bio estadigrafos.doc

1

MODULO

MEDIDAS DE TENDENCIA

O ESTADIGRAFOS

Docente: Dra. Sara Adelina Arana Lpez

Lima - 2014

BIOESTADISTICA

La bioestadstica y el mtodo epidemiolgico aportan ms ciencia Medica y es por ello que el trabajo conjunto de expertos en metodologa, bioestadsticas y los clnicos lograr reducir la variabilidad que rodea el ejercicio de la medicina que ser siempre una ciencia de probabilidades y un arte de manejar la incertidumbre

MEDIDAS DE TENDENCIA O ESTADGRAFOS

INTRODUCION

Para describir un conjunto de datos, adems de la tabulacin y la representacin grfica, se utilizan valores numricos de funciones de la variable, llamadas medidas de resumen

Son valores nicos que representan al conjunto de los datos observados de la variable, Es decir resumen en un solo valor a todo el conjunto de valores de las observaciones, representando a toda la muestra que es el objeto de estudio, para su anlisis y posterior estimacin a toda la poblacin.

Se clasifican en :

Si, segn Montaigne, para juzgar cosas grandes y nobles, es necesario poseer un alma igual de grande y noble(*), para juzgar un artculo cientfico escrito por un colega es necesario poseer, adems, conocimientos, experiencia, imparcialidad, confidencialidad, diligencia, una cierta dosis de pedagoga y otra no menos esencial de compaerismo (**).

1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA, MEDIANA, MODA, CUARTILES

Las medidas de tendencia central tienden a ubicarse en el centro de la informacin (de los valores de las observaciones de la variable), solo en algunos casos estas medidas coinciden juntas en el centro de los datos.Considerando que solo la media aritmtica y el cuartil dos siempre van a ubicarse en el centro de los valores observados.

Se clasifican en:

1.1. MEDIA ARITMETICA O PROMEDIO ARITMETICO

Estadgrafo ms importante de la estadstica.

Es el valor representativo del conjunto de datos (valores) observados de una variable, es el promedio aritmtico de las observaciones de la variable elegida de la muestra para el estudioSe obtiene: sumando todos los valores de las observaciones y luego se divide entre el nmero total de observaciones (n)Se denota:

Donde:

: Media o promedio aritmtico: se lee X - barra

: Valores de las observaciones

: Tamao de la muestra

1.1.1. Casos

1.1.1.1. Caso no agrupado:

Ejemplo:

El gerente de una empresa que se dedica a la fabricacin de gelatina, desea adquirir una mquina para el llenado de bolsas de aproximadamente 200 gramos. Debe decidir en adquirir una de dos mquinas que le ofrecen, en igualdad de condiciones de costes, aunque que no est convencido de la precisin de las mquinas, para elegir una se realizan 6 prueba con cada mquina y se obtienen los resultados siguientes:

(Pesos gr)Maq.

A 195

198119911971199200

Maq.

B199

200200200198201

a. Cul ser el peso promedio de bolsas obtenido de las mquinas?

b. Cul es el peso promedio de las dos mquinas juntas?

c. Qu maquina elige el gerente de la empresa?SOLUCIONa. Promedio de las maquinas

MAQUINA A:

La mquina A empaca en promedio 198 gramos de gelatina en cada bolsa

MAQUINA B:

La mquina B empaca en promedio 199.5 gramos de gelatina

b. Promedio de las maquinas juntas

el promedio de empaque de las dos mquinas juntas es de 198.75gramos de gelatina.

El gerente de la fbrica elige la maquina B, por hacer un empacado en cada bolsa de gelatina de 199.5 gramos.

1.1.1.2. CASO AGRUPADO:A diferencia del caso no agrupado, en este tem, los valores de las observaciones de la variable se agrupan y se muestra en consolidados de los datos, en tablas estadsticas, las se presentan en dos casos:1.1.1.2.1. CASO DISCRETO

Donde:


: Valores de las observaciones


: Frecuencia

Ejemplo:

Un estudio realizado por una institucin de salud para conocer el nivel de plomo en la sangre de Mujeres del Distrito de Morococha del depto. de Junn, est interesado en conocer el numero de hijos por mujer, para lo cual, seleccionan una muestra de 34 mujeres, los datos se registran en la siguiente tabla.Tabla N: Mujeres del Distrito de Morococha del Dpto

de Cerro de Pazco segn numero de hijos

Nde hijosFrecuencias

040*(4) = 0

161*(6) = 6

2112*(11) = 22

393*(9) = 27

404*(0) = 0

545*(4) = 20

Total 3475

Fuente: elaboracin propia

el promedio de hijos por mujer es de 2.21 hijos1.1.1.2.2. Caso Continuo

Donde:


: Punto medio o marca de clase (Valores de las observaciones)


: Frecuencia

Ejemplo:

Tabla N: Mujeres del Distrito de Morococha del Dpto. de Cerro de Junn segn grupo etreo (edad)

Edad Punto Medio O Marca

de Clase :MJf i

I1 = 15 21 18318 * (3) = 54

I2 = 21 27 241524 * (15) = 360

I3 = 27 33 30830 * (8) = 240

I4 = 33 39 26326 *(3) = 78

I5 = 39 45 42442 * (4) = 168

I6 = 45 5148148 * (1) = 48

TOTAL34984 / 34 = 28.94


El promedio de edad de las mujeres de Morococha es 28.94 aos, la edad mnima es de 15 aos y la edad mxima es de 51 aos.2. MEDIANA o VALOR MEDIOEs el valor central de un conjunto finito de observaciones; la mediana divide al conjunto en dos partes exactamente iguales, 50% a la derecha y 50% a la izquierda. Se denota por: Med.

2.1. Casos

2.1.1. CASO NO AGRUPADO:Procedimiento: a. Las observaciones se ordenan de menor a mayor

b. Se determina si el conjunto de datos es conjunto par o impar

c. Ubicar los valores centrales del conjunto de datosi). Conjunto par: La mediana se halla sumando los dos valores centrales y se divide por dos

ii). Conjunto impar: Se determina la mediana

d. Se procede a calcular la mediana

Ejemplo:Los siguientes datos corresponden a los nmeros de hijos de 12 mujeres

5 0 3 2 0 3 2 2 1 3 1 2 3

Solucin a. Ordenar los datos de menor a mayor

0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 5

b. El conjunto de datos es par

c. Los valores centrales son el 2,3

d. Calculara la mediana:

La mediana es 2.5 hijos.2.1.2. CASO AGRUPADO:2.1.2.1. Caso agrupado discreto

Para determinar la mediana, se tiene en cuenta:

a. Que los valores de las observaciones estn registradas en una tabla de frecuencias

b. Similar al casos no agrupados, se identifica si el conjunto es par o impar.

c. Se determina la mediana considerando a las frecuencias absolutas acumuladas.

EjemploTabla N: Mujeres del Distrito de Morococha de la regin Pazco segn numero de hijos

N de hijosFrecuencias Frec. Acumuladas

044

1610

21121

3930

4030

5434

Total 34


Con los datos de la tabla calcular la mediana

Como el conjunto de datos es par: Los valores centrales son: 2,2

La mediana es 2 hijos

2.1.2.2. Caso agrupado ContinuoEn este caso se determina la mediana usando el siguiente modelo

Dr. Jacobo Daz Portillo: Hay verdades que por sabidas no se dicen, y por no decirlas se olvidan... Hay mentiras (mitos o leyendas) que por decirlas pueden terminar siendo pseudorealidades o realidades virtualesDonde:

: Mediana

: limite inferior del intervalo que contiene a la mediana

: Amplitudn: Tamao de la muestra

: Indica el lugar que ocupa la mediana

: Frecuencia absoluta acumulada que contiene a la mediana

: Frecuencia absoluta acumulada anterior a la frecuencia absoluta acumulada que contiene a la mediana

: Frecuencia absoluta simple que contiene a la mediana

EjemploTabla N 1: Mujeres del Distrito de Morococha de la regin Junn segn grupo etreo (edad)EdadPunto Medio :M Jf iF i

I1 = 15 211833

I2 = 21 27241518

I3 = 27 3330826

I4 = 33 3936329

I5 = 39 4542433

I6 = 45 5148134

TOTAL34


Con los datos de la tabla calcular el valor mediano.

Solucin

Determinar el lugar que ocupa la mediana en el conjunto de datos , la mediana se ubica en el 17avo lugar, es decir, la mediana se ubica en el 17avo lugar, en la frecuencia absoluta acumulada F2 (18), en la frecuencia absoluta simple f2 (15) y en el intervalo I2 ( Li = 21), la amplitud (A) es 6

Reemplar los valores hallados en el modelo:

La edad mediana de las mujeres del distrito de Morococha es 26.6 aos3. LA MODALa moda es un conjunto de valores que ocurre con mayor frecuencia. O se dice que es el valor que se presenta con mayor frecuencia. O es la observacin que ms veces se repite, o se dice que es la frecuencia con el valor ms alto de las observaciones

Se denota como

Mod.: Moda

3.1. CARACTERISTICAS:

Es Unimodal, si en el conjunto de datos solo un valor de la observacin se repite con mayor frecuencia

Es Bimodal, si en el conjunto de valores de las observaciones dos de estas observaciones se repiten en igual nmero de veces.

Multimodal: cuando existen ms de dos modas Clase Modal: es el intervalo que contiene al nmero ms alto de observaciones (moda). No tiene moda: cuando el conjunto de datos no presenta repeticiones diferentes.

3.2. Casos:3.2.1. Caso no AgrupadoProcedimiento ordenar los datos de menor a mayor ubicar al valor modal

Ejemplo:Una agencia de Turismo, ofrece paquetes tursticos con precios mdicos para visitar la Ciudad de Caral, la oferta es para la temporada de verano, en la Ofic., de logstica, se esta planificando promocionar los paquetes enviando avisos impresos a los clientes. El gerente de la empresa desea conocer las edades de los clientes que ya hicieron uso de sus servicios, para hacer mayor inversin en el grupo atareo que mayormente visita Caral, para brindarle un mejor servicio y selecciona una muestra de 20 turistas. Hallar el valor modal de los datos 20 50 25 30 40 35 50 22 22 55 52 54 60 65 40 48 30 35 55 60

SOLUCION.20 22 22 25 30 30 30 30 40 40 48 50 50 52 54 55 60 60 60 65

El valor modal de los turistas que visitan Caral es 30 aos

3.2.2. Caso agrupado

3.2.2.1. Caso agrupado discreto:

se observa en una tabla de frecuencia absoluta simple de mayor valor o el valor mas alto de las frecuencia

se relaciona con una de las observaciones de la variable EJEMPLOTabla N : Mujeres del Distrito de Morococha del depto

de Cerro de Pazco segn numero de hijos

N de hijosfrecuenciasFi

04

16

211

39

40

54

Total 34

Fuente: elaboracinEl valor modal de las mujeres que tienen ms hijos es 2 hijos ( 2 es la observacin que mas veces se repite)

3.2.2.2. Caso agrupado continuo:

Para obtener el valor modal se hace uso de la siguiente formula:

donde :

:

Moda

:

limite inferior del intervalo que contiene a la moda

:

Amplitud del intervalo

: Frecuencia absoluta simple que contiene a la moda menos la frecuencia anterior a la frecuencia que contiene a la moda

: Frecuencia absoluta simple que contiene a la moda menos la frecuencia posterior a la frecuencia que contiene a la modaEJEMPLO:Los datos corresponden a una muestra de 50 alumnos seleccionados segn sus calificaciones (desaprobado, aprobado, notable y sobresaliente). Calcular la moda

Tabla N: alumnos seleccionados segn calificaciones

Calificaciones Frecuencias ( fi )hi

0 - 5 15

5 - 7 20

7 - 9 12

9 - 103

Total 50

Solucin:

La moda se encuentra en segunda frecuencia absoluta simple (f2), corresponde al 2 intervalo

=

La moda es 5.769 puntos.4. LOS CUARTILESLos cuartiles tres valores que dividen al conjunto de datos en 4 partes iguales: el primer cuartil llamado tambin cuartel inferior, el segundo cuartil o cuartil cuartil medio (corresponde a la mediana) y el tercer cuartil o cuartel superior. Los cuartiles tambin llamados medidas de posicin

Se denota:

Donde:

: cuartil i

n: tamao de la muestra

: el lugar que ocupa el cuartil i

4.1. Casos:4.1.1. Caso no agrupado:

Para calcular el valor de los cuartiles, se tiene en cuenta:

a. Ordenar los datos de menor a mayor

b. Determinar el lugar que ocupa cada cuartilEjemplo Los siguientes datos corresponden al nmero de atenciones ambulatorias que realiza un centro de salud, en un tiempo establecido. 2 3 2 1 1 5 1 4 1 1 4 2 1 2 4 3 4 1 5 3 Solucin:1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5

, el primer cuartil se ubica en el 5 lugar y es 1 atencin

, el segundo cuartil se ubica en el 10 lugar y es 2 atenciones

, el tercer cuartil se ubica en el 15 lugar es 2 atenciones

4.1.2. Caso agrupado:

4.1.2.1. Caso agrupado discreto

Se obtiene el valor de los cuartiles, observando en la tabla de estadsticas las frecuencias absolutas acumuladas, all se ubica el lugar que ocupa el cuartil y luego se relaciona con la observacin que le corresponde. El procedimiento es similar al empleado para el caso no agrupadoEjemplo:Tabla N: alumnos seleccionados

segn calificaciones

Atenciones Frecuencias ( fi )Fi

1 77

2411

3314

4418

5220

Total 20

Solucin:

, se ubica en el 5 lugar y es 1 atencin4.1.2.2. Caso agrupado continuo

En este caso se calculan los cuartiles haciendo uso de las tablas continua, observando las frecuencias absolutas acumuladas para localizar el lugar que ocupa cada cuartil, asociando este valor con su intervalo correspondiente, y reemplazando los valores en la siguiente formula

donde:

: Cuartil i

: Lmite inferior que contiene al cuartil i

: Amplitud


: Lugar que ocupa el cuartil i

: Frecuencia absoluta acumulada donde se ubica el cuartil i

Frecuencia absoluta acumulada anterior a la frecuencia donde se ubica el cuartil i

: Frecuencia absoluta simple que contiene el cuartil iEjemplo La gerencia de relaciones Humanas de una clnica, desea conocer el nivel de satisfaccin y liderazgo de sus trabajadores no asistenciales, y selecciona a 88 trabajadores para aplicarles un test, obtenindose los siguientes resultados.

Tabla N: trabajadores de una clinca

segn puntuacin de un testPuntuacionesFrec.=fiFi

[38,44)77

[44,50)815

[50,56)1530

[56,62)2555

[62,68)1873

[68,74)982

[74,81)688

Total88

Calcular el valor de los cuartiles

SOLUCION:

Cuartil Uno:

El nivel de satisfaccin y liderazgo de los 88 trabajadores en el cuartil 1 es 55.25 puntosUtilizando el modelo hallar el valor de los cuartiles 2 y 3Cuartil Dos:

Cuartil Tres:

A este grupo de medidas de posicin pertenecen los deciles y percentiles.

casos

A). caso no agrupado

B). agrupado continuo :

Para calcular un decil o un percentil, se sigue el mismo procedimiento que se tiene para calcular los cuartiles.MEDIDAS DE DISPERSIN:

Mide el grado de concentracin, dispersin o variabilidad de los valores de las observaciones o datos alrededor de un valor central. Es decir explican cuan distante se encuentran los valores de las observaciones del valor central. Tambin se dice que es la distancia que tienen las observaciones hacia el valor central.1. MEDIDAS DE DISPERSIN PARA LA POBLACIN

Donde:

: Varianza

: Observaciones de la poblacin

: Promedio de la poblacin

: Tamao de la poblacin

2. MEDIDAS DE DISPERSIN PARA LA MUESTRA

2.1. Varianza Mide el grado de variacin de los valores de las observaciones respecto a la media aritmtica o promedio aritmtico. Es la distancia de cada una de las observaciones a la media.

2.1.1.Casos

2.1.1.1. Caso no agrupado

Forma abreviada

Donde:

: Varianza de la muestra

: Valores de las observaciones de la muestra

: Media aritmtica de la muestra

. Tamao de la muestra2.1.1.2. Caso Agrupado2.1.1.2.1. Caso agrupado Discreto

Donde:

fi : frecuencias observadas

2.1.1.3.Caso agrupado continuo

: punto medio o marca de clase Ejemplo Un consultor estudi una muestra de 40 empresas de venta de lcteos de cierta ciudad, su inters era investigar el monto del gastado anual en publicidad, entre otras cosas, por estas empresas. Los datos del estudio se registraron en la siguiente tabla. Tabla N: empresas de ventas de lcteos por gasto anual en publicidad

Miles de solesMjfiFiS2 = (xi media)2 *fi

10 201544(15 35.5)2 *4 =

20 30251418(25 35.5)2 *14 =

30 4035826(35 35.5)2 *8 =

40 5045632(45 35.5)2 *6 =

50 6055335(55 35.5)2 *3 =

60 7065439(65 35.5)2 *4 =

70 8075140(75 35.5)2 *1 =

TOTAL40254.103

Solucin

el promedio en el gasto anual en publicidad que hacen las empresas es de 36,500 soles

La varianza del gasto anual en publicidad es 254.103 soles2.2. Desviacin estndar Es la raz cuadrada de la varianza, al se un elemento que proviene de la varianza, mide el grado de variabilidad de los datos respecto al promedio de la muestra

= 15.941 soles

La desviacin estndar del gasto anual en publicidad que hacen las empresas es de 15.941 soles.

2.3. coeficiente de variacin El coeficiente de variacin mide el porcentaje de variabilidad de los datos.

El porcentaje de variacin del gasto anual en publicidad de las empresas de productos lcteos es 43.67 %2.4. Error estndar de la media (EEM)Mide el grado de dispersin de las medias de todas las posibles muestras que pudieran extraerse de la poblacin. Mide el grado de dispersin de las medias muestrales respecto a la media poblacional (desconocida).

OTRAS MEDIDAS DE DISPERSION

1. Rango O Recorrido: R = Max-Min =2. Recorrido Intercuartlico: RQ = Q3 - Q1MEDIDAS DE ASIMETRA Y CURTOSISLlamados tambin medidas de forma, indican la morfologa de la distribucin de los datos, es decir la simetra y apuntamiento que tiene el histograma de la variable en estudio. Slo se pueden calcular en variables medidas en escala intervalar y de razn. 1.Clases de medidas Sesgo (Coeficiente De Asimetria) Curtosis1.1. COEFICIENTE DE ASIMETRIA

Es la falta de simetra de la curva de distribucin con respecto a la ordenada levantada sobre la media aritmtica.

Una curva de distribucin de frecuencias es simtrica si las medidas de tendencia: media, mediana, y moda coinciden en el mismo punto.

El coeficiente de asimetra mide el grado de aplastamiento de una curva

Se denota:

COEFICIENTES DE ASIMETRIA DE FISHER (Yi )

Simtrica

Asimtrica

Asimetra Negativa

Asimetra Positiva

FORMAS DE DISTRIBUCIONES MAS FRECUENTES

DISTRIBUCIN ASIMETRICA

DISTRIBUCIN SIMETRICA DISTRIBUCIN SIMTRICA TRIANGULAR

B. COEFICIENTE DE CURTOSISLa curtosis mide el grado de agudeza o achatamiento de una distribucin con relacin a la distribucin normal, es decir, mide cun puntiaguda es una distribucin. La curtosis determina el grado de concentracin que presentan losvaloresen la regin central de la distribucin

COEFICIENTES DE KURTOSIS DE FISHER (Y2 )

o

MesocurticaExiste concentracin normal

o

PlaticurticaExiste una concentracin baja

o

LeptocuticaExiste una gran concentracin

Basada en los cuartiles:

K (kappa) = coeficiente percentil de curtosis K=Y

COEFICIENTES DE KURTOSIS DE FISHER (Y2 )

o

Mesocurtica o Normal

o

Platicurtica

o

Leptocutica

TRABAJO DE AULA

Los ejemplos propuestos son para trabajarlos en aula con el programa SPSSPROPUESTA N 1:TABLA N : 50 Mujeres segn Tasa de Acierto en la Reproduccin Asistida y la EdadTasa de

AciertoEdadTasa De AciertoEdad

30252438

33262139

32,52720,540

30281841

34291542

31301143

34,531844

3232745

3133346

3034247

2935048

2836049

2737

PROPUESTA N 2:Los datos siguientes corresponden al consumo mensual de litros de leche de 40 familias

PROPUESTA N 3:

TABLA N : 29 Mujeres segn edad y evaluacin de sobresaturacin de bilis EdadSobresaturacin

de Bilis: %EdadSobresaturacin

de Bilis: %

23984489

23354484

23464777

256948107

27584976

30664973

338650127

35555375

369156146

371205784

385257123

40656087

418063142

418274128

42116

PROPUESTA N 4:Los datos siguientes corresponden a las etapas de 115 pacientes que padecen de cncer colorrectal1223433342

2323433333

342343332

4223433332

1323233334

2423233323

3233233332

134423334

4432333332

244233332

324233334

434233332

PROPUESTA N 5Con la informacion indicar a que tipo de variariables corresponden las siguientes datos:

Sexo, grupo sanguneo, grado de disnea, grado de dolor, presencia o ausencia de una enfermedad, presencia o ausencia de un factor de riesgo, intensidad del hbito tabquico, tipo de fumador, Triglicridos, Hipertensin, Credo religioso, Nmero de abortos Colesterolemia, Edad gestacional, Frecuencia cardiaca, Test de apgar, N intentos de dejar fumar, Nivel econmico, Edad, Peso, Inmunizacin toxoplasma, LDL colesterol, Aos de evolucin, Hemoglobina, Nmero de hijosPROPUESTA N 6Con los datos que se muestran a continuacion en la tabla sobre repetibilidad interdiaria de los procedimientos de anlisis del metabolismo frricoComponente nMedia Desviacin estndar Coeficiente de variacin (CV %)

Hemoglobina 20121,700,640,53

Hierro 200,990,011,20

Ferritina 2094,504,244,49

Transferrina 203,250,0942,89

Receptor soluble de la transferrina 202,390,135,44

a. Cul de las variables muestra mayor variabilidad?b. Cul de las variables muestra mejor coeficente de variacin?

c. El valor de la media influye en el mayor porcentaje de variacion

d. El coefiencite de variacion es mejor si la desviacion estandar tiene un valor alto

e. Indique si los valores obtenidos en el estudio corresponde a las escalas de normalidad en un paciente

f. Clasifique a las variables de los grados de variacion permitido

PROPUESTA N 7Tabla :Muestras de los pesos en onzas de tumores malignos extirpados del abdomen de 57 personas. 686522

634343

422527

277449

305128

36362369

28421947

32445723

79285146

27315030

22283843

23252149

24451612

251224

PROPUESTA N 8Los siguientes datos muestran los niveles de glucosa en la sangre extraida de 100 nios en ayunas

REALIDADES DE LA ESTADISTICA EN CIENCIAS MDICAS...de lo estadsticamente significativo a lo clnicamente relevante

Por todo ello, es ms apropiado que hablar de SIGNIFICACIN ESTADSTICA es ms correcto utilizar el concepto de RELEVANCIA CLNICA; depende de

1. La gravedad del problema,

2. La morbilidad y mortalidad generada por el mismo,

3. La magnitud de la diferencia,

4. La vulnerabilidad,

5. Los costes involucrados, etc.HALLAZGOS ESTADSTICOSHALLAZGOS CLNICOS

1. Reflejan la influencia del azar en el resultado1. Reflejan el valor biolgico del resultado

2. Derivan de grupos de individuos2. Se practica en individuos especficos

3. Requieren cantidades adecuadas de datos para ser vlidas3. Las decisiones clnicas deben tomarse a menudo con datos insuficientes

4. Las respuestas estadsticas son probabilsticas4. Los tratamientos mdicos requieren decisiones oportunas comprometidas

5. El anlisis estadstico siempre requiere medicin.5. La prctica clnica no puede medir fcilmente cada funcin, cada sistema, cada signo o sntoma clnico

Fuente: Dr. Manuel Bobenrieth Astete

Mediana

50%

50%

0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 5

50%

50%

Esta frecuencia (F3) contiene a ms del 50% de los datos, por lo tanto all se ubicamos a la mediana

Mediana se ubica en la frecuencia F3 acumulada y f3 simple, en el tercer intervalo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Moda = 5

1 2 3 4 5 6 7

SIN MODA

Moda = 2

Moda

Primer Cuartil

Q 1 = 25%

Segundo Cuartil

Q 2 = mediana =

50%

Tercer Cuartil

Q 3 = 75%

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5

5 lugar

10 lugar

15 lugar

Primer cuartil = 1

Ocupa el 4 lugar

Segundo cuartil = 2

Ocupa el 10 lugar

Tercer cuartil = 4

Ocupa el 15 lugar

EMBED Equation.3

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EMBED Word.Document.8 \s

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20.1

60.3

20.1

40.3

67.4

21

80

10

20

40

58

58

10

20

40

10

10

20

20

10

20

10

20

85

60

43

21.4

22

22

42.8

30

40

80.2

72

20

42.7

59.8

103.3

20.1

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