BEKTOREAK

PLANOAN

ARRASATE BHI (ARRASATE)

Batxilergo Zientifiko-Teknikoa

1. maila

Magnitude eskalarrak ( tenperatura,

masa, energia... ). Zenbaki erreal batez

edo eskalar batez determinatzen dira.

Magnitude bektorialak (abiadura,

indarra...). Magnitudearen modulua,

norabidea eta noranzkoa adierazi behar

dira; horretarako, bektoreak erabiltzen

dira.

Bektore finkoak

A

B

AB Modulua AB segmentuaren luzera da.

Norabidea A eta B puntuetatik pasatzen den zuzena da.

Noranzkoa A-tik B-ra ( segmentuaren geziak adierazten

duena).

A

B

C

Norabide bakoitzean elkarren aurkako bi noranzko daude:

eta ACAB

Bektore ekipolenteak Ekipolenteak dira, modulu,

norabide eta noranzko bera

dituztelako.

bektorea A jatorriak eta B muturrak zehazten dute. AB

Indarra, magnitude fisikoa, magnitude bektoriala da.

• Modulua unitate-kopuru batez ematen da: 20 N (20 newton).

• Norabidea akzio-lerroaz.

• Noranzkoa gezi baten puntaz.

Irudiko bi indarrek modulu bera eta

akzio-lerro bera dute, baina noranzkoa

aurkakoa. Partikulan kontrako efektuak

eragingo dituzte.

30º

20N

30º

20N

Planoko bektore finko guztiak multzoka sailka ditzakegu.

Multzo bakoitza ekipolenteak diren bektoreekin osatuta dago.

Bektore askea

Multzo horietako

bakoitza bektore

aske bat da, eta

bertan dagoen

bektore finkoetako

bakoitza ordezkari

bat.

,...),, wvuBektore askeak letra xehez ( adierazten dira.

Planoko bektore askeen multzoa V2 da.

Modulu, norabide eta noranzko bereko bi bektore berdinak

direla esaten da, aplikazio-puntu bera eduki ala ez.

Ariketa Ondoko irudiko bektoreak emanda, bil itzazu bektore

ekipolenteen multzoetan. Bereiztu bektoreak kolore

ezberdinak erabilita. Zenbat bektore aske daude?

Bektore askeen arteko

eragiketak

Batuketa

Kenketa

K zenbaki erreal baten

bidezko biderketa

u

v

vu

Batuketa vu

uv

Jatorria -ren ordezkariarena eta

muturra -ren ordezkariarena dituen

bektorea; horixe da

vuv

u

P eta Q indarrak R indar bakar batez

ordezka daitezke, eta horrek efektu bera

eragiten du partikulan.

R indarrari erresultantea deitzen zaio eta

paralelogramoaren diagonalaren bidez

adierazten da.

A

P

Q Q A

R

R

P

Q A

Bektoreek ez dituzte aritmetikaren batuketa arauak

betetzen.

Esaterako, 4 N-ko eta 3 N-ko bi indar perpendikular

batuta 5 N-ko indar bat lortzen da, eta ez 7 N-koa.

Gauza bera gertatzen da

desplazamendua, abiadura,

azelerazioa... magnitude

fisikoekin.

Txalupaz ibai bat zeharkatzean, korrontearen abiadura 4m/s-koa

da, eta gure txalupak korrontearekiko perpendikularki 9 m/s-ko

abiadura du. Zein da txalupak duen abiadura?

Gorputz batean bi indar aplikatzen dira. Lehenengo indarra 3 N-ekoa

da, bigarrena 5 N-ekoa, eta bien arteko angelua 60ºkoa da. Kalkula

ezazu indar erresultantearen modulua.

m/s8,994 2222

yx vvv

22

yx vvv

vx= 4 m/s

vy= 9 m/s v

Fisikako bi adibide

60º

3 N

5 N

60º

5 N

3 N

120º

R

NR

R

7

49)2

1(.30259

120cos.5.3.253 º222

Kenketa )( vuvu

u

vvu

v

bektorea lortzeko, nahikoa

da -ren aurkakoarekin

batzea, alboko irudian

adierazten den bezala.

vuuv

r

0r

r

s

O

P

P0

X

Y

Fisikako adibide bat:

Bi puntuen arteko desplazamendu-bektorea, ,

jatorria P0 puntuan duen eta muturra P puntuan duen

bektorea da, eta puntu horien, P eta P0,

posizio-bektoreen kenketa eginda lortzen da.

r

rrr 0 0rrr

K zenbaki erreal baten bidezko biderketa

emanda, hona hemen u

bektoreakuetau 32

u2

u3

biderkadura ondoko ezaugarriak dituen bektorea da:

Norabidea -rena da.

Modulua -ren moduluaren eta k-ren balio

absolutuaren arteko biderkadura da.

Noranzkoa -ren noranzko bera k positiboa bada, eta

aurkakoa k negatiboa bada.

uk .

u

u

u

Bektoreen konbinazio lineala

diren. erreal zenbakiedozein etanon dugu,

esango dela lineala konbinazio bektoreen

21 kk

vetau

aadierazpen motako.. 21 vkuk

Esate baterako, 5 4 bektorea eta ren da.w u v w u v konbinazio lineala

Adibidea.

v

u

vuw 32

v

u w

bektoreakwetavuDemagun , w

u

v)3,2(:osagaiakrenw

Garrantzitsua. Norabide ezberdineko bi bektore emanda,

planoko beste edozein bektore, bi bektore horien

konbinazio lineal modura adieraz daiteke.

,vetau

,w

vuetauvuvu 2;3;

Ariketak

Bi bektore horiek emanda, adieraz itzazu grafikoki

ondoko hauek: v

u

Bi indar perpendikularren erresultantea 40 N-ekoa da, eta

indarretako batek 25 N-eko modulua du.

a)Marraz ezazu indarren eskema.

b)Determina ezazu bigarren indarraren modulua.

V2 -ren oinarriak

Planoko bektore askeen multzo osoa, V2, determinatzeko

aski dira bi bektore norabide ezberdinekoak.

v

u

multzoa V2-ren oinarri bat dela esango dugu. vuB ,

w

w ),( 21 kkw k1 eta k2 zenbakiak bektorearen osagaiak dira.

Beste edozein bektore planokide, , emanda, beti lor

ditzakegu bi zenbaki erreal, k1 eta k2, ondoko berdintza

betetzen dutenak: vkukw .. 21

w

uv

a

b

c

Adibidea

Zein dira

bektoreen osagaiak,

bektoreek eraturiko oinarrian? vu eta

cba eta ,

)2,2(vub 22

vua 23

)2,3(osagaiakren -a

uc 2 )0,2(

Ariketa

Adierazi alboko irudiko

bektoreen osagaiak,

bektoreek eraturiko

oinarrian.

edcba eta ,, ,

vu eta

Oinarriaren bi bektoreak perpendikularrak

direnean –kasu honetan esaterako–, oinarria

ORTOGONALA da.

u

v

a

b

c

d

e

V2-ren oinarri ortonormala

Nolakoak izan behar dira norabide ezberdineko bi

bektore, V2-ren oinarri ortonormal bat osatzeko?

Elkarren artean perpendikularrak.

Bakoitzaren moduluaren balioa 1 izan.

u

v 1vu

Gehienetan, oinarri ortonormala adierazteko

erabiltzen dira, hots, ji eta

},{ jiB

Beste zenbait kasutan (fisikan adibidez), ji ˆˆ eta

Ariketak

jiB ,oinarri ortonormala

emanda:

bektoreak.)5,2(eta)3,1(

grafikoan eraitzazu adieraz

,, hartuta, bera Oinarri -2.

ba

jiB

osagaiak. bektoreen

,itzazu Aurki -1. tetasr

i

j

r

s

t

vu

u3

vu4

Ariketa = (1,3) eta =(2,-2) badira, kalkula itzazu ondoko bektoreen osagaiak:

u v

vuetav 325

Osagaien bidezko eragiketak

vuetauvu 43,

Adibidea

bektoreen osagaiak (2 , -5) eta (-3 , 2) badira hurrenez hurren,

kalkulatu: vetau

= (2,-5) + (-3,2) = (2+(-3) , -5+2) = (-1 , -3)

= 3 . (2,-5) = (6 , -15)

= 4 . (2,-5) – (-3,2) = (11 , -22)

Planoko bektoreen koordenatuak

O

u

v O puntua eta oinarria planoko erreferentzia-

-sistema bat da, eta planoko edozein punturen posizioa

determinatzeko balio du.

vuB ,

dugu. adierazikoeran ,;0 vuR

Oinarria ortonormala denean, bektore batek

dituen koordenatuak eta puntuaren koordenatu

cartesiarrak kointzidenteak dira.

Hemendik aurrera oinarri

ortonormala duen erreferentzia-

-sistema erabiliko dugu, eta

koordenatu cartesiarrak 0X

(abzisa) eta OY (ordenatua)

ardatzak izango dira.

bektore askeari P puntuaren posizio-

bektorea deitzen zaio. Alboko grafikoan

ikusten denez, bere osagaiak (4 , 3) dira.

Balio horiek P puntuaren koordenatuak

dira.

p

)3,4(34 Pjipi

j

P = 4 , 3

O X

Y

p = 4 i

+ 3 j

P = 4 , 3

(2-1 , 1-(-3)) = (1 , 4)

pqPQ

22

)5(11m )4,2(4

2

532 Mm

Demagun P=(1 , -3) eta Q=(2 , 1)

direla

i®

j®

p®

q®

O

P

Q P eta Q puntuak emanda, zein dira

bektorearen koordenatuak? PQ

Demagun A = (1 , 3) eta B = (-5 , 5) direla.

AB segmentua emanda, zein dira M

erdiko puntuaren koordenatuak?

-5 -2 1

1

2

3

4

5

A

M

B

Ariketa

A = (7 , 5) eta B = (-2 , 4) puntuak emanda:

• Kalkulatu bektoreen koordenatuak. Berdinak al

dira?

• Lor itzazu M, N eta P puntuen koordenatuak, hiru puntu

horiek AB segmentua lau parte berdinetan zatitzen dutela

jakinik.

BAetaAB

Puntu alineatuak

Adibidea

Esan A, B eta C puntuak elkarrekin alineaturik dauden ala ez, ondoko kasuetan:

a)A=(0 , 3), B=(1 , 1) eta C=(-1,5)

b) A=(-1,3), B=(4,0) eta C=(2,6)

Hiru –edo gehiago- puntu elkarrekin

alineaturik egotea zuzen berean egotea da.

A

B

C

A, B eta C puntuak alineaturik badaude, elkarren proportzionalak dira. Hots: ACetaAB ABkAC .

Ariketa Froga ezazu A=(1,2), B=(-2,3) eta C=(0,5) puntuak alineaturik dauden ala ez.

Proportzionalak dira (k = -1),

beraz, alineatuta daude.

a) = (-1-0 , 5-3) = (-1 , 2)

= (1-0 , 1-3) = (1 , -2) AB

AC

Ez dira proportzionalak,

beraz, ez daude alineatuta.

b) = (2+1 , 6-3) = (3 , 3)

= (4+1 , 0-3) = (5 , -3)

AC

AB