BINOMIO DE NEWTON

Aplicar las combinaciones de factorial y combinatorio.

Expandir o desarrollar polinomicamente (X+a)n paran∈N n∈Q

Calcular cualquier término de la expansión de (X+a)n

INTRODUCCIÓN

El teorema del binomio fue descubierto por Abu Bakr ibn Muhan Mad ibn al-

Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Newton utilizó los conceptos de

exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinomica se

transformaba en una serie infinita aplicando los métodos de interpolación y

extrapolación de Wallis. Debido a esto pudo demostrar que un gran número de

series existentes eran casos particulares, fuera por diferenciación o por

integración. A partir de este descubrimiento, newton intuyó que se podía operar

con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinomicas

finitas.

El desarrollo del binomio de Newton que abordamos desempeña un papel

importante en los capítulos siguientes de algebra y en especial en el análisis

matemático que se estudia en los primeros ciclos en todas las carreras de

ingeniería y ciencias. Por ello, mostraremos algunas de sus aplicaciones, por

ejemplo, en la desigualdad de Bernoulli.

(1+x )n≥1+nx ;∀ x ≥−1 ;n∈N

Asimismo para demostrar ❑n→∞

lim ¿(1+1n )

n

=e , dondee=2,718281¿

También se observa la gran aplicación en la teoría de ecuaciones,

desigualdades, funciones y fundamentalmente en la teoría de sucesiones y

series, que son temas centrales en el análisis matemático real y complejo; por

ello, citamos un ejemplo de una serie:

(1+x )n≥1+nx ;∀ x≥−1 ;n∈ N

lim ¿n→∞ (1+ 1

n )n

=e ;donde e=2,718281¿

1+X+X r2+X3+..=(1−X )−1 ;∀ X∈(−1 ;1), el cual se comprueba así

seaS=1+X+X2+X3+X 4+…

→s=1+x(1+x+x2+x3+..)

→ s=1+x.s → s-x.s=1

→ (1-x) s=1,∀ x∈(−1 ;1)

→ s=1+x+x2+x3+ ..= 11−x

Luego: 11+x+x2+x3+..=(1−x )−1

DEFINICIONES PREVIAS

FACTORIAL DE UN NUMERO NATURAL

Sea n∈N 0 su factorial , denotado por n !on ´ , se define como

n!={ 1 , si n=0v n=1

1 x2 x3. . n , si n∈Nn≥2 }Ejemplos:

1. 5! =1x2x3x4x5=120

2. 4!-3!=1.2.3.4-1.2.3=24-6=18

3. Resuelva la siguiente ecuación:

Resolución

De la definición

Si (2x -7)! = 1→ 2x – 7 = 0 v 2x – 7 = 1;

De donde x=72v x=4

Por lo tanto, existen dos soluciones 72; 4

Propiedades del factorial

1. n !=n (n−1 )!∀n∈N

2. a !=b !→a=b ,a ;b∈N

3. (n + 1)! – n.n!=n!

4. n!-(n-1)! = (n-1).(n-1)!

Ejemplos

1. Simplificamos S

S= 3√ 25 !25 !+26 !+27 !

Resolución:

seaS= 3√ 25 !25!+26.25 !+27.26 .25 !

→S=3√ 25 !25! (1+26+27.26)

=3√ 127+27.26

→S=3√ 127(1+26)

=3√ 127.27

→S= 13√27 . 3√27

= 13.3

=19

2. ¿Cuál es el valor de x que verifica la ecuación?

x !+ (x−1 )!( x−1)

=2010

Resolución

Recordando que x!=x(x-1)!

x ( x−1 ) !+( x−1 ) !( x−1 ) !

=2010

( x−1 )! (x−1 )!(x−1)

=2010

∴ x=2009

3. Resuelva la siguiente ecuación

x!+x.x!+(x+1).(x+1)!=720

Resolución

Como x!+x.x!=x!(1+x)=(x+1)!

En la ecuación

x !+x . x !+( x+1 ) . ( x+1 )!=720

→ ( x+1 ) !+ (x+1 ) ( x+1 )!

→ ( x+1 ) ! (1+x+1 )=( x+2 ) !=720

Pero 720 = 6!

→ ( x+2 )!=6 !→x+2=6

∴ x=4

NUMERO COMBINATORIO

El numero combinatorio denotado por Cnk

representa el número total de combinaciones

que se pueden realizar con n elementos tomados de K en K.

En una combinación un grupo se diferencia de otro cuando por lo menos difieren en un

elemento.

Se calcular del modo siguiente:

Cnk= n!k ! (n−k ) !

; n , k∈Nn≥k

Ejemplos.

1. C106

= 10 !6 ! (10−6 )!

;10.9 .8 .7 .6 !

6 ! 4 !=210

2. Simplifique M

M=Cxx−1

Cxx−2

Resolución

Aplicando la definición de número combinatorio

M=

x !( x−1 )! (x− (x−1 ) )!

x !(x−2 )! (x−1 ( x−2 )) !

=

x ( x−1 )!( x−1 )! .1

x ( x−1 ) (x−2 )!( x−2 ) !2 !

→M= xx (x−1)

2

= 2x−1

3. Determine el valor de n que verifica la ecuación

3C2n3

=44Cn2

Resolución

Aplicamos la definición del número combinatorio

3.(2n )!

3 ! (2n−3 )!=44

n !2 ! (n−2 )!

3.(2n)(2n−1)(2n−2)(2n−3)6. (2n−3 )!

=44.n(n−1)(n−2)!

2. (n−2 ) !

n . (2n−1 ) . (n−1 )=22n (n−1)

(2n−1 )=11→n=6

Propiedades del número combinatorio

Cnn=1 ;C

n0=1 ;C

n1=n;C n

2=n(n−1)

2

Ejemplos:

1. C70=1

2. C2x1

=2 x

3. C23x−1=

(3 x−1)(3 x−2)2

Combinatorio

C kn=Cn−k

n ∀n ;k∈N n≥ K

Ejemplos

1. C3537=C2

37 37.362

2. Resuelve la ecuación C x2

8 =C2x8

Resolución

De acuerdo a la propiedad

I. x2 = 2x → x=0 v x=2

Ambas resoluciones, ya que se tiene

C08=C8

8 vC48=C4

8

II. x2+2x=8 → x2+2x-8=0

x 4x −2

(x+4)(x-2) = 0→ x=-4 v x=2

Aquí la solución es solamente 2, puesto que C2(−4 )8 no está definida

Por lo tanto, existen dos soluciones: 0; 2.

3. Halla la suma de los mayores valores de m y n si se verifica la igualdad.

Cm−9m+1 =Cn

29

Resolución

Se presentan diversos casos:

a. m-9=0 ^n=0 → m=9 ^n=0

b. m+1=29

{ m−9=nv

m−9+n=29

m=28{ 28−9=n

v28−9+n=29

m=28{n=19

vn=10

Luego los mayores valores son m=28, n=19

∴m+n=47

Suma de números combinatorios

C kn+Ck +1

n =C k+1n+1 ;n>k

Ejemplos

1. C47+C5

7 v5=C58

2. Reduzca lo siguiente:

C745+2C37

45+C3645

Resolución

Por combinatorios complementarios

C3745=C8

45;C3645=C9

45;2C845=C36

45+C845

En lo pedido

C745+C8

45+C945

C745+C8

45+C845+C9

45

C846+C9

46=C947

DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON CUANDO n ES UN NUMERO

NATURAL

Analizamos el desarrollo del binomio (x+a)n para n ∈ N, mediante los siguientes

ejemplos:

(x+a)n=x2+2 xa+a2

(x+a)3=x3+3 x2a+3x a2+a3

(x+a)4=x4+4 x3a+6x2a2+4 xa3+a4

La idea es averiguar como es el desarrollo de (x+a)2; n∈N

MÉTODO DEDUCTIVO

Partiremos de los productos notables

( x+a ) ( x+b )=x2+(a+b ) x+ab

( x+a ) ( x+b ) ( x+c )=x3+(a+b+c ) x2+(ab+ac+bc ) x+ab c

⋮

( x+a ) ( x+b ) ( x+c )…( x+h )=xn+S1xn−1+S2x

n−2+S3xn−3+…+Sn

Donde

S1=a+b+c+..+h

S2=ab+ac+ad+..+ah+bc+ . .

S2=abc+abd+ ..+abh+¿bcd+..

⋮

Sn=a .b . c ..h

En caso de que a=b=c=d=…=h

S1 ¿nvecesa+ a+..+ a=na=C1

na