COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

B O L E T Í N

MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS

MULTIPLICACIÓN CON NÚMEROS ROMANOS Te has preguntado: ¿cómo sumaban y multiplicaban los romanos?, esto es más fácil de lo que parece. I II III IV V VI VII VIII IX X XL XC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 90 Como podemos ver la notación romana es aditiva principalmente, VIII = 5 + 1 + 1 + 1 = 8, aunque también es sustractiva, colocando un número menor a la izquierda de un mayor, es decir es una notación posicional. Por ejemplo, 99 se escribe XCIX y no LXXXXVIIII. Pero si queremos sumar es muy sencillo, eliminamos la forma sustractiva, es decir, 99 se deberá escribir LXXXXVIIII. De esta forma es 100% aditiva, la suma simplemente es la yuxtaposición de cifras. Al haber eliminado la parte sustractiva no importa la posición de las cifras, sin embargo, debemos ordenar de mayor a menor, para darle claridad, y hacer simplificaciones. 125+74+231+724 = CXXV más LXXIIII más CCXXXI más DCCXXIIII igual a CXXVLXXIIIICCXXXIDCCXXIIII (Nota: los romanos no usaban los símbolos aritméticos actuales ellos ocupaban palabras)

MATEMÁTICAS Y CULTURA

23.09.2009 No. 260

2 Reordenanado: CXXVLXXIIIICCXXXIDCCXXIIII igual a DCCCCCLXXXXXXXXXVIIIIIIIII

Agrupando y simplificando: (Aquí aún no regresamos a la notación sustractiva, ya que podría ser necesario sumar nuevamente) DCCCCC igual a M LXXXXX igual a C XXXX igual a XXXX VIIIII igual a X IIII igual a IIII Resulta MCXXXXXIIII, donde aún se puede agrupar, simplificar y utilizar ahora sí la notación sustractiva. MCXXXXXIIII igual a MCLIV Como vemos la suma es súper fácil: 125+74+231+724 = 1154. ¿Y la multiplicación? ¿Será tan fácil? La respuesta es sí. Multipliquemos 74 por 125. Recurrimos nuevamente a la notación puramente aditivita, a uno de los números lo dividimos a la mitad hasta llegar al 1 y al otro lo duplicamos. LXXIIII CXXV Mitad de L es XXV, mitad de XX es X, mitad de IIII es II Doble de C es CC, doble de XXV es L (fácil o ¿no?)

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3 XXXVII CCL XVIII D VIIII M IIII MM II MMMM I VMMM Ahora de la primera columna tachamos los números pares

LXXIIII CXXV XXXVII CCL XVIII D VIIII M IIII MM II MMMM I MMMV De la segunda columna sumamos los números sin tachar MMMV más M mas CCL igual a

MMMMCCLV igual a CCLIX . Es decir, 74 x 125 = 9250. Por supuesto para nosotros es más fácil de visualizar con números arábigos. 74 125 37 250 18 500 9 1000 4 2000 2 4000 1 8000 74 x 125 = 8000 + 1000 + 250 Por lo visto la multiplicación también era muy fácil.

TONATIUH AGUILAR JIMÉNEZESTUDIANTE DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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4 CULTURA CULTURA

¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS?

Es la ciencia de la cantidad. Aristóteles

Es la reina y la sirvienta de la ciencia.

Eric T. Bell

Es la ciencia del orden y de la medida. René Descartes

Estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

Enciclopedia Encarta

Es la reina de las ciencias. Y la aritmética es la reina de las matemáticas.

Karl Friedrich Gauss

Es un juego con reglas muy sencillas que deja marcas sin significado en un papel.

David Hilbert Es un método que permite descubrir y expresar, de la manera más económica posible, reglas útiles de razonamiento correcto sobre cálculos, medida y forma.

Lancelot Hogben

Es la ciencia de lo que es claro de por sí. Gustav J. Jacobi

Es la ciencia de las cosas evidentes e incontrovertibles.

Félix Klein

Es la “ciencia de los conjuntos”. De los conjuntos finitos nace, por abstracción, el concepto de número, fundamento de toda la matemática.

Julio Rey Pastor

Es la ciencia que obtiene conclusiones necesarias. Benjamín Pierce

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5 La matemática no estudia objetos sino relaciones entre objetos; podemos reemplazar un objeto por otros siempre y cuando la relación entre ellos no cambie.

Henri Poincaré

Se puede definir como la materia en la que nunca se sabe de qué se habla ni si lo que se dice es cierto.

Bertrand Russell

Es la ciencia más exacta y sus operaciones permiten la demostración absoluta. Pero eso ocurre sólo porque la matemática no trata de deducir conclusiones absolutas. Todas las verdades matemáticas son relativas, condicionales.

Charles P. Steinmetz En su significado más amplio, es el desarrollo de todo tipo de razonamiento formal, necesario y deductivo.

Alfred N. Whitehead

Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. τὰ μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones de los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).

Wikipedia ___________________________________________________________________________ MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS

UN PROBLEMA DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA Demostrar por medio del método de Inducción Matemática la validez de la siguiente proposición: cos((2n -1)π) = -1 ; " n ³ 1. El número n pertenece al conjunto de los números naturales. Solución: Para, P(1): cos(π)= -1, se verifica para el menor valor de n; esto es n=1. P(1), es válida. Para, P(k): cos((2k-1)π) = -1 Simplificando la expresión anterior. cos(2kπ - π) = -1 …(1)

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6 Recordando la identidad trigonométrica: cos(A – B) = cosA cosB + senA senB La expresión (1), se puede desarrollar como: cos(2kπ - π) = -1 cos(2kπ) cos π + sen(2kπ) sen π = -1 simplificando cos(2kπ) (-1) + sen(2kπ) (0) = -1 -cos(2kπ) = -1 Por tanto, la Hipótesis de Inducción Matemática es, P(k): cos(2kπ) = 1 Para P(k+1): cos((2(k+1)-1)π) = -1. Simplificando la ecuación anterior, queda cos((2k+1)π) = -1… (2), es la Tesis de Inducción Matemática, Demostración: En este caso, no es fácil, sumar un término o multiplicar por un factor a la Hipótesis de inducción Matemática, por tal motivo, la demostración es a partir de la Tesis de Inducción Matemática y se hace uso de la Hipótesis de Inducción Matemática. Cos(2kπ + π)… (3) Recordando la identidad trigonométrica cos(A + B) = cosA cosB – senA senB La expresión (3), se puede calcular como: cos(2kπ) cosπ - sen(2kπ) senπ cos(2kπ) (-1) - sen(2kπ) (0); como cos(2kπ) = 1, es la Hipótesis de Inducción Matemática se llega al valor -1, que es la cantidad de lado derecho de la Tesis de Inducción Matemática. Por tanto quedó demostrado que P(k+1) es verdadero, P(n) se cumple para todo número n en los naturales.

GUSTAVO BALMORI NEGRETEPROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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