COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

B O L E T Í N

CULTURA CULTURA DUERME BIEN… Y ACERTARÁS

Si reflexionamos un poco, y observamos a nuestro alrededor, nos damos cuenta que en

la actualidad muy fácilmente la gente se agrede (en medio del tráfico, en el transporte colectivo, etc.), es intolerante a pequeños problemas y por lo tanto presenta irritabilidad, también se distrae muy fácil y más aún con la llegada de la nueva tecnología como el celular, el ipod, etc.

El ritmo de vida que actualmente lleva el ser humano es muy acelerado y esto atenta de manera importante contra el tiempo de descanso, lo cual trasciende en conductas que de primera intención, no son entendibles. Esto es mucho más delicado cuando dichos individuos tienen en sus manos el destino de millones de personas, como gobernantes, directores de empresas, etc.

Estudios realizados por expertos concluyen que el mal dormir afecta al control cerebral de las emociones y hace que uno reaccione con mayor irracionalidad.

Después de varios experimentos llevados a cabo con la ayuda de voluntarios, el autor del estudio, asevera que cuando no se duerme lo suficiente, el cerebro es incapaz de contextualizar los estímulos negativos y darles una respuesta adecuada. Por ende, funciona con patrones más primitivos.

A la falta de sueño también se le relaciona con el riesgo de sufrir obesidad, depresión, mal humor, problemas cardíacos y diabetes. El sueño es una necesidad básica que le permite al cuerpo descansar física y mentalmente. Durante este período, el organismo sigue funcionando de distinta manera, recupera y procesa información valiosa que quizá olvidó cuando estaba despierto. Por ello la importancia de dormir bien.

Es tan importante el sueño, ya que se presentan características como: total pérdida del tono muscular, aumento del umbral perceptivo y reducción de las funciones vitales, presencia de sueños. Organización en fases, o sea que se presenta en períodos de alrededor de 20 minutos cada uno, tres o cuatro veces por noche, cada hora y media aproximadamente. El inicio de las fases que respeta un reloj biológico que es un ritmo casi de 24 horas (circadiano), (uno de los más exactos de nuestro sistema biológico). Inicio y final de cada fase o período en modo brusco (al final de cada fase se puede observar una mayor facilidad a despertarse, sobre todo si se presentan contemporáneamente estímulos externos(como algún ruido o la presencia de luz) o fisiológicos como la necesidad de evacuar la vejiga, o hambre, etc.

MATEMÁTICAS Y CULTURA

21.08.2009 No. 259

2 En resumen es importante dormir 8 horas en promedio (aunque a veces es difícil) ya que esto conlleva a que recuperamos energía, nos ayuda al crecimiento, libera toxinas que adquirimos durante el día, ayuda al sistema inmunológico, combatiendo males e infecciones, favorece a la producción de anticuerpos, etc. Y en general una persona es más lúcida cuando ha descansado lo necesario, ponlo en práctica y goza de los beneficios… ¡¡buenas noches!! Consulta electrónica: http://www.planamanecer.com/portada/Actualidad%20%7C%20Noticias/content/modo/view/id/242/Itemid/7/ http://www.psicopedagogia.com/articulos/?articulo=407

ANGÉLICA LETICIA SERRANO AHUMADAEGRESADA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS

LA SUCESIÓN DE FIBONACCI Y LA RAZÓN ÁUREA

Uno de los conceptos matemáticos más enigmáticos, apasionantes, antiguos y de múltiples aplicaciones es el de la razón áurea. Así es como se conoce a la relación existente entre el ancho y el largo del rectángulo más estético. Esta proporción fue empleada en la tapicería egipcia, posteriormente se tiene evidencia que los griegos la utilizaron en la construcción de diversas edificaciones, entre ellas el Partenón. De igual forma se presenta en la fachada de la catedral de Nuestra Señora en París, Francia. También en la pintura se tienen muestras de su uso, por ejemplo en algunas pinturas del genial Leonardo Da Vinci. Todo esto hace que los artistas plásticos, los estudiantes y profesionales de diseño gráfico, o de fotografía, y otras actividades afines, tengan en un lugar preponderante el estudio de este tema. Hay varias formas de obtener el valor de esta relación de oro. Una de ellas mediante una característica geométrica que posee el rectángulo de medidas áureas. Imaginemos un rectángulo con esta relación:

Para un trabajo sencillo, consideremos que el largo del rectángulo tenga una unidad de

MB

3 longitud y que su ancho mida x unidades:

La propiedad que tiene este rectángulo es que si se miden x unidades en el lado mayor del rectángulo, de manera que se formen un cuadrado y un rectángulo más pequeño, el rectángulo resultante guardará la misma relación áurea entre su largo y su ancho.

Debo aclarar que el dibujo no está a escala y solamente es ilustrativo del procedimiento. Si la propiedad se cumple, entonces podemos establecer la correspondencia entre los rectángulos por medio de la expresión:

011

12 =−+⇒

−= xx

xxx … (1)

La raíz de menor valor de esta ecuación nos da el valor buscado para que exista congruencia puesto que hemos supuesto que x es el lado menor del rectángulo. El valor, entonces, de la razón áurea es un número irracional:

618,02

15≈

−=r

Otra forma de obtener este valor áureo es con el conocimiento de que el límite del cociente del término enésimo de la sucesión de Fibonacci entre su término siguiente, cuando n tiende al infinito, es precisamente la razón de oro. Para comenzar, recordemos que Fibonacci fue un comerciante italiano estudioso de las matemáticas. Su nombre era Leonardo de Pisa pero a su padre le apodaban Bonacci (simple o bien intencionado) y a Leonardo le llamaban Fibonacci (hijo de Bonacci). Como comerciante, viajaba a diferentes países, entre ellos los árabes, en donde tuvo oportunidad de conocer algunos avances matemáticos de aquellas culturas. Entre ellos el sistema indo-arábigo que él mismo introdujo a Europa, con el riesgo de contraponerse con el sistema romano, lo cual resultaba peligroso en aquellos días, pues representaba una posición contraria a lo aceptado por el Vaticano.

MB

4 La sucesión de Fibonacci es el conjunto formado por sus dos primeros elementos, el cero y el uno, y los demás se van obteniendo como la suma de los dos anteriores. Con esta regla se tiene que, por extensión, el conjunto

{ }K,13,8,5,3,2,1,1,0=F Para determinar el enésimo elemento de la sucesión, estableceremos y resolveremos una ecuación en diferencias., para después calcular el límite mencionado. La ecuación en diferencias se puede escribir tomando en consideración la condición de que el elemento por determinar es la suma de los dos anteriores y los dos primeros son el cero y el uno; entonces:

)1()()2( ++=+ nfnfnf , para 1)1(,0)0( == ff Si la reordenamos: 0)()1()2( =−+−+ nfnfnf Se trata de una ecuación en diferencias lineal, de orden dos, homogénea y de coeficientes constantes. Al escribirla en términos del operador corrimiento: ( ) 0)(12 =−− nfEE Su ecuación característica es: 012 =−− xx Los valores que resuelven esta ecuación son:

2

51,

251

21−

=+

= αα

Por lo que, la solución general de esta ecuación es:

nn

CCnf ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

251

251

)( 21 … (2)

Ahora, como los términos de la sucesión deben cumplir con las condiciones particulares, se tiene que para 0)0( =f : 021 =+CC … (3)

MB

5 Para 1)1( =f :

12

512

5121 =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + CC … (4)

Al resolver el sistema que forman las ecuaciones (3) y (4):

5

1,

51

21 −== CC

Por lo que, la solución particular que nos ofrece el valor de cualquier elemento de la sucesión de Fibonacci es:

nn

nf ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

251

5

12

51

5

1)(

La razón áurea estará dada por el valor de:

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=++∞→ 11

251

51

251

51

251

51

251

51

nn

nn

nlímr

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=++∞→ 11

251

251

251

251

nn

nn

nlím

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

=++∞→ 11

51511

251

51511

251

nn

nn

nlím

MB

6

51

2

51511

51511

251

11 +

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

+∞→ n

n

nlím

Ya que 151

51<

+

− y su límite cuando el exponente tiende al infinito vale cero.

Al racionalizar el resultado de este límite:

5151

251

51

51

2−−

=−

−

+=r

Finalmente:

2

15 −=r

Que coincide con el resultado obtenido por medio del procedimiento geométrico. Sobre la razón áurea o sobre la sucesión de Fibonacci podemos decir muchas cosas más. Hay libros que tratan de estos temas o pueden impartirse cursos relativos a estos conceptos; sin embargo aquí únicamente se tocan unos cuantos tópicos matemáticos con la intención de que el amable lector se interese y profundice.

ÉRIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGAPROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

http:www.dcb.fi-c.unam.mx erik2306@servidor.unam.mx

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