COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

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MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS

RESEÑA HISTÓRICA SOBRE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARTE TERCERA Y ÚLTIMA

En sus esfuerzos por tratar el problema de la cuerda vibrante, Jean Bernoulli en 1724, planteó y resolvió la ecuación d y d x k y=2 2 2 . Anteriormente se dedujo la ecuación que se debe satisfacer un péndulo

simple: d m g send t

θ+ θ =2

20 .

Figura 4: Un péndulo simple.

Es conveniente señalar que antes de la solución de Jean Bernoulli, no se conocía la solución del péndulo simple, ni la que se obtiene tras aproximar sen θ por θ . Respecto a las ecuaciones diferenciales de orden superior a uno, Euler las comenzó a considerar en 1728. Cabe señalar que considerando la concepción de función de la época, se disponía, a partir de Newton de un método general de integración de ecuaciones diferenciales mediante el desarrollo de funciones en forma de serie. Otras aportaciones se identifican en personajes renombrados en la historia de la matemática. D’Alembert observa que el conocimiento de una solución particular y de la solución general de la homogénea conduce, por adición, a la solución general de la no homogénea. Lagrange estudia cómo obtener soluciones particulares y a él se le debe también el método de variación de parámetros. Con relación a los sistemas de ecuaciones diferenciales, surgieron en la historia de las matemáticas con la

MATEMÁTICAS Y CULTURA

11.02.2010 No. 263

2 misma intención que las ecuaciones diferenciales ordinarias: analizar cuantitativamente determinados sistemas físicos, de particular importancia los relacionados con la astronomía. Si bien las leyes del movimiento de Newton, en lo que se refiere a los principios físicos, tenían suficiente claridad, no ocurría lo mismo en la parte matemática. Al estudiar el movimiento de dos o más cuerpos bajo la acción gravitatoria, el problema matemático era el de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Naturalmente, el éxito inicial ante este reto, lo obtuvo Newton en su obra sobre los Principia. Si bien Euler, Laplace y Lagrange dieron resultados parcialmente. Al no obtener métodos generales para resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales, los matemáticos se volcaron con los sistemas de ecuaciones lineales de coeficientes constantes. La primera vez que surgió este tipo de sistemas fue al estudiar sistemas de muelles acoplados, a partir de la ley de Hooke. La noción de polinomio característico aparece ya explícitamente en el trabajo de Lagrange sobre sistemas de ecuaciones diferenciales publicado en 1774 y en el trabajo de Laplace en 1775. Por otra parte, Laplace desarrolló un método alternativo para hallar la solución de tales sistemas. En el famoso ensayo Théorie analityque des probabilités, publicado en 1812, Laplace presentó lo que ahora se conoce como la transformada de Laplace para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Esta transformada sirve también para encontrar la solución de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. A principios del siglo XIX se realizaron trabajos que buscaban demostrar de manera más formal conceptos establecidos en el siglo anterior. En 1820, Cauchy realizó estudios para comprobar la existencia de soluciones de algunas ecuaciones diferenciales bajo ciertas condiciones. En 1890 Picard estableció un método basado en aproximaciones sucesivas para establecer el teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales de orden n . Destacaron también en la época Cauchy; Jacobi, quien resolvió los sistemas de ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes donde la matriz del sistema es diagonalizable. A finales del siglo XIX, también hubo trabajos destacados relativos a ecuaciones diferenciales no lineales realizados por Poincaré mejorados, entre otros, por Liapunov. En este artículo ha sido imposible nombrar a todos los grandes exponentes de la matemática que han contribuido a establecer y enriquecer a través de la historia, los fundamentos de la teoría de las ecuaciones diferenciales, sólo se han señalado algunos trabajos y a sus representantes. Queda mucho por investigar y profundizar sobre esta rama de la matemática, que desde mi punto de vista, ha contribuido de manera determinante en la solución de diversidad de problemas del mundo físico.

MARGARITA RAMÍREZ GALINDO PROFESORA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

Referencias: 1) Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas. George F Simmons. Ed. McGraw-Hill 2) El pensamiento matemático: de la antigüedad a nuestros días. Alianza Universidad. 3) Ecuaciones Diferenciales .Editorial Ciencia y Técnica, La Habana.

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3 MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS MMAATTEEMMÁÁTTIICCAASS

UUNN PPRROOBBLLEEMMAA DDEE IINNTTEEGGRRAACCIIÓÓNN En la obtención de la derivada de una función es común empezar con la identificación del tipo de función (suma, cociente, potencia, etc.), con la finalidad de aplicar las correspondientes fórmulas de derivación; ahora bien, en el caso de una integral, puede suceder que su interpretación inicial sea muy variada, lo cual propiciaría distintos desarrollos que conducirían a resultados equivalentes, aunque en principio puedan parecer totalmente distintos. Así por ejemplo, la integral

cossen x x dx∫

puede resolverse de las tres formas siguientes:

a) Considerando u sen x du cos x d x= ⇒ = , se tiene

21

1( ) ( 1 )2

sen x cos x d x sen x cos x d x sen x C= = +∫ ∫ K

b) Considerando u cos x du sen x d x= ⇒ = − , se tiene

22

1( ) ( 2 )2

sen x cos x d x cos x sen x d x cos x C= − − = − +∫ ∫ K

c) Aplicando una identidad trigonométrica

31 1( ) 2 2 ( 3 )2 4

sen x cos x d x sen x d x cos x C⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ K

Es evidente que los resultados obtenidos en ( 1 ) , ( 2 ) y ( 3 ) , son todos distintos; sin embargo, es posible comprobar que cualquier par de ellos es equivalente entre sí. Así por ejemplo, utilizando una identidad trigonométrica en ( 1 )

( )

( )

21

21

21

22

12

1 12

1 12 2

12

sen x cos x d x sen x C

cos x C

cos x C

cos x C

= +

= − +

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

∫

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4 lo cual corresponde a ( 2 ) . A su vez, aplicando dos identidades trigonométricas en ( 3 )

( )

( )

( )

( )

3

2 23

2 23

23

23

22

1 24

14

1 14

1 2 14

1 12 4

12

sen x cos x d x cos x C

cos x sen x C

cos x cos x C

cos x C

cos x C

cos x C

= − +

= − − +

⎡ ⎤= − − − +⎣ ⎦

= − − +

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

∫

que también corresponde a ( 2 )

La razón de estas equivalencias de resultados, está en el hecho de que las funciones involucradas

212

sen x , 212

cos x− , 1 24

cos x−

son linealmente dependientes. En efecto, reacomodando la identidad trigonométrica

2 22cos x cos x sen x= − se tiene

2 2 2 0sen x cos x cos x− + =

que equivale, adaptando los tres coeficientes, a

2 21 1 12 2 4 2 02 2 4

sen x cos x cos x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

en donde, comparando con la ecuación de dependencia lineal,

1 1 2 2 3 3 0 ( 4 )u u u+ + =α α α K

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5 se tiene

1 2=α , 2 2=α , 3 4= −α

Es decir, existen escalares 0iα ≠ para los cuales se satisface ( 4 ) , lo cual garantiza la dependencia lineal de los tres resultados de la integral original.

LUIS HERNÁNDEZ MORENOPROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

CULTURA CULTURA UNA FÁBULA OLVIDADA

Hace muchos años fui al cine. Antes de la proyección de la película que ya no recuerdo cuál era, presentaron entre noticiero y cortos, una producción de la antigua Unión Soviética, en dibujos animados. Supuestamente se trataba de una caricatura destinada al público infantil. Casi sin proponérmelo, la temática y lo bien realizado de esta obra captó mi atención y la de mis acompañantes. Estoy convencido de que a pesar del interés que despertó entre los niños asistentes, el mensaje y conclusiones que se pueden desprender del argumento, fue impactante para los adultos. Todavía después de que ha pasado tanto tiempo, conservo en la memoria este “cuento” y concluyo que la moraleja sigue vigente, se puede decir, en todas partes donde el poder y la fortuna enferman al ser humano. Deseo compartir este relato con los amables lectores, ojalá que lo encuentren tan apasionante y aleccionador como a mí me parece:

EL DRAGÓN Había una vez un reino en el que gobernaba el dragón. Una enorme miseria y desesperanza oprimía a los habitantes del lugar puesto que el dragón era un tirano inmisericorde que por satisfacer sus ambiciones, despojaba a sus súbditos de lo poco que poseían y debían entregarle, además, tributo. Los impuestos los elevaba cada vez que se le ocurría y mandaba a sus incondicionales a saquear al pueblo frecuentemente. La gente ya no sabía cómo sobrevivir pues de sus cosechas no les quedaba ya ni para comer. El dragón, sin embargo, permitía que aquel que estuviera descontento por su tiranía, pudira dirigirse al palacio y desafiarlo; situación que se presentaba con cierta frecuencia pero inevitablemente el guardia de la entrada, después de cada batalla, anunciaba con orgullo y desprecio “el dragón venció” Estos intentos fallidos por liberarse lo que ocasionaban era que el dragón aumentara los ya de por sí enormes impuestos. En el pueblo había un niño que azorado veía la brutalidad con la que llegaban los esbirros del monarca para despojar a sus padres y vecinos. Él intentaba defender a los suyos pero los saqueadores tan solo se reían de sus intentos y, gracias a que era sólo un niño, no lo maltrataban tan inmisericordemente como a los demás.

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6 Ante la impotencia de sus intentos, un día se dirigió al lago para consultar a la vieja tortuga, quien era conocida por su sabiduría. Después de escuchar los deseos del niño de convertirse en el liberador de sus padres y, en general de su oprimido pueblo, la tortuga le respondió: “si quieres vencer al dragón debes vencerte a ti mismo” El niño pensó ante tal respuesta que la tortuga había enloquecido. Él quería recibir consejos sobre alguna estrategia de batalla para poder derrotar a tan poderoso combatiente y la sentencia de la tortuga la encontró totalmente fuera de contexto. El tiempo pasó, el niño se convirtió en un joven inteligente y fuerte, a pesar de que la vida continuaba de mal en peor con el cruel dragón. Ahora ya sólo vivía con su madre pues a su padre lo habían encarcelado porque no había podido pagar la deuda con el dragón. La tierra ya no daba más y cada mes llegaban a despojarlos de lo poco que habían cosechado con mucho trabajo. El muchacho, mientras tanto, se había entrenado para poder manejar bien espadas, cuchillos y otras armas y ahora se sentía preparado para desafiar al dragón. Resuelto se dirigió a las puertas del palacio y cuando el mayordomo abrió, le manifestó su deseo de medirse con el tirano. Con una risa socarrona, el guardia lo hizo pasar a la sala de combates y le ordenó que esperara la aparición del soberano. La lucha fue cruenta y cuando parecía que el dragón saldría victorioso, el muchacho en un esfuerzo sobrehumano le cercenó la cabeza al dragón terminando con la vida de tan infame personaje. Agotado pero inmensamente feliz, el muchacho ordenó al guardia que anunciara al pueblo que el dragón había sido vencido; sin embargo, el lacayo le pidió que antes del aviso lo acompañara a las salas del palacio en donde el dragón guardaba sus tesoros, que ahora a él pertenecían. Cuando llegaron, a la vista de tantas joyas, dinero y muchos bienes, las facciones del muchacho comenzaron a cambiarle, sus ojos brillaban con destellos extraños, su rostro comenzó a parecerse a la fisonomía de un dragón, incluso su cuerpo se asemejaba cada vez más al del odioso tirano difunto. El mayordomo sonriendo ante tal fenómeno le preguntó si hacia el tan esperado anuncio, el muchacho-dragón de inmediato cambió la instrucción ordenando que se dijera al pueblo que el dragón había vencido. Antes de que el guardia feliz saliera a dar la nueva, el muchacho, dentro de su mente obstruida por la ambición al verse dueño de tales tesoros, como entre niebla recordó las palabras entonces indescifrables de la tortuga: “si quieres vencer al dragón debes vencerte a ti mismo” Ahora comprendía a la vieja tortuga con toda su sabiduría y de inmediato, él mismo subió a la torre del castillo para dar la noticia de que él había vencido y que el pueblo era libre.

ÉRIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGAPROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

http://www.dcb.fi-c.unam.mx erik2306@servidor.unam.mx

Por razones de austeridad, el tiraje del Boletín se mantiene a la mitad de lo que se acostumbraba.

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