ARBOLES BINOMIALES Y LA FUERZA DE LOS MERCADOS FINANCIEROS

PREDICCION ESTRUCTURAL DEL PRECIO CON ARBOLES BINOMIALES, MOVIMIENTO BROWNIANO Y EL USO DE LA FUERZA DEL MERCADO

INTRODUCCION

El anlisis es realizado para el retorno z(t) definido como el logaritmo del valor de un bien en tiempo (t), dividido para el precio del bien en tiempo (t-1) como sigue

z(t) = ln(S(t)/S(t-1)), o lo que es lo mismo S(t)/S(t-1)=eZ(t)

Realizando un pequeo arreglo y reemplazando la frmula anterior tenemos:

[1]

Si por definicin T=nh podemos realizar la siguiente aproximacin en tiempo contnuo:

[1.a]

Si asumimos que z(j) tiene una distribucin independiente e idntica para cada j y adems que los valores esperados de las medias y las varianzas son las mismas para cada j.

E[z(j)]=(h

Donde (: es el retorno por unidad de tiempo, y h: el intervalo de tiempo

Var[x(j)]=(2h

Donde (2 : es la varianza del retorno por unidad de tiempo

Con lo anotado puede obtenerse:

E[z(T)]=((z(j))= ((h=(nh = (T

[1.b]

var[z(T)] =(var(z(j))= ((2h=(2nh=(2 T

Reescribiendo z(t) se obtiene: z(t)= (h+((h1/2 Que puede verse como un movimiento browniano de media ( y desviacin estandar (, con el coeficiente ( que sigue una distribucin normal N(0,1).

LEMA DE ITO

Sea un sistema X(t) sometido a la accin exterior de perturbaciones estocsticas dW(t) independientes, que siguen un movimiento browniano t(to, con media nula y coeficiente de difusin igual a la unidad como puede profundizarse en ref [5], tiene la siguiente representacin:

[1c]Se denomina diferencial estocstica del proceso aleatorio X(t), si

[1d]

Sinteticemos algunas propiedades del movimiento browniano, para utilizarlas posteriormente en la deduccin del Lema de Ito.

[P1]E[dW(t)]=0

[P2]E[dW(t)dt]=E[dW(t)]dt=0

[P3]E[dW(t)2]=Var[dW(t)]=dt

[P4]Var[dW(t)2]=E[dW(t)4]- E2[dW(t)2]=3dt2-dt2 =0

[P5]E[(dW(t)dt)2]=Var[dW(t)]dt2=0

[P6]Var[(dW(t)dt)]=E[(dW(t)dt)2]- E2[dW(t)dt]=0

Con las siguientes reglas de multiplicacin.

[P7]dW2(t)=dt

[P8]dW(t)dt=0

[P9]dt2=0

Aplicando el Teorema de Taylor a una funcin G=G(X,t), donde X es una variable aletoria en donde dW(t) cumple con las propiedades de [P1] a [P6].

[1e]

Analizando el valor del diferencial dX dt como un valor esperado y aplicando las propiedades [P1] y [P9]:

E[dXdt] = E[a(t)dt2 + bdW(t)] = E[a(t)]dt2 + E[dW(t)]bdt = 0[1f]

Por otra parte si encontramos el valor de dX2 aplicando las propiedades [P2], [P3] y [P9].

(dX)2=(adt)2+2ab(dWdt)+b2 dW2 = b2 dt

[1g]

Reemplazando [1c],[P9],[1f] y [1g] en la ecuacin [1e] se encuentra el Lema de Ito.

[1h]

MODELO DE BLACK & SCHOLES

Este modelo asume que el precio de un bien sigue un movimiento browniano como el representado en la siguiente figura:

Sea un movimiento browniano de media a y varianza b2 .

[2]

Es el Matemtico Ito, 1951 quin generaliza el movimiento browniano con una funcin G=G(X,t):

[3]

Donde la pendiente es:

[4]

Y la desviacin estndar:

[5]

Ahora recurriendo al supuesto fundamental de que el retorno del precio de un bien sigue un movimiento browniano.

[6]

Reemplazando en [3], los parmetros de [6] se encuentra la funcin de ITO para G=G(S,t).

[7]

Ahora si reemplazamos la funcin G por el retorno del precio: G=Ln(S)

y estos valores incorporamos en [7]

[8]

Tenemos la media y la desviacin estndar y como una distribucin normal queda definida por su media y su desviacin estndar tenemos la distribucin del retorno:

[9]

Que sacando antilogaritmos nos da la distribucin lognormal del precio:

[10]

La frmula del comportamiento del precio en tiempo contnuo y aproximando h de las ecuaciones [1] por (T-t) se tiene finalmente.

[11]

En la ecuacin anterior el coeficiente ( es un nmero aleatorio que sigue la distribucin normal N(0,1), el cul puede ser encontrado a partir de un valor de probabilidad dado.

De acuerdo a nuestro enfoque existe la posibilidad de estimar el valor de la tendencia hacia arriba o hacia abajo a travs del trmino p, que indica un valor de probabilidad, y propondremos que la funcin de distribucin de probabilidad ser la logstica, la cul indicar la fuerza del mercado al alza (Y=1) o a la baja (Y=0).

[12]

En la ecuacin anterior p, indica la probabilidad de que un activo financiero baya al alza en funcin de variables causales Xi , pudiendo ser estas tasas de inters, devaluacin, RMI, interbancaria, etc.

Como se analiza una variable dicotmica con probabilidad p, al alza y 1-p, a la baja podemos encontrar la funcin de distribucin ((z)=p(1-p), cuya integral es igual a la unidad.

Si graficamos las funciones de distribucin normal (N) y logstica (L) veremos que para un valor zL, se tiene un valor de probabilidad definido como e rea bajo la curva, la cul tiene un rea equivalente en la distribucin normal pero para un distinto zN que es el valor de (, del movimiento browniano.

Igualando las probabilidades normal y logstica se tiene:

[13]

Despejando el valor de zL en la funcin logstica [12]:

[14]

El resultado de [14], se reemplaza en el lmite superior de la integral del segundo miembro y luego se la resuelve para obtener:

[15]

Con el valor dado de p, en la ecuacin [12], y encontrando el valor de ( en [15], se puede analizar los siguientes resultados:

1 El valor (, a pesar de tener un carcter aleatorio permite ser encontrado a partir de variables causales que explican la fuerza del mercado financiero.

2 Es posible valorar opciones introduciendo variables estructurales del mercado

ARBOLES BINOMIALES

Los modelos binomiales formalmente expuestos en ref_[1], asumen que el precio de los activos financieros S siguen procesos binomiales multiplicativos en perodos de tiempo discreto. La relacin de cambio se mide nicamente para dos alternativas hacia arriba uS y hacia abajo dS con una probabilidad p y (1-p) respectivamente:

[16]

Generando todos los posibles caminos por donde puede pasar S. Para al final en un tiempo n, obtener el valor esperado del precio:

n=0n=1n=2n=3Probabilidad

S(3)=uuuS(0).p3

.uuS(0)

.uS(0)

S(3)=uudS(0)3.p2(1-p)

S(0)

.udS(0)

.dS(0)

S(3)=uddS(0)3.p(1-p)2

.ddS(0)

S(3)=dddS(0).(1-p)3

De la tabla anterior se puede inferir fcilmente el valor estimado en perodo n del precio de un activo financiero, que no es ms que la suma del producto del precio por el valor de la probabilidad que generalizando para el caso de n>0 perodos nos da.

[17]

En la ecuacin anterior quedan algunos parmetros por estimarse como son. La probabilidad p y el valor de los coeficientes (u, d).

El valor esperado del precio futuro en funcin del precio pasado del perodo anterior puede en funcin de los valores esperados calculados a partir de la forma lognormal del precio ST:

[18]

Utilizando los valores esperados de los rboles binomiales se tiene:

E(S(t))

=puS(t-1)+d(1-p)S(t-1)

[19]

Var(S(t))=(uS(t-1)-E(S(t)))2p+(dS(t-1)-E(S(t-1)))2(1-p)[20]

Resolviendo estas dos ecuaciones con dos incgnitas d y u:

Var(S(t))=S(t-1)2(u-d)2p(1-p)

[21]

Donde: Cox y Rubinstein proponen que por simetra de la probabilidad:

Ln(uS/S) = -Ln(dS/S)

[22]

.d=1/u

[23]

Donde el problema es estimar la probabilidad p, la cul ser obtenida mediante el uso de factores macroeconmicos a travs de la regresin logstica, ecuacin [12]. En el modelo binomial el valor de p, debe estimarse en cada perodo de tiempo, y a continuacin se encuentra d y u.

LA FUERZA DEL MERCADO

Para definir un concepto de fuerza es necesario buscar una analoga entre las fuerzas de la naturaleza y el comportamiento del mercado como un todo. As se vislumbra que las fuerzas elctricas son esencialmente dicotmicas es decir tienen dos formas de actuar o bin se acercan o bin se alejan dependiendo si las cargas son de signos contrarios, o de signos iguales, respectivamente. Por su lado los precios en los mercados financieros, tambin tienen un comportamiento binario al alza o a la baja pero con una gran diferencia son de carcter estocstico y el valor al alza es una probabilidad p, en tanto que el valor a la baja es la probabilidad 1-p, siendo p, el valor que aparece en [12].

Utilicemos algunas ecuaciones de los campos elctricos, que supondremos tambin lo cumplen los mercados financieros:

E:Campo

Potencial

FFuerza

WTrabajo

Si tenemos la fuerza F(z), podemos encontrar el trabajo en ir desde un valor z1 hasta un z2 con tendencia al alza como sigue:

Para un mercado con tendencia a la baja:

LA ECUACION DE EINSTEIN PARA ESTIMAR LA VOLATILIDAD BIBLIOGRAFA

1 OPTION PRICING: A SIMPLIFIED APPROACH, Cox, Ross, Rubinstein, Journal of Financial Economics, 1979.

2 TERM STRUCTURE MOVEMENTS AND PRICING INTEREST RATE CONTINGENT CLAIMS, Ho & Lee, The Journal of Finance, 1986.

3 OPTIONS: A MONTE CARLO APPROACH, Boyle, Journal of Financial Economics, 1976

4 OPTIONS, FUTURES and others DERIVATIVE SECURITIES, Second edition, John Hull, Prentice Hall, 1993.

5 PROCESSUS ALEATOIRES, Rosanov, Editorial MIR Moscu

6 FINANCE IN CONTINUOS TIME, David Shimko, University Southern California, Kolb Publishing Company.

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