 7 y que allí c = 10. 7. Pruebe: si f es continua en el intervalo [a, b] y c es un número en (a, b) tal quef(c) < 0, entonces existe un número positivo 8 tal que, siempre que c - 8 < x < c + 8, entonces f (x) < 0 . (Sugerencia: aplique el teorema 8.8a -f.) 8. Trace las gráficas de las funciones siguientes y determine si son continuas en el intervalo cerrado [0, 1]: a ) b) c) d) f (x) = 1 si 0 < x < 1 Respuestas: a) Sí; b) No, no es continua a la derecha en 0; c) Sí; d) No, no está definida en 0; e) No, no es continua a la izquierda en 1. CA PÍTU LO 8 C ontinuidad www.FreeLibros.me
  • La derivada Notación delta Sea f una función. Es usual asignarle a x cualquier argum ento d ef, y a y el valor correspondiente de f . Por tanto, y = f(x ). Considere cualquier núm ero x0 en el dom inio de f . Sea Ax (se lee “delta x”) un pequeño cam bio en el valor de x, de x0 a x0 + Ax, y sea Ay (se lee “delta y”) el cam bio correspondiente en el valor de y, por lo que Ay = f ( x 0 + Ax) - f (x 0). Entonces la razón Ay _ cam bio en y _ f (x0 +A x) - f (x0) A x ~ cam bio en x ~ A x se denom ina tasa o razón de cambio prom edio de la func ión f en el intervalo que va de x0 a x0 + Ax. EJEMPLO 9.1. Sea y = f(x) = x2 + 2x. Se empieza en x0 = 1, cambia x a 1.5. Entonces Ax = 0.5. El cambio corres­ pondiente en y es Ay = f (1.5) - f(1 ) = 5.25 - 3 = 2.25. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y en el intervalo que hay entre x = 1 y x = 1.5 es ^ = ^ 5 - = 4.5. La derivada Si y = f (x) y x0 está en el dom inio de f , entonces, por la tasa de cambio instantánea de f en x0 se entiende el lím ite de la tasa prom edio de cam bio entre x0 y x0 + Ax cuando Ax se aproxim a a 0: lím = lím f (x» + Ax:> ~ f W Ax^ ü Ax Ax^ 0 Ax siem pre que este lím ite exista. Tal lím ite se denom ina derivada de f en x0. Notación para derivadas Considere la derivada de f en un punto arbitrario x en su dominio: lím = lím f (x + Ax) - f (x) Ax^ 0 A x Ax^ 0 Ax E l valor de la derivada es una función de x y se indicará m ediante cualquiera de las expresiones siguientes: D y = d x = y ' = f '(x ) = & = í x f (x>= “ 5 ü E l valor f ( a ) de la derivada de f en un punto específico a en ocasiones se indica m ediante dy dx www.FreeLibros.me
  • Diferenciabilidad U na función es diferenciable en un punto x0 si la derivada de la función existe en ese punto. E l problem a 2 del capítulo 8 dem uestra que la diferenciabilidad im plica continuidad y que lo contrario es falso, com o se m uestra en el problem a 11. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Dada y = f (x) = x2 + 5x - 8, halle Ay y Ay/Ax cuando x cambia a) de x0 = 1 a x1 = x0 + Ax = 1.2, y b) de x0 = 1 a x 1 = 0.8. a) Ax = x 1 - x0 = 1.2 - 1 = 0.2 y Ay = f (x 0 + Ax) - f (x 0) = f (1.2) - f(1 ) = -0 .56 - (-2) = 1.44. Entonces, Ay _ 144 _ 7 2 Ax 0.2 ; .2 b) Ax = 0.8 - 1 = -0 .2 y Ay = f(0.8) - f(1 ) = 3.36 - (-2) = -1.36. Luego, ^ = 6.8. Geométricamente, Ay/Ax en a) es la pendiente de la recta secante que une los puntos (1, -2 ) y (1.2, -0.56) de la parábola y = x2 + 5x - 8. En b), es la pendiente de la recta secante que une los puntos (0.8, -3.36) y (1, -2) de la misma parábola. 2. Las leyes de la física indican que si un cuerpo (es decir, un objeto material) cae libremente a una distancia de i pies en t segundos, entonces i = 16t2. Halle As/At cuando t cambia de t0 a t0 + Ai. Utilice el resultado para encontrar As/At cuando t cambia: a) de 3 a 3.5, b) de 3 a 3.2, y c) de 3 a 3.1. Ay _ 16(t0 + A t)2 - 16t02 _ 32t0A t + 16(A t)2 = 32t0 +16 AtA t~ At At a) Aquí, t0 = 3, At = 0.5 y As/At = 32(3) + 16(0.5) = 104 pies/segundo b) Aquí, t0 = 3, At = 0.2 y As/At = 32(3) + 16(0.2) = 99.2 pies/segundo c) Aquí, t0 = 3, At = 0.1, y As/At = 97.6 pies/segundo Como As es el desplazamiento del cuerpo del tiempo t = t0 hasta t = t0 + At, A ^= desplazamiento = velocidad promedio del cuerpo en el intervalo de tiempo At tiempo t- t- t- Halle dy/dx, con y = x3 - x2 - 4. Encuentre también el valor de dy/dx cuando a) x = 4, b) x = 0, c) x = -1. y + Ay = (x + Ax)3 - (x + Ax)2 - 4 = x3 + 3x2(Ax) + 3x(Ax)2 + (Ax)3 - x2 - 2x(Ax) - (Ax)2 - 4 Ay = (3x2 - 2x)Ax + (3x - 1)(Ax)2 + (Ax)3 = 3x2 - 2x + (3x - 1)Ax + (Ax)2 = lím [3x2 - 2x + (3x - 1 ) A x + (A x)2 ] = 3x2 - 2x a) ^a) dx = 3(4)2 - 2(4) = 40 b) I = 3(0)2 - 2(0) = 0 c) ¿yc) dx = 3(-1)2 - 2(-1) = 5x=0x=4 x=-1 CA PÍTU LO 9 La derivada www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 9 La derivada 4. Halle la derivada de y = f(x) = x2 + 3x + 5. Ay = f ( x + Ax) - f(x) = [(x + Ax)2 + 3(x + Ax) + 5] - [x2 + 3x + 5] = [x2 + 2xAx + (Ax)2 + 3x + 3Ax + 5] - [x2 + 3x + 5] = 2xAx + (Ax)2 + 3Ax = (2x + Ax + 3)Ax = 2 x + A x + 3A x Por tanto, = lím (2x + Ax + 3) = 2x + 3.dx Ax^ 0 5. Encuentre la derivada de y = f (x) = ~ ~ 2 en x = 1 y x = 3. . . 1 1 (x - 2) - (x + A x - 2) Ay = f (x + A x)- f (x) = (x + A x)- 2 - x ^ 2 = (x - 2)(x + A x - 2) -A x (x - 2)( x + A x - 2) Ay _ -1 Ax (x - 2)(x + Ax - 2) Entonces, ÉL = lím ________ —I_______ = __ —I dx Ax—>o (x - 2)(x + Ax - 2) (x - 2)2 . En x = 1 Í L = — —1— = -1 En x = 3 — = __—1__- - 1 En x = 1, dx ( 1 - 2)2 1. En x = 3, dx = (3 - 2)2 = 1. Halle la derivada de f (x) = ^ - 4 . . , 2(x + A x) - 3 f (x + A x) = 3(x + A x) + 4 a ■, .^ í \ 2x + 2 A x - 3 2x - 3 f ( x + Ax) - f (x ) = 3x + 3 Ax + 4 - 3x + 4 (3x + 4)[(2 x - 3) + 2 A x] - (2x - 3)[(3 x + 4) + 3 A x] (3x + 4)(3x + 3 A x + 4) (6 x + 8 - 6 x + 9)A x 17 A x (3x + 4)(3 x + 3 A x + 4) (3x + 4)(3x + 3 A x + 4) f (x + A x) - f (x) = _________ 17________ A x (3x + 4)(3x + 3 A x + 4) f '( x ) = lím ------------- ^ ^ ---- f (x) £ —1o(3x + 4)(3x + 3 Ax + 4) (3x + 4)2 7. Halle la derivada de y = f (x) = V 2 x + 1. y + Ay = (2 x + 2 A x + 1)1/2 Ay = (2 x + 2 A x + 1)1/2 - (2 x + 1)1/2 r,o o a ,m/2 im/2i (2x + 2Ax + 1)1/2 + (2x + 1)1/2= [(2 x + 2 A x + 1)1/2 - (2x + 1)1/2] ^ -----¡r-r-------¿m— ^v / v / (2x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1/2 (2x + 2 A x +1) - (2 x +1) = 2A x (2 x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1/2 (2 x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1' Ay = ____________ 2____________ A x (2x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1/2 dy = ,, ____________ 2____________ = 1 dx ~ AÜ™ (2x + 2 Ax + 1)1/2 + (2x + 1)1/2 = (2x + 1)1/2 www.FreeLibros.me
  • 8. Encuentre la derivada de f(x) = x1/3. Analice/'(0). f (x + Ax) = (x + Ax)1/3 f (x + Ax) - f (x) = (x + Ax)1/3 - x1/3 _ [(x + Ax)1/3 - x1/3 ][(x + Ax)2/3 + x1/3 (x + Ax)1/3 + x 2/3 ] (x + Ax)2/3 + x1/3 (x + Ax)1/3 + x2/3 f (x + Ax) - f (x) = ______________1______________ Ax (x + Ax)2/3 + x1/3( x + Ax)1/3 + x2/3 f ,(x) = ^ (x + Ax)2/3 + x1/3( x + Ax)1/3 + x2/3 = ~3x23 La derivada no existe en x = 0 porque allí el denominador es cero. Observe que la función f es continua en x = 0 . 9. Interprete dy/dx geométricamente. En la figura 9.1 se observa que Ay/Ax es la pendiente de la recta secante que une un punto arbitrario pero fijo P(x, y) y un punto próximo Q(x + Ax, y + Ay) de la curva. Cuando Ax ^ 0, P permanece fijo mientras Q se mueve a lo largo de la curva hacia P, y la recta PQ gira alrededor de P hacia su posición límite, la recta tangente P T a la curva en P. Así, dy/dx da la pendiente de la recta tangente en P a la curva y = f(x). y Por ejemplo, el problema 3 señala que la pendiente de la cúbica y = x3 - x2 - 4 es m = 40 en el punto x = 4; esto es, m = 0 en el punto x = 0; y m = 5 en el punto x = -1. 10. Halle ds/dt para la función del problema 2 e interprete el resultado. # = 32t0 +16 A t. Por tanto, = lím (32t0 +16 At) = 32t0At 0 dt A t^0 0 ' 0 Cuando At ^ 0, As/At da la velocidad promedio del cuerpo para intervalos de tiempo At cada vez más cortos. Entonces puede ds/dt considerarse como la velocidad instantánea v del cuerpo en el tiempo t0. Por ejemplo, en t = 3, v = 32(3) = 96 pies/segundo. En general, si un objeto se mueve en línea recta y su posición sobre la recta tiene la coordenada s en el tiempo t, entonces su velocidad instantánea en el tiempo t es ds/dt (consulte el capítulo 19). 11. Hallef'(x) cuandof(x) = |x|. La función es continua para todos los valores de x. Para x < 0, f(x) = -x y f '(x) = lím ~ (x + Ax) ~ (~x) = lím = ^ x = lím - 1 = -1 Ax^0 A x Ax^0 A x Ax^0 CA PÍTU LO 9 La derivada www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 9 La derivada De igual forma, para x > 0, f(x ) = x, y f '(x) = lím (x + 4 x) ~ x = lím ^ = lím 1 = 1 Ax^0 Ax Ax^0 Ax Ax^ 0 t- n n ^ n l ' f (0 + Ax) - f (0) „ ÍAxi En x = 0,f ( x ) = 0 y iímc — Ax = Cuando Ax ^ 0-, 4 ^ = ^ = ~1 ^ -1- Pero cuando Ax ^ 0+, ^ = ^ P x = ~1 ^ - 1 - Por tanto, la, . , . Ax „ Ax Ax Ax derivada no existe en x = 0 . Puesto que la función es continua en 0, se demuestra que la continuidad no implica diferenciabilidad. 12. Calcule e = para la función de a) problema 3 y b) problema 5. Compruebe que e ^ 0 cuando Ax ^ 0. a) e = [3x2 - 2x + (3x - 1)Ax + (Ax)2] - (3x2 - 2x) = (3x - 1 + Ax)Ax b) ^ = _________________________ ^1______ -1 _ - (x - 2) + (x + Ax - 2) = _1_ ; (x - 2)(x + Ax - 2) (x - 2)2 (x - 2)2(x + Ax - 2) (x - 2)2(x + Ax - 2) Ambos tienden a cero cuando Ax ^ 0. 13. Interprete geométricamente Ay = Ax + e Ax del problema 12. En la figura 9.1, Ay = RQ y Ax = PR tan ZTP R = RS; así, eA x = SQ. Para el cambio Ax en x a partir de P(x, y), Ay es el cambio correspondiente en y a lo largo de la curva, mientras que dx Ax es el cambio correspondiente en y a lo largo de la tangente PT. Como su diferencia eAx es un múltiplo de (Ax)2, tiende a cero más rápido que Ax, y dx Ax puede utilizarse como una aproximación de Ay cuando |Ax| es pequeño. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 14. Halle Ay y Ay/Ax, dado a) y = 2x - 3 y x cambia de 3.3 a 3.5 b) y = x2 + 4x y x cambia de 0.7 a 0.85 c) y = 2/x y x cambia de 0.75 a 0.5 Respuestas: a) 0.4 y 2; b) 0.8325 y 5.55; c) -3- y - ^ 15. Halle Ay, dado y = x2 - 3x + 5, x = 5 y Ax = -0.01. Entonces, ¿cuál es el valor de y cuando x = 4.99? Respuesta: Ay = -0.0699; y = 14.9301. 16. Indique la velocidad promedio (repase el problema 2), dado a) s = (3t2 + 5) pies y t cambia de 2 a 3 segundos. b) s = (2t2 + 5t - 3) pies y t cambia de 2 a 5 segundos. Respuestas: a) 15 pies/segundo; b) 19 pies/segundo 17. Encuentre el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: a) de r a r + Ar pulgadas; b) de 2 a 3 pulgadas. (Vale la pena recordar que el volumen de una esfera se obtiene con la fórmula V = -4 n r 3.) Respuestas: a) 3 n [ r 2 + 3rA r + (Ar)2]Ar pulg3; b) ^ 6 n pulg3 www.FreeLibros.me
  • 18. Halle la derivada de cada una de las funciones siguientes: a) y = 4x - 3 tí) y = 4 - 3x c) y = x2 + 2x - 3 d) y = 1/x2 e) y = (2x - 1)/(2x + 1) f) y = (1 + 2x)/(1 - 2x) g) y = 4 x h) y = 1 /y[x i) y = ^/T+~2x j) y = 1/V 2 + x ResPuestas: a) 4 ; tí) - 3 ; c) 2(x + 1); d) -2 /x3; e) (2x + ^ ; f ) (1 _4,x)2 ; g) ; h) - ^ s¡\ + 2x ; j) _ 2(2 + x)3/2 19. Halle la pendiente tangente a las curvas siguientes en el punto x = 1 (repase el problema 9): a) y = 8 - 5x2 tí) y = x r r c) x + 3 Respuestas: a) -10; tí) -1 ; c) _ -8 20. (CG) Utilice una graficadora para comprobar las respuestas al problema 19. (Trace la curva y la tangente que se encontró.) 21. Busque las coordenadas del vértice (es decir, el punto crítico) de la parábola y = x2 - 4x + 1, aprovechando que, en el vértice, la pendiente de la tangente es cero (relea el problema 9). ( c g ) Compruebe la respuesta con una graficadora. Respuesta: (2, -3) 22. Halle la pendiente m de las tangentes a la parábola y = -x 2 + 5x - 6 en sus puntos de intersección con el eje x. Respuestas: en x = 2, m = 1; en x = 3, m = -1 23. Cuando un objeto se mueve en línea recta y su coordenada sobre dicha recta es s en un tiempo t (donde s se mide en pies y t en segundos), halle la velocidad en el tiempo t = 2 en los casos siguientes: a) s = t2 + 3t tí) s = t3 + 3t2 c) s = V t + 2 Respuestas: a) 7 pies/segundos; tí) 0 pies/segundos; c) ^ pies/segundos 24. Demuestre que la tasa instantánea de cambio de volumen V de un cubo respecto a su lado x (medido en pulgadas) es 12 pulg3/pulg cuando x = 2 pulgadas. CA PÍTU LO 9 La derivada www.FreeLibros.me
  • Reglas para derivar funciones Derivación Recuérdese que una función f es diferenciable (o derivable) en x0 si existe la derivada f ( x 0). Se dice que una función es diferenciable en un conjunto si lo es en cada punto de ese m ism o conjunto. Si se afirma que una fun­ ción es diferenciable significa que lo es en todo núm ero real. El proceso de hallar la derivada de una función se denom ina diferenciación. Teorema 10.1. Fórmulas de derivación. En las fórmulas siguientes se presupone que u, v y w son funciones diferenciables en x; también se presupone que c y m son constantes. 1. d x (c) = 0 (La derivada de una constante es cero.) 2. d x (x) = 1 (La derivada de la función identidad es 1.) 3. díx (cu) = cdx (Derivada de una constante por una función.) 4. ddx (u + v + '" ) = d x + d x + " ' (Regla de la suma.) 5. d x (u - v) = d x ~ d x (Regla de la diferencia.) 6. ddx (uv) = u + v d e (Regla del producto.) v d u - u d v 7. d (u ) = —d xv 2—— siempre que v ^ 0 (Regla del cociente.) 8. d (1 ) = — 1r siempre que x ^ 0 . d x x x 9. ~djx(x m) = mxm— (Regla de potencias.) Observe que la fórmula 8 es un caso especial de la fórmula 9 cuando m = -1 . Las demostraciones aparecen en los problemas 1 a 4. EJEMPLO 10.1. Dx(x3 + 7x + 5) = Dx(x3) + Dx(7x) + Dx(5) (Regla de la suma.) = 3x2 + 7Dx(x) + 0 (Reglas de potencias y fórmulas 3 y 1.) = 3x2 + 7 (Fórmula 2.) Todo polinomio es diferenciable, y su derivada puede calcularse mediante la regla de la suma, la regla de poten­ cias y las fórmulas 1 y 3. www.FreeLibros.me
  • Funciones compuestas. La regla de la cadena L a func ión compuesta f ° g de las funciones g y f se define así: ( f ° g)(x) = f (g(x)). L a función g se aplica primero y luego f ■ g se denom ina func ión interna y f func ión externa. f ° g se conoce com o la func ión compuesta de g y f . EJEMPLO 10.2. Sea f(x) = x2 y g(x) = x + 1. Entonces: ( f ° g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 (g ° f)(x) = g f (x)) = g(x)2 = x2 + 1 Así, en este caso, f ° g ^ g ° f. Cuando f y g son diferenciables tam bién lo es su com puesta f ° g. Hay dos procedim ientos para hallar la derivada de f ° g. El prim er m étodo consiste en calcular una fórm ula explícita para f (g(x)) y derivarla. EJEMPLO 10.3. Si f(x) = x2 + 3 y g(x) = 2x + 1, entonces: y = f (g(x)) = f (2x + 1) = (2x + 1)2 + 3 = 4x2 + 4x + 4 y = 8x + 4 Por tanto, Dx( f ° g) = 8x + 4. El segundo método para calcular la derivada de una función compuesta se basa en la regla siguiente. Regla de la cadena D x(f (g(x))) = f ( g ( x ) ) ■ g'(x) Entonces, la derivada de f ° g es el producto de la derivada de la función externa f (evaluada en g(x)) y la de­ rivada de la función interna (evaluada en x ). Se presupone que g es diferenciable en x y que f es diferenciable en g(x). EJEMPLO 10.4. En el ejemplo 10.3, f ( x ) = 2x y g (x) = 2. Así, por la regla de la cadena, D f g ( x ) ) ) = f (g (x ) ) ■ g'(x) = 2g(x) • 2 = 4g(x) = 4(2x + 1) = 8x + 4 Formulación alternativa de la regla de la cadena Sea u = g(x) y y = f (u ) . Entonces, la función com puesta de g y f es y = f (u ) = f g ( x ) ) , y se tiene la fórmula dy = É L d j i (R egla de la cadena.) dx du dx EJEMPLO 10.5. Sea y = u3 y u = 4x2 - 2x + 5. Así, la función compuesta y = (4x2 - 2x + 5)3 tiene la derivada d x = d u d x = 3U2(8x - 2 ) = 3(4x2 - 2x + 5)2(8x- 2 ) A dvertencia: en la formulación alternativa de la regla de la cadena, = dxdu, la y de la izquierda representa la fun­ ción compuesta de x, mientras que la y de la derecha señala la función original de u. Asimismo, las dos ocurrencias de u tienen significados diferentes. Esta confusión de notación se compensa con la simplicidad de la formulación alternativa. Funciones inversas Dos funciones f y g tales que g(f(x)) = x y f (g(y)) = y son func iones inversas. Estas funciones invierten el efecto una de la otra. D ada una ecuación cualquiera y = f x ) , se puede hallar una fórm ula para la inversa de f despe­ jando x en la ecuación en térm inos de y . CA PÍTU LO 10 Reglas para derivar funciones www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 10 Reglas para d e riva r funciones EJEMPLO 10.6. a) Seaf(x) = x + 1. Al despejar x en la ecuación y = x + 1 se obtiene x = y - 1. Entonces la inversa g de f está dada por la fórmula g(y) = y - 1. Se observa que g invierte el efecto de f y f invierte el efecto de g. b) Seaf(x) = -x. Al despejar x en y = -x se obtiene x = -y. Por tanto, g(y) = -y es la inversa de f . En este caso, la inversa de f es la misma función que f . c) Sea f (x) = yjx. La función f está definida sólo para números no negativos, y su rango es el conjunto de los números no negativos. Si se despeja x en y = y[x se obtiene x = y2, de manera que g(y) = y2. Como g es la inversa de f , g está definida sólo para números no negativos, ya que los valores de f son los números no negativos. [Puesto que y = f(g(y)), si se permitiera que g se definiera para números negativos, se tendría -1 = f ( g ( - 1)) = f ( 1) = 1, que es una contradicción.] d) La inversa def(x) = 2x - 1 es la función g (y) = y + 1 . Notación L a inversa de f se denota f 1. Esta notación no debe confundirse con la notación exponencial para elevar un núm ero a la potencia -1 . El contexto generalm ente indica cuál es el significado específico. No toda función tiene función inversa. Por ejemplo, la función f (x ) = x2 no posee una inversa. Com o f (1 ) = 1 = f (-1 ), una función inversa g tendría que satisfacer g(1) = 1 y g(1) = -1 , lo cual es imposible. [Sin embargo, si se restringe la función f (x) = x2 al dom inio x > 0, entonces la función g(y) = J y sería una función inversa de f.] L a condición que una función f debe satisfacer para tener una inversa es que sea uno a uno, es decir, que para todo x 1 y x2, si x 1 ^ x2, entonces f (x 1) ^ f (x 2). D e m anera equivalente, f es uno a uno si y sólo si, para todo x1 y x2, si f (x 1) = f (x 2), entonces x 1 = x2. EJEMPLO 10.7. Demostremos que la función f(x) = 3x + 2 es uno a uno. Suponga que f (x 1) = f (x 2). Entonces, 3x1 + 2 = 3x2 + 2, 3x1 = 3x2, x 1 = x2. Por tanto, f es uno a uno. Para hallar la inversa de dicha función, se despeja x en y = 3x + 2, y se obtiene x = y--2. A s í,f-1 (y) = y—2. (En general, si se puede despejar x en y = f(x) en términos de y, entonces se sabe que f es uno a uno.) Teorema 10.2. Fórmula de la diferenciación para funciones inversas. Sea f uno a uno y continua en el intervalo (a, b). Entonces: a) El rango de f es intervalo I (posiblemente infinito) y f es creciente o decreciente. Además, f 1 es continua en I. b) Si f es diferenciable en x y f ( x 0) ^ 0, entonces f 1 es diferenciable en y0 = f (x 0) y (f -1)/(y0) = f j —). Esta última ecuación a veces se escribe 0 dx = _ 1_ dy dy dx donde x = f -1(y). Para la demostración, véase el problema 69. EJEMPLO 10.8. a) Sea y = f(x) = x2 para x > 0. Entonces, x = f -1(y) = y[y. Como dy = 2x, entonces dy = 2x = ^^y • Por ende, Dy ( ( y ) = . [Observe que éste es un caso especial del teorema 8.1(9) cuando m = y.] b) Sea y = f(x) = x3 para todo x. Entonces, x = f -1(y) = 3 y = y1/3 para todo y. Como = 3x2, entonces = 3^ 3. Esto se cumple para todo y ^ 0. [Advierta que f -1(0) = 0 y f ( 0 ) = 3(0)2 = 0.] www.FreeLibros.me
  • Derivadas superiores Si y = f ( x ) es diferenciable, su derivada y ' tam bién se denom ina prim era derivada de f . Si y ' es diferenciable, su derivada se llam a segunda derivada de f . Si esta segunda derivada es diferenciable, entonces su derivada se denom ina tercera derivada d e f , y así sucesivamente. Notación Prim era derivada y', f ' « , dy dx ’ Dxy Segunda derivada y", f " (x), d d D y Tercera derivada y'", f "'(x), d 3 y dx3 ’ D 3J n-ésim a derivada y (n ), f (n)(x), d d Dny PROBLEMAS RESUELTOS Demuestre el teorema 10.1 (1 a 3): 1. -d -(c) = 0; 2. -d -(x) = 1; 3. d - (c u ) = c4——■d'tX d',— d^— Recuerde que d f (x) = lím f ( - + Aa—)—d— A-^0 A— 1. d c = lím = lím 0 = 0d— A—^0 A— A—^0 2. d (—) = lím (— + A—) ~ — = lím A— = lím 1 = 1 d— A—^0 A— A—^0 A— A—^0 3. d (Cu) = Um cu(— + Aa—) - cu(—) = Um c u(— + Aa—) - u(—) d— A—^0 A — A —^0 A— = c lím U(— + A—) - u(—) = c du a—^0 A— d— Demuestre el teorema 10.1 (4, 6 y 7): a d i n i i \ du i dv4. -¡-(u + v +— ) = —¡- + ^ — +—d— d— d— d dv du6. —¡-(uv) = u-¡— + v - ¡ - d— d— d— v d u _ u dv 7. d—— (^ ) = d— v 2—~ siempre que v * 0 4. Basta probar esto sólo para dos sumandos, u y v. S eaf(—) = u + v; entonces, f (— + A —) - f (—) _ u(— + A —) + v (— + A —) - u(—) - v(—) A— _ A— _ u(— + A —) - u(—) + v(— + A —) - v (—) A— A— Al tomar el límite cuando A— ^ 0 se obtiene - d - (u + v) = ^ + 4 ^ .d— d— d— 6. Sea f ( —) = uv. Entonces, f (— + A —) - f (—) _ u(— + A —)v(— + A —) - u(—)v(—) A— _ A— _ [u(— + A —)v(— + A —) - v(—)u( — + A —)] + [v(—)u(— + A —) - u(—)v(—)] A— = u(— + A—) v(— + A—— - v(—) + v(—) u(— + Aa—.) - u(—) CA PÍTU LO 10 Reglas para derivar funciones www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 10 Reglas para d e riva r funciones Al tomar el límite cuando Ax ^ 0 se obtiene d (rn) = u(x) d v (x) + v( x) = u d x + v % Se observa que lim u(x + Ax) = u(x) porque la diferenciabilidad de u implica su continuidad.Ax^ 0 7. Sea entonces, f (x) = u ,J v v(x) u(x + Ax) _ u(x) f (x + Ax) - f (x) _ v (x + Ax) v(x) _ u(x + Ax)v(x) - u(x)v(x + Ax) A x _ Ax _ Ax(v(x)v (x + A x)} [u( x + A x)v ( x) - u( x)v( x)] - [u( x)v ( x + A x) - u( x)v( x)] Ax[v( x)v ( x + Ax)] v ( ) u(x + Ax) - u(x) _ (x) v(x + Ax) - v(x) . ______ Ax_________ ____________ Ax_ v (x)v (x + A x) - u d x \ v } ~ [v( x)] v(x)d u(x) - u(x)d v(x) v - u dvd d l iA v w d fru(x )~ u w d x v (x ) v ~dx~u ~dx y para i , ^ 0, (x )- ( * ) - dx ^ - dx 3. Demuestre el teorema 10.1 (9): Dx(xm) = mxm 1, cuando m es un entero no negativo. Aplique inducción matemática. Cuando m = 0, Dx(xm) = Dx(x0) = Dx(1) = 0 = 0 x x 1 = mx“-1 Se presupone que la fórmula es verdadera para m . Entonces, por la regla del producto, Dx(xm+1) = Dx(xm x x) = xmDx(x) + xDx(xm) = xm x 1 + x x mxm-1 = x™ + mxm = (m + 1)xm Por tanto, la fórmula se cumple para m + 1. 4. Demuestre el teorema 10.1 (9): Dx(xm) = mx™-1, cuando m es un entero negativo. Sea m = -k, donde k es un entero positivo. Entonces, por la regla del cociente y el problema 3, Dx (xm ) - Dx (x- k ) - Dx ( ) xkDx (1) - 1 • Dx(xk ) x k • 0 - kxk-1 (xk )2 -yk-1 - - k ^ ï T - ~kx ~k-1 - m xm -1 x 2k 5. Derive y = 4 + 2x - 3x2 - 5x3 - Sx4 + 9xs. d t - 0 + 2(1) - 3(2x) - 5(3x2) - S(4x3) + 9(5x4) - 2 - 6x - 15x2 - 32x3 + 45x4 6. Derive y - 1 + -3 - + - x 1 + 3x 2 + 2x 3.-/ -Y ~Y 2 -vOx x2 x - - x~2 + 3(-2x~3) + 2(-3x~4) - - x~2 - 6x~3 - 6x~4 - — ^ - — 4dx x2 x3 x4 7. Derive y = 2x1/2 + 6x1/3 - 2x3/2. d y - 2(2 x-1/2) + 6 ( 1 x -2/3) - 2(2 x 1/2) - x ~1/2 + 2x~2/3 - 3x 1/2 - J L + ^ - 3x 1/ x 2k www.FreeLibros.me
  • 8. Derive y = - - J - - X L = 2x~1/2 + 6 x ~1/3 - 2x ~3/2 - 4x ~3/4.Xl/ 2 X 3 X 3/ 2 X^ ' 2 ( - 2 X-»2 ) + 6 ( - 3 x-4» ) - 2 ( - 2 X- ' 2 ) - 4 ( - 4 x-2» )1 —2(- 2 — - X-3/2 - 2 X-4/3 + 3X-5/2 + 3 X-7/4 _ - __1_____+ 3 + 3 A -¿/A I JA i JA ..án I _ < n • . . H A 9. Derive y = ^ 3 x 2 — 7^ = (3x2)1/3 - (5x) 1/2. V 5x ^ = 1 (3 x2 )-2/3 (6 x) - {- 1 ^ (5 x)-3/2 (5) = __2x + ____ 5____ = 2 + ___ 1___ dx 3 (3x ) (6x) \ 2 j (5x) (5) (9x4)1/3 + 2(5x)(5x)1/2 ^ 2 x ^ 5 ! 10. Demuestre la regla de la cadena de potencias: Dx(ym) = mym-lDxy. Ésta es sencillamente la regla de la cadena, donde la función externa es f(x) = xm y la función interna es y. 11. Derive s = (t2 - 3)4. a r*ci rlí^ n q rl
  • CAPÍTULO 10 Reglas para d e riva r funciones Por el teorema 10.2, dy _ 1 V1- y2 dx dx /dy 1 - 2y2 17. Halle la pendiente de la recta tangente a la curva x = y2 - 4y en los puntos donde la curva corta el eje y. Los puntos de intersección son (0, 0) y (0, 4). Se tiene que dy = 2y - 4y, por tanto, ^ = ddbJdy = 2y- 4 • En (0, 0) la pendiente es - -4, y en (0, 4) la pendiente es -4-. 18. Derive la regla de la cadena: Dx(f{g(x))) = f'(g (x) ■ g'(x)). Sea H = f ° g. Sea y = g(x) y K = g(x + h) - g(x). También, sea F(t) = f (y+ f (y) - f ' (y) para t ^ 0. Como lím^o F (t) = 0, sea F (0) = 0. Entonces, f ( y + t) - f(y ) = t(F (t) + f /(y)) para todo t. Cuando t = K, f (y + K) - f (y) = K(F (K) + f'(y)) f (g(x + h)) - f (g(x)) = K(F (K) + f (y ) ) Por tanto, H (x + h ~ H (x) = K (F (K ) + f '(y)) Ahora, lím K = lím g ( x + hh— g(x ) = g '(x )h^ 0 h h^ 0 h Como lím K = 0, lím F (K) = 0. Entonces,h^ 0 h^ 0 H \x ) = f W ( x ) = f '(g(x))g'(x). 19. Halle , dado y _ 4 ^ 1 y « _ 3 x 2 + 2. dx 7 « 2 + 1 J dy _ 4u du _ 2x = 2x du ~ (u2 + 1)2 y dx 3(x2 + 2)2/3 3u2 Entonces, d y _ d y d u _ 4u 2x _ 8x dx du dx (u2 + 1)2 3u2 3u(u2 + 1)2 20. Un punto se mueve a lo largo de la curva y = x3 - 3x + 5 de manera que x _ 2 y[t + 3, donde t es tiempo. ¿A qué tasa cambia y cuando t = 4? Hay que hallar el valor de dy/dt cuando t = 4. Primero, dy/dx = 3(x2 - 1) y dx/dt _ 1/(4>/F). Por tanto, dy _ d y d x _ 3( x2 -1 ) dt dx dt 4 yft Cuando t = 4, x _ y%/4 + 3 _ 4, y d - _ 3(4(2) ^ unidades por unidad de tiempo. 21. Un punto se mueve en el plano de acuerdo con las ecuaciones x = t2 + 2t y y = 2t3 - 6t. Halle dy/dx cuando t = 0, 2 y 5. Como en la primera ecuación es posible despejar t y este resultado puede sustituirse por t en la segunda ecuación, y es una función de x. Se tiene dy/dt = 6t2 - 6. Como dx/dt = 2t + 2, al aplicar el teorema 8.2 se obtiene dt/dx = 1/(2t + 2). Entonces, § _ n _ 6( t2 - 1) * ^ _ 3(t - 1) Los valores requeridos de dy/dx son -3 en t = 0, 3 en t = 2 y 12 en t = 5. 22. Sea y = x2 - 4x y x _ V2t2 + 1. Halle dy/dt cuando t _ V2". £ - 2(x - 2) y £dx ^ ^ y dt ( 2 t2 + 1)1/2 Entonces, , , ^ dy _ d y dx _ 4 t(x - 2) dt dx dt (2t 2 + 1)1/2 Cuando t ^ V 2 , x _yf5 y ^ ~ 2) _ ^ 52 (5 - 2^5). www.FreeLibros.me
  • 23. Demuestre que la funciónf(x) = x3 + 3x2 - 8x + 2 tiene derivadas de todo orden y hállelas. f ( x ) = 3x2 + 6x - 8, f" (x ) = 6x + 6, f" '(x ) = 6 y todas las derivadas de orden superior son cero. 24. Investigue las derivadas sucesivas def(x) = x4/3 en x = 0. f '(x) = f x1/3 y f = (0) = 0 f "(x ) = -4 x -2/3 = 9 4 3 - y / " ( ° ) no existe f n)(°) no existe para n > 2. 25. Sea f (x) = y —x = 2(1_ x) '• Halle la fórmula para f (n)(x). f (x) = 2( - 1)(1 - x)-2( - 1) = 2(1 - x)-2 = 2( 1!)(1 - x)-2 f"(x ) = 2( 1!)(-2)(1 - x)-3( - 1) = 2(2!)(1 - x)-3 f " ( x ) = 2(2!)(-3)(1 - x)-4(-1) = 2(3!)(1 - x)-4 lo que sugiere q u e f(n)(x) = 2(n!)(1 - x) (n+1). Este resultado puede establecerse mediante inducción matemática demostrando que si f k)(x) = 2(k!)(1 - x)-(k+1), entonces f (k+1)(x) = - 2(k!)(k + 1)(1 - x)-(k+2)( - 1) = 2 [(k + 1)!](1 - x)-(k+2) PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 26. Demuestre el teorema 10.1 (5): Dx(u - v) = Dxu - Dxv. Respuesta: Dx(u - v) = Dx(u + (-v)) = Dxu + Dx(-v) = D x u + D x ((-1)v) = Dxu + (-1)D x v = Dxu - Dx v por el teorema 8.1 (4, 3) En los problemas 27 a 45, halle la derivada. 27. y = x5 + 5x4 - 10x2 + 6 Respuesta: d y = 5x(x3 + 4 x 2 - 4) 28. y = 3x1/2 - x3/2 + 2x~1/2 Respuesta: = 3r- - -|Vx - 1/x3/2 dx W x Respuesta: ^ = — 3- ---3^dx x x 30. y = s¡2x + 2yjx Respuesta: y ' = (1 + s [ 2 ) /j2 x 1 1/2 , 2t2/3 Respuesta: f ' ( t ) = - - ------— 32. y = (1 - 5x)6 Respuesta: y ' = -3°(1 - 5x)5 33. f (x) = (3x - x3 + 1)4 Respuesta: f ( x ) = 12(1 - x2)(3x - x3 + 1)3 CA PÍTU LO 10 Reglas para derivar funciones www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 10 Reglas para d e riva r funciones 34. y = (3 + 4x - x2)1 Respuesta: y'= (2 - x)/y 35. d = 3r + 2 2r + 3 36. y = ( 1 + 7 )’ 37. y = 2x2V 2 - x 38. / (x) = W 3 - 2x2 39. y = ( x - 1)Vx2 - 2x + 2 40. z = w Vi - 4w 2 41. y = J Ï + J x 42. / (x ) = J-x - 1 x + 1 5x4 Respuesta: y ' = 6 (1 + x ) Respuesta: y ' = x(8^ 5x)- 3 - 4 x2Respuesta: / '(x) = V3 - 2x2 Respuesta: ^ = 2x2 - 4x + 3 dx Vx2 - 2x + 2 dz 1Respuesta: -íp- = Respuesta: y ' = dw (1 - 4w2)3/2 1 Respuesta: / '(x) = 4yfxy¡ 1 + Vx 1 ( x + 1)V x2 - 1 43. y = (x2 + 3)4(2x3 - 5)3 Respuesta: y ' = 2x(x2 + 3)3(2x3 - 5)2(17x3 + 27x - 20) 44. s = t2 + 2 3 - 1 2 4 5 y = ( w Respuesta: ^ = — 10t 2 1 dt (3 - 12 )2 36x2(x3 - 1)3 ' " (2x3 + 1)5Resp uesta: y '= 3 5 46. Para cada una de las funciones siguientes, calcule dy/dx por dos métodos y compruebe que los resultados son iguales: a) x = (1 + 2y)3 b) x = 12 + y En los problemas 47 a 50, use la regla de la cadena para hallar d jy . u - 147. y =y = - — 1, u = Vx 7 u + 1 48. y = u3 + 4, u = x2 + 2x Respuesta: d y = —¡=— 1— 1 dx 4 x (1 + J x f Respuesta: d y = 6x2(x + 2)2(x + 1) 49. y = \ l 1 + u , u = 4 x Respuesta: véase el problema 42. 50. y = yfû, u = v(3 - 2v), v = x2 L dy dy du dv ¡Sugerencia: - f - = - ih —,— -¡-. \ ° dx du dv dx Respuesta: véase el problema 39. 4 www.FreeLibros.me
  • En los problemas 51 a 54, halle la derivada indicada. 51. y = 3x4 - 2x2 + x - 5; y '" Respuesta: y '" = 72x 52. y = —^ ; y(4) Respuesta: y(4) = 105 9/2—j— , y vía,. j — . ,—;■\¡ x 16x 53. f (x) = s¡2 - 3x 2;f ' ( x ) Respuesta: f " (x) = - _ 36x 2)3/ 54. y = -j x - 1 ; y" ResPuesta: y = 4 ^ 4 : ^ En los problemas 55 y 56, halle una fórmula para la n-ésima derivada. 55. y = ^2- Resp uesta: y (n) = (-1 ) [ n +1)!] 56. f (x) = 2 Respuesta: f (n)(x) = (-1)"3" (n!)(3x + 2)"+ 57. Si y = f(u ) y u = g(x), demuestre que a) d2 i = dy_^ d u + d h l d u Ÿ dx2 du dx2 du2 \ dx )dx2 du dx2 du2 dx b) d3 y = dy ^ d3 u + 3d Íy . d u , du + d i / d uŸ dx3 du dx3 du 2 dx2 dx du3 \ dx ) 58. A partir de ^ ^ derive = y d x = 3(y"( 2 ~ y Y " .r dy y dy2 (y )3 J dy3 (y )5 En los problemas 59 a 64, determine si la función dada tiene inversa; si la tiene, halle una fórmula para la inversa f -1 y calcule su derivada. 59. f(x ) = 1/x Respuesta: x = f -1(y) = 1/y; dx/dy = -x 2 = -1 /y2 60. f (x) = 1 x + 4 Respuesta: x = f -1(y) = 3y - 12; dx/dy = 3. 61. f (x) = V x - 5 Respuesta: x = f _1(y) = y2 + 5; dx /dy = 2y = 2V x - 5 62. f(x) = x2 + 2 Respuesta: no tiene función inversa. 6 3 f(x ) = x3 Resp uesta: x = f -1(y) = t fy ; d y = = 1 y~2/3 64. f (x )= t + t Respuesta: x = r 1(y)= - y + s d y = - y - 2 ? CA PÍTU LO 10 Reglas para derivar funciones www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 10 Reglas para d e riva r funciones 65. Halle los puntos en los que la funciónf(—) = I— + 21 es diferenciable. Respuesta: Todos los puntos excepto — = -2 66. (CG) Utilice una graficadora para trazar la gráfica de la parábola y = —2 y la curva y = I—2 - 2—I. Halle todos los puntos de discontinuidad de la última curva. Respuesta: — = 0 y — = 2 67. Halle una fórmula de la n-ésima derivada de las funciones siguientes: a) f (—) = — — 2 '; b) f (—) = V—. 69. Demuestre el teorema 10.2. Respuesta: a) Sugerencias: use el teorema del valor intermedio para demostrar que el rango es un intervalo. Que f es creciente o decreciente se deduce por un argumento que utiliza los teoremas del valor extremo y del valor intermedio. La continuidad de f -1 se deriva entonces con facilidad. Respuestas: a) f (n)(x) = (_ 1)n+1 (x +2)n+1 b) f (n)( x) = ( - 1)n+1 3 ' 5 ' 7 ' " 2n ' (2n 3)x~ (2n-1)/2 68. Encuentre la segunda derivada de las funciones siguientes: a) f (x) = 2x - 7 b) f (x) 3x2 + 5x - 10 c) f (x) = x + 4 d) f ( x) = V 7 - x 1 1 4 (7 _ r)3/2 2 Respuestas: a) 0; b) 6; c) (x + 4)3 ; d) 4 (7 _ x ) f -1(y) _ f - 1( yo) = 1 = __ 11 y _ yo f ( f -1(y)) _ f ( f -1( yo)) f ( x) _ f ( xo) f - l(y) _ f - l(y0) x _ xo www.FreeLibros.me
  • Derivación implícita Funciones implícitas U na ecuación f (x, y) = 0 define a y com o una función implícita de x. E l dom inio de esa función implícitam ente definida consta de las x para las que existe una única y tal q u ef(x , y) = 0. EJEMPLO 11.1. a) Se puede despejar y en la ecuación xy + x - 2y - 1 = 0, para obtener y = . Esta función está definida para x ^ 2. b) La ecuación 4x2 + 9y2 - 36 = 0 no determina una función y única. Si se despeja y en la ecuación se tiene que y = ± -f% /9-x2. Hemos de considerar que la ecuación define implícitamente dos funciones, y = W 9 - x2 y y = - - x2. Cada una de estas funciones está definida para Ixl < 3. La elipse determinada por la ecuación original es la unión de las gráficas de las dos funciones. Si y es una función definida im plícitam ente por una ecuación f (x, y) = 0, la derivada y ' puede hallarse de dos form as: 1. Se despeja y en la ecuación y se calcula y ' directam ente. Salvo para ecuaciones m uy sencillas, este m étodo resulta casi siempre im posible o impráctico. 2. Se considera y com o función de x, se derivan am bos m iem bros de la ecuación original f(x , y) = 0 y se des­ peja y ' en la ecuación resultante. Este proceso de derivación se conoce com o derivación implícita. EJEMPLO 11.2. a) Halle y', dado xy + x - 2y - 1 = 0. Por derivación implícita, xy'+ yDx(x) - 2y' - Dx(1) = Dx(0). Así, xy' + y - 2y' = 0. Al despejar y ' se obtiene: y' = . En este caso, en el ejemplo 11.1a) se demuestra que es posible remplazar y por 1—| y hallar y' en términos sólo de x. Resulta evidente que también hubiera sido fácil derivar y + 1—| mediante la regla del cociente. Sin embargo, en la mayoría de los casos, no se puede despejar y o y ' en términos sólo de x. b) Dado 4x2 + 9y2 - 36 = 0, halle y ' cuando x = >/5. Por medio de la derivación implícita se tiene que 4Dx(x2) + 9Dx(y2) - Dx(36) = Dx(0). Así, 4(2x) + 9(2yy') = 0. [Observe que Dx(y2) = 2yy' por la regla de la cadena de potencias.] Al despejar y ' queda y' = -4x/9y. Cuando x = -J5, y = ± y . Para la función y correspondiente al arco superior de la elipse [consulte el ejemplo 11.1b)], y = - -f- y y ' = - ^ 5 /3 . Para la función y correspondiente al arco inferior de la elipse, y = - f y y ' = —y/ 5 /3 . Derivadas de orden superior Las derivadas de orden superior pueden calcularse m ediante derivación im plícita o por una com binación de derivación directa e implícita. EJEMPLO 11.3. En el ejemplo 11.2a), y ' = 2 + ^ • Entonces, y" . D , ( / ) ■ D , ( ) =1 + y V ( 2 - x ) y - - (1 + y)(-1)(2 - x)2 _ (2 - x)y ' + 1 + y _ (2 X) ( 2 - x ) + 1 + y _ 2 + 2y _ (2 - x)2 _ (2 - x)2 _ (2 - x)2 www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 11 D erivación im plíc ita EJEMPLO 11.4. Halle el valor de y" en el punto (-1, 1) de la curva x2y + 3y - 4 = 0. Se deriva im plícitam ente respecto a x dos veces. Primero, x2y ' + 2xy + 3y' = 0, y luego x2y" + 2xy' + 2xy' + 2y + 3y" = 0. Se podría despejar y ' en la prim era ecuación y luego despejar y " en la segunda ecuación. Sin embargo, como sólo se desea evaluar y" en el punto particular (-1 , 1), se sustituye x = -1 , y = 1 en la prim era ecuación para hallar y = -i, y luego se sustituye x = -1 , y = 1 y y = 1 en la segunda ecuación para llegar a y " - 1 - 1 + 2 + 3y" = 0, de lo que se obtiene y" = 0. Este m étodo evita cálculos algebraicos confusos. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Halle y', dado que x2y - xy2 + x2 + y2 = 0. Dx (x2y) - D x (xy2) + Dx(x2) + Dx(y2) = 0 x2y' + yDx (x2) - xDx(y2) - y2Dx(x) + 2x + 2yy' = 0 x 2y' + 2xy - x(2yy') - y2 + 2x + 2 yy' = 0 (x2 - 2 xy + 2 y)y' + 2 xy - y2 + 2x = 0 . y2 - 2 xy - 2 x y x 2 - 2 xy + 2 y 2. Si x2 - xy + y2 = 3, encuentre y ' y y". Dx (x2) - Dx(xy) + Dx (y2) = 0 2x - xy' - y + 2 yy' = 0 2x — y Por tanto, y ' = ----- ^r~ . Entonces,7 x - 2y , ,= (x - 2y)Dx (2x - y) - (2x - y)Dx (x - 2y) y (x - 2y)2 = (x - 2y)(2 - y') - (2x - y)(1 - 2yQ (x - 2y)2 _ 2x - xy ' - 4 y + 2 y y '- 2x + 4xy' + y - 2yy' _ 3 x y '-3 y _ (x - 2y)2 _ (x - 2y)2 3x ( 2x ~ y 3y ^ x - 2y ) _ 3x(2x - y) - 3y(x - 2y) _ 6(x2 - xy + y2) _ (x - 2y)2 _ (x - 2y)3 _ (x - 2y)3 18 (x - 2y)3 3. Dado x3y + xy3 = 2, halle y' y y" en el punto (1, 1). Mediante doble derivación implícita queda x3y' + 3x2y + x(3y2y') + y3 = 0 y x3y" + 3x2y' + 3x2y/ + 6xy + 3xy2y" + y/[6xyy/ + 3y2] + 3y2y' = 0. Al sustituir x = 1 y y = 1 en la primera ecuación se obtiene y ' = -1 . Entonces, si se remplaza x = 1, y = 1 y y' = -1 en la segunda ecuación se obtiene y" = 0. www.FreeLibros.me
  • PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 4. Halle y" dado a) x + xy + y = 2; b) x3 - 3xy + y3 = 1. , ,, 2(1 + y) , , ,, 4 xy Respuestas: a) y = ^ + x)2 ; b) y = ~ (y2 _ x)3 • 5. Encuentre y', y", y '" en a) el punto (2, 1) en x2 - y2 - x = 1; b) el punto (1, 1) en x3 + 3x2y - 6 xy 2 + 2y3 = 0. Respuestas: a) -|, - -5-, ^5; b) 1, 0, 0. 6 . Halle la pendiente de la tangente en un punto (x0, y0) de a) b2x 2 + a2y2 = a2b2; b) b2x2 - a2y2 = a2b2; c) x3 + y3 - 6x2y = 0 . , b2x0 , , b2x0 . 4x0y0 - x2 Respuestas: a ) -----y ° ; b) 2 0 ; c) - 0 0 0 a2 y / a 2y / y02 - 2x02 7. Demuestre que las tangentes a las curvas 5y - 2x + y3 - x2y = 0 y 2y + 5x + x4 - x3y2 = 0 se cortan en el origen en ángulos rectos. 8. a) El área total de la superficie de una caja rectangular con base cuadrada de lado y y altura x está dada por S = 2y2 + 4xy. S es constante. Halle dy/dx sin despejar y. b) El área total de la superficie de un cilindro recto de radio r y altura h está dada por S = 2nr2 + 2nrh. S es constante. Calcule dr/dh. Respuestas: a ) ----- +— ; b) -x + y ’ 2r + h 9. En el círculo x2 + y2 = r2, demuestre que y" [1 + (y ')2]3' 10. Dado S = Kx(x + 2y) y V = nx 2y, demuestre que dS/dx = 2n(x - y) cuando V es una constante, y dV/dx = -n x (x - y ) cuando S es una constante. 11. Deduce la fórmula Dx(xm) = mxm -1 del teorema 10.1(9) cuando m = p/q, donde p y q son enteros diferentes de cero. Se presupone que xp/q es diferenciable. (Sugerencia: sea y = x°/q. Entonces, yq = xp. Ahora puede utilizar la derivación implícita.) 12. ( c g ) Emplee derivación implícita para hallar una ecuación de la recta tangente a -Jx + yfy = 4 en (4, 4) y compruebe su respuesta en una graficadora. Respuesta: y = - x + 8. CA PÍTU LO 11 D erivación im plícita www.FreeLibros.me
  • Rectas tangentes y normales En la figura 12.1a) se presenta un ejem plo de la gráfica de una función continua/. Si P es un punto de la gráfica que tiene abscisa x, entonces las coordenadas de P son (x, / ( x)). Sea Q un punto cercano que tiene la abscisa x + Ax. Entonces las coordenadas de Q son (x + Ax, / ( x + Ax)). La recta PQ tiene pendiente / ( x ( x ) . Cuando Q se aproxim a a P a lo largo de la gráfica, las rectas PQ se acercan m ás y m ás a la recta tangente T de la gráfica en P (fig. 12.1b)). Por tanto, la pendiente de PQ se aproxim a a la pendiente de la tangente. Así, la pendiente de la tangente es lím Al^ 0 f (x + Ax) - f (x) Ax , que es la derivada f '(x ). y À y À (a) (b) Fig. 12.1 Si la pendiente m de la tangente en un punto de la curva y = /(x ) es cero, entonces la curva tiene una tan­ gente horizontal en ese punto, igual que en los puntos A, C y E de la figura 12.2. En general, si la derivada de / es m en un punto (x0, y0), la ecuación punto-pendiente de la tangente es y - y0 = m (x - x0). S i/ es continua en x0, pero l ím ^ x0 f ( x ) = ^ , entonces la curva tiene una tangente vertical en x0, así com o en los puntos B y D de la figura 12.2. - x x y x www.FreeLibros.me
  • La recta normal a una curva en uno de sus puntos (x0, y0) es la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a la tangente en ese m ism o punto. Recuérdese que una perpendicular a una recta con pendiente m diferente de cero tiene pendiente -1 /m . Por tanto, si m ^ 0 es la pendiente de la tangente, entonces y - y0 = -(1 /m )(x - x0) es una ecuación punto-pendiente de la recta normal. Si la tangente es horizontal, entonces la norm al es vertical y tiene la ecuación x = x0. Si la tangente es vertical, entonces la norm al es horizontal y tiene la ecuación y = y0. Ángulos de intersección Los ángulos de intersección de dos curvas se definen com o los ángulos form ados por las rectas tangentes a las curvas en su punto de intersección. Para determ inar los ángulos de intersección de las dos curvas: 1. Se resuelven sim ultáneam ente las ecuaciones de las curvas para hallar los puntos de intersección. 2. Se determinan las pendientes m1 y m 2 de las rectas tangentes a las dos curvas en cada punto de intersección. 3. Si m1 = m2, el ángulo de intersección es 0°, y si m1 = -1 /m 2, el ángulo de intersección es 90°; de lo contrario, el ángulo de intersección ^ puede hallarse con la fórm ula m, - m 2 ta n á = ------ -r 1 + m1 m 2 ^ es el ángulo agudo de intersección cuando tan ^ > 0 , y 180° - ^ es el ángulo agudo de intersección cuando tan ^ < 0 . PROBLEMAS RESUELTOS 1. Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a y = f(x) = x3 - 2x2 + 4 en (2, 4). f ( x ) = 3x2 - 4x. Así, la pendiente de la tangente en (2, 4) es m = f ( 2 ) = 4, y una ecuación de la recta tangente es y - 4 = 4(x - 2). La ecuación punto-intersección es y = 4x - 4. Una ecuación de la recta normal en (2, 4) es y - 4 = - 4 (x - 2). Su ecuación punto-intersección es y = - x + 9 . 2. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a x2 + 3xy + y2 = 5 en (1, 1). Por diferenciación implícita, 2x + 3xy' + 3y + 2yy'= 0, de manera que, y'= - . Entonces la pendiente de la tangente en (1, 1) es -1 . Una ecuación de la tangente es y - 1 = -(x - 1). Su ecuación punto-intersección es y = - x + 2. Una ecuación de la recta normal es y - 1 = x - 1, o sea, y = x . 3. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes con pendiente m = - - | a la elipse 4x2 + 9y2 = 40. Por derivación implícita, y' = -4x/9y, de manera que en el punto de tangencia (x0, y0), m = - 4 x0/9y0 = -■§■. Entonces, y0 = 2x0. Como el punto está en la elipse, 4x¡¡ + 9y¡¡ = 40. Entonces, 4x¡¡ + 9(2x0)2 = 40 . Por tanto, x¡¡ = 1 y x0 = ±1. Los puntos requeridos son (1, 2) y (-1 , -2). En (1, 2), una ecuación de la recta tangente es y - 2 = - -2 (x - 1). En (-1, -2), una ecuación de la recta tangente es y + 2 = - % (x + 1). 4. Halle una ecuación de las rectas tangentes a la hipérbola x2 - y2 = 16 que pasen por el punto (2, -2). Por derivación implícita, 2x - 2yy' = 0 y, por tanto, y' = x/y, de manera que en el punto de tangencia (x0, y0), la pendiente de la tangente será x0/y0. Por otra parte, como la tangente debe pasar por (x0, y0) y (2, -2), la pendiente es xr+ i. Así, = —+ 7.. Por tanto, ^ - 2x0 = y¡ + 2- 0. Luego, 2x0 + 2y0 = x2 - y2 = 16 , lo que da x0 + y0 = 8 y, en consecuencia, y0 = 8 - x0. Si se sustituye 8 - x0 por y0 en x2 - y2 = 16 y se despeja x0, se obtiene x0 = 5. Luego, y0 = 3; por ende, una ecuación de la recta tangente es y - 3 = -|(x - 5). CA PÍTU LO 12 Rectas tangentes y norm ales www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 12 Rectas tangentes y normales 5. Halle los puntos de tangencia de las rectas tangentes horizontal y vertical a la curva x2 - xy + y2 = 27. y — 2xPor derivación implícita, 2x - xy' - y + 2yy' = 0, donde y ' = -jy— — ■ Para las tangentes horizontales la pendiente debe ser cero. Entonces, el numerador y - 2x de y' debe ser cero, lo cual da y = 2x. Al sustituir 2x por y en la ecuación de la curva se tiene x2 = 9, de modo que los puntos de tangencia son (3, 6) y (-3 , - 6). Para las tangentes verticales la pendiente debe ser infinita. Así, el denominador 2y - x de y' debe ser cero, lo cual da x = 2y. Al remplazar x en la ecuación de la curva se obtiene y2 = 9. Por consiguiente, los puntos de tangencia son (6, 3) y ( - 6, -3). 6. Halle las ecuaciones de las rectas verticales que cortan las curvas a) y = x3 + 2x2 - 4x + 5 y b) 3y = 2x3 + 9x2 - 3x - 3 en puntos donde las tangentes a las dos curvas son paralelas. Sea x = x0 una de tales rectas. Las tangentes en x0 tienen pendientes: Para a): y ' = 3x2 + 4x - 4; en x0, m 1 = 3x2 + 4x0 - 4 . Para b): 3y' = 6x2 + 18x - 3; en x0, m2 = 2x2 + 6x0 - 1. Como mx = m2, 3x2 + 4x0 - 4 = 2x2 + 6x0 - 1. Entonces x2 - 2x0 - 3 = 0 , (x0 - 3)(x0 + 1) = 0. Por tanto, x0 = 3 o x0 = -1 . Así, las rectas verticales son x = 3 y x = -1. 7. a) Demuestre que la ecuación punto-intersección de la tangente con pendiente m ^ 0 a la parábola y2 = 4px es y = mx + p/m. b) Demuestre que una ecuación de la recta tangente a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 en el punto P 0(x0, y0) sobre la elipse es b2x0x + a2y0y = a2b2. a) y ' = 2p/y. Sea P 0(x0, y0) el punto de tangencia. Entonces, y2 = 4p x 0 y m = 2p/y0; por ende, y0 = 2p/m y x0 = 4 y2 /p = p /m2. La ecuación de la recta tangente es y - 2p/m = m(x - p/m 2), lo que se reduce a y = mx + p /m . b) y ' = —bjr . En P 0, m = - -b^ . Una ecuación de la recta tangente es y - y0 = - (x - x0), la cual se reduce ab2x b2xna 2y a /0 b2x0x + a2y0y = b 2x l + a 2y2 = a 2b2 [porque (x0, y0) satisface la ecuación de la elipse]. a / 0 8. Demuestre que en el punto P 0(x0, y0) de la hipérbola b2x2 - a2y2 = a2b2, la recta tangente biseca el ángulo incluido entre los radios focales de P 0. En P 0 la pendiente de la tangente a la hipérbola es b2x0/a2y 0 y las pendientes de los radios focales P 0F' y P0F (fig. 12.3) son y0/(x0 + c) y y0/(x0 - c), respectivamente. Ahora b2x0 _ y0 a 2 b2 + b2 cx0 ta n a = a2y0 x0 + c (b2x2 - a 2y2) + b2cxo b2(a2 + cx0) b2 1 + b2 x0 yo (a 2 + b 2 ) Xo yo + a 2 cyo c 2 Xo yo + a2cyü cyü(a2 + cxo ) cyo a2 yo xo + c como b2xo2 - a 2y2 = a2b2 y a2 + b2 = c2, y yo b 2xo tan ß = a 2 yo 1 + b 2 Xo yo b 2cxo - (b2x2 - a2y2) _ b2 cxo - a 2b 2 _ b2 (a2 + b2) Xo yo - a 2 cyo _ c2 Xo yo - a 2 cyü ~ cyo Entonces, a = P porque tan a = tan p. xo-c y Fig. 12.3 www.FreeLibros.me
  • 9. 10. Uno de los puntos de intersección de las curvas a) y 2 = 4x y b) 2x2 = 12 - 5y es (1, 2). Halle el ángulo agudo de intersección de las curvas en ese punto. Para a), y ' = 2/y. Para b) y' = -4x/5. Entonces, en (1, 2), m 1 = 1 y m 2 = - -5-. Luego, tan0 = -1 + m1m2 1 5 Así, ^ ~ 83° 40' es el ángulo agudo de intersección. Halle los ángulos de intersección de las curvas a) 2x2 + y2 = 20 y b) 4y2 - x2 = 8. Al despejar simultáneamente se obtiene y2 = 4, y = ±2. Entonces, los puntos de intersección son (±2>/2, 2) y (±2^2 , - 2). Para a), y ' = -2x/y, y para b), y ' = x/4y. En el punto (2>/2", 2), m 1 = -2*j2 y m2 = -4-y/2. Como m m 2 = -1 , el ángulo de intersección tiene 90° (es decir, las curvas son ortogonales). Por simetría, las curvas son ortogonales en cada uno de sus puntos de intersección. 11. El cable de suspensión de un puente está unido a pilares de soporte que distan 250 pies uno de otro, y cuelga en forma de una parábola con el punto más bajo a 50 pies por debajo del punto de suspensión. Halle el ángulo entre el cable y el pilar. Tome el origen en el vértice de la parábola, como en la figura 12.4. La ecuación de la parábola es y = 6 b x2 y y' = 4x/625. En (125, 50), m = 4(125)/625 = 0.8000 y 0 = 38° 40'. Por ende, el ángulo requerido es 0 = 90° - 0 = 51° 20'. y x PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 12. Examine las rectas tangentes horizontales y verticales de x2 + 4xy + 16y2 = 27. Respuestas: tangentes horizontales en (3, - f ) y (-3 , f ) . Tangentes verticales en (6, - -4) y ( - 6, - -4) . 13. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a x2 - y2 = 7 en el punto (4, -3). Respuesta: 4x + 3y = 7 y 3x - 4y = 24. 14. ¿En qué puntos de la curva y = x3 + 5 es su recta tangente: a) paralela a la recta 12x - y = 17; b) perpendicular a la recta x + 3y = 2? Respuestas: a) (2, 13), (-2 , -3 ); b) (1, 6), (-1 , 4). 15. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a 9x2 + 16y2 = 52 que sean paralelas a la recta 9x - 8y = 1. Respuesta: 9x - 8y = ±26. CA PÍTU LO 12 Rectas tangentes y norm ales www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 12 Rectas tangentes y normales 16. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la hipérbola xy = 1 que pasan por el punto (-1, 1). Respuestas: y = (2-J2 - 3)x + 2y¡2 - 2; y = - (2 ^ 2 + 3)x - 2*j2 - 2. 17. Para la parábola y2 = 4px, demuestre que una ecuación de la tangente en uno de sus puntos P(x0, y0) es y0y = 2p(x + x0). 18. Para la elipse b2x 2 + a2y2 = a2b2, demuestre que las ecuaciones de sus rectas tangentes de pendiente m son y = mx ± V a 2 m 2 + b 2. 19. Para la hipérbola b2x 2 - a2y2 = a2b2, demuestre que a) una ecuación de la recta tangente en uno de sus puntos P(x0, y0) es b2x0x - a2y0y = a2b2; y b) las ecuaciones de sus tangentes con pendiente m son y = mx ±y¡a2m 2 - b 2. 20. Demuestre que la recta normal a una parábola en uno de sus puntos P biseca el ángulo formado por el radio focal de P y la recta que pasa por P y es paralela al eje de la parábola. 21. Pruebe que toda tangente a una parábola, con excepción del vértice, corta la directriz y el lado recto (producido si es necesario) en puntos equidistantes del foco. 22. Demuestre que la cuerda que une los puntos de contacto de las tangentes a una parábola trazada desde cualquier punto sobre su directriz pasa por el foco. 23. Pruebe que la recta normal a una elipse en cualquiera de sus puntos P es bisectriz del ángulo comprendido entre los radios focales de P . 24. Demuestre que a) la suma de las intersecciones con los ejes coordenados de toda tangente a
  • 13 Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes Máximo y mínimo relativos U na función f tiene un máximo relativo en x 0 si f ( x 0) > f ( x ) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a x0 (y para el que f (x) esté definida). En otras palabras, el valor de f en x0 es m ayor o igual a todos los valores de f en los puntos próxim os. D e la m ism a forma, f tiene un mínimo relativo en x0 si f ( x ) < f(x ) para toda x en un intervalo abierto que contenga x0 (y para el que esté definida f(x )). En otras palabras, el valor de f en x0 es m enor o igual que todos los valores de f en los puntos próxim os. Por extremo relativo de f se entiende un máxim o relativo o un m ínim o relativo de f . Teorema 13.1. Si f tiene un extremo relativo en un punto x0 en el que f ( x 0) está definida, entonces f ( x 0) = 0. De esta manera, si f es diferenciable en un punto en el que tiene un extremo relativo, entonces la gráfica de f tiene una tangente horizontal en ese punto. En la figura 13.1 hay tangentes horizontales en los puntos A y B, donde f logra un valor máximo relativo y un valor mínimo relativo, respectivamente. Repase el problema 5 para obtener una demostración del teorema 13.1. Teorema 13.2. Teorema de Rolle. Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Se presupone que f (a ) = f(b ) = 0. Entonces f ( x ) = 0 para al menos un punto x0 en (a, b). Lo anterior significa que si la gráfica de una función continua corta el eje x en x = a y x = b, y la función es diferenciable entre a y b , entonces existe al m enos un punto en la gráfica entre a y b donde la tangente es horizontal. En la figura 13.2 se m uestra ese punto. En el problem a 6 se dem uestra el teorem a de Rolle. www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 13 Teorema de l valor medio. Funciones crecientes y decrecientes y Fig. 13.2 Corolario 13.3. Teorema generalizado de Rolle. Sea g continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Se presupone que g(a) = g(b). Entonces g '(x0) = 0 al m enos para un punto x0 en (a, b). Observe en la figura 13.3 un ejem plo en el que hay exactam ente un punto de éstos. Se advierte que el coro­ lario 13.3 proviene del teorem a de Rolle si f(x ) = g(x) - g(a). y Fig. 13.3 Teorema 13.4. Ley de la media o teorema del valor medio.1 Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y dife­ renciable en el intervalo abierto (a, b). Así, existe al m enos un punto x0 en (a, b) para el cual f (b) ~ f (a) = f ,(x ) b - a f (Xo) . Observe la figura 13.4. En el problem a 7 se presenta la demostración. En términos geométricos, la conclusión indica que existe algún punto dentro del intervalo donde la pendiente f (x0) de la recta tangente es igual a la pendiente (f(b ) - f(a )) /(b - a) de la recta P 1P 2 que une los puntos (a, f (a ) ) y (b, f (b)) de la gráfica. En ese punto la tangente es paralela a P 1P 2, ya que sus pendientes son iguales. X 1 La ley de la media también se denomina Teorema del valor medio para derivadas. www.FreeLibros.me
  • Teorema 13.5. Teorema del valor medio extendido. Se presupone que/(x) y g(x) son continuas en [a, b] y dife- renciables en (a, b). También se presupone que g'(x) ^ 0, para toda x en (a, b). Entonces, existe al menos un punto x0 en (a, b) para el que / (b) ~ / (a) = / ' ( x0) g(b) - g (a ) g ' ^ ) • Puede ver una dem ostración en el problem a 13. A dvierta que el teorem a del valor m edio es un caso especial cuando g(x) = x. Teorema 13.6. Teorema del valor medio de orden superior. S i/ y sus primeras n - 1 derivadas son continuas en [a, b] y / (n)(x) existe en (a, b), entonces hay al menos un x0 en (a, b) tal que f (b) = f (a) + Ä ( b - a) + ^ ^ ( b - a )2 + ••• f (n-1)(a) f (n)(X ) + V l f ( b - a )n-1 + ^ ^ ( b - a)n (1) (Para obtener una demostración, repase el problema 14.) Cuando b se remplaza por x, la fórmula 1 se vuelve f (x) = f (a) + f - j f ) ( x - a) + A ^ ( x - a ) 2 + + ^ (x - a)n-1 + f n(
  • CAPÍTULO 13 Teorema de l valor medio. Funciones crecientes y decrecientes b) f(x) = 0 cuando x = 0 o x = 4. f tiene una discontinuidad en x = -2 , un punto que no está en [0, 4]. Además, f (x) = (x2 + 4x - 8)/(x + 2)2 existe en todo punto excepto cuando x = -2 . Así, se aplica el teorema y x0 = 2(>/3 - 1) , la raíz positiva de x2 + 4x - 8 = 0. 3. Halle el valor de x0 enunciado en el teorema del valor medio cuando f(x) = 3x2 + 4x - 3 y a = 1 y b = 3. f (a ) = f(1 ) = 4, f(b ) = f(3 ) = 36, f ( x 0) = 6x0 + 4 y b - a = 2. Así, 6x0 + 4 = = 16. Por tanto, x0 = 2. 4. Determine un valor x0 enunciado en el teorema del valor medio extendido cuando f(x) = 3x + 2 y g(x) = x2 + 1, en [1, 4]. Se debe hallar x0 de manera que f (b) ~ f (a) = f (4) - f (1) = 1 4 - 5 = 3 = f W = _3_ g(b) - g(a) g(4) - g(1) 17 - 2 5 g '(x0) 2x0 ' Entonces, x0 = -5-. Demuestre el teorema 13.1: si f tiene un extremo relativo en un punto x0 en el q u e f (x0) está definida, entonces f (x>) = 0 . Considérese el caso de un máximo relativo. Como f tiene un máximo relativo en x0, entonces para un |Ax| suficientemente pequeño, f (x 0 + Ax) < f (x 0), de modo que f (x 0 + Ax) - f (x 0) < 0. Luego, cuando Ax < 0, f (x0 + Ax) - f (x0) _ 0 Así ---------- Ax-----------> ° . Así , - ( v . lím f ( x 0 + * » - f W > 0 Ax^ 0" Ax Cuando Ax0 > 0, f (x0 + Ax) f (x0) < 0 . Por tanto, 0 Ax f (xp +A x ) - f (xp) f '(x0) = l í m ^ - 0----- 'J 0 Am0 A x . lím f x + y - f W < 0 Ai^0+ Ax Como f ( x 0) > 0 y f ( x 0) < 0, entonces f ( x 0) = 0. 6. Demuestre el teorema de Rolle (teorema 13.2): si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y si f (a ) = f(b ) = 0, entonces f ( x 0) = 0 para algún punto x0 en (a, b). Si f(x ) = 0 a lo largo del intervalo cerrado [a, b], entonces f ( x ) = 0 para toda x en (a, b). Por otra parte, si f(x ) es positivo (negativo) en algún punto en (a, b), entonces, por el teorema del valor extremo (teorema 8.7), f tiene un valor máximo (mínimo) en algún punto x0 en [a, b]. Ese valor máximo (mínimo) debe ser positivo (negativo) y, por consiguiente, x0 queda en (a, b), ya que f (a ) = f ( b) = 0. Entonces, f tiene un máximo (mínimo) relativo en x0. Por el teorema 13.1, f ( x 0) = 0. 7. Demuestre el teorema del valor medio (teorema 13.4): sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Entonces, existe por lo menos un punto x0 en (a, b) para el cual f}f - f '( *0 ). Sea F(x) = f (x) - f (a) - f (bb - f (a) (x - a ) . De esta manera, F (a) = 0 = F (b). Luego, el teorema de Rolle se aplica a F en [a, b]. Por tanto, para algún x0 en (a, b), F'(x0) = 0. Pero F '(x) = f '(x) - f (bb I f ( a ) . Así, f '( x » - f (b) I f (a) = 0. www.FreeLibros.me
  • ^ L 0 l 2 8. Demuestre que si g es creciente en un intervalo, -g es decreciente en ese mismo intervalo. Se presupone que u < v. Entonces, g(u) < g(v). Por ende, -g(u) > -g(v). 9. Demuestre el teorema 13.7: a) si f es positiva en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. b) Si f es negativa en un intervalo, f es decreciente en ese intervalo. a) Sean a y b dos puntos cualesquiera en un intervalo con a < b. Por el teorema del valor medio, para f ^ a a = f 7(x0) algún punto x0 en (a, b). Como x0 está en el in te rv a lo ,f (x0) > 0. Entonces, ^ > 0 . Pero a < b; por consiguiente, b - a > 0. Luego,f(b) - f (a ) > 0. A sí,f(a) < f(b). b) Sea g = -f. Entonces g' es positiva en el intervalo. Por el inciso a), g es creciente en el intervalo. Entonces, f es decreciente en el intervalo. 10. Demuestre quef(x) = x 5 + 20x - 6 es una función creciente para todos los valores de x. f ( x ) = 5x4 + 20 > 0 para toda x. Entonces, por el teorema 13.7a), f es creciente en todos los puntos. 11. Pruebe quef (x) = 1 - x3 - x7 es una función decreciente para todos los valores de x. f ( x ) = -3x2 - 7x6 < 0 para toda x ^ 0. Por tanto, por el teorema 13.7b), f es decreciente en todo intervalo que no contenga 0. Observe que si x < 0 ,f(x) > 1 = f (0), y si x > 0 ,f (0) = 1 > f(x). Luego, f es decreciente para todos los números reales. 12. Demuestre que f(x) = 4x3 + x - 3 = 0 tiene exactamente una solución verdadera. f(0 ) = -3 y f(1 ) = 2. El teorema del valor intermedio extendido establece que f(x) = 0 tiene una solución en (0, 1). Como f ( x ) = 12x2 + 1 > 0, f es una función creciente. Por tanto, no puede haber dos valores de x para los cuales f(x) = 0. 13. Demuestre el teorema del valor medio extendido (teorema 13.5): sif(x) y g(x) son continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b), y g'(x) ^ 0 para toda x en (a, b), entonces existe al menos un punto x0 en (a, b) para el cll„l f (b) - f (a ) _ m cual g (b) - g (a ) - g '(x0). Supóngase que g(b) = g(a). Por el teorema generalizado de Rolle, g'(x) = 0 para alguna x en (a, b), lo que contradice la hipótesis. Entonces, g(b) ^ g(a). Sea F(x) = f (x) - f (b) - g (b) - f (g (g(x) - g(b)) En consecuencia, F (a) = 0 = F (b) y F '(x) = f '(x) - g (b) _ g'(x) De acuerdo con el teorema de Rolle, existe x0 en (a, b) para el cual f '(x0) - g(b) _ g(a) g '(x0) = 0 . 14. Pruebe el teorema del valor medio de orden superior (teorema 13.6): si f y sus primeras n - 1 derivadas son continuas en [a, b] y f (n)(x) existe en (a, b), entonces hay al menos una x0 en (a, b) tal que f (b) = f (a) + « ( b - a) + f ^ i b - a )2 + ••• + ^ - ^ ( b - a )(n-1) + ^ ^ ( b - a )n (1) Sea K una constante definida por f (b) = f (a) + - a) + f r 0 ) (b - a)2 + ••• + ^ ^ ^ ^ ( b - a )(n-1) + K (b - a)n (2) y considere que F (x) = f (x) - f (b) + ^ ( b - x) + f ^¡x) (b - x)2 + ••• + ™ (b - x)n 1 + K (b - x)n CA PÍTU LO 13 Teorema del valor m edio. Funciones crecientes y decrecientes www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 13 Teorema de l valor medio. Funciones crecientes y decrecientes Ahora F (a) = 0 por (2), y F (b) = 0. Por el teorema de Rolle, existe x0 en (a, b) tal que F '( x0) = f '(xa) + [ f " (x0)(b - xa) - f '(x0)] + 2 ! f (n)(x ) f (n-i)( x ) f (_a)(b - ^ r 1 - (b - x ) - 2 f " ' (x ) f - (- 0) (b - x0)2 - f "(x 0 )(b - x .) (n - 1)! (n - 2)! - Kn(b - x0)n 1 f (n)(x0) (b - x0)n 1 - Kn(b - x0)n 1 = 0 Entonces, K = f (n)( xp) n! (n - 1)! 0 y (2) se vuelve (1). 15. Sif ( x ) = 0 para toda x en (a, b), en toncesf es constante en (a, b). Sean u y v dos puntos cualesquiera en (a, b), con u < v. Por el teorema del valor medio, existe x0 en (u, v) para el cual f (v) ~ f (u) = f ( x 0). Por hipótesis, f (x0) = 0. Entonces, f(v ) - f ( u) = 0 y, por consiguiente, f(v ) = f ( u). PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 16. Sif (x) = x2 - 4x + 3 en [1, 3], halle un valor prescrito por el teorema de Rolle. Respuesta: x0 = 2. 17. Halle un valor enunciado por el teorema del valor medio, dado: a) y = x3 en [0, 6]. Respuesta: x 0 = 2>/3 . b) y = ax2 + bx + c en [x1, x2]. Respuesta: x 0 = -j(x¡ + x2) . 18. S if (x ) = g'(x) para toda x en (a, b), demuestre que existe una constante K tal que f (x) = g(x) + K para toda x en (a, b). [Sugerencia: Dx(f(x) - g(x)) = 0 en (a, b). Por el problema 15, existe una constante K tal que f(x) - g(x) = K en (a, b).] 19. Halle un valor x0 prescrito por el teorema del valor medio cuandof(x) = x2 + 2x - 3, g(x) = x2 - 4x + 6 en el intervalo [0, 1]. Respuesta: - j . 20. Demuestre que x3 + p x + q = 0 tiene a) una raíz real si p > 0, y b) tres raíces reales si 4p3 + 27q2 < 0. 21. Pruebe que f (x) = a^ + no tiene ni un máximo relativo ni un mínimo relativo. (Sugerencia: utilice el teorema 22. Demuestre quef(x) = 5x3 + 11x - 20 = 0 tiene exactamente una solución real. www.FreeLibros.me
  • -^ 103^ 23. a) ¿Dónde son crecientes y dónde decrecientes las funciones siguientes? Trace las gráficas. b) ( c g ) Compruebe las respuestas del inciso anterior mediante una graficadora. i) f (x) = 3x + 5 ii) f (x) = -7x + 20 iii) f (x) = x2 + 6x - 11 iv) f (x) = 5 + 8x - x2 v) f (x) = V 4 - x2 vi) f (x) = |x - 2 | + 3 vii) f (x) = x 2 - 4 Respuesta: creciente en todas partes. Respuesta: decreciente en todas partes. Respuesta: decreciente en ( - ^ , -3 ), creciente en (-3, +^). Respuesta: creciente en ( - ^ , 4), decreciente en (4, +^). Respuesta: creciente en (-2, 0), decreciente en (0, 2). Respuesta: decreciente en ( - ^ , 2), creciente en (2, +^). Respuesta: decreciente en ( -^ , -2), (-2, 2), (2, + ^); nunca creciente. 24. ( c g ) Utilice una graficadora para estimar los intervalos en los quef(x) = x5 + 2x3 - 6x + 1 es creciente y los intervalos en los que es decreciente. 25. Para las funciones siguientes determine si es aplicable el teorema de Rolle. Si lo es, halle los valores anunciados. a) f (x) = x3/4 - 2 en [-3, 3] b) f (x) = |x2 - 4| en [0, 8] c) f(x ) = |x2 - 4| en [0, 1] d) f (x) = x2 - - x5- 4 en [-1, 4] Respuesta: No; no diferenciable en x = 0. Respuesta: No; no diferenciable en x = 2. Respuesta: N o.f(0) ^ f(1 ). Respuesta: Sí. x0 = 5 - Vó . CA PÍTU LO 13 Teorema del valor m edio. Funciones crecientes y decrecientes www.FreeLibros.me
  • 14 Valores máximos y mínimos Números críticos Un núm ero x0 en el dom inio de f tal que f (x0) = 0 o f ( x 0) no esté definido se llam a número crítico de f . Recuérdese (teorem a 13.1) que si f tiene un extrem o relativo en x0 y f ( x 0) está definida, entonces f ( x 0) = 0 y, por tanto, x0 es un núm ero crítico de f . Sin embargo, observe que la condición f (x0) = 0 no garantiza que f tenga un extremo relativo en x0. Por ejemplo, si f (x) = x3, entonces f (x) = 3x2 y, por consiguiente, 0 es un núm ero crítico de f , pero f no tiene un m áxim o relativo ni un m ínim o relativo en 0 (fig. 5.5). EJEMPLO 14.1. a) Sea f(x) = 7x2 - 3x + 5. Entonces, f ( x ) = 14x - 3. Al igualar f ( x ) a cero, f ( x ) = 0, y resolver se llega a que el único número crítico de f es -¡j. b) Sea f(x) = x3 - 2x2 + x + 1. Entonces, f ( x ) = 3x2 - 4x + 1. Al despejar f ( x ) = 0, se halla que los números críticos son 1 y 4-. 2 2c) Sea f(x) = x2/3. Entonces, f '(x) = 3 x~1/3 = 3^1^ . Como f (0) no está definida, 0 es el único número crítico de f . Es indispensable hallar algunas condiciones que perm itan concluir que una función f tiene un m áxim o o un m ínim o relativo en un núm ero crítico dado. Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Supóngase que f (x0) = 0 y que f ' ( x 0) existe. Luego, si i) f ' ( x 0) < 0 , entonces f tiene un m áxim o relativo en x0 ii) f ' ( x 0) > 0 , entonces f tiene un m ínim o relativo en x0 iii) f ' ( x 0) = 0 , entonces se ignora qué pasa en x0. En el problem a 9 se proporciona una dem ostración. Para ver que el inciso iii) es válido se consideran tres funciones: f(x ) = x4, g(x) = -x 4 y h(x) = x3. Com o f (x) = 4x3, g'(x) = -4 x 3 y h'(x) = 3x2, 0 es un núm ero crítico de las tres funciones. Com o f ' ( x ) = 12x2, g"(x) = -1 2 x 2 y h"(x) = 6x, la segunda derivada de las tres funciones es 0 en 0. Sin embargo, f tiene un m ínim o relativo en 0, g tiene un m áxim o relativo en 0 y h no tiene un m áxim o ni un m ínim o relativo en 0 . EJEMPLO 14.2. a) Considere la función f(x) = 7x2 - 3x + 5 del ejemplo 1a). El único valor crítico fue 14. Como f ' ( x ) = 14, f X t f ) = 14 > 0. Entonces, el criterio de la segunda derivada dice que f tiene un mínimo relativo en -jj. b) Considere la función f(x) = x3 - 2x2 + x + 1 del ejemplo 1b). Observe que f ' ( x ) = 6x - 4. En los números críticos 1 y y, f" (1 ) = 2 > 0 y f ' ( 3 ) = 2 > 0. Por tanto, f tiene un mínimo relativo en 1 y un máximo relativo en 3 c) En el ejemplo 1c), f(x ) = x2/3 y f ( x ) = -f x~1/3. El único número crítico es 0, donde f no está definida. Por tanto, f " ( 0) no está definida y el criterio de la segunda derivada no es aplicable. Si no se puede utilizar o resulta inconveniente el criterio de la segunda derivada, ya sea porque la segunda derivada es 0 o porque no existe o es difícil de calcular, se puede aplicar el criterio siguiente, sin perder de vista que f ( x ) es la pendiente de la tangente a la gráfica de f en x. Qü«----- www.FreeLibros.me
  • -^ 105^ Criterio de la primera derivada Supóngase que f ( x 0) = 0. C aso {+, -} Si f es positiva en un intervalo abierto inm ediatam ente a la izquierda de x0, y negativa en un intervalo abierto justo a la derecha de x0, entonces f tiene un m áxim o relativo en x0 [fig. 14.1(a)]. C aso {-, +} Si f es negativa en un intervalo abierto justo a la izquierda de x0, y positiva en un intervalo abierto justo a la derecha de x0, entonces f tiene un m ínim o relativo en x0 [fig. 14.1(b)]. C asos {+, +} y {-, -} Si f tiene el m ism o signo en intervalos abiertos justo a la izquierda y justo a la derecha de x0, entonces f no tiene un m áxim o ni un m ínim o relativo en x0 [fig. 14.1(c-d)]. Para ver una dem ostración del criterio de la prim era derivada, repase el problem a 8. (a) ( ) (c) (d) Fig. 14.1 EJEMPLO 14.3. Considere tres funciones f(x) = x4, g(x) = -x 4 y h(x) = x3, ya analizadas. En su número crítico 0, el criterio de la segunda derivada no resulta aplicable porque la segunda derivada es 0. Entonces, se intenta el criterio de la primera derivada. a) f ( x ) = 4x3. A la izquierda de 0, x < 0, y así, f ( x ) < 0. A la derecha de 0, x > 0, por lo que f ( x ) > 0. Luego, se presenta el caso {-, +} y f debe tener un mínimo relativo en 0 . b) g'(x) = -4x3. A la izquierda de 0, x < 0, implica que g'(x) > 0. A la derecha de 0, x > 0, y entonces g'(x) < 0. Luego, aparece el caso {+, -} y g debe tener un máximo relativo en 0. c) h'(x) = 3x2. h'(x) > 0, a ambos lados de 0. Entonces, se tiene el caso {+, +} y h no presenta un máximo ni un mínimo relativo en 0. Existe un punto de inflexión en x = 0. Puede comprobar estos resultados en las gráficas de las funciones. xx x x0 CA PÍTU LO 14 Valores m áxim os y m ínim os www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 14 Valores m áxim os y mínimos Máximo y mínimo absolutos U n máximo absoluto de una función f en un conjunto S ocurre en x0 en S si f(x ) < f ( x 0) para toda x en S. Un mínimo absoluto de una función f en un conjunto S ocurre en x0 en S si f (x) > f (x0) para toda x en S. Método tabular para hallar el máximo y el mínimo absolutos Sea f continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Por el teorem a del valor extremo, se sabe que f tiene un m áxim o y un m ínim o absolutos en [a, b]. A quí se proporciona un m étodo tabular para determ inar qué son y dónde ocurren (fig. 14.2). x f (x) c 1 f (C1) c 2 f(c2) Cn f (Cn) a f (a) b f (b) Fig. 14.2 Prim ero se hallan los núm eros críticos (si los hay) c1, c2, . .. de f en (a, b). Segundo, se anotan estos núm eros en una tabla, junto con los puntos extrem os a y b del intervalo. Tercero, se calcula el valor de f para todos los núm eros de la tabla. Entonces: 1. E l valor m ás grande de estos valores es el m áxim o absoluto de f en [a, b]. 2. E l valor m ás pequeño de estos valores es el m ínim o absoluto de f en [a, b]. EJEMPLO 14.4. Halle el máximo y el mínimo absolutos de f(x) = x3 - x2 - x + 2 en [0, 2]. f ( x ) = 3x2 - 2x - 1 = (3x + 1)(x - 1). Por tanto, los números críticos son x = - -3 y x = 1. El único número crítico en [0, 2] es 1. En la tabla de la figura 14.3 se observa que el valor máximo de f en [0, 2] es 4, el cual se alcanza en el punto extremo derecho 2, y el valor mínimo es 1, alcanzado en 1. x f (x) 1 1 0 2 2 4 Fig. 14.3 Es evidente por qué el m étodo funciona. Por el teorem a del valor extremo, f alcanza valores m áxim os y m í­ nim os en el intervalo cerrado [a, b]. Si cualquiera de tales valores ocurre en un punto extrem o o term inal, ese valor aparecerá en la tabla, y com o en realidad es un m áxim o o un m ínim o, aparecerá com o el valor m ás grande o m ás pequeño. Si se asum e un m áxim o o un m ínim o en el punto x0 dentro del intervalo, f tiene un m áxim o o un m ínim o relativo en x0 y, según el teorem a 13.1, f ( x 0) = 0. Así, x0 será un núm ero crítico y aparecerá en la tabla, de m anera que el valor m áxim o o m ínim o correspondiente f (x 0) será el m ás grande o el m ás pequeño en la colum na de la derecha. Teorema 14.1. Supóngase que f es una función continua definida en un intervalo J. El intervalo J puede ser un intervalo finito o infinito. Si f tiene un extremo relativo único dentro de J, entonces ese extremo relativo también es un extremo absoluto en J . Para explicar el porqué de lo anterior, observe la figura 14.4, donde se supone que f tiene un extrem o único, un m áxim o relativo en c. Considere cualquier otro núm ero d en J. La gráfica se mueve hacia abajo a am bos lados www.FreeLibros.me
  • -----4107^ de c. D e esta m anera, si f ( d ) fuera m ayor q u e f(c ) , entonces, por el teorem a del valor extrem o para el intervalo cerrado con puntos extrem os c y d, f tendría un m ínim o absoluto en algún punto u entre c y d. (u podría no ser igual a c o a d.) Por consiguiente, f tendría un m ínim o relativo en u, lo que contradiría la hipótesis de que f tiene un extrem o relativo sólo en c. Es posible am pliar este argum ento al caso en el que f tiene un m ínim o relativo en c aplicando el resultado que se acaba de obtener para -f. y Fig. 14.4 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Localice los máximos o mínimos absolutos de las siguientes funciones en sus dominios: a) y = -x 2; b) y = (x - 3)2; c) y = V25 - 4X2 ; d) y = VX - 4 . a) y = -x 2 tiene un máximo absoluto (que es 0), cuando x = 0, ya que y < 0 cuando x ^ 0. No tiene mínimo relativo, puesto que su rango es ( - ^ , 0). La gráfica es una parábola que se abre hacia abajo, con vértice en (0, 0). b) y = (x - 3)2 tiene un mínimo absoluto, 0, cuando x = 3, pues y > 0 cuando x ^ 3. No tiene máximo absoluto, pues su rango es (0, +^). La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba, con vértice en (3, 0). c) y = V 25 - 4 x 2 tiene en 5 su máximo absoluto, cuando x = 0, ya que 25 - 4x2 < 25 cuando x ^ 0. 0 es su mínimo absoluto, cuando x = -f. La gráfica es la mitad superior de una elipse. d) y = Vx - 4 muestra a 0 como su mínimo absoluto cuando x = 4. No tiene máximo absoluto. Su gráfica es la mitad superior de una parábola con vértice en (4 , 0) y x como su eje de simetría. 2. Sea f (x) = 3-x3 + -j x 2 - 6x + 8 . Halle a) los números críticos def; b) los puntos en los que f tiene un máximo o mínimo relativo; c) los intervalos en los que f es creciente o decreciente. a) f ( x ) = x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2). Al despejarf ( x ) = 0 se obtienen los números críticos -3 y 2. b) f" (x ) = 2x + 1. L u eg o ,f '( -3 ) = -5 < 0 y f '( 2 ) = 5. Así, por el criterio de la segunda derivada,f tiene un máximo relativo en x = -3 , donde f ( -3 ) = 4p Por el criterio de la segunda derivada, f tiene un mínimo relativo en x = 2, donde f (2) = -3. c) Considere f ( x ) = (x + 3)(x - 2). Cuando x > 2, f ( x ) > 0. Para -3 < x < 2, f ( x ) < 0. Para x < -3 , f ( x ) > 0. Así, por el teorema 13.7, f es creciente para x < -3 y 2 < x, y decreciente para -3 < x < 2. En la figura 14.5 se muestra un dibujo de parte de la gráfica de f . Observe que f no tiene máximo ni mínimo absolutos. CA PÍTU LO 14 Valores m áxim os y m ínim os www.FreeLibros.me
  • Q oak- 3. 4. CAPÍTULO 14 Valores m áxim os y mínimos Sea f(x ) = x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4. H alle a) los núm eros críticos d e f; b) los puntos en los que f tiene un extremo relativo; c) los intervalos en los que f es creciente o decreciente. a) Sea f (x) = 4x3 + 6x2 - 6x - 4. Es claro que x = 1 es un cero de f (x). Al dividir f (x) entre x - 1 se obtiene 4x2 + 10x + 4, que se factoriza 2(2x2 + 5x + 2) = 2(2x + 1)(x + 2). Así, f (x) = 2(x - 1)(2x + 1)(x + 2), y los núm eros críticos son 1, - -y, y -2 . b) f " ( x ) = 12x2 + 12x - 6 = 6(2x2 + 2x - 1). M ediante el criterio de la segunda derivada, se halla i) en x = 1, f " (1 ) = 18 > 0, y existe un m ínim o relativo; ii) en x = - -1, f "(--1 ) = - 9 < 0, de m anera que hay un m áxim o relativo; iii) en x = -2 , f " ( - 2 ) = 18 > 0, que señala un m ínim o relativo. c) f ( x ) > 0 cuando x > 1, f ( x ) < 0 cuando - -j < x < 1, f ( x ) > 0 cuando - 2 < x < - -2, y f ( x ) < 0 cuando x < -2 . Por tanto, f es creciente cuando x > 1, o bien, - 2 < x < - -j, y decreciente cuando - -j < x < 1 o x < -2 . La gráfica aparece en la figura 14.6. A nalice los extrem os relativos de f (x) = ^ ^ y halle los intervalos en los que f es creciente o decreciente. f(x ) = (x - 2)-1, de m anera que f ( x ) = -(x - 2)-2 = - (x _12)2. Entonces, f nunca es 0 y el único núm ero donde f no está definida es 2, que no se encuentra en el dom inio de f . Por tanto, f no tiene núm eros críticos. Así, f no tiene extrem os relativos. O bserve q u e f (x) < 0 para x ^ 2. Luego, f es decreciente para x < 2 y para x > 2. Existe una discontinuidad no rem ovible en x = 2. La gráfica se m uestra en la figura 14.7. y x y x y Fig. 14.7 www.FreeLibros.me
  • 5. Localice los extrem os relativos de f(x ) = 2 + x2/3 y los intervalos en los que f es creciente o decreciente. f '(x ) = 2 x-1/3 = -3X03 ■ Entonces, x = 0 es un núm ero crítico, ya que f (0) no está definida (pero 0 se halla en el dom inio d e f ) . Observe q u e f (x) tiende a ^ cuando x se aproxim a a 0. Si x < 0 ,f (x) es negativa, por lo que f es decreciente. Cuando x > 0, f (x) es positiva y, por tanto, f es creciente. La gráfica se presenta en la figura 14.8. f tiene un m ínim o absoluto en x = 0. y ------------- 4 109^ 6. U tilice el criterio de la segunda derivada para analizar los extrem os relativos de las funciones siguientes: a) f (x) = x(12 - 2x)2; b) f(x ) = x2 + ^ a) f ( x ) = x(2)(12 - 2x)(-2) + (12 - 2x)2 = (12 - 2x)(12 - 6x) = 12(x - 6)(x - 2). Entonces, 6 y 2 son los núm eros críticos. f" (x ) = 12(2x - 8) = 24(x - 4). Luego, f " (6 ) = 48 > 0, y f " (2 ) = -4 8 < 0. Por tanto, f tiene un m ínim o relativo en x = 6 y un m áxim o relativo en x = 2. b) f '(x) = 2x - xp0 = 2 1x x 2125 J. Entonces, el único núm ero crítico es 5 (donde x3 - 125 = 0). f "(x) = 2 + 500/x3. Com o f ' ( 5 ) = 6 > 0, f tiene un m ínim o relativo en x = 5. 2/37. D eterm ine los extrem os relativos de f (x) = (x - 2) 2 f '(x) = 3 x — 2)23 . Aquí, 2 es el único núm ero crítico. Com o f (2) no está d efin id a ,f"(2 ) no estará definida. Entonces, debe intentarse con el criterio de la prim era derivada. Para x < 2, f (x) < 0, y para x > 2, f (x) > 0. Así, se tiene el caso {-, +} del criterio de la prim era derivada, y f tiene un m ínim o relativo en x = 2. 8. D em uestre el criterio de la prim era derivada. S e a f (x0) = 0. C onsidérese el caso {+, -} : si f es positiva en un intervalo abierto inm ediatam ente a la izquierda de x 0 y negativa en un intervalo abierto inm ediatam ente a la derecha de x 0, entonces f tiene un m áxim o relativo en x0. El teorem a 13.8 perm ite observar que f es positiva en un intervalo abierto justo a la izquierda de x0, f es creciente en ese intervalo, y que f es negativa en un intervalo abierto justo a la derecha de x0, f es decreciente en ese intervalo. Por tanto, f tiene un m áxim o relativo en x0. El caso { -, +} procede del caso {+, -} aplicado a -f . En el caso {+, +}, f será creciente en un intervalo alrededor de x0, y en el caso { -, -} f será decreciente en un intervalo alrededor de x0. Entonces, en ambos casos f no tiene m áxim o ni mínimo relativos en x0. 9. D em uestre el criterio de la segunda derivada: si f (x ) es diferenciable en un intervalo abierto que contiene un valor crítico x0 de f , y f ' ( x 0) existe y f ' ( x 0) es positiva (negativa), entonces f tiene un m ínim o (m áximo) relativo en x0. Sea f "(x0) > 0. Entonces, por el teorem a 13.8, f es creciente en x0. Como f ( x 0) = 0, esto im plica que f es negativa cuando está próxim a y a la izquierda de x0, y f es positiva cuando está próxim a y a la derecha de x0. En consecuencia, se tiene el caso { -, +} del criterio de la prim era derivada y, por tanto, f tiene un mínimo relativo en x0. En la situación opuesta, donde f ' ( x 0) < 0, el resultado que acaba de com probar se aplica a la función g(x) = -f(x ). Así, g tiene un m ínim o relativo en x0, y, por consiguiente, f tiene un m áxim o relativo en x0. 10. Entre los núm eros reales positivos u y v cuya sum a resulta en 50, halle la selección de u y de v que haga su producto P lo m ás grande posible. P = u(50 - u). Aquí, u es cualquier núm ero positivo m enor que 50. Pero tam bién se puede perm itir que u sea 0 o 50, ya que en tales casos, P = 0 que, con certeza, no será el valor más grande posible. Entonces, P es CA PÍTU LO 14 Valores m áxim os y m ínim os www.FreeLibros.me
  • Z 1 1 0 + CAPÍTULO 14 Valores m áxim os y mínimos una función continua u(50 - u), definida en [0, 50]. P = 50u - u2 tam bién es siem pre diferenciable, y dP/du = 50 - 2u. dP/du = 0 resulta en un núm ero crítico único u = 25. Por el método tabular (figura 14.9), se observa que el valor m áxim o de P es 625, cuando u = 25 (y, por tanto, v = 50 - u = 25). u P 25 625 0 0 50 0 Fig. 14.9 11. D ivida el núm ero 120 en dos partes tales que el producto P de una parte y el cuadrado de la otra constituya un máximo. Sea x una parte y 120 - x la otra. Entonces, P = (120 - x)x2 y 0 < x < 120. Com o dP/dx = 3x(80 - x), los núm eros críticos son 0 y 80. C on el método tabular se halla P(0) = 0, P(80) = 256 000 y P(120) = 0. Por tanto, el valor m áxim o ocurre cuando x = 80, y las partes requeridas son 80 y 40. 12. U na hoja de papel para un cartel debe tener 18 pies cuadrados de área. Los m árgenes superior e inferior han de ser de 9 pulgadas, y los m árgenes de los lados, de 6 pulgadas. ¿Cuáles deberían ser las dim ensiones de la hoja para m axim izar el área impresa? Sea x una dim ensión m edida en pies. Entonces 18/x es la otra dim ensión (fig. 14.10). La única restricción en x es que x > 0. El área im presa en pies cuadrados es A = (x - 1) - f ) y dx = 18 - 3 3/4 1/2 18 /x x Fig. 14.10 A l resolver dA/dx = 0 se obtiene el núm ero crítico x = 2>/3 . Com o d 2A /dx2 = -36 /x3 es negativa cuando x = 2>/3 , el criterio de la segunda derivada indica que A tiene un m áxim o relativo en x = 2>/3 . Com o 2^/3 es el único núm ero crítico en el intervalo (0, + ^ ) , el teorem a 14.1 establece que A tiene un m áxim o absoluto en x = 2>/3 . Entonces, un lado m ide 2>/3 pies y el otro m ide —1V = 3 v 3 pies. (2V3) ’ r 13. A las 9 a m , el barco B se encuentra 65 m illas al este del barco A. El barco B navega hacia el O este a 10 millas por hora y A hacia el Sur a 15 m illas por hora. Si continúan en sus cursos respectivos, ¿cuándo estarán más cerca el uno del otro y cuán cerca (fig. 14.11)? Sean A0 y B0 las posiciones de los barcos a las 9 a m , y A t y B t sus posiciones t horas más tarde. La distancia recorrida en t horas por A es de 15t millas, y por B, de 10t millas. La distancia D entre los barcos está determ inada por D 2 = (15t)2 + (65 - 10t)2. Entonces, 2 D dDD = 2(15t)(15) + 2(65 - 10t)(-1 0 ); por tanto, d - = 325tD 65° . Fig. 14 .11 www.FreeLibros.me
  • ----- ^ Al resolver dD/dt = 0 se obtiene el número crítico t = 2. Como D > 0 y 325t - 650 es negativo a la izquierda de 2 y positivo a la derecha de 2, el caso (-, +) del criterio de la primera derivada indica que t = 2 produce un mínimo relativo para D . Como t = 2 es el único número crítico, el teorema 14.1 implica que existe un mínimo absoluto en t = 2. Tomando t = 2 en D2 = (15t)2 + (65 - 10t)2 da D = 15^13 millas. Por tanto, los barcos están más cerca a las 11 a m , a 15VT3 millas de distancia uno del otro. 14. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal cuya base circular tenga una capacidad de 64 pulgadas cúbicas. Halle sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor sea a) una lata abierta y b) una lata cerrada. Sean r y h el radio de la base y la altura en pulgadas, respectivamente, A la cantidad de metal y V el volumen del contenedor. a) Aquí V = nr2h = 64, y A = 2nrh + nr2. Para expresar A como función de una variable se despeja h en la primera relación (porque es más fácil) y se sustituye en la segunda, se obtiene ^ + n r 2 = 1 a + n r 2 y f - — i # + 2 * r . l l l í z 6 ! n r 2 r : dr r 2 r¿ y el número crítico es r = 4 / ^ ñ . Entonces, h = 6 4 /n r 2 = 4 /-^n. Luego, r = h = 4 / ^ ñ pulgadas. Ahora dA /dr > 0 a la derecha del número crítico, y dA /dr < 0 a la izquierda de éste. Así, por el criterio de la primera derivada se tiene un mínimo relativo. Como no hay otro número crítico, dicho mínimo relativo es un mínimo absoluto. b) Aquí de nuevo V = n r 2h = 64, pero A = 2nrh + 2KT2 = 2rtr(64/rtr2) + 2KT2 = 128/r + 2ftr2. Entonces, H A — 138 + 4 * r . 4 (” -*2- 32)dr r2 r 2 y el número crítico es r = 2-^4 /n . Luego, h = 64 /n r2 = 4 -^4 /n. Por consiguiente, h = 2r = 4 ^ 4 /n pulgadas. Como en el inciso a), es posible demostrar que se ha hallado un mínimo absoluto. 15. El costo total de producir x radios por día es S(^ x 2 + 35x + 25) y el precio por unidad para la venta es $(50 - 1 x). a) ¿Cuál debería ser la producción diaria para obtener una utilidad total máxima? b) Muestre que el costo de producir un radio es un mínimo relativo de esa producción. a) La utilidad sobre la venta de x radios por día es P = x(50 - 2 x) - ( j x 2 + 35x + 25) . Entonces, dP/dx = 15 - 3x/2; al resolver dP/dx = 0 se obtiene el número crítico x = 10. Como d 2 P/dx2 = - f < 0 , el criterio de la segunda derivada muestra que se ha hallado un máximo relativo. Como x = 10 es el único número crítico, el máximo relativo es un máximo absoluto. Luego, la producción diaria que maximiza la utilidad es de 10 radios por día. b) El costo de producir un radio es C = 4 x + 35x + 25 = 1 x + 35 + — . Entonces, = 1 - 2 5 ; al resolver ^ x 4 x dx 4 x2 dC/dx = 0 se obtiene el número crítico x = 10. Como d 2C/dx2 = 50/x3 > 0 cuando x = 10, se ha hallado un mínimo relativo. Puesto que hay sólo un número crítico, éste debe ser un mínimo absoluto. 16. El valor del combustible que consume una locomotora es proporcional al cuadrado de la velocidad y cuesta $25 por hora para una velocidad de 25 millas por hora (mi/h). Otros costos ascienden a $100 por hora, sin tener en cuenta la velocidad. Halle la velocidad que minimiza el costo por milla. Sea v la velocidad requerida y C el costo total por milla. El costo del combustible por hora es kv2, donde k es una constante por determinar. Cuando v = 25 mi/h, kv 2 = 625k = 25; por tanto, k = 1/25. C = costo en $/h = v 2/25 +100 = v + 100 velocidad en mi/h v 25 v ' CA PÍTU LO 14 Valores m áxim os y m ínim os www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 14 Valores m áxim os y mínimos Entonces, dC — 1 - 100 — (v - 50)(v + 50) dv 25 v 2 25v2 ' Puesto que v > 0, el único número crítico relevante es v = 50. Como d 2C/dv2 = 200/v3 > 0 cuando v = 50, el criterio de la segunda derivada indica que C tiene un mínimo relativo en v = 50. Como v = 50 es el único número crítico en (0, + ^ ), el teorema 14.1 establece que C tiene un mínimo absoluto en v = 50. Así, la velocidad más económica es 50 millas por hora. 17. Un hombre en un bote de remos situado en P (fig. 14.12) a 5 millas en línea recta del punto A más cercano a una costa, desea llegar al punto B, a 6 millas de A a lo largo de la costa, en el tiempo más corto. ¿Dónde debería desembarcar si puede remar a 2 millas por hora y caminar a 4 millas por hora? Fig. 14.12 Sea C el punto entre A y B donde el hombre desembarca, y sea AC = x. La distancia remada es PC = \ l 25 + x 2 y el tiempo necesario para remar es tl dapfdif = ^2S2+ x . La distancia caminada es CB = 6 - x, y el tiempo que se necesita para caminar es t2 = (6 - x)/4. Por tanto, el tiempo total necesario equivale a t — tj + t2 — 25 + x • + 6 A x . Entonces, 4 ^ — ,— 4 dx 2yf25 x El número crítico obtenido de la igualdad 2x - >/25 + x 2 — 0 es x — 4>/3 ~ 2.89. Luego, debería desembarcar en un punto aproximado de 2.89 millas de A hacia B. (¿Cómo se sabe que este punto da el tiempo más corto?. ') 2 2x 18. Un campo rectangular, uno de cuyos bordes limita un río que corre en línea recta, será cercado con alambre. Si no se necesita cercar a lo largo del río, muestra la cantidad mínima de alambre que se precisaría si la longitud del campo es dos veces su ancho. Sea x la longitud del campo y y su ancho. El área del campo es A = xy. El alambre necesario es F = x + 2y, y dF/dx = 1 + 2 dy/dx. Cuando dF/dx = 0, dy/dx — - 1 También, dA/dx = 0 = y + x dy/dx. Entonces, y - 1 x — 0 y x = 2y, como se requiere. Para ver que se ha minimizado F, observe que dy/dx = -y 2/A y M — 2 — 2 í - 2 1 — - 4 y ( - 1 ) — 2 y > 0 cuando ^ — - , dx2 dx2 ^ A dx 1 A \ 2 / A dx 2 Ahora use el criterio de la segunda derivada y la unicidad del número crítico. 19. Halle las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo V que puede circunscribirse en una esfera cuyo radio es 8 pulgadas. Sea x el radio de la base del cono, y y + 8 la altura de este último (fig. 14.13). De los triángulos rectángulos semejantes ABC y AED se tiene que x — y + 8 y por tanto x2 — 64( y + 8)2 8 — V 7 T 6 Í ^ por ^ x — y2 - 64 . También n x 2(y + 8) — 64n(y + 8)2 dV — 64n(y + 8)(y - 24) 3 3(y - 8) . Entonces, dy 3(y - 8)2 . www.FreeLibros.me
  • ^ 113^ A El núm ero crítico relevante es y = 24, de m anera que la altura del cono es y + 8 = 32 pulgadas y el radio de la base es 8 \/2 pulgadas. (¿Cómo se sabe que el volum en se ha m inim izado?) 20. H alle las dim ensiones del rectángulo de área m áxim a A que puede inscribirse en la parte de la parábola y2 = 4px que interseca la recta x = a. Sea P B B 'P ' de la figura 14.14 el rectángulo, y (x, y) las coordenadas de P . Entonces, y Fig. 14.14 A = 2 y (a - x ) = 2 y [ a - 4 p ) = 2ay - y % = 2 a - | p r- A l resolver dA/dy = 0 se obtiene el núm ero crítico y = -,j4ap /3 . Las dim ensiones del rectángulo son 2y = ^ 3 ap y a - x = a - (y2/4p) = 2a/3. Com o d2A/dy2 = -3y /p < 0, el criterio de la segunda derivada y la unicidad del núm ero crítico garantizan que se ha hallado el área máxima. 21. H alle la altura del cilindro circular recto de volum en m áxim o V que puede inscribirse en una esfera de radio R (fig. 14.15). Fig. 14.15 CA PÍTU LO 14 Valores m áxim os y m ínim os www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 14 Valores m áxim os y mínimos Sea r el radio de la base y 2h la altura del cilindro. Según la geometría, V = 2nr2h y r2 + h 2 = R 2 . Entonces, j V = 2 n ( r 2 j h + 2 rh ) y 2 r + 2 k j h = 0 De la última relación jhh = - r , entonces, = 2n\ — -V- + 2rh I. Cuando V es un máximo, = 0, del cualdVdr h dV drr2 = 2h2. Así, R2 = r2 + h2 = 2h2 + h2, de manera que h = R A/3 y la altura del cilindro es 2h = 2R />/3 . El criterio de la segunda derivada puede utilizarse para verificar que se ha hallado un valor máximo de V. 22. La pared de un edificio se apuntalará mediante una viga apoyada sobre una pared paralela de 10 pies de altura, situada a 8 pies del edificio. Halle la longitud L de la viga más corta que puede utilizarse. Observe la figura 14.16. Sea x la distancia del pie de la viga al pie de la pared paralela, y sea y la distancia (en pies) del piso a la parte superior de la viga. Entonces, L = ^J(x + 8)2 + y2 . Fig. 14.16 También, de triángulos semejantes, 1 0 = x + 8 y, por tanto, y = 10(x + 8) por consiguiente, L = yj (x + 8)2 + 100(x + 8)2 = ^ x ^ V x 2 +100 dL = x[(x2 + 100)1/2 + x(x + 8)(x2 + 100)-1/2] - (x + 8)(x2 + 100)1/2 = x3 - 800 dx x 2 x2V x2 + 100 El número crítico relevante es x = 2-^100. La longitud de la viga más corta es 23^3°0 + 8 ^ 1 0 000 + 100 = (^100 + 4 )3/2 pies El criterio de la primera derivada y el teorema 14.1 garantizan que en realidad se ha hallado la longitud más corta. y PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 23. Analice cada uno de los valores máximos y mínimos relativos mediante el criterio de la primera derivada. a ) b ) c ) d) e ) f (x) = x2 + 2x - 3 f (x) = 3 + 2x + x2 f (x) = x3 + 2x2 - 4x - 8 f (x) = x3 - 6x2 + 9x - 8 f (x ) = (2 - x )3 Respuesta: x = -1 produce el mínimo relativo -4. Respuesta: x = 1 produce el máximo relativo 4. Respuesta: x = -3- produce el mínimo relativo - 45T6; x = -2 produce el máximo relativo 0 . Respuesta: x = 1 produce el máximo relativo -4 ; x = 3 produce el mínimo relativo - 8. Respuesta: ni máximo ni mínimo relativos. www.FreeLibros.me
  • -^ 115^ f) 4)2-(x2=()x(f Respuesta: g) f (x) = (x - 4)4(x + 3)3 Respuesta: h) f (x) = x3 + 48/x Respuesta: i) f (x) = (x - 1)1/3(x + 2)2/3 Respuesta: x = 0 produce el máximo relativo 16; x = ±2 produce el mínimo relativo 0 . x = 0 produce el máximo relativo 6912; x = 4 produce el mínimo relativo 0; x = -3 produce nada. x = -2 produce el máximo relativo -32 ; x = 2 produce el mínimo relativo 32. x = -2 produce el máximo relativo 0 ; x = 0 produce el mínimo relativo - ^ 4 ; x = 1 produce nada. 24. Analice las funciones del problema 23a-f) para determinar, mediante el criterio de la segunda derivada, valores máximos o mínimos relativos. 25. Demuestre que y = (a¡ - x)2 + (a2 - x)2 + ... + (an - x)2 tiene un mínimo absoluto cuando x = ai + a 26. Analice los valores máximos y mínimos absolutos en el intervalo dado: a) y = -x 2 en -2 < x < 2 Respuesta: máximo (= 0) en x = 0. b) y = (x - 3)2 en 0 < x < 4 Respuesta: máximo (= 9) en x = 0; mínimo (= 0) en x = 3. c) y = V 25 - 4x 2 en -2 < x < 2 Respuesta: máximo (= 5) en x = 0; mínimo (= 3) en x = ±2. d) y = Vx — 4 en 4 < x < 29 Respuesta: máximo (= 5) en x = 29; mínimo (= 0) en x = 4. 27. La suma de dos números positivos es 20. Halle los números si: a) su producto es un máximo; b) la suma de sus cuadrados es un mínimo; c) el producto del cuadrado de uno y el cubo del otro es un máximo. Respuestas: a) 10, 10; b) 10, 10; c) 8, 12. 28. El producto de dos números positivos es 16. Halle los números cuando a) su suma es mínima; b) la suma de uno y el cuadrado del otro es mínima. Respuestas: a) 4, 4; b) 8, 2. 29. Se va a construir una caja rectangular abierta con extremos cuadrados para que tenga una capacidad de 6400 pies cúbicos, a un costo de $0.75/pie cuadrado para la base y $0.25/pie cuadrado para los lados. Halle las dimensiones más económicas. Respuesta: 20 x 20 x 16. 30. Una pared de 8 pies de altura dista 3 f pies de una casa. Halle la escalera más corta que llegue del piso a la casa cuando se inclina sobre la pared. Respuesta: 15 -5 pies.8 31. Una compañía ofrece el siguiente plan de cargos: $30 por mil pedidos de 50 000 o menos, con un descuento de 37-jc por cada millar que esté por encima de los 50 000. Halle el tamaño del pedido que consiga que los recibos de la compañía sean un máximo. Respuesta : 65 000. CA PÍTU LO 14 Valores m áxim os y m ínim os www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 14 Valores m áxim os y mínimos 32. Halle una ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 4) que corta, en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima. Respuesta: 4x + 3y - 24 = 0. 33. ¿En qué punto del primer cuadrante de la parábola y = 4 - x2 la recta tangente, junto con los ejes coordenados, determinan un triángulo de área mínima? Respuesta: ( 2>/3/3, 8/3). 34. Halle la distancia mínima del punto (4, 2) a la parábola y2 = 8x. Respuesta: 2y[2 . 35. a) Analice los valores máximos y mínimos de y en 2x2 - 4xy + 3y2 - 8x + 8y - 1 = 0. b) ( c g ) Verifique la respuesta para a) con una graficadora. Respuesta: a) máximo en (5, 3); b) mínimo en (-1, -3). 36. ( c g ) Halle el máximo y el mínimo absolutos def(x) = x5 - 3x2 - 8x - 3 en [-1, 2] con precisión de tres cifras decimales. Respuesta: máximo 1.191 en x = -0.866; mínimo -14.786 en x = 1.338. 37. Una corriente eléctrica, cuando fluye en una bobina circular de radio r, ejerce una fuerza F = (x2 k ry 2 en un imán pequeño ubicado a una distancia x sobre el centro de la bobina. Demuestre que F es máxima cuando x = 2 r. 38. El trabajo realizado por una célula voltaica de fuerza electromotriz constante E y resistencia interna constante r al pasar una corriente estacionaria por una resistencia externa R es proporcional a E 2R/(r + R)2. Demuestre que el trabajo realizado es máximo cuando R = r. 39. Una recta tangente se dibuja a la elipse -fj + yg- = 1, de manera que la parte intersecada por los ejes coordenados es un mínimo. Demuestre que su longitud es 9. 40. Un rectángulo está inscrito en la elipse 400 + 22s = 1 con sus lados paralelos a los ejes de la elipse. Halle las dimensiones del rectángulo de a) área máxima y b) perímetro máximo que pueda inscribirse de esta manera. Respuestas: a) 20^2 x 15^2 ; b) 32 x 18. 41. Halle el radio R del cono circular recto de volumen máximo que pueda inscribirse en una esfera de radio r. (Recuérdese: el volumen de un cono circular recto de radio R y altura h es -j n R 2h .) Respuesta: R = § r~j2 . www.FreeLibros.me
  • 42. Un cilindro circular recto está inscrito en un cono circular recto de radio r. Halle el radio R del cilindro si a) su volumen es un máximo; b) su área lateral es un máximo. (Recuérdese: el volumen de un cilindro circular recto de radio R y altura h es nR2h y su área lateral es 2nRh.) Respuestas: a) R = -| r ; b) R = -2 r . 43. Demuestre que una carpa cónica de volumen dado necesitará la cantidad mínima de material cuando su altura h es y[2 por el radio r de la base. [Advierta primero que el área de la superficie A = n(r2 + h2).] 44. Demuestre que el triángulo equilátero de altura 3r es el triángulo isósceles de área mínima que se circunscribe en un círculo de radio r . 45. Determine las dimensiones de un cilindro circular recto de máxima área de superficie lateral que puede inscribirse en una esfera de radio 8. Respuesta: h = 2r = 8 V 2 . 46. Investigue la posibilidad de inscribir un cilindro circular recto de área total máxima (incluidos su pico y su base) en un cono circular recto de radio r y altura h . CA PÍTU LO 14 Valores m áxim os y m ínim os www.FreeLibros.me
  • Trazo de curvas. Concavidad. Simetría Concavidad Desde un punto de vista intuitivo, el arco de una curva es cóncavo hacia arriba si tiene la form a de una taza [fig. 15.1a)] y que es cóncavo hacia abajo si tiene la form a de una cúpula [fig. 15.1b)]. Sin embargo, es posible una definición m ás precisa. U n arco es cóncavo hacia arriba si para cada x0, el arco queda por encim a de la tangente en x0 en algún intervalo abierto alrededor de x0. D e igual modo, un arco es cóncavo hacia abajo si para cada x0, el arco queda por debajo de la tangente en x0 en algún intervalo abierto alrededor de x0. L a m ayor parte de las curvas son com binaciones de cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Por ejemplo, en la figura 15.1c) la curva es cóncava hacia abajo de A a B y de C a D, pero cóncava hacia arriba de B a C. D (a) Cóncava hacia arriba (b) Cóncava hacia abajo (c) Fig. 15.1 L a segunda derivada de f indica la concavidad de la gráfica de f Teorema 15.1. a) Si f ' ( x ) > 0 para x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba para a < x < b. b) Si f" ( x ) < 0 para x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo para a < x < b. Repase la dem ostración en el problem a 17. EJEMPLO 15.1. a) Sea f(x ) = x2. Entonces, f (x ) = 2x, f '(x ) = 2. Com o f '(x ) > 0 para toda x, la gráfica de f es siem pre cóncava hacia arriba. Esto se debe a que la gráfica señala una parábola que se abre hacia arriba. b) Sea f (x) = y = V1 — x 2 . De ahí que y2 = 1 - x2, x2 + y2 = 1. Entonces, la gráfica es la m itad superior del círculo unitario con centro en el origen. M ediante derivación im plícita se obtiene x + y y ' = 0 y, en consecuencia, 1 + y y " + (y ')2 = 0. Así, y " = -[1 + (y 0 2]/y. Com o y > 0 (excepto en x = 1), y " < 0. Por tanto, la gráfica siem ­ pre es cóncava hacia abajo, es decir, que es lo que cabía esperar. Puntos de inflexión Un punto de inflexión en una curva y = f (x ) es un punto en el que la concavidad cambia, de m anera que la curva resulta cóncava hacia arriba en un lado y cóncava hacia abajo en el otro lado del punto. Entonces, si y " existe [^118^ ------------- www.FreeLibros.me
  • en un intervalo abierto que contiene a x0, entonces y " < 0 en un lado de x0 y y " > 0 en el otro lado. Por ende, si y " es continua en x0, entonces y " = 0 en x0. Esto desem boca en el teorem a siguiente. Teorema 15.2. Si la gráfica de f tiene un punto de inflexión en x0 y f " existe en un intervalo abierto que contiene a x0 y f " es continua en x0, entonces f ' ( x 0) = 0. EJEMPLO 15.2. a) Sea f(x ) = x3. Entonces, f ( x ) = 3x2, f ' ( x ) = 6x. Así, f ' ( x ) < 0 para x < 0, y f ' ( x ) > 0 para x > 0. Por tanto, la gráfica de f tiene un punto de inflexión en x = 0 (fig. 5.5). O bserve que f ' ( 0 ) = 0, como lo determ ina el teo­ rem a 15.2. b) Sea f(x ) = x4. Entonces, f ( x ) = 4x3, y f ' ( x ) = 12x2. A l resolver f ' ( x ) = 0 resulta x = 0. Sin em bargo, la gráfica de f no tiene un punto de inflexión en x = 0. Es cóncava hacia arriba en todos los puntos. C on este ejem plo se m uestra que f ' ( x 0) = 0 no im plica necesariam ente que hay un punto de inflexión en x0. c) Sea f (x) = -j x 3 + -J x 2 - 6 x + 8. A l resolver f ' ( x ) = 2x + 1 = 0 se halla que la gráfica tiene un punto de in­ flexión en ( - 2 , t j - ) . Observe que éste es en realidad un punto de inflexión porque f ' ( x ) < 0 para x < — J y f ' ( x ) > 0 para x > - -J (fig. 14.5). Asíntotas verticales U na recta vertical x = x0 tal que f (x) tiende a o a - ^ cuando x se aproxim a a x0, desde la izquierda o desde la derecha, se denom ina asíntota vertical de la gráfica de f Si f(x ) tiene la form a g(x)/h(x), donde g y h son funciones continuas, entonces la gráfica de f tiene una asíntota vertical x = x0 para toda x0 tal que h(x0) = 0 (y g(x0) * 0). Asíntotas horizontales U na recta horizontal y = y0 se denomina asíntota horizontal de la gráfica de f si lím f (x) = y 0 o lím f (x) = y0. Así, la gráfica se aproxim a a una asíntota horizontal cuando se mueve cada vez m ás a la izquierda o a la derecha. EJEMPLO 15.3. a) Sea f(x ) = 1 • Entonces, la gráfica de f tiene una asíntota vertical en x = 0, a la que se aproxim a tanto por la derecha como por la izquierda. La recta y = 0 (o sea, el eje x ) es una asíntota horizontal tanto en la izquierda como en la derecha (fig. 5.21). b) S ea f(x ) = x—j. En consecuencia, x = 2 es una asíntota vertical de la gráfica d e f , a la que se aproxim a tanto desde la derecha como desde la izquierda. La recta y = 0 es una asíntota horizontal, a la cual se aproxim a tanto en la izquierda como en la derecha (fig. 14.7). c) Sea f(x ) = (x -x1)(x2+ 3) . Entonces, la gráfica de f tiene asíntotas verticales en x = 1 y x = -3 . La recta y = 0 es una asíntota horizontal, a la que se aproxim a tanto en la izquierda como en la derecha. d) S ea f(x ) = x—f . Por consiguiente, la gráfica de f tiene una asíntota vertical en x = 3, a la que se aproxim a desde la izquierda y desde la derecha. La recta y = 1 es una asíntota horizontal, a la cual se aproxim a tanto por la iz­ quierda como por la derecha. Simetría Dos puntos P y Q son simétricos respecto a una recta l si l es la mediatriz del segm ento de recta que une P y Q [fig. 15.2a)]. Dos puntos P y Q son simétricos respecto a un punto B si B es el punto medio del segmento que une P y Q. U na curva es sim étrica respecto a una recta l (respectivamente, al punto B) si, para cualquier punto P en la curva, existe otro punto Q en la curva tal que P y Q sean sim étricos respecto a l (respectivamente, al punto B ) [fig. 15.2b-c)]. Si una curva es sim étrica respecto a una recta l, entonces l se denom ina un eje de simetría de la curva. Por ejemplo, toda recta que pase por el centro de un círculo es un eje de sim etría de éste. -------------------- CA PÍTU LO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Sim etría www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. S im etría p \ Q (a) (b) Fig. (c) 15.2 t (x, y)1111 (-x, y) (x, y) 11 ^ i (x , -y) (-x -y) ,(x, y) (a) (b) (c) Fig. 15.3 Los puntos (x, y) y (-x , y) son sim étricos respecto al eje y, y los puntos (x, y) y (x, -y ) son sim étricos respecto al eje x. Los puntos (x, y) y (-x , -y ) son sim étricos respecto al origen [fig. 15.3a-c)]. Considérese la gráfica de una ecuación F (x, y) = 0. Entonces: i) L a gráfica es sim étrica respecto al eje y si y sólo si F (x, y) = 0 im plica que F (-x , y) = 0. ii) L a gráfica es sim étrica respecto al eje x si y sólo si F (x, y) = 0 im plica que F (x, - y) = 0. iii) L a gráfica es sim étrica respecto al origen si y sólo si F (x, y) = 0 im plica que F (-x , -y ) = 0. EJEMPLO 15.4. a) La parábola y = x2 es sim étrica al eje y. b) La parábola x = y2 es sim étrica respecto al eje x. x 2 y2 x 2 y 2c) U n círculo x2 + y2 = r2, una elipse + ^2 = 1 y una hipérbola —2 ~ ^2 = 1 son sim étricas respecto al eje y, al eje x y al origen. EJEMPLO 15.5. U n punto P(a, b) es sim étrico al punto Q(b, a) respecto a la recta y = x. Para com probarlo, prim ero se observa que la recta PQ tiene pendiente -1 . Com o la recta y = x tiene pendiente 1, la recta P Q es perpen­ dicular a la recta y = x. A dem ás, el punto m edio del segm ento que une a P y a Q es ( ) , que está en la recta y = x. Por tanto, la recta y = x es la m ediatriz de dicho segmento. Q www.FreeLibros.me
  • Funciones inversa y simetría Dos curvas C1 y C2 son simétricas una con la otra respecto de una recta l si, para cualquier punto P en una de las curvas, el punto Q que es sim étrico a P respecto a l se halla en la o tra curva (es decir, si al “reflejar” una de las curvas en la recta l, el resultado es la otra curva). Teorema 15.3. C onsidérese cualquier función f uno a uno y su función in v e rsa f-1. Entonces, las gráficas de f y f -1 son sim étricas una con la otra respecto de la recta y = x. Para verlo, sean (a, b) que estén en la gráfica de f . Entonces, f ( a ) = b. Por ta n to ,f -1(b) = a, o sea, (b, a) está en la gráfica d e f -1. En el ejem plo 15.5, (a, b) y (b, a) son sim étricos respecto a la recta y = x. EJEMPLO 15.6. a) S if(x ) = 2x, entonces f -1(x) = y x . Por tanto, las rectas y = 2x y y = -j x son sim étricas respecto a la recta y = x. b) Sea C 1 la parábola que es la gráfica de la ecuación y = x2, y sea C2 la parábola que es la gráfica de la ecuación x = y2. Entonces C 1 y C2 son sim étricos respecto a la recta y = x, puesto que la ecuación x = y2 proviene de la ecuación y = x 2 al intercam biar x y y . Funciones pares e impares U na función f es p a r si para toda x en su dom inio - x tam bién está en su dom inio y f (-x ) = f (x ) . A la vez, f es una función im par si para toda x en su dom inio - x tam bién está en su dom inio y f ( -x ) = - f (x). EJEMPLO 15.7. C ualquier polinom io de la form a 3x6 - 8x4 + 7, que supone sólo potencias pares de x, determina una función par. Todo polinom io, com o 5x9 + 2x5 - 4x3 + 3x, que im plica sólo potencias im pares de x, determ ina una función impar. U na función f es par si y sólo si su gráfica es sim étrica respecto al eje y . D e hecho, supóngase que f es par y (x, y) está en su gráfica. Entonces, y = f(x ). Luego, y = f ( - x ) y, por consiguiente, (-x , y) está en la gráfica. Así, la gráfica es sim étrica respecto al eje y . Lo contrario se deja com o problem a [el problem a 16a)]. U na función f es im par si y sólo si su gráfica es sim étrica respecto al origen. D e hecho, supóngase que f es im par y (x, y) está en su gráfica. Así, y = f (x). Por tanto, -y = f (-x), y por consiguiente, (-x , -y ) está en la gráfica. Así, la gráfica es sim étrica respecto al origen. Lo contrario se deja com o problem a [el problem a 16b)]. Sugerencias para trazar el gráfico de y = f (x) 1. Calcule y ' y, si es conveniente, y ". 2. U tilice y ' para hallar cualquier núm ero crítico (donde y ' = 0, o y ' no está definida y y está definida). D eterm ine si estos núm eros críticos producen un m áxim o o m ínim o relativos m ediante el criterio de la segunda o de la prim era derivada. 3. U tilice y ' para determ inar los intervalos en los que y es creciente (cuando y ' > 0) o decreciente (cuando y ' < 0). 4. U tilice y " para determ inar dónde la gráfica es cóncava hacia arriba (cuando y " > 0) o cóncava hacia abajo (cuando y " < 0). Verifique los puntos donde y " = 0 para determ inar si son o no puntos de inflexión (si y " > 0 en un lado y y " < 0 en el otro lado del punto). 5. Busque las asíntotas verticales. Si y = ^ , existe una asíntota vertical x = x0 si h(x0) = 0 y g(x0) ^ 0. 6 . Busque las asíntotas horizontales. Si lím f ( x ) = y0, entonces y = y0 es una asíntota horizontal a la dere­ cha. Si lím f (x) = y0, entonces y = y0 es una asíntota horizontal a la izquierda. 7. Determ m e’el com portam iento de “al infinito” . Si lím f (x) = +°° (respectivamente, - ^ ) , entonces la curva se m ueve hacia arriba (respectivamente, hac iaabajo ) sin lím ite a la derecha. D e igual forma, si lím f (x) = +°° (respectivamente, - ^ ) , por consiguiente, la curva se m ueve hacia arriba (respectivamente,x—^ hacia abajo), sin lím ite a la izquierda. 8 . H alle las intersecciones con el eje y (es decir, donde x = 0) y las intersecciones con el eje x (o sea, donde y = 0). 9. Indique los puntos pico, donde y ' tiende a un valor desde la izquierda y a otro valor desde la derecha. Un ejem plo es el origen en la gráfica de y = Ixl. -------------------- CA PÍTU LO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Sim etría www.FreeLibros.me
  • ^ 122^ - CAPÍTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. S im etría 10. Indique toda cúspide, donde y ' tiende a desde am bos lados o donde y ' se aproxim a a - ^ desde am bos lados. Un ejem plo es el origen de la gráfica y = >/w . 11. Halle toda asíntota oblicua y = mx + b tal que lím (f (x) - (m x + b)) = 0 o lím (f (x) - (m x + b)) = 0. UnaX— x—x asíntota oblicua es la que no es vertical ni horizontal. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Halle la concavidad y los puntos de inflexión de y = 3 x - 10x3 - 12x2 + 12x - 7. Se tiene que y ' = 12x3 - 30x2 - 24x + 12 y " = 36x2 - 60x - 24 = 12(3x + 1)(x - 2) Sea y " = 0 y se resuelve para obtener los posibles puntos de inflexión posibles x = - -3 y 2. Entonces: Cuando x < — -j y " = +, y el arco es cóncavo hacia arriba. Cuando - 3 < x < 2 y " = - , y el arco es cóncavo hacia abajo. Cuando x > 2 y " = +, y el arco es cóncavo hacia arriba. Los puntos de inflexión son (— -y,—"2T2) y (2, -63), ya que y " cambia de signo en x = - -3 y x = 2 (fig. 15.4). y Fig. 15.4 2. Analice la concavidad y los puntos de inflexión de y = x4 - 6x + 2 y trace la gráfica. Se tiene que y " = 12x2. Por el teorema 15.2, el posible punto de inflexión está en x = 0. En los intervalos x < 0 y x > 0, y " es positiva, y los arcos en ambos lados de x = 0 son cóncavos hacia arriba. El punto (0, 2) no es un punto de inflexión. Sea y ' = 4x3 - 6 = 0, y se halla el número crítico x = ^ 3/2 . En este punto y " = 12x2 > 0 y se tiene un mínimo relativo por el criterio de la segunda derivada. Como existe sólo un número crítico, hay un mínimo absoluto en este punto (donde x ~ 1.45 y y — 3.15 (fig. 15.5). y Fig. 15.5 www.FreeLibros.me
  • 3. A nalice la concavidad y los puntos de inflexión de y = 3x + (x + 2)3/5 y luego trace la gráfica. y ' = 3 + 5(x +32)2/5 y y " = 25(x~+2)7'5 . El posible punto de inflexión está en x = -2 . Cuando x > -2 , y " resulta negativa y el arco es cóncavo hacia abajo. Cuando x < -2 , y " es positiva y el arco es cóncavo hacia arriba. Por tanto, existe un punto de inflexión en x = -2 , donde y = - 6 (fig. 15.6). Com o y ' > 0 (excepto en x = -2 ) , y es una función creciente y no hay extrem os relativos. ------------- 4 123^ Fig. 15.6 4. Si f "(x0) = 0 y f '" (x 0) ^ 0, entonces hay un punto de inflexión en x0. Com o f " '(x 0) = 0, f " '(x 0) es o positivo o negativo. Por ta n to ,f" es creciente o decreciente en x0. Como f "(x0) = 0, f " tiene signos opuestos a la izquierda y a la derecha de x0. Entonces, la curva tendrá concavidad opuesta en los lados de x0 y habrá un punto de inflexión en x0. 5. Halle las ecuaciones de las tangentes en los puntos de inflexión de y = f(x ) = x4 - 6x3 + 12x2 - 8x. Existe un punto de inflexión en x = x0 cuando f ' ( x 0) = 0 y f " ( x 0) ^ 0. Aquí, f ( x ) = 4x3 - 18x2 + 24x - 8 f" (x ) = 12x2 - 36x + 24 = 12(x - 1)(x - 2) f " ( x ) = 24x - 36 = 12(2x - 3) Los posibles puntos de inflexión están en x = 1 y x = 2. C o m o f" (1 ) ^ 0 y f" '( 2 ) ^ 0, los puntos (1, -1 ) y (2, 0) son puntos de inflexión. En (1, -1 ) , la pendiente de la recta tangente es m = f (1) = 2 y su ecuación es y = y 1 = m (x - x 1) o y + 1 = 2(x - 1) o y = 2x - 3 En (2, 0), la pendiente es f (2) = 0 y la ecuación de la recta tangente es y = 0. 6. Trace la gráfica de y = f(x ) = 2x3 - 5x2 + 4x - 7. f ( x ) = 6x2 - 10x + 4, f" (x ) = 12x - 10, y f ”\ x ) = 12. Ahora, 12x - 10 > 0 cuando x > f , y 12x - 10 < 0cuando x ^ I , cuando x < -f. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba cuando x > -f y es cóncava hacia abajo cuando x < -f. Luego, hay un punto de inflexión en x = -f. Puesto que f ( x ) = 2(3x2 - 5x + 2) = 2(3x - 2)(x - 1), los núm eros críticos son x = -f y x = 1. Puesto que f " ( f ) = —2 < 0 y f" (1 ) = 2, existe un m áxim o relativo en x = -f (donde y = - 1 7 ~ -5 .9 6 — 5.96) y un m ínim o relativo en x = 1 (donde y = -6 ) (fig. 15.7). x 27. Trace la gráfica de y = f (x) = x —T y = x 2 4 + 4 = r L _ 4 + _ 4 = x + 2 + —- _ . Luego, y ' = 1 - ( 4 2)2 y y " = - 8 7 x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 b J (x - 2)2 -7 / ix - 2 x - 2 1 x - 2 * 1 ~ 1 x - 2 - ^ * ”' } ( x - 2)2 J / _ ( x - 2 ) 3 ' A l resolver y ' = 0 se obtienen los núm eros críticos x = 4 y x = 0. Com o f " (4 ) = 1 > 0 y f " (0 ) = -1 < 0, hay un m ínim o relativo en x = 4 (donde y = 8) y un m áxim o relativo en x = 0 (donde y = 0). Com o y " nunca es 0, no hay puntos de inflexión. La recta x = 2 es una asíntota vertical. La recta y = x + 2 es una asíntota oblicua en ambos lados, porque en la curva, y - (x + 2) = ^ 0 cuando x ^ (fig. 15.8). CA PÍTU LO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Sim etría www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. S im etría Fig. 15.7 8. Trace la gráfica de g (x) = 2x3 - 9x2 + 36. g '(x) = 6x2 - 18x = 6x(x - 3) y g " (x) = 12x - 18 = 6(2x - 3). Entonces, los núm eros críticos son x = 0 (donde y = 36) y x = 3 (donde y = 9). Com o g " (0) = -1 8 < 0 y g " (3) = 18 > 0, existe un m áxim o relativo en x = 0 y un m ínim o relativo en x = 3. A l igualar g " (x) = 0 se obtiene x = f , donde existe un punto de inflexión, ya que g"(x) = 6(2x - 3) cam bia de signo en x = -| . g (x) ^ + ^ cuando x ^ + ^ , y g (x) ^ - ^ cuando x ^ - ^ . Com o g (-1 ) = 29 y g(-2 ) = -1 6 , el teorem a del valor interm edio im plica que hay un cero x0 de g entre -1 y -2 . (Una graficadora m uestra x0 — 1.70.) Éste es el único cero porque g es creciente hasta el punto (0, 36), decreciente desde (0, 36) hasta (3, 9) y luego creciente desde (3, 9) (fig. 15.9). www.FreeLibros.me
  • ^ 125^ x2 9. Trace la gráfica de y = (x - 2)(x - 6 ) . Hay asíntotas verticales en x = 2 y x = 6. _ 2x(x - 2)(x - 6) - 2x2(x - 4) _ 8x(3 - x) y (x - 2)2(x - 6)2 (x - 2)2(x - 6)2 _ (x - 2)2(x - 6)2(24 - 16x) - 8x(3 - x)(2)(x - 2)(x - 6)(2x - 8) y (x - 2)4(x - 6)4 = 8(2x3 - 9x 2 + 36) (x - 2)3(x - 6)3 Los núm eros críticos son x = 0 (donde y = 0) y x = 3 (donde y = -3 ) . Los cálculos dem uestran que y "(0) > 0 y y "(3) < 0. Por tanto, hay un m ínim o relativo en x = 0 y un m áxim o relativo en x = 3. Com o y ^ 1 cuando x ^ ± ^ , la recta y = 1 es una asíntota horizontal tanto en la izquierda como en la derecha. Si y " = 0, entonces se obtiene g(x) = 2x3 - 9x2 + 36 = 0. Por el resultado del problem a anterior (el 8), se advierte que se tiene un punto de inflexión único x0 — 1.70 (donde y ~ 0.10) (fig. 15.10). CA PÍTU LO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Sim etría www.FreeLibros.me
  • ^ 126^ CAPÍTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. S im etría 10. Trace la gráfica de y2(x2 - 4) = x4. y 2 = x *_4. Entonces, y = ± x2 ^ . La curva existe sólo para x2 > 4, es decir, para x > 2 o x < -2 , más el punto aislado (0, 0). La curva es sim étrica respecto a ambos ejes coordenados y al origen. Por ello, a partir de este m om ento se considera sólo el prim er cuadrante. Entonces, y = x3 - 8x (x2 - 4 )3/2 y y _ (x2 - 4 )5/2 El único núm ero crítico es 2\¡2 (donde y = 4). Com o y " > 0, la gráfica es cóncava hacia arriba y existe un m ínim o relativo en ( 2V 2 , 4 ). Las rectas x = 2 y x = - 2 son asíntotas verticales. El resto de la gráfica en otros cuadrantes se obtiene m ediante reflexión en los ejes y en el origen. Se advierte que tam bién existe una asíntota oblicua y = x, ya que y2 - x2 = x4/(x2 - 4) - x2 = 4/(x2 - 4) ^ 0 cuando x ^ ± ^ . Por sim etría, y = - x asimismo es una asíntota (fig. 15.11). 4 x 2 + 32 Fig. 15 .11 y PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 11. A nalice las funciones del problem a 23a-f) del capítulo 14. R espuestas: a) N o hay punto de inflexión; cóncava hacia arriba en todas partes. b) N o hay punto de inflexión; cóncava hacia abajo en todas partes. c) Punto de inflexión en x = _-f; cóncava hacia arriba para x > _-f; cóncava hacia abajo para x < _-f. d) Punto de inflexión en x = 2; cóncava hacia arriba para x > 2, cóncava hacia abajo para x < 2. e) Punto de inflexión en x = 2; cóncava hacia abajo para x > 2, cóncava hacia arriba para x < 2. f Punto de inflexión en x = ± 233 ; cóncava hacia arriba para x > y x < - 233 , cóncava hacia abajo para _ ^ < x < 12. Dem uestre: s if(x ) = ax3 + bx2 + cx + d tiene dos núm eros críticos, su prom edio es la abscisa en el punto de inflexión. Si hay sólo un núm ero crítico, es la abscisa en el punto de inflexión. 13. A nalice y trace las gráficas de las ecuaciones siguientes: a) xy = (x2 - 9)2 Respuesta: sim étrica respecto al origen, asíntota vertical x = 0, m ínim o relativo en (3, 0), m áxim o relativo en (-3 , 0), sin puntos de inflexión, cóncava hacia arriba para x > 0. www.FreeLibros.me
  • -^ 127^ *) ^ Respuesta: simétrica respecto al eje y, asíntotas verticales x = ±1, mínimo relativo en (0, 0), máximos relativos en (± V 2 -4 ) , sin puntos de inflexión, cóncava hacia arriba para Ixl < 2. c) y = x 2 + 2 7 x Respuesta: asíntota vertical x = 0, mínimo relativo en (1, 3), punto de inflexión en ( - ^ 2 ,0 ) , cóncava hacia arriba para x < -Z [ 2 y x > 0 . d) y3 = 6x2 - x3 Respuesta: máximo relativo en (4, 2 ^4 ), mínimo relativo en (0, 0), donde hay una “cúspide”, punto de inflexión en (6, 0), cóncava hacia arriba para x > 6, asíntota oblicua y = -x + 2 a la izquierda y a la derecha. x2 e) y = 1 + x - j Respuesta: asíntota vertical x = 1, máximo relativo en (0, 1), mínimo relativo en (2, 5), cóncava hacia arriba para x > 1 y hacia abajo para x < 1, no hay puntos de inflexión, creciente para x < 0 y x > 2, decreciente para 0 < x < 1 y 1 < x < 2, asíntota oblicua y = x + 2. f y = x r r Respuesta: Simétrica respecto al origen, máximo relativo en (1, -j), mínimo relativo en (-1, - y) creciente -1 < x < 1, cóncava hacia arriba en - >/3 < x < 0 y x > >/3, cóncava hacia abajo en x < -y¡3 y 0 < x < \f3 , puntos de inflexión en x = 0 y x = ±V3, asíntota horizontal y = 0 en ambos lados. g) y = W x ^ l Respuesta: definida para x > 1, creciente, cóncava hacia arriba para x > 4 y hacia abajo para x < -5-, punto de inflexión en (-5-, ^a/S). h) y = x ^ 2 - x Respuesta: máximo relativo en x = f , creciente para x < f , cóncava hacia abajo para x < 3, punto de inflexión en (3, -3). 2 2 "v ■>. = x +1 li y x2 Respuesta: asíntota vertical x = 0, asíntota horizontal y = 0 en ambos lados, mínimo relativo (-2, - -4 ), creciente para -2 < x < 0 , cóncava hacia arriba -3 < x < 0 y x > 0, punto de inflexión en (-3, - -f-), y ^ + ^ cuando x ^ 0. 14. Demuestre que toda función F (x) que esté definida para toda x puede expresarse de una y sólo una forma como la suma de una función par y una función impar. [Pista: sea E(x) = -2(F(x) + F ( - x)).] 15. Halle una ecuación de la nueva curva Cj que se obtiene cuando la gráfica de la curva C con una ecuación x2 - 3xy + 2y2 = 1 se refleja en a) el eje x, b) el eje y, c) el origen. Respuestas: a) x2 - 3xy + 2y2 = 1; b) igual que a); c) el mismo C. 16. a) Si la gráfica de f es simétrica respecto al eje y, demuestre quef es par. b) Si la gráfica de f es simétrica respecto al origen, entonces demuestre quef es impar. [Pista: para a), si x está en el dominio def, (x, f(x)) está en la gráfica y, por tanto, (-x, f(x)) está en la gráfica. Entonces, f(-x ) = f(x).] CA PÍTU LO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Sim etría www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. S im etría 17. D em uestre el teorem a 15.1: a) Si f ' ( x ) > 0 para x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba para a < x < b. b) Si f ' ( x ) < 0 para x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo para a < x < b. [Para a), sea x0 que pertenece a (a, b). C o m o f" (x 0) > 0, f es creciente en algún intervalo abierto I que contiene a x0. Sea que x esté en I y x > x0. Por el teorem a del valor m edio, f (x ) - f ( x 0) = f(x * )(x - x0) para algún x* con x0 < x* < x. Com o f es creciente, f ( x 0) < f (x*). E n toncesf(x ) = f (x*)(x - x0) + f (x 0) > f (x0)(x - x0) + f ( x 0). Pero y = f (x0)(x - x0) + f (x 0) es una ecuación de la tangente en x0. U n argum ento sim ilar funciona cuando x < x0. Luego, la curva queda por encim a de la recta tangente y, por tanto, es cóncava hacia arriba.] 18. ( c g ) U tilice una graficadora para trazar la gráfica d e f(x ) = x3 - 3x2 + 4x - 2. D em uestre analíticam ente que f es creciente y que existe un punto de inflexión en (-1 , 3). U se la calculadora para trazar la gráfica de f -1 y y = x, y observe que las gráficas de f y de f -1 son sim étricas respecto a y = x. x 219. ( c g ) Trate de dibujar la gráfica de y = 3 _ 3x 2 + 5 por m étodos estándar y luego use la graficadora para obtener inform ación adicional (como la ubicación de toda asíntota vertical). www.FreeLibros.me
  • 16 Repaso de trigonometría Medida del ángulo L a unidad tradicional para m edir los ángulos es el grado. U na rotación com pleta la form an 360 grados. Sin embargo, una unidad diferente, el radián, es m ás útil en cálculo. Considérese un círculo de radio 1 con centro en el punto C (fig. 16.1). Sean CA y CB dos radios para los que el arco AB del círculo tiene una longitud de 1. Entonces, un radián se tom a como la m edida de un ángulo central ACB. / \ Fig. 16.1 A Si u es el núm ero de grados en un ángulo ACB, entonces la razón de u a 360° es igual a la razón de AB con la circunferencia 2rc. Com o A B = 1, u/360 = 1/2rc y, por consiguiente, u = 180/rc. Así, 1 radián = grados. (1) Si n m ide aproxim adam ente 3.14, entonces 1 radián equivale a aproxim adam ente 57.3 grados. A l multiplicar la ecuación (1) por rc/180, se obtiene: 1grado = 1^0 radianes (2 ) En la tabla de la figura 16.2 se m uestra el equivalente en radianes de algunas m edidas im portantes en gra­ dos. A hora tóm ese cualquier círculo de radio r con centro O (fig. 16.3). Sea Z D O E que contiene 0 radianes y sea i la longitud del arco DE. L a razón de 0 al núm ero 2n radianes en una rotación com pleta es igual a la razón de i a toda la circunferencia 2nr. Entonces, 0/2rc = s/2nr. Por consiguiente, i = rd (3) « L29J www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 16 Repaso de trigonom etría Grados Radianes 30 6" 45 4 60 3" 90 2 180 3^270 ~ Y 360 2^ Fig. 16.2 Ángulos dirigidos Si se piensa que un ángulo es generado por una rotación, entonces su m edida se contará como positiva si la rotación va contra el sentido de las m anecillas del reloj y negativa si la rotación avanza en el sentido de las m anecillas del reloj. Obsérvese, por ejemplo, ángulos de n/2 radianes y -n /2 radianes en la figura 16.4. Se per­ m iten ángulos de m ás de una rotación com pleta. En la figura 16.5, por ejemplo, se m uestra un ángulo que va en sentido contrario a las m anecillas del reloj, generado por una rotación com pleta m ás otro cuarto de rotación, lo que produce un ángulo de 2n + n /2 = 5n/2 radianes, y un ángulo de 3n radianes producido por giro y medio en dirección contraria a las m anecillas del reloj. -2 radianes (90°) ----radianes 2 (-90°) 5—^ radianes +3^ radianes Fig. 16.4 Fig. 16.5 Funciones seno y coseno Considérese un sistem a de coordenadas con origen en O y un punto A en (1, 0). Se ro ta la flecha OA por un ángulo de 0 grados hacia una nueva posición OB . Entonces (fig. 16.6): 1. cos 0 está definido com o la coordenada x del punto B. 2. sen 0 está definido com o la coordenada y del punto B. E www.FreeLibros.me
  • -----4131^ a) Si 0 = ft/2, la posición final B es (0, 1). Por tanto, cos (ft/2) = 0 y sen (ft/2) = 1. b) Si 0 = ft, entonces B es (-1 , 0). Por ende, cos n = -1 y sen n = 0. c) Si 0 = 3ft/2, entonces B es (0, -1 ) . Así, cos (3ft/2) = 0 y sen (3ft/2) = -1 . d) Si 0 = 0 o 0 = 2ft, entonces B es (1, 0). Por tanto, cos 0 = 1 y sen 0 = 0, y cos 2ft = 1 y sen 2n = 0. Se observa que estas definiciones coinciden con las definiciones tradicionales en el caso de un ángulo agudo de un triángulo. Sea 0 un ángulo agudo de un triángulo rectángulo D EF y sea AO BG un triángulo sem ejante con hipotenusa 1 (fig. 16.7). Como los triángulos son semejantes, B G / BO = E F / E D , es decir, BG = b /c y, de igual form a OG = a /c . Entonces, cos 0 = a/c y sen 0 = b/c. Esto es lo m ism o que las definiciones tradicionales: „ lado adyacente a lado opuestoco s0 = —T-.— ~r--------- y sen B = -r-.— -r---------hipotenusa hipotenusa EJEMPLO 16.1. Fig. 16.7 Lado opuesto, b adyacente, a E c A hora es posible utilizar los valores obtenidos de la trigonom etría del bachillerato [véase el problem a 22a-c)]. En la tabla 16.1 se m uestran los valores m ás útiles. Prim ero se presentan algunas consecuencias sim ples de las definiciones. (16.1) cos (0 + 2 k ) = cos 0 y sen (0 + 2 k ) = sen 0 . Esto se cum ple porque una rotación com pleta adicional de 2n radianes im plica regresar al mismo punto. Tabla 16 .1 R ad ianes 0 G rados cos 0 sen 0 0 0 1 0 n /6 30 -v/3/2 1/2 tc/4 45 V2/2 V2/2 tc/3 60 1/2 -J3/2 n /2 90 0 1 n 1 oo o -1 0 3^/2 270 0 -1 CA PÍTU LO 16 Repaso de trigonom etría www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 16 Repaso de trigonom etría (16.2) cos ( - 0) = cos 0 y sen ( - 0) = -se n 0 (fig. 16.8). (16.3) sen2 0 + cos2 0 = 1 [De acuerdo con la notación tradicional, sen2 0 y cos2 0 significa (sen 0)2 y (cos 0)2.] En la figura 16.6, 1 = OB = ^Jco s20 + sen26 por el problem a 1 del capítulo 2. (16.3) im plica que sen2 0 = 1 - cos2 0 y cos2 0 = 1 - sen2 0 . ( - , +) (+, +) ( - , - ) (+, - ) Fig. 16.9 (16.4) En los cuatro cuadrantes, el seno y el coseno tienen los signos que aparecen en la figura 16.9. (16.5) Para cualquier punto A(x, y) diferente del origen O, sea r su distancia del origen, y sea 0 la m edida en radianes del ángulo desde el eje x positivo a la derecha OA (fig. 16.10). El par (r, 0) se denom ina coordenadas polares de A. Entonces, x = r cos 0 y y = r sen 0 (repase el problem a 8). Para la derivación de fórm ulas m ás com plicadas se dependerá del resultado siguiente: (16.6) (16.7) (16.8) (16.9) (16.10) (16.11) cos (u - v) = cos u cos v + sen u sen v Consúltese la dem ostración en el problem a 11. cos (u + v) = cos u cos v - sen u sen v Sustituya v por - v en (16.6) y use (16.2). cos (n/2 - v) = sen v y sen (n/2 - v) = cos v Rem place u por n /2 en (16.6) y utilice cos (n/2) = 0 y sen (n/2) = 1, lo cual resulta en cos (n/2 - v) : sen v. En esta fórmula, sustituya v por (n/2 - v) para obtener cos v = sen (n/2 - v). sen (u + v) = sen u cos v + cos u sen v Por (16.6) y (16.8), sen (u + v) = cos [n/2 - (u - v)] = cos [(n/2 - u) - v] = cos (n/2 - u) cos v + sen (n/2 - u) sen v = sen u cos v + cos u sen v. sen (u - v) = sen u cos v - cos u sen v Rem place v por - v en (16.9) y utilice (16.2). Sustituya v por u en (16.7) para obtener cos 2u : - sen2 u para obtener las otras dos formas. (16.12) sen 2u = 2 sen u cos u Rem place v por u en (16.9). cos2 u - sen2 u. U se sen2 u = 1 - cos2 u y cos2 u = 1 (16.13) cos2 ( 2 ) = 1 + c2os u cos u = cos 2 • 2 = 2 cos2( 2 I- 1 y cos 2u = cos2 u - sen2 u = 2 cos2 u - 1 = 1 - 2 sen2 u www.FreeLibros.me
  • -^ 133^ por (16.11). A hora se resuelve para cos21 ^ (16.14) sen2 N r =2 ) 2 Por (16.3) y (16.13) 2 ( u \ „ , ( u \ „ 1 + cos u 1 - cos u sen2 [ 2 ) = 1 - cos2 [ 2 ) = 1--------— = ^ T ~ (16.15) a) (Ley de cosenos). En todo triángulo A A B C (fig. 16.11), c2 = a 2 + b2 - 2 ab cos 0 Para ver una dem ostración, repase el problem a 11 a). b) (Ley de los senos) sen A = sen B = sen C a ~ b ~ c donde sen A es sen (ZBAC ), y de igual form a para sen B y sen C. Fig. 16.11 CA PÍTU LO 16 Repaso de trigonom etría www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 16 Repaso de trigonom etría PROBLEMAS RESUELTOS 1. Convierta las medidas siguientes de grados en radianes: a) 54o; b) 120o. a) 54o = 541180 radianes b) 120° = 1201180 radian 2. Convierta las medidas siguientes de radianes en grados: a) radianes; b) 5 ^ radianes; c) 2 radianes. a) 2=^radianes = 2 p | grados J = 72°. b) ^ ra d ia n e s = - ^ g r a d o s J = 150°. c) 2 radianes = 21 grados J = | J g 0J . 3. a) En un círculo de radio r = 3 centímetros (cm), ¿qué longitud de arco i a lo largo de la circunferencia corresponde al ángulo central 0 de ft/6 radianes? b) En un círculo de radio r = 4 pies, ¿qué ángulo central corresponde a una longitud de arco de 8 pies? Se sabe que i = r 0, donde 0 se mide en radianes. a) s = 3 ( n ) = centímetros. b) 0 = | r ) = 4 = 2 radianes. 4. ¿Cuáles rotaciones entre 0 y 2n radianes tienen el mismo efecto que las rotaciones con las medidas siguientes? a) 11p-radianes; b) 405°; c) - ^ radianes; d) -5 n radianes. a) ^ = 2n + 3 ^ . Así, la rotación equivalente es ^ radianes. b) 405° = (360 + 45)°. Por consiguiente, la rotación equivalente es 45°. c) - -y + 2n = -^-. Entonces, la rotación equivalente es radianes. d) -5 n + 6 k = K. Así, la rotación equivalente es n radianes. 5. Halle sen 0 si 0 es un ángulo agudo tal que cos 0 = -5. Por (16.3), (y)2+ sen2 6 = 1. Luego, sen2 6 = -9 y, por tanto, sen# = ± f . Como 0 es agudo, sen 0 es positivo. Entonces, sen# = f . 6. Demuestre que sen (n - 0) = sen 0 y cos (n - 0) = -cos 0. Por (16.10), sen(ft - 0) = sen n cos 0 - cos n sen 0 = (0) cos 0 - (-1) sen 0 = sen 0. Por (16.6), cos (n - 0) = cos K cos 0 + sen n sen 0 = ( - 1) cos 0 + (0) sen 0 = -cos 0. 7. Calcule estos valores: a) sen 2ft/3; b) sen 7ft/3; c) cos 9n; d) sen 390°; e) cos 3ft/4; f cos ft/12; g) sen ft/8; h) sen 19°. a) Por el problema 6, sen -2^ = sen|tf - y J = sen y = -y 3-. b) Por (16.1), s e n ^ = sen(2n + n )= sen n = ^ j - . c) Por (16.1), cos 9k = cos (n + 8 n) = cos n = -1. d) Por (16.1), sen 390° = sen (30 + 360)°= sen 30°= 1 . e) Por el problema 6, c o s y ^ = cos(k - y J = - c o s y = ~ ^2 r . 3 = 1 0 n radianes. ;s |= - y radianes. www.FreeLibros.me
  • -^ 135^ ^ n i n n \ n n , n n 1 V2 , J 3 J 2 J 2 + -J6f ) cosy^- = cos I Tj- — -¡-I = cos-^-cos-¡- + sen-^-sen-¡- = ------^L- g ) 12 \ 3 4 / 3 4 ' ^ “ 3 ^ “ 4 2 2 2 2 4 Por (16.14), sen2( ^ ) = 1 ~ cos?(^ /4 ) = 1 ~ (V 2 /2) = 2 por tanto, s e n = W 2 . Como 1 / 2 ^ 7 2 0 < nn < -3 , sen es positivo y, por consiguiente, sen-g- = —— 2------• h) 19° no puede expresarse en térm inos de ángulos más com unes (como 30°, 45°, 60°), de tal form a que cualquiera de las fórm ulas sea aplicable. Entonces debe usarse la tabla de los senos que se encuentra en el apéndice A, la cual da 0.3256; ésta es una aproxim ación correcta a cuatro cifras decimales. 8. D em uestre el resultado de (16.5): si (r, 0) son coordenadas polares de (x, y), entonces x = r cos 0 y y = r sen 0. Sea D el pie de la perpendicular que va de A(x, y) al eje x (fig. 16.12). Sea F el punto en el rayo OA a una distancia unitaria del origen. Entonces, F = (cos 0, sen 0). Si E es el p ie de la perpendicular que va desde F hasta el eje x, por consiguiente O E = co sd y FE = sen6 . Com o A A D O es sem ejante al A FE O (por el criterio A A ), se tiene que: OD = 0 a = A D , es decir, r O E O F F E ’ ’ co s0 1 s e n # ' Por tanto, x = r cos 0 y y = r sen 0. Cuando A(x, y) está en uno de los otros cuadrantes, la dem ostración puede reducirse al caso donde A está en el prim er cuadrante. Cuando A está en el eje x o en el eje y , el caso es m uy fácil. 9. Halle las coordenadas rectangulares del punto con coordenadas polares r = 3, 0 = ft/6. Por (16.5), x = r co s6 = 3cos n = 3 - ^ r y y = r send = 3sen-n = 3^1 ) = 3 . 10. Halle las coordenadas polares del punto (1, -v/3). Por (16.5), r 2 = x2 + y2 = 1 + 3 = 4. Entonces, r = 2. Por ende, co s0 = — = 1 y sen# = — = ^ 3 . Luego, a n r 2 r 2 d = 3 . 11. a) D em uestre la ley de cosenos [16.15a)]. b) D em uestre la ley de los senos [16.15b)]. a) O bserve la figura 16.11. Tome un sistem a de coordenadas con C como origen y B en el eje x positivo. Entonces, B tiene las coordenadas (a, 0). Sean (x, y) las coordenadas de A. Por (16.5), x = b cos 0 y y = b sen 0. Por la fórm ula de la distancia (2.1), c = -J (x — a )2 + (y — 0 )2 =y¡ (x — a )2 + y 2 CA PÍTU LO 16 Repaso de trigonom etría www.FreeLibros.me
  • ^ 136^ Por consiguiente, c2 = (x - a )2 + y2 = (b cos 0 - a )2 + (b sen 0)2 = b2 cos2 0 - 2ab cos 0 + a2 + b2 sen2 0 [Álgebra: (u - v)2 = u2 - 2 uv + v2]. = a 2 + b2 (cos2 0 + sen2 0) - 2ab cos 0 = a 2 + b2 - 2ab cos 0 [por (16.3)]. b) O bserve la figura 16.13. Sea D el pie de la perpendicular que va de A al lado BC, y sea h = AD. Entonces, sen B = AD / AB = h/c . Luego, h = c sen B y así el área de AABC = ^ (b ase x a ltu ra ) = -J ah = -J ac sen B (verifique que esto tam bién se cum ple cuando Z B es obtuso). D e igual form a, -J bc sen A = área de AABC = -ja b senC . Por tanto, -J ac sen B = \ bc sen A = -J ab sen C. Al dividir entre -Jabc se obtiene la ley de los senos. ______ CAPÍTULO 16 Repaso de trigonom etría A Fig. 16.13 12. Pruebe la identidad (16.6): cos (u - v) = cos u cos v + sen u sen v . C onsidérese el caso en que 0 < v < u < v + n (fig. 16.14). Por la ley de cosenos, B C 2 = 12 + 12 - 2(1)(1) cos ( Z BOC). Así, (cos u - cos v)2 + (sen u - sen v)2 = 2 - 2 cos (u - v) cos2 u - 2 cos u cos v + cos2 v + sen2 u - 2 sen u sen v + sen2 v = 2 - 2 cos (u - v ) (cos2 u + sen2 u) + (cos2 v + sen2 v) - 2(cos u cos v + sen u sen v) = 2 - 2 cos (u - v) 1 + 1 - 2(cos u cos v + sen u sen v) = 2 - 2 cos (u - v) cos u cos v + sen u sen v = cos (u - v) Todos los casos pueden derivarse del caso anterior. Fig. 16.14 www.FreeLibros.me
  • PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 13. Convierta las m edidas siguientes de radianes en grados: a) 4 radianes; b) n /10 radianes; c) 11n/12 radianes. Respuestas: a) (720/n)°; b) 18°; c) 165°. 14. Convierta estas m edidas de grados en radianes: a) 9°; b) 75°; c) (90/n)°. Respuestas: a) n /20 radianes; b) 5n/12 radianes; c) 1/2 radián. 15. R em ítase a la notación de la figura 16.3. a) Si r = 7 y 0 = n/14, halle s; b) si 0 = 30° y s = 2, halle r. Respuestas: a) n /2 ; b) 12/n. 16. H alle el ángulo de rotación entre 0 y 2n que provoca el m ism o efecto que las rotaciones siguientes: a) 17n/4; b) 375°; c) -n /3 ; d) -7n /2 . Respuestas: a) n /4 ; b) 15°; c) 5n/3; d) n/2. 17. Evalúe: a) cos (4n/3); b) sen (11n/6); c) cos 210°; d) sen 315°; e) cos 7 5°;f sen 73°. Respuestas: a) — -2; b) - -i; c) ; d) ; e ) 'E 3 1 ; f ) aproxim adam ente 0.9563. 18. Sea 0 un ángulo agudo y sen# = -4. Evalúe a) cos 0 ; b) sen 20 ; c) cos 20 ; d) cos -f. Respuestas: a) ; b) ^ ; c) 7 ; d) V s + W Ü . 4 8 8 4 19. Sea 0 un ángulo en el tercer cuadrante (n < 0 < ) y co s0 = - 3-. H alle a) sen 0 ; b) cos 20 ; c) sen ( q ). Respuestas: a) — -3 ; b) -t7 ; c) (3^10) . 5 25 10 20. En AA BC , A B = 5, A C = 7 y cos(ZABC) = -5. H alle BC . Respuesta: A ~ J l. 21. D em uestre la identidad sen0 = 1 ~ co s2 ^ . co s0 sen 20 22. D erive los valores siguientes: a) s e n = c o s = '; b) s e n ^ = c o s ^ = "1 ; c) sen -3 = c o s = :^ . [Sugerewc/as: a) Observe un triángulo rectángulo isósceles AABC. b) Considere un triángulo equilátero AA B C de lado 1. La recta A D que va de A al punto m edio D del lado B C es perpendicular a BC. Por ende, B D = -|. Com o sen-3 = co s -f- = —^ A B D contiene f radianes, co s(^ /3 ) = B D / A B = (1/2)/1 = -j. Por (16.8), sen(n/6) = cos(n/2 - n /6) = cos (n/3). c) sen2(^ /3 ) = 1 - cos2(^ /3 ) = 1 - \ = 7 . Entonces, sen (tf/3) = 4 y sen (tf/3) = - | (n /6) = sen (n/3) por (16.8).] ------------- ^ 137^ CA PÍTU LO 16 Repaso de trigonom etría www.FreeLibros.me
  • Derivación de funciones trigonométricas Continuidad de cos x y sen x Es claro que el cos x y el sen x son funciones continuas, es decir, que para todo 9, lím cos (9 + h) = cos 9 y lím sen (0+ h) = sen0 h ^ 0 1 h ^ 0 Para com probarlo, observe en la figura 17.1 que cuando h se aproxim a a 0, el punto C tiende al punto B. Por tanto, la coordenada x de C [que es cos (9 + h)] tiende a la coordenada x de B (que es cos 9), y la coordenada y de C [que es sen (9 + h)] tiende a la coordenada y de B (que es sen 9). Para hallar la derivada de sen x y cos x se necesitan los lím ites siguientes: (17.1) lím sen ^ = 10^0 U (17.2) l ím 1 ~ co s e = 0e^ü a Para ver una dem ostración de (17.1), revise el problem a 1. A partir de (17.1), (17.2) se deriva de la m anera siguiente: 1 - cosQ _ 1 - cos 9 1 + cos 9 _ 1 - cos2 9 9 9 1 + co s# 0(1 + co s0 ) sen20 _ sen 9 _ sen 9 9(1 + cos0) 9 1 + c o s # ' Por tanto, l í m i t e = l ím ^ m i . h m - ^ e n ^ = 1 . , ^ ^ = 1 = 1 .0 = 0 6 6 e^ 0 1 + costf 1 + co s0 1 +1 ------------------- www.FreeLibros.me
  • (17.3) Dx (sen x) = cos x (17.4) Dx (cos x) = -se n x Para ver una dem ostración de (17.3), repase el problem a 2. A partir de (17.3) se puede deducir (17.4), con la ayuda de la regla de la cadena y (16.8), de esta manera: Dx(cosx) = Dx | s e n ^ - x jj = c o s ^ - x j- (-1 ) = - senx Gráfica de sen x Com o sen (x + 2n) = sen x, sólo se debe construir la gráfica para 0 < x < 2n. A l igualar Dx (sen x) = cos x = 0 y observando que cos x = 0 en [0, 2n] cuando y sólo cuando x = n/2 o x = 3 n/2, se hallan los núm eros críticos n/2 y 3 n/2. Com o D^(sen x) = Dx (cos x) = - sen x, y -se n (n/2) = -1 < 0 y -se n (3 n/2) = 1 > 0, el criterio de la segunda derivada im plica que existe un m áxim o relativo en (n/2, 1) y un m ínim o relativo en (3n/2, -1 ). Puesto que Dx (sen x) = cos x es positivo en el prim er y cuarto cuadrantes, sen x es creciente para 0 < x < n/2 y para 3 n/2 < x < 2n. En virtud de que Dx2(senx) = - s e n x es positivo en el tercer y cuarto cuadrantes, la gráfica es cóncava hacia arriba para n < x < 2n. Así, habrá un punto de inflexión en (n, 0), así como en (0, 0) y (2n, 0). Parte de la gráfica se m uestra en la figura 17.2. Gráfica de cos x Obsérvese que sen (n/2 + x) = sen (n/2) cos x + cos (n/2) sen x = 1 • cos x + 0 • sen x = cos x. Así, la gráfica de cos x puede trazarse m oviendo la gráfica de sen x en n/2 unidades a la izquierda, com o se m uestra en la figura 17.3. ------------- ^ 139^ Fig. 17.3 CA PÍTU LO 17 D erivación de funciones trigonom étricas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonom étricas Las gráficas de y = sen x y y = cos x constan de ondas repetidas, y cada una de ellas se extiende por un inter­ valo de longitud 2rc. La longitud (periodo) y la altura (amplitud) de las ondas pueden cam biarse al m ultiplicar el argumento y el valor, respectivam ente, por constantes. EJEMPLO 17.1. Sea y = cos 3x. La gráfica se m uestra en la figura 17.4. Com o cos 3(x + 2ft/3) = cos (3x + 2n) = cos 3x, la función es de periodo p = 2ft/3. Por tanto, la longitud de cada onda es 2^/3. E l núm ero de ondas sobre un intervalo de longitud 2 n (correspondiente a una rotación com pleta del rayo que determ ina el ángulo x) es 3. Este núm ero se denom ina la frecuencia f de cos 3x. En general, p f = (longitud de cada onda) x (núm ero de ondas en un intervalo de 2n) = 2n. Por ende, f = 2n/p. Fig. 17.4 Para toda b > 0, las funciones sen bx y cos bx tienen una frecuencia b y un periodo 2n/b, EJEMPLO 17.2. y = 2 sen x. La gráfica de esta función (fig. 17.5) se obtiene de la de y = sen x al duplicar los valores de y. El periodo y la frecuencia son sim ilares a los de y = sen x, es decir, p = 2 n y f = 1. La am plitud, es decir, la altura m áxim a de cada onda, es 2. Fig. 17.5 EJEMPLO 17.3 En general, si b > 0, entonces y = A sen bx y y = A cos bx tienen periodo 2n/b, frecuencia b y am plitud IAI. En la figura 17.6 se presenta la gráfica de y = 1.5 sen 4x. www.FreeLibros.me
  • ^ 141^ Fig. 17.6 Otras funciones trigonométricas Tangente tan x = sen x Cotangente cot x = Secante sec x = cos x cos x _ 1 sen x tan x 1 cos x 1Cosecante cosec x = -senx Derivadas (17.5) Dx (tan x) = sec2 x (17.6) Dx (cot x) = - cosec2 x (17.7) Dx (sec x) = tan x sec x (17.8) Dx (cosec x) = - cot x cosec x Para obtener las dem ostraciones, repase el problem a 3. Otras relaciones (17.9) tan2 x + 1 = sec2 x tan2 x +1 = sen22x +1 = sen2 x +2cos2 x = - V = sec2 x cos2 x cos2 x cos2 x (17.10) tan (x + n) = tan x y cot (x + n) = cot x Entonces, tan x y cot x tienen un periodo n. Repase el problem a 4. (17.11) tan (-x) = - ta n x y cot (-x) = - cot x tan ( - x) = senl( x ) = -se tix = - sen x = - tan x, y de igual form a para cot xco s(-x ) cos x cos x J b 1 CA PÍTU LO 17 D erivación de funciones trigonom étricas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonom étricas Gráfica de y = tan x Com o tan x tiene un periodo n, basta determ inar la gráfica en -rc/2, n/2). Puesto que tan(-x) = - ta n x, hay que trazar sólo la gráfica en (0, n/2) y luego reflejarla en el origen. Com o tan x = (sen x)/(cos x), habrá asíntotas verticales en x = n/2 y x = -^ /2 . Por (17.5), Dx (tan x) > 0 y, por tanto, tan x es creciente. D i (tan x) = Dx (sec2 x) = 2 sec x(tan x sec x) = 2 tan x sec2 x . Así, la gráfica es cóncava hacia arriba cuando tan x > 0, es decir, para 0 < x < n/2, y existe un punto de inflexión en (0, 0). A lgunos valores especiales de tan x se indican en la tabla 17.1 y la gráfica aparece en la figura 17.7. Para un ángulo agudo 9 de un rectángulo, ta n 0 - senQ _ lado opuesto ^ lado adyacente _ lado opuesto co s0 hipotenusa ' hipotenusa _ lado adyacente Tabla 17 .1 x ta n x 0 0 n 6 f ~ 0.58 n 4 1 n 3 V3 ~ 1.73 Fig. 17.7 www.FreeLibros.me
  • Gráfica de y = sec x Com o sec x = 1/(cos x ), la gráfica tendrá una asíntota vertical x = x 0 para todo x 0 tal que cos x0 = 0, es decir, para x = (2n + 1)n/2, donde n es cualquier entero. Igual que cos x, sec x tiene un periodo de 2n, y se puede centrar la atención en ( -n , n). N ótese que |sec x| > 1, com o |cos x| < 1. A l ser Dx (sec x) = tan x sec x = 0, se hallan los núm eros críticos en x = 0 y x = n, y el criterio de la prim era derivada establece que existe un m ínim o relativo en x = 0 y un m áxim o relativo en x = n. Como D 2 (sec x) = Dx (tan x sec x) = tan x(tan x sec x) + sec x(sec2 x) = sec x(tan2 x + sec2 x) no hay puntos de inflexión y la curva es cóncava hacia arriba para - n /2 < x < n/2. La gráfica se m uestra en la figura 17.8. ------------- ^ 143^ Fig. 17.8 Ángulos entre curvas Por el ángulo de inclinación de una recta no vertical L se entiende el ángulo a m ás pequeño que se form a en sentido contrario al de las m anecillas del reloj desde el eje x positivo a la recta (fig. 17.9). Si m es la pendiente de L, entonces m = tan a. [Se com prueba en la figura 17.10, donde se considera que la recta L ' es paralela a L y, por consiguiente, tiene la m ism a pendiente m . Entonces, m = (sen a - 0)/(cos a - 0) = (sen a)/(cos a ) = tan a .] Fig. 17 .9 Fig. 17.10 Por un ángulo entre dos curvas en un punto de intersección P se entiende el m ás pequeño de los dos ángulos com prendidos entre las tangentes a las curvas en P (repase los problem as 17 y 18). CA PÍTU LO 17 D erivación de funciones trigonom étricas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonom étricas PROBLEMAS RESUELTOS 1. Pruebe (17.1): lím sen ^ = 1-0^0 U Como : sen|^, se debe considerar sólo 0 > 0. En la figura 17.11, sea 0 = ZAOB un ángulo central pequeño positivo de un círculo de radio OA = OB = 1. Sea C el pie de la perpendicular trazada desde B hasta OA. Obsérseve que OC = cos 0 y CB = sen 0. Sea D la intersección de OB con el arco de un círculo con centro en O y radio OC . Entonces, Área del sector COD < área de ACOB < área del sector AOB Fig. 17.11 Nótese que el área del sector COD = ^ 6 cos2 6 y el área del sector AOB = 2 6 . [Si W es el área de un sector determinado por un ángulo central 0 de un círculo de radio r, entonces W/(área del círculo) = 0/2ft. Así, W/nr2 = Q/2n y, por tanto, W = y 6 r2.] Entonces, 2 9 cos2 Q < “2 sen Q cos < 4r & Al dividir entre ^ QcosQ > 0 se obtiene co se < ^ < - 1 d cos# Cuando 0 tiende a 0+, cos 0 ^ 1, 1/(cos 0) ^ 1. Por tanto, 1 < l í m ^ < 1 Así0^0 U l í m S ^ 1 0^0 o Pruebe (17.3): Dx (sen x) = cos x. Aquí se utilizarán (17.1) y (17.2). Sea y = sen x. Entonces, y + Ay = sen (x + Ax) y Ay = sen(x + Ax) - sen x = cos x sen Ax + sen x cos Ax - sen x = cos x sen Ax + sen x (cos Ax - 1) = lím = lím (cos x sel¡!^x + sen x cos^ x - 1) dx A« 0 Ax am0\ Ax Ax ) = (cos x) Aun seAAx + (senx) Hm cos^ ^ ~ 1 = (cos x)(1) + (sen x)(0) = cos x 3. Demuestre a) Dx (tan x) = sec2 x (17.5); b) Dx (sec x) = tan x sec x (17.7). ^ d ^ = d í sen x \ = cos x cos x - sen x (-sen x) a) d x ( x) d x \ cos x ) cos2 x = cos2 x + sen2 x = 1 = 2 x cos2x cos2x www.FreeLibros.me
  • -^ 145^ b) Derivando ambos lados de (17.9), tan2 x + 1 = sec2 x, m ediante la regla de la cadena se obtiene 2 tan x sec2 x = 2 sec x Dx(sec x). Por tanto, Dx (sec x) = tan x sec x. 4. Pruebe (17.10): tan(x + n) = tan x. sen (x + K) = sen x cos n + cos x sen n = -s e n x cos (x + K) = cos x cos n - sen x sen n = -c o s x Entonces, tan (x + n ) = Sen((x + 7t\ = - ^ x = ^ = tan x cos( x + n ) - cos x cos x 5. D eduzca tan ( u - v ) = - t a n u - tanv1 + tan u tan v tan (u - v ) = sen (u - v) = sen u cos v - cos u sen v ( ) cos (u - v) cos u cos v + sen u sen v sen u sen v cos u— cosv (divida el numerador y el denominador entre cos u cos v1 + sen u sen v J cosu cosv tan u - tan v 1 + tan u tan v 6. Calcule las derivadas de las funciones siguientes: a) 2 cos 7x; b) sen3 (2x); c) tan (5x); d) sec (1/x). a) Dx (2 cos 7x) = 2(-sen 7x)(7) = -14 sen 7x b) Dx (sen3 (2x)) = 3(sen2 (2x))(cos (2x))(2) = 6 sen2 (2x) cos (2x) c) Dx (tan (5x)) = (sec2 (5x))(5) = 5 sec2 (5x) d) Dx (sec (1/x)) = tan (1/x) sec (1/x)(-1/x2) = -(1 /x2) tan (1/x) sec (1/x) 7. Halle todas las soluciones de la ecuación cos x = 2 Al resolver (^)2 + y2 = 1, se observa que los únicos puntos en el círculo unitario con abscisa 1 son (■, ^ ) y (2, - ^ T ) . Los ángulos centrales correspondientes son n/3 y 5^/3. Éstas son, entonces, soluciones en [0, 2k]. Como cos x tiene periodo 2k, las soluciones son n/3 + 2kh y 5n/3 + 2ftn, donde n es cualquier número entero. 8. Calcule los límites siguientes: a) lím sen 5x ; b) lím sen 3 x ; c) lím tan xx^ 0 2x x^ 0 sen 7x x^ 0 x a) lím sen5x = l ím 5 sen5x = l lím senu = 1 (1) = 5 a) i1™ 2x ^ 2 5x 2^-50 u 2(1) 2 b) l í m ® ^ = l í m ® ^ • - % - ■ 3 = 3 lím ® ® “ l í m ^ - 7 x^ 0 sen 7x x^ 0 3x sen 7x 7 7 u^ 0 u u^ 0 sen u = 3(1)(1) = 7 c) lím ‘a n x = lím senx = lím senx • lím - L - x^ 0 x x^ 0 x cos x x^ 0 x u—>0 cos x = (1)(-1)=1 9. Sea y = x sen x. Halle y'". y ' = x cos x + sen x y" = x(-sen x) + cos x + cos x = - x sen x + 2 cos x Y " = -x cos x - sen x - 2 sen x = -x cos x - 3 sen x CA PÍTU LO 17 D erivación de funciones trigonom étricas www.FreeLibros.me
  • ^ 146^ - CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonom étricas 10. Sea y = tan2 (3x - 2). Halle y". y ' = 2 tan (3x - 2) sec2 (3x - 2) • 3 = 6 tan (3x - 2) sec2 (3x - 2) y " = 6[tan (3x - 2) • 2 sec (3x - 2) • sec (3x - 2) tan (3x - 2) • 3 + sec2 (3x - 2)sec2 (3x - 2) • 3] = 36 tan2 (3x - 2) sec2 (3x - 2) + 18 sec4 (3x - 2) 11. Sea y = sen(x + y). Halle y'. y ' = cos (x + y) • (1 + y') = cos (x + y) + cos (x + y) • (y'). Al despejar y' . cos( x + y) y 1 - cos( x + y) 12. Sea sen y + cos x = 1. Halle y". cos y • y ' - sen x = 0. Entonces y'= cos y cos y cos x - sen x(-sen y) • y ' = cos x cos y + sen x sen y • y' y cos2 y cos2 y = cos x cos y + sen x sen y (sen x)/(cos y) = cos x cos2 y + sen2 x sen y cos2 y cos3 y 13. Un piloto se dirige a un sitio en la Tierra frente a él. Si el avión, a 2 millas de altura, vuela a 240 millas/hora (mi/h), ¿cuán rápido debe girar el visor cuando el ángulo entre la trayectoria del avión y la línea de la visual es de 30°? (Fig. 17.12.) ^ = -240m i/h y x = 2co t0 dt J De la última ecuación, = -2cosec2 6 ^ . Así, -2 4 0 = -2 (4 )d^ cuando 0 = 30°dt dt dt -d^ = 30 rad/h = 2 ^ grados /s 240 mi/h 14. Trace la gráfica de f(x) = sen x + cos x. f(x) tiene un periodo de 2 p Por tanto, se debe considerar sólo el intervalo [0, 2n]. f ( x ) = cos x - sen x, y f "(x) = -(sen x + cos x). Los números críticos ocurren donde cos x = sen x o tan x = 1, x = k/4 o x = 5ft/4. f "(n /4 ) = - ( V 2 /2 + V 2 /2 ) = —y¡2 < 0 . Entonces, existe un máximo relativo en, x = n /4 , y = V2". f " (5^ /4 ) = - ( - V 2 /2 — >/2 /2 ) = y¡2 > 0 . Es decir, se presenta un mínimo relativo en x = 5 n /4 ,y = -y[2 . Los puntos de inflexión ocurren cuando f " (x) = -(sen x + cos x) = 0, sen x = -cos x, tan x = -1 , x = 3^/4 o x = 7^/4, y = 0 (fig. 17.13). Fig. 17.13 www.FreeLibros.me
  • -^ 147^ 15. Trace la gráfica d e f x) = cos x - cos2 x. f ( x ) = -sen x - 2(cos x)(-sen x) = (sen x)(2 cos x - 1) y f ' ( x ) = (sen x)(-2 sen x) + (2 cos x - 1)(cos x) = 2(cos2 x - sen2 x) - cos x = 4 cos2 x - cos x - 2 Como f tiene un periodo 2 n sólo debe considerarse [-n , n], y como f es par, únicamente debe prestarse atención a [0, k]. Los números críticos son las soluciones en [0, k] de sen x = 0 o 2 cos x - 1 = 0. La primera ecuación tiene soluciones 0 y n, y la segunda equivale a co sx = y, la cual tiene la solución n/3 .f '( 0 ) = 1 > 0; entonces, hay un mínimo relativo en (0, 0). f ' ( f t ) = 3 > 0; luego, existe un mínimo relativo en (n, -2). f " f = - - f < 0 ; por tanto, hay un máximo relativo en (f , j ) . Hay puntos de inflexión entre 0 y f y entre f y p que pueden hallarse mediante la fórmula cuadrática para resolver 4 cos2 x - cos x - 2 = 0 para cos x utilizando después una tablas de cosenos o una calculadora para aproximar x (fig. 17.14). Fig. 17.14 16. Halle los extremos absolutos de f(x) = sen x + x en [0, 2p|. f ( x ) = cos x + 1. Sea f ( x ) = 0, con lo que se obtiene cos x = -1 y, por tanto, el único número crítico en [0, 2 p es x = p. Se tabula p y los dos puntos extremos 0 y 2 p y se calculan los valores d e fx ): x f x ) K n 0 0 2 n 2 n Por consiguiente, el máximo absoluto 2 p se obtiene en x = 2p, y el mínimo absoluto 0 en x = 0. 17. Halle el ángulo en el que las rectas % y = x + 1 y % 2: y = —3x + 5 se cortan. Sean a 1 y a 2 los ángulos de inclinación de % 1 y % 2 (fig. 17.15), y sean m1 y m 2 las pendientes respectivas. Entonces, tan a j = mj = 1 y tan a 2 = m2 = -3 . a 2 - a j es el ángulo de intersección. Ahora, por el problema 5, ta n a , - ta n a , m2 - m, _ 3 _ i '■ a 2 a i) _ 1 + tanoij ta n a 2 _ 1 + m 1m 2 ~ 1 + (-3)(1) = — = 2 - 2 2 CA PÍTU LO 17 D erivación de funciones trigonom étricas www.FreeLibros.me
  • ^ 148^ CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonom étricas D e una calculadora graficadora se obtiene a 2 - a ¡ ~ 63.4°. 18. Halle el ángulo a entre las parábolas y = x2 y x = y2 en (1, 1). 2 — (—) — 3 Com o Dx (x2) = 2x y Dx (>/x) = , las pendientes en (1, 1) son 2 y i . Por tanto, t a n a = 1 + 2(2i ) = "2 = 4 . Entonces, m ediante una calculadora graficadora se aproxim a a a 36.9°. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 19. D em uestre que cot (x + n) = cot x, sec (x + 2n) = sec x y cosec (x + 2n) = cosec x. 20. H alle el periodo p , la frecuencia f y la am plitud A de 5 sen (x/3) y trace su gráfica. Respuesta: p = 6n , f = 3 , A = 5 21. Encuentre todas las soluciones de cos x = 0. Respuesta: x = (2n + 1)-^ para todo entero en n. 22. H alle todas las soluciones de tan x = 1 Respuesta: x = (4n + 1)-^ para todo entero en n. 23. Trace la gráfica de f (x) = 2 - enx .2 cos X Respuesta: véase la figura 17.16. www.FreeLibros.me
  • -^ 149^ 24. Deduzca la fórmula tan(u + v) = tan u + tan v 1 - tan u tan v 25. Halle y'. a) y = sen 3x + cos 2x b) y = tan (x2) c) y = tan2 x d) y = cot (1 - 2x2) e) y = x2 sen x f ) y = coS x Respuesta: y ' = 3 cos 3x - 2 sen 2x Respuesta: y ' = 2x sec2 (x2) Respuesta: y ' = 2 tan x sec2 x Respuesta: y ' = 4x cosec2(1 - 2x2) Respuesta: y ' = x2 cos x + 2x sen x Respuesta: y ' = ~ xsen x ~ cos x 26. Evalúe: a ) l í m ^ ;x^osen bx Respuestas: a) b ; b) -9 b) lím 7 x^o xsen2(3x) d 2 x27. Si x = A sen kt + B cos kt, demuestre que = —k 2x . d t2 28. a) Si y = 3 sen (2x + 3), demuestre que y" + 4y = 0. b) Si y = sen x + 2 cos x, demuestre que y ''' + y" + y' = 0. 29. i) Analice y dibuje lo siguiente en el intervalo 0 < x < 2n. ii) (CG) Comprueba las respuestas del inciso anterior con una graficadora. a) y = is e n 2 x b) y = cos2 x - cos x c) y = x - 2 sen x d) y = sen x(1 + cos x) e) y = 4 cos3 x - 3 cos x Respuestas: a) máximo en x = n/4, 5^/4; mínimo en x = 3^/4, 7^/4; punto de inflexión en x = 0, nl2, n, 3^/2. b) máximo en x = 0, p mínimo en x = n/3, 5^/3; punto de inflexión en x = 32° 32', 126° 23', 233° 37', 327° 28'. c) máximo en x = 5^/3; mínimo en x = k/3; punto de inflexión en x = 0, n. d) máximo en x = n/3; mínimo en x = 5^/3; punto de inflexión en x = 0, n, 104° 29', 255° 31'. e) máximo en x = 0, 2^/3, 4^/3; mínimo en x = n/3, n, 5^/3; punto de inflexión en x = n/2, 3n/2, n/6 ,5 n /6 ,7n /6 , 11n/6. CA PÍTU LO 17 D erivación de funciones trigonom étricas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonom étricas 30. Si el ángulo de elevación del Sol es 45° y decrece a i radianes por hora, ¿a qué velocidad se alarga la sombra proyectada en el suelo por un poste de 50 pies de altura? Respuesta: 25 pies/hora. 31. U se la derivación im plícita para hallar y': a) tan y = x2; b) cos (xy) = 2y. n ^ 2 , y sen (xy)Respuestas: a) y = 2x cos2 y; b) y = — ----------------- -. 2 + x sen (xy) www.FreeLibros.me
  • 18 Funciones trigonométricas inversas Las funciones seno y coseno, además de otras funciones trigonométricas, no son uno a uno, por lo que no tienen funciones inversas. Sin embargo, es posible restringir el dom inio de las funciones trigonom étricas de form a tal que se vuelvan uno a uno. En la gráfica de y = sen x (fig. 17.2) se m uestra que en el intervalo - n /2 < x < rc/2 la restricción de sen x es uno a uno. D e esta manera, se define sen-1x com o la función inversa correspondiente. El dom inio de dicha función es [-1 , 1], el cual es el rango de sen x. Así, 1. sen-1 (x) = y si y sólo si sen y = x. 2. E l dom inio de sen-1 x es [-1 , 1]. 3. E l rango de sen-1 x es [-rc/2, rc/2]. L a gráfica de sen-1 x se obtiene de la gráfica de sen x por reflexión en la recta y = x (fig. 18.1). EJEMPLO 18.1. En general, sen-1 x = el núm ero y en [-ft/2 , ft/2] tal que sen y = x. En particular, sen-1 0 = 0, sen-1 1 = rc/2, sen-1 (-1 ) = -rc/2, sen~'(y) = n / 6, sen-1(V 2/2 ) = n / 4 , sen~'(>/372) = n /3 . Tam bién, sen-1( - - j) = n / 6. En general, sen-1(-x) = -s e n -1 x, ya que sen (-y ) = -s e n y. La derivada de sen 1 x Sea y = s e n 1 x. Com o sen x es derivable, s e n 1 x es derivable por el teorem a 10.2. Ahora, sen y = x y, enton­ ces, por derivación im plícita, (cos y)y ' = 1. Por tanto, y ' = 1/(cos y). Pero cos2 y = 1 - sen2 y = 1 - x2. Así, cos y = +V1 - x 2 . Por definición de s e n 1 x, y está en el intervalo [-rc/2, rc/2] y por consiguiente, cos y > 0. y 2 y = sen-1 x Fig. 18.1 « L51J www.FreeLibros.me
  • ^ 152^ CAPÍTULO 18 Funciones trigonom étricas inversas Entonces, cos y = V 1 - x 2. Por ende, y ' = . 1 . Así, se ha dem ostrado que (18.1) Dx (se n 1 x) = V i— Función coseno inversa Si se restringe el dom inio de cos x a [0, rc], se obtiene una función uno a uno (con rango [-1 , 1]). Por ello, es posible definir cos-1 x como la inversa de esa restricción. 1. cos-1 (x) = y si y sólo si cos y = x. 2. E l dom inio de cos-1 x es [-1 , 1]. 3. E l rango de cos-1 x es [0, rc]. L a gráfica de cos-1 x se m uestra en la figura 18.2 y se obtiene m ediante reflexión de la gráfica de y = cos x en la recta y = x . Fig. 18.2 U n argumento sim ilar al anterior para (18.1) dem uestra que (18.2) Dx (cos-1 x) = — t = = V1 - x 2 Función tangente inversa Al restringir el dom inio de tan x al intervalo (-rc/2, rc/2) se obtiene una función uno a uno (con rango en el conjunto de todos los núm eros reales), cuya inversa es tan-1 x. Entonces: 1. tan-1 (x) = y si y sólo si tan y = x. 2. E l dom inio de tan-1 x es ( — +^>), 3. E l rango de tan-1 x es (—rc/2, rc/2). EJEMPLO 18.2. En general, tan-1 x = al número y en (-n /2 , ft/2) tal que tan y = x. En particular, tan-1 0 = 0, tan-1 1 = rc/4, tan-1(V3) = n /3 , tan-1( ^ / 3 ) = n / 6 . Como tan(-x) = -tan x, se sigue que tan-1 (-x) = - tan -1 x. Por ejemplo, tan-1 (-1) = -ft/4. x 1 2 y L a gráfica de y = t a n 1 x aparece en la figura 18.3. Se obtiene de la gráfica de y = tan x reflejada en la recta y = x. N ótese que y = n /2 es una asíntota horizontal a la derecha y y = -rc/2 es una asíntota horizontal a la iz­ quierda. www.FreeLibros.me
  • Las selecciones aparentem ente arbitrarias de los dom inios para las funciones trigonom étricas inversas se hicieron a fin de obtener fórm ulas sim ples para las derivadas. N o debe confundirse la notación para las funciones trigonom étricas inversas con notación exponencial. Por ejemplo, sen-1 x no es lo m ism o que (sen x)-1. Para evitar la posibilidad de tal confusión, se puede utilizar la siguiente notación alternativa en las funciones trigonom étricas inversas: arc sen x = sen-1 x , arc cos x = cos-1 x , etcétera. ------------- ^ 155^ PROBLEMAS RESUELTOS 1. Demuestre (18.5): Dx (sec 1 x) = - 1 x>/x2 - 1 Sea y = sec-1 x. Entonces, sec y = x y, por derivación implícita, tan y sec y (y ') = 1. Ahora, tan2 y = sec2 y - 1 = x2 - 1; así, tan y = ± x 2 - 1 . Por definición de sec-1 x, y está en [0, ft/2) o en [ft, 3ft/2) y, por consiguiente, tan y es positiva. Por ende, tan y = Vx 2 - 1. Entonces, 1 1 y = -------------- — iJ tan y sec y xV x2 - 1 En los problemas 2 a 8, halle la primera derivada y '. 2. y = sen-1 (2x - 3). Por (18.1) y la regla de la cadena, y ' = 1 V1 - (2 X - 3)2 Dx (2x - 3) = 4 1 2 x - 4 x 2 - 8 y¡3x - x 2 - 2 3. y = cos 1 (x2). Por (18.2) y la regla de la cadena, y ' = - 1 Dx(x)2 = - - 2x y¡1 - (x 2) 4. y = tan-1 (3x2). 1 f Por (18.3) y la regla de la cadena, y ' = ~ 1 + (3x2)2 Dx(3x2) = 6x9 x4 ? = cot-1 ( )1 +í ) Por (18.4) y la regla de la cadena, 1 1 + 1 + x 1 - x 2 D 1 + x x ' 1 + ( l i x \1 - x 1 (1 - x) - (1 + x ) ( -1) (1 - x)2 (1 - x)2 + (1 + x)2 1 + x2 2 1 4 6. y = W a 2 - x 2 + a 2sen 1 ( ^ y ' = x [-j(a2 - x 2) 1/2(-2x )] + (a 2 - x 2)1/2 + a 2 - 1 1 -y/1 - (x/a)2 a — = 24 a 2 7. y = x cosec 1 ( 1 ) W 1 - x 2 para 0 < x < 1. y = x 1 1 PV x :x 2 1 + cosec 11X) + "2 ( 1 _ x 2)1/2( -2 x) = cosec 1 |-X- CA PÍTU LO 18 Funciones trlgonom étrlcaslnversas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 18 Funciones trigonom étricas Inversas 8. y = a b t a n 1 (a tan x ) ' y = ab --------- D (— tan x |, ¡ K ^ \a I1 + | a tan x 1 a 2 cos2 x + —2 sen2 x 1 a— a2 + —2 tan2 x a — 2 —sec2x = a2 + b 2tan2 x 9. Sea y2 sen x + y = tan-1 x. Halle y '. Por derivación implícita, 2yy'sen x + y 2 cos x + y ' = i ^ 2. Por tanto, y '(2y sen x + 1) = i ^ 2 - y2 cos x y entonces, 1 - (1 + x2) y2 cos x y = 1 + x 2 (2y sen x + 1) 10. Evalúe a) sen 1(^> /2 /2 ); b) cos-1 (1); c) cos-1 (0); d) cos 1(^); e) tan 1(^>/3); f ) sec-1 (2); g) sec-1 (-2). a) sen ‘(-V 2 / 2) = - seir1(V2 /2 = - ■^/4 b) cos-1 ( 1) = 0, puesto que cos (0) = 1 y 0 está en [0, ft] c) cos-1 (0) = k / 2 , ya que cos (ft/2) = 0 y (ft/2) está en [0, ft] d) cos-K i) = * /3 e) tan-1‘( - ^ 3 ) = - tan-1^ N/3) = - n /3 f ) sec-11 (2) = rc/3, ya que sec | 1 1 23 j cos(tf/3) 1 2 g) sec-1 (-2) = 4ft/3, porque (4^ / 3) == 1 = 1 = 2 cos(4^/3) - 4n 2 11. Demuestre que sen 1 x + cos 1 x = -y. Dx(sen-1 x + cos-1 x) = a/1 - x 2 \ /1 -■ - = 0 ' Entonces, por el problema 15 del capítulo 13, sen 1 x + cos 1 x es n una constante. Com o sen -10 + cos-10 = 0 + — = — , esa constante es -y. 2 2 2 12. a) D em uestre sen(sen-1 (y)) = y; b) determ ine sen-1 (sen n ); c) pruebe que sen-1 (sen x) = x si y sólo si x está en [ - tó , tc/2]. a) Esto resulta directam ente de la definición de sen-1 (y). b) sen-1 (sen n) = sen-1 0 = 0. c) sen-1 y es igual al núm ero x en [-ft/2, ft/2] tal que sen x = y. Así, si x está en [-ft/2 , tc/2], sen-1 (sen x) = x. Si x no está en [-ft/2, tc/2], entonces sen-1 (sen x) ^ x, ya que, por definición, sen-1 (sen x) debe estar en [-tc/2, %I2], 13. Evalúe a) cos(2sen-1(f)); b) sen(cos-1(-1-)). a) Por (16.11), cos(2sen-1( |) ) = 1 - 2sen2(sen-1(f)) = 1 - 2 ( f )2 = 1 - y, = -JJ. b) sen2(cos-1( - | ) ) = 1 - cos2(cos-1( - f ) ) = 1 - ( - f ) 2 = Por tanto, sen(cos-1( - -f)) = ± V 7 /4 . Puesto que cos-1( - -f) está en el segundo cuadrante, sen(cos-1( - |-)) > 0 . Entonces, sen(cos-1( - f ) ) = V 7 /4 . sec2 xa www.FreeLibros.me
  • -^ 157^ 14. El borde inferior de un mural de 12 pies de altura está situado a 6 pies por encima de los ojos de un observador. De acuerdo con el supuesto de que la vista más favorable se obtiene cuando el ángulo subtendido por el mural y los ojos es un máximo, ¿a qué distancia de la pared debería pararse el observador? Sea 0 el ángulo subtendido y x la distancia desde la pared. De la figura 18.7, tan (0 + 0) = 18/x, tan 0 = 6/x, y tan 0 = tan[«> + * ) - « = “ f + ++ - ‘“‘ l = ^r 1 + tan(0 + 0 ) ta n 0 1 + (18/x)(6/x) x2 + 108 Fig. 18.7 Entonces, Q = tan 12x 2 +108 / y dx d e _ 12( - x 2 +108) x4 + 360x2 +11664 El número crítico x = 6>/3 ~ 10.4. Por el crítico de la primera derivada, esto resulta en un máximo relativo. El observador debería pararse aproximadamente a 10.4 pies frente a la pared. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 15. Evalúe a) sen 1(--v/3/2); b) cos 1(>/3/2); c) cos 1(--v/372); d) tan 1( -y f3 /3 ) ; e) sec 1^ V2); f sec 1(^V2). Respuestas: a) b) c) ^ ; d) e) - | ; f ^ 16. Demuestre que tan-1 x + cor 1 x = . En los problemas 17 a 24 halle y '. 17. y = sen-1(3x) 18. y = cos-1(^ 1 x) 19. y = M r 1 (f ) 20. y = sen-1 (x - 1) 21. y = x2cos-1 (x ) 3 Respuesta: . ■J\——9 x I Respuesta: — ^ ^ 2 Respuesta: y¡2x — x 2 Respuesta: 2 x I cos 1 ( — i t - ¡ = l U ) v x ^ 4 1 CA PÍTU LO 18 Funciones trigonom étricas Inversas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 18 Funciones trlgonom étrlcaslnversas x x 222. y = i ^ - sen-1( x - a) R espuesta : — -------- ^-3— V a2 - x 2 (a - x ) 23. y = (x - a)y¡2ax- x 2 + a 2sen- 1 ( x - a ) Respuesta: 2\¡2 a x - x 2 24. y = ^ x 2- 4 + ^ se c - 1(^ x ) Respuesta: , , 8 7 x 2 2 V2 7 r x V x 2 - 4 25. Prueba las fórm ulas (18.2), (18.4) y (18.6). 26. Sea 9 = cos 1(-7). H alle a) sen 0; b) cos 0; c) tan 0; d) cot 0; e) sec 0; f cosec 0; g) cos 20; h) sen 20. Respuestas: a) ^ T 5 ; b) -7; c) 3 2 5 ; d) ^ j f 5 ; e) 2 ; f ) ^ f 5; g) - h) 27. Sea 0 = sen-1( - -5). H alla a) sen 0; b) cos 0; c) tan 0; d) cot 0; e) sec 0 ;f ) cosec 0; g) cos 20; h) sen 20. Respuestas: a) - - f ; b) 2f ^ ; c) - -y ^ ; d) - 2 ^ 6 ; e) 51 2 ; f) -5 ; g) -^ f ; h) - 42c6 28. D em uestre ta n 20 = . 2 ta n ? „ .1 - tan2 6 29. Evalúe a) cos^en -1^ ) ) ; b) tan(sec- 1(-fX; c) sen(cos- 1(-5) + sec 14); d) cos-1 ^cos3 ^ . Respuestas: a) -^H7 ; b) ; c) :!2 j L + "!~[05 ; d) ^ 30. H alle el dom inio y el rango de la función f x ) = sen(sec-1 x). Respuesta: dom inio Ixl > 1; rango (-1 , 1) 31. a) ¿Para qué valores de x es verdadero tan-1 (tan x) = x? b) (CG) Com prueba la respuesta del inciso anterior con una graficadora para trazar la gráfica de y = tan-1 (tan x ) - x . Respuesta: a) < x < -y 32. Se desea colocar una luz directam ente sobre el centro de un sitio circular de 30 pies de radio, a una altura tal que el borde reciba la m áxim a ilum inación. H alle la altura si la intensidad I en cualquier punto del borde es directam ente proporcional al coseno del ángulo de incidencia (ángulo entre el rayo de luz y la vertical) e inversam ente proporcional al cuadrado de la distancia de la fuente. (Sugerencia: sea x la altura requerida, y la distancia de la luz al punto del borde, y 0 el ángulo de incidencia. Entonces, I = k co s^ = —^ — k^ n .) y2 (x2 + 900) Respuesta: 15>/2 pies 33. D em uestre que sen 1 x = tan 1 | para Ixl < 1. A nalice qué sucede cuando Ixl = 1. www.FreeLibros.me
  • -^ 159^ 34. (CG) Evalúe sen '(y ) m ediante una calculadora graficadora. Respuesta: 0.6435 35. a) H alle sec (tan-1(y)); b) determ ine la fórm ula algebraica para sec (tan-1 (2x)). c) (CG) Com pruebe sus respuestas a los incisos anteriores con una graficadora. Respuestas: a) ; b) y¡1 + 4 x 2 36. Pruebe a) sec-1 x = cos-1 (1 ) para x > 1; b) sec-1 x = 2 n - cos-111 J para x < -1 . [La fórm ula del inciso a) se cum ple en general para Ixl > 1, si se hubiera definido sec-1 x como la inversa de la restricción de sec x para (-rt/2 , ft/2). Sin embargo, si se hubiera hecho esto, la fórm ula para Dx (sec-1 x) habría sido 1/(IxI Vx 2 - 1) en lugar de la fórm ula más sim ple 1/(x%/x2 - 1).] CA PÍTU LO 18 Funciones trigonom étricas inversas www.FreeLibros.me
  • Movimientos rectilíneo y circular Movimiento rectilíneo E l movimiento rectilíneo es el de un objeto en línea recta. Si existe un sistem a de coordenadas en esa recta y s representa la coordenada del objeto en cualquier instante t, entonces la posición del objeto está dada por una función s = f( t) (fig. 19.1). — i-----------------------------------1------ 1------------------------ 1------------------------1------------------------1------------------------ - 2 - 1 0 1 2 3 Fig. 19.1 L a posición en un m om ento t + At, m uy cercano a t, es f ( t + At). L a “distancia” que recorre el objeto entre el instante t y el instante t + At es f ( t + At) - f( t) . E l tiempo que el objeto ha recorrido es At. Entonces, la velocidad media durante este periodo de tiem po es f (t + At) - f (t) At (Obsérvese que la “distancia” puede ser negativa cuando el objeto se m ueve a la izquierda a lo largo del eje s. Así, la velocidad m edia puede ser positiva, negativa o cero.) Cuando At tiende a cero, esta velocidad m edia se aproxim a a lo que se conoce com o velocidad instantánea v en el tiem po t. Entonces, * = lím f (t + A ) - f (t) = f '( t )At^0 At J ’ Por tanto, la velocidad instantánea * es la derivada de la función de la posición s , es decir, * = ds/d t. E l signo de la velocidad instantánea v indica en qué dirección se m ueve el objeto a lo largo de la recta. Si v = ds/dt > 0 en un intervalo de tiempo, entonces, por el teorem a 13.7a), se sabe que s debe ser creciente, es decir, el objeto se desplaza en dirección de s creciente a lo largo de la recta. Si v = ds/dt < 0, entonces el objeto se está m oviendo en la dirección de s decreciente. L a rapidez instantánea se define com o el valor absoluto de la velocidad. Así, la rapidez indica cuán rápido se m ueve el objeto, pero no su dirección. En un automóvil, el velocím etro señala la rapidez instantánea a la que se desplaza el auto. L a aceleración a de un objeto que se m ueve en línea recta está definida por la razón a la que cam bia la ve­ locidad, es decir, la derivada de la velocidad: = d v = d 2s a = dt = d t2 EJEMPLO 19.1. Sea la posición de un automóvil en una autopista dada por la ecuación s = f(t) = t2 - 5 t, donde s se mide en millas y t en horas. Así, la velocidad v = 2t - 5 millas por hora (mi/h) y su aceleración a = 2 mi/h2. Por tanto, su velocidad es creciente a una razón de 2 millas por hora por hora. rí6» www.FreeLibros.me
  • -^ 161^ Cuando un objeto que se m ueve en línea recta cam bia de dirección, su velocidad v = 0. Un cam bio de direc­ ción ocurre cuando la posición 5 llega a un extrem o relativo, y esto sucede sólo cuando ds/dt = 0. (Sin embargo, lo contrario es falso; ds/dt = 0 no siem pre indica un extrem o relativo. U n ejem plo es s = t3 en t = 0.) EJEMPLO 19.2. Supóngase que un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación s = f(t) = (t - 2)2, donde s se mide en pies y t en segundos. (La gráfica de f aparece en la figura 19.2.) Entonces, v = f ( t ) = 2(t - 2) pies/s y a = 2 pies/s2. Para t < 2, v < 0 y el objeto se mueve a la izquierda (fig. 19.3). Para t > 2, v > 0 y el objeto se mueve a la derecha. El objeto cambia de dirección en t = 2, donde v = 0. Nótese que si bien la velocidad v es 0 en el momento t = 2, el objeto se está moviendo en ese instante, no está en reposo. Cuando se dice que un objeto está en reposo significa que su posición es constante durante todo un intervalo de tiempo. 2 3 Fig. 19.3 Movimiento bajo la influencia de la gravedad Si un objeto ha sido lanzado hacia arriba o hacia abajo, o tan sólo a partir de un estado de reposo, y la única fuerza que actúa sobre él es la gravitacional de la Tierra, el movim iento rectilíneo resultante se denom ina caída libre. Al colocar un sistem a de coordenadas en una recta vertical sobre la que se m ueve un objeto, se considera que este eje s se dirige hacia arriba (fig. 19.4) y que el nivel de la Tierra (la superficie del planeta) corresponde a s = 0. Según la física, la aceleración a es una constante aproxim adam ente igual a -3 2 pies/s2. (En el sistema métrico, esta constante es -9 .8 m /s2.) Observe que la aceleración es negativa porque la fuerza de la gravedad de la Tierra hace que la velocidad se reduzca. dv Com o - t- = a = - 3 2 se tiene que: dt (19.1) v = v0 - 32t donde v0 es la velocidad inicial cuando t (19.2) s = s0 + v0t - 16t2 donde s0 es la posición inicial, el valor de s cuando t = 0 . 0.* Ahora, v = d¡S , por lo tanto, Tierra De hecho, Dt(v0 - 32t) = -32 = D¡v. Entonces, por el problema 18 del capítulo 13, v y v0 - 32t difieren por una constante. Como v y v0 - 32t son iguales cuando t = 0, tal diferencia constante es 0. En efecto, Dt(s0 + v0t - 16t2) = v0 - 32t = Dts. Entonces, por el problema 18 del capítulo 13, s y s0 + v0t - 16t2 difieren por una constante. Como s y s0 + v0t - 16í2 son iguales cuando t = 0, esa diferencia constante es 0. i s * CA PÍTU LO 19 M ovim ientos rectilíneo y circular www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 19 M ovim ientos rectilíneo y circular Movimiento circular E l m ovim iento de una partícula P a lo largo de un círculo queda com pletam ente definido por la ecuación 0 = f( t) , donde 0 es el ángulo central (en radianes) barrido en el instante t por una recta que une a P con el centro del círculo. Las coordenadas x y y de P están dadas por x = r cos 0 y y = r sen 0. dO Por velocidad angular ra de P en el instante t se entiende -d f ■ Por aceleración angular a de P en el instante t se entiende d - = d ^ . PROBLEMAS RESUELTOS 1. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta según la ley s = t3 - 2 t. Determina su velocidad y aceleración al cabo de 2 segundos. v = d f = 2 12 - 2; por tanto, cuando t = 2, v = - |(2)2 - 2 = 4 pies/s. a = d y = 3 t ; por consiguiente, cuando t = 2, a = 3(2) = 6 pies/s2. 2. La trayectoria de una partícula que se mueve en línea recta está dada por s = t3 - 6t2 + 9t + 4. a) Halle s y a cuando v = 0. b) Halle s y v cuando a = 0. c) ¿Cuándo s es creciente? d) ¿Cuándo v es creciente? e) ¿Cuándo cambia la dirección del movimiento? Se tiene que v = j j t = 3t2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3), a = ^ = 6(t - 2) a) Cuando v = 0, t = 1 y 3. Cuando t = 1, s = 8 y a = - 6. Cuando t = 3, s = 4 y a = 6. b) Cuando a = 0, t = 2. En t = 2, s = 6 y v = -3 . c) s es creciente cuando v > 0, es decir, cuando t < 1 y t > 3. d) v es creciente cuando a > 0, es decir, cuando t > 2. e) La dirección del movimiento cambia cuando v = 0 y a * 0. Del inciso a) se tiene que la dirección cambia cuando t = 1 y t = 3. 3. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuación s = f( t) = t3 - 9t2 + 24t. a) ¿Cuándo s es creciente y cuándo decreciente? b) ¿Cuándo v es creciente y cuándo decreciente? c) Halle la distancia total recorrida en los primeros 5 segundos de movimiento. Se tiene que v = = 3t2 - 18t + 24 = 3(t - 2)(t - 4), a = ^ = 6(t - 3) a) s es creciente cuando v > 0, es decir, cuando t < 2 y t > 4. s es decreciente cuando v < 0, es decir, cuando 2 < t < 4. b) v es creciente cuando a > 0, es decir, cuando t > 3. v es decreciente cuando a < 0, es decir, cuando t < 3. c) Cuando t = 0, s = 0 y el cuerpo está en O. El movimiento inicial es a la derecha (v > 0) durante los primeros 2 segundos; cuando t = 2, el cuerpo está s = f (2) = 20 pies de O. Durante los siguientes 2 segundos, se mueve a la izquierda, después de los cuales está a s = f(4) = 16 pies de O . Luego se mueve a la derecha y después de 5 segundos de movimiento está s = f(5) = 20 pies de O. La distancia total recorrida es 20 + 4 + 4 = 28 pies (fig. 19.5). www.FreeLibros.me
  • -^ 163^ Fig. 19.5 20 4 4 4. Una partícula se mueve en una recta horizontal a i = f( t) = t4 - 6t3 + 12t2 - 10t + 3. a) ¿Cuándo es creciente la rapidez y cuándo decreciente? b) ¿Cuándo cambia la dirección del movimiento? c) Halle la distancia total recorrida en los primeros 3 segundos de movimiento. Aquí, v = j j t = 4 t3 - 18t2 + 24t - 10 = 2(t - 1)2(2 t - 5), a = d - = 12(t - 1)(t - 2) a) v cambia de signo en t = 2.5, y a cambia de signo en t = 1, t = 2. Para t < 1, v < 0 y a > 0. Como a > 0, v es creciente. Como v < 0, la rapidez |v| = -v es decreciente. Para 1 < t < 2, v < 0 y a < 0. Como a < 0, v es decreciente. Puesto que v < 0, la rapidez |v| = -v es creciente. Para 2 < t < 2.5, v < 0 y a > 0. Como en el primer caso, la rapidez es decreciente. Para t > 2.5, v > 0 y a > 0, v es creciente. Como v > 0, la rapidez |v| = v es creciente. b) La dirección del movimiento cambia en t = 2.5, ya que por el criterio de la segunda derivada i tiene un extremo relativo allí. c) Cuando t = 0, i = 3 y la partícula está 3 unidades a la derecha de O. El movimiento es hacia la izquierda hasta que t = 2.5, después de lo cual está a -jg- unidades a la izquierda de O. Cuando t = 3, i = 0; la partícula se ha movido -jg- unidades a la derecha. La distancia total recorrida es 3 + -27 + 17 = i r unidades (fig. 19.6). O 3|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- , 27/16 Fig. 19.6 5. U na piedra, lanzada verticalm ente hacia arriba con una velocidad inicial de 112 pies/segundo (pies/s), se m ueve de acuerdo con la ecuación i = 112t - 16t2, donde i es la distancia del punto de partida. C alcule a) la velocidad y la aceleración cuando t = 3 y cuando t = 4, y b) la m áxim a altura alcanzada. c) ¿Cuándo estará a 96 pies de altura? Se tiene que v = d i/dt = 112 - 32t y a = dv/dt = -32 . a) En t = 3, v = 16 y a = -3 2 . La piedra está subiendo a 16 pies/s. En t = 4, v = -1 6 y a = -3 2 . La piedra está cayendo a 16 pies/s. b) En el punto m ás alto del m ovim iento, v = 0. Al despejar v = 0 = 112 - 32t resulta en t = 3.5. En ese instante i = 196 pies. c) Sea 96 = 112t - 16t2, lo que resulta en t2 - 7 t + 6 = 0, de donde t = 1 y 6. A l cabo de 1 segundo de m ovim iento la piedra se halla a una altura de 96 pies y está subiendo, pues v > 0. Al cabo de 6 segundos se encuentra a la m ism a altura pero está cayendo, ya que v < 0. 6. U na partícula rota en sentido contrario al de las m anecillas del reloj a partir del reposo, de acuerdo con t3 6 = 50- t , donde 0 está en radianes y t en segundos. Calcule el desplazam iento angular 0, la velocidad angular ff) y la aceleración angular a al cabo de 10 segundos. 9 = £ - 1 = 10 rad, a = = 3 2 - 1 = 5 rad/s, a = ^ ^ = 6 rad /s250 d t 50 d t 50 5 7. En t = 0, se lanza una piedra desde un edificio de 1024 pies de altura. ¿Cuándo toca el suelo la piedra y con qué velocidad? D eterm ine tam bién la rapidez en m illas por hora. CA PÍTU LO 19 M ovim ientos rectilíneo y circular www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 19 M ovim ientos rectilíneo y circular Como s0 = 1024 y v0 = 0, la ecuación (19.2) se vuelve s = 1024 - 16t2, y el tiem po en el que la piedra golpea la tierra es la solución de 1024 - 16t2 = 0. Esto se reduce a t2 = 64, lo que da t = ±8. Com o el m ovim iento ocurre cuando t > 0, t = 8. La ecuación (19.1) es v = -32 t, lo que resulta en v = -32(8 ) = -2 5 6 pies/s cuando t = 8, es decir, el m om ento en el que la piedra choca con la tierra. (La velocidad es negativa porque la piedra se está m oviendo hacia abajo.) La rapidez es 256 pies/s. Para cam biar a m illas por hora se realiza lo siguiente: x pies por segundo = 60x pies por m inuto = 60(60x) pies por hora = 3520g0x millas p ° r hora = 1 2 x millas por h o ra . Luego, (19.3) x pies po rsegundos= -22xm illaspor hora. En especial, cuando x = 256, se obtiene 174-jj m illas por hora. Si se dispara un cohete verticalm ente hacia arriba desde tierra con una velocidad inicial de 192 pies/s, ¿cuándo alcanza su altura m áxim a y cuál es esa altura? También establezca cuánto tarda en llegar a tierra nuevam ente y con qué rapidez lo hace. Las ecuaciones (19.1) y (19.2) son v = 192 - 32t y s = 192t - 16t2. A la altura máxima, v = 0 y, por tanto, t = 6. Esto significa que se tom a 6 segundos para llegar a la altura m áxima, que es 192(6) - 16(6)2 = 576 pies. El cohete regresa a nivel del suelo cuando 0 = 192t - 16t2, es decir, cuando t = 12. En consecuencia, tardó 6 segundos para llegar al suelo nuevamente, m ismo tiempo al que empleó para alcanzar la altura máxima. La velocidad cuando t = 12 es 192 - 32(12) = -1 9 2 pies/s. Entonces, su rapidez final es la m ism a que su rapidez inicial. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 9. Dem uestre que si un objeto se mueve en línea recta, su rapidez es creciente cuando su velocidad v y su aceleración a tienen el mismo signo, y su rapidez es decreciente cuando v y a tienen signo opuesto. (Sugerencia: la rapidez S = |v|. Cuando v > 0, S = v y dS/dt = dv/dt = a . Cuando v < 0, S = - v y dS/dt = - dv/dt = -a .) 10. U n objeto se m ueve en línea recta de acuerdo con la ecuación s = t3 - 6t2 + 9t, en unidades de pies y segundos. D eterm ine su posición, dirección y velocidad, así como si su rapidez es creciente o decreciente cuando a) t = 2 ; b) t = 2; c) t = -2; d) t = 4. Respuestas: a) s = Tfft pies; m ovim iento a la derecha con v = 15 pies/s; rapidez decreciente. b) s = i r pies; m ovim iento a la izquierda con v = - -f- pies/s; rapidez creciente. c) s = 8 pies; m ovim iento a la izquierda con v = - f- pies/s; rapidez decreciente. d) s = 4 pies; m ovim iento a la derecha con v = 9 pies/s; rapidez creciente. 11. La distancia de una locom otora respecto de un punto fijo sobre una vía recta en el instante t es 3 f - 44t3 - 44t2. ¿Cuándo va en reversa? Respuesta: 3 < t < 8 12. Exam ina, como en el problem a 2, cada uno de los siguientes movim ientos en línea recta: a) s = t3 - 9t2 + 24t; b) s = t3 - 3t2 + 3t + 3; c) s = 2t3 - 12t2 + 18t - 5; d) s = 3 f - 28t3 + 90t2 - 108t. Respuesta: los cam bios de dirección ocurren en t = 2 y t = 4 en a), no hay cam bios en b), en t = 1 y t = 3 en c) y en t = 1 en d). 13. U n objeto se m ueve verticalm ente hacia arriba desde el suelo de acuerdo con la ecuación s = 64t - 16t2. D em uestre que ha perdido la m itad de su velocidad en los prim eros 48 pies de ascenso. www.FreeLibros.me
  • 14. Se lanza una bola verticalm ente hacia arriba desde el borde de un tejado que está a 112 pies de altura, de tal form a que eventualm ente caiga a la calle. Si se m ueve de m odo que la distancia s del tejado en el instante t está dada por s = 94t - 16t2, halle a) la posición de la bola, su velocidad y la dirección del m ovim iento cuando t = 2, y b) su velocidad cuando golpea la calle (s en pies, y t en segundos). Respuestas: a) 240 pies por encim a de la calle, 32 pies/s hacia arriba; b) -1 2 8 pies/s. 15. U na rueda gira 0 radianes en t segundos de m anera que 0 = 128t - 12t2. Encuentre la velocidad y la aceleración angular al cabo de 3 segundos. Respuestas: ff) = 56 rad/s; a = -2 4 rad/s2 16. Se lanza una piedra en un pozo de 144 pies de profundidad. ¿Cuándo tocará la piedra el fondo del pozo? Respuesta: después de 3 segundos 17. ¿Con qué rapidez, en m illas por hora, un objeto lanzado desde lo alto de un edificio de 10 pisos tocará el suelo? Supóngase que cada piso del edificio tiene 10 pies de altura. Respuesta: 5 4 1y mi/h 18. U n autom óvil se mueve por una autopista recta. Si su posición está dada por s = 8t3 - 12t2 + 6t - 1, con s en m illas y t en horas, ¿cuál es la distancia que recorre de t = 0 a t = 1? Respuesta: 2 millas 19. R esponda a la m ism a pregunta que en el problem a 18, excepto que s = 5 t - t2 y el auto va de t = 0 a t = 3. Respuesta: 6.5 millas 20. Se lanza una piedra en línea recta desde el suelo. ¿Cuál es su velocidad inicial, en pies por segundo, si golpeó el suelo después de 15 segundos? Respuesta: 240 pies/s 21. ( c g ) Sea la posición s de un objeto que se mueve en línea recta dada por la ecuación s = t4 - 3t2 + 2t. U tilice una graficadora para calcular cuándo cam bia de dirección el objeto, cuándo se mueve a la derecha y cuándo a la izquierda. Trate de hallar las fórm ulas exactas correspondientes. Respuesta: cam bia de dirección en t = -1 .3660 , 0.3660 y 1. El objeto se mueve a la izquierda para t < -1 .3660 y para 0.3660 < t < 1. Los valores exactos de t en los que el objeto cam bia de dirección son 1 y -1 J 2 22. ( c g ) U n objeto se m ueve en línea recta de acuerdo con la ecuación s = 3t - t2. O tro objeto avanza a lo largo de la m ism a recta de acuerdo con la ecuación s = t3 - t2 + 1. U tilice la calculadora graficadora para calcular a) cuándo ocupan la m ism a posición y b) cuándo tienen la m ism a velocidad. c) En el instante en que alcanzan la m ism a posición, ¿se están moviendo en la m ism a dirección? ------------- ^ l 65^ Respuestas: a) 0.3473 y 1.5321; b) t = ±1; c) direcciones opuestas en ambas intersecciones. CA PÍTU LO 19 M ovim ientos rectilíneo y circular www.FreeLibros.me
  • Razones Si una cantidad y es una función del tiem po t, la razón de cambio de y respecto al tiem po está dada por dy/dt. Cuando dos o m ás cantidades, todas funciones del tiem po t, están relacionadas por una ecuación, la relación de sus razones de cam bio puede hallarse derivando am bos lados de la ecuación. EJEMPLO 20.1. U na escalera de 25 pies reposa sobre una pared vertical (fig. 20.1). Si la base de la escalera res­ bala y se aleja de la base de la pared a 3 pies/s, ¿cuán rápido baja la parte superior de la escalera cuando la base de la m ism a está a 7 pies de la pared? Fig. 20.1 Sea x la distancia de la base de la escalera a la base de la pared, y sea y la distancia de la parte superior de la escalera a la base de la pared. Com o la base de la escalera se aleja de la base de la pared a una razón de 3 pies/s, dx/dt = 3, hay que hallar dy/dt cuando x = 7. Por el teorem a de Pitágoras, x2 + y2 : (25)2 = 625 ( 1) Ésta es la relación entre x y y. A l derivar am bos m iem bros respecto a t se obtiene „ dx „ dy _ 2 x d + 2-v í = 0 Com o dx/dt = 3, 6x + 2y dy/dt = 0, donde 3 x + y ‘í = o (2) Ésta es la ecuación deseada para dy/d t . Ahora, para este problem a en particular, x = 7. A l sustituir x por 7 en la ecuación (1) se tiene 49 + y2 = 625, y2 = 576, y = 24. En la ecuación (2), al rem plazar x y y por 7 y 24 se obtiene 21 + 24 dy/dt = 0. Por tanto, dy/dt = - ¡7- Com o dy/dt < 0, se concluye que la parte superior de la escalera resbala por la pared a una razón de j pies/s, cuando la base de la escalera está a 7 pies de la base de la pared. ^ 166^ - y www.FreeLibros.me
  • ^ 167^ PROBLEMAS RESUELTOS 1. El gas escapa de un globo esférico a razón de 2 pies3/min. ¿Cuán rápido decrece el área del globo cuando el radio es de 12 pies? Una esfera de radio r tiene el volumen V = n r 3 y superficie S = 4nr2. Por hipótesis, dV/dt = -2 . Ahora, dV/dt = 4rtr2 dr/dt. Entonces, -2 = 4rtr2 dr/dt, por tanto, dr/dt = -1/(2rtr2). Además, dS/dt = 8 %r dr/dt. Por consiguiente, dS¡dt = - 8 k r¡2 % r2 = -4 /r . Así, cuando r = 12, dS/dt = -12 = - j . Es decir, la superficie está decreciendo a una razón de y pies2/min. 2. De un depósito cónico sale agua a una razón de 1 pulg3/s. Si el radio de la base del depósito es de 4 pulgadas y la altura de 8 pulgadas, determine la razón a la que el nivel del agua desciende cuando está a 2 pulgadas de la parte superior. (La fórmula para el volumen V de un cono es ^ n r 2h , donde r es el radio de la base y h es la altura.) Sea r el radio y h la altura de la superficie del agua en el instante t, y sea V el volumen del agua en el cono (fig. 20.2.) Por triángulos semejantes, r/4 = h/8, donde r = 2 h . Entonces, V = 1 n r 2h = n h 3. Así, = ? n h 2 d - . Por hipótesis, dV/dt = -1 . Luego, _ 1 = -L nfl2 d . ;1° que resulta en d h = _ 4 . Ahora, cuando el nivel del agua está a 2 pulgadas de la parte superior del depósito, h = 8 - 2 = 6. Por tanto, en ese momento, dh/ dt = —-9^, y, entonces, el nivel del agua está bajando a una razón de pulg/s. 3. La arena que cae de un ducto forma un montículo cónico cuya altura es siempre igual a -3 del radio de la base. a) ¿Cuán rápido se incrementa el volumen cuando el radio de la base es de 3 pies y aumenta a una razón de 3 pulg/min? b) ¿Cuán rápido aumenta el radio cuando está a 6 pies y el volumen se incrementa a una razón de 24 pies3/min? Sea r el radio de la base y h la altura del montículo en el instante t. Entonces, h = 4 r y V = 1 n r 2 h = 4 n r 3. Por ende, = 4 n r 23 3 9 dt 3 dt a) Cuando r = 3 y dr/dt = 7, dV/dt = 3% pies3/min. b) Cuando r = 6 y dV/dt = 24, dr/dt = 1/(2ft) pies/min. 4. El barco A navega hacia el sur a 16 millas/hora, y el barco B, situado a 32 millas al sur de A, navega hacia el este a 12 millas/hora. a) ¿A qué razón se acercan o separan al cabo de 1 hora? b) ¿Después de 2 horas? c) ¿Cuándo dejan de acercarse y a qué distancia se encuentran en ese momento? CA PÍTU LO 20 Razones www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 20 Razones Sean A0 y B0 las posiciones iniciales de los barcos, y A t y B t sus posiciones t horas más tarde. Sea D la distancia entre ellos t horas más tarde. Entonces (fig. 20.3): D 2 = (32 - 16t)2 + (12t)2 y 2 D dD = 2(32 - 16t) ( - 16) + 2(12t)(12) = 2(400t - 512). Fig. 20.3 Por tanto, = 400t ~ 512 d t D a) Cuando t = 1, D = 20 y d D = -5 .6 . Se acercan a 5.6 millas/hora. b) Cuando t = 2, D = 24 y d D = 12. Se alejan a 12 millas/hora. c) Dejan de acercarse entre sí cuando d D = 0, es decir, cuando t = -400 = 1.28 h, momento en el que están a D = 19.2 millas de distancia. A A B B 5. Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a una razón de 2 pulgadas/s, mientras que los otros dos lados se acortan de tal forma que la figura sigue siendo un rectángulo con área constante A = 50 pulg2. ¿Cuál es la razón de cambio del perímetro P, cuando la longitud de un lado creciente es de a) 5 pulgadas? b) ¿10 pulgadas? c) ¿Cuáles son las dimensiones cuando el perímetro termina de decrecer? Sea x la longitud de los lados que se alargan, y y la longitud de los otros lados, en el instante t. Entonces, P = 2(x + v), f - 2 ( f + f ) , A = x , = » , f = x f + y j x - 0 a) Cuando x = 5, y = 10 y dx/d t = 2. Entonces, 5 d t + 10(2) = 0 . Luego, d " = - 4 y d - = 2(2 - 4) = - 4 pulgadas/s (decreciente) b) Cuando x = 10, y = 5 y dx/d t = 2. Entonces, 10 dV + 5(2) = 0 . Por tanto, d y = -1 y = 2(2 - 1) = 2 pulgadas/s (decreciente) c) El perímetro dejará de crecer cuando dP /dt = 0, es decir, cuando dy/dt = - dx/d t = -2 . Entonces, x (-2) + y(2) = 0, y el rectángulo es un cuadrado de lado x = y = 5^2 pulgadas. 6. El radio de una esfera es r cuando el tiempo es t segundos. Halle el radio cuando la razón de cambio del área de la superficie y la razón de cambio del radio son iguales. El área de superficie S = 4ft2; por tanto, dS/dt = 8n r dr/dt. Cuando dS/dt = dr/dt, 8n r = 1 y el radio r = 1/8ft. 7. Un peso W está atado a una cuerda de 50 pies de longitud que pasa por una polea en un punto P, a 20 pies sobre el suelo. El otro extremo de la cuerda está amarrado a un camión en un punto A, a 2 pies del suelo, como se muestra en la figura 20.4. Si el camión se aleja a una razón de 9 pies/s, ¿cuán rápido sube el peso cuando está a 6 pies sobre el suelo? www.FreeLibros.me
  • -^ 169^ Fig. 20.4 Sea x la distancia que ha subido el peso, y y la distancia horizontal desde el punto A, donde la cuerda está amarrada al camión, a la recta vertical que pasa por la polea. Se debe hallar dx/dt cuando dy/dt = 9 y x = 6. Ahora y2 = (30 + x)2 -(18)2 y dL = 3 0 ± i tic y dt Cuando x = 6, y = 18>/3 y dy/dt = 9. Entonces, 9 = +6 d ;' de donde d — pies/s. 8. Un foco L está suspendido a H pies sobre la calle. Un objeto de h pies de altura en O , directamente bajo la luz del foco, se mueve en línea recta a lo largo de la calle a v pies/s. Determine la fórmula de la velocidad V del extremo de la sombra reflejada por el objeto en la calle a t segundos (fig. 20.5). r£ Fig. 20.5 Después de t segundos, el objeto se ha movido a una distancia vt . Sea y la distancia de la punta de la sombra desde O . Por triángulos semejantes, (y - vt)/y = h/H . Por tanto, y = Hvt H - h ■ v dy y, en consecuencia, V = —t = Hv 1dt H - h 1 - (h /H ) Entonces, la velocidad de la punta de la sombra es proporcional a la velocidad del objeto, ya que el factor de proporcionalidad depende de la razón h/H. Cuando h ^ 0, V ^ v, mientras que cuando h ^ H, V ^ + ^ . P PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 9. Un recipiente rectangular tiene 8 pies de longitud, 2 pies de ancho y 4 pies de profundidad. Si el agua fluye a una razón de 2 pies3/min, ¿cuán rápido sube a la superficie cuando el agua tiene 1 pie de profundidad? Respuesta: 1 pies/min CA PÍTU LO 20 Razones www.FreeLibros.me
  • Q yüá - CAPÍTULO 20 Razones 10. U n líquido fluye dentro de un tanque cilíndrico vertical de 6 pies de radio a una razón de 8 pies3/min. ¿Cuán rápido sube a la superficie? Respuesta: pies/m in 11. U n hom bre de 5 pies de altura cam ina a una razón de 4 pies/s. Si se aleja de la luz de un foco que está a 20 pies por encim a de la calle, a) ¿a qué razón se mueve la punta de la som bra? b) ¿A qué razón cam bia la longitud de la sombra? Respuestas: a) 16 pies/s; b) y pies/s 12. U n globo sube verticalm ente sobre un punto A del suelo a una razón de 15 pies/s. Un punto B del suelo queda a 30 pies de A. Cuando el globo está a 40 pies de A, ¿a qué razón cam bia su distancia de B? Respuesta: 12 pies/s 13. U na escalera de 20 pies de longitud se apoya contra una casa. Si el pie de la escalera se aleja de la casa a una razón de 2 pies/s, halle con qué velocidad a) la parte superior de la escalera se resbala por la pared, y b) dism inuye la pendiente de la escalera cuando el pie de la m ism a está a 12 pies de la casa. Respuestas: a) -2 pies/s; b) ^ pies/s 14. De un tanque cónico de 3 pies de radio y 10 pies de profundidad se saca agua a razón de 4 pies3/min. ¿Cuán rápido baja el nivel cuando la profundidad del agua es de 6 pies? ¿Cuán rápido dism inuye el radio de la superficie del agua? Respuestas: 100/81ft pies/m in; 10/27ft pies/m in 15. U na barcaza, cuya cubierta está 10 pies por debajo del nivel del puerto, es arrastrada m ediante un cable atado a la cubierta que pasa por un aro situado en el puerto. Cuando la lancha está a 24 pies de distancia y se aproxim a al puerto a f pies/s, ¿a qué velocidad se está tirando del cable? (D esprecie cualquier com ba en el cable.) Respuesta: 13 pies/s 16. U n niño ha elevado una com eta a una altura de 150 pies. Si la com eta se aleja horizontalm ente del niño a 20 pies/s, ¿a qué velocidad está soltando la cuerda cuando la com eta está a 250 pies de él? Respuesta: 16 pies/s 17. U n tren que parte a las 11:00 a m viaja hacia el este a 45 m illas/hora, m ientras que otro, que sale a m ediodía del m ism o punto, viaja hacia el sur a 60 m illas/hora. ¿A qué velocidad se separan a las 3 p m ? Respuesta: 105>/2/2 millas/hora 18. U n foco está en el extremo superior de un poste de 80 pies de altura. Se deja caer una bola desde un punto situado a 20 pies del foco y a su m ism a altura. Si se considera que la bola cae de acuerdo con la ecuación s = 16t2, ¿con qué velocidad se mueve la som bra de la bola en el suelo 1 segundo m ás tarde? Respuesta: 200 pies/s www.FreeLibros.me
  • 19. El barco A está a 15 millas al este de O y se mueve hacia el oeste a 20 millas/hora; el barco B está a 60 millas al sur de O y se mueve hacia el norte a 15 millas/hora. a) ¿Se acercan o se alejan después de una hora y a qué razón? b) ¿Después de 3 horas? c) ¿Cuándo están más cerca el uno del otro? Respuestas: a) acercándose, 115A./82 millas/hora; b) separándose, 9V10/2 millas/hora; c) 1 h 55 minutos 20. El agua se está fugando a una razón de 10 pies3/min de una cisterna agrietada, cuya forma es la de un cono de 16 pies de profundidad y 8 pies de diámetro en la parte superior. Cuando el agua tiene 12 pies de profundidad, se observa que el nivel del agua sube a 4 pulgadas/min. ¿A qué razón se está fugando el agua? Respuesta: (10 - 3n) pies3/min 21. Una solución pasa por un filtro cónico de 24 pulgadas de profundidad y 16 pulgadas en la parte superior, hacia una vasija cilíndrica de 12 pulgadas de diámetro. ¿A qué razón sube el nivel de la solución en el cilindro si, cuando la profundidad de la solución en el filtro es de 12 pulgadas, su nivel cae a una razón de 1 pulgada/min? Respuesta: -4 pulgadas/min 22. El petróleo de un buque cisterna se está fugando en forma de una película circular sobre la superficie del agua. Si el radio del círculo aumenta a una razón de 3 metros por minuto, ¿a qué velocidad se incrementa el área del círculo cuando el radio es de 200 metros? Respuesta: 1200p m2/min 23. Un punto se mueve sobre la hipérbola x2 - 4y2 = 36, de forma tal que la coordenada x aumenta a una razón constante de 20 unidades por segundo. ¿A qué razón cambia la coordenada y en el punto (10, 4)? Respuesta: 50 unidades/s 24. Si un punto se mueve por la curva y = x2 - 2x, ¿en qué punto cambia la coordenada y dos veces tan rápido como la coordenada x ? --------------- Respuesta: (2, 0) CA PÍTU LO 20 Razones www.FreeLibros.me
  • Diferenciales. Método de Newton Si una función f es diferenciable en x, entonces f ( x ) = lím Al^ 0 Ay/Ax, donde Ay = f x + Ax) - f x ) . Por tanto, para los valores de Ax cercanos a 0, Ay/Ax estará próxim o a f (x). Esto se escribe con frecuencia com o Ay/Ax ~ f ( x ) , donde Ay ~ f (x) Ax (1) Esto im plica que f ( x + Ax) ~ A f x) + f ( x ) A x (2) L a fórm ula (2) puede utilizarse para aproxim ar valores de una función. EJEMPLO 21.1. E stim e el valor de V 6 .2 . Sea f ( x ) = \ [ x , x = 16 y Ax = 0.2. E ntonces, x + Ax = 16.2, f (x + A x) = 7 1 6 2 y f (x) = V 6 = 4 . Com o f '(x ) = Dx (x1/2) = 1 x -1/2 = 1/(2>/x) = 1 /(2V Í6) = £ , la fórm ula (2) se vuelve, 7 1 6 2 - 4 + i ( 0 .2 ) = 4.025 (Esta aproxim ación no es válida sino hasta tres cifras decim ales. Para cuatro cifras decim ales el valor correcto es 4.0249, que puede com probarse en una calculadora graficadora.) EJEMPLO 21.2. Estim e el valor de sen (0.1). En este caso, f x ) = sen x, x = 0 y A x = 0.1. Entonces, x + A x = 0.1, f x + Ax) = sen (0.1) y f x ) = sen 0 = 0. Como f ( x ) = cos x = cos 0 = 1, la fórm ula 21.2 da sen (0.1) ~ 0 + 1(0.1) = 0.1 El valor real es 0.0998, corregido a cuatro cifras decim ales. O bserve que el método utilizado para este problem a m uestra que sen u puede aproxim arse en u para los valores de u cercanos a 0. U na lim itación de la fórm ula (21.2) consiste en que no se tiene inform ación sobre cuán buena es la aproxi­ mación. Por ejemplo, si se busca que la aproxim ación sea correcta en cuatro cifras decimales, no se sabe cuán pequeño debería escogerse Ax. La diferencial El producto del m iem bro derecho de la ecuación (21.1) se llam a diferencial de f y se representa m ediante df. Definición L a diferencial d f de f se define por d f = f \ x ) A x ^ 172^ www.FreeLibros.me
  • ----------------4173^ O bsérvese que d f es una función de dos variables, x y Ax. Si Ax es pequeña, entonces la fórm ula (1) se vuelve f ( x + Ax) - f ( x) ~ d f (3) Esta fórm ula se ilustra en la figura 21.1. L a recta X es tangente a la gráfica de f en P ; entonces, su pendiente es f ( x ) . Por ende, f ' (x) = R T / PR = R T / Ax . Luego, R T = f '(x )A x = d f . Para todo Ax pequeño, Q es próxim o a P en la gráfica y, por tanto, R T ~ RQ, es decir, d f ~ f ( x + Ax) - f x ) , que es la fórm ula (21.3). Fig. 21.1 Cuando la función f está dada por una fórmula, digam os f x ) = tan x, entonces suele escribirse d f com o d(tan x ). Por consiguiente d (tan x) = d f = f ( x ) A x = sec2 x Ax D e igual forma, d(x3 - 2x) = (3x2 - 2)Ax. En especial si f x ) = x, dx = d f = f ( x ) A x = (1)Ax = Ax Com o dx = Ax, se obtiene d f = f ( x ) d x . Cuando Ax ^ 0, la división entre Ax resulta en df/dx = f ( x ) . C u a n d o fx ) se escribe com o y, entonces d f se escribe com o dy y se obtiene la notación tradicional dy/dx para la derivada. Si u y v son funciones y c es constante, entonces las fórm ulas siguientes son fácilm ente derivables: d(c) = 0 d(cu) = c du d(u + v) = du + dv , , ( u \ v du - u d v d(uv) = u d v + v du d I 1 = ------ --------- Método de Newton Supóngase que se sabe que x0 está próxim o a una solución de la ecuación f x) = 0 (4) donde f es una función derivable. Entonces, la recta tangente ^ a la gráfica de f en el punto con coordenada x = x0 ordinariam ente cortará el eje x en un punto cuya coordenada xj está m ás próxim a a la solución de (4) de lo que lo está x0 (fig. 21.2). CA PÍTU LO 21 D iferenciales. M étodo de N ew ton www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 21 D iferenciales. M étodo de New ton U na ecuación punto-pendiente de la recta ^ es y - fx o ) = f ( x o ) ( x - xo) ya que f ( x 0) es la pendiente de Si ^ corta el eje x en (xj, 0), entonces 0 - f(xo) = f ( xo ) ( x j - xo) Si f '(x0) * 0, Por tanto, x _ x - _ f (x0) Xl Xo f ' (Xo) f (x0) Xl Xo f'(Xo) A hora se aplica el m ism o razonam iento, pero com enzando con xj en lugar de xo. E l resultado es un número x2 que debería ser m ás próxim o a la solución de (4) que x j, donde x2 = x j - f ( x 1) l f ( x 1). Si se repitiera este p ro­ cedimiento, se obtendría una secuencia de núm eros xo, xj, x2,..., xn,... determ inada por la fórmula f (xn) Xn+1 Xn Y ( X n) (5) Esto se conoce com o el método de Newton para hallar cada vez m ejores aproxim aciones a una solución de la ecuación f x ) = o. Sin em bargo, el m étodo no siempre funciona (algunos ejem plos de las dificultades que pueden presentarse se m uestran en los problem as 23 y 24). EJEMPLO 21.3. Es posible aproximar y/3 aplicando el método de Newton a la función f x ) = x3 - 3. Aquí, f ( x ) = 2x y (5) se lee x2 - 3 2x 2 - (x 2 - 3) x2 + 3 (6)Xn+1 Xn 2 Xn 2 xn 2 xn Sea 1 la prim era aproxim ación xo, ya que se sabe que j < -J3 < 2 . Sustituyendo sucesivamente n = o, 1, 2,... en (6)*, se obtiene 13 + 3 = 2 X 2 = 2 2 + 1 = 7 = 175 2(2) 4 (1 75)2 + 1 X3 = 2(i 75) = 1.732142857 X4 = (1.732142 857)2 + 3 2(1.732142 857) (1.732 050 81)2 + 3 = 1.732 050 81 2(1.732 050 81) (1.732 050 808)2 + 3 = 1.732 050 808 = 1.732 050 8086 2(1.732 o5o 8o8) Como la calculadora dio x6 = x5, no se puede ir más allá, y se ha obtenido la aproximación V3 ~ 1.732 o5o 8o8, que de hecho es correcta para el núm ero indicado de cifras decimales. Los cálculos son tan tediosos que debería utilizarse una calculadora, preferentemente programable. www.FreeLibros.me
  • ^ 175^ PROBLEMAS RESUELTOS U tilice la fórm ula (2) para aproximar: a) -^124; b) sen 61o. a ) Sea f (x) = -^124, x = 125 y Ax = -1 . Entonces, x + Ax = 1 2 4 ,/(x + Ax) = ^1 2 4 y f (x) = ^125 = 5. Como / f (x) = D (x1/3) = 1 x 2/3 = 1------------------1--------- = 1 • = -1 -f (x) ^ (x ) 3x 3 (125)2/3 3 52 75 La fórm ula (2) resulta en -^124 ~ 5 + M 0(_1) = 5 - = 35r~ 4 .9867. (Con cuatro cifras decim ales, la1.75A V — -J 75 75 respuesta correcta puede m ostrarse como 4.9866.) b) S e a /x ) = sen x, x = k /3 y Ax = ft/180. Entonces, x + Ax = 61°, f ( x + Ax) = sen 61° y f (x) = >/3/2 . Como f '( x) = cos x = co s(^ /3 ) = y, la fórm ula (2) da sen61° ~ + ( 2 ) (1 8 0 ) ~ 0.8660 + 0.0087 = 0.8747 (Para cuatro cifras decim ales, la respuesta correcta puede m ostrarse como 0.8746.) 2. Aproxim e el cam bio en el volum en V de un cubo de lado x si el lado se aum enta 1%. En este caso, Ax es 0.01x, f(x ) = V = x3 y f ( x ) = 3x2. Por la fórm ula (1), el increm ento es aproxim adam ente (3x2)(0.01x) = 0.03x3. (Entonces, el volum en aum enta 3% aproxim adam ente.) 3. Halle dy para cada una de las funciones siguientes y = f(x): a) y = x3 + 4x2 - 5x + 6. dy = d(x3) + d(4x2) - d(5x) + d(6) = (3x2 + 8x - 5) dx b) y = (2x3 + 5)3/2. dy = i (2 x3 + 5)1/2 d (2 x3 + 5) = f ( 2 x 3 + 5)1/2(6 x 2dx) = 9x 2(2 x3 + 5)1/2 dx x3 + 2 x +1c) y = - x 2 + 3 ' ( x 2 + 3)d( x3 + 2 x +1) - (x3 + 2x + 1)d (x2 + 3) dy ' (x2 + 3)2 (x 2 + 3)(3x2 + 2)dx - (x3 + 2x + 1)(2x) dx = x 4 + 7x 2 - 2x + 6 dx (x2 + 3)2 (x2 + 3) d) y = cos2 2x + sen 3x. dy = 2 cos 2xd (cos 2x) + d(sen 3x) = (2 cos 2x)(-2 sen 2x dx) + 3 cos 3x dx = - 4 sen 2x cos 2x dx + 3 cos 3x dx = (-2 sen 4x + 3 cos 3x) dx 4. Utilice diferenciales para hallar : dx a) xy + x - 2y = 5. d(xy) + dx - d(2y) = d(5) xdy + ydx + dx - 2dy = 0 (x - 2)dy + (y + 1)dx = 0 dy _ _ y + 1 d x ~ x _ 2 b) 2x _ 3 ^ = 8 . y x y d x - x d y ^ 3 ^ x d y - y d x ^ _ ^ CA PÍTU LO 21 D iferenciales. M étodo de N ew ton www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 21 D iferenciales. M étodo de New ton 2x2(y dx - x dy) - 3y2(x dy - y dx) = 0 (2x2y + 3y3)dx - (2x3 + 3y2x)dy = 0 dy _ y (2x2 + 3y2) _ y dx ~ x (2x2 + 3y2) _ x c) x = 3cos 0 - cos3 0, y = 3sen 0 - sen 30. dx = (-3sen 0 + 3sen3 0)d0, dy = (3cos 0 - 3cos 30)d0 dy _ c o s Q - cos30 dx -s e n 6 + sen30 A proxim e las raíces (reales) de x3 + 2x - 5 = 0. Trace las gráficas de y = x3 y y = 5 - 2x en los m ism os ejes; observe que debe haber una raíz, la cual queda entre 1 y 2. Se aplica el método de N ewton, con x0 = 1. Entonces, f(x ) = x3 + 2x - 5 y f ( x ) = 3x2 + 2. La ecuación 5 se vuelve 3 3x,3 + 2x - 5 2x3 + 5 n+1 n 3xn2 + 2 3xn2 + 2 Entonces, x 1 = 7 = L4 x2 ~ 1.330 964 467 x3 ~ 1.328 272 82 x4 ~ 1.328 268 856 x5 ~ 1.328 268 856 U na calculadora da la respuesta 1.328 2689, exacta para el núm ero indicado de cifras. Por tanto, la respuesta obtenida m ediante el método de N ewton es correcta hasta al m enos siete cifras decimales. 6. A p r o x im e la s r a íc e s d e 2 c o s x - x 2 = 0. A l tra za r la s g r á f ic a s d e y = 2 c o s x y y = x2, o b s e r v e q u e h a y d o s r a íc e s re a le s , p r ó x im a s a 1 y - 1 . ( C o m o la fu n c ió n 2 c o s x - x 2 e s p ar, s i r es u n a r a íz , la o tra r a íz e s - r . ) S e a p lic a e l m é to d o d e N e w to n c o n x 0 = 1. E n to n c e s , f(x) = 2 c o s x - x 2 y f ( x ) = - 2 se n x - 2 x = - 2 ( x + se n x ). L a e c u a c ió n (5) s e v u e lv e 1 2cos xn - xn2 xn2 + 2(xn senxn + cos x n)x x + i______ n_n n_____________________• n___ n_______ ny n+1~ n 2 xn + sen x n ~ 2(xn + senxn) E n to n c e s x j ~ 1 .0 2 1 885 93 x 2 ~ 1 .0 2 1 689 97 x 3 ~ 1 .0 2 1 6 89 9 5 4 x 4 ~ 1 .0 2 1 6 89 9 5 4 U n a g r a fic a d o r a p r o d u c e 1 .0 2 1 69 , c o rr e c to p a ra e l n ú m e ro in d ic a d o d e c ifr a s d e c im a le s , d e m a n e ra q u e la r e s p u e s ta o b te n id a m e d ia n te e l m é to d o d e N e w to n e s p r e c is a a l m e n o s c o n c in c o c ifr a s d e c im a le s . PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 7. U tilice la fórm ula (2) para aproxim ar a) ; b) ^1 0 2 0 ; c) cos 59°; d) tan 44°. Respuestas: a) 2.031 25; b) 3.996 88; c) 0.5151; d) 0.9651. 8. U tilice la fórm ula (1) para aproxim ar el cambio en a) x 3 cuando x cam bia de 5 a 5.01; b) — cuando x cam bia de 1 a 0.98. x Respuestas: a) 0.75; b) 0.02 www.FreeLibros.me
  • 9. Una placa circular se dilata por la acción del calor de manera que su radio se incrementa de 5 a 5.06 pulgadas. Calcule el incremento del área. Respuesta: 0.6n pulgadas2 ~ 1.88 pulgadas2. 10. El radio de una bola de hielo se reduce de 10 a 9.8 pulgadas. Calcule la reducción en a) el volumen; b) el área de la superficie. Respuestas: a) 80n pulgadas3; b) 16k pulgadas2. 11. La velocidad adquirida por un objeto que cae libremente una distancia h pies a partir del reposo está dada por v = \¡64.4h pies/s. Calcule el error en v debido a un error de 0.5 pies al medir h como 100 pies. Respuesta: 0.2 pies/s. 12. Si un aviador vuela alrededor del mundo a una altura de 2 millas sobre el ecuador, calcule cuántas millas más recorrerá que una persona que viaje a lo largo del ecuador. Respuesta: 12.6 millas. 13. Se desea medir el radio de un círculo y se va a calcular su área. Si el radio puede medirse con una precisión de 0.001 pulgadas y el área debe tener una aproximación de 0.1 pulgadas2, calcule el radio máximo para el que puede utilizarse este proceso. Respuesta: 16 pulgadas. 14. Si p V = 20 y p se mide como 5 ±0.02, calcule V. Respuesta: V = 4 ±0.016. 15. Si F = 1/r2 y F se mide como 4 ±0.05, estime r. Respuesta: r = 0.5 ±0.003. 16. Calcule el cambio en la superficie total de un cono circular recto cuando a) el radio r permanece constante mientras la altura h cambia en poca cantidad Ah; b) la altura permanece constante mientras el radio cambia muy poco Ar. Respuestas: a) nrh Ah/V r2 + h2 ; b) n 17. Halle dy para: / h2 + 2 r2 , 2 r^ V r2 + h 2 A r. a) y = (5 - x)3 Respuesta: -3(5 - x)2dx. sen x D . x cos x - senx ,b) y = ^ y ~ Respuesta: ------------2-------- dx. - 2c) y = cos-1(2x) Respuesta: ^ 4 2 dx. d) y = cos(bx2) Respuesta: -2bx sen (bx2)dx. CA PÍTU LO 21 D iferenciales. M étodo de N ew ton www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 21 D iferenciales. M étodo de New ton 18. H alle dy/dx en los ejem plos siguientes, por m edio de diferenciales: a) 2xy3 + 3x2y = 1 Respuesta: - ++ x) b) xy = sen(x - y) Respuesta: c o s (x - y) - y . c o s (x - y) + x 19. (CG) U tilice el método de N ew ton para hallar las soluciones a estas ecuaciones, con cuatro cifras decimales: a) x3 + 3x + 1 = 0 Respuesta: -0 .3222. b) x - cos x = 0 Respuesta: 0.7391. c) x3 + 2x2 - 4 = 0 Respuesta: 1.1304. 20. (CG) A plique el método de N ew ton para aproxim ar con cuatro cifras decimales: a) -V3 Respuesta: 1.3161. b) ^ 247 Respuesta: 3.0098. 21. a) Com pruebe que el método de N ew ton para calcular s[r de la ecuación xn+1 = 1 ^ x n b) (CG) A plique el inciso a) para aproxim ar y[5 con cuatro decim ales. Respuesta: b) 2.2361. 22. (CG) D em uestre que x3 + x2 - 3 = 0 tiene una sola solución en (1, 2) y aplique el método de N ew ton para aproxim ar hasta cuatro decim ales. Respuesta: 1.1746. 23. D em uestre que el método de N ewton no funciona si se aplica la ecuación x 1/3 = 0, con x0 = 1. 24. P ruebe que el método de N ew ton no da aproxim aciones a las soluciones de las ecuaciones siguientes, com enzando con los valores iniciales dados y explique por qué no funciona en tales casos. a) x3 - 3x2 + 3x + 2 = 0, con x0 = 1. b) x3 - 3x2 + x - 1 = 0, con x0 = 1. IVx - 2 para x > 2 , con x0 = 3.- V 2 - x para x < 2 25. (CG) A proxim e p utilizando el método de N ewton para hallar una solución de cos x + 1 = 0. Respuesta: 3.141 592 654. (Observe cuánto dem ora la respuesta para estabilizarse.) 26. (CG) U tilice el método de N ew ton para calcular la única solución positiva de cos x = 2 . Respuesta: 1.029 866 529. www.FreeLibros.me
  • Antiderivadas Si F'(x) = f(x ), entonces F se denom ina una antiderivada de f. EJEMPLO 22.1. x3 es una antiderivada de 3x2, pues Dx(x3) = 3x2. Pero x3 + 5 también es una antiderivada de 3x2 ya que Dx(5) = 0. (I) En general, si F (x) es una antiderivada def(x), entonces F (x) + C también es una antiderivada def(x), donde C es cualquier constante. (II) De igual forma, si F (x) es una antiderivada de f(x) y si G(x) es cualquier otra antiderivada de f(x), entonces G(x) = F (x) + C, para alguna constante C. La propiedad (II) se desprende del problema 13 del capítulo 18, ya que F'(x) = f(x) = G'(x). De las propiedades (I) y (II) se observa que, si F (x) es una antiderivada de f (x), entonces las antiderivadas de f (x) son precisamente tales funciones de la forma F (x) + C, para una constante arbitraria C. Notación. J f (x)dx denotará cualquier antiderivada def(x). En esta notación,f(x) se denomina el integrando. Terminología. Una antiderivada J f (x) dx también se denomina una integral indefinida. Más adelante se proporcionará una explicación de la notación peculiar J f (x) dx (incluida la presencia de la dife­ rencial dx). EJEMPLO 22.2. a) J xdx = -2x 2 + C ; b) J - s e n xd x = cosx + C . Leyes de las antiderivadas Se observa que Dx (a J f (x) dx j = aDx | J f (x) dx j = a f (x ). Ley 6. J (f (x) + g(x)) dx = J f (x) + dx + J g ( x) dx. Se observa que Dx ( J f (x) dx + J g(x) dx j = Dx ( J f (x) dx j + Dx ( J g ( x) dx j = f (x) + g(x). Ley 7. J (f (x) - g(x)) dx = J f (x) dx - J g(x) dx. Se observa que Dx ( J f (x) dx - J g(x) dx j = D x ( J f (x) dx j - Dx ( J g(x) dx j = f (x) - g(x). « 79J www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 22 A ntiderivadas EJEMPLO 22.3. a) J t f x dx = J x 1/3dx = x / 3 + C = I x 4/3 + C por la ley (4). b) J -1 dx = J x~2dx = - - - + C = - 1 + C por la ley (4). j x J 1 x c) J 7 x3dx = 7 J x3dx = 7 1 ^ J + C = i x4 + C por las leyes (5) y (4). d) J (x2 + 4) dx = J x 2dx + J 4 dx = 3 x3 + 4x + C por las leyes (6), (4) y (2). e) J (3x6 - 4x) dx = J 3x6dx - J4 x d x = 3 j x6 dx - 4 J x dx = 3(yx7) - 4 (3x2) + C = f x 7 - 2x2 + C . EJEMPLO 22.4. Las leyes (3) a (7) permiten calcular la antiderivada de todo polinomio. Por ejemplo, J (6x8 - 1 x 5 + 7x4 +-J3)dx = 6(3x9) - 3 (3 x6) + 7(3x5) + >/3x + C = 3 x9 - 3 x6 + y x5 +-J3x + C Ley 8. F ó rm u la ab re v iad a I J (g (x))rg' (x) dx = (g(x))r+1 + C p ara todo núm ero racional r * - 1. Para la com probación, Dx (g(x))r+1 j = j + i Dx[(g(x))r+1] = (r + 1)(g(x))rg '(x ) = (g(x))rg '(x ) por la regla de la cadena para potencias. EJEMPLO 22.5. J (3 x3 + 7)5x2 dx = -6(irx3 + 7)6 + C . Para comprobarlo, sea g(x) = (3 x3 + 7) y r = 5 en la fórmula abreviada I. EJEMPLO 22.6. J (x 2 + 1)2/3 x d x = 4 J (x2 + 1)2/32xdx = 2 (513 )(x2 + 1)5/3 + C = 130 (x2 + 1)5/3 + C . En este caso, se tuvo que insertar un factor de 2 en el integrando para poder utilizar la fórmula abreviada I. Ley 9. M étodo de sustitución J f (g(x))g'(x) dx = J f (u) du donde u se sustituye por g(x) después de evaluar el lado derecho. La “sustitución” se realiza en el lado izquierdo con u = g(x) y du = g'(x)dx. (Para ver una justificación, repase el problem a 21.) EJEMPLO 22.7 a) Halle J xsen (x2) dx. Sea u = x2. Entonces du = 2x dx. Luego, x d x = 3 d u . Por sustitución J x sen (x2)dx = Jsen u (2)du = 3 (-eos«) + C = -3 c o s(x 2) + C b) Halle Jsen(x/2)dx . Sea u = x . Entonces du = 3 dx. Por tanto, dx = 2 du. Por sustitución, J sen (2 ) dx = J (sen u)2 du = 2 Jsen udu = 2 (- cos u) + C = -2 co s ( ) + C N ótese que la fórm ula abreviada I es un caso especial del m étodo de sustitución, con u = g(x). La ventaja de la fórm ula abreviada I es que evita el tedio de realizar la sustitución. www.FreeLibros.me
  • - 4 181: : Las fórm ulas conocidas para las derivadas de funciones trigonom étricas y de funciones trigonom étricas inversas dan las fórm ulas siguientes para las antiderivadas: sen x d x = - cos x + C cos x d x = sen x + C sec2 x d x = tan x + C tan x sec x d x = sec x + C cosec2 xdx = - cot x + C cot x csec xdx = - cosecx+ C 1 d = sen-1 x + C 1 1 + x 2 1 V x2 - 1 dx = tan 1 x + C dx = sec-1 x + C -v/fl2 - dx = sen 1 í x 1 + C x -~y-1— 2 dx = — tan 1 { — | + C a 2 + x 2 a ^ a dx = — sec-1 í — I + C x%/x2 - para a > 0 para a > 0 para fl > 0 PROBLEMAS RESUELTOS En los problemas 1 a 8, evalúe la antiderivada. 1. J x6dx = 1 x7 + C [Ley (4)] 2. J ^ = J x~6dx = 3 5 x~5 + C = - 5 x 5 + C [Ley (4)] J t f z dz = J z1l3dz = ^-13 z413 + C = f (-^ z )4 + C [Ley (4)] dx = J x~2l3dx = x113 + C = 3 ^ x + C [Ley (4)] J (2 x 2 - 5x + 3) dx = 2J x 2dx - 5J x dx + J 3 dx = 2(-yx3) - 5(2x2) + 3x + C = f x3 - -5x2 + 3x + C 6. J (1 - x) 4 x dx = J (1 - x)x112dx = J (x112 - x3l2)dx = J x112dx - J x312dx = 3 ^ x312 - 5 ^ x512 + C = 2 x312 - f x512 + C = 2x3l2(3 - I x) + C [Leyes (3)-(7)] [Leyes (4) y (7)] CA PÍTU LO 22 Antiderivadas www.FreeLibros.me
  • ^ 182^ 7. J (3s + 4)2 ds = J (9s2 + 24s + 16) ds = 9 ( | s3) + 2 4 ( | s 2) + 16s + C = 3s3 + 12s2 + 16s + C [Leyes (3)-(6)] Obsérvese que hubiera sido más fácil por medio de la fórmula abreviada I: J (3s + 4)2 ds = | J (3s + 4)23 ds = | ( | ( 3 s + 4)3) + C = (i)(3s + 4)3 + C 8. J x + 5x ~ 4 dx = J (x + 5 _ 4 x-2) dx = i x 2 + 5x - 4 | - T- x - 1 J + C [Leyes (3)-(7)] = \ x 2 + 5x + 4 + C Use la fórmula abreviada I en los problemas 9 a 15. 9. J (s3 + 2)2(3s2) ds = 1(s3 + 2)3 + C 10. J (x3 + 2)1/2x 2dx = | J ( x 3 + 2)1/23x2dx = | (^ ^ ( x 3 + 2)3/2) + C = K x 3 + 2)3/2 + C 1 J . J ( í x V dx = 8 J (x 3 + 2)_33x2dx = i ( _ L (x 3 + 2)_2) + C = _^3 + C 12. J x2d x ^ = 1 J (x3 + 2)_1/43x2dx = i (3 4 (x3 + 2)3/4) + C = f (x3 + 2)3/4 + C 13. J 3x%/1 - 2x2 dx = - 1- J - 4 x *J 1 - 2x2 dx = - -4 J - 4x(1 - 2x2)1/2dx = - } ( 3 ^ ( 1 - 2x2)3/2 J + C = --2(1 - 2 x 2)3/2 + C 14. J ^ 1 - x2 x d x = --2 J (1 - x2)1/3(-2x) dx = - 1 (473(1 - x2)4/3) + C = - -3(1 - x2)4/3 + C 15. Jsen2 x cos x d x = J (senx)2cos x d x = ■j(senx)3 + C = 3 sen3 x + C En los problemas 16 a 18, aplique el método de sustitución. 16. f d x . J v x Sea u = \ j x = x1/2. Entonces, du = 2 x~y ld x . Luego, 2 du = —^ d x . Así, v x J cosVx dx = 2Jc o s ud u = 2sen u + C = 2sen(>/7) + C 17. Jx se c 2(4x2 - 5 )d x . Sea u = 4x 2 - 5. Entonces, du = 8x dx, y 1 du = x dx . Así, J x sec2(4 x2 - 5) dx = -5- J sec2 u d u = -5-tan u + C = |ta n (4 x2 - 5) + C 18. J x V x + 1 d x . Sea u = x + 1. Entonces, du = dx y x = u - 1. Luego, CAPÍTULO 22 Antlderlvadas www.FreeLibros.me
  • ^ 183^ J x 2Vx + 1 dx = J (u - 1)2 Vw du = J (u 2 - 2u + 1)u1/2du = J (u5/2 - 2u3/2 + u 1/2) du = -2 u7/2 - 2(-f)u5/2 + 1 u3/2 + C = 2u3/2( | u 2 - -f u + y) + C = 2(x + 1)3/2[ | ( x + 1)2 - 5 (x + 1) + U + C 19. Se lanza una piedra desde el suelo hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/segundo (pie/s). a) ¿Cuándo alcanza su m áxim a altura? b) ¿Cuál es la m áxim a altura? c) ¿Cuándo toca el suelo? d) ¿Cuál es la velocidad cuando llega al suelo? Sea t = 0, y se observa que C 1 = v0, la velocidad inicial en t = 0. Entonces, v = -32 t + v0. Por consiguiente, a) A la altura máxim a, d - = v = 0. Así, —32t + 64 = 0 y, por ende, t = 2 segundos. b) Cuando t = 2, s = -1 6 (2 )2 + 64(2) = 64 pies, la altura máxima. c) Cuando la piedra llega al suelo, 0 = s = -1 6 t2 + 64t. A l dividir entre t, 0 = -1 6 t + 64 y, por tanto, t = 4. d) Cuando t = 4, v = -32 (4 ) + 64 = -6 4 pies/s. 20. H alle la ecuación de la curva que pasa por el punto (3, 2) y que tiene pendiente 5x2 - x + 1 en cada punto (x, y ). Com o la pendiente es la derivada, dy/dx = 5x2 - x + 1, entonces Com o (3, 2) está en la curva, 2 = -f (3)3 - 1 (3)2 + 3 + C = 45 - f + 3 + C . Por consiguiente, C = --§-. Por tanto, la ecuación de la curva es v = J —32 dt = -3 2 t + Cj Sea t = 0, y se observa que C2 = s0, la posición inicial en t = 0. Por tanto, s = -1 6 t2 + v0t + s0 En este problem a, s0 = 0 y v0 = 64. Entonces, v = -3 2 t + 64, s = -1 6 t2 + 64t 21. Justifique el método de sustitución: J f (g(x))g'(x)dx = J f (u) du . Aquí, u = g(x) y du/dx = g'(x). Por la regla de la cadena, Dx ( J f (u) du ) = Du (J f (u) d u ) • j u = f (u ) • % = f (g (x)) • g '(x ) PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS En los p roblem as 22 a 44, evalúe la antiderivada indicada. Respuesta: 2 x1/2(1 + f x + f x2) + C CA PÍTU LO 22 Antiderivadas www.FreeLibros.me
  • ^ 184^ CAPÍTULO 22 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 1 + do x (Sugerencia: m ultiplique el num erador y el denom inador por 1 - cos x.) JL T Lvo A Respuesta: -c o t x + cosec x + C (tan 2 x + sec 2 x )2 dx Respuesta: tan 2x + sec 2x - x + C dx ^ - 1/ x ) Respuesta: ^-sen 1 (4=^) + C ^ + n x) dx Respuesta: x+ 1 + C(x + 1) x + 1 cos3x dx Respuesta: ysen3x + c sen y dy cos2 y R espuesta : sec y + C 2 Respuesta: s e n 1 (2 )+ C •n/4 - x 2 9 +'x 2 Respuesta: -y tan-1 ( 3 ) + C -J25 ^*16 2 (Sugerencia: factorice 16 fuera de radical.) 4 9 (Sugerencia: factorice el 4 del denom inador o haga la sustitución u = 2x) Respuesta: | t a n -1 (—^ ) + C dx— 1 (Sugerencia: factorice el 4 del radical o haga la sustitución u = 2x) x v 4 x 2 - 9 Respuesta: ^ s e c -1 (—^ ) + C x 2dx 6 (Sugerencia: sustituya u = x3) Respuesta: í-sen 1(x3) + C x dx / o n / n ' / i v i r ' in • cnctitn \T ‘:> t i — - v 2^ vr> t i /o cf//- V3 fQ n 1 [ ^ —V34 + 3 (Sugerencia: sustituya u = x2) Respuesta: ^ ^ t a n 11 — 3 — I + C 1 Respuesta: y co s 1 (x r ) + C 3x3 4 x2 ^ 3x 3 Y2 A J A dx Respuesta: ^ - - 4 x + 4 tan-1 x + C x 2 + 1 2 sec x tan x d x 9 + 4 sec2 x Respuesta: -g-tan 1 ( 2 s |3c x ) + C Antlderlvadas 38 r (x + 3) dx r >/1 - x 2 Respuesta: ->/1 - x 2 + 3sen 1 x + C www.FreeLibros.me
  • dx x 2 + 10x + 30 dx 3 9 J 4 0 ' -W 20 + 8x - x 2 41 . J dx2 x 2 + 2 x + 5 42. j 43. J 44. J dx -v/28 - 12x - x 2 x + 3 >/5 - 4 x - ; dx x + 2 -v/4 x - x dx En los problem as 45 a 52 utilice la fórm ula abreviada I. 45. J (x - 2)3/2dx 46 ' J ( A ? 4 7 J i m 48. j*J 3x - 1 dx 49. JV 2 ^ 3 x dx 50. J (2 x 2 + 3)1/3 x d x 51. J .JT+y y3 dy 52. J x dx (x 2 + 4)3 En los problem as 53 a 64 utilice cualquier método. 53. J (x - 1)2 x dx 54. J (x 2 - x )4(2 x - 1 ) dx r (x +1) dx 55. I Á J y¡x2 + 2 x - 4 Respuesta: ^55 tan-1 ^ (x + j + q Respuesta: sen-1 ( x - 4 ) + C Respuesta: y tan-1 ( 2^ 1) + C Respuesta: sen-1 ( x + 6 ) + C Respuesta: - \ I 5 - 4 x - x 2 + sen-1 ( x 3 2 ) + C Respuesta: - V 4 x - x 2 + 4sen-1 ( x - 2 ) + C Respuesta: -2(x - 2)5/2 + C Respuesta: - 12( x - 1)2 C Respuesta: 2y¡ x + 3 + C Respuesta: -2(3x - 1)3/2 + C Respuesta: - -2(2 - 3x)3/2 + C Respuesta: 16 (2 x 2 + 3)4/3 + C Respuesta: -6(1 + y4)3/2 + C Respuesta: - 1 4 (x 2 + 4 )2 C Respuesta: 4 x 4 - -f x3 + 1 x 2 + C Respuesta: -y(x2 - x )5 + C Respuesta: yjx2 + 2 x - 4 + C -^ 185^ CA PÍTU LO 22 Antiderivadas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 22 A ntiderivadas 59. 60. • ( i + 4 X )2 yfx 56. J (" ' dx ■( x + 1)( x - 2) 5 7 58. J sec3x tan3x dx dx Jco sec2(2x) dx J x sec2(x2) dx 61. J tan2 x d x 62. J cos4x sen x dx 63. J - dx 64- i i y¡5 - x 2 sec2 x d x Respuesta: f (1 + •Jx )3 + C Respuesta: y x 5/2 - j-x3/2 - 4 x 1/2 + C = 2x1/2(£ x 2 - £ x - 2) + C Respuesta: £ sec3x + C Respuesta: - 2 cot 2x + C Respuesta: -jtan (x2) + C Respuesta: tan x - x + C Respuesta: - y co s5 x + C Respuesta: sen 11 x '{5 | + C - 4 t an2 x Respuesta: ^sen 1(2 tan x) + C 65. Se lanza una piedra hacia arriba desde el borde de un edificio, a 120 pies de altura, con una velocidad inicial de 96 pies/segundo (pie/s). a) ¿Cuándo alcanzará su altura m áxim a? b) ¿Cuál será su altura máxima? c) ¿Cuándo tocará el suelo? d) ¿Con qué rapidez llegará al suelo? Respuestas: a) t = 3 s; b) 264 pies; c) 6 + 2 6 6 ~ 7 .06s; d) -1 29 .98 pies/s 66. U n objeto se desplaza sobre el eje x con aceleración a = 3t - 2 pies/s2. En el instante t = 0, está en el origen y se mueve con una velocidad de 5 pies/s en dirección negativa. a) H alle una fórm ula para su velocidad v. b) Encuentre la fórm ula para su posición x. c) ¿Cuándo y dónde cam bia de dirección? d) ¿En qué instantes se m ueve hacia la derecha? Respuestas: a) v = -ft 2 - 2 t - 5 ; b) x = 2 13 - 12 - 5 t ; c) 2 d) t > 2 + ' f 3 4 o t < 2 - 'J'3 4 3 3 3 67. U n cohete lanzado hacia arriba desde el suelo regresa a éste 8 segundos (s) más tarde. a) ¿Cuál fue la velocidad inicial? b ) ¿Cuál fue su m áxim a altura? Respuestas: a) 128 pies/s; b) 256 pies 68. En una vía recta, un conductor frena cuando el auto va a 55 m illas por hora (mi/h). Los frenos producen una desaceleración constante de 11 pies/s2. a) ¿Cuándo parará el auto? b) ¿Cuánto se desplazará después de haber presionado los frenos? Respuestas: a) 5 segundos; b) 137.5 pies 69. H alle la ecuación de la curva que pasa por el punto (3, 7) y que tiene pendiente 4x2 - 3 en (x, y). Respuesta: y = f x3 - 3 x - 20 www.FreeLibros.me
  • La integral definida. Área bajo una curva Notación sigma L a letra griega m ayúscula X (sigma) representa la sum a repetida. EJEMPLO 23.1. 5 a) j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 . j =1 3 b) X (2i + 1 ) = 1 + 3 + 5 + 7 . i=0 10 c) X i 2 = 2 2 + 3 2 + ••• + (1 0 ) 2. i=2 4 d) X c o s j n = c o s ^ + c o s 2 ^ + c o s 3 ^ + c o s 4 ^ . j=1 E n g e n e r a l, s i f es u n a fu n c ió n d e f in id a e n lo s e n tero s y s i n y k so n e n te r o s ta le s q u e n > k, en to n ce s: X f (j ) = f (k) + f (k + 1) + ••• + f (n) j=k Área bajo una curva Supóngase que f es una función tal q u e f x ) > 0 para toda x en el intervalo cerrado [a, b]. Su gráfica es una curva que queda sobre o por encim a del eje x (fig. 23.1). Se tiene la idea intuitiva del área A de la región ^ bajo la gráfica, encim a del eje x y entre las rectas verticales x = a y x = b . Se especificará un m étodo para evaluar A . Se escogen los puntos x1, x2,..., xn-1 entre a y b. Sea x0 = a y xn = b. Luego (fig. 23.2), a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b El intervalo [a, b] se divide en n subintervalos [x0, x1], [x1, x2],..., [xn-1, xn]. Las longitudes de estos intervalos se sim bolizan con A1x, A2x,..., An x. Por tanto, si 1 < k < n, Ak x = xk - xM 4 '187^ www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 23 La In tegra l definida. Á re a bajo una curva Se trazan los segmentos de recta vertical x = xk desde el eje x hasta la gráfica, con lo que se divide la región ^ en n franjas. Si AkA representa el área de la franja k-ésim a se obtiene A = X A kA k=1 Es posible aproxim ar el área Ak A de la m anera siguiente: se selecciona cualquier punto x* en el subintervalo k-ésim o [xk-1, xk]. Se traza el segmento de recta vertical que va desde el punto x* sobre el eje x hasta la gráfica (obsérvense las líneas punteadas de la figura 23.3); la longitud de este segmento es f (x*). El rectángulo con base Ak x y altura f (x*) tiene el área f (x*) Akx, que es aproxim adam ente el área Ak A de la franja k-ésima. Por tanto, el área total A bajo la curva es aproxim adam ente la sum a X f (x*) A kx = f (x*) A1x + f (x*) A2x + • • • + f (x *) Anx (1) k=1 www.FreeLibros.me
  • -^ 189^ L a aproxim ación m ejora cada vez que se divide el intervalo [a, b] en m ás y m ás subintervalos y cuando las longitudes de éstos se hacen m ucho m ás pequeñas. Si las aproxim aciones sucesivas pueden hacerse tan próxi­ m as a un núm ero específico com o se desee, entonces ese núm ero se representará por pb f f (x) dx•Ja y se denom inará la integral definida de f desde a hasta b. Ese núm ero no existe en todos los casos, pero sí existe, b por ejemplo, cuando la función f es continua en [a, b]. Cuando I f (x) dx existe, su valor es igual al área A bajoa la curva.* b En la notación I f (x) dx, b se denom ina límite superior y a se llam a límite inferior de la integral definida.a Para cualquier función (no necesariam ente no negativa) f en [a, b], pueden definirse las sumas de la forma (1) sin utilizar la noción de área. Si hay un núm ero al que puedan aproxim arse tales sumas tanto com o se desee, a m edida que n se vuelve m ás y m ás grande y cuando el m áxim o de las longitudes Ak x tiende a 0, entonces ese b núm ero se representa por I f (x) dx y se denom ina integral definida de f en [a, b].b a Cuando í f (x) dx existe, se dice que f es integrable en [a, b]. a b Supóngase, sin verificación, que I f (x) dx existe para toda función f que sea continua en [a, b]. Si se deseab a evaluar I f (x) dx basta hallar el lím ite de una secuencia de sumas (1) para las cuales el núm ero n de subinter­a valos tiende a infinito y las longitudes m áxim as de los subintervalos se aproxim an a 0. EJEMPLO 23.2. Demuéstrese entonces que rb I 1 dx = b -
  • CAPÍTULO 23 La In tegra l definida. Á re a bajo una curva Otro argum ento sería utilizar el hecho de que la región que está bajo la gráfica de la función constante 1 y í* b por encim a del eje x, entre x = a y x = b, es un rectángulo con base b - a y altura 1 (fig. 23.4). Entonces, I 1 dx, el área de dicho rectángulo, es b - a. ■ y 1 1 a b x Fig. 2 3 .4 EJEMPLO 23.3. pb Calcula I xdx.Ja Sea a = x0 < x 1 < x2 < ... < xn+1 < xn = b una subdivisión de [a, b] en n subintervalos iguales. Luego, cada Akx = (b - a)/n. Represente (b - a)/n mediante Ax. Entonces, x1 = a + Ax, x2 = a + 2 Ax y, en general, xk = a + k Ax. En el k-ésimo subintervalo, [xk-1, xk], escoge x* como el extremo (terminal) derecho xk. Así, una suma de aproximación (1) tiene la forma n n f (xk) A kx = ^ xk* A kx = ^ (a + k A x) A x k=\ k=1 n n n = ^ (a Ax + k(Ax)2) = ^ a Ax + ^ k(Ax)2 k=1 k=1 k=1 = n(a Ax) + (Ax)2 ¿ k = n ( a ^ ) + (^ )2 ( = a(b - a) + 1 ( b - a)2 n ± 1 Aquí se ha utilizado el hecho de que ^ k = n(n_+ 1) (repase el problema 5). í=1 Ahora, cuando n ^ ^ , (n + 1)/n = 1 + 1/n ^ 1 + 0 = 1. Por tanto, el límite de las sumas de aproximación es a(b _ a) + ^ (b _ a)2 = (b _ a) (a + b _ a ) = (b _ a) ( a 2 b ) = ^ (b 2 _ a 2) /•b Luego, I x d x = K b 2 - a 2) .Ja b En el capítulo siguiente se presenta un m étodo para calcular Ja f (x) dx que evitará el tipo de cálculo tedioso utilizado en este ejemplo. Propiedades de la integral definida b b I c f (x) dx = c I f (x) dxa a (3) n b Esto resulta del hecho de que una suma de aproximación ^ c f (x* ) A kx para í c f (x) dx es igual a c veces la suma k=1 a •A rb de aproximación > f (x*) A kx para I f (x) dx, y la m ism a relación se cumple para los límites correspondientes.k a k=1 b b J - f (x) d x = - f f (x) d x (4)a a Éste es el caso especial de (3) cuando c = -1 . f ( f (x) + g(x)) dx = \ h f (x) dx + J g ( x ) dx (5)•* a Ja Ja www.FreeLibros.me
  • -^ 191^ n b Esto es resultado de que una sum atoria ^ (f (x*) + g(x*)) Akx para J (f (x) + g(x)) dx es igual a la sum atoria n n k=1 b a b Y f (x*) Akx + Y g(x*) Akx de sumatorias de aproxim ación para í f (x) dx y í g(x) dx. k=1 k=1 a a í (f (x) - g(x)) dx = J f (x) dx - J g(x) dx (6)•* a Ja Ja Com o f x ) - g(x) = f x ) + (-g(x)), esto se sigue de (5) y (4). Si a < c < b, entonces f es integrable en [a, b] si sólo y si es integrable en [a, c] y [c, b]. Además, si f es integrable en [a , b ], í f (x) dx = í f (x) dx + í f (x) dx (7)Ja J c J c Esto es obvio cuando f x ) > 0 y se interpretan los integrales com o áreas. El resultado general se obtiene de observar las sumas de aproxim ación correspondientes, aunque el caso en el que uno de los subintervalos de [a, b] que contiene c requiera algún razonam iento adicional. b Se ha definido I f (x) dx sólo cuando a < b. Se puede am pliar la definición a todos los casos posibles de laa m anera siguiente: a i) f f (x) dx = 0a a b ii) I f (x) dx = - \ f ( x ) dx cuando a < bb a En particular, siempre se tiene que: í f (x) dx = - f f (x) dx p ara todo c y d (8)J c Jd Se puede com probar de inm ediato que las leyes (2) a (6), la ecuación (7) y el resultado del ejem plo 3 son válidos para lím ites superior e inferior arbitrarios en las integrales. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Sea f x ) < 0 para toda x en [a, b]. Sea A el área entre la gráfica d e f y el eje x, desde x = a hasta x = b (fig. 23.5). D em uestre que £ f (x) dx = - A . Fig. 23.5 Sea B el área entre la gráfica de - f y el eje x, desde x = a hasta x = b. Por sim etría, B = A. Pero
  • CAPÍTULO 23 La In tegra l definida. Á re a bajo una curva 2. Considere una función f que, entre a y b, asum e tanto valores positivos como negativos. Por ejem plo, sea su fbgráfica como la de la figura 23.6. Entonces, I f (x) dx es la diferencia entre la sum a de las áreas por encim aJa del eje x y por debajo de la gráfica y entre la sum a de las áreas debajo del eje x y por encim a de la gráfica. En el caso de la gráfica m ostrada en la figura 23.6, b Ja f (x) dx = (A1 + A + A5) - (A2 + A4) Para com probarlo, aplique (7) y el problem a 1: í f (x) dx = í 1 f (x) dx + í 2 f (x) dx + í 3 f (x) dx + í 4 f (x) dx + í f (x) dx = A 1 - A2 + A3 - A4 + A5J a J a J c1 J c2 J €3 J c4 3. Sean f y g integrables en [a, b]. D em uestre lo siguiente: b a) Si f (x ) > 0 en [a, b], entonces I f (x) dx > 0.a b b b) Si f (x ) < g(x) en [a, b], entonces I f (x) dx < 1 g(x) d x .a a b c) Si m < f (x ) < M para toda x en [a, b], entonces m (b - a) 0 , resulta que k=1 b I f (x) dx > 0a /•b i*b b) g(x) - f (x ) > 0 en [a, b]. Entonces, por a), I (g(x) - f (x)) dx > 0 . Por (6), I g(x) dx - I f (x) dx > 0 . PorJa Ja Ja consiguiente, í bf (x) d x < í bg(x) dxa a b b b b b c) Por b), I m d x (2n + 1> (revise el problem a 12). Por tanto, T Í 6 www.FreeLibros.me
  • ----------------4193^ | / « > A * - ¿ - 1 ( ^ ) (^ ) . 1 ( 1 + I 1 (2 + i ) 6 \ n ¡ n 1 Entonces, las sumas de aproxim ación tienden a + 0)(2 + 0) = y , cuando n ^ ^ . Por ende, I x 2 dx = 3 . En el capítulo siguiente se deducirá un método más sim ple para obtener el m ism o resultado. 5. D em uestre la fórm ula ^ k = n (n_+ 1) utilizada en el ejem plo 3. k=1 A l invertir el orden de los sum andos en n k = 1 + 2 + 3 + ••• + (n - 2) + (n - 1) + n k=1 se obtiene n k = n + ( n - 1) + ( n - 2) + ••• + 3 + 2 + 1 k=1 A l sum ar las dos ecuaciones se obtiene n 2 ^ k = (n +1) + (n +1) + (n +1) + • • • + (n +1) + (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1) k=1 porque la sum a en cada colum na es n + 1. Por tanto, al dividir entre 2 se obtiene j ^ k = n(n +1) PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 4 5 1 6. Calcule: a) ^ 3 dx; b) J x dx; c) 3x2 d x . Respuestas: a) 3(4 - 1) = 9; b) ^ (5 2 - ( - 2 )2) = 2-; c) 3(1) = 1 7. H alle el área bajo la parábola y = x2 - 2x + 2, por encim a del eje x y entre x = 0 y x = 1. Respuesta: 1 - 2[y (12 - 0 2)] + 2(1 - 0) = -f f68. Evalúe J (3x + 4) d x . Respuesta: 3 (( |) (6 2 - 22)) + 4(6 - 2) = 64 3 9. Para la función f graficada en la figura 23.7, expresa J f (x) dx en térm inos de las áreas A 1 , A 2 y A 3c Respuesta: A j - A2 + A3 4 10. D em uestre que 3 < J x3 dx < 192 [Sugerencia: repase el problem a 3c).] 11. Evalúe J - x 2 dx . (Sugerencia: halle el área correspondiente por razonam iento geom étrico.) Respuesta: ft/4 CA PÍTU LO 23 La Integral definida. Área bajo una curva www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 23 La In tegra l definida. Á re a bajo una curva 12. U tilice la inducción m atem ática para dem ostrar la fórm ula X k 2 = n(n + 1)(2n + 1 del problem a 4 (Com pruébelo cuando n = 1 y luego dem uestre que, si se cum ple para n, se cum ple para n + 1.) 13. Evalúe a) ^ cos b) ^ (4 j +1); c) ^ 4 j; d) ^ 2 j 2 ;=0 j=0 j=i j=i 3 + -J 3 .Respuestas: a) ■ 2 -; b) 15; c) 20 200; d) 4218 6 14. Sea la gráfica de f entre x = 1 y x = 6 com o el de la figura 23.8. Evalúe J f (x) dx. Respuesta: 1 - 3 + 1 = - -f y 2­ 1- -1 ­ -2 - Fig. 23.8 rb15. Si f es continua en [a, b], f x ) > 0 en [a, b] y f x 0) > 0 para algún x0 en [a, b], dem uestre que I f (x) dx > 0. [Sugerencia: por la continuidad d e f , f (x) > 2 f (x0) > 0 para toda x en algún subintervalo [c, d]. U se la fórm ula (7) y el problem a 3a , c ).] www.FreeLibros.me
  • Teorema fundamental del cálculo Teorema del valor medio para integrales Sea f continua en [a, b]. Así, existe c en [a, b] tal que Ca i— f (x)dx = (b - a) f (c) (24.1)Jb Para com probarlo, sean m y M los valores m áxim os y m ínim os de f en [a, b]. Se aplica entonces el problem a 3 c) del capítulo 23 para obtener rb 1 rb m(b - a) < 1 f (x) dx < M (b - a) y, por consiguiente, m ----- I f (x) dx < MJa b — a Ja 1 c — Luego, por el teorem a del valor interm edio, t ----- I f (x) dx = f (c) para algún c en [a, b].b — a ¿a Valor promedio de una función en un intervalo cerrado Sea f definida en [a, b]. Cuando f puede asum ir infinitam ente m uchos valores en [a, b], no es posible hablar de prom edio de todos los valores de f. M ás bien, se divide [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud b ~ a A x = . Se selecciona un punto arbitrario x* en el £-ésim o subintervalo, de m anera que el prom edio de los valores f (xj"), f (x2*) ,. . . , f (x¡) es f (xi ) + f (x2) + — + f (K ) _ 1 f ( r , ) n n f - f (xk)k=1 Cuando n es grande, este valor es un buen estim ado “del valor prom edio de f en [a, b]” . Sin embargo, como 1 = b A x,n b - a n Í f (xP = Í f (x^)A xk=1 k=1 b Cuando n ^ ^ , la sum a de la derecha tiende a I f (x) d x . D e ahí surge la definición siguiente.a 1 rb D efinición. El valor promedio de f en [a, b] es -r— - I f (x) dx.b — a J a Sea f continua en [a, b]. Si x está en [a, b], entonces í f (t) dt es una función de x, y:a Dx ( J 7 (t) d t ) = f (x) (24.2) En el problem a 4 hallará una dem ostración. « L95J www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 24 Teorema fundam ental del cálculo Teorema fundamental del cálculo Sea f continua en [a, b] y sea F (x) = J f (x) dx, es decir, F es una antiderivada de f . Entonces, b f f (x) dx = F (b) - F (a) (24.3)a Obsérvese que por (24.2), í f (t) dt y F(x) tienen la m ism a deriv ad a ,fx ). Por tanto, com o se advierte en ela (•x problem a 18 del capítulo 13, hay una constante K tal que I f ( t ) dt = F (x ) + K . Cuando x = a, se obtienea F (a) + K = J f (t) dt = 0 lu e g o , K = - F ( a )a Por tanto, í f (t) dt = F(x ) - F (a ). Cuando x = b, se tienea b \ f (t) dt = F (b) - F (a )a b L a ecuación (24.3) brinda una form a sim ple de calcular I f (x) dx cuando se puede hallar una antiderivada a bF de f . La expresión F(b) - F (a) a la derecha de 24.3 a m enudo se abrevia com o F (x )]a. Entonces, el teorem a fundam ental del cálculo puede escribirse com o sigue: £ f (x) dx = J f (x) dx ]a EJEMPLO 24.1.
  • -^ 197^ PROBLEMAS RESUELTOS ftf/2 1. Evalúe I sen2 x cos x d x .0 J sen2 x cos x dx = ^ sen3 x por la fórmula abreviada I. Así, por el teorema fundamental, f 7T/2 t^ /2 / 'TT \ ^ sen2x cosx d x = | sen3xJ0 = 1 (sen^ I - (sen0)3 = 3rd3 - 03) = 3 2. Halle el área bajo la gráfica de f (x) = ^ 2 , por encima del eje x, y entre 0 y 1. El área es ¡0 j==¡ dx = sen-1 (f ) = sen-1 (j ) - sen^(0) = -f - 0 = 3. Halle el valor promedio de f ( x) = 4 - x2 en [0, 2]. El valor promedio es ^ £ f (x) dx = i J02(4 - x 2) dx = 2 (4x - f ) ^= |[ (8 - f ) - (0 - 0)] = 3 4. Demuestre la fórmula (24.2): Dx | J f (t) dt J = f (x ) . /*x Sea h(x) = I f ( t ) dt . Entonces:Ja /•x+Ax rx h(x + Ax) - h(x) = I f (t) dt - I f (t) dta a /•x cx+Ax rx = j f (t) dt + j f (t) dt - j f (t) dt (por 23.7)a x a rx+Ax = j f (t) dtx para algún x* entre x y x +A x (por el = Ax •f (x*) teorem a del valor m edio para integrales) » , h(x + Ax) - h(x) . . .Así, —----- -^x----- = J (x ) y, por consiguiente, Dx I f f (t) dt )= Dx (h(x)) = lím h(x + AX h(x) = lím f (x*)\Ja Ax^ 0 A x Ax^ 0 Pero cuando Ax ^ 0, x + Ax ^ x y, por ello, x* ^ x (como x* está entre x y x + Ax). Entonces, f es continua, lím ^ ^ 0f (x ’) = f(x). b 5. Justifique un cambio de variable en una integral definida en el siguiente sentido preciso. Dada I f (x ) dx, sea x = g(u) donde, cuando x varía de a a b, u crece o decrece de c a d (véase la figura 24.1 para el caso en que u es creciente). Demuestre que i»b f f (x) dx = f f (g(u))g' (u) duJa J c (El lado derecho se obtiene al sustituir g(u) por x, g'(u) du por dx, y cambiar los límites de integración desde a y b hasta c y d.) Fig. 24.1 CA PÍTU LO 24 Teorema fundam ental del cálculo www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 24 Teorema fundam ental del cálculo Sea F (x) = J f (x) dx, es decir, F'(x) = f (x). Por la regla de la cadena, Du (F(g(u))) = F ' (g(u)) • g ' (u) = f (g(u))gf(u) Así, J f (g(u))g'(u) du = F (g(u) Entonces, por el teorema fundamental, -d d f f (g(u))g'(u) du = F (g(u))] = F(g(d)) - F(g(c))Je c = F(b) - F(a) = íb f (x) dxa a a 6. a) Si f es una función par, demuestre que, para a > 0, a > 0, J f (x) dx = 2J f (x) d x . a b) Si f es una función impar, demuestre que, para a > 0, a > 0, I f (x) dx = 0.J-a Sea u = -x . Entonces, du = -dx, y /•0 /*0 /*0 /*a I f (x) dx = I f (—u)(—1) du = - I f (-u ) du = I f (-u ) duJ-a 0 Al rescribir u como x en la última integral queda: 0 a j f (x) d x = í f ( - x) dx (*)- a J-a J0 a a = J0 f ( - x) dx + J0 f (x) dx (por(*)) = J0 f ( - x) + f (x ) dx [por (23.5)] a a a a) Si f es par,f(-x ) + f(x) = 2f(x); luego í f (x) dx = \ 2 f (x) dx = 2 j0 f (x) dx .J-a J0 J0 b) Si f es im par,f(-x) + f(x) = 0; luego I f (x) dx =1 0 dx = 0 1 1 dx = 0 .J-a J0 J0 Regla del trapecio a) Seaf(x) > 0 en [a, b]. Divida [a, b] en n partes iguales, cada una de longitud Ax = b - a n ’ por medio de los puntos x1, x2, ^ , xn-1. [fig. 24.2a)]. Demuestre la siguiente regla, llamada regla del trapecio: í n—1 [ f (x) dx ~ ^ r f (a) + 2^ f (x k) + f (b) V k=1 y 1 b) Use la regla del trapecio con n = 10 para aproximar í x 2 d x .0 a) El área de la franja que está sobre [xk-1, xk] es aproximadamente el área del trapecio ABCD en la figura 24.2b), y Ax ( f (x k 1 ) + f (x k)) .* (Recuérdese que x0 = a y xn = b.) Entonces, el área bajo la curva se aproxima por la suma de las áreas de trapecios. {[ f (x ü) + f c g ] + [f x ) + f (x2)] + _ + [f (x n_,) + f (xn)]} = [f (a) + 2nr f (x k) + f (b)] Fig. 24.2 íW-i) (b) f (xk) * Recuérdese que el área de un trapecio de altura h y bases b1 y b2 es -1 h(b1 + b2). > C B A Dx xx kk-1 www.FreeLibros.me
  • b) Con n = 10, a = 0, b = 1, Ax = ^ y xk = 10 se obtiene í 9 2 ^ í 9 lo x2 dx ~ 2 0 02 + 2k^iT0o + 12 = 2 0 100 k2 + 1 ,k-1 J \ k=\ J 20 i 0 q (2 8 5 )+ 1 (por el problema 12 del capítulo 23) = 0.335 El valor exacto es i [por el ejemplo 24.1ii) anterior]. -^ 199^ PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS En los problemas 8 a 22, utilice el teorema fundamental del cálculo para evaluar la integral definida. 8. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. (2x2 - x3) dx ( - y - I dx- n x2 x3 4 dx 1 4 x 3^ /4 sen x d xn/2 2 (2 + x ) dx (2 - x )2 dx (3 - 2 x + x 2) dx 2 (^1 - 12)t dt (1 - u)yfü du 8 i--------V1 + 3x dx 2 x 2( x3 + 1) dx 3 _ 1 o . dx Respuesta: 1Q 9Respuesta: Respuesta: 2 Respuesta: Respuesta: 6 8 Respuesta: -3 Respuesta: 9 x(1 ~4x ) 2 dx Respuesta: --4- Respuesta: - 1 5 Respuesta: 26 Respuesta: 4 ° Respuesta: 2 Respuesta: ^0- x CA PÍTU LO 24 Teorema fundam ental del cálculo www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 24 Teorema fundam ental del cálculo 21 í dx4 Vx2 -1 5 1*2^ t 22. I sen ^ dt J0 2 En los problemas 23 a 26, utilice el problema 6 a, b). 2 3 í ! dx 2 x 2 + 4 dx 2 24. J (x3 - x 5) dx 25. J ^sen ^ d x Respuesta: 6 Respuesta: 4 Respuesta: 0 Respuesta: 0 ftf/2 26. | cos x dxJ-ff/2 27. Pruebe Dx ( £" f (t) d t) = - f (x). Demuestre Dx i r “ f (t) d t ) = f (g( x))g'(x) - f (h( x))h'(x). Respuesta: 2 28, En los problemas 29 a 32, use los problemas 27 y 28 y la fórmula (24.2) para hallar la derivada indicada. 29. Dx í sen t dt 30. Dx ( Jx° t 2 dt (/•sen xJo t3 dt 32. Dx | J cos t dt Respuesta: sen x Respuesta: -x 2 Respuesta: sen3 x cos x Respuesta: 4 cos 4x - 2x cos x2 33. Calcule el valor promedio de las funciones siguientes en los intervalos indicados. a) f (x) = t fx en [0, 1] b) f (x) = sec2 x on c) f(x) = 3x2 - 1 en [-1, 4] d) f x ) = sen x - cos x en [0, ft] 0 — 3 Respuesta: Respuesta: 5. 6 3 /3 n Respuesta: 12 Respuesta: 34. Utilice el método de cambio de variable para hallar J •\/2x + 3 x dx. 58Respuesta: ^5- 35. Un objeto se mueve a lo largo del eje x durante un periodo de tiempo T. Si su posición inicial es x 1 y su posición final es x2, demuestre que su velocidad promedio fue de x2 j ^ . x www.FreeLibros.me
  • -^ 201^ 36. Sea j (x) _ { co sx para x < Q Evalúe í f (x) dx. J (x) [1 - x para x > Q. J-*/2 1 r3+A 537. Evalúe lim ^- I 3 n dx.h^ Q h *3 x + 7 Respuesta: - j Respuesta: 3 - 38. (Regla del punto medio) En una suma de aproximación (23.1) ^ f (x j)A kx, si se selecciona x¡ como el punto k=i medio del k-ésimo subintervalo, la suma se obtiene por la regla del punto medio. Aplique la regla del punto medio para aproxim ar I x 2 dx, m ediante una división en cinco subintervalos iguales, y com pare con el resultado 0 exacto de ^ . Respuesta: 0.33 39. (Regla de Sim pson) Si se divide [a, b] en n subintervalos iguales, donde n es par, la siguiente sum a de b aproxim ación para I f (x) dx,a b 3na [ f (x ,) + 4 f (X ) + 2 f ( x ) + 4 f (X ) + 2 f (x4) + ••• + 4 f (xn-1) + f (x„)] se obtiene por la regla de Simpson. Salvo por el prim ero y en el últim o térm inos, los coeficientes constan de 4 y 2 alternados. (La idea básica es utilizar parábolas com o arcos de aproxim ación en lugar de segm entos de recta como en la regla del trapecio. La regla de Sim pson generalm ente es m ucho más precisa que la regla del punto medio o la regla del trapecio.) A plica la regla de Sim pson para aproxim ar a) J x 2 dx y b) J sen x dx, con n = 4, y com para los resultados con las respuestas obtenidas por el teorem a fundam ental. Respuestas: a) £ , que es el núm ero exacto; b) -^ (2a/2 + 1) ~ 2.0046 com parado con 2. 40. Considere I" x3 dx. a) D em uestre que el teorem a fundam ental da la respuesta -4. b) (CG) Con n = 10, aproxim e0 4 (con cuatro cifras decim ales) la integral por las reglas del trapecio, del punto medio y de Simpson. Respuesta: regla del trapecio: 0.2525; del punto medio: 0.2488; de Simpson: 0.2500. 41. Evalúe: a) lím — icos — + co s— + ••• + co s— \ n \ n n n ) b) lím’ n^+~ 6n sec2 ( 6 n ) +sec2 (2 6 n ) + - • • +sec2 ((n - —) 6 n )+ * 1 Cn rft/6 „13 Respuestas: a) (a) — ^ cos x dx = 0; (b) ^ sec2 x dx = - 3 2 x 42. a) U se una sustitución para evaluar J1 ^ + 1 dx (con ocho cifras decimales). b) (CG) U tilice una graficadora para calcular la integral de a). Respuestas: (a) i (2 - y [ 2 ) ~ 0.39052429; (b) 0.39052429 pft/4 43. (CG) C alcule ^ xsen3(tanx) dx (con cuatro cifras decim ales). Respuesta: 0.0262 44. (CG) Considere J x 3 x 5 + 2x2 - 1 dx. C alcule (con seis cifras decim ales) su valor m ediante las reglas del trapecio y la de Sim pson (am bas con n = 4) y com pare con el valor dado por una graficadora. Respuestas: regla del trapecio: 3.599492; de Simpson: 3.571557; calculadora graficadora: 3.571639 CA PÍTU LO 24 Teorema fundam ental del cálculo www.FreeLibros.me
  • El logaritmo natural L a form a tradicional de definir un logaritmo, logab , es referirlo com o el núm ero u tal que au = b . Por ejemplo, logi0100 = 2 porque 102 = 100. Sin embargo, esta definición tiene un vacío teórico. E l defecto consiste en que no se ha definido todavía au cuando u es un núm ero racional, por ejemplo, -v/2 o n. E ste vacío puede llenarse, pero ello necesitaría un desvío.* También se podría tom ar un m étodo distinto que a la postre resultaría en de­ finiciones lógicam ente irrefutables de las funciones logarítm icas y exponenciales. U na desventaja tem poral es que la m otivación para la definición inicial no será obvia. El logaritmo natural Ya está fam iliarizado con la fórm ula f x r+1 J x rdx = + C (con r ^ -1 ) E l problem a sigue siendo determ inar qué sucede cuando r = -1 , es decir, encontrar la antiderivada de x-1. En la figura 25.1 se m uestra la gráfica de y = 1/í, para t > 0. Se trata de una ram a de la hipérbola. Para x > 1, la integral definida JT > es el valor del área que está bajo la curva y = 1/t y por encim a del eje t, entre t = 1 y t = x . Definición Í x 1 „- d t para x > 0 1 t L a función ln x se denom ina logaritmo natural. Las razones para llam arlo logaritm o se aclararán posterior­ mente. Por (24.2), (25.1) Dx (ln x ) = x para x > 0 En algunos textos de cálculo tan sólo se ignora esta dificultad. Se considera que au está definida cuando a > 0 y u es cualquier número real y que las reglas exponenciales usuales son válidas. ^ 202^ ------------- www.FreeLibros.me
  • Por tanto, el logaritmo natural es la antiderivada de x-1, pero sólo en el intervalo (0, +^ ). A continuación se construirá una antiderivada en (25.5) para todo x ^ 0. ------------- ^ 203^ Propiedades del logaritmo natural (25.2) ln 1 = 0, porque ln 1 = [ 1 dt = 0•*1 t (25.3) Si x > 1, entonces ln x > 0 Í x 1í j d t representa un área, o por el problema 15 del capítulo 23. (25.4) Si 0 < x < 1, entonces ln x < 0 (•x 1 (*11lnx =1 - dt = - \ - d t por (23.8). Ahora, para 0 < x < 1, si x < t < 1, entonces 1/t > 0 y, por consi-J1 t Jx t 11guiente, por el problema 15 del capítulo 23, J j d t > 0. (25.5) a) Dx (ln Ixl) = -1 para x ^ 01 x b) J - ^dx = ln Ixl + C para x ^ 0 El argumento es simple. Para x > 0, Ixl = x y, entonces, Dx (ln Ixl) = Dx (ln x) = 1/x por (25.1). Para x < 0, Ixl = - x y, entonces, D x (ln I xl) = D x (ln ( - x)) = D u (ln u ) Dx (u) (regla de la cadena, con u = -x > 0) = ( ~ l (-1) = -lu = l y u J - u x EJEMPLO 25.1. Dx (lnI3x + 2I) = -j Dx (3x + 2) (Regla de la cadena) 3 3x + 2 (25.6) ln uv = ln u + ln v N ótese que 1 D x (ln (ax)) = — Dx (ax) (por la regla de la cadena y (25.1)) = — (a) = — = D (lnx)ax x x Por tanto, ln (ax) = ln x + K p ara alguna constante K (por el problem a 18 del capítulo 13). Cuando x = 1, ln a = ln 1 + K = 0 + K = K. Entonces, ln (ax) = ln x + ln a. Al sustituir a y x por u y v se obtiene (25.6). (25.7) ln ^ u j = ln u - ln v En (25.6), se rem plaza u por V-. (25.8) ln 1 = - l n v En (25.7), se sustituye u por 1 y se utiliza (25.2). (25.9) ln(xr) = r ln x para todo núm ero racional r y x > 0. 1 r Por la regla de la cadena, Dx (ln (x r)) = — (rxr-1) = ^ = Dx (r ln x). Entonces, por el problem a 18 del capítulo 13, ln(xr) = r ln x + K para alguna constante K. Cuando x = 1, ln 1 = r ln 1 + K. Com o ln 1 = 0, K = 0, lo que resulta en (25.9). CA PÍTU LO 25 El logaritmo natural www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 25 E l logaritm o natura l EJEMPLO 25.2. ln ^ 2x - 5 = ln (2x - 5)1/3 = 0 como x > 0. Ahora se utiliza el teorema 13.7. (25.11) ln u = ln v implica que u = v. Ésta es una consecuencia directa de (25.10). Si u ^ v, entonces u < v o bien, v < u y, por consiguiente, ln u < ln v o ln v < ln u. (25.12) 2 < ln 2 < 1 El área bajo la gráfica de y = 1/t, entre t = 1 y t = 2, y por encima del eje t, es mayor que el área y del rec­ tángulo con base [1, 2] y altura -2. (fig. 25.2). También es menor que el área 1 del rectángulo con base [1, 2] y altura 1. (Un argumento más riguroso utilizaría los problemas 3c) y 15 del capítulo 23.) Fig. 25.2 (25.13) lím ln x = +°°x— Sea k cualquier entero positivo. Entonces, para x > 22k, ln x > ln (22k) = 2k ln 2 > 2 k ( |) = k por (25.10) y (25.9). Entonces, cuando x ^ + ^ , ln x excederá a la postre a veces excede todo entero positivo. (25.14) lím ln x = —oo x^0+ Sea u = 1/x. Cuando x ^ 0+, u ^ + ^ . Por tanto, lím ln x = lím ln | \ = lím - ln u (por (25.8)) x—>0+ u— V u J u— = - lím ln u =-oo (por (25.13)) u— (25.15) Fórm ula abreviada II: J dx = ln lg(x)l + C Por la regla de la cadena y (25.5a), Dx (lnlg(x)l) = g —) g ' ( x ). EJEMPLO 25.3. 2x a) J x2 + 1 dx = lnlx2 + 1l + C = ln (x 2 + 1) + C www.FreeLibros.me
  • ----------------4205^ El signo del valor absoluto se eliminó porque x2 + 1 > 0. En el futuro, se hará esto sin mencionarlo explícitamente. b) f 3x dx = 1 [ 3 x dx = 1 ln I x 3+51 + C J x 3 + 5 3 J x3 + 5 3 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Evalúe a) J tan xdx; b) J cot xdx; c) J sec xdx. a) í tan xdx = í--- dx = - ícos x •_sen x cos xdx = _ln I cos x I+C por la fórmula abreviada II. 1= -ln sec x + C = -(-ln Isec xl) + C = ln Isec xl + C (25.16) J tan xdx = ln I sec xl + C b) ícotxdx = f cosx dx = lnlsenxI + Csen x (25.17) J cot xdx = lnlsenxl + C c) J sec xdx = J sec x Por la fórmula abreviada II. sec x + tan x sec x + tan x'dx = J sec2 x + sec x tan xdx = ln lsec x + tan xl + C Por la fórmula abreviada II.sec x + tan x (25.18) J sec xdx = ln Isec x + tan xl + C 2. (CG) Calcule el valor de ln 2.Una graficadora da un valor de ln 2 ~ 0.6931471806. Más adelante se hallará otro método para calcular ln 2. 3. (CG) Trace la gráfica de y = ln x.Una graficadora entrega la gráfica mostrada en la figura 25.3. Nótese que por (25.10), ln x es creciente. Por (25.13), la gráfica crece sin límite a la derecha, y por (25.14) el eje negativo y es una asíntota vertical. Como D2(ln x) = Dx (x-1) = _ x-2 = _ - 1 < 0 la gráfica es cóncava hacia abajo. Por (25.13) y (25.14), el teorema del valor intermedio, el rango de ln x es el conjunto de todos los números reales. Fig. 25.3 CA PÍTU LO 25 El logaritmo natural www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 25 E l logaritm o natura l 4. H a lle a ) DI(ln(x4 + 7x)); b ) D x ( ln (c o s 2x)); c) Dx(cos ( ln 2x)). i 4 x 3 + 7 a ) Dx(ln (x 4 + 7x)) = 4 _ (4x 3 + 7) = 4 + , x x 4 + 7x x 4 + 7 x „ n „ 1 2 sen2x b) Dx (ln (cos2x)) = ^ o s ^ ( - sen2x)(2) = ^ ^ cos2x - = - 2 tan 2 x c) Dx (cos (ln 2x)) = (-sen (ln 2x)) i -1 1 (2) = _ sen (ln 2x) 2x J x 5. H alle las antiderivadas siguientes. U se la fórm ula abreviada II cuando sea posible. a ) J 8 x ^ 3 dx ; b ) J 3- f e d x ; c ) í T O d x ; d ) í x 2 - 4 x + 5 dx a) f 0 1 0 dx = 1 |~0 8 0 dx = 1 ln i8x - 31 + CJ 8 x - 3 8 J 8 x - 3 8 b ) 1 3x ¡x~- 2 dx =
  • -^ 207^ Para 0 < x < 1, - j es creciente en [x, 1]. Entonces, por los problemas 3c) y 15 del capítulo 23, 1 f* 1 fi 1 ^ —(1 - x ) < ln x = I - dt = I I - - dt < -1 (1 - x )x J1 t Jx\ t i Por tanto, 1 - ^ < ln x < x - 1 . Cuando x = 1, los tres términos son iguales a 0. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 8. Halle las derivadas de las funciones siguientes. a) y = Respues b) y = Respues c) y = Respues d) y = Respues e) y = Respues f ) y = Respues g) y = Respues h) y = Respues i) y = Respues y = ln(x + 3))2 a: y ' = 2 ln ( x + 3)- x + 3 x + 3 n [(x3 + 2 )(x2 + 3)] = ln (x3 + 2) + ln (x2 + 3) 1 1 3 x2 a: y ' = —— - (3x2) + —— r ( 2 x ) = (3x - 4 )2 a: y ' = 4 n(x + 3)2 = 2 ln(x + 3) 2 x + 3 1 2 ln (x + 3) 2x y x3 + 2 (3x ^ x 2 + 3 (2x) x3 + 2 ' x 2 + 3 .4x = ln x4 - ln (3x - 4 )2 = 4 ln x - 2ln (3x - 4) 2 (3) - 4 - 6x 3x - 4 x 3x - 4 n sen 5x a: y ' = ----cos( 5x)( 5) = 5cot 5xy sen5x n (x + 4 1 + x 2 ) a: y =■ 1 + i( 1 + x 2)-1/2(2x) 1 + x(1 + x 2)-1/2 (1 + x 2)L x + (1 + x 2)L x + (1 + x 2)1/2 (1 + x 2)L V3 - x 2 = ln (3 - x 2)1/2 = y ln (3 - x2) a: 1 1 y 2 3 - x2 ln x - x a: y' = ln x n(ln(tan x)) . tan x + cot x a: y = - (-2x) = - 3 - x2 ln (tan x ) 9. Halle las antiderivadas siguientes. Use la fórmula abreviada II cuando sea posible. a ) í 7 x dx 1 Respuesta: 7 ln Ix I + C r x8 b) J dx Respuesta: 9^ ln Ix 9 - 1I + C 2x x CA PÍTU LO 25 El logaritmo natural www.FreeLibros.me
  • Q cak - CAPÍTULO 25 c) [ ^ ± 1 dx x Respuesta: use la fórmula abreviada I: |-(ln x + 3)3/2 + C dx 1 x ln x Respuesta: ln I ln xl + C , r sen3x , e) J I ^ o ¡ 3 ldx Respuesta: 1 ln I1 - cos3xl + C * f 2x4 - x2 , f j — x5— Respuesta: x 2 - ln Ixl + C g) í ' - n ^ d x Respuesta: y(ln x)2 + C r dx h) J ^ x o ^ / x ) Respuesta: -2 ln I1 - - J x I + C 10. U tilice la derivación logarítm ica para calcular y ' . a) y = x 4y¡2 - x 2 Respuesta: y ' = x 4y¡2 - x 2 ( — - . X 2 | = 4 x3 V2 - x 2 -l x 2 x i b) _ (x - 1)5^ x + 2 y _ V x 2 + 7 Respuesta- y ' = y [ " x T I Vx 2 + 3 cos xc) y _- (3x - 5)3 Resp uesta: y ' = y ^ - tan x - 3x 3 5 j » J 2 x + 3 3y ResP uesta: y = - 4 x 2 _ 9 7 2 ^ 2 11. Exprese en térm inos de ln 2 y ln 3: a) ln(37); b) ln -^y. Respuestas: a) 7 ln 3; b) ln 2 - 3 ln 3 5 E l logaritm o natura l 12. Exprese en térm inos de ln 2 y ln 5: a) ln 50; b) ln-1-; c) ln>/5; d) ln 40 • Respuestas: a) ln 2 + 2 ln 5; b) - 2 ln 2; c) ln 5; d) - (3 ln 2 + ln 5) www.FreeLibros.me
  • -^ 209^ 13. H alle el área bajo la curva y = 1 y sobre el eje x, entre x = 2 y x = 4. Respuesta: 1n 2 14. H alle el valor prom edio de — en [3, 5]. Respuesta: 1n 5 15. A plique la derivación im plícita para hallar y': a) y3 = ln (x3 + y3); b) 3y - 2x = 1 + ln xy. 2 Respuestas: a) y ' = x2 3— — ; b) y ' = y 3x + — y 2 (x3 + y3 - 1 ) 7 x3y - 1 16. Evalúe lím 1 ln 2 + h . h-^ 0 h 2 Respuesta: 2 17. Com pruebe la fórm ula Jcosec x dx = 1n Icosec x - cotxl + C. 2 18. (CG) A proxim e ln 2 = J } d t con seis cifras decim ales por a) la regla del trapecio; b) la regla del punto medio; c) la regla de Sim pson, en cada caso con n = 10. Respuestas: a) 0.693771; b) 0.692835; c) 0.693147 19. (CG) A plique el método de N ewton para aproxim ar la raíz de x2 + ln x = 2 a cuatro cifras decimales. Respuesta: 1.3141 CA PÍTU LO 25 El logaritmo natural www.FreeLibros.me
  • Funciones exponenciales y logarítmicas En el capítulo 25 aprendió que el logaritm o natural ln x es una función derivable creciente cuyo dom inio es el conjunto de todos los núm eros reales positivos y su rango el conjunto de todos los núm eros reales. Com o es creciente, es una función uno a uno y, por tanto, tiene una función inversa, la cual se denom ina ex. Definición ex e s la in v e r s a d e ln x. Se deduce que el dom inio de ex es el conjunto de todos los núm eros reales y su rango el conjunto de todos los núm eros reales positivos. Com o ex es la inversa de ln x, la gráfica de ex puede obtenerse por reflexión de la de ln x en la recta y = x (fig. 26.1). Esta notación puede resultar confusa. No debería presuponerse de la notación que ex es una potencia ordi­ naria de una base e con exponente x. A unque m ás adelante es este capítulo se hallará que esto es cierto, todavía no se sabe. Propiedades de e* (26.1) ex > 0 para todo x E l rango de ex es el conjunto de todos los núm eros reales positivos. (26.2) ln (ex) = x (26.3) eln x = x Las propiedades (26.2) y (26.3) se deducen de que ex y ln x son inversas una de la otra. ^ 210^ ------------- www.FreeLibros.me
  • -----4211^ (26.4) ex es una función creciente. Sea u < v. Com o u = ln(eu) y v = ln(ev), ln (eu). Pero como ln x es creciente, eu < ev. [Si ev < eu, enton­ ces ln (ev) < ln (eu).] (26.5) Dx(ex) = ex Sea y = ex. Entonces, ln y = x. Por derivación implícita, —y' = 1 y, por tanto, y' = y = ex. Para ver un y 1 argum ento m ás riguroso, s e a f x ) = ln x y f _1(y) = ey. N ótese que f '(x) = ^ • Por el teorem a 10.2b), ( f -1)' (y) = f f ü ) ) , es decir, Dy(ey) = V¡y = ey EJEMPLO 26.1. Dx(esenx) = Du(eu)Dx(u) (Regla de la cadena, con u = sen x) = eu(cos x) = esen x (cos x) (26.6) J ex dx = ex + C EJEMPLO 26.2. Para hallar J xex‘ dx, sea u = x 2, du = 2xdx.Entonces, J xex2 dx = ^ J e“du = ^ 2 + C = ^ ex 2 + C (26.7) J e~ xdx = - e -x + C Sea u = -x , du = - dx. Entonces, J e~xdx = - J eudu = - e u + C = -e~ x + C. (26.8) e0 = 1 Por (26.3), 1 = eln 1 = e0. (26.9) eu+v = euev ln(eu+v) = u + v = ln(eu) + ln(ev) = ln(euev) por (25.6). Por tanto, eu+v = euevporque ln x es una función uno a uno. eu (26.10) eu-v = Por (26.9), eu-vev = e(u-v)+v = eu. A hora se divide entre eu. (26.11) e- = Se rem plaza u por 0 en (26.10) y se aplica (26.8). (26.12) x < ex para todo x. Por el problem a 7 del capítulo 25, ln x < x - 1 < x. Por (26.3) y (26.4), x = eln x < ex. (26.13) lím ex =x— Esto se deduce de (26.4) y (26.12). (26.14) lím ex = 0x—^ Sea u = -x . Cuando x ^ - ^ , u ^ ^ y por (26.13) eu ^ + ^ . Entonces, por (26.11), ex = e~u = -1- ^ 0.eu A hora puede aclararse el m isterio de la letra e en la expresión ex. Definición Sea e el núm ero tal que 1n e = 1. Com o 1n x es una función uno a uno que va del conjunto de todos los núm eros reales positivos al conjunto de todos los núm eros reales, debe haber exactam ente un núm ero x tal que ln x = 1. Ese núm ero se denom ina e. Como, por (25.12), ln 2 < 1 < 2 ln 2 = ln 4, se sabe que 2 < e < 4. (26.15) (CG) e ~ 2.718281828 Este cálculo puede obtenerse con una graficadora. M ás tarde se indicará cóm o aproxim ar e con cualquier grado de precisión. CA PÍTU LO 26 Funciones exponenciales y logarítm icas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 26 Funciones exponenciales y logarítm icas A hora se puede dem ostrar que la notación ex no está errada, es decir, que ex en realidad es una potencia de e. Primero, esto puede probarse para los x enteros positivos m ediante inducción matem ática. [De hecho, por (23.6), e = eln e = e1. Así, por (26.9), en+1 = ene1 = ene para todo n entero positivo y, por tanto, si se supone m e­ diante hipótesis inductiva que en representa el producto de e por sí m ism o n veces, entonces en+1 es el producto de e por sí m ism o n + 1 veces.] Por (26.8), e0 = 1, lo que corresponde a la definición estándar de e0. Si n es un entero positivo, e~n ordinariam ente se definiría m ediante 1/en, lo cual es idéntico al valor de la función dada por (26.11). Si k y n son enteros positivos, entonces la potencia ek/n se define ordinariam ente com o Ahora, de hecho, por (26.9), el producto ek/nek/n. ek/n, donde hay n factores, es igual a ek/n+k/n+...+k/n . ek. Así, el valor de la función ekkn es idéntico a la raíz n -ésim a de ek. En fracciones negativas, de nuevo se aplica (26.11) para ver que el valor de la función ex es idéntico al valor especificado por la definición común. Por ende, el valor de la función ex es la potencia usual de e cuando x es cualquier núm ero racional. Com o nuestra función ex es continua, el valor de ex cuando x es irracional es el lím ite deseado de er para los núm eros racionales r que tienden a x. L a gráfica de y = ex aparece en la figura 26.2. Por (26.13), la gráfica crece sin lím ite a la derecha y, por (26.14), el eje x negativo es una asíntota horizontal a la izquierda. Com o D 2(ex) = Dx(ex) = ex > 0, la gráfica es cóncava hacia arriba en todas partes. La gráfica de y = e~x tam bién se m uestra en la figura 26.2. Se obtiene de la gráfica de y = ex por reflexión en el eje y. (26.16) ex = lím (1 + f )n Para ver una dem ostración, repase el problem a 5. (26.17) e = lím (1 + n)n Éste es un caso especial de (26.16) cuando x = 1. Se puede utilizar esta fórm ula para aproxim ar e, aunque la convergencia a e resulta m ás bien lenta. Por ejemplo, cuando n = 1 000, se obtiene 2.7169, y cuando n = 10 000, se tiene 2.7181, que es correcto sólo con tres cifras decimales. Función exponencial general Sea a > 0. Entonces es posible definir ax com o sigue: Definición N ó te s e q u e e sto c o n c u e rd a c o n la d e f in ic ió n d e ex, y a q u e c u a n d o a = e , ln a = 1. (26.18) Dx(ax) = (ln a) ax. D e hecho, Dx(ex ln a) = D u(eu)Dxu (Regla de la cadena con u = x ln a) = eu (ln a) = ex ln a(ln a) = ax(ln a) EJEMPLO 26.3. D x(2x) = (1n 2) 2x. y X aX _ eX ln a www.FreeLibros.me
  • ^ 213^ (26.19) J axdx = - ^ a ax + C Ésta es una consecuencia directa de (26.18). EJEMPLO 26.4. f 10x = -¡-^¡-10x + Cln 10 Se pueden derivar las propiedades comunes de las potencias. (26.20) a 0 = 1 a 0 = e0 ln a = e0 = 1 (26.21) au+v = auav Por (26.21), au-vav = a(u-v)+v = au. Ahora, se divide entre av. (26.23) a-v = -1(26.23) Se rem plaza u por 0 en (26.22) y se usa (26.20) (26.24) auv = (au)v (au )v = e ln(a“) = e (m (ln a)) = £(wv )ln a = (26.25) (ab)u = a “bu R ecuérdese que Dx(xr) = rxr-1 para núm eros racionales r. A hora se puede dem ostrar la fórm ula para todo núm ero real r . (26.26) Dx(xr) = rxr-1 Com o x r = er ln x, Dx(xr) = Dx(er ln x) = D u(eu)Dx(u) (R egla de la cadena con u = r ln x) Funciones logarítmicas generales Sea a > 0. Se desea definir una función logax que desem peñe el papel del logaritm o tradicional para la base a. (26.27) y = loga x equivale a ay = x , ln x y = loga x ^ y = -¡— ^ y ln a = ln xy y ln a ^ ln(ay) = ln x ^ ay = x ( ^ es el sím bolo de si y sólo si.) Entonces, la función logarítm ica general con base a es la inversa de la función exponencial general con base a . (26.28) a log*x = x CA PÍTU LO 26 Funciones exponenciales y logarítm icas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 26 Funciones exponenciales y logarítm icas (26.29) logfl(ax) = x Esto se deduce de (26.27). Véase el problem a 6. Las propiedades usuales de los logaritm os pueden derivarse con facilidad. Véase el problem a 7. Nótese que loge x = = ln x. Por ende, el logaritm o natural resulta ser un logaritm o en el sentido usual, con base e . PROBLEMAS RESUELTOS 1. Evalúe a) ln(e3); b) e7 ln 2; c) e(ln 3) 2; e) 1u. a) ln(e3) = 3, por (26.2) b) e7 ln 2 = (eln 2)7 = 27 = 128, por (26.24) y (26.3) eln 3 3 c) e (ln3)-2 = e-r = e L, por (26.10) d) 1u = eu i" i = gu(0) = g0 = 1, por (26.8) 2. H alle las derivadas de a) e3x +1; b) 53x ; c) 3xIt; d) x 2ex. a) Dx(e3x+1) = e3x +'(3) = 3e3x +1, por la regla de la cadena b) Dx(53x) = D u(5u)Dx(u) (regla de la cadena con u = 3x) = (ln 5)5 u (3), por (26.18) = 3(ln 5) 53x c) Dx(3x n) = 3(rcxTC-1) = 3rcxTC-1, por (26.26) d) Dx(x 2ex) = x 2Dx(ex) + exDx(x 2), por la regla del producto = x 2ex + ex(2x ) = xex(x + 2) 3. H alle las antiderivadas siguientes: a) J 3(2x) d x ; b) J x 2e x¡d x . a) J3 (2 x) dx = 3 J 2x dx = 3 j " 2 2 x + C = j " 2 2 x + C b) Sea u = x3, du = 3x2 d x . Entonces, J x 2ex dx = -3 J e udu = 3 eu + C = 3 ex + C 4. D espeje x en las ecuaciones siguientes: a) ln x3 = 2; b) ln(ln x) = 0; c) e21-1 = 3; d) e x - 3e-x = 2. En general, ln A = B equivale a A = eB, y ec = D a C = ln D. a) ln x3 = 3 ln x. Por tanto, ln x3 = 2 da 3 ln x = 2, ln x = f , x = e2/3. b) ln (ln x) = 0 equivale a ln x = e0 = 1 , que a su vez equivale a x = e 1 = e. c) e2x- 1 = 3 equivale a 2x - 1 = ln 3, y luego a x = 1 . d) M ultiplique ambos lados por ex: e 2 - 3 = 2ex, e 2 - 2ex - 3 = 0. Sea u = e x, con lo que se obtiene la ecuación cuadrática u2 - 2u - 3 = 0; (u - 3)(u + 1) = 0, con soluciones u = 3 y u = -1 . Por tanto, ex = 3 o ex = -1 . El último resultado es imposible, ya que ex siem pre es positiva. En consecuencia, ex = 3 y x = ln 3. Demuestre (26.16): eu = lím | 1 + — Sea an = | 1 +— . Entonces,n 1 n 1 ln an = n ln Jl1 + n ) = u ln (1 + u /n) - ln1 u /n La expresión ln (1 + u /n) - ln1 u /n es un cociente de diferencia para Dx(ln x) en x = 1, con Ax = u/n. Cuando n ^ + ^ , u/n ^ 0. Entonces, ese cociente de diferencia tiende a Dx(lnx)|x1 = (1 /x)x1 = 1. Por tanto, lím ln an = u(1) = u. Entonces, lím an = lím etaan = eu. n n www.FreeLibros.me
  • -^ 215^ 6. Demuestre (26.28) a log«x = x y (26.29) loga(ax) = x. Al sustituir loga x por y en (26.27) se obtiene a logax = x. Al remplazar ay por x en (26.27) se obtiene y = loga(ay). 7. Deduzca las propiedades siguientes de loga x: a) loga 1 = 0. loga 1 = lna _ lna _ 0 . b) loga a = 1. ln aloga a = -¡— = 1 a ln a c) loga uv = loga « + loga V. ln uv ln u + ln v ln u lnvloga uv = - -----= — =--------- = -— + -— = loga u + loga vDa ln a ln a ln a ln a d) loga u = loga u - loga v . Se remplaza u en c) por ^ . f ) loga (ur) = r loga u. ln(ur) r ln u loga(ur) = T H O “ = T ñ a = rloga u g) Dx (loga x ) = • Dx (logax ) = Dx f £ ] = i í r a Dx(ln x ) = ¿ 1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 8. C a lc u le la s d e r iv a d a s d e la s fu n c io n e s s ig u ie n te s : II3^ Respuesta: y ' = 5e5x b) y = e *™ 3x Respuesta: y ' = 3 sec2(3x) etan 3x c) y _ g-x cos x Respuesta: y ' = -e~x (cos x + sen x) d) y = 3-x2 Respuesta: y ' = - 2x(ln3)3-x2 e) y = sen-1(ex ) exRespuest„: y . ^ - 2-. f y = ee Respuesta: y ' = ex+e' g) y = x x Respuesta: y ' = xx (1 + ln x) h) y = log io(3x2 - 5) Respuesta: y ' ' ln10 3x-2 - 5 9. H a lle la s a n tid e riv a d a s s ig u ie n te s: 43 _ on Respuesta: 1 32x + C 2 ln 3 3 e1'x b) J dx Respuesta: - e1/x + C c) J (ex + 1)3 exdx Respuesta: (ex + 1)4 + C 4 + C d) J d\J J ex + 1 Respuesta: x - 1n (ex + 1) + C 3 ' * Respuesta: - 2 e1/x2 + C /• -x2 +2 f ) 1 e xdx Respuesta: - 2 e~x2+2 + C CA PÍTU LO 26 Funciones exponenciales y logarítm icas www.FreeLibros.me
  • ^ 216^ CAPÍTULO 26 Funciones exponenciales y logarítm icas g ) | (ex + 1)2 dx Respuesta: h) J (ex - x e) dx Respuesta: i ) | 2x _+ 5 dxe2x + 5 Respuesta: j ) C exdx ^ V1 - e2x Respuesta: k ) | x 3(5x4+1) dx Respuesta: l) dx xs * lo Respuesta: •n 1(ex) 1 „ 4 2^ 1 0 ^ x )2 + C = ^n2 0 (1°8io x )2 + C 10. (Funciones hiperbólicas) Defina ex - e~ senh x = - Deduzca los resultados siguientes: c ° s h x =- tanh x = senh x cosh x ’ sec h = 1 cos hx a) Dx(sen h x) = cos h x y Dx(cos h x) = sen h x. b) Dx(tan h x) = sec h2 x y Dx(sec h x) = -sec h x tan h x. c) cos h2 x - sen h2 x = 1 d) sen h(x + y) = sen h x cos h y + cos h x sen h y. e) cos h(x + y) = cos h x cos h y + sen h x sen h y. f ) sen h 2 x = 2 sen h x cos h x. g) cos h 2x = cos h2 x + sen h2 x = 2 cos h2 x - 1 = 2 sen h2 x + 1. h) (CG) Trace la gráfica de y = 2 cos h(x/2)(denominada “catenaria”) y halle su punto mínimo. Respuesta: (0, 2) 11. Despeje x en las ecuaciones siguientes: 2= Respuesta: ■y ln2 b) ln(x4) = -1 Respuesta: e-1/4 c) ln(ln x ) = 2 Respuesta: ee2 d) ex - 4e~x = 3 Respuesta: 2 ln 2 e) ex + 12e-x = 7 Respuesta: 2 ln 2 y ln 3 f 5x = 7 Respuesta: ln7 = log5 g) log2(x + 3) = 5 Respuesta: 29 h) log2 x2 + log2 x = 4 Respuesta: ^16 i) log2(24x) = 20 Respuesta: 5 j) e-2x - 7e~x = 8 Respuesta: -3 ln 2 k) xx = x 3 Respuesta: 1 y 3 eh - 112. Evalúe a) lím ,h^o h b ) límh-^0 eh - 1 Respuestas: a) 1; b) 0 /• ln2 eX f 1 13. Evalúe a) I —— ^ dx; b) IJo ex + 2 J1 e 2 + ln x x dx Respuestas: a) 1n -5- ; b) f 14. (CG) Aplique el método de Newton para aproximar (con cuatro cifras decimales) una solución de = —. 1 ~2x2 xx e Respuesta: 0.5671 www.FreeLibros.me
  • -^ 217^ 15. (CG) U se la regla de Sim pson con n = 4 para aproxim ar J e x2/2 dx a cuatro cifras decim ales. Respuesta: 0.8556 ( r16. Si se paga interés a r por ciento por año y se aumenta n veces al año, entonces P dólares se vuelven P | 1 + después de un año. Si i de interés com puesto). después de un año. Si n ^ + ^ , se dice que el interés se com pone continuam ente (es decir, se trata v 00n a) S i s e in c re m e n ta c o n tin u a m e n te r p o r c ie n to a n u a l, d e m u e s tre q u e P se c o n v ie r te P e r/100 d ó la r e s d e s p u é s de u n a ñ o , y Pert/100 d ó la r e s d e s p u é s d e t añ o s. b) S i r p o r c ie n to se in c re m e n ta c o n tin u a m e n te , ¿ e n c u á n to s a ñ o s se d u p lic a r á c ie rto m o n to d e d in ero ? c) (c g ) C a lc u le c o n d o s c ifr a s d e c im a le s c u á n to s a ñ o s to m a ría d u p lic a r c ie r ta c a n tid a d d e d in ero si se in c re m e n ta c o n tin u a m e n te a 6 % anu al. d) (c g ) C o m p a re e l re su lta d o d e in cre m en ta r c o n tin u a m e n te a 5 % c o n e l o b te n id o a l in c re m e n ta r u n a v e z a l año. Respuestas: b) 100Qn 2 ) ~ c ) a p r o x im a d a m e n te 1 1 .5 5 añ o s; d) d e s p u é s d e u n añ o u n d ó la r se v u e lv e 1 .0 5 d ó la re s c u a n d o se in c re m e n ta u n a v e z a l a ñ o , y a p r o x im a d a m e n te 1 .0 5 1 2 d ó la r e s c u a n d o se in c re m e n ta c o n tin u a m e n te . 17. H a lle ( lo g 10e) • ln 10 Respuesta: 1 18. E s c r ib a c o m o un s o lo lo g a r itm o c o n b a s e a: 3 lo g a 2 + lo g a 40 - lo g a 16 Respuesta: lo g a 20 19. (c g ) C a lc u le l o g 2 7 c o n o c h o c ifr a s d e c im a le s . Respuesta: 2 .8 0 7 3 5 4 9 2 20. D e m u e s tr e q u e lo g b x = ( lo g a x ) ( lo g b a). 21. (c g ) T r a c e la g r á f ic a d e y = e~x2/2. In d iq u e lo s e x tr e m o s a b s o lu to s , lo s p u n to s d e in f le x ió n , la s a s ín to ta s y c u a lq u ie r s im e tr ía . Respuesta: m á x im o a b s o lu to en (0, 1 ) , p u n to s d e in f le x ió n en x = ± 1 , e l e je x e s u n a a sín to ta h o r iz o n ta l a la iz q u ie rd a y a la d e re c h a , s im é tr ic a re s p e c to a l e je y . 22. D a d o exy - x + y 2 = 1 , h a lle p o r d e r iv a c ió n im p líc ita . Respuesta: dx 1 - yexy 2y + xexy ex — e 23. ( c g ) Trace la gráfica de y = sen hx = ------2— Respuesta: ln(e x + e~x ) + C ?e _e 24. E v a lú e \ - ----- — dx.j ex + e x Respuesta: ln (e x + e~x ) + C 25. A plique la derivación logarítm ica para hallar la derivada de y = x3/x. Respuesta: 3y(1 —^ x) n CA PÍTU LO 26 Funciones exponenciales y logarítm icas www.FreeLibros.me
  • Regla de L’Hôpital f (x)Los lím ites de la form a lím g - ) pueden evaluarse m ediante el siguiente teorem a en los casos indeterminados donde tanto f x ) com o g(x) tienden a 0, o am bas tienden a + ^ . Regla de L’hôpital S if x ) y g(x), o am bas tienden a 0, o am bas tienden a ± ^ , entonces, f ( x) f '(x)lim , - = lím , , x g(x) g (x) Aquí, “lím ” equivale a lím , lím , lím, lím , lím x —>+—œ x ^ a x ^ a + x ^ a ~ Si desea consultar un esbozo de la dem ostración, repase los problem as 1, 11 y 12. Se considera, en el caso de los tres últim os tipos de lím ites, que g'(x) * 0 para x que esté suficientem ente próxim o a a, y en el caso de los prim eros dos límites, que g'(x) * 0 para los valores de x suficientem ente grandes o suficientem ente pequeños. (Las afirm aciones correspondientes sobre g(x) * 0 se siguen del teorem a de Rolle.) EJEMPLO 27.1. Com o ln x tiende a cuando x tiende a + ^ , la regla de L ’H ôpital im plica que lím i n x = l í m l f = h? i = 0 x—+» x x—+» 1 x—+» x EJEMPLO 27.2. Com o ex tiende a + ^ cuando x tiende a + ^ , la regla de L ’Hôpital im plica que lím x = lím - x = 0x—+» ex x——+™ ex EJEMPLO 27.3. Se sabe, por el problem a 13a ) del capítulo 7, que lím 3x 2 + 5x - 8 _ 3 x™ 7 x 2 - 2x +1 7 Puesto que 3x 2 + 5x - 8 y 7x 2 - 2x + 1 tienden a + ^ cuando x tiende a + ^ , la regla de L ’H ôpital indica que lím 3x 2 + 5x - 8 = lím 6x + 5 i™ 7 x 2 - 2x +1 14x - 2 www.FreeLibros.me
  • y otra aplicación de la regla señala que -^ 219^ lím 6x + 5 = l ím A = A = 1 xi+i 14 x - 2 xi+I 14 14 7 EJEMPLO 27.4. Como tan x tiende a 0 cuando x tiende a 0, la regla de L ’Hôpital implica que lím tanx = ^ se ç ix = lt o _ J _ = 1 = 1 x^ o X x^ o 1 x^ o COS X 1 Tipo indeterminado 0 ■ œ Si f{x) tiende a 0 y g{x) tiende a ± ^ , no se sabe cóm o determ inar lím fx )g (x ) A veces este problem a puede transform arse para conseguir que la regla de L’H ôpital sea aplicable. EJEMPLO 27.5. Cuando x tiende a 0 desde la derecha, ln x tiende a - ^ . Entonces, no se sabe cómo hallar lím x 1n x.x^ 0~ Pero cuando x tiende a 0 desde la derecha, 1/x tiende a +. Así, por la regla de L ’Hôpital, ln x 1/xlim x ln x = lim -r-¡— = lim 2 = lim - x = 0xi0+ xi0+ 1/x xi0+ - 1/x2 xi0+ Tipo indeterminado œ — œ S if x) y g(x) tienden a ^ no se sabe qué sucede con lím (fx ) - g(x)). En ocasiones el problem a puede transfor­ m arse en un problem a tipo L’Hôpital. EJEMPLO 27.6. lim ( cosecx - 1 ) es un problema de este tipo. Pero lim ( cosec x - 1 1 = lim (— ------—x^ 0 \ x ¡ x^0 \sen x xx i x^0 x senx y 1_cos xComo x - sen x y x sen x ambos tienden a 0, se aplica la regla de L ’Hôpital y se obtiene l im ---------- ----------. Aquí,J } x^0 x cos x + sen x M tanto el numerador como el denominador tienden a 0 y por la regla de L ’Hôpital resulta l ím _______ senx_________= ___ °___= 0 = 0 x^0 - x sen x + cos x + cos x 0 +1 +1 2 Tipos indeterminados 00, œ0 y 1 Si lím y es uno de estos tipos, entonces lím (ln y) será del tipo 0 ■ ln xEJEMPLO 27.7. En lim xsen x, y = x sen x, es del tipo 00 y no se sabe qué sucede en el limite. Pero y = sen x ln x = -x^0+ cosec x y ln x y cosec x tienden a ± ^ . Entonces, por la regla de L ’Hôpital, 1/x sen2x sen x sen xlim ln y = lim -------—------ — = lim - —— — = - l im ---------------x^ 0+ 7 x^ 0+ - cosec x cot x x^ 0+ x cos x x^ 0+ x cos x = - lim lim tan x = -(1)(0) = 0x^ 0+ x x^ 0+ Aquí se utilizó el hecho de que lím((senx)/x) = 1 (problema 1 del capítulo 17). Ahora, como lím ln y = 0,x^0 x^0+ lím y = lím eln y = e0 = 1x^0+ x^0+ CA PÍTU LO 27 Regla de L'H ôpital www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 27 Regla de L 'H ô p ita l EJEMPLO 27.8. En lím llnxlx, y = llnxlx es de tipo ^ 0, y no es claro qué pasa en el límite. Pero ln y =x lnlln xl = y tanto ln lln xl como 1/x tienden a + ^ . Entonces, por la regla de L ’Hôpital se obtiene lím ln y = lím (—1 ) / ( - ) = lím -x^o* J x^o* \ x l n x / / \ x 2 ) x^o* = 0,ln x ya que lím -¡-L = o. Por tanto, lím y = lím elny = e0 = 1x^ 0+ ln x x^ 0+ x^ 0+ ln xEJEMPLO 27.9. En lím x 1^ - 1), y = x 1^ 1) es de tipo 1“ y no puede verse qué sucede en el límite. Pero ln y = --------- jx—>1 x 1 y tanto el numerador como el denominador tienden a 0. Entonces, por la regla de L ’Hôpital se obtiene 1 /x lím ln y = lím = 1. Por tanto, lím y = lím elny = e1 = ex—1 x—1 1 x—>1 x—>1 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Demuestre la forma siguiente ° de la regla de L’Hôpital: Sean f(x) y g(x) son diferenciables, g'(x) ^ 0 en algún f '( x) intervalo abierto (a, b) y lím f (x) = 0 = lím g(x ). Entonces, lím , ( ) existe,x—a+ x—a+ x^ a+ g (x) lím m = lím n g x^a* g(x) x^a* g (x) Como lím f (x) = 0 = lím g(x ), se considera que f(a) y g(a) están definidas y que f(a) = g(a) = 0. Al x—a+ x—a+ remplazar b por x en el teorema del valor medio extendido (teorema 13.5) y utilizando el hecho de quef(a) = g (a) = 0 se obtiene f ( x ) = f (x ) - f (a) = f /(x0) g(x) g(x) - g(a) g ^ 0 ) para algún x0 con a < x0 < x. Entonces, x0 ^ a+ cuando x ^ a+. Por tanto, lím m = lím x^a* g(x) x^a* g (x) También se puede obtener la forma ° de la regla de L’Hôpital para lím (simplemente por ser u = -x), y entonces los resultados para lím y lím dan la forma 0 de la regla de L’Hôpital para llm .x^a+ 0 x^a \nln x (ln x )ñ2. Por los ejemplos 1 y 2 se sabe ya que lím —— = 0 y lím — = 0. Demuestre además que lím — -— = 0 ■n x^+^ x x^+^ e x^+^ x lím x — = 0 para todo n entero positivo. x^+^ e Use la inducción matemática. Considere estos resultados para un n > 1. Por la regla de L’Hôpital, De igual forma, (ln x)n+1 ,, (n + 1)(ln x)n (1/x) , (ln x )nlím ----- — = lím ------ T — - = (n +1) lím ----------- — = (n + 1)(0) = 0 lím x -x- = lím (n + 1 1 x = (n + 1) lím x x- = (n + 1)(0) = 0x^+ ^ e x^+œ e x^+œ e 3. Aplique la regla de L’Hôpital una o más veces para evaluar los límites siguientes. Compruebe en todos los casos que se cumplen los supuestos apropiados. , lím x + sen2x a) l1™ x - sen2x ' www.FreeLibros.me
  • -^ 221^ lím 1 + 2 co s2 x _ 1 + 2(1) _ _ 3 Se obtiene M i _ 2 œ s2 x " 1 - 2(1) " 3 b) iím «L z i . x^0+ x 2 ■X f - = l l í m ^x^0+ 2x x^0+ x ex + e~x - x 2 - 2 Se obtiene lím 2 X = ^ lím ~V = +“ por el ejemplo 27.2. c) lím 2 2 .x^0 sen2 x - x 2 Se obtiene lím 0 e ~ e— ~ 2x = lím e ~ e .x^0 2sen x cos x - 2x x^0 sen 2x - 2x Mediante la aplicación repetida de la regla de L’Hopital se obtiene: ex + e-x _ 2 ex - e-xlim ^ ^----- =- = lim -X^ 0 2cos2x - 2 x^o -4sen2x lím ex + e~x = 1 + 1 = _ 2 = _ 1 ü o -8 c o s 2 x -8(1) 8 4 d) lím . x^ n* Vx - n Se obtiene lím , /ro/cosx U/21 = lím 2 (x - ^ ) 1/2 cosx = 0. x^x+ 1/[2(x — K) J x^x+ e) l ím ] n s e n x . y x^o+ ln tan x ^ (cosx)/(senx) ^ 4 1 Queda lím^ (sec2 x)/(tan x) = cos4 x = 1 f) l ím ^o ^ .J x^o cot2x El uso directo de la regla de L’Hôpital lím ~ cosec' x , = -4 lím , 2 cos2e c x (cot x)0^ - 2 cosec (2x) 4 x^o (cosec (2x))(cot 2x) lleva a límites aún más complicados, pero, si cambia de cot a tan, se obtiene l í m ^ í f = l í m t ^ = lím 2sec^ 2x) = 2 lím co2s' \ = 2± = 2 x^o cot2x x^o tan x x^o sec2 x x^o cos2(2x) 1 g) lím x 2ln x.x^0+ Éste es del tipo 0 . ^ . Entonces, la regla de L’Hôpital puede aplicarse de la siguiente manera: lím = lím 1/x: 3 = lím - A x 2 = 0x^ 0+ 1/x2 x^ 0+ -2 /x 3 x^ 0+ 2 h) lím (1 - tan x) sec 2x.x^n/4 Éste es del tipo 0 . ^ . Sin embargo, es igual a lím 1 ~ tan x = lím ~ sec2 x = ^ = 1 x—^TT/4 cos 2x x—m/4 -2sen2x -2 ^ Aquí se utilizó el valor cos = j i) lím ( — - x 1 ).x^o\ x ex - 11ex - 1j Éste es del tipo ^ - c», pero resulta igual a lím ^ ~x1 ~ x = lím xex ~ 1 , = lím ex - 1 - 1 o^ x (ex - 1) x^o xex + ex - 1 x^o xex + 2ex 0 + 2 2 j ) lím(cosec x - cot x).x^0 Éste es del tipo ^ - ^ , pero resulta igual a lím L X - - “ M . )= lím 1 = lím ^ = 0 x^o\sen x sen x I x^o sen x x^o cos x k) lím (tan x)°x^(n/2)~ Éste es del tipo ^°. Sea y = (tan x)cos x, entonces ln y = (cos x)(lntan x) = -lntan xsec x CA PÍTU LO 27 Regla de L'H ôpital www.FreeLibros.me
  • ^ 222^ 4. 5. CAPÍTULO 27 Regla de L 'H ô p ita l Por tanto, lím ln y = lím ln ta n x = lím (sec2x / ta n x )/(se c x ta n x ) = lím c° sx = 0 = 1 x^(n!2) x^(n/2) SeC X x (^n/2) x (^n/2) Sen X 1 í\ i y¡2 + x /) lím —-------x^+^ x Se obtiene lím s[ 2 - v \¡2 + x 2- = lim —--------- y se está girando en un círculo. Por ende, la regla de L’H opital no es de uso alguno. Pero, lím s [ ï- - = límx^ +» = xlímj — 2+ 1x = ^ 0 + 1 = i H aga una crítica sobre el siguiente uso de la regla de L’Hopital: límx^2 x 3 - 3 x 2 + 3x - 2 x^ 2 3x 2 - 6x + 3 x^ 2 6x - 6 x^ 2 6 La segunda ecuación es un uso incorrecto de la regla de L’Hôpital, ya que lím (3x2 - 2x — 1) = 7 y lím (3x2 - 6x + 3) = 3. Entonces, el lim ite correcto seria -3.x^2 (cg) Trace la gráfica de y = xe~x = x . Véase la figura 27.1. Por el ejem plo 2, lím y = 0. Entonces, el eje x positivo es una asíntota horizontal. Com o lím e~x = +°°, lím y = —. y'= e~x (1 - x ) y y " = e~x (x - 2 ) . Entonces, x = 1 es un núm ero crítico. Por el criterio de la segunda derivada, existe un m áxim o relativo en (1, 1/e) porque y" < 0 en x = 1. La gráfica es cóncava hacia abajo para x < 2 (donde y " < 0) y cóncava hacia arriba para x > 2 (donde y" > 0). (2, 2/e2) es un punto de inflexión. La graficadora proporciona los estim ados 1/e ~ 0.37 y 2/e2 ~ 0.27. (cg) Trace la gráfica de y = x ln x. Véase la figura 27.2. La gráfica está definida sólo para x > 0. C laram ente, lím y = +®°. Por el ejem plo 5, lím y = 0. Com o y ' = i + ln x y y " = i/x > 0, el núm ero crítico en x = 1/e (donde y ' = 0) resulta, por el criteriox^0+ de la segunda derivada, un m ínim o relativo en (1/e, -1 /e ). La gráfica es cóncava hacia arriba en todas partes. y x 2x 2x x x Fig. 27.2 www.FreeLibros.me
  • ^ 223^ PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 7. D em uestre que lím x nex = 0 para todo x entero positivo. 8. H alle lím xsen — .x— x Respuesta: n 9. Trace las gráficas de las funciones siguientes: a) y = x - ln x; b) y = ^nx~ ; (c) y = x 2ex Respuesta: véase figura 27.3 (c) Fig. 27.3 10. Evalúe los lím ites siguientes: a ) lím x4 ~ 256 = 256x^4 x - 4 d) lím e ~ e = e2 x^2 x - 2 , ln (2 + x) £) lim — -— \—- = 16 x^-1 x +1 Qx Ox 1 j ) x m j - s x - = 2 ln 2 , lncos x 1 m ) llm0 72 = ~ ñx^ 0 x 2 b ) lím x 4 - 256 x^4 x 2 - 1 6 = 32 e) lím x x = ~ 1x^o 1 - ex cos x - 1 1h) l í m ----- -------T = —rx^o co s2x - 1 4 ,, 2 tan -1 x - x , k) lím ^ = 1x^o 2x - sen 1 x n) lím cos2x I cos x = x^o sen2 x c) lím x 2 - 3x = i c) xSs x 2 - 9 2 f lím e ~ 1 = 1 x^o tan 2 x 2 i) lím ------—x^o sen x = 4 l) l í m l ^ c 2 x = 4 x^ o ln sec x 0 ) l í m ^ = o x^ +~ V x CA PÍTU LO 27 Regla de L'H opital www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 27 Regla de L 'H ô p ita l lím cscóx = i csc 2x 3 lím i n c o t x = o i^o+ ecsc x lím x 2ex = 0 lím e tanx sec2 x = 0 o \x sen x lím |-=V - - , 5x + 2 lnx . q) x1!?! x + 3 ln x _ t) lím ex + 3x3 = 1 t) x ^ 4ex + 2x2 4 w) lím x cosec x = 1x^0 z) lím (x - sen 1 x ) cosec3 x = - 1x^o 6 c') lím (sec3 x - tan3 x) = ^ = - 1 f ’) «m ln x ___1_ x^ +»l x 4 x I = 0 lím (cos x)1/x = 1 i') lím (ex + 3x)1/x = e4x^0 lím (sen x - cos x )tanx = 1/e í ) lím ( tan x)cosx = 1 lím (1 + 1/x )x = e o ') lím 3 ^ = 0x^+^ 3 1n 1000 / ) lím i x - = 0x— x lím ex (1 - ex ) = lím lím 1 - ex0 (1 + x )ln(1 - x ) x^ 0 1 + x x^ 0 (1 - x ) = 1 lím ex +1 ■= 0 lím (ex - 1)cos x = 1x^0 lím cosec nx ln x = - 1 / nx—>1 lím lím (-i-1-------- ^ W - - 2x^ 1 \ ln x x - 1 / 2 lím x x = 1x^0+ lím (1 - e~x )ex = 1 /e lím x tan2” = e~2/%x—>1 - = 0límx^+0+ x 11. Compruebe el diagrama de la demostración de la forma -0- de la regla de L’Hopital en + ^ . Sean f(x) y g(x) son derivables y g'(x) ^ 0 para todo x > c, y lím f (x) = 0 = lím g(x). Entonces, • f (x ) f ( x ) ,, f (x )si lím J ,) : existe lím ^ = lím J ,, ,x^+- g (x ) x^+» g(x ) x^+» g (x ) Demostración: sea F(u) = f(1/u) y G(u) = g(1/u). Entonces, por el problema 1 para a ^ 0+ y con F y G en lugar de f y g, lím i ® = lím F M = lím F M i ™ g (x ) i ™ G(u) G '(u) = lím 0+ (g '(1/u) - (—1/u2)) ¡S0+ g '(1/u) xlímm» g ' (x ) 12. Llene los vacíos en la demostración de la forma — de la regla de L’Hôpital en el caso lím . (Los otros casos se 0 ^ x^a+ obtienen fácilmente como en la forma -g-.) Sean f(x) y g(x) derivables y g'(x) ^ 0 en algún intervalo abierto (a, b) y que lím f (x ) = = lím g (x ). Entonces,x^a+ x^a+ ■ iz f ( x ) ,. f (x ) ,, f ' (x )si K = lim J ,) ' existe, lim = lim J ,) íx^ a+ g (x) x^a* g(x) x^a* g (x) Demostración: Sea e > 0 y se escoge c de manera que IK - (f'(x)/g'(x)i < e /2 para a < x < c. Sea d en (a, c). Sea a < y < d. Por el teorema del valor medio extendido, existe un x* tal que y < x* < d y f (d ) - f (y) = f '( x*) g(d ) - g( y) g '(x ’ ) r s u x 1a d m x x www.FreeLibros.me
  • -----4225^ Entonces, K f (d ) - f (y ) ,e y entonces K \ ( f (J ) f(d) Vf, g(d) ^ , e K - g(d)- g(y) < 2 y ent0nces’ K -[{g(y)- VI1 - gy) 2 Ahora se tiene que y ^ a+. Como g(y) ^ y f(d) y g(d) son constantes, f(d)/g(y) ^ 0 y 1 - g(d)/g(y) ^ 1. Así, para y próximo a a, 13. (CG) En los casos siguientes intente hallar el límite por métodos analíticos y luego compruébelo calculando el límite en una graficadora: a ) lím x1'x ;x^ 0+ Respuesta: 0 b ) lím x1'x ; Respuesta: 1 c ) lím (1 - cos x)x ;x^ 0 Respuesta: 1; d) lím (Vx2 + 3x - x IX—>+» ' ! Respuesta: d) 14. La corriente en un circuito con resistencia R, inductancia L y fuerza electromotriz constante E en el instante t está dada por i = r (1 - e~Rt/L). Obtenga una fórmula para calcular i cuando R está muy próxima a cero. Respuesta: L CA PÍTU LO 27 Regla de L'H ôpital www.FreeLibros.me
  • Crecimiento y decrecimiento exponencial Considérese una cantidad y que varía con el tiempo y que | = t y (28.1) para alguna constante k. Sea F (t) = y/ekt. Entonces, por la regla del cociente, dF = ektD ty - y D tekt = ektky - y ektk = 0 = 0 dt e2kt e2kt e2kt Por tanto, F (t) debe ser una constante C. (¿Por qué?) Entonces, y/ekt = C y, por ende, y = Cekt. Para evaluar C, sea t = 0. Así, y(0) = Ce0 = C(1) = C. Si se designa y(0) por y0, entonces C = y0 y se ha obtenido la forma general de la solución a la ecuación (28.1): y = y 0ekt (28.2) Si k > 0, entonces y crece exponencialmente y k es la constante de crecimiento. Si k < 0, entonces y decrece exponencialmente y k es la constante de decrecimiento. La constante y0 se denomina valor inicial. un tnDel problema 2 del capítulo 27 se sabe que lím — = 0. Así, cuando k > 0, lím —rr = 0. Luego, una cantidad u^ +rc e t^ +c* eque crece exponencialmente lo hace mucho más rápido que cualquier potencia de t. En muchos procesos na­ turales, como el crecimiento bacteriano o el decrecimiento radiactivo, las cantidades aumentan o disminuyen a una razón exponencial. Vida media Considérese que una cantidad y de cierta sustancia decrece exponencialmente, con un decrecimiento constante k. Sea y0 la cantidad en el instante t = 0. ¿En qué momento T quedará sólo a la mitad de la cantidad original? Por (28.2) se llega a la ecuación y = y 0ekt. Por tanto, en el instante T, i ye = y üekT i = ekT ln(i) = ln (ekT) = kT - ln2 = kT (28.3) T = - ^ (28.4) ^ 226^ www.FreeLibros.me
  • -----4227^ Nótese que el mismo valor T se obtiene para toda cantidad original y0. T recibe el nombre de vida media de la sustancia. Se relaciona con la constante de decrecimiento k por la ecuación (28.3). Por ello, si se conoce el valor de k o de T es posible calcular el valor de la otra. Además, nótese que en (28.4), k < 0, así que T > 0. El valor de k puede obtenerse por experimento. Para un valor inicial dado y0 y un tiempo positivo específico t0, se observa el valor de y , se sustituye en la ecuación (28.2) y se despeja o resuelve para k. PROBLEMAS RESUELTOS La vida media T del radio es 1690 años. ¿Cuánto quedará de un gramo de radio después de 1000 años? De (28.3), k = --lT2 = —16^90 y la cantidad de radio está dada por y = y0e~(ln 2)t/1690. Se observa que y0 = 1, por lo que al sustituir 1000 por t se obtiene y = e (ln 2) 1000/1690 0.6636 gramos Así, quedarán aproximadamente 663.6 miligramos al cabo de 1000 años. 2. Si 20% de una sustancia radiactiva desaparece en un año, halle su vida media T. Suponga que el decrecimiento es exponencial.Por (28.2), 0.8y0 = y0k(1) = y0ek. Entonces, 0.8 = ek, donde k = 1n (0.8) = ln(y) = ln 4 - 1n 5. De (28.4), T = - ln2 . ln2ln5 - ln4 - 3.1063 años. 3. Suponga que el número de bacterias en un cultivo crece exponencialmente con una constante de crecimiento de 0.02, con el tiempo medido en horas. (Aunque el número de bacterias debe ser un entero no negativo, el supuesto de que el número es una cantidad continua siempre parece llevar a los resultados que se verifican experimentalmente.) a) ¿Cuántas bacterias estarán presentes después de 1 hora si eran 1000 inicialmente? b) Dadas las misma 1000 bacterias iniciales, ¿en cuántas horas habrá 100 000 bacterias? a) De (28.2), y = 1000e002 ~ 1000(1.0202) = 1020.2 ~ 1020 b) De (28.2), 100 000 = 1000e002t 100 = e002t ln 100 = 0.02t 2 ln 10 = 0.02t (como ln 100 = ln(10)2 = 2 ln 10) t = 100 ln 10 ~ 100(2.0326) = 203.26 horas Nota: a veces, en lugar de dar un crecimiento constante, como k = 0.02, se da una razón de crecimiento correspondiente por una unidad de tiempo (en este caso, 2% por hora). Esto no es muy exacto. Una razón de crecimiento de r% por unidad de tiempo es aproximadamente lo mismo que un valor de k = 0.0r cuando r es relativamente pequeña (por ejemplo, r < 3). De hecho, con una razón de crecimiento de r%, y = y0 (1 + 0.0r) después de una unidad de tiempo. Como y = y0ek cuando t = 1, queda 1 + 0.0r = ek y, por consiguiente, k = ln(1 + 0.0r). Esto es próximo a 0.0r, ya que ln (1 + x) ~ x para x pequeñas positivas. (Por ejemplo, ln1.02 ~ 0.0198 y ln 1.03 ~ 0.02956). Por ello, en numerosos textos se interpreta con frecuencia una razón de crecimiento de r% como k = 0.0r. e e 4. Si una cantidad y crece o decrece exponencialmente, halle una fórmula para obtener el valor promedio de y durante el intervalo [0, bl. 1 fb 1 fbPor definición, el valor promedio yav = ^ , J y dt = j k J ky dt (donde k es la constante de crecimiento o decrecimiento). Por (28.1), ky = y, por ende, yav = - 1 J dt. Por el teorema fundamental del cálculo, b dyb dy 1 i o d t ^ = y(b) ~ y(0) = y(b)_ y, . Luego, yav = b k (y(b) - y, ) CA PÍTU LO 28 Crecim iento y decrecim iento exponencial www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 28 Crecim iento y decrecim iento exponencial 5. Si la población de un país es 1oo millones de personas y crece exponencialmente con una constante k = ln 2, calcule con exactitud la población dentro de cinco años.Por (28.2), la población y = yoekt = 1o8e (ln 2)5 = 1o8(e ln 2)5 = 1o8(25) = 32(1o8). Por tanto, la población llegará a 3.2 miles de millones de personas en cinco años. 6. V ida m ed ia del ca rb o n o . Cierto isótopo 14C de carbono se presenta en los organismos vivos en una proporción fija del carbono ordinario. Cuando el organismo muere, su 14C decrece exponencialmente y su vida media es de 573o años. Considérese que una pieza de carbón vegetal proveniente de un incendio forestal se encontró en una cueva y contiene sólo 9% de 14C esperando en un trozo de madera de un árbol vivo. (Esta cifra se obtiene al medir la cantidad de carbono ordinario en el pedazo de carbón vegetal.) ¿Hace cuánto se quemó la madera para formar el carbón vegetal?Si y es la cantidad de 14C presente en el trozo de carbón vegetal, se tiene que y = yoekt. La cantidad presente es o.o9y o = y oe kT, donde T es el tiempo transcurrido. Entonces, o.o9 = e kT, ln (o.o9) = kx, T = (ln (o.o9))/k . Como la vida media T = 573o y k = (ln 2)/T = -(ln 2)/573o, se obtiene 573o ln(o.o9) 573o(ln1oo - ln9)T =---- i— ¡s------- 199o6 añosln2 ln2 7. L ey del en fr iam ien to de N ew ton . La razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre temperatura del objeto y la del medio que lo rodea.Suponga que un refrigerador se mantiene a una temperatura constante de 45 °F y que se coloca un objeto con temperatura de 8o °F dentro de él. Si la temperatura del objeto cae de 8o °F a 7o °F en 15 minutos, ¿en cuánto tiempo la temperatura del objeto bajará a 6o °F?Sea u la temperatura del objeto. Entonces, por la ley del enfriamiento de Newton, du/dt = k(u - 45) para alguna constante k (negativa). Sea y = u - 45. Así, dy/dt = du/dt = ky. Entonces, por (28.2), y = yoekt. Como u tiene inicialmente 8o °F, y o = 8o - 45 = 35. Así, y = 35e k t cuando t = 15, u = 7o y y = 25. Por tanto, 25 = 35e 15k, 5 = 7e 15k y, por consiguiente, 15k = ln (y) = ln5 - ln7. Entonces, k = 1 5(ln5 - ln7). Cuando la temperatura del objeto es de 6o °F, y = 15. Por ende, 15 = 35e k t, 3 = 7ekt, 3 = 7ekt y, por consiguiente, kt = ln(y) = ln3 - ln7. Entonces, f ln3- ln7 1C ln3- ln7 on nn„,n . tt =------= 15^—T—ñ ~ 3/.//2/ minutosk ln5 - ln7 En consecuencia, se necesitan aproximadamente 22.7727 minutos para que la temperatura del objeto baje de 7o °F a 6o °F. 8. Interés compuesto: Suponga que los ahorros de una cuenta ganan intereses a una tasa de r% anual. Al cabo de un año, una cantidad de P dólares se volvería P (1 + ) dólares, y después de t años se convertirá P (1 + ) dólares. No obstante, si se calcula el interés n veces al año en lugar de una vez al año, entonces en cada periodo la tasa de interés sería (r/n)%; después de t años, habrán pasado nt de tales periodos y el monto final sería P (1 + 1oon ) . Si n ^ +ra, entonces el interés se compone continuamente. En tal caso, la cantidad final sería límP (1 + 1 = Pn^+~ \ 1oon 1oon = Peoo1rt por (26.16) Se depositan 1oo dólares en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés de 4% anual. Después de cinco años, cuánto habrá en la cuenta si: a) ¿El interés se calcula una vez al año? b) ¿El interés se calcula trimestralmente (es decir, cuatro veces por año)? c) ¿El interés se compone continuamente? a) 1oo(1.o4)5 ~ 121.6653 dólares b) 1oo(1.o1)2° ~ 122.o19o dólares c) 1ooeoo4(5) = 1ooeo2 ~ 122.14o3 dólares tn www.FreeLibros.me
  • PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 9. Supóngase que en una reacción química cierta sustancia se descompone a una razón proporcional a la cantidad presente. Considere que una cantidad inicial de 10 000 gramos se reduce a 1000 gramos en cinco horas.¿Cuánto quedará de una cantidad inicial de 20 000 gramos después de 15 horas? Respuesta: 20 gramos 10. Un contenedor con capacidad máxima de 25 000 insectos tiene inicialmente 1000 de ellos. Si la población crece exponencialmente con una constante de crecimiento de (ln 5)/10 insectos por día, ¿en cuántos días estará lleno el contenedor? Respuesta: 20 días 11. La vida media del radio es de 1690 años. ¿Cuánto radio quedará de 32 gramos de radio al cabo de 6760 años? Respuesta: 2 gramos 12. Si una población crece exponencialmente y se incrementa a una razón de 2.5% por año, halle la constante de crecimiento k. Respuesta: ln 1.025 ~ 0.0247 13. Una solución de agua salada contiene inicialmente 5 libras de sal en 10 galones de líquido. Si el agua fluye a razón de 2 gal/min y la mezcla fluye a la misma razón, ¿cuánta sal habrá al cabo de 20 minutos? Respuesta: d - = -2 ^ 1 0 j . Cuando t = 20, S = 5e-1 ~ 1.8395 lb 14. Los insectos de un cercado crecen exponencialmente de forma tal que su población se duplica en cuatro horas.Después de 12 horas, ¿cuántas veces aumentará el número inicial de insectos? Respuesta: 8 15. (CG) Si la población mundial en 1990 fue de de 4.5 miles de millones de personas y crece exponencialmente con una constante de crecimiento k = (ln 3)/8, calcule la población mundial en los años a) 2014, b) 2020. Respuestas: a) 111.5 miles de millones; b) 277.0 miles de millones 16. (CG) Si un termómetro con una lectura de 65 °F se saca al aire donde la temperatura es de 25 °F constante, la lectura decrece a 50 °F en 2.0 minutos. a) Halle la lectura del termómetro después de un minuto más.b) ¿Cuánto tiempo más transcurrirá (después de 3.0 minutos) para que el termómetro marque 32 °F? Aplique la ley del enfriamiento de Newton. Respuestas: a) 45 °F; b) aproximadamente 4.4 minutos más 17. (CG) Bajo interés compuesto continuo a una razón de r% por año; a) ¿Cuánto toma en duplicarse una cantidad de dinero P ? b) Si una cantidad P se duplica en nueve años, ¿cuánto es r? ------------- ^ 229^ CA PÍTU LO 28 Crecim iento y decrecim iento exponencial www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 28 Crecim iento y decrecim iento exponencial c) Si r = 8, ¿cuánto debe depositarse ahora para que haya $100 000 en 17 años? Respuestas: a) 100 _ 69.31 . ^ ) aproximadamente 7.7; c) aproximadamente $25 666 18. Un objeto se enfría de 120 °F a 95 °F en media hora cuando está rodeado por aire a una temperatura de 70 °F Aplique la ley del enfriamiento de Newton para hallar su temperatura al cabo de media hora más. Respuesta: 82.5 °F 19. Si una cantidad de dinero que recibe un interés de 8% anual se descompone continuamente, ¿cuál es la tasa de rendimiento anual equivalente? Respuesta: aproximadamente 8.33% 20. ¿Cuánto se toma en decrecer 90% de un elemento radiactivo cobalto 60, si su vida media es 5.3 años? Respuesta: aproximadamente 17.6 años 21. Una sustancia radiactiva decrece exponencialmente. Si se comienza con una cantidad inicial de y0, ¿cuál es la cantidad promedio presente durante la primera vida media? Respuesta: 2ln2 www.FreeLibros.me
  • Aplicaciones de integración I: Área y longitud de arco Área entre una curva y el eje y Ya se ha expuesto el procedim iento para hallar el área de una región com o la que se m uestra en la figura 29.1, lim itada por debajo por el eje x, por encim a por una curva y = f x ) , y que queda entre x = a y x = b. E l área es pb la integral definida I f (x) dx.Ja Fig. 2 9 .1 Ahora, considérese la región que aparece en la figura 29.2, lim itada a la izquierda por el eje y, a la derecha por una curva x = g(y), y que queda entre y = c y y = d. Entonces, por un argum ento sim ilar al del caso mostrado fden la figura 29.1, el área de la región es la integral definida I g (y )dy.J c y Fig. 29.2 www.FreeLibros.me
  • ^ 232^ EJEMPLO 29.1. Considere la región limitada a la derecha por la parábola x = 4 - y 2, a la izquierda por el eje y, y2 por encima y por debajo por y = 2 y y = -1 (fig. 29.3). Entonces, el área de esta región es I (4 - y2)dy. Por el teorema fundamental del cálculo, se tiene que (4y - 8y3)]2 = (8 - 3) - (-4 - (-3)) = 12 - ■§■ = 12 - 3 = 9 __________ CAPÍTULO 29 Aplicaciones de integración I :Á r e a y longitud de arco y Área entre curvas Sean f y g funciones continuas tales que g(x)
  • -^ 233^ Ahora se estudiará el caso general (fig. 29.5), en el que una o ambas curvas y = fx ) y y = g(x) pueden que­ dar por debajo del eje x. Sea m < 0 el mínimo absoluto de g en [a, b]. Se elevan ambas curvas ImI unidades. Las nuevas gráficas, que se muestran en la figura 29.6, se hallan sobre el eje x y comprenden la misma área A que las gráficas originales. La curva superior es la gráfica de y = fx ) + Iml, en tanto que la inferior es la de y = g(x) + Iml. Por tanto, por el caso especial anterior, A = J ((f(x)) + I m I)—(g(x) + 1 m I)) dx = J ( f (x) - g(x)) dxJa Ja EJEMPLO 29.2. Halle el área A de la región 3t bajo la recta y = 2 x + 2, por encima de la parábola y = x2 y entre el eje y y x = 1 (véase la región sombreada de la figura 29.7). Por (29.1), dx = | 1 x2 + 2x —1 x3 =| i +2 —í '—) — (0 + 0 — 0) = — + — — — = — ) (0 + 0 0) 12 + 12 12 12 Longitud de arco Sea f diferenciable en [a, b]. Considere la parte de la gráfica de f de (a, f(a)) a (b, f(b)). Halle una fórmula para la longitud L de esta curva. Divida [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud Ax. A cada punto xk en esta subdivisión le corresponde un punto (Pk(xk, f(x k)) en la curva (fig. 29.8). Para los n grandes, la suma k de las longitudes de los segmentos de recta Pk-1Pk es una aproximación ap p + p p + + p p = y p pM)-1! T Mr 2 T T r n—1 r n ¿_ir k—1r k la longitud de la curva. y x 0 k=1 CA PÍTU LO 29 Aplicaciones de Integración I:Área y longitud de arco www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 29 Aplicaciones de integración I:Á rea y longitud de arco Por la fórm ula de la distancia (2.1), Pk-1Pk = V (xk - xk-1)2 + (f (xk) - f (xk-J ) 2 Ahora, xk - xk-1 = Ax, y por el teorem a del valor m edio (teorem a 13.4) f (xk) - f (Xk_1 ) = (xk - xk- 1 ) f ,(x*) = (Ax) f ,(x*) para algún x * en (xk-1, x k). Luego, Pk-A = V (A x)2 + (A x)2( f '(x*))2 =y¡ (1 + (f '(x*))2 )(A x)2 = y¡ 1 + (f ,(x l ))24{Kx )2 = J 1 + (f '(x* ) ) 2 A x Entonces, ¿A - A = ¿V 1 + (f '(x*))2 A x L a sum a de la derecha es una sum a de aproxim ación para la integral definida J ■N/1 + (f '( x))2 dx. Por con­ siguiente, cuando n ^ + ^ , se obtiene la fórm ula de la longitud de arco: L = J 7 1 + (f '( x ) ) 2 dx = J 7 1 + (yO2 dx-¡a -¡a (29.2) EJEMPLO 29.3. Halle la longitud de arco L de la curva y = x3/2 de x = 0 a x = 5. Por (29.2), como y' = f x1/2 = | ^ x, L = J0 >/1 + (y")2 dx = J^ 1 + i x dx = 4 J05(1+ 4 x)1/2 (f ) d x = f f (1 + 4 x)3 (por la fórmula abreviada I y el teorema fundamental del cálculo) — _ ^ f f 4 9 \ 3 / 2 _ l 3 / 2 \ _ 8 ^ 343 _ 335 “ 2 n U ^ 1 J ~ 2 l \ 8 L) ~ 27 fc=1 www.FreeLibros.me
  • ^ 235^ PROBLEMAS RESUELTOS 1. Halle el área limitada por la parábola x = 8 + 2y - y2 , el eje y y las rectas y = -1 y y = 3.Observe, completando el cuadrado, que x = -(y2 - 2y - 8) = -((y - 1)2 - 9) = 9 - (y - 1)2 = (4 - y)(2 + y). Por tanto, el vértice de la parábola es (9, 1) y la parábola corta el eje y en y = 4 y y = -2. Se desea saber el área de la región sombreada de la figura 29.9, dada por £ (8 + 2y - y2) dy = (8y + y2 - -j-y3) 1 92= (24 + 9 - 9) - (-8 + 1 - -1) = -3- 2. Halle el área de la región comprendida entre las curvas y = sen x y y = cos x de x = 0 a x = k /4 (fig. 29.10).Las curvas se intersecan en (n/4, y¡2 /2), y 0 < sen x < cos x para 0 < x < ft/4 (fig. 29.10). Por tanto, el área es ftf/4 I (cos x - sen x) dx = (senx + cos x)J 0 -\4 *4-1- (0+ 1)-n -1 3 0 3. Halle el área de la región limitada por las parábolas y = 6x - x2 y y = x2 - 2x.Al despejar x en 6x - x2 = x2 - 2x se observa que las parábolas se cortan cuando x = 0 y x = 4, es decir, en (0, 0) y (4, 8) (fig. 29.11). Completando el cuadrado, la primera parábola tiene la ecuación y = 9 - (x - 3)2; por consiguiente, su vértice está en (3, 9) y se abre hacia abajo. De igual forma, la segunda parábola tiene la ecuación y = (x - 1)2 - 1; en consecuencia, su vértice está en (1, -1) y se abre hacia arriba. Observe que la primera parábola queda por encima de la segunda en la región dada. Por (29.1), el área requerida es í4((6x - x2) - (x 2 - 2x))dx = í 4(8x - 2x2)dx = (4x2- 2 x3) f = (64 - ^ l 8 ) = -64 J0 J0 3 J0 3 3 CA PÍTU LO 29 Aplicaciones de Integración I:Área y longitud de arco www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 29 Aplicaciones de Integración I :Á r e a y longitud de arco Fig. 2 9 .1 1 4. Halle el área de la región limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = 2x - 4. Despejando las ecuaciones simultáneamente se obtiene (2x - 4)2 = 4x, x2 - 4x + 4 = x, x2 - 5x + 4 = 0, (x - 1)(x - 4) = 0. Por tanto, las curvas se cortan cuando x = 1 o x = 4, es decir, en (1, -2) y (4, 4) (fig. 29.12). Nótese que ninguna de las curvas está por encima de la otra en toda la región. En consecuencia, es mejor tomar y como variable independiente y rescribir las curvas como x = -4y 2 y x = y (y + 4). La recta siempre está a la derecha de la parábola. El área se obtiene integrando a lo largo del eje y: 1*4 1*4 J_2( t ( y + 4) - 1 y2)dy = i J 2 (2y + 8 - y2)dy = I (y2 + 8y - jy 3)]l = K(16 + 32 - f ) - (4 -16 + f)) = 9 Fig. 2 9 .1 2 5. Determine el área de la región que se halla entre la curva y = x3 - 6x2 + 8x y el eje x. Como x3 - 6x2 + 8x = x(x2 - 6x + 8) = x(x - 2)(x - 4), la curva corta el eje x en x = 0, x = 2 y x = 4. La gráfica es similar a la curva mostrada en la figura 29.13. (Aplicando la fórmula cuadrática a y' se encuentra que los valores máximo y mínimo ocurren en x = 2 ± f\/3 .) Como la parte de la región con 2 < x < 4 queda por debajo del eje x es preciso calcular las dos integrales separadas, una respecto a y entre x = 0 y x = 2, y la otra respecto a -y entre x = 2 y x = 4. Así, el área requerida es r2 i-4 T l4í (x3 - 6x2 + 8x)d x - í (x3 - 6x2 + 8x)dx = (|x4 - 2x3 + 4x2) - (|x4 - 2x3 + 4x21 = 4 + 4 = 8*0 *2 Jo www.FreeLibros.me
  • -^ 237^ Fig. 2 9 .1 3 4Observe que si hubiera cometido el error de calcular simplemente la integral I (x3 - 6x 2 + 8x) dx, se hubiera obtenido la respuesta incorrecta, que es o. o Establezca el área encerrada por la curva y2 = x2 - x4. La curva es simétrica respecto a los ejes de coordenadas. Por tanto, el área requerida es cuatro veces la parte que yace en el primer cuadrante (fig. 29.14). En el primer cuadrante, y = y/x2 - x4 = W 1 - x2 y la curva corta el eje x en x = o y x = 1. Entonces, el área requerida es 4 £ W 1 - x2 dx = - 2 ( 1 - x2 )1/2 (-2x) dx = - 2 ( )(1 - x2)3/2 ]o (por la fórmula abreviada I) = - f (o - 13/2) = -3(-1) = 4 lle la longitud de arco de la curva x = 3y3/2 - 1 de y = o a y = 4. ^ I Ydlx^~ Se pueden invertir los papeles de x y de y en la fórmula de la longitud de arco (29.2): L = I . 1 +1 dy. dx 9 1/2 V Vd y ) mo d y = 2 y1/2, L = Jo4V1 +11 y dy = ío4(1 + i1 y)1/2(J4L)dy = 8r(l)(1 + 41 y)3/2 ^ 4 = 243 ((82)3/2 - 13/2) = -213(8^^782 - 1)o o 8. Halle la longitud de arco de la curva 24xy = x4 + 48 de x = 2 a x = 4. y = 14 x3 + 2x -1. Por tanto, y ' = 1 x 2 - 2/x2. Entonces, (y ') 2 = x 4 - 1 + x^ r 1 + ( y /)2 = é1^ x4 + i + "3T = í irx2 + ~ rr 2 CA PÍTU LO 29 Aplicaciones de integración I:Área y longitud de arco www.FreeLibros.me
  • ^ 2 38^ CAPÍTULO 29 Aplicaciones de integración I :Á r e a y longitud de arco Por consiguiente, L = J2 >/1 + (y')1 dx = J2 ^ i1 x2 + x2rj dx = J^ (8 x 2 + 2x 2) dx = ( -24 x3 - 2x- )]2 =( 8 - 1)-(* - 1) = 17 9. Determine la longitud de arco de la catenaria y = i (ex/a + e x/a) de x = 0 a x = a. y ' = 1 (ex/a + e~x/a) y, por ende, 1 + (y')2 = 1 + |(e2x/a - 2 + e-2x/a) = i(ex/a + e~x/a)2 Entonces, L = 2 Jo“ (ex/a + e~x/a) dx = 2(ex/a - e-x/a) = 2 (e - e-0 a 0 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 10. Halle el área de la región que queda por encima del eje x y debajo de la parábola y = 4x - x2. Respuesta: 3 2 11. Establezca el área de la región limitada por la parábola y = x2 - 7x + 6, el eje x y las rectas x = 2 y x = 6. Respuesta: -56- 12. Determine el área de la región limitada por las curvas dadas. a) y = x2, y = 0, x = 2, x = 5 b) y = x3, y = 0, x = 1, x = 3 c) y = 4x - x2, y = 0, x = 1, x = 3 d) x = 1 + y2, x = 10 e) x = 3y2 - 9, x = 0, y = 0, y = 1 f) x = y2 + 4y, x = 0 g) y = 9 - x2, y = x + 3 h) y = 2 - x2, y = -x i) y = x2 - 4, y = 8 - 2x2 j ) y = x4 - 4x2, y = 4x2 k) y = ex, y = e~x, x = 0, x = 2 l) y = ex/a + e~x/a, y = 0, x = ±a m) xy =12, y = 0, x =1, x = e2 1 n) y = 1 + x 2, y = 0, x = ±1 o) y = tan x, x = 0, x = 3 p ) y = 25 - x 2, 256x = 3y2, 16y = 9x2 Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta: 39 20 22336 323 125 6 9232 52 V2 e2 + 1 e 2 - 2 Respuesta: 2a Respuesta: 24 Respuesta: 3 Respuesta: -2ln2 Respuesta: e -1 98 3 8 e www.FreeLibros.me
  • 13. H a lle la long itud del arco indicado de las curvas siguientes. -^ 239^ a) y3 = 8x2 de x = 1 a x = 8 Respuesta: (10 b) 6xy = x4 + 3 de x = 1 a x = 2 Respuesta: 1712 c) 27y2 = 4(x - 2)3 de (2, 0) a (11, 6>/3 Respuesta: 14 d) y = 1 x 2 - -4ln x de x = 1 a x = e Respuesta: -2 e2 / e) n ny = ln cos x de x = ^ a x = -4 Respuesta: ln f) x2/3 + y2/3 = 4 de x = 1 a x = 8 Respuesta: V9 14. (CG) Calcule la longitud de arco de la curva y = sen x de x = 0 a x = n con una exactitud de cuatro decimales. (Aplique la regla de Simpson con n = 10.) Respuesta: 3.8202 4 CA PÍTU LO 29 Aplicaciones de integración I:Área y longitud de arco www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración I I : volumen Método de washer S upóngase que 0 < g(x) < f ( x ) p a ra a < x b. C onsidere la reg ión en tre x = a y x = b que qu ed a en tre y = g(x) y y = f x ) (fig. 30.6). E n tonces, el vo lum en V del só lido de revo lución ob ten ido a l g irar es ta reg ión sobre el e je x se o b tiene con la fó rm u la V = n f [ ( f (x ))2 - (g (x ))2 ]d xJ a (F órm ula de washer)* Fig. 3 0 .6 C bL a ju stificac ió n es clara. E l vo lum en deseado es la d ife renc ia de dos vo lúm enes, lo s vo lúm enes n I (f (x ))2 dxJa del só lido de revo lución generado a l g ira r en to rno al e je x la reg ión que se ha lla debajo de y = f x ) , y e l volum en b ^ I (g (x ))2d x del só lido de revo lución p roduc ido a l g ira r a lrededo r d e l e je x la reg ión que se encuen tra debajoa de y = g(x). U n a fó rm u la sem ejan te V = n \ d [(f (y ))2 - (g ( y ))2 ]dyJ c (F órm ula de w asher) se cum ple cuando la reg ión qu ed a en tre dos cu rvas x = f (y ) y x = g (y ) y en tre y = c y y = d , y se g ira en to rno al e je y. (Se supone que 0 < g(y) < f ( y ) p a ra c < y < d.) y y x * La palabra washer (arandela) se usa porque cada delgada franja vertical de la región que se gira produce un sólido parecido a una parte de las cañerías llamada arandela. www.FreeLibros.me
  • ^ 243~^ EJEMPLO 30.3. Considere un sólido de revolución obtenido al girar en torno al eje x la región limitada por las curvas y = 4x2, x = 0 y y = 16 (la misma región que en la figura 30.5). Aquí la curva superior es y = 16 y la inferior, y = 4x2. Así, por la fórmula de washer, V = [162 - (4 x2)2 ] dx = ^ 0256 - 16x4 ] dx = ^ 256x - -yx5)]2 = ^ (512 - j = l0^ Método de capas cilindricas Considérese el sólido de revolución obtenido al g irar en torno al eje y la región ® en el prim er cuadrante entre el eje x y la curva y = f x ) , y que yace entre x = a y x = b (fig. 30.7). Entonces, el volum en del sólido está dado por í*b í*b V = 2 n \ x f (x) dx = 2 n \ xy dx (Fórm ula de capas cilindricas)Ja Ja En el problem a 10 se ofrece la justificación de esta fórmula. U na fórm ula sim ilar se cum ple cuando los papeles de x y y se invierten, es decir, la región ® en el prim er cuadrante entre el eje y y la curva x = f y ) , y que queda entre y = c y y = d, gira alrededor del eje x V = 2 n \ y f (y) dy = 2 n \ yx dyJ c J c EJEMPLO 30.4. Gire en torno del eje y la región que está por encima del eje x y por debajo de y = 2x2, y entre x = 0 y x = 5. Por la fórmula de capas cilindricas, el sólido resultante tiene el volumen 2 n j o xy dx = 2 n j o x(2x2) dx = 4 n ^ x 3dx = ^ (x 4)]0 = 625^ Observe que el volumen hubiera podido calcularse m ediante la fórm ula de washer, pero el cálculo hubiera sido un tanto m ás com plicado. Diferencia de la fórmula de capas Sea 0 < g(x) < f x ) en un intervalo [a, b] con a > 0. Sea ® la región del prim er cuadrante que está entre las curvas y = f x ) y y = g(x) y entre x = a y x = b. Entonces el volum en del sólido de revolución obtenido al girar ® alrededor del eje y se obtiene con í*b V = 2 n I x ( f (x) - g(x)) dx (D iferencia de la fórm ula de capas) CA PÍTU LO 30 Aplicaciones de Integración II: volum en www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 30 Aplicaciones de Integración I I : volumen Esto se deduce obviam ente de la fórm ula de capas cilindricas, ya que el volum en requerido es la diferencia de los dos volúmenes obtenidos m ediante la fórm ula de capas cilindricas. Nótese que una fórm ula sim ilar es válida cuando los papeles de x y y se invierten. EJEMPLO 30.5. Considere la región del primer cuadrante limitada por encima por y = x2, por debajo por y = x3 y que queda entre x = 0 y x = 1. Cuando se le gira en torno al eje y, esta región genera un sólido de revolución cuyo volumen, de acuerdo con la diferencia de la fórmula de capas, es 2 ^ J o x( x2 - x 3) dx = 2 ^ Jo( x3 - x4) dx = 2 n | 4 x4 - 5 x 5 ‘ /1 1\ n - \ 4 5] - 10 Fórmula de la sección transversal (fórmula de las rebanadas) Supóngase que un sólido queda por com pleto entre el plano perpendicular al eje x en x = a y el plano perpen­ dicular al eje x en x = b. Para cada x tal que a < x < b, supóngase que el plano perpendicular al eje x en ese valor de x corta el sólido en una región de área A(x) (fig. 30.8). Entonces, el volum en V del sólido está dado por fbV = I A(x) dx (Fórm ula de la sección transversal)1Ja En el problem a 11 se ofrece una com probación. Fig. 3 0 .8 EJEMPLO 30.6. Suponga que la mitad de un salami de longitud h es tal que una sección transversal perpendicular al eje del salami, a una distancia x del extremo O, es un circulo de radio *Jx (fig. 30.9). Por tanto, el área A(x) de la sección transversal es n (^ fx ) 2 = n x . Asi, con la fórmula de la sección transversal se obtiene V = í A(x) dx = í n x d x = - ? x 2 J0 J0 2 Fig. 3 0 .9 t Está fórmula también se conoce como la fórmula de las rebanadas porque cada área de corte transversal A(x) se obtiene cor­ tando el sólido en rebanadas. www.FreeLibros.me
  • -^ 245^ PROBLEMAS RESUELTOS 1. Halle el volumen de un cono de altura h, cuya base tiene radio r.El cono se genera al girar en torno al eje x la región que se halla entre la recta y = r x y el eje x, entre x = 0 y x = h [fig. 30.2a)]. Por la fórmula del disco, el volumen del cono es n J , y 2 dx = 4 0 ^ x 2 dx = Eh ¡r (I x3) = (113 )= 1 n r 2h 2. Determine el volumen de un cilindro de altura h y radio r.El cilindro se genera cuando se gira en torno al eje x la región que yace entre la recta y = r y el eje x, entre x = 0 y x = h [fig. 30.2b)]. Por la fórmula del disco, el volumen del cilindro es /•h
  • ^ 246^ - CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración I I : volumen b) (Primera solución) Con la fórm ula de capas cilindricas resulta el volumen V = 2nJo xy dx = 2nJo x(x3) dx = 2nJo x4dx = 2 n ( -^x5) = 64=n (Segunda solución) A l integrar a lo largo del eje y y utilizar la fórm ula de w asher se obtiene el volumen V =^ r 22 )2 dy =KÍ Á 4 _ y2/í]dy= K {4y ~ 5y553) =^ (32_(i)32)=6í5^ 5. H alle el volum en del sólido obtenido al girar alrededor del eje y la región que está en el prim er cuadrante dentro del círculo x2 + y2 = r2 y entre y = a y y = r (donde 0 < a < r) (fig. 30.11). (El sólido es una “tapa polar” de una esfera de radio r.) Fig. 3 0 .1 1 A l integrar a lo largo del eje y , al usar la fórm ula del disco se obtiene el volum en V = x2dy = x j (r2 - y2)dy = n { r2y - 1y3 )]^ = f r3 - (r2a - 1 a 3)) = -3 (2 r 3 - 3r 2a + a3) 6. H alle el volum en del sólido obtenido al girar en torno al eje y la región que se encuentra en el prim er cuadrante y está lim itada por arriba, por la parábola y = 2 - x2 y por debajo, por la parábola y = x2 (fig. 30.12) Fig. 30 .12 www.FreeLibros.me
  • -^ 247^ Las curvas se intersecan en (1, 1). Por la diferencia de la fórmula de capas cilindricas, el volumen es V = 2n J x((2 -x2) - x2) dx = 4^ Jq( x - x3) dx = 4n{ 1 x2 - j x4) = 4n{ ^ - j ) = n 7. Considere la región ^ acotada por la parábola y = 4x2 y las rectas x = 0 y y = 16 (fig. 30.5). Encuentre elvolumen del sólido obtenido al girar ^ en torno a la recta y = -2.La solución de este problema se reduce al caso de una revolución en torno al eje x. Se sube la región 3t verticalmente a una distancia de 2 unidades. Esto cambia 3t en una región 3t* acotada por debajo por la parábola y = 4x2 + 2, a la izquierda por el eje y, y por encima por la recta y = 18 (fig. 30.13). Entonces, el sólido de revolución original tiene el mismo volumen que el sólido de revolución obtenido al girar ^ * alrededor del eje x. El último volumen se obtiene mediante la fórmula de washer: V = ^ J q2(182 - (4 x 2 + 2)2) dx = f t j q2(256 - 16x4 - 16x2 - 4) dx = n{252x - y x 5 - f x3 )| = (504 - y 2 - “ ) = 8. Como en el problema 7, considérese la región ^ acotada por la parábola y = 4x2 y las rectas x = 0 y y = 16 (fig.30.5). Halle el volumen del sólido obtenido al girar ^ en torno de la recta x = -1. Fig. 3 0 .1 3 Para resolver este problema, se reduce al caso de una revolución sobre el eje y. Se mueve la región ^ a la derecha una distancia equivalente a 1 unidad. Esto convierte a ^ en una región ^ acotada a la derecha por la parábola y = 4(x - 1)2, por encima por y = 16 y a la izquierda por x = 1 (fig. 30.14). El volumen deseado es el mismo que el obtenido cuando se gira i%* alrededor del eje y. El último volumen se obtuvo mediante la diferencia de la fórmula de capas cilindricas: V = 2x¡3 x(16 - 4(x -1)2) dx = 2x ¡ 3 x(16 - 4 x2 + 8x - 4) dx = 2n j ¡ (16x - 4x3 + 8x2 - 4x) dx = 2^ (8x2 - x4 + f x3 - 2x2 )]3 = 2 ^ [(7 2 - 81 + 72 - 1 8 ) - ( 8 - 1 + f - 2 ) ] = ^ CA PÍTU LO 30 Aplicaciones de integración II: volum en www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración I I : volumen y Fig. 3 0 .1 4 fbJustifique la fórmula del disco V = n I ( f (x ))2dx. b - aSe divide el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud Ax = ^ (fig. 30.15). Considere el volumen Vi obtenido al girar la región 3tt por encima del i-ésimo subintervalo en torno al eje x. Si m¡ y M¡ son el mínimo absoluto y el máximo absoluto de f en el i-ésimo intervalo, entonces Vi queda entre el volumen de un cilindro de radio mi y altura Ax y el volumen de un cilindro de radio M¡ y altura Ax. Luego, V n m 2Ax < V < n M fAx y, por tanto, m 2 < - M i2. (Se ha supuesto que el volumen de un cilindro de radio r y altura h es n r 2h.) Por consiguiente, por el teorema del valor medio intermedio para la función continua f(x))2, existe un x* en el i-ésimo subintervalo tal que ^ “x = (f (x*))2 y, por ello, V¿ = n ( f (x*))2 A x. Entonces, n n V = X V = n ^ ( f (x*))2Ax Haciendo n ^ + ^ , se obtiene la fórmula del disco. Ax x bxa x Fig. 30 .1 5 www.FreeLibros.me
  • -^ 249^ rb10. Justifique la fórm ula de capas cilíndricas: V = 2 n I x f (x) dx.a Se divide [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud Ax (fig. 30.16). Sea 3 tt la región por encim a del i-ésimo subintervalo. Sea x* el punto medio - 2 girar la región ^ en torno al eje y es aproxim adam ente el sólido obtenido al girar el rectángulo con base Ax y altura y* = f (x*). Este últim o sólido es una capa cilíndrica, es decir, queda entre los cilindros obtenidos al g irar los rectángulos con la m ism a altura f (x*) y con base [0, xi-1] y [0, xj. Por tanto, tiene volum en x x 2f (x*) - n x h f (x*) = n f (x*)( x2 - x]_x) = n f (x*)(x¿ - xi_1)(xi + xw) = n f ( x*)(2x*)(Ax) = 2n x*f (x*)(Ax) n b Luego, el V total se aproxim a por 2 n S x*f (x*)Ax , el cual tiende a 2^ í x f (x)dx cuando n ^ + ^ .¿a del i-ésim o intervalo. El sólido obtenido al b 11. Justifique la fórm ula de la sección transversal: V = I A(x) dx. a Se divide [a, b] en n subintervalos iguales [xi-1, x j , y se elige un punto x * en [xi-1, x j . Si n es grande, Ax es pequeño y la pieza de sólido entre xi-1 y x¿ estará próxim a a un disco (no circular) de grosor Ax y área de basen A (x*) (fig. 30.17). Este disco tiene el volum en A (x*) Ax. Entonces, V se aproxim a m ediante ^ A( x *) Ax, que rb i=1 tiende a I A(x) dx cuando n ^ + ^ .a Fig. 3 0 .1 6 y Fig. 30.17 CA PÍTU LO 30 Aplicaciones de integración II: volum en www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración I I : volumen 12. Un sólido tiene una base circular con radio de 4 unidades. Halle el volumen del sólido si cada sección plana perpendicular a un diámetro fijo en particular es un triángulo equilátero. Se toma el circulo como en la figura 30.18, con el diámetro fijo sobre el eje x. La ecuación del circulo es x2 + y2 = 16. La sección transversal ABC del sólido es un triángulo equilátero de lado 2y y área A(x) = V3y2 = V3(16 - x2). Entonces, por la fórmula de la sección transversal, V = y¡3 J44(16 - x2) dx = /3 13. Un sólido tiene una base una forma de un elipse con eje mayor 10 y eje menor 8. Determine su volumen si cada sección perpendicular al eje mayor es un triángulo isósceles con altura 6. Se toma la elipse como en la figura 30.19, con la ecuación -2— + = 1. La sección ABC es un triángulo isósceles con base 2y, altura 6 y área A(x) = 6y = 6 (—-\/25 - x2). Por tanto, V = 44 J S«y/25 - x2 dx = 60tf 2 Fig. 3 0 .1 8 (N ótese que ¿ V 25 - x 2dx es el área de la m itad superior del circul° x2 + y2 = 25 y, p ° r tanto, es igual a 25^/2.) 2 Fig. 3 0 .1 9 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 14. Considere la región R acotada por la parábola y2 = 8x y la recta x = 2 (fig. 30.4). a) Determine el volumen del sólido generado al girar ^ en torno al eje y. b) Halle el volumen del sólido generado al girar ^ alrededor de la recta x = 2. Respuestas: a) i 28 ;^ b) 256^ www.FreeLibros.me
  • -^ 251^ 15. Establezca el volumen del sólido generado al girar la región ubicada entre el eje x y la parábola y = 4x - x2 alrededor de la recta y = 6. Respuesta: 1408^ 16. Encuentre el volumen del toro (rosquilla) generado cuando el círculo (x - a)2 + y2 = b2 gira en torno al eje y, con 0 < b < a. Respuesta: 2n2ab2 17. Considere la región ^ acotada por y = -x2 - 3x + 6 y x + y = 3. Halle el volumen del sólido generado cuando 3t gira en torno a: a) El eje x. b) La recta x = 3. Respuestas: a) ; b) En los problemas 18 a 26, determine el volumen generado cuando la región indicada gira en torno a la recta dada. Aplique la fórmula del disco. 18. La región acotada por y = 2x2, y = 0 y x = 5, en torno al eje x. Respuesta: 2500n 19. La región acotada por x2 - y2 = 16, y = 0 y x = 8, alrededor del eje x. Respuesta: 20. La región acotada por y = 4x2, x = 0 y y = 16, en torno a y = 16 (fig. 30.5). Respuesta: 21. La región acotada por y2 = x3, y = 0 y x = 2, alrededor del eje x. Respuesta: 4n 22. La región acotada por y = x3, y = 0 y x = 2, en torno a x = 2. Respuesta: 23. La región dentro de la curva y2 = x4(1 - x2), en torno al eje x. 4~ Respuesta: -35­ 24. La región dentro de la elipse 4x2 + 9y2 = 36, alrededor del eje x. Respuesta: 16n 25. La región dentro de la elipse 4x2 + 9y2 = 36, alrededor del eje y . Respuesta: 24n CA PÍTU LO 30 Aplicaciones de Integración II: volum en www.FreeLibros.me
  • ^ 252^ CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración I I : volumen 26. La región dentro la parábola x = 9 - y2 y entre y = x - 7 y el eje y, en torno al eje y. Respuesta: 963^ En los problemas 27 a 32, halle el volumen del sólido generado por el giro de la región indicada en torno a la recta dada. Aplique la fórmula de washer. 27. La región acotada por y = 2x2, y = 0, x = 0 y x = 5, en torno del eje y. Respuesta: 625n 28. La región acotada por x2 - y2 = 16, y = 0 y x = 8, alrededor del eje y. Respuesta: 128V3rc 29. La región acotada por y = x3, x = 0 y y = 8, alrededor de x = 2. Respuesta: 14j4^ 30. La región acotada por y = x2 y y = 4x - x2, en torno al eje x. Respuesta: 31. La región acotada por y = x2 y y = 4x - x2, en torno a y = 6. Respuesta: 32. La región acotada por x = 9 - y2 y y = x - 7, alrededor de x = 4. Respuesta: 153^ En los problemas 33 a 37, determine el volumen del sólido generado por el giro de la región indicada alrededor de la recta dada. Use la fórmula de capas cilindricas. 33. La región acotada por y = 2x2, y = 0, x = 0 y x = 5, en torno a x = 6. Respuesta: 375n 34. La región acotada por y = x3, y = 0 y x = 2, alrededor de y = 8. Respuesta: 320^ 35. La región acotada por y = x2, y = 4x - x2, en torno a x = 5. Respuesta: ^ 4 ^ 36. La región acotada por y = x2 - 5x + 6y y y = 0, alrededor del eje y. 5nRespuesta: www.FreeLibros.me
  • -^ 253^ 37. La región acotada por x = 9 - y2, y = x - 7 y x = 0, alrededor de y = 3. Respuesta: 369 ^ En los problemas 38 a 42, halle el volumen generado por el giro de la región indicada alrededor de la recta dada. Use el método más apropiado. 38. La región acotada por y = e~x2, y = 0, x = 0 y x = 1, alrededor del eje y. Respuesta: ft(1 - e-1) 39. La región acotada por y = 2x2, y = 2x + 4, en torno a x = 2. Respuesta: 27n 40. La región acotada por y = 2x, y = 0 y x = 1, alrededor del eje y. 4^ Respuesta: - 3 41. La región acotada por y = x2 y x = y2, en torno al eje x. 3~ Respuesta: 1 0 42. La región acotada por xy = 4 y y = (x - 3)2, alrededor del eje x. Respuesta: ^ 7 ^ 43. Halle el volumen del tronco de un cono cuya base inferior tiene radio R, la base superior de radio r y la altura es h. Respuesta: 3 n h (r 2 + rR + R 2) 44. Un sólido tiene una base circular con radio de 4 unidades. Halle su volumen si todo plano perpendicular a un diámetro fijo (el eje x en la figura 30.18) es a) un semicírculo; b) un cuadrado; c) un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa en el plano de la base. Respuestas: a) ; b) 1 0 2 4 ; c) ^ 45. Un sólido tiene una base en forma de elipse con eje mayor 10 y eje menor 8. Determine su volumen si toda sección perpendicular al eje mayor es un triángulo rectángulo isósceles con un cateto en el plano de la base. Respuesta: -64 ° 46. La base de un sólido es la región que ubicada en el primer cuadrante y está acotada por la recta 4x + 5y = 20 y los ejes coordenados. Halle su volumen si toda sección plana perpendicular al eje x es un semicírculo. Respuesta: 47. La base de un sólido es un círculo x2 + y2 = 16x , y toda sección plana perpendicular al eje x es un rectángulo cuya altura es el doble de la distancia del plano de la sección al origen. Determine su volumen. Respuesta: 1024a: CA PÍTU LO 30 Aplicaciones de integración II: volum en www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración I I : volumen 48. La sección de cierto sólido cortado por un plano perpendicular al eje x es un círculo con los extremos de un diámetro que yace en las parábolas y2 = 4x y x2 = 4y. Halle su volumen. Respuesta: 280 49. La sección de cierto sólido cortado por un plano perpendicular al eje x es un cuadrado con extremos de una diagonal en las parábolas y2 = 4x y x2 = 4y. Establezca su volumen. Respuesta: 1 5 50. Se perfora un hoyo con radio de 1 unidad en una esfera cuyo radio equivale a 3 unidades; el eje del hoyo es el diámetro de la esfera. Halle el volumen de la parte restante de la esfera. Respuesta: 64W2 www.FreeLibros.me
  • Técnicas de integración I: integración por partes Si u y v son funciones, al aplicar la regla del producto se obtiene Dx (uv) = uV + vu ' que puede reescribirse en térm inos de antiderivadas de la m anera siguiente: uv = J uv' dx + J vu ' dx A hora, J uv' dx puede escrib irse com o J u d v y J vu ' dx puede rep resen tarse com o J v d u .f Entonces, uv = J u d v + J v d u y, por tanto, J u d v = uv - J v d u (Integración por partes) El propósito de la integración por partes es rem plazar una integración “difícil” J u d v por una integración “fácil” J v d u . EJEMPLO 31.1. Halle Jx lnxdx. Para utilizar la fórmula de la integración por partes hay que dividir el integrando x ln x dx en dos “partes” u y dv, de modo que se pueda hallar fácilmente v por integración y también resulte fácil hallar J v du. En este ejemplo, sea u = ln x y dv = x dx. Entonces, se tiene que v = 2 x 2 y se observa que du = — dx. Luego, al aplicar la fórmula de la integración por partes resulta: J x ln x d x = J u d v = uv - J vd u = (ln x)(y x2) - J ^ x2 (1dx) = 1 x2 lnx- y J x d x = -jx2lnx--4x2 + C = 4 x 2(2ln x - 1) + C La integración por partes puede ser más fácil de aplicar si se form a un rectángulo com o el siguiente para el ejem plo 1: u = ln x dv = x d x du = —dx v = y x 2x f Juv' dx = \u dv, donde, después de la integración de la derecha, la variable v se remplaza por la función correspondiente de x. De hecho, por la regla de la cadena Dx(ju dv) = Dv(ju dv) ■ Dxv = u ■ v'. Por ende, Ju dv = Juv’ dx. De igual forma, Jv du = Jvu' dx. ---------------4255J www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 31 Técnicas de Integración I: Integración por partes En la prim era fila se colocan u y dv; en la segunda, los resultados de calcular du y v. E l resultado deseado de la fórm ula de integración por partes uv - J v du puede obtenerse si se m ultiplica prim ero la esquina superior izquierda u por la esquina inferior derecha v, y luego se resta la integral del producto v du de las dos entradas v y du en la segunda fila. EJEMPLO 31.2. Halle Jx ex dx. Sea u = x y dv = e*. Ahora se esquematiza en un rectángulo como éste u = x dv = exdx du = dx v = ex Luego, J xexdx = uv - J v du = xex - J ex dx = xex - ex + C = ex (x - 1) + C EJEMPLO 31.3. Halle J ex cosx dx. Sea u = e y dv = cos x dx. Con ello se elabora el rectángulo u = ex dv = cos x d x du = ex dx v = sen x Entonces, J ex cos x dx = uv - J v du = ex sen x - J ex senx dx (1) Ahora se tiene el problema de hallar J ex sen x d x , que parece ser tan difícil como la integral original J ex cos x dx. Sin embargo, se intenta hallar J exsenx dx mediante otra integración por partes. Esta vez, sea u = ex y dv = sen x dx. u = ex dv = sen x dx du = ex dx v = - cos x Así, J ex sen x dx = - e x cos x - j - e x cos x dx = - e x cos x + J ex cos x dx Al sustituir lo anterior en la fórmula (1) resulta: | excos x d x = exsenx - ( - ex cosx + | ex cosx dx) = ex sen x + ex cos x - 1 ex cos x dx Sumado J ex cos x dx en ambos lados se obtiene 21 ex cos x dx = ex sen x + ex cos x. Entonces, | ex cos x d x = 2 (ex sen x + ex cos x) Se debe sum ar una constante arbitraria: | ex cos x dx = -2(ex sen x + ex cos x) + C Observe que para resolver este ejem plo se necesitó de la aplicación iterada de la integración por partes. www.FreeLibros.me
  • -^ 257^ PROBLEMAS RESUELTOS 1. Halle J x3ex2 dx. Sea u = x2 y dv = xex dx. Observe que v puede evaluarse mediante la sustitución w = x2. (Se obtiene v = -2 J ewdw = 2 ew = 1 ex2.) u = x 2 dv = xex dx du = 2x d x v = 2 ex'L Por tanto, J x3ex2 dx = -j x2ex2 - J xex2 dx = 1 x2ex2 - -2 ex + C = -2 ex2 (x2 -1) + C 2. Determine J ln(x2 + 2) dx. Sea u = ln (x2 + 2) y dv = dx Así, J ln(x2 + 2) dx = x ln(x2 + 2) - 2 J x 2 + 2 dx = xln(x2 + 2) - 2j(l - x 22+ 2)dx = x ln(x2 + 2) - 2x + ^ ^ tan- 1 1 I + CV2 [ y/2 y = x(ln(x2 + 2) - 2) + 2V2 tan-1 ^ + C 3. Resuelva J ln xdx. Sea u = ln x y dv = dx u = ln x dx=vd du = — dx v = xx J ln x dx = x ln x - J1 dx = x ln x - x + C = x(ln x - 1) + C 4. Resuelva J x sen x dx. Se tienen tres opciones: a) u = x sen x, dv = dx; b) u = sen x, dv = x dx; c) u = x, dv = sen x dx. a) Sea u = x sen x, dv = dx. Entonces, du = (sen x + x cos x) dx, v = x, y Jx sen x dx = x ■ x sen x - Jx(sen x + x cos x) dx Puesto que la integral resultante no es tan simple como la original, esta opción se descarta. CA PÍTU LO 31 Técnicas de Integración I: Integración por partes www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 31 Técnicas de Integración I: Integración por partes b) Sea u = sen x, dv = x dx . Entonces, du = cos x dx, v = -j x 2 y j x sen x dx = 2 x 2 sen x - J -2 x 2 cos x dx Com o la integral resultante no es tan sim ple com o la original, esta opción tam bién se descarta. c) Sea u = x, dv = sen x dx . Entonces du = dx, v = -c o s x y Jx sen x dx = —x cos x — J - cos x dx = —x cos x + sen x + C 5. H alle í x 2ln x d x . dx x 3Sea u = ln x, dv = x2 dx. Entonces, du = — , v = - 3- y í x 2l n x d x = x p l n x - í x i- — = 4 p ln x - 1 í x 2dx = 4 p ln x - 1 x3 + C J 3 J 3 x 3 3 J 3 9 6 . Resuelva J s e n xdx. Sea u = sen-1 x, dv = dx u = sen- 1 x dv = dx du = . 1 - dx v = x Por tanto í sen-1 x dx = x sen-1 x - [ , x dx J J V T ^ x 7 = x sen-1 x + \ J 1 _ x 2)~1/2( - 2x )dx = x sen-1 x + y (2(1 - x 2)1/2) + C (por la fórm ula abreviada I) = x sen-1 x + (1 - x 2)1/2 + C = x sen 1 x + V1 - x 2 + C 7. Resuelva J tan -1 x dx. Sea u = tan-1 x , dv = dx u = tan 1 x dx=dv du = 1 2 dx 1 + x2 v = x Por ende, ítan-1 x d x = x tan-1 x - L x 2 dx = xtan-1 x - i L 2x 2 dx J J 1 + x2 ^ 1 + x2 = x tan-1 x - 2 ln(1 + x2) + C (por la fórmula abreviada II) 8. Halle J sec3 x dx. Sea u = sec x, dv = sec2 x dx u = sec x dv = sec2 x d x du = sec x tan x d x v = tan x www.FreeLibros.me
  • Asi, Por consiguiente, Asi, J sec3 x d x = sec x tan x - J sec x tan2 x dx = sec x tan x - J sec x(sec2 x - 1) dx = sec x tan x - J sec3 x dx +J sec x dx = sec x tan x - J sec3 x d x + ln Isec x + tan x I 2 J sec3 x d x = sec x tan x + ln Isec x + tan x I J sec3 x d x = -j(sec x tan x + ln Isec x + tan x I) + C 4 259^ 9. Halle J x2 sen x d x . Sea u = x2, dv = sen x dx. Asi, du = 2x dx y v = -cos x. Entonces, J x 2sen x d x = - x 2 cos x ~ j ~2x cos x d x = - x 2 cos x + 2 J x cos x dx Ahora se aplica la integración por partes a J x cos x d x , con u = x y dv = cos x dx, con lo que se obtiene | x cos x = x sen x - J" sen x dx = x sen x + cos x Por tanto, |x 2 sen x dx = - x2 cos x + 2(x sen x + cos x) + C 10. Halle J x3e2xdx. Sea u = x3, dv = e21 dx. Entonces, du = 3x2 dx, v = 2 e2x y J x 3e2 xdx = 1 x 3e2 x - f J x 2e2 xdx Para la integral resultante, sea u = x2 y dv = e2x dx. Entonces, du = 2x dx, v = 1 e2x y J x3e2xdx = -2 x 3e2x - f | y x2e2x - J xe2xdx j = -2 x 2e2x - 7 x2e2x + -| J xe2xdx Para la integral resultante, sea u = x y dv = e2x dx. Entonces, du = dx, v = 1 e2x y f x^e2xdx_1 x3e2x _3 x 2 e2x 1 1 xe^x__1 [ e^xdx\_1 x^e^x_3 x 2e2x 1 3 xe^x _3 e2x + CI c UX — 2 ^ ^ ^^ K t ^ 2 2 ^^ UA I — ^^ K ^^ K T 4 AC 8 11. Derive la siguiente fórm ula reducción para Jsen“ x dx. Sea u = sen“ 1 x y dv = sen x dx “ x d x - senxcosx + m— 1 ísen"-2 xm m u = sen"-1 x dv = sen x dx du = (m - 1)senm-2 x dx v = - cos x CA PÍTU LO 31 Técnicas de integración I: integración por partes www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 31 Técnicas de Integración I: Integración por partes Jsenm x dx = -cos xsen“-1 x + (m - 1)Jsen“-2xcos2 x dx = - cos x sen“-1 x + (m - 1) Jsen“-2 x (1 - sen2 x) dx = - cos x sen“-1 x + (m - 1) Jsen“-2 x dx - (m - 1) J sen“-2 x dx Por tanto, m Jsen“ x d x = - cos x sen“-1x + (m - 1)J sen“-2 x dx y al dividir entre m se obtiene la fórmula requerida. 12. Aplique la fórmula de la reducción del problema 11 para hallar Jsen2 x dx. Cuando m = 2 se tiene r 2 sen xcos x , r 0 J sen2 x dx = ---------- 2------+ 1 J sen0 x dx sen xcos x , r, , = ---- 2-- + i J1 dx sen x cos x x „ x - sen xcos x „=---- 2-- + 2 + C =---- 2---- + C 13. Aplique la fórmula de la reducción del problema 11 para hallar J sen3 x dx. Cuando m = 3 se obtiene r 3 sen2 x cos x 2 r J sen3 x d x = -----------3--------+ f J sen xdx sen2 x cos x , „=-------3------- f cos x + C cos x (2 + sen2 x) + C PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS En los problemas 14 a 21, use la integración por partes para comprobar las fórmulas indicadas. 14. x cos x d x = x sen x + cos x + C 15. 16. 17. 18. 19. x sec23x dx = 4- x tan3x - irlnisec x I + C cos l 2 x d x = x cos l 2x - ÿ\/l - 4x2 + C x tan 1 x d x = -j ( x2 + l)tan 1 x - ÿ x + C x 2e 3x dx = ^ -3 e 3x (x2 + x + -2) + C x 3 sen xdx = - x 3 cos x + 3 x 2sen x + 6 x cos x - 6sen x + C 3 www.FreeLibros.me
  • 20. J xsen '(x2) dx = 1 x 2sen ' (x2) + £ \ /1 - x4 + C 2 1 . r ^ d x = - ln x ± i + cx 2 x r2n 2% 22. Demuestre que x sen nx dx = — — para algún entero n positivo. 23. Demuestre la fórmula de reducción siguiente: f secn x dx = tanx^ x + í secn-2 x dxJ n - 1 n - 1 J 24. Aplique el problema 23 para hallar J sec4 x dx. Respuesta: y tan x(sec2 x + 2) + C 25. Pruebe la fórmula de reducción: 1_(___x + r dx |(a2 + x 2)n 2n - 2 ( (a2 + x 2)n-1 J (a2 + x2)n-1 J x 2 26. Aplique el problema 25 para hallar I dx.J (a + x ) Respuesta: 2 ( — j + — tan 1 — )+ C 2 \ a + x a ay f xn+1 27. Demuestre J xn ln x dx = (n + ^ 2 [(n +1) (ln x -1 )] + C para * -1. 28. Pruebe la fórmula de reducción I" x neíadx = 1 x neax - — I" x n 1eaxd x . a a ■4261^ J 29. Utilice el problema 28 y el ejemplo 31.2 de este capítulo para demostrar que J x 2exdx = ex (x 2 - 2x + 2) + C. CA PÍTU LO 31 Técnicas de integración I: integración por partes www.FreeLibros.me
  • Técnicas de integración II: integrandos trigonométricos y sustituciones trigonométricas Integrandos trigonométricos 1. Considérense las integrales de la forma, Jsenkx cosnx d x , con k y n enteros no negativos. Tipo 1. A l menos uno de entre sen x y cos x se presenta en una potencia impar. Entonces es factible la sustitución de una función por la otra. EJEMPLO 32.1. Jsen3 x cos2 xdx. Sea u = cos x . Entonces, du = -sen x dx. Por tanto, Jsen3 x cos2 xd x = Jsen2 x cos2 x sen xdx = J (1 - cos2 x)cos2 x sen x dx = -J(1 - u2)u2 du = J(u4 - u2) du = y u5 - J u3 + C = y cos5 x - 1 cos3 x + C EJEMPLO 32.2. Jsen4 x cos7 x d x . Sea u = sen x . Entonces, du = cos x dx y Jsen4 x cos7 x d x = Jsen4 x cos6 x cos xdx = J u4(1 - u2)3du = J u4(1 -3u2 + 3u4 - u6)du = J (u5 - 3u6 + 3u8 - u10) du = -g- u6 - 3 u7 + y u9 - IX u11 + C = -¿sen6 x - ysen7 x + ^ sen9 x -11 sen11 x + C EJEMPLO 32.3. Jsen5 xdx. Sea u = cos x . Entonces, du = -sen x dx y £26¡w---------------- www.FreeLibros.me
  • -^ 263^ J sen5 x dx = J sen4 x sen x dx = J (1 - cos2 x)2 sen x dx = - J (1 - u 2)2du = - J (1 - 2u2 + u4) du = —(u - -fu3 + y u 5) + C = - ycos5 x + -2cos3 x - cosx + C Tipo 2. Ambas potencias de sen x y cos x son pares. Esto siempre supone un cálculo más tedioso mediante las identidades 2 1 + cos2x 2 1 - cos2xcos2 x =---»-- y sen2 x = - EJEMPLO 32.4. J cos2 x sen4x dx = J (cos2 x)(sen2 x)2 dx 1 + cos2x \ / 1 - cos2x=j /1+c2°s2x v1 - c2°s2x )2 dx _ J^ 1 + cos 2x 1 - 2cos2x + cos2 2x J ^ x = -1 J (1(1 - 2cos2x + cos2 2x) + (cos2x)(1 - 2cos2x + cos2 2x)) dx = -8 J (1 - 2cos2x + cos2 2x + cos2x - 2cos2 2x + cos3 2x) dx = 1 J (1 - cos2x - cos2 2x + cos3 2x) dx = 1 1J 1 dx - J cos2x dx - J cos2 2x d x + J cos3 2x d x j = 8 (x - se2 x - J 1 + c°s4x dx + J(cos2x)(1 - sen2 2x)dx) - ^ |x + sen44xJ + Jcos2x dx - 1 J u2 du| [donde u = sen 2x] _ U x _ sen2x _ x _ sen 4 x , sen 2x _ 1 sen3 2x \ , c M x 2 2 ^ 2 2 3 1 1 / x sen4x sen* 2x 1 ,^ ^ 2 8 6 x _ sen 4 x _ sen* 2x 16 64 48 C 2. Considérense las integrales de la formaj tan4 x secn x dx, con k y n enteros no negativos. Cabe recordar que sec2 x = 1 + tan2 x. Tipo 1. n es par. se sustituye u = tan x. EJEMPLO 32.5. J tan2 x sec4 xdx. Sea u = tan x, du = sec2 x dx. Entonces, J tan2 x sec4 x d x = J tan2 x(1 + tan2 x)sec2 x d x = J u 2(1 + u2) du = J (u4 + u2) du = 1 u5 + 1 u3 + C = ^ tan5 x +1 tan3 x + C CA PÍTU LO 32 Técnicas de integración II: integrandos trigonom étricos www.FreeLibros.me
  • ^ 264^ Tipo 2. n es impar y k es impar: se sustituye u = sec x. EJEMPLO 32.6. J tan3 x sec x d x . Sea u = sec x, du = sec x tan x dx. Entonces, J tan3 x sec x dx = J tan2 x sec x tan x dx = J (sec2 x -1) sec x tan x dx = J (u2 - 1) du = j u3 - u + C = 1sec3 x - sec x + C Tipo 3. n es impar y k es par . Este caso generalmente requiere un cálculo tedioso. EJEMPLO 32.7. Jtan2 x sec x dx = J(sec2 x - 1)secxdx = J(sec3 x - secx) dx = 2 (sec x tan x + ln Isec x + tan xI) - ln Isec x + tan xl + C (por el problema 8 del capítulo 31) = ^ (sec x tan x - lnIsec x + tan xl) + C 3. Considérense integrales de la forma sen JAx cos Bx dx, Jsen Ax sen Bx dx, y Jcos Ax cos Bx dx. Se necesi­ tarán las identidades sen A x cos Bx = 1 (sen (A + B) x + sen (A - B)x) sen A x sen Bx = 1 (cos (A - B) x - cos (A + B)x) cos A x cos Bx = 1 (cos (A - B) x + cos (A + B)x) EJEMPLO 32.8. J sen 7 x cos 3x dx = (sen (7 + 3)x + sen (7 - 3)x) dx = (sen 10x + sen 4x) dx = ^ (- 1 0 ^ 10 x - j cos4 x) + C = --40(2cos10 x + 5cos4 x) + C EJEMPLO 32.9. Jsen 7 x sen 3x dx = (cos(7 - 3)x + cos(7 + 3)x) dx = J 7 (cos 4x - cos 10x) dx = 7 (j sen 4x — r^0 sen 10x) + C = ^ (5 sen 4x - 2 sen 10x) + C EJEMPLO 32.10. J cos 7 x cos 3x dx = J-^ (cos(7 - 3)x + cos(7 + 3)x) dx = J-Tt (cos 4x - cos 10x) dx = 2 (:4 sen 4x + T1^ sen 10x) + C = (5 sen 4x + 2 sen 10x) + C __________ CAPÍTULO 32 Técnicas de Integración I I : Integrandos trigonom étricos Sustituciones trigonométricas Hay tres clases principales de sustituciones trigonométricas. En seguida se explica cada una mediante un ejem­ plo típico. EJEMPLO 32.11. Resuelva dx x 2^/4 + x2 Sea x = 2 tan 0, es decir, 0 = tan-1(x/2). Así, dx = 2sec2 d dd y >/4 + x2 = 4 4 + 4 tan2 6 = 2>/l + tan2 6 = 2yfsëc26 = 2 Ísec0! www.FreeLibros.me
  • -^ 265^ Por definición de la tangente inversa, -n /2 < 0< n/2. Así, cos 0 > 0 y, por tanto, sec 0 > 0. Luego, sec 0 = I sec 0 I = %/ 4 + x 2/ 2 . Por ende, 2sec2 0 d 0f dx _ f_ J x ^ 4 + x2 J 4 tan 2 0(2sec 0) _ 4 J i e a 0 T _ 4 J ^ _ 4 J (sen0)-2 co s0 d 0 _ «-(sen0 )- ) + C _ - - ¿ 0 + C A hora debe evaluarse sen 0. M étodo analítico: sen0 = tan0 x /2sec 6 >/4 + x 2/2 V4 + x 2 ' M étodo geom étrico: traza el triángulo rectángulo que aparece en la figura 32.1. Con base en él observe que sen0 = x a / Í + x 2 . (Nótese que tam bién se cum ple para 0 < 0.) Por tanto, J dx x 2V4 + x 2 4x +C Fig. 3 2 .1 Este ejem plo ilustra la regla general siguiente: Estrategia I. Si 4 a 2 + x 2 se p resen ta en un in tegrado , p ru eb e a u sar la sustituc ión x = a tan 0. EJEMPLO 32.12. H alle J dx x 2y¡9 - x 2 Sea x = 3 sen 0, es decir, 0 = sen-1(x/3). Entonces, dx = 3 cos 0 d0 y y¡9 - x 2 =y/ 9 - 9sen2 0 = 3>/sen20 = 3>/cos2 0 = 3!cos0! Por definición de la inversa de seno, -n /2 < 0 < n/2 y, por consiguiente, cos 0 > 0. Así, co s0 = Icos0I = V9 - x 2/ 3 . Ahora, dx f 3 cos 0 d0 1f 1 í cosec2 0 de x 2V9 - x 2 9 sen2 0 (3 cos 0) 9 J 1= - ± cot 9 + C = - ± ^ Z + C = - - k9 9 sen 0 E ste ejem plo ilustra el método general siguiente: 9 x/3 i V 9 T 99 x - + C Estrategia II. Si y/a2 - x 2 se p resen ta en un in tegrado , p ru eb e u sar la sustituc ión x = a sen 0. EJEMPLO 32.13. Resuelva J ¡ dx V x2 - 4 ' x x 2 2 2 CA PÍTU LO 32 Técnicas de integración II: integrandos trigonom étricos www.FreeLibros.me
  • ^ 266^ CAPÍTULO 32 Técnicas de integración I I : integrandos trigonom étricos Sea x = 2 sec 0, es decir, 0 = sec 1(x/2). Entonces, dx = 2 sec 0 dd y ■Jx2 - 4 =V4sec2 0 - 4 = Wsec2 0-1 = Wtan2 0 = 2!tan0! Por definición de la inversa de secante, 0 está en el primer o tercer cuadrante y, por consiguiente, tan 0 > 0. Entonces, tan 9 = itan 0! = Vx2 - 4 /2. Ahora, f x2 . _ f 4 sec2 0(2 sec 0 tan 0) ,fí 4 J 2 tan0 = 4 J sec3 0d0= 2(sec 0 tan 0 + ln isec 0 + tan 0! + C) (por el problema 8 del capitulo 31) = 2 y¡x2 - 42 2 ln + C Wx2 - 4 Wx2 - 4 ■ 2 ln - Vx2 - 4 + C + 2ln |x + Vx2 - 4 + K donde K = C - 2ln2 Este ejemplo ilustra el método general que sigue: Estrategia III. Si Vx2 - a2 se presenta en un integrado, trate de usar la sustitución x = a sec 0. PROBLEMAS RESUELTOS En los problemas 1 a 23, compruebe las soluciones dadas. Recuerde las identidades sen2 u = ÿ (1 - cos2u) cos2 u -2(1 + cos2u) sen2x = 2sen x cosx 1. J sen2 x d x = J ÿ (1 - cos2x) dx = ÿ( x - ÿsen2x) + C = -j( x - sen x cos x) + C . 2. J cos2(3x) dx = J ÿ (1 + cos 6x) dx = 2 (x + 1 sen6x) + C. 3. J sen3 x dx = J sen2 x sen x dx = J (1 - cos2 x) sen x dx = Jsen x d x + J cos2 x(-sen x) dx = — cos x + -3 cos3 x + C (por la fórmula abreviada I). 4. Jsen2 x cos3 x d x = Jsen2 x cos2 x cos x d x = Jsen2 x(1 - sen2 x)cosx dx = Jsen2 x cos x d x - J sen4 x cos x d x = ÿsen3 x - ÿsen5 x + C (por la fórm ula abreviada I) . 2 2 2 www.FreeLibros.me
  • -----4267^ 5. Jsen3(3x)cos5(3x) dx = J (1 - cos2 (3x))cos5 (3x)sen(3x) dx = J cos5 (3x) sen(3x) dx - J cos7 (3x) sen3x dx = -■3 J cos5 (3x)(-3sen (3x)) dx + 73 J cos7 (3x)(-3 sen(3x)) dx = -y-g-cos6 (3x) + 11cos8 (3x) + C (por la fórmula abreviada I) = ^ 2(3 cos8 (3x) - 4 cos6 (3x)) + C 6. J cos313 J dx = J^ 1 - sen2^ 3 JJ co s^ d x = J^ 1 - sen213 JJcos 3 dx = J cos-j dx - Jsen213 J cos^dx = 3sen-|- - 3jsen213 3 ^ 3 J dx = 3sen 3 - 31 sen31 3 J + C (por la fórmula abreviada I) = 3sen-x - sen3^ 3 J + C 7. Jsen4 xd x = J (sen2 x)2 dx = 4 J (1 - cos(2x))2 dx = 1 J1 dx - 2 J cos(2x) dx + ^ J cos2 (2x)dx = ^ x - ^ sen(2x) +1J (1 + cos4 x)) dx = -4 x - i4sen (2x) + £(x + ^ sen (4x)) + C = -3 x - jsen (2x) + sen (4x) + C 8. Jsen2 x cos2 x d x = 4 Jsen2(2x) dx = 8 J (1 - cos(4 x)) dx = 8(x - isen(4 x)) + C = -8 x - i2sen(4 x) + C 9. Jsen4(3x)cos2(3x) dx = J (sen2(3x)cos2(3x))sen2(3x) dx = -1 Jsen2(6 x)(1 - cos(6x)) dx = -1 Jsen2(6x) dx - -1 Jsen2(6x)cos(6x) dx = j6- J (1 - cos(12x)) dx - 4g Jsen2(6x)(6cos(6x)) dx = 116 (x -12 sen(12x)) - -^ sen3 (6x) + C (por la fórmula abreviada I) = 16 x - Tksen(12x)) - -^ -sen3 (6x) + C 10. J sen 3 x sen 2x dx = J (cos(3x - 2x) - cos (3x + 2x)) dx = -2 J(cos x - cos 5x)) dx = i (sen x - y sen 5x) + C = j sen x - sen 5x) + C CA PÍTU LO 32 Técnicas de Integración II: Integrandos trigonom étricos www.FreeLibros.me
  • 11. Jsen3x cos5x dx = J y (sen(3x - 5x) + sen (3x + 5x)) dx = 1 J (sen(-2 x) + sen (8x)) dx = 1 J ( - sen(2 x) + sen (8 x)) dx = y(ycos(2x) - -1cos(8 x)) + C = -4cos(2 x) - 16cos(8x) + C 12. J cos4 x cos2 x dx = 2 J (cos(2 x) + cos(6x)) dx = -2(y sen(2 x) + 6sen(6x)) + C = ysen(2x) +12 sen(6x) + C 13. J> /1 - cos x dx = y¡2 J sen | x J dx | por sen21 J = 1 ~ ^os x j = y¡2 |- 2 c o s (x J| + C = -2yj2 cos(x J + C r ., „ „ /^ r ^ /3 x \ , n l3 x \ 1 + cos(3x) 14. J (1 + cos3x)3/2 dx = 2y¡2 J cos3l ^ l dx puesto que cos2l ^ l = ------- 2------ __________ CAPÍTULO 32 Técnicas de integración I I : integrandos trigonom étricos 16. J tan4 x d x = J tan2 x tan2 x d x = J tan2 x(sec2 x - 1) dx = J tan2 x sec2 x d x - J tan2 x dx = -3 tan3 x - J (sec2 x - 1)dx (por la fórmula abreviada I) = 3 tan3 x - (tan x - x) + C = -3 tan3 x - tan x + x + C www.FreeLibros.me
  • 17. J tan5 xd x = J tan3 x tan2 xd x = J tan3 x(sec2 x -1) dx = J tan3 x sec2 x d x - J tan3 dx = 4 tan4 x - J tan x(sec2 x - 1) dx (por la fórmula abreviada I) = £tan4 x - J tan x sec2 x d x + J tan x dx = 14 tan4 x - -2 tan2 x + ln Isec xl + C (por la fórmula abreviada I) 18. J sec4 (2 x) dx = J sec2 (2 x) sec2 (2 x) dx = J sec2(2x)(1 + tan2(2x) dx = J sec2(2 x) dx + J sec2(2 x)tan2(2 x) dx = -2 tan(2 x) + £ J tan2(2 x)(2 sec2 (2 x)) dx = j- tan(2 x) + y 1 tan3 (2 x) + C (por la fórmula abreviada I) = j- tan(2 x) + ■£ tan3 (2x) + C 19. J tan3 (3x) sec4 (3x) dx = J tan3 (3x)(1 + tan2 (3x)) sec2 (3x) dx = J tan3 (3x) sec2 (3x) dx + J tan5 (3x) sec2 (3x) dx =
  • CAPÍTULO 32 Técnicas de integración I I : integrandos trigonom étricos 24. Resuelva J -v/9 - 4 x2 dx. y¡9 - 4x 2 = 2^J9 - x 2 . Entonces, sea x = -| sen 0. Luego, dx = f cosQdQ y V 9 - 4x 2 = V 9- 9sen2e = 3^ cos2 0 = 3!cos0! = 3cos0 Por tanto, V9 - 4 x 2 = f 3 cosQ (|co sQ ) dd r cos2 Q rm = n f 1 - sen2 Qdx = J ^*sen0 = 3 J-cos-QQdQ = 3 J- J senQ J senQ -dd Pero, Entonces, 25. Resuelva = 3J(cosec Q - sen Q) dQ = 3 ln lco secQ - cot Q \ + 3 Q cos + C cos© _ y/9 - 4 x 2/3 _ V9 - 4 x 2 co sec0 = s e í é = í y c o t0 = s e n e " 2 x /3 2x í■s¡9 - 4 x 2 dx = 3ln3 - V 9 - 4 x 2 + y¡ 9 - 4 x 2 + K donde À" = C - 3 ln 2 dx - W 9 - 4 x2 Sea x = f ta n Q (fig. 32.2). Entonces, dx = f s e c 2Q y y¡9 - 4 x2 = 3 se ce . Por consiguiente, J ■2 sec2 QdQ= r _ !W 9 + 4x2 J (-|tanQ)(3secQ) = 3 Jcosec QdQ = -3 lnlcosec Q - cotQ! + C = -g-lnV9 + 4 x 2 - 3 K V 9 - 4x: Fig. 3 2 .2 26. H alle J (16 - 9x2)3 -d x . Sea x = i sen 0 (fig. 32.3). Entonces, dx = f cosQdQ y V 16 - 9x 2 = 4 c o se . Por tanto, •(16 - 9x 2)3/2 f (64cos3 6)(j^cos6d6) 4026 sen6 e = 2 4 3 J co t4 e co sec 2 e d e = - ^ 4 3 cot5 e + c16 243 (16 - 9x 2)5/2 ' 80 243x5 . C _ _ 1 (16 - 9x2)5/2 , C + C “ 80 x 5 + C x x x x 3 6x www.FreeLibros.me
  • Fig. 3 2 .3 27. Halle l~ x 2dx _ r_ J . h v _ J x 2 dx -v/2x - x2 J -si 1 - (x - l)2 Sea x - 1 = sen 0 (fig. 32.4). Entonces, dx = cos 0d0 y *J2x - x 2 = cos0 . Por tanto, x 2dx _ r (1 + sen 0)2 cos0r x 2dx _ rW 2 x - x2 J co s0 d0 = J(1 + sen0)2d0 = J(f + 2sen 0 - -j cos20) d0 = f 0 - 2cos0 -i4sen20 + C = -| sen 1(x - 1) - 2yj2x - x 2 - 2^(x - 1)>/2x - x 2 + C = -| sen-1(x - 1) - 2(x + 3)yj2x - x 2 + C x—1 Fig. 3 2 .4 28. Resuelva f- J ( dx dx -^ 271^ (4x2 - 24x + 27)3/2 J (4(x - 3)2 - 9)3/2 ' Sea x- 3 = fsec0 (fig. 32.5). Entonces, dx = fsec0 tan0 d0 y yj4x2 - 24x + 27 = 3tan0. Luego, r dx |--|sec0tan0d0 1 (4x 2 - 24x + 27)3, 27 tan3 0 18 = 118 Jco sec0 co t0 d0 = - 118cosec0+ C = -1- x 3 9 *J4x2 - 24 x + 27 V4x2 - 24x + 27 C (de la figura 32.5) Fig. 32 .5 . PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 29. J cos2 x d x = 1 x + y sen2x + C 30. Jsen32x dx = -6cos32x - ^ cos 2x + C 3 CA PÍTU LO 32 Técnicas de Integración II: Integrandos trigonom étricos www.FreeLibros.me
  • ^ 272^ CAPÍTULO 32 Técnicas de integración I I : integrandos trigonom étricos sen4 2xdx = 4-x - r sen4x + -¿-sen 8x + C cos4 -jxd x = x + ysenx + Ij-sen 2x + C cos6 -j x dx = 16 x + y senx + ^ sen 2x - 34 sen* x + C sen2 xcos5 xd x = ysen3 x - f s e n 5x + ysen7 x + C sen3 x cos2 x d x = y cos5 x - Ic o s3 x + C sen3xcos3x d x = -48 cos32x -1 6 cos 2x + C sen4 x cos4 x dx = (3x - sen 4x + jsen 8x + C sen 2xcos 4x dx = ic o s 2x - -A-cos 6x + C cos 3x cos 2x dx = ^sen x + 10sen5x + C sen 5x senx dx = -5-sen 4x - Ij- sen6x + C 1----------------------------- — » t i l A T T ;1 - sen x 2 dx = - f c o t 5/3 x + C cos4 x dx = cosec x - 4-cosec3 x + Csen4 x 3 x(cos3 x2 - sen3 x2) dx = ^ (senx2 + cos x2)(4 + sen2x2) + C tan3 3x sec 3x dx = i sec3 3x - 3 sec 3x + C tan3/2 x sec4 x dx = | tan5/2 x + f tan9/2 x + C sen7 x dx = +cos7 x - i cos5 x + cos3 x - cosx + C tan3 xd x = + tan2 x + lnlcos xl + C tan4 x sec4 x dx = + tan7 x + -r tan5 x + C www.FreeLibros.me
  • -^ 273^ 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. cot3 x d x = - + cot2 x - lnlsen x I + C cot3 x cosec4 x dx = -jCot4 x -^ cot6 x + C cot3 x cosec3 x dx = -1 cosec5 x + ■} cosec3 + C cosec4 2x dx = - + cot 2x - -6 cot3 2x + C ( )4 dx = - ^ - V - — + C\tan x 3tan3 x tan x cot3 xcosec x dx = - sen x - cosec x + C tan x >J sec x dx = 2^sec x + C dx(4 - x2)3/2 4J 4 - x2 + C -dx = 5ln5-V 25-: W 25 - x2 + C dx x 2\ / a2 - x 2 - + C -v/x2 + 4 dx = -j xVx2 + 4 + 2ln(x + V x 2 + 4) + C x2 dx (a2 - x2)3/2 Va2 - x2 -v/x2 - 4 dx = -2 Wx2 - 4 - 2ln|x + Vx2 - 41 + C Vx2 + a2 /„2 , „2 , a Va^ +x2 - a-d x = 4 x TT a 2 + a l^ a + x a + C a 2 + x 2 + a x 2dx (4 - x 2)5/2 12(4 - x 2)3 dx -+ C (a2 + x 2)3/2 a24 0 F + x2 +C dx x 2 y/9 - x 9x -+ C = 2W x 2 - 16 + 8ln|x + -Jx 2 - 16| + Cy/x2 - 1 6 2 x x x x 3 x 2 CA PÍTU LO 32 Técnicas de Integración II: Integrandos trigonom étricos www.FreeLibros.me
  • ^ 274^ 68. J x3Va2 - x 2 dx = 5 (a2 - x2)5/2 - O- ( a2 - x2)3/2 + C 69. f . dx = ln (x - 2 + V x2 - 4 x + 1 3 ) + C J V x2 - 4 x +13 70 f dx _ x - 2 , C 7 0 J (4x- x2)3/2 - 444^ C 71 f dx _ _Ltan- ^ x ) + x + C . j (9 + x2 ) 2 54 tan U / + 18(9 + x2) + C En los problemas 72 y 73, aplique primero integración por partes. 72. j x sen -1 x dx = - i(2x 2 - 1)sen-1 x + 4 x*J 1 - x 2 + C 73. J x cos-1 x d x = 4 (2x 2 - 1)cos- 1 x - - 4xV 1 - x2 + C __________ CAPÍTULO 32 Técnicas de integración I I : integrandos trigonom étricos www.FreeLibros.me
  • Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales r N (x) En este capítulo se expondrá un m étodo general para hallar las antiderivadas de la form a | d - ) dx, donde N (x ) N (x)y D (x) son polinom ios. U na función de la form a d ( x) se denom ina func ión racional. [N(x) es el num erador y D (x ) el denominador.] A guisa de ejem plo considere r x - 1 . r x3 - x ,-,dx y I — -TT- dxjx3 + ^ y ¡ x + 2 Supónganse dos restricciones, pero n inguna de ellas lim ita la aplicabilidad de este m étodo: i) el prim er coeficiente (el coeficiente de la potencia m ás alta de x) en D(x) es +1; ii) N (x ) es de grado m enor que D(x). Un coeficiente N(x)/D(x) que satisfaga ii) se denom ina función racional propia . Observe que las restricciones i) y ii) no son esenciales. N (x) 2x3EJEMPLO 33.1. Considérese el caso donde ( es —£----r. Aquí, la primera restricción no se satisface. Sin, , D(x) 5x8 + 3x - 4 M Fembargo, se observa que f 2x3 . _ 1 f 2x-----dx = 1 f ------ 2x3------dx 5x8 + 3x - 4 dx 5 J x8 + f x - 4 La integral del lado derecho satisface las restricciones i) y ii). N (x) 2x5 + 7: rO ( es-2 , 0D(x) x 2 + 3N (x) 2x5 + 7EJEMPLO 33.2. Considere el caso donde es x2 + 3 . Aquí, la segunda restricción no satisface. Pero se puede dividir N(x) entre D(x): 2x5 + 7 _ 2x3 — + 18x + 7x2 + 3 2x 6x + x2 + 3 Por tanto, í 2x2 ^1 dx - 2 x4 - 3x2 +[ 2Jx2 + 3 2 Jx2 + 318 x + 7 dx r 18 x + 7y el problema se reduce a evaluar J £2 + 3 dx, la cual satisface las restricciones. U n polinom io es irreductible si no es el producto de dos polinom ios de grado menor. Todo polinom io lineal f(x) = ax + b es irreductible autom áticam ente, ya que los polinom ios de grados m e­ nores que f (x ) son constantes y f (x ) no es el producto de dos constantes. A hora considérese cualquier polinom io cuadrático g(x) = ax2 + bx + c. Entonces, -----4275^ g(x) es irreducible si y sólo si b2 - 4ac < 0. www.FreeLibros.me
  • ^ 276^ CAPÍTULO 33 Técnicas de integración I I I : integración por fracciones parciales Para com probar esto, sea g(x) reducible. Entonces, g(x) = (Ax + B)(C x + D). Por consiguiente, x = -B /A y x = -D /C son raíces de f x ) . Con la fórm ula cuadrática x -b ±V b2 - 4ac x 2a se deberían obtener tales raíces. Por tanto, b2 - 4ac no puede ser negativa. Considérese recíprocam ente que b2 - 4ac > 0. Así, con la fórm ula cuadrática se obtienen dos raíces de g(x). Pero si r es una raíz de g(x), se tiene que g(x) es divisible entre x - r.* Por consiguiente, g(x) es reducible. EJEMPLO 33.3. a) x2 + 4 es irreductible, ya que b2 - 4ac = 0 - 4(1)(4) = -16 < 0. b) x2 + x - 4 es reducible, ya que b2 - 4ac = 1 - 4(1)(-4) = 17 > 0. Se considerará sin prueba alguna la siguiente propiedad equitativa de los polinom ios con coeficientes reales. Teorema 33.1. Todo polinomio D(x) con 1 como coeficiente principal puede expresarse como producto de facto­res lineales de la forma x - a y de factores cuadráticos irreductibles de la forma x2 + bx + c. (Se permite la repetición de factores.) EJEMPLO 33.4. a) x3 - 4x = x(x2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) b) x3 + 4x = x(x2 + 4) (x2 + 4 es irreductible) c) x4 - 9 = (x2 - 3)(x2 + 3) = (x - V3)(x + V3)(x2 + 3) (x2 + 3 es irreductible) d) x3 - 3x2 - x + 3 = (x + 1)(x - 2)2 Método de fracciones parciales Considere que se desea evaluar J D (^) dx, donde D (x) es una función racional propia y D(x) tiene 1 como coeficiente principal. Prim ero se escribe D(x) con producto de factores lineales y cuadráticos irreductibles. E l m étodo dependerá de esta factorización. Se considerarán varios casos; en cada uno de ellos se explicará prim ero el m étodo por m edio de un ejem plo y luego se planteará el procedim iento general. C a so I D(x) es un producto de factores lineales distintos. EJEMPLO 33.5. Resuelva f dx .J x2 - 4 En este caso, D(x) = x2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Se escribe 1 A , B(x - 2)(x + 2) x - 2 x + 2 Supóngase que A y B son ciertas constantes, que se deben evaluar ahora. Se eliminan los denominadores multipli­cando ambos lados por (x - 2)(x + 2): 1 = A(x + 2) + B(x - 2) (1) Primero se sustituye x por -2 en (1): 1 = A(0) + B(-4) = -4B. Entonces, B = —-y. Luego, se sustituye x por 2 en (1): 1 = A(4) + B(0) = 4A. En estas condiciones A = -j. Por tanto, 1 = _1 1(x - 2)(x + 2) 4 x - 2 4 x + 2 * En general, si un polinomio h(x) tiene r como raíz, entonces h(x) debe ser divisible entre x - r. www.FreeLibros.me
  • -^ 277^ “ • í - í ( 4 7^ - 1 ITI )* - -4ln|x - 2'-* ln'* + 2'+C = |(ln!x - 2! - lnix + 2!) + C x - 2= í-lnx + 2 +C EJEMPLO 33.6. Resuelva J (x + 1) dx J x 3 + x2 - 6x x +1Al factorizar el denominador se obtiene x(x2 + x - 6) = x(x - 2)(x + 3). El integrando es x x —2)(x + 3). Se re­ presenta de la forma siguiente: x +1 = A , B , C x (x - 2)(x + 3) x x - 2 x - 3 Se eliminan los denominadores multiplicando por x(x - 2)(x + 3): x + 1 = A(x -2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x - 2) (2) Sea x = 0 en (2): 1 = A(-2)(3) + B(0)(3) + C(0)(-2) = - 6A. Luego, A = - i . Sea x = 2 en (2): 3 = A(0)(5) + B(2)(5) + C(2)(0) = 10B. Por ende, B = 1^ Sea x = -3 en (2): -2 = A(-5)(0) + B(-3)(0) + C(-3)(-5) = 15C. Entonces, C = - 5 . Asi f (x + 1) dx = f(- 1 1 + ________ 2 - ^ ) dx ^ J x3 + x2 - 6x J l 6 x + 10 x + 2 15 x + 3 ¡ ax = --6 ln! x ! + 1j-ln! x + 2! - 1 f ln! x + 3! +C R eg la g e n e ra l p a ra el c a s o I A Se representa el integrando com o una sum a de térm inos de la fo rm a ------- por cada factor lineal x - a del de- x - a nominador, donde A es una constante desconocida. Se despejan las constantes. A l integrar se obtiene una suma de térm inos de la form a A ln !x - a!. Observación: supóngase sin prueba alguna que el integrando siempre tiene una representación de la clase re­ querida. Todo problem a en particular puede com probarse al final del cálculo. C a so II D(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se presentan m ás de una vez. .7. Halle J j 3x + 5)dx .J x3 - x2 - x + 1EJEMPLO 33. x3 - x2 - x - Primero se factoriza el denominador* x3 - x2 - x + 1 = (x + 1)(x - 1)2 Luego, se representa el integrando —5—3x + 5---- como una suma, de esta forma:x3 - x2 - x +1 3x + 5 A , B , C x 3 - x2 - x +1 x +1 x - 1 (x - 1)2 * Al tratar de hallar los factores lineales de un denominador que es un polinomio con coeficientes integrales, se prueba cada uno de los divisores r del término constante para ver si es una raíz del polinomio. Si lo es, entonces x - r es un factor del polinomio. En el ejemplo dado, el término constante es 1. Sus dos divisores, 1 y -1, resultan ser raíces. CA PÍTU LO 33 Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 33 Técnicas de integración I I I : integración por fracciones parciales Se observa que para el factor (x - 1) esto ocurre dos veces, y que hay términos tanto con (x - 1) como con (x - 1)2 en el denominador. Ahora se eliminan los denominadores multiplicando ambos miembros por (x + 1)(x - 1)2: 3x + 5 = A(x - 1)2 + B(x + 1) + C(x + 1) (1) Sea x = 1. Entonces, 8 = (0)A + (2)(0)B + (2)C = 2C. Luego, C = 4.Sea x = -1. Entonces, 2 = (4)A + (0)(-2)B + (0)C = 4A. Por tanto, A = -j . Para hallar B se comparan los coeficientes de x2 a ambos lados de (1). A la izquierda es 0 y a la derecha es A + B. Por tanto, A + B = 0. Como A = -j , B = -y. Entonces, 3x + 5 = ____+ 4__ L_x3 - x2 - x +1 2 x +1 2 x - 1 (x - 2)2 Por tanto, J x ■(-xx+ 5) f + 1 = * t o Ix +1I-+lnIx - 11 + 4 j Por la fórmula abreviada I, í (X^ =í (x - 1)_2 dx =-(x - 1)_1 =- Entonces, f 3(3x + 5) d = -j lnix +11 - -^lni x - 11 - 4 1 1 + CJ x3 - x2 - x + 1 2 2 x - 1 = ilnj^ +jf —-r + c2 i x - 11 x - 1 EJEMPLO 33.8. Resuelva J(x +1) dxx3(x - 2)2' Se representa el integrando 3((X + ^ ^^2 de la forma siguiente: (x + 1) A + _B + C_ + + E x3(x - 2)2 x + x2 + x3 + x - 2 + (x - 2)2 Los denominadores se eliminan multiplicando por x3(x - 2)2: x + 1 = Ax2(x - 2)2 + Bx(x - 2)2 + C(x - 2)2 + Dx3(x - 2) + Ex3 Sea x = 0. Entonces, 1 = 4C. Así, C = ^ Sea x = 2. Por tanto, 3 = 8E. Luego, E = 3. Se comparan los coeficientes de x. Entonces, 1 = 4B - 4C. Como C = ,^ B = -j. Se comparan los coeficientes de x2. Entonces, 0 = 4A - 4B + 4C. Como B = ^y C = ,^ A = :¡-. Se comparan los coeficientes de x4. Entonces, 0 = A + D. Como A = ^ , D = - j . Así, _ J x ± ^ = 1 1 + 1 1 + 1 1 - 1 ^ + 3_^_x3(x - 2)2 4 x 2 x2 4 x3 4 x - 2 8 (x - 2)2 (x + 1) dx 1 1 1 1 1 1 x3(x - 2)2 = 4 l n l x I ^ - ! - ^ - V ^ l n I x - 2I--3- 2 x 8 x2 4 8 . +C 4x+1 3 1 8x2 8 x - 2 +C 1e x www.FreeLibros.me
  • ^ 279^ R eg la g e n e ra l p a ra el c a s o II Para cada factor lineal repetido (x - r) que se presenta k veces en el denominador, se utiliza A A A— + -— ^ 2 + • • - + 7— como parte de la representación del integrando. Cada factor lineal que ocurre x r (x — r) (x — r)sólo una vez se maneja como en el caso I. C a so III D(x) es un producto de uno o más factores cuadráticos irreductibles distintos y posiblemente también algunos factores lineales (que pueden presentarse más de una vez). R eg la g e n e ra l p a ra el c a s o III Los factores lineales se manejan como en los casos I y II. Por cada factor cuadrático irreductible x2 + bx + c se El integrando se representa de esta forma: (x — 1) = A + Bx + C + Dx + E x( x2 + 1)( x2 +2) x x2 + 1 x2 + 2 Se eliminan los denominadores multiplicando por x(x2 + 1)(x2 + 2) x - 1 = A(x2+ 1)(x2 + 2) + (Bx + C)x(x2 + 2) + (Dx + E)x(x2 + 1) Se multiplica a la derecha: x - 1 = (A + B + D)x4 + (B + E)x3 + (3A + C + D)x2 + (2C + E)x + 2A Al comparar los coeficientes se obtiene: 2A = -1 , 2C + E = 1, 3A + C + D = 0, B + E = 0, A + B + D = 0 Por tanto, A = — 1 y, en consecuencia, C + D = -|, B + D = 2 . De las dos últimas ecuaciones, C - B = 1. De 2C + E = 1 y B + E = 0, se obtiene 2C - B = 1. Ahora, de C - B = 1 y de 2C - B = 1 se llega a C = 0. Por tanto, de C - B = 1, B = -1 . Entonces, de B + D = 2 se obtiene D = -|. Finalmente, de B + E = 0, E = 1. Así, coloca un término Ax + fi en la representación del integrando.x2 + bx + c ( x - 1) ____ x + 1 3x + 2 2 x x2 + 1 2 x2 + 2x( x2 + 1)( x2 + 2) Por tanto, Ahora, (por la fórmula abreviada II) Además, Por consiguiente, CA PÍTU LO 33 Técnicas de Integración III: Integración por fracciones parciales www.FreeLibros.me
  • ^ 280^ CAPÍTULO 33 Técnicas de Integración I I I : Integración por fracciones parciales Caso IV D(x) es un producto de cero o más factores lineales y uno o más factores cuadráticos irreductibles. Regla general para el caso IV Los factores lineales se manejan como en los casos I y II. Por cada factor cuadrático irreductible x2 + bx + c que se presente a la k-ésima potencia, se inserta como parte de la representación del integrando: A1x + B1 A2 x + B2 Akx + Bk x 2 + bx + c (x 2 + bx + c)2 (x2 + bx + c)k EJEMPLO 3 3 .1 0 . Halle f-2f 2+ 3r dx.J (x2 + 1)2 Sea 2x + 3 = Ax + B + Cx + D . Entonces, (x2 + 1)2 x2 +1 (x 2+1)2 2x2 + 3 = (Ax + B)(x2 + 1) + Cx + D = Ax3 + Bx2 + (A + C)x +(B + D) Se comparan los coeficientes: A = 0, B = 2, A + C = 0, B + D = 3. Por tanto, C = 0, D = 1. Así, r 2x2 + 3 . _ f 2 (x2 +1)2 J x2 +1 J (x2 + 1) = 2 tan 1 x + , 1 „ , dxJ (x2 +1)2 En la segunda integral, sea x = tan 0. Entonces, • sec2 8 d6f . 2 1 . .2 dx = f sec 4 , = (cos20 dB = 2 ( 6 + sen0 cos0)J (x2 +1)2 J sec4 0 J 2 = 1 ( e + t m e 1 ) = 2 ( tan-1;2 l tan20 + 1/ H x2 + 1 Así, ' 2x2 + 3 , = 5 tan-1 x + 1 x(x2 + 1)2 = 2 tan x + 2 x2 +1 + C PROBLEMAS RESUELTOS 1. Resuelva fx ---- x--x—1 dx.J x - x El integrando es una fracción impropia. Por división, x4 - x3 - x - 1 = x - x +1 = x - x + 1x3 - x2 x3 - x2 x2(x - 1) r + 1 A R CSe escribe = — + -^ r +— -^r y se obtienex 2(x - 1) x x2 x - 1 x + 1 = A x (x - 1) + B(x - 1) + Cx2 www.FreeLibros.me
  • Para x = 0, 1 = -B y B = -1 . Para x = 1, 2 = C. Para x = 2, 3 = 2A + B + 4C y A = -2 . Entonces, r x4 - x3 - x - 1 = 1 x2 + 2lnlxI - 1 - 2 ln lx -11 + C = 1 x2- 1 + 2ln 2 x 2 x x - 1 + C 2. Halle ' x dx ( x + 2)(x + 3). Sea ( x + 2)( x + 3) x + 2 x + 3 . Se eliminan los denominadores: x = A(x + 3) + B(x + 2) -^ 281^ Sea x = -2 . Entonces, -2 = A. Sea x = -3 . Entonces -3 = -B . Luego, B = 3. f x dx 1 1 I?— = - 2 — dx + 3 —- 7 7 dx J (x + 2)(x + 3) x + 2 x + 3 = —2lnl x + 21 + 3lnl x + 31 + C = — ln((x +2)2) + ln(lx + 3I)3 + C (x + 3)3= ln (x + 2)2 + C 3. Resuelva J Sea x2 + 2 -dx .x(x + 2)(x - 1) x2 + 2 _ A . B C . Se eliminan los denominadores:x(x + 2)( x — 1) x x + 2 x — 1' x2 + 2 = A(x + 2)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 2) Sea x = 0; entonces 2 = -2A. Luego, A = -1 . Sea x = -2 ; entonces 6 = 6B. Luego, B = 1. Sea x = 1; entonces, 3 = 3C . Luego, C = 1. Por tanto, -—Tzdx = - f1 dx + I" — dx + í — dx c- 1) J x J x + 2 J x - 1x(x + 2)(x - 1) J x J x + 2 J x - 1 = — lnl x I + lnl x + 2I + lnl x - 1l + C = ln ( x + 2)(x - 1) + C 4. Resuelva Sea x3 +1 - dx .(x + 2)(x - 1)3 x 3 + 1 A B C D 3. Se eliminan los denominadores:(x + 2)(x - 1)3 x + 2 x - 1 (x - 1)2 (x - 1)3' x3 + 1 = A(x - 1)3 + B(x + 2)(x - 1)2 + C(x + 2)(x - 1) + D(x + 2) Sea x = -2 ; entonces, -7 = -27A. Luego A = ^ Sea x = 1; entonces 2 = 3D. Luego, D = -f. Ahora se comparan los coeficientes de x3. Así, 1 = A + B, ya que A = ^7. y B = . Se comparan los coeficientes de x2. Entonces 0 = -3A + C, ya que A = ^7, y C = 7 . Entonces, 1 (x + 23)(+x— 1)3 dx = 271 x+ 2 dx + f íx—Idx +1 í O— !? dx + 31 dx 27 ln l x + 2l + 20 ln l x 11 9 x - 1 3 (x ^ 1 )2 C x CA PÍTU LO 33 Técnicas de Integración III: Integración por fracciones parciales www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 33 Técnicas de integración I I I : integración por fracciones parciales 5. H alleJ x3 + x 2 + x + 2 x 4 + 3x2 + 2 dx. x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 1)(x2 + 2). Se escribe x3 + x2 + x + 2 _ A x + B . C x + D y se obtienex4 + 3x2 + 2 x 2 + 1 x 2 + 2 x3 + x2 + x + 2 = (Ax + B )(x2 + 2) + (Cx + D)(x2 + 1) = (A + C)x3 + (B + D )x2 + (2A + C)x + (2B + D) Por consiguiente, A + C = 1, B + D = 1, 2A + C = 1 y 2B + D = 2. A l despejar sim ultáneam ente se obtiene A = 0, B = 1, C = 1 y D = 0. Entonces, r x3 + x 2 + x + 2 dx = r 1 dx + r J x 4 + 3x2 + 2 dx i x 2 + 1 dx + J ;x 2 + 2 dx = tan-1 x + | l n ( x 2 + 2) + C 6. H alle -dx.' x 5 - x 4 + 4 x3 - 4 x 2 + 8 x - 4 (x2 + 2)3 j l , , x 5 - x 4 + 4 x3 - 4 x 2 + 8x - 4 = A x + B , C x + D , E x+ FSe escribe . Entonces, (x2 + 2)3 _ x 2 + 2 (x2 + 2)2 (x2 + 2)3' x5 - x4 + 4x3 - 4x2 + 8x - 4 = (Ax + B)(x2 + 2)2 (Cx + D )(x2 + 2) + E x + F = Ax5 + Bx4 + (4A + C)x3 + (4B + D )x2 + (4A + 2C + E)x + (4B + 2D + F) de donde A = 1, B = -1 , C = 0, D = 0, E = 4, F = 0. Así, la integral dada es igual a ' (x -1 ) dx . f x d x f x d x f dx xd x + 4J ( I 2 2 2 F 3 J - J + 4J Por la fórm ula abreviada II, y por la fórm ula abreviada I, x d x 1 r x d x 1 r 2 x dx 1. , , í J2 -+ 2 = ^ i F + 2 = ^2ln(x + 2) Entonces, I (F+V = ^ í( *2 + 2)-’(2' )d s=^J
  • -^ 283^ 10. j dx = 4lnx2 + 7x + 6 5 x +1x + 6 + C 1 1 í x2 - - 8 dx = x + ln|(x + 2)(x- 4)4| + C 12. J x d x 2 . n--------y = lnl x - 21--------=- + C2^ x - 2(x - 2)2 13. J (1 -_x )3 dx = - 1 x2 - 3x - l n ( 1 - x )6- y 1 -+ C 14. J dx x3 + x = ln Vx2 + 1 + C 15. I"x + x + 2x + 3 dx = lW x 2 + 3 + t a n 1 x + C J (x2 + 1)(x2 + 3) 16. Jx4 - 2x3 + 3x2 - x + 3 x3 - 2x2 + 3x dx = 1 x2 + ln Vx2 - 2x + 3 + C 17. ■ 2x3 dx , . 2 .. 1 ^= ln(x + 1)+ x n + C 18. J2x3 + x 2 + 4 (x2 + 4)2 ^ ln(x ' 4)1 2 tan \ 2 / ' x2 + 4dx = ln (x2 + 4)+ 1 tan 1 (x ) + +C 19- í x3 + x - 21 dx = l ^ V x ^ n - 1 tan -1 x - 1 ^ ^ - + C J (x2 + 1)2 2 2 x2 +1 20. J (x2 + 1); x4 + 8x3 - x2 + 2x + 1 (x2 + 3)(x3 + 1) dx = ln (x + 1)2 tan 2x - 1 V3 + C 21. 1 (xx + 5)(x2 +x2x + 3) * = W x 2 + 2x + 3 ^ ; 52 tan-‘ í ^ V5t an- ‘ + C 22. ' x 6 + 7x5 + 15x4 + 23x2 + 25x - 3 dx = 1 (x2 + x + 2)2(x2 + 1)2 3 - + ln x2 + * + C x 2 + x + 2 x2 +1 x2 + x + 2 x x 23. __ dx __ = _ L + 1 ln e2x - 3ex 3ex 9 e - 3 24. J cos x(1 + cos2 x)= ln 1+ cos2 xcos x + C (Sugerencia: sea ex = u.) + C (Sugerencia: sea cos x = u.) e 25. r(2 + Effl2 e y e de= lnl1 + tane i+ t^an-J 1 + tan3 e 3^ , V3 +C CA PÍTU LO 33 Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales www.FreeLibros.me
  • Técnicas de integración IV: sustituciones misceláneas I. Se presupone que en una función racional una variable se remplaza por uno de los radicales siguientes: 1. ^ ax + b . Entonces, la sustitución ax + b = zn producirá una función racional (repase los problemas 1 a 3). 2. .yjq + p x + x 2 . Aquí, la sustitución q + px + x2 = (z - x)2 resultará en una función racional (consulte el problema 4). 3. -s/q + px - x2 = sj(a + x )(f i - x). En este caso, la sustitución q + px - x2 = (a + x)2z2 producirá una función racional (problema 5). II. Se presupone que en una función racional algunas variables se remplazan por sen x, por cos x o por ambas. Entonces, la sustitución x = 2 tan z^ resultará en una integral de una función racional de z. Ello se debe a que 2z 1 - z2 2 dz r ,sen x = ,-----2, cos x = ,-- 2 , dx = 2 (34.1)1 + z2 1 + z2 1 + z2 (Repase el problema 6 para ver una derivación de las primeras dos ecuaciones.) En el resultado final, se sustituye z por tan (x/2) (repase los problemas 7 a 10). PROBLEMAS RESUELTOS 1. Resuelva dx xy¡ 1 - x Sea 1 - x = z2. Entonces, x = 1 - z2, dx = -2z dz y dx f - 2z dzr dx r -2 za z =_9 r_ d J ^ / 1 - r J (1 - z2)z J 1 -dzW 1 - x J (1 - z2)z - z2 Por integración por fracciones parciales se obtiene: - 2 Í A " - ln 1 + z 1 - z + C . Por tanto, [— dx = ln J W1 - x 1 + V1—, + C 2. Resuelva dx (x - 2)Vx + 2 Sea x + 2 = z2. Entonces, x = z2 - 2, dx = 2z dz e dx f 2z dzf dx r 2 za z = dz J (x - 2)>/x + 2 J z(z2 - 4) J z2 - 4 ^ 284^ www.FreeLibros.me
  • -^ 285^ P or integración p or fracciones parciales queda: 2 f dz = ^ l n 2 J z 2 - 4 2 z - 2 z + 2 + C = 2 l n Vx + 2 — 2 >/x + 2 + 2 + C 3. H a lle r dxJ xi/2 _ ,,1/4 'x 1/2 - x S e a x = z4. E n to n c e s , dx = 4 z 3 dz e dx r 4z3 dz 4 r z2 dz - J z2 - z " 4J z - 1 = 4 í (z2 z~_11+ 1 dz = 4 J (z - 1)(z +1 +1.dz = 4 II z +1 + ■1z - 1 J\ z - 1 = 4 (-2 z2 + z + l n l z - 11) + C = 2yfx + 4 ^ x + 4 ln ( - V x - 1) + C dz 4. H a lle dx - x V x 2 + x + 2 S e a x 2 + x + 2 = (z - x ) 2. E n to n c e s 2x = z2 - 2 dx = 2(z2 + z + 2) dz J x 2 + x + 2 = z2 + z + 2X 1 + 2z , dx (1 + 2z)2 , VX + X + 2 1 + 2z 2(z2 + z + 2) dx “ 1 z2 - (2 z2+)z + 2 dz = 21 z2^ - 2 " J Ö lnW x 2 + x + 2 J z 2 - 2 z 2 + z + 2 1 + 2 z 1 + 2 z i - f i +C ln ■n/2 Vx2 + x + 2 + x + >/2 +C L a e c u a c ió n 2 f 2dz = —^ ln J z 2 - 2 7 2 1 - f i + C se o b tu v o m e d ia n te in te g r a c ió n p o r fr a c c io n e s p a rc ia le s . 5. R e s u e lv e r xdx J (5 - 4 x -(5 - 4 x - x 2)3/2 ' S e a 5 - 4 x - x 2 = (5 + x ) ( 1 - x ) = ( 1 - x ) 2z 2. E n to n c e s , z2 — 5 j 12z dz x = t ----- t , dx =1 + z2 (1 + z 2) 2 z 2 - 5 1 2 z -s/5 — 4 x — x 2 = (1 — x ) z = 6 z 1 + z 2 x d x r 1 + z2 (1 + z2) 2r x d x _ r_ J (5 - 4 x - x 2)3/2 _ J 2 1 6 z 3 (1 + z 2)3 d z = 18 i f 1 " 1 dz z H— 1 + C — 5 - 2 x 1 8 1 z > ^ 5 - 4 x - x 2 + C 6. D a d o z = ta n (2 ), e s d e c ir , x = 2 tan lz, m u e s tre q u e sen x = , 2 z 21 + z 2 c o s x = = 1 — z 2 1 + z 2 C o m o 1 + c o s x = c o s J x \ = 1 = 1 = 1 2 c o s U / s e c 2(x / 2 ) 1 + ta n 2(x / 2 ) 1 + z 2 e 1 e y CA PÍTU LO 34 Técnicas de Integración IV: sustituciones m isceláneas www.FreeLibros.me
  • Q ask- CAPÍTULO 34 Técnicas de integración IV : sustituciones misceláneas 2 1 — z 2a l d e s p e ja r c o s x se o b t ie n e c o s x = -,---------------------------------2 — 1 = . T a m b ié n , F J 1 + z 2 1 + z 2- z 2 1 + z 2 x \ ^ í v i^ = 0 ta n (x / 2) = 2 ta n (x / 2) = 2zsen x = 2 sen ( 2 j c o s ( x / 2) = 2 2 / s e c 2 (x / 2) 1 + ta n 2 ( x / 2) 1 + z 7. R e s u e lv a dx l+ s e n x - c o s x S e a x = tan -1 z. M e d ia n te la s e c u a c io n e s (3 4 .1 ) s e tie n e q u e f____ dx____ = f____ ________dz i 1 + s e n x - c o s x J 1 + 2z 1 - z 2 1 + z 2 1 + z 2 - í a f t y - J ( 1 - TTz ) dz - >"|Z|- 11111+z|+C - ^ + C tan (x/2) 1 + z = ln 1 + tan(x/2) + C 8. H a lle ^ dx 3 - 2 c o s x S e a x = 2 tan -1 z. P o r m e d io d e la s e c u a c io n e s ( 3 4 .1 ) , r e su lta 2 • * = • w - i r “ -1 (W5 1 +C 1 + z 2 1 (i/5 tan ( 2 j j .= ^ ^tan—1 (V5tan (% )| + C 9. R e s u e lv e ^ dx 2 + c o s x S e a x = 2 tan 1 z. A l u t iliz a r la s e c u a c io n e s (3 4 .1 ) r e su lta 2 • i + f c l = 1 ^ dz = 1 3 ¡Ü r = Í 3 tan-' (;zr) + C = ^ ta n - . ( f t a n (f j) + C 1 +z 10. R e s u e lv e dx 5 + 4 s e n x S e a x = 2 tan -1 z. M e d ia n te la s e c u a c io n e s (3 4 .1 ) s e o b tie n e 2 dx _ r 1 + z 2 r 2 dzr___ dx___ = r 1 + z2 dz = fJ 5 + 4 s e n x , 2z2 dz J5 + 4 s e n x J 5 + 4 2 z 2 J 5 + 8z + 5 z 2 1 + z 2 J 11. U s e la su s titu c ió n 1 - x 3 = z 2 p a ra r e s o lv e r J x 5>/1 - x 3 dx . L a su s titu c ió n d a x3 = 1 - z2, 3x2 dx = - 2z dz e J x ¡y¡1 - x 3 dx = J x V 1 - x 3 (x 2 dx) = J (1 - z 2)z (- -2z d z ) = - 2 J (1 - z 2)z 2 dz (í - í ) + C - 45 (1 - + 3xJ) + C www.FreeLibros.me
  • L a su s titu c ió n re s u lta en dx = - dz/z2, y¡x - x 2 = Vz - 1/z e Vz ~ 1 /_ dz ] - J z ^ dz S e a z - 1 = s2. E n to n c e s , 12. U se x = 1 para hallar xx4 x - dx. - J z y fz ^ l dz = - J(s2 + 1)(s)(2sds) = - 2 (^ 5 + ) + C = - 2 (z - 1)5/2 , (z - 1)3 + C = - 2 (1 - x )5/2 (1 - x)3 5x5/2 + 3x3/2 + C 13. H a lle dx x 1'2 + x1'3 S e a u = x 1/6, a s í q u e x = u6, dx = 6 u 5 du, x 1/2 = u3 y x 1/3 = u2; e n to n c e s , s e o b tie n e J u u + d ^ = 6j ur+n du = 6J(u 2 - u +1 - ^ + 1 ) du = 6 (33u3 - 2 u2 + u - ln lu +1|) + C = 2x 1/2 - 3x1/3 + x 1/6 - ln Ix1/6 + 11 +C PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS En los problemas 14 a 39, evalúe la integral dada. 14. J ^+xx dx = 24~x - 2 tan-1 \ /x + C -^ 287^ dx 15. 1\/x (1 + 4 x ) = 2ln(1 + 4 x ) + C dx : = 2N/ x +2 - 6ln(3 + Vx + 2 ) + C16. 13 + V x + 2 17. J 1 dx = - x + |[V3x + 2 - ln(1 + A/3x+2)] + C 18. 1 19. dx -v/x2 - x + 1 = ln dx r= 2 tan \>J x 2 + x - 1 + x) + C - W x2 + x - 1 20. f dx = sen-1 ( ^ )+ C J y¡6 + x - x 2 \ 5 I 21. j 22. 1 V i r i d x = - (4 x ~ x)3/2 + cx dx ( x + 1 ) 1/2 + ( x + 1 ) 1/4 6x = 2( x + 1)1/2 - 4(x + 1)1/4 + 4ln(1 + (x + 1)1/4) + C 5 3 CA PÍTU LO 34 Técnicas de integración IV: sustituciones m isceláneas www.FreeLibros.me
  • Q aak- CAPÍTULO 34 Técnicas de integración IV : sustituciones misceláneas 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. dx _ _JLtan-1 2 tan(x/2) + 1 + Ca i- tan i— + C2 + sen x J 3 J 3 1 - 2 s e n x 3 tan-y x - 2 - 4 3 tan-y x - 2 + >/3 C dx _ 4ln 3 t a n 4r x + 1 tan-y x + 3 + C 3 + 5 s e n x 4 ----------dx-------- = ln ltan-2 x - 1 + C sen x - c o s x - 1 1 2 1 _ 1 ^ - 1 5tan(x/2) + 3 + c 5 + 3sen x 2 4 sen x dx V 2 1 + se n 2 x 4 dx ln ta n 21 x + 3 - 242 ta n 2-2 x + 3 + 242 C 1 + se n x + c o s x _ ln 1 + ta n +x + C - > n " H 3 “ ( j ) ) + C sen 4 x dx _ - 2 4 x c o s 4 x + 2sen> /x + C dx = - sen- 1 í u C W3x2 + 2x - 1 ' 2x (gx _ 2)gx ex + 1 s e n x c o s x 1 - c o s x dx dx = ex - 3 l n ( e x + 1 ) + C dx = c o s x + ln (1 - c o s x ) + C (Sugerencia: se a x = 1/z.) (Sugerencia: s e a e + 1 = z.) (Sugerencia: se a c o s x = z.) x 2V 4 - x 2 -s/4 - x 4 x - + C (sugerencia: se a x = 2/z.) dx - _ - - ¡ ^ + 1 tan -1 ( 2 ) + C x 2(4 + x 2) 4 x 8 y¡1 + 4 xd x _ 4 (1 + 4 x )5/2 - 3 (1 + 4 x )3/2 + c _____ 241+xdx 3(1 - x2)-(5 + 4x)V1 - x2 3 41 + x - 4 1 C -V-1/2 x dx _ 10[-¡3 x 13/10 - Jj- x 11/10 +19 x 9/10 - 7 x 7/10 + i x 1/2 - ■} x 3/10 + x 1/10 - tan-1(x 1/10)] + C x 1/5 + 1 (Sugerencia: se a u = x1/10.) 2 Ítt/3 sen xdx3 — 2-------- y c o m p a r e e l re su lta d o c o n e l v a lo r o b te n id o p o r lo s m é to d o s p r e s e n ta d o s e n e s te c a p ítu lo . 4 dx41. ( C G ) U s e u n a g ra fic a d o r a p a ra a p r o x im a r (c o n o c h o c ifr a s d e c im a le s ) I — , y c o m p a r e e l re s u lta d o c o n e l v a lo r o b te n id o p o r lo s m é to d o s p r e s e n ta d o s en e s te c a p ítu lo . www.FreeLibros.me
  • Integrales impropias CbPara definir una integral definida I f (x) dx es suficiente que a y b sean números reales y que f (x) sea continuaJa en [a, b]. Se deben estudiar ahora dos clases de integrales, denominadas integrales impropias. Límites de integración infinitos a) í f (x) dx = lím í f (x) dxJa c^+ttJa Véase los problemas 1 a 3 y 5 a 6 . b) [ f (x) dx = lím í f (x) dxJ -ro c—$—^ J c Véase el problema 4. c) J f (x) dx = J f (x) dx + J f (x) dx Esto siempre que existan ambos límites a la derecha (véase el problema 7). Discontinuidades del integrando a) Si f es continua en [a, b] pero discontinua desde la derecha en a, entonces pb í* b I f (x) dx = lím I f (x) dxJ a u ^ a +J u Véase el problema 16. b) Si f es continua en [a , b ] pero no es continua desde la izquierda en b, entonces í f (x) dx = lím í f (x) dxJ a u^b~¿ a Véase los problemas 9, 10, 12, 14 y 15. c) Si f es continua en [a , b ] excepto en el punto c en (a, b), entonces i»b f u pb I f (x) dx = lím I f (x) dx + lím I f (x) dxJ a u^ c~ J a u ^ c + Ju siempre que ambas integrales a la derecha existan. Véase los problemas 11 y 13. Cuando el límite definido como una integral impropia existe, entonces la integral es convergente. En el caso opuesto, la integral es divergente. Si la integral es divergente, entonces es igual a (respectivamente -^) si el límite que define la integral impropia tiende a + ^(correspondientemente, -«). -^ 289^ www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 35 In teg ra les impropias PROBLEMAS RESUELTOS r+M 1 C c 1 1—r dx = lím —r dx = l ím ----Ji x2 c^ +^J 1 x2 c^ +~ x r+M 1Resuelva I —rdx.1 x 2 = l m - (C - 1j = - (0 -1 ) = 1 Nota: la integral dx puede interpretarse como el área de la región bajo la curva y = 1/x2 y por encima del eje x, para x > 1. Entonces, una región infinita (en el sentido de no ser acotada) puede tener un área finita. f+M 12. Resuelva —dx.J1 x f4~ 1 ?C 1 — dx = lím —dx = lím lnxJ1 x 1 x c^+^ = lím - (ln c - 0) = es decir, la integral diverge hacia +^. f+M 13. Demuestre que I ~ ^d x converge para p > 1 y diverge hacia + ^ para p < 1.J1 x p r+M 1 ^ 1 1 1I — dx = lím I — dx = lím^---------—_J1 xp 1 xp 1 — p xp Sea p > 1. Entonces, se tiene que lím —z r p (c1 —_ —= 1__ (0 - 1) = p _ 7— f+M 1Por el problema 2, ya se sabe que J x d x diverge hacia + ^ . S eap < 1. Entonces, !™l i _ p (c1 — - _)= Jím r _ p (c_~p - —)= + ~ , ya que _ - p > 0 /•O4. Resuelva I erxdx para r > O. Í+~ 1—;--- -rdx.jo x2 + 4 6. Halle í+O e xsenx d x . J erxdx = lím J erxdx = lím ^ e " = 1 lím (1 - erc ) = 1 (1 - O) = |r c—y—^ r r í —A —7 dx = lím íJo x2 + 4 m +»J o e x sen xdx = lím í e x senxdxJo c^+^J o = lím (— 1 e x(senx + cos x)) (por integración por partes) = lím [(— y e c(senc + cos c)) + ÿ] O www.FreeLibros.me
  • -^ 291^ Cuando c ^ + ^ , e-c ^ 0, mientras que sen c y cos c oscilan entre -1 y 1. Por tanto, lím e c (sen c + cos c) = 0 y, por consiguiente, J e~x sen xdx = 1 7. Resuelva f+" dx = f+ J-» ex + e~x J - exdx e2 x +1 exdxP e"dx = lím Jc e"dx Je e2x +1 ™ Je e2x + 1 Í e° du—;— 7 (por la sustitución de u = ex)1 u2 + 1 L y c= lím tan-1 u I = lím (tan-1 (ec) - tan-1 (1)) = !“ (tan-1(ec ) - f ) = § - f = f De igual forma, fü exdx _ y fü exdx J-» e2x + 1 _ c™ Jc e2x + 1 = lím í1ec du = lím tan 1 ue u2 + 1 ^ - tan-1 (ec)J = - lím tan-1 (ec) = -^ - 0 == lím Luego, f+" dx = f J-» ex + e~x Jt exdx ex + e~x J0 e2x + 1 n . n = n 4 + 4 = 2 ■j: exdx e2x +1 8. Determine el área de la región que queda a la derecha de x = 3 y entre la curva y = 21 1 y el eje x El área es |~ dx = lím f c dx J3 x2 - 1 c™ J3 x2 - 1 1 x — 1 T= 2 lím ln x + 1J (por integración de fracciones parciales) = lím I ln-----t- - ln+1 = lím I lnc +1 1 1 - (1/c) 2 1 + (1/c) - ln + = Jr (ln 1 + ln2) = ^ 9. Evalúe í3 dx }^ 9 - x2 El integrado es discontinuo en x = 3. Entonces, 3 dx u dxf dx = Knl f v 9 _ x2 u^ 3 *■ ( = lím ^ sen 1 1u J - sen 1 üj = lím s^en 1 1 3 J_ ü = sen 1 1 = -72 CA PÍTU LO 35 Integrales im propias www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 35 In teg ra les im p ro p ias 10. OMenga J , ^ El integrado es discontinuo en x = 2 í21d xL- = lím í = lím - ln(2 - x)J0 2 - x U^ 2~ J0 7 - x “^ 2- = lím - (ln(2 - u) - ln 2)) = u—>2 Por tanto, la integral diverge hacia +^ . 11. Resuelva f4— d^ r . Jü (x - 1)2 El integrado es discontinuo en x = 1, el cual está dentro de (0, 4) (fig. 35.1). lím í dx 2 = lím ------LU^1 J0 (x — 1) U^1 x — 1 = lím -U—>1_ i - ^ - r - (-1)) = l í m - ( - J - f + 1) = +» \U - 1 ) U^1- \U - 1 ) 4 dx 4 dxPor tanto, I ------¡T7 es divergente. (No se tiene que considerar lím I ---------------------- 7-7 para todo. A fin de que seaJ0 (x — 1) u^1+ J0 (x — 1) 4 dx U dx 4 dxI 7-----convergente, tanto lím . como lím ------deben existir.)h (x - 1)2 u^1-J0 (x - 1)2 u^ 1*Ju ( x - 1)2 "^ 1+ J0 (x - 1)2 ^ 1+ j U (x - 1)2 12. Determine el área de la región comprendida entre la curva y = =■, el eje x, x = 0 y x = 1 (fig.35.2) El área es |" , x dx = lím |"•'0 ^1 _ r 2 U^r j 0 dx = lím - 1 |" (1 - x 2)1/2( - 2x) dx u—>1_ 2 Jo = lím - (1 - x2 )1/2 I (por la fórmula abreviada I) U^ 1_ J0 = lím - [V 1 - u 2 - 1 ] = 1 yy x x www.FreeLibros.me
  • -^ 293^ 13. Resuelva í Jo El integrado es discontinuo en x = 1, que queda dentro de (0, 4). lím í ,dx = lím í (x - 1)1/3dxu^ 1~ v 0 3 x — 1 u l^~ v 0 = lím -|(x - 1)2/3] = lím-|[(u - 1)2/3 - 1] =u—>1 J0 u—>1 Por otra parte, lím í , = lím f (x - 1)1/3 dxu^ 1+ J 0 ^ x — 1 u^1+ J 0 -|4 = lím-f (x - 1)2/3 I = lím f[79 - (u - 1)2/3 - 1] = 9u —> 1+ J 0 u —> 1+ Por tanto, r4 ¿L - = lím í + lím y x — 1 u^ 1 J0 y x — 1 u^ 1+-'u -3/. = K # -1) dx x - 1 = - f + /•^ /214. Resuelva I sec xdx.0 El integrado es discontinuo en x = n . rn/2 ru I sec xdx = lím I sec xdxJ0 u—n/2- J0 T= lím ln(sec x + tan x) Iu——n/2 J0 = lím_[ln(sec u + tan u) - ln(1 + 0)]u^n/2- = lím ln(sec u + tan u) = + »u^n/2- ya que, l ím sec u = +°» y lím tan u =u^ nl2~ u^ k!2~ ¡ñu Entonces, sec xdx diverge hacia 15:. Resuelva P . cos x dx. J0 \1 - senx El integrado es discontinuo en x = n . f*/2 cos x dx = lím íu . cos x dx j0 V1_ senx u^ /2 J0 V1 - senx u = lím - I (1 - senx)~1/2( - cos x) dx u^ kI2~ J0 = lim _ 2(1 - senx )1/2] = lím - 2[(1 - sen u)1/2 - 1] = 2 u^ kI2 J0 u^ kI2 CA PÍTU LO 35 Integraleslm proplas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 35 In teg ra les impropias f1 116. Evalúe dx.Jo x2 fi 1 ri i i "I — 2 dx = lím I — 2 dx = lím----Jo x u^0+ju x u—>0+ x El integrado es discontinuo en x = 0. = lím - 11 - —1 = PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 17. Evalúe las integrales siguientes: a) Jo Vx f4 1 J o T ? ^ 372 dx = +“ f1 dx _ 2 Jo (4 - x)372 4 dx d) g) Jo (x - 2)273 f1 1j) Jo x ln xdx = --? b) f 4-r1— dx = Jo 4 - x 2 1e) , dx = k ; 3-2yf 4 ^ x h) J-1 $ = +~ 4 c) Jo:o V4 - x 8 1 a . _ 9 dx = 4 f e x * = 2 i) J^ln xdx = —1 18. Halle el área de la región comprendida entre la curva indicada y sus asíntotas: a) y2 = „ x4 2; b) y2 = á —A ; c) y2 = 1 4 - x: y x(1 - x) Respuestas: a) 4n; b) 4n; c) 2n 19. Evalúe las integrales dadas: x 6 dx (4 - x)2 a) í+“ d t = 1 x2 d) j; g) í : j ) J T xe x dx = o x3e x dx = 6 (4 - x)2 dx b) j : (4 * e) J T x h) í: 1 4 c) e xdx = 1o 1 ' ln2 f ) f +~ e l L dx = 2 j1 4 x e n = 2 i) o J xex dx = -1 20. Halle el área de la región comprendida entre la curva indicada y su asíntota: a) y = 28 . ; b) y = x 2 ; c) y = xe-x2/27 x2 + 4 y (4 + x2)2 7 Respuestas: a) 4n; b) -4; c) 2 21. Determine el área de las regiones siguientes: a) Por encima del eje x, bajo y = 21 4 y a la derecha de x = 3. b) Por encima del eje x, bajo y = 1x(x - 1 ) 2 y a la derecha de x = 2 Respuestas: a ) l^n5; b) 1 - ln 2 1 x www.FreeLibros.me
  • 22. Demuestre que las áreas de las regiones siguientes son infinitas: a) Por encima del eje x, bajo y = 4 1 2 desde x = -2 hasta x = 2. b) Por encima del eje x, bajo xy = 9 y a la derecha de x = 1. 23. Demuestre que el área de la región en el primer cuadrante bajo y = e-2x es -1, y que el volumen generado al girar dicha región en torno al eje x es -^ . 24. Establezca la longitud de arco indicado: a) 9y2 = x(3 - x)2, una onda; b) x2/3 + y2/3 = a2/3, toda la longitud; c) 9y2 = x2(2x + 3), una onda. Respuestas: a) 4>/3 unidades; b) 6a unidades; c) 2^3 unidades 25. Demuestre que íb— dx— converge para p < 1 y diverge hacia para p > 1. Ja (x — b)p ------------- ^ 295^ 26. Sea 0 < f(x) < g(x) para a < x < b. Considere que lím f (x) = y lím g(x) = (fig. 35.3). No es difícil rb rb rb demostrar que si I g(x) dx converge, entonces I f (x) dx también lo hace y, de forma equivalente, si I f (x) dx b no converge, entonces I g(x)dx tampoco lo hace. Un resultado semejante se cumple para a < x < b, con límJa x^ a* remplazando a lím . x^>b A guisa de ejemplo, considere J 1 dx 4. Para 0 < x < 1,J01 - x 1 - x4 = (1 - x)(1 + x)(1 + x2) < 4(1 - x) < ^ _ 4 1 - x 1 - x4 Como -4 J d no converge, tampoco lo hace J 1 dx 4 . Ahora considere í — dx _ . Para 0 < x < 1 , -L _ < _1 Como í —L dx converge, entonces í J0 x2 + *¡x x2 + fx +.!x 0 yjx dx x2 + y[x x2 + -Jx \fx bién lo hace. Determine si cada una de las integrales siguientes converge: J0 x2 + -Jx a) H e S ; b) dx ; c) f ^ Respuestas: a ) y c) convergen y 27. Sea 0 < f(x) < g(x) para x > a. Considere también que lím f (x) = lím g(x) = 0 (fig. 35.4). No es difícil demostrar +CO +CO x^ + ^ x^ + ^ que, si í g(x) dx converge, í f (x) dx también lo hace (y de forma equivalente, que si í f (x) dx no converge,Ja + Ja Ja entonces í g(x)dx tampoco lo hace).a CA PÍTU LO 35 Integralesim propias www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 35 In teg ra les impropias y Como ejemplo, considere í dx _ _ . para x > i 1 _ _ < 1 . Puesto qUe t^°dx_ converge. J Jl Vx4 + 2x + 6 Vx4 + 2x + 6 x2 M Ji x2 & entonces í , ^ también lo hace. Jl Vx4 + 2x + 6 Determine si converge o no cada una de las integrales siguientes: dx ia f+” _ *2 , . f+" dxa) P , d ; b) í + e-x2dx ; c) í+ — h Vx3 + 2x Jl V- Respuesta: todas convergen x + x 28. Defina la función gama T(t) = J x ^ e ^ xdx para t > 0. Puede demostrarse que T(t) es convergente. (Esto se deja como tarea para el estudiante.) a) Pruebe que T(1) = 1. b) Pruebe que T(2) = 1. (Sugerencia: aplique integración por partes.) c) Pruebe que T(t + 1) = t T(t) para toda t > 0. (Sugerencia: use integración por partes.) d) Use la respuesta del inciso c) para demostrar que T(n + 1) = n! para todo entero positivo n. (Recuerde: n! = 1 2 3 4 ...... n.) www.FreeLibros.me
  • 36 Aplicaciones de la integración III: área de una superficie de revolución Si un arco de una curva gira en torno de una recta que no corta el arco, entonces la superficie resultante se denomina superficie de revolución. Por área de superficie de ta! superficie se entiende el área de su superficie externa. Seaf una función continua en [a, b] que es diferenciable en (a, b) y tal quef(x) > 0 para a < x < b. Entonces, el área de superficie S de la superficie de revolución generada al girar la gráfica de f en [a, b] alrededor del eje x se obtiene con la fórmula S = 2 n \a y J X + jd y dx = 2 n \ a f (x)V_ + (f '( x ))2 dx (36.1) Véase en el problema __ una justificación de esta fórmula. Hay otra fórmula como la (36.1) que se obtiene cuando se intercambian los papeles de x y de y. Sea g una función continua en [c, d] que es diferenciable en (c, d) y tal que g(y) > 0 para c < y < d. Entonces, el área de superficie S de la superficie de revolución creada por el giro de la gráfica de g en [c, d] alrededor del eje y se obtiene con la fórmula: S = l K\ dc x )J_ + ( ddy ) dy = 2K\ dc g(yW _ + (g,(y))2 dy (36.2) Asimismo, si una curva está dada por ecuaciones paramétricas x = f(u), y = g(u) (véase el capítulo 37), y si el arco desde u = u_ hasta u = u2 se gira en torno del eje x, entonces el área de superficie de la superficie de revo­ lución resultante está dada por la fórmula S = 2 4 : yjld x i + 1 ! du (36.3) En este caso se ha supuesto que f y g son continuas en [u_, u2] y diferenciables en (u_, u2), y que y = g(u) > 0 en [u_, u2]. Otra fórmula de este tipo se cumple en el caso de una revolución en torno al eje y. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Determine el área S de la superficie de revolución creada al girar alrededor del eje x el arco de la parábola y2 = 12x de x = 0 a x = 3. Por derivación implícita, d x = - ydx y J - é 29^ www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 36 Aplicaciones de la integración I I I : á rea de una superficie de revolución Por (36.1) i*3 */y2 + 36 (*3 ¡-----------5 = 2n \ y ^ -------dx = 2n \ -J12x + 36 dxJ0J y J0 = 2n(8(12x + 36)32)]0 = 24(272 - 1)n 2. Determine el área 5 de la superficie de revolución creada al girar alrededor del eje y el arco de x = y3 de y = 0 a y = 1. d y = 3y2 y 1 + ^d y j = 1 + 9y4 . Entonces, por (36.2) S = 2n £ x j 1 + 9 y4 dy = 2n J^ y^ 1 + 9 y4 dy = 18 J0' (1 + 9 y4) W ) dy = 18^ (1 + 9 y4)37]0 = ^ 7(1^V^ - 1) 3. Establezca el área de la superficie de revolución creada cuando gira en torno al eje x el arco de y 2 + 4x = 2 ln y de y = 1 a y = 3. S = 1+ ( % ) dy = 2^ 3 y dy = ^ 3(1+y2) dy = 3 2 * 4. H a lle e l á re a d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c ió n c re a d a a l g ir a r u n la z o d e la c u r v a 8a 2y 2 = a2x2 - x 4 a lre d e d o r d e l e je x ( fig . 3 6 .1 ) . Fig. 3 6 .1 A q u í, P o r tanto dy = a2x - 2x3 dx 8a 2y 1 + | dx ) 2 = 1 + (a2 - 2x2)2 = (3a2 - 2x2)2 d y ) 8a2(a2 - x2) 8a2(a2 - x2) 5 = 2n [“ 2 J l + í d y Ì dx = 2n [a x ^ a 2 ** 30- , 2x 2 dx Jo \ Vdx) Jo 2aV2 2a^ 2 Va2 - x2 = - jO i J0 (3a2 - 2x2)xdx = j ^ a2 x2 + y25. E s ta b le z c a e l área d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c ió n c r e a d a a l g ir a r e n to rn o a l e je x la e lip s e 1 6 + 4 == 1. 5 = M i y 4 16 4y+ x 2 dx = f dx 2>/31 2 f x 23 n/64 - 3 x2 + 32sen-1 ^ ^ j = 8 n 1 + 4 ^ n y 4 www.FreeLibros.me
  • 6. H a lle e l á re a d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c ió n q u e se c re a a l g ir a r a lre d e d o r d e l e je x la h ip o c ic lo id e x = c o s 3 0, y = a sen 3 0. L a s u p e r f ic ie r e q u e r id a s e fo r m a p o r e l g ir o d e l a rco d e 0 = 0 a 0 = %. S e t ie n e q u e = —3a c o s 20 s e n 0 , d y = 3a sen20 c o s 0 y + ( d ö ) = 9 a 2 c o s 2 0 se n 2 0 . E n to n c e s , 5 = 2(2n ) Jj2 J B )2 + ( % ) de = 2(2ri) Jj2( a sen 30 )3 a c o s 0 se n 0 dd 1 2a2n 5 (u nid ades cu adradas) Fig. 3 6 .2 + ( d ö ) = 8 _ s e n 0 s e n 2 0 - c o s 0 c o s 2 0 ) = 8 (1 - c o s 0 ) E n to n c e s , S = 2 J^o (2sen0 - sen20)(2V2>/1 - cos0 ) dd = 8y[2n ^ sen0(1 - cos©)32dd = ^ ^ (1 - cos©)52 j 128n (u n id a d e s a l c u a d ra d o ) 8. D e m u e s tr e q u e e l área d e la s u p e r f ic ie d e u n c ilin d ro d e r a d io r y a ltu ra h e s 2nrh. L a s u p e r f ic ie se c r e a c u a n d o se g ir a a lre d e d o r d e l e je x la c u r v a y = r, d e x = 0 a x = h. C o m o d - = 0, 1 + ( ~dx J = 1 . E n to n c e s , p o r ( 3 6 .1 ) , rh h S = 2k]o rdx = 2n{rx)] = 2nrh 9. D e m u e s tr e q u e e l área d e la s u p e r f ic ie d e u n a e s fe r a d e r a d io r e s ín r2. E l á re a d e la s u p e r f ic ie se c r e a a l g ir a r en to rn o a l e je x e l s e m ic ír c u lo y = V r2 - x 2 d e x = - r a x = r. P o r s im e tr ía , é s te e s e l d o b le d e l á re a d e la s u p e r f ic ie d e x = 0 a x = r. C o m o y 2 = r 2 - x 2, 2yl = - 2 X dy xy, por tanto, —r~ = ----dx y 1+1 f 1 = 1 +x J =^y2 y2 -^ 299^ 7 . H a lle e l á re a d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c ió n c re a d a c u a n d o se g ir a la c a r d io id e x = c o s 3 0 - c o s 2 0, y = 2 sen0 - sen 20 a lre d e d o r d e l e je x. L a s u p e r f ic ie r e q u e r id a s e fo r m a p o r e l g ir o d e l a rco d e 0 = 0 a 0 = n ( f ig . 3 6 .2 ). S e t ie n e q u e = - 2 s e n 0 + 2 s e n 2 0 , = 2 c o s 0 - 2 c o s 2 0 ,do da y y 2 0 5 y 2y CA PÍTU LO 36 Aplicaciones de la integración III: área de una superficie de revolución www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 36 Aplicaciones de la integración I I I : á rea de una superficie de revolución E n c o n s e c u e n c ia , p o r (3 6 .1 ) 10. a ) D e m u e s tr e q u e e l á rea d e la s u p e r f ic ie d e u n c o n o c o n b a s e r y a ltu ra in c lin a d a s ( fig . 3 6 .3 ) e s nrs. b) D e m u e s tr e q u e e l á rea d e la s u p e r f ic ie d e l tro n c o d e u n c o n o c o n b a s e s r 1 y r 2 y a ltu ra in c lin a d a u (fig . 3 6 .4 ) e s n(r1 + r2)u . ( O b s e r v e q u e e l tronco se o b t ie n e a l g ira r la a ltu ra d e la p e n d ie n te en to rn o d e la b a s e d e l tr iá n g u lo .) Fig. 3 6 .4 a ) S e c o rta e l c o n o a lo la r g o d e u n a a ltu ra in c lin a d a y se a b re c o m o p a rte d e un c ír c u lo d e r a d io s (c o m o se m u e stra e n la fig u r a 3 6 .5 ). O b s e r v e q u e la p a rte d e la c ir c u n fe r e n c ia c o rta d a p o r e sta r e g ió n e s 2nr (la c ir c u n fe r e n c ia d e la b a s e d e l c o n o ) . A h o r a , e l área d e s e a d a S e s la d ife r e n c ia en tre ns2 (e l á re a d e l c ír c u lo e n la fig u r a 3 6 .5 ) y e l área A 1 d e u n s e c to r c ir c u la r c o n á n g u lo c e n tra l 0. E l á rea A 1 e s -2r—(n s 2) = Í 0 s 2 . 2k s — 2n r 2C o m o e l a rc o c o rta d o p o r 0 e s 2%s - 2nr, s e o b t ie n e 0 = ------ s------ • A s í , A 1 = n(s - r)s . P o r lo tan to , S = ns2 - n(s - r)s = nrs u n id a d e s a l c u a d ra d o . b) D e lo s tr iá n g u lo s se m e ja n te s e n la fig u r a 3 6 .4 se o b tie n e — = — -. E n to n c e s , r2u 1 = r 1u 1 + r 1u. P o r '1 '2 -. A h o r a , p o r e l r e s u lta d o d e l in c is o a), e l á re a d e la s u p e r f ic ie d e u n tro n c o e s nr2(u1 + u)tan to , u = 1 r2 '1 - nr1u1 = n(r2 - r 1) u 1 + nr2u = nr1u + nr2u = n(r1 + r2)u u n id a d e s a l c u a d ra d o . www.FreeLibros.me
  • -^ 301^ 11. Esboce una com probación de la fórm ula (36.1). S u p ó n g a s e q u e [a , b] se d iv id e en n s u b in te rv a lo s ig u a le s . [xk-1, xk], c a d a u n o d e lo n g itu d A x = b ^ . E l área d e s u p e r f ic ie to ta l S e s la su m a d e la s á re as d e s u p e r f ic ie Sk c re a d a s p o r lo s a r c o s en tre lo s p u n to s [xk-1, f x k-1)] y [xk, f(xk)], c a d a u n o d e lo s c u a le s e s a p ro x im a d o p o r e l área d e s u p e r f ic ie g e n e ra d a p o r e l se g m e n to de r e c ta e n tre [xk-1, f x k-1)] y [xk, f x k)]. L a ú lt im a e s e l á re a d e u n tro n c o d e u n c o n o . E n la n o ta c ió n d e la fig u ra 3 6 .6 , e s to e s , en v ir tu d d e l p r o b le m a 1o b ): f (xk-1)+f (xk )2 +(Ay )2 = 2n f (xk-1) + f (xk A/(A x )2 + ( A y )2 A h o ra , - f (xk , d o n d e e l p r o m e d io d e f x k-1) y f(xk) e s tá en tre e sto s d o s v a lo r e s y p o r e l te o re m a d el v a lo r in te rm e d io , e s ig u a l a f ( x * ) p a ra a lg ú n x* en (xk-1, x k). T a m b ié n , -J(Ax)2 + ( A y ) 2 = ^ 1 + ^ j A x . P o r e l te o re m a d e l v a lo r m e d io , = f ' ( x # ) p a ra a lg ú n x# e n (xk-1, x k). E n to n c e s , S se a p r o x im a p o r la su m a £ 2nf (x* W 1 + (f ' (x# )) Ax y e s p o s ib le d e m o stra r q u e e sta su m a p u e d e r e a liz a r s e a rb itra r ia m e n te p r ó x im a a 2n j f (x 1 + ( f ' ( x ))2 d x .f P o r tan to , la ú lt im a e s ig u a l a S . a Fig. 3 6 .6 x PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS E n lo s p r o b le m a s 1 2 a 2 o , d e te rm in e e l área d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c ió n c r e a d a c u a n d o g ir a e l a rco in d ic a d o a lre d e d o r d e l e je in d ic a d o . 12. y = mx d e x = o a x = 2; e je x Respuesta: 4 mn^l 1 + m 2 f En general, puede probarse el resultado siguiente: teorema de Bliss. Sean f y g son continuas en [a, b]. Se divide [a, b] en subintervalos [xk-1, xk], con a = xo < x1 < . „ < xn < b y sea Akx = xk - xk-1. En cada [xk-1, xk], se escoge x * y x # . Entonces, la suma de la aproximación ^ f (x*)g (x#)Ak x puede hacerse arbitrariamente próxima a J f (x)g (x)dx cuando n ^ +~ yk=1 ahaciendo que las longitudes máximas de los subintervalos tiendan a o. CA PÍTU LO 36 Aplicaciones de la integración III: área de una superficie de revolución www.FreeLibros.me
  • ^ 3 02^ CAPÍTULO 36 Aplicaciones de la Integración I I I : á rea de una superficie de revolución 1 3 . y = 3 x3 de x = 0 a x = 3; eje x Respuesta: n(82-J&2 - 1)/9 1 4 . y = £x3 de x = 0 a x = 3; eje y Respuesta: 2 TT [^^>/82 + ln ^ 9 + V 8 2 1 5 . Un lazo de 8y2 = x2 (1 - x2); eje x 1 6 . y = x3/6 + 1/2x de x = 1 a x = 2 ; eje y Respuesta: (T 5 + ln 2)n 1 7 . y = ln x de x = 1 a x = 7; eje y Respuesta: 3^4>/2 + ln (3 + 2y¡2 1 8 . Un lazo de 9y2 = x(3 - x)2; eje y Respuesta: 28 p V 3 /5 1 9 . Un arco de x = a (0 - sen 0), y = a(1 - cos 0); eje x Respuesta: 64na2/3 2 0 . x = et cos t, y = et sen t de t = 0 a t = 2 n , eje x Respuesta: 2n V2(2ep + l)/5 2 1 . Determine el área de la superficie de una zona cortada en una esfera de radio r por dos planos paralelos, cada uno a una distancia de 2 a del centro. Respuesta: 2nar 2 2 . Determine el área de la superficie de un toro (rosquilla) creada al girar el círculo x2 + (y - b)2 = a2 en torno al eje x. Considere que 0 < a < b. Respuesta: 4n2ab www.FreeLibros.me
  • Representación paramétrica de curvas Ecuaciones paramétricas Si las coordenadas (x, y) de un punto P en una curva están definidas como funciones x = f(u) y y = g(u) de una tercera variable o parámetro, u, las ecuaciones x = f(u) y y = g(u) se denominan ecuaciones paramétricas de la curva. EJEMPLO 3 7 .1 a) x = c o s 0 y y = 4 s e n 2 0 so n e c u a c io n e s p a ra m é tr ic a s , c o n p a rá m e tro 0, d e la p a rá b o la 4 x 2 + y = 4 , y a q u e 4 x 2 + y = 4 c o s 2 0 + 4 se n 2 0 = 4 . b) x = 1 1 y y = 4 - t2 e s o tra re p r e s e n ta c ió n p a ra m é tr ic a , c o n p a rá m e tro t, d e la m is m a cu rv a . Nótese que el primer conjunto de ecuaciones paramétricas representa sólo una parte de la parábola [fig. 37.1a)], en tanto que la segunda representa toda la curva [fig. 37.1 b)]. y Fig. 37.1 EJEMPLO 37 .2 a) L a s e c u a c io n e s x = r c o s 0 y y = r se n 0 re p res en ta n e l c ír c u lo d e r a d io r c o n c e n tro e n e l o r ig e n , c o m o x 2 + y 2 = r 2 c o s 2 0 + r2 se n 2 0 = r 2 ( c o s 2 0 + se n 2 0) = r 2. E l p a rá m e tro 0 p u e d e c o n s id e r a r s e e l á n g u lo d e l e je x p o s itiv o a l se g m e n to d e s d e e l o r ig e n h a sta e l p u n to P e n e l c ír c u lo ( fig . 3 7 .2 ). b) L a s e c u a c io n e s x = a + r c o s 0 y y = b + r se n 0 re p res en ta n e l c ír c u lo d e ra d io r c o n c e n tro en (a , b ), y a q u e (x - a ) 2 + (y - b )2 = r 2 c o s 2 0 + r 2 s e n 2 0 = r 2 ( c o s 2 0 + s e n 2 0) = r 2. « 03j www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 37 Representación param étrica de curvas y Supóngase que una curva se define mediante un par de ecuaciones paramétricas x = f(u ) y y = g(u). Entonces, dy d2 yla primera y la segunda derivada - y y están dadas por las fórmulas siguientes: (37.1) Primera derivada dy _ ( dy \ /(d x \ dx _ ^ du J/ ^ du ) Esto se sigue de la fórmula de la regla de la cadena d - = ~~ r ' d u •du dx du (37.2) Segunda derivada d2 y ( d ( dy Y| / dx dx2 _^ du ^ dx ) j j du Esto se sigue de la fórmula de la regla de la cadena d - ( d - ] = ■
  • P or tanto, p or (37.2) d 2 y l . l—TT =---- :-- T (l - cos t) = -^--------To'dx2 cos t - 1/ (l - cos t)2 . R e s u e lv a d y y d - y s i x = et c o s t, y = et sen t. dx dx2 dx t , . dy ^ „ dy cos t + sen t „-¡- = et (cos t - sen t) y = et (cos t + sen t ). Por (37.1), - j - = ---- ------ . Entonces,dt J dt y J dx cos t - sen t d ( dy ^ _ (cos t - sen t)2 - (cos t + sen t)(- sen t - cos t) dt ^ dx J (cos t - sen t)2 _ (cos t - sen t)2 + (cos t + sen t)2 _ 2(cos21 +sen21) (cos t - sen t)2 (cos t - sen t )2 2 A s í , p o r (3 7 .2 ), (cos t -sen t) d 2 yd2 y 2 I , , n- r f = 7-tt et (cos t -sen t) =dx2 (cos t - sen t)2 / et (cos t - sen t) -^ 305^ 3. E n c u e n tre u n a e c u a c ió n d e la ta n g e n te a la c u r v a x = VF , y = t - e n e l p u n to d o n d e t = 4. d x = 2—t y "d"= _ + 2 t_/2 . P o r ( 3 7 .1 ) , = 2Vf + _ . E n to n c e s , la p e n d ie n te d e la ta n g e n te c u a n d o t = 4 es 2^ + 4 = _j7. C u a n d o t = 4 , x = 2 y y = -2. U n a e c u a c ió n d e la ta n g e n te e s y - -7- = —7 (x - 2). 4. L a p o s ic ió n d e u n a p a r t íc u la q u e se m u e v e a lo la rg o d e u n a c u r v a e stá d a d a e n e l t ie m p o t p o r la s e c u a c io n e s p a ra m é tr ic a s x = 2 - 3 c o s t, y = 3 + 2 se n t, d o n d e x y y s e m id e n en p ie s y t en s e g u n d o s ( fig . 3 7 .3 ) . O b s é r v e s e q u e -_■(x - 2 )2 + ■_ (y - 3 )2 = 1 , d e m a n e ra q u e la c u r v a e s u n a e lip s e . D e te rm in e : a) la r a z ó n d e c a m b io en t ie m p o d e x c u a n d o t = ft/3; b ) la r a z ó n d e c a m b io e n tie m p o d e y c u a n d o t = 5 ^ /3 ; c) la r a z ó n d e c a m b io en t ie m p o d e l á n g u lo d e in c lin a c ió n 0 d e la ta n g e n te c u a n d o t = 2^/3. d y = 3 s e n t y d y = 2 c o s t. E n to n c e s , ta n 0 = ^ = f c o t t . a) C u a n d o t = n>, d x = ^ 2 p ies/s b) C u a n d o t = ^n , dy = 2('—) = _ p ies/s c) d= ta n _1(-|c o t t ) . E n t o n c e s ,d^ = -,— 4 c s c 2 .y V3 y ’ dt 1 + 4 c o t t 2 1 9 + 4 c o t 2 1 Fig. 37.3 CA PÍTU LO 37 Representación param étrica de curvas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 37 Representación param étrlca de curvas C u a n d o t = j¡¡r = 9 = _ | f - L u e g o , e l á n g u lo d e in c lin a c ió n d e la ta n g e n te e s d e c re c ie n te a r a z ó n d e f f ra d ia n e s p o r se g u n d o . 5. D e te r m in e la lo n g itu d d e a rco d e la c u r v a x = t2 y y = t3 d e t = 0 a t = 4. t - 2 t, £ = 3t2 y ( § )2 ♦ ( f ) 2 = 4 t2 + 9t4 = 4 t 2( . + f t2) . E n to n c e s , L = Jo 2^7f^it7 dt = f J (1 + ir 12)1/2( f1) dt = 11(1 + 4 12)3/2]4 = £(37>/37 - 1) 6. H a lle la lo n g itu d d e u n a rco d e la c ic lo id e x = 0 - se n 0, y = 1 - c o s 0 en tre 0 = 0 y 0 = 2ft. = 1 - cos0, d j = sen# y |-d |J + ^ j = (1_ cos0)2 + sen20 = 2(1 - cos0) = 4sen2 J. E n to n c e s , L = 2 Jo4sen ( f )dl = - 4cos ( f = -4 ( c o s n - cosO) = 8 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS E n lo s p r o b le m a s 7 a 1 1 , d e te rm in e a ) d y , b) d2 y .dX (IX 7. x = 2 + t, y = 1 + t2 Respuestas: a) 2t; b ) 2 8. x = t + 1/t, y = t + 1 Respuestas: a) t2/(t2 - 1); b ) - 2 t 3/(t2 - 1 )3 9. x = 2 se n t, y = c o s 2t Respuestas: a) - 2 sen t; b) - 1 10. x = c o s 3 0, y = sen3 0 Respuestas: a) - t a n 0; b ) 1 / (3 c o s4 0 se n 0) 11. x = a ( c o s 0 + 0 se n 0), y = a (s e n 0 - 0 c o s 0) Respuestas: a) tan 0; b) 1/(a0 c o s 3 0) 12. E s ta b le z c a la p e n d ie n te d e la c u r v a x = e t c o s 2t, y = e 2t sen 2 t en e l p u n to t = 0. Respuesta: - 2 13. D e te r m in e la s c o o r d e n a d a s re c ta n g u la r e s d e l p u n to m á s a lto d e la c u r v a x = 9 6 t, y = 9 6 t - 1 6 t2. (Sugerencia: h a lle t p a ra e l y m á x im o ). Respuesta: (28 8 , 14 4 ) 14. D e te r m in e la s e c u a c io n e s d e la ta n g e n te y la n o rm a l d e la s c u r v a s s ig u ie n te s e n lo s p u n to s d e te rm in a d o s p o r el v a lo r d a d o d e l p a rá m etro : a) x = 3 e t, y = 5 e t e n t = 0 b) x = a c o s 4 0, y = a se n 4 0 e n 6 = ^4 Respuestas: a) 3y + 5x = 30, 5y - 3x = 16; b) 2x + 2y = a, y = x www.FreeLibros.me
  • -^ 307^ 15. Encuentre una ecuación de la tangente en cualquier punto P(x, y) de la curva x = a cos3 t, y = a sen3 t. Muestre que la longitud del segmento de la tangente cortada por los ejes de coordenadas es a. Respuesta: x sen t + y cos t = aa sen 2t 16. Para la curva x = t2 - 1, y = t3 - t, halle los puntos en los que la tangente es a) horizontal y b) vertical. Demuestre que en el punto donde la curva se corta a sí misma, las dos tangentes son perpendiculares entre sí. J 3 Respuesta: a) t = ; b) t = 0 En los problemas 17 a 20, encuentre la longitud del arco especificado de la curva dada. 17. El círculo x = a cos 0, y = a sen 0 de 0 = 0 a 0 = 2n. Respuesta: 2kü 18. x = et cos t, y = et sen t de t = 0 a t = 4. Respuesta: \Í2(e4 - 1) 19. x = ln>/1 +12, y = tan-1 t de t = 0 a t = 1. Respuesta: ln(1 + V2) 20. x = 2 cos 0 + cos 20 + 1, y = 2sen 0 + sen 2 0 . Respuesta: 16 21. La posición de un punto en el instante t está dado como x = 7 12, y = \ (6t + 9)3/2. Determine la distancia que se desplaza el punto de t = 0 a t = 4. Respuesta: 20 22. Identifique las curvas dadas por las ecuaciones paramétricas siguientes y escriba las ecuaciones para las curvas en términos de x y y: a) x = 3t + 5, y = 4t - 1 Respuesta: línea recta: 4x - 3y = 23 b) x = t + 2, y = t2 Respuesta: parábola: y = (x - 2)2 t 2c) x = t - 2, y = t ^j Respuesta: hipérbola: y = — + 1 d) x = 5 cos t, y = 5 sen t Respuesta: círculo: x2 + y2 = 25 23. (CG) Use una graficadora para hallar las gráficas de las curvas parámetricas siguientes: a) x = 0 + sen 0, y = 1 - cos 0 (cicloide) b) x = 3 cos3 0, y = 3 sen3 0 (hipocicloide) c) x = 2 cot 0, y = 2 sen2 0 (bruja de Agnesi) d) x = (1 + g 3) > y = ^ + 03) (folio de Descartes) CA PÍTU LO 37 Representación param étrica de curvas www.FreeLibros.me
  • Curvatura Derivada de la longitud de un arco Sea y = f(x ) que tiene una primera derivada continua. Sea A(x0, y0) un punto fijo en su gráfica (fig. 38.1) y sea s la longitud de arco medida desde A hasta cualquier otro punto P(x, y) en la curva. Se sabe que, por la fórmula (29.2), - t i >+If * si se selecciona s para que crezca con x. Sea Q(x + Ax, y + Ay) un punto en la curva cercano a P. Sea As la longitud de arco de P a Q. Entonces, £ - lím = ± , + ( $ . dx amo Ax y ( dx y de forma semejante, ds A í , I dx dy - aJÍO Ay - ±\í + ( dy El signo más o menos se obtiene en la primera fórmula según s aumente o disminuya al crecer x, y en la segunda fórmula según s aumente o disminuya al crecer y. Fig. 3 8 .1 Cuando una curva está definida por ecuaciones paramétricas x = f(u) y y = g(u), ds - lím As = ± 1 1 dx ^ + 1 dy du - Au - ±\|l du I l du Aquí, el signo más o menos se obtiene según s aumente o disminuya al crecer u. ^ 308^ - 2 s 2 2 xO www.FreeLibros.me
  • Para evitar la repetición de signos ambiguos, se supondrá de aquí en adelante que la dirección en cada arco se ha fijado de m anera que la derivada de la longitud de arco sea positiva. ------------- ^ 309^ Curvatura L a curvatura K de una curva y = f x ) en cualquier punto P de ella se define com o la razón de cam bio de la dirección de la curva en P, es decir, del ángulo de inclinación t de la tangente en P , respecto a la longitud del arco s (fig. 38.2). Intuitivamente, la curvatura indica cuán rápido está girando la tangente. Así, la curvatura es grande cuando la curva se dobla de form a pronunciada. Fig. 3 8 .2 Com o fórm ulas de curvatura se obtienen: „ dT A tK = - ¡ - = lim _ ds a^ o As / d 2 y d x2 o en térm inos de y, K = d 2 x dy2 i +( I ) (38.1) (38.2) Para ver una dem ostración repase el problem a 13. K se define a veces como positiva. Si suponemos esto, entonces el signo de K debería ignorarse en lo sucesivo. El radio de curvatura , siempre que K ^ 0.E l radio de curvatura R en el punto P sobre una curva se define m ediante R = -1 El círculo de curvatura El círculo de curvatura, o círculo osculador de una curva en el punto P , es el círculo de radio R, que se encuentra en el lado cóncavo de la curva y tangente a P (fig. 38.3). Fig. 38 .3 y 2 y CA PÍTU LO 38 C urvatura www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 38 Curvatura Para construir el círculo de curvatura, en el lado cóncavo de la curva se traza la línea normal al punto P y en él se tiende un segmento PC de longitud R. El punto C es el centro del círculo requerido. El centro de curvatura El centro de curvatura para un punto P(x, y) de una curva es el centro C del círculo de curvatura P. Las coorde­ nadas (a, P) del centro de curvatura se obtienen con dy dx a = x -- >< í d 2 y/dx2 P = y + i +( í d 2y /dx2 2 2 o por a = x + •■+( i d 2x/dy2 P = y - dx dy „ ( dx ■+ { Ty d 2x/dy2 22 En el problema 9 se brindan más detalles. La evoluta La evoluta de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura de la curva dada (problemas 11 y ■2). PROBLEMAS RESUELTOS 1. Encuentre d x en P(x, y) en la parábola y = 3x2. 2. D e te rm in e d y y dy en P(x, y) e n la e lip s e x2 + 4y2 = 8. C o m o 2x + 8y d y - 0 , - —-p- y ^ - —— . E n to n c e s ,J dx dx 4 y J dy x ■.2 1 + (d i ) - 1 + x2 - x2 + 16y2 - 32 — 3x2 dS - Í32 — 3x2 ^dx ) 16y2 16 y2 32 — 4x2 y dx \2 32 — 4x2 * dx V 32 — 4x2 1 + (# ) - 1 + ^ - x2 • |6r y # - l 2 —^ ^dy ) x2 x2 2 — y2 y dy y 2 — y2 ds3. Halle en P(x, y) en la curva x = sec 0 y y = tan 0. dS) = ^ ( dà ) + ( % ) sec2 ^ ta n 2 6 + sec4 6 = isec0i-\/tan20 + sec20 www.FreeLibros.me
  • -^ 311^ 4. L a s c o o r d e n a d a s (x, y) e n p ie s d e u n a p a r t íc u la m ó v il P e s tá n d a d a s p o r x = c o s t - 1 y y = 2 se n t + 1 , d o n d e t e s e l t ie m p o e n s e g u n d o s . ¿ A q u é v e lo c id a d s e m u e v e P a lo la rg o d e la c u r v a c u a n d o a) t = 5^/6, b) t = 5^/3, c) P se d e s p la z a a su v e lo c id a d m á x im a y a su v e lo c id a d m ín im a ? t - J í f H f Í - * n 21 + 4 cos21 -J T + T c a ) C u a n d o t = ó 5tc b ) C u a n d o t = — = . U + 3dt / \ 3 4V y = ^ T3 p ie s/ s . ds d t = ‘11 + 3 ' i ' 4V y 4 P„ , , c) S e a S _ ^ _y¡ 1 + 3 c o s 2 1 . E n to n c e s , d - _ 3 C ° S t s e n t . A l d e s p e ja r d " _ 0 s e t ie n e n lo s n ú m e ro s c r ít ic o sdt t = O, n/2, n y 3n/2. C u a n d o t = 0 y ^, la v e lo c id a d d -^ _ V 1 + 3 ( 1 ) _ 2 ■ p ies/s e s m á x im a . C u a n d o t = n/2 y 3^/2, la v e lo c id a d ds _ V 1 + 3 (0 ) _ 1 p ies/s e s m ín im a . L a c u r v a s e m u e stra e n la fig u r a 38.4. 5. D e te r m in e la c u rv a tu ra d e la p a r á b o la y2 = 12x e n lo s p u n to s: a) (3 , 6); b) (-f , - 3 ) ; c) (0, 0). h =ó. dx y ’ ó dy^r~ = ó ; entonces, 1 + 1 ^ - 1 = 1 + y 4-4- = —ór ^ L = -^^ ^ 1 ^ 1 •‘’2 ^ dx2 y2 dx y3 dy d 2y - 1/6 •J2a) E n (3 , ó): 1 + | i X | = 2 y -JL = - t K = - ^ = ^ ^ r . dx 6 b) E n (^ - 3 ) : 1 + ( 'dtc"^ _ 5 y dx ’ _ 3 e n to n c e s , K _ c) E n (0, 0 ), Í L n o e stá d e fin id a . P e ro _ L _ 0 , 1 +(d x '\_ 1 , _ 1 y ; J dx dy 6 ’ ^dy) ’ dy2 6 ^ E n c u e n tre la c u rv a tu ra d e la c ic lo id e x = n - se n 0 y y = 1 - c o s 0 e n e l p u n to m á s a lto d e u n a rco ( fig . 3 8 .5 ). 2 3 24 4 / 3 = 4 yß 5 3/2 2 7 5 K = - i 2 2 y X Fig. 38 .5 CA PÍTU LO 38 C urvatura www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 38 Curvatura P a ra d e te rm in a r e l p u n to m á s a lto en e l in te rv a lo 0 < x < 2k, dy/dO = se n 0, d e m a n e ra q u e e l v a lo r c r ít ic o e n e l in te rv a lo e s x = n. C o m o d 2y/d 0 2 = c o s 0 < 0 c u a n d o 0 = n, e l p u n to 0 = n e s u n p u n to m á x im o r e la t iv o y c o n s t itu y e e l p u n to m á s a lto d e la c u r v a en e l in te rv a lo . P a ra h a lla r la c u rv a tu ra , 4 ^ = 1 - c o s 0 , dd = sen # ,dd dy_ = se n 0 dx 1 - c o s 0 ’ d2y = d / sen0 \ dd = _ 1 dx2 d0\ 1 - cos0/ dx (1 - cos0)2 En 0 = n, d , = 0 , ^ 4 = - 1 y K = _■.dx dx2 4 J 4 7. E n c u e n tre la c u rv a tu ra d e la c is o id e y 2(2 - x ) = x 3 e n e l p u n to ( 1 , 1) ( fig . 3 8 .6). Fig. 3 8 .6 A l d e r iv a r im p líc ita m e n te la e c u a c ió n d a d a re s p e c to a x s e o b tie n e - y 2 + (2 - x ) 2 y y ' = 3 x 2 y - 2yy' + (2 - x)2yy" + (2 - x )2 ( y ') 2 - 2 y y ' = 6x ( 1 ) (2) D e ( 1 ) , p a ra x = y = 1, - 1 + 2 y ' = 3 y y' = 2. D e fo r m a se m e ja n te , d e (2 ), p a ra x = y = 1 y y' = 2, s e t ie n e q u e y'' = 3. E n to n c e s , K = 3 / (1 + 4 ) 3/2 = 3 ^ / 2 5 . x 8. E n c u e n tre e l p u n to d e m á x im a c u rv a tu ra e n la c u rv a y = ln x . dy =1 y d y =__ E n to n c e s K = — x y dK = 2 x 2 — 1 dx x y dx2 x 2 . , (1 + x 2)3/2 dx (1 + x 2) 5/2 E l v a lo r c r ít ic o e s , p o r tan to , x = - ^ . E l p u n to r e q u e r id o e s ^ ^ , _ . 9. E s t a b le z c a la s c o o r d e n a d a s d e l c e n tro d e c u r v a tu r a C d e la c u r v a y = f(x) en u n p u n to P ( x , y ) , d o n d e y' ^ 0 ( f ig . 3 8 .3 ). E l c e n tro d e c u rv a tu ra C ( a , fi) q u ed a : ( 1 ) e n la r e c ta n o rm a l en P y (2) a u n a d is ta n c ia R d e P m e d id a h a c ia e l la d o c ó n c a v o d e la c u rv a . C o n e s ta s c o n d ic io n e s se o b tie n e n , r e s p e c tiv a m e n te , P - y = - ^ ( a - x ) y ( a - x) 2 + ( f i - y) 2 = R 2 = D e la p r im e ra , a - x = -y'(P - y ) . A l su stitu ir en la s e g u n d a se o b tie n e (P~ y)2[1 + (y' ) 2l = [1 "^ y^ )2 ] y , p o r tan to , p - y = ± 1 +y , ) www.FreeLibros.me
  • -^ 313^ P a ra d e te rm in a r e l s ig n o c o r r e c to , n ó te s e q u e c u a n d o la c u r v a e s c ó n c a v a h a c ia a rrib a , y" > 0, y c o m o C e s tá p o r e n c im a d e P, ¡5 - y > 0. E n to n c e s , e l s ig n o a p ro p ia d o en e s te c a s o e s +. (D e m u e s tre q u e e l s ig n o ta m b ié n e s + c u a n d o y" < 0 .) E n to n c e s , P = y + ^ y a = X - y'[1 + (y')2]y" y 10. D e te rm in e la e c u a c ió n d e l c ír c u lo d e c u rv a tu ra d e 2 x y + x + y = 4 e n e l p u n to ( 1 , 1). A l d e r iv a r se o b t ie n e 2 y + 2 x y ' + 1 + y' = 0. E n ( 1 , 1 ) , y' = - 1 y 1 + ( y ) = 2. A l d e r iv a r d e n u e v o se o b tie n e 4 y ' + 2 x y '' + y" = 0. E n ( 1 , 1 ) , y" = f . E n to n c e s , K = 4/3 R=3^ 2 a = 1 = 5, f = 1 + . 2 = 52 j 2 ' “ 2 1 “ ‘ 4/3 2 ' H ‘ 4/3 2 L a e c u a c ió n r e q u e r id a e s (x - a )2 + (y - £¡)2 = R2 o (x - f )2 + (y - -f)2 = 2 . 11. D e te r m in e la e c u a c ió n d e la e v o lu ta d e la p a r á b o la y2 = 1 2 X. E n P (x , y): dy = 6 i + í d i ) 2 = i + 36 =! + 1 =- 36 = V3 dx y j X ' l dx) 1 + y2 1 + x , dx2 y3 2x 3/2 E n to n c e s ■J3Jx (1 + 3/c) ^ V 3 ( x + 3) „ ,a = x — ¡=>— = x + V — ¿ = 3 x + 6—s/3/2x V3 P = y + 1 + 36/y2 _ y3 + 3 6y _ y3 -3 6 / y 3 ■ = y 36 36 L a s e c u a c io n e s a = 3x + 6 y P = - y3/36 p u e d e n c o n s id e r a r s e e c u a c io n e s p a ra m é tr ic a s d e la e v o lu ta c o n x y y, l ig a d a s p o r la e c u a c ió n d e la p a rá b o la , c o m o p a rá m e tro s . S in e m b a rg o , e s r e la tiv a m e n te s e n c illo e lim in a r lo s p a rá m e tro s . A s í , x = (a - 6)/3 y y = - ^ 3 6 j8, y a l su stitu ir e n la e c u a c ió n d e la p a rá b o la q u ed a ( 3 6 P )2/3 = 4 ( a - 6) o 8 1 P 2 = 4 ( a - 6 ) 3 E n la f ig u r a 3 8 .7 s e p r e s e n ta n la p a r á b o la y su e v o lu ta . y y Fig. 38.7 CA PÍTU LO 38 C urvatura www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 38 Curvatura 12. D e te r m in e la e c u a c ió n d e la e v o lu ta d e la c u r v a x = c o s 0 + 0 se n 0, y = sen 0 - 0 c o s 0. E n P ( x , y): =tìcostì, = tìsentì, ^ = tantì, = QeC a :dQ dQ dx dx2 tìcostì E n to n c e s a = x - tan 3^sec. ® = x -tìsentì = costì (sec3 tì)/tì P = y + / S&cJ?/a = y + tì costì = sentì r J (sec3tì)/tì 7 y a = c o s 0, ¡5 = se n 0 so n e c u a c io n e s p a ra m é tr ic a s d e la e v o lu ta ( fig . 38 .8 ). Fig. 3 8 .8 13. C o m p r u e b e la fó r m u la (3 8 .1 ) tan T e s la p e n d ie n te d e la re c ta ta n g e n te y , p o r tan to , E n c o n s e c u e n c ia , d =tanT Entonces d í é l ) = d í ¿¿ Y dT dx - tanT. Entonces, ds l dx j dT [ dx j ds _d_ ( dy_). dx = 2 T . dì. dx I dx ds ds E s to d a d 2y dx2 1 i +' f dT ds ’ d e d o n d e dT ds d 2y dx2 i +' i y y x 2 2 2 sec3 tì tì www.FreeLibros.me
  • -^ 315^ PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS E n lo s p r o b le m a s 1 4 a 16 , h a lle -4^ y .dx dy 14. x 2 + y 2 = 25 15. y 2 = x 3 16. x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 dsE n lo s p r o b le m a s 1 7 a 18 , e n c u e n tre ■ 17. 6 xy = x 4 + 3 ds 5 ds ■y2 Respuesta: = t"n/4 + 9 x , 4 ^ - ^ —dx dsRespuesta: d x = (a/x ) 1/3, -d^ - j dy 3y1/3 j 1/3 ^ _ l y , r , ds x 4 + 1Respuesta: — 2 x 2 18. 2 7 a y 2 = 4 ( x - a ) 3 E n lo s p r o b le m a s 19 a 2 2 , e n c u e n tre d - . 19. x = t2, y = t3 Respuesta: — V ( x + 2 a ) / 3 a Respuesta: tsj 4 + 9 t 2 20. x = 2 c o s t, y = 3 se n t Respuesta: 4 + 5 c o s 21 21. x = c o s t, y = se n t Respuesta: 1 22. x = c o s 3 t, y = se n 3 t Respuesta: - |s e n 2 t 23. H a lle la c u rv a tu ra d e c a d a c u r v a e n lo s p u n to s d ad os: a) y = x 3/3 e n x = 0, x = 1 , x = - 2 b ) x 2 = 4 a y e n x = 0, x = 2a c) y = sen x e n x = 0, x = n d) y = e~x e n x = 0 Respuestas: a) 0 , V 2 / 2 , -4 > / T 7 / 2 8 9 ; b ) 1/2a , V 2 / 8 a ; c ) 0, - 1 ; d) - 2 24. D e m u e s tr e : a ) q u e la c u rv a tu ra d e u n a lín e a r e c ta e s 0; b ) q u e la c u rv a tu ra d e u n c ír c u lo e s n u m é ric a m e n te e l r e c íp r o c o d e su ra d io . 25. D e te r m in e lo s p u n to s d e m á x im a c u rv a tu ra d e a) y = e1; b ) y = 1 x 3 Respuesta: a) x = - y ln 2; b ) x = -^ /j 26. H a lle e l r a d io d e la c u rv a tu ra de a) x 3 + x y 2 - 6 y 2 = 0 e n (3 , 3). b) x = 2a tan 0, y = a ta n 2 0 e n (x, y ) . c) x = a c o s 4 0, y = a se n 4 0 en (x , y). Respuestas: a) 5*j5 ; b) 2a |sec3 0|; c) 2a(sen4 0 + cos4 0)3/2 CA PÍTU LO 38 C urvatura www.FreeLibros.me
  • ^ 3 16^ 27. D e te r m in e e l ce n tro d e la c u rv a tu ra d e a ) p r o b le m a 2 6 a ); b) y = se n x e n u n p u n to m á x im o . Respuestas: a) C ( - 7 8 ); b ) C(f-0) 28. E n c u e n tre la e c u a c ió n d e l c ír c u lo d e c u rv a tu ra d e la p a r á b o la y 2 = 1 2 x en lo s p u n to s (0, 0) y (3 , 6). Respuesta: (x - 6)2 + y 2 = 3 6 ; (x - 1 5 )2 + (y + 6 )2 = 288 29. D e te rm in e la e c u a c ió n d e l c ír c u lo d e la e v o lu ta d e a) b2x2 + a2y2 = a 2b 2; b ) x 2/3 + y 2/3 + a 2/3; c ) x = 2 c o s t + c o s 2t, y = 2 se n t + se n 2t. Respuestas: a) (a a )2/3 + (b £¡)2/3 = (a 2 - b 2)2/3; b ) ( a + £¡)2/3 + (a - £¡)2/3 = 2a 2/3; c) a = y(2cost- cos2t) , P= _^(2sent- sen2t) __________ CAPÍTULO 38 Curvatura www.FreeLibros.me
  • Vectores en un plano Escalares y vectores Cantidades como el tiempo, la temperatura y la rapidez, que tienen sólo magnitud, se denominan escalares. Por otra parte, cantidades como la fuerza, la velocidad y la aceleración, que tienen tanto magnitud como dirección, se denominan vectores. Los vectores se representan geométricamente por segmentos de recta dirigidos (flechas). La dirección de la flecha (el ángulo que forma con alguna recta dirigida fija en el plano) es la del vector, y la longitud de la flecha representa la magnitud del vector. Los escalares se denotarán con letras, a, b, c,... en tipo ordinario; los vectores se simbolizarán con letras en negritas a, b, c..., o mediante una expresión OP [donde se considera que el vector va de O a P [fig. 39.1a)]. La magnitud (longitud) de un vector a u OP se representa por lal o por lOPI. Dos vectores a y b son iguales (lo que se escribe a = b) si tienen la misma dirección y magnitud. Un vector cuya magnitud es la de a, pero cuya dirección es opuesta a la de a, se denomina negativo de a y se representa como - a [fig. 39.1a)]. Si a es un vector y k es un escalar positivo, entonces ka se define como un vector cuya dirección es la de a y cuya magnitud es k veces la de a. Si k es un escalar negativo, entonces ka tiene dirección opuesta a la de a y su magnitud es Ikl veces la de a. También se considera que un vector cero 0 con magnitud 0 y sin dirección se define - 0 = 0, 0a = 0 y k0 = 0. A menos que se indique de otro modo, un vector dado carece de una posición fija en el plano, por lo que puede moverse en desplazamiento paralelo como se desee. En particular, si a y b son dos vectores [figura 39.1b)], pueden colocarse de manera que tengan un punto inicial o final común P [figura 39.1c)] o de forma que el punto inicial de b coincida con el punto terminal o extremo de a [figura 39.1d)]. (a) (b) (c) (d) Fig. 3 9 .1 BP B A P Suma y diferencia de dos vectores Si a y b son los vectores de la figura 39.1b), su suma a + b se obtiene de cualquiera de estas dos formas, ambas equivalentes: 1. Trazando los vectores como en la figura 39.1c) y completando el paralelogramo PAQB de la figura 39.2a). El vector PQ es la suma requerida. 2. Trazando los vectores como en la figura 39.1d) y completando el triángulo PAB de la figura 39.2b). Ahí el vector PB es la suma requerida. De la figura 39.2b) se deduce que es posible desplazar tres vectores para formar un triángulo, siempre que uno de ellos sea la suma o el negativo de la suma de los otros dos. www.FreeLibros.me
  • ^ 3 18^ CAPÍTULO 39 Vectores en un plano (a) (b) (c) (d) Fig. 39.2 Si a y b son los vectores de la figura 39.1b), su diferencia a - b se halla por cualquiera de estas dos formas equivalentes: 1. De la relación a - b = a + (-b) como en la figura 39.2c). 2. Trazando los vectores como en la figura 39.1c) y completando el triángulo. En la figura 39.2d), el vector BA = a - b. Si a, b y c son vectores, las leyes siguientes son válidas: a + b = b + aPropiedad (39.1) (ley conmutativa) Propiedad (39.2) (ley asociativa) Propiedad (39.3) (ley distributiva) a + (b + c) = (a + b) + c k(a + b) = ka + kb Véase los problemas 1 a 4. BQ A P P P Componentes de un vector En la figura 39.3a), sea a = PQ un vector y sean PM y PN otras dos rectas cualesquiera dirigidas hasta P. Se construye el paralelogramo PAQB. Entonces a = PA + PB y se dice que a se ha resuelto en las direcciones P M y PN. PA y PB se llamarán las componentes de un vector de a en el par de direcciones PM y PN . Considérese el siguiente vector a en un sistema de coordenadas rectangulares [figura 39.3b)], que tiene las mismas unidades de medida en los dos ejes. Se representa con i el vector que va de (0, 0) a (1, 0) y con j el vector que va de (0, 0) a (0, 1). La dirección de i es la del eje positivo x y la de j es la del eje positivo y, y ambos son vectores unitarios, es decir, vectores de magnitud 1. Desde el punto inicial P y el punto terminal Q de a se trazan las perpendiculares al eje x, que lo cortan en M y N, respectivamente, y al eje y, que lo cortan en S y T, respectivamente. Ahora, M N = aji, cuando aj positivo, y ST = a2j, con a2 negativo. Entonces: MN = RQ = a1i, ST = PR = a2j, y a = ají + a2j (39.1) (b) Fig. 39.3 www.FreeLibros.me
  • -^ 319^ Sean a 1i y a 2j las componentes vectoriales de a.* Los escalares a 1 y a2 se denom inarán componentes escala­ res (o componentes x y componentes y o, sim plem ente, componentes) de a. N ótese que 0 = 0i + 0j. L a dirección de a está dada por el ángulo 9, con 0 < 9 < 2rc, m edido en sentido contrario al de las m anecillas del reloj desde el eje x positivo hasta el vector. Entonces, lal = Va2 + a2 (39.2) y tan # = O - (39.3) con el cuadrante de 9 determ inado por a 1 = lal cos 9, a2 = lal sen 9 Si a = a 1i + aj y b = b1i + b2j, entonces se cum ple lo siguiente: Propiedad (39.4) a = b si y sólo si a 1 = b 1 y a 2 = b2 Propiedad (39.5) ka = ka1i + kaj Propiedad (39.6) a + b = (a1 + b 1)i + (a2 + b2)j Propiedad (39.7) a - b = (a1 - b 1)i + (a2 - b2)j Producto escalar (o producto punto) El producto escalar (o producto punto) de vectores a y b está definido por a x b = lallbl cos 9 (39.4) donde 9 es el ángulo m ás pequeño entre dos vectores cuando se trazan con un punto inicial com ún (fig. 39.4). También se define: a x 0 = 0 x a = 0. B Fig. 3 9 .4 A partir de las definiciones es posible Propiedad (39.8) ( ley conmutativa) Propiedad (39.9) Propiedad (39.10) Propiedad (39.11) Propiedad (39.12) Propiedad (39.13) ( ley distributiva) Propiedad (39.14) dem ostrar las propiedades siguientes del producto escalar: a x b = b x a a x a = lal2 y |a| = V a • a a x b = 0 si y sólo si (a = 0 o b = 0 o a es perpendicular a b) i x i = j x j = 1 y i x j = 0 a x b = (a ji + aj ) x (b ji + bj ) = a lb l + a2b2 a x (b + c) = a x b + a x c (a + b) x (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d * No es necesario indicar un par de direcciones (como OM y OT), ya que quedan determinadas por el sistema de coordenadas. CA PÍTU LO 39 Vectores en un plano www.FreeLibros.me
  • ^ 3 20^ CAPÍTULO 39 Vectores en un plano Proyecciones escalar y vectorial En la ecuación (39.1), el escalar a1 se denomina proyección escalar de a sobre cualquier vector cuya dirección sea la del eje x positivo, en tanto que el vector a1i es la proyección vectorial de a sobre cualquier vector cuya dirección sea la del eje x positivo. En general, para cualquier vector b no cero y cualquier vector a , se define a . como la proyección escalar de a en b , y (a . |b | j|b | como la proyección vectorial de a en b (repase el|b| bproblema 7). Nótese que cuando b tiene la dirección del eje x positivo, jby = i. Propiedad (39.15) a x b es el producto de la longitud de a y la proyección escalar de b en a . De igual forma, a x b es el producto de la longitud de b y la proyección escalar de a en b (fig. 39.5). Derivación de funciones vectoriales Considere que la curva de la figura 39.6 se define por las ecuaciones paramétricas x = f(u) y y = g(u). El vector r = xi + yj = f(u ) i + g(u)j que une el origen al punto P(x, y) de la curva se denomina vector de posición o radio vector de P. Es una función de u. [De aquí en adelante, utilizaremos la letra r exclusivamente para los vectores de posición. Así, a = 3i + 4j es el vector “libre”, mientras que r = 3i + 4j es el vector que une el origen con P(3, 4).] La derivada de la función r respecto a u se define como lím r(u +Au)—ru . du Au^0 Au El cálculo directo da: dr = dx . dy . du = du 1 du j (39.5) Sea s la longitud de arco medida desde un punto fijo P0 de la curva de manera que s aumenta con u. Si r es el ángulo que forma - u con el eje x positivo, entonces tanr= ( | / ( | = = la pendiente de la curva en P\ du ) \ du I dx ^ y x Fig. 39 .6 www.FreeLibros.me
  • -^ 321^ Además, dU es un vector de magnitud ds du (39.6) cuya dirección es la de la tangente a la curva en P. Es usual representar este vector con P como su punto ini­ cial. Si ahora la variable escalar u se toma como la longitud de arco i, entonces la ecuación (39.5) se vuelve t = dr = dx i dy j = ds = ds 1 + ds j (39.7) , lo que resulta igual a 1. Entonces,La dirección de t es r, mientras que su magnitud es t = dr/di es un vector tangente unitario a la curva en P. Así, t es un vector unitario, t y dt/di son perpendiculares (problema 10). Se representa con n un vector unita­ rio en P que tiene la dirección dt/di. Cuando P se mueve a lo largo de la curva que se muestra en la figura 39.7, la magnitud t permanece constante; por tanto, dt/di mide la razón de cambio de la dirección de t. Entonces, la magnitud de dt/di en P es el valor absoluto de la curvatura en P, es decir, idt/dii = ÍZi, y dt ~ r = IKI nds (39.8) PROBLEMAS RESUELTOS 1. Compruebe que a + b = b + a. De la figura 39.8, a + b = PQ = b + a. Fig. 3 9 .8 Q 2. Compruebe que (a + b) + c = a + (b + c). De la figura 39.9, PC = PB + BC = (a + b) + c. También PC = PA + AC = a + (b + c). CA PÍTU LO 39 Vectores en un plano www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 39 Vectores en un plano Fig. 3 9 .9 3. S e a n a , b y c tres v e c to r e s q u e c o m ie n z a n d e s d e P ta le s q u e su s p u n to s f in a le s , A , B y C, q u e d a n en u n a re cta , c o m o se m u e stra e n la fig u r a 3 9 .10 . S i C b is e c a a BA en la r a zó n x:y, d o n d e x + y = 1, d em u e stre q u e c = xa + yb . O b s e r v e q u e c = PB + B C = b + x(a - b ) = xa + (1 - x)b = xa + yb C o m o e je m p lo , s i C b is e c a a BA, e n to n c e s c = y (a + b ) y B C = -j(a - b ) . Fig. 3 9 .1 0 4. D e m u e s tr e q u e la s d ia g o n a le s d e u n p a r a le lo g r a m o se b is e c a n e n tre sí. S e a n la s d ia g o n a le s q u e s e in te rs e c a n e n Q c o m o se m u e stra e n la fig u r a 3 9 .1 1 . C o m o PB = P Q + Q B = P Q - B Q , h a y n ú m e ro s p o s it iv o s x y y ta le s q u e b = x(a + b ) - y(a - b ) = (x - y)a + (x + y)b . E n to n c e s , x + y : 1 y x - y = 0. P o r tan to , x = y = -j , y Q e s e l p u n to m e d io d e c a d a d ia g o n a l. Fig. 3 9 .1 1 5. P a ra lo s v e c to r e s a = 3i + 4j y b = 2i - j , d e te rm in e la m a g n itu d y la d ir e c c ió n d e a ) a y b ; b ) a + b ; c ) b - a . a) P a ra a = 3 i + 4j : la l = ^a l + a2 = sj3 2 + 4 2 = 5 ; ta n 0 = a 2/a1=^3 y c o s 0 = a 1/la l = -f ; e n to n c e s , 0 e s un á n g u lo d e l p r im e r c u a d ra n te y e s 5 3 ° 8 ’ . P a ra b = 2 i - j : Ib l = V4 + 1 = > /f; ta n 0 = - ±- y c o s 0 = 2 />/f ; 0 = 360 ° - 2 6° 3 4 ’ = 3 3 3 ° 2 6 ’ . C B A C A www.FreeLibros.me
  • b) a + b = (3i + 4j ) + (2i - j ) = 5i + 3j . Entonces, la + b l = V52 + 32 = >/34. Como tan0 = y cosfl =354, 0 = 30° 58'. c) b - a = (2i - j ) - (3i + 4j ) = - i - 5j . Entonces, Ib - a l = V26. Como tan 0= 5 y cos0 = -1/V26, 0 = 258° 41'. 6. Demuestre que la mediana a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base (fig. 39-12, donde la l = Ib l). ------------- ^ 323^ Del problema 3, como m biseca la base, m = 1 (a + b) . Entonces, m • (b - a ) = y (a + b) • (b - a) = 2 (a • b - a • a + b • b - b • a ) = -y (b • b - a • a) = 0 Por tanto, la mediana es perpendicular a la base. 7. Si b es un vector no cero, descompón un vector a en componentes a 1 y a 2, paralelo y perpendicular, respectivamente, a b . En la figura 39.13 se tiene que a = a 1 + a2, a 1 = cb y a 2 x b = 0. Por tanto, a2 = a - a 1 = a - cb . Además, a • ba 2 x b = (a - cb ) x b = a x b - clb l2 = 0, donde c = ^ 2 . Entonces, a i = cb = i ^ b y a 2 = a - cb = a - ^ b El escalar a • es la proyección escalar de a en b . El vector la • vjb-j es la proyección vectorial de a en b . 8. Descomponga a = 4i + 3j en las componentes a 1 y a 2, paralela y perpendicular, respectivamente, a b = 3i + j . Del problema 7, c = = 12i+ 3 = ■j. Entonces, ai = cb = ^ + f. j y a 2 = a - a 1 =- ^ + f j CA PÍTU LO 39 Vectores en un plano www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 39 Vectores en un plano 9. Si a = f 1(u)i + /2(u)j y b = g1(u)i + ^ 2(u)j, muestre que j u (a ' b) = j u ' b + a ' l u ' Por la propiedad 39.12, a x b = f1(u)i + f2(u)j) x (g1(u)i + g2(u)j) = 1 + f g - Entonces, d (a . b) = f g + fd g L + f g + f dgi.d« ( du g1 f1 du du g2 f 2 du = f# g + df2g l + í f ^ + f ^y du g1 du g2) f du f2 dw =( "dur1+d r •>) (g1i+g 2j ) + + j ) - ( I t 1+| f j) =d a .b +a .dbdu du d a10. Si a = f1(u)i + f2(u)j es de magnitud constante diferente de cero, muestra que a • = 0 y, por tanto, cuando no es cero, a y son perpendiculares. du du Sea lal = c. Entonces, a x a = c2. Por el problema 9, d (a • a ) = d a ' a + a ' d T = 2 a ' d T = 0 du du du du E n to n c e s , a • 4 a = 0 . du 11. D a d o r = ( c o s 2 0)i + (se n 2 0)j , p a ra 0 < 0 < n/2, h a lle t . P u e s to q u e d c o s 20 = - 2 c o s 0 s e n 0 = - s e n 2 0 y -d|^sen2 0 = 2 s e n 6 c o s 6 = sen 26, la e c u a c ió n (3 9 .5 ) d a = - ( s e n 2 0 ) i + (s e n 2 0 ) j E n c o n s e c u e n c ia , p o r la e c u a c ió n (39 .6 ) ds dr d r dr dd dd V dd dd p o r la p r o p ie d a d 3 9 .1 2 . E n to n c e s , t _ d r _ d r dtì = ___L_ i + ; ds dtì ds ^ 2 V 2 J . 12. D a d o x = a c o s 3 0, y = a sen3 0, 0 < 0 < n/2, h a lle t y n c u a n d o 0 = k /4. S e t ie n e q u e r = a ( c o s 3 0)i + a (s e n 3 0)j . E n to n c e s , = - 3 a ( c o s 2 0 )(sen0 ) i + 3 a ( s e n 2 0 ) ( c o s 0 ) j y = = 3a s e n t ìc o s t ì P or tanto, 1= § = n = -(costì)i+(sentì)j y § = ((sentì)i+(costì)j) f 1 1 3a c o s t ì I + 3 a sentì-* www.FreeLibros.me
  • -^ 325^ E n 0 = n/4, t = — ^ i- 72 i72 J d t _ V2 i d i 3a 7 2 ; 3 a jJ ^ i _ 3 a _ L dt i£I ds' 72 72 ' 13. D e m u e s tr e q u e e l v e c to r a = a i + bj e s p e r p e n d ic u la r a la r e c ta ax + by + c = 0. S e a n P ^ , y j y P 2(x2, y 2) d o s p u n to s d is tin to s so b re la re c ta . E n to n c e s , a x j + byj + c = 0 y a x 2 + by2 + c = 0. A l re sta r la p r im e ra y la s e g u n d a s e o b tie n e a(x2 - x j) + b(y2 - y j) = 0 (1 ) A h o r a a ( x 2 - x j) + b(y2 - y j) = (a i + bj ) x [ f e - x j) i + (y2 - y j) j ] = a x P jP 2 P o r ( j ) , e l la d o iz q u ie r d o e s c e ro . E n to n c e s , a e s p e r p e n d ic u la r (n o rm a l) a la recta . 14. U s e m é to d o s v e c to r ia le s p a ra h allar: a) L a e c u a c ió n d e la re c ta q u e p a s a p o r P j(2 , 3) y e s p e r p e n d ic u la r a la re c ta x + 2 y + 5 = 0. b) L a e c u a c ió n d e la r e c ta q u e p a s a p o r P j(2 , 3) y P 2(5 , - j .) . T o m e P ( x , y ) c o m o o tro p u n to e n la r e c ta re q u er id a . a) P o r e l p r o b le m a j 3 , e l v e c to r a = i + 2j e s n o rm a l a la r e c ta x + 2 y + 5 = 0. E n to n c e s P jP = (x - 2 )i + (y - 3)j e s p a r a le la a a si (x - 2 )i + (y - 3)j = k(i + 2j ) p a ra a lg ú n k e sc a la r . A l ig u a la r lo s c o m p o n e n te s s e o b t ie n e x - 2 = k y y - 3 = 2k. S i se e lim in a k , se t ie n e la e c u a c ió n re q u e r id a y - 3 = 2 (x - 2 ), o e l e q u iv a le n te , 2x - y - j = 0. b) S e t ie n e P jP = (x - 2 )i + (y - 3)j y P jP 2 = 3i - 4 j . A h o r a a = 4 i + 3j es p e r p e n d ic u la r a P jP 2 y, p o r tan to , a P jP E n to n c e s , 0 = a x P jP = (4 i + 3j ) x [(x - 2 )i + (y - 3)j ] y , d e fo r m a e q u iv a le n te , 4 x + 3 y - j 7 = 0. 15. E m p le e m é to d o s v e c to r ia le s p a ra h a lla r la d is ta n c ia d e l p u n to P j(2 , 3) d e s d e la r e c ta 3 x + 4 y - j 2 = 0. E n u n p u n to c o n v e n ie n te so b re la re c ta , c o m o A ( 4 , 0 ), se c o n s tr u y e e l v e c to r a = 3 i + 4 j p e r p e n d ic u la r a la re c ta . L a d is ta n c ia r e q u e r id a e s d = IA P ji c o s 0 en la fig u r a 3 9 T 4 . A h o r a a x A P j = ia i IA P ji c o s 0 = ia id. P o r tan to , a • APj _ (3 i + 4 j ) • (—2 i + 3 j ) _ —6 + j 2 _ 6d _ ia i 5 5 5 16. E l trabajo re a liz a d o p o r u n a fu e r z a e x p r e s a d a c o m o v e c to r b a l m o v e r u n o b je to a lo la r g o d e l v e c to r a se d e f in e c o m o e l p r o d u c to d e m a g n itu d b en la d ir e c c ió n d e a y la d is ta n c ia q u e s e d e s p la z ó e l o b je to . H a lle e l tra b a jo re a liz a d o al m o v e r u n o b je to a lo la r g o d e l v e c to r a = 3i + 4j si la fu e r z a a p lic a d a e s b = 2 i + j . E l tra b a jo r e a liz a d o e s (m a g n itu d d e b en la d ir e c c ió n d e a ) x (d is ta n c ia m o v id a ) = (ib ico s 0) ia i = b x a = (2 i + j ) x (3 i + 4 j ) = !0 CA PÍTU LO 39 Vectores en un plano www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 39 Vectores en un plano PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 17. D a d o s lo s v e c to r e s a, b y c d e la fig u r a 3 9 .1 5 , c o n s tru y a : a ) 2a; b) - 3 b; c ) a + 2b; d) a + b - c ; e ) a - 2b + 3c. 18. D e m u e s tr e q u e la re c ta q u e u n e lo s p u n to s m e d io s d e d o s la d o s d e un tr iá n g u lo e s p a ra le la a la d e l te rc e r la d o y e q u iv a le a la m ita d d e su lo n g itu d ( fig . 3 9 .1 6 ) . 19. S i a, b, c, d so n la d o s c o n s e c u tiv o s d e u n c u a d rilá te ro ( f ig . 3 9 .1 7 ) , p r u e b e q u e a + b + c + d = 0 (Sugerencia: s e a n P y Q d o s v é r t ic e s n o c o n s e c u t iv o s .) E x p r e s e PQ d e d o s fo rm a s. Fig. 3 9 .1 5 20. D e m u e s tr e q u e si se u n en lo s p u n to s m e d io s d e lo s la d o s c o n s e c u t iv o s d e u n c u a d rilá te ro c u a lq u ie r a , e l c u a d rilá te ro re s u lta n te e s u n p a ra le lo g r a m o ( fig . 3 9 .1 8 ). Fig. 3 9 .1 8 21. U s e la fig u r a 3 9 .1 9 , d o n d e lal = Ibl e s e l r a d io d e un c ír c u lo y p r u e b e q u e e l á n g u lo in s c r ito e n u n s e m ic ír c u lo e s u n á n g u lo re c to . C ' -a p Fig. 3 9 .1 9 22. H a lle la lo n g itu d d e c a d a u n o d e lo s v e c to r e s s ig u ie n te s y e l á n g u lo q u e fo r m a n c o n e l e je x p o s itiv o : a) i + j; b ) - i + j; c ) i + yf3j ; d) i - >/3j Respuestas: a) >/2, Q = i n ; b ) ■J2, 6 = ^ ; c) 2, Q = ; d) 2, 6 = -y www.FreeLibros.me
  • ^ 327^ 23. D em uestre que si se obtiene u al girar el vector unitario i en sentido contrario al de las m anecillas del reloj en torno del origen hasta el ángulo 0, entonces u = i cos 0 + j sen 0. 24. A plique la ley de los cosenos en triángulos para obtener a • b = Ialibi cos 6 = y (ia l2 + ib!2 - Icl2). 25. Escriba cada uno de los vectores siguientes en la form a a i + bj: a) El vector que une el origen con P (2 , -3 ). b) El vector que une P ¡(2, 3) a P 2(4, 2). c) El vector que une P2(4, 2) a P1(2, 3). d) El vector unitario en la dirección de 3i + 4j. e) El vector con m agnitud 6 y dirección 120°. Respuestas: a) 2i - 3j; b) 2i - j ; c) - 2 i + j ; d) i + f j ; e) - 3 i + 3\¡3 j 26. A plique métodos vectoriales para deducir la fórm ula de la distancia entre P j(xj, y j y P 2(x2, y2). 27. D ados 0 (0 , 0), A(3, 1) y B(1, 5) como vértices del paralelogram o OAPB, halle las coordenadas de P. Respuesta: (4, 6) 28. a) D eterm ine k de form a que a = 3i + 2j y b = i + kj sean perpendiculares. b) Escriba un vector perpendicular a a = 2i + 5j. 29. D em uestre las propiedades (39.8) a (39.15). 30. D eterm ine la proyección vectorial y la proyección escalar de b en a, dado: a) a = i - 2j y b = -3 i + j ; b) a = 2i + 3j y b = 10i + 2j. Respuestas: a) - i + 2j, - ^ 5 ; b) 4i + 6j, 2 V U 31. D em uestre que tres vectores a , b , c, después de desplazam ientos paralelos, form arán un triángulo siem pre que: a) uno de ellos sea la sum a de los otros dos, o b) a + b + c = 0 . 32. Pruebe que a = 3i - 6j, b = 4i + 2j y c = -7 i + 4 j son los lados de un triángulo rectángulo. Com pruebe que: el punto m edio de la hipotenusa equidista de los vértices. 33. H alle el vector unitario tangente t = dr/ds, dado: a) r = 4i cos 0 + 4 j sen 0 ; b) r = e0i + e-ej; c) r = 0i + 02j. 34. a) D eterm ine n para la curva del problem a 33a); b) calcule n para la curva del problem a 33c); c) encuentre t y n dadas x = cos 0 + 0 sen 0 y y = sen 0 - 0 cos 0. Respuestas: a) - i sen 0 + j cos 0; b) efli - e flj , c) i + 26j -Je20 + e-2e ; V I + 4 0 2 Respuestas: a) = i cos 0 - j sen 0; b) - 26 i , 1VT+ 4 0 2" VT+ 4 0 2 j ; c) t = i cos 0 + j sen 0 , n = - i sen 0 + j cos 0 CA PÍTU LO 39 Vectores en un plano www.FreeLibros.me
  • Movimiento curvilíneo Velocidad en el movimiento curvilíneo Considere un punto P (x , y) que se mueve a lo largo de una curva con las ecuaciones x = f (t) y y = g(t), donde t es el tiempo. A l derivar el vector de posición se obtiene r = xi + yj respecto a t, se obtiene el vector velocidad d r d x , d y . V = d = d 1 + d j = ^ x1 + Vy j (40.1) (40.2) d x dy donde vx = d t y vy = d • La magnitud de v se denomina rapidez y está dada por | v | =yj v-v =,Jí dsv2 + v2 = d t La dirección de v en P está en la tangente a la curva en P, como se muestra en la figura 40.1. Si r representa la dirección de v (el ángulo entre v y el eje x positivo), entonces tan r= vy/ vx, y el cuadrante es determinado por vx = |v| cos r y vy = |v| sen r. Fig. 4 0 .1 Aceleración en el movimiento curvilíneo Al derivar (40.2) respecto a t se obtiene el vector de aceleración: d v d 2r d 2 x . d 2 y dt d t 2 W 1 + d 2 J - axl + ayj (40.3) ^ 328^ - y www.FreeLibros.me
  • -^ 329^ d 2x d2ydonde ax = y ay = -^ 2 • La magnitud de a se obtiene con La dirección 0 de a está dada por tan ^ = ay/ax, y el cuadrante es determinado por ax = |a| cos 0 y ay = |a| sen 0 (fig. 40.2). Componentes tangencial y normal de la aceleración Por la ecuación (39.7), v = dr = dr di = t ds ~ dt ~ ds d t ~ dt (40.4) Entonces, = dv = d2s d t ds = d2s d t í dsa = dt = dt2 + dt dt = d t2 + ds l dt = ‘ d s +K'n í Í (40.5) por (39.8). La ecuación (40.5) descompone el vector aceleración en P a lo largo de los vectores tangente y normal. Las componentes se llaman a1 y an, respectivamente, y para sus magnitudes se tiene que I a I = d 2 sd t2 , , 1 í ds \2 IvI2y I anl = R I dt ) = R donde R es el radio de curvatura de la curva P (fig. 40.3). a2 + a2~y ut T un ’ a2 = IaI2 - a2 En virtud de que l a l2 = a2 + a2 = a2t + an, se obtiene como segunda forma de determinar \an\. y X 2 2 CA PÍTU LO 40 M ovim iento curvilíneo www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 40 M ovim iento curvilíneo Fig. 4 0 .3 PROBLEMAS RESUELTOS 1. A n a l i c e e l m o v i m i e n t o d e s c r i t o p o r l a s e c u a c i o n e s x = c o s 2n t, y = 3 s e n 2nt. D e t e r m i n e l a m a g n i t u d y l a d i r e c c i ó n d e l o s v e c t o r e s d e v e l o c i d a d y a c e l e r a c i ó n c u a n d o a) t = £ ; b ) t = -f . E l m o v i m i e n t o e s a l o l a r g o d e l a e l i p s e 9 x2 + y 2 = 9 . C o m e n z a n d o ( e n t = 0 ) e n ( 1 , 0 ) , e l p u n t o e n m o v i m i e n t o r e c o r r e l a c u r v a e n s e n t i d o c o n t r a r i o a l d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j : r = x i + y j = ( c o s 2 n t ) i + ( 3 s e n 2 n t ) j d r v = = v X i + v y j = - ( 2 ^ s e n 2 n t ) i + (6n c o s 2n t ) j a = = a xi + ay j = - ( 4 ^ 2 c o s 2 ^ t ) i - ( 1 2 ^ 2s e n 2 ^ t ) j a ) E n t = -1: v = - y ¡ f n i + 3 ^ j y a = - 2 ^ 2i - 6 > / 3 ^ 2j | v i = V v T = V (- ^ n ) 2 + ( 3 n ) 2 = 2y/3n t a n T = y = - ^ c o s T =-pVx r= - 2 L u e g o , T = 1 2 0 ° . ia i = >/a“ a = y¡ (-2n2)2 + (- 6>/3n2)2 = 4-Jlri2 tanrn= — = 3 3^, co sffl= =-------\= * ax 'a | 2^ 7 E n t o n c e s , 0 = 2 5 9 ° 6 ’ . b ) E n t = i2: 5^ P o r t a n t o , T = 4 ^ . v = V3fli - 3^ j y a = 2n 2i + 6s¡3n 2 j iv i = 2 j3 n , tanr = ->/3cosT = -j ia i = 4 y [ ln 2, tan^ = 3>/3, cos^ = 2-Jl www.FreeLibros.me
  • Entonces, 0 = 79° 6'. -^ 331^ Fig. 4 0 .4 U n p u n to r e c o r r e e n se n tid o c o n tra r io al d e la s m a n e c illa s d e l re lo j e l c ír c u lo x 2 + y2 = 6 25 a v e lo c id a d |v| = 15 . H a lle T, |a|, y 0 en: a) e l p u n to (20 , 1 5 ) y b ) e l p u n to ( 5 , - 1 0 \ / 6 ) . A p o y e su la b o r e n la fig u r a 40 .4 . A l u t iliz a r la s e c u a c io n e s p a ra m é tr ic a s x = 2 5 c o s 0 y y = 2 5 se n 0 se tie n e q u e e n P(x, y): r = (2 5 c o s 0 )i + (2 5 sen 6 ) j v = d f = [ ( - 2 5 sen 0 )i + (2 5 c o s 0 )j ] ^ = ( - 1 5 s e n 0 ) i + 1 5 c o s 0 )j a = dVV = [(“ 15 c o s 0 ) i - (15 se n 0 )j ] d | = (- 9 c o s 0 ) i - (9 sen 0 )j dÑ 3y a q u e |v| = 15 e q u iv a le a u n a r a p id e z a n g u la r c o n s ta n te d e d L = 5 . a ) E n e l p u n to (20 , 1 5 ) , senfl = f y c o s # = y . A s í , v = - 9 i + 12 j , t a n r = - f , c o s T = - y . E n to n c es x = 1 2 6 o 5 2 ' a = - 3r i - f j , la l = 9, t a n ^ = f , c o s y . E n to n ces (p= 2 1 6 o 5 2 ' b) E n e l p u n to (5, - 1 0 > / ó ) , se n # = — 2 >/6 y c o s 0 = y . L u e g o , v = 6Vó i + 3 j , t a n T = Vó / 12 , c o s x = y-v/ó. E n to n c es t = 11o 3 2 ' a = - 9 i + 1 8 V 6 j , la l = 9 , t a n ^ = - 2 V ó , c o s (p= -y . E n to n c es (p=1 0 1 0 3 2 ' 3. Una partícula se mueve sobre el arco del primer cuadrante de x2 = 8y de manera que vy = 2. Halle |v |, T, |a | y 0 en el punto (4, 2). Al utilizar las ecuaciones paramétricas x = 40, y = 202, se tiene que d e . >d d .r = 4ei + 2e2j y v = 4 ^ i + 4^ jdt x CA PÍTU LO 40 M ovim iento curvilíneo www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 40 M ovim iento curvilíneo Como v = 4 d d r = 2 y se obtieney d t J dt 20 v = -§i + 2j y a ~ > En el punto (4, 2), Q = 1. Entonces, v = 2i + 2j , Iv l = 2>/2, tan T = 1, cosT = -2^2. Por tanto, x = \ n a = - i , la l = 1, tan^ = 0, c o s^ = - 1. Por ende y = K Determine las magnitudes de las componentes tangencial y normal de aceleración para el movimiento x = e‘ cos t y y = et sen t en cualquier instante t . Se tiene: r = x i + yj = (e t cos t)i + (e t sen t)j v = e t(cos t - sen t)i + e t (sen t + cos t)j a = - 2 e t (sen t)i + 2e t (cos t)j Entonces, |a | = 2et. También, = Ivl = 'I 2et y Iat I = =^¡2é . Finalmente,dt dt I an I = ^ I a I2 - a2t = y f í e t Una partícula se desplaza de izquierda a derecha a lo largo de la parábola y = x2 con rapidez constante 5. Determine la magnitud de las componentes tangencial y normal de la aceleración en (1, 1). Como la rapidez es constante I at I = (1 + (y 0 2)3/2 = 5n/5 d 2 s d t2 = 0 . En (1, 1), y' = 2x = 2 y y" = 2. El radio de curvatura en (1, 1) es, entonces, R = - I y " I 2 Por tanto, I anI = IR^ = 2>/5 . 6 . La fuerza centrífuga F (en libras) ejercida por una partícula en movimiento de peso W (en libras) en un punto de su trayectoria está dada por la ecuación F = W lanI. Halle la fuerza centrífuga ejercida por una partícula que pesa 5 libras en los extremos de los ejes mayor y menor cuando realiza la trayectoria elíptica x = 20 cos t, y = 15 sen t, con medidas en pies y segundos. Sea g = 32 pies/s2. En este caso se tiene: r = (20 cos t)i + (15 sen t)j v = (-20 sen t)i + (15 cos t)j a = -20(cos t)i - 15(sen t)j Entonces, % = Iv I = V400sen21 + 225 cos21 y = 175sen t cos 11 , — 1 t 1 — - r \j \j o v i l i 1 w ¡3 i y , o — 1------------------------------------------------------- dt d >/400 sen 21 + 2 2 5 c o s 21 En los extremos del eje mayor (t = 0 o t = K): d 2 sI a I = 20, I a. I = dt2 = 0, IanI = >/202 - 02 = 20 y F = ¡52(20) = f libras / n 3n \En los extremos del eje menor 11 = - f o t = - f ): |a| = 15, |at| = 0, |an| = 15 y F = -32(15) = ^ libras www.FreeLibros.me
  • -^ 333^ 7. Sean las ecuaciones del movimiento de un proyectil x = v0t cos y , y = v0t sen y — j g t2, donde v0 es la velocidad inicial, y es el ángulo de proyección, g = 32 pies/s2, y x y y están medidos en pies y t en segundos. Determine a) la ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares; b) el rango; c) el ángulo de proyección para el rango máximo, y d) la rapidez y la dirección del proyectil después de 5 segundos de vuelo si v0 = 500 pies/s y ¥ = 45° (fig. 40.5). a) Se despeja en la primera ecuación t = v cos y y se sustituye en la segunda: y = v0— x— s e n y - 1 g \ — x— | = x ta n w - 2gx 2—7 0 v0c o s y r 26 l v0c o s y ) r 2v jcos2^ b) Se despeja t en y = v01 sen y — y g t2 = 0 y se tiene t = 0 y t = (2v0 sen y)/g. Para la última, se obtiene Rango = x = v0co sy 2v0sen y v^sen 2 y g g ^ ^ , ■ dx 2v 2cos2w , c) Para que x sea un m áxim o, = — ^~g------- = 0 ; por tanto, cos 2 y = 0 y y = -4^ . d) Para v0 = 500 y y = -j -n , x = 250>/2t y y = 250\¡2t — 16t2 . Entonces, vx = 250>/2 y vy = 2 5 0 7 2 — 32t C uando t = 5, vx = 2 5 0 7 2 y vy = 2 5 0 7 2 —160 . Luego, ta n T = vy = 0.5475 . Entonces, t = 28° 4 2 ' y Iv l = ^ v ^ + vy; = 403 p ies/s 8. Un punto P se mueve en un círculo x = r cos f5, y = r sen ¡i, con rapidez constante v. Demuestre que si el radio vector de P se mueve con velocidad angular (O y aceleración angular a , a) v = rw, y b) a = r7ffl4 + a 2 . a) vx = - rse n ^ d d ^ = -r© senj3 y vy = r cosfi ^ = rn c o s fi Entonces, v = -\¡v 2 + vy2 = 7 ( r 2sen2 + r 2 cos2 f i ) a 2 = r® b) ax = d L = _ r® co s^d d f _ r senf i d - = ~ r a 2cosp ~ ra senfi dv , dpay = ~djtL = ~m senf i d r + r cosfíd - = - m 2 sen¡i+ ra cos Luego, a = ^ a2x + aj = 7 r 2(ffl4 + a2) = r7 ffl4 +a 2 y x CA PÍTU LO 40 M ovim iento curvilíneo www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 40 M ovim iento curvilíneo PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 9. D eterm ine la m agnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración en el instante t, dados: a) x = e', y = e2t - 4e t + 3; en t = 0 Respuesta: a) i vi _ -v/5, T = 296° 34'; |a| = 1, 0 = 0 b) x = 2 - t, y = 2t3 - t; en t = 1 Respuesta: b) ivi _ > /2 6 , T = 101° 19'; |a | = 12, -jK c) x = cos 3t, y = sen t; en t _ Respuesta: c) i v i _ >/5, T = 161° 34'; i a i_ -\/4 l, 0 = 353° 40 ' d) x = e ' cos t, y = e ' sen t; en t = 0 Respuesta: d) i vi _ V 2, X = -j ^ ; |a | = 2, y 10. U na partícula se m ueve sobre el arco del prim er cuadrante de la parábola y2 = 12x con vx = 15. H alle vy, |v| y % y ax, ay, |a |, y 0 en (3, 6). Respuesta: vy = 15, i vi _ 15>/2 , x = -jn ; ax = 0, ay = -75 /2 , |a | = 75/2, 0 = 3^/2 11. U na partícula se m ueve a lo largo de la curva y = x3/3 con vx = 2 en todo mom ento. H alle la m agnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración cuando x = 3. Respuesta: ivi _ 2>/82, t = 83° 4 0 ’; |a| = 24, q = - jn 12. U na partícula se m ueve alrededor de un círculo de 6 pies de radio a una rapidez constante de 4 pies/s. D eterm ine la m agnitud de su aceleración en cualquier posición. Respuesta: \a\ = 0, |a| = |an| = 8/3 pies/s2 13. D eterm ine la m agnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración, así com o las m agnitudes de las com ponentes tangencial y norm al de aceleración en el instante t, para el movimiento: a) x = 3t, y = 9t - 3t2; en t = 2 b) x = cos t + t sen t, y = sen t - t cos t; en t = j Respuestas: a) i vi _ 3>/2 , t = 7^ /4 ; |a| = 6, 0 = 3^/2; iat I _ ian I _ 3V 2 ; b) |v| = i , t = i ; iai ^ 7 2 , 0 = 102°18’; \ a \ = |a„| = j 14. U na partícula se m ueve a lo largo de la curva y _ -j-x2 — -4 de m anera que x _ - j t2, para t > 0. H alle vx, vy, |v| y T, ax, ay, |a| y 0; |a t| y |a„| cuando t = 1 . Respuesta: vx = 1, vy = 0, |v| = 1, T= 0; ax = 1, ay = 2, iai _ ->/5, 0 = 63°26’; |a t| = 1, |an| = 2 15. U na partícula se m ueve a lo largo de y = 2x - x2 con vx = 4 en todo mom ento. Calcule las m agnitudes de las com ponentes tangencial y norm al de aceleración en la posición a) ( 1 , 1) y b) (2, 0). Respuestas: a) |a t| = 0, |an| = 32; b) ia ti _ 64 / -\/5, i ani _ 32\/5 16. Si una partícula se m ueve en un círculo de acuerdo con las ecuaciones x = r cos w r, y = r sen w r, dem uestre que su rapidez es rar. 17. D e m u e s tr e q u e si u n a p a r t íc u la s e m u e v e c o n r a p id e z c o n s ta n te , e n to n c e s su s v e c to r e s v e lo c id a d y a c e le r a c ió n so n p e r p e n d ic u la r e s y re c íp r o c a m e n te p r u e b e q u e si su s v e c to r e s v e lo c id a d y a c e le r a c ió n so n p e rp e n d ic u la re s , e n to n c e s su r a p id e z e s co n stan te . www.FreeLibros.me
  • Coordenadas polares La posición de un punto P en un plano puede describirse por sus coordenadas (x, y) respecto de un sistema de coordenadas rectangulares. Su posición también puede determinarse al seleccionar un punto fijo O, especifi­ cando la distancia dirigida p = OP y el ángulo 0 que forma OP con una semirrecta fija OX (fig. 41.1). Éste es el sistema de coordenadas polares. El punto O se denomina polo y OX, eje polar. A cada par de números (p , 0) le corresponde un punto único. Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, (1, 0) y (1, 2p describe el mismo punto en el eje polar y a una distancia 1 del polo. Ese mismo punto también co­ rresponde a (-1, p). [Cuando p es negativo, el punto correspondiente a (p , 0) se obtiene de esta forma: el eje polar OX se gira 0 radianes (en sentido contrario al de las manecillas del reloj si 0 es positivo, y en el sentido de las manecillas si 0 es negativo) hasta una nueva posición OX' y luego se mueve lp unidades en la semirrecta opuesta a OX'.] En general, un punto P con coordenadas polares (p , 0) también puede describirse por (p , 0 ± 2nP) y (-p , 0 + (2n + 1)p), donde n es cualquier entero no negativo. Además, el polo mismo corresponde a (0, 0), con 0 arbitrario. EJEMPLO 41 .1 . E n la f ig u r a 4 1 .2 se m u e stra n v a r io s p u n to s y su s c o o rd e n a d a s p o la re s . O b s e r v e q u e la s c o o r d e ­ n a d a s p o la r e s d e l p u n to C so n ^ 1 , J. Una ecuación po la r de la forma p =f ( 0) o F(p , 0) = 0 determina una curva, que consta de todos los puntos que corresponden a los pares (p , 0) que satisfacen la ecuación. Por ejemplo, la ecuación p = 2 determina el círculo con centro en el polo y radio 2. La ecuación p = -2 determina el mismo conjunto de puntos. En general, Fig. 4 1 .1 f ) ( 1, 0 ) « 35jFig. 41.2 www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 41 Coordenadas polares una ecuación p = c, donde c es una constante, determ ina el círculo con centro en el polo y radio lcl. U na ecua­ ción 0 = c designa la recta que pasa por el polo y que se obtiene al girar el eje polar c radianes. Por ejemplo, 0 = n/2 es la recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar. Coordenadas polares y rectangulares Dados el polo y el eje polar, se establece un sistema de coordenadas rectangulares donde el eje polar es el eje x positivo y el eje y es perpendicular al eje x en el polo (fig. 41.3). Así, el polo se halla en el origen del sistema rectangular. Si un punto P tiene coordenadas rectangulares (x, y) y coordenadas polares (p, 0), entonces, x = p cos 0 y y = p sen 0 (41.1) Estas ecuaciones im plican p = x2 + y2 y tan# = ^ (41.2) EJEMPLO 41 .2 . Considérese la curva polar p = cos 0. Al multiplicar por p se obtiene p2 = p cos 0. Por tanto, x2 + y2 = x se cumple para las coordenadas rectangulares de los puntos sobre la curva. Ello equivale a x2 - x + y2 = 0, y al completar el cuadrado respecto a x se obtiene (x - y)2 + y2 = í" . Por consiguiente, la curva es el círculo con centro en (-j,0) y radio 2 Nótese que cuando 0 varía de 0 a n/2, el semicírculo superior se traza de (1, 0) a (0, 0), y luego 7Tcuando 0 varía de a n el semicírculo inferior se dibuja de (0, 0) de vuelta a (1, 0). Todo este trayecto se traza una vez más cuando 0 varía de p a 2p . Como cos 0 tiene un periodo de 2p , se ha descrito completamente la curva. EJEMPLO 4 1 .3 . Considérese la parábola y = x2. En coordenadas polares, se obtiene p sen 0 = p2 cos2 0 y, por consiguiente, p = tan 0 sec 0, que es una ecuación polar de la parábola. Algunas curvas polares típicas a) Cardioide: p = 1 + sen 0 (fig. 41.4a). b) Caracol: p = 1 + 2 cos 0 (fig. 41.4 b). c) Rosa con tres pétalos: p = cos 3 0 (fig. 41.4c). d) Lem niscata: p 2 = cos 2 0 (fig. 41.4d). En un punto P sobre una curva polar, el ángulo y que va del radio vector OP a la tangente P T a la curva (fig. 41.5) se calcula con la fórmula: dd p . d p / a -t Xa n V = P-d~p= J ' , donde p = (413) Para ver una dem ostración de esta fórmula, véase el problem a 1. La tangente y es m uy im portante en las coordenadas polares, sim ilar a la de la pendiente de la tangente en las coordenadas rectangulares. www.FreeLibros.me
  • 4337^ (d) Fig. 4 1 .4 Angulo de inclinación El ángulo de inclinación t de la tangente a una curva en un punto P (p , 9) de ésta se encuentra dado por: p c o s 6 + p ' sen# . . . .. tan t = —------ --------------77 (41.4)- p s e n ö + p ' co sö Para leer una dem ostración de esta ecuación véase el problem a 4. Puntos de intersección Algunos o todos los puntos de intersección de dos curvas polares p = f 1(9) y p = f 2(9) (o ecuaciones equivalentes) pueden hallarse despejando m = ¡2(9) (41.5) CA PÍTU LO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 41 Coordenadas polares Fig. 41.5 EJEMPLO 41 .4 . Determine los puntos de intersección de p = 1 + sen 0 y p = 5 - 3 sen 0. Al hacer 1 + sen 0 = 5 - 3 sen 0 se obtiene sen 0 = 1. Entonces, p = 2 y 8 = - j . El único punto de intersección es ^ . Nótese que no es necesario indicar el número infinito de los otros pares que designan el mismo punto. Como un punto puede representarse por más de un par de coordenadas polares, la intersección de dos curvas puede contener puntos para los cuales ningún par de coordenadas polares satisfaga (41.5). EJEMPLO 41 .5 . Determine los puntos de intersección de p = 2 sen 2 0 y p = 1. La solución de la ecuación 2 sen 20 = 1 es sen 28 = -j y, por tanto, dentro de [0, 2p ), 8 = f |, -ff , 1f2L, t í t Se han hallado cuatro puntos de intersección: (1, U), (1, -ff), (1, i 3?) y (1, ^ y). Pero el círculo p = 1 también puede represen­ tarse como p = -1. Ahora, despejando 2 sen 20 = -1 se obtiene sen 28 = --f , por lo que 8 = f§, f f r, f f y 2 .^ Así, se obtienen cuatro puntos más de intersección (-1, ^ f), (-1, f f r), (-1, -fr) y (-1, i )^. Cuando el polo es un punto de intersección, puede no aparecer entre las soluciones de (41.5). El polo es un punto de intersección cuando existe 0 y 02 tal que / 1(01) = 0 = f 2(02). EJEMPLO 41 .6 . Determine los puntos de intersección de p = sen 0 y p = cos 0. De la ecuación sen 0 = cos 0 se obtienen los puntos de intersección l^ , n ) y (-j^,5^. Sin embargo, ambas curvas contienen el polo. En p = sen 0, el polo tiene coordenadas (0, 0), mientras que en p = cos 0, el polo tiene coordenadas (0, -j). EJEMPLO 41 .7 . Determine los puntos de intersección de p = cos 20 y p = cos 0. De la ecuación cos 20 = cos 0 y observando que cos 20 = 2 cos20 - 1 se obtiene 2 cos2 0 - cos 0 - 1 = 0 y, por consiguiente, (cos 0 - 1)(2 cos 0 + 1) = 0. Así, cos 0 = 1 o cos8 = -y. Luego, 0 = 0, ^ f, ^ , lo que resulta en los puntos de intersección (1, 0), (- 2 ,2 )^ y (- -2 ,4^ ). Pero el polo también es un punto de intersección, que aparece cuando (0, -j) en p = cos 20 y cuando (0, ^ ) en p = cos 0. Ángulo de intersección El ángulo de intersección, f , de dos curvas en un punto común P(p, 0) que no sea el polo está dado por tan - tan y/ 2tan^= - (41.6)1 + tan tan ^ 2 donde y y y2 son los ángulos que van desde el radio vector OP hasta las rectas tangentes respectivas de las curvas en P (fig. 41.6). Esta fórmula proviene de la identidad trigonométrica para tan ( y - y ) , ya que f = y - y2. C2 www.FreeLibros.me
  • -^ 339^ EJEMPLO 41 .8 . Determine los ángulos (agudos) de intersección de p = cos 20 y p = cos 0. Los puntos de intersección se hallaron en el ejemplo 7. También se necesita tan y y tan y2. Para p = cos 0, con la fórmula (41.3) se obtiene tan y = -co t 0. Para p = cos 20, la fórmula (41.3) resulta en tan y 2 = - -jc o t2 0 . En el punto (1, 0), tan y = -co t 0 = ^ y de igual forma, tan y2 = ^ . Entonces y 1 = y 2 = -2- y, por tanto, f = 0. En el punto ^ " ^ j , ta n y 1 = "^ g^3- y ta n y 2 = —^ 6 ". Entonces, por (41.6), (V3/3) + (a/3/6) 3 ^ tan^ - T^(I76) " T " y, por consiguiente, el ángulo agudo de intersección f = 46° 6 '. Por simetría, éste también es el ángulo agudo de intersección en el punto 1 , -4^ J . En el polo, en p = cos 0, el polo está dado por Q = n . En p = cos 20, el polo está dado por 0 = -? y 0 = “ T" Así, 2 Ken el polo hay dos intersecciones y el ángulo agudo es de -4 en ambas. La derivada de la longitud de arco La derivada de la longitud de arco está dada por % => = +P (41.7) , dpdonde p = dQ y se entiende que s aumenta con 0. En el problema 20 se presenta la demostración correspon­ diente. Curvatura La curvatura de una curva polar está dada por K p 2 + 2 (p ' )2 - p p " [p 2 + (p ' )2]372 En el problema 17 se presenta la demostración respectiva. (41.8) | PROBLEMAS RESUELTOS | Deduzca la fórmula (41.3): ta n y = = donde p 'd ^ . En la figura 41.7, Q (p + Ap, 0 + A0) es un punto en la curva próximo a P. Con base en el triángulo rectángulo PSQ, „ sen A0 psen A0 _ psen A0 _ tan A = S P = SP A0SQ OQ - OS p + A p - pcos A0 p(1 - cos A0) + Ap 1 - cos A0 AP p A0 " A0 Cuando Q ^ P a lo largo de la curva, A 0 ^ 0, OQ ^ OP, PQ ^ P F y Z Ä ^ A y . Fig. 41.7 CA PÍTU LO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 41 Coordenadas polares Cuando AO ^ 0, ^ 1 y 1 T i?Ad ^ 0. Entonces,A0 Ae tanw = lím tan2= , ^ , n = p 4r - r Afl^ o dp Idd ^ dp En los problemas 2 y 3 use la fórmula (41.3) para determinar tan y para la curva dada en el punto indicado. 2. p = 2 + c o s 6 e n 0 = y ( fig . 4 1 .8 ) . E n 0 = y , p = 2 + -2 = f , p ' = - sen d = - ^ 3 - y tan^ = = ~ ^ y Fig. 4 1 .8 3. p = 2 se n 3 6 en 0 = y ( fig . 4 1 .9 ) . E n 0 = - | , p = 2 - ^ = V 2 , p ’ = 6 cos30 = 6 j = - 3 >/2 y t a n ^ = - ^ = 4. Compruebe la fórmula (41.4): tan T = De la figura 41.7, t = y + 0 y p co sd + p ' sen0 -p s e n 0 + pcosd tanw + tan0 tanT = tan(^ + 0) = 1 - t a n ^ t a n 0 : dp cos0 1 - P dd sen0 p co s0 + sen0 -d ^-co s0 -p se n 0 d p cos0 p co s0 + p ' sen0 -p se n 0 + p ' cos0 5. Demuestre que si p = f(O) pasa por el polo y O1 es tal que f(O1) = 0, entonces la dirección de la tangente a la curva en el polo (0, O1) es O1 (fig. 41.10). En (0, O1), p = 0, y p = f ( O x). Si p * 0 tanT = p co s0 + p 'sen0 _ 0 + / ' ( 0 1)sen01 _ . - p s e n 0 +p' cos0 0 + f (01)cos01 an 1 Si p = 0 , y www.FreeLibros.me
  • tanT = lím = tan0jA^ fl1 f (0)cos0 1 Fig. 41 .10 En los problemas 6 a 8, determine la pendiente de la curva indicada en el punto dado. -^ 341^ 6. p = 1 -cos 9 en 0 = ^ (fig. 41.11) E n 0 = f , se n 9 = 1 , c o s 9 = 0, p = 1 , p ' = se n 9 = 1 tan, pcosd + p ' sen 0 = 1 ■ 0 +1 • 1 = , La^ -psen0+p'cos0 -1 • 1 +1 • 0 1 7. p = cos 39 en el polo (fig. 41.12). Cuando p = 0, cos 39 = 0. Entonces 30 = -y, 3 ^-, ^ y 0 = 4-, -y, 5^-. Por el problema 5, tanT= 1A/3 , ^ y2’ 2 ’ 2 6’ 2’ 6 Fig. 41.12 8. pQ = a en 0 = -^ . En 0 = -?-, sen0= =2 , cos0 = y, p = — y p = — S r = ~92. Entonces,3 2 2 K n J ^ 02 ^ 2 tanT = pcos0 + p'sen0 _ 3^ /3 -psen0+p' cosö " y¡3n + 3 y y y CA PÍTU LO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 41 Coordenadas polares 9. Investigue p = 1 + sen 0 para las tangentes horizontales y verticales (fig. 41.13). En P(p, 0): _ (1 + senQ)cosQ + cosQsenQ _ cosQ(T + 2senQ) anT — (1 + senQ)senQ + cos2 Q (senQ + l)(2senQ —1) Se establece cos 0(1 + 2 sen 0) = 0 y al resolver para (despejar) x se obtiene Q = |^-, 3 ^ , 7^- y Tjp". 3 7Z K 5 7ZTambién se establece (sen 0 + 1)(2 sen 0 - 1) = 0 y al despejar se obtiene 6 = - ^ , -g- y —^-. Tt TTPara 6 = ^ existe una tangente horizontal en (2, -y). Para 6 = 7 ^ y TT^- hay tangentes horizontales en | j , y | 2 , j p J. Para 0 = -6 y 5 ^ hay tangentes verticales en | 2 , J y | 2 , 3K Para Q = - ^ , por el problema 5, existe una tangente vertical en el polo. 10. Demuestre que el ángulo que forma el radio vector a cualquier punto de la cardioide p = a ( l - cos 0) con la curva, es la mitad del que forma el radio vector con el eje polar. En cualquier punto P(p, 0) sobre la cardioide p = a sen 0 y tan f . Entonces, y = y Q . En los problemas 11 a 13, determine los ángulos de intersección del par de curvas dadas. 11. p = 3 cos 0, p = 1 + cos 0 (fig. 41.14). Fig. 4 1 .1 4 Al despejar 3 cos 0 = 1 + cos 0 para los puntos de intersección se obtiene (3 , -^ ) y (3 , 5F ). Las curvas también se intersecan en el polo. U 3 ' U ^ Para p = 3 cos 0 : p ' = -3 sen 0 y tan yj = -co t 0 Para p = 1 + cos 0: p ' = -sen 0 y t a n y 2 = _ T ^ e n ir^ www.FreeLibros.me
  • -^ 343^ En 0 = _y , t a n y = —1>/3 , ta n y 2 = —^ ¡3 y t a n ^ = . El ángulo agudo de intersección en , -33J y, por simetría, en | 3 , es ^6. En el polo, un diagrama o el resultado del problema 5 muestra que las curvas son ortogonales. 12. p = sec2y 0, p = 3csc2y 0 . Al despejar sec2^ 0 = 3 cosec2-j 0 para los puntos de intersección, se obtiene 14 , j y 14 , 4 r \ . Para p = s e c 2y 0 : Para p = 3 c o s e c 2y 0 : p ' = s e c 2 - j 0 t a n y 0 y p ' = - 3 c o s e c 2 - j 0 c o t"20 y t a n y = c o t-2 0 t a n y 2 = - t a n 2 0 En 0 = tan y = 1/^/3 , tan^ 2 = - \¡3 y -2 ^ , las curvas son ortogonales. De igual forma, las curvas son ortogonales en 6 = -3-. 13. p = sen 26, p = cos 6* (fig. 41.15). Las curvas se intersecan en los puntos l ^ r , J y ( -" 2 , y el polo. Para p = sen 2 # p ' = 2 cos 26 y tan y = y tan20 Para p = cos 6 p ' = -sen 6 y tan y2 = - cot 6 En 0 = -6 tan y = >/3 / 2 , tan y 2 = —V3 y tan q\ = - 3\Í3 . El ángulo agudo de intersección en el punto í " ^ , ) es tan-^ ^ = 79o6 '. De igual forma, en 0 = tan y = - ^ 3 / 2 , ta n y 2 = >/3 y el ángulo de intersección es tan—13y¡3 . En el polo, los ángulos de intersección son 0 y -^. Fig. 4 1 .1 5 d i En los problemas 14 a 16, determine d g en el punto P(p, 6). 14. p = cos 26 p ' = -2 sen 20 y d ^ = ^ P 2 + (P ')2 = Vcos2 20 + 4sen2 20 = -\/1 + 3sen2 20 15. p(1 + cos 6) = 4 Derivando se obtiene - p sen 6 + p'(1 + cos 6) = 0. Entonces, p = p sen0 = 4sen 0 ds _ in2 , ( n ,)2 _ P 1 + cos0 (1 + cos0)2 y d d v P (P ) - 4yf2 ( 1 + cos0 ) 3 y CA PÍTU LO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 41 Coordenadas polares 16. p = sen3 ^-3J (También evaluar d ^ en 0 = .) p ' = sen21 0 co s1 0 y d k = Vsen6i ® + sen4| 0 cos21 B = sen21 0dB En 0 = | ^ , ds /d0 = sen2 4- ^ = -4 17. Compruebe la fórmula (41.8): K = r 2 , 2,3/2p 2 + 2(p ')2 - p p '' [p2 + (P' )2]3 Por definición K = dS-. Ahora, r = 0 + y y, por tanto, _d r = d0 + = d0 + d B = d B | 1 + ¿V ds ds ds ds dB ds ds ^ dB donde ^ = tan-1 j . También dy _ [(p ')2 - p p ''] /(p ')2 _ (p ' )2 - p p " . entonces 1 + d ^ = , . (P ')2 ~ PP" = p 2 + 2(p ' )2 ~ p p ” d B ~ 1 + (p /p ' )2 “ p 2 + (p ' )2 * entonces 1+ d B 1 p 2 + (p ' )2 p 2 + (p ' )2 Así K - dB f 1 + d p ) _ 1 + d y /d B _ 1 + d y /d B _ p 2 + 2 (p ')2 - p p '' s1, ds y dB J dsIdB ^ p2 + (p ')2 [p 2 + ( p ')2]3/2 18. Sea p = 2 + sen 6 Determine la curvatura en el punto P(p, 6 ). p 2 + 2(p ' )2 - p p " _ (2 + sen0)2 + 2cos2 0 + (sen0)(2 + sen0) 6(1 + sen0)K = [p2 + (p ' )2]3/2 [(2 + sen0 )2 + cos2 0 ]3/2 (5 + 4sen0 )3 TT 4 n19. Sea p(1 - cos 6 ) = 1. Determine la curvatura en 0 = y B = —^ . P ' = (1 - eos0 )2 y P ' = (1 - cos0)2 + (L -co sö )3 ; entonces K = sen3 00 En 0 - 7 K = Í 7 J J = f * en 8 ’ I T K = ( f ) ’ = 3 f • 20. Compruebe la fórmula (41.7): = -Jp 2 + ( p ')2 .dB Sea p una función de 0. De x = p cos 0 y y = p sen 0 se obtiene dx/d0 = - p sen 0 + (cos 0) p ’ y dy/d0 = p cos 0 + (sen 0) p ’. Por tanto, ( ) = [P2sen2 0 + (P ' )2 cos2 0 - 2pp ' sen0cos0] Así, ) = [p2 cos2 0 + (p ' )2sen2 0 + 2pp ' sen0 cos0 ] H )2 - ( d H )2 + ( % ) 2 - P 2+ ( P ' )2 Como s crece con -d- > 0 y se obtiene la fórmula (41.7). dB 21. Para p = cos 20, determine -d - en 0 = -?-. (Supóngase, como es usual, que s aumenta con 0.) , dB 4 p ' = d g = -2 se n 2 6 . Por la fórmula (41.7), d| = ,/cos2 (20) + 4 sen2(20) = >/ 1 + 3sen2(20) = V 1 + 3sen2( /^2) = 2 y www.FreeLibros.me
  • -^ 345^ PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS En los problem as 22 a 25, determ ine tan y para la curva dada en los puntos indicados. 22. p = 3 - sen 0 en 0 = 0, 0 = 3ft/4 Respuesta: -3 ; 3>/2 - 1 23. p = a(1 - cos 0) en 0 = ft/4, 0 = 3ft/2 Respuesta: V 2 - 1; -1 24. p (1 - cos 0) = a en 0 = ft/3, 0 = 5ft/4 Respuesta: - ^ 3 / 3 ; 1+ V2 25. p 2 = 4 sen 2 0 en 0 = 5 rc/12, 0 = 2rc/3 Respuesta: —1>/3 ; -v/3 En los problem as 26 a 29, determ ine tan r para la curva dada en el punto indicado. 26. p = 2 + sen 0 en 0 = ft/6 Respuesta: —3>/3 27. p 2 = 9 cos 2 0 en 0 = ft/6 Respuesta: 0 28. p = sen3 ( 0/3) en 0 = rc/2 Respuesta: —>/3 29. 2p (1 - sen 0) = 3 en 0 = ft/4 Respuesta: 1 + >/2 30. Investigue p = sen 2 0 para hallar las tangentes horizontales y verticales. Respuesta: tangentes horizontales en: 0 = 0, n , 54° 44 ', 125° 16', 234° 44', 305° 16'; tangentes verticales en 0 = rc/2, 3rc/2, 35° 16', 144° 44', 215° 16', 324° 44'. En los problem as 31 a 33, determ ine los ángulos agudos de intersección de cada par de curvas. 31. p = sen 0, p = sen 20 Respuesta: f = 79° 6 ' en 0 = ft/3 y 5ft/3; f = 0 en el polo 32. p = V 2 s e n 0 , p 2 = c o s 20 Respuesta: f = ft/3 en 0 = ft/6, 5ft/6; f = ft/4 en el polo 33. p 2 = 16 sen 20, p 2 = 4 cosec 20 Respuesta: f = ft/3 en cada intersección 34. D em uestre que cada par de curvas se cortan en ángulo recto en todos los puntos de intersección. a) p = 4 cos 0, p = 4 sen 0 c) p 2 cos 2 0 = 4, p 2 sen 2 0 = 9 b) p = e0, p = e­ d) p = 1 + cos 0 , p = 1 - cos 0 35. D eterm ine el ángulo de intersección de las tangentes a p = 2 - 4 sen 0 en el polo. Respuesta: 2n/3 CA PÍTU LO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 41 Coordenadas polares 36. Determine la curvatura de cada una de estas curvas en P(p, 9): a) p = e9; b) p = sen 9, c) p 2 = 4 cos 29, d) p = 3 sen 9 + 4 cos 9. Respuesta: a) 1/(V2efl), b) 2; c) fV co s2 0 ; d) -f ds37. Determine para la curva p = a cos 9. Respuesta: a ds38. Encuentre ^ para la curva p = a(1 + cos 9). Respuesta: aV 2 + 2cos0 39. Supóngase que una partícula se mueve a lo largo de una curva p = f(9 ) con su posición en cualquier instante t dada por p = g(t), 9 = h(t). a) Multiplique la ecuación | -djfiJ = P 2 + (P ')2 obtenida en el problema 20 por | J para que resulte « 2= ( d )2 - p ( d )2 + ( f ) 2 t b) a p^-a.- de • obteng» s e " ^ y En los problemas 40 a 43, determine todos los puntos de intersección de las ecuaciones indicadas. 40. p = 3 cos 9, p = 3 sen 9 Respuesta: (0, 0), ( ^ ' !!222 , " 4 ) 41. p = cos 9, p = 1 - cos 9 Respuesta: (0, 0), | -3 j , |^ ^ , _ “3" 42. p = 9, p = p Respuesta: ( p p), ( - p - p 43. p = sen 29, p = cos 29 Respuesta: (0, 0), ( :^ ,(2n + 1)n ) para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 44. (CG) Trace las curvas de los problemas 40 a 43, determine sus gráficas en una graficadora y compruebe las respuestas a los problemas 40 a 43. 45. (CG) Trace las gráficas de las ecuaciones siguientes y luego compruebe las respuestas con una graficadora: a) p = 2 cos 4 9 b) p = 2 sen 5 9 c) p 2 = 4 sen 29 2 1d) p = 2(1 - cos 9 e) p = 1 + c o s 0 f ) p 2 =Q g) p = 2 - sec 9 h) p = -^ [En los incisos g) y h) busque las asíntotas.] 46. Cambie las siguientes ecuaciones rectangulares en ecuaciones polares y trace las gráficas: a) x2 - 4x + y 2 = 0 b) 4x = y2 c) xy = 1 d) x = a e) y = b f) y = mx + b www.FreeLibros.me
  • -----4347^ Respuestas: a) p = 4 c o s O, b) p = 4 c o t O c o s e c O c ) p 2 = s e c O c o s e c O d ) p = a s e c O e ) p = b c o s e c O, f o = _________b _______________________ J ) K s e n 0 - m c o s 0 47. ( C G ) C a m b i e l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s p o l a r e s e n c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s y l u e g o t r a c e l a g r á f i c a . H a g a l a c o m p r o b a c i ó n c o n u n a c a l c u l a d o r a g r a f i c a d o r a : a) p = 2 c s e n O, b ) p = O, c ) p = 7 s e c O. Respuestas: a) x 2 + ( y - c ) 2 = c 2, b ) y = x t a n ( ^ / x 2 + y 2 ) , c ) x = 7 48. a ) D e m u e s t r e q u e l a d i s t a n c i a e n t r e d o s p u n t o s c o n c o o r d e n a d a s p o l a r e s ( p 1, O1) y ( p 2, O2) e s V p ? + P 22 - 2P 1P 2 c o s (0! - 02) b ) C u a n d o = O2, ¿ a c u á n t o s e s i m p l i f i c a l a d i s t a n c i a ? E x p l i q u e p o r q u é . R espuesta : Ip 1 - p 2I Ttc) C u a n d o 6 l — 0 2 = f , ¿ c u á l e s e l r e s u l t a d o a l u s a r l a f ó r m u l a ? E x p l i q u e l a i m p o r t a n c i a d e l r e s u l t a d o . Respuesta: + p f d) D e t e r m i n e l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p u n t o s c o n c o o r d e n a d a s p o l a r e s ( 1 , 0 ) y ^1, y j . Respuesta: 49. a) S e a f u n a f u n c i ó n c o n t i n u a t a l q u e f(d ) > 0 p a r a a < O< p . S e a A e l á r e a d e l a r e g i ó n a c o t a d a p o r l a s r e c t a s O = a y O = fb, y l a c u r v a p o l a r p = f(0 ). D e d u z c a l a f ó r m u l a A = 1 í ( f ( 0 ))2 d d = 1 í p 2d 6 . (Sugerencia: 2 2 Ja d i v i d a [ a , f ] e n n p a r t e s i g u a l e s , c a d a u n a i g u a l a A O . C a d a s u b r e g i ó n r e s u l t a n t e t i e n e u n á r e a a p r o x i m a d a a f A 0 ( f ( 0 * ) ) 2, d o n d e 0* e s t á e n e l i - é s i m o s u b i n t e r v a l o . ) b ) D e t e r m i n e e l á r e a d e n t r o d e l a c a r d i o i d e p = 1 + s e n O. K K c ) E s t a b l e z c a e l á r e a d e u n p é t a l o d e l a r o s a c o n t r e s p é t a l o s , p = c o s 30. (Sugerencia: i n t e g r e d e - — a — .) CA PÍTU LO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.me
  • Sucesiones infinitas Sucesiones infinitas U n a sucesión in fin ita (sn) es u n a func ión cuyo dom in io es el con jun to de en teros positivos; sn es el va lo r de esta fu n c ió n p a ra un en te ro n p o sitivo dado . A veces se in d ic a (sn) con só lo e sc r ib ir lo s p rim e ro s té rm in o s de la sucesión s 2, s 3, . . . , sn. . . E n este cap ítu lo se considerarán sólo las sucesiones en las que los valores sn sean núm eros reales. EJEMPLO 42 .1 a ) ( — ) e s l a s u c e s i ó n 1, 1, 4 - , i , . . . , — , . . . 7 \ n / 2 3 n b ) ( ( 1 ) ) e s l a s u c e s i ó n Í , — , — , . . . , Í n , . . . c ) { n 2) e s l a s u c e s i ó n d e c u a d r a d o s 1 , 4 , 9 , 1 6 , . . . , n 2, ... d ) (2n ) e s l a s u c e s i ó n d e e n t e r o s p o s i t i v o s p a r e s 2 , 4 , 6, 8, . , 2 n , . e ) ( 2n - 1 ) e s l a s u c e s i ó n d e e n t e r o s i m p a r e s p o s i t i v o s 1 , 3 , 5 , 7 , . Límite de una sucesión Si (sn) es u n a sucesión in fin ita y L es un núm ero , en tonces que lím n^ +„ sn = L si sn se ap ro x im a a rb itra riam en te a L cuando n c rece sin lím ite. D esd e un p un to de v is ta m ás p rec iso , lím n^ +„ sn = L s ign ifica que p a ra todo n úm ero rea l positivo e > 0, h ay un en te ro positivo n 0 ta l que, cu an d o n > n 0, se tiene lsn - Ll < e . P a ra ilu stra r lo que esto sign ifica, se co locan los pun to s L, L - e y L + e en u n a rec ta n u m érica (fig. 42 .1 ), donde e es a lgún n úm ero rea l positivo . A hora, si se co locan los pun to s s 1, s2, s3, . . . en la re c ta num érica , ta rde o tem prano h ab rá un índ ice n 0 ta l que sn0, sn0+1, sn0+2, Sn0+3, • • • y todos los té rm inos subsigu ien tes de la sucesión quedarán den tro del in tervalo (L - e , L + e ) . ^1 s 2 s m s m + 1 I------1------------ 1--------- L L + e Fig. 4 2 .1 Si lím n^ +„ sn = L, en tonces la sucesión (sn) converge a L. S i ex is te un núm ero L ta l que (sn) converge a L, en tonces (sn) es convergente. C uando (sn) n o es convergente , en tonces es divergente. EJEMPLO 4 2 .2 . ( —\ es convergente, porque lím n^ +„ -1 = 0. Para com probarlo, se observa que puede aproxi-\ n / n n 1 1m arse arbitrariam ente a 0 haciendo a n lo suficientem ente grande. Esto se explica al observar que j ^ = 0.1, j0 q = 0.01, 1000 = 0.001 y así sucesivam ente. Para com probar que la definición precisa se satisface, sea e un núm ero positivo cualquiera. Se tom a n 0 como el entero positivo más pequeño m ayor que — . Entonces — < n 0. Por tanto, si n > n 0, i 1 1 e e i entonces n > — y, por consiguiente, — < e . Así, si n > n 0 l — - 0l < e . Con esto se com prueba que lim n^ +„ — = 0 . ^ n n n ^ 348^ www.FreeLibros.me
  • EJEMPLO 4 2 .3 . diverge a +ro. D icho con m ay o r precisión , lím n^ +„ sn = + ^ si y só lo si, p a ra cua lqu ie r núm ero c, sin im porta r cuán grande sea, ex is te un nú m ero positivo n0 ta l que, cuando n > n0, se tiene que sn > c . D e igua l form a, se escribe lím n^ +„ sn = si sn se vuelve arb itra riam en te pequeño cuando n crece. E n tal caso , diverge a - ^ . M ejo r d icho , lím n^ +„ sn = - ^ i y só lo si, p a ra cua lqu ie r núm ero c , sin im porta r cuán peq u eñ o sea, ex is te un en tero positivo n0 ta l que, cuando n > n0, se tiene que sn < c . Se escrib irá lím „^+„ sn = ^ si lím „^+„ I snl = +00, es decir, la m ag n itu d de sn crece arb itra riam en te cuando n crece. EJEMPLO 4 2 .4 . a) lím „ ^ +„ 2 n = +® °; b ) lím „ ^ +„ (1 - n )3 = ; c ) lím „ ^ +„ ( - 1 ) n ( n 2) = ^ . N ó t e s e q u e e n e l i n c i s o c ) , l a s u c e s i ó n n o c o n v e r g e a + ^ n i a - ^ . EJEMPLO 4 2 .5 . L a s u c e s i ó n ( ( - 1 ) n ) e s d i v e r g e n t e , p e r o n o d i v e r g e a + ^ n i a - ^ n i a ^ . S u s v a l o r e s o s c i l a n e n t r e 1 y - 1. U n a sucesión (s„> está aco tada p o r encim a si hay núm ero c ta l que sn < c p a ra todo n y se en tiende que (s„) es tá aco tada p o r debajo si ex is te un n úm ero b ta l que b < sn p a ra todo n . U n a sucesión (s„> está aco tada (lim i­ tada) si es tá lim itad a tan to p o r en c im a com o p o r debajo . E s c laro que u n a sucesión (s„> está aco tad a si y sólo si hay un núm ero d ta l que lsnl < d p ara todo n . EJEMPLO 4 2 .6 . a ) L a s u c e s i ó n ( 2 n ) e s t á a c o t a d a p o r d e b a j o ( p o r e j e m p l o , p o r 0 ) , p e r o n o e s t á a c o t a d a p o r e n ­ c i m a . b ) l a s u c e s i ó n ( ( - 1 ) n ) e s t á a c o t a d a . O b s e r v e q u e ( ( - 1 ) n ) e s - 1 , 1 , - 1 , . . . E n t o n c e s , l ( - 1 ) n l < 1 p a r a t o d a n . Teorema 4 2 .1 . T o d a l a s u c e s i ó n c o n v e r g e n t e e s a c o t a d a . E n el p ro b lem a 5 se p resen ta una dem ostrac ión . E l rec íp roco d e l teo rem a 42.1 es falso. P o r e jem plo , la sucesión
  • CAPÍTULO 42 Sucesiones infinitas TEOREMA 42.5. (Teorema del sándwich o teorema de intercalación.) lím ^ +„ s = L = lím ^ +„ un y existe un entero m tal que sn < tn < un para todo n > m, entonces límn^ +„ tn = L . P a ra ver u n a dem ostrac ión , repase el p ro b lem a 1 1 . Corolario 42.6. Si l í m ^ +„ un = 0 y hay un núm ero m tal que ltnl < lunl para todo n > m, entonces l í m ^ +„ tn = 0. Ésta es una consecuencia del teorem a 42.5 y el hecho de que límn^ +„ an = 0 equivale a l í m ^ +„ lanl = 0. EJEMPLO 42.7. lím n ^ +„ ( - 1 ) ^ ^ = 0 . Para com probarlo, use el corolario 42.6, observando que lím n ^ + ™ — = 0 .n ( - 1) ^ n^2 Teorema 4 2 .7 . Sea f una función continua en c y sea límn^ +„ sn = c , donde todos los térm inos sn están en el do­ minio de f Entonces l í m ^ ^ f (sn) = f (c). V éase el p ro b lem a 33. E s ev iden te que si u n a sucesión converge o no , no se v erá a fec tada si se borran , sum an o a lte ran un núm ero fin ito de térm inos en su com ienzo . L a convergencia depende de qué sucede “en el largo p lazo ” . E s necesario am p lia r la no c ió n de sucesiones in fin itas al caso donde se p erm ite que el dom in io de u n a su ­ cesión sea el con jun to de en teros no negativos o cua lqu ie r con jun to que conste de todos los en teros m ayores o iguales que un en tero fijo. P o r e jem plo , si se to m a el dom in io com o e l con jun to de en teros no negativos, en to n ­ ces (2n + 1) ind ica ría la sucesión de en teros im pares positivos, y (1 / 2”) rep resen ta ría la sucesión, 1 ,-2 , 1 , 1 , . . Sucesiones monótonas a ) U n a sucesión (sn) es no decrecien te si sn < sn+1 pa ra todo n. b ) U n a sucesión (sn) es creciente si sn < s„+1 p a ra todo n. c) U n a sucesión (sn) es no creciente si sn > sn+1 p ara todo n. d) U n a sucesión (sn) es decrecien te si sn > sn+1 p a ra todo n. e) U n a sucesión es m onótona si es n o d ecrecien te o no creciente. C laram en te , toda sucesión crec ien te es no d ecrecien te (pero no rec íp rocam en te), y to d a sucesión decrecien te es n o crec ien te (pero no rec íp rocam en te). EJEMPLO 4 2 .8 . a ) La sucesión 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, ... es no decreciente, pero no creciente. b ) -1 , -1 , -2 , -2 , -3 , - 3 , -4 , -4 , ... es no creciente, pero no decreciente. U n a p ro p ied ad b ás ica e im portan te d e l sistem a de núm eros rea les está d ada po r el sigu ien te resu ltado . Su dem ostrac ión va m ás a llá del ob jetivo de esta obra. Teorema 4 2 .8 . Toda sucesión m onótona acotada es convergente. H ay varios m étodos p a ra m o s tra r que u n a sucesión (sn) es no decrecien te , c recien te , no crec ien te o d ecre­ c ien te . E n e l caso sigu ien te , la p ro p ied ad (sn) es creciente. M éto d o 1: D em uestre que sn+1 - sn > 0. EJEMPLO 4 2 .9 . Considere s„ = ■ . Entonces, sn+. = +-. 1\ = + 3 . Por tanto,4n +1 n+1 4(ra +1) + 1 4n + 5n s — s = 3n + 3 — 3n = (12n 2 + 15n + 3) — (12n 2 + 15n) n+1 n 4 n + 5 4^ + 1 (4n + 5)(4« + 1) = 3 -> 0 (4n + 5)(4n +1) ya que 4n + 5 > 0 y 4n + 1 > 0. M éto d o 2: C uando todo sn > 0, dem uestre que sn+1/sn > 1. www.FreeLibros.me
  • -----4351^ 3«EJEMPLO 4 2 .1 0 . Use el mismo ejemplo s« = 4 « + 1 anterior, sn+i = ( 3« + 3 ) /( 3« ) = 3« + 3 4« + 1 = 12«2 + 15« + 3 > , sn \ 4n + 5 / / \ 4n + 1 / 3n 4n + 5 12n2 + 15n ’ ya que 12n2 + 15n + 3 > 12n2 + 15n > 0. M étodo 3: H alle una función diferenciable f ( x ) tal que f ( n ) = sn, para todo n, y demuestre que f \x ) > 0 para todo x > 1 (y, p o r tanto, que f es una función creciente para x > 1). 3n 3 x 3EJEMPLO 42 .11 . Considere de nuevo sn = -¡— — . Sea: f (x ) = . , . Entonces f '(x) = > 0 para todo x.« 4n + 1 J y ' 4x + 1 J K J (4 x + 1)2 ^ PROBLEMAS RESUELTOS 1. En cada una de las sucesiones siguientes, escriba la fórmula para el término n-ésim o y determine el límite (si existe). Supóngase que n = 1, 2, 3,... 1 1 1 1 2 , 4 , 6 , 8 , . . . c) 1 - 1 1 - 1 1 - 1 c) 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . . e ) s e n - y , s e n p , s e n 3 ^ , s e n 2p , s e n - ^ , . .. a ) s « = i ; Hmm. ¿ = 0. b) s n l í m - « t = l í m ( 1 - ^ r ) = 1 - l í mn + 1 ’ . n +1 n +1 n +1 b) 1 2 3 4 b) 2 , 3 , 4 , 5 , . . . d) 0.9, 0.99, 0.999, 0 .9 9 9 9 ,. f) f (2 )2, ( 3 )‘ ( 4 ) , , . . . = 1 - 0 = 1 (- 1)«+1 , (-1)«+1 c) s = -— -— ; lím -— -— = 0. Esto es intuitivamente claro, pero también puede aplicarse el teorema 42.3 an n la sucesión ((-1)n+1n), como lím (-1)«+1 n = . d) s« = 1 - 1 1 «; l^ f 1 - T¿n ) = 1- Ilni W = 1 “ 0 = 1. Nótese que lím -r1« = 0 en virtud del teorema 42.4b). 10 e) s = senn n . Obsérvese que la sucesión consta de repeticiones del ciclo 1, 0, -1 , 0 y no tiene límite. « 2 f ) * ■ = b r ) ‘ ; ,“ m . ( « r 1 ) " - f i d 1+ H e p ™ ( 2 6 J 7 ' ' 2. Evalúe límn^ +„ sn en los casos siguientes: 5« 2 - 4« + 13a ) s« = 3« 2 - 95« - 7 b) sn = 8«2 - 3 2« + 5 c) 3« + 7 «3 - 2« - 9 5x2_4 x +13 5a) Recuérdese que l ím ^ +„ 3x 2— 9^ — 7 = 3 por el problema 13 del capítulo 7. Así, 5«2 _ 4« + 13 5 límn^ +„ 3« — 95«— 7 = 3 . Un resultado semejante se cumple cuando sn es un cociente de los polinomios del mismo grado. 8x 2 _ 3 8«2 _ 3b) Recuérdese que l ím ^ +„ — 5 = por el problema 13 del capítulo 7. Entonces, l ím ^ +„ ^ ^ = + ^ . 2x ^ 5 2« ^ 5 Un resultado semejante se obtiene cuando sn es una función racional cuyo numerador tiene un grado mayor que el denominador (y cuyos primeros coeficientes son del mismo signo). c) Recuérdese que l ím ^ +„ x ^ l x 9 = 0 por el problema 13 del capítulo 7. Así, límn^ +„ « ^ «2« 9 = 0. El mismo resultado se cumple cuando sn es una función racional cuyo denominador tiene grado mayor que el numerador. CA PÍTU LO 42 Sucesionesinfinitas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 42 Sucesionesinfinitas 3. Para cada una de las sucesiones siguientes, determ ine si es no decreciente, creciente, no creciente, decreciente o ninguna de las anteriores. Luego determ ine su límite, si existe. a s = 5n - 2 h - o _ _1 _ a) n 7n + 3 sn 2n C) Sn = 3 x -> 5x - 2 ^ t w.- (7x + 3)(5) - (5x - 2)(7) 29 a) Sea f (x) - 7x + 3 . Entonces, f ( x ) - ^ x + 3)2 - (7x-|-3 )2 > 0 Por tanto, f (x ) es una función creciente y, por ende, (sn) es una sucesión creciente. b) Sea f (x) - . Entonces, f '( x) = ------y f x)2 = 1 ^ x^ 2 Com o ln 2 > -j [por (25.12)], x(ln 2) > 2 > l, cuando x > 2. Luego, 1 - x(ln 2) < 0 cuando x > 2 y, por tanto, f ( x ) < 0 cuando x > 2. E n tonces,f(x ) es decreciente para x > 2, y ello im plica que sn es decreciente para n > 2. N ótese que s1 - y - s 2 . Así, ( s j es no creciente. A hora se halla el lím ite. Por la regla de L’Hopital, lím = lím t¡— = 0 y, de esta m anera, lím n = 0x—>+» 2 x—>+» (ln 2)2 n^ +™ 2 c) " S ^ = ( 3^ ) / ( 3 -) = 13 < 1 . Por tanto, (sn) es decreciente 1 / 1 \n El teorem a 42.4b) indica que lím = lím I 1 = 0n^+^ 3 n^+^ \ 3 ) 4 n t 1 •' 1 • 3 • 5 • 7 . . . ( 2 n- 1)4. D em uestre que la sucesión sn - 2 4 6 g— (2n) es convergente. D e acuerdo con el teorem a 42.8, (sn) es acotada, como 0 < sn < 1. A hora se dem ostrará que ( s j es decreciente. O bserve que s - 1 • 3 • 5 • 7 • • • (2n +1) - s 2n +1 < s sn+i 2 • 4 • 6 • g ^• • (2n + 2) sn 2n + 2 sn 5. D em uestre el teorem a 42.1: toda sucesión convergente (sn) es acotada. Sea lím n ^+„ sn = L . Se tom a e = 1. Entonces, hay un entero positivo n 0 tal que, siem pre que n > n 0, se tiene que lsn - Ll < 1. Por ende, para n > n 0, m ediante la desigualdad triangular se obtiene lsn l = l(sn - L) + Ll < lsn - Ll + ILl < 1 + ILl Si se tom a M como el m áxim o de 1 + lLl y ls1l, ls2l, ls3l, . . . , lsnl , se obtiene lsn l < M para todo n. Así, (sn) es acotada. D em uestre que la sucesión es divergente. Puesto que 2 - - 1 ' 2 ' 2 ' ' ' 2 - 2 3 4 . . 2 > 2 para n > 4, la sucesión no es acotada. Entonces, por el teorem a 42.1, la sucesión no puede ser convergente. Pruebe el teorem a 42.3: si límn^ +„ sn y sn * = 0 para todo n, entonces lím„^+„ - 1 = 0. Considere todo e > 0. Com o lím ,^ +„ sn = ^ , existe algún entero positivo m tal que, cuando n > m, !snI > ^ y, por tanto, -1 - 0 1 Sn Sn < e . Entonces, l í m — = 0 S„ 8 . P ruebe el teorem a 42.4: a) si lal > 1, entonces l í m ^ ^ a n = ^ ; b) Si lrl < 1, entonces lím „^+M r n = 0. a) Sea M > 0 y sea lal = 1 + b. Entonces, b > 0. Ahora laln = (1 + b)n = 1 + nb + ... > 1 + nb > M cuando n > M^-. b) Sea a = 1/r. Com o lrl < 1, lal > 1. Por el inciso a), lím„^+„ a n = ^ . Por tanto, límn^ + » ( 1 ) = “ . Entonces, por el teorem a 42.3, lím ,^ +„ rn = 0 . r www.FreeLibros.me
  • 4353^ 9. Dem uestre: - = 0. límn^ +„ 2n = ^ por el teorem a 42.4a). Así, límn^ +„ - 1 = 0 por el teorem a 42.3. 10. Pruebe el teorem a 42.2c) y e). Sea sn = c y lím n ^+- tn = d . c) lím n ^ + „ (sn + tn ) = c + d . Sea e > 0. Entonces existen enteros OTj y m 2 tales que lsn - cl < e /2 para n > m 1 y ltn - dl < e /2 para n > m2. Sea m el m áxim o de m t y m2. Entonces, para n > m, lsn - cl < e /2 y ltn - dl < e /2. Por lo tanto, para n > m, e) lím n ^ +„ (sntn) = cd. Com o (sn) resulta convergente, es acotada, por el teorem a 42.1 y, por tanto, hay un núm ero positivo M tal que lsn l < M para todo n. Sea e > 0. Si d * 0, existe un entero m 1 tal que lsn - cl < e /2ldl para n > m 1 y, por consiguiente, ldllsn - cl < e /2 para n > m 1. Si d = 0, entonces se puede seleccionar m 1 = 1 y, sin em bargo, se tendría ldllsn - cl < e /2 para n > m 1. También existe un m2 tal que ltn - dl < e /2M para n > m2. Sea m el m áxim o de m 1 y m2. Si n > m, 11. D em uestre el teorem a de intercalación: si lím n ^ +„ sn = L = lím n ^ +„ Mn y existe un entero m tal que sn < tn < un, para todo n > m, entonces lím tn = L . Sea e > 0. Existe un entero m ¡ > m tal que lsn - Ll < e /4 y lun - Ll < e /4 para n > m ¡. A hora supóngase que n > m 1. Com o sn < tn < un, ltn - s n l < lun - s n l. Pero PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS En los problem as 12 a 29, determ ine para cada sucesión (sn) si es acotada o no y si es no decreciente, creciente, no creciente o decreciente. Indique asim ism o si es convergente y, si es posible, establezca su límite. (Nota: si la sucesión tiene un lím ite finito, debe ser acotada; en cam bio, si tiene un lím ite infinito, debe ser no acotada.) ÍOn + tn) - (c + d )l = ÍOn - c) + (tn - d )l < !ín - cl + \tn - d\ < - | + ^| = e \sntn - cd! = ÍSn (tn - d) + d(Sn - c)Í < ÍSn (tn - d)Í + ld(Sn - c)l ÍUn - = Í(Un - L ) + (L - Sn)Í ^ ÍUn “ LÍ + ÍL ~ < ' Así, Ítn - snÍ < e /2. Por tanto, Ítn - L Í = Ítn - SnÍ + (^n " L ) Í < Í t n - S j + - L Í < ^ + | < G Respuesta: no decreciente, creciente para n > 2; lím ite Respuesta: acotada; sin lím ite 14. ( 3 n~) Respuesta: creciente, lím ite + ^ Respuesta: creciente para n > 10; lím ite + ^ 16. ( ¥ ) Respuesta: decreciente para n > 3; límite 0 CA PÍTU LO 42 Sucesionesinfinitas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 42 Sucesiones infinitas i7 . f On 1 9 20. {nfñ) ( & ) ( ° o s í ) 21 22 23. / 4n + 5 \ \ n 3 - 2n + 3 / 2 5 . ^ v n n - a > R espuesta : decreciente; lím ite 0 Respuesta: no creciente; decreciente para n > 2; lím ite 0 Respuesta: decreciente para n > 3; lím ite 1 R espuesta : creciente; lím ite 3 R espuesta : creciente, lím ite 1 R espuesta : decreciente; lím ite 0 R espuesta : lím ite 0 R espuesta : decreciente; lím ite 0 26. 2n 3n - 4 27. ( n s e n - ^ 28. 1 y / n 2 +1 - n 29. ( n - R espuesta : decreciente; lím ite 0 Respuesta: creciente, lím ite n Respuesta: creciente, lím ite + ^ Respuesta: creciente; lím ite + ^ En los problem as 30 a 32, encuentre la fórm ula plausible para una sucesión cuyos prim eros térm inos están dados. D eterm ine el lím ite (si existe) de la sucesión. 30 1 3 9 27 81 30 . 1 2 ’ 4 ’ 6 ’ 8 ’ ' ' ' 3n Respuesta: sn = ^ n — 1) ; el lím ite es 31. -1 , 1, -1 , 1, -1 , 1 ,... Respuesta: sn = (-1 )n; sin límite 32. y , '7 , J 7 ", 2 , T ^ , . . . Respuesta: sn = ^ — 2 ; decreciente, el lím ite es f 33. D em uestre el teorem a 42.7. [Sugerencia: sea e > 0. Escoja S > 0 tal que, para x en el dom inio de f para el cual lx - cl < S se tiene que lf (x) - f(c )l < e . Seleccionar m de m anera que n > m im plique lsn - cl < 8.] www.FreeLibros.me
  • -^ 355^ 34. D em uestre que l í m ^ ^ v 1 / n p = 1 p a ra p > 0. (Sugerencia: np/n = e^ ln n)/n.) 35. (CG) U se una graficadora para analizar s n = ,n + = para n = 1 a n = 5. Luego determ ine analíticam ente el com portam iento de la sucesión. Respuesta: decreciente, el lím ite es 1 -v/íñ4 + n 36. (CG) U se una graficadora para analizar sn = para n = 1 hasta n = 10. Luego determ ine analíticam ente el com portam iento de la sucesión. Respuesta: decreciente para n > 7; el lím ite es 0 37. D em uestre que límn^ +„ an = 0 equivale a límn^ +„ lanI = 0. 38. Si sn > 0 para todo n y límn^ +„ s2 = c , pruebe que límn^ +„ sn = -\/c . 1 ( 2 ^39. (CG) D efina sn por recursión de la siguiente manera: s 1 = 2 y sn+1 = I sn + — I para n > 1. a) U se una graficadora para calcular sn para n = 2 , . , 5. b) D em uestre que si límn^ +„ sn existe, entonces límn^ +„ sn = V2. c) D em uestre que límn^ +„ sn existe. 40. D efina sn por recursión de la siguiente manera: s 1 = 3 y sn+1 = -j(sn + 6) para n > 1. a) D em uestre que sn < 6 para todo n. b) D em uestre que (sn) es creciente. c) D em uestre que límn^ +„ sn existe. d) Evaluar límn^ +„ sn. R espuesta : d ) 6 41. Pruebe el teorem a 42.2, incisos a), b), d) y f). CA PÍTU LO 42 Sucesionesinfinitas www.FreeLibros.me
  • Series infinitas Sea (sn) una sucesión infinita. Se puede formar la sucesión infinita de sumas parciales (sn) como sigue: 51 = s, 52 = s1 + s2 53 = s1 + s2 + s3 Sn = s1 + s2 + ••• + sn Generalmente se designa la sucesión (sn) mediante la notación ^l Sn = s1 + s2 + ' " + sn + ' " Los números s1, s2, . . ., sn, . . . se denominarán términos de la serie. Si S es un número tal que límK^+„ Sn = S, entonces la serie X Sn converge y S recibe el nombre de suma de la serie. Casi siempre se representa S mediante X s- n=1Si no existe ningún número S tal que límK^+„ Sn = S, entonces la serie ^ Sn diverge. Si límK^+„ Sn = - ^, la serie diverge a +^ y se escribe X sn = +°°. De igual forma, si límK^+„ Sn = -^ , entonces la serie diverge a - ^ y se escribe X sn = EJEMPLO 4 3 .1 . C o n s id e r e la s u c e s ió n ( ( - 1 ) n+'). L o s té rm in o s s o n s 1 = 1 , s2 = - 1 , s3 = 1 , s 4 = - 1 y a s í s u c e s iv a ­ m en te . P o r tan to , la s su m a s p a r c ia le s c o m ie n z a n c o n S 1 = 1 , S 2 = 1 + ( - 1 ) = 0, S 3 = 1 + ( - 1 ) + ( 1 ) = 1 , S 4 = 1 + ( - 1 ) + ( 1 ) + ( - 1 ) = 0 y c o n tin ú a n a ltern a d o u n o s y c e ro s . P o r c o n s ig u ie n te , lím K^ +„ Sn n o e x is te y la se r ie d iv e r g e (p e ro no a o - ^ ) . Series geométricas C onsidere la sucesión (arn-1>, que consta de los té rm inos a, ar, a r2, a r3 , ... L a serie X ar”-1 se d enom ina serie geom étrica con razón r y p r im e r térm ino a . Su n- é s im a sum a p arc ia l Sn está d ad a p o r Sn = a + a r + ar2 + — + arn-1 M ultip lique p o r r: rSn = a r + ar2 + — + a rn-1 + arn R este: Sn - rSn = a - arn P or tan to , (1 - r)Sn = a(1 - t-) a(1 - rn) 1 - r ^ 356^ n=1 www.FreeLibros.me
  • -----4357^ A hora todo depende de la razón r. S i lrl < 1, en tonces lím n^ +„ r°n = 0 [por el teo rem a 42 .4b)] y, p o r consiguiente, lím n^+„ Sn = a/(1 - r). S i lrl > 1, en tonces lím n^+„ rn = ^ [por e l teo rem a 42 .2a)] y, p o r tanto , lím n^+„ Sn = ^ . (U na excepción b a lad í se p resen ta cuando a = 0. E n este caso , todos los térm inos son 0, la serie converge y su sum a es 0.) E sto s resu ltados se resu m en en seguida. Teorema 4 3 .1 . Dada la serie geométrica ^ a rn-1: a) Si lrl < 1, la serie converge y tiene suma 1 — r b) Si lrl > 1 y a ^ 0, la serie diverge a ^ . EJEMPLO 4 3 .2 . Tómese la serie geométrica ^ ( t ) ' 1-1 con razón r = -j y primer término a = 1: 1 + T + i + 1 + ••■ 1 1Por el teorema 43.1a), la serie converge y tiene suma -¡— = — = 2. Así, V (D 1^ = 2. 1 — (^ ) 2 n=1 Se puede m u ltip lica r una serie £ s n p o r una constan te c p a ra ob tener una nueva serie ^ c s m y se pueden sum ar dos series ^ s n y ^ t n p a ra o b tener u n a nueva serie ^ ( s n + tn). Teorema 43 .2 . Si c ^ 0, entonces ^ c s n converge si y sólo si X s n converge. Además, en el caso de convergencia, X csn = GX sn n=1 n=1 P ara o b tener este resu ltado , denó tase p o r Tn = cs1 + cs2 + . . . + csn la n -é s im a sum a parc ia l de la serie ^ c s n. E n tonces, Tn = cSn es la n -é s im a sum a parc ia l de ^ sn. L uego , lím n n „ Tn ex iste si y sólo si ex is te lím n n „ Sn y, cuando los lím ites existen , lím n^ +„ Tn = c lím n n „ Sn. E sto resu lta p o r el teo rem a 43.2 . Teorema 4 3 .3 . Supóngase que dos series ^ sn y ^ J n convergen ambas. Entonces, su suma ^ ( s n + t j también converge y X (sn + tn) = X sn + X tn n=1 n=1 n=1 P ara com probarlo , sean Sn y Tn la n- é s im a sum a p arc ia l de ^ s n y X tn, respectivam ente. E n tonces, la n-é s im a sum a parc ia l Un de ^ ( sn + tn) se observa fác ilm en te com o Sn + Tn. L uego , lím n^+„ Un = lím n^+„ Sn + lím n^+„ Tn. E sto resu lta p o r e l teo rem a 43.3. Corolario 4 3 .4 . Supóngase que dos series X s n y X tn ambas convergen. Entonces, su diferencia ^ ( s n - tn) tam­ bién converge y X (sn - tn ) = X sn “ X tn n=1 n=1 n=1 E sto se deduce d irec tam en te de los teo rem as 4 3 .2 y 43 .3 . S ó lo obsérvese que ^ ( s n - tn) es la sum a de ^ s n y la serie X ( - 1 )tn. Teorema 4 3 .5 . Si ^ sn converge, entonces lím n^ +„ sn = 0 . P ara com probarlo , sea ^ sn = S. E sto sign ifica que lím n^ +„ Sn = S, donde, com o es usual, Sn es la n -é s im a n=1 su m a p a rc ia l de la serie . T am bién se tien e q u e lím n^ +„ Sn-1 = S . P ero sn = Sn - Sn-1. E n to n ces, lím n^ +„ sn = lím n^+„ Sn - lím n^+„ Sn-1 = S - S = 0. Corolario 4 3 .6 . (Teorema de divergencia.) Si lím„^+„ sn no existe o lím„^+„ sn *■ 0, entonces X s n diverge. É sta es la co nsecuenc ia ló g ica in m ed ia ta d e l teo rem a 43.5. CA PÍTU LO 43 Series infinitas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 43 Series infinitas EJEMPLO 4 3 .3 . La serie y + f + f + -f- +— diverge. Aquí, s n = in r i . Com o lím „ ^ +„ = 2 * 0 , el teorem a de divergencia im plica que la serie diverge. E l rec íp roco del teo rem a 43 .5 n o es válido: lím K^ +„ sn = 0 no im p lica que ^ sn converja. E sto se m uestra m ed ian te e l e jem plo siguiente. EJEMPLO 43 .4 . sum as parciales de esta serie: Considere la fam osa serie arm ónica ^ -3 = 1 + 1 + 3 + 4 + "5 +— . A hora analice las siguientes S 2 = 1 + 2 s4= 1+ 2 + — + 2 > 1+ 1 + 4 + 2 = 1+ 2 + 2 = 1+ 2 s 8= s 4+ 5 + 1 + 2 + 1! > S4 + 1 + 1! + 1! + 1 = S4+ 18=S4+ 2 > 1+ — 2 S = S + 1 +— 1— 1— 1— 1— 1— 1— 1— 1— 1— 1— 1— 1— — 6 S8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 > S + — + — + — + — + — + — + — + — = S + 1 8 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 S8 2 > ‘ + 2 Si se continúa de esta form a se obtendría S „ > 1 + 4 , S, fica que lím„_ ■32 ^ a . 2, u64 > 1 + f y, en general, S2k > 1 + k /2 cuando k > 1. Esto signi- Sn = + ^ y, por lo tanto, la serie diverge. Pero observe que lím„^+„ sn = lím„^+„ 1/n = 0. O bservación: la convergencia o la d ivergencia n o se ve a fec tada p o r la ad ic ión o e lim inación de un núm ero fin ito de térm inos a l com ienzo de una serie. P o r e jem plo , si se bo rran los p rim eros k térm inos de u n a serie y la sum a de los té rm inos bo rrados es c, en tonces cad a nueva sum a p arc ia l Tn ten d rá la fo rm a Sn+k - c. (P or ejem plo , T 1 es Sk+1 - c.) P ero lím K^ +„ (Sn+k - c) ex is te si y só lo si lím K^ +„ Sn+k ex iste , y lím K^ +„ Sn+k ex is te si y só lo si lím K^ +„ Sn existe. N otación: suele resu lta r ú til tra ta r las series en las que los térm inos de (Sn> tienen índ ices en teros n o n eg a ti­ vos: s0, s1, s2, s3, . . . . E n tonces, las sum as parc ia les Sn tam bién com enzarían con S0 = s0, y la sum a de una serie convergente se rep resen ta ría com o ^ sn. n=0 PROBLEMAS RESUELTOS 1. D eterm ine si la serie 1 + ¿ es convergente. 5 52 53 Ésta es una serie geom étrica con razón r = -f y el prim er térm ino a = -f. Com o Irl = |f | < 1 . El teorem a 43.1a) a _ = 1/5 = 1/5 = 1 rdice que la serie converge y que su sum a es 1 a r = j — (1/5) = 4/5 = 4 A nalice la serie —L + _L _ + _ L _ + _ L _ _|— para hallar la convergencia. JL ^ ^ I I ,1 El n -és im o térm ino es — 1 , -n . Esto es igual a 1 -----1—r. Por lo tanto, la n -és im a sum a parcialn • (n + 1) & n n + 1 ^ S = ^ + ^ + ^ + ^ + . + ____1___ S 1 . 2 2 • 3 3• 4 4• 5 n • (n +1) = ( 1 - 2 ) + ( 2 - — ) + ( 2 - ? ) + ( 4 - J ) + ••• + (+ l ± - n n + 1 = 1 - n + 1 www.FreeLibros.me
  • Así, lím S = lím (1 -1—¡-1=1 - 0 = 1. En estas condiciones, la serie converge y su suma es 1.n^+ ^ n \ n + 1 / ------------- 4 359^ 3. Se sabe que la serie geométrica 1 + 1 + ^ + 8 + ^ +— converge a S = 2. Analice la serie resultante cuando a) sus primeros términos se suprimen; b) los términos 3, 2 y 5 se agregan al comienzo de la serie. a) La serie resultante es una serie geométrica 16 + +— con razón y. Converge a 1 1/ y 2) = 17-6 = 1 . Observe que esto es lo mismo que S - (1 + \ + -4 + 8) = 2 - (x ) = 8 . b) La nueva serie es 3 + 2 + 5 + 1 + \ + -4 + -8 +16 +— . Las nuevas sumas parciales son las antiguas más (3 + 2 + 5). Como las sumas parciales antiguas convergen a 2, las nuevas convergen a 2 + 10 = 12. Entonces, la nueva serie resulta convergente y su suma es 12. 4. Demuestre que la serie 1 + + -8 + H +— diverge. 2 n —1 1 1 Aquí, sn = ^ n — = 1 — . Como lim = 0, resulta que lim sn = 1 - 0 = 1 ^ 0. Así, por el teorema de2 2 n^+ ^ 2 n^+^ divergencia, la serie diverge. 5. Analice la serie 9 - 12 + 16 - -64 + ^ ----- para hallar la convergencia. Ésta es una serie geométrica con razón r = ——4. Como Irl = y > 1, el teorema 43.1b) indica que la serie diverge. 6. Evalúe j r = 1 - ~1 + 1 + 1 + 1 6 — • . , n=0 É sta es una serie geom étrica con razón r = — y el prim er térm ino es a = 1. Com o Irl = 1 < 1 , la serie a 9/10 1 2 converge y su sum a es j —y = 1 — (—1/ 2) = 3/2 = 3 . 7. D em uestre que el decim al infinito 0 .999 ... es igual a 1. 0.999 • • • = 1 0 + 1 0 0 + 109)0 H— . Ésta es una serie geom étrica con el prim er térm ino a = 0^ y razón r = ^0. Por tanto, converge a la sum a . a = 9/11.0 „ ' = 9/10 = 1. 1 — r 1 — (1/10) 9/10 8. A nalice la serie j —3 + y y + + 7 ^ H— . Aquí, s n = ^ ----- ----------7T-. Observe que 77;-----— n r = 1 P 1 , — ~ 1 , ). Por tanto, la n-é s im a sumaM n (2n — 1)(2n + 1) M (2n — 1)(2n + 1) 2 \ 2 n — 1 2n + 1 ) parcial Sn es 1 / 1 1 \ , 1 / 1 1 \ , 1 / 1 1 \ , , 1 Í 1 1 \ 1 /1 __ 2 \1 3 / 2 \3 5 j 2 \5 l j 2 \2 n - 1 2n + 1) 2 \ 2n +1 Entonces, lím Sn = -j. Luego, la serie converge a -j. 9. Analice la serie 3 + + ^ 3 + 4^3 +— . sn = n¡3 = 3yn = e(ln3)/n . Luego, lím sn = e 0 = 1 ^ 0 Por el teorema de divergencia, la serie diverge. 10. Analice la serie 113 +1- + ^ +— . Esta serie se obtiene de la serie armónica al borrar los primeros nueve términos. Como la serie armónica diverge, entonces este serie también lo hace. 11. (P a ra d o ja de Z enón) Aquiles (A) y una tortuga (T) tienen una carrera. T arranca 1000 pies adelante, pero A corre a 10 pies/s, mientras que T sólo a 0.01 pies/s. Cuando A alcanza el punto de partida de T, T ha avanzado una distancia corta, etcétera. Zenón decía que A nunca alcanzaría a T. Demuestre que sí lo hará. Cuando A llega al punto de partida de T han pasado 100 segundos y T se ha movido 0.01(100) = 1 pie. A recorre ese pie adicional en 0.1 segundos, pero T se ha movido 0.01(0.1) = 0.001 pies más. A necesita 0.0001 CA PÍTU LO 43 Series infinitas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 43 Series infinitas segundos para recorrer esa distancia, pero T, entre tanto, se ha movido 0.01(0.0001) = 0.000001 pies, etcétera. El lím ite de la distancia entre A y T tiende a 0. El tiem po im plicado es 100 + 0.1 + 0.0001 + 0.0000001 + ..., que es una serie geom étrica con prim er térm ino a = 100 y razón r = 1/1000. Su sum a es a 100 _ 100 _ 100000 1 - r 1 - (1/1000) 999/1000 999 lo que constituye un poco más de 100 segundos. La paradoja surge de la división artificial del hecho en infinitam ente m uchos pasos cada vez más y m ás cortos. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 12. A nalice cada una de las series geom étricas siguientes. Si la serie converge, halle su suma. a) 4 - 1 + -4 - + • b) 1 + 1 + £ + f + ■ Respuesta: S = 16 Respuesta: D iverge Respuesta: S = f Respuesta: S = e -1 13. U na bola de caucho cae de una altura de 10 pies. Cuando golpea el suelo, rebota hacia arriba tres cuartos de la altura anterior. ¿Cuál es la distancia total recorrida por la bola antes que se detenga? Respuesta: 70 pies 14. A nalice la serie 1 1 1 n(n + 4) 1 ■ 5 2 ■ 6 3 ■ 7 15. A nalice la serie y 1 1 1 1n(n + 1)(n + 2) 1 ■ 2 ■ 3 2 ■ 3 ■ 4 3 ■ 4 ■ 5 Respuesta: S = -4 16. Evalúe X sn cuando sn es la siguiente: n=1 1a) 3-n; b) n ( n + 2) ’ Respuestas: a) 7; b ) f ; c) -f1 ; d ) 1 c) 1 n(n + 3) d ) (n + 1)! 17. D em uestre que cada una de las series diverge: a) 3 + ■j + ■j + i + ■ d) e + j r + -§7 + -§4 +• 18. Evalúe lo siguiente: a) X (i + 7 ¡r ) b ) y 4 n c ) 1 + ^ + ^ + ^ _ C) 2 + V2 + 7 2 + 7 2 c ) y 2 n + 11 n2(n + 1 ) 2n= www.FreeLibros.me
  • -^ 361^ d) X 2n + 3 n X r nn=0 e) V 2 1^ 3 n n=l f ) Xn=l g ) y n 2 - 3 h ) - ( _ l ) n i) Xn=l^ n 2 + n + 2n=l Z-i 52n n=l j ) X i n=l Respuestas: a) -^ t; b) +ra; c) l ; d) ^r; e) l ; f ) + ^ ; g) + ^ ; h) - 26; i) 8; j) 19. (CG) En los problem as l a 6, use una calculadora en las prim eras diez sum as parciales y determ ine con cuántas cifras decim ales es correcta la décim a sum a parcial de la sum a de la serie. 20. (CG) a) Si Ixl < l , ¿cuál función está representada por X x n = 1 + x + x 2 + x 3 +— ? n=0 b) U se una graficadora para graficar l + x + x2 + x3 + ... + xr en el intervalo ( - l , l ) y com pare la gráfica con la de la función en el inciso a). lRespuesta: a) l - x 21. En cada punto siguiente, determ ine los valores de x para los cuales converge la serie indicada; luego halle la función representada por la sum a de la serie para tales valores de x. a) E ( 3 x ) n b) E (x - 2)n c) S Í 2 ) d) E ( ^ n=0 n=0 n=0 ' n=0 Respuestas: a) lx l < 1 , 1 \ ; b) 1 < x < 3 — ; c) lx l < 2, 2 — x ; d) -1 < x < 3, 2 3 1 — 3x 3 — x 2 x 3 x n 23n 3 CA PÍTU LO 43 Series infinitas www.FreeLibros.me
  • ^ 362^ Series con términos positivos. Criterio de la integral. Criterios de comparación Series con términos positivos Si todos los térm inos de u n a serie ^ s n son positivos, en tonces la serie se d enom ina serie positiva . P ara una serie positiva ^ s n, la sucesión de sum as parc ia les (Sn) es u n a sucesión crec ien te p o rque S„+1 = Sn + s«+1 > Sn. C on esto se llega a l sigu ien te resu ltado útil. Teorema 4 4 .1 . U na serie positiva ^ sn converge si y sólo si la sucesión de sum as parciales (sn) es acotada. P ara com probarlo , observe p rim ero que si ^ sn converge, en tonces, p o r defin ición , (Sn) converge y, p o r tanto, p o r el teo rem a 42 .1 , (Sn) es aco tada. R ecíp rocam en te , si (Sn) es aco tada. P o r el con trario , si (Sn) es aco tada, en ­ tonces, com o tam b ién es crec ien te , p o r e l teo rem a 42 .8 se deduce que (Sn) converge, es decir, ^ sn converge. Teorema 4 4 .2 . (Criterio de la integral.) Sea ^ sn una serie positiva y seaf(x) una función continua positiva decre­ ciente en [1, + ^ ) tal que f(n ) = sn para todo entero positivo n. Entonces: X s « converge si y sólo si J f (x) d x converge. D e la figu ra 44.1 se observa que J f (x )d x < s1 + s2 h------k sn_1 = S n_1 . S i ^ s n converge, en tonces (Sn) es aco ­ tada; así J f (x) d x será aco tada p a ra todo u > 1 y, p o r tan to , J f (x) d x converge. R ecíp rocam ente , de la figura Í n (• nf (x) d x y, p o r consigu ien te , Sn < I f (x) d x + s1. E n estas cond iciones, .+» 1 .+» n J1 si ^ f (x) d x converge, en tonces Sn < | f (x) d x + s1 y en co nsecuenc ia (Sn) será aco tada . A sí, p o r e l teo rem a 44 .1 , converge, con lo que se dem uestra el teo rem a 44.2 . www.FreeLibros.me
  • -^ 363^ v ln n EJEMPLO 44.1. diverge. Sea f (x) - -~x~ . Ahora, f+" ^ d x = lím fU^ d x = lím -2(lnx )2Jl X U——+" Ji X U——+" Por tanto, por el criterio de la integral ^ 2, - diverge. EJEMPLO 44.2. ^ - 1- converge. = lím y((lnu)2 - 0) = + " Sea f (x) = x1“. Ahora í \ dx = lím í \ dx = lím - — = lím - (— - l) = 1 Jl x u—>+^ Jl x u—>+^ x _i U—>+^ \ U / V 1Así, por criterio de la integral ^ — converge. O bservación: el c rite rio de la in teg ra l pu ed e ex tende rse fác ilm en te al caso en que el lím ite in fe rio r de la in teg ra l se cam b ia de 1 a cua lqu ie r en te ro positivo. Teorema 44.3. (Criterios de comparación.) Sean ^ an y ^ bn dos series positivas tales que existe un m entero positivo para el cual ak < bk para todo entero k > m. Así: 1. Si ^ bn converge, entonces ^ an también converge. 2. Si ^ an diverge, entonces ^ bn también diverge. Se p o d ría asu m ir en la deducción del teo rem a 44.3 que m = 1, ya que la convergencia no se ve a fec tad a al b o rra r un nú m ero fin ito de térm inos a l com ienzo de u n a serie. O bserve tam b ién que e l n um era l 2 de la lis ta de a rrib a es u n a co nsecuenc ia lóg ica del n um era l 1. P ara p ro b ar este ú ltim o, supóngase que ^ b n converge. Sea B n = b 1 + b2 + . . . + bn la n -és im a sum a p arc ia l p a ra ^ b n, y sea A n = a 1 + a 2 + . . . + an la n -és im a sum a parc ia l p a ra ^ a n. E n tonces, A n < B n, pues ak < bk p a ra todo k. C om o ^ b n converge, se deduce p o r el teo rem a 44.1 que la sucesión (B n) es aco tada. E n v irtud de que A n < B n, p a ra todo n, se deduce que la sucesión (An) es acotada. E n tonces, p o r el teo rem a 44 .1 , ^ a n converge. E sto dem uestra e l teo rem a 44.3. EJEMPLO 44.3. T O c o n v e r g e . 1 1 1Sea an - — — 5 y bn - — . Así, an < bn para toda n . Por el ejemplo 2, ^ — converge. Entonces, por el criterio de n 2 + 5 comparación, Y -5 c o n v e r g e . EJEMPLO 44.4. Y 3, + 5 diverge. 1 1 1 1Sea an - y bn - 3n + 5 . Ahora, an < bn n > 5. (Para comprobarlo, observe que ^ - 3 n + 5 equivale a 3n + 5 < 4n , que equivale a 5 < n .) Recuérdese que la serie armónica ^ — diverge (por el ejemplo 4 del capítulo 43). Por E1 n x "1 1diverge por el teorema 43.2. El criterio de comparación implica que ^ 3n + 5 diverge.A veces, com o en e l e jem p lo 44 .4 , es p rec iso rea liza r m an io b ras com p licad as p a ra ap lica r e l c rite rio de com paración . E l re su ltado sigu ien te b rin d a una herram ien ta m u ch o m ás flexible. Teorema 44.4. (Criterio de comparación por paso al límite.) Sean ^ an y ^ bn dos series positivas tales que L - lím an existe y 0 < L < + ^ . Entonces, Y \an converge si y sólo si Y '.bn converge. S*!_X f)n—+" U n CA PÍTU LO 44 Series con térm inos positivos www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 44 Serles con térm inos positivos S upóngase que ^ bn converge. S ea c un núm ero positivo ta l que L < c. E n tonces ex is te un en tero positivo m ta l que an/bn < c p a ra todo n > m . P o r tanto , an < cbn p a ra todo n > m . P ero com o ^ c b n converge, X cbn tam bién lo hace . P o r consigu ien te , p o r el crite rio de com paración ^ an converge. R ecíp rocam en te , si ^ an converge, en- b 1 tonces, \ b n tam b ién lo hace. (D e hecho , lím n^ +„ -ar = l > 0 y es po sib le em p lear e l m ism o tipo de argum ento n que se acaba de dar.) EJEMPLO 4 4 .5 . £ 3n^—35— 2 4 diverge. C uando se trata con los cocientes de polinom ios, una regla práctica es ignorar todo salvo los prim eros términos. 3n2 3 1 1 En este caso, se tiene -7—3 = 7 ■ . Se intenta una com paración por paso al lím ite con — . A hora lím 3n2 - 5n + 4 / 1 7n3 + 2 ) n = lím 3n3 - 5n2 + 4n _ 3 7n3 + 2 7 Com o ^ 1 diverge, el criterio de com paración por paso al lím ite dice que ^ 3—7 ^ — 2 4 diverge. EJEMPLO 4 4 .6 £ 5n 2 ^ - 4n2 + 7 C° nVerge' M ediante la regla práctica dada en el ejem plo 44.5 respecto a los prim eros términos, se observa que = n f = —=2. Entonces, se intenta una com paración por paso al lím ite con —12-: lím 5n - 2 = lím 5n3 - 2n2 V n6 - 4 n 2 + 76 - 4 —2 + 7 , Se divide el num erador y el denom inador entre n3. N ótese que en el denom inador se obtendría -V —6 — 4 —2 + 7 = —^ >/—6 — 4 —2 + 7 = . ¡1 — -4r + —3 J f 7 V —4 —6 El resultado sería lím 1 - 4 + “7 rn 4 x 6 Por tanto, como se sabe por el ejem plo 44.2 que \ converge, el criterio de com paración por paso al lím ite im plica V 5— - 2 n que ^ n 6 - 4— 2 + 7 COnVerge. PROBLEMAS RESUELTOS Considere la serie ^ -—y , donde p es una constante. Se trata de la denom inada serie p. Entonces: —p converge. b) Si p < 1, la serie ^ -—p diverge. Podría suponerse que p ^ 1, ya que se conoce que la serie arm ónica ^ diverge. También podría suponerse q u e p > 0; si p < 0, lím^ - —p ^ 0 y el teorem a de divergencia im plica que la serie diverge. Se aplica el criterio de la integral con f (x) = 1/x p . ( fx ) es positiva y decreciente en [1, + ^ ) .) Ahora, - u r+ ~ 1 1 x 1- — I —p dx = l í m I dx = l í m - p — J i x p u ^ + ~ J i x — u ^ + ~ 1 - — = l í m f - 1 Y+ f 1 — — 1 — — J www.FreeLibros.me
  • -^ 365^ a) p > 1 . E n t o n c e s , p - 1 > 0 y . A s í l í m ^ , u}~ p = l í m ^ +„ = 0 ' L u e g o , l ím ^ ^ j = p ^ . P o r e l c r i t e r i o d e l a i n t e g r a l X ~ p c o n v e r g e . 1- f M1_ p 1 ^b) p < 1 . E n t o n c e s , 1 - p > 0 y l í m n^ +„ u 1 p = +°° . L u e g o , l í m n^ +„ ^ 1 — p - ^ — p J = + c » y p o r e l c r i t e r i o d e la integral E ^ diverge. ' n p En los problem as 2 a 7 determ ine la convergencia en las series dadas. 2 . 1 + - ^ + - L + - L + • • • . 4 3 S V 7 1 1 s n = i = . Sea f ( x ) = , =■. En [1, + ^ ) , f (x ) > 0 y f es decreciente. V 2n — 1 V 2x — 1 í +" , 1 dx = l í m í “ . dx = l í m 1 í “ (2x - 1) \ ¡ 2 x - 1 ^+»J1 V 2x - 1 ^ i = l í m | ( 2) (2x - 1)1/2 u = l í m ( (2u - 1)1/2 - 1) = + < ~ 1 u—> + ^ En consecuencia, la serie diverge por el criterio de la integral. 1 1 13 + 2 < _3 . es convergente, ya que es una se riep c o n p = 3 > 1. Por tanto, por el criterio den + 2 n n com paración, S n + 2 es convergente. 4. 1 + — + — + — - 2 ! 3 ! 4 ! s n = i O bserve que n|y = n(n — 1)1----- 3~2 “ 2 —1 para n - 2. Com o ^ e s una serie geom étrica convergente (con razón r = -j), ^ n es convergente por el criterio de comparación. 5 2 + 3 + 4 + -5­5. 2 + 2T + 3T + 43" sn = n +31 . U se la com paración por paso al lím ite con n- = -¡y . n n n l í m " -+ 1 / 1 = l í m = 1 n^+- n / n n^+- n Se sabe que E n " converge. Entonces, por el criterio de com paración por paso al lím ite, E n„3 ^converge. 6. 1 + + 3 - + i jT + • • • . sn = nn . A hora, n n = n • n 1 • • • n ^ i 1—1 y E 2^ es una serie geom étrica convergente (r = ^ ) , Entonces, por el criterio de com paración, E converge. 7 1 + 22+1 + 3 2 + 1 + 4 2 + 1 + • • • 7 1 + 23 + 1 + 33 + 1 + 4 3 + 1 + . n 2 +1 n 2 1sn = n3 + 1. U se la com paración por paso al lím ite con —f = p • l í m n 2 + 11/1n3 + 1 // n = lím 4 ^ = 1n^ +» n3 + 1 CA PÍTU LO 44 Serles con térm inos positivos www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 44 Series con térm inos positivos E 1— diverge. Entonces, por el criterio de com paración por paso al lím ite V n 2 + 1 j - n X - s t t A verge- 8 . 1 . 1 . 1 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4 s = —. — está definida para n > 2 . n n ln n ^ r = lím í u- d ^ - = lím ln (ln u ) J 2 x ln x u^ + ~ J 2 x ln x u^ + ~ Por tanto, la serie diverge por el criterio de la integral. = lím (ln (ln u) - ln ( ln 2)) = + ^ 9. ¿ C u á n t o s t é r m i n o s d e X “ T b a s t a n p a r a o b t e n e r u n a e x a c t i t u d d e d o s c i f r a s d e c i m a l e s ( e s d e c i r , u n e r r o r < 5 / 1 0 3)? n S i s e u t i l i z a n k t é r m i n o s , s e r e q u i e r e q u e e l e r r o r Y - Y -1 = Y 4 f < í -1 dx = lím í -1 dx = lím - 1z - 'n 2 " n2 n 2 h x 2 u—+» Jk x 2 u—+» x = lím - ( — - -ku——+™ \ u k = 1 < = _ J _ k 103 200 Por tanto, 200 < k. Entonces, es suficiente utilizar 201 térm inos de la serie. (Puede em plear una graficadora 201 — para hallar X _ 2 “ 1.64.) 10. S u p ó n g a s e q u e X s n c o n v e r g e e n v irtu d d e l c r ite r io d e la in te g ra l a p lic a d a a f (x) y , p a ra c a d a n, e l e rro r (o r e s id u o ) , Rk d e s p u é s d e k té rm in o s se d e f in e c o m o + ~ k + - E s - - S Sn . E n to n c e s R = X ^n < J k f ( x ) d x . n=1 n=1 -= k+1 X - 1H a lle u n a c o ta en e l e rro r c u a n d o X —2" e s a p r o x im a d a p o r lo s p r im e ro s c in c o térm in o s 1 + — + — + — + — = 5 2 6 9 « 1 4 6 3 6 1 + 4 + 9 + 16 + 2 5 3 6 0 0 E l e rro r R5 < í dx = 4- = 0.2.5 J5 x 2 5 11. S u p ó n g a s e q u e ^ s n y ^ c n so n s e r ie s p o s it iv a s , ^ c n c o n v e r g e y sn < cn p a ra to d o -. E n to n c e s e l e rro r Rk d e s p u é s d e k té rm in o s es + - ií X s- - X s- = X s- ^ X c - . n=1 -=1 n= k+1 n=k+1 1¿ P o r lo m e n o s c u á n to s té rm in o s se n e c e s ita n p a ra c a lc u la r X -5 + . c o n un e rro r < 0 .0 0 0 0 1? n=1 E n e s te c a s o s = , y c = E s s u fic ie n te te n e r X < 0 .0 0 0 0 1. A h o r a , X < í dx = -—t .n n + 1 J n n 5 " , n 5 " T , n Jk x 5 4 k 4n= k+1 n= k+1 E n to n c e s , se n e c e s ita < 0 .0 0 0 0 1 = —0 0 1 ) 0 0 . D e fo r m a e q u iv a le n te , 10 0 000 < 4k4, 2 5 000 < k4, k > 13. u u www.FreeLibros.me
  • -^ 367^ PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS P a r a l o s p r o b l e m a s 1 2 a 4 3 , d e t e r m i n e s i l a s e r i e c o n v e r g e . 1 2 . I 13. I n ( n + 1) ( n + 1) ( n + 2) 14 I n 1 4 . 1 n 2 +1 Respuesta: c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n c o n ^ n 3 ' Respuesta: d i v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n ^ Respuesta: d i v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n ^ 1 15. i i n Respuesta: c o n v e r g e ; c r i t e r i o d e l a i n t e g r a l 16. I 2n < (n + 1 ) (n + 2 ) ( n + 3 ) 1 7 . 1 (2n + 1)2 18. " n 3 -1 19. I 20. I n - 2 l n n n 2 + 2 Respuesta: co n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n ^ - n r Respuesta: co n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n ^ -“ 2 Respuesta: co n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n ^ n " E 1 — f Respuesta: c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p a s o a l l í m i t e c o n ^ —372- 2 1. x » s e n ( n ) 22 . E J ­ V n 23 . S ± Respuesta: d i v e r g e ; t e o r e m a d e d i v e r g e n c i a Respuesta: d i v e r g e ; s e r i e p , p = 1 < 1 Respuesta: c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n c o n ^ 2 - T , n - 2 24. y ^ v » Respuesta: d i v e r g e ; c o m p a r a c i ó n c o n ^ jln^n_ 25. I I T T 26. I + l n n n +1 ;V 3 n - 2 Respuesta: d i v e r g e ; c o m p a r a c i ó n c o n ^ n Respuesta: d i v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n 2 7 . I n l n n ¿ ( l n n ) ( p a r a n “ 3 ) Respuesta: d i v e r g e ; c r i t e r i o d e l a i n t e g r a l n 3n CA PÍTU LO 44 Serles con térm inos positivos www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 44 Serles con térm inos positivos 28. ^ « l n « ( l n ( l n « ) ) 2 ( p a r a n > 3 ) Respuesta: c o n v e r g e ; c r i t e r i o d e l a i n t e g r a l 29 — + — +___ 1___ i___1___ + . . . 2 9 4 2 + 7 2 + 1 0 2 + 1 3 2 + . 1 X"'' 1Respuesta: sn = (3« + 1) 2 ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n ^ « " 30 3 + 3 + 3 + 3 + . . . 21/3 31/^ 41/3 T • 3 Respuesta: sn = « 73; d i v e r g e ; s e r i e p , p = y < 1 31 1 + 1 + 1 +— 1— + . . .+ 5 + 9 + 13 + . Respuesta: sn = 4« ^ 3 ; d i v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n ^ 1 32. 1 + 1 ■ 1 ■ 1 | 2 3 . 4 4 . 5 . 6 5 . 6 . 7 . 8 1 1Respuesta: sn = (« + 1) ( « + 2)--------- (2 n ) '; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n ^ « y 33. 2 + 3 ■ 4 ■ 5 . 3 2 . 3 2 3 . 3 3 4 . 3 4 « + 1 X""' 1Respuesta: sn = « 3n ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n ^ 3 - 2 2 . 2 2 3 . 23 4 . 2 4 1 X""' 1Respuesta: sn = —2« ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n c o n ^ y“n n 2n ’ 35 2 + 3 + 4 + 5 35 . 1 • 3 + 2 • 4 + 3 • 5 + 4 • 6 Respuesta: sn = « ( « l ^ ) ; d i v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n ^ 1 36 1 + 2 + 3 + 4 2 + 32 + 4 ^ + 5 " " « X""' 1Respuesta: sn = ( « + 1) « ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n c o n ^ 1 X"1 1Respuesta: sn = (n+2)/ 2 ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n c o n ^ —y 3 8 . 1 + 5 + 1 0 + 1 7 + • • • ■ Respuesta: sn = « 2+_1 ; d i v e r g e ; c o m p a r a c i ó n p o r p a s o a l l í m i t e c o n ^ 1 3 o 2 + + 2 • 4 • 6 + 2 • 4 • 6 • 8 , 39 5 + 5 • 8 + 5 • 8 • 1 1 + 5 • 8 • 1 1 • 1 4 + • ” Respuesta: s = C2Q4----- . . (2«,) . ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i ó n c o n ^ ( - | ) n n 5 . 8 ......... ( 2 + 3 « ) www.FreeLibros.me
  • ^ 369^] 44. ( C G ) E s t i m e e l e r r o r c u a n d o : + ^ 1 a) S 3n + 1 e s a p r o x i m a d a p o r l a s u m a d e s u s p r i m e r o s s e i s t é r m i n o s . n=1 1 b ) S 4 — 3 e s a p r o x i m a d a p o r l a s u m a d e s u s p r i m e r o s s e i s t é r m i n o s . n=1 4 + 3 Respuestas: a) 0 . 0 0 0 1 ; b ) 0 . 0 0 0 0 9 45. ( C G ) a) C a l c u l e e l e r r o r c u a n d o l a s e r i e g e o m é t r i c a ^ 2 " e s a p r o x i m a d a p o r l a s u m a d e s u s p r i m e r o s s e i s t é r m i n o s . b ) ¿ C u á n t o s t é r m i n o s s o n s u f i c i e n t e s p a r a c a l c u l a r l a s u m a s i e l e r r o r p e r m i s i b l e e s 0 . 0 0 0 0 5 ? Respuestas: a) 0 . 0 4 1 ; b ) 1 6 "V 146. ( C G ) a) ¿ C u á n t o s t é r m i n o s e s s u f i c i e n t e a p r o x i m a r S —4 c o n u n e r r o r < 0 . 0 0 1 ? n=1 n + ^ 1 b ) D e t e r m i n e u n l í m i t e e n e l e r r o r s i s e a p r o x i m a S ~ p o r l a s e x t a s u m a p a r c i a l n=1 n c) ¿ C u á l e s l a a p r o x i m a c i ó n a S ~ r p o r l a s e x t a s u m a p a r c i a l , c o r r e g i d a a c u a t r o c i f r a s d e c i m a l e s ? n=1 n Respuestas: a) 1 ; b ) 0 . 0 0 1 5 ; c ) 1 .0 8 1 1 47. ( C G ) S e a S n l a n - é s i m a s u m a p a r c i a l 1 + 2 +---------+ - i d e l a s e r i e a r m ó n i c a d i v e r g e n t e . a) D e m u e s t r e q u e l n ( n + 1 ) < S n < 1 + l n n . b) S e a En = S n - l n n . D e m u e s t r e q u e ( E n) e s a c o t a d a y d e c r e c i e n t e . c ) D e m u e s t r e q u e ( E n) c o n v e r g e . S u l í m i t e s e r e p r e s e n t a c o n y y s e d e n o m i n a l a c o n s t a n t e d e Euler. d) U s e u n a g r a f i c a d o r a p a r a a p r o x i m a r E999 a o c h o c i f r a s d e c i m a l e s . 40. 3 + _^ + I L + d + ... 2 1 0 3 0 68 ' 42. 43. Respuesta: sn = 2n ++n; converge; com paración por paso al lím ite con ^ ■n-2 3 + 10 + 2 L + _6^ + 2 + 24 + 108 + 320 + " ' . Respuesta: sn = ^ _+n2¡ ; diverge; comparación por paso al límite con ^ 1 1 2 3 4--- ------1-----—-----1-----------1-----—-----h ••• 22 - 1 32 - 2 4 2 - ^ 5 2 - 4 n 1 Respuesta: s n = ( n + 1) 2— n ’ diverge; com paración por paso al lím ite con ^ n + 1 + 1 + 1 + . . . 23 - 12 + 33 - 2 2 + 4 3 - 3 2 + 53 - 4 2 + . Respuesta: sn = ( n + 113 — n 2; converge; com paración por paso al lím ite con ^ n i r Respuestas: d) 0.57771608 (de hecho, y ~ 0.57721566). CA PÍTU LO 44 Series con térm inos positivos www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 44 Serles con térm inos positivos 48. (Extensión del criterio de com paración por paso al lím ite.) Supóngase que Dem uestre a) lím — = 0 y Y tn converge, entonces Y 'sn tam bién lo hace. n^ +” tn b) lím -n = y ^ í n diverge, entonces 'Y s n tam bién lo hace.n^ +~ tn (ln n )449. A plique la extensión del criterio de com paración por paso al lím ite para determ inar si X 3 converge. Respuesta: converge; use ^ y el problem a 48 a ). 50. Supóngase que ^ sn es una serie positiva y l í m ^ ^ nsn existe y es positivo. D em uestre que X s n diverge. (Sugerencia: com pare por paso al lím ite con Y ( j - ) . ) 51. Supóngase que ^ sn y ^ tn son series convergentes positivas. D em uestre que ^ sn tn converge. n y ^ tn son series positivas. www.FreeLibros.me
  • Series alternadas. Convergencia absoluta y condicional. Criterio del razón Series alternadas U n a serie cuyos térm inos son a lternativam ente positivos y negativos es una serie a lte rn a d a . Se pu ed e escrib ir de la fo rm a X ( - 1 )n+1a n = a . - a 2 + a 3 - a 4 + a 5 - . . . donde an son todos positivos. Teorema 4 5 .1 . Teorema de las series alternadas. S e a X ( - 1 ) n + ' an u n a s e r i e a l t e r n a d a . S u p ó n g a s e q u e : 1 . l a s u ­ c e s i ó n (an) e s d e c r e c i e n t e ; 2 . l í m n an = 0 . E n t o n c e s : I . X ( - 1 ) n + 1a n c o n v e r g e a u n a s u m a A . II . S i A n e s l a n - é s i m a s u m a p a r c i a l y R n = A - A n e s e l e r r o r c o r r e s p o n d i e n t e , e n t o n c e s IR n l < an+. ( e s d e c i r , e l e r r o r e s m e n o r e n m a g n i t u d q u e e l p r i m e r t é r m i n o o m i t i d o ) . I. C o m o ( ü —) e s d e c r e c i e n t e , a2n+. > a2n+2 y , p o r t a n t o , a2n+. - a2n+2 > 0 . E n t o n c e s , A 2 n + 2 = ( ü 1 - ü 2 ) + ( ü 3 - ü 4 ) + + ( ü 2 n - 1 - a2n) + ( ü 2 n + 1 - ü 2 n + 2 ) = A 2 n + ( a 2 n+1 - a2 n+ 2 ) > A 2 n > 0 E n t o n c e s , l a s u c e s i ó n (A 2n) e s c r e c i e n t e . T a m b i é n , A 2 n = a , - ( ü 2 - a 3 ) - ( ü 4 - Ü5 ) -( ü 2 - - 2 - ü ^ - j ) - ü 2 - < ü , P o r t a n t o , (A 2n) e s a c o t a d a . L u e g o , p o r e l t e o r e m a 4 2 . 8 , (A 2n) c o n v e r g e a l l í m i t e L . A h o r a A 2 n + . = A 2 n + a2n+ .. P o r c o n s i g u i e n t e , ^ A2n+1 = A 2n + ^ ü2n+1 = L + 0 = L A s í p u e s , l í m n ^ + „ A n = L y , p o r t a n t o , X ( - 1 ) n + Ta n c o n v e r g e . H . R m = ( a 2 n + 1 - a 2 n + 2 ) + ( ü 2 n + 3 - a2n+4) + ' "> 0 y R 2 n = ü 2 n + 1 - ( ü 2 n + 2 - ü 2 n + 3 ) - ( ü 2 n + 4 - ü 2 n + 5 ) - " < ü 2 n + . . P o r t a n t ^ IR 2 n I < ü 2 n + 1 . P a r a í n d i c e s i m P a r e s , R 2 n +1 = - ( a 2 n + 2 - ü 2 n + 3 ) - ( ü 2 n + 4 - ü 2 n + 5 ) - " < 0 y R 2 n + 1 = - ü 2 n + 2 + ( ü 2 n + 3 - a2n+4) + ( ü 2 -+ 5 - a 2 n + 6 ) + • • •> - Ü 2 n + 2 . P o r t a n t o , IR ^ + T < ü 2 - + 2 . A s í , p a r a t o d o k, IR * I < ak+ .. « 71J www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 45 Serles alternadas 1 _ 1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + .. . 1 2 3 4 5 6 converge en virtud del teorem a de la serie alternada. Por el num eral II de ese teorem a, la m agnitud IRnI del error después de n térm inos es m enor que n + 1 • Si se desea un error m enor que 0.1, es suficiente tom ar + 1 < 0.1 = 110 , que equivale a 10 < n + 1. Entonces, n > 9. Así, debe usarse A, = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 8 7 9 ~ 0 7456 A 1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 2520 Definición. Considérese una serie arbitraria E s , E s n es absolutam ente convergente si ^ l s nl es convergente. E s n es condicionalm ente convergente si es convergente pero no absolutam ente convergente. EJEMPLO 45.2. La serie arm ónica alternada ^ ( - 1)n+1 1 es condicionalm ente convergente. EJEMPLO 45.3 La serie ^ ( - 1)n+1 n ' es absolutam ente convergente. Es necesario enunciar dos resultados significativos sobre la convergencia absoluta y condicional. En adelante, por reorganización de una serie se entenderá una serie obtenida de una serie dada m ediante la reorganización o reor­ denam iento de sus térm inos (es decir, cam biando el orden en el que se presentan los términos). 1. Si es absolutam ente convergente, entonces toda reorganización de E s n es convergente y tiene la mism a suma que E * , 2. Si ^ s n es condicionalm ente convergente y si c es cualquier núm ero real o + ^ o - ^ , entonces hay una reorga­ nización de con sum a c. Teorema 45.2. Si una serie es absolutam ente convergente, entonces es convergente. En el problem a 1 puede verse la dem ostración. O bserve que una serie positiva es absolutam ente convergente si y sólo si es convergente. El siguiente es probablem ente el más útil de todos los criterios de convergencia. Teorema 45.3. El criterio de la razón. Sea E s n una serie cualquiera. EJEMPLO 45.1. La serie armónica alternada 1. Si lím 2. Si lím 3. Si lím • V i = r < 1 , entonces E s n es absolutam ente convergente. = r y (r > 1 o r = + ^ ) , entonces ^ s n, diverge. = 1 , entonces no se puede deducir ninguna conclusión sobre la convergencia o divergencia de E sn . Para ver una dem ostración, repase el problem a 14. Teorema 45.4. El criterio de la raíz. Sea ^ s n una serie cualquiera. 1. Si Si lím n lsnl = r < 1, entonces V s n es absolutam ente convergente.n^ + ^ V 2. Si lím n lsnl = r y (r > 1 o r = + ^ ) , entonces £ .s n es absolutam ente divergente. 3. Si lím n lsnl = 1, entonces no se puede deducir ninguna conclusión sobre la convergencia o divergencia de V s n. En el problem a 15 puede ver una dem ostración. • n+1 • n www.FreeLibros.me
  • -^ 373^ E 2 2n I 4~ n n ~. E n t o n c e s , l í m n^ +„ ^ I s n I = l í m ^ t - “ = 0 - P o r e l c r i t e r i o d e l a r a í z , l a s e r i e c o n v e r g e a b s o l u t a m e n t e . PROBLEMAS RESUELTOS Demuestre que si Es n es absolutamente convergente, entonces es convergente. 0 < sn + IsnI < 2 IsnI. Como ^ IsnI converge, ^ 2^IsnI también lo hace. Luego, por el criterio de comparación, 2(sn + IsnI) converge. Por tanto, ^ ]sn = ^ sn((sn + IsnI) - IsnI) converge por el corolario 43.4. En los problemas 2 a 13, determine si la serie indicada converge absolutamente, condicionalmente o no converge. 1 _ 1 , J__L2 5+ 10 17 S n ( 1) n 2 + 1. ¡21+ i converge por comparación con la serie p convergente ^ “ y. Entonces, ^ ( - 1) n+1 n 21+ i es absolutamente convergente. 3 ±--2 + -3-A + ...«?• 2 3 4 •e e 2 e 3 e4 i n y' n x s n = (—1) e n. La serie ^ converge por el criterio de la integral [utilizando f (x) = — ]. Por tanto, ^ (-1)n+1 e n es absolutamente convergente. 1 - 1 , 1 1 , 1 n = (-1)n+1- .^ Como v n alternadas. Pero s i es divergente, ya que es una serie p con p = -1 < 1. s = (-1)n+1 —~ Como ( —¡= ¡ es una sucesión decreciente, la serie converge en virtud del teorema de series V n \ v n / 1 _ 1 + 1 _ 1 + . . . 2 4 8 . La serie 1- 2 + 4 - i +--es una serie geométrica con razón r = -y. Como IrI < 1, converge y, por tanto, laserie dada es absolutamente convergente. 1 _ 2 + _ 3 _ 4 + . . . 1 3 + 3 2 3 3 + sn = (-1)n+1 3 -1. Se aplica el criterio de la razón: lím Sn+1 n +1 n n +1 -1 Entonces, Sn+1 Sn 3n n3 3 Sn 3 < 1 Por tanto, la serie dada es absolutamente convergente. 1 _ 2 1 . 3 1 _ 4 _12 3 ' 23 4 ' 33 5 ' 43 n 1 s n = ( - 1)n+1 n+ 1 “3. Preste atención a ^ Is nI. IsnI = n + y “3 < “ t . Entonces ^ Is nI converge por comparación con la serie p convergente 2 “-. Por tanto, la serie es absolutamente convergente. 2 _ 3 1 , 4 1 _ 5 1 3 4 ' 2 5 ' 3 6 ' 4 n +11s = (-1)n+1 n +11. Observe que ( n + 1 • —) es una sucesión decreciente I como D I , x +.1 ) < 0 I. Por n v 7 n + 2 n M \n + 2 n / ^x\(x + 2)x / ) 1 1tanto, la serie dada es convergente por el teorema de series alternadas. Sin embargo, IsnI > “ • Entonces, 2 IsnI diverge por comparación con 2 “. Es decir, la serie dada resulta condicionalmente convergente. CA PÍTU LO 45 Series alternadas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 45 Serles alternadas 2 _ 21 + 2 5 _ 21 + . . . 2 3 ! + 5 ! 7 ! + . 22n -1 sn = ( - 1 ) n+1 ( 2« — 1) ! . Se aplica el criterio de la razón: 22n+1 22n 4 Por tanto, lím 10 . - k - (2n + 1) 7 (2« - 1) ! (2n + 1) (2n ) = 0 y , p o r c o n s i g u i e n t e , l a s e r i e e s a b s o l u t a m e n t e c o n v e r g e n t e . 1 6 2 23 + 1 33 + 1 4 3 + 1 21 «2 I « 2 \ s n = ( - 1 ) «3 + 1. Com o ( 3 + 1 ) es una sucesión decreciente para n > 2, la serie dada converge por el teorem a de series alternadas. La serie ^ ls« i es divergente por la com paración por paso al lím ite con ^ « . Por tanto, la serie dada es condicionalm ente convergente. 1 1 . - k -2 23 + 1 33 + 1 4 3 + 1 s n = ( - 1)n+1 « 3«+ 1 . Xls«l es convergente por la com paración por paso al lím ite con X « r - Por ello, la serie dada es absolutam ente convergente. 12 . 1 1 1_J______ ___________ 1 • 2 2 • 22 T 3 • 23 4 • 24 _± n 2nsn = ( -1 )n+1 - 1 - . Se aplica el criterio de la razón: Así, lím ( n + 1)2n+1/ « 2n n + 1 2 = 2 < 1 . Entonces, la serie dada es absolutam ente convergente. 13. X ( - 1) n+1__n_ ( n + 1) ! ' Se aplica el criterio de la razón: s ( n + 1)3 n + 1 1 Así, lím ( n + 2) Y ( n + 1) ! \ n j \n + 2 = 0 . Por tanto, la serie dada es absolutam ente convergente. 14. Justifique el criterio de la razón (teorem a 45.3) a) Sea lím s = r < 1 . Se selecciona t tal que r < t < 1. Entonces, existe un entero m tal que si n > m, < t. Por tanto, lsm+1l ^ tlsm1, lsm+2l ^ tlsm+1l ^ t2|sm1, - lsm J ^ Pero X ^ ls J es una serie geom étrica convergente (con razón t < 1). Luego, por el criterio de comparación, Xls«l converge. Así, ^ s « es absolutam ente convergente. b) Sea lím Sn+1 = rsn SAl sn+1 sn > t. Por tanto, s s sn n 4 9 2 3 4 s 1 1 1 s sn 3n s sn www.FreeLibros.me
  • -^ 375^ Por consiguiente lim sn = ™ y, por el teorema de divergencia, ^ ]sn diverge. c) Considere'V1. lím n considere V —2n2 = lím lím 1 - M 1: +1)1 n = lím = límn +1 = 1. En este caso, la serie diverge. Ahora ( n + 1) 2 / n ' = 1 En este caso, la serie converge. 15. Justifique el criterio de la raíz (teorema 45.4). a) Supóngase que límn^+„ = r < 1 . Se selecciona t de manera que r < t < 1. Entonces, existe un número positivo m tal que n¡jisj < t para n > m. Por tanto, lsnl < tn para n > m. Por consiguiente, E¡sJ converge por comparación con la serie geométrica convergente ^ tn. Entonces, Es n es absolutamente convergente. b) Supóngase que límn^+„ "JÍsJ = r y r > 1 o r = +^ . Se selecciona t de manera que 1 < t < r. Para algún entero positivo m, -^ ¡sj > t para n > m. Entonces, lsnl > tn para n > m. Como lím^n» tn = +°°, lím^ ^sn = ^ . Por consiguiente, por el teorema de divergencia, Es n diverge. c) Considere ^ 1 y En". En ambos casos, límn^+„ = 1. (Nótese que límn^+„ n-n = límn^+„ e -1 n)/n =1). En los problemas 16 a 22, aplique el criterio de la razón para probar la convergencia de las series. 12 3 416. 3 + 32 + 3^ + 34' sn+1 = n +1 n = 1 n +1 sn 3n+1 / 3n 3 n ' Así, la serie converge por el criterio de la razón. Entonces, lím 3 < 1 17 1 + 2 + 3! + 4! 17. 3 + 32 + 33 + 34 " sn = 3! Entonces, sn+1 = (n + 1)! / n! = n +1sn 3n+1 3n 3 Luego, lím = +00 y la serie diverge por el criterio de la razón. 18 1 + 1 1 + 1 2 1 + 1 - 2 - 3 - 4 + . . 18 1 + 1 . 3 + 1 . 3 . 5 + 1 • 3 • 5 • 7 + í =___ n___" 1 3 5.... (2n-1)' Entonces, - n±L (n +1)!________ ___ n!____ = n +11 • 3 5...(2n + 1)/ 1 3 5.... (2n-1) = 2n +1' Así, lím = 1 < 1. Por tanto, la serie converge por el criterio de la razón. 19 2 + 3 1 + 4 — + 5 —-19 2 + 2 4 + 3 42 + 4 43 í = — n n 4n1 1 r . ín+1 í n + 2 1 \ h n +1 1 \ 1 n(n + 2)-4^ . Entonces, —=( —¡- )/( — 411 )=-4------4 (n +1)2 ' Así, lím = 4 < 1. Por tanto, la serie converge por el criterio de la razón. 2 0 . 1 + 22 +1 . 32 +1 . 42 +1 .23 +1 + 33 +1 + 43 +1 + • ' = n2 + 1 S" n3 + 1 Tuego 1 ±L = (n +1)2 +1 n2 +1 = ((n +1)2 + 1)(n3 +1)' sn (n +1)3 +1/ n3 +1 ((n +1)3 + 1)(n2 +1) ' s 2s sn s sn^ + n s sn s sn s sn CA PÍTU LO 45 Serles alternadas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 45 Series alternadas Entonces, lím = 1 . Por ende, el criterio de la razón no arroja conclusión alguna. Sin em bargo, la 1 n X""' 1com paración por paso al lím ite con ^ n m uestra que la serie diverge. 2 1 . S n3" 1 Por tanto, la serie diverge por el criterio de la razón. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS En los problem as 23 a 40, determ ine si la serie alternada indicada es absolutam ente convergente, condicionalm ente convergen 23. X (­ 24. X (" 25. X (" 26. X (­ 27. X (" 28. X (­ 29. S (­ 3° . S (­ 31. E (­ 32. X ( - e o divergente. )n+1 1 n! )n+1 1 l n n i n+i n n + 1 l n n 3 n + 1 1 2n -1 )n+1 1 ) V 3 1 (2n - 1)2 n+1_____1______ V n ( n + 1) n+1 1 ( n + 1)2 1 n2 + 2 R espuesta : absolutam ente convergente R espuesta : condicionalm ente convergente Respuesta: divergente Respuesta: condicionalm ente convergente R espuesta : condicionalm ente convergente Respuesta: divergente R espuesta : absolutam ente convergente R espuesta : condicionalm ente convergente Respuesta: absolutam ente convergente Respuesta: absolutamente convergente í í í n í í n www.FreeLibros.me
  • (n !)2 R espuesta : absolutam ente convergente -^ 377^ 34. £ (-1 )n+1 — n n 2 + 1 Respuesta: condicionalm ente convergente 35. X (-1) n 4 + 2 Respuesta: absolutam ente convergente 36. X ( - ‘)n+1n (44 Respuesta: absolutam ente convergente 37. X ( - ‘)n n 2 + n + 2 Respuesta: divergente 38. X ( - ‘)n n + 1 Respuesta: absolutam ente convergente 3 39. X (-1 )n+12 ^ Respuesta: absolutam ente convergente 40. £ cosnn Respuesta: absolutam ente convergente 41. (CG) ¿Cuántos térm inos de ^ (-1 )n+1 - 1 serán suficientes para obtener una aproxim ación dentro de 0.0005 de la sum a real? D eterm ine la aproximación. Respuesta: n = 6 : 1 4 4 ~ 0.632 42. (CG) ¿Cuántos térm inos de ^ (-1 )n+1 1), bastarán para obtener una aproxim ación de la sum a real con un error < 0.001? D eterm ine tal aproximación. Respuesta: n = 3; 0.842 43. (CG) ¿C uántos térm inos de ^ ( -1 )n+1 ^ bastarán para obtener una aproxim ación de la sum a real con un error < 0.001? D eterm ine la aproximación. Respuesta: n = 1000; 0.693 En los problem as 44 a 49, determ inar si la serie converge. (n !)2 (2n)! (2n)! 44. X 45. I .. 46. X (in 2)n 47 . s n Respuesta: convergente Respuesta: divergente Respuesta: divergente Respuesta: convergente 4 n 2 - 3 2n 2n CA PÍTU LO 45 Series alternadas www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 45 Series alternadas 4 n 48. X (n + 2)n Respuesta: convergente X ( —) Respuesta: divergente49. 50. D eterm ine si ^ ( -1 )n+1(Vn + 1 - y f ñ ) es absolutam ente convergente, condicionalm ente convergente o divergente. R espuesta : condicionalm ente convergente En los problem as 51 y 52, determ ine el núm ero de térm inos que bastan para aproxim ar la sum a de la serie indicada con precisión de cuatro cifras decim ales (es decir, con un error < 5/105) y calcule la aproximación. +” 1 51. (CG) £ ( -1 )n+1 Respuesta: n = 6 ; 0.9721 n=1 n 52. (CG) ^ ( - 1)n+1-(2------ —T Respuesta: n = 4; 0.8415 n=1 ^ '' 53. Sea IrI < 1 a) D em uestre que ^ p r n = f + 2 r2 + 3T3 + 47a + ... converge. b) D em uestre que X n f n = (1 f )2 . (Sugerencia: sea S = r + 2 r2 + 3T3 + 4f* + ", m ultiplique esta ecuación n=1 ^ ' por r y reste el resultado de la ecuación original). c) D em uestre que Y = 2- n=1 www.FreeLibros.me
  • Serie de potencias Serie de potencias U n a serie in fin ita ^ an(x- c )n = a 0 + a 1 ( x - c) + a 2 ( x - c)2 +••• (46.1) n=0 se d enom ina serie de p o ten c ia s en x en to rno a c con coeficien tes (a„>. U n caso espec ia l e im portan te ^ anx n = a 0 + a1 x + a2 x2 +— (46.2) n=0 es u n a serie de po tenc ias en to rno a 0. P ara un valo r de x dado, la serie (46 .1) converge o diverge. P o r tan to , (46 .1) d e te rm ina u n a función f cuyo dom in io es e l con jun to de todos los x p a ra lo s cuales (46.1) converge y cuyo valo r f x ) co rrespond ien te es la sum a de la serie. N ó tese que (46 .1) converge cuando x = c. EJEMPLO 4 6 .1 . La serie de potencias en torno a 0 ^ x n = 1 + x + x 2 + ••• n=0 es una serie geom étrica con razón r = x. Así, converge para lxl < 1 y su sum a es 1 - —. Entonces, el dom inio de la función correspondiente es un intervalo en torno a 0 . Teorema 4 6 .1 . Supóngase que la serie de potencias ^ a n(x - c)n converge para x0 ^ c. Por tanto, converge absolutam ente para todo x tal que lx - cl < lx0 - cl (es decir, para todo x que esté m ás próxim o a c que x0). R epase el problem a 4 para ver una dem ostración. Teorema 4 6 .2 . Para una serie de potencias ^ an (x - c )n, uno de los tres casos siguientes es verdadero: a) Converge para todo x. b) Converge para todo x en un intervalo abierto (c - R 1, c + R 1) alrededor de c, pero no fuera del intervalo cerrado [c - R 1, c + R 1]. c) Converge sólo para x = c . Por intervalo de convergencia de ^ an (x - c )n se entiende: En el caso a): ( - ^ , + ^ ) En el caso b): (c - R 1, c + R 1) En el caso c): {c} « 79J www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 46 S erie de potencias Por radio de convergencia de ^ an (x - c)n se entiende: En el caso a) En el caso b) R 1 En el caso c) 0 N ota: en el caso b), si la serie de po ten c ias no converge en n inguno de los pun to s finales de su in tervalo de convergencia en uno o en am bos pun to s finales, depende de la serie dada. P ara ver una dem ostrac ión de l teo rem a 46 .2 , repase el p ro b lem a 5. EJEMPLO 4 6 .2 . La serie de potencias V (x - 2)n _ . (x - 2)2 (x - 2)3 = ( x - 2) + 2 3n=1 es una serie de potencias en torno a 2. Se utiliza el criterio de la razón para hallar el intervalo de convergencia n+1 Sn lx - 2ln+ n + 1 lx - 2ln n n + 1 lx - 2l . Entonces, lím n+1 Sn = lx - 2l. E ntonces, po r el criterio de la razón , la serie converge absolu tam ente para lx - 2l < 1. La ú ltim a desigualdad equivale a - 1 < x - 2 < 1, que a su vez equivale a 1 < x < 3. Por tanto, el intervalo de convergencia es (1, 3) y el radio de convergencia es 1. En el punto term inal x = 1, la serie se convierte en 1K~1)n/n ], lo que converge por el teorem a de series alternadas. En el punto term inal x = 3, la serie se convierte en £ _ (1/n ) , la serie arm ónica divergente. Entonces, la serie de potencias converge para 1 < x < 3. EJEMPLO 4 6 .3 . La serie de potencias £ xa _ 1 + x + § + 1 -+■ ■ ■n_0 es una serie en torno a 0. (Recuérdese que 0! = 1.) Se utiliza el criterio de la razón: l xln lxl" lxl (n + 1)! / n ! n + 1 ' Entonces, lím = 0 . Así, por el criterio de la razón, la serie converge (absolutam ente) para todo x. Su intervalo de convergencia es ( -^ , + ^ ) y su radio de convergencia es ^ . s s s sn n EJEMPLO 4 6 .4 . La serie de potencias £ n !x n _ 1 + x + 2! x 2 + 3 !x3 + ■ ■ ■ es una serie de potencias en torno a 0. Se utiliza de nuevo el criterio de la razón: (n + 1)! lxln+1 n!lxln - _ (n + 1) lxl. Entonces, lím = + excepto cuando x = 0. Así, la serie converge sólo para x = 0. Su “intervalo” (degenerado) de convergencia es {0} y su radio de convergencia es 0 . n_0 ss nn www.FreeLibros.me
  • -----4381^ Convergencia uniforme S ea f una sucesión de funciones, todas defin idas en un con jun to A. Sea f la función defin ida en A. E ntonces, f n) converge un iform em ente a f en A si p a ra todo e > 0 ex is te un en tero m positivo ta l que p a ra cad a x en A y todo n > m , f n(x) - f x ) l < e . Teorema 46.3. Si una serie de potencias X a (x - c )nconverge para x0 ^ c y d < lx0 - cl, entonces la sucesión de. _ -^ n^=0 n sum as parciales (Sk(x)), donde Y an (x ~ c)n, converge uniform em ente a ^ 0an (x ~ c)n en el intervalo que consta de todos los x tal que Ix - cl < d. Por tanto, la convergencia es uniform e en cualquier intervalo estrictam ente dentro del intervalo de convergencia. Se rem ite al lector a libros más avanzados para hallar una dem ostración de este resultado. Teorema 46.4. Si (fn) converge uniform em ente a f en un conjunto A y cada f n es continuo en A, entonces f es continuo en A . En el problem a 6 se ofrece una demostración. Corolario 46.5. L a función definida por una serie de potencias ^ an(x ~ c)n es continua en todos los puntos dentro de su intervalo de convergencia. n 0 Esto se deduce de los teorem as 46.3 y 46.4. Teorema 46.6. Integración de series de potencias. Sea f la función defin ida por una serie de po tencias X a,n(x ~ c)n en su intervalo de convergencia (con radio de convergencia R 1). Entonces: a) J f (x ) dx = Y an ('x — + K para Ix - cl < R 1 (46.3) n=0 donde el intervalo de convergencia de la serie de potencias en el m iem bro derecho de la fórm ula (46.3) es el m ism o que el de la serie original. K es una constante de integración arbitraria. N ótese que la antiderivada de f se obtiene por integración térm ino a término de una serie de potencias dada. b) Si a y b están en el intervalo de convergencia, entonces: cb ^£ f (x )dx = Y ( x - c ) n a„---------n + 1 rb Así, I f (x)dx se obtiene por integración térm ino a término.Ja U na dem ostración del teorem a 46.6 debe consultarse en un libro más avanzado. (46.4) b Teorema 46.7. Derivación de serie de potencias. Sea f la función defin ida p o r una serie de po tencias X cin(x ~ c)n en su intervalo de convergencia (con radio de convergencia R 1). E ntonces,fes derivable en ese intervalo y f '(x ) = ¿ nan(x - c ) n_1 para lx - cl < R 1 (46.5) n=0 Por consiguiente, la derivada f se obtiene m ediante derivación término a término de la serie de potencias. El intervalo de convergencia de la serie de potencias del miembro derecho de la fórm ula (46.5) será el m ism o que para la serie de potencias original. Para una dem ostración, el lector debe rem itirse a textos más avanzados. CA PÍTU LO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.me
  • ^ 3 82^ CAPÍTULO 46 S erle de potencias EJEMPLO 46.5. Ya se sabe, por el ejem plo 46.1, que para Ixl < 1, 1 - x n=u A hora, Dx (y 1 x ) = (1 1x)2 . Entonces, por el teorem a 46.1, Z T ~ = X x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ••• + x n + •• • (46.6) (1 _1x ) 2 = 1 + 2 x + 3 x2 + • • • + nxn 1 + • • • para Ixl < 1 = ^ n x n~l = ^ (n + 1) x n n=1 EJEMPLO 46.6. Se sabe que 1 +« 1-= ^ x n = 1 + x + x 2 + x3 + ••• + x n + ••• para Ixl < 1 n=0 Se rem plaza x por - x (lo cual es perm isible, ya que I-x I = Ix I < 1). El resultado es - r ^ = S (— x ) n = S (—1) nx n = 1 — x + x 2 — x 3 + ' ' ' (46.1) n=0 n=0 Por el teorem a 46.6a ), se puede integrar térm ino a término: J A = S (—« ‘ ^ + K - S ( - - ) - - n + K p*ra w < 1n=0 n=1 n l n |1 + x| = S ( —1 )n-- x _ + K para Ixl < 1 n=1 n Con x = 0 y observando que ln 1 = 0, se advierte que K = 0. Tam bién se observa que para Ixl < 1, se tiene que -1 < x < 1, 0 < 1 + x < 2 y, por consiguiente, I1 + xl = 1 + x. Por tanto, l n (1 + x ) = S ( —1 )n—1 — p a r a Ix l < 1 n=1 = x — 2 x 2 + 1 x3 — 1 x 4 + ' " (46.8) El criterio de la razón m uestra que esta serie converge. Si se rem plaza x por x - 1 se obtiene l n x = ( - 1) n- 1( x— 5^ — para Ix - 1I < 1 (46.9) n=1 Se observa que Ix - 1l < 1 equivale a 0 < x < 2. Así, ln x es definible por una serie de potencias dentro de (0, 2). Teorema 46.8. Teorema de Abel. Supóngase que la serie de potencias ^ a n ( x - c ) n tiene un intervalo finito de convergencia Ix - cl < R 1 y sea f una función cuyos valores en ese intervalo están dados por tal serie de potencias. Si la serie de potencias tam bién converge en el punto term inal de la derecha b = c + R 1 del intervalo de convergencia, entonces límx^ b- f x ) existe y es igual a la sum a de la serie en b. El resultado análogo se cum ple en el punto term inal de la izquierda a = c - R 1. Si desea consultar una dem ostración, la encontrará en libros más avanzados. www.FreeLibros.me
  • ln (1 + x ) = X ( - 1)«-1 ~ para lxl < 1 n=1 En el punto term inal de la derecha x = 1 del intervalo de convergencia, la serie de potencias se convierte en la serie arm ónica alternada convergente +” 1 X (- 1)« -1 - 1 = 1 - 1 + 1 + 1 + ••• n=1 Por el teorem a de Abel, esta serie es igual al lím ln (1 + x ) = ln 2 . Entonces,X—>1_ ln 2 = 1 - 1 + ,3 - -L + . . . (46.10) EJEMPLO 4 6 .8 . Em piece de nuevo con 1 1----- = X x n = 1 + x + x 2 + x 3 H--- h x n para lxl < 1 n=0 Se rem plaza x por -x 2 para obtener 1 1 + 2 = X ( - 1)nx 2n = 1 - x 2 + x 4 - x 6 + ••• (46.11) 1 + x n=0 ------------- ^ 383^ EJEMPLO 46.7. Esta es una continuación del ejemplo 46.6. Por la fórmula (46.8) Com o l-x2l < 1 equivale a lxl < 1, (46.11) se cum ple para lxl < 1. Ahc ’ término: A hora, por el teorem a 46.6a), la antiderivada tan 1 x de — puede obtenerse m ediante integración térm ino a 1 + x 2 •J-, r 2n+1 t a n -1 x = X (_ 1) n 2- + 1 + K p a r a l x l < 1x n=0 = K + x - x3 + ■} x 5 - 1 x 7 +••• Aquí, K es la constante de integración. Si x = 0 y se observa que tan -1 0 = 0, se deduce que K = 0. Por tanto, v2 n+1 tan -1 x = X (_ 1)n £« + 1 = x - x3 + 5 x 5 - 7 x 7 + ••• (46.12) n=0 En el punto term inal de la derecha x = 1 del intervalo de convergencia, la serie en (46.12) se convierte en £ (- 1)- 2- n - 1 - -3+ * - + + "n=0 la cual converge en virtud del teorem a de las series alternadas. Entonces, por el teorem a de Abel, 1 -■} + 1 - y + • • •= lím tan - 1(x) = tan-11 = n (46.13)x^ 1 4 CA PÍTU LO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.me
  • ^ 384^ CAPÍTULO 46 S erie de potencias E Xn 'V"' Tnn ! converge para todo x. Sea f ( x ) = ^ n - para todo x. Por derivación térm ino a térm ino (teorem a 46.7), n=0 n=0 f ' ( x ) = 1 x n ^ f ( x ) n=1 v n=0 O bserve quef(0 ) = 1. Por consiguiente, por la fórm ula (28.2),f x ) = ex. Así, e x = ¿ n T Para todo x (46.14) n=0 PROBLEMAS RESUELTOS D eterm ine el intervalo de convergencia de la serie de potencias f ^ = ( x - 2) + 2 e identifique la función representada por esta serie de potencias. A plique el criterio de la razón: lx - 2ln+ n +1 lx - 2ln n + 1 lx - 2l . Luego, lím = lx - 2l Por tanto, el intervalo de convergencia es lx - 21 < 1. (Esto equivale a -1 < x - 2 < 1, que a su vez equivale a 1 < x < 3.) En el punto term inal de la derecha x = 3, la serie es la serie arm ónica divergente, y en el punto term inal izquierdo x = 1, la serie es la negativa de la serie arm ónica alternada convergente. Por tanto, la serie converge para 1 < x < 3. ( x — 2) n Sea h(x) = -— . Por el teorem a 46.7, h '(x ) = ^ ( x - 2 ) n_1. Esta es una serie geom étrica con n=1 n=1 1 1 1 prim er térm ino 1 y cociente (x - 2); entonces, su sum a es ^ — (^ — 2) = 3— x ' Por ende, h ' (x) = 3 1 x • Por ende, h(x) = J = _ l3 - xl + C Ahora, (2 - 2) n = 0 y - lnl3 - 2l+ C = 0. Así, C = 0 A dem ás, como x < 3 en el intervalo de convergencia, 3 - x > 0 y, por consiguiente, 13 - xl = 3 - x. Por tanto, h(x) = - ln (3 - x). En los problem as 2 y 3, determ ine el intervalo de convergencia de la serie dada y el com portam iento en los puntos term inales (si hay alguno). A plique el criterio de la razón: lx ln lx ln ( n + 1)2 ■ ( n +T )2 lx l . En consecuencia, lím = lxl. Por tanto, el intervalo de convergencia es lxl < 1. E l radio de convergencia es 1. En x = 1, se obtiene la serie p convergente con p = 2. En x = -1 , la serie converge por el criterio de series alternadas. Así, la serie converge para - 1 < x < 1 . r¿x±Tn=( x+1) + (x±TH + (x±Tü=T vn V 2 n/3 n=1 s ss n nn nn=1 n=1 s s ssn n www.FreeLibros.me
  • -^ 385^ Aplique el criterio de la razón: J x + VT y j n + 1 _ / lx + 1ln I n / 4 ñ V n + 1 lx + 11. Por tanto, limn^ +rc = lx + 1l. Así, el intervalo de convergencia es lx + 11 < 1, lo cual equivale a -1 < x + 1 < 1, lo que a su vez equivale a -2 < x < 0. El radio de convergencia es 1. En el punto term inal (o punto extremo) de la derecha x = 0 se obtiene la 1 ( —1) n serie p divergente / ,—¡= . En el punto extremo x = - 2 se obtiene la serie alternada V — 7= - , la cual converge n=1 "Vn n=1 ' J n por el teorem a de series alternadas. Así, la serie converge para - 2 < x < 0. s s s sn n 4. D em uestre el teorem a (46.1). Com o ^ an(x0 - c)n converge, lím n^ +„ an (x0 - c)n = 0 por el teorem a (43.5). Por tanto, hay un número positivo M tal que lanl lx0 - cln < M para todo n, por el teorem a (42.1). Supóngase que lx - el < lx0 - el. Sea r = _rx— < 1. Entonces, la„llx - eln = la„llx0 - e lnrn < M rnlx0 - el n n 0 Luego, ^ lan (x - e )nl es convergente por com paración con la serie geom étrica convergente ^ M rn. Así, 2 an (x - e )n es absolutam ente convergente. 5. D em uestre el teorem a (46.2). Sólo es posible aquí un argum ento m uy intuitivo. Supóngase que ninguno de los casos a) y e) se cumple. Com o el caso a) no se cumple, la serie de potencias no converge para algún x ^ e. Com o el caso e) no se cum ple, la serie converge para algún x ^ e. El teorem a (46.1) im plica que hay un intervalo (e - K , e + K ) alrededor de e donde la serie converge. E l intervalo de convergencia es el m áxim o de dicho intervalo. [M ediante el teorem a (46.1), se tom a el “m ínim o lím ite superior” R 1 de todo K tal que la serie converge en (e - K, e + K). Entonces, (e - R 1, e + R 1) es el intervalo deseado.] 6. D em uestre el teorem a (46.4). Supóngase que x está en A y e > 0. Com o (f n) converge uniform em ente a f en A , existe un entero positivo m tal que si n > m , entonces f n (y ) - f j ) l < e /3 para todo y en A . Com o f m es continua en x , existe 8 > 0 tal que para todo x * en A , si lx * - x l < 8, luego lfm(x*) - f m (x )l < e /3. Por tanto, si lx * - x l < 8, l f (X ) - f ( x ) l = l ( f ( x ) - f m (X ) ) + ( f m ( X ) - f m ( x ) ) + ( f m ( x ) - f ( x ) ) l ^ l f ( x *) - f m ( x > ) l + l f m ( X ) - f m ( x ) l + l f m ( x ) “ f ( x ) l < 3 + 3 + 3 Esto prueba la continuidad de f en x . rb /*b Si (f n) converge uniform em ente a f en [a, b] y cada f n es continuo en [a, b], entonces I f (x) dx = lím I f (x) dx J a n^+ rc Ja Supóngase que e > 0. Existe un entero positivo m tal que si n > m, entonces i f (x) _ f (x)| < _ todo x en [a, b]. Por tanto, Jba l f n (x) - f (x)l dx < e . Entonces, J bf ( x ) dx - J bf n ( x ) dx = f ( x ) - f ( x ) ) dx < [* l f n ( x ) - f ( x ) l dxa a a a : < e para n > m 8. D em uestre que la función f definida por una serie de potencias es continua en su intervalo de convergencia (corolario 46.5). f (x ) = límn^ +„ Sn (x) y la convergencia es uniform e por el teorem a (46.3). Cada Sn(x), que es un polinom io, es continuo. Por tanto, f es continuo por el teorem a (46.4). CA PÍTU LO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 46 S erie de potencias x 9. Encuentre una serie de potencias en torno a 0 que represente la función 1 + x 2 . ¿En qué intervalo es válida la representación? Por la fórm ula (46.11), 1 +1 2 = £ (—1)nx 2n para lxl < 1. Por tanto, n=0 - = E (— 1)n x 2n+‘ para lxl < 11 + x : La serie diverge en ambos puntos term inales x = 1 y x = -1 . En los problem as 10 y 11, aplique el criterio de la razón para determ inar el intervalo de convergencia e indique qué sucede en los puntos term inales (si hay alguno). sn+1 _ (n + 1) lxln+1 / n lxln _ n + 1 ) lxl Por tanto, lím sn+1 sn 10n+1 1 10n n ) 10 sn _|x |_ 10 ' Entonces, el intervalo de convergencia es lxl/10 < 1, o sea, cuando lxl < 10. Este es el intervalo de convergencia. La serie diverge en ambos puntos term inales ±10. 1 1 . £ (x - n ) n. (n + 1) lx - n \n+l / n lx - n l n _ n + 1 lx - nl Por tanto, lím lx - n \ 3 ' Así, el intervalo de convergencia es lx - ftl < 3. La serie diverge en ambos puntos terminales. ( n !)2 x (2n ) ¡ 12. Encuentre el intervalo de convergencia de ^ 12 v x ' . A plique el criterio de la razón: ( ( n + 1) ! )2 lx ln+1 / ( n ! )2 lx ln ( n + 1)2 . . ^ — ^ -.m-------- A m— _ -------7T l x l Por tanto, l í m(2n + 2) ! / (2n ) ! (2n + 2)(2n + 1) n^+. _]xL 4 . Entonces, el intervalo de convergencia es lxl < 4. 13. Encuentre una serie de potencias en torno a 0 que represente 1 - x 3 ' 1 Em piece con j — y = ^ x n para lxl < 1. R em place x por x3 1 3 = E x 3n para lxl < 1 1 - x3 (ya que lx3l < 1 equivale a lxl < 1). Se m ultiplica por x: x _ \ ' x3n+1 1 _ x3 x para lx l < 1 En los problem as 14 a 16, halle las fórm ulas simples para la función f(x ) representada por la serie de potencias indicada. 14 x + x + x + 2! + 3! + 4! +• • ' Sea f (x) _ E 1 ( n + 1) ! ■ x f ( x ) _ E (nx ++i ) ! _ E - 1 - x _ e x - 1 - x n_1 ^ n_0 Por tanto, f (x) _ ex -1 - x n_0 s s s sn n ss ss nn n x www.FreeLibros.me
  • -^ 387^ 15. 1 x3 + -6 x6 +1 x9 Sea f (x) _ £ x n . Lueg o f '( x) = £ x3n_1 = : n_1 n=1 Esta es una serie geom étrica con cociente x3. Entonces, converge para lx3l < 1, que equivale a lxl < 1. Por ' ‘ x 2 1 - x3 x 2 /• x 2 tanto, f '(x ) = i A x 3 para lxl < 1. Por consiguiente, f (x ) = J ^ A x 3 dx = - j ln 11 - x 3l + C . Pero, f(0 ) = 0, por lo que C = 0. A sim ism o, 1 - x3 > 0 para lxl < 1. Por tanto, f (x) _ - - 3ln (1 - x 3) para lxl < 1. 16. x + 2x3 + 3x5 + 4x7 + ■■■ El criterio de la razón m uestra que la serie converge para lx l < 1. Sea g( x) _ x + 2x3 + 3x5 + 4 x 7 + ■ ■ ■ _ £ n x 2n-1 Entonces, 2g(x) _ £ 2nx2n 1. Por ende, al obtener las antiderivadas, n_1 í* 2 2 J g(x)dx _ K + £ x 2n _ K + 1 x 2 (ya que £ x 2n es una serie geom étrica con cociente x2). n_1 n_1 A hora se deriva: 2g(x) _ Dx (y - t x2 ) _ (1 - x 2)2 , g(x) _ (1 - x 2)2 para lxl < 1 f 1/2 ln (1 + x) 17. (CG) A proxim e ----- x----- dx con una precisión de dos cifras decim ales (es decir, con un error < 5/103). Por la fórm ula (46.8), ln (1 + x) _ x - j x 2 + -j x3 - 4 x 4 +— para lxl < 1, entonces ln (1 + x) y y 2 y 3 ^ ( - 1)nx n — _ i - x + 1 x 2 - 1 x 3 + ■ ■ ■ _ £ -— ’— t­x -------------- 2 3 4 n + 1n_0 Por el teorem a (46.6b), J . » t a a + x dx = £ ( z U I j : Jo x " n + 1 n+1 x n + 1 n + 1n=0 1/2 ( - 1)n 1 „ (n + 1)2 2n+10 n=0 v 7= ! ■ que es una serie alternada convergente. A fin de obtener una aproxim ación con error m enor que 5/103, se debe hallar n tal que el prim er término om itid o -----1— _5 _ __L. Así, hay que obtener 200 < (n + 1)22n+j. Por ensayo y error se m uestra que (n + 1)2 2n+1_ 103 200 v ; ^ ^ 4 n > 3. Por tanto, se pueden utilizar los térm inos correspondientes a n = 0, 1, 2: — — +—— _ 65 ~ 0 452 16 72 144 ° .45 Esta respuesta se confirm a m ediante una graficadora, con la que se obtiene 0.44841421 como una aproximación. 18. Encuentre la función definida por £ 2nx n. n_0 E sta es una serie geom étrica con razón r = 2x y prim er térm ino 1. Por tanto, converge para l2xl < 1, es decir, para lxl < y su sum a es 1 2J 1 - 2x ' x n19. H alle el intervalo de convergencia de £ ln (n + j ) . Aplique el criterio de la razón: n_1 lxln+j / lxln _ ln (n + 1) ln (n + 2) / ln (n + 1) ln (n + 2) lxl n=1 CA PÍTU LO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 46 S erle de potencias = Ixl. Por tanto, el intervalo de convergencia está dado por Ixl < 1. (ParaP o r l a r e g l a d e L ’H o p i t a l , l í m 1 x = 1 , s e t i e n e q u e S --------1--------, q u e c o m o s e s a b e , e s d i v e r g e n t e . P a r a x = - 1 , s e o b t i e n e l a s e r i e a l t e r n a d a l n ( n + 1)n=1 ( - 1) n 1 l n ( n + 1) 20. A p r o x i m e i c o n u n e r r o r m e n o r q u e 0 . 0 0 0 1 . P o r l a f ó r m u l a ( 4 6 .1 4 ) , e x = S p a r a t o d o x . P o r t a n t o , 1 = e— = S - — r ~ ■ ^ n ! r e *-> n !n=0 n=0 P o r e l t e o r e m a d e l a s e r i e a l t e r n a d a , s e b u s c a e l n m í n i m o t a l q u e 1 /n ! < 0 .0 0 0 1 = 1 /1 0 0 0 0 , e s d e c i r , 1 0 0 0 0 < n ! . P o r e n s a y o y e r r o r s e m u e s t r a q u e n > 8. E n t o n c e s , s e d e b e n u t i l i z a r l o s t é r m i n o s c o r r e s p o n d i e n t e s a n = 0 , 1, . . . , 1: 1 — 1 + 1 — 1 + — ----------— + — ------------ 1— = 103 ~ 0 3 6 1 9 1 2 6 2 4 1 2 0 1 2 0 5 0 4 0 2 8 0 ( U n a g r a f i c a d o r a d a l a r e s p u e s t a 0 . 3 6 1 8 1 9 4 4 1 2 , c o r r e g i d a c o n d i e z c i f r a s d e c i m a l e s . ) 2 1 Jo A p r o x i m e f e ~x2d x c o n d o s c i f r a s d e c i m a l e s d e p r e c i s i ó n , e s d e c i r , c o n u n e r r o r < 5 / 1 0 3 = 0 . 0 0 5 .0 P o r l a f ó r m u l a ( 4 6 . 1 4 ) , x n — 2 ^ ( — 1) n ex = S — ■ p a r a t o d o x . P o r t a n t o , e x = S — x p a r a t o d o x .—=0 ‘ ! n=0 ‘ ! P o r e l t e o r e m a ( 4 6 .6 b ) , J0 e-x2 dx = £ ■ n=0 ( _ 1) n x 2n+1 n ! 2n +1 = 1 ( ~ 1) n 1 n ! 2n +1 S e p u e d e a p l i c a r e l t e o r e m a d e l a s s e r i e s a l t e r n a d a s . L a m a g n i t u d d e l p r i m e r t é r m i n o o m i t i d o (2— + 1) — ¡ d e b e r í a s e r < 0 . 0 0 5 = 1 / 2 0 0 . E n t o n c e s , 2 0 0 < ( 2 n + 1 ) n ! P o r e n s a y o y e r r o r s e m u e s t r a q u e n > 4 . P o r t a n t o , s e d e b e r í a n u t i l i z a r l o s p r i m e r o s c u a t r o t é r m i n o s , e s d e c i r , l o s c o r r e s p o n d i e n t e s a n = 0 , 1 , 2 , 3 : 1 — 1 + — -— = — ~ 0 1 4 3 1 3 + 1 0 4 2 3 5 ( U n a g r a f i c a d o r a d a l a a p r o x i m a c i ó n 0 . 1 4 6 8 2 4 1 3 , c o r r e g i d a c o n o c h o c i f r a s d e c i m a l e s . ) 22. E n c u e n t r e u n a e x p a n s i ó n d e s e r i e d e p o t e n c i a s p a r a — +-3 e n t o r n o a 0 . 1 1 1 1 x + 3 = 1 ( x / 3) + 1 ■ P o r l a f ó r m u l a ( 4 6 . 1 ) , j ^1— = S ( —1) nx n = 1 — x + x 2 — x 3 + ' p a r a Ixl < 1. n=0 P o r t a n t o , 1 = S ( —1) — ( ^ )‘ = ^ ( —1) - 3 - p a '=( x / 3 ) + 1 ¿ S - - ’ \ 3 J 3 "v n= 0 n=0 L u e g o , x :+3 = S ( - 1 ) n p a r a l x l < 3 n=0 L a s e r i e d i v e r g e e n x = ± 3 . < 1 www.FreeLibros.me
  • 23. Encuentre una expansión de serie de potencias para 1 en torno a 1. 1 = ^— -1— tt- . Por la fórm ula (46.7), -r-1— = X ( - 1 ) nx n para lx l < 1. Por tanto, x 1 + ( x - 1) 1 + x v ^ 1 = 1 + (1 - 1) = X (- 1 )n( x - 1 )n p a r a |x - 1 < 1 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS E n los p rob lem as 24 a 31 , d e term ine e l in tervalo de convergencia de la serie de po tenc ias indicada. 24. X « x n Respuesta: -1 < x < 1 E x ­— —— Respuesta: -1 < x < 1 « ( « + 1) E xn« 5« Respuesta: - 5 < x < 5 E x2n« (« + 1) ( n + 2) Respuesta: - 1 < x < 1 E x«+1----- - --------Respuesta: -1 < x < 1( l n ( n + 1) ) 2 1 29. X 1 + « Respuesta: -1 < x < 1 30. X ( x ~ 24 ) Respuesta: 3 < x < 5 31. X 2 Respuesta: - 1 < x < -J 32. Exprese e~2x como una serie de potencias en torno a 0. Respuesta: X ( ~ 1) n 2n 0 « !n=0 33. Exprese ex/2 como una serie de potencias en torno a 2. Resp uesta: X 2n(en ! ) ( x - 2 ) n n=0 34. Exprese ln x como una serie de potencias en torno a 2. )n+1 «2« ( - 1)-+1 Respuesta: l n 2 + X —2-r ~ ( x - 2 ) n -^ 389^ n=1 n CA PÍTU LO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 46 S erie de potencias 35. (CG) Encuentre ln (0.97) con una precisión de siete cifras decim ales. (Sugerencia: use la serie de potencias para ln (1 - x) en torno a 0 .) Respuesta: -0 .0304592 36. ¿Cuántos térm inos deben utilizarse en la serie de potencias para ln (1 + x) en torno a 0 para hallar ln 1.02 con un error < 0.00000005? R espuesta : tres 37. (CG) U se una serie de potencias para calcular e 2 con exactitud de cuatro cifras decim ales. Respuesta: 0.1353 f 1/2 dx38. (CG) Evalúe J ^dx 4 con precisión de cuatro cifras decimales. R espuesta : 0.4940 E n los p rob lem as 39 y 40 , d eterm ine el in tervalo de convergencia de la serie ind icada. »1 xn 39. Y n r Respuesta: ( - ^ , + ^ )n nn=1 40. Y 1 0 n x n Respuesta: x = 0 n=0 41. Exprese x = e ^ — com o una serie de potencias en torno a 0. X1 y 2n Resp uesta: Y 7 2 ñ T n=0 ^ '' Cx 2 42. Encuentre una serie de potencias en torno a 0 para la función de distribución norm al J e^t /2dt. ( —1) n x 2 n+1 Respuesta: I n !(2)n) 2n + 1n=0 v 7 1 + x43. Encuentre una expansión de la serie de potencias en torno a 0 para l n ^ ^ • x 2 n+1 Respuesta: 2 Y 2n + 1 n=0 44. (CG) A proxim e tan-1 -2 con precisión de dos cifras decim ales. Respuesta: 0.46 www.FreeLibros.me
  • -^ 391^ 45. D em uestre que el recíproco del teorem a de A bel no es válido, es decir, si f ( x ) = V anx n para Ixl < r, donde r n=0 es el radio de convergencia de la serie de potencia y l í m f ( x ) existe, entonces V a nr n no necesita converger. 1 x^ r~ ^ =0 (Sugerencia: analizar f ( x ) = y + x •) ^ 46. Encuentre una fórm ula sim ple para la función f(x ) representada por V n 2x n . n=1 _ x ( x + 1) R espuesta : (1 x )3 ■ ^ xn 47. Encuentre una fórm ula sim ple para la fu n c ió n fx ) representada por y j ( r ~ 2 ( n - 1) n 'n=2 Respuesta: x + (1 - x) ln (1 - x) 48. a) D em uestre que x ) 2 = V n x n para lxl > 1. (Sugerencia: use el ejem plo 46.5.) ^ ' n=1 2x 2b) D em uestre que 3 = V n ( n - 1 )x n para lxl < 1. [Sugerencia: prim ero divida la serie entre x, integre, ( x ) n=2 factorice x, utilice el inciso a) y luego derive.] c) D em uestre que x.( x = V n 2x n para lxl < 1. ^ ' n=1 d) Evalúe V n y V £n=1 n=1 Respuesta: d) 2 y 6 CA PÍTU LO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.me
  • Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo Series de Taylor y de Maclaurin Sea f una función infinitamente derivable en x = c, es decir, las derivadas f rí)(c) existen para todo entero po­ sitivo n. La serie de Taylor para f en torno a c es la serie de potencias X an (x - c)n = a0 + aj(x - c) + a2(x - c)2 + • f«(0) n! La serie de Maclaurin para f es la serie de Taylor para f en torno a 0, es decir, la serie de potencias donde an = -—!— para todo n. Observe que f0) se toma como la función f en sí, de modo que a0 = f(c). X anx n = a0 + ajx + a2 x 2 + • f (-)(0)donde an = — « — para todo n. EJEMPLO 4 7 .1 . La serie de M aclaurin para sen x. Sea f (x ) = sen x . Entonces f ' ( x ) = cos x, f " (x) = -s e n x f " ( x ) = -c o s x Com o / 4)(x) = sen x, las derivadas adicionales repiten este ciclo de cuatro funciones. Com o sen 0 = 0 y cos 0 = 1, (—1)*f (2k)(0) = 0 y f (2k+1)(0) = (-1)*. Por tanto, a2k = 0 y a2k+1 = (2* + 1) ! . Entonces, la serie de M aclaurin para sen Y ( ~ 1) x 2 k+1 = x _ x L + x ! _ x L + j- ^ (2 k + 1 ) ! x x 3 L 5 ! 7 r Una aplicación del criterio de la razón m uestra que esta serie converge para todo x. N o se sabe que sen x sea igual a su serie de M aclaurin. Lo dem ostrarem os más adelante. EJEMPLO 4 7 .2 . H alle la serie de M aclaurin para f ( x ) = 11 — x' 3 • 2 f , ( x ) = , f " ( x ) = , f" '(x) = (1 - x r f 4 ( x) _ 4 • 3 - 2 f 5( x) _ 5 - 4 • 3 - 2 1 (x) (1 - x )5 , f (x) (1 - x)6 ^ 392^ - n=0 n=0 www.FreeLibros.me
  • -^ 393^ ¡ f (n )(0) O b s é r v e s e e l p a t r ó n : f (n)( x ) = (1 —¿ ) n+1 . P o r t a n t o , an = —¡— = 1 p a r a t o d o n , y l a s e r i e d e M a c l a u r i n p a r a 1 — x e s S x n . E n e s t e c a s o , y a s e s a b e q u e 1 — x e s i g u a l a s u s e r i e d e M a c l a u r i n p a r a Ixl < 1. n=0 Teorema 4 7 .1 . S i f ( x ) = S b n ( x — c ) n p a r a a l g ú n x * c , e n t o n c e s e s t a s e r i e e s l a s e r i e d e T a y l o r p a r a f , e s d e c i r , f (n)( c ) "=0 b n = - — ^ p a r a t o d o n . E n p a r t i c u l a r , s i f ( x ) = S b nx n p a r a a l g ú n x * 0 , e n t o n c e s e s t a s e r i e e s l a s e r i e d e M a c l a u r i n " " ¡ n=0 p a r a f . S u p ó n g a s e q u e f ( x ) = S b n ( x — c ) n p a r a a l g ú n x * c . E n t o n c e s , f(c ) = b 0. P o r d e r i v a c i ó n t é r m i n o a t é r m i n o ( t e o - "=0 r e m a 4 6 . 1 ) f ' ( x ) = ^ n b n ( x - c )"-1 e n e l i n t e r v a l o d e c o n v e r g e n c i a d e ^ b n ( x - c ) n . P o r t a n t o , f ( c ) = b 1. D e r i v a n d o n=0 n=0 f " ( c ) d e n u e v o s e o b t i e n e f " ( x ) = ^ n ( n - 1 )b n ( x - c ) n~2 . E n t o n c e s , f ' ( c ) = 2 b 2 y , p o r c o n s i g u i e n t e , b 2 = 2 . —=0 2 ¡ D e r i v a n d o n u e v a m e n t e s e o b t i e n e f ' " ( x ) = ^ n ( n - 1 ) (n - 2 ) b n ( x - c ) n~3 . L u e g o f " ( c ) = 3 ! b 3 y , p o r c o n s i g u i e n t e , f " ' (c) —=0 b3 — 3J . I t e r a n d o e s t e p r o c e d i m i e n t o s e o b t i e n e f (n)(c)b = - — par a todo n > 0 n n ! Así, la serie es la serie de T aylor para f . EJEMPLO 47.3. Y a se sabe por la fórm ula (46.8) que ln (1 + x) = S (—1)n—1 ~ para Ixl < 1 n=1 Por tanto, por el teorem a 41.1, la serie ^ (-1 )n~1 — debe ser la serie de M aclaurin para ln (1 + x). No es necesario n=1 pasar por el laborioso proceso de calcular la serie de M aclaurin para ln (1 + x ) directam ente a partir de la definición de la serie de M aclaurin. EJEMPLO 47.4. Si f (x) = 1 —^ , determ ine f 41)(0). 1 x”Se sabe que 1------= ^ x n para Ixl < 1. Por tanto, por el teorem a 41.1, el coeficiente de x", o sea 1, es igual a f (n)(0) x —=0 f (41)(0) f — (-0) . Entonces, para n = 41, 1 = (4 1) ¡ y, por consigu ien te ,f(41)(0) = (41)!. Teorema 47.2. Fórmula de Taylor con residuo. Sea f una función tal que su (n + 1)-ésima derivada f n+1) existe en (a , P). Supóngase tam bién que c y x existen en (a , P). Entonces, existe algún x* entre c y x tal que f " ( c) f (n)(c) f (n+1) ( r*) f (x) = f (c) + f '(c)(x — c) + f 2T ¿ ( x — c)2 + ' ' ' + f — “H x — c)n + f (n + 1 )! ) ( x — c)n+1 JL f (t)(c) = S f r f ) (x — c )k + R — (x) (41.1) f (n+1)(x* ) Aquí, R (x) = (x — c)n+1 se denom ina el término residuo o el error. nW (n + 1)! v y E l teorem a 41.2 puede deducirse del teorem a 13.6 (el teorem a del valor m edio de orden superior). CA PÍTU LO 47 Serles de Taylor y de M aclaurin. Fórmula de Taylor con residuo www.FreeLibros.me
  • ^ 394^ CAPÍTULO 47 Serles de Taylor y de M aclaurln . Fórm ula de Taylor con residuo Aplicaciones de la fórmula de Taylor con residuo I. M uestra de que ciertas funciones están representadas por su serie de Taylor m ediante la dem ostración de que lím R n (x ) = 0 A partir de la fórm ula de Taylor (47.1), » f (k )(c) Rn (x) = f (x) - X (x - c)k k=0 Si lím „^+„ R n (x) = 0 entonces » f (k) (c) +2 f (k) (c) f ( x ) = Ito X x - c)k = X ¿ - j P - í x - c)k es decir, f(x ) es igual a su serie de Taylor. d n x n Observación: lim —i = 0 para todo d. Para com probarlo, recuérdese que X "ni converge para todo x. Por n^ +™ xn n=0 ende, por el teorem a (43.5), lím n — = 0 para todo x. n i EJEMPLO 47 .5 . sen x es igual a su serie de Maclaurin. Cuando f x ) = sen x, entonces toda derivada f n)(x ) es cualquiera de éstas: sen x, cos x, -sen x o -cos x y, por consiguiente, lf (n)(x )l < 1. Así, R » ( x ) i = (n + 1)! l ( x — c) n+11Por la observación anterior, límn^ +„ —(—— j ) — = 0 . Por tanto, lím n^ +„ R n ( x ) = 0 . Por consiguiente, sen x es igual a su serie de Maclaurin: sen x = X (2j + 1. )! x 2k+1 = x - f r + f r - ^7t + ••• (47 .2)k=0 ^ II . Valores de aproxim ación de funciones integrales U se una cota en R n(x) para obtener una cota en el error cuando se aproxim a la sum a de una serie infinita m ediante una sum a parcial. EJEMPLO 4 7 .6 . Aproxime e con cuatro cifras decimales, es decir, con un error < 0.00005. El resultado preliminar + i x — es e < 3. Para comprobarlo, nótese que, como ex = X —7, n=0 n • e = e1 = X -1 = 1 +1 + — + — + — + — + • • ■e e X n i 1 + 1 + 2i + 3i + 4i + 5i +n =0 < 1 + 1 + 1 \--1---\------------1--\------------ 1-\ •••< 1 + 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 1 + X 2n 1 + 1 - (1/ 2) 1 + 2 3 Ahora, para la funciónfx ) = e*, se desea hacer la magnitud del error R n(1) < 0.00005. Por la fórmula de Taylor con residuo, con x = 1, ir» (1)i = f (n+1)( x ) (n + 1)! donde 0 < x* < 1 www.FreeLibros.me
  • -^ 395^ Com o Dx(ex) = ex, f n+V)(x) = ex para todo x. Por tanto, f n+V)(x*) = e . Entonces e es una función creciente, e < e 1 = eX < 3 < e 1 = e < 3. Así, |R n(1)| < 3 (n + 1)! < 0.00005, . Com o se desea hacer del error < 0.00005, basta tener es decir, —+ n . < , 60 0 0 0 < (n + 1)!.(n + 1)! - ^ (n + 1)! - 20 000 8 1 Por ensayo y error se m uestra que se cum ple para n > 8. Entonces, se puede utilizar la sum a parcial ^ _ f ~ 1.7183. Teorema 47.3. La serie binomial. Supóngase que r ^ 0. Entonces, (1 + x)r = 1 + £ r(^lX^2_(^n ± i)xn paral xl< 1n=1 , r(r - 1) 2 r(r - 1)(r - 2) 3 = 1 + rx + 2! x2 + —----3f--- x3 + • • • Se aplica el criterio de la razón a la serie dada: r(r - 1)(r - 2) • • • (r - n)x n+‘ / r(r - 1)(r - 2) • • • (r - n + 1)x n (47.3) Sn+1 Sn Así, (n + 1)! lím n ! = lím (r - n )xn + 1 = 1 x l Por tanto, la serie converge para lx l < 1. Para ver un esbozo de la dem ostración de que la serie es igual a (1 + x)r repase el problem a 31. N ótese que si r es un entero positivo k, entonces los coeficientes de x n para n > k son 0 y se obtiene la fórmula binom ial (1 + x ) * = £ k! n !(k - n)! EJEMPLO 47.7. Redefina VT + x como una serie de potencias en torno a 0. Esta es la serie binom ial para r = 2 = 1 + - f x + (1/ 2)2-1 /2 ) x 2 + (1/ 2) ( - 132 )(-3 /2 ) x3 + (1 /2 )(-1 /2 )( -3 /2 )(-5 /2 ) x4 + 4! x 1 128 ' (47.4) EJEMPLO 47.8. Encuentre una extensión de la serie de potencias en torno a 0 para V 1 - x Se tom a la serie binom ial para r = - - j , y luego se rem plaza x por -x: — 1 + — x ) + 1 , - 1 /^ ^ ^ , ( -1 /2 ) ( -3 /2 ) (_ x )2 + ( -1 /2 )( -3 /2 ) ( -5 /2 ) ( x)3 + ^ ' 1! ^ ' 2 ! 1 -3 -5 ••• (2n - 1) n + ---------- prn-------- x n + ••n ! 2n = ! . f 1 ' 3 5 (2n - 1) x n 1 + £ 2 - 4 -6 ••• (2n) X (47.5) n=0 s sn nn n n=0 1 CA PÍTU LO 47 Serles de Taylor y de M aclaurln. Fórmula de Taylor con residuo www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 47 Series de Taylor y de M aclaurin . Fórm ula de Taylor con residuo Teorema 4 7 .4 . Si f (x) _ £ anx n para lxl < R y y g(x) _ £ bnx n para lxl < R 2, entonces f (x)g(x) _ £ cnx n para lxl n_0 n_0 n_0n < m ínim o (Ry, R2), donde cn _ £ akbn-k. k_0 Puede consultar una dem ostración en una obra m ás avanzada. El teorem a 47.4 garantiza que si f y g tienen exten­ siones de series de potencias, entonces tam bién las tiene su producto. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Encuentre una extensión de serie de potencias en torno a 0 para cos x . Se sabe por el ejem plo 47.5 que ^ (- 1) k r 3 x 5 x 7sen x _ £ (2k + j)! x 2k+j _ x - 3 + + . . . para todo x. k_0 Entonces, por el teorem a (46.7), es posible derivar térm ino a término: ( - i ) k x2k _ , - xL + - (2k)! x 1 2! 4! 6 ! ( - 1) k x 2 x 4 x6 c o s x _ £ - ( x k y x 2k _ 1 - -Tjy + - - r , + •• • p a r a t o d o x . 2. Encuentre una serie de potencias en torno a para sen x. U se la identidad de s e n x _ c o s (x - n ). En consecuencia, por el problem a 1, ( - l ) W ^ - n \ 2k i 1 / n \2 + 1 / n 4 sen x £ (2 k ) !(x 2 ) 1 2 ! (x 2 ) + 4 ! (x 2 ) ••• 3. Sea f x ) = tan-1x. Evalúe / 38)(0). Se sabe por la fórm ula (46.12) que ( - 1) n + i = x - j x 3 + j x 5 - y x 7 p a r a lxl < 1 n=0 f (38)(A) Por tanto, por el teorem a (47.1), el coeficiente de x38 en esta serie de potencias es igual a 1 -±¿L. Pero el coeficiente de x38 es 0. Entonces, / 38)(0) = 0. ( 3 8 ) ! 4. H alle las extensiones de la serie de potencias en torno a 0 para las funciones siguientes: a) cos(x2) b) xe"2 c) 1/ ^ 1 + x + ^ ( 1 \k / i \ k a) c o s x _ £ x 2k por el problem a 1. Por ende, c o s ( x 2) _ £ x 4k. Ü ( 2 k ) ! ( 2 k ) ! 4 ^ x k _ ( - 1) k 2k b) Se sabe que ex _ £ 4 j . Entonces, e~2x = ^ - — A — x k . Por tanto, ,-2x ( ~ 1) k 2k ,.fc+i v ( ~ 1) n- 12n-1x e -2x — X1 ( j ) 2 x k+1 — V x e U k ! x ¿ ( n - 1)!k=0 n=1 v c) Esta es la serie binom ial para r _ - y . 1/ V T T T _ i - 3 x + ( - 1/ 32(!- 4 / 3 ) x 2 + ( - 1 / 3 ) ( - 4 ! 3 ) ( - 7 / 3 ) x 3 + ( - 1 / 3 ) ( - 4 / 3 ) ( - 7 / 3 ) ( - 1 0 / 3 ) , + + ------------------------41------------------------ x + • • • • _ 1 +£ ( -1 )n(1 .4 .7 • •• (3 n - 2)) 3nn! x n n_1 www.FreeLibros.me
  • -^ 397^ 5. Encuentre los prim eros cinco térm inos de la serie de M aclaurin para ex(sen x). M étodo 1: s e a f x ) = e (sen x). Entonces, f '( x) = ex(senx + cosx), f " (x) = 2ex (cos x), f ' " (x) = 2 ex (cos x — senx ) f (4) (x) = - 4 e x(sen x), y f (5) (x) = —4ex (sen x + cos x ) f (n) (0) Por tanto, como an = p — , se obtiene a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 1, a 3 = y, a 4 = 0 y a 5 = —30. Así, x3 x5 ex (senx) = x + x 2 + ^ + ••• M étodo 2 ex(senx) = (1 + x + + y - +---- ) (x — ~3j + y j--------). Si se m ultiplica de acuerdo con la regla expuesta en el teorem a (47.4), se obtiene el m ism o resultado anterior. Por ejem plo, c5 = 24 — t2 + 120 = — 30. x3 x5 6 . Se sabe que sen x = x — y f + y j-------- . ¿Para qué valores de x al aproxim ar sen x por x se produce un error de < 0.005? I R2( x)l = f (3)(x*) 3-— -— x3! I x l < 6 . (Aquí, l /3)(x)l < 1, ya q u e f(3) es - cos x.) Por tanto, se requiere lxl3/6 < 0.005, que equivale a lxl3 < 0.03. Entonces, se quiere lxl < ^0 .0 3 ~ 0.31. 7. Si se aproxim a sen x por x — 3 - para lxl < 0.5, ¿cuál es un lím ite en el error? Com o sen x es igual a una serie alternada para todo x , el error será m enor que la m agnitud del prim er térm ino omitido, en este caso lxl5/5!. Cuando lxl < 0.5, el error será m enor que 1 2 0 (0.5)5 ~ 0.00026.. Í1 sen x ^ x dx con un error m enor que 0.005.(—1)sen x _ ! -v-3 v5 v7x 2k+1 _ x — i x ___x(2k + 1 ) ! x 3! 5! 7! Por tanto, sen x _ ! (_ i )k (2k + 1)! x2k _ 1 _ x + x _ x x _ 1 3! + 5! 7! ' Por consiguiente, £ se^ x dx _ ¿ (2k + \) ! J0 x2k dx _ ¿ (_ 1)k x 2ki11 (2k + 1)! 2k + 1 _ ! ( _ 1) k 1 (2k + 1)! 2k + 1 E sta es una serie alternada. Se debe hallar k de m anera que - 1 1 - < 0.005 o, de form a equivalente, (2k + 1)! 2k + 1 200 < (2k + 1)!(2k + 1). Esto resulta verdadero para k > 2. Por ende, se necesita 1 — 118 = ~ 0.9. 9. H alle una serie de potencias en torno a 0 para sen 1 x. Por la fórm ula (47.5), 1____ 1 , Y 1 - 3 - 5 •••(2 — r 1 + ^ 2 4 6 . . . 1 - 3 - 5 ••• (2n - 1) 1 2 - 4 6 • •• (2n ) para lxl < 1 Remplace x por t2 1 - 3 - 5 ••• (2n - 1)1 _ 1 , y ^ 3 '5 "(2 + ¿ 2 - 4 - 6 • •• (2n ) para lt < 1 k_0 k_0 k_0 CA PÍTU LO 47 Serles de Taylor y de M aclaurin. Fórmula de Taylor con residuo www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 47 Series de Taylor y de M aclaurin . Fórm ula de Taylor con residuo Entonces, para lx l < 1, sen 1 x 1 -3 -5 ••• (2n - 1) x 2n+1 t í 2 - 4 - 6 ••• (2n) 2n + 1 10. H alle la serie de M aclaurin para las funciones siguientes: a) sen (x3); b) sen2 x. Recuerde que si una función tiene una extensión de la serie de potencias en un intervalo en torno a 0, entonces esa serie es la serie de M aclaurin de la función. + 1 (— 1)k (— 1)k a) senx = V ^ —^ - r x 2k+1 para todo x. Por tanto, sen(x3) = V ^ x 6k+3 y esta es la serie de M aclaurin s ( 2 k + 1)T á ( 2 k + 1)T para sen(x3). b ) sen2 x = 2 ( +“ ( 1 - Vv k=0 (—1) k 22k (2k)T ^ (—1)k+122*—1 = V — rrP\\ -x 2k por el problem a 1. Entonces, la serie de i r (2* )T ( - 1) * +12 2k- \ , 2tM aclaurin para sen2 x es £ i z 1(2kyi x 2k.. 11. D eterm ine los prim eros cuatro térm inos no cero (no nulos) de la serie de M aclaurin para f(x ) = sec x . Sería m uy tedioso calcular las derivadas sucesivas. M ejor, como sec x cos x = 1, se puede proceder de form a diferente. Supóngase que x = V a nx n. Entonces, V a . x - ) ( V { —g r x 2k V.n=0 J \k =0 ^ ' J =1 a + a 1 x + a 2 x + a 3 x + • • • ) (1 — ^ + 24 — 72Q + • • • ) = 1 A hora se “m ultiplica” , se com paran coeficientes en ambos m iem bros de la ecuación y se despeja an a 0 = 1, a 1 = 0, a 2 = 4 ; a i = 0; a 4 = -24; a 5 = 0; a 6 = -720 sec x = 1 + 1 x 2 +T5 x 4 +^6 1 x 6 Entonces, can v — 1-1- x , x , 2 x 1 2 4 x 7 2 0 ' Otro método consiste en efectuar una “división larga” de 1 entre 1 - x p + - ^x)0 ^------ PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 12. Encuentre la serie de M aclaurin para las funciones siguientes: 1 + x 5 ( - 1) * . 10k+5 . M V ^ 5n . ! + V (—1) k 22k—1 a) sen (x5); b) -¡------ 5 ; c) cos2 x. Respuestas: a) ^ ( 2 k -h 1)Tx 10*+5; b) E ( _ 1 )nx5n ; c) 1 + V " (2k) • 13. H alle la serie de Taylor para ln x en torno a 2. Respuesta: ln 2 + V (—1)n—1 ( x. 22 ^ 14. D eterm ine los prim eros tres térm inos diferentes de cero de la serie de M aclaurin para a) ser[x ; b) ex cos x. ex Respuestas: a ) x - x2 + y x3 H— ; b) 1 + x — y x3 + • n=0 x www.FreeLibros.me
  • -^ 399^ 15. Calcule los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de Maclaurin para tan x. Respuesta: x + 3 x3 + i | x5 +— 16. Calcular los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de Maclaurin para sen-1 x. Respuesta: x + 6 x3 + 20 x 5 +— K 1 K ( K \ 117. Halle la serie de Taylor para cos x en torno a -3 . [Sugerencia: use una identidad para cos I 3 + 1 x - "3 11.] Respuesta: ± £ ( $ ( x - f )2k - f ( x - f f f1/2 tan 1 x; o i e n c i a s p a r a a p r o x i m a r ' Respuesta: 0 .4 8 7 2 /* 1/2 tan 1 x 18. (CG) Use la serie de potencias para aproximar J x dx j*1/2 ln(1 + x) 19. (CG) Use la serie de potencias para aproximar J ^ — dx correctamente con cuatro cifras decimales. Respuesta: 0.4484 20. (CG) Use la serie de potencias para aproximar ^ 1 + x2 dx correctamente con cuatro decimales. Respuesta: 1.0948 21. (CG) ¿Cuál es un límite en el error si se aproxima ex por 1 + x + \ x 2 para Ixl < 0.05? (Puede utilizar e005 < 1.06.) Respuesta: 0.0000221 22. (CG) ¿Cuál es un límite en el error si se aproxima ln (1 + x) por x para Ixl < 0.05? Respuesta: 0.00125 23. (CG) Use la serie de Taylor para sen x en torno a -73 a fin de aproximar sen 62° correctamente con cinco cifras decimales. Respuesta: 0.88295 24. (CG) ¿En qué intervalo puede seleccionar el ángulo si los valores de cos x se calcularán empleando tres términos de su serie de Taylor en torno a -73 y el error no debe exceder de 0.00005? Respuesta: x 3 < 0.0669 25. (CG) Use la serie de potencias para calcular con una precisión de cuatro cifras decimales: a) e 2; b) sen 32°; c) cos 36°. Respuesta: a) 0.1353; b) 0.5299; c) 0.8090 26. (CG) ¿Para qué rango de x se puede: a) Remplazar ex por 1 + x + -jx2 si el error permisible es 0.0005? b) Sustituir sen x por x - -1 x3 + 120x5 si el error permisible es 0.00005? Respuesta: a) Ixl < 0.1; b) Ixl < 47° CA PÍTU LO 47 Series de Taylor y de M aclaurin. Fórmula de Taylor con residuo www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 47 Serles de Taylor y de M aclaurln . Fórm ula de Taylor con residuo 27. U se la serie de potencias para evaluar a) lim n^ 0- — | — ; b) lim „^0 Respuestas: a) 1 ; b) -2 ,cos x 28. (CG) U se la serie de potencias para evaluar: í*k/2 a ) (1 - i s e n 2x ) ~1/2dx (con precisión de tres cifras decim ales). b) J cos*Jxdx (con precisión de cinco cifras decim ales). f1/2 dxc) I i------(con precisión de cuatro cifras decim ales). o 1 + x ' Respuestas: a) 1.854; b) 0.76355; c) 0.4940 29. (CG) U se la serie de potencias para aproxim ar la longitud de la curva y = y x 3 de x = 0 a x = 0.5, con precisión de cuatro cifras decim ales. Respuesta: 0.5031 30. (CG) U se la serie de potencias para aproxim ar el área com prendida entre la curva y = sen(x2) y el eje x de x = 0 a x = 1 , con precisión de cuatro cifras decimales. Respuesta: 0.3103 31. D em uestre que la extensión de la serie binom ial en el teorem a (47.3) es correcta. [Sugerencia: sea y = 1 + ^ -r(- — — n — —— n + 1) x n. U se la derivación térm ino a térm ino para hallar la serie para d - y dem uestre que d - = 1 + — • Luego, derive y = (1 + x)r. U se “variables separables” ; I d = I rd x .] dx dx 1 + x y 1 + x 32. Redefina el polinom io f x ) = x4 - 11x3 + 43x2 - 60x + 14 como una serie de potencias en torno a 3 y halle f ( x ) d x . Respuesta: 1.185 www.FreeLibros.me
  • Derivadas parciales Funciones de varias variables Si se asigna un número real z a cada punto (x, y) de una parte del plano xy, se dice que z es dada como una función, z = f(x, y), de las variables independientes x y y. El conjunto de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen z = fx , y) es una superficie en espacio tridimensional. De forma semejante pueden definirse las funciones w = f(x, y, z,...) de tres o más variables independientes, aunque no se tenga ninguna representación geométrica. Hay un número notable de diferencias entre el cálculo de una y de dos variables. Sin embargo, el cálculo de las funciones de tres o más variables difiere sólo levemente del de las funciones de dos variables. El estudio aquí se limitará, fundamentalmente, a las funciones de dos variables. Límites Por un disco abierto con centro en (a, b) se entiende el conjunto de puntos (x, y) dentro de una distancia fija de 8 a (a, b), es decir, una distancia tal que ^ /(x - a)2 + (y - b)2 < S. Por disco borrado (arandela) en torno a (a, b) se entiende un disco abierto sin su centro (a, b). Sea f una función de dos variables y supóngase que hay puntos en el dominio de f próximos arbitrariamente a (a, b). Decir quefx, y) tiene límite L cuando (x, y) tiende a (a, b) significa intuitivamente quefx, y) puede aproximarse arbitrariamente a L cuando (x, y) está suficientemente próximo a (a, b). Más exactamente, ( lím f (x, y) = L(x y)^ (ab) si, para todo e > 0, existe un 8 > 0 tal que para todo (x, y) en el dominio de f y en el disco borrado (arandela) de radio 8 alrededor de (a, b), fx , y) - Ll < e . Esto equivale a afirmar que para todo e > 0 existe un 8 > 0 tal que 0 < ^ (x - a)2 + (y - b)2 < S implica fx , y) - Ll < e para todo (x, y) en el dominio de f . Nótese que no se ha supuesto que f (a, b) está definido. Las leyes para los límites análogas a las de las funciones de una variable (teoremas 7.1 a 7.6) también se cumplen aquí con demostraciones semejantes. EJEMPLO 48 .1 . Al utilizar estas leyes estándar para los límites se observa que lím 3xy2 1 _ 3(3)(1) T T Txy| = " f ^ + t (3)(1) = f + i = f EJEMPLO 48 .2 . En algunos casos estas leyes estándar no son suficientes. 3xy2 0Demuestre que lím 2 2 = 0. Con las reglas sobre límites generales se obtendría 0, que es indeterminado.(x,y)^ (0,0) x + y 0 Por ello, es necesario un argumento más evolucionado. Supóngase que e > 0. Ahora, 3xy2 x2 + y2- 0 3xy2 x2 + y2 = 31 xl x2 + y2 < 3 1 x l < 3^1 x2 + y 2 < 35 = si se selecciona 8 = e /3 y se supone que 0 < 7 x 2 + y 2 < 8 . 2 www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 48 Derivadas parciales EJEMPLO 48 .3 . Demuestre que lím —“V no existe.(x,y)^ (0,0) x + y x 2 — y2 x2Sea (x, y) ^ (0, 0) a lo largo del eje x, donde y = 0. Entonces ———y = — = 1. Entonces, el límite a lo largo delx y x r, r, r,x 2 — y2 y2eje x es 1. Ahora sea (x, y) ^ (0, 0) a lo largo del eje y, donde x = 0. Entonces x2 + y2 = -yy = -1. Luego, el límite a lo largo del eje y es -1. Por tanto, no puede haber límite común cuando 1 tiende a (0, 0) y el límite no existe. ( x2 — y2 ^ 2 EJEMPLO 48 .4 . Demuestre que lím —=— ^ no existe.(x, y^ (0,0) ^ x 2 + y2 J x 2 _ y2 X 2 Aquí no se puede utilizar el mismo argumento que el del ejemplo 48.3, porque ——^ tiende a 1 cuando (x, V x + y ) y) tiende a (0, 0) tanto a lo largo del eje x como del eje y. Sin embargo, si (x, y) tienden a (0, 0) a lo largo de la recta ¡ x2 — y2 \2 ¡ x2 — x 2 \2 ¡ x2 - y2 \2 y = x. Entonces, ( x2 + y2 ) = (x2 + x 2 ) = 0. Por tanto, ^ ^ ü a lo largo de y = x. Como esto es diferente del límite 1 aproximado a lo largo del eje x, no existe límite cuando (x, y) ^ (0, 0). Continuidad Sea f una función de dos variables y se supone que hay puntos en el dominio de f arbitrariamente próxi­ mos a (a, b). Entonces f es continua en (a, b) si y sólo si f está definida en (a, b), lím f (x , y) existe, y lím f (x , y) = f (a , b). (x' y)" ( ab) (x, y)^(a, b) Se dice que f es continua en un conjunto A si f es continua en cada punto de A. Esta es una generalización para dos variables de la definición de continuidad para las funciones de una varia­ ble. Las propiedades básicas de las funciones continuas de una variable (teorema 8.1) se transfieren fácilmente a dos variables. Además, todo polinomio en dos variables, tales que 7x5 - 3xy3 - y4 + 2xy2 + 5, es continuo en todos los puntos. Toda función continua de una variable también es continua como una función de dos variables. Las nociones de límite y continuidad tienen generalizaciones obvias a funciones de tres o más variables. Derivadas parciales Sea z = fx , y) una función de dos variables. Si x varía mientras que y permanece fija, z se vuelve una función de x . Entonces, su derivada respecto a x lím f (x + Ax, y) - f (x , y) Ax^ ü A x se denomina la (primera) derivada parcial de f respecto a x y se denota con f x (x, y) o o f . De igual forma, si y varía en tanto que x se mantiene fija, la (primera) derivada pa rc ia l de f respecto a y es f (x y) = & = f = lím f (x , y + Ay) ~ f (x, y) f y( y ) dy dy aJ^g Ay EJEMPLO 48 .5 . Sea fx, y) = x2 sen y. Entonces f x(x, y) = 2x sen y y f y(x, y) = x2 cos y. Se observa que, cuando se calcula fx, a y se le trata temporalmente como una constante, y cuando se calcula fy, a x se le trata temporalmente como una constante. Las derivadas parciales tienen interpretaciones geométricas simples. Se considera la superficie z = f (x , y) en la figura 48.1. Por el punto P(x, y, z), existe una curva APB que es la intersección con la superficie del plano que pasa por P paralelo al plano xz (el plano determinado por el eje x y el eje z). De igual forma, CPD es la curva que pasa por P y que es la intersección con la superficie z = f x, y) del plano que pasa por P paralelo al plano yz. Cuando x varía y y dzse mantiene fija, P se mueve a lo largo de la curva APB, y el valor de en (x, y) es la pendiente de la recta tangente a la curva APB en P . De igual forma, cuando y varía mientras x se mantiene fija, P se mueve a lo largo de la curva uzCPD, y el valor de -=y en (x, y) es la pendiente de la recta tangente a la curva CPD en P. x — y www.FreeLibros.me
  • -^ 403^ Derivadas parciales de orden superior 07Se pueden extraer las derivadas parciales respecto a x y y de ^ para llegar a d2z „ , , d i dz dx2 “ fxx ( x y) ~ d x \ dx dzDe igual forma, de se obtienedy = f (x y) = A í f c dy2 f yy ( x y) dy\ dy 52 z _ f (x y) _ d i dz y f yx(x, y)dy dx dy\ dx dx dy 3x\ 5y Supóngase quef xy yf,x existen y son continuas en un disco abierto. Entonces, f xy = f yx en cada puntoTeorema 48.1. del disco. En el problema 30 se presenta una demostración. EJEMPLO 48.6. Compruebe el teorema 48.1 para fx , y) = x2(sen yx). fx(x, y) = x2(cos yx)(y) + 2x(sen yx) = x[xy(cos yx) + 2sen yx] f y(x, y) = x2(cos yx)x + x3(cos yx) f yx(x, y) = x[x(y(-sen yx)(x) + cos yx) + 2(cos yx)(x)] = x2[-xy sen yx + 3 cos yx] f xy(x, y) = x2(-sen yx)(y) + 3x2 cos yx = x2[-xy sen yx + 3 cos yx] Las derivadas parciales también pueden definirse para funciones de tres o más variables. Se cumple un análogo del teorema 48.1 para dos ordenamientos cualesquiera de los subíndices dados. Nótese que las derivadas parciales pueden no existir cuando los límites requeridos no existen. z y PROBLEMAS RESUELTOS ( x — y ' , ' 4 Como se aplican las leyes de límite estándar, los límites son: a) 2(3)(2)4 - 7(3)2(2)2 = 96 - 252 = -156; b) c^os2 2. Evalúe) lím(x,y)^ (0,0) x2 + y2 Cuando (x , y ) ^ (0, 0) a lo largo del eje y , x = 0 y x 2 + y 2 = 0 ^ 0. 2x 2 CA PÍTU LO 48 Derivadas parciales www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 48 Derivadas parciales Cuando (x, y) ^ (0, 0) a lo largo del eje x, y = 0 y 2 Por tanto, el límite no existe. X y 2 2 ^ = 1 ^ 1. 2 x 2 Evalúe lím xy (x,y)^ (0>0^ x 2 + y2 Cuando Ixl = \ [x 2 < ^ x 2 + y2 xy x 2 + y2 < Iyl ^ 0 cuando (x, y) ^ (0, 0). Entonces, lím(x, y)^ (0,0) ^ x2 + y:,= 0. La función f (x, y) _ + y) es continua en todos los puntos salvo en (0, 0) y en la recta y = -x, donde no está definida. ¿Puede definirse f(0 , 0) de manera que la nueva función sea continua? sen(x ^ y) ^Cuando (x, y) ^ (0, 0), x + y ^ 0 y, por consiguiente, — ^ 1, ya que lím u = j . Entonces, si f(0 , 0) = 1, la nueva función será continua en (0, 0). Así que la discontinuidad original era removible. En los problemas 5 a 9, halle las primeras derivadas parciales. z = 2x2 - 3xy + 4y2. d z .Al tratar y como una constante y derivando respecto a x resulta = 4 x - 3y . dzAl tratar x como una constante y derivando respecto a y resulta = —3x + 8y . 6. z _ n +r .y x 2 Al tratar y como una constante y derivando respecto a x se obtiene .dx y x2 Al tratar x como una constante y derivando respecto a y resulta . dy y x z = sen(2x + 3y). | | = 2cos(2x + 3y) = 3cos(2x + 3y) 8. z = tan-1(x2y) + tan-1(xy2). 2xydz _____ dx 1 + x4 y2 y2 1 + x2 y4 dz _ x 2 , 2xy dy 1 + x4 y2 1 + x2 y4 z = +xy . x^ = ex2 (2x + y) dz _ xgx'2 dy ' 10. El área de un triángulo está dada por K = ÿ ab sen C . Cuando a = 20, b = 30 y C = 30°, determine: a) La razón de cambio de K respecto a a, cuando b y C son constantes. b) La razón de cambio de K respecto a C, cuando a y b son constantes. c) La razón de cambio de b respecto a a, cuando K y C son constantes. a) I l = 3 b sen C = i(30)(sen30°) = f b) | C = -2 ab cos C = i(20)(30)(cos30° ) = 150^ c) b = 2K db 2Ka senC da a 2sen C 2(1/2 ab senC) a2senC y y y www.FreeLibros.me
  • -^ 405^ En los problemas 11 a 13, encuentre las primeras derivadas parciales de z respecto a las variables independientes x y y. 11. x2 + y2 + z2 = 25. [Ésta es la ecuación de una esfera de radio 5 y centro en (0, 0, 0).] Se deriva implícitamente respecto a x, tomando y como una constante, para obtener: 2x + 2z = 0. Por tanto, = - xdx dx z Se deriva implícitamente respecto a y, tomando x como una constante: 2y + 2z = 0. Por ende, ^ = - —dy dy z 12. x2(2y + 3z) + y2(3x - 4z) + z2(x - 2y) = xyz. Se deriva implícitamente respecto x: 2x(2y + 3z) + 3x2 ^ + 3y2 - 4y2 + 2z(x - 2y) ^ + z2 = yz + xy ■2 . ,2 . Al resolver para -^ 2- se obtiene: = - 4'2y + 6xz + 3y + z---- yz—.dx dx 3x2 - 4y2 + 2xz - 4yz - xy Se deriva implícitamente respecto a y: 2x2 + 3x2 i — + 2y(3x - 4z) - 4y2 ^ + 2z(x - 2y) i — - 2z2 = xz + xy i — Al resolver para se obtiene: = —2x2 + 6xy—8—z——-----— .dy dy 3x2 - 4y2 + 2xz - 4yz - xy 13. xy + yz + zx = 1. Al derivar respecto a x se obtiene y + y -4z- + x -4z- + z = 0; por tanto, = - —h-r .^ J J dx dx * dx x + y Al derivar respecto a y se obtiene x + y Í— + z + xÍ— = 0; por tanto, ^ y = - x * y . 14. Considérese x y y como variables independientes. Encuente ^ cuando x = e2r cos 0, y = e3r sen 0. Primero se derivan las relaciones dadas respecto a x: 1 = 2e2r cos0 - e2rsen0 ^ y 0 = 3e3rsen0-^ r + e3r costf-^dx dx dx dx Luego se resuelven simultáneamente para obtener 4 ^= 2r, , y 4^ = — 2r ^ sen^ 2 ^ .6 ^ dx e2r (2 + sen20) J dx e2r (2 + sen20) Ahora se derivan las relaciones dadas respecto a y: 0 = 2e2 r cos#-^ - e2 r sen#-^ y 1 = 3e3r sen#- ^+ e3r cos0-4^dy dy dy dy Entonces, se resuelve simultáneamente para obtener = 3r,/sen^ ^ y = %r,2cos 9^^ .F dy e3r (2 + sen2 Q) 3 dy e3r(2 + sen2 Q) 15. Determine las pendientes de las tangentes a las curvas que cortan en la superficie z = 3x2 + 4y2 - 6 los planos que pasan por el punto (1, 1, 1) y son paralelos a los planos xz y yz. El plano x = 1, paralelo al plano yz, interseca la superficie en la curva z = 4y2 - 3, x = 1. Entonces, dz = 8 y = 8(1) = 8 es la pendiente requerida. El plano y = 1, paralelo al plano xz, interseca la superficie en la curva z = 3x2 + 2, y = 1. Entonces, d7-^ x = 6x = 6 es la pendiente requerida. CA PÍTU LO 48 D erivadas parciales www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 48 Derivadas parciales En los problemas 16 y 17, encuentre todas las segundas derivadas parciales de z y compruebe el teorema 48.1. 16. z = x2 + 3xy + y2. I - 2x+3y, f - 3x - 2y, d2 z _ _ ^ (d z ) _ 2 dx2 dx \ dx ) 2, d2z _ ]L ( d z \ - 2 9y2 dy \ dy ) 2, d2 z = _ ^ (d z ) = 3 3y dx 3y\ 3x/ d2z = jL í dz \ = 3 dx dy dx \ 9y/ "\2 ?J2 Observe que " z = ° z . dy dx dx dy 17. z = x cos y - y cos x. dz_ dx = cos y + ysenx, i ? - i (f ) - y c°s x d2z d í d z \ ay lx= ay (ax )=- sen y+sen x dz dy = - x seny - cos x, i - 1 (f ) - - x cos y d2z d í dz) a x t = ax (ay )= - sen y+sen x "\2 ?J2 Observe que " z = ° z . dy dx dx dy 18. S e a fx , y, z) = x cos (yz). Halle todas las derivadas parciales de primero, segundo y tercer orden. f x = cos (y z ), f xx = 0, f y x = - z sen(yz), f y = -xz sen(yz), f y y = -xz2 cos(yz), fzy = -x(zy cos(yz) + sen(yz)) f z = -xy sen(yz), f = -xy2 cos(yz), f y z = - x ( zy cos(yz) + sen(yz)) Observe que f x y = f y x y f x z = f zx y f yz = f zy f = 0 f = f = 0 f = f = 0j x x x j x x y j x y x ^ j x x z j x z x fzx = -y sen(yz) fxy = - z sen(yz) fxz = - y sen(yz) f x y y = - z 2 c o s ( y z ) , fxyz = fxzy = -(zy cos(yz) + sen(yz)) f xz = - y2 cos(yz) f y y y = ^ sen (yz), f y x x = 0, f y x y = f y y x = - z2 cos(yz) f yxz = f yzx = - ( yz cos(yz) + sen(yz)) f y y z = f y z y = -x (-z2y sen(yz) + z cos(yz) + z cos (yz)) = xz(zy sen(yz) - 2cos(yz)) f zxy = f zyx = - ( zy cos(yz) + sen(yz)) fyzz = -x (-y 2z sen(yz) + 2y cos(yz)) = xy(z sen(yz) - 2cos(yz)) fzzz = xy3 sen(yz), fzxx = 0, f zxz = f zzx = - y2 cos(yz) f zyy = -x (-z2y sen(yz) + 2 z cos(yz)) = xz(zy sen(yz) - 2cos(yz)) fzyz = fzzy = -x(-zy2 sen(yz) + y cos(yz) + y cos (yz)) = xy(zy sen(yz) - 2cos(yz)) Observe que, en el tercer orden, dos reordenamientos cualesquiera de subíndices serán iguales. Por ejemPlo, f xyz = f xzy = f yxz = f yzx = f zxy = f zyx = - ( zy cos(yz) + sen(yz)). www.FreeLibros.me
  • - # 407^ ?27 ?2719. Determine si las funciones siguientes son soluciones de la ecuación de Laplace = 0: a) z = ex cos y b) z = -2(ex+y) c) z = x2 - y2 7^ 2^ z a) = ex cos y, = ex cos y z^ 2^ z■^y = -ex sen y, - ^ 2 = -ex cos y 32 z 32zEntonces, = 0.dx2 dy2 b) t - ì (e” ’ >, & " ì (e" ’ 1 § - «e*"), f í - i( * " ’ ) Entonces, -Í-2 + 4-2 = ex+y ^ 0.dx2 dy2 o Ì - 2*, i f - 2 t - - 2y, t - - 2 ?2y ?27Entonces, + -^ -y = 0.dx2 dy2 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS En los problemas 20 a 24, evalúe los límites dados. x 2y 520. lím —^— — Respuesta: - "32 21. lím - i — Respuesta: sin límite(x, y)^ (0,0) x2 + y2 3xy (x, y“ “(0,0) 2x2 + y222. lím 0 2 J 2 Respuesta: sin límite xy223. lím —t Respuesta: sin límite(x, y)^ (0,0) x + y x2 + y224. lím —¡= = Respuesta: 4(x, y)^ (0,0^ x2 + y2 + 4 - 2 25. Determine si cada una de las funciones siguientes puede definirse en (0, 0) de manera que sean continuas: a) y2 b) x - y c ) x3 +y3 d) x +ya) x2 + y2 b) x + y c) x2 + y2 d) x2 + y2 Respuestas: a) no; b) no; c) sí; d) no. CA PÍTU LO 48 D erivadas parciales www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 48 Derivadas parciales 26. Para cada una de las funciones z siguientes, determ ine ^ y -jjy-. a) z = x2 + 3xy + y2 b) z = 4 - yy2 x 2 c) z = sen 3x cos4y d) z = tan-1 ( x 1( í ) e) x2 - 4y2 + 9z2 = 36 f ) z3 - 3x2y + 6xyz = 0 g) yz + xz + xy = 0 Respuesta: = 2x + 3y; = 3x + 2y n t dz 1 , 2y . 9z 2x 1Respuesta: ^ r = - r H— t . = — 3----- 2r dx y2 x3 dy y3 x2 Respuesta: ^ = 3cos 3x cos4y; -jjy = -4sen 3x sen4y Respuesta: ^ = ,~y , ; ^ = 2 x 2dx x2 + y2 dy x2 + y2 Respuesta: § = -9 z ; | = Z Respuesta: =dz = 2y(x - z), dz = x(x - 2z) dx z2 + 2xy ’ dy z2 + 2xy Respuesta: ^ = - x ^ -z-dx x + y dy x + y 2 2 2 227. Para cada una de las funciones z siguientes, halle -^ 4-, ° z ° z y .dx2 dy dx dx dy dy2 a) z = 2x2 - 5xy + y2 b) z = 4 - 4 y2 x2 c) z = sen3x cos4y d) z = tan-1 ( x i y ) Respuesta: = 4; = _5 ; 4-y = 2dx2 ' ’ 9x 9y 9y dx u ’ 9y2 Respuesta: = --6y-; = 2(x3 _ y3 ) ; íly2=f r Respuesta: = ~9z ; = -¿jy^ x = ~12cos 3x sen4y; = y2 - x2 ay2 (x2 + y2)2 ’ dxdy~ dydx~ (x2 + y2)2 28. a) Si z =x - y d2z d2z d2z, demuestre que x2 ■^x^ + 2xy + y2 - 0.dx dy J dy2 ?27 ^27b) Si z = e^ cos py y p = ±a, demuestre que -^ x^ + -^ y^ = 0. 2^ * 2^ zc) Si z = e^ t(sen x + cos y), demuestre que + -^ -4- = ^ r-.7 M 9x2 9y2 3t I 2^z I 2^z 2^z \d) Si z = senax senby senktva2 + b2, demuestre que = k2 ^ + - y f j. 29. Para la fórmula de los gases (p + V i)(v - b) = ct, donde a, b y c son constantes, demuestre que dp _ 2a(v - b) - (p + a /v2)v3 dv v 3(v - b) dv cv ’ 3t (p + a/v2)v3 - 2a(v - b) dt _ v - b dp dv dt _ _ 1 dp c ’ dv dt dp -16z 30. Complete la representación siguiente de una demostración del teorema (48.1). Supóngase que f xy y f yx existen y son continuas en un disco abierto. Entonces, demuestre que f xy(a, b) = f yx(a, b) en cada punto (a, b) del disco. Sea Ah = (f(a + h, b + h) - f (a + h, b)) - f(a, b + h) - f(a, b)) para h suficientemente pequeño y ^ 0. Sea www.FreeLibros.me
  • F(x) = f(x , b + h) - f(x , b). Entonces, Ah = F(a + h) - F(a). Aplique el teorema del valor medio para obtener a* entre a y a + h, de manera que F(a + h) - F(a) = F '(a )h = fj.(a*, b + h) - f.(a*, b)]h, y aplique el teorema del valor medio para obtener b* entre b y b + h de manera que f x(a , b + h) - f.(a*, b) = f xy(a , b*)h. Entonces, Aft = V f xy(a*, b*) y l í m = (a. Km ,^ 4 (a*, b ) = 4 (a b) ------------- ^ 409^ Por un argumento semejante utilizando Áh = f(a + h, b + h) - f(a , b + h)) - (f(a + h, b) - f(a , b)) y el teorema del valor medio, se obtiene A hhm -rir = f x (a, b)*^0 h 2 ■'yx 31. Demuestre que el teorema (48.1) ya no se cumple si se elimina el supuesto de continuidad para f y y f . Use la función siguiente: [ xy< f - y 2) sid ,y)*(0,0)f (x, y) = x2 + y2 10 si (x, y) = (0, 0) [Halle las fórmulas para f ( x , y) y f y(x, y) para (x, y) * (0, 0); evalúe f ( 0 , 0) y fy(0, 0) y luego f,(0, 0) y f yX(0, 0).] CA PÍTU LO 48 D erivadas parciales www.FreeLibros.me
  • 49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena Diferencial total Sea z = f (x , y). Sean Ax y Ay números cualesquiera. Ax y Ay se denominan incrementos de x y y, respecti­ vamente. Para estos incrementos de x y y, el cambio correspondiente en z, que se representa como Az, está definido por Az = f ( x + Ax, y + Ay) - f(x, y) (49.1) La diferencial tota l dz está definida por: dz = I x A x + |y Ay = f x (x, y)A x + f y (x, y) Ay (49.2) dz dzNótese que si z = f (x, y) = x, entonces ^ = 1 y = 0 y, por consiguiente, dz = Ax. Entonces, dx = Ax. De igual forma, dy = Ay. Por tanto, la ecuación (49.2) se convierte en dz _ ^ ^ d x +|zdy _ f x (x, y) dx + f y (x, y) dy (49.3) Notación: dz también se denota df. Estas definiciones pueden extenderse a funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si u = f(x, y, z), entonces se obtiene: du , du , du ,du _ ^ ¡ -d x + ^ ¡ -d y + ^ ¡-dz dx dy dz _ f x (x, y, z) dx + f y (x, y, z) dy + f z (x, y, z) dz EJEMPLO 49 .1 . Sea z = x cos y - 2x2 + 3. Entonces, ^ = cos y — 4x y = - x sen y. Así, la diferencial total para z es dz = (cos y - 4x) dx - (x sen y) dy. En el caso de una función de una variable y = f(x), se utilizó el principio de aproximación Ay ~ f'(x) Ax = dy para estimar los valores de f . Sin embargo, en el caso de una función z = f (x , y) de dos variables, la función f debe satisfacer una condición especial para hacer buenas posibles aproximaciones. ^ 410^ www.FreeLibros.me
  • -----4411^ Diferenciabilidad Se dice que una función z = f (x, y) es diferenciable en (a, b) si existen las funciones e 1 y e 2 tales que Az = f x(a, b) Ax + f y (a, b) Ay + g1 A x +g2 Ay (49.4) y lím & = lím g9 = ü(Ax,Ay)^ (ü,ü) 1 (Ax ,Ay)^ (ü,ü) 2 Nótese que la fórmula (49.4) puede escribirse como A z = dz + e1 Ax + g2 Ay (49.5) Se dice que z = f (x, y) es diferenciable en un conjunto A si es diferenciable en cada punto de A. Como en el caso de una variable, la diferenciabilidad implica continuidad (véase el problema 23). EJEMPLO 4 9 .2 . Observe que z = f(x, y) = x + 2y2 es diferenciable en todos los puntos (a, b). Note también que f x(x, y) = 1 y f y(x, y) = 4y. Entonces, Az = f (a + Ax, b + Ay) — f (a, b) = a + Ax + 2(b + Ay)2 — a — 2b2 = Ax + 4bAy + 2(Ay)2 = f x (a, b) Ax + f y (a, b) Ay + (2 Ay) Ay Sea £j = 0 y e2 = 2 Ay. Definición. Por conjunto abierto en un plano se entiende un conjunto A de puntos en el plano tales que cada punto de A pertenece a un disco abierto que está incluido en A . Un ejemplo de conjunto abierto es un disco abierto y el interior de un rectángulo. Teorema 49 .1 . Supóngase quef(x , y) es tal que f x y f y son continuas en un conjunto abierto A. Entonces, f es diferenciable en A . En el problema 43 se presenta la demostración. EJEMPLO 49 .3 . Sea z = f (x, y) = J 9 — x2 — y2. Entonces, f = . x y f = , y . Por el teorema J y V Jx V9 — x2 — y2 y V9 — x 2 — y2 (49.1), f es diferenciable en el disco abierto de radio 3 y centro en el origen (0, 0) (donde los denominadores de f x y f y existen y son continuos). En ese disco, x2 + y2 < 9 tómese el punto (a, b) = (1, 2) y evalúe el cambio Az cuando se mueve de (1, 2) a (1.03, 2.01). Por tanto, Ax = 0.03 y Ay = 0.01. Aproxime Az por dz = f x (1,2) A x + f y (1,2) A y = —K0.03) + —^ .O ! ) = — 0.025 La diferencia real Az es ^ 9 — (1.03)2 — (2.01)2 — V9 — 1 — 4 ~ 1.9746 — 2 = —0.0254.. Reglas de la cadena La regla de la cadena (2 ^ 1) Sea z = f(x, y), donde f es diferenciable, y sea x = g(t) y y = h(t), donde g y h son funciones diferenciables de una variable. Entonces, z = f(g(t), h(t)) es una función diferenciable de una variable y dZ _ dX d ^ dy_ (49 6) dt dx dt + dy dt ' CA PÍTU LO 49 D iferencial total. D iferenciabilidad. Reglas de la cadena www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 49 D iferen c ia l to ta l. D lferenclabllldad. Reglas de la cadena dz Advertencia: nótese el doble significado de z, x y y en (49.6). En -~ü, z significa f (g(t), h(t)), en tanto que dz dz dz dx en ^ x y gy> z significa f (x, y). En x es una variable independiente, m ientras que en - ^ , x significa g(t). De igual forma, y tiene dos significados. Para dem ostrar (49.6) observe prim ero que, por (49.4), A z = -dx A x + -^— Ay + £1 A x + g 2 A y Entonces, Si Ai ^ 0, se obtiene A z _ dz A x dz Ay Ax Ay A t dx A t + dy A t + G' A t + & 2 A t ' dz dz dx dz dy x x dz dx dz dy 1Í = T x i í + T y i í +0(A x)+0(A-y)= ax n r + t— i í (Nótese que g y h son diferenciables y por ello continuas. Por consiguiente, com o At ^ 0, Ax ^ 0 y Ay ^ 0 y, por tanto, e 1 ^ 0 y A2 ^ 0.) EJEMPLO 49.4. Sea z = xy + sen x y sea x = t2 y y = cos t. Observe queip = y + cosx y y = x . Además, dr- = 2t, a y - - - — - , ^ — C A n f A V ií 'v rQ í ' ^ t n r i fnn^ mn t t — f2 t _l_ o í * n ( f2^ dt Por la fórmula (49.6), y d y = - sent. Ahora, como función de t, z = t2 cos t + sen (t2). dd^ _ (y + cos x )2t + x (-sent) _ (cost + cos(t 2))2t - 12sen t En este ejemplo en particular, puede comprobar el resultado calculando Dt(t2 cos t + sen (t2)). La regla de la cadena (2 ^ 2) Sea z = f (x, y), donde f es diferenciable, y sea x = g(t, s) y y = h(t, s), donde g y h son funciones diferenciables. Entonces, z = f(g(t, s), h(t, s)) es una función diferenciable y dz _ dz dx dz dy dz _ dz dx dz dy dt dx dt + dy dt y ds dx d s + 5y ds ' Aquí, como en la regla de la cadena anterior, los símbolos z, x y y tienen dos significados obvios. Esta regla de la cadena puede considerarse un caso especial de la regla de la cadena (2 ^ 1). Por ejemplo, dz dzla derivada parcial puede considerarse una derivada ordinaria — , porque s se trata como una constante. Pordt, fe á ^ z consiguiente, la fórmula para en (49.7) es la misma fórmula para en (49.6). EJEMPLO 49 .5 . Sea z = ex sen y y x = ts2 y y = t + 2s. Ahora, -§x = exseny , = s2, ^ e cosy y ^ = 1. Por tanto, por (49.7) dx Ót ót dz 2at = (ex sen y)s2 + (ex cos y) + ex (s2 sen y + cos y) = ets (s2sen(t + 2s) + cos (t + 2s)) De igual forma, dz 2= 2(e sen y)ts + 2 (ex cos y) = 2ex (ts sen y + cos y) = 2ets (ts sen(t + 2s) + cos (t + 2s)) www.FreeLibros.me
  • -----4413^ Las generalizaciones de la regla de la cadena (49.47) se cumplen para los casos (m ^ n), donde z = f(x, y,...) es una función de m variables y cada una de ellas es una función de un conjunto de n variables. Derivación implícita Supóngase que la ecuación F (x, y, z) = 0 define z implícitamente como función de x y y. Entonces, por la regla de la cadena (3 ^ 2), si se derivan ambos miembros de la ecuación respecto a x se obtiene Como dF dx + dF dy + dF dz _ ^ dx dx dy dx dz dx dx _ i dy _ 0 dF 5F 0 dx y dx ’ dx + dz dx „ . ... dF dF dz „ T .d FDe igual forma, -=- = 0. Luego, si ^0,dy dz dy dz dz _ _ d F /d x dz _ dF /dy (40 dx dF/d z y dy dF/d z ' „ U - ,1 U- dz Fx dz FyEsto también puede escribirse como ^ = _ F y dy = _ Fr EJEMPLO 49.6. La ecuación xy + yz3 + xz = 0 determina z como función de x y y. Sea F (x, y, z) = xy + yz3 + xz. Como Fz = x + 3yz2, Fx = y + z, y Fy = x + z3, (49.8) implica que dz _ y + z dz = _ x + z3 dx _ x + 3yz2 y' 9y x + 3yz2 PROBLEMAS RESUELTOS En los problemas 1 y 2 determine la diferencia total. 1. z = x3y + x2y2 + xy3 Se tiene -jjy = 3x2 y + 2 xy2 + y3 y -jy- = x3 + 2x2 y + 3xy2 d7 y Entonces, dz = d x d x + dfy dy = (3x2y + 2xy2 + y3) dx + (x3 + 2x2y + 3xy2) dy 2. z = x sen y - y sen x Se tiene ^ = sen y - y cos x y -|y- = x cos y - sen x Entonces, dz = ^dx^dx + ^1^ = (seny — y cos x) dx + (x cos y — senx) dy 3. Compare dz y Az, dado z = x2 + 2xy - 3y2. Í|x = 2 x + 2y y -jy- = 2x - 6y. Entonces dz = 2(x + y) dx + 2( x - 3y) dy También, A z = [(x + dx )2 + 2( x + dx)(y + dy) — 3(y + dy )2 ] — (x2 + 2 xy — 3y2) = 2(x + y) dx + 2(x — 3y) dy + (dx)2 + 2 dx dy — 3(dy)2 Así, dz y Az difieren por (dx)2 + 2 dx dy - 3(dy)2. CA PÍTU LO 49 D iferencial total. D lferenclabllldad. Reglas de la cadena www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 49 D iferen c ia l to ta l. D lferenclabllldad. Reglas de la cadena 4. Aproxime el área de un rectángulo de dimensiones 35.02 por 24.97 unidades. dA dAPara las dimensiones x por y, el área A = xy, de modo que dA =^d^dx + ^ y dy = ydx + x d y . Con x = 35, dx = 0.02, y = 25 y dy = -0.03 se tiene A = 35(25) = 875 y dA = 25(0.02) + 35(-0.03) = -0.55. El área es aproximadamente A + dA = 874.45 unidades cuadradas. El área real es 874.4494. 5. Calcule la variación en la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 6 y 8 pulgadas cuando el cateto más corto se alarga 1 pulgadas y el más largo se encoge -8 pulgadas. Sean x, y y z los catetos menor, mayor y la hipotenusa del triángulo, respectivamente. Entonces, z = [ z r + y r dz = x dz = y dz = dz dx + dz dv = x d x +y dy z V ^ dx ’ dy , dx + dy 6(—) + 8(— i) 1Cuando x = 6, y = 8, dx = 4 y dy = —1, entonces dz = ^ — — = 2g pulgadas. Por tanto, la hipotenusa se alarga aproximadamente 23- pulgadas. V6 + 8 E 26. La potencia consumida en una resistencia eléctrica se calcula con P = R watts. Si E = 200 voltios y R = 8 ohmios, ¿cuánto cambia la potencia si E disminuye en 5 voltios y R en 0.2 ohmios? Se tiene que dP _ 2E dP _ _ £ ! dp _ 2E dE _ E ^ dfí dE R , 9R R2, dP R R 2 Cuando E = 200, R = 8, dE = -5 y dR = -0.2, entonces dP = 2(200) (_5) _(200) (_0.2) = _250 +125 = _125 La potencia disminuye aproximadamente 125 watts. 7. Las dimensiones de un bloque rectangular de madera son 10, 12 y 20 pulgadas, con un posible error de 0.05 en cada una de las medidas. Determine, aproximadamente, el máximo error en el área de superficie del bloque y el porcentaje de error en el área producido por esos errores en las medidas individuales. El área de superficie es S = 2(xy + yz + zx); entonces, dS = dxdx + dy dy + ídzdz = 2(V + z) dx + 2(x + z) dy + 2(y + x) dz El máximo error en S ocurre cuando los errores en las longitudes de los lados son del mismo signo; por ejemplo, positivos. Así, dS = 2(12 + 20)(0.05) + 2(10 + 20)(0.05) + 2(12 + 10)(0.05) = 8.4 pulgadas2 El porcentaje de error es (error/área)(100) = (8.4/1120)(100) = 0.75%. 8. En la fórmula R = E/C, determine el máximo error y el porcentaje de error si C = 20 con un posible error de 0.1 y E = 120 con un posible error de 0.05. Aquí, dR = ^ dE + dC =1 dE — dCdE dC C C2 El error máximo ocurrirá cuando dE = 0.05 y dC = -0.1; entonces, dR = °0|5' — ^ i20(— 0.1) = 0.0325 es aproximadamente el error máximo. El porcentaje de error es (100) = -0° 325(100) = 0.40625 = 0.41%.R 8 www.FreeLibros.me
  • -^ 415^ 9. Dos lados de un triángulo miden 150 y 200 pies, y el ángulo que forman es de 60°. Si los posibles errores son 0.2 pies al medir los lados y 1° en el ángulo, ¿cuál es el máximo error posible en el cálculo del área? Aquí, A = 2-xysen#, = 2 y sen0, 1 xsen#, -jjA = 1 x ycos0 y dA = -2 y senOdx + \ x sentfdy + -y xy cosddd Cuando x = 150, y = 200, 0 = 60°, dx = 0.2, dy = 0.2 y dd = 1° = ft/80, entonces, dA = y(200)(sen60°)(0.2) + i(150)(sen60°)(0.2) + i(250)(200)(cos60°)(n/180) = 161.21 pies2 10. Halla dz/dt, dado z = x2 + 3xy + 5y2; x = sen t, y = cos t. Como = 2x + 3y, ^ = 3x + 10y, d - = cos t , -df = - sent se tiene que d = d a d 7 + dfydb = ^ x + 3y)cos t - (3x +10 y) sent 11. Halla dz/dt, dado z = ln(x2 + y2); x = e-t, y = et. Como dz = 2x dz = 2y dx = _„-t = et dx x 2 + y 2, dy x 2 + y 2, dt , dt se tiene que = -^-d- + ^ r dr = 22x 2 (-e-t) + 22y 2 et = 2 'ye2 xe2dt dx dt dy dt x 2 + y 2 x 2 + y2 x2 + y2 12. Encuentre dz-, dado z = f(x, y) = x2 + 2xy + 4y2, y = eax. d i = fx + f y % = (2 x + 2y) + (2x + 8)aeax = 2(x + y) + 2a( x + 4y)e“ 13. Halle a) p í y b) dy-, dado z = f(x, y) = xy2 + yx2, y = ln x. a) Aquí x es la variable independiente: i = f + § i =(y2+2xy)+(2xy+x 2 )1 =y2+2xy+2y+x b) Aquí y es la variable independiente: dy = ^dxdy + ^ y = (y2 + 2xy)x + (2xy + x2) = xy2 + 2x 2y + 2xy + x2 14. La altura de un cono circular recto es de 15 pulgadas y crece a razón de 0.2 pulgadas por minuto (pulg/min). El radio de la base mide 10 pulgadas y disminuye a razón de 0.3 pulg/min. ¿Con qué rapidez está cambiando el volumen? Sea x el radio y y la altura del cono (figura 49.1). De V = y nx2 y, y considerando x y y como funciones de tiempo t, se tiene que V = d V d x + dV É L dt dx dt dy dt = f ^ x y jt + x 2 d fe ) = f [2 (1 0 )(1 5 )(- 0.3) + 102 (0.2)] = - ^ pulgadas3/min CA PÍTU LO 49 D iferencial total. D lferenclabllldad. Reglas de la cadena www.FreeLibros.me
  • -^ 417^ 19. Use la derivación implícita [fórmula (49.8)] para hallar ^ y ^ , dado F (x, y, z) = x2 + 3xy - 2y2 + 3xz + z2 = 0. dz = _ F l - 2x + 3y + 3z dz = _ F l _ 3x - 4y dx Fz 3x + 2z y dx Fz 3x + 2z 20. Use la derivación implícita [fórmula (49.8)] para hallar y , dado sen xy + sen yz + sen zx = 1. Sea F (x, y, z) = sen xy + sen yz + sen zx - 1; entonces, dF dF dF= y cosxy + zcoszx, = x cosxy + zcosyz, = y cosyz + x coszx y dz _ dF/d x _ y cos xy + z cos zx dz _ _ d F fd y _ x cos xy + z cos yz dx dF/d z y cosyz + x cos zx ’ dy dF/dz y cosyz + x cos zx 21. Sean u y v están definidas como funciones de x y y por las ecuacionesf (x, y, u, v) = x + y2 + 2uv = 0 y g(x, y, u, v) = x2 - xy + y2 + u2 + v2 = 0 halle a) | | y ^ ; b) ^ y ^ . a) Al derivar f y g parcialmente respecto a x se obtiene 1 + 2v |u + 2ud v _ 0 y 2x - y + 2u|u + 2v ^ = 0dx dx dx dx Al resolver estas relaciones simultáneamente para ^ y ^ se tiene que du = v + u(y - 2x) d v = v (2x - y) - u dx 2(u2 - v 2) y dx 2(u2 - v 2) b) Derivando f y g parcialmente respecto a y se obtiene 2y + 2v-du + 2ud v _ 0 y -x + 2y + 2u-^ u + 2v^ = 0 dy dy y dy dy Pntonces _ u(x - 2y) + 2vy y _ v (2y - x) - 2uyEntonces, dy 2(u2 - v2) y dy 2(u2 - v2) 22. Dado u2 - v2 + 2x + 3y = 0 y uv + x - y = 0, encuentre a) ■^u , , ■^u, ^ y b) .dx dx dy dy du du dv dv a) Aquí x y y se consideran variables independientes. Al derivar parcialmente las ecuaciones dadas respecto a x se obtiene 2u|u - 2v ^ + 2 = 0 y v |u + u ^ v + 1 = 0dx dx y dx dx Se resuelven estas relaciones simultáneamente para obtener ■^u = — u¡ + v y = v ~ udx u2 + v2 dx u2 + v 2 ' Al derivar parcialmente las ecuaciones dadas respecto a y se tiene 2u|u - 2v + 3 = 0 y v | u + u ^ ~ 1 = 0 dy dy dy dy Se resuelven simultáneamente para llegar a ■^u = 02v2~ 3u2. y -^ v - 2u + 3v9y 2(u2 + v 2) dy 2(u2 + v2)' fc) Aquí u y v se consideran variables independientes. Se derivan parcialmente las ecuaciones dadas respecto a u y se obtiene 2u + 2-dx + 3-^_ 0 y v + | x - - ^ _ 0du du du du Entonces, 3x _ 2u + 3v y 9y _ 2(v - u) du 5 du 5 ' CA PÍTU LO 49 D iferencial total. D lferenclabllldad. Reglas de la cadena www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 49 D iferen c ia l to ta l. D lferenclabllldad. Reglas de la cadena Se derivan las ecuaciones dadas respecto a v y se obtiene - 2v + 2 -Íx + 3-^ y = 0 y u + -dx —-dy = 0dv dv dv dv Entonces, ^ = 2v ~3u y y^ = 2u(uc +v)3v 5 ov 5 23. Demuestre que la diferenciabilidad de z = f(x, y) en (a, b) implica quef es continua en (a, b). De (49.4), Az = (fx(a, b) + e.) Ax + (fy(a, b) + e2) Ay, donde lím e, = lím e2 = 0. Por tanto, y (Ax,Ay) ^ ( 0 , 0 ) (Ax,Ay ) ^ ( 0 , 0 ) Az ^ 0 cuando (Ax, Ay) ^ (0, 0), lo que implica que f es continua en (a, b). PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 24. Halle la diferencia total de las funciones siguientes: a) z = xy3 + 2xy3 Respuesta: dz = (3x2 + 2y2) dx + (x2 + 6y2) dy xd y - ydx .-2 . ,,2b) d= tan 1 ^ y ) Respuesta: d6 = - y (ydx - xdy) x2 + y2 c) z = ex2-y2 Respuesta: dz = 2z(x dx - y dy) d) z = x(x2 + y2) 1/2 Respuesta: dz = - (x2 + y2)3 (Sugerencia: lnra = -3(lng - lnb); -d -^ 25. Use diferenciales para aproximar a) el volumen de una caja con base cuadrada de lado 8.005 y altura 9.996 pies; b) la diagonal de una caja rectangular de dimensiones 3.03 por 5.98 por 6.01 pies. Respuestas: a) 640.544 pies3; b) 9.003 pies 26. Aproxime el máximo error posible y el porcentaje de error cuando z se calcula mediante la fórmula dada: a) z = rn^h; r = 5 ± 0.05, h = 12 ± 0.1 Respuesta: 8.5k; 2.8% b) 1/z = 1/f + 1/g; f = 4 ± 0.01, g = 8 ± 0.02 Respuesta: 0.0067; 0.25% c) z = y/x; x = 1.8 ± 0.1, y = 2.4 ± 0.1 Respuesta: 0.13; 10% 27. Halle el porcentaje máximo aproximado de error en: a) a = 3 g/b si hay un error posible de 1% en la medida de g y y% de error en la medida de b. {dg__ ab V dg = 0 0 1 ; db = 0 .0 0 5 .) ' “ 4 g b / g ' b Respuesta: 0.005 b) g = 2s/t2 si hay un posible error de 1% en la medida de s y ^ % de error en la medida de t. Respuesta: 0.015 28. Encuentre du/dt dado: a) u = x2y3; x = 2t3, y = 3t2 Respuesta: 6xy2t(2yt + 3x) b) u = x cos y + y sen x; x = sen 2t, y = cos 2 t Respuesta: 2(cos y + y cos x) cos 2t - 2(-x sen y + sen x) sen 2t c) u = xy + yz + zx; x = e’, y = e-t, z = et + e-t Respuesta: (x + 2y + z)et -(2x + y + z)e-t www.FreeLibros.me
  • -----4419^ 29. En cierto instante el radio de un cilindro circular recto mide 6 pulgadas y aumenta a razón de 0.2 pulgadas por segundo (pulg/s), mientras que la altura es de 8 pulgadas y decrece a razón de 0.4 pulg/s. Determine la variación respecto al tiempo, a) del volumen y b) de la superficie en ese instante. Respuesta: a) 4.8k pulg3/s; b) 3.2k pulg2/s 30. Una partícula se mueve en un plano de manera tal que en el instante t su abscisa y su ordenada están dadas por x = 2 + 3t, y = t2 + 4 con x y y expresados en pies y t en minutos. ¿Cómo cambia la distancia de la partícula al origen cuando t = 1? Respuesta: 5 / /2 pies/minuto 31. Un punto se mueve a lo largo de la curva de intersección de x2 + 3xy + 3y2 = z2 con el plano x - 2y + 4 = 0. Cuando x = 2 y aumenta a razón de 3 unidades por segundo (unidades/s), encuente a) cómo cambia y, b) cómo cambia z y c) la rapidez del punto. Respuestas: a) creciendo a 3/2 unidades/s; b) creciendo a 75/14 unidades/s en (2, 3, 7) y decreciendo en 75/14 unidades/s en (2, 3, -7 ); c) 6.3 unidades/s 32. Halle dz/ds y dz/dt dado a) z = x2 - 2y2, x = 3s + 2t, y = 3s - 2t b) z = x2 + 3xy + y2, x = sen s + cos t, y = sen s - cos t c) z = x2 + 2y2, x = es - et, y = es + e‘ d) z = sen(4x + 5y), x = s + t, y = s - t e) z = exy, x = s2 + 2st, y = 2 st + t2 Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta 6(x - 2y); 4(x + 2y) 5(x + y) cos s; (x - y) sen t 2(x + 2y)es; 2(2y - x)e' 9 cos(4x + 5y); -cos(4x + 5y) 2 exy[tx + (s + t)y]; 2 exy[(s + t)x + sy] 33. a) Sean u = f(x , y) y x = r cos 0, y = r sen 0; demuestre que du \2 , íd u \2 _ ¡ d u f , t dx) +U y j " U r j + r 2 \d e 2 b) Sean u = f( x , y) y x = r cosh s, y = r senh s; pruebe que d u \2 _ (du_\2 _ (du_\2__LÍ
  • CAPÍTULO 49 D iferen c ia l to ta l. D lferenclabllldad. Reglas de la cadena 35. U na función f(x , y) se llam a homogénea de orden n s i f ( tx, ty) = tnf (x, y). [Por ejem plo, f (x , y) = x2 + 2xy + 3y2 es hom ogénea de orden 2 ;f(x , y) = x sen (y/x) + y cos (y/x) es hom ogénea de orden 1.] D erivef(tx , ty) = tnf(x , y) respecto a t y rem place t por 1 para dem ostrar que xfx + yfy = nf. Com pruebe esta fórm ula m ediante los dos ejem plos dados. Ver tam bién el problem a 34b). 36. Si z = Q(u,v ), donde u = f(x , y) y v = g(x, y), y si ^ y = - - jV , dem uestre que a) t f u . t f u _ d 2v , d v _ 0 b) , ( M 21 a) ax2 + ay2 _ ax2 + ay 2 _ 0 b) ax2 + ay2 i U x j + l a x j j U «2 + a v 2 37. Encuentre y , dado dx d y ' a) 3x2 + 4y2 - 5z2 = 60 Respuesta: | | = f z ; | y = ^ b) x2 + y2 + z2 + 2xy + 4yz + 8zx = 20 Respuesta: ^ = 4 +^ 2 4.z ’ ^ = ~ 4 ~+V2+ ^ c) x + 3y + 2z = ln z Respuesta: | | = 1^ 2 2 ; | v = 1 - % d) z - e- coS (y + z) R espuesta: £ - j + e_ se ^ y + ^ ; | - e) sen(x + y) + sen(y + z) + sen(z + x) = 1 Respuesta: = _ cos (x + y) + cos (z + x ) ; dz = _ c o s (x + y) + cos (y + z) " 3x cos (y + z) + cos (z + x ) ’ 3y cos (y + z) + cos (z + x ) 38. Encuentre todas las prim eras y segundas derivadas parciales de z, dado x2 + 2yz + 2zx = 1. Resnuesta- dz - x + z . dz = ___ . (Pz = x - y + 2 z . d2z = x + 2z . (Pz = ______2z__ p : dx x + y ; dy x + y ; dx2 (x + y)2 ; 3x 3y (x + y)2; 9y 2 (x + y)2 39. Sea F (x , y, z) = 0; dem uestre que - | y ^ ^ = - 1. 40. S ea f(x , y) = 0 y g(z, x) = 0; dem uestre que J y ^g ~ = ■ 41. H alle las prim eras derivadas de u y v respecto a x y y y las prim eras derivadas parciales de x y y respecto a u y v, dado 2u - v + x2 + xy = 0, u + 2v + xy - y2 = 0 . Respuesta: | | = - - 5 ( 4 x + 3y); | | = 1 (2 x - y ) ; ^ = -5(2y - 3x); | v = 4 y ~ x ; dx _ 4 y - x , dy _ y - 2x , dx _ 3x - 2y . dy _ -4 x - 3y du 2(x 2 - 2xy - y 2) ’ du 2( x 2 - 2xy - y 2) ’ dv 2(x 2 - 2xy - y 2) dv 2(x 2 - 2xy - y 2) 42. Sea u = x + y + z, v = x2 + y2 + z2, y w = x3 + y3 + z3. Demuestre que dx _ yz dy x + z 3z _ 1 du (x - y)(x - z)’ dv 2(x - y)(y - z)’ 3w 3(x - z)(y - z) 43. R ellene los vacíos en la representación siguiente de una dem ostración del teorem a (49.1). Suponga quef (x, y) es tal que f x y f son continuas en un conjunto abierto A . M uestre quef es diferenciable en A . Existe x* entre a y a + Ax tal que f (a + Ax, b) - f { a , b) = f j x * , b) Ax y existe y* entre b y b + Ay tal que f ( a + Ax, b + Ay) - f ( a + Ax, b) = f ( a + Ax, y*) Ay www.FreeLibros.me
  • - # 421^ Az = f (a + Ax, b + Ay) - f(a, b) = f (a + Ax, b) - f(a, b)] + [ f (a + Ax, b + Ay) - f(a + Ax, b)] = f x(x*, b) Ax + f ,(a + Ax, y*)Ay Sea e 1 = f x(x*, y) - f x(a, b) y e2 = f y(a + Ax, y*) - f y(a, b). Luego, Az = f x(a, b) Ax + f y(a, b) Ay + e 1 Ax + e 2 Ay Para mostrar que e 1 ^ 0 y e2 ^ 0, use la continuidad de f x y f y. 44. Muestre que la continuidad def(x, y) no implica diferenciabilidad, aunque f x y f existan. Use la función t t ■. í 2 x— 2 si (x, y) ^(0,0)f (x, y) = x2 + y2 [0 si (x, y) = (0,0) [Sugerencia: muestre que f no es continua en (0, 0) y, por consiguiente, no es diferenciable. Muestre la existencia de f x(0, 0) y f y(0, 0) por un cálculo directo.] 45. Encuentre una funciónf(x, y) tal quef x(0, 0) = f y(0, 0) = 0, y f no es continua en (0, 0). Esto muestra que la xyexistencia de las primeras derivadas parciales no implica continuidad. [Sugerencia: defina f (x, y) = 2 2 para (x, y) * (0, 0) yf(0, 0) = 0.] x + y Entonces, CA PÍTU LO 49 D iferencial total. D iferenciabilidad. Reglas de la cadena www.FreeLibros.me
  • Vectores en el espacio Igual que en el plano (véase el capítulo 39), un vector en el espacio es una cantidad que tiene magnitud y di­ rección. Tres vectores a, b y c, que no estén en un mismo plano ni sean paralelos y que comiencen de un punto común, forman un sistema de giro a la derecha (dextrógiro) o tríada si c tiene la dirección en la que avanza un sacacorchos al girarlo por el ángulo más pequeño en la dirección de a hacia b, como se indica en la figura 50.1. Nótese que, visto desde un punto en c, la rotación sobre el ángulo más pequeño de a a b se verá en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Seleccionemos un sistema de coordenadas rectangular derecho (dextrógiro) en el espacio y sean i, j y k los vectores unitarios a lo largo de los ejes positivos x, y y z, respectivamente, como en la figura 50.2. Los ejes de coordenadas dividen el espacio en ocho partes denominadas octantes. Por ejemplo, el prim er octante consta de todos los puntos (x, y, z) para los que x > 0, y > 0 y z > 0. Como en el capítulo 39, todo vector a puede expresarse como Si P(x, y, z) es un punto en el espacio (figura 50.2), el vector r que va desde el origen O hasta P se denomina vector de posición de P y se puede escribir como z Fig. 50.1 Fig. 50.2 a = a1i + a2 j + a3k r = OP = OB + BP = OA + AB + BP = xi + yj + zk (50.1) www.FreeLibros.me
  • El álgebra de vectores expuesta en el capítulo 39 se cum ple aquí sólo con los cam bios que la diferencia en dim ensiones requiere. Por ejemplo, si a = a ji + a2 j + a3k y b = b1 i + b2 j + b3k, entonces, ka = ka ji + ka2 j + ka3k para k cualquier escalar a = b si y sólo si aj = b j , a2 = b2 y a3 = b3 a ± b = (aj ± bi)i + a ± b2)j + (a3 ± b3>k a ■ b = iaiibi cos 0, donde 0 es el ángulo m ás pequeño entre a y b i ■ i = j ■ j = k ■ k = 1 e i ■ j = j ■ k = k ■ i = 0 iai = -s/a • a = 4 a j + a 2 + a 2 a ■ b = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0 o a y b son perpendiculares D e (50.1), tenemos que iri = ^ / r 7 7 = y¡ x 2 + y 2 + z2 (50.2) com o la distancia del punto P(x, y, z) al origen. También, si P 1 (x1 , y 1 , z1) y P2 (x2 , y2 , z2) son dos puntos cuales­ quiera (fig. 50.3), entonces P 1P 2 = P jB + B P2 = P j A + AB + B P 2 = (x2 - xj)i + (y2 - yj)j + (Z2 - Zj)k y iP,P2i (x2 - x j)2 + (y2 - y j)2 + (z2 - Zj)2 (50.3) es la fórm ula ya conocida para la distancia entre dos puntos (véanse los problem as j a 3). z ------------- ^ 423^ Cosenos directores de un vector Sean a = a ji + aj + a3k vectores que form an los ángulos a , ¡3 y 7, respectivamente, con los ejes positivos x, y y z, com o se indica en la figura 50.4. De i ■ a = iiiiai cos a = iai cos a , j ■ a = iai cos ¡3, k ■ a = iai cos 7 CA PÍTU LO 50 Vectores en el espacio www.FreeLibros.me
  • ^ 424^ CAPÍTULO 50 Vectores en e l espacio se obtiene i . a a , o i .a a2 k . a a3 cosa=iar=iai’ cos^ =Tar=iai’ cos^ =Tar=iai Éstos son los cosenos directores de a. Como cos2 a + cos2 f í + cos2 y = -1 1 “ 2 1 “3lal2 = 1 el vector u = i cos a + j cos ¡3 + k cos y es un vector unitario paralelo a a. Determinantes Se supone que se conocen bien los determ inantes de 2 x 2 y 3 x 3. En particular, a b c d = ad - bc y a b c d e f g h i = a e f h i - b d f g i + c d e L a expansión del determ inante de 3 x 3 va “a lo largo de la prim era fila” . Esto es igual a las expansiones apropiadas a lo largo de las otras filas y hacia abajo en las columnas. Vector perpendicular a dos vectores Sean a = a ji + a 2 j + a 3k y b = b ti + b2 j + b3k dos vectores no paralelos con punto inicial com ún P. M ediante un cálculo sencillo puede dem ostrarse que a 2 a 3 a3 a, a, a 2c = b 2 b3 i + b3 b j + b b 2 i i k a, a2 a 3 bi b2 b3 (50.4) es perpendicular (normal a) tanto a a com o a b y, por ende, al plano de estos vectores. En los problem as 5 y 6 se dem uestra que Icl = lallbl sen 9 = área de un paralelogram o con lados a y b no paralelos Si a y b son paralelos, entonces b = ka y con (50.4) se dem uestra que c = 0; es decir, c es el vector cero. El vector cero, por definición, tiene m agnitud 0 y dirección sin especificar. Producto vectorial de dos vectores Se toma a = a ji + a 2 j + a 3k y b = b ji + b2 j + b3k con punto inicial P y represéntese con n el vector unitario norm al al plano de a y b, dirigido de form a tal que a, b y n (en ese orden) form en una tríada derecha (dextrógira) en P , com o en la figura 50.5. El producto vectorial o producto cruzado de a y b se define como a x b = iaiibi sen 6 n (50.6) www.FreeLibros.me
  • donde 9 de nuevo es el ángulo más pequeño entre a y b. Así, a x b es un vector perpendicular tanto a a como a b. En el problema 6 se muestra que la x bl = iaiibi sen 9 es el área del paralelogramo que tiene a y b como lados no paralelos. Si a y b son paralelos, entonces 9 = 0 o n y a x b = 0. Así, i x i = j x j = k x k = 0 (50.7) ------------- Í 25j Fig. 50.5 En la figura (50.5), si se invierte el orden de a y b, entonces n debe remplazarse por -n; entonces, b x a = -(a x b) (50.9) Los ejes de coordenadas se escogieron como un sistema derecho (dextrógiro), de lo que se sigue que i x j = k j x k = i k x i = j j x i = -k k x j = -i i x k = -j (50.9) En el problema 8 se prueba que para todo vector a, b y c, la ley distributiva (a + b) x c = (a x c) + (b x c) (50.10) Al multiplicar (50.10) por -1 y al utilizar (50.8) se obtiene la ley distributiva correspondiente c x (a + b) = (c x a) + (c x b) (50.11) Entonces también, (a + b) x (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d (50.12) a x b = “ 1 2 3 b1 b2 b3 (50.13)y (Véanse los problemas 9 y 10.) CA PÍTU LO 50 Vectores en el espacio www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 50 Vectores en e l espacio Triple producto escalar En la figura 50.6, sea 9 el ángulo menor entre b y c y sea 0 el ángulo más pequeño entre a y b x c. Denótese con h la altura y con A el área de la base del paralelepípedo. Entonces, el triple producto escalar es, por defi­ nición, a ■ (b x c) = a ■ ibiici sen 6 n = iaiibiici sen 6 cos 0 = (lal cos0)(lbiici sen 0) = hA = volumen del paralelepípedo Puede demostrarse (véase el problema 11) que en tanto que a a2 a3 a • (b x c) = b 2 b3 = (a x b) • c (50.14) c C 2 C3 Además Fig. 50.6 c, C2 C3 a1 a2 a3c • (a x b) = a1 fl2 a3 = b2 b3 bi b2 b3 c1 C2 C3 = a • (b x c) b1 b2 b3 a1 a 2 a3b • (a x c) =a1 a 2 a3 = - b2 b3 c1 C2 C3 c1 C2 C3 = -a • (b x c) De igual forma se tiene que a • (b x c) = c • (a x b) = b ■ (c x a) (50.15) a • (b x c) = -b • (a x c) = -c • (b x a) = -a • (c x b) (50.16) y De la definición de a ■ (b x c) como un volumen se sigue que si a, b y c son coplanares, entonces a ■ (b x c) = 0 y a la inversa. Los paréntesis en a ■ (b x c) y (a x b) ■ c no son necesarios. Por ejemplo, a ■ b x c puede interpretarse sólo como a ■ (b x c) o (a ■ b) x c. Pero a ■ b es un escalar, así que (a ■ b) x c no tiene sentido (véase el problema 12). www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 50 Vectores en e l espacio 6. Halle el área de un paralelogramo cuyos lados no paralelos son a y b. De la figura 50.11, h = Ibl sen 0 y el área es h = lal = iaiibi sen 0. 7. Sean a1 y a2, respectivamente, las componentes de a, paralela y perpendicular a b, como se indica en la figura 50.12. Demuestre que a2 x b = a x b y a1 x b = 0. Si 0 es ángulo entre a y b, entonces la1l = lal cos 0 y la2l = lal sen 0. Como a, a2 y b son coplanares, a2 x b = la2llbl sen 0 n = lal sen 0 lbln = lallbl sen 0 n = a x b Como a1 y b son paralelos, a1 x b = 0. 8. Demuestre que (a + b) x c = (a x c) + (b x c) En la figura 50.13, el punto inicial P de los vectores a, b y c está en el plano de papel, en tanto que sus puntos terminales se hallan por encima de este plano. Los vectores a1 y b son, respectivamente, las componentes de a y b perpendiculares a c. Entonces, at, bj, a1 + bj, a1 x c, bj x c y (at + bj) x c todos están en el plano de papel. Fig. 50.11 En los triángulos PRS y PMQ, RS lb 1 x c l lb j llc l lb j l MQ ~PR~ la 1 x c l “ la ild _ la j _ P M www.FreeLibros.me
  • - # 431^ Por tanto, PRS y PMQ son semejantes. Ahora, PR es perpendicular a PM y RS es perpendicular a MQ; por ende, PS es perpendicular a PQ y PS = P Q x c . Así, como PS = PQ x c = P R + R S , tenemos que (a j + b j) x c = (a j x c) + (b j x c) Por el problema 7, a1 y b 1 pueden remplazarse por a y b , respectivamente, para obtener el resultado solicitado. i j k 9. Cuando a = a1i + a2j + a3k y b = b1i + b2j + b3k , demuestre que a x b = a1 a2 a3 Se tiene, por la ley distributiva bi b2 b3 a x b = (a1i + a2 j + a3k ) x (b1i + b2 j + b3k ) = a1i x (b1i + b2 j + b3k ) + aj x (b1i + b2 j + b3k ) + a3k x (b1i + b2 j + b3k ) = (a1b2k - a1b3 j ) + (-a2b1k + a2b3i) + (a3bj - a3b2i) = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k i j k a1 a2 a3 bi b2 b3 10. Deduzca la ley de los senos de la trigonometría plana. Considere el triangulo ABC, cuyos lados a , b , c son las magnitudes a, b, c, respectivamente, y cuyos ángulos interiores son a, ¡i, y. Tenemos que a + b + c = 0 Entonces, a x (a + b + c) = a x b + a x c = 0 o y b x (a + b + c) = b x a + b x c = 0 o Así, a x b = b x c = c x a, de forma que la lb sen y = ib llc lsen a = ic lla lsen o ab sen y = bc sen a = ca sen sen 7 sen« sen ¡3 a x b = c x a b x c = a x b y b 11. Sea a = a1i + a2j + a3k y b = b1i + b2j + b3k y c = c1i + c2j + c3k ; demuestre que a • (b x c) = Por (50.13), a • (b x c) = (a1i + aj + a3k ) bi b2 b3 c, c2 c3 i j k b1 b2 b3 = (a1i + aj + a^) • [(b2c3 - b ^ i + (b3c1 - b c j + (bc - b2c1)k] = a1(b2c3 - b3c2) + a2(b3c1 - b^) + a3(b1c2 - b2^ ) = b¡ b2 fc3 c1 c2 c3 12. Demuestre que a • (a x c) = 0 Por (50.14), a • (a x c) = (a x a ) • c = 0 CA PÍTU LO 50 Vectores en el espacio www.FreeLibros.me
  • £ 43# CAPÍTULO 50 Vectores en e l espacio 13. Para los vectores a , b y c del problema 11, demuestre que a x (b x c) = (a • c)b - (a • b )c . Aquí i j k a x (b x c) = (a1i + a2 j + a3k ) x b1 b2 b3 C1 C2 C3 = (aji + a2 j + Ü3k) x [(b2C3 - b3C2) i + - b^ )j + (b c - b2Cj)k ] i a. b2c3 - b3c2 b3c1 - b1c3 b1c2 - b2Cj = i ^ b c - Ü2b2C! - ^ 3^ + a ib c ) + j f e b 2C3 - 3^b3C2 - a jb1c2 + a ^ C j) + k(ajb3Cj - alblc3 - a2b3c2) - ib1(a1c1 + a2c2 + a3c3) + jb 2(ajCj + a2c2 + a 3c3) + kb3(ajCj + a2c2 + a3c3) - [ic1(a1b1 + a 2b2 + a3b3) + jc 2(ajbj + a2b2 + a 3b3) + kc3(ajbj + a2b2 + a3b3)] = (bji + b2 j + b3k)(a • c) - (Cji + C2 j + C3k)(a • b) = b (a • c) - c(a • b) = (a • c)b - (a • b)c 14. Si l 1 y l2 son dos rectas en el espacio que no se intersecan, pruebe que la distancia d más corta entre ellas es la distancia desde cualquier punto en l 1 al plano l2 y es paralelo a l {, es decir, demuestre que si P1 es un punto en lj y P2 es un punto en l2, entonces, aparte el signo, d es la proyección escalar de PjP2 en una perpendicular común a l 1 y l2. Sea lj que pasa por Pj(xj, yj, z j en la dirección a = a1i + aj + a3k, y sea l2 que pasa por P2(x2, y2, z2) en la dirección b = bji + bj + b3k. Entonces, PjP2 = (x2 - x^ i + (y2 - y1)j + (z2 - zi)k y el vector a x b es perpendicular tanto a l 1 como a l2. Así, d = P1P2 • ( a x b) (r2 - r) •(a x b)ia x b i ia x b i 15. Escriba la ecuación de la recta que pasa por P 0(1, 2, 3) y es paralela a a = 2i - j - 4k . ¿Cuáles de los puntos A(3, 1, -1), fi(:j-J9-,4), C(2, 0, 1) se hallan sobre esa recta? De (50.19), la ecuación vectorial es (xi + yj + zk ) - (i + 2j + 3k ) = k (2i - j - 4k ) o (x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k = k (2i - j - 4k ) (1) Las ecuaciones rectangulares (o cartesianas) son x -1 = y - 2 = z - 3 2 -1 -4 (2) Al usar (2) es fácil comprobar que A y B están en la recta, en tanto que C no lo está. En la ecuación vectorial (1), un punto P(x, y, z) en la recta se halla dando a k un valor y comparando las componentes. El punto A está en la recta porque (3 - 1)i + (1 - 2 )j + ( -1 - 3 )k = k(2 i - j -4 k ) www.FreeLibros.me
  • -^ 433^ cuando k = 1. Igualmente, B se halla en la recta porque - t i + t j + k = k (2 i - j - 4k ) cuando k = - 4 . El punto C no está en la recta ya que i - 2j - 2k = k(2i - j - 4k ) para ningún valor de k. 16. Escriba la ecuación del plano que pasa por a) P 0(1, 2, 3) y es paralelo a 3x - 2y + 4z - 5 = 0 b) P 0(1, 2, 3) y P t(3, -2 , 1) y es perpendicular al plano 3x - 2y + 4z - 5 = 0 c) P0(1, 2, 3), P i(3, -2 , 1) y ^ ( 5 , 0, -4 ) Sea P(x, y, z) un punto general en el plano requerido. a) Aquí a = 3i - 2j + 4k es normal al plano dado y al plano requerido. La ecuación vectorial de este último es (r - r 0) • a = 0 y la ecuación cartesiana es 3(x - 1) - 2(y - 2) + 4(z - 3) = 0 o 3x - 2y + 4z - 11 = 0 b) Aquí r T - r 0 = 2i - 4j - 2k y a = 3i - 2j + 4k son paralelas al plano requerido, de manera que (r T - r 0) x a es normal a ese plano. Su ecuación vectorial es (r T - r 0) • [(r T - r 0) x a ] = 0. La ecuación rectangular (o cartesiana) es (r - ro) i j k 2 - 4 -2 3 - 2 4 = [(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k] • [ -2 0 i - 14j + 8k] = -20(x -1 ) - 14(y -2 ) + 8(z - 3) = 0 o 20x + 14y - 8z - 24 = 0. c) Aquí r 1 - r 0 = 2i - 4j - 2k y r 2 - r 0 = 4i = 2j - 7k son paralelas al plano requerido, de manera que (r T - r 0) x (r 2 - r 0) es normal a éste. La ecuación vectorial es (r T - r 0) x [(r T - r 0) x (r 2 - r 0)] = 0 y la ecuación rectangular (o cartesiana) es (r - ro) • i j k 2 - 4 - 2 4 - 2 -7 = [(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k ] • [-24 i + 6j + 12k ] 4x + y + 2z - 12 = 0 : 24(x - 1) + 6(y - 2) + 12(z - 3) = 0 17. Halle la distancia d más corta entre el punto P 0(1, 2, 3) y el plano n dado por la ecuación 3x - 2y + 5z - 10 = 0. Una normal al plano es a = 3i - 2j + 5k . Toma P ¡(2, 3, 2) como un punto convincente en n. Entonces, salvo por el signo, d es la proyección escalar de P 0P j en a . Por tanto, d = (r1 - r0) • a (i + j - k ) • (3i - 2 j + 5 k )jai = 1^/38 o CA PÍTU LO 50 Vectores en el espacio www.FreeLibros.me
  • C A P ÍT U L O 50 Vectores en el espacio PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 18. Encuentre la longitud de a) el vector a = 2i + 3j + k; b) del vector b = 3i - 5j + 9k; c) del vector c, que une Pj(3, 4, 5) con P 2(1, -2 , 3). Respuestas: a) VÍ 4 ; b) VT T 5 ; c) 2 V ñ 19. Para los vectores del problema 18: a) Demuestre que a y b son perpendiculares. b) Halle el ángulo más pequeño entre a y c, y entre b y c. c) Determine los ángulos que b forma con los ejes de coordenadas. Respuestas: b) 165° 14', 85° 10'; c) 73° 45', 117° 47', 32° 56' 20. Demuestre que i • i = j • j = k • k = 1 e i • j = j • k = k • i = 0. 21. Escriba un vector unitario en la dirección de a y un vector unitario en la dirección de b del problema 18. Respuestas: a) ^ 14 i + 3a/ 14 j + k ; b) j — i ------------ j + ^ — kF 7 1 4 J 14 ’ ; 7 ñ 5 7 ñ 5 J 7 ñ 5 22. Halle los ángulos interiores P y y del triángulo del problema 3. Respuesta: P = 22° 12'; y = 9° 16' 23. Para el cubo mostrado en la figura 50.14, determine a) el ángulo entre su diagonal y un lado, b) el ángulo entre su diagonal y una diagonal de una cara. Respuestas: a) 54° 44'; b) 35° 16' Fig. 50.14 a • b24. Demuestre que la proyección escalar de b en a está dada por ^ . 2 y www.FreeLibros.me
  • ^ 435^ 25. Pruebe que el vector c de (50.4) es perpendicular tanto a a como a b. 26. Dados a = i + j, b = i - 2k y c = 2i + 3j + 4k, confirme las ecuaciones siguientes: a) a x b = -2i + 2j - c c) c x a = -4i + 4j + k e) a x (a x b) = 0 g) a x (b x c) = 3i - 3j - 14k b) b x c = 6i - 8j + 3k d) (a + b) x (a - b) = 4i - 4j + 2k f ) a x (b x c) = -2 h) c x (a x b) = -11i - 6j + 10k 27. Determine el área del triángulo cuyos vértices son A(1, 2, 3), B(2, -1, 1) y C(-2, 1, -1) (Sugerencia: lAB x ACi = dos veces el área.) Respuesta: 5^J3 28. Determine el volumen del paralelepípedo cuyos lados son OA, OB y OC para A(1, 2, 3), B(1, 1, 2) y C(2, 1, 1). Respuesta: 2 29. Sean u = a x b, v = b x c, w = c x a; demuestre que a) u x c = v x a = w x b b) a x u = b x u = 0, b x v = c x v = 0, c x w = a x w = 0 c) u x (v x w) = [a x (b x c)]2 30. Demuestre que (a + b) x [(b + c) x (c + a )] = 2a x (b x c). 31. Encuentre el menor ángulo de intersección de los planos 5x - 14y + 2z - 8 = 0 y 10x - 11y + 2z + 15 = 0. [Sugerencia: halle el ángulo entre sus normales.] Respuesta: 22° 25' 32. Escriba la ecuación vectorial de la recta de intersección de los planos x + y - z - 5 = 0 y 4x - y - z + 2 = 0. Respuesta: (x - 1)i + (y - 5)j + (z - 1)k = k(-2i - 3j - 5k), donde P0(1, 5, 1) es un punto en la recta. 33. Determine la distancia más corta entre la recta que pasa por A (2, -1, -1) y B(6, -8, 0) y la recta que pasa por C(2, 1, 2) y D(0, 2, -1). 34. Defina una recta que pasa por P0(x0, y0, z0) como el lugar de todos los puntos P(x, y, z) tales P0P y OP0 son perpendiculares. Pruebe que su ecuación vectorial es (r - r0) x r0 = 0 Respuesta:
  • CAPÍTULO 50 Vectores en e l espacio b) Es paralela a la recta x - y + 2z + 4 = 0, 2x + 3y + 6z = -12 = 0 c) Que pasa por P j(3, 6, -2) Respuestas: a) x - 2 = = ^ ; b) ^ ^ ^ c) 36. Halle la ecuación del plano: a) Que pasa por P0(1, 2, 3) y es paralelo a a = 2i + j - k y b = 3i + 6j - 2k. b) Que pasa por P0(2, -3 , 2) y la recta 6x + 4y + 3z + 5 = 0, 2x + y + z - 2 = 0. c) Que pasa por P0(2, -1 , -1 ) y P j(1, 2, 3) y es perpendicular a 2x + 3y - 5z - 6 = 0. Respuestas: a) 4x + y + 9z - 33 = 0; b) 16x + 7y + 8z - 27 = 0; c) 9x - y + 3z - 16 = 0 37. Si r0 = i + j + k, r1 = 2i + 3j + 4k y r2 = 3i + 5j + 7k son tres vectores de posición, muestre que r0 x r1 + r 1 xr2 + r2 x r0 = 0. ¿Qué puede decir de los puntos terminales de estos vectores? Respuesta: son colineales 38. Si P0, P 1 y P2 son tres puntos no colineales y r0, r1 y r2 son sus vectores de posición, ¿cuál es la posición der0 x r1 + r1 x r2 + r2 x r0 respecto al plano P0P 1P2? Respuesta: normal 39. Demuestre: a) a x (b x c) + b x (c x a) + c x (a x b) = 0 b) (a x b) • (c x d) = (a • c)(b • d) - (a • d)(b • c). 40. Pruebe: a) las perpendiculares levantadas en los puntos medios de los lados de un triángulo se cortan en un punto; b) las perpendiculares trazadas desde los vectores hasta los lados opuestos (prolongados si es necesario) de un triángulo se cortan en un punto. 41. Sean A(1, 2, 3), B(2, -1 , 5) y C(4, 1, 3) tres vértices del paralelogramo ABCD. Halle a) las coordenadas de D; b) el área ABCD y c) el área de la proyección ortogonal de ABCD en cada plano de coordenadas. Respuestas: a) D(3, 4, 1); b) 2^26; c) 8, 6, 2 42. Demuestre que el área de un paralelogramo en el espacio es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las áreas de las proyecciones del paralelogramo sobre los planos de coordenadas. www.FreeLibros.me
  • Superficies y curvas en el espacio Planos Se sabe por la fórmula (50.22) que la ecuación de un plano tiene la forma Ax + By + Cz + D = 0, donde Ai + Bj + Ck es un vector no cero perpendicular al plano. El plano pasa por el origen (0, 0, 0) cuando y sólo cuando D = 0. Esferas De la fórmula de la distancia (50.3), se observa que una ecuación de una esfera con radio r y centro (a, b, c) es (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2 Así, una esfera con centro en el origen (0, 0, 0) y radio r tiene la ecuación x2 + y2 + z2 = r2 Superficies cilindricas Una ecuación F(x, y) = 0 define ordinariamente una curva ^ en el plano xy. Ahora, si un punto (x, y) satisface esta ecuación, entonces para cualquier z el punto (x, y, z) en el espacio también satisface la ecuación. Por tanto, F(x, y) = 0 determina la superficie cilíndrica obtenida al mover la curva ^ paralela al eje z. Por ejemplo, la ecuación x2 + y2 = 4 determina un círculo en el plano xy con radio 2 y centro en el origen. Si se mueve este cír­ culo paralelo al eje z, se obtiene un cilindro circular recto. De esta manera, lo que ordinariamente se denomina un cilindro es un caso especial de una superficie cilíndrica. De igual forma, una ecuación F(y, z) = 0 determina la superficie cilíndrica obtenida al mover la curva en el plano yz definida por F(y, z) = 0 paralela al eje x. Una ecuación F(x, z) = 0 determina la superficie cilíndrica al mover la curva en el plano xz definida por F(x, z) = 0 paralela al eje y. Dicho con mayor precisión, las superficies cilíndricas definidas antes se denominan superficies cilindricas rectas. Otras superficies cilíndricas pueden obtenerse al mover la curva dada paralela a la recta que no sea perpendicular al plano de la curva. EJEMPLO 51 .1 . La ecuación z = x2 determina una superficie cilíndrica generada al mover la parábola z = x2 que queda en el plano xz paralelo al eje y. Ahora se verán ejemplos de las superficies determinadas por las ecuaciones de segundo grado en x , y y z. Tales superficie se llaman superficies cuadráticas. Para imaginarlas es de gran ayuda la descripción de sus intersecciones con los planos paralelos a los planos de coordenadas. Tales intersecciones reciben el nombre de trazas. www.FreeLibros.me
  • ^ 438^ CAPÍTULO 51 Superficies y curvas en e l espacio Elipsoide x 2 + ~ 9 +~4 =1 Las trazas no triviales son elipses (fig. 51.1). En general, la ecuación de un elipsoide tiene la form a x2 v2 z2 —¡y + y ~t + ^ z = 1 (a > 0, b > 0 y c > 0)a 2 b 2 c2 Cuando a = b = c se obtiene una esfera. Paraboloide elíptico z = x2 + y2 L a superficie queda por encim a del plano xy. Las trazas paralelas al plano xy (para un z fijo positivo) son cír­ culos. Las trazas paralelas al plano xz o yz son parábolas (fig. 51.2). En general, la ecuación de un paraboloide elíptico tiene la form a z x 2 y 2 z = ^ + b y (a > 0, b > 0, c > 0) y las trazas paralelas al plano xy son elipses. Cuando a = b , se obtienen un paraboloide circular, com o en el ejem plo dado. 2 y Fig. 51.2 www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 51 Superficies y curvas en e l espacio y las trazas paralelas al plano xy son elipses. Hiperboloide de dos hojas Fig. 51.5 z 4 y = 1 Véase la figura 51.6. Las trazas paralelas al plano xy son círculos y las otras trazas son hipérbolas. En general, un hiperboloide de dos hojas tiene una ecuación de la forma 72 x2 y2 - ^ 2 -TT = 1 (a > 0, b > 0, c > 0) c2 a b y las trazas paralelas al plano xy son elipses. En general, se entiende que las ecuaciones dadas anteriormente para varias superficies cuadráticas, por permu- y2 72 x 2 tación de las variables x, y, 7 producen las superficies cuadráticas del mismo tipo. Por ejemplo, _ j ¡2 = 1 también determina un hiperboloide de dos hojas. z y www.FreeLibros.me
  • -^ 441^ Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio Una curva en el espacio puede definirse paramétricamente por las ecuaciones x = f(t), y = g(t), z = h(t) (51.1) Fig. 51.6 En el punto P0(x0, y0, z0) de la curva (determinada por t = t0), las ecuaciones de la tangente son x - x0 = y - y0 = z - dx / d t~ dy / d t ~ d z / dt y las ecuaciones del plano normal (el plano que pasa por P0 perpendicular a la recta tangente allí) es dx dy dz d (x - x0) + d (y - y0) + d t (z - z0) = 0 (51.2) (51.3) Véase la figura 51.7. Tanto en (51.2) como en (51.3) se entiende que la derivada ha sido evaluada en el punto P0 (véase los problemas 1 y 2). y Plano tangente y recta normal a una superficie La ecuación del plano tangente a la superficie F(x, y, z) = 0 en uno de sus puntos P0(x0, y0, z0) es dF dF \ d F ax(x_ xo) + ay(y_ yo)+" & (z “ zo) =0 (51.4) CA PÍTU LO 51 Superficies y curvas en el espacio www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 51 Superficies y curvas en e l espacio y las ecuaciones de la recta normal en P o son x - x„ y - yo z - Zo dF / dx dF / dy dF / 5z (51.5) en el entendido de que las derivadas parciales se han evaluado en el punto P 0 (fig. 51.8) (véase los problemas 3 a 9). Una curva en el espacio también puede definirse por un par de ecuaciones F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 En el punto P0(x0, y0, z0) de la curva, las ecuaciones de la recta tangente son y - y0x - x„ z - Zo dF dF dF dF dF dF dy dz dz dx dx dy dG dG dG dG dG dG dy dz dz dx dx dy y la ecuación del plano normal es (51.6) (51.7) dF dF dF dF dF dF dy dG dz dG x 1 x o + dzdG dx dG (y - yo)+ dx dG dy dG (z - zo) = 0 dy dz dz dx dx dy (51.8) En (51.7) y (51.8) se entiende que todas las derivadas parciales se han evaluado en el punto P0 (véase los problemas 10 y 11). Superficie de revolución Sea la gráfica de y = f(x ) en el plano xy que gira en torno al eje x. Cuando un punto (x0, y0) gira en la gráfica, un punto resultante (x0, y, z) tiene la distancia y0 al punto (x0, 0, 0). Entonces, al elevar al cuadrado dicha distancia se obtiene (x0 - x0)2 + y2 + z2 = (y,)2 = (/fe))2 y, por consiguiente, y2 + z2 = (/fe))2 Entonces, la ecuación de la superficie de revolución es y2 + z2 = (f(x))2 (51.9) www.FreeLibros.me
  • -^ 443^ PROBLEMAS RESUELTOS 1. Deduzca (51.2) y (51.3) para la recta tangente y el plano normal a la curva en el espacio x = f(t), y = g(t), z = h(t) en el punto P0(x0, y0, z0) determinado por el valor t = t0. Remítase a la figura 51.7. Sea P0'(x0 + Ax, y0 + Ay, z0 + Az) determinado por t = t0 + At, otro punto de la curva. Cuando P0' ^ P0 a lo largo de la curva, la cuerda P0P0’ tiende hacia la recta tangente a la curva en P0 como posición límite. Un conjunto simple de números direccionales para la cuerda P0P0' es [Ax, Ay, Az], pero se utilizará Ax Az At ’ At ’ At . Entonces, cuando P0' - • P0, At - • 0 y un conjunto de númerosAx Ay Az , dx dy dz A t ’ A t ’ A t J dt ’ dt ’ dt direccionales de la recta tangente en P0. Ahora, si P(x, y, z) es un punto arbitrario en esta tangente, entonces [x - x0, y - y0, z - z0] es un conjunto de números direccionales de P0P. Luego, como los conjuntos de números direccionales son proporcionales, las ecuaciones de la recta tangente en P0 son x - x„ y - yp Z - Z0 dx / dt dy / dt dz / dt Si R (x , y, z) es un punto arbitrario en el plano normal en P0, entonces, como P R y P0P son perpendiculares, la ecuación del plano normal en P0 es 2. Encuentre las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal a: a) La curva x = t, y = t2 y z = t3 en el punto t = 1. b) La curva x = t - 2, y = 3t2 + 1 y z = 2t3 en el punto donde atraviesa el plano yz. a) En el punto t = 1, o (1, 1, 1), = 1, d y = 2t = 2 y = 3t2 = 3 . Utilizando (51.2) se tiene, para las x _1 V — 1 z_1ecuaciones de la tangente, 1 = 2 = 3 ; (x - 1) + 2(y - 1) + 3(z - 1) = x + 2y + 3z - 6 = 0. utilizando (51.3) resulta la ecuación del plano normal b) La curva dada atraviesa el plano yz en el punto donde x = t - 2 = 0, es decir, en el punto t = 2 o (0, 13, 16). En este punto, d j = 1, = 6t = 12 y d" = 6t2 = 24 . Las ecuaciones de la recta tangente son x = y - 13 = z -16 1 12 z y la ecuación del plano normal es x + l2(y - 13) + 24(z - 16) = x + l2y + 24z - 540 = 0. 3. Deduzca (51.4) y (51.5) para el plano tangente a la superficie F(x , y , z) = 0 en el punto P0(x0, y0, z0). Remítase a la figura 51.8. Sean x = f (t), y = g(t) y z = h(t) las ecuaciones paramétricas de cualquier curva en la superficie F(x, y, z) = 0 y que pasa por el punto P0. Entonces, en P0, dF dx + c F d y + d F d z _ 0 dx dt dy dt dz dt perpendicular a la recta que pasa por P0 que tiene números direccionales en el entendido de que todas las derivadas han sido evaluadas en P0. Esta relación expresa el hecho de que la recta que pasa por P0 con números direccionales ~dF " dx ’ d y ’ dz números direccionales pertenece a la tangente a la curva, la cual queda en el plano tangente de la superficie. El segundo conjunto define la recta normal a la superficie en P0. Las ecuaciones de esta normal son dx dy dz d t ' d t ' dt . El primer conjunto de x - xn y - y0 z - Z0 dF I dx dF I dy dF I dz CA PÍTU LO 51 Superficies y curvas en el espacio www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 51 Superficies y curvas en e l espacio y la ecuación del plano tangente en P0 es ^ (x - xo) ( y - yo) + § (z - ^ = o En los problemas 4 y 5, halle las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie dada en el punto indicado. 4. z = 3x2 + 2y2 - 11; (2, 1, 3). Sea F(x, y, z) = 3x2 + 2y2 - z - 11 = 0. En (2, 1, 3), = 6x = 1 2 , = 4y = 4, y- F^ = -1 . La ecuación del plano tangente es 12(x - 2) + 4(y - 1) - (z - 3) = 0 o 12x + 4y - z = 25. La ecuación de la recta normal es x _j 2 = y 4 1 = p. 5. F(x, y, z) = x2 + 3y2 - 4z2 + 3xy - 10yz + 4x - 5z - 22 = 0; (1, -2, 1). En (1, -2, 1), ^ FF = 2x2 + 3y + 4 = 0, = 6y + 3x - 10z = -19 y ^ F = _8z - 10y - 5 = 7. La ecuación del plano tangente es 0(x - 1) - 19(y + 2) + 7(z - 1) = 0 o 19y - 7z + 45 = 0. Las ecuaciones de la recta normal son x - 1 = 0 y y + 3 = z - 1 o x = 1, 7y + 19z - 5 = 0.- 19 7 x2 y2 z26. Demuestre que la ecuación del plano tangente a la superficie — - b ï _ 2 = 1 en el punto P0(x0, y0, z0) es xx0 _ yy t _ 1 a c a2 b2 c2 . En P0, S^f = - t , = -~ b r ,y = — CF' La ecuación del plano tangente esdF _ 2x0 d y = dF _ _ 2z0í2 , dy b > _ x0) _ 2 0 (y _ y0) _ ~zL (z _ z0)=0. 2 2 2T7 t t xx0 yy0 ZZ0 xj y; z¿ , D , „ .Esto se convierte en —¡0 — ----0 = —0- — t t — 0 = 1, ya que P0 está en la superficie.a2 b2 c2 a2 b2 c2 7. Demuestre que las superficies F(x, y, z) = x2 + 4y2 - 4z2 - 4 = 0 y G(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 6x - 6y + 2z + 10 = 0 son tangentes en el punto (2, 1, 1). Se mostrará que las dos superficies tienen el mismo plano tangente en el punto dado. En (2, 1, 1), | F = 2x - 4, -|F = 8y = 8, = 8z = -8dx oy az y = 2x - 6 = -2, ^ = 2y - 6 = -4, j GG = 2z + 2 = 4 Como los conjuntos de números direccionales [4, 8, -8] y [-2, -4, 4] de las rectas normales de las dos superficies son proporcionales, las superficies tienen el plano tangente común 1(x - 2) + 2(y - 1) - 2(z - 1) = 0 o x + 2y - 2z = 2 8. Demuestre que las superficies F(x, y, z) = xy + yz - 4zx = 0 y G(x, y, z) = 3z2 - 5x + y = 0 se intersecan en ángulo recto en el punto (1, 2, 1). Ha de mostrarse que los planos tangentes a las superficies en el punto son perpendiculares o, lo que es igual, que las rectas normales en el punto son perpendiculares. En (1, 2, 1), dF „ dF dF . 0 aF=y - 4z=-2, ay=x - z =2, a z=y - 4x=-2 www.FreeLibros.me
  • -^ 445^ Un conjunto de números direccionales para la recta normal a F(x, y, z) = 0 es [ l1, m1, n j = [1, -1, 1]. En el mismo punto, dG r dG i 3G ^/--=¡— = -5, -=¡— = 1, -=¡— = 6z = 6dx dy dz Un conjunto de números direccionales para la recta normal a G(x, y, z) = 0 es [l2, m2, n2] = [-5, 1, 6]. Como l1l2 + m1m2 + n1n2 = 1(-5) + (-1)1 + 1(6) = 0, estas direcciones son perpendiculares. 9. Demuestre que las superficies F(x, y, z) = 3x2 + 4y2 + 8z2 - 36 = 0 y G(x, y, z) = x2 + 2y2 - 4z2 - 6 = 0 se cortan en el ángulo recto. En cualquier punto P0(x0, y0, z0) sobre las dos superficies = 6x0, = 8y0,y = 16z0; por tanto, [3x0, 4y0, 8z0] es un conjunto de números direccionales para la normal a la superficie F(x, y, z) = 0 en P0. De igual forma, [x0, 2y0, -4z0] es un conjunto de números direccionales para la recta normal a G(x, y, z) = 0 en P0. Ahora, como 6(x2 + 2y2 - 4z?) - (3x2 + 4yg + 8z?) = 6(6) - 36 = 0, estas direcciones son perpendiculares. 10. Deduzca (51.7) y (51.8) para la recta tangente y el plano normal a la curva en el espacio C: F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 en uno de sus puntos P0(x0, y0, z0). En P0, las direcciones ~dF_ dF dF. ” y ~dG dG dG 'dx dy dz _ dx dy dz _ son normales, respectivamente, a los planos tangentes de las superficies F(x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0. Como la dirección dF / dy dF / dz dG / dy dG / 3z dF / dz dF / dx dG / 3z dG / dx dF / dx dF / dy dG / dx dG / dy es perpendicular a cada una de estas direcciones, es la de la recta tangente a C en P0. Por tanto, las ecuaciones de la recta tangente son x - xo y - yo z - zo dF / dy dF / dz dF / dz dF / dx dF / dx dF / 3y dG / dy dG / 3z dG / dz dG / dx dG / dx dG / dy y la ecuación del plano normal es dF / 3y dF / dz , . dG / dy dG / dz (x" xo) + dF / dz dF / dx dG / 3z dG / dx (y - yo) + dF / dx dF / dy dG / 3x dG / 3y (z - zo) = o 11. Halle las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva x2 + y2 + z2 = 14, x + y + z = 6 en el punto (1, 2, 3). Sean F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 14 = 0 y G(x, y, z) = x + y + z - 6 = 0. En (1, 2, 3), dF / dF / dz 2y 2z 4 6 dG / dy dG / 3z 1 1 1 1 3F / 3F / 3x 6 2 — /I 3F / 3F / 3y 2 4 3G / 3G / 3x 1 1— 4, 3G / 3G / 3y 1 1 Con [1, -2, 1] como un conjunto de números direccionales de la tangente, sus ecuaciones son x — 1 y — 2 z — 3—z— = 0 — . La ecuación del plano normal es (x - 1) - 2(y - 2) + (z - 3) = x - 2y + z = 0.1 -2 1 CA PÍTU LO 51 Superficies y curvas en el espacio www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 51 Superficies y curvas en e l espacio 12. Determine las ecuaciones de las superficies de revolución generadas al girar la curva dada alrededor del eje indicado: a) y = x2 en torno al eje x; b) y = 1 en torno al eje y; c) z = 4y en torno al eje y. x 1 En cada caso, se utiliza una forma apropiada de (51.9): a) y2 + z2 = x4; b) x2 + z2 = y-; c) x2 + z2 = 16y2. 13. Identifique el lugar geométrico de los puntos (x, y, z) que equidistan del punto (0, -1, 0) y el plano y = 1. Al elevar al cuadrado las distancias se obtiene x2 + (y + 12) + z2 = (y - 1)2, donde x2 + z2 = -4y, un paraboloide circular. 14. Identifique la superficie 4x2 - y2 + z2 - 8x + 2y + 2z + 3 = 0 completando los cuadrados. Se obtiene 4(x2 - 2x) - (y2 - 2y) + (z2 + 2z) + 3 = 0 4(x - 1)2 - (y - 1)2 + (z + 1)2 + 3 = 4 4(x - 1)2 - (y - 1)2 + (z + 1)2 = 1 Se trata de un hiperboloide de una hoja con centro en (1, 1, -1,) PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 15. Determine las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva dada en el punto indicado: a) x = 2t, y = t2, z = t3; t = 1 Respuesta: x ^ 2 = y^ 1 = 1; 2x + 2y + 3z - 9 = 0 b) x = tet, y = et, z = t; t = 0 Respuesta: x = y ^ 1 = 1 ; ; x + y + z - 1 = 0 c) x = t cos t, y = t sen t, z = t; t = 0 Respuesta: x = z, y = 0; x + z = 0 16. Demuestre que las curvas a) x = 2 - t, y = -1/t, z = 2t2 y b) x = 1 + 0, y = sen 0 - 1, z = 2 cos 0 se intersecan en ángulo recto en P(1, -1, 2). Obtenga las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal de cada curva en P. Respuesta: a) x ~1 = y + 1 = z - 2 ; x - y - 4z + 6 = 0; b) x - y = 2, z = 2; x + y = 0 17. Demuestre que las rectas tangentes a la hélice x = a cos t, y = a sen t y z = bt se encuentran en el plano xy en el mismo ángulo. 18. Demuestre que la longitud de la curva (51.1) desde el punto t = t0 hasta el punto t = t1 está dada por íjifFWW* Halle la longitud de la hélice del problema 17 de t = 0 a t = t1. Respuesta: sja2 + b 2 11 19. Encuentre las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva dada en el punto indicado: a) x2 + 2y2 + 2z2 = 5, 3x - 2y - z = 0; (1, 1, 1) b) 9x2 + 4y2 - 36z = 0, 3x + y + z - z2 - 1 = 0; (2, -3, 2) c) 4z2 = xy, x2 + y2 = 8z; (2, 2, 1) www.FreeLibros.me
  • Respuestas: a) x — 1 = y „ 1 = z — 1 2x + 7y - 8z - 1 = 0; b) x — 2 = y 1 2, y + 3 = 0; x + z - 4 = 0;2 / —8 1 1 c) x — 2 = y 2, z - 1 = 0; x - y = 01 -1 20. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto indicado: a) x2 + y2 + z2 = 14; (1, -2, 3) Respuesta: x - 2y + 3z = 14; x — 1 = b—y = z — 3 b) x2 + y2 + z2 = r2; (xj , y1, zi ) Respuesta: x1x + y1y + z1z = r2; - —— = y + y1 = -—— o x' 2 y1 z1 c) x2 + 2z3 = 3y2 ; (2, -2, -2) Respuesta: x + 3y - 2z = 0; A-- — = —3— = z—y d) 2x2 + 2xy + y2 + z + 1 = 0; (1, -2, -3) Respuesta: z - 2y = 1; x - 1 = 0, y + 2 = z—j 3 e) z = xy; (3, -4, -12) Respuesta: 4x - 3y + z = 12; x — 3 = — y = z +112 21. a) Demuestre que la suma de las intersecciones del plano tangente a la superficie x1 /2 + y1 /2 + z1 /2 = a1 /2 en cualquiera de sus puntos es a. b) Pruebe que la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las intersecciones del plano tangente a la superficie x 2 /3 + y2 /3 + z2 /3 = a2 /3 en cualquiera de sus puntos es a. 22. Demuestre que cada par de superficies es tangente en el punto indicado: a) x2 + y2 + z2 = 18, xy = 9; (3, 3, 0). b) x2 + y2 + z2 -8x - 8y - 6z + 24 = 0, x2 + 3y2 + 2z2 = 9; (2, 1, 1). 23. Pruebe que cada par de superficies es perpendicular en el punto indicado: a) x2 + 2y2 - 4z2 = 8, 4x2 - y2 + 2z2 = 14; (2, 2, 1). b) x2 + y2 + z2 = 50, x2 + y2 - 10z + 25 = 0; (3, 4, 5). 24. Demuestre que cada una de las superficies a) 14x2 + 11y2 + 8z2 = 66, b) 3z2 - 5x + y = 0, y c) xy + yz - 4zx = 0 es perpendicular a las otras dos en el punto (1, 2, 1). 25. Identifique las superficies siguientes: a) 36 y2 - x2 + 36 z2 = 9. b) 5y = -z2 + x2 . c) x2 + 4y2 - 4z2 -6x - 16y - 16z + 5 = 0. Respuesta: a) hiperboloide de una hoja (en torno al eje x); b) paraboloide hiperbólico; c) hiperboloide de una hoja, con centro en (3, 2, -2) 26. Halle la ecuación de una curva que, cuando gira en torno a un eje adecuado, resulta en el paraboloide y2 + z2 - 2x = 0. Respuesta: y = s[2x o z = V2x, en torno al eje x. 27. Determine la ecuación de la superficie obtenida al girar la curva indicada en torno al eje dado. Identifique el tipo de superficie: a) x = y2 en torno al eje x; b) x = 2y en torno al eje x. ------------- « 4^ Respuesta: a) x = y 2 + z 2 (paraboloide c ircu la r); b) y 2 + z2 = ^ (cono c ircu la r recto). CA PÍTU LO 51 Superficies y curvas en el espacio www.FreeLibros.me
  • Derivadas direccionales. Valores máximos y mínimos Derivadas direccionales Sea P(x, y, z) un punto en una superficie z = f x , y). Por P pasan los planos paralelos a los planos xz y yz, que cortan la superficie en los arcos PR y PS, y cortan el plano xy en las rectas P *M y P*N , como se muestra en la figura 52.1. Observe que P* es la base de P, que es perpendicular al plano xy. Las derivadas parciales |z y |y, evaluadas en P*(x, y) dan, respectivamente, las razones de cambio de z = P*P cuando y y cuando x se mantienen fijas. Dicho de otro modo, dan las variaciones de z en las direcciones paralelas a los ejes x y y. Estas razones de cambio son las pendientes de las tangentes de las curvas PR y PS en P. z Figura 52.1 Considere ahora un plano que pasa por P, que es perpendicular al plano xy y que forma un ángulo 9 con ele eje x. Se que corte la superficie en la curva PQ y el plano xy en la recta P*L. La derivada direccional defx, y) en P* en la dirección 9 está dada por dz dz ~ dz ~ / c q i \ dS = dx cosA + ^ y sen0 (52.1) La dirección 9 es la dirección del vector (cos 0)i + (sen 0)j. Con la derivada direccional se obtiene la razón de cambio de z = P*P en la dirección de P*L; esto es igual a la pendiente de la tangente a la curva PQ en P (véase el problema 1). ^ 448^ www.FreeLibros.me
  • -^ 449^ La derivada direccional en un punto P* es una función de 0. Más adelante se verá que existe una dirección, determinada por un vector denominado gradiente de f en P* (véase el capítulo 53), para el cual la derivada direccional en P* tiene un valor máximo. Ese valor máximo es la pendiente de la tangente más inclinada que pueda trazarse a la superficie en P. Para una función w = F(x, y, z), la derivada direccional en P(x, y, z) en la dirección determinada por los ángulos a, p, y está dada por dF dF dF _ dF- 3- = -=r— cos a + ^ — cos li + ^ — cos y ds dx dy ^ dz Por la dirección determinada por a, P y y se entiende la dirección del vector (cos a)i + (cos P)j + (cos y)k. Valores máximos y mínimos relativos Supóngase que z = fx, y) tiene un valor máximo (o mínimo) relativo en P0(x0, y0, z0). Todo plano que pasa por P0 perpendicular al plano xy cortará la superficie en una curva que tenga un punto máximo (o mínimo) relativo ^ f ^ fen P0. Así, la derivada direcciona ^ cos0 + s en# de z = fx, y) debe ser igual a cero en P0. En particular, cuando 0 = 0, sen 0 = 0 y cos 9 = 1, de manera que ^ = 0. Cuando 0 = ^ , sen 0 = 1 y cos 0 = 0, de modo que f = 0. Por tanto, se llega al teorema siguiente. Teorema 52 .1 . Si z = f x , y) tiene un extremo relativo en P 0(x0, y0, z0) y ^ f y existe en (x0, y0), entonces ^ f = 0 ^f óx óy óx y J L = 0 en (xq, ye). dy Vale la pena mencionar, sin la demostración correspondiente, las siguientes condiciones suficientes para la exis­ tencia de un máximo o mínimo relativos. Teorema 52 .2 . Sea z = f(x, y) que tiene primera y segunda derivada en un conjunto abierto incluido un punto (x0, y0) en el cual f = 0 y f = 0. Se define A = f j j • Supóngase que A < 0 en (x0, y0). Entonces: z = f (x, y) tiene 1 t- / \ ■ d" f d2 f nun m ínimo relativo en (x0, y0) si -^x^ + -dy T > 0 • d2f d2f nun m áximo relativo en (x0, y0) si + -dy T < 0 Si A > 0, no hay un máximo ni un mínimo relativo en (x0, y0). Si A = 0, no se tiene información. Valores máximos y mínimos absolutos Sea A un conjunto de puntos en el plano xy. Se dice que A está acotado si A está incluida en algún disco. Por complemento de A en el plano xy se entiende el conjunto de todos los puntos en el plano xy que no está en A. Se dice que A es cerrado si el complemento de A es un conjunto abierto. EJEMPLO 5 2 .1 . Los siguientes son ejemplos de conjuntos cerrados y acotados. a) Todo disco cerrado D, es decir, el conjunto de todos los puntos cuya distancia al punto fijo sea menor o igual que algún número r fijo positivo. (Nótese que el complemento de D es abierto porque cualquier punto que no esté en D puede ser rodeado por un disco abierto que no tenga puntos en D .) b) El interior y el límite de todo rectángulo. Más generalmente, el interior y el límite de toda “curva simple ce­ rrada”, es decir, una curva que no se interseque a sí misma salvo en sus puntos inicial y terminal. CA PÍTU LO 52 D erivadas dlrecclonales. Valores m áxim os y m ínim os www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 52 Derivadas dlrecclonales. Valores m áxim os y mínimos Teorema 52 .3 . Seafx, y) una función continua en un conjunto cerrado y acotado A. Entoncesf tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en A. Una demostración del teorema 52.3 remite al lector a textos más avanzados. Para tres o más variables puede deducirse un resultado análogo. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Deduzca la fórmula (52.1) En la figura 52.1, sea P **(x + Ax, y + Ay) un segundo punto en P*L y denótese por As la distancia P*P**. Supóngase que z = fx, y) posee primeras derivadas parciales continuas y se obtiene, por el teorema 49.1, Az= Ax + Ay + e1Ax + e2 Ay donde e 1 y e 2 ^ 0 cuando Ax y Ay ^ 0. La razón promedio de cambio entre los puntos P* y P** es Az _ d z Ax ,d z y^ , c Ax Ay As 3x As dy As As As = j x co s0 + - |y sen0 + e 1c o s0 + e 2sen0 donde 0 es el ángulo que la recta P *P ** forma con el eje x. Ahora, sea P** ^ P* a lo largo de P*L. La derivada direccional en P*, es decir, la razón de cambio instantánea de z, es entonces d z = -5^ c o s e + l ^ sen6 ds dx dy 2. Encuentre la derivada direccional de z = x2 - 6y2 en P* (7, 2) en la dirección a) 0 = 45°; b) 0 = 135°. La derivada direccional en cualquier punto P*(x, y) en la dirección 0 es co s0 + ^ sen 0= 2x co s0 - 12y sen0 ds dx dy 7 a) En P*(7, 2) en la dirección 0 = 45°, dg = 2(7)(±V2) - 12(2)(*>/2) = -572 b) En P*(7, 2) en la dirección 0 = 135°, dg = 2(7)(- ^ V2) - 12(2)(-jV2) = -19>/2 3. Encuentre la derivada direccional de z = ye1 en P*(0, 3) en la dirección a) 0 = 30°; b) 0 = 120°. Aquí, dz/ds = ye1 cos 0 + e sen 0. a) En (0, 3) en la dirección 0 = 30° dz/ds = 3(1) (-j>/3) + 4 = t(3%/3 + 1). b) En (0, 3) en la dirección 0 = 120° dz/ds = 3(1) (--j) + y>/3 = t(-3 + ->/3). 4. La temperatura T de una placa circular en un punto (x, y) está dada por T = x2 +6y2 + 2 , donde el origen es el centro de la placa. En el punto (1, 2), determine la razón de cambio de T en la dirección 0 = ft/3. www.FreeLibros.me
  • Se tiene que d T =____64(2x) cqs0 _____64(2y ^ sen0 ds (x2 + y 2 + 2)2 cosü (x 2 + y 2 + 2)2 senü Por tanto, (3, 4) en la dirección indicada ~ 25 \^ d j5 ) ^ 25 _ "25" 6. Encuentre la derivada direccional máxima para la superficie y el punto del problema 2. En P*(7, 2) en la dirección 0, dz/ds = 14 cos 0 - 24 sen 0. Para hallar el valor de 0para el cual ¡jr; es un máximo, sea ¡ | ¡¡SJ = -14 sen0- 24 cos 0 = 0.. Entonces, tan 6 = — -24 = - 12 y 0 es un ángulo del segundo o del cuarto cuadrante. Para el ángulo del segundo cuadrante sen 0= 12/V193 y cos =-7A/193. Para el ángulo del cuarto cuadrante, sen0 = -12/V 193 y cos 0=7/V 193. Como - jñ z ( I = ¡ (_14 sen0- 24 cos 0) = -14 cos 0 + 24 sen0 es negativo para el ángulo del cuartodo \ds¡ do í \ í \ cuadrante, la derivada direccional máxima es = 141 r7— I - 241 — i ^ = = 2^ /193, y la dirección esdz ^7193) \ VÍ93) * 0 = 300° 15'. - # 451^ En (1, 2) en la dirección 0 = | , ¡ T = - i g 8 1 - = " 69a + 2 ^ 5. El potencial eléctrico V en un punto (x, y) está dado por V = ln ,Jx 2 + y2. Determine la razón de cambio de V en el punto (3, 4) según la dirección del punto (2, 6). Aquí, 2 x 2 cos0 + 2 y 2 sen0 ds x2 + y2 x2 + y2 Como 0 es un ángulo del segundo cuadrante y tan 0 = (6 - 4)/(2 - 3) = -2, cos 0 = -H y[5 y sen 0 = 2/V5. , ¡ V = ( _ _ L 1 + = V5 7. Encuentre la derivada direccional máxima para la función y el punto del problema 3. En P*(0, 3) en la dirección 0, dz/ds = 3 cos 0 + sen 0. Para hallar el valor de 0 para el cual ¡ - es un máximo, sea 1 = -3 sen0 + cos 0 = 0. Entonces,F ds ¡0 \ ds) ’ tan 0 = | y 0 es un ángulo del primer o del tercer cuadrante. Como ¡ 2 1¡ s J = d (-3 sen0+ cos 0) = -3 cos 0 - sen0 es negativo para el ángulo del primer cuadrante, la derivada direccional máxima es ¡ — = 3 3— + ^ = -J^, y la dirección es 0 = 18° 26'.ds V1q T1q v j 8. En el problema 5, demuestre que V cambia más rápidamente a lo largo del conjunto de rectas radiales que pasan por el origen. En cualquier punto (x,, y.) en la dirección 0, ,x1 , cos0H— ^ —^ sen0. Ahora V cambia más I \ x x?+ y? x? + y2 / 2 + 2) rápidamente cuando d | =--, x1 2 sen0+ , y1 , cos0 = 0 y, entonces, tan 0 = y1 . X\— 2^- = —. Así,^ d6 \ d s ) x12 + yf x12 + yr x1/(x12 + y12) x1 0 es el ángulo de inclinación de la recta que une el origen y el punto (x1, y1). 9. Halle la derivada direccional de F(x, y, z) = xy + 2xz - y2 + z2 en el punto (1, -2, 1) a lo largo de la curva x = t, y = t - 3, z = t2 en la dirección de z creciente. Un conjunto de números direccionales da la tangente a la curva en (1, -2, 1) es [1, 1, 2]; los cosenos directores son [ 1^ >/6, 1/>/ó , 2/V6 ]. La derivada direccional es co sa + ^ F cosfi + ^ Z- co sy = 0 -^ + 5-L- + 4 = 136 6 dx dy H dz ' Vó V6 V6 6 CA PÍTU LO 52 D erivadas direccionales. Valores m áxim os y m ínim os www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 52 Derivadas dlrecclonales. Valores m áxim os y mínimos 10. Analice los valores máximos y mínimos def x , y) = x2 + y2 - 4x + 6y + 25. r)f r)fLas condiciones ^ = 2x - 4 = 0 y -^ y- = 2y + 6 = 0 se satisfacen cuando x = 2 y y = -3. Como f x , y) = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) + 25 - 4 - 9 = (x - 2)2 + (y + 3)3 + 12 es evidente que f (2, -3) = 12 es el valor mínimo absoluto de la función. Geométricamente, (2, -3, 12) es el punto mínimo de la superficie z = x2 + y2 - 4x + 6y + 25. Claramente,f x , y) no tiene valor máximo absoluto. 11. Analice los valores máximos y mínimos def x , y) = x3 + y3 + 3xy. r)f r)fSe utilizará el teorema 52.2. Las condiciones = 3(x2 + y) = 0 y -=y- = 3(y2 + x) = 0 se satisfacen cuando x = 0 y y = 0 y cuando x = -1 y y = -1. d2 f d2 f d2 fEn (0, 0), -=-4- = 6x = 0, f =3 y -=¡-4- = 6y = 0. Entonces,dx2 dx dy dy2 J ( _ 3 f ^ 2_ ( d _ f V 3 f 9> 0 U x 3y) U x 2 l U y2 1 9 > 0 y (0, 0) no resulta en un mínimo ni un máximo relativo. i ! dyEn ( -1 , - 1 ) , l í = _ 6, = 3 y = ■ 6 . Entonces,dx dy ( S y )2- ( ü f Tf^iyt W < 0 y 3^ +dx2 9y2 < 0 Por tanto, f(-1, -1) = 1 es el valor máximo relativo de la función. Claramente, no hay valores máximos ni mínimos absolutos. (Cuando y = 0, fx , y) = x3 pueden hacerse arbitrariamente grande o pequeño.) 12. Divida 120 en tres partes no negativas tales que la suma de los productos tomados de dos en dos sea máxima. Sean x, y, y 120 - (x + y) las tres partes. La función por ser analizada es S = xy + (x + y)(120 - x - y). Como 0 < x + y < 120, el dominio de la función consta del triángulo sólido mostrado en la figura 52.2. El teorema 52.3 garantiza un máximo absoluto. Ahora, -jx = y + (120 - x - y) - (x + y) = 120 - 2x - y í y = x + (120 - x - y) - (x + y) = 120 - x - 2y y www.FreeLibros.me
  • -----«5^ Al igualar dS/dx = dS/dy = 0 resulta 2x + y = 120 y x + 2y = 120. La solución simultánea da x = 40, y = 40 y 120 -(x + 4) = 40 como las tres partes, y S = 3(402) = 4800. Entonces, si el máximo absoluto ocurre en el interior del triángulo, el teorema 52.1 indica que se ha hallado. Aún es necesario revisar el límite del triángulo. Cuando y = 0, S = x(120 - x). Entonces, dS/dx = 120 - 2x y el número crítico es x = 60. El valor máximo correspondiente de S es 60(60) = 3600, que es < 4800. Un resultado semejante se cumple cuando x = 0. Finalmente, en la hipotenusa, donde y = 120 - x, S = x(120 - x) y se obtiene de nuevo un máximo de 3600. Por consiguiente, el máximo absoluto es 4800 y x = y = z = 40. 13. Determine el punto del plano 2x - y + 2z = 16 más próximo al origen. Sea (x, y, z) el punto requerido; entonces, el cuadrado de su distancia al origen es D = x2 + y2 + z2. Como también 2x - y + 2z = 16, se tiene que y = 2x + 2z - 16 y D = x2 + (2x + 2z - 16)2 + z2. Luego, las condiciones dD/dy = 2x + 4(2x + 2z - 16) = 0 y dD/dz = 4(2x + 2z - 16) + 2z = 0 equivalen a 5x + 4z = 32 y 4x + 5z = 32, y x = z = Como se sabe que existe un punto para el cual D es un mínimo, ( f ,-16,42) es ese punto. 14. Demuestre que un paralelepípedo rectangular de volumen máximo V con área de superficie constante S es un cubo. Sean x, y y z las dimensiones. Entonces, V = xyz y S = 2(xy + yz + zx). Pueden despejarse z en la segunda relación y sustituirse en la primera, para expresar V como función de x y y. Es preferible evitar este paso simplemente tratando z como una función de x y y. Entonces, IV - % -- x z+ xy f § -0 - 2(y+z+x| +>■§), i -0 - 2(x+z+xI +y f De las dos últimas ecuaciones, y 3£ _ _ x ^ Z _. a i sustituir en las primeras se llega a lasdx x + y dy x + y condiciones $ X = yz - xy(y + z) = 0 y ^ X = xz - xy(x + z) = 0, las cuales se reducen a y2(z - x) = 0 y x2(z - y) áx J x + y J dy x + y J J J = 0. Así, x = y = z, como se solicitó. 15. Determine el volumen V del paralelepípedo rectangular más grande que puede inscribirse en el elipsoide +y2+zL = 1a2 + b2 + c2 Sea P(x, y, z) un vértice en el primer octante. Entonces, V = 8xyz. Considere z como una función de las variables independientes x y y dada por la ecuación del elipsoide. Las condiciones necesarias para un máximo son: i x = 8(yz + 0 y w = 8(x z + = 0 (1) De la ecuación del elipsoide se obtiene Oí' + ^ d x = 0 y by + ^ jjy"= 0. Se elimina dz/dx y dz/dy entre estas relaciones y (1) para obtener y finalmente, dV 8 c2x2y | . dV 8 (x. c2xy2 ) 0 d x - j - 0 y a y - 8 \Xz ~ ~ b 2r 0 x2 _ z2 _ y2 a2 c2 b2 (2) Se combina (2) con la ecuación del elipsoide para obtener x = ^ >^/3/3, y = b^ 3 /3 y z = c \¡3 /3. Entonces, V = 8xyz = ('^'j3/9)abc unidades cúbicas. CA PÍTU LO 52 D erivadas dlrecclonales. Valores m áxim os y m ínim os www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 52 Derivadas direccionales. Valores m áxim os y mínimos PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 16. Encuentre las derivadas direccionales de la función dada en el punto indicado en la dirección señalada. a) z = x2 + xy + y2, (3, 1), Q = y. b) z = x3 - 3xy + y3, (2, 1), Q = tan~j(f).. c) z = y + x cos xy, (0, 0), 9 = y. d) z = 2x2 + 3xy - y2, (1, 1), hacia (2, 1). Respuestas: a) \ ( J + 5^ 3); b) 21^ 13/13;; c) t(1 + V3); d) 11>/575 17. Encuentre la derivada direccional máxima para cada una de las funciones del problema 16 en el punto indicado. Respuestas: a) •v/74; b) 3^ 10; c) >/2; d) ^ 26 18. Demuestre que la derivada direccional máxima de V = ln -Jx2 + y2 del problema 8 es constante a lo largo de todo círculo x2 + y2 = r2. 19. Sobre una colina representada por z = 8 - 4x2 - 2y2, encuentre a) la dirección de la máxima pendiente en (1, 1, 2) y b) la dirección de la línea de nivel (dirección para la cual z = constante). Nótese que las direcciones son mutuamente perpendiculares. Respuestas: a) tan-1(^ ), tercer cuadrante; b) tan-1(-2) 20. Demuestre que la suma de los cuadrados de las derivadas direccionales de z = f(x, y) en cualquiera de sus puntos es constante para cualquier par de direcciones perpendiculares y es igual al cuadrado de la derivada direccional máxima. 21. Dadas z = fx, y) y w = g(x, y) tales que dz/dx = dw/dy y dz/dy = -dw/dx. Si dj y 02 son dos direcciones mutuamente perpendiculares, pruebe que en cualquier punto P(x, y), dz/ds1 = dw/ds2 y dz/ds2 = 3w/3s1. 22. Determine la derivada direccional de la función dada en el punto indicada y en la dirección señalada: a) xy2z, (2, 1, 3), [1, -2, 2]. b) x2 + y2 + z2, (1, 1, 1) hacia (2, 3, 4). c) x2 + y2 - 2xz, (1, 3, 2), a lo largo de x2 + y2 - 2xz = 6, 3x2 - y2 + 3z = 0 en la dirección de z creciente. Respuestas: a) - t7; b) 6^ /^ 4/7; c) 0 23. Analice los valores máximos y mínimos relativos para cada una de las funciones siguientes: máximo = 2 cuando x = 1, y = 2 mínimo = -1 cuando x = 1, y = 1 mínimo = 0 cuando x = 0, y = 0 ni máximo ni mínimo a) z =2x + 4y - x2 - y2 -3 b) z = x3 + y3 - 3xy c) z = x2 + 2xy + 2y2 d) z= (x-y)(1 - xy) e) z = 2x2 + y2 + 6xy + 10x -6y + 5 f ) z =3x -3y -2x3 - xy2 + 2x2y + y3 Respuesta: Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta Respuesta g) z = xy(2x + 4y +1) Respuesta: ni máximo ni mínimo mínimo = - -J6 cuando x = ->/6 /6, y = -J6/3; máximo = \[6 cuando x = y¡6 / 6, y = - Vó/3. máximo = ^ jg cuando x = --J, y = — 24. Halle números positivos x , y, z tales que a) x + y + z= 18y xyz es un máximo c) x + y + z=20y xyz2 es un máximo Respuestas: a) x = y = z = 6; b) x = y = z = 3; c) x = y = 5, z = 10; d) x = 2, y = 4, z = 6 b) xyz = 27 y x + y + z es un mínimo d) x + y + z = 12 y xy2z3 es un máximo www.FreeLibros.me
  • -----«5^ 25. Encuentre el valor mínimo del cuadrado de la distancia del origen al plano Ax + By + Cz + D = 0. Respuesta: D2/(A2 + B2 + C2) 26. a) El área de la superficie de una caja rectangular sin tapa es de 108 pies2. Halle su máximo volumen posible. b) El volumen de una caja rectangular sin tapa es de 500 pies3. Halle su área de superficie mínima. Respuestas: a) 108 pies3; b) 300 pies2 27. Encuentre el punto en z = xy - 1 más próximo al origen. Respuesta: (0, 0, -1) 28. Encuentre la ecuación del plano que pasa por (1, 1, 2) y que corta el mínimo volumen en el primer octante. Respuesta: 2x + 2y + z = 6 29. Determine los valores de p y q de manera que la suma S de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos (0, 2), (1, 3) y (2, 5) a la recta y = px + q sea un mínimo. [Sugerencia: S = (q - 2)2 + (p + q - 3)2 + (2p + q - 5)2.] Respuesta: p = f; q = H CA PÍTU LO 52 D erivadas direccionales. Valores m áxim os y m ínim os www.FreeLibros.me
  • Derivación e integración de vectores Derivación vectorial Sean r = i/1(t) + jf2(t) + k/3(t) = if + j f + k f s = igx(t) + jg2(t) + kg3(t) = ig1 + jg2 + kg3 u = ih 1(t) + jh2(t) + kh3(t) = ih 1 + jh2 + kh3 vectores cuyas componentes son funciones de una sola variable escalar t, con primeras y segundas derivadas continuas. Es posible mostrar, como en el capítulo 39 para vectores en el plano, que d dr ds d ( r . s) = d • s + r . d (53.1) Asimismo, a partir de las propiedades de los determinantes cuyas entradas son funciones de una sola variable, se tiene que d d d (r X s) = d i j k i j k i j k f Í 2 /3 = f i f 2 Si + f f f3 g, g 2 g3 g1 g2 g3 g'l g2 g3 dr ds= -77 x s + r x - 7- dt dt d r , ... d r . . ( ds \ ( du d [r. (s x u)]= t ■(s x u)+r . U x u l+ r . 1s x d Estas fórmulas se pueden verificar desarrollando los productos antes de derivar. De (53.2) se deduce que d dr d d t [r x (s x u)] = d x (s x u) + r x d (s x u) dr , ( ds \ ( du = d t X (s X u) + r X I d X u j + r xl s X - t (53.2) (53.3) (53.4) ^ 456^ - y www.FreeLibros.me
  • -^ 457^ Curvas en el espacio Considere la curva en el espacio x = f ( t), y = g(t), z = h(t) (53.5) donde f(t), g(t) y h(t) tienen primeras y segundas derivadas continuas. Sea el siguiente el vector de posición de un punto general variable P(x, y, z) de la curva: r = xi + yj + zk drComo en el capítulo 39, t = ~d~ es el vector unitario tangente a la curva. Si R es el vector de posición de un punto (X, Y, Z) en la tangente en P, la ecuación vectorial de esta recta es (véase el capítulo 50) R - r = kt para una variable escalar k (53.6) y las ecuaciones en las coordenadas rectangulares son X - x = Y - y = Z - z dx /ds _ dy /d s ~ dz /ds ’ es un conjunto de cosenos directores de la recta. En la correspondiente ecuación (51.2) se dx dy dz dt ’ dt ’ dt dx dy dz d s ' d s ’ dsdonde utilizó un conjunto de números directores La ecuación vectorial del plano normal a la curva en P está dada por (R - r) • t = 0 (53.7) donde R es el vector posición de un punto general del plano. De nuevo, como en el capítulo 39,4- es un vector perpendicular a t. Si n es un vector unitario con direccióndt ds -, entoncesds d s = IK ln,ds donde IZl es la magnitud de la curvatura en P. El vector unitario 1 dt se denomina normal principal a la curva en P El vector unitario b en P, definido por IKI ds (53.8) b = t x n (53.9) recibe el nombre de binormal en P. Los tres vectores t, n y b forman en P una tríada a la derecha (dextrógira) de vectores ortogonales entre sí (véanse los problemas 1 y 2). En un punto general P de una curva en el espacio (fig. 53.1), los vectores t, n y b determinan tres planos perpendiculares entre sí: 1. El plano osculador, que contiene a t y n, de ecuación (R - r) • b = 0 2. El plano normal, que contiene a n y b, de ecuación (R - r) • t = 0 3. El plano rectificador, que contiene a t y b, de ecuación (R - r) • n = 0 n CA PÍTU LO 53 D erivación e integración de vectores www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores z Fig. 53.1 En cada ecuación, R es el vector de posición de un punto general en el plano en particular. Superficies Sea F (x, y, z) = 0 la ecuación de una superficie (véase el capítulo 51). U na representación param étrica resulta cuando x, y y z se escriben com o funciones de dos variables independientes o parám etros u y v; por ejemplo, x = f i(u, v), y = f"(u, v), z = f3(u, v) (53.10) Cuando u se sustituye por un valor constante u0, (53.10) se convierte en x = f1(uo, v), y = f"(uo, v), z = f3(uo, v) (53.11) la ecuación de una curva en el espacio (curva u) que está sobre la superficie. D e igual modo, cuando v se rem ­ plaza por una constante v0, (53.10) se convierte en x = f ( u , vo), y = f"(u, vo), z = f3(u, vo) (53.12) la ecuación de otra curva en el espacio (curva u) sobre la superficie. Las dos curvas se intersecan en un punto de la superficie obtenido al sustituir u = u0 y v = v0, sim ultáneam ente, en (53.10). E l vector de posición de un punto general P de la superficie está dado por r = xi + yj + zk = i/¡(u, v) + jf"(u, v) + k f 3(u, v) (52.13) Supóngase que (53.11) y (53.12) son las curvas u y v que pasan por P . Entonces, en P , i = i^ f l (Uo, v) + ji b f 2 (Uo, v ) + kl ! v f 3(uo, v) es un vector tangente a la curva u , y |u =¡¿ ¿ i " , ^ + j 5uf2(u- v" ) + k T u f >{" ' ^ www.FreeLibros.me
  • - # 459~^ es un vector tangente a la curva v. Las dos tangentes determinan un plano que es el plano tangente a la super­dr drficie en P (fig. 53.2). Evidentemente, una normal a este plano está dada por x ^ • La normal unitaria a la superficie en P está definida por dr dr du X dvdr dr du X dv (53.14) Fig. 53.2 Si R es el vector de posición de un punto general sobre la normal a la superficie en P, su ecuación vectorial es är 9r ' (53.15)(R - r)=k x a i Si R es el vector de posición de un punto general en el plano tangente a la superficie en P, su ecuación vectorial es (R - r) -I® X11 = 0 (53.16) (Véase el problema 3.) El operador V En el capítulo 52, la derivada direccional de z = f(x , y) en un punto arbitrario (x, y) y en una dirección que forma un ángulo 0 con el eje x positivo se expresa como dz d f d f ~ r = ^ - cosö + ^ r- senö ds dx dy Se escribe cos0 + |ysen0 = |^ if + jf • (icos0 + j sen0) (53.17) Ahora a = i cos 0 + j sen 0 es un vector unitario cuya dirección forma un ángulo 0 con el eje x positivo. El otro factor en el miembro derecho de (53.17), cuando se escribe como I i + j I f , indicada la definición de un operador diferencial vectorial V (del), definido por ^ ' n CA PÍTU LO 53 Derivación e integración de vectores www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 53 Derivación e Integración de vectores V _ i dx + j dy (53.18) En el análisis vectorial, V = i + j se denom ina gradiente de f o g ra d f. D e (53.17) deducim os que la com ponente de V f en la dirección de un vector unitario a es la derivada direccional de f en la dirección de a. Sea r = xi + yj el vector de posición de P(x, y). Como d f _ d f dx d f dy ds dx ds dy ds ■ d f . d fi — + i — i dx + J dy dx ds 'd s ds = ÍVf I cos d r donde f es el ángulo entre los vectores V f y , se desprende que es m áxim o cuando cos f = 1, es decir,d f d r ds cuando V f y y s tienen la m ism a dirección. Así, el valor m áxim o de la derivada direccional en P es ÍVf I y su dirección es la de Vf. (Com párese con el análisis sobre derivadas direccionales m áxim as en el capítulo 52.) (Véase el problem a 4.) Para w = F(x, y, z), se define _ .d F ,d F dF i dx + J dy + dz Y la derivada direccional de F(x, y, z) en un punto arbitrario P(x, y, z) en la dirección a = a 1i + a j + a2k es d F d r = y F - a (53.19) Com o en el caso de funciones de dos variables, IVFI es el valor m áxim o de la derivada direccional de F(x, y, z) en P(x, y, z), y su dirección es la de V F (véase el problem a 5.) Considérese ahora la superficie F(x, y, z) = 0. La ecuación del plano tangente a la superficie en uno de sus puntos P0(x0, y0, z0) está dada por dF dF dF (x ~ x www.FreeLibros.me
  • - # 461^ La ro tac io n a l de una función vectorial F, o del cross, está definida por ro t F = V x F : i j k ± ± d_ dx dy dz f f 2 f 3 d y f d z f 2 Ji + 1 d z f dx f J j +1 dx f d y f l lk ddz' d_ dx ' ddx ' (53.22) (Véase el problem a 8.) Integración L a explicación sobre integración se lim itará a la integración ordinaria de vectores y a las llam adas integrales de línea (curvilíneas). Com o ejem plo de la prim era, sea F(u) = i cos u + j sen u + auk un vector que depende de la variable escalar u. Entonces, F'(u) = - isen u + jcos u + ak y J F' (u)du = J (- i senu + j cos u + ak) du = iJ - s e n u du + jj c o s u du + kJa du = i cos u + j senu + auk + c = F(u) + c donde c es un vector constante arbitrario de u. Además, í " b F '(u) du = [F(m) + c]“=a = F(b) - F(a)Ju=a (Véanse los problem as 9 y 10.) Integrales de línea (curvilíneas) Considérese dos puntos P 0 y P 1 en el espacio, unidos por un arco C. El arco puede ser un segmento de una línea recta o una parte de una curva en el espacio x = g 1(t), y = g2(t), z = g3(t), o puede constar de varios subarcos de curvas. En cualquier caso, supóngase que C es continua en cada uno de sus puntos y que no se interseca a sí m ism a. Considere, además, la función vectorial F = F(x, y, z) = i/i(x , y, z) + jf 2(x , y , z) + f x , y, z), que en todo punto de una región en torno a C, en particular en todo punto C, define un vector de m agnitud y dirección conocidas. Se representa por r = xi + yj + zk (53.23) CA PÍTU LO 53 D erivación e integración de vectores www.FreeLibros.me
  • CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores el vector de posición de P(x, y, z) en C. La integral fP 0 ‘ ( F . d) d = | > . d r (53.24) se denomina integral de línea (curvilínea), es decir, una integral a lo largo de un camino C dado. Como ejemplo, sea F una fuerza. El trabajo realizado por ella al mover una partícula sobre dr está dado por (véase el problema 16, del capítulo 39) iF iidr i cos q = F x dr y el trabajo realizado al mover la partícula de P0 a P1 a lo largo del arco C está dado por f P‘ F . dr CP0 De (53.23) dr = i dx + j dy + k dz y (53.24) se convierte en 1P F . dr = J Pp ( f dx + f2 dy + f dz) (53.25) (Véase el problema 11.) PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una partícula se mueve a lo largo de la curva x = 4 cos t, y = 4 sen t, z = 6t. Determine la magnitud de su velocidad y su aceleración en los instantes t = 0 y t = 2 n. Sea P(x, y , z) un punto en la curva y r = xi + yj + zk = 4i cos t + 4j sen t + 6kt su vector de posición. Entonces, dr d 2rv = d t = -4i sin í + 4j cos í + 6k y a = = - 4i cos í - 4j sen tdt2 En í = 0: En í = ^ ^ : v = 4j + 6k a = -4i v = -4i + 6 k a = -4i Iv i = V16 + 36 = 2>/Í3 Ia I = 4 Iv i = V 16 + 36 = 2-J13 IaI = 4 www.FreeLibros.me
  • -^ 463^ 2. En el punto (1, 1, 1) o t = 1 de la curva en el espacio x = t, y = t2, z = t3, determine: a) Las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal. b) La tangente unitaria, la normal principal y la binormal. c) Las ecuaciones de la normal principal y la binormal. Se tiene que r = ti + t2j + t3k dr dtd r = i + 2tj + 3t2k ds dt = y¡ 1 + 4t2 + 9t4 t _ dr _ dr ÉL _ i + 2tj +3t2k ds dt ds ^1 + 4 t2 + 9t4 En t = 1, r = i + j + k y t = ^ 4 (i + 2j + 3k ) . a) Si R es el vector de posición de un punto general (X , Y, Z) en la recta tangente, su ecuación vectorial es R - r = kt o (X - =)i + (Y - =)j + (Z - =)k = (i + 2j + 3k) y sus ecuaciones rectangulares (cartesianas) son X -1 = Y -1 = Z -1 1 2 3 Si R es el vector de posición de un punto general (X, Y, Z) en el plano normal, se ecuación vectorial es (R - r ) x t = 0 o [(X - 1 ) i + (y -1 ) j + (Z - 1 ) k ] - ^ = (i + 2j + 3k) = 0 y su ecuación rectangular (cartesiana) es (X - 1) + 2(Y - 1) + 3(Z - 1) = X + 2Y + 3Z - 6 = 0 (Véase el problema 2a) del capítulo 51.) b) dt _ dt d¿ _ (-4t - 18t3)i + (2 - 18t4)j + (6t + 12t3)k b) W o r l f r l cds dt ds En t = 1, Entonces, (1 + 4t2 + 9t4)2 dt _ -11i - 8 j + 9k V dt 1 /ds 98 y ds 7 V 1 dt -11i - 8 j + 9k \K\ ds V266 b = t x n = VÍ4>/266 i j k 1 2 3 -11 - 8 9 -v/19 (3i - 3j + k ) c) Si R es el vector de posición de un punto general (X, Y, Z) en la normal principal, su ecuación vectorial es R - r = kn, o (X - 1)i + 2 (Y - 1)j + 3 (Z - 1)k = k-11i - 8 j + 9kV266 n = 1y CA PÍTU LO 53 D erivación e Integración de vectores www.FreeLibros.me
  • C A P ÍT U L O 53 Derivación e integración de vectores y las ecuaciones en coordenadas rectangulares son X - 1 = Y - 1 = Z - 1 - 1 1 - 8 9 Si R es el vector de posición de un punto general (X , Y , Z) en la binormal, su ecuación vectorial es R - r = kb o 1V , v 1 V , v . . . . , 3 i - 3 j + k(X - 1)i + (Y - 1)j + (Z - 1)k = k — — y las ecuaciones en coordenadas rectangulares son X - 1 = Y - 1 = Z - 1 3 - 3 1 3. Halla las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie x = 2(u + v), y = 3(u - v), z = uv en el punto P(u = 2, v = 1). Aquí 3r 3 r r = 2(u + v)i + 3(u - v)j + uvk, — = 2i + 3j + uk , — = 2i - 3j + uk du dv y en e l p u n to P , r = 6 i + 3 j + 2 k , — = 2 i + 3 j + k , —- = 2 i - 3j + 2 k du dv y | í x | í = 9 i - 2j - 12k du av L a s e c u a c io n e s v e c to r ia l y r e c ta n g u la r (c a r te s ia n a ) d e la r e c ta n o rm a l so n r _ r = k ^ x ^ - du dv o (X - 6 )i + ( Y - 3 ) j + ( Z - 2 )k = k (9 i - 2 j - 12 k ) X - 6 + Y - 3 = Z - 2 y 9 + - 2 - 12 L a s e c u a c io n e s v e c to r ia l y r e c ta n g u la r (c a r te s ia n a ) d e l p la n o ta n g e n te so n (R - r ) . (I - x ! v ) - 0 o [(X - 6 )i + ( Y - 3 ) j + ( Z - 2 )k ] • [9 i - 2 j - 1 2 k ] = 0 y 9 X - 2 Y - 1 2 Z - 2 4 = 0 4 . a ) E n c u e n tre la d e r iv a d a d ir e c c io n a l d e f x , y ) = x 2 - 6 y 2 en e l p u n to (7 , 2) e n la d ir e c c ió n 0 = ^ n . b) H a lle e l v a lo r m á x im o d e la d e r iv a d a d ir e c c io n a l en (7 , 2). a ) V f= ( i H x+jHy) (x2 _ 6y2) = i H x (x2 _ 6y2) + j (x2 _ 6y2) =2xi _ 1 2 yj y a = icos0 + isen0 = i + — L j V 2 -Jl www.FreeLibros.me
  • ^ 465^ E n (7 , 2 ), V f = 14 i - 24 j y V f • a = ( l 4 i - 24j ) • i + J = j j = 7 V 2 - 1 2 ^ 2 = - 5 ^ 2 e s la d e r iv a d a d ir e c t io n a l. fc) E n (7 , 2 ), c o n V / = 1 4 i - 2 4 j , I V / l = >/1 4 2 + 2 4 2 = 2>/193 e s la m á x im a d e r iv a d a d ir e c c io n a l. P u e s to q u e V f 7 12 = i — 7= í = i co s0 + jsenô |Vf| V Ï93 V Ï93 J J j = i co s0 + jsen 0 la d ir e c c ió n es 0 = 3 0 0 ° 1 5 ' (v é a s e lo s p r o b le m a s 2 y 6 d e l c a p ítu lo 5 2 ). 5. a) E n c u e n tre la d e r iv a d a d ir e c c io n a l d e F ( x , y , z ) = x 2 - 2 y 2 + 4 z 2 e n P ( 1 , 1, - 1 ) en la d ir e c c ió n a = 2i + j - k . b) D e te r m in e e l v a lo r m á x im o d e la d e r iv a d a d ir e c c io n a l e n P. y en ( 1 , 1 , - 1 ) , V F = 2 i - 4j - 8k . a) V F x a = (2 i - 4j - 8k ) x (2 i + j - k ) = 8 b) E n P , |V F | = \/84 = ^ V 2 T . L a d ir e c c ió n es a = 2i - 4j - 8k 6. D a d a la s u p e r f ic ie F ( x , y , z ) = x 3 + 3 x y z + 2 y3 - z3 - 5 = 0 y u n o d e su s p u n to s P 0( 1 , 1 , 1 ) , d e te rm in e a) una n o rm a l u n ita ria a la s u p e r f ic ie e n P 0; b) la s e c u a c io n e s d e la r e c ta n o rm a l e n P 0, y c) la e c u a c ió n d e l p la n o ta n g e n te e n P 0. A q u í A q u í V F = (3 x 2 + 3yz)i + (3 x z + 6y 2)j + (3 x y - 3 z2)k y en P 0( 1 , 1 , 1 ) , V F = 6i + 9j . X — 1 Y — 1L a s e c u a c io n e s d e la r e c ta n o rm a l so n — 2— = — 3— , Z = 1, L a e c u a c ió n d e l p la n o ta n g e n te e s 2 (X - 1 ) + 3 (Y - 1 ) = 2X + 3Y - 5 = 0 b) L a s e c u a c io n e s d e la r e c ta n o rm a l son 7. E n c u e n tre e l á n g u lo d e in te rs e c c ió n d e la s s u p e rfic ie s F 1 = x 2 + y 2 + z 2 - 9 = 0 y F 2 = x 2 + 2 y2 - z - 8 = 0 e n e l p u n to (2 , 1 , - 2). S e t ie n e q u e V F 1 = V ( x 2 + y 2 + z 2 - 9) = 2 x i + 2yj + 2 zk y V F 2 = V ( x 2 + 2y2 - z - 8) = 2xi + 4 yj - k CA PÍTU LO 53 Derivación e Integración de vectores www.FreeLibros.me
  • C A P ÍT U L O 53 Derivación e Integración de vectores En (2, 1, -2 ) , V Fj = 4i + 2j - 4 k y V F 2 = 4i + 4j - k. A hora V F 1 • V F 2 = iV F1iiVF2i cos 0, donde 0 es el ángulo solicitado. Así, (4i + 2j - 4k) • (4i + 4 j - k) = i4i + 2j - 4kii4i + 4 j - ki cos 0 de donde co s0 = 199 V 3 I = 0.81236, y 0 = 35° 40. 8 . Cuando B = xy2i + 2x2yzj - 3yz2k, encuentre a) div B y b) ro t B. r d . d d A a) div B = V • B = xy 2i + 2 x 2 yzj - 3 y z 2k j 2^ ) + s ( 2 x 2 y z ) + | ( " 3 y z 2)3 x ' ' dy = y 2 + 2 x 2 z - 6 yz b) rot B = V x B = i j k A A dx dy dz xy 2 2 x 2y z - 3 y z 2 d y ( - 3 y z 2) - ¿ ( 2x 2 y z )3 z i + f z ( x J ) ( - 3y z ! ) j s (2x 2 yz) - 3 y (xy 2). = - ( 3 z 2 + 2x 2y ) i + ( 4 x y z + 2x y ) k 9. D a d o F ( u ) = u i + (u2 - 2 u ) j + ( 3 u 2 + u 3) k , e n c u e n t r e a) JF (u ) du y b ) Jo F (u) d u . a) JF (u ) du = J [u i + (u2 - 2 u )j + (3u2 + u3)k] du = i J u du + j J ( u 2 - 2u) du + k J ( 3 u 2 + u3) du = T i + (u f - u 2) j + (u3 + ) k + c donde c = c 1i + c2j + c3k con c 1, c2, c3 escalares arbitrarios. b ) F(u) du = M Í i + í - u 2) j + (u3 + 1 k 10. La aceleración de una partícula en cualquier instante t > 0 está dada por a = = e‘i + e2‘ j + k . Si en t = 0 el desplazam iento es r = 0 y la velocidad es v = i + j , halla r y v en un instante t cualquiera. Aquí v = J a d t = i J e td t + j J e2tdt + k J dt = e t i + -j e 2t j + tk + c En t = 0, se tiene que v = i + 1 j + c1 = i + j de donde c 1 = 2 j , entonces, v = e t i + -2(e2t + 1)j + tk y r = J v dt = eti+ (7 e2t + -21) j + ^ t2k + c 2 www.FreeLibros.me
  • ^ 467^] b) A lo la r g o d e la c u r v a d a d a , x = t y dx = d t; y = t2 y dy = 2 t d t; z = t3 y dz = 3t2 dt. E n O , t = 0; en C , t = 1. E n to n c e s , W = f ‘ (t + t5) d t + ( t2 + 14) 2 t d t + ( t3 + 13) 3 t2 d t * 0 = J ^ t + 2 t3 + 9 t5) d t = [-212 + I 14 + 1 16 ] = | c) D e O a A : y = z = 0 y dy = dz = 0, y x v a r ía d e 0 a 1. D e A a fi: x = 1, z = 0, d x = dz = 0, y y v a ría d e 0 a 1. D e B a C : x = y = 1 y dx = dy = 0, y z v a r ía d e 0 a 1. A h o r a , p a ra la d is ta n c ia d e O a A , Wl = J^ xdx = y ; ; p a ra la d is ta n c ia d e A a B , W2= J ^ydy = y , y p a ra la d is ta n c ia d e B a C , W3 = J o ( z + 1) dz = | . A s í , W = W 1 + W 2 + W 3 = f . E n g e n e r a l, e l v a lo r d e u n a in te g r a l d e lín e a (c u r v ilín e a ) d e p e n d e d e l c a m in o d e in te g ra c ió n . A q u í se e n c u e n tra u n e je m p lo d e u n a q u e e s in d e p e n d ie n te d e l c a m in o . E s p o s ib le d e m o stra r q u e la in te g ra l d e lín e a J (f 1dx + f 2dy + f dz) e s in d e p e n d ie n te d e l c a m in o si e x is te u n a fu n c ió n f (x , y , z) ta l q u e d f = f dx + f 2 dy + f 3 c d z . E n e s te p r o b le m a e l in te g ra n d o es (x + y z) dx + (y + xz) dy + (z + x y) dz = d [ ^ (x2 + y2 + z2) + xyz ] PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 12. E n c u e n tre d y ^ “7 ’ d a d o a) s = (t + 1 ) i + (t2 + t + 1)j + (t3 + t2 + 1 )k , y b ) s = ie l c o s 2 t + j e 1 se n 2 t + t2k. Respuestas: a) i + (2 t + 1)j + (3 t2 + 2 t + 1 )k , 2j + (6 t + 2 )k b ) e t( c o s 2 t - 2 se n 2t)i + e t(se n 2 t + 2 c o s 2t)j + 2 tk , e t( - 4 se n 2 t - 3 c o s 2t)i + e t( - 3 se n 2 t + 4 c o s 2t)j + 2k r = (e t - 1)i + (-4 e 2t + ^ t - 1 ) j + 2^t2k 11. D e te r m in e e l tra b a jo r e a liz a d o p o r u n a fu e r z a F = (x + y z ) i + (y + x z) j + (z + x y )k a l m o v e r u n a p a r t íc u la d el o r ig e n O a C ( 1 , 1 , 1 ) , a) a lo la rg o d e u n a re c ta O C ; b ) a lo la rg o d e u n a c u r v a x = t, y = t2, z = t3; c) a lo la rg o d e lín e a s re c ta s d e O a A ( 1 , 0 , 0 ), A a f i ( 1 , 1 , 0 ), y B a C . F • d r = [(x + y x ) i + (y + xy )j + (z + x y )k ] • [i dx + j dy + k dz] = (x + yz)dx + (y + xz)dy + (z + xy)dz a) A lo la r g o d e la r e c ta O C , x = y = z y dx = dy = d z . L a in te g ra l p o r se r e v a lu a d a se c o n v ie r te en K U ,1) r , n 1 W = J F . d r = 3 Í (x + x 2)d x = | ( f x 2 + x 3) | = 4 J (0,0,0) J0 L ' 2 / J 0 2 E n t = 0, r = i + 1 j + c 2 = 0 , de donde c 2 = - i - ^ j . A s í, CA PÍTU LO 53 D erivación e integración de vectores www.FreeLibros.me
  • C A P ÍT U L O 53 Derivación e integración de vectores 1 3 . D a d o s a = u i + u 2j + u3k , b = i c o s u + j se n u, y c = 3 u 2i - 4 u k , c a lc u le p r im e ro a • b , a x b , a • (b x c ) , y a x (b x c ) , y lu e g o e n c u e n tre la d e r iv a d a d e c a d a u n o . E n s e g u id a h a lle la s d e r iv a d a s u t iliz a n d o la s fó r m u la s . 1 4 . U n a p a r t íc u la s e m u e v e a lo la r g o d e la c u r v a x = 3 t2, y = t2 - 2t, z = t3, d o n d e t e s e l t ie m p o . D e te r m in e a) la s m a g n itu d e s d e su v e lo c id a d y su a c e le r a c ió n en e l in sta n te s t = 1; b ) la s c o m p o n e n te s d e la v e lo c id a d y la a c e le r a c ió n e n e l in sta n te t = 1 en la d ir e c c ió n a = 4 i - 2 j + 4 k . Respuestas: a) |v| = 3a/5 , |a| = 2 \ / i9 ; b ) 6 , 2 2 1 5 . P o r m e d io d e m é to d o s v e c to r ia le s , e n c u e n tre la s e c u a c io n e s d e la r e c ta ta n g e n te y d e l p la n o n o rm a l a la s c u r v a s d e l p r o b le m a 15 d e l c a p ítu lo 5 1 . 16. Resuelva el problema 16 del capítulo 51 empleando métodos vectoriales. 17. Demuestre que las superficies x = u, y = 5u - 3v2, z = v y x = u, y = v, z = 4 ^ v son perpendiculares en P(1, 2, 1). 18. Use métodos vectoriales y encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie: a) x = u, y = v, z = uv en el punto (u, v) = (3, -4).b) x = u, y = v, z = u2 - v2 en el punto (u, v) = (2, 1). Respuestas: a) 4X - 3Y + Z - 12 = 0, X-43 = Y + 4 = Z-112; X - 2 y - 1 7 - 3b) 4X - 2Y - Z - 3 = 0, X-42 = — 2a - = 19. a) Encuentre las ecuaciones de los planos osculador y rectificante a la curva del problema 2 en el punto dado. b) Halle las ecuaciones de los planos normal, osculador y rectificante de x = 2t - t2, y = t2, z = 2t + t2 en t = 1. Respuestas: a) 3X - 3Y + Z - 1 = 0, 11X + 8Y - 9Z - 10 = 0; b) X + 2Y - z = 0, Y + 2Z - 7 = 0, 5X - 2Y + Z - 6 = 0 20. Demuestre que la ecuación del plano osculador a una curva en el espacio en P está dada por (R - - > • (t * W ) = ° 21. Resuelva los problemas 16 y 17 del capítulo 52 utilizando métodos vectoriales. 22. Halle I F ( u ) d u , dado■i a a) F(u) = u3i + (3u2 - 2u)j + 3k ; a = 0, b = 2; b) F (u) = eui + e~2“j + uk ; a = 0, b = 1 Respuestas: a) 4i + 4j + 6k ; b) (e - 1) i + -2(1 - e~2)j + — k 23. La aceleración de una partícula en el instante t está dada por a = dv/dt = (t + 1)i + t2j + (t2 - 2)k . Si en t = 0, el desplazamiento es r = 0 y la velocidad es v = i - k . Halle v y r en el instante t. Respuesta: v = (j 1 + 1 +1)i + 3 1 j + (— t — 2t — i)k ; r = (y t + 2 1 + 1)i + i- t j + (-2t — t — t)k www.FreeLibros.me
  • 2 4 . E n c a d a u n o d e lo s c a s o s s ig u ie n te s , d e te rm in e e l tra b a jo r e a liz a d o p o r u n a fu e r z a F a l m o v e r u n a p a r t íc u la de 0(0, 0, 0) a C ( 1 , 1, 1) a lo la r g o d e ( 1 ) u n a lín e a re c ta x = y = z , (2) la c u r v a x = t, y = t2, z = t3, y (3) la s re c ta s q u e v a n d e O a A ( 1 , 0 , 0 ), d e A a B(1, 1 , 0) y d e B a C . a) F = x i + 2 y j + 3 xk . b) F = (y + z ) i + (x + z ) j + (x + y )k . c) F = (x + x y z ) i + (y + x 2z ) j + (z + x 2y ) k . 9 33 5Respuestas: a) 3; b ) 3; c ) - j4 -, 2 2 5 . S i r = x i + y j + z k , d e m u e s tre q u e a) d iv r = 3 y b ) ro t r = 0. 2 6 . S i f = / x , y , z) t ie n e d e r iv a d a s p a r c ia le s d e o rd e n d e p o r lo m e n o s d o s , d e m u e s tre q u e a) V x V / = 0; b) V • ( V x f = 0 , y c ) V V f = ^ ^ x 2 + ^y2 + 3^2 j f . ------------- « 6^ CA PÍTU LO 53 D erivación e integración de vectores www.FreeLibros.me
  • Integrales dobles e iteradas La integral doble Considere una función z = f(x, y) que es continua en una región finita R del plano xy. Ahora defina una partición ^de R dibujando una rejilla de rectas horizontales y verticales, que divide la región en n subregiones R 1 , R2,.. Rn, de áreas A 1A, A2A,., AnA, respectivamente (fig. 54.1). En cada subregión, Rk, seleccione un punto Pk(xk, yk) y cree la suma l f (x k, yk )A kA = f (X1, yj) A1A + - + f (Xn, yn )A nA (54.1)k=1 Defina el diámetro de una subregión como la máxima distancia entre dos puntos cualesquiera dentro o en su frontera, y denote con dg, el máximo diámetro de las subregiones. Supóngase que se seleccionan las particiones de manera que d9 ^ 0 y n ^ +^ . (En otras palabras, se seleccionan cada vez más subregiones y se hacen sus diámetros más y más pequeños.) Entonces, la integral doble de f (x, y) sobre R se define como JJf fe y )dA = lim f (xk, y k )AkA (54.2) R k=1 Ésta no es una afirmación sobre límites genuina. Lo que la fórmula (54.2) dice en realidad dice es que JJ f (x, y) dA Res un número tal que, para todo e > 0, existe un entero positivo n0 tal que, para todo n > n0 y toda partición con n d9 < 1/n0, y toda suma de aproximación correspondiente ^ f (xk, yk) AkA, se tiene que l f (xk, yk) A kA - JJf ( x , y) dA < e Cuando z = f (x, y) es un no negativo en la región R, como se muestra en la figura 54.2, la integral doble (54.2) puede interpretarse como un volumen. Todo término f x k, yk)Ak A de (54.1) da el volumen de una columna ^ 470^ - y k=1 www.FreeLibros.me
  • -^ 473^ S e a la s e c c ió n d e e ste v o lu m e n c o rta d a p o r un p la n o x = x¡, d o n d e a < x¡ < b , in te rs e c a la fro n te ra d e R en lo s p u n to s S(x¡, g1(x¡)) y T(x¡, g 2(x¡)), y la s u p e r f ic ie z = f(x , y ) e n e l a rco UV a lo la rg o d e l c u a l z = f(x¡, y). E l área d e e sta s e c c ió n STUV e s tá d a d a p o r fgo( x¡) A (x ¡) = í 2 ) f ( x ¡, y ) dy J g1( x¡) A s í p u e s , la s á re a s d e la s s e c c io n e s tra n s v e rs a le s d e l v o lu m e n c o rta d a s p o r lo s p la n o s p a r a le la s a l p la n o yz son í* g2( x¡) fu n c io n e s c o n o c id a s A ( x ) = I f ( x , y ) dy d e x , d o n d e x e s la d is ta n c ia d e l p la n o q u e se s e c c io n a a l o rig e n . Jgl( x¡) D e a c u e rd o c o n la fó r m u la d e la s e c c ió n tra n s v e rs a l d e l c a p ítu lo 30, e l v o lu m e n r e q u e r id o e stá d a d o p o r í*b f b f g 2 ( x¡ ) V = \ A(x)dx = j ( x , y ) dy J a J a J g, ( x ) Jg1( x¡) ' É s ta e s la in te g ra l ite ra d a d e (54 .4 ) E n lo s p r o b le m a s 2 a 6 , c a lc u le la in te g ra l d e la iz q u ie rd a . dx 2 . £ J 2dydx = Jo [y ]x2 dx = Jo( x - x 2)d x = 3 . | | y ( x + y )d x d y = | [^ x 2 + x y ]y y d y = | 6y 2d y = [ 2 y 3]2 = 1 4 (•2 i*x2 +x i*2 . i*2 4 . J J 2 x d y d x = J J x y ] ^ ^ d x = J ^ x 3 + x 2 - 2 x 3 + 2 x ) d x = I f K I»cos0 f K 1 fK 5 . J J psend d p d d = ] o [^ p 2s e n 0 ] |josfld 0 = £ c o s 2 0 s e n 0 d 0 = [- | c o s 3 0 ] J = ■} C /^2 Mcos0 /• 6 [ J2 p > d p d e . f fK/2 dd= í ( 6 4 c o s 4 0 - 4 ) dd *0 641 & + « ^ 1 + 4 0 _ = 1 0 n 7 . C a lc u le JJ dA, d o n d e R e s la r e g ió n e n e l p r im e r cu a d ra n te lim ita d a p o r la p a r á b o la s e m ic ú b ic a y 2 = x 3 y la recta y = x. z y 0 R CA PÍTU LO 54 Integrales dobles e iteradas www.FreeLibros.me
  • ^ 47# 8. C A P ÍT U L O 54 Integrales dobles e iteradas L a re c ta y la p a rá b o la se in te rs e c a n e n lo s p u n to s (0, 0) y ( 1 , 1) q u e e s ta b le c e n lo s v a lo r e s e x tr e m o s d e x y y so b re la r e g ió n R . Solución 1 (F ig u r a 5 4 .5 ): in te g ra n d o p r im e ro so b re u n a fr a n ja h o r iz o n ta l, e s d ec ir , re s p e c to a x d e s d e x = y (la r e c ta ) h a sta x = y 2/3 ( la p a r á b o la ) , y lu e g o r e s p e c to a y d e s d e y = 0 h asta y = 1 , se o b tie n e J J d A = 10 d x d y = J 0V ' 3 - y ) d y = [ } y 5/3 - i y 2]0 = -¡0 y Fig. 54.5 Solución 2 (F ig u r a 5 4 .6 ): in te g ra n d o p r im e ro so b re u n a fr a n ja v e r t ic a l, e s d ec ir , c o n re s p e c to a y d e s d e y = x3/2 ( la p a rá b o la ) h a sta y = x ( la r e c ta ), y lu e g o , re s p e c to a x d e s d e x = 0 h a sta x = 1 , s e o b tie n e U d A = J 0 J * « d y d x = ^ ( x - x 3/2) d x = [ i x 2 - f x 5/2]0 = 10 R y Fig. 54.6 C a lc u le JJ dA d o n d e R e s la r e g ió n en tre y = 2 x y y = x 2 q u e q u e d a a la iz q u ie r d a d e x = 1. R In te g ra n d o p r im e ro so b re la fr a n ja v e r t ic a l ( f ig . 5 4 .7 ) , se o b tie n e JJdA = J0 J í dy d x = Jo(2x ■ x2) d x = *R y Fig. 54.7 www.FreeLibros.me
  • -^ 475^ C u a n d o s e u t iliz a n la s fr a n ja s h o r iz o n ta le s ( fig . 5 4 .8 ), so n n e c e s a r ia s d o s in te g r a le s ite ra d a s. D e n ó te s e c o n R i la p a rte R q u e e stá p o r d e b a jo d e A B , y R2 la p a rte q u e e stá p o r e n c im a d e AB. E n to n c e s , ri Jy/2 Ji Jy/2í í d A = í í d A + í í d A = Í + l i2 jy'/2d X d y = 12 + ^ ^ y Fig. 54.8 9 . C a lc u le JJ x 2d A d o n d e R e s la r e g ió n e n e l p r im e r c u a d ra n te lim ita d a p o r la h ip é r b o la x y = 16 y la s r e c ta s y = x , y = 0, y x = 8 ( f i g . 5 4 .9 ) . D e la fig u r a 5 4 .9 s e d e d u c e q u e R d e b e s e p a ra rse e n d o s r e g io n e s , y u n a in te g r a l ite ra d a d e b e e v a lu a r s e p a ra c a d a u n a d e e lla s . S e a R 1 la p a rte d e R q u e e stá p o r e n c im a d e la r e c ta y = 2, y R 2 la p a rte q u e q u e d a p o r d e b a jo d e d ic h a re c ta . E n to n c e s , JJx 2d A = JJx 2d A + JJx 2d A = J J y x 2d x d y + J J x 2d x d y R R1 R2 = 3 £ ( f - y3) dy + 3 ío (83 - y 3) dy = 448 C o m o e je r c ic io p a ra e l le c to r , se p u e d e se p a ra r R c o n la re c ta x = 4 y o b te n e r i»4 i*x i»8 16/xJJ x 2d A = J £ x 2d y d x + J4 Jo x 2d y d x 1 0 . C a lc u le I" I" exldxdy in v ir t ie n d o p r im e ro e l o rd e n d e in te g ra c ió n . •*0 J3y . L a in te g ra l d a d a n o p u e d e se r e v a lu a d a d ire c ta m e n te , p o r q u e I e x d x n o e s u n a fu n c ió n e le m e n ta l. L a r e g ió n R d e in te g r a c ió n ( f ig . 5 4 .1 0 ) e stá a c o ta d a p o r la s r e c ta s x = 3 y , x = 3 , y y = 0. P a ra in v e rtir e l o rd e n d e in te g ra c ió n , p r im e ro se in te g ra re s p e c to a y , d e s d e y = 0 h a sta y = x/3, y lu e g o , re s p e c to a x d e s d e x = 0 h a sta x = 3. A s í , n 3 r3 rx/3 , ,-3s e x dxdy = e x d y d x = ^ [ex y]J/3 dx = 3^ J o exxdx = [-6ex2 ]0 = 16(e9 - i ) R y x R CA PÍTU LO 54 Integrales dobles e iteradas www.FreeLibros.me
  • ^ 476^ C A P ÍT U L O 54 Integrales dobles e Iteradas PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1 1 . C a lc u le c a d a in te g r a l ite ra d a d e la izq u ie rd a . a ) £ f dxdy = 1 i»4 i»2 c) J J ( x 2 + y 2)dydx = ^ í*2 /•y312 3 e) j xly2dxdy = f f 1 f x2 g ) J0 J0 xeydy d x = t e - 1 /•tan-1(3!2) i»2sec0 ¿) l L P dP dd = 3 ÍttI4 ftan^ sec#^ p 3 c o s 2 ddpdd = 0^ b ) J 0J 0 ( x + y ) d x d y = 9 n xx2 x y 2d y d x = ^ f J 0 J * ( x + y 3 ) d y d x = -600 x h) í f ~ y y d x d y = 42 C^l2 r 2 ^ Jo J 0p 2 c o s 0 d P d 0 = 8 Í2^ c1-cos0^ p 3c o s2 6 d p d 6 = 1 9 7 1 2 . M e d ia n te u n a in te g ra l ite ra d a , c a lc u le c a d a u n a d e la s s ig u ie n te s in te g ra le s d o b le s . C u a n d o se a fa c t ib le , c a lc u le la s in te g r a le s ite ra d a s e n a m b o s ó rd e n es . a ) x so b re la r e g ió n a c o ta d a p o r y = x 2 y y = x3 b) y so b re la r e g ió n d e la p a rte a) c) x2 so b re la r e g ió n a c o ta d a p o r y = x , y = 2x , y x = 2 d) 1 so b re c a d a r e g ió n d e l p r im e r c u a d ra n te lim ita d a p o r 2 y = x 2, y = 3 x, y x + y = 4 e) y so b re la r e g ió n q u e e stá p o r e n c im a d e y = 0 a c o ta d a p o r y 2 = 4 x y y 2 = 5 - x f 1 y 2 s o b re la re g ió n e n e l p r im e r c u a d ra n te a c o ta d a p o r x2 = 4 - 2y Respuesta: Respuesta: 35 Respuesta: 4 Respuesta: f ; -y- Respuesta: 5 Respuesta: 4 y x 1 3 . E n lo s p r o b le m a s 1 1 a) a h ), in v ie r ta e l o rd e n d e in te g r a c ió n y e v a lú e la in te g r a l ite ra d a re su lta n te . www.FreeLibros.me
  • 55 Centroides y momentos de inercia de áreas planas Area plana por integración doble Si f(x, y) = i, la integral doble del capítulo 54 se convierte en JJdA. En unidades cúbicas, es la medida de un Rvolumen de un cilindro de altura unitaria; en unidades cuadradas, mide el área A de la región R. En coordenadas polares, f ^ r 2(q: Jp,(e)A - JJ dA - a C r d r d e R ‘ ’ donde e = a, e = f p = p 1 (9) y p = p 2(0) se seleccionan como fronteras de la región R. Centroides El centroide (x, y) de la región plana R se considera intuitivamente de la manera siguiente: si se supone que R tiene una densidad unitaria uniforme, y si R está apoyada desde abajo en el punto (x, y),entonces R se balancea (es decir, R no gira del todo). Para ubicar (x, y), primero se considera la recta vertical x = x . Si se divide R en subregiones R,,. . ., Rn, de áreas A,A,.. ., AnA como en el capítulo 54, y se seleccionan los puntos (xk, yk) en cada Rk, entonces el momento (fuerza rotacional) de Rk en torno a la recta x = x es aproximadamente (xk- xJAkA. Luego, el momento de R en ntorno a x = x es aproximadamente ^ ( x k- x) AkA. Al hacer la partición (división) de R cada vez más pequeña, se obtiene JJ (x - x)dA como el momento de R en torno a x = x . Para no tener rotación en torno a x = x, se necesita JJ(x - x)dA = 0. Pero R JJ(x - x) dA = JJ x dA - JJ x dA = JJ x dA - x JJ dA R R R R R Por tanto, se debe tener JJx d A = x JJ dA. De igual forma se llega a JJy dA = y JJ dA. Luego, el centroide está R R R Rdeterminado por las ecuaciones JJ xdA = x JJ dA y JJ y dA = y JJ dA Nótese que JJ dA es igual al área A de la región R. ^ 477^ www.FreeLibros.me
  • C A P ÍT U L O 55 Centroides y momentos de Inercia Momentos de inercia Los momentos de inercia de una región plana R respecto a los ejes de coordenadas están dados por h = í f y2 dA y h = í í x2 dA R R El momento polar de inercia (momento de inercia respecto a una recta que pasa por el origen y es perpendi­ cular al plano del área) de una región plana R está dado por h, = h + h = í í u 2+y2 ) dA R PROBLEMAS RESUELTOS 1. D e te r m in e e l área a c o ta d a p o r la p a r á b o la y = x 2 y la re c ta y = 2 x + 3. A l u t iliz a r la s fra n ja s v e r t ic a le s ( fig . 5 5 .1 ) se o b tie n e |* 3 j*2x+3 |*3 32 A dy dx = J l( 2x + 3 - x 2 ) dx = — u n id a d e s c u a d ra d a s y Fig. 55.1 2. D e te r m in e e l área a c o ta d a p o r la s p a rá b o la s y 2 = 4 - x y y2 = 4 - 4x . A l u t iliz a r la s fra n ja s h o r iz o n ta le s ( fig . 5 5 .2 ) y a p ro v e c h a n d o la s im e tr ía s e o b tie n e r 2r 4- / Jo J 1-y2/4"0 4-y r 2i-yV4 dxdy = 2 Jo K4 - y 2 ) - ( 1 - ^ y 2 )i dy = 6 J0 (1 - 1 y2 ) dy = 8 u n id a d e s c u a d ra d a s y x 3. D e te r m in e e l área e x te r io r d e l c ír c u lo p = 2 e in te r io r d e la c a r d io id e p = 2 (1 + c o s 6). D e b id o a la s im e tr ía ( fig . 5 5 .3 ) , e l á rea r e q u e r id a e s d o s v e c e s e l á re a b a r r id a c u a n d o 6 v a r ía d e 6 = 0 a 6 = 2 P . P o r tan to , www.FreeLibros.me
  • - # 479~^ Í n/2 f 2(1+ cosé) f0 J 2 p dp d d = 2 J 1 p 22 2(1+cosé; fn/2 . d é = 4 I (2 c o sé + cos é ) dé•* 0 = 4 se n é + 1 é + 1 sen 2 é 2 4 = (n" + 8) unidades cuadradas 4 . Determine el área interior al círculo p = 4 sen 0 y exterior a la lemniscata p = 8 cos 20. El área requerida es igual al doble de la limitada en el primer cuadrante por las dos curvas y la recta 0 = 2 P . Observe en la figura 55.4 que el arco AO de la lemniscata se genera al variar 0 de 0 = p a 0 = P , mientras que el arco AB del círculo se describe al variar 0 de 0 = p a 0 = p \ Esta área debe entonces considerarse dos regiones, una por debajo de la recta 0 = p y otra por encima de la misma recta. Así, f n/4 í*4sené r n/2 í*4sené A = 2 J n/6 J 2V2cos2é p dp dé + 2 J p/4 J o p dp dé C n 14 f n/2 = J p/6 (16 sen é - 8 co s2 é )dé + J p/4 16 sen é dé ( n + 4yf3 - 4) unidades cuadradas (0 e y dy se obtiene Fig. 55.4 5 . Calcule N = J 0 e x2dx (fig. 55.5). C °m ° J o e_x' dx = Jo N 2 = í o e_x2 dx í o e_y2 dy = í o ío -(x2+y2 dx dy = Í J . -(x2+y2'dA Al cambiar a coordenadas polares (x2 + y2) = p 2, dA = p dp dp resulta r ~\af n/2 f+- 2 f n/2 1 2 1 f n/2 ~ N = J o J o e-p p dp dé = J o } ™ - \ e-p dé = 1 J o dé = f2 J o 2 o y x y e o CA PÍTU LO 55 C entroides y m om entos de Inercia www.FreeLibros.me
  • C A P ÍT U L O 55 Centroides y momentos de inercia 6 . H a lle e l c e n tro id e d e l área p la n a a c o ta d a p o r la p a r á b o la y = 6 x - x 2 y la r e c ta y = x ( f ig . 5 5 .6 ). A = JJdA = j0 Jx dydx =10
  • - # 481^ 8. Determine el centroide del área plana exterior al círculo p = 1 e interior a la cardioide p = 1 + cos 0. De la figura 55.8 se deduce que y = 0 y que x es la misma, bien sea que se calcule para el área dada o para la mitad que está por encima del eje polar. Para esta última área fp/2 (• 1+cos0 1 f P/2 p , 8 A = J J dA = J 0 J j p dp d0 = 2 J 0 [(1 + cos0 ) 2 - 12] d0 = ff f p/2 f 1+cos0 1 f P/2 My = J J x dA = J 0 J ! (p cos0 ) p dp d0 = - 3 J 0 (3cos 0 + 3cos 0 + cos 0) d 0 3 3 3 1 1 ^ 0 + - r s e n 2 0 + 3 s e n 0 - s e n 0 + 0 + - r s e n 2 0 + — s e n 4 08 4 Las coordenadas del centroide son ^^iPr+sf, 0 I. 32 15p + 32 48 9 . Halle el centroide del área interior a p = sen 0 y exterior a p = 1 - cos 0 (fig. 55.9). ff C P/2 f* sen0 1 f p/2 4 _ p A = J J d A = J 0 L c ^ p dp d0 = 2 j 0 (2 cos0 - 1 - cos20 ) d0 = 4 --P R A 4 ff fl/2 f sen0 M y = JJ x d A = j 0 J 1-cos0 (P cos0 ^ dp d 0R 1 r p/2 3 2= 3 J 0 ( sen 0 - 1 + 3cos0 - 3cos 0) cos0 d0 - 48 i» i» i» p/2 /* sen0 = JJ y dA = J 0 J ^ ( p sen 0 ) p dp d 0 15p - 44 P/2 = 3 J 0 (sen30 - 1 + 3 c o s 0 - 3cos2 0 + cos3 0 ) sen0 d0 = 3p - 4 48 Las coordenadas del centroide son Fig. 55.9 | 15p-44 3p-4 I 12(4-P)’ 12(4-p) I' 0 y x CA PÍTU LO 55 C entroides y m om entos de Inercia www.FreeLibros.me
  • ^ 482^ C A P ÍT U L O 55 Centroides y momentos de inercia 10. Halle I x, I e I 0 para el área encerrada por el lazo y2 = x2 (2 - x) (fig. 55.10). A = U dA = 2 j 0 j 0 'JT~Xdy dx = 2 j 0 x >/2'r x dx = - 4 JjJ (2z2 - z4) dz = - 4 2 3 1 5— z — z .3 5 . 0 = 3 W 2 ■fi. 15 donde se ha utilizado la transformación 2 - x = z2. Entonces, I = U y2 dA = 2 10 1 0 ^ y 2 dy d x = f 10 x 3 ( 2 - x )3/2 dx 3 (2 - z 2)3 z 4 dz = - 3 8 5 12 7 , 2 9 1 11— z ------z -i— z ------ z 5 7 3 11= - 4 f3 Iy = U x 2 dA = 2 J 0 J 0x '/^ x 2 dy dx = 2 J 0 x dxR = - 4 1 2 ( 2 - z2)3 z2 dz = - 4 2 0 4 8 ^ = _6 4 3465 " 231 1024V2 _ 32 A 315 2 1 A A I - I + I - 13 312^ - 416 A J ° x y 3465 231 1 1 . Halle Ix, Iy e I0 para el área del primer cuadrante exterior al círculo p = 2a y para el interior al círculo p = 4a cos 6 (fig. 55.11). A = JJ dA = J p ' 3 J [ [ c°s6p d p d 6 = 2 J 0P/3[ (4 a cos6 f - (2a)2']d6 = 2p + 3 a2 CC r, C P/3 f4acos6 1 f P/3T “1 Ix = J_J y2 dA = J 0 J 2a (p sen 6 f p d p d 6 = 1 J 0 [(4 a c o s6 )4 - ( 2a )4 J sen26 dq a 2 f p'3 r 4 n n 2 n An 4 P + 9>/3 4 4 P + 9>/3 2 *= 4 a I (16cos 6 - 1)sen 6 d 6 = -------------------------7-----a = -— a A•*0 f-\ '“W ^ ■ 1 /Ti2 (2 p + 3y/3) T ff 2 JA f p/3 f 4acos^ . 1 2 p + 1 1 /3 4 3 ( 1 2 P + 1 1 /3 ) 2 . Iy = J J x dA = J 0 J 2 a (p c o s ^ dp d6 = ------- a = 2 (2P + 3^ 3 ) a A I0 = i + i = 20p + 2 1 \/3 a 4 = 2 0 p + 2 W 3 a 2 a 0 x y 3 2p + 3yf3 y x 0 y x Fig. 55.11 www.FreeLibros.me
  • 12. E n c u e n tre Ix, Iy e I 0 p a ra e l área d e l c ír c u lo p = 2 (se n 0 + c o s 0) ( fig . 5 5 .1 2 ) . C o m o x 2 + y 2 = p 2, I f f 2 2 f3P /4 í* 2 (sen 0 +cos0) 2 f 3p/4 4 = J J ( x 2 + y 2) dA = J_p/4 J 0 p 2p d p d 0 = 4 J_p/4 (se n 0 + c o s 0 )4 d 0 = 4 3 1—0 - c o s 2 0 - - se n 4 0 2 o = 6 p = 3A D e a c u e rd o la fig u r a 5 5 .1 2 , Ix = Iy. P o r tan to , I = I = ^ L = — A .° , x y x y 2 0 2 Fig. 55.12 -^ 483^ y PROBLEMAS RESUELTOS 13. U s e la in te g r a c ió n d o b le p a ra h a lla r e l área: a) L im ita d a p o r 3x + 4 y = 24, x = 0, y = 0 Respuesta: 24 u n id a d e s c u a d ra d a s b) L im ita d a p o r x + y = 2, 2y = x + 4 , y = 0 Respuesta: 6 u n id a d e s c u a d ra d a s c) L im ita d a p o r x2 = 4 y , o y = x2 + 1 6 Respuesta: —2 u n id a d e s cu a d ra d a s d) I n te rio r a p = 2 (1 - c o s 0) Respuesta: 6 p u n id a d e s c u a d ra d a s £) L im ita d a p o r p = tan 0 s e c y p = -— Respuesta: u n id a d e s c u a d ra d a s f) E x te r io r a p = 4 e in te r io r a p = 8 c o s 0 Respuesta : 8 ( 2 P + >/—) u n id a d e s c u a d ra d a s 14. L o c a l ic e e l c e n tro id e d e c a d a u n a d e la s á re as s ig u ie n te s: a) El área del problema 13a) Respuesta: (§, 2) b) El área del primer cuadrante del problema 13c) Respuesta: ( 2 , 5 ) c) El área del primer cuadrante acotada por y2 = 6x, y = 0, x = 6 Respuesta: ) d) El área acotada por y 2 = 4x , x 2 = 5 - 2y , x = 0 Respuesta: (^ 49, ^ ) e) El área del primer cuadrante acotada por x2 - 8y + 4 = 0, x 2 = 4y , x = 0 Respuesta: ( 4 , 5 ) f) El área del problema 13e) Respuesta: ( ' ' / 3 , 5 ) g) El área del primer cuadrante del problema 13f) Respuesta: ( 16p + ( , —22-= r \ 2P+3S 2p+3\l3 15. C o m p r u e b e q u e - ¡ a [g 22 (0) - g 2 (0 )]d0 = J p dp d0 = J í d A ; lu e g o , d e d u z c a q u e R J J f ( x , y ) dA = JJ f (p cos 0,p sen 0) p dp d0 CA PÍTU LO 55 Centroides y m om entos de Inercia www.FreeLibros.me
  • ^ 484^ C A P ÍT U L O 55 Centroides y momentos de Inercia a) El área del problema 13 a) b) El área cortada desde y2 = 8x por su lado recto c) El área acotada por y = x2 y y = x d) El área acotada por y = 4x - x2 y y = x 16. Encuentre I x e I y para cada una de las áreas siguientes: Respuesta: Ix = 6A; I ' = 32 A Respuesta: Ix = A ; Iy = 42 A Respuesta: Ix = 14 A ; Iy = 1) A Respuesta: I = 452A; I = 17A 1 7 . E n c u e n t r e Ix e Iy p a r a u n l a z o d e p 2 = c o s 20. Resp uesta: Ix = (16 - ^ ) A; Iy = (16 + 6 ) A 1 8 . H a l l e I0 p a r a a ) e l l a z o d e 0 = s e n 2 $ y b) e l á r e a e n c e r r a d a p o r 0 = 1 + c o s 0. Respuesta: a) 3 A ; b) 24A 1 9 . a) Sea R la región mostrada en la figura 55.13 que tiene un área A y el centroide (x, y). Si R gira en torno al eje x, mostrar que el volumen V del sólido de revolución resultante es igual a 2nxA . (Sugerencia: use el método de las capas cilindricas.) b) Demuestre el teorema de Pappus: si d es la distancia recorrida por el centroide durante la revolución [del inciso a)], demueste que V = Ad. c) Pruebe que el volumen del toro generado al girar el disco que aparece en la figura 55.14 en torno al eje x es 2p2a2b. (Supóngase que 0 < a < b.) y ba x Fig. 55.13 Fig. 55.14 www.FreeLibros.me
  • 56 Integración doble aplicada al volumen bajo una superficie y al área de una superficie curva Sea z = /x, y) o z = f(p , 9) que define una superficie. El volumen V bajo la superficie, es decir, el volumen de una columna vertical cuya base superior está en la superficie y cuya base inferior está en el plano xy se obtiene con la integral doble V = JJ zd A (56.1) donde R es la región que forma la base inferior. El área S de la parte R* de la superficie que queda por encima de la región R está dada por la integral doble dz Y faz ' 2 dx J d^y ^ Si la superficie está dada por x = / y , z) y la región R queda en el plano yz, entonces, RS = ÍJJ1+H 1+ÍI I d A (56.3)dy J +l dz Si la superficie está dada por y = f(x , z) y la región R queda en el plano xz, entonces dy ^ 2 fdy'2^ I +1 ^I dA (56.4) PROBLEMAS RESUELTOS 1 . D e te rm in e e l v o lu m e n en e l p r im e r o cta n te en tre lo s p la n o s z = 0 y z = x + y + 2 , e in terio r a l c ilin d ro x 2 + y 2 = 16. D e la fig u r a 5 6 .1 s e d e d u c e q u e z = x + y + 2 v a a in te g ra rs e so b re e l c u a d ra n te d e l c ír c u lo x 2 + y 2 = 16 en el p la n o xy. P o r tan to , V = JJ zdA = Jo " (x + y + 2)dy dx = £ (W 1 6 - x2 + 8 - ■1 x2 + 2 ^ 1 6 - x 2)dx R --3(16 - x2) 3/2 + 8x - + W 16 - x2 + 1 6 s e n 1 x = | + 8^ J unidades cúbicas ^ 485^ www.FreeLibros.me
  • C A P ÍT U L O 56 Integración doble aplicada al volumen 2 . D e te rm in e e l v o lu m e n a c o ta d o p o r e l c ilin d r o x2 + y2 = 4 y lo s p la n o s y + z = 4 y z = 0. D e la fig u r a 5 6 .2 se d esp re n d e q u e z = 4 - y v a a in te g ra rse so b re e l c írc u lo x 2 + y 2 = 4 en e l p la n o x y . P o r tanto, f 2 py4-y2 r2 ry4-y2 V = J ^J (4 - y)dx dy = 2 J (4 - y ) d x dy = 16n u n id a d e s c ú b ic a s 3 . D e te rm in e e l v o lu m e n a c o ta d o p o r a rrib a p o r e l p a r a b o lo id e x2 + 4y2 = z , p o r d e b a jo p o r e l p la n o z = 0, y la te r a lm e n te p o r lo s c ilin d r o s y 2 = x y x 2 = y ( fig . 5 6 .3 ). E l v o lu m e n re q u e r id o s e o b tie n e a l in te g ra r z = x2 + 4 y2 so b re la r e g ió n R c o m ú n a la s p a r á b o la s y2 = x y x 2 = y e n e l p la n o x y . P o r en d e, V = í í ( x 2 + 4 y 2) d y d x = í x 2y + 4 y : J 0 J x2 J 0 L 3 ^ ■Jx dx = 4 u n id a d e s c ú b ic a s Fig. 56.2 Fig. 56.3 4 . D e te rm in e e l v o lu m e n d e u n a d e la s c u ñ a s q u e se c o rta n e n e l c il in d r o 4 x2 + y2 = a2 p o r lo s p la n o s z = 0 y z = my ( fig . 5 6 .4 ). E l v o lu m e n se o b t ie n e in te g ra n d o z = m y s o b re la m ita d d e la e lip s e 4 x 2 + y 2 = a 2. P o r c o n s ig u ie n te , Ía/2 f^a2-4x2 j*a/2 ¡-2--- 2 ma3 ^ ^ m y d y d x = m ^ [y2 ]0a -4x dx = —3 — u n id a d e s c ú b ic a s www.FreeLibros.me
  • C A P ÍT U L O 56 Integración doble aplicada al volumen subregiones R ^ . .., Rn de las áreas AA j , . . AAn, y se representa como AS¡ el área de la proyección de AA¡ sobre R *. En dicha i-ésima región de R* se selecciona un punto P¡ y se dibuja el plano tangente a la superficie. El área de la proyección R¡ sobre este plano tangente se denota mediante AT¡. Se utilizará AT¡ como una aproximación del área de superficie correspondiente AS¡. Fig. 56.7 Ahora, el ángulo entre el plano xy y el plano tangente en P¡ es el ángulo g¡ entre el eje z con números _ f i d x ’ d y ’ directores [0, 0, 1] y la normal, Entonces (fig. 56.8), d z d z i d x ’ d y ’ , a la superficie en Pi. Así, c o s y ¡ = 1 d y AT¡ cos gi = AA¡ y AT¡ = sec AA¡ Por tanto, una aproxim ación de S es ^ A T t = ^ sec^A A t , y S = n i m i s e c ^ - A A - = í í s e c ^ d A = J W ( ^ d z ) + ( d z J + 1 d A 8 . Determine el área de la parte del cono x2 + y2 = 3z2 que queda arriba del plano xy y en el interior del cilindro x2 + y2 = 4y. Solución 1: remítase a la figura 56.9. La proyección del área requerida sobre el plano xy está en la región R encerrada por el círculo x2 + y2 = 4y. Para el cono, 2 2dz _ 1 x dx 3 z 2 www.FreeLibros.me
  • C A P ÍT U L O 56 Integración doble aplicada al volumen 9 . Determine el área de la parte del cilindro x2 + z2 = 16 situada dentro del cilindro x2 + y2 = 16. En la figura 56.11 se muestra la octava parte del área requerida, donde un cuadrante del círculo x2 + y2 = 16 es su proyección sobre el plano xy. Para el cilindro x2 + z2 = 16. = - x y -d Z = 0 e n t o n c e s , + 1 ( M + Í | Z Y = = ^ ^ - 3 x " z 3 d y ^ \ d x / ^ 3 y ) “ z 2 “ 1 6 - x 2 ' /•4 ^V16-x2 4 r4Por tanto, S = 8 , dy dx = 3 2 d x = 1 2 8 unidades cuadradas j 0 j ° V 1 6 - x 2 j0 1 0 . Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 16 exterior al paraboloide x2 + y2 + z = 16. En la figura 56.12 se muestra una cuarta parte del área requerida, donde la región R es su proyección sobre el plano yz acotada por el círculo y2 + z2 = 16, los ejes y y z , y la recta z = 1. Para la esfera, t e = - y y d r = - z • Entonces, 1 + (^ )2 + 12= ^ 2 . dy x J dz x \dy/ ^ d z ) x2 16 - y2 - z2 Así, s - 4Ihl1+ISI +( f í dA - < ídy I [dz J*J 16_Z ■>/l6 - y2 - z:^ d y d z = 1 6 f *. sen V l6 dz = 16 I" dz = 8 n unidades cuadradas02 4 16—z . 1 1 . Encuentre el área de la parte del cilindro x2 + y2 = 6y situada dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 36. En la figura 56.13 en la siguiente página se muestra una cuarta parte del área requerida. Su proyección en el plano yz es la región R acotada por los ejes z y y y la parábola z2 + 6y = 36; esta última ecuación resulta de eliminar x en la ecuaciones de las dos superficies. Para el cilindro, dx _ 3 - y 3y x dx _ 0. Entonces, dz (I )i + m + i ^ __ x2 + 9 - 6y + y2 _ 6y - y2 Por tanto, 5 _ 4 í 6 íJ0 J{ J36- 6 y V 6y - : dzdy = 12 í dy = 144 unidades cuadradas j0>/y 2 y 2x www.FreeLibros.me
  • z ¿ + 6 y = 36, x = O - # 491^ Fig. 56.13 PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 12. D e t e r m i n e e l v o l u m e n c o r t a d o d e 9 x 2 + 4 y 2 + 3 6 z = 3 6 p o r e l p l a n o z = 0 . Respuesta: 3 p u n i d a d e s c ú b i c a s 13. D e t e r m i n e e l v o l u m e n b a j o z = 3 x s o b r e e l á r e a d e l p r i m e r c u a d r a n t e a c o t a d o p o r x = 0 , y = 0 , x = 4 , y x 2 + y 2 = 2 5 . Respuesta: 9 8 u n i d a d e s c ú b i c a s 14. D e t e r m i n e e l v o l u m e n e n e l p r i m e r o c t a n t e a c o t a d o p o r x 2 + z = 9 , 3 x + 4 y = 2 4 , x = 0 , y = 0 , y z = 0 . Respuesta: 1 4 8 5 / 1 6 u n i d a d e s c ú b i c a s 15. D e t e r m i n e e l v o l u m e n e n e l p r i m e r o c t a n t e a c o t a d o p o r xy = 4 z , y = x , y x = 4 . Respuesta: 8 u n i d a d e s c ú b i c a s 16. E n c u e n t r e e l v o l u m e n e n e l p r i m e r o c t a n t e a c o t a d o p o r x 2 + y 2 = 2 5 y z = y . Respuesta: 1 2 5 /3 u n i d a d e s c ú b i c a s 17. E n c u e n t r e e l v o l u m e n c o m ú n a l o s c i l i n d r o s x 2 + y 2 = 1 6 y x 2 + z 2 = 1 6 . Respuesta: 1 0 2 4 / 3 u n i d a d e s c ú b i c a s 18. D e t e r m i n e e l v o l u m e n e n e l p r i m e r o c t a n t e i n t e r i o r a y 2 + z 2 = 9 y e x t e r i o r a y 2 = 3 x . Respuesta: 2 7 ^ / 3 u n i d a d e s c ú b i c a s 19. H a l l e e l v o l u m e n e n e l p r i m e r o c t a n t e a c o t a d o p o r x 2 + z 2 = 1 6 y x - y = 0 . Respuesta: 64/3 unidades cúbicas CA PÍTU LO 56 Integración doble aplicada al volum en www.FreeLibros.me
  • ^ 492^ 2 0 . E n c u e n t r e e l v o l u m e n f r e n t e a x = 0 y c o m ú n a y 2 + z 2 = 4 y y 2 + z 2 + 2 x = 1 6 . Respuesta: 2 8 p u n i d a d e s c ú b i c a s 2 1 . D e t e r m i n e e l v o l u m e n i n t e r i o r a p = 2 y e x t e r i o r a l c o n o z2 = p 2. Respuesta: 32n/3 u n i d a d e s c ú b i c a s 2 2 . E n c u e n t r e e l v o l u m e n i n t e r i o r a y2 + z2 = 2 y e x t e r i o r a x2 - y2 - z2 = 2 . Respuesta: 8 ^ ( 4 — > / 2 ) / 3 u n i d a d e s c ú b i c a s 2 3 . E n c u e n t r e e l v o l u m e n c o m ú n a p 2 + z2 = a2 y p = a s e n e . Respuesta: 2 ( 3 p - 4 ) a 2/ 9 u n i d a d e s c ú b i c a s 2 4 . D e t e r m i n e e l v o l u m e n i n t e r i o r a x2 + y2 = 9 , a c o t a d o p o r d e b a j o p o r x2 + y2 + 4 z = 1 6 y p o r e n c i m a p o r z = 4 . Respuesta: 8 1 f t / 8 u n i d a d e s c ú b i c a s 2 5 . E n c u e n t r e e l v o l u m e n c o r t a d o d e l p a r a b o l o i d e 4 x2 + y2 = 4 z p o r e l p l a n o z - y = 2 . Respuesta: 9p u n i d a d e s c ú b i c a s 2 6 . D e t e r m i n e e l v o l u m e n d e s c r i t o a l g i r a r l a c a r d i o i d e p = 2 ( 1 - c o s 0) e n t o r n o a l e j e p o l a r . Respuesta: V = 2 f t j j y p d p d d = 645 u n i d a d e s c ú b i c a s 2 7 . E n c u e n t r e e l v o l u m e n g e n e r a d o a l g i r a r u n p é t a l o d e p = s e n 0 e n t o r n o a c u a l q u i e r a d e l o s e j e s . Respuesta: 3 2 ^ / 1 0 5 u n i d a d e s c ú b i c a s 2 8 . D e t e r m i n e e l á r e a d e l a p a r t e d e u n c o n o x2 + y2 = z2 e n e l i n t e r i o r d e l p r i s m a v e r t i c a l c u y a b a s e e s e l t r i á n g u l o a c o t a d o p o r l a s r e c t a s y = x , x = 0, y y = 1 e n e l p l a n o x y . Respuesta: u n i d a d e s c ú b i c a s 2 9 . H a l l e e l á r e a d e l a p a r t e d e u n p l a n o x + y + z = 6 e n e l i n t e r i o r d e l c i l i n d r o x2 + y2 = 4 . Respuesta: 4 \ f 3 K u n i d a d e s c u a d r a d a s 3 0 . H a l l e e l á r e a d e l a p a r t e d e l a e s f e r a x 2 + y 2 + z 2 = 3 6 e n e l i n t e r i o r d e l c i l i n d r o x 2 + y 2 = 6y . Respuesta: 7 2 ( p - 2 ) u n i d a d e s c ú b i c a s 3 1 . E n c u e n t r e e l á r e a d e l a p a r t e d e l a e s f e r a x 2 + y 2 + z 2 = 4 z i n t e r i o r a l p a r a b o l o i d e x 2 + y 2 = z. _____________ C A P ÍT U L O 56 Integración doble aplicada al volumen Respuesta: 4p unidades cuadradas www.FreeLibros.me
  • 3 2 . Determine el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 25 entre los planos z = 2 y z = 4. Respuesta: 20p unidades cuadradas 3 3 . Encuentre el área de la parte de la superficie z = xy interior al cilindro x2+ y2 = 1. Respuesta: 2n(2~j2 - 1)/3 unidades cuadradas 3 4 . Halle el área de la superficie del cono x2 + y2 - 9z2 = 0 sobre el plano z = 0 e interior al cilindro x2 + y2 = 6y. Respuesta: 3>/Í0# unidades cuadradas 3 5 . Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 25 que está dentro del cilindro elíptico 2x2 + y2 = 25. Respuesta: 50p unidades cuadradas 3 6 . Halle el área de la superficie x2 + y2 - az = 0 que queda directamente sobre la lemniscata 4p = a2 cos 29. Respuesta: S = 4 JJ-\/4p2 + a2 p dp dd = (5 - n )' unidades cuadradas 3 7 . Halle el área de la superficie x2 + y2 - z2 = 4 que queda directamente sobre la cardioide p = 1 - cos 9 Respuesta: 8[^ — \Í2 — ln(V2 + 1)] unidades cuadradas ------------- « 93j CA PÍTU LO 56 Integración doble aplicada al vol