CUANDO EL DENOMINADOR VA NEGATIVO EN LA ECUACIÓN DE LA BISECTRIZ Ah+Bk+C±√A2+B2

Debes tomar en cuenta los siguientes argumentos:Cuando A≠0 ,B≠0 yC ≠0, el signo del denominador va contrario al de C. Ejemplo:

3 x−2 y+8=0En este caso C es positivo (C>0) el denominador va negativo y en caso de que C sea negativo (C<0) el donominador es positivo

d (P ,L1 )= Ah+Bk+C±√A2+B2

= 3 x−2 y+8−√32+(−2)2

Es por eso que en la ecuación 2 x−3 y+21=0 la ecuación de la bisectriz el denominador va −√13 ya que “C” es positiva.

HALLA LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN EL TRIANGULO CUYOS LADOS SON LAS RECTAS:L1:2 x−3 y+21=0L2:3 x−2 y−6=0L3: 2x+3 y+9=0

d (P ,L1 )=d (P , L2)

d (P ,L1 )= Ah+Bk+C±√A2+B2

= 2 x−3 y+21−√22+(−3)2

=−2 x−3 y+21√13

d (P ,L2 )= Ah+Bk+C±√A2+B2

=3x−2 y−6

√32+(−2)2=3x−2 y−6

√13

−2x−3 y+21√13

=3 x−2 y−6√13

−2 x+3 y−21=3 x−2 y−63 x+2x−2 y−3 y−6+21=05 x−5 y+15=0 (÷5 )x− y+3=0

d (P ,L1 )=d (P , L3)

d (P ,L1 )= Ah+Bk+C±√A2+B2

= 2 x−3 y+21−√22+(−3)2

=−2 x−3 y+21√13

d (P ,L3 )= Ah+Bk+C±√A2+B2

=2 x+3 y+9−√22+(3)2

=−2 x+3 y+9√13

−2x−3 y+21√13

=−2 x+3 y+9√13

2 x−3 y+21=2 x+3 y+92 x−2x−3 y−3 y+21−9=0−6 y+12=0

Realizo el sistema de ecuaciones, en la segunda ecuación solo debo despejar “y”x+ y−27=0−6 y+12=0

−6 y+12=0−6 y=−12

y=−12−6

=2

Reemplazo el valor de “y” en la otra ecuación para hallar “x”x− y+3=0x−(2 )+3=0x+1=0x=−1Coordenadas Incentro (-1,2)

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA( x−h )2+ ( y−k )2=r2

Hallamos el radio primero con cualquiera de las ecuaciones de bisectriz

d (P ,L3 )=r=|Ah+Bk+C|

√A2+B2=

|2 x+3 y+9|√13

r=|2 (−1)+3 (2)+9|

√13=

|−2+6+9|√13

= 13√13

( x−h )2+ ( y−k )2=r2

h=xk= y

(x−(−1))2+( y−(2))2=( 13√13 )2

( x+1 )2+ ( y−2 )2=16913

( x+1 )2+ ( y−2 )2=13 Ecuación de lacircunferencia forma general

x2+2x+1+ y2−4 y+4=13x2+2x+1+ y2−4 y+4−13=0x2+2x+ y2−4 y−8=0x2+ y2+2x−4 y−8=0 Ecuación de lacircunferencia

HALLAR LA MEDIATRIZ Y LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITAL1:2 x−3 y+21=0L2:3 x−2 y−6=0L3: 2x+3 y+9=0

Hallamos el Vértice ente L1 y L2

L1:2 x−3 y+21=0(×−3)L2:3 x−2 y−6=0 (×2)

−6 x+9 y−63=06 x−4 y−12=00 x+5 y−75=0

5 y−75=05 y=75

y=755

=15

Reemplazo en la ecuación L1 o L2

2 x−3 y+21=02 x−3(15)+21=02 x−45+21=02 x=24

x=242

=12

VL1L2(15,12)

Hallamos el Vértice ente L1 y L3

L1:2 x−3 y+21=0(×−1)L3: 2x+3 y+9=0

−2 x+3 y−21=02 x+3 y+9=00 x+6 y−12=0

6 y−12=06 y=12

y=126

=2

Reemplazo en la ecuación L1 o L3

2 x−3 y+21=02 x−3(2)+21=02 x−6+21=02 x=−15

x=−152

=−152

=−7.5

VL1L3(-15/2, 2)

Hallamos el Vértice ente L2 y L3

L2:3 x−2 y−6=0 (×−2)L3: 2x+3 y+9=0(×3)

−6 x+4 y+12=06 x+9 y+27=00 x+13 y+39=0

13 y+39=013 y=−39

y=−3913

=−3

Reemplazo en la ecuación L2 o L3

3 x−2 y−6=03 x−2(−3)−6=03 x+6−6=03 x=0

x=03=0

VL2L3(0,-3)

Ahora hallamos la distancia entre los vértices y el Circuncentro P(h,k)

d PV L1L2

=√( y− y1)2+(x−x1)

2

d PV L1L2

=√( y−(15))2+(x−(12))2

d PV L1L2

=√( y−15)2+(x−12)2

d PV L1L3

=√( y− y1)2+(x−x1)

2

d PV L1L3

=√( y−(2))2+(x−(−15 /2))2

d PV L1L3

=√( y−2)2+(x+15/2)2

d PV L2L3

=√( y− y1)2+(x−x1)

2

d PV L2L3

=√( y−(−3))2+( x−(0))2

d PV L2L3

=√( y+3)2+(x)2

Igualamos las distancias ya que están son el radio

√( y−15)2+(x−12)2=√( y−2)2+(x+15 /2)2

( y−15)2+(x−12)2=( y−2)2+(x+15 /2)2

y2−30 y+225+x2−24 x+144= y2−4 y+4+x2+15 x+225/4

−24 x−30 y−15x+4 y+225+144−4−2254

=0

−39 x−26 y+ 12354

=0

√( y−15)2+(x−12)2=√( y+3)2+(x )2

( y−15)2+(x−12)2=( y+3)2+(x )2

y2−30 y+225+x2−24 x+144= y2+6 y+9+x2

−24 x−30 y−6 y+225+144−9=0−24 x−36 y+360=0 (÷12)−2 x−3 y+30=0

−39 x−26 y+ 12354

=0(×2)

−2 x−3 y+30=0(×−39)

−78 x−52 y+ 12352

=0

78 x+117 y−1170=0

0 x+65 y−11052

=0

65 y=11052

y= 11052(65)

=1105130

=172

=8.5

Reemplazo el valor de “y” en la siguiente ecuación:−2 x−3 y+30=0

−2 x−3( 172 )+30=0−2 x−51

2+30=0

−2 x+ 92=0

−2 x=−92

x= 92(2)

=94=2.25

Coordenadas del circuncentro (9/4, 17/2)

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA( x−h )2+ ( y−k )2=r2

Hallamos el radio primero con la fórmula de distancia entre 2 puntos entre un vértice y en circuncentro tomaremos los siguientes puntos:

V(0,-3) y C(9/4, 17/2)

d=r=√ ( y2− y1 )2+(x2−x1 )2

d=√(172 −(−3))2

+( 94−0)2

d=√(172 +3)2

+( 94 )2

=√( 17+62 )2

+( 94 )2

=√( 232 )2

+( 94 )2

d=√ 5294 + 8116

=√ 219716( x−h )2+ ( y−k )2=r2

h=xk= y

(x−( 94 ))2

+( y−( 172 ))2

=(√ 219716 )2

(x− 94 )2

+( y−172 )2

=(√ 219716 )2

(x− 94 )2

+( y−172 )2

=219716

Ecuac iónde lacircunferencia formageneral

x2−92x+ 8116

+ y2−17 y+2894

=219716

x2+ y2−92x−17 y+ 81

16+2894

−219716

=0

x2+ y2−92x−17 y−60=0 Ecuación de lacircunferencia