PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

CALCULO 2

Practica N3

Semestre academico 2011-2

Elaborado por los profesores del curso.

1. Halle el valor de a para el cual la integral

+

1

( x2x2 + 2a

ax+ 1

)dx es convergente.

Ademas, calcule el valor de dicha integral. (3.0 ptos.)

2. Calcule el volumen del solido generado al girar alrededor de la recta x = 1 la region

limitada por la curva C : y = 1(1 x)5/4 , x [0, 1[, los ejes coordenados y la recta

x = 1. (3.0 ptos.)

3. Calcule

+

0

ex1 e2x dx. (3.0 ptos.)

4. Determine la convergencia de la integral impropia

a)

+

0

ln2(x+ 1)

xx

dx. (3.0 ptos.)

b)

+

1

cos2x

1 + x3/2dx. (2.0 ptos.)

5. Sea f(x) = ln(x+ 1

2

).

a) Usando un polinomio de Taylor de grado 3, aproxime el valor de ln(1,1).

(2.0 ptos.)

b) Estime el error cometido de la aproximacion hallada en (a). (1.0 pto.)

6. Aproxime el valor de

2

1

f(x) dx, usando un polinomio de Taylor de grado 2 de la

funcion f(x) =

x1

et2

dt. (3.0 ptos.)

San Miguel, 5 de noviembre de 2011.

Coordinador de practicas del curso: Raul Chavez

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PERESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Clculo 2Solucionario de la Prctica N 3Semestre Acadmico 2011-1

1. Calcule la longitud de la curva x = ln(secy), y [0, pi4]. (3.0 ptos.)

Solucin

x (y) = 1secy secy tany = tany.

L =

pi/40

1+

[x (y)

]2dy =

pi/40

1+ tan2 ydy =

pi/40

secydy

=[ln secy+ tany]pi/4

0= ln(

2+ 1).

2. Halle el rea de la superficie generada por la rotacin de la curva y = cos(2x), x [0, pi6], alrededor del

eje X. (3.0 ptos.)

Soluciny (x) = 2 sen(2x).

As = 2pipi/60

y(x)

1+

[y (x)

]2dx = 2pi

pi/60

cos(2x)

1+ 4 sen2(2x)dx.

Sea t = 2 sen(2x), entonces

As =pi

2

30

1+ t2 dt =

pi

2

[12t1+ t2 +

12ln(1+

1+ t2

)]30

=pi3

2+pi

4ln(2+

3).

3. Considere la regin R limitada por la grfica de f(x) =1

(5 x)3/2, su asntota vertical y los ejes coor-

denados. Si la regin R gira alrededor de dicha asntota, es posible asignar un nmero como medidapara el volumen del slido generado?, de ser as, calcule dicho volumen. (3.0 ptos.)

Solucin

V = 2pi50(5 x)

[ 1(5 x)3/2

]dx = 2pi

50

1(5 x)1/2

dx = 2pi lmt5

t0

1(5 x)1/2

dx

= 2pi lmt5

[5 x

]t0= 4pi

5.

El volumen es: 4pi5u3.

4. Calcule el valor de la integral impropia+1

14x2 4x+ 5

dx. (3.0 ptos.)

Solucin1

4x2 4x+ 5dx =

14arctan

(x

12

).

I = lmt+

t1

14x2 4x+ 5

dx = lmt+

[14arctan

(x

12

)]t1

=14

lmt+

[arctan

(t

12

) arctan

(12)]=

14

[pi2 arctan

(12)].

5. Analice la convergencia:

a)10

1x2 + 3x

dx. (2.0 ptos.)

Solucin

lmx0+

1x2 + 3x

dx = +.L = lm

x0+xpx2 + 3x

dx.

L = lmx0+

xp1/2x+ 3

dx.

Si p = 1/2, entonces L = 13.

Por el criterio del lmite, la integral es convergente.

b)+0

ln2(x+ 1)xx

dx. (3.0 ptos.)

Solucin

El integrando f(x) =ln2(x+ 1)xx

es una funcin continua en ]0,+[.El lmite

lmx0+

ln2(x+ 1)xx

=2 ln(x+ 1) 1x+1

32x

=43ln(x+ 1)

x=

1x+1

12x

1/2= 0.

implica que el integrando tiene discontinuidad evitable en x = 0.Aplicamos el criterio del cociente:

L = lmx+ x5/4 ln

2(x+ 1)xx

= lmx+

2 ln(x+ 1) 1x+114x

3/4= 0

Tenemos L = 0 cuando p =54> 1. Entonces la segunda integral converge la integral dada

converge.

6. Sea f(x) =sen(x2)xr

.

a) Para qu valores de r la funcin f tiene discontinuidad infinita en x = 0.(1.0 pto.)

Solucin

lmx0+

sen(x2)xr

= lmx0+

1xr2

sen(x2)x2

= lmx0+

1xr2

= +, si r > 2.2

b) Halle los valores de r para los que la integral impropia10f(x)dx es convergente.

(2.0 ptos.)Solucin

L = lmx0+

xpsen(x2)xr

= lmx0+

sen(x2)xrp

.

Si r p = 2, entonces L = 1.La integral es convergente si 0 < p = r 2 < 1, entonces 2 < r < 3.

San Miguel, 30 de abril del 2011.Coordinador de prcticas del curso: Ral Chvez

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