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FIUBA. Anlisis Matemtico II. 61. 03 Una resolucin del examen integrador del 09 de diciembre de 2010

[Fernando Acero ] p. 1 de 4

Ejercicio 1. Hallar el rea de la superficie S = {(x, y, z)3: x2 + y2 = 2y, 0 z 4 x2 y2}

Figura 1. Muestra la superficie cilndrica S de ecuacin x2

+ y2

= 2y limitada superiormente por el paraboloide de ecuacin z = 4 x2 y2, inferiormente por el plano de ecuacin z = 0. Se grafican todas las superficies para apreciar su posicin relativa.

S puede parametrizarse en uv (u, v) )2: 0 u 2, 0 v 4 2 (1 + sen(u))} como S =T(uv), con T : uv3tal que T(u, v) = (cos(u), 1+ sen(u), v), campo de normales dado por el producto vectorialN(u, v) =Tu(u, v) Tv(u, v)= (cos(u), sen(u), 0)i, vector cuya norma es constantemente 1. Ahora todo se reduce al clculo mismo del rea, que resultaser 4ii.

() =

= (, )

= 2

0

22 ()

0

= 4

Ejercicio 2. Calcular la masa del macizo M = {(x, y, z)3: 2x2 + y2 z 2 y2, 0 x, 0y+, sabiendo que su densidad toma el valor 1 en el origen de coordenadas y su campo de gradientes es (x, y, z) = (2xy, x2, 0)

Figura 2. El macizo M. Su proyeccin sobre el plano z = 0 se indica mediante la grilla azul (crculo de radio 1 centrado en el origen)

i Es inmediato que esta parametrizacin es C(), y que la normal es nunca nula, de modo que se trata de una parametrizacin regular en . Por otra parte,la parametrizacin es inyectiva en casi todas partes (creo un ejercicio muy instructivo la prueba de esta afirmacin, siempre que lo haga uno mismo).ii Posiblemente el modo ms sencillo de resolver este problema consista en observar su geometra: siendo la curva interseccin entre el cilindro y el paraboloide es

plana (puesto que se encuentra en el plano de ecuacin z = 4 2 y), S tiene la mitad del rea del cilindro completo de radio 1 y altura 4, que es (2) (1) (4) = 8, yentonces tampoco es necesaria integral alguna para obtener el trivial resultado 4.

00.2

0.40.6

0.81

0 0.20.4

0.60.8

1

0

0.5

1

1.5

2

x

El macizo M

z

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Dado que el campo de gradientes de la densidad es C(3), la densidad misma tambin debe ser C(3). En tal caso,tomando el punto P0 (0, 0, 0), y llamando P(x, y, z) = 2xy, Q(x, y, z) = x2, R(x, y, z) = 0, sabemos que el campo escalardensidad, definido en el abierto simplemente conexo 3 est dado por iii

(, , ) = (,0,0) + (, , 0)

0

0

+ (, , )

0

+ (0,0,0) = 2 + 1Obsrvese que si bien el campo est definido en 3, slo tiene sentido su restriccin a M (donde es, efectivamente,positiva). Ahora slo resta integrar la densidad obtenida en el macizo M, para lo que pueden utilizarse coordenadascilndricas, cuya conveniencia est sugerida por ser circular y centrada la proyeccin de M sobre el plano z = 0, de modo

que se tiene

() = = 2

0 1

0 (3 cos2 22 22(1+cos 2 ) + 1) = ( 435 cos2

2

0+

1

2) =

4+

4

105

Ejercicio 3. Hallar el nmero real positivo tal que la circulacin del campo f: 22 tal quef(x, y, z) = (yx2 + ex 5y, 4x xy2 + sen(y)) sobre la circunferencia C dada por x2 + y2= 2, recorrida en sentido positivo, sea mxima.La figura, innecesaria pero conveniente, permite adivinar por qu es factible pensar que para algn valor del radio sepueda alcanzar un mximo de la circulacin del campoiv.

Figura 3. Se muestra la curva C (amarilla) y el campo vectorial (pequeas flechas azules) para distintos valores de

Dado que la curva C es un lazo simple de Jordan recorrido en sentido positivo, siendo el campo vectorialf de clase C en3, podemos ciertamente aplicar el teorema de Greenv l recinto simplemente conexo (x, y)2: x2 + y2 2},quedndonos = , siendo P(x, y) = yx2 + e x 5y, Q(x, y) = 4x xy2 + sen(y) los camposescalares componentes del campo vectorial dado. Como Py(x, y) = x2 5, Qx(x, y) = 4 y2, se tiene que (Qx Py) (x, y) = 9 x2 y2. El clculo en coordenadas polares es inmediato: = 20 (9 2)0 = 2 (182 4). Deesta manera, la circulacin es mxima sii es mxima la funcin h: + tal que h() 18 24, lo que sucede en el(nico) valor positivo de que anula h() = 36 43, esto es = 3. Se prueba sin dificultad que all h alcanza unmximo puesto que h(3) = 72 < 0 (se supone conocido aqu que si la derivada segunda de una funcin escalar en unpunto estacionario es negativa, entonces all alcanza un mximo local).

iii El conocido problema de recuperar la funcin potencial conocido el campo de gradientes puede resolverse de diversas formas, entre las cuales est la que sepresenta aqu. Es conveniente consultar la bibliografa acerca de este punto tan esencial a la ingeniera. Por ejemplo, pueden verse ejemplos y fundamentos delprocedimiento aqu expuesto en (Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo 1968, 89.3, 491-492, Santal 1993, 23.2, 175-177, Marsden y Tromba 1991, 8.3, 518, 522,teorema 7 y ejemplo1); alternativamente, y menos directos modos pueden verse en (Apostol 1980, 10.17,418-419, ejemplos 2 y 3).iv Esta afirmacin es falsa si no se tiene ninguna sensibilidad respecto a significados fsicos de la circulacin: interpretando el campo como una fuerza, el trabajodesarrollado por esa fuerza a lo largo de C se maximiza segn cmo se dispongan los tramos de esa curva respecto del campo de fuerzas.v Qu dice exactamente el teorema? Enunciarlo y explicar por qu se afirma que es aplicable a este caso (esto es mostrar que los objetos que intervienen en elteorema satisfacen sus hiptesis). Ver cualquiera (si todos, mucho mejor) de los siguientes libros de texto. (Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo 1968, 88.6, 484-486,Santal 1993, 20-21, Marsden y Tromba 1991, 8.1,491-496, Kurtis 1979, 9.6, 419-426). El teorema de Green tambin se conoce como Frmula de Riemann.Una muy clara presentacin en (Apostol 1980, 11.19, 462-473), y su correspondiente extensin a recintos mltiplemente conexos en (Apostol 1980, 11.23, 473ss.)

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

x

y

= 3 (circulacin mxima

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

x

y

= 2

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

x

y

= 2

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

x

y

= 4

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Es interesante observar que, en el valor = 18 la circulacin se anula, y para valores mayores es negativa. La figura 3,en la situacin = 4, todava presenta una circulacin positiva. Es interesante graficar para valores mayores de paraapreciar cmo el campo se va transformando en viento que se opone en la parte al sentido del movimiento antihorario vi.

Ejercicio 4. Determinar una funcin escalar hC1() de manera que el campo vectorial definido como: 3 3 tal que(, , ) = (() , () + 4 , () ) tenga flujo nulo sobre cualquier superficie cerradaregular, sabiendo que en P0 = (0, 0, 0) es(0) = (0, 4, 0). Para la funcin h obtenida, determinar el flujo del campo a travsde la superficie dada por = (, , ) 3 = 1 + 2 + 2 , 4, indicando la orientacin adoptada.Toda superficie cerrada es orientable, de modo que es lcito orientarla con campo de normales saliente. El teorema de

Gaussvii es entonces aplicable, ya que el campo vectorial es de clase C1(3), puesto que, por hiptesis, lo es la funcinescalar h. El teorema de Gauss, entonces, asegura que el flujo del campo vectorial a travs de S iguala a la integral de ladivergencia del campo, realizada en el macizo acotado M, del que S es frontera. Bastar, entonces, elegir hde modo que elcampo vectorial sea solenoidal (divergencia idnticamente nula). Pero la divergencia del campo escalar dado es

(, , ) = () 1 + (), y la condicin (0) = (0, 4,0) se cumple sii (0) = 0, de modo que nos encontramoscon el problema de valor inicial lineal de primer orden viii: () 1 + () = 0, (0) = 0, cuya solucin es inmediata si selo reescribe como [ ()] = , de donde la (nica) solucin es : tal que () = 1 , funcin escalar que esC(), y por lo tanto, es C1().

Figura 4. La superficie de ecuacin = (, , ) 3 = 1 + 2 + 2, 4, con campo de normales orientado como loindica la flecha negra (esto es, que en cualquier punto(x, y, z) del cono, con N(x, y, z) su normal, se tiene N(x, y, z) (0, 1, 0) < 0).

El clculo del flujo del campo vectorial a travs de S orientada como se indica en la figura 4, se simplifica mucho formando

el macizo = (, , ) 3 1 + 2 + 2 , 4, cuya frontera es S* S S, siendoS el crculo de radio 3 dadopor S (, , ) 3 = 4, 2 + 2 9+, que acta como tapa del cono. El campo de normales de S es claramenteconstante, y lo orientamos con N(x, 4, z) = (0, 1, 0), y entonces (Gauss) es = + =

= 0

, de donde

=

. Calculamos: siendo = (() , 4() + 4 , ()

4) (0,1,0) = 4() + 4 = 4, es = = 4 = 4 ( ) = 36.vi Los grficos son muy simples con matlab, la funcin necesaria para graficar el campo se llama quiver y recibe dos pares de argumentos: los primeros dosindican el punto en el que se dibuja el vector, dado por la segunda pareja.vii Se admite conocido el resultado de que, para un campo vectorial en 3, de clase C1 en un abierto simplemente conexo que contiene a una superficie cerrada Sregular por partes, simple y orientada con normal saliente, el flujo del campo a travs de S coincide con la integral triple de su divergencia en la regin M de la queS es frontera. Las hiptesis pueden debilitarse, y la dimensin del espacio ampliarse, resultando teoremas ms generales; puede verse una presentacin introductoriaen Lang, S. (1990). Introduccin al Anlisis Matemtico (Primera edicin. [Original 1968, Undergrauate Analysis] ed.). (M. Lpez Mateos, & M. Muoz Mella,Trads.) Wimington, Delaware.: Addison Wesley Iberoamericana, Captulo 20, Formas diferenciales, pp. 442-458. El teorema de Gauss (tambin suele llamrseleteorema de la divergencia) se encuentra presentado en una forma compacta en (Santal 1993, 21,156-166). En (Kurtis 1979, 10.6, 465-472) el tratamiento essimple y de fcil lectura, como tambin en (Marsden y Tromba 1991, 8.4, 528-541, Apostol 1980, 12.19, 557-567). En (Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo 1968,92,516-526) se tiene una presentacin completa con abundantes comentarios y ejercicios, adems de aplicaciones fsicas (en 93).viii Las ecuaciones lineales de primer orden son las ms sencillas de resolver; adems siendo de coeficientes constantes, anticipamos que la solucin ser analtica yestar definida en toda la recta real. Ver, por ejemplo, (Apostol 1980, 6.2, Teorema 6.1, 176, Birkhoff y Rota 1989, Zill 2007, 2.5,58-64).

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Figura 5. La superficie cnica S, la tapa S y sus orientaciones respectivas

Ejercicio 5.Llamando = (, )

2

, = y siendo : una funcin escalar C1

(), con () no nulo para todo ,sea el campo vectorial : 2 2 tal que() = () . Hallar una expresin para las lneas de campo de y determinarsus trayectorias ortogonales.

El ejercicio es tal que basta la definicin de lneas de campoix: es claro que el campo es radial (es el producto de un escalar,(), por el radio vector ), de modo que las lneas de campo,por definicin, son radiales, luego es la familia de rectas deecuacin a x + b y = 0, con a y b cualesquiera reales no simultneamente nulos. Las trayectorias ortogonales sonobviamente, la familia de circunferencias de radio k centradas en el origen de coordenadas, de ecuacin x2 + y2 = k2, con kcualquier real positivo.

Bibliografa citadaApostol, Tom. Calculus volumen 2. Clculo con funciones de varias variables y lgebra lineal, con aplicaciones a las ecuacionesdiferenciales y a las probabilidades. Segunda edicin en castellano [Original: Calculus II, Multi-variable calculus and linearalgebra. with applications to differential equations and probabilty]. Traducido por Francisco Vlez Cantarell. Vol. II. 2 vols.Barcelona: Revert, 1980.Birkhoff, Garret, y Gian-Carlo Rota. Ordinary Differential Equations. Cuarta edicin. Singapore: John Wiley & Sons, 1989.Kurtis, Philip. Clculo de varias Variables con lgebra lineal. Primera edicin, primera reimpresin. Traducido por Mara CristinaSangines de Salinas. Mxico D.F.: Limusa, 1979.Marsden, Jerrold E., y Anthony, J. Tromba. Clculo Vectorial. Cuarta edicin en espaol del original Vector Calculus, ThirdEdition. Traducido por Manuel Lpez Mateos y Sergio Adarve. Wilmington, Delaware, EUA.: Addison-Wesley Iberoamericana,1991.Rey Pastor, Julio, Pedro Pi Calleja, y Csar Trejo. Anlisis Matemtico I. Anlisis algebraico. Teora de ecuaciones. Clculoinfinitesimal de una variable. Octava edicin. Vol. I. III vols. Buenos Aires: Kapelusz, 1969.

. Anlisis Matemtico II. Clculo infinitesimal de varias variables. Aplicaciones. Sptima edicin. Vol. II. III vols. BuenosAires: Kapelusz, 1968.Santal, Luis. Vectores y tensores con sus aplicaciones. Dcimocuarta edicin. Buenos Aires: Eudeba, 1993.Zill, Dennis. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Segunda Edicin en Castellano [Original 1968: A First

Course in differential equations with applications]. Traducido por Eduardo Ojeda Pea y Lvaro Cofr Mata. Mxico: Thomson,2007.

Observacin: todos los grficos incluidos en este documento se han efectuado con matlab, aplicacin que se hatransformado en un estndar en la educacin superior, en todas las disciplinas en las que es necesaria la simulacin.

ix Se acepta conocida la definicin de que () es una lnea de flujo del campo vectorial () en el punto P = () sii () = (), que puede verse en, porejemplo, Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (1991). Clculo Vectorial(Cuarta edicin en espaol del original Vector Calculus, Third Edition. ed.). (M. Lpez Mateos,& S. Adarve, Trads.) Wilmington, Delaware, EUA.: Addison-Wesley Iberoamericana, Captulo 3, Funciones con valores vectoriales, 3.3, Campos vectoriales,

p.216, definicin. Una definicin menos formal y ms sugerente en (Santal 1993, 14, 96-98), con la distincin entre lneas de campo y de corriente, en esteejercicio coincidentes al tratarse de un campo estacionario.

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