caja pitagórica 6° primaria
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Autorngel Luna
Caja Pitagrica6 de Primaria
Base de datos03-2009-121509555000-01
Dibujo03-2009-121510091800-14
Prohibida la reproduccin parcial o total por cualquier medio, sin autorizacin escrita del titular de los derechos patrimoniales.
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LOS NATURALES FRACCIONES (DECIMALES) OPERACIONES BSICAS
PITGORAS DE LO ABSTRACTO A LO CONCRETO
ngel LunaPRIMARIA 6
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ndice
Lista de materiales de la Caja PitagricaIntroduccinJustificacinObjetivos generales Actividades con nmeros naturalesActividad 1 Valor posicional en sistema decimal de numeracinActividad 2 Clculo mental (Juego del Tringulo Pitagrico)Actividad 3 Reproduccin a escala por altura, largo y anchoActividad 4 SimetraActividad 5 Medir ngulos utilizando el transportadorActividad 6 Productos de factores igualesActividad 7 Permetro y rea del tringuloActividad 8 Sucesiones numricasActividad 9 Volumen
El cuadrado mgicoIntroduccin Antecedentes Cuadrado mgico, el juego clsico AplicacionesActividad 10 EjerciciosEl cuadrado mgico de 44Actividad 11 EjerciciosEl cuadrado perfectoEl cuadrado del caballo
.................................................... 7................................................................................................... 11
....................................................................................................... 12
...................................................................................................... 15
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Pitgoras sin palabrasActividad 12 Asociar establece una relacin entre dos conjuntosActividad 13 Nos acercamos a PitgorasActividad 14 Del tangram a PitgorasActividad 15 Demostrando a PitgorasActividad 16 Corta y construye a Pitgoras Actividad 17 No debemos cortar siempre para construir a PitgorasActividad 18 Construye un tringulo rectnguloActividad 19 reas y PitgorasActividad 20 El recproco de PitgorasActividad 21 Construyendo teselas a partir de PitgorasActividad 22 Ejercicios libres
.................................................................................. 55.................................................................................................... 56
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7Lista de materiales de la
Caja Pitagrica
1 Tablero de 88 casillas
1 Tablero de 1010 casillas
1 Tringulo pitagrico
100 Cubos de 111 20 Tabletas de 221 10 Tabletas de 551
1 Tablero de 66 casillas
3 Acetatos de 1818(comps)
3 Acetatos de 1818 (ruleta)
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84 Tangramas 2 Tangramas gigantes
10 Regletas de 1011 10 Regletas de 511
14 Tabletas de 10101
10 Regletas de 211
25 Fichas azules 25 Fichas blancas
64 Fichas rosas 50 Fichas amarillas 36 Fichas verdes
122 Fichas numricas
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975 Tarjetas comodines 3 Compses
36 Cuadrilteros(3 colecciones de 12)
12 Tringulosrectngulos de 30 y 60
3 Ruletas pitagricas3 Adaptadores
1 Abanico pitagrico
1 Dado dodecaedro
* El color real del contenido de la Caja Pitagrica puede variar respecto al mostrado en esta gua didctica
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En nuestro Sistema Educativo Nacional un objetivo primordial es elevar la calidad de la educacin, lo cual coadyuva al desarrollo integral del pas.
Dentro de esa perspectiva, es importante considerar un proceso de competencia con-tinuo en los diferentes niveles escolares. Los avances de las distintas reas de conocimien-to estn vinculados con la problemtica de los procesos de la enseanza y el aprendizaje de las diversas materias que conforman los programas de estudio.
El alumno que comienza el sexto grado de primaria entiende que las matemticas son funcionales y flexibles, ya que puede emplearlas para resolver algunos problemas de di-versos mbitos: desde los ms sencillos que se le presentan en la vida cotidiana, hasta los ms complejos, y algunos de stos los aborda durante su curso.
El maestro, con base en su experiencia y conocimientos sobre la Caja Pitagrica, imple-menta actividades dirigidas a facilitar los procesos de aprendizaje, es decir, al conocer los factores que inciden en estos procesos, aplica recursos tcnicos y prcticos para favorecer el aprendizaje.
En este escenario, el material didctico de la Caja Pitagrica sigue facilitando la cons-truccin de algunos aprendizajes significativos, los cuales propician la reflexin, el anli-sis, los cuestionamientos y las respuestas de los alumnos, quienes de esta manera asumen una funcin activa en su aprendizaje.
El alumno est a punto de concluir su instruccin primaria. Lo aprendido durante este nivel y preescolar ser determinante para su ingreso a la secundaria, donde abordar temas diversos en fsica, qumica, biologa, etc., y las matemticas constituirn el marco terico para su estudio.
Introduccin
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JustificacinEs de inters que el alumno adquiera los conocimientos de la matemtica propios de cada grado. Importa sobremanera que desarrolle paulatinamente, a lo largo de la educacin b-sica, habilidades intelectuales que le permitan, entre otras cosas, manejar el contenido de diversas formas y realizar procesos en los que tenga que utilizar estrategias para resolver problemas.
Dichas habilidades son: resolucin de problemas, clasificacin, flexibilidad del pensa-miento, estimacin, reversibilidad del pensamiento, generalizacin, imaginacin espacial.
Con el material didctico de la Caja Pitagrica se consideran tres ejes fundamentales, a lo largo de la educacin primaria, que requieren de una atencin especial:
La naturaleza del nmero. Se pretende que el alumno comprenda que los nmeros pueden representar tanto cantidades obtenidas de procesos de conteo o medicin, como relaciones entre cantidades y que entienda para qu sirven los nmeros y qu representan.
El desarrollo de la intuicin geomtrica y de la imaginacin espacial, a travs del estudio de la geometra, en particular de los contenidos relacionados con las formas las figuras geomtricas, sus propiedades y algunas transformaciones, conservando sus ca-ractersticas.
La resolucin de problemas. Se intenta que el alumno desarrolle habilidades en esta direccin.
El programa de sexto grado es fundamentalmente un programa de afirmacin de conocimientos, con base en un mtodo trabajado a lo largo de toda la primaria. El desa-rrollo de los contenidos temticos se realiza por medio de problemas en cuya solucin se utilizan, en forma integrada, diversos conocimientos matemticos adquiridos en los grados anteriores.
Objetivos generales En la escuela primaria, los alumnos debern adquirir conocimientos bsicos de las mate-mticas y desarrollar:
La capacidad de utilizar las matemticas como un instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas. Las habilidades operatorias y comunicativas para adquirir seguridad y destreza, adems de fomentar la curiosidad y la imaginacin creativa, a fin de adoptar estrate- gias adecuadas en la resolucin diversos problemas. El razonamiento deductivo. La capacidad de comunicar e interpretar informacin matemtica. La imaginacin espacial. La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medicin, dibujo y clculo. El pensamiento abstracto, por medio de distintas formas de razonamiento, entre otras, la sistematizacin y generalizacin de procedimientos y estrategias. El reconocimiento de que un problema puede resolverse de distintas formas.
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La habilidad para desarrollar procesos que permitan ubicar objetos en el plano y en el espacio, as como imaginar los efectos que se producen en las formas geomtricas al someterlas a transformaciones, estimar longitudes y reas. El logro de los mecanismos del clculo operatorio elemental. La comprensin para utilizar distintas unidades de medida. La creatividad.
Las actividades diseadas por el maestro debern estar enfocadas en la com-prensin y asimilacin de los conceptos de la matemtica. Debern partir de la manipulacin que el alumno haga de los materiales o recursos didcticos. En este sentido, el juego dirigido es una fuente de actividades interesantes para el alum-no, a travs de l pueden crearse situaciones que le permitan descubrir relaciones o favorecer la construccin de conocimientos.
La implementacin de las actividades puede modificarse a criterio del maestro, segn lo considere conveniente.
Observacin:
Observacin:
Es conveniente fomentar el trabajo en equipo, de manera que permita el intercambio de puntos de vista y la confrontacin de las ideas. Esto propiciar actitudes de anlisis e investigacin que gradualmente se irn reforzando, a medida que se formalicen los con-ceptos y los mtodos.
Para aprender, los alumnos necesitan hacer matemticas, es decir, deben enfrentar numerosas situaciones que les presenten un problema, un reto, y generar sus propios recursos para resolverlas, utilizando los conocimientos que ya poseen. Sus recursos sern informales al principio, pero poco a poco, con la experiencia, la interaccin con sus com-paeros y la ayuda del maestro, evolucionarn hacia la formalizacin del conocimiento.
En consecuencia, los conocimientos matemticos y los problemas no pueden separar-se. No se trata de aprender matemticas para despus aplicarlas a la resolucin de proble-mas, sino de aprender matemticas al resolver problemas. Es decir es indispensable cul-tivar la capacidad de plantear y resolver problemas, as como la de realizar mediciones y clculos precisos, al tiempo que se propicia la comprensin y el disfrute del conocimiento matemtico.
Para facilitar la comprensin del uso de la Caja Pitagrica, se recomienda consultar al final de esta gua, los ejes temticos planteados en cada una de las actividades.
Maestro:
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Actividades con
nmeros naturales
Actividad 1
Valor posicional en sistema decimal de numeracin
Al reverso del Tringulo Pitagrico se muestra la utilizacin del material con fichas de colores, con el cual el alumno puede interactuar y aprender sobre uno de los conceptos fundamentales de la matemtica: el nmero y el sistema de numeracin decimal, que se usa actualmente y que es el resultado de muchos siglos de desarrollo de la humanidad y a cuya estructuracin contribuyeron varios sistemas de numeracin usados en la Anti-gedad. No se analizarn aqu tales sistemas; lo que interesa son las caractersticas de los sistemas de numeracin de base de notacin posicional.
Lo que en esta actividad se pretende es que el alumno comprenda la caracterstica de los sistemas de numeracin de base de notacin posicional: la base de nuestro sistema de numeracin es diez, porque necesitamos 10 unidades simples para formar una unidad del segundo orden o decena; 10 decenas para formar una unidad del tercer orden o centena, y as sucesivamente, cada diez unidades de cualquier or-den forman una unidad del orden inmediato superior.
Los sistemas de base posicional resultan ms eficaces que otros que les precedieron histricamente, ya que mediante ellos es posible: representar a los nmeros de manera no ambigua; as como efectuar tcnicas operatorias con cierta facilidad y representar a los nmeros de una manera que sea fcil manejarlos y memorizarlos. En esta actividad se mencionan los aspectos que deben tomarse en cuenta para propiciar el aprendizaje del sistema de numeracin decimal:
El campo formativo del material didctico del Tringulo Pitagrico en el sistema de numeracin cubre el programa de educacin primaria y secundaria en cada uno de los aspectos siguientes:
Estructura del sistema de numeracin: ley de cambio: agrupamiento, desagrupamiento, comparacin, antecesor y sucesor. Representacin: valor posicional, codificacin y decodificacin. Nombre de los nmeros. Operaciones: suma y resta.
Las actividades de agrupamiento y desagrupamiento constituyen uno de los ejes centrales a trabajar, ya que, a travs de ellas, los alumnos pondrn en prctica una de las caractersticas del sistema: la base. Las actividades de comparacin de cantidades incluyen los siguientes puntos: determinar la ma-
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yor o menor de dos o ms cantidades dadas, ordenar una serie de cantidades de mayor a menor y viceversa, determinar cantidades mayores y menores a una
dada, determinar una cantidad entre dos dadas; por ejemplo, encontrar cantidades equivalentes a una dada: 5 decenas y 2 unidades son equivalentes a 2 decenas y 32 unida-
des, o a 52 unidades, etc. Las actividades de sucesor y antecesor amplan el conocimiento sobre el sistema (agrupar y desagrupar) y continan trabajando sobre la serie numrica (para conocer el sucesor de una cantidad dada se agrega una unidad, para conocer el an-tecesor se resta una).
Las actividades de representacin estn diseadas para que los alumnos, primero, re-gistren cantidades como ellos crean conveniente: dibujos, marcas, letras o nmeros, de manera que su registro pueda ser entendido por otros. As se busca su evolucin hacia la representacin convencional, es decir, registrar cantidades. En el caso del nombre de los nmeros, solamente es necesario introducir el nombre de los primeros de ellos, confor-me los alumnos lo van demandando.
En el caso del juego, con los dados vamos a jugar para resolver operaciones de suma o resta. Para ello, es necesario que hayan comprendido previamente algunas de las propie-dades del sistema de numeracin decimal, tales como la ley de agrupamiento y desagru-pamiento y el valor posicional de las cifras.
Ejercicios:
1.- Diga a los alumnos cmo est formado el nmero:
1 3 8
Centenas 1 decenas 3 unidades 8
No olvidar que deben colocarse las fichas en el Tablero Pitagrico y que cada lugar en el sistema posicional tiene un valor diferente.
Para alumnos de tercer grado en adelante, adems de colocar con las fichas la cifra, considerando el lugar que ocupe, deben escribir en un cuaderno la notacin desarrollada de los siguientes nmeros:
3 9 3 8 = 3000 + 900 + 30 + 8
Recuerde que utilizamos el valor de posicin cuando escribimos smbolos para repre-sentar nmero naturales. El valor aumenta en potencias de 10.
En los nmeros, cada cifra tiene un valor de acuerdo con el lugar que ocupa. Siempre debe considerarse que un nmero se escribe y se lee de izquierda a de-recha.
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De esta manera, pueden realizarse varios ejercicios de prctica, quedando en la creati-vidad del maestro otras variantes.
2.- Una sugerencia para jugar con el sistema numrico del tablero del Tringulo Pi-tagrico: utilizar cuatro dados (que el maestro facilite); uno representa las unidades, otro las decenas, el siguiente las centenas y el ltimo los millares de unidad. Tirar, primero, con dos dados; despus, con tres y, por ltimo, con los cuatro.
El maestro explica que la actividad consiste en que cuando el alumno tira los dados, deben escribirse los nmeros en el pizarrn. Cada equi-po o alumno, segn como se decida, represen-tar con las fichas dicho nmero en el tablero del material del Tringulo Pitagrico. Ganan los equipos o alumnos que logren representar el ma-yor nmero en forma correcta. Con las fichas de colores pueden asignarse valores incondicional-mente, de acuerdo con el criterio del maestro. Por ejemplo:
3.- Otro juego consiste en formar tres equi-pos de cuatro alumnos. Cada equipo esco-
ge un tablero para jugar, Cada integrante de un equipo lanza dos dados, suma o
resta los puntos y coloca en la casi-lla el nmero que sale despus de
realizar la operacin y representarlo como las unidades. Despus, el si-
guiente alumno tira los dos dados, suma o resta los puntos, colo-ca en la casilla el nmero que representa las decenas, y as sucesivamente, hasta las unida-des de millar.
Queda a criterio del maes-tro el mtodo de evaluacin en esta actividad.
Amarillo = 1000Verde = 100Rojo = 10Azul = 1
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4.- Representen con fichas en el Tablero Pitagrico los siguientes nmeros:
Escriban en su cuaderno los mismos nmeros en notacin desarrollada, como por ejemplo:
4 000 + 300 + 0 + 6
Escriban en su cuaderno los mismos nmeros y especifiquen los diferentes rdenes, como el ejemplo:
4 unidades de millar + 3 centenas + 0 decenas + 6 unidades
Considerar el grado escolar de los alumnos, desde el primer ao de primaria con las unidades y decenas, y as sucesivamente con los dems grados de estudio.
Observacin:
a) 4 3 0 6b) 8 7 9 2c) 5 3 7 9d) 5 8 1 0
Clculo mental
Juego del Tringulo Pitagrico
Objetivos:
Desarrollar habilidades prcticas de operaciones matemticas bsicas como suma, resta, multiplicacin etc., por medio de la prctica del clculo mental, en donde la coordinacin ojo-mano juega un papel importante. Comprender la interpretacin geomtrica, algebraica y aritmtica del Teorema de Pitgoras. Desarrollar la aplicacin de la representacin de unidades de millar, centenas, decenas y unidades del sistema numrico. Aplicar de manera inmediata al trabajo real los aprendizajes adquiridos, cumpliendo con la caracterstica de aprender haciendo.
Ejercicios:
Actividad 21.4
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Integrantes:
Todos los miembros del grupo participan, divididos en parejas, tradas o equipos. Disposicin del grupo: en forma de crculo o semicrculo, para que todos observen la ejecucin de la actividad. Recursos materiales:
El material didctico del Tringulo Pitagrico. Hojas blancas tamao carta y lpiz.
Introduccin:
Explique al grupo que aprendern a manejar el material didctico y a realizar una serie de pasos para ejecutar una actividad.
Desarrollo:
Comprobarn que la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un tringulo rectngulo es igual al rea del cuadrado construido sobre la hipote- nusa. Organice al grupo para que todos observen y escuchen.
1.- Empiece el ejercicio, colocando las medidas de los catetos y dejando la longitud de la hipotenusa. Despus, realice el clculo mental de las reas del cuadrado de los catetos. De esa suma obtendremos el rea cuadrado de la hipotenusa como resultado. Procedemos a embonar los cubos con las cantidades obtenidas de acuerdo con los clculos mentales que realizaron los equipos de trabajo.
Ejemplo:
En cualquier tringulo rectngulo si a=3 y b=4 son las longitudes de los catetos enton-ces c=5 es la longitud de la hipotenusa.
Considere los ejercicios de la segunda actividad, utilizando el material didctico.
Todos los miembros de grupo participan, divididos en parejas, tradas o equipos para jugar con el Tringulo Pitagrico.
Ejecute el procedimiento completo, explicando qu se hace y cmo se hace, a un ritmo menor que el empleado en la realidad, con el fin de facilitar la comprensin.
Repita la ejecucin cuantas veces sea necesario y practique con el ejemplo de esta gua.
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Cuando termine la demostracin, invite al grupo, de acuerdo con su decisin de trabajar, sea en parejas, tradas o equipos, para comenzar el juego recreativo, pidin-doles como reto solucionar correctamente todos los ejercicios del material didctico Tringulo Pitagrico, segn sea su nivel acadmico.
El equipo que resuelva todos los ejercicios de este material a la primera, ejecutando clculo mental, ser el equipo ganador del juego. Tambin puede considerarse tiempo lmite.
2.- Con las siguientes ternas de medidas de longitud del tringulo rectngulo, efecten operaciones de clculo mental, como en el ejemplo anterior:
a) 12b) 8c) 12d) 16e) 8f) 21g) 24h) 10
569121520724
13101520 17 292526
rea= 42
rea= 52
rea= 32
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Reproduccin a escala por altura, largo y ancho
1.- Con los cubos 111 del material didctico de la Caja Pitagrica, realice las siguientes construcciones:
Determinen la relacin que existe entre las longitudes de dos figuras dadas a escala. Al observar la construccin con los cubos 111, pida a los alumnos que reproduz-can a escala de 2 a 1. En el trazo y reproduccin de esta construccin, utilicen regla y comps y anoten en el cuaderno. Quedara como la muestra siguiente:
2.- Realice con los cubos 111 un rectngulo y pida a los alumnos que reproduzcan a escala 2 a 1, de la figura grande a la figura pequea, como se muestra:
En conclusin, la figura pequea es una reproduccin a escala, 1 a 2, de la figura grande.
Ejercicios:
Construccin muestra Reproduccin a escala 2:1 con respecto a la altura
Reproduccin a escala 2:1 con respecto a lo largo y alto
Actividad 32.8
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3.- Realice las mismas observaciones con otros dibujos a escala. Como, por ejem-plo, un cuadrado y un tringulo su reproduccin a escala podra ser 2:1 y 3:1. D la
respuesta.
En los casos del cuadrado y tringulo, al realizar el ejercicio con los alumnos, se ob-serva que la razn entre el rea de una reproduccin y el rea de la figura original es el cuadrado de la escala. En consecuencia, con una escala 2:1, la razn entre las reas es 2 = 4; con una escala 3:1, la razn entre las reas es 3 = 9. En las siguientes figuras se muestra un cuadrado y su reproduccin a escala 2:1. Como
se observa, el cuadrado original cabe cuatro veces en la reproduccin. Realice con las piezas del tangram o con los cubos 111 lo siguiente:
Si el cuadrado y el triangulo originales se amplifican tres veces, cada uno cabe nueve veces en la reproduccin correspondiente. Con los cubos 111 y piezas del tangram, realicen lo que se muestra en las siguientes figuras.
Se comprueba que la proporcin entre las reas es el cuadrado de la proporcin entre los lados. Esto sucede con todas las figuras a escala.
4.- Observen el dibujo a escala 1 a 10 de la fachada del saln de clase que les presente el maestro.
Midan la altura de la puerta dibujada. Midan la altura de la puerta del saln. Comparen ambas medidas y observen que la altura de la puerta es 10 veces mayor que la altura representada en el dibujo. Comparen otras longitudes reales del saln con las correspondientes del dibujo.
5.- Realicen otros ejercicios semejantes.
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Simetra
1.- Realicen con los cubos 111 del Tringulo Pitagrico la siguiente figura que tiene dos ejes de simetra:
2.- Recorten varias figuras de revistas y peridicos. Busquen los ejes de simetra de esas figuras y trcenlos. Pero cuidado: no todas las figuras son simtricas.
Ejercicios:
Preguntas:
Cul es la figura con ms ejes de simetra? Cuntos ejes tiene? Qu hacer para que las figuras sin ejes de simetratengan un eje de simetra?
Actividad 41.6
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Medir ngulos utilizando el transportador
Esta actividad tiene como objetivo resolver problemas en los cuales los alumnos apliquen sus conocimientos sobre las medidas de los ngulos.
1.- Trace un segmento de recta y coloque un lpiz sobre el piso. Haga girar el lpiz sobre uno de sus extremos, asentndolo en el borde superior del cubo construido con 10 ta-bletas de 10101. Coloque el transportador en la punta del lpiz para medir su ngulo (amplitud de cada giro).
2.- Realice otro giro con el lpiz sobre uno de sus extremos, asentndolo en el borde superior del cubo construido con 5 tabletas de 10101. Coloque el transportador en la punta del lpiz para medir su ngulo (amplitud de cada giro).
3.- Mida diversos ngulos con diferentes cantidades de tabletas de 10101, con la ayuda del transportador.
4.- Mida sus ngulos internos e indique la suma de dichos ngulos del tringulo.
Ejercicios:
Actividad 51.7
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Productos de factores iguales
Con las tabletas 221 realicen la siguiente actividad:
Exprese en forma exponencial productos de factores iguales.
1.- Pida a los alumnos que observen los agrupamientos como 4 grupos de tabletas, cada grupo con 4 tabletas y cada tableta con 4 cubos 111.
2.- Represente la situacin anterior con una multiplicacin de factores iguales: 444.
Pida a los alumnos que indiquen cul es el total de cubos. Realice otros ejercicios semejantes.
Comente con los alumnos el significado de cada uno de los trminos de la expresin: 5.
Llame exponente al nmero pequeo escrito en la parte superior dere-cha y que indica las veces que el otro nmero se repite como factor.
Ejercicios:
Pregunta:
Cmo calculan el total de cubos?
La multiplicacin de factores iguales tambin puede re-presentarse en forma abreviada: 444 = 43
Observacin:
Actividad 63.1
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Permetro y rea del tringulo
Explique a los alumnos lo que significa la figura tringulo, cuntos lados y ngulos tiene. Dibjelo. Explique tambin cmo se obtiene, por medio de frmulas, su permetro y rea. Realicen ejercicios de clculos.
Los puntos de interseccin son los vrtices del tringulo A, B y C. Cada uno de los segmentos AB, BC y CA son los lados del tringulo, que normalmente se designan por una letra minscula e igual a la del vrtice opuesto; as, el lado AB se denomina c, ya que el vrtice C es el opuesto a dicho lado. .
Los lados forman los ngulos interiores que se designan por las letras de los vrtices o por minsculas de los mismos. Por lo tanto un tringulo tiene 3 ngulos, 3 lados y 3 vrtices.
Frmulas de permetro y rea del tringulo
Permetro:
Es la medida del contorno de una figura geomtrica. Se representa con la letra P.
P = a + b + c A = (b) (h) 2
rea:
Es la medida de una superficie. Se representa con la letra A.
Actividad 7
Vrtices: A, B, CSegmentos: AB, BC y CA Lados: c, a, y b, respectivamente
ngulos: A, B, CNotacin: ABC
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1.- Hallen el permetro y el rea de un tringulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, respectivamente.
2.- Calculen las reas y permetros de los siguientes tringulos. Coloquen los resultados en la tabla.
Calculen el permetro de los tringulos con la frmula P =a + b + c.
Ejercicios:
Apliquen las siguientes frmulas para permetro y rea:
P = a +b +c A = (b) (h) 2
Los resultados de este ejercicio son: P= 12 cm, A= 6 m
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Calculen el rea de los tringulos, de acuerdo con la frmula A= (b) (h) 2
Las respuestas se encuentran al final de este apartado.
Observacin:
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Sucesiones numricas
Con los cubos 111 del material didctico, realicen construcciones de sucesiones de nmeros, mediante cantidades de objetos dispuestos geomtricamente. En este caso, la variacin de un nmero implica la variacin del otro. Por ejemplo, los triangulares son 1, 3, 6, 10, 15, porque se representan como los siguientes arreglos:
a) Nmeros triangulares:
b) Nmeros cuadrados:
c) Nmeros pentagonales:
Ejercicio:
Construye los arreglos de los siguientes tres n-meros triangulares.
Construye los arreglos de los siguientes tres n-meros cuadrados.
Construye los arreglos de los siguientes tres n-meros pentagonales.
Pregunta:
Encuentras alguna relacin entre los nmeros triangulares, cuadrados y pentagonales? Pida a los alumnos que observen y escriban las relaciones que encuentren.
Actividad 8
1 3 6 10 15
1 4 9 16 25
5 12 22 35
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Ejercicios:
Volumen
Se sabe que el volumen de un prisma es la cantidad de unidades cbicas que caben en l. Un ejemplo de unidad cbica es el centmetro cbico, que se abrevia cm y es un volumen que tiene un cubo cuyos lados miden un centmetro.
La frmula para calcular el rea de cada cara de un cubo es:
A = a
La frmula para calcular el rea total de las seis caras de un cubo es:
T = 6 x a (unidades cuadradas)
La frmula para calcular el volumen de un cubo es:
V= a (unidades cbicas).
1.- Construye las estructuras con los cubos 111 y las regletas de la Caja Pitagrica.2.- Calcula el rea total y el volumen de un cubo que mide 5 cm en cada una de sus arista.
Respuesta: El rea total del cubo es de 150 cm y su volumen es de 125 cm.
3.- Cul es el volumen del slido B, considerando que la unidad de volumen es el slido A?Constryelo con los cubos 111.
El volumen de un slido se calcula determinando cuntas unidades de volumen o unidades cbicas caben en l. Una unidad cbica es un cubo de lado 1.
Observacin:
Actividad 95.3
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Respuesta: El slido A cabe 12 veces en el B. Por tanto, el volumen de B es 12 A, como se muestra en la figura.
4.- Calcula el volumen en cm del siguiente prisma. Constryelo con los cubos 111.
Respuesta:42 cm.
5.- Actividades con prismas y cubos.
Construye el prisma con los cubos 111.
a) Construye el prisma de 3 cm de ancho, 8 cm de largo y 4 cm de alto.
b) Usando los cubos 111 de 1 cm, formen los prismas que se indican.
En su cuaderno dibujen la tabla que se muestra, para que la completen con los datos de cada prisma:
Preguntas:
Cuntos cubos de un centmetro cbico se necesitan para formar otro prisma de las mismas dimensiones? Cuntos pisos tendr? Cuntos centmetros cbicos tendr por piso?
Prismas
Volumen por capa
Nmero de capas
Volumen total en cm3
A
1
7
7
B
10
2
20
C
4
10
40
D
24
3
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E
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Preguntas:
Cules son las medidas del rectngulo de la base del prisma B? Cul es su rea? Multiplicando por la altura del prisma su resultado es: Cul es el rea de la base del prisma E? Multiplicando por la altura del prisma su resultado es: Coincide este resultado con algn nmero de la tabla que realiz el alumno?
Respuestas
Actividad 2
Actividad 7
1.- a) P = 15cm b) P= 19dm c) P= 17mm d) P= 21hm e) P = 9.5cm
2.- a) A = 40cm b) A = 42m c) A = 42mm d) A = 300dm e) A = 63mm2
a) b)c)d)e)f )g) h)
169 cubos =100 cubos =225 cubos =400 cubos =289 cubos =841 cubos =625 cubos =676 cubos =
144 cubos64 cubos144 cubos256 cubos64 cubos441 cubos576 cubos100 cubos
+ 25 cubos + 36 cubos+ 81 cubos+ 144 cubos+ 225 cubos+ 400 cubos+ 49 cubos + 576 cubos
c + a + b
Hipotenusa = Catetos
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El cuadrado
mgicoIntroduccin
Las matemticas son el resultado del quehacer humano. El desarrollo de esta disciplina se ha debido al intento de resolver problemas concretos. Los alumnos de sexto grado po-seen una preparacin ms slida, pues han desarrollado y reforzado habilidades matem-ticas. Esto les facilita la construccin de nuevos conocimientos matemticos, a partir de experiencias concretas. El xito en su aprendizaje ha descansado en el diseo de activida-des que promueven la construccin de conceptos a partir de dichas experiencias, donde utilizan los conocimientos previamente adquiridos. En estas actividades, las matemticas son funcionales y flexibles, de forma tal que les permitan resolver los problemas que se les planteen, claro est, utilizando dichos conocimientos.
El alumno debe concluir, a partir de estas experiencias de aprendizaje, que las mate-mticas le permiten resolver problemas diversos, tanto de naturaleza cientfica, tcnica y artstica como de la vida cotidiana.
El contar con las habilidades, conocimientos y formas de expresin que la escuela proporciona permite la comunicacin y comprensin de la informacin matemtica pre-sentada a travs de medios de distinta ndole.
Antecedentes
Una de las actividades recreativas de gran importancia en el proceso de aprendizaje de los alumnos de sexto grado corresponde al conocido como cuadrado mgico. El alumno podra considerar este pasatiempo como muy visto. Sin embargo podr concluir, despus de desarrollar las actividades descritas a continuacin, que sigue siendo muy flexible, al involucrar en su solucin a los nmeros naturales y racionales (expresados como cociente de enteros o expresados en forma decimal) y permitirle reforzar las operaciones bsicas de suma, resta, multiplicacin y divisin, adems de abordar los conceptos de mltiplos, series numricas, etctera
En el famoso cuadro Melancola, del pintor alemn Albrecth Drer, aparece el dibujo de un cuadrado mgico. Un cuadrado mgico est constituido por nmeros dispuestos de tal forma que al ser sumados en renglones, columnas o diagonales dan el mismo resultado. En la siguiente figura se ilustra el grabado donde aparece el cuadrado mg ico hallado por el artista alemn.
Este cuadrado satisface que la suma de las cantidades localizadas en las casillas centrales es 34. Drer logr adems introducir en las colum-nas centrales del rengln localizado en la parte inferior el ao 1514 (ao de realizacin del cuadro). Grandes matemticos, como Euler y Cayley, des-cubrieron que eran entretenidos e interesantes para ser estudiados. El propio Benjamin Franklin cre uno, conocido como el cuadrado mgico perfecto
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(ms adelante se ilustra). Por cier-to, Euler construy un cuadrado mgico para un caballo (ilustrado tambin ms adelante).
Estudiar el cuadrado mgico permite reforzar los mtodos de conteo e involucra aspectos que conciernen a la manipulacin de objetos de cierta naturaleza (no-ciones de conjuntos), siendo en este caso nmeros y la combina-cin de los mismos para obtener el resultado deseado.
Posiblemente, este es uno de los juegos matemticos ms utilizados por los maestros para involucrar a los alumnos en la operacin bsica de la suma, pero a lo largo de la dis-cusin podremos concluir que puede utilizarse tambin en la solucin de las operaciones de resta, multiplicacin y divisin. Podemos encontrar en la literatura un sinfn de infor-macin acerca de este interesante juego que tiene como objetivo familiarizar al lector con algunas tcnicas para la resolucin de ciertos tipos de cuadrados mgicos. Nos interesa inducir algunos procedimientos que permitan al maestro darle un mayor alcance al cua-drado mgico en cuanto a la utilidad, as como usar algunos procedimientos elementales para observar que la aplicacin del mismo tiene tal alcance.
Las actividades estn diseadas para implementarse en sexto grado, ya que permiten reforzar significativamente las operaciones de suma y resta con nmeros naturales de hasta seis cifras. Es decir, utilizamos desde unidades hasta centenas de millar. Adems se involucran las operaciones de multiplicacin con nmeros terminados en ceros, la cons-truccin de series numricas y la operacin de divisin. Asimismo, ponemos en prctica mtodos de razonamiento que involucran combinaciones de operaciones y permiten la obtencin de una solucin, utilizando nmeros naturales, racionales y decimales (stos, asociados en algunos casos con nmeros racionales, se consideran nmeros decimales
Melancola, del pintor alemnAlbrecht Drer.
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con expansiones decimales finitas; en el caso de infinitas, stas son peridicas).Debido a la naturaleza del cuadrado mgico, ste nos permite abordar los siguientes
aspectos de manera muy general: Estudio de los nmeros naturales o enteros positivos, la relacin de orden, leyes de
tricotoma, valor posicional, localizacin en la recta numrica, sucesor y antecesor. Reforzamiento de los mtodos de conteo (sumas y restas), las propiedades asociativas
y conmutativas en los nmeros, as como estmulo del clculo mental. Reforzamiento de los conceptos de horizontal, vertical y perpendicular, relacionados
con los conceptos de rengln y columna en una matriz, as como introduccin del con-cepto de diagonal.
Introduccin de los conceptos de sucesin, serie, matriz cuadrada, diagonal, sistema de referencia.
Estmulo del razonamiento matemtico.
Lo anterior considera aspectos muy generales, los cuales pueden inducirse de manera adecuada en sexto grado, teniendo en consideracin que, en muchas ocasiones, la imple-mentacin de conceptos es de forma implcita y no explcita, pues en muchos casos no es necesario conocer de manera formal un concepto matemtico, sino slo familiarizarse con l o intuirlo para poder utilizarlo (relacin nmero-operaciones). Por ejemplo, los tableros incluidos en el material didctico pueden permitir la introduccin del concepto de matriz (haciendo nfasis en el alumno que la figura representa en particular a este ente matemtico) o simplemente llamado tablero. Este permite manejar conceptos como reglones o columnas, horizontales, verticales, perpendicularidad y diagonales, as como diferenciar los conceptos de vertical y perpendicularidad. Por ejemplo, si es vertical es per-pendicular y el reciproco no es cierto; para ello basta poner el tablero en posicin vertical y perpendicular (con respecto a) para observar la diferencia. El tablero permite adems utilizar un sistema de referencia (posicin) para diferenciar que un objeto y otro estn colocados en distintos lugares o en el mismo (como en el ajedrez).
Utilizamos el cuadrado mgico para obtener las sumas de cierto tipo de series de nme-ros y abordamos la generalizacin del cuadrado mgico de 33. Este mismo permite dis-cutir un procedimiento aplicable para el caso del cuadrado mgico de 44 (muy laborioso) y el general. En el caso del cuadrado de 33, el mtodo permite hallar la generalizacin de este cuadrado con las restricciones que involucran al mismo; a su vez, aplicando este m-todo, podemos concluir por qu no existe un cuadrado mgico de tamao 22, cuya so-lucin no sea la trivial. Podemos dar respuesta asimismo a preguntas como, por ejemplo: si utilizamos los primeros nueve nmeros naturales por qu en el cuadrado mgico de 33 la suma debe ser 15? Justificamos adems por qu en el cuadrado mgico de tamao 44, la suma debe ser 34, si utilizamos los primeros 16 nmeros naturales en su solucin? o por qu, en el caso del cuadrado mgico de tamao 8 8, si utilizamos los primeros 64 nmeros naturales, la suma debe ser 260?; Finalmente, podemos garantizar que cualquier cuadrado mgico admite siempre una solucin (conclusin obtenida a partir de un mtodo algebraico elemen-tal, aqu hacemos referencia a la conclusin y no al procedimiento, el cual es realmente laborioso).
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Cuadrado mgico, el juego clsico
Describimos el problema ms clsico del cuadrado mgico, el cual corresponde a la siguiente situacin: considere los nmeros del 1 al 9, utilizando la matriz cuadrada de ta-
mao 33, como se muestra en la figura. La intencin es colocar los nmeros de tal forma que al realizar la suma en las direcciones horizontal, perpendicular (renglones, columnas) y en ambas diagonales, el resultado sea 15. Puede verificarse que una solucin es:
La pregunta natural que surge es: cuntos cuadrados mgicos hay? En caso de consi-derar que los valores que pueden utilizarse son nmeros reales, la respuesta es: una infini-dad. El siguiente mtodo permite hallar tales cuadrados mgicos.
A continuacin, discutimos un mtodo de solucin general para el cuadrado mgico de tamao 33, pero debemos hacer hincapi en que esta discusin es exclusiva para el maestro, con la intencin de que l pueda construir cualquier cuadrado mgico de dicho tamao. El mtodo utilizado hace uso de la aplicacin de sistemas de ecuaciones lineales (tema que se aborda en secundaria, inicialmente en un sistema de una ecuacin en una in-cgnita, para finalmente estudiar un sistema de dos ecuaciones en dos incgnitas; adems se abordan algunos mtodos de solucin) y del mtodo de eliminacin que se aplica en la solucin de un sistema de dos ecuaciones en dos incgnitas. El mtodo de eliminacin puede generalizarse para la resolucin de sistemas de n ecuaciones lineales en m incg-nitas. Este mtodo generalizado recibe el nombre de mtodo de eliminacin gaussiana (puede consultarse en cualquier libro de lgebra lineal). Este mtodo es, sin duda, el ms poderoso para resolver sistemas de ecuaciones lineales, adems su implementacin com-putacional es la ms eficiente.
Ms adelante podemos garantizar que, adems, esta solucin es nica, salvo ro-taciones y reflexiones.
Observacin:
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Consideramos el cuadrado mgico de 33, pero suponemos que se desea encontrar una coleccin de nueve nmeros consecutivos, de tal forma que cumpla la condicin es-tipulada para el cuadrado mgico (la diferencia o distancia entre dos consecutivos siempre es 1) y se satisfaga adems que su suma sea n. Tenemos la siguiente situacin:
Sean a, b, c, d, e, f, g, h, i los nmeros reales (no se especifica su orden) distribuidos como lo muestra la siguiente figura:
Ms an, tales nmeros hacen del cuadrado anterior un cuadrado mgico para el valor n. La situacin planteada se describe matemticamente por el siguiente sistema de ecua-ciones lineales (este planteamiento es un modelo matemtico lineal):
Obtenemos as un sistema de 8 ecuaciones en 9 incgnitas. La teora que refiere este tipo particular de sistema de ecuaciones, es decir con estas caractersticas, garantiza que el sistema admite una infinidad de soluciones. De ello concluimos que hay una infinidad de cuadrados mgicos. Aplicando el mtodo de elimina-cin gaussiana a la matriz que describe el sistema y llevando la solucin a la forma escalonada reducida, la solucin del mismo queda descrita por el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c = nd + e + f = ng + h + i = na + d + g = nb + e + h = nc + f + i = na + e + i = nc + e + g = n
Sistema de ecuaciones 1
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Sistema de ecuaciones 2
Observamos que la solucin general involucra, salvo la solucin de la variable e, dos valores independientes, a saber h e i si asignamos a n el valor de 15 y tomamos h=7 e i=2, hallamos la solucin descrita para el cuadrado mgico, que se muestra al inicio de la dis-cusin de esta seccin. Podemos adems tomar los valores de h=1 e i=6 y mantenemos n=15. Obtenemos una segunda solucin, la cual resulta ser equivalente a la obtenida con los valores anteriormente asignados a h e i. stas dos sustituciones nos permiten tener como espacio de solucin para el cuadrado mgico los nmeros del 1 al 9, adems las sustituciones h=9, i=4; h=3, i=8; h=2, i=2; h=7, i=6; h=1, i=8; h=3, i=4; y mantenemos n=15 el espacio de solucin son los nmeros del 1 al 9, es decir, si nosotros asignamos valores distintos a h e i de stos y mantenemos el valor de n=15, obtendremos otras solu-ciones, pero con la diferencia de que ya no se tiene como espacio de solucin de ste los nmeros del 1 al 9.
Estamos ahora en posibilidad de justificar la siguiente pregunta: por qu la suma debe ser 15? Sumemos las tres primeras ecuaciones del sistema anterior de ecuaciones. Obte-nemos:
a + b + c + d + e + f + g + h + i = 3n
Sistema de ecuaciones 3
Si los valores a tomar por las variables a, b, c, d, e, f, g, h, i deben ser uno y slo uno de los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces el lado izquierdo de la igualdad nos pide hallar la suma (no estn ordenados, pero recordemos que la suma es conmuta-tiva) de los primeros nueve nmeros naturales. Un simple clculo muestra que la suma obtenida es 45. Luego de la ecuacin anterior obtenemos que n=15.
La solucin del sistema permite implementar el siguiente procedimiento (que aplicare-mos en los ejercicios):
Ordene la sucesin de los nueve nmeros consecutivos en forma ascendente, es decir:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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Subdividamos los nmeros en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada bloque debe ser 15. Obtenemos as lo siguientes dos casos:
1 + 5 + 9 = 15 3 + 5 + 7 = 15 a) 2 + 6 + 7 = 15 b) 2 + 9 + 4 = 15 3 + 4 + 8 = 15 1 + 6 + 8 = 15
Podemos adems sealar que no es posible hallar otras combinaciones diferentes de las dos anteriores que satisfagan las condiciones pedidas. Estas combinaciones indican todo el espacio de soluciones para este caso. Tenemos que la quinta ecuacin del sistema 3 nos indica que la combinacin 1 + 5 + 9 3 + 5 + 7 debe colocarse en la segunda fila del cuadrado mgico. A partir de esto, obtenemos la solucin y podemos observar que ambas son la misma (es nica salvo rotaciones y reflexiones) y coinciden con la presen-tada al inicio de esta seccin.
Podemos concluir, adems, que si nosotros consideramos a n=15 en el sistema de ecuaciones y a las variables h e i les asignamos cualesquiera otros valores, obtenemos diferentes soluciones para cada pareja de nmeros que se den. Por ejemplo si h=8 e i=6, puede verificarse que el cuadrado correspondiente es:
Este ejemplo nos muestra que el espacio de soluciones de un cuadrado mgico no se restringe al conjunto de los nmeros naturales. Este ltimo cuadrado nos muestra el nmero 0 (cero), el cual recibe el nombre de la identidad aditiva.
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Aplicaciones
Analizaremos casos particulares que nos permitan trabajar con nmeros natu-rales o enteros positivos. Sin embargo, con lo anteriormente discutido, el espacio de
ejemplos es infinito.Un sencillo planteamiento basado en el anlisis anterior nos permite concluir por qu
no es posible obtener un cuadrado mgico de tamao 22 (se excluye en este y en todos los casos de cuadrados mgicos la solucin llamada solucin trivial, y se concluye que en el caso del cuadrado 22 , la nica solucin es la trivial y por eso no existe inters en estudiarlo, por ejemplo, para el caso del cuadrado mgico de 33 la solucin trivial para n=15 corresponde a que todas las variables sean iguales a 5).
Los ejercicios que a continuacin se enlistan estn expuestos en forma gradual, con la intencin de que los alumnos se familiaricen con el cuadrado mgico.
Observacin:
Ejercicio 1
En este caso el ejemplo puede aplicarse a los alumnos de todos los niveles. Considere las siguientes fichas:
Solicite al alumno que tome los primeros nueve nmeros naturales. Una vez realizado esto, pdale que los ordene en forma ascendente o descendente. En este punto, aprender a diferenciar los nmeros entre s y a establecer la relacin de orden entre ellos, como lo muestra la siguiente figura.
Ejercicios:
Actividad 105.1
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Solictele que obtenga, de ser posible, la suma de ellos; si no, basta con que los separe en grupos de 3 fichas, de tal manera que al sumar cada bloque el resultado sea 15 (aplica-cin de clculo metal). Despus, indquele que coloque las fichas del bloque de izquierda a derecha o de derecha a izquierda (utilizamos las dos soluciones del cuadrado mgico). Luego, pdale que coloque los bloques de arriba hacia abajo o viceversa (debemos indi-carle un nmero en el bloque, para que lo tome como referencia y pueda efectuar lo que se le solicita). Enseguida, debe colocarlos en el cuadrado, respetando el orden considera-do previamente. Finalmente, consideren todas las combinaciones de sumas que determi-na al cuadrado mgico. En este punto apliquen clculo mental. La siguiente figura ilustra una solucin equivalente a la mostrada al inicio de la seccin:
El alumno de sexto grado observa as el uso de orden en una serie numrica, los conceptos de antecesor y sucesor, valor posicional y construccin de una serie numrica (sucesin de los naturales).
Adems se utiliza de forma natural la multiplicacin de cantidades con nmeros terminados en ceros.
Puede realizarse la siguiente modificacin: considere que los dgitos asociados describen decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar o centenas de millar; obtendramos cuadrados mgicos para decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar y centenas de millar, respectivamente. Es decir, obtendramos cua-drados mgicos cuya sumas seran igual a: 15 decenas, equivalentes a 150 unidades; 15 centenas, equivalentes a 1500 unidades; 15 unidades de millar, equivalentes a 15 000 unidades; 15 decenas de millar, equivalentes a 150 unidades de millar o 150 000 unidades, y as sucesivamente.
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Ejercicio 2
Solicite al alumno que le proporcione un nmero mltiplo de tres (o divisible entre tres) mayor que 15 y menor o igual a 39. Una vez proporcionado el nmero, en caso
de ser posible, obtenga el resultado de dividir al mismo entre 3 para obtener n (o indique el nmero a considerar). Dado el nmero, pdale que extraiga del grupo de las 25 fichas los cuatros nmeros consecutivos anteriores a l (el antecesor de ste, el antecesor del antecesor de ste, y as sucesivamente) y los cuatro siguientes consecutivos a l (el sucesor de ste, el sucesor del sucesor de ste, y as sucesivamente).
Ahora separen los nmeros en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada uno de ellos d cmo resultado el valor previamente hallado. Solicite finalmente el cuadrado mgico correspondiente.
En este ejercicio, seguimos trabajando con enteros positivos y aplicando el concepto de serie numrica. Ms an, podemos iniciar el estudio de una serie aritmtica.
Puede plantear como ejercicio adicional el siguiente: considere las fichas de la 1 a la 17 y pregunte a los estudiantes por qu bajo la condicin de ser el nmero solicitado ml-tiplo de tres y tomando en consideracin las 17 fichas (bajo las restricciones de nuestro cuadrado mgico), el espacio de solucin nicamente nos permiten obtener 9 cuadrados mgicos diferentes con estas fichas que satisfagan la condicin solicitada (restriccin).
Veamos un ejemplo: Para n = 21, obtenemos el valor de 7. Luego las fichas requeridas son:
El cuadrado mgico correspondiente es:
Puede aplicarse aqu la implementacin discutida en el ejemplo 1, es decir, utili-zando decenas, centenas o unidades de millar, asociadas a los nmeros naturales obtenidos, estaremos aplicando el concepto de serie aritmtica (se incrementa en trminos de decenas, centenas o unidades de millar, segn sea el caso) e involu-crando adems el concepto de mltiplo de 10, 100 y 1000, equivalentemente la multiplicacin por cantidades terminadas en ceros.
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Ejercicio 3
Obtengan el cuadrado mgico cuya suma sea 27 unidades (decenas, centenas, unidades de millar o decenas de millar) y que los nmeros que lo conforman sean 9 naturales con-secutivos. Obtengan un cuadrado mgico con la misma condicin, pero sin la restriccin de que los nmeros sean 9 enteros consecutivos. Proporcione los nmeros considerados en el cuadrado mgico y solicite que construyan el cuadrado mgico correspondiente. Puede verificar que si en el sistema de ecuaciones anterior, reemplazamos h e i, para 5 y 7, respectivamente, obtendremos los restantes valores que involucran la solucin que mostramos a continuacin:
Para los casos siguientes, analice los valores asignados a h e i. Obtenemos los cuadrados mgicos de 48 y 51, como se muestran a continuacin:
Ahora, si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solucin descrita por el sistema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente, adems de que estas soluciones describen series aritmticas.
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Realicemos finalmente sobre el cuadrado mgico clsico las siguientes modifica-ciones, motivadas por lo antes discutido. Nuestro cuadrado mgico a considerar es:
Indique al alumno que sume a cada ficha el nmero 5, sustituyndolo posteriormente por la ficha correspondiente al resultado de esta operacin y respete la ubicacin de sta en la anterior disposicin. Obtenemos as lo siguiente:
Claramente observamos que este es de nuevo un cuadrado mgico. Esto, a su vez, nos sugiere la implementacin con respecto a multiplicaciones y sumas.
En esta actividad, el maestro debe tener en consideracin que las soluciones a los cua-drados mgicos deben involucrar nicamente nmeros naturales. Por esa razn se reco-mienda al maestro realizar los clculos correspondientes para que esto ocurra, y adems, facilitar los nmeros que se utilizarn en cada una de estas actividades.
Las operaciones que realizamos con los cuadrados mgicos, es decir, sumas, restas, multiplicaciones, son aplicables a un ente matemtico llamado matriz (recuerde que un cuadrado mgico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
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Ejercicio 4
Estudiaremos ejemplos diversos que utilizan nmeros fraccionarios en la construccin del cuadrado mgico. En el caso de este material didctico se incluyen fichas con de-nominadores 2, 3 y 4. Sin embargo, el maestro puede anexar fichas con distintos deno-minadores, segn convenga, para presentar algn tema en particular. Recordemos que estamos introduciendo una restriccin en la construccin de cuadros mgicos, y es que entre los elementos de la sucesin numrica la diferencia (o distancia) entre dos nmeros consecutivos es 1 (serie aritmtica). No obstante, en los ejercicios que se proponen ms adelante ya no hay restricciones. En esta aplicacin consideraremos cantidades fracciona-rias (propias e impropias) con el mismo denominador comn para operar sumas y restas. En el caso de fracciones con diferente denominador, haremos uso del mnimo comn mltiplo.
Tome el grupo de fichas que corresponden a fracciones, pida que extraigan todas las fichas con denominador 2 y que sean mayores o iguales a 1/2 y menores o iguales a 17/2 y que las ordenen en forma ascendente o descendente. Por ejemplo, la disposicin ascendente es:
Solicite, por ejemplo, que determinen la distancia o diferencia del primer y ltimo trmino, entre trminos consecutivos. Posteriormente, solicite que realicen la suma de todos estos trminos. El alumno, al observar que todas las cantidades poseen el mismo denominador, puede concluir que para hallar tal suma el problema se reduce a obtener la suma de los numeradores, quedando as:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
equivalentemente:
1/2 + 3/2 + 5/2 + 7/2 + 9/2 + 11/2 + 13/2 + 15/2 + 17/2 = 81/2
Se observa que en una de las expresiones anteriores estamos obtenien-do la suma de los primeros nueve nmeros impares (obtenemos as un ejemplo de serie aritmtica, en donde la diferencia entre dos trminos consecutivos es 2). Solicite que escriban el trmino general de la serie numrica). Indique que obtengan un cuadrado mgico cuya suma sea 27/2, y pida que justifiquen esto.
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Compare este cuadrado mgico con el cuadrado mgico para n=27. Para ello considere la tabla del dos.
Los conocimientos adquiridos por los alumnos en curso previos acerca del cuadrado mgico, permiten obtener el siguiente:
Discuta con los alumnos cmo pueden construir el cuadrado mgico anterior (la dis-
cusin del mismo se ha desarrollado en la gua de cuarto grado)
Pregunta:
Existe alguna similitud entre los cuadrados mgicos? Justifique su respuesta.
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Ejercicio 5
Consideremos nuevamente el cuadrado mgico clsico:
Sume entrada a entrada el cuadrado mgico, pero considere la siguiente modificacin: un cuadrado mgico representa unidades y el otro representa decenas. Entonces el cua-drado mgico que se obtiene es el siguiente:
Ahora sume al mismo 5 centenas en cada entrada. Describa cul es el cuadrado mgi-co que se obtiene.
Considere ahora la siguiente modificacin, motivada por lo discutido en el ejercicio 4: cuando uno aborda operaciones con nmeros decimales, debe tomar en cuenta los siguientes dos aspectos: la notacin utilizada para escribirlos y cmo nos referimos a ellos para mencionarlos o nombrarlos. Por ejemplo, al expresar 8 dcimos nos referimos a la notacin matemtica 0.8, si decimos 8 centsimos su notacin matemtica es 0.08. Esto nos facilita el uso del cuadrado mgico al aplicarlo a la suma de nmeros decimales. As podemos mencionar que en el cuadrado mgico se representan centsi-mos.
Es decir, tenemos 13 centsimos, 8 centsimos, 9 centsimos y as sucesivamente, y podemos sumar a otro cuadrado mgico, por ejemplo el clsico, y que ste represente dcimos. Sumamos ambos slo toman-do en consideracin cmo debe realizar la suma, y utilizando el lenguaje correcto para referirnos a ello. A su vez, trabajamos con la divisin entre 10, 100, y as sucesivamente.
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El cuadrado mgico de 4 x 4
Al inicio de la seccin, mencionamos un cuadrado mgico plasmado por el pintor alemn Drer. Trabajaremos sobre l para obtener algunos ejemplos de cuadrados
mgicos, aplicando las operaciones utilizadas en lo discutido previamente, como son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Sin embargo, ilustraremos parte de la dificultad (laborioso) de intentar obtener una solucin general para este caso, pues si consideramos el cuadrado mgico de 44, obte-nemos un sistema de al menos 10 ecuaciones en 16 incgnitas. Tal situacin se ilustra a continuacin:
Deseamos que el anterior arreglo cuadrangular satisfaga las condiciones de un cuadra-do mgico. Obtenemos as el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c + d = t e + f + g + h = t i + j + k + l = tm + n + o + p = ta + e + i + m = t b + f + j + n = tc + g + k + o = td + h + l + p = ta + f + k + p = t d + g + j + m = t
Sistema de ecuaciones 4
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Consideremos que, por ejemplo, el cuadrado mgico mostrado al inicio de esta discu-sin satisface adems las siguientes ecuaciones (el cuadrado mgico construido por Drer adiciona al menos las siguientes condiciones: los cuatro trminos del interior del cuadrado mgico y los cuatro trminos de las esquinas suman, respectivamente, 34; los trminos 3, 2, 15 y 14, as como 5, 9, 8 y 12, suman tambin respectivamente, 34. Esto adiciona cuatro ecuaciones ms al sistema inicial, y an con stas, el sistema tiene una infinidad de soluciones):
Esto implica que el sistema sera ahora de 14 ecuaciones en 16 incgnitas (aun as, el sistema admite soluciones no triviales). Es fcil observar que, cuando intentamos aplicar el mtodo de eliminacin gaussiana, aun aplicando notacin matricial, requerimos un nmero considerable de operaciones elementales para poder llevar a la matriz del sistema a su forma escalonada reducida (la matriz de coeficientes aumentada para el sistema de 10 ecuaciones en 16 incgnitas es de tamao 1017) y requerimos para el mismo la utilizacin de un pro-grama numrico, aunque el maestro puede consultar algn texto de lgebra lineal y estudiar el mtodo con mayor detalle, paciencia y tiempo para resolver el sistema.
En este punto, retomamos la mencin de lo dificultoso que es resolver un cuadrado mgico de tamao mm, con m un nmero natural mayor a tres. Puede ser que el alumno cuestione la importancia de una generalizacin de esta naturaleza. Debemos indicarle que el inters reside en la implementacin y estudio de diversos mtodos utilizados para resolver problemas de esta naturaleza, y que los mismos tienen aplicacin en diversos campos de estudio.
Sin embargo, podemos dar respuesta a otro tipo de preguntas que implican a este cuadrado mgico. Por ejemplo, por qu al utilizar los 16 primeros nmeros naturales, el cuadrado mgico debe satisfacer la condicin de que la suma deba ser 34. Para ello basta considerar que al obtener la suma de los primeros 16 nmeros naturales, obtenemos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136
Pero el sistema de ecuaciones nos indica que las primeras cuatro ecuaciones del mismo coinciden con la suma de los primeros 16 nmeros naturales. Luego debemos dividir al 136 entre 4, obteniendo que la suma es 34 (podemos concluir as que para un cuadrado de 55, si consideramos a los 25 primeros nmeros naturales, la suma en el cuadrado m-gico es 65; para un cuadrado de 66, si se consideran los 36 primeros nmeros naturales, la suma es 111, y as sucesivamente).
f + g + j + k = ta + d + m + p = tb + c + n + o = te + i + h + l = t
Los ejercicios de la siguiente seccin tienen como objetivo aplicar las operaciones de suma, resta, divisin o multiplicacin al cuadrado mgico de Drer. Para obtener otros se sugieren ejercicios para el cuadrado mgico de 33.
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Ejercicios:
Ejercicio 1
Obtenga los cuadrados mgicos de tamao 33 para los valores de n=18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, considerando que deben utilizarse para su construccin nueve enteros conse-cutivos. Puede construir el cuadrado mgico correspondiente para n=9 que cumpla con las restricciones?
Divida los cuadrados mgicos entre 10, 100 y 1000 y obtenga las soluciones correspon-dientes, utilizando nmeros fraccionarios. Distinga las fracciones. Considere otros ejem-plos con diferente denominador, utilizando los sistemas de ecuaciones para construirlos.
Ejercicio 2
Obtenga los cuadrados mgicos de tamao 33, para los valores de n=21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, utilizando para su construccin valores de h e i que el maestro proponga y el sistema de solucin descrito por el sistema de ecuaciones 2. Debemos considerar que las soluciones involucren nicamente nmeros naturales.
Ejercicio 3
Obtenga tres cuadrado mgico distintos para n=21, 24, 39.
Ejercicio 4
Obtenga, a partir del cuadrado mgico de tamao 44, cuadrados mgicos para los va-lores siguientes
{102, 210, 340, 480, 540}
Recuerde que puede implementar de manera natural lo discutido para el cuadrado de 33, es decir puede sumar, restar, multiplicar, segn sea el caso. Ms an, puede aplicar combinaciones de operaciones al cuadrado mgico, aunque se recomienda se haga una a la vez.
Observacin:
Actividad 111.4
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Ejercicio 5
En el cuadrado mgico de tamao 88, si utilizamos los primeros 64 nmeros naturales, cul es el valor de n.
Ejercicio 6
Halle la suma de los primeros 100 nmeros naturales.
Ejercicio 7
Construyan dos cuadrados mgicos distintos, colocando uno seguido del otro o incluso uno sobre el otro, de tal forma que las fichas que estn una sobre la otra sumen o resten (se indica slo una operacin que debe ser la misma para todas las dems fichas). El alumno obtiene como resultado un cuadrado mgico.
Ejercicio 8
Generalice el resultado anterior a m cuadrados mgicos (todos obviamente del mismo tamao).
Ejercicio 9
El maestro debe construir diversos cuadrados mgicos, para utilizarlos con sus alumnos. La dificultad de los mismos debe ser en funcin de su nivel de enseanza.
Ejercicio 10
D un ejemplo de un cuadrado mgico de tamao 22, tal que su suma sea 16.
Ejercicio 11
D un ejemplo de un cuadrado mgico, donde un valor se repita al menos2 veces en el mismo.
Ejercicio 12
Utilizando el cuadrado mgico clsico, considere 9 nmeros que de-ban satisfacer la condicin de determinar un cuadrado mgico. Colque-
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los en forma ascendente y haga lo mismo con los nmeros del 1 al 9. Con ambos juegos de fichas forme dos lneas respetando el orden indicado en los nmeros
(ascendente), reemplace la posicin del nmero 1 en el cuadrado clsico, por el n-mero que se localiza por debajo (o arriba) de l en la otra lnea. Realice lo mismo con
la posicin de la ficha 2, y as sucesivamente, hasta completar la operacin con los nueve nmeros. El cuadrado obtenido despus de realizar este proceso es mgico?
Ejercicio 13
Aplique lo anteriormente discutido al cuadrado mgico de 44, y obtendr que el cuadra-do correspondiente es mgico.
Ejercicio 14
Complete los siguientes arreglos de nmeros y obtenga las sumas en las direcciones ho-rizontales, verticales y diagonales.
Ejercicio 15
Obtenga las sumas de los siguientes arreglos (puede considerar unidades, decenas o cen-tenas), ya sea horizontal, vertical o diagonalmente. Extraiga los nmeros localizados en diversas posiciones y ordnelos.
Ejercicio 16
Utilice decenas, centenas, unidades y decenas de millar para construir cuadrados mgicos.
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Benjamin Franklin1 no resisti la tentacin de involucrarse con los cuadrados mgicos, y construy uno lleno de trucos (aqu mismo se muestra). Utiliz en su construccin los primeros 64 nmeros naturales. Sabemos que debe satisfacer que cada fila suma 260 y detenindose a la mitad de cada una da 130. Trazando una lnea diagonal de puntos se obtienen 260. Las cuatro esquinas ms los cuatro nmeros de en medio suman 260. La suma de cuatro casillas (cuadrado de tamao 22) es 130, as como la suma de cuatro nmeros cualesquiera equidistantes diametralmente del centro.
1 Form parte del comit designado para redactar la Declaracin de Independencia de los Estados Unidos de Amrica, junto con Thomas Jefferson y John Adams.
El cuadrado perfecto
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El cuadrado del caballo
Leonhard Euler es considerado uno de los matemticos ms influyentes y prolferos de todos los tiempos. l construy el cuadrado de tamao 88, el cual se muestra arriba y que utiliza los primeros 64 nmeros naturales. Con base en lo previamente discutido, no es difcil concluir que en este cuadrado mgico la suma es 260.
Este cuadrado mgico tiene adems la siguiente caracterstica: al detenerse a la mitad de una fila horizontal el resultado de la suma es 130. Pero lo ms intrigante es que un caballo de ajedrez que empieza sus movimientos (lneas negras) desde la casilla 1, puede pasar por las 64 casillas (sin repeticin) en orden numrico.
Puede utilizar este cuadrado para implementar un ejercicio de memorizacin. Intntelo!
Observacin:
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2 Aplicacin del concepto distancia-tiempo.3 nicamente se considera la distancia en un plano o en el espacio.4 Nos referimos a que podemos trabajar con el Teorema de Pitgoras sin referirnos a l por su nombre.
Pitgoras
sin palabrasUna de las motivaciones para iniciar el estudio del Teorema de Pitgoras en la instruccin primaria, descansa en su utilidad en actividades de uso cotidiano, en una de las aplicacio-nes indirectas de dicho teorema. Para ello mencionemos la siguiente situacin (los dems casos se adaptan a una situacin como la que se plantea a continuacin): coloquemos a un nio que ya camina sin dificultad en la esquina de una habitacin rectangular, y en el lado diametralmente opuesto, un regalo (sobre la diagonal del rectngulo). Le pedimos al menor que vaya por el regalo. Si repetimos varias veces este experimento, podremos ob-servar que, la mayora de las veces, la trayectoria que aproximadamente sigue (salvo casos excepcionales) es la que describe la diagonal. Inconscientemente el nio hace uso, de ma-nera implcita, de una de las consecuencias del Teorema de Pitgoras, a saber, la que expresa la distancia ms corta entre dos puntos en un plano es una lnea recta. Podramos re-producir la situacin en otros nios y ms an en otro tipo de seres vivos. Por ejemplo, si utilizamos a un perro o a un gato y colocamos alimento segn, sea el caso, obtendramos una conclusin similar sobre la trayectoria por donde se desplazaran. Nos preguntamos entonces de manera natural: conocen estos animales el Teorema de Pitgoras? Salvo que alguien demuestre lo contrario, la respuesta es: no. Podramos aludir que la decisin de moverse a lo largo de esa trayectoria est ligada con la experiencia adquirida de manera emprica en cuanto al tiempo requerido para desplazarse de un lugar a o