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Calcular todoslos ángulosGeometría y medición

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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios. Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center forEducation Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad deEducación, de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo delsubsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional paralas Ciencias).

La revisión curricular se realizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del subsidion.º ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autores y no reflejan necesariamente las de la Fundación.

de Lange, J.,van Reeuwijk, M., Feijs, E., Middleton, J. A. y Pligge, M. A. (2006).Calcular todos los ángulos. Wisconsin Center for Education Research &Freudenthal Institute (Eds.), Las matemáticas en contexto. Chicago:Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedadintelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usos aplicables.Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedad intelectual delos Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, que incluye, aunqueno exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva o por otros medioso procesos. Para obtener mayor información con respecto a una licencia, escriba aEncyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago, IL 60610.

ISBN 0-03-093040-5

1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 1991–1997

Jan de Lange, Martin van Reeuwijk y Els Feijs desarrollaron la primera versión de Calcular todos los ángulos. La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de James A. Middleton y Margaret A. Pligge.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg Joan Daniels Pedro Jan de LangeDirector Asistente del Director Director

Gail Burrill Margaret R. Meyer Els Feijs Martin van ReeuwijkCoordinadora editorial Coordinadora Coordinadora Coordinador

Personal del proyecto

Jonathan Brendefur Sherian Foster Mieke Abels Jansie NiehausLaura Brinker James A, Middleton Nina Boswinkel Nanda QuerelleJames Browne Jasmina Milinkovic Frans van Galen Anton RoodhardtJack Burrill Margaret A. Pligge Koeno Gravemeijer Leen StreeflandRose Byrd Mary C. Shafer Marja van den Heuvel-PanhuizenPeter Christiansen Julia A. Shew Jan Auke de Jong Adri TreffersBarbara Clarke Aaron N. Simon Vincent Jonker Monica WijersDoug Clarke Marvin Smith Ronald Keijzer Astrid de WildBeth R. Cole Stephanie Z. Smith Martin KindtFae Dremock Mary S. SpenceMary Ann Fix

Revisión 2003–2005

Els Feijs y Jan de Lange desarrollaron la versión revisada de Calcular todos los ángulos. La adaptaciónpara su uso en las escuelas estadounidenses es de Margaret A. Pligge.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinadora

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCoordinadora editorial Coordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

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© 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contextoy el logotipo de Las matemáticas en contexto son marcas registradas de Encyclopædia Britannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (de izquierda a derecha) © ComstockImages; © Corbis; © Getty Images

Ilustraciones1 James Alexander; 8, 9 Holly Cooper-Olds; 26 Jerry Kraus/© Encyclopædia Britannica,Inc.; 34 © Encyclopædia Britannica, Inc.

Fotografías3 © Corbis; 4 © Charles E. Rotkin/Corbis; 14 © Corbis; 17 © Roger Ressmeyer/Corbis;21 (arriba) © Tim Boyle/Newsmaker/Getty Images; (abajo) © PhotoLink/PhotoDisc/Getty Images; 23 ImageGap/Alamy; 26 © Corbis; 28 © PhotoDisc/Getty Images; 30 ©Corbis; 42 (arriba) Historic Urban Plans, Inc.; (abajo) Design Pics; 43 ©PhotoDisc/Getty Images

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Contenido

Contenido V

Carta al alumno VI

Sección A El sentido de la orientaciónObtener tu sentido de la orientación 1Resumen 6Check Your Work 6

Sección B OrientándoseSunray (1850) 8Sunray (1900) 9Sunray en la actualidad 10Centro de la ciudad de Provo, Utah 11Resumen 12Verifica tu trabajo 12

Sección C RumbosZona de la Bahía de San Francisco 14Isla del Sol 18Resumen 20Verifica tu trabajo 20

Sección D Navegación y orientaciónControl de tráfico 21Resumen 24Verifica tu trabajo 24

Sección E Cambios de rumbo: girosInstrucciones de vuelo 26Actividad de aterrizaje 31Resumen 32Verifica tu trabajo 32

Sección F Del giro a los ángulosHuellas de trineos 33Polígonos regulares 35Resumen 36Verifica tu trabajo 36

Sección G Los ángulos y sus medidasÁngulos 38Medidas de los ángulos 40Palmanova 42Resumen 44Verifica tu trabajo 45

Práctica adicional 46

Respuestas para verificar tu trabajo 52

010

2030

40

5060

70 80 90100 110 120 130

140150

160170

180180

170

160

150

140

130120

110 100 80 7060

50

4030

2010

0

Q

N

N

S

EO

NE

NO

SO

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0 10 2030

40

5060

7080

90100

110120

130

140150

160170180190200210

220

230

240

250

26027

028

029

030

031

0

320330

340 350

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VI Calcular todos los ángulos

Querido alumno:

Bienvenido a la unidad Calcular todos los ángulos.

En esta unidad, aprenderás cómo se orientanlos barcos y aviones para navegar alrededordel mundo. Te basarás en los puntoscardinales norte, este, sur y oeste paraofrecer una mejor indicación del lugar al que quieres ir.

En el camino, prestarás especial atención a los giros realizados a lolargo de una ruta. Los giros se relacionan con los ángulos y losusarás para solucionar problemas de geometría que incluyan figuras.

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto

Puente de San Francisco Bahía Oakland

Bahía San Pablo

Puente Richmond San Rafael

Puerto de Sausalito

Puente Golden Gate

Océano Pacífico

Bahía Half Moon

Bahía de San Francisco

Puente San Mateo

Puente Dumbarton

aeropuerto puente 10 mi5

10 16 km5

0

N

S

EO

Mapa del Road Atlas (Atlas de Carreteras) © 1994 por Rand McNally.

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1. Señala hacia el norte. ¿Están todos señalando hacia la mismadirección en tu clase?

2. a. Dibuja una vista desde arriba de tu salón de clase. Incluye losescritorios en tu dibujo. En cada uno de los escritorios, dibuja unaflecha que señale hacia el norte.

b. ¿Señalan todas la flechas hacia la misma dirección?

c. ¿Se juntarán alguna vez las líneas de las flechas?

3. ¿En qué dirección está el sur?

4. La posición del Sol en el cielo está relacionada con la dirección sur.Anota la posición que el Sol tiene en el cielo antes, durante y despuésdel mediodía.

5. Desde el salón de clase, ¿en qué dirección queda el patio de juegos?

6. Nombra una ciudad que se encuentre a unas 50 millas y señala haciala dirección de dicha ciudad. Describe esta dirección.

7. Si viajaras hacia el norte desde tu escuela, ¿por qué ciudades pasaríasen el camino?

Sección A: El sentido de orientación 1

AEl sentido de orientación

Obtener tu sentido de orientación

Calcular todos los ángulos.qxd 2/3/06 5:06 PM Page 1

Usa una brújula para contestar los problemas 8 y 9.

8. a. Dibuja la habitación donde duermes. Asegúrate deincluir las ventanas en tu dibujo.

b. Señala dónde se encuentra el norte en este dibujo.

9. Compara los dibujos de todos los estudiantes de tuclase. Cuenta cuántas ventanas miran hacia el sur enlos dibujos.

2 Calcular todos los ángulos

El sentido de orientaciónA

N

S

EO

Aquí tienes un mapa parcial de los Estados Unidos para contestar a laspróximas preguntas.

Monte Rushmore

Valle de los Monumentos

Virginia del Oeste

0 400 millas

0 400 kilómetros

N

S

EO


A

En una cara del Monte Rushmore seesculpieron las cabezas de cuatropresidentes de los Estados Unidos. ElMonte Rushmore está ubicado enDakota del Sur.

11. ¿Dakota del Sur está en el sur?¿Por qué se llama Dakota del Sur?


El sentido de orientación

El Valle de los Monumentos, en Arizona, tiene muchas monolitos y mesetasque se formaron cuando el terreno a su alrededor no se erosionó tanrápidamente. Posiblemente hayas visto la imagen anterior en las películasdel Oeste. Frecuentemente, estas películas describen cómo se colonizó el Oeste.

10. ¿Por qué se llama Oeste al oeste?

Posiblemente hayas leído acerca del polo Norte.

12. Explica por qué la palabra Norte en polo Norte tiene un significadodiferente de la palabra Oeste en Virginia del Oeste. (Virginia del Oesteestá rotulada en el mapa parcial de los Estados Unidos en la página 2).



El sentido de orientaciónA

El capitolio de Wisconsin estáubicado en Madison. El edificiodel capitolio es poco comúndebido a las cuatro alas idénticasque se despliegan desde laenorme cúpula central.

Las cuatro alas del edificio señalan los cuatro puntos cardinales de labrújula: norte, sur, este y oeste.

El ala sur está indicada en el siguiente dibujo.

13. Rotula los puntos cardinales de las otras tres alas en la Hoja de

actividad del estudiante 1.

SUR


A

Este mapa del área que rodea el edificio delcapitolio de Madison muestra las calles que vande norte a sur y de este a oeste.

El mapa del capitolio estatal se parece mucho a labrújula usada por los marineros. Como puedesver, hay más de cuatro puntos cardinales.

14. Completa los dos puntos cardinales quefaltan en la brújula en la Hoja de actividad

del estudiante 1.



Calle Estado Calle King

Cal

le H

amilt

onC

alle

Ham

ilton

NNO

S

EO

(noroeste)?

? SE(sureste)

En Madison, muchas calles no corren de norte a sur o de este a oeste.

15. Explica por qué algunas de las rutas de Madison van de suroeste a noreste en lugar del ir de norte a sur o de este a oeste.

LagoMonona

LagoMendota

Calle Estado Calle King

Cal

le H

amilt

on

Cal

le H

amilt

on

Avenid

a Was

hingto

n

Avenid

a Was

hingto

n

Calle P

rincip

al

N

S

EO




Norte, sur, este y oeste son puntos cardinales que puedes usar paraencontrar lugares en un mapa y en el mundo real. Puedes combinarlospara ser más específico. Por ejemplo, puedes decir: noreste, noroeste,sureste y suroeste.

Las direcciones son relativas. Por ejemplo, Dakota del Sur no está en el sur,pero está al sur de Dakota del Norte. Virginia del Oeste está en los EstadosUnidos orientales, pero está al oeste de Virginia.

El polo Norte es un lugar único en la tierra.

1. ¿Por qué es único? Nombra otro lugar único en la tierra.

2. ¿Cómo podrías describir las ubicaciones de Hawai y Alaska conrelación a los Estados Unidos continentales?

A

O c é a n o Í n d i c o

O c é a n o A t l á n t i c o

O c é a n o Á r t i c o

O c é a n o P a c í f i c o

O c é a n o P a c í f i c o

AMÉRICA DEL NORTE

AMÉRICADEL SUR

ÁFRICA

EUROPA

ASIA

AUSTRALIA

ANTÁRTIDA

Hawai

Alaska

N

S

EO



3. ¿Cómo describirías la ubicación de América del Sur con relación a Europa?

4. Describe la ubicación de América del Sur con relación a Australia.

Menciona, como mínimo, cinco ubicaciones más, dentro o fuera deEE. UU., que tengan nombres relacionados con los puntos cardinalesde la brújula.



Generalmente los pueblos pequeños se desarrollan a lo largo de una únicaruta. En Sunray, la primera ruta se llamó Calle Principal. Como muchospueblos, Sunray se desarrolló a mediados del siglo XIX, cuando la poblaciónde los Estados Unidos se trasladaba de este a oeste.

Pronto la ciudad creció y necesitó más calles. Las calles nuevas seconstruyeron en forma paralela o perpendicular a la Calle Principal. Lasrutas perpendiculares a la Calle Principal se llamaron avenidas.

1. Dibuja un mapa de Sunray con tres calles al norte de la Calle Principal,dos calles al sur de la Calle Principal, dos avenidas al oeste de laAvenida Lincoln y tres avenidas al este de la Avenida Lincoln.

2. a. ¿Por qué es conveniente hacer que las avenidas corran de norte a sur cuando las calles corren de este a oeste?

b. ¿Cómo se llaman las calles del pueblo donde vas a la escuela?

BOrientándose

Sunray (1850)


Usa una copia de esta cuadrícula en la Hoja de actividad del estudiante 2

para ayudarte a contestar los siguientes problemas.

3. Crystal y Reggie son amigos. Si Crystal quiere visitar a Reggie en sucasa, ¿cuántas cuadras tendrá que caminar?

Sección B: Orientándose 9

BOrientándose

Sunray (1900)

Avenida Lincoln

Primera Avenida O.

Sexta Avenida O.

AlcaldíaAlcaldíaAlcaldía

La casa de ReggieLa casa de ReggieLa casa de Reggie

La casa de CrystalLa casa de CrystalLa casa de Crystal

Calle PrincipalCalle PrincipalCalle Principal

Calle 1 N.Calle 1 N.Calle 1 N.

Calle 7 N.Calle 7 N.Calle 7 N.

Sunray ha crecido. Tiene muchas calles yavenidas. El plano de la ciudad parece unacuadrícula, una combinación de líneashorizontales y verticales.

Crystal vive en la esquina de la Calle 7Norte y Sexta Avenida Oeste. Reggie viveen la esquina de la Calle 3 Norte y TerceraAvenida Oeste.

Crystal y Reggie planean encontrarse paraalmorzar. Les gusta tanto Tony’s Tortellini en laesquina de la Calle Principal y Séptima AvenidaOeste como Ella’s Deli en la Calle 5 Norte y Avenida Lincoln.

4. ¿Cuál restaurante queda más cerca de sus casas?

La ciudad construirá un teatro tres cuadras al sur dela Calle Principal. El contratista puede elegir entrevarios sitios para construirlo, todos ellos entre laTercera Avenida Este y la Quinta Avenida Oeste.

5. a. ¿A qué distancia (en cantidad de cuadras)de la casa de Crystal se podría construir el teatro?

b. ¿Cuál sería la ubicación más cercana a lacasa de Crystal?



OrientándoseB

Este es un mapa de Sunray tal como se ve enla actualidad.

Sunray en la actualidad

Aven

ida

Linc

oln

Calle PrincipalCalle 10 NorteCalle 25 NorteCalle 40 Norte

Calle 20 Sur

Calle 45 Sur

Calle 60 Sur

Calle 100 Sur

Aven

ida

60 O

este

Aven

ida

40 E

ste

Aven

ida

65 E

ste

Ave

nida

30

Oes

te

Déc

ima

Aven

ida

Oes

teAB

C

D

E

Calle 80 Norte

AEROPUERTO

Alcaldía

10 millasN

S

EO

NENO

SO SE

El coliseo está 10 millas al noroeste de la Alcaldía. El parque está 12 millasal sureste de la Alcaldía. El centro comercial está 3 millas al suroeste de laintersección E. Todas estas distancias se calculan en línea recta.

8. a. ¿Qué significa en línea recta?

b. Marca la ubicación de los edificios en el mapa.

Cuando viajas alrededor de la ciudad, sigues los caminos y generalmenteno viajas en línea recta. Se suele llamar distancias taxi a las distancias quesiguen las rutas o las líneas de la cuadrícula de un mapa.

9. Explica por qué las distancias en una cuadrícula se llaman distancias taxi.

10. ¿Qué distancia tienes que conducir para ir desde el centro comercialhasta la Alcaldía?

11. Haz una lista de, por lo menos, tres edificios que quisieras construir enSunray. Ubica estos edificios en la Hoja de actividad del estudiante 3.Escribe la dirección de cada uno de los edificios. Usa cualquierinformación disponible, excepto los nombres de calles. Orienta a uncompañero de clases para ver si puede determinar las ubicaciones delos edificios en el mapa.

Ahora usarás una escala de un mapa paraencontrar una distancia. Muchos mapastienen escalas. La escala en el mapa deSunray muestra 10 millas.

6. En la escala del mapa, ¿qué distanciaindica cada línea?

Usa el mapa de la Hoja de actividad del

estudiante 3 para solucionar los siguientesproblemas. Guarda esto para usarlo más adelante.

El estadio de baseball queda exactamente 7 millas al sur de la Alcaldía.

7. Dibuja el estadio en el mapa. Usa laescala y una regla.



BOrientándose

12. Estudia este mapa. ¿En qué se parecen los sistemas que dan nombre a las calles de Sunray y Provo? ¿En qué se diferencian?

La estación de autobuses Greyhound tiene el número 9 en el mapa. Unpasajero ha acabado de llegar a la estación de autobús. Necesita que leindiquen cómo llegar a la Oficina de atención al turista.

13. Ayúdalo a orientarse.

En el Museo del Pueblo y de la Cultura (número 12), alguien le dice a unturista que el Parque del Pionero (número 4) está a media hora a piedirectamente al suroeste del museo.

14. ¿Estás de acuerdo? Sí o no, ¿por qué?

9: Autobuses Greyhound

10: Museo de Muñecas

11: Oficina de atención al turista

12: Museo del Pueblo y de la Cultura

500 N.

400 N.

300 N.

200 N.

100 N.

100 S.

200 S.

300 S.

400 S.

500 S.

110

0 O

.

90

0 E

.

70

0 E

.

90

0 O

.

80

0 O

.

60

0 O

.

50

0 O

.

40

0 O

.

30

0 O

.

30

0 E

.

40

0 E

.

50

0 E

.

60

0 E

.

20

0 O

.

10

0 O

.

10

0 E

.

20

0 E

.

70

0 O

.

20

0 O

.

11

800 N.

9 8

10

7

6

5

4

12

Hacia I-15

Ave

nid

a U

niv

ers

ida

d

S C

alle Estad

o

Calle CentroCalle Centro

0

0 1 km

1 mi

4: Parque del Pionero

5: Oficina Postal

6: Teatro Provo

7: Biblioteca Pública

8: Casa del Bosque

N

E

S

O

Calle E

stado S

.

Centro de la ciudad de Provo, Utah



Orientándose

A veces, en una ciudad, las calles y las avenidas se nombran de maneraque los residentes y visitantes puedan encontrar fácilmente los lugares.Algunas ciudades tienen calles que van de este a oeste y avenidas que vande norte a sur. Por ejemplo, la Quinta Avenida Oeste y la Tercera CalleNorte identifican la ubicación exacta en un mapa o en una ciudad. Lasdistancias se pueden medir como distancias taxi o distancias en línea recta.

Muchos mapas tienen escalas. Una escala te dice cómo se representan lasdistancias en el mapa.

B

Calle 3 Norte

Calle 2 Norte

Calle 1 Norte

Calle Principal

Qu

inta

Ave

nid

a O

este

Terc

era

Ave

nid

a O

este

Prim

era

Ave

nid

a O

este

Ave

nid

a d

e la

Bib

liote

caEscala

0 1 2 3 4 millas

Biblioteca Pública

1. a. Dibuja un mapa de un pueblo que tenga una Alcaldía en el centro yocho calles principales que se originen desde el centro hacia lospuntos cardinales N, S, E, O, NO, NE, SO y SE.

b. ¿En qué se diferencia el mapa de Sunray del pueblo que acabas de dibujar?



2. En un sistema de calles y avenidas, ¿las distancias taxi serían iguales a las distancias medidas en línea recta? Explícalo.

3. Usa la Hoja de actividad del estudiante 3 para solucionar lossiguientes problemas:

a. ¿A qué distancia en “línea recta” queda A de E en el mapa de Sunray?

b. ¿A qué “distancia taxi“ queda A de E en el mapa de Sunray?

c. ¿A qué distancia en “línea recta” queda A de D en el mapa de Sunray?

d. ¿A qué “distancia taxi“ queda A de D en el mapa de Sunray?

Usa un mapa del pueblo o de la ciudad donde vives.

Da un ejemplo de un lugar al que puedas ir desde tu casa en elque la distancia taxi y la distancia en línea recta sean iguales.

Da otro ejemplo en el que la distancia taxi sea mayor.

Estima las distancias con la escala del mapa.



San Francisco es una ciudad enla costa oeste de California.

CRumbos

Zona de la Bahía de San Francisco

S

EO

N

aeropuerto puente 10 millas5

10 16 km5

0

Bahía San Pablo


Puerto de Sausalito

Puente Golden Gate

Aeropuerto internacionalde San Francisco

Océano Pacífico

Bahía Half Moon


Puente San Mateo

Puente Dumbarton


Este es un mapa de la zona de la Bahía de San Francisco.



Usa la Hoja de actividad del estudiante 4 para responder a los siguientesproblemas. Guarda esta hoja de actividad para usarla más adelante.

1. Un avión despega del Aeropuerto San Carlos y vuela hacia el oeste.¿Sobre qué aeropuerto pasará pronto el avión?

2. Otro avión despega del Aeropuerto San Carlos y vuela hacia el noroeste. ¿Sobre qué aeropuerto volará primero el avión?

3. ¿En qué dirección debería volar un piloto para ir de Hayward a Palo Alto?

Los ocho puntos cardinales principales que se muestran en la siguientetabla no son lo suficientemente precisos como para describir un vuelodesde el Aeropuerto San Carlos hasta Hayward. Tu maestro te dará una rosa de la brújula transparente. Usarás la rosa de la brújula para describir el vuelo por medio de grados.

En la rosa de la brújula, hay números asociados con cada punto cardinal:

• el punto cardinal norte es igual a cero grados (0°);

• el este es 90°;

• el sur es 180°;

• y el oeste es 270°.

4. Copia y completa la tabla anterior en tu cuaderno.

5. ¿Por qué, para navegar, sería mejor usar la rosa de la brújula con 360°que usar sólo ocho puntos cardinales?

Sección C: Rumbos 15

CRumbos

Norte

Noreste

Este

Sureste

Sur

Suroeste

Oeste

Noroeste

Puntos cardinales de la brújula

Curso (en grados)

N

S

EO

NE

NO

SO

SE

0 10 2030

40

5060

7080

90100

110120

130

140150

160170180190200210

220

230

240

250

26027

028

029

030

031

0

320330

340 350


Esta es una manera de establecer una ruta

desde el Aeropuerto San Carlos hasta elAeropuerto Hayward.

Primero, coloca el centro de la rosa de la brújula en el Aeropuerto San Carlos.Asegúrate de que la N esté señalando hacia el norte.

Segundo, coloca una regla desde el centro de la rosa de la brújula hasta elAeropuerto Hayward.

Tercero, lee los grados indicados en elborde de la rosa de la brújula. Es alrededorde 37°. Esto se llama rumbo.

6. Usa tu rosa de la brújula paradeterminar el rumbo que debería seguir un piloto para volar desde elAeropuerto Internacional de Oaklandhasta Palo Alto.

Dos pilotos planearon volar desde SanCarlos hasta Oakland. Luis, el primer piloto,dijo: “Está exactamente hacia el norte”.Ann, la otra piloto, no estuvo de acuerdo;ella volaría con un rumbo de 10°.

7. ¿Quién tiene razón?

Ambos llegaron al Aeropuerto de Oakland,pero uno de los pilotos llegó más tempranoque el otro. Tuvieron que regresarse luegode un breve descanso. Luis dijo: “No tengoque medir el rumbo para volver alAeropuerto de San Carlos. Es un rumbo de190°”.

8. ¿Estás de acuerdo con Luis? Explica tu razonamiento.


RumbosC

San Jose

Océano Pacífico

Bahía Half Moon

Hayward

Puente Golden Gate

1

San Francisco

680

92

10 millas5

10 16 kilómetros5

0

S

N

O E

NE

NO

SO

SE

0 10 2030

40

5060

7080

90100

110120

130

140150

160170180190200210

220

230

240

250

26027

028

029

030

031

0

320330

340 350

aeropuerto

N

S

EO

101

280


Puente de San Francisco - Bahía Oakland

Aeropuerto Internacional de Oakland

84

San Jose

Océano Pacífico

Bahía Half Moon

Hayward

1

San Francisco

680

92

Puente Golden Gate

10 millas5

10 16 kilómetros5

0

S

N

O E

NE

NO

SO

SE0 10 20

3040

5060

7080

90100

110120

130

140150

160170180190200210

220

230

240

250

26027

028

029

030

031

0

320330

340 350

N

S

EO

aeropuerto

101

280


Puente de San Francisco - Bahía Oakland

Aeropuerto Internacional de Oakland

84

Mapa del Road Atlas (Atlas de Carreteras) © 1994por Rand McNally.



El capitán Aziz y el primer oficial de cubiertaMamphono están navegando desde lascostas de California. Se encuentranubicados al sur de la Bahía Half Moon.Quieren ir al Puerto de Sausalito.

9. Usa la Hoja de actividad del

estudiante 4 para dibujar una rutahacia el Puerto de Sausalito. Usa sólolíneas rectas. Da el rumbo para cadatramo de la ruta.


CRumbos


S

EO

N

aeropuerto puente


Bahía San Pablo


Puerto de Sausalito

Puente Golden Gate

Océano Pacífico

Bahía Half Moon


Puente San Mateo

Puente Dumbarton

10 m5

10 16 km5

0

Puedes navegar a vela hacia Sausalito trazando muchos rumbos diferentes.

Luego de llegar a Sausalito, el Capitán Aziz dice: “Usé sólo tres rumbos diferentes”.

10. ¿Es esto posible? Explícalo.


Tú y tu amigo están planeando hacer unacaminata en Isla del Sol. Usa tu rosa de labrújula y una regla para trazar la trayectoriadescrita a la izquierda. Usa el mapa de la Hoja

de actividad del estudiante 5.

Tu viaje

• Atraca tu bote en el puerto A.

• Camina 2 km hacia el norte.

• Ahora camina hacia el este, hasta elextremo más cercano del bosque.

• Ahora gira con un rumbo de 160°.

• Cuando llegues al río, crúzalo a nado.

• En la orilla oriental del río, dirígete con rumbo de 70° durante 1.7 km y toma un refrigerio.

• Dirígete con rumbo de 210° para llegar a las montañas.

• Al pie de la primera montaña, puedesdescansar. Este es el final de tu viaje.


RumbosC

Isla del Sol

N

S

EO

PantanoArenas

movedizas Montañas Bosques Dunas 0 1 km

Referencias

El viaje de tu amigo

• Atraca tu bote en el puerto A.

• Camina 1 km hacia el sur.

• Desde allí, camina hacia la costa y viaja a lo largo de ella hasta el punto C.

• Ahora, traza un rumbo de 60° y camina cerca de 2.5 km, con cuidadopara evitar las arenas movedizas.

• Gira al este y camina 4 km hasta tu destino.

11. a. ¿Qué distancia recorriste?

b. ¿Qué distancia recorrió tu amigo?

Cuando ambos completan sus viajes, decides visitar a tu amigo.

12. Dibuja la ruta y estima la distancia que necesitas recorrer para llegaradonde está tu amigo.


N

N

N

N

N

a. b.

c. d.

e.


CRumbos

13. ¿Cuál de estos aviones sigue el rumbo con el mayor númerode grados?

14. ¿Cuántos grados separan a los siguientes puntos cardinalesde la brújula?

a. norte y este

b. oeste y noreste

c. sur y suroeste

d. este y oeste

N

S

EO

Estos son cinco aviones que viajan en distintas direcciones.



Rumbos

Para trazar rutas, puedes usar rumbos junto con distancias. Desde el puntocardinal norte, mides un rumbo en grados hacia la derecha.

Puedes usar tu rosa de la brújula para trazar rutas con grados. El norte es 0°, el este es 90°, el sur es 180° y el oeste es 270°.

Determinar un rumbo con grados puede ser más preciso que con los ochopuntos cardinales principales. Los grados dividen un círculo en 360 partes,mientras que los puntos cardinales principales dividen un círculo en sóloocho partes.

1. ¿Qué rumbo tomarías para volar un avión desde San Francisco hastaSalt Lake City en Utah?

2. Describe los siguientes rumbos.

3. Dibuja un rumbo de 215°.

C

a. b.

Describe cómo puedes encontrar los rumbos opuestos a un rumbo de 45°, de315°, de 120° y de 180°.

N

S

EO


Algunos aeropuertos son muy transitados.

En el Aeropuerto Internacional O’Hare deChicago, aterriza y despega más de un aviónpor minuto. Cuando hay mal tiempo, estehorario tan apretado causa retrasos y largasfilas de aviones que esperan su turno paralas pistas.

Sección D: Navegación y orientación 21

DNavegación y orientación

Control de tráfico

El control de tráfico aéreo se efectúa en una torre. Los controladores detráfico aéreo tratan de organizar el tráfico para que la circulación sea fluida y el viaje sea seguro.

La controladora de tráfico aéreo trabaja detrás de su pantalla de radarcircular. La torre del aeropuerto está en el centro del círculo. Todos los otrospuntos son aviones que salen del aeropuerto o se acercan a él.

La pantalla se parece a tu rosa de la brújula, sólo que tiene círculos quemuestran a qué distancia del aeropuerto están los aviones.


La información de esta pantalla de radar también está disponible en la Hoja de


1. ¿Qué aviones se encuentran en la misma dirección del aeropuerto?

2. ¿Qué aviones se encuentran a la misma distancia del aeropuerto?

3. En tu cuaderno, haz una lista de los aviones y sus ubicaciones tal como se indica en la pantalla del radar. Tu lista debería ser similar a la siguiente:

Esta es una copia de dicha pantalla deradar. Este tipo de cuadrícula se llamacuadrícula circular o polar.

En esta cuadrícula circular, la distanciaentre cada círculo es de 5 millas. Porejemplo, el avión G está a 25 millas de la torre, en la dirección de 70° de labrújula.

La notación 70°/25 millas describe la ubicación del avión G en una cuadrícula polar.


Navegación y orientaciónD

30o

60o

90o

120o

150o

180o

210o

240o

270o

300o

330o

I

H G

F

J

B

L

K

D

10 mi.

20 mi.

10 mi

20 mi

C

A

I

E

H G

F

J

B

L

K

DC

A

30 mi

N

Un poco más tarde, los aviones están en lugares distintos.

El avión A se acercó 10 millas hacia el aeropuerto.

El avión B se alejó 5 millas del aeropuerto.

El avión C está a la misma distancia del aeropuerto,pero está en una dirección de 70°.

El avión L aterrizó.

El avión I tuvo que ir a una posición de 270° a 25millas, pero sólo está a medio camino de allí.

El avión G está a 50°, a 35 millas de distancia.

4. Dibuja nuevas posiciones para estos aviones en la pantalla de radar de la Hoja de actividad

del estudiante 6.

Avión

G 70°/25 millas

Monitor


En la sección B, usaste un sistema de coordenadas llamado cuadrícula rectangular.

5. Explica la diferencia entre una cuadrícula polar o circular y unacuadrícula rectangular. Puedes dar ejemplos.


DNavegación y orientación

Hay un gran incendio en Canberra, la capital de Australia.Chris está en la ubicación 1 del mapa anterior. Llama porteléfono a su amigo Tarin, que está en la ubicación 2. Chrisdice que ve humo en la dirección de 100°. Tarin dice quedesde su perspectiva, el humo está a 40°.

6. Usa la Hoja de actividad del estudiante 7 paralocalizar el incendio.

KingstonKingston

1

2

FyshwickFyshwick

KingstonKingston

BartonBartonFyshwick

Kingston

Barton

N

S

EO

1

N

2Torre

0 1 km

Un avión ha desaparecido en un bosque alto. Unguardabosques dice que, mientras se encontraba en su jeep en la ubicación número 1, vio desaparecer el aviónen la dirección de 200°.

El último informe de la piloto fue que vio la torre(ubicación 2) al oeste.

7. ¿Dónde sugerirías que los socorristas busquen elavión? Marca el lugar en el mapa de la Hoja de




Navegación y orientación

Los controladores de tráficoaéreo usan un sistema decuadrícula polar para identificarla ubicación de los aviones.

El sistema consiste en dos números:

• una orientación expresadaen grados;

• y una distancia expresada en millas o kilómetros.

Una cuadrícula polar es diferente de una cuadrícula de “ciudad”rectangular. Tiene un punto central desde el cual las “rutas” van en todasdirecciones, de la misma manera que las indicaciones de grados en la rosade la brújula.

Un controlador de vuelos describe la ubicación de un avión como 90°/15millas. Esto significa que el avión está ubicado directamente al este delaeropuerto, a una distancia de 15 millas desde el aeropuerto.

D

30o

60o

90o

120o

150o

180o

210o

240o

270o

300o

330o

N

30 mi.30 mi

10 mi.

20 mi.

10 mi

20 mi

Un avión está a 90°/15 millas. Otro avión está a 90°/35 millas.

1. ¿Qué distancia hay entre los aviones?

Un avión está a 90°/15 millas. Otro avión está a 270°/15 millas.

2. ¿Qué distancia hay entre los aviones?



3. Eres un bombero que necesita reportar un incendio forestal. Mencionalas ventajas o desventajas para cada uno de los siguientes sistemas deelaboración de informes.

a. Un punto cardinal: N, S, E, O, NO, SE, etc.

b. Un punto cardinal o rumbo: por ejemplo 210°.

c. Una distancia y un punto cardinal o rumbo: por ejemplo, 10 millasen la dirección de 130°.

Supón que tienes información acerca de dos posiciones en un mapa (A y B)y de su rumbo hacia una posición desconocida. Explica cómo puedesencontrar esta posición. Haz un dibujo y agrégale los rumbos desde A y B.



ECambios de rumbo:giros

Instrucciones de vuelo

Conversación Dibujo

CONTROL DE TRÁFICO.—Entendido, Vuelo 42.¿Cuál es su rumbo? Cambio.

PILOTO DEL VUELO 42.—Nuestro rumbo será de uno-cinco grados. Cambio.

Vuelo 42

Rum

bo a

ctua

l 15

°

15˚

N

2. ¿Qué quiere decir “uno-cinco” grados?

Ten en cuenta que el rumbo siempre se relaciona con el norte N.

Un piloto usa muchos instrumentos para volar un avión de manera segura.

La imagen anterior muestra un indicador de rumbo. Señala que el avión se dirige aproximadamente hacia el norte. El indicador dedirección es diferente a la rosa de la brújula.

En el indicador de dirección, el número 3 significa 30°, el 6 significa 60°y así sucesivamente.

1. ¿Con qué rumbo está volando el avión según este instrumento?

Un piloto tiene contacto radial con la torre de control. Esta es laconversación entre el controlador de tráfico aéreo y los pilotos.


La conversación continúa de la siguiente manera.

3. Explica cómo se relacionan entre sí la conversación y el dibujo.

4. En la Hoja de actividad del estudiante 8, completa los cuadros vacíoscon el correspondiente dibujo o conversación.

a.

b.

c. Continuación de la conversación con el Vuelo 72 del problema b.

Sección E: Cambios de rumbo: giros 27

ECambios de rumbo: giros


CONTROL DE TRÁFICO.—Entendido, Vuelo 42.Establezca su nuevo rumbo en tres-cinco grados. Cambio.

PILOTO DEL VUELO 42.—Nuestro rumbo será de tres-cinco grados. Cambio.

Continuación del Vuelo 42

Nuevo

rum

bo

35°

35˚

N

15˚

N

Rum

bo

actu

al

15°


CONTROL DE TRÁFICO.

PILOTO DEL VUELO 72.


Rumbo actual

75°

75°

N

110°

N

Nuevo rumbo 110°


CONTROL DE TRÁFICO.—Hola, Vuelo 72.¿Cuál es su rumbo actual? Cambio.

PILOTO DEL VUELO 72—Nuestro rumbo es de siete-cinco grados. Cambio.

Vuelo 72


CONTROL DE TRÁFICO.—Entendido, Vuelo 72.Establezca su nuevo rumbo en dos-cinco grados. Cambio.

PILOTO DEL VUELO 72.—Nuestro rumbo será de dos-cinco grados. Cambio.



La siguiente conversación fue grabada:

CONTROL DE TRÁFICO.—Vuelo 33, ¿cuál es su rumbo actual?

PILOTO DEL VUELO 33.—Vuelo 33 con rumbo seis-cinco grados.

Más tarde…

CONTROL DE TRÁFICO.—Vuelo 33, establézcalo en tres-tres-cero.

PILOTO DEL VUELO 33.—Tres-tres-cero.

Más tarde…

CONTROL DE TRÁFICO.—Vuelo 33, esta vez, establézcalo en dos-cuatro-cero.

PILOTO DEL VUELO 33.—Dos-cuatro-cero para el Vuelo 33.


Cambios de rumbo: girosE

5. Haz un dibujo de una posible trayectoria del Vuelo 33.

Para cambiar de rumbo, los aviones tienen que dar un giro.

El Vuelo 18 está cambiando su dirección (rumbo) de 60° a 70°.



6. ¿Cuál vuelo hace el giro más grande? ¿Cuál vuelo hace el giromás pequeño? ¿Cómo lo sabes?


8. Haz un dibujo similar que muestre el primer giro del Vuelo 72. (Fíjate en el problema 4b.)

9. Haz un dibujo similar que muestre todos los giros del Vuelo 33. (Fíjate en el problema 5.)


ECambios de rumbo: giros

El giro es una modificación entre el rumbo anterior y el nuevo; los giros pueden ser a la “izquierda” o a la “derecha”.

Recuerda que los rumbos siempre son fijos y se relacionan con el norte N (0°).

7. a. Da tres ejemplos de giros de 25°.Asegúrate de mencionar dos rumbos para cada giro.

b. Da tres ejemplos de giros de 40° a la derecha.

c. Da tres ejemplos de giros de 60° a la izquierda.

Puedes mostrar los giros si comparas los dos rumbos. Ten en cuenta,nuevamente, el Vuelo 42:

Vuelo 42 Vuelo 42Vuelo 42

Antes del giro Después del giro Con un giro de 20° a la derecha

N

N

N

N

Rum

bo 1

5°

Rum

bo 3

5°

Rum

bo 1

5°

Rum

bo 1

5°15°

35°

N

Rumbo 35°

Rumbo 15°

20°Giro a la derecha



Cambios de rumbo: girosA

Un avión puede dar giros a la izquierda o a la derecha. No siempre esposible hallar el valor del giro completo si se suman los dos girosindividuales. Por ejemplo, si un capitán hace un giro de 45° a la derecha y luego un giro de 30° a la izquierda, el giro completo es sólo de 15° a laderecha. Si primero hace un giro de 45° a la derecha y luego otro giro de30° a la derecha, el resultado es un giro de 75° a la derecha.

Una piloto estaba molesta porque el controlador de tráfico aéreo lesolicitó que diera muchos giros en su maniobra de aproximación.

Ella se quejó: “Primero, me hicieron girar 30° a la derecha, luego 20° a laizquierda, luego 15° a la izquierda, luego 10° a la derecha. Finalmente,tuve que hacer un giro de 5° a la izquierda.”.

10. Explica por qué la piloto estaba tan enojada.

Un piloto dio los siguiente giros en este orden: 20° a la derecha, 40° a laizquierda, 45° a la izquierda, 30° a la derecha, 10° a la izquierda, 60° a laderecha. El rumbo original era de 330°.

11. ¿Cuál fue el rumbo luego de que se dieron todos los giros?


Actividad


Despeja una zona de tu salón de clase y selecciona un área para unaeropuerto. Elige tres estudiantes para hacer una simulación. Unestudiante interpreta al piloto de un avión, uno al ingeniero de vuelo y elotro es el controlador de tráfico.

El controlador de tráfico le da al piloto una serie de rumbos, uno a la vez.Luego de obtener cada rumbo, el ingeniero de vuelo le dice al pilotocómo girar. El piloto sigue las instrucciones y simula la trayectoria delvuelo caminando por el salón de clase. El resto de la clase deberá usar larosa de sus brújulas para dibujar la trayectoria que sigue el avión haciael aeropuerto.

Piloto

Ingeniero de vuelo

Aeropuerto

Controlador de tr·f ico

X

0Esta es una situación posible.El piloto informa el rumbo del avión:

PILOTO.—Vuelo 165 con rumbo de cero grados.

El controlador de tráfico solicita al piloto unnuevo rumbo.

CONTROLADOR DE TRÁFICO.—Entendido, 165.Establezca su nuevo rumbo en nueve-cero grados.

El ingeniero de vuelo orienta al avión paradar un giro:

INGENIERO DE VUELO.—Gira a la derechanueve-cero grados.

El piloto camina tres pasos en la nueva dirección. El ingeniero de vuelodeberá usar cinta adhesiva para llevar un registro sobre el suelo de latrayectoria del avión.

El objetivo es llegar al aeropuerto, pero no necesariamente de la formamás directa. Luego de este ejercicio, comenten la trayectoria del vuelo,prestando atención a los rumbos y a los giros. Otros miembros de laclase pueden turnarse como pilotos, ingenieros de vuelo o controladoresde tráfico, y el proceso completo puede volver a comenzar.

Actividad de aterrizaje



Cambios de rumbo: giros

Si cambias de una dirección o rumbo a otro, das un giro. Los girosse pueden efectuar hacia la derecha o hacia la izquierda.

Por ejemplo, si cambias de un rumbo de 30° a uno de 45°, das ungiro de 15° a la derecha.

El rumbo siempre se relaciona con elnorte N o 0°.

E

1. Estás viajando con un rumbo de 200°. Luego giras 40° a la izquierda, y después 20° a la derecha. ¿Cuál es tu nuevo rumbo?

2. Estás viajando con un rumbo de 100°. Luego giras 45° a la izquierda.Después das otro giro. El resultado ahora es un giro de 60°. Describeel segundo giro.

3. Estás viajando con un rumbo de 180°. Luego el controlador te diceque vueles a 160° y finalmente a 180°. Haz un dibujo que representeesta parte del vuelo.

En el control de tráfico aéreo y portuario los giros necesarios son, engeneral, relativamente pequeños. Sin embargo, un controlador de tráficoaéreo dará, algunas veces, la siguiente instrucción: “Dé un (giro de) 360°a la derecha”.

1. ¿Cuál será el nuevo rumbo?

2. ¿Por qué un controlador de tráfico debería hacer que un piloto gire 360°?

30°

45°

15°

0° 0°


Un trineo se perdió en la oscuridad de una noche polar. Los voluntariossocorristas recibieron señales de socorro (mayday) durante la nochepero la oscuridad y las condiciones meteorológicas extremas impidieronla búsqueda. La mañana siguiente, los aviones de rescate rastrearon lazona. Estas son las huellas del trineo que un piloto vio desde su avión.

1. Usa los giros de la Hoja de actividad del estudiante 9 para describirla ruta del trineo como si hubieras estado en él.

2. Si el trineo hubiera continuado por el mismo camino, habríaregresado a la posición inicial. ¿Cuántos giros tendría que haberdado el trineo para regresar al punto de partida?

3. ¿De cuántos grados fue cada giro?

Sección F: Del giro a los ángulos 33

FDel giro a los ángulos

Huellas de trineo


En esta unidad, la mayor parte del tiempo, has sido un piloto, un capitán oalguien encargado de hacer los giros (cambiar de rumbo).

Sin embargo, si eres un observador que mira las huellas de los trineos o latrayectoria de un avión o de un bote, entonces estás mirando un ángulo.

Por ejemplo:

Cada vez que dos huellas de trineo se intersecan,forman un ángulo. Este es un dibujo del ánguloformado por dos huellas del trineo perdido.

Puedes referirte al ángulo como el “ángulo A” y escribir: ∠A (o decir: “el ángulo A”).

En el problema 3, hallaste qué giro era necesario para hacer las huellas deltrineo. También sabes que el ∠A � 150°.

4. Describe la relación entre el giro del trineo y el ∠A que se forma por lashuellas del trineo.

5. a. Traza un ángulo que mida 120°.

b. Traza un ∠B para que el ∠B � 90°.

c. Traza un ∠C para que el ∠C � 60°.

En el problema 2, averiguaste que debes dar 12 giros de 30° para volver alrumbo original. El resultado de todos los giros es 360° (12 � 30° � 360°).

6. Explica este razonamiento.


Del giro a los ángulosF

A

Podría ser más esquemático:

El dibujo de la izquierda muestra lashuellas del trineo, luego de que elconductor dio el giro de 30° a laderecha en la nieve. Cuando se va el trineo, todo lo que queda es elángulo. Puedes identificar el ángulosi lo marcas.


9. Copia la tabla siguiente en tu cuaderno y complétala. Puedes usar lospolígonos anteriores para que te ayuden a razonar acerca del tamañode los ángulos. Si tienes algún problema, imagina que los polígonosson huellas de trineo. ¿Qué tamaño tiene cada giro? Tal vez quierastener en cuenta el tamaño de los giros iguales.

10. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un 36-gono? Puede ser útil pensar acerca de la medida de los 36 giros iguales que senecesitan para generar un 36-gono.


FDel giro a los ángulos

1

2

34

5

6

7

8

910

11

12

150

150150

COMIENZO

150

COMIENZO

150

El dibujo de la izquierda muestra todas las huellas que deja eltrineo cuando el conductor regresa a su punto de partida original.La figura formada es un polígono. Se llama un 12-gono porquetiene doce lados.

También hay 12 ángulos en el interior, cada uno de ellos mide 150°.

Los ángulos dentro del polígono se llaman ángulos interiores.

7. ¿Cuál es la suma de los 12 ángulos interiores de un 12-gono?

Piensa en un 8-gono, u octágono, formado por huellas de trineohechas con 8 giros iguales.

8. a. ¿Cuál es el tamaño (en grados) de uno de los giros que dio el conductor del trineo?

b. ¿Cuál es el tamaño (en grados) de uno de los giros interiores?

c. ¿Cuál es la suma de los 8 ángulos interiores de este octágono?

Estos son algunos polígonos regulares. Todos sus lados tienen la misma longitud.

?

?

???

?

?

?

?

? ? ??

? ?

?

? ?

?? ? ??

???

3-gono

Triángulo

4-gono

Cuadrado

5-gono

Pentágono

6-gono

Hexágono

8-gono

Octágono

Polígonos regulares

Nombre

Cantidad de ángulos

Medida de un ángulo interior

Suma de todos los

ángulos interiores

Triángulo

3

60

180

Cuadrado

4

12-gono

1800

5

540

135



Del giro a los ángulos

Si eres un piloto, capitán o conductor detrineo, estás a cargo de establecer la rutay de efectuar los giros para cambiar dedirección (rumbos).

Por ejemplo, si tu rumbo es de 60°y haces un giro de 20° a la izquierda, tu nuevo rumbo será de 40°.

También puedes observar la trayectoriade un avión, de un bote o de un trineo.Los giros no son visibles. Todo lo quequeda son las huellas del trineo y elángulo formado entre los dos tramosde la huella.

Por ejemplo, este es un ánguloformado por dos huellas de trineo. El ángulo está marcado con la letra P,que designa al vértice.

Puedes escribir: el ∠P y decir: “elángulo P”.

Si conoces la medida del giro, puedes calcular la medida del ángulo: en estecaso el ∠P � 160°.

F

rumbo 60˚

rum

bo 40˚

20˚

P

Si sabes la medida del ángulo, sabes la medida del giro.

1. a. Tu rumbo actual es de 50°. Haces un giro de 90° a la derecha. ¿Cuál es tu nuevo rumbo?

b. Explica la respuesta al problema 1a con un dibujo de los dos rumbos.

c. Usa tu dibujo del problema 1b para averiguar la medida delángulo entre los dos tramos de la huella.



2. Este es un dibujo del ∠Q, que es de130°, y muestra el rumbo final de 0°.¿Cuál fue el rumbo inicial?

3. Con un rumbo inicial de 180°, un trineo da cuatro giros iguales. Cada giro es de 15° a la derecha.

a. ¿Cuál es su rumbo final?

b. ¿Qué ángulos forman las huellas del trineo?

130˚

Q

rum

bo

fin

al 0

˚

rumbo inicial

Supón que haces una secuencia de giros de 1° a la derecha, y los tramos dela huella formada tienen todos la misma longitud.

1. ¿Qué clase de polígono obtendrías?

2. ¿A qué se parece el polígono?



Un ángulo muy común es el ángulo de 90°.

1. Describe algunos objetos que tengan ángulos de 90°.

2. ¿Por qué crees que los ángulos de 90° son tan importantes?

Estos son algunos ejemplos de ángulos que miden 90° llamados ángulos rectos.

Para asegurarnos de que verdaderamente hablamos de un ángulo recto y no de un ángulo de, digamos, 89°, ponemos una marquita especial en la esquina:

La esquina de cualquier ángulo se llama vértice.

Las dos rectas parciales, o segmentos de recta, que forman el ángulo sellaman lados del ángulo.

GLos ángulos y sus medidas

Ángulos


Un ángulo que mide más de 0° y menos de 90° se llama ángulo agudo.Estos son algunos ejemplos de ángulos agudos.

El siguiente mosaico tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos.

3. Describe las medidas de los ángulos agudos de este mosaico. Puede ser útil mirar las formas siguientes:

Sección G: Los ángulos y sus medidas 39


Un ángulo que mide más de 90° pero menos de 180° se llama ángulo

obtuso. Estos son algunos ejemplos de ángulos obtusos.

Los dibujos tienen una marquita para indicar el ángulo.


4. Indica si cada uno de los siguientes ángulos es recto, agudo u obtuso.


Los ángulos y sus medidasG

a. b. c.

d. e. f.

El siguiente mosaico tiene Este es el mosaico usadotres ángulos de 60°. en el problema 3.

Si combinas ambos mosaicos formas la figura:

5. a. Clasifica los ángulos ∠A, ∠B, ∠C y ∠D según su tamaño.

b. Halla la medida de cada ángulo.

60˚

60˚ 60˚

45˚ 45˚

90˚

60˚45˚

60˚ 60˚

45˚

D

?

? ?

?

A B

C

Medidas de los ángulos


Sabes que en Un cuarto de giro Dos cuartosun giro completo mide 90°. Hay 90° de giro hacenhay 360°. en un ángulo recto. medio giro.

Medio giro forma un ángulo de 180°. Este ángulo es un ángulo recto. Forma una línea recta.

Para medir ángulos puedes usar una rosa de la brújula o un transportador.He aquí como puedes medir un ángulo usando un transportador.



Coloca tu transportador demanera tal que el agujerito seubique en el vértice (o la esquina)del ángulo, y la línea de puntos detu transportador se ubique en unode los lados del ángulo.

El otro lado del ángulo pasa por un número que te dice cuántos grados hayen el ángulo.

Hay dos escalas en un transportador. Si alíneas un lado del ángulo con el 0° ydeterminas si el ángulo es agudo u obtuso, no te resultará difícil calcular cuáles la medida adecuada del ángulo.

De los dos ángulos diferentes P y Q que se muestran a continuación, uno esde 50° y el otro de 130°.

6. Explica cuál ángulo es de 130° y cuál de 50°.

010

2030

40

5060

70 80 90100 110 120 130

140150

160170

180180

170

160

150

140

130120

110 100 80 7060

50

4030

2010

0

Q

010

2030

40

5060

70 80 90100 110 120 130

140150

160170

180180

170

160

150

140

130120

110 100 80 7060

50

4030

2010

0

P

010

2030

40

5060

70 80 90 100 110 120 130

140150

160170

180

170

160

150

140

130120

110 100 80 7060

50

4030

2010

0

P

180


Este es un plano antiguo de Palmanova, una ciudad italiana del siglo XVI. Enel mapa de Palmanova, hay seis rutas principales que se extienden por todoel camino hasta la plaza central. Estas rutas principales están indicadas conlos números del 1 al 6.

7. ¿Qué tamaño tiene el ángulo entredos rutas principales adyacentes?

Hay dos rutas secundarias entre dos rutas principales adyacentes.

8. ¿Qué tamaño tendría el ángulo entre las dos rutas secundarias?


Los ángulos y sus medidasG

N

S

EO

6

5

4

3

2

El plano de la ciudad de Palmanovatiene la misma estructura que uncopo de nieve. El copo de nieveforma una estrella de seis puntas.

?

Palmanova1


Las estrellas de mar generalmente formanuna estrella de cinco puntas.

9. ¿Qué tamaño aproximado tiene elángulo entre dos patas adyacentesde la estrella de mar?



10. Mide cada uno de los siguientes ángulos.

11. a. Mide cada uno de los ángulos de los siguientes triángulos.

b. Para cada triángulo, halla la suma de todos los ángulos.

A

B

C

D

C

A B D E

F



Los ángulos y sus medidas

Los ángulos están formadospor dos lados y un puntodonde se juntan dichoslados: el vértice.

Si le das un nombre al vértice, por ejemplo P, llamas “ángulo ∠P” al ánguloy escribes ∠P.

Puedes clasificar los ángulos según su tamaño:

Para determinar el tamaño de un ángulo, a veces puedes razonar, a vecesestimar y a veces medir. Puedes medir un ángulo usando una rosa de labrújula o un transportador.

G

LadoVértice

Lado

Los ·ngulos agudos tienen menos de 90°.

Los ángulos rectos tienen 90°.

Los ángulos obtusos tienen entre 90° y 180°.

Un ángulo llano tiene 180°.



1. Mide el ∠A, ∠B y ∠C.

2. a. Estima el tamaño del ∠P, ∠Q y ∠R.

b. ¿Qué ángulos, si los hay, son obtusos?

3. Dibuja un ángulo de 40° y uno de 110°. Rotula los vértices.

A

B C

P

Q

R

Una piloto necesita trazar un rumbo de 330° en su mapa. Sólo cuenta conun transportador.

1. Explica cómo puede hacer este dibujo.

2. Describe las diferencias entre la rosa de la brújula y el transportador,y las maneras en que puedes usarlos.


Usa este mapamundi para contestar las siguientes preguntas.

1. Escribe el número que corresponda para cada uno de los siguientes lugares:

Medio Oriente;

América del Sur;

Sudáfrica;

Korea del Norte;

y Mar de China Oriental.

2. ¿Cómo crees que Sudáfrica obtuvo su nombre?

3. ¿En qué dirección tiene que viajar la gente de América del Sur parallegar a Korea del Norte?


Práctica adicional

Sección El sentido de orientaciónA

N

S

EO

12

54

3

© 1996, Encyclopædia Britannica, Inc.


Usa este mapa para contestar las siguientes preguntas.

1. ¿En qué dirección corre la carretera Interestatal 94?

2. Hay signos de interrogación al lado de una calle a la que le falta elnombre. Usa los nombres anteriores para asignar un nombreapropiado para esta calle. Explica tu razonamiento.

3. Ha llegado un turista a la Estación del Ferrocarril y planea visitar elMuseo de las Mujeres y el Parque Goldstein. Ayúdalo a orientarse.

4. Usa la escala para encontrar la distancia en línea recta desde el Museode las Mujeres hasta la Estación del Ferrocarril.


Sección OrientándoseB

Te

rce

ra A

ve

nid

a O

este

Ave

nid

a M

ad

iso

n

Pri

me

ra A

ve

nid

a E

ste ???

1: Museo de las Mujeres2: Estación del Ferrocarril3: Parque Goldstein4: Parque Acuático

Escala

0 0.5 mi

N

NO NE

SO SE

S

EO

14

3

2

94


1. Con tu rosa de la brújula y la escala, escribe los rumbos para ir delpunto M al punto A, al punto T y, finalmente, al punto H. (Rumbos engrados, distancias en kilómetros.)


Práctica adicional

Sección RumbosC

Sección Navegación y orientaciónD

M

A

T H

1 km

escala

N

S

EO

30o

60o

90o

120o

150o

180o210o

240o

270o

300o

330o

N

30 mi.30 mi

10 mi.

20 mi.

10 mi

20 mi

Usa la cuadrícula de la izquierda paracontestar a las siguientes preguntas.

1. Un avión está a 30°/20 millas. Otro avión está a 210°/25 millas. ¿Qué distancia hay entre los aviones?

2. Un avión está a 150°/30 millas. Otro avión está a 330°/35 millas. ¿Qué distancia hay entre los aviones?


1. Supón que estás viajando con un rumbo de 126°.

a. Si giras 98° a la izquierda, ¿cuál es el nuevo rumbo?

b. Si luego giras 35° a la derecha, ¿cuál es el nuevo rumbo?

2. Escribe instrucciones para orientar al avión, con rumbos o giros, a finde que pueda dejar a un paracaidista en la zona del objetivo. Evita laszonas marcadas con una X; son montañas peligrosas. No es necesarioque indiques las distancias.


Práctica adicional

Sección Cambios de rumbo: girosE

NNO NE

S

EO

SESO


1. Esta es una vista desde arriba de algunas huellas de trineo quemuestran dos ángulos.

Los ángulos que se conocen están indicados en la imagen.

¿Qué giros (a la izquierda o a la derecha) dio el conductor?

2. En la estrella siguiente, el rumbo del tramo (1) es de 20°. La estrella esuna figura regular. ¿Cuál es la medida del ∠A?


Práctica adicional

Sección Del giro a los ángulosF

143°

122°

(1)

A

N

NO NE

SO SE

S

EO

N

NO NE

SO SE

S

EO


1. a. ¿Cuántos ángulos rectos diferentes hay en la imagen siguiente?

b. ¿Cuántos ángulos obtusos diferentes hay en la imagen siguiente?

2. Usa un transportador para dibujar un ángulo de 35°. Marca el vértice adecuadamente.

3. Natalia dice: “A la misma hora, ¡la cantidad de grados entre las agujasdel reloj de la torre es mayor que la cantidad de grados entre las agujas de mi reloj de pulsera!”. ¿Tiene razón Natalia? Explica tu respuesta.

Estos son los mosaicos con los que trabajaste en la sección G de la página 40.

4. Crea tres formas nuevas con estos dos mosaicos. Rotula el tamaño decada uno de los ángulos de tus figuras.


Práctica adicional

Sección Los ángulos y sus medidasG

N

S

NE

E

SESO

O

NO

60˚

60˚ 60˚

45˚ 45˚

90˚


1. El polo Norte es único debido a su posición fija. Es el norte de cualquierubicación. Otro lugar único semejante es el polo Sur.

2. Hawai está ubicada al suroeste del continente. Alaska está ubicada al noroeste de los Estados Unidos contiguos.

3. América del Sur está ubicada al suroeste de Europa, o Europa estáubicada al noreste de América del Sur.

4. América del Sur está ubicada al oeste de Australia, o Australia estáubicada al este de América del Sur.


Respuestas para verificar tu trabajo

Sección El sentido de orientaciónA

Sección OrientándoseB

1. a. Este es un dibujo posible. Tu dibujo podría ser diferente.

b. Esta es una respuesta posible.

En Sunray, todas las manzanas son cuadradas porque no hay callesorientadas hacia el NO, NE, SO o SE, y es fácil encontrar un lugar siconoces la dirección. En el pueblo que dibujé, las calles se llamanigual que mis mascotas y que las mascotas de mis amigos.

NorteNorteCalle RockyCalle Rocky

Noroeste

Noroeste

Calle Copo de NieveCalle Copo de Nieve

Norest

eNor

este

OesteOeste EsteEste

Calle

Som

bra

Calle

Som

bra

Calle

Cur

ioso

Calle

Cur

ioso

Calle PintoCalle Pinto

Calle RetazosCalle RetazosSuroe

ste

Suroe

ste

SurSur

Sureste

Sureste

Calle

Cat

yCa

lle C

aty

Calle

Espi

gaCa

lle E

spigaAlcaldíaAlcaldía


2. Esta es una respuesta posible.

Generalmente, las distancias taxi son más largas que las distancias enlínea recta. Las distancias pueden ser iguales si tienes que ir en unadirección, y la ruta va en esa misma dirección.

3. a. La distancia “en línea recta” desde A hasta E es de aproximadamente35 millas.

b. La distancia “taxi” desde A hasta E es de aproximadamente 35 millas también, porque puedes llegar directamente, sin tener que girar.

c. La distancia “en línea recta” desde A hasta D es de aproximadamente 55 millas.

d. La distancia “taxi” desde A hasta D es de aproximadamente 75 millas, porque no puedes llegar hasta allí en línea recta, sino que debes girar.



Sección RumbosC

1. El rumbo deberá ser de aproximadamente 70°.

2. a. 33°

b. 110°

3.

Dibujar una línea punteada hacia el norte puede ayudarte a trazar un rumbopreciso. No olvides usar tu rosa de la brújula.

N

rum

bo 2

15°


1. La distancia entre los aviones es de 20 millas.

2. La distancia entre los aviones es de 30 millas.

3. La mejor manera de informar la existencia de un incendio sería (c);mediante ambos, un rumbo y una distancia. Sólo hay una ubicaciónposible para el incendio. Mediante un punto cardinal o un rumbo; (b) es mejor que (a), porque por lo menos tienes la orientaciónexacta. Tanto (a) como (b) no ofrecen información suficiente porqueno te dan la distancia en esa dirección. Podrías estar deambulandoen la dirección especificada durante mucho tiempo antes deencontrar el incendio.



Sección Navegación y orientaciónD

Sección Cambios de rumbo: girosE

N

rum

bo 2

00°

rum

bo 1

60°

40°

rum

bo

180

°

20°

N 20 millas

15 millas 35 millas

90�

30 millas

N

15 millas 15 millas

90�270�

1. El nuevo rumbo es 180°.

Estas son tres estrategias para la solución.

• Razonamiento: 40° a la izquierda y luego20° a la derecha significa 20° a la derecha.Con una rosa de la brújula, comienzascon un rumbo de 200° y luego giras 20° ala derecha, obtendrás como resultado unrumbo de 180°.

• Razonamiento: 200° menos 40° da comoresultado un rumbo de 160°; por lo tanto,160° más 20° da como resultado unrumbo de 180°.

• Razona haciendo el dibujo que semuestra a la derecha.




2. El segundo giro es un giro de 5° a la derecha.

Estas son dos estrategias para la solución.

• Razonamiento: el primer giro da como resultado un nuevo rumbode 55°. Para obtener un rumbo de 60°, tienes que dar un giro de 5°a la derecha.

• En un dibujo:

3. Asegúrate de comenzar tu dibujo con una recta orientada al norte. Usa tu rosa de la brújula.

Ten en cuenta que la longitud de lasrectas de tu dibujo puede ser distintade las del dibujo de ejemplo. Sinembargo, los rumbos deben seriguales a los del dibujo de ejemplo.

180°

160°

N

rum

bo

actu

al de 180°

45°

rumbo

de 60°

rumbo de 55°

rumbo de 100°

N

giro de 5° a la derecha




Sección Del giro a los ángulosF

1. a. El nuevo rumbo es de 140°.

Esta es una estrategia para la solución.

Mirando la rosa de la brújula, descubrí que para girar a la derechanecesito sumar 90° más 50°, lo que da como resultado 140°.

b. Este es el dibujo para el problema 1a.

c. El ángulo entre los dos tramos de la huella es de 90°.

2. El rumbo inicial es de 310°.

Esta es una estrategia para la solución.

Si el ∠Q � 130°, entonces el giro para trazar un rumbo de 0°tiene que ser de 50° a la derecha.

Usé la rosa de la brújula para comprobar que esto daría comoresultado un rumbo inicial de 310°.

N

90°

rum

bo

inici

al 50°

nuevo rumbo

140°

130°

50°

Q

310°

rumbo inicial

rum

bo

fin

al 0

°




3. a. El rumbo final es de 240° (180° � 4 � 15°). Este dibujo me ayudó arazonar acerca de los cuatro giros de 15° a la derecha.

15°

15°

15°

15°

rumbo final

de 240°

áng

ulo

de

la h

uel

la

N0°

rum

bo

inic

ial

180

°

b. Los ángulos formados por el trineo son de 165° (180° � 15°).Dado que los giros son iguales, los otros ángulos de la huellatambién son de 165°.




Sección Los ángulos y sus medidasG

1. El ∠A tiene 69°.

El ∠B tiene 100°.

El ∠C tiene 90°.

2. a. El ∠P tiene menos de 90°; tiene aproximadamente 80°.

El ∠Q tiene entre 40° y 90°, es decir, aproximadamente 60°.

El ∠R tiene entre 90° y 180°, es decir, aproximadamente 120°.

b. El ∠R es un ángulo obtuso.

3. ∠S � 40°, ∠T � 110°

S

T


calcular todos - fisme.science.uu.nl all... · vi calcular todos los ángulos querido alumno:...

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