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Ecuaciones de Maxwelly
Ondas Electromagnéticas
Física D
Dr. Peter Iza
• Resumir las leyes del electromagnetismo en la forma de ecuaciones de Maxwell
OBJETIVOS
• Calcular la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío y en diferentes materiales
• Calcular el vector de Poynting.
OBJETIVOS
Programa– Ecuaciones de Maxwell y descubrimientos de Hertz
– Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz
– Energía y cantidad de movimiento de las ondas electromagnéticas
– Presión de radiación– El espectro de las ondas electromagnéticas
Introducción
Las ecuaciones de Maxwell, propuestas porprimera vez por James Clerk Maxwell,reúnen las leyes experimentales de laelectricidad y el magnetismo.
Estas ecuaciones desempeñan en elelectromagnetismo un papel análogo, a lasleyes de Newton en la Mecánica.
Con estas ecuaciones Maxwell pudodemostrar la existencia de las ondaselectromagnéticas.
Estas ondas electromagnéticas son originadas porcargas eléctricas aceleradas y fueron producidaspor primera vez en el laboratorio por HeinrichHertz en 1887.
Ecuaciones de MaxwellLas ecuaciones de Maxwell son,
Maxwell-Ampère deLey
Faraday deLey
para Gauss deLey 0
para Gauss deLey
000
0
∫∫
∫∫
∫
∫
⋅+=⋅
⋅−=⋅
=⋅
=⋅
AEB
ABE
BAB
EAE
ddtdd
ddtdd
d
Qd dentro
εμμ
ε
il
l
Ley de Ampere
Modificación de Maxwell
Maxwell mostró que la velocidad de las ondaselectromagnéticas en el espacio vacío es
Esta velocidad coincidía aproximadamente con lavelocidad medida de la luz, con lo que Maxwellsupuso correctamente que la luz es una ondaelectromagnética.
m/s1031 8
00×≈
εμ=c
Fuentes de radiación de ondas EM
• Antenas• Cables de tendido eléctrico• Celulares• Microondas• Tormentas• Radiación de calor (infrarrojo)• Etc.
Ondas electromagnéticasLas ondas electromagnéticas se presentan cuando:
• Se aceleran las cargas eléctricas
• Cuando los electrones ligados a átomos y moléculasverifican transiciones a estados de menor energía
Teoría de MaxwellLas cargas en movimiento (o una corriente eléctrica)
inducen un campo magnético B.
R
Inductancia L
lB
Solenoide
0NIB μ=
l
La corriente I induce el campo B
B I
Ley de Lenz
xx
xxxx
B
Producción de una onda eléctricaConsidere dos barras metálicas conectadas a una fuente
CA con corriente y voltaje sinusoidales.
+
-
-
+
+
-
Las flechas muestran vectores de campo (E)
Onda E
Ondas E sinusoidales transversales verticales.
-
+
Generación de una onda magnética
Las flechas muestran vectores de campo magnético (B)
Onda B
Generación de una onda magnética debido a una corriente CA oscilatoria.
Ir
+
‐B
Ir
B
‐
+
Ir
+
‐B
I+
‐
Ondas B sinusoidales transversales horizontales
Ondas electromagnéticas• Los campos E y B de la onda EM son perpendicularesentre sí.
• Ambos son perpendiculares a la dirección depropagación de la onda (onda transversal).
• Las magnitudes de E y B están en fase y se relacionanpor la expresión
Campo
eléctrico
Campo
magnético
Dirección de propagación
cBE = Onda EM en el vacío
Ondas electromagnéticas
Antena dipolar emisora
Antenas receptoras
Espectro de ondas electromagnéticas.fc λ=
Espectro de ondas electromagnéticas.
fc λ=
Para una ondaelectromagnética que sepropaga en el aire, determinesu frecuencia si tiene unalongitud de onda de a) 5.0 km;b) 5.0 m; c) 5.0 μm; d) 5.0 nm.
Una onda electromagnéticasinusoidal, que tiene un campomagnético de amplitud 1.25 mT ylongitud de onda de 432 nm,viaja en la dirección +x a travésdel espacio vacío. a) ¿Cuál es lafrecuencia de esta onda? b) ¿cuál es la magnitud del campoeléctrico asociado?
Para deducir la ecuación delas ondas electromagnéticasvamos a escribir lasecuaciones de Maxwell en suforma diferencial
o)t,r(E·
ερ
=∇rrr
0=∇ )t,r(B· rrr
t)t,r(B)t,r(E
∂∂
−=×∇rr
rrr
t)t,r(E)t,r(J)t,r(B ooo ∂
∂εμ+μ=×∇
rrrrrrr
Deducción de la ecuación de onda electromagnética
En este caso tomaremos el rotacional de la ley de Faraday, puestoque esto conecta con el rotacional del campo eléctrico lo que nospermite eliminarlo usando la ley de Ampère generalizada.
Para simplificar, vamos a tratar ondas electromagnéticas en elvacío, considerando el caso en el que no hay corrientes ( =0) nicargas (ρ=0). Con estas hipótesis las ecuaciones de Maxwellquedan como:
Jr
0=∇ )t,r(E· rrr (a)0=∇ )t,r(B· rrr (b)
t)t,r(B)t,r(E
∂∂
−=×∇rr
rrr (c)
t)t,r(E)t,r(B oo ∂
∂εμ=×∇
rrrrr
(d)
El término izquierdo de la ecuación (1), puede ser reordenado usando la siguiente identidad vectorial
A)A·(A 2∇−∇∇=×∇×∇rrrrrr
Calculando el rotacional de la ley de Faraday
tBE∂∂
×∇−=×∇×∇r
rrrr(1)
Y usando la propiedad conmutativa en el término de la derecha, podemos escribir finalmente
t)B(E)E·(
∂×∇∂
−=∇−∇∇rr
rrr 2 (2)
Sustituyendo las ecuaciones (a) y (d) en la (2), obtenemos
2
22
tEE oo
∂
∂εμ=∇ (3)
Operando de forma análoga para el campo magnético
2
22
tBB oo
∂
∂εμ=∇ (4)
Ecuación de onda EM en el
vacío
)cos( tkxEE máx ω−= )cos( tkxBB máx ω−=
λπ
=2k
f2π=ω
cfk
=λ=ω
Ondas EM sinusoidales
)cos( ˆ),( tkxEjtxE máx ω−=
)cos( ˆ),( tkxBktxB máx ω−=
Ondas EM sinusoidalesvectoriales
máxmáx BcE =
El campo eléctrico de una onda EM sinusoidal obedece a la ecuación:
a) ¿Cuáles son las amplitudes de los campo eléctrico y magnético de esta onda?
b) ¿Cuáles son la frecuencia, la longitud de onda y el periodo de la onda? ¿Esta luz es visible para los humanos?
c) ¿Cuál es la rapidez de la onda?
])/1099.1()/1097.5[( )/375( 715 xmradtsradsenmVE ×+×−=
Ondas EM en la materia
mm KKc
KKv
1
11
00
===μεεμ
Dieléctricos
0 μμ
εε
M
o
KK
==
KKKnvc
m ≅==
K constante dieléctricaKM permeabilidad relativa
Una onda EM con frecuencia de 65 Hz.viaja en un material aislante que tiene
constante dieléctrica de 3.64 y permeabilidad relativa de 5.18 a esta
frecuencia. El campo eléctrico tiene una amplitud de 7.20ä10-3 V/m. a) ¿Cuál es la
rapidez de propagación de la onda? b) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda?
c) ¿Cuál es la amplitud del campo magnético?
Energía y cantidad de movimiento transportadas en una onda EM
Como todas las ondas, las ondas EMtransportan energía y cantidad demovimiento.
La energía transportada se describe porla intensidad, es decir, la energía que porunidad de tiempo y unidad de área incidesobre una superficie perpendicular al áreade propagación.
La densidad energética total de la onda u es la suma delas densidades energéticas eléctrica y magnética. Estasvienen dadas por:
0
22
0 221
μ=ε=
BuEu me
Como E=cB, se tiene que,
( ) 202
0
2
0
2
0
2
21
222E
cEcEBum ε=μ
=μ
=μ
=
Por tanto las densidades energéticas eléctrica ymagnética son iguales.
Energía y cantidad de movimiento transportado en una OEM
La densidad energética total es
Entonces la intensidad instantánea, tambiéndenominada como módulo del vector de Poynting,viene dada por:
cEBBEuuu me00
22
0 μ=
μ=ε=+=
0μ==
EBucS
Energía y cantidad de movimiento transportado en una OEM
Y el vector de Poynting que apunta en ladirección de propagación de la energía es,
0μBESrr
r ×=
De este modo la intensidad es el valor medio dela intensidad instantánea,
0
2
0
2
0 222 μμμmáxmáxmáxmáx
medcB
cEBES ====I
Energía y cantidad de movimiento transportado en una OEM
Flujo de cantidad de movimiento EM y presión de radiación
Las OEM llevan una cantidad de movimiento pcon una densidad de cantidad de movimientocorrespondiente de magnitud
220
cS
cBE
dVdp
==μ
cBE
cS
dtdp
A 1
0μ==
Tasa de flujo de la cantidad de movimientoelectromagnética:
dtcAdV =
Flujo de cantidad de movimiento EM y presión de radiación
AFP =
cI
cSP med
rad ==
dtdpF =
cBE
cS
dtdp
A 1
0μ==
presión de radiaciónuna onda absorbida totalmente
A
Presión de radiación Área
Fuerza
Flujo de cantidad de movimiento EM y presión de radiación
cI
cSP med
rad ==
Si la onda se refleja por completo , el cambio en la cantidad de movimiento es dos
veces más grande , y la presión es
cIPrad
2=
El radiómetroUn radiómetro es un dispositivo que
demuestra la existencia de la presión de radiación:
Un lado de los paneles es negro (totalmente absorbente) y el otro blanco (totalmente
reflectora). Los paneles giran bajo la luz debido
a las diferencias de presión. Radiómetro
Considere cada una de las siguientesorientaciones de los campos eléctricos ymagnéticos. En cada caso indique cuál es ladirección de propagación de la onda,
a)b)c)d)
jBBiEE ˆ,ˆ −==rr
iBBjEE ˆ , ˆ ==rr
iBBkEE ˆ,ˆ −=−=rr
kBBiEE ˆ,ˆ −==rr
Una onda EM sinusoidal de una estaciónde radio pasa en forma perpendicular através de una ventana abierta con áreade 0.500 m2. En la ventana, el campoeléctrico de la onda tiene una valor rms(eficaz) de 0.0200 V/m. ¿Cuánta energíatransporta esta onda a través de laventana durante un comercial de 30.0 s?
Un rayo láser pequeño de helio-neónemite luz roja visible con potencia de3.20 mW en un rayo cuyo diámetro es de2.50 mm. a) ¿Cuáles son las amplitudesde los campos eléctrico y magnético dela luz? b) ¿Cuáles son las densidades deenergía medias asociadas con el campoeléctrico y con el campo magnético? c)¿Cuál es la energía total contenida en untramo del haz de 1.00m de longitud?