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COORDINACIN DE MATEMTICAS

B O L E T N

MATEMTICAS MATEMTICAS

DETERMINANTE DE VANDERMONDE

Se define la matriz de Vandermonde asociada a los elementos 1 2, ,..., na a a como la matriz cuadrada de

orden n que presenta en sus columnas una progresin geomtrica, es decir,

( )1 2

2 2 2

1 2 1 2

1 1 1

1 2

1 1 1

, ,...,

n

n n

n n n

n

a a a

V a a a a a a

a a a

=

L

L

L

M M M

L

cuyo elemento genrico es 1,

i

i j jV a= , donde los ndices ,i j van desde 1hasta n . Esta matriz recibe dicho

nombre en honor del matemtico francs Alexandre-Thophile Vandermonde (1735-1796). Algunosautores definen a la matriz de Vandermonde como la transpuesta de la dada anteriormente, pero en

nuestro caso eso no es importante ya que estamos interesados en su determinante y sabemos que

( ) ( )det det TV V= .

Proposicin.El determinante de Vandermonde de orden 2n est dado por

( ) ( )1 21

det , ,..., n j ii j n

V a a a a a <

=

Donde

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 1 3 2 3 1 1 2 11

j i n n n n n

i j n

a a a a a a a a a a a a a a <

= L L

MATEMTICAS Y CULTURA

23.04.2010 No. 265


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2Demostracin.La demostracin se har por induccin sobre el orden de la matriz.

Para n = 2:

Aplicando la regla de Cramer se tiene

( ) ( )1 2 2 11 2

1 1det ,V a a a a

a a= =

lo cual se puede escribir como

( ) ( )1 21 2

det , j ii j

V a a a a <

=

con lo que termina la demostracin.

Con el propsito de ilustrar el mtodo para hacer la demostracin en el caso general, se realizarn las

demostraciones para los casos 3n= y 4n= .

Para n = 3 :

Se calcular el determinante mediante el mtodo de los cofactores, pero antes se aplicarn operaciones

elementales sobre los renglones de la matriz, obtenindose una matriz equivalente, es decir, con el

mismo determinante.

( )1 2 3 1 2 32 2 2

1 2 3

1 1 1

det , ,V a a a a a a

a a a

=

Restndole al tercer y segundo rengln 1a veces el segundo y primer rengln respectivamente, se tiene

que

( )

( ) ( )1 2 3 2 1 3 1 2 1 3 1

2 22 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 1

1 1 1 1 1 1

det , , 0 0

0 0

V a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

= =

MB


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3

Calculando el valor del determinante desarrollando por cofactores de acuerdo con la primera columna se

llega a

( ) ( ) ( )2 1 3 1

1 2 3

2 2 1 3 3 1det , ,

a a a a

V a a a a a a a a a

=

De las propiedades de los determinantes

( ) ( )( )1 2 3 2 1 3 12 3

1 1det , ,V a a a a a a a

a a=

el cual se puede escribir como

( ) ( )1 2 31 3 2 3

1 1det , , j i

i j

V a a a a aa a= <

=

y por el caso 2n =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 3 2 3 1 3

det , , j i j i j ii j i j i j

V a a a a a a a a a= < < <

= =

Para n = 4 :

Tambin se calcular el determinante mediante el mtodo de los cofactores.

( ) 1 2 3 41 2 3 4 2 2 2 21 2 3 43 3 3 3

1 2 3 41

1 1 1 1

det , , ,a a a a

V a a a a

a a a aa a a a

=

MB


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4

Restndole al cuarto, tercer y segundo rengln 1a veces el tercer, segundo y primer rengln

respectivamente y desarrollado por cofactores de acuerdo a la primera columna, se tiene que

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 3 1 4 1

1 2 3 4 2 2 2

2 1 2 3 1 3 4 1 4

3 2 3 2 3 2

2 1 2 3 1 3 4 1 4

2 1 3 1 4 1

2 2 1 3 3 1 4 4 1

2 2 2

2 2 1 3 3 1 4 4 1

2 1 3 1 4 1

2 2 1 3 3 1 4 4 1

2

1 1 1 1

0det , , ,

0

0

1 1 1 1

0

0

0

a a a a a aV a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a a a a

a

=

=

=

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

2 2 2

2 1 3 3 1 4 4 1

2 1 3 1 4 1 2 3 4

2 2 2

2 3 4

2 3 4

1 4 2 2 2

2 3 4

1 1 1

1 1 1

j i

i j

a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a

a a a a aa a a

= <

=

=

y por el caso anterior

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 4 2 4 1 4

det , , , j i j i j ii j i j i j

V a a a a a a a a a a= < < <

= =

Para n = k:

Se asume como verdadero que

MB


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5

( ) ( )1 2

2 2 2

1 2 1 2

1

1 1 1

1 2

1 1 1

det , , ,

k

k k j i

i j k

k k k

k

a a a

V a a a a a a a a

a a a

<

= =

L

L

K L

M M M

L

Para n = k + 1 :

Por demostrar que

( ) ( )

1 2 1

2 2 2 2

1 2 1

1 2 1

1 1

1 1 1 11 2 1

1 2 1

1 1 1 1

det , , ,

k k

k k

k j i

i j k

k k k k k k

k k k k

k k

a a a a

a a a aV a a a a a

a a a a

a a a a

+

+

+ < +

+

+

= =

L

L

LK

M M M M

L

L

Restndole a cada rengln, de abajo hacia arriba, 1a veces el rengln anterior, es decir,

1 1i i iR a R R para 1, , 1, , 3, 2i n n n= + K

se tiene

( )

1 2 1 1 1 12 2 2 2

1 2 1 2 1 1 1 1

1 2 1

1 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 1 1

1 1 1

1 2 1 2 1 1 1 1

2 1 1 1 1

2

1 1 1 1

det , , ,

1 1 1 1

0

0

k k

k k k k

k

k k k k k k k

k k k k

k k k k k k k

k k k k

k k

a a a a a a aa a a a a a a a a a

V a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a a

a

+

+ ++

+ +

+ +

+

=

=

L

L

LK

M M M M

L

L

L

L

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 1 1 1 1

2 2 2

2 2 1 1 1 1 1

1 1 1

2 2 1 1 1 1 1

0

0

k k k k

k k k

k k k k

k k k

k k k k

a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

+ +

+ +

+ +

L

M M M M

L

L

Desarrollando por cofactores de acuerdo con la primera columna

MB


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6

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 1 1 1 1

2 2 1 1 1 1 1

1 2 1

2 2 2

2 2 1 1 1 1 11 1 1

2 2 1 1 1 1 1

det , , ,

k k

k k k k

k

k k k

k k k k k k k

k k k k

a a a a a a

a a a a a a a a a

V a a a

a a a a a a a a aa a a a a a a a a

+

+ +

+

+ +

+ +

=

L

L

M L M MK

LL

De las propiedades de los determinantes

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 1

1 2 1 2 1 3 1 1 1 1

2 2 2

2 1

1 1 1

2 1

2 1

1 1 2 2 2

2 1

1 1 1

2 1

1 1 1

det , , ,

1 1 1

k k

k k k

k k k

k k

k k k

k k

k k

j i

i j k k k k

k k

k k k

k k

a a a

V a a a a a a a a a a a

a a a

a a a

a a a

a a

a a a

a a a

+

+ +

+

+

+

= < + +

+

=

=

L

L

K L M L M M

L

L

L

L

M L M M

L

L

Por la hiptesis de induccin

( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 1 2 1 1 1

det , , , k j i j i j ii j k i j k i j k

V a a a a a a a a a+= < + < + < +

= = K

con lo que termina la demostracin.

De manera inmediata se desprende el siguiente resultado.

Corolario.Si i ja a para i j , entonces 1 2det[ ( , , , )] 0nV a a a K .

El determinante de Vandermonde tiene diversas aplicaciones, algunas de las cuales se presentarn en un nmero posterior de

este boletn.

JUAN AGUILAR PASCUALPROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERA, UNAM

http://dcb.fi-c.unam.mx

[email protected]

Por razones de austeridad, el tiraje del boletn se sigue manteniendo a la mitad de lo que se

acostumbraba.

MB


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MB


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