C A P T U L O 8 Friccin

8. 1 Ca ractersticas de la friccin secaEl calor que genera la accin abrasiva de la friccin puede ser evidenciado al usar esta esmeriladora para afilar una hoja metlica.La friccin puede ser definida como una fuerza resistente que acta sobre un cuerpo e impide o retarda el deslizamiento del cuerpo con relacin a un segundo cuerpo o superficie con los cuales est en contacto. La fuerza de friccin acta siempre tangencialmente a la superficie en los puntos de contacto con otros cuerpos, y est dirigida en sentido opuesto al movimiento posible o existente del cuerpo con respecto a esos puntos.En general, pueden ocurrir dos tipos de friccin entre superficies. La friccin fluida existe cuando las superficies en contacto estn separadas por una pelcula de fluido (gas o lquido). La naturaleza de la friccin fluida se estudia en la mecnica de fluidos, ya que depende del conocimiento de la velocidad del fluido y de la capacidad del fluido de resistir fuerzas cortantes. En este libro slo sern presentados los efectos de la friccin seca. Este tipo de friccin es llamada a menudo friccin de Coulomb, ya que sus caractersticas fueron estudiadas extensamente por C. A. Coulomb en 1781. Especficamente, la friccin seca ocurre entre las superficies de cuerpos que estn en contacto en ausencia de un fluido lubricante.

Teora de la friccin seca. La teora de la friccin seca puede explicarse de manera conveniente considerando qu efectos provoca el tirar horizontalmente de un bloque de peso uniforme W que descansa sobre una superficie horizontal rugosa, figura 8-la. Para obtener un entendimiento pleno de la naturaleza de la friccin, es necesario considerar a las superficies en contacto como no rgidas, o deformables. Sin embargo, el resto del bloque ser considerado rgido. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre del bloque, figura 8-lb, el piso ejerce una distribucin de normal dNn Y una fuerza fuerza de friccin dF n a lo largo de la superficie de contacto. Por equilibrio, las fuerzas normales deben actuar hacia arriba paraequilibrar el peso W del bloque, y las fuerzas de friccin deben actuar haciala izquierda para prevenir que la fuerza aplicada P mueva el bloquehacia la derecha. Un examen preciso de las superficies en contacto entreel piso y el bloque revela cmo se desarrollan esas fuerzas de friccin ynormales, figura 8-lc. Puede verse que existen muchas irregularidades microscpicasentre las dos superficies y, como resultado, son desarrolladasfuerzas reactivas dRn en cada una de las protuberancias: Esas fuerzasactan en todos los puntos de contacto y, como se muestra, cada fuerzareactiva contribuye con una componente de friccin dF n y con una componentenormal dNn-Equilibrio. Por razones de simplicidad, en el siguiente anlisis, el efectode las cargas distribuidas normal y de friccin ser indicado mediante susresultantes N y F, las cuales estn representadas en el diagrama de cuerpolibre como se muestra en la figura 8-ld. Es claro que la distribucin dedFn en la figura 8-lb indica que F acta siempre tangencialmente a la superficiede contacto, opuesta a la direccin de P. Por otra parte, la fuerzanormal N es determinada a partir de la distribucin de dNn en la figura8-lb y est dirigida hacia arriba para equilibrar el peso W del bloque.Observe que N acta a una distancia x a la derecha de la lnea de accinde W, figura 8-ld. Esta ubicacin, que coincide con el centroide o centrogeomtrico del diagrama de carga en la figura 8-lb, es necesaria para equilibrarel "efecto de volteo" causado por P. Por ejemplo, si P se aplica auna altura h desde la superficie, figura 8-ld, entonces el equilibrio pormomento con respecto al punto O se satisface si Wx = Ph o x = En particular, el bloque estar a punto de Ph/W. volcarse si N acta en la esquinaderecha del bloque, es decir, en x = a/2.*Adems de las i nteracciones mecnicas explicadas aqu, por lo que se refiere a unenfoque clsico, un tratamiento detallado de la naturaleza de las fuerzas de friccin tambindebe incluir los efectos de temperatura, densidad, limpieza y atraccin atmica o molecularentre las superficies de contacto. Vea 1. Krim, Scientific American, octubre de 1996.SECCiN 8. 1 Caractersticas de la friccin seca 381w- - - ......NL--'"Equilibrio(e)pMovimientoinminenteMovimiento inminente. En los casos donde h es pequea o las superficiesde contacto son "resbalosas", la fuerza F de friccin puede no ser losuficientemente grande como para equilibrar a P, y en consecuencia, elbloque tender a resbalar antes que a volcarse. En otras palabras, al ser incrementada lentamente, P F aumenta de modo correspondiente hasta quealcanza un cierto valor mximo Fs, llamado fuerza lmite de friccin esttica,figura 8-1e. Cuando este valor es alcanzado, el bloque est en equilibrioinestable ya que cualquier incremento adicional en P ocasionardeformaciones y fracturas en los puntos de contacto superficial, y en consecuenciael bloque empezar a moverse. Experimentalmente, ha sidodeterminado que la fuerza lmite de friccin esttica Fs es directamenteproporcional a la fuerza normal resultante N. Esto puede expresarse matemticamentecomo(8-1)donde la constante de proporcionalidad, "s, es llamada el coeficiente defriEccnitonn cesets, tcicuaa. ndo el bloque est a punto de deslizarse, la fuerza normalN y la fuerza de friccin Fs se combinan para crear una resultanteRs, figura 8-1e. El ngulo cf>s que Rs forma con N se llama cin esttica. ngulo de fricApartir de la figura,cf>s = tan- Fk),sino que empezar a resbalar con rapidez creciente, figura 8-2a. La cadaque ocurre en la magnitud de la fuerza de friccin, desde Fs (esttica)hasta Fk (cintica), puede ser explicada examinando de nuevo las superficiesde contacto, figura 8-2b. Aqu se ve que cuando P > Fs, entoncesP tiene la capacidad de cortar los picos en las superficies de contacto yocasionar que el bloque se "levante" un tanto de su posicin asentaday "viaje" por encima de esos picos. Una vez que el bloque empieza adeslizarse, altas temperaturas locales en los puntos de contacto causanuna momentnea adhesin (soldadura) de esos puntos. El corte continuadode esas soldaduras es el mecanismo dominante que genera lafriccin. Como las fuerzas de contacto resultantes dRn estn ms ligeramentealineadas en la direccin vertical que antes, aportan componentesde friccin ms pequeas, dFm que cuando las irregularidades estntrabadas entre s.Los experimentos con bloques deslizables indican que la magnitud dela fuerza de friccin resultante Fk es directamente proporcional a la magnitudde la fuerza normal resultante N. Esto puede ser expresado matemticamentecomo(8-2)Aqu la constante de proporcionalidad, /J-b se llama coeficiente de friccincintica. Los valores tpicos de /J-k son aproximadamente 25 por cientoms pequeos que los dados en la tabla 8-1 para /J-s'Como se muestra en la figura 8-2a, en este caso, la resultante Rk tieneuna lnea de accin definida por c!Jk' Este ngulo se llama friccin cintica, ngulo de dondePor comparacin, c!Js c!Jk'Los efectos mencionados con respecto a la friccin pueden ser resumidosmediante referencia a la grfica que aparece en la figura 8-3, lacual muestra la variacin de la fuerza de friccin F contra la carga aplicadaP. Aqu, la fuerza de friccin est clasificada en tres maneras diferentes:F es una fuerza de friccin esttica si se mantiene el equilibrio; F esuna fuerza de friccin esttica lmite Fs cuando alcanza un valor mximonecesario para mantener el equilibrio; y finalmente, F se llama fuerza defriccin cintica Fk cuando el deslizamiento ocurre en la superficie decontacto. Observe tambin en la grfica que para valores muy grandesde P o para velocidades altas, debido a los efectos aerodinmicos, Fk eigualmente /J-k empiezan a disminuir.SECCiN 8.2 Problemas que impl ican friccin seca 383Caractersticas de la friccin seca. Como resultado de que son pertinentes a la argumentacin anterior, deben estabelxepceerrsiem leans tsoisguientesreglas aplicables a cuerpos sometidos a friccin seca. La fuerza de friccin acta tangencialmente a las superficies decontacto en una direccin opuesta al movimiento relativo o a la tendenciaal movimiento de una superficie con respecto a otra. La fuerza de friccin esttica mxima Fs que puede ser desarrolladaes independiente del rea de contacto, siempre que la presin normalno sea ni muy baja ni muy grande como para deformar o aplastarseveramente las superficies de contacto de los cuerpos. La fuerza de friccin esttica mxima es generalmente mayor que lafuerza de friccin cintica para dos superficies de contacto cualesquiera.Sin embargo, si uno de los cuerpos se est moviendo a velocidadmuy baja sobre la superficie de otro cuerpo, Fk resulta aproximadamenteigual a Fs, es decir, JLs ':::: JLk. Cuando en la superficie de contacto est a punto de ocurrir el deslizamiento,la fuerza de friccin esttica mxima es proporcional a lafuerza normal, de manera tal que Fs = JLsN. Cuando est ocurriendo el deslizamiento en la superficie de contacto,la fuerza de friccin cintica es proporcional a la fuerza normal,de manera tal que Fk = JLkN.8.2 Problemas que i m pl ican friccin secaSi un cuerpo rgido est en equilibrio cuando es sometido a un sistemade fuerzas que incluye el efecto de la friccin, el sistema de fuerzas debesatisfacer no slo las ecuaciones de equilibrio sino tambin las leyesque gobiernan a las fuerzas de friccin.Tipos de problemas de fricci n . En general, en mecnica hay trestipos de problemas que implican la friccin seca. Estos problemas puedenser fcilmente clasificados una vez que son trazados los diagramas decuerpo libre y es identificado el nmero total de incgnitas y comparadocon el nmero total de ecuaciones de equilibrio disponibles. Cada tipo deproblema ser explicado a continuacin e ilustrado grficamente con ejemplos.En todos esos casos la geometra y las dimensiones para los problemasse suponen conocidas.384 CAPTULO 8 FriccinBAI-tA = 0.3 I-tc = 0.5(a)(b)Fig. 8-4Equilibrio. Los problemas de este tipo son estrictamente problemas deequilibrio que requieren que el nmero total de incgnitas sea igual alnmero total de ecuaciones de equilibrio disponibles. Sin embargo, unavez que las fuerzas de friccin estn determinadas, sus valores numricosdeben ser revisados para garantizar que satisfacen la desigualdadF :s ILsN; de otra manera, ocurrir el deslizamiento y el cuerpo no permaneceren equilibrio. Un problema de este tipo se muestra en la figura8-4a. Aqu debemos determinar las fuerzas de friccin en A y e paraverificar si la posicin de equilibrio del bastidor de dos miembros puedeser mantenida. Si las barras son uniformes y tienen pesos conocidosde 100 N cada una, entonces los diagramas de cuerpo libre son como semuestra en la figura 8-4b. Se tienen seis componentes desconocidas defuerza que pueden ser determinadas estrictamente a partir de las seisecuaciones de equilibrio (tres para cada miembro). Una vez determinadasFA, NA, Fe Y Ne, las barras permanecern en equilibrio si FA :s 0.3NA y Fe :s 0.5Ne se cumplen.Movimiento inminente en todos los puntos. En este caso el nmero totalde incgnitas ser igual al nmero total de ecuaciones de equilibriodisponibles ms el nmero total de ecuaciones de friccin disponibles,F = ILN. En particular, si el movimiento es inminente en los puntos decontacto, entonces Fs = ILsN; mientras que si el cuerpo se est deslizando,entonces Fk = ILkN. Por ejemplo, considere el problema de encontrarel ngulo (J ms pequeo bajo el cual la barra de 100 N que apareceen la figura 8-5a puede ser recargada contra la pared sin que se deslice.El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 8-5b. Aqu se tienencinco incgnitas: FA, NA, FB, NB, (J. Para la solucin, se dispone detres ecuaciones de equilibrio y de dos ecuaciones de friccin estticaque se aplican en ambos puntos de contacto, de manera que FA = 0.3NA Y FB = OANB/.... -. - NBB #lB = 0.4A(a) (b)Fig. 8-5SECCIN 8.2 Problemas que i m pl ican friccin seca 385Movimiento inminente en algunos puntos. Aqu el nmero total de incgnitasser menor que el nmero de ecuaciones disponibles de equilibrioms el nmero total de ecuaciones de friccin o ecuaciones decondicin para el volteo. En consecuencia, existirn varias posibilidadespara que se produzca el movimiento o el movimiento inminente y elproblema implicar determinar qu tipo de movimiento ocurrir realmente.Por ejemplo, considere el bastidor de dos miembros mostradoen la figura 8-6a. En este problema queremos determinar la fuerza horizontalP necesaria para ocasionar el movimiento. Si cada miembro tieneun peso de 1 00 N, entonces los diagramas de cuerpo libre son comose muestran en la figura 8-6b. Se tienen siete incgnitas: NA, FA , Ne, Fe,Bx, By, P. Para encontrar una solucin nica debemos satisfacer las ecuaciones de equilibrio (tres para cada miembro) y slo seis una de dos posiblesecuaciones de friccin esttica. Esto significa que conforme P aumentecausar deslizamiento en A y ningn deslizamiento en e, demanera que FA = 0.3NA Y Fe :5 0.5Ne, o bien deslizamiento en e y ningndeslizamiento en A , en cuyo caso Fe = 0.5Ne Y FA :5 0.3NA- La situacinreal puede ser determinada calculando P en cada caso yseleccionando luego el caso para el cual P es ms pequea. Si en amboscasos se calcula el mismo valor para P, lo que en la prctica sera altamenteimprobable, entonces el deslizamiento ocurre simultneamente enambos puntos; es decir, las siete incgnitas satisfacen ocho ecuaciones.Considere que la caja uniforme con peso W y que descansa sobre una superficierugosa est siendo empujada. Como se muestra en el primer diagrama de cuerpo libre,si la magnitud de P es pequea, la caja permanecer en equilibrio. Cuando P aumentala caja est a punto de deslizarse sobre la superficie (F = JLsW)' o si la superficiees muy rugosa (JLs grande) entonces la fuerza normal resultante se desplazara la esquina, x = b /2, como se muestra en el segundo diagrama de cuerpo libre, y lacaja se volcar. La caja podr volcarse ms fcilmente si P es aplicada a una granaltura h sobre la superficie, o si la caja tiene un ancho b pequeo.rb/2-- b12-lp r h 1 -F1-x -- NBA/LA = 0.3 /Le = 0.5(a)P\.------- pph 1(b)Fig. 8-6rb/2-- b/2-lrI--xF386 CAPTULO 8 FriccinEcuaciones de equilibrio contra ecuaciones de friccin. Sealamosantes que la fuerza de friccin siempre acta oponindose al movimientorelativo o impidiendo el movimiento de un cuerpo sobre susuperficie de contacto. Sin embargo, observe que podemos suponer el sentidode la fuerza de friccin en problemas que requieren que F sea una"fuerza de equilibrio" y satisfaga la desigualdad F < J.LsN. El sentidocorrecto se conoce despus de obtener F a partir de las ecuaciones deequilibrio. Por ejemplo, si F es un escalar negativo, el sentido de F es elopuesto del que se supuso. Esta conveniencia de suponer el sentido de Fes posible porque las ecuaciones de equilibrio igualan a cero las componentesde vectores que actan en la misma direccin. Sin embargo, en loscasos en que la ecuacin de friccin F = J.LN se usa para resolver un problema,la conveniencia de suponer el sentido de F se pierde, ya que laecuacin de friccin relaciona slo las magnitudes de dos vectores perpendiculares.En consecuencia, cuando se use la ecuacin de friccinpara solucionar un problema, en el diagrama de cuerpo libre F debe mostrarsesiempre actuando con su sentido correcto.PROCEDIM I E NTO DE ANLISISLos problemas de equilibrio que implican friccin seca pueden serresueltos usando el siguiente procedimiento.Diagramas de cuerpo libre. Trace los diagramas de cuerpo libre necesarios, y a menos que estindicado en el problema que el movimiento es inminente o queocurre deslizamiento, muestre siempre las fuerzas de friccin comoincgnitas; es decir, no suponga que F = J.LN. Determine el nmero de incgnitas y comprelo con el nmerode ecuaciones de equilibrio disponibles. Si hay ms incgnitas que ecuaciones de equilibrio, ser necesarioaplicar la ecuacin de friccin en algunos, si no es que en todoslos puntos de contacto para obtener las ecuaciones adicionalesnecesarias para una solucin completa. Si va a usarse la ecuacin F = ILN, ser necesario mostrar a F actuandoen la direccin correcta en el diagrama de cuerpo libre.Ecuaciones de equilibrio y de friccin. Aplique las ecuaciones de equilibrio y las ecuaciones de friccin necesarias(o ecuaciones condicionales si es posible el volteo) y despejelas incgnitas. Si el problema implica un sistema tridimensional de fuerzas tal queresulta difcil obtener las componentes de fuerza o los brazos demomento necesarios, aplique las ecuaciones de equilibrio usandovectores cartesianos.SECCiN 8.2 Problemas que impl ican friccin seca 387La caja uniforme mostrada en la figura 8-7a tiene una masa de 20 kg.Si una fuerza P = 80 N se aplica a la caja, determine si sta permaneceen equilibrio. El coeficiente de friccin esttica es J.L = 0.3.(a)Fig. 8-7SolucinDiagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 8-7b, lafuerza normal resultante Nc debe actuar a una distancia x de la lneacentral de la caja para contrarrestar el efecto de volteo causado porP. Hay tres incgnitas, F, Nc Y x, que pueden ser determinadas estrictamentea partir de las tres ecuaciones de equilibrio.Ecuaciones de equilibrio. , F = O 80 cos 30 N - F = O x ,+ j , Fy = O; -80 sen 30 N + Nc - 196.2 N = O1 + , Mo = O; 80 sen 30 N(O.4 m) - 80 cos 30 N(0.2 m) + Nc(x) = ODespejando,F = 69.3 NNc = 236 Nx = -0.00908 m = -9.08 mmComo x es negativa, ello indica que la fuerza normal resultante acta(ligeramente) a la izquierda de la lnea central de la caja. No ocurrirningn volteo ya que x ::5 0.4 m. Adems, la fuerza de friccinmxima que puede ser desarrollada en la superficie de contacto esFmx = J.LsNc = 0.3(236 N) = 70.8 N. Como F = 69.3 N < 70.8 N, lacaja no se deslizar, aunque estar muy cerca de hacerlo.1 96.2 NP = 80 N O.4 m -j(b)388 CAPTULO 8 Friccin(b)(e)Fig. S-8Se observa que cuando la caja del camin de volteo es elevada a unngulo de (J = 25, las mquinas expendedoras comienzan a deslizarsefuera de la caja, figura 8-8a. Determine el coeficiente de friccinesttica entre las mquinas y la superficie del camin.(a)SolucinUn modelo idealizado de una mquina expendedora que descansasobre la caja del camin se muestra en la figura 8-8b. Las dimensioneshan sido medidas y el centro de gravedad se ha localizado.Supondremos que la mquina pesa W. Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 8-8e, ladimensin x se usa para localizar la posicin de la fuerza normal resultanteN. Hay cuatro incgnitas, N, F, ILs Y x.Ecuaciones de equilibrio.W sen 25 - F = O+ ? '2:. Fy = O; N - W cos 25 = O1 + '2:. Mo = O; - W sen (J (2.5 pies) + W cos (J (x ) = O( 1 )(2)(3)Como el movimiento es inminente en (J = 25, usando las primerasdos ecuaciones, tenemosW sen 25 = ILs (W cos 25 )ILs = tan 25 = 0.466 Resp. Al ngulo (J = 25 se le llama ngulo de reposo, y por comparacin,es igual al ngulo de friccin esttica (J = /-LeNe = 0.5(400 N) = 200 N, el otro caso demovimiento debe ser estudiado.(El poste se desliga slo en e). Donde FB $ /-LBNB YFe = 0.5 NeAl resolver las ecuaciones de la 1 a la 4 resultaP = 267 NNe = 400 NFe = 200 NFB = 66.7 N(4)Resp.Es evidente que este caso se presenta primero ya que requiere unvalor menor para P.(a)A =CFs-2 m 2 mAy --1- Ns = 400 N(b)400 N(e)Fig. 8-11392 CAPTULO 8 Friccin(a)pp(e)Fig. 8-12Determine la fuerza normal P que se debe ejercer sobre la escuadrapara empezar a empujar el tubo de 100 kg mostrado en la figura 8-12ahacia arriba por el plano inclinado a 20. Los coeficientes de friccinesttica en los puntos de contacto son (.ts)A = 0.15, Y (.ts)B = 0.4.SolucinDiagramas de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 8-12b, la escuadradebe ejercer una fuerza P sobre el tubo debido al equilibrio defuerzas en la direccin x. Se tienen cuatro incgnitas, P, FA, NA, Y FB,actuando sobre el tubo, figura 8-12c. Estas incgnitas se pueden determinara partir de las tres ecuaciones de equilibrio y de una ecuacin defriccin, que se aplica en A o en B. Si el deslizamiento empieza a ocurrirslo en B, el tubo empezar a rodar hacia arriba por el plano inclinado;mientras que si el deslizamiento ocurre slo en A, el tubo comenzar adeslizarse hacia arriba por el plano. Aqu debemos encontrar N B.Ecuaciones de equilibrio y de friccin (para la figura 8-12c)+ / 2. Fx = O;+ "- 2. Fy = O;1 + 2.Mo = O;-FA + P - 981 sen 20 N = ONA - FB - 981 cos 20 N = OFB(400 mm) - FA(400 mm) = O(1)(2)(3)(El tubo rueda hacia arriba por el plano inclinado). En este casoFA ::5 0.15NA Y(4)La direccin de la fuerza de friccin en B debe ser especificada correctamente.Por qu? Como el carrete est siendo forzado haciaarriba por el plano, F B acta hacia abajo para impedir cualquier movimientode rodamiento del tubo en el sentido de las manecillas delreloj, figura 8-12c. Resolviendo las ecuaciones de la 1 a la 4 tenemosNA = 1 146 N FA = 224 N FB = 224 N P = 559 NLa hiptesis relativa a no deslizamiento en A debe ser revisada.?FA ::5 (.ts)ANA; 224 N ::5 0.15(1 146 N ) = 172 NLa desigualdad no es aplicable, y por tanto, el deslizamiento ocurre enA y no en B. Por consiguiente, ocurrir el otro caso de movimiento.(El tubo se desliza hacia arriba por el plano inclinado). En estecaso, P ::5 O.4N B Y(5)Resolviendo las ecuaciones 1 , 2, 3 Y 5 resultaNA = 1085 N FA = 163 N FB = 163 N P = 498 N Resp. La validez de la solucin (P = 498 N) puede ser verificada probandola hiptesis de que no ocurre deslizamiento en B.(comprueba)P R O B L E M A S8-1. El vagn de mina y su contenido tienen una masatotal de 6 Mg Y centro de gravedad en G. Si el coeficientede friccin esttica entre las ruedas y los rieles esfLs = 0.4 cuando las ruedas estn frenadas, encuentre lafuerza normal que acta sobre las ruedas frontales en B ylas ruedas posteriores en A cuando los frenos en A y Bestn bloqueados. Se mueve el vagn?1 0 kN0.9 m0.6 m -1----1 .5 m---Prob. 8-18-2. Si la fuerza horizontal P = 80 lb, determine las fuerzasnormal y de friccin que actan sobre la caja de 300 lb.Considere fLs = 0.3, fLk = 0.2.Prob. 8-28-3. El poste uniforme tiene un peso de 30 lb Y longitudde 26 pies. Si se le coloca contra la pared lisa y sobreel piso rugoso en la posicin d = 10 pies, permaneceren esa posicin cuando se libere? El coeficiente de friccinesttica es fLs = 0.3.':'8-4. El poste uniforme tiene un peso de 30 lb Y longitudde 26 pies. Determine la distancia d mxima a quepuede colocarse de la pared lisa sin deslizarse. El coeficientede friccin esttica entre el piso y el poste esfLs = 0.3.BProbs. 8-3 4PROBLEMAS 3938-5. La escalera uniforme de 20 lb descansa sobre el pisorugoso, cuyo coeficiente de friccin esttica es fLs = 0.8,Y contra la pared lisa en B. Determine la fuerza horizontalP que el hombre debe ejercer sobre la escalera paraque se mueva.8-6. La escalera uniforme de 20 lb descansa sobre el pisorugoso, cuyo coeficiente de friccin esttica es fLs = 0.4,Y contra la pared lisa en B. Determine la fuerza horizontalP que el hombre debe ejercer sobre la escalera paraque se mueva.BProbs. 8-5/ 6394 CAPTULO 8 Friccin8-7. Una fuerza axial de T = 800 lb es aplicada a labarra. Si el coeficiente de friccin esttica en las mordazase y D es J-Ls = 0.5, determine la fuerza normal mspequea que el tornillo localizado en A debe ejercer sobrela superficie lisa de los eslabones en B y e para mantenera la barra estacionaria. Los eslabones estn conectadosmediante pasadores en F y G.TProb. 8--7*8-8. El malacate sobre el camin se usa para elevar elcontenedor de basura hasta la caja del camin. Si el contenedorpesa 8500 lb Y tiene su centro de gravedad en G,determine la fuerza necesaria en el cable para comenzarel izado. Los coeficientes de friccin esttica en A y B sonJ-LA = 0.3 Y J-LB = 0.2, respectivamente. Ignore la alturadel soporte en A .Prob. 8-88-9. La escalera de 15 pies tiene un peso uniforme de80 lb Y descansa contra la pared lisa en el punto B. Si elcoeficiente de friccin esttica en A es J-LA = 0.4, determinesi la escalera se deslizar. Considere () = 60.Prob. 8--98-10. El freno de zapata se usa para impedir que la ruedagire cuando est sometida a un momento de par Mo.Si el coeficiente de friccin esttica entre la rueda y lazapata es J-Ls, determine la fuerza ms pequea P que debeser aplicada.8-U. Demuestre que el freno en el problema 8-1 0 esautobloqueante, es decir, P :5 O, siempre que b / e :5 J-Ls.*8-12. Resuelva el problema 8-10 si el momento de parMo es aplicado en sentido contrario al de las manecillasdel reloj .P1-------- a -----------1lbProbs. 8--10/ 11/ 128-13. El freno consiste en una palanca conectada medianteun pasador en A y un bloque de friccin en B .E l coeficiente d e friccin esttica entre la rueda y l apalanca es J-L s = 0 . 3 ; una torca de 5 N . m es aplicadaa la rueda. Determine si el freno puede mantener estacionariaa la rueda cuando la fuerza aplicada a l a palancaes (a) P = 30 N, (b) P = 70 N.8-14. Resuelva el problema 8-13 si el par de 5 N . m esaplicada en sentido contrario al de las manecillas del reloj.P--I---400 mm ----1Probs. 8--13 / 148-15. El tractor tiene un peso de 4500 lb Y centro de gravedaden G. La traccin impulsora es desarrollada en lasruedas posteriores B, mientras que las ruedas frontalesen A tienen libertad de girar. Si el coeficiente de friccinesttica entre las ruedas situadas en B y el terreno es!-Ls = 0.5, determine si es posible jalar con P = 1200 lbsin que las ruedas en B se deslicen o las ruedas frontaleslocalizadas en A se levanten del terreno.Probo S-15*8-16. El carro tiene una masa de 1 .6 Mg Y centro demasa en G. Si el coeficiente de friccin esttica entre elborde del camino y los neumticos es !-Ls = 0.4, determinela pendiente mxima (J que puede tener el borde delcamino sin que el carro se deslice o se voltee cuando viajacon velocidad constante.Prob. S-16PROBLEMAS 3958-17. El tambor tiene un peso de 1 00 lb Y descansa sobreel piso cuyo coeficiente de friccin esttica es !-Ls = 0.6.Si a = 2 pies y b = 3 pies, determine la magnitud mspequea de la fuerza P que causar el movimiento inminentedel tambor.8-18. El tambor tiene un peso de 100 lb Y descansa sobreel piso cuyo coeficiente de friccin esttica es !-Ls = 0.5. Sia = 3 pies y b = 4 pies, determine la magnitud ms pequeade la fuerza P que causar el movimiento inminentedel tambor.Probs. S-17/ 188-19. El coeficiente de friccin esttica entre las zapatascolocadas en los puntos A y B de las tenazas y laplataforma es !-L = 0.5, Y entre la plataforma y el piso es!-Ls = 0.4. Si se aplica una fuerza P = 300 N horizontal alas tenazas, determine la masa ms grande que puede serremolcada.Probo S-19396 CAPTULO 8 Friccin*8-20. El tubo es levantado usando las tenazas. Si el coeficientede friccin esttica en A y B es /-ts' determine ladimensin b ms pequea de manera que cualquier tubode dimetro interno d pueda ser levantado.Prob. 8-208-21. Determine el peso mximo W que el hombre puedelevantar con velocidad constante usando el sistema depoleas, sin y luego con la polea ubicada en A. El hombretiene un peso de 200 lb Y el coeficiente de friccin estticaentre sus zapatos y el suelo es /-ts = 0.6.Ca) Ch)Prob. 8-218-22. El mueble uniforme tiene un peso de 90 lb Y descansasobre un piso de losetas con /-ts = 0.25. Si el hombrelo empuja en direccin horizontal () = 0, determinela magnitud ms pequea de la fuerza F necesaria paramoverlo. Si el hombre tiene un peso de 1 50 lb, encuentreel coeficiente de friccin esttica ms pequeo necesarioentre sus zapatos y el piso para que no resbale.8-23. El mueble uniforme tiene un peso de 90 lb Y descansasobre un piso de losetas con /-ts = 0.25. Si el hombrelo empuj a en direccin () = 30, determine la magnitudms pequea de la fuerza F necesaria para moverlo. Si elhombre tiene un peso de 150 lb, encuentre el coeficientede friccin esttica ms pequeo necesario entre sus zapatosy el piso para que no resbale.Probs. 8-22/23*8-24. El cilindro de 5 kg est suspendido de dos cuerdasde misma longitud. El extremo de cada cuerda est unidoa un anillo de masa insignificante que pasa a lo largo deuna flecha horizontal. Si el coeficiente de friccin estticaentre cada anillo y la flecha es /-ts = 0.5, determine ladistancia d ms grande a la que los anillos pueden estarseparados y seguir an soportando al cilindro.--------- d -----------Prob. 8-248-25. La tabla puede ajustarse verticalmente inclinndolahacia arriba y deslizando el pasador A a lo largo dela gua vertical G. Cuando se coloca horizontalmente, laparte inferior e se apoya a lo largo del borde de la gua,mientras que ILs = 0.4. Determine la dimensin d msgrande que soportar cualquier fuerza F aplicada sin causarque la tabla resbale hacia abajo.AHVista superior0.75 pulg.GProb. 8-258-26. El semicilindro homogneo tiene una masa m ycentro de masa en G. Determine el ngulo () ms grandedel plano inclinado sobre el que descansa el cilindro de maneraque ste no se deslice hacia abajo por el plano. Elcoeficiente de friccin esttica entre el plano y el cilindroes ILs = 0.3. Cul es el ngulo 4> para este caso?Prob. 8-26PROBLEMAS 3978-27. El automvil A tiene una masa de 1 .4 Mg Y centrode masa en G. Si el automvil B ejerce una fuerza horizontalsobre A de 2 kN, determine si esta fuerza es lo suficientementegrande como para mover el automvil A. Loscoeficientes de friccin esttica y cintica entre los neumticosy el camino son ILs = 0.5 Y ILk = 0.35, respectivamente.Suponga que la defensa de B es lisa.A B0.8 m 0.8 mProb. 8-27*8-28. Un disco de 35 kg descansa sobre una superficieinclinada para la cual ILs = 0.2. Determine la fuerza verticalmxima P que puede ser aplicada al eslabn AB sinque el disco se deslice en C.200 mm 300 mmPProb. 8-28600 mml8-29. La caja tiene un peso W y el coeficiente de friccinesttica en la superficie es ILs = 0.3. Determine laorientacin de la cuerda y la fuerza P ms pequea posibleque tiene que aplicarse a la cuerda para que la cajaest a punto de moverse.Prob. 8-29398 CAPTULO 8 Friccin830. El tubo de concreto de 800 lb est siendo bajadode la cama del camin cuando se encuentra en la posicinmostrada. Si el coeficiente de friccin esttica en lospuntos de soporte A y B es ..ts = 0.4, determine dndecomienza a deslizarse primero: en A o en B, o en A y B.Prob. 8-30831. El trinquete de friccin est colgado de un pasadorubicado en A y descansa contra la rueda en B. Permitelibertad de movimiento cuando la rueda gira en sentidocontrario al de las manecillas del reloj con respecto a C.La rotacin opuesta est impedida debido a la friccindel trinquete que tiende a frenar la rueda. Si (.t. s)B = 0.6,determine el ngulo () de diseo que impedir el movimientoen el sentido de las manecillas del reloj para cualquiervalor del momento aplicado M. Sugerencia: Ignoreel peso del trinquete de modo que se considere como unmiembro de dos fuerzas.Prob. 8-31*832. El semicilindro de masa m y radio r est sobre elplano inclinado rugoso para el cual cf> = 100 Y el coeficientede friccin esttica es ..ts = 0.3. Determine si el semicilindroresbala por el plano, y si no, encuentre el ngulode volteo (J de su base AB.833. El semicilindro de masa m y radio r se encuentrasobre el plano inclinado rugoso. Si la inclinacin cf> = 150,determine el coeficiente de friccin esttica ms pequeoque impedir su deslizamiento.BProbs. 8-32/33834. El puntal AB de la puerta se disea para impedirque sta se abra. Si el puntal forma una conexin de pasadorbajo la perilla y el coeficiente de friccin estticacon el piso es ..ts = 0.5, determine la longitud L ms largaque el puntal puede tener para impedir que la puertase abra. Ignore el peso del puntal.Prob. 8-348-35. El hombre tiene un peso de 200 lb, Y el coeficientede friccin esttica entre sus zapatos y el piso es .Ls = 0.5.Determine dnde debe colocar l su centro de gravedadG en d para ejercer la fuerza horizontal mxima sobre lapuerta. Cunto vale esta fuerza?Prob. 8-35*8-36. El joven pesa 80 lb, est de pie sobre la viga yjala la cuerda con una fuerza tan grande que lo hace resbalar.Si (.Ls)D = 004 entre sus zapatos y la viga, determinelas reacciones en A y B. La viga es uniforme y pesa100 lb. Ignore el tamao de las poleas y el espesor dela viga.8-37. El joven de 80 lb est de pie sobre la viga y jalacon una fuerza de 40 lb. Si (.Ls)D = 004, determine la fuerzade friccin entre sus zapatos y la viga y las reaccionesen A y B. La viga es uniforme y pesa 100 lb. Ignore el tamaode las poleas y el espesor de la viga.5Pies-- 3 pies 4 pies -I pieProbs. 8-36 / 37PROBLEMAS 3998-38. Dos bloques A y B tienen un peso de 10 y 6 lb,respectivamente. Descansan sobre el plano inclinadocuyos coeficientes de friccin esttica son .LA = 0.15 Y.LB = 0.25. Determine el ngulo de inclinacin () para elcual ambos bloques empiezan a resbalar. Encuentre tambinel alargamiento o acortamiento requerido en elresorte que los conecta para que esto ocurra. El resortetiene rigidez de k = 2 lb/pie.8-39. Dos bloques A y B tienen un peso de 10 y 6 lb,respectivamente. Descansan sobre el plano inclinadopara el cual los coeficientes de friccin esttica son .LA =0.15 Y .LB = 0.25. Determine el ngulo () que ocasionarel movimiento de uno de los bloques. Cul ser la fuerzade friccin bajo cada uno de los bloques cuando estoocurra? El resorte tiene rigidez de k = 2 lb/pie e inicialmenteno est alargado.Probs. 8-38/39*8-40. Determine la fuerza ms pequea que el hombredebe ejercer sobre la cuerda para mover la caja de 80 kg.Cul es el ngulo () en este momento? El coeficiente defriccin esttica entre la caja y el piso es .Ls = 0.3.Prob. 8-40400 CAPTULO 8 Friccin8-41. Las tres barras tienen pesos de W A = 20 lb, W B= 40 lb, Y Wc = 60 lb, respectivamente. Si los coeficientesde friccin esttica en las superficies de contacto soncomo se muestran, determine la fuerza horizontal P mspequea necesaria para mover la barra A .PProb. 8-418-42. El gancho de friccin se hizo a partir de un marcofijo que se muestra en un tono ms oscuro y de un cilindrocon peso insignificante. Una pieza de papel estcolocada entre la pared lisa y el cilindro. Si () = 20, determineel coeficiente de friccin esttica JL ms pequeonecesario en todos los puntos de contacto de maneraque cualquier peso W de papel p pueda sostenerse.fJpProb.8-428-43. El refrigerador tiene un peso de 1 80 lb Y descansasobre un piso de mosaicos cuyo JLs = 0.25. Si el hombreempuja horizontalmente sobre el refrigerador en ladireccin mostrada, determine la magnitud ms pequeade la fuerza necesaria para m'overlo. Si el hombre tieneun peso de 150 lb, determine tambin el coeficiente defriccin ms pequeo necesario entre sus zapatos y el pisopara que no resbale.*8-44. El refrigerador tiene un peso de 180 lb Y descansasobre un piso de mosaicos cuyo JLs = 0.25. El hombretiene un peso de 150 lb Y el coeficiente de friccin estticaentre el piso y sus zapatos es JLs = 0.6. Si l empujahorizontalmente sobre el refrigerador, determine si puedemoverlo. De ser as, el refrigerador se deslizar o sevoltear?1---3 pies----jProbs. 8-43/448-45. La rueda pesa 20 lb Y descansa sobre una superficiecuyo JLB = 0.2. Una cuerda enrollada a su alrededor estunida a la parte superior del bloque homogneo de 30lb. Si el coeficiente de friccin esttica en D es JLD = 0.3,determine la fuerza vertical ms pequea que puede seraplicada tangencialmente a la rueda para que el movimientosea inminente.pProb.8-458-46. Cada uno de los cilindros tiene una masa de 50 kg.Si los coeficientes de friccin esttica en los puntos decontacto son /-LA = 0.5, /-LB = '0.5, /-Le = 0.5 Y /-LD = 0.6,determine el momento de par M necesario para hacer girarel cilindro E.Prob. 8-468-47. La viga AB tiene masa y espesor insignificantes yest sometida a una carga triangular distribuida. Estsoportada en un extremo por un pasador y en el otro porun poste con masa de 50 kg Y espesor insignificante. Determinela fuerza P mnima necesaria para mover el poste.Los coeficientes de friccin esttica en B y en e son /-LB= 0.4 Y /-Le = 0.2, respectivamente.*8-48. La viga AB tiene masa y espesor insignificantesy est sometida a una carga triangular distribuida. Estsoportada en un extremo por un pasador y en el otro porun poste con masa de 50 kg Y espesor insignificante. Determinelos dos coeficientes de friccin esttica en B y ene de manera que cuando la magnitud de la fuerza aplicadaes incrementada a P = 150 N, el poste se desliza enB y e simultneamente.300 mmeProbs. 8-47/48PROBLEMAS 4018-49. El bloque de peso W est siendo jalado hacia arribapor el plano inclinado de pendiente a usando una fuerzaP. Si P acta con el ngulo como se aprecia en lafigura, demuestre que para que ocurra el deslizamiento,P = W sen( a + O) / cos( - O), donde O es el ngulo defriccin; O = tan -1 /-L.8-50. Determine el ngulo a que debe actuar P sobreel bloque de manera que la magnitud de P sea tan pequeacomo sea posible para comenzar a empujar elbloque hacia arriba por el plano inclinado. Cul es el valorcorrespondiente de P? El bloque pesa W y la pendientea es conocida.Probs. 8-49/508-51. La viga A B tiene masa y espesor insignificantes yes sometida a una fuerza de 200 N. Est soportada en unextremo por un pasador y en el otro por un carrete conmasa de 40 kg. Si un cable se enrolla alrededor del ncleointerno del carrete, determine la fuerza P mnimanecesaria en el cable para mover el carrete. Los coeficientesde friccin esttica en B y D son /-LB = 0.4 Y /-Lo = 0.2,respectivamente.200 N----11--1 m0. 1 m--tt;f;LO1.3 ,!m.! PProb. 8-51402 CAPTULO 8 Friccin*8-52. El bloque e tiene masa de 50 kg Y est confinadoentre dos paredes mediante rodillos lisos. Si estebloque descansa sobre un carrete de 40 kg, determine lafuerza P mnima necesaria en el cable para mover elcarrete. El cable est enrollado alrededor del ncleo centraldel carrete. Los coeficientes de friccin esttica en Ay B son /LA = 0.3 Y /LB = 0.6.Prob. 8-528-53. La caja e de estructura homognea y peso de 60kg descansa uniformemente sobre un carro D de 10 kg.Si las ruedas frontales del carro localizadas en A estntrabadas para impedir su rodamiento mientras que lasruedas ubicadas en B estn libres para rodar, determinela fuerza mxima P que puede ser aplicada sin causarmovimiento de la caja. El coeficiente de friccin estticaentre las ruedas y el piso es /L = 0.35, Y entre el carro yla caja es /Ld = 0.5.1--0.6 m -1e 1 .5 mProb. 8-538-54. Dos bloques A y B, cada uno con masa de 6 kg,estn conectados mediante los eslabones que se muestran.Si los coeficientes de friccin esttica en las superficiesde contacto son /LA = 0.2 Y /LB = 0.8, determine lafuerza vertical P ms grande que puede aplicarse al pasadore sin que los bloques se deslicen. Ignore el peso delos eslabones.A BPProb. 8-548-55. La viga uniforme tiene un peso W, longitud de 4ay descansa sobre los rieles fijos en A y B. Si el coeficientede friccin esttica en los rieles es /Ls, determine la fuerzahorizontal P, aplicada perpendicularmente a la cara dela viga, que har que la viga se mueva.Prob. 8-55*8-56_ La barra esbelta uniforme de 6 kg descansasobre el centro superior del bloque de 3 kg. Si los coeficientesde friccin esttica en los puntos de contacto son.LA = 0.4, .LB = 0.6, Y .Lc = 0.3, determine el momentode par M ms grande que puede ser aplicado a la barrasin generar movimiento.800 mm100 mm 100 mm Prob. 8-568-57. El carpintero empuj a lenta y horizontalmente latabla uniforme sobre la parte superior de la mesa de trabajo.La tabla tiene un peso uniforme de 3 lb/pie, lamesa tiene un peso de 15 lb Y centro de gravedad en G.Determine si la mesa permanecer en posicin, resbalaro se voltear si la tabla es empujada hacia delante cuandod = 10 pies. Los coeficientes de friccin esttica semuestran en la figura.8-58. El carpintero empuja lenta y horizontalmente latabla uniforme sobre la parte superior de la mesa detrabajo. La tabla tiene un peso uniforme de 3 lb/pie, lamesa tiene un peso de 1 5 lb Y centro de gravedad en G.Determine si la mesa permanecer en posicin, resbalaro se voltear si la tabla es empujada hacia delante cuandod = 14 pies. Los coeficientes de friccin esttica semuestran en la figura.1--------1 8 pies --------1-----d-----Probs. 8-57/58PROBLEMAS 4038-59. El disco de 45 kg descansa sobre la superficie cuyocoeficiente de friccin esttica es .LA = 0.2. Determineel momento de par M ms grande que puede ser aplicadoa la barra sin producir movimiento.*8-60. El disco de 45 kg descansa sobre la superficiecuyo coeficiente de friccin esttica es .LA = 0.15. SiM = 50 N . m, determine la fuerza de friccin en A.Probs. 8-59/608-61. El extremo e del eslabonamiento de dos barras descansasobre el centro superior del cilindro de 50 kg. Si loscoeficientes de friccin esttica en e y E son .Lc = 0.6 Y.LE = 0.3, determine la fuerza vertical ms grande quepuede ser aplicada en B sin generar movimiento. Ignorela masa de las barras.P50 mm 50 mm Prob. 8-61404 CAPTULO 8 Friccin8.3 CuasLas cuas a menudo son usadas para ajustarla elevacin de partes estructurales o mecnicas.Tambin proporcionan estabilidad aobjetos como este tanque.PMovimiento- - - .....inminente(a)Una cua es una mquina simple que se usa a menudo para transformaruna fuerza aplicada en fuerzas mucho ms grandes, dirigidas aproximadamenteen ngulo recto con respecto a la fuerza aplicada. Las cuastambin pueden ser usadas para propiciar desplazamientos pequeoso ajustes en cargas pesadas.Por ejemplo, considere la cua mostrada en la figura 8-13a, la cualse usa para Levantar un bloque de peso W aplicando una fuerza P a lacua. Los diagramas de cuerpo libre de bloque y cua se muestran enla figura 8-13b. Aqu hemos excluido el peso de la cua ya que usualmentees pequeo comparado con el del bloque. Observe que las fuerzasde friccin Fl y F2 deben oponerse al movimiento de la cua. Dela misma manera, la fuerza de friccin F3 de la pared sobre el bloquedebe actuar hacia abajo para oponerse al movimiento hacia arriba delbloque. Las posiciones de las fuerzas normales resultantes no tienenimportancia en el anlisis de fuerzas ya que ni el bloque ni la cua se"voltearn". Por ello, las ecuaciones de equilibrio por momento no sernconsideradas. Hay siete incgnitas que consisten en la fuerza aplicadaP, necesaria para generar el movimiento de la cua, y las seis fuerzasnormales y de friccin. Las siete ecuaciones disponibles consistenen dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas (I.Fx = O, I.Fy = O) aplicadasa la cua y al bloque (cuatro ecuaciones en total) y la ecuacin defriccin F = J.N aplicada en cada superficie de contacto (tres ecuacionesen total).Si el bloque debe descender, las fuerzas de friccin actuarn en unsentido opuesto al mostrado en la figura 8-13b. La fuerza aplicada Pactuar hacia la derecha como se muestra si el coeficiente de friccines muy pequeo o si el ngulo () de la cua es grande. De otra manera,P puede tener el sentido inverso de direccin para jaLar en la cua yretirarla. Si P no es aplicada, o P = 0, y las fuerzas de friccin mantienenel bloque en su lugar, entonces se dice que la cua es autobLoqueante.!W F)N2 It N)PNI N2(b)Fig. 8-13La piedra uniforme que se muestra en la figura 8-14a tiene una masade 500 kg Y es mantenida en posicin horizontal usando una cuaen el punto B. Si el coeficiente de friccin esttica es ILs = 0.3, en lassuperficies de contacto, determine la fuerza P mnima necesaria pararetirar la cua. Es la cua autobloqueante? Suponga que la piedrano desliza en el punto A .4905 Np(a)Fig. 8-14SolucinLa fuerza P mnima requiere que F = IL,N en las superficies de contactocon la cua. Los diagramas de cuerpo libre de la piedra y la cuase muestran en la figura 8-14b. Sobre la cua, la fuerza de friccinse opone al movimiento, y sobre la piedra en A, FA ::5 IL,NA, ya queel deslizamiento no ocurre ah. Hay cinco incgnitas: y P. Para encontrar la solucin se dispone de tres ecuaFciAo,n NesA ,d Ne Be,q Nuielibriopara la piedra y de dos para la cua. A partir del diagrama decuerpo libre de la piedra,1+ 2.MA = O; -4905 N(0.5 m) + (NB cos 7 N ) ( 1 m)+ (O.3NB sen 7 N)(1 m) = ONB = 2383.1 NUsando este resultado para la cua, tenemos 2.Fx = O; 2383. 1 sen 7 N - 0.3(2383.1 cos 7 N) + P - 0.3Ne = O+j2.Fy = O;Ne - 2383. 1 cos 7 N - 0.3(2383.1 sen 7 N) = ONe = 2452.5 NP = 1 154.9 N = 1 . 1 5 kN Resp. Como P es positiva, la cua debe ser extrada. Si P fuese cero, lacua permanecera en su lugar (auto bloqueante) y las fuerzas defriccin desarrolladas en B y e podran satisfacer F B < ILsN B YFe < ILsNe(b)SECCIN 8.3 Cuas 405NB 70 70 fM .. oVlmlento O.3 N . - -.- -B .- _ p mmmenteO.3 NcNc406 CAPTULO 8 Friccin8.4 Fuerzas de friccin en tor n i l losLos tornillos d e rosca cuadrada tienen aplicacinen vlvulas, gatos y prensas, donde particularmentedeben ser desarrolladas grandesfuerzas a lo largo del eje del tornillo.Ca)En la mayora de los casos los tornillos se usan como sujetadores; sinembargo, en muchos tipos de mquinas son incorporados para transmitirpotencia o movimiento desde una parte de una mquina a otra. Untornillo de rosca cuadrada es usado comnmente para este ltimo fin,sobre todo cuando son aplicadas grandes fuerzas a lo largo de su eje. Enesta seccin analizaremos las fuerzas que actan sobre los tornillos derosca cuadrada. El anlisis de otros tipos de tornillos, como el de roscaen V, se basa en los mismos principios.Un tornillo puede ser considerado como un plano inclinado o una cuaenrollada alrededor de un cilindro. Una tuerca que inicialmente esten la posicin A localizada sobre el tornillo que muestra la figura 8-1Sa,se mover a B al girar 3600 alrededor del tornillo. Esta rotacin esequivalente a trasladar la tuerca hacia arriba por un plano inclinado dealtura I y longitud 21Tr, donde r es el radio medio de la rosca, figura8-1Sb. La elevacin I para una sola revolucin se llama paso del tornillo,donde el ngulo de paso est dado por 8 = tan-1(l/27Tr).Anlisis por friccin. Cuando un tornillo est sometido a grandes fuerzasaxiales, las fuerzas desarrolladas en la rosca resultan importantes si seva a determinar el momento M* necesario para girar el tornillo. Por ejemplo,considere el tornillo de gato de rosca cuadrada mostrado en la figura8-16, el cual soporta la carga vertical W. Las fuerzas reactivas del gatohacia esta carga realmente estn distribuidas sobre la circunferencia de larosca del tornillo que est en contacto con el orificio del tornillo hecho enel gato, esto es, dentro de la regin h mostrada en la figura 8-16. Por razonesde sencillez, esta porcin de rosca puede ser imaginada desenrollndosedel tornillo, y representarse como un simple bloque descansandosobre un plano inclinado con el ngulo 8 de paso del tornillo, figura 8-17 Aqu, el plano inclinado representa la a. rosca de soporte interior de la basedel gato. Tres fuerzas actan sobre el bloque o tornillo. La fuerza W esla carga axial total aplicada al tornillo. La fuerza horizontal S es causadapor el momento aplicado M, tal que al sumar momentos con respecto aleje del tornillo, M = Sr, donde r es el radio medio del tornillo. Como resultadode W y S, el plano inclinado ejerce una fuerza resultante R sobreel bloque, el cual se muestra con componentes actuando normal, N, y tangencialmente,F, a las superficies de contacto.B----------2nr----------Fig. 8-15Cb)*Para aplicaciones, M es desarrollado aplicando una fuerza horizontal P en ngulo rectoal extremo de una palanca fija al tornillo.SECCiN 8.4 Fuerzas de friccin en torn i l los 407Fig. 8-16Movimiento del tornillo hacia arriba. Siempre que M sea lo suficientementegrande, el tornillo (y por ello el bloque) puede estar a punto de tenerun movimiento inminente o estarse moviendo. Bajo esas condiciones, Racta en cierto ngulo (e + TI'Anlisis por friccin. Un diagrama de cuerpo libre del segmento debanda que est en contacto con la superficie se muestra en la figura 8-19b.Aqu la fuerza normal N y la fuerza de friccin F, actuando en puntos diferentesa lo largo de la banda, variarn en magnitud y direccin. Debidoa esta distribucin desconocida de la fuerza, el anlisis del problema seresolver inicialmente con base en el estudio de las fuerzas que actansobre un elemento diferencial de la banda.Un diagrama de cuerpo libre de un elemento con longitud ds se muestraen la figura 8-19c. Suponiendo movimiento inminente o movimientode la banda, la magnitud de la fuerza de friccin dF = jJ- dN. Estafuerza se opone al movimiento deslizante de la banda y por ello aumentala magnitud de la fuerza de tensin que acta en la banda mediantedT. Aplicando las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas, tenemos(b)Fig. 8-19T cos ( d;) + jJ- dN - (T + dT) cos( d;) = OdN - (T + dT) sen (d;) - T sen( d;) = OT + dTx(e)SECCiN 8.5 Fuerzas de friccin sobre bandas planas 41 5Como dO es de tamao infinitesimal, sen (dO /2) y cos (dO /2) puedenser reemplazados por dO /2 y 1, respectivamente. Adems, el producto delos dos infinitesimales dT y dO /2 puede ser ignorado al compararlo coninfinitesimales de primer orden. Por tanto, las dos ecuaciones anterioresse reducen a,, dN = dTydN = T dOAl eliminar dN resultadT - = T ,, dOIntegrando esta ecuacin entre todos los puntos de contacto que la bandatiene con el tambor, y observando que T = T en O = O Y T = T2 enO = {3, resultaT2dT f3- = ,, dO TI T oIn T2T= ,,{3Despejando para T2, obtenemosI T2 = T ell-f3 I (8-6)donde T2, T = tensiones en la banda; T se opone a la direccin delmovimiento (o movimiento inminente) de la banda medidocon relacin a la superficie, mientras que T2 actaen la direccin del movimiento relativo de la banda (omovimiento inminente); debido a la friccin, T2 > T. ,, = coeficiente de friccin esttica o cintica entre la banday la superficie de contacto.{3 = ngulo entre la banda y la superficie de contacto, medidoen radianes.e = 2.718 . . . , base de los logaritmos naturales.Observe que T2 es independiente del radio del tambor y que es unafuncin del ngulo de contacto entre la banda y la superficie, {3. Adems,como lo indica la integracin, esta ecuacin es vlida para bandasplanas colocadas sobre cualquier forma de superficie de contacto. Paralas aplicaciones, la ecuacin 8-6 es vlida slo cuando ocurre el movimientoo el movimiento es inminente.416 CAPTULO 8 FriccinMovimiento inminente500 N(b)Movimiento inminente277.4 NW = mg(e)Fig. 8-20La tensin mxima que puede ser desarrollada en la cuerda mostradaen la figura 8-20a es de 500 N. Si la polea en A puede girar librementey el coeficiente de friccin esttica en los tambores fijos B y es ILs C = 0.25, determine la masa ms grande que puede tener el cilindroy ser levantado por la cuerda. Suponga que la fuerza F aplicadaen el extremo de la cuerda est dirigida verticalmente hacia abajo, comose muestra.(a)SolucinLevantar el cilindro, que tiene un peso W = mg, ocasiona que la cuerdase mueva en sentido contrario al de las manecillas del reloj sobrelos tambores localizados en B y C; por tanto, la tensin mxima T2 en la cuerda ocurre en D. As, T2 = 500 N. Una seccin de la cuerdaque pasa sobre el tambor en B se muestra en la figura 8-20b. Como180 = 7T rad, el ngulo de contacto entre el tambor y la cuerda esf3 = (135 j1800)7T = 37T j 4 rad. Usando la ecuacin 8-6, tenemosPor consiguiente,500 N = T1eo.25[(3/4)1T]500 N 500 Ne0.25[(3/4)1T] = 1.80 = 277.4 NComo la polea ubicada en A puede girar libremente, el equilibriorequiere que la tensin en la cuerda permanezca igual en ambos ladosde la polea.La seccin de la cuerda que pasa sobre el tambor en C se muestraen la figura 8-20c. El peso W < 277.4 N. Por qu? Aplicando la ecuacin8-6, obtenemosde modo que277.4 N = WeO.25[(3/4)1T]W = 153.9 Nm = -W = 153.9 N g 9.81 mjs2= 15.7 kg Resp.P R O B L E M A S8-8S. Un cable es enrollado alrededor de un bolardofijo para asegurar un buque durante su amarre. Si latensin en la cuerda, causada por el buque, es de 1 500lb, determine el nmero mnimo de vueltas completasque debe tener la cuerda alrededor del bolardo paraimpedir el deslizamiento de la cuerda. La fuerza horizontalms grande que un estibador puede ejercer sobrela cuerda es de 50 lb. El coeficiente de friccin estticaes J.Ls = 0.3.50 lb1 500 lbProb. 8--858-86. El camin, que tiene una masa de 3.4 Mg, va aser bajado por la pendiente usando una cuerda que estenrollada alrededor de un rbol. Si las ruedas puedengirar libremente y el hombre en A puede resistir unj aln de 300 N, determine el nmero mnimo de vueltasque la cuerda debe enrollarse alrededor del rbolpara bajar el camin con velocidad constante. El coeficientede friccin cintica entre el rbol y la cuerda esJ.Lk = 0.3.Prob. 8--86PROBLEMAS 4 1 78-87. Determine los valores mximo y mnimo del pesoW que pueden ser aplicados sin que el bloque de 50 lb sedeslice. El coeficiente de friccin esttica entre el bloquey el plano es J.Ls = 0.2, Y entre la cuerda y el tambor D esJ.L; = 0.3.Prob. 8--87*8-88. Un cilindro con masa de 250 kg va a ser soportadopor la cuerda que se enrolla sobre el tubo. Determinela fuerza vertical F ms pequea necesaria parasoportar la carga si la cuerda pasa (a) una vez sobre eltubo, f3 = 1 80, Y (b) dos veces sobre el tubo, f3 = 540.Considere J.Ls = 0.2.8-89. Un cilindro con masa de 250 kg debe ser soportadopor una cuerda que se enrolla sobre el tubo. Determinela fuerza vertical F ms grande que puede aplicarse ala cuerda sin que se mueva el cilindro. La cuerda pasa (a)una vez sobre el tubo, f3 = 1 80, Y (b) dos veces sobre eltubo, f3 = 540. Considere J.Ls = 0.2.FProbs. 8--88/89418 CAPTULO 8 Friccin8-90. El bote tiene un peso de 500 lb Y es mantenido enposicin a un lado del barco mediante los pescantes situadosen A y B. Un hombre con peso de 130 lb, Y que estde pie en el bote, enrolla una cuerda alrededor de un aguilnsituado en lo alto en el punto e y lo une al extremodel bote como se muestra. Si el bote es desconectado delos pescantes, determine el nmero mnimo de medias vueltasque la cuerda debe tener alrededor del aguiln paraque el bote pueda ser bajado con seguridad al agua a velocidadconstante. Cul es la fuerza normal entre el botey el hombre? El coeficiente de friccin cintica entre lacuerda y el aguiln es f-Ls = 0.15. Sugerencia: El problemarequiere que la fuerza normal entre los pies del hombrey el bote sea tan pequea como sea posible.Prob. 8-908-91. Determine la fuerza P ms pequea que es necesariaen la palanca para impedir que la rueda gire cuandoest sometida a una torca M = 250 N . m. El coeficientede friccin esttica entre la banda y la rueda es f-Ls= 0.3. La rueda est conectada mediante un pasador ensu centro, B.*8-92. Determine el par M que puede ser resistido porel freno de mano si una fuerza P = 30 N es aplicada almango de la palanca. El coeficiente de friccin estticaentre la banda y la rueda es f-Ls = 0.3. La rueda est conectadamediante un pasador en su centro, B.Probs. 8-91 /928-93. Los bloques A y B pesan 50 y 30 lb, respectivamente.Usando los coeficientes de friccin esttica indicados,determine el peso ms grande del bloque D queno genere movimiento.8-94. Los bloques A y B pesan 75 lb cada uno, y D pesa30 lb. Usando los coeficientes de friccin esttica indicados,determine la fuerza de friccin entre los bloquesA y B Y entre el bloque A y el piso C.DProbs. 8-93/ 948-95. Demuestre que la relacin friccional entre las tensionesen la banda, el coeficiente f-L y los contactos angularesex y f3 para la banda en V es T2 = TteJ.{3/sen(a/2).Prob. 8-95*8-96. La viga lisa est siendo levantada usando una cuerdaenrollada a su alrededor y que pasa por un anillo localizadoen A como se muestra. Si el extremo de la cuerdaest sometido a una tensin T y el coeficiente de friccinesttica entre la cuerda y el anillo es J.Ls = 0.3, determineel ngulo () por equilibrio.TAProb. 8-968-97. El motor de 20 kg tiene su centro de gravedad enG y est conectado en e mediante un pasador para mantenercierta tensin en la banda impulsora. Determine elpar M ms pequeo, y con sentido contrario al de las manecillasdel reloj, que debe ser suministrada por el motorpara hacer girar el disco B si la rueda A se traba y causaque la banda se deslice sobre el disco. En A no ocurredeslizamiento. El coeficiente de friccin esttica entre labanda y el disco es J.Ls = 0.3.1 00 mmProb. 8-978-98. El freno simple de banda est construido de maneraque los extremos de la banda de friccin se conectan alpasador en A y al brazo de palanca en B. Si la rueda estsometida a una torca de M = 80 lb . pie, determine la fuerzaP ms pequea que es aplicada a la palanca requeridapara mantener la rueda estacionaria. El coeficiente de friccinesttica entre la banda y la rueda es J.Ls = 0.5.Ll.5 pies -+---Prob. 8-98PROBLEMAS 4198-99. El cilindro pesa 10 l b Y e s mantenido en equilibriopor la banda y la pared. Si no ocurre deslizamiento en lapared, determine la fuerza vertical P mnima que debeaplicarse a la banda por equilibrio. El coeficiente de friccinesttica entre la banda y el cilindro es J.Ls = 0.25.Bp Prob. 8-99*8- 100. El tubo uniforme de concreto tiene un peso de800 lb Y es descargado lentamente de la cama del caminusando la cuerda y las barras inclinadas mostradas. Si elcoeficiente de friccin cintica entre la cuerda y el tuboes J.Lk = 0.3, determine la fuerza que el trabajador debeejercer sobre la cuerda para bajar el tubo a velocidadconstante. Hay una polea en B, y el tubo no se desliza sobrelas barras. La porcin inferior de la cuerda es paralelaa las barras inclinadas.Prob. 8-100420 CAPTULO 8 Friccin8-101. Una cuerda con peso de 0.5 lbjpie y longitud totalde 10 pies est suspendida sobre una clavija P comose muestra. Si el coeficiente de friccin esttica entre laclavija y la cuerda es JLs = 0.5, determine la longitud mslarga h que puede tener un lado de la cuerda suspendidasin causar movimiento. Ignore el tamao de la clavija yla longitud de cuerda en ella.r phProb. S-lOl8-102. Una banda transportadora se usa para transferirmaterial granular y la resistencia de friccin sobre la partesuperior de la banda es F = 500 N. Determine el alargamientoms corto del resorte que est unido al eje mvilde la polea de gua B, de manera que la banda no resbaleen la polea impulsora A cuando se aplica la torca M. Qu torca mnima M se requiere para mantener la bandaen movimiento? El coeficiente de friccin esttica entrela banda y la rueda ubicada en A es JLs = 0.2.0. 1Prob. S-I028-103. Los bloques A y B tienen masas de 7 y 10 kg, respectivamente.Usando los coeficientes de friccin estticaindicados, determine la fuerza P vertical ms grandeque se puede aplicar a la cuerda sin que se genere movimiento.P/lD = 0. 1.. Dr. /le = 0.4D----I;J cProb. S-I03*8-104. La banda sobre el secador porttil se enrolla alrededordel tambor D, de la polea gua A y de la poleadel motor B. Si el motor puede desarrollar un par mximode M = 0.80 N . m, determine la tensin ms pequearequerida en el resorte para impedir que la banda sedeslice. El coeficiente de friccin esttica entre la banday el tambor y la polea del motor es JLs = 0.3.Prob. 8-I04

422 CAPTULO 8 FriccinpFig. 8-22Las fuerzas de friccin que actan sobreel disco de esta pulidora deben ser vencidasmediante la torca desarrollada porel motor que la hace girar.Anlisis por friccin. La chumacera de collar que se utiliza en la flechamostrada en la figura 8-22 est sometida a una fuerza axial P y tiene unrea de contacto o de apoyo 7T(R - Rr). En el siguiente anlisis, la presinnormal p es considerada uniformemente distribuida sobre esta rea-lo cual es una suposicin razonable si la chumacera es nueva y estsoportada uniformemente-o Como IFz = 0, entonces p, medida comouna fuerza por unidad de rea, es p = P/7T(R - RI).El momento necesario para causar un rotacin inminente de la flechapuede ser determinado a partir del equilibrio por momento con respectoal eje z. Un pequeo elemento de rea dA = (r dO)(dr), mostrado enla figura 8-22, est sometido a una fuerza normal dN = p dA Y a unafuerza de friccin asociada,fLsPdF = fLs dN = fLsP dA = 7T(R22 - R21 ) dALa fuerza normal no genera un momento con respecto al eje z de laflecha; sin embargo, la fuerza de friccin s lo hace y es dM = r dF. Laintegracin es necesaria para calcular el momento total creado por todaslas fuerzas de friccin que actan sobre reas diferenciales dA. Portanto, para un movimiento rotacional inminente,M - lr dF = Al sustituir para dF y dA e integrar sobre toda el rea de apoyo obtenemoslR227T [ P ] M = r s 2 R o 7T(R2 - R1) (r dO dr)o bien,(8-7)Esta ecuacin da la magnitud del momento requerido para la rotacininminente de la flecha. El momento de friccin desarrollado en el extremode la flecha, al girar sta con rapidez constante, puede encontrarsesustituyendo fLk por fLs en la ecuacin Cuando R2 = R Y Rl = 0, como en 8e.l7 c. aso de una chumacera de pivote,figura 8-21a, la ecuacin 8-7 se reduce a(8-8)A partir de la hiptesis inicial, recuerde que tanto la ecuacin como la 8-7 8-8 se aplican slo a superficies de apoyo sometidas a constante. presin Si la presin no es uniforme, una variacin de la presin comofuncin del rea de apoyo debe ser determinada antes de integrar paraobtener el momento. El siguiente ejemplo ilustra este concepto.SECCiN 8.6 Fuerzas de friccin en chumaceras de col l a r, chu maceras de pivote y d iscos 423La barra uniforme mostrada en la figura 8-23a tiene una masa totalm. Si se supone que la presin normal que acta en la superficie decontacto vara linealmente a lo largo de la longitud de la barra comose muestra, determine el momento de par M requerido para girar labarra. Suponga que el ancho a de la barra es insignificante en comparacincon su longitud l. El coeficiente de friccin esttica es iguala J.Ls'SolucinEn la figura 8-23b se muestra un diagrama de cuerpo libre de la barra.Como sta tiene un peso total de W = mg, la intensidad Wo de la xcarga distribuida en el centro (x = O) es determinada a partir del equilibriode fuerzas verticales, figura 8-23a.Wo =--2 mg lComo w = O en x = l/2, la carga distribuida expresada como funcinde x esLa magnitud de la fuerza normal que acta sobre un segmento derea con longitud dx es entonces2 mg( 2 X) dN = w dx = -1- 1 --l- dxLa magnitud de la fuerza de friccin que acta sobre el mismo elementode rea es2 J.Lsmg ( 2 x) dF = J.Ls dN = l1 - -l - dxPor tanto, el momento generado por esta fuerza con respecto al ejez es2 J.Lsmg ( 2 x) dM = x dF = 1 x 1 - -1 - dxLa suma de momentos con respecto al eje z de la barra es determinadapor integracin, lo que resulta en (/22 J.Lsmg ( 2 x) M - 2 Jo 1 x 1 - -l - dx = OM =4 J.Lsmg (x2 _ 2 x3) 1//21 2 3 1 oM =--J.Lsm6 gl Resp.zI(a)(b)Fig. 8-23424 CAPTULO 8 Friccin8.7 Fuerzas de friccin en chumaceras l i sasDesenrollar e l cable d e este carrete requierevencer la friccin de la flecha de soporte.Rotacin z(a)Fig. 8-24Cuando una flecha o un eje estn sometidos a cargas laterales, una chumaceralisa se usa comnmente como soporte. Las chumaceras lisasbien lubricadas estn sometidas a las leyes de la mecnica de fluidos,en donde la viscosidad del lubricante, la rapidez de rotacin y el clarolibre entre la flecha y la chumacera son necesarios para determinar laresistencia por friccin de la chumacera. Sin embargo, cuando la chumacerano est lubricada o lo est slo parcialmente, un anlisis razonablede la resistencia a la friccin puede basarse en las leyes de lafriccin seca.Anlisis por friccin. En la figura 8-24a se muestra un soporte tpicode chumacera lisa. Cuando la flecha gira en la direccin mostrada en la figura,rueda contra la pared de la chumacera hasta algn punto A dondeocurre el deslizamiento. Si la carga lateral que acta en el extremo de laflecha es P, es necesario que la fuerza reactiva R de apoyo actuando enA sea igual y opuesta a P, figura 8-24b. El momento necesario para manteneruna rotacin constante de la flecha se puede encontrar sumandomomentos con respecto al eje z de la flecha, esto es,M - (R sen (fJk)r = Oo bien,M = Rr sen