c3 2011-1 [palma] (con pauta)

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FI-2002 Electromagnetismo - Secci´ on-4 Prof. Gonzalo A. Palma. Aux’s: Jonathan Monsalve y Francisco Parra FCFM, Universidad de Chile Control 3 Jueves 9 de Junio, 2011 Tiempo: 3horas P1: Considere un hilo conductor infinito por el cual circula una corriente I en la direcci´ on ˆ z. A una distancia a se tiene un circuito cerrado, cuadrado de lado a, de modo que dos de sus lados son paralelos al hilo, mientras que los otros dos son perpendiculares (ver figura). Por el circuito cerrado circula una corriente I en el sentido mostrado por la figura. (a) Calcule el campo magn´ etico producido por el hilo conductor infinito en todo el espacio. [2pts] (b) Calcule la fuerza total que el hilo conductor infinito ejerce sobre el circuito cerrado. Indique si es atractiva o repulsiva. [3pts] (c) A continuaci´ on se instala un segundo hilo infinito, paralelo al primero, de modo que el circuito cuadrado queda entre ambos hilos. Por este hilo circula una corriente 2I pero en el sentido contrario al del primero. Determine la distancia a la que deber ser ubicado de modo que la fuerza total sobre el circuito cerrado sea nula. [1pt]. P2: Por el interior de un cilindro infinito de radio a y permeabilidad magn´ etica μ 1 , circula una corriente I 0 en la direcci´ on ˆ z. A este cilindro lo rodea un casquete cil´ ındrico de radio interno b y radio externo c. El casquete consiste en dos mitades, de permeabilidades μ 2 y μ 3 respectivamente (ver figura). Por el casquete circula la misma cantidad de corriente I 0 pero en sentido opuesto al del cilindro interno (es decir, en la direcci´ on -ˆ z). Asuma que las densidades de corriente al interior de estos materiales es homog´ enea. (a) Encuentre una expresi´ on para la corriente total I (r) que atraviesa una superficie circular de radio r arbitrario, conc´ entrica a los cilindros. [2pts] (b) Encuentre la intensidad magn´ etica ~ H y el campo magn´ etico ~ B en todo el espacio. [3pts] (c) Determine el valor de las corrientes superficiales ~ K M inducidas por la magnetizaci´ on ~ M de los medios, en cada una de las superficies. [1pt]

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  • FI-2002 Electromagnetismo - Seccion-4

    Prof. Gonzalo A. Palma.

    Auxs: Jonathan Monsalve y Francisco Parra

    FCFM, Universidad de Chile

    Control 3Jueves 9 de Junio, 2011

    Tiempo: 3horas

    P1: Considere un hilo conductor infinito por el cual circula una corriente I en la direccion z. A una distancia a se

    tiene un circuito cerrado, cuadrado de lado a, de modo que dos de sus lados son paralelos al hilo, mientras que los

    otros dos son perpendiculares (ver figura). Por el circuito cerrado circula una corriente I en el sentido mostrado

    por la figura.

    (a) Calcule el campo magnetico producido por el hilo conductor infinito en todo el espacio. [2pts]

    (b) Calcule la fuerza total que el hilo conductor infinito ejerce sobre el circuito cerrado. Indique si es atractiva o

    repulsiva. [3pts]

    (c) A continuacion se instala un segundo hilo infinito, paralelo al primero, de modo que el circuito cuadrado queda

    entre ambos hilos. Por este hilo circula una corriente 2I pero en el sentido contrario al del primero. Determine la

    distancia a la que deber ser ubicado de modo que la fuerza total sobre el circuito cerrado sea nula. [1pt].

    P2: Por el interior de un cilindro infinito de radio a y permeabilidad magnetica 1, circula una corriente I0 en

    la direccion z. A este cilindro lo rodea un casquete cilndrico de radio interno b y radio externo c. El casquete

    consiste en dos mitades, de permeabilidades 2 y 3 respectivamente (ver figura). Por el casquete circula la misma

    cantidad de corriente I0 pero en sentido opuesto al del cilindro interno (es decir, en la direccion z). Asuma quelas densidades de corriente al interior de estos materiales es homogenea.

    (a) Encuentre una expresion para la corriente total I(r) que atraviesa una superficie circular de radio r arbitrario,

    concentrica a los cilindros. [2pts]

    (b) Encuentre la intensidad magnetica ~H y el campo magnetico ~B en todo el espacio. [3pts]

    (c) Determine el valor de las corrientes superficiales ~KM inducidas por la magnetizacion ~M de los medios, en cada

    una de las superficies. [1pt]

  • P3: Considere un toro de radio R y seccion circular de radio a R. 3/4 del toro estan compuesto de un materialde permeabilidad magnetica 1 mientras que el resto consiste en un material caracterizado por 2, excepto por una

    pequena seccion vaca de largo a separando ambos medios (ver figura). Alrededor del toro hay N espiras porlas cuales circula una corriente I.

    (a) Determine la ecuacion circuital del sistema.

    (b) Calcule las reluctancias R1, R2 y Raire de cada una de las componentes del circuito magnetico.

    (c) Con la ayuda del resultado anterior, determine el valor de la intensidad magnetica ~H confinada al interior del

    toro.

    2

  • Pauta Problema 1 Control # 3 :FI2002-4Prof.: Gonzalo Palma

    Auxs.:Francisco Parra, Jonathan Monsalve1

    Jueves, 9 de Junio de 2011

    Pauta Problema 1 - Parte (a)

    Observando la siguiente figura:

    Figura 1: Problema 1 - Parte (a)

    Asumiendo que ~B = B() y que ~dl = d (1 pto)y aplicando la Ley de Ampere, se tiene que:L

    ~B ~dl = 0Ienlazada

    ~B() =0I

    2(1 pto)

    Pauta Problema 1 - Parte (b)

    Se tiene la siguiente figura: Entonces calculando las fuerzas para cada segmento indicado en la espiracuadrada se tiene que:

    Fuerza [ ~dF1]

    Se tiene que : ~dl = dyj, y ~B = 0 i2y ya que = iy =x2 + y2 = y. Entonces:

    ~dF1 = Idyj (0I2y

    )i =0I

    2dy

    2yk (0.5 ptos)

    1Dudas y consultas a [email protected]

    1

  • Figura 2: Problema 1 - Parte (b)

    Fuerza [ ~dF2]

    Se tiene que : ~dl = dzk, y ~B = 0 i22a ya que = iy =x2 + y2 = 2a. Entonces:

    ~dF2 = Idzk (0I22a

    )i =0I2dz

    4aj (0.5ptos)

    Fuerza [ ~dF3]

    Se tiene que~dF3 = ~dF1 =

    0I2dy

    2yk (0.5 ptos)

    Fuerza [ ~dF4]

    Se tiene que : ~dl = dzk, y ~B = 0 i2a ya que = iy =x2 + y2 = a. Entonces:

    ~dF4 = Idzk (0I2a

    )i =0I

    2dz

    2aj (0.5 ptos)

    Luego, la fuerza total esta dada por ~FT =~dF . Entonces :

    ~F1 = 2aa

    0I2dy

    2y k =0I

    2

    2 ln(2)k

    ~F2 = 0a0I2dz

    4a j =0I

    2

    4 j

    ~F3 = a2a

    0I2dy

    2y k =0I2

    2 ln(2)k

    ~F4 = a00I2dz

    2a k =0I2

    2 j

    Entonces la fuerza total es

    ~FT = ~F1 + ~F2 + ~F3 + ~F4 =0I2

    4j (0.8 ptos)

    y por lo tanto atractiva (0.2 ptos).

    2

  • Pauta Problema 1 - Parte (c)

    El campo del hilo de corriente 2I es (d es la distancia requerida):

    L

    ~B2I ~dl = 0Ienlazada

    ~B2I() =0I

    ~B2I(d) =0Id

    i (0.25 ptos)

    Sabiendo que solo las fuerzas ~dF2 y ~dF4 son las que actuan realmente entonces,

    Fuerza [ ~dF2]

    Se tiene que : ~dl = dzk, y ~B = 0 id . Entonces:

    ~dF2 = Idzk (0Id

    )i =0I2dz

    dj.(0.25 ptos)

    Fuerza [ ~dF4]

    Se tiene que : ~dl = dzk, y ~B = 0 i(d+a) . Entonces:

    ~dF4 = Idzk (0I

    (d+ a))i =

    0I2dz(d+ a)

    j.(0.25 ptos)

    Luego la fuerza total del hilo 2I es:

    ~FTd = ~F2 + ~F4 =0I

    2a

    dj 0I

    2a

    (d+ a)j =

    0I2a2

    d(d+ a)j

    Luego, igualando a la fuerza del hilo de corriente I calculado en la parte (b) entonces queda que:

    ~FT = ~FTd0I

    2

    4=

    0I2a2

    d(d+ a)

    d =

    17 12

    (0.25 ptos.)

    en donde en el ultimo paso aparecen dos soluciones, pero se elige la que se ajusta el dibujo y a lasexigencias del problema.

    3

  • Pauta Problema 3 Control # 3 :FI2002-4Prof.: Gonzalo Palma

    Auxs.:Francisco Parra, Jonathan Monsalve1

    Jueves, 9 de Junio de 2011

    Pauta Problema 3 - Parte (a)

    Observando las siguientes figuras (0.5 ptos):

    Figura 1: Problema 3-1 - Parte (a)

    Observando las siguientes figuras:

    Figura 2: Problema 3-2 - Parte (a)

    Tomando LVK en cada malla se obtiene (0.5 ptos):

    NI = RT = (R1 +R2 +R)

    1Dudas y consultas a [email protected]

    1

  • Pauta Problema 1 - Parte (b)

    El calculo de reluctancias es como sigue:

    R1 [0.5 ptos]

    Se tiene que:

    R1 =l

    1A=

    2R (R2 2 )

    1a2=

    3R 21a2

    R2 [0.5 ptos]

    Se tiene que:

    R2 =l

    2A=

    R2

    2

    2a2=R 22a2

    R [0.5 ptos]

    Se tiene que:

    R =l

    A=

    0a2

    Pauta Problema 1 - Parte (c)

    Dado que:NI = RT = (R1 +R2 +R)

    entonces reemplazando cada uno de los valores de las reluctancias se obtiene que (0.5ptos) por elvalor de la reluctancia total:

    =NI

    RT=

    NI3R21a2

    + R22a2 +

    0a2

    (0.5 ptos)

    Luego, como = BA entonces el valor del campo B es

    B =NI

    3R21

    + R22 +0

    (1 pto)

    Los campos quedan definidos de la siguiente forma :

    ~H1 =11

    NI3R

    21+ R22 +

    0

    (0.75 ptos)

    ~H2 =12

    NI3R

    21+ R22 +

    0

    (0.75 ptos)

    ~H =10

    NI3R

    21+ R22 +

    0

    (0.75 ptos)

    2