cables, nudos y adn: topología aplicada a la medicina

ADN: primeros hechos Matemáticas del ADN Invariantes Aplicaciones Referencias

Cables, nudos y ADNLa ciencia de los enrollamientos

José Antonio Pastor González

X Semana de la Ciencia y la TecnologíaIES Floridablanca

12 de febrero de 2014

Contenidos

1 ADN: primeros hechos

2 Matemáticas del ADN

3 Invariantes

4 Aplicaciones

5 Referencias

Contenidos

3 Invariantes

4 Aplicaciones

5 Referencias

El ADN: la molécula de la vida

ADN, polímero, descubierto en la década de los 50(Franklin, Watson, Crick)Transmite la información genética (replicación)Fabrica las proteínas (transcripción)Molécula muy compleja, sus procesos son difíciles deestudiar

Figura : Estructura primaria de la molécula

Monocatenario o bicatenarioUnión por puentes de hidrógenoBases complementarias: CG (fuerte) AT (débil)Esqueleto exterior antiparalelo

El ADN: la molécula de la vidaNiveles estructurales

Nivel 1: secuencia de nucleótidos, información genéticaNivel 2: estructura helicoidal, dextrógira o levógiraNiveles 3 y 4: estructuras a mayor escala con múltiplesenrollamientos y pliegues encaminados a reducir elvolumen ocupado

Figura : Estructura global de la molécula

ADN y enzimasImprescindibles para la replicación y transcripción

ADN ligasa: une los extremos 5’y 3’ADN nucleasa: separa los extremos 5’y 3’ADN girasa: igual que la nucleasa pero corta las doscadenasADN helicasa: separa los puentes de hidrógenoLos primeros 3 tipos se conocen como topoisomerasasya que alteran la topología del ADN (ojo: primera vez queaparece esta palabra en la charla). El tipo 4 altera lageometría pero deja invariante la topología.

Ejemplo de problema topológicoPuentes de Königsberg

Figura : ¿Se puede pasar por todos ellos sin repetir?

Otro ejemploProblema de los 4 colores

Figura : ¿Cuántos colores son necesarios para pintar bien unmapa?

Pero volvamos a las enzimasHelicasas y topoisomerasas

Figura : La acción de las enzimas

ADN y enzimasHelicasas y topoisomerasas

Figura : La acción de las enzimas

La recombinación del ADNTambién precisa de las enzimas

Se conocen como recombinasasIntegración de un nuevo trozo de cadenaTransposiciónSobrecruzamientoMuy útiles en la ingeniería genética

ADN y enzimas

El hecho decisivo es......pequeños y sutiles cambios en la estructura local de lamolécula de ADN causan cambios observables en suestructura global

Nuestra intención es......determinar la acción local (y oculta) de las enzimas sobrela molécula de ADN observando únicamente susconsecuencias globales

ADN y enzimas

El hecho decisivo es......pequeños y sutiles cambios en la estructura local de lamolécula de ADN causan cambios observables en suestructura global

Nuestra intención es......determinar la acción local (y oculta) de las enzimas sobrela molécula de ADN observando únicamente susconsecuencias globales

Contenidos

3 Invariantes

4 Aplicaciones

5 Referencias

Modelamos el ADN

Nuestro interés es...mostrar cómo la geometría y la topología pueden explicar laacción oculta de las enzimas sobre el ADN

El enfoque topológico de la enzimología

1 La acción de una enzima sobre el ADN essubmicroscópica, esto es, inobservable

2 Con objeto de conocer lo que está pasando, necesitamosusar métodos indirectos

3 En concreto, observamos algunas consecuencias de estaacción y utilizando matemáticas (geometría y topología)somos capaces de determinar lo que está pasando a nivelsubmicroscópico

Modelamos el ADN

Esquema de trabajo

Parte IModelamos lamolécula de ADNcon geometría ytopología

Parte IIPresentamosalgunos invariantestopológicos ygeométricos y susignificado

Parte IIIEstablecemos lafórmula de Whitepara estudiar susimplicaciones

Esquema de trabajo

Hechos básicos sobre el ADNRecordemos cosas ya dichas

Localmente...

El ADN es un polímero formado por dos cadenas(hebras) unidas por puentes de hidrógenoLas dos cadenas están enrolladas una con respecto a laotra con forma de doble hélice

Globalmente...

La banda se retuerce y curva presentando una súperestructura con varios niveles de complejidadEn muchos casos la banda de ADN tiene la topologíaforma de un círculo, en otros, sus extremos se encuentranfijados por lo que siempre podemos suponer que sulibertad está restringida

Localmente...

Globalmente...

Localmente...

Globalmente...

Localmente...

Globalmente...

El ADN circular

Figura : Molécula circular de ADN

Sobre la orientación...

La banda siempre es orientable

Cada una de las cadenas presenta una orientaciónintrínseca determinada por su estructura química (estádada por las posiciones 3’-5’).Las dos cadenas tienen orientaciones opuestas (moléculaantiparalela)Si el ADN es circular (esto es, si los extremos estánunidos), es imposible que la banda tenga la topologíaforma de una banda de Möbius. (La Naturaleza es sabiay evita esta topología para poder duplicarse ¿por qué?)

El ADN circular no tiene este aspecto

Figura : Banda de Möbius

ADN con la topología de Möbius

Figura : Replicación banda de Möbius

Contenidos

3 Invariantes

4 Aplicaciones

5 Referencias

El número de enrollamiento T

Figura : T viene a ser el número de giros

El número de enrollamiento T

Figura : T mide el número de giros que hace la banda en relación asu eje principal

Sobre T

cuenta el número de giros que hace la banda en relacióna su eje principales un número real (con decimales)es una cantidad geométricaen el ADN, es complicado de observar (nivelsubmicroscópico)en una molécula normal de ADN, hay un paso de hélice(un T = T + 1) cada 10,5 pares de bases (se sube un pisocada 10 escalones y medio).

Sobre T

El número de enlace L

Figura : L = número de cortes para separar ambas cadenas

Figura : L = número de nudos que nos aseguran

El significado de L

Intuitivamente...... el número L cuenta las veces que tenemos que cortar unade las cadenas para separarla de la otra

Algunas propiedades

1 L es un invariante topológico (no depende de lageometría de las curvas, es algo más esencial)

2 dos cadenas se pueden separar sólo cuando L = 03 L es siempre un número entero (no decimales)

El significado de L

Algunas propiedades

El significado de L

Algunas propiedades

El significado de L

Algunas propiedades

El número de retorcimiento W

Figura : W es el número de veces que se retuerce la banda

Algunas propiedades de W

Propiedades

1 W se define para una sola curva (o banda);2 es una cantidad geométrica3 es un número real (con decimales)4 si la banda es plana vale W = 0

Propiedades

La fórmula de White

Teorema. Dada cualquier banda en el espacio, siempre secumple que

L = T + W

Demostración: Sería algo así...

Figura :

...pero mejor la dejamos para otro día.

Fórmula de White

Figura : L = T + W

Fórmula de White

Figura : L = T + W

Fórmula de White

Figura : L = T + W

Fórmula de White

Figura : L = T + W

Fórmula de White

Figura : L = T + W

Contenidos

3 Invariantes

4 Aplicaciones

5 Referencias

La idea clave

L = T + W

Es posible observar W pero no así L o T (la estructuralocal del ADN es invisible).La acción de cualquier enzima que altera los valores de T(helicasas) o L (topoisomerasas) puede ser evaluadaestudiando los valores de W antes y después de losexperimentosFinalmente, usando la fórmula de White, intentamosdeducir que ocurre a nivel submicroscópicoLa fórmula de White puede ser descrita como unpuente que conecta el ámbito submicroscópico con elmicroscópico

La idea clave

L = T + W

La idea clave

L = T + W

La idea clave

L = T + W

La idea clave

L = T + W

¿Cómo se mide W?

El valor de W es directamente proporcional a cuánto de súperenrollada está la molécula de ADN

1 Por velocidad de sedimentación: las moléculas súperenrolladas, siendo más compactas, sedimentan másrápido en una solución determinada

2 Por electroforesis: estando las moléculas de ADNnegativamente cargadas, se mueven siempre hacia el polopositivo cuando se encuentran disueltas en un gel y suvelocidad de desplazamiento está directamenterelacionada con la cantidad de súper enrollamientos

3 Utilizando microscopio electrónico y contando loscruces que aparecen en la molécula

¿Cómo se mide W?

Aplicaciones

Propiedades locales del ADN pueden ser descritas con lafórmula de WhitePor ejemplo, la cantidad de enrollamiento T depende,entre otras cosas, de la temperaturaMidiendo los cambios en W en un ambiente donde no esposible cambios en L, los científicos son capaces de medirla cantidad T en términos de la temperatura (Nota:molécula circular o con extremos fijos)

Aplicaciones

La enfermedad del sueño la causa un parásito llamadotripanosoma. El ADN de este parásito es doble y circularUtilizando fármacos como el bromuro de etidio, las doscadenas del ADN circular se anudan fuertementemodificando el número LCon objeto de estudiar la efectividad de este fármaco seutiliza la fórmula de WhiteEl hecho de que el número L crezca dificultaenormemente la replicación de este parásito. Es unabuena forma de curar la enfermedad.

Aplicaciones

Hay varios fármacos y antibióticos que están diseñados apartir de enzimas con vistas a modificar las cantidadesL,T y W para así dificultar (y también promover, segúnel caso) la replicación del ADNNótese que la replicación es tanto más simple cuantomás relajada está la molécula de ADN (bajos L,T y W )El desafío que supone evaluar la acción de estos fármacossobre el ADN de los virus y bacterias puede ser abordadogracias a la fórmula de White

Aplicaciones

Ingeniería genética: esta disciplina se basa en elconocido proceso de cortar y pegarDada una molécula de ADN, podemos cortar una (o lasdos) cadena(s) y pegar nuevos segmentos de ADN. Estopuede efectuarse gracias a enzimas como la integrasaMuchas veces, es imposible saber cómo es este procesoa nivel submicroscópicoDe nuevo, la fórmula de White puede ayudarnos ya que losprocesos de recombinación suponen, en general,cambios en los valores de L,T y W

Aplicaciones

.............................................

✲RECOMBINACION

ENZIMA

LUGARES

Figura : Sustrato y enzima

.............................................

Figura : Producto de la reacción

Contenidos

3 Invariantes

4 Aplicaciones

5 Referencias

Bibliografía

H. Curtis: Biología Ed. Panamericana (1987).

A. Ferrández, M.A. Hernández-Cifre y José A. Pastor:Algunos aspectos matemáticos de la estructura helicoidaldel ADN La Gaceta de la RSME 6.3 (2003), 557–570

D. W. Sumners: Untangling DNA, Math. Intelligencer 12(1990), 71–80.

D. W. Sumners: Lifting the curtain: Using topology to probethe hidden action of enzymes, Notices Amer. Math. Soc. 42No. 5 (1995), 528–537.

J. D. Watson y F. H. C. Crick: Molecular Structure ofNucleids Acids, Nature 171 (1953), 737–738.

cables, nudos y adn: topología aplicada a la medicina

Education