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CAIPIITIIDLO II

E L S I I S T E M A lEDE L O S ÍHIIUJMEISOS S E A L E S

B r e v e I n t r o d u c c i ó n .

El concepto de número ( por ahora solo hablaremos de números enteros pos i t i ­vos o naturales ), que ton famil iar no es hoy o nosotros, fue elaborado muy lentamente. El algunas rozos ios números mayores que dos o tres no tenían ya nombre; en otros llegaban algo mes lejos pero terminaban ol cobo de po -cos números; paro los restantes decían simplemente " muchos " o " incontables". Solo gradualmente se fueron acumulando en los pueblos un conjunto de nom­bres claramente distintos poro los números.

A l proncipio estos pueblos no tenían lo noción de número, aunque podíors o su manera, juzgar sobre el tamaño de una u otro colección de objetos cori los que se encontraban a d ia r ia . Debemos concluir que los números eran d i ­rectamente percibidos por ellos como uno propiedod inseparable de una colec­ción de objetos, una propiedad que el los, sin embargo, no podían cíoramen -te d ist inguir .

A un nivel inmediatamente superior, el número aparece yo como uno propie­dad de uno colección de objetos, aunque no se distingue todavía de lo co lec ­c ión en cuanto " número obstracto " , en cuanto número no relacionado con objetos concretos. Esto es cloro si observemos los nombres que reciben a lgu ­nos números entre ciertos pueblos : " mano " paro c inco y " hombre completo " poro ve in te . Aquí c inco se entiende no en sentido abstracto sino simplemen­te en el sentido de "tantos como los dedos de uno mano " , veinte en '* t a n ­tos co.mo los dedos de los monos y los pies de un honnbre " , y así sucesiva­mente. De un modo completamente análogo, ciertos pueblos no tenían Ic^ conceptos de " negro " , " duro " o " c ircular " . Poro decir que un objeto es negro, lo comparaban con un cuervo, por ejemplo, y paro decir que había c inco objetos comparaban directamente estos objetos con uno mono. De es­te modo también ocurrió que se ut i l izaron distintos nombres paro contar perso­nas, otras poro contar botes y así sucesivamente, hosto l legar incluso a diez diferentes clases de números ,

Pero no se troto de números obstroctos, sino simplemente de uno especie de

- 1*^ s J

"ape lac ión" referidasolo a una clase concreto de objetos.

Otros pueblos no tenían en general nombres para designar ios números; por ejemplo, no existía lo palc¿>ra " t res" , aunque podían decir "tres hon i res " o en "tres lugares" , e t c .

El número de objetos de uno colección dada es una propiedad de lo co lecc ión, pero el número en sí, el "número abstracto", es uno propiedad cásstraída de la colección concreta y conáderodosimplemente en s i misma, oi igual que "negrura" o "dureza" . Y lo mismo que lo negrura es una propiedad común a todos los objetos del color del carbón, osí e l número "c inco" es la p rop ie ­dad común a todas los colecciones que contienen objetos como dedos hoy en vna mono. En este coso la igualdad de los números se establece por simple comparación : tomamos un dajeto de la co lecc ión, doblamos un dedo», y os í hasta terminar la co lecc ión . En general, apareando los objetos de dos c o ­lecciones es posible establecer, sin hocer uso para nada de los números, si los colecciones tienen o no ei mismo número de objetos .

De este modo es posible dar lo siguiente def ln ic ión : ua número ( 5ol co ­mo " dos" , " c i n c o " , e t c . ) es aquel la propiedad de los colecciones de c a ­jetes que es común o todos las colecciones cuyos objetos pueden ponetse en correspondencia biunívoca unos con otros, y que es diferente en aquellos c o ­lecciones paro ios cuales tal correspondencia es imposible .

Paro descubrir esta propiedad y dist inguir lo claramente - esto es, para formar el concepto de número y darle un nombre : " seis " , "diez " , e t c . - fue necesario comparar entre sí muchas colecciones de objetos .

Los operaciones con números aparecen como ref le jo de ios relaciones entre los objetos concretos. Esto se observa incluso en los nombres de los números. Por ejemplo , entre ciertos indios americanos el número "veint iséis" se p r o ­nuncio "encima de dos dieces coloco un seis " , qus es claramente ref lejo de un método concreto de contar objetos. l a ad ic ión corresponde a situar ¡untas o unidas dos o más colecciones , y es igualmente fáci l entender el s i g ­ni f icado concreto de lo sustracción , mul t ip l icoc ión y división .

Lo mul t ip l icación en part icular se debió en gran par te , como parece c loro, a l hábito de contar colecciones iguales; esto es, por doses, por treses, e t c .

En el proceso de contar, los hombre no solo descubrieron y asimiloron ios

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relaciones entre los números, como, por ejemplo, que dos y tres son c inco , sino que también fueron estableciendo gradualmente ciertas leyes generales. Experimentalmente se descubrió que una suma no depende del orden de los sumandos y que el resultado de contar un conjunto dado de objetos no depen­de del orden en que se cuente. De este modo los números aparecen no c o ­mo entidades separados e independientes, sino reioclonodas unas con otros.

Algunos números se expresan y escriben en términos de otros. A s i , en i n ­glés "ve in te " denota " dos ( veces ) diez " ; en francés " ochenta " es "cuatro - veintes " ( quatre vingt ) " , "noventa " es " cuatro - veinte -diez " ; y ios números romanos V I H y I X , por e jemplo, denotan que 8 = 5 + 3 y que 9 = 1 0 - 1 .

En general , los números no aparecieron como entidades separadas, sino como vn sistema con sus relaciones mutuos y sus reglas. El c¿>jeto de lo a r i tmé t i ­co es exactamente éste, el sistema de números con sus relaciones mutuos y sus reglas.

A medida que lo v ida social se hizo más intensa y complicada, fueron apare­ciendo problemas más conplejos.. N o solo fue necesario anotcrr s i número de objetos de un conjunto y comunicárselo o otros - necesidod que ya había con­ducido o lo formulación del concepto de número y su deno.minoción - , sino que l legó vn momento en que fue esenciol aprender o contar colecciones c a ­da vez mayores de animales en un rebaño, de objetos pora trueque, de días anteriores o uno fecho f i j ada , e t c . , y comunicar el resultado de ln opera­c ión o otros personas. Esta situación pedía sin demora un perfeccionamiento en los nombres y símbolos de los números.

La introducción de ios símbolos numéricos, que aparentemente se produjo os mismo tiempo que lo escritura, jugó un popel en el desarrollo de lo a r i tmé­t i c a . Además fue lo primera etapa hacia los signos moterrcticos y los fó r ­mulas en general . Lo segunda etapa, que consistió en lu iniroduccíón de signos paro ios operaciones o'l' iméticas y de una designación l i tera l paro ía incógnita ( x ) , tuvo lugar mucho más larde .

El pensamiento se formula en el lenguaje, y esto hace que sin nombres no puedo haber conceptos. Eí símbolo es también un nombre, excepto que no es oral sino escrito y se presenta o la mente en forma de uno imagen v i s ib le . Por ejemplo, si digo " ocho " ¿ qué se imagina el lector ? Probablemente no un conjunto de ocho objetos de una u otro d o s e , sino mas bien el símbo-

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lo " 8 " .

De este modo ocurrió ( ounqua solo pasado c ier to tiempo ) que los simboios dieron lugar o lo concepción de números ton grandes que nunca hobíon sido descubiertos por observación directo o por enumeración.

Con la aparición del Estado surgió lo necesidad de recoger impuestos, r ec l u -tor y equipar ejérci tos, e t c . , todo lo cual requir ió operaciones con números muy grandes.

A s i , pues, lo importancia de los símbolos numéricos reside en primer Eugor cn que suministraron una mater ial ización senci l la del concepto de nÚTsero abstracto, Y este es el papel de ios notaciones rrratemáticos, en general i conferir una estructuro " tangib le" o los conceptos matemáticos obstroclos. A s í , -I- nota ad ic ión, x nota número desconocido, o un numero cuajíjulero dado, e t c . En segundo lugar, ios símbolos numéricos proporcionen un medio particularmente senci l lo de realizar operaciones con ellos .

Desde los tiempos antiguos aparecieron en los distintos pufiblos, en !av c o ­mienzos de sus cul turas, . símbolos numéricos que eran muy diferentes a los actuales, no solo en su apariencia general , sino también en los principios en que se fundaban .

Nuestros actuales símbolos "arábigos " , y en general nuestro método de f o r ­mar ios números fueron llevados de la Indio o Europa por los árabes en e l s i ­g lo X y orroigoron firmemente en el tronscurso de pocos siglos .

La part iculor idod más importante de nuestro sistema de designor númercB es que es "posic ionol" ; esto es, un mismo dígito t iene distinto signif icado se­gún sea lo posic ión. Este método de escritura no solo es conciso y senc i l l o , sino que fac i l i ta grandemente el cá lcu lo .

En formo rudimentaria, el cero yo aparece en ios últimas escritures cunei for­mes babi lónicas, pero su introducción sistemática fue obru de los indios ( e l primer manuscrito indio en ei qua figura e! cero oparece a finales del s ig lo I X ; pero es probable que el cero fuese introducido en la India bastante a n ­tes, en el siglo V I ) ; e l lo les permit ió eloborar un sistema de escrituro com­pletamente posicionol como el que tens.mos hoy día .

De esto formo, el cero l legó también o considerarse como un número y entró

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o formar porte del sistema de numeración. Pero en sí mismo el cero no es nada; no obstante, en conexión con otros números el cero adquiere sentido y propiedades conocidas; por ejemplo, vn número arbi trar io más cero es el mismo número; un número arbitrar io mul t ip l icado por cero da cero.

¿ Cómo aparecen ios fracciones ?

En ei proceso de medida generalmente ocurre que la unidad elegido no está contenida un número entero de veces en la magnitud o medir, por lo que el simple cálculo del número de unidades no es suficiente .

Surge entonces lo necesidad de fraccionar lo unidad de medida paro poder expresar lo magnitud con mayor exact i tud en portes de lo unidad; esto es, no mediante números entero sino por medio de fracciones. Fue así como sur­gieron realmente ios fracciones. Las primeras magnitudes que se midieron fueron de carácter geométrico : longitudes, superficies de labranza y vo lúme­nes de líquidos o de materiales desmenuzcfoles.

Los fracciones no surgen, ni podrían surgir, de lo división ds números en te­ros, puesto que con números enteros solo se cuentón objetos enteros .

Lo interacción de lo geometría y de lo ar i tmético no solo dio origen a las fracciones, sino también ol descubrimiento de intervalos inconmesurobies, se llaman inconmesurobies si no existe ningún intervalo que pueda aplicarse a codo uno de ellos un número entero de veces, o , dicho con otros palabras, si su cociente no puede expresarse por una f racción ordinario ( un cociente de números enteros ) .

A l pr inc ip io la gente sencillamente no pensó en la cuestión de si todo inter­valo podio ser expresado por uno f racc ión. Si ol d iv id i r o medir un in terva­lo se llegaba o partes muy pequeñas, estos se desechaban; en lo práct ico no tenia sentido hablar de una precisión in f in i ta en el proceso de medida. A part ir del teorema de Pitógoras, se sigue la existencia de intervalos inconme­surobies. Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado es inconmesurable con su iodo; en otros palabras, el cociente de los dos no puede expresarse como cociente de números enteros. En efecto, si o es el lodo y b la diogonal de un cuadrado, entonces según el teoremo Je Pitógoras , 2 _ « 2 ^ ^2 _ o 2

y por tonto - b . _ 2 a

Pero, como veremos adelante, no existe ninguna fracción tal que su cuadrado

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seo igual o 2 .

En realidad io anterior, no es más que una muestra de lo existencia de núme­ros no-racionales, es decir i rracionales.

Los griegos fundaron uno teoría de cocientes de intervalos, o de magnitudes en general , que t iene en cuenta lo existencia de los intervalos inconmesuro­bies, sin embargo el concepto de número irracional no se or iginó entre el los, sino que fue uno aportación posterior de los matemáticos orientales ; en r e a l i ­dad uno def in ic ión rigurosa de número rea l , no dependiente de manera d i rec ­ta de lo geometría, solo ha sido dada recientemente : en ios años setenta del siglo pasodo .

La interacción de lo geometría y de la ari tmético sirvió paro algo más que pa­ra formor ei concepto de número rea l ; inf luyó en lo formación de los númeixe negativos y de los complejos, esto es, de los números de lo forma o-HjV-1 \ Los números negativos se presentan por puntos de una línea recto situados a la izquierda del punto que corresponde al cero. Fue exactamente esta represen­tación geométrica la que proporcionó a los números imaginarios un puesto se­guro en lo matemática.

A l describir ei concepto de número rea l , Newton , en su "A r i tmé t i ca Genero!" escribió : " por número entendemos no tonto una colección de unidades c o ­mo un cociente abstracto de uno cierta magnitud a otra tornada como unidad". Este número ( cociente ), puede ser entera, rociono!, o , si lo magnitud dada es inconmesurable con lo unidad, i r rac iona l .

A s i púas, el número real en su sentido or iginal no es otra coso que ei coc ien ­te de una magnitud o otro tom.ada como unidad.

Por tonto, vn número real es, en general, un cociente ds .magnitudes, en los cuales se ho hecho ciistracción de su naturaleza concreta .

Igual que los números enteros abstractos solo tenían interés matemático en sus relaciones mutuas, asi los números reales abstractos solo adquieren un conten i ­do y se convierten en objeto de interés matemático cuondo se relacionen entre sí dentro DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES .

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NOCIONES PRELIMINARES

D e f i n i c i ó n 1 . -

Dados dos conjuntos no-vacíos A y B, se define el conjunto producto-cartesiano de A por B (notado A x B ) , en este orden, en lo Forma siguiente :

A x B = | ( a , b ) / a É A y b e & ]

Ejemplo: Si A ^ J O , 1 , 2 | y B = | 3 , 4 t , entonces:

A X E = | ( 0 , 3 ) , ( O , 4 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ), ( 2, 4 ) |

B X A = / ( 3 , 0 ) , ( 3 , 1 ), ( 3 , 2 ) , ( 4 , O ), ( 4 , 1 ), ( 4 , 2 ) }

D e f i n i c i ó n 2 , -

Sean A y B conjuntos, l ina apl icación (o función) de A en B es un sub-conjunto f de A x B caracterizado por :

i ) Paio todo X € A existe y € B tal que ( A , y ) * f .

I i ) Si ( x , y ) € f y ( x , y ' ) ^ f , entonces y = y '

Una apl icación de A en B está caracterizado por la propiedad de uiignor a coda x € A un único y e B.

Una apl icación f de A en B se denota por f : A - »B 5 también A — * B y , además, si ( x , y ) 6 f escribimos f ( x ) = y .

E jemp lo . - Al considerar los conjuntos A y B dados antes, los siguientes sub-conjuntos de A x B son funciones de A en B.

f = { ( O , 3 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) | ; f - | ( O, 4 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 4 ) ^

No son funciones de A en B los siguientes sub-conjuntos de A x B :

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( ( 0,3 ), ( 1,4 ) ] ; j ( 0,4 ), ( 1,3 ), ( 2 ,3 ) , ( 2,4 ) | .

D e f i n i c i ó n 3 . -

Seo A un conjunto no-vocio, llamaremos ley de conrposición interna definida sobre A o toda aplicación :

* : A X A > A

Si X e' y están en A , escribimos * ( x , y ) " x * y

A l elemento x * y lo denominados la co.-nposición ( por * ) de x con y .

Los operaciones de suma y producto e.ntre números constituyen los ejemplos naturales de leyes de composición .

# 1

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D e f i n i c i ó n . -

L lamaremos conjunto de números reales, que notaremos R, o un conjunto de objetos en e l cual hoy definidas dos leyes de composición interna :

+ : R X R > R ' : R x R ^ R

( a ,b )•—» + ( a,b ) = o + b ( a ,b ) » — - > , (a ,b ) = ab

que se leen " sumo " y " producto " respectivamente que satisfacen además los siguientes tres listas de axiomas :

Axiomas de Cuarpo .

C ] . - Poro todo X e ' y en R, X + y = y + X, y , xy = yx { Ley Conmuta­t i va ) .

C 2 . - Poro todo x , y , z en R, x + ( y + z ) = ( x + y ) + z , y , x (y z) = (x y)z ( Ley Asociat iva ) .

C o . - Poro todo x , y , z en R, x ( y + z ) = x y - H x z ( Ley Distr ibutiva ) .

C 4 . - En R hoy dos elementos distintos notados O y 1 to!es qus : paro todo x en R, X + O = X, y , x . l = X ( Existencia de elementos neutros o módulos ) .

C c . ~ Poro todo X en R, existe x ' en R to! que x -f x ' = O ( Existencia de inverso adi t ivo ) .

C r . - Poro todo x en R - { o J , existe x ' en R to! que x . x ' = 1 ( Existen -c ia de inverso mul t ip l ica t ivo ) .

Axiomas de Orden .

Llamaremos " lo porte positiva de R. " a! sub-conjunto de R, que notaremos R, que satisfago los siguientes axioimas, llamados Aixiomos de Orden :

O l . - Poro todo X e y e n R , x + y está en R , y , x . y está en R

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O ^ . - Para todo x en R - { 0 | , x está en R"*", o, - x está en R"*" y no ambos.

+ O ^ . - O no pertenece a R

Axioma de Completez o Axioma del Extre.mo Superior

A c - Todo conjunto no vacio S de números reales acotado superiormente Men? extremo superior .

CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE CUERPO

Propiedad 1 . -

Los elementos O y 1 dados en C^ son únicos .

Demóst.- Sea 1 ' en R con lo propiedad de! 1 dado en C4 , entonces :

1 = 1 . 1 ' = r Porserl 'módulo Porser 1 módulo

Análogamente se ve que el elemento O dado en C^ es úni co

Propiedad 2 . -

Un i cidad de ios inversos .

Demost.- Sean o ' y a " en R tales a + a ' = O y a + a"= O, entonces :

a ' = a ' + O = a ' + ( o + a " ) = ( o ' + o ) + a " = O + o " = a " , es decir : a ' = a "

Noto : Como dado a en R, existe un único a' en R ta l qua a + c ' -' O, a ese o ' lo notamos - a , es deci r , o -f ( - o ) = O .

De manera similar se muestra que el inverso para el producto es único .

24 ~

N o t o : Como dado a_ en R - í OV , existe ^ en R único tal que

o . o ' = 1 , a dicho o lo notamos a , es decir, a . o " = 1

Propiedad 3 . -

Ley cancel otiva paro el producto : Pota todo o, b, c en R, a ^ O, si

ob = o.C entonces b == c

Demost. Supongamos qua ab = o . c , como o / O existe o " , entonces :

o.b = a .C.

o . ( o .b ) - a " ' . ( a , c ) ( pues . et función )

( o " ' . a ) . b = (a~ ' .a ) .c ( por C2 )

l .b = I.C

b = c

Propiedad 4 . -

Ley conceiot iva poro lo suma : Paro todo o, b, c en R, si a-tt = o+c entonces b = c

Demost . Se hace en forma análogo o lo anter ior.

Propiedad 5 . -

Posibil idad de lo substracción : Dados a y b en R, existe un único x en R ta i que o+x = b . ( * ) .

Demost . Existencia. Tomemos x = b+(-a) , entonces ;

o+x ¿ a+(b-f(-a)) = a+( (-a) Ht ) ^ (o+í-a ) >tb

por ser + función po rC ] por C2

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a + X = 0 + b = b

Luego x = b + (-o ) es solución de ( * )

Un ic idad : Supongamos ohoro que existen x y x ' en R tales que o-tx = b y . o+x' = b . Entonces o+x = o-tx', y entonces por propiedad 4 , ii-y ía.-^nLh^-^ X = x ' .

No to : Como ei elemento x = b+ (-o ) es único, lo notamos b -a , es

dec i r , b+ (-a ) = b-a

Propiedad 6 . -

Posibil idad de lo división : Dados o y b en R, a /^ O, existe un único

X en R tai que o .x = b

Demostr. Existencia : Tomemos x = b . o " ! , entonces :

o . x = o . (b .o ) = a . ( a " . b ) ^ { a . a ) b = l . b = b

pues-es función por C| por C j « , =cov^.r^Aív\

Luego : x = b.o es solución de a . x = b

Un ic idad : Supongamos que existen x y x ' en R tales que o .x = b y a . x ' = b

Entonces a . x = a . x ' y por propiedad 3 , entonces x = x ' L», ib,^ t<\tk\ oA

No ta : Como el elemento x = b.a~ es ún ico, lo notamos b/o , es d e -

b o = b/o

En part icular, cua.ndo b = 1 , l . a " ' = o " - l / o , es decir ,

a i = l/o

Tenemos además los siguientes otras propiedades :

Propiedad 7 . -

- 26

Poro todo o en R, se t iene que : - (-o ) = o

Propiedad 8 . -

Pora todo o en R - { O K se t iene que ( o " ' )~ - o

Propiedad 9 . -

Paro todo a en R ; a.C = O

Propiedad 1 0 . -

Poro todo o y b en R : ( -o ).b =-'ab = a . ( - b )

Propiedad 1 1 . -

Pora todo a y b e n R : ( - a ) ( - b ) = a .b

Propiedad 1 2 . -

En lo propiedad anterior Si a = 1 , entonces ( -1 ) b = -b P^opuAtc<i l i

Propiedad 1 3 . -

Paro todo o , b y c en R, a{ b - c ) = c¿) - oc

Propiedad 1 4 . -

a . b = O si y solo si o = 0 o b = 0

Propiedad 1 5 . -

- ( o-tb ) = - o - b , y si a / O 7 ^ b entonces ( a .b ) = o " . b~ , en

part icular ( - o ) " ' = - a

Propiedad 1 6 . -

~ — = ( -o ) = _o si b ; ^ O

b -B " -b

- 27

Propiedad 17. -

Poro todo a, b, c , d en R, b 7^ O 7^ d ,

o) q/b + c /d = a d + b c / b d

b)

c)

d)

c c - o d - b c T d bd

a c o c b • d bd"

Si además c 7^ 0 tenernos

o

b

c

od

be

Propiedad 18. -

Si o 7^ O , a"^ 7^ O

Propiedad 19.-

Pruebe que - 0 = 0, pero que O no tiene inverso multiplicativo .

Propiedad 2 0 . -

i ) ( a i b ) ^ = o^ i 2ab + b^ , donde <? = oa

i i ) { o i b ) ^ = a' ± So^b + 2a\p- i b^ , donde o^ - Q^ a

i i i ) c 2 - b ^ = ( a + b ) ( a - b ) .

iv) o^ í b" = ( a ± b ) ( o^ + ab + b^ )

Veamos lo demostración de algunos de estos propiedades, los demás quedan como ejercicio ol lector .

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Démoste de 7 . - l a . Formo: Las ecuaciones a -1- ( -o ) = O = (-a ) + a , indican que ( - o ) es el inverso ad i t i vo de a, pero también indican ( por simetría ) que a es el inverso adi t ivo de ( - a ) , es decir o = - ( - a ) .

O t ra formo : a = O + o = ((-a ) - ( - o ) ) -í- o = { - ( -a) + ( - a ) ) + o

= . ( _a ) -h ( ( -o ) + n ) = - ( - o ) + 0

= - ( - a ) Luego : o = - ( -o )

Demost. de 9 . - a O = a ( O + O ) = a O + o 0*^ Eníonces o/O T o O - o/O + O, a O + 0 = a O f Entonces : o O = O

Demost. de 1 0 . - ( - o ) b + ob = ( ( -a) + a ) b = 0 b " 0 , es decir ( - a ) b es el inverso adi t ivo de ab, esto es ( - a ) b =-cb

De lo misrria forma como a( -b) + ob = o ( ( -b) + b ) = oO = O, entonces a ( -b) es el inverso ad i t ivo de ab, esto es a ( - b ) = - o b ; y como el inverso adi t ivo es único entonces ( - a ) b = - a b = a ( - b ) .

Demost. de 1 3 . - l a . Formo : o ( b -c ) = o (b + ( -c ) - ob -!• a ( -c) = o b - a c , 2 a . Formo: b - c es lo solución de la ecuación x + c - b , así que : o ( x + c ) = ab, es deci r , ox + ac -- ab entonces ax = ob - oc, pero ox = o ( b - c ) , por tanto a ( b -c ) = ob - oc .

Demost. de 1 7 . - o ) l o . Forma : ad + be es lo solución de bdx -- ad + b e , — b - d

veamos que o /b + c / d también es solución de la misma ecuoción, con lo cual tendría la igualdad o /b + c / d ~ ad V be ( pues la solución es única ) .

~Bd

En efecto, bd ( a / b + c / d ) = bd ( ob"^ -f cd"^ ) = bd ( a b"^ ) + bd ( cd'"^)

= db ( ob "^ ) + b d ( d " ^ c )

- 29 -

= cb ( b"^ a ) + b ( d d " S c .

= d (Jdb~ ) a + b . 1 .c

= d 1 o + b c

= o d -f- b c

2a. Formo : a d + b c _ ( ad -i- be) (bd)" ( od + be ) (b~ d~^ )

E"d ^

= ad(b~^d"^ ) + b e ( b"^ d ' ^ )

ad + bc _ od ( d"^ b~^ ) - cb ( b"^ d"^ ) bd

= o ( dd"^ ) b " W c ( bb'^ ) d"^

= a 1 b"^ + c 1 d-^

= o b + c d

= q7b + c / d

Los otras se demuestran en formo similar .

-1 -1 Demost. de 18.- Si o fuera igual o O, entonces o o ' = O, pero sóbeme

— - que a Q~ - \ así que se tendría 0 = 1 , que eontrudlce qus O y 1 son distintos, según CA- Luego o" ' f^ 0.

Demost. de 2 0 . - i i i ) ( o + b ) ( a - b ) = a ( a - b ) + b ( a - b ) = a a - o b + b a - b b

2 - 2 = a - 9 b + 9 b - b

- a^ + O - b^

2 ^ J

mos

= c - b

D e f i n i c i ó n : Definimos "los símbolos < , "> , ^ , ^ , que se leen menor que, mayor que, menor o igual que, mayoi o igual que, res-

- 30 -

Observaciones

i )

Def in ic ión

pect ivamente, en lo formo siguiente ;

X < y signi f ica que y - x € R

X > y signif ica que y < x

X ^ y s igni f ico quex < y ó x = y , es decir, y - x f i R

ó y - X = O

X > y signif ico que y ^ x

X > O signif ica O < x , es deci r , x - O = x € R

Luego : x > O signi f ica x € R , osí que R es el conjunto

de todos los números reales mayores que cero .

¡ i ) X < y signi f ica y - x > O

X > y signif ica x - y > O

x < y signif ica y - x ^ O

X ^ y s igni f ica x - y ^ O

i i i ) X < O signi f ica O - x. = - x. € R , es decir, - x > O .

: Si X > O diremos que x es posi t ivo. Si X < O diremos que x es negativo Si X ^ O diremos que x es no-negat ivo.

Notaciones : En lugar de escribir X < y y, y <• 2 escribiremos x < y < z x $ y y , y < z escribiremos x 4 y < z

^ < y Yi y ^ ^ escribiremos x < y < z X ^ y y.- y ^ - escribiremos x ^ y < z

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Teniendo en cuenta los observaciones i ) , i i ) y i i i ) , los axiorrras de orden pue­den ser reescritos en lo formo siguiente :

O^ - V x , y > 0 , x + y > 0 y x y > 0

C ^ - . V x c R - { o } , x > O ó -X > O, y no ambos .

C ^ - . O^IÍ'O

C O N S E C U E N C I A S DE LOS A X I O M A S DE ORDEN ,

P r o p i e d a d 1 , - Ley de Tricotomía : Pora a,b en R. cualesquiera, se v e r i f i ­ca uno y solo una de los tres reloc i o ­

n-es : a < h , b < a , a = b

Demost.- Seo x = b - a . Paro x hay dos posibilidades x = 0 ó x / = 0 .

i ) Si X = O , tenemos b - a = O = o - b, es decir, b = o y por C^ , no puede ser n i a < b n i b ^ o ,

i i ) Si X f ^ O, entonces por C ^ , x C R ó - x 6 R , n o ambos; es decir, b - a > 0 ó a - b > 0 ó seo b > o ó o > b no ambos .

P r o p i e d a d 2 . - Ley Transitivo : Poro todo a , b , c en R, sí a < b y b < c entonces a < c ,

Demost.- Supongamos o < b y b < c, esto signi f ica que : b — a > O y c - b > O, Entonces por O ] , ( b - n ) + ( c ~ b ) ~ = ( -o + b ) + ( -b + c ) = -a + ( u-b)•^- c =- c - a > O, es decir c > o , que signi f ica a < c .

P r o p i e d a d 3 . - Poro todo a , b , c en R, si o < b entonces o + c < b v c

Demost.- Poro ver que a -f c < b + c basto ver que ( b + c ) - ( a - + c ) > 0

- 32

En efecto : ( b + c ) - ( a + c) = b + c - a ' - c = b - a > 0 , pues por hipótesis

o < b . Luego ( b + c) - (o + c ) > O qus s igni f ica a + c < b + c .

P r o p i e d a d 4 . - i ) Si a < b y c > 0 entonces oc < be .

i i ) Si o < b y c < O entonces ae > be .

Demost. i ) Si a < b esto signif ica que b - o > O, como c > O, entonces por

O ] , c( b - o) > O . Pero c ( b - o ) = c b - c a = b c - a c . Luego

be - oc > O que signi f ica ac < be .

i i ) Lo demostración se hace de monsra similar o i ) .

2 P r o p i e d a d - 5 . - Si a f = O, a > O . En part icular 1 > O .

Demost. Si a ^ O , entonces por O 2 , a > O ó - o > O, y no amboi.

2 Si o > O, entonces por 0 | , o .o > O, es decir,- a > O .

2 Si —o > O, entonces ( -a) ( -a) > O, por O ] , pero ( -a)( -a) = a . Luego

2 2 o > 0 . En to to l , cualquiera sea el caso si o ^ O, a > O .

Como 1 7^ O, entonces 1 > O» pero 1^ = 1.1 = 1 Luego I > O .

Tenemos además los siguientes propiedades :

P r o p i e d a d 6 . - Si a < b entonces ~a > -b

P r o p i e d a d 7 . - Si 0 < a entonces O < o

- 1 - 1 P r o p i e d a d 8 . - Si 0 < a < b entonces O < b < o

P r o p i e d a d 9 . - Si o.b > O entonces a > 0 y b > O ó a < 0 y b < 0

P r o p i e d a d 1 0 . - i ) S i c < c y b < d en ronces o + b < c + d .

i i ) Si a < b y c < d , con o > O y d > O enionces

- 33

oc < bd .

P r o p i e d a d 1 1 . - No existe ningún núnero reol x tal que x + 1 = O

^ n otros palabras la ecuación x^ + 1 = O, no tiene raíces reales ) .

P r o p i e d a d 1 2 . - Lo sumo de dos números negativos es un número negativo .

P r o p i e d a d 1 3 . - i ) SI o < O entonces a ~ ^ < O,

i i ) Si a < ' b < O entonces b < a < O

P r o p i e d a d 1 4 . - S i o ^ b y b ^ c entonces o ^ c

P r o p i e d a d 1 5 . - i ) S i a < b y b ^ c entonces o < c i i ) S i o ^ b y b < c entonces a < c i i i ) SI a ^ b y b ^ o entonces o = b i v ) S i a ^ b y b ^ c y o - c tntonces b = c

2 P r o p i e d a d 1 6 . - Pora todo o en R,- o ^ O .

2 2 P r o p i e d a d 1 7 . - Poro a,b en R cuolesquiero se tiene que a + b $s- O

Si o b T ^ O , entonces a^ + b > O .

* P r o p i e d a d 1 8 . - N o existe a en R tal que x ^ o pora todo x en R. ( Esta propiedod se expresa diciendo que eí conjunto de los números reales R no está acotado superiormente ) .

P r o p i e d a d 1 9 . - Si x e n R tiene ío propiedad de que O-í x < h paro todo h > O , entonces x = O .

* P r o p i e d a d 2 0 . - Si o c , con b, d > O, entonces _a o + c ^ c

Veamos ío demostración de oígurias de estos propiedades, los demás se dejan como e jerc ic io o l lector :

Demost. de 6 . - 1 - Formo : U t i l i zando lo propiedad 4 , i i ) con c =^-1,

- 34 -

tenemos que ( - l ) a > ( - 1 ) b , esto es, -o > - b , ya que ( - 1 ) o = - a .

2 - Forma : ( - a ) - ( - b ) = -a + b = b - a > 0 , pues a < b , es decir, ( - o ) - ( - b ) > O, que signif ico que - a > -b .

Demost. de 7 . - Supongamos o > O, entonces o 7* O, asi que o " ' 7^ O .

Entonces a " > O ó o" < O , no ambos

Si a " < O, como o > O, entonces 1 = o . o " < a " . 0 = O, es deci r , 1 < O, que contradice que 1 > O . Luego o""' > O, por ía íey de tr icotomío .

Demost. 9 . - Supongamos que es falso que a > 0 y b > 0 ( pues si a > 0 y b > 0 , n o hay nada que probar ). Entonces por t r icotomía, o - ^ O ó a = 0 y b < : 0 ó b - - 0 .

Si 0 = 0 entonces ab = O , que contradice lo hipótesis. St b = O entonces ob = O, que contradice la hipólesis «

Luego : a < O y b < O .

De lo mismo forma se ve que si suponemos que es falso que a < O y b < O, entonces o > O y b > 0; con Ip cuol queda demostrada la propiedad .

Demost. de 1 0 . - i ) Si o ^ c esto signif ico que c - a > O, y si b < d, esto signif ica que d - b > 0 . Entonces por O^j, ( c - a ) + (d - b ) > O, es decir, (c + d ) - (0+ b ) > O, que s ign i f i ­co a + b < c + d .

Demost. de 1 1 . - Supongamos que existe x en R tal que x^ + 1 = 0 . Entonces : x = O ó x =/- O .

2 i ) Si x = O, entonces x + 1 = 0 + 1 - 1 - 0 , que contradice que 1 7 = 0 .

ó i i ) Si X 7^ o, entonces por propiedad 5, x ' > O, y como 1 > O, entonces

x2 + 1 > O .

Hemos pregado entonces que paro todo x en R, x" + 1 > 0 . Luego no existe

X en R tol que x^ + 1 = O .

- 35

Demost. 1 3 . - i i ) Si o- C b < O, entonces O < ~b < - o , osí que por p ro ­

piedad 8, O < (-a ) - l < ( - b ) - l , pero (- o ) "^ = - o ' ^ ,

de modo que O < - a ' " ' < - b" , y por tanto por prop ie­dad 4 , i i ) , b-1 < a-1 < O .

Demost. de 1 4 . - Supongamos o ^ b y b ^ c, es decir , ( a < b ó a = b ) y ( b < c ó b = c ) . Entonces, por lógico elemental , lo anterior es equivalente o :

( ( a < b y b < c ) ó ( a = b y b < c ) ) ó ( ( a < b y b = c ) ó ( a - - b y b = c

( i ) ( i i ) ( i i i ) ( iv )

Sí i ) Entonces a < c Si i i ) Entonces o < c Si i i i ) Entonces a 4. c f entonces o ¿ c

Si i v ) Entonces a = c

Demost. de 1 5 . - i i i ) Supongamos que a < S b y b . í í . a , y veamos que entonces a = b . Como o ^ b, veamos que o < b no se d a . En efecto : S i o ^ b y b ^ o entonces o < o, por i ) ; lo cual no es posible,, pues si o < a entonces o - a > O, es decir, O > O , que contradice O 3 .

Luego t iene que ser a = b .

Demost. de 1 8 . - Supongamos que existe o en R ta l que x i a para todo x en R. En part icular esto af irmación sería vál ido poro x = a + 1 que está en R; es decir , o + 1 ^ o, esto es 1 ^ 0 , que contradice que 1 > O .

Demost. de 2 0 . - Supongamos a c . Como b > O, entonces

a . b c b , decir , o ^ b c . Sumando c en

F ^ T ~d~ ambos lodos de lo deslguoldod obtenemos a + c ^ b e

^ —-p- + c -d

b c + d c _ ( b + d ) c . A s í que a + c ^ ( b + d ) c

- 36

Ahora como b ,d > O, entonces b + d > O, y por tonto ( b + d )~ > O, de modo

que ( c + e ) ( b + d ) ~ ^ c , esto es, a + e c

^ 1" r+d" ^ "d" (*

Suponiendo nuevamente que a ^ c , y d > 0 , entonces obtenemos

T < "df

i r < bTd (**)

C ombinondo { * ) y ( * * ) obtenemos o o + c c

E j e r c i c i o . -

* Supóngase que los axiomas de orden O ] , O2 , O3 se sustituyen por : O ] :

Cualesquiera que sean o y b en R, se cumple uno y sólo una de los re lac io ­nes siguientes :

i ) a = b , i i ) a < b , i i i ) b < a

0 2 : Cualesquiera que sean o , b y c en R, si a < b y b < c entonces o < c .

0 3 : Cualesquiera que sean o, b y c en R, si a < b entonces o + c < b -t c,

le

0 4 : Cualesquiera que sean a ,b y e e n R , si a < b y 0 < c entonces a c •< b c .

Demostrar O ] , O2 y O3

El e jerc ic io onterlornos permite darotro presentación axiomática del sistema de los números reales R, donde los axiomas de orden O í , O2 y Oo son resmpla-zodos por O ] , C^ , O3 y O4 .

# 2

- 37

NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES

Como 1 € R, entonces 1 + 1 6 R, además 1 + 1 no es O ni 1 . E n efecto : como 1 > O entonces 1 + 1 > 0 + I = l > 0 , e s decir 1 + 1 > 1 > O, así que 1 + 1 7¿: 1 y 1 + 1 7^ 0 . A l elemento 1 + 1 lo notamos 2 , osí pues 2 > 1 >• 0 .

Ahora b ien , 2 + l > l + l > 0 + l = l > 0 , es dec i r , 2 + 1 > 2 > 1 > O . Luego el elemento 2 - ^ \ ^ 2 , 2 + 1 ^ ^ 1 , 2 + 1 ^ = 0 . A este elemento lo no ­tamos 3 , osí pues 3 > 2 > 1 > O .

Procediendo de esto formo construimos e l conjunto A = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . n, . . . i donde 1 € A y codo elemento n £ A , n > 1 , se ho obtenido sumando 1 a l anterior n - 1 ; además. . . n > n - l X . . 3 > 2 > l

D e f i n i c i o n

U n sub-conjunto P de R se d ice I N D U C T I V O si : i) 1 € P y

i i ) Para todo x 6 P, x + 1 € P

Ejemplos :

1) R es i nduc t i vo , pues l € R y s i x € R , x + l € R , pues + es ley de composición interna .

2 ) R es induct ivo, pues i) 1 fe R , ya que 1 >• O y i i ) Si X € R^ ( es decir x > O ), entonces

X + 1 € R" , pues X + 1 > O .

3 ) El conjunto A construido antes es induct ivo pues 1 € A^ y por construc­ción si n 6 A , también lo está n + 1 .

4 ) R"*" - { l / 2 } e s induct ivo, pues 1 € R^ - \ V ^ } y sí x 6 R" " { V ^ } , e n ­tonces X + 1 6 R - | l / 2 t ( Obsérvese que e! único x to l que

X + 1 = 1/2 es X = - 1 / 2 ^ R+ - { 1 / 2 ^ .

- 38 -

5) R - <l/2J-no es inductivo, pues aunque 1 € R - { l / 2^ ,es falso qua pora todo X e R - { l / 2 } , x + l € R - 51/2), ya que - 1/2 € R - } l / 2 l sinembargo -1/2 + 1 = 1 / 2 ^ R - { 1 / 2 } . *

Pregunto : Qué se puede decir acerco de los conjuntos de lo formo R - \ a \ , donde a es un número reol 9 .

D e f i n ic i o n . -

Llamaremos " conjunto de enteros positivos " , que notoremos Z , al conjunto formado por los números reales que pertenecen o todo conjunto inductivo. En notación de conjuntos, esto es :

Z ' ^ „ = n P = í x e R / x é P poro todo P inductivo]-. P es inductivb I

Observaciones :

+ + i ) Z es inductivo pues 1 £ Z , yo qua 1 € P poro todo P inductivo .

Además si x É Z" , esto significa qu2 x É P para todo P inductivo, arX que x + 1 6 P pora to-do P inductivo, es decir, x + 1 £ Z^ .

i i) Como P3nPpara todo P inductivo, entonces Z es el más pequeño con­junto inductivo .

i i i ) Puesto que e! conjunto A construido anteriormente es inductivo y ade.más es sub-conjunto de Z , entonces A = 2: , es decir Z'^= i 1,2,3, . . . , n , , , .1

PROPIEDADES DE LOS ENTEROS POSITIVOS

Pl o p i e d o d 1 . -

+ \ + Si n, m é Z , entonces : I) n + m ^ Z y

II) n . m e Z +

- 39

Demost.

I ) Seo X m = [ n C Z " * " / n + m 6 Z"*" , m € Z"^ f i j o j Veamos que Xm es induct ivo. En efecto :

i ) 1 € Xm , pues 1 é Z y como m g Z ^ , 1 + m e Z " ^ , por ser Z inductivo .

i i ) Supongamos que k 6 X m , es decir k 6 Z " ' ' y k + m 6 Z Como Z es inductivo y k + m C Z " * " , entonces ( k + m ) + l € Z es decir , ( k + l ) + m é Z ' ' ' lo que signi f ica que k + 1 é Xm ( es cloro que k + 1 e Z "*• , pues k e Z " es inductivo ) .

De i ) y i i ) concluimos que Xm es induct ivo, osí que Z ' ^ Q X m , pero por construcción Xm Q Z . Luego Xm = Z , es decir poro todo n C Z *" , n + m É Z , con m € Z f i j o .

SI ponemos a variar m É Z , obtenemos que Xm = Z ' para todo m €: Z , es deci r , poro todo n, m e n Z " * " , n + m é Z

I I ) Construyase el conjunto Xm = < n € Z " ^ / n m é Z , m é Z f i j o l y procé-dose en la misma formo del coso I .

P r o p i e d o d 2 . -

Poro todo n e Z"^ , n > 1

Demost.- Seo X = / n e Z ^ / n ^ l j

Veamos que X es induct ivo .

i ) 1 6 X , pues 1 e Z"^ y 1 ^ 1

i i ) Supongomos que k € X , es decir k €• Z y k ^ 1 , entonces como

1 > O y Z"*" es inductivo k + 1 € Z'*" y k + 1 > 1 , así que k + l e X

Luego X es induct ivo, y como por construcción X £ Z , concluimos que X = Z , es decir , pata todo n € Z , n ^ 1

- 40 -

P r o p i e d o d 3 . -

Pora todo n € Z , n ^ 1 , existe m € Z ta l que n = 1 + m .

Demost.- Seo P = í n 6 Z " ' ' / 3 m e Z + tal que n = l + m í u í l | .

Veamos que P es inductivo . i ) 1 6 P por lo construcción de P. i i ) Supongamos que k € P, es decir , k é Z "*", y existe r n | 6 Z tal que

k = 1 + m ] .

V eomos que k + 1 € P. Si k = 1 , entonces k + 1 = 1 + 1 , donde m = L Supongamos que k € Z , k ^ 2 .

Aho ra b ien, si k G Z"^, k + l e Z * * " y k + 1 = ( 1 + m^) + 1 = 1 + (,m^ + ] ^ así que tomando m = m i + 1 Z"*", se t iene que k + 1 = 1 + r n ^ con m e Z , es decir k + 1 é P.

Luego P = Z , pues P es inductivo y odemás por construcción PQ2. ; así que pora todo n ^ Z , n ^ ^ ^ l , existe m e Z"^ tal que n = 1 + m .

P r o p i e d a d 4 . -

+ + Sean n,m en Z , si n ^ m entonces m - n 6 Z

Demost.- Sea P = í n C Z / cualquiera seo m 6 Z si n<:m entonces m - n 6 Z ' ^ l

P es induct ivo . En efecto :

i ) 1 € P, pues 1 € Z y si m e Z es tal que 1 < m entonces m ^ 1 y por la propiedad 3 anterior existe pf g Z tal que m = 1 -f o< ^ entonces m - 1 = o{ , osí que m - 1 € Z

i i ) Sea X e P, es decir x 6 Z y cualquiera seo m € Z"^ con x < ; m , enton­ces m - X € Z . Veamos que x + 1 e P .

+ + Como x e P , x € Z y a s í x + l € Z

- 41 -

Supongamos que m € Z"*" es to! que x + 1 < m entonces x < m ( pues X < X + 1 < m ) entonces m - x € Z " .

Si m - X = 1 entonces m = 1 + x , lo cual no es posible, pues, x + 1 < m . Luego m - x > 1 y entonces por propiedad 3 , existe /3 € 7 7 tal que m - x = 1 + (3 , es decir , m - ( x + l ) = / 5 € Z . Lo cuol signif ica que x + I C P. Luego P es induct ivo, entonces Z £ P y como por construcción PSZ"*" , se concluye que P = Z , es decir , cualquiera seo néZ"*" , si m € Z es ta l que n < m entonces m - n € Z"*" .

P r o p i e d a d 5 . -

Seo x € R ta l que 1 < x < 2 entonces x ^ Z

Demost.- Si fuera cierto que x e Z , como 1 < x < 2 entonces x > 1 , así que X 7^ 1 y por propiedad 3, existe m e Z tal que x = 1 + m . Ahora como x ^ 2 , entonces 1 + m < 2 , con lo cual m < 1, io cual es imposible. pues m e Z"*" y por tonto m > 1 .

P r o p i e d a d 6 . -

Si n € Z y X C R son tales que n < x < n + 1 entonces x ^ Z Lo demostración se hoce de manera análogo a la propiedad 5 .

P r o p i e d o d 7 . -

Si n , m 6 Z son toles que n < m entonces n + 1 m .

Demost.- Si n j m C Z " ^ y n < m entonces m - n € - Z , por propiedad 4 ; y enton­ces por propiedad 2 , m - n ^ l , es decir m ^ n + 1 , que signif ica n + 1 ¿ m

D e f i n i c i ó n

Llomoremos " conjunto de enteros negativos " , que notamos Z~ , a l conjunto formado por los opuestos adit ivos de los enteros positivos, esto es Z ~ = í - x / x é Z ^ } .

Llamaremos conjunto de enteros, que notomos Z , ol conjunto siguiente :

- 42 -

Z-U {0} U Z+ = ( . . . , -3, -2, - 1 , O, 1, 2, 3 , . . . |

El conjunto de los números enteros satisface ios siguientes propiedades , que no demostramos .

P r o p i e d a d 1 . - Poro todo n, m e n Z , n + m é Z y n m e Z .

P r o p i e d a d 2 . - S i n - ^ m , con n, m en Z , entonces existe k € Z tal que m = n + k.

P r o p i e d a d 3 . - S i n , m están en Z y n < m, entonces n + 1 ¿ m .

D e f i n i c i ó n . -

Llamaremos " conjunto de números racionales" , que notamos Q ol conjunto siguiente :

Q = í o / b / a e Z y b € Z - { 0 } \

Es claro que el conjunto de los números enteros, está contenido en el conjunto de los números racionales, Z ^ Q .

Ejercicio ;

Verificar que Q es un cuerpo que satisface tos axiomos de ordsn .

Antes veamos qué significa que un elemento x € Q sea positivo.

Si x e Q , x = p/q, con p £ Z , q € Z - { O l . Entonces p/q = pq > O si y solo si p > O y q~ > O ó p < O y q~ '< O, lo cual es equivalente a p > 0 y q > 0 ó p < 0 y q < 0 , por propiedad anterior .

Veamos pues que si P i / ^ l y P2/*12 * ° " números racionales positivos, en­tonces; p^ P2 P]q2 + P2qi es positivo. En efecto .

Si p / q ] > o entonces P ] > 0 y q ] > 0 ó P ] < 0 y q i < 0 y

- 43 -

si P2/q2 > ^ entonces P 2 > 0 y q 2 > 0 ó P 2 < 0 y q 2 < 0 .

Toco pues, analizar cuatro posibilidades :

O Pl > O y q] > O y P2 > O y q2 > O .

ii) Pl > O y q > O y P2 < O y q^< O .

iii) P ^ < 0 y q ^ < 0 y p 2 > 0 y q 2 > 0 .

iv) P] <: O y q^ < O y P2 < O y q2 < O .

Si i) Piq2 > O y P2qi > O y q|q2 > O, así pues p^/q^ + P2/q2 > O .

Si i i ) P]q2'í^ ^ y P2^1 < ° y ^1^2 ^ ^' entonces py'q^ + p^c^ > O .

Si i i i ) P]q2 < O y P2q]< O y q|q2 < O, con lo cual P ] / q | + Py'q2 > O-

Si iv) p]q2 > O y P2q| > O y q^q^ ^ O, con lo cual p^/q^ + p^/qj > O,

Luego en cualquier P i / q i + Po/qo^" O •

De lo mismo forma, como P] /q i • ^2^^2 ~ P iq^ /q i q? ' ® ^^ ^"^^ * ^ produc­to de dos números racionales positivos es siempre un raciono! positivo .

Lo anterior no solo demuestra que si P i /q i y Po/q? ^^^ racionales positivos tam­bién lo es su sumo y su producto, sino que demuestra que esta sumo y este pro­ducto es cerrado, esto es claro, pues si pi 6 Z y p^ 6 Z y q-|q2e Z - ( 0 |

, entonces P]q2€ Z , P2q] € Z , ^-^^2^ ^ ' * ^ l f 2 ^ ^ " ' W '

con lo cual p,q + P2q 1 € Z , y así: _ , „ . _ _

12

qiq2

y PiP2/qiq2 ^ PI/<^I • p / q 2 ^ Q

i 3

- 44 -

C O T A SUPERIOR- C O T A INFERIOR - ELEMENTO M A X I M O ELEMENTO M Í N I M O - EXTREMO SUPERIOR - EXTREMO I N ­FERIOR DE U N S U B C O N J U N T O DE R,

D e f i n i c i ó n . -

Sea S £ R, S 7^ ^ . Decimos que S está ocotodo superiormente si existe b e R ta l que x á b poro todo x 6 S. El número b se llamo una coto su ­perior ds S.

Se dice una coto superior de S, pues cualquier número moyor que b es también coto superior ds S.

D e f i n i c i ó n . -

Con las mismas hipótesis anteriores paro S, decimos que un número M en R es el elemento máximo de S s i :

i ) X á M pora todo x en S ii) M e s .

Es deci r , M es el elemento máximo de S, si M es uno coto superior de S que pertenece o S.

Decimos e l eie.mento máximo de S, yo que si este elemento existe es ún ico . En efecto, supongamos M i y M2 tales que satisfacen las condiciones ;) y i i ) de lo def in ic ión anterior . Entonces ;

M , é M „ pues M , € S y M^ es coto superior de S , de la misma formo

M2 é ^ 1 P'jss M ^ C S y M , es coto si.'perior de S. De las dos desigual­dades se concluye : 11 _ 1.

Como el elemento máximo de S, si existe, es único lo notomos M = Max S, y se lee M es el máximo de S.

A s í que"M = MoxS si M 6 S y x ^ M para todo x en S.

Un conjunto sin coto superior se dice no-ocotado superiormente.

- 45

R no está acotado superiormente, pues por propiedad 18 anterior, se vió que no existe número real o tol que x ^ a pata todo x en R.

Se ve también fáci lmente que R no está ocotodo superiormente; en part icular estos conjuntos no posean elemento máximo .

D e f i n i c i o n

Un número b en R se denomina extremo superior de un conjunto no vacío S, si b satisface :

i ) b es uno coto superior de S y i i ) Si o< es uno coto superior de S entonces bíéoC.

La condición i i ) nos dice que b es lo menor de todos las cotas superiores de S.

Si existe extremo superior de un conjunto S éste es ún ico. En efecto : Sean b i , b2 taies que cumplen las condiciones í) y i i ) de lo def in ic ión de e x ­tremo superior. Entonces, como b, es extremo superior de S y b2 es coto s u ­perior de S, b-i ¿ b» ; de lo misma formo como b2 es extremo superior de S y b | es cota superior oe S, b2 JÉ b i . Con lo cual concluimos b ] = b2 .

Puesto que si to ! elemento b existe, es único lo notamos b = SupS, que se les b es ei extremo superior 6 b es e! supremo de S.

En tota! b = SupS si i ) b es uno coto superio- de S y i i ) ningún número menor que b es coto superior de S.

No ta

Si un conjunto S posee máximo, entonces MóxS = SupS, más genero! , SupScS si y soío si S posee rnóximo en cuyo coso SupS - MóxS.

Si SupS € S, entonces por def in ic ión de SupS, SupS es uno cola superior de S y como por hipótesis SupS 6 S, entonces SupS = MóxS, así que S posee máximo y SupS = MóxS.

Supongamos ohoro qua S posee máximo, entonces po" def in ic ión de máximo

- 46 -

MóxS es una coto superior de S y además MáxS € S. Luego resto p ro ­bar qua si oí es uno cota suparior de S, entonces MóxS $o( , pero esto es c loro, pues si o( es uno coto superior de S entonces x ¿ o( poro t o ­do x en S, en part icular poro x = MáxS € S, es decir , MóxS é o ( . Luego SupS = MóxS 6 S, es decir SupS 6 S y odemás SupS = MáxS.

De manera similar se definen los conceptos de cota infer ior, elemento nifnimo y extremo inferior de un sub-conjunto S no~vacio de R.

D e f i n i ó i o n . -

Un elemento b en R se dice cota inferior de S si b $ x para todo x de S.

m en R es e l elemento mínimo de S, que notarnos m = MInS si m ^ x pora todo X de S y además m 6 S.

Un elemento o en R se dice el extremo inferior de S si r

i ) a ¿ X pora todo x en S y i i ) Si j8 es una cota infer iorde S, entonces y3 á a ; es deci r ,

a es lo mayor de las cotos inferiores ds S,

El extremo inferior de un conjunto S, si existe, lo notamos InfS y se lee ínfimo de S o extremo inferior de S.

Ejercicio . -

Ver i f icar : i ) Si e! elemento mínimo de un conjunto S existe, entonces es único . i i ) Si el extremo inferior de un conjunto S existe,es único . i i i ) InfS € S si y solo si S posee mínimo, en cuyo coso InfS = MínS.

Se ver i f ica fáci lmente que R no está ocofado inferiormente .

R está acotado inferiormente. O es cota inferior de R ; 'oún más como se verá adelante O = InfR ;' pero R no posee elemento mínimo .

Tenemos ahora el axioma de completez, o axioma de! extremo superior o axioma

¿ J

de continuidad de R,

A c - Todo conjunto no-vacío S de números reales acotado superiormente t ie­ne extremo superior; esto es, existe un real b tol qus b = Sup S.

C O N S E C U E N C I A S DEL A X I O M A DE COMPLETEZ

T e o r e m a 1 . -

Todo conjunto S, S € R S/= 9^ acotado inferiormente t iene extremo inferior.

Demost. La de.mostración se baso en la siguiente i lustración gráf ica :

-S Sup(-S)..^.^ í , lnfS S

Seo — S = | - x / x € S í - , Como 5/=^ 9^ , existe s € S y po? tonto - %•& - S , así qus -S f^ p .

Veam-as que -S está acotado superiormente.

Sea pues - t € - S , cualquiera, entonces t <? S y corno S está acotado infer ior-mente entonces existe b en R fo ! efje b e s paro todo s c S, en po'-ticular b i t puss t € S. Por to.nto - t á - b . Luego pora todo - t € - S , - t ís - b , o sea que -b es uno cota superior da - S , es decir -S está acotado superiormente ( Obsérvese que b es coto inferior de S, mientras -b es cota superior de -S) ,

Como "S está ccotoco superiormente, por Ac , existe a € R to! que -a = Sup (-S) ( se escoge el signo - por conveniencio ) .

ComprobeiTios choro que o = Inf S . En efecto :

i ) Veomos qus o es coto inferior de S. Como - o = Sup (-5), - o es cota superior ds - S , es decir -s é - a paro todo -5 6 - S . Por tanto a ^ s poro todo s € S, Luego a es coto i n ­fer ior de S.

i i ) Veamos que a es lo mayor de las cotas inferiores ds S.

43

Sea pues o<6 R, o( coto inferior de s , es decir of jg s paro todo s € S, entonces -s é - o ( para todo -s € -S , lusgo - c>< es coto superior de - S , y como -o = Sup(-S), ento.nces - a é - d lo que impl ica o( ^ o .

Así que o es lo mayor de las cotos inferiores de S.

N o t a :

Nótese que en real idad podemos sacar e l sígule.ite resultado : Seo S S R / S T ^ P , si S está acotado Inferiormente entonces, InfS = -Sup(-S) .

Ejercic io . -

En lugar de A c , coloóquese AS: : todo conjunto S, S £ R, S y ^ p , acotado in­feriormente t iene extremo infer ior , y demueshese A c .

Este e jerc ic io nos permite dar uno presentación axiomático distinto del sistema de los números reales R, donde el axioma ds completez, A c , puede ser sust i tu i ­do por A£ .

T e o r e m a 2 . -

El conjunto T T no está ocotodo superiormente .

Demost.- Supongamos qua Z^ está acotado superiormente. Entonces como 2/ y ^ ^ , 1 € Z^, por Ac , existe b é R to l que b = SupZ .

Ahora como b - 1 ^ b, entonces b-1 no ss cota superior de Z*", es decir , es falso para que todo n 6 77, n ^ b -1^ que signif ica existe N € Z^ to ! que b - K N .

Como Z es induct ivo y N 6 TT, entonces N + 1 £ Z ; pero como b-1 < | \} , entonces b < N + 1 , o sea que N + 1 es un entero posit ivo mayor que b = SupZ^ , lo cual es imposible.

- 49 -

+ Luego Z no está acotado superiormente.

Ejercic io . -

El Conjunto Z no está acotado inferiormente.

Corolario . - Paro cada x en R existe n 6 Z^ tol que n > x .

Demost.- Si no fuera os í , existiría x é R tal que n «g x pc-c todo n e Z"*' , lo que contradice ei teorema 2 . -

T e o r e m a 3 . - ( Propiedad Arquimediona de R )

Dado x 6 R e y € R arbi t rar io, existe n € Z tal que nx > y .

Demost. Tenemos lo siguiente i lustración gráfica i

y 1 I I I I I I 1 I I n = 8 O X 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x

Como X 6 R , entonces x /= O, por tanto para y / x fe R, existe n € Z ' tal que n > y / x , por corolario anterior, esto es existe n € Z ' to l que nx > y ( x > 0),

A p l i c a c i ó n de l o P r o p i e d a d A r q u i m e d i o n a :

1 . - Si tres números a , x e y en R satisfacen a ^ x ^ a + y / n poro todo n C Z entonces x = a .

Demost.- Como o ¿ x ^ a + y / n paro todo n € ZT, entonces c ^ x y X $ o + y / n poro todo n € Z*" . Como a ^ x , veamos que el coso

o < X no se do . En efecto, si x > a entonces x - o > O, es dec i r , x -o e R' Por tanto cualquiera seo y en R, existe n € 7/ tol que n ( x - a ) > y ( por propiedod arqulmediana ), es decir , x - o > y / n , o sea x > a + y / n , lo cual no es posible, pues x ^ o + y / n paro todo n 6 Z ^ . Luego no puede ser x > o, y por tanto, es entonces x = a .

En part icular, si O ^ x <- 1/n pora todo n 6 2^ , entonces x = O .

- 50 -

2 . - Probar que poro todo € > O ( £ : letra griega epsilón ) existe N € Z"^ tal que si n ^ N e.ntonces 1/n < £ .

( Este e jerc ic io afirmo que ílm 1/n = O )

n—*-f«o

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL EXTREMO SUPERIOR E INFERIOR .

P r o p ie d a d 1 . -

Poro todo A S R, A T ^ P , si A está ocotodo superior e inferiormente, enton­ces se t iene qus : Inf A ¿ SupA.

De.most.- ínfA ^ x pare todo x de A , y x ^ SupA para todo x de A , en ion ­ces Inf A ó x é SupA poro todo x de A , con lo cual Inf A é SupA ,

P r o p i e d a d 2 , -

Sean A £ R, A T ^ P y 6 > 0 cualquiera .

I ) U n número b en R es el extremo superior de A si y solo si b es cota su­perior de A y para todo 8 > O existe x e A tal que b - £ <r x .

I I ) U n número o en R es el extremo infer ior de A si y solo si a es cota I n ­ferior de A y paro todo 6 > O existe x 6 A ta l que x < a + 6 ,

Demost.- I) Supongamos que b = SupA, entonces b es cota superior de A y además b es lo más pequeña de los cotas superiores de A ,

Como £ > 0 , b - € < b así que b - € no es cote superior de A , por tanto es falso que b - £ ^ x poro todo x de A , esto es, existe x ^ A ta l que b - £ < • % .

Lusgo si b = SupA entonces b es cota superior da A y odsmás poro todo £ > O existe x € A tol que b - í: < x .

Supongamos ahora que b es cota superior de A y que paro todo f > O existe X 6 A tol que b - S < X , y veamos que b - SupA .

Solo resto probar que b es lo menor ds los cotos superiores de A .

- 51 -

Seo 0( una cota superior de A y supongamos que oí< b, entonces b - e< > O, osí que poro £ = b - o( , existe x 6 A tal que b - £ < x , esto es, b - (b-cf )s = o (< X con x € A . esto es imposible, pues hemos supuesto que ot es cota superior de A y por tanto x ^ o í paro todo x de A . Luego no podemos supo­ner a ( < b, y entonces o< ^ b, con lo cuol quedo demostrado que b = S u p A .

Lo demostración de II ) es similor ,

Tenemos lo siguiente i lustración :

A X X A xxxxxxxxxx.x.v;.Y.xxy.Y..YX kxx Ix r ) — (xxx xkx.^-xkxxxx.xxxxxy.xxx

SupA-E SupA InfA In fA £

P r o p i e d a d 3 , -

Sean A y B sub-conjuntos no-vacíos de R, y seo C = | a + b / a fe A y b e B I = A + B . '

I) Si A y B poseen extremo superior, entonces C t iene extremo superior y SupC = SupA + SupB.

I I ) Si A y B poseen extremo infer ior, entonces C t iene extremo infer ior e InfC = InfA + InfB .

Demost.- I) Como A y B son no-vacíos, entonces existe o f e A y b É B y e n ­tonces c = a + b € C, osí que Cy^ p .

Veamos que C está acotado superiormente. En efecto, sea c € C , entonces c = o + b con a € A y b «s B,

Como o € A entonces o ^ SupA y como b € B entonces b ^ SupB, así que a + b sí SupA + SupB, io que signi f ico que SupA + SupB es cota superior de C . Por A c , existe SupC y por la últ ima desigualdad se tiene que SupC$ SupA + SupB(*).

Ahora b ien , seo £ > O cualquiera, entonces por propiedod 2 , I) existe o € A y b e B tal que SupA - £ / 2 < o y SupB - £ / 2 < b, así que SupA + SupB - £ < a + b, esto es SupA + SupB •<• ( o + b ) + £ ,

Ahora como o c A y b ^ B , entonces o + b € C y por tonto o + b ^ SupC,

- 52 -

A s í que SupA + SupB < SupC + £ (**) , poro todo £ > O .

De (*) y (** ) tenemos : SupC ^ SupA + SupB < SupC + £ poro todo £ > O, esto es , O ^ (SupA + SupB) - S u p C < £ paro todo £ > 0 . Entonces, por propiedad 19 anterior, SupA + SupB - SupC = O , es decir SupA + SupB = SupC . De manera análoga se hoce lo demostración de lo porte II) .

P r o p i e d a d 4 . -

Sean o ( 6 R, S S R, l ^ p y «<S = { ^ ^ / s € S | .

I) Si S está acotado superiormente y i ) c < > 0 entonces Sup(eií S) =<ASupS. i i ) o « 0 entonces Inf ( O Í S ) = OfSupS,

I I ) Si S está acotado inferiormente y i ) o í > 0 entonces ln f (o( S ) = ' ^ In fS i i ) c « 0 entonces Sup(c< $)= oí InfS

Demost , . - I) i ) Si S esto ocotodo superiormente, entonces S posee extremo su ­per ior . Veamos que << S está ocotodo superiormente ,

Es cloro que «f S /= p , pues S / = p .

Ahora seo t € ^ S cualquiera, es decir t= ocs poro algún s £ S. Como s 6 S, entonces s ¿ S u p S , y como 0( > O, entonces oi% ^ o í SupS, es dec i r , t < o íSupS. Luego ofSupS es coto superior de ^ S . Como Oí S está acotado superiormente, entonces existe Sup(c< S), y puesto que cV SupS es coto superior de 0( S, entonces Sup( oC S) -$ csí SupS(*).. Seo s € S

entonces oí s C of S, luego « s ^ Sup( o í S), y entonces s ^ l7Ó^Sup(QÍ S). Luego 1/oí Sup(oí S) es cota superior de S, con lo cuol Sup(S) :^ l/c¿ Sup(o/ S), que implica o ^ S u p S ^ Sup(c5ÍS) (**) .

De (*) y (** ) obtenemos Sup(oí S ) = OfSupS.

i í ) Seo t € Oí S, entonces t = of s poro algún s é S.

Como s 6 S, s ^ SupS, entonces of s ^ Oí SupS, pues c^ < 0; así pues t ^ c^ SupS. Como t es cualquiere, entonces of SupS^ t pora todo t e c¿ S, esto signi f ico que of S está acotado inferiormente .

- 53 -

Por teorema 1 , oí S t iene extremo infer ior, y puesto que c^SupS es cota i n ­ferior de o fS , entonces 0( SupS ^ lnf ( Oí S) (*) .

Sea s € S, entonces Inf ( OÍ S ) i O Í S . Por tanto, s l / « lnf( cy S ) pues 0 ( < O, A s i que l/o( Inf ( oí S) escota superior de S, entonces

SupS ^ 1 / ^ lnf(Oí S) , y como o f < O, entonces of SupS ^ lnf( Oí S) (**) .

De (*) y (** ) concluimos oíSupS = Inf( o( S) .

La demostración de II ) se dejo como e jerc ic io .

P r o p i e d a d 5 . -

Dodos S, T ^ R, S " f p f " T, toles que s t poro todo s fi S y todo t e T , entonces S tiene extremo superior y T tiene extremo inferior y odemás SupSíélnfT.

Demostración.- I lustroción Gróf ieo :

y.-^^y.y.y.y.yy.y.yyt^yyyy.ytyt^^tytyty-j't-^tyt') (xxxxxxyky.>;y.y^xxxy.xxx^;>wxjw-xx.xxx

Seo t € T arb i t rar io . Entonces s ¿ t poro todo s e S, lo que signif ica que S está acotado superiormente, y entonces por A c , existe SupS, además SupS ^ t para todo t €• T.

Como SupS ^ t paro todo t e T , entonces T está ocotodo inferiormente , y por teorsma 1 , existe InfT, además SupS é InfT , pues SupS es coto infer ior

de T .

P r o p i e d o d 6 . -

Sean A , B £ R, k / = p f = % . Si A ^ B, al suponer la existencia de SupB e InfB, qué relación hoy entre : i ) SupA y SupB

- 54 -

i i ) InfA e InfB

Soiución :

i ) Si A C B. Sea x e A entonces x € B, por tanto al suponer la existen -c ia del SupB, se t iene x 6 SupB paro todo x 6 A ( x ^ SupB poro todo x € B , en part icular x ^ SupB paro lodo x <S A ) . Luego SupB es cota superior de A y por tonto S u p A ^ SupB .

i i ) Sea x e A entonces x e B, por tonto al suponer lo existencia del InfB , se t iene que InfB ^ x poro todo x € A . Luego ínfB es cota inferior de A , y así existe InfA, con lo cual InfB é . InfA .

Ejercic io . -

Seon A , B é R, A j ^ p / = i . Supóngase que existen SupA, SupB, InfA, InfB, Sup ( A U B), Inf (A n B ) donde sea necesario , Responder :

Qué relación existe entre :

i ) SupA, SupB, Sup(A U B)

i i ) InfA, InfB, lnf( A U B)

i i i ) SupA, SupB, Sup ( A O B ) Siempre que A O B 7^ p

iv ) InfA, InfB, Inf ( A O B )

No ta

En los definiciones anteriores no se incluyó el coso de S = ^ 0 ; en reol idad esto t iene sus inconvenientes : Puesto que es c ier to que pora todo x 6 <S X é o pora todo número reol o ; y también es cierto que todo x e J& , a ^ X paro todo número real o , entonces el conjunto vacío resultaría aco­tado superior e infer iormente. Como este conjunto no posee ningún e l e ­mento, entonces no t iene máximo ni mínimos; pero qué se podría decir acerco de lo existencia del Sup y del Inf ? Tal vez serio conveniente def in i r el Sup p como-co ( menos in f in i to ) y el Inf p como +00

- 55 -

Nota

( más Inf ini to ). Recuérdese que los símbolos +ao , -oo no son n ú ­meros reales; recuérdese también que se uso la siguiente notación paro el conjunto de los números reales R = ( -oo^+co ) .

Paro responder el e jerc ic io anterior, primero interprétese gráficamente y luego demuéstrese .

EJEMPLOS DE CONJUNTOS ACOTADOS SUPERIOR O INFERIORMENTE

1 . - Ya dijimos que R está acotado infer iormente, , pero no lo esto superior­mente. Veamos que O = InfR . En efecto: Sabemos que si x é F^ entonces x > O, así pus; O es coto inferior de R entonces x > O, así puss O <í x poro todo x e R , lo qus signi f ica que

2 . -

Ahora b ien, si 0<<. x , sabemos qus existe Z € R to l que 0 < Z < x ; bosta tomar z = x / 2 . Luego dado £ > O cualquiero, existe x e R ta l que O < x < £ , entonces por propiedod 2 , II) , concluimos que O = lnfR+ .

Seo S = { l / n / n € Z " ^ } = { l , 1/2, 1 / 3 . . . , l / n . . . | Sabemos.que n ^ 1 paro todo n e Z*" , entonces 1/n < 1 poro todo n € Z^ , esto signif ica qus 1 es coto superior de S. Como 1 € S, entonces 1 = MáxS, pero por observación anterior, entonces 1 = SupS.

Aho.ra como O < n paro todo n € Z+ , entonces O < 1/n poro todo n 6 Z ' ' , así pues O es cota inferior de S. De otra porte sobemos, que dado £ > O, cualquiera, existe n € Z^ to l que O < 1/n <. £ , esto es,existe x = 1/n tí S tal que l / n < £ . Entonces, por propiedad 2 , I!), concluimos que 0 = InfS. S no tiene mínimo, pues de exist ir sería O, pero 0 ^ S.

3 . - Qué se puade decir acerco de los siguientes conjuntos, en cuanto al he ­cho de estar acotados superior o inferiorm.ente, si t ienen máximo, m í n i ­mo, Sup O Inf.

- 56 -

I A ={ l /n / ne Z+}u{o}-II) B = ( l / n / neZ- {0 }^

III) C ={ l /n/ ne Z -H}^^ ° }

4 . - Sea S = {x € ¡i/a < x < . b |con a ,b e R f i jos ( a < b ). S / = P , pues dados a ,b en R con o < b , entonces a < ; a + b / 2 ' < í b luego X = o + b/2 e S.

Es cloro que S está acotado superiormente por b e inferiormente por o . Ahora b ien , dado £ > O, existe x e S tal que b - £ < x < b . En efecto, si b - € ^ o, entonces existe x « R tal que o áí b - £ < x < b ; y si b - £ < a , entonces existe x e R ta l que b - £ < a < X ' < b , Entonces por propiedad 2 , I) , b = SupS,

Ut i i izondo el mismo razonamiento se ve que o = InfS .

El conjunto S se llamo " intervalo abierto con extremos a y b" y se noto ( a,b ) ó3a,b[.

N o t a :

En lo notación de intervalos, siempre aparece como primera componente el número menor; además los números en el in tervalo, son todos ios núme­ros reales comprendidos entre los extremos, ver la gráfica :

(XXXX.VXXX'XXXXXXXXXXXXj

5 . - S = | x « ^ / a ^ x i b^con a , b e R f i jos, ( a < b ). Como b es coto superior de S y b £ S, entonces b = hÁáxS ~ SupS , o = InfS.

Este conjunto se llamo " inverto lo semi-oblerto o semi-cerrodo " y se nota: ( a,b3 ó la,b) .

txxxxxxxxjtxw^xx-y.xxxxj«»xxx I 6 . - S = | x e l^a ^ x - ^ b / i ss Homo también intervalo semi-cerrodo o semi-

obierto , y se no ta fo , b ) ó [ a , b [

IxXXXX xxxxxxxx XXXXXXX xxx Xr>Íf

- 57 -

7 . - S = { x e R / a ^ x < b > , se llama " intervalo cerrado" y se noto

a = MinS = InfS ; b = MáxS = SupS

o b 5i'.xxy..xy.xxxy.yuY.xxxx;<y.xxxy.xy»-'g

Este intervalo no solo incluye todos los números comprendidos entre a y b, sino también los extremos o y b .

- 58 -

EJEI5C líenos

1 . - Sean x e y en R toles que x < y . Demostrar qus existe por lo menos un número Z e R ta l que x < Z < y .

Demost.- Si x < y entonces x + x < x + y, es decir 2 x < x + y , as i qus x < X + Y / 2

De lo mismo formo, si x < y entonces x + y < 2y , osí qus x + y / 2 < y .

Combinando las dos desigualdades (¿tenemos : x < x + y / 2 < y , así pues si Z = X + y / 2 , entonces x <i Z - í y .

El número x + y / 2 se llamo lo medio ar i tmético de x e y .

2 . - Sea A = I X e R / x < : o< , o f e R f i j o i . Demostrar lo siguiente ; i ) Si X está en A e y < X entonces y está en A . i i ) A 7 ¿ p . iii) kt^ ' i v ) Si X está en A , entonces existe x ' en A to l que x < x ' ,

Demostr.- Se deja a! lector .

3 . - Seo A 9 R, k / ^ - p , A T ^ R tal que : i ) S i x e A e y < x entonces y 6 A . i i ) Si x 6 A entonces existe x ' ^ A tal qus x < x ' .

Probar que A = | x e l ^ x < SupA \ Pruebo : - Como A /= R, existe b € R tal que b ^ A . Veamos que b es cota superior de A , es decir x ^ b poro todo x e A , Si no lo fuero, existiría x € A to ! que b < x , pero entonces , por i ) , b e A , lo cual es imposible, púas b € A . Luepo b es cota superior de A , entonces por Ac , existe SupA.

Ahora veamos que si x £ A , x < SupA y viceve.-so .

Seo puss X tf A , entonces, por i i ) existe x ' en A tal qus x < x ' . Como x ' e A , entonces x " < SupA, entonces por tronsit lv ldad x < SupA.

- 59

Supongamos ohoro x < SupA y veamos qua entonces x e A .

Como X < SupA, entonces SupA - x > 0 . entonces paro £ = SupA - x , por propiedad anterior,existe o e A tal que SupA - S < a, esto es, existe o e A ta l que SupA - ( SupA - x ) ^ o , es decir , existe a e A ta l que x < a . Por i ) como o É A y x < o entonces x e A .

De todo lo anterior concluimos qus A = i x e R / x < SupAV

Combinando ejercicios 2 y 3 anteriores, tenemos qus si : A = i X e R / x<<o{,of£R f ' j o l , entonces : o¿ = SupA. Este conjunto se llamo "cola abierto* y se nota ( -oo , c^ ) ó 7~«> Í £>( I '

Observación . -

Si A S R y SupA existe, entonces si t < SupA entonces existe a € A ta l qus t < a .

4 . - Seo x 6 R. Probar que existen m y n en Z toles que m < x < n . Pruabo : Pora x e R, por propiedad vista, existe n e 2^^ ta l que n > x . Ahora bien pora n - x e R y 1 > 0 , existe, por lo propiedad a r q u i ­mediona, un entero positivo m^ tal que m . . l > n - x , es decir , m i - n > - x , esto es, x > n - m-i é Z , Tomondo rn = n - m ^ , conc lu i ­mos que existen m, n é Z toles que m •<: x < n .

5 . - Sea S S Z , S /= p . Dertxjstror que si S está ocotodo superiormente, entonces S posee máximo. Demost.- Como S T ^ ^ ^ y S S R y S está acotado superiormente, e n ­tonces S t iene extremo superior. Digamos qua b = SupS. Como b -1 < b, entonces b -1 no es cota superior de S, por tanto existe n € S ( S S Z ) tol que b - 1 < n . Como n € S, n ^ b . V e a ­mos que n es coto superior de S, con lo cual se tendría b :< n, y enton­ces n = b, con n € S, es decir , b = SupS = n €: S, entonces SupS=MáxS, Si n no fuero coto superior de S, esto signifeario que existe m € S ta l que n < m. Ahora, como n, m e S ( S £ Z ) y n < m entonces n + 1 ^ m.

- 60

Ahora b ien , como b - 1 < n entonces b < n + 1 < m, con lo cual b < m. Imposible '. pues b = SupS y m ^ S. Luego n es cota superior de S.

6 . - Seo S S Z , S ^ J D . S i s está acotado inferiormente, entonces S posee mínimo .

Demost,- Se deja o! lector .

7 . - ( Principio de Buena Or i ^nac ión ). Todo conjunto S no vacío de enteros pósitos t iene mínimo. Demost.- Si S í Z , como 11 eslá ocotodo inferiormente, entonces S está acotado inferiormente, y entonces por e jerc ic io 6, S posee mínimo .

8 . - Todo conjunto f in i to S ( S R ) t iene máximo y mínimo . D e f . - Un conjunto S se dice f in i to si existe n e Z^ y f: S—• }1 ,2 , . . ,n>^ b i yec t i va . En este coso escribimos 'S = n, qus se lee " cardinal de S es n " .

Demost.- Sea X = 1 n € Z / S i *S = n, entonces S t iene máximo y mínimol C loramente X £ Z (* ) Veamos que X es induct ivo . i ) 1 e- X , pues 1 € Z^ y además si #S = 1 entonces S = < x l y c o ­

mo X ^ X, entonces x = MínS = MóxS.

¡ i ) Supongamos que k € X y veamos que k + 1 € X . Como k e X , k € Z^ y además si #S = k entonces S t iene máx i ­mo y mínimo. Seo pues B S R cualquier conjunto ta l que #B=k + 1 , digamos qus B = \ x ^ , x ^ - * . Xj^, Xj^^^í y qus Xj f^ X j , si i j i ^ ¡,

í'i =i.2,.--/ k + 1 . Como k e 27 , k + 1 C 2: , pues TJ es induct ivo . Sean B' = B - • ÍX | ,+ ] l . Como # B ' = k entonces B' posee máximo y mínimo.

Sean of = MínB' y f¡>= MóxB' , es deci r , o¿ € B' y c ^ á x paro todo x e B' , y fie B' y x ^ o pora todo x e B' .

Supongamos qus B' tiene mós de un elemento ( pues si t iene 1 , no

61 -

hoy nodo que hacer ), entonces c ^ < B , pues los elementos de B' son distintos entre s í . Comparemos ^ L + ] con o( y A Puede suceder :

a) \ + ] < o ( ; b) o<< \ ^ ^ < p 6 c) J i < Xj^^^ .

Si o) X, . = MínB, pues o í ^ x pora todo x e B' y x, ,<c!< ,

entonces Xi ^ i •< x paro todo x e B' y por tanto Xi ^^ .^ x

para todo x e B, Además [5 = MóxB. Si b) entonces Of = MínB y (^ = MóxB. SI c ) , <=< =MínB y x¡^+]= MáxB Así pues en cualquier coso k + 1 € X , y por tonto X es induct ivo . Como Z es el menor conjunto inductivo entonces Z C X (**) . De (*) y (**) concluimos que 2!^ = X , es decir , pora todo n 6 Z , si #S = n , entonces S t iene máximo y mínimo .

9 . - Si X es un número rea! arb i t rar io, demostrar que existe un entero n único que ver i f ica las desigualdades n ^ x < n + 1 . Este n se denomina " lo porte entera de x " y se designa por ffxJ, La unicidad del número n, nos permite construir una func ión, conocida comúnmente con ei nombre de función "parte entera" .

IC 3 I : R * R

XI »ID<3 ~ " '•° ' qiJ® n < x < n+1

Demost.- Sea S = j n € Z / n ¿ x > , x e R f i j o . S y^ P f pues por e jerc ic io visto existen enteros m y n toles que m < : x < n, en part icular existe m e Z tal que m < x , que impl ica m ¿ x ; de modo que m fe S. Es claro que S está acotado superiormente por x . Como S ^ Z , por cons­trucción y S está acotado superiormente, entonces S t iene máximo; es deci r , existe n é S tol que n = MáxS. n es único . Por estar n C S, n e x . Veamos que n + 1 > x . Si n + 1 < X entonces n + l 6 S ( n 6 Z entonces n + 1 € Z ) . Pero n < ; n + l y n = MáxS. Luego n ^ x y x < n + l , es deci r , n ^ X < n + 1 .

1 0 . - Seo x e R arb i t rar io . Demostror que existe un entero n único que v e r i f i ­co ios desiguoldodes x ¿ n •< x + 1 , Demost.- Se deja como e jerc ic io ol lector .

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n . - Si X e y son números reales arbitrarios toles qus x < y . Probar que existe por lo menos vn número racional r ta l qus x < r < y y deducir de e l lo que existen "muchos" .

Pruebo: 1 - F o r m a : Sean puss x e y en R, con x < y . Entonces y - x > o , y así por propiedad anterior, existe n e Z*" to! qus 1/n < y - x , es dec i r , 1 < n y - x n . Puesto que la diferencia entre ny y nx es de rnás de uno unidad, es natura! pensar que exista o! menos un entero m, tal que n x < mi •< ny . En efecto, por e jerc ic io 9 , existe un único m é Z to l que m ^ n x < c m + l . Resto ver que m + 1 •< ny ,

m = m-1 + 1 < ( m-1 ) + ( ny-nx ) = ( ny-1 ) + ( rn - nx ) ^ ny - 1 , pues como m < nx entonces m-nx ^ 0 . Así que m < n y - 1 , entonces m + 1 < ny.

Luego tomando m^ = m + 1, tenemos nx •< m. < ny, así quf? x < rn-j/n < y . Como m, e Z y n € Z 7 , entonces m-t/n € Q , lusgo r = m | / n es ta l que x < r < y . Procediendo ds la mismo formo, podemos aflrmor qu?; existen r r2 € Q tales que x < r , < r < ''2 < y , e t c .

2 - F o r m o : Siguiendo el mismo proceso de lo forma 1 , afirmamos que existe n e Z to l que nx < ny - 1 .

Construyase ohoro el conjunto S = \ m e Z / n x < m > . Demuéstrese que este conjunto t iene mínimo. Sí m = MínS, entonces, como m-1 •< m, entonces m-1 f : S, así que nx > m - 1 . Por tanto : x < r r / n = m - l / n + 1/n ¿ x + 1/n •< x + ( y - x ) = y , es deci r , x < m / n < y .

N o t o :

Lo propiedad demostrada en el e jerc ic io anterior se expreso diciendo que el conjunto Q de los números racionales es d e n s o en el conjunto de ios números reales R.

1 2 . - Seo x é Q , X 7 ^ 0 , y é R - Q . Demostrar que x + y , x - y , xy y x / y están en R-Q .

1 3 . - Lo sumo y el producto de los elementos de R-Q es siempre un elemento

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de R-Q ?

1 4 , - -Un entero n se llamo por si y solo si n = 2m poro un cierto m C Z , e impar si y solo si n + 1 es por. Demostrar los afirmaciones siguientes: i ) Un entero no puede ser o lo vez par e impar . i i ) Todo entero es par o impar . i i i ) La sumo o el producto de dos enteros pares es por. Qué se pue­

de decir acerco de lo sumo o el producto de dos enteros, impo -

' ^ ' \ ' . 2 2 i v ) Si n es por, también lo es n . Si a = 2b , siendo a y b e n ­

teros, entonces a y b son ambos pares . v ) Todo número racional puede expresarse en lo forma c /b donde o y

b son enteros, bT^O, uno de los cuales por lo menos es impar.

Demost.- Veamos la demostración de i í ) , iv ) y v ) , las dernás se d e ­jan como ejerc ic io .

i i ) a ) Seo n € Z^, veamos qus n es por o impar. Poro ésto, construyamos el siguiente conjunto . Sea X = í n e Z ^ / n e s por o n + 1 es par > .

1 e X , puss 1 € Z^ y además 1 + 1 = 2 = 2 . 1 , es deci r , si l l a ­mamos n = l , n + 1 es por, así n = 1 es impar, y por i ) es so­lamente irnpor .

Supongamos qus k 6 X , es decir k 6 Z^ y además k es por o k + 1 es par . Veamos que k + 1 <& X . En efecto, supongamos que k e X y k es por, entonces k + 1 = 2p + 1 poro algún p € Z , osí qua (k + 1)+ l =2 (p+ l ) , es decir k + 1 es impar ( k + 1 € Z ). Luego k + 1 e X . Ahora, si k e X y k" es impar, es decir k + 1, es par, entonces k + 1 e X , pues si k e i ^ también lo está k + 1 .

Luego en cualquier caso k + 1 e X, con lo cual hemos demostrado que X es induct ivo, y como Z es e! más pequeíio conjunto induct ivo , en ton ­ces Z ^ Q X .

Por construcción X £ Z , entonces concluimos que X = Z , esto es,paro todo n e Z^ , n es par o impar .

b ) Extendomos el resultado anterior a Z " . Para esto, s i n é Z " , entonces - n fc Z

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A s í que - n es por ó -n es impar, por la porte a ) .

Si - n es por, - n = 2p poro algún p e Z , es decir n = 2(~p), con - p 6 Z . Por tonto n es par.

Si - n es impar, -n + 1 = 2q poro algún q €> Z , osí que - n = 2q - 1 y por tanto n = 2 ( -q ) + 1 , entonces n+ 1 = 2 ( -q + 1 ). Luego n es impar. Luego paro todo n e ¿~, n es por o n es impar . Ahora O = 2 . 0 , así que O es por.

De todo lo anterior, concluimos que si n € Z entonces n es por o impar

2 9 i v ) Supongamos que n es par, es decir , n = 2m paro algún m e Z ,

Si n fuero impar, entonces por i i i ) n .n = n sería impar, lo cual no es posible. De modo que n es por, por í i ) .

Ahora supongamos que c r = 2b , como a ,b en Z . Como a^ = 2b'^, entonces ar- es por, y por tanto a e* par, digamos que a = 2m para a l ­gún m e Z . o o Entonces cr- = (2m)^ = 4m , y por tonto 4m^ = 2 b ^ , es decir b= 2m , osí que b^ es par y por tonto b es par.

v ) Seo r un número racional cualquiera, es decir , r = a /b con o € Z , b e Z - ^0}.

Entonces por i i ) o es par o impar y b es por o impor, entonces, puede suceder : a y b pares, o y b impares, o por y b impar o o impar y b par . Si sucede cualquiera de los tres últimos casos, no hoy nado que hacer, supongamos que o y b son ambos pares . Sea X = { n e Z % < 2 " / 1 C X , pues 1 < 2 ' = 2 Sea m e X entonc^iS m € Z ^ y m < 2 ' ^ . Como m < 2"^ entonces 2m < 2 ' " .2 = 2'"'^^ . Ps'O 2m = m + m » m + l , pues m ^ 1 ya que m e T : , osí que n + 1 < 2"^ , lo que signif ica que m + 1 € X . Lo anterior signif ica que X es induct ivo, lo que implica que Z ^ S X , pero por construcción X £ Z^ , entonces X = Z^ , es dec i r , poro todo n e 7^ , n < 2 . Ahoto b ien , veamos que poro todo o e 2 / y o par, entonces a = 2"q con q e 2r impar.

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En efecto, seo X = í * * € Z / a = 2 q paro algún q e Z ^ t X / p , pues 1 € Z^ y como o es par, o = 2 . j pora algún j e Z . Por tonto 1 6 X . ^ X está acotado superiormente por a , pues 2 >Qf poro todo of e Z^ y si q e Z!^ es tal que o = 2 q , entonces 2 q > o( , es decir a > o í poro todo o í e X .

Como X ^ p , X ^ Z y está ocotado superiormente, entonces posee máximo, digamos que N = MáxX, es decir a - 2 '^q pora algún q e Z ' . Veamos que q es impar. Si q fuero por, es decir q = 2q-| pora algún q i e Z^ , entonces a = 2 . 2q , = 2 q w es decir , N + 1 € X con N < N + 1 , esto es imposible, pues N = M á x X . Así que q es impar.

Supongamos que o ,b e Z y son ambos pares; y seon :

O^ = Máx I n e Z V o = 2 " q , q e Z+ }

/ ^ = Máx { m e Z V b = 2 ' "p , p € t \

Entonces :

" — ' " qQ, PQ impares 2 P P 0 \ _ i _ % / p si c < ^ f í

I 2/5-< '

Es cloro que si cX = p , entonces o/b = qf j /Pr) con qQ y p^ impares; y si o( < fl ó of >/3 entonces uno de los elementos en el cociente es par y el otro impar. Obsérvese que s i a e Z " y b e Z ^ ó a e Z " y b e Z " n o afectan e! resultado anter ior . Así pues en cualquier caso el número racional r puede expresorse como el cociente de dos enteros, donde a! menos uno de los dos es impar.

1 5 . - Existencia de raíces cuadrados de los números reales no-negotivos . D e f i n i c i ó n . - A l número x g R tal que x ' ' = o ( o ^ O f i j o ) se de­nomina raíz cuadrada de o .

No to : Los números negativos no pueden tener raíces cuadrados, pues

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hemos visto que poro todo x e R, x^ ^ O, es decir poro que un número x sea lo raíz cuodroda de un número o, este número o d e ­be ser mayor o igual que 0 .

Si o = O entonces x^ = O tiene por solución x = O, es deci r , O es la raíz cuadrado de o = O .

Supongamos pues o > O, a l considerar xr = a , x^ > O, por tanto x y ^ 0 . Ahora (-X ]r = x^ = o , así que -x y x son ambas raíces cuadradas ( de

a) . Pero o t iene o lo sumo dos raíces cuadrados, pues si x^ = a e y^ = e, entonces x^ = y2^ es decir, x2 - y^ = O, o seo ( x + y ) ( x - y ) = 0 asi que y = - x ó y = x . Luego si a tiene raíces cuodrodos, t iene exac­tamente dos.

P r o p i e d o d . - Codo número real no-negativo o tiene una raíz cua ­drada no-negativa único .

Noto :

Si o ^ O su raíz cuadrado no-negativo se indicará por o 7 ó

Si a > O lo roiz cuadrada negotivo es -a /-^ ó - v o .

Demostr.- Si a = O entonces O es la único raíz cuadrado .

Supongamos pues que o > 0 .

Sea S = í x e R V x ^ ^ ° }

S "/= p , pues o / l + a C S yo que o / 1-i-a > O y además a ^ 1 + o y

1 < 1 + o entonces a<( 1 + a ) , entonces o ^ ^ a ( l + a f , por tanto

o ^ / ( 1 + a ]r < o, es decir ( a / ( I + a ) ) ^ < o , entonces ( a / ( I + a ) ) ? ^ a .

En general , podemos exhibir bastantes elementos en S, pues si a > O, e n ­tonces : i ) O < a < 1 ó i i ) O < 1 < a ( Si a = 1, la único raíz cua ­drado no-negativo de a es 1 ) .

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Si i) entonces existe r 6 Q tal que O < r < o •< 1, y entonc--s 0 < r 2 . < r a < r , y además r < o, entonces O < r2 < a , Así que r € S.

Si II) entonces existe r e Q tal que O < r < 1 •< o , entonces O <. [ 2 ^ r ^ xa, pero r < a, así que O < r ^ < a. Por tanto r 6 S.

Veamos ahora que S está acotado superiormente, aún mas 1 + o es coto superior de S. Como 1 + o > 1 entonces ( 1 + a ) > l + a > a ^ x para todo x « S, y entonces 1 + a ^ x para todo x t f S, pues si no lo fuera, existiría x e S tal que x'^ > (1 + a ) , pero esto no es posible.

Como S 7^ j2( y está acotado superiormente, entonces S tiene extremo su­perior, digamos que b = SupS. Como a / ( l + a) < S entonces a / ( l + a) ^ b, por tonto b > O,

Existen tres posibilidades pora b : b > a , b < a ó b = a

Supongamos que b^ > o y seo c = b - (b'^ - o)/2b = (b^ + a)/2b - 1/2 (b + a/b ) ,

Como c = b - (b2 - a) /2b y b 2 - a > 0 y b > 0 entonces (b^ - j ) / 2 b > O, así

que c ^ b , y como c = 1/2 (b + a / b ) , entonces c > 0. Así que 0 ^ c . < b .

.2 _ b2 - (b2 - a) + ( b 2 - a ) V ( 2 b ) ^ = o + ( ( b ^ - a ) / 2b )2 > o. Ahora c^ = b^ - (b^ - a) + (b^ - a ) / ( 2 b ) ' = o + ( ( b " - a ) / 2 b ) ^ > o, es

decir , c^ > o ^ x^ poro todo x fe S, entonces x'^-c c^ paro todo x C S,

por tanto x <: c pora todo x € S, es decir , c es coto superior de S y 2

c < b. Esto no puede ser. Luego es falso que b ^ o .

2 . + Supongamos que b ^ a . Puesto que b > O, existe C] e R tal que 0 < C i < b, Como a - b' > O entonces (a - b )/3b > O' por tonto existe C2 e R tal que 0 < C 2 < (o - b ) /3b . Tomemos c = Min /c^ , C2I / c es tol que 0 < c í e ^ < b y O < c ^ e 2 < (o - b 2 ) / 3 b , *' '

Pero (b + c ) ^ = b^ + 2bc + c^ = b^ + c (2b + c ) < b 2 + c (2b + b ) = b2 + 3bc que es menor que b^ + 3b (o - b ' ^ ) /3b = b^ + a - b = o.

2 Entonces (b + c ) .C a, así que b + c 6 S, Como b + c > b, lo anterior contradice que b es coto superior de S. Por tanto b <. a es imposible. Por Tricotomía, es entonces b = a . /"Jiora, sí b l y b2 > O son toles que b-j = o = b2 entonces b2 = b] 5 b2 = - bi .

Pero como b2 > O entonces b^ = bi . Luego b es ún ico.

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En def in i t iva hemos probado que existe un único x C iT tal que x2= o

( X = SupS = Sup i y e R ' * ' / r « a l )

1 6 . - Demostrar que no existe número racional cuyo cuadrado sea 2 , es decir no existe x € Q tal que x^ = 2 .

Demostr.- Suponga que existe x e Q tal que -xr ~ 2 y llegue entonces o un imposible.

1 7 . - Si X e y son dos números reales cualesquiera toles que x.*£ y . Demostrar que existe por lo menos un número z e R - Q tal que x < z < y , y dedu­cir que existen " in f in i tos" .

Demostr.- 1 ^ Formo : Sobemos qua V 2 ^ R y además¥2 <%. Q entonces V l ' e R - Q , ademásVr>0 (ñ/T = Sup{xe t / x^ ¿i 2 J ).

Entonces sí x < y , x + V 2 < y - ^ V T f por tanto, por e jerc ic io anterior, existe r €• Q tal que x + V z < r < y +V2*, es decir x < r ~^ Í2 < y, y por e jerc ic io anterior, r - * t¿ - z e R ~ Q , Procediendo de esta formo afirmamos que existen z i , Z2 €^ R - Q tales que x < Z i < 7. < Z2 < y , . . r e tc .

2 - Formo : Como x < y^y y / > 0 , entoncesV2 x < T 2 y , y , y entonces existe r e Q ~ | 0 | ( obsérvese que esto siempre- es

posible ) ta l que V 2 ' x < r <*%2: y .

Entonces x < x / i ^ < y . Por e jerc ic io anterior r / < v z é R ~ Q - Toman­do z = r / * f T , entonces x < z < y eon z ^ R - Q .

Noto : -..

La propiedad anterior se expresa diciendo que el conjunto de los n ú ­meros irracionales I es denso en el conjunto de ios núme.ros reales R.

1 8 . - Lo propiedad Arquimediona del sistema de los números reales, se dedujo como consecuencia del axioma del extremo superior. Concluir que e l axioma del extremo superior no puede ser deducida de lo propiedad A r ­quimediona, demostrando que el conjunto Q de los números racionales satisface lo propiedad Arquimediono, pero no la del extremo superior .

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Demostr.- Seo x € Q e y e Q arbi t rar io; como x e Q*" entonces x e R* y como y € Q entonces y € K °s í que existe n e '¿^^ tal que

nx > y . Luego Q satisface lo propiedad Arquimediona.

Seo S = { x e c t / x ^ ^ 2 J . S S Q , S y ^ p , S está ocotodo superior -mente por ( 2 + 1 ) . Pero S no tiene extremo superior en Q , pues SupS = b es tal que b = 2 , pero b ^ Q . As í que Q no satisface lo propiedad del extre.mo superior.

Lo anterior permite afirmar que lo propiedad dei extremo superior no pue­de ser deducida o partir de lo propiedad Arquimediona,