Bola (matemática) 1

Bola (matemática)Una bola, en topología y otras ramas de matemática, es el conjunto de puntos que distan de otro igual o menos queuna distancia dada, llamada radio. Es un concepto fundamental en el Análisis Matemático. Se distinguen dos tipos:las abiertas y las cerradas.

Bola abiertaUna bola abierta, en topología, es el conjunto de puntos que distan de otro punto (el centro), una distancia menor a ladeterminada (el radio). Equivale al conjunto de puntos contenidos dentro de una superficie esférica, excluida dichasuperficie.

Definición y notaciones

Sea un espacio pseudométrico (por lo general se toma un espacio métrico, pero basta con que seapseudodistancia). Sea un número real . Sea . Se define la bola abierta de centro y radio (osimplemente bola de centro y radio ) como el conjunto .Este conjunto tiene distintas maneras de denotarse. La usual y universal es . A veces, si en el espacioexisten distintas (pseudo-)distancias definidas, se hace hincapié en qué (pseudo)-distancia se está usando para definirel conjunto, utilizando esta notación: . En algunos textos se denota sin embargo por .En Análisis Funcional, cuando se trabaja con espacios normados se prefiere la notación para denotar labola abierta. Así, denota a la bola de centro y radio . La notación se reserva para las bolascerradas (con el peligro de confusión que eso genera).Cuando hablamos de espacios euclídeos, la bola es "redonda", en el sentido intuitivo del término, por lo que la bolade centro y radio coincide en esos casos con los puntos encerrados en el interior de una superficie esférica. Enel caso particular del plano, la figura entonces obtenida (es decir, el conjunto

) es el disco (abierto) de centro y radio , razón por lacual se denota por . Nótese que esta situación se da en particular en Variable Compleja, siendoentonces la notación (donde representa el módulo de ). Aunque noes estándar, sí es usual encontrar textos en los que denota al disco de radio unidad centrado en el origen, i.e.,

.

PropiedadesToda bola abierta es un conjunto abierto.

El conjunto de todas las bolas abiertas de un espacio pseudométrico ( ) forman unabase de la topología asociada a la pseudodistancia. Si consideramos un punto cualquiera del espacio y lo fijamos (porejemplo, el punto ), el conjunto de bolas abiertas centradas en ( ) forman una base deentornos de . En concreto es una base de entornos abiertos, conexos, conexos por caminos y simplementeconexos. Si el espacio es además un espacio vectorial topológico, también es base de entornos convexos. De hecho,podemos tomar la siguiente base de entornos: que (además de tener todas laspropiedades antedichas) es numerable. Esto prueba que todo espacio pseudométrico cumple el Primer Axioma deNumerabilidad.Si el espacio es un espacio normado, toda bola abierta es homeomorfa al espacio.En matemática (en concreto en topología y en las ramas que la utilizan), una bola cerrada es un conjunto de puntosque distan de otro no más que un cierto radio. Es un concepto fundamental en el Análisis Matemático.

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Bola cerradaUna bola cerrada, en topología, es el conjunto de puntos que distan de otro (el centro), una distancia igual o menordada (el radio). Equivale al conjunto de puntos contenidos dentro de una superficie esférica, incluida dichasuperficie.

Definición y notaciones

Sea un espacio pseudométrico (por lo general se toma un espacio métrico, pero basta con que seapseudodistancia). Sea un número real . Sea . Se define la bola cerrada de centro y radio

como el conjunto .Este conjunto tiene distintas maneras de denotarse. La usual y universal es , o también . A veces,si en el espacio existen distintas (pseudo-)distancias definidas, se hace hincapié en qué (pseudo)-distancia se estáusando para definir el conjunto, utilizando esta notación: . En algunos textos se denota sin embargo por

.En Análisis Funcional, cuando se trabaja con espacios normados la notación se reserva para las bolascerradas, usando para las bolas abiertas la notación (con el peligro de confusión que eso genera).Cuando hablamos de espacios euclídeos, la bola es "redonda", en el sentido intuitivo del término, por lo que la bolade centro y radio coincide en esos casos con los puntos encerrados por una superficie esférica (entendiendo queconsideramos los puntos de la propia superficie esférica como puntos de la bola). En el caso particular del plano, lafigura entonces obtenida (es decir, el conjunto ) es el discocerrado de centro y radio , razón por la cual se denota por . Nótese que esta situación se daen particular en Variable Compleja, siendo entonces la notación (donde

representa el módulo de ). Aunque no es estándar, sí es usual encontrar textos en los que denota al discode radio unidad centrado en el origen, i.e., .

PropiedadesToda bola cerrada es un conjunto cerrado.

El conjunto de todas las bolas cerradas de un espacio seudométrico ( ) no forman unabase de los cerrados de la topología asociada a la seudodistancia.Sin embargo, si consideramos un punto cualquieradel espacio y lo fijamos (por ejemplo, el punto ), el conjunto de bolas cerradas centradas en (

) forman una base de entornos de . En concreto es una base de entornos cerrados,compactos, conexos, conexos por caminos y simplemente conexos. Si el espacio es además un espacio vectorialtopológico, también es base de entornos convexos. De hecho, podemos tomar la siguiente base de entornos:

que (además de tener todas las propiedades antedichas) es numerable. Esto pruebaque todo espacio seudométrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad.

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Referencias

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. « Ball (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Ball. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram

Research.• Weisstein, Eric W. « Open Ball (http:/ / mathworld. wolfram. com/ OpenBall. html)» (en inglés). MathWorld.

Wolfram Research.• Weisstein, Eric W. « Ball.html Closed Ball (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Closed)» (en inglés). MathWorld.

Wolfram Research.

Fuentes y contribuyentes del artículo 4

Fuentes y contribuyentes del artículoBola (matemática)  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=70169560  Contribuyentes: Acratta, Allforrous, Davius, Gato ocioso, GermanX, HUB, JMCC1, Jerowiki, Juan Marquez,Juan Mayordomo, Nagul, Nixón, Pati, Raulshc, Wewe, 2 ediciones anónimas

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