Calculo 5ed Schaum Frank Ayres

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SCHAUMuProblem.I ResueltoClculoQuinta edicin Ms de mil problemas resueltos Explicaciones concisas de todos los conceptos del clculo Consejos sobre el uso de graPicadoresiFrank Ayres, Jr. E lliott Mendelsonr www.FreeLibros.me www.FreeLibros.meQuinta edicinFrank Ayres Jr.E x p ro fe so r y d i r e c to r del d ep a r tam en to de m a te m t ic a s del D ic k in son Co l legeElliot MendelsonP ro fe so r de m a te m t ic a s del Queens Co l legeTraduccinYelka M a r a Garc a Profesional en Lenguas Modernas Especia lizacin en traduccin Universidad de los AndesRevisin tcnicaVernica Crdoba Morales Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Monterrey ( i t e s m )Me GrawMXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO www.FreeLibros.mePrefacioEl propsito de este libro es ayudar a los estudiantes a com prender y utilizar el clculo. Todo se ha hecho con el fin de facilitar la com prensin del m ism o, especialm ente a los estudiantes con antecedentes lim itados en m atem ticas o para aquellos que han olvidado su entrenam iento en matem ticas. Los tem as incluyen todos los m ateriales de los cursos estndar en clculo elem ental e intermedio.La exposicin directa y concisa tpicas de las Series de Schaum se han am pliado en un gran nm ero de ejem plos, seguidos por m uchos problem as resueltos cuidadosam ente. A l seleccionar estos problem as se ha intentado anticipar las dificultades que norm alm ente afronta el principiante. Adems, cada captulo concluye con un grupo de ejercicios com plem entarios con sus soluciones.En esta quinta edicin se han increm entado el nm ero de los problem as resueltos y de los com plem entarios. Adems, se ha hecho un gran esfuerzo por tratar puntos delicados del lgebra y de la trigonom etra que pueden confundir al estudiante. E l autor considera que una gran parte de los errores que los estudiantes com eten en el curso de clculo no se deben a una deficiencia en la com prensin de los principios del clculo sino a su debilidad en el lgebra o en la geom etra que estudiaron en bachillerato.Se recom ienda a los estudiantes a que no pasen al siguiente captulo sino hasta estar seguros de dom inar los tem as del captulo que estn estudiando. U na buena prueba para determ inar ese dom inio es resolver adecuadam ente los problem as com plem entarios.El autor agradece a todas las personas que le han escrito para enviarle correcciones y sugerencias, en particular a D anielle Cing-M ars, Law rence Collins, L. D. D e Jonge, Konrad Duch, Stephanie, Happs Lindsey Oh y Stephen T. B. Soffer. Tambin se agradece al editor, Charles Wall, por su apoyo y paciencia en la elaboracin de esta edicin.Elliot M endelson www.FreeLibros.me www.FreeLibros.mendice de contenido1 Sistemas de coordenadas lineales. Valor absoluto. Desigualdades 01U n sistem a de coordenadas lineales / Intervalos finitos / Intervalos infinitos / Desigualdades Problem as resueltos Problem as com plem entarios2 Sistema de coordenadas rectangulares 09Ejes de coordenadas / Coordenadas / Cuadrantes / Frm ula de la distancia / Frmulas del punto m edio / Dem ostraciones o pruebas de los teorem as geom tricos Problem as resueltos Problem as com plem entarios3 Rectas 18Inclinacin de una recta / E l signo de la pendiente / Pendiente e inclinacin / Ecuaciones de rectas / La ecuacin punto-pendiente / Ecuacin punto-interseccin / Rectas paralelas / Rectas perpendiculares Problem as resueltos Problem as com plem entarios4 Crculos 29Ecuaciones de los crculos / Ecuacin estndar de un crculo Problem as resueltos Problem as com plem entarios5 Ecuaciones y sus grficas 37L a grfica de una ecuacin / Parbolas / E lipses / H iprbolas / Secciones cnicas Problem as resueltos Problem as com plem entarios6 Funciones 49Problem as resueltos Problem as com plem entarios www.FreeLibros.meContenido7 LmitesLm ite de una funcin / L m ites por la derecha y por la izquierda / Teoremas sobre lm ites / Infinito Problem as resueltos Problem as com plem entarios8 ContinuidadFuncin continua Problem as resueltos Problem as com plem entarios9 La derivadaN otacin delta / La derivada / N otacin para derivadas / D iferenciabilidad Problem as resueltos Problem as com plem entarios10 Reglas para derivar funcionesDerivacin / Funciones com puestas. L a regla de la cadena / Form ulacin alternativa de la regla de la cadena / Funciones inversas / Derivadas superiores Problem as resueltos Problem as com plem entarios11 Derivacin implcitaFunciones im plcitas / Derivadas de orden superior Problem as resueltos Problem as com plem entarios12 Rectas tangentes y normalesngulos de interseccin Problem as resueltos Problem as com plem entarios13 Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientesM xim o y m nim o relativos / Funciones crecientes y decrecientes Problem as resueltos Problem as com plem entarios14 Valores mximos y mnimosN m eros crticos / Criterio de la segunda derivada para extrem os relativos / Criterio de la prim era derivada / M xim o y m nim o absolutos / M todo tabular para hallar el m xim o y el m nim o absolutos Problem as resueltos Problem as com plem entarios56657278899297104 www.FreeLibros.meContenido15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetra 118Concavidad / Puntos de inflexin / Asntotas verticales / Asntotas horizontales / Sim etra / Funciones inversa y sim etra / Funciones pares e im pares / Sugerencias para trazar el grfico de y = f x )Problem as resueltos Problem as com plem entarios16 Repaso de trigonometra 129M edida del ngulo / ngulos dirigidos / Funciones seno y coseno Problem as resueltos Problem as com plem entarios17 Derivacin de funciones trigonomtricas 138C ontinuidad de cos x y sen x / G rfica de sen x / G rfica de cos x / Otras funciones trigonom tricas / Derivadas / Otras relaciones / G rfica de y = tan x / G rfica de y = sec x / ngulos entre curvas Problem as resueltos Problem as com plem entarios18 Funciones trigonomtricas inversas 151L a derivada de sen-1 x / Funcin coseno inversa / Funcin tangente inversa Problem as resueltos Problem as com plem entarios19 Movimientos rectilneo y circular 160M ovim iento rectilneo / M ovim iento bajo la influencia de la gravedad / M ovim iento circularProblem as resueltos Problem as com plem entarios20 Razones 166Problem as resueltos Problem as com plem entarios21 Diferenciales. Mtodo de Newton 172L a diferencial / M todo de Newton Problem as resueltos Problem as com plem entarios22 Antiderivadas 179Leyes de las antiderivadas Problem as resueltos Problem as com plem entarios www.FreeLibros.meContenido23 La integral definida. rea bajo una curvaN otacin sigm a / rea bajo una curva / Propiedades de la integral definida Problem as resueltos Problem as com plem entarios24 Teorema fundamental del clculoTeorema del valor m edio para integrales / Valor prom edio de una funcin en un intervalo cerrado / Teorem a fundam ental del clculo / Cam bio de variable en una integral definidaProblem as resueltos Problem as com plem entarios25 El logaritmo naturalE l logaritm o natural / Propiedades del logaritm o natural Problem as resueltos Problem as com plem entarios26 Funciones exponenciales y logartmicasPropiedades de ex / Funcin exponencial general / Funciones logartm icas generales Problem as resueltos Problem as com plem entarios27 Regla de LHpitalRegla de Lhpital / Tipo indeterm inado 0 ^ / Tipo indeterm inado ^ - ^ / Tipos indeterm inados 00 , ^ 0 y 1Problem as resueltos Problem as com plem entarios28 Crecimiento y decrecimiento exponencialVida m ediaProblem as resueltos Problem as com plem entarios29 Aplicaciones de integracin I: rea y longitud de arco rea entre una curva y el eje y / rea entre curvas / Longitud de arco Problem as resueltos Problem as com plem entarios30 Aplicaciones de integracin II: volumenFrm ula del disco / M todo de w asher / M todo de capas cilindricas / D iferencia de la frm ula de capas / Frm ula de la seccin transversal (frm ula de las rebanadas) Problem as resueltos Problem as com plem entarios187195202210218226231240 www.FreeLibros.meContenido31 Tcnicas de integracin I: integracin por partesProblem as resueltos Problem as com plem entarios32 Tcnicas de integracin II:integrandos trigonomtricos y sustituciones trigonomtricasIntegrandos trigonom tricos / Sustituciones trigonomtricas Problem as resueltos Problem as com plem entarios33 Tcnicas de integracin III: integracin por fracciones parcialesM todo de fracciones parciales Problem as resueltos Problem as com plem entarios34 Tcnicas de integracin IV: sustituciones miscelneasProblem as resueltos Problem as com plem entarios35 Integrales impropiasLm ites de integracin infinitos / D iscontinuidades del integrando Problem as resueltos Problem as com plem entarios36 Aplicaciones de la integracin III: rea de una superficie de revolucinProblem as resueltos Problem as com plem entarios37 Representacin paramtrica de curvasEcuaciones param tricas / Longitud de arco para una curva param trica Problem as resueltos Problem as com plem entarios38 CurvaturaDerivada de la longitud de un arco / Curvatura / E l radio de curvatura / E l crculo de curvatura / E l centro de curvatura / La evoluta Problem as resueltos Problem as com plem entarios39 Vectores en un planoEscalares y vectores / Sum a y diferencia de dos vectores / Com ponentes de un vector / Producto escalar (o producto punto) / Proyecciones escalar y vectorial / Derivacin de funciones vectoriales Problem as resueltos Problem as com plem entarios255262275284289297303308317 www.FreeLibros.meContenido40 M ovim iento curvilneoVelocidad en el m ovim iento curvilneo / Aceleracin en el movim ientocurvilneo / Com ponentes tangencial y norm al de la aceleracin Problem as resueltos Problem as com plem entarios41 Coordenadas polaresCoordenadas polares y rectangulares / A lgunas curvas polares tpicas / ngulo deinclinacin / Puntos de interseccin / ngulo de interseccin / La derivada de lalongitud de arco / Curvatura Problem as resueltos Problem as com plem entarios42 Sucesiones infinitasSucesiones infinitas / L m ite de una sucesin / Sucesiones montonas Problem as resueltos Problem as com plem entarios43 Series infinitasSeries geom tricas Problem as resueltos Problem as com plem entarios44 Series con trminos positivos. Criterio de la integral.Criterios de comparacinSeries con trm inos positivos Problem as resueltos Problem as com plem entarios45 Series alternadas. Convergencia absoluta y condicional.Criterio del raznSeries alternadas Problem as resueltos Problem as com plem entarios46 Serie de potenciasSerie de potencias / Convergencia uniform e Problem as resueltos Problem as com plem entarios47 Series de Taylor y de Maclaurin. Frmula de Taylor con residuoSeries de Taylor y de M aclaurin / Aplicaciones de la frm ula de Taylor con residuo Problem as resueltos Problem as com plem entarios328335348356362371379392 www.FreeLibros.meContenido48 Derivadas parcialesFunciones de varias variables / L m ites / Continuidad / Derivadas parciales / Derivadas parciales de orden superior Problem as resueltos Problem as com plem entarios40149 Diferencial total. Diferenciabilidad / Reglas de la cadenaD iferencial total / D iferenciabilidad / Reglas de la cadena / Derivacin implcita Problem as resueltos Problem as com plem entarios41050 Vectores en el espacio 422Cosenos directores de un vector / D eterm inantes / Vector perpendicular a dos vectores / Producto vectorial de dos vectores / Triple producto escalar / Triple producto vectorial / L nea recta / El plano Problem as resueltos Problem as com plem entarios51 Superficies y curvas en el espacio 437Planos / Esferas / Superficies cilndricas / E lipsoide / Paraboloide elptico / Cono elptico / Paraboloide hiperblico / H iperboloide de una hoja / H iperboloide de dos hojas / Recta tangente y plano norm al a una curva en el espacio / P lano tangente y recta norm al a una superficie / Superficie de revolucin Problem as resueltos Problem as com plem entarios52 Derivadas direccionales. Valores mximos y mnimos 448Derivadas direccionales / Valores m xim os y m nim os relativos / Valores m xim os y m nim os absolutos Problem as resueltos Problem as com plem entarios53 Derivacin e integracin de vectores 456Derivacin vectorial / Curvas en el espacio / Superficies / E l operador V / D ivergencia y rotacional / Integracin / Integrales de lnea (curvilneas)Problem as resueltos Problem as com plem entarios54 Integrales dobles e iteradas 470L a integral doble / L a integral iterada Problem as resueltos Problem as com plem entarios www.FreeLibros.meContenido55 Centroides y momentos de inercia de reas planasrea plana por integracin doble / Centroides / M om entos de inercia Problem as resueltos Problem as com plem entarios56 Integracin doble aplicada al volumen bajo una superficie y al rea de una superficie curvaProblem as resueltos Problem as com plem entarios57 Integrales tripleCoordenadas cilndricas y esfricas / La integral triple / Clculo de integrales triples / Centroides y m om entos de inercia Problem as resueltos Problem as com plem entarios58 Masas de densidad variableProblem as resueltos Problem as com plem entarios59 Ecuaciones diferenciales de primer y segundo ordenEcuaciones diferenciales separables / Funciones hom ogneas / Factores de integracin / Ecuaciones de segundo orden Problem as resueltos Problem as com plem entarios477485494506512Apndices 523 www.FreeLibros.meSistemas de coordenadas lineales. Valor absoluto. DesigualdadesUn sistema de coordenadas linealesU n sistem a de coordenadas lineales es una representacin grfica de los nm eros reales (R) com o puntos en una lnea recta. A cada nm ero le corresponde uno y slo un punto, y a cada punto le corresponde uno y slo un nmero.Para establecer un sistem a de coordenadas lineales en una recta es necesario: 1. seleccionar cualquier punto de la recta com o el origen y asignar a ese punto el nm ero 0 ; 2 . determ inar una direccin positiva en la recta e indicarla m ediante una flecha; 3. tom ar una distancia fija com o unidad de m edida. Si x es un nm ero positivo, el punto correspondiente a x se obtiene avanzando una distancia de x unidades a partir del origen en direccin positiva. Si x es negativo, el punto correspondiente a x se halla desplazndose una distancia de - x unidades desde el origen en direccin negativa (fig. 1.1.) Por ejemplo, si x = -2 , entonces - x = 2 y el punto correspondiente queda a 2 unidades del origen en direccin negativa.----------1--------- 1---- 1---- 1---- 1---- 1---------1---- 1---- 1 I----1---------- H--------1----------4 -3 -5/2 -2 -3/2 -1 0 1/2 1 V2 2 3^ 4Fig. 1.1.E l nm ero asignado a un punto por un sistem a de coordenadas se denom ina coordenada de ese punto. En adelante, se hablar com o si no hubiera distincin entre un punto y su coordenada. As, al mencionar, por ejem plo, el punto 3 se entender el punto con coordenada 3 .E l valor absoluto Ixl de un nm ero x se define com o sigue:[ x si x es cero o un nm ero positivo x = | - x si x es un nm ero negativoPor ejemplo, I4I = 4, I-3I = - ( - 3 ) = 3 y I0l= 0. Observe que si x es un nm ero negativo, entonces -x es positivo. As, IxI > 0 para todo x.Las propiedades siguientes se cum plen para cualesquiera nm eros x y y.(1.1) I-xI = IxICuando x = 0, I-xI = I-0I = I0I = IxI.Cuando x > 0, - x < 0 y I-xI = - ( -x ) = x = IxI.Cuando x < 0, - x > 0 y I-xI = - x = IxI.(1.2 ) Ix - yI = Iy -x IEsto se sigue de (1.1), ya que y - x = - (x - y).(1.3) IxI = c im plica que x = c.Por ejemplo, si IxI = 2, entonces x = 2. Para la dem ostracin se supone que IxI = c.Si x > 0, x = IxI = c. Si x < 0, - x = IxI = c; entonces x = - ( -x ) = -c .(1.4) IxI2 = x2Si x > 0, IxI = x y IxI2 = x2. Si x < 0, IxI = - x y IxI2 = (-x )2 = x2.(1.5) IxyI = x IyIPor (1.4), IxyI2 = (xy)2 = x2y2 = IxI2IyI2 = (IxI IyI)2.Com o los valores absolutos son no negativos, al obtener la raz cuadrada queda IxyI = IxI IyI. www.FreeLibros.meoCAPTULO 1 Sistem as de coordenadas lineales( 1.6 ) I I = -4 si y * ov 7 I y I lyl 7Por (1.5), lyl| x | = |y y | = lxl. Se divide entre lyl.(1.7) lxl = lyl im plica que x = ySuponga que lxl = lyl. Si y = 0, lxl = lOl = 0 y por (1.3) se obtiene x = 0. Si y ^ 0, entonces por (1.6) se tiene queI I = - = 1I y I lyl 1As, por (1.3) x/y = 1. Por tanto, x = y.(1.8 ) Sea c > 0. Entonces, lxl < c si y slo si - c < x < c (fig. 1.2).Suponga que x < 0; entonces lxl = x. Asim ism o, puesto que c < 0, - c < 0 < x. En consecuencia, lxl < c si y slo si - c < x < c. A hora suponga que x < 0. Entonces lxl = -x . Tambin, x < 0 < c. Adems, - x < c si y slo si - c < x. (Al m ultiplicar o dividir una desigualdad por un nm ero negativo se invierte la desigualdad.) Por ende, lxl < c si y slo si - c < x < c.(1.9) Sea c > 0. Entonces lxl < c si y slo si - c < x < c (fig. 1.2). En este caso el razonam iento es sim ilar al de (1.8).|x |s c \x\ 0, x = lxl. Si x < 0, lxl = - x y, por tanto, x = -lxl.( 1.11) lx + yl < lxl + lyl (desigualdad triangular)Por (1.8), -lxl < x < lxl y -lyl < y < lyl. A l sum ar se obtiene -(lxl + lyl) < x + y < lxl + lyl. Entonces, por (1.8) lx + yl < lxl + lyl. [En (1.8) se rem plaza c por lxl+ lyl y x por x + y.]En un sistem a de coordenadas dado sobre una recta, sean P 1 y P 2 los puntos sobre sta que tienen coordenadas x j y x2 (fig. 1.3). Entonces(1.12) lx1 - x2l = P 1P 2 = distancia entre P 1 y P 2.Esto resulta claro cuando 0 < x 1 < x2 y cuando x 1 < x2 < 0. Cuando x 1 < 0 < x2 y adems se representa el origen con la letra O, entonces P 1P 2 = P 1 O + OP 2 = ( -x 1) + x2 = x2 - x1 = lx2 - x1l = lx1 - x2l.Com o caso especial de (1.12), cuando P 2 es el origen y (x2 = 0):(1.13) lx1l = distancia entre P 1 y el origen.P2 P1------------------------------------ 1---------------------------------------------1----------------------- x2 x1Fig. 1.3Intervalos finitosSea a < b.El intervalo abierto (a, b) se define com o el conjunto de todos los nm eros que hay entre a y b, es decir, el conjunto de todos los x tales que a < x < b. Se usar el trm ino intervalo abierto y la notacin (a, b) tambin para todos los puntos entre los puntos con coordenadas a y b en una recta. Observe que el intervalo abierto (a,b) no contiene los puntos extremos a y b (fig. 1.4).E l intervalo cerrado [a, b] se define com o el conjunto de todos los nm eros que hay entre a y b o iguales a ao b, es decir, el conjunto de todos los x tales que a < x < b. Com o en el caso de los intervalos abiertos, se utiliza la m ism a term inologa y notacin de los puntos en una recta. Observe que el intervalo cerrado [a, b] s contiene am bos puntos extrem os (terminales) a y b (fig. 1.4). www.FreeLibros.me-----------o ----------------------- o --------- - ----------- --------- a b a bIntervalo abierto (a, b): a < x < b; Intervalo cerrado [a, b]: a < x < bFig. 1.4Por intervalo semiabierto se entiende un intervalo abierto (a, b) jun to con uno de sus puntos extremos. Hay dos de esos intervalos: [a, b) es el conjunto de todos los x tales que a < x < b y (a, b] es el conjunto de todos los x tales que a < x < bIntervalos infinitosSea (a, ^ ) el conjunto de todos los x tales que a < x. Sea [a, ^ ) el conjunto de todos los x tales que a < x. Sea (-ro, b) el conjunto de todos los x tales que x < b. Sea (-ro, b] el conjunto de todos los x tales que x < b.DesigualdadesToda desigualdad com o 2x - 3 > 0 o 5 < 3x + 10 < 16 determ ina un intervalo. Resolver una desigualdad significa determ inar el intervalo correspondiente de los nm eros que la satisfacen.EJEMPLO 1.1. Resuelva 2x - 3 > 0.2x - 3 > 02x > 3 (Sumando 3)x > ! (Dividiendo entre 2)As, el intervalo correspondiente es ( f ,EJEMPLO 1.2. Resuelva 5 < 3x + 10 < 16.5 < 3x + 10 < 16-5 < 3x < 6 (Restando 10)- 3 < x < 2 (Dividiendo entre 3)As, el intervalo correspondiente es ( | , 2 ].EJEMPLO 1.3. Resuelva -2x + 3 < 7-2x + 3 < 7-2x < 4 (Restando 3)x > -2 (Dividiendo entre -2)(Observe que cuando se divide entre un nmero negativo la desigualdad se invierte.) As, el intervalo correspondiente es ( - 2, ^ ).PROBLEMAS RESUELTOS1. Describa y represente los intervalos siguientes y exprese su notacin de intervalos: a) - 3 < x < 5; b) 2 < x < 6;c) -4 < x < 0; d) x > 5; e) x < 2; f 3x - 4 < 8; g) 1 < 5 - 3x < 11.a) Todos los nmeros mayores que -3 y menores que 5; la notacin de intervalos es (-3 , 5):---------------- O------------------------- O------------------------ - 3 5CAPTULO 1 Sistemas de coordenadas lineales www.FreeLibros.meCAPTULO 1 Sistem as de coordenadas linealesb) Todos los nmeros iguales o mayores que 2 y menores o iguales que 6: [2, 6]:c) Todos los nmeros mayores que - 4 y menores o iguales que 0: ( - 4, 0]:- O- 4d) Todos los nmeros mayores que 5: (5, ^):-O-5e) Todos los nmeros menores o iguales que 2: ( - ^ , 2]:2f 3x - 4 < 8 equivale a 3x < 12 y, por consiguiente, a x < 4. As, se obtiene ( -^ , 4]:4g) 1 < 5 - 3x < 11- 4 < -3x < 6 (restando 5) 2 < x < -4 (dividiendo entre -3 ; observe que las desigualdades se invierten). Por ende, se obtiene (2 -f) :------------------O------------------------ O--------------- -2 4/3Describa y represente los intervalos determinados por las desigualdades siguientes: a) Ixl < 2; b) Ixl > 3;c) Ix - 3I < 1; d) Ix - 2I < 8 > 0; e) Ix + 2I < 3; f ) 0 < Ix - 4I < 8 > 0.a) Por la propiedad (1.9), esto equivale a -2 < x < 2, que define el intervalo abierto (-2 , 2).-O----------------------- O--2 2b) Por la propiedad (1.8), IxI < 3 equivale a -3 < x < 3. Al tomar las negaciones, IxI > 3 equivale a x < -3 , o bien, x > 3, lo que define la unin de los intervalos ( -^ , -3 ) y (3, ^ ).------------ O--------------------O-------------------- - 3 3c) Por la propiedad (1.12), se dice que la distancia entre x y 3 es menor que 1, lo que equivale a 2 < x < 4. Esto define el intervalo abierto (2, 4).-O------------------O-2 4Cabe tambin observar que Ix - 3I < 1 equivale a -1 < x -3 < 1. Al sumar 3 se obtiene 2 < x < 4.d) Esto indica que la distancia entre x y 2 es menor que 8, o que 2 - 8 < x < 2 + 8, lo que define el intervalo abierto (2 - 8, 2 + 8). Este intervalo se denomina vecindad 8 de 2:-O ---------------1---------------- O2 - S 2 2 + S www.FreeLibros.meoe) lx + 21 < 3 equivale a -3 < x + 2 < 3. Al restar 2 se obtiene -5 < x < 1, lo que define el intervalo abierto (-5 , 1):--------------o --------------- o --------------- 5 1f ) La desigualdad lx - 4l < 8 determina el intervalo 4 - 8 < x < 4 + 8. La condicin adicional 0 < lx - 4l dice que x ^ 4. Por tanto, se obtiene la unin de los dos intervalos (4 - 8, 4) y (4, 4 + 8). El resultado se denomina vecindad 8 de 4: O-------------------O------------------O---4 - S 4 4 + 53. Describa y trace un diagrama de los intervalos determinados por las desigualdades siguientes: a) 15 - xl < 3; b)l2x - 3l < 5; c) 11 - 4 xl < 2.a) Como l5 - xl = lx - 5l, se tiene que lx - 5l < 3, equivalente a -3 < x -5 < 3. Sumando 5 se obtiene 2 < x 0; b) (x + 3)(x - 2)(x - 4) < 0; c) (x + 1)2(x - 3) > 0.a) Sea 18x - 3x2 = 3x(6 - x) = 0; se obtiene x = 0 y x = 6. Hay que determinar el signo de 18x - 3x2 en cada uno de los intervalos x < 0, 0 < x < 6 y x > 6 para establecer dnde 18x - 3x2 > 0. Observe que es negativo cuando x < 0 (ya que x es negativo y 6 - x es positivo). Se vuelve positivo cuando se pasa de izquierdaa derecha por 0 (puesto que x cambia de signo, pero 6 - x sigue siendo positivo) y se vuelve negativo cuando pasa por 6 (ya que x sigue siendo positivo, pero 6 - x cambia a negativo). Por ende, es positivo cuando y slo cuando 0 > x < 6.------- O----------------------- O--------0 6b) Los puntos crticos son x = -3 , x = 2 y x = 4. Advierta que (x + 3)(x - 2)(x - 4) es negativo para x < -3(pues cada uno de los factores es negativo) y que cambia de signo cuando pasa por cada uno de los puntos cruciales. Por tanto, es negativo para x < -3 y para 2 < x < 4:---------O------------------------------------------------ O------------------ O------------------------ 3 2 4c) Observe que (x + 1)2 siempre es positivo (salvo en x = -1 , donde es 0). Por tanto, (x + 1)2(x - 3) > 0 cuando y slo cuando x - 3 > 0, es decir, para x > 3:O3CAPTULO 1 Sistemas de coordenadas lineales www.FreeLibros.meoCAPTULO 1 Sistem as de coordenadas lineales5. Resuelva 3x - 71 = 8.Por (1.3), 3x - 71 = 8 si y slo si 3x - 7 = 8. Entonces hay que resolver 3x - 7 = 8 y 3x - 7 = - 8. Se obtiene x = 5 o x = 3.2 x + 16. Resuelva ----------- > 3.x + 3Caso 1: x + 3 > 0. Al multiplicar por x + 3 se obtiene 2x + 1 > 3x + 9, lo que se reduce a -8 > x. Sin embargo, como x + 3 > 0, es probable que x > -3 . Entonces este caso no tiene solucin.Caso 2: x + 3 < 0. Al multiplicar por x + 3 se obtiene 2x + 1 > 3 + 9. (La desigualdad se invierte porque se multiplic por un nmero negativo.) Esto resulta -8 < x. Puesto que x + 3 < 0, se tiene que x < -3 . Luego, las nicas soluciones son -8 < x < -3.7. Resuelva | 2 - 3| < 5.La desigualdad equivale a 5 < 2 3 < 5. Se suma 3 para obtener -2 < 2/x < 8, y se divide entre 2 para obtener -1 < 1/x < 4.Caso 1: x > 0. Se multiplica por x para llegar a -x < 1 < 4x. Entonces, x > 4 y x > -1 ; estas dos desigualdades son equivalentes a una sola desigualdad: x > 4 .Caso 2: x < 0. Se multiplica por x para obtener -x > 1 > 4x. (Observe que se invirtieron las desigualdades al multiplicar por un nmero negativo x.) Entonces, x < 1 y x < -1 . Estas dos desigualdades equivalen a x < -1.Por ende, las soluciones son x > 4 o x < -1 , la unin de dos intervalos infinitos y (_ ^ , - 1).8. Resuelva 2x - 51 > 3.Se soluciona primero la negacin 2x - 5 < 3, la cual equivale a -3 < 2x - 5 < 3. Se suma 5 para obtener2 < 2x < 8 y se divide entre 2 para obtener 1 < x < 4. Como sta es la solucin de la negacin, la desigualdad original tiene la solucin x < 1 o x > 4.9. Resuelva x2 < 3x + 10.x2 < 3x + 10x2 - 3x - 10 < 0 (restando 3x + 10)(x - 5)(x + 2) < 0Los nmeros cruciales son -2 y 5. (x - 5)(x + 2) > 0 cuando x < -2 (ya que tanto x - 5 como x + 2 son negativas); resulta negativa cuando pasa por -2 (ya que x + 2 cambia de signo) y luego se vuelve positiva cuando pasa por 5 (ya que x - 5 cambia de signo). As, las soluciones son -2 < x < 5.PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS10. Describa y trace la grfica del conjunto determinado por cada una de las condiciones siguientes:a) -5 < x < 0 b) x < 0c) -2 < x < 3 d) x > 1e) x < 3 f ) x > 5g) x - 21 < 1 h) x - 3 > 1i) 0 < x - 21 < 1 j ) 0 < x + 3 < 1k) x - 21 > 1Respuestas: e) -3 < x < 3; f)x > 5 o bien, x < -5 ; g) -| < x < 5 ; h) x > -2 o bien, x < -4 ; i) x ^ 2 y 1 < x < 3;j) 13 < x < 11; k) x > 3 o bien, x < 1 www.FreeLibros.meo11. Describa y trace la grfica del conjunto determinado por cada una de estas condiciones:a)b)c)d) e)I 3x - 71 < 2 I 4x - 1I > 1x - 22 + -< 4< 4> 1< 3f )Respuestas: a) 3 < x < 3 ; b) x > - o bien, x < 0 ; c) - 6 < x < 18; d) x < -| o bien, x > -2-; e) x > 0 o bien, x < -1 o bien, - 3 < x < 0 ; f ) x > 3 o bien, x < |12. Describa y trace la grfica del conjunto determinado por cada una de las condiciones siguientes:a) x(x - 5) < 0b) (x - 2)(x - 6) > 0c) (x + 1)(x - 2) < 0d ) x(x - 2)(x + 3) > 0e) (x + 2)(x + 3)(x + 4) < 0f ) (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 3) > 0g) (x - 1)2(x + 4) > 0h) (x - 3)(x + 5)(x - 4)2 < 0i) (x - 2)3 > 0j) (x + 1)3 < 0k) (x - 2)3(x + 1) < 0l) (x - 1)3(x + 1)4 < 0m) (3x - 1)(2x + 3) > 0 n) (x - 4)(2x - 3) < 0Respuestas: a) 0 < x < 5; b) x > 6 o bien, x < 2; c) -1 < x < 2; d) x > 2 o bien, -3 < x < 0; e) -3 < x < -2 obien, x < - 4; f ) x > 2 o bien, -1 < x < 1 o bien, x < - 3; g) x > - 4 y x ^ 1; h) -5 < x < 3; i) x > 2;j) x < -1 ; k) -1 < x < 2; l) x < 1 y x ^ -1 ; m) x > 3 o bien, x < 2; n) | < x < 43x13. Describa y trace la grfica del conjunto determinado por cada una de las condiciones que siguen:a) x 2 < 4b) x2 > 9c) (x - 2)2 < 16d) (2x + 1)2 > 1e) x2 + 3x - 4 > 0f ) x 2 + 6x + 8 < 0g) x2 < 5x + 14h) 2x2 > x + 6i) 6x2 + 13x < 5 j) x3 + 3x2 > 10xRespuestas: a) - 2 < x < 2; b) x > 3 o bien, x < -3 ; c) -2 < x < 6; d) x > 0 o bien, x < -1 ; e) x > 1 o bien,x > - 4; f) - 4 < x < -2 ; g) - 2 < x < 7; h) x > 2 o bien, x < -| ; i) 5 < x < 3 3 ; j) -5 < x < 0 o x > 2CAPTULO 1 Sistemas de coordenadas lineales www.FreeLibros.meCAPTULO 1 Sistem as de coordenadas lineales14. Resuelva:a) -4 < 2 - x < 7 3 x 1d)2 x + 3> 3b)e)2x 1 x2x 1< 3 > 2xc)f )xx + 2 x 0 o bien, x < -1 ; c) x > -2 ; d) 10 < x < -|; e) x < 0 o bien, 0 < x < 1;f ) x < - 4 o bien, x > -115. Resuelva:a) I4x - 51 = 3b) Ix + 6I = 2c) I3x - 4I = I2x + 1Id) Ix + 1I = Ix + 2Ie) Ix + 1I = 3x - 1f Ix + 1I < I3x - 1Ig) I3x - 4I > I2x + 1IRespuestas: a) x = 2 o bien, x = 2; b) x = - 4 o bien, x = - 8; c) x = 5 o bien, x = | ; d) x = 2; e) x = 1; f x > 1 o bien, x < 0; g) x > 5 o bien, x < |16. Pruebe:a) Ix2I = IxI2b) IxnI = IxIn para todo entero nc) ixi= 4 xd) Ix - yI < IxI + IyIe) Ix - yI > IIxI - IyII[Sugerencia: en e), pruebe que Ix - yI > IxI - IyI y Ix - yI > IyI - IxI.] www.FreeLibros.meSistema de coordenadas rectangularesEjes de coordenadasEn un plano P, se escoge un par de rectas perpendiculares. Si una de ellas es horizontal, entonces la otra ser vertical. L a recta horizontal se designa com o eje x y la vertical como eje y (fig. 2.1).yb11 P(a, b)-------- ", - r -3i21i iii i i i i |-2 -1 O 1 2 3 4 5 \a-11Fig. 2.1A hora se tom a un sistem a de coordenadas lineales sobre el eje x y uno sobre el eje y que satisfacen las condiciones siguientes: el origen de cada sistem a de coordenadas es el punto O, donde se cortan los ejes. E l eje x est orientado de izquierda a derecha y el eje y de abajo arriba. La parte del eje x con coordenadas positivas se denom ina eje x positivo y la parte del eje y con coordenadas positivas se designa eje y positivo.Debem os establecer una correspondencia entre los puntos del plano P y pares de nm eros reales.CoordenadasConsidere el punto P del plano (figura 2.1). L a recta vertical que pasa por P corta el eje x en un nico punto; sea a la coordenada de este punto sobre el eje x . E l nm ero a se denom ina coordenada x de P (o la abscisa de P). La recta horizontal que pasa por P corta el eje y en un solo punto; sea b la coordenada de este punto sobre el eje y. E l nm ero b se denom ina coordenada y de P (o la ordenada de P). As, todo punto P tiene un par nico (a, b) de nm eros reales asociado con l. A su vez, cada par (a, b) de nm eros reales est asociado con un punto nico en el plano.Las coordenadas de varios puntos se indican en la figura 2.2. En aras de la sim plicidad, se han lim itado a enteros. www.FreeLibros.meCAPTULO 2 Sistem as de coordenadas rectangularesy(-3, 7) (4, -4)2 3 4 5 6EJEMPLO 2.1.Fig. 2.2En el sistema de coordenadas de la figura 2.3, para hallar el punto correspondiente a las coordenadas (2, 3) se comienza en el origen, se desplaza dos unidades a la derecha y luego tres unidades hacia arriba.> (-4 , 2)_L (2, 3)- 4(-3 , - 1 ) *-2 -1 0 -1-2y43212 3Fig. 2.3Para encontrar el punto de coordenadas (-4, 2) se empieza en el origen, se desplaza cuatro unidades a la izquierda y luego dos unidades hacia arriba.Para hallar el punto con coordenadas (-3, 1) se comienza en el origen y se desplaza tres unidades a la izquierda y luego una hacia abajo.El orden de estos desplazamientos no es importante. Por ejemplo, el punto (2, 3) tambin puede encontrarse empezando en el origen y avanzando tres unidades hacia arriba y luego dos a la derecha. www.FreeLibros.meCuadrantesSuponga que se ha establecido un sistem a de coordenadas en el plano Entonces todo el plano ^ , salvo los ejes de coordenadas, puede dividirse en cuatro partes iguales, denom inadas cuadrantes. Todos los puntos con am bas coordenadas positivas conform an el prim er cuadrante, llam ado cuadrante I, en la esquina superior derecha (fig. 2.4). E l cuadrante II consta de todos los puntos con coordenada x negativa y coordenada y positiva. Los cuadrantes III y IV tam bin se presentan en la figura 2.4.II( - , +)_L_( -1 , 2 ) 2_L_ _L_- 3 - 2( -2 , - 1 ) *-1 0 -1- 2III( - , - )I(+, +) ( 3 , 1)J _______ L (2, - 2 )IV(+, - )Fig. 2.4Los puntos sobre el eje x tienen coordenadas de la form a (a, 0). E l eje y consta de los puntos con coordenadas de la form a (0 , b).D ado un sistem a de coordenadas, es habitual referirse al punto con coordenadas (a, b) com o el punto (a,b) . Por ejemplo, se puede decir que el punto (0, 1) queda sobre el eje y .Frmula de la distanciaL a distancia P1 P2 que hay entre los puntos P 1 y P 2 con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) en un sistem a de coordenadas (fig. 2.5) se obtiene m ediante la siguiente frm ula de la distancia:PP2 = V(x1- x2)2 +(y - y2)2 (2 .1)xFig. 2 .5CAPTULO 2 Sistemas de coordenadas rectangulares www.FreeLibros.meCAPTULO 2 Sistem as de coordenadas rectangularesPara observar esto, sea R el punto donde la recta vertical que pasa por P 2 corta la recta horizontal que pasa por P j. L a coordenada x de R es x 2 , lo m ism o que para la de P 2. La coordenada y de R es y 1 , la m ism a que la de P j . Por el teorem a de Pitgoras, (PJP2) 2 = (PJR ) 2 + (P2 R )2. Si A1 y A2 son las proyecciones de P j y P 2 sobre el eje x, los segmentos P JR y A 1A 2 son lados opuestos de un rectngulo, de m anera que PJR = A 1A 2 . Pero A 1A 2 = Ixj - x2l por la propiedad (1.12); por consiguiente, PJR = Ix1 - x2l . D e igual form a P2R = lyj - y 2I . Por tanto, (PjPz)2 = Ixj - x2l2 + lyj - y2I2 = (xj - x2)2 + ( y - y2)2.M ediante la raz cuadrada se obtiene la frm ula de la distancia. (Puede observarse que la frm ula tambin es vlida cuando P j y P2 quedan en la m ism a recta vertical u horizontal.)EJEMPLO 2.2.a) La distancia entre (2, 5) y (7, 17) esV(2 - 7)2 + (5 - 17)2 = V (-5)2 + ( -1 2 )2 = V25+144 = V 69 = 13b) La distancia entre (1, 4) y (5, 2) esV(1 - 5)2 + ( 4 - 2 )2 = yj( - 4)2 + (2)2 = V 6 + 4 = V20 = S ^ / 5 = 2V5Frmulas del punto medioE l punto M(x, y), que es el punto m edio del segm ento que une los puntos P 1(x1, y1) y P 2(x2, y2), tiene las coordenadasx = (2 .2 )As, las coordenadas de los puntos m edios son los prom edios de las coordenadas de los puntos extrem os o term inales (fig. 2 .6).yFig. 2.6Para observar esto, sean A, B, C las proyecciones de P 1, M y P 2 en el eje x. Las coordenadas x de A, B y C son x1, x y x2. En virtud de que las rectas P 1A, M B y P 2C son paralelas, los cocientes P1M / MP2 y A B / B C son iguales. Entonces, P1M = MP2 y AB = B C . Com o AB = x - x1 y B C = x2 - x2x = Xj + x22(La m ism a ecuacin es vlida cuando P 2 est a la izquierda de P 1, caso en el que A B = x1 - x y B C = x - x 2). D e form a similar, y = (y1 + y2)/2.x - x j = x2 - x www.FreeLibros.meEJEMPLO 2.3.a) El punto medio del segmento que une (2, 9) y (4, 3) es ^2 + 4, 9 + 3j = (3, 6).b) El punto intermedio entre (-5, 1) y (1, 4) es 2~ , 2 )= (_2 ,7).Demostraciones o pruebas de los teoremas geomtricosD em ostraciones de los teorem as geom tricos pueden darse m s fcilm ente usando las coordenadas que m ediante deducciones a partir de axiom as y teorem as derivados con anterioridad. Las pruebas o dem ostraciones m ediante coordenadas se denom inan analticas, a diferencia de las pruebas a partir de axiomas, que se llamansintticas .EJEMPLO 2.4. Pruebe analticamente que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un tringulo equivale a la mitad de la longitud del tercer lado. Construya un sistema de coordenadas de manera que el tercer lado AB quede en el eje x positivo, A sea el origen y el tercer vrtice C quede por encima del eje x como en la figura 2.7.ySea b la coordenada x de B (en otras palabras, sea b = A B ). Tenga C las coordenadas (u, v). Sean M x y M2 los puntos medios de los lados AC y BC, respectivamente. Por las frmulas del punto medio (2.2), las coordenadas de Mj son (-2, 2 ) y las de M2 son (u + b , 2 ) . Mediante la frmula de la distancia (2.1)M M = |PW ; IVKr =# = ique es la mitad de la longitud del lado AB.PROBLEMAS RESUELTOS1. Demuestre que la distancia entre un punto P(x, y) y el origen es ^ x 2 + y 2.Como el origen tiene coordenadas (0, 0), la frmula de la distancia da -jix 0 )2+ (y - 0)2 =yx2 + y22. El tringulo con vrtices A(1, 5), B(4, 2) y C(5, 6) es issceles?A B =V (1 - 4)2 + (5 - 2)2 =V (- 3)2 + (3)2 =-9 + 9 = V l8 A C =V (1 - 5)2 + (5 - 6)2 = y( - 4)2 + (-1 )2^VT+T = yfT7 BC =y(4 - 5)2 + (2 - 6)2 = y(-1 ) 2 + ( - 4)2 ^ 7 1 + ^ ^ 7 1 7 Como AC = B C , el tringulo es issceles.CAPTULO 2 Sistemas de coordenadas rectangulares www.FreeLibros.meCAPTULO 2 Sistem as de coordenadas rectangulares3. El tringulo con vrtices A(-5, 6), B(2, 3) y C(5, 10) es un tringulo rectngulo?AB = y{-5 - 2)2 + (6- 3)2 = y(-7)2 + (3)2 = V49 + 9 = V58 AC = 4 (- 5 - 5)2 + (6 -10)2 = y (-10)2 + ( -4 )2 = V100 +16 = VTT6 BC = y( 2 - 5)2 + ( 3 - 10)2 ^ ( - 3 ) 2 + (-7)2 = V9 + 49 = V58Como AC2 = AB2 + B C 2, el inverso del teorema de Pitgoras dice que AABC es un tringulo rectngulo, con un ngulo recto en B; de hecho, como AB = BC, AABC es un tringulo rectngulo issceles.4. Pruebe analticamente que si las medianas de dos lados de un tringulo son iguales, entonces esos lados son iguales. (La mediana de un tringulo es un segmento de recta que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto.)En AABC, sean M T y M2 los puntos medios de los lados AC y BC, respectivamente. Construya un sistema de coordenadas de manera que A sea el origen, B se site en el eje x positivo y C quede por encima del eje x (fig. 2.8). Supn que A M 2 = B M T. Debe probar que A C = BC. Sea b la coordenada x de B, y sean (u, v) las coordenadas de C. Entonces, por las frmulas del punto medio, M T tiene coordenadas (2, f ) y M2 tiene las coordenadas (-^ 2^ , v ).Por tanto,A M = / M 7 T y BMTComo A M 2 = BM t ,Por consiguiente, (u +4b) + -4- = (u 4b) + -4- y, en consecuencia, (u + b)2 = (u - 2b)2. As, u + b = (u - 2b). Si u + b = u - 2b, entonces b = -2 b y, por tanto, b = 0, lo que es imposible porque A * B. Por tanto, u + b = - (u- 2b) = -u + 2b, de donde 2u = b. Ahora BC = y(u - b)2 + v 2 = y(u - 2u)2 + v 2 =>/(-u)2 + v 2 = >/u 2 + v 2 y AC = -7u2 + v 2 . Por tanto, AC = B C .5. Halle las coordenadas (x, y) del punto Q sobre el segmento de recta que une P T(1, 2) y P 2(6, 7), tal que Qdivida el segmento en la razn 2:3, es decir, tal que P1 Q/QP2 = J-.Sean las proyecciones de P T, Q y P 2 sobre el eje x AT, Q y A2, respectivamente, con coordenadas 1, x y 6, correspondientemente (fig. 2.9). Ahora ATQ ' /Q 'A 2 = PTQ/QP2 = f . (Cuando dos rectas son cortadas por tres www.FreeLibros.meCAPTULO 2 Sistem as de coordenadas rectangulares10. Si (2, 2), (2, - 4) y (5, 2) son tres vrtices de un rectngulo, halle el cuarto vrtice.Respuesta: (5, - 4)11. Si los puntos (2, 4) y (-1 , 3) son vrtices opuestos de un rectngulo cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas (es decir, a los ejes x y y), halle los otros dos vrtices.Respuesta: (-1 , 4) y (2, 3)12. Determine si los siguientes tros de puntos son vrtices de un tringulo issceles:a) (4, 3), (1, 4), (3, 10) b) (-1 , 1), (3, 3), (1, -1 ) c) (2, 4), (5, 2), (6, 5)Respuestas: a) no; b) s; c) no.13. Determine si los siguientes tros de puntos son los vrtices de un tringulo rectngulo. Con los que formen el tringulo, calcule el rea de ste.a) (10, 6), (3, 3), (6, - 4 ) b) (3, 1), (1, -2 ), (-3 , -1 ) c) (5, -2 ), (0, 3), (2, 4)Respuestas: a) s, rea = 29 u2; b) no; c) s, rea = -j- u214. Halle el permetro del tringulo con vrtices A(4, 9), B(-3, 2) y C(8, 5).Respuesta: 7>/2 + V170 + 2V5315. Encuentre el o los valores de y para los que (6, y) equidista de (4, 2) y (9, 7).Respuesta: 516. Halle los puntos medios de los segmentos de recta con los siguientes puntos extremos o terminales:a) (2, -3 ) y (7, 4) b) ( 5 ,2 ) y (4, 1) c) ( ^ , 0) y (1, 4)Respuestas: a) ( 2 ^ ); b) ( j^7 , 2 ) ; c) 2^17. Halle el punto (x, y) tal que (2, 4) sea el punto medio del segmento de recta que une (x, y) y (1, 5).Respuesta: (3, 3)18. Determine el punto equidistante de los puntos A(-1, 7), B(6, 6) y C(5, -1).Respuesta: ( " ^ J , )19. Pruebe analticamente que el punto medio de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es equidistante de los tres vrtices.20. Demuestre analticamente que la suma de los cuadrados de la distancia de cualquier punto P a dos vrtices de un rectngulo es igual a la suma de cuadrados de sus distancias a los otros vrtices. www.FreeLibros.me21. Pruebe analticamente que la suma de los cuadrados de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales.22. Pruebe analticamente que la suma de los cuadrados de las medianas de un tringulo es igual a tres cuartos de la suma de los cuadrados de los lados.23. Pruebe analticamente que los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados opuestos del cuadriltero se bisecan uno a otro.24. Pruebe que las coordenadas (x, y) del punto Q dividen los segmentos de la recta P 1(x1, y) a P 2(x2, y2) en la razn rj:r2 y estn determinadas por las frmulas= r x2 + r, x y y = r y2 + yr1 + r; r + f(Sugerencia: use el razonamiento del problema 5.)25. Halle las coordenadas del punto Q en el segmento P lP 2 tal que P1Q/QP2 = y , si a) P 1 = (0, 0), P 2 = (7, 9); b) P , = (-1, 0), P 2 = (0, 7); c) P , = (-7, -2), P 2 = (2, 7); d) P , = (1, 3), P 2 = (4, 2).Respuestas: a) b) ( - -J7 , 1 4 ); c) ( -5 ,2j8); d) ( i p i 2 )CAPTULO 2 Sistemas de coordenadas rectangulares www.FreeLibros.meRectasInclinacin de una rectaL a inclinacin de una recta se m ide por un nm ero llam ado pendiente de la recta. Sea X una recta y P 1 (x1 , y j) y P 2(x2, y2) dos puntos de X . La pendiente de X se define com o el nm ero m = X rx r . L a pendiente es el cociente de un cam bio en la coordenada y y el correspondiente cam bio en la coordenada x (fig. 3.1).Para que la definicin de pendiente cobre sentido es necesario com probar que el nm ero m es independiente de la eleccin de los puntos Pj y P 2. Si se selecciona otro par, digam os P 3(x3, y3) y P 4(x4, y4), debe resultar el m ism o valor de m. En la figura 3.2 (vase pg.19), el tringulo P 3P4T es sem ejante al tringulo P 1P 2Q; por tanto,QP2 = T U o y2 - yj = y4 - y3P1Q P3T 0 x2 - xj x4 - x3As, Pj y P 2 determ inan la m ism a pendiente que P 3 y P 4.EJEMPLO 3.1. La pendiente de la recta que une los puntos (1, 2) y (4, 6) de la figura 3.3 (vase pg.19) es 6j =f- Por tanto, cuando el punto sobre la recta se mueve tres unidades a la derecha, avanza cuatro unidades hacia arriba. Adems, la pendiente no se ve afectada por el orden en el que se dan los puntos: y6= -3 = 3 En general, x2 - x = y - y2.El signo de la pendienteE l signo de la pendiente tiene significado. Por ejemplo, considere una recta X que asciende a m edida que va hacia la derecha, com o en la figura 3.4(a). Puesto que y2 > yj y x2 > x j, se tiene que m = > 0. La pendientede X es positiva.A hora considere una recta X que baja a m edida que va hacia la derecha, com o en la figura 3.4(b). Ah, y2 < y j, en tanto que x2 > x j, por lo que m = < 0 . La pendiente de X es negativa. www.FreeLibros.me4 [ pFig. 3.3Sea la recta ^ horizontal, com o en la figura 3.4(c). A h y1 = y2, de m anera que y 2 - y1 = 0. Adems, x2 - x1 ^ 0. Por tanto, m = =0. La pendiente de X es cero.L a recta X es vertical en la figura 3.4(d), donde se observa que y2 - y1 > 0, m ientras que x2 - x 1 = 0. Por consiguiente, la expresin no est definida. La pendiente no est definida para una recta vertical X . (A veces esta situacin se describe diciendo que la pendiente de X es infinita .)> , ^P 2(x2, y2)P2(x2, y2)" P i(xi> yi)yyx-X(c) (d)Fig. 3 .4Pendiente e inclinacinSe considera cualquier recta X con pendiente positiva que pase por un punto P 1 (x 1 , y1) com o la recta m ostrada en la figura 3.5. Se escoge un punto P 2(x2, y2) en X de m anera que x2 - x1 = 1. Entonces, la pendiente m de X es igual a la distancia AP2. A m edida que se inclina la recta, AP2 aum enta sin lmite, com o se m uestra en la figura 3.6(a). As, la pendiente de X aum enta sin lm ite a partir de 0 (cuando X es horizontal) a + ^ (cuando la recta es vertical). M ediante un razonam iento similar, en la figura 3.6(b) se m uestra que a m edida que la pendiente negativa de la recta se inclina, la pendiente decrece a partir de 0 (cuando la recta es horizontal) a - ^ (cuando la recta es vertical).CAPTULO 3 Rectas www.FreeLibros.meCAPTULO 3 RectasFig. 3 .5(a) (b)Fig. 3 .6yyEcuaciones de rectasSea ( una recta que pasa por un punto P 1(x1, y1) y tiene pendiente m, com o se m uestra en la figura 3.7(a). Para cualquier otro punto P(x, y) sobre la recta, la pendiente m es, por definicin, el cociente de y - y1 y x - x1. As, para todo punto (x, y) en X ,m = y yx x (3.1)A la inversa, si P(x, y) no est en la recta % com o se presenta en la figura 3.7(b), entonces la pendiente y-x1 de la recta P P 1 es diferente de la pendiente m de X ; por tanto, la ecuacin (3.1) no es vlida para los puntos que no estn en X . As, la recta X consta slo de los puntos (x, y) que satisfacen la ecuacin (3.1). En este caso se dice que X es la grfica de la ecuacin (3.1).(a) (b)Fig. 3 .7 www.FreeLibros.meLa ecuacin punto-pendienteL a ecuacin punto-pendiente de una recta X es toda ecuacin de la form a (3.1). Si la pendiente m de X es conocida, entonces cada punto (x1, y1) de X da una ecuacin punto-pendiente de X . Por tanto, hay infinitas ecuaciones punto-pendiente para X . La ecuacin (3.1) equivale a y - y1 = m (x - x1).EJEMPLO 3.2. a) La recta que pasa por el punto (2, 5) con pendiente 3 tiene una ecuacin punto-pendiente x-2 = 3. b) Sea la recta que pasa por los puntos (3, -1 ) y (2, 3). Su pendiente es m = 3 - i-1*1 = = - 4. Dos ecuacionespunto-pendiente de % son = - 4 y y| = - 4.Ecuacin punto-interseccinSi se m ultiplica la ecuacin (3.1) por x - x1 se obtiene la ecuacin y - y1 = m (x - x 1), que puede reducirse prim ero a y - y 1 = m x - m x 1 y luego a y = m x + (y1 - m x1). Sea b el nm ero y1 - mx1. Entonces, la ecuacin para la recta X se vuelvey = m x + b (3.2)L a ecuacin (3.2) produce el valor y = b cuando x = 0, as que el punto (0, b) est en X . Por ende, b es la coordenada y de la interseccin de X y el eje y, com o se m uestra en la figura 3.8. E l nm ero b se denom ina lainterseccin de X con el eje y, y la ecuacin (3.2) recibe el nom bre de ecuacin punto-in terseccin de X .EJEMPLO 3.3. La recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, 9) tiene pendiente= 9 - 3 = 6 m 4 - 2 2 3Su ecuacin punto-interseccin tiene la form a y = 3x + b . Com o el punto (2, 3) est sobre la recta, (2, 3) debe satisfacer esta ecuacin. La sustitucin da 3 = 3(2) + b, de la que resulta que b = -3 . As, la ecuacin punto-interseccin es y = 3x - 3.O tro m todo para hallar esta ecuacin consiste en escribir una ecuacin punto-pendiente de la recta, com o y-2 = 3. Luego se m ultiplica por x - 2 y se sum a 3, con lo que resulta y = 3x - 3.yRectas paralelasSean X 1 y X 2 rectas paralelas no verticales y A 1 y A2 los puntos en los que X 1 y X 2 cortan el eje y, com o en la figura 3.9(a). Adems, sea B 1 una unidad a la derecha de A1 y B 2 una unidad a la derecha de A2. Sean C1 y C2 las intersecciones de las verticales que pasan por B 1 y B2 con ^ 1 y ^ 2. Ahora, el tringulo A1B 1C1 es congruente con el tringulo A 2B 2 C2 (por el teorem a de congruencia ngulo-lado-ngulo). Por ende, Bx Cl = B 2 C2 yB c B C Pendiente de ^ 1 = 1 1 = ^ 2 = pendiente deAs, las rectas paralelas tienen pendientes iguales.CAPTULO 3 Rectas www.FreeLibros.mer 2 CAPITULO 3 Rectas%(b)Fig. 3 .9Recprocam ente, supn que dos rectas diferentes X 1 y X 2 no son paralelas y se hallan en el punto P, com o en la figura 3.9(b). Si X 1 y X 2 tuvieran igual pendiente entonces seran la m ism a recta. Por tanto, X 1 y X 2 tienen pendientes diferentes.Teorema 3.1. Dos rectas no verticales distintas son paralelas si y slo si sus pendientes son iguales.EJEMPLO 3.4. Halle la ecuacin punto-interseccin de la recta ! que pasa por (4, 1) y es paralela a la recta M que tiene por ecuacin 4x - 2y = 5.Al despejar y en la ltima ecuacin se observa que M tiene la ecuacin punto-interseccin y = 2x - | . Por tanto, M tiene pendiente 2. La pendiente de la recta paralela ! tambin debe ser 2, de manera que la ecuacin punto-interseccin de ! presenta la forma y = 2x + b. Puesto que (4, 1) queda en !, se puede escribir 1 = 2(4) + b. Por ende, b = -7 y la ecuacin punto-interseccin de ! es y = 2x - 7.Rectas perpendicularesEn el problem a 5 se debe probar lo siguiente.Teorema 3.2. Dos rectas no verticales son perpendiculares si y slo si el producto de sus pendientes es -1 .1Si m 1 y m 2 son las pendientes de las rectas perpendiculares, entonces m 1m 2 = -1 . Esto equivale a m 2 = ------- ;por tanto, las pendientes de rectas perpendiculares son cada una la recproca negativa de la otra.m.PROBLEMAS RESUELTOS1. Halle la pendiente de la recta de ecuacin 3x - 4y = 8. Trace la recta. Los puntos (6, 2) y (12, 7) estn en ella?Al resolver para y en la ecuacin se obtiene y = -f x - 2. Esta es la ecuacin punto-interseccin; la pendiente es f y la interseccin con el eje y es - 2.Al sustituir 0 por x se observa muestra que la recta pasa por el punto (0, -2). Para trazar la recta se necesita otro punto. Si se remplaza x por 4 en la ecuacin punto-interseccin resulta y = - |(4 )- 2 = 1, de manera que (4, 1) tambin queda sobre la recta, como se presenta en la figura 3.10. (Tambin es posible hallar otros puntos sobre la recta si se sustituye x por un nmero diferente de 4.)Para probar si (6, 2) queda sobre la recta, se sustituye x por 6 y y por 2 en la ecuacin original 3x - 4y = 8. Los dos lados resultan diferentes; por tanto, (6, 2) no est sobre la recta. El mismo procedimiento demuestra que (12, 7) queda en la recta.y www.FreeLibros.me- ^ 23^Fig. 3 .10 Fig. 3 .112. La recta es la mediatriz del segmento de recta que une los puntos A(-1, 2) y B(3, 4), como se muestra en la figura 3.11. Halle una ecuacin para . pasa por el punto medio M del segmento AB. Por las frmulas del punto medio (2.2), las coordenadasde M son (1, 3). La pendiente de la recta que pasa por A y B es = 4 = 2. Sea m la pendiente de . Por el teorema 3.2, -j m = - 1 , donde m = -2 .La ecuacin punto-interseccin para tiene la forma y = -2x + b. Como M(1, 3) queda en , se tiene que3 = -2(1) + b. Por ende, b = 5 y la ecuacin punto-interseccin de es y = -2x + 5.3. Determine si los puntos A(1, -1 ), B(3, 2) y C(7, 8) son colineales, es decir, si se hallan en la misma recta.A, B y C son colineales si y slo si la recta AB es idntica a la recta AC, lo que significa que la pendiente de AB es igual a la de AC. Las pendientes de AB y AC son 2---1) = y 8---1) = = f . Por tanto, A, B y C son colineales.4. Pruebe analticamente que la figura obtenida al unir los puntos medios de los lados consecutivos de un cuadriltero es un paralelogramo.Coloque el cuadriltero con vrtices consecutivos A, B, C y D en un sistema de coordenadas de manera que A sea el origen, B quede en el eje x positivo y C y D queden por encima del eje x (fig. 3.12 en la siguientepgina). Sea b la coordenada x de B, (u, v) las coordenadas de C, y (x, y) las coordenadas de D. Entonces, por la frmula del punto medio (2.2), los puntos medios M 1, M2, M3 y M4 de los lados AB, BC, CD y DA tienen coordenadas (-|, o), (^ +^, |) , (x^ , 2+2) y (x , 2), respectivamente. Hay que mostrar que M 1, M2, M3 y M4 es unparalelogramo. Para hacerlo, basta probar que las rectas M 1M 2 y M3M4 son paralelas y que las rectas M 2M 3 yM 1M4 tambin lo son. Se calcula entonces las pendientes de tales rectas:Pendiente (M 1M 2) =Pendiente (M 2 M 3) =V - 0 2 0u + b 2y + vb ' 2V ' 2V2 = vU u 2y2 yx + u _ u + b x - b x - b 2 2 2Pendiente (M 3 M 4) =Pendiente (M 1M 4) =y - y + v - v2 2 = 2x - x + u - u_2 2 22 - 0x - bPuesto que la pendiente de (M1M 2) = pendiente de (M3M 4), M1M 2 y M3M4 son paralelas. Como la pendiente (M2M3) = pendiente de (M1M4), M2M3 y M 1M4 tambin son paralelas. Por tanto, M 1M2M3M4 es un paralelogramo.yyCAPTULO 3 Rectas www.FreeLibros.meCAPTULO 3 Rectas5. Pruebe el teorema 3.2.Suponga primero que l y !2 son rectas perpendiculares no verticales con pendientes m 1 y m2. Debe demostrar que m 1m2 = -1 . Sean M l y M2 las rectas que pasan por el origen O y que son paralelas a l y !2 como se observa en la figura 3.13(a). La pendiente de M l es m y la pendiente de M2 es m2 (por el teorema 3.1). Adems, M l y M2 son perpendiculares, ya que l y !2 son perpendiculares.Fig. 3 .13Ahora, sea A el punto M l con coordenada x igual a 1, y sea B el punto en M2 con coordenada x igual a1, como se presenta en la figura 3.13(b). La ecuacin punto-interseccin de M l es y = m 1x; por tanto, la coordenada y de A es m1, ya que su coordenada x es 1. De igual forma, la coordenada y de B es m2. Por la frmula de la distancia (2.1),OB = J (1 - 0 )2 + (m2 - 0 )2 = 7 1 +OA = 7(1 - 0)2 + (m 1 - 0)2 = J 1 + m 2 BA = ^(1 - 1)2 + (m2 - m J 2 = J(m 2 - m J 2 Entonces, por el teorema de Pitgoras para el tringulo rectngulo BOA,BAA = B 2 + OA2 (m2 - m 1)2 = (1 + m^) + (1 + m f) m2 - 2m 2 m1 + m 2 = 2 + m2 + m2 m2m 1 = - 1yxo www.FreeLibros.meAhora, recprocamente, suponga que m lm2 = -1 , donde y m 2 son las pendientes de las rectas noverticales l y ^ 2. Entonces, l no es paralela a ^ 2. (De lo contrario, por el teorema 3.1, m1 = m2 y, por tanto, m2 = - 1 , lo que contradice el hecho de que el cuadrado de un nmero real nunca es negativo.) Debe mostrarse que l y !2 son perpendiculares. Sea P la interseccin de l y !2 (fig. 3.14). Sea 3 la recta que pasa por P que es perpendicular a !v Si m3 es la pendiente de ^ 3, entonces, por la primera parte de la demostracin, m1m3 = -1 y, por consiguiente, m1m3 = m1m2. Como m1m3 = -1 , entonces m1 ^ 0; por tanto, m3 = m2. Como !2 y 3 pasan por el mismo punto P y tiene la misma pendiente, entonces deben coincidir. Puesto que l y 3 son perpendiculares, l y !2 tambin lo son.y6. Pruebe que si a y b no son ambos cero, entonces la ecuacin ax + by = c es la ecuacin de una recta y, recprocamente, toda recta tiene una ecuacin de esa forma.Suponga que b ^ 0. Entonces, si se despeja y en la ecuacin ax + by = c se obtiene la ecuacin punto- interseccin y = (-a/b) x + c/b de una recta. Si b = 0, en consecuencia a ^ 0, y la ecuacin ax + by = c se reduce a ax = c; esto equivale a x = c/a, la ecuacin de una recta vertical.Recprocamente, toda recta no vertical tiene una ecuacin punto-interseccin y = mx + b, la cual equivale a -m x + y = b, una ecuacin de la forma deseada. Una recta vertical tiene una ecuacin de la forma x = c, la cual tambin es una ecuacin de la forma requerida con a = 1 y b = 0 .7. Demuestra que la recta y = x forma un ngulo de 45 con el eje x positivo; es decir, el ngulo BOA en la figura 3.15 tiene 45.ySea A el punto sobre la recta y = x con coordenadas (1, 1). Se traza una perpendicular AB al eje x positivo. Entonces, AB = 1 y OB = 1. Por tanto, el ngulo OAB = ngulo BOA, ya que son los ngulos de la base del tringulo issceles BOA. Por consiguiente, el ngulo OBA es recto:ngulo OAB + ngulo BOA = 180 - ngulo OBA = 180 - 90 = 90Puesto que el ngulo BOA = ngulo OAB, cada uno tiene 45.CAPTULO 3 Rectas www.FreeLibros.meCAPTULO 3 Rectas8. Pruebe que la distancia d de un punto P(x 1, yj) a una recta con una ecuacin ax + by = c est dada por la, I ax + by - clfrmula d = , . . .Va2 + b2Sea M la recta que pasa por P y es perpendicular a . Entonces, M corta a en algn punto Q de coordenadas (u, v) como se muestra en la figura 3.16. Claramente, d es la longitud P Q , de manera que si se puede hallar u y v, entonces resulta posible calcular d mediante la frmula de la distancia. La pendiente de ! es -a/b . Por el teorema 3.2, la pendiente de M es b/a. As, la ecuacin punto-pendiente de M es y yj = b . 1 _ 1 x - Xj aLuego, u y v son las soluciones del par de ecuaciones au + bv = c y v _ y = b . Tediosos clculos matemticos ofrecen la solucin 1u =ac + b2x 1 + aby1 a 2 + b2 ybc abx1 a2 yjLa frmula de la distancia junto con clculos adicionales da,d = PQ =y (Xj u )2 (yj v )2 = -rv 0. Aqu, (4.6) es la ecuacin estndar de un crculo con centro en f - y - f ) y radioJa 2 + b 2 - 4C2C aso 2: A2 + B2 - 4C = 0. U na sum a de cuadrados de dos cantidades es cero si y slo si cada una de las canA Btidades es cero. Por tanto, (4.6) equivale a la conjuncin de las ecuaciones x + j = 0 y y + y = 0 en este caso, y la nica solucin de (4.6) es el punto (- y - B ]. As, la grfica de (4.5) es un solo punto, que puede considerarse un crculo degenerado de radio 0 .C aso 3: A2 + B2 - 4C < 0. La sum a de dos cuadrados no puede ser negativa, de m anera que en este caso(4.5) no tiene solucin.Se puede dem ostrar que todo crculo tiene una ecuacin de la form a (4.5). Si su centro es (a, b) y su radio es r , entonces su ecuacin estndar es(x - a )2 + (y - b)2 = r2 Al desarrollar se obtiene x 2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2, ox 2 + y 2 - 2ax - 2by + (a2 + b2 - r2) = 0 . www.FreeLibros.mePROBLEMAS RESUELTOS1. Identifique las grficas de a) 2x2 + 2y2 - 4x + y + 1 = 0; b) x2 + y2 - 4y + 7 = 0; c)x2 + y2 - 6x - 2y + 10 = 0.a) Primero divida entre 2, para obtener x 2 + y2 - 2x + 2 y + 1 = 0. Luego complete los cuadrados(x2 - 2 x + 1) + (y 2 + 1 y + i ) + 2 = 1 + 16 = 17(x - 1)2 + (y = 1 )2 = 17 - 1 = 17 - 8 = _9_(x 1) + (y = 4 ) = 16 2 = 16 16 = 16Por tanto, la grfica es el crculo con centro (1, --4) y radio f.b) Complete el cuadrado:x2 + (y - 2 )2 + 7 = 4 x2 + (y - 2 )2 = -3Puesto que el miembro derecho es negativo, no existen puntos en la grfica.c) Complete el cuadrado:(x - 3)2 + (y - 1)2 + 10 = 9 + 1 (x - 3)2 + (y - 1)2 = 0La nica solucin es el punto (3, 1).2. Halle la ecuacin estndar del crculo con centro en C(2, 3) que pasa por el punto P (-1 , 5).El radio del crculo es la distanciaCP = V( 5 - 3)2 + (-1 - 2)2 =y22 + (-3 )2 = V4 + 9 = V H de manera que la ecuacin estndar es (x - 2)2 + (y - 3)2 = 13.3. Halle la ecuacin estndar del crculo que pasa por los puntos P(3, 8), 2(9,6) y R(13, -2).Primer mtodo: el crculo tiene una ecuacin de la forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Sustituya los valores dex y y en el punto P para obtener 9 + 64 + 3A + 8B + C = 0 o3A + 8B + C = -73 (1)Un procedimiento similar para los puntos Q y R da las ecuaciones9A + 6B + C = -117 (2)13A - 2B + C = -173 (3)Se elimina C de (1) y (2) al restar (2) de (1):- 6A + 2B = 44 o -3A + B = 22 (4)Se elimina C de (1) y (3) al restar (3) de (1):-10A + 10B = 100 o -A + B = 10 (5)Se elimina B de (4) y (5) al restar (5) menos (4), con lo que se obtiene A = - 6. Se sustituye este valor en (5)para hallar que B = 4. Luego se resuelve para C en (1): C = -87.As, la ecuacin original para el crculo es x 2 + y2 - 6x + 4y -87 = 0. Al completar los cuadrados se obtiene(x - 3)2 + (y + 2)2 = 87 + 9 + 4 = 100Por ende, el crculo tiene centro (3, -2 ) y radio 10.Segundo mtodo: la mediatriz de cualquier cuerda de un crculo pasa por el centro de ste. Por tanto, la mediatriz de la cuerda PQ cortar la mediatriz M de la cuerda QR en el centro del crculo (fig. 4.2).CAPTULO 4 Crculos www.FreeLibros.meCAPTULO 4 CrculosLa pendiente de la recta PQ es 1 Luego, por el teorema 3.2 la pendiente de es 3. Asimismo, pasa por el punto medio (6, 7) del segmento PQ. Luego, una ecuacin punto-pendiente de es y6 = 3 y, por tanto, su ecuacin punto-interseccin es y = 3x - 11. De igual forma, la pendiente de la recta QR es -2 y, por consiguiente, la pendiente de M es y. Puesto que M pasa por el punto medio (11, 2) del segmento QR, tiene una ecuacin punto-pendiente de j t=2, lo que da la ecuacin punto-interseccin y = ^x 7 y se puede escribir3x 1 1 = 1 x |de lo que se obtiene que x = 3. Por tanto,y = 3x - 11 = 3(3) - 11 = -2 Luego, el centro se halla en (3, -2). El radio es la distancia entre el centro y el punto (3, 8):^ (2 8)2 + (3 3)2 =y (10)2 =V2 = 10 As, la ecuacin estndar del crculo es (x - 3)2 + (y + 2)2 = 100.4. Halle el centro y el radio del crculo que pasa por P(1, 1) y es tangente a la recta y = 2x - 3 en el punto Q(3, 3) (fig. 4.3).Fig. 4 .3 www.FreeLibros.meLa recta perpendicular a y = 2x - 3 en (3, 3) debe pasar por el centro del crculo. Por el teorema 3.2, la pendiente de es - y. Por consiguiente, la ecuacin punto-interseccin de tiene la forma y = - y x + b . Como (3, 3) est en , tenemos que 3 = - y (3) + b; por ende, b = f y la ecuacin de es y = - t x + f .La mediatriz M de la cuerda PQ de la figura 4.3 tambin pasa por el centro del crculo, de manera que la interseccin de y M ser el centro del crculo. La pendiente de PQ es 1. Entonces, por el teorema 3.2 la pendiente de M es -1 . Luego, M tiene la ecuacin punto-interseccin y = -x + b '. Como el punto medio (2, 2) de la cuerda PQ es un punto en M, se tiene que 2 = -(2) + b'; por ende, b' = 4 y la ecuacin de M es y = -x + 4. Debes hallar la solucin comn de y = -x + 4 y y = 1 x + f . Si se establece la igualdad1 Q _ x + 4 = _ _ x + _resulta x = -1 . Por tanto, y = -x + 4 = 5, y el centro C del crculo es (-1 , 5). El radio es la distanciaPC = V(-1 - 3)2 + (5 - 3)2 = V16 + 4 = V20 . La ecuacin estndar del crculo es, entonces, (x + 1)2 + (y - 5)2 = 20.5. Halle la ecuacin estndar de todo crculo que pase por los puntos P(1, -1 ) y Q(3, 1) y sea tangente a la recta y = -3x.Sea C(c, d) el centro de uno de los crculos, y sea A el punto de tangencia (fig. 4.4). Entonces, puesto que CP = CQ, se tiene queCP2 = CQ2 o (c - 1)2 + (d + 1)2 = (c - 3)2 + (d - 1)2Desarrollado y simplificado se obtiene( 1)Fig. 4 .4Adems, CP = CA y por la frmula del problema 8 en el captulo 3, CA = 3 cJ 0 . Si establecemos la igualdad CP 2 = CA2 resulta (c - 1)2 + (d +1)2 = (3c1+)d) . Al sustituir (1) en el miembro derecho y al multiplicarlo por 10 se obtiene10[(c - 1)2 + (d + 1)2] = (2c + 2)2, de donde 3c2 + 5d2 - 14c + 10d + 8 = 0Por (1) se puede remplazar d por 2 - c para obtener2c2 - 11c + 12 = 0 o (2c - 3)(c - 4) = 0Por tanto, c = f o c = 4. Entonces (1) da dos soluciones: c = f-, d = 1 y c = 4, d = -2 . Como el radio CA = estas soluciones producen radios de y = >/0. Por ende, hay dos crculos de ese tipo y susecuaciones estndar sonCAPTULO 4 Crculos www.FreeLibros.meCAPTULO 4 Crculos( x _ 3 ) + ( y _ 2 ) = 5 y (x - 4)2+ (y + 2)2= 10PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS6. Halle las ecuaciones estndar de los crculos que satisfagan las condiciones siguientes:a) Centro en (3, 5) y radio 2.b) Centro en (4, -1 ) y radio 1.c) Centro en (5, 0) y radio -y/3.d) Centro en (-2, -2 ) y radio 5^2.e) Centro en (-2, 3) y que pasa por (3, -2).f ) Centro en (6, 1) y que pasa por el origen.Respuestas: a) (x - 3)2 + (y - 5)2 = 4; b) (x - 4)2 + (y + 1)2 = 1; c) (x - 5)2 + y2 = 3; d) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 50;e) (x + 2)2 + (y - 3)2 = 50; f (x - 6)2 + (y - 1)2 = 377. Identifique las grficas de estas ecuaciones:a) x2 + y2 + 16x - 12y + 10 = 0 .b) x2 + y2 - 4x + 5y + 10 = 0.c) x 2 + y 2 + x - y + = 0 .d) 4x2 + 4y2 + 8y - 3 = 0.e) x2 + y 2 - x - 2y + 3 = 0.f x2 + y2 + ^2 f - 2 = 0 .Respuestas: a) crculo con centro en ( - 8, 6) y radio 3VI; b) crculo con centro en (2, - -f) y radio y; c)crculo con centro en ( - y,y) y radio ^ ; d) crculo con centro en (0, - 1) y radio y; e) grfica vaca; f crculo con centro en (-V 2 /2,0) y radio V5/2.8. Halle las ecuaciones estndar de los crculos que pasan por a) (-2 , 1), (1, 4) y (-3 , 2); b) (0, 1), (2, 3) y(1,1 + V3); c) (6, 1), (2, -5 ) y (1, -4 ); d) (2, 3), ( - 6, -3 ) y (1, 4).Respuestas: a) (x + 1)2 + (y - 3)2 = 5; b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4; c) (x - 4)2 + (y + 2)2 = 13; d) (x + 2)2 + y2 = 25.9. Para qu valores de k el crculo (x + 2k)2 + (y - 3k)2 = 10 pasa por el punto (1, 0)?Respuesta: k = 13 o k = -110. Halle las ecuaciones estndar de los crculos de radio 2, tangentes a ambas rectas x = 1 y y =3.Respuestas: (x + 1)2 + (y - 1)2 = 4; (x + 1)2 + (y - 5)2 = 4; (x - 3)2 + (y - 1)2 = 4; (x - 3)2 + (y - 5)2 = 411. Halle el valor de k, de manera que x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 sea la ecuacin de un crculo de radio 5.Respuesta: k = -1212. Halle la ecuacin estndar del crculo que tiene como dimetro el segmento que une (2, -3 ) y (6, 5).Respuesta: (x - 4)2 + (y - 1)2 = 20 www.FreeLibros.me13. Halle la ecuacin estndar de todo crculo que pase por el origen, tenga radio 5 y cuya coordenada y de su centro sea - 4.Respuesta: (x - 3)2 + (y + 4)2 = 25 o (x + 3)2 + (y + 4)2 = 2514. Halle la ecuacin estndar del crculo que pasa por los puntos (8, -5 ) y (-1 , 4) y cuyo centro se encuentre en la recta 2x + 3y = 3.Respuesta: (x - 3)2 + (y + 1)2 = 4115. Halle la ecuacin estndar del crculo con centro (3, 5), tangente a la recta 12x - 5y + 2 = 0.Respuesta: (x - 3)2 + (y - 5)2 = 116. Halle la ecuacin estndar del crculo que pasa por el punto (1, 3 + V2") y es tangente a la recta x + y = 2 en (2, 0).Respuesta: (x - 5)2 + (y - 3)2 = 1817. Pruebe analticamente que un ngulo inscrito en un semicrculo es un ngulo recto (fig. 4.5).18. Halle la longitud de una tangente que va de (6, -2 ) al crculo (x - 1)2 + (y - 3)2 = 1 (fig. 4.6).Respuesta: 7yFig. 4 .619. Halle las ecuaciones estndar de los crculos que pasan por (2, 3) y son tangentes a ambas rectas 3x - 4y = -1 y 4x + 3y = 7.Respuesta: (x - 2)2 + y2 (y - 8) = 25 y ^x - 5 j ^y - ^ j = 120. Halle las ecuaciones estndar de los crculos que tienen sus centros en la recta 4x + 3y = 8 y son tangentes a ambas rectas x + y = -2 y 7x - y = - 6.Respuesta: (x - 1)2 + y2 = 2 y (x + 4)2 + (y - 8)2 = 1821. Halle la ecuacin estndar del crculo concntrico con el crculo x2 + y2 - 2x - 8y + 1 = 0 y es tangente a la recta 2x - y = 3.Respuesta: (x - 1)2 + (y - 4)2 = 5CAPTULO 4 Crculos www.FreeLibros.meCAPTULO 4 Crculos22. Halle las ecuaciones estndar de los crculos que tienen radio 10 y son tangentes al crculo x2 + y2 = 25 en el punto (3, 4).Respuesta: (x - 9)2 + (y - 12)2 = 100 y (x + 3)2 + (y + 4)2 = 10023. Halle las distancias mxima y mnima del punto (7, 12) al crculo x2 + y2 + 2x + 6y - 15 = 0.Respuestas: 22 y 1224. Sean % 1 y ^ 2 dos crculos que se interesecan y estn determinados por las ecuaciones x2 + y2 + A1x + B y + C1 = 0y x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0. Para todo nmero k * -1 , muestra quex2 + y2 + A 1x + B 1y + C1 + k(x2 + y2 + A2x + B2y + C2) = 0es la ecuacin de un crculo que pasa por los puntos de interseccin % y ^ 2. Demuestra, recprocamente, que cada uno de los crculos puede representarse por una de tales ecuaciones para un k conveniente.25. Halle la ecuacin estndar del crculo que pasa por el punto (-3, 1) y que contiene los puntos de interseccinde los crculos x2 + y2 + 5x = 1 y x2 + y2 + y = 7.\2Respuesta (usa el problema 24): (x + 1)2 + (y + 1^ 0) = y6926. Halle las ecuaciones estndar de los crculos que tienen centros en la recta 5x - 2y = -21 y son tangentes a ambos ejes de coordenadas.Respuestas: (x + 7)2 + (y + 7)2 = 49 y (x + 3)2 + (y - 3)2 = 927. a) Si dos crculos x2 + y2 + A 1x + B y + C1 = 0 y x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 se cortan en dos puntos, halle unaecuacin de la recta que pasa por sus puntos de interseccin.b) Pruebe que si dos crculos se cortan en dos puntos, entonces la recta que pasa por sus puntos de interseccin es perpendicular a la recta que pasa por sus centros.Respuestas: a) (A1 - A 2)x + (B1 - B2)y + (C1 - C2) = 028. Halle los puntos de interseccin de los crculos x2 + y2 + 8y - 64 = 0 y x2 + y2 - 6x - 16 = 0.Respuesta: (8, 0) y (^ 5 , 24).29. Halle las ecuaciones de las rectas que pasan por (4, 10) y son tangentes al crculo x2 + y2 - 4y - 36 = 0.Respuesta: y = -3 x + 22 y x - 3y + 26 = 0.30. ( c g = calculadora graficadora). Utilice una graficadora para dibujar los crculos de los problemas 7(d), 10, 14, y 15. (Nota: puede ser necesario resolver para y, es decir, despejar y.)31. (CG) a) Utilice una graficadora para sombrear el interior del crculo con centro en el origen y radio 3.b) Usa una graficadora para sombrear el exterior del crculo x2 + (y - 2)2 = 1.32. (CG) Utilice una graficadora para representar las desigualdades siguientes:a) (x - 1)2 + y2 < 4; b) x2 + y2 - 6x - 8y > 0. www.FreeLibros.meEcuaciones y sus grficasLa grfica de una ecuacinL a grfica de una ecuacin que tiene com o nicas variables x y y consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuacin.EJEMPLO 5.1. a) Cul es la grfica de la ecuacin 2x - y = 3?La ecuacin equivale a y = 2x - 3, o sea, la ecuacin punto-interseccin de la recta con pendiente 2 e interseccin con el eje y de -3.b) Cul es la grfica de la ecuacin x2 + y2 -2x + 4y - 4 = 0?Al completar el cuadro se observa que la ecuacin dada equivale a la ecuacin (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9. Por tanto,la grfica es el crculo con centro (1, -2 ) y radio 3.ParbolasConsidere la ecuacin y = x2. Si se sustituyen algunos valores de x y se calculan los valores asociados de y se obtienen los resultados tabulados en la figura 5.1. Es posible ubicar los puntos correspondientes com o se m uestra en la figura. Tales puntos sugieren una curva pronunciada, que pertenece a la fam ilia de curvas llam adas parbolas. En especial, las grficas de las ecuaciones de la form a y = ex2, donde c es una constante diferente de cero (no nula), son parbolas, igual que otras curvas obtenidas a partir de ellas m ediante traslaciones y rotaciones.y. , . i-10xy \ - 8 I3 9 (-x, y) \ - /(-x , y)2 4 \ -61 1 \ ~0 0 \ -4 -1 1 --2 4 2 /-3 9 V 1 i i i i ^-3 -2 -1 0 1 2 3Fig. 5.1En la figura 5.1 se observa que la grfica de y = x2 contiene el origen (0, 0), pero sus dem s puntos quedan por encim a del eje x, ya que x2 es positivo salvo cuando x = 0. Cuando x es positivo y crece, y tam bin crece sin lmite. Por tanto, en el prim er cuadrante la grfica se m ueve hacia arriba sin lm ite a m edida que avanza hacia la derecha. Com o (-x )2 = x2, se tiene que todo punto (x, y) est en la grfica en el prim er cuadrante; luego, el punto (-x, y) tam bin est en la grfica en el segundo cuadrante. As, la grfica es sim trica respecto al eje y. E l eje y se denom ina eje de simetra de esta parbola. www.FreeLibros.meCAPTULO 5 Ecuaciones y sus grficasElipsesPara trazar la grfica de la ecuacin J- + yr = , de nuevo se calculan algunos valores y se ubican los puntos correspondientes, com o se m uestra en la figura 5.2. L a grfica sugerida por esos puntos, que tam bin se dibuja en la figura, es un m iem bro de la fam ilia de curvas denom inadas elipses .X2 V2En particular, la grfica de una ecuacin de la form a ^ + J i = es una elipse, igual que toda curva obtenida de sta m ediante traslacin o rotacin.Observe que, a diferencia de las parbolas, las elipses estn acotadas. D e hecho, si (x , y ) est en la grfica de-9- + V4- = , entonces -9- < -9 + y- = , y, por tanto, x2 < 9. En consecuencia, -3 < x < 3. Luego, la grfica queda entre las rectas verticales x = -3 y x = 3. E l punto que se sita m s a la derecha es (3, 0), y el que queda ms a la izquierda es (-3 , 0). Con un razonam iento sim ilar se dem uestra que la grfica queda entre las rectas horizontales y = - 2 y y = 2, y que su punto m s bajo es (0, -2 ) y el m s alto es (0, 2). En el prim er cuadrante, com o x crece de 0 a 3, y decrece de 2 a 0. Si (x, y) es cualquier punto en la grfica, entonces (-x, y) tam bin est en la grfica. Por tanto, sta es sim trica respecto al eje y . D e m anera similar, si (x , y ) est en la grfica, tam bin lo est (x , - y ) y, por ende, la grfica es sim trica respecto al eje x .x y3 02 f V T = 3v r = 0 2- 5V T-2 V 5-3 0yFig. 5.2Cuando a = b, la elipse O1 + y- = es el crculo con la ecuacin x2 + y2 = a 2, es decir, un crculo con centro en el origen y radio igual a a . Por ende, los crculos son casos especiales de elipses.HiprbolasConsidere la grfica de la ecuacin Jr - = . A lgunos de los puntos en esta grfica se tabulan y se ubican enla figura 5.3. Estos puntos sugieren la curva que se m uestra en la figura, la cual es un miembro de una familia de curvas denominadas hiprbolas. Las grficas de las ecuaciones de la forma X-[ - = son hiprbolas, como loson todas las curvas obtenidas de stas m ediante traslaciones o rotaciones.yFig. 5.3 www.FreeLibros.meCAPTULO 5 Ecuaciones y sus grficas2. Trace la grfica de la ecuacin y = - x 2.Si (x, y) est en la grfica de la parbola y = x2 (fig. 5.1), entonces (x, -y) est en la grfica de y = -x 2, y viceversa. As, la grfica de y = - x 2 es el reflejo de la grfica y = x 2 en el eje x . El resultado es la parbola mostrada en la figura 5.6.3. Trace la grfica de x = y2.Esta grfica se obtiene de la parbola y = x 2 al intercambiar los papeles de x y y . La curva resultante es una parbola con el eje x como eje de simetra y su nariz en el origen (fig. 5.7). Un punto (x, y) est en la grfica de x = y2 si y slo si (y , x ) est en la grfica de y = x2. Como el segmento que une los puntos (x , y) y (y , x ) es perpendicular a la recta diagonal y = x (por qu?) y el punto medio , x +^yj de ese segmento est sobre la recta y = x (fig. 5.8), la parbola x = y2 se obtiene de la parbola y = x2 por reflexin en la recta y = x.yFig. 5.7 Fig. 5.8 www.FreeLibros.me4. Sea una recta y F un punto que no est en . Demuestre que el conjunto de todos los puntos equidistantes de F y es una parbola.Se construye un sistema de coordenadas tal que F quede en el eje y positivo y el eje x sea paralelo a y a medio camino entre F y (fig. 5.9). Sea 2p la distancia entre F y . Entonces, tiene la ecuacin y = -p y las coordenadas de F son (0, p).Considere un punto arbitrario P(x, y). Su distancia a es ly + pl y su distancia a F es -Jx2 + (y - p)2 . As, para que el punto sea equidistante de F y es necesario que ly + pl = J x2 + (y - p )2 . Al elevar al cuadrado da (y + p )2 = x2 + (y - p )2, de donde se obtiene que 4py = x2. sta es una ecuacin de una parbola con el eje y como su eje de simetra. El punto F se denomina foco de la parbola, y la recta se llama directriz. La cuerda AB que pasa por el foco y es paralela a se conoce como lado recto (latus rectum). La nariz de la parbola en (0, 0) es su vrtice.5. Halle la longitud del lado recto de la parbola 4py = x2.La coordenada y de los puntos extremos (terminales) A y B del lado recto (fig. 5.9) es p. Entonces, en estos puntos, 4p2 = x2 y, por tanto, x = 2p. As, la longitud AB del lado recto es 4p.6. Halle el foco, la directriz y la longitud del lado recto de la parbola y = 2 x2; tambin trace su grfica.La ecuacin de la parbola puede escribirse como 2y = x2. Por ende, 4p = 2 y p = y. Por consiguiente, el foco queda en (0, y), la ecuacin de la directriz es y = - 2 y la longitud del lado recto es 2. La grfica semuestra en la figura 5.10.7. Sean F y F' dos puntos distintos a una distancia 2c uno del otro. Demuestre que el conjunto de todos los puntos P(x, y) tales que PF + PF' = 2a, con a > c, forman una elipse.yCAPTULO 5 Ecuaciones y sus grficas www.FreeLibros.meCAPTULO 5 Ecuaciones y sus grficasConstruya un sistema de coordenadas tal que el eje x pase por F y F', el origen sea el punto medio del segmento FF' y F quede en el eje positivo x. Entonces, las coordenadas de F y F' son (c, 0) y (-c, 0) (fig. 5.11). Luego, la condicin PF + PF' = 2a equivale a .^(x - c)2 + y2 + y (x + c)2 + y2 = 2a.yDespus de reorganizar y elevar al cuadrado dos veces (para eliminar las races cuadradas) y realizar las operaciones indicadas se obtiene(a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2) (5.1)Puesto que a > c, a2 - c > 0. Sea b = Va2 - c2 . Entonces (5.1) se transforma en b2x2 + a2y2 = a2b2, lo que puede reescribirse como Or + fr = 1, es decir, la ecuacin de una elipse.Cuando y = 0, x2 = a2; entonces la elipse corta el eje x en los puntos A '(-a, 0) y A(a, 0), llamados los vrtices de la elipse (figura 5.11). El segmento A A se denomina eje mayor; el segmento OA se llama eje semimayor y tiene una longitud de a. El origen es el centro de la elipse. F y F son los focos (cada uno es un foco). Cuando x = 0, y2 = b2. En consecuencia, la elipse corta el eje y en los puntos B'(0, -b ) y B(0, b).El segmento B'B se conoce como eje menor; el segmento OB recibe el nombre de eje semimenor y tiene una longitud de b. Observe que b = Va2 - c2 < Va2 = a . Por ende, el eje semimenor es ms pequeo que el semimayor. La relacin bsica entre a, b y c es a2 = b2 + c2.La excentricidad de una elipse se define como e = c/a. Advierta que 0 < e < 1. Adems, e = sa2 - b2 /a = -j1 - (b/a)2 . As, cuando e es muy pequea b/a est muy cerca de 1, el eje menor se aproxima en tamao al eje mayor y la elipse est cerca de ser un crculo. Por otra parte, cuando e est prximo a 1, b/a se aproxima a cero, el eje menor es muy pequeo en comparacin con el mayor, la elipse resulta muy plana.8. Identifique la grfica de la ecuacin 9x2 + 16y2 = 144.La ecuacin equivale a x2/16 + y2/9 = 1. As, la grfica es una elipse con eje semimayor de longitud a = 4 y eje semimenor de longitud b = 3 (fig. 5.12 en la pgina siguiente). Los vrtices son (-4, 0) y (4, 0). Como c = Va2 - b2 = V16 - 9 = V7, la excentricidad e es c/a = -Jl /4 = 0.6614.9. Identifique la grfica de la ecuacin 25x2 + 4y2 = 100.La ecuacin equivale a x2/4 + y2/25 = 1, una elipse. Como el denominador de y2 es mayor que el denominador de x2, la grfica es una elipse con el eje mayor sobre el eje y y el eje menor sobre el eje x (fig. 5.13 en la pgina siguiente). Los vrtices quedan en (0, -5 ) y (0, 5). Luego, como c = Va2 - b2 = V2l , la excentricidad es V2T/5 = 0.9165.10. Sean F y F' puntos distintos, a una distancia de 2c uno del otro. Halle el conjunto de todos los puntos P(x, y) tales que \PF - PF ' = 2a, para todo a < c. www.FreeLibros.meFig. 5.12Escoja un sistema de coordenadas tal que el eje x pase por F y F' con el origen como el punto medio del segmento FF' y con F en el eje x positivo (fig. 5.14). Las coordenadas de F y F' son (c, 0) y (-c, 0). Entonces, la condicin dada equivale a yj(x - c)2 + y2 - yj(x + c)2 + y2 = 2a. Despus de las operaciones necesarias para eliminar las races cuadradas se obtiene(c2 - a2)x2 - a 2y2 = a2(c2 - a2) ( 1)Como c > a, c2 - a2 > 0. Sea b = -Vc2 - a2 (observe que a2 + b2 = c2). Entonces (1) se vuelve b2x2 - a2y2 =x2 y2a 2b2, lo que se reescribe como = 1, la ecuacin de la hiprbola.Cuando y = 0, x = a. En este caso la hiprbola corta el eje x en los puntos A '(-a, 0) y A(a, 0), denominados vrtices de la hiprbola. Las asntotas son y = a x. El segmento A'A se llama eje transverso. El segmento que une los puntos (0, -b ) y (0, b) recibe el nombre de eje conjugado. El centro de la hiprbola es el origen. Los puntos F y F' se llaman focos. La excentricidad se define como e = a = ^ a-+b- = J 1+( a )2. Como c > a, e > 1. Cuando e est prximo a 1, b es muy pequeo respecto a a y la hiprbola tiene una nariz muy puntiaguda; cuando e es muy larga, b es muy larga respecto a a y la hiprbola resulta muy plana .yyFig. 5.14CAPTULO 5 Ecuaciones y sus grficas www.FreeLibros.meCAPTULO 5 Ecuaciones y sus grficas11. Identifique la grfica de la ecuacin 25x2 - 16y2 = 400.x2 _ y2 "16 25Esta ecuacin equivale a 16 _ 25 = 1, que es la ecuacin de una hiprbola con el eje x como su ejetransverso, los vrtices (-4, 0) y (4, 0) y las asntotas y = fx (fig. 5.15).y12. Identifique la grfica de la ecuacin y2 - 4x2 = 4.La ecuacin equivale a y- _ = 1, que es la de una hiprbola, con los papeles de x y y intercambiados,de manera que el eje transverso es el eje y, el eje conjugado es el eje x y los vrtices son (0, -2 ) y (0, 2). Las asntotas son x = + y y o, de forma equivalente, y = 2x (fig. 5.16).13. Identifique la grfica de la ecuacin y = (x - 1)2.Un punto (u, v) est en la grfica de y = (x - 1)2 si y slo si (u - 1, v) est en la grfica de y = x2. Por tanto, la grfica deseada se obtiene de la parbola y = x2 moviendo cada punto de la parbola una unidad a la derecha (fig. 5.17).TJ , . , (x _ 1)2 (y _ 2)214. Identifique la grafica de la ecuacin 4---- + -^9 - = 1.Un punto (u, v) est en la grfica si y slo si el punto (u - 1, v - 2) est en la grfica de la ecuacin x2/4 + y2/9 = 1. Entonces la grfica deseada se obtiene al mover la elipse x2/4 + y2/9 = 1 una unidad a la derecha y dosxyFig. 5.16 Fig. 5.17 www.FreeLibros.meunidades hacia arriba (fig. 5.18). El centro de la elipse queda en (1, 2), el eje mayor se sita sobre la recta x =1 y el eje menor queda sobre la recta y = 2.15. Cmo se relaciona la grfica de una ecuacin F(x - a, y - b) = 0 con la grfica de la ecuacin F(x, y) = 0?Un punto (u, v) est en la grfica de F(x - a, y - b) = 0 si y slo si el punto (u - a, v - b) est en la grfica de F(x, y) = 0. Entonces, en la grfica de F(x - a, y - b) = 0 se obtiene al mover cada punto de la grfica de F(x, y) = 0 a unidades a la derecha y b unidades hacia arriba. (Si a es negativo, se mueve el punto lal unidades a la izquierda. Si b es negativo, se mueve el punto Ibl unidades hacia abajo.) Tal movimiento se denomina traslacin.16. Identifique la grfica de la ecuacin y = x2 - 2x.Al completar el cuadrado en x se llega a y + 1 = (x - 1)2. Con base en los resultados del problema 15, la grfica se obtiene mediante una traslacin de la parbola y = x2 de manera que el nuevo vrtice es (1, - 1) [observe que y + 1 es y - (-1)], como se muestra en la figura 5.19.Fig. 5 .1817. Identifique la grfica de 4x2 - 9y2 - 16x + 18y - 29 = 0.Mediante factorizacin se tiene que 4(x2 - 4x) - 9(y2 - 2y) - 29 = 0, y luego al completar el cuadrado en x yen y se produce 4(x - 2)2 - 9(y - 1)2 = 36. Al dividir entre 36 se obtiene (x - 2)2 (y - 1)29 4 = 1. Segn los resultadosdel problema 15, la grfica de esta ecuacin se obtiene trasladando la hiprbola ^ = 1 dos unidades a laderecha y una unidad hacia arriba, de manera que el nuevo centro de simetra de la hiprbola sea (2, 1) (fig. 5.20).yyFig. 5.20CAPTULO 5 Ecuaciones y sus grficas www.FreeLibros.meCAPTULO 5 Ecuaciones y sus grficas18. Trace la grfica de la ecuacin xy = 1.Algunos puntos de la grfica se tabulan y se ubican en la figura 5.21. La curva sugerida por esos puntos se muestra como una lnea punteada. Puede demostrarse que esta curva es una hiprbola con la recta y = x como eje transverso, la recta y = -x como eje conjugado, los vrtices ( - 1, - 1) y (1, 1) y los ejes x y y como asntotas. De igual forma, la grfica de toda ecuacin xy = d , donde d es una constante positiva, es una hiprbola con y = x como eje transverso, y = -x como eje conjugado y con los ejes de coordenadas como asntotas. Tales hiprbolas se denominan hiprbolas equilteras. Pueden mostrarse como rotaciones de hiprbolas de la forma x2/a2 - y2/a2 = 1.x y3 1/32 1/21 11/2 21/3 31/4 4-1/4 -4-1/3 -3- 1/2 -2-1 -1-2 - 1/2-3 -1/3i41-T|3- i21-4 -3 -2 -1 l i l i\*\\v1_i T -----------^-------------0 ..' X1\\i1- -1 - -22 3\.1- -31T - -4Fig. 5.21PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS19. a) En una misma hoja de papel, trace las grficas de las parbolas siguientes:i) y = 2x2 ii) y = 3x2 iii) y = 4x2 iv) y = 2 x 2 v) y = 1 x2b) (CG = calculadora graficadora) Utilice una graficadora para comparar las respuestas del inciso a).20. a) En una misma hoja de papel, trace las grficas de las parbolas siguientes e indique los puntos deinterseccin:i) y = x2 ii) y = - x2 iii) x = y2 iv) x = - y2b) ( c g ) Utilice una graficadora para comprobar las respuestas del inciso a).21. Trace las grficas de las ecuaciones siguientes:a) y = x3 -1 b) y = (x - 2)3 c) y = (x + 1)3 -2d) y = -x 3 e) y = -(x - 1)3 f y = -(x - 1)3 + 222. (CG) Utilice una graficadora para responder el problema 21. www.FreeLibros.me23. Identifique y trace las grficas de las ecuaciones siguientes:a) y 2 - x2 = 1 b) 25x2 + 36y2 = 900d) xy = 4 e) 4x2 + 4y2 = 1g) 10y = x2 h) 4x2 + 9y2 = 16j) 3y2 - x2 = 9c) 2x2 - y 2 = 4f ) 8x = y2i) xy = -1Respuestas: a) hiprbola, eje y como eje transverso, vrtices (0, 1), asntotas y = x; b) elipse, vrtices( 6, 0) focos (+VTT, 0); c) hiprbola, eje x como eje transverso, vrtices (V2 , 0), asntotas y = x-Jlx; d) hiprbola, y = x como eje transverso, vrtices (2, 2) y ( - 2, - 2), ejes x y y como asntotas; e) crculo, centro (0, 0 ), radio y; f ) parbola, vrtice (0, 0), foco (2, 0), directriz x = - 2; g) parbola, vrtice (0, 0), foco (0, f ) , directriz y = -|; h) elipse, vrtices (2, 0), focos ( fV 5 ,0 ) ; 0 hiprbola, y = -x como eje transverso, vrtices ( - 1, 1) y (1, - 1), ejes x y y como asntotas; j) hiprbola, eje y como eje transverso, vrtices (0, y3), asntotas y = xV3x/3.>-oomogoo324. ( c g ) Utilice una graficadora para trazar las grficas del problema 23.25. Identifique y trace las grficas de las ecuaciones siguientes:a) 4x2 - 3y2 + 8x + 12y - 4 = 0 b) 5x2 + y2 - 20x + 6y + 25 = 0 c) x2 - 6x - 4y + 5 = 0d) 2x2 + y2 - 4x + 4y + 6 = 0 e) 3x2 + 2y2 + 12x - 4y + 15 = 0 f) (x - 1)(y + 2) = 1g) xy - 3x - 2y + 5 = 0 [Sugerencia: compare con el inciso f)] h) 4x2 + y2 + 8x + 4y + 4 = 0i) 2x2 - 8x - y + 11 = 0 j) 25x2 + 16y2 - 100x - 32y - 284 = 0Respuestas: a) grfica vaca; b) elipse, centro en (2, -3 ); c) parbola, vrtice en (3, -1); d) un solo punto(1, -2 ); e) grfica vaca; f) hiprbola, centro en (1, -2 ); g) hiprbola, centro en (2, 3); h) elipse, centro en (-1, 2); i) parbola, vrtice en (2, 3); j) elipse, centro en (2, 1).26. ( c g ) Utilice una graficadora para trazar las grficas del problema 25.27. Halle el foco, la directriz y la longitud del lado recto de las parbolas siguientes:a) 10x2 = 3y b) 2y2 = 3x c) 4y = x2 + 4x + 8 d) 8y = -x 2Respuestas: a) foco en (0, -Jy), directriz y = -40, lado recto 10; b) foco en (-1,0), directriz x = 8, lado recto 3c) foco en (-2, 2), directriz y = 0, lado recto 4; d) foco en (0, -2), directriz y = 2, lado recto 8.28. Halle la ecuacin para cada parbola que satisfaga estas condiciones:a) Foco en (0, -3), directriz y = 3 b) Foco en (6, 0), directriz x = 2c) Foco en (1, 4), directriz y = 0 d) Vrtice en (1, 2), foco en (1, 4)e) Vrtice en (3, 0), directriz y = 0f ) Vrtice en el origen, eje y como eje de simetra; contiene el punto (3, 18)g) Vrtice en (3, 5), eje de simetra paralelo al eje y; contiene el punto (5, 7)h) Eje de simetra paralelo al eje x, contiene los puntos (0, 1), (3, 2), (1, 3)i) Lado recto (latus rectum) es el segmento que une (2, 4) y (6, 4), contiene el punto (8, 1)j) Contiene los puntos (1, 10) y (2, 4), el eje de simetra es vertical, el vrtice est en la recta 4x - 3y = 6Respuestas: a) 12y = -x 2; b) 8(x - 4) = y2; c) 8(y - 2) = (x - 1)2; d) 8(y - 2) = (x - 1)2; e) 8(x - 3) = y2; f ) y =2x2; g) 2(y - 5) = (x - 3)2; h) 2 (x -f-) = 5(y )2; i) 4(y - 5) = - (x - 4)2; j) y - 2 = 2(x - 3)2 obien, y ^ = 26 (x )2. www.FreeLibros.meCAPTULO 5 Ecuaciones y sus grficas29. Halle la ecuacin para cada elipse que satisfaga las condiciones siguientes:a) Centro en el origen, un foco en (0, 5) y longitud del eje semimayor, 13b) Centro en el origen, eje mayor sobre el eje y ; contiene los puntos (1,2^3) y (y , VT5)c) Centro en (2, 4), foco en (7, 4), contiene el punto (5, 8)d) Centro en (0, 1), un vrtice en (6, 1), excentricidad ye) Focos en (0, y ), contiene el punto (y, 1)f Focos (0, 9), eje semimenor de longitud 12n _____ . . . . ., *2 , y2 _ *2 , y2 (x - 2)2 , (y - 4)2 1 , ^ x2 , (y - 1)2 ^ , 9y2 _Rw pm sfs. a) 144 + 169 1; b) 4 + 16 1; c) 45 + 20 1 ; 36 20 1 e) 252 2144 + 225 130. Halle una ecuacin para cada hiprbola que satisfaga las condiciones que siguen:a) Centro en el origen, con x como eje transverso; contiene los puntos (6, 4) y (-3 , 1)b) Centro en el origen y un vrtice en (3, 0); una asntota es y _ y xc) Tiene asntotas y _ V 2x, contiene el punto (1, 2)d) Centro en el origen, un foco en (4, 0), un vrtice en (3, 0)5 x2 y2 x2 y2 y2 x2 y2Respuestas: a) - ^ _ 1 ; b) ^ - ^ _ 1 ; c) - x2 _ 1; d) ^ - yr _131. Halle una ecuacin de la hiprbola que conste de todos los puntos P(x, y) tales que \PF - PF'\ = 2>/2, donde F _ (V2 ,V2 ) y F ' = (-V 2 ,-V 2 ).Respuesta: xy = 1x2 y2 232. (CG) Utilice una graficadora para trazar la hiprbola -9 - ^4 _ 1 y con asntotas y = 3 x.33. (CG) Use una graficadora para trazar las elipses x2 + 4y2 = 1 y (x - 3)2 + 4(y - 2)2 = 1. Cmo se obtiene la ltima grfica a partir del primero? www.FreeLibros.meFuncionesSe dice que una cantidad y es una func in de otra cantidad x si el valor de y queda determ inado por el valor de x. Si f sim boliza la funcin, entonces la dependencia de y en x se indica m ediante la frm ula y = f x ) . L a letra x se denom ina variable independiente y la letra y variable dependiente. La variable independiente tam bin recibe el nom bre de argumento de la funcin y la variable dependiente valor de la funcin.Por ejemplo, el rea A de un cuadrado es una funcin de la longitud s de un lado del cuadrado, y esa funcin puede expresarse m ediante la frm ula A = s2. En este caso, s es la variable independiente y A la variable dependiente.E l dominio de una funcin es el conjunto de nm eros al que puede aplicrsele la funcin, es decir, el conjun to de nm eros que se asignan a la variable independiente. E l rango de una funcin se refiere al conjunto de nm eros que la funcin asocia con los nm eros del dominio.EJEMPLO 6.1. La frmula f x ) = x2 determina una funcin f por medio de la cual a cada nmero real x se asigna su cuadrado. El dominio consta de todos los nmeros reales. Se puede observar que el rango comprende todos los nmeros reales no negativos. De hecho, cada valor x2 es no negativo. Recprocamente, si r es cualquier nmero real no negativo, entonces r aparece como un valor cuando la funcin se aplica a -Jr, como r = (Vr )2.EJEMPLO 6.2. Sea g la funcin definida por la frmula g(x) = x2 - 4x + 2 para todos los nmeros reales. Luego,g(1) = (1)2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1yg(-2) = (-2 )2 - 4(-2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 Tambin, para cualquier nmero a, g(a + 1)2 - 4(a + 1) + 2 = a2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 2 = a2 - 2a - 1.EJEMPLO 6.3. a) Sea la funcin h(x) = 18x - 3x2 definida para todos los nmeros reales x. Entonces, el dominio es el conjunto de todos los nmeros reales. b) El rea A de cierto rectngulo, uno de cuyos lados tiene longitud x, se calcula con A = 18x - 3x2. Tanto x como A deben ser positivas. Ahora, al completar el cuadrado se obtieneA = -3(x2 - 6x) = -3[(x - 3)2 - 9] = 27 - 3(x - 3)2Como A > 0, 3(x - 3)2 < 27, (x - 3)2 < 9, |x - 3| < 3. Por ende, -3 < x - 3 < 3, 0 < x < 6. Luego, la funcin quedetermina A tiene en su dominio el intervalo abierto (0, 6). La grfica de A = 27 - 3(x - 3)2 es la parbola que apareceen la figura 6.1. A partir de la grfica se observa que el rango de la funcin es el intervalo semiabierto (0, 27).As, la funcin del inciso b) est dada por la misma frmula que la funcin del inciso a), pero el dominio de la primera es un subconjunto apropiado del dominio de la segunda. www.FreeLibros.me^ 5 CAPTULO 6 FuncionesL a g r f ic a d e u n a fu n c i n f se d e f in e c o m o la g r f ic a d e la e c u a c i n y = f x ).EJEMPLO 6.4. a) C o n s id e r e la fu n c i n f x ) = |x|. S u g r f ic a e s la d e la e c u a c i n y = |x| y se in d ic a e n la f ig u r a 6 .2 . O b s e r v e q u e f x) = x c u a n d o x > 0, m ien tra s q u e f x ) = - x c u a n d o x < 0. E l d o m in io d e f c o n s ta d e to d o s lo s n m e ro s re a le s . (En general, si una funcin est dada por una frmula, si no se dice lo contrario, se supondr que el dominio consta de todos los nmeros para los que se define la frm ula .) E n la g r f ic a d e la f ig u r a 6 .2 s e o b s e r v a q u e e l ra n g o d e la fu n c i n c o n s ta d e to d o s lo s n m e ro s r e a le s n o n e g a t iv o s . (En general, el rango de una funcin es el conjunto de coordenadas y de todos los puntos de la grfica de una funcin.) b) L a f r m u la g(x) = 2x + 3 d e f in e u n a fu n c i n g, c u y a g r f ic a e s la d e la e c u a c i n y = 2x + 3, q u e e s la ln e a r e c ta c o n p e n d ie n te 2 e in te rs e c c i n c o n e l e je y e n 3. E l c o n ju n to d e to d o s lo s n m e ro s r e a le s e s tan to e l d o m in io c o m o e l ra n g o d e g.EJEMPLO 6.5. S e a u n a fu n c i n g d e fin id a d e e sta m an era:si 2 < x < 4 si 1 < x < 2g(x) = xI x +1U n a fu n c i n e x p r e s a d a d e e sta fo r m a e st definida por casos. O b s e r v e q u e e l d o m in io d e g e s e l in te rv a lo ce rra d o[ 1 , 4].En una rigurosa aplicacin de las m atem ticas, una funcin f se define com o un conjunto de pares ordenados tales que si (x, y) y (x, z) estn en el conjuntof, entonces y = z. Sin embargo, esta definicin oscurece el significado intuitivo de la nocin de funcin.Axyx www.FreeLibros.mePROBLEMAS RESUELTOSDada f (x) =a) f (0)=x - 1 x2 + 2 0 - 1halle: a) f(0 ); b) f ( -1 ) ; c) f(2a ); d) f(1/x); e) f ( x + h).-1 - 1 20 + 2 b) f (-1) = 1 + 2 3 c) f (2a) =2a - 1 4a2 + 2e) f (x + h) = x + h - 1 x + h - 1(x + h)2 + 2 x2 + 2 hx + h2 + 2f (x + 3)2. Si f (x) = 2x, demuestre que: a) f (x + 3) - f (x - 1) = 15 f (x), y b) f (x _ 1) = f (4). a) f (x + 3) - f (x - 1) = 2x+3 - 2x-1 = 2x (23 - | ) = f f (x) b) f (x + 3) = 2 - 3 = 24 = f (4)f (x - 1) 21-1 2 f (4)3. Determine los dominios de las funciones:b) y = Vx2 - 16a) y = y4 - x21c) y = x - 2d) y = x2 - 9e) y = x2 + 4a) Como y debe ser real, 4 - x2 > 0, o bien, x2 < 4. El dominio es el intervalo -2 < x < 2.b) Aqu, x2 - 16 > 0, o bien, x2 > 16. El dominio consta de los intervalos x < - 4 y x > 4.c) La funcin se define para cada valor de x excepto 2.d) La funcin se define para x * 3.e) Como x2 + 4 * 0 para todo x, el dominio es el conjunto de todos los nmeros reales.4. Trace la grfica de la funcin definida como sigue:f x ) = 5 cuando 0 < x < 1 f x ) = 10 cuando 1 < x < 2f(x) = 15 cuando 2 < x < 3 f(x) = 20 cuando 3 < x < 4, etc.Determine el dominio y el rango de la funcin.La grfica se muestra en la figura 6.3. El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales positivos y el rango es el conjunto de enteros 5, 10, 15, 20, ...50--o -o -o - -o----------Fig. 6.31xy25201510x5. Se requieren 2 000 pies de alambre para cercar un terreno rectangular. Si una de las dimensiones del terreno es x (en pies), exprese su rea y (en pies cuadrados) como funcin de x y determine el dominio de la funcin.Como una dimensin es x, la otra es y (2000 - 2x) = 1000 - x . Entonces el rea es y = x(1 000 - x) y el dominio de esta funcin es 0 < x < 1 000.6. Exprese la longitud l de la cuerda de un crculo de radio 8 como funcin de su distancia x del centro del crculo. Determine el dominio de la funcin.CAPTULO 6 Funciones www.FreeLibros.me >7.En la figura 6.4 se observa que yZ = V64 - x2, de manera que Z = 2V64 - x2 . El dominio es el intervalo 0 < x < 8.______ CAPTULO 6 FuncionesDe cada esquina de un cuadrado de hojalata de 12 pulgadas de lado se retiran pequeos cuadrados de x (pulgadas) de lado y los extremos se doblan para formar una caja abierta (figura 6.5). Exprese el volumen V de la caja (en pulgadas cbicas) como funcin de x y determine el dominio de la funcin.Fig. 6.5La caja tiene una base cuadrada de lado 12 - 2x y una altura de x. Entonces, el volumen de la caja esV = x(12 - 2x)2 = 4x(6 - x)2. El dominio es el intervalo 0 < x < 6.A medida que x crece sobre su dominio, V aumenta por un tiempo y luego decrece. Por consiguiente, entre las cajas que pueden construirse hay una con un volumen ms grande, digamos, M. Para determinar M es necesario ubicar el valor preciso de x en el que V deja de aumentar. Este problema se estudiar en un captulo posterior.Si f(x) = x2 + 2x, halle f (a + h e interprete el resultado.f (a + h) - f (a) = [(a + h)2 + 2(a + h)] - (a2 + 2a) = 2 + 2 + h h hEn la grfica de la funcin (fig. 6.6), localice los puntos P y Q cuyas abscisas respectivas son a y a + h. La ordenada de P es f(a) y la de Q es f(a + h). Entoncesf (a + h) - f (a) _ diferencia de ordenadash diferencia de abscisas = pendiente de PQy www.FreeLibros.me9. S e a fx ) = x2 - 2x + 3. Evale a)f(3); b )f(-3 ); c)f(-x); d) f (x + 2); e) f( x - 2); f ) f(x + h); g)f(x + h) - f(x); h) f (x + h) - f (x)a)b)c)d)e)f ) g) h)hf(3) = 32 - 2(3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6 f - 3 ) = (-3)2 - 2(-3) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18 f (-x ) = (-x )2 - 2(-x) + 3 = x2 + 2x + 3f x + 2) = (x + 2)2 - 2(x + 2) + 3 = x2 + 4x + 4 - 2x - 4 + 3 = x2 + 2x + 3 f x - 2) = (x - 2)2 - 2(x - 2) + 3 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4 + 3 = x2 - 6x + 11 f(x + h) = (x + h)2 - 2(x + h) + 3 = x2 + 2hx + h2 - 2x - 2h + 3 = x2 + (2h - 2)x + (h2 - 2h + 3)f x + h) - f x ) - [x2 + (2h - 2)x + (h2 - 2h + 3)] - (x2 - 2x + 3) = 2hx + h2 - 2h = h(2x + h - 2)f (x + h) - f (x) = h(2x + h - 2) = 2x + h - 2h h10. Trace la grfica de la funcin f (x) = -J4 - x2 y hace su dominio y su rango.La grfica de f es la de la ecuacin y = V4 - x2. Para los puntos de esta grfica, y2 = 4 - x2; es decir x2 + y2 = 4. La grfica de esta ltima ecuacin es el crculo con centro en el origen y radio 2. Como y = V4 - x2 > 0, la grfica deseada es la mitad superior de ese crculo. En la figura 6.7 se muestra que el dominio es el intervalo -2 < x < 2, en tanto que el rango es el intervalo 0 < y < 2.PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS11. Si f x ) = x2 - 4x + 6, halle a) f(0); b) f(3); c) f - 2 ) . Demuestre que f () = f y f(2 - h) = f(2 + h).Respuestas: a) -6 ; b) 3; c) 18 x - 112. Si f (x) = -x +1Respuestas: a) -1 ; b) 0; c) 3halla a)f(0); b)f(1); c)f(-2 ). Demuestre que f | x - f ( x) y f ( - 1 f (x ) '13. Si f x ) = x2 - x, pruebe que f x + 1) = f - x ) .14. S ifx ) = 1/x, demuestre que f (a) - f (b) = f ^15. Si y = f (x) = 4x+ r5 , pruebe que x = f (y)yxCAPTULO 6 Funciones www.FreeLibros.meCAPTULO 6 Funciones16. Determine el dominio de cada una de las funciones siguientes:a) y = x2 + 4 b) y = Vx2 + 4 c) y = Vx2 - 42x _ 1d) y = x + 3e) y = (x - 2)(x + 1) f) y = g) y =x2 - 1 x2 + 1 h) y = ^Respuestas: a), b) y g) todos los valores de x; c) |x| > 2; d) x * -3 ; e) x * -1 , 2; f) -3 < x < 3; h) 0 < x < 217. Calcule f ( a + h)f ( a ) en estos casos: ha) f (x) = -----cuando a * 2 y a + h * 2x - 2b) f (x) = Vx - 4 cuando a > 4 y a + h > 4c) f (x) = x + 1 cuando a * -1 y a + h * -1- 1 1 1Resp a) (a - 2 Xa + h - 2 ) ; b) Va + h - 4 W a - 4 ; C' (a + < + h + 1)18. Trace las grficas de las funciones siguientes y halle sus dominios y rangos:Ix - 1 s i0 < x < 1a) f x ) = -x 2 + 1 b) f (x) = i[2 x si 1 < xc) f(x) = [x] = el mayor entero menor o igual que xd)x2 _4f (x ) = x - 2 e) f (x) = 5 - x2 f )g)m-=f(x) h) f(x) = 4/x i)j ) f(x) = x - |x|[x si x > 0 k) f (x) = jsi x < 0Respuestas: a) dominio, todos los nmeros; rango, y < 1b) dominio, x > 0; rango, -1 < y < 0 o bien, y > 2c) dominio, todos los nmeros; rango, todos los enterosd) dominio, x * 2; rango, y * 4e) dominio, todos los nmeros; rango, y < 5f ) dominio, x > 0; rango, y < 0g) dominio, todos los nmeros; rango, y > 0h) dominio, x * 0; rango, y * 0i) dominio, x * 0; rango, {-1, 1}j) dominio, todos los nmeros; rango, y < 0 k) dominio, todos los nmeros; rango, y > 019. ( c g ) Utilice una graficadora para comprobar las respuestas del problema 18.20. Evale la expresin f (x + h)f ^ para las funciones f que siguen:a) f(x) = 3x - x2 c) f(x) = 3x - 5b) f (x) = -j2 xd) f (x) = x3 - 2 2Respuestas: a) 3 - 2x - h; b) =------ ; = ; c) 3; d) 3x2 + 3xh + h2yj 2( x + h) + \ 2 x21. Halle una frmula para la funcin f cuya grfica conste de todos los puntos que satisfacen cada una de las ecuaciones siguientes (es decir, resuelva para y en cada ecuacin):a) x5y + 4x - 2 = 02 + yb) x = 2- y c) 4x2 - 4xy + y2 = 0x2 x www.FreeLibros.me2 _ 4 2 (x _ 1)Respuestas: a) f (x) = ---- ^ b) f (x) = i c) f(x) = 2xX x + 122. Trace la grfica de estas funciones y halle su dominio y su rango:[x + 2 si 1 < x < 0 [2 _ x s i0 < x < 2 [ x2 4 . ^a) f (x) = si 0 < x < 1 | x _ 1 s i3 < x < 4 I 4 six = 2xRespuestas: a) dominio = (-1, 1], rango = [0, 2)b) dominio = (0, 2) u [3, 4), rango = (0, 3)c) dominio y rango = conjunto de todos los nmeros reales23. ( c g ) Compruebe las respuestas del problema 22 con una graficadora.24. En cada uno de los casos que siguen, defina una funcin que tenga el conjunto 3 como dominio y el conjunto $1 como rango: a) % = (0, 2) y $1 = (1, 7); b) % = (0, 1) y $1 (1, ^ ) .Respuestas: a) una de las funciones es f(x) = 3x + 1; b) una de las funciones es f (x) = .1x25. a) Pruebe el criterio de la recta vertical: un conjunto de puntos en el plano xy es la grfica de una funcin si y slo si el conjunto interseca toda recta vertical, a lo sumo, en un punto.b) Determine si cada conjunto de puntos en la figura 6.8 es la grfica de una funcin.Respuesta: Slo (b) es la grfica de una funcin.Fig. 6 .8CAPTULO 6 Funciones www.FreeLibros.meLmitesLmite de una funcinSi f es una funcin, entonces se dice queA es el lm ite de f (x) cuando x se aproxim a a asi el valor de f (x ) se acerca arbitrariam ente a A cuando x se aproxim a a a. En notacin m atem tica esto se expresa as:lm f (x) = Ax^aPor ejemplo, lmx^ 3 x2 = 9, ya que x2 se aproxim a arbitrariam ente a 9 a m edida que x se aproxim a a 3 tanto como se desee. La definicin puede plantearse en lenguaje matem tico m s preciso de la m anera siguiente: lmMa f (x) = A si y slo si, para cualquier nm ero positivo seleccionado 5, aunque sea pequeo, existe un nm ero positivo e tal que siempre que 0 < lx - al < 5, entonces f (x) - Al < e .Lo fundam ental de la definicin se ilustra en la figura 7.1. Despus que se ha seleccionado e [es decir, despus de seleccionar el intervalo ii)], 5 se puede hallar [o sea, el intervalo i) puede determ inarse] de m odo que siem pre que x T a est en el intervalo i), por ejem plo en x0, en toncesf(x ) est en el intervalo ii), e n f (x 0). Es im portante sealar que el que lmMa f(x ) = A sea verdad no depende del valor de f (x) cuando x = a. D e hecho, f (x) ni siquiera necesita estar definida cuando x = a.x0 f(xo)- o ----------- O------------O------------ x ------o ------------------------------------------- O - f(x)a 8 a a + 8 A e A A + e(i) (ii) Fig. 7.1EJEMPLO 7.1. lm x 4 = 4, aunque 4 no est definida cuando x = 2. Comox^ 2 x - 2 ^ x - 2x2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 2x - 2 x - 2se observa que 4 se aproxima a 4 cuando x se aproxima a 2.EJEMPLO 7.2. Usemos la definicin precisa de lmite para demostrar que lmx ,2(4x - 5) = 3 lm (4x- 5) = 3. Seax--^ 2e > 0. Se debe producir un 8 > 0 tal que siempre que 0 < lx - 2l < 8, entonces l(4x - 5) - 3l < e .En primer lugar, observe que l(4x - 5) - 3l = l4x - 8l = 4 lx - 2l.Si se toma 8 como e /4, entonces siempre que 0 < lx - 2l < 8, (4x - 5) - 3 = 4lx - 2l < 48 = e . www.FreeLibros.meLmites por la derecha y por la izquierdaA continuacin se explicar qu son los lm ites laterales de f (x ) cuando x se aproxim a a a por el lado derechoo por el izquierdo. Por lmMa- f(x ) = A se entiende que f est definida en algn intervalo abierto (c, a) y f(x ) se aproxim a a A cuando x se acerca a a por valores m enores que a, es decir, cuando x tiende hacia a p o r la izquierda. D e igual forma, lmMa+ f(x ) = A significa que f est definida en algn intervalo (a, d) y f ( x ) tiende a A cuando x se aproxim a a a p o r la derecha. Si f est definida en un intervalo a la izquierda de a y en un intervalo a la derecha de a, entonces la afirm acin lmx^ a f (x ) = A equivale a la conjuncin de las dos afirm aciones lmx^ a- f(x ) = A y lmMa+ f(x ) = A. M s adelante ver ejem plos donde la existencia del lm ite por la izquierda no im plica la existencia del lm ite por la derecha y a la inversa.Cuando una funcin est definida slo en un lado de un punto a, entonces lmMa f(x ) = A es idntico al lmite lateral, si existe. Por ejemplo, si f(x) = 4 x , entonces f est definida slo a la derecha de cero. Por tanto, como lmx^ 0+ y[x = 0 tam bin escribim os lmx^ 0 4 x = 0. Claro que lmM (r J x = 0 no existe, ya que 4 x no est definida cuando x < 0. ste es un ejem plo en que la existencia de un lm ite lateral no im plica la existencia de un lmite del otro lado. Como otro ejemplo interesante, considere la funcin g(x) = V1/x, que est definida slo para x > 0. En este caso, lmM0+ VTTx no existe, ya que 1/x aum enta m s y m s sin lm ite cuando x tiende a cero por la derecha. Por consiguiente, lmx^ 0 \[l/x no existe.v2 ti & I 1 ntifxra I ^ _ < -v < '^tnri iAmmiA Vi a (EJEMPLO 7.3. La funcin f(x) = ^ 9 - x2 tiene el intervalo -3 < x < 3 como dominio. Si a es cualquier nmero del intervalo (-3, 3), entonces l m ^ ^ 9 - x2 existe y es igual a ,J9 - a2. Ahora considere a = 3. Sea x que tiende a3 por la izquierda; entonces l m ^ ^/9 - x 2. Para x > 3, ,J9 - x 2 no est definida, ya que 9 - x2 es negativa. Por tanto, lmx^ 3 V9 - x 2 = lmx^ 3- y/9 - x 2 = 0. De igual forma, l m ^ ,/9 - x2 = lmx^ 3+ ,J9 - x 2 = 0.Teoremas sobre lmitesLos teorem as siguientes son intuitivam ente claros. Las dem ostraciones de algunos de ellos estn dadas en el problem a 11.Teorema 7.1. Si f(x) = c, una constante, entonces lm f( x) = c.x^aPara los cinco teoremas siguientes, se supone que lm f (x) = A y lm g(x) = B.x^a x^aTeorema 7.2. lm c f(x ) = c lm f(x) = cA.x^a x^aTeorema 7.3. lm[ f (x) g(x)] = lm f (x) lmg(x) = A B.x^a x^a x^aTeorema 7.4. lm [ f (x)g(x)] = l m f(x ) lmg(x) = A B.x^a x^a x^a f ( xiN lm f (x) ATeorema 7.5. lm ; { = l? a ( ^ a , si B ^ 0.x^a I g(x) I limg(x) BTeorema 7.6.Infinitolm d f ( x) = ni lm f ( x) = 4 , si t fA est definida.x^a \ x^aSealm f (x) = +que significa que cuando x tiende a a, a la postre f (x) poco a poco se vuelve m ayor que cualquier nm ero positivo previam ente determinado, por grande que fuere. En este caso, f ( x ) tiende a + ^ cuando x se aproxim a a a. M s exactam ente lmMa f ( x ) = + ^ si y slo si para cualquier nm ero positivo M existe un nm ero positivo 5 tal que siempre que 0 < lx - al < 5, entonces f (x) > M.CAPTULO 7 Lmites www.FreeLibros.meCAPTULO 7 Lm itesD e igual modo,lm f (x) = +ox^asignifica que, cuando x tiende a a, a la postre f (x) se vuelve m enor que cualquier nm ero negativo previam ente asignado. En tal caso, se dice que f (x) tiende a - ^ cuando x tiende a a.Sealm f (x) = -oax^alo cual significa que cuando x tiende a a, f(x )l progresivam ente se vuelve m ayor que todo nm ero positivo previam ente asignado. Por tanto, lmMa f(x ) = ^ si y slo si lmMa f(x)l = + ^ .Estas definiciones se extienden a los lm ites por la derecha y por la izquierda.EJEMPLO 7.4. a) lm -^ = 400 b) lm , c) lm1 = ~x2 1 (x - 1)2 0 xEJEMPLO 7.5.a) lm 1 = +- Cuando x tiende a 0 por la derecha (es decir, por medio de nmeros positivos), 1/x es positivoy poco a poco se vuelve mayor que cualquier nmero previamente asignado.b) lm 1 = ^>0. Cuando x tiende a 0 por la izquierda (es decir, mediante nmeros negativos), 1/x es negativo ypoco a poco se vuelve menor que cualquier nmero previamente asignado.Los conceptos de lm ite ya m encionados pueden extenderse de form a obvia al caso en que la variable tiende a +ro o -ro. Por ejemplo,lm f (x) = Axsignifica que f (x ) tiende a a cuando x ^ + N, entonces f (x) - Al < e . Se pueden dar definiciones sim ilares para las afirm aciones l r n ^ f ( x ) = A, f (x ) = + ~ , f ( x ) = - ^ , lmx^a f(x ) = - ^ y f ( x ) = + ~ .EJEMPLO 7.6. l m 1 = 0 y lm |2 + -1 ) = 2.x ' x2 IAdvertencia: cuando l m ^ f(x) = y l m ^ g (x) = ^ , los teoremas 7.3 a 7.5 no tienen sentido y no puedenutilizarse.Por ejemplo, lm ^ r = + y lm ^ - = +o, perolm1 ^ = lm x2 =0.10 1 /x x 0Nota: se afirma que un lmite, como l m ^ f(x) o lmx^ + f(x), existe cuando el lmite es un nmero real, pero no cuando el lmite es + ^ , - ^ o ^ . Por ejemplo, como lmx^ 2 = 4, se dice que lmx^ 2 existe. Sin embargo,aunque lmx^ 0 4r = + , no se dice que lmx^ 0 -1 existe.PROBLEMAS RESUELTOS1. Compruebe los siguientes clculos sobre lmites:a) lm 5x = 5lm x =5 2 = 10x>2 x>2b) lm (2x + 3) = 2lm x + lm3 = 2 2 + 3 = 7x2 x2 x2c) lm (x2 - 4 x + 1)= 4 - 8 +1 = -3x>2 www.FreeLibros.mex_ 2 im (x- 2 ) ,d) lm x , 0 = - 7y. = 1J 1^ 3 x + 2 lm(x + 2) 5x^ 3e) lm x2 ~ 4 = 4 ~ 4 = oe) X x2 + 4 4 + 4 0f ) lmV25 - x 2 = /lm (25 - x2) =V9 = 3x^4 y[Nota: de estos problemas no infiera que lm f(x) siempre seaf(a).]2 C x^ag) lm x ~ 25 = lm (x - 5 ) = -10x^ - 5 x + 5 J^ -5V 72. Compruebe los clculos siguientes sobre lmites:a) lm 2 x ~ = lm7,x Z 4 , , = lm^ = i ' x^ 4 x2 - x -1 2 x^ 4 (x + 3)(x- 4 ) x^ 4 x + 3 7La divisin entre x - 4 antes de pasar al lmite es vlida porque x ^ 4 cuando x ^ 4; por tanto, x - 4 nunca es cero.^ x3 - 2 7 (x - 3)(x2 + 3x + 9 ) ,, x2 + 3x + 9 9b) x m ( x- 3) ( x+ 3) )= m? x + 3 = 2c) lm (x + h) - x 2 = lm x 2 + 2hx + h2- x2 = lm 2 hx+ h = lm (2x + h) = 2xh^ 0 h h^ 0 h h^ 0 h h^ 0Aqu, y de nuevo en los problemas 4 y 5, h es una variable, de manera que puede pensarse que se est tratando con funciones de dos variables. Sin embargo, el hecho de que x sea variable no tiene relevancia en estos problemas; por el momento, x puede considerarse una constante. 4 - x2 ( 4 - x2)(3 + Vx2 + 5) ( 4 - x2)(3 + Vx2 + 5 ) ,, , rd) lim ------ , = lim v - , y = lm ----------^ -----2--------- = lim (3 + yx2 + 5) = 6x^ 2 3 - VX2 + 5 x^ 2 (3 - V x 2 + 5 )(3 + Vx2 + 5) x^ 2 4 _ x x^ 2e) lm X + X722 = lm (x 7 1)(x ^ 2) = l m = ^ ; no existe lmite(x 1) x^1 (x 1) x^1 x 13. En los siguientes problemas a) a c), puede interpretar lm como lm o lm , sin importar cul de los dos sea. Compruebe los lmites., 3x- 2 3 - 2/x 3 - 0 1a) lm r = lm n . n / = n , n = t9x + 7 9 + 7/x 9 + 0 3b) l 6x2 + 2x +1 l 6 + 2/x +1 /x2 6 + 0 + 0 6b) ^ 5x2 - 3x+4 5 - 3/x + 4/x2 = 5 - 0 + 0 = 5, x2 + x - 2 1/x + 1/x2 - 2/x3 0 _c) } m L - x = r = X^L 4 - 1/x3 = 4 = 02 x3 2 xd) lm 2 - = lm 2xx2 + 1 x -~ 1 + 1/x2e) 2x 3 2xe) lm ^ T = lm - T T 2 = +oox2 +1 1 + 1/x2- = oof ) lm (x5- 7 x4- 2x +5) = lm x lm , 7 2 51----------4 -^-- 5X-y 4 -y-5A Av y/1 - 7 - _2 _5_x x 4 + x5 y= +oo ya que= (1 - 0 - 0 + 0) = 1 y lm x5 = +oo( 7 2 5g) _1it^ (x5 - 7 x4 - 2x +5) = jm^ x511- j - j j + j | = -, ya queHm(1 - 7 - j 2 + 155) = (1" 0 - 0 + 0) = 1 y ^ = 4. Dado f(x) = x2 - 3x, halla lm f (X + ^ f(X )Como f(x) = x2 - 3x, se tiene que f (x + h) = (x + h)2 - 3(x + h) ylm f (x + h) - f (x) = lm (x 2 + 2hx + h2 - 3x - 3h)- (x 2 - 3x) = lm 2hx + h2 - 3hh^ 0 h h^ 0 h h^ 0 h= lm (2x + h - 3) = 2x - 3h^ 0CAPTULO 7 Lmites www.FreeLibros.meCAPTULO 7 Lm ites5. Dado f (x) = \l5x + 1, halla cuando x > --5lm f (x + h) ~ f (x) = lm V5x + 5h +1 -/5x + 5h +1 + V5x +1h~> h -v/5x + 5h +1 + V 5x +1_ im (5x + 5h +1) - (5x +1)h^ 0 h(y5x + 5h + 1 + V 5x + 1)5 5= lm . -----, = ,--------h^ \ 5 x + 5h +1 + v 5x +1 2>/5 x +16. a) En cada uno de los casos siguientes, de a) a e), determine los puntos x = a para los cuales cadadenominador es cero. Luego observe qu pasa con y cuando x ^ a- y cuando x ^ a+ y comprueba las soluciones dadas.b) ( c g = calculadora graficadora) Compruebe las respuestas del inciso anterior) con una graficadora.a) y = f (x) = 2/x; el denominador es cero cuando x = 0. Cuando x ^ 0-, y ^ cuando x ^ 0+, y ^ + ^ .b) y = f (x) = (x + 3x i- 2) El denominador es cero para x = -3 y x = 2. Cuando x ^ -3 -, y ^ - ^ ; cuandox ^ -3+, y ^ + ^ ; cuando x ^ 2-, y ^ - ^ ; cuando x ^ 2+, y ^ + ^ .c) y = f (x) = (x +x2-(3- 1) el denominador es cero para x = -2 y x = 1. Cuando x ^ -2 -, y ^ - ^ ; cuandox ^ - 2+, y ^ + ^ ; cuando x ^ 1-, y ^ + ^ ; cuando x ^ 1+, y ^ - ^ .d) y = f(x) = (x + 2- (3 1) el denominador es cero para x = 3. Cuando x ^ 3-, y ^ + ^ ; cuando x ^ 3(x 3)y ^ +^.e) y = f (x) = (x +x2-(3~x) el denominador es cero para x = 3. Cuando x ^ 3-, y ^ + ^ ; cuando x ^ 3 y > ^ .7. Para cada una de las funciones del problema 6, determine qu sucede con y cuando x ^ y x ^ +^.a) Cuando x ^ ^ , y = 2/x ^ 0. Cuando x < 0, y < 0. Por tanto, cuando x ^ - ^ , y ^ 0-. De igual forma, cuando x ^ + ^ , y ^ 0+.b) Al dividir el numerador y el denominador de (x+3- x1-2) entre x2 (la ms alta potencia de x en el denominador) se obtiene1/x - 1/x2++(1 + 3/x)(1 - 2/x)Por tanto, cuando x ^ ^ ,y ^ ___ 0 ^ 0 ___ = 0 = 0y (1 + 0)(1 - 0) 1 0Cuando x ^ - ^ , los factores x - 1, x + 3 y x - 2 son negativos y, por consiguiente, y ^ 0-. Cuando x ^ + ^ , tales factores son positivos, por lo que y ^ 0+.c) Similar a b).d) (x +x2- (3)2 1) = - 6 x ~+9 = 1+6/x+9/x2, despus de dividir el numerador y el denominador entre x2 (la potenciams alta de x en el denominador). Por consiguiente, como x ^ ^ , y ^ 1 +0~0 = j- = 1. El denominador (x - 3)2 siempre es no negativo. Cuando x ^ - ^ , tanto x + 2 como x - 1 son negativos y su producto es positivo; por tanto, y ^ 1+. Cuando x ^ + ^ , tanto x + 2 como x - 1 son positivos, igual que su producto; por ende, y ^ 1+.e) (x +x2-(3- x) = - x2x- x3+ 2 = - x1-_13+/x2/x, despus de dividir el numerador entre x (la potencia ms alta de x en el denominador). Cuando x ^ ^ , 2/x y 3/x tienden a 0, y -x - 1 se aproxima a ^ . Luego, el denominador se acerca a 1 y el numerador tiende a ^ . Cuando x ^ - ^ , x + 2 y x - 3 son negativos y 1 - x es positivo; entonces, y ^ + ^ . Cuando x ^ + ^ , x + 2 y x - 3 son positivos y 1 - x es negativo; por ende, y ^ - ^ . www.FreeLibros.me8. Analice la funcin del problema 4 del captulo 6 cuando x ^ a- y cuando x ^ a+ cuando a es cualquier entero positivo.Considere, como caso tpico, a = 2. Cuando x ^ 2-, f(x ) ^ 10; cuando x ^ 2+, f(x) ^ 15. Entonces, lm f(x ) no existe. En general, el lmite no existe para todos los enteros positivos. (Sin embargo, observe quex>2lm f (x) = lm f (x) = 5, ya que f (x) no est definida para x < 0.)x^ 0 x^ 0+9. Utilice la definicin precisa para demostrar que lm (x 2 + 3x) = 10.x^2Sea e > 0. Observe que (x - 2)2 = x2 - 4x + 4, y entonces x2 + 3x - 10 = (x - 2)2 + 7x - 14 = (x - 2)2 + 7(x- 2). Por tanto, l(x2 + 3x) - 101 = l(x - 2)2 + 7(x - 2)1 < lx - 2I2 + 7lx - 21. Si se selecciona 8 como el mnimo de 1 y e /8, entonces 82 < 8 y, por consiguiente, 0 < lx - 2I < 8 implica l(x2 + 3x) - 10I < 82 + 78 < 8 + 78 = 88 < e .10. Si lm g(x) = B ^ 0, demuestre que existe un nmero positivo 8 tal que 0 < lx - al < 8 implica lg (x)l > ^x^a 2Con e = lBl/2 se obtiene un 8 positivo tal que 0 < lx - al < 8, y entonces lg(x) - Bl < lBl/2. Ahora, si0 < lx - al < 8, entonces lBl = lg(x) + (B - g(x))l < lg(x)l + lBl/2 y, por consiguiente, lBl/2 < lg(x)l.11. Suponga que i) lm f (x) = A y ii) lm g(x) = B. Pruebe:x^a x^a .a) lm [ f (x) + g(x)] = A + B b) lm f (x)g(x) = AB c) lm A si B ^ 0x^a x^a x^a g( x) Da) Sea e > 0. Entonces, e /2 > 0. Por i) y ii), existen 8j y 82 positivos tales que 0 < lx - al < 8j implica quelf (x) - al < e /2 y 0 < lx - al < 82 implica que lg(x) - Bl < e /2. Sea 8 el mnimo de 8j y 82. Entonces, para 0< lx - al < 8, lf (x) - Al < e /2 y lg(x) - Bl < e /2. Por consiguiente, para 0 < lx - al < 8,f (x) + g(x) - (A + B)l = l(f (x) - A)l + (g(x) - B)l< l f (x) - Al + lg(x) - Bl < f + f = eb) Sea e > 0. Escoja e * como el mnimo de e /3 y 1 y e /(3lBl) (si B ^ 0), y e /(3lAl) (si A ^ 0). Observe que(e* )2 < e * , ya que e * 0, por lo cual existe un 8jpositivo tal que 0 < lx - al < 8j implica que lg(x) - Bl < B p - .Por el problema 10, existe un 82 positivo tal que 0 < lx - al < 82 implica que lg(x)l > lBl/2. Sea 8 el mnimo de 8j y 82; entonces 0 < lx - al < 8 implica que1 1g(x) B= lB - g(x)l ^ lBl2 e 2 lB llg(x)l ^ 2 ' lBl212. Pruebe que para cualquier funcin polinomialf(x) = a x + an_lxn- 1 + _ + a x + a0, lm f (x) = f (a)x^aEsto se deduce de los teoremas 7.1-7.4 y el hecho obvio de que lm x = a.13. Pruebe las generalizaciones siguientes de los resultados del problema 3. Seanf(x) = anx n + an-1xn-1 + ...+ ajx + a 0 y g(x) = bkxk + bk-1xk-1 + ... + b1x + b0 dos polinomiosa) lm f -(x ) = si n = kx^- g( x) bkCAPTULO 7 Lmites www.FreeLibros.meCAPTULO 7 Lm itesb) lmc) lmd) lmf (x) = 0f (x) g( x)f (x) g( x)== +00s i n < ksi n > k. (E s s i y s lo s i an y bk t ie n e n e l m is m o s ig n o .)si n > k [E l s ig n o c o rr e c to es e l d e a nb k( - 1 ) n-k.]14. P r u e b e q u e a ) l m / * 3 = ; b ) l m = 1 ; c ) l m = + c .M y x^ 2- (x - 2)3 y x^+~ x + 1 'x ^ + ~ x - 1a ) S e a M c u a lq u ie r n m e ro n e g a tiv o . S e s e le c c io n a 8 p o s it iv o e ig u a l a l m n im o d e 1 y m -. S u p o n g a q u e x< 2 y 0 < lx - 2l < 8. E n to n c e s , l x - 2l3 < S3 lM l = - M . P e ro (x - 2 )3 < 0. P o r c o n s ig u ie n te, ^ - ^ < .b) S e a e c u a lq u ie r n m e ro p o s it iv o , y se a M = 1/ e . S u p o n g a q u e x > M . P o r en d e,x +1 - 11x +11x +1 x Mc) S e a M c u a lq u ie r n m e ro p o s it iv o . S u p o n g a q u e x > M + 1. E n to n c e s , x r y > x - = x > M .15. E v a l e : a ) l m ; b ) l m ; c ) \m -->0_ x 0 x lxla ) C u a n d o x > 0, lxl = x ; p o r e n d e , lim = lim 1 = 1x^0+ x x^0+l xlb) C u a n d o x < 0, lxl = - x ; p o r tan to , lm = lm - 1 = -1x^0_ x x^0_lxl lxl lxlc) lm n o e x is te , y a q u e lm ^ lm x^ 0 x x^0~ x x^0+ xPROBLEMAS COMPLEMENTARIOS16. E v a l e lo s lm ite s s ig u ie n te s:a) l m ( x 2 - 4 x )x^2b) l m ( x 3 + 2 x 2 - 3 x - 4 )c) lm (3x - 1)2 x^i (x + 1)3d) x m r i Pe) lm x2 ~ 1x^2 x 2 - 1f ) lmm x2 - 4 xLX x 2 - 5x + 6g) lm x2 + 3x + 26J x^ - 1 x2 + 4 x + 3h) lm x2 ~ 27 x^ 2 x2 - 4i) lm ,x ~ 2 =x^ 2~J x 2 - 4 m 4 ^x^2 x 2 - 4k) lm (x + h)3 ~ x3h^ 0 hx www.FreeLibros.mel) l m - x 1x- * 1 J x 2 + 3 - 2Respuestas: a) - 4 ; b ) 0; c ) 4r; d) 0; e) }; f) - 4 ; g ) ^ ; h) -4-; i) 0; j ) ^ , n o e x is te e l lm ite ; k) 3 x 2; l) 2.17. E v a l e lo s lm ite s s ig u ie n te s:7x 9 - 4 x5 + 2x -1 3a) l mb) lmx^+^ -3 x 9 + x8 - 5x2 + 2x 14x3 - 5x + 27x4 +10c) lm 2x5 + 12 x + 5c) x 7x3 + 6d) lm ~2x3 + 7d) x ^ 5x2 - 3x - 4e) lm (3x3 - 25x2 - 12x - 17)f) lm (3x3 - 25x2 - 12x -1 7 )g ) lm (3x4 - 25x3 - 8)X^ -o-oRespuestas: a) -J; b) 0; c ) + ^ ; d) - ^ ; e) + ^ ; f) - ^ ; g ) + ^18. E v a l e e s to s lm ite s:2 x + 34 x - 52 x2 +1a) lmx^+^b) lmx^+^c) lmx^+^d) lmx^+^e) lmx^+^f ) lmx^+^g) lmx ^6 + x - 3x2 xx2 + 5 x2 + 5x + 6 x +1 x + 33x - 3-3x - 3-3x + 3~xRespuestas: a) -j; b) - -|; c) 0; d) + ^ ; e) 0; f ) 1; g) -119. Halle lm f (a + h f ( a ) para las funcionesf de los problemas 11, 12, 13, 15 y 16a, b, d, g) del captulo 6.h.^0 hRespuestas: 11) 2a - 4; 12) ^ r y ; 13) 2a - 1; 15) .. 270 2 ; 16a) 2a, b) , a , d) 7+ ^ 2, g) .y J (a + 1)2 ; ; (4a 5)2 ; J yfa r + 4 (a + 3)2 (a2 + 1)220. ( c g ) Investigue el comportamiento de( ) _ x si x > 0f (x ) [x +1 si x < 0cuando x ^ 0. Trace una grfica y comprubela con una graficadora.Respuesta: lm f (x) = 0; lm f (x) = 1; lm f (x) no existe.x^ 0+ x^0- x^21. Utilice el teorema 7.4 y la induccin matemtica con el fin de probar que lm x n = an para todos los enteros positivos n.CAPTULO 7 Lmites www.FreeLibros.meCAPTULO 7 Lm ites22. Para f (x) = 5x - 6, halle 8 > 0 tal que, siempre que 0 > lx - 41 < 8, entonces f (x) - 141 < e , cuando a) e = y t) e = 0 .001.Respuestas: a) y0-; t) 0.0002.23. Utilice la definicin precisa de lmite para probar que:a) lm5x = 15x^3t) lm x 2 = 4x^2c) lm(x2 - 3x + 5) = 3x^224. Use la definicin para probar:a) lm = J x^ 0 xb) lm x . = ^x^ 1 x - 1c) tfm T ~ T = 1x^+^ A 1 2d) lm x +125. Seanf(x), g(x) y h(x) tales que 1) f(x) < g(x) < h(x) para todos los valores en ciertos intervalos a la izquierda y a la derecha de a, y 2) l m ^ f(x) = l m ^ h(x) = A. Pruebe que l m ^ g(x) = A. (Sugerencia: para e > 0, existe 8 > 0 tal que siempre que 0 < lx - al < 8, entonces f (x) - Al < e y lh(x) - Al < e y, por consiguiente, A- e < f(x) < g(x) < h(x) < A + e ).26. Pruebe que sif(x) < M para todo x en un intervalo abierto que contiene a a y que si lm f (x) = A, entonces a < M.1 x^a(Sugerencia: suponga que a > M. Escoja e = (A - M ) y llegue a una contradiccin.)27. (CG) Utilice una graficadora para confirmar los lmites encontrados en los problemas 1d, e,f), 2a, b, d), 16 y 18.28. a) Demuestre que lm (x x 2 -1 ) = 0. (Sugerencia: multiplique y divida entre x + >/x2 - 1 .)x>+x2 y2 hb) Demuestre que la hiprbola r ~ fci = 1 se aproxima arbitrariamente a la asntota y = ^ x cuando x tiende a x ^ 3 _ J 3 i------ r29. a) Halle lm ^---------- -. (Sugerencia: multiplique el numerador y el denominador por v x + 3 + v 3.)x^ 0 xb) (CG) Utilice una graficadora para confirmar el resultado del inciso a).30. Sea f(x) = yfx - 1 si x > 4 y f (x) = x2 - 4x + 1 si x < 4. Hallea) lm f(x) b) lm f(x) c) lm f(x)x ^ 4 + x ^ 4 x ^ 4Respuestas: a) 1; t) 1; c) 131. Sea g(x) = 10x - 7 si x > 1 y g(x) = 3x + 2 si x < 1. Hallaa) lm g(x) t) lm g(x) c) lm g(x)x + x x Respuestas: a) 3; t) 5; c) no existex www.FreeLibros.meContinuidadFuncin continuaU na funcin se define com o continua en x0 si se cum plen las tres condiciones siguientes:1. f (x 0) est definida2 . lm f (x)existex ^ x 03. lm f (x) = f (x0)x ^ x 0Por ejemplo, f ( x ) = x2 + 1 es continua en 2 ya que lmx^ 2 f(x ) = 5 = f (2 ) . La prim era condicin im plica que una funcin puede ser continua slo en los puntos de su dominio. Entonces, f (x) = V 4 - x 2 no es continua en 3 porque f (3 ) no est definida.Sea f una funcin definida en un intervalo (a, x0) a la izquierda de x0 y un intervalo (x0, b) a la derecha de x0,o am bos intervalos. Se dice que f es discontinua en x0 si f no es continua en x0, es decir, si fallan una o ms condiciones de las tres condiciones indicadas no se cumple.EJEMPLO 8.1. a) f(x) = j - j es discontinua en 2 porquef(2) no est definida y tambin porque lm f(x ) no existe(ya que lm ,^ f (x) = ^ ) , como se muestra en la figura 8.1.Fig. 8 .1b) f(x) = X -2 es discontinua en 2 porquef(2) no est definida. Sin embargo, lmx^ 2f(x) = lmx^ 2 (x + 2) ( 2) = lmx^ 2 (x + 2) = 4, de manera que se cumple la segunda condicin.Se dice que la discontinuidad en 2 del ejem plo 8.1b) es removible porque si se redefiniera la funcin f en x = 2 com o 4, entonces la funcin redefinida g sera continua en 2. Observe que g(x) = x + 2 para todo x. Las grficas de f(x) = J - J y g(x) = x + 2 son idnticas salvo en x = 2 , donde la prim era tiene un hueco (fig. 8 .2). Elim inar la discontinuidad consiste sim plem ente en llenar ese hueco . www.FreeLibros.meCAPTULO 8 ContinuidadyL a discontinuidad en 2 en el ejem plo 8.1a) no es removible. A l redefinir el valor de f en 2 no cam bia el hecho de que lmM2 x l no existe.Tambin se dice que la discontinuidad de una funcin f en x0 es removible cuando f (x 0) est definida y al cam biar el valor de la funcin en x0 produce una funcin que es continua en x0.EJEMPLO 8.2. Defina una funcin f de la manera siguiente:En este caso lmx^ 2 f(x) = 4, pero f(2 ) = 0. Por tanto, la tercera condicin no se cumple, de modo que f tiene una discontinuidad en 2. Pero si se cambia el valor de f en 2 por 4, entonces se obtiene una funcin h tal que h(x) = x2 para todo x, y h es continua en 2. Por consiguiente, la discontinuidad de f en 2 es removible.EJEMPLO 8.3. Sea f la funcin tal que f (x) = x para todo x * 0. La grfica de f se muestra en la figura 8.3. f es discontinua en 0 porque f(0 ) no est definida. Adems,lm f (x) = lm = 1 y lm f (x) = lm = - 1x^0+ x^0+ x x^0- x^0- xLuego lmM0- f(x) * lmx^ 0+ f(x). Por tanto, la discontinuidad de f en 0 no es removible.La clase de discontinuidad que aparece en el ejemplo 8.3 se denom ina discontinuidad de salto. En general, una funcin f tiene una discontinuidad de salto en x0 si tanto lmM0- f(x) com o lmx^ 0+ f(x) existen y lmM0- f(x) * lmx^ 0+ f(x). Tal discontinuidad no es removible.1-1Fig. 8.3.EJEMPLO 8.4. La funcin del problema 4 del captulo 6 tiene una discontinuidad de salto en cada entero positivo. Las propiedades de los lmites conducen a las propiedades correspondientes de continuidad. www.FreeLibros.meTeorema 8.1. Suponga que f y g son continuas en x0. Entonces:a) La funcin constante h(x) = c para todo x es continua en todo x0.b) c f es continua en x0, para cualquier constante c. (Recuerde: c f tiene el valor c f(x) para cada argumento x.)c) f + g es continua en x0.d) f - g es continua en x0.e) fg es continua en x0.f) f/g es continua en x0 si g(x0) * 0.g) 4 f e s continua en x0 si ^ f (x0) est definida.Estos resultados provienen de los teoremas 7.1 a 7.6. Por ejemplo, c) se cumple porque lm ( f (x) + g(x)) = lm f (x) + lm g(x) = f (x0) + g (x0)x ^ x 0 x ^ x 0 x ^ x 0Teorema 8.2. La funcin identidad I(x) = x es continua en todo x0.Esto se deduce del hecho de que lm x = x0.x>x0Se dice que una funcin f es continua en un conjunto A si f es continua en todo punto A. Adems, si tan slose dice que f es continua, significa que f es continua en todo nm ero real.L a idea intuitiva original tras la nocin de continuidad supona que la grfica de una funcin continua era continua en el sentido intuitivo de que era posible trazarla sin levantar el lpiz del papel. Por consiguiente, la grfica no podra contener ningn hueco o salto . Sin embargo, la definicin precisa de continuidad va m s all de tal nocin intuitiva original; algunas funciones continuas m uy com plicadas no podran dibujarse en una hoja de papel.Teorema 8.3. Toda funcin polinomialf(x) = anxn + an_1xn -1 + ...+ a 1x + a0es continua.sta es una consecuencia del teorem a 8 .1(a-e) y del teorem a 8 .2 .EJEMPLO 8.5. Como un caso del teorema 8.3, considere la funcin x2 + 2x + 3. Observe que, por el teorema 8.2, la funcin identidad x es continua y, por tanto, por el teorema 8.1(e), x2 es continua, y por el teorema 8.1b), - 2x es continua. Por el teorema 8.1a), la funcin constante 3 es continua. Finalmente, por el teorema 8.1c), x2 - 2x + 3 es continua.Teorema 8.4. Toda funcin racional H(x) = gx), dondef(x) y g(x) son funciones polinomiales, es continua en el conjunto de todos los puntos en los que g(x) * 0 .Esto proviene de los teorem as 8 .1 (f y 8.3. Com o ejemplos, la funcin H (x) = es continua en todos lospuntos excepto 1 y -1 , y la funcin G (x) = x + y es continua en todos los puntos (ya que x2 + 1 nunca es 0).Se debe utilizar una nocin especial de continuidad respecto a un intervalo cerrado [a, b]. En prim er lugar, se dice que una funcin f es continua a la derecha en a si f ( a) est definida, existe lmMa+ f(x) y lmMa+ f(x) = f (a). Se dice que f es continua a la izquierda en b s if (b ) est definida, existe lmMb- f(x) y lmMb- f(x) = f(b).Definicin. f es continua en [a, b] si f es continua en cada punto de un intervalo abierto (a, b), f es continua a la derecha en a y es continua a la izquierda en b .O bserve que si f es continua en [a, b], no depende de ningn valor de f , fuera de [a, b]. Tambin advierta que cada funcin continua (es decir, una funcin continua en todos los nm eros reales) debe serlo en cualquier intervalo cerrado. En especial, toda funcin polinom ial es continua en todo intervalo cerrado.Se pretende analizar en profundidad ciertas propiedades sobre las funciones continuas que se utilizarn, pero esas dem ostraciones van m s all del objetivo de esta obra.CAPTULO 8 Continuidad www.FreeLibros.meCAPTULO 8 ContinuidadTeorema 8.5. Teorema del valor intermedio. Si f es continua en [a, b] y f (a ) * f(b ), entonces, para todo nmero c en tref(a) y f(b ), existe por lo menos un nmero x0 en el intervalo abierto (a, b) para el cualf(x0) = c.L a figura 8.4a) es una ilustracin del teorem a 8.5, ya que en ella se m uestra que la continuidad a lo largo del intervalo es esencial para la validez del teorema. El resultado siguiente es un caso especial del teorem a del valor interm edio.b) f(x) = 0 tiene tres races entre x = a y x = bFig. 8 .4yFig. 8 .5b) f(x) = 0 no tiene raz entre x = a y x = bCorolario 8 .6 . Si f es continua en [a, b] y f(b ) tiene signos opuestos, entonces la ecuacin f(x) = 0 tiene al menosuna raz en el intervalo abierto (a, b) y, por consiguiente, la grfica de f corta el eje x por lo menos una sola vez entre a y b (fig. 8.4b)).Teorema 8.7. Teorema del valor extremo.mximo M en el intervalo.Si f es continua en [a, b], entonces f toma un valor mnimo m y un valoryyXCom o ilustracin del teorem a del valor extrem o observa la figura 8 .6a), donde el valor m nim o m ocurre en x = c y el valor m xim o M en x = d. En este caso, tanto c com o b estn dentro del intervalo. Por o tra parte, en la figura 8 .6b) el valor m nim o m ocurre en el punto extrem o x = a y el valor m xim o M dentro del intervalo. Para com probar que la continuidad es necesaria para que el teorem a del valor extrem o sea verdadero, considere la funcin cuya grfica se presenta en la figura 8 .6c). Existe discontinuidad en c dentro del intervalo; la funcin tiene un valor m nim o en el punto extrem o izquierdo x = a , pero la funcin no tiene valor mximo. www.FreeLibros.meCAPTULO 8 Continuidada) f ( x) = xb) f ( x) = x - 1c) f ( x) =(x + 3)(x - 2) (x + 2)( x - 1)(x - 3)2d) f ( x) =e) f ( x) =f ) f ( x) =4 - x23 - \[ xx2 + x - 2(x - 1)2g) f (x) = [x] = el mayor entero < xh) f (x) = x - [x]i) f (x) = 3x3 - 7x2 + 4x - 2... fr , 0 s ix = 0J) f (x) {2 si x * 0Ix si x < 0x 2 si 0 < x < 12 - x si x > 1Discontinuidad no removible en x = 0 Discontinuidades no removibles en x = -3 y x = 2 Discontinuidad no removible en x = 3Tiene una discontinuidad removible en x = 3. [Observe que x3 - 27 = (x - 3)(x2 + 3x + 9).] Tambin tiene una discontinuidad no removible en x = -3Tiene una discontinuidad removible en x = 2. Observe que4 - x 2 3 + y x ^= 3 + 4 x3 - y x2 + 5 3 + >/x2 + 5 Tiene una discontinuidad no removible en x = 1Tiene una discontinuidad de salto en cada entero Tiene una discontinuidad no removible en cada entero Un polinomio no tiene discontinuidadesDiscontinuidad removible en x = 0Sin discontinuidades2. Demuestre que la existencia de lm f (x) f (a + h) - f (a)h implica que f es continua en x = a.Perolm f(x )(f (a + h) - f (a)) = lm f (a + h f (a) hlm f (a + hh - f ( a ) . lm h = lm f (a + h ~ f (a) 0 = 0x^h h x^h x^h hlm ( f (a + h) - f (a)) = lm f (a + h) - lm f (a) = lm f (a + h) - f (a ).x^h x^h x^h x^hPor tanto, lm f ( a + h) = f (a ) . Observe que lm f ( a + h) = lm f(x ). As, l m f (x) = f(a ).x^h x^h x^h x^h3. Pruebe el teorema 8.8.Por la continuidad de f en c, lm f (x) = f (c ). Si se toma e = f ( c)/2 > 0, existe un 8 positivo tal que 0 < Ix - c|x^h< 8 implica que f (x) - f(c)| < f (c)/2. La ltima desigualdad tambin es verdadera cuando x = c. Luego, |x - c| < 8 implica f (x) - f (c)| < f(c)/2 . Esta ltima implica que -f(c)/2 < f(x) - f(c ) < f(c)/2. Al sum arf(c) a la desigualdad de la izquierda se obtiene f (c)/2 < f(x).PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS4. Determine las discontinuidades de las funciones siguientes y establezca por qu la funcin no es continua en tales puntos. ( c g ) Compruebe las respuestas representando la funcin en una graficadora.a) f (x) = x 2 -x3+x2- 10 ^ fr \ - \ x + 3 s i x > 2 ) f | x 2 +1 si x < 2 www.FreeLibros.me71*c) f (x) = \x \- xg) f(x) = x3 - 7xe) f ( x )= j yft) f (x) = x 2 - 5x + 6x2 + 3x + 2 x2 + 4 x + 3 j) f (x) = f - 4Respuestas:a) Discontinuidad removible en x = -2 . [Observe que x2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5).]b), c), g) Ningunad) Discontinuidad de salto en x = 0e) Discontinuidades removibles en x = 1f ) Discontinuidades removibles en x = 3, x = -5 . [Observe que x2 + 2x - 5 = (x + 5)(x - 3) y x3 + x2 - 17x +15 = (x + 5)(x - 3)(x - 1).]h) Discontinuidad removible en x = 2 y discontinuidad no removible en x = 3i) Discontinuidad removible en x = -1 y discontinuidad no removible en x = -3j) Discontinuidad removible en x = 2 y discontinuidad no removible en x = -2k) Discontinuidad removible en x = 1 y discontinuidad no removible en x = -15. Demuestre que f(x) = Ixl es continua._ 4 x _ 216 . Si la figura 8.5a) es la grfica de f (x) = 7-, demuestre que existe una discontinuidad removible enx = 7 y que all c = 10.7. Pruebe: si f es continua en el intervalo [a, b] y c es un nmero en (a, b) tal quef(c) < 0, entonces existe un nmero positivo 8 tal que, siempre que c - 8 < x < c + 8, entonces f (x) < 0 .(Sugerencia: aplique el teorema 8.8a -f.)8. Trace las grficas de las funciones siguientes y determine si son continuas en el intervalo cerrado [0, 1]:a ) b)c) d) f (x) = 1 si 0 < x < 1Respuestas: a) S; b) No, no es continua a la derecha en 0; c) S; d) No, no est definida en 0; e) No, no escontinua a la izquierda en 1.CAPTULO 8 Continuidad www.FreeLibros.meLa derivadaNotacin deltaSea f una funcin. Es usual asignarle a x cualquier argum ento d ef, y a y el valor correspondiente de f . Por tanto, y = f(x ). Considere cualquier nm ero x0 en el dom inio de f . Sea Ax (se lee delta x) un pequeo cam bio en el valor de x, de x0 a x0 + Ax, y sea Ay (se lee delta y) el cam bio correspondiente en el valor de y, por lo que Ay = f ( x 0 + Ax) - f (x 0). Entonces la raznAy _ cam bio en y _ f (x0 +A x) - f (x0)A x ~ cam bio en x ~ A xse denom ina tasa o razn de cambio prom edio de la func in f en el intervalo que va de x0 a x0 + Ax.EJEMPLO 9.1. Sea y = f(x) = x2 + 2x. Se empieza en x0 = 1, cambia x a 1.5. Entonces Ax = 0.5. El cambio correspondiente en y es Ay = f (1.5) - f(1 ) = 5.25 - 3 = 2.25. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y en el intervalo que hay entre x = 1 y x = 1.5 es ^ = ^ 5 - = 4.5.La derivadaSi y = f (x) y x0 est en el dom inio de f , entonces, por la tasa de cambio instantnea de f en x0 se entiende ellm ite de la tasa prom edio de cam bio entre x0 y x0 + Ax cuando Ax se aproxim a a 0:lm = lm f (x + Ax:> ~ f WAx^ Ax Ax^ 0 Axsiem pre que este lm ite exista. Tal lm ite se denom ina derivada de f en x0.Notacin para derivadasConsidere la derivada de f en un punto arbitrario x en su dominio:lm = lm f (x + Ax) - f (x)Ax^ 0 A x Ax^ 0 AxE l valor de la derivada es una funcin de x y se indicar m ediante cualquiera de las expresiones siguientes:D y = d x = y ' = f '(x ) = & = x f (x>= 5 E l valor f ( a ) de la derivada de f en un punto especfico a en ocasiones se indica m ediantedy dx www.FreeLibros.meDiferenciabilidadU na funcin es diferenciable en un punto x0 si la derivada de la funcin existe en ese punto. E l problem a 2 del captulo 8 dem uestra que la diferenciabilidad im plica continuidad y que lo contrario es falso, com o se m uestra en el problem a 11.PROBLEMAS RESUELTOS1. Dada y = f (x) = x2 + 5x - 8, halle Ay y Ay/Ax cuando x cambia a) de x0 = 1 a x1 = x0 + Ax = 1.2, y b) de x0 = 1 ax 1 = 0.8.a) Ax = x 1 - x0 = 1.2 - 1 = 0.2 y Ay = f (x 0 + Ax) - f (x 0) = f (1.2) - f(1 ) = -0 .56 - (-2) = 1.44. Entonces,Ay _ 144 _ 7 2Ax 0.2 ; .2b) Ax = 0.8 - 1 = -0 .2 y Ay = f(0.8) - f(1 ) = 3.36 - (-2) = -1.36. Luego, ^ = 6.8.Geomtricamente, Ay/Ax en a) es la pendiente de la recta secante que une los puntos (1, -2 ) y (1.2, -0.56) de la parbola y = x2 + 5x - 8. En b), es la pendiente de la recta secante que une los puntos (0.8, -3.36) y (1, -2) de la misma parbola.2. Las leyes de la fsica indican que si un cuerpo (es decir, un objeto material) cae libremente a una distanciade i pies en t segundos, entonces i = 16t2. Halle As/At cuando t cambia de t0 a t0 + Ai. Utilice el resultado para encontrar As/At cuando t cambia: a) de 3 a 3.5, b) de 3 a 3.2, y c) de 3 a 3.1.Ay _ 16(t0 + A t)2 - 16t02 _ 32t0A t + 16(A t)2= 32t0 +16 AtA t~ At Ata) Aqu, t0 = 3, At = 0.5 y As/At = 32(3) + 16(0.5) = 104 pies/segundob) Aqu, t0 = 3, At = 0.2 y As/At = 32(3) + 16(0.2) = 99.2 pies/segundoc) Aqu, t0 = 3, At = 0.1, y As/At = 97.6 pies/segundoComo As es el desplazamiento del cuerpo del tiempo t = t0 hasta t = t0 + At,A ^= desplazamiento = velocidad promedio del cuerpo en el intervalo de tiempo At tiempo t- t- t-Halle dy/dx, con y = x3 - x2 - 4. Encuentre tambin el valor de dy/dx cuando a) x = 4, b) x = 0, c) x = -1.y + Ay = (x + Ax)3 - (x + Ax)2 - 4= x3 + 3x2(Ax) + 3x(Ax)2 + (Ax)3 - x2 - 2x(Ax) - (Ax)2 - 4Ay = (3x2 - 2x)Ax + (3x - 1)(Ax)2 + (Ax)3= 3x2 - 2x + (3x - 1)Ax + (Ax)2 = lm [3x2 - 2x + (3x - 1 ) A x + (A x)2 ] = 3x2 - 2xa) ^a) dx = 3(4)2 - 2(4) = 40 b) I = 3(0)2 - 2(0) = 0 c) yc) dx = 3(-1)2 - 2(-1) = 5x=0x=4 x=-1CAPTULO 9 La derivada www.FreeLibros.meCAPTULO 9 La derivada4. Halle la derivada de y = f(x) = x2 + 3x + 5.Ay = f ( x + Ax) - f(x) = [(x + Ax)2 + 3(x + Ax) + 5] - [x2 + 3x + 5]= [x2 + 2xAx + (Ax)2 + 3x + 3Ax + 5] - [x2 + 3x + 5] = 2xAx + (Ax)2 + 3Ax = (2x + Ax + 3)Ax = 2 x + A x + 3A xPor tanto, = lm (2x + Ax + 3) = 2x + 3.dx Ax^ 05. Encuentre la derivada de y = f (x) = ~ ~ 2 en x = 1 y x = 3.. . 1 1 (x - 2) - (x + A x - 2)Ay = f (x + A x)- f (x) = (x + A x)- 2 - x ^ 2 = (x - 2)(x + A x - 2)-A x(x - 2)( x + A x - 2) Ay _ -1Ax (x - 2)(x + Ax - 2)Entonces, L = lm ________ I_______ = __ I dx Ax>o (x - 2)(x + Ax - 2) (x - 2)2 .En x = 1 L = 1 = -1 En x = 3 = __1__- - 1En x = 1, dx ( 1 - 2)2 1. En x = 3, dx = (3 - 2)2 = 1.Halle la derivada de f (x) = ^ - 4 .. , 2(x + A x) - 3f (x + A x) = 3(x + A x) + 4a , .^ \ 2x + 2 A x - 3 2x - 3f ( x + Ax) - f (x ) = 3x + 3 Ax + 4 - 3x + 4(3x + 4)[(2 x - 3) + 2 A x] - (2x - 3)[(3 x + 4) + 3 A x] (3x + 4)(3x + 3 A x + 4)(6 x + 8 - 6 x + 9)A x 17 A x(3x + 4)(3 x + 3 A x + 4) (3x + 4)(3x + 3 A x + 4)f (x + A x) - f (x) = _________ 17________A x (3x + 4)(3x + 3 A x + 4)f '( x ) = lm ------------- ^ ^ ----f (x) 1o(3x + 4)(3x + 3 Ax + 4) (3x + 4)27. Halle la derivada de y = f (x) = V 2 x + 1.y + Ay = (2 x + 2 A x + 1)1/2Ay = (2 x + 2 A x + 1)1/2 - (2 x + 1)1/2r,o o a ,m/2 im/2i (2x + 2Ax + 1)1/2 + (2x + 1)1/2= [(2 x + 2 A x + 1)1/2 - (2x + 1)1/2] ^ -----r-r-------m ^v / v / (2x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1/2(2x + 2 A x +1) - (2 x +1) = 2A x(2 x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1/2 (2 x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1'Ay = ____________ 2____________A x (2x + 2 A x + 1)1/2 + (2x + 1)1/2dy = ,, ____________ 2____________ = 1dx ~ A (2x + 2 Ax + 1)1/2 + (2x + 1)1/2 = (2x + 1)1/2 www.FreeLibros.me8. Encuentre la derivada de f(x) = x1/3. Analice/'(0).f (x + Ax) = (x + Ax)1/3f (x + Ax) - f (x) = (x + Ax)1/3 - x1/3_ [(x + Ax)1/3 - x1/3 ][(x + Ax)2/3 + x1/3 (x + Ax)1/3 + x 2/3 ](x + Ax)2/3 + x1/3 (x + Ax)1/3 + x2/3f (x + Ax) - f (x) = ______________1______________Ax (x + Ax)2/3 + x1/3( x + Ax)1/3 + x2/3f ,(x) = ^ (x + Ax)2/3 + x1/3( x + Ax)1/3 + x2/3 = ~3x23La derivada no existe en x = 0 porque all el denominador es cero. Observe que la funcin f es continua en x = 0 .9. Interprete dy/dx geomtricamente.En la figura 9.1 se observa que Ay/Ax es la pendiente de la recta secante que une un punto arbitrario pero fijo P(x, y) y un punto prximo Q(x + Ax, y + Ay) de la curva. Cuando Ax ^ 0, P permanece fijo mientras Q se mueve a lo largo de la curva hacia P, y la recta PQ gira alrededor de P hacia su posicin lmite, la recta tangente P T a la curva en P. As, dy/dx da la pendiente de la recta tangente en P a la curva y = f(x).yPor ejemplo, el problema 3 seala que la pendiente de la cbica y = x3 - x2 - 4 es m = 40 en el punto x = 4; esto es, m = 0 en el punto x = 0; y m = 5 en el punto x = -1.10. Halle ds/dt para la funcin del problema 2 e interprete el resultado.# = 32t0 +16 A t. Por tanto, = lm (32t0 +16 At) = 32t0At 0 dt A t^0 0 ' 0Cuando At ^ 0, As/At da la velocidad promedio del cuerpo para intervalos de tiempo At cada vez ms cortos. Entonces puede ds/dt considerarse como la velocidad instantnea v del cuerpo en el tiempo t0.Por ejemplo, en t = 3, v = 32(3) = 96 pies/segundo. En general, si un objeto se mueve en lnea recta y su posicin sobre la recta tiene la coordenada s en el tiempo t, entonces su velocidad instantnea en el tiempo t es ds/dt (consulte el captulo 19).11. Hallef'(x) cuandof(x) = |x|.La funcin es continua para todos los valores de x. Para x < 0, f(x) = -x yf '(x) = lm ~ (x + Ax) ~ (~x) = lm = ^ x = lm - 1 = -1Ax^0 A x Ax^0 A x Ax^0CAPTULO 9 La derivada www.FreeLibros.meCAPTULO 9 La derivadaDe igual forma, para x > 0, f(x ) = x, yf '(x) = lm (x + 4 x) ~ x = lm ^ = lm 1 = 1Ax^0 Ax Ax^0 Ax Ax^ 0t- n n ^ n l ' f (0 + Ax) - f (0) AxiEn x = 0,f ( x ) = 0 y imc Ax =Cuando Ax ^ 0-, 4 ^ = ^ = ~1 ^ -1- Pero cuando Ax ^ 0+, ^ = ^ P x = ~1 ^ - 1 - Por tanto, la, . , . Ax Ax Ax Axderivada no existe en x = 0 .Puesto que la funcin es continua en 0, se demuestra que la continuidad no implica diferenciabilidad.12. Calcule e = para la funcin de a) problema 3 y b) problema 5. Compruebe que e ^ 0 cuando Ax ^ 0.a) e = [3x2 - 2x + (3x - 1)Ax + (Ax)2] - (3x2 - 2x) = (3x - 1 + Ax)Axb) ^ = _________________________ ^1______ -1 _ - (x - 2) + (x + Ax - 2) = _1_; (x - 2)(x + Ax - 2) (x - 2)2 (x - 2)2(x + Ax - 2) (x - 2)2(x + Ax - 2)Ambos tienden a cero cuando Ax ^ 0.13. Interprete geomtricamente Ay = Ax + e Ax del problema 12.En la figura 9.1, Ay = RQ y Ax = PR tan ZTP R = RS; as, eA x = SQ. Para el cambio Ax en x a partir de P(x, y), Ay es el cambio correspondiente en y a lo largo de la curva, mientras que dx Ax es el cambio correspondiente en y a lo largo de la tangente PT. Como su diferencia eAx es un mltiplo de (Ax)2, tiende a cero ms rpido que Ax, y dx Ax puede utilizarse como una aproximacin de Ay cuando |Ax| es pequeo.PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS14. Halle Ay y Ay/Ax, dadoa) y = 2x - 3 y x cambia de 3.3 a 3.5b) y = x2 + 4x y x cambia de 0.7 a 0.85c) y = 2/x y x cambia de 0.75 a 0.5Respuestas: a) 0.4 y 2; b) 0.8325 y 5.55; c) -3- y - ^15. Halle Ay, dado y = x2 - 3x + 5, x = 5 y Ax = -0.01. Entonces, cul es el valor de y cuando x = 4.99?Respuesta: Ay = -0.0699; y = 14.9301.16. Indique la velocidad promedio (repase el problema 2), dado a) s = (3t2 + 5) pies y t cambia de 2 a 3 segundos.b) s = (2t2 + 5t - 3) pies y t cambia de 2 a 5 segundos.Respuestas: a) 15 pies/segundo; b) 19 pies/segundo17. Encuentre el incremento en el volumen de un baln esfrico cuando su radio se incrementa: a) de r a r + Ar pulgadas; b) de 2 a 3 pulgadas. (Vale la pena recordar que el volumen de una esfera se obtiene con la frmulaV = -4 n r 3.)Respuestas: a) 3 n [ r 2 + 3rA r + (Ar)2]Ar pulg3; b) ^ 6 n pulg3 www.FreeLibros.me18. Halle la derivada de cada una de las funciones siguientes:a) y = 4x - 3 t) y = 4 - 3x c) y = x2 + 2x - 3d) y = 1/x2 e) y = (2x - 1)/(2x + 1) f) y = (1 + 2x)/(1 - 2x)g) y = 4 x h) y = 1 /y[x i) y = ^/T+~2xj) y = 1/V 2 + xResPuestas: a) 4 ; t) - 3 ; c) 2(x + 1); d) -2 /x3; e) (2x + ^ ; f ) (1 _4,x)2 ; g) ; h) - ^ s\ + 2x ;j) _ 2(2 + x)3/219. Halle la pendiente tangente a las curvas siguientes en el punto x = 1 (repase el problema 9):a) y = 8 - 5x2 t) y = x r r c) x + 3Respuestas: a) -10; t) -1 ; c) _ -820. (CG) Utilice una graficadora para comprobar las respuestas al problema 19. (Trace la curva y la tangente que se encontr.)21. Busque las coordenadas del vrtice (es decir, el punto crtico) de la parbola y = x2 - 4x + 1, aprovechando que, en el vrtice, la pendiente de la tangente es cero (relea el problema 9). ( c g ) Compruebe la respuesta con una graficadora.Respuesta: (2, -3)22. Halle la pendiente m de las tangentes a la parbola y = -x 2 + 5x - 6 en sus puntos de interseccin con el eje x.Respuestas: en x = 2, m = 1; en x = 3, m = -123. Cuando un objeto se mueve en lnea recta y su coordenada sobre dicha recta es s en un tiempo t (donde s se mide en pies y t en segundos), halle la velocidad en el tiempo t = 2 en los casos siguientes:a) s = t2 + 3t t) s = t3 + 3t2 c) s = V t + 2Respuestas: a) 7 pies/segundos; t) 0 pies/segundos; c) ^ pies/segundos24. Demuestre que la tasa instantnea de cambio de volumen V de un cubo respecto a su lado x (medido en pulgadas) es 12 pulg3/pulg cuando x = 2 pulgadas.CAPTULO 9 La derivada www.FreeLibros.meReglas para derivar funcionesDerivacinRecurdese que una funcin f es diferenciable (o derivable) en x0 si existe la derivada f ( x 0). Se dice que una funcin es diferenciable en un conjunto si lo es en cada punto de ese m ism o conjunto. Si se afirma que una funcin es diferenciable significa que lo es en todo nm ero real. El proceso de hallar la derivada de una funcin se denom ina diferenciacin.Teorema 10.1. Frmulas de derivacin. En las frmulas siguientes se presupone que u, v y w son funciones diferenciables en x; tambin se presupone que c y m son constantes.1. d x (c) = 0 (La derivada de una constante es cero.)2. d x (x) = 1 (La derivada de la funcin identidad es 1.)3. dx (cu) = cdx (Derivada de una constante por una funcin.)4. ddx (u + v + '" ) = d x + d x + " ' (Regla de la suma.)5. d x (u - v) = d x ~ d x (Regla de la diferencia.)6. ddx (uv) = u + v d e (Regla del producto.)v d u - u d v7. d (u ) = d xv 2 siempre que v ^ 0 (Regla del cociente.)8. d (1 ) = 1r siempre que x ^ 0 .d x x x9. ~djx(x m) = mxm (Regla de potencias.)Observe que la frmula 8 es un caso especial de la frmula 9 cuando m = -1 . Las demostraciones aparecen en los problemas 1 a 4.EJEMPLO 10.1. Dx(x3 + 7x + 5) = Dx(x3) + Dx(7x) + Dx(5) (Regla de la suma.)= 3x2 + 7Dx(x) + 0 (Reglas de potencias y frmulas 3 y 1.)= 3x2 + 7 (Frmula 2.)Todo polinomio es diferenciable, y su derivada puede calcularse mediante la regla de la suma, la regla de potencias y las frmulas 1 y 3. www.FreeLibros.meFunciones compuestas. La regla de la cadenaL a func in compuesta f g de las funciones g y f se define as: ( f g)(x) = f (g(x)). L a funcin g se aplica primeroy luego f g se denom ina func in interna y f func in externa. f g se conoce com o la func in compuesta de gy f .EJEMPLO 10.2. Sea f(x) = x2 y g(x) = x + 1. Entonces:( f g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 (g f)(x) = g f (x)) = g(x)2 = x2 + 1 As, en este caso, f g ^ g f.Cuando f y g son diferenciables tam bin lo es su com puesta f g. Hay dos procedim ientos para hallar la derivada de f g. El prim er m todo consiste en calcular una frm ula explcita para f (g(x)) y derivarla.EJEMPLO 10.3. Si f(x) = x2 + 3 y g(x) = 2x + 1, entonces:y = f (g(x)) = f (2x + 1) = (2x + 1)2 + 3 = 4x2 + 4x + 4 y = 8x + 4Por tanto, Dx( f g) = 8x + 4.El segundo mtodo para calcular la derivada de una funcin compuesta se basa en la regla siguiente.Regla de la cadenaD x(f (g(x))) = f ( g ( x ) ) g'(x)Entonces, la derivada de f g es el producto de la derivada de la funcin externa f (evaluada en g(x)) y la derivada de la funcin interna (evaluada en x ). Se presupone que g es diferenciable en x y que f es diferenciable en g(x).EJEMPLO 10.4. En el ejemplo 10.3, f ( x ) = 2x y g (x) = 2. As, por la regla de la cadena,D f g ( x ) ) ) = f (g (x ) ) g'(x) = 2g(x) 2 = 4g(x) = 4(2x + 1) = 8x + 4Formulacin alternativa de la regla de la cadenaSea u = g(x) y y = f (u ) . Entonces, la funcin com puesta de g y f es y = f (u ) = f g ( x ) ) , y se tiene la frmulady = L d j i (R egla de la cadena.)dx du dxEJEMPLO 10.5. Sea y = u3 y u = 4x2 - 2x + 5. As, la funcin compuesta y = (4x2 - 2x + 5)3 tiene la derivadad x = d u d x = 3U2(8x - 2 ) = 3(4x2 - 2x + 5)2(8x- 2 )A dvertencia: en la formulacin alternativa de la regla de la cadena, = dxdu, la y de la izquierda representa la funcin compuesta de x, mientras que la y de la derecha seala la funcin original de u. Asimismo, las dos ocurrencias de u tienen significados diferentes. Esta confusin de notacin se compensa con la simplicidad de la formulacin alternativa.Funciones inversasDos funciones f y g tales que g(f(x)) = x y f (g(y)) = y son func iones inversas. Estas funciones invierten el efecto una de la otra. D ada una ecuacin cualquiera y = f x ) , se puede hallar una frm ula para la inversa de f despejando x en la ecuacin en trm inos de y .CAPTULO 10 Reglas para derivar funciones www.FreeLibros.meCAPTULO 10 Reglas para d e riva r funcionesEJEMPLO 10.6.a) Seaf(x) = x + 1. Al despejar x en la ecuacin y = x + 1 se obtiene x = y - 1. Entonces la inversa g de f est dada por la frmula g(y) = y - 1. Se observa que g invierte el efecto de f y f invierte el efecto de g.b) Seaf(x) = -x. Al despejar x en y = -x se obtiene x = -y. Por tanto, g(y) = -y es la inversa de f . En este caso, la inversa de f es la misma funcin que f .c) Sea f (x) = yjx. La funcin f est definida slo para nmeros no negativos, y su rango es el conjunto de los nmeros no negativos. Si se despeja x en y = y[x se obtiene x = y2, de manera que g(y) = y2. Como g es la inversa de f , g est definida slo para nmeros no negativos, ya que los valores de f son los nmeros no negativos. [Puesto que y = f(g(y)), si se permitiera que g se definiera para nmeros negativos, se tendra -1 = f ( g ( - 1)) = f ( 1) = 1, que es una contradiccin.]d) La inversa def(x) = 2x - 1 es la funcin g (y) = y + 1 .NotacinL a inversa de f se denota f 1. Esta notacin no debe confundirse con la notacin exponencial para elevar un nm ero a la potencia -1 . El contexto generalm ente indica cul es el significado especfico. No toda funcin tiene funcin inversa. Por ejemplo, la funcin f (x ) = x2 no posee una inversa. Com o f (1 ) =1 = f (-1 ), una funcin inversa g tendra que satisfacer g(1) = 1 y g(1) = -1 , lo cual es imposible. [Sin embargo, si se restringe la funcin f (x) = x2 al dom inio x > 0, entonces la funcin g(y) = J y sera una funcin inversa de f.]L a condicin que una funcin f debe satisfacer para tener una inversa es que sea uno a uno, es decir, que para todo x 1 y x2, si x 1 ^ x2, entonces f (x 1) ^ f (x 2). D e m anera equivalente, f es uno a uno si y slo si, para todox1 y x2, si f (x 1) = f (x 2), entonces x 1 = x2.EJEMPLO 10.7. Demostremos que la funcin f(x) = 3x + 2 es uno a uno. Suponga que f (x 1) = f (x 2). Entonces, 3x1 + 2 = 3x2 + 2, 3x1 = 3x2, x 1 = x2. Por tanto, f es uno a uno. Para hallar la inversa de dicha funcin, se despeja x en y = 3x + 2, y se obtiene x = y--2. A s ,f-1 (y) = y2. (En general, si se puede despejar x en y = f(x) en trminos de y, entonces se sabe que f es uno a uno.)Teorema 10.2. Frmula de la diferenciacin para funciones inversas. Sea f uno a uno y continua en el intervalo(a, b). Entonces:a) El rango de f es intervalo I (posiblemente infinito) y f es creciente o decreciente. Adems, f 1 es continua en I.b) Si f es diferenciable en x y f ( x 0) ^ 0, entonces f 1 es diferenciable en y0 = f (x 0) y (f -1)/(y0) = f j ). Esta ltima ecuacin a veces se escribe 0dx = _ 1_ dy dy dxdonde x = f -1(y).Para la demostracin, vase el problema 69.EJEMPLO 10.8.a) Sea y = f(x) = x2 para x > 0. Entonces, x = f -1(y) = y[y. Como dy = 2x, entonces dy = 2x = ^^y Por ende,Dy ( ( y ) = . [Observe que ste es un caso especial del teorema 8.1(9) cuando m = y.]b) Sea y = f(x) = x3 para todo x. Entonces, x = f -1(y) = 3 y = y1/3 para todo y. Como = 3x2, entonces= 3^ 3. Esto se cumple para todo y ^ 0. [Advierta que f -1(0) = 0 y f ( 0 ) = 3(0)2 = 0.] www.FreeLibros.meDerivadas superioresSi y = f ( x ) es diferenciable, su derivada y ' tam bin se denom ina prim era derivada de f . Si y ' es diferenciable, su derivada se llam a segunda derivada de f . Si esta segunda derivada es diferenciable, entonces su derivada se denom ina tercera derivada d e f , y as sucesivamente.NotacinPrim era derivada y', f ' ,dydx DxySegunda derivada y", f " (x), dd D yTercera derivada y'", f "'(x),d 3 y dx3 D 3Jn-sim a derivada y (n ), f (n)(x), dd DnyPROBLEMAS RESUELTOSDemuestre el teorema 10.1 (1 a 3): 1. -d -(c) = 0; 2. -d -(x) = 1; 3. d - (c u ) = c4d'tX d', d^Recuerde que d f (x) = lm f ( - + Aa)d A-^0 A1. d c = lm = lm 0 = 0d A^0 A A^02. d () = lm ( + A) ~ = lm A = lm 1 = 1d A^0 A A^0 A A^03. d (Cu) = Um cu( + Aa) - cu() = Um c u( + Aa) - u()d A^0 A A ^0 A= c lm U( + A) - u() = c dua^0 A dDemuestre el teorema 10.1 (4, 6 y 7):a d i n i i \ du i dv4. --(u + v + ) = - + ^ +d d dd dv du6. -(uv) = u- + v - - d d dv d u _ u dv7. d (^ ) = d v 2~ siempre que v * 04. Basta probar esto slo para dos sumandos, u y v. S eaf() = u + v; entonces,f ( + A ) - f () _ u( + A ) + v ( + A ) - u() - v()A _ A_ u( + A ) - u() + v( + A ) - v ()A AAl tomar el lmite cuando A ^ 0 se obtiene - d - (u + v) = ^ + 4 ^ .d d d6. Sea f ( ) = uv. Entonces,f ( + A ) - f () _ u( + A )v( + A ) - u()v()A _ A_ [u( + A )v( + A ) - v()u( + A )] + [v()u( + A ) - u()v()]A= u( + A) v( + A - v() + v() u( + Aa.) - u()CAPTULO 10 Reglas para derivar funciones www.FreeLibros.meCAPTULO 10 Reglas para d e riva r funcionesAl tomar el lmite cuando Ax ^ 0 se obtiened (rn) = u(x) d v (x) + v( x) = u d x + v %Se observa que lim u(x + Ax) = u(x) porque la diferenciabilidad de u implica su continuidad.Ax^ 07. Sea entonces, f (x) = u ,J v v(x)u(x + Ax) _ u(x)f (x + Ax) - f (x) _ v (x + Ax) v(x) _ u(x + Ax)v(x) - u(x)v(x + Ax)A x _ Ax _ Ax(v(x)v (x + A x)}[u( x + A x)v ( x) - u( x)v( x)] - [u( x)v ( x + A x) - u( x)v( x)] Ax[v( x)v ( x + Ax)]v ( ) u(x + Ax) - u(x) _ (x) v(x + Ax) - v(x). ______ Ax_________ ____________ Ax_v (x)v (x + A x) - ud x \ v } ~ [v( x)]v(x)d u(x) - u(x)d v(x) v - u dvd d l iA v w d fru(x )~ u w d x v (x ) v ~dx~u ~dxy para i , ^ 0, (x )- ( * ) - dx ^ - dx3. Demuestre el teorema 10.1 (9): Dx(xm) = mxm 1, cuando m es un entero no negativo. Aplique induccin matemtica. Cuando m = 0,Dx(xm) = Dx(x0) = Dx(1) = 0 = 0 x x 1 = mx-1 Se presupone que la frmula es verdadera para m . Entonces, por la regla del producto,Dx(xm+1) = Dx(xm x x) = xmDx(x) + xDx(xm) = xm x 1 + x x mxm-1 = x + mxm = (m + 1)xmPor tanto, la frmula se cumple para m + 1.4. Demuestre el teorema 10.1 (9): Dx(xm) = mx-1, cuando m es un entero negativo.Sea m = -k, donde k es un entero positivo. Entonces, por la regla del cociente y el problema 3,Dx (xm ) - Dx (x- k ) - Dx ( )xkDx (1) - 1 Dx(xk ) x k 0 - kxk-1(xk )2-yk-1- - k ^ T - ~kx ~k-1 - m xm -1 x 2k5. Derive y = 4 + 2x - 3x2 - 5x3 - Sx4 + 9xs.d t - 0 + 2(1) - 3(2x) - 5(3x2) - S(4x3) + 9(5x4) - 2 - 6x - 15x2 - 32x3 + 45x46. Derive y - 1 + -3 - + - x 1 + 3x 2 + 2x 3.-/ -Y ~Y 2 -vOx x2 x- - x~2 + 3(-2x~3) + 2(-3x~4) - - x~2 - 6x~3 - 6x~4 - ^ - 4dx x2 x3 x47. Derive y = 2x1/2 + 6x1/3 - 2x3/2.d y - 2(2 x-1/2) + 6 ( 1 x -2/3) - 2(2 x 1/2) - x ~1/2 + 2x~2/3 - 3x 1/2 - J L + ^ - 3x 1/x 2k www.FreeLibros.me8. Derive y = - - J - - X L = 2x~1/2 + 6 x ~1/3 - 2x ~3/2 - 4x ~3/4.Xl/ 2 X 3 X 3/ 2 X^ '2 ( - 2 X-2 ) + 6 ( - 3 x-4 ) - 2 ( - 2 X- ' 2 ) - 4 ( - 4 x-2 )1 2(- 2 - X-3/2 - 2 X-4/3 + 3X-5/2 + 3 X-7/4 _ - __1_____+ 3 + 3A -/A I JA i JA ..n I _ < n . . H A9. Derive y = ^ 3 x 2 7^ = (3x2)1/3 - (5x) 1/2.V 5x^ = 1 (3 x2 )-2/3 (6 x) - {- 1 ^ (5 x)-3/2 (5) = __2x + ____ 5____ = 2 + ___ 1___dx 3 (3x ) (6x) \ 2 j (5x) (5) (9x4)1/3 + 2(5x)(5x)1/2 ^ 2 x ^ 5 !10. Demuestre la regla de la cadena de potencias: Dx(ym) = mym-lDxy.sta es sencillamente la regla de la cadena, donde la funcin externa es f(x) = xm y la funcin interna es y.11. Derive s = (t2 - 3)4.a r*ci rl^ n q rlCAPTULO 10 Reglas para d e riva r funcionesPor el teorema 10.2,dy _ 1 V1- y2dx dx /dy 1 - 2y217. Halle la pendiente de la recta tangente a la curva x = y2 - 4y en los puntos donde la curva corta el eje y. Los puntos de interseccin son (0, 0) y (0, 4). Se tiene que dy = 2y - 4y, por tanto, ^ = ddbJdy = 2y- 4 En (0, 0) la pendiente es - -4, y en (0, 4) la pendiente es -4-.18. Derive la regla de la cadena: Dx(f{g(x))) = f'(g (x) g'(x)).Sea H = f g. Sea y = g(x) y K = g(x + h) - g(x). Tambin, sea F(t) = f (y+ f (y) - f ' (y) para t ^ 0.Como lm^o F (t) = 0, sea F (0) = 0. Entonces, f ( y + t) - f(y ) = t(F (t) + f /(y)) para todo t. Cuando t = K,f (y + K) - f (y) = K(F (K) + f'(y))f (g(x + h)) - f (g(x)) = K(F (K) + f (y ) )Por tanto, H (x + h ~ H (x) = K (F (K ) + f '(y))Ahora, lm K = lm g ( x + hh g(x ) = g '(x )h^ 0 h h^ 0 hComo lm K = 0, lm F (K) = 0. Entonces,h^ 0 h^ 0H \x ) = f W ( x ) = f '(g(x))g'(x).19. Halle , dado y _ 4 ^ 1 y _ 3 x 2 + 2. dx 7 2 + 1 Jdy _ 4u du _ 2x = 2xdu ~ (u2 + 1)2 y dx 3(x2 + 2)2/3 3u2Entonces,d y _ d y d u _ 4u 2x _ 8xdx du dx (u2 + 1)2 3u2 3u(u2 + 1)220. Un punto se mueve a lo largo de la curva y = x3 - 3x + 5 de manera que x _ 2 y[t + 3, donde t es tiempo. A qu tasa cambia y cuando t = 4?Hay que hallar el valor de dy/dt cuando t = 4. Primero, dy/dx = 3(x2 - 1) y dx/dt _ 1/(4>/F). Por tanto,dy _ d y d x _ 3( x2 -1 ) dt dx dt 4 yftCuando t = 4, x _ y%/4 + 3 _ 4, y d - _ 3(4(2) ^ unidades por unidad de tiempo.21. Un punto se mueve en el plano de acuerdo con las ecuaciones x = t2 + 2t y y = 2t3 - 6t. Halle dy/dx cuando t =0, 2 y 5.Como en la primera ecuacin es posible despejar t y este resultado puede sustituirse por t en la segunda ecuacin, y es una funcin de x. Se tiene dy/dt = 6t2 - 6. Como dx/dt = 2t + 2, al aplicar el teorema 8.2 se obtiene dt/dx = 1/(2t + 2). Entonces, _ n _ 6( t2 - 1) * ^ _ 3(t - 1)Los valores requeridos de dy/dx son -3 en t = 0, 3 en t = 2 y 12 en t = 5.22. Sea y = x2 - 4x y x _ V2t2 + 1. Halle dy/dt cuando t _ V2". - 2(x - 2) y dx ^ ^ y dt ( 2 t2 + 1)1/2Entonces, , , ^dy _ d y dx _ 4 t(x - 2)dt dx dt (2t 2 + 1)1/2 Cuando t ^ V 2 , x _yf5 y ^ ~ 2) _ ^ 52 (5 - 2^5). www.FreeLibros.me23. Demuestre que la funcinf(x) = x3 + 3x2 - 8x + 2 tiene derivadas de todo orden y hllelas.f ( x ) = 3x2 + 6x - 8, f" (x ) = 6x + 6, f" '(x ) = 6 y todas las derivadas de orden superior son cero.24. Investigue las derivadas sucesivas def(x) = x4/3 en x = 0.f '(x) = f x1/3 y f = (0) = 0f "(x ) = -4 x -2/3 = 9 4 3 - y / " ( ) no existef n)() no existe para n > 2.25. Sea f (x) = y x = 2(1_ x) ' Halle la frmula para f (n)(x).f (x) = 2( - 1)(1 - x)-2( - 1) = 2(1 - x)-2 = 2( 1!)(1 - x)-2f"(x ) = 2( 1!)(-2)(1 - x)-3( - 1) = 2(2!)(1 - x)-3f " ( x ) = 2(2!)(-3)(1 - x)-4(-1) = 2(3!)(1 - x)-4lo que sugiere q u e f(n)(x) = 2(n!)(1 - x) (n+1). Este resultado puede establecerse mediante induccin matemtica demostrando que si f k)(x) = 2(k!)(1 - x)-(k+1), entoncesf (k+1)(x) = - 2(k!)(k + 1)(1 - x)-(k+2)( - 1) = 2 [(k + 1)!](1 - x)-(k+2)PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS26. Demuestre el teorema 10.1 (5): Dx(u - v) = Dxu - Dxv.Respuesta: Dx(u - v) = Dx(u + (-v)) = Dxu + Dx(-v) = D x u + D x ((-1)v) = Dxu + (-1)D x v = Dxu - Dx v por elteorema 8.1 (4, 3)En los problemas 27 a 45, halle la derivada.27. y = x5 + 5x4 - 10x2 + 6 Respuesta: d y = 5x(x3 + 4 x 2 - 4)28. y = 3x1/2 - x3/2 + 2x~1/2 Respuesta: = 3r- - -|Vx - 1/x3/2dx W xRespuesta: ^ = 3- ---3^dx x x30. y = s2x + 2yjx Respuesta: y ' = (1 + s [ 2 ) /j2 x1 1/2 , 2t2/3Respuesta: f ' ( t ) = - - ------32. y = (1 - 5x)6 Respuesta: y ' = -3(1 - 5x)533. f (x) = (3x - x3 + 1)4 Respuesta: f ( x ) = 12(1 - x2)(3x - x3 + 1)3CAPTULO 10 Reglas para derivar funciones www.FreeLibros.meCAPTULO 10 Reglas para d e riva r funciones34. y = (3 + 4x - x2)1 Respuesta: y'= (2 - x)/y35. d = 3r + 2 2r + 336. y = ( 1 + 7 )37. y = 2x2V 2 - x38. / (x) = W 3 - 2x239. y = ( x - 1)Vx2 - 2x + 240. z = wVi - 4w 2 41. y = J + J x42. / (x ) = J-x - 1 x + 15x4Respuesta: y ' = 6(1 + x )Respuesta: y ' = x(8^ 5x)- 3 - 4 x2Respuesta: / '(x) =V3 - 2x2Respuesta: ^ = 2x2 - 4x + 3dx Vx2 - 2x + 2dz 1Respuesta: -p- =Respuesta: y ' =dw (1 - 4w2)3/2 1Respuesta: / '(x) =4yfxy 1 + Vx 1( x + 1)V x2 - 143. y = (x2 + 3)4(2x3 - 5)3 Respuesta: y ' = 2x(x2 + 3)3(2x3 - 5)2(17x3 + 27x - 20)44. s = t2 + 2 3 - 1 24 5 y = ( wRespuesta: ^ = 10t 2 1 dt (3 - 12 )236x2(x3 - 1)3 ' " (2x3 + 1)5Resp uesta: y '= 3 546. Para cada una de las funciones siguientes, calcule dy/dx por dos mtodos y compruebe que los resultados son iguales:a) x = (1 + 2y)3 b) x = 12 + yEn los problemas 47 a 50, use la regla de la cadena para hallar d jy . u - 147. y =y = - 1, u = Vx 7 u + 148. y = u3 + 4, u = x2 + 2xRespuesta: d y = = 11 dx 4 x (1 + J x fRespuesta: d y = 6x2(x + 2)2(x + 1)49. y = \ l 1 + u , u = 4 x Respuesta: vase el problema 42.50. y = yf, u = v(3 - 2v), v = x2L dy dy du dvSugerencia: - f - = - ih , --. \ dx du dv dxRespuesta: vase el problema 39.4 www.FreeLibros.meEn los problemas 51 a 54, halle la derivada indicada.51. y = 3x4 - 2x2 + x - 5; y '" Respuesta: y '" = 72x52. y = ^ ; y(4) Respuesta: y(4) = 105 9/2j , y va,. j . ,;\ x 16x53. f (x) = s2 - 3x 2;f ' ( x ) Respuesta: f " (x) = - _ 36x 2)3/54. y = -j x - 1 ; y" ResPuesta: y = 4 ^ 4 : ^En los problemas 55 y 56, halle una frmula para la n-sima derivada.55. y = ^2- Resp uesta: y (n) = (-1 ) [ n +1)!]56. f (x) = 2 Respuesta: f (n)(x) = (-1)"3" (n!)(3x + 2)"+57. Si y = f(u ) y u = g(x), demuestre quea) d2 i = dy_^ d u + d h l d u dx2 du dx2 du2 \ dx )dx2 du dx2 du2 dxb) d3 y = dy ^ d3 u + 3d y . d u , du + d i / d udx3 du dx3 du 2 dx2 dx du3 \ dx )58. A partir de ^ ^ derive = y d x = 3(y"( 2 ~ y Y " .r dy y dy2 (y )3 J dy3 (y )5En los problemas 59 a 64, determine si la funcin dada tiene inversa; si la tiene, halle una frmula para la inversa f -1 y calcule su derivada.59. f(x ) = 1/x Respuesta: x = f -1(y) = 1/y; dx/dy = -x 2 = -1 /y260. f (x) = 1 x + 4 Respuesta: x = f -1(y) = 3y - 12; dx/dy = 3.61. f (x) = V x - 5 Respuesta: x = f _1(y) = y2 + 5; dx /dy = 2y = 2V x - 562. f(x) = x2 + 2 Respuesta: no tiene funcin inversa.6 3 f(x ) = x3 Resp uesta: x = f -1(y) = t fy ; d y = = 1 y~2/364. f (x )= t + t Respuesta: x = r 1(y)= - y + s d y = - y - 2 ?CAPTULO 10 Reglas para derivar funciones www.FreeLibros.meCAPTULO 10 Reglas para d e riva r funciones65. Halle los puntos en los que la funcinf() = I + 21 es diferenciable.Respuesta: Todos los puntos excepto = -266. (CG) Utilice una graficadora para trazar la grfica de la parbola y = 2 y la curva y = I2 - 2I. Halle todos los puntos de discontinuidad de la ltima curva.Respuesta: = 0 y = 267. Halle una frmula de la n-sima derivada de las funciones siguientes: a) f () = 2 '; b) f () = V.69. Demuestre el teorema 10.2.Respuesta:a) Sugerencias: use el teorema del valor intermedio para demostrar que el rango es un intervalo. Que f es creciente o decreciente se deduce por un argumento que utiliza los teoremas del valor extremo y del valor intermedio. La continuidad de f -1 se deriva entonces con facilidad.Respuestas: a) f (n)(x) = (_ 1)n+1 (x +2)n+1b) f (n)( x) = ( - 1)n+1 3 ' 5 ' 7 ' " 2n ' (2n 3)x~ (2n-1)/268. Encuentre la segunda derivada de las funciones siguientes:a) f (x) = 2x - 7 b) f (x) 3x2 + 5x - 10c) f (x) = x + 4 d) f ( x) = V 7 - x1 14 (7 _ r)3/22Respuestas: a) 0; b) 6; c) (x + 4)3 ; d) 4 (7 _ x )f -1(y) _ f - 1( yo) = 1 = __ 11y _ yo f ( f -1(y)) _ f ( f -1( yo)) f ( x) _ f ( xo)f - l(y) _ f - l(y0) x _ xo www.FreeLibros.meDerivacin implcitaFunciones implcitasU na ecuacin f (x, y) = 0 define a y com o una funcin implcita de x. E l dom inio de esa funcin implcitam entedefinida consta de las x para las que existe una nica y tal q u ef(x , y) = 0.EJEMPLO 11.1.a) Se puede despejar y en la ecuacin xy + x - 2y - 1 = 0, para obtener y = . Esta funcin est definidapara x ^ 2.b) La ecuacin 4x2 + 9y2 - 36 = 0 no determina una funcin y nica. Si se despeja y en la ecuacin se tiene que y = -f% /9-x2. Hemos de considerar que la ecuacin define implcitamente dos funciones, y = W 9 - x2 y y = - - x2. Cada una de estas funciones est definida para Ixl < 3. La elipse determinada por la ecuacin original es la unin de las grficas de las dos funciones.Si y es una funcin definida im plcitam ente por una ecuacin f (x, y) = 0, la derivada y ' puede hallarse dedos form as:1. Se despeja y en la ecuacin y se calcula y ' directam ente. Salvo para ecuaciones m uy sencillas, este m todo resulta casi siempre im posible o imprctico.2. Se considera y com o funcin de x, se derivan am bos m iem bros de la ecuacin original f(x , y) = 0 y se despeja y ' en la ecuacin resultante. Este proceso de derivacin se conoce com o derivacin implcita.EJEMPLO 11.2.a) Halle y', dado xy + x - 2y - 1 = 0. Por derivacin implcita, xy'+ yDx(x) - 2y' - Dx(1) = Dx(0). As, xy' + y - 2y' = 0. Al despejar y ' se obtiene: y' = . En este caso, en el ejemplo 11.1a) se demuestra que es posible remplazar y por 1| y hallar y' en trminos slo de x. Resulta evidente que tambin hubiera sido fcil derivar y + 1| mediante la regla del cociente. Sin embargo, en la mayora de los casos, no se puededespejar y o y ' en trminos slo de x.b) Dado 4x2 + 9y2 - 36 = 0, halle y ' cuando x = >/5. Por medio de la derivacin implcita se tiene que 4Dx(x2) + 9Dx(y2) - Dx(36) = Dx(0). As, 4(2x) + 9(2yy') = 0. [Observe que Dx(y2) = 2yy' por la regla de la cadena de potencias.] Al despejar y ' queda y' = -4x/9y. Cuando x = -J5, y = y . Para la funcin y correspondiente al arco superior de la elipse [consulte el ejemplo 11.1b)], y = - -f- y y ' = - ^ 5 /3 . Para la funcin y correspondiente al arco inferior de la elipse, y = - f y y ' = y/ 5 /3 .Derivadas de orden superiorLas derivadas de orden superior pueden calcularse m ediante derivacin im plcita o por una com binacin de derivacin directa e implcita.EJEMPLO 11.3. En el ejemplo 11.2a), y ' = 2 + ^ Entonces,y" . D , ( / ) D , ( ) =1 + y V ( 2 - x ) y - - (1 + y)(-1)(2 - x)2_ (2 - x)y ' + 1 + y _ (2 X) ( 2 - x ) + 1 + y _ 2 + 2y _ (2 - x)2 _ (2 - x)2 _ (2 - x)2 www.FreeLibros.meCAPTULO 11 D erivacin im plc itaEJEMPLO 11.4. Halle el valor de y" en el punto (-1, 1) de la curva x2y + 3y - 4 = 0.Se deriva im plcitam ente respecto a x dos veces. Primero, x2y ' + 2xy + 3y' = 0, y luego x2y" + 2xy' + 2xy' + 2y + 3y" = 0. Se podra despejar y ' en la prim era ecuacin y luego despejar y " en la segunda ecuacin. Sin embargo, como slo se desea evaluar y" en el punto particular (-1 , 1), se sustituye x = -1 , y = 1 en la prim era ecuacin para hallar y = -i, y luego se sustituye x = -1 , y = 1 y y = 1 en la segunda ecuacin para llegar a y " - 1- 1 + 2 + 3y" = 0, de lo que se obtiene y" = 0. Este m todo evita clculos algebraicos confusos.PROBLEMAS RESUELTOS1. Halle y', dado que x2y - xy2 + x2 + y2 = 0.Dx (x2y) - D x (xy2) + Dx(x2) + Dx(y2) = 0x2y' + yDx (x2) - xDx(y2) - y2Dx(x) + 2x + 2yy' = 0x 2y' + 2xy - x(2yy') - y2 + 2x + 2 yy' = 0(x2 - 2 xy + 2 y)y' + 2 xy - y2 + 2x = 0. y2 - 2 xy - 2 x y x 2 - 2 xy + 2 y2. Si x2 - xy + y2 = 3, encuentre y ' y y".Dx (x2) - Dx(xy) + Dx (y2) = 02x - xy' - y + 2 yy' = 02x yPor tanto, y ' = ----- ^r~ . Entonces,7 x - 2y, ,= (x - 2y)Dx (2x - y) - (2x - y)Dx (x - 2y) y (x - 2y)2= (x - 2y)(2 - y') - (2x - y)(1 - 2yQ (x - 2y)2_ 2x - xy ' - 4 y + 2 y y '- 2x + 4xy' + y - 2yy' _ 3 x y '-3 y _ (x - 2y)2 _ (x - 2y)23x ( 2x ~ y 3y ^ x - 2y ) _ 3x(2x - y) - 3y(x - 2y) _ 6(x2 - xy + y2)_ (x - 2y)2 _ (x - 2y)3 _ (x - 2y)318(x - 2y)33. Dado x3y + xy3 = 2, halle y' y y" en el punto (1, 1).Mediante doble derivacin implcita quedax3y' + 3x2y + x(3y2y') + y3 = 0y x3y" + 3x2y' + 3x2y/ + 6xy + 3xy2y" + y/[6xyy/ + 3y2] + 3y2y' = 0.Al sustituir x = 1 y y = 1 en la primera ecuacin se obtiene y ' = -1 . Entonces, si se remplaza x = 1, y = 1 y y' = -1 en la segunda ecuacin se obtiene y" = 0. www.FreeLibros.mePROBLEMAS COMPLEMENTARIOS4. Halle y" dado a) x + xy + y = 2; b) x3 - 3xy + y3 = 1., ,, 2(1 + y) , , ,, 4 xyRespuestas: a) y = ^ + x)2 ; b) y = ~ (y2 _ x)3 5. Encuentre y', y", y '" en a) el punto (2, 1) en x2 - y2 - x = 1; b) el punto (1, 1) en x3 + 3x2y - 6 xy 2 + 2y3 = 0.Respuestas: a) -|, - -5-, ^5; b) 1, 0, 0.6 . Halle la pendiente de la tangente en un punto (x0, y0) de a) b2x 2 + a2y2 = a2b2; b) b2x2 - a2y2 = a2b2;c) x3 + y3 - 6x2y = 0 ., b2x0 , , b2x0 . 4x0y0 - x2Respuestas: a ) -----y ; b) 2 0 ; c) - 0 0 0a2 y / a 2y / y02 - 2x027. Demuestre que las tangentes a las curvas 5y - 2x + y3 - x2y = 0 y 2y + 5x + x4 - x3y2 = 0 se cortan en el origen en ngulos rectos.8. a) El rea total de la superficie de una caja rectangular con base cuadrada de lado y y altura x est dadapor S = 2y2 + 4xy. S es constante. Halle dy/dx sin despejar y.b) El rea total de la superficie de un cilindro recto de radio r y altura h est dada por S = 2nr2 + 2nrh.S es constante. Calcule dr/dh.Respuestas: a ) ----- + ; b) -x + y 2r + h9. En el crculo x2 + y2 = r2, demuestre que y"[1 + (y ')2]3'10. Dado S = Kx(x + 2y) y V = nx 2y, demuestre que dS/dx = 2n(x - y) cuando V es una constante, y dV/dx = -n x (x - y ) cuando S es una constante.11. Deduce la frmula Dx(xm) = mxm -1 del teorema 10.1(9) cuando m = p/q, donde p y q son enteros diferentes de cero. Se presupone que xp/q es diferenciable. (Sugerencia: sea y = x/q. Entonces, yq = xp. Ahora puede utilizar la derivacin implcita.)12. ( c g ) Emplee derivacin implcita para hallar una ecuacin de la recta tangente a -Jx + yfy = 4 en (4, 4) y compruebe su respuesta en una graficadora.Respuesta: y = - x + 8.CAPTULO 11 Derivacin implcita www.FreeLibros.meRectas tangentes y normalesEn la figura 12.1a) se presenta un ejem plo de la grfica de una funcin continua/. Si P es un punto de la grfica que tiene abscisa x, entonces las coordenadas de P son (x, / ( x)). Sea Q un punto cercano que tiene la abscisa x + Ax. Entonces las coordenadas de Q son (x + Ax, / ( x + Ax)). La recta PQ tiene pendiente / ( x ( x ) . Cuando Q se aproxim a a P a lo largo de la grfica, las rectas PQ se acercan m s y m s a la recta tangente T de la grfica en P (fig. 12.1b)). Por tanto, la pendiente de PQ se aproxim a a la pendiente de la tangente. As, la pendiente dela tangente es lm Al^ 0 f (x + Ax) - f (x) Ax, que es la derivada f '(x ).yy(a) (b)Fig. 12.1Si la pendiente m de la tangente en un punto de la curva y = /(x ) es cero, entonces la curva tiene una tangente horizontal en ese punto, igual que en los puntos A, C y E de la figura 12.2. En general, si la derivada de / es m en un punto (x0, y0), la ecuacin punto-pendiente de la tangente es y - y0 = m (x - x0). S i/ es continua en x0, pero l m ^ x0 f ( x ) = ^ , entonces la curva tiene una tangente vertical en x0, as com o en los puntos B y D de la figura 12.2.- x xyx www.FreeLibros.meLa recta normal a una curva en uno de sus puntos (x0, y0) es la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a la tangente en ese m ism o punto. Recurdese que una perpendicular a una recta con pendiente m diferente de cero tiene pendiente -1 /m . Por tanto, si m ^ 0 es la pendiente de la tangente, entonces y - y0 = -(1 /m )(x - x0) es una ecuacin punto-pendiente de la recta normal. Si la tangente es horizontal, entonces la norm al es vertical y tiene la ecuacin x = x0. Si la tangente es vertical, entonces la norm al es horizontal y tiene la ecuacin y = y0.ngulos de interseccinLos ngulos de interseccin de dos curvas se definen com o los ngulos form ados por las rectas tangentes a las curvas en su punto de interseccin. Para determ inar los ngulos de interseccin de las dos curvas: 1. Se resuelven sim ultneam ente las ecuaciones de las curvas para hallar los puntos de interseccin.2. Se determinan las pendientes m1 y m 2 de las rectas tangentes a las dos curvas en cada punto de interseccin.3. Si m1 = m2, el ngulo de interseccin es 0, y si m1 = -1 /m 2, el ngulo de interseccin es 90; de lo contrario,el ngulo de interseccin ^ puede hallarse con la frm ulam, - m 2ta n = ------ -r 1 + m1 m 2^ es el ngulo agudo de interseccin cuando tan ^ > 0 , y 180 - ^ es el ngulo agudo de interseccin cuando tan ^ < 0 .PROBLEMAS RESUELTOS1. Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a y = f(x) = x3 - 2x2 + 4 en (2, 4).f ( x ) = 3x2 - 4x. As, la pendiente de la tangente en (2, 4) es m = f ( 2 ) = 4, y una ecuacin de la rectatangente es y - 4 = 4(x - 2). La ecuacin punto-interseccin es y = 4x - 4.Una ecuacin de la recta normal en (2, 4) es y - 4 = - 4 (x - 2). Su ecuacin punto-interseccin esy = - x + 9 .2. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a x2 + 3xy + y2 = 5 en (1, 1).Por diferenciacin implcita, 2x + 3xy' + 3y + 2yy'= 0, de manera que, y'= - . Entonces la pendiente dela tangente en (1, 1) es -1 . Una ecuacin de la tangente es y - 1 = -(x - 1). Su ecuacin punto-interseccin es y = - x + 2. Una ecuacin de la recta normal es y - 1 = x - 1, o sea, y = x .3. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes con pendiente m = - - | a la elipse 4x2 + 9y2 = 40.Por derivacin implcita, y' = -4x/9y, de manera que en el punto de tangencia (x0, y0), m = - 4 x0/9y0 = -. Entonces, y0 = 2x0.Como el punto est en la elipse, 4x + 9y = 40. Entonces, 4x + 9(2x0)2 = 40 . Por tanto, x = 1 y x0 = 1. Los puntos requeridos son (1, 2) y (-1 , -2).En (1, 2), una ecuacin de la recta tangente es y - 2 = - -2 (x - 1).En (-1, -2), una ecuacin de la recta tangente es y + 2 = - % (x + 1).4. Halle una ecuacin de las rectas tangentes a la hiprbola x2 - y2 = 16 que pasen por el punto (2, -2).Por derivacin implcita, 2x - 2yy' = 0 y, por tanto, y' = x/y, de manera que en el punto de tangencia (x0, y0), la pendiente de la tangente ser x0/y0. Por otra parte, como la tangente debe pasar por (x0, y0) y (2, -2), la pendiente es xr+ i.As, = + 7.. Por tanto, ^ - 2x0 = y + 2- 0. Luego, 2x0 + 2y0 = x2 - y2 = 16 , lo que da x0 + y0 = 8 y, en consecuencia, y0 = 8 - x0.Si se sustituye 8 - x0 por y0 en x2 - y2 = 16 y se despeja x0, se obtiene x0 = 5. Luego, y0 = 3; por ende, una ecuacin de la recta tangente es y - 3 = -|(x - 5).CAPTULO 12 Rectas tangentes y normales www.FreeLibros.meCAPTULO 12 Rectas tangentes y normales5. Halle los puntos de tangencia de las rectas tangentes horizontal y vertical a la curva x2 - xy + y2 = 27.y 2xPor derivacin implcita, 2x - xy' - y + 2yy' = 0, donde y ' = -jy Para las tangentes horizontales la pendiente debe ser cero. Entonces, el numerador y - 2x de y' debe ser cero, lo cual da y = 2x. Al sustituir 2x por y en la ecuacin de la curva se tiene x2 = 9, de modo que los puntos de tangencia son (3, 6) y (-3 , - 6).Para las tangentes verticales la pendiente debe ser infinita. As, el denominador 2y - x de y' debe ser cero,lo cual da x = 2y. Al remplazar x en la ecuacin de la curva se obtiene y2 = 9. Por consiguiente, los puntos de tangencia son (6, 3) y ( - 6, -3).6. Halle las ecuaciones de las rectas verticales que cortan las curvas a) y = x3 + 2x2 - 4x + 5 y b) 3y = 2x3 + 9x2 - 3x - 3 en puntos donde las tangentes a las dos curvas son paralelas.Sea x = x0 una de tales rectas. Las tangentes en x0 tienen pendientes:Para a): y ' = 3x2 + 4x - 4; en x0, m 1 = 3x2 + 4x0 - 4 .Para b): 3y' = 6x2 + 18x - 3; en x0, m2 = 2x2 + 6x0 - 1.Como mx = m2, 3x2 + 4x0 - 4 = 2x2 + 6x0 - 1. Entonces x2 - 2x0 - 3 = 0 , (x0 - 3)(x0 + 1) = 0. Por tanto, x0 =3 o x0 = -1 . As, las rectas verticales son x = 3 y x = -1.7. a) Demuestre que la ecuacin punto-interseccin de la tangente con pendiente m ^ 0 a la parbola y2 = 4px es y = mx + p/m.b) Demuestre que una ecuacin de la recta tangente a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 en el punto P 0(x0, y0) sobre la elipse es b2x0x + a2y0y = a2b2.a) y ' = 2p/y. Sea P 0(x0, y0) el punto de tangencia. Entonces, y2 = 4p x 0 y m = 2p/y0; por ende, y0 = 2p/m y x0 = 4 y2 /p = p /m2. La ecuacin de la recta tangente es y - 2p/m = m(x - p/m 2), lo que se reduce a y = mx + p /m .b) y ' = bjr . En P 0, m = - -b^ . Una ecuacin de la recta tangente es y - y0 = - (x - x0), la cual se reduce ab2x b2xna 2y a /0b2x0x + a2y0y = b 2x l + a 2y2 = a 2b2 [porque (x0, y0) satisface la ecuacin de la elipse].a / 08. Demuestre que en el punto P 0(x0, y0) de la hiprbola b2x2 - a2y2 = a2b2, la recta tangente biseca el ngulo incluido entre los radios focales de P 0.En P 0 la pendiente de la tangente a la hiprbola es b2x0/a2y 0 y las pendientes de los radios focales P 0F' yP0F (fig. 12.3) son y0/(x0 + c) y y0/(x0 - c), respectivamente. Ahorab2x0 _ y0a 2 b2 + b2 cx0ta n a =a2y0 x0 + c (b2x2 - a 2y2) + b2cxo b2(a2 + cx0) b21 + b2 x0 yo (a 2 + b 2 ) Xo yo + a 2 cyo c 2 Xo yo + a2cy cy(a2 + cxo ) cyoa2 yo xo + ccomo b2xo2 - a 2y2 = a2b2 y a2 + b2 = c2, yyo b 2xotan =a 2 yo1 + b 2 Xo yob 2cxo - (b2x2 - a2y2) _ b2 cxo - a 2b 2 _ b2 (a2 + b2) Xo yo - a 2 cyo _ c2 Xo yo - a 2 cy ~ cyoEntonces, a = P porque tan a = tan p.xo-cyFig. 12.3 www.FreeLibros.me9.10.Uno de los puntos de interseccin de las curvas a) y 2 = 4x y b) 2x2 = 12 - 5y es (1, 2). Halle el ngulo agudo de interseccin de las curvas en ese punto.Para a), y ' = 2/y. Para b) y' = -4x/5. Entonces, en (1, 2), m 1 = 1 y m 2 = - -5-. Luego,tan0 = -1 + m1m2 1 5As, ^ ~ 83 40' es el ngulo agudo de interseccin.Halle los ngulos de interseccin de las curvas a) 2x2 + y2 = 20 y b) 4y2 - x2 = 8.Al despejar simultneamente se obtiene y2 = 4, y = 2. Entonces, los puntos de interseccin son (2>/2, 2) y (2^2 , - 2). Para a), y ' = -2x/y, y para b), y ' = x/4y. En el punto (2>/2", 2), m 1 = -2*j2 y m2 = -4-y/2. Como m m 2 = -1 , el ngulo de interseccin tiene 90 (es decir, las curvas son ortogonales). Por simetra, las curvas son ortogonales en cada uno de sus puntos de interseccin.11. El cable de suspensin de un puente est unido a pilares de soporte que distan 250 pies uno de otro, y cuelga en forma de una parbola con el punto ms bajo a 50 pies por debajo del punto de suspensin. Halle el ngulo entre el cable y el pilar.Tome el origen en el vrtice de la parbola, como en la figura 12.4. La ecuacin de la parbola es y = 6 b x2 y y' = 4x/625.En (125, 50), m = 4(125)/625 = 0.8000 y 0 = 38 40'. Por ende, el ngulo requerido es 0 = 90 - 0 = 51 20'.yxPROBLEMAS COMPLEMENTARIOS12. Examine las rectas tangentes horizontales y verticales de x2 + 4xy + 16y2 = 27.Respuestas: tangentes horizontales en (3, - f ) y (-3 , f ) . Tangentes verticales en (6, - -4) y ( - 6, - -4) .13. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a x2 - y2 = 7 en el punto (4, -3).Respuesta: 4x + 3y = 7 y 3x - 4y = 24.14. En qu puntos de la curva y = x3 + 5 es su recta tangente: a) paralela a la recta 12x - y = 17; b) perpendiculara la recta x + 3y = 2?Respuestas: a) (2, 13), (-2 , -3 ); b) (1, 6), (-1 , 4).15. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a 9x2 + 16y2 = 52 que sean paralelas a la recta 9x - 8y = 1. Respuesta: 9x - 8y = 26.CAPTULO 12 Rectas tangentes y normales www.FreeLibros.meCAPTULO 12 Rectas tangentes y normales16. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la hiprbola xy = 1 que pasan por el punto (-1, 1).Respuestas: y = (2-J2 - 3)x + 2y2 - 2; y = - (2 ^ 2 + 3)x - 2*j2 - 2.17. Para la parbola y2 = 4px, demuestre que una ecuacin de la tangente en uno de sus puntos P(x0, y0) es y0y = 2p(x + x0).18. Para la elipse b2x 2 + a2y2 = a2b2, demuestre que las ecuaciones de sus rectas tangentes de pendiente m son y = mx V a 2 m 2 + b 2.19. Para la hiprbola b2x 2 - a2y2 = a2b2, demuestre que a) una ecuacin de la recta tangente en uno de sus puntos P(x0, y0) es b2x0x - a2y0y = a2b2; y b) las ecuaciones de sus tangentes con pendiente m son y = mx ya2m 2 - b 2.20. Demuestre que la recta normal a una parbola en uno de sus puntos P biseca el ngulo formado por el radio focal de P y la recta que pasa por P y es paralela al eje de la parbola.21. Pruebe que toda tangente a una parbola, con excepcin del vrtice, corta la directriz y el lado recto (producido si es necesario) en puntos equidistantes del foco.22. Demuestre que la cuerda que une los puntos de contacto de las tangentes a una parbola trazada desde cualquier punto sobre su directriz pasa por el foco.23. Pruebe que la recta normal a una elipse en cualquiera de sus puntos P es bisectriz del ngulo comprendido entre los radios focales de P .24. Demuestre que a) la suma de las intersecciones con los ejes coordenados de toda tangente a 13Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientesMximo y mnimo relativosU na funcin f tiene un mximo relativo en x 0 si f ( x 0) > f ( x ) para toda x en algn intervalo abierto que contenga a x0 (y para el que f (x) est definida). En otras palabras, el valor de f en x0 es m ayor o igual a todos los valores de f en los puntos prxim os. D e la m ism a forma, f tiene un mnimo relativo en x0 si f ( x ) < f(x ) para toda x en un intervalo abierto que contenga x0 (y para el que est definida f(x )). En otras palabras, el valor de f en x0 es m enor o igual que todos los valores de f en los puntos prxim os. Por extremo relativo de f se entiende un mxim o relativo o un m nim o relativo de f .Teorema 13.1. Si f tiene un extremo relativo en un punto x0 en el que f ( x 0) est definida, entonces f ( x 0) = 0.De esta manera, si f es diferenciable en un punto en el que tiene un extremo relativo, entonces la grfica de f tiene una tangente horizontal en ese punto. En la figura 13.1 hay tangentes horizontales en los puntos A y B, donde f logra un valor mximo relativo y un valor mnimo relativo, respectivamente. Repase el problema 5 para obtener una demostracin del teorema 13.1.Teorema 13.2. Teorema de Rolle. Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Se presupone que f (a ) = f(b ) = 0. Entonces f ( x ) = 0 para al menos un punto x0 en (a, b).Lo anterior significa que si la grfica de una funcin continua corta el eje x en x = a y x = b, y la funcin es diferenciable entre a y b , entonces existe al m enos un punto en la grfica entre a y b donde la tangente es horizontal. En la figura 13.2 se m uestra ese punto. En el problem a 6 se dem uestra el teorem a de Rolle. www.FreeLibros.meCAPTULO 13 Teorema de l valor medio. Funciones crecientes y decrecientesyFig. 13.2Corolario 13.3. Teorema generalizado de Rolle. Sea g continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Se presupone que g(a) = g(b). Entonces g '(x0) = 0 al m enos para un punto x0 en (a, b).Observe en la figura 13.3 un ejem plo en el que hay exactam ente un punto de stos. Se advierte que el corolario 13.3 proviene del teorem a de Rolle si f(x ) = g(x) - g(a).yFig. 13.3Teorema 13.4. Ley de la media o teorema del valor medio.1 Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). As, existe al m enos un punto x0 en (a, b) para el cualf (b) ~ f (a) = f ,(x ) b - a f (Xo) .Observe la figura 13.4. En el problem a 7 se presenta la demostracin. En trminos geomtricos, la conclusin indica que existe algn punto dentro del intervalo donde la pendiente f (x0) de la recta tangente es igual a la pendiente (f(b ) - f(a )) /(b - a) de la recta P 1P 2 que une los puntos (a, f (a ) ) y (b, f (b)) de la grfica. En ese punto la tangente es paralela a P 1P 2, ya que sus pendientes son iguales.X1 La ley de la media tambin se denomina Teorema del valor medio para derivadas. www.FreeLibros.meTeorema 13.5. Teorema del valor medio extendido. Se presupone que/(x) y g(x) son continuas en [a, b] y dife-renciables en (a, b). Tambin se presupone que g'(x) ^ 0, para toda x en (a, b). Entonces, existe al menos un punto x0 en (a, b) para el que/ (b) ~ / (a) = / ' ( x0) g(b) - g (a ) g ' ^ ) Puede ver una dem ostracin en el problem a 13. A dvierta que el teorem a del valor m edio es un caso especial cuando g(x) = x.Teorema 13.6. Teorema del valor medio de orden superior. S i/ y sus primeras n - 1 derivadas son continuas en [a, b] y / (n)(x) existe en (a, b), entonces hay al menos un x0 en (a, b) tal quef (b) = f (a) + ( b - a) + ^ ^ ( b - a )2 + f (n-1)(a) f (n)(X )+ V l f ( b - a )n-1 + ^ ^ ( b - a)n(1)(Para obtener una demostracin, repase el problema 14.) Cuando b se remplaza por x, la frmula 1 se vuelvef (x) = f (a) + f - j f ) ( x - a) + A ^ ( x - a ) 2 ++ ^ (x - a)n-1 + f n(CAPTULO 13 Teorema de l valor medio. Funciones crecientes y decrecientesb) f(x) = 0 cuando x = 0 o x = 4. f tiene una discontinuidad en x = -2 , un punto que no est en [0, 4]. Adems, f (x) = (x2 + 4x - 8)/(x + 2)2 existe en todo punto excepto cuando x = -2 . As, se aplica el teorema y x0 = 2(>/3 - 1) , la raz positiva de x2 + 4x - 8 = 0.3. Halle el valor de x0 enunciado en el teorema del valor medio cuando f(x) = 3x2 + 4x - 3 y a = 1 y b = 3.f (a ) = f(1 ) = 4, f(b ) = f(3 ) = 36, f ( x 0) = 6x0 + 4 y b - a = 2. As, 6x0 + 4 = = 16. Por tanto, x0 = 2.4. Determine un valor x0 enunciado en el teorema del valor medio extendido cuando f(x) = 3x + 2 y g(x) = x2 + 1,en [1, 4].Se debe hallar x0 de manera quef (b) ~ f (a) = f (4) - f (1) = 1 4 - 5 = 3 = f W = _3_g(b) - g(a) g(4) - g(1) 17 - 2 5 g '(x0) 2x0 'Entonces, x0 = -5-.Demuestre el teorema 13.1: si f tiene un extremo relativo en un punto x0 en el q u e f (x0) est definida, entoncesf (x>) = 0 .Considrese el caso de un mximo relativo. Como f tiene un mximo relativo en x0, entonces para un |Ax| suficientemente pequeo, f (x 0 + Ax) < f (x 0), de modo que f (x 0 + Ax) - f (x 0) < 0. Luego, cuando Ax < 0,f (x0 + Ax) - f (x0) _ 0 As ---------- Ax-----------> . As, - ( v. lm f ( x 0 + * - f W > 0Ax^ 0" AxCuando Ax0 > 0, f (x0 + Ax) f (x0) < 0 . Por tanto,0 Axf (xp +A x ) - f (xp)f '(x0) = l m ^ - 0----- 'J 0 Am0 A x. lm f x + y - f W < 0Ai^0+ AxComo f ( x 0) > 0 y f ( x 0) < 0, entonces f ( x 0) = 0.6. Demuestre el teorema de Rolle (teorema 13.2): si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y si f (a ) = f(b ) = 0, entonces f ( x 0) = 0 para algn punto x0 en (a, b).Si f(x ) = 0 a lo largo del intervalo cerrado [a, b], entonces f ( x ) = 0 para toda x en (a, b). Por otra parte, si f(x ) es positivo (negativo) en algn punto en (a, b), entonces, por el teorema del valor extremo (teorema 8.7), f tiene un valor mximo (mnimo) en algn punto x0 en [a, b]. Ese valor mximo (mnimo) debe ser positivo (negativo) y, por consiguiente, x0 queda en (a, b), ya que f (a ) = f ( b) = 0. Entonces, f tiene un mximo (mnimo) relativo en x0. Por el teorema 13.1, f ( x 0) = 0.7. Demuestre el teorema del valor medio (teorema 13.4): sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Entonces, existe por lo menos un punto x0 en (a, b) para el cualf}f - f '( *0 ).Sea F(x) = f (x) - f (a) - f (bb - f (a) (x - a ) .De esta manera, F (a) = 0 = F (b). Luego, el teorema de Rolle se aplica a F en [a, b]. Por tanto, para algn x0 en (a, b), F'(x0) = 0.Pero F '(x) = f '(x) - f (bb I f ( a ) . As, f '( x - f (b) I f (a) = 0. www.FreeLibros.me^ L 0 l 28. Demuestre que si g es creciente en un intervalo, -g es decreciente en ese mismo intervalo.Se presupone que u < v. Entonces, g(u) < g(v). Por ende, -g(u) > -g(v).9. Demuestre el teorema 13.7: a) si f es positiva en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. b) Si f es negativa en un intervalo, f es decreciente en ese intervalo.a) Sean a y b dos puntos cualesquiera en un intervalo con a < b. Por el teorema del valor medio, paraf ^ a a = f 7(x0) algn punto x0 en (a, b). Como x0 est en el in te rv a lo ,f (x0) > 0. Entonces, ^ > 0 .Pero a < b; por consiguiente, b - a > 0. Luego,f(b) - f (a ) > 0. A s,f(a) < f(b).b) Sea g = -f. Entonces g' es positiva en el intervalo. Por el inciso a), g es creciente en el intervalo. Entonces, f es decreciente en el intervalo.10. Demuestre quef(x) = x 5 + 20x - 6 es una funcin creciente para todos los valores de x.f ( x ) = 5x4 + 20 > 0 para toda x. Entonces, por el teorema 13.7a), f es creciente en todos los puntos.11. Pruebe quef (x) = 1 - x3 - x7 es una funcin decreciente para todos los valores de x.f ( x ) = -3x2 - 7x6 < 0 para toda x ^ 0. Por tanto, por el teorema 13.7b), f es decreciente en todo intervalo que no contenga 0. Observe que si x < 0 ,f(x) > 1 = f (0), y si x > 0 ,f (0) = 1 > f(x). Luego, f es decreciente para todos los nmeros reales.12. Demuestre que f(x) = 4x3 + x - 3 = 0 tiene exactamente una solucin verdadera.f(0 ) = -3 y f(1 ) = 2. El teorema del valor intermedio extendido establece que f(x) = 0 tiene una solucin en (0, 1). Como f ( x ) = 12x2 + 1 > 0, f es una funcin creciente. Por tanto, no puede haber dos valores de x para los cuales f(x) = 0.13. Demuestre el teorema del valor medio extendido (teorema 13.5): sif(x) y g(x) son continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b), y g'(x) ^ 0 para toda x en (a, b), entonces existe al menos un punto x0 en (a, b) para elclll f (b) - f (a ) _ m cual g (b) - g (a ) - g '(x0).Supngase que g(b) = g(a). Por el teorema generalizado de Rolle, g'(x) = 0 para alguna x en (a, b), lo que contradice la hiptesis. Entonces, g(b) ^ g(a).Sea F(x) = f (x) - f (b) - g (b) - f (g (g(x) - g(b))En consecuencia, F (a) = 0 = F (b) y F '(x) = f '(x) - g (b) _ g'(x)De acuerdo con el teorema de Rolle, existe x0 en (a, b) para el cual f '(x0) - g(b) _ g(a) g '(x0) = 0 .14. Pruebe el teorema del valor medio de orden superior (teorema 13.6): si f y sus primeras n - 1 derivadas son continuas en [a, b] y f (n)(x) existe en (a, b), entonces hay al menos una x0 en (a, b) tal quef (b) = f (a) + ( b - a) + f ^ i b - a )2 + + ^ - ^ ( b - a )(n-1) + ^ ^ ( b - a )n (1)Sea K una constante definida porf (b) = f (a) + - a) + f r 0 ) (b - a)2 + + ^ ^ ^ ^ ( b - a )(n-1) + K (b - a)n (2)y considere queF (x) = f (x) - f (b) + ^ ( b - x) + f ^x) (b - x)2 + + (b - x)n 1 + K (b - x)nCAPTULO 13 Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes www.FreeLibros.meCAPTULO 13 Teorema de l valor medio. Funciones crecientes y decrecientesAhora F (a) = 0 por (2), y F (b) = 0. Por el teorema de Rolle, existe x0 en (a, b) tal que F '( x0) = f '(xa) + [ f " (x0)(b - xa) - f '(x0)] + 2 !f (n)(x ) f (n-i)( x )f (_a)(b - ^ r 1 - (b - x ) - 2f " ' (x )f - (- 0) (b - x0)2 - f "(x 0 )(b - x .)(n - 1)! (n - 2)!- Kn(b - x0)n 1f (n)(x0) (b - x0)n 1 - Kn(b - x0)n 1 = 0Entonces, K = f (n)( xp) n!(n - 1)!0 y (2) se vuelve (1).15. Sif ( x ) = 0 para toda x en (a, b), en toncesf es constante en (a, b).Sean u y v dos puntos cualesquiera en (a, b), con u < v. Por el teorema del valor medio, existe x0 en (u, v) para el cual f (v) ~ f (u) = f ( x 0). Por hiptesis, f (x0) = 0. Entonces, f(v ) - f ( u) = 0 y, por consiguiente, f(v ) = f ( u).PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS16. Sif (x) = x2 - 4x + 3 en [1, 3], halle un valor prescrito por el teorema de Rolle.Respuesta: x0 = 2.17. Halle un valor enunciado por el teorema del valor medio, dado:a) y = x3 en [0, 6]. Respuesta: x 0 = 2>/3 .b) y = ax2 + bx + c en [x1, x2]. Respuesta: x 0 = -j(x + x2) .18. S if (x ) = g'(x) para toda x en (a, b), demuestre que existe una constante K tal que f (x) = g(x) + K para toda xen (a, b). [Sugerencia: Dx(f(x) - g(x)) = 0 en (a, b). Por el problema 15, existe una constante K tal quef(x) - g(x) = K en (a, b).]19. Halle un valor x0 prescrito por el teorema del valor medio cuandof(x) = x2 + 2x - 3, g(x) = x2 - 4x + 6 en el intervalo [0, 1].Respuesta: - j .20. Demuestre que x3 + p x + q = 0 tiene a) una raz real si p > 0, y b) tres races reales si 4p3 + 27q2 < 0.21. Pruebe que f (x) = a^ + no tiene ni un mximo relativo ni un mnimo relativo. (Sugerencia: utilice el teorema22. Demuestre quef(x) = 5x3 + 11x - 20 = 0 tiene exactamente una solucin real. www.FreeLibros.me-^ 103^23. a) Dnde son crecientes y dnde decrecientes las funciones siguientes? Trace las grficas. b) ( c g ) Compruebe las respuestas del inciso anterior mediante una graficadora.i) f (x) = 3x + 5ii) f (x) = -7x + 20iii) f (x) = x2 + 6x - 11iv) f (x) = 5 + 8x - x2v) f (x) = V 4 - x2vi) f (x) = |x - 2 | + 3vii) f (x) = x 2 - 4Respuesta: creciente en todas partes.Respuesta: decreciente en todas partes.Respuesta: decreciente en ( - ^ , -3 ), creciente en (-3, +^). Respuesta: creciente en ( - ^ , 4), decreciente en (4, +^).Respuesta: creciente en (-2, 0), decreciente en (0, 2).Respuesta: decreciente en ( - ^ , 2), creciente en (2, +^).Respuesta: decreciente en ( -^ , -2), (-2, 2), (2, + ^); nunca creciente.24. ( c g ) Utilice una graficadora para estimar los intervalos en los quef(x) = x5 + 2x3 - 6x + 1 es creciente y los intervalos en los que es decreciente.25. Para las funciones siguientes determine si es aplicable el teorema de Rolle. Si lo es, halle los valores anunciados.a) f (x) = x3/4 - 2 en [-3, 3]b) f (x) = |x2 - 4| en [0, 8]c) f(x ) = |x2 - 4| en [0, 1]d) f (x) = x2 - - x5- 4 en [-1, 4]Respuesta: No; no diferenciable en x = 0. Respuesta: No; no diferenciable en x = 2. Respuesta: N o.f(0) ^ f(1 ).Respuesta: S. x0 = 5 - V .CAPTULO 13 Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes www.FreeLibros.me14Valores mximos y mnimosNmeros crticosUn nm ero x0 en el dom inio de f tal que f (x0) = 0 o f ( x 0) no est definido se llam a nmero crtico de f .Recurdese (teorem a 13.1) que si f tiene un extrem o relativo en x0 y f ( x 0) est definida, entonces f ( x 0) = 0 y, por tanto, x0 es un nm ero crtico de f . Sin embargo, observe que la condicin f (x0) = 0 no garantiza que f tenga un extremo relativo en x0. Por ejemplo, si f (x) = x3, entonces f (x) = 3x2 y, por consiguiente, 0 es un nm ero crtico de f , pero f no tiene un m xim o relativo ni un m nim o relativo en 0 (fig. 5.5).EJEMPLO 14.1.a) Sea f(x) = 7x2 - 3x + 5. Entonces, f ( x ) = 14x - 3. Al igualar f ( x ) a cero, f ( x ) = 0, y resolver se llega a que el nico nmero crtico de f es -j.b) Sea f(x) = x3 - 2x2 + x + 1. Entonces, f ( x ) = 3x2 - 4x + 1. Al despejar f ( x ) = 0, se halla que los nmeros crticos son 1 y 4-.2 2c) Sea f(x) = x2/3. Entonces, f '(x) = 3 x~1/3 = 3^1^ . Como f (0) no est definida, 0 es el nico nmero crtico de f .Es indispensable hallar algunas condiciones que perm itan concluir que una funcin f tiene un m xim o o un m nim o relativo en un nm ero crtico dado.Criterio de la segunda derivada para extremos relativosSupngase que f (x0) = 0 y que f ' ( x 0) existe. Luego, sii) f ' ( x 0) < 0 , entonces f tiene un m xim o relativo en x0ii) f ' ( x 0) > 0 , entonces f tiene un m nim o relativo en x0iii) f ' ( x 0) = 0 , entonces se ignora qu pasa en x0.En el problem a 9 se proporciona una dem ostracin. Para ver que el inciso iii) es vlido se consideran tres funciones: f(x ) = x4, g(x) = -x 4 y h(x) = x3. Com o f (x) = 4x3, g'(x) = -4 x 3 y h'(x) = 3x2, 0 es un nm ero crtico de las tres funciones. Com o f ' ( x ) = 12x2, g"(x) = -1 2 x 2 y h"(x) = 6x, la segunda derivada de las tres funciones es 0 en 0. Sin embargo, f tiene un m nim o relativo en 0, g tiene un m xim o relativo en 0 y h no tiene un m xim o ni un m nim o relativo en 0 .EJEMPLO 14.2.a) Considere la funcin f(x) = 7x2 - 3x + 5 del ejemplo 1a). El nico valor crtico fue 14. Como f ' ( x ) = 14, f X t f ) = 14 > 0. Entonces, el criterio de la segunda derivada dice que f tiene un mnimo relativo en -jj.b) Considere la funcin f(x) = x3 - 2x2 + x + 1 del ejemplo 1b). Observe que f ' ( x ) = 6x - 4. En los nmeros crticos1 y y, f" (1 ) = 2 > 0 y f ' ( 3 ) = 2 > 0. Por tanto, f tiene un mnimo relativo en 1 y un mximo relativo en 3c) En el ejemplo 1c), f(x ) = x2/3 y f ( x ) = -f x~1/3. El nico nmero crtico es 0, donde f no est definida. Por tanto, f " ( 0) no est definida y el criterio de la segunda derivada no es aplicable.Si no se puede utilizar o resulta inconveniente el criterio de la segunda derivada, ya sea porque la segunda derivada es 0 o porque no existe o es difcil de calcular, se puede aplicar el criterio siguiente, sin perder de vista que f ( x ) es la pendiente de la tangente a la grfica de f en x.Q----- www.FreeLibros.me-^ 105^Criterio de la primera derivadaSupngase que f ( x 0) = 0.C aso {+, -}Si f es positiva en un intervalo abierto inm ediatam ente a la izquierda de x0, y negativa en un intervalo abierto justo a la derecha de x0, entonces f tiene un m xim o relativo en x0 [fig. 14.1(a)].C aso {-, +}Si f es negativa en un intervalo abierto justo a la izquierda de x0, y positiva en un intervalo abierto justo a la derecha de x0, entonces f tiene un m nim o relativo en x0 [fig. 14.1(b)].C asos {+, +} y {-, -}Si f tiene el m ism o signo en intervalos abiertos justo a la izquierda y justo a la derecha de x0, entonces f no tiene un m xim o ni un m nim o relativo en x0 [fig. 14.1(c-d)]. Para ver una dem ostracin del criterio de la prim era derivada, repase el problem a 8.(a) ( )(c) (d)Fig. 14.1EJEMPLO 14.3. Considere tres funciones f(x) = x4, g(x) = -x 4 y h(x) = x3, ya analizadas. En su nmero crtico 0, el criterio de la segunda derivada no resulta aplicable porque la segunda derivada es 0. Entonces, se intenta el criterio de la primera derivada.a) f ( x ) = 4x3. A la izquierda de 0, x < 0, y as, f ( x ) < 0. A la derecha de 0, x > 0, por lo que f ( x ) > 0. Luego, se presenta el caso {-, +} y f debe tener un mnimo relativo en 0 .b) g'(x) = -4x3. A la izquierda de 0, x < 0, implica que g'(x) > 0. A la derecha de 0, x > 0, y entonces g'(x) < 0.Luego, aparece el caso {+, -} y g debe tener un mximo relativo en 0.c) h'(x) = 3x2. h'(x) > 0, a ambos lados de 0. Entonces, se tiene el caso {+, +} y h no presenta un mximo ni unmnimo relativo en 0. Existe un punto de inflexin en x = 0.Puede comprobar estos resultados en las grficas de las funciones.xxx x0CAPTULO 14 Valores mximos y mnimos www.FreeLibros.meCAPTULO 14 Valores m xim os y mnimosMximo y mnimo absolutosU n mximo absoluto de una funcin f en un conjunto S ocurre en x0 en S si f(x ) < f ( x 0) para toda x en S. Un mnimo absoluto de una funcin f en un conjunto S ocurre en x0 en S si f (x) > f (x0) para toda x en S.Mtodo tabular para hallar el mximo y el mnimo absolutosSea f continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Por el teorem a del valor extremo, se sabe que f tiene un m xim o y un m nim o absolutos en [a, b]. A qu se proporciona un m todo tabular para determ inar qu son y dnde ocurren (fig. 14.2).x f (x)c 1 f (C1)c 2 f(c2)Cn f (Cn)a f (a)b f (b)Fig. 14.2Prim ero se hallan los nm eros crticos (si los hay) c1, c2, . .. de f en (a, b). Segundo, se anotan estos nm eros en una tabla, junto con los puntos extrem os a y b del intervalo. Tercero, se calcula el valor de f para todos los nm eros de la tabla.Entonces:1. E l valor m s grande de estos valores es el m xim o absoluto de f en [a, b].2. E l valor m s pequeo de estos valores es el m nim o absoluto de f en [a, b].EJEMPLO 14.4. Halle el mximo y el mnimo absolutos de f(x) = x3 - x2 - x + 2 en [0, 2].f ( x ) = 3x2 - 2x - 1 = (3x + 1)(x - 1). Por tanto, los nmeros crticos son x = - -3 y x = 1. El nico nmero crtico en [0, 2] es 1. En la tabla de la figura 14.3 se observa que el valor mximo de f en [0, 2] es 4, el cual se alcanza en el punto extremo derecho 2, y el valor mnimo es 1, alcanzado en 1.x f (x)1 10 22 4Fig. 14.3Es evidente por qu el m todo funciona. Por el teorem a del valor extremo, f alcanza valores m xim os y m nim os en el intervalo cerrado [a, b]. Si cualquiera de tales valores ocurre en un punto extrem o o term inal, ese valor aparecer en la tabla, y com o en realidad es un m xim o o un m nim o, aparecer com o el valor m s grande o m s pequeo. Si se asum e un m xim o o un m nim o en el punto x0 dentro del intervalo, f tiene un m xim o o un m nim o relativo en x0 y, segn el teorem a 13.1, f ( x 0) = 0. As, x0 ser un nm ero crtico y aparecer en la tabla, de m anera que el valor m xim o o m nim o correspondiente f (x 0) ser el m s grande o el m s pequeo en la colum na de la derecha.Teorema 14.1. Supngase que f es una funcin continua definida en un intervalo J. El intervalo J puede ser un intervalo finito o infinito. Si f tiene un extremo relativo nico dentro de J, entonces ese extremo relativo tambin es un extremo absoluto en J .Para explicar el porqu de lo anterior, observe la figura 14.4, donde se supone que f tiene un extrem o nico, un m xim o relativo en c. Considere cualquier otro nm ero d en J. La grfica se mueve hacia abajo a am bos lados www.FreeLibros.me-----4107^de c. D e esta m anera, si f ( d ) fuera m ayor q u e f(c ) , entonces, por el teorem a del valor extrem o para el intervalo cerrado con puntos extrem os c y d, f tendra un m nim o absoluto en algn punto u entre c y d. (u podra no ser igual a c o a d.) Por consiguiente, f tendra un m nim o relativo en u, lo que contradira la hiptesis de que f tiene un extrem o relativo slo en c. Es posible am pliar este argum ento al caso en el que f tiene un m nim o relativo en c aplicando el resultado que se acaba de obtener para -f.yFig. 14.4PROBLEMAS RESUELTOS1. Localice los mximos o mnimos absolutos de las siguientes funciones en sus dominios:a) y = -x 2; b) y = (x - 3)2; c) y = V25 - 4X2 ; d) y = VX - 4 .a) y = -x 2 tiene un mximo absoluto (que es 0), cuando x = 0, ya que y < 0 cuando x ^ 0. No tiene mnimo relativo, puesto que su rango es ( - ^ , 0). La grfica es una parbola que se abre hacia abajo, con vrtice en (0, 0).b) y = (x - 3)2 tiene un mnimo absoluto, 0, cuando x = 3, pues y > 0 cuando x ^ 3. No tiene mximo absoluto, pues su rango es (0, +^). La grfica es una parbola que se abre hacia arriba, con vrtice en (3, 0).c) y = V 25 - 4 x 2 tiene en 5 su mximo absoluto, cuando x = 0, ya que 25 - 4x2 < 25 cuando x ^ 0. 0 es su mnimo absoluto, cuando x = -f. La grfica es la mitad superior de una elipse.d) y = Vx - 4 muestra a 0 como su mnimo absoluto cuando x = 4. No tiene mximo absoluto. Su grfica es la mitad superior de una parbola con vrtice en (4 , 0) y x como su eje de simetra.2. Sea f (x) = 3-x3 + -j x 2 - 6x + 8 . Halle a) los nmeros crticos def; b) los puntos en los que f tiene un mximo o mnimo relativo; c) los intervalos en los que f es creciente o decreciente.a) f ( x ) = x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2). Al despejarf ( x ) = 0 se obtienen los nmeros crticos -3 y 2.b) f" (x ) = 2x + 1. L u eg o ,f '( -3 ) = -5 < 0 y f '( 2 ) = 5. As, por el criterio de la segunda derivada,f tiene un mximo relativo en x = -3 , donde f ( -3 ) = 4p Por el criterio de la segunda derivada, f tiene un mnimo relativo en x = 2, donde f (2) = -3.c) Considere f ( x ) = (x + 3)(x - 2). Cuando x > 2, f ( x ) > 0. Para -3 < x < 2, f ( x ) < 0. Para x < -3 , f ( x ) > 0. As, por el teorema 13.7, f es creciente para x < -3 y 2 < x, y decreciente para -3 < x < 2.En la figura 14.5 se muestra un dibujo de parte de la grfica de f . Observe que f no tiene mximo ni mnimo absolutos.CAPTULO 14 Valores mximos y mnimos www.FreeLibros.meQ oak-3.4.CAPTULO 14 Valores m xim os y mnimosSea f(x ) = x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4. H alle a) los nm eros crticos d e f; b) los puntos en los que f tiene un extremorelativo; c) los intervalos en los que f es creciente o decreciente.a) Sea f (x) = 4x3 + 6x2 - 6x - 4. Es claro que x = 1 es un cero de f (x). Al dividir f (x) entre x - 1 se obtiene 4x2 + 10x + 4, que se factoriza 2(2x2 + 5x + 2) = 2(2x + 1)(x + 2). As, f (x) = 2(x - 1)(2x + 1)(x + 2), y los nm eros crticos son 1, - -y, y -2 .b) f " ( x ) = 12x2 + 12x - 6 = 6(2x2 + 2x - 1). M ediante el criterio de la segunda derivada, se halla i) en x = 1, f " (1 ) = 18 > 0, y existe un m nim o relativo; ii) en x = - -1, f "(--1 ) = - 9 < 0, de m anera que hay un m xim o relativo; iii) en x = -2 , f " ( - 2 ) = 18 > 0, que seala un m nim o relativo.c) f ( x ) > 0 cuando x > 1, f ( x ) < 0 cuando - -j < x < 1, f ( x ) > 0 cuando - 2 < x < - -2, y f ( x ) < 0 cuando x < -2 . Por tanto, f es creciente cuando x > 1, o bien, - 2 < x < - -j, y decreciente cuando - -j < x < 1 o x < -2 .La grfica aparece en la figura 14.6.A nalice los extrem os relativos de f (x) = ^ ^ y halle los intervalos en los que f es creciente o decreciente.f(x ) = (x - 2)-1, de m anera que f ( x ) = -(x - 2)-2 = - (x _12)2. Entonces, f nunca es 0 y el nico nm ero donde f no est definida es 2, que no se encuentra en el dom inio de f . Por tanto, f no tiene nm eros crticos. As, f no tiene extrem os relativos. O bserve q u e f (x) < 0 para x ^ 2. Luego, f es decreciente para x < 2 y para x > 2. Existe una discontinuidad no rem ovible en x = 2. La grfica se m uestra en la figura 14.7.yxyxyFig. 14.7 www.FreeLibros.me5. Localice los extrem os relativos de f(x ) = 2 + x2/3 y los intervalos en los que f es creciente o decreciente.f '(x ) = 2 x-1/3 = -3X03 Entonces, x = 0 es un nm ero crtico, ya que f (0) no est definida (pero 0 se halla en el dom inio d e f ) . Observe q u e f (x) tiende a ^ cuando x se aproxim a a 0. Si x < 0 ,f (x) es negativa, por lo que f es decreciente. Cuando x > 0, f (x) es positiva y, por tanto, f es creciente. La grfica se presenta en la figura 14.8. f tiene un m nim o absoluto en x = 0.y------------- 4 109^6. U tilice el criterio de la segunda derivada para analizar los extrem os relativos de las funciones siguientes:a) f (x) = x(12 - 2x)2; b) f(x ) = x2 + ^a) f ( x ) = x(2)(12 - 2x)(-2) + (12 - 2x)2 = (12 - 2x)(12 - 6x) = 12(x - 6)(x - 2). Entonces, 6 y 2 son losnm eros crticos. f" (x ) = 12(2x - 8) = 24(x - 4). Luego, f " (6 ) = 48 > 0, y f " (2 ) = -4 8 < 0. Por tanto, ftiene un m nim o relativo en x = 6 y un m xim o relativo en x = 2.b) f '(x) = 2x - xp0 = 2 1x x 2125 J. Entonces, el nico nm ero crtico es 5 (donde x3 - 125 = 0). f "(x) = 2 +500/x3. Com o f ' ( 5 ) = 6 > 0, f tiene un m nim o relativo en x = 5.2/37. D eterm ine los extrem os relativos de f (x) = (x - 2)2f '(x) = 3 x 2)23 . Aqu, 2 es el nico nm ero crtico. Com o f (2) no est d efin id a ,f"(2 ) no estar definida. Entonces, debe intentarse con el criterio de la prim era derivada. Para x < 2, f (x) < 0, y para x > 2, f (x) > 0. As, se tiene el caso {-, +} del criterio de la prim era derivada, y f tiene un m nim o relativo en x = 2.8. D em uestre el criterio de la prim era derivada.S e a f (x0) = 0. C onsidrese el caso {+, -} : si f es positiva en un intervalo abierto inm ediatam ente a la izquierda de x 0 y negativa en un intervalo abierto inm ediatam ente a la derecha de x 0, entonces f tiene un m xim o relativo en x0. El teorem a 13.8 perm ite observar que f es positiva en un intervalo abierto justo a la izquierda de x0, f es creciente en ese intervalo, y que f es negativa en un intervalo abierto justo a la derecha de x0, f es decreciente en ese intervalo. Por tanto, f tiene un m xim o relativo en x0. El caso { -, +} procede del caso {+, -} aplicado a -f . En el caso {+, +}, f ser creciente en un intervalo alrededor de x0, y en el caso { -, -} f ser decreciente en un intervalo alrededor de x0. Entonces, en ambos casos f no tiene m xim o ni mnimo relativos en x0.9. D em uestre el criterio de la segunda derivada: si f (x ) es diferenciable en un intervalo abierto que contiene un valor crtico x0 de f , y f ' ( x 0) existe y f ' ( x 0) es positiva (negativa), entonces f tiene un m nim o (m ximo) relativo en x0.Sea f "(x0) > 0. Entonces, por el teorem a 13.8, f es creciente en x0. Como f ( x 0) = 0, esto im plica que f es negativa cuando est prxim a y a la izquierda de x0, y f es positiva cuando est prxim a y a la derecha de x0. En consecuencia, se tiene el caso { -, +} del criterio de la prim era derivada y, por tanto, f tiene un mnimo relativo en x0. En la situacin opuesta, donde f ' ( x 0) < 0, el resultado que acaba de com probar se aplica a la funcin g(x) = -f(x ). As, g tiene un m nim o relativo en x0, y, por consiguiente, f tiene un m xim o relativo en x0.10. Entre los nm eros reales positivos u y v cuya sum a resulta en 50, halle la seleccin de u y de v que haga su producto P lo m s grande posible.P = u(50 - u). Aqu, u es cualquier nm ero positivo m enor que 50. Pero tam bin se puede perm itir que u sea 0 o 50, ya que en tales casos, P = 0 que, con certeza, no ser el valor ms grande posible. Entonces, P esCAPTULO 14 Valores mximos y mnimos www.FreeLibros.meZ 1 1 0 + CAPTULO 14 Valores m xim os y mnimosuna funcin continua u(50 - u), definida en [0, 50]. P = 50u - u2 tam bin es siem pre diferenciable, y dP/du =50 - 2u. dP/du = 0 resulta en un nm ero crtico nico u = 25. Por el mtodo tabular (figura 14.9), se observa que el valor m xim o de P es 625, cuando u = 25 (y, por tanto, v = 50 - u = 25).u P25 6250 050 0Fig. 14.911. D ivida el nm ero 120 en dos partes tales que el producto P de una parte y el cuadrado de la otra constituya un mximo.Sea x una parte y 120 - x la otra. Entonces, P = (120 - x)x2 y 0 < x < 120. Com o dP/dx = 3x(80 - x), los nm eros crticos son 0 y 80. C on el mtodo tabular se halla P(0) = 0, P(80) = 256 000 y P(120) = 0. Por tanto, el valor m xim o ocurre cuando x = 80, y las partes requeridas son 80 y 40.12. U na hoja de papel para un cartel debe tener 18 pies cuadrados de rea. Los m rgenes superior e inferior han de ser de 9 pulgadas, y los m rgenes de los lados, de 6 pulgadas. Cules deberan ser las dim ensiones de la hoja para m axim izar el rea impresa?Sea x una dim ensin m edida en pies. Entonces 18/x es la otra dim ensin (fig. 14.10). La nica restriccin en x es que x > 0. El rea im presa en pies cuadrados es A = (x - 1) - f ) y dx = 18 - 33/41/2 18 /xxFig. 14.10A l resolver dA/dx = 0 se obtiene el nm ero crtico x = 2>/3 . Com o d 2A /dx2 = -36 /x3 es negativa cuando x = 2>/3 , el criterio de la segunda derivada indica que A tiene un m xim o relativo en x = 2>/3 . Com o 2^/3 es el nico nm ero crtico en el intervalo (0, + ^ ) , el teorem a 14.1 establece que A tiene un m xim o absoluto en x = 2>/3 . Entonces, un lado m ide 2>/3 pies y el otro m ide 1V = 3 v 3 pies.(2V3) r13. A las 9 a m , el barco B se encuentra 65 m illas al este del barco A. El barco B navega hacia el O este a 10 millas por hora y A hacia el Sur a 15 m illas por hora. Si continan en sus cursos respectivos, cundo estarn ms cerca el uno del otro y cun cerca (fig. 14.11)?Sean A0 y B0 las posiciones de los barcos a las 9 a m , y A t y B t sus posiciones t horas ms tarde. La distancia recorrida en t horas por A es de 15t millas, y por B, de 10t millas. La distancia D entre los barcos est determ inada por D 2 = (15t)2 + (65 - 10t)2. Entonces,2 D dDD = 2(15t)(15) + 2(65 - 10t)(-1 0 ); por tanto, d - = 325tD 65 .Fig. 14 .11 www.FreeLibros.me----- ^Al resolver dD/dt = 0 se obtiene el nmero crtico t = 2. Como D > 0 y 325t - 650 es negativo a la izquierda de 2 y positivo a la derecha de 2, el caso (-, +) del criterio de la primera derivada indica que t = 2 produce un mnimo relativo para D . Como t = 2 es el nico nmero crtico, el teorema 14.1 implica que existe un mnimo absoluto en t = 2.Tomando t = 2 en D2 = (15t)2 + (65 - 10t)2 da D = 15^13 millas. Por tanto, los barcos estn ms cerca a las 11 a m , a 15VT3 millas de distancia uno del otro.14. Se quiere construir un contenedor cilndrico de metal cuya base circular tenga una capacidad de 64 pulgadas cbicas. Halle sus dimensiones de manera que la cantidad de metal requerido (rea de la superficie) sea mnima cuando el contenedor sea a) una lata abierta y b) una lata cerrada.Sean r y h el radio de la base y la altura en pulgadas, respectivamente, A la cantidad de metal y V el volumen del contenedor.a) Aqu V = nr2h = 64, y A = 2nrh + nr2. Para expresar A como funcin de una variable se despeja h en la primera relacin (porque es ms fcil) y se sustituye en la segunda, se obtiene^ + n r 2 = 1 a + n r 2 y f - i # + 2 * r . l l l z 6 ! n r 2 r : dr r 2 ry el nmero crtico es r = 4 / ^ . Entonces, h = 6 4 /n r 2 = 4 /-^n. Luego, r = h = 4 / ^ pulgadas.Ahora dA /dr > 0 a la derecha del nmero crtico, y dA /dr < 0 a la izquierda de ste. As, por el criterio de la primera derivada se tiene un mnimo relativo. Como no hay otro nmero crtico, dicho mnimo relativo es un mnimo absoluto. b) Aqu de nuevo V = n r 2h = 64, pero A = 2nrh + 2KT2 = 2rtr(64/rtr2) + 2KT2 = 128/r + 2ftr2. Entonces,H A 138 + 4 * r . 4 ( -*2- 32)dr r2 r 2y el nmero crtico es r = 2-^4 /n . Luego, h = 64 /n r2 = 4 -^4 /n. Por consiguiente, h = 2r = 4 ^ 4 /n pulgadas. Como en el inciso a), es posible demostrar que se ha hallado un mnimo absoluto.15. El costo total de producir x radios por da es S(^ x 2 + 35x + 25) y el precio por unidad para la venta es$(50 - 1 x).a) Cul debera ser la produccin diaria para obtener una utilidad total mxima?b) Muestre que el costo de producir un radio es un mnimo relativo de esa produccin.a) La utilidad sobre la venta de x radios por da es P = x(50 - 2 x) - ( j x 2 + 35x + 25) . Entonces, dP/dx = 15- 3x/2; al resolver dP/dx = 0 se obtiene el nmero crtico x = 10.Como d 2 P/dx2 = - f < 0 , el criterio de la segunda derivada muestra que se ha hallado un mximo relativo. Como x = 10 es el nico nmero crtico, el mximo relativo es un mximo absoluto. Luego, la produccin diaria que maximiza la utilidad es de 10 radios por da.b) El costo de producir un radio es C = 4 x + 35x + 25 = 1 x + 35 + . Entonces, = 1 - 2 5 ; al resolver^ x 4 x dx 4 x2dC/dx = 0 se obtiene el nmero crtico x = 10.Como d 2C/dx2 = 50/x3 > 0 cuando x = 10, se ha hallado un mnimo relativo. Puesto que hay slo unnmero crtico, ste debe ser un mnimo absoluto.16. El valor del combustible que consume una locomotora es proporcional al cuadrado de la velocidad y cuesta $25 por hora para una velocidad de 25 millas por hora (mi/h). Otros costos ascienden a $100 por hora, sin tener en cuenta la velocidad. Halle la velocidad que minimiza el costo por milla.Sea v la velocidad requerida y C el costo total por milla. El costo del combustible por hora es kv2, donde k es una constante por determinar. Cuando v = 25 mi/h, kv 2 = 625k = 25; por tanto, k = 1/25.C = costo en $/h = v 2/25 +100 = v + 100velocidad en mi/h v 25 v 'CAPTULO 14 Valores mximos y mnimos www.FreeLibros.meCAPTULO 14 Valores m xim os y mnimosEntonces,dC 1 - 100 (v - 50)(v + 50) dv 25 v 2 25v2 'Puesto que v > 0, el nico nmero crtico relevante es v = 50. Como d 2C/dv2 = 200/v3 > 0 cuando v = 50, el criterio de la segunda derivada indica que C tiene un mnimo relativo en v = 50. Como v = 50 es el nico nmero crtico en (0, + ^ ), el teorema 14.1 establece que C tiene un mnimo absoluto en v = 50. As, la velocidad ms econmica es 50 millas por hora.17. Un hombre en un bote de remos situado en P (fig. 14.12) a 5 millas en lnea recta del punto A ms cercano a una costa, desea llegar al punto B, a 6 millas de A a lo largo de la costa, en el tiempo ms corto. Dnde debera desembarcar si puede remar a 2 millas por hora y caminar a 4 millas por hora?Fig. 14.12Sea C el punto entre A y B donde el hombre desembarca, y sea AC = x. La distancia remada es PC = \ l 25 + x 2 y el tiempo necesario para remar es tl dapfdif = ^2S2+ x . La distancia caminada es CB = 6 - x, y el tiempo que se necesita para caminar es t2 = (6 - x)/4. Por tanto, el tiempo total necesario equivale at tj + t2 25 + x + 6 A x . Entonces, 4 ^ ,4 dx 2yf25xEl nmero crtico obtenido de la igualdad 2x - >/25 + x 2 0 es x 4>/3 ~ 2.89. Luego, debera desembarcar en un punto aproximado de 2.89 millas de A hacia B. (Cmo se sabe que este punto da el tiempo ms corto?. ')2 2x18. Un campo rectangular, uno de cuyos bordes limita un ro que corre en lnea recta, ser cercado con alambre. Si no se necesita cercar a lo largo del ro, muestra la cantidad mnima de alambre que se precisara si la longitud del campo es dos veces su ancho.Sea x la longitud del campo y y su ancho. El rea del campo es A = xy. El alambre necesario es F = x + 2y,y dF/dx = 1 + 2 dy/dx. Cuando dF/dx = 0, dy/dx - 1Tambin, dA/dx = 0 = y + x dy/dx. Entonces, y - 1 x 0 y x = 2y, como se requiere.Para ver que se ha minimizado F, observe que dy/dx = -y 2/A yM 2 2 - 2 1 - 4 y ( - 1 ) 2 y > 0 cuando ^ - , dx2 dx2 ^ A dx 1 A \ 2 / A dx 2Ahora use el criterio de la segunda derivada y la unicidad del nmero crtico.19. Halle las dimensiones de un cono circular recto de volumen mnimo V que puede circunscribirse en una esfera cuyo radio es 8 pulgadas.Sea x el radio de la base del cono, y y + 8 la altura de este ltimo (fig. 14.13). De los tringulos rectngulos semejantes ABC y AED se tiene quex y + 8 y por tanto x2 64( y + 8)28 V 7 T 6 ^ por ^ x y2 - 64 .Tambinn x 2(y + 8) 64n(y + 8)2 dV 64n(y + 8)(y - 24)3 3(y - 8) . Entonces, dy 3(y - 8)2 . www.FreeLibros.me^ 113^AEl nm ero crtico relevante es y = 24, de m anera que la altura del cono es y + 8 = 32 pulgadas y el radio de la base es 8 \/2 pulgadas. (Cmo se sabe que el volum en se ha m inim izado?)20. H alle las dim ensiones del rectngulo de rea m xim a A que puede inscribirse en la parte de la parbola y2 = 4px que interseca la recta x = a.Sea P B B 'P ' de la figura 14.14 el rectngulo, y (x, y) las coordenadas de P . Entonces,yFig. 14.14A = 2 y (a - x ) = 2 y [ a - 4 p ) = 2ay - y % = 2 a - | p r-A l resolver dA/dy = 0 se obtiene el nm ero crtico y = -,j4ap /3 . Las dim ensiones del rectngulo son 2y = ^ 3 ap y a - x = a - (y2/4p) = 2a/3.Com o d2A/dy2 = -3y /p < 0, el criterio de la segunda derivada y la unicidad del nm ero crtico garantizan que se ha hallado el rea mxima.21. H alle la altura del cilindro circular recto de volum en m xim o V que puede inscribirse en una esfera de radio R (fig. 14.15).Fig. 14.15CAPTULO 14 Valores mximos y mnimos www.FreeLibros.meCAPTULO 14 Valores m xim os y mnimosSea r el radio de la base y 2h la altura del cilindro. Segn la geometra, V = 2nr2h y r2 + h 2 = R 2 . Entonces,j V = 2 n ( r 2 j h + 2 rh ) y 2 r + 2 k j h = 0De la ltima relacin jhh = - r , entonces, = 2n\ -V- + 2rh I. Cuando V es un mximo, = 0, del cualdVdr hdVdrr2 = 2h2.As, R2 = r2 + h2 = 2h2 + h2, de manera que h = R A/3 y la altura del cilindro es 2h = 2R />/3 . El criterio de la segunda derivada puede utilizarse para verificar que se ha hallado un valor mximo de V.22. La pared de un edificio se apuntalar mediante una viga apoyada sobre una pared paralela de 10 pies de altura, situada a 8 pies del edificio. Halle la longitud L de la viga ms corta que puede utilizarse.Observe la figura 14.16. Sea x la distancia del pie de la viga al pie de la pared paralela, y sea y la distancia (en pies) del piso a la parte superior de la viga. Entonces, L = ^J(x + 8)2 + y2 .Fig. 14.16Tambin, de tringulos semejantes, 1 0 = x + 8 y, por tanto, y = 10(x + 8) por consiguiente,L = yj (x + 8)2 + 100(x + 8)2 = ^ x ^ V x 2 +100dL = x[(x2 + 100)1/2 + x(x + 8)(x2 + 100)-1/2] - (x + 8)(x2 + 100)1/2 = x3 - 800 dx x 2 x2V x2 + 100El nmero crtico relevante es x = 2-^100. La longitud de la viga ms corta es 23^30 + 8 ^ 1 0 000 + 100 = (^100 + 4 )3/2 piesEl criterio de la primera derivada y el teorema 14.1 garantizan que en realidad se ha hallado la longitud ms corta.yPROBLEMAS COMPLEMENTARIOS23. Analice cada uno de los valores mximos y mnimos relativos mediante el criterio de la primera derivada.a ) b ) c )d) e )f (x) = x2 + 2x - 3 f (x) = 3 + 2x + x2 f (x) = x3 + 2x2 - 4x - 8f (x) = x3 - 6x2 + 9x - 8f (x ) = (2 - x )3Respuesta: x = -1 produce el mnimo relativo -4.Respuesta: x = 1 produce el mximo relativo 4.Respuesta: x = -3- produce el mnimo relativo - 45T6; x = -2 produce el mximo relativo 0 .Respuesta: x = 1 produce el mximo relativo -4 ; x = 3 produce el mnimo relativo - 8.Respuesta: ni mximo ni mnimo relativos. www.FreeLibros.me-^ 115^f) 4)2-(x2=()x(f Respuesta:g) f (x) = (x - 4)4(x + 3)3 Respuesta:h) f (x) = x3 + 48/x Respuesta:i) f (x) = (x - 1)1/3(x + 2)2/3 Respuesta:x = 0 produce el mximo relativo 16; x = 2 produce el mnimo relativo 0 .x = 0 produce el mximo relativo 6912; x = 4 produce el mnimo relativo 0; x = -3 produce nada. x = -2 produce el mximo relativo -32 ; x = 2 produce el mnimo relativo 32.x = -2 produce el mximo relativo 0 ; x = 0 produce el mnimo relativo - ^ 4 ; x = 1 produce nada.24. Analice las funciones del problema 23a-f) para determinar, mediante el criterio de la segunda derivada, valores mximos o mnimos relativos.25. Demuestre que y = (a - x)2 + (a2 - x)2 + ... + (an - x)2 tiene un mnimo absoluto cuando x = ai + a26. Analice los valores mximos y mnimos absolutos en el intervalo dado:a) y = -x 2 en -2 < x < 2 Respuesta: mximo (= 0) en x = 0.b) y = (x - 3)2 en 0 < x < 4 Respuesta: mximo (= 9) en x = 0; mnimo (= 0) en x = 3.c) y = V 25 - 4x 2 en -2 < x < 2 Respuesta: mximo (= 5) en x = 0; mnimo (= 3) en x = 2.d) y = Vx 4 en 4 < x < 29 Respuesta: mximo (= 5) en x = 29; mnimo (= 0) en x = 4.27. La suma de dos nmeros positivos es 20. Halle los nmeros si: a) su producto es un mximo; b) la suma de sus cuadrados es un mnimo; c) el producto del cuadrado de uno y el cubo del otro es un mximo.Respuestas: a) 10, 10; b) 10, 10; c) 8, 12.28. El producto de dos nmeros positivos es 16. Halle los nmeros cuando a) su suma es mnima; b) la suma de uno y el cuadrado del otro es mnima.Respuestas: a) 4, 4; b) 8, 2.29. Se va a construir una caja rectangular abierta con extremos cuadrados para que tenga una capacidad de 6400 pies cbicos, a un costo de $0.75/pie cuadrado para la base y $0.25/pie cuadrado para los lados. Halle las dimensiones ms econmicas.Respuesta: 20 x 20 x 16.30. Una pared de 8 pies de altura dista 3 f pies de una casa. Halle la escalera ms corta que llegue del piso a la casa cuando se inclina sobre la pared.Respuesta: 15 -5 pies.831. Una compaa ofrece el siguiente plan de cargos: $30 por mil pedidos de 50 000 o menos, con un descuento de 37-jc por cada millar que est por encima de los 50 000. Halle el tamao del pedido que consiga que los recibos de la compaa sean un mximo.Respuesta : 65 000.CAPTULO 14 Valores mximos y mnimos www.FreeLibros.meCAPTULO 14 Valores m xim os y mnimos32. Halle una ecuacin de la recta que pasa por el punto (3, 4) que corta, en el primer cuadrante, un tringulo de rea mnima.Respuesta: 4x + 3y - 24 = 0.33. En qu punto del primer cuadrante de la parbola y = 4 - x2 la recta tangente, junto con los ejes coordenados, determinan un tringulo de rea mnima?Respuesta: ( 2>/3/3, 8/3).34. Halle la distancia mnima del punto (4, 2) a la parbola y2 = 8x.Respuesta: 2y[2 .35. a) Analice los valores mximos y mnimos de y en 2x2 - 4xy + 3y2 - 8x + 8y - 1 = 0. b) ( c g ) Verifique la respuesta para a) con una graficadora.Respuesta: a) mximo en (5, 3); b) mnimo en (-1, -3).36. ( c g ) Halle el mximo y el mnimo absolutos def(x) = x5 - 3x2 - 8x - 3 en [-1, 2] con precisin de tres cifras decimales.Respuesta: mximo 1.191 en x = -0.866; mnimo -14.786 en x = 1.338.37. Una corriente elctrica, cuando fluye en una bobina circular de radio r, ejerce una fuerza F = (x2 k ry 2 en unimn pequeo ubicado a una distancia x sobre el centro de la bobina. Demuestre que F es mxima cuando x = 2 r.38. El trabajo realizado por una clula voltaica de fuerza electromotriz constante E y resistencia interna constante r al pasar una corriente estacionaria por una resistencia externa R es proporcional a E 2R/(r + R)2. Demuestre que el trabajo realizado es mximo cuando R = r.39. Una recta tangente se dibuja a la elipse -fj + yg- = 1, de manera que la parte intersecada por los ejes coordenados es un mnimo. Demuestre que su longitud es 9.40. Un rectngulo est inscrito en la elipse 400 + 22s = 1 con sus lados paralelos a los ejes de la elipse. Halle las dimensiones del rectngulo de a) rea mxima y b) permetro mximo que pueda inscribirse de esta manera.Respuestas: a) 20^2 x 15^2 ; b) 32 x 18.41. Halle el radio R del cono circular recto de volumen mximo que pueda inscribirse en una esfera de radio r. (Recurdese: el volumen de un cono circular recto de radio R y altura h es -j n R 2h .)Respuesta: R = r~j2 . www.FreeLibros.me42. Un cilindro circular recto est inscrito en un cono circular recto de radio r. Halle el radio R del cilindro si a) su volumen es un mximo; b) su rea lateral es un mximo. (Recurdese: el volumen de un cilindro circular recto de radio R y altura h es nR2h y su rea lateral es 2nRh.)Respuestas: a) R = -| r ; b) R = -2 r .43. Demuestre que una carpa cnica de volumen dado necesitar la cantidad mnima de material cuando su altura h es y[2 por el radio r de la base. [Advierta primero que el rea de la superficie A = n(r2 + h2).]44. Demuestre que el tringulo equiltero de altura 3r es el tringulo issceles de rea mnima que se circunscribe en un crculo de radio r .45. Determine las dimensiones de un cilindro circular recto de mxima rea de superficie lateral que puede inscribirse en una esfera de radio 8.Respuesta: h = 2r = 8 V 2 .46. Investigue la posibilidad de inscribir un cilindro circular recto de rea total mxima (incluidos su pico y su base) en un cono circular recto de radio r y altura h .CAPTULO 14 Valores mximos y mnimos www.FreeLibros.meTrazo de curvas. Concavidad. SimetraConcavidadDesde un punto de vista intuitivo, el arco de una curva es cncavo hacia arriba si tiene la form a de una taza [fig. 15.1a)] y que es cncavo hacia abajo si tiene la form a de una cpula [fig. 15.1b)]. Sin embargo, es posible una definicin m s precisa. U n arco es cncavo hacia arriba si para cada x0, el arco queda por encim a de la tangente en x0 en algn intervalo abierto alrededor de x0. D e igual modo, un arco es cncavo hacia abajo si para cada x0, el arco queda por debajo de la tangente en x0 en algn intervalo abierto alrededor de x0.L a m ayor parte de las curvas son com binaciones de cncava hacia arriba y cncava hacia abajo. Por ejemplo, en la figura 15.1c) la curva es cncava hacia abajo de A a B y de C a D, pero cncava hacia arriba de B a C.D(a)Cncava hacia arriba(b)Cncava hacia abajo(c)Fig. 15.1L a segunda derivada de f indica la concavidad de la grfica de f Teorema 15.1.a) Si f ' ( x ) > 0 para x en (a, b), entonces la grfica de f es cncava hacia arriba para a < x < b.b) Si f" ( x ) < 0 para x en (a, b), entonces la grfica de f es cncava hacia abajo para a < x < b.Repase la dem ostracin en el problem a 17.EJEMPLO 15.1.a) Sea f(x ) = x2. Entonces, f (x ) = 2x, f '(x ) = 2. Com o f '(x ) > 0 para toda x, la grfica de f es siem pre cncava hacia arriba. Esto se debe a que la grfica seala una parbola que se abre hacia arriba.b) Sea f (x) = y = V1 x 2 . De ah que y2 = 1 - x2, x2 + y2 = 1. Entonces, la grfica es la m itad superior del crculo unitario con centro en el origen. M ediante derivacin im plcita se obtiene x + y y ' = 0 y, en consecuencia,1 + y y " + (y ')2 = 0. As, y " = -[1 + (y 0 2]/y. Com o y > 0 (excepto en x = 1), y " < 0. Por tanto, la grfica siem pre es cncava hacia abajo, es decir, que es lo que caba esperar.Puntos de inflexinUn punto de inflexin en una curva y = f (x ) es un punto en el que la concavidad cambia, de m anera que la curva resulta cncava hacia arriba en un lado y cncava hacia abajo en el otro lado del punto. Entonces, si y " existe[^118^ ------------- www.FreeLibros.meen un intervalo abierto que contiene a x0, entonces y " < 0 en un lado de x0 y y " > 0 en el otro lado. Por ende, si y " es continua en x0, entonces y " = 0 en x0. Esto desem boca en el teorem a siguiente.Teorema 15.2. Si la grfica de f tiene un punto de inflexin en x0 y f " existe en un intervalo abierto que contiene a x0 y f " es continua en x0, entonces f ' ( x 0) = 0.EJEMPLO 15.2.a) Sea f(x ) = x3. Entonces, f ( x ) = 3x2, f ' ( x ) = 6x. As, f ' ( x ) < 0 para x < 0, y f ' ( x ) > 0 para x > 0. Por tanto, la grfica de f tiene un punto de inflexin en x = 0 (fig. 5.5). O bserve que f ' ( 0 ) = 0, como lo determ ina el teorem a 15.2.b) Sea f(x ) = x4. Entonces, f ( x ) = 4x3, y f ' ( x ) = 12x2. A l resolver f ' ( x ) = 0 resulta x = 0. Sin em bargo, la grfica de f no tiene un punto de inflexin en x = 0. Es cncava hacia arriba en todos los puntos. C on este ejem plo se m uestra que f ' ( x 0) = 0 no im plica necesariam ente que hay un punto de inflexin en x0.c) Sea f (x) = -j x 3 + -J x 2 - 6 x + 8. A l resolver f ' ( x ) = 2x + 1 = 0 se halla que la grfica tiene un punto de inflexin en ( - 2 , t j - ) . Observe que ste es en realidad un punto de inflexin porque f ' ( x ) < 0 para x < J y f ' ( x ) > 0 para x > - -J (fig. 14.5).Asntotas verticalesU na recta vertical x = x0 tal que f (x) tiende a o a - ^ cuando x se aproxim a a x0, desde la izquierda o desdela derecha, se denom ina asntota vertical de la grfica de f Si f(x ) tiene la form a g(x)/h(x), donde g y h son funciones continuas, entonces la grfica de f tiene una asntota vertical x = x0 para toda x0 tal que h(x0) = 0 (y g(x0) * 0).Asntotas horizontalesU na recta horizontal y = y0 se denomina asntota horizontal de la grfica de f si lm f (x) = y 0 o lm f (x) = y0. As, la grfica se aproxim a a una asntota horizontal cuando se mueve cada vez m s a la izquierda o a la derecha.EJEMPLO 15.3.a) Sea f(x ) = 1 Entonces, la grfica de f tiene una asntota vertical en x = 0, a la que se aproxim a tanto por la derecha como por la izquierda. La recta y = 0 (o sea, el eje x ) es una asntota horizontal tanto en la izquierda como en la derecha (fig. 5.21).b) S ea f(x ) = xj. En consecuencia, x = 2 es una asntota vertical de la grfica d e f , a la que se aproxim a tanto desde la derecha como desde la izquierda. La recta y = 0 es una asntota horizontal, a la cual se aproxim a tanto en la izquierda como en la derecha (fig. 14.7).c) Sea f(x ) = (x -x1)(x2+ 3) . Entonces, la grfica de f tiene asntotas verticales en x = 1 y x = -3 . La recta y = 0 es unaasntota horizontal, a la que se aproxim a tanto en la izquierda como en la derecha.d) S ea f(x ) = xf . Por consiguiente, la grfica de f tiene una asntota vertical en x = 3, a la que se aproxim a desde la izquierda y desde la derecha. La recta y = 1 es una asntota horizontal, a la cual se aproxim a tanto por la izquierda como por la derecha.SimetraDos puntos P y Q son simtricos respecto a una recta l si l es la mediatriz del segm ento de recta que une P y Q [fig. 15.2a)].Dos puntos P y Q son simtricos respecto a un punto B si B es el punto medio del segmento que une P y Q.U na curva es sim trica respecto a una recta l (respectivamente, al punto B) si, para cualquier punto P en la curva, existe otro punto Q en la curva tal que P y Q sean sim tricos respecto a l (respectivamente, al punto B ) [fig. 15.2b-c)].Si una curva es sim trica respecto a una recta l, entonces l se denom ina un eje de simetra de la curva. Porejemplo, toda recta que pase por el centro de un crculo es un eje de sim etra de ste.-------------------- CAPTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetra www.FreeLibros.meCAPTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. S im etrap \ Q(a) (b)Fig.(c)15.2t (x, y)1111(-x, y) (x, y)11 ^i (x , -y) (-x -y),(x, y)(a) (b) (c)Fig. 15.3Los puntos (x, y) y (-x , y) son sim tricos respecto al eje y, y los puntos (x, y) y (x, -y ) son sim tricos respectoal eje x. Los puntos (x, y) y (-x , -y ) son sim tricos respecto al origen [fig. 15.3a-c)].Considrese la grfica de una ecuacin F (x, y) = 0. Entonces:i) L a grfica es sim trica respecto al eje y si y slo si F (x, y) = 0 im plica que F (-x , y) = 0.ii) L a grfica es sim trica respecto al eje x si y slo si F (x, y) = 0 im plica que F (x, - y) = 0.iii) L a grfica es sim trica respecto al origen si y slo si F (x, y) = 0 im plica que F (-x , -y ) = 0.EJEMPLO 15.4.a) La parbola y = x2 es sim trica al eje y.b) La parbola x = y2 es sim trica respecto al eje x.x 2 y2 x 2 y 2c) U n crculo x2 + y2 = r2, una elipse + ^2 = 1 y una hiprbola 2 ~ ^2 = 1 son sim tricas respecto al eje y, al eje x y al origen.EJEMPLO 15.5. U n punto P(a, b) es sim trico al punto Q(b, a) respecto a la recta y = x. Para com probarlo, prim ero se observa que la recta PQ tiene pendiente -1 . Com o la recta y = x tiene pendiente 1, la recta P Q es perpendicular a la recta y = x. A dem s, el punto m edio del segm ento que une a P y a Q es ( ) , que est en la recta y = x. Por tanto, la recta y = x es la m ediatriz de dicho segmento.Q www.FreeLibros.meFunciones inversa y simetraDos curvas C1 y C2 son simtricas una con la otra respecto de una recta l si, para cualquier punto P en una de las curvas, el punto Q que es sim trico a P respecto a l se halla en la o tra curva (es decir, si al reflejar una de las curvas en la recta l, el resultado es la otra curva).Teorema 15.3. C onsidrese cualquier funcin f uno a uno y su funcin in v e rsa f-1. Entonces, las grficas de f yf -1 son sim tricas una con la otra respecto de la recta y = x.Para verlo, sean (a, b) que estn en la grfica de f . Entonces, f ( a ) = b. Por ta n to ,f -1(b) = a, o sea, (b, a) esten la grfica d e f -1. En el ejem plo 15.5, (a, b) y (b, a) son sim tricos respecto a la recta y = x.EJEMPLO 15.6.a) S if(x ) = 2x, entonces f -1(x) = y x . Por tanto, las rectas y = 2x y y = -j x son sim tricas respecto a la recta y = x.b) Sea C 1 la parbola que es la grfica de la ecuacin y = x2, y sea C2 la parbola que es la grfica de la ecuacin x = y2. Entonces C 1 y C2 son sim tricos respecto a la recta y = x, puesto que la ecuacin x = y2 proviene de la ecuacin y = x 2 al intercam biar x y y .Funciones pares e imparesU na funcin f es p a r si para toda x en su dom inio - x tam bin est en su dom inio y f (-x ) = f (x ) . A la vez, f esuna funcin im par si para toda x en su dom inio - x tam bin est en su dom inio y f ( -x ) = - f (x).EJEMPLO 15.7. C ualquier polinom io de la form a 3x6 - 8x4 + 7, que supone slo potencias pares de x, determinauna funcin par. Todo polinom io, com o 5x9 + 2x5 - 4x3 + 3x, que im plica slo potencias im pares de x, determ ina una funcin impar.U na funcin f es par si y slo si su grfica es sim trica respecto al eje y . D e hecho, supngase que f es par y (x, y) est en su grfica. Entonces, y = f(x ). Luego, y = f ( - x ) y, por consiguiente, (-x , y) est en la grfica. As, la grfica es sim trica respecto al eje y . Lo contrario se deja com o problem a [el problem a 16a)].U na funcin f es im par si y slo si su grfica es sim trica respecto al origen. D e hecho, supngase que f es im par y (x, y) est en su grfica. As, y = f (x). Por tanto, -y = f (-x), y por consiguiente, (-x , -y ) est en la grfica. As, la grfica es sim trica respecto al origen. Lo contrario se deja com o problem a [el problem a 16b)].Sugerencias para trazar el grfico de y = f (x)1. Calcule y ' y, si es conveniente, y ".2. U tilice y ' para hallar cualquier nm ero crtico (donde y ' = 0, o y ' no est definida y y est definida). D eterm ine si estos nm eros crticos producen un m xim o o m nim o relativos m ediante el criterio de la segunda o de la prim era derivada.3. U tilice y ' para determ inar los intervalos en los que y es creciente (cuando y ' > 0) o decreciente (cuandoy ' < 0).4. U tilice y " para determ inar dnde la grfica es cncava hacia arriba (cuando y " > 0) o cncava hacia abajo (cuando y " < 0). Verifique los puntos donde y " = 0 para determ inar si son o no puntos de inflexin (si y " > 0 en un lado y y " < 0 en el otro lado del punto).5. Busque las asntotas verticales. Si y = ^ , existe una asntota vertical x = x0 si h(x0) = 0 y g(x0) ^ 0.6 . Busque las asntotas horizontales. Si lm f ( x ) = y0, entonces y = y0 es una asntota horizontal a la derecha. Si lm f (x) = y0, entonces y = y0 es una asntota horizontal a la izquierda.7. Determ m eel com portam iento de al infinito . Si lm f (x) = + (respectivamente, - ^ ) , entonces la curva se m ueve hacia arriba (respectivamente, hac iaabajo ) sin lm ite a la derecha. D e igual forma, si lm f (x) = + (respectivamente, - ^ ) , por consiguiente, la curva se m ueve hacia arriba (respectivamente,x^hacia abajo), sin lm ite a la izquierda.8 . H alle las intersecciones con el eje y (es decir, donde x = 0) y las intersecciones con el eje x (o sea, dondey = 0).9. Indique los puntos pico, donde y ' tiende a un valor desde la izquierda y a otro valor desde la derecha. Un ejem plo es el origen en la grfica de y = Ixl.-------------------- CAPTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetra www.FreeLibros.me^ 122^ - CAPTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. S im etra10. Indique toda cspide, donde y ' tiende a desde am bos lados o donde y ' se aproxim a a - ^ desde am bos lados. Un ejem plo es el origen de la grfica y = >/w .11. Halle toda asntota oblicua y = mx + b tal que lm (f (x) - (m x + b)) = 0 o lm (f (x) - (m x + b)) = 0. UnaX xxasntota oblicua es la que no es vertical ni horizontal.PROBLEMAS RESUELTOS1. Halle la concavidad y los puntos de inflexin de y = 3 x - 10x3 - 12x2 + 12x - 7.Se tiene quey ' = 12x3 - 30x2 - 24x + 12 y " = 36x2 - 60x - 24 = 12(3x + 1)(x - 2)Sea y " = 0 y se resuelve para obtener los posibles puntos de inflexin posibles x = - -3 y 2. Entonces: Cuando x < -j y " = +, y el arco es cncavo hacia arriba.Cuando - 3 < x < 2 y " = - , y el arco es cncavo hacia abajo.Cuando x > 2 y " = +, y el arco es cncavo hacia arriba.Los puntos de inflexin son ( -y,"2T2) y (2, -63), ya que y " cambia de signo en x = - -3 y x = 2 (fig. 15.4).yFig. 15.42. Analice la concavidad y los puntos de inflexin de y = x4 - 6x + 2 y trace la grfica.Se tiene que y " = 12x2. Por el teorema 15.2, el posible punto de inflexin est en x = 0. En los intervalos x < 0 y x > 0, y " es positiva, y los arcos en ambos lados de x = 0 son cncavos hacia arriba. El punto (0, 2) no es un punto de inflexin. Sea y ' = 4x3 - 6 = 0, y se halla el nmero crtico x = ^ 3/2 . En este punto y " = 12x2 > 0 y se tiene un mnimo relativo por el criterio de la segunda derivada. Como existe slo un nmero crtico, hay un mnimo absoluto en este punto (donde x ~ 1.45 y y 3.15 (fig. 15.5).yFig. 15.5 www.FreeLibros.me3. A nalice la concavidad y los puntos de inflexin de y = 3x + (x + 2)3/5 y luego trace la grfica.y ' = 3 + 5(x +32)2/5 y y " = 25(x~+2)7'5 . El posible punto de inflexin est en x = -2 . Cuando x > -2 , y " resulta negativa y el arco es cncavo hacia abajo. Cuando x < -2 , y " es positiva y el arco es cncavo hacia arriba. Por tanto, existe un punto de inflexin en x = -2 , donde y = - 6 (fig. 15.6). Com o y ' > 0 (excepto en x = -2 ) , y es una funcin creciente y no hay extrem os relativos.------------- 4 123^Fig. 15.64. Si f "(x0) = 0 y f '" (x 0) ^ 0, entonces hay un punto de inflexin en x0.Com o f " '(x 0) = 0, f " '(x 0) es o positivo o negativo. Por ta n to ,f" es creciente o decreciente en x0. Como f "(x0) = 0, f " tiene signos opuestos a la izquierda y a la derecha de x0. Entonces, la curva tendr concavidad opuesta en los lados de x0 y habr un punto de inflexin en x0.5. Halle las ecuaciones de las tangentes en los puntos de inflexin de y = f(x ) = x4 - 6x3 + 12x2 - 8x.Existe un punto de inflexin en x = x0 cuando f ' ( x 0) = 0 y f " ( x 0) ^ 0. Aqu,f ( x ) = 4x3 - 18x2 + 24x - 8f" (x ) = 12x2 - 36x + 24 = 12(x - 1)(x - 2)f " ( x ) = 24x - 36 = 12(2x - 3)Los posibles puntos de inflexin estn en x = 1 y x = 2. C o m o f" (1 ) ^ 0 y f" '( 2 ) ^ 0, los puntos (1, -1 ) y (2, 0) son puntos de inflexin.En (1, -1 ) , la pendiente de la recta tangente es m = f (1) = 2 y su ecuacin esy = y 1 = m (x - x 1) o y + 1 = 2(x - 1) o y = 2x - 3En (2, 0), la pendiente es f (2) = 0 y la ecuacin de la recta tangente es y = 0.6. Trace la grfica de y = f(x ) = 2x3 - 5x2 + 4x - 7.f ( x ) = 6x2 - 10x + 4, f" (x ) = 12x - 10, y f \ x ) = 12. Ahora, 12x - 10 > 0 cuando x > f , y 12x - 10 < 0cuando x ^ I ,cuando x < -f. Por tanto, la grfica de f es cncava hacia arriba cuando x > -f y es cncava hacia abajo cuando x < -f. Luego, hay un punto de inflexin en x = -f. Puesto que f ( x ) = 2(3x2 - 5x + 2) = 2(3x - 2)(x - 1), los nm eros crticos son x = -f y x = 1. Puesto que f " ( f ) = 2 < 0 y f" (1 ) = 2, existe un m xim o relativo en x = -f (donde y = - 1 7 ~ -5 .9 6 5.96) y un m nim o relativo en x = 1 (donde y = -6 ) (fig. 15.7).x 27. Trace la grfica de y = f (x) = x Ty = x 2 4 + 4 = r L _ 4 + _ 4 = x + 2 + - _ . Luego, y ' = 1 - ( 4 2)2 y y " = - 87 x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 b J (x - 2)2 -7 / ix - 2 x - 2 1 x - 2 * 1 ~ 1 x - 2 - ^ * ' } ( x - 2)2 J / _ ( x - 2 ) 3 'A l resolver y ' = 0 se obtienen los nm eros crticos x = 4 y x = 0. Com o f " (4 ) = 1 > 0 y f " (0 ) = -1 < 0, hay un m nim o relativo en x = 4 (donde y = 8) y un m xim o relativo en x = 0 (donde y = 0). Com o y " nunca es 0, no hay puntos de inflexin. La recta x = 2 es una asntota vertical. La recta y = x + 2 es una asntota oblicua en ambos lados, porque en la curva, y - (x + 2) = ^ 0 cuando x ^ (fig. 15.8).CAPTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetra www.FreeLibros.meCAPTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. S im etraFig. 15.78. Trace la grfica de g (x) = 2x3 - 9x2 + 36.g '(x) = 6x2 - 18x = 6x(x - 3) y g " (x) = 12x - 18 = 6(2x - 3). Entonces, los nm eros crticos son x = 0 (donde y = 36) y x = 3 (donde y = 9). Com o g " (0) = -1 8 < 0 y g " (3) = 18 > 0, existe un m xim o relativo en x = 0 y un m nim o relativo en x = 3. A l igualar g " (x) = 0 se obtiene x = f , donde existe un punto de inflexin, ya que g"(x) = 6(2x - 3) cam bia de signo en x = -| .g (x) ^ + ^ cuando x ^ + ^ , y g (x) ^ - ^ cuando x ^ - ^ . Com o g (-1 ) = 29 y g(-2 ) = -1 6 , el teorem a del valor interm edio im plica que hay un cero x0 de g entre -1 y -2 . (Una graficadora m uestra x0 1.70.) ste es el nico cero porque g es creciente hasta el punto (0, 36), decreciente desde (0, 36) hasta (3, 9) y luego creciente desde (3, 9) (fig. 15.9). www.FreeLibros.me^ 125^x29. Trace la grfica de y = (x - 2)(x - 6 ) .Hay asntotas verticales en x = 2 y x = 6._ 2x(x - 2)(x - 6) - 2x2(x - 4) _ 8x(3 - x)y (x - 2)2(x - 6)2 (x - 2)2(x - 6)2_ (x - 2)2(x - 6)2(24 - 16x) - 8x(3 - x)(2)(x - 2)(x - 6)(2x - 8) y (x - 2)4(x - 6)4= 8(2x3 - 9x 2 + 36)(x - 2)3(x - 6)3Los nm eros crticos son x = 0 (donde y = 0) y x = 3 (donde y = -3 ) . Los clculos dem uestran que y "(0) >0 y y "(3) < 0. Por tanto, hay un m nim o relativo en x = 0 y un m xim o relativo en x = 3. Com o y ^ 1 cuando x ^ ^ , la recta y = 1 es una asntota horizontal tanto en la izquierda como en la derecha. Si y " = 0, entonces se obtiene g(x) = 2x3 - 9x2 + 36 = 0. Por el resultado del problem a anterior (el 8), se advierte que se tiene un punto de inflexin nico x0 1.70 (donde y ~ 0.10) (fig. 15.10).CAPTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetra www.FreeLibros.me^ 126^ CAPTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. S im etra10. Trace la grfica de y2(x2 - 4) = x4.y 2 = x *_4. Entonces, y = x2 ^ . La curva existe slo para x2 > 4, es decir, para x > 2 o x < -2 , ms el punto aislado (0, 0).La curva es sim trica respecto a ambos ejes coordenados y al origen. Por ello, a partir de este m om ento se considera slo el prim er cuadrante. Entonces,y =x3 - 8x(x2 - 4 )3/2 y y _ (x2 - 4 )5/2El nico nm ero crtico es 2\2 (donde y = 4). Com o y " > 0, la grfica es cncava hacia arriba y existe un m nim o relativo en ( 2V 2 , 4 ). Las rectas x = 2 y x = - 2 son asntotas verticales. El resto de la grfica en otros cuadrantes se obtiene m ediante reflexin en los ejes y en el origen. Se advierte que tam bin existe una asntota oblicua y = x, ya que y2 - x2 = x4/(x2 - 4) - x2 = 4/(x2 - 4) ^ 0 cuando x ^ ^ . Por sim etra, y = - x asimismo es una asntota (fig. 15.11).4 x 2 + 32Fig. 15 .11yPROBLEMAS COMPLEMENTARIOS11. A nalice las funciones del problem a 23a-f) del captulo 14.R espuestas:a) N o hay punto de inflexin; cncava hacia arriba en todas partes.b) N o hay punto de inflexin; cncava hacia abajo en todas partes.c) Punto de inflexin en x = _-f; cncava hacia arriba para x > _-f; cncava hacia abajo para x < _-f.d) Punto de inflexin en x = 2; cncava hacia arriba para x > 2, cncava hacia abajo para x < 2.e) Punto de inflexin en x = 2; cncava hacia abajo para x > 2, cncava hacia arriba para x < 2.f Punto de inflexin en x = 233 ; cncava hacia arriba para x > y x < - 233 , cncava hacia abajo para_ ^ < x 0. www.FreeLibros.me-^ 127^*) ^Respuesta: simtrica respecto al eje y, asntotas verticales x = 1, mnimo relativo en (0, 0), mximosrelativos en ( V 2 -4 ) , sin puntos de inflexin, cncava hacia arriba para Ixl < 2.c) y = x 2 + 2 7 xRespuesta: asntota vertical x = 0, mnimo relativo en (1, 3), punto de inflexin en ( - ^ 2 ,0 ) , cncava haciaarriba para x < -Z [ 2 y x > 0 .d) y3 = 6x2 - x3Respuesta: mximo relativo en (4, 2 ^4 ), mnimo relativo en (0, 0), donde hay una cspide, punto deinflexin en (6, 0), cncava hacia arriba para x > 6, asntota oblicua y = -x + 2 a la izquierda y a la derecha.x2e) y = 1 + x - jRespuesta: asntota vertical x = 1, mximo relativo en (0, 1), mnimo relativo en (2, 5), cncava hacia arribapara x > 1 y hacia abajo para x < 1, no hay puntos de inflexin, creciente para x < 0 y x > 2, decreciente para 0 < x < 1 y 1 < x < 2, asntota oblicua y = x + 2.f y = x r rRespuesta: Simtrica respecto al origen, mximo relativo en (1, -j), mnimo relativo en (-1, - y) creciente-1 < x < 1, cncava hacia arriba en - >/3 < x < 0 y x > >/3, cncava hacia abajo en x < -y3 y0 < x < \f3 , puntos de inflexin en x = 0 y x = V3, asntota horizontal y = 0 en ambos lados.g) y = W x ^ lRespuesta: definida para x > 1, creciente, cncava hacia arriba para x > 4 y hacia abajo para x < -5-, punto deinflexin en (-5-, ^a/S).h) y = x ^ 2 - xRespuesta: mximo relativo en x = f , creciente para x < f , cncava hacia abajo para x < 3, punto deinflexin en (3, -3). 2 2"v >. = x +1li y x2Respuesta: asntota vertical x = 0, asntota horizontal y = 0 en ambos lados, mnimo relativo (-2, - -4 ),creciente para -2 < x < 0 , cncava hacia arriba -3 < x < 0 y x > 0, punto de inflexin en (-3, - -f-), y ^ + ^ cuando x ^ 0.14. Demuestre que toda funcin F (x) que est definida para toda x puede expresarse de una y slo una forma como la suma de una funcin par y una funcin impar. [Pista: sea E(x) = -2(F(x) + F ( - x)).]15. Halle una ecuacin de la nueva curva Cj que se obtiene cuando la grfica de la curva C con una ecuacin x2 - 3xy + 2y2 = 1 se refleja en a) el eje x, b) el eje y, c) el origen.Respuestas: a) x2 - 3xy + 2y2 = 1; b) igual que a); c) el mismo C.16. a) Si la grfica de f es simtrica respecto al eje y, demuestre quef es par. b) Si la grfica de f es simtricarespecto al origen, entonces demuestre quef es impar. [Pista: para a), si x est en el dominio def, (x, f(x)) est en la grfica y, por tanto, (-x, f(x)) est en la grfica. Entonces, f(-x ) = f(x).]CAPTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetra www.FreeLibros.meCAPTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. S im etra17. D em uestre el teorem a 15.1: a) Si f ' ( x ) > 0 para x en (a, b), entonces la grfica de f es cncava hacia arriba para a < x < b. b) Si f ' ( x ) < 0 para x en (a, b), entonces la grfica de f es cncava hacia abajo para a < x < b.[Para a), sea x0 que pertenece a (a, b). C o m o f" (x 0) > 0, f es creciente en algn intervalo abierto I que contiene a x0. Sea que x est en I y x > x0. Por el teorem a del valor m edio, f (x ) - f ( x 0) = f(x * )(x - x0) para algn x* con x0 < x* < x. Com o f es creciente, f ( x 0) < f (x*). E n toncesf(x ) = f (x*)(x - x0) + f (x 0) > f (x0)(x - x0)+ f ( x 0). Pero y = f (x0)(x - x0) + f (x 0) es una ecuacin de la tangente en x0. U n argum ento sim ilar funciona cuando x < x0. Luego, la curva queda por encim a de la recta tangente y, por tanto, es cncava hacia arriba.]18. ( c g ) U tilice una graficadora para trazar la grfica d e f(x ) = x3 - 3x2 + 4x - 2. D em uestre analticam ente que f es creciente y que existe un punto de inflexin en (-1 , 3). U se la calculadora para trazar la grfica de f -1 yy = x, y observe que las grficas de f y de f -1 son sim tricas respecto a y = x.x 219. ( c g ) Trate de dibujar la grfica de y = 3 _ 3x 2 + 5 por m todos estndar y luego use la graficadora para obtener inform acin adicional (como la ubicacin de toda asntota vertical). www.FreeLibros.me16Repaso de trigonometraMedida del nguloL a unidad tradicional para m edir los ngulos es el grado. U na rotacin com pleta la form an 360 grados. Sin embargo, una unidad diferente, el radin, es m s til en clculo. Considrese un crculo de radio 1 con centro en el punto C (fig. 16.1). Sean CA y CB dos radios para los que el arco AB del crculo tiene una longitud de 1. Entonces, un radin se tom a como la m edida de un ngulo central ACB./\Fig. 16.1ASi u es el nm ero de grados en un ngulo ACB, entonces la razn de u a 360 es igual a la razn de AB con la circunferencia 2rc. Com o A B = 1, u/360 = 1/2rc y, por consiguiente, u = 180/rc. As,1 radin = grados. (1)Si n m ide aproxim adam ente 3.14, entonces 1 radin equivale a aproxim adam ente 57.3 grados. A l multiplicar la ecuacin (1) por rc/180, se obtiene:1grado = 1^0 radianes (2 )En la tabla de la figura 16.2 se m uestra el equivalente en radianes de algunas m edidas im portantes en grados.A hora tm ese cualquier crculo de radio r con centro O (fig. 16.3). Sea Z D O E que contiene 0 radianes y sea i la longitud del arco DE. L a razn de 0 al nm ero 2n radianes en una rotacin com pleta es igual a la razn de i a toda la circunferencia 2nr. Entonces, 0/2rc = s/2nr. Por consiguiente,i = rd (3) L29J www.FreeLibros.meCAPTULO 16 Repaso de trigonom etraGrados Radianes30 6"45 460 3"90 21803^270 ~ Y360 2^Fig. 16.2ngulos dirigidosSi se piensa que un ngulo es generado por una rotacin, entonces su m edida se contar como positiva si la rotacin va contra el sentido de las m anecillas del reloj y negativa si la rotacin avanza en el sentido de las m anecillas del reloj. Obsrvese, por ejemplo, ngulos de n/2 radianes y -n /2 radianes en la figura 16.4. Se perm iten ngulos de m s de una rotacin com pleta. En la figura 16.5, por ejemplo, se m uestra un ngulo que va en sentido contrario a las m anecillas del reloj, generado por una rotacin com pleta m s otro cuarto de rotacin, lo que produce un ngulo de 2n + n /2 = 5n/2 radianes, y un ngulo de 3n radianes producido por giro y medio en direccin contraria a las m anecillas del reloj.-2 radianes (90)----radianes2(-90) 5^ radianes +3^ radianesFig. 16.4 Fig. 16.5Funciones seno y cosenoConsidrese un sistem a de coordenadas con origen en O y un punto A en (1, 0). Se ro ta la flecha OA por un ngulo de 0 grados hacia una nueva posicin OB . Entonces (fig. 16.6):1. cos 0 est definido com o la coordenada x del punto B.2. sen 0 est definido com o la coordenada y del punto B.E www.FreeLibros.me-----4131^a) Si 0 = ft/2, la posicin final B es (0, 1). Por tanto, cos (ft/2) = 0 y sen (ft/2) = 1.b) Si 0 = ft, entonces B es (-1 , 0). Por ende, cos n = -1 y sen n = 0.c) Si 0 = 3ft/2, entonces B es (0, -1 ) . As, cos (3ft/2) = 0 y sen (3ft/2) = -1 .d) Si 0 = 0 o 0 = 2ft, entonces B es (1, 0). Por tanto, cos 0 = 1 y sen 0 = 0, y cos 2ft = 1 y sen 2n = 0.Se observa que estas definiciones coinciden con las definiciones tradicionales en el caso de un ngulo agudode un tringulo. Sea 0 un ngulo agudo de un tringulo rectngulo D EF y sea AO BG un tringulo sem ejante conhipotenusa 1 (fig. 16.7). Como los tringulos son semejantes, B G / BO = E F / E D , es decir, BG = b /c y, de igualform a OG = a /c . Entonces, cos 0 = a/c y sen 0 = b/c. Esto es lo m ism o que las definiciones tradicionales: lado adyacente a lado opuestoco s0 = T-. ~r--------- y sen B = -r-. -r---------hipotenusa hipotenusaEJEMPLO 16.1.Fig. 16.7Ladoopuesto, badyacente, aEcA hora es posible utilizar los valores obtenidos de la trigonom etra del bachillerato [vase el problem a 22a-c)]. En la tabla 16.1 se m uestran los valores m s tiles.Prim ero se presentan algunas consecuencias sim ples de las definiciones.(16.1) cos (0 + 2 k ) = cos 0 y sen (0 + 2 k ) = sen 0 .Esto se cum ple porque una rotacin com pleta adicional de 2n radianes im plica regresar al mismo punto.Tabla 16 .1R ad ianes0G rados cos 0 sen 00 0 1 0n /6 30 -v/3/2 1/2tc/4 45 V2/2 V2/2tc/3 60 1/2 -J3/2n /2 90 0 1n 1 oo o -1 03^/2 270 0 -1CAPTULO 16 Repaso de trigonometra www.FreeLibros.meCAPTULO 16 Repaso de trigonom etra(16.2) cos ( - 0) = cos 0 y sen ( - 0) = -se n 0 (fig. 16.8).(16.3) sen2 0 + cos2 0 = 1 [De acuerdo con la notacin tradicional, sen2 0 y cos2 0 significa (sen 0)2 y (cos 0)2.]En la figura 16.6, 1 = OB = ^Jco s20 + sen26 por el problem a 1 del captulo 2. (16.3) im plica que sen2 0 = 1 - cos2 0 y cos2 0 = 1 - sen2 0 .( - , +) (+, +)( - , - ) (+, - )Fig. 16.9(16.4) En los cuatro cuadrantes, el seno y el coseno tienen los signos que aparecen en la figura 16.9.(16.5) Para cualquier punto A(x, y) diferente del origen O, sea r su distancia del origen, y sea 0 la m edida en radianes del ngulo desde el eje x positivo a la derecha OA (fig. 16.10). El par (r, 0) se denom inacoordenadas polares de A. Entonces, x = r cos 0 y y = r sen 0 (repase el problem a 8).Para la derivacin de frm ulas m s com plicadas se depender del resultado siguiente:(16.6)(16.7)(16.8)(16.9)(16.10)(16.11)cos (u - v) = cos u cos v + sen u sen v Consltese la dem ostracin en el problem a 11. cos (u + v) = cos u cos v - sen u sen v Sustituya v por - v en (16.6) y use (16.2). cos (n/2 - v) = sen v y sen (n/2 - v) = cos vRem place u por n /2 en (16.6) y utilice cos (n/2) = 0 y sen (n/2) = 1, lo cual resulta en cos (n/2 - v) :sen v. En esta frmula, sustituya v por (n/2 - v) para obtener cos v = sen (n/2 - v). sen (u + v) = sen u cos v + cos u sen v Por (16.6) y (16.8),sen (u + v) = cos [n/2 - (u - v)] = cos [(n/2 - u) - v]= cos (n/2 - u) cos v + sen (n/2 - u) sen v = sen u cos v + cos u sen v.sen (u - v) = sen u cos v - cos u sen v Rem place v por - v en (16.9) y utilice (16.2).Sustituya v por u en (16.7) para obtener cos 2u : - sen2 u para obtener las otras dos formas.(16.12) sen 2u = 2 sen u cos uRem place v por u en (16.9).cos2 u - sen2 u. U se sen2 u = 1 - cos2 u y cos2 u = 1(16.13) cos2 ( 2 ) = 1 + c2os ucos u = cos 2 2 = 2 cos2( 2 I- 1ycos 2u = cos2 u - sen2 u = 2 cos2 u - 1 = 1 - 2 sen2 u www.FreeLibros.me-^ 133^por (16.11). A hora se resuelve para cos21 ^(16.14) sen2 N r =2 ) 2 Por (16.3) y (16.13)2 ( u \ , ( u \ 1 + cos u 1 - cos usen2 [ 2 ) = 1 - cos2 [ 2 ) = 1-------- = ^ T ~(16.15) a) (Ley de cosenos). En todo tringulo A A B C (fig. 16.11),c2 = a 2 + b2 - 2 ab cos 0 Para ver una dem ostracin, repase el problem a 11 a). b) (Ley de los senos)sen A = sen B = sen C a ~ b ~ cdonde sen A es sen (ZBAC ), y de igual form a para sen B y sen C.Fig. 16.11CAPTULO 16 Repaso de trigonometra www.FreeLibros.meCAPTULO 16 Repaso de trigonom etraPROBLEMAS RESUELTOS1. Convierta las medidas siguientes de grados en radianes: a) 54o; b) 120o.a) 54o = 541180 radianesb) 120 = 1201180 radian2. Convierta las medidas siguientes de radianes en grados: a) radianes; b) 5 ^ radianes; c) 2 radianes.a) 2=^radianes = 2 p | grados J = 72.b) ^ ra d ia n e s = - ^ g r a d o s J = 150.c) 2 radianes = 21 grados J = | J g 0J .3. a) En un crculo de radio r = 3 centmetros (cm), qu longitud de arco i a lo largo de la circunferencia corresponde al ngulo central 0 de ft/6 radianes?b) En un crculo de radio r = 4 pies, qu ngulo central corresponde a una longitud de arco de 8 pies?Se sabe que i = r 0, donde 0 se mide en radianes.a) s = 3 ( n ) = centmetros.b) 0 = | r ) = 4 = 2 radianes.4. Cules rotaciones entre 0 y 2n radianes tienen el mismo efecto que las rotaciones con las medidas siguientes?a) 11p-radianes; b) 405; c) - ^ radianes; d) -5 n radianes.a) ^ = 2n + 3 ^ . As, la rotacin equivalente es ^ radianes.b) 405 = (360 + 45). Por consiguiente, la rotacin equivalente es 45.c) - -y + 2n = -^-. Entonces, la rotacin equivalente es radianes.d) -5 n + 6 k = K. As, la rotacin equivalente es n radianes.5. Halle sen 0 si 0 es un ngulo agudo tal que cos 0 = -5.Por (16.3), (y)2+ sen2 6 = 1. Luego, sen2 6 = -9 y, por tanto, sen# = f . Como 0 es agudo, sen 0 es positivo.Entonces, sen# = f .6. Demuestre que sen (n - 0) = sen 0 y cos (n - 0) = -cos 0.Por (16.10), sen(ft - 0) = sen n cos 0 - cos n sen 0 = (0) cos 0 - (-1) sen 0 = sen 0. Por (16.6), cos (n - 0)= cos K cos 0 + sen n sen 0 = ( - 1) cos 0 + (0) sen 0 = -cos 0.7. Calcule estos valores: a) sen 2ft/3; b) sen 7ft/3; c) cos 9n; d) sen 390; e) cos 3ft/4; f cos ft/12; g) sen ft/8;h) sen 19.a) Por el problema 6, sen -2^ = sen|tf - y J = sen y = -y 3-.b) Por (16.1), s e n ^ = sen(2n + n )= sen n = ^ j - .c) Por (16.1), cos 9k = cos (n + 8 n) = cos n = -1.d) Por (16.1), sen 390 = sen (30 + 360)= sen 30= 1 .e) Por el problema 6, c o s y ^ = cos(k - y J = - c o s y = ~ ^2 r .3= 1 0 n radianes. ;s |= - y radianes. www.FreeLibros.me-^ 135^^ n i n n \ n n , n n 1 V2 , J 3 J 2 J 2 + -J6f ) cosy^- = cos I Tj- --I = cos-^-cos-- + sen-^-sen-- = ------^L-g )12 \ 3 4 / 3 4 ' ^ 3 ^ 4 2 2 2 2 4Por (16.14), sen2( ^ ) = 1 ~ cos?(^ /4 ) = 1 ~ (V 2 /2) = 2 por tanto, s e n = W 2 . Como1 / 2 ^ 7 20 < nn < -3 , sen es positivo y, por consiguiente, sen-g- = 2------h) 19 no puede expresarse en trm inos de ngulos ms com unes (como 30, 45, 60), de tal form a quecualquiera de las frm ulas sea aplicable. Entonces debe usarse la tabla de los senos que se encuentra en el apndice A, la cual da 0.3256; sta es una aproxim acin correcta a cuatro cifras decimales.8. D em uestre el resultado de (16.5): si (r, 0) son coordenadas polares de (x, y), entonces x = r cos 0 y y = r sen 0.Sea D el pie de la perpendicular que va de A(x, y) al eje x (fig. 16.12). Sea F el punto en el rayo OA a una distancia unitaria del origen. Entonces, F = (cos 0, sen 0). Si E es el p ie de la perpendicular que va desde F hasta el eje x, por consiguiente O E = co sd y FE = sen6 . Com o A A D O es sem ejante al A FE O (por el criterio A A ), se tiene que:OD = 0 a = A D , es decir, rO E O F F E co s0 1 s e n # 'Por tanto, x = r cos 0 y y = r sen 0. Cuando A(x, y) est en uno de los otros cuadrantes, la dem ostracin puede reducirse al caso donde A est en el prim er cuadrante. Cuando A est en el eje x o en el eje y , el caso es m uy fcil.9. Halle las coordenadas rectangulares del punto con coordenadas polares r = 3, 0 = ft/6.Por (16.5), x = r co s6 = 3cos n = 3 - ^ r y y = r send = 3sen-n = 3^1 ) = 3 .10. Halle las coordenadas polares del punto (1, -v/3).Por (16.5), r 2 = x2 + y2 = 1 + 3 = 4. Entonces, r = 2. Por ende, co s0 = = 1 y sen# = = ^ 3 . Luego, a n r 2 r 2d = 3 .11. a) D em uestre la ley de cosenos [16.15a)]. b) D em uestre la ley de los senos [16.15b)].a) O bserve la figura 16.11. Tome un sistem a de coordenadas con C como origen y B en el eje x positivo. Entonces, B tiene las coordenadas (a, 0). Sean (x, y) las coordenadas de A. Por (16.5), x = b cos 0 y y = b sen 0. Por la frm ula de la distancia (2.1),c = -J (x a )2 + (y 0 )2 =y (x a )2 + y 2CAPTULO 16 Repaso de trigonometra www.FreeLibros.me^ 136^Por consiguiente,c2 = (x - a )2 + y2 = (b cos 0 - a )2 + (b sen 0)2= b2 cos2 0 - 2ab cos 0 + a2 + b2 sen2 0 [lgebra: (u - v)2 = u2 - 2 uv + v2].= a 2 + b2 (cos2 0 + sen2 0) - 2ab cos 0= a 2 + b2 - 2ab cos 0 [por (16.3)].b) O bserve la figura 16.13. Sea D el pie de la perpendicular que va de A al lado BC, y sea h = AD. Entonces,sen B = AD / AB = h/c . Luego, h = c sen B y as el rea de AABC = ^ (b ase x a ltu ra ) = -J ah = -J ac sen B (verifique que esto tam bin se cum ple cuando Z B es obtuso). D e igual form a, -J bc sen A = rea de AABC = -ja b senC . Por tanto, -J ac sen B = \ bc sen A = -J ab sen C. Al dividir entre -Jabc se obtiene la ley de los senos.______ CAPTULO 16 Repaso de trigonom etraAFig. 16.1312. Pruebe la identidad (16.6): cos (u - v) = cos u cos v + sen u sen v .C onsidrese el caso en que 0 < v < u < v + n (fig. 16.14). Por la ley de cosenos, B C 2 = 12 + 12 - 2(1)(1) cos ( Z BOC). As,(cos u - cos v)2 + (sen u - sen v)2 = 2 - 2 cos (u - v) cos2 u - 2 cos u cos v + cos2 v + sen2 u - 2 sen u sen v + sen2 v = 2 - 2 cos (u - v )(cos2 u + sen2 u) + (cos2 v + sen2 v) - 2(cos u cos v + sen u sen v) = 2 - 2 cos (u - v)1 + 1 - 2(cos u cos v + sen u sen v) = 2 - 2 cos (u - v) cos u cos v + sen u sen v = cos (u - v)Todos los casos pueden derivarse del caso anterior.Fig. 16.14 www.FreeLibros.mePROBLEMAS COMPLEMENTARIOS13. Convierta las m edidas siguientes de radianes en grados: a) 4 radianes; b) n /10 radianes; c) 11n/12 radianes.Respuestas: a) (720/n); b) 18; c) 165.14. Convierta estas m edidas de grados en radianes: a) 9; b) 75; c) (90/n).Respuestas: a) n /20 radianes; b) 5n/12 radianes; c) 1/2 radin.15. R em tase a la notacin de la figura 16.3. a) Si r = 7 y 0 = n/14, halle s; b) si 0 = 30 y s = 2, halle r.Respuestas: a) n /2 ; b) 12/n.16. H alle el ngulo de rotacin entre 0 y 2n que provoca el m ism o efecto que las rotaciones siguientes: a) 17n/4;b) 375; c) -n /3 ; d) -7n /2 .Respuestas: a) n /4 ; b) 15; c) 5n/3; d) n/2.17. Evale: a) cos (4n/3); b) sen (11n/6); c) cos 210; d) sen 315; e) cos 7 5;f sen 73.Respuestas: a) -2; b) - -i; c) ; d) ; e ) 'E 3 1 ; f ) aproxim adam ente 0.9563.18. Sea 0 un ngulo agudo y sen# = -4. Evale a) cos 0 ; b) sen 20 ; c) cos 20 ; d) cos -f.Respuestas: a) ; b) ^ ; c) 7 ; d) V s + W .4 8 8 419. Sea 0 un ngulo en el tercer cuadrante (n < 0 < ) y co s0 = - 3-. H alle a) sen 0 ; b) cos 20 ; c) sen ( q ).Respuestas: a) -3 ; b) -t7 ; c) (3^10) .5 25 1020. En AA BC , A B = 5, A C = 7 y cos(ZABC) = -5. H alle BC .Respuesta: A ~ J l.21. D em uestre la identidad sen0 = 1 ~ co s2 ^ .co s0 sen 2022. D erive los valores siguientes: a) s e n = c o s = '; b) s e n ^ = c o s ^ = "1 ; c) sen -3 = c o s = :^ .[Sugerewc/as: a) Observe un tringulo rectngulo issceles AABC.b) Considere un tringulo equiltero AA B C de lado 1. La recta A D que va de A al punto m edio D del lado B C es perpendicular a BC. Por ende, B D = -|. Com o sen-3 = co s -f- = ^ A B D contiene f radianes, co s(^ /3 ) = B D / A B = (1/2)/1 = -j. Por (16.8), sen(n/6) = cos(n/2 - n /6) = cos (n/3).c) sen2(^ /3 ) = 1 - cos2(^ /3 ) = 1 - \ = 7 . Entonces, sen (tf/3) = 4 y sen (tf/3) = - | (n /6) = sen (n/3) por (16.8).]------------- ^ 137^ CAPTULO 16 Repaso de trigonometra www.FreeLibros.meDerivacin de funciones trigonomtricasContinuidad de cos x y sen xEs claro que el cos x y el sen x son funciones continuas, es decir, que para todo 9,lm cos (9 + h) = cos 9 y lm sen (0+ h) = sen0h ^ 0 1 h ^ 0Para com probarlo, observe en la figura 17.1 que cuando h se aproxim a a 0, el punto C tiende al punto B. Por tanto, la coordenada x de C [que es cos (9 + h)] tiende a la coordenada x de B (que es cos 9), y la coordenada y de C [que es sen (9 + h)] tiende a la coordenada y de B (que es sen 9).Para hallar la derivada de sen x y cos x se necesitan los lm ites siguientes:(17.1) lm sen ^ = 10^0 U(17.2) l m 1 ~ co s e = 0e^ aPara ver una dem ostracin de (17.1), revise el problem a 1. A partir de (17.1), (17.2) se deriva de la m anera siguiente:1 - cosQ _ 1 - cos 9 1 + cos 9 _ 1 - cos2 99 9 1 + co s# 0(1 + co s0 )sen20 _ sen 9 _ sen 99(1 + cos0) 9 1 + c o s # 'Por tanto,l m i t e = l m ^ m i . h m - ^ e n ^ = 1 . , ^ ^ = 1 = 1 .0 = 06 6 e^ 0 1 + costf 1 + co s0 1 +1------------------- www.FreeLibros.me(17.3) Dx (sen x) = cos x(17.4) Dx (cos x) = -se n xPara ver una dem ostracin de (17.3), repase el problem a 2. A partir de (17.3) se puede deducir (17.4), con la ayuda de la regla de la cadena y (16.8), de esta manera:Dx(cosx) = Dx | s e n ^ - x jj = c o s ^ - x j- (-1 ) = - senxGrfica de sen xCom o sen (x + 2n) = sen x, slo se debe construir la grfica para 0 < x < 2n. A l igualar Dx (sen x) = cos x = 0 y observando que cos x = 0 en [0, 2n] cuando y slo cuando x = n/2 o x = 3 n/2, se hallan los nm eros crticos n/2 y 3 n/2. Com o D^(sen x) = Dx (cos x) = - sen x, y -se n (n/2) = -1 < 0 y -se n (3 n/2) = 1 > 0, el criterio de la segunda derivada im plica que existe un m xim o relativo en (n/2, 1) y un m nim o relativo en (3n/2, -1 ). Puesto que Dx (sen x) = cos x es positivo en el prim er y cuarto cuadrantes, sen x es creciente para 0 < x < n/2 y para3 n/2 < x < 2n. En virtud de que Dx2(senx) = - s e n x es positivo en el tercer y cuarto cuadrantes, la grfica es cncava hacia arriba para n < x < 2n. As, habr un punto de inflexin en (n, 0), as como en (0, 0) y (2n, 0).Parte de la grfica se m uestra en la figura 17.2.Grfica de cos xObsrvese que sen (n/2 + x) = sen (n/2) cos x + cos (n/2) sen x = 1 cos x + 0 sen x = cos x. As, la grfica de cos x puede trazarse m oviendo la grfica de sen x en n/2 unidades a la izquierda, com o se m uestra en la figura 17.3.------------- ^ 139^Fig. 17.3CAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonomtricas www.FreeLibros.meCAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonom tricasLas grficas de y = sen x y y = cos x constan de ondas repetidas, y cada una de ellas se extiende por un intervalo de longitud 2rc. La longitud (periodo) y la altura (amplitud) de las ondas pueden cam biarse al m ultiplicar el argumento y el valor, respectivam ente, por constantes.EJEMPLO 17.1. Sea y = cos 3x. La grfica se m uestra en la figura 17.4. Com o cos 3(x + 2ft/3) = cos (3x + 2n) = cos 3x, la funcin es de periodo p = 2ft/3. Por tanto, la longitud de cada onda es 2^/3. E l nm ero de ondas sobre un intervalo de longitud 2 n (correspondiente a una rotacin com pleta del rayo que determ ina el ngulo x) es 3. Este nm ero se denom ina la frecuencia f de cos 3x. En general, p f = (longitud de cada onda) x (nm ero de ondas en un intervalo de 2n) = 2n. Por ende, f = 2n/p.Fig. 17.4Para toda b > 0, las funciones sen bx y cos bx tienen una frecuencia b y un periodo 2n/b,EJEMPLO 17.2. y = 2 sen x. La grfica de esta funcin (fig. 17.5) se obtiene de la de y = sen x al duplicar los valores de y. El periodo y la frecuencia son sim ilares a los de y = sen x, es decir, p = 2 n y f = 1. La am plitud, es decir, la altura m xim a de cada onda, es 2.Fig. 17.5EJEMPLO 17.3 En general, si b > 0, entonces y = A sen bx y y = A cos bx tienen periodo 2n/b, frecuencia b y am plitud IAI. En la figura 17.6 se presenta la grfica de y = 1.5 sen 4x. www.FreeLibros.me^ 141^Fig. 17.6Otras funciones trigonomtricasTangente tan x = sen xCotangente cot x = Secante sec x =cos xcos x _ 1sen x tan x1cos x 1Cosecante cosec x = -senxDerivadas(17.5) Dx (tan x) = sec2 x(17.6) Dx (cot x) = - cosec2 x(17.7) Dx (sec x) = tan x sec x(17.8) Dx (cosec x) = - cot x cosec xPara obtener las dem ostraciones, repase el problem a 3.Otras relaciones(17.9) tan2 x + 1 = sec2 xtan2 x +1 = sen22x +1 = sen2 x +2cos2 x = - V = sec2 x cos2 x cos2 x cos2 x(17.10) tan (x + n) = tan x y cot (x + n) = cot xEntonces, tan x y cot x tienen un periodo n. Repase el problem a 4.(17.11) tan (-x) = - ta n x y cot (-x) = - cot xtan ( - x) = senl( x ) = -se tix = - sen x = - tan x, y de igual form a para cot xco s(-x ) cos x cos x J b 1CAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonomtricas www.FreeLibros.meCAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonom tricasGrfica de y = tan xCom o tan x tiene un periodo n, basta determ inar la grfica en -rc/2, n/2). Puesto que tan(-x) = - ta n x, hay que trazar slo la grfica en (0, n/2) y luego reflejarla en el origen. Com o tan x = (sen x)/(cos x), habr asntotas verticales en x = n/2 y x = -^ /2 . Por (17.5), Dx (tan x) > 0 y, por tanto, tan x es creciente.D i (tan x) = Dx (sec2 x) = 2 sec x(tan x sec x) = 2 tan x sec2 x .As, la grfica es cncava hacia arriba cuando tan x > 0, es decir, para 0 < x < n/2, y existe un punto de inflexin en (0, 0). A lgunos valores especiales de tan x se indican en la tabla 17.1 y la grfica aparece en la figura 17.7.Para un ngulo agudo 9 de un rectngulo,ta n 0 - senQ _ lado opuesto ^ lado adyacente _ lado opuesto co s0 hipotenusa ' hipotenusa _ lado adyacenteTabla 17 .1x ta n x0 0n6f ~ 0.58n4 1n3 V3 ~ 1.73Fig. 17.7 www.FreeLibros.meGrfica de y = sec xCom o sec x = 1/(cos x ), la grfica tendr una asntota vertical x = x 0 para todo x 0 tal que cos x0 = 0, es decir, para x = (2n + 1)n/2, donde n es cualquier entero. Igual que cos x, sec x tiene un periodo de 2n, y se puede centrar la atencin en ( -n , n). N tese que |sec x| > 1, com o |cos x| < 1. A l ser Dx (sec x) = tan x sec x = 0, se hallan los nm eros crticos en x = 0 y x = n, y el criterio de la prim era derivada establece que existe un m nim o relativo en x = 0 y un m xim o relativo en x = n.ComoD 2 (sec x) = Dx (tan x sec x) = tan x(tan x sec x) + sec x(sec2 x) = sec x(tan2 x + sec2 x)no hay puntos de inflexin y la curva es cncava hacia arriba para - n /2 < x < n/2. La grfica se m uestra en la figura 17.8.------------- ^ 143^Fig. 17.8ngulos entre curvasPor el ngulo de inclinacin de una recta no vertical L se entiende el ngulo a m s pequeo que se form a en sentido contrario al de las m anecillas del reloj desde el eje x positivo a la recta (fig. 17.9). Si m es la pendiente de L, entonces m = tan a. [Se com prueba en la figura 17.10, donde se considera que la recta L ' es paralela a L y, por consiguiente, tiene la m ism a pendiente m .Entonces, m = (sen a - 0)/(cos a - 0) = (sen a)/(cos a ) = tan a .]Fig. 17 .9 Fig. 17.10Por un ngulo entre dos curvas en un punto de interseccin P se entiende el m s pequeo de los dos ngulos com prendidos entre las tangentes a las curvas en P (repase los problem as 17 y 18).CAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonomtricas www.FreeLibros.meCAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonom tricasPROBLEMAS RESUELTOS1. Pruebe (17.1): lm sen ^ = 1-0^0 UComo : sen|^, se debe considerar slo 0 > 0. En la figura 17.11, sea 0 = ZAOB un ngulo centralpequeo positivo de un crculo de radio OA = OB = 1. Sea C el pie de la perpendicular trazada desde B hasta OA. Obsrseve que OC = cos 0 y CB = sen 0. Sea D la interseccin de OB con el arco de un crculo con centro en O y radio OC . Entonces,rea del sector COD < rea de ACOB < rea del sector AOBFig. 17.11Ntese que el rea del sector COD = ^ 6 cos2 6 y el rea del sector AOB = 2 6 . [Si W es el rea de un sector determinado por un ngulo central 0 de un crculo de radio r, entonces W/(rea del crculo) = 0/2ft. As, W/nr2 = Q/2n y, por tanto, W = y 6 r2.]Entonces,2 9 cos2 Q < 2 sen Q cos < 4r &Al dividir entre ^ QcosQ > 0 se obtieneco se < ^ < - 1d cos#Cuando 0 tiende a 0+, cos 0 ^ 1, 1/(cos 0) ^ 1. Por tanto,1 < l m ^ < 1 As0^0 Ul m S ^ 10^0 oPruebe (17.3): Dx (sen x) = cos x.Aqu se utilizarn (17.1) y (17.2).Sea y = sen x. Entonces, y + Ay = sen (x + Ax) yAy = sen(x + Ax) - sen x = cos x sen Ax + sen x cos Ax - sen x= cos x sen Ax + sen x (cos Ax - 1)= lm = lm (cos x sel!^x + sen x cos^ x - 1) dx A 0 Ax am0\ Ax Ax )= (cos x) Aun seAAx + (senx) Hm cos^ ^ ~ 1= (cos x)(1) + (sen x)(0) = cos x3. Demuestre a) Dx (tan x) = sec2 x (17.5); b) Dx (sec x) = tan x sec x (17.7).^ d ^ = d sen x \ = cos x cos x - sen x (-sen x)a) d x ( x) d x \ cos x ) cos2 x= cos2 x + sen2 x = 1 = 2 xcos2x cos2x www.FreeLibros.me-^ 145^b) Derivando ambos lados de (17.9), tan2 x + 1 = sec2 x, m ediante la regla de la cadena se obtiene2 tan x sec2 x = 2 sec x Dx(sec x).Por tanto, Dx (sec x) = tan x sec x.4. Pruebe (17.10): tan(x + n) = tan x.sen (x + K) = sen x cos n + cos x sen n = -s e n x cos (x + K) = cos x cos n - sen x sen n = -c o s xEntonces,tan (x + n ) = Sen((x + 7t\ = - ^ x = ^ = tan x cos( x + n ) - cos x cos x5. D eduzca tan ( u - v ) = - t a n u - tanv1 + tan u tan vtan (u - v ) = sen (u - v) = sen u cos v - cos u sen v ( ) cos (u - v) cos u cos v + sen u sen vsen u sen vcos u cosv (divida el numerador y el denominador entre cos u cos v1 + sen u sen v Jcosu cosv tan u - tan v1 + tan u tan v6. Calcule las derivadas de las funciones siguientes: a) 2 cos 7x; b) sen3 (2x); c) tan (5x); d) sec (1/x).a) Dx (2 cos 7x) = 2(-sen 7x)(7) = -14 sen 7xb) Dx (sen3 (2x)) = 3(sen2 (2x))(cos (2x))(2) = 6 sen2 (2x) cos (2x)c) Dx (tan (5x)) = (sec2 (5x))(5) = 5 sec2 (5x)d) Dx (sec (1/x)) = tan (1/x) sec (1/x)(-1/x2) = -(1 /x2) tan (1/x) sec (1/x)7. Halle todas las soluciones de la ecuacin cos x = 2Al resolver (^)2 + y2 = 1, se observa que los nicos puntos en el crculo unitario con abscisa 1 son (, ^ ) y (2, - ^ T ) . Los ngulos centrales correspondientes son n/3 y 5^/3. stas son, entonces, soluciones en [0, 2k]. Como cos x tiene periodo 2k, las soluciones son n/3 + 2kh y 5n/3 + 2ftn, donde n es cualquier nmero entero.8. Calcule los lmites siguientes: a) lm sen 5x ; b) lm sen 3 x ; c) lm tan xx^ 0 2x x^ 0 sen 7x x^ 0 xa) lm sen5x = l m 5 sen5x = l lm senu = 1 (1) = 5a) i1 2x ^ 2 5x 2^-50 u 2(1) 2b) l m ^ = l m ^ - % - 3 = 3 lm l m ^ -7 x^ 0 sen 7x x^ 0 3x sen 7x 7 7 u^ 0 u u^ 0 sen u= 3(1)(1) = 7c) lm a n x = lm senx = lm senx lm - L -x^ 0 x x^ 0 x cos x x^ 0 x u>0 cos x= (1)(-1)=19. Sea y = x sen x. Halle y'".y ' = x cos x + sen xy" = x(-sen x) + cos x + cos x = - x sen x + 2 cos xY " = -x cos x - sen x - 2 sen x = -x cos x - 3 sen xCAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonomtricas www.FreeLibros.me^ 146^ - CAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonom tricas10. Sea y = tan2 (3x - 2). Halle y".y ' = 2 tan (3x - 2) sec2 (3x - 2) 3 = 6 tan (3x - 2) sec2 (3x - 2)y " = 6[tan (3x - 2) 2 sec (3x - 2) sec (3x - 2) tan (3x - 2) 3 + sec2 (3x - 2)sec2 (3x - 2) 3]= 36 tan2 (3x - 2) sec2 (3x - 2) + 18 sec4 (3x - 2)11. Sea y = sen(x + y). Halle y'.y ' = cos (x + y) (1 + y') = cos (x + y) + cos (x + y) (y').Al despejar y'. cos( x + y) y 1 - cos( x + y)12. Sea sen y + cos x = 1. Halle y".cos y y ' - sen x = 0. Entonces y'= cos ycos y cos x - sen x(-sen y) y ' = cos x cos y + sen x sen y y' y cos2 y cos2 y= cos x cos y + sen x sen y (sen x)/(cos y) = cos x cos2 y + sen2 x sen y cos2 y cos3 y13. Un piloto se dirige a un sitio en la Tierra frente a l. Si el avin, a 2 millas de altura, vuela a 240 millas/hora (mi/h), cun rpido debe girar el visor cuando el ngulo entre la trayectoria del avin y la lnea de la visual es de 30? (Fig. 17.12.)^ = -240m i/h y x = 2co t0 dt JDe la ltima ecuacin, = -2cosec2 6 ^ . As, -2 4 0 = -2 (4 )d^ cuando 0 = 30dt dt dt-d^ = 30 rad/h = 2 ^ grados /s240 mi/h14. Trace la grfica de f(x) = sen x + cos x.f(x) tiene un periodo de 2 p Por tanto, se debe considerar slo el intervalo [0, 2n]. f ( x ) = cos x - sen x, y f "(x) = -(sen x + cos x). Los nmeros crticos ocurren donde cos x = sen x o tan x = 1, x = k/4 o x = 5ft/4. f "(n /4 ) = - ( V 2 /2 + V 2 /2 ) = y2 < 0 . Entonces, existe un mximo relativo en, x = n /4 , y = V2". f " (5^ /4 ) = - ( - V 2 /2 >/2 /2 ) = y2 > 0 . Es decir, se presenta un mnimo relativo en x = 5 n /4 ,y = -y[2 . Los puntos de inflexin ocurren cuando f " (x) = -(sen x + cos x) = 0, sen x = -cos x, tan x = -1 , x = 3^/4 o x = 7^/4, y = 0 (fig. 17.13).Fig. 17.13 www.FreeLibros.me-^ 147^15. Trace la grfica d e f x) = cos x - cos2 x.f ( x ) = -sen x - 2(cos x)(-sen x) = (sen x)(2 cos x - 1)yf ' ( x ) = (sen x)(-2 sen x) + (2 cos x - 1)(cos x)= 2(cos2 x - sen2 x) - cos x = 4 cos2 x - cos x - 2Como f tiene un periodo 2 n slo debe considerarse [-n , n], y como f es par, nicamente debe prestarse atencin a [0, k]. Los nmeros crticos son las soluciones en [0, k] de sen x = 0 o 2 cos x - 1 = 0. La primera ecuacin tiene soluciones 0 y n, y la segunda equivale a co sx = y, la cual tiene la solucin n/3 .f '( 0 ) = 1 > 0; entonces, hay un mnimo relativo en (0, 0). f ' ( f t ) = 3 > 0; luego, existe un mnimo relativo en (n, -2). f " f = - - f < 0 ; por tanto, hay un mximo relativo en (f , j ) . Hay puntos de inflexin entre 0 y f y entre f y p que pueden hallarse mediante la frmula cuadrtica para resolver 4 cos2 x - cos x - 2 = 0 para cos x utilizando despus una tablas de cosenos o una calculadora para aproximar x (fig. 17.14).Fig. 17.1416. Halle los extremos absolutos de f(x) = sen x + x en [0, 2p|.f ( x ) = cos x + 1. Sea f ( x ) = 0, con lo que se obtiene cos x = -1 y, por tanto, el nico nmero crtico en [0, 2 p es x = p. Se tabula p y los dos puntos extremos 0 y 2 p y se calculan los valores d e fx ):x f x )K n0 02 n 2 nPor consiguiente, el mximo absoluto 2 p se obtiene en x = 2p, y el mnimo absoluto 0 en x = 0.17. Halle el ngulo en el que las rectas % y = x + 1 y % 2: y = 3x + 5 se cortan.Sean a 1 y a 2 los ngulos de inclinacin de % 1 y % 2 (fig. 17.15), y sean m1 y m 2 las pendientes respectivas. Entonces, tan a j = mj = 1 y tan a 2 = m2 = -3 . a 2 - a j es el ngulo de interseccin. Ahora, por el problema 5,ta n a , - ta n a , m2 - m, _ 3 _ i' a 2 a i) _ 1 + tanoij ta n a 2 _ 1 + m 1m 2 ~ 1 + (-3)(1)= = 2 - 2 2CAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonomtricas www.FreeLibros.me^ 148^ CAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonom tricasD e una calculadora graficadora se obtiene a 2 - a ~ 63.4.18. Halle el ngulo a entre las parbolas y = x2 y x = y2 en (1, 1).2 () 3Com o Dx (x2) = 2x y Dx (>/x) = , las pendientes en (1, 1) son 2 y i . Por tanto, t a n a = 1 + 2(2i ) = "2 = 4 .Entonces, m ediante una calculadora graficadora se aproxim a a a 36.9.PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS19. D em uestre que cot (x + n) = cot x, sec (x + 2n) = sec x y cosec (x + 2n) = cosec x.20. H alle el periodo p , la frecuencia f y la am plitud A de 5 sen (x/3) y trace su grfica.Respuesta: p = 6n , f = 3 , A = 521. Encuentre todas las soluciones de cos x = 0.Respuesta: x = (2n + 1)-^ para todo entero en n.22. H alle todas las soluciones de tan x = 1Respuesta: x = (4n + 1)-^ para todo entero en n.23. Trace la grfica de f (x) = 2 - enx .2 cos XRespuesta: vase la figura 17.16. www.FreeLibros.me-^ 149^24. Deduzca la frmula tan(u + v) = tan u + tan v 1 - tan u tan v25. Halle y'.a) y = sen 3x + cos 2xb) y = tan (x2)c) y = tan2 xd) y = cot (1 - 2x2)e) y = x2 sen xf ) y = coS xRespuesta: y ' = 3 cos 3x - 2 sen 2x Respuesta: y ' = 2x sec2 (x2) Respuesta: y ' = 2 tan x sec2 x Respuesta: y ' = 4x cosec2(1 - 2x2) Respuesta: y ' = x2 cos x + 2x sen x Respuesta: y ' = ~ xsen x ~ cos x26. Evale:a ) l m ^ ;x^osen bx Respuestas: a) b ; b) -9b) lm 7 x^o xsen2(3x)d 2 x27. Si x = A sen kt + B cos kt, demuestre que = k 2x .d t228. a) Si y = 3 sen (2x + 3), demuestre que y" + 4y = 0. b) Si y = sen x + 2 cos x, demuestre que y ''' + y" + y' = 0.29. i) Analice y dibuje lo siguiente en el intervalo 0 < x < 2n. ii) (CG) Comprueba las respuestas del inciso anterior con una graficadora.a) y = is e n 2 xb) y = cos2 x - cos xc) y = x - 2 sen xd) y = sen x(1 + cos x)e) y = 4 cos3 x - 3 cos xRespuestas: a) mximo en x = n/4, 5^/4; mnimo en x = 3^/4, 7^/4; punto de inflexin en x = 0, nl2, n, 3^/2.b) mximo en x = 0, p mnimo en x = n/3, 5^/3; punto de inflexin en x = 32 32', 126 23',233 37', 327 28'.c) mximo en x = 5^/3; mnimo en x = k/3; punto de inflexin en x = 0, n.d) mximo en x = n/3; mnimo en x = 5^/3; punto de inflexin en x = 0, n, 104 29', 255 31'.e) mximo en x = 0, 2^/3, 4^/3; mnimo en x = n/3, n, 5^/3; punto de inflexin en x = n/2, 3n/2, n/6 ,5 n /6 ,7n /6 , 11n/6.CAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonomtricas www.FreeLibros.meCAPTULO 17 Derivacin de funciones trigonom tricas30. Si el ngulo de elevacin del Sol es 45 y decrece a i radianes por hora, a qu velocidad se alarga la sombra proyectada en el suelo por un poste de 50 pies de altura?Respuesta: 25 pies/hora.31. U se la derivacin im plcita para hallar y': a) tan y = x2; b) cos (xy) = 2y.n ^ 2 , y sen (xy)Respuestas: a) y = 2x cos2 y; b) y = ----------------- -.2 + x sen (xy) www.FreeLibros.me18Funciones trigonomtricas inversasLas funciones seno y coseno, adems de otras funciones trigonomtricas, no son uno a uno, por lo que no tienen funciones inversas. Sin embargo, es posible restringir el dom inio de las funciones trigonom tricas de form a tal que se vuelvan uno a uno.En la grfica de y = sen x (fig. 17.2) se m uestra que en el intervalo - n /2 < x < rc/2 la restriccin de sen x es uno a uno. D e esta manera, se define sen-1x com o la funcin inversa correspondiente. El dom inio de dicha funcin es [-1 , 1], el cual es el rango de sen x. As,1. sen-1 (x) = y si y slo si sen y = x.2. E l dom inio de sen-1 x es [-1 , 1].3. E l rango de sen-1 x es [-rc/2, rc/2].L a grfica de sen-1 x se obtiene de la grfica de sen x por reflexin en la recta y = x (fig. 18.1).EJEMPLO 18.1. En general, sen-1 x = el nm ero y en [-ft/2 , ft/2] tal que sen y = x. En particular, sen-1 0 = 0, sen-1 1 = rc/2, sen-1 (-1 ) = -rc/2, sen~'(y) = n / 6, sen-1(V 2/2 ) = n / 4 , sen~'(>/372) = n /3 . Tam bin, sen-1( - - j) = n / 6. En general, sen-1(-x) = -s e n -1 x, ya que sen (-y ) = -s e n y.La derivada de sen 1 xSea y = s e n 1 x. Com o sen x es derivable, s e n 1 x es derivable por el teorem a 10.2. Ahora, sen y = x y, entonces, por derivacin im plcita, (cos y)y ' = 1. Por tanto, y ' = 1/(cos y). Pero cos2 y = 1 - sen2 y = 1 - x2. As, cos y = +V1 - x 2 . Por definicin de s e n 1 x, y est en el intervalo [-rc/2, rc/2] y por consiguiente, cos y > 0.y2y = sen-1 xFig. 18.1 L51J www.FreeLibros.me^ 152^ CAPTULO 18 Funciones trigonom tricas inversasEntonces, cos y = V 1 - x 2. Por ende, y ' = . 1 . As, se ha dem ostrado que(18.1) Dx (se n 1 x) =V iFuncin coseno inversaSi se restringe el dom inio de cos x a [0, rc], se obtiene una funcin uno a uno (con rango [-1 , 1]). Por ello, es posible definir cos-1 x como la inversa de esa restriccin.1. cos-1 (x) = y si y slo si cos y = x.2. E l dom inio de cos-1 x es [-1 , 1].3. E l rango de cos-1 x es [0, rc].L a grfica de cos-1 x se m uestra en la figura 18.2 y se obtiene m ediante reflexin de la grfica de y = cos x en la recta y = x .Fig. 18.2U n argumento sim ilar al anterior para (18.1) dem uestra que(18.2) Dx (cos-1 x) = t = =V1 - x 2Funcin tangente inversaAl restringir el dom inio de tan x al intervalo (-rc/2, rc/2) se obtiene una funcin uno a uno (con rango en el conjunto de todos los nm eros reales), cuya inversa es tan-1 x. Entonces:1. tan-1 (x) = y si y slo si tan y = x.2. E l dom inio de tan-1 x es ( +^>),3. E l rango de tan-1 x es (rc/2, rc/2).EJEMPLO 18.2. En general, tan-1 x = al nmero y en (-n /2 , ft/2) tal que tan y = x. En particular, tan-1 0 = 0, tan-1 1 = rc/4, tan-1(V3) = n /3 , tan-1( ^ / 3 ) = n / 6 . Como tan(-x) = -tan x, se sigue que tan-1 (-x) = - tan -1 x. Porejemplo, tan-1 (-1) = -ft/4.x12yL a grfica de y = t a n 1 x aparece en la figura 18.3. Se obtiene de la grfica de y = tan x reflejada en la recta y = x. N tese que y = n /2 es una asntota horizontal a la derecha y y = -rc/2 es una asntota horizontal a la izquierda. www.FreeLibros.meLas selecciones aparentem ente arbitrarias de los dom inios para las funciones trigonom tricas inversas se hicieron a fin de obtener frm ulas sim ples para las derivadas.N o debe confundirse la notacin para las funciones trigonom tricas inversas con notacin exponencial. Por ejemplo, sen-1 x no es lo m ism o que (sen x)-1. Para evitar la posibilidad de tal confusin, se puede utilizar la siguiente notacin alternativa en las funciones trigonom tricas inversas:arc sen x = sen-1 x , arc cos x = cos-1 x , etctera.------------- ^ 155^PROBLEMAS RESUELTOS1. Demuestre (18.5): Dx (sec 1 x) = - 1x>/x2 - 1Sea y = sec-1 x. Entonces, sec y = x y, por derivacin implcita, tan y sec y (y ') = 1. Ahora, tan2 y = sec2 y - 1 = x2 - 1; as, tan y = x 2 - 1 . Por definicin de sec-1 x, y est en [0, ft/2) o en [ft, 3ft/2) y, por consiguiente, tan y es positiva. Por ende, tan y = Vx 2 - 1. Entonces,1 1y = -------------- iJ tan y sec y xV x2 - 1En los problemas 2 a 8, halle la primera derivada y '.2. y = sen-1 (2x - 3).Por (18.1) y la regla de la cadena,y ' =1V1 - (2 X - 3)2Dx (2x - 3) =4 1 2 x - 4 x 2 - 8 y3x - x 2 - 23. y = cos 1 (x2).Por (18.2) y la regla de la cadena, y ' = - 1 Dx(x)2 = - - 2xy1 - (x 2)4. y = tan-1 (3x2).1 f Por (18.3) y la regla de la cadena, y ' = ~ 1 + (3x2)2 Dx(3x2) = 6x9 x4? = cot-1 ( )1 + )Por (18.4) y la regla de la cadena,11 + 1 + x 1 - x2D 1 + xx ' 1 + ( l i x\1 - x1(1 - x) - (1 + x ) ( -1) (1 - x)2(1 - x)2 + (1 + x)2 1 + x22 146. y = W a 2 - x 2 + a 2sen 1 ( ^y ' = x [-j(a2 - x 2) 1/2(-2x )] + (a 2 - x 2)1/2 + a 2 - 1 1-y/1 - (x/a)2 a = 24 a 27. y = x cosec 1 ( 1 ) W 1 - x 2 para 0 < x < 1.y = x 1 1PV x :x 2 1+ cosec 11X) + "2 ( 1 _ x 2)1/2( -2 x) = cosec 1 |-X-CAPTULO 18 Funciones trlgonomtrlcaslnversas www.FreeLibros.meCAPTULO 18 Funciones trigonom tricas Inversas8. y = a b t a n 1 (a tan x ) 'y = ab --------- D ( tan x |, K ^ \a I1 + | a tan x1a 2 cos2 x + 2 sen2 x1a a2 + 2 tan2 x a 2 sec2x = a2 + b 2tan2 x9. Sea y2 sen x + y = tan-1 x. Halle y '.Por derivacin implcita, 2yy'sen x + y 2 cos x + y ' = i ^ 2. Por tanto, y '(2y sen x + 1) = i ^ 2 - y2 cos x y entonces,1 - (1 + x2) y2 cos xy = 1 + x 2 (2y sen x + 1)10. Evale a) sen 1(^> /2 /2 ); b) cos-1 (1); c) cos-1 (0); d) cos 1(^); e) tan 1(^>/3); f ) sec-1 (2); g) sec-1 (-2).a) sen (-V 2 / 2) = - seir1(V2 /2 = - ^/4b) cos-1 ( 1) = 0, puesto que cos (0) = 1 y 0 est en [0, ft]c) cos-1 (0) = k / 2 , ya que cos (ft/2) = 0 y (ft/2) est en [0, ft]d) cos-K i) = * /3e) tan-1( - ^ 3 ) = - tan-1^ N/3) = - n /3f ) sec-11 (2) = rc/3, ya quesec | 1 1 23 j cos(tf/3) 1 2g) sec-1 (-2) = 4ft/3, porque (4^ / 3) == 1 = 1 = 2 cos(4^/3) - 4n 211. Demuestre que sen 1 x + cos 1 x = -y. Dx(sen-1 x + cos-1 x) =a/1 - x 2 \ /1 -- = 0 ' Entonces, por el problema 15 del captulo 13, sen 1 x + cos 1 x esnuna constante. Com o sen -10 + cos-10 = 0 + = , esa constante es -y.2 2 212. a) D em uestre sen(sen-1 (y)) = y; b) determ ine sen-1 (sen n ); c) pruebe que sen-1 (sen x) = x si y slo si x est en[ - t , tc/2].a) Esto resulta directam ente de la definicin de sen-1 (y).b) sen-1 (sen n) = sen-1 0 = 0.c) sen-1 y es igual al nm ero x en [-ft/2, ft/2] tal que sen x = y. As, si x est en [-ft/2 , tc/2], sen-1 (sen x) = x.Si x no est en [-ft/2, tc/2], entonces sen-1 (sen x) ^ x, ya que, por definicin, sen-1 (sen x) debe estar en[-tc/2, %I2],13. Evale a) cos(2sen-1(f)); b) sen(cos-1(-1-)).a) Por (16.11), cos(2sen-1( |) ) = 1 - 2sen2(sen-1(f)) = 1 - 2 ( f )2 = 1 - y, = -JJ.b) sen2(cos-1( - | ) ) = 1 - cos2(cos-1( - f ) ) = 1 - ( - f ) 2 =Por tanto, sen(cos-1( - -f)) = V 7 /4 . Puesto que cos-1( - -f) est en el segundo cuadrante, sen(cos-1( - |-)) > 0 . Entonces, sen(cos-1( - f ) ) = V 7 /4 .sec2 xa www.FreeLibros.me-^ 157^14. El borde inferior de un mural de 12 pies de altura est situado a 6 pies por encima de los ojos de unobservador. De acuerdo con el supuesto de que la vista ms favorable se obtiene cuando el ngulo subtendido por el mural y los ojos es un mximo, a qu distancia de la pared debera pararse el observador?Sea 0 el ngulo subtendido y x la distancia desde la pared. De la figura 18.7, tan (0 + 0) = 18/x, tan 0 = 6/x,ytan 0 = tan[> + * ) - = f + ++ - l = ^r 1 + tan(0 + 0 ) ta n 0 1 + (18/x)(6/x) x2 + 108Fig. 18.7Entonces,Q = tan 12x2 +108 / y dxd e _ 12( - x 2 +108)x4 + 360x2 +11664El nmero crtico x = 6>/3 ~ 10.4. Por el crtico de la primera derivada, esto resulta en un mximo relativo. El observador debera pararse aproximadamente a 10.4 pies frente a la pared.PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS15. Evale a) sen 1(--v/3/2); b) cos 1(>/3/2); c) cos 1(--v/372); d) tan 1( -y f3 /3 ) ; e) sec 1^ V2); f sec 1(^V2).Respuestas: a) b) c) ^ ; d) e) - | ; f ^16. Demuestre que tan-1 x + cor 1 x = .En los problemas 17 a 24 halle y '.17. y = sen-1(3x)18. y = cos-1(^ 1 x)19. y = M r 1 (f )20. y = sen-1 (x - 1)21. y = x2cos-1 (x )3Respuesta: .J\9 x IRespuesta: ^ ^ 2Respuesta:y2x x 2Respuesta: 2 x I cos 1 ( i t - =l U ) v x ^ 41CAPTULO 18 Funciones trigonomtricas Inversas www.FreeLibros.meCAPTULO 18 Funciones trlgonom trlcaslnversasx x 222. y = i ^ - sen-1( x - a) R espuesta : -------- ^-3V a2 - x 2 (a - x )23. y = (x - a)y2ax- x 2 + a 2sen- 1 ( x - a ) Respuesta: 2\2 a x - x 224. y = ^ x 2- 4 + ^ se c - 1(^ x ) Respuesta: , , 87 x 2 2 V2 7 r x V x 2 - 425. Prueba las frm ulas (18.2), (18.4) y (18.6).26. Sea 9 = cos 1(-7). H alle a) sen 0; b) cos 0; c) tan 0; d) cot 0; e) sec 0; f cosec 0; g) cos 20; h) sen 20.Respuestas: a) ^ T 5 ; b) -7; c) 3 2 5 ; d) ^ j f 5 ; e) 2 ; f ) ^ f 5; g) - h)27. Sea 0 = sen-1( - -5). H alla a) sen 0; b) cos 0; c) tan 0; d) cot 0; e) sec 0 ;f ) cosec 0; g) cos 20; h) sen 20.Respuestas: a) - - f ; b) 2f ^ ; c) - -y ^ ; d) - 2 ^ 6 ; e) 51 2 ; f) -5 ; g) -^ f ; h) - 42c628. D em uestre ta n 20 = . 2 ta n ? .1 - tan2 629. Evale a) cos^en -1^ ) ) ; b) tan(sec- 1(-fX; c) sen(cos- 1(-5) + sec 14); d) cos-1 ^cos3 ^ .Respuestas: a) -^H7 ; b) ; c) :!2 j L + "!~[05 ; d) ^30. H alle el dom inio y el rango de la funcin f x ) = sen(sec-1 x).Respuesta: dom inio Ixl > 1; rango (-1 , 1)31. a) Para qu valores de x es verdadero tan-1 (tan x) = x?b) (CG) Com prueba la respuesta del inciso anterior con una graficadora para trazar la grfica de y = tan-1 (tan x ) - x .Respuesta: a) < x < -y32. Se desea colocar una luz directam ente sobre el centro de un sitio circular de 30 pies de radio, a una altura tal que el borde reciba la m xim a ilum inacin. H alle la altura si la intensidad I en cualquier punto del borde es directam ente proporcional al coseno del ngulo de incidencia (ngulo entre el rayo de luz y la vertical) e inversam ente proporcional al cuadrado de la distancia de la fuente.(Sugerencia: sea x la altura requerida, y la distancia de la luz al punto del borde, y 0 el ngulo deincidencia. Entonces, I = k co s^ = ^ k^ n .)y2 (x2 + 900)Respuesta: 15>/2 pies33. D em uestre que sen 1 x = tan 1 | para Ixl < 1. A nalice qu sucede cuando Ixl = 1. www.FreeLibros.me-^ 159^34. (CG) Evale sen '(y ) m ediante una calculadora graficadora.Respuesta: 0.643535. a) H alle sec (tan-1(y)); b) determ ine la frm ula algebraica para sec (tan-1 (2x)). c) (CG) Com pruebe sus respuestas a los incisos anteriores con una graficadora.Respuestas: a) ; b) y1 + 4 x 236. Pruebe a) sec-1 x = cos-1 (1 ) para x > 1; b) sec-1 x = 2 n - cos-111 J para x < -1 .[La frm ula del inciso a) se cum ple en general para Ixl > 1, si se hubiera definido sec-1 x como la inversa de la restriccin de sec x para (-rt/2 , ft/2). Sin embargo, si se hubiera hecho esto, la frm ula para Dx (sec-1 x) habra sido 1/(IxI Vx 2 - 1) en lugar de la frm ula ms sim ple 1/(x%/x2 - 1).]CAPTULO 18 Funciones trigonomtricas inversas www.FreeLibros.meMovimientos rectilneo y circularMovimiento rectilneoE l movimiento rectilneo es el de un objeto en lnea recta. Si existe un sistem a de coordenadas en esa recta y s representa la coordenada del objeto en cualquier instante t, entonces la posicin del objeto est dada por una funcin s = f( t) (fig. 19.1). i-----------------------------------1------ 1------------------------ 1------------------------1------------------------1------------------------- 2 - 1 0 1 2 3Fig. 19.1L a posicin en un m om ento t + At, m uy cercano a t, es f ( t + At). L a distancia que recorre el objeto entre el instante t y el instante t + At es f ( t + At) - f( t) . E l tiempo que el objeto ha recorrido es At. Entonces, la velocidad media durante este periodo de tiem po esf (t + At) - f (t)At(Obsrvese que la distancia puede ser negativa cuando el objeto se m ueve a la izquierda a lo largo del eje s. As, la velocidad m edia puede ser positiva, negativa o cero.)Cuando At tiende a cero, esta velocidad m edia se aproxim a a lo que se conoce com o velocidad instantnea v en el tiem po t. Entonces,* = lm f (t + A ) - f (t) = f '( t )At^0 At J Por tanto, la velocidad instantnea * es la derivada de la funcin de la posicin s , es decir, * = ds/d t.E l signo de la velocidad instantnea v indica en qu direccin se m ueve el objeto a lo largo de la recta. Si v = ds/dt > 0 en un intervalo de tiempo, entonces, por el teorem a 13.7a), se sabe que s debe ser creciente, es decir, el objeto se desplaza en direccin de s creciente a lo largo de la recta. Si v = ds/dt < 0, entonces el objeto se est m oviendo en la direccin de s decreciente.L a rapidez instantnea se define com o el valor absoluto de la velocidad. As, la rapidez indica cun rpido se m ueve el objeto, pero no su direccin. En un automvil, el velocm etro seala la rapidez instantnea a la que se desplaza el auto.L a aceleracin a de un objeto que se m ueve en lnea recta est definida por la razn a la que cam bia la velocidad, es decir, la derivada de la velocidad:= d v = d 2s a = dt = d t2EJEMPLO 19.1. Sea la posicin de un automvil en una autopista dada por la ecuacin s = f(t) = t2 - 5 t, donde s se mide en millas y t en horas. As, la velocidad v = 2t - 5 millas por hora (mi/h) y su aceleracin a = 2 mi/h2. Por tanto, su velocidad es creciente a una razn de 2 millas por hora por hora.r6 www.FreeLibros.me-^ 161^Cuando un objeto que se m ueve en lnea recta cam bia de direccin, su velocidad v = 0. Un cam bio de direccin ocurre cuando la posicin 5 llega a un extrem o relativo, y esto sucede slo cuando ds/dt = 0. (Sin embargo,lo contrario es falso; ds/dt = 0 no siem pre indica un extrem o relativo. U n ejem plo es s = t3 en t = 0.)EJEMPLO 19.2. Supngase que un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuacin s = f(t) = (t - 2)2, donde s se mide en pies y t en segundos. (La grfica de f aparece en la figura 19.2.) Entonces, v = f ( t ) = 2(t - 2) pies/s y a = 2 pies/s2. Para t < 2, v < 0 y el objeto se mueve a la izquierda (fig. 19.3). Para t > 2, v > 0 y el objeto se mueve a la derecha. El objeto cambia de direccin en t = 2, donde v = 0. Ntese que si bien la velocidad v es 0 en el momento t = 2, el objeto se est moviendo en ese instante, no est en reposo. Cuando se dice que un objeto est en reposo significa que su posicin es constante durante todo un intervalo de tiempo.2 3Fig. 19.3Movimiento bajo la influencia de la gravedadSi un objeto ha sido lanzado hacia arriba o hacia abajo, o tan slo a partir de un estado de reposo, y la nica fuerza que acta sobre l es la gravitacional de la Tierra, el movim iento rectilneo resultante se denom ina cada libre.Al colocar un sistem a de coordenadas en una recta vertical sobre la que se m ueve un objeto, se considera que este eje s se dirige hacia arriba (fig. 19.4) y que el nivel de la Tierra (la superficie del planeta) corresponde a s = 0. Segn la fsica, la aceleracin a es una constante aproxim adam ente igual a -3 2 pies/s2. (En el sistema mtrico, esta constante es -9 .8 m /s2.) Observe que la aceleracin es negativa porque la fuerza de la gravedad de la Tierra hace que la velocidad se reduzca.dvCom o - t- = a = - 3 2 se tiene que:dt(19.1) v = v0 - 32t donde v0 es la velocidad inicial cuando t(19.2) s = s0 + v0t - 16t2donde s0 es la posicin inicial, el valor de s cuando t = 0 .0.* Ahora, v = dS , por lo tanto,TierraDe hecho, Dt(v0 - 32t) = -32 = Dv. Entonces, por el problema 18 del captulo 13, v y v0 - 32t difieren por una constante. Como v y v0 - 32t son iguales cuando t = 0, tal diferencia constante es 0.En efecto, Dt(s0 + v0t - 16t2) = v0 - 32t = Dts. Entonces, por el problema 18 del captulo 13, s y s0 + v0t - 16t2 difieren por una constante. Como s y s0 + v0t - 162 son iguales cuando t = 0, esa diferencia constante es 0.is*CAPTULO 19 Movimientos rectilneo y circular www.FreeLibros.meCAPTULO 19 M ovim ientos rectilneo y circularMovimiento circularE l m ovim iento de una partcula P a lo largo de un crculo queda com pletam ente definido por la ecuacin 0 = f( t) , donde 0 es el ngulo central (en radianes) barrido en el instante t por una recta que une a P con el centro del crculo. Las coordenadas x y y de P estn dadas por x = r cos 0 y y = r sen 0.dOPor velocidad angular ra de P en el instante t se entiende -d f Por aceleracin angular a de P en el instante t se entiende d - = d ^ .PROBLEMAS RESUELTOS1. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta segn la ley s = t3 - 2 t. Determina su velocidad y aceleracin al cabo de 2 segundos.v = d f = 2 12 - 2; por tanto, cuando t = 2, v = - |(2)2 - 2 = 4 pies/s. a = d y = 3 t ; por consiguiente, cuando t = 2, a = 3(2) = 6 pies/s2.2. La trayectoria de una partcula que se mueve en lnea recta est dada por s = t3 - 6t2 + 9t + 4.a) Halle s y a cuando v = 0.b) Halle s y v cuando a = 0.c) Cundo s es creciente?d) Cundo v es creciente?e) Cundo cambia la direccin del movimiento?Se tiene quev = j j t = 3t2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3), a = ^ = 6(t - 2)a) Cuando v = 0, t = 1 y 3. Cuando t = 1, s = 8 y a = - 6. Cuando t = 3, s = 4 y a = 6.b) Cuando a = 0, t = 2. En t = 2, s = 6 y v = -3 .c) s es creciente cuando v > 0, es decir, cuando t < 1 y t > 3.d) v es creciente cuando a > 0, es decir, cuando t > 2.e) La direccin del movimiento cambia cuando v = 0 y a * 0. Del inciso a) se tiene que la direccin cambia cuando t = 1 y t = 3.3. Un cuerpo se mueve a lo largo de una recta horizontal de acuerdo con la ecuacin s = f( t) = t3 - 9t2 + 24t.a) Cundo s es creciente y cundo decreciente?b) Cundo v es creciente y cundo decreciente?c) Halle la distancia total recorrida en los primeros 5 segundos de movimiento.Se tiene quev = = 3t2 - 18t + 24 = 3(t - 2)(t - 4), a = ^ = 6(t - 3)a) s es creciente cuando v > 0, es decir, cuando t < 2 y t > 4. s es decreciente cuando v < 0, es decir, cuando 2 < t < 4.b) v es creciente cuando a > 0, es decir, cuando t > 3.v es decreciente cuando a < 0, es decir, cuando t < 3.c) Cuando t = 0, s = 0 y el cuerpo est en O. El movimiento inicial es a la derecha (v > 0) durante losprimeros 2 segundos; cuando t = 2, el cuerpo est s = f (2) = 20 pies de O.Durante los siguientes 2 segundos, se mueve a la izquierda, despus de los cuales est a s = f(4) = 16 pies de O .Luego se mueve a la derecha y despus de 5 segundos de movimiento est s = f(5) = 20 pies de O. La distancia total recorrida es 20 + 4 + 4 = 28 pies (fig. 19.5). www.FreeLibros.me-^ 163^Fig. 19.520444. Una partcula se mueve en una recta horizontal a i = f( t) = t4 - 6t3 + 12t2 - 10t + 3.a) Cundo es creciente la rapidez y cundo decreciente?b) Cundo cambia la direccin del movimiento?c) Halle la distancia total recorrida en los primeros 3 segundos de movimiento.Aqu,v = j j t = 4 t3 - 18t2 + 24t - 10 = 2(t - 1)2(2 t - 5), a = d - = 12(t - 1)(t - 2)a) v cambia de signo en t = 2.5, y a cambia de signo en t = 1, t = 2.Para t < 1, v < 0 y a > 0. Como a > 0, v es creciente. Como v < 0, la rapidez |v| = -v es decreciente.Para 1 < t < 2, v < 0 y a < 0. Como a < 0, v es decreciente. Puesto que v < 0, la rapidez |v| = -v escreciente.Para 2 < t < 2.5, v < 0 y a > 0. Como en el primer caso, la rapidez es decreciente.Para t > 2.5, v > 0 y a > 0, v es creciente. Como v > 0, la rapidez |v| = v es creciente.b) La direccin del movimiento cambia en t = 2.5, ya que por el criterio de la segunda derivada i tiene un extremo relativo all.c) Cuando t = 0, i = 3 y la partcula est 3 unidades a la derecha de O. El movimiento es hacia la izquierda hasta que t = 2.5, despus de lo cual est a -jg- unidades a la izquierda de O. Cuando t = 3, i = 0; la partcula se ha movido -jg- unidades a la derecha. La distancia total recorrida es 3 + -27 + 17 = i r unidades (fig. 19.6).O 3|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ,27/16Fig. 19.65. U na piedra, lanzada verticalm ente hacia arriba con una velocidad inicial de 112 pies/segundo (pies/s), se m ueve de acuerdo con la ecuacin i = 112t - 16t2, donde i es la distancia del punto de partida. C alcule a) la velocidad y la aceleracin cuando t = 3 y cuando t = 4, y b) la m xim a altura alcanzada. c) Cundo estar a 96 pies de altura?Se tiene que v = d i/dt = 112 - 32t y a = dv/dt = -32 .a) En t = 3, v = 16 y a = -3 2 . La piedra est subiendo a 16 pies/s.En t = 4, v = -1 6 y a = -3 2 . La piedra est cayendo a 16 pies/s.b) En el punto m s alto del m ovim iento, v = 0. Al despejar v = 0 = 112 - 32t resulta en t = 3.5. En eseinstante i = 196 pies.c) Sea 96 = 112t - 16t2, lo que resulta en t2 - 7 t + 6 = 0, de donde t = 1 y 6. A l cabo de 1 segundo dem ovim iento la piedra se halla a una altura de 96 pies y est subiendo, pues v > 0. Al cabo de 6 segundosse encuentra a la m ism a altura pero est cayendo, ya que v < 0.6. U na partcula rota en sentido contrario al de las m anecillas del reloj a partir del reposo, de acuerdo cont36 = 50- t , donde 0 est en radianes y t en segundos. Calcule el desplazam iento angular 0, la velocidad angularff) y la aceleracin angular a al cabo de 10 segundos.9 = - 1 = 10 rad, a = = 3 2 - 1 = 5 rad/s, a = ^ ^ = 6 rad /s250 d t 50 d t 50 57. En t = 0, se lanza una piedra desde un edificio de 1024 pies de altura. Cundo toca el suelo la piedra y conqu velocidad? D eterm ine tam bin la rapidez en m illas por hora.CAPTULO 19 Movimientos rectilneo y circular www.FreeLibros.meCAPTULO 19 M ovim ientos rectilneo y circularComo s0 = 1024 y v0 = 0, la ecuacin (19.2) se vuelve s = 1024 - 16t2, y el tiem po en el que la piedra golpea la tierra es la solucin de 1024 - 16t2 = 0. Esto se reduce a t2 = 64, lo que da t = 8. Com o el m ovim iento ocurre cuando t > 0, t = 8. La ecuacin (19.1) es v = -32 t, lo que resulta en v = -32(8 ) = -2 5 6 pies/s cuando t = 8, es decir, el m om ento en el que la piedra choca con la tierra. (La velocidad es negativa porque la piedra se est m oviendo hacia abajo.) La rapidez es 256 pies/s. Para cam biar a m illas por hora se realiza lo siguiente: x pies por segundo = 60x pies por m inuto = 60(60x) pies por hora= 3520g0x millas p r hora = 1 2 x millas por h o ra .Luego,(19.3) x pies po rsegundos= -22xm illaspor hora.En especial, cuando x = 256, se obtiene 174-jj m illas por hora.Si se dispara un cohete verticalm ente hacia arriba desde tierra con una velocidad inicial de 192 pies/s, cundoalcanza su altura m xim a y cul es esa altura? Tambin establezca cunto tarda en llegar a tierra nuevam ente ycon qu rapidez lo hace.Las ecuaciones (19.1) y (19.2) son v = 192 - 32t y s = 192t - 16t2. A la altura mxima, v = 0 y, por tanto, t = 6. Esto significa que se tom a 6 segundos para llegar a la altura m xima, que es 192(6) - 16(6)2 = 576 pies. El cohete regresa a nivel del suelo cuando 0 = 192t - 16t2, es decir, cuando t = 12. En consecuencia, tard 6 segundos para llegar al suelo nuevamente, m ismo tiempo al que emple para alcanzar la altura mxima. La velocidad cuando t = 12 es 192 - 32(12) = -1 9 2 pies/s. Entonces, su rapidez final es la m ism a que su rapidez inicial.PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS9. Dem uestre que si un objeto se mueve en lnea recta, su rapidez es creciente cuando su velocidad v y su aceleracin a tienen el mismo signo, y su rapidez es decreciente cuando v y a tienen signo opuesto. (Sugerencia: la rapidez S = |v|. Cuando v > 0, S = v y dS/dt = dv/dt = a . Cuando v < 0, S = - v y dS/dt = - dv/dt = -a .)10. U n objeto se m ueve en lnea recta de acuerdo con la ecuacin s = t3 - 6t2 + 9t, en unidades de pies y segundos. D eterm ine su posicin, direccin y velocidad, as como si su rapidez es creciente o decreciente cuando a) t = 2 ;b) t = 2; c) t = -2; d) t = 4.Respuestas:a) s = Tfft pies; m ovim iento a la derecha con v = 15 pies/s; rapidez decreciente.b) s = i r pies; m ovim iento a la izquierda con v = - -f- pies/s; rapidez creciente.c) s = 8 pies; m ovim iento a la izquierda con v = - f- pies/s; rapidez decreciente.d) s = 4 pies; m ovim iento a la derecha con v = 9 pies/s; rapidez creciente.11. La distancia de una locom otora respecto de un punto fijo sobre una va recta en el instante t es 3 f - 44t3 - 44t2. Cundo va en reversa?Respuesta: 3 < t < 812. Exam ina, como en el problem a 2, cada uno de los siguientes movim ientos en lnea recta: a) s = t3 - 9t2 + 24t;b) s = t3 - 3t2 + 3t + 3; c) s = 2t3 - 12t2 + 18t - 5; d) s = 3 f - 28t3 + 90t2 - 108t.Respuesta: los cam bios de direccin ocurren en t = 2 y t = 4 en a), no hay cam bios en b), en t = 1 y t = 3 enc) y en t = 1 en d).13. U n objeto se m ueve verticalm ente hacia arriba desde el suelo de acuerdo con la ecuacin s = 64t - 16t2. D em uestre que ha perdido la m itad de su velocidad en los prim eros 48 pies de ascenso. www.FreeLibros.me14. Se lanza una bola verticalm ente hacia arriba desde el borde de un tejado que est a 112 pies de altura, de tal form a que eventualm ente caiga a la calle. Si se m ueve de m odo que la distancia s del tejado en el instante t est dada por s = 94t - 16t2, halle a) la posicin de la bola, su velocidad y la direccin del m ovim iento cuando t = 2, y b) su velocidad cuando golpea la calle (s en pies, y t en segundos).Respuestas: a) 240 pies por encim a de la calle, 32 pies/s hacia arriba; b) -1 2 8 pies/s.15. U na rueda gira 0 radianes en t segundos de m anera que 0 = 128t - 12t2. Encuentre la velocidad y la aceleracin angular al cabo de 3 segundos.Respuestas: ff) = 56 rad/s; a = -2 4 rad/s216. Se lanza una piedra en un pozo de 144 pies de profundidad. Cundo tocar la piedra el fondo del pozo?Respuesta: despus de 3 segundos17. Con qu rapidez, en m illas por hora, un objeto lanzado desde lo alto de un edificio de 10 pisos tocar el suelo? Supngase que cada piso del edificio tiene 10 pies de altura.Respuesta: 5 4 1y mi/h18. U n autom vil se mueve por una autopista recta. Si su posicin est dada por s = 8t3 - 12t2 + 6t - 1, con s en m illas y t en horas, cul es la distancia que recorre de t = 0 a t = 1?Respuesta: 2 millas19. R esponda a la m ism a pregunta que en el problem a 18, excepto que s = 5 t - t2 y el auto va de t = 0 a t = 3.Respuesta: 6.5 millas20. Se lanza una piedra en lnea recta desde el suelo. Cul es su velocidad inicial, en pies por segundo, si golpe el suelo despus de 15 segundos?Respuesta: 240 pies/s21. ( c g ) Sea la posicin s de un objeto que se mueve en lnea recta dada por la ecuacin s = t4 - 3t2 + 2t. U tilice una graficadora para calcular cundo cam bia de direccin el objeto, cundo se mueve a la derecha y cundo a la izquierda. Trate de hallar las frm ulas exactas correspondientes.Respuesta: cam bia de direccin en t = -1 .3660 , 0.3660 y 1. El objeto se mueve a la izquierda para t 2 + ' f 3 4 o t < 2 - 'J'3 43 3 367. U n cohete lanzado hacia arriba desde el suelo regresa a ste 8 segundos (s) ms tarde. a) Cul fue la velocidad inicial? b ) Cul fue su m xim a altura?Respuestas: a) 128 pies/s; b) 256 pies68. En una va recta, un conductor frena cuando el auto va a 55 m illas por hora (mi/h). Los frenos producen una desaceleracin constante de 11 pies/s2. a) Cundo parar el auto? b) Cunto se desplazar despus de haber presionado los frenos?Respuestas: a) 5 segundos; b) 137.5 pies69. H alle la ecuacin de la curva que pasa por el punto (3, 7) y que tiene pendiente 4x2 - 3 en (x, y).Respuesta: y = f x3 - 3 x - 20 www.FreeLibros.meLa integral definida. rea bajo una curvaNotacin sigmaL a letra griega m ayscula X (sigma) representa la sum a repetida.EJEMPLO 23.1.5a) j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 .j =13b) X (2i + 1 ) = 1 + 3 + 5 + 7 .i=010c) X i 2 = 2 2 + 3 2 + + (1 0 ) 2.i=24d) X c o s j n = c o s ^ + c o s 2 ^ + c o s 3 ^ + c o s 4 ^ . j=1E n g e n e r a l, s i f es u n a fu n c i n d e f in id a e n lo s e n tero s y s i n y k so n e n te r o s ta le s q u e n > k, en to n ce s:X f (j ) = f (k) + f (k + 1) + + f (n)j=krea bajo una curvaSupngase que f es una funcin tal q u e f x ) > 0 para toda x en el intervalo cerrado [a, b]. Su grfica es una curva que queda sobre o por encim a del eje x (fig. 23.1). Se tiene la idea intuitiva del rea A de la regin ^ bajo la grfica, encim a del eje x y entre las rectas verticales x = a y x = b . Se especificar un m todo para evaluar A .Se escogen los puntos x1, x2,..., xn-1 entre a y b. Sea x0 = a y xn = b. Luego (fig. 23.2),a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = bEl intervalo [a, b] se divide en n subintervalos [x0, x1], [x1, x2],..., [xn-1, xn]. Las longitudes de estos intervalos se sim bolizan con A1x, A2x,..., An x. Por tanto, si 1 < k < n,Ak x = xk - xM4 '187^ www.FreeLibros.meCAPTULO 23 La In tegra l definida. re a bajo una curvaSe trazan los segmentos de recta vertical x = xk desde el eje x hasta la grfica, con lo que se divide la regin ^ en n franjas. Si AkA representa el rea de la franja k-sim a se obtieneA = X A kAk=1Es posible aproxim ar el rea Ak A de la m anera siguiente: se selecciona cualquier punto x* en el subintervalo k-sim o [xk-1, xk]. Se traza el segmento de recta vertical que va desde el punto x* sobre el eje x hasta la grfica (obsrvense las lneas punteadas de la figura 23.3); la longitud de este segmento es f (x*). El rectngulo con base Ak x y altura f (x*) tiene el rea f (x*) Akx, que es aproxim adam ente el rea Ak A de la franja k-sima. Por tanto, el rea total A bajo la curva es aproxim adam ente la sum aX f (x*) A kx = f (x*) A1x + f (x*) A2x + + f (x *) Anx (1)k=1 www.FreeLibros.me-^ 189^L a aproxim acin m ejora cada vez que se divide el intervalo [a, b] en m s y m s subintervalos y cuando las longitudes de stos se hacen m ucho m s pequeas. Si las aproxim aciones sucesivas pueden hacerse tan prxim as a un nm ero especfico com o se desee, entonces ese nm ero se representar porpbf f (x) dxJay se denom inar la integral definida de f desde a hasta b. Ese nm ero no existe en todos los casos, pero s existe,bpor ejemplo, cuando la funcin f es continua en [a, b]. Cuando I f (x) dx existe, su valor es igual al rea A bajoala curva.*bEn la notacin I f (x) dx, b se denom ina lmite superior y a se llam a lmite inferior de la integral definida.aPara cualquier funcin (no necesariam ente no negativa) f en [a, b], pueden definirse las sumas de la forma (1) sin utilizar la nocin de rea. Si hay un nm ero al que puedan aproxim arse tales sumas tanto com o se desee,a m edida que n se vuelve m s y m s grande y cuando el m xim o de las longitudes Ak x tiende a 0, entonces esebnm ero se representa por I f (x) dx y se denom ina integral definida de f en [a, b].b aCuando f (x) dx existe, se dice que f es integrable en [a, b].a bSupngase, sin verificacin, que I f (x) dx existe para toda funcin f que sea continua en [a, b]. Si se deseab aevaluar I f (x) dx basta hallar el lm ite de una secuencia de sumas (1) para las cuales el nm ero n de subinteravalos tiende a infinito y las longitudes m xim as de los subintervalos se aproxim an a 0.EJEMPLO 23.2. Demustrese entonces querbI 1 dx = b -CAPTULO 23 La In tegra l definida. re a bajo una curvaOtro argum ento sera utilizar el hecho de que la regin que est bajo la grfica de la funcin constante 1 y* bpor encim a del eje x, entre x = a y x = b, es un rectngulo con base b - a y altura 1 (fig. 23.4). Entonces, I 1 dx, el rea de dicho rectngulo, es b - a. y11a b xFig. 2 3 .4EJEMPLO 23.3.pbCalcula I xdx.JaSea a = x0 < x 1 < x2 < ... < xn+1 < xn = b una subdivisin de [a, b] en n subintervalos iguales. Luego, cada Akx = (b- a)/n. Represente (b - a)/n mediante Ax. Entonces, x1 = a + Ax, x2 = a + 2 Ax y, en general, xk = a + k Ax.En el k-simo subintervalo, [xk-1, xk], escoge x* como el extremo (terminal) derecho xk. As, una suma de aproximacin (1) tiene la forman nf (xk) A kx = ^ xk* A kx = ^ (a + k A x) A xk=\ k=1n n n= ^ (a Ax + k(Ax)2) = ^ a Ax + ^ k(Ax)2k=1 k=1 k=1= n(a Ax) + (Ax)2 k = n ( a ^ ) + (^ )2 (= a(b - a) + 1 ( b - a)2 n 1Aqu se ha utilizado el hecho de que ^ k = n(n_+ 1) (repase el problema 5).=1Ahora, cuando n ^ ^ , (n + 1)/n = 1 + 1/n ^ 1 + 0 = 1. Por tanto, el lmite de las sumas de aproximacin es a(b _ a) + ^ (b _ a)2 = (b _ a) (a + b _ a ) = (b _ a) ( a 2 b ) = ^ (b 2 _ a 2)/bLuego, I x d x = K b 2 - a 2) .Ja bEn el captulo siguiente se presenta un m todo para calcular Ja f (x) dx que evitar el tipo de clculo tedioso utilizado en este ejemplo.Propiedades de la integral definidab b I c f (x) dx = c I f (x) dxa a (3)n bEsto resulta del hecho de que una suma de aproximacin ^ c f (x* ) A kx para c f (x) dx es igual a c veces la sumak=1 aA rbde aproximacin > f (x*) A kx para I f (x) dx, y la m ism a relacin se cumple para los lmites correspondientes.k ak=1 b bJ - f (x) d x = - f f (x) d x (4)a aste es el caso especial de (3) cuando c = -1 .f ( f (x) + g(x)) dx = \ h f (x) dx + J g ( x ) dx (5)* a Ja Ja www.FreeLibros.me-^ 191^n bEsto es resultado de que una sum atoria ^ (f (x*) + g(x*)) Akx para J (f (x) + g(x)) dx es igual a la sum atorian n k=1 b a bY f (x*) Akx + Y g(x*) Akx de sumatorias de aproxim acin para f (x) dx y g(x) dx.k=1 k=1 a a (f (x) - g(x)) dx = J f (x) dx - J g(x) dx (6)* a Ja JaCom o f x ) - g(x) = f x ) + (-g(x)), esto se sigue de (5) y (4).Si a < c < b, entonces f es integrable en [a, b] si slo y si es integrable en [a, c] y [c, b]. Adems, si f esintegrable en [a , b ], f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx (7)Ja J c J cEsto es obvio cuando f x ) > 0 y se interpretan los integrales com o reas. El resultado general se obtiene de observar las sumas de aproxim acin correspondientes, aunque el caso en el que uno de los subintervalos de [a, b] que contiene c requiera algn razonam iento adicional.bSe ha definido I f (x) dx slo cuando a < b. Se puede am pliar la definicin a todos los casos posibles de laam anera siguiente:ai) f f (x) dx = 0aa bii) I f (x) dx = - \ f ( x ) dx cuando a < bb aEn particular, siempre se tiene que: f (x) dx = - f f (x) dx p ara todo c y d (8)J c JdSe puede com probar de inm ediato que las leyes (2) a (6), la ecuacin (7) y el resultado del ejem plo 3 son vlidos para lm ites superior e inferior arbitrarios en las integrales.PROBLEMAS RESUELTOS1. Sea f x ) < 0 para toda x en [a, b]. Sea A el rea entre la grfica d e f y el eje x, desde x = a hasta x = b (fig. 23.5).D em uestre que f (x) dx = - A .Fig. 23.5Sea B el rea entre la grfica de - f y el eje x, desde x = a hasta x = b. Por sim etra, B = A. PeroCAPTULO 23 La In tegra l definida. re a bajo una curva2. Considere una funcin f que, entre a y b, asum e tanto valores positivos como negativos. Por ejem plo, sea sufbgrfica como la de la figura 23.6. Entonces, I f (x) dx es la diferencia entre la sum a de las reas por encim aJadel eje x y por debajo de la grfica y entre la sum a de las reas debajo del eje x y por encim a de la grfica. En el caso de la grfica m ostrada en la figura 23.6,bJa f (x) dx = (A1 + A + A5) - (A2 + A4)Para com probarlo, aplique (7) y el problem a 1: f (x) dx = 1 f (x) dx + 2 f (x) dx + 3 f (x) dx + 4 f (x) dx + f (x) dx = A 1 - A2 + A3 - A4 + A5J a J a J c1 J c2 J 3 J c43. Sean f y g integrables en [a, b]. D em uestre lo siguiente:ba) Si f (x ) > 0 en [a, b], entonces I f (x) dx > 0.a b bb) Si f (x ) < g(x) en [a, b], entonces I f (x) dx < 1 g(x) d x .a a bc) Si m < f (x ) < M para toda x en [a, b], entonces m (b - a) 0 , resulta quek=1bI f (x) dx > 0a/b i*bb) g(x) - f (x ) > 0 en [a, b]. Entonces, por a), I (g(x) - f (x)) dx > 0 . Por (6), I g(x) dx - I f (x) dx > 0 . PorJa Ja Jaconsiguiente, bf (x) d x < bg(x) dxa ab b b b bc) Por b), I m d x (2n + 1> (revise el problem a 12). Por tanto,T 6 www.FreeLibros.me----------------4193^| / > A * - - 1 ( ^ ) (^ ). 1 ( 1 + I 1 (2 + i )6 \ n n1Entonces, las sumas de aproxim acin tienden a + 0)(2 + 0) = y , cuando n ^ ^ . Por ende, I x 2 dx = 3 . En el captulo siguiente se deducir un mtodo ms sim ple para obtener el m ism o resultado.5. D em uestre la frm ula ^ k = n (n_+ 1) utilizada en el ejem plo 3.k=1A l invertir el orden de los sum andos ennk = 1 + 2 + 3 + + (n - 2) + (n - 1) + nk=1se obtienenk = n + ( n - 1) + ( n - 2) + + 3 + 2 + 1k=1A l sum ar las dos ecuaciones se obtienen2 ^ k = (n +1) + (n +1) + (n +1) + + (n +1) + (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1)k=1porque la sum a en cada colum na es n + 1. Por tanto, al dividir entre 2 se obtienej ^ k = n(n +1)PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS4 5 16. Calcule: a) ^ 3 dx; b) J x dx; c) 3x2 d x .Respuestas: a) 3(4 - 1) = 9; b) ^ (5 2 - ( - 2 )2) = 2-; c) 3(1) = 17. H alle el rea bajo la parbola y = x2 - 2x + 2, por encim a del eje x y entre x = 0 y x = 1.Respuesta: 1 - 2[y (12 - 0 2)] + 2(1 - 0) = -ff68. Evale J (3x + 4) d x .Respuesta: 3 (( |) (6 2 - 22)) + 4(6 - 2) = 6439. Para la funcin f graficada en la figura 23.7, expresa J f (x) dx en trm inos de las reas A 1 , A 2 y A 3cRespuesta: A j - A2 + A3410. D em uestre que 3 < J x3 dx < 192 [Sugerencia: repase el problem a 3c).]11. Evale J - x 2 dx . (Sugerencia: halle el rea correspondiente por razonam iento geom trico.)Respuesta: ft/4CAPTULO 23 La Integral definida. rea bajo una curva www.FreeLibros.meCAPTULO 23 La In tegra l definida. re a bajo una curva12. U tilice la induccin m atem tica para dem ostrar la frm ula X k 2 = n(n + 1)(2n + 1 del problem a 4 (Com prubelo cuando n = 1 y luego dem uestre que, si se cum ple para n, se cum ple para n + 1.)13. Evale a) ^ cos b) ^ (4 j +1); c) ^ 4 j; d) ^ 2 j 2;=0 j=0 j=i j=i3 + -J 3 .Respuestas: a) 2-; b) 15; c) 20 200; d) 4218614. Sea la grfica de f entre x = 1 y x = 6 com o el de la figura 23.8. Evale J f (x) dx.Respuesta: 1 - 3 + 1 = - -fy21--1 -2 -Fig. 23.8rb15. Si f es continua en [a, b], f x ) > 0 en [a, b] y f x 0) > 0 para algn x0 en [a, b], dem uestre que I f (x) dx > 0. [Sugerencia: por la continuidad d e f , f (x) > 2 f (x0) > 0 para toda x en algn subintervalo [c, d]. U se la frm ula (7) y el problem a 3a , c ).] www.FreeLibros.meTeorema fundamental del clculoTeorema del valor medio para integralesSea f continua en [a, b]. As, existe c en [a, b] tal queCai f (x)dx = (b - a) f (c) (24.1)JbPara com probarlo, sean m y M los valores m xim os y m nim os de f en [a, b]. Se aplica entonces el problem a 3 c) del captulo 23 para obtenerrb 1 rbm(b - a) < 1 f (x) dx < M (b - a) y, por consiguiente, m ----- I f (x) dx < MJa b a Ja1 c Luego, por el teorem a del valor interm edio, t ----- I f (x) dx = f (c) para algn c en [a, b].b a aValor promedio de una funcin en un intervalo cerradoSea f definida en [a, b]. Cuando f puede asum ir infinitam ente m uchos valores en [a, b], no es posible hablar de prom edio de todos los valores de f. M s bien, se divide [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitudb ~ aA x = . Se selecciona un punto arbitrario x* en el -sim o subintervalo, de m anera que el prom edio de losvalores f (xj"), f (x2*) ,. . . , f (x) esf (xi ) + f (x2) + + f (K ) _ 1 f ( r , )n n f - f (xk)k=1Cuando n es grande, este valor es un buen estim ado del valor prom edio de f en [a, b] . Sin embargo, como1 = b A x,n b - an f (xP = f (x^)A xk=1 k=1bCuando n ^ ^ , la sum a de la derecha tiende a I f (x) d x . D e ah surge la definicin siguiente.a1 rbD efinicin. El valor promedio de f en [a, b] es -r - I f (x) dx.b a J aSea f continua en [a, b]. Si x est en [a, b], entonces f (t) dt es una funcin de x, y:aDx ( J 7 (t) d t ) = f (x) (24.2)En el problem a 4 hallar una dem ostracin. L95J www.FreeLibros.meCAPTULO 24 Teorema fundam ental del clculoTeorema fundamental del clculoSea f continua en [a, b] y sea F (x) = J f (x) dx, es decir, F es una antiderivada de f . Entonces,bf f (x) dx = F (b) - F (a) (24.3)aObsrvese que por (24.2), f (t) dt y F(x) tienen la m ism a deriv ad a ,fx ). Por tanto, com o se advierte en ela (xproblem a 18 del captulo 13, hay una constante K tal que I f ( t ) dt = F (x ) + K . Cuando x = a, se obtieneaF (a) + K = J f (t) dt = 0 lu e g o , K = - F ( a )aPor tanto, f (t) dt = F(x ) - F (a ). Cuando x = b, se tieneab\ f (t) dt = F (b) - F (a )abL a ecuacin (24.3) brinda una form a sim ple de calcular I f (x) dx cuando se puede hallar una antiderivadaa bF de f . La expresin F(b) - F (a) a la derecha de 24.3 a m enudo se abrevia com o F (x )]a. Entonces, el teorem a fundam ental del clculo puede escribirse com o sigue: f (x) dx = J f (x) dx ]aEJEMPLO 24.1.-^ 197^PROBLEMAS RESUELTOSftf/21. Evale I sen2 x cos x d x .0J sen2 x cos x dx = ^ sen3 x por la frmula abreviada I. As, por el teorema fundamental,f 7T/2 t^ /2 / 'TT \ ^sen2x cosx d x = | sen3xJ0 = 1 (sen^ I - (sen0)3 = 3rd3 - 03) = 32. Halle el rea bajo la grfica de f (x) = ^ 2 , por encima del eje x, y entre 0 y 1. El rea es 0 j== dx = sen-1 (f ) = sen-1 (j ) - sen^(0) = -f - 0 =3. Halle el valor promedio de f ( x) = 4 - x2 en [0, 2].El valor promedio es^ f (x) dx = i J02(4 - x 2) dx = 2 (4x - f ) ^= |[ (8 - f ) - (0 - 0)] = 34. Demuestre la frmula (24.2): Dx | J f (t) dt J = f (x ) ./*xSea h(x) = I f ( t ) dt . Entonces:Ja/x+Ax rxh(x + Ax) - h(x) = I f (t) dt - I f (t) dta a /x cx+Ax rx= j f (t) dt + j f (t) dt - j f (t) dt (por 23.7)a x arx+Ax = j f (t) dtxpara algn x* entre x y x +A x (por el = Ax f (x*) teorem a del valor m edio para integrales) , h(x + Ax) - h(x) . . .As, ----- -^x----- = J (x ) y, por consiguiente,Dx I f f (t) dt )= Dx (h(x)) = lm h(x + AX h(x) = lm f (x*)\Ja Ax^ 0 A x Ax^ 0Pero cuando Ax ^ 0, x + Ax ^ x y, por ello, x* ^ x (como x* est entre x y x + Ax). Entonces, f es continua, lm ^ ^ 0f (x ) = f(x).b5. Justifique un cambio de variable en una integral definida en el siguiente sentido preciso. Dada I f (x ) dx, sea x = g(u) donde, cuando x vara de a a b, u crece o decrece de c a d (vase la figura 24.1 para el caso en que u es creciente). Demuestre queibf f (x) dx = f f (g(u))g' (u) duJa J c(El lado derecho se obtiene al sustituir g(u) por x, g'(u) du por dx, y cambiar los lmites de integracin desde a y b hasta c y d.)Fig. 24.1CAPTULO 24 Teorema fundamental del clculo www.FreeLibros.meCAPTULO 24 Teorema fundam ental del clculoSea F (x) = J f (x) dx, es decir, F'(x) = f (x). Por la regla de la cadena,Du (F(g(u))) = F ' (g(u)) g ' (u) = f (g(u))gf(u) As, J f (g(u))g'(u) du = F (g(u)Entonces, por el teorema fundamental,-d df f (g(u))g'(u) du = F (g(u))] = F(g(d)) - F(g(c))Je c= F(b) - F(a) = b f (x) dxaa a6. a) Si f es una funcin par, demuestre que, para a > 0, a > 0, J f (x) dx = 2J f (x) d x .ab) Si f es una funcin impar, demuestre que, para a > 0, a > 0, I f (x) dx = 0.J-aSea u = -x . Entonces, du = -dx, y/0 /*0 /*0 /*aI f (x) dx = I f (u)(1) du = - I f (-u ) du = I f (-u ) duJ-a 0Al rescribir u como x en la ltima integral queda:0 aj f (x) d x = f ( - x) dx (*)- a J-a J0a a= J0 f ( - x) dx + J0 f (x) dx (por(*))= J0 f ( - x) + f (x ) dx [por (23.5)]a a aa) Si f es par,f(-x ) + f(x) = 2f(x); luego f (x) dx = \ 2 f (x) dx = 2 j0 f (x) dx .J-a J0 J0b) Si f es im par,f(-x) + f(x) = 0; luego I f (x) dx =1 0 dx = 0 1 1 dx = 0 .J-a J0 J0Regla del trapecioa) Seaf(x) > 0 en [a, b]. Divida [a, b] en n partes iguales, cada una de longitud Ax = b - a n por medio delos puntos x1, x2, ^ , xn-1. [fig. 24.2a)]. Demuestre la siguiente regla, llamada regla del trapecio: n1[ f (x) dx ~ ^ r f (a) + 2^ f (x k) + f (b)V k=1 y 1b) Use la regla del trapecio con n = 10 para aproximar x 2 d x .0a) El rea de la franja que est sobre [xk-1, xk] es aproximadamente el rea del trapecio ABCD en la figura 24.2b), y Ax ( f (x k 1 ) + f (x k)) .* (Recurdese que x0 = a y xn = b.) Entonces, el rea bajo la curva se aproxima por la suma de las reas de trapecios.{[ f (x ) + f c g ] + [f x ) + f (x2)] + _ + [f (x n_,) + f (xn)]} = [f (a) + 2nr f (x k) + f (b)]Fig. 24.2W-i)(b)f (xk)* Recurdese que el rea de un trapecio de altura h y bases b1 y b2 es -1 h(b1 + b2).>CBA Dxxx kk-1 www.FreeLibros.meb) Con n = 10, a = 0, b = 1, Ax = ^ y xk = 10 se obtiene 9 2 ^ 9lo x2 dx ~ 2 0 02 + 2k^iT0o + 12 = 2 0 100 k2 + 1 ,k-1 J \ k=\ J20 i 0 q (2 8 5 )+ 1 (por el problema 12 del captulo 23)= 0.335El valor exacto es i [por el ejemplo 24.1ii) anterior].-^ 199^PROBLEMAS COMPLEMENTARIOSEn los problemas 8 a 22, utilice el teorema fundamental del clculo para evaluar la integral definida.8.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.(2x2 - x3) dx( - y - I dx- n x2 x34 dx1 4 x3^ /4sen x d xn/22(2 + x ) dx (2 - x )2 dx (3 - 2 x + x 2) dx2(^1 - 12)t dt(1 - u)yf du8 i--------V1 + 3x dx2x 2( x3 + 1) dx3 _ 1o . dxRespuesta:1Q9Respuesta: Respuesta: 2Respuesta:Respuesta: 68Respuesta: -3Respuesta: 9x(1 ~4x ) 2 dxRespuesta: --4-Respuesta: - 1 5Respuesta: 26Respuesta: 4 Respuesta: 2Respuesta: ^0-xCAPTULO 24 Teorema fundamental del clculo www.FreeLibros.meCAPTULO 24 Teorema fundam ental del clculo21 dx4 Vx2 -1 51*2^ t22. I sen ^ dt J0 2En los problemas 23 a 26, utilice el problema 6 a, b).2 3 ! dx2 x 2 + 4 dx224. J (x3 - x 5) dx25. J ^sen ^ d xRespuesta: 6Respuesta: 4Respuesta: 0Respuesta: 0ftf/226. | cos x dxJ-ff/227. Pruebe Dx ( " f (t) d t) = - f (x).Demuestre Dx i r f (t) d t ) = f (g( x))g'(x) - f (h( x))h'(x).Respuesta: 228,En los problemas 29 a 32, use los problemas 27 y 28 y la frmula (24.2) para hallar la derivada indicada.29. Dx sen t dt30. Dx ( Jx t 2 dt(/sen xJo t3 dt32. Dx | J cos t dtRespuesta: sen xRespuesta: -x 2Respuesta: sen3 x cos xRespuesta: 4 cos 4x - 2x cos x233. Calcule el valor promedio de las funciones siguientes en los intervalos indicados.a) f (x) = t fx en [0, 1]b) f (x) = sec2 x onc) f(x) = 3x2 - 1 en [-1, 4]d) f x ) = sen x - cos x en [0, ft]0 3Respuesta:Respuesta:5.63 /3nRespuesta: 12Respuesta:34. Utilice el mtodo de cambio de variable para hallar J \/2x + 3 x dx.58Respuesta: ^5-35. Un objeto se mueve a lo largo del eje x durante un periodo de tiempo T. Si su posicin inicial es x 1 y su posicin final es x2, demuestre que su velocidad promedio fue de x2 j ^ .x www.FreeLibros.me-^ 201^36. Sea j (x) _ { co sx para x < Q Evale f (x) dx.J (x) [1 - x para x > Q. J-*/21 r3+A 537. Evale lim ^- I 3 n dx.h^ Q h *3 x + 7Respuesta: - jRespuesta: 3 -38. (Regla del punto medio) En una suma de aproximacin (23.1) ^ f (x j)A kx, si se selecciona x como el puntok=imedio del k-simo subintervalo, la suma se obtiene por la regla del punto medio. Aplique la regla del punto mediopara aproxim ar I x 2 dx, m ediante una divisin en cinco subintervalos iguales, y com pare con el resultado0exacto de ^ .Respuesta: 0.3339. (Regla de Sim pson) Si se divide [a, b] en n subintervalos iguales, donde n es par, la siguiente sum a debaproxim acin para I f (x) dx,ab 3na [ f (x ,) + 4 f (X ) + 2 f ( x ) + 4 f (X ) + 2 f (x4) + + 4 f (xn-1) + f (x)]se obtiene por la regla de Simpson. Salvo por el prim ero y en el ltim o trm inos, los coeficientes constan de 4y 2 alternados. (La idea bsica es utilizar parbolas com o arcos de aproxim acin en lugar de segm entos de recta como en la regla del trapecio. La regla de Sim pson generalm ente es m ucho ms precisa que la regla delpunto medio o la regla del trapecio.)A plica la regla de Sim pson para aproxim ar a) J x 2 dx y b) J sen x dx, con n = 4, y com para los resultados con las respuestas obtenidas por el teorem a fundam ental.Respuestas: a) , que es el nm ero exacto; b) -^ (2a/2 + 1) ~ 2.0046 com parado con 2.40. Considere I" x3 dx. a) D em uestre que el teorem a fundam ental da la respuesta -4. b) (CG) Con n = 10, aproxim e0 4(con cuatro cifras decim ales) la integral por las reglas del trapecio, del punto medio y de Simpson.Respuesta: regla del trapecio: 0.2525; del punto medio: 0.2488; de Simpson: 0.2500.41. Evale:a) lm icos + co s + + co s \ n \ n n n )b) lm n^+~ 6n sec2 ( 6 n ) +sec2 (2 6 n ) + - +sec2 ((n - ) 6 n )+ *1 Cn rft/6 13Respuestas: a) (a) ^ cos x dx = 0; (b) ^ sec2 x dx = - 32 x42. a) U se una sustitucin para evaluar J1 ^ + 1 dx (con ocho cifras decimales).b) (CG) U tilice una graficadora para calcular la integral de a).Respuestas: (a) i (2 - y [ 2 ) ~ 0.39052429; (b) 0.39052429pft/443. (CG) C alcule ^ xsen3(tanx) dx (con cuatro cifras decim ales).Respuesta: 0.026244. (CG) Considere J x 3 x 5 + 2x2 - 1 dx. C alcule (con seis cifras decim ales) su valor m ediante las reglas del trapecio y la de Sim pson (am bas con n = 4) y com pare con el valor dado por una graficadora.Respuestas: regla del trapecio: 3.599492; de Simpson: 3.571557; calculadora graficadora: 3.571639CAPTULO 24 Teorema fundamental del clculo www.FreeLibros.meEl logaritmo naturalL a form a tradicional de definir un logaritmo, logab , es referirlo com o el nm ero u tal que au = b . Por ejemplo, logi0100 = 2 porque 102 = 100. Sin embargo, esta definicin tiene un vaco terico. E l defecto consiste en que no se ha definido todava au cuando u es un nm ero racional, por ejemplo, -v/2 o n. E ste vaco puede llenarse, pero ello necesitara un desvo.* Tambin se podra tom ar un m todo distinto que a la postre resultara en definiciones lgicam ente irrefutables de las funciones logartm icas y exponenciales. U na desventaja tem poral es que la m otivacin para la definicin inicial no ser obvia.El logaritmo naturalYa est fam iliarizado con la frm ulaf x r+1J x rdx = + C (con r ^ -1 )E l problem a sigue siendo determ inar qu sucede cuando r = -1 , es decir, encontrar la antiderivada de x-1.En la figura 25.1 se m uestra la grfica de y = 1/, para t > 0. Se trata de una ram a de la hiprbola. Para x > 1, la integral definidaJT >es el valor del rea que est bajo la curva y = 1/t y por encim a del eje t, entre t = 1 y t = x .Definicin x 1 - d t para x > 01 tL a funcin ln x se denom ina logaritmo natural. Las razones para llam arlo logaritm o se aclararn posteriormente. Por (24.2),(25.1) Dx (ln x ) = x para x > 0En algunos textos de clculo tan slo se ignora esta dificultad. Se considera que au est definida cuando a > 0 y u es cualquier nmero real y que las reglas exponenciales usuales son vlidas.^ 202^ ------------- www.FreeLibros.mePor tanto, el logaritmo natural es la antiderivada de x-1, pero slo en el intervalo (0, +^ ). A continuacin se construir una antiderivada en (25.5) para todo x ^ 0.------------- ^ 203^Propiedades del logaritmo natural(25.2) ln 1 = 0, porque ln 1 = [ 1 dt = 0*1 t(25.3) Si x > 1, entonces ln x > 0 x 1 j d t representa un rea, o por el problema 15 del captulo 23.(25.4) Si 0 < x < 1, entonces ln x < 0(x 1 (*11lnx =1 - dt = - \ - d t por (23.8). Ahora, para 0 < x < 1, si x < t < 1, entonces 1/t > 0 y, por consi-J1 t Jx t11guiente, por el problema 15 del captulo 23, J j d t > 0.(25.5) a) Dx (ln Ixl) = -1 para x ^ 01 xb) J - ^dx = ln Ixl + C para x ^ 0El argumento es simple. Para x > 0, Ixl = x y, entonces, Dx (ln Ixl) = Dx (ln x) = 1/x por (25.1). Para x < 0, Ixl =- x y, entonces,D x (ln I xl) = D x (ln ( - x)) = D u (ln u ) Dx (u) (regla de la cadena, con u = -x > 0)= ( ~ l (-1) = -lu = ly u J - u xEJEMPLO 25.1. Dx (lnI3x + 2I) = -j Dx (3x + 2) (Regla de la cadena)33x + 2(25.6) ln uv = ln u + ln vN tese que 1D x (ln (ax)) = Dx (ax) (por la regla de la cadena y (25.1))= (a) = = D (lnx)ax x xPor tanto, ln (ax) = ln x + K p ara alguna constante K (por el problem a 18 del captulo 13). Cuando x = 1, ln a = ln 1 + K = 0 + K = K. Entonces, ln (ax) = ln x + ln a. Al sustituir a y x por u y v se obtiene (25.6).(25.7) ln ^ u j = ln u - ln vEn (25.6), se rem plaza u por V-.(25.8) ln 1 = - l n vEn (25.7), se sustituye u por 1 y se utiliza (25.2).(25.9) ln(xr) = r ln x para todo nm ero racional r y x > 0.1 rPor la regla de la cadena, Dx (ln (x r)) = (rxr-1) = ^ = Dx (r ln x). Entonces, por el problem a 18 delcaptulo 13, ln(xr) = r ln x + K para alguna constante K. Cuando x = 1, ln 1 = r ln 1 + K. Com o ln 1 =0, K = 0, lo que resulta en (25.9).CAPTULO 25 El logaritmo natural www.FreeLibros.meCAPTULO 25 E l logaritm o natura lEJEMPLO 25.2. ln ^ 2x - 5 = ln (2x - 5)1/3 = 0 como x > 0. Ahora se utiliza el teorema 13.7.(25.11) ln u = ln v implica que u = v.sta es una consecuencia directa de (25.10). Si u ^ v, entonces u < v o bien, v < u y, por consiguiente, ln u < ln v o ln v < ln u.(25.12) 2 < ln 2 < 1El rea bajo la grfica de y = 1/t, entre t = 1 y t = 2, y por encima del eje t, es mayor que el rea y del rectngulo con base [1, 2] y altura -2. (fig. 25.2). Tambin es menor que el rea 1 del rectngulo con base[1, 2] y altura 1. (Un argumento ms riguroso utilizara los problemas 3c) y 15 del captulo 23.)Fig. 25.2(25.13) lm ln x = +xSea k cualquier entero positivo. Entonces, para x > 22k, ln x > ln (22k) = 2k ln 2 > 2 k ( |) = kpor (25.10) y (25.9). Entonces, cuando x ^ + ^ , ln x exceder a la postre a veces excede todo entero positivo.(25.14) lm ln x = oox^0+Sea u = 1/x. Cuando x ^ 0+, u ^ + ^ . Por tanto,lm ln x = lm ln | \ = lm - ln u (por (25.8))x>0+ u V u J u= - lm ln u =-oo (por (25.13))u(25.15) Frm ula abreviada II: J dx = ln lg(x)l + CPor la regla de la cadena y (25.5a), Dx (lnlg(x)l) = g ) g ' ( x ).EJEMPLO 25.3.2xa) J x2 + 1 dx = lnlx2 + 1l + C = ln (x 2 + 1) + C www.FreeLibros.me----------------4205^El signo del valor absoluto se elimin porque x2 + 1 > 0. En el futuro, se har esto sin mencionarlo explcitamente.b) f 3x dx = 1 [ 3 x dx = 1 ln I x 3+51 + CJ x 3 + 5 3 J x3 + 5 3PROBLEMAS RESUELTOS1. Evale a) J tan xdx; b) J cot xdx; c) J sec xdx.a) tan xdx = --- dx = - cos x _sen x cos xdx= _ln I cos x I+C por la frmula abreviada II.1= -ln sec x + C = -(-ln Isec xl) + C = ln Isec xl + C(25.16) J tan xdx = ln I sec xl + Cb) cotxdx = f cosx dx = lnlsenxI + Csen x(25.17) J cot xdx = lnlsenxl + Cc) J sec xdx = J sec xPor la frmula abreviada II.sec x + tan x sec x + tan x'dx= Jsec2 x + sec x tan xdx = ln lsec x + tan xl + C Por la frmula abreviada II.sec x + tan x(25.18) J sec xdx = ln Isec x + tan xl + C2. (CG) Calcule el valor de ln 2.Una graficadora da un valor de ln 2 ~ 0.6931471806. Ms adelante se hallar otro mtodo para calcular ln 2.3. (CG) Trace la grfica de y = ln x.Una graficadora entrega la grfica mostrada en la figura 25.3. Ntese que por (25.10), ln x es creciente. Por (25.13), la grfica crece sin lmite a la derecha, y por (25.14) el eje negativo y es una asntota vertical. ComoD2(ln x) = Dx (x-1) = _ x-2 = _ - 1 < 0la grfica es cncava hacia abajo. Por (25.13) y (25.14), el teorema del valor intermedio, el rango de ln x es el conjunto de todos los nmeros reales.Fig. 25.3CAPTULO 25 El logaritmo natural www.FreeLibros.meCAPTULO 25 E l logaritm o natura l4. H a lle a ) DI(ln(x4 + 7x)); b ) D x ( ln (c o s 2x)); c) Dx(cos ( ln 2x)).i 4 x 3 + 7a ) Dx(ln (x 4 + 7x)) = 4 _ (4x 3 + 7) = 4 + ,x x 4 + 7x x 4 + 7 x n 1 2 sen2xb) Dx (ln (cos2x)) = ^ o s ^ ( - sen2x)(2) = ^ ^ cos2x -= - 2 tan 2 xc) Dx (cos (ln 2x)) = (-sen (ln 2x)) i -1 1 (2) = _ sen (ln 2x)2x J x5. H alle las antiderivadas siguientes. U se la frm ula abreviada II cuando sea posible.a ) J 8 x ^ 3 dx ; b ) J 3- f e d x ; c ) T O d x ; d ) x 2 - 4 x + 5 dxa) f 0 1 0 dx = 1 |~0 8 0 dx = 1 ln i8x - 31 + CJ 8 x - 3 8 J 8 x - 3 8b ) 1 3x x~- 2 dx = -^ 207^Para 0 < x < 1, - j es creciente en [x, 1]. Entonces, por los problemas 3c) y 15 del captulo 23,1 f* 1 fi 1 ^(1 - x ) < ln x = I - dt = I I - - dt < -1 (1 - x )x J1 t Jx\ t iPor tanto, 1 - ^ < ln x < x - 1 . Cuando x = 1, los tres trminos son iguales a 0.PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS8. Halle las derivadas de las funciones siguientes.a) y = Respuesb) y = Respuesc) y = Respuesd) y = Respuese) y =Respuesf ) y =Respuesg) y =Respuesh) y =Respuesi) y = Respuesy =ln(x + 3))2a: y ' = 2 ln ( x + 3)- x + 3 x + 3n [(x3 + 2 )(x2 + 3)] = ln (x3 + 2) + ln (x2 + 3)1 1 3 x2a: y ' = - (3x2) + r ( 2 x ) =(3x - 4 )2 a: y ' = 4n(x + 3)2 = 2 ln(x + 3)2x + 31 2 ln (x + 3)2xy x3 + 2 (3x ^ x 2 + 3 (2x) x3 + 2 ' x 2 + 3.4x= ln x4 - ln (3x - 4 )2 = 4 ln x - 2ln (3x - 4)2 (3) - 4 - 6x 3x - 4 x 3x - 4n sen 5xa: y ' = ----cos( 5x)( 5) = 5cot 5xy sen5xn (x + 4 1 + x 2 )a: y =1 + i( 1 + x 2)-1/2(2x) 1 + x(1 + x 2)-1/2 (1 + x 2)Lx + (1 + x 2)L x + (1 + x 2)1/2 (1 + x 2)LV3 - x 2 = ln (3 - x 2)1/2 = y ln (3 - x2)a: 1 1y 2 3 - x2 ln x - x a: y' = ln xn(ln(tan x)). tan x + cot x a: y = -(-2x) = - 3 - x2ln (tan x )9. Halle las antiderivadas siguientes. Use la frmula abreviada II cuando sea posible.a ) 7 x dx 1Respuesta: 7 ln Ix I + Cr x8b) J dxRespuesta: 9^ ln Ix 9 - 1I + C2xxCAPTULO 25 El logaritmo natural www.FreeLibros.meQ cak - CAPTULO 25c) [ ^ 1 dxxRespuesta: use la frmula abreviada I: |-(ln x + 3)3/2 + Cdx 1 x ln xRespuesta: ln I ln xl + C, r sen3x ,e) J I ^ o 3 ldxRespuesta: 1 ln I1 - cos3xl + C* f 2x4 - x2 ,f j x5Respuesta: x 2 - ln Ixl + Cg) ' - n ^ d xRespuesta: y(ln x)2 + Cr dxh) J ^ x o ^ / x )Respuesta: -2 ln I1 - - J x I + C10. U tilice la derivacin logartm ica para calcular y ' .a) y = x 4y2 - x 2Respuesta: y ' = x 4y2 - x 2 ( - . X 2 | = 4 x3 V2 - x 2 -l x 2 x ib) _ (x - 1)5^ x + 2 y _ V x 2 + 7Respuesta- y ' = y [ " x T IVx 2 + 3 cos xc) y _-(3x - 5)3Resp uesta: y ' = y ^ - tan x - 3x 3 5 j J 2 x + 33yResP uesta: y = - 4 x 2 _ 97 2 ^ 211. Exprese en trm inos de ln 2 y ln 3: a) ln(37); b) ln -^y. Respuestas: a) 7 ln 3; b) ln 2 - 3 ln 35E l logaritm o natura l12. Exprese en trm inos de ln 2 y ln 5: a) ln 50; b) ln-1-; c) ln>/5; d) ln 40 Respuestas: a) ln 2 + 2 ln 5; b) - 2 ln 2; c) ln 5; d) - (3 ln 2 + ln 5) www.FreeLibros.me-^ 209^13. H alle el rea bajo la curva y = 1 y sobre el eje x, entre x = 2 y x = 4. Respuesta: 1n 214. H alle el valor prom edio de en [3, 5].Respuesta: 1n 515. A plique la derivacin im plcita para hallar y': a) y3 = ln (x3 + y3); b) 3y - 2x = 1 + ln xy.2Respuestas: a) y ' = x2 3 ; b) y ' = y 3x + y 2 (x3 + y3 - 1 ) 7 x3y - 116. Evale lm 1 ln 2 + h .h-^ 0 h 2Respuesta: 217. Com pruebe la frm ula Jcosec x dx = 1n Icosec x - cotxl + C.218. (CG) A proxim e ln 2 = J } d t con seis cifras decim ales por a) la regla del trapecio; b) la regla del punto medio;c) la regla de Sim pson, en cada caso con n = 10.Respuestas: a) 0.693771; b) 0.692835; c) 0.69314719. (CG) A plique el mtodo de N ewton para aproxim ar la raz de x2 + ln x = 2 a cuatro cifras decimales. Respuesta: 1.3141CAPTULO 25 El logaritmo natural www.FreeLibros.meFunciones exponenciales y logartmicasEn el captulo 25 aprendi que el logaritm o natural ln x es una funcin derivable creciente cuyo dom inio es el conjunto de todos los nm eros reales positivos y su rango el conjunto de todos los nm eros reales. Com o es creciente, es una funcin uno a uno y, por tanto, tiene una funcin inversa, la cual se denom ina ex.Definicinex e s la in v e r s a d e ln x.Se deduce que el dom inio de ex es el conjunto de todos los nm eros reales y su rango el conjunto de todos los nm eros reales positivos. Com o ex es la inversa de ln x, la grfica de ex puede obtenerse por reflexin de la de ln x en la recta y = x (fig. 26.1).Esta notacin puede resultar confusa. No debera presuponerse de la notacin que ex es una potencia ordinaria de una base e con exponente x. A unque m s adelante es este captulo se hallar que esto es cierto, todava no se sabe.Propiedades de e*(26.1) ex > 0 para todo xE l rango de ex es el conjunto de todos los nm eros reales positivos.(26.2) ln (ex) = x(26.3) eln x = xLas propiedades (26.2) y (26.3) se deducen de que ex y ln x son inversas una de la otra.^ 210^ ------------- www.FreeLibros.me-----4211^(26.4) ex es una funcin creciente.Sea u < v. Com o u = ln(eu) y v = ln(ev), ln (eu). Pero como ln x es creciente, eu < ev. [Si ev < eu, entonces ln (ev) < ln (eu).](26.5) Dx(ex) = exSea y = ex. Entonces, ln y = x. Por derivacin implcita, y' = 1 y, por tanto, y' = y = ex. Para ver uny 1argum ento m s riguroso, s e a f x ) = ln x y f _1(y) = ey. N tese que f '(x) = ^ Por el teorem a 10.2b),( f -1)' (y) = f f ) ) , es decir, Dy(ey) = Vy = eyEJEMPLO 26.1. Dx(esenx) = Du(eu)Dx(u) (Regla de la cadena, con u = sen x)= eu(cos x) = esen x (cos x)(26.6) J ex dx = ex + CEJEMPLO 26.2. Para hallar J xex dx, sea u = x 2, du = 2xdx.Entonces,J xex2 dx = ^ J edu = ^ 2 + C = ^ ex 2 + C(26.7) J e~ xdx = - e -x + CSea u = -x , du = - dx. Entonces, J e~xdx = - J eudu = - e u + C = -e~ x + C.(26.8) e0 = 1Por (26.3), 1 = eln 1 = e0.(26.9) eu+v = euevln(eu+v) = u + v = ln(eu) + ln(ev) = ln(euev) por (25.6). Por tanto, eu+v = euevporque ln x es una funcin uno a uno.eu(26.10) eu-v =Por (26.9), eu-vev = e(u-v)+v = eu. A hora se divide entre eu.(26.11) e- =Se rem plaza u por 0 en (26.10) y se aplica (26.8).(26.12) x < ex para todo x.Por el problem a 7 del captulo 25, ln x < x - 1 < x. Por (26.3) y (26.4), x = eln x < ex.(26.13) lm ex =xEsto se deduce de (26.4) y (26.12).(26.14) lm ex = 0x^Sea u = -x . Cuando x ^ - ^ , u ^ ^ y por (26.13) eu ^ + ^ . Entonces, por (26.11),ex = e~u = -1- ^ 0.euA hora puede aclararse el m isterio de la letra e en la expresin ex.DefinicinSea e el nm ero tal que 1n e = 1.Com o 1n x es una funcin uno a uno que va del conjunto de todos los nm eros reales positivos al conjunto de todos los nm eros reales, debe haber exactam ente un nm ero x tal que ln x = 1. Ese nm ero se denom ina e.Como, por (25.12), ln 2 < 1 < 2 ln 2 = ln 4, se sabe que 2 < e < 4.(26.15) (CG) e ~ 2.718281828Este clculo puede obtenerse con una graficadora. M s tarde se indicar cm o aproxim ar e con cualquier grado de precisin.CAPTULO 26 Funciones exponenciales y logartmicas www.FreeLibros.meCAPTULO 26 Funciones exponenciales y logartm icasA hora se puede dem ostrar que la notacin ex no est errada, es decir, que ex en realidad es una potencia de e. Primero, esto puede probarse para los x enteros positivos m ediante induccin matem tica. [De hecho, por(23.6), e = eln e = e1. As, por (26.9), en+1 = ene1 = ene para todo n entero positivo y, por tanto, si se supone m ediante hiptesis inductiva que en representa el producto de e por s m ism o n veces, entonces en+1 es el producto de e por s m ism o n + 1 veces.] Por (26.8), e0 = 1, lo que corresponde a la definicin estndar de e0. Si n es un entero positivo, e~n ordinariam ente se definira m ediante 1/en, lo cual es idntico al valor de la funcin dada por(26.11). Si k y n son enteros positivos, entonces la potencia ek/n se define ordinariam ente com o Ahora, de hecho, por (26.9), el producto ek/nek/n. ek/n, donde hay n factores, es igual a ek/n+k/n+...+k/n . ek. As, el valor dela funcin ekkn es idntico a la raz n -sim a de ek. En fracciones negativas, de nuevo se aplica (26.11) para ver que el valor de la funcin ex es idntico al valor especificado por la definicin comn. Por ende, el valor de la funcin ex es la potencia usual de e cuando x es cualquier nm ero racional. Com o nuestra funcin ex es continua, el valor de ex cuando x es irracional es el lm ite deseado de er para los nm eros racionales r que tienden a x.L a grfica de y = ex aparece en la figura 26.2. Por (26.13), la grfica crece sin lm ite a la derecha y, por(26.14), el eje x negativo es una asntota horizontal a la izquierda. Com o D 2(ex) = Dx(ex) = ex > 0, la grfica es cncava hacia arriba en todas partes. La grfica de y = e~x tam bin se m uestra en la figura 26.2. Se obtiene de la grfica de y = ex por reflexin en el eje y.(26.16) ex = lm (1 + f )nPara ver una dem ostracin, repase el problem a 5.(26.17) e = lm (1 + n)nste es un caso especial de (26.16) cuando x = 1. Se puede utilizar esta frm ula para aproxim ar e, aunque la convergencia a e resulta m s bien lenta. Por ejemplo, cuando n = 1 000, se obtiene 2.7169, y cuando n = 10 000, se tiene 2.7181, que es correcto slo con tres cifras decimales.Funcin exponencial generalSea a > 0. Entonces es posible definir ax com o sigue: DefinicinN te s e q u e e sto c o n c u e rd a c o n la d e f in ic i n d e ex, y a q u e c u a n d o a = e , ln a = 1.(26.18) Dx(ax) = (ln a) ax.D e hecho,Dx(ex ln a) = D u(eu)Dxu (Regla de la cadena con u = x ln a) = eu (ln a) = ex ln a(ln a) = ax(ln a)EJEMPLO 26.3. D x(2x) = (1n 2) 2x.yXaX _ eX ln a www.FreeLibros.me^ 213^(26.19) J axdx = - ^ a ax + Csta es una consecuencia directa de (26.18).EJEMPLO 26.4. f 10x = --^-10x + Cln 10Se pueden derivar las propiedades comunes de las potencias.(26.20) a 0 = 1a 0 = e0 ln a = e0 = 1(26.21) au+v = auavPor (26.21), au-vav = a(u-v)+v = au. Ahora, se divide entre av.(26.23) a-v = -1(26.23)Se rem plaza u por 0 en (26.22) y se usa (26.20)(26.24) auv = (au)v(au )v = e ln(a) = e (m (ln a)) = (wv )ln a =(26.25) (ab)u = a buR ecurdese que Dx(xr) = rxr-1 para nm eros racionales r. A hora se puede dem ostrar la frm ula para todo nm ero real r .(26.26) Dx(xr) = rxr-1Com o x r = er ln x,Dx(xr) = Dx(er ln x) = D u(eu)Dx(u) (R egla de la cadena con u = r ln x)Funciones logartmicas generalesSea a > 0. Se desea definir una funcin logax que desem pee el papel del logaritm o tradicional para la base a.(26.27) y = loga x equivale a ay = x, ln xy = loga x ^ y = - ^ y ln a = ln xy y ln a^ ln(ay) = ln x ^ ay = x ( ^ es el sm bolo de si y slo si.)Entonces, la funcin logartm ica general con base a es la inversa de la funcin exponencial general conbase a .(26.28) a log*x = xCAPTULO 26 Funciones exponenciales y logartmicas www.FreeLibros.meCAPTULO 26 Funciones exponenciales y logartm icas(26.29) logfl(ax) = xEsto se deduce de (26.27). Vase el problem a 6.Las propiedades usuales de los logaritm os pueden derivarse con facilidad. Vase el problem a 7. Ntese que loge x = = ln x. Por ende, el logaritm o natural resulta ser un logaritm o en elsentido usual, con base e .PROBLEMAS RESUELTOS1. Evale a) ln(e3); b) e7 ln 2; c) e(ln 3) 2; e) 1u.a) ln(e3) = 3, por (26.2)b) e7 ln 2 = (eln 2)7 = 27 = 128, por (26.24) y (26.3)eln 3 3c) e (ln3)-2 = e-r = e L, por (26.10)d) 1u = eu i" i = gu(0) = g0 = 1, por (26.8)2. H alle las derivadas de a) e3x +1; b) 53x ; c) 3xIt; d) x 2ex.a) Dx(e3x+1) = e3x +'(3) = 3e3x +1, por la regla de la cadenab) Dx(53x) = D u(5u)Dx(u) (regla de la cadena con u = 3x)= (ln 5)5 u (3), por (26.18)= 3(ln 5) 53xc) Dx(3x n) = 3(rcxTC-1) = 3rcxTC-1, por (26.26)d) Dx(x 2ex) = x 2Dx(ex) + exDx(x 2), por la regla del producto= x 2ex + ex(2x ) = xex(x + 2)3. H alle las antiderivadas siguientes: a) J 3(2x) d x ; b) J x 2e xd x .a) J3 (2 x) dx = 3 J 2x dx = 3 j " 2 2 x + C = j " 2 2 x + Cb) Sea u = x3, du = 3x2 d x . Entonces, J x 2ex dx = -3 J e udu = 3 eu + C = 3 ex + C4. D espeje x en las ecuaciones siguientes: a) ln x3 = 2; b) ln(ln x) = 0; c) e21-1 = 3; d) e x - 3e-x = 2.En general, ln A = B equivale a A = eB, y ec = D a C = ln D.a) ln x3 = 3 ln x. Por tanto, ln x3 = 2 da 3 ln x = 2, ln x = f , x = e2/3.b) ln (ln x) = 0 equivale a ln x = e0 = 1 , que a su vez equivale a x = e 1 = e.c) e2x- 1 = 3 equivale a 2x - 1 = ln 3, y luego a x = 1 .d) M ultiplique ambos lados por ex: e 2 - 3 = 2ex, e 2 - 2ex - 3 = 0. Sea u = e x, con lo que se obtiene la ecuacin cuadrtica u2 - 2u - 3 = 0; (u - 3)(u + 1) = 0, con soluciones u = 3 y u = -1 . Por tanto, ex = 3 o ex = -1 . El ltimo resultado es imposible, ya que ex siem pre es positiva. En consecuencia, ex = 3 y x = ln 3.Demuestre (26.16): eu = lm | 1 + Sea an = | 1 + . Entonces,n 1 n 1ln an = n ln Jl1 + n ) = uln (1 + u /n) - ln1u /nLa expresin ln (1 + u /n) - ln1 u /nes un cociente de diferencia para Dx(ln x) en x = 1, con Ax = u/n.Cuando n ^ + ^ , u/n ^ 0. Entonces, ese cociente de diferencia tiende a Dx(lnx)|x1 = (1 /x)x1 = 1. Por tanto, lm ln an = u(1) = u. Entonces, lm an = lm etaan = eu.nn www.FreeLibros.me-^ 215^6. Demuestre (26.28) a logx = x y (26.29) loga(ax) = x.Al sustituir loga x por y en (26.27) se obtiene a logax = x.Al remplazar ay por x en (26.27) se obtiene y = loga(ay).7. Deduzca las propiedades siguientes de loga x:a) loga 1 = 0.loga 1 = lna _ lna _ 0 .b) loga a = 1.ln aloga a = - = 1 a ln ac) loga uv = loga + loga V.ln uv ln u + ln v ln u lnvloga uv = - -----= =--------- = - + - = loga u + loga vDa ln a ln a ln a ln ad) loga u = loga u - loga v .Se remplaza u en c) por ^ .f ) loga (ur) = r loga u.ln(ur) r ln uloga(ur) = T H O = T a = rloga ug) Dx (loga x ) = Dx (logax ) = Dx f ] = i r a Dx(ln x ) = 1PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS8. C a lc u le la s d e r iv a d a s d e la s fu n c io n e s s ig u ie n te s :II3^ Respuesta: y ' = 5e5xb) y = e * 3x Respuesta: y ' = 3 sec2(3x) etan 3xc) y _ g-x cos x Respuesta: y ' = -e~x (cos x + sen x)d) y = 3-x2 Respuesta: y ' = - 2x(ln3)3-x2e) y = sen-1(ex ) exRespuest: y . ^ - 2-.f y = ee Respuesta: y ' = ex+e'g) y = x x Respuesta: y ' = xx (1 + ln x)h) y = log io(3x2 - 5)Respuesta: y ' ' ln10 3x-2 - 59. H a lle la s a n tid e riv a d a s s ig u ie n te s:43 _on Respuesta: 1 32x + C 2 ln 3 3e1'xb) J dx Respuesta: - e1/x + Cc) J (ex + 1)3 exdx Respuesta: (ex + 1)4 + C 4 + Cd) J d\J J ex + 1Respuesta: x - 1n (ex + 1) + C3 ' * Respuesta: - 2 e1/x2 + C/ -x2 +2f ) 1 e xdx Respuesta: - 2 e~x2+2 + CCAPTULO 26 Funciones exponenciales y logartmicas www.FreeLibros.me^ 216^ CAPTULO 26 Funciones exponenciales y logartm icasg ) | (ex + 1)2 dx Respuesta:h) J (ex - x e) dx Respuesta:i ) | 2x _+ 5 dxe2x + 5 Respuesta:j )C exdx ^ V1 - e2xRespuesta:k ) | x 3(5x4+1) dx Respuesta:l) dxxs * loRespuesta:n 1(ex)1 42^ 1 0 ^ x )2 + C = ^n2 0 (18io x )2 + C10. (Funciones hiperblicas) Definaex - e~senh x = -Deduzca los resultados siguientes:c s h x =- tanh x =senh x cosh x sec h =1cos hxa) Dx(sen h x) = cos h x y Dx(cos h x) = sen h x.b) Dx(tan h x) = sec h2 x y Dx(sec h x) = -sec h x tan h x.c) cos h2 x - sen h2 x = 1d) sen h(x + y) = sen h x cos h y + cos h x sen h y.e) cos h(x + y) = cos h x cos h y + sen h x sen h y.f ) sen h 2 x = 2 sen h x cos h x.g) cos h 2x = cos h2 x + sen h2 x = 2 cos h2 x - 1 = 2 sen h2 x + 1.h) (CG) Trace la grfica de y = 2 cos h(x/2)(denominada catenaria) y halle su punto mnimo.Respuesta: (0, 2)11. Despeje x en las ecuaciones siguientes:2= Respuesta: y ln2b) ln(x4) = -1 Respuesta: e-1/4c) ln(ln x ) = 2 Respuesta: ee2d) ex - 4e~x = 3 Respuesta: 2 ln 2e) ex + 12e-x = 7 Respuesta: 2 ln 2 y ln 3f 5x = 7 Respuesta:ln7= log5g) log2(x + 3) = 5 Respuesta: 29h) log2 x2 + log2 x = 4 Respuesta: ^16i) log2(24x) = 20 Respuesta: 5j) e-2x - 7e~x = 8 Respuesta: -3 ln 2k) xx = x 3 Respuesta: 1 y 3eh - 112. Evale a) lm ,h^o h b ) lmh-^0eh - 1Respuestas: a) 1; b) 0/ ln2 eX f 113. Evale a) I ^ dx; b) IJo ex + 2 J1e 2 + ln xx dxRespuestas: a) 1n -5- ; b) f14. (CG) Aplique el mtodo de Newton para aproximar (con cuatro cifras decimales) una solucin de = .1 ~2x2xxeRespuesta: 0.5671 www.FreeLibros.me-^ 217^15. (CG) U se la regla de Sim pson con n = 4 para aproxim ar J e x2/2 dx a cuatro cifras decim ales.Respuesta: 0.8556( r16. Si se paga inters a r por ciento por ao y se aumenta n veces al ao, entonces P dlares se vuelven P | 1 + despus de un ao. Si i de inters com puesto).despus de un ao. Si n ^ + ^ , se dice que el inters se com pone continuam ente (es decir, se trata v 00na) S i s e in c re m e n ta c o n tin u a m e n te r p o r c ie n to a n u a l, d e m u e s tre q u e P se c o n v ie r te P e r/100 d la r e s d e s p u s deu n a o , y Pert/100 d la r e s d e s p u s d e t a o s.b) S i r p o r c ie n to se in c re m e n ta c o n tin u a m e n te , e n c u n to s a o s se d u p lic a r c ie rto m o n to d e d in ero ?c) (c g ) C a lc u le c o n d o s c ifr a s d e c im a le s c u n to s a o s to m a ra d u p lic a r c ie r ta c a n tid a d d e d in ero si sein c re m e n ta c o n tin u a m e n te a 6 % anu al.d) (c g ) C o m p a re e l re su lta d o d e in cre m en ta r c o n tin u a m e n te a 5 % c o n e l o b te n id o a l in c re m e n ta r u n a v e z a l ao.Respuestas: b) 100Qn 2 ) ~ c ) a p r o x im a d a m e n te 1 1 .5 5 a o s;d) d e s p u s d e u n a o u n d la r se v u e lv e 1 .0 5 d la re s c u a n d o se in c re m e n ta u n a v e z a l a o , y a p r o x im a d a m e n te 1 .0 5 1 2 d la r e s c u a n d o se in c re m e n ta c o n tin u a m e n te .17. H a lle ( lo g 10e) ln 10Respuesta: 118. E s c r ib a c o m o un s o lo lo g a r itm o c o n b a s e a: 3 lo g a 2 + lo g a 40 - lo g a 16Respuesta: lo g a 2019. (c g ) C a lc u le l o g 2 7 c o n o c h o c ifr a s d e c im a le s .Respuesta: 2 .8 0 7 3 5 4 9 220. D e m u e s tr e q u e lo g b x = ( lo g a x ) ( lo g b a).21. (c g ) T r a c e la g r f ic a d e y = e~x2/2. In d iq u e lo s e x tr e m o s a b s o lu to s , lo s p u n to s d e in f le x i n , la s a s n to ta s y c u a lq u ie r s im e tr a .Respuesta: m x im o a b s o lu to en (0, 1 ) , p u n to s d e in f le x i n en x = 1 , e l e je x e s u n a a sn to ta h o r iz o n ta l a la iz q u ie rd a y a la d e re c h a , s im tr ic a re s p e c to a l e je y .22. D a d o exy - x + y 2 = 1 , h a lle p o r d e r iv a c i n im p lc ita .Respuesta:dx 1 - yexy2y + xexyex e23. ( c g ) Trace la grfica de y = sen hx = ------2Respuesta: ln(e x + e~x ) + C?e _e24. E v a l e \ - ----- dx.j ex + e xRespuesta: ln (e x + e~x ) + C25. A plique la derivacin logartm ica para hallar la derivada de y = x3/x. Respuesta: 3y(1 ^ x)nCAPTULO 26 Funciones exponenciales y logartmicas www.FreeLibros.meRegla de LHpitalf (x)Los lm ites de la form a lm g - ) pueden evaluarse m ediante el siguiente teorem a en los casos indeterminados donde tanto f x ) com o g(x) tienden a 0, o am bas tienden a + ^ .Regla de LhpitalS if x ) y g(x), o am bas tienden a 0, o am bas tienden a ^ , entonces,f ( x) f '(x)lim , - = lm , , xg(x) g (x)Aqu, lm equivale alm , lm , lm, lm , lmx >+ x ^ a x ^ a + x ^ a ~Si desea consultar un esbozo de la dem ostracin, repase los problem as 1, 11 y 12. Se considera, en el caso de los tres ltim os tipos de lm ites, que g'(x) * 0 para x que est suficientem ente prxim o a a, y en el caso de los prim eros dos lmites, que g'(x) * 0 para los valores de x suficientem ente grandes o suficientem ente pequeos. (Las afirm aciones correspondientes sobre g(x) * 0 se siguen del teorem a de Rolle.)EJEMPLO 27.1. Com o ln x tiende a cuando x tiende a + ^ , la regla de L H pital im plica quelm i n x = l m l f = h? i = 0x+ x x+ 1 x+ xEJEMPLO 27.2. Com o ex tiende a + ^ cuando x tiende a + ^ , la regla de L Hpital im plica quelm x = lm - x = 0x+ ex x+ exEJEMPLO 27.3. Se sabe, por el problem a 13a ) del captulo 7, quelm 3x 2 + 5x - 8 _ 3 x 7 x 2 - 2x +1 7Puesto que 3x 2 + 5x - 8 y 7x 2 - 2x + 1 tienden a + ^ cuando x tiende a + ^ , la regla de L H pital indica quelm 3x 2 + 5x - 8 = lm 6x + 5 i 7 x 2 - 2x +1 14x - 2 www.FreeLibros.mey otra aplicacin de la regla seala que-^ 219^lm 6x + 5 = l m A = A = 1xi+i 14 x - 2 xi+I 14 14 7EJEMPLO 27.4. Como tan x tiende a 0 cuando x tiende a 0, la regla de L Hpital implica quelm tanx = ^ se ix = lt o _ J _ = 1 = 1x^ o X x^ o 1 x^ o COS X 1Tipo indeterminado 0 Si f{x) tiende a 0 y g{x) tiende a ^ , no se sabe cm o determ inar lm fx )g (x ) A veces este problem a puede transform arse para conseguir que la regla de LH pital sea aplicable.EJEMPLO 27.5. Cuando x tiende a 0 desde la derecha, ln x tiende a - ^ . Entonces, no se sabe cmo hallar lm x 1n x.x^ 0~Pero cuando x tiende a 0 desde la derecha, 1/x tiende a +. As, por la regla de L Hpital,ln x 1/xlim x ln x = lim -r- = lim 2 = lim - x = 0xi0+ xi0+ 1/x xi0+ - 1/x2 xi0+Tipo indeterminado S if x) y g(x) tienden a ^ no se sabe qu sucede con lm (fx ) - g(x)). En ocasiones el problem a puede transform arse en un problem a tipo LHpital.EJEMPLO 27.6. lim ( cosecx - 1 ) es un problema de este tipo. Perolim ( cosec x - 1 1 = lim ( ------x^ 0 \ x x^0 \sen x xx i x^0 x senxy 1_cos xComo x - sen x y x sen x ambos tienden a 0, se aplica la regla de L Hpital y se obtiene l im ---------- ----------. Aqu,J } x^0 x cos x + sen x Mtanto el numerador como el denominador tienden a 0 y por la regla de L Hpital resultal m _______ senx_________= ___ ___= 0 = 0x^0 - x sen x + cos x + cos x 0 +1 +1 2Tipos indeterminados 00, 0 y 1Si lm y es uno de estos tipos, entonces lm (ln y) ser del tipo 0 ln xEJEMPLO 27.7. En lim xsen x, y = x sen x, es del tipo 00 y no se sabe qu sucede en el limite. Pero y = sen x ln x = -x^0+ cosec xy ln x y cosec x tienden a ^ . Entonces, por la regla de L Hpital,1/x sen2x sen x sen xlim ln y = lim ------------- = lim - = - l im ---------------x^ 0+ 7 x^ 0+ - cosec x cot x x^ 0+ x cos x x^ 0+ x cos x= - lim lim tan x = -(1)(0) = 0x^ 0+ x x^ 0+Aqu se utiliz el hecho de que lm((senx)/x) = 1 (problema 1 del captulo 17). Ahora, como lm ln y = 0,x^0 x^0+lm y = lm eln y = e0 = 1x^0+ x^0+CAPTULO 27 Regla de L'Hpital www.FreeLibros.meCAPTULO 27 Regla de L 'H p ita lEJEMPLO 27.8. En lm llnxlx, y = llnxlx es de tipo ^ 0, y no es claro qu pasa en el lmite. Pero ln y =x lnlln xl = y tanto ln lln xl como 1/x tienden a + ^ . Entonces, por la regla de L Hpital se obtienelm ln y = lm (1 ) / ( - ) = lm -x^o* J x^o* \ x l n x / / \ x 2 ) x^o* = 0,ln xya quelm --L = o. Por tanto, lm y = lm elny = e0 = 1x^ 0+ ln x x^ 0+ x^ 0+ln xEJEMPLO 27.9. En lm x 1^ - 1), y = x 1^ 1) es de tipo 1 y no puede verse qu sucede en el lmite. Pero ln y = --------- jx>1 x 1y tanto el numerador como el denominador tienden a 0. Entonces, por la regla de L Hpital se obtiene1 /xlm ln y = lm = 1. Por tanto, lm y = lm elny = e1 = ex1 x1 1 x>1 x>1PROBLEMAS RESUELTOS1. Demuestre la forma siguiente de la regla de LHpital: Sean f(x) y g(x) son diferenciables, g'(x) ^ 0 en algnf '( x)intervalo abierto (a, b) y lm f (x) = 0 = lm g(x ). Entonces, lm , ( ) existe,xa+ xa+ x^ a+ g (x)lm m = lm n gx^a* g(x) x^a* g (x)Como lm f (x) = 0 = lm g(x ), se considera que f(a) y g(a) estn definidas y que f(a) = g(a) = 0. Alxa+ xa+remplazar b por x en el teorema del valor medio extendido (teorema 13.5) y utilizando el hecho de quef(a) = g (a) = 0 se obtienef ( x ) = f (x ) - f (a) = f /(x0) g(x) g(x) - g(a) g ^ 0 )para algn x0 con a < x0 < x. Entonces, x0 ^ a+ cuando x ^ a+. Por tanto,lm m = lmx^a* g(x) x^a* g (x)Tambin se puede obtener la forma de la regla de LHpital para lm (simplemente por ser u = -x), yentonces los resultados para lm y lm dan la forma 0 de la regla de LHpital para llm .x^a+ 0 x^a\nln x (ln x )2. Por los ejemplos 1 y 2 se sabe ya que lm = 0 y lm = 0. Demuestre adems que lm - = 0 n x^+^ x x^+^ e x^+^ xlm x = 0 para todo n entero positivo.x^+^ eUse la induccin matemtica. Considere estos resultados para un n > 1. Por la regla de LHpital,De igual forma,(ln x)n+1 ,, (n + 1)(ln x)n (1/x) , (ln x )nlm ----- = lm ------ T - = (n +1) lm ----------- = (n + 1)(0) = 0lm x -x- = lm (n + 1 1 x = (n + 1) lm x x- = (n + 1)(0) = 0x^+ ^ e x^+ e x^+ e3. Aplique la regla de LHpital una o ms veces para evaluar los lmites siguientes. Compruebe en todos los casos que se cumplen los supuestos apropiados., lm x + sen2x a) l1 x - sen2x ' www.FreeLibros.me-^ 221^lm 1 + 2 co s2 x _ 1 + 2(1) _ _ 3 Se obtiene M i _ 2 s2 x " 1 - 2(1) " 3b) im L z i .x^0+ x 2 Xf - = l l m ^x^0+ 2x x^0+ xex + e~x - x 2 - 2Se obtiene lm 2 X = ^ lm ~V = + por el ejemplo 27.2.c) lm 2 2 .x^0 sen2 x - x 2Se obtiene lm 0 e ~ e ~ 2x = lm e ~ e .x^0 2sen x cos x - 2x x^0 sen 2x - 2xMediante la aplicacin repetida de la regla de LHopital se obtiene:ex + e-x _ 2 ex - e-xlim ^ ^----- =- = lim -X^ 0 2cos2x - 2 x^o -4sen2xlm ex + e~x = 1 + 1 = _ 2 = _ 1 o -8 c o s 2 x -8(1) 8 4d) lm .x^ n* Vx - nSe obtiene lm , /ro/cosx U/21 = lm 2 (x - ^ ) 1/2 cosx = 0. x^x+ 1/[2(x K) J x^x+e) l m ] n s e n x .y x^o+ ln tan x^ (cosx)/(senx) ^ 4 1Queda lm^ (sec2 x)/(tan x) = cos4 x = 1f) l m ^o ^ .J x^o cot2xEl uso directo de la regla de LHpitallm ~ cosec' x , = -4 lm , 2 cos2e c x (cot x)0^ - 2 cosec (2x) 4 x^o (cosec (2x))(cot 2x) lleva a lmites an ms complicados, pero, si cambia de cot a tan, se obtienel m ^ f = l m t ^ = lm 2sec^ 2x) = 2 lm co2s' \ = 2 = 2 x^o cot2x x^o tan x x^o sec2 x x^o cos2(2x) 1g) lm x 2ln x.x^0+ste es del tipo 0 . ^ . Entonces, la regla de LHpital puede aplicarse de la siguiente manera:lm = lm 1/x: 3 = lm - A x 2 = 0x^ 0+ 1/x2 x^ 0+ -2 /x 3 x^ 0+ 2h) lm (1 - tan x) sec 2x.x^n/4ste es del tipo 0 . ^ . Sin embargo, es igual alm 1 ~ tan x = lm ~ sec2 x = ^ = 1x^TT/4 cos 2x xm/4 -2sen2x -2^ Aqu se utiliz el valor cos = ji) lm ( - x 1 ).x^o\ x ex - 11ex - 1jste es del tipo ^ - c, pero resulta igual alm ^ ~x1 ~ x = lm xex ~ 1 , = lm ex - 1 - 1o^ x (ex - 1) x^o xex + ex - 1 x^o xex + 2ex 0 + 2 2j ) lm(cosec x - cot x).x^0ste es del tipo ^ - ^ , pero resulta igual alm L X - - M . )= lm 1 = lm ^ = 0 x^o\sen x sen x I x^o sen x x^o cos xk) lm (tan x)x^(n/2)~ste es del tipo ^. Sea y = (tan x)cos x, entonces ln y = (cos x)(lntan x) = -lntan xsec xCAPTULO 27 Regla de L'Hpital www.FreeLibros.me^ 222^4.5.CAPTULO 27 Regla de L 'H p ita lPor tanto,lm ln y = lm ln ta n x = lm (sec2x / ta n x )/(se c x ta n x ) = lm c sx = 0 = 1x^(n!2) x^(n/2) SeC X x (^n/2) x (^n/2) Sen X 1\ i y2 + x /) lm -------x^+^ xSe obtiene lms[ 2 -v \2 + x 2- = lim --------- y se est girando en un crculo. Por ende, la regla de LH opital noes de uso alguno. Pero,lm s [ - - = lmx^ + = xlmj 2+ 1x= ^ 0 + 1 = iH aga una crtica sobre el siguiente uso de la regla de LHopital:lmx^2 x 3 - 3 x 2 + 3x - 2 x^ 2 3x 2 - 6x + 3 x^ 2 6x - 6 x^ 2 6 La segunda ecuacin es un uso incorrecto de la regla de LHpital, ya que lm (3x2 - 2x 1) = 7 y lm (3x2 - 6x + 3) = 3. Entonces, el lim ite correcto seria -3.x^2(cg) Trace la grfica de y = xe~x = x .Vase la figura 27.1. Por el ejem plo 2, lm y = 0. Entonces, el eje x positivo es una asntota horizontal.Com o lm e~x = +, lm y = . y'= e~x (1 - x ) y y " = e~x (x - 2 ) . Entonces, x = 1 es un nm ero crtico. Por el criterio de la segunda derivada, existe un m xim o relativo en (1, 1/e) porque y" < 0 en x = 1. La grfica es cncava hacia abajo para x < 2 (donde y " < 0) y cncava hacia arriba para x > 2 (donde y" > 0). (2, 2/e2) es un punto de inflexin. La graficadora proporciona los estim ados 1/e ~ 0.37 y 2/e2 ~ 0.27.(cg) Trace la grfica de y = x ln x.Vase la figura 27.2. La grfica est definida slo para x > 0. C laram ente, lm y = +. Por el ejem plo 5,lm y = 0. Com o y ' = i + ln x y y " = i/x > 0, el nm ero crtico en x = 1/e (donde y ' = 0) resulta, por el criteriox^0+de la segunda derivada, un m nim o relativo en (1/e, -1 /e ). La grfica es cncava hacia arriba en todas partes.yx2x2xxxFig. 27.2 www.FreeLibros.me^ 223^PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS7. D em uestre que lm x nex = 0 para todo x entero positivo.8. H alle lm xsen .x xRespuesta: n9. Trace las grficas de las funciones siguientes: a) y = x - ln x; b) y = ^nx~ ; (c) y = x 2exRespuesta: vase figura 27.3(c)Fig. 27.310. Evale los lm ites siguientes:a ) lm x4 ~ 256 = 256x^4 x - 4d) lm e ~ e = e2 x^2 x - 2, ln (2 + x)) lim - \- = 16 x^-1 x +1Qx Ox 1j ) x m j - s x - = 2 ln 2, lncos x 1m ) llm0 72 = ~ x^ 0 x 2b ) lm x 4 - 256x^4 x 2 - 1 6= 32e) lm x x = ~ 1x^o 1 - excos x - 1 1h) l m ----- -------T = rx^o co s2x - 1 4,, 2 tan -1 x - x , k) lm ^ = 1x^o 2x - sen 1 xn) lm cos2x I cos x = x^o sen2 xc) lm x 2 - 3x = i c) xSs x 2 - 9 2f lm e ~ 1 = 1 x^o tan 2 x 2i) lm ------x^o sen x = 4l) l m l ^ c 2 x = 4 x^ o ln sec x0 ) l m ^ = ox^ +~ V xCAPTULO 27 Regla de L'Hopital www.FreeLibros.meCAPTULO 27 Regla de L 'H p ita llm cscx = i csc 2x 3lm i n c o t x = oi^o+ ecsc xlm x 2ex = 0lm e tanx sec2 x = 0o \x sen xlm |-=V - -, 5x + 2 lnx .q) x1!?! x + 3 ln x _ t) lm ex + 3x3 = 1t) x ^ 4ex + 2x2 4w) lm x cosec x = 1x^0z) lm (x - sen 1 x ) cosec3 x = - 1x^o 6c') lm (sec3 x - tan3 x) = ^= - 1 f ) mln x ___1_x^ +l x 4 x I = 0lm (cos x)1/x = 1 i') lm (ex + 3x)1/x = e4x^0lm (sen x - cos x )tanx = 1/e ) lm ( tan x)cosx = 1lm (1 + 1/x )x = e o ') lm 3 ^ = 0x^+^ 31n 1000 / ) lm i x - = 0x xlm ex (1 - ex ) = lm lm 1 - ex0 (1 + x )ln(1 - x ) x^ 0 1 + x x^ 0 (1 - x ) = 1lmex +1 = 0lm (ex - 1)cos x = 1x^0lm cosec nx ln x = - 1 / nx>1lmlm (-i-1-------- ^ W - - 2x^ 1 \ ln x x - 1 / 2lm x x = 1x^0+lm (1 - e~x )ex = 1 /elm x tan2 = e~2/%x>1- = 0lmx^+0+ x11. Compruebe el diagrama de la demostracin de la forma -0- de la regla de LHopital en + ^ . Sean f(x) y g(x) son derivables y g'(x) ^ 0 para todo x > c, y lm f (x) = 0 = lm g(x). Entonces, f (x ) f ( x ) ,, f (x )si lm J ,) : existe lm ^ = lm J ,, ,x^+- g (x ) x^+ g(x ) x^+ g (x )Demostracin: sea F(u) = f(1/u) y G(u) = g(1/u). Entonces, por el problema 1 para a ^ 0+ y con F y G en lugar de f y g,lm i = lm F M = lm F Mi g (x ) i G(u) G '(u)= lm0+ (g '(1/u) - (1/u2)) S0+ g '(1/u) xlmm g ' (x )12. Llene los vacos en la demostracin de la forma de la regla de LHpital en el caso lm . (Los otros casos se0 ^ x^a+obtienen fcilmente como en la forma -g-.) Sean f(x) y g(x) derivables y g'(x) ^ 0 en algn intervalo abierto (a, b) y que lm f (x ) = = lm g (x ). Entonces,x^a+ x^a+ iz f ( x ) ,. f (x ) ,, f ' (x )si K = lim J ,) ' existe, lim = lim J ,) x^ a+ g (x) x^a* g(x) x^a* g (x)Demostracin: Sea e > 0 y se escoge c de manera que IK - (f'(x)/g'(x)i < e /2 para a < x < c. Sea d en (a, c). Sea a < y < d. Por el teorema del valor medio extendido, existe un x* tal quey < x* < d y f (d ) - f (y) = f '( x*) g(d ) - g( y) g '(x )rs ux1admxx www.FreeLibros.me-----4225^Entonces,K f (d ) - f (y ) ,e y entonces K \ ( f (J ) f(d) Vf, g(d) ^ , eK - g(d)- g(y) < 2 y ent0nces K -[{g(y)- VI1 - gy) 2Ahora se tiene que y ^ a+. Como g(y) ^ y f(d) y g(d) son constantes, f(d)/g(y) ^ 0 y 1 - g(d)/g(y) ^ 1.As, para y prximo a a,13. (CG) En los casos siguientes intente hallar el lmite por mtodos analticos y luego comprubelo calculando el lmite en una graficadora:a ) lm x1'x ;x^ 0+ Respuesta: 0b ) lm x1'x ; Respuesta: 1c ) lm (1 - cos x)x ;x^ 0 Respuesta: 1;d) lm (Vx2 + 3x - x IX>+ ' ! Respuesta: d)14. La corriente en un circuito con resistencia R, inductancia L y fuerza electromotriz constante E en el instante t est dada por i = r (1 - e~Rt/L). Obtenga una frmula para calcular i cuando R est muy prxima a cero.Respuesta: LCAPTULO 27 Regla de L'Hpital www.FreeLibros.meCrecimiento y decrecimiento exponencialConsidrese una cantidad y que vara con el tiempo y que| = t y (28.1)para alguna constante k. Sea F (t) = y/ekt. Entonces, por la regla del cociente,dF = ektD ty - y D tekt = ektky - y ektk = 0 = 0dt e2kt e2kt e2ktPor tanto, F (t) debe ser una constante C. (Por qu?) Entonces, y/ekt = C y, por ende, y = Cekt. Para evaluar C, sea t = 0. As, y(0) = Ce0 = C(1) = C. Si se designa y(0) por y0, entonces C = y0 y se ha obtenido la forma general de la solucin a la ecuacin (28.1):y = y 0ekt (28.2)Si k > 0, entonces y crece exponencialmente y k es la constante de crecimiento. Si k < 0, entonces y decrece exponencialmente y k es la constante de decrecimiento. La constante y0 se denomina valor inicial.un tnDel problema 2 del captulo 27 se sabe que lm = 0. As, cuando k > 0, lm rr = 0. Luego, una cantidadu^ +rc e t^ +c* eque crece exponencialmente lo hace mucho ms rpido que cualquier potencia de t. En muchos procesos naturales, como el crecimiento bacteriano o el decrecimiento radiactivo, las cantidades aumentan o disminuyen a una razn exponencial.Vida mediaConsidrese que una cantidad y de cierta sustancia decrece exponencialmente, con un decrecimiento constante k. Sea y0 la cantidad en el instante t = 0. En qu momento T quedar slo a la mitad de la cantidad original?Por (28.2) se llega a la ecuacin y = y 0ekt. Por tanto, en el instante T,i ye = y ekTi = ekT ln(i) = ln (ekT) = kT- ln2 = kT (28.3)T = - ^ (28.4)^ 226^ www.FreeLibros.me-----4227^Ntese que el mismo valor T se obtiene para toda cantidad original y0. T recibe el nombre de vida media de la sustancia. Se relaciona con la constante de decrecimiento k por la ecuacin (28.3). Por ello, si se conoce el valor de k o de T es posible calcular el valor de la otra. Adems, ntese que en (28.4), k < 0, as que T > 0.El valor de k puede obtenerse por experimento. Para un valor inicial dado y0 y un tiempo positivo especfico t0, se observa el valor de y , se sustituye en la ecuacin (28.2) y se despeja o resuelve para k.PROBLEMAS RESUELTOSLa vida media T del radio es 1690 aos. Cunto quedar de un gramo de radio despus de 1000 aos?De (28.3), k = --lT2 = 16^90 y la cantidad de radio est dada por y = y0e~(ln 2)t/1690. Se observa que y0 = 1,por lo que al sustituir 1000 por t se obtieney = e (ln 2) 1000/1690 0.6636 gramosAs, quedarn aproximadamente 663.6 miligramos al cabo de 1000 aos.2. Si 20% de una sustancia radiactiva desaparece en un ao, halle su vida media T. Suponga que el decrecimiento es exponencial.Por (28.2), 0.8y0 = y0k(1) = y0ek. Entonces, 0.8 = ek, donde k = 1n (0.8) = ln(y) = ln 4 - 1n 5. De (28.4),T = - ln2 . ln2ln5 - ln4 - 3.1063 aos.3. Suponga que el nmero de bacterias en un cultivo crece exponencialmente con una constante de crecimiento de 0.02, con el tiempo medido en horas. (Aunque el nmero de bacterias debe ser un entero no negativo, el supuesto de que el nmero es una cantidad continua siempre parece llevar a los resultados que se verifican experimentalmente.)a) Cuntas bacterias estarn presentes despus de 1 hora si eran 1000 inicialmente?b) Dadas las misma 1000 bacterias iniciales, en cuntas horas habr 100 000 bacterias?a) De (28.2), y = 1000e002 ~ 1000(1.0202) = 1020.2 ~ 1020b) De (28.2),100 000 = 1000e002t 100 = e002t ln 100 = 0.02t2 ln 10 = 0.02t (como ln 100 = ln(10)2 = 2 ln 10) t = 100 ln 10 ~ 100(2.0326) = 203.26 horas Nota: a veces, en lugar de dar un crecimiento constante, como k = 0.02, se da una razn de crecimiento correspondiente por una unidad de tiempo (en este caso, 2% por hora). Esto no es muy exacto. Una razn de crecimiento de r% por unidad de tiempo es aproximadamente lo mismo que un valor de k = 0.0r cuando r es relativamente pequea (por ejemplo, r < 3). De hecho, con una razn de crecimiento de r%, y = y0 (1 + 0.0r) despus de una unidad de tiempo. Como y = y0ek cuando t = 1, queda 1 + 0.0r = ek y, por consiguiente, k = ln(1 + 0.0r). Esto es prximo a 0.0r, ya que ln (1 + x) ~ x para x pequeas positivas. (Por ejemplo, ln1.02 ~ 0.0198 y ln 1.03 ~ 0.02956). Por ello, en numerosos textos se interpreta con frecuencia una razn de crecimiento de r% como k = 0.0r.e e4. Si una cantidad y crece o decrece exponencialmente, halle una frmula para obtener el valor promedio de y durante el intervalo [0, bl.1 fb 1 fbPor definicin, el valor promedio yav = ^ , J y dt = j k J ky dt (donde k es la constante de crecimiento odecrecimiento). Por (28.1), ky = y, por ende, yav = - 1 J dt. Por el teorema fundamental del clculo,b dyb dy 1i o d t ^ = y(b) ~ y(0) = y(b)_ y, . Luego, yav = b k (y(b) - y, )CAPTULO 28 Crecimiento y decrecimiento exponencial www.FreeLibros.meCAPTULO 28 Crecim iento y decrecim iento exponencial5. Si la poblacin de un pas es 1oo millones de personas y crece exponencialmente con una constante k = ln 2, calcule con exactitud la poblacin dentro de cinco aos.Por (28.2), la poblacin y = yoekt = 1o8e (ln 2)5 = 1o8(e ln 2)5 = 1o8(25) = 32(1o8). Por tanto, la poblacin llegar a 3.2 miles de millones de personas en cinco aos.6. V ida m ed ia del ca rb o n o . Cierto istopo 14C de carbono se presenta en los organismos vivos en una proporcin fija del carbono ordinario. Cuando el organismo muere, su 14C decrece exponencialmente y su vida media es de 573o aos. Considrese que una pieza de carbn vegetal proveniente de un incendio forestal se encontr en una cueva y contiene slo 9% de 14C esperando en un trozo de madera de un rbol vivo. (Esta cifra se obtiene al medir la cantidad de carbono ordinario en el pedazo de carbn vegetal.) Hace cunto se quem la madera para formar el carbn vegetal?Si y es la cantidad de 14C presente en el trozo de carbn vegetal, se tiene que y = yoekt. La cantidad presente es o.o9y o = y oe kT, donde T es el tiempo transcurrido. Entonces, o.o9 = e kT, ln (o.o9) = kx, T = (ln (o.o9))/k . Como la vida media T = 573o y k = (ln 2)/T = -(ln 2)/573o, se obtiene573o ln(o.o9) 573o(ln1oo - ln9)T =---- i s------- 199o6 aosln2 ln27. L ey del en fr iam ien to de N ew ton . La razn de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre temperatura del objeto y la del medio que lo rodea.Suponga que un refrigerador se mantiene a una temperatura constante de 45 F y que se coloca un objeto con temperatura de 8o F dentro de l. Si la temperatura del objeto cae de 8o F a 7o F en 15 minutos, en cunto tiempo la temperatura del objeto bajar a 6o F?Sea u la temperatura del objeto. Entonces, por la ley del enfriamiento de Newton, du/dt = k(u - 45) para alguna constante k (negativa). Sea y = u - 45. As, dy/dt = du/dt = ky. Entonces, por (28.2), y = yoekt. Como u tiene inicialmente 8o F, y o = 8o - 45 = 35. As, y = 35e k t cuando t = 15, u = 7o y y = 25. Por tanto, 25 = 35e 15k, 5 = 7e 15k y, por consiguiente, 15k = ln (y) = ln5 - ln7. Entonces, k = 1 5(ln5 - ln7). Cuando la temperatura del objeto es de 6o F, y = 15. Por ende, 15 = 35e k t, 3 = 7ekt, 3 = 7ekt y, por consiguiente, kt = ln(y) = ln3 - ln7. Entonces,f ln3- ln7 1C ln3- ln7 on nn,n . tt =------= 15^T ~ 3/.//2/ minutosk ln5 - ln7En consecuencia, se necesitan aproximadamente 22.7727 minutos para que la temperatura del objeto baje de 7o F a 6o F.8. Inters compuesto: Suponga que los ahorros de una cuenta ganan intereses a una tasa de r% anual. Al cabo deun ao, una cantidad de P dlares se volvera P (1 + ) dlares, y despus de t aos se convertir P (1 + )dlares. No obstante, si se calcula el inters n veces al ao en lugar de una vez al ao, entonces en cada periodo la tasa de inters sera (r/n)%; despus de t aos, habrn pasado nt de tales periodos y el monto finalsera P (1 + 1oon ) . Si n ^ +ra, entonces el inters se compone continuamente. En tal caso, la cantidad final seralmP (1 + 1 = Pn^+~ \ 1oon 1oon = Peoo1rt por (26.16)Se depositan 1oo dlares en una cuenta de ahorros que paga una tasa de inters de 4% anual. Despus de cinco aos, cunto habr en la cuenta si:a) El inters se calcula una vez al ao?b) El inters se calcula trimestralmente (es decir, cuatro veces por ao)?c) El inters se compone continuamente?a) 1oo(1.o4)5 ~ 121.6653 dlaresb) 1oo(1.o1)2 ~ 122.o19o dlaresc) 1ooeoo4(5) = 1ooeo2 ~ 122.14o3 dlarestn www.FreeLibros.mePROBLEMAS COMPLEMENTARIOS9. Supngase que en una reaccin qumica cierta sustancia se descompone a una razn proporcional a la cantidad presente. Considere que una cantidad inicial de 10 000 gramos se reduce a 1000 gramos en cinco horas.Cunto quedar de una cantidad inicial de 20 000 gramos despus de 15 horas?Respuesta: 20 gramos10. Un contenedor con capacidad mxima de 25 000 insectos tiene inicialmente 1000 de ellos. Si la poblacin crece exponencialmente con una constante de crecimiento de (ln 5)/10 insectos por da, en cuntos das estar lleno el contenedor?Respuesta: 20 das11. La vida media del radio es de 1690 aos. Cunto radio quedar de 32 gramos de radio al cabo de 6760 aos?Respuesta: 2 gramos12. Si una poblacin crece exponencialmente y se incrementa a una razn de 2.5% por ao, halle la constante de crecimiento k.Respuesta: ln 1.025 ~ 0.024713. Una solucin de agua salada contiene inicialmente 5 libras de sal en 10 galones de lquido. Si el agua fluye a razn de 2 gal/min y la mezcla fluye a la misma razn, cunta sal habr al cabo de 20 minutos?Respuesta: d - = -2 ^ 1 0 j . Cuando t = 20, S = 5e-1 ~ 1.8395 lb14. Los insectos de un cercado crecen exponencialmente de forma tal que su poblacin se duplica en cuatro horas.Despus de 12 horas, cuntas veces aumentar el nmero inicial de insectos?Respuesta: 815. (CG) Si la poblacin mundial en 1990 fue de de 4.5 miles de millones de personas y crece exponencialmente con una constante de crecimiento k = (ln 3)/8, calcule la poblacin mundial en los aos a) 2014, b) 2020.Respuestas: a) 111.5 miles de millones; b) 277.0 miles de millones16. (CG) Si un termmetro con una lectura de 65 F se saca al aire donde la temperatura es de 25 F constante, la lectura decrece a 50 F en 2.0 minutos.a) Halle la lectura del termmetro despus de un minuto ms.b) Cunto tiempo ms transcurrir (despus de 3.0 minutos) para que el termmetro marque 32 F?Aplique la ley del enfriamiento de Newton.Respuestas: a) 45 F; b) aproximadamente 4.4 minutos ms17. (CG) Bajo inters compuesto continuo a una razn de r% por ao;a) Cunto toma en duplicarse una cantidad de dinero P ?b) Si una cantidad P se duplica en nueve aos, cunto es r?------------- ^ 229^CAPTULO 28 Crecimiento y decrecimiento exponencial www.FreeLibros.meCAPTULO 28 Crecim iento y decrecim iento exponencialc) Si r = 8, cunto debe depositarse ahora para que haya $100 000 en 17 aos?Respuestas: a) 100 _ 69.31 . ^ ) aproximadamente 7.7; c) aproximadamente $25 66618. Un objeto se enfra de 120 F a 95 F en media hora cuando est rodeado por aire a una temperatura de 70 F Aplique la ley del enfriamiento de Newton para hallar su temperatura al cabo de media hora ms.Respuesta: 82.5 F19. Si una cantidad de dinero que recibe un inters de 8% anual se descompone continuamente, cul es la tasa de rendimiento anual equivalente?Respuesta: aproximadamente 8.33%20. Cunto se toma en decrecer 90% de un elemento radiactivo cobalto 60, si su vida media es 5.3 aos?Respuesta: aproximadamente 17.6 aos21. Una sustancia radiactiva decrece exponencialmente. Si se comienza con una cantidad inicial de y0, cul es la cantidad promedio presente durante la primera vida media?Respuesta: 2ln2 www.FreeLibros.meAplicaciones de integracin I: rea y longitud de arcorea entre una curva y el eje yYa se ha expuesto el procedim iento para hallar el rea de una regin com o la que se m uestra en la figura 29.1,lim itada por debajo por el eje x, por encim a por una curva y = f x ) , y que queda entre x = a y x = b. E l rea es pbla integral definida I f (x) dx.JaFig. 2 9 .1Ahora, considrese la regin que aparece en la figura 29.2, lim itada a la izquierda por el eje y, a la derechapor una curva x = g(y), y que queda entre y = c y y = d. Entonces, por un argum ento sim ilar al del caso mostradofden la figura 29.1, el rea de la regin es la integral definida I g (y )dy.J cyFig. 29.2 www.FreeLibros.me^ 232^EJEMPLO 29.1. Considere la regin limitada a la derecha por la parbola x = 4 - y 2, a la izquierda por el eje y, y2por encima y por debajo por y = 2 y y = -1 (fig. 29.3). Entonces, el rea de esta regin es I (4 - y2)dy. Por el teorema fundamental del clculo, se tiene que(4y - 8y3)]2 = (8 - 3) - (-4 - (-3)) = 12 - = 12 - 3 = 9__________ CAPTULO 29 Aplicaciones de integracin I : r e a y longitud de arcoyrea entre curvasSean f y g funciones continuas tales que g(x) -^ 233^Ahora se estudiar el caso general (fig. 29.5), en el que una o ambas curvas y = fx ) y y = g(x) pueden quedar por debajo del eje x. Sea m < 0 el mnimo absoluto de g en [a, b]. Se elevan ambas curvas ImI unidades. Las nuevas grficas, que se muestran en la figura 29.6, se hallan sobre el eje x y comprenden la misma rea A que las grficas originales. La curva superior es la grfica de y = fx ) + Iml, en tanto que la inferior es la de y = g(x) + Iml. Por tanto, por el caso especial anterior,A = J ((f(x)) + I m I)(g(x) + 1 m I)) dx = J ( f (x) - g(x)) dxJa JaEJEMPLO 29.2. Halle el rea A de la regin 3t bajo la recta y = 2 x + 2, por encima de la parbola y = x2 y entre el eje y y x = 1 (vase la regin sombreada de la figura 29.7). Por (29.1),dx = | 1 x2 + 2x 1 x3 =| i +2 ') (0 + 0 0) = + = ) (0 + 0 0) 12 + 12 12 12Longitud de arcoSea f diferenciable en [a, b]. Considere la parte de la grfica de f de (a, f(a)) a (b, f(b)). Halle una frmula para la longitud L de esta curva. Divida [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud Ax. A cada punto xk en esta subdivisin le corresponde un punto (Pk(xk, f(x k)) en la curva (fig. 29.8). Para los n grandes, la sumak de las longitudes de los segmentos de recta Pk-1Pk es una aproximacin ap p + p p + + p p = y p pM)-1! T Mr 2 T T r n1 r n _ir k1r kla longitud de la curva.yx0k=1CAPTULO 29 Aplicaciones de Integracin I:rea y longitud de arco www.FreeLibros.meCAPTULO 29 Aplicaciones de integracin I: rea y longitud de arcoPor la frm ula de la distancia (2.1),Pk-1Pk = V (xk - xk-1)2 + (f (xk) - f (xk-J ) 2Ahora, xk - xk-1 = Ax, y por el teorem a del valor m edio (teorem a 13.4)f (xk) - f (Xk_1 ) = (xk - xk- 1 ) f ,(x*) = (Ax) f ,(x*) para algn x * en (xk-1, x k). Luego,Pk-A = V (A x)2 + (A x)2( f '(x*))2 =y (1 + (f '(x*))2 )(A x)2 = y 1 + (f ,(x l ))24{Kx )2 = J 1 + (f '(x* ) ) 2 A xEntonces,A - A = V 1 + (f '(x*))2 A xL a sum a de la derecha es una sum a de aproxim acin para la integral definida J N/1 + (f '( x))2 dx. Por consiguiente, cuando n ^ + ^ , se obtiene la frm ula de la longitud de arco:L = J 7 1 + (f '( x ) ) 2 dx = J 7 1 + (yO2 dx-a -a (29.2)EJEMPLO 29.3. Halle la longitud de arco L de la curva y = x3/2 de x = 0 a x = 5. Por (29.2), como y' = f x1/2 = | ^ x,L = J0 >/1 + (y")2 dx = J^ 1 + i x dx = 4 J05(1+ 4 x)1/2 (f ) d x = f f (1 + 4 x)3 (por la frmula abreviada I y el teorema fundamental del clculo) _ ^ f f 4 9 \ 3 / 2 _ l 3 / 2 \ _ 8 ^ 343 _ 335 2 n U ^ 1 J ~ 2 l \ 8 L) ~ 27fc=1 www.FreeLibros.me^ 235^PROBLEMAS RESUELTOS1. Halle el rea limitada por la parbola x = 8 + 2y - y2 , el eje y y las rectas y = -1 y y = 3.Observe, completando el cuadrado, que x = -(y2 - 2y - 8) = -((y - 1)2 - 9) = 9 - (y - 1)2 = (4 - y)(2 + y). Por tanto, el vrtice de la parbola es (9, 1) y la parbola corta el eje y en y = 4 y y = -2. Se desea saber el rea de la regin sombreada de la figura 29.9, dada por (8 + 2y - y2) dy = (8y + y2 - -j-y3) 1 92= (24 + 9 - 9) - (-8 + 1 - -1) = -3-2. Halle el rea de la regin comprendida entre las curvas y = sen x y y = cos x de x = 0 a x = k /4 (fig. 29.10).Las curvas se intersecan en (n/4, y2 /2), y 0 < sen x < cos x para 0 < x < ft/4 (fig. 29.10). Por tanto, el rea esftf/4I (cos x - sen x) dx = (senx + cos x)J 0 -\4 *4-1- (0+ 1)-n -1303. Halle el rea de la regin limitada por las parbolas y = 6x - x2 y y = x2 - 2x.Al despejar x en 6x - x2 = x2 - 2x se observa que las parbolas se cortan cuando x = 0 y x = 4, es decir, en (0, 0) y (4, 8) (fig. 29.11). Completando el cuadrado, la primera parbola tiene la ecuacin y = 9 - (x - 3)2; por consiguiente, su vrtice est en (3, 9) y se abre hacia abajo. De igual forma, la segunda parbola tiene la ecuacin y = (x - 1)2 - 1; en consecuencia, su vrtice est en (1, -1) y se abre hacia arriba. Observe que la primera parbola queda por encima de la segunda en la regin dada. Por (29.1), el rea requerida es4((6x - x2) - (x 2 - 2x))dx = 4(8x - 2x2)dx = (4x2- 2 x3) f = (64 - ^ l 8 ) = -64 J0 J0 3 J0 3 3CAPTULO 29 Aplicaciones de Integracin I:rea y longitud de arco www.FreeLibros.meCAPTULO 29 Aplicaciones de Integracin I : r e a y longitud de arcoFig. 2 9 .1 14. Halle el rea de la regin limitada por la parbola y2 = 4x y la recta y = 2x - 4.Despejando las ecuaciones simultneamente se obtiene (2x - 4)2 = 4x, x2 - 4x + 4 = x, x2 - 5x + 4 = 0,(x - 1)(x - 4) = 0. Por tanto, las curvas se cortan cuando x = 1 o x = 4, es decir, en (1, -2) y (4, 4) (fig. 29.12).Ntese que ninguna de las curvas est por encima de la otra en toda la regin. En consecuencia, es mejor tomar y como variable independiente y rescribir las curvas como x = -4y 2 y x = y (y + 4). La recta siempre est a la derecha de la parbola.El rea se obtiene integrando a lo largo del eje y:1*4 1*4J_2( t ( y + 4) - 1 y2)dy = i J 2 (2y + 8 - y2)dy= I (y2 + 8y - jy 3)]l = K(16 + 32 - f ) - (4 -16 + f)) = 9Fig. 2 9 .1 25. Determine el rea de la regin que se halla entre la curva y = x3 - 6x2 + 8x y el eje x.Como x3 - 6x2 + 8x = x(x2 - 6x + 8) = x(x - 2)(x - 4), la curva corta el eje x en x = 0, x = 2 y x = 4. La grfica es similar a la curva mostrada en la figura 29.13. (Aplicando la frmula cuadrtica a y' se encuentra que los valores mximo y mnimo ocurren en x = 2 f\/3 .) Como la parte de la regin con 2 < x < 4 queda por debajo del eje x es preciso calcular las dos integrales separadas, una respecto a y entre x = 0 y x = 2, y la otra respecto a -y entre x = 2 y x = 4. As, el rea requerida esr2 i-4 T l4 (x3 - 6x2 + 8x)d x - (x3 - 6x2 + 8x)dx = (|x4 - 2x3 + 4x2) - (|x4 - 2x3 + 4x21 = 4 + 4 = 8*0 *2 Jo www.FreeLibros.me-^ 237^Fig. 2 9 .1 34Observe que si hubiera cometido el error de calcular simplemente la integral I (x3 - 6x 2 + 8x) dx, se hubiera obtenido la respuesta incorrecta, que es o. oEstablezca el rea encerrada por la curva y2 = x2 - x4.La curva es simtrica respecto a los ejes de coordenadas. Por tanto, el rea requerida es cuatro veces la parte que yace en el primer cuadrante (fig. 29.14). En el primer cuadrante, y = y/x2 - x4 = W 1 - x2 y la curva corta el eje x en x = o y x = 1. Entonces, el rea requerida es4 W 1 - x2 dx = - 2 ( 1 - x2 )1/2 (-2x) dx= - 2 ( )(1 - x2)3/2 ]o (por la frmula abreviada I)= - f (o - 13/2) = -3(-1) = 4lle la longitud de arco de la curva x = 3y3/2 - 1 de y = o a y = 4. ^ I Ydlx^~Se pueden invertir los papeles de x y de y en la frmula de la longitud de arco (29.2): L = I . 1 +1 dy.dx 9 1/2 V Vd y )mo d y = 2 y1/2,L = Jo4V1 +11 y dy = o4(1 + i1 y)1/2(J4L)dy = 8r(l)(1 + 41 y)3/2 ^ 4 = 243 ((82)3/2 - 13/2) = -213(8^^782 - 1)o o8. Halle la longitud de arco de la curva 24xy = x4 + 48 de x = 2 a x = 4.y = 14 x3 + 2x -1. Por tanto, y ' = 1 x 2 - 2/x2. Entonces,(y ') 2 = x 4 - 1 + x^ r1 + ( y /)2 = 1^ x4 + i + "3T = irx2 + ~ rr2CAPTULO 29 Aplicaciones de integracin I:rea y longitud de arco www.FreeLibros.me^ 2 38^ CAPTULO 29 Aplicaciones de integracin I : r e a y longitud de arcoPor consiguiente,L = J2 >/1 + (y')1 dx = J2 ^ i1 x2 + x2rj dx = J^ (8 x 2 + 2x 2) dx = ( -24 x3 - 2x- )]2 =( 8 - 1)-(* - 1) = 179. Determine la longitud de arco de la catenaria y = i (ex/a + e x/a) de x = 0 a x = a. y ' = 1 (ex/a + e~x/a) y, por ende,1 + (y')2 = 1 + |(e2x/a - 2 + e-2x/a) = i(ex/a + e~x/a)2Entonces,L = 2 Jo (ex/a + e~x/a) dx = 2(ex/a - e-x/a) = 2 (e - e-0a0PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS10. Halle el rea de la regin que queda por encima del eje x y debajo de la parbola y = 4x - x2.Respuesta: 3 211. Establezca el rea de la regin limitada por la parbola y = x2 - 7x + 6, el eje x y las rectas x = 2 y x = 6.Respuesta: -56-12. Determine el rea de la regin limitada por las curvas dadas.a) y = x2, y = 0, x = 2, x = 5b) y = x3, y = 0, x = 1, x = 3c) y = 4x - x2, y = 0, x = 1, x = 3d) x = 1 + y2, x = 10e) x = 3y2 - 9, x = 0, y = 0, y = 1f) x = y2 + 4y, x = 0g) y = 9 - x2, y = x + 3h) y = 2 - x2, y = -xi) y = x2 - 4, y = 8 - 2x2 j ) y = x4 - 4x2, y = 4x2k) y = ex, y = e~x, x = 0, x = 2l) y = ex/a + e~x/a, y = 0, x = am) xy =12, y = 0, x =1, x = e2 1n) y = 1 + x 2, y = 0, x = 1o) y = tan x, x = 0, x = 3p ) y = 25 - x 2, 256x = 3y2, 16y = 9x2RespuestaRespuestaRespuestaRespuestaRespuestaRespuestaRespuestaRespuestaRespuestaRespuestaRespuesta:3920223363231256923252 V2e2 + 1e 2 - 2Respuesta: 2a Respuesta: 24Respuesta: 3Respuesta: -2ln2Respuesta:e -19838e www.FreeLibros.me13. H a lle la long itud del arco indicado de las curvas siguientes.-^ 239^a) y3 = 8x2 de x = 1 a x = 8 Respuesta: (10b) 6xy = x4 + 3 de x = 1 a x = 2 Respuesta: 1712c) 27y2 = 4(x - 2)3 de (2, 0) a (11, 6>/3 Respuesta: 14d) y = 1 x 2 - -4ln x de x = 1 a x = e Respuesta: -2 e2/e) n ny = ln cos x de x = ^ a x = -4 Respuesta: lnf) x2/3 + y2/3 = 4 de x = 1 a x = 8 Respuesta: V914. (CG) Calcule la longitud de arco de la curva y = sen x de x = 0 a x = n con una exactitud de cuatro decimales. (Aplique la regla de Simpson con n = 10.)Respuesta: 3.82024CAPTULO 29 Aplicaciones de integracin I:rea y longitud de arco www.FreeLibros.meCAPTULO 30 Aplicaciones de integracin I I : volumenMtodo de washerS upngase que 0 < g(x) < f ( x ) p a ra a < x b. C onsidere la reg in en tre x = a y x = b que qu ed a en tre y = g(x) y y = f x ) (fig. 30.6). E n tonces, el vo lum en V del s lido de revo lucin ob ten ido a l g irar es ta reg in sobre el e je x se o b tiene con la f rm u laV = n f [ ( f (x ))2 - (g (x ))2 ]d xJ a (F rm ula de washer)*Fig. 3 0 .6C bL a ju stificac i n es clara. E l vo lum en deseado es la d ife renc ia de dos vo lm enes, lo s vo lm enes n I (f (x ))2 dxJadel s lido de revo lucin generado a l g ira r en to rno al e je x la reg in que se ha lla debajo de y = f x ) , y e l volum enb^ I (g (x ))2d x del s lido de revo lucin p roduc ido a l g ira r a lrededo r d e l e je x la reg in que se encuen tra debajoade y = g(x).U n a f rm u la sem ejan teV = n \ d [(f (y ))2 - (g ( y ))2 ]dyJ c (F rm ula de w asher)se cum ple cuando la reg in qu ed a en tre dos cu rvas x = f (y ) y x = g (y ) y en tre y = c y y = d , y se g ira en to rno ale je y. (Se supone que 0 < g(y) < f ( y ) p a ra c < y < d.)yyx* La palabra washer (arandela) se usa porque cada delgada franja vertical de la regin que se gira produce un slido parecido a una parte de las caeras llamada arandela. www.FreeLibros.me^ 243~^EJEMPLO 30.3. Considere un slido de revolucin obtenido al girar en torno al eje x la regin limitada por las curvas y = 4x2, x = 0 y y = 16 (la misma regin que en la figura 30.5). Aqu la curva superior es y = 16 y la inferior, y = 4x2. As, por la frmula de washer,V = [162 - (4 x2)2 ] dx = ^ 0256 - 16x4 ] dx = ^ 256x - -yx5)]2 = ^ (512 - j = l0^Mtodo de capas cilindricasConsidrese el slido de revolucin obtenido al g irar en torno al eje y la regin en el prim er cuadrante entre el eje x y la curva y = f x ) , y que yace entre x = a y x = b (fig. 30.7). Entonces, el volum en del slido est dado por*b *bV = 2 n \ x f (x) dx = 2 n \ xy dx (Frm ula de capas cilindricas)Ja JaEn el problem a 10 se ofrece la justificacin de esta frmula.U na frm ula sim ilar se cum ple cuando los papeles de x y y se invierten, es decir, la regin en el prim er cuadrante entre el eje y y la curva x = f y ) , y que queda entre y = c y y = d, gira alrededor del eje xV = 2 n \ y f (y) dy = 2 n \ yx dyJ c J cEJEMPLO 30.4. Gire en torno del eje y la regin que est por encima del eje x y por debajo de y = 2x2, y entre x = 0 y x = 5. Por la frmula de capas cilindricas, el slido resultante tiene el volumen2 n j o xy dx = 2 n j o x(2x2) dx = 4 n ^ x 3dx = ^ (x 4)]0 = 625^Observe que el volumen hubiera podido calcularse m ediante la frm ula de washer, pero el clculo hubiera sido un tanto m s com plicado.Diferencia de la frmula de capasSea 0 < g(x) < f x ) en un intervalo [a, b] con a > 0. Sea la regin del prim er cuadrante que est entre las curvas y = f x ) y y = g(x) y entre x = a y x = b. Entonces el volum en del slido de revolucin obtenido al girar alrededor del eje y se obtiene con*bV = 2 n I x ( f (x) - g(x)) dx (D iferencia de la frm ula de capas)CAPTULO 30 Aplicaciones de Integracin II: volumen www.FreeLibros.meCAPTULO 30 Aplicaciones de Integracin I I : volumenEsto se deduce obviam ente de la frm ula de capas cilindricas, ya que el volum en requerido es la diferencia de los dos volmenes obtenidos m ediante la frm ula de capas cilindricas. Ntese que una frm ula sim ilar es vlida cuando los papeles de x y y se invierten.EJEMPLO 30.5. Considere la regin del primer cuadrante limitada por encima por y = x2, por debajo por y = x3 y que queda entre x = 0 y x = 1. Cuando se le gira en torno al eje y, esta regin genera un slido de revolucin cuyo volumen, de acuerdo con la diferencia de la frmula de capas, es2 ^ J o x( x2 - x 3) dx = 2 ^ Jo( x3 - x4) dx = 2 n | 4 x4 - 5 x 5 /1 1\ n- \ 4 5] - 10Frmula de la seccin transversal (frmula de las rebanadas)Supngase que un slido queda por com pleto entre el plano perpendicular al eje x en x = a y el plano perpendicular al eje x en x = b. Para cada x tal que a < x < b, supngase que el plano perpendicular al eje x en ese valor de x corta el slido en una regin de rea A(x) (fig. 30.8). Entonces, el volum en V del slido est dado porfbV = I A(x) dx (Frm ula de la seccin transversal)1JaEn el problem a 11 se ofrece una com probacin.Fig. 3 0 .8EJEMPLO 30.6. Suponga que la mitad de un salami de longitud h es tal que una seccin transversal perpendicular al eje del salami, a una distancia x del extremo O, es un circulo de radio *Jx (fig. 30.9). Por tanto, el rea A(x) de la seccin transversal es n (^ fx ) 2 = n x . Asi, con la frmula de la seccin transversal se obtieneV = A(x) dx = n x d x = - ? x 2 J0 J0 2Fig. 3 0 .9t Est frmula tambin se conoce como la frmula de las rebanadas porque cada rea de corte transversal A(x) se obtiene cortando el slido en rebanadas. www.FreeLibros.me-^ 245^PROBLEMAS RESUELTOS1. Halle el volumen de un cono de altura h, cuya base tiene radio r.El cono se genera al girar en torno al eje x la regin que se halla entre la recta y = r x y el eje x, entre x = 0 y x = h [fig. 30.2a)]. Por la frmula del disco, el volumen del cono esn J , y 2 dx = 4 0 ^ x 2 dx = Eh r (I x3) = (113 )= 1 n r 2h2. Determine el volumen de un cilindro de altura h y radio r.El cilindro se genera cuando se gira en torno al eje x la regin que yace entre la recta y = r y el eje x, entre x = 0 y x = h [fig. 30.2b)]. Por la frmula del disco, el volumen del cilindro es/h ^ 246^ - CAPTULO 30 Aplicaciones de integracin I I : volumenb) (Primera solucin) Con la frm ula de capas cilindricas resulta el volumenV = 2nJo xy dx = 2nJo x(x3) dx = 2nJo x4dx = 2 n ( -^x5) = 64=n (Segunda solucin) A l integrar a lo largo del eje y y utilizar la frm ula de w asher se obtiene el volumenV =^ r 22 )2 dy =K 4 _ y2/]dy= K {4y ~ 5y553) =^ (32_(i)32)=65^5. H alle el volum en del slido obtenido al girar alrededor del eje y la regin que est en el prim er cuadrantedentro del crculo x2 + y2 = r2 y entre y = a y y = r (donde 0 < a < r) (fig. 30.11). (El slido es una tapa polar de una esfera de radio r.)Fig. 3 0 .1 1A l integrar a lo largo del eje y , al usar la frm ula del disco se obtiene el volum enV = x2dy = x j (r2 - y2)dy = n { r2y - 1y3 )]^ = f r3 - (r2a - 1 a 3)) = -3 (2 r 3 - 3r 2a + a3)6. H alle el volum en del slido obtenido al girar en torno al eje y la regin que se encuentra en el prim ercuadrante y est lim itada por arriba, por la parbola y = 2 - x2 y por debajo, por la parbola y = x2 (fig. 30.12)Fig. 30 .12 www.FreeLibros.me-^ 247^Las curvas se intersecan en (1, 1). Por la diferencia de la frmula de capas cilindricas, el volumen esV = 2n J x((2 -x2) - x2) dx = 4^ Jq( x - x3) dx = 4n{ 1 x2 - j x4) = 4n{ ^ - j ) = n7. Considere la regin ^ acotada por la parbola y = 4x2 y las rectas x = 0 y y = 16 (fig. 30.5). Encuentre elvolumen del slido obtenido al girar ^ en torno a la recta y = -2.La solucin de este problema se reduce al caso de una revolucin en torno al eje x. Se sube la regin 3t verticalmente a una distancia de 2 unidades. Esto cambia 3t en una regin 3t* acotada por debajo por la parbola y = 4x2 + 2, a la izquierda por el eje y, y por encima por la recta y = 18 (fig. 30.13). Entonces, el slido de revolucin original tiene el mismo volumen que el slido de revolucin obtenido al girar ^ * alrededor del eje x. El ltimo volumen se obtiene mediante la frmula de washer:V = ^ J q2(182 - (4 x 2 + 2)2) dx = f t j q2(256 - 16x4 - 16x2 - 4) dx = n{252x - y x 5 - f x3 )| = (504 - y 2 - ) =8. Como en el problema 7, considrese la regin ^ acotada por la parbola y = 4x2 y las rectas x = 0 y y = 16 (fig.30.5). Halle el volumen del slido obtenido al girar ^ en torno de la recta x = -1.Fig. 3 0 .1 3Para resolver este problema, se reduce al caso de una revolucin sobre el eje y. Se mueve la regin ^ a la derecha una distancia equivalente a 1 unidad. Esto convierte a ^ en una regin ^ acotada a la derecha por la parbola y = 4(x - 1)2, por encima por y = 16 y a la izquierda por x = 1 (fig. 30.14). El volumen deseado es el mismo que el obtenido cuando se gira i%* alrededor del eje y. El ltimo volumen se obtuvo mediante la diferencia de la frmula de capas cilindricas:V = 2x3 x(16 - 4(x -1)2) dx = 2x 3 x(16 - 4 x2 + 8x - 4) dx = 2n j (16x - 4x3 + 8x2 - 4x) dx = 2^ (8x2 - x4 + f x3 - 2x2 )]3= 2 ^ [(7 2 - 81 + 72 - 1 8 ) - ( 8 - 1 + f - 2 ) ] = ^CAPTULO 30 Aplicaciones de integracin II: volumen www.FreeLibros.meCAPTULO 30 Aplicaciones de integracin I I : volumenyFig. 3 0 .1 4fbJustifique la frmula del disco V = n I ( f (x ))2dx.b - aSe divide el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud Ax = ^ (fig. 30.15).Considere el volumen Vi obtenido al girar la regin 3tt por encima del i-simo subintervalo en torno al eje x.Si m y M son el mnimo absoluto y el mximo absoluto de f en el i-simo intervalo, entonces Vi queda entre el volumen de un cilindro de radio mi y altura Ax y el volumen de un cilindro de radio M y altura Ax. Luego,Vn m 2Ax < V < n M fAx y, por tanto, m 2 < - M i2. (Se ha supuesto que el volumen de un cilindro de radior y altura h es n r 2h.) Por consiguiente, por el teorema del valor medio intermedio para la funcin continua f(x))2, existe un x* en el i-simo subintervalo tal que ^ x = (f (x*))2 y, por ello, V = n ( f (x*))2 A x. Entonces,n nV = X V = n ^ ( f (x*))2Ax Haciendo n ^ + ^ , se obtiene la frmula del disco.Axxbxa xFig. 30 .1 5 www.FreeLibros.me-^ 249^rb10. Justifique la frm ula de capas cilndricas: V = 2 n I x f (x) dx.aSe divide [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud Ax (fig. 30.16). Sea 3 tt la regin porencim a del i-simo subintervalo. Sea x* el punto medio - 2girar la regin ^ en torno al eje y es aproxim adam ente el slido obtenido al girar el rectngulo con base Ax y altura y* = f (x*). Este ltim o slido es una capa cilndrica, es decir, queda entre los cilindros obtenidos al g irar los rectngulos con la m ism a altura f (x*) y con base [0, xi-1] y [0, xj. Por tanto, tiene volum enx x 2f (x*) - n x h f (x*) = n f (x*)( x2 - x]_x)= n f (x*)(x - xi_1)(xi + xw) = n f ( x*)(2x*)(Ax) = 2n x*f (x*)(Ax)n bLuego, el V total se aproxim a por 2 n S x*f (x*)Ax , el cual tiende a 2^ x f (x)dx cuando n ^ + ^ .adel i-sim o intervalo. El slido obtenido alb11. Justifique la frm ula de la seccin transversal: V = I A(x) dx.aSe divide [a, b] en n subintervalos iguales [xi-1, x j , y se elige un punto x * en [xi-1, x j . Si n es grande, Ax es pequeo y la pieza de slido entre xi-1 y x estar prxim a a un disco (no circular) de grosor Ax y rea de basenA (x*) (fig. 30.17). Este disco tiene el volum en A (x*) Ax. Entonces, V se aproxim a m ediante ^ A( x *) Ax, querb i=1tiende a I A(x) dx cuando n ^ + ^ .aFig. 3 0 .1 6yFig. 30.17CAPTULO 30 Aplicaciones de integracin II: volumen www.FreeLibros.meCAPTULO 30 Aplicaciones de integracin I I : volumen12. Un slido tiene una base circular con radio de 4 unidades. Halle el volumen del slido si cada seccin plana perpendicular a un dimetro fijo en particular es un tringulo equiltero.Se toma el circulo como en la figura 30.18, con el dimetro fijo sobre el eje x. La ecuacin del circulo es x2 + y2 = 16. La seccin transversal ABC del slido es un tringulo equiltero de lado 2y y rea A(x) = V3y2 = V3(16 - x2). Entonces, por la frmula de la seccin transversal,V = y3 J44(16 - x2) dx = /313. Un slido tiene una base una forma de un elipse con eje mayor 10 y eje menor 8. Determine su volumen si cada seccin perpendicular al eje mayor es un tringulo issceles con altura 6.Se toma la elipse como en la figura 30.19, con la ecuacin -2 + = 1. La seccin ABC es un tringuloissceles con base 2y, altura 6 y rea A(x) = 6y = 6 (-\/25 - x2). Por tanto,V = 44 J Sy/25 - x2 dx = 60tf2Fig. 3 0 .1 8(N tese que V 25 - x 2dx es el rea de la m itad superior del circul x2 + y2 = 25 y, p r tanto, es igual a 25^/2.)2Fig. 3 0 .1 9PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS14. Considere la regin R acotada por la parbola y2 = 8x y la recta x = 2 (fig. 30.4).a) Determine el volumen del slido generado al girar ^ en torno al eje y.b) Halle el volumen del slido generado al girar ^ alrededor de la recta x = 2.Respuestas: a) i 28 ;^ b) 256^ www.FreeLibros.me-^ 251^15. Establezca el volumen del slido generado al girar la regin ubicada entre el eje x y la parbola y = 4x - x2 alrededor de la recta y = 6.Respuesta: 1408^16. Encuentre el volumen del toro (rosquilla) generado cuando el crculo (x - a)2 + y2 = b2 gira en torno al eje y, con 0 < b < a.Respuesta: 2n2ab217. Considere la regin ^ acotada por y = -x2 - 3x + 6 y x + y = 3. Halle el volumen del slido generado cuando 3t gira en torno a:a) El eje x.b) La recta x = 3.Respuestas: a) ; b)En los problemas 18 a 26, determine el volumen generado cuando la regin indicada gira en torno a la recta dada. Aplique la frmula del disco.18. La regin acotada por y = 2x2, y = 0 y x = 5, en torno al eje x.Respuesta: 2500n19. La regin acotada por x2 - y2 = 16, y = 0 y x = 8, alrededor del eje x.Respuesta:20. La regin acotada por y = 4x2, x = 0 y y = 16, en torno a y = 16 (fig. 30.5).Respuesta:21. La regin acotada por y2 = x3, y = 0 y x = 2, alrededor del eje x.Respuesta: 4n22. La regin acotada por y = x3, y = 0 y x = 2, en torno a x = 2.Respuesta:23. La regin dentro de la curva y2 = x4(1 - x2), en torno al eje x.4~Respuesta: -3524. La regin dentro de la elipse 4x2 + 9y2 = 36, alrededor del eje x.Respuesta: 16n25. La regin dentro de la elipse 4x2 + 9y2 = 36, alrededor del eje y .Respuesta: 24nCAPTULO 30 Aplicaciones de Integracin II: volumen www.FreeLibros.me^ 252^ CAPTULO 30 Aplicaciones de integracin I I : volumen26. La regin dentro la parbola x = 9 - y2 y entre y = x - 7 y el eje y, en torno al eje y.Respuesta: 963^En los problemas 27 a 32, halle el volumen del slido generado por el giro de la regin indicada en torno a la recta dada. Aplique la frmula de washer.27. La regin acotada por y = 2x2, y = 0, x = 0 y x = 5, en torno del eje y.Respuesta: 625n28. La regin acotada por x2 - y2 = 16, y = 0 y x = 8, alrededor del eje y.Respuesta: 128V3rc29. La regin acotada por y = x3, x = 0 y y = 8, alrededor de x = 2.Respuesta: 14j4^30. La regin acotada por y = x2 y y = 4x - x2, en torno al eje x.Respuesta:31. La regin acotada por y = x2 y y = 4x - x2, en torno a y = 6.Respuesta:32. La regin acotada por x = 9 - y2 y y = x - 7, alrededor de x = 4.Respuesta: 153^En los problemas 33 a 37, determine el volumen del slido generado por el giro de la regin indicada alrededor de la recta dada. Use la frmula de capas cilindricas.33. La regin acotada por y = 2x2, y = 0, x = 0 y x = 5, en torno a x = 6.Respuesta: 375n34. La regin acotada por y = x3, y = 0 y x = 2, alrededor de y = 8.Respuesta: 320^35. La regin acotada por y = x2, y = 4x - x2, en torno a x = 5.Respuesta: ^ 4 ^36. La regin acotada por y = x2 - 5x + 6y y y = 0, alrededor del eje y.5nRespuesta: www.FreeLibros.me-^ 253^37. La regin acotada por x = 9 - y2, y = x - 7 y x = 0, alrededor de y = 3.Respuesta: 369 ^En los problemas 38 a 42, halle el volumen generado por el giro de la regin indicada alrededor de la recta dada. Use el mtodo ms apropiado.38. La regin acotada por y = e~x2, y = 0, x = 0 y x = 1, alrededor del eje y.Respuesta: ft(1 - e-1)39. La regin acotada por y = 2x2, y = 2x + 4, en torno a x = 2.Respuesta: 27n40. La regin acotada por y = 2x, y = 0 y x = 1, alrededor del eje y.4^Respuesta: - 341. La regin acotada por y = x2 y x = y2, en torno al eje x.3~Respuesta: 1 042. La regin acotada por xy = 4 y y = (x - 3)2, alrededor del eje x.Respuesta: ^ 7 ^43. Halle el volumen del tronco de un cono cuya base inferior tiene radio R, la base superior de radio r y la altura es h.Respuesta: 3 n h (r 2 + rR + R 2)44. Un slido tiene una base circular con radio de 4 unidades. Halle su volumen si todo plano perpendicular a un dimetro fijo (el eje x en la figura 30.18) es a) un semicrculo; b) un cuadrado; c) un tringulo rectngulo issceles con hipotenusa en el plano de la base.Respuestas: a) ; b) 1 0 2 4 ; c) ^45. Un slido tiene una base en forma de elipse con eje mayor 10 y eje menor 8. Determine su volumen si toda seccin perpendicular al eje mayor es un tringulo rectngulo issceles con un cateto en el plano de la base.Respuesta: -64 46. La base de un slido es la regin que ubicada en el primer cuadrante y est acotada por la recta 4x + 5y = 20 y los ejes coordenados. Halle su volumen si toda seccin plana perpendicular al eje x es un semicrculo.Respuesta:47. La base de un slido es un crculo x2 + y2 = 16x , y toda seccin plana perpendicular al eje x es un rectngulo cuya altura es el doble de la distancia del plano de la seccin al origen. Determine su volumen.Respuesta: 1024a:CAPTULO 30 Aplicaciones de integracin II: volumen www.FreeLibros.meCAPTULO 30 Aplicaciones de integracin I I : volumen48. La seccin de cierto slido cortado por un plano perpendicular al eje x es un crculo con los extremos de un dimetro que yace en las parbolas y2 = 4x y x2 = 4y. Halle su volumen.Respuesta: 28049. La seccin de cierto slido cortado por un plano perpendicular al eje x es un cuadrado con extremos de una diagonal en las parbolas y2 = 4x y x2 = 4y. Establezca su volumen.Respuesta: 1 550. Se perfora un hoyo con radio de 1 unidad en una esfera cuyo radio equivale a 3 unidades; el eje del hoyo es el dimetro de la esfera. Halle el volumen de la parte restante de la esfera.Respuesta: 64W2 www.FreeLibros.meTcnicas de integracin I: integracin por partesSi u y v son funciones, al aplicar la regla del producto se obtieneDx (uv) = uV + vu 'que puede reescribirse en trm inos de antiderivadas de la m anera siguiente:uv = J uv' dx + J vu ' dxA hora, J uv' dx puede escrib irse com o J u d v y J vu ' dx puede rep resen tarse com o J v d u .f Entonces, uv = J u d v + J v d u y, por tanto,J u d v = uv - J v d u (Integracin por partes)El propsito de la integracin por partes es rem plazar una integracin difcil J u d v por una integracin fcil J v d u .EJEMPLO 31.1. Halle Jx lnxdx.Para utilizar la frmula de la integracin por partes hay que dividir el integrando x ln x dx en dos partes u y dv, de modo que se pueda hallar fcilmente v por integracin y tambin resulte fcil hallar J v du. En este ejemplo, seau = ln x y dv = x dx. Entonces, se tiene que v = 2 x 2 y se observa que du = dx. Luego, al aplicar la frmula de la integracin por partes resulta:J x ln x d x = J u d v = uv - J vd u = (ln x)(y x2) - J ^ x2 (1dx)= 1 x2 lnx- y J x d x = -jx2lnx--4x2 + C = 4 x 2(2ln x - 1) + CLa integracin por partes puede ser ms fcil de aplicar si se form a un rectngulo com o el siguiente para el ejem plo 1:u = ln x dv = x d xdu = dx v = y x 2xf Juv' dx = \u dv, donde, despus de la integracin de la derecha, la variable v se remplaza por la funcin correspondiente de x. De hecho, por la regla de la cadena Dx(ju dv) = Dv(ju dv) Dxv = u v'. Por ende, Ju dv = Juv dx. De igual forma, Jv du = Jvu' dx.---------------4255J www.FreeLibros.meCAPTULO 31 Tcnicas de Integracin I: Integracin por partesEn la prim era fila se colocan u y dv; en la segunda, los resultados de calcular du y v. E l resultado deseado de la frm ula de integracin por partes uv - J v du puede obtenerse si se m ultiplica prim ero la esquina superior izquierda u por la esquina inferior derecha v, y luego se resta la integral del producto v du de las dos entradas v y du en la segunda fila.EJEMPLO 31.2. Halle Jx ex dx.Sea u = x y dv = e*. Ahora se esquematiza en un rectngulo como steu = x dv = exdxdu = dx v = exLuego, J xexdx = uv - J v du = xex - J ex dx = xex - ex + C= ex (x - 1) + CEJEMPLO 31.3. Halle J ex cosx dx.Sea u = e y dv = cos x dx. Con ello se elabora el rectngulou = ex dv = cos x d xdu = ex dx v = sen xEntonces, J ex cos x dx = uv - J v du = ex sen x - J ex senx dx (1)Ahora se tiene el problema de hallar J ex sen x d x , que parece ser tan difcil como la integral original J ex cos x dx. Sin embargo, se intenta hallar J exsenx dx mediante otra integracin por partes. Esta vez, sea u = ex y dv = sen x dx.u = ex dv = sen x dxdu = ex dx v = - cos xAs, J ex sen x dx = - e x cos x - j - e x cos x dx= - e x cos x + J ex cos x dx Al sustituir lo anterior en la frmula (1) resulta:| excos x d x = exsenx - ( - ex cosx + | ex cosx dx)= ex sen x + ex cos x - 1 ex cos x dx Sumado J ex cos x dx en ambos lados se obtiene 21 ex cos x dx = ex sen x + ex cos x. Entonces,| ex cos x d x = 2 (ex sen x + ex cos x)Se debe sum ar una constante arbitraria:| ex cos x dx = -2(ex sen x + ex cos x) + C Observe que para resolver este ejem plo se necesit de la aplicacin iterada de la integracin por partes. www.FreeLibros.me-^ 257^PROBLEMAS RESUELTOS1. Halle J x3ex2 dx.Sea u = x2 y dv = xex dx. Observe que v puede evaluarse mediante la sustitucin w = x2. (Se obtienev = -2 J ewdw = 2 ew = 1 ex2.)u = x 2 dv = xex dxdu = 2x d x v = 2 ex'LPor tanto, J x3ex2 dx = -j x2ex2 - J xex2 dx= 1 x2ex2 - -2 ex + C = -2 ex2 (x2 -1) + C2. Determine J ln(x2 + 2) dx.Sea u = ln (x2 + 2) y dv = dxAs, J ln(x2 + 2) dx = x ln(x2 + 2) - 2 J x 2 + 2 dx= xln(x2 + 2) - 2j(l - x 22+ 2)dx= x ln(x2 + 2) - 2x + ^ ^ tan- 1 1 I + CV2 [ y/2 y= x(ln(x2 + 2) - 2) + 2V2 tan-1 ^ + C3. Resuelva J ln xdx.Sea u = ln x y dv = dxu = ln x dx=vddu = dx v = xxJ ln x dx = x ln x - J1 dx = x ln x - x + C = x(ln x - 1) + C4. Resuelva J x sen x dx.Se tienen tres opciones: a) u = x sen x, dv = dx; b) u = sen x, dv = x dx; c) u = x, dv = sen x dx.a) Sea u = x sen x, dv = dx. Entonces, du = (sen x + x cos x) dx, v = x, yJx sen x dx = x x sen x - Jx(sen x + x cos x) dxPuesto que la integral resultante no es tan simple como la original, esta opcin se descarta.CAPTULO 31 Tcnicas de Integracin I: Integracin por partes www.FreeLibros.meCAPTULO 31 Tcnicas de Integracin I: Integracin por partesb) Sea u = sen x, dv = x dx . Entonces, du = cos x dx, v = -j x 2 yj x sen x dx = 2 x 2 sen x - J -2 x 2 cos x dxCom o la integral resultante no es tan sim ple com o la original, esta opcin tam bin se descarta.c) Sea u = x, dv = sen x dx . Entonces du = dx, v = -c o s x yJx sen x dx = x cos x J - cos x dx = x cos x + sen x + C5. H alle x 2ln x d x .dx x 3Sea u = ln x, dv = x2 dx. Entonces, du = , v = - 3- y x 2l n x d x = x p l n x - x i- = 4 p ln x - 1 x 2dx = 4 p ln x - 1 x3 + C J 3 J 3 x 3 3 J 3 96 . Resuelva J s e n xdx.Sea u = sen-1 x, dv = dxu = sen- 1 x dv = dxdu = . 1 - dx v = xPor tanto sen-1 x dx = x sen-1 x - [ , x dxJ J V T ^ x 7= x sen-1 x + \ J 1 _ x 2)~1/2( - 2x )dx= x sen-1 x + y (2(1 - x 2)1/2) + C (por la frm ula abreviada I)= x sen-1 x + (1 - x 2)1/2 + C = x sen 1 x + V1 - x 2 + C7. Resuelva J tan -1 x dx.Sea u = tan-1 x , dv = dxu = tan 1 x dx=dvdu = 1 2 dx 1 + x2 v = xPor ende,tan-1 x d x = x tan-1 x - L x 2 dx = xtan-1 x - i L 2x 2 dx J J 1 + x2 ^ 1 + x2= x tan-1 x - 2 ln(1 + x2) + C (por la frmula abreviada II)8. Halle J sec3 x dx.Sea u = sec x, dv = sec2 x dxu = sec x dv = sec2 x d xdu = sec x tan x d x v = tan x www.FreeLibros.meAsi,Por consiguiente, Asi,J sec3 x d x = sec x tan x - J sec x tan2 x dx= sec x tan x - J sec x(sec2 x - 1) dx = sec x tan x - J sec3 x dx +J sec x dx = sec x tan x - J sec3 x d x + ln Isec x + tan x I2 J sec3 x d x = sec x tan x + ln Isec x + tan x I J sec3 x d x = -j(sec x tan x + ln Isec x + tan x I) + C4 259^9. Halle J x2 sen x d x .Sea u = x2, dv = sen x dx. Asi, du = 2x dx y v = -cos x. Entonces,J x 2sen x d x = - x 2 cos x ~ j ~2x cos x d x = - x 2 cos x + 2 J x cos x dx Ahora se aplica la integracin por partes a J x cos x d x , con u = x y dv = cos x dx, con lo que se obtiene| x cos x = x sen x - J" sen x dx = x sen x + cos xPor tanto, |x 2 sen x dx = - x2 cos x + 2(x sen x + cos x) + C10. Halle J x3e2xdx.Sea u = x3, dv = e21 dx. Entonces, du = 3x2 dx, v = 2 e2x yJ x 3e2 xdx = 1 x 3e2 x - f J x 2e2 xdx Para la integral resultante, sea u = x2 y dv = e2x dx. Entonces, du = 2x dx, v = 1 e2x yJ x3e2xdx = -2 x 3e2x - f | y x2e2x - J xe2xdx j = -2 x 2e2x - 7 x2e2x + -| J xe2xdx Para la integral resultante, sea u = x y dv = e2x dx. Entonces, du = dx, v = 1 e2x yf x^e2xdx_1 x3e2x _3 x 2 e2x 1 1 xe^x__1 [ e^xdx\_1 x^e^x_3 x 2e2x 1 3 xe^x _3 e2x + CI c UX 2 ^ ^ ^^ K t ^ 2 2 ^^ UA I ^^ K ^^ K T 4 AC 811. Derive la siguiente frm ula reduccin para Jsen x dx.Sea u = sen 1 x y dv = sen x dx x d x - senxcosx + m 1 sen"-2 xm mu = sen"-1 x dv = sen x dxdu = (m - 1)senm-2 x dx v = - cos xCAPTULO 31 Tcnicas de integracin I: integracin por partes www.FreeLibros.meCAPTULO 31 Tcnicas de Integracin I: Integracin por partesJsenm x dx = -cos xsen-1 x + (m - 1)Jsen-2xcos2 x dx= - cos x sen-1 x + (m - 1) Jsen-2 x (1 - sen2 x) dx = - cos x sen-1 x + (m - 1) Jsen-2 x dx - (m - 1) J sen-2 x dxPor tanto, m Jsen x d x = - cos x sen-1x + (m - 1)J sen-2 x dxy al dividir entre m se obtiene la frmula requerida.12. Aplique la frmula de la reduccin del problema 11 para hallar Jsen2 x dx.Cuando m = 2 se tiener 2 sen xcos x , r 0J sen2 x dx = ---------- 2------+ 1 J sen0 x dxsen xcos x , r, ,= ---- 2-- + i J1 dxsen x cos x x x - sen xcos x =---- 2-- + 2 + C =---- 2---- + C13. Aplique la frmula de la reduccin del problema 11 para hallar J sen3 x dx. Cuando m = 3 se obtiener 3 sen2 x cos x 2 rJ sen3 x d x = -----------3--------+ f J sen xdxsen2 x cos x , =-------3------- f cos x + Ccos x (2 + sen2 x) + CPROBLEMAS COMPLEMENTARIOSEn los problemas 14 a 21, use la integracin por partes para comprobar las frmulas indicadas.14. x cos x d x = x sen x + cos x + C15.16.17.18.19.x sec23x dx = 4- x tan3x - irlnisec x I + Ccos l 2 x d x = x cos l 2x - \/l - 4x2 + Cx tan 1 x d x = -j ( x2 + l)tan 1 x - x + Cx 2e 3x dx = ^ -3 e 3x (x2 + x + -2) + Cx 3 sen xdx = - x 3 cos x + 3 x 2sen x + 6 x cos x - 6sen x + C3 www.FreeLibros.me20. J xsen '(x2) dx = 1 x 2sen ' (x2) + \ /1 - x4 + C2 1 . r ^ d x = - ln x i + cx 2 xr2n 2%22. Demuestre que x sen nx dx = para algn entero n positivo.23. Demuestre la frmula de reduccin siguiente:f secn x dx = tanx^ x + secn-2 x dxJ n - 1 n - 1 J24. Aplique el problema 23 para hallar J sec4 x dx.Respuesta: y tan x(sec2 x + 2) + C25. Pruebe la frmula de reduccin:1_(___x + r dx |(a2 + x 2)n 2n - 2 ( (a2 + x 2)n-1 J (a2 + x2)n-1 Jx 226. Aplique el problema 25 para hallar I dx.J (a + x )Respuesta: 2 ( j + tan 1 )+ C 2 \ a + x a ayf xn+127. Demuestre J xn ln x dx = (n + ^ 2 [(n +1) (ln x -1 )] + C para * -1.28. Pruebe la frmula de reduccin I" x neadx = 1 x neax - I" x n 1eaxd x .a a4261^J29. Utilice el problema 28 y el ejemplo 31.2 de este captulo para demostrar que J x 2exdx = ex (x 2 - 2x + 2) + C.CAPTULO 31 Tcnicas de integracin I: integracin por partes www.FreeLibros.meTcnicas de integracin II: integrandos trigonomtricos y sustituciones trigonomtricasIntegrandos trigonomtricos1. Considrense las integrales de la forma, Jsenkx cosnx d x , con k y n enteros no negativos.Tipo 1. A l menos uno de entre sen x y cos x se presenta en una potencia impar. Entonces es factible la sustitucin de una funcin por la otra.EJEMPLO 32.1. Jsen3 x cos2 xdx.Sea u = cos x . Entonces, du = -sen x dx. Por tanto,Jsen3 x cos2 xd x = Jsen2 x cos2 x sen xdx= J (1 - cos2 x)cos2 x sen x dx= -J(1 - u2)u2 du = J(u4 - u2) du= y u5 - J u3 + C = y cos5 x - 1 cos3 x + CEJEMPLO 32.2. Jsen4 x cos7 x d x .Sea u = sen x . Entonces, du = cos x dx yJsen4 x cos7 x d x = Jsen4 x cos6 x cos xdx= J u4(1 - u2)3du = J u4(1 -3u2 + 3u4 - u6)du= J (u5 - 3u6 + 3u8 - u10) du= -g- u6 - 3 u7 + y u9 - IX u11 + C = -sen6 x - ysen7 x + ^ sen9 x -11 sen11 x + CEJEMPLO 32.3. Jsen5 xdx.Sea u = cos x . Entonces, du = -sen x dx y26w---------------- www.FreeLibros.me-^ 263^J sen5 x dx = J sen4 x sen x dx = J (1 - cos2 x)2 sen x dx= - J (1 - u 2)2du = - J (1 - 2u2 + u4) du = (u - -fu3 + y u 5) + C = - ycos5 x + -2cos3 x - cosx + CTipo 2. Ambas potencias de sen x y cos x son pares. Esto siempre supone un clculo ms tedioso mediante las identidades2 1 + cos2x 2 1 - cos2xcos2 x =----- y sen2 x = -EJEMPLO 32.4.J cos2 x sen4x dx = J (cos2 x)(sen2 x)2 dx1 + cos2x \ / 1 - cos2x=j /1+c2s2x v1 - c2s2x )2 dx_ J^ 1 + cos 2x 1 - 2cos2x + cos2 2x J ^ x= -1 J (1(1 - 2cos2x + cos2 2x) + (cos2x)(1 - 2cos2x + cos2 2x)) dx = -8 J (1 - 2cos2x + cos2 2x + cos2x - 2cos2 2x + cos3 2x) dx = 1 J (1 - cos2x - cos2 2x + cos3 2x) dx = 1 1J 1 dx - J cos2x dx - J cos2 2x d x + J cos3 2x d x j = 8 (x - se2 x - J 1 + cs4x dx + J(cos2x)(1 - sen2 2x)dx)- ^ |x + sen44xJ + Jcos2x dx - 1 J u2 du| [donde u = sen 2x]_ U x _ sen2x _ x _ sen 4 x , sen 2x _ 1 sen3 2x \ , c M x 2 2 ^ 2 2 3 11 / x sen4x sen* 2x 1 ,^^ 2 8 6x _ sen 4 x _ sen* 2x 16 64 48 C2. Considrense las integrales de la formaj tan4 x secn x dx, con k y n enteros no negativos. Cabe recordar que sec2 x = 1 + tan2 x.Tipo 1. n es par. se sustituye u = tan x.EJEMPLO 32.5. J tan2 x sec4 xdx.Sea u = tan x, du = sec2 x dx. Entonces,J tan2 x sec4 x d x = J tan2 x(1 + tan2 x)sec2 x d x = J u 2(1 + u2) du= J (u4 + u2) du = 1 u5 + 1 u3 + C = ^ tan5 x +1 tan3 x + CCAPTULO 32 Tcnicas de integracin II: integrandos trigonomtricos www.FreeLibros.me^ 264^Tipo 2. n es impar y k es impar: se sustituye u = sec x.EJEMPLO 32.6. J tan3 x sec x d x .Sea u = sec x, du = sec x tan x dx. Entonces,J tan3 x sec x dx = J tan2 x sec x tan x dx = J (sec2 x -1) sec x tan x dx= J (u2 - 1) du = j u3 - u + C = 1sec3 x - sec x + CTipo 3. n es impar y k es par . Este caso generalmente requiere un clculo tedioso.EJEMPLO 32.7.Jtan2 x sec x dx = J(sec2 x - 1)secxdx = J(sec3 x - secx) dx= 2 (sec x tan x + ln Isec x + tan xI) - ln Isec x + tan xl + C (por el problema 8 del captulo 31) = ^ (sec x tan x - lnIsec x + tan xl) + C3. Considrense integrales de la forma sen JAx cos Bx dx, Jsen Ax sen Bx dx, y Jcos Ax cos Bx dx. Se necesitarn las identidadessen A x cos Bx = 1 (sen (A + B) x + sen (A - B)x) sen A x sen Bx = 1 (cos (A - B) x - cos (A + B)x) cos A x cos Bx = 1 (cos (A - B) x + cos (A + B)x)EJEMPLO 32.8.J sen 7 x cos 3x dx = (sen (7 + 3)x + sen (7 - 3)x) dx = (sen 10x + sen 4x) dx = ^ (- 1 0 ^ 10 x - j cos4 x) + C = --40(2cos10 x + 5cos4 x) + CEJEMPLO 32.9.Jsen 7 x sen 3x dx = (cos(7 - 3)x + cos(7 + 3)x) dx = J 7 (cos 4x - cos 10x) dx = 7 (j sen 4x r^0 sen 10x) + C = ^ (5 sen 4x - 2 sen 10x) + CEJEMPLO 32.10.J cos 7 x cos 3x dx = J-^ (cos(7 - 3)x + cos(7 + 3)x) dx = J-Tt (cos 4x - cos 10x) dx = 2 (:4 sen 4x + T1^ sen 10x) + C = (5 sen 4x + 2 sen 10x) + C__________ CAPTULO 32 Tcnicas de Integracin I I : Integrandos trigonom tricosSustituciones trigonomtricasHay tres clases principales de sustituciones trigonomtricas. En seguida se explica cada una mediante un ejemplo tpico.EJEMPLO 32.11. Resuelva dxx 2^/4 + x2Sea x = 2 tan 0, es decir, 0 = tan-1(x/2). As,dx = 2sec2 d dd y >/4 + x2 = 4 4 + 4 tan2 6 = 2>/l + tan2 6 = 2yfsc26 = 2 sec0! www.FreeLibros.me-^ 265^Por definicin de la tangente inversa, -n /2 < 0< n/2. As, cos 0 > 0 y, por tanto, sec 0 > 0. Luego, sec 0 = I sec 0 I = %/ 4 + x 2/ 2 . Por ende,2sec2 0 d 0f dx _ f_J x ^ 4 + x2 J 4 tan 2 0(2sec 0)_ 4 J i e a 0 T _ 4 J ^ _ 4 J (sen0)-2 co s0 d 0_ -(sen0 )- ) + C _ - - 0 + CA hora debe evaluarse sen 0.M todo analtico: sen0 = tan0 x /2sec 6 >/4 + x 2/2 V4 + x 2 'M todo geom trico: traza el tringulo rectngulo que aparece en la figura 32.1. Con base en l observe que sen0 = x a / + x 2 . (Ntese que tam bin se cum ple para 0 < 0.)Por tanto, Jdxx 2V4 + x 2 4x+CFig. 3 2 .1Este ejem plo ilustra la regla general siguiente:Estrategia I. Si 4 a 2 + x 2 se p resen ta en un in tegrado , p ru eb e a u sar la sustituc in x = a tan 0.EJEMPLO 32.12. H alle J dxx 2y9 - x 2Sea x = 3 sen 0, es decir, 0 = sen-1(x/3). Entonces, dx = 3 cos 0 d0 yy9 - x 2 =y/ 9 - 9sen2 0 = 3>/sen20 = 3>/cos2 0 = 3!cos0!Por definicin de la inversa de seno, -n /2 < 0 < n/2 y, por consiguiente, cos 0 > 0. As, co s0 = Icos0I = V9 - x 2/ 3 . Ahora,dx f 3 cos 0 d0 1f 1 cosec2 0 dex 2V9 - x 2 9 sen2 0 (3 cos 0) 9 J1= - cot 9 + C = - ^ Z + C = - - k9 9 sen 0E ste ejem plo ilustra el mtodo general siguiente:9 x/3i V 9 T99 x - + CEstrategia II. Si y/a2 - x 2 se p resen ta en un in tegrado , p ru eb e u sar la sustituc in x = a sen 0.EJEMPLO 32.13. Resuelva J dx V x2 - 4 'xx222CAPTULO 32 Tcnicas de integracin II: integrandos trigonomtricos www.FreeLibros.me^ 266^ CAPTULO 32 Tcnicas de integracin I I : integrandos trigonom tricosSea x = 2 sec 0, es decir, 0 = sec 1(x/2). Entonces, dx = 2 sec 0 dd yJx2 - 4 =V4sec2 0 - 4 = Wsec2 0-1 = Wtan2 0 = 2!tan0!Por definicin de la inversa de secante, 0 est en el primer o tercer cuadrante y, por consiguiente, tan 0 > 0. Entonces, tan 9 = itan 0! = Vx2 - 4 /2. Ahora,f x2 . _ f 4 sec2 0(2 sec 0 tan 0) ,f4 J 2 tan0= 4 J sec3 0d0= 2(sec 0 tan 0 + ln isec 0 + tan 0! + C) (por el problema 8 del capitulo 31)= 2 yx2 - 42 2 ln + CWx2 - 4Wx2 - 4 2 ln - Vx2 - 4 + C+ 2ln |x + Vx2 - 4 + K donde K = C - 2ln2Este ejemplo ilustra el mtodo general que sigue:Estrategia III. Si Vx2 - a2 se presenta en un integrado, trate de usar la sustitucin x = a sec 0.PROBLEMAS RESUELTOSEn los problemas 1 a 23, compruebe las soluciones dadas. Recuerde las identidadessen2 u = (1 - cos2u) cos2 u -2(1 + cos2u) sen2x = 2sen x cosx1. J sen2 x d x = J (1 - cos2x) dx = ( x - sen2x) + C = -j( x - sen x cos x) + C .2. J cos2(3x) dx = J (1 + cos 6x) dx = 2 (x + 1 sen6x) + C.3. J sen3 x dx = J sen2 x sen x dx = J (1 - cos2 x) sen x dx= Jsen x d x + J cos2 x(-sen x) dx = cos x + -3 cos3 x + C (por la frmula abreviada I).4. Jsen2 x cos3 x d x = Jsen2 x cos2 x cos x d x= Jsen2 x(1 - sen2 x)cosx dx = Jsen2 x cos x d x - J sen4 x cos x d x= sen3 x - sen5 x + C (por la frm ula abreviada I) .2 22 www.FreeLibros.me-----4267^5. Jsen3(3x)cos5(3x) dx = J (1 - cos2 (3x))cos5 (3x)sen(3x) dx= J cos5 (3x) sen(3x) dx - J cos7 (3x) sen3x dx= -3 J cos5 (3x)(-3sen (3x)) dx + 73 J cos7 (3x)(-3 sen(3x)) dx= -y-g-cos6 (3x) + 11cos8 (3x) + C (por la frmula abreviada I)= ^ 2(3 cos8 (3x) - 4 cos6 (3x)) + C6. J cos313 J dx = J^ 1 - sen2^ 3 JJ co s^ d x= J^ 1 - sen213 JJcos 3 dx = J cos-j dx - Jsen213 J cos^dx = 3sen-|- - 3jsen213 3 ^ 3 J dx = 3sen 3 - 31 sen31 3 J + C (por la frmula abreviada I)= 3sen-x - sen3^ 3 J + C7. Jsen4 xd x = J (sen2 x)2 dx = 4 J (1 - cos(2x))2 dx= 1 J1 dx - 2 J cos(2x) dx + ^ J cos2 (2x)dx= ^ x - ^ sen(2x) +1J (1 + cos4 x)) dx= -4 x - i4sen (2x) + (x + ^ sen (4x)) + C= -3 x - jsen (2x) + sen (4x) + C8. Jsen2 x cos2 x d x = 4 Jsen2(2x) dx = 8 J (1 - cos(4 x)) dx= 8(x - isen(4 x)) + C = -8 x - i2sen(4 x) + C9. Jsen4(3x)cos2(3x) dx = J (sen2(3x)cos2(3x))sen2(3x) dx= -1 Jsen2(6 x)(1 - cos(6x)) dx= -1 Jsen2(6x) dx - -1 Jsen2(6x)cos(6x) dx= j6- J (1 - cos(12x)) dx - 4g Jsen2(6x)(6cos(6x)) dx= 116 (x -12 sen(12x)) - -^ sen3 (6x) + C (por la frmula abreviada I)= 16 x - Tksen(12x)) - -^ -sen3 (6x) + C10. J sen 3 x sen 2x dx = J (cos(3x - 2x) - cos (3x + 2x)) dx= -2 J(cos x - cos 5x)) dx = i (sen x - y sen 5x) + C= j sen x - sen 5x) + CCAPTULO 32 Tcnicas de Integracin II: Integrandos trigonomtricos www.FreeLibros.me11. Jsen3x cos5x dx = J y (sen(3x - 5x) + sen (3x + 5x)) dx= 1 J (sen(-2 x) + sen (8x)) dx = 1 J ( - sen(2 x) + sen (8 x)) dx = y(ycos(2x) - -1cos(8 x)) + C = -4cos(2 x) - 16cos(8x) + C12. J cos4 x cos2 x dx = 2 J (cos(2 x) + cos(6x)) dx= -2(y sen(2 x) + 6sen(6x)) + C = ysen(2x) +12 sen(6x) + C13. J> /1 - cos x dx = y2 J sen | x J dx | por sen21 J = 1 ~ ^os x j= y2 |- 2 c o s (x J| + C = -2yj2 cos(x J + Cr ., /^ r ^ /3 x \ , n l3 x \ 1 + cos(3x)14. J (1 + cos3x)3/2 dx = 2y2 J cos3l ^ l dx puesto que cos2l ^ l = ------- 2------__________ CAPTULO 32 Tcnicas de integracin I I : integrandos trigonom tricos16. J tan4 x d x = J tan2 x tan2 x d x = J tan2 x(sec2 x - 1) dx = J tan2 x sec2 x d x - J tan2 x dx= -3 tan3 x - J (sec2 x - 1)dx (por la frmula abreviada I) = 3 tan3 x - (tan x - x) + C = -3 tan3 x - tan x + x + C www.FreeLibros.me17. J tan5 xd x = J tan3 x tan2 xd x = J tan3 x(sec2 x -1) dx= J tan3 x sec2 x d x - J tan3 dx= 4 tan4 x - J tan x(sec2 x - 1) dx (por la frmula abreviada I)= tan4 x - J tan x sec2 x d x + J tan x dx= 14 tan4 x - -2 tan2 x + ln Isec xl + C (por la frmula abreviada I)18. J sec4 (2 x) dx = J sec2 (2 x) sec2 (2 x) dx= J sec2(2x)(1 + tan2(2x) dx = J sec2(2 x) dx + J sec2(2 x)tan2(2 x) dx = -2 tan(2 x) + J tan2(2 x)(2 sec2 (2 x)) dx = j- tan(2 x) + y 1 tan3 (2 x) + C (por la frmula abreviada I)= j- tan(2 x) + tan3 (2x) + C19. J tan3 (3x) sec4 (3x) dx = J tan3 (3x)(1 + tan2 (3x)) sec2 (3x) dx= J tan3 (3x) sec2 (3x) dx + J tan5 (3x) sec2 (3x) dx= CAPTULO 32 Tcnicas de integracin I I : integrandos trigonom tricos24. Resuelva J -v/9 - 4 x2 dx.y9 - 4x 2 = 2^J9 - x 2 . Entonces, sea x = -| sen 0. Luego,dx = f cosQdQ y V 9 - 4x 2 = V 9- 9sen2e = 3^ cos2 0 = 3!cos0! = 3cos0Por tanto,V9 - 4 x 2 = f 3 cosQ (|co sQ ) dd r cos2 Q rm = n f 1 - sen2 Qdx = J^*sen0= 3 J-cos-QQdQ = 3 J- J senQ J senQ -ddPero,Entonces,25. Resuelva= 3J(cosec Q - sen Q) dQ = 3 ln lco secQ - cot Q \ + 3 Q cos + C cos _ y/9 - 4 x 2/3 _ V9 - 4 x 2co sec0 = s e = y c o t0 = s e n e " 2 x /3 2xs9 - 4 x 2 dx = 3ln3 - V 9 - 4 x 2 + y 9 - 4 x 2 + K donde " = C - 3 ln 2dx- W 9 - 4 x2Sea x = f ta n Q (fig. 32.2). Entonces, dx = f s e c 2Q y y9 - 4 x2 = 3 se ce . Por consiguiente,J 2 sec2 QdQ= r _ !W 9 + 4x2 J (-|tanQ)(3secQ)= 3 Jcosec QdQ = -3 lnlcosec Q - cotQ! + C= -g-lnV9 + 4 x 2 - 3 KV 9 - 4x:Fig. 3 2 .226. H alle J (16 - 9x2)3 -d x .Sea x = i sen 0 (fig. 32.3). Entonces, dx = f cosQdQ y V 16 - 9x 2 = 4 c o se . Por tanto, (16 - 9x 2)3/2 f (64cos3 6)(j^cos6d6)4026 sen6 e= 2 4 3 J co t4 e co sec 2 e d e = - ^ 4 3 cot5 e + c16243 (16 - 9x 2)5/2 ' 80 243x5. C _ _ 1 (16 - 9x2)5/2 , C + C 80 x 5 + Cxx xx36x www.FreeLibros.meFig. 3 2 .327. Halle l~ x 2dx _ r_J . h v _ Jx 2 dx-v/2x - x2 J -si 1 - (x - l)2Sea x - 1 = sen 0 (fig. 32.4). Entonces, dx = cos 0d0 y *J2x - x 2 = cos0 . Por tanto,x 2dx _ r (1 + sen 0)2 cos0r x 2dx _ rW 2 x - x2 J co s0 d0= J(1 + sen0)2d0 = J(f + 2sen 0 - -j cos20) d0= f 0 - 2cos0 -i4sen20 + C= -| sen 1(x - 1) - 2yj2x - x 2 - 2^(x - 1)>/2x - x 2 + C = -| sen-1(x - 1) - 2(x + 3)yj2x - x 2 + Cx1Fig. 3 2 .428. Resuelva f-J (dx dx-^ 271^(4x2 - 24x + 27)3/2 J (4(x - 3)2 - 9)3/2 'Sea x- 3 = fsec0 (fig. 32.5). Entonces, dx = fsec0 tan0 d0 y yj4x2 - 24x + 27 = 3tan0. Luego, r dx |--|sec0tan0d0 1(4x 2 - 24x + 27)3, 27 tan3 0 18= 118 Jco sec0 co t0 d0= - 118cosec0+ C = -1- x 39 *J4x2 - 24 x + 27V4x2 - 24x + 27C (de la figura 32.5)Fig. 32 .5 .PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS29. J cos2 x d x = 1 x + y sen2x + C30. Jsen32x dx = -6cos32x - ^ cos 2x + C3CAPTULO 32 Tcnicas de Integracin II: Integrandos trigonomtricos www.FreeLibros.me^ 272^ CAPTULO 32 Tcnicas de integracin I I : integrandos trigonom tricossen4 2xdx = 4-x - r sen4x + --sen 8x + Ccos4 -jxd x = x + ysenx + Ij-sen 2x + Ccos6 -j x dx = 16 x + y senx + ^ sen 2x - 34 sen* x + Csen2 xcos5 xd x = ysen3 x - f s e n 5x + ysen7 x + Csen3 x cos2 x d x = y cos5 x - Ic o s3 x + C sen3xcos3x d x = -48 cos32x -1 6 cos 2x + C sen4 x cos4 x dx = (3x - sen 4x + jsen 8x + Csen 2xcos 4x dx = ic o s 2x - -A-cos 6x + Ccos 3x cos 2x dx = ^sen x + 10sen5x + Csen 5x senx dx = -5-sen 4x - Ij- sen6x + C1----------------------------- t i l A T T ;1 - sen x 2dx = - f c o t 5/3 x + Ccos4 x dx = cosec x - 4-cosec3 x + Csen4 x 3x(cos3 x2 - sen3 x2) dx = ^ (senx2 + cos x2)(4 + sen2x2) + Ctan3 3x sec 3x dx = i sec3 3x - 3 sec 3x + Ctan3/2 x sec4 x dx = | tan5/2 x + f tan9/2 x + Csen7 x dx = +cos7 x - i cos5 x + cos3 x - cosx + Ctan3 xd x = + tan2 x + lnlcos xl + Ctan4 x sec4 x dx = + tan7 x + -r tan5 x + C www.FreeLibros.me-^ 273^50.51.52.53.54.55.56.57.58.59.60.61.62.63.64.65.66.67.cot3 x d x = - + cot2 x - lnlsen x I + Ccot3 x cosec4 x dx = -jCot4 x -^ cot6 x + Ccot3 x cosec3 x dx = -1 cosec5 x + } cosec3 + Ccosec4 2x dx = - + cot 2x - -6 cot3 2x + C( )4 dx = - ^ - V - + C\tan x 3tan3 x tan xcot3 xcosec x dx = - sen x - cosec x + Ctan x >J sec x dx = 2^sec x + Cdx(4 - x2)3/2 4J 4 - x2 + C-dx = 5ln5-V 25-: W 25 - x2 + Cdxx 2\ / a2 - x 2- + C-v/x2 + 4 dx = -j xVx2 + 4 + 2ln(x + V x 2 + 4) + Cx2 dx(a2 - x2)3/2 Va2 - x2 -v/x2 - 4 dx = -2 Wx2 - 4 - 2ln|x + Vx2 - 41 + CVx2 + a2 /2 , 2 , a Va^ +x2 - a-d x = 4 x TT a 2 + a l^ a + x a + Ca 2 + x 2 + ax 2dx(4 - x 2)5/2 12(4 - x 2)3dx-+ C(a2 + x 2)3/2 a24 0 F + x2+Cdxx 2 y/9 - x 9x-+ C= 2W x 2 - 16 + 8ln|x + -Jx 2 - 16| + Cy/x2 - 1 6 2xx xx3x2CAPTULO 32 Tcnicas de Integracin II: Integrandos trigonomtricos www.FreeLibros.me^ 274^68. J x3Va2 - x 2 dx = 5 (a2 - x2)5/2 - O- ( a2 - x2)3/2 + C69. f . dx = ln (x - 2 + V x2 - 4 x + 1 3 ) + C J V x2 - 4 x +1370 f dx _ x - 2 , C7 0 J (4x- x2)3/2 - 444^ C71 f dx _ _Ltan- ^ x ) + x + C. j (9 + x2 ) 2 54 tan U / + 18(9 + x2) + CEn los problemas 72 y 73, aplique primero integracin por partes.72. j x sen -1 x dx = - i(2x 2 - 1)sen-1 x + 4 x*J 1 - x 2 + C73. J x cos-1 x d x = 4 (2x 2 - 1)cos- 1 x - - 4xV 1 - x2 + C__________ CAPTULO 32 Tcnicas de integracin I I : integrandos trigonom tricos www.FreeLibros.meTcnicas de integracin III: integracin por fracciones parcialesr N (x)En este captulo se expondr un m todo general para hallar las antiderivadas de la form a | d - ) dx, donde N (x )N (x)y D (x) son polinom ios. U na funcin de la form a d ( x) se denom ina func in racional. [N(x) es el num erador y D (x ) el denominador.] A guisa de ejem plo considerer x - 1 . r x3 - x ,-,dx y I -TT- dxjx3 + ^ y x + 2Supnganse dos restricciones, pero n inguna de ellas lim ita la aplicabilidad de este m todo: i) el prim er coeficiente (el coeficiente de la potencia m s alta de x) en D(x) es +1; ii) N (x ) es de grado m enor que D(x). Un coeficiente N(x)/D(x) que satisfaga ii) se denom ina funcin racional propia . Observe que las restricciones i) yii) no son esenciales.N (x) 2x3EJEMPLO 33.1. Considrese el caso donde ( es ----r. Aqu, la primera restriccin no se satisface. Sin, , D(x) 5x8 + 3x - 4 M Fembargo, se observa quef 2x3 . _ 1 f 2x-----dx = 1 f ------ 2x3------dx5x8 + 3x - 4 dx 5 J x8 + f x - 4La integral del lado derecho satisface las restricciones i) y ii).N (x) 2x5 + 7: rO ( es-2 , 0D(x) x 2 + 3N (x) 2x5 + 7EJEMPLO 33.2. Considere el caso donde es x2 + 3 . Aqu, la segunda restriccin no satisface. Pero se puede dividir N(x) entre D(x):2x5 + 7 _ 2x3 + 18x + 7x2 + 3 2x 6x + x2 + 3Por tanto, 2x2 ^1 dx - 2 x4 - 3x2 +[ 2Jx2 + 3 2 Jx2 + 318 x + 7 dxr 18 x + 7y el problema se reduce a evaluar J 2 + 3 dx, la cual satisface las restricciones.U n polinom io es irreductible si no es el producto de dos polinom ios de grado menor.Todo polinom io lineal f(x) = ax + b es irreductible autom ticam ente, ya que los polinom ios de grados m enores que f (x ) son constantes y f (x ) no es el producto de dos constantes.A hora considrese cualquier polinom io cuadrtico g(x) = ax2 + bx + c. Entonces,-----4275^g(x) es irreducible si y slo si b2 - 4ac < 0. www.FreeLibros.me^ 276^ CAPTULO 33 Tcnicas de integracin I I I : integracin por fracciones parcialesPara com probar esto, sea g(x) reducible. Entonces, g(x) = (Ax + B)(C x + D). Por consiguiente, x = -B /A y x = -D /C son races de f x ) . Con la frm ula cuadrticax -b V b2 - 4ac x 2ase deberan obtener tales races. Por tanto, b2 - 4ac no puede ser negativa. Considrese recprocam ente que b2 - 4ac > 0. As, con la frm ula cuadrtica se obtienen dos races de g(x). Pero si r es una raz de g(x), se tiene que g(x) es divisible entre x - r.* Por consiguiente, g(x) es reducible.EJEMPLO 33.3.a) x2 + 4 es irreductible, ya que b2 - 4ac = 0 - 4(1)(4) = -16 < 0.b) x2 + x - 4 es reducible, ya que b2 - 4ac = 1 - 4(1)(-4) = 17 > 0.Se considerar sin prueba alguna la siguiente propiedad equitativa de los polinom ios con coeficientes reales.Teorema 33.1. Todo polinomio D(x) con 1 como coeficiente principal puede expresarse como producto de factores lineales de la forma x - a y de factores cuadrticos irreductibles de la forma x2 + bx + c. (Se permite la repeticin de factores.)EJEMPLO 33.4.a) x3 - 4x = x(x2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)b) x3 + 4x = x(x2 + 4) (x2 + 4 es irreductible)c) x4 - 9 = (x2 - 3)(x2 + 3) = (x - V3)(x + V3)(x2 + 3) (x2 + 3 es irreductible)d) x3 - 3x2 - x + 3 = (x + 1)(x - 2)2Mtodo de fracciones parcialesConsidere que se desea evaluar J D (^) dx, donde D (x) es una funcin racional propia y D(x) tiene 1 comocoeficiente principal. Prim ero se escribe D(x) con producto de factores lineales y cuadrticos irreductibles.E l m todo depender de esta factorizacin. Se considerarn varios casos; en cada uno de ellos se explicar prim ero el m todo por m edio de un ejem plo y luego se plantear el procedim iento general.C a so ID(x) es un producto de factores lineales distintos.EJEMPLO 33.5. Resuelva f dx .J x2 - 4En este caso, D(x) = x2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Se escribe1 A , B(x - 2)(x + 2) x - 2 x + 2Supngase que A y B son ciertas constantes, que se deben evaluar ahora. Se eliminan los denominadores multiplicando ambos lados por (x - 2)(x + 2):1 = A(x + 2) + B(x - 2) (1)Primero se sustituye x por -2 en (1): 1 = A(0) + B(-4) = -4B. Entonces, B = -y.Luego, se sustituye x por 2 en (1): 1 = A(4) + B(0) = 4A. En estas condiciones A = -j. Por tanto,1 = _1 1(x - 2)(x + 2) 4 x - 2 4 x + 2* En general, si un polinomio h(x) tiene r como raz, entonces h(x) debe ser divisible entre x - r. www.FreeLibros.me-^ 277^ - ( 4 7^ - 1 ITI )* - -4ln|x - 2'-* ln'* + 2'+C= |(ln!x - 2! - lnix + 2!) + C x - 2= -lnx + 2 +CEJEMPLO 33.6. Resuelva J (x + 1) dxJ x 3 + x2 - 6xx +1Al factorizar el denominador se obtiene x(x2 + x - 6) = x(x - 2)(x + 3). El integrando es x x 2)(x + 3). Se representa de la forma siguiente:x +1 = A , B , Cx (x - 2)(x + 3) x x - 2 x - 3 Se eliminan los denominadores multiplicando por x(x - 2)(x + 3):x + 1 = A(x -2)(x + 3) + Bx(x + 3) + Cx(x - 2) (2)Sea x = 0 en (2): 1 = A(-2)(3) + B(0)(3) + C(0)(-2) = - 6A. Luego, A = - i .Sea x = 2 en (2): 3 = A(0)(5) + B(2)(5) + C(2)(0) = 10B. Por ende, B = 1^Sea x = -3 en (2): -2 = A(-5)(0) + B(-3)(0) + C(-3)(-5) = 15C. Entonces, C = - 5 .Asi f (x + 1) dx = f(- 1 1 + ________ 2 - ^ ) dx^ J x3 + x2 - 6x J l 6 x + 10 x + 2 15 x + 3 ax= --6 ln! x ! + 1j-ln! x + 2! - 1 f ln! x + 3! +CR eg la g e n e ra l p a ra el c a s o I ASe representa el integrando com o una sum a de trm inos de la fo rm a ------- por cada factor lineal x - a del de-x - anominador, donde A es una constante desconocida. Se despejan las constantes. A l integrar se obtiene una suma de trm inos de la form a A ln !x - a!.Observacin: supngase sin prueba alguna que el integrando siempre tiene una representacin de la clase requerida. Todo problem a en particular puede com probarse al final del clculo.C a so IID(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se presentan m s de una vez..7. Halle J j 3x + 5)dx .J x3 - x2 - x + 1EJEMPLO 33. x3 - x2 - x - Primero se factoriza el denominador*x3 - x2 - x + 1 = (x + 1)(x - 1)2Luego, se representa el integrando 53x + 5---- como una suma, de esta forma:x3 - x2 - x +13x + 5 A , B , Cx 3 - x2 - x +1 x +1 x - 1 (x - 1)2* Al tratar de hallar los factores lineales de un denominador que es un polinomio con coeficientes integrales, se prueba cada unode los divisores r del trmino constante para ver si es una raz del polinomio. Si lo es, entonces x - r es un factor del polinomio. En el ejemplo dado, el trmino constante es 1. Sus dos divisores, 1 y -1, resultan ser races.CAPTULO 33 Tcnicas de integracin III: integracin por fracciones parciales www.FreeLibros.meCAPTULO 33 Tcnicas de integracin I I I : integracin por fracciones parcialesSe observa que para el factor (x - 1) esto ocurre dos veces, y que hay trminos tanto con (x - 1) como con (x - 1)2 en el denominador. Ahora se eliminan los denominadores multiplicando ambos miembros por (x + 1)(x - 1)2:3x + 5 = A(x - 1)2 + B(x + 1) + C(x + 1) (1)Sea x = 1. Entonces, 8 = (0)A + (2)(0)B + (2)C = 2C. Luego, C = 4.Sea x = -1. Entonces, 2 = (4)A + (0)(-2)B + (0)C = 4A. Por tanto, A = -j .Para hallar B se comparan los coeficientes de x2 a ambos lados de (1). A la izquierda es 0 y a la derecha es A + B. Por tanto, A + B = 0. Como A = -j , B = -y. Entonces,3x + 5 = ____+ 4__ L_x3 - x2 - x +1 2 x +1 2 x - 1 (x - 2)2Por tanto,J x (-xx+ 5) f + 1 = * t o Ix +1I-+lnIx - 11 + 4 jPor la frmula abreviada I, (X^ = (x - 1)_2 dx =-(x - 1)_1 =-Entonces, f 3(3x + 5) d = -j lnix +11 - -^lni x - 11 - 4 1 1 + CJ x3 - x2 - x + 1 2 2 x - 1= ilnj^ +jf -r + c2 i x - 11 x - 1EJEMPLO 33.8. Resuelva J(x +1) dxx3(x - 2)2'Se representa el integrando 3((X + ^ ^^2 de la forma siguiente:(x + 1) A + _B + C_ + + Ex3(x - 2)2 x + x2 + x3 + x - 2 + (x - 2)2Los denominadores se eliminan multiplicando por x3(x - 2)2:x + 1 = Ax2(x - 2)2 + Bx(x - 2)2 + C(x - 2)2 + Dx3(x - 2) + Ex3Sea x = 0. Entonces, 1 = 4C. As, C = ^Sea x = 2. Por tanto, 3 = 8E. Luego, E = 3.Se comparan los coeficientes de x. Entonces, 1 = 4B - 4C. Como C = ,^ B = -j.Se comparan los coeficientes de x2. Entonces, 0 = 4A - 4B + 4C. Como B = ^y C = ,^ A = :-. Se comparan los coeficientes de x4. Entonces, 0 = A + D. Como A = ^ , D = - j .As, _ J x ^ = 1 1 + 1 1 + 1 1 - 1 ^ + 3_^_x3(x - 2)2 4 x 2 x2 4 x3 4 x - 2 8 (x - 2)2(x + 1) dx 1 1 1 1 1 1x3(x - 2)2= 4 l n l x I ^ - ! - ^ - V ^ l n I x - 2I--3- 2 x 8 x2 4 8 . +C4x+1 3 18x2 8 x - 2 +C1ex www.FreeLibros.me^ 279^R eg la g e n e ra l p a ra el c a s o IIPara cada factor lineal repetido (x - r) que se presenta k veces en el denominador, se utilizaA A A + - ^ 2 + - + 7 como parte de la representacin del integrando. Cada factor lineal que ocurrex r (x r) (x r)slo una vez se maneja como en el caso I.C a so IIID(x) es un producto de uno o ms factores cuadrticos irreductibles distintos y posiblemente tambin algunos factores lineales (que pueden presentarse ms de una vez).R eg la g e n e ra l p a ra el c a s o IIILos factores lineales se manejan como en los casos I y II. Por cada factor cuadrtico irreductible x2 + bx + c seEl integrando se representa de esta forma:(x 1) = A + Bx + C + Dx + Ex( x2 + 1)( x2 +2) x x2 + 1 x2 + 2Se eliminan los denominadores multiplicando por x(x2 + 1)(x2 + 2)x - 1 = A(x2+ 1)(x2 + 2) + (Bx + C)x(x2 + 2) + (Dx + E)x(x2 + 1)Se multiplica a la derecha:x - 1 = (A + B + D)x4 + (B + E)x3 + (3A + C + D)x2 + (2C + E)x + 2AAl comparar los coeficientes se obtiene:2A = -1 , 2C + E = 1, 3A + C + D = 0, B + E = 0, A + B + D = 0Por tanto, A = 1 y, en consecuencia, C + D = -|, B + D = 2 . De las dos ltimas ecuaciones, C - B = 1. De 2C + E =1 y B + E = 0, se obtiene 2C - B = 1. Ahora, de C - B = 1 y de 2C - B = 1 se llega a C = 0. Por tanto, de C - B = 1,B = -1 . Entonces, de B + D = 2 se obtiene D = -|. Finalmente, de B + E = 0, E = 1.As,coloca un trmino Ax + fi en la representacin del integrando.x2 + bx + c( x - 1) ____ x + 1 3x + 22 x x2 + 1 2 x2 + 2x( x2 + 1)( x2 + 2)Por tanto,Ahora, (por la frmula abreviada II)Adems,Por consiguiente,CAPTULO 33 Tcnicas de Integracin III: Integracin por fracciones parciales www.FreeLibros.me^ 280^ CAPTULO 33 Tcnicas de Integracin I I I : Integracin por fracciones parcialesCaso IVD(x) es un producto de cero o ms factores lineales y uno o ms factores cuadrticos irreductibles.Regla general para el caso IVLos factores lineales se manejan como en los casos I y II. Por cada factor cuadrtico irreductible x2 + bx + c que se presente a la k-sima potencia, se inserta como parte de la representacin del integrando:A1x + B1 A2 x + B2 Akx + Bkx 2 + bx + c (x 2 + bx + c)2 (x2 + bx + c)kEJEMPLO 3 3 .1 0 . Halle f-2f 2+ 3r dx.J (x2 + 1)2Sea 2x + 3 = Ax + B + Cx + D . Entonces, (x2 + 1)2 x2 +1 (x 2+1)22x2 + 3 = (Ax + B)(x2 + 1) + Cx + D = Ax3 + Bx2 + (A + C)x +(B + D)Se comparan los coeficientes: A = 0, B = 2, A + C = 0, B + D = 3. Por tanto, C = 0, D = 1. As,r 2x2 + 3 . _ f 2(x2 +1)2 J x2 +1 J (x2 + 1)= 2 tan 1 x + , 1 , dxJ (x2 +1)2En la segunda integral, sea x = tan 0. Entonces, sec2 8 d6f . 2 1 . .2 dx = f sec 4 , = (cos20 dB = 2 ( 6 + sen0 cos0)J (x2 +1)2 J sec4 0 J 2= 1 ( e + t m e1 ) = 2 ( tan-1;2 l tan20 + 1/ H x2 + 1As, ' 2x2 + 3 , = 5 tan-1 x + 1 x(x2 + 1)2 = 2 tan x + 2 x2 +1 + CPROBLEMAS RESUELTOS1. Resuelva fx ---- x--x1 dx.J x - xEl integrando es una fraccin impropia. Por divisin,x4 - x3 - x - 1 = x - x +1 = x - x + 1x3 - x2 x3 - x2 x2(x - 1)r + 1 A R CSe escribe = + -^ r + -^r y se obtienex 2(x - 1) x x2 x - 1x + 1 = A x (x - 1) + B(x - 1) + Cx2 www.FreeLibros.mePara x = 0, 1 = -B y B = -1 . Para x = 1, 2 = C. Para x = 2, 3 = 2A + B + 4C y A = -2 . Entonces, r x4 - x3 - x - 1= 1 x2 + 2lnlxI - 1 - 2 ln lx -11 + C = 1 x2- 1 + 2ln 2 x 2 x x - 1 + C2. Halle' x dx ( x + 2)(x + 3).Sea ( x + 2)( x + 3) x + 2 x + 3 . Se eliminan los denominadores:x = A(x + 3) + B(x + 2)-^ 281^Sea x = -2 . Entonces, -2 = A. Sea x = -3 . Entonces -3 = -B . Luego, B = 3.f x dx 1 1I? = - 2 dx + 3 - 7 7 dx J (x + 2)(x + 3) x + 2 x + 3= 2lnl x + 21 + 3lnl x + 31 + C = ln((x +2)2) + ln(lx + 3I)3 + C (x + 3)3= ln(x + 2)2 + C3. Resuelva J Seax2 + 2 -dx .x(x + 2)(x - 1) x2 + 2 _ A . B C . Se eliminan los denominadores:x(x + 2)( x 1) x x + 2 x 1'x2 + 2 = A(x + 2)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 2)Sea x = 0; entonces 2 = -2A. Luego, A = -1 . Sea x = -2 ; entonces 6 = 6B. Luego, B = 1. Sea x = 1; entonces, 3 = 3C . Luego, C = 1. Por tanto,-Tzdx = - f1 dx + I" dx + dx c- 1) J x J x + 2 J x - 1x(x + 2)(x - 1) J x J x + 2 J x - 1= lnl x I + lnl x + 2I + lnl x - 1l + C = ln ( x + 2)(x - 1) + C4. ResuelvaSeax3 +1 - dx .(x + 2)(x - 1)3x 3 + 1 A B C D 3. Se eliminan los denominadores:(x + 2)(x - 1)3 x + 2 x - 1 (x - 1)2 (x - 1)3'x3 + 1 = A(x - 1)3 + B(x + 2)(x - 1)2 + C(x + 2)(x - 1) + D(x + 2)Sea x = -2 ; entonces, -7 = -27A. Luego A = ^ Sea x = 1; entonces 2 = 3D. Luego, D = -f. Ahora se comparan los coeficientes de x3. As, 1 = A + B, ya que A = ^7. y B = . Se comparan los coeficientes de x2. Entonces0 = -3A + C, ya que A = ^7, y C = 7 .Entonces, 1 (x + 23)(+x 1)3 dx = 271 x+ 2 dx + f xIdx +1 O !? dx + 31 dx27 ln l x + 2l + 20 ln l x 11 9 x - 1 3 (x ^ 1 )2 CxCAPTULO 33 Tcnicas de Integracin III: Integracin por fracciones parciales www.FreeLibros.meCAPTULO 33 Tcnicas de integracin I I I : integracin por fracciones parciales5. H alleJ x3 + x 2 + x + 2 x 4 + 3x2 + 2dx.x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 1)(x2 + 2). Se escribe x3 + x2 + x + 2 _ A x + B . C x + D y se obtienex4 + 3x2 + 2 x 2 + 1 x 2 + 2x3 + x2 + x + 2 = (Ax + B )(x2 + 2) + (Cx + D)(x2 + 1)= (A + C)x3 + (B + D )x2 + (2A + C)x + (2B + D)Por consiguiente, A + C = 1, B + D = 1, 2A + C = 1 y 2B + D = 2. A l despejar sim ultneam ente se obtiene A = 0, B = 1, C = 1 y D = 0. Entonces,r x3 + x 2 + x + 2 dx = r 1 dx + rJ x 4 + 3x2 + 2 dx i x 2 + 1 dx + J ;x 2 + 2 dx= tan-1 x + | l n ( x 2 + 2) + C6. H alle -dx.' x 5 - x 4 + 4 x3 - 4 x 2 + 8 x - 4 (x2 + 2)3j l , , x 5 - x 4 + 4 x3 - 4 x 2 + 8x - 4 = A x + B , C x + D , E x+ FSe escribe . Entonces,(x2 + 2)3 _ x 2 + 2 (x2 + 2)2 (x2 + 2)3'x5 - x4 + 4x3 - 4x2 + 8x - 4 = (Ax + B)(x2 + 2)2 (Cx + D )(x2 + 2) + E x + F= Ax5 + Bx4 + (4A + C)x3 + (4B + D )x2 + (4A + 2C + E)x+ (4B + 2D + F)de donde A = 1, B = -1 , C = 0, D = 0, E = 4, F = 0. As, la integral dada es igual a' (x -1 ) dx . f x d x f x d x f dx xd x+ 4J ( I 2 2 2 F 3 J - J + 4JPor la frm ula abreviada II,y por la frm ula abreviada I,x d x 1r x d x 1 r 2 x dx 1. , , J2 -+ 2 = ^ i F + 2 = ^2ln(x + 2)Entonces,I (F+V = ^ ( *2 + 2)-(2' )d s=^J-^ 283^10. j dx = 4lnx2 + 7x + 6 5 x +1x + 6 + C1 1 x2 - - 8 dx = x + ln|(x + 2)(x- 4)4| + C12. Jx d x 2 . n--------y = lnl x - 21--------=- + C2^ x - 2(x - 2)213. J (1 -_x )3 dx = - 1 x2 - 3x - l n ( 1 - x )6- y 1 -+ C14. J dx x3 + x = ln Vx2 + 1 + C15. I"x + x + 2x + 3 dx = lW x 2 + 3 + t a n 1 x + C J (x2 + 1)(x2 + 3)16. Jx4 - 2x3 + 3x2 - x + 3 x3 - 2x2 + 3x dx = 1 x2 + ln Vx2 - 2x + 3 + C17. 2x3 dx , . 2 .. 1 ^= ln(x + 1)+ x n + C18. J2x3 + x 2 + 4 (x2 + 4)2 ^ ln(x ' 4)1 2 tan \ 2 / ' x2 + 4dx = ln (x2 + 4)+ 1 tan 1 (x ) + +C19- x3 + x - 21 dx = l ^ V x ^ n - 1 tan -1 x - 1 ^ ^ - + C J (x2 + 1)2 2 2 x2 +120. J(x2 + 1); x4 + 8x3 - x2 + 2x + 1(x2 + 3)(x3 + 1) dx = ln (x + 1)2tan 2x - 1 V3+ C21. 1 (xx + 5)(x2 +x2x + 3) * = W x 2 + 2x + 3 ^ ; 52 tan- ^ V5t an- + C22. ' x 6 + 7x5 + 15x4 + 23x2 + 25x - 3 dx = 1(x2 + x + 2)2(x2 + 1)23 - + ln x2 + * + Cx 2 + x + 2 x2 +1 x2 + x + 2xx23. __ dx __ = _ L + 1 lne2x - 3ex 3ex 9e - 324. J cos x(1 + cos2 x)= ln 1+ cos2 xcos x+ C (Sugerencia: sea ex = u.)+ C (Sugerencia: sea cos x = u.)e25. r(2 + Effl2 e y e de= lnl1 + tane i+ t^an-J 1 + tan3 e 3^ , V3 +CCAPTULO 33 Tcnicas de integracin III: integracin por fracciones parciales www.FreeLibros.meTcnicas de integracin IV: sustituciones miscelneasI. Se presupone que en una funcin racional una variable se remplaza por uno de los radicales siguientes:1. ^ ax + b . Entonces, la sustitucin ax + b = zn producir una funcin racional (repase los problemas 1 a 3).2. .yjq + p x + x 2 . Aqu, la sustitucin q + px + x2 = (z - x)2 resultar en una funcin racional (consulte el problema 4).3. -s/q + px - x2 = sj(a + x )(f i - x). En este caso, la sustitucin q + px - x2 = (a + x)2z2 producir una funcin racional (problema 5).II. Se presupone que en una funcin racional algunas variables se remplazan por sen x, por cos x o por ambas. Entonces, la sustitucin x = 2 tan z^ resultar en una integral de una funcin racional de z.Ello se debe a que2z 1 - z2 2 dz r ,sen x = ,-----2, cos x = ,-- 2 , dx = 2 (34.1)1 + z2 1 + z2 1 + z2(Repase el problema 6 para ver una derivacin de las primeras dos ecuaciones.) En el resultado final, se sustituye z por tan (x/2) (repase los problemas 7 a 10).PROBLEMAS RESUELTOS1. Resuelva dxxy 1 - xSea 1 - x = z2. Entonces, x = 1 - z2, dx = -2z dz ydx f - 2z dzr dx r -2 za z =_9 r_ d J ^ / 1 - r J (1 - z2)z J 1 -dzW 1 - x J (1 - z2)z - z2Por integracin por fracciones parciales se obtiene:- 2 A " - ln1 + z 1 - z + C . Por tanto, [ dx = ln J W1 - x 1 + V1, + C2. Resuelva dx(x - 2)Vx + 2Sea x + 2 = z2. Entonces, x = z2 - 2, dx = 2z dz edx f 2z dzf dx r 2 za z = dzJ (x - 2)>/x + 2 J z(z2 - 4) J z2 - 4^ 284^ www.FreeLibros.me-^ 285^P or integracin p or fracciones parciales queda:2 f dz = ^ l n2 J z 2 - 4 2z - 2z + 2 + C = 2 l nVx + 2 2>/x + 2 + 2 + C3. H a lle r dxJ xi/2 _ ,,1/4 'x 1/2 - xS e a x = z4. E n to n c e s , dx = 4 z 3 dz e dx r 4z3 dz 4 r z2 dz - J z2 - z " 4J z - 1= 4 (z2 z~_11+ 1 dz = 4 J (z - 1)(z +1 +1.dz = 4 II z +1 + 1z - 1 J\ z - 1= 4 (-2 z2 + z + l n l z - 11) + C = 2yfx + 4 ^ x + 4 ln ( - V x - 1) + Cdz4. H a lle dx- x V x 2 + x + 2 S e a x 2 + x + 2 = (z - x ) 2. E n to n c e s2x = z2 - 2 dx = 2(z2 + z + 2) dz J x 2 + x + 2 = z2 + z + 2X 1 + 2z , dx (1 + 2z)2 , VX + X + 2 1 + 2z2(z2 + z + 2)dx 1 z2 - (2 z2+)z + 2 dz = 21 z2^ - 2 " J lnW x 2 + x + 2 J z 2 - 2 z 2 + z + 2 1 + 2 z 1 + 2 zi - f i +Clnn/2 Vx2 + x + 2 + x + >/2+CL a e c u a c i n 2 f 2dz = ^ ln J z 2 - 2 7 21 - f i + C se o b tu v o m e d ia n te in te g r a c i n p o r fr a c c io n e s p a rc ia le s .5. R e s u e lv e r xdx J (5 - 4 x -(5 - 4 x - x 2)3/2 'S e a 5 - 4 x - x 2 = (5 + x ) ( 1 - x ) = ( 1 - x ) 2z 2. E n to n c e s ,z2 5 j 12z dz x = t ----- t , dx =1 + z2 (1 + z 2) 2 z 2 - 5 1 2 z-s/5 4 x x 2 = (1 x ) z = 6 z 1 + z 2x d x r 1 + z2 (1 + z2) 2r x d x _ r_J (5 - 4 x - x 2)3/2 _ J 2 1 6 z 3 (1 + z 2)3d z = 18 i f 1 " 1 dzz H 1 + C 5 - 2 x1 8 1 z > ^ 5 - 4 x - x 2+ C6. D a d o z = ta n (2 ), e s d e c ir , x = 2 tan lz, m u e s tre q u esen x = , 2 z 21 + z 2 c o s x == 1 z 2 1 + z 2C o m o 1 + c o s x = c o s J x \ = 1 = 1 = 12 c o s U / s e c 2(x / 2 ) 1 + ta n 2(x / 2 ) 1 + z 2e1eyCAPTULO 34 Tcnicas de Integracin IV: sustituciones miscelneas www.FreeLibros.meQ ask- CAPTULO 34 Tcnicas de integracin IV : sustituciones miscelneas2 1 z 2a l d e s p e ja r c o s x se o b t ie n e c o s x = -,---------------------------------2 1 = . T a m b i n ,F J 1 + z 2 1 + z 2- z 2 1 + z 2x \ ^ v i^ = 0 ta n (x / 2) = 2 ta n (x / 2) = 2zsen x = 2 sen ( 2 j c o s ( x / 2) = 22 / s e c 2 (x / 2) 1 + ta n 2 ( x / 2) 1 + z7. R e s u e lv a dxl+ s e n x - c o s xS e a x = tan -1 z. M e d ia n te la s e c u a c io n e s (3 4 .1 ) s e tie n e q u ef____ dx____ = f____ ________dzi 1 + s e n x - c o s x J 1 + 2z 1 - z 21 + z 2 1 + z 2- a f t y - J ( 1 - TTz ) dz - >"|Z|- 11111+z|+C - ^ + Ctan (x/2)1 + z= ln 1 + tan(x/2) + C8. H a lle ^ dx3 - 2 c o s xS e a x = 2 tan -1 z. P o r m e d io d e la s e c u a c io n e s ( 3 4 .1 ) , r e su lta2 * = w - i r -1 (W5 1 +C1 + z 21 (i/5 tan ( 2 j j .= ^ ^tan1 (V5tan (% )| + C9. R e s u e lv e ^ dx2 + c o s xS e a x = 2 tan 1 z. A l u t iliz a r la s e c u a c io n e s (3 4 .1 ) r e su lta 2 i + f c l = 1 ^ dz = 1 3 r = 3 tan-' (;zr) + C = ^ ta n - . ( f t a n (f j) + C1 +z10. R e s u e lv e dx5 + 4 s e n xS e a x = 2 tan -1 z. M e d ia n te la s e c u a c io n e s (3 4 .1 ) s e o b tie n e2dx _ r 1 + z 2 r 2 dzr___ dx___ = r 1 + z2 dz = fJ 5 + 4 s e n x , 2z2 dz J5 + 4 s e n x J 5 + 4 2 z 2 J 5 + 8z + 5 z 2 1 + z 2J11. U s e la su s titu c i n 1 - x 3 = z 2 p a ra r e s o lv e r J x 5>/1 - x 3 dx .L a su s titu c i n d a x3 = 1 - z2, 3x2 dx = - 2z dz eJ x y1 - x 3 dx = J x V 1 - x 3 (x 2 dx) = J (1 - z 2)z (- -2z d z ) = - 2 J (1 - z 2)z 2 dz( - ) + C - 45 (1 - + 3xJ) + C www.FreeLibros.meL a su s titu c i n re s u lta en dx = - dz/z2, yx - x 2 = Vz - 1/z eVz ~ 1 /_ dz ]- J z ^ dzS e a z - 1 = s2. E n to n c e s ,12. U se x = 1 para hallar xx4 x - dx.- J z y fz ^ l dz = - J(s2 + 1)(s)(2sds) = - 2 (^ 5 + ) + C= - 2 (z - 1)5/2 , (z - 1)3 + C = - 2 (1 - x )5/2 (1 - x)35x5/2 + 3x3/2+ C13. H a lle dxx 1'2 + x1'3S e a u = x 1/6, a s q u e x = u6, dx = 6 u 5 du, x 1/2 = u3 y x 1/3 = u2; e n to n c e s , s e o b tie n eJ u u + d ^ = 6j ur+n du = 6J(u 2 - u +1 - ^ + 1 ) du = 6 (33u3 - 2 u2 + u - ln lu +1|) + C= 2x 1/2 - 3x1/3 + x 1/6 - ln Ix1/6 + 11 +CPROBLEMAS COMPLEMENTARIOSEn los problemas 14 a 39, evale la integral dada.14. J ^+xx dx = 24~x - 2 tan-1 \ /x + C-^ 287^dx15. 1\/x (1 + 4 x ) = 2ln(1 + 4 x ) + Cdx : = 2N/ x +2 - 6ln(3 + Vx + 2 ) + C16. 13 + V x + 217. J 1 dx = - x + |[V3x + 2 - ln(1 + A/3x+2)] + C18. 119.dx-v/x2 - x + 1= lndx r= 2 tan \>J x 2 + x - 1 + x) + C- W x2 + x - 120. f dx = sen-1 ( ^ )+ CJ y6 + x - x 2 \ 5 I21. j 22. 1V i r i d x = - (4 x ~ x)3/2 + cxdx( x + 1 ) 1/2 + ( x + 1 ) 1/46x= 2( x + 1)1/2 - 4(x + 1)1/4 + 4ln(1 + (x + 1)1/4) + C5 3CAPTULO 34 Tcnicas de integracin IV: sustituciones miscelneas www.FreeLibros.meQ aak- CAPTULO 34 Tcnicas de integracin IV : sustituciones miscelneas23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.dx _ _JLtan-1 2 tan(x/2) + 1 + Ca i- tan i + C2 + sen x J 3 J 31 - 2 s e n x 3tan-y x - 2 - 4 3tan-y x - 2 + >/3 Cdx _ 4ln 3 t a n 4r x + 1tan-y x + 3+ C3 + 5 s e n x 4----------dx-------- = ln ltan-2 x - 1 + Csen x - c o s x - 1 1 2 1_ 1 ^ - 1 5tan(x/2) + 3 + c5 + 3sen x 2 4sen x dx V 21 + se n 2 x 4dxln ta n 21 x + 3 - 242ta n 2-2 x + 3 + 242C1 + se n x + c o s x _ ln 1 + ta n +x + C- > n " H 3 ( j ) ) + C sen 4 x dx _ - 2 4 x c o s 4 x + 2sen> /x + Cdx = - sen- 1 u CW3x2 + 2x - 1 ' 2x(gx _ 2)gxex + 1s e n x c o s x1 - c o s xdxdx = ex - 3 l n ( e x + 1 ) + Cdx = c o s x + ln (1 - c o s x ) + C(Sugerencia: se a x = 1/z.) (Sugerencia: s e a e + 1 = z.) (Sugerencia: se a c o s x = z.)x 2V 4 - x 2-s/4 - x 4 x- + C (sugerencia: se a x = 2/z.)dx - _ - - ^ + 1 tan -1 ( 2 ) + Cx 2(4 + x 2) 4 x 8y1 + 4 xd x _ 4 (1 + 4 x )5/2 - 3 (1 + 4 x )3/2 + c _____ 241+xdx3(1 - x2)-(5 + 4x)V1 - x2 3 41 + x - 4 1C-V-1/2x dx _ 10[-3 x 13/10 - Jj- x 11/10 +19 x 9/10 - 7 x 7/10 + i x 1/2 - } x 3/10 + x 1/10 - tan-1(x 1/10)] + Cx 1/5 + 1(Sugerencia: se a u = x1/10.)2tt/3 sen xdx3 2-------- y c o m p a r e e l re su lta d oc o n e l v a lo r o b te n id o p o r lo s m to d o s p r e s e n ta d o s e n e s te c a p tu lo .4 dx41. ( C G ) U s e u n a g ra fic a d o r a p a ra a p r o x im a r (c o n o c h o c ifr a s d e c im a le s ) I , y c o m p a r e e l re s u lta d o c o ne l v a lo r o b te n id o p o r lo s m to d o s p r e s e n ta d o s en e s te c a p tu lo . www.FreeLibros.meIntegrales impropiasCbPara definir una integral definida I f (x) dx es suficiente que a y b sean nmeros reales y que f (x) sea continuaJaen [a, b]. Se deben estudiar ahora dos clases de integrales, denominadas integrales impropias.Lmites de integracin infinitosa) f (x) dx = lm f (x) dxJa c^+ttJaVase los problemas 1 a 3 y 5 a 6 .b) [ f (x) dx = lm f (x) dxJ -ro c$^ J cVase el problema 4.c) J f (x) dx = J f (x) dx + J f (x) dxEsto siempre que existan ambos lmites a la derecha (vase el problema 7).Discontinuidades del integrandoa) Si f es continua en [a, b] pero discontinua desde la derecha en a, entoncespb * b I f (x) dx = lm I f (x) dxJ a u ^ a +J uVase el problema 16.b) Si f es continua en [a , b ] pero no es continua desde la izquierda en b, entonces f (x) dx = lm f (x) dxJ a u^b~ aVase los problemas 9, 10, 12, 14 y 15.c) Si f es continua en [a , b ] excepto en el punto c en (a, b), entoncesib f u pbI f (x) dx = lm I f (x) dx + lm I f (x) dxJ a u^ c~ J a u ^ c + Jusiempre que ambas integrales a la derecha existan. Vase los problemas 11 y 13.Cuando el lmite definido como una integral impropia existe, entonces la integral es convergente. En el caso opuesto, la integral es divergente. Si la integral es divergente, entonces es igual a (respectivamente -^) si el lmite que define la integral impropia tiende a + ^(correspondientemente, -).-^ 289^ www.FreeLibros.meCAPTULO 35 In teg ra les impropiasPROBLEMAS RESUELTOSr+M 1 C c 1 1r dx = lm r dx = l m ----Ji x2 c^ +^J 1 x2 c^ +~ xr+M 1Resuelva I rdx.1 x 2= l m - (C - 1j = - (0 -1 ) = 1Nota: la integral dx puede interpretarse como el rea de la regin bajo la curva y = 1/x2 y por encima del eje x, para x > 1. Entonces, una regin infinita (en el sentido de no ser acotada) puede tener un rea finita.f+M 12. Resuelva dx.J1 xf4~ 1 ?C 1 dx = lm dx = lm lnxJ1 x 1 x c^+^= lm - (ln c - 0) =es decir, la integral diverge hacia +^. f+M 13. Demuestre que I ~ ^d x converge para p > 1 y diverge hacia + ^ para p < 1.J1 x pr+M 1 ^ 1 1 1I dx = lm I dx = lm^---------_J1 xp 1 xp 1 p xpSea p > 1. Entonces, se tiene que lm z r p (c1 _ = 1__ (0 - 1) = p _ 7f+M 1Por el problema 2, ya se sabe que J x d x diverge hacia + ^ . S eap < 1. Entonces,!l i _ p (c1 - _)= Jm r _ p (c_~p - )= + ~ , ya que _ - p > 0/O4. Resuelva I erxdx para r > O.+~ 1;--- -rdx.jo x2 + 46. Halle +O e xsenx d x .J erxdx = lm J erxdx = lm ^ e "= 1 lm (1 - erc ) = 1 (1 - O) = |r cy^ r r A 7 dx = lm Jo x2 + 4 m +J oe x sen xdx = lm e x senxdxJo c^+^J o= lm ( 1 e x(senx + cos x)) (por integracin por partes)= lm [( y e c(senc + cos c)) + ]O www.FreeLibros.me-^ 291^Cuando c ^ + ^ , e-c ^ 0, mientras que sen c y cos c oscilan entre -1 y 1. Por tanto, lm e c (sen c + cos c) = 0 y, por consiguiente,J e~x sen xdx = 17. Resuelva f+" dx = f+J- ex + e~x J -exdx e2 x +1exdxP e"dx = lm Jc e"dxJe e2x +1 Je e2x + 1e du; 7 (por la sustitucin de u = ex)1 u2 + 1 Ly c= lm tan-1 u I = lm (tan-1 (ec) - tan-1 (1))= ! (tan-1(ec ) - f ) = - f = fDe igual forma,f exdx _ y f exdx J- e2x + 1 _ c Jc e2x + 1= lm 1ecdu = lm tan 1 ue u2 + 1^ - tan-1 (ec)J = - lm tan-1 (ec) = -^ - 0 == lmLuego,f+" dx = fJ- ex + e~x Jtexdxex + e~x J0 e2x + 1n . n = n 4 + 4 = 2j:exdx e2x +18. Determine el rea de la regin que queda a la derecha de x = 3 y entre la curva y = 21 1 y el eje xEl rea es|~ dx = lm f c dxJ3 x2 - 1 c J3 x2 - 11 x 1 T= 2 lm ln x + 1J (por integracin de fracciones parciales)= lm I ln-----t- - ln+1 = lm I lnc +11 1 - (1/c)2 1 + (1/c) - ln += Jr (ln 1 + ln2) = ^9. Evale 3 dx}^ 9 - x2El integrado es discontinuo en x = 3. Entonces,3 dx u dxf dx = Knl fv 9 _ x2 u^ 3 * (= lm ^ sen 1 1u J - sen 1 j = lm s^en 1 1 3 J_ = sen 1 1 = -72CAPTULO 35 Integrales impropias www.FreeLibros.meCAPTULO 35 In teg ra les im p ro p ias10. OMenga J , ^El integrado es discontinuo en x = 221d xL- = lm = lm - ln(2 - x)J0 2 - x U^ 2~ J0 7 - x ^ 2-= lm - (ln(2 - u) - ln 2)) =u>2Por tanto, la integral diverge hacia +^ .11. Resuelva f4 d^ r .J (x - 1)2El integrado es discontinuo en x = 1, el cual est dentro de (0, 4) (fig. 35.1).lm dx 2 = lm ------LU^1 J0 (x 1) U^1 x 1= lm -U>1_ i - ^ - r - (-1)) = l m - ( - J - f + 1) = + \U - 1 ) U^1- \U - 1 )4 dx 4 dxPor tanto, I ------T7 es divergente. (No se tiene que considerar lm I ---------------------- 7-7 para todo. A fin de que seaJ0 (x 1) u^1+ J0 (x 1)4 dx U dx 4 dxI 7-----convergente, tanto lm . como lm ------deben existir.)h (x - 1)2 u^1-J0 (x - 1)2 u^ 1*Ju ( x - 1)2"^ 1+ J0 (x - 1)2^ 1+ j U (x - 1)212. Determine el rea de la regin comprendida entre la curva y = =, el eje x, x = 0 y x = 1 (fig.35.2)El rea es|" , x dx = lm |"'0 ^1 _ r 2 U^r j 0 dx= lm - 1 |" (1 - x 2)1/2( - 2x) dxu>1_ 2 Jo= lm - (1 - x2 )1/2 I (por la frmula abreviada I)U^ 1_ J0= lm - [V 1 - u 2 - 1 ] = 1yyxx www.FreeLibros.me-^ 293^13. Resuelva JoEl integrado es discontinuo en x = 1, que queda dentro de (0, 4).lm ,dx = lm (x - 1)1/3dxu^ 1~ v 0 3 x 1 u l^~ v 0= lm -|(x - 1)2/3] = lm-|[(u - 1)2/3 - 1] =u>1 J0 u>1Por otra parte,lm , = lm f (x - 1)1/3 dxu^ 1+ J 0 ^ x 1 u^1+ J 0-|4= lm-f (x - 1)2/3 I = lm f[79 - (u - 1)2/3 - 1] = 9u > 1+ J 0 u > 1+Por tanto,r4 L - = lm + lmy x 1 u^ 1 J0 y x 1 u^ 1+-'u -3/.= K # -1)dxx - 1 = - f +/^ /214. Resuelva I sec xdx.0El integrado es discontinuo en x = n .rn/2 ruI sec xdx = lm I sec xdxJ0 un/2- J0T= lm ln(sec x + tan x) Iun/2 J0= lm_[ln(sec u + tan u) - ln(1 + 0)]u^n/2-= lm ln(sec u + tan u) = + u^n/2-ya que, l m sec u = + y lm tan u =u^ nl2~ u^ k!2~uEntonces, sec xdx diverge hacia15:. Resuelva P . cos x dx.J0 \1 - senxEl integrado es discontinuo en x = n .f*/2 cos x dx = lm u . cos x dx j0 V1_ senx u^ /2 J0 V1 - senxu= lm - I (1 - senx)~1/2( - cos x) dxu^ kI2~ J0= lim _ 2(1 - senx )1/2] = lm - 2[(1 - sen u)1/2 - 1] = 2u^ kI2 J0 u^ kI2CAPTULO 35 Integraleslmproplas www.FreeLibros.meCAPTULO 35 In teg ra les impropiasf1 116. Evale dx.Jo x2fi 1 ri i i "I 2 dx = lm I 2 dx = lm----Jo x u^0+ju x u>0+ xEl integrado es discontinuo en x = 0.= lm - 11 - 1 =PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS17. Evale las integrales siguientes:a)Jo Vx f4 1J o T ? ^ 372 dx = +f1 dx _ 2Jo (4 - x)372 4 dxd)g) Jo (x - 2)273f1 1j) Jo x ln xdx = --?b) f 4-r1 dx = Jo 4 - x2 1e) , dx = k; 3-2yf 4 ^ xh) J-1 $ = +~4c) Jo:o V4 - x 8 1 a . _ 9dx = 4f e x * = 2i) J^ln xdx = 118. Halle el rea de la regin comprendida entre la curva indicada y sus asntotas:a) y2 = x4 2; b) y2 = A ; c) y2 = 14 - x: y x(1 - x)Respuestas: a) 4n; b) 4n; c) 2n19. Evale las integrales dadas:x6 dx(4 - x)2a) + d t = 1 x2d) j;g) : j ) J Txe x dx = ox3e x dx = 6(4 - x)2 dxb) j : (4 *e) J T x h) :14 c) e xdx = 1o1' ln2 f )f +~ e l L dx = 2 j1 4 x en= 2 i)oJ xex dx = -120. Halle el rea de la regin comprendida entre la curva indicada y su asntota:a) y = 28 . ; b) y = x 2 ; c) y = xe-x2/27 x2 + 4 y (4 + x2)2 7Respuestas: a) 4n; b) -4; c) 221. Determine el rea de las regiones siguientes:a) Por encima del eje x, bajo y = 21 4 y a la derecha de x = 3.b) Por encima del eje x, bajo y = 1x(x - 1 ) 2 y a la derecha de x = 2Respuestas: a ) l^n5; b) 1 - ln 21x www.FreeLibros.me22. Demuestre que las reas de las regiones siguientes son infinitas:a) Por encima del eje x, bajo y = 4 1 2 desde x = -2 hasta x = 2.b) Por encima del eje x, bajo xy = 9 y a la derecha de x = 1.23. Demuestre que el rea de la regin en el primer cuadrante bajo y = e-2x es -1, y que el volumen generado al girar dicha regin en torno al eje x es -^ .24. Establezca la longitud de arco indicado: a) 9y2 = x(3 - x)2, una onda; b) x2/3 + y2/3 = a2/3, toda la longitud;c) 9y2 = x2(2x + 3), una onda.Respuestas: a) 4>/3 unidades; b) 6a unidades; c) 2^3 unidades25. Demuestre que b dx converge para p < 1 y diverge hacia para p > 1.Ja (x b)p------------- ^ 295^26. Sea 0 < f(x) < g(x) para a < x < b. Considere que lm f (x) = y lm g(x) = (fig. 35.3). No es difcilrb rb rbdemostrar que si I g(x) dx converge, entonces I f (x) dx tambin lo hace y, de forma equivalente, si I f (x) dxbno converge, entonces I g(x)dx tampoco lo hace. Un resultado semejante se cumple para a < x < b, con lmJa x^ a*remplazando a lm .x^>bA guisa de ejemplo, considere J 1 dx 4. Para 0 < x < 1,J01 - x1 - x4 = (1 - x)(1 + x)(1 + x2) < 4(1 - x) < ^ _ 4 1 - x 1 - x4Como -4 J d no converge, tampoco lo hace J 1 dx 4 .Ahora considere dx _ . Para 0 < x < 1 , -L _ < _1 Como L dx converge, entonces J0 x2 + *x x2 + fx +.!x 0 yjxdxx2 + y[x x2 + -Jx \fxbin lo hace.Determine si cada una de las integrales siguientes converge:J0 x2 + -Jxa) H e S ; b) dx ; c) f ^Respuestas: a ) y c) convergeny27. Sea 0 < f(x) < g(x) para x > a. Considere tambin que lm f (x) = lm g(x) = 0 (fig. 35.4). No es difcil demostrar+CO +CO x^ + ^ x^ + ^que, si g(x) dx converge, f (x) dx tambin lo hace (y de forma equivalente, que si f (x) dx no converge,Ja + Ja Jaentonces g(x)dx tampoco lo hace).aCAPTULO 35 Integralesimpropias www.FreeLibros.meCAPTULO 35 In teg ra les impropiasyComo ejemplo, considere dx _ _ . para x > i 1 _ _ < 1 . Puesto qUe t^dx_ converge.J Jl Vx4 + 2x + 6 Vx4 + 2x + 6 x2 M Ji x2 &entonces , ^ tambin lo hace.Jl Vx4 + 2x + 6Determine si converge o no cada una de las integrales siguientes:dx ia f+ _ *2 , . f+" dxa) P , d ; b) + e-x2dx ; c) + h Vx3 + 2x Jl V-Respuesta: todas convergenx + x28. Defina la funcin gama T(t) = J x ^ e ^ xdx para t > 0. Puede demostrarse que T(t) es convergente. (Esto se deja como tarea para el estudiante.)a) Pruebe que T(1) = 1.b) Pruebe que T(2) = 1. (Sugerencia: aplique integracin por partes.)c) Pruebe que T(t + 1) = t T(t) para toda t > 0. (Sugerencia: use integracin por partes.)d) Use la respuesta del inciso c) para demostrar que T(n + 1) = n! para todo entero positivo n. (Recuerde:n! = 1 2 3 4 ...... n.) www.FreeLibros.me36Aplicaciones de la integracin III: rea de una superficie de revolucinSi un arco de una curva gira en torno de una recta que no corta el arco, entonces la superficie resultante se denomina superficie de revolucin. Por rea de superficie de ta! superficie se entiende el rea de su superficie externa.Seaf una funcin continua en [a, b] que es diferenciable en (a, b) y tal quef(x) > 0 para a < x < b. Entonces, el rea de superficie S de la superficie de revolucin generada al girar la grfica de f en [a, b] alrededor del eje x se obtiene con la frmulaS = 2 n \a y J X + jd y dx = 2 n \ a f (x)V_ + (f '( x ))2 dx (36.1)Vase en el problema __ una justificacin de esta frmula.Hay otra frmula como la (36.1) que se obtiene cuando se intercambian los papeles de x y de y. Sea g una funcin continua en [c, d] que es diferenciable en (c, d) y tal que g(y) > 0 para c < y < d. Entonces, el rea de superficie S de la superficie de revolucin creada por el giro de la grfica de g en [c, d] alrededor del eje y se obtiene con la frmula:S = l K\ dc x )J_ + ( ddy ) dy = 2K\ dc g(yW _ + (g,(y))2 dy (36.2)Asimismo, si una curva est dada por ecuaciones paramtricas x = f(u), y = g(u) (vase el captulo 37), y si el arco desde u = u_ hasta u = u2 se gira en torno del eje x, entonces el rea de superficie de la superficie de revolucin resultante est dada por la frmulaS = 2 4 : yjld x i + 1 ! du (36.3)En este caso se ha supuesto que f y g son continuas en [u_, u2] y diferenciables en (u_, u2), y que y = g(u) > 0 en [u_, u2]. Otra frmula de este tipo se cumple en el caso de una revolucin en torno al eje y.PROBLEMAS RESUELTOS1. Determine el rea S de la superficie de revolucin creada al girar alrededor del eje x el arco de la parbola y2 = 12x de x = 0 a x = 3.Por derivacin implcita,d x = - ydx y J- 29^ www.FreeLibros.meCAPTULO 36 Aplicaciones de la integracin I I I : rea de una superficie de revolucinPor (36.1)i*3 */y2 + 36 (*3 -----------5 = 2n \ y ^ -------dx = 2n \ -J12x + 36 dxJ0J y J0= 2n(8(12x + 36)32)]0 = 24(272 - 1)n2. Determine el rea 5 de la superficie de revolucin creada al girar alrededor del eje y el arco de x = y3 de y = 0 ay = 1.d y = 3y2 y 1 + ^d y j = 1 + 9y4 . Entonces, por (36.2)S = 2n x j 1 + 9 y4 dy = 2n J^ y^ 1 + 9 y4 dy= 18 J0' (1 + 9 y4) W ) dy = 18^ (1 + 9 y4)37]0= ^ 7(1^V^ - 1)3. Establezca el rea de la superficie de revolucin creada cuando gira en torno al eje x el arco de y 2 + 4x = 2 ln yde y = 1 a y = 3.S = 1+ ( % ) dy = 2^ 3 y dy = ^ 3(1+y2) dy = 3 2 *4. H a lle e l re a d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c i n c re a d a a l g ir a r u n la z o d e la c u r v a 8a 2y 2 = a2x2 - x 4 a lre d e d o r d e l e je x ( fig . 3 6 .1 ) .Fig. 3 6 .1A q u ,P o r tantody = a2x - 2x3 dx 8a 2y1 + | dx ) 2 = 1 + (a2 - 2x2)2 = (3a2 - 2x2)2 d y ) 8a2(a2 - x2) 8a2(a2 - x2)5 = 2n [ 2 J l + d y dx = 2n [a x ^ a 2 ** 30- , 2x 2 dxJo \ Vdx) Jo 2aV2 2a^ 2 Va2 - x2= - jO i J0 (3a2 - 2x2)xdx = j ^ a2x2 + y25. E s ta b le z c a e l rea d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c i n c r e a d a a l g ir a r e n to rn o a l e je x la e lip s e 1 6 + 4 == 1.5 = M i y 4 16 4y+ x 2 dx = f dx2>/31 2f x 23 n/64 - 3 x2 + 32sen-1 ^ ^ j = 8 n 1 + 4 ^ ny4 www.FreeLibros.me6. H a lle e l re a d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c i n q u e se c re a a l g ir a r a lre d e d o r d e l e je x la h ip o c ic lo id e x = c o s 3 0, y = a sen 3 0.L a s u p e r f ic ie r e q u e r id a s e fo r m a p o r e l g ir o d e l a rco d e 0 = 0 a 0 = %. S e t ie n e q u e = 3a c o s 20 s e n 0 ,d y = 3a sen20 c o s 0 y + ( d ) = 9 a 2 c o s 2 0 se n 2 0 . E n to n c e s ,5 = 2(2n ) Jj2 J B )2 + ( % ) de = 2(2ri) Jj2( a sen 30 )3 a c o s 0 se n 0 dd1 2a2n5(u nid ades cu adradas)Fig. 3 6 .2+ ( d ) = 8 _ s e n 0 s e n 2 0 - c o s 0 c o s 2 0 ) = 8 (1 - c o s 0 )E n to n c e s ,S = 2 J^o (2sen0 - sen20)(2V2>/1 - cos0 ) dd = 8y[2n ^ sen0(1 - cos)32dd = ^ ^ (1 - cos)52 j128n (u n id a d e s a l c u a d ra d o )8. D e m u e s tr e q u e e l rea d e la s u p e r f ic ie d e u n c ilin d ro d e r a d io r y a ltu ra h e s 2nrh.L a s u p e r f ic ie se c r e a c u a n d o se g ir a a lre d e d o r d e l e je x la c u r v a y = r, d e x = 0 a x = h. C o m o d - = 0,1 + ( ~dx J = 1 . E n to n c e s , p o r ( 3 6 .1 ) ,rh hS = 2k]o rdx = 2n{rx)] = 2nrh9. D e m u e s tr e q u e e l rea d e la s u p e r f ic ie d e u n a e s fe r a d e r a d io r e s n r2.E l re a d e la s u p e r f ic ie se c r e a a l g ir a r en to rn o a l e je x e l s e m ic r c u lo y = V r2 - x 2 d e x = - r a x = r. P o r s im e tr a , s te e s e l d o b le d e l re a d e la s u p e r f ic ie d e x = 0 a x = r. C o m o y 2 = r 2 - x 2,2yl = - 2 Xdy xy, por tanto, r~ = ----dx y 1+1 f 1 = 1 +x J =^y2 y2-^ 299^7 . H a lle e l re a d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c i n c re a d a c u a n d o se g ir a la c a r d io id e x = c o s 3 0 - c o s 2 0, y = 2 sen0- sen 20 a lre d e d o r d e l e je x.L a s u p e r f ic ie r e q u e r id a s e fo r m a p o r e l g ir o d e l a rco d e 0 = 0 a 0 = n ( f ig . 3 6 .2 ). S e t ie n e q u e= - 2 s e n 0 + 2 s e n 2 0 , = 2 c o s 0 - 2 c o s 2 0 ,do dayy205y 2yCAPTULO 36 Aplicaciones de la integracin III: rea de una superficie de revolucin www.FreeLibros.meCAPTULO 36 Aplicaciones de la integracin I I I : rea de una superficie de revolucinE n c o n s e c u e n c ia , p o r (3 6 .1 )10. a ) D e m u e s tr e q u e e l rea d e la s u p e r f ic ie d e u n c o n o c o n b a s e r y a ltu ra in c lin a d a s ( fig . 3 6 .3 ) e s nrs.b) D e m u e s tr e q u e e l rea d e la s u p e r f ic ie d e l tro n c o d e u n c o n o c o n b a s e s r 1 y r 2 y a ltu ra in c lin a d a u (fig . 3 6 .4 ) e s n(r1 + r2)u . ( O b s e r v e q u e e l tronco se o b t ie n e a l g ira r la a ltu ra d e la p e n d ie n te en to rn o d e la b a s e d e l tr i n g u lo .)Fig. 3 6 .4a ) S e c o rta e l c o n o a lo la r g o d e u n a a ltu ra in c lin a d a y se a b re c o m o p a rte d e un c r c u lo d e r a d io s (c o m o se m u e stra e n la fig u r a 3 6 .5 ). O b s e r v e q u e la p a rte d e la c ir c u n fe r e n c ia c o rta d a p o r e sta r e g i n e s 2nr (la c ir c u n fe r e n c ia d e la b a s e d e l c o n o ) . A h o r a , e l rea d e s e a d a S e s la d ife r e n c ia en tre ns2 (e l re a d e l c r c u loe n la fig u r a 3 6 .5 ) y e l rea A 1 d e u n s e c to r c ir c u la r c o n n g u lo c e n tra l 0. E l rea A 1 e s -2r(n s 2) = 0 s 2 .2k s 2n r 2C o m o e l a rc o c o rta d o p o r 0 e s 2%s - 2nr, s e o b t ie n e 0 = ------ s------ A s , A 1 = n(s - r)s . P o r lo tan to ,S = ns2 - n(s - r)s = nrs u n id a d e s a l c u a d ra d o .b) D e lo s tr i n g u lo s se m e ja n te s e n la fig u r a 3 6 .4 se o b tie n e = -. E n to n c e s , r2u 1 = r 1u 1 + r 1u. P o r '1 '2-. A h o r a , p o r e l r e s u lta d o d e l in c is o a), e l re a d e la s u p e r f ic ie d e u n tro n c o e s nr2(u1 + u)tan to , u =1 r2 '1- nr1u1 = n(r2 - r 1) u 1 + nr2u = nr1u + nr2u = n(r1 + r2)u u n id a d e s a l c u a d ra d o . www.FreeLibros.me-^ 301^11. Esboce una com probacin de la frm ula (36.1).S u p n g a s e q u e [a , b] se d iv id e en n s u b in te rv a lo s ig u a le s . [xk-1, xk], c a d a u n o d e lo n g itu d A x = b ^ . E l rea d e s u p e r f ic ie to ta l S e s la su m a d e la s re as d e s u p e r f ic ie Sk c re a d a s p o r lo s a r c o s en tre lo s p u n to s [xk-1, f x k-1)] y [xk, f(xk)], c a d a u n o d e lo s c u a le s e s a p ro x im a d o p o r e l rea d e s u p e r f ic ie g e n e ra d a p o r e l se g m e n to de r e c ta e n tre [xk-1, f x k-1)] y [xk, f x k)]. L a lt im a e s e l re a d e u n tro n c o d e u n c o n o . E n la n o ta c i n d e la fig u ra 3 6 .6 , e s to e s , en v ir tu d d e l p r o b le m a 1o b ):f (xk-1)+f (xk )2 +(Ay )2 = 2nf (xk-1) + f (xk A/(A x )2 + ( A y )2A h o ra , - f (xk , d o n d e e l p r o m e d io d e f x k-1) y f(xk) e s t en tre e sto s d o s v a lo r e s y p o r e l te o re m a d elv a lo r in te rm e d io , e s ig u a l a f ( x * ) p a ra a lg n x* en (xk-1, x k). T a m b i n , -J(Ax)2 + ( A y ) 2 = ^ 1 + ^ j A x . P o r e l te o re m a d e l v a lo r m e d io , = f ' ( x # ) p a ra a lg n x# e n (xk-1, x k). E n to n c e s , S se a p r o x im a p o r la su m a 2nf (x* W 1 + (f ' (x# )) Axy e s p o s ib le d e m o stra r q u e e sta su m a p u e d e r e a liz a r s e a rb itra r ia m e n te p r x im a a 2n j f (x 1 + ( f ' ( x ))2 d x .f P o r tan to , la lt im a e s ig u a l a S . aFig. 3 6 .6xPROBLEMAS COMPLEMENTARIOSE n lo s p r o b le m a s 1 2 a 2 o , d e te rm in e e l rea d e la s u p e r f ic ie d e r e v o lu c i n c r e a d a c u a n d o g ir a e l a rco in d ic a d o a lre d e d o r d e l e je in d ic a d o .12. y = mx d e x = o a x = 2; e je x Respuesta: 4 mn^l 1 + m 2f En general, puede probarse el resultado siguiente: teorema de Bliss. Sean f y g son continuas en [a, b]. Se divide [a, b] en subintervalos [xk-1, xk], con a = xo < x1 < . < xn < b y sea Akx = xk - xk-1. En cada [xk-1, xk], se escoge x * y x # . Entonces, lasuma de la aproximacin ^ f (x*)g (x#)Ak x puede hacerse arbitrariamente prxima a J f (x)g (x)dx cuando n ^ +~ yk=1 ahaciendo que las longitudes mximas de los subintervalos tiendan a o.CAPTULO 36 Aplicaciones de la integracin III: rea de una superficie de revolucin www.FreeLibros.me^ 3 02^ CAPTULO 36 Aplicaciones de la Integracin I I I : rea de una superficie de revolucin1 3 . y = 3 x3 de x = 0 a x = 3; eje x Respuesta: n(82-J&2 - 1)/91 4 . y = x3 de x = 0 a x = 3; eje y Respuesta: 2 TT [^^>/82 + ln ^ 9 + V 8 21 5 . Un lazo de 8y2 = x2 (1 - x2); eje x1 6 . y = x3/6 + 1/2x de x = 1 a x = 2 ; eje y Respuesta: (T 5 + ln 2)n1 7 . y = ln x de x = 1 a x = 7; eje y Respuesta: 3^4>/2 + ln (3 + 2y21 8 . Un lazo de 9y2 = x(3 - x)2; eje y Respuesta: 28 p V 3 /51 9 . Un arco de x = a (0 - sen 0), y = a(1 - cos 0); eje x Respuesta: 64na2/32 0 . x = et cos t, y = et sen t de t = 0 a t = 2 n , eje x Respuesta: 2n V2(2ep + l)/52 1 . Determine el rea de la superficie de una zona cortada en una esfera de radio r por dos planos paralelos, cada uno a una distancia de 2 a del centro.Respuesta: 2nar2 2 . Determine el rea de la superficie de un toro (rosquilla) creada al girar el crculo x2 + (y - b)2 = a2 en torno al eje x. Considere que 0 < a < b.Respuesta: 4n2ab www.FreeLibros.meRepresentacin paramtrica de curvasEcuaciones paramtricasSi las coordenadas (x, y) de un punto P en una curva estn definidas como funciones x = f(u) y y = g(u) de una tercera variable o parmetro, u, las ecuaciones x = f(u) y y = g(u) se denominan ecuaciones paramtricas de la curva.EJEMPLO 3 7 .1a) x = c o s 0 y y = 4 s e n 2 0 so n e c u a c io n e s p a ra m tr ic a s , c o n p a r m e tro 0, d e la p a r b o la 4 x 2 + y = 4 , y a q u e 4 x 2 +y = 4 c o s 2 0 + 4 se n 2 0 = 4 .b) x = 1 1 y y = 4 - t2 e s o tra re p r e s e n ta c i n p a ra m tr ic a , c o n p a r m e tro t, d e la m is m a cu rv a .Ntese que el primer conjunto de ecuaciones paramtricas representa slo una parte de la parbola [fig.37.1a)], en tanto que la segunda representa toda la curva [fig. 37.1 b)].yFig. 37.1EJEMPLO 37 .2a) L a s e c u a c io n e s x = r c o s 0 y y = r se n 0 re p res en ta n e l c r c u lo d e r a d io r c o n c e n tro e n e l o r ig e n , c o m o x 2 + y 2 = r 2 c o s 2 0 + r2 se n 2 0 = r 2 ( c o s 2 0 + se n 2 0) = r 2. E l p a r m e tro 0 p u e d e c o n s id e r a r s e e l n g u lo d e l e je x p o s itiv o a l se g m e n to d e s d e e l o r ig e n h a sta e l p u n to P e n e l c r c u lo ( fig . 3 7 .2 ).b) L a s e c u a c io n e s x = a + r c o s 0 y y = b + r se n 0 re p res en ta n e l c r c u lo d e ra d io r c o n c e n tro en (a , b ), y a q u e(x - a ) 2 + (y - b )2 = r 2 c o s 2 0 + r 2 s e n 2 0 = r 2 ( c o s 2 0 + s e n 2 0) = r 2. 03j www.FreeLibros.meCAPTULO 37 Representacin param trica de curvasySupngase que una curva se define mediante un par de ecuaciones paramtricas x = f(u ) y y = g(u). Entonces,dy d2 yla primera y la segunda derivada - y y estn dadas por las frmulas siguientes:(37.1) Primera derivadady _ ( dy \ /(d x \ dx _ ^ du J/ ^ du )Esto se sigue de la frmula de la regla de la cadena d - = ~~ r ' d u du dx du(37.2) Segunda derivadad2 y ( d ( dy Y| / dx dx2 _^ du ^ dx ) j j duEsto se sigue de la frmula de la regla de la cadena d - ( d - ] = P or tanto, p or (37.2)d 2 y l . lTT =---- :-- T (l - cos t) = -^--------To'dx2 cos t - 1/ (l - cos t)2. R e s u e lv a d y y d - y s i x = et c o s t, y = et sen t. dx dx2dx t , . dy ^ dy cos t + sen t -- = et (cos t - sen t) y = et (cos t + sen t ). Por (37.1), - j - = ---- ------ . Entonces,dt J dt y J dx cos t - sen td ( dy ^ _ (cos t - sen t)2 - (cos t + sen t)(- sen t - cos t) dt ^ dx J (cos t - sen t)2_ (cos t - sen t)2 + (cos t + sen t)2 _ 2(cos21 +sen21)(cos t - sen t)2 (cos t - sen t )22A s , p o r (3 7 .2 ),(cos t -sen t)d 2 yd2 y 2 I , , n- r f = 7-tt et (cos t -sen t) =dx2 (cos t - sen t)2 / et (cos t - sen t)-^ 305^3. E n c u e n tre u n a e c u a c i n d e la ta n g e n te a la c u r v a x = VF , y = t - e n e l p u n to d o n d e t = 4.d x = 2t y "d"= _ + 2 t_/2 . P o r ( 3 7 .1 ) , = 2Vf + _ . E n to n c e s , la p e n d ie n te d e la ta n g e n te c u a n d o t = 4 es2^ + 4 = _j7. C u a n d o t = 4 , x = 2 y y = -2. U n a e c u a c i n d e la ta n g e n te e s y - -7- = 7 (x - 2).4. L a p o s ic i n d e u n a p a r t c u la q u e se m u e v e a lo la rg o d e u n a c u r v a e st d a d a e n e l t ie m p o t p o r la s e c u a c io n e s p a ra m tr ic a s x = 2 - 3 c o s t, y = 3 + 2 se n t, d o n d e x y y s e m id e n en p ie s y t en s e g u n d o s ( fig . 3 7 .3 ) . O b s r v e s e q u e -_(x - 2 )2 + _ (y - 3 )2 = 1 , d e m a n e ra q u e la c u r v a e s u n a e lip s e . D e te rm in e : a) la r a z n d e c a m b io en t ie m p o d e x c u a n d o t = ft/3; b ) la r a z n d e c a m b io e n tie m p o d e y c u a n d o t = 5 ^ /3 ; c) la r a z n d e c a m b io en t ie m p o d e l n g u lo d e in c lin a c i n 0 d e la ta n g e n te c u a n d o t = 2^/3.d y = 3 s e n t y d y = 2 c o s t. E n to n c e s , ta n 0 = ^ = f c o t t .a) C u a n d o t = n>, d x = ^ 2 p ies/sb) C u a n d o t = ^n , dy = 2(') = _ p ies/sc) d= ta n _1(-|c o t t ) . E n t o n c e s ,d^ = -, 4 c s c 2 .y V3 y dt 1 + 4 c o t t 2 1 9 + 4 c o t 2 1Fig. 37.3CAPTULO 37 Representacin paramtrica de curvas www.FreeLibros.meCAPTULO 37 Representacin param trlca de curvasC u a n d o t = jr = 9 = _ | f - L u e g o , e l n g u lo d e in c lin a c i n d e la ta n g e n te e s d e c re c ie n tea r a z n d e f f ra d ia n e s p o r se g u n d o .5. D e te r m in e la lo n g itu d d e a rco d e la c u r v a x = t2 y y = t3 d e t = 0 a t = 4. t - 2 t, = 3t2 y ( )2 ( f ) 2 = 4 t2 + 9t4 = 4 t 2( . + f t2) .E n to n c e s ,L = Jo 2^7f^it7 dt = f J (1 + ir 12)1/2( f1) dt = 11(1 + 4 12)3/2]4 = (37>/37 - 1)6. H a lle la lo n g itu d d e u n a rco d e la c ic lo id e x = 0 - se n 0, y = 1 - c o s 0 en tre 0 = 0 y 0 = 2ft.= 1 - cos0, d j = sen# y |-d |J + ^ j = (1_ cos0)2 + sen20 = 2(1 - cos0) = 4sen2 J. E n to n c e s ,L = 2 Jo4sen ( f )dl = - 4cos ( f = -4 ( c o s n - cosO) = 8PROBLEMAS COMPLEMENTARIOSE n lo s p r o b le m a s 7 a 1 1 , d e te rm in e a ) d y , b) d2 y .dX (IX7. x = 2 + t, y = 1 + t2 Respuestas: a) 2t; b ) 28. x = t + 1/t, y = t + 1 Respuestas: a) t2/(t2 - 1); b ) - 2 t 3/(t2 - 1 )39. x = 2 se n t, y = c o s 2t Respuestas: a) - 2 sen t; b) - 110. x = c o s 3 0, y = sen3 0 Respuestas: a) - t a n 0; b ) 1 / (3 c o s4 0 se n 0)11. x = a ( c o s 0 + 0 se n 0), y = a (s e n 0 - 0 c o s 0) Respuestas: a) tan 0; b) 1/(a0 c o s 3 0)12. E s ta b le z c a la p e n d ie n te d e la c u r v a x = e t c o s 2t, y = e 2t sen 2 t en e l p u n to t = 0.Respuesta: - 213. D e te r m in e la s c o o r d e n a d a s re c ta n g u la r e s d e l p u n to m s a lto d e la c u r v a x = 9 6 t, y = 9 6 t - 1 6 t2. (Sugerencia: h a lle t p a ra e l y m x im o ).Respuesta: (28 8 , 14 4 )14. D e te r m in e la s e c u a c io n e s d e la ta n g e n te y la n o rm a l d e la s c u r v a s s ig u ie n te s e n lo s p u n to s d e te rm in a d o s p o r el v a lo r d a d o d e l p a r m etro :a) x = 3 e t, y = 5 e t e n t = 0b) x = a c o s 4 0, y = a se n 4 0 e n 6 = ^4Respuestas: a) 3y + 5x = 30, 5y - 3x = 16; b) 2x + 2y = a, y = x www.FreeLibros.me-^ 307^15. Encuentre una ecuacin de la tangente en cualquier punto P(x, y) de la curva x = a cos3 t, y = a sen3 t. Muestre que la longitud del segmento de la tangente cortada por los ejes de coordenadas es a.Respuesta: x sen t + y cos t = aa sen 2t16. Para la curva x = t2 - 1, y = t3 - t, halle los puntos en los que la tangente es a) horizontal y b) vertical. Demuestre que en el punto donde la curva se corta a s misma, las dos tangentes son perpendiculares entre s.J 3Respuesta: a) t = ; b) t = 0En los problemas 17 a 20, encuentre la longitud del arco especificado de la curva dada.17. El crculo x = a cos 0, y = a sen 0 de 0 = 0 a 0 = 2n.Respuesta: 2k18. x = et cos t, y = et sen t de t = 0 a t = 4.Respuesta: \2(e4 - 1)19. x = ln>/1 +12, y = tan-1 t de t = 0 a t = 1.Respuesta: ln(1 + V2)20. x = 2 cos 0 + cos 20 + 1, y = 2sen 0 + sen 2 0 .Respuesta: 1621. La posicin de un punto en el instante t est dado como x = 7 12, y = \ (6t + 9)3/2. Determine la distancia que se desplaza el punto de t = 0 a t = 4.Respuesta: 2022. Identifique las curvas dadas por las ecuaciones paramtricas siguientes y escriba las ecuaciones para las curvas en trminos de x y y:a) x = 3t + 5, y = 4t - 1 Respuesta: lnea recta: 4x - 3y = 23b) x = t + 2, y = t2 Respuesta: parbola: y = (x - 2)2t 2c) x = t - 2, y = t ^j Respuesta: hiprbola: y = + 1d) x = 5 cos t, y = 5 sen t Respuesta: crculo: x2 + y2 = 2523. (CG) Use una graficadora para hallar las grficas de las curvas parmetricas siguientes:a) x = 0 + sen 0, y = 1 - cos 0 (cicloide)b) x = 3 cos3 0, y = 3 sen3 0 (hipocicloide)c) x = 2 cot 0, y = 2 sen2 0 (bruja de Agnesi)d) x = (1 + g 3) > y = ^ + 03) (folio de Descartes)CAPTULO 37 Representacin paramtrica de curvas www.FreeLibros.meCurvaturaDerivada de la longitud de un arcoSea y = f(x ) que tiene una primera derivada continua. Sea A(x0, y0) un punto fijo en su grfica (fig. 38.1) y sea s la longitud de arco medida desde A hasta cualquier otro punto P(x, y) en la curva. Se sabe que, por la frmula(29.2),- t i >+If *si se selecciona s para que crezca con x. Sea Q(x + Ax, y + Ay) un punto en la curva cercano a P. Sea As lalongitud de arco de P a Q. Entonces, - lm = , + ( $ .dx amo Ax y ( dxy de forma semejante,ds A , I dx dy - aJO Ay - \ + ( dyEl signo ms o menos se obtiene en la primera frmula segn s aumente o disminuya al crecer x, y en la segunda frmula segn s aumente o disminuya al crecer y.Fig. 3 8 .1Cuando una curva est definida por ecuaciones paramtricas x = f(u) y y = g(u),ds - lm As = 1 1 dx ^ + 1 dy du - Au - \|l du I l duAqu, el signo ms o menos se obtiene segn s aumente o disminuya al crecer u.^ 308^ -2s22xO www.FreeLibros.mePara evitar la repeticin de signos ambiguos, se supondr de aqu en adelante que la direccin en cada arco se ha fijado de m anera que la derivada de la longitud de arco sea positiva.------------- ^ 309^CurvaturaL a curvatura K de una curva y = f x ) en cualquier punto P de ella se define com o la razn de cam bio de la direccin de la curva en P, es decir, del ngulo de inclinacin t de la tangente en P , respecto a la longitud del arco s (fig. 38.2). Intuitivamente, la curvatura indica cun rpido est girando la tangente. As, la curvatura es grande cuando la curva se dobla de form a pronunciada.Fig. 3 8 .2Com o frm ulas de curvatura se obtienen: dT A tK = - - = lim _ds a^ o As /d 2 y d x2o en trm inos de y,K =d 2 x dy2i +( I )(38.1)(38.2)Para ver una dem ostracin repase el problem a 13.K se define a veces como positiva. Si suponemos esto, entonces el signo de K debera ignorarse en lo sucesivo.El radio de curvatura, siempre que K ^ 0.E l radio de curvatura R en el punto P sobre una curva se define m ediante R = -1 El crculo de curvaturaEl crculo de curvatura, o crculo osculador de una curva en el punto P , es el crculo de radio R, que se encuentra en el lado cncavo de la curva y tangente a P (fig. 38.3).Fig. 38 .3y2yCAPTULO 38 Curvatura www.FreeLibros.meCAPTULO 38 CurvaturaPara construir el crculo de curvatura, en el lado cncavo de la curva se traza la lnea normal al punto P y en l se tiende un segmento PC de longitud R. El punto C es el centro del crculo requerido.El centro de curvaturaEl centro de curvatura para un punto P(x, y) de una curva es el centro C del crculo de curvatura P. Las coordenadas (a, P) del centro de curvatura se obtienen condydxa = x -->< d 2 y/dx2 P = y +i +( d 2y /dx22 2o pora = x + +( i d 2x/dy2 P = y -dxdy ( dx + { Tyd 2x/dy222En el problema 9 se brindan ms detalles.La evolutaLa evoluta de una curva es el lugar geomtrico de los centros de curvatura de la curva dada (problemas 11 y 2).PROBLEMAS RESUELTOS1. Encuentre d x en P(x, y) en la parbola y = 3x2.2. D e te rm in e d y y dy en P(x, y) e n la e lip s e x2 + 4y2 = 8.C o m o 2x + 8y d y - 0 , - -p- y ^ - . E n to n c e s ,J dx dx 4 y J dy x.21 + (d i ) - 1 + x2 - x2 + 16y2 - 32 3x2 dS - 32 3x2 ^dx ) 16y2 16 y2 32 4x2 y dx \2 32 4x2 * dx V 32 4x21 + (# ) - 1 + ^ - x2 |6r y # - l 2 ^ ^dy ) x2 x2 2 y2 y dy y 2 y2ds3. Halle en P(x, y) en la curva x = sec 0 y y = tan 0.dS) = ^ ( d ) + ( % ) sec2 ^ ta n 2 6 + sec4 6 = isec0i-\/tan20 + sec20 www.FreeLibros.me-^ 311^4. L a s c o o r d e n a d a s (x, y) e n p ie s d e u n a p a r t c u la m v il P e s t n d a d a s p o r x = c o s t - 1 y y = 2 se n t + 1 , d o n d e t e s e l t ie m p o e n s e g u n d o s . A q u v e lo c id a d s e m u e v e P a lo la rg o d e la c u r v a c u a n d o a) t = 5^/6, b) t = 5^/3, c) P se d e s p la z a a su v e lo c id a d m x im a y a su v e lo c id a d m n im a ?t - J f H f - * n 21 + 4 cos21 -J T + T ca ) C u a n d o t =5tcb ) C u a n d o t = = . U + 3dt/ \34V y= ^ T3 p ie s/ s .dsd t = 11 + 3' i '4V y4 P , ,c) S e a S _ ^ _y 1 + 3 c o s 2 1 . E n to n c e s , d - _ 3 C S t s e n t . A l d e s p e ja r d " _ 0 s e t ie n e n lo s n m e ro s c r t ic o sdtt = O, n/2, n y 3n/2.C u a n d o t = 0 y ^, la v e lo c id a d d -^ _ V 1 + 3 ( 1 ) _ 2 p ies/s e s m x im a . C u a n d o t = n/2 y 3^/2, la v e lo c id a d ds _ V 1 + 3 (0 ) _ 1 p ies/s e s m n im a . L a c u r v a s e m u e stra e n la fig u r a 38.4.5. D e te r m in e la c u rv a tu ra d e la p a r b o la y2 = 12x e n lo s p u n to s: a) (3 , 6); b) (-f , - 3 ) ; c) (0, 0).h =. dx y dy^r~ = ; entonces, 1 + 1 ^ - 1 = 1 + y 4-4- = r ^ L = -^^ ^ 1 ^ 1 2 ^ dx2 y2 dx y3dy d 2y - 1/6 J2a) E n (3 , ): 1 + | i X | = 2 y -JL = - t K = - ^ = ^ ^ r .dx 6b) E n (^ - 3 ) : 1 + ( 'dtc"^ _ 5 y dx _ 3 e n to n c e s , K _c) E n (0, 0 ), L n o e st d e fin id a . P e ro _ L _ 0 , 1 +(d x '\_ 1 , _ 1 y; J dx dy 6 ^dy) dy2 6 ^E n c u e n tre la c u rv a tu ra d e la c ic lo id e x = n - se n 0 y y = 1 - c o s 0 e n e l p u n to m s a lto d e u n a rco ( fig . 3 8 .5 ).2 3 244 / 3 = 4 y5 3/227 5K = - i22yXFig. 38 .5CAPTULO 38 Curvatura www.FreeLibros.meCAPTULO 38 CurvaturaP a ra d e te rm in a r e l p u n to m s a lto en e l in te rv a lo 0 < x < 2k, dy/dO = se n 0, d e m a n e ra q u e e l v a lo r c r t ic o e n e l in te rv a lo e s x = n. C o m o d 2y/d 0 2 = c o s 0 < 0 c u a n d o 0 = n, e l p u n to 0 = n e s u n p u n to m x im o r e la t iv o y c o n s t itu y e e l p u n to m s a lto d e la c u r v a en e l in te rv a lo .P a ra h a lla r la c u rv a tu ra ,4 ^ = 1 - c o s 0 , dd = sen # ,dddy_ = se n 0 dx 1 - c o s 0 d2y = d / sen0 \ dd = _ 1dx2 d0\ 1 - cos0/ dx (1 - cos0)2En 0 = n, d , = 0 , ^ 4 = - 1 y K = _.dx dx2 4 J 47. E n c u e n tre la c u rv a tu ra d e la c is o id e y 2(2 - x ) = x 3 e n e l p u n to ( 1 , 1) ( fig . 3 8 .6).Fig. 3 8 .6A l d e r iv a r im p lc ita m e n te la e c u a c i n d a d a re s p e c to a x s e o b tie n e- y 2 + (2 - x ) 2 y y ' = 3 x 2y- 2yy' + (2 - x)2yy" + (2 - x )2 ( y ') 2 - 2 y y ' = 6x( 1 )(2)D e ( 1 ) , p a ra x = y = 1, - 1 + 2 y ' = 3 y y' = 2. D e fo r m a se m e ja n te , d e (2 ), p a ra x = y = 1 y y' = 2, s e t ie n e q u e y'' = 3. E n to n c e s , K = 3 / (1 + 4 ) 3/2 = 3 ^ / 2 5 .x8. E n c u e n tre e l p u n to d e m x im a c u rv a tu ra e n la c u rv a y = ln x .dy =1 y d y =__ E n to n c e s K = x y dK = 2 x 2 1dx x y dx2 x 2 . , (1 + x 2)3/2 dx (1 + x 2) 5/2E l v a lo r c r t ic o e s , p o r tan to , x = - ^ . E l p u n to r e q u e r id o e s ^ ^ , _ .9. E s t a b le z c a la s c o o r d e n a d a s d e l c e n tro d e c u r v a tu r a C d e la c u r v a y = f(x) en u n p u n to P ( x , y ) , d o n d e y' ^ 0 ( f ig . 3 8 .3 ).E l c e n tro d e c u rv a tu ra C ( a , fi) q u ed a : ( 1 ) e n la r e c ta n o rm a l en P y (2) a u n a d is ta n c ia R d e P m e d id a h a c ia e l la d o c n c a v o d e la c u rv a . C o n e s ta s c o n d ic io n e s se o b tie n e n , r e s p e c tiv a m e n te ,P - y = - ^ ( a - x ) y ( a - x) 2 + ( f i - y) 2 = R 2 =D e la p r im e ra , a - x = -y'(P - y ) . A l su stitu ir en la s e g u n d a se o b tie n e(P~ y)2[1 + (y' ) 2l = [1 "^ y^ )2 ] y , p o r tan to , p - y = 1 +y , ) www.FreeLibros.me-^ 313^P a ra d e te rm in a r e l s ig n o c o r r e c to , n te s e q u e c u a n d o la c u r v a e s c n c a v a h a c ia a rrib a , y" > 0, y c o m o C e s t p o r e n c im a d e P, 5 - y > 0. E n to n c e s , e l s ig n o a p ro p ia d o en e s te c a s o e s +. (D e m u e s tre q u e e l s ig n o ta m b i n e s + c u a n d o y" < 0 .) E n to n c e s ,P = y + ^ y a = X - y'[1 + (y')2]y" y10. D e te rm in e la e c u a c i n d e l c r c u lo d e c u rv a tu ra d e 2 x y + x + y = 4 e n e l p u n to ( 1 , 1).A l d e r iv a r se o b t ie n e 2 y + 2 x y ' + 1 + y' = 0. E n ( 1 , 1 ) , y' = - 1 y 1 + ( y ) = 2. A l d e r iv a r d e n u e v o se o b tie n e4 y ' + 2 x y '' + y" = 0. E n ( 1 , 1 ) , y" = f . E n to n c e s ,K = 4/3 R=3^ 2 a = 1 = 5, f = 1 + . 2 = 52 j 2 ' 2 1 4/3 2 ' H 4/3 2L a e c u a c i n r e q u e r id a e s (x - a )2 + (y - )2 = R2 o (x - f )2 + (y - -f)2 = 2 .11. D e te r m in e la e c u a c i n d e la e v o lu ta d e la p a r b o la y2 = 1 2 X.E n P (x , y):dy = 6 i + d i ) 2 = i + 36 =! + 1 =- 36 = V3dx y j X ' l dx) 1 + y2 1 + x , dx2 y3 2x 3/2E n to n c e sJ3Jx (1 + 3/c) ^ V 3 ( x + 3) ,a = x => = x + V = 3 x + 6s/3/2x V3P = y +1 + 36/y2 _ y3 + 3 6y _ y3-3 6 / y 3 = y 36 36L a s e c u a c io n e s a = 3x + 6 y P = - y3/36 p u e d e n c o n s id e r a r s e e c u a c io n e s p a ra m tr ic a s d e la e v o lu ta c o n x y y, l ig a d a s p o r la e c u a c i n d e la p a r b o la , c o m o p a r m e tro s . S in e m b a rg o , e s r e la tiv a m e n te s e n c illo e lim in a r lo s p a r m e tro s . A s , x = (a - 6)/3 y y = - ^ 3 6 j8, y a l su stitu ir e n la e c u a c i n d e la p a r b o la q u ed a( 3 6 P )2/3 = 4 ( a - 6) o 8 1 P 2 = 4 ( a - 6 ) 3 E n la f ig u r a 3 8 .7 s e p r e s e n ta n la p a r b o la y su e v o lu ta .yyFig. 38.7CAPTULO 38 Curvatura www.FreeLibros.meCAPTULO 38 Curvatura12. D e te r m in e la e c u a c i n d e la e v o lu ta d e la c u r v a x = c o s 0 + 0 se n 0, y = sen 0 - 0 c o s 0. E n P ( x , y):=tcost, = tsent, ^ = tant, = QeC a :dQ dQ dx dx2 tcostE n to n c e sa = x - tan 3^sec. = x -tsent = cost (sec3 t)/tP = y + / S&cJ?/a = y + t cost = sent r J (sec3t)/t 7y a = c o s 0, 5 = se n 0 so n e c u a c io n e s p a ra m tr ic a s d e la e v o lu ta ( fig . 38 .8 ).Fig. 3 8 .813. C o m p r u e b e la f r m u la (3 8 .1 )tan T e s la p e n d ie n te d e la re c ta ta n g e n te y , p o r tan to ,E n c o n s e c u e n c ia ,d =tanT Entonces d l ) = d Y dT dx - tanT. Entonces, ds l dx j dT [ dx j ds_d_ ( dy_). dx = 2 T . d.dx I dx ds dsE s to d ad 2y dx21i +' fdTds d e d o n d edTdsd 2ydx2i +' iyyx222sec3 t t www.FreeLibros.me-^ 315^PROBLEMAS COMPLEMENTARIOSE n lo s p r o b le m a s 1 4 a 16 , h a lle -4^ y .dx dy14. x 2 + y 2 = 2515. y 2 = x 316. x 2/3 + y 2/3 = a 2/3dsE n lo s p r o b le m a s 1 7 a 18 , e n c u e n tre 17. 6 xy = x 4 + 3ds 5 dsy2Respuesta: = t"n/4 + 9 x , 4 ^ - ^ dxdsRespuesta: d x = (a/x ) 1/3, -d^ - jdy 3y1/3j 1/3^ _ l y ,r , ds x 4 + 1Respuesta: 2 x 218. 2 7 a y 2 = 4 ( x - a ) 3E n lo s p r o b le m a s 19 a 2 2 , e n c u e n tre d - .19. x = t2, y = t3Respuesta: V ( x + 2 a ) / 3 aRespuesta: tsj 4 + 9 t 220. x = 2 c o s t, y = 3 se n t Respuesta: 4 + 5 c o s 2121. x = c o s t, y = se n t Respuesta: 122. x = c o s 3 t, y = se n 3 t Respuesta: - |s e n 2 t23. H a lle la c u rv a tu ra d e c a d a c u r v a e n lo s p u n to s d ad os:a) y = x 3/3 e n x = 0, x = 1 , x = - 2 b ) x 2 = 4 a y e n x = 0, x = 2ac) y = sen x e n x = 0, x = n d) y = e~x e n x = 0Respuestas: a) 0 , V 2 / 2 , -4 > / T 7 / 2 8 9 ; b ) 1/2a , V 2 / 8 a ; c ) 0, - 1 ; d) - 224. D e m u e s tr e : a ) q u e la c u rv a tu ra d e u n a ln e a r e c ta e s 0; b ) q u e la c u rv a tu ra d e u n c r c u lo e s n u m ric a m e n te e l r e c p r o c o d e su ra d io .25. D e te r m in e lo s p u n to s d e m x im a c u rv a tu ra d e a) y = e1; b ) y = 1 x 3 Respuesta: a) x = - y ln 2; b ) x = -^ /j26. H a lle e l r a d io d e la c u rv a tu ra dea) x 3 + x y 2 - 6 y 2 = 0 e n (3 , 3).b) x = 2a tan 0, y = a ta n 2 0 e n (x, y ) .c) x = a c o s 4 0, y = a se n 4 0 en (x , y).Respuestas: a) 5*j5 ; b) 2a |sec3 0|; c) 2a(sen4 0 + cos4 0)3/2CAPTULO 38 Curvatura www.FreeLibros.me^ 3 16^27. D e te r m in e e l ce n tro d e la c u rv a tu ra d e a ) p r o b le m a 2 6 a ); b) y = se n x e n u n p u n to m x im o .Respuestas: a) C ( - 7 8 ); b ) C(f-0)28. E n c u e n tre la e c u a c i n d e l c r c u lo d e c u rv a tu ra d e la p a r b o la y 2 = 1 2 x en lo s p u n to s (0, 0) y (3 , 6).Respuesta: (x - 6)2 + y 2 = 3 6 ; (x - 1 5 )2 + (y + 6 )2 = 28829. D e te rm in e la e c u a c i n d e l c r c u lo d e la e v o lu ta d e a) b2x2 + a2y2 = a 2b 2; b ) x 2/3 + y 2/3 + a 2/3; c ) x = 2 c o s t + c o s 2t, y = 2 se n t + se n 2t.Respuestas: a) (a a )2/3 + (b )2/3 = (a 2 - b 2)2/3; b ) ( a + )2/3 + (a - )2/3 = 2a 2/3; c) a = y(2cost- cos2t) ,P= _^(2sent- sen2t)__________ CAPTULO 38 Curvatura www.FreeLibros.meVectores en un planoEscalares y vectoresCantidades como el tiempo, la temperatura y la rapidez, que tienen slo magnitud, se denominan escalares. Por otra parte, cantidades como la fuerza, la velocidad y la aceleracin, que tienen tanto magnitud como direccin, se denominan vectores. Los vectores se representan geomtricamente por segmentos de recta dirigidos (flechas). La direccin de la flecha (el ngulo que forma con alguna recta dirigida fija en el plano) es la del vector, y la longitud de la flecha representa la magnitud del vector.Los escalares se denotarn con letras, a, b, c,... en tipo ordinario; los vectores se simbolizarn con letras en negritas a, b, c..., o mediante una expresin OP [donde se considera que el vector va de O a P [fig. 39.1a)]. La magnitud (longitud) de un vector a u OP se representa por lal o por lOPI.Dos vectores a y b son iguales (lo que se escribe a = b) si tienen la misma direccin y magnitud. Un vector cuya magnitud es la de a, pero cuya direccin es opuesta a la de a, se denomina negativo de a y se representa como - a [fig. 39.1a)].Si a es un vector y k es un escalar positivo, entonces ka se define como un vector cuya direccin es la de a y cuya magnitud es k veces la de a. Si k es un escalar negativo, entonces ka tiene direccin opuesta a la de a y su magnitud es Ikl veces la de a.Tambin se considera que un vector cero 0 con magnitud 0 y sin direccin se define - 0 = 0, 0a = 0 y k0 = 0.A menos que se indique de otro modo, un vector dado carece de una posicin fija en el plano, por lo que puede moverse en desplazamiento paralelo como se desee. En particular, si a y b son dos vectores [figura 39.1b)], pueden colocarse de manera que tengan un punto inicial o final comn P [figura 39.1c)] o de forma que el punto inicial de b coincida con el punto terminal o extremo de a [figura 39.1d)].(a) (b) (c) (d)Fig. 3 9 .1BPBAPSuma y diferencia de dos vectoresSi a y b son los vectores de la figura 39.1b), su suma a + b se obtiene de cualquiera de estas dos formas, ambas equivalentes:1. Trazando los vectores como en la figura 39.1c) y completando el paralelogramo PAQB de la figura 39.2a). El vector PQ es la suma requerida.2. Trazando los vectores como en la figura 39.1d) y completando el tringulo PAB de la figura 39.2b). Ah el vector PB es la suma requerida.De la figura 39.2b) se deduce que es posible desplazar tres vectores para formar un tringulo, siempre que uno de ellos sea la suma o el negativo de la suma de los otros dos. www.FreeLibros.me^ 3 18^ CAPTULO 39 Vectores en un plano(a) (b) (c) (d)Fig. 39.2Si a y b son los vectores de la figura 39.1b), su diferencia a - b se halla por cualquiera de estas dos formas equivalentes:1. De la relacin a - b = a + (-b) como en la figura 39.2c).2. Trazando los vectores como en la figura 39.1c) y completando el tringulo. En la figura 39.2d), el vectorBA = a - b.Si a, b y c son vectores, las leyes siguientes son vlidas:a + b = b + aPropiedad (39.1) (ley conmutativa) Propiedad (39.2) (ley asociativa) Propiedad (39.3) (ley distributiva)a + (b + c) = (a + b) + c k(a + b) = ka + kbVase los problemas 1 a 4.BQAPP PComponentes de un vectorEn la figura 39.3a), sea a = PQ un vector y sean PM y PN otras dos rectas cualesquiera dirigidas hasta P. Se construye el paralelogramo PAQB. Entoncesa = PA + PBy se dice que a se ha resuelto en las direcciones P M y PN. PA y PB se llamarn las componentes de un vector de a en el par de direcciones PM y PN .Considrese el siguiente vector a en un sistema de coordenadas rectangulares [figura 39.3b)], que tiene las mismas unidades de medida en los dos ejes. Se representa con i el vector que va de (0, 0) a (1, 0) y con j el vector que va de (0, 0) a (0, 1). La direccin de i es la del eje positivo x y la de j es la del eje positivo y, y ambos son vectores unitarios, es decir, vectores de magnitud 1.Desde el punto inicial P y el punto terminal Q de a se trazan las perpendiculares al eje x, que lo cortan en M y N, respectivamente, y al eje y, que lo cortan en S y T, respectivamente. Ahora, M N = aji, cuando aj positivo, y ST = a2j, con a2 negativo. Entonces: MN = RQ = a1i, ST = PR = a2j, ya = aj + a2j (39.1)(b)Fig. 39.3 www.FreeLibros.me-^ 319^Sean a 1i y a 2j las componentes vectoriales de a.* Los escalares a 1 y a2 se denom inarn componentes escalares (o componentes x y componentes y o, sim plem ente, componentes) de a. N tese que 0 = 0i + 0j.L a direccin de a est dada por el ngulo 9, con 0 < 9 < 2rc, m edido en sentido contrario al de las m anecillasdel reloj desde el eje x positivo hasta el vector. Entonces,lal = Va2 + a2 (39.2)ytan # = O - (39.3)con el cuadrante de 9 determ inado pora 1 = lal cos 9, a2 = lal sen 9Si a = a 1i + aj y b = b1i + b2j, entonces se cum ple lo siguiente:Propiedad (39.4) a = b si y slo si a 1 = b 1 y a 2 = b2Propiedad (39.5) ka = ka1i + kajPropiedad (39.6) a + b = (a1 + b 1)i + (a2 + b2)jPropiedad (39.7) a - b = (a1 - b 1)i + (a2 - b2)jProducto escalar (o producto punto)El producto escalar (o producto punto) de vectores a y b est definido pora x b = lallbl cos 9 (39.4)donde 9 es el ngulo m s pequeo entre dos vectores cuando se trazan con un punto inicial com n (fig. 39.4). Tambin se define: a x 0 = 0 x a = 0.BFig. 3 9 .4A partir de las definiciones es posible Propiedad (39.8) ( ley conmutativa)Propiedad (39.9)Propiedad (39.10)Propiedad (39.11)Propiedad (39.12)Propiedad (39.13) ( ley distributiva)Propiedad (39.14)dem ostrar las propiedades siguientes del producto escalar: a x b = b x a a x a = lal2 y |a| = V a aa x b = 0 si y slo si (a = 0 o b = 0 o a es perpendicular a b)i x i = j x j = 1 y i x j = 0a x b = (a ji + aj ) x (b ji + bj ) = a lb l + a2b2a x (b + c) = a x b + a x c(a + b) x (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d* No es necesario indicar un par de direcciones (como OM y OT), ya que quedan determinadas por el sistema de coordenadas.CAPTULO 39 Vectores en un plano www.FreeLibros.me^ 3 20^ CAPTULO 39 Vectores en un planoProyecciones escalar y vectorialEn la ecuacin (39.1), el escalar a1 se denomina proyeccin escalar de a sobre cualquier vector cuya direccin sea la del eje x positivo, en tanto que el vector a1i es la proyeccin vectorial de a sobre cualquier vector cuya direccin sea la del eje x positivo. En general, para cualquier vector b no cero y cualquier vector a , se definea . como la proyeccin escalar de a en b , y (a . |b | j|b | como la proyeccin vectorial de a en b (repase el|b|bproblema 7). Ntese que cuando b tiene la direccin del eje x positivo, jby = i.Propiedad (39.15) a x b es el producto de la longitud de a y la proyeccin escalar de b en a . De igual forma, a x b es el producto de la longitud de b y la proyeccin escalar de a en b (fig. 39.5).Derivacin de funciones vectorialesConsidere que la curva de la figura 39.6 se define por las ecuaciones paramtricas x = f(u) y y = g(u). El vectorr = xi + yj = f(u ) i + g(u)jque une el origen al punto P(x, y) de la curva se denomina vector de posicin o radio vector de P. Es una funcin de u. [De aqu en adelante, utilizaremos la letra r exclusivamente para los vectores de posicin. As, a = 3i + 4j es el vector libre, mientras que r = 3i + 4j es el vector que une el origen con P(3, 4).]La derivada de la funcin r respecto a u se define como lm r(u +Au)ru . du Au^0 AuEl clculo directo da:dr = dx . dy . du = du 1 du j (39.5)Sea s la longitud de arco medida desde un punto fijo P0 de la curva de manera que s aumenta con u. Si r es el ngulo que forma - u con el eje x positivo, entoncestanr= ( | / ( | = = la pendiente de la curva en P\ du ) \ du I dx ^yxFig. 39 .6 www.FreeLibros.me-^ 321^Adems, dU es un vector de magnituddsdu (39.6)cuya direccin es la de la tangente a la curva en P. Es usual representar este vector con P como su punto inicial.Si ahora la variable escalar u se toma como la longitud de arco i, entonces la ecuacin (39.5) se vuelvet = dr = dx i dy j= ds = ds 1 + ds j (39.7), lo que resulta igual a 1. Entonces,La direccin de t es r, mientras que su magnitud es t = dr/di es un vector tangente unitario a la curva en P.As, t es un vector unitario, t y dt/di son perpendiculares (problema 10). Se representa con n un vector unitario en P que tiene la direccin dt/di. Cuando P se mueve a lo largo de la curva que se muestra en la figura 39.7, la magnitud t permanece constante; por tanto, dt/di mide la razn de cambio de la direccin de t. Entonces, la magnitud de dt/di en P es el valor absoluto de la curvatura en P, es decir, idt/dii = Zi, ydt~ r = IKI nds (39.8)PROBLEMAS RESUELTOS1. Compruebe que a + b = b + a.De la figura 39.8, a + b = PQ = b + a.Fig. 3 9 .8Q2. Compruebe que (a + b) + c = a + (b + c).De la figura 39.9, PC = PB + BC = (a + b) + c. Tambin PC = PA + AC = a + (b + c).CAPTULO 39 Vectores en un plano www.FreeLibros.meCAPTULO 39 Vectores en un planoFig. 3 9 .93. S e a n a , b y c tres v e c to r e s q u e c o m ie n z a n d e s d e P ta le s q u e su s p u n to s f in a le s , A , B y C, q u e d a n en u n a re cta ,c o m o se m u e stra e n la fig u r a 3 9 .10 . S i C b is e c a a BA en la r a z n x:y, d o n d e x + y = 1, d em u e stre q u e c = xa + yb .O b s e r v e q u ec = PB + B C = b + x(a - b ) = xa + (1 - x)b = xa + ybC o m o e je m p lo , s i C b is e c a a BA, e n to n c e s c = y (a + b ) y B C = -j(a - b ) .Fig. 3 9 .1 04. D e m u e s tr e q u e la s d ia g o n a le s d e u n p a r a le lo g r a m o se b is e c a n e n tre s.S e a n la s d ia g o n a le s q u e s e in te rs e c a n e n Q c o m o se m u e stra e n la fig u r a 3 9 .1 1 . C o m o PB = P Q + Q B = P Q - B Q , h a y n m e ro s p o s it iv o s x y y ta le s q u e b = x(a + b ) - y(a - b ) = (x - y)a + (x + y)b . E n to n c e s , x + y :1 y x - y = 0. P o r tan to , x = y = -j , y Q e s e l p u n to m e d io d e c a d a d ia g o n a l.Fig. 3 9 .1 15. P a ra lo s v e c to r e s a = 3i + 4j y b = 2i - j , d e te rm in e la m a g n itu d y la d ir e c c i n d e a ) a y b ; b ) a + b ; c ) b - a .a) P a ra a = 3 i + 4j : la l = ^a l + a2 = sj3 2 + 4 2 = 5 ; ta n 0 = a 2/a1=^3 y c o s 0 = a 1/la l = -f ; e n to n c e s , 0 e s un n g u lo d e l p r im e r c u a d ra n te y e s 5 3 8 .P a ra b = 2 i - j : Ib l = V4 + 1 = > /f; ta n 0 = - - y c o s 0 = 2 />/f ; 0 = 360 - 2 6 3 4 = 3 3 3 2 6 .CBACA www.FreeLibros.meb) a + b = (3i + 4j ) + (2i - j ) = 5i + 3j . Entonces, la + b l = V52 + 32 = >/34. Como tan0 = y cosfl =354,0 = 30 58'.c) b - a = (2i - j ) - (3i + 4j ) = - i - 5j . Entonces, Ib - a l = V26. Como tan 0= 5 y cos0 = -1/V26, 0 = 25841'.6. Demuestre que la mediana a la base de un tringulo issceles es perpendicular a la base (fig. 39-12, donde la l = Ib l).------------- ^ 323^Del problema 3, como m biseca la base, m = 1 (a + b) . Entonces,m (b - a ) = y (a + b) (b - a)= 2 (a b - a a + b b - b a ) = -y (b b - a a) = 0Por tanto, la mediana es perpendicular a la base.7. Si b es un vector no cero, descompn un vector a en componentes a 1 y a 2, paralelo y perpendicular, respectivamente, a b .En la figura 39.13 se tiene que a = a 1 + a2, a 1 = cb y a 2 x b = 0. Por tanto, a2 = a - a 1 = a - cb . Adems,a ba 2 x b = (a - cb ) x b = a x b - clb l2 = 0, donde c = ^ 2 . Entonces,a i = cb = i ^ b y a 2 = a - cb = a - ^ bEl escalar a es la proyeccin escalar de a en b . El vector la vjb-j es la proyeccin vectorial de a en b .8. Descomponga a = 4i + 3j en las componentes a 1 y a 2, paralela y perpendicular, respectivamente, a b = 3i + j . Del problema 7, c = = 12i+ 3 = j. Entonces,ai = cb = ^ + f. j y a 2 = a - a 1 =- ^ + f jCAPTULO 39 Vectores en un plano www.FreeLibros.meCAPTULO 39 Vectores en un plano9. Si a = f 1(u)i + /2(u)j y b = g1(u)i + ^ 2(u)j, muestre que j u (a ' b) = j u ' b + a ' l u 'Por la propiedad 39.12, a x b = f1(u)i + f2(u)j) x (g1(u)i + g2(u)j) = 1 + f g - Entonces,d (a . b) = f g + fd g L + f g + f dgi.d ( du g1 f1 du du g2 f 2 du= f# g + df2g l + f ^ + f ^y du g1 du g2) f du f2 dw=( "dur1+d r >) (g1i+g 2j ) + + j ) - ( I t 1+| f j)=d a .b +a .dbdu dud a10. Si a = f1(u)i + f2(u)j es de magnitud constante diferente de cero, muestra que a = 0 y, por tanto, cuandono es cero, a y son perpendiculares. du duSea lal = c. Entonces, a x a = c2. Por el problema 9,d (a a ) = d a ' a + a ' d T = 2 a ' d T = 0 du du du duE n to n c e s , a 4 a = 0 . du11. D a d o r = ( c o s 2 0)i + (se n 2 0)j , p a ra 0 < 0 < n/2, h a lle t .P u e s to q u e d c o s 20 = - 2 c o s 0 s e n 0 = - s e n 2 0 y -d|^sen2 0 = 2 s e n 6 c o s 6 = sen 26, la e c u a c i n (3 9 .5 ) d a= - ( s e n 2 0 ) i + (s e n 2 0 ) jE n c o n s e c u e n c ia , p o r la e c u a c i n (39 .6 )ds dr d r drdd dd V dd ddp o r la p r o p ie d a d 3 9 .1 2 . E n to n c e s ,t _ d r _ d r dt = ___L_ i + ;ds dt ds ^ 2 V 2 J .12. D a d o x = a c o s 3 0, y = a sen3 0, 0 < 0 < n/2, h a lle t y n c u a n d o 0 = k /4. S e t ie n e q u e r = a ( c o s 3 0)i + a (s e n 3 0)j . E n to n c e s ,= - 3 a ( c o s 2 0 )(sen0 ) i + 3 a ( s e n 2 0 ) ( c o s 0 ) j y = = 3a s e n t c o s t P or tanto,1= = n = -(cost)i+(sent)j y = ((sent)i+(cost)j) f1 13a c o s t I + 3 a sent-* www.FreeLibros.me-^ 325^E n 0 = n/4,t = ^ i- 72 i72 Jd t _ V2 id i 3a7 2 ;3 a jJ ^ i _ 3 a_ L dt iI ds' 72 72 '13. D e m u e s tr e q u e e l v e c to r a = a i + bj e s p e r p e n d ic u la r a la r e c ta ax + by + c = 0.S e a n P ^ , y j y P 2(x2, y 2) d o s p u n to s d is tin to s so b re la re c ta . E n to n c e s , a x j + byj + c = 0 y a x 2 + by2 + c = 0. A l re sta r la p r im e ra y la s e g u n d a s e o b tie n ea(x2 - x j) + b(y2 - y j) = 0 (1 )A h o r aa ( x 2 - x j) + b(y2 - y j) = (a i + bj ) x [ f e - x j) i + (y2 - y j) j ]= a x P jP 2P o r ( j ) , e l la d o iz q u ie r d o e s c e ro . E n to n c e s , a e s p e r p e n d ic u la r (n o rm a l) a la recta .14. U s e m to d o s v e c to r ia le s p a ra h allar:a) L a e c u a c i n d e la re c ta q u e p a s a p o r P j(2 , 3) y e s p e r p e n d ic u la r a la re c ta x + 2 y + 5 = 0.b) L a e c u a c i n d e la r e c ta q u e p a s a p o r P j(2 , 3) y P 2(5 , - j .) .T o m e P ( x , y ) c o m o o tro p u n to e n la r e c ta re q u er id a .a) P o r e l p r o b le m a j 3 , e l v e c to r a = i + 2j e s n o rm a l a la r e c ta x + 2 y + 5 = 0. E n to n c e s P jP = (x - 2 )i +(y - 3)j e s p a r a le la a a si (x - 2 )i + (y - 3)j = k(i + 2j ) p a ra a lg n k e sc a la r . A l ig u a la r lo s c o m p o n e n te s s e o b t ie n e x - 2 = k y y - 3 = 2k. S i se e lim in a k , se t ie n e la e c u a c i n re q u e r id a y - 3 = 2 (x - 2 ), o e l e q u iv a le n te , 2x - y - j = 0.b) S e t ie n e P jP = (x - 2 )i + (y - 3)j y P jP 2 = 3i - 4 j . A h o r a a = 4 i + 3j es p e r p e n d ic u la r a P jP 2 y, p o r tan to , a P jP E n to n c e s , 0 = a x P jP = (4 i + 3j ) x [(x - 2 )i + (y - 3)j ] y , d e fo r m a e q u iv a le n te , 4 x + 3 y - j 7 = 0.15. E m p le e m to d o s v e c to r ia le s p a ra h a lla r la d is ta n c ia d e l p u n to P j(2 , 3) d e s d e la r e c ta 3 x + 4 y - j 2 = 0.E n u n p u n to c o n v e n ie n te so b re la re c ta , c o m o A ( 4 , 0 ), se c o n s tr u y e e l v e c to r a = 3 i + 4 j p e r p e n d ic u la r a la re c ta . L a d is ta n c ia r e q u e r id a e s d = IA P ji c o s 0 en la fig u r a 3 9 T 4 . A h o r a a x A P j = ia i IA P ji c o s 0 = ia id. P o r tan to ,a APj _ (3 i + 4 j ) (2 i + 3 j ) _ 6 + j 2 _ 6d _ ia i 5 5 516. E l trabajo re a liz a d o p o r u n a fu e r z a e x p r e s a d a c o m o v e c to r b a l m o v e r u n o b je to a lo la r g o d e l v e c to r a se d e f in e c o m o e l p r o d u c to d e m a g n itu d b en la d ir e c c i n d e a y la d is ta n c ia q u e s e d e s p la z e l o b je to . H a lle e l tra b a jo re a liz a d o al m o v e r u n o b je to a lo la r g o d e l v e c to r a = 3i + 4j si la fu e r z a a p lic a d a e s b = 2 i + j .E l tra b a jo r e a liz a d o e s(m a g n itu d d e b en la d ir e c c i n d e a ) x (d is ta n c ia m o v id a ) = (ib ico s 0) ia i = b x a = (2 i + j ) x (3 i + 4 j ) = !0CAPTULO 39 Vectores en un plano www.FreeLibros.meCAPTULO 39 Vectores en un planoPROBLEMAS COMPLEMENTARIOS17. D a d o s lo s v e c to r e s a, b y c d e la fig u r a 3 9 .1 5 , c o n s tru y a : a ) 2a; b) - 3 b; c ) a + 2b; d) a + b - c ; e ) a - 2b + 3c.18. D e m u e s tr e q u e la re c ta q u e u n e lo s p u n to s m e d io s d e d o s la d o s d e un tr i n g u lo e s p a ra le la a la d e l te rc e r la d o y e q u iv a le a la m ita d d e su lo n g itu d ( fig . 3 9 .1 6 ) .19. S i a, b, c, d so n la d o s c o n s e c u tiv o s d e u n c u a d ril te ro ( f ig . 3 9 .1 7 ) , p r u e b e q u e a + b + c + d = 0 (Sugerencia: s e a n P y Q d o s v r t ic e s n o c o n s e c u t iv o s .) E x p r e s e PQ d e d o s fo rm a s.Fig. 3 9 .1 520. D e m u e s tr e q u e si se u n en lo s p u n to s m e d io s d e lo s la d o s c o n s e c u t iv o s d e u n c u a d ril te ro c u a lq u ie r a , e l c u a d ril te ro re s u lta n te e s u n p a ra le lo g r a m o ( fig . 3 9 .1 8 ).Fig. 3 9 .1 821. U s e la fig u r a 3 9 .1 9 , d o n d e lal = Ibl e s e l r a d io d e un c r c u lo y p r u e b e q u e e l n g u lo in s c r ito e n u n s e m ic r c u lo e s u n n g u lo re c to .C ' -a pFig. 3 9 .1 922. H a lle la lo n g itu d d e c a d a u n o d e lo s v e c to r e s s ig u ie n te s y e l n g u lo q u e fo r m a n c o n e l e je x p o s itiv o : a) i + j;b ) - i + j; c ) i + yf3j ; d) i - >/3jRespuestas: a) >/2, Q = i n ; b ) J2, 6 = ^ ; c) 2, Q = ; d) 2, 6 = -y www.FreeLibros.me^ 327^23. D em uestre que si se obtiene u al girar el vector unitario i en sentido contrario al de las m anecillas del reloj en torno del origen hasta el ngulo 0, entonces u = i cos 0 + j sen 0.24. A plique la ley de los cosenos en tringulos para obtener a b = Ialibi cos 6 = y (ia l2 + ib!2 - Icl2).25. Escriba cada uno de los vectores siguientes en la form a a i + bj:a) El vector que une el origen con P (2 , -3 ).b) El vector que une P (2, 3) a P 2(4, 2).c) El vector que une P2(4, 2) a P1(2, 3).d) El vector unitario en la direccin de 3i + 4j.e) El vector con m agnitud 6 y direccin 120.Respuestas: a) 2i - 3j; b) 2i - j ; c) - 2 i + j ; d) i + f j ; e) - 3 i + 3\3 j26. A plique mtodos vectoriales para deducir la frm ula de la distancia entre P j(xj, y j y P 2(x2, y2).27. D ados 0 (0 , 0), A(3, 1) y B(1, 5) como vrtices del paralelogram o OAPB, halle las coordenadas de P. Respuesta: (4, 6)28. a) D eterm ine k de form a que a = 3i + 2j y b = i + kj sean perpendiculares. b) Escriba un vector perpendicular a a = 2i + 5j.29. D em uestre las propiedades (39.8) a (39.15).30. D eterm ine la proyeccin vectorial y la proyeccin escalar de b en a, dado: a) a = i - 2j y b = -3 i + j ; b) a =2i + 3j y b = 10i + 2j.Respuestas: a) - i + 2j, - ^ 5 ; b) 4i + 6j, 2 V U31. D em uestre que tres vectores a , b , c, despus de desplazam ientos paralelos, form arn un tringulo siem pre que: a) uno de ellos sea la sum a de los otros dos, o b) a + b + c = 0 .32. Pruebe que a = 3i - 6j, b = 4i + 2j y c = -7 i + 4 j son los lados de un tringulo rectngulo. Com pruebe que: el punto m edio de la hipotenusa equidista de los vrtices.33. H alle el vector unitario tangente t = dr/ds, dado: a) r = 4i cos 0 + 4 j sen 0 ; b) r = e0i + e-ej; c) r = 0i + 02j.34. a) D eterm ine n para la curva del problem a 33a); b) calcule n para la curva del problem a 33c); c) encuentre t y n dadas x = cos 0 + 0 sen 0 y y = sen 0 - 0 cos 0.Respuestas: a) - i sen 0 + j cos 0; b) efli - e flj , c) i + 26j-Je20 + e-2e ; V I + 4 0 2Respuestas: a) = i cos 0 - j sen 0; b) - 26 i , 1VT+ 4 0 2" VT+ 4 0 2 j ; c) t = i cos 0 + j sen 0 , n = - i sen 0 + j cos 0CAPTULO 39 Vectores en un plano www.FreeLibros.meMovimiento curvilneoVelocidad en el movimiento curvilneoConsidere un punto P (x , y) que se mueve a lo largo de una curva con las ecuaciones x = f (t) y y = g(t), donde t es el tiempo. A l derivar el vector de posicin se obtiener = xi + yjrespecto a t, se obtiene el vector velocidadd r d x , d y .V = d = d 1 + d j = ^ x1 + Vy j(40.1)(40.2)d x dy donde vx = d t y vy = d La magnitud de v se denomina rapidez y est dada por| v | =yj v-v =,J dsv2 + v2 = d tLa direccin de v en P est en la tangente a la curva en P, como se muestra en la figura 40.1. Si r representa la direccin de v (el ngulo entre v y el eje x positivo), entonces tan r= vy/ vx, y el cuadrante es determinado por vx = |v| cos r y vy = |v| sen r.Fig. 4 0 .1Aceleracin en el movimiento curvilneoAl derivar (40.2) respecto a t se obtiene el vector de aceleracin:d v d 2r d 2 x . d 2 ydt d t 2 W 1 + d 2 J - axl + ayj(40.3)^ 328^ -y www.FreeLibros.me-^ 329^d 2x d2ydonde ax = y ay = -^ 2 La magnitud de a se obtiene conLa direccin 0 de a est dada por tan ^ = ay/ax, y el cuadrante es determinado por ax = |a| cos 0 y ay = |a| sen 0 (fig. 40.2).Componentes tangencial y normal de la aceleracinPor la ecuacin (39.7),v = dr = dr di = t ds ~ dt ~ ds d t ~ dt(40.4)Entonces, = dv = d2s d t ds = d2s d t dsa = dt = dt2 + dt dt = d t2 + ds l dt= d s +K'n (40.5)por (39.8).La ecuacin (40.5) descompone el vector aceleracin en P a lo largo de los vectores tangente y normal. Las componentes se llaman a1 y an, respectivamente, y para sus magnitudes se tiene queI a I = d 2 sd t2, , 1 ds \2 IvI2y I anl = R I dt ) = Rdonde R es el radio de curvatura de la curva P (fig. 40.3).a2 + a2~y ut T un a2 = IaI2 - a2En virtud de que l a l2 = a2 + a2 = a2t + an, se obtienecomo segunda forma de determinar \an\.yX22CAPTULO 40 Movimiento curvilneo www.FreeLibros.meCAPTULO 40 M ovim iento curvilneoFig. 4 0 .3PROBLEMAS RESUELTOS1. A n a l i c e e l m o v i m i e n t o d e s c r i t o p o r l a s e c u a c i o n e s x = c o s 2n t, y = 3 s e n 2nt. D e t e r m i n e l a m a g n i t u d y l a d i r e c c i n d e l o s v e c t o r e s d e v e l o c i d a d y a c e l e r a c i n c u a n d o a) t = ; b ) t = -f .E l m o v i m i e n t o e s a l o l a r g o d e l a e l i p s e 9 x2 + y 2 = 9 . C o m e n z a n d o ( e n t = 0 ) e n ( 1 , 0 ) , e l p u n t o e n m o v i m i e n t o r e c o r r e l a c u r v a e n s e n t i d o c o n t r a r i o a l d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j :r = x i + y j = ( c o s 2 n t ) i + ( 3 s e n 2 n t ) jd rv = = v X i + v y j = - ( 2 ^ s e n 2 n t ) i + (6n c o s 2n t ) ja = = a xi + ay j = - ( 4 ^ 2 c o s 2 ^ t ) i - ( 1 2 ^ 2s e n 2 ^ t ) ja ) E n t = -1: v = - y f n i + 3 ^ j y a = - 2 ^ 2i - 6 > / 3 ^ 2j| v i = V v T = V (- ^ n ) 2 + ( 3 n ) 2 = 2y/3nt a n T = y = - ^ c o s T =-pVx r= - 2L u e g o , T = 1 2 0 .ia i = >/a a = y (-2n2)2 + (- 6>/3n2)2 = 4-Jlri2tanrn= = 3 3^, co sffl= =-------\=* ax 'a | 2^ 7E n t o n c e s , 0 = 2 5 9 6 .b ) E n t = i2:5^P o r t a n t o , T = 4 ^ .v = V3fli - 3^ j y a = 2n 2i + 6s3n 2 jiv i = 2 j3 n , tanr = ->/3cosT = -jia i = 4 y [ ln 2, tan^ = 3>/3, cos^ = 2-Jl www.FreeLibros.meEntonces, 0 = 79 6'.-^ 331^Fig. 4 0 .4U n p u n to r e c o r r e e n se n tid o c o n tra r io al d e la s m a n e c illa s d e l re lo j e l c r c u lo x 2 + y2 = 6 25 a v e lo c id a d |v| = 15 . H a lle T, |a|, y 0 en: a) e l p u n to (20 , 1 5 ) y b ) e l p u n to ( 5 , - 1 0 \ / 6 ) . A p o y e su la b o r e n la fig u r a 40 .4 .A l u t iliz a r la s e c u a c io n e s p a ra m tr ic a s x = 2 5 c o s 0 y y = 2 5 se n 0 se tie n e q u e e n P(x, y):r = (2 5 c o s 0 )i + (2 5 sen 6 ) j v = d f = [ ( - 2 5 sen 0 )i + (2 5 c o s 0 )j ] ^= ( - 1 5 s e n 0 ) i + 1 5 c o s 0 )j a = dVV = [( 15 c o s 0 ) i - (15 se n 0 )j ] d |= (- 9 c o s 0 ) i - (9 sen 0 )jd 3y a q u e |v| = 15 e q u iv a le a u n a r a p id e z a n g u la r c o n s ta n te d e d L = 5 .a ) E n e l p u n to (20 , 1 5 ) , senfl = f y c o s # = y . A s ,v = - 9 i + 12 j , t a n r = - f , c o s T = - y . E n to n c es x = 1 2 6 o 5 2 'a = - 3r i - f j , la l = 9, t a n ^ = f , c o s y . E n to n ces (p= 2 1 6 o 5 2 'b) E n e l p u n to (5, - 1 0 > / ) , se n # = 2 >/6 y c o s 0 = y . L u e g o ,v = 6V i + 3 j , t a n T = V / 12 , c o s x = y-v/. E n to n c es t = 11o 3 2 ' a = - 9 i + 1 8 V 6 j , la l = 9 , t a n ^ = - 2 V , c o s (p= -y . E n to n c es (p=1 0 1 0 3 2 '3. Una partcula se mueve sobre el arco del primer cuadrante de x2 = 8y de manera que vy = 2. Halle |v |, T, |a | y 0 en el punto (4, 2).Al utilizar las ecuaciones paramtricas x = 40, y = 202, se tiene qued e . >d d .r = 4ei + 2e2j y v = 4 ^ i + 4^ jdtxCAPTULO 40 Movimiento curvilneo www.FreeLibros.meCAPTULO 40 M ovim iento curvilneoComo v = 4 d d r = 2 y se obtieney d t J dt 20v = -i + 2j y a ~ >En el punto (4, 2), Q = 1. Entonces,v = 2i + 2j , Iv l = 2>/2, tan T = 1, cosT = -2^2. Por tanto, x = \ n a = - i , la l = 1, tan^ = 0, c o s^ = - 1. Por ende y = KDetermine las magnitudes de las componentes tangencial y normal de aceleracin para el movimiento x = e cos t y y = et sen t en cualquier instante t .Se tiene:r = x i + yj = (e t cos t)i + (e t sen t)j v = e t(cos t - sen t)i + e t (sen t + cos t)j a = - 2 e t (sen t)i + 2e t (cos t)jEntonces, |a | = 2et. Tambin, = Ivl = 'I 2et y Iat I = =^2 . Finalmente,dt dtI an I = ^ I a I2 - a2t = y f e tUna partcula se desplaza de izquierda a derecha a lo largo de la parbola y = x2 con rapidez constante 5. Determine la magnitud de las componentes tangencial y normal de la aceleracin en (1, 1).Como la rapidez es constante I at I = (1 + (y 0 2)3/2 = 5n/5d 2 sd t2 = 0 . En (1, 1), y' = 2x = 2 y y" = 2. El radio de curvatura en (1, 1)es, entonces, R = - I y " I 2Por tanto, I anI = IR^ = 2>/5 .6 . La fuerza centrfuga F (en libras) ejercida por una partcula en movimiento de peso W (en libras) en un punto de su trayectoria est dada por la ecuacin F = W lanI. Halle la fuerza centrfuga ejercida por una partcula que pesa 5 libras en los extremos de los ejes mayor y menor cuando realiza la trayectoria elptica x = 20 cos t, y = 15 sen t, con medidas en pies y segundos. Sea g = 32 pies/s2.En este caso se tiene:r = (20 cos t)i + (15 sen t)j v = (-20 sen t)i + (15 cos t)j a = -20(cos t)i - 15(sen t)jEntonces,% = Iv I = V400sen21 + 225 cos21 y = 175sen t cos 11 , 1 t 1 - r \j \j o v i l i 1 w 3 i y , o 1-------------------------------------------------------dt d >/400 sen 21 + 2 2 5 c o s 21En los extremos del eje mayor (t = 0 o t = K):d 2 sI a I = 20, I a. I = dt2 = 0, IanI = >/202 - 02 = 20 y F = 52(20) = f libras/ n 3n \En los extremos del eje menor 11 = - f o t = - f ):|a| = 15, |at| = 0, |an| = 15 y F = -32(15) = ^ libras www.FreeLibros.me-^ 333^7. Sean las ecuaciones del movimiento de un proyectil x = v0t cos y , y = v0t sen y j g t2, donde v0 es la velocidad inicial, y es el ngulo de proyeccin, g = 32 pies/s2, y x y y estn medidos en pies y t en segundos. Determinea) la ecuacin de movimiento en coordenadas rectangulares; b) el rango; c) el ngulo de proyeccin para el rango mximo, y d) la rapidez y la direccin del proyectil despus de 5 segundos de vuelo si v0 = 500 pies/s y = 45 (fig. 40.5).a) Se despeja en la primera ecuacin t = v cos y y se sustituye en la segunda:y = v0 x s e n y - 1 g \ x | = x ta n w - 2gx 27 0 v0c o s y r 26 l v0c o s y ) r 2v jcos2^b) Se despeja t en y = v01 sen y y g t2 = 0 y se tiene t = 0 y t = (2v0 sen y)/g. Para la ltima, se obtieneRango = x = v0co sy2v0sen y v^sen 2 yg g ^ ^ , dx 2v 2cos2w ,c) Para que x sea un m xim o, = ^~g------- = 0 ; por tanto, cos 2 y = 0 y y = -4^ .d) Para v0 = 500 y y = -j -n , x = 250>/2t y y = 250\2t 16t2 . Entonces,vx = 250>/2 y vy = 2 5 0 7 2 32tC uando t = 5, vx = 2 5 0 7 2 y vy = 2 5 0 7 2 160 . Luego,ta n T = vy = 0.5475 . Entonces, t = 28 4 2 ' y Iv l = ^ v ^ + vy; = 403 p ies/s8. Un punto P se mueve en un crculo x = r cos f5, y = r sen i, con rapidez constante v. Demuestre que si el radio vector de P se mueve con velocidad angular (O y aceleracin angular a , a) v = rw, y b) a = r7ffl4 + a 2 .a) vx = - rse n ^ d d ^ = -r senj3 y vy = r cosfi ^ = rn c o s fiEntonces, v = -\v 2 + vy2 = 7 ( r 2sen2 + r 2 cos2 f i ) a 2 = rb) ax = d L = _ r co s^d d f _ r senf i d - = ~ r a 2cosp ~ ra senfidv , dpay = ~djtL = ~m senf i d r + r cosfd - = - m 2 seni+ ra cos Luego, a = ^ a2x + aj = 7 r 2(ffl4 + a2) = r7 ffl4 +a 2yxCAPTULO 40 Movimiento curvilneo www.FreeLibros.meCAPTULO 40 M ovim iento curvilneoPROBLEMAS COMPLEMENTARIOS9. D eterm ine la m agnitud y la direccin de la velocidad y la aceleracin en el instante t, dados:a) x = e', y = e2t - 4e t + 3; en t = 0 Respuesta: a) i vi _ -v/5, T = 296 34'; |a| = 1, 0 = 0b) x = 2 - t, y = 2t3 - t; en t = 1 Respuesta: b) ivi _ > /2 6 , T = 101 19'; |a | = 12, -jKc) x = cos 3t, y = sen t; en t _ Respuesta: c) i v i _ >/5, T = 161 34'; i a i_ -\/4 l, 0 = 353 40 'd) x = e ' cos t, y = e ' sen t; en t = 0 Respuesta: d) i vi _ V 2, X = -j ^ ; |a | = 2, y10. U na partcula se m ueve sobre el arco del prim er cuadrante de la parbola y2 = 12x con vx = 15. H alle vy, |v| y % y ax, ay, |a |, y 0 en (3, 6).Respuesta: vy = 15, i vi _ 15>/2 , x = -jn ; ax = 0, ay = -75 /2 , |a | = 75/2, 0 = 3^/211. U na partcula se m ueve a lo largo de la curva y = x3/3 con vx = 2 en todo mom ento. H alle la m agnitud y ladireccin de la velocidad y la aceleracin cuando x = 3.Respuesta: ivi _ 2>/82, t = 83 4 0 ; |a| = 24, q = - jn12. U na partcula se m ueve alrededor de un crculo de 6 pies de radio a una rapidez constante de 4 pies/s.D eterm ine la m agnitud de su aceleracin en cualquier posicin.Respuesta: \a\ = 0, |a| = |an| = 8/3 pies/s213. D eterm ine la m agnitud y la direccin de la velocidad y la aceleracin, as com o las m agnitudes de las com ponentes tangencial y norm al de aceleracin en el instante t, para el movimiento:a) x = 3t, y = 9t - 3t2; en t = 2b) x = cos t + t sen t, y = sen t - t cos t; en t = jRespuestas: a) i vi _ 3>/2 , t = 7^ /4 ; |a| = 6, 0 = 3^/2; iat I _ ian I _ 3V 2 ;b) |v| = i , t = i ; iai ^ 7 2 , 0 = 10218; \ a \ = |a| = j14. U na partcula se m ueve a lo largo de la curva y _ -j-x2 -4 de m anera que x _ - j t2, para t > 0. H alle vx, vy, |v| y T, ax, ay, |a| y 0; |a t| y |a| cuando t = 1 .Respuesta: vx = 1, vy = 0, |v| = 1, T= 0; ax = 1, ay = 2, iai _ ->/5, 0 = 6326; |a t| = 1, |an| = 215. U na partcula se m ueve a lo largo de y = 2x - x2 con vx = 4 en todo mom ento. Calcule las m agnitudes de las com ponentes tangencial y norm al de aceleracin en la posicin a) ( 1 , 1) y b) (2, 0).Respuestas: a) |a t| = 0, |an| = 32; b) ia ti _ 64 / -\/5, i ani _ 32\/516. Si una partcula se m ueve en un crculo de acuerdo con las ecuaciones x = r cos w r, y = r sen w r, dem uestre que su rapidez es rar.17. D e m u e s tr e q u e si u n a p a r t c u la s e m u e v e c o n r a p id e z c o n s ta n te , e n to n c e s su s v e c to r e s v e lo c id a d y a c e le r a c i n so n p e r p e n d ic u la r e s y re c p r o c a m e n te p r u e b e q u e si su s v e c to r e s v e lo c id a d y a c e le r a c i n so n p e rp e n d ic u la re s , e n to n c e s su r a p id e z e s co n stan te . www.FreeLibros.meCoordenadas polaresLa posicin de un punto P en un plano puede describirse por sus coordenadas (x, y) respecto de un sistema de coordenadas rectangulares. Su posicin tambin puede determinarse al seleccionar un punto fijo O, especificando la distancia dirigida p = OP y el ngulo 0 que forma OP con una semirrecta fija OX (fig. 41.1). ste es el sistema de coordenadas polares. El punto O se denomina polo y OX, eje polar.A cada par de nmeros (p , 0) le corresponde un punto nico. Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, (1, 0) y (1, 2p describe el mismo punto en el eje polar y a una distancia 1 del polo. Ese mismo punto tambin corresponde a (-1, p). [Cuando p es negativo, el punto correspondiente a (p , 0) se obtiene de esta forma: el eje polar OX se gira 0 radianes (en sentido contrario al de las manecillas del reloj si 0 es positivo, y en el sentido de las manecillas si 0 es negativo) hasta una nueva posicin OX' y luego se mueve lp unidades en la semirrecta opuesta a OX'.]En general, un punto P con coordenadas polares (p , 0) tambin puede describirse por (p , 0 2nP) y (-p , 0 + (2n + 1)p), donde n es cualquier entero no negativo. Adems, el polo mismo corresponde a (0, 0), con0 arbitrario.EJEMPLO 41 .1 . E n la f ig u r a 4 1 .2 se m u e stra n v a r io s p u n to s y su s c o o rd e n a d a s p o la re s . O b s e r v e q u e la s c o o r d e n a d a s p o la r e s d e l p u n to C so n ^ 1 , J.Una ecuacin po la r de la forma p =f ( 0) o F(p , 0) = 0 determina una curva, que consta de todos los puntos que corresponden a los pares (p , 0) que satisfacen la ecuacin. Por ejemplo, la ecuacin p = 2 determina el crculo con centro en el polo y radio 2. La ecuacin p = -2 determina el mismo conjunto de puntos. En general,Fig. 4 1 .1f )( 1, 0 ) 35jFig. 41.2 www.FreeLibros.meCAPTULO 41 Coordenadas polaresuna ecuacin p = c, donde c es una constante, determ ina el crculo con centro en el polo y radio lcl. U na ecuacin 0 = c designa la recta que pasa por el polo y que se obtiene al girar el eje polar c radianes. Por ejemplo, 0= n/2 es la recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar.Coordenadas polares y rectangularesDados el polo y el eje polar, se establece un sistema de coordenadas rectangulares donde el eje polar es el eje x positivo y el eje y es perpendicular al eje x en el polo (fig. 41.3). As, el polo se halla en el origen del sistema rectangular. Si un punto P tiene coordenadas rectangulares (x, y) y coordenadas polares (p, 0), entonces,x = p cos 0 y y = p sen 0 (41.1)Estas ecuaciones im plicanp = x2 + y2 y tan# = ^ (41.2)EJEMPLO 41 .2 . Considrese la curva polar p = cos 0. Al multiplicar por p se obtiene p2 = p cos 0. Por tanto, x2+ y2 = x se cumple para las coordenadas rectangulares de los puntos sobre la curva. Ello equivale a x2 - x + y2 = 0, yal completar el cuadrado respecto a x se obtiene (x - y)2 + y2 = " . Por consiguiente, la curva es el crculo con centroen (-j,0) y radio 2 Ntese que cuando 0 vara de 0 a n/2, el semicrculo superior se traza de (1, 0) a (0, 0), y luego 7Tcuando 0 vara de a n el semicrculo inferior se dibuja de (0, 0) de vuelta a (1, 0). Todo este trayecto se traza una vez ms cuando 0 vara de p a 2p . Como cos 0 tiene un periodo de 2p , se ha descrito completamente la curva.EJEMPLO 4 1 .3 . Considrese la parbola y = x2. En coordenadas polares, se obtiene p sen 0 = p2 cos2 0 y, por consiguiente, p = tan 0 sec 0, que es una ecuacin polar de la parbola.Algunas curvas polares tpicasa) Cardioide: p = 1 + sen 0 (fig. 41.4a).b) Caracol: p = 1 + 2 cos 0 (fig. 41.4 b).c) Rosa con tres ptalos: p = cos 3 0 (fig. 41.4c).d) Lem niscata: p 2 = cos 2 0 (fig. 41.4d).En un punto P sobre una curva polar, el ngulo y que va del radio vector OP a la tangente P T a la curva (fig. 41.5) se calcula con la frmula:dd p . d p / a -tXa n V = P-d~p= J ' , donde p = (413)Para ver una dem ostracin de esta frmula, vase el problem a 1. La tangente y es m uy im portante en las coordenadas polares, sim ilar a la de la pendiente de la tangente en las coordenadas rectangulares. www.FreeLibros.me4337^(d)Fig. 4 1 .4Angulo de inclinacinEl ngulo de inclinacin t de la tangente a una curva en un punto P (p , 9) de sta se encuentra dado por:p c o s 6 + p ' sen# . . . ..tan t = ------ --------------77 (41.4)- p s e n + p ' co sPara leer una dem ostracin de esta ecuacin vase el problem a 4.Puntos de interseccinAlgunos o todos los puntos de interseccin de dos curvas polares p = f 1(9) y p = f 2(9) (o ecuaciones equivalentes) pueden hallarse despejandom = 2(9) (41.5)CAPTULO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.meCAPTULO 41 Coordenadas polaresFig. 41.5EJEMPLO 41 .4 . Determine los puntos de interseccin de p = 1 + sen 0 y p = 5 - 3 sen 0.Al hacer 1 + sen 0 = 5 - 3 sen 0 se obtiene sen 0 = 1. Entonces, p = 2 y 8 = - j . El nico punto de interseccin es ^ . Ntese que no es necesario indicar el nmero infinito de los otros pares que designan el mismo punto.Como un punto puede representarse por ms de un par de coordenadas polares, la interseccin de dos curvas puede contener puntos para los cuales ningn par de coordenadas polares satisfaga (41.5).EJEMPLO 41 .5 . Determine los puntos de interseccin de p = 2 sen 2 0 y p = 1.La solucin de la ecuacin 2 sen 20 = 1 es sen 28 = -j y, por tanto, dentro de [0, 2p ), 8 = f |, -ff , 1f2L, t t Se han hallado cuatro puntos de interseccin: (1, U), (1, -ff), (1, i 3?) y (1, ^ y). Pero el crculo p = 1 tambin puede representarse como p = -1. Ahora, despejando 2 sen 20 = -1 se obtiene sen 28 = --f , por lo que 8 = f, f f r, f f y 2 .^ As, se obtienen cuatro puntos ms de interseccin (-1, ^ f), (-1, f f r), (-1, -fr) y (-1, i )^.Cuando el polo es un punto de interseccin, puede no aparecer entre las soluciones de (41.5). El polo es un punto de interseccin cuando existe 0 y 02 tal que / 1(01) = 0 = f 2(02).EJEMPLO 41 .6 . Determine los puntos de interseccin de p = sen 0 y p = cos 0.De la ecuacin sen 0 = cos 0 se obtienen los puntos de interseccin l^ , n ) y (-j^,5^. Sin embargo, ambas curvas contienen el polo. En p = sen 0, el polo tiene coordenadas (0, 0), mientras que en p = cos 0, el polo tiene coordenadas (0, -j).EJEMPLO 41 .7 . Determine los puntos de interseccin de p = cos 20 y p = cos 0.De la ecuacin cos 20 = cos 0 y observando que cos 20 = 2 cos20 - 1 se obtiene 2 cos2 0 - cos 0 - 1 = 0 y, por consiguiente, (cos 0 - 1)(2 cos 0 + 1) = 0. As, cos 0 = 1 o cos8 = -y. Luego, 0 = 0, ^ f, ^ , lo que resulta en los puntos de interseccin (1, 0), (- 2 ,2 )^ y (- -2 ,4^ ). Pero el polo tambin es un punto de interseccin, que aparece cuando (0, -j) en p = cos 20 y cuando (0, ^ ) en p = cos 0.ngulo de interseccinEl ngulo de interseccin, f , de dos curvas en un punto comn P(p, 0) que no sea el polo est dado portan - tan y/ 2tan^= - (41.6)1 + tan tan ^ 2donde y y y2 son los ngulos que van desde el radio vector OP hasta las rectas tangentes respectivas de las curvas en P (fig. 41.6). Esta frmula proviene de la identidad trigonomtrica para tan ( y - y ) , ya que f = y - y2.C2 www.FreeLibros.me-^ 339^EJEMPLO 41 .8 . Determine los ngulos (agudos) de interseccin de p = cos 20 y p = cos 0.Los puntos de interseccin se hallaron en el ejemplo 7. Tambin se necesita tan y y tan y2. Para p = cos 0, con la frmula (41.3) se obtiene tan y = -co t 0. Para p = cos 20, la frmula (41.3) resulta en tan y 2 = - -jc o t2 0 .En el punto (1, 0), tan y = -co t 0 = ^ y de igual forma, tan y2 = ^ . Entonces y 1 = y 2 = -2- y, por tanto, f = 0.En el punto ^ " ^ j , ta n y 1 = "^ g^3- y ta n y 2 = ^ 6 ". Entonces, por (41.6),(V3/3) + (a/3/6) 3 ^tan^ - T^(I76) " T "y, por consiguiente, el ngulo agudo de interseccin f = 46 6 '. Por simetra, ste tambin es el ngulo agudo deinterseccin en el punto 1 , -4^ J .En el polo, en p = cos 0, el polo est dado por Q = n . En p = cos 20, el polo est dado por 0 = -? y 0 = T" As,2 Ken el polo hay dos intersecciones y el ngulo agudo es de -4 en ambas.La derivada de la longitud de arcoLa derivada de la longitud de arco est dada por% => = +P (41.7), dpdonde p = dQ y se entiende que s aumenta con 0. En el problema 20 se presenta la demostracin correspondiente.CurvaturaLa curvatura de una curva polar est dada porK p 2 + 2 (p ' )2 - p p " [p 2 + (p ' )2]372En el problema 17 se presenta la demostracin respectiva.(41.8)| PROBLEMAS RESUELTOS |Deduzca la frmula (41.3): ta n y = = donde p 'd ^ .En la figura 41.7, Q (p + Ap, 0 + A0) es un punto en la curva prximo a P. Con base en el tringulo rectngulo PSQ, sen A0psen A0 _ psen A0 _tan A = S P = SP A0SQ OQ - OS p + A p - pcos A0 p(1 - cos A0) + Ap 1 - cos A0 APp A0 " A0Cuando Q ^ P a lo largo de la curva, A 0 ^ 0, OQ ^ OP, PQ ^ P F y Z ^ A y .Fig. 41.7CAPTULO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.meCAPTULO 41 Coordenadas polaresCuando AO ^ 0, ^ 1 y 1 T i?Ad ^ 0. Entonces,A0 Aetanw = lm tan2= , ^ , n = p 4r - r Afl^ o dp Idd ^ dpEn los problemas 2 y 3 use la frmula (41.3) para determinar tan y para la curva dada en el punto indicado.2. p = 2 + c o s 6 e n 0 = y ( fig . 4 1 .8 ) .E n 0 = y , p = 2 + -2 = f , p ' = - sen d = - ^ 3 - y tan^ = = ~ ^yFig. 4 1 .83. p = 2 se n 3 6 en 0 = y ( fig . 4 1 .9 ) .E n 0 = - | , p = 2 - ^ = V 2 , p = 6 cos30 = 6 j = - 3 >/2 y t a n ^ = - ^ =4. Compruebe la frmula (41.4): tan T = De la figura 41.7, t = y + 0 yp co sd + p ' sen0 -p s e n 0 + pcosdtanw + tan0 tanT = tan(^ + 0) = 1 - t a n ^ t a n 0 :dp cos01 - P dd sen0p co s0 + sen0-d ^-co s0 -p se n 0d p cos0p co s0 + p ' sen0 -p se n 0 + p ' cos05. Demuestre que si p = f(O) pasa por el polo y O1 es tal que f(O1) = 0, entonces la direccin de la tangente a la curva en el polo (0, O1) es O1 (fig. 41.10).En (0, O1), p = 0, y p = f ( O x). Si p * 0tanT =p co s0 + p 'sen0 _ 0 + / ' ( 0 1)sen01 _ . - p s e n 0 +p' cos0 0 + f (01)cos01 an 1Si p = 0 ,y www.FreeLibros.metanT = lm = tan0jA^ fl1 f (0)cos0 1Fig. 41 .10En los problemas 6 a 8, determine la pendiente de la curva indicada en el punto dado.-^ 341^6. p = 1 -cos 9 en 0 = ^ (fig. 41.11)E n 0 = f ,se n 9 = 1 , c o s 9 = 0, p = 1 , p ' = se n 9 = 1tan, pcosd + p ' sen 0 = 1 0 +1 1 = , La^ -psen0+p'cos0 -1 1 +1 0 17. p = cos 39 en el polo (fig. 41.12).Cuando p = 0, cos 39 = 0. Entonces 30 = -y, 3 ^-, ^ y 0 = 4-, -y, 5^-. Por el problema 5, tanT= 1A/3 , ^ y2 2 2 6 2 6Fig. 41.128. pQ = a en 0 = -^ .En 0 = -?-, sen0= =2 , cos0 = y, p = y p = S r = ~92. Entonces,3 2 2 K n J ^ 02 ^ 2tanT =pcos0 + p'sen0 _ 3^ /3-psen0+p' cos " y3n + 3yyyCAPTULO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.meCAPTULO 41 Coordenadas polares9. Investigue p = 1 + sen 0 para las tangentes horizontales y verticales (fig. 41.13).En P(p, 0):_ (1 + senQ)cosQ + cosQsenQ _ cosQ(T + 2senQ)anT (1 + senQ)senQ + cos2 Q (senQ + l)(2senQ 1)Se establece cos 0(1 + 2 sen 0) = 0 y al resolver para (despejar) x se obtiene Q = |^-, 3 ^ , 7^- y Tjp".3 7Z K 5 7ZTambin se establece (sen 0 + 1)(2 sen 0 - 1) = 0 y al despejar se obtiene 6 = - ^ , -g- y ^-.Tt TTPara 6 = ^ existe una tangente horizontal en (2, -y).Para 6 = 7 ^ y TT^- hay tangentes horizontales en | j , y | 2 , j p J.Para 0 = -6 y 5 ^ hay tangentes verticales en | 2 , J y | 2 ,3KPara Q = - ^ , por el problema 5, existe una tangente vertical en el polo.10. Demuestre que el ngulo que forma el radio vector a cualquier punto de la cardioide p = a ( l - cos 0) con la curva, es la mitad del que forma el radio vector con el eje polar.En cualquier punto P(p, 0) sobre la cardioidep = a sen 0 y tan f .Entonces, y = y Q .En los problemas 11 a 13, determine los ngulos de interseccin del par de curvas dadas.11. p = 3 cos 0, p = 1 + cos 0 (fig. 41.14).Fig. 4 1 .1 4Al despejar 3 cos 0 = 1 + cos 0 para los puntos de interseccin se obtiene (3 , -^ ) y (3 , 5F ). Las curvas tambin se intersecan en el polo. U 3 ' U ^Para p = 3 cos 0 : p ' = -3 sen 0 y tan yj = -co t 0Para p = 1 + cos 0: p ' = -sen 0 y t a n y 2 = _ T ^ e n ir^ www.FreeLibros.me-^ 343^En 0 = _y , t a n y = 1>/3 , ta n y 2 = ^ 3 y t a n ^ = . El ngulo agudo de interseccin en , -33J y, porsimetra, en | 3 , es ^6.En el polo, un diagrama o el resultado del problema 5 muestra que las curvas son ortogonales.12. p = sec2y 0, p = 3csc2y 0 .Al despejar sec2^ 0 = 3 cosec2-j 0 para los puntos de interseccin, se obtiene 14 , j y 14 , 4 r \ .Para p = s e c 2y 0 : Para p = 3 c o s e c 2y 0 :p ' = s e c 2 - j 0 t a n y 0 yp ' = - 3 c o s e c 2 - j 0 c o t"20 yt a n y = c o t-2 0 t a n y 2 = - t a n 2 0En 0 = tan y = 1/^/3 , tan^ 2 = - \3 y -2 ^ , las curvas son ortogonales. De igual forma, las curvas son ortogonales en 6 = -3-.13. p = sen 26, p = cos 6* (fig. 41.15).Las curvas se intersecan en los puntos l ^ r , J y ( -" 2 , y el polo.Para p = sen 2 # p ' = 2 cos 26 y tan y = y tan20Para p = cos 6 p ' = -sen 6 y tan y2 = - cot 6En 0 = -6 tan y = >/3 / 2 , tan y 2 = V3 y tan q\ = - 3\3 . El ngulo agudo de interseccin en el punto " ^ , ) es tan-^ ^ = 79o6 '. De igual forma, en 0 = tan y = - ^ 3 / 2 , ta n y 2 = >/3 y el ngulo deinterseccin es tan13y3 .En el polo, los ngulos de interseccin son 0 y -^.Fig. 4 1 .1 5d iEn los problemas 14 a 16, determine d g en el punto P(p, 6). 14. p = cos 26p ' = -2 sen 20 y d ^ = ^ P 2 + (P ')2 = Vcos2 20 + 4sen2 20 = -\/1 + 3sen2 2015. p(1 + cos 6) = 4Derivando se obtiene - p sen 6 + p'(1 + cos 6) = 0. Entonces,p = p sen0 = 4sen 0 ds _ in2 , ( n ,)2 _P 1 + cos0 (1 + cos0)2 y d d v P (P ) -4yf2( 1 + cos0 ) 3yCAPTULO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.meCAPTULO 41 Coordenadas polares16. p = sen3 ^-3J (Tambin evaluar d ^ en 0 = .)p ' = sen21 0 co s1 0 y d k = Vsen6i + sen4| 0 cos21 B = sen21 0dBEn 0 = | ^ , ds /d0 = sen2 4- ^ = -417. Compruebe la frmula (41.8): K = r 2 , 2,3/2p 2 + 2(p ')2 - p p '' [p2 + (P' )2]3Por definicin K = dS-. Ahora, r = 0 + y y, por tanto,_d r = d0 + = d0 + d B = d B | 1 + Vds ds ds ds dB ds ds ^ dBdonde ^ = tan-1 j . Tambindy _ [(p ')2 - p p ''] /(p ')2 _ (p ' )2 - p p " . entonces 1 + d ^ = , . (P ')2 ~ PP" = p 2 + 2(p ' )2 ~ p p d B ~ 1 + (p /p ' )2 p 2 + (p ' )2 * entonces 1+ d B 1 p 2 + (p ' )2 p 2 + (p ' )2As K - dB f 1 + d p ) _ 1 + d y /d B _ 1 + d y /d B _ p 2 + 2 (p ')2 - p p '' s1, ds y dB J dsIdB ^ p2 + (p ')2 [p 2 + ( p ')2]3/218. Sea p = 2 + sen 6 Determine la curvatura en el punto P(p, 6 ).p 2 + 2(p ' )2 - p p " _ (2 + sen0)2 + 2cos2 0 + (sen0)(2 + sen0) 6(1 + sen0)K =[p2 + (p ' )2]3/2 [(2 + sen0 )2 + cos2 0 ]3/2 (5 + 4sen0 )3TT 4 n19. Sea p(1 - cos 6 ) = 1. Determine la curvatura en 0 = y B = ^ .P ' = (1 - eos0 )2 y P ' = (1 - cos0)2 + (L -co s )3 ; entonces K = sen3 00En 0 - 7 K = 7 J J = f * en 8 I T K = ( f ) = 3 f 20. Compruebe la frmula (41.7): = -Jp 2 + ( p ')2 .dBSea p una funcin de 0. De x = p cos 0 y y = p sen 0 se obtiene dx/d0 = - p sen 0 + (cos 0) p y dy/d0 = p cos 0 + (sen 0) p . Por tanto,( ) = [P2sen2 0 + (P ' )2 cos2 0 - 2pp ' sen0cos0]As,) = [p2 cos2 0 + (p ' )2sen2 0 + 2pp ' sen0 cos0 ]H )2 - ( d H )2 + ( % ) 2 - P 2+ ( P ' )2Como s crece con -d- > 0 y se obtiene la frmula (41.7). dB21. Para p = cos 20, determine -d - en 0 = -?-. (Supngase, como es usual, que s aumenta con 0.) , dB 4p ' = d g = -2 se n 2 6 . Por la frmula (41.7),d| = ,/cos2 (20) + 4 sen2(20) = >/ 1 + 3sen2(20)= V 1 + 3sen2( /^2) = 2y www.FreeLibros.me-^ 345^PROBLEMAS COMPLEMENTARIOSEn los problem as 22 a 25, determ ine tan y para la curva dada en los puntos indicados.22. p = 3 - sen 0 en 0 = 0, 0 = 3ft/4 Respuesta: -3 ; 3>/2 - 123. p = a(1 - cos 0) en 0 = ft/4, 0 = 3ft/2 Respuesta: V 2 - 1; -124. p (1 - cos 0) = a en 0 = ft/3, 0 = 5ft/4 Respuesta: - ^ 3 / 3 ; 1+ V225. p 2 = 4 sen 2 0 en 0 = 5 rc/12, 0 = 2rc/3 Respuesta: 1>/3 ; -v/3En los problem as 26 a 29, determ ine tan r para la curva dada en el punto indicado.26. p = 2 + sen 0 en 0 = ft/6 Respuesta: 3>/327. p 2 = 9 cos 2 0 en 0 = ft/6 Respuesta: 028. p = sen3 ( 0/3) en 0 = rc/2 Respuesta: >/329. 2p (1 - sen 0) = 3 en 0 = ft/4 Respuesta: 1 + >/230. Investigue p = sen 2 0 para hallar las tangentes horizontales y verticales.Respuesta: tangentes horizontales en: 0 = 0, n , 54 44 ', 125 16', 234 44', 305 16'; tangentes verticales en0 = rc/2, 3rc/2, 35 16', 144 44', 215 16', 324 44'.En los problem as 31 a 33, determ ine los ngulos agudos de interseccin de cada par de curvas.31. p = sen 0, p = sen 20 Respuesta: f = 79 6 ' en 0 = ft/3 y 5ft/3; f = 0 en el polo32. p = V 2 s e n 0 , p 2 = c o s 20 Respuesta: f = ft/3 en 0 = ft/6, 5ft/6; f = ft/4 en el polo33. p 2 = 16 sen 20, p 2 = 4 cosec 20 Respuesta: f = ft/3 en cada interseccin34. D em uestre que cada par de curvas se cortan en ngulo recto en todos los puntos de interseccin.a) p = 4 cos 0, p = 4 sen 0 c) p 2 cos 2 0 = 4, p 2 sen 2 0 = 9b) p = e0, p = ed) p = 1 + cos 0 , p = 1 - cos 035. D eterm ine el ngulo de interseccin de las tangentes a p = 2 - 4 sen 0 en el polo. Respuesta: 2n/3CAPTULO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.meCAPTULO 41 Coordenadas polares36. Determine la curvatura de cada una de estas curvas en P(p, 9): a) p = e9; b) p = sen 9, c) p 2 = 4 cos 29, d) p =3 sen 9 + 4 cos 9.Respuesta: a) 1/(V2efl), b) 2; c) fV co s2 0 ; d) -f ds37. Determine para la curva p = a cos 9.Respuesta: ads38. Encuentre ^ para la curva p = a(1 + cos 9).Respuesta: aV 2 + 2cos039. Supngase que una partcula se mueve a lo largo de una curva p = f(9 ) con su posicin en cualquier instante t dada por p = g(t), 9 = h(t).a) Multiplique la ecuacin | -djfiJ = P 2 + (P ')2 obtenida en el problema 20 por | J para que resulte 2= ( d )2 - p ( d )2 + ( f ) 2 tb) a p^-a.- de obteng s e " ^ yEn los problemas 40 a 43, determine todos los puntos de interseccin de las ecuaciones indicadas.40. p = 3 cos 9, p = 3 sen 9 Respuesta: (0, 0), ( ^ ' !!222 , " 4 )41. p = cos 9, p = 1 - cos 9 Respuesta: (0, 0), | -3 j , |^ ^ , _ 3"42. p = 9, p = p Respuesta: ( p p), ( - p - p43. p = sen 29, p = cos 29 Respuesta: (0, 0), ( :^ ,(2n + 1)n ) para n = 0, 1, 2, 3, 4, 544. (CG) Trace las curvas de los problemas 40 a 43, determine sus grficas en una graficadora y compruebe las respuestas a los problemas 40 a 43.45. (CG) Trace las grficas de las ecuaciones siguientes y luego compruebe las respuestas con una graficadora:a) p = 2 cos 4 9 b) p = 2 sen 5 9 c) p 2 = 4 sen 292 1d) p = 2(1 - cos 9 e) p = 1 + c o s 0 f ) p 2 =Qg) p = 2 - sec 9 h) p = -^[En los incisos g) y h) busque las asntotas.]46. Cambie las siguientes ecuaciones rectangulares en ecuaciones polares y trace las grficas:a) x2 - 4x + y 2 = 0 b) 4x = y2 c) xy = 1d) x = a e) y = b f) y = mx + b www.FreeLibros.me-----4347^Respuestas: a) p = 4 c o s O, b) p = 4 c o t O c o s e c O c ) p 2 = s e c O c o s e c O d ) p = a s e c O e ) p = b c o s e c O,f o = _________b _______________________J ) K s e n 0 - m c o s 047. ( C G ) C a m b i e l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s p o l a r e s e n c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s y l u e g o t r a c e l a g r f i c a . H a g a l ac o m p r o b a c i n c o n u n a c a l c u l a d o r a g r a f i c a d o r a : a) p = 2 c s e n O, b ) p = O, c ) p = 7 s e c O.Respuestas: a) x 2 + ( y - c ) 2 = c 2, b ) y = x t a n ( ^ / x 2 + y 2 ) , c ) x = 748. a ) D e m u e s t r e q u e l a d i s t a n c i a e n t r e d o s p u n t o s c o n c o o r d e n a d a s p o l a r e s ( p 1, O1) y ( p 2, O2) e sV p ? + P 22 - 2P 1P 2 c o s (0! - 02)b ) C u a n d o = O2, a c u n t o s e s i m p l i f i c a l a d i s t a n c i a ? E x p l i q u e p o r q u .R espuesta : Ip 1 - p 2ITtc) C u a n d o 6 l 0 2 = f , c u l e s e l r e s u l t a d o a l u s a r l a f r m u l a ? E x p l i q u e l a i m p o r t a n c i a d e l r e s u l t a d o .Respuesta: + p fd) D e t e r m i n e l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p u n t o s c o n c o o r d e n a d a s p o l a r e s ( 1 , 0 ) y ^1, y j .Respuesta:49. a) S e a f u n a f u n c i n c o n t i n u a t a l q u e f(d ) > 0 p a r a a < O< p . S e a A e l r e a d e l a r e g i n a c o t a d a p o r l a s r e c t a sO = a y O = fb, y l a c u r v a p o l a r p = f(0 ). D e d u z c a l a f r m u l a A = 1 ( f ( 0 ))2 d d = 1 p 2d 6 . (Sugerencia:2 2 Jad i v i d a [ a , f ] e n n p a r t e s i g u a l e s , c a d a u n a i g u a l a A O . C a d a s u b r e g i n r e s u l t a n t e t i e n e u n r e a a p r o x i m a d a a f A 0 ( f ( 0 * ) ) 2, d o n d e 0* e s t e n e l i - s i m o s u b i n t e r v a l o . )b ) D e t e r m i n e e l r e a d e n t r o d e l a c a r d i o i d e p = 1 + s e n O.K Kc ) E s t a b l e z c a e l r e a d e u n p t a l o d e l a r o s a c o n t r e s p t a l o s , p = c o s 30. (Sugerencia: i n t e g r e d e - a .)CAPTULO 41 Coordenadas polares www.FreeLibros.meSucesiones infinitasSucesiones infinitasU n a sucesin in fin ita (sn) es u n a func in cuyo dom in io es el con jun to de en teros positivos; sn es el va lo r de esta fu n c i n p a ra un en te ro n p o sitivo dado . A veces se in d ic a (sn) con s lo e sc r ib ir lo s p rim e ro s t rm in o s de la sucesin s 2, s 3, . . . , sn. . . E n este cap tu lo se considerarn slo las sucesiones en las que los valores sn sean nm eros reales.EJEMPLO 42 .1a ) ( ) e s l a s u c e s i n 1, 1, 4 - , i , . . . , , . . .7 \ n / 2 3 nb ) ( ( 1 ) ) e s l a s u c e s i n , , , . . . , n , . . .c ) { n 2) e s l a s u c e s i n d e c u a d r a d o s 1 , 4 , 9 , 1 6 , . . . , n 2, ...d ) (2n ) e s l a s u c e s i n d e e n t e r o s p o s i t i v o s p a r e s 2 , 4 , 6, 8, . , 2 n , .e ) ( 2n - 1 ) e s l a s u c e s i n d e e n t e r o s i m p a r e s p o s i t i v o s 1 , 3 , 5 , 7 , .Lmite de una sucesinSi (sn) es u n a sucesin in fin ita y L es un nm ero , en tonces que lm n^ + sn = L si sn se ap ro x im a a rb itra riam en te a L cuando n c rece sin lm ite.D esd e un p un to de v is ta m s p rec iso , lm n^ + sn = L s ign ifica que p a ra todo n m ero rea l positivo e > 0, h ay un en te ro positivo n 0 ta l que, cu an d o n > n 0, se tiene lsn - Ll < e . P a ra ilu stra r lo que esto sign ifica, se co locan los pun to s L, L - e y L + e en u n a rec ta n u m rica (fig. 42 .1 ), donde e es a lgn n m ero rea l positivo . A hora, si se co locan los pun to s s 1, s2, s3, . . . en la re c ta num rica , ta rde o tem prano h ab r un nd ice n 0 ta l que sn0, sn0+1, sn0+2, Sn0+3, y todos los t rm inos subsigu ien tes de la sucesin quedarn den tro del in tervalo (L - e , L + e ) .^1 s 2 s m s m + 1I------1------------ 1---------L L + eFig. 4 2 .1Si lm n^ + sn = L, en tonces la sucesin (sn) converge a L. S i ex is te un nm ero L ta l que (sn) converge a L, en tonces (sn) es convergente. C uando (sn) n o es convergente , en tonces es divergente.EJEMPLO 4 2 .2 . ( \ es convergente, porque lm n^ + -1 = 0. Para com probarlo, se observa que puede aproxi-\ n / n n1 1m arse arbitrariam ente a 0 haciendo a n lo suficientem ente grande. Esto se explica al observar que j ^ = 0.1, j0 q = 0.01,1000 = 0.001 y as sucesivam ente. Para com probar que la definicin precisa se satisface, sea e un nm ero positivocualquiera. Se tom a n 0 como el entero positivo ms pequeo m ayor que . Entonces < n 0. Por tanto, si n > n 0, i 1 1 e e ientonces n > y, por consiguiente, < e . As, si n > n 0 l - 0l < e . Con esto se com prueba que lim n^ + = 0 . ^ n n n^ 348^ www.FreeLibros.meEJEMPLO 4 2 .3 . diverge a +ro. D icho con m ay o r precisin , lm n^ + sn = + ^ si y s lo si, p a ra cua lqu ie r nm ero c, sin im porta r cun grande sea, ex is te un n m ero positivo n0 ta l que, cuando n > n0, se tiene que sn > c .D e igua l form a, se escribe lm n^ + sn = si sn se vuelve arb itra riam en te pequeo cuando n crece. E n talcaso , diverge a - ^ . M ejo r d icho , lm n^ + sn = - ^ i y s lo si, p a ra cua lqu ie r nm ero c , sin im porta r cun peq u e o sea, ex is te un en tero positivo n0 ta l que, cuando n > n0, se tiene que sn < c .Se escrib ir lm ^+ sn = ^ si lm ^+ I snl = +00, es decir, la m ag n itu d de sn crece arb itra riam en te cuando n crece.EJEMPLO 4 2 .4 . a) lm ^ + 2 n = + ; b ) lm ^ + (1 - n )3 = ; c ) lm ^ + ( - 1 ) n ( n 2) = ^ . N t e s e q u e e n e l i n c i s oc ) , l a s u c e s i n n o c o n v e r g e a + ^ n i a - ^ .EJEMPLO 4 2 .5 . L a s u c e s i n ( ( - 1 ) n ) e s d i v e r g e n t e , p e r o n o d i v e r g e a + ^ n i a - ^ n i a ^ . S u s v a l o r e s o s c i l a n e n t r e1 y - 1.U n a sucesin (s> est aco tada p o r encim a si hay nm ero c ta l que sn < c p a ra todo n y se en tiende que (s) es t aco tada p o r debajo si ex is te un n m ero b ta l que b < sn p a ra todo n . U n a sucesin (s> est aco tada (lim itada) si es t lim itad a tan to p o r en c im a com o p o r debajo . E s c laro que u n a sucesin (s> est aco tad a si y slo si hay un nm ero d ta l que lsnl < d p ara todo n .EJEMPLO 4 2 .6 . a ) L a s u c e s i n ( 2 n ) e s t a c o t a d a p o r d e b a j o ( p o r e j e m p l o , p o r 0 ) , p e r o n o e s t a c o t a d a p o r e n c i m a . b ) l a s u c e s i n ( ( - 1 ) n ) e s t a c o t a d a . O b s e r v e q u e ( ( - 1 ) n ) e s - 1 , 1 , - 1 , . . . E n t o n c e s , l ( - 1 ) n l < 1 p a r a t o d a n .Teorema 4 2 .1 . T o d a l a s u c e s i n c o n v e r g e n t e e s a c o t a d a .E n el p ro b lem a 5 se p resen ta una dem ostrac in .E l rec p roco d e l teo rem a 42.1 es falso. P o r e jem plo , la sucesin CAPTULO 42 Sucesiones infinitasTEOREMA 42.5. (Teorema del sndwich o teorema de intercalacin.) lm ^ + s = L = lm ^ + un y existe unentero m tal que sn < tn < un para todo n > m, entonces lmn^ + tn = L .P a ra ver u n a dem ostrac in , repase el p ro b lem a 1 1 .Corolario 42.6. Si l m ^ + un = 0 y hay un nm ero m tal que ltnl < lunl para todo n > m, entonces l m ^ + tn = 0. sta es una consecuencia del teorem a 42.5 y el hecho de que lmn^ + an = 0 equivale a l m ^ + lanl = 0.EJEMPLO 42.7. lm n ^ + ( - 1 ) ^ ^ = 0 . Para com probarlo, use el corolario 42.6, observando quelm n ^ + = 0 .n( - 1) ^ n^2Teorema 4 2 .7 . Sea f una funcin continua en c y sea lmn^ + sn = c , donde todos los trm inos sn estn en el dominio de f Entonces l m ^ ^ f (sn) = f (c).V ase el p ro b lem a 33.E s ev iden te que si u n a sucesin converge o no , no se v er a fec tada si se borran , sum an o a lte ran un nm ero fin ito de trm inos en su com ienzo . L a convergencia depende de qu sucede en el largo p lazo .E s necesario am p lia r la no c i n de sucesiones in fin itas al caso donde se p erm ite que el dom in io de u n a su cesin sea el con jun to de en teros no negativos o cua lqu ie r con jun to que conste de todos los en teros m ayores o iguales que un en tero fijo. P o r e jem plo , si se to m a el dom in io com o e l con jun to de en teros no negativos, en to n ces (2n + 1) ind ica ra la sucesin de en teros im pares positivos, y (1 / 2) rep resen ta ra la sucesin, 1 ,-2 , 1 , 1 , . .Sucesiones montonasa ) U n a sucesin (sn) es no decrecien te si sn < sn+1 pa ra todo n.b ) U n a sucesin (sn) es creciente si sn < s+1 p a ra todo n.c) U n a sucesin (sn) es no creciente si sn > sn+1 p ara todo n.d) U n a sucesin (sn) es decrecien te si sn > sn+1 p a ra todo n.e) U n a sucesin es m ontona si es n o d ecrecien te o no creciente.C laram en te , toda sucesin crec ien te es no d ecrecien te (pero no rec p rocam en te), y to d a sucesin decrecien te es n o crec ien te (pero no rec p rocam en te).EJEMPLO 4 2 .8 . a ) La sucesin 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, ... es no decreciente, pero no creciente. b ) -1 , -1 , -2 , -2 , -3 , - 3 , -4 , -4 , ... es no creciente, pero no decreciente.U n a p ro p ied ad b s ica e im portan te d e l sistem a de nm eros rea les est d ada po r el sigu ien te resu ltado . Su dem ostrac in va m s a ll del ob jetivo de esta obra.Teorema 4 2 .8 . Toda sucesin m ontona acotada es convergente.H ay varios m todos p a ra m o s tra r que u n a sucesin (sn) es no decrecien te , c recien te , no crec ien te o d ecrec ien te . E n e l caso sigu ien te , la p ro p ied ad (sn) es creciente.M to d o 1: D em uestre que sn+1 - sn > 0.EJEMPLO 4 2 .9 . Considere s = . Entonces, sn+. = +-. 1\ = + 3 . Por tanto,4n +1 n+1 4(ra +1) + 1 4n + 5ns s = 3n + 3 3n = (12n 2 + 15n + 3) (12n 2 + 15n)n+1 n 4 n + 5 4^ + 1 (4n + 5)(4 + 1)= 3 -> 0(4n + 5)(4n +1) ya que 4n + 5 > 0 y 4n + 1 > 0.M to d o 2: C uando todo sn > 0, dem uestre que sn+1/sn > 1. www.FreeLibros.me-----4351^3EJEMPLO 4 2 .1 0 . Use el mismo ejemplo s = 4 + 1 anterior,sn+i = ( 3 + 3 ) /( 3 ) = 3 + 3 4 + 1 = 122 + 15 + 3 > , sn \ 4n + 5 / / \ 4n + 1 / 3n 4n + 5 12n2 + 15n ya que 12n2 + 15n + 3 > 12n2 + 15n > 0.M todo 3: H alle una funcin diferenciable f ( x ) tal que f ( n ) = sn, para todo n, y demuestre que f \x ) > 0 para todo x > 1 (y, p o r tanto, que f es una funcin creciente para x > 1).3n 3 x 3EJEMPLO 42 .11 . Considere de nuevo sn = - . Sea: f (x ) = . , . Entonces f '(x) = > 0 para todo x. 4n + 1 J y ' 4x + 1 J K J (4 x + 1)2 ^PROBLEMAS RESUELTOS1. En cada una de las sucesiones siguientes, escriba la frmula para el trmino n-sim o y determine el lmite (si existe). Supngase que n = 1, 2, 3,...1 1 1 1 2 , 4 , 6 , 8 , . . .c) 1 - 1 1 - 1 1 - 1 c) 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . .e ) s e n - y , s e n p , s e n 3 ^ , s e n 2p , s e n - ^ , . ..a ) s = i ; Hmm. = 0.b) s n l m - t = l m ( 1 - ^ r ) = 1 - l mn + 1 . n +1 n +1 n +1b) 1 2 3 4 b) 2 , 3 , 4 , 5 , . . .d) 0.9, 0.99, 0.999, 0 .9 9 9 9 ,.f) f (2 )2, ( 3 ) ( 4 ) , , . . .= 1 - 0 = 1(- 1)+1 , (-1)+1c) s = - - ; lm - - = 0. Esto es intuitivamente claro, pero tambin puede aplicarse el teorema 42.3 an nla sucesin ((-1)n+1n), como lm (-1)+1 n = .d) s = 1 - 1 1 ; l^ f 1 - Tn ) = 1- Ilni W = 1 0 = 1.Ntese que lm -r1 = 0 en virtud del teorema 42.4b).10e) s = senn n . Obsrvese que la sucesin consta de repeticiones del ciclo 1, 0, -1 , 0 y no tiene lmite. 2f ) * = b r ) ; , m . ( r 1 ) " - f i d 1+ H e p ( 2 6 J 7 ' '2. Evale lmn^ + sn en los casos siguientes: 5 2 - 4 + 13a ) s = 3 2 - 95 - 7 b) sn =82 - 3 2 + 5 c)3 + 7 3 - 2 - 95x2_4 x +13 5a) Recurdese que l m ^ + 3x 2 9^ 7 = 3 por el problema 13 del captulo 7. As,52 _ 4 + 13 5lmn^ + 3 95 7 = 3 . Un resultado semejante se cumple cuando sn es un cociente de los polinomios del mismo grado.8x 2 _ 3 82 _ 3b) Recurdese que l m ^ + 5 = por el problema 13 del captulo 7. Entonces, l m ^ + ^ ^ = + ^ .2x ^ 5 2 ^ 5Un resultado semejante se obtiene cuando sn es una funcin racional cuyo numerador tiene un gradomayor que el denominador (y cuyos primeros coeficientes son del mismo signo).c) Recurdese que l m ^ + x ^ l x 9 = 0 por el problema 13 del captulo 7. As, lmn^ + ^ 2 9 = 0. El mismo resultado se cumple cuando sn es una funcin racional cuyo denominador tiene grado mayor que el numerador.CAPTULO 42 Sucesionesinfinitas www.FreeLibros.meCAPTULO 42 Sucesionesinfinitas3. Para cada una de las sucesiones siguientes, determ ine si es no decreciente, creciente, no creciente, decrecienteo ninguna de las anteriores. Luego determ ine su lmite, si existe.a s = 5n - 2 h - o _ _1 _a) n 7n + 3 sn 2n C) Sn = 3x -> 5x - 2 ^ t w.- (7x + 3)(5) - (5x - 2)(7) 29a) Sea f (x) - 7x + 3 . Entonces, f ( x ) - ^ x + 3)2 - (7x-|-3 )2 > 0Por tanto, f (x ) es una funcin creciente y, por ende, (sn) es una sucesin creciente.b) Sea f (x) - . Entonces, f '( x) = ------y f x)2 = 1 ^ x^ 2Com o ln 2 > -j [por (25.12)], x(ln 2) > 2 > l, cuando x > 2. Luego, 1 - x(ln 2) < 0 cuando x > 2 y, por tanto, f ( x ) < 0 cuando x > 2. E n tonces,f(x ) es decreciente para x > 2, y ello im plica que sn es decreciente para n > 2. N tese que s1 - y - s 2 . As, ( s j es no creciente. A hora se halla el lm ite. Por la regla de LHopital,lm = lm t = 0 y, de esta m anera, lm n = 0x>+ 2 x>+ (ln 2)2 n^ + 2c) " S ^ = ( 3^ ) / ( 3 -) = 13 < 1 . Por tanto, (sn) es decreciente1 / 1 \n El teorem a 42.4b) indica que lm = lm I 1 = 0n^+^ 3 n^+^ \ 3 )4 n t 1 ' 1 3 5 7 . . . ( 2 n- 1)4. D em uestre que la sucesin sn - 2 4 6 g (2n) es convergente.D e acuerdo con el teorem a 42.8, (sn) es acotada, como 0 < sn < 1. A hora se dem ostrar que ( s j es decreciente. O bserve ques - 1 3 5 7 (2n +1) - s 2n +1 < ssn+i 2 4 6 g ^ (2n + 2) sn 2n + 2 sn5. D em uestre el teorem a 42.1: toda sucesin convergente (sn) es acotada.Sea lm n ^+ sn = L . Se tom a e = 1. Entonces, hay un entero positivo n 0 tal que, siem pre que n > n 0, se tieneque lsn - Ll < 1. Por ende, para n > n 0, m ediante la desigualdad triangular se obtienelsn l = l(sn - L) + Ll < lsn - Ll + ILl < 1 + ILlSi se tom a M como el m xim o de 1 + lLl y ls1l, ls2l, ls3l, . . . , lsnl , se obtiene lsn l < M para todo n. As, (sn) esacotada.D em uestre que la sucesin es divergente.Puesto que 2 - - 1 ' 2 ' 2 ' ' ' 2 - 2 3 4 . . 2 > 2 para n > 4, la sucesin no es acotada. Entonces, por el teorem a 42.1, la sucesin no puede ser convergente.Pruebe el teorem a 42.3: si lmn^ + sn y sn * = 0 para todo n, entonces lm^+ - 1 = 0.Considere todo e > 0. Com o lm ,^ + sn = ^ , existe algn entero positivo m tal que, cuando n > m,!snI > ^ y, por tanto, -1 - 0 1Sn Sn< e . Entonces, l m = 0 S8 . P ruebe el teorem a 42.4: a) si lal > 1, entonces l m ^ ^ a n = ^ ; b) Si lrl < 1, entonces lm ^+M r n = 0.a) Sea M > 0 y sea lal = 1 + b. Entonces, b > 0. Ahora laln = (1 + b)n = 1 + nb + ... > 1 + nb > M cuando n > M^-.b) Sea a = 1/r. Com o lrl < 1, lal > 1. Por el inciso a), lm^+ a n = ^ . Por tanto, lmn^ + ( 1 ) = . Entonces,por el teorem a 42.3, lm ,^ + rn = 0 . r www.FreeLibros.me4353^9. Dem uestre: - = 0.lmn^ + 2n = ^ por el teorem a 42.4a). As, lmn^ + - 1 = 0 por el teorem a 42.3.10. Pruebe el teorem a 42.2c) y e).Sea sn = c y lm n ^+- tn = d .c) lm n ^ + (sn + tn ) = c + d . Sea e > 0. Entonces existen enteros OTj y m 2 tales que lsn - cl < e /2 para n > m 1 y ltn - dl < e /2 para n > m2. Sea m el m xim o de m t y m2. Entonces, para n > m, lsn - cl < e /2 y ltn - dl < e /2. Por lo tanto, para n > m,e) lm n ^ + (sntn) = cd. Com o (sn) resulta convergente, es acotada, por el teorem a 42.1 y, por tanto, hay un nm ero positivo M tal que lsn l < M para todo n. Sea e > 0. Si d * 0, existe un entero m 1 tal que lsn - cl < e /2ldl para n > m 1 y, por consiguiente, ldllsn - cl < e /2 para n > m 1. Si d = 0, entonces se puede seleccionar m 1 = 1 y, sin em bargo, se tendra ldllsn - cl < e /2 para n > m 1. Tambin existe un m2 tal que ltn - dl < e /2M para n > m2. Sea m el m xim o de m 1 y m2. Si n > m,11. D em uestre el teorem a de intercalacin: si lm n ^ + sn = L = lm n ^ + Mn y existe un entero m tal que sn < tn < un, para todo n > m, entonces lm tn = L .Sea e > 0. Existe un entero m > m tal que lsn - Ll < e /4 y lun - Ll < e /4 para n > m . A hora supngase que n > m 1. Com o sn < tn < un, ltn - s n l < lun - s n l. PeroPROBLEMAS COMPLEMENTARIOSEn los problem as 12 a 29, determ ine para cada sucesin (sn) si es acotada o no y si es no decreciente, creciente, no creciente o decreciente. Indique asim ism o si es convergente y, si es posible, establezca su lmite. (Nota: si la sucesin tiene un lm ite finito, debe ser acotada; en cam bio, si tiene un lm ite infinito, debe ser no acotada.)On + tn) - (c + d )l = On - c) + (tn - d )l < !n - cl + \tn - d\ < - | + ^| = e\sntn - cd! = Sn (tn - d) + d(Sn - c) < Sn (tn - d) + ld(Sn - c)lUn - = (Un - L ) + (L - Sn) ^ Un L + L ~ < 'As, tn - sn < e /2. Por tanto,tn - L = tn - Sn + (^n " L ) < t n - S j + - L < ^ + | < GRespuesta: no decreciente, creciente para n > 2; lm iteRespuesta: acotada; sin lm ite14. ( 3 n~) Respuesta: creciente, lm ite + ^Respuesta: creciente para n > 10; lm ite + ^16. ( ) Respuesta: decreciente para n > 3; lmite 0CAPTULO 42 Sucesionesinfinitas www.FreeLibros.meCAPTULO 42 Sucesiones infinitasi7 . f On 1 920. {nf) ( & ) ( o s )212223. / 4n + 5 \ \ n 3 - 2n + 3 /2 5 . ^ v n n - a >R espuesta : decreciente; lm ite 0Respuesta: no creciente; decreciente para n > 2; lm ite 0Respuesta: decreciente para n > 3; lm ite 1R espuesta : creciente; lm ite 3R espuesta : creciente, lm ite 1R espuesta : decreciente; lm ite 0R espuesta : lm ite 0R espuesta : decreciente; lm ite 026. 2n3n - 427. ( n s e n - ^28. 1y / n 2 +1 - n29. ( n -R espuesta : decreciente; lm ite 0Respuesta: creciente, lm ite nRespuesta: creciente, lm ite + ^Respuesta: creciente; lm ite + ^En los problem as 30 a 32, encuentre la frm ula plausible para una sucesin cuyos prim eros trm inos estn dados. D eterm ine el lm ite (si existe) de la sucesin.30 1 3 9 27 81 30 . 1 2 4 6 8 ' ' '3nRespuesta: sn = ^ n 1) ; el lm ite es31. -1 , 1, -1 , 1, -1 , 1 ,... Respuesta: sn = (-1 )n; sin lmite32. y , '7 , J 7 ", 2 , T ^ , . . . Respuesta: sn = ^ 2 ; decreciente, el lm ite es f33. D em uestre el teorem a 42.7. [Sugerencia: sea e > 0. Escoja S > 0 tal que, para x en el dom inio de f para el cual lx - cl < S se tiene que lf (x) - f(c )l < e . Seleccionar m de m anera que n > m im plique lsn - cl < 8.] www.FreeLibros.me-^ 355^34. D em uestre que l m ^ ^ v 1 / n p = 1 p a ra p > 0. (Sugerencia: np/n = e^ ln n)/n.)35. (CG) U se una graficadora para analizar s n = ,n + = para n = 1 a n = 5. Luego determ ine analticam ente elcom portam iento de la sucesin. Respuesta: decreciente, el lm ite es 1-v/4 + n36. (CG) U se una graficadora para analizar sn = para n = 1 hasta n = 10. Luego determ ine analticam ente el com portam iento de la sucesin.Respuesta: decreciente para n > 7; el lm ite es 037. D em uestre que lmn^ + an = 0 equivale a lmn^ + lanI = 0.38. Si sn > 0 para todo n y lmn^ + s2 = c , pruebe que lmn^ + sn = -\/c .1 ( 2 ^39. (CG) D efina sn por recursin de la siguiente manera: s 1 = 2 y sn+1 = I sn + I para n > 1.a) U se una graficadora para calcular sn para n = 2 , . , 5.b) D em uestre que si lmn^ + sn existe, entonces lmn^ + sn = V2.c) D em uestre que lmn^ + sn existe.40. D efina sn por recursin de la siguiente manera: s 1 = 3 y sn+1 = -j(sn + 6) para n > 1.a) D em uestre que sn < 6 para todo n.b) D em uestre que (sn) es creciente.c) D em uestre que lmn^ + sn existe.d) Evaluar lmn^ + sn.R espuesta : d ) 641. Pruebe el teorem a 42.2, incisos a), b), d) y f).CAPTULO 42 Sucesionesinfinitas www.FreeLibros.meSeries infinitasSea (sn) una sucesin infinita. Se puede formar la sucesin infinita de sumas parciales (sn) como sigue:51 = s,52 = s1 + s253 = s1 + s2 + s3Sn = s1 + s2 + + snGeneralmente se designa la sucesin (sn) mediante la notacin^l Sn = s1 + s2 + ' " + sn + ' "Los nmeros s1, s2, . . ., sn, . . . se denominarn trminos de la serie.Si S es un nmero tal que lmK^+ Sn = S, entonces la serie X Sn converge y S recibe el nombre de suma de la serie. Casi siempre se representa S mediante X s-n=1Si no existe ningn nmero S tal que lmK^+ Sn = S, entonces la serie ^ Sn diverge. Si lmK^+ Sn = - ^, la serie diverge a +^ y se escribe X sn = +. De igual forma, si lmK^+ Sn = -^ , entonces la serie diverge a - ^y se escribe X sn =EJEMPLO 4 3 .1 . C o n s id e r e la s u c e s i n ( ( - 1 ) n+'). L o s t rm in o s s o n s 1 = 1 , s2 = - 1 , s3 = 1 , s 4 = - 1 y a s s u c e s iv a m en te . P o r tan to , la s su m a s p a r c ia le s c o m ie n z a n c o n S 1 = 1 , S 2 = 1 + ( - 1 ) = 0, S 3 = 1 + ( - 1 ) + ( 1 ) = 1 , S 4 = 1 + ( - 1 ) + ( 1 ) + ( - 1 ) = 0 y c o n tin a n a ltern a d o u n o s y c e ro s . P o r c o n s ig u ie n te , lm K^ + Sn n o e x is te y la se r ie d iv e r g e (p e ro no a o - ^ ) .Series geomtricasC onsidere la sucesin (arn-1>, que consta de los t rm inos a, ar, a r2, a r3 , ...L a serie X ar-1 se d enom ina serie geom trica con razn r y p r im e r trm ino a . Su n- s im a sum a p arc ia l Sn est d ad a p o rSn = a + a r + ar2 + + arn-1 M ultip lique p o r r: rSn = a r + ar2 + + a rn-1 + arnR este: Sn - rSn = a - arnP or tan to , (1 - r)Sn = a(1 - t-)a(1 - rn)1 - r^ 356^n=1 www.FreeLibros.me-----4357^A hora todo depende de la razn r. S i lrl < 1, en tonces lm n^ + rn = 0 [por el teo rem a 42 .4b)] y, p o r consiguiente, lm n^+ Sn = a/(1 - r). S i lrl > 1, en tonces lm n^+ rn = ^ [por e l teo rem a 42 .2a)] y, p o r tanto , lm n^+ Sn = ^ .(U na excepcin b a lad se p resen ta cuando a = 0. E n este caso , todos los trm inos son 0, la serie converge y su sum a es 0.) E sto s resu ltados se resu m en en seguida.Teorema 4 3 .1 . Dada la serie geomtrica ^ a rn-1:a) Si lrl < 1, la serie converge y tiene suma 1 rb) Si lrl > 1 y a ^ 0, la serie diverge a ^ .EJEMPLO 4 3 .2 . Tmese la serie geomtrica ^ ( t ) ' 1-1 con razn r = -j y primer trmino a = 1:1 + T + i + 1 + 1 1Por el teorema 43.1a), la serie converge y tiene suma - = = 2. As, V (D 1^ = 2.1 (^ ) 2 n=1Se puede m u ltip lica r una serie s n p o r una constan te c p a ra ob tener una nueva serie ^ c s m y se pueden sum ardos series ^ s n y ^ t n p a ra o b tener u n a nueva serie ^ ( s n + tn).Teorema 43 .2 . Si c ^ 0, entonces ^ c s n converge si y slo si X s n converge. Adems, en el caso de convergencia,X csn = GX snn=1 n=1P ara o b tener este resu ltado , den tase p o r Tn = cs1 + cs2 + . . . + csn la n - s im a sum a parc ia l de la serie ^ c s n.E n tonces, Tn = cSn es la n - s im a sum a parc ia l de ^ sn. L uego , lm n n Tn ex iste si y slo si ex is te lm n n Sn y, cuando los lm ites existen , lm n^ + Tn = c lm n n Sn. E sto resu lta p o r el teo rem a 43.2 .Teorema 4 3 .3 . Supngase que dos series ^ sn y ^ J n convergen ambas. Entonces, su suma ^ ( s n + t j tambin converge yX (sn + tn) = X sn + X tnn=1 n=1 n=1P ara com probarlo , sean Sn y Tn la n- s im a sum a p arc ia l de ^ s n y X tn, respectivam ente. E n tonces, la n- s im a sum a parc ia l Un de ^ ( sn + tn) se observa fc ilm en te com o Sn + Tn. L uego , lm n^+ Un = lm n^+ Sn + lm n^+ Tn.E sto resu lta p o r e l teo rem a 43.3.Corolario 4 3 .4 . Supngase que dos series X s n y X tn ambas convergen. Entonces, su diferencia ^ ( s n - tn) tambin converge yX (sn - tn ) = X sn X tnn=1 n=1 n=1E sto se deduce d irec tam en te de los teo rem as 4 3 .2 y 43 .3 . S lo obsrvese que ^ ( s n - tn) es la sum a de ^ s n y la serie X ( - 1 )tn.Teorema 4 3 .5 . Si ^ sn converge, entonces lm n^ + sn = 0 .P ara com probarlo , sea ^ sn = S. E sto sign ifica que lm n^ + Sn = S, donde, com o es usual, Sn es la n - s im an=1su m a p a rc ia l de la serie . T am bin se tien e q u e lm n^ + Sn-1 = S . P ero sn = Sn - Sn-1. E n to n ces, lm n^ + sn = lm n^+ Sn - lm n^+ Sn-1 = S - S = 0.Corolario 4 3 .6 . (Teorema de divergencia.) Si lm^+ sn no existe o lm^+ sn * 0, entonces X s n diverge. sta es la co nsecuenc ia l g ica in m ed ia ta d e l teo rem a 43.5.CAPTULO 43 Series infinitas www.FreeLibros.meCAPTULO 43 Series infinitasEJEMPLO 4 3 .3 . La serie y + f + f + -f- + diverge.Aqu, s n = in r i . Com o lm ^ + = 2 * 0 , el teorem a de divergencia im plica que la serie diverge.E l rec p roco del teo rem a 43 .5 n o es vlido: lm K^ + sn = 0 no im p lica que ^ sn converja. E sto se m uestra m ed ian te e l e jem plo siguiente.EJEMPLO 43 .4 .sum as parciales de esta serie:Considere la fam osa serie arm nica ^ -3 = 1 + 1 + 3 + 4 + "5 + . A hora analice las siguientesS 2 = 1 + 2s4= 1+ 2 + + 2 > 1+ 1 + 4 + 2 = 1+ 2 + 2 = 1+ 2s 8= s 4+ 5 + 1 + 2 + 1! > S4 + 1 + 1! + 1! + 1 = S4+ 18=S4+ 2> 1+ 2S = S + 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 S8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6> S + + + + + + + + = S + 1 8 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 S8 2> + 2Si se contina de esta form a se obtendra S > 1 + 4 , S,fica que lm_32 ^ a . 2, u64 > 1 + f y, en general, S2k > 1 + k /2 cuando k > 1. Esto signi- Sn = + ^ y, por lo tanto, la serie diverge. Pero observe que lm^+ sn = lm^+ 1/n = 0.O bservacin: la convergencia o la d ivergencia n o se ve a fec tada p o r la ad ic in o e lim inacin de un nm ero fin ito de trm inos a l com ienzo de una serie. P o r e jem plo , si se bo rran los p rim eros k trm inos de u n a serie y la sum a de los t rm inos bo rrados es c, en tonces cad a nueva sum a p arc ia l Tn ten d r la fo rm a Sn+k - c. (P or ejem plo ,T 1 es Sk+1 - c.) P ero lm K^ + (Sn+k - c) ex is te si y s lo si lm K^ + Sn+k ex iste , y lm K^ + Sn+k ex is te si y s lo si lm K^ + Sn existe.N otacin: suele resu lta r til tra ta r las series en las que los trm inos de (Sn> tienen nd ices en teros n o n eg a tivos: s0, s1, s2, s3, . . . . E n tonces, las sum as parc ia les Sn tam bin com enzaran con S0 = s0, y la sum a de una serieconvergente se rep resen ta ra com o ^ sn.n=0PROBLEMAS RESUELTOS1. D eterm ine si la serie 1 + es convergente.5 52 53sta es una serie geom trica con razn r = -f y el prim er trm ino a = -f. Com o Irl = |f | < 1 . El teorem a 43.1a)a _ = 1/5 = 1/5 = 1rdice que la serie converge y que su sum a es 1 a r = j (1/5) = 4/5 = 4 A nalice la serie L + _L _ + _ L _ + _ L _ _| para hallar la convergencia.JL ^ ^ I I ,1El n -s im o trm ino es 1 , -n . Esto es igual a 1 -----1r. Por lo tanto, la n -s im a sum a parcialn (n + 1) & n n + 1 ^S = ^ + ^ + ^ + ^ + . + ____1___S 1 . 2 2 3 3 4 4 5 n (n +1)= ( 1 - 2 ) + ( 2 - ) + ( 2 - ? ) + ( 4 - J ) + + (+ l - n n + 1= 1 - n + 1 www.FreeLibros.meAs, lm S = lm (1 -1-1=1 - 0 = 1. En estas condiciones, la serie converge y su suma es 1.n^+ ^ n \ n + 1 /------------- 4 359^3. Se sabe que la serie geomtrica 1 + 1 + ^ + 8 + ^ + converge a S = 2. Analice la serie resultante cuando a) sus primeros trminos se suprimen; b) los trminos 3, 2 y 5 se agregan al comienzo de la serie.a) La serie resultante es una serie geomtrica 16 + + con razn y. Converge a 1 1/ y 2) = 17-6 = 1 . Observe que esto es lo mismo que S - (1 + \ + -4 + 8) = 2 - (x ) = 8 .b) La nueva serie es 3 + 2 + 5 + 1 + \ + -4 + -8 +16 + . Las nuevas sumas parciales son las antiguas ms (3 + 2 + 5). Como las sumas parciales antiguas convergen a 2, las nuevas convergen a 2 + 10 = 12. Entonces, la nueva serie resulta convergente y su suma es 12.4. Demuestre que la serie 1 + + -8 + H + diverge.2 n 1 1 1Aqu, sn = ^ n = 1 . Como lim = 0, resulta que lim sn = 1 - 0 = 1 ^ 0. As, por el teorema de2 2 n^+ ^ 2 n^+^divergencia, la serie diverge.5. Analice la serie 9 - 12 + 16 - -64 + ^ ----- para hallar la convergencia.sta es una serie geomtrica con razn r = 4. Como Irl = y > 1, el teorema 43.1b) indica que la serie diverge.6. Evale j r = 1 - ~1 + 1 + 1 + 1 6 ., n=0 sta es una serie geom trica con razn r = y el prim er trm ino es a = 1. Com o Irl = 1 < 1 , la seriea 9/10 1 2converge y su sum a es j y = 1 (1/ 2) = 3/2 = 3 .7. D em uestre que el decim al infinito 0 .999 ... es igual a 1.0.999 = 1 0 + 1 0 0 + 109)0 H . sta es una serie geom trica con el prim er trm ino a = 0^ y razn r = ^0.Por tanto, converge a la sum a . a = 9/11.0 ' = 9/10 = 1.1 r 1 (1/10) 9/108. A nalice la serie j 3 + y y + + 7 ^ H .Aqu, s n = ^ ----- ----------7T-. Observe que 77;----- n r = 1 P 1 , ~ 1 , ). Por tanto, la n- s im a sumaM n (2n 1)(2n + 1) M (2n 1)(2n + 1) 2 \ 2 n 1 2n + 1 )parcial Sn es1 / 1 1 \ , 1 / 1 1 \ , 1 / 1 1 \ , , 1 1 1 \ 1 /1 __2 \1 3 / 2 \3 5 j 2 \5 l j 2 \2 n - 1 2n + 1) 2 \ 2n +1Entonces, lm Sn = -j. Luego, la serie converge a -j.9. Analice la serie 3 + + ^ 3 + 4^3 + .sn = n3 = 3yn = e(ln3)/n . Luego, lm sn = e 0 = 1 ^ 0 Por el teorema de divergencia, la serie diverge.10. Analice la serie 113 +1- + ^ + .Esta serie se obtiene de la serie armnica al borrar los primeros nueve trminos. Como la serie armnicadiverge, entonces este serie tambin lo hace.11. (P a ra d o ja de Z enn) Aquiles (A) y una tortuga (T) tienen una carrera. T arranca 1000 pies adelante, pero A corre a 10 pies/s, mientras que T slo a 0.01 pies/s. Cuando A alcanza el punto de partida de T, T ha avanzado una distancia corta, etctera. Zenn deca que A nunca alcanzara a T. Demuestre que s lo har.Cuando A llega al punto de partida de T han pasado 100 segundos y T se ha movido 0.01(100) = 1 pie. A recorre ese pie adicional en 0.1 segundos, pero T se ha movido 0.01(0.1) = 0.001 pies ms. A necesita 0.0001CAPTULO 43 Series infinitas www.FreeLibros.meCAPTULO 43 Series infinitassegundos para recorrer esa distancia, pero T, entre tanto, se ha movido 0.01(0.0001) = 0.000001 pies, etctera. El lm ite de la distancia entre A y T tiende a 0. El tiem po im plicado es 100 + 0.1 + 0.0001 + 0.0000001 + ..., que es una serie geom trica con prim er trm ino a = 100 y razn r = 1/1000. Su sum a esa 100 _ 100 _ 1000001 - r 1 - (1/1000) 999/1000 999lo que constituye un poco ms de 100 segundos. La paradoja surge de la divisin artificial del hecho en infinitam ente m uchos pasos cada vez ms y m s cortos.PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS12. A nalice cada una de las series geom tricas siguientes. Si la serie converge, halle su suma.a) 4 - 1 + -4 - + b) 1 + 1 + + f + Respuesta: S = 16Respuesta: D ivergeRespuesta: S = fRespuesta: S =e -113. U na bola de caucho cae de una altura de 10 pies. Cuando golpea el suelo, rebota hacia arriba tres cuartos de la altura anterior. Cul es la distancia total recorrida por la bola antes que se detenga?Respuesta: 70 pies14. A nalice la serie1 1 1n(n + 4) 1 5 2 6 3 715. A nalice la serie y 1 1 1 1n(n + 1)(n + 2) 1 2 3 2 3 4 3 4 5Respuesta: S = -416. Evale X sn cuando sn es la siguiente:n=11a) 3-n; b)n ( n + 2) Respuestas: a) 7; b ) f ; c) -f1 ; d ) 1c)1n(n + 3) d ) (n + 1)!17. D em uestre que cada una de las series diverge:a) 3 + j + j + i + d) e + j r + -7 + -4 +18. Evale lo siguiente:a) X (i + 7 r ) b ) y 4 nc ) 1 + ^ + ^ + ^ _ C) 2 + V2 + 7 2 + 7 2c ) y 2 n + 11 n2(n + 1 ) 2n= www.FreeLibros.me-^ 361^d) X 2n + 3 n X r nn=0e) V 2 1^ 3 nn=lf ) Xn=lg ) y n 2 - 3 h )- ( _ l ) ni) Xn=l^ n 2 + n + 2n=lZ-i 52nn=lj ) X in=lRespuestas: a) -^ t; b) +ra; c) l ; d) ^r; e) l ; f ) + ^ ; g) + ^ ; h) - 26; i) 8; j)19. (CG) En los problem as l a 6, use una calculadora en las prim eras diez sum as parciales y determ ine con cuntas cifras decim ales es correcta la dcim a sum a parcial de la sum a de la serie.20. (CG) a) Si Ixl < l , cul funcin est representada por X x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ?n=0b) U se una graficadora para graficar l + x + x2 + x3 + ... + xr en el intervalo ( - l , l ) y com pare la grfica con la de la funcin en el inciso a).lRespuesta: a)l - x21. En cada punto siguiente, determ ine los valores de x para los cuales converge la serie indicada; luego halle la funcin representada por la sum a de la serie para tales valores de x.a) E ( 3 x ) n b) E (x - 2)n c) S 2 ) d) E ( ^n=0 n=0 n=0 ' n=0Respuestas: a) lx l < 1 , 1 \ ; b) 1 < x < 3 ; c) lx l < 2, 2 x ; d) -1 < x < 3, 23 1 3x 3 x 2 x 3 xn23n3CAPTULO 43 Series infinitas www.FreeLibros.me^ 362^Series con trminos positivos. Criterio de la integral. Criterios de comparacinSeries con trminos positivosSi todos los trm inos de u n a serie ^ s n son positivos, en tonces la serie se d enom ina serie positiva .P ara una serie positiva ^ s n, la sucesin de sum as parc ia les (Sn) es u n a sucesin crec ien te p o rque S+1 = Sn + s+1 > Sn. C on esto se llega a l sigu ien te resu ltado til.Teorema 4 4 .1 . U na serie positiva ^ sn converge si y slo si la sucesin de sum as parciales (sn) es acotada.P ara com probarlo , observe p rim ero que si ^ sn converge, en tonces, p o r defin icin , (Sn) converge y, p o r tanto, p o r el teo rem a 42 .1 , (Sn) es aco tada. R ecp rocam en te , si (Sn) es aco tada. P o r el con trario , si (Sn) es aco tada, en tonces, com o tam b in es crec ien te , p o r e l teo rem a 42 .8 se deduce que (Sn) converge, es decir, ^ sn converge.Teorema 4 4 .2 . (Criterio de la integral.) Sea ^ sn una serie positiva y seaf(x) una funcin continua positiva decreciente en [1, + ^ ) tal que f(n ) = sn para todo entero positivo n. Entonces:X s converge si y slo si J f (x) d x converge.D e la figu ra 44.1 se observa que J f (x )d x < s1 + s2 h------k sn_1 = S n_1 . S i ^ s n converge, en tonces (Sn) es aco tada; as J f (x) d x ser aco tada p a ra todo u > 1 y, p o r tan to , J f (x) d x converge. R ecp rocam ente , de la figura n ( nf (x) d x y, p o r consigu ien te , Sn < I f (x) d x + s1. E n estas cond iciones, .+ 1 .+ n J1si ^ f (x) d x converge, en tonces Sn < | f (x) d x + s1 y en co nsecuenc ia (Sn) ser aco tada . A s, p o r e l teo rem a44 .1 , converge, con lo que se dem uestra el teo rem a 44.2 . www.FreeLibros.me-^ 363^v ln nEJEMPLO 44.1. diverge.Sea f (x) - -~x~ . Ahora,f+" ^ d x = lm fU^ d x = lm -2(lnx )2Jl X U+" Ji X U+"Por tanto, por el criterio de la integral ^ 2, - diverge.EJEMPLO 44.2. ^ - 1- converge.= lm y((lnu)2 - 0) = + "Sea f (x) = x1. Ahora \ dx = lm \ dx = lm - = lm - ( - l) = 1Jl x u>+^ Jl x u>+^ x _i U>+^ \ U /V 1As, por criterio de la integral ^ converge.O bservacin: el c rite rio de la in teg ra l pu ed e ex tende rse fc ilm en te al caso en que el lm ite in fe rio r de la in teg ra l se cam b ia de 1 a cua lqu ie r en te ro positivo.Teorema 44.3. (Criterios de comparacin.) Sean ^ an y ^ bn dos series positivas tales que existe un m enteropositivo para el cual ak < bk para todo entero k > m. As:1. Si ^ bn converge, entonces ^ an tambin converge.2. Si ^ an diverge, entonces ^ bn tambin diverge.Se p o d ra asu m ir en la deduccin del teo rem a 44.3 que m = 1, ya que la convergencia no se ve a fec tad a al b o rra r un n m ero fin ito de trm inos a l com ienzo de u n a serie. O bserve tam b in que e l n um era l 2 de la lis ta de a rrib a es u n a co nsecuenc ia lg ica del n um era l 1. P ara p ro b ar este ltim o, supngase que ^ b n converge. Sea B n = b 1 + b2 + . . . + bn la n -s im a sum a p arc ia l p a ra ^ b n, y sea A n = a 1 + a 2 + . . . + an la n -s im a sum a parc ia l p a ra ^ a n. E n tonces, A n < B n, pues ak < bk p a ra todo k. C om o ^ b n converge, se deduce p o r el teo rem a 44.1 que la sucesin (B n) es aco tada. E n v irtud de que A n < B n, p a ra todo n, se deduce que la sucesin (An) es acotada.E n tonces, p o r el teo rem a 44 .1 , ^ a n converge. E sto dem uestra e l teo rem a 44.3.EJEMPLO 44.3.T O c o n v e r g e .1 1 1Sea an - 5 y bn - . As, an < bn para toda n . Por el ejemplo 2, ^ converge. Entonces, por el criterio den 2 + 5 comparacin, Y -5 c o n v e r g e .EJEMPLO 44.4. Y 3, + 5 diverge.1 1 1 1Sea an - y bn - 3n + 5 . Ahora, an < bn n > 5. (Para comprobarlo, observe que ^ - 3 n + 5 equivale a 3n + 5< 4n , que equivale a 5 < n .) Recurdese que la serie armnica ^ diverge (por el ejemplo 4 del captulo 43). PorE1 n x "1 1diverge por el teorema 43.2. El criterio de comparacin implica que ^ 3n + 5 diverge.A veces, com o en e l e jem p lo 44 .4 , es p rec iso rea liza r m an io b ras com p licad as p a ra ap lica r e l c rite rio de com paracin . E l re su ltado sigu ien te b rin d a una herram ien ta m u ch o m s flexible.Teorema 44.4. (Criterio de comparacin por paso al lmite.) Sean ^ an y ^ bn dos series positivas tales que L - lm an existe y 0 < L < + ^ . Entonces, Y \an converge si y slo si Y '.bn converge.S*!_X f)n+"UnCAPTULO 44 Series con trminos positivos www.FreeLibros.meCAPTULO 44 Serles con trm inos positivosS upngase que ^ bn converge. S ea c un nm ero positivo ta l que L < c. E n tonces ex is te un en tero positivo m ta l que an/bn < c p a ra todo n > m . P o r tanto , an < cbn p a ra todo n > m . P ero com o ^ c b n converge, X cbn tam binlo hace . P o r consigu ien te , p o r el crite rio de com paracin ^ an converge. R ecp rocam en te , si ^ an converge, en-b 1 tonces, \ b n tam b in lo hace. (D e hecho , lm n^ + -ar = l > 0 y es po sib le em p lear e l m ism o tipo de argum entonque se acaba de dar.)EJEMPLO 4 4 .5 . 3n^35 2 4 diverge.C uando se trata con los cocientes de polinom ios, una regla prctica es ignorar todo salvo los prim eros trminos.3n2 3 1 1En este caso, se tiene -73 = 7 . Se intenta una com paracin por paso al lm ite con . A horalm 3n2 - 5n + 4 / 1 7n3 + 2 ) n= lm 3n3 - 5n2 + 4n _ 37n3 + 2 7Com o ^ 1 diverge, el criterio de com paracin por paso al lm ite dice que ^ 37 ^ 2 4 diverge.EJEMPLO 4 4 .6 5n 2^ - 4n2 + 7 C nVerge'M ediante la regla prctica dada en el ejem plo 44.5 respecto a los prim eros trminos, se observa que = n f = =2. Entonces, se intenta una com paracin por paso al lm ite con 12-:lm 5n - 2 = lm 5n3 - 2n2 V n6 - 4 n 2 + 76 - 4 2 + 7 ,Se divide el num erador y el denom inador entre n3. N tese que en el denom inador se obtendra -V 6 4 2 + 7 = ^ >/6 4 2 + 7 = . 1 -4r +3 J f 7 V 4 6El resultado seralm1 - 4 + 7 rn 4 x 6Por tanto, como se sabe por el ejem plo 44.2 que \ converge, el criterio de com paracin por paso al lm ite im plica V 5 - 2 nque ^ n 6 - 4 2 + 7 COnVerge.PROBLEMAS RESUELTOSConsidere la serie ^ -y , donde p es una constante. Se trata de la denom inada serie p. Entonces:p converge.b) Si p < 1, la serie ^ -p diverge.Podra suponerse que p ^ 1, ya que se conoce que la serie arm nica ^ diverge. Tambin podra suponerse q u e p > 0; si p < 0, lm^ - p ^ 0 y el teorem a de divergencia im plica que la serie diverge. Se aplica el criterio de la integral con f (x) = 1/x p . ( fx ) es positiva y decreciente en [1, + ^ ) .) Ahora,- ur+ ~ 1 1 x 1- I p dx = l m I dx = l m - p J i x p u ^ + ~ J i x u ^ + ~ 1 - = l m f - 1 Y+ f 1 1 J www.FreeLibros.me-^ 365^a) p > 1 . E n t o n c e s , p - 1 > 0 y . A s l m ^ , u}~ p = l m ^ + = 0 ' L u e g o , l m ^ ^ j = p ^ . P o r e l c r i t e r i o d e l a i n t e g r a l X ~ p c o n v e r g e .1- f M1_ p 1 ^b) p < 1 . E n t o n c e s , 1 - p > 0 y l m n^ + u 1 p = + . L u e g o , l m n^ + ^ 1 p - ^ p J = + c y p o r e l c r i t e r i o d ela integral E ^ diverge.' n pEn los problem as 2 a 7 determ ine la convergencia en las series dadas.2 . 1 + - ^ + - L + - L + .4 3 S V 7 1 1s n = i = . Sea f ( x ) = , =. En [1, + ^ ) , f (x ) > 0 y f es decreciente.V 2n 1 V 2x 1 +" , 1 dx = l m . dx = l m 1 (2x - 1) \ 2 x - 1 ^+J1 V 2x - 1 ^ i= l m | ( 2) (2x - 1)1/2u= l m ( (2u - 1)1/2 - 1) = + < ~1 u> + ^En consecuencia, la serie diverge por el criterio de la integral.1 1 13 + 2 < _3 . es convergente, ya que es una se riep c o n p = 3 > 1. Por tanto, por el criterio den + 2 n ncom paracin, S n + 2 es convergente.4. 1 + + + -2 ! 3 ! 4 !s n = i O bserve que n|y = n(n 1)1----- 3~2 2 1 para n - 2. Com o ^ e s una serie geom tricaconvergente (con razn r = -j), ^ n es convergente por el criterio de comparacin.5 2 + 3 + 4 + -55. 2 + 2T + 3T + 43"sn = n +31 . U se la com paracin por paso al lm ite con n- = -y . n n nl m " -+ 1 / 1 = l m = 1n^+- n / n n^+- nSe sabe que E n " converge. Entonces, por el criterio de com paracin por paso al lm ite, E n3 ^converge.6. 1 + + 3 - + i jT + .sn = nn . A hora, n n = n n 1 n ^ i 11 y E 2^ es una serie geom trica convergente (r = ^ ) , Entonces, por el criterio de com paracin, E converge.7 1 + 22+1 + 3 2 + 1 + 4 2 + 1 + 7 1 + 23 + 1 + 33 + 1 + 4 3 + 1 + .n 2 +1 n 2 1sn = n3 + 1. U se la com paracin por paso al lm ite con f = p l m n 2 + 11/1n3 + 1 // n = lm 4 ^ = 1n^ + n3 + 1CAPTULO 44 Serles con trminos positivos www.FreeLibros.meCAPTULO 44 Series con trm inos positivosE 1 diverge. Entonces, por el criterio de com paracin por paso al lm iteV n 2 + 1 j - nX - s t t A verge-8 . 1 . 1 . 12 ln 2 3 ln 3 4 ln 4s = . est definida para n > 2 . n n ln n ^r = lm u- d ^ - = lm ln (ln u )J 2 x ln x u^ + ~ J 2 x ln x u^ + ~Por tanto, la serie diverge por el criterio de la integral.= lm (ln (ln u) - ln ( ln 2)) = + ^9. C u n t o s t r m i n o s d e X T b a s t a n p a r a o b t e n e r u n a e x a c t i t u d d e d o s c i f r a s d e c i m a l e s ( e s d e c i r , u n e r r o r < 5 / 1 0 3)? nS i s e u t i l i z a n k t r m i n o s , s e r e q u i e r e q u e e l e r r o rY - Y -1 = Y 4 f < -1 dx = lm -1 dx = lm - 1z - 'n 2 " n2 n 2 h x 2 u+ Jk x 2 u+ x = lm - ( - -ku+ \ u k= 1 < = _ J _k 103 200Por tanto, 200 < k. Entonces, es suficiente utilizar 201 trm inos de la serie. (Puede em plear una graficadora201 para hallar X _ 2 1.64.)10. S u p n g a s e q u e X s n c o n v e r g e e n v irtu d d e l c r ite r io d e la in te g ra l a p lic a d a a f (x) y , p a ra c a d a n, e l e rro r (o r e s id u o ) , Rk d e s p u s d e k t rm in o s se d e f in e c o m o+ ~ k + - E s - - S Sn . E n to n c e s R = X ^n < J k f ( x ) d x .n=1 n=1 -= k+1X - 1H a lle u n a c o ta en e l e rro r c u a n d o X 2" e s a p r o x im a d a p o r lo s p r im e ro s c in c o trm in o s1 + + + + = 5 2 6 9 1 4 6 3 61 + 4 + 9 + 16 + 2 5 3 6 0 0E l e rro r R5 < dx = 4- = 0.2.5 J5 x 2 511. S u p n g a s e q u e ^ s n y ^ c n so n s e r ie s p o s it iv a s , ^ c n c o n v e r g e y sn < cn p a ra to d o -. E n to n c e s e l e rro r Rk d e s p u s d e k t rm in o s es+ - iX s- - X s- = X s- ^ X c - .n=1 -=1 n= k+1 n=k+11 P o r lo m e n o s c u n to s t rm in o s se n e c e s ita n p a ra c a lc u la r X -5 + . c o n un e rro r < 0 .0 0 0 0 1?n=1E n e s te c a s o s = , y c = E s s u fic ie n te te n e r X < 0 .0 0 0 0 1. A h o r a , X < dx = -t .n n + 1 J n n 5 " , n 5 " T , n Jk x 5 4 k 4n= k+1 n= k+1E n to n c e s , se n e c e s ita < 0 .0 0 0 0 1 = 0 0 1 ) 0 0 . D e fo r m a e q u iv a le n te , 10 0 000 < 4k4, 2 5 000 < k4, k > 13.uu www.FreeLibros.me-^ 367^PROBLEMAS COMPLEMENTARIOSP a r a l o s p r o b l e m a s 1 2 a 4 3 , d e t e r m i n e s i l a s e r i e c o n v e r g e .1 2 . I13. In ( n + 1)( n + 1) ( n + 2)14 I n 1 4 . 1 n 2 +1Respuesta: c o n v e r g e ; c o m p a r a c i n c o n ^ n 3 'Respuesta: d i v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n ^ Respuesta: d i v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n ^ 115. i i n Respuesta: c o n v e r g e ; c r i t e r i o d e l a i n t e g r a l16. I2n< (n + 1 ) (n + 2 ) ( n + 3 ) 1 7 . 1 (2n + 1)218." n 3 -119. I20. In - 2l n nn 2 + 2Respuesta: co n v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n ^ - n rRespuesta: co n v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n ^ - 2Respuesta: co n v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n ^ n "E1 fRespuesta: c o n v e r g e ; c o m p a r a c i n p a s o a l l m i t e c o n ^ 372-2 1. x s e n ( n )22 . E J V n23 . S Respuesta: d i v e r g e ; t e o r e m a d e d i v e r g e n c i aRespuesta: d i v e r g e ; s e r i e p , p = 1 < 1Respuesta: c o n v e r g e ; c o m p a r a c i n c o n ^ 2 - T , n - 224. y ^v Respuesta: d i v e r g e ; c o m p a r a c i n c o n ^ jln^n_25. I I T T26. I+ l n nn +1 ;V 3 n - 2Respuesta: d i v e r g e ; c o m p a r a c i n c o n ^ n Respuesta: d i v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n2 7 . I n l n n ( l n n ) ( p a r a n 3 )Respuesta: d i v e r g e ; c r i t e r i o d e l a i n t e g r a ln3nCAPTULO 44 Serles con trminos positivos www.FreeLibros.meCAPTULO 44 Serles con trm inos positivos28. ^ l n ( l n ( l n ) ) 2 ( p a r a n > 3 ) Respuesta: c o n v e r g e ; c r i t e r i o d e l a i n t e g r a l29 + +___ 1___ i___1___ + . . .2 9 4 2 + 7 2 + 1 0 2 + 1 3 2 + .1 X"'' 1Respuesta: sn = (3 + 1) 2 ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n ^ "30 3 + 3 + 3 + 3 + . . .21/3 31/^ 41/3 T 3Respuesta: sn = 73; d i v e r g e ; s e r i e p , p = y < 131 1 + 1 + 1 + 1 + . . .+ 5 + 9 + 13 + .Respuesta: sn = 4 ^ 3 ; d i v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n ^ 132. 1 + 1 1 1 |2 3 . 4 4 . 5 . 6 5 . 6 . 7 . 81 1Respuesta: sn = ( + 1) ( + 2)--------- (2 n ) '; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n ^ y33. 2 + 3 4 5 .3 2 . 3 2 3 . 3 3 4 . 3 4 + 1 X""' 1Respuesta: sn = 3n ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n ^ 3 -2 2 . 2 2 3 . 23 4 . 2 41 X""' 1Respuesta: sn = 2 ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i n c o n ^ yn n 2n 35 2 + 3 + 4 + 535 . 1 3 + 2 4 + 3 5 + 4 6Respuesta: sn = ( l ^ ) ; d i v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n ^ 136 1 + 2 + 3 + 42 + 32 + 4 ^ + 5 " " X""' 1Respuesta: sn = ( + 1) ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i n c o n ^1 X"1 1Respuesta: sn = (n+2)/ 2 ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i n c o n ^ y3 8 . 1 + 5 + 1 0 + 1 7 + Respuesta: sn = 2+_1 ; d i v e r g e ; c o m p a r a c i n p o r p a s o a l l m i t e c o n ^ 13 o 2 + + 2 4 6 + 2 4 6 8 ,39 5 + 5 8 + 5 8 1 1 + 5 8 1 1 1 4 + Respuesta: s = C2Q4----- . . (2,) . ; c o n v e r g e ; c o m p a r a c i n c o n ^ ( - | ) nn 5 . 8 ......... ( 2 + 3 ) www.FreeLibros.me^ 369^]44. ( C G ) E s t i m e e l e r r o r c u a n d o :+ ^ 1a) S 3n + 1 e s a p r o x i m a d a p o r l a s u m a d e s u s p r i m e r o s s e i s t r m i n o s .n=11b ) S 4 3 e s a p r o x i m a d a p o r l a s u m a d e s u s p r i m e r o s s e i s t r m i n o s .n=1 4 + 3Respuestas: a) 0 . 0 0 0 1 ; b ) 0 . 0 0 0 0 945. ( C G ) a) C a l c u l e e l e r r o r c u a n d o l a s e r i e g e o m t r i c a ^ 2 " e s a p r o x i m a d a p o r l a s u m a d e s u s p r i m e r o s s e i s t r m i n o s .b ) C u n t o s t r m i n o s s o n s u f i c i e n t e s p a r a c a l c u l a r l a s u m a s i e l e r r o r p e r m i s i b l e e s 0 . 0 0 0 0 5 ? Respuestas: a) 0 . 0 4 1 ; b ) 1 6"V 146. ( C G ) a) C u n t o s t r m i n o s e s s u f i c i e n t e a p r o x i m a r S 4 c o n u n e r r o r < 0 . 0 0 1 ?n=1 n+ ^ 1b ) D e t e r m i n e u n l m i t e e n e l e r r o r s i s e a p r o x i m a S ~ p o r l a s e x t a s u m a p a r c i a ln=1 nc) C u l e s l a a p r o x i m a c i n a S ~ r p o r l a s e x t a s u m a p a r c i a l , c o r r e g i d a a c u a t r o c i f r a s d e c i m a l e s ?n=1 nRespuestas: a) 1 ; b ) 0 . 0 0 1 5 ; c ) 1 .0 8 1 147. ( C G ) S e a S n l a n - s i m a s u m a p a r c i a l 1 + 2 +---------+ - i d e l a s e r i e a r m n i c a d i v e r g e n t e .a) D e m u e s t r e q u e l n ( n + 1 ) < S n < 1 + l n n .b) S e a En = S n - l n n . D e m u e s t r e q u e ( E n) e s a c o t a d a y d e c r e c i e n t e .c ) D e m u e s t r e q u e ( E n) c o n v e r g e . S u l m i t e s e r e p r e s e n t a c o n y y s e d e n o m i n a l a c o n s t a n t e d e Euler.d) U s e u n a g r a f i c a d o r a p a r a a p r o x i m a r E999 a o c h o c i f r a s d e c i m a l e s .40. 3 + _^ + I L + d + ...2 1 0 3 0 68 '42.43.Respuesta: sn = 2n ++n; converge; com paracin por paso al lm ite con ^ n-23 + 10 + 2 L + _6^ +2 + 24 + 108 + 320 + " ' .Respuesta: sn = ^ _+n2 ; diverge; comparacin por paso al lmite con ^ 11 2 3 4--- ------1----------1-----------1----------h 22 - 1 32 - 2 4 2 - ^ 5 2 - 4n 1 Respuesta: s n = ( n + 1) 2 n diverge; com paracin por paso al lm ite con ^ n+ 1 + 1 + 1 + . . .23 - 12 + 33 - 2 2 + 4 3 - 3 2 + 53 - 4 2 + .Respuesta: sn = ( n + 113 n 2; converge; com paracin por paso al lm ite con ^ n i rRespuestas: d) 0.57771608 (de hecho, y ~ 0.57721566).CAPTULO 44 Series con trminos positivos www.FreeLibros.meCAPTULO 44 Serles con trm inos positivos48. (Extensin del criterio de com paracin por paso al lm ite.) Supngase que Dem uestrea) lm = 0 y Y tn converge, entonces Y 'sn tam bin lo hace.n^ + tnb) lm -n = y ^ n diverge, entonces 'Y s n tam bin lo hace.n^ +~ tn(ln n )449. A plique la extensin del criterio de com paracin por paso al lm ite para determ inar si X 3 converge.Respuesta: converge; use ^ y el problem a 48 a ).50. Supngase que ^ sn es una serie positiva y l m ^ ^ nsn existe y es positivo. D em uestre que X s n diverge. (Sugerencia: com pare por paso al lm ite con Y ( j - ) . )51. Supngase que ^ sn y ^ tn son series convergentes positivas. D em uestre que ^ sn tn converge.n y ^ tn son series positivas. www.FreeLibros.meSeries alternadas. Convergencia absoluta y condicional. Criterio del raznSeries alternadasU n a serie cuyos trm inos son a lternativam ente positivos y negativos es una serie a lte rn a d a . Se pu ed e escrib ir de la fo rm aX ( - 1 )n+1a n = a . - a 2 + a 3 - a 4 + a 5 - . . .donde an son todos positivos.Teorema 4 5 .1 . Teorema de las series alternadas. S e a X ( - 1 ) n + ' an u n a s e r i e a l t e r n a d a . S u p n g a s e q u e : 1 . l a s u c e s i n (an) e s d e c r e c i e n t e ; 2 . l m n an = 0 . E n t o n c e s :I . X ( - 1 ) n + 1a n c o n v e r g e a u n a s u m a A .II . S i A n e s l a n - s i m a s u m a p a r c i a l y R n = A - A n e s e l e r r o r c o r r e s p o n d i e n t e , e n t o n c e s IR n l < an+. ( e s d e c i r , e l e r r o r e s m e n o r e n m a g n i t u d q u e e l p r i m e r t r m i n o o m i t i d o ) .I. C o m o ( ) e s d e c r e c i e n t e , a2n+. > a2n+2 y , p o r t a n t o , a2n+. - a2n+2 > 0 . E n t o n c e s ,A 2 n + 2 = ( 1 - 2 ) + ( 3 - 4 ) + + ( 2 n - 1 - a2n) + ( 2 n + 1 - 2 n + 2 )= A 2 n + ( a 2 n+1 - a2 n+ 2 ) > A 2 n > 0E n t o n c e s , l a s u c e s i n (A 2n) e s c r e c i e n t e . T a m b i n ,A 2 n = a , - ( 2 - a 3 ) - ( 4 - 5 ) -( 2 - - 2 - ^ - j ) - 2 - < ,P o r t a n t o , (A 2n) e s a c o t a d a . L u e g o , p o r e l t e o r e m a 4 2 . 8 , (A 2n) c o n v e r g e a l l m i t e L . A h o r a A 2 n + . = A 2 n + a2n+ .. P o r c o n s i g u i e n t e ,^ A2n+1 = A 2n + ^ 2n+1 = L + 0 = LA s p u e s , l m n ^ + A n = L y , p o r t a n t o , X ( - 1 ) n + Ta n c o n v e r g e .H . R m = ( a 2 n + 1 - a 2 n + 2 ) + ( 2 n + 3 - a2n+4) + ' "> 0 y R 2 n = 2 n + 1 - ( 2 n + 2 - 2 n + 3 ) - ( 2 n + 4 - 2 n + 5 ) - " < 2 n + . . P o r t a n t ^ IR 2 n I< 2 n + 1 . P a r a n d i c e s i m P a r e s , R 2 n +1 = - ( a 2 n + 2 - 2 n + 3 ) - ( 2 n + 4 - 2 n + 5 ) - " < 0 y R 2 n + 1 = - 2 n + 2 + ( 2 n + 3 - a2n+4) +( 2 -+ 5 - a 2 n + 6 ) + > - 2 n + 2 . P o r t a n t o , IR ^ + T < 2 - + 2 . A s , p a r a t o d o k, IR * I < ak+ .. 71J www.FreeLibros.meCAPTULO 45 Serles alternadas1 _ 1 + 1 _ 1 + 1 _ 1 + .. .1 2 3 4 5 6converge en virtud del teorem a de la serie alternada. Por el num eral II de ese teorem a, la m agnitud IRnI del error despus de n trm inos es m enor que n + 1 Si se desea un error m enor que 0.1, es suficiente tom ar + 1 < 0.1 = 110 , que equivale a 10 < n + 1. Entonces, n > 9. As, debe usarseA, = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 8 7 9 ~ 0 7456A 1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 2520Definicin. Considrese una serie arbitraria E s ,E s n es absolutam ente convergente si ^ l s nl es convergente.E s n es condicionalm ente convergente si es convergente pero no absolutam ente convergente.EJEMPLO 45.2. La serie arm nica alternada ^ ( - 1)n+1 1 es condicionalm ente convergente.EJEMPLO 45.3 La serie ^ ( - 1)n+1 n ' es absolutam ente convergente.Es necesario enunciar dos resultados significativos sobre la convergencia absoluta y condicional. En adelante, por reorganizacin de una serie se entender una serie obtenida de una serie dada m ediante la reorganizacin o reordenam iento de sus trm inos (es decir, cam biando el orden en el que se presentan los trminos).1. Si es absolutam ente convergente, entonces toda reorganizacin de E s n es convergente y tiene la mism a suma que E * ,2. Si ^ s n es condicionalm ente convergente y si c es cualquier nm ero real o + ^ o - ^ , entonces hay una reorganizacin de con sum a c.Teorema 45.2. Si una serie es absolutam ente convergente, entonces es convergente.En el problem a 1 puede verse la dem ostracin.O bserve que una serie positiva es absolutam ente convergente si y slo si es convergente.El siguiente es probablem ente el ms til de todos los criterios de convergencia.Teorema 45.3. El criterio de la razn. Sea E s n una serie cualquiera.EJEMPLO 45.1. La serie armnica alternada1. Si lm2. Si lm3. Si lm V i = r < 1 , entonces E s n es absolutam ente convergente. = r y (r > 1 o r = + ^ ) , entonces ^ s n, diverge.= 1 , entonces no se puede deducir ninguna conclusin sobre la convergencia o divergencia de E sn . Para ver una dem ostracin, repase el problem a 14.Teorema 45.4. El criterio de la raz. Sea ^ s n una serie cualquiera.1. Si Si lm n lsnl = r < 1, entonces V s n es absolutam ente convergente.n^ + ^ V2. Si lm n lsnl = r y (r > 1 o r = + ^ ) , entonces .s n es absolutam ente divergente.3. Si lm n lsnl = 1, entonces no se puede deducir ninguna conclusin sobre la convergencia o divergencia de V s n.En el problem a 15 puede ver una dem ostracin. n+1 n www.FreeLibros.me-^ 373^E 2 2n I 4~ n n ~. E n t o n c e s , l m n^ + ^ I s n I = l m ^ t - = 0 - P o r e l c r i t e r i o d e l a r a z ,l a s e r i e c o n v e r g e a b s o l u t a m e n t e .PROBLEMAS RESUELTOSDemuestre que si Es n es absolutamente convergente, entonces es convergente.0 < sn + IsnI < 2 IsnI. Como ^ IsnI converge, ^ 2^IsnI tambin lo hace. Luego, por el criterio de comparacin, 2(sn + IsnI) converge. Por tanto, ^ ]sn = ^ sn((sn + IsnI) - IsnI) converge por el corolario 43.4.En los problemas 2 a 13, determine si la serie indicada converge absolutamente, condicionalmente o no converge.1 _ 1 , J__L2 5+ 10 17S n ( 1) n 2 + 1. 21+ i converge por comparacin con la serie p convergente ^ y. Entonces, ^ ( - 1) n+1 n 21+ i es absolutamente convergente.3 --2 + -3-A + ...? 2 3 4 e e 2 e 3 e4i n y' n xs n = (1) e n. La serie ^ converge por el criterio de la integral [utilizando f (x) = ]. Por tanto,^ (-1)n+1 e n es absolutamente convergente.1 - 1 , 1 1 , 1n = (-1)n+1- .^ Como v nalternadas. Pero s i es divergente, ya que es una serie p con p = -1 < 1.s = (-1)n+1 ~ Como ( = es una sucesin decreciente, la serie converge en virtud del teorema de series V n \ v n /1 _ 1 + 1 _ 1 + . . .2 4 8 .La serie 1- 2 + 4 - i +--es una serie geomtrica con razn r = -y. Como IrI < 1, converge y, por tanto, laserie dada es absolutamente convergente.1 _ 2 + _ 3 _ 4 + . . .1 3 + 3 2 3 3 +sn = (-1)n+1 3 -1. Se aplica el criterio de la razn:lm Sn+1 n +1 n n +1 -1 Entonces, Sn+1Sn 3n n3 3 Sn 3 < 1Por tanto, la serie dada es absolutamente convergente.1 _ 2 1 . 3 1 _ 4 _12 3 ' 23 4 ' 33 5 ' 43n 1s n = ( - 1)n+1 n+ 1 3. Preste atencin a ^ Is nI. IsnI = n + y 3 < t . Entonces ^ Is nI converge por comparacin con la serie p convergente 2 -. Por tanto, la serie es absolutamente convergente.2 _ 3 1 , 4 1 _ 5 13 4 ' 2 5 ' 3 6 ' 4n +11s = (-1)n+1 n +11. Observe que ( n + 1 ) es una sucesin decreciente I como D I , x +.1 ) < 0 I. Por n v 7 n + 2 n M \n + 2 n / ^x\(x + 2)x / )1 1tanto, la serie dada es convergente por el teorema de series alternadas. Sin embargo, IsnI > Entonces,2 IsnI diverge por comparacin con 2 . Es decir, la serie dada resulta condicionalmente convergente.CAPTULO 45 Series alternadas www.FreeLibros.meCAPTULO 45 Serles alternadas2 _ 21 + 2 5 _ 21 + . . .2 3 ! + 5 ! 7 ! + .22n -1sn = ( - 1 ) n+1 ( 2 1) ! . Se aplica el criterio de la razn:22n+1 22n 4Por tanto, lm10 . - k -(2n + 1) 7 (2 - 1) ! (2n + 1) (2n )= 0 y , p o r c o n s i g u i e n t e , l a s e r i e e s a b s o l u t a m e n t e c o n v e r g e n t e .1 62 23 + 1 33 + 1 4 3 + 121 2 I 2 \s n = ( - 1 ) 3 + 1. Com o ( 3 + 1 ) es una sucesin decreciente para n > 2, la serie dada converge por elteorem a de series alternadas. La serie ^ ls i es divergente por la com paracin por paso al lm ite con ^ . Por tanto, la serie dada es condicionalm ente convergente.1 1 . - k -2 23 + 1 33 + 1 4 3 + 1s n = ( - 1)n+1 3+ 1 . Xlsl es convergente por la com paracin por paso al lm ite con X r - Por ello, la serie dada es absolutam ente convergente.12 .1 1 1_J______ ___________1 2 2 22 T 3 23 4 24_ n 2nsn = ( -1 )n+1 - 1 - . Se aplica el criterio de la razn:As, lm( n + 1)2n+1/ 2n n + 1 2 = 2 < 1 . Entonces, la serie dada es absolutam ente convergente.13. X ( - 1)n+1__n_( n + 1) ! 'Se aplica el criterio de la razn:s ( n + 1)3 n + 1 1As, lm( n + 2) Y ( n + 1) ! \ n j \n + 2= 0 . Por tanto, la serie dada es absolutam ente convergente.14. Justifique el criterio de la razn (teorem a 45.3) a) Sea lms= r < 1 . Se selecciona t tal que r < t < 1. Entonces, existe un entero m tal que si n > m, < t. Por tanto,lsm+1l ^ tlsm1, lsm+2l ^ tlsm+1l ^ t2|sm1, - lsm J ^Pero X ^ ls J es una serie geom trica convergente (con razn t < 1). Luego, por el criterio de comparacin, Xlsl converge. As, ^ s es absolutam ente convergente.b) Sea lm Sn+1 = rsnSAl sn+1sn> t. Por tanto,sssn n4 92 3 4s 1 1 1ssn3nssn www.FreeLibros.me-^ 375^Por consiguiente lim sn = y, por el teorema de divergencia, ^ ]sn diverge.c) Considere'V1. lm nconsidere V 2n2= lmlm1 - M 1: +1)1 n= lm= lmn +1 = 1. En este caso, la serie diverge. Ahora( n + 1) 2 / n '= 1En este caso, la serie converge.15. Justifique el criterio de la raz (teorema 45.4).a) Supngase que lmn^+ = r < 1 . Se selecciona t de manera que r < t < 1. Entonces, existe un nmeropositivo m tal que njisj < t para n > m. Por tanto, lsnl < tn para n > m. Por consiguiente, EsJ converge por comparacin con la serie geomtrica convergente ^ tn. Entonces, Es n es absolutamente convergente.b) Supngase que lmn^+ "JsJ = r y r > 1 o r = +^ . Se selecciona t de manera que 1 < t < r. Para algn entero positivo m, -^ sj > t para n > m. Entonces, lsnl > tn para n > m. Como lm^n tn = +, lm^ ^sn = ^ . Por consiguiente, por el teorema de divergencia, Es n diverge.c) Considere ^ 1 y En". En ambos casos, lmn^+ = 1. (Ntese que lmn^+ n-n = lmn^+ e -1 n)/n =1).En los problemas 16 a 22, aplique el criterio de la razn para probar la convergencia de las series.12 3 416. 3 + 32 + 3^ + 34'sn+1 = n +1 n = 1 n +1sn 3n+1 / 3n 3 n 'As, la serie converge por el criterio de la razn.Entonces, lm 3 < 117 1 + 2 + 3! + 4! 17. 3 + 32 + 33 + 34 "sn = 3! Entonces, sn+1 = (n + 1)! / n! = n +1sn 3n+1 3n 3Luego, lm = +00 y la serie diverge por el criterio de la razn.18 1 + 1 1 + 1 2 1 + 1 - 2 - 3 - 4 + . . 18 1 + 1 . 3 + 1 . 3 . 5 + 1 3 5 7 + =___ n___" 1 3 5.... (2n-1)' Entonces, - nL (n +1)!________ ___ n!____ = n +11 3 5...(2n + 1)/ 1 3 5.... (2n-1) = 2n +1'As, lm = 1 < 1. Por tanto, la serie converge por el criterio de la razn.19 2 + 3 1 + 4 + 5 -19 2 + 2 4 + 3 42 + 4 43 = n n 4n1 1 r . n+1 n + 2 1 \ h n +1 1 \ 1 n(n + 2)-4^ . Entonces, =( - )/( 411 )=-4------4 (n +1)2 'As, lm = 4 < 1. Por tanto, la serie converge por el criterio de la razn.2 0 . 1 + 22 +1 . 32 +1 . 42 +1 .23 +1 + 33 +1 + 43 +1 + '= n2 + 1S" n3 + 1Tuego 1 L = (n +1)2 +1 n2 +1 = ((n +1)2 + 1)(n3 +1)' sn (n +1)3 +1/ n3 +1 ((n +1)3 + 1)(n2 +1) 's2ssnssn^ + nssnssnssnCAPTULO 45 Serles alternadas www.FreeLibros.meCAPTULO 45 Series alternadasEntonces, lm = 1 . Por ende, el criterio de la razn no arroja conclusin alguna. Sin em bargo, la1 nX""' 1com paracin por paso al lm ite con ^ n m uestra que la serie diverge.2 1 . S n3" 1Por tanto, la serie diverge por el criterio de la razn.PROBLEMAS COMPLEMENTARIOSEn los problem as 23 a 40, determ ine si la serie alternada indicada es absolutam ente convergente, condicionalm enteconvergen23. X (24. X ("25. X ("26. X (27. X ("28. X (29. S (3 . S (31. E (32. X ( -e o divergente.)n+1 1n!)n+1 1l n ni n+i nn + 1l n n3 n + 112n -1)n+1 1) V 31(2n - 1)2n+1_____1______V n ( n + 1)n+1 1( n + 1)21n2 + 2R espuesta : absolutam ente convergenteR espuesta : condicionalm ente convergenteRespuesta: divergenteRespuesta: condicionalm ente convergenteR espuesta : condicionalm ente convergenteRespuesta: divergenteR espuesta : absolutam ente convergenteR espuesta : condicionalm ente convergenteRespuesta: absolutam ente convergenteRespuesta: absolutamente convergenten n www.FreeLibros.me(n !)2 R espuesta : absolutam ente convergente-^ 377^34. (-1 )n+1 nn 2 + 1Respuesta: condicionalm ente convergente35. X (-1) n 4 + 2 Respuesta: absolutam ente convergente36. X ( - )n+1n (44 Respuesta: absolutam ente convergente37. X ( - )n n 2 + n + 2 Respuesta: divergente38. X ( - )nn + 1 Respuesta: absolutam ente convergente339. X (-1 )n+12 ^ Respuesta: absolutam ente convergente40. cosnn Respuesta: absolutam ente convergente41. (CG) Cuntos trm inos de ^ (-1 )n+1 - 1 sern suficientes para obtener una aproxim acin dentro de 0.0005 de la sum a real? D eterm ine la aproximacin.Respuesta: n = 6 : 1 4 4 ~ 0.63242. (CG) Cuntos trm inos de ^ (-1 )n+1 1), bastarn para obtener una aproxim acin de la sum a real con un error < 0.001? D eterm ine tal aproximacin.Respuesta: n = 3; 0.84243. (CG) C untos trm inos de ^ ( -1 )n+1 ^ bastarn para obtener una aproxim acin de la sum a real con un error< 0.001? D eterm ine la aproximacin.Respuesta: n = 1000; 0.693En los problem as 44 a 49, determ inar si la serie converge.(n !)2(2n)!(2n)!44. X45. I ..46. X (in 2)n47 . s nRespuesta: convergente Respuesta: divergente Respuesta: divergente Respuesta: convergente4n 2 - 32n2nCAPTULO 45 Series alternadas www.FreeLibros.meCAPTULO 45 Series alternadas4 n48. X (n + 2)n Respuesta: convergenteX ( ) Respuesta: divergente49.50. D eterm ine si ^ ( -1 )n+1(Vn + 1 - y f ) es absolutam ente convergente, condicionalm ente convergente o divergente.R espuesta : condicionalm ente convergenteEn los problem as 51 y 52, determ ine el nm ero de trm inos que bastan para aproxim ar la sum a de la serie indicada con precisin de cuatro cifras decim ales (es decir, con un error < 5/105) y calcule la aproximacin.+ 151. (CG) ( -1 )n+1 Respuesta: n = 6 ; 0.9721n=1 n52. (CG) ^ ( - 1)n+1-(2------ T Respuesta: n = 4; 0.8415n=1 ^ ''53. Sea IrI < 1a) D em uestre que ^ p r n = f + 2 r2 + 3T3 + 47a + ... converge.b) D em uestre que X n f n = (1 f )2 . (Sugerencia: sea S = r + 2 r2 + 3T3 + 4f* + ", m ultiplique esta ecuacinn=1 ^ 'por r y reste el resultado de la ecuacin original).c) D em uestre que Y = 2-n=1 www.FreeLibros.meSerie de potenciasSerie de potenciasU n a serie in fin ita^ an(x- c )n = a 0 + a 1 ( x - c) + a 2 ( x - c)2 + (46.1)n=0se d enom ina serie de p o ten c ia s en x en to rno a c con coeficien tes (a>. U n caso espec ia l e im portan te^ anx n = a 0 + a1 x + a2 x2 + (46.2)n=0es u n a serie de po tenc ias en to rno a 0.P ara un valo r de x dado, la serie (46 .1) converge o diverge. P o r tan to , (46 .1) d e te rm ina u n a funcin f cuyodom in io es e l con jun to de todos los x p a ra lo s cuales (46.1) converge y cuyo valo r f x ) co rrespond ien te es lasum a de la serie. N tese que (46 .1) converge cuando x = c.EJEMPLO 4 6 .1 . La serie de potencias en torno a 0^ x n = 1 + x + x 2 + n=0es una serie geom trica con razn r = x. As, converge para lxl < 1 y su sum a es 1 - . Entonces, el dom inio de la funcin correspondiente es un intervalo en torno a 0 .Teorema 4 6 .1 . Supngase que la serie de potencias ^ a n(x - c)n converge para x0 ^ c. Por tanto, converge absolutam ente para todo x tal que lx - cl < lx0 - cl (es decir, para todo x que est m s prxim o a c que x0).R epase el problem a 4 para ver una dem ostracin.Teorema 4 6 .2 . Para una serie de potencias ^ an (x - c )n, uno de los tres casos siguientes es verdadero:a) Converge para todo x.b) Converge para todo x en un intervalo abierto (c - R 1, c + R 1) alrededor de c, pero no fuera del intervalo cerrado [c - R 1, c + R 1].c) Converge slo para x = c .Por intervalo de convergencia de ^ an (x - c )n se entiende:En el caso a): ( - ^ , + ^ )En el caso b): (c - R 1, c + R 1)En el caso c): {c} 79J www.FreeLibros.meCAPTULO 46 S erie de potenciasPor radio de convergencia de ^ an (x - c)n se entiende:En el caso a)En el caso b) R 1 En el caso c) 0N ota: en el caso b), si la serie de po ten c ias no converge en n inguno de los pun to s finales de su in tervalo de convergencia en uno o en am bos pun to s finales, depende de la serie dada. P ara ver una dem ostrac in de l teo rem a 46 .2 , repase el p ro b lem a 5.EJEMPLO 4 6 .2 . La serie de potenciasV (x - 2)n _ . (x - 2)2 (x - 2)3= ( x - 2) + 2 3n=1es una serie de potencias en torno a 2. Se utiliza el criterio de la razn para hallar el intervalo de convergencian+1Snlx - 2ln+ n + 1lx - 2ln n n + 1 lx - 2l .Entonces, lm n+1Sn= lx - 2l.E ntonces, po r el criterio de la razn , la serie converge absolu tam ente para lx - 2l < 1. La ltim a desigualdad equivale a - 1 < x - 2 < 1, que a su vez equivale a 1 < x < 3. Por tanto, el intervalo de convergencia es (1, 3) y el radio de convergencia es 1. En el punto term inal x = 1, la serie se convierte en 1K~1)n/n ], lo que converge porel teorem a de series alternadas. En el punto term inal x = 3, la serie se convierte en _ (1/n ) , la serie arm nica divergente. Entonces, la serie de potencias converge para 1 < x < 3.EJEMPLO 4 6 .3 . La serie de potencias xa _ 1 + x + + 1 -+ n_0es una serie en torno a 0. (Recurdese que 0! = 1.) Se utiliza el criterio de la razn:l xln lxl" lxl(n + 1)! / n ! n + 1 'Entonces, lm = 0 .As, por el criterio de la razn, la serie converge (absolutam ente) para todo x. Su intervalo de convergencia es ( -^ , + ^ ) y su radio de convergencia es ^ .s ss sn nEJEMPLO 4 6 .4 . La serie de potencias n !x n _ 1 + x + 2! x 2 + 3 !x3 + es una serie de potencias en torno a 0. Se utiliza de nuevo el criterio de la razn:(n + 1)! lxln+1n!lxln- _ (n + 1) lxl. Entonces, lm = +excepto cuando x = 0. As, la serie converge slo para x = 0. Su intervalo (degenerado) de convergencia es {0} y su radio de convergencia es 0 .n_0ss nn www.FreeLibros.me-----4381^Convergencia uniformeS ea f una sucesin de funciones, todas defin idas en un con jun to A. Sea f la funcin defin ida en A. E ntonces, f n) converge un iform em ente a f en A si p a ra todo e > 0 ex is te un en tero m positivo ta l que p a ra cad a x en A y todo n > m , f n(x) - f x ) l < e .Teorema 46.3. Si una serie de potencias X a (x - c )nconverge para x0 ^ c y d < lx0 - cl, entonces la sucesin de. _ -^ n^=0 nsum as parciales (Sk(x)), donde Y an (x ~ c)n, converge uniform em ente a ^ 0an (x ~ c)n en el intervalo que consta de todos los x tal que Ix - cl < d. Por tanto, la convergencia es uniform e en cualquier intervalo estrictam ente dentro del intervalo de convergencia.Se rem ite al lector a libros ms avanzados para hallar una dem ostracin de este resultado.Teorema 46.4. Si (fn) converge uniform em ente a f en un conjunto A y cada f n es continuo en A, entonces f escontinuo en A .En el problem a 6 se ofrece una demostracin.Corolario 46.5. L a funcin definida por una serie de potencias ^ an(x ~ c)n es continua en todos los puntos dentro de su intervalo de convergencia. n 0Esto se deduce de los teorem as 46.3 y 46.4.Teorema 46.6. Integracin de series de potencias. Sea f la funcin defin ida por una serie de po tencias X a,n(x ~ c)n en su intervalo de convergencia (con radio de convergencia R 1). Entonces:a) J f (x ) dx = Y an ('x + K para Ix - cl < R 1 (46.3)n=0donde el intervalo de convergencia de la serie de potencias en el m iem bro derecho de la frm ula (46.3) es el m ism o que el de la serie original. K es una constante de integracin arbitraria. N tese que la antiderivada de f se obtiene por integracin trm ino a trmino de una serie de potencias dada.b) Si a y b estn en el intervalo de convergencia, entonces:cb ^ f (x )dx = Y ( x - c ) n a---------n + 1rbAs, I f (x)dx se obtiene por integracin trm ino a trmino.JaU na dem ostracin del teorem a 46.6 debe consultarse en un libro ms avanzado.(46.4)bTeorema 46.7. Derivacin de serie de potencias. Sea f la funcin defin ida p o r una serie de po tencias X cin(x ~ c)n en su intervalo de convergencia (con radio de convergencia R 1). E ntonces,fes derivable en ese intervalo yf '(x ) = nan(x - c ) n_1 para lx - cl < R 1 (46.5)n=0Por consiguiente, la derivada f se obtiene m ediante derivacin trmino a trmino de la serie de potencias. El intervalo de convergencia de la serie de potencias del miembro derecho de la frm ula (46.5) ser el m ism o que para la serie de potencias original.Para una dem ostracin, el lector debe rem itirse a textos ms avanzados.CAPTULO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.me^ 3 82^ CAPTULO 46 S erle de potenciasEJEMPLO 46.5. Ya se sabe, por el ejem plo 46.1, que para Ixl < 1,1 - x n=uA hora, Dx (y 1 x ) = (1 1x)2 . Entonces, por el teorem a 46.1,Z T ~ = X x n = 1 + x + x 2 + x 3 + + x n + (46.6)(1 _1x ) 2 = 1 + 2 x + 3 x2 + + nxn 1 + para Ixl < 1= ^ n x n~l = ^ (n + 1) x nn=1EJEMPLO 46.6. Se sabe que1 +1-= ^ x n = 1 + x + x 2 + x3 + + x n + para Ixl < 1n=0Se rem plaza x por - x (lo cual es perm isible, ya que I-x I = Ix I < 1). El resultado es- r ^ = S ( x ) n = S (1) nx n = 1 x + x 2 x 3 + ' ' ' (46.1)n=0 n=0Por el teorem a 46.6a ), se puede integrar trm ino a trmino:J A = S ( ^ + K - S ( - - ) - - n + K p*ra w < 1n=0 n=1nl n |1 + x| = S ( 1 )n-- x _ + K para Ixl < 1n=1 nCon x = 0 y observando que ln 1 = 0, se advierte que K = 0.Tam bin se observa que para Ixl < 1, se tiene que -1 < x < 1, 0 < 1 + x < 2 y, por consiguiente, I1 + xl = 1 + x. Por tanto,l n (1 + x ) = S ( 1 )n1 p a r a Ix l < 1n=1= x 2 x 2 + 1 x3 1 x 4 + ' " (46.8)El criterio de la razn m uestra que esta serie converge.Si se rem plaza x por x - 1 se obtienel n x = ( - 1) n- 1( x 5^ para Ix - 1I < 1 (46.9)n=1Se observa que Ix - 1l < 1 equivale a 0 < x < 2.As, ln x es definible por una serie de potencias dentro de (0, 2).Teorema 46.8. Teorema de Abel. Supngase que la serie de potencias ^ a n ( x - c ) n tiene un intervalo finito de convergencia Ix - cl < R 1 y sea f una funcin cuyos valores en ese intervalo estn dados por tal serie de potencias. Si la serie de potencias tam bin converge en el punto term inal de la derecha b = c + R 1 del intervalo de convergencia, entonces lmx^ b- f x ) existe y es igual a la sum a de la serie en b. El resultado anlogo se cum ple en el punto term inal de la izquierda a = c - R 1.Si desea consultar una dem ostracin, la encontrar en libros ms avanzados. www.FreeLibros.meln (1 + x ) = X ( - 1)-1 ~ para lxl < 1n=1En el punto term inal de la derecha x = 1 del intervalo de convergencia, la serie de potencias se convierte en la serie arm nica alternada convergente+ 1X (- 1) -1 - 1 = 1 - 1 + 1 + 1 + n=1Por el teorem a de Abel, esta serie es igual al lm ln (1 + x ) = ln 2 . Entonces,X>1_ln 2 = 1 - 1 + ,3 - -L + . . . (46.10)EJEMPLO 4 6 .8 . Em piece de nuevo con11----- = X x n = 1 + x + x 2 + x 3 H--- h x n para lxl < 1n=0Se rem plaza x por -x 2 para obtener11 + 2 = X ( - 1)nx 2n = 1 - x 2 + x 4 - x 6 + (46.11)1 + x n=0------------- ^ 383^EJEMPLO 46.7. Esta es una continuacin del ejemplo 46.6. Por la frmula (46.8)Com o l-x2l < 1 equivale a lxl < 1, (46.11) se cum ple para lxl < 1. Ahc trmino:A hora, por el teorem a 46.6a), la antiderivada tan 1 x de puede obtenerse m ediante integracin trm ino a1 + x 2J-, r 2n+1t a n -1 x = X (_ 1) n 2- + 1 + K p a r a l x l < 1xn=0= K + x - x3 + } x 5 - 1 x 7 +Aqu, K es la constante de integracin. Si x = 0 y se observa que tan -1 0 = 0, se deduce que K = 0. Por tanto,v2 n+1tan -1 x = X (_ 1)n + 1 = x - x3 + 5 x 5 - 7 x 7 + (46.12)n=0En el punto term inal de la derecha x = 1 del intervalo de convergencia, la serie en (46.12) se convierte en (- 1)- 2- n - 1 - -3+ * - + + "n=0la cual converge en virtud del teorem a de las series alternadas. Entonces, por el teorem a de Abel,1 -} + 1 - y + = lm tan - 1(x) = tan-11 = n (46.13)x^ 1 4CAPTULO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.me^ 384^ CAPTULO 46 S erie de potenciasE Xn 'V"' Tnn ! converge para todo x. Sea f ( x ) = ^ n - para todo x. Por derivacin trm ino a trm ino (teorem a 46.7), n=0 n=0f ' ( x ) = 1 x n ^ f ( x )n=1 v n=0O bserve quef(0 ) = 1. Por consiguiente, por la frm ula (28.2),f x ) = ex. As,e x = n T Para todo x (46.14)n=0PROBLEMAS RESUELTOSD eterm ine el intervalo de convergencia de la serie de potenciasf ^ = ( x - 2) +2e identifique la funcin representada por esta serie de potencias. A plique el criterio de la razn:lx - 2ln+ n +1lx - 2lnn + 1 lx - 2l .Luego, lm = lx - 2lPor tanto, el intervalo de convergencia es lx - 21 < 1. (Esto equivale a -1 < x - 2 < 1, que a su vez equivale a 1 < x < 3.) En el punto term inal de la derecha x = 3, la serie es la serie arm nica divergente, y en el punto term inal izquierdo x = 1, la serie es la negativa de la serie arm nica alternada convergente. Por tanto, la serie converge para 1 < x < 3.( x 2) nSea h(x) = - . Por el teorem a 46.7, h '(x ) = ^ ( x - 2 ) n_1. Esta es una serie geom trica conn=1 n=1 1 1 1prim er trm ino 1 y cociente (x - 2); entonces, su sum a es ^ (^ 2) = 3 x ' Por ende, h ' (x) = 3 1 x Porende, h(x) = J = _ l3 - xl + C Ahora,(2 - 2) n = 0 y - lnl3 - 2l+ C = 0. As, C = 0A dem s, como x < 3 en el intervalo de convergencia, 3 - x > 0 y, por consiguiente, 13 - xl = 3 - x. Por tanto, h(x) = - ln (3 - x).En los problem as 2 y 3, determ ine el intervalo de convergencia de la serie dada y el com portam iento en los puntos term inales (si hay alguno).A plique el criterio de la razn:lx ln lx ln( n + 1)2 ( n +T )2lx l . En consecuencia, lm = lxl.Por tanto, el intervalo de convergencia es lxl < 1. E l radio de convergencia es 1. En x = 1, se obtiene la serie p convergente con p = 2. En x = -1 , la serie converge por el criterio de series alternadas. As, la serie converge para - 1 < x < 1 .rxTn=( x+1) + (xTH + (xT=T vn V 2 n/3n=1sss n nnnn=1n=1s sssn n www.FreeLibros.me-^ 385^Aplique el criterio de la razn:J x + VT y j n + 1_ / lx + 1ln I n/ 4 V n + 1lx + 11. Por tanto, limn^ +rc = lx + 1l.As, el intervalo de convergencia es lx + 11 < 1, lo cual equivale a -1 < x + 1 < 1, lo que a su vez equivale a -2 < x < 0. El radio de convergencia es 1. En el punto term inal (o punto extremo) de la derecha x = 0 se obtiene la1 ( 1) n serie p divergente / ,= . En el punto extremo x = - 2 se obtiene la serie alternada V 7= - , la cual convergen=1 "Vn n=1 ' J npor el teorem a de series alternadas. As, la serie converge para - 2 < x < 0.s ss sn n4. D em uestre el teorem a (46.1).Com o ^ an(x0 - c)n converge, lm n^ + an (x0 - c)n = 0 por el teorem a (43.5). Por tanto, hay un nmero positivo M tal que lanl lx0 - cln < M para todo n, por el teorem a (42.1). Supngase que lx - el < lx0 - el. Sear = _rx < 1. Entonces, lallx - eln = lallx0 - e lnrn < M rnlx0 - el n n 0Luego, ^ lan (x - e )nl es convergente por com paracin con la serie geom trica convergente ^ M rn. As,2 an (x - e )n es absolutam ente convergente.5. D em uestre el teorem a (46.2).Slo es posible aqu un argum ento m uy intuitivo. Supngase que ninguno de los casos a) y e) se cumple. Com o el caso a) no se cumple, la serie de potencias no converge para algn x ^ e. Com o el caso e) no se cum ple, la serie converge para algn x ^ e. El teorem a (46.1) im plica que hay un intervalo (e - K , e +K ) alrededor de e donde la serie converge. E l intervalo de convergencia es el m xim o de dicho intervalo. [M ediante el teorem a (46.1), se tom a el m nim o lm ite superior R 1 de todo K tal que la serie converge en (e - K, e + K). Entonces, (e - R 1, e + R 1) es el intervalo deseado.]6. D em uestre el teorem a (46.4).Supngase que x est en A y e > 0. Com o (f n) converge uniform em ente a f en A , existe un entero positivom tal que si n > m , entonces f n (y ) - f j ) l < e /3 para todo y en A . Com o f m es continua en x , existe 8 > 0 tal quepara todo x * en A , si lx * - x l < 8, luego lfm(x*) - f m (x )l < e /3. Por tanto, si lx * - x l < 8,l f (X ) - f ( x ) l = l ( f ( x ) - f m (X ) ) + ( f m ( X ) - f m ( x ) ) + ( f m ( x ) - f ( x ) ) l^ l f ( x *) - f m ( x > ) l + l f m ( X ) - f m ( x ) l + l f m ( x ) f ( x ) l< 3 + 3 + 3 Esto prueba la continuidad de f en x .rb /*bSi (f n) converge uniform em ente a f en [a, b] y cada f n es continuo en [a, b], entonces I f (x) dx = lm I f (x) dxJ a n^+ rc JaSupngase que e > 0. Existe un entero positivo m tal que si n > m, entonces i f (x) _ f (x)| < _ todo x en [a, b]. Por tanto, Jba l f n (x) - f (x)l dx < e . Entonces,J bf ( x ) dx - J bf n ( x ) dx = f ( x ) - f ( x ) ) dx < [* l f n ( x ) - f ( x ) l dxa a a a : < e para n > m8. D em uestre que la funcin f definida por una serie de potencias es continua en su intervalo de convergencia (corolario 46.5).f (x ) = lmn^ + Sn (x) y la convergencia es uniform e por el teorem a (46.3). Cada Sn(x), que es un polinom io, es continuo. Por tanto, f es continuo por el teorem a (46.4).CAPTULO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.meCAPTULO 46 S erie de potenciasx9. Encuentre una serie de potencias en torno a 0 que represente la funcin 1 + x 2 . En qu intervalo es vlida la representacin?Por la frm ula (46.11), 1 +1 2 = (1)nx 2n para lxl < 1. Por tanto,n=0- = E ( 1)n x 2n+ para lxl < 11 + x :La serie diverge en ambos puntos term inales x = 1 y x = -1 .En los problem as 10 y 11, aplique el criterio de la razn para determ inar el intervalo de convergencia e indique qu sucede en los puntos term inales (si hay alguno).sn+1 _ (n + 1) lxln+1 / n lxln _ n + 1 ) lxl Por tanto, lm sn+1sn 10n+1 1 10n n ) 10 sn_|x |_10 'Entonces, el intervalo de convergencia es lxl/10 < 1, o sea, cuando lxl < 10. Este es el intervalo de convergencia. La serie diverge en ambos puntos term inales 10.1 1 . (x - n ) n.(n + 1) lx - n \n+l / n lx - n l n _ n + 1 lx - nl Por tanto, lm lx - n \3 'As, el intervalo de convergencia es lx - ftl < 3. La serie diverge en ambos puntos terminales.( n !)2 x (2n ) 12. Encuentre el intervalo de convergencia de ^ 12 v x ' .A plique el criterio de la razn:( ( n + 1) ! )2 lx ln+1 / ( n ! )2 lx ln ( n + 1)2 . . ^ ^ -.m-------- A m _ -------7T l x l Por tanto, l m(2n + 2) ! / (2n ) ! (2n + 2)(2n + 1) n^+._]xL 4 .Entonces, el intervalo de convergencia es lxl < 4.13. Encuentre una serie de potencias en torno a 0 que represente1 - x 3 '1Em piece con j y = ^ x n para lxl < 1. R em place x por x313 = E x 3n para lxl < 11 - x3(ya que lx3l < 1 equivale a lxl < 1). Se m ultiplica por x:x _ \ ' x3n+11 _ x3 x para lx l < 1En los problem as 14 a 16, halle las frm ulas simples para la funcin f(x ) representada por la serie de potencias indicada.14 x + x + x +2! + 3! + 4! + 'Sea f (x) _ E1 ( n + 1) ! x f ( x ) _ E (nx ++i ) ! _ E - 1 - x _ e x - 1 - xn_1 ^ n_0Por tanto, f (x) _ ex -1 - xn_0s ss sn nssss nnnx www.FreeLibros.me-^ 387^15. 1 x3 + -6 x6 +1 x9Sea f (x) _ x n . Lueg o f '( x) = x3n_1 = :n_1 n=1Esta es una serie geom trica con cociente x3. Entonces, converge para lx3l < 1, que equivale a lxl < 1. Por ' x 21 - x3x 2 / x 2tanto, f '(x ) = i A x 3 para lxl < 1. Por consiguiente, f (x ) = J ^ A x 3 dx = - j ln 11 - x 3l + C . Pero, f(0 ) = 0, por loque C = 0. A sim ism o, 1 - x3 > 0 para lxl < 1. Por tanto,f (x) _ - - 3ln (1 - x 3) para lxl < 1.16. x + 2x3 + 3x5 + 4x7 + El criterio de la razn m uestra que la serie converge para lx l < 1. Seag( x) _ x + 2x3 + 3x5 + 4 x 7 + _ n x 2n-1Entonces, 2g(x) _ 2nx2n 1. Por ende, al obtener las antiderivadas,n_1* 22 J g(x)dx _ K + x 2n _ K + 1 x 2 (ya que x 2n es una serie geom trica con cociente x2).n_1 n_1A hora se deriva:2g(x) _ Dx (y - t x2 ) _ (1 - x 2)2 , g(x) _ (1 - x 2)2 para lxl < 1f 1/2 ln (1 + x)17. (CG) A proxim e ----- x----- dx con una precisin de dos cifras decim ales (es decir, con un error < 5/103).Por la frm ula (46.8), ln (1 + x) _ x - j x 2 + -j x3 - 4 x 4 + para lxl < 1, entoncesln (1 + x) y y 2 y 3 ^ ( - 1)nx n _ i - x + 1 x 2 - 1 x 3 + _ - tx -------------- 2 3 4 n + 1n_0Por el teorem a (46.6b),J . t a a + x dx = ( z U I j : Jo x " n + 1n+1x n + 1 n + 1n=01/2( - 1)n 1 (n + 1)2 2n+10 n=0 v 7= ! que es una serie alternada convergente.A fin de obtener una aproxim acin con error m enor que 5/103, se debe hallar n tal que el prim er trminoom itid o -----1 _5 _ __L. As, hay que obtener 200 < (n + 1)22n+j. Por ensayo y error se m uestra que(n + 1)2 2n+1_ 103 200 v ; ^ ^ 4n > 3. Por tanto, se pueden utilizar los trm inos correspondientes a n = 0, 1, 2: + _ 65 ~ 0 452 16 72 144 .45Esta respuesta se confirm a m ediante una graficadora, con la que se obtiene 0.44841421 como una aproximacin.18. Encuentre la funcin definida por 2nx n.n_0E sta es una serie geom trica con razn r = 2x y prim er trm ino 1. Por tanto, converge para l2xl < 1, es decir, para lxl < y su sum a es 12J 1 - 2x 'x n19. H alle el intervalo de convergencia de ln (n + j ) .Aplique el criterio de la razn: n_1lxln+j / lxln _ ln (n + 1) ln (n + 2) / ln (n + 1) ln (n + 2) lxln=1CAPTULO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.meCAPTULO 46 S erle de potencias= Ixl. Por tanto, el intervalo de convergencia est dado por Ixl < 1. (ParaP o r l a r e g l a d e L H o p i t a l , l m1x = 1 , s e t i e n e q u e S --------1--------, q u e c o m o s e s a b e , e s d i v e r g e n t e . P a r a x = - 1 , s e o b t i e n e l a s e r i e a l t e r n a d al n ( n + 1)n=1( - 1) n1 l n ( n + 1)20. A p r o x i m e i c o n u n e r r o r m e n o r q u e 0 . 0 0 0 1 .P o r l a f r m u l a ( 4 6 .1 4 ) ,e x = S p a r a t o d o x . P o r t a n t o , 1 = e = S - r ~ ^ n ! r e *-> n !n=0 n=0P o r e l t e o r e m a d e l a s e r i e a l t e r n a d a , s e b u s c a e l n m n i m o t a l q u e 1 /n ! < 0 .0 0 0 1 = 1 /1 0 0 0 0 , e s d e c i r , 1 0 0 0 0 < n ! . P o r e n s a y o y e r r o r s e m u e s t r a q u e n > 8. E n t o n c e s , s e d e b e n u t i l i z a r l o s t r m i n o s c o r r e s p o n d i e n t e s a n = 0 , 1, . . . , 1:1 1 + 1 1 + ---------- + ------------ 1 = 103 ~ 0 3 6 1 91 2 6 2 4 1 2 0 1 2 0 5 0 4 0 2 8 0( U n a g r a f i c a d o r a d a l a r e s p u e s t a 0 . 3 6 1 8 1 9 4 4 1 2 , c o r r e g i d a c o n d i e z c i f r a s d e c i m a l e s . )2 1JoA p r o x i m e f e ~x2d x c o n d o s c i f r a s d e c i m a l e s d e p r e c i s i n , e s d e c i r , c o n u n e r r o r < 5 / 1 0 3 = 0 . 0 0 5 .0P o r l a f r m u l a ( 4 6 . 1 4 ) ,x n 2 ^ ( 1) nex = S p a r a t o d o x . P o r t a n t o , e x = S x p a r a t o d o x .=0 ! n=0 !P o r e l t e o r e m a ( 4 6 .6 b ) ,J0 e-x2 dx = n=0( _ 1) n x 2n+1 n ! 2n +1 = 1( ~ 1) n 1n ! 2n +1S e p u e d e a p l i c a r e l t e o r e m a d e l a s s e r i e s a l t e r n a d a s . L a m a g n i t u d d e l p r i m e r t r m i n o o m i t i d o (2 + 1) d e b e r a s e r < 0 . 0 0 5 = 1 / 2 0 0 . E n t o n c e s , 2 0 0 < ( 2 n + 1 ) n ! P o r e n s a y o y e r r o r s e m u e s t r a q u e n > 4 . P o r t a n t o , s e d e b e r a n u t i l i z a r l o s p r i m e r o s c u a t r o t r m i n o s , e s d e c i r , l o s c o r r e s p o n d i e n t e s a n = 0 , 1 , 2 , 3 :1 1 + - = ~ 0 1 4 31 3 + 1 0 4 2 3 5( U n a g r a f i c a d o r a d a l a a p r o x i m a c i n 0 . 1 4 6 8 2 4 1 3 , c o r r e g i d a c o n o c h o c i f r a s d e c i m a l e s . )22. E n c u e n t r e u n a e x p a n s i n d e s e r i e d e p o t e n c i a s p a r a +-3 e n t o r n o a 0 .1 1 1 1x + 3 = 1 ( x / 3) + 1 P o r l a f r m u l a ( 4 6 . 1 ) , j ^1 = S ( 1) nx n = 1 x + x 2 x 3 + ' p a r a Ixl < 1.n=0P o r t a n t o ,1 = S ( 1) ( ^ ) = ^ ( 1) - 3 - p a '=( x / 3 ) + 1 S - - \ 3 J 3 "v n= 0 n=0L u e g o , x :+3 = S ( - 1 ) n p a r a l x l < 3n=0L a s e r i e d i v e r g e e n x = 3 .< 1 www.FreeLibros.me23. Encuentre una expansin de serie de potencias para 1 en torno a 1.1 = ^ -1 tt- . Por la frm ula (46.7), -r-1 = X ( - 1 ) nx n para lx l < 1. Por tanto, x 1 + ( x - 1) 1 + x v ^1 = 1 + (1 - 1) = X (- 1 )n( x - 1 )n p a r a |x - 1 < 1PROBLEMAS COMPLEMENTARIOSE n los p rob lem as 24 a 31 , d e term ine e l in tervalo de convergencia de la serie de po tenc ias indicada.24. X x n Respuesta: -1 < x < 1E x Respuesta: -1 < x < 1 ( + 1)E xn 5 Respuesta: - 5 < x < 5E x2n ( + 1) ( n + 2) Respuesta: - 1 < x < 1E x+1----- - --------Respuesta: -1 < x < 1( l n ( n + 1) ) 2 129. X 1 + Respuesta: -1 < x < 130. X ( x ~ 24 ) Respuesta: 3 < x < 531. X 2 Respuesta: - 1 < x < -J32. Exprese e~2x como una serie de potencias en torno a 0.Respuesta: X ( ~ 1) n 2n0 !n=033. Exprese ex/2 como una serie de potencias en torno a 2.Resp uesta: X 2n(en ! ) ( x - 2 ) nn=034. Exprese ln x como una serie de potencias en torno a 2.)n+1 2( - 1)-+1Respuesta: l n 2 + X 2-r ~ ( x - 2 ) n-^ 389^n=1nCAPTULO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.meCAPTULO 46 S erie de potencias35. (CG) Encuentre ln (0.97) con una precisin de siete cifras decim ales. (Sugerencia: use la serie de potencias para ln (1 - x) en torno a 0 .)Respuesta: -0 .030459236. Cuntos trm inos deben utilizarse en la serie de potencias para ln (1 + x) en torno a 0 para hallar ln 1.02 con un error < 0.00000005?R espuesta : tres37. (CG) U se una serie de potencias para calcular e 2 con exactitud de cuatro cifras decim ales.Respuesta: 0.1353f 1/2 dx38. (CG) Evale J ^dx 4 con precisin de cuatro cifras decimales.R espuesta : 0.4940E n los p rob lem as 39 y 40 , d eterm ine el in tervalo de convergencia de la serie ind icada.1 xn39. Y n r Respuesta: ( - ^ , + ^ )n nn=140. Y 1 0 n x n Respuesta: x = 0n=041. Exprese x = e ^ com o una serie de potencias en torno a 0.X1 y 2nResp uesta: Y 7 2 Tn=0 ^ ''Cx 242. Encuentre una serie de potencias en torno a 0 para la funcin de distribucin norm al J e^t /2dt.( 1) n x 2 n+1 Respuesta: I n !(2)n) 2n + 1n=0 v 71 + x43. Encuentre una expansin de la serie de potencias en torno a 0 para l n ^ ^ x 2 n+1Respuesta: 2 Y 2n + 1n=044. (CG) A proxim e tan-1 -2 con precisin de dos cifras decim ales.Respuesta: 0.46 www.FreeLibros.me-^ 391^45. D em uestre que el recproco del teorem a de A bel no es vlido, es decir, si f ( x ) = V anx n para Ixl < r, donde rn=0es el radio de convergencia de la serie de potencia y l m f ( x ) existe, entonces V a nr n no necesita converger.1 x^ r~ ^ =0(Sugerencia: analizar f ( x ) = y + x ) ^46. Encuentre una frm ula sim ple para la funcin f(x ) representada por V n 2x n .n=1_ x ( x + 1)R espuesta : (1 x )3 ^ xn47. Encuentre una frm ula sim ple para la fu n c i n fx ) representada por y j ( r~ 2 ( n - 1) n 'n=2Respuesta: x + (1 - x) ln (1 - x)48. a) D em uestre que x ) 2 = V n x n para lxl > 1. (Sugerencia: use el ejem plo 46.5.) ^ ' n=12x 2b) D em uestre que 3 = V n ( n - 1 )x n para lxl < 1. [Sugerencia: prim ero divida la serie entre x, integre,( x ) n=2factorice x, utilice el inciso a) y luego derive.]c) D em uestre que x.( x = V n 2x n para lxl < 1. ^ ' n=1d) Evale V n y V n=1 n=1Respuesta: d) 2 y 6CAPTULO 46 Serie de potencias www.FreeLibros.meSeries de Taylor y de Maclaurin. Frmula de Taylor con residuoSeries de Taylor y de MaclaurinSea f una funcin infinitamente derivable en x = c, es decir, las derivadas f r)(c) existen para todo entero positivo n.La serie de Taylor para f en torno a c es la serie de potenciasX an (x - c)n = a0 + aj(x - c) + a2(x - c)2 + f(0) n!La serie de Maclaurin para f es la serie de Taylor para f en torno a 0, es decir, la serie de potenciasdonde an = -! para todo n. Observe que f0) se toma como la funcin f en s, de modo que a0 = f(c).X anx n = a0 + ajx + a2 x 2 + f (-)(0)donde an = para todo n.EJEMPLO 4 7 .1 . La serie de M aclaurin para sen x.Sea f (x ) = sen x . Entoncesf ' ( x ) = cos x, f " (x) = -s e n x f " ( x ) = -c o s xCom o / 4)(x) = sen x, las derivadas adicionales repiten este ciclo de cuatro funciones. Com o sen 0 = 0 y cos 0 = 1,(1)*f (2k)(0) = 0 y f (2k+1)(0) = (-1)*. Por tanto, a2k = 0 y a2k+1 = (2* + 1) ! . Entonces, la serie de M aclaurin para senY ( ~ 1) x 2 k+1 = x _ x L + x ! _ x L + j- ^ (2 k + 1 ) ! x x 3 L 5 ! 7 rUna aplicacin del criterio de la razn m uestra que esta serie converge para todo x. N o se sabe que sen x sea igual a su serie de M aclaurin. Lo dem ostrarem os ms adelante.EJEMPLO 4 7 .2 . H alle la serie de M aclaurin para f ( x ) = 11 x'3 2f , ( x ) = , f " ( x ) = , f" '(x) = (1 - x rf 4 ( x) _ 4 3 - 2 f 5( x) _ 5 - 4 3 - 21 (x) (1 - x )5 , f (x) (1 - x)6^ 392^ -n=0n=0 www.FreeLibros.me-^ 393^ f (n )(0)O b s r v e s e e l p a t r n : f (n)( x ) = (1 ) n+1 . P o r t a n t o , an = = 1 p a r a t o d o n , y l a s e r i e d e M a c l a u r i n p a r a 1 x e sS x n . E n e s t e c a s o , y a s e s a b e q u e 1 x e s i g u a l a s u s e r i e d e M a c l a u r i n p a r a Ixl < 1.n=0Teorema 4 7 .1 . S i f ( x ) = S b n ( x c ) n p a r a a l g n x * c , e n t o n c e s e s t a s e r i e e s l a s e r i e d e T a y l o r p a r a f , e s d e c i r ,f (n)( c ) "=0b n = - ^ p a r a t o d o n . E n p a r t i c u l a r , s i f ( x ) = S b nx n p a r a a l g n x * 0 , e n t o n c e s e s t a s e r i e e s l a s e r i e d e M a c l a u r i n" " n=0p a r a f .S u p n g a s e q u e f ( x ) = S b n ( x c ) n p a r a a l g n x * c . E n t o n c e s , f(c ) = b 0. P o r d e r i v a c i n t r m i n o a t r m i n o ( t e o -"=0r e m a 4 6 . 1 ) f ' ( x ) = ^ n b n ( x - c )"-1 e n e l i n t e r v a l o d e c o n v e r g e n c i a d e ^ b n ( x - c ) n . P o r t a n t o , f ( c ) = b 1. D e r i v a n d on=0 n=0 f " ( c )d e n u e v o s e o b t i e n e f " ( x ) = ^ n ( n - 1 )b n ( x - c ) n~2 . E n t o n c e s , f ' ( c ) = 2 b 2 y , p o r c o n s i g u i e n t e , b 2 = 2 .=0 2 D e r i v a n d o n u e v a m e n t e s e o b t i e n e f ' " ( x ) = ^ n ( n - 1 ) (n - 2 ) b n ( x - c ) n~3 . L u e g o f " ( c ) = 3 ! b 3 y , p o r c o n s i g u i e n t e , f " ' (c) =0b3 3J . I t e r a n d o e s t e p r o c e d i m i e n t o s e o b t i e n ef (n)(c)b = - par a todo n > 0 n n !As, la serie es la serie de T aylor para f .EJEMPLO 47.3. Y a se sabe por la frm ula (46.8) queln (1 + x) = S (1)n1 ~ para Ixl < 1n=1Por tanto, por el teorem a 41.1, la serie ^ (-1 )n~1 debe ser la serie de M aclaurin para ln (1 + x). No es necesarion=1pasar por el laborioso proceso de calcular la serie de M aclaurin para ln (1 + x ) directam ente a partir de la definicin de la serie de M aclaurin.EJEMPLO 47.4. Si f (x) = 1 ^ , determ ine f 41)(0).1 xSe sabe que 1------= ^ x n para Ixl < 1. Por tanto, por el teorem a 41.1, el coeficiente de x", o sea 1, es igual af (n)(0) x =0 f (41)(0)f (-0) . Entonces, para n = 41, 1 = (4 1) y, por consigu ien te ,f(41)(0) = (41)!.Teorema 47.2. Frmula de Taylor con residuo. Sea f una funcin tal que su (n + 1)-sima derivada f n+1) existe en (a , P). Supngase tam bin que c y x existen en (a , P). Entonces, existe algn x* entre c y x tal quef " ( c) f (n)(c) f (n+1) ( r*)f (x) = f (c) + f '(c)(x c) + f 2T ( x c)2 + ' ' ' + f H x c)n + f (n + 1 )! ) ( x c)n+1JL f (t)(c)= S f r f ) (x c )k + R (x) (41.1)f (n+1)(x* )Aqu, R (x) = (x c)n+1 se denom ina el trmino residuo o el error.nW (n + 1)! v yE l teorem a 41.2 puede deducirse del teorem a 13.6 (el teorem a del valor m edio de orden superior).CAPTULO 47 Serles de Taylor y de Maclaurin. Frmula de Taylor con residuo www.FreeLibros.me^ 394^ CAPTULO 47 Serles de Taylor y de M aclaurln . Frm ula de Taylor con residuoAplicaciones de la frmula de Taylor con residuoI. M uestra de que ciertas funciones estn representadas por su serie de Taylor m ediante la dem ostracin de que lm R n (x ) = 0A partir de la frm ula de Taylor (47.1), f (k )(c)Rn (x) = f (x) - X (x - c)kk=0Si lm ^+ R n (x) = 0 entonces f (k) (c) +2 f (k) (c)f ( x ) = Ito X x - c)k = X - j P - x - c)kes decir, f(x ) es igual a su serie de Taylor.d n x nObservacin: lim i = 0 para todo d. Para com probarlo, recurdese que X "ni converge para todo x. Porn^ + xn n=0ende, por el teorem a (43.5), lm n = 0 para todo x.n iEJEMPLO 47 .5 . sen x es igual a su serie de Maclaurin.Cuando f x ) = sen x, entonces toda derivada f n)(x ) es cualquiera de stas: sen x, cos x, -sen x o -cos x y, por consiguiente, lf (n)(x )l < 1. As,R ( x ) i = (n + 1)!l ( x c) n+11Por la observacin anterior, lmn^ + ( j ) = 0 . Por tanto, lm n^ + R n ( x ) = 0 . Por consiguiente, sen x es igual a su serie de Maclaurin:sen x = X (2j + 1. )! x 2k+1 = x - f r + f r - ^7t + (47 .2)k=0 ^II . Valores de aproxim acin de funciones integralesU se una cota en R n(x) para obtener una cota en el error cuando se aproxim a la sum a de una serie infinita m ediante una sum a parcial.EJEMPLO 4 7 .6 . Aproxime e con cuatro cifras decimales, es decir, con un error < 0.00005. El resultado preliminar+ i x es e < 3. Para comprobarlo, ntese que, como ex = X 7,n=0 n e = e1 = X -1 = 1 +1 + + + + + e e X n i 1 + 1 + 2i + 3i + 4i + 5i +n =0< 1 + 1 + 1 \--1---\------------1--\------------ 1-\ < 1 + 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +1 + X 2n 1 + 1 - (1/ 2) 1 + 2 3Ahora, para la funcinfx ) = e*, se desea hacer la magnitud del error R n(1) < 0.00005. Por la frmula de Taylor con residuo, con x = 1,ir (1)i =f (n+1)( x ) (n + 1)! donde 0 < x* < 1 www.FreeLibros.me-^ 395^Com o Dx(ex) = ex, f n+V)(x) = ex para todo x. Por tanto, f n+V)(x*) = e . Entonces e es una funcin creciente, e < e 1 = eX< 3 < e 1 = e < 3. As, |R n(1)| < 3(n + 1)! < 0.00005,. Com o se desea hacer del error < 0.00005, basta tener es decir, + n . < , 60 0 0 0 < (n + 1)!.(n + 1)! - ^ (n + 1)! - 20 0008 1Por ensayo y error se m uestra que se cum ple para n > 8. Entonces, se puede utilizar la sum a parcial ^ _ f ~ 1.7183.Teorema 47.3. La serie binomial. Supngase que r ^ 0. Entonces,(1 + x)r = 1 + r(^lX^2_(^n i)xn paral xl< 1n=1, r(r - 1) 2 r(r - 1)(r - 2) 3= 1 + rx + 2! x2 + ----3f--- x3 + Se aplica el criterio de la razn a la serie dada:r(r - 1)(r - 2) (r - n)x n+ / r(r - 1)(r - 2) (r - n + 1)x n(47.3)Sn+1SnAs,(n + 1)!lmn != lm (r - n )xn + 1 = 1 x lPor tanto, la serie converge para lx l < 1. Para ver un esbozo de la dem ostracin de que la serie es igual a (1 + x)r repase el problem a 31.N tese que si r es un entero positivo k, entonces los coeficientes de x n para n > k son 0 y se obtiene la frmula binom ial(1 + x ) * = k!n !(k - n)!EJEMPLO 47.7. Redefina VT + x como una serie de potencias en torno a 0. Esta es la serie binom ial para r = 2= 1 + - f x + (1/ 2)2-1 /2 ) x 2 + (1/ 2) ( - 132 )(-3 /2 ) x3+ (1 /2 )(-1 /2 )( -3 /2 )(-5 /2 ) x4 +4! x1128 ' (47.4)EJEMPLO 47.8. Encuentre una extensin de la serie de potencias en torno a 0 paraV 1 - xSe tom a la serie binom ial para r = - - j , y luego se rem plaza x por -x: 1 + x ) +1 , - 1 /^ ^ ^ , ( -1 /2 ) ( -3 /2 ) (_ x )2 + ( -1 /2 )( -3 /2 ) ( -5 /2 ) ( x)3 + ^ ' 1! ^ ' 2 !1 -3 -5 (2n - 1) n+ ---------- prn-------- x n + n ! 2n= ! . f 1 ' 3 5 (2n - 1) x n 1 + 2 - 4 -6 (2n) X(47.5)n=0ssn nnnn=01CAPTULO 47 Serles de Taylor y de Maclaurln. Frmula de Taylor con residuo www.FreeLibros.meCAPTULO 47 Series de Taylor y de M aclaurin . Frm ula de Taylor con residuoTeorema 4 7 .4 . Si f (x) _ anx n para lxl < R y y g(x) _ bnx n para lxl < R 2, entonces f (x)g(x) _ cnx n para lxln_0 n_0 n_0n< m nim o (Ry, R2), donde cn _ akbn-k.k_0Puede consultar una dem ostracin en una obra m s avanzada. El teorem a 47.4 garantiza que si f y g tienen extensiones de series de potencias, entonces tam bin las tiene su producto.PROBLEMAS RESUELTOS1. Encuentre una extensin de serie de potencias en torno a 0 para cos x .Se sabe por el ejem plo 47.5 que^ (- 1) k r 3 x 5 x 7sen x _ (2k + j)! x 2k+j _ x - 3 + + . . . para todo x.k_0Entonces, por el teorem a (46.7), es posible derivar trm ino a trmino:( - i ) k x2k _ , - xL + -(2k)! x 1 2! 4! 6 !( - 1) k x 2 x 4 x6c o s x _ - ( x k y x 2k _ 1 - -Tjy + - - r , + p a r a t o d o x .2. Encuentre una serie de potencias en torno a para sen x.U se la identidad de s e n x _ c o s (x - n ). En consecuencia, por el problem a 1,( - l ) W ^ - n \ 2k i 1 / n \2 + 1 / n 4sen x (2 k ) !(x 2 ) 1 2 ! (x 2 ) + 4 ! (x 2 ) 3. Sea f x ) = tan-1x. Evale / 38)(0).Se sabe por la frm ula (46.12) que( - 1) n + i = x - j x 3 + j x 5 - y x 7 p a r a lxl < 1n=0f (38)(A)Por tanto, por el teorem a (47.1), el coeficiente de x38 en esta serie de potencias es igual a 1 -L. Pero elcoeficiente de x38 es 0. Entonces, / 38)(0) = 0. ( 3 8 ) !4. H alle las extensiones de la serie de potencias en torno a 0 para las funciones siguientes:a) cos(x2) b) xe"2 c) 1/ ^ 1 + x+ ^ ( 1 \k / i \ ka) c o s x _ x 2k por el problem a 1. Por ende, c o s ( x 2) _ x 4k. ( 2 k ) ! ( 2 k ) !4 ^ x k _ ( - 1) k 2kb) Se sabe que ex _ 4 j . Entonces, e~2x = ^ - A x k . Por tanto,,-2x ( ~ 1) k 2k ,.fc+i v ( ~ 1) n- 12n-1x e -2x X1 ( j ) 2 x k+1 Vx e U k ! x ( n - 1)!k=0 n=1 vc) Esta es la serie binom ial para r _ - y .1/ V T T T _ i - 3 x + ( - 1/ 32(!- 4 / 3 ) x 2 + ( - 1 / 3 ) ( - 4 ! 3 ) ( - 7 / 3 ) x 3 + ( - 1 / 3 ) ( - 4 / 3 ) ( - 7 / 3 ) ( - 1 0 / 3 ) , ++ ------------------------41------------------------ x + _ 1 +( -1 )n(1 .4 .7 (3 n - 2)) 3nn! xnn_1 www.FreeLibros.me-^ 397^5. Encuentre los prim eros cinco trm inos de la serie de M aclaurin para ex(sen x).M todo 1: s e a f x ) = e (sen x). Entonces,f '( x) = ex(senx + cosx), f " (x) = 2ex (cos x), f ' " (x) = 2 ex (cos x senx )f (4) (x) = - 4 e x(sen x), y f (5) (x) = 4ex (sen x + cos x )f (n) (0)Por tanto, como an = p , se obtiene a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 1, a 3 = y, a 4 = 0 y a 5 = 30. As,x3 x5ex (senx) = x + x 2 + ^ + M todo 2 ex(senx) = (1 + x + + y - +---- ) (x ~3j + y j--------). Si se m ultiplica de acuerdo con la reglaexpuesta en el teorem a (47.4), se obtiene el m ism o resultado anterior. Por ejem plo, c5 = 24 t2 + 120 = 30.x3 x56 . Se sabe que sen x = x y f + y j-------- . Para qu valores de x al aproxim ar sen x por x se produce un error de 0. Ahora,3xy2x2 + y2- 03xy2x2 + y2 = 31 xl x2 + y2 < 3 1 x l < 3^1 x2 + y 2 < 35 =si se selecciona 8 = e /3 y se supone que 0 < 7 x 2 + y 2 < 8 .2 www.FreeLibros.meCAPTULO 48 Derivadas parcialesEJEMPLO 48 .3 . Demuestre que lm V no existe.(x,y)^ (0,0) x + yx 2 y2 x2Sea (x, y) ^ (0, 0) a lo largo del eje x, donde y = 0. Entonces y = = 1. Entonces, el lmite a lo largo delx y x r, r, r,x 2 y2 y2eje x es 1. Ahora sea (x, y) ^ (0, 0) a lo largo del eje y, donde x = 0. Entonces x2 + y2 = -yy = -1. Luego, el lmite a lo largo del eje y es -1. Por tanto, no puede haber lmite comn cuando 1 tiende a (0, 0) y el lmite no existe.( x2 y2 ^ 2EJEMPLO 48 .4 . Demuestre que lm = ^ no existe.(x, y^ (0,0) ^ x 2 + y2 J x 2 _ y2 X 2Aqu no se puede utilizar el mismo argumento que el del ejemplo 48.3, porque ^ tiende a 1 cuando (x,V x + y )y) tiende a (0, 0) tanto a lo largo del eje x como del eje y. Sin embargo, si (x, y) tienden a (0, 0) a lo largo de la recta x2 y2 \2 x2 x 2 \2 x2 - y2 \2y = x. Entonces, ( x2 + y2 ) = (x2 + x 2 ) = 0. Por tanto, ^ ^ a lo largo de y = x. Como esto es diferentedel lmite 1 aproximado a lo largo del eje x, no existe lmite cuando (x, y) ^ (0, 0).ContinuidadSea f una funcin de dos variables y se supone que hay puntos en el dominio de f arbitrariamente prximos a (a, b). Entonces f es continua en (a, b) si y slo si f est definida en (a, b), lm f (x , y) existe, ylm f (x , y) = f (a , b). (x' y)" ( ab)(x, y)^(a, b)Se dice que f es continua en un conjunto A si f es continua en cada punto de A. Esta es una generalizacin para dos variables de la definicin de continuidad para las funciones de una variable. Las propiedades bsicas de las funciones continuas de una variable (teorema 8.1) se transfieren fcilmente a dos variables. Adems, todo polinomio en dos variables, tales que 7x5 - 3xy3 - y4 + 2xy2 + 5, es continuo en todos los puntos. Toda funcin continua de una variable tambin es continua como una funcin de dos variables.Las nociones de lmite y continuidad tienen generalizaciones obvias a funciones de tres o ms variables.Derivadas parcialesSea z = fx , y) una funcin de dos variables. Si x vara mientras que y permanece fija, z se vuelve una funcin de x . Entonces, su derivada respecto a xlm f (x + Ax, y) - f (x , y)Ax^ A xse denomina la (primera) derivada parcial de f respecto a x y se denota con f x (x, y) o o f . De igual forma, si y vara en tanto que x se mantiene fija, la (primera) derivada pa rc ia l de f respecto a y esf (x y) = & = f = lm f (x , y + Ay) ~ f (x, y) f y( y ) dy dy aJ^g AyEJEMPLO 48 .5 . Sea fx, y) = x2 sen y. Entonces f x(x, y) = 2x sen y y f y(x, y) = x2 cos y.Se observa que, cuando se calcula fx, a y se le trata temporalmente como una constante, y cuando se calcula fy, a x se le trata temporalmente como una constante.Las derivadas parciales tienen interpretaciones geomtricas simples. Se considera la superficie z = f (x , y) en la figura 48.1. Por el punto P(x, y, z), existe una curva APB que es la interseccin con la superficie del plano que pasa por P paralelo al plano xz (el plano determinado por el eje x y el eje z). De igual forma, CPD es la curva que pasa por P y que es la interseccin con la superficie z = f x, y) del plano que pasa por P paralelo al plano yz. Cuando x vara y ydzse mantiene fija, P se mueve a lo largo de la curva APB, y el valor de en (x, y) es la pendiente de la recta tangentea la curva APB en P . De igual forma, cuando y vara mientras x se mantiene fija, P se mueve a lo largo de la curvauzCPD, y el valor de -=y en (x, y) es la pendiente de la recta tangente a la curva CPD en P.x y www.FreeLibros.me-^ 403^Derivadas parciales de orden superior07Se pueden extraer las derivadas parciales respecto a x y y de ^ para llegar ad2z , , d i dzdx2 fxx ( x y) ~ d x \ dxdzDe igual forma, de se obtienedy= f (x y) = A f c dy2 f yy ( x y) dy\ dy52 z _ f (x y) _ d i dzy f yx(x, y)dy dx dy\ dxdx dy 3x\ 5ySupngase quef xy yf,x existen y son continuas en un disco abierto. Entonces, f xy = f yx en cada puntoTeorema 48.1.del disco.En el problema 30 se presenta una demostracin.EJEMPLO 48.6. Compruebe el teorema 48.1 para fx , y) = x2(sen yx).fx(x, y) = x2(cos yx)(y) + 2x(sen yx) = x[xy(cos yx) + 2sen yx]f y(x, y) = x2(cos yx)x + x3(cos yx)f yx(x, y) = x[x(y(-sen yx)(x) + cos yx) + 2(cos yx)(x)]= x2[-xy sen yx + 3 cos yx]f xy(x, y) = x2(-sen yx)(y) + 3x2 cos yx = x2[-xy sen yx + 3 cos yx]Las derivadas parciales tambin pueden definirse para funciones de tres o ms variables. Se cumple un anlogo del teorema 48.1 para dos ordenamientos cualesquiera de los subndices dados. Ntese que las derivadas parciales pueden no existir cuando los lmites requeridos no existen.zyPROBLEMAS RESUELTOS( x y ' , '4Como se aplican las leyes de lmite estndar, los lmites son:a) 2(3)(2)4 - 7(3)2(2)2 = 96 - 252 = -156; b) c^os22. Evale) lm(x,y)^ (0,0) x2 + y2Cuando (x , y ) ^ (0, 0) a lo largo del eje y , x = 0 y x 2 + y 2 = 0 ^ 0.2x2CAPTULO 48 Derivadas parciales www.FreeLibros.meCAPTULO 48 Derivadas parcialesCuando (x, y) ^ (0, 0) a lo largo del eje x, y = 0 y 2 Por tanto, el lmite no existe. X y2 2^ = 1 ^ 1.2 x 2Evale lm xy(x,y)^ (0>0^ x 2 + y2 Cuando Ixl = \ [x 2 < ^ x 2 + y2 xyx 2 + y2< Iyl ^ 0 cuando (x, y) ^ (0, 0). Entonces,lm(x, y)^ (0,0) ^ x2 + y:,= 0.La funcin f (x, y) _ + y) es continua en todos los puntos salvo en (0, 0) y en la recta y = -x, donde noest definida. Puede definirse f(0 , 0) de manera que la nueva funcin sea continua?sen(x ^ y) ^Cuando (x, y) ^ (0, 0), x + y ^ 0 y, por consiguiente, ^ 1, ya que lm u = j . Entonces, si f(0 , 0) = 1, la nueva funcin ser continua en (0, 0). As que la discontinuidad original era removible.En los problemas 5 a 9, halle las primeras derivadas parciales.z = 2x2 - 3xy + 4y2.d z .Al tratar y como una constante y derivando respecto a x resulta = 4 x - 3y .dzAl tratar x como una constante y derivando respecto a y resulta = 3x + 8y .6. z _ n +r .y x 2 Al tratar y como una constante y derivando respecto a x se obtiene .dx y x2Al tratar x como una constante y derivando respecto a y resulta .dy y xz = sen(2x + 3y).| | = 2cos(2x + 3y) = 3cos(2x + 3y)8. z = tan-1(x2y) + tan-1(xy2).2xydz _____dx 1 + x4 y2y21 + x2 y4dz _ x 2 , 2xydy 1 + x4 y2 1 + x2 y4z = +xy .x^ = ex2 (2x + y) dz _ xgx'2dy '10. El rea de un tringulo est dada por K = ab sen C . Cuando a = 20, b = 30 y C = 30, determine:a) La razn de cambio de K respecto a a, cuando b y C son constantes.b) La razn de cambio de K respecto a C, cuando a y b son constantes.c) La razn de cambio de b respecto a a, cuando K y C son constantes.a) I l = 3 b sen C = i(30)(sen30) = fb) | C = -2 ab cos C = i(20)(30)(cos30 ) = 150^c) b = 2K db 2Ka senC da a 2sen C2(1/2 ab senC) a2senCyyy www.FreeLibros.me-^ 405^En los problemas 11 a 13, encuentre las primeras derivadas parciales de z respecto a las variables independientes xy y.11. x2 + y2 + z2 = 25. [sta es la ecuacin de una esfera de radio 5 y centro en (0, 0, 0).]Se deriva implcitamente respecto a x, tomando y como una constante, para obtener:2x + 2z = 0. Por tanto, = - xdx dx zSe deriva implcitamente respecto a y, tomando x como una constante:2y + 2z = 0. Por ende, ^ = - dy dy z12. x2(2y + 3z) + y2(3x - 4z) + z2(x - 2y) = xyz. Se deriva implcitamente respecto x:2x(2y + 3z) + 3x2 ^ + 3y2 - 4y2 + 2z(x - 2y) ^ + z2 = yz + xy2 . ,2 .Al resolver para -^ 2- se obtiene: = - 4'2y + 6xz + 3y + z---- yz.dx dx 3x2 - 4y2 + 2xz - 4yz - xySe deriva implcitamente respecto a y:2x2 + 3x2 i + 2y(3x - 4z) - 4y2 ^ + 2z(x - 2y) i - 2z2 = xz + xy i Al resolver para se obtiene: = 2x2 + 6xy8z----- .dy dy 3x2 - 4y2 + 2xz - 4yz - xy13. xy + yz + zx = 1.Al derivar respecto a x se obtiene y + y -4z- + x -4z- + z = 0; por tanto, = - h-r .^ J J dx dx * dx x + yAl derivar respecto a y se obtiene x + y + z + x = 0; por tanto, ^ y = - x * y .14. Considrese x y y como variables independientes. Encuente ^ cuando x = e2r cos 0, y = e3r sen 0.Primero se derivan las relaciones dadas respecto a x:1 = 2e2r cos0 - e2rsen0 ^ y 0 = 3e3rsen0-^ r + e3r costf-^dx dx dx dxLuego se resuelven simultneamente para obtener 4 ^= 2r, , y 4^ = 2r ^ sen^ 2 ^ .6 ^ dx e2r (2 + sen20) J dx e2r (2 + sen20)Ahora se derivan las relaciones dadas respecto a y:0 = 2e2 r cos#-^ - e2 r sen#-^ y 1 = 3e3r sen#- ^+ e3r cos0-4^dy dy dy dyEntonces, se resuelve simultneamente para obtener = 3r,/sen^ ^ y = %r,2cos 9^^ .F dy e3r (2 + sen2 Q) 3 dy e3r(2 + sen2 Q)15. Determine las pendientes de las tangentes a las curvas que cortan en la superficie z = 3x2 + 4y2 - 6 los planos que pasan por el punto (1, 1, 1) y son paralelos a los planos xz y yz.El plano x = 1, paralelo al plano yz, interseca la superficie en la curva z = 4y2 - 3, x = 1. Entonces,dz = 8 y = 8(1) = 8 es la pendiente requerida.El plano y = 1, paralelo al plano xz, interseca la superficie en la curva z = 3x2 + 2, y = 1. Entonces,d7-^ x = 6x = 6 es la pendiente requerida.CAPTULO 48 Derivadas parciales www.FreeLibros.meCAPTULO 48 Derivadas parcialesEn los problemas 16 y 17, encuentre todas las segundas derivadas parciales de z y compruebe el teorema 48.1.16. z = x2 + 3xy + y2.I - 2x+3y,f - 3x - 2y,d2 z _ _ ^ (d z ) _ 2 dx2 dx \ dx ) 2,d2z _ ]L ( d z \ - 2 9y2 dy \ dy ) 2,d2 z = _ ^ (d z ) = 3 3y dx 3y\ 3x/d2z = jL dz \ = 3 dx dy dx \ 9y/"\2 ?J2Observe que " z = z .dy dx dx dy17. z = x cos y - y cos x.dz_dx = cos y + ysenx, i ? - i (f ) - y cs xd2z d d z \ay lx= ay (ax )=- sen y+sen xdzdy = - x seny - cos x, i - 1 (f ) - - x cos yd2z d dz)a x t = ax (ay )= - sen y+sen x"\2 ?J2Observe que " z = z .dy dx dx dy18. S e a fx , y, z) = x cos (yz). Halle todas las derivadas parciales de primero, segundo y tercer orden.f x = cos (y z ), f xx = 0, f y x = - z sen(yz),f y = -xz sen(yz), f y y = -xz2 cos(yz), fzy = -x(zy cos(yz) + sen(yz))f z = -xy sen(yz), f = -xy2 cos(yz), f y z = - x ( zy cos(yz) + sen(yz))Observe que f x y = f y x y f x z = f zx y f yz = f zyf = 0 f = f = 0 f = f = 0j x x x j x x y j x y x ^ j x x z j x z xfzx = -y sen(yz) fxy = - z sen(yz)fxz = - y sen(yz)f x y y = - z 2 c o s ( y z ) , fxyz = fxzy = -(zy cos(yz) + sen(yz))f xz = - y2 cos(yz)f y y y = ^ sen (yz), f y x x = 0, f y x y = f y y x = - z2 cos(yz)f yxz = f yzx = - ( yz cos(yz) + sen(yz))f y y z = f y z y = -x (-z2y sen(yz) + z cos(yz) + z cos (yz))= xz(zy sen(yz) - 2cos(yz))f zxy = f zyx = - ( zy cos(yz) + sen(yz))fyzz = -x (-y 2z sen(yz) + 2y cos(yz))= xy(z sen(yz) - 2cos(yz))fzzz = xy3 sen(yz), fzxx = 0,f zxz = f zzx = - y2 cos(yz)f zyy = -x (-z2y sen(yz) + 2 z cos(yz)) = xz(zy sen(yz) - 2cos(yz)) fzyz = fzzy = -x(-zy2 sen(yz) + y cos(yz) + y cos (yz))= xy(zy sen(yz) - 2cos(yz))Observe que, en el tercer orden, dos reordenamientos cualesquiera de subndices sern iguales. PorejemPlo, f xyz = f xzy = f yxz = f yzx = f zxy = f zyx = - ( zy cos(yz) + sen(yz)). www.FreeLibros.me- # 407^?27 ?2719. Determine si las funciones siguientes son soluciones de la ecuacin de Laplace = 0:a) z = ex cos y b) z = -2(ex+y) c) z = x2 - y27^ 2^ za) = ex cos y, = ex cos yz^ 2^ z^y = -ex sen y, - ^ 2 = -ex cos y32 z 32zEntonces, = 0.dx2 dy2b) t - (e >, & " (e" 1 - e*"), f - i( * " )Entonces, --2 + 4-2 = ex+y ^ 0.dx2 dy2o - 2*, i f - 2 t - - 2y, t - - 2?2y ?27Entonces, + -^ -y = 0.dx2 dy2PROBLEMAS COMPLEMENTARIOSEn los problemas 20 a 24, evale los lmites dados.x 2y 520. lm ^ Respuesta: - "3221. lm - i Respuesta: sin lmite(x, y)^ (0,0) x2 + y23xy(x, y (0,0) 2x2 + y222. lm 0 2 J 2 Respuesta: sin lmitexy223. lm t Respuesta: sin lmite(x, y)^ (0,0) x + yx2 + y224. lm = = Respuesta: 4(x, y)^ (0,0^ x2 + y2 + 4 - 225. Determine si cada una de las funciones siguientes puede definirse en (0, 0) de manera que sean continuas:a) y2 b) x - y c ) x3 +y3 d) x +ya) x2 + y2 b) x + y c) x2 + y2 d) x2 + y2Respuestas: a) no; b) no; c) s; d) no.CAPTULO 48 Derivadas parciales www.FreeLibros.meCAPTULO 48 Derivadas parciales26. Para cada una de las funciones z siguientes, determ ine ^ y -jjy-.a) z = x2 + 3xy + y2b) z = 4 - yy2 x 2c) z = sen 3x cos4yd) z = tan-1 ( x1( )e) x2 - 4y2 + 9z2 = 36f ) z3 - 3x2y + 6xyz = 0g) yz + xz + xy = 0Respuesta: = 2x + 3y; = 3x + 2yn t dz 1 , 2y . 9z 2x 1Respuesta: ^ r = - r H t . = 3----- 2r dx y2 x3 dy y3 x2Respuesta: ^ = 3cos 3x cos4y; -jjy = -4sen 3x sen4yRespuesta: ^ = ,~y , ; ^ = 2 x 2dx x2 + y2 dy x2 + y2Respuesta: = -9 z ; | = ZRespuesta: =dz = 2y(x - z), dz = x(x - 2z) dx z2 + 2xy dy z2 + 2xyRespuesta: ^ = - x ^ -z-dx x + y dy x + y2 2 2 227. Para cada una de las funciones z siguientes, halle -^ 4-, z z y .dx2 dy dx dx dy dy2a) z = 2x2 - 5xy + y2b) z = 4 - 4 y2 x2c) z = sen3x cos4yd) z = tan-1 ( xi y )Respuesta: = 4; = _5 ; 4-y = 2dx2 ' 9x 9y 9y dx u 9y2Respuesta: = --6y-; = 2(x3 _ y3 ) ; ly2=f rRespuesta: = ~9z ; = -jy^ x = ~12cos 3x sen4y; =y2 - x2ay2 (x2 + y2)2 dxdy~ dydx~ (x2 + y2)228. a) Si z =x - y d2z d2z d2z, demuestre que x2 ^x^ + 2xy + y2 - 0.dx dy J dy2?27 ^27b) Si z = e^ cos py y p = a, demuestre que -^ x^ + -^ y^ = 0.2^ * 2^ zc) Si z = e^ t(sen x + cos y), demuestre que + -^ -4- = ^ r-.7 M 9x2 9y2 3tI 2^z I 2^z 2^z \d) Si z = senax senby senktva2 + b2, demuestre que = k2 ^ + - y f j.29. Para la frmula de los gases (p + V i)(v - b) = ct, donde a, b y c son constantes, demuestre quedp _ 2a(v - b) - (p + a /v2)v3 dv v 3(v - b)dv cv 3t (p + a/v2)v3 - 2a(v - b)dt _ v - b dp dv dt _ _ 1dp c dv dt dp-16z30. Complete la representacin siguiente de una demostracin del teorema (48.1). Supngase que f xy y f yx existen y son continuas en un disco abierto. Entonces, demuestre que f xy(a, b) = f yx(a, b) en cada punto (a, b) del disco. Sea Ah = (f(a + h, b + h) - f (a + h, b)) - f(a, b + h) - f(a, b)) para h suficientemente pequeo y ^ 0. Sea www.FreeLibros.meF(x) = f(x , b + h) - f(x , b). Entonces, Ah = F(a + h) - F(a). Aplique el teorema del valor medio para obtener a* entre a y a + h, de manera que F(a + h) - F(a) = F '(a )h = fj.(a*, b + h) - f.(a*, b)]h, y aplique el teorema del valor medio para obtener b* entre b y b + h de manera que f x(a , b + h) - f.(a*, b) = f xy(a , b*)h. Entonces,Aft = V f xy(a*, b*) y l m = (a. Km ,^ 4 (a*, b ) = 4 (a b)------------- ^ 409^Por un argumento semejante utilizando h = f(a + h, b + h) - f(a , b + h)) - (f(a + h, b) - f(a , b)) y el teorema del valor medio, se obtieneA hhm -rir = f x (a, b)*^0 h 2 'yx31. Demuestre que el teorema (48.1) ya no se cumple si se elimina el supuesto de continuidad para f y y f . Use la funcin siguiente:[ xy< f - y 2) sid ,y)*(0,0)f (x, y) = x2 + y210 si (x, y) = (0, 0)[Halle las frmulas para f ( x , y) y f y(x, y) para (x, y) * (0, 0); evale f ( 0 , 0) y fy(0, 0) y luego f,(0, 0) y f yX(0, 0).]CAPTULO 48 Derivadas parciales www.FreeLibros.me49Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadenaDiferencial totalSea z = f (x , y). Sean Ax y Ay nmeros cualesquiera. Ax y Ay se denominan incrementos de x y y, respectivamente. Para estos incrementos de x y y, el cambio correspondiente en z, que se representa como Az, est definido porAz = f ( x + Ax, y + Ay) - f(x, y) (49.1)La diferencial tota l dz est definida por:dz = I x A x + |y Ay = f x (x, y)A x + f y (x, y) Ay (49.2)dz dzNtese que si z = f (x, y) = x, entonces ^ = 1 y = 0 y, por consiguiente, dz = Ax. Entonces, dx = Ax. De igualforma, dy = Ay. Por tanto, la ecuacin (49.2) se convierte endz _ ^ ^ d x +|zdy _ f x (x, y) dx + f y (x, y) dy (49.3)Notacin: dz tambin se denota df.Estas definiciones pueden extenderse a funciones de tres o ms variables. Por ejemplo, si u = f(x, y, z), entonces se obtiene:du , du , du ,du _ ^ -d x + ^ -d y + ^ -dz dx dy dz_ f x (x, y, z) dx + f y (x, y, z) dy + f z (x, y, z) dzEJEMPLO 49 .1 . Sea z = x cos y - 2x2 + 3. Entonces, ^ = cos y 4x y = - x sen y. As, la diferencial total paraz es dz = (cos y - 4x) dx - (x sen y) dy.En el caso de una funcin de una variable y = f(x), se utiliz el principio de aproximacin Ay ~ f'(x) Ax =dy para estimar los valores de f . Sin embargo, en el caso de una funcin z = f (x , y) de dos variables, la funcinf debe satisfacer una condicin especial para hacer buenas posibles aproximaciones.^ 410^ www.FreeLibros.me-----4411^DiferenciabilidadSe dice que una funcin z = f (x, y) es diferenciable en (a, b) si existen las funciones e 1 y e 2 tales queAz = f x(a, b) Ax + f y (a, b) Ay + g1 A x +g2 Ay (49.4)y lm & = lm g9 = (Ax,Ay)^ (,) 1 (Ax ,Ay)^ (,) 2Ntese que la frmula (49.4) puede escribirse comoA z = dz + e1 Ax + g2 Ay (49.5)Se dice que z = f (x, y) es diferenciable en un conjunto A si es diferenciable en cada punto de A.Como en el caso de una variable, la diferenciabilidad implica continuidad (vase el problema 23).EJEMPLO 4 9 .2 . Observe que z = f(x, y) = x + 2y2 es diferenciable en todos los puntos (a, b). Note tambin quef x(x, y) = 1 y f y(x, y) = 4y. Entonces,Az = f (a + Ax, b + Ay) f (a, b) = a + Ax + 2(b + Ay)2 a 2b2 = Ax + 4bAy + 2(Ay)2 = f x (a, b) Ax + f y (a, b) Ay + (2 Ay) AySea j = 0 y e2 = 2 Ay.Definicin. Por conjunto abierto en un plano se entiende un conjunto A de puntos en el plano tales que cada punto de A pertenece a un disco abierto que est incluido en A .Un ejemplo de conjunto abierto es un disco abierto y el interior de un rectngulo.Teorema 49 .1 . Supngase quef(x , y) es tal que f x y f y son continuas en un conjunto abierto A. Entonces, f esdiferenciable en A .En el problema 43 se presenta la demostracin.EJEMPLO 49 .3 . Sea z = f (x, y) = J 9 x2 y2. Entonces, f = . x y f = , y . Por el teoremaJ y V Jx V9 x2 y2 y V9 x 2 y2(49.1), f es diferenciable en el disco abierto de radio 3 y centro en el origen (0, 0) (donde los denominadores de f x y f y existen y son continuos). En ese disco, x2 + y2 < 9 tmese el punto (a, b) = (1, 2) y evale el cambio Az cuando se mueve de (1, 2) a (1.03, 2.01). Por tanto, Ax = 0.03 y Ay = 0.01. Aproxime Az pordz = f x (1,2) A x + f y (1,2) A y = K0.03) + ^ .O ! ) = 0.025 La diferencia real Az es ^ 9 (1.03)2 (2.01)2 V9 1 4 ~ 1.9746 2 = 0.0254..Reglas de la cadenaLa regla de la cadena (2 ^ 1)Sea z = f(x, y), donde f es diferenciable, y sea x = g(t) y y = h(t), donde g y h son funciones diferenciables de una variable. Entonces, z = f(g(t), h(t)) es una funcin diferenciable de una variable ydZ _ dX d ^ dy_ (49 6)dt dx dt + dy dt 'CAPTULO 49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena www.FreeLibros.meCAPTULO 49 D iferen c ia l to ta l. D lferenclabllldad. Reglas de la cadenadzAdvertencia: ntese el doble significado de z, x y y en (49.6). En -~, z significa f (g(t), h(t)), en tanto quedz dz dz dxen ^ x y gy> z significa f (x, y). En x es una variable independiente, m ientras que en - ^ , x significa g(t). Deigual forma, y tiene dos significados.Para dem ostrar (49.6) observe prim ero que, por (49.4),A z = -dx A x + -^ Ay + 1 A x + g 2 A yEntonces,Si Ai ^ 0, se obtieneA z _ dz A x dz Ay Ax Ay A t dx A t + dy A t + G' A t + & 2 A t 'dz dz dx dz dy x x dz dx dz dy1 = T x i + T y i +0(A x)+0(A-y)= ax n r + t i (Ntese que g y h son diferenciables y por ello continuas. Por consiguiente, com o At ^ 0, Ax ^ 0 y Ay ^ 0 y, por tanto, e 1 ^ 0 y A2 ^ 0.)EJEMPLO 49.4. Sea z = xy + sen x y sea x = t2 y y = cos t. Observe queip = y + cosx y y = x . Adems, dr- = 2t, a y - - - - , ^ C A n f A V i 'v rQ ' ^ t n r i fnn^ mn t t f2 t _l_ o * n ( f2^dtPor la frmula (49.6),y d y = - sent. Ahora, como funcin de t, z = t2 cos t + sen (t2).dd^ _ (y + cos x )2t + x (-sent) _ (cost + cos(t 2))2t - 12sen tEn este ejemplo en particular, puede comprobar el resultado calculando Dt(t2 cos t + sen (t2)).La regla de la cadena (2 ^ 2)Sea z = f (x, y), donde f es diferenciable, y sea x = g(t, s) y y = h(t, s), donde g y h son funciones diferenciables. Entonces, z = f(g(t, s), h(t, s)) es una funcin diferenciable ydz _ dz dx dz dy dz _ dz dx dz dydt dx dt + dy dt y ds dx d s + 5y ds 'Aqu, como en la regla de la cadena anterior, los smbolos z, x y y tienen dos significados obvios.Esta regla de la cadena puede considerarse un caso especial de la regla de la cadena (2 ^ 1). Por ejemplo,dz dzla derivada parcial puede considerarse una derivada ordinaria , porque s se trata como una constante. Pordt, fe ^ zconsiguiente, la frmula para en (49.7) es la misma frmula para en (49.6).EJEMPLO 49 .5 . Sea z = ex sen y y x = ts2 y y = t + 2s. Ahora, -x = exseny , = s2, ^ e cosy y ^ = 1. Portanto, por (49.7) dx t tdz 2at = (ex sen y)s2 + (ex cos y) + ex (s2 sen y + cos y) = ets (s2sen(t + 2s) + cos (t + 2s))De igual forma,dz 2= 2(e sen y)ts + 2 (ex cos y) = 2ex (ts sen y + cos y) = 2ets (ts sen(t + 2s) + cos (t + 2s)) www.FreeLibros.me-----4413^Las generalizaciones de la regla de la cadena (49.47) se cumplen para los casos (m ^ n), donde z = f(x, y,...) es una funcin de m variables y cada una de ellas es una funcin de un conjunto de n variables.Derivacin implcitaSupngase que la ecuacin F (x, y, z) = 0 define z implcitamente como funcin de x y y. Entonces, por la regla de la cadena (3 ^ 2), si se derivan ambos miembros de la ecuacin respecto a x se obtieneComodF dx + dF dy + dF dz _ ^dx dx dy dx dz dxdx _ i dy _ 0 dF 5F 0dx y dx dx + dz dx . ... dF dF dz T .d FDe igual forma, -=- = 0. Luego, si ^0,dy dz dy dzdz _ _ d F /d x dz _ dF /dy (40dx dF/d z y dy dF/d z ' U - ,1 U- dz Fx dz FyEsto tambin puede escribirse como ^ = _ F y dy = _ FrEJEMPLO 49.6. La ecuacin xy + yz3 + xz = 0 determina z como funcin de x y y. Sea F (x, y, z) = xy + yz3 + xz. Como Fz = x + 3yz2, Fx = y + z, y Fy = x + z3, (49.8) implica quedz _ y + z dz = _ x + z3dx _ x + 3yz2 y' 9y x + 3yz2PROBLEMAS RESUELTOSEn los problemas 1 y 2 determine la diferencia total.1. z = x3y + x2y2 + xy3Se tiene -jjy = 3x2 y + 2 xy2 + y3 y -jy- = x3 + 2x2 y + 3xy2d7 yEntonces, dz = d x d x + dfy dy = (3x2y + 2xy2 + y3) dx + (x3 + 2x2y + 3xy2) dy2. z = x sen y - y sen xSe tiene ^ = sen y - y cos x y -|y- = x cos y - sen xEntonces, dz = ^dx^dx + ^1^ = (seny y cos x) dx + (x cos y senx) dy3. Compare dz y Az, dado z = x2 + 2xy - 3y2.|x = 2 x + 2y y -jy- = 2x - 6y. Entonces dz = 2(x + y) dx + 2( x - 3y) dyTambin, A z = [(x + dx )2 + 2( x + dx)(y + dy) 3(y + dy )2 ] (x2 + 2 xy 3y2)= 2(x + y) dx + 2(x 3y) dy + (dx)2 + 2 dx dy 3(dy)2As, dz y Az difieren por (dx)2 + 2 dx dy - 3(dy)2.CAPTULO 49 Diferencial total. Dlferenclabllldad. Reglas de la cadena www.FreeLibros.meCAPTULO 49 D iferen c ia l to ta l. D lferenclabllldad. Reglas de la cadena4. Aproxime el rea de un rectngulo de dimensiones 35.02 por 24.97 unidades.dA dAPara las dimensiones x por y, el rea A = xy, de modo que dA =^d^dx + ^ y dy = ydx + x d y . Conx = 35, dx = 0.02, y = 25 y dy = -0.03 se tiene A = 35(25) = 875 y dA = 25(0.02) + 35(-0.03) = -0.55. El rea es aproximadamente A + dA = 874.45 unidades cuadradas. El rea real es 874.4494.5. Calcule la variacin en la hipotenusa de un tringulo rectngulo con catetos de 6 y 8 pulgadas cuando el cateto ms corto se alarga 1 pulgadas y el ms largo se encoge -8 pulgadas.Sean x, y y z los catetos menor, mayor y la hipotenusa del tringulo, respectivamente. Entonces,z = [ z r + y r dz = x dz = y dz = dz dx + dz dv = x d x +y dyz V ^ dx dy , dx + dy6() + 8( i) 1Cuando x = 6, y = 8, dx = 4 y dy = 1, entonces dz = ^ = 2g pulgadas. Por tanto, la hipotenusa sealarga aproximadamente 23- pulgadas. V6 + 8E 26. La potencia consumida en una resistencia elctrica se calcula con P = R watts. Si E = 200 voltios y R = 8 ohmios, cunto cambia la potencia si E disminuye en 5 voltios y R en 0.2 ohmios?Se tiene quedP _ 2E dP _ _ ! dp _ 2E dE _ E ^ dfdE R , 9R R2, dP R R 2Cuando E = 200, R = 8, dE = -5 y dR = -0.2, entoncesdP = 2(200) (_5) _(200) (_0.2) = _250 +125 = _125La potencia disminuye aproximadamente 125 watts.7. Las dimensiones de un bloque rectangular de madera son 10, 12 y 20 pulgadas, con un posible error de 0.05 en cada una de las medidas. Determine, aproximadamente, el mximo error en el rea de superficie del bloque y el porcentaje de error en el rea producido por esos errores en las medidas individuales.El rea de superficie es S = 2(xy + yz + zx); entonces,dS = dxdx + dy dy + dzdz = 2(V + z) dx + 2(x + z) dy + 2(y + x) dzEl mximo error en S ocurre cuando los errores en las longitudes de los lados son del mismo signo; por ejemplo, positivos. As,dS = 2(12 + 20)(0.05) + 2(10 + 20)(0.05) + 2(12 + 10)(0.05) = 8.4 pulgadas2El porcentaje de error es (error/rea)(100) = (8.4/1120)(100) = 0.75%.8. En la frmula R = E/C, determine el mximo error y el porcentaje de error si C = 20 con un posible error de0.1 y E = 120 con un posible error de 0.05.Aqu,dR = ^ dE + dC =1 dE dCdE dC C C2El error mximo ocurrir cuando dE = 0.05 y dC = -0.1; entonces, dR = 0|5' ^ i20( 0.1) = 0.0325 esaproximadamente el error mximo. El porcentaje de error es (100) = -0 325(100) = 0.40625 = 0.41%.R 8 www.FreeLibros.me-^ 415^9. Dos lados de un tringulo miden 150 y 200 pies, y el ngulo que forman es de 60. Si los posibles errores son0.2 pies al medir los lados y 1 en el ngulo, cul es el mximo error posible en el clculo del rea?Aqu,A = 2-xysen#, = 2 y sen0, 1 xsen#, -jjA = 1 x ycos0ydA = -2 y senOdx + \ x sentfdy + -y xy cosddd Cuando x = 150, y = 200, 0 = 60, dx = 0.2, dy = 0.2 y dd = 1 = ft/80, entonces,dA = y(200)(sen60)(0.2) + i(150)(sen60)(0.2) + i(250)(200)(cos60)(n/180) = 161.21 pies210. Halla dz/dt, dado z = x2 + 3xy + 5y2; x = sen t, y = cos t.Como= 2x + 3y, ^ = 3x + 10y, d - = cos t , -df = - sentse tiene que d = d a d 7 + dfydb = ^ x + 3y)cos t - (3x +10 y) sent11. Halla dz/dt, dado z = ln(x2 + y2); x = e-t, y = et.Comodz = 2x dz = 2y dx = _-t = etdx x 2 + y 2, dy x 2 + y 2, dt , dtse tiene que = -^-d- + ^ r dr = 22x 2 (-e-t) + 22y 2 et = 2 'ye2 xe2dt dx dt dy dt x 2 + y 2 x 2 + y2 x2 + y212. Encuentre dz-, dado z = f(x, y) = x2 + 2xy + 4y2, y = eax.d i = fx + f y % = (2 x + 2y) + (2x + 8)aeax = 2(x + y) + 2a( x + 4y)e13. Halle a) p y b) dy-, dado z = f(x, y) = xy2 + yx2, y = ln x.a) Aqu x es la variable independiente:i = f + i =(y2+2xy)+(2xy+x 2 )1 =y2+2xy+2y+xb) Aqu y es la variable independiente:dy = ^dxdy + ^ y = (y2 + 2xy)x + (2xy + x2) = xy2 + 2x 2y + 2xy + x214. La altura de un cono circular recto es de 15 pulgadas y crece a razn de 0.2 pulgadas por minuto (pulg/min). El radio de la base mide 10 pulgadas y disminuye a razn de 0.3 pulg/min. Con qu rapidez est cambiando el volumen?Sea x el radio y y la altura del cono (figura 49.1). De V = y nx2 y, y considerando x y y como funciones de tiempo t, se tiene queV = d V d x + dV L dt dx dt dy dt = f ^ x y jt + x 2 d fe ) = f [2 (1 0 )(1 5 )(- 0.3) + 102 (0.2)] = - ^ pulgadas3/minCAPTULO 49 Diferencial total. Dlferenclabllldad. Reglas de la cadena www.FreeLibros.me-^ 417^19. Use la derivacin implcita [frmula (49.8)] para hallar ^ y ^ , dado F (x, y, z) = x2 + 3xy - 2y2 + 3xz + z2 = 0.dz = _ F l - 2x + 3y + 3z dz = _ F l _ 3x - 4ydx Fz 3x + 2z y dx Fz 3x + 2z20. Use la derivacin implcita [frmula (49.8)] para hallar y , dado sen xy + sen yz + sen zx = 1.Sea F (x, y, z) = sen xy + sen yz + sen zx - 1; entonces,dF dF dF= y cosxy + zcoszx, = x cosxy + zcosyz, = y cosyz + x coszxy dz _ dF/d x _ y cos xy + z cos zx dz _ _ d F fd y _ x cos xy + z cos yzdx dF/d z y cosyz + x cos zx dy dF/dz y cosyz + x cos zx21. Sean u y v estn definidas como funciones de x y y por las ecuacionesf (x, y, u, v) = x + y2 + 2uv = 0 y g(x, y, u, v) = x2 - xy + y2 + u2 + v2 = 0 halle a) | | y ^ ; b) ^ y ^ .a) Al derivar f y g parcialmente respecto a x se obtiene1 + 2v |u + 2ud v _ 0 y 2x - y + 2u|u + 2v ^ = 0dx dx dx dxAl resolver estas relaciones simultneamente para ^ y ^ se tiene quedu = v + u(y - 2x) d v = v (2x - y) - udx 2(u2 - v 2) y dx 2(u2 - v 2)b) Derivando f y g parcialmente respecto a y se obtiene2y + 2v-du + 2ud v _ 0 y -x + 2y + 2u-^ u + 2v^ = 0dy dy y dy dyPntonces _ u(x - 2y) + 2vy y _ v (2y - x) - 2uyEntonces, dy 2(u2 - v2) y dy 2(u2 - v2)22. Dado u2 - v2 + 2x + 3y = 0 y uv + x - y = 0, encuentre a) ^u , , ^u, ^ y b) .dx dx dy dy du du dv dva) Aqu x y y se consideran variables independientes. Al derivar parcialmente las ecuaciones dadas respecto a x se obtiene2u|u - 2v ^ + 2 = 0 y v |u + u ^ v + 1 = 0dx dx y dx dxSe resuelven estas relaciones simultneamente para obtener ^u = u + v y = v ~ udx u2 + v2 dx u2 + v 2 'Al derivar parcialmente las ecuaciones dadas respecto a y se tiene2u|u - 2v + 3 = 0 y v | u + u ^ ~ 1 = 0 dy dy dy dySe resuelven simultneamente para llegar a ^u = 02v2~ 3u2. y -^ v - 2u + 3v9y 2(u2 + v 2) dy 2(u2 + v2)'fc) Aqu u y v se consideran variables independientes. Se derivan parcialmente las ecuaciones dadas respecto a u y se obtiene2u + 2-dx + 3-^_ 0 y v + | x - - ^ _ 0du du du duEntonces,3x _ 2u + 3v y 9y _ 2(v - u)du 5 du 5 'CAPTULO 49 Diferencial total. Dlferenclabllldad. Reglas de la cadena www.FreeLibros.meCAPTULO 49 D iferen c ia l to ta l. D lferenclabllldad. Reglas de la cadenaSe derivan las ecuaciones dadas respecto a v y se obtiene- 2v + 2 -x + 3-^ y = 0 y u + -dx -dy = 0dv dv dv dvEntonces, ^ = 2v ~3u y y^ = 2u(uc +v)3v 5 ov 523. Demuestre que la diferenciabilidad de z = f(x, y) en (a, b) implica quef es continua en (a, b).De (49.4), Az = (fx(a, b) + e.) Ax + (fy(a, b) + e2) Ay, donde lm e, = lm e2 = 0. Por tanto,y (Ax,Ay) ^ ( 0 , 0 ) (Ax,Ay ) ^ ( 0 , 0 )Az ^ 0 cuando (Ax, Ay) ^ (0, 0), lo que implica que f es continua en (a, b).PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS24. Halle la diferencia total de las funciones siguientes:a) z = xy3 + 2xy3 Respuesta: dz = (3x2 + 2y2) dx + (x2 + 6y2) dyxd y - ydx.-2 . ,,2b) d= tan 1 ^ y ) Respuesta: d6 = -y (ydx - xdy)x2 + y2c) z = ex2-y2 Respuesta: dz = 2z(x dx - y dy)d) z = x(x2 + y2) 1/2 Respuesta: dz = - (x2 + y2)3(Sugerencia: lnra = -3(lng - lnb); -d -^25. Use diferenciales para aproximar a) el volumen de una caja con base cuadrada de lado 8.005 y altura 9.996 pies; b) la diagonal de una caja rectangular de dimensiones 3.03 por 5.98 por 6.01 pies.Respuestas: a) 640.544 pies3; b) 9.003 pies26. Aproxime el mximo error posible y el porcentaje de error cuando z se calcula mediante la frmula dada:a) z = rn^h; r = 5 0.05, h = 12 0.1 Respuesta: 8.5k; 2.8%b) 1/z = 1/f + 1/g; f = 4 0.01, g = 8 0.02 Respuesta: 0.0067; 0.25%c) z = y/x; x = 1.8 0.1, y = 2.4 0.1 Respuesta: 0.13; 10%27. Halle el porcentaje mximo aproximado de error en:a) a = 3 g/b si hay un error posible de 1% en la medida de g y y% de error en la medida de b.{dg__ ab V dg = 0 0 1 ; db = 0 .0 0 5 .)' 4 g b / g ' bRespuesta: 0.005b) g = 2s/t2 si hay un posible error de 1% en la medida de s y ^ % de error en la medida de t.Respuesta: 0.01528. Encuentre du/dt dado:a) u = x2y3; x = 2t3, y = 3t2 Respuesta: 6xy2t(2yt + 3x)b) u = x cos y + y sen x; x = sen 2t, y = cos 2 tRespuesta: 2(cos y + y cos x) cos 2t - 2(-x sen y + sen x) sen 2tc) u = xy + yz + zx; x = e, y = e-t, z = et + e-tRespuesta: (x + 2y + z)et -(2x + y + z)e-t www.FreeLibros.me-----4419^29. En cierto instante el radio de un cilindro circular recto mide 6 pulgadas y aumenta a razn de 0.2 pulgadas por segundo (pulg/s), mientras que la altura es de 8 pulgadas y decrece a razn de 0.4 pulg/s. Determine la variacin respecto al tiempo, a) del volumen y b) de la superficie en ese instante.Respuesta: a) 4.8k pulg3/s; b) 3.2k pulg2/s30. Una partcula se mueve en un plano de manera tal que en el instante t su abscisa y su ordenada estn dadas por x = 2 + 3t, y = t2 + 4 con x y y expresados en pies y t en minutos. Cmo cambia la distancia de la partcula al origen cuando t = 1?Respuesta: 5 / /2 pies/minuto31. Un punto se mueve a lo largo de la curva de interseccin de x2 + 3xy + 3y2 = z2 con el plano x - 2y + 4 = 0. Cuando x = 2 y aumenta a razn de 3 unidades por segundo (unidades/s), encuente a) cmo cambia y, b) cmo cambia z y c) la rapidez del punto.Respuestas: a) creciendo a 3/2 unidades/s; b) creciendo a 75/14 unidades/s en (2, 3, 7) y decreciendo en75/14 unidades/s en (2, 3, -7 ); c) 6.3 unidades/s32. Halle dz/ds y dz/dt dadoa) z = x2 - 2y2, x = 3s + 2t, y = 3s - 2tb) z = x2 + 3xy + y2, x = sen s + cos t, y = sen s - cos tc) z = x2 + 2y2, x = es - et, y = es + ed) z = sen(4x + 5y), x = s + t, y = s - te) z = exy, x = s2 + 2st, y = 2 st + t2RespuestaRespuestaRespuestaRespuestaRespuesta6(x - 2y); 4(x + 2y)5(x + y) cos s; (x - y) sen t 2(x + 2y)es; 2(2y - x)e'9 cos(4x + 5y); -cos(4x + 5y) 2 exy[tx + (s + t)y]; 2 exy[(s + t)x + sy]33. a) Sean u = f(x , y) y x = r cos 0, y = r sen 0; demuestre quedu \2 , d u \2 _ d u f , t dx) +U y j " U r j + r 2 \d e2b) Sean u = f( x , y) y x = r cosh s, y = r senh s; pruebe qued u \2 _ (du_\2 _ (du_\2__L CAPTULO 49 D iferen c ia l to ta l. D lferenclabllldad. Reglas de la cadena35. U na funcin f(x , y) se llam a homognea de orden n s i f ( tx, ty) = tnf (x, y). [Por ejem plo, f (x , y) = x2 + 2xy + 3y2 es hom ognea de orden 2 ;f(x , y) = x sen (y/x) + y cos (y/x) es hom ognea de orden 1.] D erivef(tx , ty) = tnf(x , y) respecto a t y rem place t por 1 para dem ostrar que xfx + yfy = nf. Com pruebe esta frm ula m ediante los dos ejem plos dados. Ver tam bin el problem a 34b).36. Si z = Q(u,v ), donde u = f(x , y) y v = g(x, y), y si ^ y = - - jV , dem uestre quea) t f u . t f u _ d 2v , d v _ 0 b) , ( M 21a) ax2 + ay2 _ ax2 + ay 2 _ 0 b) ax2 + ay2 i U x j + l a x j j U 2 + a v 237. Encuentre y , dadodx d y 'a) 3x2 + 4y2 - 5z2 = 60 Respuesta: | | = f z ; | y = ^b) x2 + y2 + z2 + 2xy + 4yz + 8zx = 20 Respuesta: ^ = 4 +^ 2 4.z ^ = ~ 4 ~+V2+ ^c) x + 3y + 2z = ln z Respuesta: | | = 1^ 2 2 ; | v = 1 - %d) z - e- coS (y + z) R espuesta: - j + e_ se ^ y + ^ ; | -e) sen(x + y) + sen(y + z) + sen(z + x) = 1Respuesta: = _ cos (x + y) + cos (z + x ) ; dz = _ c o s (x + y) + cos (y + z)" 3x cos (y + z) + cos (z + x ) 3y cos (y + z) + cos (z + x )38. Encuentre todas las prim eras y segundas derivadas parciales de z, dado x2 + 2yz + 2zx = 1.Resnuesta- dz - x + z . dz = ___ . (Pz = x - y + 2 z . d2z = x + 2z . (Pz = ______2z__p : dx x + y ; dy x + y ; dx2 (x + y)2 ; 3x 3y (x + y)2; 9y 2 (x + y)239. Sea F (x , y, z) = 0; dem uestre que - | y ^ ^ = - 1.40. S ea f(x , y) = 0 y g(z, x) = 0; dem uestre que J y ^g ~ = 41. H alle las prim eras derivadas de u y v respecto a x y y y las prim eras derivadas parciales de x y y respecto a u y v, dado 2u - v + x2 + xy = 0, u + 2v + xy - y2 = 0 .Respuesta: | | = - - 5 ( 4 x + 3y); | | = 1 (2 x - y ) ; ^ = -5(2y - 3x); | v = 4 y ~ x ;dx _ 4 y - x , dy _ y - 2x , dx _ 3x - 2y . dy _ -4 x - 3ydu 2(x 2 - 2xy - y 2) du 2( x 2 - 2xy - y 2) dv 2(x 2 - 2xy - y 2) dv 2(x 2 - 2xy - y 2)42. Sea u = x + y + z, v = x2 + y2 + z2, y w = x3 + y3 + z3. Demuestre quedx _ yz dy x + z 3z _ 1du (x - y)(x - z) dv 2(x - y)(y - z) 3w 3(x - z)(y - z)43. R ellene los vacos en la representacin siguiente de una dem ostracin del teorem a (49.1). Suponga quef (x, y) es tal que f x y f son continuas en un conjunto abierto A . M uestre quef es diferenciable en A .Existe x* entre a y a + Ax tal quef (a + Ax, b) - f { a , b) = f j x * , b) Axy existe y* entre b y b + Ay tal quef ( a + Ax, b + Ay) - f ( a + Ax, b) = f ( a + Ax, y*) Ay www.FreeLibros.me- # 421^Az = f (a + Ax, b + Ay) - f(a, b)= f (a + Ax, b) - f(a, b)] + [ f (a + Ax, b + Ay) - f(a + Ax, b)]= f x(x*, b) Ax + f ,(a + Ax, y*)Ay Sea e 1 = f x(x*, y) - f x(a, b) y e2 = f y(a + Ax, y*) - f y(a, b). Luego,Az = f x(a, b) Ax + f y(a, b) Ay + e 1 Ax + e 2 Ay Para mostrar que e 1 ^ 0 y e2 ^ 0, use la continuidad de f x y f y.44. Muestre que la continuidad def(x, y) no implica diferenciabilidad, aunque f x y f existan. Use la funcint t . 2 x 2 si (x, y) ^(0,0)f (x, y) = x2 + y2[0 si (x, y) = (0,0)[Sugerencia: muestre que f no es continua en (0, 0) y, por consiguiente, no es diferenciable. Muestre la existencia de f x(0, 0) y f y(0, 0) por un clculo directo.]45. Encuentre una funcinf(x, y) tal quef x(0, 0) = f y(0, 0) = 0, y f no es continua en (0, 0). Esto muestra que laxyexistencia de las primeras derivadas parciales no implica continuidad. [Sugerencia: defina f (x, y) = 2 2para (x, y) * (0, 0) yf(0, 0) = 0.] x + yEntonces,CAPTULO 49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena www.FreeLibros.meVectores en el espacioIgual que en el plano (vase el captulo 39), un vector en el espacio es una cantidad que tiene magnitud y direccin. Tres vectores a, b y c, que no estn en un mismo plano ni sean paralelos y que comiencen de un punto comn, forman un sistema de giro a la derecha (dextrgiro) o trada si c tiene la direccin en la que avanza un sacacorchos al girarlo por el ngulo ms pequeo en la direccin de a hacia b, como se indica en la figura 50.1. Ntese que, visto desde un punto en c, la rotacin sobre el ngulo ms pequeo de a a b se ver en sentido contrario al de las manecillas del reloj.Seleccionemos un sistema de coordenadas rectangular derecho (dextrgiro) en el espacio y sean i, j y k los vectores unitarios a lo largo de los ejes positivos x, y y z, respectivamente, como en la figura 50.2. Los ejes de coordenadas dividen el espacio en ocho partes denominadas octantes. Por ejemplo, el prim er octante consta de todos los puntos (x, y, z) para los que x > 0, y > 0 y z > 0.Como en el captulo 39, todo vector a puede expresarse comoSi P(x, y, z) es un punto en el espacio (figura 50.2), el vector r que va desde el origen O hasta P se denominavector de posicin de P y se puede escribir comozFig. 50.1 Fig. 50.2a = a1i + a2 j + a3kr = OP = OB + BP = OA + AB + BP = xi + yj + zk (50.1) www.FreeLibros.meEl lgebra de vectores expuesta en el captulo 39 se cum ple aqu slo con los cam bios que la diferencia en dim ensiones requiere. Por ejemplo, si a = a ji + a2 j + a3k y b = b1 i + b2 j + b3k, entonces,ka = ka ji + ka2 j + ka3k para k cualquier escalar a = b si y slo si aj = b j , a2 = b2 y a3 = b3 a b = (aj bi)i + a b2)j + (a3 b3>k a b = iaiibi cos 0, donde 0 es el ngulo m s pequeo entre a y b i i = j j = k k = 1 e i j = j k = k i = 0iai = -s/a a = 4 a j + a 2 + a 2a b = 0 si y slo si a = 0 o b = 0 o a y b son perpendicularesD e (50.1), tenemos queiri = ^ / r 7 7 = y x 2 + y 2 + z2 (50.2)com o la distancia del punto P(x, y, z) al origen. Tambin, si P 1 (x1 , y 1 , z1) y P2 (x2 , y2 , z2) son dos puntos cualesquiera (fig. 50.3), entoncesP 1P 2 = P jB + B P2 = P j A + AB + B P 2 = (x2 - xj)i + (y2 - yj)j + (Z2 - Zj)kyiP,P2i (x2 - x j)2 + (y2 - y j)2 + (z2 - Zj)2 (50.3)es la frm ula ya conocida para la distancia entre dos puntos (vanse los problem as j a 3).z------------- ^ 423^Cosenos directores de un vectorSean a = a ji + aj + a3k vectores que form an los ngulos a , 3 y 7, respectivamente, con los ejes positivos x, y y z, com o se indica en la figura 50.4. Dei a = iiiiai cos a = iai cos a , j a = iai cos 3, k a = iai cos 7CAPTULO 50 Vectores en el espacio www.FreeLibros.me^ 424^ CAPTULO 50 Vectores en e l espaciose obtienei . a a , o i .a a2 k . a a3cosa=iar=iai cos^ =Tar=iai cos^ =Tar=iaistos son los cosenos directores de a. Comocos2 a + cos2 f + cos2 y = -1 1 2 1 3lal2 = 1el vector u = i cos a + j cos 3 + k cos y es un vector unitario paralelo a a. DeterminantesSe supone que se conocen bien los determ inantes de 2 x 2 y 3 x 3. En particular,a b c d= ad - bc ya b cd e fg h i= a e f h i - bd f g i+ cd eL a expansin del determ inante de 3 x 3 va a lo largo de la prim era fila . Esto es igual a las expansiones apropiadas a lo largo de las otras filas y hacia abajo en las columnas.Vector perpendicular a dos vectoresSeana = a ji + a 2 j + a 3k y b = b ti + b2 j + b3k dos vectores no paralelos con punto inicial com n P. M ediante un clculo sencillo puede dem ostrarse quea 2 a 3 a3 a, a, a 2c =b 2 b3i +b3 b j + b b 2i i ka, a2 a 3bi b2 b3(50.4)es perpendicular (normal a) tanto a a com o a b y, por ende, al plano de estos vectores.En los problem as 5 y 6 se dem uestra queIcl = lallbl sen 9 = rea de un paralelogram o con lados a y b no paralelosSi a y b son paralelos, entonces b = ka y con (50.4) se dem uestra que c = 0; es decir, c es el vector cero. El vector cero, por definicin, tiene m agnitud 0 y direccin sin especificar.Producto vectorial de dos vectoresSe tomaa = a ji + a 2 j + a 3k y b = b ji + b2 j + b3kcon punto inicial P y represntese con n el vector unitario norm al al plano de a y b, dirigido de form a tal que a, b y n (en ese orden) form en una trada derecha (dextrgira) en P , com o en la figura 50.5. El producto vectorialo producto cruzado de a y b se define comoa x b = iaiibi sen 6 n (50.6) www.FreeLibros.medonde 9 de nuevo es el ngulo ms pequeo entre a y b. As, a x b es un vector perpendicular tanto a a como a b.En el problema 6 se muestra que la x bl = iaiibi sen 9 es el rea del paralelogramo que tiene a y b como lados no paralelos.Si a y b son paralelos, entonces 9 = 0 o n y a x b = 0. As,i x i = j x j = k x k = 0 (50.7)------------- 25jFig. 50.5En la figura (50.5), si se invierte el orden de a y b, entonces n debe remplazarse por -n; entonces,b x a = -(a x b) (50.9)Los ejes de coordenadas se escogieron como un sistema derecho (dextrgiro), de lo que se sigue quei x j = k j x k = i k x i = jj x i = -k k x j = -i i x k = -j (50.9)En el problema 8 se prueba que para todo vector a, b y c, la ley distributiva(a + b) x c = (a x c) + (b x c) (50.10)Al multiplicar (50.10) por -1 y al utilizar (50.8) se obtiene la ley distributiva correspondientec x (a + b) = (c x a) + (c x b) (50.11)Entonces tambin,(a + b) x (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d (50.12)a x b = 1 2 3b1 b2 b3(50.13)y(Vanse los problemas 9 y 10.)CAPTULO 50 Vectores en el espacio www.FreeLibros.meCAPTULO 50 Vectores en e l espacioTriple producto escalarEn la figura 50.6, sea 9 el ngulo menor entre b y c y sea 0 el ngulo ms pequeo entre a y b x c. Dentese con h la altura y con A el rea de la base del paraleleppedo. Entonces, el triple producto escalar es, por definicin,a (b x c) = a ibiici sen 6 n = iaiibiici sen 6 cos 0 = (lal cos0)(lbiici sen 0) = hA = volumen del paraleleppedoPuede demostrarse (vase el problema 11) queen tanto quea a2 a3a (b x c) = b 2 b3 = (a x b) c (50.14)c C 2 C3AdemsFig. 50.6c, C2 C3 a1 a2 a3c (a x b) = a1 fl2 a3 = b2 b3bi b2 b3 c1 C2 C3= a (b x c)b1 b2 b3 a1 a 2 a3b (a x c) =a1 a 2 a3 = - b2 b3c1 C2 C3 c1 C2 C3= -a (b x c)De igual forma se tiene quea (b x c) = c (a x b) = b (c x a) (50.15)a (b x c) = -b (a x c) = -c (b x a) = -a (c x b) (50.16)yDe la definicin de a (b x c) como un volumen se sigue que si a, b y c son coplanares, entonces a (b x c) =0 y a la inversa.Los parntesis en a (b x c) y (a x b) c no son necesarios. Por ejemplo, a b x c puede interpretarse slo como a (b x c) o (a b) x c. Pero a b es un escalar, as que (a b) x c no tiene sentido (vase el problema 12). www.FreeLibros.meCAPTULO 50 Vectores en e l espacio6. Halle el rea de un paralelogramo cuyos lados no paralelos son a y b.De la figura 50.11, h = Ibl sen 0 y el rea es h = lal = iaiibi sen 0.7. Sean a1 y a2, respectivamente, las componentes de a, paralela y perpendicular a b, como se indica en la figura50.12. Demuestre que a2 x b = a x b y a1 x b = 0.Si 0 es ngulo entre a y b, entonces la1l = lal cos 0 y la2l = lal sen 0. Como a, a2 y b son coplanares, a2 x b = la2llbl sen 0 n = lal sen 0 lbln = lallbl sen 0 n = a x bComo a1 y b son paralelos, a1 x b = 0.8. Demuestre que (a + b) x c = (a x c) + (b x c)En la figura 50.13, el punto inicial P de los vectores a, b y c est en el plano de papel, en tanto que sus puntos terminales se hallan por encima de este plano. Los vectores a1 y b son, respectivamente, las componentes de a y b perpendiculares a c. Entonces, at, bj, a1 + bj, a1 x c, bj x c y (at + bj) x c todos estn en el plano de papel.Fig. 50.11En los tringulos PRS y PMQ,RS lb 1 x c l lb j llc l lb j l MQ ~PR~ la 1 x c l la ild _ la j _ P M www.FreeLibros.me- # 431^Por tanto, PRS y PMQ son semejantes. Ahora, PR es perpendicular a PM y RS es perpendicular a MQ; por ende, PS es perpendicular a PQ y PS = P Q x c . As, como PS = PQ x c = P R + R S , tenemos que(a j + b j) x c = (a j x c) + (b j x c)Por el problema 7, a1 y b 1 pueden remplazarse por a y b , respectivamente, para obtener el resultado solicitado.i j k9. Cuando a = a1i + a2j + a3k y b = b1i + b2j + b3k , demuestre que a x b = a1 a2 a3Se tiene, por la ley distributiva bi b2 b3a x b = (a1i + a2 j + a3k ) x (b1i + b2 j + b3k )= a1i x (b1i + b2 j + b3k ) + aj x (b1i + b2 j + b3k ) + a3k x (b1i + b2 j + b3k )= (a1b2k - a1b3 j ) + (-a2b1k + a2b3i) + (a3bj - a3b2i)= (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)ki j ka1 a2 a3bi b2 b310. Deduzca la ley de los senos de la trigonometra plana.Considere el triangulo ABC, cuyos lados a , b , c son las magnitudes a, b, c, respectivamente, y cuyos ngulos interiores son a, i, y. Tenemos quea + b + c = 0Entonces, a x (a + b + c) = a x b + a x c = 0 oy b x (a + b + c) = b x a + b x c = 0 oAs, a x b = b x c = c x a,de forma que la lb sen y = ib llc lsen a = ic lla lseno ab sen y = bc sen a = ca sensen 7 sen sen 3a x b = c x a b x c = a x by b11. Sea a = a1i + a2j + a3k y b = b1i + b2j + b3k y c = c1i + c2j + c3k ; demuestre quea (b x c) =Por (50.13),a (b x c) = (a1i + aj + a3k )bi b2 b3c, c2 c3i j kb1 b2 b3= (a1i + aj + a^) [(b2c3 - b ^ i + (b3c1 - b c j + (bc - b2c1)k]= a1(b2c3 - b3c2) + a2(b3c1 - b^) + a3(b1c2 - b2^ ) = b b2 fc3c1 c2 c312. Demuestre que a (a x c) = 0Por (50.14), a (a x c) = (a x a ) c = 0CAPTULO 50 Vectores en el espacio www.FreeLibros.me 43# CAPTULO 50 Vectores en e l espacio13. Para los vectores a , b y c del problema 11, demuestre que a x (b x c) = (a c)b - (a b )c . Aqui j ka x (b x c) = (a1i + a2 j + a3k ) x b1 b2 b3C1 C2 C3= (aji + a2 j + 3k) x [(b2C3 - b3C2) i + - b^ )j + (b c - b2Cj)k ]ia.b2c3 - b3c2 b3c1 - b1c3 b1c2 - b2Cj = i ^ b c - 2b2C! - ^ 3^ + a ib c ) + j f e b 2C3 - 3^b3C2 - a jb1c2 + a ^ C j) + k(ajb3Cj - alblc3 - a2b3c2)- ib1(a1c1 + a2c2 + a3c3) + jb 2(ajCj + a2c2 + a 3c3) + kb3(ajCj + a2c2 + a3c3)- [ic1(a1b1 + a 2b2 + a3b3) + jc 2(ajbj + a2b2 + a 3b3) + kc3(ajbj + a2b2 + a3b3)]= (bji + b2 j + b3k)(a c) - (Cji + C2 j + C3k)(a b)= b (a c) - c(a b) = (a c)b - (a b)c14. Si l 1 y l2 son dos rectas en el espacio que no se intersecan, pruebe que la distancia d ms corta entre ellas es la distancia desde cualquier punto en l 1 al plano l2 y es paralelo a l {, es decir, demuestre que si P1 es un punto en lj y P2 es un punto en l2, entonces, aparte el signo, d es la proyeccin escalar de PjP2 en una perpendicular comn a l 1 y l2.Sea lj que pasa por Pj(xj, yj, z j en la direccin a = a1i + aj + a3k, y sea l2 que pasa por P2(x2, y2, z2) en la direccin b = bji + bj + b3k.Entonces, PjP2 = (x2 - x^ i + (y2 - y1)j + (z2 - zi)k y el vector a x b es perpendicular tanto a l 1 como a l2. As,d = P1P2 ( a x b) (r2 - r) (a x b)ia x b i ia x b i15. Escriba la ecuacin de la recta que pasa por P 0(1, 2, 3) y es paralela a a = 2i - j - 4k . Cules de los puntos A(3, 1, -1), fi(:j-J9-,4), C(2, 0, 1) se hallan sobre esa recta?De (50.19), la ecuacin vectorial es(xi + yj + zk ) - (i + 2j + 3k ) = k (2i - j - 4k )o(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k = k (2i - j - 4k ) (1)Las ecuaciones rectangulares (o cartesianas) sonx -1 = y - 2 = z - 32 -1 -4 (2)Al usar (2) es fcil comprobar que A y B estn en la recta, en tanto que C no lo est.En la ecuacin vectorial (1), un punto P(x, y, z) en la recta se halla dando a k un valor y comparando las componentes. El punto A est en la recta porque(3 - 1)i + (1 - 2 )j + ( -1 - 3 )k = k(2 i - j -4 k ) www.FreeLibros.me-^ 433^cuando k = 1. Igualmente, B se halla en la recta porque- t i + t j + k = k (2 i - j - 4k )cuando k = - 4 . El punto C no est en la recta ya quei - 2j - 2k = k(2i - j - 4k )para ningn valor de k.16. Escriba la ecuacin del plano que pasa pora) P 0(1, 2, 3) y es paralelo a 3x - 2y + 4z - 5 = 0b) P 0(1, 2, 3) y P t(3, -2 , 1) y es perpendicular al plano 3x - 2y + 4z - 5 = 0c) P0(1, 2, 3), P i(3, -2 , 1) y ^ ( 5 , 0, -4 )Sea P(x, y, z) un punto general en el plano requerido.a) Aqu a = 3i - 2j + 4k es normal al plano dado y al plano requerido. La ecuacin vectorial de este ltimo es (r - r 0) a = 0 y la ecuacin cartesiana es3(x - 1) - 2(y - 2) + 4(z - 3) = 0 o 3x - 2y + 4z - 11 = 0b) Aqu r T - r 0 = 2i - 4j - 2k y a = 3i - 2j + 4k son paralelas al plano requerido, de manera que (r T - r 0) xa es normal a ese plano. Su ecuacin vectorial es (r T - r 0) [(r T - r 0) x a ] = 0. La ecuacin rectangular (ocartesiana) es(r - ro)i j k2 - 4 -23 - 2 4= [(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k] [ -2 0 i - 14j + 8k]= -20(x -1 ) - 14(y -2 ) + 8(z - 3) = 0o 20x + 14y - 8z - 24 = 0.c) Aqu r 1 - r 0 = 2i - 4j - 2k y r 2 - r 0 = 4i = 2j - 7k son paralelas al plano requerido, de manera que (r T - r 0) x (r 2 - r 0) es normal a ste. La ecuacin vectorial es (r T - r 0) x [(r T - r 0) x (r 2 - r 0)] = 0 y la ecuacin rectangular (o cartesiana) es(r - ro) i j k2 - 4 - 24 - 2 -7= [(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k ] [-24 i + 6j + 12k ]4x + y + 2z - 12 = 0: 24(x - 1) + 6(y - 2) + 12(z - 3) = 017. Halle la distancia d ms corta entre el punto P 0(1, 2, 3) y el plano n dado por la ecuacin 3x - 2y + 5z - 10 = 0. Una normal al plano es a = 3i - 2j + 5k . Toma P (2, 3, 2) como un punto convincente en n. Entonces, salvo por el signo, d es la proyeccin escalar de P 0P j en a . Por tanto,d = (r1 - r0) a (i + j - k ) (3i - 2 j + 5 k )jai = 1^/38oCAPTULO 50 Vectores en el espacio www.FreeLibros.meC A P T U L O 50 Vectores en el espacioPROBLEMAS COMPLEMENTARIOS18. Encuentre la longitud de a) el vector a = 2i + 3j + k; b) del vector b = 3i - 5j + 9k; c) del vector c, que une Pj(3, 4, 5) con P 2(1, -2 , 3).Respuestas: a) V 4 ; b) VT T 5 ; c) 2 V 19. Para los vectores del problema 18:a) Demuestre que a y b son perpendiculares.b) Halle el ngulo ms pequeo entre a y c, y entre b y c.c) Determine los ngulos que b forma con los ejes de coordenadas.Respuestas: b) 165 14', 85 10'; c) 73 45', 117 47', 32 56'20. Demuestre que i i = j j = k k = 1 e i j = j k = k i = 0.21. Escriba un vector unitario en la direccin de a y un vector unitario en la direccin de b del problema 18.Respuestas: a) ^ 14 i + 3a/ 14 j + k ; b) j i ------------ j + ^ kF 7 1 4 J 14 ; 7 5 7 5 J 7 522. Halle los ngulos interiores P y y del tringulo del problema 3.Respuesta: P = 22 12'; y = 9 16'23. Para el cubo mostrado en la figura 50.14, determine a) el ngulo entre su diagonal y un lado, b) el ngulo entre su diagonal y una diagonal de una cara.Respuestas: a) 54 44'; b) 35 16'Fig. 50.14a b24. Demuestre que la proyeccin escalar de b en a est dada por ^ .2y www.FreeLibros.me^ 435^25. Pruebe que el vector c de (50.4) es perpendicular tanto a a como a b.26. Dados a = i + j, b = i - 2k y c = 2i + 3j + 4k, confirme las ecuaciones siguientes:a) a x b = -2i + 2j - cc) c x a = -4i + 4j + ke) a x (a x b) = 0g) a x (b x c) = 3i - 3j - 14kb) b x c = 6i - 8j + 3kd) (a + b) x (a - b) = 4i - 4j + 2kf ) a x (b x c) = -2h) c x (a x b) = -11i - 6j + 10k27. Determine el rea del tringulo cuyos vrtices son A(1, 2, 3), B(2, -1, 1) y C(-2, 1, -1) (Sugerencia: lAB x ACi = dos veces el rea.)Respuesta: 5^J328. Determine el volumen del paraleleppedo cuyos lados son OA, OB y OC para A(1, 2, 3), B(1, 1, 2) y C(2, 1, 1).Respuesta: 229. Sean u = a x b, v = b x c, w = c x a; demuestre quea) u x c = v x a = w x bb) a x u = b x u = 0, b x v = c x v = 0, c x w = a x w = 0c) u x (v x w) = [a x (b x c)]230. Demuestre que (a + b) x [(b + c) x (c + a )] = 2a x (b x c).31. Encuentre el menor ngulo de interseccin de los planos 5x - 14y + 2z - 8 = 0 y 10x - 11y + 2z + 15 = 0. [Sugerencia: halle el ngulo entre sus normales.]Respuesta: 22 25'32. Escriba la ecuacin vectorial de la recta de interseccin de los planos x + y - z - 5 = 0 y 4x - y - z + 2 = 0.Respuesta: (x - 1)i + (y - 5)j + (z - 1)k = k(-2i - 3j - 5k), donde P0(1, 5, 1) es un punto en la recta.33. Determine la distancia ms corta entre la recta que pasa por A (2, -1, -1) y B(6, -8, 0) y la recta que pasa por C(2, 1, 2) y D(0, 2, -1).34. Defina una recta que pasa por P0(x0, y0, z0) como el lugar de todos los puntos P(x, y, z) tales P0P y OP0 son perpendiculares. Pruebe que su ecuacin vectorial es (r - r0) x r0 = 0Respuesta: CAPTULO 50 Vectores en e l espaciob) Es paralela a la recta x - y + 2z + 4 = 0, 2x + 3y + 6z = -12 = 0c) Que pasa por P j(3, 6, -2)Respuestas: a) x - 2 = = ^ ; b) ^ ^ ^ c)36. Halle la ecuacin del plano:a) Que pasa por P0(1, 2, 3) y es paralelo a a = 2i + j - k y b = 3i + 6j - 2k.b) Que pasa por P0(2, -3 , 2) y la recta 6x + 4y + 3z + 5 = 0, 2x + y + z - 2 = 0.c) Que pasa por P0(2, -1 , -1 ) y P j(1, 2, 3) y es perpendicular a 2x + 3y - 5z - 6 = 0.Respuestas: a) 4x + y + 9z - 33 = 0; b) 16x + 7y + 8z - 27 = 0; c) 9x - y + 3z - 16 = 037. Si r0 = i + j + k, r1 = 2i + 3j + 4k y r2 = 3i + 5j + 7k son tres vectores de posicin, muestre que r0 x r1 + r 1 xr2 + r2 x r0 = 0. Qu puede decir de los puntos terminales de estos vectores?Respuesta: son colineales38. Si P0, P 1 y P2 son tres puntos no colineales y r0, r1 y r2 son sus vectores de posicin, cul es la posicin der0 x r1 + r1 x r2 + r2 x r0 respecto al plano P0P 1P2?Respuesta: normal39. Demuestre: a) a x (b x c) + b x (c x a) + c x (a x b) = 0b) (a x b) (c x d) = (a c)(b d) - (a d)(b c).40. Pruebe: a) las perpendiculares levantadas en los puntos medios de los lados de un tringulo se cortan en unpunto; b) las perpendiculares trazadas desde los vectores hasta los lados opuestos (prolongados si es necesario)de un tringulo se cortan en un punto.41. Sean A(1, 2, 3), B(2, -1 , 5) y C(4, 1, 3) tres vrtices del paralelogramo ABCD. Halle a) las coordenadas de D;b) el rea ABCD y c) el rea de la proyeccin ortogonal de ABCD en cada plano de coordenadas.Respuestas: a) D(3, 4, 1); b) 2^26; c) 8, 6, 242. Demuestre que el rea de un paralelogramo en el espacio es la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de las reas de las proyecciones del paralelogramo sobre los planos de coordenadas. www.FreeLibros.meSuperficies y curvas en el espacioPlanosSe sabe por la frmula (50.22) que la ecuacin de un plano tiene la forma Ax + By + Cz + D = 0, donde Ai + Bj + Ck es un vector no cero perpendicular al plano. El plano pasa por el origen (0, 0, 0) cuando y slo cuando D = 0.EsferasDe la frmula de la distancia (50.3), se observa que una ecuacin de una esfera con radio r y centro (a, b, c) es(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2 As, una esfera con centro en el origen (0, 0, 0) y radio r tiene la ecuacinx2 + y2 + z2 = r2Superficies cilindricasUna ecuacin F(x, y) = 0 define ordinariamente una curva ^ en el plano xy. Ahora, si un punto (x, y) satisface esta ecuacin, entonces para cualquier z el punto (x, y, z) en el espacio tambin satisface la ecuacin. Por tanto, F(x, y) = 0 determina la superficie cilndrica obtenida al mover la curva ^ paralela al eje z. Por ejemplo, la ecuacin x2 + y2 = 4 determina un crculo en el plano xy con radio 2 y centro en el origen. Si se mueve este crculo paralelo al eje z, se obtiene un cilindro circular recto. De esta manera, lo que ordinariamente se denomina un cilindro es un caso especial de una superficie cilndrica.De igual forma, una ecuacin F(y, z) = 0 determina la superficie cilndrica obtenida al mover la curva en el plano yz definida por F(y, z) = 0 paralela al eje x. Una ecuacin F(x, z) = 0 determina la superficie cilndrica al mover la curva en el plano xz definida por F(x, z) = 0 paralela al eje y.Dicho con mayor precisin, las superficies cilndricas definidas antes se denominan superficies cilindricas rectas. Otras superficies cilndricas pueden obtenerse al mover la curva dada paralela a la recta que no sea perpendicular al plano de la curva.EJEMPLO 51 .1 . La ecuacin z = x2 determina una superficie cilndrica generada al mover la parbola z = x2 que queda en el plano xz paralelo al eje y.Ahora se vern ejemplos de las superficies determinadas por las ecuaciones de segundo grado en x , y y z. Tales superficie se llaman superficies cuadrticas. Para imaginarlas es de gran ayuda la descripcin de sus intersecciones con los planos paralelos a los planos de coordenadas. Tales intersecciones reciben el nombre detrazas. www.FreeLibros.me^ 438^ CAPTULO 51 Superficies y curvas en e l espacioElipsoidex 2 + ~ 9 +~4 =1Las trazas no triviales son elipses (fig. 51.1). En general, la ecuacin de un elipsoide tiene la form ax2 v2 z2y + y ~t + ^ z = 1 (a > 0, b > 0 y c > 0)a 2 b 2 c2Cuando a = b = c se obtiene una esfera.Paraboloide elpticoz = x2 + y2L a superficie queda por encim a del plano xy. Las trazas paralelas al plano xy (para un z fijo positivo) son crculos. Las trazas paralelas al plano xz o yz son parbolas (fig. 51.2). En general, la ecuacin de un paraboloide elptico tiene la form az x 2 y 2z = ^ + b y (a > 0, b > 0, c > 0)y las trazas paralelas al plano xy son elipses. Cuando a = b , se obtienen un paraboloide circular, com o en el ejem plo dado.2yFig. 51.2 www.FreeLibros.meCAPTULO 51 Superficies y curvas en e l espacioy las trazas paralelas al plano xy son elipses.Hiperboloide de dos hojasFig. 51.5z4y = 1Vase la figura 51.6. Las trazas paralelas al plano xy son crculos y las otras trazas son hiprbolas. En general, un hiperboloide de dos hojas tiene una ecuacin de la forma72 x2 y2- ^ 2 -TT = 1 (a > 0, b > 0, c > 0) c2 a by las trazas paralelas al plano xy son elipses.En general, se entiende que las ecuaciones dadas anteriormente para varias superficies cuadrticas, por permu-y2 72 x 2tacin de las variables x, y, 7 producen las superficies cuadrticas del mismo tipo. Por ejemplo, _ j 2 = 1tambin determina un hiperboloide de dos hojas.zy www.FreeLibros.me-^ 441^Recta tangente y plano normal a una curva en el espacioUna curva en el espacio puede definirse paramtricamente por las ecuacionesx = f(t), y = g(t), z = h(t) (51.1)Fig. 51.6En el punto P0(x0, y0, z0) de la curva (determinada por t = t0), las ecuaciones de la tangente sonx - x0 = y - y0 = z -dx / d t~ dy / d t ~ d z / dty las ecuaciones del plano normal (el plano que pasa por P0 perpendicular a la recta tangente all) esdx dy dzd (x - x0) + d (y - y0) + d t (z - z0) = 0(51.2)(51.3)Vase la figura 51.7. Tanto en (51.2) como en (51.3) se entiende que la derivada ha sido evaluada en el punto P0 (vase los problemas 1 y 2).yPlano tangente y recta normal a una superficieLa ecuacin del plano tangente a la superficie F(x, y, z) = 0 en uno de sus puntos P0(x0, y0, z0) esdF dF \ d Fax(x_ xo) + ay(y_ yo)+" & (z zo) =0 (51.4)CAPTULO 51 Superficies y curvas en el espacio www.FreeLibros.meCAPTULO 51 Superficies y curvas en e l espacioy las ecuaciones de la recta normal en P o sonx - x y - yo z - ZodF / dx dF / dy dF / 5z (51.5)en el entendido de que las derivadas parciales se han evaluado en el punto P 0 (fig. 51.8) (vase los problemas3 a 9).Una curva en el espacio tambin puede definirse por un par de ecuacionesF(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 En el punto P0(x0, y0, z0) de la curva, las ecuaciones de la recta tangente sony - y0x - x z - ZodF dF dF dF dF dFdy dz dz dx dx dydG dG dG dG dG dGdy dz dz dx dx dyy la ecuacin del plano normal es(51.6)(51.7)dF dF dF dF dF dFdydGdzdG x1 x o + dzdGdxdG (y - yo)+dxdGdydG (z - zo) = 0dy dz dz dx dx dy(51.8)En (51.7) y (51.8) se entiende que todas las derivadas parciales se han evaluado en el punto P0 (vase los problemas 10 y 11).Superficie de revolucinSea la grfica de y = f(x ) en el plano xy que gira en torno al eje x. Cuando un punto (x0, y0) gira en la grfica, un punto resultante (x0, y, z) tiene la distancia y0 al punto (x0, 0, 0). Entonces, al elevar al cuadrado dicha distancia se obtiene(x0 - x0)2 + y2 + z2 = (y,)2 = (/fe))2 y, por consiguiente, y2 + z2 = (/fe))2 Entonces, la ecuacin de la superficie de revolucin esy2 + z2 = (f(x))2 (51.9) www.FreeLibros.me-^ 443^PROBLEMAS RESUELTOS1. Deduzca (51.2) y (51.3) para la recta tangente y el plano normal a la curva en el espacio x = f(t), y = g(t), z =h(t) en el punto P0(x0, y0, z0) determinado por el valor t = t0. Remtase a la figura 51.7.Sea P0'(x0 + Ax, y0 + Ay, z0 + Az) determinado por t = t0 + At, otro punto de la curva. Cuando P0' ^ P0 a lo largo de la curva, la cuerda P0P0 tiende hacia la recta tangente a la curva en P0 como posicin lmite.Un conjunto simple de nmeros direccionales para la cuerda P0P0' es [Ax, Ay, Az], pero se utilizarAx AzAt At At . Entonces, cuando P0' - P0, At - 0 y un conjunto de nmerosAx Ay Az , dx dy dz A t A t A t J dt dt dt direccionales de la recta tangente en P0. Ahora, si P(x, y, z) es un punto arbitrario en esta tangente, entonces [x - x0, y - y0, z - z0] es un conjunto de nmeros direccionales de P0P. Luego, como los conjuntos de nmeros direccionales son proporcionales, las ecuaciones de la recta tangente en P0 sonx - x y - yp Z - Z0dx / dt dy / dt dz / dtSi R (x , y, z) es un punto arbitrario en el plano normal en P0, entonces, como P R y P0P son perpendiculares,la ecuacin del plano normal en P0 es2. Encuentre las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal a:a) La curva x = t, y = t2 y z = t3 en el punto t = 1.b) La curva x = t - 2, y = 3t2 + 1 y z = 2t3 en el punto donde atraviesa el plano yz.a) En el punto t = 1, o (1, 1, 1), = 1, d y = 2t = 2 y = 3t2 = 3 . Utilizando (51.2) se tiene, para lasx _1 V 1 z_1ecuaciones de la tangente, 1 = 2 = 3 ;(x - 1) + 2(y - 1) + 3(z - 1) = x + 2y + 3z - 6 = 0.utilizando (51.3) resulta la ecuacin del plano normalb) La curva dada atraviesa el plano yz en el punto donde x = t - 2 = 0, es decir, en el punto t = 2 o (0,13, 16). En este punto, d j = 1, = 6t = 12 y d" = 6t2 = 24 . Las ecuaciones de la recta tangente sonx = y - 13 = z -16 1 12 z y la ecuacin del plano normal es x + l2(y - 13) + 24(z - 16) = x + l2y + 24z - 540 = 0.3. Deduzca (51.4) y (51.5) para el plano tangente a la superficie F(x , y , z) = 0 en el punto P0(x0, y0, z0). Remtase a la figura 51.8.Sean x = f (t), y = g(t) y z = h(t) las ecuaciones paramtricas de cualquier curva en la superficie F(x, y, z) = 0 y que pasa por el punto P0. Entonces, en P0,dF dx + c F d y + d F d z _ 0 dx dt dy dt dz dtperpendicular a la recta que pasa por P0 que tiene nmeros direccionalesen el entendido de que todas las derivadas han sido evaluadas en P0.Esta relacin expresa el hecho de que la recta que pasa por P0 con nmeros direccionales~dF "dx d y dznmeros direccionales pertenece a la tangente a la curva, la cual queda en el plano tangente de la superficie. El segundo conjunto define la recta normal a la superficie en P0. Las ecuaciones de esta normal sondx dy dz d t ' d t ' dt . El primer conjunto dex - xn y - y0 z - Z0dF I dx dF I dy dF I dzCAPTULO 51 Superficies y curvas en el espacio www.FreeLibros.meCAPTULO 51 Superficies y curvas en e l espacioy la ecuacin del plano tangente en P0 es^ (x - xo) ( y - yo) + (z - ^ = oEn los problemas 4 y 5, halle las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie dada en el punto indicado.4. z = 3x2 + 2y2 - 11; (2, 1, 3).Sea F(x, y, z) = 3x2 + 2y2 - z - 11 = 0. En (2, 1, 3), = 6x = 1 2 , = 4y = 4, y- F^ = -1 . La ecuacin delplano tangente es 12(x - 2) + 4(y - 1) - (z - 3) = 0 o 12x + 4y - z = 25.La ecuacin de la recta normal es x _j 2 = y 4 1 = p.5. F(x, y, z) = x2 + 3y2 - 4z2 + 3xy - 10yz + 4x - 5z - 22 = 0; (1, -2, 1).En (1, -2, 1), ^ FF = 2x2 + 3y + 4 = 0, = 6y + 3x - 10z = -19 y ^ F = _8z - 10y - 5 = 7. La ecuacin delplano tangente es 0(x - 1) - 19(y + 2) + 7(z - 1) = 0 o 19y - 7z + 45 = 0.Las ecuaciones de la recta normal son x - 1 = 0 y y + 3 = z - 1 o x = 1, 7y + 19z - 5 = 0.- 19 7x2 y2 z26. Demuestre que la ecuacin del plano tangente a la superficie - b _ 2 = 1 en el punto P0(x0, y0, z0) esxx0 _ yy t _ 1 a ca2 b2 c2 .En P0, S^f = - t , = -~ b r ,y = CF' La ecuacin del plano tangente esdF _ 2x0 d y = dF _ _ 2z02 , dy b> _ x0) _ 2 0 (y _ y0) _ ~zL (z _ z0)=0.2 2 2T7 t t xx0 yy0 ZZ0 xj y; z , D , .Esto se convierte en 0 ----0 = 0- t t 0 = 1, ya que P0 est en la superficie.a2 b2 c2 a2 b2 c27. Demuestre que las superficies F(x, y, z) = x2 + 4y2 - 4z2 - 4 = 0 y G(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 6x - 6y + 2z + 10 =0 son tangentes en el punto (2, 1, 1).Se mostrar que las dos superficies tienen el mismo plano tangente en el punto dado. En (2, 1, 1),| F = 2x - 4, -|F = 8y = 8, = 8z = -8dx oy azy = 2x - 6 = -2, ^ = 2y - 6 = -4, j GG = 2z + 2 = 4Como los conjuntos de nmeros direccionales [4, 8, -8] y [-2, -4, 4] de las rectas normales de las dos superficies son proporcionales, las superficies tienen el plano tangente comn1(x - 2) + 2(y - 1) - 2(z - 1) = 0 o x + 2y - 2z = 28. Demuestre que las superficies F(x, y, z) = xy + yz - 4zx = 0 y G(x, y, z) = 3z2 - 5x + y = 0 se intersecan en ngulo recto en el punto (1, 2, 1).Ha de mostrarse que los planos tangentes a las superficies en el punto son perpendiculares o, lo que es igual, que las rectas normales en el punto son perpendiculares. En (1, 2, 1),dF dF dF . 0aF=y - 4z=-2, ay=x - z =2, a z=y - 4x=-2 www.FreeLibros.me-^ 445^Un conjunto de nmeros direccionales para la recta normal a F(x, y, z) = 0 es [ l1, m1, n j = [1, -1, 1]. En el mismo punto,dG r dG i 3G ^/--= = -5, -= = 1, -= = 6z = 6dx dy dzUn conjunto de nmeros direccionales para la recta normal a G(x, y, z) = 0 es [l2, m2, n2] = [-5, 1, 6]. Como l1l2 + m1m2 + n1n2 = 1(-5) + (-1)1 + 1(6) = 0, estas direcciones son perpendiculares.9. Demuestre que las superficies F(x, y, z) = 3x2 + 4y2 + 8z2 - 36 = 0 y G(x, y, z) = x2 + 2y2 - 4z2 - 6 = 0 se cortan en el ngulo recto.En cualquier punto P0(x0, y0, z0) sobre las dos superficies = 6x0, = 8y0,y = 16z0; por tanto, [3x0,4y0, 8z0] es un conjunto de nmeros direccionales para la normal a la superficie F(x, y, z) = 0 en P0. De igual forma, [x0, 2y0, -4z0] es un conjunto de nmeros direccionales para la recta normal a G(x, y, z) = 0 en P0. Ahora, como6(x2 + 2y2 - 4z?) - (3x2 + 4yg + 8z?) = 6(6) - 36 = 0, estas direcciones son perpendiculares.10. Deduzca (51.7) y (51.8) para la recta tangente y el plano normal a la curva en el espacio C: F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 en uno de sus puntos P0(x0, y0, z0).En P0, las direcciones ~dF_ dF dF. y ~dG dG dG 'dx dy dz _ dx dy dz _ son normales, respectivamente, a los planostangentes de las superficies F(x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0. Como la direccindF / dy dF / dz dG / dy dG / 3zdF / dz dF / dx dG / 3z dG / dxdF / dx dF / dy dG / dx dG / dyes perpendicular a cada una de estas direcciones, es la de la recta tangente a C en P0. Por tanto, las ecuaciones de la recta tangente sonx - xo y - yo z - zodF / dy dF / dz dF / dz dF / dx dF / dx dF / 3ydG / dy dG / 3z dG / dz dG / dx dG / dx dG / dyy la ecuacin del plano normal esdF / 3y dF / dz , .dG / dy dG / dz (x" xo) +dF / dz dF / dx dG / 3z dG / dx (y - yo) +dF / dx dF / dy dG / 3x dG / 3y (z - zo) = o11. Halle las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva x2 + y2 + z2 = 14, x + y + z = 6 en el punto (1, 2, 3).Sean F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 14 = 0 y G(x, y, z) = x + y + z - 6 = 0. En (1, 2, 3),dF / dF / dz 2y 2z 4 6dG / dy dG / 3z 1 1 1 13F / 3F / 3x 6 2 /I 3F / 3F / 3y 2 43G / 3G / 3x 1 1 4, 3G / 3G / 3y 1 1Con [1, -2, 1] como un conjunto de nmeros direccionales de la tangente, sus ecuaciones son x 1 y 2 z 3z = 0 . La ecuacin del plano normal es (x - 1) - 2(y - 2) + (z - 3) = x - 2y + z = 0.1 -2 1CAPTULO 51 Superficies y curvas en el espacio www.FreeLibros.meCAPTULO 51 Superficies y curvas en e l espacio12. Determine las ecuaciones de las superficies de revolucin generadas al girar la curva dada alrededor del ejeindicado: a) y = x2 en torno al eje x; b) y = 1 en torno al eje y; c) z = 4y en torno al eje y.x 1 En cada caso, se utiliza una forma apropiada de (51.9): a) y2 + z2 = x4; b) x2 + z2 = y-; c) x2 + z2 = 16y2.13. Identifique el lugar geomtrico de los puntos (x, y, z) que equidistan del punto (0, -1, 0) y el plano y = 1.Al elevar al cuadrado las distancias se obtiene x2 + (y + 12) + z2 = (y - 1)2, donde x2 + z2 = -4y, un paraboloide circular.14. Identifique la superficie 4x2 - y2 + z2 - 8x + 2y + 2z + 3 = 0 completando los cuadrados.Se obtiene4(x2 - 2x) - (y2 - 2y) + (z2 + 2z) + 3 = 0 4(x - 1)2 - (y - 1)2 + (z + 1)2 + 3 = 4 4(x - 1)2 - (y - 1)2 + (z + 1)2 = 1 Se trata de un hiperboloide de una hoja con centro en (1, 1, -1,)PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS15. Determine las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva dada en el punto indicado:a) x = 2t, y = t2, z = t3; t = 1 Respuesta: x ^ 2 = y^ 1 = 1; 2x + 2y + 3z - 9 = 0b) x = tet, y = et, z = t; t = 0 Respuesta: x = y ^ 1 = 1 ; ; x + y + z - 1 = 0c) x = t cos t, y = t sen t, z = t; t = 0 Respuesta: x = z, y = 0; x + z = 016. Demuestre que las curvas a) x = 2 - t, y = -1/t, z = 2t2 y b) x = 1 + 0, y = sen 0 - 1, z = 2 cos 0 se intersecan en ngulo recto en P(1, -1, 2). Obtenga las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal de cada curva en P.Respuesta: a) x ~1 = y + 1 = z - 2 ; x - y - 4z + 6 = 0; b) x - y = 2, z = 2; x + y = 017. Demuestre que las rectas tangentes a la hlice x = a cos t, y = a sen t y z = bt se encuentran en el plano xy en el mismo ngulo.18. Demuestre que la longitud de la curva (51.1) desde el punto t = t0 hasta el punto t = t1 est dada porjifFWW*Halle la longitud de la hlice del problema 17 de t = 0 a t = t1.Respuesta: sja2 + b 2 1119. Encuentre las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva dada en el punto indicado:a) x2 + 2y2 + 2z2 = 5, 3x - 2y - z = 0; (1, 1, 1)b) 9x2 + 4y2 - 36z = 0, 3x + y + z - z2 - 1 = 0; (2, -3, 2)c) 4z2 = xy, x2 + y2 = 8z; (2, 2, 1) www.FreeLibros.meRespuestas: a) x 1 = y 1 = z 1 2x + 7y - 8z - 1 = 0; b) x 2 = y 1 2, y + 3 = 0; x + z - 4 = 0;2 / 8 1 1c) x 2 = y 2, z - 1 = 0; x - y = 01 -120. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto indicado:a) x2 + y2 + z2 = 14; (1, -2, 3) Respuesta: x - 2y + 3z = 14; x 1 = by = z 3b) x2 + y2 + z2 = r2; (xj , y1, zi ) Respuesta: x1x + y1y + z1z = r2; - = y + y1 = -o x' 2 y1 z1c) x2 + 2z3 = 3y2 ; (2, -2, -2) Respuesta: x + 3y - 2z = 0; A-- = 3 = zyd) 2x2 + 2xy + y2 + z + 1 = 0; (1, -2, -3) Respuesta: z - 2y = 1; x - 1 = 0, y + 2 = zj 3e) z = xy; (3, -4, -12) Respuesta: 4x - 3y + z = 12; x 3 = y = z +11221. a) Demuestre que la suma de las intersecciones del plano tangente a la superficie x1 /2 + y1 /2 + z1 /2 = a1 /2 encualquiera de sus puntos es a.b) Pruebe que la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de las intersecciones del plano tangente a la superficie x 2 /3 + y2 /3 + z2 /3 = a2 /3 en cualquiera de sus puntos es a.22. Demuestre que cada par de superficies es tangente en el punto indicado:a) x2 + y2 + z2 = 18, xy = 9; (3, 3, 0).b) x2 + y2 + z2 -8x - 8y - 6z + 24 = 0, x2 + 3y2 + 2z2 = 9; (2, 1, 1).23. Pruebe que cada par de superficies es perpendicular en el punto indicado:a) x2 + 2y2 - 4z2 = 8, 4x2 - y2 + 2z2 = 14; (2, 2, 1).b) x2 + y2 + z2 = 50, x2 + y2 - 10z + 25 = 0; (3, 4, 5).24. Demuestre que cada una de las superficies a) 14x2 + 11y2 + 8z2 = 66, b) 3z2 - 5x + y = 0, y c) xy + yz - 4zx = 0es perpendicular a las otras dos en el punto (1, 2, 1).25. Identifique las superficies siguientes:a) 36 y2 - x2 + 36 z2 = 9.b) 5y = -z2 + x2 .c) x2 + 4y2 - 4z2 -6x - 16y - 16z + 5 = 0.Respuesta: a) hiperboloide de una hoja (en torno al eje x); b) paraboloide hiperblico; c) hiperboloide deuna hoja, con centro en (3, 2, -2)26. Halle la ecuacin de una curva que, cuando gira en torno a un eje adecuado, resulta en el paraboloide y2 + z2- 2x = 0.Respuesta: y = s[2x o z = V2x, en torno al eje x.27. Determine la ecuacin de la superficie obtenida al girar la curva indicada en torno al eje dado. Identifique eltipo de superficie: a) x = y2 en torno al eje x; b) x = 2y en torno al eje x.------------- 4^Respuesta: a) x = y 2 + z 2 (paraboloide c ircu la r); b) y 2 + z2 = ^ (cono c ircu la r recto).CAPTULO 51 Superficies y curvas en el espacio www.FreeLibros.meDerivadas direccionales. Valores mximos y mnimosDerivadas direccionalesSea P(x, y, z) un punto en una superficie z = f x , y). Por P pasan los planos paralelos a los planos xz y yz, que cortan la superficie en los arcos PR y PS, y cortan el plano xy en las rectas P *M y P*N , como se muestra en la figura 52.1. Observe que P* es la base de P, que es perpendicular al plano xy. Las derivadas parciales |z y |y, evaluadas en P*(x, y) dan, respectivamente, las razones de cambio de z = P*P cuando y y cuando x se mantienen fijas. Dicho de otro modo, dan las variaciones de z en las direcciones paralelas a los ejes x y y. Estas razones de cambio son las pendientes de las tangentes de las curvas PR y PS en P.zFigura 52.1Considere ahora un plano que pasa por P, que es perpendicular al plano xy y que forma un ngulo 9 con ele eje x. Se que corte la superficie en la curva PQ y el plano xy en la recta P*L. La derivada direccional defx, y)en P* en la direccin 9 est dada pordz dz ~ dz ~ / c q i \dS = dx cosA + ^ y sen0 (52.1)La direccin 9 es la direccin del vector (cos 0)i + (sen 0)j.Con la derivada direccional se obtiene la razn de cambio de z = P*P en la direccin de P*L; esto es igual a la pendiente de la tangente a la curva PQ en P (vase el problema 1).^ 448^ www.FreeLibros.me-^ 449^La derivada direccional en un punto P* es una funcin de 0. Ms adelante se ver que existe una direccin, determinada por un vector denominado gradiente de f en P* (vase el captulo 53), para el cual la derivada direccional en P* tiene un valor mximo. Ese valor mximo es la pendiente de la tangente ms inclinada que pueda trazarse a la superficie en P.Para una funcin w = F(x, y, z), la derivada direccional en P(x, y, z) en la direccin determinada por los ngulos a, p, y est dada pordF dF dF _ dF- 3- = -=r cos a + ^ cos li + ^ cos y ds dx dy ^ dzPor la direccin determinada por a, P y y se entiende la direccin del vector (cos a)i + (cos P)j + (cos y)k. Valores mximos y mnimos relativosSupngase que z = fx, y) tiene un valor mximo (o mnimo) relativo en P0(x0, y0, z0). Todo plano que pasa por P0 perpendicular al plano xy cortar la superficie en una curva que tenga un punto mximo (o mnimo) relativo^ f ^ fen P0. As, la derivada direcciona ^ cos0 + s en# de z = fx, y) debe ser igual a cero en P0. En particular,cuando 0 = 0, sen 0 = 0 y cos 9 = 1, de manera que ^ = 0. Cuando 0 = ^ , sen 0 = 1 y cos 0 = 0, de modo quef = 0. Por tanto, se llega al teorema siguiente.Teorema 52 .1 . Si z = f x , y) tiene un extremo relativo en P 0(x0, y0, z0) y ^ f y existe en (x0, y0), entonces ^ f = 0^f x y xy J L = 0 en (xq, ye). dyVale la pena mencionar, sin la demostracin correspondiente, las siguientes condiciones suficientes para la existencia de un mximo o mnimo relativos.Teorema 52 .2 . Sea z = f(x, y) que tiene primera y segunda derivada en un conjunto abierto incluido un punto (x0,y0) en el cual f = 0 y f = 0. Se define A = f j j Supngase que A < 0 en (x0, y0). Entonces:z = f (x, y) tiene1 t- / \ d" f d2 f nun m nimo relativo en (x0, y0) si -^x^ + -dy T > 0 d2f d2f nun m ximo relativo en (x0, y0) si + -dy T < 0Si A > 0, no hay un mximo ni un mnimo relativo en (x0, y0). Si A = 0, no se tiene informacin.Valores mximos y mnimos absolutosSea A un conjunto de puntos en el plano xy. Se dice que A est acotado si A est incluida en algn disco. Porcomplemento de A en el plano xy se entiende el conjunto de todos los puntos en el plano xy que no est en A.Se dice que A es cerrado si el complemento de A es un conjunto abierto.EJEMPLO 5 2 .1 . Los siguientes son ejemplos de conjuntos cerrados y acotados.a) Todo disco cerrado D, es decir, el conjunto de todos los puntos cuya distancia al punto fijo sea menor o igual que algn nmero r fijo positivo. (Ntese que el complemento de D es abierto porque cualquier punto que no est en D puede ser rodeado por un disco abierto que no tenga puntos en D .)b) El interior y el lmite de todo rectngulo. Ms generalmente, el interior y el lmite de toda curva simple cerrada, es decir, una curva que no se interseque a s misma salvo en sus puntos inicial y terminal.CAPTULO 52 Derivadas dlrecclonales. Valores mximos y mnimos www.FreeLibros.meCAPTULO 52 Derivadas dlrecclonales. Valores m xim os y mnimosTeorema 52 .3 . Seafx, y) una funcin continua en un conjunto cerrado y acotado A. Entoncesf tiene un valormximo absoluto y un valor mnimo absoluto en A.Una demostracin del teorema 52.3 remite al lector a textos ms avanzados. Para tres o ms variables puede deducirse un resultado anlogo.PROBLEMAS RESUELTOS1. Deduzca la frmula (52.1)En la figura 52.1, sea P **(x + Ax, y + Ay) un segundo punto en P*L y dentese por As la distancia P*P**. Supngase que z = fx, y) posee primeras derivadas parciales continuas y se obtiene, por el teorema 49.1,Az= Ax + Ay + e1Ax + e2 Aydonde e 1 y e 2 ^ 0 cuando Ax y Ay ^ 0. La razn promedio de cambio entre los puntos P* y P** esAz _ d z Ax ,d z y^ , c Ax AyAs 3x As dy As As As= j x co s0 + - |y sen0 + e 1c o s0 + e 2sen0donde 0 es el ngulo que la recta P *P ** forma con el eje x. Ahora, sea P** ^ P* a lo largo de P*L. La derivada direccional en P*, es decir, la razn de cambio instantnea de z, es entoncesd z = -5^ c o s e + l ^ sen6 ds dx dy2. Encuentre la derivada direccional de z = x2 - 6y2 en P* (7, 2) en la direccin a) 0 = 45; b) 0 = 135.La derivada direccional en cualquier punto P*(x, y) en la direccin 0 esco s0 + ^ sen 0= 2x co s0 - 12y sen0 ds dx dy 7a) En P*(7, 2) en la direccin 0 = 45,dg = 2(7)(V2) - 12(2)(*>/2) = -572b) En P*(7, 2) en la direccin 0 = 135,dg = 2(7)(- ^ V2) - 12(2)(-jV2) = -19>/23. Encuentre la derivada direccional de z = ye1 en P*(0, 3) en la direccin a) 0 = 30; b) 0 = 120.Aqu, dz/ds = ye1 cos 0 + e sen 0.a) En (0, 3) en la direccin 0 = 30 dz/ds = 3(1) (-j>/3) + 4 = t(3%/3 + 1).b) En (0, 3) en la direccin 0 = 120 dz/ds = 3(1) (--j) + y>/3 = t(-3 + ->/3).4. La temperatura T de una placa circular en un punto (x, y) est dada por T = x2 +6y2 + 2 , donde el origen es el centro de la placa. En el punto (1, 2), determine la razn de cambio de T en la direccin 0 = ft/3. www.FreeLibros.meSe tiene qued T =____64(2x) cqs0 _____64(2y ^ sen0ds (x2 + y 2 + 2)2 cos (x 2 + y 2 + 2)2 senPor tanto, (3, 4) en la direccin indicada ~ 25 \^ d j5 ) ^ 25 _ "25"6. Encuentre la derivada direccional mxima para la superficie y el punto del problema 2.En P*(7, 2) en la direccin 0, dz/ds = 14 cos 0 - 24 sen 0.Para hallar el valor de 0para el cual jr; es un mximo, sea | SJ = -14 sen0- 24 cos 0 = 0.. Entonces, tan 6 = -24 = - 12 y 0 es un ngulo del segundo o del cuarto cuadrante. Para el ngulo del segundo cuadrante sen 0= 12/V193 y cos =-7A/193. Para el ngulo del cuarto cuadrante, sen0 = -12/V 193 y cos 0=7/V 193.Como - j z ( I = (_14 sen0- 24 cos 0) = -14 cos 0 + 24 sen0 es negativo para el ngulo del cuartodo \ds do \ \cuadrante, la derivada direccional mxima es = 141 r7 I - 241 i ^ = = 2^ /193, y la direccin esdz ^7193) \ V93) *0 = 300 15'.- # 451^En (1, 2) en la direccin 0 = | , T = - i g 8 1 - = " 69a + 2 ^5. El potencial elctrico V en un punto (x, y) est dado por V = ln ,Jx 2 + y2. Determine la razn de cambio de V en el punto (3, 4) segn la direccin del punto (2, 6).Aqu,2 x 2 cos0 + 2 y 2 sen0 ds x2 + y2 x2 + y2Como 0 es un ngulo del segundo cuadrante y tan 0 = (6 - 4)/(2 - 3) = -2, cos 0 = -H y[5 y sen 0 = 2/V5., V = ( _ _ L 1 + = V57. Encuentre la derivada direccional mxima para la funcin y el punto del problema 3.En P*(0, 3) en la direccin 0, dz/ds = 3 cos 0 + sen 0.Para hallar el valor de 0 para el cual - es un mximo, sea 1 = -3 sen0 + cos 0 = 0. Entonces,F ds 0 \ ds) tan 0 = | y 0 es un ngulo del primer o del tercer cuadrante.Como 2 1 s J = d (-3 sen0+ cos 0) = -3 cos 0 - sen0 es negativo para el ngulo del primercuadrante, la derivada direccional mxima es = 3 3 + ^ = -J^, y la direccin es 0 = 18 26'.ds V1q T1q v j8. En el problema 5, demuestre que V cambia ms rpidamente a lo largo del conjunto de rectas radiales que pasan por el origen.En cualquier punto (x,, y.) en la direccin 0, ,x1 , cos0H ^ ^ sen0. Ahora V cambia msI \ x x?+ y? x? + y2 / 2 + 2)rpidamente cuando d | =--, x1 2 sen0+ , y1 , cos0 = 0 y, entonces, tan 0 = y1 . X\ 2^- = . As,^ d6 \ d s ) x12 + yf x12 + yr x1/(x12 + y12) x10 es el ngulo de inclinacin de la recta que une el origen y el punto (x1, y1).9. Halle la derivada direccional de F(x, y, z) = xy + 2xz - y2 + z2 en el punto (1, -2, 1) a lo largo de la curva x = t,y = t - 3, z = t2 en la direccin de z creciente.Un conjunto de nmeros direccionales da la tangente a la curva en (1, -2, 1) es [1, 1, 2]; los cosenos directores son [ 1^ >/6, 1/>/ , 2/V6 ]. La derivada direccional esco sa + ^ F cosfi + ^ Z- co sy = 0 -^ + 5-L- + 4 = 136 6 dx dy H dz ' V V6 V6 6CAPTULO 52 Derivadas direccionales. Valores mximos y mnimos www.FreeLibros.meCAPTULO 52 Derivadas dlrecclonales. Valores m xim os y mnimos10. Analice los valores mximos y mnimos def x , y) = x2 + y2 - 4x + 6y + 25.r)f r)fLas condiciones ^ = 2x - 4 = 0 y -^ y- = 2y + 6 = 0 se satisfacen cuando x = 2 y y = -3. Comof x , y) = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) + 25 - 4 - 9 = (x - 2)2 + (y + 3)3 + 12es evidente que f (2, -3) = 12 es el valor mnimo absoluto de la funcin. Geomtricamente, (2, -3, 12) es el punto mnimo de la superficie z = x2 + y2 - 4x + 6y + 25. Claramente,f x , y) no tiene valor mximo absoluto.11. Analice los valores mximos y mnimos def x , y) = x3 + y3 + 3xy.r)f r)fSe utilizar el teorema 52.2. Las condiciones = 3(x2 + y) = 0 y -=y- = 3(y2 + x) = 0 se satisfacen cuandox = 0 y y = 0 y cuando x = -1 y y = -1.d2 f d2 f d2 fEn (0, 0), -=-4- = 6x = 0, f =3 y -=-4- = 6y = 0. Entonces,dx2 dx dy dy2 J( _ 3 f ^ 2_ ( d _ f V 3 f 9> 0 U x 3y) U x 2 l U y2 1 9 > 0y (0, 0) no resulta en un mnimo ni un mximo relativo.i ! dyEn ( -1 , - 1 ) , l = _ 6, = 3 y = 6 . Entonces,dx dy( S y )2- ( f Tf^iyt W < 0 y 3^ +dx2 9y2 < 0Por tanto, f(-1, -1) = 1 es el valor mximo relativo de la funcin.Claramente, no hay valores mximos ni mnimos absolutos. (Cuando y = 0, fx , y) = x3 pueden hacerse arbitrariamente grande o pequeo.)12. Divida 120 en tres partes no negativas tales que la suma de los productos tomados de dos en dos sea mxima.Sean x, y, y 120 - (x + y) las tres partes. La funcin por ser analizada es S = xy + (x + y)(120 - x - y). Como0 < x + y < 120, el dominio de la funcin consta del tringulo slido mostrado en la figura 52.2. El teorema 52.3 garantiza un mximo absoluto.Ahora,-jx = y + (120 - x - y) - (x + y) = 120 - 2x - y y = x + (120 - x - y) - (x + y) = 120 - x - 2yy www.FreeLibros.me-----5^Al igualar dS/dx = dS/dy = 0 resulta 2x + y = 120 y x + 2y = 120.La solucin simultnea da x = 40, y = 40 y 120 -(x + 4) = 40 como las tres partes, y S = 3(402) = 4800.Entonces, si el mximo absoluto ocurre en el interior del tringulo, el teorema 52.1 indica que se ha hallado.An es necesario revisar el lmite del tringulo. Cuando y = 0, S = x(120 - x). Entonces, dS/dx = 120 - 2x y el nmero crtico es x = 60. El valor mximo correspondiente de S es 60(60) = 3600, que es < 4800. Un resultado semejante se cumple cuando x = 0. Finalmente, en la hipotenusa, donde y = 120 - x, S = x(120 - x) y se obtiene de nuevo un mximo de 3600. Por consiguiente, el mximo absoluto es 4800 y x = y = z = 40.13. Determine el punto del plano 2x - y + 2z = 16 ms prximo al origen.Sea (x, y, z) el punto requerido; entonces, el cuadrado de su distancia al origen es D = x2 + y2 + z2. Como tambin 2x - y + 2z = 16, se tiene que y = 2x + 2z - 16 y D = x2 + (2x + 2z - 16)2 + z2.Luego, las condiciones dD/dy = 2x + 4(2x + 2z - 16) = 0 y dD/dz = 4(2x + 2z - 16) + 2z = 0 equivalen a 5x + 4z = 32 y 4x + 5z = 32, y x = z = Como se sabe que existe un punto para el cual D es un mnimo,( f ,-16,42) es ese punto.14. Demuestre que un paraleleppedo rectangular de volumen mximo V con rea de superficie constante S es un cubo.Sean x, y y z las dimensiones. Entonces, V = xyz y S = 2(xy + yz + zx).Pueden despejarse z en la segunda relacin y sustituirse en la primera, para expresar V como funcin de x y y. Es preferible evitar este paso simplemente tratando z como una funcin de x y y. Entonces,IV - % -- x z+ xy f -0 - 2(y+z+x| +>), i -0 - 2(x+z+xI +y fDe las dos ltimas ecuaciones, y 3 _ _ x ^ Z _. a i sustituir en las primeras se llega a lasdx x + y dy x + ycondiciones $ X = yz - xy(y + z) = 0 y ^ X = xz - xy(x + z) = 0, las cuales se reducen a y2(z - x) = 0 y x2(z - y) x J x + y J dy x + y J J J= 0. As, x = y = z, como se solicit.15. Determine el volumen V del paraleleppedo rectangular ms grande que puede inscribirse en el elipsoide+y2+zL = 1a2 + b2 + c2Sea P(x, y, z) un vrtice en el primer octante. Entonces, V = 8xyz. Considere z como una funcin de las variables independientes x y y dada por la ecuacin del elipsoide. Las condiciones necesarias para un mximo son:i x = 8(yz + 0 y w = 8(x z + = 0 (1)De la ecuacin del elipsoide se obtiene O' + ^ d x = 0 y by + ^ jjy"= 0. Se elimina dz/dx y dz/dy entre estas relaciones y (1) para obtenery finalmente,dV 8 c2x2y | . dV 8 (x. c2xy2 ) 0d x - j - 0 y a y - 8 \Xz ~ ~ b 2r 0x2 _ z2 _ y2a2 c2 b2 (2)Se combina (2) con la ecuacin del elipsoide para obtener x = ^ >^/3/3, y = b^ 3 /3 y z = c \3 /3. Entonces,V = 8xyz = ('^'j3/9)abc unidades cbicas.CAPTULO 52 Derivadas dlrecclonales. Valores mximos y mnimos www.FreeLibros.meCAPTULO 52 Derivadas direccionales. Valores m xim os y mnimosPROBLEMAS COMPLEMENTARIOS16. Encuentre las derivadas direccionales de la funcin dada en el punto indicado en la direccin sealada.a) z = x2 + xy + y2, (3, 1), Q = y.b) z = x3 - 3xy + y3, (2, 1), Q = tan~j(f)..c) z = y + x cos xy, (0, 0), 9 = y.d) z = 2x2 + 3xy - y2, (1, 1), hacia (2, 1).Respuestas: a) \ ( J + 5^ 3); b) 21^ 13/13;; c) t(1 + V3); d) 11>/57517. Encuentre la derivada direccional mxima para cada una de las funciones del problema 16 en el punto indicado.Respuestas: a) v/74; b) 3^ 10; c) >/2; d) ^ 2618. Demuestre que la derivada direccional mxima de V = ln -Jx2 + y2 del problema 8 es constante a lo largo de todo crculo x2 + y2 = r2.19. Sobre una colina representada por z = 8 - 4x2 - 2y2, encuentre a) la direccin de la mxima pendiente en (1, 1, 2) y b) la direccin de la lnea de nivel (direccin para la cual z = constante). Ntese que las direcciones son mutuamente perpendiculares.Respuestas: a) tan-1(^ ), tercer cuadrante; b) tan-1(-2)20. Demuestre que la suma de los cuadrados de las derivadas direccionales de z = f(x, y) en cualquiera de sus puntos es constante para cualquier par de direcciones perpendiculares y es igual al cuadrado de la derivada direccional mxima.21. Dadas z = fx, y) y w = g(x, y) tales que dz/dx = dw/dy y dz/dy = -dw/dx. Si dj y 02 son dos direcciones mutuamente perpendiculares, pruebe que en cualquier punto P(x, y), dz/ds1 = dw/ds2 y dz/ds2 = 3w/3s1.22. Determine la derivada direccional de la funcin dada en el punto indicada y en la direccin sealada:a) xy2z, (2, 1, 3), [1, -2, 2].b) x2 + y2 + z2, (1, 1, 1) hacia (2, 3, 4).c) x2 + y2 - 2xz, (1, 3, 2), a lo largo de x2 + y2 - 2xz = 6, 3x2 - y2 + 3z = 0 en la direccin de z creciente.Respuestas: a) - t7; b) 6^ /^ 4/7; c) 023. Analice los valores mximos y mnimos relativos para cada una de las funciones siguientes:mximo = 2 cuando x = 1, y = 2 mnimo = -1 cuando x = 1, y = 1 mnimo = 0 cuando x = 0, y = 0 ni mximo ni mnimoa) z =2x + 4y - x2 - y2 -3b) z = x3 + y3 - 3xyc) z = x2 + 2xy + 2y2d) z= (x-y)(1 - xy)e) z = 2x2 + y2 + 6xy + 10x -6y + 5f ) z =3x -3y -2x3 - xy2 + 2x2y + y3Respuesta:RespuestaRespuestaRespuestaRespuestaRespuestag) z = xy(2x + 4y +1) Respuesta:ni mximo ni mnimo mnimo = - -J6 cuando x = ->/6 /6, y = -J6/3; mximo = \[6 cuando x = y6 / 6, y = - V/3.mximo = ^ jg cuando x = --J, y = 24. Halle nmeros positivos x , y, z tales quea) x + y + z= 18y xyz es un mximoc) x + y + z=20y xyz2 es un mximoRespuestas: a) x = y = z = 6; b) x = y = z = 3; c) x = y = 5, z = 10; d) x = 2, y = 4, z = 6b) xyz = 27 y x + y + z es un mnimod) x + y + z = 12 y xy2z3 es un mximo www.FreeLibros.me-----5^25. Encuentre el valor mnimo del cuadrado de la distancia del origen al plano Ax + By + Cz + D = 0.Respuesta: D2/(A2 + B2 + C2)26. a) El rea de la superficie de una caja rectangular sin tapa es de 108 pies2. Halle su mximo volumenposible.b) El volumen de una caja rectangular sin tapa es de 500 pies3. Halle su rea de superficie mnima.Respuestas: a) 108 pies3; b) 300 pies227. Encuentre el punto en z = xy - 1 ms prximo al origen.Respuesta: (0, 0, -1)28. Encuentre la ecuacin del plano que pasa por (1, 1, 2) y que corta el mnimo volumen en el primer octante.Respuesta: 2x + 2y + z = 629. Determine los valores de p y q de manera que la suma S de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos (0, 2), (1, 3) y (2, 5) a la recta y = px + q sea un mnimo. [Sugerencia: S = (q - 2)2 + (p + q - 3)2 + (2p + q - 5)2.]Respuesta: p = f; q = HCAPTULO 52 Derivadas direccionales. Valores mximos y mnimos www.FreeLibros.meDerivacin e integracin de vectoresDerivacin vectorialSeanr = i/1(t) + jf2(t) + k/3(t) = if + j f + k f s = igx(t) + jg2(t) + kg3(t) = ig1 + jg2 + kg3u = ih 1(t) + jh2(t) + kh3(t) = ih 1 + jh2 + kh3vectores cuyas componentes son funciones de una sola variable escalar t, con primeras y segundas derivadas continuas.Es posible mostrar, como en el captulo 39 para vectores en el plano, qued dr dsd ( r . s) = d s + r . d (53.1)Asimismo, a partir de las propiedades de los determinantes cuyas entradas son funciones de una sola variable, se tiene qued dd (r X s) = di j k i j k i j kf 2 /3 = f i f 2 Si + f f f3g, g 2 g3 g1 g2 g3 g'l g2 g3dr ds= -77 x s + r x - 7- dt dtd r , ... d r . . ( ds \ ( dud [r. (s x u)]= t (s x u)+r . U x u l+ r . 1s x dEstas frmulas se pueden verificar desarrollando los productos antes de derivar. De (53.2) se deduce qued dr dd t [r x (s x u)] = d x (s x u) + r x d (s x u)dr , ( ds \ ( du= d t X (s X u) + r X I d X u j + r xl s X - t(53.2)(53.3)(53.4)^ 456^ -y www.FreeLibros.me-^ 457^Curvas en el espacioConsidere la curva en el espaciox = f ( t), y = g(t), z = h(t) (53.5)donde f(t), g(t) y h(t) tienen primeras y segundas derivadas continuas. Sea el siguiente el vector de posicin de un punto general variable P(x, y, z) de la curva:r = xi + yj + zkdrComo en el captulo 39, t = ~d~ es el vector unitario tangente a la curva. Si R es el vector de posicin de un punto (X, Y, Z) en la tangente en P, la ecuacin vectorial de esta recta es (vase el captulo 50)R - r = kt para una variable escalar k (53.6)y las ecuaciones en las coordenadas rectangulares sonX - x = Y - y = Z - z dx /ds _ dy /d s ~ dz /ds es un conjunto de cosenos directores de la recta. En la correspondiente ecuacin (51.2) sedx dy dz dt dt dtdx dy dz d s ' d s dsdondeutiliz un conjunto de nmeros directoresLa ecuacin vectorial del plano normal a la curva en P est dada por(R - r) t = 0 (53.7)donde R es el vector posicin de un punto general del plano.De nuevo, como en el captulo 39,4- es un vector perpendicular a t. Si n es un vector unitario con direccindt ds-, entoncesdsd s = IK ln,dsdonde IZl es la magnitud de la curvatura en P. El vector unitario1 dtse denomina normal principal a la curva en P El vector unitario b en P, definido porIKI ds (53.8)b = t x n (53.9)recibe el nombre de binormal en P. Los tres vectores t, n y b forman en P una trada a la derecha (dextrgira) de vectores ortogonales entre s (vanse los problemas 1 y 2).En un punto general P de una curva en el espacio (fig. 53.1), los vectores t, n y b determinan tres planos perpendiculares entre s:1. El plano osculador, que contiene a t y n, de ecuacin (R - r) b = 02. El plano normal, que contiene a n y b, de ecuacin (R - r) t = 03. El plano rectificador, que contiene a t y b, de ecuacin (R - r) n = 0nCAPTULO 53 Derivacin e integracin de vectores www.FreeLibros.meCAPTULO 53 Derivacin e integracin de vectoreszFig. 53.1En cada ecuacin, R es el vector de posicin de un punto general en el plano en particular.SuperficiesSea F (x, y, z) = 0 la ecuacin de una superficie (vase el captulo 51). U na representacin param trica resulta cuando x, y y z se escriben com o funciones de dos variables independientes o parm etros u y v; por ejemplo,x = f i(u, v), y = f"(u, v), z = f3(u, v) (53.10)Cuando u se sustituye por un valor constante u0, (53.10) se convierte enx = f1(uo, v), y = f"(uo, v), z = f3(uo, v) (53.11)la ecuacin de una curva en el espacio (curva u) que est sobre la superficie. D e igual modo, cuando v se rem plaza por una constante v0, (53.10) se convierte enx = f ( u , vo), y = f"(u, vo), z = f3(u, vo) (53.12)la ecuacin de otra curva en el espacio (curva u) sobre la superficie. Las dos curvas se intersecan en un punto de la superficie obtenido al sustituir u = u0 y v = v0, sim ultneam ente, en (53.10).E l vector de posicin de un punto general P de la superficie est dado porr = xi + yj + zk = i/(u, v) + jf"(u, v) + k f 3(u, v) (52.13)Supngase que (53.11) y (53.12) son las curvas u y v que pasan por P . Entonces, en P ,i = i^ f l (Uo, v) + ji b f 2 (Uo, v ) + kl ! v f 3(uo, v)es un vector tangente a la curva u , y|u = i " , ^ + j 5uf2(u- v" ) + k T u f >{" ' ^ www.FreeLibros.me- # 459~^es un vector tangente a la curva v. Las dos tangentes determinan un plano que es el plano tangente a la superdr drficie en P (fig. 53.2). Evidentemente, una normal a este plano est dada por x ^ La normal unitaria a la superficie en P est definida pordr drdu X dvdr drdu X dv(53.14)Fig. 53.2Si R es el vector de posicin de un punto general sobre la normal a la superficie en P, su ecuacin vectorial esr 9r ' (53.15)(R - r)=k x a iSi R es el vector de posicin de un punto general en el plano tangente a la superficie en P, su ecuacin vectorial es(R - r) -I X11 = 0 (53.16)(Vase el problema 3.) El operador VEn el captulo 52, la derivada direccional de z = f(x , y) en un punto arbitrario (x, y) y en una direccin que forma un ngulo 0 con el eje x positivo se expresa comodz d f d f ~ r = ^ - cos + ^ r- sen ds dx dySe escribecos0 + |ysen0 = |^ if + jf (icos0 + j sen0) (53.17)Ahora a = i cos 0 + j sen 0 es un vector unitario cuya direccin forma un ngulo 0 con el eje x positivo. Elotro factor en el miembro derecho de (53.17), cuando se escribe como I i + j I f , indicada la definicin de un operador diferencial vectorial V (del), definido por ^ 'nCAPTULO 53 Derivacin e integracin de vectores www.FreeLibros.meCAPTULO 53 Derivacin e Integracin de vectoresV _ i dx + j dy (53.18)En el anlisis vectorial, V = i + j se denom ina gradiente de f o g ra d f. D e (53.17) deducim os que lacom ponente de V f en la direccin de un vector unitario a es la derivada direccional de f en la direccin de a. Sea r = xi + yj el vector de posicin de P(x, y). Comod f _ d f dx d f dyds dx ds dy ds d f . d fi + i i dx + J dydxds 'd sds= Vf I cos d rdonde f es el ngulo entre los vectores V f y , se desprende que es m xim o cuando cos f = 1, es decir,d fd r dscuando V f y y s tienen la m ism a direccin. As, el valor m xim o de la derivada direccional en P es Vf I y sudireccin es la de Vf. (Com prese con el anlisis sobre derivadas direccionales m xim as en el captulo 52.)(Vase el problem a 4.)Para w = F(x, y, z), se define_ .d F ,d F dFi dx + J dy + dzY la derivada direccional de F(x, y, z) en un punto arbitrario P(x, y, z) en la direccin a = a 1i + a j + a2k esd Fd r = y F - a (53.19)Com o en el caso de funciones de dos variables, IVFI es el valor m xim o de la derivada direccional de F(x, y, z) en P(x, y, z), y su direccin es la de V F (vase el problem a 5.)Considrese ahora la superficie F(x, y, z) = 0. La ecuacin del plano tangente a la superficie en uno de sus puntos P0(x0, y0, z0) est dada pordF dF dF(x ~ x www.FreeLibros.me- # 461^La ro tac io n a l de una funcin vectorial F, o del cross, est definida porro t F = V x F :i j k d_dx dy dzf f 2 f 3d y f d z f 2 Ji + 1 d z f dx f J j +1 dx f d y f l lkddz'd_ dx ' ddx ' (53.22)(Vase el problem a 8.)IntegracinL a explicacin sobre integracin se lim itar a la integracin ordinaria de vectores y a las llam adas integrales de lnea (curvilneas). Com o ejem plo de la prim era, seaF(u) = i cos u + j sen u + aukun vector que depende de la variable escalar u. Entonces,F'(u) = - isen u + jcos u + aky J F' (u)du = J (- i senu + j cos u + ak) du= iJ - s e n u du + jj c o s u du + kJa du = i cos u + j senu + auk + c = F(u) + cdonde c es un vector constante arbitrario de u. Adems, " b F '(u) du = [F(m) + c]=a = F(b) - F(a)Ju=a(Vanse los problem as 9 y 10.)Integrales de lnea (curvilneas)Considrese dos puntos P 0 y P 1 en el espacio, unidos por un arco C. El arco puede ser un segmento de una lnea recta o una parte de una curva en el espacio x = g 1(t), y = g2(t), z = g3(t), o puede constar de varios subarcos de curvas. En cualquier caso, supngase que C es continua en cada uno de sus puntos y que no se interseca a s m ism a. Considere, adems, la funcin vectorialF = F(x, y, z) = i/i(x , y, z) + jf 2(x , y , z) + f x , y, z),que en todo punto de una regin en torno a C, en particular en todo punto C, define un vector de m agnitud y direccin conocidas. Se representa porr = xi + yj + zk (53.23)CAPTULO 53 Derivacin e integracin de vectores www.FreeLibros.meCAPTULO 53 Derivacin e integracin de vectoresel vector de posicin de P(x, y, z) en C. La integralfP 0 ( F . d) d = | > . d r (53.24)se denomina integral de lnea (curvilnea), es decir, una integral a lo largo de un camino C dado.Como ejemplo, sea F una fuerza. El trabajo realizado por ella al mover una partcula sobre dr est dado por (vase el problema 16, del captulo 39)iF iidr i cos q = F x dry el trabajo realizado al mover la partcula de P0 a P1 a lo largo del arco C est dado porf P F . drCP0De (53.23)dr = i dx + j dy + k dzy (53.24) se convierte en1P F . dr = J Pp ( f dx + f2 dy + f dz) (53.25)(Vase el problema 11.)PROBLEMAS RESUELTOS1. Una partcula se mueve a lo largo de la curva x = 4 cos t, y = 4 sen t, z = 6t. Determine la magnitud de su velocidad y su aceleracin en los instantes t = 0 y t = 2 n.Sea P(x, y , z) un punto en la curva yr = xi + yj + zk = 4i cos t + 4j sen t + 6ktsu vector de posicin. Entonces,dr d 2rv = d t = -4i sin + 4j cos + 6k y a = = - 4i cos - 4j sen tdt2En = 0:En = ^ ^ :v = 4j + 6k a = -4i v = -4i + 6 k a = -4iIv i = V16 + 36 = 2>/3 Ia I = 4Iv i = V 16 + 36 = 2-J13IaI = 4 www.FreeLibros.me-^ 463^2. En el punto (1, 1, 1) o t = 1 de la curva en el espacio x = t, y = t2, z = t3, determine:a) Las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal.b) La tangente unitaria, la normal principal y la binormal.c) Las ecuaciones de la normal principal y la binormal.Se tiene quer = ti + t2j + t3kdrdtd r = i + 2tj + 3t2kdsdt = y 1 + 4t2 + 9t4t _ dr _ dr L _ i + 2tj +3t2kds dt ds ^1 + 4 t2 + 9t4En t = 1, r = i + j + k y t = ^ 4 (i + 2j + 3k ) .a) Si R es el vector de posicin de un punto general (X , Y, Z) en la recta tangente, su ecuacin vectorial es R- r = kt o(X - =)i + (Y - =)j + (Z - =)k = (i + 2j + 3k)y sus ecuaciones rectangulares (cartesianas) sonX -1 = Y -1 = Z -11 2 3Si R es el vector de posicin de un punto general (X, Y, Z) en el plano normal, se ecuacin vectorial es (R - r ) x t = 0 o[(X - 1 ) i + (y -1 ) j + (Z - 1 ) k ] - ^ = (i + 2j + 3k) = 0 y su ecuacin rectangular (cartesiana) es(X - 1) + 2(Y - 1) + 3(Z - 1) = X + 2Y + 3Z - 6 = 0(Vase el problema 2a) del captulo 51.)b) dt _ dt d _ (-4t - 18t3)i + (2 - 18t4)j + (6t + 12t3)kb) W o r l f r l cds dt ds En t = 1,Entonces,(1 + 4t2 + 9t4)2dt _ -11i - 8 j + 9k V dt 1 /ds 98 y ds 7 V1 dt -11i - 8 j + 9k\K\ ds V266b = t x n = V4>/266i j k1 2 3-11 - 8 9 -v/19(3i - 3j + k )c) Si R es el vector de posicin de un punto general (X, Y, Z) en la normal principal, su ecuacin vectorial es R - r = kn, o(X - 1)i + 2 (Y - 1)j + 3 (Z - 1)k = k-11i - 8 j + 9kV266n =1yCAPTULO 53 Derivacin e Integracin de vectores www.FreeLibros.meC A P T U L O 53 Derivacin e integracin de vectoresy las ecuaciones en coordenadas rectangulares sonX - 1 = Y - 1 = Z - 1- 1 1 - 8 9Si R es el vector de posicin de un punto general (X , Y , Z) en la binormal, su ecuacin vectorial es R - r =kb o1V , v 1 V , v . . . . , 3 i - 3 j + k(X - 1)i + (Y - 1)j + (Z - 1)k = k y las ecuaciones en coordenadas rectangulares sonX - 1 = Y - 1 = Z - 13 - 3 13. Halla las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie x = 2(u + v), y = 3(u - v), z = uv enel punto P(u = 2, v = 1).Aqu3r 3 rr = 2(u + v)i + 3(u - v)j + uvk, = 2i + 3j + uk , = 2i - 3j + ukdu dvy en e l p u n to P ,r = 6 i + 3 j + 2 k , = 2 i + 3 j + k , - = 2 i - 3j + 2 kdu dvy | x | = 9 i - 2j - 12kdu avL a s e c u a c io n e s v e c to r ia l y r e c ta n g u la r (c a r te s ia n a ) d e la r e c ta n o rm a l so nr _ r = k ^ x ^ - du dvo (X - 6 )i + ( Y - 3 ) j + ( Z - 2 )k = k (9 i - 2 j - 12 k )X - 6 + Y - 3 = Z - 2 y 9 + - 2 - 12L a s e c u a c io n e s v e c to r ia l y r e c ta n g u la r (c a r te s ia n a ) d e l p la n o ta n g e n te so n(R - r ) . (I - x ! v ) - 0o [(X - 6 )i + ( Y - 3 ) j + ( Z - 2 )k ] [9 i - 2 j - 1 2 k ] = 0y 9 X - 2 Y - 1 2 Z - 2 4 = 04 . a ) E n c u e n tre la d e r iv a d a d ir e c c io n a l d e f x , y ) = x 2 - 6 y 2 en e l p u n to (7 , 2) e n la d ir e c c i n 0 = ^ n .b) H a lle e l v a lo r m x im o d e la d e r iv a d a d ir e c c io n a l en (7 , 2).a ) V f= ( i H x+jHy) (x2 _ 6y2) = i H x (x2 _ 6y2) + j (x2 _ 6y2) =2xi _ 1 2 yj ya = icos0 + isen0 = i + L jV 2 -Jl www.FreeLibros.me^ 465^E n (7 , 2 ), V f = 14 i - 24 j yV f a = ( l 4 i - 24j ) i + J = j j = 7 V 2 - 1 2 ^ 2 = - 5 ^ 2e s la d e r iv a d a d ir e c t io n a l.fc) E n (7 , 2 ), c o n V / = 1 4 i - 2 4 j , I V / l = >/1 4 2 + 2 4 2 = 2>/193 e s la m x im a d e r iv a d a d ir e c c io n a l. P u e s to q u eV f 7 12= i 7= = i co s0 + jsen|Vf| V 93 V 93 J Jj = i co s0 + jsen 0la d ir e c c i n es 0 = 3 0 0 1 5 ' (v a s e lo s p r o b le m a s 2 y 6 d e l c a p tu lo 5 2 ).5. a) E n c u e n tre la d e r iv a d a d ir e c c io n a l d e F ( x , y , z ) = x 2 - 2 y 2 + 4 z 2 e n P ( 1 , 1, - 1 ) en la d ir e c c i n a = 2i + j - k . b) D e te r m in e e l v a lo r m x im o d e la d e r iv a d a d ir e c c io n a l e n P.y en ( 1 , 1 , - 1 ) , V F = 2 i - 4j - 8k .a) V F x a = (2 i - 4j - 8k ) x (2 i + j - k ) = 8b) E n P , |V F | = \/84 = ^ V 2 T . L a d ir e c c i n es a = 2i - 4j - 8k6. D a d a la s u p e r f ic ie F ( x , y , z ) = x 3 + 3 x y z + 2 y3 - z3 - 5 = 0 y u n o d e su s p u n to s P 0( 1 , 1 , 1 ) , d e te rm in e a) unan o rm a l u n ita ria a la s u p e r f ic ie e n P 0; b) la s e c u a c io n e s d e la r e c ta n o rm a l e n P 0, y c) la e c u a c i n d e l p la n o ta n g e n te e n P 0.A q u A q u V F = (3 x 2 + 3yz)i + (3 x z + 6y 2)j + (3 x y - 3 z2)ky en P 0( 1 , 1 , 1 ) , V F = 6i + 9j .X 1 Y 1L a s e c u a c io n e s d e la r e c ta n o rm a l so n 2 = 3 , Z = 1,L a e c u a c i n d e l p la n o ta n g e n te e s 2 (X - 1 ) + 3 (Y - 1 ) = 2X + 3Y - 5 = 0b) L a s e c u a c io n e s d e la r e c ta n o rm a l son7. E n c u e n tre e l n g u lo d e in te rs e c c i n d e la s s u p e rfic ie sF 1 = x 2 + y 2 + z 2 - 9 = 0 y F 2 = x 2 + 2 y2 - z - 8 = 0e n e l p u n to (2 , 1 , - 2). S e t ie n e q u eV F 1 = V ( x 2 + y 2 + z 2 - 9) = 2 x i + 2yj + 2 zky V F 2 = V ( x 2 + 2y2 - z - 8) = 2xi + 4 yj - kCAPTULO 53 Derivacin e Integracin de vectores www.FreeLibros.meC A P T U L O 53 Derivacin e Integracin de vectoresEn (2, 1, -2 ) , V Fj = 4i + 2j - 4 k y V F 2 = 4i + 4j - k.A hora V F 1 V F 2 = iV F1iiVF2i cos 0, donde 0 es el ngulo solicitado. As,(4i + 2j - 4k) (4i + 4 j - k) = i4i + 2j - 4kii4i + 4 j - ki cos 0de donde co s0 = 199 V 3 I = 0.81236, y 0 = 35 40.8 . Cuando B = xy2i + 2x2yzj - 3yz2k, encuentre a) div B y b) ro t B.r d . d d Aa) div B = V B = xy 2i + 2 x 2 yzj - 3 y z 2k j2^ ) + s ( 2 x 2 y z ) + | ( " 3 y z 2)3 x ' ' dy= y 2 + 2 x 2 z - 6 yzb) rot B = V x B =i j kA Adx dy dzxy 2 2 x 2y z - 3 y z 2d y ( - 3 y z 2) - ( 2x 2 y z )3 zi +f z ( x J ) ( - 3y z ! )j s (2x 2 yz) - 3 y (xy 2).= - ( 3 z 2 + 2x 2y ) i + ( 4 x y z + 2x y ) k9. D a d o F ( u ) = u i + (u2 - 2 u ) j + ( 3 u 2 + u 3) k , e n c u e n t r e a) JF (u ) du y b ) Jo F (u) d u .a) JF (u ) du = J [u i + (u2 - 2 u )j + (3u2 + u3)k] du= i J u du + j J ( u 2 - 2u) du + k J ( 3 u 2 + u3) du= T i + (u f - u 2) j + (u3 + ) k + cdonde c = c 1i + c2j + c3k con c 1, c2, c3 escalares arbitrarios. b ) F(u) du = M i + - u 2) j + (u3 + 1 k10. La aceleracin de una partcula en cualquier instante t > 0 est dada por a = = ei + e2 j + k . Si en t = 0 eldesplazam iento es r = 0 y la velocidad es v = i + j , halla r y v en un instante t cualquiera.Aquv = J a d t = i J e td t + j J e2tdt + k J dt = e t i + -j e 2t j + tk + cEn t = 0, se tiene que v = i + 1 j + c1 = i + j de donde c 1 = 2 j , entonces,v = e t i + -2(e2t + 1)j + tky r = J v dt = eti+ (7 e2t + -21) j + ^ t2k + c 2 www.FreeLibros.me^ 467^]b) A lo la r g o d e la c u r v a d a d a , x = t y dx = d t; y = t2 y dy = 2 t d t; z = t3 y dz = 3t2 dt. E n O , t = 0; en C , t = 1. E n to n c e s ,W = f (t + t5) d t + ( t2 + 14) 2 t d t + ( t3 + 13) 3 t2 d t* 0= J ^ t + 2 t3 + 9 t5) d t = [-212 + I 14 + 1 16 ] = |c) D e O a A : y = z = 0 y dy = dz = 0, y x v a r a d e 0 a 1.D e A a fi: x = 1, z = 0, d x = dz = 0, y y v a ra d e 0 a 1.D e B a C : x = y = 1 y dx = dy = 0, y z v a r a d e 0 a 1.A h o r a , p a ra la d is ta n c ia d e O a A , Wl = J^ xdx = y ; ; p a ra la d is ta n c ia d e A a B , W2= J ^ydy = y , y p a ra lad is ta n c ia d e B a C , W3 = J o ( z + 1) dz = | . A s , W = W 1 + W 2 + W 3 = f .E n g e n e r a l, e l v a lo r d e u n a in te g r a l d e ln e a (c u r v iln e a ) d e p e n d e d e l c a m in o d e in te g ra c i n . A q u se e n c u e n tra u n e je m p lo d e u n a q u e e s in d e p e n d ie n te d e l c a m in o . E s p o s ib le d e m o stra r q u e la in te g ra l d e ln e aJ (f 1dx + f 2dy + f dz) e s in d e p e n d ie n te d e l c a m in o si e x is te u n a fu n c i n f (x , y , z) ta l q u e d f = f dx + f 2 dy + f 3cd z . E n e s te p r o b le m a e l in te g ra n d o es(x + y z) dx + (y + xz) dy + (z + x y) dz = d [ ^ (x2 + y2 + z2) + xyz ]PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS12. E n c u e n tre d y ^ 7 d a d o a) s = (t + 1 ) i + (t2 + t + 1)j + (t3 + t2 + 1 )k , y b ) s = ie l c o s 2 t + j e 1 se n 2 t + t2k.Respuestas: a) i + (2 t + 1)j + (3 t2 + 2 t + 1 )k , 2j + (6 t + 2 )kb ) e t( c o s 2 t - 2 se n 2t)i + e t(se n 2 t + 2 c o s 2t)j + 2 tk ,e t( - 4 se n 2 t - 3 c o s 2t)i + e t( - 3 se n 2 t + 4 c o s 2t)j + 2kr = (e t - 1)i + (-4 e 2t + ^ t - 1 ) j + 2^t2k11. D e te r m in e e l tra b a jo r e a liz a d o p o r u n a fu e r z a F = (x + y z ) i + (y + x z) j + (z + x y )k a l m o v e r u n a p a r t c u la d el o r ig e n O a C ( 1 , 1 , 1 ) , a) a lo la rg o d e u n a re c ta O C ; b ) a lo la rg o d e u n a c u r v a x = t, y = t2, z = t3; c) a lo la rg o d e ln e a s re c ta s d e O a A ( 1 , 0 , 0 ), A a f i ( 1 , 1 , 0 ), y B a C .F d r = [(x + y x ) i + (y + xy )j + (z + x y )k ] [i dx + j dy + k dz]= (x + yz)dx + (y + xz)dy + (z + xy)dza) A lo la r g o d e la r e c ta O C , x = y = z y dx = dy = d z . L a in te g ra l p o r se r e v a lu a d a se c o n v ie r te enK U ,1) r , n 1W = J F . d r = 3 (x + x 2)d x = | ( f x 2 + x 3) | = 4J (0,0,0) J0 L ' 2 / J 0 2E n t = 0, r = i + 1 j + c 2 = 0 , de donde c 2 = - i - ^ j . A s ,CAPTULO 53 Derivacin e integracin de vectores www.FreeLibros.meC A P T U L O 53 Derivacin e integracin de vectores1 3 . D a d o s a = u i + u 2j + u3k , b = i c o s u + j se n u, y c = 3 u 2i - 4 u k , c a lc u le p r im e ro a b , a x b , a (b x c ) , y a x (b x c ) , y lu e g o e n c u e n tre la d e r iv a d a d e c a d a u n o . E n s e g u id a h a lle la s d e r iv a d a s u t iliz a n d o la s f r m u la s .1 4 . U n a p a r t c u la s e m u e v e a lo la r g o d e la c u r v a x = 3 t2, y = t2 - 2t, z = t3, d o n d e t e s e l t ie m p o . D e te r m in e a) la s m a g n itu d e s d e su v e lo c id a d y su a c e le r a c i n en e l in sta n te s t = 1; b ) la s c o m p o n e n te s d e la v e lo c id a d y la a c e le r a c i n e n e l in sta n te t = 1 en la d ir e c c i n a = 4 i - 2 j + 4 k .Respuestas: a) |v| = 3a/5 , |a| = 2 \ / i9 ; b ) 6 , 2 21 5 . P o r m e d io d e m to d o s v e c to r ia le s , e n c u e n tre la s e c u a c io n e s d e la r e c ta ta n g e n te y d e l p la n o n o rm a l a la s c u r v a s d e l p r o b le m a 15 d e l c a p tu lo 5 1 .16. Resuelva el problema 16 del captulo 51 empleando mtodos vectoriales.17. Demuestre que las superficies x = u, y = 5u - 3v2, z = v y x = u, y = v, z = 4 ^ v son perpendiculares en P(1, 2, 1).18. Use mtodos vectoriales y encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie:a) x = u, y = v, z = uv en el punto (u, v) = (3, -4).b) x = u, y = v, z = u2 - v2 en el punto (u, v) = (2, 1).Respuestas: a) 4X - 3Y + Z - 12 = 0, X-43 = Y + 4 = Z-112;X - 2 y - 1 7 - 3b) 4X - 2Y - Z - 3 = 0, X-42 = 2a - =19. a) Encuentre las ecuaciones de los planos osculador y rectificante a la curva del problema 2 en el punto dado.b) Halle las ecuaciones de los planos normal, osculador y rectificante de x = 2t - t2, y = t2, z = 2t + t2 en t = 1. Respuestas: a) 3X - 3Y + Z - 1 = 0, 11X + 8Y - 9Z - 10 = 0;b) X + 2Y - z = 0, Y + 2Z - 7 = 0, 5X - 2Y + Z - 6 = 020. Demuestre que la ecuacin del plano osculador a una curva en el espacio en P est dada por(R - - > (t * W ) = 21. Resuelva los problemas 16 y 17 del captulo 52 utilizando mtodos vectoriales.22. Halle I F ( u ) d u , dadoi aa) F(u) = u3i + (3u2 - 2u)j + 3k ; a = 0, b = 2; b) F (u) = eui + e~2j + uk ; a = 0, b = 1Respuestas: a) 4i + 4j + 6k ; b) (e - 1) i + -2(1 - e~2)j + k23. La aceleracin de una partcula en el instante t est dada por a = dv/dt = (t + 1)i + t2j + (t2 - 2)k . Si en t = 0, el desplazamiento es r = 0 y la velocidad es v = i - k . Halle v y r en el instante t.Respuesta: v = (j 1 + 1 +1)i + 3 1 j + ( t 2t i)k ; r = (y t + 2 1 + 1)i + i- t j + (-2t t t)k www.FreeLibros.me2 4 . E n c a d a u n o d e lo s c a s o s s ig u ie n te s , d e te rm in e e l tra b a jo r e a liz a d o p o r u n a fu e r z a F a l m o v e r u n a p a r t c u la de0(0, 0, 0) a C ( 1 , 1, 1) a lo la r g o d e ( 1 ) u n a ln e a re c ta x = y = z , (2) la c u r v a x = t, y = t2, z = t3, y (3) la s re c ta s q u e v a n d e O a A ( 1 , 0 , 0 ), d e A a B(1, 1 , 0) y d e B a C .a) F = x i + 2 y j + 3 xk .b) F = (y + z ) i + (x + z ) j + (x + y )k .c) F = (x + x y z ) i + (y + x 2z ) j + (z + x 2y ) k .9 33 5Respuestas: a) 3; b ) 3; c ) - j4 -, 22 5 . S i r = x i + y j + z k , d e m u e s tre q u e a) d iv r = 3 y b ) ro t r = 0.2 6 . S i f = / x , y , z) t ie n e d e r iv a d a s p a r c ia le s d e o rd e n d e p o r lo m e n o s d o s , d e m u e s tre q u e a) V x V / = 0;b) V ( V x f = 0 , y c ) V V f = ^ ^ x 2 + ^y2 + 3^2 j f .------------- 6^ CAPTULO 53 Derivacin e integracin de vectores www.FreeLibros.meIntegrales dobles e iteradasLa integral dobleConsidere una funcin z = f(x, y) que es continua en una regin finita R del plano xy. Ahora defina una particin ^de R dibujando una rejilla de rectas horizontales y verticales, que divide la regin en n subregiones R 1 , R2,.. Rn, de reas A 1A, A2A,., AnA, respectivamente (fig. 54.1). En cada subregin, Rk, seleccione un punto Pk(xk, yk) y cree la sumal f (x k, yk )A kA = f (X1, yj) A1A + - + f (Xn, yn )A nA (54.1)k=1Defina el dimetro de una subregin como la mxima distancia entre dos puntos cualesquiera dentro o en su frontera, y denote con dg, el mximo dimetro de las subregiones. Supngase que se seleccionan las particiones de manera que d9 ^ 0 y n ^ +^ . (En otras palabras, se seleccionan cada vez ms subregiones y se hacen sus dimetros ms y ms pequeos.) Entonces, la integral doble de f (x, y) sobre R se define comoJJf fe y )dA = lim f (xk, y k )AkA (54.2)R k=1sta no es una afirmacin sobre lmites genuina. Lo que la frmula (54.2) dice en realidad dice es que JJ f (x, y) dARes un nmero tal que, para todo e > 0, existe un entero positivo n0 tal que, para todo n > n0 y toda particin connd9 < 1/n0, y toda suma de aproximacin correspondiente ^ f (xk, yk) AkA, se tiene quel f (xk, yk) A kA - JJf ( x , y) dA < eCuando z = f (x, y) es un no negativo en la regin R, como se muestra en la figura 54.2, la integral doble (54.2) puede interpretarse como un volumen. Todo trmino f x k, yk)Ak A de (54.1) da el volumen de una columna^ 470^ -yk=1 www.FreeLibros.me-^ 473^S e a la s e c c i n d e e ste v o lu m e n c o rta d a p o r un p la n o x = x, d o n d e a < x < b , in te rs e c a la fro n te ra d e R en lo s p u n to s S(x, g1(x)) y T(x, g 2(x)), y la s u p e r f ic ie z = f(x , y ) e n e l a rco UV a lo la rg o d e l c u a l z = f(x, y). E l rea d e e sta s e c c i n STUV e s t d a d a p o rfgo( x)A (x ) = 2 ) f ( x , y ) dyJ g1( x)A s p u e s , la s re a s d e la s s e c c io n e s tra n s v e rs a le s d e l v o lu m e n c o rta d a s p o r lo s p la n o s p a r a le la s a l p la n o yz son* g2( x)fu n c io n e s c o n o c id a s A ( x ) = I f ( x , y ) dy d e x , d o n d e x e s la d is ta n c ia d e l p la n o q u e se s e c c io n a a l o rig e n .Jgl( x)D e a c u e rd o c o n la f r m u la d e la s e c c i n tra n s v e rs a l d e l c a p tu lo 30, e l v o lu m e n r e q u e r id o e st d a d o p o r*b f b f g 2 ( x )V = \ A(x)dx = j ( x , y ) dyJ a J a J g, ( x ) Jg1( x) ' s ta e s la in te g ra l ite ra d a d e (54 .4 )E n lo s p r o b le m a s 2 a 6 , c a lc u le la in te g ra l d e la iz q u ie rd a .dx2 . J 2dydx = Jo [y ]x2 dx = Jo( x - x 2)d x =3 . | | y ( x + y )d x d y = | [^ x 2 + x y ]y y d y = | 6y 2d y = [ 2 y 3]2 = 1 4(2 i*x2 +x i*2 . i*24 . J J 2 x d y d x = J J x y ] ^ ^ d x = J ^ x 3 + x 2 - 2 x 3 + 2 x ) d x = If K Icos0 f K 1 fK5 . J J psend d p d d = ] o [^ p 2s e n 0 ] |josfld 0 = c o s 2 0 s e n 0 d 0 = [- | c o s 3 0 ] J = }C /^2 Mcos0 /6 [ J2 p > d p d e . ffK/2dd= ( 6 4 c o s 4 0 - 4 ) dd *0641 & + ^ 1 + 4 0 _ = 1 0 n7 . C a lc u le JJ dA, d o n d e R e s la r e g i n e n e l p r im e r cu a d ra n te lim ita d a p o r la p a r b o la s e m ic b ic a y 2 = x 3 y larecta y = x.zy0RCAPTULO 54 Integrales dobles e iteradas www.FreeLibros.me^ 47#8.C A P T U L O 54 Integrales dobles e iteradasL a re c ta y la p a r b o la se in te rs e c a n e n lo s p u n to s (0, 0) y ( 1 , 1) q u e e s ta b le c e n lo s v a lo r e s e x tr e m o s d e x y y so b re la r e g i n R .Solucin 1 (F ig u r a 5 4 .5 ): in te g ra n d o p r im e ro so b re u n a fr a n ja h o r iz o n ta l, e s d ec ir , re s p e c to a x d e s d e x = y (la r e c ta ) h a sta x = y 2/3 ( la p a r b o la ) , y lu e g o r e s p e c to a y d e s d e y = 0 h asta y = 1 , se o b tie n eJ J d A = 10 d x d y = J 0V ' 3 - y ) d y = [ } y 5/3 - i y 2]0 = -0yFig. 54.5Solucin 2 (F ig u r a 5 4 .6 ): in te g ra n d o p r im e ro so b re u n a fr a n ja v e r t ic a l, e s d ec ir , c o n re s p e c to a y d e s d e y = x3/2 ( la p a r b o la ) h a sta y = x ( la r e c ta ), y lu e g o , re s p e c to a x d e s d e x = 0 h a sta x = 1 , s e o b tie n eU d A = J 0 J * d y d x = ^ ( x - x 3/2) d x = [ i x 2 - f x 5/2]0 = 10RyFig. 54.6C a lc u le JJ dA d o n d e R e s la r e g i n en tre y = 2 x y y = x 2 q u e q u e d a a la iz q u ie r d a d e x = 1.RIn te g ra n d o p r im e ro so b re la fr a n ja v e r t ic a l ( f ig . 5 4 .7 ) , se o b tie n eJJdA = J0 J dy d x = Jo(2x x2) d x = *RyFig. 54.7 www.FreeLibros.me-^ 475^C u a n d o s e u t iliz a n la s fr a n ja s h o r iz o n ta le s ( fig . 5 4 .8 ), so n n e c e s a r ia s d o s in te g r a le s ite ra d a s. D e n te s e c o n R i la p a rte R q u e e st p o r d e b a jo d e A B , y R2 la p a rte q u e e st p o r e n c im a d e AB. E n to n c e s ,riJy/2 Ji Jy/2 d A = d A + d A = + l i2 jy'/2d X d y = 12 + ^ ^yFig. 54.89 . C a lc u le JJ x 2d A d o n d e R e s la r e g i n e n e l p r im e r c u a d ra n te lim ita d a p o r la h ip r b o la x y = 16 y la s r e c ta s y = x ,y = 0, y x = 8 ( f i g . 5 4 .9 ) .D e la fig u r a 5 4 .9 s e d e d u c e q u e R d e b e s e p a ra rse e n d o s r e g io n e s , y u n a in te g r a l ite ra d a d e b e e v a lu a r s e p a ra c a d a u n a d e e lla s . S e a R 1 la p a rte d e R q u e e st p o r e n c im a d e la r e c ta y = 2, y R 2 la p a rte q u e q u e d a p o r d e b a jo d e d ic h a re c ta . E n to n c e s ,JJx 2d A = JJx 2d A + JJx 2d A = J J y x 2d x d y + J J x 2d x d yR R1 R2= 3 ( f - y3) dy + 3 o (83 - y 3) dy = 448C o m o e je r c ic io p a ra e l le c to r , se p u e d e se p a ra r R c o n la re c ta x = 4 y o b te n e ri4 i*x i8 16/xJJ x 2d A = J x 2d y d x + J4 Jo x 2d y d x1 0 . C a lc u le I" I" exldxdy in v ir t ie n d o p r im e ro e l o rd e n d e in te g ra c i n .*0 J3y .L a in te g ra l d a d a n o p u e d e se r e v a lu a d a d ire c ta m e n te , p o r q u e I e x d x n o e s u n a fu n c i n e le m e n ta l. L a r e g i n R d e in te g r a c i n ( f ig . 5 4 .1 0 ) e st a c o ta d a p o r la s r e c ta s x = 3 y , x = 3 , y y = 0. P a ra in v e rtir e l o rd e n d e in te g ra c i n , p r im e ro se in te g ra re s p e c to a y , d e s d e y = 0 h a sta y = x/3, y lu e g o , re s p e c to a x d e s d e x = 0 h a sta x = 3. A s ,n 3 r3 rx/3 , ,-3s e x dxdy = e x d y d x = ^ [ex y]J/3 dx= 3^ J o exxdx = [-6ex2 ]0 = 16(e9 - i )RyxRCAPTULO 54 Integrales dobles e iteradas www.FreeLibros.me^ 476^ C A P T U L O 54 Integrales dobles e IteradasPROBLEMAS COMPLEMENTARIOS1 1 . C a lc u le c a d a in te g r a l ite ra d a d e la izq u ie rd a .a ) f dxdy = 1i4 i2c) J J ( x 2 + y 2)dydx = ^*2 /y312 3e) j xly2dxdy = ff 1 f x2g ) J0 J0 xeydy d x = t e - 1/tan-1(3!2) i2sec0) l L P dP dd = 3ttI4 ftan^ sec#^ p 3 c o s 2 ddpdd = 0^b ) J 0J 0 ( x + y ) d x d y = 9n xx2 x y 2d y d x = ^ f J 0 J * ( x + y 3 ) d y d x = -600 xh) f ~ y y d x d y = 42C^l2 r 2^ Jo J 0p 2 c o s 0 d P d 0 = 82^ c1-cos0^ p 3c o s2 6 d p d 6 = 1 9 71 2 . M e d ia n te u n a in te g ra l ite ra d a , c a lc u le c a d a u n a d e la s s ig u ie n te s in te g ra le s d o b le s . C u a n d o se a fa c t ib le , c a lc u le la s in te g r a le s ite ra d a s e n a m b o s rd e n es .a ) x so b re la r e g i n a c o ta d a p o r y = x 2 y y = x3b) y so b re la r e g i n d e la p a rte a)c) x2 so b re la r e g i n a c o ta d a p o r y = x , y = 2x , y x = 2d) 1 so b re c a d a r e g i n d e l p r im e r c u a d ra n te lim ita d a p o r 2 y = x 2, y = 3 x, y x + y = 4e) y so b re la r e g i n q u e e st p o r e n c im a d e y = 0 a c o ta d a p o r y 2 = 4 x y y 2 = 5 - xf1y 2s o b re la re g i n e n e l p r im e r c u a d ra n te a c o ta d a p o r x2 = 4 - 2yRespuesta: Respuesta: 35 Respuesta: 4 Respuesta: f ; -y- Respuesta: 5 Respuesta: 4yx1 3 . E n lo s p r o b le m a s 1 1 a) a h ), in v ie r ta e l o rd e n d e in te g r a c i n y e v a l e la in te g r a l ite ra d a re su lta n te . www.FreeLibros.me55Centroides y momentos de inercia de reas planasArea plana por integracin dobleSi f(x, y) = i, la integral doble del captulo 54 se convierte en JJdA. En unidades cbicas, es la medida de unRvolumen de un cilindro de altura unitaria; en unidades cuadradas, mide el rea A de la regin R.En coordenadas polares,f ^ r 2(q:Jp,(e)A - JJ dA - a C r d r d eR donde e = a, e = f p = p 1 (9) y p = p 2(0) se seleccionan como fronteras de la regin R.CentroidesEl centroide (x, y) de la regin plana R se considera intuitivamente de la manera siguiente: si se supone que R tiene una densidad unitaria uniforme, y si R est apoyada desde abajo en el punto (x, y),entonces R se balancea (es decir, R no gira del todo).Para ubicar (x, y), primero se considera la recta vertical x = x . Si se divide R en subregiones R,,. . ., Rn, de reas A,A,.. ., AnA como en el captulo 54, y se seleccionan los puntos (xk, yk) en cada Rk, entonces el momento (fuerza rotacional) de Rk en torno a la recta x = x es aproximadamente (xk- xJAkA. Luego, el momento de R enntorno a x = x es aproximadamente ^ ( x k- x) AkA. Al hacer la particin (divisin) de R cada vez ms pequea, se obtiene JJ (x - x)dA como el momento de R en torno a x = x . Para no tener rotacin en torno a x = x, se necesita JJ(x - x)dA = 0. PeroRJJ(x - x) dA = JJ x dA - JJ x dA = JJ x dA - x JJ dAR R R R RPor tanto, se debe tener JJx d A = x JJ dA. De igual forma se llega a JJy dA = y JJ dA. Luego, el centroide estR R R Rdeterminado por las ecuacionesJJ xdA = x JJ dA y JJ y dA = y JJ dANtese que JJ dA es igual al rea A de la regin R.^ 477^ www.FreeLibros.meC A P T U L O 55 Centroides y momentos de InerciaMomentos de inerciaLos momentos de inercia de una regin plana R respecto a los ejes de coordenadas estn dados porh = f y2 dA y h = x2 dAR REl momento polar de inercia (momento de inercia respecto a una recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano del rea) de una regin plana R est dado porh, = h + h = u 2+y2 ) dARPROBLEMAS RESUELTOS1. D e te r m in e e l rea a c o ta d a p o r la p a r b o la y = x 2 y la re c ta y = 2 x + 3.A l u t iliz a r la s fra n ja s v e r t ic a le s ( fig . 5 5 .1 ) se o b tie n e|* 3 j*2x+3 |*3 32A dy dx = J l( 2x + 3 - x 2 ) dx = u n id a d e s c u a d ra d a syFig. 55.12. D e te r m in e e l rea a c o ta d a p o r la s p a r b o la s y 2 = 4 - x y y2 = 4 - 4x .A l u t iliz a r la s fra n ja s h o r iz o n ta le s ( fig . 5 5 .2 ) y a p ro v e c h a n d o la s im e tr a s e o b tie n er 2r 4- /Jo J 1-y2/4"0 4-y r 2i-yV4 dxdy = 2 Jo K4 - y 2 ) - ( 1 - ^ y 2 )i dy= 6 J0 (1 - 1 y2 ) dy = 8 u n id a d e s c u a d ra d a syx3. D e te r m in e e l rea e x te r io r d e l c r c u lo p = 2 e in te r io r d e la c a r d io id e p = 2 (1 + c o s 6).D e b id o a la s im e tr a ( fig . 5 5 .3 ) , e l rea r e q u e r id a e s d o s v e c e s e l re a b a r r id a c u a n d o 6 v a r a d e 6 = 0 a 6 = 2 P . P o r tan to , www.FreeLibros.me- # 479~^ n/2 f 2(1+ cos) f0 J 2 p dp d d = 2 J 1 p 222(1+cos; fn/2 .d = 4 I (2 c o s + cos ) d* 0= 4 se n + 1 + 1 sen 2 2 4= (n" + 8) unidades cuadradas4 . Determine el rea interior al crculo p = 4 sen 0 y exterior a la lemniscata p = 8 cos 20.El rea requerida es igual al doble de la limitada en el primer cuadrante por las dos curvas y la recta 0 = 2 P . Observe en la figura 55.4 que el arco AO de la lemniscata se genera al variar 0 de 0 = p a 0 = P , mientras que el arco AB del crculo se describe al variar 0 de 0 = p a 0 = p \ Esta rea debe entonces considerarse dos regiones, una por debajo de la recta 0 = p y otra por encima de la misma recta. As,f n/4 *4sen r n/2 *4senA = 2 J n/6 J 2V2cos2 p dp d + 2 J p/4 J o p dp dC n 14 f n/2= J p/6 (16 sen - 8 co s2 )d + J p/4 16 sen d( n + 4yf3 - 4) unidades cuadradas(0 e y dy se obtieneFig. 55.45 . Calcule N = J 0 e x2dx (fig. 55.5).C m J o e_x' dx = JoN 2 = o e_x2 dx o e_y2 dy = o o-(x2+y2 dx dy = J .-(x2+y2'dAAl cambiar a coordenadas polares (x2 + y2) = p 2, dA = p dp dp resultar ~\af n/2 f+- 2 f n/2 1 2 1 f n/2 ~N = J o J o e-p p dp d = J o } - \ e-p d = 1 J o d = f2 J o2oyxyeoCAPTULO 55 Centroides y momentos de Inercia www.FreeLibros.meC A P T U L O 55 Centroides y momentos de inercia6 . H a lle e l c e n tro id e d e l rea p la n a a c o ta d a p o r la p a r b o la y = 6 x - x 2 y la r e c ta y = x ( f ig . 5 5 .6 ).A = JJdA = j0 Jx dydx =10- # 481^8. Determine el centroide del rea plana exterior al crculo p = 1 e interior a la cardioide p = 1 + cos 0.De la figura 55.8 se deduce que y = 0 y que x es la misma, bien sea que se calcule para el rea dada o para la mitad que est por encima del eje polar. Para esta ltima reafp/2 ( 1+cos0 1 f P/2 p , 8A = J J dA = J 0 J j p dp d0 = 2 J 0 [(1 + cos0 ) 2 - 12] d0 =ff f p/2 f 1+cos0 1 f P/2My = J J x dA = J 0 J ! (p cos0 ) p dp d0 = - 3 J 0 (3cos 0 + 3cos 0 + cos 0) d 03 3 3 1 1^ 0 + - r s e n 2 0 + 3 s e n 0 - s e n 0 + 0 + - r s e n 2 0 + s e n 4 08 4Las coordenadas del centroide son ^^iPr+sf, 0 I.3215p + 32 489 . Halle el centroide del rea interior a p = sen 0 y exterior a p = 1 - cos 0 (fig. 55.9).ff C P/2 f* sen0 1 f p/2 4 _ pA = J J d A = J 0 L c ^ p dp d0 = 2 j 0 (2 cos0 - 1 - cos20 ) d0 = 4 --PR A 4ff fl/2 f sen0M y = JJ x d A = j 0 J 1-cos0 (P cos0 ^ dp d 0R1 r p/2 3 2= 3 J 0 ( sen 0 - 1 + 3cos0 - 3cos 0) cos0 d0 - 48i i i p/2 /* sen0= JJ y dA = J 0 J ^ ( p sen 0 ) p dp d 015p - 44P/2= 3 J 0 (sen30 - 1 + 3 c o s 0 - 3cos2 0 + cos3 0 ) sen0 d0 = 3p - 4 48Las coordenadas del centroide sonFig. 55.9| 15p-44 3p-4I 12(4-P) 12(4-p) I'0yxCAPTULO 55 Centroides y momentos de Inercia www.FreeLibros.me^ 482^ C A P T U L O 55 Centroides y momentos de inercia10. Halle I x, I e I 0 para el rea encerrada por el lazo y2 = x2 (2 - x) (fig. 55.10).A = U dA = 2 j 0 j 0 'JT~Xdy dx = 2 j 0 x >/2'r x dx= - 4 JjJ (2z2 - z4) dz = - 4 2 3 1 5 z z .3 5 .0 = 3 W 2fi. 15donde se ha utilizado la transformacin 2 - x = z2. Entonces,I = U y2 dA = 2 10 1 0 ^ y 2 dy d x = f 10 x 3 ( 2 - x )3/2 dx3 (2 - z 2)3 z 4 dz = - 38 5 12 7 , 2 9 1 11 z ------z -i z ------ z5 7 3 11= - 4 f3Iy = U x 2 dA = 2 J 0 J 0x '/^ x 2 dy dx = 2 J 0 x dxR= - 4 1 2 ( 2 - z2)3 z2 dz = - 42 0 4 8 ^ = _6 4 3465 " 2311024V2 _ 32 A 315 2 1 AAI - I + I - 13 312^ - 416 AJ x y 3465 2311 1 . Halle Ix, Iy e I0 para el rea del primer cuadrante exterior al crculo p = 2a y para el interior al crculo p = 4a cos 6 (fig. 55.11).A = JJ dA = J p ' 3 J [ [ cs6p d p d 6 = 2 J 0P/3[ (4 a cos6 f - (2a)2']d6 = 2p + 3 a2CC r, C P/3 f4acos6 1 f P/3T 1Ix = J_J y2 dA = J 0 J 2a (p sen 6 f p d p d 6 = 1 J 0 [(4 a c o s6 )4 - ( 2a )4 J sen26 dqa 2 f p'3 r 4 n n 2 n An 4 P + 9>/3 4 4 P + 9>/3 2 *= 4 a I (16cos 6 - 1)sen 6 d 6 = -------------------------7-----a = - a A*0 f-\ 'W ^ 1 /Ti2 (2 p + 3y/3)T ff 2 JA f p/3 f 4acos^ . 1 2 p + 1 1 /3 4 3 ( 1 2 P + 1 1 /3 ) 2 .Iy = J J x dA = J 0 J 2 a (p c o s ^ dp d6 = ------- a = 2 (2P + 3^ 3 ) a AI0 = i + i = 20p + 2 1 \/3 a 4 = 2 0 p + 2 W 3 a 2 a0 x y 3 2p + 3yf3yx0yxFig. 55.11 www.FreeLibros.me12. E n c u e n tre Ix, Iy e I 0 p a ra e l rea d e l c r c u lo p = 2 (se n 0 + c o s 0) ( fig . 5 5 .1 2 ) . C o m o x 2 + y 2 = p 2,If f 2 2 f3P /4 * 2 (sen 0 +cos0) 2 f 3p/4 4= J J ( x 2 + y 2) dA = J_p/4 J 0 p 2p d p d 0 = 4 J_p/4 (se n 0 + c o s 0 )4 d 0= 4 3 10 - c o s 2 0 - - se n 4 02 o= 6 p = 3AD e a c u e rd o la fig u r a 5 5 .1 2 , Ix = Iy. P o r tan to , I = I = ^ L = A . , x y x y 2 0 2Fig. 55.12-^ 483^yPROBLEMAS RESUELTOS13. U s e la in te g r a c i n d o b le p a ra h a lla r e l rea:a) L im ita d a p o r 3x + 4 y = 24, x = 0, y = 0 Respuesta: 24 u n id a d e s c u a d ra d a sb) L im ita d a p o r x + y = 2, 2y = x + 4 , y = 0 Respuesta: 6 u n id a d e s c u a d ra d a sc) L im ita d a p o r x2 = 4 y , o y = x2 + 1 6 Respuesta: 2 u n id a d e s cu a d ra d a sd) I n te rio r a p = 2 (1 - c o s 0) Respuesta: 6 p u n id a d e s c u a d ra d a s) L im ita d a p o r p = tan 0 s e c y p = - Respuesta: u n id a d e s c u a d ra d a sf) E x te r io r a p = 4 e in te r io r a p = 8 c o s 0 Respuesta : 8 ( 2 P + >/) u n id a d e s c u a d ra d a s14. L o c a l ic e e l c e n tro id e d e c a d a u n a d e la s re as s ig u ie n te s:a) El rea del problema 13a) Respuesta: (, 2)b) El rea del primer cuadrante del problema 13c) Respuesta: ( 2 , 5 )c) El rea del primer cuadrante acotada por y2 = 6x, y = 0, x = 6 Respuesta: )d) El rea acotada por y 2 = 4x , x 2 = 5 - 2y , x = 0 Respuesta: (^ 49, ^ )e) El rea del primer cuadrante acotada por x2 - 8y + 4 = 0, x 2 = 4y , x = 0 Respuesta: ( 4 , 5 )f) El rea del problema 13e) Respuesta: ( ' ' / 3 , 5 )g) El rea del primer cuadrante del problema 13f) Respuesta: ( 16p + ( , 22-= r \ 2P+3S 2p+3\l315. C o m p r u e b e q u e - a [g 22 (0) - g 2 (0 )]d0 = J p dp d0 = J d A ; lu e g o , d e d u z c a q u eRJ J f ( x , y ) dA = JJ f (p cos 0,p sen 0) p dp d0CAPTULO 55 Centroides y momentos de Inercia www.FreeLibros.me^ 484^ C A P T U L O 55 Centroides y momentos de Inerciaa) El rea del problema 13 a)b) El rea cortada desde y2 = 8x por su lado rectoc) El rea acotada por y = x2 y y = xd) El rea acotada por y = 4x - x2 y y = x16. Encuentre I x e I y para cada una de las reas siguientes:Respuesta: Ix = 6A; I ' = 32 A Respuesta: Ix = A ; Iy = 42 A Respuesta: Ix = 14 A ; Iy = 1) A Respuesta: I = 452A; I = 17A1 7 . E n c u e n t r e Ix e Iy p a r a u n l a z o d e p 2 = c o s 20.Resp uesta: Ix = (16 - ^ ) A; Iy = (16 + 6 ) A1 8 . H a l l e I0 p a r a a ) e l l a z o d e 0 = s e n 2 $ y b) e l r e a e n c e r r a d a p o r 0 = 1 + c o s 0.Respuesta: a) 3 A ; b) 24A1 9 . a) Sea R la regin mostrada en la figura 55.13 que tiene un rea A y el centroide (x, y). Si R gira en torno al eje x, mostrar que el volumen V del slido de revolucin resultante es igual a 2nxA . (Sugerencia: use el mtodo de las capas cilindricas.)b) Demuestre el teorema de Pappus: si d es la distancia recorrida por el centroide durante la revolucin [del inciso a)], demueste que V = Ad.c) Pruebe que el volumen del toro generado al girar el disco que aparece en la figura 55.14 en torno al eje x es 2p2a2b. (Supngase que 0 < a < b.)yba xFig. 55.13 Fig. 55.14 www.FreeLibros.me56Integracin doble aplicada al volumen bajo una superficie y al rea de una superficie curvaSea z = /x, y) o z = f(p , 9) que define una superficie.El volumen V bajo la superficie, es decir, el volumen de una columna vertical cuya base superior est en la superficie y cuya base inferior est en el plano xy se obtiene con la integral dobleV = JJ zd A (56.1)donde R es la regin que forma la base inferior.El rea S de la parte R* de la superficie que queda por encima de la regin R est dada por la integral dobledz Y faz ' 2dx J d^y ^Si la superficie est dada por x = / y , z) y la regin R queda en el plano yz, entonces,RS = JJ1+H 1+I I d A (56.3)dy J +l dzSi la superficie est dada por y = f(x , z) y la regin R queda en el plano xz, entoncesdy ^ 2 fdy'2^ I +1 ^I dA (56.4)PROBLEMAS RESUELTOS1 . D e te rm in e e l v o lu m e n en e l p r im e r o cta n te en tre lo s p la n o s z = 0 y z = x + y + 2 , e in terio r a l c ilin d ro x 2 + y 2 = 16. D e la fig u r a 5 6 .1 s e d e d u c e q u e z = x + y + 2 v a a in te g ra rs e so b re e l c u a d ra n te d e l c r c u lo x 2 + y 2 = 16 en el p la n o xy. P o r tan to ,V = JJ zdA = Jo " (x + y + 2)dy dx = (W 1 6 - x2 + 8 - 1 x2 + 2 ^ 1 6 - x 2)dxR--3(16 - x2) 3/2 + 8x - + W 16 - x2 + 1 6 s e n 1 x = | + 8^ J unidades cbicas^ 485^ www.FreeLibros.meC A P T U L O 56 Integracin doble aplicada al volumen2 . D e te rm in e e l v o lu m e n a c o ta d o p o r e l c ilin d r o x2 + y2 = 4 y lo s p la n o s y + z = 4 y z = 0.D e la fig u r a 5 6 .2 se d esp re n d e q u e z = 4 - y v a a in te g ra rse so b re e l c rc u lo x 2 + y 2 = 4 en e l p la n o x y . P o r tanto,f 2 py4-y2 r2 ry4-y2V = J ^J (4 - y)dx dy = 2 J (4 - y ) d x dy = 16n u n id a d e s c b ic a s3 . D e te rm in e e l v o lu m e n a c o ta d o p o r a rrib a p o r e l p a r a b o lo id e x2 + 4y2 = z , p o r d e b a jo p o r e l p la n o z = 0, y la te r a lm e n te p o r lo s c ilin d r o s y 2 = x y x 2 = y ( fig . 5 6 .3 ).E l v o lu m e n re q u e r id o s e o b tie n e a l in te g ra r z = x2 + 4 y2 so b re la r e g i n R c o m n a la s p a r b o la s y2 = x y x 2 = y e n e l p la n o x y . P o r en d e,V = ( x 2 + 4 y 2) d y d x = x 2y + 4 y : J 0 J x2 J 0 L 3 ^Jxdx = 4 u n id a d e s c b ic a sFig. 56.2 Fig. 56.34 . D e te rm in e e l v o lu m e n d e u n a d e la s c u a s q u e se c o rta n e n e l c il in d r o 4 x2 + y2 = a2 p o r lo s p la n o s z = 0 y z = my ( fig . 5 6 .4 ).E l v o lu m e n se o b t ie n e in te g ra n d o z = m y s o b re la m ita d d e la e lip s e 4 x 2 + y 2 = a 2. P o r c o n s ig u ie n te ,a/2 f^a2-4x2 j*a/2 -2--- 2 ma3 ^ ^ m y d y d x = m ^ [y2 ]0a -4x dx = 3 u n id a d e s c b ic a s www.FreeLibros.meC A P T U L O 56 Integracin doble aplicada al volumensubregiones R ^ . .., Rn de las reas AA j , . . AAn, y se representa como AS el rea de la proyeccin de AA sobre R *. En dicha i-sima regin de R* se selecciona un punto P y se dibuja el plano tangente a la superficie.El rea de la proyeccin R sobre este plano tangente se denota mediante AT. Se utilizar AT como una aproximacin del rea de superficie correspondiente AS.Fig. 56.7Ahora, el ngulo entre el plano xy y el plano tangente en P es el ngulo g entre el eje z con nmeros_ f id x d y directores [0, 0, 1] y la normal,Entonces (fig. 56.8),d z d z id x d y , a la superficie en Pi. As,c o s y =1d yAT cos gi = AA y AT = sec AAPor tanto, una aproxim acin de S es ^ A T t = ^ sec^A A t , yS = n i m i s e c ^ - A A - = s e c ^ d A = J W ( ^ d z ) + ( d z J + 1 d A8 . Determine el rea de la parte del cono x2 + y2 = 3z2 que queda arriba del plano xy y en el interior del cilindrox2 + y2 = 4y.Solucin 1: remtase a la figura 56.9. La proyeccin del rea requerida sobre el plano xy est en la regin R encerrada por el crculo x2 + y2 = 4y. Para el cono,2 2dz _ 1 xdx 3 z2 www.FreeLibros.meC A P T U L O 56 Integracin doble aplicada al volumen9 . Determine el rea de la parte del cilindro x2 + z2 = 16 situada dentro del cilindro x2 + y2 = 16.En la figura 56.11 se muestra la octava parte del rea requerida, donde un cuadrante del crculo x2 + y2 = 16 es su proyeccin sobre el plano xy. Para el cilindro x2 + z2 = 16.= - x y -d Z = 0 e n t o n c e s , + 1 ( M + | Z Y = = ^ ^ -3 x " z 3 d y ^ \ d x / ^ 3 y ) z 2 1 6 - x 2 '/4 ^V16-x2 4 r4Por tanto, S = 8 , dy dx = 3 2 d x = 1 2 8 unidades cuadradasj 0 j V 1 6 - x 2 j01 0 . Encuentre el rea de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 16 exterior al paraboloide x2 + y2 + z = 16.En la figura 56.12 se muestra una cuarta parte del rea requerida, donde la regin R es su proyeccin sobre el plano yz acotada por el crculo y2 + z2 = 16, los ejes y y z , y la recta z = 1. Para la esfera,t e = - y y d r = - z Entonces, 1 + (^ )2 + 12= ^ 2 .dy x J dz x \dy/ ^ d z ) x2 16 - y2 - z2As, s - 4Ihl1+ISI +( f dA - < dy I [dz J*J 16_Z >/l6 - y2 - z:^ d y d z= 1 6 f *.senV l6dz = 16 I" dz = 8 n unidades cuadradas02416z.1 1 . Encuentre el rea de la parte del cilindro x2 + y2 = 6y situada dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 36.En la figura 56.13 en la siguiente pgina se muestra una cuarta parte del rea requerida. Su proyeccin en el plano yz es la regin R acotada por los ejes z y y y la parbola z2 + 6y = 36; esta ltima ecuacin resulta de eliminar x en la ecuaciones de las dos superficies. Para el cilindro,dx _ 3 - y3y xdx _ 0. Entonces,dz (I )i + m + i ^ __ x2 + 9 - 6y + y2 _ 6y - y2Por tanto,5 _ 4 6 J0 J{J36- 6 yV 6y - :dzdy = 12 dy = 144 unidades cuadradasj0>/y2y 2x www.FreeLibros.mez + 6 y = 36, x = O- # 491^Fig. 56.13PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS12. D e t e r m i n e e l v o l u m e n c o r t a d o d e 9 x 2 + 4 y 2 + 3 6 z = 3 6 p o r e l p l a n o z = 0 .Respuesta: 3 p u n i d a d e s c b i c a s13. D e t e r m i n e e l v o l u m e n b a j o z = 3 x s o b r e e l r e a d e l p r i m e r c u a d r a n t e a c o t a d o p o r x = 0 , y = 0 , x = 4 , y x 2 + y 2 = 2 5 . Respuesta: 9 8 u n i d a d e s c b i c a s14. D e t e r m i n e e l v o l u m e n e n e l p r i m e r o c t a n t e a c o t a d o p o r x 2 + z = 9 , 3 x + 4 y = 2 4 , x = 0 , y = 0 , y z = 0 . Respuesta: 1 4 8 5 / 1 6 u n i d a d e s c b i c a s15. D e t e r m i n e e l v o l u m e n e n e l p r i m e r o c t a n t e a c o t a d o p o r xy = 4 z , y = x , y x = 4 .Respuesta: 8 u n i d a d e s c b i c a s16. E n c u e n t r e e l v o l u m e n e n e l p r i m e r o c t a n t e a c o t a d o p o r x 2 + y 2 = 2 5 y z = y .Respuesta: 1 2 5 /3 u n i d a d e s c b i c a s17. E n c u e n t r e e l v o l u m e n c o m n a l o s c i l i n d r o s x 2 + y 2 = 1 6 y x 2 + z 2 = 1 6 .Respuesta: 1 0 2 4 / 3 u n i d a d e s c b i c a s18. D e t e r m i n e e l v o l u m e n e n e l p r i m e r o c t a n t e i n t e r i o r a y 2 + z 2 = 9 y e x t e r i o r a y 2 = 3 x .Respuesta: 2 7 ^ / 3 u n i d a d e s c b i c a s19. H a l l e e l v o l u m e n e n e l p r i m e r o c t a n t e a c o t a d o p o r x 2 + z 2 = 1 6 y x - y = 0 .Respuesta: 64/3 unidades cbicasCAPTULO 56 Integracin doble aplicada al volumen www.FreeLibros.me^ 492^2 0 . E n c u e n t r e e l v o l u m e n f r e n t e a x = 0 y c o m n a y 2 + z 2 = 4 y y 2 + z 2 + 2 x = 1 6 .Respuesta: 2 8 p u n i d a d e s c b i c a s2 1 . D e t e r m i n e e l v o l u m e n i n t e r i o r a p = 2 y e x t e r i o r a l c o n o z2 = p 2.Respuesta: 32n/3 u n i d a d e s c b i c a s2 2 . E n c u e n t r e e l v o l u m e n i n t e r i o r a y2 + z2 = 2 y e x t e r i o r a x2 - y2 - z2 = 2 .Respuesta: 8 ^ ( 4 > / 2 ) / 3 u n i d a d e s c b i c a s2 3 . E n c u e n t r e e l v o l u m e n c o m n a p 2 + z2 = a2 y p = a s e n e .Respuesta: 2 ( 3 p - 4 ) a 2/ 9 u n i d a d e s c b i c a s2 4 . D e t e r m i n e e l v o l u m e n i n t e r i o r a x2 + y2 = 9 , a c o t a d o p o r d e b a j o p o r x2 + y2 + 4 z = 1 6 y p o r e n c i m a p o r z = 4 . Respuesta: 8 1 f t / 8 u n i d a d e s c b i c a s2 5 . E n c u e n t r e e l v o l u m e n c o r t a d o d e l p a r a b o l o i d e 4 x2 + y2 = 4 z p o r e l p l a n o z - y = 2 .Respuesta: 9p u n i d a d e s c b i c a s2 6 . D e t e r m i n e e l v o l u m e n d e s c r i t o a l g i r a r l a c a r d i o i d e p = 2 ( 1 - c o s 0) e n t o r n o a l e j e p o l a r .Respuesta: V = 2 f t j j y p d p d d = 645 u n i d a d e s c b i c a s2 7 . E n c u e n t r e e l v o l u m e n g e n e r a d o a l g i r a r u n p t a l o d e p = s e n 0 e n t o r n o a c u a l q u i e r a d e l o s e j e s .Respuesta: 3 2 ^ / 1 0 5 u n i d a d e s c b i c a s2 8 . D e t e r m i n e e l r e a d e l a p a r t e d e u n c o n o x2 + y2 = z2 e n e l i n t e r i o r d e l p r i s m a v e r t i c a l c u y a b a s e e s e l t r i n g u l o a c o t a d o p o r l a s r e c t a s y = x , x = 0, y y = 1 e n e l p l a n o x y .Respuesta: u n i d a d e s c b i c a s2 9 . H a l l e e l r e a d e l a p a r t e d e u n p l a n o x + y + z = 6 e n e l i n t e r i o r d e l c i l i n d r o x2 + y2 = 4 .Respuesta: 4 \ f 3 K u n i d a d e s c u a d r a d a s3 0 . H a l l e e l r e a d e l a p a r t e d e l a e s f e r a x 2 + y 2 + z 2 = 3 6 e n e l i n t e r i o r d e l c i l i n d r o x 2 + y 2 = 6y .Respuesta: 7 2 ( p - 2 ) u n i d a d e s c b i c a s3 1 . E n c u e n t r e e l r e a d e l a p a r t e d e l a e s f e r a x 2 + y 2 + z 2 = 4 z i n t e r i o r a l p a r a b o l o i d e x 2 + y 2 = z._____________ C A P T U L O 56 Integracin doble aplicada al volumenRespuesta: 4p unidades cuadradas www.FreeLibros.me3 2 . Determine el rea de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 25 entre los planos z = 2 y z = 4.Respuesta: 20p unidades cuadradas3 3 . Encuentre el rea de la parte de la superficie z = xy interior al cilindro x2+ y2 = 1.Respuesta: 2n(2~j2 - 1)/3 unidades cuadradas3 4 . Halle el rea de la superficie del cono x2 + y2 - 9z2 = 0 sobre el plano z = 0 e interior al cilindro x2 + y2 = 6y.Respuesta: 3>/0# unidades cuadradas3 5 . Encuentre el rea de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 25 que est dentro del cilindro elptico 2x2 + y2 = 25.Respuesta: 50p unidades cuadradas3 6 . Halle el rea de la superficie x2 + y2 - az = 0 que queda directamente sobre la lemniscata 4p = a2 cos 29.Respuesta: S = 4 JJ-\/4p2 + a2 p dp dd = (5 - n )' unidades cuadradas3 7 . Halle el rea de la superficie x2 + y2 - z2 = 4 que queda directamente sobre la cardioide p = 1 - cos 9Respuesta: 8[^ \2 ln(V2 + 1)] unidades cuadradas------------- 93jCAPTULO 56 Integracin doble aplicada al volumen www.FreeLibros.meIntegrales triplesCoordenadas cilndricas y esfricasSupngase que un punto P tiene coordenadas (x, y, z) en un sistem a de coordenadas rectangulares dextrgiro (derecho). Las coordenadas cilndricas correspondientes de P son (r, 9 z), donde (r, 9) son coordenadas polares para el punto (x, y) en el plano x y . [Observe el cam bio de notacin de (p, 9) a (r, 9) para las coordenadas polares de (x, y); fig. 57.1.] Por tanto, se tienen las relacionesx = r cos 9, y = r sen 9, x2 + y2,En coordenadas cilndricas, una ecuacin r = c representa un cilindro recto de radio c con el eje z com o su eje de simetra. U na ecuacin 9 = c representa un plano que pasa por el eje z.U n punto P con coordenadas rectangulares (x, y, z) tiene las coordenadas esfricas (p, 9, f), donde p = OPi, 9 es el m ism o que en las coordenadas cilndricas y f es el ngulo dirigido desde el eje positivo hasta el vector OP (fig. 57.2). En coordenadas esfricas, una ecuacin p = c representa una esfera de radio c con centro en el origen. U na ecuacin f = c representa un cono con vrtice en el origen y el eje z com o su eje de simetra.Las relaciones adicionales siguientes, deducidas fcilm ente de la figura 57.2 y las ecuaciones anteriores, se cum plen entre coordenadas esfricas, cilndricas y rectangulares:r = p sen f , p 2 : x2 + y2 + z2x = p sen f cos 9, y = p sen f sen 9, z = p cos fFig. 57.1 Fig. 57.22rxz^ 494^ www.FreeLibros.me- # 495~^La integral tripleSea f x , y , z) una funcin continua en una regin tridimensional R. La definicin de integral doble puede extenderse de forma obvia para obtener la definicin de la integral triple JJJ f (x, y, z) dVSi f (x , y , z ) = 1, entonces JJJ f (x- y, z) dV puede interpretarse cono la medida del volumen de la regin R.Clculo de integrales triplesComo en el caso de las integrales dobles, una integral triple puede calcularse en trminos de integrales iteradas. En coordenadas rectangulares,JJJ f (x, y, z) dV = J y] x p ( f (x, y, z) d zd y d xJ a ,y1(x) 'z1(x ,y)rd f x2(y) f zi (x y .. . . . .= 1 I I f (x, y, z ) dz dx dy, etceteraJe Jx, (y ) Jz, (x ,y)donde los lmites de integracin se seleccionan de modo que abarquen la regin R. En coordenadas cilindricas,CCC cP 1*^(0) *z2(r,0)JJJf (r , e , z) d v = a j rm Jzi(r,6) f ( r, e , z)r dzd r dedonde los lmites de integracin se eligen para abarcar la regin R (vase el problema 23). En coordenadas esfricas,r r r r0 ? (0 ) fp?(0>0)JJJf (p , , e ) dv = a J ^ pi(m f (P, 0 , d )P 2 s e n $ dp # dedonde los lmites de integracin se seleccionan de modo que cubran la regin R (vase el problema 24).A nlisis de las definiciones: considere la funcin f (x , y , z), continua sobre una regin R de espacio ordinario. Despus de cortar los planos x = X y y = hj como en el captulo 54, se vuelven a cortar estas subregiones mediante planos z = Zk. La regin R ahora se ha dividido en cierto nmero de paraleleppedos rectangulares de volumen AVjk = A x iAyjAzk y un nmero de paraleleppedos parciales que se ignorarn. En cada paraleleppedo completo se selecciona un punto P ijk (x i, yj, zk); luego se calcula f (x , yj, zk) y se forma la sumaX f ( x i, yj , zk)AVjk = X f(xi, yj, zk)AxiAy.Azki= 1 ,...,m i= 1 ,...,m ( 5 7 . 1 )j=1,.. .,n j= 1 , . ,nk=1,.. ,,p k=1,.. ,,pRRRLa integral triple defx, y, z) sobre la regin R se define como el lmite de (57.1) cuando el nmero de paraleleppedos crece indefinidamente, de forma tal que todas las dimensiones de cada uno de ellos tienden a cero.Al calcular este lmite, se puede sumar primero cada conjunto de paraleleppedos que tienen Aix y Ay para i y j fijos, como dos dimensiones y considerar el lmite cuando cada Akz ^ 0. Se obtienePlm y f (x, y , zk) Akz Atx A.y = [ 2 f (x i , y , z)dz Atx A.yp +^~ JziAhora estas son las columnas, las subregiones bsicas, del captulo 54; por tanto,m X f (xi, y i , zk )AVijk = JJJ f t e y , z) dz dx y = JJJ f (x, y, z) dz dy dxi=1..m R RP^+" Cl-"n k=1,..., pCAPTULO 57 Integrales triples www.FreeLibros.meC A P T U L O 57 Integrales triplesCentroides y momentos de inerciaL a s c o o r d e n a d a s ( x , y , z ) d e l centroide de un volumen s a t is f a c e n la s r e la c io n e sx ldV = lx d V , y JjJd V = Jfy d V , z JJJd v=jjz d vR R R R R RL o s momentos de inercia de un volumen r e s p e c t o a lo s e je s d e c o o r d e n a d a s e s t n d a d o s p o rI x = JJJ ( y 2 + z 2 )dV , I y = JJJ ( z 2 + x 2) d V , I z = JJJ ( x 2 + y 2) dVPROBLEMAS RESUELTOSC a lc u le la s in te g ra le s tr ip le s dad as:a) *i /-x /2-xJo Jo Jo x y z d z d y d x/l f l -x /2-x \= J o J o 1 J o x y z d z ) d y d x= J 1 o o1-xo ox y z 2- jox y 2 (2 - x )4z=2- x ^z=o ,2 - y=1- xdy d x = [ [ Jo J (C1- x x y (2 - x )22dy d xy=od x = 1 ( 4 x - 1 2 x 2 + 1 3 x 3 - 6x 4 + x 5) d x = - J 3 4 Jo 2 4 ob ) zr2s e n 0 d zd rd dJ0 J0J0rn/2 z2 I2 r ^/2 ,-1= 1 1 4 - r2senddrd6= 2 1 I r2send d rd dJ 0 J 0 2 0 J 0 J 0= 3 J o [ r3]0s e n 0 d 0 = ^ -2 [ c o s0] J/2 = -2C ^C^/4isec^1 s e n 20 dpd tyd d / 4 1* TT^ sen^ d ^d d = 2j (1 - ^ V 2 ) dd= (2- ^ n2 . C a lc u le la in te g ra l tr ip le d e F(x, y, z) = z so b re la r e g i n R e n e l p r im e r o c ta n te a c o ta d o p o r lo s p la n o s y = 0, z = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 y e l c il in d r o y 2 + z 2 = 4 ( fig . 5 7 .3 e n la s ig u ie n te p g in a .)P r im e ro se in te g ra re s p e c to a z d e s d e z = 0 (e l p la n o x y ) h a sta z = 34 - y 2 (e l c ilin d r o ) , lu e g o re s p e c to a x d e s d e x = 2 - y h asta x = 6 - 2y , y fin a lm e n te re s p e c to a y d e s d e y = 0 h a sta y = 2. E s to re s u lta enj y2 d x d yr r r r 6- 2y r w4-y - # 497^Fig. 57.33 . Calcule la integral triple de f(r , 0, z) = r2 sobre la regin R acotada por el paraboloide r2 = 9 - z y el plano z = 0 (fig. 57.4).Primero se integra respecto a z, desde z = 0 hasta z = 9 - r2, luego respecto a r, desde r = 0 hasta r = 3, y finalmente respecto a 0, desde 0 = 0 hasta 0 = 2p. Esto resulta encrr r2n r3 r9-r2 r2n r3J J J r 2d V = J^ J J r 2 ( r d z d r d 6 ) = ^ J^ r 3( 9 - r 2 ) d r d &JT[ 4 r 4 - 6 - * I "-JT d - >/4 /y 16-x2 /44 . Demuestre que las integrales siguientes representan el mismo volumen: a) 4 J J J 2 + 2 ^ dz dy dx.*4 [2yfz r V4z-x2 /*4 /*4 fV4Z-y2J Jo dydxdz, y C) 4 Jo L 4 Jo dxdzdyzyCAPTULO 57 Integrales triples www.FreeLibros.meC A P T U L O 57 Integrales triplesa)b )c )A q u z v a ra d e s d e z = ^ ( x 2 + y 2) h asta z = 4 , es d ec ir , e l v o lu m e n e st a c o ta d o p o r d e b a jo p o r el p a r a b o lo id e 4 z = x2 + y2 y p o r e n c im a p o r e l p la n o z = 4 . L o s ra n g o s d e y y x a b a rc a n u n cu a d ra n te d e l c r c u lo x2 + y2 = 1 6 , z = 0, la p r o y e c c i n d e la c u rv a d e in te r s e c c i n d e l p a r a b o lo id e c o n e l p la n o z = 4 e n e l p la n o x y . P o r c o n s ig u ie n te , la in te g ra l p r o p o rc io n a e l v o lu m e n c o rta d o d e l p a r a b o lo id e p o r e l p la n o z = 4. A q u y v a ra d e y = 0 h a sta y = yj4z - x 2 , e s d e c ir , e l v o lu m e n e st a c o ta d o a la iz q u ie r d a p o r e l p la n o x z y a la d e r e c h a p o r e l p a r a b o lo id e y2 = 4 z - x2. L o s ra n g o s d e x y z a b a rc a n la m ita d d e l re a c o rta d a d e la p a r b o la x2 = 4 z, y = 0, la c u rv a d e in te r s e c c i n d e l p a r a b o lo id e y e l p la n o xz, p o r e l p la n o z = 4 . L a r e g i n R e s la d e a).A q u e l v o lu m e n e st a c o ta d o p o r d etr s p o r e l p la n o y z y a l fr e n te p o r e l p a r a b o lo id e 4 z = x 2 + y 2. L o s r a n g o s d e z y d e y a b a rc a n la m ita d d e l re a c o rta d a d e la p a r b o la y2 = 4 z, x = 0, la c u r v a d e in te r s e c c i n d e l p a r a b o lo id e y e l p la n o yz , p o r e l p la n o z = 4 . L a re g i n R e s la d e a).5 . C a lc u le la in te g r a l tr ip le d e F ( p , 0, f ) = 1/ p so b re la r e g i n R en e l p r im e r o c ta n te a c o ta d a p o r lo s c o n o s 0 = - y y f = tan -1 2 y la e s fe r a p = -46 ( fig . 5 7 .5 ) .S e in te g ra p r im e ro re s p e c to a p , d e s d e p = 0 h a sta p = ^/6 , lu e g o re s p e c to a f , d e s d e $ = 4 h a sta f = ta n -12, y fin a lm e n te re s p e c to a 0 d e s d e 0 h a sta f = j . E s to re s u lta enf f f 1 c ^ / 2 c t a n _ 1 2 f > / 6 1J I f p d V = 0 L L p p 2 s e n ^ p # d eC n2 c tan l 2= 3 | | sen d d dJ 0 J ^ 4= - 3 l1_______L l V 2 V 5 J6 . D e te r m in e e l v o lu m e n a c o ta d o p o r e l p a r a b o lo id e z = 2 x 2 + y 2 y e l c ilin d ro z = 4 - y 2 ( fig . 5 7 .6 e n la s ig u ie n te p g in a .)P r im e ro se in te g ra re s p e c to a z, d e s d e z = 2 x 2 + y 2 h a sta z = 4 - y 2, lu e g o re s p e c to a y, d e s d e y = 0 h asta y = V 2 - x 2 (se o b t ie n e x 2 + y 2 = 2 a l e lim in a r x en tre la s e c u a c io n e s d e la s d o s s u p e r f ic ie s ) , y fin a lm e n te re s p e c to a x , d e s d e x = 0 h a sta x = -v/2 (o b te n id o a l su stitu ir y = 0 e n x 2 + y 2 = 2) p a ra d e te rm in a r u n c u a rto d e l v o lu m e n re q u e r id o . A s ,V = 4 f J T C i d z d y d x = 4 c j f ^ 4 - y 2) + ( j x 2 + y 2) ] d y d x= 4 0V24 y - 2 x2 y - -2| - 16d x = -3 (2 - x 2) 3/2d x = 4 ^ unidades cubicas2-x www.FreeLibros.me-^ 501^M = z d V = 4 n/2 h z r d z d r d dxy J J J J0 J0 J hr/aa) E l centroide est en el eje z, y se tiene quei*n/2 r a fol \ 1 i*n/2 1= 2 ^ (h 2r - a^ r r 3 \ d r d d = h2a 2 d d = n h2E n to n c e s , z = M y / V = -f -h y e l c e n tr o id e t ie n e c o o rd e n a d a s (0, 0, h).fc) ^= JJJ ( x 2 + y 2) d V = 4 C Jhr/a ( r 2) r d z d r d 0= 110Uha 4 = 10 a 2VRc) T o m e la r e c ta c o m o e l e je y . L u e g o ,I y = JJJ( x 2 + z 2) d V = 4 J^ J^ J ( r 2 c o s 2 Q + z 2) r d z d r d dd r d &= 4J 0 J 0 ( hr3 - aar4) cos2 Q + 3 (h3r - h -r4 = -5 nha2 (h2 + 4 a2) = 3 (h2 + 1 a2) Vd) S e a la r e c ta c q u e p a s a p o r e l c e n tr o id e p a r a le la a l e je y .I y = I c + V ( 1 h )2 e I c = 3 (h + 1 a 2) V - -9 h2V = & ( * + 4 a 2) Ve) S e a d e l d i m e tr o d e la b a s e d e l c o n o p a r a le lo a l e je y . E n to n c e s ,I d = I c + V (1 h ) 2 = t0 ( h 2 + 4 a 2) V + h2V = ^ h 2 + 3 a 2) V1 0 . H a lle e l v o lu m e n c o rta d o e n e l c o n o 0 = n p o r la e s fe r a p = 2a c o s f ( f ig . 5 7 .1 0 ) .((i ? kI2 c^/4 i2acos0V = 4JJJd V = 4J0 J0 J0 ^ s e n ^ d ^ d ^ d 0R3 2 a3 ^ /2 ^ /4f t f/2 f t f /4 f t f/23 J o J o c o s 30 s e n 0 d 0 d 0 = 2a 3 d 0 = f l a 3 u n i d a d e s c b i c a sRRFig. 57.10CAPTULO 57 Integrales triples www.FreeLibros.meC A P T U L O 57 Integrales triples1 1 . Localice el centroide del volumen cortado en la hoja de un cono de ngulo en el vrtice de 60 por una esfera de radio 2 cuyo centro est en el vrtice del cono.Se toma la superficie como en la figura 57.11, de manera que x = y = 0. En coordenadas esfricas, la ecuacin del cono es 0 = n / 6 y la ecuacin de la esfera es p = 2. Entonces,rrr r /^2 /*^ i6 /*2 qo rnil rni6V = dV = 4 J0 J0 / P W dP # d0 = 33- J0 J0 sen0 d 0 ddR= 3- ^ ^-T l ] j "2 d0 = 8 ^ ( - ^> /3)((i ^ni2 1k/6 i2Mxy = J U z dV = 4 J0 J0 J0 (P c s 0) P 2 sen0 dp # dQR-----4503^1 4 . Describa la curva determinada por cada uno de los pares de ecuaciones siguientes, dados en coordenadas esfricas.a) p = 1, 0 = p b) Q = ^ , 0 = ^ / 6 ; c) p = 2 ,0 = -j.Respuesta: a) crculo de radio 1 en el plano xz con centro en el origen; b) semirrecta en la interseccin del plano Q = y cono q = ^ / 6 ; c) crculo de radio y 2 en el plano z = y 2 con el centro en el eje z.1 5 . Transforme cada una de las ecuaciones siguientes, sean coordenadas rectangulares, cilindricas o esfricas, en ecuaciones equivalentes en los otros dos sistemas de coordenadas: a) p = 5; b) z2 = r2; c) x2 + y2 + (z - 1)2 = 1Respuestas: a) x2 + y2 + z2 = 25, r2 + z2 = 25; b) z2 = x2 + y2, cos2 0 = 2 (es decir, 0 = ^ /4 o 0 = 3 ^ /4 ); c) r2 + z2 = 2z, p = 2 cos f1 6 . Calcule la integral triple de la izquierda en cada uno de los casos siguientes:n2 1*3, J2 d z d x d y = 1b) Jo ^2 \ 0! d zd yd x = 24f6 f12-2y f4-2y/3-x/3 " f12 C A P T U L O 57 Integrales triplesb) El problema 19b)c) El volumen del primer octante del problema 19a)d) El problema 19c)e) El problema 20c)Respuesta: (-j,-|,1) Respuesta: 1 64 _ 9 2 3 1 3 n - 1 2 8 ^ 1 6 ( n - 1) 8 ( n - 1) 3 2 ( n - 1) Respuesta: ( - | , 0 , 0 )Respuesta: ( 0 , 3 p / 4 , 3 p / 1 6 )2 2 . Determine los momentos de inercia Ix, Iy, Iz de los volmenes siguientes:a) El del problema 4b) El del problema 19b)c) El del problema 19c)d) El cortado de z = r2 por el plano z = 2Respuesta: I x = I y = t 2-V ; I z = ^ V Respuesta: I x = - j V ; I y = 2 V ; I z = 13 V Respuesta: I x = V ; I y = 18 V ; I z = f V Respuesta: I = I = -1 V ; I = -y V23. Demuestre que, en coordenadas cilindricas, la integral triple de una funcin f(r , 0, z) sobre una regin R puede representarse porCP rn(H) rz-2(r,) f (r, d, z ) r d z d r d 6Ja Jr (6) J z (r,6)Ja Jr(6) Jz1(r,6)[Sugerencia: considere, en la figura 51.12, una subregin representativa de R acotada por dos cilindros que tienen el eje z como su eje y de radios r y r + Ar, respectivamente, cortada por dos planos horizontales que pasan por (0, 0, z) y (0, 0, z + Az), respectivamente, y por dos planos verticales que pasan por el eje z formando ngulos 0 y 0 + A0, correspondientemente, con el plano xz. Tome AV = (r 0) Ar Az como una aproximacin de su volumen.!Fig. 57.12z2 4 . Demuestre que, en coordenadas esfricas, la integral triple de una funcin f(p , f , 0) sobre una regin R puede representarse porrfi i0o(0) ipo(0,0)J L r n J f ( A ^ 0 ) P 2s e n 0 d p # d dJ a Jft(fl) Jft(0,fl) www.FreeLibros.me-^ 505^[Sugerencia: co n s id e r e , e n la fig u r a 5 7 .1 3 , u n a s u b r e g i n re p r e s e n ta tiv a d e R a c o ta d a p o r d o s e s fe r a s c o n c e n tro e n O, d e ra d io s p y p + Ap , re s p e c t iv a m e n te , y p o r d o s c o n o s q u e tie n e n O c o m o v r t ic e , e l e je z c o m o su e je , y lo s n g u lo s s e m iv e r t ic a le s f y f + A f , re s p e c t iv a m e n te , y p o r d o s p la n o s v e r t ic a le s q u e p a s a n p o r el e je z fo r m a n d o lo s n g u lo s 0 y 0 + A 0, r e s p e c tiv a m e n te , c o n e l p la n o yz . T o m e AV = (p Af ) ( p sen f A 0)(Ap ) = p 2 se n f Dp D f D0 c o m o u n a a p r o x im a c i n d e su v o lu m e n .]25. C a m b ie lo s s ig u ie n te s p u n to s d e c o o rd e n a d a s r e c ta n g u la r e s a c ilin d r ic a s ; a) ( 1 , 0 , 0 ,); b ) ( V 2 , y2 , 2)c ) ( - > / 3 , 1, 5)Respuestas: a) ( 1 , 0, 0); b ) ^2, ^ -, l j ; c ) ^2, 5 ^ , 5 JFig. 57.1326. C a m b ie lo s s ig u ie n te s p u n to s d e c o o rd e n a d a s c ilin d ric a s a recta n g u lares: a) ^5, -73-, l j ; b) ^2, - 6^ , o j ; c) (0, 7 , 1) Respuestas: a) ^-5-, 5 ^ 3 , l j ; b) ( V 3 , 1, 0 ) ; c ) (0, 0, 1)27. C a m b ie lo s s ig u ie n te s p u n to s d e c o o rd e n a d a s r e c ta n g u la r e s a e s f r ic a s : a) ( 1 , 0, 0); b ) ( V 2 , V 2 , 2) ;c ) (1, 1, V 2 )Respuestas: a) (1 , 0 , f ); b) f ) ; c ) (2 , , -3^2 8 . C a m b ie lo s s ig u ie n te s p u n to s d e c o o r d e n a d a s e s f r ic a s a re c ta n g u la re s : a) ( 1 , 0, 0); b ) (2 , 0, p ); c) 4^ , ^ - , ^ Respuestas: a) (0, 0, 1); b ) (0, 0, -2 ); c ) ( > / 2 , V2 , 2 > /3 )zy29. D e s c r ib a la s s u p e r f ic ie s d e te rm in a d a s p o r la s e c u a c io n e s s ig u ie n te s :a) z = r 2; b) r = 4 c o s 0, c) p c o s f = 4; d) p se n f = 4 ; e) 0 = - -^; f 0 = -^; g ) p = 2 sen fRespuestas: a) p a r a b o lo id e c ir c u la r ; b) c il in d r o c ir c u la r re c to (x - 2 )2 + y2 = 4 ; c ) p la n o z = 4 ; d) c ilin d roc ir c u la r r e c to x 2 + y 2 = 16 ; e) e l p la n o x y ; f e l c o n o c ir c u la r r e c to c o n e l e je z c o m o su e je ; g) c ilin d r o c ir c u la r r e c to x 2 + y 2 = 4CAPTULO 57 Integrales triples www.FreeLibros.meMasas de densidad variableLas masas homogneas pueden tratarse como figuras geomtricas con densidad 5 = 1. La masa de un cuerpo homogneo de volumen V y densidad 5 es m = 8V.Para una masa no homognea cuya densidad 5 vara continuamente, un elemento de masa dm est dado por:1. 8(x, y) ds para una curva material plana (por ejemplo, un trozo de alambre fino).2. 8(x, y) dA para una placa material bidimensional (por citar un caso, una lmina delgada de metal).3. 8(x, y) dV para un cuerpo material.El centro de la masa (x , y ) de una placa plana distribuida sobre una regin R con densidad 8(x, y) est determinado por las ecuacionesm x = M y y my = M x, donde M y = JJ (^x , y )x d A y M x = JJ (^x , y )y d AR RUn resultado anlogo se cumple para el centro de masa del cuerpo tridimensional. El razonamiento es semejante al de los centroides expuesto en el captulo 55.Los momentos de inercia de una masa plana respecto al eje x y al eje y son I = JJS (x , y )y 2 dA y= JJ* x , y ) x 2 d A . Las frmulas semejantes con integrales triples se cumplen para cuerpos tridimensionales(por ejemplo, I x = JJJS(x , y , z )(y 2 + z 2) d A .)RPROBLEMAS RESUELTOS1 . Encuentre la masa de un alambre semicircular cuya densidad vara como la distancia al dimetro que une los extremos.Tome el alambre como en la figura 58.1, de manera que 8(x, y) = ky. Entonces, a partir de x2 + y2 = r2ds = ^ 1 + ( de) dx = y dxy m = 5(x, y) ds = J kydx = kr J dx = 2kr2 unidadesyFig. 58.1 www.FreeLibros.me2 . E n c u e n tre la m a s a d e u n a p la c a c u a d ra d a d e la d o a s i la d e n s id a d v a r a c o m o e l c u a d ra d o d e la d is ta n c ia a un v rtic e .T o m e e l c u a d ra d o c o m o e n la fig u r a 5 8 .2 , y se a e l o r ig e n e l v r t ic e d e s d e d o n d e se m id e n la s d is ta n c ia s .E n to n c e s (x , y ) = k(x2 + y 2) ym = J J S ( x , y ) d A = J J k ( x 2 + y 2) d x d y = k J (-3a 3 + a y 2) d y = f k a 4 u n i d a d e sR------------- ^ 507^3 . D e te r m in e la m a sa d e u n a p la c a c irc u la r d e r a d io r s i la d e n s id a d v a ra c o m o e l c u a d ra d o d e la d is ta n c ia a un p u n to e n la c ir c u n fe r e n c ia .T o m e e l c r c u lo c o m o e n la fig u r a 5 8 .3 y se a A ( r , 0) e l p u n to f i jo e n la c ir c u n fe r e n c ia . E n to n c e s , 8 (x , y ) =k[(x - r)2 + y2] ym = J J * x , y ) d A = 2J J ^ - k [ ( x - r ) 2 + y 2 ] d y d x = f k n r 4 u n i d a d e sRFig. 58.34 . E n c u e n tre e l c e n tro d e m a s a d e u n a p la c a c u y a fo r m a e s s im ila r a lo s s e g m e n to s c o rta d o s d e la p a r b o la y2 8 x p o r su la d o r e c to x = 2 , s i la d e n s id a d v a ra c o m o la d is ta n c ia a l la d o r e c to ( f ig . 5 8 .4 ).A q u , (x , y ) = 2 - x y , p o r s im e tr a , y = 0. P a ra la m ita d s u p e r io r d e la p la c a ,m = JJ S(x, y) dA = Jy ,^ k (2 - x ) dx dy = k J04 ^ 2 - yr + 1 2 8 ^dy = 6 4 kMy = JJ S(x, y ) x dA = J ^ J ^ k ( 2 - x ) x dx dy = k J(y 24+12 8" 4y 4 +3 6 4 ( *x = M / m = -6. E l c e n tro d e la m a sa t ie n e c o o rd e n a d a s ( - f ,0 ).CAPTULO 58 Masas de densidad variable www.FreeLibros.meQ cak-5 .6.C A P T U L O 58 Masas de densidad variableE n c u e n tre e l c e n tro d e m a s a d e u n a p la c a e n fo r m a d e la m ita d s u p e r io r d e la c a r d io id e r = 2 (1 + c o s 0) si la d e n s id a d v a ra c o m o la d is ta n c ia al p o lo ( fig . 5 8 .5 ).?K *2(1+cos0)Jo Jo ( ' 3 Jor r i*2(i+cs0) _ r nm = J J ^ ( r ,0 ) dA = J J (kr)rdrd6 = -|k J (1 + c o s 0 )2 dd = knRCC rK /2(1+cos0)Mx = J J S(r, 8)y dA = ^ ( k r ) ( r s e n 0 ) r dr ddR= 4 k Jo* (1 + c o s e )4 s e n 0 d 0 = kc r r n i2(1+cos0)My = J J S(r, 6)x dA = J J ( k r ) ( r c o s f l ) r dr dd = 1 4 k ^RE n to n c e s x = M = 2 1 , y = M = ^ 6 y e l ce n tro d e m a s a t ie n e c o o r d e n a d a s ( 1 ^ , 2 56 ).m 10 7 m 2 5 n J \ 1 0 25njH a lle e l m o m e n to d e in e r c ia re s p e c to a l e je x d e la p la c a c u y o s b o rd e s so n u n a rco d e la c u r v a y = se n x y el e je x , s i su d e n s id a d v a ra c o n la d is ta n c ia a l e je x ./ / / n / senx / nm = | | 5(x, y) dA = I I ky dy dx = ^ k I sen2 x d x = 4 knRI x = J J 5(x,y)y2 dA = (ky)(y2) dy dx = -4k J ^sen4x dx = ^ kn = -3m?>Fig. 58.6 www.FreeLibros.meC A P T U L O 58 Masas de densidad variablePROBLEMAS COMPLEMENTARIOS9 . D e te rm in e la m a sa d ea) U n a v a r il la r e c ta d e lo n g itu d a c u y a d e n s id a d v a r a c o n e l c u a d ra d o d e la d is ta n c ia a u n e x trem o .Respuesta: 3 k a 3 u n id a d e sb) U n a p la c a e n fo r m a d e tr i n g u lo r e c t n g u lo c o n c a te to s a y b , s i la d e n s id a d v a r a c o m o la su m a d e la s d is ta n c ia s a lo s c a te to s .Respuesta: kab (a + b ) u n id a d e sc) U n a p la c a c ir c u la r d e r a d io a c u y a d e n s id a d v a ra c o m o la d is ta n c ia a l cen tro .Respuesta: 2 ka3n u n id a d e sd) U n a p la c a e n fo r m a d e la e lip s e b2x2 + a2y2 = a2b2, si la d e n s id a d v a r a c o m o la su m a d e la s d is ta n c ia s a su s e jes .Respuesta: f kab(a + b ) u n id a d e se) U n c ilin d r o c ir c u la r d e a ltu ra b y r a d io d e b a s e a, s i la d e n s id a d v a ra c o n e l c u a d ro d e la d is ta n c ia a su e je .Respuesta: -j ka4bn u n id a d e sf) U n a e s fe r a d e r a d io a c u y a d e n s id a d v a ra c o m o la d is ta n c ia a u n p la n o d ia m e tr a l fijo .Respuesta: -2 ka4n u n id a d e sg) U n c o n o c ir c u la r d e a ltu ra b y r a d io d e b a s e a c u y a d e n s id a d v a r a c o m o la d is ta n c ia a su e je .Respuesta: \ kabn u n id a d e sh) U n a s u p e r f ic ie e s f r ic a c u y a d e n s id a d v a r a c o m o la d is ta n c ia a u n p la n o d ia m e tr a l fijo .Respuesta: 2ka3% u n id a d e s1 0 . E n c u e n tre e l c e n tro d e m a s a de:a) U n c u a d ra n te d e la p la c a d e l p r o b le m a 9 c).Respuesta: (3 a /2 n , 3a/2rt)b) U n c u a d ra n te d e la p la c a c ir c u la r d e ra d io a, s i la d e n s id a d v a ra c o m o la d is ta n c ia a u n r a d io d e lm ite (e l e je x ).Respuesta: (3a/8 , 3 aft/16 )c) U n c u b o d e a ris ta a, s i la d e n s id a d v a r a c o m o la su m a d e la s d is ta n c ia s a la s tres a ristas a d y a c e n te s (so b re lo s e je s d e c o o rd e n a d a s ).Respuesta: (5a /9 , 5 a/9 , 5a/9)d) U n o c ta n te d e u n a e s fe r a d e r a d io a, s i la d e n s id a d v a ra c o m o la d is ta n c ia a u n a d e la s c a ra s p la n as.Respuesta: (16a/15ft, 16a/15ft, 8a/15) www.FreeLibros.me-----4511^e) U n c o n o c ir c u la r r e c to d e a ltu ra b y r a d io d e b a s e a, s i la d e n s id a d v a r a c o m o la d is ta n c ia a su b ase .Respuesta: (0, 0, 2b/5)1 1 . E n c u e n tre e l m o m e n to d e in e r c ia de:a) U n a p la c a c u a d ra d a d e la d o a re s p e c to a u n la d o , si la d e n s id a d v a r a c o m o e l c u a d ra d o d e la d is ta n c ia a u n e x tre m o d e e s e la d o .Respuesta: 175 a 2 mb) U n a p la c a e n fo r m a d e c r c u lo d e r a d io a re s p e c to a su c e n tro , s i la d e n s id a d v a ra c o m o e l c u a d ra d o d e la d is ta n c ia a l c e n tro .Respuesta: -| a2 mc) U n c u b o d e a ris ta a re s p e c to a u n a d e la s a ristas , s i la d e n s id a d v a ra c o m o e l c u a d ra d o d e la d is ta n c ia d e u n e x tre m o a d ic h a a rista .Respuesta: 35 a 2 md) U n c o n o c ir c u la r r e c to d e a ltu ra b y r a d io d e b a s e a re s p e c to a su e je , s i la d e n s id a d v a ra c o m o la d is ta n c ia a l e je .Respuesta: a 2 me) E l c o n o d e l in c is o d , s i la d e n s id a d v a ra c o m o la d is ta n c ia a la b a s e .Respuesta: 5 a2 mCAPTULO 58 Masas de densidad variable www.FreeLibros.meEcuaciones diferenciales de primer y segundo ordenUna ecuacin diferencial es una ecuacin que supone una funcin, por ejemplo, y, de una variable, digamos x, y derivadas de y o diferenciales de x y y. Algunos ejemplos son d y + 2 dy + 3y - 1senx + 4x = 0 y dy = (x + 2y) dx. La primera ecuacin tambin puede escribirse como y" + 2y ' + 3y - 1 sen x + 4x = 0.El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada de orden ms alto que aparece en la ecuacin. La primera de las ecuaciones anteriores es de orden dos, y la segunda es de orden uno.Una solucin a una ecuacin diferencial es una funcin y que satisface la ecuacin. Una solucin general de una ecuacin es una frmula que describe todas las soluciones de la ecuacin. Una solucin general de una ecuacin diferencial de orden n contendr n constantes arbitrarias.Ecuaciones diferenciales separablesUna ecuacin diferencial separable es una ecuacin de primer orden que puede representarse en la formaEl resultado es una ecuacin que implica a x y a y que determina a y como una funcin de x (vase los problemas4 a 6, y una justificacin en el problema 61).Funciones homogneasUna funcinf x , y) es homognea de grado n si f (1 x , l y ) = In fx , y). La ecuacin M (x , y)dx + N (x , y)dy = 0 es homognea si M (x , y) y N(x, y) son homogneas del mismo grado. Es fcil comprobar que la sustitucintransformar una ecuacin homognea en una ecuacin separable en las variables x y v.Factores de integracinCiertas ecuaciones diferenciales pueden resolverse despus de multiplicar por una funcin apropiada de x y y que producen una combinacin integrable de trminos. Tal funcin se denomina factor de integracin respecto a las ecuaciones. Al buscar combinaciones integrables se observa que:f x )dx + g(y)dy = 0, lo que equivale a dy = - gy)Una ecuacin separable puede resolverse extrayendo las antiderivadasJ f (x) dx + J g(y) dy = Cy = vx, dy = v dx + x dv(i) d(xy) = x dy + y dx (ii) d(y/x) = t y *^ 512^ www.FreeLibros.me-^ 513^Adems, d(F) + d(G)+ ... = 0 resulta en F + G + ... = constante (vase los problemas 10 a 14).Las denominadas ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, + Py = Q , donde P y Q son funciones de x solamente, tienen la funcin %(x) = ePd como factor de integracin (vase los problemas 15 a 17).Una ecuacin de la forma d y + Py = Qyn, donde n ^ 0, 1 y donde P y Q son funciones de x solamente, puede reducirse la forma lineal por la sustituciny1 n = z, . dy = 1 dz d x ~ 1 - n dx(Vase los problemas 18 y 19). Ecuaciones de segundo ordenLas ecuaciones de segundo orden que se resolvern en este captulo son de los tipos siguientes:d 2 ydx^ = f (x) (vase el problema 23)~dxy = f (x, d) (vase los problemas 24 y 25)d 2 ydx2 = f (y) (vase los problemas 26 y 27)d 2 y dydb? + P~dx + 0 ^ = R , donde P y Q son constantes y R es una constante o funcin de x solamente (vase los problemas 28 a 33).Si la ecuacin m2 + P m + Q = 0 tiene dos races m1 y m2, entonces y = C emx + C emix es la solucin general d2 y dy ^ 1 2de la ecuacin -^ xr + P ^ x + Qy = 0. Si las dos son idnticas, de manera que m t = m2 = m, entonces,y = Qe + C2 xemx = e (Cj + C2x)es la solucin general. ^ 2 dLa solucin general de -^xy + P^ y + Qy = 0 se denomina func in complementaria de la ecuacind 2 y dy1 + P i + Qy = R(x) (SU)Si f (x) satisface (59.1), entonces la solucin general de (59.1) esy = funcin complementaria + f(x)La funcin f (x) se llama solucin particular de (59.1).P R O B L E M A S R E S U E L T O S1 . D e m u e s t r e q u e a) y = 2ex, b) y = 3 x y c ) y = C1ex + C 2x , d o n d e C 1 y C 2 s o n c o n s t a n t e s a r b i t r a r i a s , s o ns o l u c i o n e s d e l a e c u a c i n d i f e r e n c i a l y "(1 - x ) + y ' x - y = 0.a) D e r i v e y = 2 e d o s v e c e s p a r a o b t e n e r y' = 2 e y y" = 2ex. S u s t i t u y a e n l a e c u a c i n d i f e r e n c i a l p a r a o b t e n e rl a i d e n t i d a d 2ex(1 - x ) + 2exx - 2ex = 0 .b ) D e r i v e y = 3 x d o s v e c e s p a r a o b t e n e r y' = 3 y y" = 0 . S u s t i t u y a e n l a e c u a c i n d i f e r e n c i a l p a r a o b t e n e r l a i d e n t i d a d 0 ( 1 - x) + 3x - 3x = 0 .c ) D e r i v e y = C1ex + C 2x d o s v e c e s p a r a o b t e n e r y' = C1ex + C 2 y y" = C1ex. S u s t i t u y a e n l a e c u a c i n d i f e r e n c i a l p a r a o b t e n e r l a i d e n t i d a d C1ex( 1 - x) + ( C1ex + C2)x - ( C1ex + C2x ) = 0 .L a s o l u c i n d e c ) e s l a solucin general d e l a e c u a c i n d i f e r e n c i a l p o r q u e s a t i s f a c e l a e c u a c i n y c o n t i e n e e l n m e r o a p r o p i a d o d e c o n s t a n t e s a r b i t r a r i a s e s e n c i a l e s . L a s s o l u c i o n e s d e a) y b ) s e d e n o m i n a n solucionesCAPTULO 59 Ecuaciones diferenciales www.FreeLibros.meC A P T U L O 59 Ecuaciones diferencialesparticulares, ya que cada una puede obtenerse asignando valores particulares a las constantes arbitrarias de la solucin general.2 . De la ecuacin diferencial cuya solucin general es:a) y = C x2 - x ; b ) y = C lx3 + C2x + C 3.a) Derive y = C x2 - x una vez para obtener y ' = 2C x - 1. Resuelva para y = 2 ( ^~x ) y sustituya en la1 ( + 1 ^ ^ ^ relacin dada (solucin general) para obtener y = 2 1 2 I x 2 - x o y 'x = 2y + x .b ) Derive y = Q x 3 + C 2x + C 3 tres veces para obtener y ' = 3Q x 2 + C 2, y ' ' = 6Q x , y ' ' ' = 6C j . Entonces, y ' ' =xy'" es la ecuacin requerida. Observe que la relacin dada es una solucin de la ecuacin y (4) = 0 pero no constituye la solucin general, ya que contiene slo tres constantes arbitrarias.3 . Encuentre la ecuacin diferencial de segundo orden de todas las parbolas con eje principal a lo largo del eje x .El sistema de parbolas tiene la ecuacin y 2 = A x + B , donde A y B son constantes arbitrarias. Derive dosveces para obtener 2y y ' = A y 2y y ' ' + 2(y ')2 = 0. Esta ltima es la ecuacin requerida.4 . Resuelva +-------- 2 + y 2 = 0d x x y 2(1 + x 2)y 2 1Aqu x y2(1 + x 2)d y + (1 + y3)d x = 0, o 1 + y 3 d y + x (1 + x 2) d x = 0 con las variables separadas. Luego, la descomposicin por fracciones parciales resulta eny 2d y + d x _ x d x = 0 1 + y 3 x 1 + x 2 ,y la integracin da3 l n 11 + y3l + l n I x l _ -2 ln ( 1 + x2) = co 2 ln I1 + y3I + 6 lnlxl - 3 ln(1 + x2) = 6cd d d l n x6(1 + y3) 2 6 c x6(1 + y3) 2 e6c Cde donde l n ( 1 + x 2) 3 = 6 c y ( 1 + x 2) 3 - e = C5 d 1 d y 1 + y25 . Resuelva = Y+ x 2 .Separe las variables 1 + ^ 2 = 1 + x La integracin resulta en tan-1 y = tan-1 x + tan-1 C, y entoncesy = t a n ( t a n - 1 x + t a n - 1 C ) = x _ + Q x6 . Resuelva & = ^ 2 .d x s e n 2 x d y d xLas variables se separan fcilmente para obtener----5 = 5 .1 1 c o s 2 y s e n 2 xPor tanto, sec2 y dy = cosec2 x dx y la integracin resulta en tan y = -co t x + C.7 . Resuelva 2xy dy = (x2 - y2)dx.La ecuacin es homognea de grado dos. La transformacin y = vx, dy = v dx + x dv resulta en (2x)(vx)(v dx + x dv) = (x2 - v2x)dx o V 1 = . Entonces, la integracin da_ 1 l n I 1 _ 3 v 2I = l n I x l + l n Cde donde ln I1 - 3v2l + 3 lnlxl + ln C' = 0 o C'' lx3(1 - 3c2)l = 1.Ahora C'x3(1 - 3v2) = Cx3(1 - 3v2), y utilizando v = y/x produce C(x3 - 3xy2) = 1. www.FreeLibros.me-^ 515^y y8 . Resuelva x sen y (y dx + x dy) + co sy (x dy - y dx) = 0 .La ecuacin es homognea de grado dos. La transformacin y = vx, dy = v dx - x dv resulta enx sen v(vx dx + x2 dv + vx dx) + vx cos v(x2 dv + vx dx - vx dx) = 0o sen v(2v dx + x dv) + xv cos v dv = 0senv + vcosv dv + 2 d x = 0 vsenv xEntonces, lnlv sen vi + 2 lnlxl = ln C', de manera que x2v sen v = C y xy sen-^ = C .9 . Resuelva (x2 - 2y2)dy + 2xy dx = 0.La ecuacin es homognea de grado dos y la transformacin estndar resulta en(1 - 2v2)(v dx + x dv) + 2v dx = 01- v _dv + dx = 0v(3 - 2v2) xdv _ 4 v d v dx = 0o 3v 3(3 - 2v2) + x 0La integracin resulta en j l n lvl + 73ln 13 - 2v2l + ln ixl = ln c , lo cual puede escribirse como lnlvl + lnl3 - 2v2l+ 3 lnlxl = ln C'. Entonces, x3(3 - 2v2) = C y y(3x2 - 2y2) = C.1 0 . Resuelva (x2 + y)dx + (y3 + x)dy = 0.Integre x2 dx + (y dx + x dy) + y3 dy = 0 trmino a trmino para obtenery - + xy + y - = C1 1 . Resuelva (x + e~x sen y)dx - (y + e~x cos y)dy = 0.Integre x dx - y dy - (e~x cos y dy - sen y dx) = 0 trmino a trmino para obtenert x2 - i y2 - e~xsen y = C1 2 . Resuelva x dy - y dx = 2x3 dx.La combinacin x dy + y d ;(x) = ^ 2 se obtiene x dy ^y dx = 2x dx, de dondeLa combinacin x dy + y dx sugiere d f y 1 = x d y ~ y d x . Por tanto, multiplicando la ecuacin dada pory = x 2 + C o y = x3 + Cx x1 3 . Resuelva x dy + y dx = 2x2 y dx.La combinacin x dy + y dx sugiere d (ln xy) = x d + dX. Por ende, al multiplicar la ecuacin dada port (x , y) = se obtiene x dy + y dx = 2x dx, de donde lnlxyl = x2 + C. xy xyCAPTULO 59 Ecuaciones diferenciales www.FreeLibros.meC A P T U L O 59 Ecuaciones diferenciales1 4 . R e s u e l v a x dy + ( 3 y - ex)dx = 0 .M u l t i p l i q u e l a e c u a c i n p o r ^ ( x ) = x 2 p a r a o b t e n e r x 3 dy + 3 x 2 y dx = x V dx. E s t o p r o d u c e3y = J x 2ex dx = x 2ex - 2xex + 2ex + C1 5 . d y + y = 6x 3 dx x JA q u i , P ( x ) = 2 , J P ( x ) = l n x 2, y u n f a c t o r d e i n t e g r a c i n e s ;( x ) = e lnx2 = x2 . M u l t i p l i q u e p o r l a e c u a c i n X (x ) = x 2 p a r a o b t e n e r x 2 dy + 2xy dx = 6x 5 d x . A s i , l a i n t e g r a c i n r e s u l t a e n x 2y = x 6 + C .Nota 1: d e s p u s d e m u l t i p l i c a r p o r e l f a c t o r d e i n t e g r a c i n , l o s t r m i n o s d e l m i e m b r o i z q u i e r d o d e l a e c u a c i n r e s u l t a n t e s o n u n a combinacin integrable.Nota 2: e l f a c t o r d e i n t e g r a c i n d e u n a e c u a c i n n o e s n i c o . E n e s t e p r o b l e m a x 2, 3 x 2, - j x 2, e t c . , s o n t o d o s l o s f a c t o r e s d e i n t e g r a c i n . P o r t a n t o , s e e s c r i b e l a i n t e g r a l p a r t i c u l a r m s s i m p l e d e P ( x ) dx e n l u g a r d e l a i n t e g r a l g e n e r a l , l n x 2 + l n C = l n C x 2.1 6 . R e s u e l v a t a n x^dy + y = s e c x .C o m o + y c o t x = c s c x s e t i e n e q u e J P ( x ) d x = J c o t x dx = l n I s e n x I y X (x ) = e1"'5" x ' = I s e n x l. E n t o n c e s ,a l m u l t i p l i c a r p o r (x) r e s u l t as e n x ^ d x + y c o t x j = s e n x c s c x o s e n x dy + y c o s x dx = dxy l a i n t e g r a c i n d ay s e n x = x + C1 7 . R e s u e l v a xy = x .A q u i , P ( x ) = - x , J P ( x ) dx = - - 2 x2 y ;( x ) = e ~ 2x2. E s t o r e s u l t a e ne ~2 x2 dy xye~2x 2 dx = xe~2x2 dxy l a i n t e g r a c i n p r o d u c ey e ~ = - e i x 2 + C , O y = C e - 11 8 . R e s u e l v a ifZ .dxd y + =+ y = x y 2 dyL a e c u a c i n e s d e l a f o r m a + Py = Qyn, c o n n = 2 . A q u i s e u t i l i z a l a s u s t i t u c i n y 1 n = y 1 = z ,y -2 d x = d z . P o r c o n v e n i e n c i a , s e e s c r i b e l a e c u a c i n o r i g i n a l e n l a f o r m a y ~2 d y + y -1 = x , y s e o b t i e n e dz + z = x o z = x dx + z x dx z xE l f a c t o r d e i n t e g r a c i n e s ; (x ) = e' = e ' = e ~x . E l l o r e s u l t a e n e~xd x - ze~xdx = xe~xdx, d e d o n d e ze-x =xe- + e- + C . F i n a l m e n t e , c o m o z = y _1, s e t i e n e q u e1 = x + 1 + Cex.d y 31 9 . R e s u e l v a d x + y t a n x = y 3 s e c xE s c r i b a l a e c u a c i n e n l a f o r m a + y ~2 t a n x = s e c x . L u e g o , u s e l a s u s t i t u c i n y - = z , v~3d J d x J 6 y , y d x 2 d xp a r a o b t e n e r ^ y 2 z t a n x = 2s e c x .3 y + y 2 t a n T = s e c T T n e g o u s e la s u s t i t u c i n y-2 z -m-3 d y __1 Z www.FreeLibros.meEl factor de integracin es ;(x) = e tanz d = cos2 x . Da cos2x dz - 2z cos x sen x dx = -2 cos x dx, de dondez cos2 x = -2 sen x + C o cos2 x =-2senx + Cy-^ 517^2 0 . Cuando se dispara una bala en un banco de arena, se supone que su desaceleracin es igual a la raz cuadrada de su velocidad de entrada. Cunto tiempo viajar, si su velocidad de entrada al banco es de 144 pies/ segundo?Sea v la velocidad de la bala t segundos despus de entrar en el banco. Entonces, la desaceleracin es- d v = -JV, de modo que -d v = - d t y 2 y [ v = - t + C . d t s j v ___Cuando t = 0, v = 144 y C = 2^ 144 = 24. Por tanto, 2 yfv = t + 24 es la ley que rige el movimiento de la bala. Cuando v = 0, t = 24; la bala viajar durante 24 segundos antes de detenerse.2 1 . Un tanque recibe 100 galones de salmuera que contienen 200 libras de sal en solucin. El agua que contiene1 libra de sal por galn fluye al tanque a razn de 3 galones/minuto; la mezcla se mantiene uniforme por agitacin, y sale a la misma razn. Determine la cantidad de sal al cabo de 90 minutos.Sea q el nmero de libras de sal en el tanque al cabo de t minutos. Entonces, ^ SL es la razn de cambio de la cantidad de sal en el instante t.Cada minuto entran en el tanque tres libras de sal, y 0.03q libras salen. As, = 3 - 0 . 0 3 q . Al reordenar sedq = dtconvierte en 3 - 0 0 3 q _ , y la integracin dal n ( 0 . 0 3 q - 3 ) + C0 . 0 3 'Cuando t = 0, q = 200 y C = 0 o , de modo que ln(0.03q - 3) = -0.03t + ln 3. Entonces, 0.001q - 1 = e~003t y q = 100 + 100e-003t. Cuando t = 90, q = 100 + 100e~27 ~ 106.72 libras.2 2 . En ciertas condiciones, la caa de azcar en agua se convierte en dextrosa a una razn proporcional a la cantidad que no est convertida en ese momento. Si, de 75 gramos en el instante t = 0, 8 gramos se convierten durante los primeros 30 minutos, determine qu cantidad ser convertida en 1.5 horas.Sea q la cantidad convertida en t minutos. Entonces, d i = k(75 - q), de donde 7 5 Z = k d t y la integracin resulta en ln(75 - q) = - k t + C.Cuando t = 0, q = 0 y C = 75, de manera que ln(75 - q) = - k t + ln 75.Cuanto t = 30 y q = 8, se tiene que 30k = ln 75 - ln 67; por tanto, k = 0.0038 y q = 75(1 - e00038t).Cuando t = 90, q = 75(1 - e034) ~ 21.6 gramos.d 2 y2 3 . Resuelva r r = xex + cos x.dx2Aqu, d ^ j = xex + cos x. Por tanto, = J (xex + cos x)dx = xex - ex + senx + Q , y otra integracin produce y = xex - 2 ex - cos x + Cxx + C2., ^ , ? d2 y dy2 4 . Resuelva x 2~ r r + x^ = a.dx2 dxSea p = ; entonces, = dE. y la ecuacin dada se convierte en x2 + xd = a o x d v + vd x = a dx .dx dx2 dx dy dx xEntonces, la integracin resulta en xp = a ln Ixl + Cj, o x d x = a ln Ixl + Cj. Cuando esto se escribe como dx dx 1 dx dy = a ln I x l----+ C1 , al integrar se obtiene y = ^ a ln21 xl + C1 ln IxI + C2 .CAPTULO 59 Ecuaciones diferenciales www.FreeLibros.meC A P T U L O 59 Ecuaciones diferencialesd y ^ d 2 y d p , , , . d p , , AS e a p = d x E n to n c e s , x 2 = d x y la e c u a c i n d a d a s e c o n v ie r te en x + p + x = 0 x dp + p dx = - x dx.L a in te g r a c i n re s u lta en x p = - 1 x 2 + C j , y p o r su stitu c i n d e p s e o b t ie n e = 2 x + ^ x - , y o tra in te g ra c i nd a y = 1 x 2 + C 2 l n l x i + C 2 .2 6 . R e s u e lv a d y - - 2y = 0 .C o m o d x [(y ')2] = 2y'y" , p u e d e m u lt ip lic a r la e c u a c i n d a d a p o r 2 y ' p a ra o b te n e r 2 y 'y " = 4 y y ', y lu e g o in te g re p a ra o b te n e r ( y ')2 = 4 J yy ' dx = 4 J ydy = 2 y2 + C 1.E n to n c e s , = yj2 y2 + C 1 , d e m o d o q u e ,dy^ = = d x y ln i V 2 y + ^ 2 y 2 + C 1 i = \2x + ln C 2. L a ltim a e c u a c i n d a >/2y + -y/ 2 y2 + C 1 = C2e^ ^ . 12 7 . R e s u e lv a y " = - i - .y32 y 'M u lt ip liq u e p o r 2 y ' p a ra o b te n e r 2y'y" = y p . E n to n c e s , la in te g r a c i n p r o d u c e/ ^2 1 , n a a dy V 1 + C 1y 2 ydy ,( y )2 = 2- + C , d e m o d o q u e - f- = ------------- o , =- = dxy 2 1 4 d x y ^ 1 + C 1y 2O tra in te g r a c i n re s u lta e n ,J1 + C 1y 2 = C1x + C 2 o ( Q x + C 2)2 - Cy2 = 1.2 8 . R e s u e lv a d y + 3 d y - 4 y = 0.dx2 dxA q u s e t ie n e q u e m 2 + 3m - 4 = 0, d e d o n d e m = 1, - 4 . L a s o lu c i n g e n e r a l e s y = C1ex + C 2e -4x.2 9 . R e s u e lv a ^ + 3 = 0.dx2 dxA q u , m 2 + 3m = 0, d e d o n d e m = 0, - 3 . L a s o lu c i n g e n e r a l e s y = C j + C 2e~3x.3 0 . R e s u e lv a 4 - 4 d y + 1 3 y = 0.dx2 dxA q u , m2 - 4 m + 13 = 0, c o n r a c e s m1 = 2 + 3i y m2 = 2 - 3i . L a s o lu c i n g e n e r a l esy = C j e (2+3i)x + C 2e (2-3i)I = e 2x( C 1e3 I + C 2e-3 )E n v ir tu d d e q u e a = c o s a x + i se n a x , s e t ie n e q u e e 3 = c o s 3 x + i se n 3 x y e~3 = c o s 3 x - i se n 3 x. P o rtan to , la s o lu c i n p u e d e p la s m a r s e e n la fo r m ay = e 2x[ C 1( c o s 3 x + i sen 3x) + C 2(c o s 3 x - i se n 3x)]= e 2x[ ( C 1 + C 2) c o s 3 x + i( C j - C 2) sen 3x]= e 2x(A c o s 3 x + P se n 3x)3 1 . R e s u e lv a dy - 4 -y + 4 y = 0.dx2 dxA q u , m2 - 4 m + 4 = 0, c o n r a c e s m = 2 , 2. L a s o lu c i n g e n e r a l e s y = C1e2x + C2xe2x.3 2 . R e s u e lv a d ^ + 3 d y - 4 y = x 2.dx2 dxD e l p r o b le m a 6, la fr a c c i n c o m p le m e n ta r ia e s y = C1ex + C2xe2x. www.FreeLibros.meP a ra h a lla r u n a s o lu c i n en p a r tic u la r d e la e c u a c i n , o b s e r v e q u e e l m ie m b ro d e la d e r e c h a e s R ( x ) = x 2.E s to in d ic a q u e la s o lu c i n en p a rtic u la r c o n te n d r u n t rm in o en x 2 y q u iz o tro s t rm in o s o b te n id o s m e d ia n te d e r iv a c i n s u c e s iv a . S u p n g a s e q u e se r d e la fo r m a y = A x 2 + Bx + C , d o n d e s e d e te rm in a r n la s c o n s ta n te s A ,B, C. P o r tan to , s e s u s titu y e y = A x 2 + B x + C , y ' = 2 A x + B , y y ' ' = 2 A e n la e c u a c i n d ife r e n c ia l p a ra o b te n e r2 A + 3 (2 A x + B ) - 4 ( A x 2 + B x + C ) = x 2 o - 4 A x 2 + (6A - 4 B ) x + (2 A + 3 B - 4 C ) = x 2C o m o e sta lt im a e c u a c i n e s u n a id e n tid a d en x , se t ie n e q u e - 4 A = 1 , 6A - 4 B = 0 y 2 A + 3 B - 4 C = 0.1 3 13 1 3 13E s to re s u lta en A = 4 , B = 8 C = - 32 y y = 4 x 2 8 x - 3 2 e s u n a s o lu c i n e n p a rticu la r. A s , la1 3 13s o lu c i n g e n e r a l es y = Q e x + C2ex 4 x 2 8 x 3 ^ .3 3 . R e s u e lv a d y - 2dy 3 y = c o s x .A q u , m 2 - 2m - 3 = 0, d e d o n d e m = - 1 , 3; la fu n c i n c o m p le m e n ta r ia e s y = C e x + C 2e3x. E l m ie m b ro d e la d e r e c h a d e la e c u a c i n d ife r e n c ia l in d ic a q u e u n a s o lu c i n p a r tic u la r es d e la fo r m a A c o s x + B se n x .P o r tan to , se s u s titu y e y = A c o s x + B se n x , y ' = B c o s x - A se n x y y" = - A c o s x - B se n x e n la e c u a c i n d ife r e n c ia l p a ra o b te n e r( - A c o s x - B sen x ) - 2 (B c o s x - A se n x ) - 3 (A c o s x + B se n x ) = c o s x------------- 4 519^- 2 ( 2 A + B ) c o s x + 2 (A - 2 B )s e n x = c o s x' 5 B = 1 0 .L a lt im a e c u a c i n d a - 2 ( 2 A + B ) = 1 y A - 2 B = 0, d e d o n d e A = 5 , B = -70. L a s o lu c i n g e n e r a l es C e x + C 2e 3x ^ c o s x y 0 s e n x .d 2 s3 4 . U n a p e s a su sp e n d id a d e u n re so rte su b e y b a ja d e m an e ra q u e la e c u a c i n d e m o v im ie n to s e s + 1 6 s = 0,ds dtd o n d e s e s e l e s tira m ien to d e l re so rte e n e l in stan te t. S i s = 2 y = 1, c u a n d o t = 0, e n cu e n tre s en t rm in o s d e t.dtA q u m 2 + 16 = 0 re s u lta en m = 4/, y la s o lu c i n g e n e r a l e s s = A c o s 4 t + B se n 4t. A h o r a , c u a n d o t = 0,s = 2 = A , d e fo r m a q u e s = 2 c o s 4 t + B se n 4t.A s im is m o , c u a n d o t = 0, d s/dt = 1 = - 8 sen 4 t + 4 B c o s 4 t = 4 B , y e n to n c e s B = 4 . A s , la e c u a c i n r e q u e r id a e s s = 2 c o s 4 t + ^ s e n 4 t .3 5 . L a c o rr ie n te e l c tr ic a e n c ie rto c ir c u ito e st d a d a p o r + 4 + 2 5 0 4 I = 1 1 0 . S i I = 0 y d = 0, c u a n d o t = 0,d t 2 d t 3 dth a lle I e n t rm in o s d e t.A q u , m 2 + 4m + 2 5 0 4 = 0 d a m = - 2 + 50/, - 2 - 50/; la fu n c i n c o m p le m e n ta r ia e s e~2t(A c o s 5 0 t + B sen 5 0 t). C o m o e l m ie m b ro d e la d e r e c h a e s u n a c o n s ta n te , se e n c u e n tra q u e la s o lu c i n p a rtic u la r e s I = 110 /2 5 0 4 = 0 .0 44 . A s , la s o lu c i n g e n e r a l e s I = e~2t(A c o s 5 0 t + B sen 5 0 t) + 0 .0 44 .A s im is m o , c u a n d o t = 0, dl/dt = 0 = e~2t[ ( - 2 A + 5 0 B ) c o s 5 0 t - (2 B + 5 0 A ) se n 50 t] = - 2 A + 5 0 B . E n to n c e s , B = - 0 .0 0 1 8 , y la r e la c i n r e q u e r id a e s I = - e 2t(0 .0 4 4 c o s 5 0 t + 0 .0 0 18 sen 50 t) + 0 .0 44 .o3 6 . Una cadena de 4 pies de largo comienza a deslizarse desde un techo plano cuando tiene 1 pie colgando desde el borde. Desprecie la friccin y determine a) la velocidad con la que se desliza y b) el tiempo necesario para hacerlo.Sea s la longitud de la cadena que cuelga por el borde del techo en el instante t.a) La fuerza F que hace que la cadena se deslice del techo es el peso de la parte que est colgando del borde. Ese peso es de miligramos/4. Por tanto,F = masa x aceleracin = ms" = 4 mgs o s '' = 4 gramosMultiplicando por 2s' se obtiene 2s's" = y gss' e integrando una vez resulta ( s O 2 = 1 gs2 + CvCAPTULO 59 Ecuaciones diferenciales www.FreeLibros.meC A P T U L O 59 Ecuaciones diferencialesCuando t = 0, i = 1 y s ' = 0. Por tanto, C1 = - g y s ' = j - J g y / s2 - 1. Cuando s = 4, s ' = \ - \ j 1 5 g pies/ segundo.b) Com o i ds = T iJg dt, la integracin da ln |s + V s2 - 1 = -^ J gt + C2 . Cuando t = 0, s = 1. Entonces, C2>/s2 - 1 1 1= 0 y ln(s + V s 2 - 1 ) = i j g t .Cuando s = 4, t = ^ l n ( 4 + >/5) segundos.v g3 7 . U n bote con m asa de 1600 libras tiene una rap idez de 20 p ies/s cuando su m otor se detiene sbitam ente (en t = 0). La resistencia del agua, proporcional a la rapidez del bote, es de 200 libras cuando t = 0. Qu distancia habr recorrido el bote cuando su rapidez se reduzca a 5 pies/s?Sea s la distancia recorrida por el bote t segundos despus de haberse detenido el motor. Luego, la fuerza Fen el bote esF = ms" = - Ks ' de donde s " = -k s 'fuerz a 200gPara determ inar k, se observa que en t = 0, s ' = 20 y s" = --------- = 7777^- = 4 . Entonces, k = s" / s' = 5.^ J m asa 1600 5A hora s" = d " = _ "5 , una integracin da ln v = - -5 1 + C1 o v = C 1e-t/5.Cuando t = 0, v = 20. Entonces, C 1 = 20 y v = djj = 20e - t/5. O tra integracin da s = -1 0 0 e -/5 + C2.Cuando t = 0, s = 0; entonces, C2 = 100 y s = 100(1 - e-/5). Se necesita el valor de s cuando v = 5 = 20e-/5, es decir, cuando e -/5 = -3-. As, s = 100(1 - 4 ) = 75 pies.PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS3 8 . E s c r i b a l a e c u a c i n d i f e r e n c i a l c u y a s o l u c i n e s :a) y = C x 2 + 1 b ) y = C 2x + Cc) y = C x 2 + C 2 d) xy = x 3 - Ce) y = C 1 + C 2x + C 3x 2 f) y = C1ex + C 2e 2xg ) y = C 1 s e n x + C 2 c o s x h) y = C1ex c o s ( 3 x + C 2)Respuestas: a) xy' = 2 ( y - 1 ) ; b ) y ' = ( y - x y ' ) 2; c ) 4 x 2y = 2 x 3y ' + ( y ' ) 2; d ) x y ' + y = 3 x 2; e ) y'" = 0 ; f ) y ' ' - 3 y ' + 2y = 0; g ) y ' ' + y = 0; h ) y ' ' - 2y ' + 10y = 03 9 . R e s u e l v aa ) y dy - 4 x dx = 0 Respuesta: y2 = 4 x2 + Cb) y2 dy - 3 x5 dx = 0 Respuesta: 2 y 3 = 3 x 6 + Cc) x3 y' = y2(x - 4 ) Respuesta: x 2 - x y + 2 y = Cx2yd) (x - 2 y ) dy + (y + 4 x ) dx = 0 Respuesta: xy - y 2 + 2 x 2 = Ce) ( 2 y 2 + 1 ) y ' = 3 x 2y Respuesta: y 2 + l n lyl = x 3 + Cf ) x y ' (2y - 1) = y (1 - x ) Respuesta: l n lxyl = x + 2 y + Cg) (x2 + y2) dx = 2xy dy Respuesta: x 2 - y 2 = Cxh) (x + y ) dy = (x - y ) dx Respuesta: x 2 - 2xy - y 2 = Ci) x ( x + y ) d y - y 2 dx = 0 Respuesta: y = Ce-y/xx dy - y dx + x e~ y/x d x = 0 Respuesta: ey/x + l n lC x l = 0k) dy = ( 3 y + e 2x) d x Respuesta: y = (C e - 1 ) e 2xl) x 2 y 2 dy = (1 - x y 3) d x Respuesta: 2 x 3y 3 = 3 x 2 + C www.FreeLibros.me-^ 521^4 0 . L a ta n g e n te y la n o rm a l a u n a c u r v a e n un p u n to P(x, y) s e e n c u e n tra n en e l e je x y T y N , r e s p e c tiv a m e n te , y e l e je y en S y M , c o rre s p o n d ie n te m e n te . D e te r m in e la fa m ilia d e c u r v a s q u e s a t is fa c e n la s c o n d ic io n e s :a ) T P = P S ; b ) N M = M P ; c) T P = O P ; d) NP = OPRespuestas: a) xy = C ; b) 2 x 2 + y 2 = C ; c) x y = C , y = C x ; d) x 2 y 2 = C4 1 . R e s u e lv a e l p r o b le m a 2 1 su p o n ie n d o q u e e l a g u a p u ra f lu y e en e l ta n q u e a u n a r a z n d e 3 g a lo n e s/ m in u to y la m e z c la s a le a l m is m o ritm o .Respuesta: 1 3 .4 4 lib ra s4q42 . R e s u e lv a e l p r o b le m a 4 1 su p o n ie n d o q u e la m e z c la sa le a u n a ra z n d e 4 gal/m in . (S u g e re n cia : dq = _ 1 0 ( 0 r d t).Respuesta: 0 .0 2 lib ra sE n lo s p r o b le m a s 4 3 a 5 9 , r e s u e lv a la e c u a c i n in d ic a d a .4 3 . = 3 x + 2dx24 4 . e 2^ = 4 ( e 4x + 1)4 5 . 'd x 2~ = _ 9 s e n 3 x4 6 . x d _ 3 + 4 x = 0dx2 dx4 7 . d y _ = 2 x _ x 2dx2 dx4 8 . x d _ = 8 x 3 dx2 dxRespuesta: y = -j x 3 + x 2 + C1x + C 2Respuesta: y = e 21 + e -21 + C1x + C 2Respuesta: y = se n 3 x + C1x + C 2Respuesta: y = x 2 + C 1x 4 + C 2x 3 xRespuesta: y = - 3 + C je x + C 2Respuesta: y = x 4 + C 1x 2 + C 24 9 . _ 3 d y +2 y =0dx2 dx Respuesta: y = C1ex + C2e25 0 . + 5 + 6 y = 0dx2 dx5 1 . _ dy = 0d x 2 d x5 2 . _ 2 d y + y = 0dx2 dx53. d y + 9 y =0Respuesta: y = C e -2 + C 2e~3xRespuesta: y = C 1 + C 2exRespuesta: y = C2xex + C2 se n 3xRespuesta: y = C 1 cos 3x + C 2 sen 3xCAPTULO 59 Ecuaciones diferenciales www.FreeLibros.meC A P T U L O 59 Ecuaciones diferenciales5 4 . ^ - 2 d - + 5 y = 0 d x 2 dx JRespuesta: y = ex ( Q c o s x + C 2 sen 2x)5 5 . - 4 + 5 y = 0dx2 dx Respuesta: y = e2x ( C1 c o s x + C2 se n x)5 6 . + 4 d + 3 y = 6x + 2 3dx2 dx Respuesta: y = C1e x + C 2e 3x + 2 x + 55 7 . d i + 4 y = e3xRespuesta: y = C 1 s e n 2 x + C 2 c o s 2 x + ^ -3-5 8 . - 6 d + 9 y = x + ^dx Respuesta: y = C 1e 3x + C 2 x e3 x + e 2x + -9 + 275 9 . d y - y = c o s 2 x - 2 s e n 2 x Respuesta: y = Clex + C2e x - y c o s 2 x + -f s e n 2 x6 0 . U n a p a r t c u la d e m a sa m q u e s e m u e v e e n u n m e d io q u e o fr e c e u n a r e s is te n c ia p r o p o r c io n a l a la v e lo c id a d est s u je ta a u n a fu e r z a d e a tr a c c i n p r o p o r c io n a l a l d e s p la z a m ie n to . D e te r m in e la e c u a c i n d e l m o v im ie n to d e lad 2s d s d 2s d s op a rtcu la si e l in stan te t = 0, s = 0, y s' = v 0. (Sugerencia: a q u m d 2 = ~K ~ k 2s o d -2- + 2 b d ^ + c s = 0, b > 0.) Respuesta: S i b 2 = c 2, s = v0te~bt; s i b 2 < c 2; s = . V e~bt sen V c 2 - b 2t s i b 2 > c 2,s = V ( e ( - &+Vb2- c2)t - e ,^ b - ' l b2- c2)t )d y f ( x )6 1 . J u s tifiq u e e l m to d o p a ra r e s o lv e r u n a e c u a c i n d ife r e n c ia l s e p a ra b le d x = p r in te g r a c i n , e s d ec ir ,J f (x ) dx + J g ( y ) dy = C .Respuesta: s e d e r iv a n a m b o s la d o s J f (x ) dx + J g ( y ) dy = C re s p e c to a x , lo c u a l re s u lta enf (x ) + g ( y ) d = 0 . P o r tan to , d = - g ( y ) y la s o lu c i n y s a t is fa c e la e c u a c i n d ad a. www.FreeLibros.meFrmulas trigonomtricascos2 6 + sen2 6 = 1 cos(6 + 2P) = cos 6 sen(6 + 2p = sen 6 cos(-6) = cos 6 sen(-6) = -sen 6cos(u + v) = cos u cos v - sen u sen v cos(u - v) = cos u cos v + sen u sen v sen(u + v) = sen u cos v + cos u sen v sen(u - v) = sen u cos v - cos u sen v sen26 = 2 sen 6 cos 6cos26 = cos2 6 - sen2 6 = 2 cos2 6 - 1 = 1 - 2 sen2 62 6 1 + cos 6cos22 =2 0 1 - cos 6sen22 =- ^ cos(Y_ )^ = sen0; sen(p- 6) = sen 6; sen(6 + P) = sen-0 J = cos0; cos(p- 6) = -cos 9; cos(6 + pLey de los cosenos: c2 = a2 + b2 - 2ab cos 6 sen A sen B senCtan x = -sen x 1cot x =cosx cotx cos x 1sec x =sen x tan x1cos x 1cosecx =-senxtan(-x) = -tan xtan(x + p = tan x1 + tan2 x = sec2 x1 + cot2 x = cosec2 xtan u + tan vtan(u + v) = tan(u - v) =1 - tanu tanvtan u - tan v 1 + tan u tanv-sen6=-cos6ALey de los senos:baC Ba 23j www.FreeLibros.meFrmulas geomtricas(A = rea, C = circunferencia, V = volumen, S = rea de la superficie lateral)Tringulo Trapezoidewh_b_Paralelogramo CrculoA = 2(b + b2)h A = bh a = n r2, C = 2nrEsfera Cilindro ConoS = 4nr2V = nr2h S = 2nrhV = 3 nr2hS = nrs = nr-\/r2 + b2bb^ 524^ www.FreeLibros.me