c04 teoria de errores en topografia

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Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes

INTRODUCCION A LAS MEDICIONES Y TEORIA DE ERRORES

• EXACTITUD Y PRECISION• ERRORES Y FUENTES DE ERROR• TEORIA DE PROBABILIDADES• METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

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MEDICIONES Y TEORIA DE ERRORES

INTRODUCCION

Como cada técnica de medición tendrá errores inevitables, el ingeniero debe

considerar todas las fuentes y clase de error, así como la forma en que se

combinan a fin de minimizarlos .

En el caso de realizar una medición: si el error obtenido es menor al tolerado es

posible realizar un ajuste, en caso contrario, es preciso realizar el trabajo de

campo nuevamente.

El proceso de efectuar mediciones y realizar

cálculos, requiere una combinación de equipo

adecuado, destreza humana y buen criterio.

Sin embargo, a pesar de realizar estas

operaciones con mucho cuidado las

mediciones nunca son exactas y siempre

contendrán errores.

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EXACTITUD Y PRECISION

EXACTITUD: de una medida está en función de su

absoluta cercanía con la medida real.

Para conocer el valor más probable de una medición necesitamos una muestra

de mediciones finitas, las cuales pueden ser exactas o precisas:

Ejemplo: Si la longitud verdadera es 100 m, y las mediciones efectuadas

dan los siguientes valores:

100.04 m

99.98 m

99.95 m

100.03 m

El promedio = “valor real”, entonces la medición es exacta

VALOR REAL = 100 M

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PRECISION: es el grado de refinamiento con el que se pueden

realizar un conjunto de mediciones, las cuales

presentan pequeñas discrepancias. Es decir, se

refiere a qué tan cerca está una medida de la otra.

La precisión depende del grado de perfección de los equipos y/o procedimientos

aplicados.

Recomendación: Antes de iniciar un trabajo verifique los instrumentos a fin de

evitar errores de calibración.

EJEMPLO: Si la longitud verdadera es 100 m, y las mediciones efectuadas dan los

siguientes valores:

90.05 m

89.98 m

90.02 m

El promedio “valor real”, entonces la medición NO es exacta

Una medición es muy similar a la siguiente, entonces es precisa

VALOR REAL = 100 M

EXACTITUD Y PRECISION

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ERRORES

A pesar de que se obtenga la precisión requerida, es necesario presentar

un plano que no presente errores de cierre, para lo cual se realiza un

ajuste.

Error: es la diferencia que existe entre el valor medido y el valor real de una

magnitud.

Los errores pueden minimizarse mediante un trabajo cuidadoso combinado

con la aplicación de ciertas correcciones numéricas, sin embargo nunca

pueden eliminarse.

ErrorPerímetro

1Precisión

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FUENTES DE ERROR

a) Fuentes de error Instrumentales: se deben a imperfecciones en la

construcción o ajuste de los instrumentos empleados.

Fuentes de error.- son de tres tipos:

b) Fuentes de error Personales: se originan básicamente en las

limitaciones propias de los sentidos humanos. Ejemplo: hilo vertical del

teodolito no alineado sobre el objetivo; estadal no vertical.

c) Fuentes de error Naturales: son causados por variaciones del viento,

temperatura, humedad, presión atmosférica, etc. Ejemplo; longitud

variable de una cinta debida a cambios de temperatura.

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CLASES DE ERROR

a) Equivocación: es un error del observador cometido por descuido,

fatiga, error de comunicación o una apreciación equivocada. Por lo

general son equivocaciones grandes y por ello no se pueden

compensar. Se debe eliminar revisando cuidadosamente todo el

trabajo o parte de él.

Clases de error:

Ejemplo: 30.368

30.366

30.635

30.364

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Clases de error:

b) Errores Sistemáticos: resultan de factores que comprenden el

“sistema de medición” (medio ambiente, instrumentos y observador).

Son errores que en igualdad de condiciones se repiten siempre en la

misma proporción o con el mismo signo.

Debido a las condiciones del sistema los errores se mantendrán

constantes o variables. Son factibles de corregir.

20.456 m

20.462 m

A B

CLASES DE ERROR

Error por Catenaria= 0.006 m

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Clases de error:

c) Errores Aleatorios: ocasionados por factores que quedan fuera del

control del observador. Dependen del azar; son factibles de ajustar si es

que se ha alcanzado la precisión requerida. Se caracterizan por:

Son errores pequeños.

Son tanto positivos como negativos.

Estos errores obedecen las leyes de probabilidad y pueden ajustarse

aplicando el “Método de los Mínimos Cuadrados”

CLASES DE ERROR

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Error Total

CLASES DE ERROR

Equivocaciones Errores Sistemáticos Errores Aleatorios

Se eliminan Se corrigen Se redistribuyen

“Mínimos Cuadrados”

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TEORIA DE PROBABILIDADES

Probabilidad:

Es la relación entre el número de veces que un resultado debe ocurrir en

el número total de posibilidades.

Ejemplo:

Si lanzamos un dado, existe una

probabilidad de 1/6 que aparezca el

número 3.

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Para poder aplicar la teoría de probabilidades en el ajuste de errores se

debe haber eliminado las equivocaciones y corregido los errores

sistemáticos, de modo tal que queden sólo los errores aleatorios que

procederemos a ajustar.

• Los residuos pequeños ocurren con mayor frecuencia que los grandes, es

decir su probabilidad de ocurrencia es mayor.

• Los errores grandes ocurren con poca frecuencia y los “muy grandes” son

por lo general equivocaciones.

• Los errores positivos y negativos de la misma magnitud ocurren con igual

frecuencia.

• El valor verdadero de una cantidad es la media de un número infinito de

observaciones análogas.

Leyes Generales de la Probabilidad:

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Valor más probable:

Se puede obtener si se realizan mediciones redundantes. El valor más

probable de una magnitud medida varias veces con el mismo equipo, mismo

personal, procedimiento y bajo condiciones climatológicas similares, es la

media aritmética.

Es la diferencia entre cualquier valor medido de una magnitud y su valor más

probable.

Residuo:

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= 164.120 m

Histograma

Histograma:

Muestra los tamaños de las

medidas o residuos versus su

frecuencia de aparición.

Valor medido (m) Nº de veces

164.086 1

164.095 1

164.101 2

164.108 4

164.123 10

164.126 4

164.129 1

164.136 1

164.140 2

164.15 1

27

Valor medido (m) Nº de veces Vi (cm)

164.086 1 -3.4

164.095 1 -2.5

164.101 2 -1.9

164.108 4 -1.2

164.123 10 0.3

164.126 4 0.6

164.129 1 0.9

164.136 1 1.6

164.140 2 2.0

164.15 1 3.0

27

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5residuos

frec

uen

cias

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Construcción del Histograma:

Primero establecemos la marca de clase, que es la mínima división constante

de variación de las mediciones (para el ejemplo anterior 1 cm):

Intervalo del Frecuencia

Histograma (cm) Absoluta

-3.5 a -2.5 1

-2.5 a -1.5 3

-1.5 a -0.5 4

-0.5 a +0.5 10

+0.5 a +1.5 5

+1.5 a +2.5 3

+2.5 a +3.5 1

Luego tabulamos las medidas de campo, teniendo

en cuenta la “marca de clase”

0

5

10

15

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Marca de clase

(residuos)

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Sobre el histograma, si unimos con líneas rectas los puntos superiores

centrales de cada barra obtenemos el llamado “polígono de frecuencias”

Si se incrementa el número de mediciones, disminuye el intervalo de clase.

Finalmente el polígono de frecuencias se aproximará a una curva uniforme

continua en forma de campana, denominada “curva de distribución normal”.

Polígono de frecuencias

Curva de Distribución Normal

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5residuos

frec

uen

cias

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Es un término estadístico utilizado para para expresar la precisión de un conjunto

de medidas.

1

2

n

vi


xxv ii

n: # de medicionesx: promedio de mediciones

Si n>30 el denominador delradical se convierte en n

Desviación Estándar ó Error Estándar ():

fija los límites dentro de los cuales se espera que las

mediciones queden el 68% de las veces. E68=

Punto de

Inflexión

68% del

área total

Error

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Punto de

Inflexión

1.645 1.645 (E90) (E90)

]2x,2x[E95%deadprobabilidconerrordeIntervalo

σ]x,x[68%deadprobabilidconerrordeIntervalo

)(

)(

95

Errores 50%, 90% y 95%:

E50 (error 50) es el llamado error probable y

fija los límites dentro de los cuales han de

permanecer las mediciones un 50% de las

veces :

E50 = ± 0.6745

Los errores E90 y E95 se usan comúnmente

para especificar precisiones necesarias en

trabajos topográficos:

E90 = ± 1.645

E95 = ± 1.960 = ± 2

2 (E95)

2 (E95)

Error

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Errores 50%, 90% y 95%:

Para determinar el grado de precisión de un trabajo utilizamos la relación:

Error de la media:

Es el intervalo (-Em, + Em) dentro de cuyos límites puede encontrarse el verdadero

error, producido en forma accidental por el cálculo de valores medidos de manera

individual:


95EX

1Precisión

Ep: Error con un determinado porcentaje de

probabilidad

n: Número de términos de la muestra.

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PROPAGACION DE ERRORES

Como todas las mediciones tienen errores, las cantidades calculadas con

dichos valores contendrán asimismo errores. El proceso de evaluar estos

errores se conoce como “Propagación de Errores”.

Si tenemos una función M=f(x,y,z) con errores Ex, Ey, Ez, el error EM se

calcula:

Ejemplo:

Se tiene un tanque cilíndrico de radio R y altura H, las dimensiones

obtenidas con un 95% de error fueron: R=12±0.005 m, H=15±0.007 m.

Calcule el error esperado al determinar el volumen.

222

...

zyxM E

z

ME

y

ME

x

ME

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Solución:

Para calcular el volumen: M=V=πR2H

22

..

HRM E

H

ME

R

ME

22 RH

MHR

R

M

Reemplazando en EM

Derivadas parciales:

3

222

222

48.6

007.012005.015122

.2

mE

E

ERERHE

M

xxxxxM

HRxM

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Si se requiere calcular la propagación de errores en la suma de

cantidades que contiene, cada una, diferentes errores:

Error de una suma:

Error de una serie:

Si cada cantidad medida tiene un error de igual magnitud, en ese caso la

fórmula anterior se simplifica:

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EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

Es la técnica a utilizar para ajustar o corregir los errores aleatorios.

También se emplea para realizar las curvas de ajuste cuando se realizan

varias observaciones.

El método de los mínimos cuadrados consiste en que la suma de

cuadrados de los residuos sea mínima.

Cuando se utilizan varias técnicas, con diferentes pesos se puede

emplear:

mínimaVn

i

i 1

2

mínimaVpn

i

ii 1

2

2

1

i

ip

Donde:

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1. Expresar cada medida como el valor medido más un residuo (Vi).

2. Expresar cada residuo como una función de las mediciones.

3. Escribir la sumatoria Vi2

4. Hallar las derivadas parciales de la función mínimos cuadrados con respecto

a las mediciones halladas e igualar a cero.

5. Resolver el sistema de ecuaciones obtenido.

Pasos para aplicar el método de los Mínimos Cuadrados:

Ejemplo:

Para hallar la distancia entre los puntos A y B se tomaron las siguientes

medidas. Determine el valor más probable de AB.

26.462 m

11.134 m 15.322 mA B

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Solución:

mdmymx

yx

yx

sistemaeloresolviendyceroaderivadaslasIgualando

yyxy

V

xyxx

V

V

yxyxV

yV

xV

yxV

Vy

Vx

Vyx

AB

i

i

i

i

460.26324.15136.11

784.412

596.372

:

)322.15(2)462.26(2)(

)134.11(2)462.26(2)(

0)(4

)322.15()134.11()462.26(3

322.15

134.11

462.262

322.15

134.11

462.261

2

2

2

2222

3

2

1

3

2

1

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