UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA DMCC

TERCER CONTROL DE EJERCICIOS, Algebra I, fila A, tarde

Santiago, 12 de diciembre de 2013

1) En el conjunto { }1= RG se define la ley de composicin interna por abbaba ++=

a) Demuestre que el par ),( G es un grupo b) Considere la ecuacin 1)57()53( = x , definida en el grupo

donde el inverso del elemento a se denota 1a . Existe solucin? En caso afirmativo determine tal x

2) Considere los grupos [ ] )),,2((y ),( 2 ++ RMxR y la funcin [ ] ),2(: 2 RMxRH definida por

+

+=++

cbacba

cbxaxH20

027)( 2

a) Demuestre que H es un homomorfismo b) Determine )(HKer c) Es H un monomorfismo? Justifique

Pregunta 1: 3,0 puntos, Pregunta 2: 3,0 puntos

Pauta de correccin

1 a) Debemos demostrar i) es asociativa ii) existe neutro e en G iii) cada elemento x de G tiene inverso 1x

i) Se debe cumplir Gcbacbacba = ,, )()( Como

abcbcaccabbacabbacabbaabbacba ++++++=++++++=++= )(c )()(y adems

abcacabbccbabccbabccbabccbacba ++++++=++++++=++= )()()(entonces es asociativa (0,8 puntos)

ii) Queremos determinar Ge tal que Gxxxeex == 0)1( =+=++= xexxeexxex de donde Ge = 0 , por otro lado

xxxe == 0 (0,8 puntos) iii) Dado Gx queremos determinar Gx 1 tal que xxxx == 11 0

xxxxxxxxx =+=++= )1(00 1111 de donde Gx

xx

+

=

11

Por otro lado 01 = xx (0,8 puntos)

1 b) 111 4723)3557()1553()57()53( =++=++= xxx

48472323 =++ xx de donde

152.1151.1

=x (0,6 puntos)

2 a) Debemos demostrar: ))(())(())()(( xqHxpHxqxpH +=+ [ ]xRxqxp 2)(),( Si fexdxxqcbxaxxp ++=++= 22 )(,)( entonces

fcxebxdaxqxp +++++=+ )()()()( 2 de donde

++++

++++=+ )()()(20

0)(2)(7))()(( fcebdafcebda

xqxpH

+

++

+

+= fed

fedcba

cba20

02720

027= ))(())(( xqHxpH +

(1,0 puntos)

2 b) Si )()(,)( 2 HKerxqcbxaxxp ++= entonces

=

0000))(( xpH , desde aqu

obtenemos

=

+

+

0000

20027

cbacba

y el sistema lineal que se produce es

=+

=+

02027

cbacba

Si sumamos las dos ecuaciones obtenemos 09 = ba de donde ab 9=

y Rc , por lo tanto { }RcacaxaxxpHKer ++== ,/9)()( 2 (1,0 puntos)

2 c) Claramente H no en un monomorfismo (1,0 puntos)