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COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
B O L E T Í N
MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS
ECUACIÓN POLAR EN FORMA GENERAL DE ALGUNAS CIRCUNFERENCIAS, ROSAS DE n-PÉTALOS, CARACOLES Y CARDIOIDES
La ecuación polar de una circunferencia de diámetro 1, con centro sobre el lado derecho del eje polar y que pasa por el polo, es r = cos θ; sin embargo, ¿cómo se afectaría la gráfica si se multiplica la función trigonométrica por un coeficiente A?, la respuesta se observa claramente en las gráficas siguientes:
r = A cos θ
A=1 A=2 A=3
MATEMÁTICAS Y CULTURA
23.05.2009 No. 258
2
A= -1 A= -2 A= -3 De las gráficas anteriores se puede concluir que el valor de A modifica el tamaño de la curva, su posición, pero no su forma. Ahora bien, manteniendo el valor de A = 3, ¿cómo se modificaría la gráfica si se multiplica el argumento de la función trigonométrica por un número entero B?, la respuesta se percibe en las gráficas siguientes:
r = A cos Bθ
A=3, B=1 A=3, B=2 A=3, B=3
MB
3
A=3, B=4 A=3, B=5 A=3, B=6 De las gráficas anteriores se puede concluir que el valor de B modifica el número de pétalos, pero no su tamaño. Si B es impar, se tienen B pétalos y si B es par, se tienen 2B pétalos; ahora bien, si se mantienen los valores A = 3 y B = 1, ¿cómo se modificaría la gráfica si se suman C grados sexagesimales al argumento de la función trigonométrica?, la respuesta se percibe en las gráficas siguientes:
r = A cos (Bθ + C)
00,1,3 === CBA 045,1,3 === CBA 090,1,3 === CBA
MB
4
0135,1,3 === CBA 045,1,3 −=== CBA 090,1,3 −=== CBA
Como se observa en las gráficas anteriores, el valor de C hace girar a la curva alrededor del polo, manteniendo su forma y su tamaño. El valor de C corresponde al ángulo de giro, medido desde el eje polar; además, si el valor de C es positivo el giro es en sentido horario y si el valor de C es negativo el giro es en sentido anti-horario. Por otro lado, si se mantienen los valores de A = 3, B = 1 y C = 0o ¿cómo se modificaría la gráfica si se pone un sumando D a la función trigonométrica?, la respuesta se percibe en las gráficas siguientes:
( ) DCBr ++= θcos
0,0
1,30 ==
==
DCBA
1,01,3
0 ==
==
DCBA
2,0
1,30 ==
==
DCBA
MB
5
3,01,3
0 ==
==
DCBA
4,0
1,30 ==
==
DCBA
1,0
1,30 −==
==
DCBA
Como se observa en las gráficas anteriores, el valor de D cambia la forma y el tamaño de la curva. Si el valor absoluto de D es menor que el valor de A, se obtienen caracoles con bucles de diferentes tamaños; si el valor absoluto de D es igual que el valor de A, se obtienen cardioides y si el valor absoluto de D es mayor que el valor de A, se obtienen curvas sin bucles, a toda esta serie de curvas se les conoce como el caracol de Pascal. De todo lo anterior, se puede concluir que teniendo como ecuación general:
r = A cos (Bθ + C) + D se pueden obtener circunferencias, rosas de n-pétalos, caracoles o cardioides de diferentes tamaños alineados o rotados con respecto al eje polar; esto, dependiendo de los valores de A, B, C y D, en donde B siempre es un entero; de esta forma, se pueden identificar fácilmente curvas cuyas ecuaciones polares sean como la siguiente:
r = 4cos (3θ – 30º) Esta sería una rosa de tres pétalos porque el coeficiente del argumento es 3 (B = 3), sus pétalos tendrían cuatro unidades de longitud porque el coeficiente de la función es 4 (A = 4) y estaría rotada 30º con respecto al eje polar porque el sumando del argumento es -30º (C = -30º). Su gráfica sería la siguiente:
MB
6 Adicionalmente, si en la ecuación general se cambia la función coseno por la función seno, se obtienen las mismas curvas, pero alineadas o rotadas con respecto a la recta a 90º, como se muestra en el ejemplo siguiente:
r = 2sen(θ) + 2
Por otro lado, cuando B, no es un número entero se pueden crear curvas como las siguientes:
Queda para la curiosidad del lector averiguar cuáles curvas se obtendrían con la función tangente; para ello, puede emplear algún software para graficar.
ALFREDO VELÁSQUEZ MÁRQUEZPROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
http://www.dcb.fi-c.unam.mx [email protected]
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MB