Ponticia Universidad Catlica del PerEstudios Generales Ciencias

Ciclo Verano 2012Clculo 2

Prctica Calicada 3

1. Dada la funcin f(x) = k e2x

(a) Halle el valor de k para queR +10

f(x) dx = 1:

(1 pto)

(b) Utilizando el valor de k hallado en la parte a), calculeR +10

x f(x) dx:

(2 ptos)

2. Dada la funcin f(x) =x2 4ex2

,

(a) Halle el polinomio de Taylor de grado 2 generado por la funcin f alrededor de x0 = 2.(2 ptos)

(b) Utilizando el polinomio de Taylor, hallado en a), aproxime el valor de f(2.1) y estimeel error en la aproximacin.(1.5 pts)

3. Dada la curva C : y =p2x x2; calcule:

(a) La longitud de C:

(b) El rea de la supercie de revolucin generada al rotar C alrededor de la recta x = 2:

(2.5 pts c/u)

4. Analice la convergencia de la integral impropia I() =Z +11

1

(x cos)px2 1dx; cuando

(a) cos = 1

(b) cos 6= 1:(2 pts c/u)

5. La regin R est comprendida entre la grca de y2(a + x) = x2(a x) y su asntota(a constane positiva)

(a) Bosqueje la regin R:(0.5 pto)

(b) Halle el rea de R(4pts)

San Miguel, 10 de febrero de 2012Elaborada por los profesores del cursoCoordina Nlida Medina Garca

1

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Ponticia Universidad Catlica del PerEstudios Generales Ciencias

Ciclo Verano 2012Clculo 2

Prctica Calicada 3Solucionario

1. Dada la funcin f(x) = k e2x

(a) Halle el valor de k para queR +10

f(x) dx = 1:

(1 pto)

(b) Utilizando el valor de k hallado en la parte a), calculeR +10

x f(x) dx:

(2 ptos)

Solucin

(a)R +10

f(x)dx = limt!1

R t0ke2xdx = lim

t!1[k2e2t]t0 =

k2! k = 2

(b)R10xf(x)dx = 2

R10xe2xdx = 2 lim

t!1R t0xe2xdx, (integrando por partes)

= 2 limt!1

h[x

2e2x]t0 +

12

R t0e2xdx

i= 2 lim

t!1 t

2e2t [1

4e2x]t0

= 1

2

2. Dada la funcin f(x) =x2 4ex2

,

(a) Halle el polinomio de Taylor de grado 2 generado por la funcin f alrededor de x0 = 2.(2 ptos)

(b) Utilizando el polinomio de Taylor, hallado en a), aproxime el valor de f(2.1) y estimeel error en la aproximacin.(1.5 pts)

Solucin

(a) f 0(x) = e2x(x2 2x 4) ! f 0(2) = 4f 00(x) = e2x(x2 4x 2) ! f 00(2) = 6

Luego, el polinomio de Taylor es:

P3(x) = f(2) +f 0(2)1!

(x 2) + f00(2)2!

(x 2)2

= 4(x 2) 3(x 2)2

1

1. b f(2.1) ' P3(2.1) = 0.37:f 000(x) = (6x x2 2)e2x:

Estimacin del error: j R2(2.1)j = f(z)3! (2.1 2)3

; 2 < z < 2.1j R2(2.1)j =

(6z z2 2)3! e2z(0.1)3

(jzj2 + 6jzj+ 2)

3!(0.1)3

< 0:0066:

3 Dada la curva C : y =p2x x2; calcule:

(a) La longitud de C:

(b) El rea de la supercie de revolucin generada al rotar C alrededor de la recta x = 2:

(2.5 pts c/u)

Solucin

(a) y=1 xp2x x2

dl =1p

2x x2

Longitud de C =Z 20

1p1 (x 1)2 dx

= lima!0+

arcsen(x 1)]1=2a + limb!1

arcsen(x 1)]11=2= u2:

(b) rea de la supercie de revolucin, A

A = 2

Z 20

(2 x) 1p2x x2 dx

= 2 lima!0+

Z 2a

r2 xx

dx

= 22 u2 :

4 Analice la convergencia de la integral impropia I() =Z +11

1

(x cos)px2 1dx; cuando

(a) cos = 1

(b) cos 6= 1:(2 pts c/u)

Solucin

2

(a) La funcin f(x) =1

(x cos)px2 1 es positiva, continua en ]0;+1[ y tiene discon-tinuidad innita en x = 1:Escribimos

I() =

Z 21

1

(x cos)px2 1dx+Z +12

1

(x cos)px2 1dx

Cuando cos = 1;Z 21

1

(x cos)px2 1dx =Z 21

1

(x 1)3=2px+ 1dx:

Por el Citerio del cociente, esta integral diverge. Entonces, I() diverge.

(b) Cuando cos 6= 1;Z 21

1

(x cos)px2 1dx =Z 21

1

(x 1)1=2 (x cos)px+ 1dx::

Por el citerio del cociente, esta integral converge.

Adems,Z +12

1

(x cos)px2 1dx converge para cualquier valor de : Luego, I()converge.

5 La regin R est comprendida entre la grca de y2(a + x) = x2(a x) y su asntota(a constane positiva)

(a) Bosqueje la regin R:(0.5 pto)

(b) Halle el rea de R(4pts)

Solucin

(a) .

(b) y = xra xa+ x

:

A = 2

Z 0ax

ra xa+ x

dx

= 2 limt!a+

Z 0t

xra xa+ x

dx

= a2(

2+ 2) u2:

San Miguel, 10 de febrero de 2012Elaborada por los profesores del cursoCoordina Nlida Medina Garca

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