1. Curvas parametrizadas

A menudo nos interesar ver una cierta grca como si fuese el rastro que

deja un mvil que se desplaza por el plano. Esto lo podemos hacer mediante las

llamadas curvas parametrizadas.

Denicin 1 Una curva parametrizada en el plano es un par de ecuaciones

C {

x = f(t)y = g(t)

A t se le llama parmetro de la curva, y resulta til pensar en el como en eltiempo.

Figura 1: Una curva parametrizada

Nota 1 Es importante especicar el intervalo de denicin del parmetro, pues

en caso contrario nos restringiremos a una regin u otra de la curva. Cuando

no digamos nada, entenderemos que el parmetro puede tomar cualquier valor

real para el que estn denidas f(t) y g(t).

))

2),g(t2(f(t

))1),g(t1(f(t

))0),g(t0(f(t

c2t

1t

0t

R

, t [a, b].

1. Integrales de lnea.

Entonces, en cada instante la partcula mvil tendr unas coordenadas (x, y) =(f(t), g(t)). Observemos que a medida que vamos tomando t mayores, nos vamosdesplazando segn un cierto sentido sobre la curva C. Este sentido de recorridose llama orientacin de la curva C.

Ejemplo 1 Consideremos la curva parametrizada C dada por las ecuaciones

C {

x = 2 cos ty = 2 sin t

Podemos hacernos una idea de su forma dando valores al parmetro t. Obtene-mos as una tabla como la siguiente:

t (x, y)0 (2, 0)pi/4 (

2,2)

pi/2 (0, 2)3pi/4 (2,2)pi (2, 0)

y, si vamos representando las parejas de valores (x, y) resulta:

X

Y

(-2,0)

(-2,2)

(0,2)

(2,0)

(2,2)

Figura 2: Una curva orientada

Ntese como hemos indicado la orientacin de la curva, mediante echas

que determinan el sentido de recorrido. Si representamos sucientes punetos,

veremos que la grca es la de una circunferencia de radio 2, recorrida en sentidoantihorario (por convenio, el sentido antihorario se dice que es positivo, vase

la gura 3).

En este ejemplo, podramos haber reconocido que la curva es una circun-

ferencia sin ms que eliminar el parmetro t para obtener una ecuacin de la

y sumando:

x2 + y2 = 4 cos2 t+ 4 sin2 t = 4.

forma y = y(x). En este caso, elevando al cuadrado las expresiones para x, y

, t [0, 2pi].

2Figura 3: Circunferencia de radio 2

Ejemplo 2 En la curva parametrizada con parmetro {x = 3 sec y = 2 tan , [0, 2pi],

podemos eliminar el parmetro de la siguiente forma: tenemos que x = 3 sec =3/ cos t, o sea, cos = 3/x. De aqu,

sin =1 cos2 =

1 9

x2.

Una vez que tenemos sin , cos en trminos de x, podemos sustituir en la ex-pressin de y:

y = 2 tan = 2sin cos

=23x

1 9

x2,

o bien, elevando al cuadrado:

y2 49x2 = 1.

Este proceso no es posible en todos los casos; no siempre se puede despejar

el parmetro para obtener una ecuacin y = y(x). En otras palabras: no todacurva parametrizada C es globalmente el grco de una funcin y = y(x). Comoejemplo tenemos la curva de ecuaciones x =

et

cos t

y = t2 sin t.

Nota 2 Lo que s se puede hacer siempre es escribir una funcin arbitraria

y = y(x) como una curva parametrizada. Slo hay que poner{x = ty = y(t) .

2. Integrales de lnea de campos escalares

Supongamos una funcin denida el el plano, F : R2 R, que denotaremos

Denicin 2 A una funcin como F (x, y) se la llama campo escalar, porque sepuede pensar que nos dice, para cada punto (x, y) del plano, cul es el valor deuna magnitud numrica (o escalar) denida sobre el plano. Por ejemplo, podra

darnos la temperatura en cada punto de una plancha metlica.

Denicin 3 Se llama integral de lnea del campo F (x, y) a lo largo de la curvaC, entre los puntos P = (xP , yP ) y Q = (xQ, yQ), y se denota por

CF (s) ds,a la integral de una variable dada por

tQtP

F (f(t), g(t))f (t)2 + g(t)2

En esta expresin, tP y tQ son los valores del parmetro t para los cuales lacurva pasa por P = (xP , yP ) y Q = (xQ, yQ), respectivamente.

Nota 3 [importante] Si cambiamos la orientacin de C, la integral (3) cambia

de signo, ya que

tPtQ

= tQtP.

Fijmonos en que si la curva C pasara por alguno de estos puntos para ms deun instante t, no sabramos cual de esos instantes tomar para calcular la integral.Por eso, supondremos que las curvas parametrizadas con las que trabajaremos no

tienen autonintersecciones (se dice a veces que son curvas simples). Por ejemplo,

una circunferencia

C {

x = cos ty = sin t , t [0, 2pi],

no tiene autointersecciones, pero la curva (que tiene la grca de un 8)

C {

x = sin 2ty = cot s , t [0, 2pi],

tiene una autointerseccin en (x, y) = (0, 0) (pasa por este punto para los valorest = pi2 y t =

3pi2 ).

dt.

F (x, y), y una curva parametrizada C, dada por las ecuaciones .

x3

yx2

2 entre los puntos (0, 0) y (2, 2). Lo primero que hayque hacer es parametrizar la parbola; recordando la nota 2, es fcil hacer

C {

x = ty = t

2

2

,

es decir, tomar f(t) = t y g(t) = t2

2 . Los valores del parmetro t para los cualesla parbola pasa por (0, 0) y (2, 2) son, respectivamente, t = 0 y t = 2. Ahora,ya podemos aplicar la frmula (3); lo que queremos calcular es t=2

t=0

F (t,t2

2)1 + t2dt =

20

t3

t2

2

1 + t2dt =

20

2t1 + t2dt,

o sea: C

F (s) ds = 23(1 + t2)

32

20

=23(75 1).

Un tipo de problema muy interesante al que se aplica el concepto de integral

de lnea, es el de la determinacin de masas (o cargas) conocida la densidad.

a lo

largo de la parbola y =

Ejemplo 3 Vamos a evaluar la integral de lnea del campo F (x, y) =

3. Integrales de lnea de campos vectoriales

Denicin 4 Una aplicacin diferenciable F : Rn Rn se dice que es uncampo vectorial ndimensional. Usualmente, trabajaremos con los casos n =2, 3.

Intuitivamente, un campo F asigna un vector (de Rn) a cada punto de Rnde manera que la orientacin de esos vectores no sufre variaciones bruscas.

Nota 4 Por simplicidad, describiremos al situacin en la que n = 2. Ms ade-lante veremos ejemplos del caso n = 3.

Escribiremos la accin del campo F como F (x, y) = F1(x, y)i + F2(x, y)j ocomo F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)), indistintamente. Ahora, como pasaba conlas integrales de camos escalares, dada una curva parametrizada

C {

x = f(t)y = g(t)

podemos considerar la integral de F a lo largo de C.

Denicin 5 Se llama integral de lnea del campo F (x, y) a lo largo de la curvaC, entre los puntos P = (xP , yP ) y Q = (xQ, yQ), a la integral

tQtP

F1(x, y)dx+ tQtP

F2

Por brevedad, la integral anterior se denota simplemente porC

F1(x, y)dx+ F2(x, y)dy.

, t [a, b],

(x, y)dy.

Nuevamente, tP y tQ son los valores del parmetro t para los cuales la curvapasa por P = (xP , yP ) y Q = (xQ, yQ), respectivamente.Observemos que las integrales de (5) tienen los extremos expresados en funcin

del parmetro t. Por tanto, habr que hacer un cambio de variable para con-vertir dx y dy en dt. La tctica para conseguirlo, es la misma que se emplea enlos cambios de variable de las integrales usuales: diferenciando las ecuaciones

paramtricas de C (4) para obtener dx y dy en funcin de dt,{dx = f (t)dtdy = g(t)dt

2) a lolargo de la curva C con ecuaciones paramtricas

C {

x = 3t 1y = 3t2 2t , t [1,

53].

En este caso, tenemos que

F1(x, y) = xy, F2(x, y) = x2,

y, por tanto, lo que queremos es

Cxydx+x2dy. De las ecuaciones de C, resulta(vase la (6)):

dx = (3t 1)dt = 3dtdy = (3t2 2t)dt = (6t 2)dt,y sustuyendo:

C

xydx+ x2dy = 5/31

((3t 1)(3t2 2t)3t+ (3t 1)2(6t 2))dt

= 5/31

(81t3 81t2 + 24t 2)dt = 58.

Nota 5 La interpretacin fsica de la integral

CF1(x, y)dx + F2(x, y)dy es ladel trabajo que realiza el campo vectorial F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) cuandouna partcula se desplaza desde el punto P al Q siguiendo la trayectoria C.

Naturalmente, el caso de las integrales de campos tridimensionales F (x, y, z) =(F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) se hace de manera anloga.

Ejemplo 4 Evaluemos la integral de lnea del campo F (x, y) = (xy, x

El resultado que estudiaremos en esta seccin, el llamado Teorema de Green,

relaciona un cierto tipo de integrales de lnea (aqullas en que la curva C escerrada

1

y simple, o sea, no tiene picos" ni autointersecciones) con integrales

dobles (o integrales de rea).

Notacin 1 Cuando escribamos una integral de lnea a lo largo de una curva

cerrada C, utilizaremos el smboloC, como en

CF1(x, y)dx+ F2(x, y)dy.

es regular por secciones si para las funciones f, g existen las derivadas en todopunto t de su dominio exceptuando un nmero nito de valores t0, t1, ..., tk.

As, por ejemplo, el contorno de un tringulo es una curva regular por seccio-

nes, ya que es diferenciable en todos los valores t corresponidientes a las aristas,excepto los vrtices. El mismo comentario es vlido para cualquier polgono

regular y para circunferencias, elipses, etc.

Teorema 1 [Green]Sea C una curva parametrizada en el plano, cerrada y regu-lar por secciones. Sea R la regin del plano determinada por C y su interior. SiM,N : R2 R son funciones reales continuas y que tienen derivadas parcialescontinuas en toda la regin R, entonces

CM(x, y)dx+N(x, y)dy =

R

(Nx My

)dA.

El Teorema de Green puede utilizarse tanto para calcular un integral de lnea

mediante una integral doble como para realizar el clculo inverso. A continua-

cin, veremos un ejemplo de cada caso.

I =C

(2y +1 + x5)dx+ (5x ey2)dy

a lo largo de la circunferencia x2 + y2 = 4. Lo primero que hay que hacer escomprobar que se cumplen las hiptesis del teorema; pero claramente la circun-

ferencia es una curva cerrada regular y, en este caso en que

M(x, y) = 2y +1 + x5, N(x, y) = 5x ey2 ,

tenemos:

M

y= 2,

N

x= 5,

que obviamente son funciones continuas. Aplicando el teorema, con R el crculode radio 2, resulta:

I =C

(2y +1 + x5)dx+ (5x ey2)dy =

R

(5 2)dA

= 3

R

dA = 3 4pi = 12pi.

Notemos que evaluar directamente I como integral de lnea hubiera sido muchoms difcil.

Ejemplo Supongamos que queremos calcular la integral de lnea

Denicin Diremos que una curva parametrizada en el plano C (f(t), g(t))

2. teorema de green

Teorema de Green

En la leccin anterior, previa caracterizacin de los campos conservativos, hemos visto queun campo irrotacional puede no ser conservativo. Tenemos por tanto una condicin fcil decomprobar, que es necesaria para que un campo sea conservativo, pero no es suficiente. Enparticular, para un campo vectorial F : R2, diferenciable en un dominio R2 puedeocurrir que el rotacional escalar rotF sea idnticamente nulo en sin que F sea conservativoen . Sin embargo, bajo ciertas condiciones sobre el dominio s se puede asegurar que todocampo vectorial diferenciable e irrotacional en es conservativo en . La explicacin de estetipo de resultado se encuentra en una importante frmula integral descubierta por el cientficobritnico G. Green (1793-1841) en su estudio de los campos electromagnticos. La frmula deGreen, o si se prefiere, el Teorema de Green, relaciona una integral de lnea con una integraldoble y, aparte de su utilidad en el estudio de los campos conservativos en dominios de R2,tiene otras aplicaciones interesantes.

En lo que sigue vamos a trabajar con un tipo particular de caminos, que reciben el nombrede caminos simples. Intuitivamente un camino es simple cuando no tiene auto-intersecciones, esdecir, un mvil que lo recorre no pasa dos veces por un mismo punto. Esto invita a decir que uncamino : [a,b] Rn es simple cuando es una funcin inyectiva, es decir, para s, t [a,b]con s < t no podra ocurrir que (s) = (t). Sin embargo un camino cerrado nunca podraverificar esta condicin. Relajamos entonces la hiptesis de inyectividad, slo para permitir quepueda ser (a) = (b). Por tanto, decimos que un camino : [a,b] Rn es simple cuandocumple la siguiente condicin:

A partir de ahora nos concentramos en el caso n= 2. La curva recorrida por un camino simplecerrado en R2 recibe el nombre de curva de Jordan.

Curvas de Jordan

s, t [a,b] , s< t , (s) = (t) s= a , t = b

As pues, una curva de Jordan es un conjunto = {(t) : a6 t 6 b} donde : [a,b] R2es un funcin continua, con (a) = (b), y verificando la condicin (1). El siguiente teoremalleva el nombre del matemtico francs C. Jordan (1838-1922), aunque la primera demostracinenteramente correcta fue publicada en 1905 por el norteamericano O. Veblen (1880-1960).

Teorema de la Curva de Jordan. Si es una curva de Jordan, su complemento R2 \ esunin de dos dominios disjuntos, cuya frontera comn es ; uno de ellos est acotado y recibeel nombre de regin interior a y el otro, no acotado, es la regin exterior a .

Consideremos como ejemplo, la elipse, definida en forma implcita por:

={(x,y) R2 : x

2

2+

y2

2= 1

}(,> 0)

Para ver que es una curva de Jordan, basta usar el camino : [0,2pi] R2 dado por:

(t) = ( cos t , sen t) (06 t 6 2pi)

Es fcil comprobar que es un camino cerrado y simple que recorre la elipse . Las regionesinterior y exterior, D y G, a la elipse son:

D ={(x,y) R2 : x

2

2+

y2

2< 1

}; G =

{(x,y) R2 : x

2

2+

y2

2> 1

}Observamos que en este ejemplo, como en la mayora de los que se utilizan en la prctica, latesis del teorema anterior se puede comprobar directamente sin dificultad. Es claro que D es undominio acotado, G es un dominio no acotado, DG= R2 \, DG= /0 y D= G= .

Recordemos que caminos muy diferentes pueden recorrer una misma curva, lo cual siguesiendo cierto aunque consideremos solamente caminos simples. Intuitivamente es claro, porejemplo, que la circunferencia centrada en un punto (x0,y0) R2 con radio 0 > 0 es unacurva de Jordan C que puede recorrerse en sentido anti-horario, mediante el camino simplecerrado definido por:

() = (x0+0 cos,y0+0sen) (06 6 2pi)

y puede tambin recorrerse en sentido horario, mediante el camino opuesto op que tambines cerrado y simple. Observamos que al recorrer la circunferencia C mediante el camino ,la regin interior a C queda a la izquierda. Suele decirse que est orientado positivamente,mientras que op tiene orientacin negativa. Pues bien, esta nocin de orientacin puede ex-tenderse a caminos cerrados simples cualesquiera. La formulacin matemtica rigurosa de estanocin de orientacin no es sencilla as que no vamos a exponerla, conformndonos con la ideaintuitiva: diremos que un camino cerrado y simple recorre una curva de Jordan con orien-tacin positiva cuando lo hace en sentido anti-horario, mientras que estar orientado negati-vamente cuando recorra la curva en el sentido de las agujas del reloj. Equivalentemente, est orientado positivamente cuando recorre la curva dejando a la izquierda su regin interior.

Podemos ya enunciar el resultado principal de esta leccin:

Teorema de Green. Sea un camino en R2, regular a trozos, cerrado y simple, que recorreuna curva de Jordan con orientacin positiva. Sea D la regin interior a y F : R2un campo vectorial de clase C1 en un abierto R2 tal que D. Entonces, la integralde lnea de F a lo largo del camino coincide con la integral doble sobre D del rotacionalescalar de F:

F .dl =

D(rotF)dxdy

Ms explcitamente, si F = (P,Q) en , el teorema afirma que:Pdx + Qdy =

D

(Qx P

y

)dxdy

Es costumbre usar una notacin que permite recordar con facilidad las hiptesis del teoremaanterior. Puesto que la curva de Jordan coincide con la frontera del dominio D, = D,resulta sugestivo denotar al camino por D+ para resaltar que dicho camino recorre la curvaD y est orientado positivamente. La frmula de Green toma entonces la siguiente forma

D+Pdx + Qdy =

D

(Qx P

y

)dxdy

donde tambin hemos modificado el smbolo de la integral de lnea para resaltar que el caminoes cerrado.

Est bastante claro que el teorema de Green nos va a permitir obtener nueva informacinrelevante sobre la relacin entre campos conservativos e irrotacionales. Siempre que podamosaplicar el teorema a un campo irrotacional, la integral doble que aparece en el segundo miembrode la frmula de Green ser nula, luego tambin habr de anularse la integral de lnea del primermiembro y esto nos acerca a la posibilidad de que el campo sea conservativo.

Para analizar mejor la idea recin sugerida, conviene empezar aclarando que el teorema decaracterizacin de los campos conservativos puede retocarse para que baste considerar caminossimples. Ms concretamente, si F : R2 es un campo vectorial continuo en un dominio R2 y la integral de lnea de F a lo largo de cualquier camino regular a trozos, cerrado ysimple en se anula, entonces F es conservativo en . Comprobar esta afirmacin requieremodificaciones en la prueba del teorema de caracterizacin, que no vamos a exponer.

Pues bien, supongamos ahora que F : R2 es un campo vectorial de clase C1 e irrota-cional en un dominio R2. Sea un camino regular a trozos cerrado y simple en , querecorrer una curva de Jordan . Para poder aplicar el Teorema de Green falta un detalle

Enunciado del Teorema

Campos irrotacionales y conservativos

importante: la regin interior a la curva debe estar tambin contenida en . Si tal cosaocurre, la frmula de Green nos da

F.dl =

D(rotF)dxdy = 0,

donde hemos usado el signo para tener en cuenta la orientacin de . A continuacin defini-mos el tipo de dominios en los que el razonamiento anterior siempre puede hacerse, cualquieraque sea la curva de Jordan considerada.

Se dice que un dominio R2 es simplemente conexo cuando toda curva de Jordancontenida en verifica que su regin interior tambin est contenida en .

Naturalmente, el plano R2 es un dominio simplemente conexo. Dados x0 R2 y r > 0, noes difcil comprobar que la bola abierta B = {x R2 : x x0 < r} es un dominio simple-mente conexo. Igual le ocurre al semiplano abierto H = {(x,y) R2 : ax+ by+ c > 0}, paracualesquiera a,b,c R con a2+b2 > 0.

Si de un dominio cualquiera suprimimos un punto a , el dominio resultante \{a}nunca es simplemente conexo. As pues, R2 \ {(0,0)} no es simplemente conexo. Un anilloabierto A= {x R2 : r< x< R} es otro ejemplo de dominio que no es simplemente conexo.Intuitivamente, un dominio es simplemente conexo cuando no tiene agujeros.

Pues bien, los razonamientos hechos anteriormente demuestran la siguiente consecuenciadel Teorema de Green:

Corolario. Si un dominio R2 es simplemente conexo, todo campo vectorial de claseC1 e irrotacional en es conservativo en .

Podemos ahora resumir toda la informacin obtenida sobre la relacin entre campos conser-vativos e irrotacionales. Partimos del hecho de que todo campo vectorial de clase C1 que seaconservativo en un dominio ha de ser irrotacional en dicho dominio. Recprocamente, conside-remos un dominio 0 R2 y sea F : 0 R2 un campo vectorial de clase C1 e irrotacionalen 0. Para dominios 0 podemos preguntarnos si F es conservativo en . Distinguimosdos casos:

Si 0 es simplemente conexo, el corolario anterior nos permite asegurar que F es con-servativo en 0 y, por tanto, en cualquier dominio 0.Si 0 no es simplemente conexo, no tenemos ningn criterio general que nos permitadecidir si F es conservativo en 0 , pero s podemos aplicar el corolario anterior paraasegurar que F es conservativo en cualquier dominio simplemente conexo 0.

La ltima idea siempre se puede aplicar localmente: Si F es un campo vectorial de clase C1e irrotacional en un dominio arbitrario R2, para cada punto x consideramos una bolaabierta Bx de centro x contenida en y, puesto que Bx es un dominio simplemente conexo,podemos asegurar que F es conservativo en Bx. As pues F es conservativo en un entorno decada punto de , lo que suele expresarse diciendo que F es localmente conservativo en .Ntese que el recproco tambin es cierto, de modo que un campo vectorial de clase C1 en undominio R2 es localmente conservativo en si, y slo si, es irrotacional en .

Para un campo con rotacional escalar constantemente igual a 1, la integral doble que apareceen la frmula de Green es el rea de la regin interior a una curva de Jordan, luego podemoscalcular tal rea mediante una integral de lnea. Disponemos de varias elecciones posibles parael campo vectorial, ya que es fcil dar ejemplos de campos vectoriales de clase C1 en todo elplano con rotacional escalar constantemente igual a 1. Concretamente, podemos usar cualquierade los campos F= (P,Q) : R2 R2 definidos, para todo (x,y) R2 por:

P(x,y) = 0 , Q(x,y) = x

P(x,y) =y , Q(x,y) = 0

P(x,y) =y2, Q(x,y) =

x2

En cualquiera de los tres casos F es un campo vectorial de clase C en R2 y se verifica que

rotF =Qx P

y= 1 (en R2)

Por tanto, aplicando el Teorema de Green obtenemos:

Corolario. Sea un camino en R2, regular a trozos, cerrado y simple, que recorre unacurva de Jordan con orientacin positiva. Entonces el rea de la regin D interior a vienedada por:

rea(D) =xdy =

ydx =

12

xdy ydx

Obsrvese que el resultado anterior permite confirmar la orientacin del camino , puestoque cualquiera de las integrales que aparecen en el segundo miembro de la igualdad anteriordebe tener un valor estrictamente positivo. Si al evaluar cualquiera de esas integrales obtuvise-mos un valor negativo, detectaramos que el camino est orientado negativamente.

En la prctica, entre las frmulas obtenidas para el clculo del rea, se elige lgicamentela que nos lleve a una integral de lnea ms fcil de evaluar. La tercera posibilidad, que parecela ms artificiosa, es con frecuencia la ms conveniente, por la simetra que presenta. Veamospor ejemplo el clculo del rea delimitada por una elipse, ms concretamente, de la regin Ddefinida por

D ={(x,y) R2 : x

2

2+

y2

2< 1

}con , > 0. Usando el camino de ecuaciones paramtricas

x = cos t ; y = sen t ; (06 t 6 2pi)

tenemos inmediatamente

rea(D) =12

xdy ydx = 1

2

2pi0

dt = pi

Clculo de reas mediante la frmula de Green