COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

B O L E T Í N

MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS OPERADORES: ADJUNTO Y NORMAL

En un espacio V con producto interno, cada operador lineal S tiene un operador llamado su adjunto (también lineal), que representamos con *S y es tal que, para toda pareja vu, de vectores de V , ( )( ) ( )( )vSuvuS *= . Esta

definición está basada en el producto interno por lo que, el operador adjunto depende del producto interno considerado, es decir, el operador S tiene tantos adjuntos como productos internos se consideren, pero para cada uno el adjunto es único. Obtendremos el adjunto del operador S en 2R , tal que ( ) ( )yxyxyxS 3,2, +−= con respecto al producto usual en 2R (producto punto). Si ( )yxu ,= y ( )bav ,= , debemos determinar δγβα ,,, que definen la regla del operador lineal *S , esto es:

( ) ( )bababaS δγβα ++= ,,* . ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )baybaxbyxayxbayxyxvuS 3232,3,2 +−++=++−=+−= .

( )( ) ( ) ( )baybaxvSu δγβα +++=* , con esto llegamos a: 3,1,1,2 =−=== δγβα , es decir,

( ) ( )bababaS 3,2,* +−+= . Si consideramos otro producto interno en 2R , por ejemplo el definido por ( ) 221221113 vuvuvuvuvu +−−= , el

adjunto de S es otro que llamaremos *1S y lo obtenemos a continuación:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )baybaxbyxayxbyxayxvuS 46533223 +−+−=+++−−−−=

( ) ( )bababaS δγβα ++= ,,*1 .

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++−+−+= baybaybaxbaxvSu δγβαδγβα3*1

( ) ( )babaybabax δγβαδγβα ++−−+−−+= 33 Ya que ( )( ) ( )( )vSuvuS *

1= , se tiene:

( ) ( )babababa δβγαδγβα −+−=−−+=− 33335

MATEMÁTICAS Y CULTURA

23.11.2009 No. 262

2 ( ) ( )babababa δβγαδγβα +−++−=++−−=+− 46 , esto es:

⎩⎨⎧

−=+−=−

653

γαγα

y ⎩⎨⎧

=+−−=−413

δβδβ

de donde 2

11,

213

,23

,21

=−==−= δγβα

Por lo tanto, ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−= bababaS

211

213

,23

21

,*1 .

Una propiedad del operador adjunto (en nuestro ejemplo *

1* , SS ) es que la matriz asociada a él referida a una base

ortonormal de V es la transpuesta (si V es real) o la conjugada-transpuesta (si V es complejo) de la matriz referida a la misma base, asociada al operador original (en nuestro ejemplo S ). Una base ortonormal de 2R respecto al producto punto es la canónica ( ) ( ){ }1,0,0,1=B y las matrices asociadas a S y *S son respectivamente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

3112

)(SM y ( )TSMSM )(3112

)( * =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

Para el producto interno en 2R definido por ( ) 221221113 vuvuvuvuvu +−−= , con el cual

( ) ( )221

212 uuuuu −+= , una base ortonormal de 2R es

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

6

3,

6

1,0,

3

1A .

La matriz asociada a S referida a A tiene por columnas los vectores de coordenadas respecto a A de las imágenes de los elementos de A . Esto es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= AA

AA SSSM )]

6

3,

6

1([)]0,

3

1([)(

Las coordenadas de todo elemento ( )yx, perteneciente a 2R respecto a A son α y β tales que:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

y

yxyx

36

31

3

6

3,

6

10,

3

1,

β

αβα

;

32

35

)]3

1,

3

2[()]0,

3

1([

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== AAS

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−=−=

310

23

13

)]6

10,

6

1[()]

6

3,

6

1([ AAS

Por lo que

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

310

32

23

1335

)(SM AA

MB

3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= AA

AA SSSM )]

6

3,

6

1([)]0,

3

1([)( *

1*1

*1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=−−=

23

1335

)]32

13,

32

1[()]0,

3

1([ *

1 AAS ;

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

310

32

)]62

20,

62

8[()]

6

3,

6

1([ *

1 AAS

Por lo que

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

310

23

1332

35

)( *1SM A

A

Del operador en el espacio complejo 2C tal que ( ) ( )iwzwizwzH 2,2, −−+= su adjunto *H respecto al

producto usual en 2C (esto es: ( ) 2211 vuvuvu += ) es:

( ) ( )wzwzwzH δγβα ++= ,,* donde C∈δγβα ,,, . ( ) ( )2121 2,2 iuuuiuuH −−+= ; ( ) ( )2121

* , vvvvvH δγβα ++=

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )212211221121 2222 vivuvviuviuuvuiuvuH −+−=−−++= .....................................................(1)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )212211212211* vvuvvuvvuvvuvHu δγβαδγβα +++=+++= .............................................

(2) De igualar (1) con (2): iiii 2,1,1,22,1,1,2 ==−=−=∴−==−== δγβαδγβα

( ) ( )2121* 2,2 iuuuiuuH +−−= .

Considerando el producto usual, una base ortonormal de 2C es ( ) ( ){ }1,0,0,1=A (la canónica): Respecto a ella:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=i

iHM

2112

)( y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

ii

HM2112

)( * = [ ]*)(hM

Si se considera el producto interno en 2C definido por ( ) 2211 52 vuvuvu += ... (I)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )212211221121 102542522 vivuvviuviuuvuiuvuH −+−=−−++=

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )212211212211*1 552252 vvuvvuvvuvvuvHu δγβαδγβα +++=+++=

De igualar ( )( )vuH con ( )( )vHu *1 : ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−= iwzwizwzH 2

52

,25

2),(*1

Una base ortonormal de 2C respecto al producto definido por (I) es:

MB

4

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += iiB

51

52

,0,0,21

21

. Las coordenadas del elemento ( )wz, respecto de B son βα , tales que

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += iiwz

51

52

,00,21

21

, βα )2(;)1( iwiz +=−=∴ βα

La matriz asociada a H referida a la base B es:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= BB

BB iHiHHM )]

51

52

,0([)]0,21

21

([)(

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=−−−=+

i

iiiiH BB

23

212

)21

21

,1(]0,21

21

([

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=−−−=−

i

iiiiH BB

253

51

)54

52

,51

52

()]51

52

,0([

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=∴

ii

iiHM B

B

223

21

53

51

2)(

El matriz asociada a *1H referida a B es: ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+= BB

BB iHiHHM )]

51

52

,0([)]0,21

21

([)( *1

*1

*1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−=+−=+

i

iiiiH BB

53

51

2)

51

51

,1()]0,21

21

([ *1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ +−=++−=−

i

iiiiH BB

223

21

)54

52

,21

1()]51

52

,0([ *1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+−−=

ii

iiHM B

B

253

51

23

21

2)( *

1 = [ ]*)(HM BB , es decir, es la conjugada-transpuesta de la asociada a H

referida a la base B . Otro operador que aquí presentamos es el llamado operador normal. Éste se define como aquel cuya composición con su adjunto es conmutativa, esto es: T es normal si TTTT oo ** = . Debido a que para cada producto interno considerado el adjunto es diferente, un operador puede ser normal respecto a un producto interno y no serlo respecto a otro. Un ejemplo de operador normal en 2R respecto al producto punto es K tal que )5,2(),( yxyxyxK +−−= pues, como puede comprobarse )5,2(* yxyxK +−−= y se tiene

),()()267,75(),()( ** yxKKyxyxyxKK oo =+−−=

MB

5 Operadores como K que tiene un adjunto idéntico a él, suelen llamarse autoadjuntos. Sin embargo, respecto a otro producto interno como el definido por:

( ) 2211 32 vuvuvu += , el adjunto de K es )532

,23

2(),(*1 yxyxyxK +−−= , con el cual

)2

533

16,8

314

(),()( *1 yxyxyxKK +−−=o ; )

377

319

,2

192

11(),()( *

1 yxyxyxKK +−−=o .

Debido a que ),()(),()( *1

*1 yxKKyxKK oo ≠ , el operador K no es normal respecto al producto considerado.

Otro ejemplo de operador normal en el espacio complejo 2C respecto al producto usual es H cuya regla se define con: )2,2(),( iwzwizwzH −−+= ; su adjunto es )2,2),(* iwzwizwzH +−−= , para el cual

),()()5,5(),()( ** wzHHwzwzHH oo == por lo que, H es normal. El mismo H , respecto al producto considerado anteriormente ( ) 2211 52 vuvuvu += no es normal, pues

( )HHHH oo *1

*1 )( ≠ .

Como último ejemplo tenemos al operador J en el espacio complejo 3C cuya regla es

)2)1(,2,)1((),,( iwziivizviiwvwzJ −+−−++= . El adjunto *J respecto al producto usual en 3C es: )2)1(,2,)1((),,(* iwziivizviiwvwzJ +−+−−−+−= y resulta:

),,()()6)1(2,)1(5)22(,2)22(3(),,()( ** vwzJJvwizviwzivwizvwzJJ oo =+++−−++−−−+−+= Por lo que J es un operador normal respecto al producto interno usual en 3C .

LEDA SPEZIALE SAN VICENTEPROFESORA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS RESEÑA HISTÓRICA SOBRE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

PARTE SEGUNDA Leibniz descubrió la técnica de separación de variables en 1691: Mostró cómo se resuelve la ecuación diferencial

( ) ( )d xy f x g yd y

= .

De igual manera, redujo en el mismo año la ecuación homogénea ( )d y d x f y x= a una ecuación de variables separables de primer orden del modo usual: con el cambio y v x= . En 1694, Leibniz, publicó la resolución de la ecuación

( ) ( )d y p x y q xd x

+ = .

En 1694, Leibniz y Jean Bernoulli estudiaron el problema de encontrar la familia de curvas que cortan con un ángulo dado a una familia de curvas dadas. Jean Bernoulli señaló que este problema es importante para determinar las trayectorias de los rayos de luz que recorren un medio no uniforme porque dichos rayos cortan ortogonalmente los llamados frentes de luz. El problema fue resuelto de forma general e

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6 independiente por Leibniz y por Jean Bernoulli en 1698. El método empleado se sigue usando actualmente. Jean Bernoulli planteó el problema de determinar el movimiento de un proyectil en un medio cuya resistencia es proporcional a una potencia de la velocidad. La ecuación diferencial es en este caso

nd vm m g k vd t

= − .

También fueron identificadas las ecuaciones diferenciales de primer orden exactas, es decir, las ecuaciones ( ) ( ), ,M x y d x N x y d y+ = 0 para las cuales existe una función ( ),z z x y= tal que d z M d x N d y= + . Clairaut en 1739 dio la condición M y N x∂ ∂ = ∂ ∂ ; esta misma condición fue dada de forma independiente por Euler en 1734. Si se tiene

( ) ( ), ,d z M x y d x N x y d y= + = 0 como remarcaron Euler y Clairaut, la solución es z cte= . Cuando una ecuación de primer orden no es exacta, es posible muchas veces multiplicarla por una función, llamada factor integrante, que la convierta en exacta. Aunque se había usado esta técnica en lagunas ecuaciones, fue Euler en 1734 quien se dio cuenta que este concepto proporcionaba un método de integración e introdujo las expresiones que actualmente se usan. Clairaut amplió la teoría poco más tarde. Hacia 1740 se conocían los métodos elementales de resolución de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Naturalmente, el estudio de diversos fenómenos modelados por ecuaciones diferenciales no se redujo a las de primer orden, como se describirá en la tercera y última parte..

(Continuará)

MARGARITA RAMÍREZ GALINDO PROFESORA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

Referencias: 1) Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas. George F Simmons. Ed. McGraw-Hill 2) El pensamiento matemático: de la antigüedad a nuestros días. Alianza Universidad. 3) Ecuaciones Diferenciales .Editorial Ciencia y Técnica, La Habana. ____________________________________________________________________________________ http:www.dcb.fi-c.UNAM.mx erik2306@servidor.unam.mx Por razones de austeridad, a partir de este ejemplar, el tiraje del boletín se reduce a la mitad. Se agradece a los lectores su comprensión y se les invita a visitar la página WEB donde encontrarán todos los ejemplares publicados desde abril de 1981.

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