brete bases

Bryan.R.V. & Siviany.C.M. Bases de Numeracion. 1

Universidad de Costa Rica

Sede del Atlantico

Recinto Turrialba

Algebra y Analisis I MA-0205

Luis Ramırez Oviedo

Bryan Ramırez Vega B35688

Siviany Camacho Mora B31308

I Semestre

2014


Resena Historica (Sistemas de Numeracion).

a.Sistema de Numeracion Aditivo.

Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los sımbolos de todas las unidades, dece-nas..., como sean necesarios hasta completar el numero. Una de sus caracterısticas es por tantoque se pueden poner los sımbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido unadeterminada disposicion.Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca(de base 20), romana y las alfabeticas de los griegos, armenios, judıos y arabes.

a.1.Sistema de Numeracion Egipcio.Desde el tercer milenio a.C. los egipcios usaron un sistema describir los numeros en base diez,utilizando los geroglıficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.

El conocimiento de los metodos de calculo de los egipcios y su aplicacion en distintos proble-mas proviene de las inscripciones talladas en piedras, de los calendarios y sobre todo de algunospapiros.

Al ser indiferente el orden se escribıan a veces segun criterios esteticos, y solıan ir acompanadosde los jeroglıficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyonumero indicaban. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporacion de Egipto al imperioromano. Pero su uso quedo reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sus-tituido por la escritura hieratica y demotica, formas mas simples que permitıan mayor rapidezy comodidad a los escribas.

En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y ası seintrodujeron sımbolos particulares para 20, 30 · · · 90 · · · 200, 300 · · · 900, 2000, 3000, · · ·, con loque disminuye el numero de signos necesarios para escribir una cifra.

b.Sistema de Numeracion Hıbrido.

En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo, pero el orden en laescritura de las cifras es muy fundamental para evitar confusiones en su interpretacion. Si pa-ra representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los hıbridosutilizan la combinacion del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signospara los numeros mas complejos, un ejemplo de este sistema es el chino clasico.


Por lo tanto sigue siendo innecesario un sımbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la com-binacion del 7 y el 100 seguida del 3. El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamentalpara evitar confusiones, se dan ası los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si lossignos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto se piensa en suprimirlos,dandolos por supuestos y se escriben solo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc.;pero, para ello es necesario un cero, algo que indique que algun orden de magnitud esta vacıoy no se confundan el 307 con 370, 3070 · · ·.

b.1.Sistema de Numeracion Chino.La forma clasica de escritura de los numeros en China se empezo a usar desde el 1500 a.C.aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potenciasde 10.

c.Sistema de Numeracion Posicional.

Mucho mas efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posicion deuna cifra nos dice si son decenas, centenas, ··· o en general la potencia de la base correspondiente.

Solo tres culturas ademas de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilo-nios, chinos y mayas en distintas epocas llegaron al mismo principio. La ausencia del ceroimpidio a los chinos un desarrollo completo hasta la introduccion del mismo. Los sistemas ba-bilonico y maya no eran practicos para operar porque no disponıan de sımbolos particularespara los dıgitos, usando para representarlos una acumulacion del signo de la unidad y la decena.

El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principioningun obstaculo. Los mayas por su parte cometıan una irregularidad a partir de las unidadesde tercer orden, ya que detras de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 paraadecuar los numeros al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.

c.1. Sistema de numeracion Babilonio.Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron dis-tintos sistemas de numeracion. En el 1900-1800 a.C. se invento un sistema de base 10, aditivohasta el 60 y posicional para numeros superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical quese hacıa con el punzon en forma de cuna.


Se ponıan tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenıa su propio signo.

De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.

c.2.Sistema de Numeracion Maya.Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 como base auxiliar. La unidad se representabapor un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servıan para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, ala que se anadıan los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dosrayas, y de la misma forma se continua hasta el 20, con cuatro rayas.

Los mayas agruparon sımbolos sumando hasta el 19, y a los numeros mayores les asignaronun valor segun su posicion. Los numeros mayas se usaban para medir el tiempo y no las ma-tematicas. Por ese motivo tienen relacion con los dıas, meses y anos y en definitiva con elcalendario. La numeracion maya posee solo tres sımbolos para representar los numeros, comopodemos ver en el siguiente grafico que representa en numeracion maya los numeros del 0 al19.


Sistemas de numeracion.

Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo conforman, unaserie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entre tales elementos.

Puede decirse que un sistema de numeracion es el conjunto ordenado de elementos (sımbo-los o dıgitos o numeros), operaciones y relaciones que por intermedio de reglas propias permiteestablecer el papel de tales relaciones y operaciones, las reglas se combinan para representarcantidades numericas.

Bases de numeracion.

Base de un sistema numerico. La base de un sistema numerico es el numero de dıgitos di-ferentes usados en ese sistema.

Existen diferentes sistemas numericos, cada uno de ellos se identifica por su base.

Binario (base 2), utiliza 2 sımbolos (dıgitos): 0, 1.Terciario (base 3), utiliza 3 sımbolos (dıgitos): 0, 1, 2.Cuaternario (base 4), utiliza 4 sımbolos (dıgitos): 0, 1, 2, 3.Quinario (base 5), utiliza 5 sımbolos (dıgitos): 0, 1, 2, 3, 4.Senario (base 6), utiliza 6 sımbolos (dıgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5.Heptal (base 7), utiliza 7 sımbolos (dıgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.Octal (base 8), utiliza 8 sımbolos (dıgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Nonario (base 9), utiliza 9 sımbolos (dıgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.Decimal (base 10), utiliza 10 sımbolos (dıgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Undecimal (base 11), utiliza sımbolos (dıgitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A.Duodecimal (base 12), utiliza sımbolos (dıgitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B.Y ası sucesivamente...

Por ejemplo (Hexadecimal):Hexadecimal, utiliza 16 sımbolos (dıgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Notacion: Para distinguir entre los diferentes sistemas numericos se puede encerrar entreparentesis el numero y se le anade un subındice que indicara la base que se esta usando. Sinembargo, si no se usa subındice se debera entender que el numero esta en base diez, a menosque se diga lo contrario.


Teorema (de Representacion).Sea b ∈ Z, b > 1. Para cualquier entero positivo a se pueden encontrar n ∈ N y enterosa0, a1, a2, · · ·, an tales que a puede ser representado de forma unica de la siguiente manera:

a = a0 + a1b + a2b2 + · · ·+ anb

n,

con 0 ≤ ai < b para i ∈ {0, 1, · · ·, n− 1} y 0 < an < b.

Demostracion:Procederemos por induccion sobre a.i) Para a = 1, se toma n = 0 y a0 = 1, por lo que a = 1 = 1 · 1 = a0b

0.ii) Supongamos el resultado cierto para algun entero positivo menor que a, y probemoslo paraa + 1.Como 1 < b, entonces se tiene que 1 < b < b2 < b3 < · · ·En particular, existe n ∈ N tal que: n > 0 y bn ≤ a + 1 < bn+1.Por el algoritmo de la division euclıdea, haciendo la division de a + 1 entre bn, existen enterosan y r tales que:

a + 1 = anbn + r,

con 0 ≤ r < bn.

Observese que 0 < an pues 0 = bn − bn < a + 1 − r = anbn, y ademas an < b

pues anbn ≤ a + 1 < bn+1.

De esta forma, tenemos que 0 < an < b como se quiere.En caso que r = 0, entonces se tiene a + 1 = anb

n, con ai = 0 , para i ∈ {0, 1, · · ·, n− 1} .En caso que r > 0 : como r < bn ≤ a + 1, entonces por la hipotesis de induccion sobrer(r ≤ a), existen m ∈ N y enteros a0, a1, a2, · · ·, am tales que r = a0 + a1b + a2b

2 + · · ·+ ambm,

con 0 ≤ ai < b para i ∈ {0, 1, · · ·,m− 1} y 0 < am < b.Por lo tanto, tenemos que a + 1 = anb

n + a0 + a1b + a2b2 + · · ·+ amb

m.

Nota: La notacion posicional, corrientemente usada, significa que:

a = a0 + a1b + a2b2 + · · ·+ anb

n = (anan−1 · · · a1a0)b.

En base 10, omitimos el subıdice y los parentesis, como es usual.

Ejemplos:

(2013)4 = 2 · 43 + 0 · 42 + 1 · 4 + 3 · 40

(2453)7 = 2 · 73 + 4 · 72 + 5 · 7 + 3 · 1(24)5 = 2 · 5 + 4(132)9 = 1 · 92 + 3 · 9 + 1(1235)10 = 1235 = 1 · 103 + 2 · 102 + 3 · 10 + 5(420)6 = 4 · 62 + 2 · 6 + 0


Cambios de base.

Existen 3 tipos de cambios de base:

I.De base 10 a cualquier base.Si tenemos una cantidad N expresada en base 10 y queremos representarla en base n, solo hayque dividir N y los sucesivos cocientes que vayamos obteniendo entre n. La representacion enbase n vendra dada por el ultimo cociente y por los residuos de dichas divisiones.

Ejemplos:1.Pasar (29)10 = 29 a base 2.

29 = 14 · 2 + 1,

14 = 7 · 2 + 0,

7 = 3 · 2 + 1,

3 = 1 · 2 + 1.

Luego 29 = (11101)2

2.Pasar 937 a base 16.

937 = 16 · 58 + 9,

58 = 16 · 3 + 10.

Por lo tanto 937 = (3A9)16

3. Pasar 475 a base 8.

475 = 8 · 59 + 3

59 = 8 · 7 + 3

Luego 475 = (733)8

4.Pasar 100 a base 2.

100 = 2 · 50 + 0

50 = 2 · 25 + 0

25 = 2 · 12 + 1

12 = 2 · 6 + 0

6 = 2 · 3 + 0

3 = 2 · 1 + 1

Por lo tanto 100 = (1100100)2.


Tambien se puede hacer un cambio de N en base 10 a cualquier base n por medio de potencias,se trata de descomponer el N de base 10 a una suma de potencias de base n y luego tomo elnumero de potencias de la mayor a la menor (· · ·, n2, n, n0).

Ejemplos:1.Pasar 100 a base 2.

100 = 64 + 36

= 26 + 36

= 26 + 32 + 4

= 26 + 25 + 4

= 26 + 25 + 22

Siendo = 26 25 24 23 22 2 20

Habiendo = 1 1 0 0 1 0 0

Luego 100 = (1100100)2

II.De cualquier base a base 10.Si tenemos una cantidad representada en base n, para pasarla a base 10 solo es necesario desa-rrollar dicha representacion como suma de potencias de n y realizar los calculos pertinentes.

Ejemplos:1. Pasar (2011)4 a base 10.

(2011)4 = 2 · 43 + 0 · 42 + 1 · 4 + 1

= 2 · 64 + 0 + 4 + 1

= 128 + 5

= 133

Por lo tanto (2011)4 = (133)10 = 133

2.Pasar (3205)6 a base 10.

(3205)6 = 5 + 0 · 6 + 2 · 62 + 3 · 63

= 5 + 0 + 64 + 648

= 717

Luego (3205)6 = 717

3. Pasar (27C10A)14 a base 10. Recuerde que (A = 10, B = 11, C = 12, · · ·).

(27C10A)14 = A · 140 + 0 · 14 + 1 · 142 + C · 143 + 7 · 144 + 2 · 145

= 10 · 1 + 0 + 196 + 12 · 143 + 7 · 38416 + 2 · 537824

= 10 + 196 + 12 · 2744 + 268912 + 1075648

= 206 + 32928 + 1344560

= 1377694

Por lo tanto (27C10A)14 = 1377694.


III.De cualquier base a cualquier base.Para pasar una cantidad de base n a otra base m debemos, en primer lugar, pasar la cantidadexpresada en base n a base 10 (mediante el metodo II) y la cantidad resultante pasarla a basem (mediante el metodo I).

Ejemplos:

1. Pasar (3103)6 a base 13.

a. Pasaremos (3103)6 a base 10.

(3103)6 = 3 · 63 + 1 · 62 + 0 · 6 + 3

= 3 · 216 + 1 · 36 + 0 + 3

= 648 + 36 + 3

= 687

b. Pasaremos 687 a base 13. (Recuerde que: A = 10, B = 11, · · · ).

687 = 13 · 52 + 11

52 = 13 · 4 + 0

687 = (40B)13

Luego (3103)6 = (40B)13.

2. Pasar (210)4 a base 2.

a.Pasaremos (210)4 a base 10.

(210)4 = 2 · 42 + 1 · 4 + 0

= 2 · 16 + 4

= 32 + 4

= 36

b.Pasaremos 36 a base 2.

36 = 2 · 18 + 0

18 = 2 · 9 + 0

9 = 2 · 4 + 1

4 = 2 · 2 + 0

2 = 2 · 1 + 0

36 = (100100)2

Por lo tanto (210)4 = (100100)2


Algoritmos de calculo.

A.Suma.

Demostracion.

En general, consideremos M y N que en base b se representan por:

M = pm · · · p0, N = qn · · · q0.

Tenemos entonces M = pmbm + · · ·+ p0, y N = qmb

m + · · ·+ q0. Al sumar M + N se hace usode las propiedades de la suma (conmutatividad, asociatividad, etc.). Tenemos:

M + N = (pmbm + · · ·+ p1b) + (qmb

m + . · · ·+q2b2) + p0 + q0.

Si p0 +q0 < b, tenemos que r0 = p0 +q0 es el dıgito de las unidades de M +N . En caso contrariotenemos p0 + q0 = b + c, donde 0 ≤ c < b, y tomamos r0 = c. Obtenemos:

M + N = (pmbm + · · ·+ p2b

2) + (qmbm + · · ·+ q2b

2) + (1 + p1 + q1)b + r0.

Notese que p0 + b0 se representa en base b como (1r0)b, y lo que hicimos equivale a colocar r0en la primera columna a la derecha, y llevar el 1 a la segunda:

· · · p2 p1 p0+ · · · q2 q1 q0

r0

Luego hacemos el mismo analisis con 1 + p1 + q1, y ası continuamos hasta llegar a la ultimacolumna. El algoritmo se puede generalizar a mas sumandos, con la diferencia que el dıgito a”llevar”puede ser mayor que 1.

Ejemplos:1. La tabla de la suma en base 2 (sistema binario).

+ 0 10 0 11 1 10

2. (10011111)2 + (11011101)2.

1 0 0 1 1 1 1 1+ 1 1 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 1 1 0 0

Explicacion: Primero sumamos las unidades 1+1=10, colocamos el 0 y llevamos el 1 a la se-gunda columna. En la segunda columna obtenemos que 1+1+0=10, colocamos el 0 y llevamosel 1 a la tercera columna, donde queda 1+1+1=11, colocamos el 1 y llevamos el 1 a la cuartacolumna. Se continua de esa manera hasta llegar a la ultima columna.

3. Calcular (6733)8 + (14525)8.

+ 6 7 3 31 4 5 2 52 3 4 6 0


4. La tabla de la suma en base 6.

+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 102 2 3 4 5 10 113 3 4 5 10 11 124 4 5 10 11 12 135 5 10 11 12 13 14

5. Calcular (124)5 + (230)5.a. Pasaremos los dos componentes a base 10 y los sumaremos en base 10.

(124)5 + (230)5 = (1 · 52 + 2 · 5 + 4) + (2 · 52 + 3 · 5 + 0)

= (25 + 10 + 4) + (50 + 15)

= 39 + 65

= 104

b. Pasaremos el resultado 104 de base 10 a base 5 (es a la que se quiere llegar).

104 = 5 · 20 + 4

20 = 5 · 4 + 0

104 = (404)5

Luego (124)5 + (230)5 = (404)5.

B.Multiplicacion.

Ejemplos:1.La tabla del producto en base 2 (sistema binario).

· 0 10 0 11 1 1

2. Calcular (733)8 · (125)8

7 3 3x 1 2 54 5 0 7

1 6 6 67 3 3

1 1 6 6 6 7


3. La tabla del producto en base 6.

· 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 10 12 143 0 3 10 13 20 234 0 4 12 20 24 325 0 5 14 23 32 41

4. Calcular el producto de (733)8 · (125)8.a. Pasaremos los dos componentes a base 10 y los multiplicaremos en base 10.

(733)8 · (125)8 = (7 · 82 + 3 · 8 + 3) · (1 · 82 + 2 · 8 + 5)

= (448 + 24 + 3) · (64 + 16 + 5)

= 475 · 85

= 40375


40375 = 8 · 5046 + 7

5046 = 8 · 630 + 6

630 = 8 · 78 + 6

78 = 8 · 9 + 6

9 = 8 · 1 + 1

40375 = (116667)8

Por lo tanto (733)8 · (125)8 = (116667)8

5. Calcular el producto de (122)3 · (221)3. a. Pasaremos los dos componentes a base 10 ylos multiplicaremos en base 10.

(122)3 · (221)3 = (1 · 32 + 2 · 3 + 2) · (2 · 32 + 2 · 3 + 1)

= (9 + 6 + 2) · (18 + 6 + 1)

= 17 · 25

= 425


425 = 3 · 141 + 2

141 = 3 · 47 + 0

47 = 3 · 15 + 2

15 = 3 · 5 + 0

5 = 3 · 1 + 2

425 = (120202)3

Luego (122)3 · (221)3 = (120202)3


Bibliografıa.

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