bases de matemática. ingeniería técnica en informática de sistemas y de gestión. escet....

7/16/2019 Bases de Matemática. Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas y de Gestión. ESCET. Gallinari, Alessandra

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B A S E S D E M A T E M Á T I C A S

A P U N T E S

I n g e n i e r í a T é c n i c a e n I n f o r m á t i c a d e S i s t e m a s y d e G e s t i ó n

E S C E T

A l e s s a n d r a G a l l i n a r i

2 0 0 3



2

I n t r o d u c c i ó n

E n e s t e c u r s o s e a b o r d a l a d i s c i p l i n a d e l a s m a t e m á t i c a s q u e t r a d i c i o -

n a l m e n t e s e d e n o m i n a c á l c u l o o a n á l i s i s m a t e m á t i c o e n u n a v a r i a b l e . E l

c o n c e p t o d e l í m i t e , c e n t r a l e n e s t a a s i g n a t u r a , y q u e a b r e t o d o e l c a m p o

d e l c á l c u l o d i f e r e n c i a l e i n t e g r a l , s u p o n e u n a r e v o l u c i ó n e n l a s m a t e m á t i c a s

y e n c ó m o é s t a s d e s c r i b e n l a r e a l i d a d : d e l a n o c i ó n d e v e l o c i d a d c o n s t a n t e

a l a d e v e l o c i d a d i n s t a n t á n e a , d e l c á l c u l o d e á r e a s d e p o l í g o n o s a l d e á r e a s

e n c e r r a d a s p o r c u r v a s , d e l c á l c u l o d e m a s a s d e s ó l i d o s d e d e n s i d a d c o n s t a n t e

a l m i s m o c á l c u l o c o n d e n s i d a d v a r i a b l e , d e l a p r o b a b i l i d a d d e s u c e s o s c o n

u n a c a n t i d a d n i t a d e o p c i o n e s a l e s t u d i o d e l a s p r o b a b i l i d a d e s d e s u c e s o s

d o n d e h a y u n a c a n t i d a d i n n i t a d e p o s i b i l i d a d e s , d e l o d i s c r e t o a l o c o n t i -

n u o . . . s o n a l g u n o s e j e m p l o s q u e i l u s t r a n l o s e ñ a l a d o . L a f í s i c a , l a i n g e n i e r í a ,

l a e s t a d í s t i c a s e f u n d a m e n t a n ( n o e x c l u s i v a m e n t e p e r o s í d e u n a f o r m a c r u -

c i a l ) m a t e m á t i c a m e n t e e n l o s c o n c e p t o s q u e s e p r e s e n t a r á n : l í m i t e , f u n c i ó n ,

d e r i v a c i ó n e i n t e g r a c i ó n .

A u n q u e e l m u n d o d e l a s t e l e c o m u n i c a c i o n e s y l a i n f o r m á t i c a p r e s e n t a

a c t u a l m e n t e u n m o d e l o d i g i t a l , e s d e c i r , d i s c r e t o ( e s t e c a m p o d e l a s m a t e -

m á t i c a s s e p r e s e n t a e n l a a s i g n a t u r a d e M a t e m á t i c a D i s c r e t a ) n o p o d e m o s

o l v i d a r q u e l a r e a l i d a d n o s e a d a p t a c o m p l e t a m e n t e a m o d e l o s d i s c r e t o s . E l

á r e a d e u n a c i r c u n f e r e n c i a i n v o l u c r a a e s e m i s t e r i o s o n ú m e r o π q u e n o e s

u n n ú m e r o r a c i o n a l y e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s n o s r e c u e r d a q u e l a d i a g o -

n a l d e u n c u a d r a d o d e l a d o u n i d a d ( p e n s e m o s e n e l a l e r ó n d e u n t e j a d o )

t a m p o c o e s r a c i o n a l . C u a n d o n o s c i r c u n s c r i b i m o s a l m u n d o d e l o s n ú m e r o s

r a c i o n a l e s l o h a c e m o s p a r a p e r d e r e x a c t i t u d ( e s i m p o s i b l e l a c u a d r a t u r a d e l

c í r c u l o , n u n c a m e j o r d i c h o ) y e s o p u e d e s e r t r á g i c a m e n t e r e l e v a n t e . A d e m á s ,

e l a n á l i s i s m a t e m á t i c o p r e s e n t a i n t e r e s a n t e s i n s t r u m e n t o s d e d e s c r i p c i ó n q u e

s o n f u n d a m e n t a l e s e n o t r o s c a m p o s : p o r e j e m p l o e l e s t u d i o s i s t e m á t i c o d e

l a s f u n c i o n e s r e a l e s e s u s a d o p a r a e l e s t u d i o d e l a e c i e n c i a d e l o s a l g o r i t -

m o s e n l o q u e s e d e n o m i n a c o m p l e j i d a d y e s t o t i e n e f u e r t e s c o n s e c u e n c i a s e n

s e g u r i d a d i n f o r m á t i c a , g e s t i ó n d e p r o y e c t o s . . . . F i n a l m e n t e l a i n d u s t r i a y l a

e c o n o m í a ( t a m b i é n l a b i o l o g í a , l a q u í m i c a , l a m e d i c i n a . . . ) n e c e s i t a n m o d e l o s

q u e d e s c r i b a n c i e r t o s p r o c e s o s ( e v o l u c i o n e s d e m e r c a d o , p r o c e s o s d e f a b r i c a -

c i ó n , p o b l a c i o n e s . . . ) y d e l o s q u e , a p r i o r i , s e p u e d a n e s t a b l e c e r p r e d i c c i o n e s ,

s e p u e d a n o p t i m i z a r g a s t o s y r e c u r s o s ( u o t r a s v a r i a b l e s ) , s e t o m e n d e c i s i o n e s

a d e c u a d a s y s e g u r a s . . . . N o r m a l m e n t e e s t o s e s t u d i o s n o i n v o l u c r a n a u n a

s o l a v a r i a b l e ( p e n s e m o s e n u n a i n d u s t r i a : t i e m p o , e n e r g í a , r e c u r s o s h u m a -

n o s . . . ) y p o r t a n t o s e n e c e s i t a t a m b i é n d e s a r r o l l a r u n a n á l i s i s m a t e m á t i c o d e



3

v a r i a s v a r i a b l e s q u e e s l o q u e s e e n s e ñ a r á e n l a a s i g n a t u r a d e C á l c u l o .

C o n f r e c u e n c i a , l o s p r o b l e m a s m a t e m á t i c o s q u e s e p r e s e n t a n e n l a c i e n c i a

o l a t e c n o l o g í a n o s e p u e d e n r e s o l v e r c o n m é t o d o s a n a l í t i c o s e x a c t o s . N o e s

p o s i b l e c a l c u l a r e l á r e a d e u n a r e g i ó n s i n o c o n o c e m o s u n a p r i m i t i v a d e l a i n -

t e g r a l q u e l a r e p r e s e n t a . A s í m i s m o , p a r a c a l c u l a r e l m á x i m o d e u n a f u n c i ó n

e s , e n g e n e r a l , n e c e s a r i o p o d e r c a l c u l a r e x a c t a m e n t e l a s r a í c e s d e s u f u n -

c i ó n d e r i v a d a . E n u n m o d e l o m a t e m á t i c o q u e u t i l i z a e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s

t e n e m o s q u e p o d e r c a l c u l a r l a s s o l u c i o n e s e x a c t a s d e e s t a s e c u a c i o n e s .

H a y v a r i o s t e o r e m a s q u e g a r a n t i z a n l a e x i s t e n c i a d e s o l u c i o n e s a e s t o s

p r o b l e m a s s i n p r o p o n e r u n m é t o d o e f e c t i v o p a r a s u c á l c u l o e x a c t o . E n e s -

t o s c a s o s s e u t i l i z a n m é t o d o s n u m é r i c o s ,

e s d e c i r , a l g o r i t m o s q u e p e r m i t e n

h a l l a r u n a s o l u c i ó n a p r o x i m a d a . E s t o s m é t o d o s s e b a s a n , e n g e n e r a l , e n l a

d i s c r e t i z a c i ó n d e l p r o b l e m a y m é t o d o s i t e r a t i v o s d e a p r o x i m a c i ó n .

N e w t o n , L e i b n i t z , C a u c h y , E u l e r , G a u s s . . . s o n a l g u n o s d e l o s i n s i g n e s m a -

t e m á t i c o s q u e h a n d e s a r r o l l a d o u n a d e l a s o b r a s i n t e l e c t u a l e s f u n d a m e n t a l e s

p a r a l a c i e n c i a y l a t e c n o l o g í a a c t u a l e s .

E l c o n t e n i d o d e e s t a p u b l i c a c i ó n e s u n g u i ó n d e l a a s i g n a t u r a d e B a s e s

d e M a t e m á t i c a s p a r a l a s t i t u l a c i o n e s d e I n g e n i e r í a T é c n i c a e n I n f o r m á t i c a

d e S i s t e m a s y d e G e s t i ó n d e l a E s c u e l a S u p e r i o r d e C i e n c i a s E x p e r i m e n t a l e s

y T e c n o l o g í a ( E S C E T ) .

C o n e s t a s n o t a s d e c l a s e s e i n t e n t a p r e s e n t a r d e f o r m a o r g a n i z a d a e l m a t e -

r i a l q u e s e e x p o n d r á e n l a s c l a s e s t e ó r i c a s . P o r l a n a t u r a l e z a d e e s t o s a p u n t e s ,

l a e x p o s i c i ó n n o e s c o m p l e t a y e s f u n d a m e n t a l q u e e l a l u m n o c o n s u l t e t a m -

b i é n l o s l i b r o s r e c o m e n d a d o s e n l a b i b l i o g r a f í a r e l a t i v a a l a a s i g n a t u r a .

E s t a s n o t a s v i e n e n a c o m p a ñ a d a s p o r u n l i b r o d e p r o b l e m a s r e s u e l t o s d e

f o r m a t r a d i c i o n a l y u n l i b r o d e p r o b l e m a s r e s u e l t o s u t i l i z a n d o e l s i s t e m a d e

c o m p u t a c i ó n s i m b ó l i c a M a p l e V , d o n d e s e p o d r á n a p r e c i a r m a y o r m e n t e l a s

a p l i c a c i o n e s d e l a s t é c n i c a s y d e l o s r e s u l t a d o s e x p u e s t o s e n c l a s e .

E l c a p í t u l o 1 e s u n b r e v e r e p a s o d e n o c i o n e s b á s i c a s d e l ó g i c a y t é c n i c a s

d e d e m o s t r a c i ó n d e t e o r e m a s , t e m a s q u e s e d e s a r r o l l a n c o n m á s d e t a l l e e n l a

a s i g n a t u r a p a r a l e l a d e M a t e m á t i c a D i s c r e t a .

E n e l c a p í t u l o 2 , a p a r t i r d e l a s o p e r a c i o n e s b á s i c a s e n t r e c o n j u n t o s y l a

n o c i ó n d e r e l a c i ó n b i n a r i a , s e d e n e e l c o n c e p t o d e f u n c i ó n e n t r e d o s c o n -

j u n t o s a r b i t r a r i o s y s e e s t u d i a n s u s p r o p i e d a d e s g e n e r a l e s . E n p a r t i c u l a r s e

t r a t a n l a s f u n c i o n e s q u e t i e n e n i n v e r s a . T a m b i é n s e d e n e n l a s r e l a c i o n e s

d e e q u i v a l e n c i a y d e o r d e n q u e s e u t i l i z a r á n e n l o s s i g u i e n t e s c a p í t u l o s . E l

a p é n d i c e a l n a l d e e s t o s a p u n t e s c o n t i e n e u n b r e v e r e p a s o d e l a s f u n c i o n e s



4

e l e m e n t a l e s y s u s p r o p i e d a d e s q u e s e s u p o n e n e s t u d i a d a s p o r e l a l u m n o e n

c u r s o s a n t e r i o r e s .

T o d a s e s t a s n o c i o n e s s o n b á s i c a s y a p a r e c e n e n p r á c t i c a m e n t e t o d a s l a s

a s i g n a t u r a s d e l a t i t u l a c i ó n . E n p a r t i c u l a r , v e n d r á n e m p l e a d a s e n l a a s i g n a -

t u r a s d e M a t e m á t i c a D i s c r e t a , C á l c u l o y Á l g e b r a .

E n e l c a p í t u l o 3 s e d a r á u n a d e s c r i p c i ó n d e l a e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a d e

c u e r p o ( e s t r u c t u r a q u e s e e s t u d i a r á e n m á s d e t a l l e e n l a a s i g n a t u r a d e Á l g e -

b r a ) d e l c o n j u n t o R

d e l o s n ú m e r o s r e a l e s , d e s u s p r o p i e d a d e s d e o r d e n y d e

c o m p l e t i t u d . E s t a s p r o p i e d a d e s s o n f u n d a m e n t a l e s p a r a p o d e r c o m p r e n d e r e l

c o n c e p t o d e d i s t a n c i a e n R

y d e l í m i t e d e u n a f u n c i ó n r e a l . L a s a p l i c a c i o n e s

d e e s t o s c o n c e p t o s s e r á n l o s t e m a s p r i n c i p a l e s d e l c á l c u l o e n u n a v a r i a b l e .

E l c a p í t u l o 4 e s t á d e d i c a d o a l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s . S e t r a t a d e u n

b r e v e r e p a s o d e l a s p r o p i e d a d e s b á s i c a s d e e s t o s n ú m e r o s . L o s a s p e c t o s n u -

m é r i c o s s o n e l c o n t e n i d o d e l a p r á c t i c a c o r r e s p o n d i e n t e c o n M a p l e V d e e s t a

a s i g n a t u r a .

L o s c a p í t u l o s 5 , 6 y 7 t r a t a n l o s c o n c e p t o s d e l í m i t e d e s u c e s i o n e s y

f u n c i o n e s r e a l e s y d e c o n t i n u i d a d . S e e x p o n e n l o s t e o r e m a s f u n d a m e n t a l e s d e

c o n v e r g e n c i a y d i v e r g e n c i a . L o s m é t o d o s n u m é r i c o s c o r r e s p o n d i e n t e s v i e n e n

p r e s e n t a d o s e n l a s p r á c t i c a s c o r r e s p o n d i e n t e s c o n M a p l e V d e e s t a a s i g n a t u r a .

E n e s t o s a p u n t e s s e p r e s t a p a r t i c u l a r a t e n c i ó n a l t e m a d e l a s s u c e s i o n e s

r e a l e s c o m o i n t r o d u c c i ó n a l a r e s o l u c i ó n d e e c u a c i o n e s e n d i f e r e n c i a s q u e

l o s a l u m n o s e s t u d i a r á n d u r a n t e l a a s i g n a t u r a d e Á l g e b r a , y a l a t e o r í a d e

l a s s e r i e s d e s a r r o l l a d a e n l a a s i g n a t u r a d e C á l c u l o . L o s a l u m n o s p u e d e n

u t i l i z a r l o s r e s u l t a d o s d e e s t o s c a p í t u l o s p a r a e l e s t u d i o d e l a c o n v e r g e n c i a

y c o m p l e j i d a d d e l o s a l g o r i t m o s p r e s e n t a d o s e n l a a s i g n a t u r a p a r a l e l a d e

M a t e m á t i c a D i s c r e t a .

L o s s i g u i e n t e s d o s c a p í t u l o s ( 8 y 9 ) i n t r o d u c e n e l c á l c u l o d i f e r e n c i a l y s u s

a p l i c a c i o n e s c l á s i c a s . E l 1 0 t r a t a d e l c á l c u l o i n t e g r a l y d e t é c n i c a s b á s i c a s

d e i n t e g r a c i ó n . T o d o s e s t o s c o n c e p t o s y s u s a p l i c a c i o n e s v i e n e n i l u s t r a d o s e n

l a s p r á c t i c a s c o r r e s p o n d i e n t e s c o n M a p l e V .

L o s m é t o d o s n u m é r i c o s r e l a c i o n a d o s a d e s t o s t e m a s s e p r o f u n d i z a r á n e n

l a a s i g n a t u r a d e C á l c u l o .

E s t a p u b l i c a c i ó n e s , e n s u m a y o r í a , u n a a d a p t a c i ó n d e l m a t e r i a l c o n t e n i -

d o ( u n a s v e c e s s i n m o d i c a r l o , o t r a s p r o p o n i e n d o v a r i a c i o n e s d e e l l o ) e n l a

b i b l i o g r a f í a i n c l u i d a .



5

A g r a d e c i m i e n t o s

Q u i e r o a g r a d e c e r a l p r o f e s o r R o b e r t o M u ñ o z p o r s u i n d i s p e n s a b l e p a r t i -

c i p a c i ó n e n l a c o r r e c c i ó n d e e s t a s n o t a s .

G r a c i a s t a m b i é n a l p r o f e s o r A r i e l S á n c h e z p o r s u s u g e r e n c i a s y a l o s

a l u m n o s q u e h a n s e ñ a l a d o e r r a t a s y e r r o r e s e n v e r s i o n e s p r e v i a s .



6



Í n d i c e G e n e r a l

1 N o c i o n e s d e l ó g i c a y d e m o s t r a c i o n e s 1 3

1 . 1 C o n e c t i v o s l ó g i c o s y t a b l a s d e v e r d a d . . . . . . . . . . . . . . 1 5

1 . 2 L o s c u a n t i c a d o r e s ∀ y ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

1 . 3 N e g a c i ó n c o n c u a n t i c a d o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

1 . 4 I n d u c c i ó n m a t e m á t i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

2 C o n j u n t o s , r e l a c i o n e s y f u n c i o n e s 2 1

2 . 1 N o c i o n e s d e t e o r í a d e c o n j u n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

2 . 1 . 1 I n c l u s i ó n e i g u a l d a d d e c o n j u n t o s . . . . . . . . . . . . 2 3

2 . 1 . 2 O p e r a c i o n e s c o n c o n j u n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

2 . 1 . 3 P a r t e s d e u n c o n j u n t o y p r o p i e d a d e s d e l a s o p e r a c i o n e s

c o n c o n j u n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

2 . 1 . 4 C a r d i n a l d e u n c o n j u n t o . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

2 . 2 R e l a c i o n e s b i n a r i a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

2 . 2 . 1 R e l a c i o n e s d e e q u i v a l e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

2 . 2 . 2 R e l a c i o n e s d e o r d e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

2 . 2 . 3 M í n i m o s y m á x i m o s d e u n c o n j u n t o . . . . . . . . . . . 3 2

2 . 3 F u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

2 . 3 . 1 F u n c i o n e s i n y e c t i v a s , s o b r e y e c t i v a s y b i y e c t i v a s . . . . 3 4

2 . 3 . 2 C o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

2 . 3 . 3 F u n c i ó n i n v e r s a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

3 N ú m e r o s r e a l e s 3 7

3 . 1 E s t r u c t u r a a l g e b r a i c a d e

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

3 . 2 L a s p r o p i e d a d e s d e o r d e n e n R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

3 . 2 . 1 I n t e r v a l o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

3 . 2 . 2 D e s i g u a l d a d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

3 . 3 V a l o r a b s o l u t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4

7



8 Í N D I C E G E N E R A L

3 . 4 C o m p l e t i t u d d e R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

3 . 4 . 1 S u p r e m o s e í n m o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

3 . 4 . 2 L a p r o p i e d a d d e l s u p r e m o d e R

. . . . . . . . . . . . . 4 7

3 . 4 . 3 L a p r o p i e d a d d e A r q u í m e d e s . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

3 . 4 . 4 L a e x i s t e n c i a d e

√ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

3 . 4 . 5 D e n s i d a d d e Q

e n R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1

3 . 4 . 6 I n t e r v a l o s e n c a j a d o s y r e p r e s e n t a c i ó n d e c i m a l . . . . . 5 2

3 . 5 C o n j u n t o s i n n i t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

3 . 5 . 1 C o n j u n t o s n i t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

3 . 5 . 2 C o n j u n t o s n u m e r a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

3 . 5 . 3 C o n j u n t o s n o n u m e r a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

3 . 6 P r e c i s i ó n e n l o s m é t o d o s n u m é r i c o s . . . . . . . . . . . . . . . 5 8

4 N ú m e r o s c o m p l e j o s 6 1

4 . 1 D e n i c i ó n d e n ú m e r o s c o m p l e j o s . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

4 . 2 E x p r e s i ó n b i n ó m i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

4 . 3 E x p r e s i ó n p o l a r , t r i g o n o m é t r i c a y

e x p o n e n c i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3

5 S u c e s i o n e s r e a l e s 6 9

5 . 1 D e n i c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9

5 . 1 . 1 E j e m p l o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0

5 . 1 . 2 L í m i t e s y s u s p r o p i e d a d e s . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2

5 . 1 . 3 S u c e s i o n e s p r o p i a m e n t e d i v e r g e n t e s . . . . . . . . . . . 7 6

5 . 1 . 4 C o m p a r a c i ó n d e l í m i t e s : . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

5 . 2 S u c e s i o n e s m o n ó t o n a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8

5 . 3 P r i m e r o s c r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1

5 . 4 S u b s u c e s i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

5 . 4 . 1 C r i t e r i o d e d i v e r g e n c i a b a s a d o e n s u b s u c e s i o n e s . . . . 8 4

5 . 4 . 2 T e o r e m a d e B o l z a n o - W e i e r s t r a s s . . . . . . . . . . . . . 8 5

5 . 5 C r i t e r i o d e C a u c h y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6

5 . 6 S u c e s i o n e s c o n t r a c t i v a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8

5 . 7 R e s u m e n s o b r e c o n v e r g e n c i a y d i v e r g e n c i a . . . . . . . . . . . 8 9

6 L í m i t e s d e f u n c i o n e s r e a l e s 9 3

6 . 1 D e n i c i ó n d e l í m i t e y e j e m p l o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3

6 . 2 C r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6

6 . 3 D o s l í m i t e s i m p o r t a n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2



Í N D I C E G E N E R A L 9

6 . 4 L í m i t e s l a t e r a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 4

6 . 5 L í m i t e s i n n i t o s y e n e l i n n i t o . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5

6 . 6 I n n i t é s i m o s e i n n i t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8

7 C o n t i n u i d a d 1 1 1

7 . 1 F u n c i o n e s c o n t i n u a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1

7 . 1 . 1 D e n i c i ó n y e j e m p l o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1

7 . 1 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s . . . . . . . . . 1 1 3

7 . 2 C o n t i n u i d a d e n i n t e r v a l o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4

7 . 2 . 1 A c o t a b i l i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4

7 . 2 . 2 L o c a l i z a c i ó n d e r a í c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6

7 . 3 F u n c i o n e s m o n ó t o n a s e i n v e r s a s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9

8 D e r i v a c i ó n 1 2 3

8 . 1 R e c t a t a n g e n t e y d e n i c i ó n d e d e r i v a d a . . . . . . . . . . . . . 1 2 3

8 . 2 P r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l a d e r i v a d a . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7

8 . 2 . 1 C o n t i n u i d a d y d e r i v a b i l i d a d . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7

8 . 2 . 2 D e r i v a d a s d e f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s . . . . . . . . . . . 1 2 8

8 . 2 . 3 D e r i v a d a s d e f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s . . . . . . . . . 1 2 9

8 . 2 . 4 R e g l a d e l a c a d e n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1

8 . 3 D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n i n v e r s a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3

8 . 4 D e r i v a c i ó n i m p l í c i t a y l o g a r í t m i c a . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4

8 . 4 . 1 D e r i v a c i ó n i m p l í c i t a y t a s a s d e c a m b i o

r e l a c i o n a d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4

8 . 4 . 2 D e r i v a c i ó n l o g a r í t m i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6

8 . 5 T e o r e m a s f u n d a m e n t a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 6

9 A p l i c a c i o n e s d e l a d e r i v a d a 1 4 3

9 . 1 A n á l i s i s d e g r á c a s : c r i t e r i o d e l a p r i m e r a d e r i v a d a . . . . . . 1 4 3

9 . 2 R e g l a d e l ' H ô p i t a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5

9 . 2 . 1 F o r m a s i n d e t e r m i n a d a s

00 y

∞∞ . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5

9 . 2 . 2 O t r a s f o r m a s i n d e t e r m i n a d a s . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 9

9 . 3 A p r o x i m a c i ó n d e T a y l o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 0

9 . 3 . 1 P o l i n o m i o d e T a y l o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 1

9 . 3 . 2 T e o r e m a d e T a y l o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 2

9 . 4 A p l i c a c i o n e s d e l T e o r e m a d e T a y l o r . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 4

9 . 4 . 1 D e r i v a d a s d e o r d e n s u p e r i o r y e x t r e m o s r e l a t i v o s . . . 1 5 4

9 . 4 . 2 F u n c i o n e s c o n v e x a s y p u n t o s d e i n e x i ó n . . . . . . . . 1 5 5



1 0 Í N D I C E G E N E R A L

1 0 I n t e g r a c i ó n 1 5 9

1 0 . 1 I n t e g r a l d e R i e m a n n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9

1 0 . 1 . 1 S u m a s s u p e r i o r e s e i n f e r i o r e s . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 0

1 0 . 1 . 2 C r i t e r i o d e i n t e g r a b i l i d a d d e R i e m a n n . . . . . . . . . . 1 6 2

1 0 . 1 . 3 Á r e a c o m o l í m i t e d e u n a s u m a . . . . . . . . . . . . . . 1 6 4

1 0 . 2 P r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l a i n t e g r a l . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5

1 0 . 2 . 1 F u n c i o n e s i n t e g r a b l e s s o b r e u n i n t e r v a l o [a, b] . . . . . . 1 6 6

1 0 . 2 . 2 I n t e g r a l e s y o p e r a c i o n e s c o n f u n c i o n e s . . . . . . . . . . 1 6 7

1 0 . 3 T e o r e m a s f u n d a m e n t a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9

1 0 . 3 . 1 T e o r e m a d e l v a l o r m e d i o p a r a i n t e g r a l e s . . . . . . . . 1 6 9

1 0 . 3 . 2 T e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l c á l c u l o . . . . . . . . . . . . 1 7 0

1 0 . 4 T é c n i c a s b á s i c a s d e i n t e g r a c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3

1 0 . 4 . 1 I n t e g r a c i ó n p o r p a r t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3

1 0 . 4 . 2 I n t e g r a c i ó n p o r c a m b i o d e v a r i a b l e . . . . . . . . . . . 1 7 4

1 0 . 4 . 3 I n t e g r a l e s r a c i o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6

1 0 . 5 I n t e g r a l e s i m p r o p i a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 8

1 0 . 5 . 1 I n t e g r a l e s i m p r o p i a s d e p r i m e r a e s p e c i e . . . . . . . . . 1 7 8

1 0 . 5 . 2 I n t e g r a l e s i m p r o p i a d e s e g u n d a e s p e c i e . . . . . . . . . 1 7 9

1 0 . 5 . 3 I n t e g r a l e s i m p r o p i a s d e t e r c e r a e s p e c i e . . . . . . . . . 1 8 1

A R e p a s o d e f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s 1 8 3

A . 1 F u n c i o n e s p o t e n c i a , p o l i n ó m i c a y r a c i o n a l . . . . . . . . . . . 1 8 3

A . 1 . 1 F u n c i ó n p o t e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 3

A . 1 . 2 P o l i n o m i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 4

A . 1 . 3 F u n c i o n e s r a c i o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 4

A . 1 . 4 D e s c o m p o s i c i ó n e n f r a c c i o n e s s i m p l e s . . . . . . . . . . 1 8 4

A . 2 F u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s y l o g a r í t m i c a s . . . . . . . . . . . . . 1 8 7

A . 2 . 1 F u n c i ó n e x p o n e n c i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7

A . 2 . 2 F u n c i ó n l o g a r í t m i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7

A . 3 F u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s y s u s i n v e r s a s . . . . . . . . . . . . 1 8 8

A . 3 . 1 S e n o y a r c o s e n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8

A . 3 . 2 C o s e n o y a r c o c o s e n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 9

A . 3 . 3 T a n g e n t e y a r c o t a n g e n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0

A . 3 . 4 C o s e c a n t e y a r c o c o s e c a n t e . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0

A . 3 . 5 S e c a n t e y a r c o s e c a n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0

A . 3 . 6 C o t a n g e n t e y a r c o c o t a n g e n t e . . . . . . . . . . . . . . 1 9 1

A . 4 A l g u n a s r e l a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 4

A . 5 F u n c i o n e s h i p e r b ó l i c a s y s u s i n v e r s a s . . . . . . . . . . . . . . 1 9 4



Í N D I C E G E N E R A L 1 1

A . 5 . 1 S e n o h i p e r b ó l i c o y a r g u m e n t o s e n o h i p e r b ó l i c o . . . . . 1 9 4

A . 5 . 2 C o s e n o h i p e r b ó l i c o y a r g u m e n t o c o s e n o h i p e r b ó l i c o . . 1 9 5

A . 5 . 3 T a n g e n t e h i p e r b ó l i c a y a r g u m e n t o t a n g e n t e h i p e r b ó l i c a 1 9 5

A . 5 . 4 P r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s h i p e r b ó l i c a s . . . . . . . . 1 9 7



1 2 Í N D I C E G E N E R A L



C a p í t u l o 1

N o c i o n e s d e l ó g i c a y

d e m o s t r a c i o n e s

L a s c i e n c i a s e x p e r i m e n t a l e s s e b a s a n e n l a o b s e r v a c i ó n d e l a n a t u r a l e z a y

u t i l i z a n u n r a z o n a m i e n t o d e t i p o i n d u c t i v o p a r a p o d e r f o r m u l a r t e o r í a s g e -

n e r a l e s q u e p e r m i t a n e n t e n d e r y c l a s i c a r l o s r e s u l t a d o s d e o b s e r v a c i o n e s

p a r t i c u l a r e s y h a c e r p r e d i c c i o n e s s o b r e f u t u r o s e x p e r i m e n t o s .

E j e m p l o d e r a z o n a m i e n t o i n d u c t i v o

D u r a n t e e l p r i m e r d í a d e c l a s e s e n n u e s t r a u n i v e r s i d a d s e o b s e r v a q u e :

•e n l a s a u l a s 2 0 4 y 2 0 7 h a y m á s a l u m n o s v a r o n e s q u e m u j e r e s ,

•e n l a b i b l i o t e c a h a y m á s a l u m n o s v a r o n e s q u e m u j e r e s

P o r t a n t o , s e d e d u c e q u e e n n u e s t r a u n i v e r s i d a d l a p o b l a c i ó n m a s c u l i n a e s

p r e d o m i n a n t e , p e r o n o t e n e m o s l a c e r t e z a q u e n u e s t r a c o n c l u s i ó n s e a v e r d a -

d e r a .

L a s m a t e m á t i c a s s o n u n a c i e n c i a d e d u c t i v a . L a i n v e s t i g a c i ó n m a t e m á t i c a

s e b a s a e n u n m o d e l o m a t e m á t i c o d e l a r e a l i d a d c o n s t i t u i d o p o r o b j e t o s

r i g u r o s a m e n t e d e n i d o s p o r m e d i o d e a x i o m a s y u t i l i z a l a s l e y e s d e l a l ó g i c a

f o r m a l p a r a s a c a r c o n c l u s i o n e s q u e s e a n v e r d a d e r a s e n e l m o d e l o c o n s i d e r a d o .

E j e m p l o d e r a z o n a m i e n t o d e d u c t i v o

S e a A e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s a l u m n o s o c i a l m e n t e m a t r i c u l a d o s e n

n u e s t r a u n i v e r s i d a d . S e a v

e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e A

q u e s o n v a r o n e s y

m e l c o r r e s p o n d i e n t e n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e A q u e s o n m u j e r e s .

1 3



1 4 C A P Í T U L O 1 . N O C I O N E S D E L Ó G I C A Y D E M O S T R A C I O N E S

T e o r e m a 1 . 0 . 1 v > m

D e m o s t r a c i ó n D e l a s l i s t a s o c i a l e s d e l R e c t o r a d o s a b e m o s q u e v = 3500

y q u e m = 1500. P o r t a n t o , s e s i g u e q u e v > m. 2

E l r a z o n a m i e n t o m a t e m á t i c o n e c e s i t a a r m a r c o n c e r t e z a s i u n a s e n t e n c i a

e s v e r d a d e r a o f a l s a .

L a L ó g i c a

e s l a d i s c i p l i n a q u e s e o c u p a d e l e s t u d i o s i s t e m á t i c o d e l a s

c o n d i c i o n e s g e n e r a l e s d e v a l i d e z y d e l a f o r m a l i z a c i ó n d e r a z o n a m i e n t o s o

d e d u c c i o n e s .

E n l o q u e s i g u e s e p r e t e n d e r e c o r d a r s ó l o a l g u n a s n o c i o n e s d e l ó g i c a p r o -

p o s i c i o n a l y d e

l ó g i c a d e p r e d i c a d o s q u e n o s h a r á n f a l t a e n l o s s i g u i e n t e s

c a p í t u l o s . L o s a l u m n o s e s t u d i a r á n e s t o s c o n c e p t o s e n m á s d e t a l l e c o m o p r i -

m e r t e m a d e l a a s i g n a t u r a p a r a l e l a M a t e m á t i c a D i s c r e t a .

U n a p r o p o s i c i ó n

e s u n a s e n t e n c i a q u e s e p u e d e c l a s i c a r c o m o v e r d a d e r a

o f a l s a s i n a m b i g ü e d a d .

E n n u e s t r a n o t a c i ó n , l a s c o n s t a n t e s

s o n l o s e l e m e n t o s d e u n c o n j u n t o U ,

q u e s e r á n u e s t r o u n i v e r s o

d e d i s c u r s o y l a s v a r i a b l e s

s o n o b j e t o s g e n é r i c o s ,

q u e p o d r á n s u s t i t u i r s e p o r e l e m e n t o s d e U.U n

p r e d i c a d o o f u n c i ó n p r o p o s i c i o n a l e s u n a s e n t e n c i a q u e i n v o l u c r a

v a r i a b l e s d e m o d o q u e a l s e r s u s t i t u i d a s p o r c o n s t a n t e s d e u n u n i v e r s o U s e

c o n v i e r t e e n u n a p r o p o s i c i ó n .

N o t a i m p o r t a n t e : a l n d e s i m p l i c a r l a e x p o s i c i ó n , t r a b a j a r e m o s s i e m -

p r e e n u n u n i v e r s o p r e d e t e r m i n a d o ( l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s , e n t e r o s , r a c i o n a -

l e s , r e a l e s , c o m p l e j o s , . . . ) . E s t a l i m i t a c i ó n n o s p e r m i t i r á p r e s c i n d i r d e a l g u n a s

d e n i c i o n e s y e s t r u c t u r a s l ó g i c a s f u n d a m e n t a l e s , c u a l e s l a s t a u t o l o g í a s , l a s

f o r m a s p r o p o s i c i o n a l e s y l a s f o r m a s d e p r e d i c a d o s .

E j e m p l o 1 . 0 . 2 L a s e n t e n c i a e x i s t e x t a l q u e x2 = 2 e s v e r d a d e r a s i n u e s t r o

c o n t e x t o s o n l o s n ú m e r o s r e a l e s ( x =√

2 o x = −√ 2) y f a l s a s i n u e s t r o

c o n t e x t o s o n l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s .

E j e m p l o s 1 . 0 . 3 1 ) E n e l c o n j u n t o

Rd e l o s n ú m e r o s r e a l e s ,

2 + 2 = 4.2 ) E n e l c o n j u n t o N d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s , 2 · 3 = −6.3 ) E s t e e n u n c i a d o e s f a l s o .

4 ) E n e l c o n j u n t o R

d e l o s n ú m e r o s r e a l e s , 0 = 0.5 ) E n e l c o n j u n t o R d e l o s n ú m e r o s r e a l e s , 0 = 0.



1 . 1 . C O N E C T I V O S L Ó G I C O S Y T A B L A S D E V E R D A D 1 5

1 ) E s u n a p r o p o s i c i ó n v e r d a d e r a .

2 ) E s u n a p r o p o s i c i ó n f a l s a .

3 ) N o e s u n a p r o p o s i c i ó n .

4 ) E s u n a p r o p o s i c i ó n v e r d a d e r a .

5 ) E s u n a p r o p o s i c i ó n f a l s a .

1 . 1 C o n e c t i v o s l ó g i c o s y t a b l a s d e v e r d a d

S i P y Q s o n d o s p r o p o s i c i o n e s , e s p o s i b l e c r e a r n u e v a s p r o p o s i c i o n e s p o r

m e d i o d e l o s s i g u i e n t e s c o n e c t i v o s l ó g i c o s :

•l a n e g a c i ó n d e P e s l a p r o p o s i c i ó n

noP ( ó ¬P ) q u e e s f a l s a c u a n d o P e s v e r d a d e r a y v e r d a d e r a c u a n d o P

e s f a l s a . S u t a b l a d e v e r d a d

e s

P ¬P V F F V

•l a

c o n j u n c i ó n d e P y Q e s l a p r o p o s i c i ó n

P ∧

Q q u e e s v e r d a d e r a s i y s ó l o s i P y Q s o n v e r d a d e r a s .

S u t a b l a d e v e r d a d

e s

P Q P ∧ QV V V V F F F V F F F F

•l a d i s y u n c i ó n d e P y Q e s l a p r o p o s i c i ó n

P ∨ Q q u e e s v e r d a d e r a c u a n d o a l m e n o s u n a d e l a s d o s p r o p o s i c i o n e s

P y Q e s v e r d a d e r a s .

S u t a b l a d e v e r d a d e s

P Q P ∨ QV V V V F V F V V F F F




•l a

i m p l i c a c i ó n e s l a p r o p o s i c i ó n

P ⇒ Qq u e e s s i e m p r e v e r d a d e r a s a l v o s i

P e s v e r d a d e r a y

Qe s f a l s a .

P s e l l a m a l a h i p ó t e s i s

y Q l a c o n c l u s i ó n

.

S u t a b l a d e v e r d a d e s

P Q P ⇒ QV V V V F F F V V F F V

•l a

d o b l e i m p l i c a c i ó n e s l a p r o p o s i c i ó n

P ⇔ Q d e n i d a c o m o (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ) .

S u t a b l a d e v e r d a d

e s

P Q P ⇒ Q Q ⇒ P P ⇔ QV V V V V V F F V F F V V F F F F V V V

E j e m p l o 1 . 1 . 1 E n e l c o n t e x t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s , s e a n P : n e s p a r

y Q : e x i s t e u n n ú m e r o n a t u r a l m t a l q u e n = 2m. E n t o n c e s P ⇔ Q e s

v e r d a d e r a p r e c i s a m e n t e c u a n d o P y Q s o n a m b a s v e r d a d e r a s o a m b a s f a l s a s .

D e n i c i ó n 1 . 1 . 2 D o s p r o p o s i c i ó n e s P y Q s o n e q u i v a l e n t e s e n s e n t i d o

l ó g i c o ( y s e e s c r i b i r á P ≡ Q) s i t i e n e n l a m i s m a t a b l a d e v e r d a d , e s d e c i r ,

s i P ⇔ Q e s s i e m p r e v e r d a d e r a .

E j e r c i c i o s 1 . 1 . 1 S e a n P y Q d o s p r o p o s i c i o n e s .

1 ) V e r i c a r q u e v a l e n l a s L e y e s d e D e M o r g a n :

• ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ) ∧ (¬Q)

• ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ) ∨ (¬Q).

2 ) V e r i c a r q u e (P ⇒ Q) ≡ ((¬P ) ∨ Q) ≡ ((¬Q) ⇒ (¬P )). P e n s a d , p o r

e j e m p l o , e n P : e s t o y e n R o m a y Q : e s t o y e n I t a l i a .

3 ) V e r i c a r e l p r i n c i p i o d e d o b l e n e g a c i ó n :

¬(¬P ) ≡ P. ( 1 . 1 )



1 . 2 . L O S C U A N T I F I C A D O R E S ∀

Y ∃

1 7

1 . 2 L o s c u a n t i c a d o r e s ∀

y ∃

P o r d e n i c i ó n , u n p r e d i c a d o s e c o n v i e r t e e n u n a p r o p o s i c i ó n a l s u s t i t u i r s u s

v a r i a b l e s p o r c o n s t a n t e s d e u n u n i v e r s o U.O t r a f o r m a d e c o n v e r t i r p r e d i c a d o s e n p r o p o s i c i o n e s e s e l u s o d e l o s s i -

g u i e n t e s c u a n t i c a d o r e s

:

•e l

c u a n t i c a d o r u n i v e r s a l ∀

( p a r a t o d o ) y

•e l

c u a n t i c a d o r e x i s t e n c i a l ∃( e x i s t e ) .

S i P (x) e s u n p r e d i c a d o y U e s n u e s t r o u n i v e r s o , l a e x p r e s i ó n

∀x

∈U P (x)

r e p r e s e n t a l a f r a s e p a r a t o d o x e n U, P (x) e s v e r d a d e r a

y l a e x p r e s i ó n

∃x ∈ U P (x)

r e p r e s e n t a l a f r a s e e x i s t e x e n U t a l q u e P (x) e s v e r d a d e r a .

E j e m p l o s 1 . 2 . 1 1 ) L a p r o p o s i c i ó n ( v e r d a d e r a ) p a r a t o d o n ú m e r o r e a l n o

n e g a t i v o x e x i s t e u n n ú m e r o r e a l y t a l q u e ( t . q . ) y2 = x, s e e s c r i b e c o m o

∀x ∈ R+ ∪ {0}, ∃y ∈ R t . q . y2 = x.

2 ) L a p r o p o s i c i ó n ( f a l s a ) e x i s t e u n n ú m e r o r e a l

yt a l q u e p a r a t o d o n ú -

m e r o r e a l n o n e g a t i v o x, y2 = x, s e e s c r i b e c o m o

∃y ∈ Rt . q .

∀x ∈ R+ ∪ {0}, y2 = x.

E n t o n c e s , s i s e i n v i e r t e e l o r d e n d e l o s d o s c u a n t i c a d o r e s ∀

y ∃

s e p u e d e

p a s a r d e u n a p r o p o s i c i ó n v e r d a d e r a a u n a f a l s a .

1 . 3 N e g a c i ó n d e u n a p r o p o s i c i ó n q u e c o n t e n g a

c u a n t i c a d o r e s

•P a r a d e m o s t r a r q u e l a p r o p o s i c i ó n

∀x ∈ R, x2 = 1 e s f a l s a h a y q u e

p r e s e n t a r u n s o l o c o n t r a e j e m p l o (x = 2), e s d e c i r

¬((∀x ∈ R)(x2 = 1)) e s (∃x ∈ R)(¬(x2 = 1)).




•P a r a d e m o s t r a r q u e l a p r o p o s i c i ó n

∃x ∈ Rt . q . x2 = −1 e s f a l s a

h a y q u e d e m o s t r a r q u e n i n g ú n n ú m e r o r e a l

xe s t a l q u e

(x

2

= −1),e s

d e c i r

¬((∃x ∈ R)(x2 = −1))e s

(∀x ∈ R)(¬(x2 = −1)).

T e o r e m a s y d e m o s t r a c i o n e s d i r e c t a s e i n d i r e c t a s

U n a x i o m a

e s u n a p r o p o s i c i ó n q u e s e c o n s i d e r a v e r d a d e r a s i n d e m o s t r a r -

l a .

A p a r t i r d e a x i o m a s y p r o p o s i c i o n e s v e r d a d e r a s , s e p u e d e n u t i l i z a r l a s

l e y e s d e l a l ó g i c a ( l o s r a z o n a m i e n t o s v á l i d o s ) p a r a d e m o s t r a r q u e u n a n u e v a

p r o p o s i c i ó n e s t a m b i é n v e r d a d e r a .

U n t e o r e m a e s u n a p r o p o s i c i ó n v e r d a d e r a d e l t i p o “P ⇒ Q, d o n d e P y Q s o n d o s p r o p o s i c i o n e s .

U n l e m a

e s u n t e o r e m a q u e s e u t i l i z a p a r a d e m o s t r a r o t r o t e o r e m a y u n

c o r o l a r i o e s u n t e o r e m a q u e e s u n a c o n s e c u e n c i a d i r e c t a d e o t r o t e o r e m a

p r e v i a m e n t e d e m o s t r a d o .

L o s s i g u i e n t e s s o n a l g u n o s e j e m p l o s d o n d e s e u t i l i z a n l a s p r i n c i p a l e s t é c -

n i c a s d e d e m o s t r a c i ó n .

E j e m p l o 1 . 3 . 1 T e o r e m a 1 . 3 . 2 E l c u a d r a d o d e u n e n t e r o i m p a r e s t a m -

b i é n u n e n t e r o i m p a r .

U t i l i z a r e m o s l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s :

P : n e s u n e n t e r o i m p a r

R1 : n = 2k + 1 p a r a c i e r t o k e n t e r o

Q : n e s u n e n t e r o i m p a r y n2e s i m p a r .

U n a d e m o s t r a c i ó n d i r e c t a

d e u n t e o r e m a d e l a f o r m a “P ⇒ Q c o n s i s t e

e n u n a c a d e n a d e p r o p o s i c i o n e s v e r d a d e r a s P, R1, R2, · · · , Rm, Q t a l q u e

P ⇒ R1, R1 ⇒ R2, · · · , Rm ⇒ Q.

D e m o s t r a c i ó n d i r e c t a d e l t e o r e m a ( 1 . 3 . 2 ) :

P

⇒R1

R2 : n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1R3 : n2 = 2(2k + 2k) + 1

R4 : n2 = 2 j + 1p a r a u n c i e r t o

je n t e r o

R4 ⇒ Q.



1 . 4 . I N D U C C I Ó N M A T E M Á T I C A 1 9

E n t o n c e s P ⇒ R1 ⇒ R2 ⇒ R3 ⇒ R4 ⇒ Q. 2

D o s t i p o s d e d e m o s t r a c i o n e s i n d i r e c t a s

s o n l a s d e m o s t r a c i o n e s p o r

c o n t r a p o s i t i v o y l a s d e m o s t r a c i o n e s p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o ( o c o n t r a d i c -

c i ó n ) .

E n u n a d e m o s t r a c i ó n p o r c o n t r a p o s i t i v o

s e u t i l i z a l a e q u i v a l e n c i a

l ó g i c a e n t r e “P ⇒ Q y “¬Q ⇒ ¬P.

E j e m p l o 1 . 3 . 3 T e o r e m a 1 . 3 . 4 S e a a ≥ 0 u n n ú m e r o r e a l . S i p a r a t o d o

> 0 s e t i e n e 0 ≤ a < , e n t o n c e s a = 0.

D e m o s t r a c i ó n p o r c o n t r a p o s i t i v o d e l t e o r e m a ( 1 . 3 . 4 ) :

e n e s t e c a s o e l c o n t e x t o s o n l o s n ú m e r o s r e a l e s n o n e g a t i v o s .

P : (∀ >0)(0 ≤ a < )y

Q : a = 0.E n t o n c e s t e n e m o s q u e d e m o s t r a r q u e s i

a > 0( e s d e c i r , s i

¬Q e s v e r d a d e r a ) s e s i g u e q u e (∃ > 0)(0 < ≤ a) ( e s d e c i r ,

¬P e s v e r d a d e r a ) . S e a R1 : 0 < = a2

< a. S e v e r i c a q u e ¬Q ⇒ R1 ⇒ ¬P.2

E n u n a d e m o s t r a c i ó n p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o s e u t i l i z a e l h e c h o

d e q u e s i C e s u n a c o n t r a d i c c i ó n ( u n a p r o p o s i c i ó n s i e m p r e f a l s a ) , e n t o n c e s l a s

p r o p o s i c i o n e s “P ⇒ Q y “(P ∧ ¬Q) ⇒ C s o n e q u i v a l e n t e s e n s e n t i d o

l ó g i c o .

E j e r c i c i o 1 . 3 . 1 C o m p r o b a r q u e (P ⇒ Q) ≡ ((P ∧ ¬Q) ⇒ C ).

E j e m p l o 1 . 3 . 5 T e o r e m a 1 . 3 . 6 S e a a u n n ú m e r o r e a l . S i a > 0, e n t o n c e s

1a

> 0.

D e m o s t r a c i ó n p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o d e l t e o r e m a ( 1 . 3 . 6 ) :

e s t a v e z e l c o n t e x t o s o n l o s n ú m e r o s r e a l e s , P : a > 0 y Q : 1a > 0. N o s

h a c e f a l t a v e r i c a r q u e s i (P ∧(¬Q)) : a > 0 y

1a

≤ 0 e s v e r d a d e r a , e n t o n c e s

s e o b t i e n e u n a c o n t r a d i c c i ó n . S e a n R1 : a · 1a

≤ 0 y C : 1 = a · 1a

≤ 0.E l r e s u l t a d o s e s i g u e d e l a c a d e n a P ∧ (¬Q) ⇒ R1 ⇒ C. 2

1 . 4 I n d u c c i ó n m a t e m á t i c a

E l m é t o d o d e d e m o s t r a c i ó n p o r i n d u c c i ó n m a t e m á t i c a s e a p l i c a c u a n d o s e

q u i e r e d e m o s t r a r q u e u n a p r o p o s i c i ó n P (n),

q u e d e p e n d e d e l n ú m e r o n a t u r a l

n, e s v e r d a d e r a p a r a t o d o n . P o r e j e m p l o , u n a d e l a s s i g u i e n t e s f ó r m u l a s :




• ∀n ∈ N, nk=1 k = n(n+1)

2

• ∀n ∈ N,

nk=1 k2 = n(n+1)

2

• ∀n ∈ N,n

k=1(2k − 1) = n2

• ∀n ∈ N, 2n ≤ (n + 1)!,

d o n d e (n + 1)! = (n + 1) (n) (n − 1) · · · 2 1

E s t e m é t o d o u t i l i z a l a p r o p i e d a d d e l c o n j u n t o N

d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s

c o n o c i d a c o m o P r i n c i p i o d e i n d u c c i ó n m a t e m á t i c a :

T e o r e m a 1 . 4 . 1 ( P r i n c i p i o d e i n d u c c i ó n m a t e m á t i c a ) S i A e s u n s u b c o n j u n -

t o c u a l q u i e r a d e

Nt a l q u e

1 ) 1 ∈ A y

2 ) (n ∈ A) ⇒ (n + 1 ∈ A),e n t o n c e s A = N.

P r o p o s i c i ó n 1 . 4 . 2 ( R a z o n a m i e n t o p o r i n d u c c i ó n ) S e a P (n) u n a p r o -

p o s i c i ó n t a l q u e s e p u e d a p r o b a r q u e

1 ) b a s e d e i n d u c c i ó n : P (1) e s v e r d a d e r a

y q u e

2 ) p a s o d e i n d u c c i ó n : P (n) v e r d a d e r a ⇒ P (n + 1) v e r d a d e r a ,

e n t o n c e s

∀n

∈N, P (n) e s v e r d a d e r a .

L a d e m o s t r a c i ó n d e l a p r o p o s i c i ó n ( 1 . 4 . 2 ) s e s i g u e a p l i c a n d o e l p r i n c i p i o d e

i n d u c c i ó n a l c o n j u n t o A = {n ∈ N : P (n) e s v e r d a d e r a }.

E j e m p l o 1 . 4 . 3 D e m o s t r a c i ó n p o r i n d u c c i ó n d e

∀n ∈ N, 2n ≤ (n + 1)!.

B a s e d e i n d u c c i ó n : s i n = 1, P (1) (2 ≤ 2) e s v e r d a d e r a .

P a s o d e i n d u c c i ó n : s i 2n ≤ (n + 1)! (P (n) e s v e r d a d e r a ) , e n t o n c e s

2n+1

= 2 2n

≤ 2 (n + 1)! ≤ (n + 2) (n + 1)! = (n + 2)!.

E l r e s u l t a d o s e s i g u e d e l a p r o p o s i c i ó n ( 1 . 4 . 2 ) .

V e r e m o s m á s e j e m p l o s d e d e m o s t r a c i o n e s e n l o s s i g u i e n t e s c a p í t u l o s .



C a p í t u l o 2

C o n j u n t o s , r e l a c i o n e s y f u n c i o n e s

E s t e c a p í t u l o e s u n r e p a s o d e n o c i o n e s d e t e o r í a d e c o n j u n t o y d e l a s d e n i -

c i o n e s b á s i c a s d e r e l a c i o n e s , f u n c i o n e s y s u s p r o p i e d a d e s .

( R e f e r e n c i a s : R . C r i a d o , A . B u r j o s a , C . V e g a s , R . B a n e r j e e , F u n d a m e n t o s

m a t e m á t i c o s I , E d . C e n t r o d e e s t u d i o s R a m ó n A c r e c e s . M a d r i d , 1 9 9 8 y

P . H . H a l m o s , N a i v e S e t T h e o r y , S p r i n g e r - V e r l a s N e w Y o r k , H e i d e l b e r g , B e r -

l i n , 1 9 8 7 . )

L a l ó g i c a y l a t e o r í a d e c o n j u n t o s e s t á n e s t r e c h a m e n t e r e l a c i o n a d a s . D e

h e c h o e n u n p r i n c i p i o s e p e n s ó q u e t o d a p r o p i e d a d P (x)

l l e v a b a a s o c i a d o u n

c o n j u n t o , {x : P (x)}, f o r m a d o p o r l o s e l e m e n t o s a d e l u n i v e r s o d e d i s c u r s o

q u e s a t i s f a c e n d i c h a p r o p i e d a d , e s d e c i r , t a l e s q u e

P (a)e s v e r d a d e r a . M á s

c o n c r e t a m e n t e , s e a c e p t a b a q u e t o d a p r o p i e d a d P (x) d i v i d e e l u n i v e r s o d e

d i s c u r s o e n d o s p a r t e s : l a f o r m a d a p o r l o s o b j e t o s a q u e l a s a t i s f a c e n , a ∈ {x :P (x)}, y l a f o r m a d a p o r l o s o b j e t o s a q u e n o l a s a t i s f a c e n , a /∈ {x : P (x)}.

E n 1 9 0 3 B e r t r a n d R u s s e l l p r o p u s o e l e j e m p l o d e c o n j u n t o A = {x : x /∈x}

y p r e g u n t ó s i A ∈ A.D e l a d e n i c i ó n d e

As e s i g u e q u e

(A ∈ A) ⇒ (A /∈ A) y (A /∈ A) ⇒ (A ∈ A),

e s d e c i r , (A ∈ A) ⇔ (A /∈ A).L a c o n c l u s i ó n e s q u e n o t o d a p r o p i e d a d d e t e r m i n a u n c o n j u n t o , h a c e f a l t a

r e s t r i n g i r l a c l a s e d e p r o p i e d a d e s q u e d e n e n c o n j u n t o s .

L a p r i m e r a d e l a s r e s t r i c c i o n e s e s e l a x i o m a d e e s p e c i c a c i ó n :

u n a p r o -

p i e d a d p o r s í s o l a n o d e t e r m i n a u n c o n j u n t o , s i n o q u e s e l e c c i o n a e l e m e n t o s

d e u n c o n j u n t o d a d o a l q u e e s n e c e s a r i o r e f e r i r s e .

2 1



2 2 C A P Í T U L O 2 . C O N J U N T O S , R E L A C I O N E S Y F U N C I O N E S

P a r a n o i n c u r r i r e n c o n t r a d i c c i ó n c o n e l a x i o m a d e e s p e c i c a c i ó n , e s n e c e -

s a r i o a s u m i r l a n o e x i s t e n c i a d e l c o n j u n t o u n i v e r s a l

U, e l c o n j u n t o d e t o d o s

l o s c o n j u n t o s . S i U f u e r a u n c o n j u n t o , t a m b i é n A = {x ∈ U : x /∈ A}s e r í a

u n c o n j u n t o .

E n r e s p u e s t a a l a p a r a d o j a d e R u s s e l l , s e p r o p u s i e r o n v a r i a s f o r m u l a c i o n e s

a x i o m á t i c a s d e l a t e o r í a d e c o n j u n t o s .

E n n u e s t r a e x p o s i c i ó n , u t i l i z a r e m o s r e g l a s d e c o n s t r u c c i ó n d e c o n j u n t o s

f o r m u l a d a s e n t é r m i n o s d e l a l ó g i c a d e p r e d i c a d o s a p a r t i r d e l o s c o n c e p t o s

p r i m i t i v o s d e c o n j u n t o y p e r t e n e n c i a ( Z e r m e l o - F r a e n k e l , 1 9 2 2 ) .

D u r a n t e l a s p r i m e r a s p r á c t i c a s d e l a b o r a t o r i o i n f o r m á t i c o c o n e l s i s t e -

m a M a p l e V d e e s t a a s i g n a t u r a y d e l a a s i g n a t u r a M a t e m á t i c a D i s c r e t a , l o s

a l u m n o s a p r e n d e r á n c ó m o d e n i r y o p e r a r c o n c o n j u n t o s y f u n c i o n e s . A d e -

m á s , h a b r á u n a p r á c t i c a d e l a a s i g n a t u r a M a t e m á t i c a D i s c r e t a d e d i c a d a a l a s

r e l a c i o n e s , d o n d e s e e x p l i c a r á c o m o r e p r e s e n t a r l a s y e s t u d i a r s u s p r o p i e d a d e s

u t i l i z a n d o M a p l e V .

E n l a a p é n d i c e A s e p u e d e e n c o n t r a r u n r e s u m e n d e l a s f u n c i o n e s e l e m e n -

t a l e s y s u s p r o p i e d a d e s .

2 . 1 N o c i o n e s d e t e o r í a d e c o n j u n t o s

L o s c o n c e p t o s d e c o n j u n t o

y d e p e r t e n e n c i a

d e u n e l e m e n t o a u n c o n j u n t o

s o n c o n c e p t o s p r i m i t i v o s ,

e s d e c i r , n o s e d e n e n .

D i r e m o s q u e u n c o n j u n t o A e s u n a c o l e c c i ó n ( f a m i l i a , c l a s e ) , n i t a o

i n n i t a , d e o b j e t o s d e u n u n i v e r s o U t a l q u e p a r a t o d o o b j e t o x s e p u e d a

d e t e r m i n a r s i x

p e r t e n e c e a A.

L o s o b j e t o s d e u n c o n j u n t o s e r á n s u s e l e -

m e n t o s . S i x p e r t e n e c e a l c o n j u n t o A, s e e s c r i b i r á x ∈ A. S i x n o p e r t e n e c e

a A,

s e e s c r i b i r á x /∈ A.

E j e m p l o s 2 . 1 . 1

N := {1, 2, · · · } e s e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s

Z := {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · } e s e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s

F :=

{

p

q

: p, q

∈Z y q

= 0

}e s e l c o n j u n t o d e l a s f r a c c i o n e s d e n ú m e r o s e n t e r o s

A := {x ∈ R : x2 = 1} = {−1, 1} e s e l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n x2 − 1 = 0

N o t a c i ó n : l o s s í m b o l o s Q,R y

Cd e n o t a r á n , r e s p e c t i v a m e n t e , e l c o n j u n t o

d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s , r e a l e s y c o m p l e j o s .



2 . 1 . N O C I O N E S D E T E O R Í A D E C O N J U N T O S 2 3

2 . 1 . 1 I n c l u s i ó n e i g u a l d a d d e c o n j u n t o s

S i t o d o e l e m e n t o x d e u n c o n j u n t o A e s t a m b i é n e l e m e n t o d e u n c o n j u n t o B,s e d i r á q u e A e s t á c o n t e n i d o e n B o q u e A e s u n

s u b c o n j u n t o d e B ( y s e

e s c r i b i r á A ⊆ B ó B ⊇ A) .

S i A e s u n s u b c o n j u n t o d e B y e x i s t e u n e l e m e n t o d e B q u e n o p e r t e n e c e

a A, e n t o n c e s A e s u n s u b c o n j u n t o p r o p i o

d e B : A B ó A ⊂ B.D o s c o n j u n t o s A y B s o n

i g u a l e s s i c o n t i e n e n l o s m i s m o s e l e m e n t o s . ( P o r

e j e m p l o , l o s c o n j u n t o s A = {−2, 1, 0, −7}y B = {−7, 1, 0, −2}

s o n i g u a l e s . )

N o t a i m p o r t a n t e : p a r a d e m o s t r a r q u e d o s c o n j u n t o s A y B s o n i g u a l e s ,

e s n e c e s a r i o v e r i c a r l a s d o s s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s :

1)A

⊆B ( 2 . 1 )

2)B ⊆ A ( 2 . 2 )

E j e m p l o s 2 . 1 . 2 1 ) S e a n A = {x ∈ R : x2 + x − 2 = 0} y B = {−2, 1}.L o s e l e m e n t o s d e A s o n l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n x2 + x−2 = 0, e s d e c i r ,

s o n l o s n ú m e r o s x1 = 1 y x2 = −2. Y a q u e x1 ∈ B y x2 ∈ B , A ⊆ B. A h o r a

e s t á c l a r o q u e t a m b i é n B ⊆ A. P o r t a n t o , A = B.2 ) S e a n A = {a,b,c,d}

y B = {c,a,d,b}, e n t o n c e s A = B.

E l c o n j u n t o v a c í o ∅

e s e l c o n j u n t o q u e n o t i e n e e l e m e n t o s .

N o t a : e l c o n j u n t o ∅

n o e s i g u a l a l c o n j u n t o A = {∅}, p u é s A t i e n e u n

e l e m e n t o , e l c o n j u n t o v a c í o .

E j e m p l o 2 . 1 . 3 S e a A = {x ∈ R : x2 = −1}. E n t o n c e s A = ∅.

P r o p o s i c i ó n 2 . 1 . 4 S e a A u n c o n j u n t o c u a l q u i e r a . E n t o n c e s ∅ ⊆ A.

2 . 1 . 2 O p e r a c i o n e s c o n c o n j u n t o s

S i A y B s o n d o s c o n j u n t o s , e s p o s i b l e c o n s t r u i r n u e v o s c o n j u n t o s p o r m e d i o

d e l a s s i g u i e n t e s o p e r a c i o n e s :

•l a

u n i ó n d e A y B e s e l c o n j u n t o A ∪ B d e t o d o s l o s e l e m e n t o s d e A

o d e B, e s d e c i r

A ∪ B = {x : x ∈ A ó x ∈ B}




•l a

i n t e r s e c c i ó n d e A y B e s e l c o n j u n t o A ∩ B d e t o d o s l o s e l e m e n t o s

q u e p e r t e n e c e n t a n t o a

Ac o m o a

B,e s d e c i r

A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}S i A y B n o t i e n e n e l e m e n t o s e n c o m ú n , e n t o n c e s A ∩ B = ∅

y s e d i r á

q u e A y B s o n d i s j u n t o s

•e l

c o m p l e m e n t o ( r e l a t i v o ) d e B r e s p e c t o d e Ae s e l c o n j u n t o

A\Bd e t o d o s l o s e l e m e n t o s d e A q u e n o p e r t e n e c e n a B, e s d e c i r

A\B = {x : x ∈ A y x /∈ B}E j e r c i c i o 2 . 1 . 1 S e a n A = {−1, 0, 3, 7} y B = {−3, −1, 0, 3, 5, 7, 8}. D e t e r -

m i n a r A∪

B , A∩

B y A\

B.

•e l

p r o d u c t o c a r t e s i a n o d e d o s c o n j u n t o s

n o v a c í o s A y B e s e l c o n -

j u n t o d e t o d o s p a r e s o r d e n a d o s (a, b) c o n a ∈ A y b ∈ B, e s d e c i r

A × B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}P a r a r e p r e s e n t a r g r á c a m e n t e u n p r o d u c t o c a r t e s i a n o A×B d e d o s c o n j u n t o s ,

s e p u e d e u t i l i z a r u n s i s t e m a d e e j e s . L o s e l e m e n t o s d e A s e r e p r e s e n t a n p o r

m e d i o d e p u n t o s d e l e j e d e l a s a b s c i s a s y l o s e l e m e n t o s d e B p o r m e d i o d e

p u n t o s d e l e j e d e l a s o r d e n a d a s . E n t o n c e s l o s e l e m e n t o s d e A × B s o n t o d o s

l o s p u n t o s d e c o o r d e n a d a s (a, b).P o r e j e m p l o , s e a n A =

{x,y,z

}y B =

{a, b

}. L a g u r a 2 . 1 e s u n a r e p r e s e n -

t a c i ó n g r á c a ( o b t e n i d a c o n M a p l e V s u s t i t u y e n d o l a s l e t r a s p o r n ú m e r o s :

x = 1, y = 2, z = 3, a = 1, b = 2) d e A × B.

0

1

2

3

4

y

1 2 3 4x

F i g u r a 2 . 1 : G r á c a d e

A × B.

E j e r c i c i o 2 . 1 . 2 S e a n A = {−1, 0, 3, 7} y B = {−1, 1}. D e t e r m i n a r y r e p r e -

s e n t a r g r á c a m e n t e e l c o n j u n t o A × B.



2 . 1 . N O C I O N E S D E T E O R Í A D E C O N J U N T O S 2 5

2 . 1 . 3 P a r t e s d e u n c o n j u n t o y p r o p i e d a d e s d e l a s o p e -

r a c i o n e s c o n c o n j u n t o s

S i A e s u n c o n j u n t o , s e l l a m a c o n j u n t o d e l a s p a r t e s d e A , P (A), a l n u e v o

c o n j u n t o c u y o s e l e m e n t o s s o n e x a c t a m e n t e l o s s u b c o n j u n t o s d e A.N o t a :

P a r a t o d o c o n j u n t o A, P (A) e s s i e m p r e n o v a c í o , y a q u e ∅ ∈ P (A).

E j e m p l o 2 . 1 . 5 S e a A = {a,b,c}. E n t o n c e s

P (A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a,b,c}}.

S e a n A, B y C t r e s c o n j u n t o s . L a s p r i n c i p a l e s p r o p i e d a d e s d e l a s o p e r a -

c i o n e s c o n c o n j u n t o s s o n l a s s i g u i e n t e s :

1 ) i d e m p o t e n c i a d e l a u n i ó n y d e l a i n t e r s e c c i ó n :

A ∪ A = A ( 2 . 3 )

A ∩ A = A ( 2 . 4 )

2 ) c o n m u t a t i v i d a d

d e l a u n i ó n y d e l a i n t e r s e c c i ó n :

A ∪ B = B ∪ A ( 2 . 5 )

A ∩ B = B ∩ A ( 2 . 6 )

3 ) a s o c i a t i v i d a d

d e l a u n i ó n y d e l a i n t e r s e c c i ó n :

A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C ( 2 . 7 )

A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C ( 2 . 8 )

4 ) d i s t r i b u t i v i d a d d e l a u n i ó n r e s p e c t o d e l a i n t e r s e c c i ó n y d e l a i n t e r -

s e c c i ó n r e s p e c t o d e l a u n i ó n :

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ( 2 . 9 )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )( 2 . 1 0 )

5 )

A ∪ ∅ = A( 2 . 1 1 )

A ∩ ∅ = ∅( 2 . 1 2 )




6 ) L e y e s d e D e M o r g a n

( p a r a c o n j u n t o s ) :

C \(A ∪ B) = (C \A) ∩ (C \B) ( 2 . 1 3 )

C \(A ∩ B) = (C \A) ∪ (C \B)( 2 . 1 4 )

7 )

(A\B) ∪ B = A ∪ B ( 2 . 1 5 )

(A\B) ∩ B = ∅( 2 . 1 6 )

A\(A\B) = A ∩ B ( 2 . 1 7 )

E j e r c i c i o 2 . 1 . 3 D e m o s t r a r l a s p r o p i e d a d e s e n u n c i a d a s e n e l p u n t o 7 ) .

U n i ó n e i n t e r s e c c i ó n d e u n a f a m i l i a a r b i t r a r i a d e c o n j u n t o s .

L a s d e n i c i o n e s d e u n i ó n y d e i n t e r s e c c i ó n d e d o s c o n j u n t o s s e p u e d e n

e x t e n d e r a u n a f a m i l i a a r b i t r a r i a d e c o n j u n t o s . S i J e s u n c o n j u n t o j a d o y

a s o c i a m o s a c a d a j ∈ J u n c o n j u n t o A j, e n t o n c e s o b t e n e m o s l a f a m i l i a d e

c o n j u n t o s {A j} j∈J .

L a u n i ó n d e l o s c o n j u n t o s d e l a f a m i l i a {A j} j∈J e s e l n u e v o c o n j u n t o

A = j∈J A j

t a l q u e x e s u n e l e m e n t o d e A s i x e s u n e l e m e n t o d e a l m e n o s u n o d e l o s

c o n j u n t o s d e l a f a m i l i a {A j} j∈J .

L a i n t e r s e c c i ó n d e l o s c o n j u n t o s d e l a f a m i l i a {A j} j∈J e s e l n u e v o c o n j u n t o

A = j∈J

A j

t a l q u e x e s u n e l e m e n t o d e A s i x e s u n e l e m e n t o d e t o d o s l o s c o n j u n t o s d e

l a f a m i l i a {A j} j∈J .

E j e m p l o 2 . 1 . 6 S i J = N y ∀n ∈ N d e n i m o s Nn = {1, 2, 3, · · · , n}, e n t o n -

c e s

n∈

N

Nn = N y

n∈

N

Nn = {1}.



2 . 2 . R E L A C I O N E S B I N A R I A S 2 7

2 . 1 . 4 C a r d i n a l d e u n c o n j u n t o

E l c a r d i n a l

d e u n c o n j u n t o n i t o A, Card(A), e s e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e

A. S i A e s u n c o n j u n t o i n n i t o s e e s c r i b i r á Card(A) = ∞.S e a n

Ay

Bd o s c o n j u n t o s n i t o s c u a l e s q u i e r a , e n t o n c e s

Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) ≤( 2 . 1 8 )

≤ Card(A) + Card(B)

S i A ∩ B = ∅, Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B).

O b s e r v a c i ó n : S e p u e d e c o m p r o b a r q u e s i A e s u n c o n j u n t o n i t o , Card(A) =

n

⇒Card(P (A)) = 2n.

E j e m p l o s 2 . 1 . 7 1 ) Card(N) = ∞2 ) S e a n A = {−2, 0, 3, 17}

y B = {−7, 0, 5, 17, 18}. E n t o n c e s , A ∪ B ={−7, −2, 0, 3, 5, 17, 18} y A ∩ B = {0, 17}. S e s i g u e q u e

7 = Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) = 4 + 5 − 2.

E n e l c a p í t u l o 3 v o l v e r e m o s a h a b l a r d e c a r d i n a l d e u n c o n j u n t o e n m á s

d e t a l l e .

2 . 2 R e l a c i o n e s b i n a r i a s

S e a n A

y B

d o s c o n j u n t o s n o v a c í o s .

D e n i c i ó n 2 . 2 . 1 U n a r e l a c i ó n b i n a r i a e n t r e A y B e s u n s u b c o n j u n t o

R d e l p r o d u c t o c a r t e s i a n o A × B. S i (a, b) ∈ R s e d i r á q u e a y b e s t á n

r e l a c i o n a d o s y s e e s c r i b i r á aRb.

E j e m p l o 2 . 2 . 2 S e a n A = {a,b,c}, B = {d, e} y R = {(a, d), (b, e), (c, d), (c, e)}.E n t o n c e s aRd, bRe, cRd y cRe. ( V e r g u r a 2 . 2 )

S i

R ⊆ A×A( e s d e c i r , s i

A = B) , s e d i r á q u e

Re s u n a

r e l a c i ó n b i n a r i a

e n A.

E j e r c i c i o 2 . 2 . 1 S e a n A = {a,b,c}, R = {(a, a), (b, a), (c, b), (c, c)}. E n t o n -

c e s aRa,bRa,cRb y cRc. R e p r e s e n t a r g r á c a m e n t e l a r e l a c i ó n R.




0

1

2

3

4

y

1 2 3 4x

F i g u r a 2 . 2 : G r á c a d e R.

E j e r c i c i o 2 . 2 . 2 E n b a s e a l a s i g u i e n t e T a b l a 1 , d e s c r i b i r l a s r e l a c i o n e s e n

e l c o n j u n t o A = {A n d r e a , B e a t r i z , C a r l o s , D a v i d e , E d w a r d } :1 ) xR1y

⇔x e y v i v e n e n e l m i s m o p a í s .

2 ) xR2y ⇔ x e y t i e n e n e l m i s m o n ú m e r o d e t e l é f o n o o l a m i s m a e d a d .

3 ) xR3y ⇔ x e y t i e n e n l a m i s m a a l t u r a y s o n e u r o p e o s .

T a b l a 1 E d a d T e l . P a í s A l t u r a O c u p a c i ó n

A n d r e a 2 1 4 3 - 6 9 5 0 - 5 5 5 - 0 0 0 1 A l e m a n i a 1 , 7 5 I n f o r m á t i c a

B e a t r i z 1 8 3 4 - 9 1 - 5 5 5 - 0 0 0 0 E s p a ñ a 1 , 6 8 E s t u d i a n t e

C a r l o s 3 7 3 4 - 9 1 - 5 5 5 - 0 0 0 0 E s p a ñ a 1 , 7 5 P r o f e s o r

D a v i d e 1 8 3 9 - 0 6 - 5 5 5 - 0 0 0 2 I t a l i a 1 , 6 5 E s t u d i a n t e

E d w a r d 2 1 1 - 2 1 5 - 5 5 5 - 0 0 0 3 E E U U 1 , 6 8 P r o f e s o r

U n a r e l a c i ó n R e n u n c o n j u n t o n o v a c í o A p u e d e s e r :

•R 1 ) r e e x i v a :

∀x ∈ A xRx

•R 2 )

s i m é t r i c a : ∀x, y ∈ A xRy ⇒ yRx

•R 3 )

a n t i s i m é t r i c a : ∀x, y ∈ A xRy e yRx ⇒ x = y

•R 4 )

t r a n s i t i v a : ∀x,y,z ∈ A xRy e yRz ⇒ xRz

E j e r c i c i o 2 . 2 . 3 I n t e r p r e t a r g r á c a m e n t e l a s p r o p i e d a d e s r e e x i v a , s i m é t r i -

c a , a n t i s i m é t r i c a y t r a n s i t i v a .

O b s e r v a c i ó n 1 L a s ú n i c a s r e l a c i o n e s b i n a r i a s e n u n c o n j u n t o n o v a c í o Aq u e s e a n a l m i s m o t i e m p o s i m é t r i c a s y a n t i s i m é t r i c a s s o n t a l e s q u e R ⊆{(x, y) : x = y}.




E j e m p l o s 2 . 2 . 3 1 ) S e a A e l c o n j u n t o d e l a s p e r s o n a s y R = {(a, b) ∈ A×A :

ae s e l p a d r e d e

b}.E s t a r e l a c i ó n n o t i e n e n i n g u n a d e l a s p r o p i e d a d e s

R1, R2y R4.

2 ) E n e l c o n j u n t o d e l a s p a r t e s P (A) d e u n c o n j u n t o A, l a r e l a c i ó n d e

i n c l u s i ó n R = {(B, C ) ∈ P (A) × P (A) : B ⊆ C } e s r e e x i v a , a n t i s i m é t r i c a

y t r a n s i t i v a .

3 ) E n e l c o n j u n t o Z d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s , l a r e l a c i ó n R = {(n, m) ∈Z× Z : n − m e s p a r } e s r e e x i v a , s i m é t r i c a y t r a n s i t i v a .

4 ) E n e l c o n j u n t o d e l a s r e c t a s d e l p l a n o r e a l , l a r e l a c i ó n r e s o r t o g o n a l

a s n o e s r e e x i v a , e s s i m é t r i c a y n o e s t r a n s i t i v a .

D e n i c i ó n 2 . 2 . 4 S i R⊆

A×

B e s u n a r e l a c i ó n b i n a r i a , s e d e n o m i n a

• d o m i n i o d e R a l c o n j u n t o

dom(R) = {x ∈ A : ∃y ∈ B t a l q u e (x, y) ∈ R} ⊆ A

• i m a g e n d i r e c t a ( o r a n g o ) d e R a l c o n j u n t o

Im(R) = {y ∈ B : ∃x ∈ A t a l q u e (x, y) ∈ R} ⊆ B

•i m a g e n i n v e r s a ( o r e c í p r o c a ) d e u n s u b c o n j u n t o C d e B a l c o n j u n t o

R−1(C ) = {x ∈ A : ∃y ∈ C t a l q u e (x, y) ∈ R} ⊆ A

•c o d o m i n i o d e R a l c o n j u n t o B.

E j e r c i c i o 2 . 2 . 4 D e t e r m i n a r d o m i n i o e i m a g e n d e l a s r e l a c i o n e s d e n i d a s

e n l o s e j e m p l o s ( 2 . 2 . 2 ) y ( 2 . 2 . 3 ) .

2 . 2 . 1 R e l a c i o n e s d e e q u i v a l e n c i a

D e n i c i ó n 2 . 2 . 5 U n a r e l a c i ó n b i n a r i a R e n u n c o n j u n t o n o v a c í o A s e

d e n o m i n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a s i e s r e e x i v a , s i m é t r i c a y t r a n s i t i v a .

S i R e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a e n A y a, b ∈ A s o n t a l e s q u e aRb, s e

e s c r i b i r á a ∼ b.




S i a ∈ A y ∼

e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a e n A, s e p u e d e d e n i r u n

s u b c o n j u n t o

C (a)d e

Ad e n o m i n a d o

c l a s e d e e q u i v a l e n c i a d e

a :C (a) = {x ∈ A : x ∼ a}. ( 2 . 1 9 )

N o t a r q u e C (a) n o e s v a c í o y a q u e t o d a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a e s r e e x i v a .

S e a b o t r o e l e m e n t o d e A. P u e d e o c u r r i r s ó l o u n a d e l a s s i g u i e n t e s s i t u a -

c i o n e s :

s i a ∼ b, e n t o n c e s C (a) = C (b), ( 2 . 2 0 )

s i a b, e n t o n c e s C (a) ∩ C (b) = ∅. ( 2 . 2 1 )

P o r t a n t o , s i c o n s i d e r a m o s e l c o n j u n t o d e l a s d i s t i n t a s

c l a s e s d e e q u i v a l e n c i a s ,

e s t e c o n j u n t o r e p r e s e n t a u n a p a r t i c i ó n

d e t o d o A e n t r e s u b c o n j u n t o s d i s j u n t o s

y s e d e n o m i n a c o n j u n t o c o c i e n t e .

E j e m p l o s 2 . 2 . 6 1 ) L a r e l a c i ó n R = {(n, m) ∈ Z × Z : n − m e s p a r }, e s

u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a y Z = C (0)∪C (1). C (0) e s e l c o n j u n t o d e t o d o s

l o s e n t e r o s p a r e s y C (1) d e l o s e n t e r o s i m p a r e s .

2 ) E n e l c o n j u n t o d e l a s r e c t a s d e l p l a n o r e a l , l a r e l a c i ó n r e s p a r a l e l a a

s e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a . P a r a t o d a r e c t a r, C (r) r e p r e s e n t a a l a

d i r e c c i ó n d e t e r m i n a d a p o r r.

3 ) N ú m e r o s r a c i o n a l e s

E n e l c o n j u n t o F d e l a s f r a c c i o n e s F := { p/q : p, q ∈ Z y q = 0}, p a r a

t o d o p a r d e f r a c c i o n e s r1 = p1

q1y r2 = p2

q2, s e d e n e l a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a

R c o m o r1 ∼ r2 ⇔ p1q 2 = p2q 1. E l c o n j u n t o d e l a s c l a s e s d e e q u i v a l e n c i a e s

e l c o n j u n t o Q d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s .

E j e r c i c i o 2 . 2 . 5 U t i l i z a n d o l a T a b l a 1 d e l e j e r c i c i o ( 2 . 2 . 2 ) , d e n i r u n a r e l a -

c i ó n d e e q u i v a l e n c i a e n A y d e t e r m i n a r l a s r e l a t i v a s c l a s e s d e e q u i v a l e n c i a .

2 . 2 . 2 R e l a c i o n e s d e o r d e n

D e n i c i ó n 2 . 2 . 7 U n a r e l a c i ó n R e n u n c o n j u n t o ( n o v a c í o ) A e s u n a r e l a -

c i ó n d e o r d e n s i e s r e e x i v a , a n t i s i m é t r i c a y t r a n s i t i v a . S i R e s u n a r e l a -

c i ó n d e o r d e n e n A y x, y

∈A s o n t a l e s q u e xRy, s e e s c r i b i r á x

≤y.

U n a r e l a c i ó n d e o r d e n R

s o b r e A

t a l q u e c a d a d o s e l e m e n t o s x

e y

d e A

s e p u e d e n c o m p a r a r ( e s d e c i r , ∀x, y ∈ A, xRy ó yRx ) e s u n a

r e l a c i ó n d e

o r d e n t o t a l . S i u n a r e l a c i ó n d e o r d e n

Rn o e s d e o r d e n t o t a l , e n t o n c e s e s

u n a r e l a c i ó n d e o r d e n p a r c i a l .




E j e m p l o s 2 . 2 . 8 1 ) E n e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s l a r e l a c i ó n m e n o r

o i g u a l q u e (

≤) e s u n a r e l a c i ó n d e o r d e n t o t a l . E n p a r t i c u l a r , s e a

A :={1, 2, 3, 4, 12}. E l o r d e n d e l c o n j u n t o A d a t o p o r ≤ s e p u e d e r e p r e s e n t a r c o n

u n g r a f o o r i e n t a d o :

1 −→ 2 −→ 3 −→ 4 −→−→−→ 12

2 ) E n e l c o n j u n t o d e l a s p a r t e s d e u n c o n j u n t o A, l a r e l a c i ó n d e i n c l u s i ó n

( ⊆ ) e s u n a r e l a c i ó n d e o r d e n p a r c i a l .

3 ) E n e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s l a r e l a c i ó n s e r d i v i s o r d e , | ,

e s u n a r e l a c i ó n d e o r d e n p a r c i a l . E n p a r t i c u l a r , p a r a e l m i s m o c o n j u n t o

A := {1, 2, 3, 4, 12}d e l e j e r c i c i o 1 ) , l a r e l a c i ó n

|s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r

m e d i o d e l s i g u i e n t e g r a f o :

3

1 → 2 → 4 → 12

E j e r c i c i o s 2 . 2 . 1 1 ) D i b u j a r e l g r a f o d e l a r e l a c i ó n d e o r d e n p a r c i a l ⊆ e n

P (A), d o n d e A := {a,b,c}.2 ) D i b u j a r e l g r a f o d e l a r e l a c i ó n d e o r d e n p a r c i a l | e n e l c o n j u n t o B :=

{2, 4, 5, 8, 15, 45, 60}.

A t o d a r e l a c i ó n d e o r d e n ≤ e n A s e l e p u e d e a s o c i a r u n a r e l a c i ó n d e

o r d e n e s t r i c t o , d e n i d a p o r

∀x, y ∈ A, x < y ⇔ x ≤ y y x = y. ( 2 . 2 2 )

L a r e l a c i ó n < e s t a l q u e

i ) n o e x i s t e n e l e m e n t o s x, y ∈ A

t a l e s q u e x < y

e y < x

s i m u l t á n e a m e n t e ,

i i ) e s t r a n s i t i v a .

V i c e v e r s a , a p a r t i r d e u n a r e l a c i ó n R

e n A

q u e c u m p l e l a s c o n d i c i o n e s i

y i i , s e p u e d e d e n i r l a r e l a c i ó n d e o r d e n

x ≤ y ⇔ (x < y ó x = y).

S o n m u y i m p o r t a n t e s l a s r e l a c i o n e s d e o r d e n e s t r i c t o y t o t a l ,

e s

d e c i r , l a s r e l a c i o n e s q u e s a t i s f a c e n l a s s i g u i e n t e s d o s p r o p i e d a d e s :




• t r a n s i t i v a : ∀x,y,z ∈ A, x < y e y < z ⇒ x < z

• d e t r i c o t o m í a : ∀x, y ∈ A, s e c u m p l e e x a c t a m e n t e u n a d e l a s s i g u i e n t e s

a r m a c i o n e s :

x = y, x < y, y < x.

E j e m p l o s 2 . 2 . 9 1 ) E n e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s l a r e l a c i ó n m e n o r

q u e e s u n a r e l a c i ó n d e o r d e n e s t r i c t o y t o t a l .

2 ) E n e l c o n j u n t o d e l a s p a r t e s d e u n c o n j u n t o A, l a r e l a c i ó n d e i n c l u s i ó n

p r o p i a ( e s d e c i r , ∀B, C ∈ P (A), B < C s i B ⊆ C y B = C ) e s u n a r e l a c i ó n

d e o r d e n e s t r i c t o p a r c i a l .

2 . 2 . 3 M í n i m o s y m á x i m o s d e u n c o n j u n t o

D e n i c i ó n 2 . 2 . 1 0 S i ≤

e s u n a r e l a c i ó n d e o r d e n e n u n c o n j u n t o A y B ⊆ A,u n e l e m e n t o m ∈ B e s u n m í n i m o d e B s i ∀x ∈ B m ≤ x. U n e l e m e n t o

M ∈ B e s u n m á x i m o d e B s i ∀x ∈ B x ≤ M.

E j e r c i c i o 2 . 2 . 6 ( U n i c i d a d d e l m í n i m o y d e l m á x i m o ) S e a n ≤ u n a r e l a c i ó n

d e o r d e n e n u n c o n j u n t o A, B ⊆ A, m1, m2 ∈ B d o s m í n i m o s y M 1, M 2 ∈ Bd o s m á x i m o s d e B. C o m p r o b a r q u e m1 = m2 y q u e M 1 = M 2.

E j e m p l o s 2 . 2 . 1 1 1 ) ∅ e s e l m í n i m o y A e l m á x i m o d e l c o n j u n t o d e l a s p a r t e s

P (A) d e l c o n j u n t o A, o r d e n a d o c o n l a i n c l u s i ó n .

2 ) −1 e s e l m í n i m o y 4 e s e l m á x i m o d e l i n t e r v a l o ( c e r r a d o ) [−1, 4] ⊆ R,d o n d e R t i e n e e l o r d e n m e n o r o i g u a l q u e .

3 ) E n e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s o r d e n a d o s p o r s e r d i v i s o r

d e , 1 e s u n m í n i m o , p e r o n o e x i s t e u n m á x i m o .

E j e r c i c i o 2 . 2 . 7 H a l l a r , s i e x i s t e n , l o s m á x i m o s y m í n i m o s d e l o s c o n j u n t o s

p a r c i a l m e n t e o r d e n a d o s A y B d e l e j e r c i c i o ( 2 . 2 . 1 ) .

2 . 3 F u n c i o n e s

U n a f u n c i ó n ( o a p l i c a c i ó n ) ,

f : A −→ B,d e u n c o n j u n t o n o v a c í o

Aa u n

c o n j u n t o n o v a c í o B

s e p u e d e d e n i r c o m o u n a r e g l a d e c o r r e s p o n d e n c i a q u e

a s i g n a a c a d a e l e m e n t o a ∈ A u n ú n i c o e l e m e n t o b = f (a) ∈ B. E s t a d e n i -

c i ó n e s m u y i n t u i t i v a , p e r o n o e x p l i c a e l t é r m i n o r e g l a d e c o r r e s p o n d e n c i a

c o n s u c i e n t e c l a r i d a d .



2 . 3 . F U N C I O N E S 3 3

L a s i g u i e n t e d e n i c i ó n e s m á s g e n e r a l e i d e n t i c a e l c o n c e p t o d e f u n c i ó n

c o n u n a c l a s e p a r t i c u l a r d e r e l a c i o n e s b i n a r i a s .

D e n i c i ó n 2 . 3 . 1 S e a n A y B d o s c o n j u n t o s n o v a c í o s . U n a f u n c i ó n ( o

a p l i c a c i ó n ) f : A −→ B e s u n a r e l a c i ó n b i n a r i a f ⊆ A × B t a l q u e

f 1) dom(f ) = A,

f 2) s i a ∈ dom(f ) e x i s t e u n ú n i c o p a r o r d e n a d o (a, f (a)) ∈ f.

E n t o n c e s u n a f u n c i ó n f : A −→ B e s u n a r e l a c i ó n e n t r e A y B t a l q u e a

c a d a e l e m e n t o d e a ∈ A c o r r e s p o n d e u n ú n i c o e l e m e n t o f (a) d e l c o d o m i n i o

B. S i (a, f (a))

∈f, s e d i r á q u e f (a) e s l a

i m a g e n d e a p o r l a f u n c i ó n f o e l

v a l o r d e f e n a.

T e s t d e l a r e c t a v e r t i c a l : U n a r e l a c i ó n R ⊆ A × B e s u n a f u n c i ó n s i y

s ó l o s i

1 ) dom(R) = A y

2 ) s u g r á c a c o r t a a c a d a r e c t a v e r t i c a l e n u n p u n t o a l o m á s .

E j e m p l o s 2 . 3 . 2 1 ) L a r e l a c i ó n b i n a r i a d e n i d a e n e l e j e m p l o ( 2 . 2 . 2 ) n o e s

u n a f u n c i ó n .

2 ) L a f u n c i ó n f : R −→ R d e n i d a p o r ∀x ∈ R, f (x) = x, e s t a l q u e

dom(f ) = Ry

Im(f ) = R.3 ) L a f u n c i ó n f : R −→ R d e n i d a p o r ∀x ∈ R, f (x) = x2, e s t a l

q u e dom(f ) = R e Im(f ) = R+ ∪ {0}(= [0, ∞)). E n e s t e c a s o , f −1([0, 2]) =[−√

2,√

2] y f −1((−2, 0]) = {0}.

4 ) L a f u n c i ó n f (x) =√

x e s t á d e n i d a s ó l o p a r a n ú m e r o s r e a l e s n o n e -

g a t i v o s , e n t o n c e s dom(f ) = Im(f ) = [0, ∞).

5 ) E l d o m i n i o d e l a f u n c i ó n f (x) = x+2x2−1

e s R\{−1, 1}.

D o s f u n c i o n e s f, g ⊆ A × B s o n i g u a l e s

s i y s ó l o s i :

a ) dom(f ) = dom(g)

b ) ∀x ∈ dom(f ), f (x) = g(x).

E j e m p l o 2 . 3 . 3 L a s f u n c i o n e s f (x) = x2, ∀x ∈ Ry g(x) = x2, ∀x > 0 n o

s o n i g u a l e s , y a q u e dom(f ) = dom(g).




2 . 3 . 1 F u n c i o n e s i n y e c t i v a s , s o b r e y e c t i v a s y b i y e c t i v a s

D e n i c i ó n 2 . 3 . 4 U n a f u n c i ó n f : A −→ B e s

•i n y e c t i v a : s i

∀x, y ∈ A,

x = y ⇒ f (x) = f (y) o , e q u i v a l e n t e m e n t e ,

f (x) = f (y) ⇒ x = y.

A e l e m e n t o s d i s t i n t o s x e y d e A c o r r e s p o n d e n e l e m e n t o s d i s t i n t o s f (x)y f (y) d e B.

• s o b r e y e c t i v a : s i f (A) = B o , e q u i v a l e n t e m e n t e , s i

∀b ∈ B ∃a ∈ A t a l q u e f (a) = b.

C a d a e l e m e n t o d e B e s e l i m a g e n d e a l m e n o s u n e l e m e n t o d e A.

• b i y e c t i v a : s i e s i n y e c t i v a y s o b r e y e c t i v a .

P o r t a n t o , u n a f u n c i ó n f : A −→ B e s b i y e c t i v a s i

∀b ∈ B ∃!( e x i s t e u n ú n i c o ) a ∈ A t a l q u e f (a) = b.

T e s t d e l a r e c t a h o r i z o n t a l : U n a f u n c i ó n f e s i n y e c t i v a s i y s ó l o s i

c a d a r e c t a h o r i z o n t a l c o r t a l a g r á c a d e f e n u n p u n t o a l o m á s .

E j e m p l o s 2 . 3 . 5 1 ) L a f u n c i ó n f : R −→ R d e n i d a p o r ∀x ∈ R, f (x) =x, e s b i y e c t i v a .

2 ) L a f u n c i ó n f : R −→ R d e n i d a p o r ∀x ∈ R, f (x) = x2, n o e s n i

i n y e c t i v a , n i s o b r e y e c t i v a .

3 ) L a f u n c i ó n f : [0, ∞) −→ [0, ∞) d e n i d a p o r ∀x ∈ R, f (x) =

√ x,

e s b i y e c t i v a .

4 ) L a f u n c i ó n p r o y e c c i ó n s o b r e A, p : A × B −→ A, d e n i d a p o r

p(a, b) = a, e s s o b r e y e c t i v a y n o e s i n y e c t i v a ( s a l v o q u e card(B) = 1) .

5 ) L a f u n c i ó n i d e n t i d a d e n A, IdA : A−→

A, d e n i d a p o r IdA(a) = a,e s b i y e c t i v a .

O b s e r v a c i ó n 2 S i f : A −→ B e s u n a f u n c i ó n i n y e c t i v a , e n t o n c e s l a f u n -

c i ó n f : A −→ f (A) e s b i y e c t i v a .



2 . 3 . F U N C I O N E S 3 5

2 . 3 . 2 C o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s

D e n i c i ó n 2 . 3 . 6 S e a n f : A −→ B y g : B −→ C d o s f u n c i o n e s . L a

f u n c i ó n c o m p o s i c i ó n ( o c o m p u e s t a ) d e f y g e s l a f u n c i ó n g◦f : A −→ C d e n i d a p o r

∀a ∈ A, (g ◦ f )(a) = g(f (a)). E n t o n c e s

g ◦ f = {(a, g(f (a))) : a ∈ A} ⊆ A × C.

E j e r c i c i o s 2 . 3 . 1 1 ) S e a n f, g : R −→ R l a s f u n c i o n e s f (x) =√

x2 + 1 y

g(x) = x + 1. V e r i c a r q u e g ◦ f = f ◦ g. ( E n t o n c e s l a c o m p o s i c i ó n d e

f u n c i o n e s n o e s c o n m u t a t i v a . )

2 ) D e m o s t r a r q u e s i f : A −→ B e s u n a f u n c i ó n , e n t o n c e s f = IdB ◦ f =f ◦ IdA.

3 ) D e s c o m p o n e r l a f u n c i ó n

f (x) =

3 + (1

2+sen(x))2

e n u n a c o m p o s i c i ó n

d e f u n c i o n e s m á s s i m p l e s .

P r o p o s i c i ó n 2 . 3 . 7 S e a n f : A −→ B y g : B −→ C d o s f u n c i o n e s .

E n t o n c e s ,

1 ) S i f y g s o n i n y e c t i v a s , g ◦ f e s i n y e c t i v a .

2 ) S i f y g s o n s o b r e y e c t i v a s , g ◦ f e s s o b r e y e c t i v a .

3 ) S i f y g s o n b i y e c t i v a s , g ◦ f e s b i y e c t i v a .

D e m o s t r a c i ó n 1 ) S e a n a1, a2 ∈ A t a l e s q u e g(f (a1)) = g(f (a2)). T e n e m o s

q u e d e m o s t r a r q u e a1 = a2.Y a q u e g y f s o n i n y e c t i v a s , g(f (a1)) = g(f (a2)) ⇒ f (a1) = f (a2) ⇒ a1 = a2.

2 ) S e a c ∈ C. E s t a v e z t e n e m o s q u e v e r i c a r l a e x i s t e n c i a d e u n a ∈ At a l q u e g(f (a)) = c.Y a q u e g y f s o n s o b r e y e c t i v a s ,

∃b ∈ B t a l q u e g(b) = c y ∃a ∈ A t a l q u e

f (a) = b. E n t o n c e s ∃a ∈ A t a l q u e g(f (a)) = g(b) = c.

3 ) S e s i g u e d e 1 ) y 2 ) . 2

2 . 3 . 3 F u n c i ó n i n v e r s a

D e n i c i ó n 2 . 3 . 8 D a d a u n a f u n c i ó n b i y e c t i v a f : A−→

B, l a r e l a c i ó n b i -

n a r i a

f −1 = {(b, a) : (a, b) ∈ f } ⊆ B × A

e s u n a f u n c i ó n y a q u e ( s i e n d o f b i y e c t i v a ) , p a r a t o d o b ∈ B, e x i s t e u n ú n i c o

a ∈ A t a l q u e b = f (a). L a f u n c i ó n f −1s e d e n o m i n a f u n c i ó n i n v e r s a d e f .




S e s i g u e q u e dom(f −1) = Im(f ) y Im(f −1) = dom(f ).N o t a :

e l s í m b o l o

f −1

s i g n i c a l a i n v e r s a d e

f,n o

1

f .E j e m p l o s 2 . 3 . 9 1 ) L a f u n c i ó n i n v e r s a d e l a f u n c i ó n i d e n t i d a d e n A, IdA,e s l a m i s m a f u n c i ó n IdA.

2 ) S e a f : [0, ∞) −→ [0, ∞) l a f u n c i ó n f (x) =√

x. N o e s d i f í c i l v e r i c a r

q u e f e s b i y e c t i v a y q u e f −1 : [0, ∞) −→ [0, ∞) e s l a f u n c i ó n f (x) = x2.3 ) P a r a d e t e r m i n a r l a f u n c i ó n i n v e r s a d e l a r e c t a f (x) = 3x − 1, ∀x ∈ R,

s e p u e d e u s a r e l s i g u i e n t e p r o c e d i m i e n t o :

a ) e s c r i b i m o s y = f (x) = 3x − 1,b ) d e s p e j a m o s r e s p e c t o d e l a v a r i a b l e x : x = y+1

3

c ) i n t e r c a m b i a m o s l a s v a r i a b l e s x e y : y = x+13

d ) p o n e m o s f −1(x) = x+1

3

.

G r á c a d e f −1 :

s i e x i s t e f −1,

s u g r á c a s e o b t i e n e t o m a n d o l a s i m é t r i c a

d e l a g r á c a d e f r e s p e c t o d e l a d i a g o n a l d e l p r i m e r y t e r c e r c u a d r a n t e c o n

dom(f −1) = Im(f )y

Im(f −1) = dom(f ).L a g u r a 2 . 3 c o n t i e n e l a s g r á c a s

d e l a s f u n c i o n e s x2y ex

c o n s u s i n v e r s a s :

√ x y ln(x).

0

1

2

3

4

0.5 1 1 .5 2x

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–3 –2 –1 1 2 3x

F i g u r a 2 . 3 : G r á c a s d e x2, exy s u s i n v e r s a s

P r o p o s i c i ó n 2 . 3 . 1 0 S e a n f : A −→ B y g : B −→ C d o s f u n c i o n e s

b i y e c t i v a s . E n t o n c e s ,

1 ) f −1 ◦ f = IdA

2 ) f ◦ f −1 = IdB

3 ) (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1 : C −→ A

E j e r c i c i o 2 . 3 . 1 D e m o s t r a r l a p r o p o s i c i ó n ( 2 . 3 . 1 0 ) .

E j e r c i c i o 2 . 3 . 2 S e a f : [0, 1] −→ [0, 4] l a f u n c i ó n d e n i d a a t r o z o s p o r

f (x) =

2x s i 0 ≤ x ≤ 1

2

4x2s i

12

< x ≤ 1 .S i f e s b i y e c t i v a , h a l l a r s u i n v e r s a .



C a p í t u l o 3

N ú m e r o s r e a l e s

E n e s t e c a p í t u l o s e p r e s e n t a u n a d e s c r i p c i ó n d e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s

r e a l e s , R, a p a r t i r d e s u s a x i o m a s a l g e b r a i c o s , d e o r d e n t o t a l y d e l a p r o p i e d a d

d e l s u p r e m o ( o c o m p l e t i t u d ) . L o s n ú m e r o s r e a l e s t a m b i é n s e p u e d e n c o n s t r u i r

a p a r t i r d e l a s p r o p i e d a d e s d e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s N

, p e r o

e s t a c o n s t r u c c i ó n n o s e d e s a r r o l l a r á . A l n o d e s a r r o l l a r e s t a c o n s t r u c c i ó n n o

s e r á p o s i b l e d e m o s t r a r l a e x i s t e n c i a d e l o s n ú m e r o s r e a l e s n i d e s a r r o l l a r l a

t e o r í a n e c e s a r i a p a r a a s e g u r a r q u e l o s a x i o m a s q u e v a m o s a p r e s e n t a r l o s

d e n e n ú n i c a m e n t e .

L o s n ú m e r o s r e a l e s s e p e n s a r á n a s o c i a d o s a u n a r e c t a , l a r e c t a r e a l

,

p o r m e d i o d e u n a c o r r e s p o n d e n c i a b i y e c t i v a : c a d a p u n t o d e l a r e c t a q u e d a

a s o c i a d o a u n ú n i c o n ú m e r o r e a l y v i c e v e r s a .

L o s c o n j u n t o s d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s , e n t e r o s y r a c i o n a l e s s e e s t u d i a r á n

c o m o s u b c o n j u n t o s d e R. E n t o n c e s e l l o s t a m b i é n c o r r e s p o n d e n u n í v o c a m e n t e

a p u n t o s d e l a r e c t a r e a l . L a e x i s t e n c i a d e

√ 2

( l a l o n g i t u d d e l a d i a g o n a l d e l

c u a d r a d o u n i t a r i o ) e n R

y n o e n Q

p r o b a r á q u e e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s

i r r a c i o n a l e s , R\Q, n o e s v a c í o .

A u n q u e Q

e s u n s u b c o n j u n t o p r o p i o d e R, v e r e m o s q u e e s p o s i b l e a p r o x i -

m a r t o d o n ú m e r o r e a l , c o n l a p r e c i s i ó n q u e s e d e s e e , p o r m e d i o d e n ú m e r o s

r a c i o n a l e s , e s d e c i r , t a n c e r c a c o m o q u e r a m o s d e c u a l q u i e r n ú m e r o r e a l h a y

n ú m e r o s r a c i o n a l e s . E s t e a s p e c t o e s p a r t i c u l a r m e n t e i m p o r t a n t e y a q u e o b -

s e r v a r e m o s q u e e l c o n j u n t o d e l o s r e a l e s e s n o n u m e r a b l e ( e q u i v a l e n t e m e n t e ,

s e d i c e q u e t i e n e l a p o t e n c i a d e l c o n t i n u o ) y , p o r t a n t o , e s " m u c h o m á s g r a n -

d e " q u e e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s , q u e e s u n c o n j u n t o n u m e r a b l e .

F i n a l m e n t e , l a r e p r e s e n t a c i ó n d e c i m a l d e l o s n ú m e r o s r e a l e s n o s h a r á

e n t e n d e r c o m o l a t e o r í a q u e v a m o s a i l u s t r a r e s l a b a s e d e t o d a s l a s a p r o -

3 7



3 8 C A P Í T U L O 3 . N Ú M E R O S R E A L E S

x i m a c i o n e s n u m é r i c a s q u e s e e m p l e a n c a d a v e z q u e s e r e s u e l v e u n p r o b l e m a

c o n c r e t o p o r m e d i o d e u n o r d e n a d o r . E s t á c l a r o q u e e s c r i b i r

√ 2 = 1.41421

n o e s c o r r e c t o : e l n ú m e r o q u e e s t á a l a i z q u i e r d a e s i r r a c i o n a l m i e n t r a s q u e

e l q u e e s t á a l a d e r e c h a e s r a c i o n a l . E l r a c i o n a l 1.41421 e s s i m p l e m e n t e

u n a a p r o x i m a c i ó n d e l v a l o r r e a l d e

√ 2 y , a j u s t a d o s a l a s c a p a c i d a d e s d e

n u e s t r o o r d e n a d o r , l a t e o r í a d e l o s n ú m e r o s r e a l e s n o s d i c e q u e e s t a a p r o -

x i m a c i ó n s e p u e d e m e j o r a r a r b i t r a r i a m e n t e . L o s m é t o d o s a n a l í t i c o s q u e s e

p u e d e n e m p l e a r p a r a r e a l i z a r e s t a m e j o r í a s e d e s a r r o l l a r á n e n l o s s i g u i e n t e s

c a p í t u l o s .

E l c a p í t u l o s e c i e r r a c o n u n a s e r i e d e r e e x i o n e s s o b r e e l e r r o r q u e s e i n t r o -

d u c e a l u t i l i z a r m é t o d o s n u m é r i c o s e n l a s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s m a t e m á t i c o s

( v e r t a m b i é n l a p r i m e r a p r á c t i c a c o n M a p l e V d e e s t a a s i g n a t u r a ) .



3 . 1 . E S T R U C T U R A A L G E B R A I C A D E R

3 9

3 . 1 E s t r u c t u r a a l g e b r a i c a d e R

S e a n + : R × R −→ Ry · : R × R −→ R

l a s o p e r a c i o n e s b i n a r i a s u s u a l e s

d e a d i c i ó n

y d e m u l t i p l i c a c i ó n

d e n i d a s s o b r e R.

E l c o n j u n t o R

c o n l a s o p e r a c i o n e s d e s u m a + y p r o d u c t o ·

t i e n e e s t r u c t u r a

d e c u e r p o ( (R, +, ·) e s u n c u e r p o ) d e n i d a p o r l o s s i g u i e n t e s a x i o m a s :

A1) ( P r o p i e d a d c o n m u t a t i v a d e l a a d i c i ó n )

∀a, b ∈ R a + b = b + a

A2) ( P r o p i e d a d a s o c i a t i v a d e l a a d i c i ó n )

∀a,b,c

∈R (a + b) + c = a + (b + c)

A3) ( E x i s t e n c i a d e l e l e m e n t o n e u t r o d e l a a d i c i ó n )

∃0 ∈ Rt a l q u e

∀a ∈ R a + 0 = 0 + a = a

A4) ( E x i s t e n c i a d e l o p u e s t o )

∀a ∈ R ∃(−a) ∈ Rt a l q u e a + (−a) = (−a) + a = 0

M1) ( P r o p i e d a d c o n m u t a t i v a d e l a m u l t i p l i c a c i ó n )

∀a, b ∈ R a b = b a

M2) ( P r o p i e d a d a s o c i a t i v a d e l a m u l t i p l i c a c i ó n )

∀a,b,c

∈R (a b) c = a (b c)

M3) ( E x i s t e n c i a d e l e l e m e n t o n e u t r o d e l a m u l t i p l i c a c i ó n )

∃1 ∈ R (1 = 0)t a l q u e

∀a ∈ R a 1 = 1 a = a

M4) ( E x i s t e n c i a d e l i n v e r s o )

∀a ∈ R\{0} ∃1/a ∈ Rt a l q u e

a (1/a) = (1/a) a = 1

D)( P r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a d e l a m u l t i p l i c a c i ó n r e s p e c t o d e l a a d i c i ó n )

∀a,b,c ∈ R a (b + c) = a b + a c y (b + c) a = b a + c a

O b s e r v a c i ó n 3 (Q, +,

·) e s t a m b i é n u n c u e r p o .

P r o p i e d a d e s :

• ( R e g l a s d e c a n c e l a c i ó n e n R)

1 ) S i a,b,c ∈ Rs o n t a l e s q u e a + b = a + c, e n t o n c e s b = c.




2 ) S i a,b,c ∈ Ry a = 0 s o n t a l e s q u e a b = a c, e n t o n c e s b = c.

E n p a r t i c u l a r , l a s r e g l a s d e c a n c e l a c i ó n i m p l i c a n l a u n i c i d a d d e l o s

e l e m e n t o s n e u t r o s 0 y 1 .

• ( U n i c i d a d d e l o p u e s t o y d e l i n v e r s o e n R )

1 ) S i a, b ∈ Rs o n t a l e s q u e a + b = 0, e n t o n c e s b = −a.

2 ) S i a, b ∈ Ry a = 0 s o n t a l e s q u e a b = 1, e n t o n c e s b = 1/a.

•( U n i c i d a d d e l a s o l u c i ó n d e u n a e c u a c i ó n l i n e a l e n

R)

S e a n a, b ∈ R.

1 ) L a e c u a c i ó n a + x = b

t i e n e u n a ú n i c a s o l u c i ó n e n R, x = b

−a.

2 ) S i a = 0, l a e c u a c i ó n a x = b t i e n e u n a ú n i c a s o l u c i ó n e n R, x =

(1/a) b.

O b s e r v a c i ó n 4 R e f e r i d o a l a u n i c i d a d d e l a s o l u c i ó n d e u n a e c u a c i ó n

l i n e a l e n R.

E l a p a r t a d o 1 ) e s v á l i d o t a m b i é n e n e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s ,

p e r o n o l o e s e n e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s . E l a p a r t a d o 2 )

e s v á l i d o t a m b i é n e n e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s , p e r o n o l o

e s e n e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s .

•P a r a t o d o a ∈ R,

a 0 = 0, (−1) a = −a, −(−a) = ay

(−1) (−1) = 1.

•S e a n a,b,c ∈ R.

1 ) a = 0 ⇒ 1/a = 0 y 1/(1/a) = a.

2 ) a · b = 0 ⇒ a = 0 ó b = 0.

E s t a s p r o p i e d a d e s s e p u e d e n v e r i c a r f á c i l m e n t e .

P o r e j e m p l o , l a r e g l a d e c a n c e l a c i ó n 1 ) , e s d e c i r , e l h e c h o q u e s i

a,b,c ∈R

s o n t a l e s q u e a + b = a + c e n t o n c e s b = c, s e p u e d e d e m o s t r a r c o m o s i g u e :

a + b = a + c ⇒ (−a) + (a + b) = (−a) + (a + c) ⇒(−a + a) + b = (−a + a) + c ⇒ 0 + b = 0 + c ⇒ b = c.



3 . 2 . L A S P R O P I E D A D E S D E O R D E N E N R

4 1

3 . 2 L a s p r o p i e d a d e s d e o r d e n e n R

E n e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s e x i s t e u n a n o c i ó n d e o r d e n n a t u r a l ,

é s t a e s l a r e l a c i ó n " m e n o r q u e " . E s t a r e l a c i ó n d e o r d e n s e r e p r e s e n t a e n l a

r e c t a r e a l p o r m e d i o d e l a o r i e n t a c i ó n u s u a l d e i z q u i e r d a a d e r e c h a . E x i s t e

u n a f o r m a c o n v e n i e n t e d e i n t r o d u c i r e s t a r e l a c i ó n d e o r d e n e n R

p o r m e d i o

d e u n a s p r o p i e d a d e s f u n d a m e n t a l e s d e l o s n ú m e r o s p o s i t i v o s , e s d e c i r d e l o s

n ú m e r o s q u e e s t á n a l a d e r e c h a d e 0.

A x i o m a d e o r d e n : e x i s t e u n s u b c o n j u n t o

R+n o v a c í o d e

R, e l c o n j u n t o

d e l o s r e a l e s p o s i t i v o s , t a l q u e

O1) ∀a, b ∈ R+ a + b ∈ R+

O2)

∀a, b

∈R+ ab

∈R+

O3) ( P r o p i e d a d d e t r i c o t o m í a

) S i a ∈ R s e c u m p l e e x a c t a m e n t e u n a d e l a s

s i g u i e n t e s : a ∈ R+, a = 0, −a ∈ R+.

N o t a c i ó n :

S i a ∈ R+, e n t o n c e s a e s p o s i t i v o ( e s t r i c t a m e n t e ) y s e e s c r i b e a > 0

S i a ∈ R+ ∪ {0}, e n t o n c e s a e s n o n e g a t i v o y s e e s c r i b e a ≥ 0S i

−a ∈ R+, e n t o n c e s a e s n e g a t i v o y s e e s c r i b e a < 0S i

−a ∈ R+ ∪ {0}, e n t o n c e s a e s n o p o s i t i v o y s e e s c r i b e a ≤ 0

R e l a c i o n e s d e o r d e n :

L a r e l a c i ó n e n R

m e n o r q u e " e s t á d e n i d a p o r

∀a, b ∈ R a < b ⇔ b − a ∈ R+

.L a r e l a c i ó n e n

R m e n o r o i g u a l q u e " e s t á d e n i d a p o r

∀a, b ∈ R a ≤ b ⇔ b − a ∈ R+ ∪ {0}.

E j e r c i c i o 3 . 2 . 1 V e r i c a r q u e l a r e l a c i ó n ≤ e s u n a r e l a c i ó n d e o r d e n y q u e

l a r e l a c i ó n < e s u n a r e l a c i ó n d e o r d e n e s t r i c t o t o t a l .

3 . 2 . 1 I n t e r v a l o s

A h o r a q u e t e n e m o s u n o r d e n e n R, p o d e m o s d e n i r y j a r l a n o t a c i ó n p a r a

l o s i n t e r v a l o s d e l a r e c t a r e a l .

S e a n

ay

bd o s n ú m e r o s r e a l e s t a l e s q u e

a ≤ b.I n t e r v a l o s a c o t a d o s

I n t e r v a l o s a b i e r t o s :

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}E n t o n c e s (a, a) = ∅.




I n t e r v a l o s c e r r a d o s :

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}E n t o n c e s [a, a] = {a}

y I = [0, 1] e s e l i n t e r v a l o u n i t a r i o .

I n t e r v a l o s s e m i a b i e r t o s ( o s e m i c e r r a d o s ) :

[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}L a

l o n g i t u d d e u n i n t e r v a l o a c o t a d o n o v a c í o e s i g u a l a

b − a.

I n t e r v a l o s n o a c o t a d o s

I n t e r v a l o s a b i e r t o s i n n i t o s :

(a, ∞) := {x ∈ R : a < x}(

−∞, a) :=

{x

∈R : x < a

}I n t e r v a l o s c e r r a d o s i n n i t o s :

[a, ∞) := {x ∈ R : a ≤ x}(−∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a}R = (−∞, ∞).

3 . 2 . 2 D e s i g u a l d a d e s

L a s p r o p i e d a d e s d e o r d e n d e R

n o s p e r m i t e n r e s o l v e r p r o b l e m a s c o m o e l

s i g u i e n t e :

E j e m p l o 3 . 2 . 1 L a r e l a c i ó n e n t r e l a s e s c a l a s C e l s i u s y F a h r e n h e i t e s t á d a d a

p o r C = 59 (F − 32), d o n d e C e s l a t e m p e r a t u r a e n g r a d o s C e l s i u s y F l a e n

g r a d o s F a h r e n h e i t . ¾ Q u e i n t e r v a l o d e v a l o r e s e n l a e s c a l a C e l s i u s c o r r e s p o n d e

a l i n t e r v a l o d e t e m p e r a t u r a 50 ≤ F ≤ 95 ?

P a r a h a l l a r e l i n t e r v a l o d e t e m p e r a t u r a s e n g r a d o s C e l s i u s p o d e m o s s i m -

p l i c a r l a f ó r m u l a C = 59

(F −32) d e l p r o b l e m a a n t e r i o r y d e s p e j a r l a v a r i a b l e

F e n t é r m i n o s d e l a v a r i a b l e C : F = 95 C + 32. E n t o n c e s

50 ≤ 95 C + 32 ≤ 95.

A h o r a t e n e m o s q u e c o n o c e r q u é o p e r a c i o n e s a l g e b r a i c a s s e p u e d e n u t i l i z a r

p a r a s i m p l i c a r u n a d e s i g u a l d a d p r e s e r v a n d o l a i n f o r m a c i ó n o r i g i n a l s o b r e e l

o r d e n d e l a s v a r i a b l e s e m p l e a d a s .

R e g l a s d e l a s d e s i g u a l d a d e s S e a n

a,b,c,d ∈ R.1 ) a ∈ R\{0} ⇒ a2 > 02 ) N ⊆ R+

3 ) a > b ⇒ a + c > b + c4 ) a > b y c > d ⇒ a + c > b + d



3 . 2 . L A S P R O P I E D A D E S D E O R D E N E N R

4 3

5 ) i ) a > b y c > 0 ⇒ ac > bci i )

a > by

c < 0 ⇒ ac < bc6 ) i ) a > 0 ⇒ 1

a > 0i i ) a < 0 ⇒ 1

a< 0

7 ) S i a ∈ R+ ∪ {0}e s t a l q u e

∀b > 0, a ≤ b, e n t o n c e s a = 0. ( E s t a

p r o p i e d a d s e p u e d e v e r i c a r p o r c o n t r a p o s i t i v o : s i a > 0, e l n ú m e r o p o s i t i v o

a2 e s t a l q u e 0 < a

2 < a. )

8 ) i ) s i ab > 0 e n t o n c e s a y b t i e n e n e l m i s m o s i g n o .

i i ) s i ab < 0 e n t o n c e s a y b t i e n e n s i g n o o p u e s t o .

O b s e r v a c i ó n 5 L a p r o p i e d a d 7 ) i m p l i c a q u e e l c o n j u n t o R+n o t i e n e m í n i -

m o .

P a r a h a l l a r e l i n t e r v a l o d e l e j e m p l o ( 3 . 2 . 1 ) s e p u e d e p r o c e d e r c o m o s i g u e :

C = 59

(F − 32) ⇒ F = 95

C + 3250 ≤ F ≤ 95 ⇒ 50 ≤ 9

5 C + 32 ≤ 95 ⇒ 18 ≤ 95 C ≤ 63 ⇒ 10 ≤ C ≤ 35.

E l i n t e r v a l o b u s c a d o e s [10, 35].

E j e r c i c i o 3 . 2 . 2 V e r i c a r q u e a < b ⇒ a < a+b2

< b.

E j e m p l o 3 . 2 . 2 D e t e r m i n a r e l c o n j u n t o A = {x ∈ R : 3x2 − 6x > −3}.

3x2

−6x >

−3

⇔3x2

−6x + 3 > 0

⇔3(x2

−2x + 1) > 0

⇔ x2 − 2x + 1 > 0 ⇔ (x − 1)2 > 0 ⇔ x = 1.

E n t o n c e s A = R\{1}.

E j e r c i c i o 3 . 2 . 3 D e t e r m i n a r e l c o n j u n t o B = {x ∈ R\{−1} : 3x−1x+1

≤ 2}.

A l g u n a s d e s i g u a l d a d e s i m p o r t a n t e s :

1 ) L a d e s i g u a l d a d d e B e r n o u l l i :S e a n x > −1 y n ∈ N, e n t o n c e s (1 + x)n ≥ 1 + nx.L a d e s i g u a l d a d d e B e r n o u l l i s e p u e d e d e m o s t r a r p o r i n d u c c i ó n :

s i n = 1, x + 1≥

x + 1,s i n ∈ N

y (1 + x)n ≥ 1 + nx, e n t o n c e s

(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n ≥ (1 + x)(1 + nx) == 1 + nx + x + nx2 = 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x.

2 ) L a d e s i g u a l d a d d e C a u c h y :




S e a n a, b ∈ R, e n t o n c e s ab ≤ a2+b2

2 .P a r a v e r i c a r l a d e s i g u a l d a d d e C a u c h y u t i l i z a m o s q u e e l c u a d r a d o d e

t o d o n ú m e r o r e a l e s s i e m p r e n o n e g a t i v o . E n p a r t i c u l a r ,

0 ≤ (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab ⇒ 2ab ≤ a2 + b2 ⇒ ab ≤ a2+b2

2.

3 ) L a d e s i g u a l d a d d e l a m e d i a a r i t m é t i c a - g e o m é t r i c a :

S e a n a, b ∈ R+, e n t o n c e s

√ ab ≤ a+b

2 .√ ab e s l a m e d i a g e o m é t r i c a y

a+b2 e s l a m e d i a a r i t m é t i c a d e a y b.

E j e r c i c i o 3 . 2 . 4 V e r i c a r q u e l a d e s i g u a l d a d d e C a u c h y i m p l i c a l a d e s i g u a l -

d a d d e l a m e d i a a r i t m é t i c a - g e o m é t r i c a .

3 . 3 V a l o r a b s o l u t o

L a f u n c i ó n v a l o r a b s o l u t o e s m u y ú t i l s i q u e r e m o s e s t i m a r l o s v a l o r e s p o s i -

b l e s d e f u n c i o n e s r e a l e s y s u d e n i c i ó n e s t á í n t i m a m e n t e r e l a c i o n a d a c o n l a

d e n i c i ó n d e d i s t a n c i a e n t r e d o s n ú m e r o s r e a l e s .

D e n i c i ó n 3 . 3 . 1 S i a ∈ R, e l v a l o r a b s o l u t o d e a s e d e n e s e g ú n l a r e g l a :

|a| =

a s i a ≥ 0

−a s i a < 0.

S e s i g u e d i r e c t a m e n t e d e l a d e n i c i ó n q u e , p a r a t o d o a e n R :

|a| ≥ 0, |a| = 0 ⇔ a = 0, |a| = | − a|, a ≤ |a|.E j e r c i c i o 3 . 3 . 1 H a l l a r l a s s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n

|x − 2| = |2x − 1|.P r o p i e d a d e s d e l v a l o r a b s o l u t o : P a r a t o d o s a, b ∈ R,1 )

|ab| = |a| |b|,2 ) s i c ≥ 0, e n t o n c e s

|a| ≤ c ⇔ −c ≤ a ≤ cc ≤ |a| ⇔ c ≤ a ó a ≤ −c,3 )

D e s i g u a l d a d t r i a n g u l a r : |a + b| ≤ |a| + |b|,4 )

||a

| − |b

| | ≤ |a

−b

|.

D i s t a n c i a e n R

S i a e s u n n ú m e r o r e a l , s u v a l o r a b s o l u t o r e p r e s e n t a s u d i s t a n c i a d e l c e r o .

E s t a o b s e r v a c i ó n f u n d a m e n t a l a s s i g u i e n t e s d e n i c i o n e s d e d i s t a n c i a y d e

e n t o r n o a b i e r t o e n R.



3 . 4 . C O M P L E T I T U D D E R

4 5

D e n i c i ó n 3 . 3 . 2 1 ) S e a n a y b d o s n ú m e r o s r e a l e s . L a d i s t a n c i a e n t r e ay

be s e l n ú m e r o

|a − b|.2 ) S e a n a, r ∈ R c o n r > 0. E l e n t o r n o a b i e r t o d e c e n t r o a y r a d i o

r e s e l c o n j u n t o I (a, r) = {x ∈ R : |x − a| < r}.

E j e r c i c i o s 3 . 3 . 1 1 ) L a p r o d u c c i ó n d i a r i a e s t i m a d a , p, e n u n a r e n e r í a e s

| p − 2.250.000| < 125.000, d o n d e p s e m i d e e n b a r r i l e s d e p e t r ó l e o . D e t e r m i -

n a r l o s n i v e l e s d e p r o d u c c i ó n m á s a l t o y m á s b a j o .

2 ) D e t e r m i n a r e l c o n j u n t o B = {x ∈ R : |x − 1| < |x|}.3 ) S e a f : [2, 3] → R l a f u n c i ó n d e n i d a p o r f (x) = 2x2−3x+1

2x−1. E n c o n t r a r

u n a c o n s t a n t e M t a l q u e |f (x)| ≤ M p a r a t o d o x ∈ [2, 3].4 ) S e a a ∈ R. V e r i c a r q u e s i x e s u n n ú m e r o r e a l t a l q u e

∀r > 0, x ∈I (a, r),

e n t o n c e s

x = a.( U t i l i z a r l a r e g l a 7 ) d e l a s d e s i g u a l d a d e s . )

3 . 4 C o m p l e t i t u d d e R

A n t e s d e e n u n c i a r e l ú l t i m o a x i o m a q u e s e n e c e s i t a p a r a c a r a c t e r i z a r c o m -

p l e t a m e n t e e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s , l a p r o p i e d a d d e c o m p l e t i t u d ,

t e n e m o s q u e d e n i r l o s c o n c e p t o s d e e x t r e m o i n f e r i o r y s u p e r i o r d e u n s u b -

c o n j u n t o d e R. L a c o m p l e t i t u d d e

Rn o s p e r m i t i r á , e n e l c a p í t u l o 5 , e s t a b l e c e r

i m p o r t a n t e s c r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a p a r a s u c e s i o n e s r e a l e s . E n e s e m i s m o

c a p í t u l o v e r e m o s t a m b i é n q u e e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s n o e s

c o m p l e t o y , p o r t a n t o , e x i s t e n s u c e s i o n e s d e n ú m e r o s r a c i o n a l e s q u e t i e n e n

c o m o l í m i t e u n n ú m e r o i r r a c i o n a l .

3 . 4 . 1 S u p r e m o s e í n m o s

D a d o u n s u b c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s , e s a m e n u d o i m p o r t a n t e p o d e r

h a l l a r s u s p u n t o s e x t r e m o s , e s d e c i r l o s n ú m e r o s " m á s g r a n d e s y m á s p e -

q u e ñ o s " q u e e l c o n j u n t o p u e d e c o n t e n e r . V e r e m o s q u e e n l a s a p l i c a c i o n e s e s

d e p a r t i c u l a r i n t e r é s h a l l a r l o s v a l o r e s e x t r e m o s d e f u n c i o n e s r e a l e s y q u e l a

t e o r í a d e l a d e r i v a c i ó n n o s d a r á a l g u n a s t é c n i c a s b á s i c a s p a r a e n c o n t r a r l o s .

E s e v i d e n t e q u e s i e s t a m o s e s t u d i a n d o u n i n t e r v a l o a c o t a d o y c e r r a d o

[a, b], e n t o n c e s a e s e l v a l o r m í n i m o y b e s e l v a l o r m á x i m o d e e s t e c o n j u n t o .

P e r o s i n u e s t r o c o n j u n t o e s , p o r e j e m p l o , e l i n t e r v a l o (0, 5] o e l i n t e r v a l o

[−15, ∞), t e n e m o s q u e e x t e n d e r l a s i d e a s i n t u i t i v a s d e m á x i m o y m í n i m o .

D e n i c i ó n 3 . 4 . 1 S e a A u n s u b c o n j u n t o d e R.




S e d i c e q u e s ∈ R e s u n a c o t a s u p e r i o r d e A ( o q u e A e s t á a c o t a d o

s u p e r i o r m e n t e ) s i

∀x ∈ A, x ≤ s.D e f o r m a s i m i l a r , s e d i c e q u e i ∈ R e s u n a c o t a i n f e r i o r d e A ( o q u e A

e s t á a c o t a d o i n f e r i o r m e n t e ) s i ∀x ∈ A, i ≤ x.

S i A t i e n e u n a c o t a s u p e r i o r y u n a c o t a i n f e r i o r , s e d i c e q u e a e s t á a c o -

t a d o .

E j e m p l o s 3 . 4 . 2 1 ) E l i n t e r v a l o (−200, 40) e s t á a c o t a d o . E l i n t e r v a l o (50, ∞)n o e s t á a c o t a d o s u p e r i o r m e n t e . E l c o n j u n t o (−∞, 27) ∪ {300} e s t á a c o t a d o

s u p e r i o r m e n t e p o r 300.2 ) E l c o n j u n t o N = { 1

n , n ∈ N} e s t á a c o t a d o s u p e r i o r m e n t e p o r 1, 50, 2345, · · ·e i n f e r i o r m e n t e p o r 0, −3, −65, · · · .

U n c o n j u n t o p u e d e t e n e r i n n i t a s c o t a s s u p e r i o r e s o i n f e r i o r e s . E s n a t u r a l

p r e g u n t a r s e s i , p o r e j e m p l o e n e l c a s o d e l c o n j u n t o N = { 1n

, n ∈ N}, e x i s t e n

c o t a s s u p e r i o r e s o i n f e r i o r e s q u e s e p u e d a n d i s t i n g u i r e n t r e t o d a s l a s d e m á s .

L a i n t u i c i ó n n o s d i c e q u e 1 ( s i e n d o u n m á x i m o ) e s u n a c o t a s u p e r i o r d e N " m e j o r q u e " 2345 y q u e 0 e s u n a c o t a i n f e r i o r " m e j o r q u e "

−65. 1 e s l a c o t a

s u p e r i o r m á s p e q u e ñ a y 0 e s l a c o t a i n f e r i o r m á s g r a n d e .

D e n i c i ó n 3 . 4 . 3 S e a A u n s u b c o n j u n t o d e R.U n n ú m e r o r e a l S e s u n s u p r e m o d e A, S = sup(A) s i

1 ) ∀x ∈ A, x ≤ S ( S e s u n a c o t a s u p e r i o r ) y

2 ) s i o t r o n ú m e r o r e a l u e s t a l q u e u < S, e n t o n c e s e x i s t e u n e l e m e n t o

a d e l c o n j u n t o A t a l q u e u < a ≤ S. ( S e s l a c o t a s u p e r i o r m í n i m a . )

U n n ú m e r o r e a l I e s u n í n m o d e A, I = inf (A), s i

1 ) ∀x ∈ A, I ≤ x ( I e s u n a c o t a i n f e r i o r ) y

2 ) s i o t r o n ú m e r o r e a l w e s t a l q u e I < w, e n t o n c e s e x i s t e u n e l e m e n t o

a d e l c o n j u n t o A t a l q u e I ≤ a < w. ( I e s l a c o t a s u p e r i o r m á x i m a . )

E j e m p l o s 3 . 4 . 4 1 ) −200 y 40 s o n e l i n f y e l s u p d e l i n t e r v a l o (−200, 40).50 e s e l i n f d e l i n t e r v a l o (50, ∞) y e l s u p d e e s t e i n t e r v a l o n o e x i s t e . 300 e s

e l s u p ( e l m á x i m o ) d e l c o n j u n t o (−∞, 27) ∪ {300} y e l i n f d e e s t e c o n j u n t o

n o e x i s t e .

2 ) 1 e s e l s u p y 0 e s e l i n f d e l c o n j u n t o N =

{1n

, n

∈N

}.

P r o p o s i c i ó n 3 . 4 . 5 ( U n i c i d a d d e l s u p r e m o y d e l í n m o )

S e a A ⊆ R, e n t o n c e s

1 ) s i S 1 y S 2 s o n d o s s u p r e m o s d e A, s e s i g u e q u e S 1 = S 2,2 ) s i I 1 y I 2 s o n d o s í n m o s d e A, s e s i g u e q u e I 1 = I 2.




4 7

D e m o s t r a c i ó n V a m o s a d e m o s t r a r s ó l o l a p a r t e 1 ) d e l a p r o p o s i c i ó n . L a

d e m o s t r a c i ó n d e l a p a r t e 2 ) e s s i m i l a r .

L a d e m o s t r a c i ó n s e p u e d e h a c e r p o r c o n t r a p o s i t i v o : s e s u p o n e q u e S 1 =S 2 y s e l l e g a a l a n e g a c i ó n d e l a h i p ó t e s i s d e q u e S 1 y S 2 s o n s u p r e m o s .

S i S 1 = S 2,

e n t o n c e s t e n e m o s d o s c a s o s : S 1 < S 2 o

S 1 > S 2.

S i S 1 < S 2, p o r s e r S 2 u n s u p r e m o e x i s t e a ∈ A t a l q u e S 1 < a ≤ S 2. D e

l a d e s i g u a l d a d S 1 < a s e d e d u c e q u e S 1 n o p u e d e s e r u n s u p r e m o d e A, y a

q u e n o e s u n a c o t a s u p e r i o r .

A n á l o g a m e n t e , s i S 2 < S 1, p o r s e r S 1 u n s u p r e m o , e x i s t e a ∈ A t a l q u e

S 2 < a ≤ S 1 y S 2 n o e s u n a c o t a s u p e r i o r . 2

3 . 4 . 2 L a p r o p i e d a d d e l s u p r e m o d e R

E l ú l t i m o a x i o m a q u e f a l t a p a r a c a r a c t e r i z a r e l s i s t e m a d e l o s n ú m e r o s r e a l e s

e s e l a x i o m a d e c o m p l e t i t u d o p r o p i e d a d d e l s u p r e m o .

P a r a e l c o n j u n t o N ∪ {0}

d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s n o n e g a t i v o s v a l e e l

s i g u i e n t e a x i o m a d e l a b u e n a o r d e n a c i ó n .

A x i o m a d e l a b u e n a o r d e n a c i ó n d e N∪{0}: t o d o c o n j u n t o n o v a c í o d e

n ú m e r o s e n t e r o s n o n e g a t i v o s t i e n e u n p r i m e r e l e m e n t o ( e s d e c i r , u n e l e m e n t o

m í n i m o ) .

E l a x i o m a d e l a b u e n a o r d e n a c i ó n n o s g a r a n t i z a l a e x i s t e n c i a d e u n e l e -

m e n t o m í n i m o

d e t o d o s u b c o n j u n t o d e N ∪ {0}.

E s n a t u r a l p r e g u n t a r s e s i

e s t a p r o p i e d a d v a l e t a m b i é n p a r a s u b c o n j u n t o s d e l o s n ú m e r o s r e a l e s . P o r

e j e m p l o , ¾ p o d e m o s a r m a r q u e e l i n t e r v a l o (0, 300) ⊂ R

t i e n e u n e l e m e n t o

m í n i m o ? . P o r c u a n t o v i s t o e n l a s e c c i o n e s a n t e r i o r e s , (0, 300) t i e n e u n í n -

m o , e l n ú m e r o 0, p e r o 0 n o e s u n e l e m e n t o d e l i n t e r v a l o a b i e r t o (0, 300), p o r

t a n t o n o e s u n m í n i m o .

L a p r o p i e d a d q u e c a r a c t e r i z a l o s s u b c o n j u n t o s a c o t a d o s d e R

e s e l c o n t e -

n i d o d e l s i g u i e n t e a x i o m a .

A x i o m a d e c o m p l e t i t u d d e R : t o d o c o n j u n t o n o v a c í o A d e

Rq u e

t e n g a c o t a s u p e r i o r ( c o t a i n f e r i o r ) , t i e n e u n s u p r e m o ( u n í n m o ) e n R.

E s t e a x i o m a t i e n e i m p o r t a n t e s c o n s e c u e n c i a s q u e i r e m o s t r a t a n d o e n l a s

s e c c i o n e s y e n l o s c a p í t u l o s q u e s i g u e n .




3 . 4 . 3 L a p r o p i e d a d d e A r q u í m e d e s

U n a p r i m e r a c o n s e c u e n c i a d e l a x i o m a d e c o m p l e t i t u d d e l o s n ú m e r o s r e a l e s

i n v o l u c r a a l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s .

T e o r e m a 3 . 4 . 6 ( L a p r o p i e d a d d e A r q u í m e d e s )

P a r a t o d o n ú m e r o r e a l x ∈ R e x i s t e u n n ú m e r o n a t u r a l n ∈ N t a l q u e x < n.

D e m o s t r a c i ó n E l t e o r e m a s e d e m o s t r a r á p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o . E n -

t o n c e s n u e s t r a h i p ó t e s i s s e r á q u e e x i s t e u n n ú m e r o r e a l x ∈ Rt a l q u e p a r a

t o d o n ú m e r o n a t u r a l n ∈ N,

s e v e r i c a q u e x ≥ n.

E s t a a r m a c i ó n i m p l i c a

q u e e l c o n j u n t o N ⊂ R

e s t á a c o t a d o s u p e r i o r m e n t e ( p o r x) y , p o r e l a x i o m a

d e c o m p l e t i t u d d e R, t i e n e u n s u p r e m o S = sup(N) e n

R. S i e n d o S −

1u n n ú m e r o r e a l e s t r i c t a m e n t e m e n o r q u e S, s e s i g u e d e l a s p r o p i e d a d e s d e

s u p r e m o d e S q u e e x i s t e u n n ú m e r o n a t u r a l m t a l q u e S − 1 < m ≤ S. L a

d e s i g u a l d a d S − 1 < m i m p l i c a q u e S < m + 1 y m + 1 e s u n n ú m e r o n a t u r a l .

E s t a e s u n a c o n t r a d i c c i ó n y a q u e S e s u n a c o t a s u p e r i o r d e N. 2

E l s i g u i e n t e c o r o l a r i o s e u t i l i z a r á e n l a d e m o s t r a c i ó n d e l a e x i s t e n c i a d e

n ú m e r o s i r r a c i o n a l e s .

C o r o l a r i o 3 . 4 . 7 S e a x > 0 u n n ú m e r o r e a l p o s i t i v o , e n t o n c e s e x i s t e u n

n ú m e r o n a t u r a l n ∈ N t a l q u e

1n < x.

D e m o s t r a c i ó n S i x e s p o s i t i v o t a m b i é n

1x e s u n n ú m e r o p o s i t i v o y , p o r l a

p r o p i e d a d d e A r q u í m e d e s , e x i s t e n ∈ N

t a l q u e

1x

< n.D e l a ú l t i m a d e s i g u a l -

d a d s e s i g u e q u e

1n < x. 2

3 . 4 . 4 L a e x i s t e n c i a d e

√ 2

E n e s t a s e c c i ó n v a m o s a v e r i c a r q u e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s f o r m a n u n s u b -

c o n j u n t o p r o p i o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s . P o r t a n t o e l c o n j u n t o R\Q

d e l o s

n ú m e r o s i r r a c i o n a l e s n o e s v a c í o . N o s h a c e f a l t a s i m p l e m e n t e e n c o n t r a r

u n n ú m e r o r e a l q u e n o e s u n r a c i o n a l .

O b s e r v a c i ó n 6 S i a y b s o n d o s n ú m e r o s r e a l e s n o n e g a t i v o s

e n t o n c e s a2 ≤b2, s i y s ó l o s i a ≤ b. E s t a p r o p i e d a d s e s i g u e d i r e c t a m e n t e d e l a i g u a l d a d

b2 − a2 = (b − a)(b + a).




4 9

T e o r e m a 3 . 4 . 8 ( L a e x i s t e n c i a d e

√ 2)

E x i s t e u n n ú m e r o r e a l p o s i t i v o

S t a l q u e

S

2

= 2.

D e m o s t r a c i ó n S e a

A = {x ∈ R+ : x2 < 2}.E l c o n j u n t o

Ac o n t i e n e e l

n ú m e r o 1, e n t o n c e s n o e s v a c í o . A d e m á s , p o r l a o b s e r v a c i ó n a n t e r i o r , A e s t á

a c o t a d o s u p e r i o r m e n t e ( p o r e j e m p l o , p o r 2 ) . P o r e l a x i o m a d e c o m p l e t i t u d

d e R, e x i s t e u n n ú m e r o r e a l q u e e s e l s u p r e m o d e A, S = sup(A) > 1.

H a y q u e v e r i c a r q u e S 2 = 2.E n l a d e m o s t r a c i ó n s e p u e d e p r o c e d e r p o r c o n t r a p o s i t i v o : s e s u p o n e q u e

S 2 = 2 y s e l l e g a a c o n t r a d e c i r q u e S e s e l s u p r e m o d e A.C a s o 1 : S 2 < 2. V a m o s a v e r i c a r q u e e n e s t e c a s o s e p u e d e e n c o n t r a r u n

n ú m e r o n a t u r a l n t a l q u e (S + 1n

) e s u n e l e m e n t o d e A m a y o r q u e e l s u p r e m o

S. ( E s t a e s u n a c o n t r a d i c c i ó n , y a q u e S t i e n e q u e s e r m a y o r o i g u a l d e t o d o

e l e m e n t o d e A.)

S i (S + 1

n)

t i e n e q u e s e r u n e l e m e n t o d e A,

e l n ú m e r o n

q u e e s t a m o s b u s c a n d o

t i e n e q u e s e r t a l q u e (S + 1n)2 < 2. S i m p l i c a n d o l a e x p r e s i ó n (S + 1

n)2 s e

o b t i e n e l a s i g u i e n t e d e s i g u a l d a d :

(S +1

n)2 = S 2 +

2S

n+

1

n2= S 2 +

1

n(2S +

1

n) < S 2 +

1

n(2S + 1).

A h o r a , s i n e s t a l q u e S 2 + 1n

(2S + 1) < 2, s e v e r i c a t a m b i é n q u e (S +1n)2 < 2. P a r a e n c o n t r a r e l v a l o r a d e c u a d o d e n d e s p e j a m o s r e s p e c t o d e

1n l a

d e s i g u a l d a d S 2 + 1n

(2S + 1) < 2. S e o b t i e n e l a n u e v a d e s i g u a l d a d

1n

< 2−S 2

2S +1.

S i e n d o

2−S 22S +1 u n n ú m e r o p o s i t i v o ( S 2 < 2 y S > 1) , p o r e l c o r o l a r i o ( 3 . 4 . 7 )

c o n x = 2−S 2

2S +1,

s e s i g u e q u e e x i s t e u n v a l o r d e n

t a l q u e

1n

< 2−S 2

2S +1.

C a s o 2 : S 2 > 2. E s t a v e z v a m o s a v e r i c a r q u e s e p u e d e e n c o n t r a r u n

n ú m e r o n a t u r a l n t a l q u e (S − 1n

) e s u n c o t a s u p e r i o r d e A m e n o r d e l s u p r e m o

S. ( E s t a e s u n a c o n t r a d i c c i ó n y a q u e S e s l a c o t a s u p e r i o r m í n i m a d e l c o n j u n t o

A.)

S i e l n ú m e r o n q u e e s t a m o s b u s c a n d o e s t a l q u e (S − 1n)2 > 2 y S − 1

n > 0,p o r l a o b s e r v a c i ó n a n t e r i o r r e s u l t a q u e p a r a t o d o x ∈ A S − 1

n> x y S − 1

n

e s u n a c o t a s u p e r i o r d e A.S i m p l i c a n d o l a e x p r e s i ó n d e (S

−1n)2 s e o b t i e n e l a s i g u i e n t e d e s i g u a l d a d :

(S − 1

n)2 = S 2 − 2S

n+

1

n2> S 2 − 2S

n.

A h o r a , s i n

e s t a l q u e S 2− 2S

n> 2,

s e v e r i c a t a m b i é n q u e (S − 1

n)2 > 2.

P a r a

e n c o n t r a r e l v a l o r a d e c u a d o d e n d e s p e j a m o s r e s p e c t o d e

1n l a d e s i g u a l d a d




S 2 − 2S n > 2. S e o b t i e n e l a n u e v a d e s i g u a l d a d

1n < S 2−2

2S . S i e n d o

S 2−22S u n

n ú m e r o p o s i t i v o (

S 2

> 2y

S > 1) , p o r e l c o r o l a r i o ( 3 . 4 . 7 ) c o n

x =S 2

−2

2S ,s e

s i g u e q u e e x i s t e u n v a l o r d e n t a l q u e

1n < S 2−2

2S . S i e s t e v a l o r d e n n o e s t a l

q u e S − 1

n> 0,

s e c o n s i d e r a u n v a l o r m ∈ N

t a l q u e S − 1

m> 0

( e s t e v a l o r

e x i s t e p o r e l c o r o l a r i o ( 3 . 4 . 7 ) ) y m > n. 2

O b s e r v a c i ó n 7 L a d e m o s t r a c i ó n a n t e r i o r s e p u e d e g e n e r a l i z a r p a r a d e m o s -

t r a r l a e x i s t e n c i a d e l a r a í z c u a d r a d a y , m á s e n g e n e r a l , d e o r d e n n ∈ N, d e

u n c u a l q u i e r n ú m e r o r e a l n o n e g a t i v o .

A h o r a q u e h e m o s e s t a b l e c i d o s u e x i s t e n c i a , p o d e m o s v e r i c a r q u e √ 2 n o e s

u n n ú m e r o r a c i o n a l . P o r e m p e z a r , h a y q u e c o n s i d e r a r l a s i g u i e n t e p r o p i e d a d

d e l o s e n t e r o s p a r e s .

L e m a 3 . 4 . 9 S i n e s u n n ú m e r o e n t e r o t a l q u e n2e s p a r , n e s p a r .

D e m o s t r a c i ó n P o d e m o s u t i l i z a r u n a d e m o s t r a c i ó n p o r c o n t r a p o s i t i v o :

n = 2k + 1, (k ∈ Z) ⇒ n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1.

E n t o n c e s

ni m p a r i m p l i c a

n

2i m p a r .

2

T e o r e m a 3 . 4 . 1 0 N o e x i s t e u n n ú m e r o r a c i o n a l r t a l q u e r2 = 2.

D e m o s t r a c i ó n H a r e m o s e s t a d e m o s t r a c i ó n p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o . E n -

t o n c e s s e a r = p

q u n n ú m e r o r a c i o n a l t a l q u e r2 = 2.

P o d e m o s s i m p l i c a r l a

f r a c c i ó n

pq d e f o r m a t a l q u e p y q n o t e n g a n f a c t o r e s c o m u n e s d i s t i n t o s d e 1

y - 1 . D e l a i g u a l d a d r2 = 2 s e s i g u e q u e p2 = 2 q 2 y q u e p2e s u n e n t e r o p a r .

P o r e l l e m a a n t e r i o r , p e s p a r . E n t o n c e s p = 2 m, c o n m ∈ Z. T a m b i é n s e

s i g u e q u e

q 2

=p2

2 =4m2

2 = 2 m2

e s p a r . H e m o s l l e g a d o a u n a c o n t r a d i c c i ó n ,

y a q u e p y q n o p u e d e n t e n e r e l f a c t o r c o m ú n 2 . 2

F i n a l m e n t e p o d e m o s a r m a r q u e e x i s t e n n ú m e r o s r e a l e s q u e n o s o n r a c i o n a -

l e s . E l c o n j u n t o ( n o v a c í o ) R\Q

e s e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s i r r a c i o n a l e s

.




5 1

3 . 4 . 5 D e n s i d a d d e Q

e n R

A c a b a m o s d e v e r i c a r q u e e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s Q e s u n

s u b c o n j u n t o p r o p i o d e R. S i n e m b a r g o , s i a e s u n n ú m e r o r e a l c u a l q u i e r a ( p o r

e j e m p l o u n i r r a c i o n a l ) y , a p a r t i r d e l p u n t o a, n o s d e s p l a z a m o s s o b r e l a r e c t a

r e a l u n a c a n t i d a d a r b i t r a r i a m e n t e p e q u e ñ a ( h a c i a l a d e r e c h a o l a i z q u i e r d a )

h a s t a l l e g a r a u n n u e v o p u n t o b , s i e m p r e p o d e m o s e n c o n t r a r u n n ú m e r o

r a c i o n a l r q u e e s t á e n t r e a y b. E s t a p r o p i e d a d d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s s e

e x p r e s a d i c i e n d o q u e Q e s d e n s o

e n R.

O b s e r v a c i ó n 8 S i x > 0 e s u n n ú m e r o r e a l p o s i t i v o e x i s t e u n n ú m e r o e n t e r o

n o n e g a t i v o , n ∈ N∪{0}, t a l q u e n ≤ x < n + 1. A l n ú m e r o n s e l e d e n o m i n a

p a r t e e n t e r a d e x y s e e s c r i b e n = [x]. ( L a d e n i c i ó n d e p a r t e e n t e r a d e u n

r e a l s e j u s t i c a u t i l i z a n d o l a p r o p i e d a d d e A r q u í m e d e s d e

N :s i

xe s p o s i t i v o ,

e l c o n j u n t o A = {m ∈ N : x < m + 1} e s u n s u b c o n j u n t o n o v a c í o d e N. P o r

e l a x i o m a d e l a b u e n a o r d e n a c i ó n d e N∪{0}, e l c o n j u n t o A t i e n e u n m í n i m o

n. E n t o n c e s n e s t a l q u e n ≤ x < n + 1.)

T e o r e m a 3 . 4 . 1 1 ( T e o r e m a d e d e n s i d a d d e Q ) S e a n a y b d o s n ú m e r o s

r e a l e s t a l e s q u e a < b. E n t o n c e s e x i s t e u n n ú m e r o r a c i o n a l r t a l q u e a <r < b.

D e m o s t r a c i ó n S e a a p o s i t i v o . Y a q u e b − a e s u n n ú m e r o p o s i t i v o , p o r

l a p r o p i e d a d d e A r q u í m e d e s e x i s t e u n n ú m e r o n a t u r a l n t a l q u e

1n < b − a.

E n t o n c e s

ne s t a l q u e

1 < n(b − a) = nb − na,e s d e c i r , t a l q u e

1 + na < nb.E l n ú m e r o na e s t a m b i é n p o s i t i v o , e n t o n c e s s u p a r t e e n t e r a , [na], e s t a l q u e

[na] ≤ na < [na] + 1. A d e m á s na < 1 + [na] ≤ 1 + na < nb y a < 1+[na]n < b,

d o n d e r = 1+[na]n e s u n n ú m e r o r a c i o n a l .

S i a h o r a a ≤ 0, −a e s n o n e g a t i v o y , p o r l a p r o p i e d a d d e A r q u í m e d e s , e x i s t e

u n n ú m e r o n a t u r a l n t a l q u e −a < n, e s d e c i r , t a l q u e n + a > 0. Y a q u e

b > a, s e s i g u e t a m b i é n q u e 0 < n + a < n + b. P o r l a p r i m e r a p a r t e d e e s t a

d e m o s t r a c i ó n , e x i s t e u n n ú m e r o r a c i o n a l s t a l q u e n + a < s < n + b. D e

e s t a s ú l t i m a s d e s i g u a l d a d e s s e s i g u e q u e e l n ú m e r o r a c i o n a l r = s − n e s t a l

q u e a < r < b. 2

D e l t e o r e m a a n t e r i o r s e s i g u e f á c i l m e n t e q u e t a m b i é n l o s n ú m e r o s i r r a c i o n a l e s

s o n d e n s o s e n R :

T e o r e m a 3 . 4 . 1 2 ( T e o r e m a d e d e n s i d a d d e R\Q

) L o s n ú m e r o s i r r a c i o -

n a l e s s o n d e n s o s e n R.




D e m o s t r a c i ó n S e a n a y b d o s n ú m e r o s r e a l e s t a l e s q u e a < b. E n t o n c e s

a

√ 2y

b

√ 2s o n d o s n ú m e r o s r e a l e s y , p o r e l t e o r e m a d e d e n s i d a d d e

Q,e x i s t e

u n n ú m e r o r a c i o n a l r t a l q u e

a√ 2

< r < b√ 2

. S e s i g u e q u e e l n ú m e r o i r r a c i o n a l √ 2 r ( ¾ p o r q u é n o e s r a c i o n a l ? ) e s t a l q u e a <

√ 2 r < b. 2

3 . 4 . 6 I n t e r v a l o s e n c a j a d o s y r e p r e s e n t a c i ó n d e c i m a l

T o d o n ú m e r o r e a l t i e n e u n a r e p r e s e n t a c i ó n d e c i m a l ( n i t a o i n n i t a ) y e s t a

r e p r e s e n t a c i ó n n o s p e r m i t e d i s t i n g u i r e n t r e n ú m e r o s r a c i o n a l e s y n ú m e r o s

i r r a c i o n a l e s . P o r e j e m p l o :

42

= 2 2345

≈ 0.5111111111 1988

≈ 0.21590909090

e ≈ 2.718281828 π ≈ 3.141592654√

2 ≈ 1.414213562.

L o s n ú m e r o s q u e a p a r e c e n e n l a p r i m e r a l a s o n t o d o s r a c i o n a l e s y , p o r

t a n t o , t i e n e n r e p r e s e n t a c i ó n d e c i m a l n i t a o i n n i t a p e r i ó d i c a ( e x i s t e

u n a s e c u e n c i a d e d í g i t o s q u e s e r e p i t e i n d e n i d a m e n t e ) . L o s n ú m e r o s d e

l a s e g u n d a l a s o n i r r a c i o n a l e s y , p o r t a n t o , t i e n e n r e p r e s e n t a c i ó n d e c i m a l

i n n i t a n o p e r i ó d i c a .

E n e s t a s e c c i ó n n o s i n t e r e s a o b t e n e r l a r e p r e s e n t a c i ó n d e c i m a l d e n ú m e r o s

r e a l e s p o r m e d i o d e f a m i l i a s d e i n t e r v a l o s a c o t a d o s y c e r r a d o s , I n = [an, bn],q u e a d e m á s t e n g a n l a p r o p i e d a d d e e s t a r

e n c a j a d o s : ∀n ∈ N I n+1 ⊂ I n.

S e p u e d e v e r i c a r q u e s i {I n}n∈ N

= {[an, bn]}n∈N

e s u n a f a m i l i a d e i n t e r v a l o s

a c o t a d o s , c e r r a d o s y e n c a j a d o s , e n t o n c e s l a i n t e r s e c c i ó n d e t o d o s l o s i n t e r -

v a l o s d e l a f a m i l i a e s n o v a c í a . A d e m á s , s i inf ({bn − an : n ∈ N}) = 0 l a

i n t e r s e c c i ó n d e l o s i n t e r v a l o s d e n u e s t r a f a m i l i a c o n s i s t e d e u n s o l o e l e m e n t o .

E j e m p l o s 3 . 4 . 1 3 1 ) P a r a t o d o n ú m e r o n a t u r a l n, s e a I n = [0, 1n

]. E n t o n c e s

I n+1 = [0, 1n+1 ] ⊂ I n = [0, 1

n ]. A d e m á s

∞n=1 I n = {0}.

2 ) P a r a t o d o n ú m e r o n a t u r a l n, s e a I n = (0, 1n). E n t o n c e s I n+1 = (0, 1

n+1) ⊂I n = (0, 1

n) y

∞n=1 I n = ∅.

A h o r a , s i

xe s u n n ú m e r o r e a l p o s i t i v o c o n p a r t e e n t e r a i g u a l a

n,e l n ú m e r o

x − ne s t a l q u e

0 ≤ x − n < 1.S e s i g u e q u e s i c o n o c e m o s l a r e p r e s e n t a c i ó n

d e c i m a l d e l o s n ú m e r o s r e a l e s d e l i n t e r v a l o [0, 1), s o m o s t a m b i é n c a p a c e s d e

r e p r e s e n t a r e n f o r m a d e c i m a l t o d o s l o s r e a l e s p o s i t i v o s . L a r e p r e s e n t a c i ó n d e

u n r e a l n e g a t i v o x s e r á i g u a l a l v a l o r o p u e s t o d e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e −x.




5 3

S e a e n t o n c e s x u n e l e m e n t o d e l i n t e r v a l o [0, 1). S i d i v i d i m o s [0, 1] e n 1 0

s u b i n t e r v a l o s d e l o n g i t u d

1

10 ,e l n ú m e r o

xp e r t e n e c e a u n o d e e s t o s s u b i n t e r -

v a l o s , I 1 = [ a110 , a1+1

10 ], d o n d e a1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

•_ _ _

•_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦0

110

210

a1−110

a110 x a1+1

10610

710

810

910 1

S i x c o i n c i d e c o n u n o d e l o s p u n t o s d e s u b d i v i s i ó n , x = a110 , p a r a d e n i r I 1 h a y

q u e e l e g i r e n t r e e l i n t e r v a l o [a110

, a1+110

]y e l i n t e r v a l o

[a1−110

, a110

].P o r e j e m p l o ,

s e a I 1 = [ a110 , a1+1

10 ].

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

•_ _ _

•_ _ _

•_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦0

110

210

a1−110 x = a1

10a1+110

610

710

810

910 1

A h o r a d i v i d i m o s e l i n t e r v a l o

I 1e n 1 0 s u b i n t e r v a l o s d e l o n g i t u d

1

100 .E l n ú m e r o

x p e r t e n e c e a u n o d e e s t o s s u b i n t e r v a l o s , I 2 = [a110

+ a2100 , a1

10+ a2+1

100], d o n d e

a2 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⊂ I 1.

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

•_ _ _

•_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦a110 (a1

10 + a2100) x (a1

10 + a2+1100 ) a1+1

10

E n e l c a s o x = a110 , s e d e n e I 2 = [a1

10 , a110 + 1

100 ] ⊂ I 1.

•_ _ _

•_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦_ _ _

◦a110 = x a1

10 + 1100

a1+110

S i g u i e n d o e n e l e g i r y s u b d i v i d i r i n t e r v a l o s , s e o b t i e n e u n a f a m i l i a d e i n t e r -

v a l o s c e r r a d o s , a c o t a d o s y e n c a j a d o s , {I n}n∈N .T o d o i n t e r v a l o

I nd e l a f a m i l i a

c o n t i e n e x y s u l o n g i t u d e s

110n

. E n t o n c e s {x} =

n∈

N

I n.D e s p u é s d e n s u b d i v i s i o n e s , s e h a b r á q u e x ∈ I n, e s d e c i r q u e

a1

10+

a2

100+ · · · +

an

10n≤ x ≤ a1

10+

a2

100+ · · · +

an + 1

10n.

A l p a s o n

s e o b t i e n e u n a a p r o x i m a c i ó n d e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e c i m a l d e x :

x ≈ 0.a1 a2 a3 · · · an.

O b s e r v a c i ó n 9 E n e l c a s o q u e x s e a u n o d e l o s p u n t o s d e s u b d i v i s i ó n d e l o s

i n t e r v a l o s ( e s d e c i r , s i x = an10n

p a r a c i e r t o n ú m e r o n a t u r a l n) , l a a p r o x i m a -

c i ó n d e

xn o e s t á ú n i c a m e n t e d e t e r m i n a d a . S i n e m b a r g o , l a r e p r e s e n t a c i ó n

d e c i m a l d e x p u e d e s e r s ó l o d e l o s d o s s i g u i e n t e s t i p o s :

0.a1 a2 a3 · · · an 000000 · · · ó 0.a1 a2 a3 · · · (an − 1) 999999 · · · .




3 . 5 C o n j u n t o s i n n i t o s

E n e s t a s e c c i ó n v a m o s a " c o n t a r " e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e v a r i o s c o n j u n -

t o s . E n l a s e c c i ó n ( 2 . 1 . 4 ) h a b l a m o s d e c o n j u n t o s n i t o s e i n n i t o s d e f o r m a

i n t u i t i v a , p e r o n o t o d o s l o s c o n j u n t o s i n n i t o s t i e n e n e l m i s m o n ú m e r o ( i n -

n i t o ) d e e l e m e n t o s . D e e s t e p u n t o d e v i s t a l o s c o n j u n t o s i n n i t o s Q

y R

s o n ( c o m o u n o p u e d e a d i v i n a r ) m u y d i s t i n t o s , s i e n d o R

m u c h o m á s g r a n d e

q u e Q. P o r o t r o l a d o , e l h e c h o d e q u e

Qt i e n e e l m i s m o n ú m e r o d e e l e m e n t o s

d e N

y d e Z

e s m u c h o m e n o s i n t u i t i v o .

D o s c o n j u n t o s A y B s e d i r á n e q u i p o t e n t e s

s i e x i s t e a l g u n a f u n c i ó n

b i y e c t i v a e n t r e e l l o s . S i A e s u n c o n j u n t o , n o e s d i f í c i l v e r i c a r q u e l a r e l a c i ó n

d e e q u i p o t e n c i a e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a e n e l c o n j u n t o d e l a s p a r t e s

d e

A.

3 . 5 . 1 C o n j u n t o s n i t o s

P a r a p o d e r d e n i r r i g u r o s a m e n t e l a p r o p i e d a d d e u n c o n j u n t o d e s e r n i t o , s e

u t i l i z a u n m o d e l o b á s i c o d e c o n j u n t o , e l c o n j u n t o d e l o s p r i m e r o s n

n ú m e r o s

n a t u r a l e s Nn = {1, 2, 3, · · · , n}.

D e n i c i ó n 3 . 5 . 1 S e a n ∈ N. S e d i c e q u e u n c o n j u n t o A t i e n e n e l e m e n t o s

( o q u e e l c a r d i n a l d e A e s n ) s i e x i s t e u n a b i y e c c i ó n d e Nn e n A.

S i A e s v a c í o o t i e n e n e l e m e n t o s , A e s u n c o n j u n t o n i t o . T o d o c o n j u n t o

Aq u e n o e s n i t o e s i n n i t o .

P r i n c i p i o d e l p a l o m a r : S i m y n s o n d o s n ú m e r o s n a t u r a l e s t a l e s q u e

m > n,e n t o n c e s n o e x i s t e n i n g u n a i n y e c c i ó n d e

Nm e n Nn.

E l p r i n c i p i o d e l p a l o m a r s e p u e d e d e m o s t r a r p o r i n d u c c i ó n s o b r e n.

E j e m p l o 3 . 5 . 2 E n u n g r u p o d e 5 3 p e r s o n a s a l m e n o s d o s d e e l l a s t i e n e n s u

c u m p l e a ñ o s d u r a n t e l a m i s m a s e m a n a d e l a ñ o 2 0 0 0 .

S e a n A e l c o n j u n t o d e l a s 5 3 p e r s o n a s y S e l c o n j u n t o d e l a s 5 2 s e m a n a s

d e l a ñ o 2 0 0 0 . E n t o n c e s e x i s t e n d o s f u n c i o n e s b i y e c t i v a s f : N53 → A y

g : S → N52. S i a h o r a d e n i m o s l a f u n c i ó n c : A → S c o m o l a f u n c i ó n q u e

a s o c i a a c a d a p e r s o n a d e

Al a s e m a n a d e s u c u m p l e a ñ o s , s e t r a t a d e v e r i c a r

q u e c n o p u e d e s e r i n y e c t i v a . S i l o f u e r a , l a f u n c i ó n g ◦ c ◦ f : N53 → N52

s e r í a i n y e c t i v a p o r s e r i g u a l a l a c o m p o s i c i ó n d e t r e s f u n c i o n e s i n y e c t i v a s .

P e r o , p o r e l p r i n c i p i o d e l p a l o m a r , n o e x i s t e n i n g u n a i n y e c c i ó n d e N53 e n

N52.



3 . 5 . C O N J U N T O S I N F I N I T O S 5 5

E j e r c i c i o s 3 . 5 . 1 1 ) S e a n A1 y A2 d o s c o n j u n t o s n i t o s . V e r i c a r q u e

card(A1) = card(A2)s i y s ó l o s i e x i s t e u n a b i y e c c i ó n e n t r e

A1y

A2.2 ) S e a n m y n d o s n ú m e r o s n a t u r a l e s t a l e s q u e m ≤ n. D e n i r f u n c i o n e s

i n y e c t i v a s d e Nm e n

Nn y d e Nn e n

N.

U n a c o n s e c u e n c i a d e l p r i n c i p i o d e l p a l o m a r e s q u e p a r a n i n g ú n n ú m e r o

n a t u r a l , n, p u e d e e x i s t i r u n a f u n c i ó n i n y e c t i v a d e N

a Nn. S i a s í f u e s e ,

e x i s t i r í a t a m b i é n u n a i n y e c c i ó n d e Nn+1 e n

Nn. E n t o n c e s e l c o n j u n t o d e

l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s e s i n n i t o .

L a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s e x p l i c a n l a r e l a c i ó n e n t r e l a i n c l u s i ó n d e u n

c o n j u n t o A e n u n c o n j u n t o B y e l c a r d i n a l d e A y B.S e a n

Ay

Bd o s c o n j u n t o s t a l e s q u e

A ⊆ B.E n t o n c e s ,

• B n i t o ⇒ A n i t o

• A i n n i t o ⇒ B i n n i t o .

L a p r i m e r a d e l a s p r o p i e d a d e s a n t e r i o r e s s e p u e d e v e r i c a r p o r i n d u c -

c i ó n s o b r e e l c a r d i n a l d e B. L a s e g u n d a s e s i g u e d i r e c t a m e n t e d e l a p r i m e r a

p o r c o n t r a p o s i t i v o y i m p l i c a q u e e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s e s

i n n i t o .

3 . 5 . 2 C o n j u n t o s n u m e r a b l e s

H e m o s v i s t o q u e e l c o n j u n t o N e s i n n i t o . E n r e a l i d a d N e s e l c o n j u n t o

m o d e l o p a r a t o d a u n a c l a s e d e c o n j u n t o s i n n i t o s , l a c l a s e d e l o s c o n j u n t o s

n u m e r a b l e s .

D e n i c i ó n 3 . 5 . 3 U n c o n j u n t o A e s n u m e r a b l e s i e x i s t e u n a b i y e c c i ó n e n t r e

Ny A.

E n t o n c e s N

e s n u m e r a b l e y t a m b i é n e l c o n j u n t o Z

d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s e s

n u m e r a b l e : u n a b i y e c c i ó n e n t r e N

y Z

e s l a f u n c i ó n

f (n) = k s i n = 2 k ,

−k s i n = 2 k + 1 ,

d o n d e h e m o s u t i l i z a d o e l h e c h o d e q u e e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s

e s l a u n i ó n d e l o s n a t u r a l e s p a r e s P ar = {2k : k ∈ N}

c o n l o s n a t u r a l e s

i m p a r e s Impar = {2k − 1 : k ∈ N}.




P o r d e n i c i ó n , l o s c o n j u n t o s P ar y Impar s o n n u m e r a b l e s , y a q u e l a f u n c i ó n

p : P ar → N,d e n i d a p o r

p(2k) = k,y l a f u n c i ó n

i : Impar → N,d e n i d a p o r i(2k − 1) = k, s o n b i y e c t i v a s .

E j e r c i c i o 3 . 5 . 1 V e r i c a r q u e l a u n i ó n d e d o s c o n j u n t o s n u m e r a b l e s d i s j u n -

t o s e s u n c o n j u n t o n u m e r a b l e .

S e a n A y B d o s c o n j u n t o s t a l e s q u e A ⊆ B. E n t o n c e s ,

• B n u m e r a b l e ⇒ A n u m e r a b l e o n i t o

• A i n n i t o n o n u m e r a b l e ⇒ B i n n i t o n o n u m e r a b l e .

T e o r e m a 3 . 5 . 4 E l c o n j u n t o Q d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s e s n u m e r a b l e .

D e m o s t r a c i ó n Y a q u e

Q = Q+ ∪ {0} ∪ Q−, d o n d e Q+

e s e l c o n j u n t o d e

l o s r a c i o n a l e s p o s i t i v o s y Q−

d e l o s r a c i o n a l e s n e g a t i v o s , s i Q+

e s n u m e r a b l e ,

Qe s t a m b i é n n u m e r a b l e . T o d o e l e m e n t o d e

Q+s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r

m e d i o d e u n a f r a c c i ó n

pq

,d o n d e

py

q s o n n ú m e r o s n a t u r a l e s . E n t o n c e s

Q+s e p u e d e c o n s i d e r a r c o m o u n s u b c o n j u n t o d e l c o n j u n t o d e l a s f r a c c i o n e s

p o s i t i v a s F+ = { p

q: p, q ∈ N}. S i

F+e s n u m e r a b l e ,

Q+t i e n e q u e s e r t a m b i é n

n u m e r a b l e . V a m o s a c o n t a r l o s e l e m e n t o s d e F+

p o r m e d i o d e l a s i g u i e n t e

t a b l a :

11

21

31

41

· · ·

12

22

32

42

· · ·

13

23

33

43

· · ·.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

L a s f r a c c i o n e s q u e p e r t e n e c e n a l a m i s m a l a t i e n e i g u a l d e n o m i n a d o r y l a s

q u e p e r t e n e c e n a l a m i s m a c o l u m n a i g u a l n u m e r a d o r . L a s e c h a s n o s i n d i c a n

c o m o o r d e n a r l a s f r a c c i o n e s d e l a t a b l a : l a p r i m e r a e s

11 y t e n e m o s q u e b a -

j a r a l a s i g u i e n t e l a p a r a e m p e z a r a c o n t a r s i g u i e n d o l a s e c h a s . E n t o n c e s

l a s e g u n d a f r a c c i ó n e s

12 y l a t e r c e r a e s

21

.A h o r a b a j a m o s a l a l a s u c e s i v a

y s e g u i m o s c o n t a n d o . L o q u e q u e d a d e n i d o d e e s t a f o r m a e s u n a f u n c i ó n

b i y e c t i v a d e N

e n F+.

E n t o n c e s F+

e s n u m e r a b l e . 2



3 . 5 . C O N J U N T O S I N F I N I T O S 5 7

3 . 5 . 3 C o n j u n t o s n o n u m e r a b l e s

P a r a v e r i c a r q u e e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s n o e s n u m e r a b l e v a m o s

a d e m o s t r a r q u e e l s u b c o n j u n t o I = [0, 1] d e R

n o p u e d e s e r n u m e r a b l e : s i R

f u e s e n u m e r a b l e , I = [0, 1] t e n d r í a q u e s e r n i t o o n u m e r a b l e .

T e o r e m a 3 . 5 . 5 E l c o n j u n t o I = [0, 1] n o e s n u m e r a b l e .

D e m o s t r a c i ó n L a d e m o s t r a c i ó n s e h a r á p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o .

H e m o s v i s t o q u e t o d o x ∈ [0, 1] t i e n e u n a r e p r e s e n t a c i ó n d e c i m a l y q u e e s t a

r e p r e s e n t a c i ó n n o e s s i e m p r e ú n i c a .

S u p o n g a m o s q u e e x i s t a u n a b i y e c c i ó n f d e N

a [0, 1] ( a s í q u e [0, 1] s e r í a

n u m e r a b l e ) . P o r m e d i o d e l a f u n c i ó n f s e p o d r í a n e n t o n c e s n u m e r a r l o s

n ú m e r o s r e a l e s :

f (1) = 0.a11a12a13a14a15 · · ·f (2) = 0.a21a22a23a24a25 · · ·f (3) = 0.a31a32a33a34a35 · · ·f (4) = 0.a41a42a43a44a45 · · ·f (5) = 0.a51a52a53a54a55 · · ·

.

.

.

.

.

.

P a r a l l e g a r a u n a c o n t r a d i c c i ó n , h a y q u e h a l l a r u n n ú m e r o r e a l x e n [0, 1]q u e n o p e r t e n e z c a a l a i m a g e n d e

f ( q u e e s l a l i s t a a n t e r i o r ) , a s í q u e

f n o

s e r í a s o b r e y e c t i v a . U n p r o b l e m a a l d e n i r x p o r m e d i o d e s u r e p r e s e n t a c i ó n

d e c i m a l e s q u e t e n e m o s q u e e s t a r s e g u r o s d e q u e e s t a r e p r e s e n t a c i ó n n o s e a

d e l a s q u e a c a b a n c o n t o d o s c e r o s o t o d o s n u e v e s . S i l a r e p r e s e n t a c i ó n d e xn o e s d e e s t o s d o s t i p o s , e l n ú m e r o x n o p u e d e s e r i g u a l a u n o y a c o n t e n i d o

e n n u e s t r a l i s t a , p e r o e x p r e s a d o d e o t r a f o r m a . P o r e s t a r a z ó n , d e n i m o s

l o s d í g i t o s d e l a r e p r e s e n t a c i ó n d e x = 0.x1x2x3 · · ·s i e m p r e i g u a l e s a 1 o a

5 , s e g ú n e l s i g u i e n t e c r i t e r i o : m i r a n d o a l o s d í g i t o s q u e e s t á n e n l a d i a g o n a l

d e l a l i s t a , s i a11 = 1 d e n i m o s x1 = 5 y s i a11 = 1 d e n i m o s x1 = 1. S e

s i g u e q u e x n o p u e d e s e r i g u a l a f (1). A h o r a , s i a22 = 1d e n i m o s x2 = 5

y s i

a22 = 1d e n i m o s

x2 = 1.P o r e s t o s v a l o r e s d e

x1y

x2,e l n ú m e r o

xn o p u e d e s e r i g u a l n i a

f (1),n i a

f (2).B a j a n d o a l o l a r g o d e l a d i a g o n a l y

d e n i e n d o l o s d í g i t o s d e x c o m o a n t e s , s e o b t i e n e u n n ú m e r o q u e n o p u e d e

s e r u n e l e m e n t o d e l a i m a g e n d e f. 2




D e l t e o r e m a a n t e r i o r s e s i g u e q u e e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s

Rn o e s n u m e r a b l e ,

y a q u e

[0, 1] ⊂ R.S e d i c e q u e l o s c o n j u n t o s q u e

s o n e q u i p o t e n t e s a l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s t i e n e n l a p o t e n c i a d e l

c o n t i n u o .

A h o r a , y a q u e R = Q ∪ (R\Q), s e s i g u e t a m b i é n q u e e l c o n j u n t o d e l o s

n ú m e r o s i r r a c i o n a l e s R\Q n o e s n u m e r a b l e .

3 . 6 P r e c i s i ó n e n l o s m é t o d o s n u m é r i c o s

( V e r [ G G ] )

C u a n d o n o s e p u e d e o b t e n e r u n a s o l u c i ó n e x a c t a d e u n p r o b l e m a m a t e m á -

t i c o , t e n e m o s q u e r e c u r r i r a m é t o d o s n u m é r i c o s . L o s m é t o d o s n u m é r i c o s

u t i l i z a n a l g o r i t m o s q u e p e r m i t e n h a l l a r u n a s o l u c i ó n a p r o x i m a d a d e l p r o b l e -

m a y s e b a s a n , e n g e n e r a l , e n l a d i s c r e t i z a c i ó n d e l p r o b l e m a y e n m é t o d o s

i t e r a t i v o s d e a p r o x i m a c i ó n ( v e r e m o s a l g u n o s e j e m p l o s e n l o s s i g u i e n t e s c a p í -

t u l o s y d u r a n t e l a s p r á c t i c a s d e l a b o r a t o r i o c o n M a p l e V ) .

S i e m p l e a m o s m é t o d o s n u m é r i c o s , e s d e f u n d a m e n t a l i m p o r t a n c i a p o d e r

a c o t a r e l e r r o r

a s o c i a d o a n u e s t r a a p r o x i m a c i ó n .

S i A

e s u n n ú m e r o e x a c t o y a

e s u n a a p r o x i m a c i ó n d e A,

s e d e n e e l

e r r o r a b s o l u t o c o m o ∆ = |a − A|.

E n l a p r á c t i c a i n t e r e s a e n c o n t r a r u n a c o t a ∆a t a l q u e ∆ ≤ ∆a, e s d e c i r ,

t a l q u e A

∈(a

−∆a, a + ∆a).

H a y s i t u a c i o n e s e n l a s c u a l e s e l e r r o r a b s o l u t o n o e s i n f o r m a t i v o , d e b i d o

a l a p r e s e n c i a e n e l p r o b l e m a d e o b j e t o s d e d i s t i n t o s ó r d e n e s d e m a g n i t u d

( u n e r r o r d e 1 m e t r o e s m u y s i g n i c a t i v o s i e s t a m o s m i d i e n d o l a l o n g i t u d d e

u n a m e s a , p e r o l o e s m u y p o c o s i e s t a m o s m i d i e n d o l a d i s t a n c i a e n t r e d o s

p l a n e t a s ) . E n e s t o s c a s o s e u t i l i z a e l e r r o r r e l a t i v o

, d e n i d o c o m o δ =∆

A,

o u n a c o t a d e l e r r o r r e l a t i v o , δ a, t a l q u e δ ≤ δ a.

E n l o s m o d e l o s n u m é r i c o s p u e d e n a p a r e c e r e r r o r e s p o r d i s t i n t a s r a z o n e s .

•E r r o r e s e n l o s d a t o s :

l a s m e d i d a s u o b s e r v a c i o n e s e x p e r i m e n t a l e s

p u e d e n e s t a r a f e c t a d a s p o r e r r o r e s d e m e d i c i ó n d e l a p a r a t o o p o r e r r o r e s

d e a p r e c i a c i ó n .

•E r r o r e s d e t r u n c a m i e n t o :

s e p r e s e n t a n s i e n e l m é t o d o n u m é r i c o

u t i l i z a d o s e e s t á n e m p l e a n d o a p r o x i m a c i o n e s s u c e s i v a s y s e c o n s i d e r a n



3 . 6 . P R E C I S I Ó N E N L O S M É T O D O S N U M É R I C O S 5 9

u n n ú m e r o n i t o d e i t e r a c i o n e s . P o r e j e m p l o , e n e l m é t o d o p a r a o b t e n e r

l a r e p r e s e n t a c i ó n d e c i m a l d e u n n ú m e r o r e a l p o r m e d i o d e i n t e r v a l o s

e n c a j a d o s u o t r o s m é t o d o s d e a p r o x i m a c i ó n d e r a í c e s q u e s e p r e s e n t a r á n

e n l o s s i g u i e n t e s c a p í t u l o s .

A m e n u d o e x i s t e n p r o c e d i m i e n t o s p a r a a c o t a r e l e r r o r p r o p o r c i o n a d o s

p o r e l m i s m o m é t o d o e m p l e a d o . P o r e j e m p l o , e n e l c a p í t u l o 9 , v e r e m o s

c o m o e l t e o r e m a d e T a y l o r n o s p r o p o r c i o n a u n a f ó r m u l a p a r a e s t i m a r

e l e r r o r d e a p r o x i m a c i ó n d e l v a l o r d e u n a f u n c i ó n r e a l e n u n p u n t o ,

c u a n d o s e u t i l i z e u n p o l i n o m i o a p r o x i m a n t e d e g r a d o n.

•E r r o r e s d e r e d o n d e o : a p a r e c e n a l u t i l i z a r u n a c a l c u l a d o r a u o r d e -

n a d o r p a r a c á l c u l o s n u m é r i c o s . L a c a u s a d e e s t o s e r r o r e s e s q u e u n a

m á q u i n a p u e d e u t i l i z a r s o l o u n c o n j u n t o n i t o d e n ú m e r o s p a r a r e p r e -

s e n t a r a t o d o s l o s n ú m e r o s r e a l e s ( u n c o n j u n t o i n n i t o n o n u m e r a b l e ) .

L o s o r d e n a d o r e s p u e d e n u t i l i z a r d o s t i p o s d e a r i t m é t i c a :

1 ) A r i t m é t i c a r a c i o n a l d e p r e c i s i ó n a r b i t r a r i a . P e r m i t e r e a l i z a r c á l c u l o s

c o n n ú m e r o s r a c i o n a l e s d e m o d o e x a c t o , p e r o e s p o c o e c i e n t e p a r a a l -

g u n o s p r o b l e m a s , d e b i d o a l t i e m p o y e s p a c i o d e m e m o r i a q u e r e q u i e r e

e l u s o , a l m a c e n a m i e n t o y r e p r e s e n t a c i ó n d e n ú m e r o s r a c i o n a l e s a r b i t r a -

r i o s . ( E s l a q u e u t i l i z a M a p l e V , s a l v o e s p e c i c a c i ó n c o n t r a r i a . )

2 ) A r i t m é t i c a d e c o m a o t a n t e . E s l a q u e t i e n e n i n c o r p o r a d a l a m a y o -

r í a d e l o s s i s t e m a s , s e t r a b a j a c o n u n n ú m e r o n i t o ( j o ) d e n ú m e r o s

( d e t e r m i n a d o s p o r e l v a l o r d e D i g i t s e n M a p l e V ) y l o s c á l c u l o s s e

r e a l i z a n c o n r e p r e s e n t a c i o n e s a p r o x i m a d a s d e l n ú m e r o v e r d a d e r o .

U n n ú m e r o e n c o m a o t a n t e d e n

d í g i t o s e n b a s e b

t i e n e l a f o r m a

x = ±(d1d2d3 · · · dn)be,

d o n d e d1d2d3

· · ·dn e s l a

m a n t i s a , c o n d1

= 0 y d1, d2, d3,

· · ·, dn e n -

t e r o s n o n e g a t i v o s m ó d u l o b y e e s u n n ú m e r o e n t e r o q u e s e l l a m a

e x p o n e n t e , q u e p u e d e v a r i a r e n u n c i e r t o r a n g o q u e d e p e n d e d e l o s

d i s t i n t o s s i s t e m a s .

P o r e j e m p l o s i b = 10 y n = 6,




3266041s e r e p r e s e n t a c o m o

+326604 · 102

−1524 s e r e p r e s e n t a c o m o

−152400

·10

−642973441 s e r e p r e s e n t a c o m o −642973 · 107

−642973293 s e r e p r e s e n t a c o m o −642973 · 107

00062 s e r e p r e s e n t a c o m o +620000 · 10−3

E n e l p r i m e r c a s o e l e r r o r d e r e d o n d e o e s m e n o r q u e

12

10−3, e n e l s e -

g u n d o n o h a y e r r o r e s d e r e d o n d e o , e n e l t e r c e r y c u a r t o n ú m e r o s , q u e

t i e n e n l a m i s m a r e p r e s e n t a c i ó n c o n r e d o n d e o a 6 d í g i t o s , u n a c o t a d e l

e r r o r e s

12102

y e n e l q u i n t o c a s o n o h a y e r r o r d e r e d o n d e o .

E j e r c i c i o 3 . 6 . 1 S e a n A = +461903 · 10−1y B = +321864 · 10−4

(b = 0, n = 6). V e r i c a r q u e (A + B) − B = A.

L a p r o p a g a c i ó n d e l e r r o r d e r e d o n d e o p u e d e d a r l u g a r a r e s u l t a d o s

d e s a s t r o s o s . E n o c a s i o n e s s e p u e d e n u t i l i z a r p r o p i e d a d e s a l g e b r a i c a s

p a r a r e e s c r i b i r l o s a l g o r i t m o s d e m o d o q u e s e a m e n o r l a p r o p a g a c i ó n

d e l e r r o r .

E j e m p l o 3 . 6 . 1 L a e c u a c i ó n d e s e g u n d o g r a d o x2−6210x+1 = 0 t i e n e

u n a s o l u c i ó n i g u a l a

c =

6210

− (6210)2

−4

2 .

S u v a l o r a p r o x i m a d o c o n n = 6 e s ≈ 0 y c o n n = 8 e s ≈ 16103707·10−4.

E n t o n c e s e l e r r o r d e r e d o n d e o c o n n = 6 e s m a y o r q u e 10−4, q u e e s u n

e r r o r s i g n i c a t i v o . L a r a z ó n d e e s t o e r r o r e s q u e e n e l n u m e r a d o r d e

c r e s t a m o s d o s n ú m e r o s m u y p r ó x i m o s .

S i m u l t i p l i c a m o s y d i v i d i m o s c p o r e l c o n j u g a d o d e s u n u m e r a d o r s e

o b t i e n e l a e x p r e s i ó n

c =(6210)2 − (6210)2 + 4

2(6210 +

(6210)2

− 4)

=2

6210 +

(6210)2

− 4

,

c u y o v a l o r a p r o x i m a d o c o n n = 6 e s 1610 · 10−4, q u e e s u n a b u e n a

a p r o x i m a c i ó n .



C a p í t u l o 4

N ú m e r o s c o m p l e j o s

E n m a t e m á t i c a s e s p r e c i s o i n t r o d u c i r l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s d e b i d o a q u e e l

c u a d r a d o d e c u a l q u i e r n ú m e r o r e a l e s s i e m p r e u n n ú m e r o p o s i t i v o , p o r l o q u e

e c u a c i o n e s c u a d r á t i c a s e l e m e n t a l e s t a l e s c o m o x2 = −1 n o t i e n e n s o l u c i ó n

e n e l c o n t e x t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s . L o s n ú m e r o s c o m p l e j o s n o s p e r m i t e n

o b t e n e r s o l u c i o n e s d e e s t a s e c u a c i o n e s .

E l e s t u d i o d e l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s s e d e s a r r o l l a r á d u r a n t e l a s e g u n d a

p r á c t i c a d e l a b o r a t o r i o c o n M a p l e V d e e s t a a s i g n a t u r a .

4 . 1 D e n i c i ó n d e n ú m e r o s c o m p l e j o s

E l c o n j u n t o R2 = R×R = {(a, b) : a

y b

s o n n ú m e r o s r e a l e s }

c o n l a s s i g u i e n t e s

o p e r a c i o n e s d e s u m a y p r o d u c t o :

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc), ( 4 . 1 )

( d o n d e a,b,c y d s o n n ú m e r o s r e a l e s ) , t i e n e e s t r u c t u r a d e c u e r p o , e l c u e r p o

C d e l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s .

S e l l a m a u n i d a d i m a g i n a r i a a l n ú m e r o c o m p l e j o i = ( 0 , 1 ) , q u e s a t i s f a c e

l a r e l a c i ó n i2 = (−1, 0).(0, 0)

e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e l a a d i c i ó n

, e l o p u e s t o

d e (a, b)

e s (−a, −b).

(1, 0)e s e l

e l e m e n t o n e u t r o d e l a m u l t i p l i c a c i ó n y , s i

(a, b)n o e s i g u a l a

(0, 0), e l i n v e r s o d e (a, b) e s ( aa2+b2

, −ba2+b2

).E l c o n j u n t o

Rd e l o s n ú m e r o s r e a l e s s e i d e n t i c a c o n e l s u b c o n j u n t o

R×{0} = {(a, 0) : a

e s u n n ú m e r o r e a l } ⊂ C.

E n t o n c e s p o d e m o s e s c r i b i r q u e

i2 = −1.

6 1



6 2 C A P Í T U L O 4 . N Ú M E R O S C O M P L E J O S

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.81

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

F i g u r a 4 . 1 : N ú m e r o s c o m p l e j o s c o n j u g a d o s

4 . 2 E x p r e s i ó n b i n ó m i c a

T o d o n ú m e r o c o m p l e j o z = (a, b) p u e d e e x p r e s a r s e , t a m b i é n , e n l a q u e s e

l l a m a s u f o r m a b i n ó m i c a

, q u e e s z = a + bi.

E l n ú m e r o a e s s u p a r t e r e a l

, a = Re(z ) , y e l n ú m e r o b e s s u p a r t e i m a -

g i n a r i a , b = Im(z ).

E j e m p l o 4 . 2 . 1 S e a

z =1

26

416 + 26

√ 377 +

1

26i

−416 + 26

√ 377.

E n t o n c e s ,

Re(z ) =1

26 416 + 26√

377

Im(z ) = 126

−416 + 26 √ 377

O b s e r v a c i ó n 1 0 L a e c u a c i ó n x2 + 1 = 0, q u e n o t i e n e s o l u c i o n e s r e a l e s , s í

q u e t i e n e s o l u c i o n e s c o m p l e j a s : i, −i.



4 . 3 . E X P R E S I Ó N P O L A R , T R I G O N O M É T R I C A Y E X P O N E N C I A L 6 3

L o s n ú m e r o s c o m p l e j o s s e p u e d e n r e p r e s e n t a r e n u n p l a n o , e n

e l q u e e l e j e d e a b s c i s a s e s e l e j e r e a l , y e l e j e d e o r d e n a d a s e l i m a g i n a r i o .

L a g u r a ( 4 . 1 ) i l u s t r a l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l n ú m e r o c o m p l e j o 1 + i y d e s u

c o n j u g a d o ( e l c o m p l e j o q u e t i e n e l a m i s m a p a r t e r e a l y l a p a r t e i m a g i n a r i a

o p u e s t a a l d a d o , e n e s t e c a s o 1 − i ) . C o m o p u e d e v e r s e , e l c o n j u g a d o d e

z e s e l p u n t o s i m é t r i c o d e z r e s p e c t o d e l e j e r e a l ( e l e j e d e a b s c i s a s o e j e

h o r i z o n t a l ) . A l c o n j u g a d o d e z s e l e r e p r e s e n t a p o r z. A s í p u e s , 1 + i = 1 − i.L o s n ú m e r o s c o m p l e j o s s e m u l t i p l i c a n d e l a f o r m a h a b i t u a l , r e c o r d a n d o

q u e i2 = −1. P o r e j e m p l o ,

(2 + 2i)(3 − 2i) = 10 + 2i

O b v i a m e n t e , e l r e s t o d e l a s o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s ( s u m a , r e s t a , d i v i s i ó n )

s e p u e d e n e f e c t u a r d i r e c t a m e n t e , t e n i é n d o s e p o r e j e m p l o :

(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i

(2 + 3i) − (4 + 5i) = −2 − 2i

(2 + 3i)

(4 + 5i)=

(2 + 3i)

(4 + 5i)

(4 − 5i)

(4 − 5i)=

(2 + 3i)(4 − 5i)

16 + 25=

23 − 2i

41.

E l n ú m e r o c o m p l e j o z = a + bi s e i d e n t i c a c o n e l p u n t o (a, b) d e l p l a n o

c o m p l e j o . ( E n p a r t i c u l a r l a u n i d a d i m a g i n a r i a i s e r á e n e s t e c a s o e l p u n t o

(0, 1) d e l p l a n o c o m p l e j o ) . E l m ó d u l o o v a l o r a b s o l u t o d e u n n ú m e r o c o m -

p l e j o z = (a, b) e s e l v a l o r d e s u d i s t a n c i a a l p u n t o (0, 0), |z | = √ a2 + b2. E l

v a l o r d e l m ó d u l o d e l n ú m e r o c o m p l e j o z = (a, b) e s l a l o n g i t u d d e l s e g m e n t o

q u e u n e e l p u n t o (0, 0) c o n e l p u n t o (a, b). S i e n d o z r e p r e s e n t a d o p o r e l p a r

(a, −b), e l m ó d u l o d e z y d e s u c o n j u g a d o s o n i g u a l e s .

4 . 3 E x p r e s i ó n p o l a r , t r i g o n o m é t r i c a y

e x p o n e n c i a l

U n n ú m e r o c o m p l e j o z ( a e x c e p c i ó n d e l 0 ) t a m b i é n s e p u e d e r e p r e s e n t a r

p o r s u m ó d u l o , |z | y e l á n g u l o q u e f o r m a c o n e l e j e r e a l , p e r o t e n i e n d o e n

c u e n t a q u e , s i z = a + ib,

h a y u n a i n n i d a d d e v a l o r e s d e l á n g u l o θ

q u e

s a t i s f a c e n a = |z | cos(θ) y b = |z | sen(θ), y q u e t o d o s e l l o s d i e r e n e n u n

m ú l t i p l o d e 2 π.

P o r e l l o s e s u e l e d i s t i n g u i r a l n ú m e r o θ

( q u e e s i g u a l a

arctan(b/a), s i e l v a l o r arctan(b/a) e s t á d e n i d o ) , q u e e s t á e n e l i n t e r v a l o




1+I

argumento principal

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

F i g u r a 4 . 2 : M ó d u l o y a r g u m e n t o d e u n n ú m e r o c o m p l e j o

(−π, π]y q u e s a t i s f a c e d i c h a s i g u a l d a d e s . A e s e n ú m e r o s e l e d e n o m i n a

a r g u m e n t o p r i n c i p a l d e z .

E j e m p l o 4 . 3 . 1 E n l a g u r a ( 4 . 2 ) s e i n d i c a e l a r g u m e n t o p r i n c i p a l , θ = π4 ,

y e l m ó d u l o , |z | = √ 2,d e l n ú m e r o

z = 1 + i.P u e s t o q u e c u a l q u i e r c o m p l e j o z n o n u l o v i e n e d e t e r m i n a d o p o r s u m ó d u l o

y s u a r g u m e n t o , a d i c h o s v a l o r e s s e l e s d e n o m i n a c o o r d e n a d a s p o l a r e s

,

z = (|z |, θ)d e l n ú m e r o c o m p l e j o d a d o , o t a m b i é n

f o r m a p o l a r d e l n ú m e r o

c o m p l e j o .

E j e m p l o 4 . 3 . 2 E x p r e s a r e n f o r m a b i n ó m i c a y p o l a r l o s s i g u i e n t e s n ú m e r o s

c o m p l e j o s : z 1 = (1, −1), z 2 = (3, −2), z 3 = (1, 1), z 4 = (0, −4).F o r m a b i n ó m i c a z = a + i b :

z 1 = 1 − i, z 2 = 3 − 2 i, z 3 = 1 + i, z 4 = −4 i

F o r m a p o l a r

(|z |, θ):

z 1 = (√

2, −1

4π), z 2 = (

√ 13, −arctan(

2

3)),

z 3 = (√

2,1

4π), z 4 = (4, −1

2π).




0.5

1

1.5

2

2.5

3

–1 –0.5 0.5 1

F i g u r a 4 . 3 : P r o d u c t o d e n ú m e r o s c o m p l e j o s

T o d o n ú m e r o c o m p l e j o z n o n u l o s e p u e d e e x p r e s a r e n f o r m a t r i g o n o m é -

t r i c a : z = r (cos(θ) + i sen(θ)), d o n d e r = |z | y θ e s e l a r g u m e n t o d e z.S e a n

z1= r (cos(θ) + i sen(θ)) y

z2 = s (cos(φ) + i sen(φ)) d o s n ú m e -

r o s c o m p l e j o s e n f o r m a t r i g o n o m é t r i c a . E l p r o d u c t o z1 z2 e s e l n ú m e r o

c o m p l e j o

z1 z2 = r s (cos(θ)cos(φ) − sen(θ)sen(φ) + i sen(θ)cos(φ) + i cos(θ)sen(φ)) =

= r s (cos(θ + φ) + i sen(θ + φ)).

q u e t i e n e m ó d u l o i g u a l a r s y a r g u m e n t o i g u a l ( u t i l i z a n d o a l g u n a s i d e n t i d a -

d e s t r i g o n o m é t r i c a s ) a θ + φ.

E j e m p l o 4 . 3 . 3 P o d e m o s c o m p r o b a r g r á c a m e n t e ( v e r g u r a ( 4 . 3 ) , d o n d e

z1 = 1 + i, z2 = 1 + 2 i, y z1 z2 = −1 + 3 i ) q u e e l n ú m e r o c o m p l e j o

r e s u l t a d o d e m u l t i p l i c a r d o s n ú m e r o s c o m p l e j o s e s e l q u e t i e n e c o m o m ó d u l o

e l p r o d u c t o d e l o s m ó d u l o s y c o m o a r g u m e n t o l a s u m a d e l o s a r g u m e n t o s d e

l o s d o s c o m p l e j o s d a d o s .

A p a r t i r d e a q u í , e s t á c l a r o q u e m u l t i p l i c a r p o r u n n ú m e r o c o m p l e j o c u y o

m ó d u l o s e a i g u a l a 1 e s e q u i v a l e n t e a " r e a l i z a r u n g i r o " e n e l p l a n o e n t o r n o




a l o r i g e n , d e á n g u l o e l a r g u m e n t o d e d i c h o n ú m e r o c o m p l e j o . P o r e j e m p l o ,

m u l t i p l i c a r u n n ú m e r o c o m p l e j o p o r l a u n i d a d i m a g i n a r i a ( c u y o m ó d u l o e s

1 ) , e s e q u i v a l e n t e a r e a l i z a r u n g i r o d e

π2

r a d i a n e s e n t o r n o a l ( 0 , 0 ) .

P a r a c a l c u l a r l a p o t e n c i a e n t e r a d e o r d e n n d e z, d o n d e n e s u n

e l e m e n t o d e Z, s e u t i l i z a l a

f ó r m u l a d e D e M o i v r e :

z n = rn (cos(n θ) + i sen(n θ)).

S i n > 0, e s t a f ó r m u l a s e o b t i e n e s i m p l e m e n t e m u l t i p l i c a n d o z p o r s í m i s m o

n v e c e s . S i n = 0, z 0 = 1 y s i n < 0, l a f ó r m u l a e s u n a c o n s e c u e n c i a d e l a

i d e n t i d a d z −1 = z|z|2 . P o r e j e m p l o , s i z = r (cos(θ) + i sen(θ)),

z −1 =1

r (cos(θ) + i sen(θ))=

cos(θ) − i sen(θ)

r

r2 (cos(θ) + i sen(θ))2 = r2 (cos(2 θ) + i sen(2 θ))

1

r2 (cos(θ) + i sen(θ))2=

cos(2 θ) − i sen(2 θ)

r2

E j e m p l o 4 . 3 . 4 S e a z = 3 (cos(π3 ) + isen(π

3 )).

E n t o n c e s z 3 = −27 y z −3 = −127 .

O t r a f o r m a d e r e p r e s e n t a r l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s e s a p a r t i r d e l a d e n i -

c i ó n d e e x p o n e n c i a l d e u n n ú m e r o c o m p l e j o z = a + bi :

ez = e(a+i b) = ea (cos(b) + i sen(b)).

S i a = 0, e n t o n c e s z = b i y s e o b t i e n e l a i d e n t i d a d e(i b) = cos(b)+i sen(b).

P o r e j e m p l o , eπ2

i = i y eπ4

i =1

2

√ 2 +

1

2i√

2.

E n t o n c e s , s i z = r (cos(θ) + i sen(θ))

e s l a f o r m a t r i g o n o m é t r i c a d e l n ú m e r o

c o m p l e j o z, s u f o r m a e x p o n e n c i a l

s e r á i g u a l a z = r e(i θ) = r (cos(θ) +i sen(θ)),

d o n d e r = |z |

e s s u m ó d u l o y θ

s u a r g u m e n t o . S i z = 3 −

5 i, e n t o n c e s r =√

34 y θ = −arctan(5

3). L a f o r m a e x p o n e n c i a l d e z e s √

34 e−i arctan(5/3).




–2

–1

0

1

2

–2 –1 1 2

F i g u r a 4 . 4 : R a í c e s d e u n n ú m e r o c o m p l e j o

E l p r o d u c t o y l a s p o t e n c i a s e n t e r a s d e n ú m e r o s c o m p l e j o s e n f o r m a e x p o -

n e n c i a l t i e n e n e x p r e s i o n e s m u y s e n c i l l a s : s e a n z1 = r e(i θ) y z2 = s e(i φ) d o s

n ú m e r o s c o m p l e j o s . E n t o n c e s

z1z2 = r s e(i (θ+φ)),z1

n = rn en iθa s í q u e

z14 = r4 e4 iθ

y

z1−4 = r−4 e−4 iθ

V a m o s a h o r a a v e r c ó m o s e r e s u e l v e n e c u a c i o n e s p o l i n ó m i c a s

e n e l

p l a n o c o m p l e j o . P a r a e l l o e n p r i m e r l u g a r v a m o s a h a l l a r y r e p r e s e n t a r

g r á c a m e n t e t o d a s l a s r a í c e s ( s o l u c i o n e s ) d e l a e c u a c i ó n z 4−16 = 0, q u e s o n

2, −2, 2 i, y −2 i ( v e r l a g u r a ( 4 . 4 ) ) .

N ó t e s e c o m o l a s r a í c e s e s t á n t o d a s e n e l c í r c u l o c e n t r a d o e n e l o r i g e n y

d e r a d i o e l ( m i s m o ) m ó d u l o .

E l e j e m p l o a n t e r i o r s i r v e p a r a i n t r o d u c i r e l c o n c e p t o d e r a í z d e u n n ú m e r o

c o m p l e j o . D a d o u n n ú m e r o c o m p l e j o n o n u l o z, e x i s t e n e x a c t a m e n t e n n ú -

m e r o s c o m p l e j o s z 1 · · · z n t a l e s q u e l a p o t e n c i a

n- é s i m a d e c a d a u n o d e e l l o s

n o s d a c o m o r e s u l t a d o e l n ú m e r o c o m p l e j o z. A d i c h o s n ú m e r o s c o m p l e j o s




s e l e s d e n o m i n a r a í c e s n - é s i m a s d e z . T o d o s e l l o s t i e n e n c o m o m ó d u l o l a

r a í z

n- é s i m a d e l m ó d u l o d e

z y , s i e n d o

θe l a r g u m e n t o d e

z , s u s a r g u m e n t o s

s a t i s f a c e n l a r e l a c i ó n

θk =θ

n+

2 k π

n(k = 0, · · · , n − 1),

p o r l o q u e l a s e c h a s q u e l a s r e p r e s e n t a n d i v i d e n e l d i s c o d e r a d i o R = |z |( 1n )c o n c e n t r o e n e l o r i g e n e n n s e c t o r e s i g u a l e s .

P o r e j e m p l o , l a s r a í c e s c ú b i c a s d e z = i (θ =π

2, |z | = 1) s o n n ú m e r o s

c o m p l e j o s d e m ó d u l o 1 y θk =π

6+

2 k π

3(k = 0, · · · , 2) :

w0 = cos(π6

) + isen( π6

) = √ 32

+ i12

,

w1 = cos(5π

6) + isen(

5π

6) = −

√ 3

2+ i

1

2,

w2 = cos(3π

2) + isen(

3π

2) = −i,

y d i v i d e n e l d i s c o d e r a d i o 1 e n t r e s s e c t o r e s i g u a l e s .

E j e r c i c i o s 4 . 3 . 1 1 ) C a l c u l a r

(3 − 2i)(2 + 3i)

3 − 4i, (1 + i)4 y i5787.

2 ) E x p r e s a r e n f o r m a p o l a r e l n ú m e r o c o m p l e j o z = 1 + i y e n f o r m a

b i n ó m i c a l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s d e f o r m a p o l a r (2,π

2) y (

√ 2,

3π

4).

3 ) D e t e r m i n a r l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s z t a l e s q u e s u c u a d r a d o e s i g u a l a

s u c o n j u g a d o .

4 ) H a l l a r l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s z t a l e s q u e z 6 − 9z 3 + 8 = 0.5 ) L o s p u n t o s ( 1 , 5 ) y ( 1 , 7 ) s o n v é r t i c e s o p u e s t o s d e u n o c t ó g o n o r e g u l a r .

C a l c u l a r l o s r e s t a n t e s v é r t i c e s d e d i c h o o c t ó g o n o . ( S u g e r e n c i a : t r a s l a d a r e l

c e n t r o d e l o c t ó g o n o a l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s . )



C a p í t u l o 5

S u c e s i o n e s r e a l e s

E n e s t e c a p í t u l o v a m o s a i n t r o d u c i r e l c o n c e p t o d e l í m i t e d e s u c e s i o n e s r e a l e s ,

q u e s e r á b á s i c o e n e l d e s a r r o l l o d e l a a s i g n a t u r a y f u n d a m e n t a l p a r a e l e s t u d i o

d e f u n c i o n e s r e a l e s . E m p e z a m o s p o r l a d e n i c i ó n d e l í m i t e s d e s u c e s i o n e s ,

p a r a p o d e r n o s a c e r c a r g r a d u a l m e n t e a l c o n c e p t o m á s g e n e r a l d e l í m i t e d e

u n a f u n c i ó n , q u e e s e l c o n t e n i d o d e l s i g u i e n t e c a p í t u l o 6 .

L a t e o r í a d e l a s s u c e s i o n e s t i e n e g r a n i m p o r t a n c i a p o r s u s a p l i c a c i o n e s y

e s l a b a s e d e m u c h o s m é t o d o s n u m é r i c o s y d e l e s t u d i o d e s u c o n v e r g e n c i a o

d i v e r g e n c i a . E s t a m b i é n i n d i s p e n s a b l e p a r a p o d e r c o m p r e n d e r l a t e o r í a d e

l a s s e r i e s n u m é r i c a s , q u e s e d e s a r r o l l a r á e n l a a s i g n a t u r a d e C á l c u l o .

E n p a r t i c u l a r , e l e s t u d i o d e l a s s u c e s i o n e s d e n i d a s d e f o r m a r e c u r s i v a y

s u c o n v e r g e n c i a t i e n e a p l i c a c i o n e s a l e s t u d i o d e l a c o m p l e j i d a d d e a l g o r i t m o s ,

d e s a r r o l l a d o e n l a a s i g n a t u r a M a t e m á t i c a D i s c r e t a , y a l o s m é t o d o s e x a c t o s

y n u m é r i c o s d e r e s o l u c i o n e s d e s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s q u e s e

e m p l e a r á n e n l a s a s i g n a t u r a s Á l g e b r a y C á l c u l o .

5 . 1 D e n i c i ó n

D e n i c i ó n 5 . 1 . 1 U n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s e s u n a f u n c i ó n c u y o

d o m i n i o e s e l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s N

y c u y o c o d o m i n i o e s e l

c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s R.

E n t o n c e s u n a s u c e s i ó n e s u n a f u n c i ó n a : N → R

q u e a s o c i a a c a d a n ∈ N

u n

n ú m e r o r e a l a(n).L a s s u c e s i o n e s s u e l e n d e n o t a r s e m e d i a n t e l o s s i g u i e n t e s s í m b o l o s :

{an}n∈N

,{an}, o (an).

6 9



7 0 C A P Í T U L O 5 . S U C E S I O N E S R E A L E S

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

F i g u r a 5 . 1 : G r á c a d e {an} = { n

n+1}

C o m o s e p u e d e v e r , p a r a d e n o t a r l a i m a g e n a(n) d e l e l e m e n t o n s e u t i l i z a e l

s í m b o l o an. A e s t e n ú m e r o s e l e l l a m a t é r m i n o n−é s i m o o g e n e r a l

d e l a

s u c e s i ó n . L a n o t a c i ó n (an) r e p r e s e n t a m á s c l a r a m e n t e e l h e c h o d e q u e u n a

s u c e s i ó n n o e s i g u a l a u n s i m p l e c o n j u n t o ( e l c o n j u n t o i m a g e n d e l a f u n c i ó n

a ) , s i n o q u e e s u n c o n j u n t o o r d e n a d o p o r l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s . P o r e j e m p l o ,

u n a s u c e s i ó n c o n s t a n t e {4, 4, 4, 4, 4, · · · } e s u n a f u n c i ó n a : N → R

t a l q u e

a(n) = 4 p a r a t o d o n ∈ N. P o r t a n t o , l a s u c e s i ó n {4}n∈

N

n o e s i g u a l a l

c o n j u n t o c o n u n s ó l o e l e m e n t o {4}.

5 . 1 . 1 E j e m p l o s

V a m o s a v e r v a r i o s e j e m p l o s d e s u c e s i o n e s y d i s t i n t a s f o r m a s d e d e n i r l a s .

E j e m p l o 5 . 1 . 2 S e a

{an

}n∈

N

l a s u c e s i ó n d e n i d a p o r an = nn+1 . L o s p r i m e -

r o s t é r m i n o s d e e s t a s u c e s i ó n s o n {12 , 23 , 34 , 45 , · · · }. L a g u r a ( 5 . 1 ) r e p r e s e n t a

g r á c a m e n t e e s t a s u c e s i ó n .

E j e m p l o 5 . 1 . 3 L o s p r i m e r o s t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n {an}n∈N

= { (−1)n (n+1)3n

}s o n {−2

3 , 13 , −4

27 , 581 , · · · }.



5 . 1 . D E F I N I C I Ó N 7 1

E j e r c i c i o 5 . 1 . 1 S e a n a1 = 316 , a2 = 4

25 , a3 = 536 , a4 = 6

49l o s p r i m e r o s c u a t r o

t é r m i n o s d e u n a s u c e s i ó n

{an}n∈N

.¾ C u á l e s e l s i g u i e n t e t é r m i n o ?

E n l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s h e m o s d e n i d o n u e s t r a s s u c e s i o n e s p o r m e d i o d e

u n a f ó r m u l a . E l p r ó x i m o e j e m p l o i l u s t r a c o m o s e p u e d e d e n i r u n a s u c e s i ó n

d e f o r m a r e c u r s i v a .

E j e r c i c i o 5 . 1 . 2 S u p o n g a m o s q u e l o s c o n e j o s n o m u e r e n n u n c a y q u e c a d a

m e s c a d a p a r e j a d e c o n e j o s e n g e n d r a u n a n u e v a p a r e j a d e c o n e j o s , q u e e m -

p i e z a a s e r f é r t i l a l s e g u n d o m e s . S i e m p e z a m o s c o n u n a p a r e j a d e r e c i é n

n a c i d o s , ¾ c u á n t a s p a r e j a s d e c o n e j o s h a b r á e n n m e s e s , d o n d e n e s u n n ú -

m e r o n a t u r a l ? .

E j e m p l o 5 . 1 . 4 L a s u c e s i ó n {f n} d e F i b o n a c c i ( h a c i a 1175 − 1250 ) f u e d e -

n i d a p a r a e s t u d i a r l a p r o c r e a c i ó n d e l o s c o n e j o s . S u s p r i m e r o s d o s t é r -

m i n o s s o n f 1 = 1 y f 2 = 1. S i n ≥ 3, e n t o n c e s e l v a l o r f n s e d e d u c e d e

l o s v a l o r e s f n−1 y f n−2 s e g ú n l a f ó r m u l a f n = f n−1 + f n−2. S e s i g u e q u e

{f n} = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · }.

E j e m p l o 5 . 1 . 5 I n v e r s i o n e s e s t a t a l e s U n p r o g r a m a d e l g o b i e r n o q u e h a

c o s t a d o a l o s c o n t r i b u y e n t e s 5 . 0 0 0 m i l l o n e s d e p e s e t a s e s t e a ñ o s e v a a r e -

c o r t a r u n 2 0 p o r 1 0 0 a n u a l e n l o s a ñ o s v e n i d e r o s . S i q u e r e m o s e s c r i b i r u n a

e x p r e s i ó n p a r a e l c o s t e d e e s e p r o g r a m a t r a s n a ñ o s , p o d e m o s d e n i r u n a

s u c e s i ó n d e f o r m a r e c u r s i v a : t r a s 1 a ñ o e l c o s t o s e r á

c1 = 5.000 − 20100 5.000 = (1 − 20

100) 5.000 = 45 5.000 = 4.000 m i l l o n e s ,

t r a s 2 a ñ o s s e r á

c2 = 4.000 − 20100 4.000 = 4

5 4.000 = (45)2 5.000 = 3.200 m i l l o n e s ,

t r a s n ≥ 2 a ñ o s s e r á

cn = cn−1 − 20100 cn−1 = (1 − 20

100) cn−1 = 45 cn−1 = ( 4

5)n 5.000 m i l l o n e s .

N o t a r q u e e l c o s t e s e a c e r c a a l v a l o r c e r o , p e r o n u n c a s e r á i g u a l a e s e v a l o r . . .

E j e m p l o 5 . 1 . 6 S e a A u n a l g o r i t m o q u e s e a p l i c a a u n a l i s t a d e n ú m e r o s

e n t e r o s y s e a T (n) l a f u n c i ó n q u e i n d i c a e l n ú m e r o d e o p e r a c i o n e s q u e r e a l i z a

e l a l g o r i t m o a c t u a n d o s o b r e u n a l i s t a d e t a m a ñ o

n ≥ 2.S u p o n g a m o s q u e

T (2) = 2. A p l i c a r e l a l g o r i t m o a u n a l i s t a d e t a m a ñ o n ≥ 3 c o n s i s t e e n

h a c e r l o a c t u a r s u c e s i v a m e n t e s o b r e c a d a s u b l i s t a d e t a m a ñ o n − 1 ( h a y nt a l e s s u b l i s t a s ) . E n t o n c e s s e p u e d e e s c r i b i r q u e T (n) = n T (n − 1) y q u e d a

d e n i d a u n a s u c e s i ó n d e f o r m a r e c u r s i v a .




2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

F i g u r a 5 . 2 : L í m i t e d e u n a s u c e s i ó n

5 . 1 . 2 L í m i t e s y s u s p r o p i e d a d e s

M i r a n d o a l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s , ¾ p o d e m o s a d i v i n a r c u á l e s s e r á n l o s v a l o r e s

d e l a s d i s t i n t a s s u c e s i o n e s c u a n d o n e s m u y g r a n d e ? . L a g u r a ( 5 . 1 ) n o s

i n d i c a q u e l o s v a l o r e s d e {an}n∈ N = { nn+1}n∈ N

s e a c e r c a n a

1,l o s t é r m i n o s

d e l a s u c e s i ó n d e F i b o n a c c i s o n m á s y m á s g r a n d e s y e l c o s t o d e l a i n v e r s i ó n

e s t a t a l d e l e j e m p l o ( 5 . 1 . 5 ) d i s m i n u y e a ñ o t r a s a ñ o .

S e a {an}n∈

N

u n a s u c e s i ó n . S i p a r a v a l o r e s d e n s u c i e n t e m e n t e g r a n d e s ,

l o s c o r r e s p o n d i e n t e s v a l o r e s an s e a c e r c a n a u n v a l o r

L,e s d e c i r , s i l a d i s t a n c i a

e n t r e l o s n ú m e r o s r e a l e s an y L e s m u y p e q u e ñ a c u a n d o n e s g r a n d e , e n t o n c e s ,

e s t a s i t u a c i ó n s e p o d r á r e p r e s e n t a r g r á c a m e n t e c o m o e n l a g u r a ( 5 . 2 ) . S i

e l e g i m o s u n e n t o r n o a b i e r t o d e c e n t r o L y r a d i o r, I (L, r), t i e n e q u e e x i s t i r

u n n ú m e r o n a t u r a l n(r), q u e d e p e n d e d e l v a l o r d e r, t a l q u e a p a r t i r d e n(r)( e s d e c i r , s i n ≥ n(r) ) , l o s n ú m e r o s an e s t á n t o d o s e n I (L, r). E n l a g u r a

( 5 . 2 ) , L = 3, r = 0.1 y n(0.1) = 9.

D e n i c i ó n 5 . 1 . 7 ( D e n i c i ó n d e l í m i t e ) S e a {an}n∈N

u n a s u c e s i ó n d e n ú -

m e r o s r e a l e s . U n n ú m e r o r e a l L e s e l l í m i t e d e {an}n∈ N

s i

∀ > 0 ∃n() ∈ N t a l q u e ∀n ≥ n(), |an − L| < .



5 . 1 . D E F I N I C I Ó N 7 3

S i L e s e l l í m i t e d e {an}n∈N

, s e d i c e q u e l a s u c e s i ó n c o n v e r g e a L y s e e s c r i b e

L = lımn→∞ an.S i n o e x i s t e n i n g ú n n ú m e r o r e a l L t a l q u e L = lım

n→∞an, s e d i c e q u e {an}n∈ N

e s d i v e r g e n t e .

O b s e r v a c i ó n 1 1 S e s i g u e d e l a d e n i c i ó n d e l í m i t e q u e s i L e s u n n ú m e r o

r e a l y q u e r e m o s v e r i c a r q u e u n a s u c e s i ó n {an}n∈N

n o t i e n e L c o m o s u l í m i t e ,

b a s t a c o n e n c o n t r a r u n e n t o r n o I (L, ) t a l q u e p a r a t o d o n e x i s t e s i e m p r e u n

n ú m e r o n a t u r a l m > n c o n am /∈ I (L, ).

E j e m p l o s 5 . 1 . 8 1 ) S e a {an}n∈N

= { 1n}n∈N

. H e m o s v i s t o q u e inf ({an}n∈ N

) =0. Q u e r e m o s v e r i c a r q u e lım

n→∞an = 0 : d a d o e l e n t o r n o I (0, ), t e n e m o s q u e

p o d e r e n c o n t r a r n() t a l q u e ∀n ≥ n() | 1

n− 0| = 1

n< . L a e x i s t e n c i a d e

u n t a l n() e s t á g a r a n t i z a d a p o r e l c o r o l a r i o ( 3 . 4 . 7 ) .

2 ) S e a {an}n∈ N

= {(−1)n}n∈ N

. E n e s t e c a s o t e n e m o s u n a s u c e s i ó n o s -

c i l a n t e . S u s t é r m i n o s s o n s i e m p r e i g u a l e s a 1 o a −1. E s t a s u c e s i ó n e s

d i v e r g e n t e y a q u e p a r a t o d o n ú m e r o r e a l L e s s i e m p r e p o s i b l e e n c o n t r a r u n

e n t o r n o I (L, r) t a l q u e o b i e n 1, o b i e n −1, o b i e n l o s d o s n o p e r t e n e c e n a

I (L, r).

E j e r c i c i o 5 . 1 . 3 S e a {an}n∈N

= { nn+1

}n∈N

. V e r i c a r , u t i l i z a n d o l a d e n i c i ó n

d e l í m i t e , q u e lımn

→∞

an = 1.

P r o p o s i c i ó n 5 . 1 . 9 S i {an}n∈N

c o n v e r g e , e n t o n c e s s u l í m i t e e s ú n i c o .

D e m o s t r a c i ó n S i e x i s t e n d o s l í m i t e s

Ly

M p a r a u n a m i s m a s u c e s i ó n

{an}n∈N

c o n L = M, e n t o n c e s l a d i s t a n c i a e n t r e L y M e s u n n ú m e r o p o s i t i v o

d(L, M ) = |L − M | = d > 0. S e s i g u e q u e l o s i n t e r v a l o s a b i e r t o s I (L, d2

) y

I (M, d2) s o n d i s j u n t o s y n i n g ú n t é r m i n o d e

{an}n∈N

p u e d e p e r t e n e c e r a l o s

d o s i n t e r v a l o s a l m i s m o t i e m p o . P o r t a n t o L y M n o p u e d e n s e r d o s l í m i t e s

d e {an}n∈

N

.

P r o p i e d a d e s d e l o s l í m i t e s d e s u c e s i o n e s

S e a n {an}n∈

N

y {bn}n∈

N

d o s s u c e s i o n e s r e a l e s t a l e s q u e lımn→∞

an = L y lımn→∞

bn =

M. E n t o n c e s

P 1 ) ( P r o p i e d a d d e l i n e a l i d a d

) S i x y y s o n d o s n ú m e r o s r e a l e s , l a s u c e s i ó n

{x an + y bn}n∈N

e s c o n v e r g e n t e y lımn→∞

x an + y bn = x L + y M.




P 2 ) ( M u l t i p l i c a c i ó n

) L a s u c e s i ó n {an bn}n∈

N

e s c o n v e r g e n t e y

lımn→∞ an bn = L M.P 3 ) (

D i v i s i ó n ) S i p a r a t o d o n ∈ N bn = 0 y M = 0, l a s u c e s i ó n

{anbn

}n∈N

e s c o n v e r g e n t e y lımn→∞

anbn

= LM .

P 4 ) S i p a r a t o d o n ∈ N an ≥ 0, e n t o n c e s L ≥ 0.( L n o p u e d e s e r n e g a t i v o , y a q u e e x i s t i r í a u n e n t o r n o a b i e r t o I (L, r) d e

n ú m e r o s n e g a t i v o s . )

P 5 ) S i p a r a t o d o n ∈ N an ≥ bn, e n t o n c e s L ≥ M.( S e s i g u e d e l a p r o p i e d a d a n t e r i o r a p l i c a d a a l a s u c e s i ó n

{an − bn}n∈N

.)

P 6 ) lımn→∞

an = L ⇒ lımn→∞

|an| = |L|.( S e s i g u e d e l a d e s i g u a l d a d

||an

| − |L

| | ≤ |an

−L

|.)

E j e r c i c i o s 5 . 1 . 1 1 ) H a l l a r , s i e x i s t e , e l l í m i t e d e l a s u c e s i ó n {an}n∈N

, d e -

n i d a p o r an = 3n−2n

.2 ) H a l l a r , s i e x i s t e , e l l í m i t e d e l a s u c e s i ó n {an}n∈ N

, d e n i d a p o r an =3n4+n−2−2n4+5 .

3 ) H a l l a r , s i e x i s t e , e l l í m i t e d e l a s u c e s i ó n {an}n∈N

, d e n i d a p o r an =(−1)n + 1

n .4 ) H a l l a r u n e j e m p l o d e u n a s u c e s i ó n c o n v e r g e n t e {an}n∈

N

t a l q u e p a r a

t o d o n ∈ N an > 0 y lımn→∞

an = 0.

5 ) D e n i r u n e j e m p l o d e u n a s u c e s i ó n d i v e r g e n t e

{an

}n∈

N

t a l q u e l a s u -

c e s i ó n {|an|}n∈N

s e a c o n v e r g e n t e .

D e l a s p r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s l o g a r i t m o y e x p o n e n c i a l , s e p u e d e n

d e d u c i r l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s d e l í m i t e s :

P 7 ) S e a c > 0, c = 1. S i p a r a t o d o n ∈ N, an > 0 y lımn→∞

an = L > 0,

e n t o n c e s lımn→∞

logc(an) = logc(L).

P 8 ) S e a c > 0.

S i lımn→∞

bn = M,e n t o n c e s

lımn→∞

cbn = cM .

P 9 ) S i lımn→∞

an = L > 0 y lımn→∞

bn = M, e n t o n c e s lımn→∞

(an)bn = LM .

E j e m p l o s 5 . 1 . 1 0 1 ) S e a a > 0. H a l l a r lımn→∞

n√ a.

lımn→∞

n√

a = lımn→∞

eln( n√

a) = elımn→∞

ln(a)n = e0 = 1.

T a m b i é n , lımn→∞

n√

a = lımn→∞

a1n = a0 = 1.



5 . 1 . D E F I N I C I Ó N 7 5

2 ) H a l l a r lımn→∞

√ n

q

n+√

n+√

n. D i v i d i e n d o e n e l n u m e r a d o r y e n e l d e n o m i -

n a d o r p o r √ n, s e o b t i e n e q u e :

√ n

n +

n +√

n=

1 1 +

(n+

√ n)

n2

=1

1 +

(1/n +

1/n3)

.

E n t o n c e s lımn→∞

√ n

q

n+√

n+√

n= 1

q

1+√

(0+√ 0)

= 1.

S i e n d o t o d a s u c e s i ó n u n a f u n c i ó n , s e d i c e q u e u n a s u c e s i ó n {an}n∈

N

e s t á

a c o t a d a s i e x i s t e u n n ú m e r o r e a l M t a l q u e , p a r a t o d o n ∈ N, |an| ≤ M.

P r o p o s i c i ó n 5 . 1 . 1 1 T o d a s u c e s i ó n c o n v e r g e n t e e s t á a c o t a d a .

D e m o s t r a c i ó n S e a L = lım

n→∞an. S i I (L, r) e s u n e n t o r n o d e c e n t r o L y

r a d i o r, t o d o s l o s t é r m i n o s d e {an}n∈

N

, e x c e p t o p o r u n n ú m e r o n i t o , e s t á n

c o n t e n i d o s e n I (L, r), q u e e s u n i n t e r v a l o a c o t a d o . L o s d e m á s t é r m i n o s d e l a

s u c e s i ó n f o r m a n u n c o n j u n t o n i t o d e n ú m e r o s r e a l e s , q u e t i e n e u n m í n i m o y

u n m á x i m o . E n t o n c e s p o d e m o s e n c o n t r a r u n a c o t a M

p a r a t o d a l a s u c e s i ó n .

2

E j e m p l o s 5 . 1 . 1 2 1 ) L a s u c e s i ó n {(−1)n

}n∈ N

e s t á a c o t a d a p e r o n o e s c o n -

v e r g e n t e .

2 ) S e a {an}n∈N

d e n i d a p o r

an =

n2

s i 1 ≤ n ≤ 4,1n

s i n ≥ 5.

H a l l a r u n a c o t a p a r a {an}n∈N

.3 ) S e a {an}n∈

N

= {rn}n∈N

, d o n d e r e s u n n ú m e r o r e a l t a l q u e r > 1. V a m o s

a v e r i c a r q u e {rn}n∈N

n o e s t á a c o t a d a y , p o r t a n t o , e s d i v e r g e n t e .

S i {rn}n∈N

f u e s e a c o t a d a p o r u n a c o n s t a n t e p o s i t i v a M, s e t e n d r í a q u e ∀n ∈N, r

n

≤ M.A p l i c a n d o l a f u n c i ó n l o g a r i t m o n e p e r i a n o a l a ú l t i m a d e s i g u a l -

d a d s e o b t e n d r í a q u e n ln(r) ≤ ln(M ) y q u e ∀n ∈ N, n ≤ ln(M )ln(r)

( n o t a r q u e

ln(r) > 0) . P e r o , p o r l a p r o p i e d a d d e A r q u í m e d e s d e N, t i e n e q u e e x i s t i r u n

n ú m e r o n a t u r a l n(M ) t a l q u e n(M ) > ln(M )ln(r)

. ( P a r a e s t e n(M ), rn(M ) > M.)




O b s e r v a c i ó n 1 2 E l e j e m p l o 2 ) a n t e r i o r i l u s t r a u n a p r o p i e d a d g e n e r a l d e l o s

l í m i t e s . S i a p a r t i r d e l a s u c e s i ó n

{an}n∈N

= {1

n}n∈N

d e n i m o s u n a n u e v a

s u c e s i ó n {bn}n∈N

, o b t e n i d a c a m b i a n d o l o s p r i m e r o s k t é r m i n o s d e {an}n∈N

,p o r e j e m p l o ,

bn =

sen(n) s i 1 ≤ n ≤ k,1n

s i n ≥ k + 1,

l a n u e v a s u c e s i ó n t e n d r á e l m i s m o l í m i t e d e {an}n∈N

. M á s e n g e n e r a l , l a

c o n v e r g e n c i a d e u n a s u c e s i ó n a u n l í m i t e L d e p e n d e s o l a m e n t e d e s u c o m -

p o r t a m i e n t o a s i n t ó t i c o , e s d e c i r , d e t o d o s s u s t é r m i n o s e x c e p t o l o s p r i m e r o s

k t é r m i n o s , p o r g r a n d e q u e s e a k.

5 . 1 . 3 S u c e s i o n e s p r o p i a m e n t e d i v e r g e n t e s

E n t r e l a s s u c e s i o n e s d i v e r g e n t e s , v a m o s a c a r a c t e r i z a r l a s s u c e s i o n e s q u e n o

a d m i t e n u n n ú m e r o r e a l c o m o l í m i t e , p e r o t i e n e n l í m i t e " i g u a l a ±∞."

E j e m p l o 5 . 1 . 1 3 P o r l a p r o p i e d a d d e A r q u í m e d e s d e N, l a s u c e s i ó n {an}n∈N

={n}n∈

N

= {1, 2, 3 · · · }e s t a l q u e , a s i g n a d o u n n ú m e r o r e a l ( p o s i t i v o ) C > 0,

e x i s t e s i e m p r e n(C ) ∈ N t a l q u e p a r a t o d o n ≥ n(C ), an = n ≥ n(C ) > C.I g u a l m e n t e , l a s u c e s i ó n

{bn}n∈N

= {−n}n∈N

= {−1, −2, −3 · · · }e s t a l q u e ,

a s i g n a d o u n n ú m e r o r e a l ( p o s i t i v o ) C > 0, e x i s t e s i e m p r e n(C )

∈N t a l q u e

p a r a t o d o n ≥ n(C ), bn = −n ≤ −n(C ) < −C.

D e n i c i ó n 5 . 1 . 1 4 S e a {an}n∈N

u n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s .

1 ) S e d i c e q u e {an}n∈N

e s p r o p i a m e n t e d i v e r g e n t e y t i e n d e a ∞

,

lımn→∞

an = ∞, s i p a r a t o d o n ú m e r o r e a l ( p o s i t i v o ) C > 0, e x i s t e n(C ) ∈ N t a l

q u e p a r a t o d o n ≥ n(C ), an > C.2 ) S e d i c e q u e {an}n∈

N

p r o p i a m e n t e d i v e r g e n t e y t i e n d e a −∞,

lımn→∞

an = −∞, s i p a r a t o d o n ú m e r o r e a l ( p o s i t i v o ) C > 0, e x i s t e n(C ) ∈ N

t a l q u e p a r a t o d o n ≥ n(C ), an < −C.

E j e m p l o s 5 . 1 . 1 5 1 ) L a s u c e s i ó n d e F i b o n a c c i d e l e j e m p l o ( 5 . 1 . 4 ) t i e n e l í -

m i t e i g u a l a ∞. ( N o e s s e n c i l l o v e r i c a r d i r e c t a m e n t e q u e e s t a s u c e s i ó n n o

e s t á a c o t a d a . V e r e m o s q u e e s m o n ó t o n a c r e c i e n t e y d i v e r g e n t e y , p o r t a n t o ,

n o p u e d e e s t a r a c o t a d a . )



5 . 1 . D E F I N I C I Ó N 7 7

2 ) S e a {an}n∈N

= {n2−2n

}n∈N

. P a r a v e r i c a r q u e lımn→∞

an = ∞ u t i l i z a n d o

l a d e n i c i ó n a n t e r i o r , d a d o

C > 0,h a y q u e h a l l a r

n(C ) ∈ Nt a l q u e s i

n ≥ n(C ), e n t o n c e s

n2−2n > C. A h o r a

n2 − 2

n> C ⇔ n2 − n C − 2 > 0

⇔ (n − C +√

C 2 + 8

2) (n − C − √

C 2 + 8

2) > 0

⇔ n ∈ (−∞,C − √

C 2 + 8

2) ∪ (

C +√

C 2 + 8

2, ∞).

S e s i g u e q u e s i e l e g i m o s n(C ) > C +√

C 2+8

2

, p a r a t o d o n≥

n(C ) s e t e n d r á

an = n2−2n > C.

3 ) S e a {an}n∈N

= {rn}n∈N

, d o n d e r e s u n n ú m e r o r e a l t a l q u e r > 1c o m o e n e l a p a r t a d o 3 ) d e l o s e j e m p l o s ( 5 . 1 . 1 2 ) . H e m o s v i s t o q u e s i M > 0,e n t o n c e s e x i s t e n(M ) ∈ N t a l q u e rn(M ) > M. S i a h o r a n e s u n n ú m e r o

n a t u r a l m a y o r q u e n(M ), s e t e n d r á q u e rn > rn(M ) > M. E n t o n c e s lımn→∞

rn =∞.

5 . 1 . 4 C o m p a r a c i ó n d e l í m i t e s :

1 ) S e a

{an

}n∈ N

t a l q u e an > 0

p a r a t o d o n

∈N.

E n t o n c e s

lımn→∞

1

an= ∞ ⇔ lım

n→∞an = 0.

E n p a r t i c u l a r , s i 0 < r < 1, lımn→∞

(1r )n = ∞ ⇒ lımn→∞

rn = 0.

2 ) S e a n {an}n∈

N

y {bn}n∈

N

t a l e s q u e an ≤ bn p a r a t o d o n ∈ N. E n t o n c e s

• lımn→∞

an = ∞ ⇒ lımn→∞

bn = ∞.

• lımn→∞

bn = −∞ ⇒ lımn→∞

an = −∞.

3 ) S e a L > 0 y s e a n {an}n∈N

y {bn}n∈N

t a l e s q u e an > 0, bn > 0 p a r a

t o d o n ∈ N

y lımn→∞

anbn

= L.E n t o n c e s

lımn→∞

an = ∞ ⇔ lımn→∞

bn = ∞.




E j e m p l o s 5 . 1 . 1 6 1 ) lımn→∞

(π5 )n = 0 y lım

n→∞( 5π )n = ∞.

2 ) V e r i c a r q u e lımn→∞

1√ n+1−√ n = ∞, lım

n→∞

n + 12 = ∞, y q u e

lımn→∞

√ n+ 1

21√

n+1−√ n= 1

2.

1√ n+1−√ n =

√ n+1+

√ n

(√

n+1−√ n)(√ n+1+√

n)=

√ n + 1 +

√ n >

√ n.

n + 12 >

√ n.

Y a q u e lımn→∞

√ n = ∞, lım

n→∞1√

n+1−√ n = lımn→∞

n + 1

2 = ∞.

lımn→∞

√ n+ 1

21√

n+1−√ n= lım

n→∞

n + 1

2(√

n + 1 − √ n) =

= lımn→∞

n + 12(√ n + 1 − √ n)

√ n+1+

√ n

√ n+1+√ n = lımn→∞

√ n+ 1

2√ n+1+√ n =

= lımn→∞

√ 1+ 1

2n√ 1+ 1

n+1

= 12

.

5 . 2 S u c e s i o n e s m o n ó t o n a s

P a r a u n a s u c e s i ó n m o n ó t o n a ( c r e c i e n t e o d e c r e c i e n t e ) {an}n∈ N

e x i s t e u n c r i -

t e r i o d e c o n v e r g e n c i a q u e n o s p e r m i t e a v e r i g u a r s i e x i s t e e l l í m i t e , s i n t e n e r

q u e c a l c u l a r l o e x p l í c i t a m e n t e .

D e n i c i ó n 5 . 2 . 1 U n a s u c e s i ó n {an}n∈N

e s

•m o n ó t o n a c r e c i e n t e s i p a r a t o d o n ∈ N, an+1 ≥ an.

• m o n ó t o n a d e c r e c i e n t e s i p a r a t o d o n ∈ N, an+1 ≤ an.

E j e m p l o s 5 . 2 . 2 1 ) {an}n∈N

= { 1n}n∈

N

e s d e c r e c i e n t e .

2 ) {an}n∈N

= { nn+1

}n∈N

e s c r e c i e n t e .

3 ) {an}n∈N

= {(−1)n}n∈N

n o e s m o n ó t o n a .

T e o r e m a 5 . 2 . 3 ( T e o r e m a d e c o n v e r g e n c i a m o n ó t o n a )

U n a s u c e s i ó n m o n ó t o n a e s c o n v e r g e n t e s i y s ó l o s i e s t á a c o t a d a . A d e m á s ,

•s i an+1 ≥ an e s m o n ó t o n a c r e c i e n t e y a c o t a d a , e n t o n c e s

lımn→∞

an = sup({an : n ∈ N}).



5 . 2 . S U C E S I O N E S M O N Ó T O N A S 7 9

• s i an+1 ≥ an e s m o n ó t o n a d e c r e c i e n t e y a c o t a d a , e n t o n c e s

lımn→∞ an = inf ({an : n ∈ N}).

L a v a l i d e z d e e s t e c r i t e r i o s e s i g u e d e l a c o m p l e t i t u d d e R

y d e l a s p r o p i e d a d e s

b á s i c a s d e l o s s u p r e m o s e í n m o s .

E j e m p l o s 5 . 2 . 4 1 ) {an}n∈N

= { 1n}n∈

N

t i e n e l í m i t e 0 , i g u a l a s u í n m o .

2 ) {an}n∈N

= { nn+1

}n∈N

t i e n e l í m i t e 1 , i g u a l a s u s u p r e m o .

E l n ú m e r o e

: e l n ú m e r o e

e s , p o r d e n i c i ó n , e l l í m i t e d e l a s u c e s i ó n

{en}n∈N

= {(1 + 1n)n}n∈

N

. L a c o n v e r g e n c i a d e {en}n∈

N

e s u n a d e l a s a p l i -

c a c i o n e s m á s i m p o r t a n t e s d e l t e o r e m a d e c o n v e r g e n c i a m o n ó t o n a : s e p u e d e

v e r i c a r , p o r m e d i o d e l a f ó r m u l a d e l b i n o m i o d e N e w t o n ( 5 . 1 ) y o t r o s r e s u l -

t a d o s e l e m e n t a l e s , q u e e s t a s u c e s i ó n e s c r e c i e n t e y q u e e s t á a c o t a d a i n f e r i o r -

m e n t e p o r 2 y s u p e r i o r m e n t e p o r 3 .

M á s e n g e n e r a l , s e v e r i c a q u e

e = lımn→∞

(1 + an)1an ,

p a r a c u a l q u i e r s u c e s i ó n {an}n∈N

t a l q u e lımn→∞

an = 0y

an = 0p a r a t o d o

n ∈ N.E s t a m b i é n i m p o r t a n t e n o t a r q u e l a c o n v e r g e n c i a d e l a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s

r a c i o n a l e s {en}n∈

N

a l n ú m e r o i r r a c i o n a l e e v i d e n c i a e l c a r á c t e r i n c o m p l e t o

d e l c o n j u n t o Q.

E n e l s i g u i e n t e e j e m p l o s e u t i l i z a l a d e n i c i ó n d e

ep a r a c a l c u l a r e l l í m i t e d e

u n a s u c e s i ó n s i m i l a r a {en}n∈ N

.

E j e m p l o 5 . 2 . 5 H a l l a r , s i e x i s t e , e l l í m i t e d e l a s u c e s i ó n

{an}n∈N

= {(1 + 1n+2)n}n∈

N

.E s c r i b i m o s {an}n∈ N

c o m o e l c o c i e n t e d e d o s s u c e s i o n e s :

(1 +1

n + 2)n =

(1 + 1n+2)n+2

(1 + 1n+2)2

.

A h o r a ,

lımn→∞ (1 +

1

n + 2 )n+2

= lımm→∞ (1 +

1

m)m

= e,y

lımn→∞

(1 +1

n + 2)2 = 1.


(1 + 1n+2

)n = e.




E j e r c i c i o 5 . 2 . 1 H a l l a r , s i e x i s t e , e l l í m i t e d e l a s s u c e s i o n e s {(1 + 1n)−5n}n∈

N

y

{(1 +

3

n)

n

}n∈N

.

E l e s t u d i o d e l a c o n v e r g e n c i a d e u n a s u c e s i ó n e s , e n g e n e r a l , b a s t a n t e m á s

c o m p l e j o s i n o t e n e m o s u n a d e n i c i ó n e x p l í c i t a d e s u s t é r m i n o s .

E l s i g u i e n t e e j e m p l o i l u s t r a c o m o u t i l i z a r e l c r i t e r i o d e c o n v e r g e n c i a m o n ó t o -

n a p a r a e s t u d i a r l a c o n v e r g e n c i a d e s u c e s i o n e s d e n i d a s d e f o r m a r e c u r s i v a .

E j e m p l o 5 . 2 . 6 S e a {an}n∈

N

d e n i d a r e c u r s i v a m e n t e p o r a1 = 2,

an+1 = 12 (an + 6) s i n

≥1.

L o s p r i m e r o s t é r m i n o s d e n u e s t r a s u c e s i ó n s o n :

a1 = 2, a2 = 4, a3 = 5, a4 = 5.5, a5 = 5.75, a6 = 5.875, a7 = 5.9375.

P a r a d e m o s t r a r q u e {an}n∈N

c o n v e r g e y c a l c u l a r s u l í m i t e n o s h a c e f a l t a

v e r i c a r q u e e s m o n ó t o n a y q u e e s t á a c o t a d a :

• {an}n∈N

e s c r e c i e n t e :

p o r i n d u c c i ó n : a2 = 4 ≥ a1 = 2 y s i an+1 ≥ an, e n t o n c e s

an+2

=1

2(a

n+1+ 6)

≥1

2(a

n+ 6) = a

n+1.

• {an}n∈N

e s t á a c o t a d a s u p e r i o r m e n t e p o r 6 :

p o r i n d u c c i ó n : a1 = 2 < 6 y s i an < 6, e n t o n c e s

an+1 =1

2(an + 6) <

1

2(6 + 6) = 6.

•c á l c u l o d e l l í m i t e : s e a L = lım

n→∞an. E l m é t o d o q u e v a m o s a u t i l i z a r

p a r a c a l c u l a r e l l í m i t e L s e b a s a s o b r e l a o b s e r v a c i ó n q u e s i L =lımn→∞

an, e n t o n c e s L = lımn→∞

an+1 ( v e r i c a r ) :

L = lımn→∞

an+1 = lımn→∞

1

2(an + 6) =

1

2(L + 6),

S e s i g u e q u e L − 12

L = 3, e s d e c i r , q u e L = 6.



5 . 3 . P R I M E R O S C R I T E R I O S D E C O N V E R G E N C I A 8 1

5 . 3 P r i m e r o s c r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a

E s t u d i a r l a c o n v e r g e n c i a d e u n a s u c e s i ó n p o r m e d i o d e l a d e n i c i ó n d e l í m i t e

y s u s p r o p i e d a d e s b á s i c a s n o r e s u l t a e n g e n e r a l m u y e f e c t i v o . H a c e f a l t a

d e s a r r o l l a r , i g u a l q u e e n e l c a s o m á s g e n e r a l d e l í m i t e s d e f u n c i o n e s r e a l e s d e l

s i g u i e n t e c a p í t u l o , u n o s c r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a y d i v e r g e n c i a m á s s e n c i l l o s

d e a p l i c a r y m á s r e s o l u t i v o s .

T e o r e m a 5 . 3 . 1 ( T e o r e m a d e l e n c a j e o d e l s a n d w i c h )

S e a n {an}n∈N

, {bn}n∈N

y {cn}n∈N

t r e s s u c e s i o n e s t a l e s q u e ∀n ∈ N,an ≤ bn ≤ cn. S i lım

n→∞an = lım

n→∞cn = L, e n t o n c e s {bn}n∈ N

e s c o n v e r g e n t e y

lımn

→∞

bn = L.

D e m o s t r a c i ó n S e a > 0. E n t o n c e s e x i s t e n d o s n ú m e r o s n a t u r a l e s n() y

m()t a l e s q u e s i

ne s u n n ú m e r o n a t u r a l m a y o r q u e a m b o s

n()y

m(),

− < an − L ≤ bn − L ≤ cn − L < .

S e s i g u e q u e |bn − L| < . 2

O b s e r v a c i ó n 1 3 S i lımn→∞

|an| = 0, e n t o n c e s lımn→∞

an = 0, y a q u e ,

∀n ∈ N, −|an| ≤ an ≤ |an|.E j e m p l o 5 . 3 . 2 D e m o s t r a r q u e lım

n→∞n√

n = 1.

V a m o s a u t i l i z a r l a f ó r m u l a d e l b i n o m i o d e N e w t o n

:

(a + b)n =n

k=0

n

k

ak bn−k, ( 5 . 1 )

d o n d e

nk

= n!

k! (n−k)!.

Y a q u e n ≥ 1, s e v e r i c a t a m b i é n q u e

n√

n ≥ 1. E n t o n c e s p o d e m o s e s c r i b i r

q u e

n√

n = a + 1, d o n d e a e s u n n ú m e r o n o n e g a t i v o . A h o r a ,

n = ( n√

n)n = (a + 1)n =n

k=0

n

k

(a)k (1)n−k

= 1 + n a +n(n − 1)

2a2 + · · · ≥ 1 +

n(n − 1)

2a2.




S e s i g u e q u e n ≥ 1+ n(n−1)2 a2, e s d e c i r , q u e n−1 ≥ n(n−1)

2 a2y , s i m p l i c a n d o ,

q u e

0 ≤ a

2

= (

n

√ n − 1)

2

≤2

n .P o r e l t e o r e m a d e l e n c a j e ,

lımn→∞ (

n

√ n − 1)

2

= 0.D e e s t e ú l t i m a i d e n t i d a d s e s i g u e q u e lım

n→∞n√

n = 1.

E j e m p l o 5 . 3 . 3 S e a r u n n ú m e r o r e a l . E n t o n c e s l a s u c e s i ó n {rn}n∈ N

e s t a l

q u e

lımn→∞

rn

= 0 s i |r| < 1,

= 1 s i r = 1,

n o e x i s t e s i r = −1 o s i |r| > 1.

S i r = 1, l a s u c e s i ó n {rn}n∈ N

e s l a s u c e s i ó n c o n s t a n t e i g u a l a 1 y s i r = −1e s l a s u c e s i ó n

{(

−1)n

}n

∈N

.S i |r| < 1, l a s u c e s i ó n {|rn|}n∈

N

c o n v e r g e a 0 y l a s u c e s i ó n {rn}n∈N

t a m -

b i é n c o n v e r g e r á a 0 . S i |r| > 1, l a s u c e s i ó n {|rn|}n∈N

d i v e r g e p r o p i a m e n t e y

{rn}n∈ N

n o p u e d e e s t a r a c o t a d a y , p o r t a n t o , t a m b i é n d i v e r g e .

E j e r c i c i o s 5 . 3 . 1 1 ) C a l c u l a r , s i e x i s t e , lımn→∞

sen(n)n .

2 ) C a l c u l a r , s i e x i s t e , lımn→∞

ncos(n)n2+1

.

3 ) H a l l a r lımn→∞

ln(n)n .

T e o r e m a 5 . 3 . 4 ( C r i t e r i o d e l c o c i e n t e )

S e a {an}n∈N

t a l q u e ∀n ∈ N, an > 0 y lımn→∞

an+1

an= L.

E n t o n c e s

lımn→∞

an

= 0 s i L < 1,

= ∞ s i L > 1.

D e m o s t r a c i ó n S i L < 1, e n t o n c e s p a r a t o d o > 0 e x i s t e n() ∈ N

t a l q u e

p a r a t o d o n, n ≥ n(),

− < an+1

an− L <

−an < an+1 − Lan < an

(− + L)an < an+1 < ( + L)an < an,



5 . 4 . S U B S U C E S I O N E S 8 3

d o n d e e n l a ú l t i m a d e s i g u a l d a d h e m o s e l e g i d o t a l q u e + L < 1. S e

s i g u e q u e p a r a t o d o

n ≥ n(), 0 < an+1 < an,e s d e c i r , q u e l a s u c e s i ó n e s

e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e . P o r t a n t o c o n v e r g e y lımn→∞

an = M ≥ 0.

Q u e d a s ó l o v e r i c a r q u e M = 0. P e r o M n o p u e d e s e r p o s i t i v o , y a q u e s e

t e n d r í a q u e

L = lımn→∞

an+1

an+

M

M = 1,

y s a b e m o s q u e L < 1.E l c a s o L > 1 s e s i g u e d e l c a s o L < 1 a p l i c a d o a l a s u c e s i ó n

{bn}n∈N

={ 1

an}n∈

N

: s i {an}n∈

N

e s t a l q u e L > 1, e n t o n c e s lımn→∞

bn+1

bn= lım

n→∞an

an+1= 1

L <

1. P o r e l c a s o a n t e r i o r , lımn→∞

bn = 0 y lımn→∞

an = ∞. 2

O b s e r v a c i ó n 1 4 S i L = 1 e l c r i t e r i o d e l c o c i e n t e n o e s c o n c l u s i v o s o b r e l a

c o n v e r g e n c i a d e {an}n∈

N

. P o r e j e m p l o , l a s s u c e s i o n e s {an}n∈

N

= { 1

n}n∈

N

y

{bn}n∈N

= {n}n∈N

v e r i c a n l a c o n d i c i ó n L = 1, p e r o u n a e s c o n v e r g e n t e y l a

o t r a e s d i v e r g e n t e .

E j e m p l o 5 . 3 . 5 E s t u d i a r l a c o n v e r g e n c i a d e l a s u c e s i ó n {3n

n!}n∈N

.

lımn→∞

an+1

an= lım

n→∞3n+1

(n + 1)!

n!

3n= lım

n→∞3

n + 1= 0 < 1.


3nn! = 0.

5 . 4 S u b s u c e s i o n e s

H e m o s d e n i d o u n a s u c e s i ó n c o m o u n a f u n c i ó n r e a l c u y o d o m i n i o e s e l c o n -

j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s N. E n e s t a s e c c i ó n v e r e m o s q u e s e p u e d e

e s t u d i a r l a c o n v e r g e n c i a d e u n a s u c e s i ó n d a d a , {an}n∈

N

, s i m p l e m e n t e m i -

r a n d o a s u s r e s t r i c c i o n e s ( c o m o f u n c i ó n ) s o b r e s u b c o n j u n t o s p a r t i c u l a r e s d e l

d o m i n i o N.

P o r e j e m p l o , a p a r t i r d e l a s u c e s i ó n

{an

}n

∈N

=

{(

−1)n

}n

∈N

,s e p u e d e n d e -

n i r d o s n u e v a s s u c e s i o n e s , q u e s o n s u s r e s t r i c c i o n e s s o b r e e l c o n j u n t o d e l o s

n ú m e r o s n a t u r a l e s p a r e s y i m p a r e s , r e s p e c t i v a m e n t e . E s t a s d o s r e s t r i c c i o n e s

s o n

{a2n}n∈N

= {1, 1, 1, · · · } y {a2n−1}n∈

N

= {−1, −1, −1, · · · }




y s o n c l a r a m e n t e d o s s u c e s i o n e s c o n v e r g e n t e s : l a p r i m e r a c o n v e r g e a 1 y l a

s e g u n d a a - 1 .

D e n i c i ó n 5 . 4 . 1 S e a {an}n∈ N

u n a s u c e s i ó n y s e a {rn}n∈ N

u n a s u c e s i ó n e s -

t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e d e n ú m e r o s n a t u r a l e s .

E n t o n c e s q u e d a d e n i d a u n a n u e v a s u c e s i ó n {arn}n∈N

, q u e s e d e n o m i n a s u b -

s u c e s i ó n d e {an}n∈N

.

E j e m p l o s 5 . 4 . 2 1 ) S e a {an}n∈N

= {sen( (n−1)π2 )}n∈

N

== {sen(0),sen(π

2 ),sen(3π2 ),sen(2 π),sen(5π

2 ), · · · } = {0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, · · · }.E s t a s u c e s i ó n e s o s c i l a n t e y c o n t i e n e l a s d o s s u b s u c e s i o n e s

{arn}n∈N

= {a2n−1}n∈N

= {0, 0, 0, · · · } y

{asn}n∈N = {a4n}n∈ N = {−1, −1, −1, · · · }.2 ) L a s u c e s i ó n {1, 2, 3, 1, 4, 5, 1, 6, 7, 1, 8, 9, · · · } c o n t i e n e l a s s u b s u c e s i o -

n e s {1, 1, 1, 1, · · · } y {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, · · · }.

5 . 4 . 1 C r i t e r i o d e d i v e r g e n c i a b a s a d o e n s u b s u c e s i o n e s

E l s i g u i e n t e t e o r e m a n o s p r o p o r c i o n a u n c r i t e r i o d e d i v e r g e n c i a b a s a d o e n

s u b s u c e s i o n e s .

T e o r e m a 5 . 4 . 3 S i {an}n∈N

c o n v e r g e a u n n ú m e r o r e a l L, e n t o n c e s t o d a s u b -

s u c e s i ó n

{arn

}n

∈N

c o n v e r g e a L.

D e m o s t r a c i ó n S e a

L = lımn→∞

an y s e a {arn}n∈N

u n a s u b s u c e s i ó n d e {an}n∈N

.

Y a q u e L

e s e l l í m i t e d e {an}n∈ N

,d a d o

> 0,e x i s t e

n() ∈ Nt a l q u e p a r a

t o d o n ≥ n(), |an − L| < . E n p a r t i c u l a r , p a r a t o d o rn ≥ rn()(≥ n())|arn − L| < .

S e s i g u e q u e L = lım

n→∞arn. 2

E n t o n c e s t e n e m o s e l s i g u i e n t e c r i t e r i o d e d i v e r g e n c i a :

s i q u e r e m o s v e r i -

c a r q u e u n n ú m e r o r e a l L n o e s e l l í m i t e d e u n a s u c e s i ó n {an}n∈

N

, b a s t a

c o n e n c o n t r a r u n a s u b s u c e s i ó n {arn}n∈ N

q u e n o s e a c o n v e r g e n t e o q u e t e n g a

c o m o l í m i t e u n n ú m e r o d i s t i n t o d e L.

E j e m p l o s 5 . 4 . 4 1 ) L a s u c e s i ó n {an}n∈N

= {(−1)n}n∈N

, n o p u e d e c o n v e r g e r

a n i n g ú n n ú m e r o L, y a q u e l a s d o s s u b s u c e s i o n e s

{a2n}n∈N

= {1, 1, 1, · · · } y {a2n−1}n∈N

= {−1, −1, −1, · · · }



5 . 4 . S U B S U C E S I O N E S 8 5

0.15

–0.1

0.05

0

0.05

0.1

F i g u r a 5 . 3 : D o s s u b s u c e s i o n e s m o n ó t o n a s d e { sen(n)

n}n∈

N

t i e n e l í m i t e s d i s t i n t o s .

2 ) L a s m i s m a s c o n c l u s i o n e s d e l e j e m p l o 1 ) v a l e n p a r a l a s s u c e s i o n e s

{sen( (n−1)π2

)}n∈N

y {1, 2, 3, 1, 4, 5, 1, 6, 7, 1, 8, 9, · · · }.

5 . 4 . 2 T e o r e m a d e B o l z a n o - W e i e r s t r a s s

E l t e o r e m a d e B o l z a n o - W e i e r s t r a s s e s u n t e o r e m a d e c o n v e r g e n c i a p a r a s u b -

s u c e s i o n e s d e s u c e s i o n e s a c o t a d a s . S u v a l i d e z s e s i g u e d i r e c t a m e n t e d e u n

t e o r e m a d e e x i s t e n c i a d e s u b s u c e s i o n e s m o n ó t o n a s .

T e o r e m a 5 . 4 . 5 ( T e o r e m a d e l a s u b s u c e s i ó n m o n ó t o n a ) T o d a s u c e s i ó n

{an}n∈N

c o n t i e n e u n a s u b s u c e s i ó n m o n ó t o n a .

P a r a t e n e r u n a i d e a d e p o r q u é e l t e o r e m a a n t e r i o r e s v á l i d o , m i r a m o s a

l a g r á c a d e u n a s u c e s i ó n ( n o m o n ó t o n a ) , c o m o e s l a s u c e s i ó n { sen(n)

n}n∈N

,r e p r e s e n t a d a e n l a g u r a ( 5 . 3 ) . E n l a g u r a s e p u e d e n r e c o n o c e r d o s s u b -

s u c e s i o n e s m o n ó t o n a s : l a p r i m e r a e s p o s i t i v a y d e c r e c i e n t e y l a s e g u n d a e s

n e g a t i v a y c r e c i e n t e .




E s t á c l a r o q u e s i l a s u c e s i ó n d e l t e o r e m a a n t e r i o r e s t á a c o t a d a , t o d a s u b s u c e -

s i ó n m o n ó t o n a e s t a r á t a m b i é n a c o t a d a . S e s i g u e d e l t e o r e m a d e c o n v e r g e n c i a

m o n ó t o n a q u e

T e o r e m a 5 . 4 . 6 ( T e o r e m a d e B o l z a n o - W e i e r s t r a s s ) T o d a s u c e s i ó n a c o -

t a d a c o n t i e n e u n a s u b s u c e s i ó n c o n v e r g e n t e .

E j e m p l o s 5 . 4 . 7 1 ) L a s u c e s i ó n {an}n∈N

= {(−1)n}n∈ N

, e s t á a c o t a d a y l a s

d o s s u b s u c e s i o n e s m o n ó t o n a s ( c o n s t a n t e s )

{a2n}n∈N

= {1, 1, 1, · · · } y {a2n−1}n∈N

= {−1, −1, −1, · · · }c o n v e r g e n .

2 ) L a s u c e s i ó n {sen((n−1)π2 )}n∈ N

e s t á a c o t a d a p o r 1 y s u s s u b s u c e s i o n e s

m o n ó t o n a s t i e n e n q u e s e r c o n v e r g e n t e s .

3 ) L a s u c e s i ó n {1, 2, 3, 1, 4, 5, 1, 6, 7, 1, 8, 9, · · · } n o e s t á a c o t a d a y c o n t i e -

n e l a s u c e s i ó n m o n ó t o n a c r e c i e n t e {n}, q u e e s p r o p i a m e n t e d i v e r g e n t e .

5 . 5 C r i t e r i o d e C a u c h y

E l c r i t e r i o d e C a u c h y p a r a s u c e s i o n e s r e a l e s c o n s i s t e e n l a f o r m u l a c i ó n d e u n a

c o n d i c i ó n e q u i v a l e n t e a l a c o n d i c i ó n d e c o n v e r g e n c i a d e u n a s u c e s i ó n .

D e n i c i ó n 5 . 5 . 1 U n a s u c e s i ó n

{an}n∈ N

e s u n a s u c e s i ó n d e C a u c h y s i

p a r a t o d o > 0 e x i s t e n() ∈ N t a l q u e |an − am| < s i n, m ≥ n().

D e f o r m a i n t u i t i v a , s i n e s g r a n d e , l o s t é r m i n o s d e u n a s u c e s i ó n d e C a u c h y

s e v a n r e u n i e n d o ( y a q u e s u s d i s t a n c i a s r e l a t i v a s s o n m á s y m á s p e q u e ñ a s )

h a s t a c o n f u n d i r s e .

E j e m p l o s 5 . 5 . 2 1 ) L a s u c e s i ó n {(−1)n}n∈N

n o e s d e C a u c h y , y a q u e , p o r

g r a n d e q u e s e a n n y m, l a d i s t a n c i a e n t r e an y am p u e d e s e r i g u a l a 2 .

2 ) L a s u c e s i ó n { 12n

}n∈N

e s d e C a u c h y , y a q u e |an − am| = | 12n

− 12m

| ≤12n + 1

2m , q u e e s u n n ú m e r o q u e p u e d e s e r a r b i t r a r i a m e n t e p e q u e ñ o p a r a n y

ms u c i e n t e m e n t e g r a n d e s (

lımn→∞1

2n = 0) .

3 ) L a s u c e s i ó n {2n}n∈N

n o e s d e C a u c h y , y a q u e s i m > n, |an − am| =|2n − 2m| = 2n |1 − 2m−n| ≥ 2n ≥ 2.

4 ) L a s u c e s i ó n {ln(n)}n∈N

n o e s d e C a u c h y , y a q u e p a r a t o d o n, |ln(2n)−ln(n)| = |ln(2nn )| = ln(2).



5 . 5 . C R I T E R I O D E C A U C H Y 8 7

C o m o s e p u e d e i n t u i r d e l o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s , l a s s u c e s i o n e s q u e c o n v e r g e n

s o n t a m b i é n d e C a u c h y . M á s i m p o r t a n t e e s q u e l a s s u c e s i o n e s d e C a u c h y s o n

e x a c t a m e n t e l a s s u c e s i o n e s c o n v e r g e n t e s .

T e o r e m a 5 . 5 . 3 ( C r i t e r i o d e C a u c h y ) U n a s u c e s i ó n d e n ú m e r o s r e a l e s e s

c o n v e r g e n t e s i y s ó l o s i e s d e C a u c h y .

C o m o a p l i c a c i ó n d e l c r i t e r i o d e C a u c h y , e n l a s i g u i e n t e s e c c i ó n v e r e m o s

q u e e x i s t e u n a c l a s e d e s u c e s i o n e s , l a s s u c e s i o n e s c o n t r a c t i v a s , q u e s o n s u c e -

s i o n e s d e C a u c h y y , p o r t a n t o , c o n v e r g e n . P o d e r v e r i c a r l a c o n v e r g e n c i a p o r

m e d i o d e l a c o n d i c i ó n d e C a u c h y e s p a r t i c u l a r m e n t e ú t i l c u a n d o n o s e t e n g a

u n a e x p r e s i ó n e x p l í c i t a d e l a s u c e s i ó n e n e s t u d i o , c o m o p a r a l a s s u c e s i o n e s

q u e s o n d e n i d a s d e f o r m a r e c u r s i v a .

E j e m p l o 5 . 5 . 4 S e a {an}n∈ N

d e n i d a r e c u r s i v a m e n t e c o m o a1 = 1,

an+1 = an + 1n

s i n ≥ 1.

L o s p r i m e r o s t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n s o n

a1 = 1, a2 = a1 +1

1= 1 + 1,

a3 = a2 +1

2= 1 + 1 +

1

2, a4 = a3 +

1

3= 1 + 1 +

1

2+

1

3.

N o e s d i f í c i l d e m o s t r a r p o r i n d u c c i ó n q u e an = 1 +

n−1k=1

1k p a r a t o d o n ≥ 1.

S i a h o r a c a l c u l a m o s e l v a l o r d e |an − am|, c o n n > m, s e o b t i e n e q u e

|an − am| = |n−1k=m

1

k| = | 1

m+

1

m + 1+ · · · +

1

n − 1|.

L a ú l t i m a s u m a c o n t i e n e n − m t é r m i n o s q u e s o n t o d o s m a y o r e s o i g u a l e s a l

t é r m i n o ( e l m á s p e q u e ñ o )

1n−1

.S e s i g u e q u e

|an − am| ≥ n − m

n

−1

.

Y a q u e lımn→∞

n−mn−1

= 1,s i

ne s s u c i e n t e m e n t e g r a n d e e l v a l o r d e

n−mn−1 e s t a r á

p r ó x i m o a 1 y , p o r t a n t o , s e r á m a y o r q u e

12 . E n t o n c e s

|an − am|n o p o d r á s e r

a r b i t r a r i a m e n t e p e q u e ñ o y {an}n∈N

n o p u e d e s e r c o n v e r g e n t e , n o s i e n d o d e

C a u c h y .




5 . 6 S u c e s i o n e s c o n t r a c t i v a s

O t r a c l a s e d e s u c e s i o n e s p a r a l a s c u a l e s l a c o n v e r g e n c i a e s t á g a r a n t i z a d a e s l a

c l a s e d e l a s s u c e s i o n e s c o n t r a c t i v a s . V e r i c a r l a c o n d i c i ó n d e q u e u n a s u c e s i ó n

s e a c o n t r a c t i v a r e s u l t a , a m e n u d o , m á s f á c i l q u e e s t u d i a r d i r e c t a m e n t e l o s

t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n e n c u e s t i ó n .

D e n i c i ó n 5 . 6 . 1 U n a s u c e s i ó n {an}n∈N

e s c o n t r a c t i v a s i e x i s t e u n a c o n s -

t a n t e r e a l C, 0 < C < 1, t a l q u e p a r a t o d o n ≥ 1,

|an+2 − an+1| ≤ C |an+1 − an|. ( 5 . 2 )

D e f o r m a i n t u i t i v a y s i m i l a r a l c a s o d e l a s s u c e s i o n e s d e C a u c h y , l a s s u c e -

s i o n e s c o n t r a c t i v a s s o n t a l e s q u e l a d i s t a n c i a e n t r e u n t é r m i n o y e l s u c e s i v o

d i s m i n u y e p r o g r e s i v a m e n t e ( y a q u e 0 < C < 1) , h a s t a q u e t o d o s l o s t é r m i n o s

s e c o n f u n d e n e n e l v a l o r l í m i t e .

E j e m p l o 5 . 6 . 2 S e a {an}n∈ N

l a s u c e s i ó n { 12n

}n∈N

. E n t o n c e s |an+2 − an+1| =

| 12n+2 − 1

2n+1 | = 12n+1 |1

2− 1| = 1

2n+2 . P o r o t r o l a d o , |an+1 − an| = | 12n+1 − 1

2n| =

12n

| 12− 1| = 1

2n+1 . S e s i g u e q u e |an+2 − an+1| = 1

2|an+1 − an| y q u e , p o r t a n t o ,

{an}n∈N

e s c o n t r a c t i v a c o n c o n s t a n t e C = 12 .

T e o r e m a 5 . 6 . 3 T o d a s u c e s i ó n c o n t r a c t i v a e s d e C a u c h y y , e n t o n c e s , e s c o n -

v e r g e n t e .

A d e m á s , s i {an}n∈ N

e s c o n t r a c t i v a c o n c o n s t a n t e C y lımn→∞

an = L, p o d e m o s

e s t i m a r e l e r r o r q u e s e h a c e a l a p r o x i m a r L c o n l o s t é r m i n o s d e l a s u c e s i ó n

p o r m e d i o d e l a s s i g u i e n t e s f ó r m u l a s :

1) |L − an| ≤ C n−1

1 − C |a2 − a1|, ( 5 . 3 )

2) |L − an| ≤ C

1 − C |an − an−1|. ( 5 . 4 )

E j e m p l o 5 . 6 . 4 S e a {an}n∈N

l a s u c e s i ó n d e n i d a p o r a1 = 2,

an+1 = 2 + 1(an)2

s i n ≥ 1.

V a m o s a v e r i c a r q u e {an}n∈N

e s c o n t r a c t i v a .



5 . 7 . R E S U M E N S O B R E C O N V E R G E N C I A Y D I V E R G E N C I A 8 9

|an+2 − an+1| = |2 + 1(an+1)2

− 2 − 1(an)2

| = | 1(an+1)2

− 1(an)2

| =

=|(an)2 − (an+1)2|

(an)2(an+1)2=

|an − an+1| |an + an+1|(an)2(an+1)2

.

S e t r a t a e n t o n c e s d e m a y o r a r l a e x p r e s i ó n

|an+an+1|(an)2(an+1)2

p o r m e d i o d e u n a

c o n s t a n t e C t a l q u e 0 < C < 1. P a r a e n c o n t r a r C, s e p u e d e n e s t i m a r c o t a s

i n f e r i o r e s y s u p e r i o r e s d e {an}n∈N

: p a r a t o d o n ≥ 2,

an+1 = 2 +1

(an

)2> 2 y an+1 = 2 +

1

(an

)2< 2 +

1

4=

9

4= 2, 25.

E n t o n c e s ,

|an + an+1|(an)2(an+1)2

≤ |an| + |an+1|(an)2(an+1)2

≤94 + 9

4

4 · 4=

9

32= C, y

|an+2 − an+1| ≤ 9

32|an − an+1|.

S e s i g u e q u e {an}n∈N

e s c o n t r a c t i v a y c o n v e r g e a u n l í m i t e L(> 0) t a l q u e

L = 2 + 1L2 . L a ú n i c a s o l u c i ó n r e a l d e l a e c u a c i ó n L = 2 + 1

L2 e s

L =1

6

(172 + 12 √ 177)(2/3) + 16 + 4 (172 + 12 √ 177)(1/3)

(172 + 12√

177)(1/3).

5 . 7 R e s u m e n s o b r e c o n v e r g e n c i a y d i v e r g e n c i a

S e a n {xn}n∈ N

, {yn}n∈ N

, {z n}n∈ N

y {an}n∈N

s u c e s i o n e s r e a l e s .

C R I T E R I O S D E C O N V E R G E N C I A

S i L ∈ R,

s e p u e d e d e m o s t r a r q u e L = limn→∞ xn :

1 . U t i l i z a n d o l a d e n i c i ó n d e l í m i t e : ∀ > 0 ∃n() t a l q u e ∀n ≥ n() |xn −L| < .

2 . S i ∃C > 0, {an}n∈ N

y M ∈ N

t a l e s q u e ∀n ≥ M |xn − L| ≤ C |an| y

limn→∞ an = 0.




3 . ( T e o r e m a d e l s a n d w i c h ) S i limn→∞ xn = limn→∞ z n = L y ∀n ≥ 1 xn ≤

yn ≤ z n.

S i {xn} e s u n a s u c e s i ó n , s e p u e d e d e m o s t r a r q u e

{xn} e s c o n v e r g e n t e :

1 . S i {xn} e s s u m a , d i f e r e n c i a , p r o d u c t o o c o c i e n t e ( c u a n d o t i e n e s e n t i d o )

d e s u c e s i o n e s c o n v e r g e n t e s .

2 . S i {xn} e s l a s u c e s i ó n d e l a s r a í c e s c u a d r a d a s o d e l o s v a l o r e s a b s o l u t o s

d e u n a s u c e s i ó n c o n v e r g e n t e .

3 . S i limn→∞

|xn

|= 0 ( e n e s t e c a s o limn→∞ xn = 0 ) .

4 . ( C r i t e r i o d e l c o c i e n t e ) S i xn > 0 ∀n ≥ 1 y limn→∞xn+1

xn< 1 , ( e n e s t e

c a s o limn→∞ xn = 0

) .

5 . S i {xn} e s m o n ó t o n a y e s t á a c o t a d a .

( {xn} c r e c i e n t e y a c o t a d a

⇒ limn→∞ xn = sup({xn})y

{xn} d e c r e c i e n t e y a c o t a d a ⇒ limn→∞ xn = inf ({xn}) )

6 . ( C r i t e r i o d e C a u c h y ) S i {xn} e s u n a s u c e s i ó n d e C a u c h y .

7 . S i {xn} e s c o n t r a c t i v a .

8 . S i ∀n ≥ 1 xn > 0 y limn→∞ 1xn = ∞ ( e n e s t e c a s o limn→∞ xn = 0 ) .

C R I T E R I O S D E D I V E R G E N C I A

S i {xn} e s u n a s u c e s i ó n y L ∈ R, s e p u e d e d e m o s t r a r q u e

L = limn→∞ xn :

1 . U t i l i z a n d o l a n e g a c i ó n d e l a d e n i c i ó n d e l í m i t e :

∃0 > 0 t a l q u e ∀m ∈ N ∃n ≥ m t a l q u e

|xn − L| ≥ 0.

2 . S i e x i s t e u n a s u b s u c e s i ó n d e

{xn

}c o n v e r g e n t e a u n l í m i t e d i s t i n t o d e

L.


{xn} e s d i v e r g e n t e :



5 . 7 . R E S U M E N S O B R E C O N V E R G E N C I A Y D I V E R G E N C I A 9 1

1 . S i l a s u c e s i ó n n o e s t á a c o t a d a .

2 . S i l a s u c e s i ó n {|xn|} e s d i v e r g e n t e .

3 . S i e x i s t e n d o s s u b s u c e s i o n e s c o n v e r g e n t e s a l í m i t e s d i s t i n t o s .

4 . S i e x i s t e u n a s u b s u c e s i ó n d i v e r g e n t e .

5 . S i xn n o e s d e C a u c h y .


{xn} e s

p r o p i a m e n t e d i v e r g e n t e :

1 . S i e s c r e c i e n t e y n o a c o t a d a .

2 . S i xn > 0 ∀n ≥ 1 y limn→∞xn+1

xn= L > 1.

3 . S i e s d e c r e c i e n t e y n o a c o t a d a .

4 . S i limn→∞ yn = ∞

y ∀n ≥ 1 xn ≥ yn.

5 . S i limn→∞ yn = −∞

y ∀n ≥ 1 xn ≤ yn.

6 . S i ∀n ≥ 1 xn > 0, yn > 0 y limn→∞ yn = ∞, v e r i c a n d o q u e

limn→∞yn

xn = L > 0o q u e

limn→∞yn

xn = M > 0.

7 . S i ∀n ≥ 1 xn > 0 y limn→∞ 1

xn= 0.

N o t a : e x i s t e n v a r i o s c r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a q u e s o n c o n s e c u e n c i a d e

l o s c r i t e r i o s p r e s e n t a d o s e n e s t e c a p í t u l o y q u e e l a l u m n o p u e d e e n c o n t r a r e n

l a r e f e r e n c i a s c o n t e n i d a e n l a b i b l i o g r a f í a d e e s t o s a p u n t e s .



C a p í t u l o 6

L í m i t e s d e f u n c i o n e s r e a l e s

E l c o n c e p t o d e l í m i t e d e u n a f u n c i ó n r e a l e s u n a g e n e r a l i z a c i ó n d e l c o n c e p t o

d e l í m i t e d e u n a s u c e s i ó n r e a l c u a n d o n t i e n d e a ∞. P o r e s t a r a z ó n m u c h o s d e

l o s r e s u l t a d o s q u e s e p r e s e n t a n e n e s t e c a p í t u l o s o n l a e x t e n s i ó n d e r e s u l t a d o s

v i s t o s e n e l c a p í t u l o a n t e r i o r y s e b a s a n s o b r e e l l o s .

6 . 1 D e n i c i ó n d e l í m i t e y e j e m p l o s

S i f

e s u n a f u n c i ó n r e a l , q u e r e m o s d e n i r e l v a l o r l í m i t e d e f (x)

c u a n d o x

e s u n p u n t o d e s u d o m i n i o q u e s e a c e r c a a u n v a l o r d a d o a. E l p u n t o a e n

g e n e r a l n o d e b e n e c e s a r i a m e n t e p e r t e n e c e r a l d o m i n i o d e

f.L o q u e i n t e r e s a

e s e s t u d i a r c ó m o s e c o m p o r t a f e n p u n t o s d e s u d o m i n i o c e r c a n o s a l p u n t o

a. D e e s t a m a n e r a s e h a b l a r á d e p r o p i e d a d e s l o c a l e s

d e l a f u n c i ó n f e n

u n c o n j u n t o d e l t i p o I (a, r) \ {a} = (a − r, a) ∪ (a, a + r), d o n d e r e s u n

n ú m e r o p o s i t i v o , e s d e c i r , c u a n d o s e c o n s i d e r e n p u n t o s p r ó x i m o s a l p u n t o a.D e f o r m a s i m i l a r , s i e s t a m o s e s t u d i a n d o e l l í m i t e d e u n a f u n c i ó n e n e l i n n i t o

( p o s i t i v o o n e g a t i v o ) , n o s i n t e r e s a e s t u d i a r l a f u n c i ó n f e n i n t e r v a l o s d e l t i p o

(b, ∞)o

(−∞, b),r e s p e c t i v a m e n t e , d o n d e

be s u n n ú m e r o r e a l .

E j e m p l o 6 . 1 . 1 S e a f (x) = 1x

. S u d o m i n i o e s e l c o n j u n t o R\{0}. S i e s t a m o s

i n t e r e s a d o s e n e s t u d i a r e s t a f u n c i ó n e n e l p u n t o 0, s u r e p r e s e n t a c i ó n g r á c a

e n l a g u r a ( 6 . 1 ) n o s h a c e p e n s a r q u e l o s v a l o r e s

f (x),c u a n d o

xe s t á c e r c a

d e 0, s o n m u y d i s t i n t o s s i x e s p o s i t i v o o n e g a t i v o y , e n a m b o s c a s o s , s o n

v a l o r e s q u e n o p o d e m o s a c o t a r c u a n d o x t i e n d e a 0.S i q u e r e m o s e s t u d i a r e l l í m i t e d e f e n u n p u n t o d e s u d o m i n i o , p o r e j e m p l o

e n e l p u n t o a = 12 , e n t o n c e s t e n e m o s q u e o b s e r v a r l o s v a l o r e s f (x) c u a n d o x

9 3



9 4 C A P Í T U L O 6 . L Í M I T E S D E F U N C I O N E S R E A L E S

–40

–20

20

40

y

–0.4 –0.2 0.2 0.4x

F i g u r a 6 . 1 : L í m i t e d e f (x) = 1x e n 0.

p e r t e n e c e a u n c o n j u n t o I (12

, r) \ {12}, d o n d e r e s u n n ú m e r o p o s i t i v o .

F i n a l m e n t e , s i q u e r e m o s e s t u d i a r e l l í m i t e d e f c u a n d o x t i e n d e a ∞ o a

−∞, e n t o n c e s l o s v a l o r e s f (x) q u e n o s i n t e r e s a n e s t á n e n i n t e r v a l o s d e l t i p o

(b, ∞) o (−∞, b), r e s p e c t i v a m e n t e , d o n d e b e s u n n ú m e r o r e a l .

E n t o n c e s h a c e f a l t a d e n i r e n q u é p u n t o s t i e n e s e n t i d o c a l c u l a r e l l í m i t e d e

u n a f u n c i ó n y q u é e s e x a c t a m e n t e e l l í m i t e d e u n a f u n c i ó n .

D e n i c i ó n 6 . 1 . 2 S e a A u n s u b c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s . U n p u n t o

x ∈ R e s u n p u n t o d e a c u m u l a c i ó n d e A s i p a r a t o d o δ > 0, e x i s t e u n

e l e m e n t o a d e A t a l q u e a ∈ I (x, δ ) \ {x}.

E j e m p l o s 6 . 1 . 3 1 )

12

, 13

, 23

, 0, 1 s o n p u n t o s d e a c u m u l a c i ó n d e l i n t e r v a l o (0, 1).2 ) 0 e s u n p u n t o d e a c u m u l a c i ó n d e l c o n j u n t o d e l o s v a l o r e s d e l a s u c e s i ó n

{1n}n∈ N .

3 ) E l c o n j u n t o N d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s n o t i e n e n i n g ú n p u n t o d e

a c u m u l a c i ó n .

4 ) S e a A = Q ∩ [0, 1]. E n t o n c e s t o d o p u n t o d e l i n t e r v a l o [0, 1] e s d e a c u -

m u l a c i ó n p a r a A.



6 . 1 . D E F I N I C I Ó N D E L Í M I T E Y E J E M P L O S 9 5

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

y

–3 –2 –1 1 2 3x

F i g u r a 6 . 2 : L í m i t e d e f (x) = x3 − 2x + 5 e n 1.

5 ) S i A e s u n c o n j u n t o n i t o , e n t o n c e s n o t i e n e p u n t o s d e a c u m u l a c i ó n .

P r o p o s i c i ó n 6 . 1 . 4 U n p u n t o a

∈R e s d e a c u m u l a c i ó n d e A

⊆R s i y s ó l o

s i e x i s t e u n a s u c e s i ó n {an}n∈ N

d e p u n t o s d e A t a l q u e

• p a r a t o d o n ≥ 1, an = a,

• a = lımn→∞

an.

E s t a p r o p o s i c i ó n e s u n a c o n s e c u e n c i a d i r e c t a d e l a d e n i c i ó n d e p u n t o d e

a c u m u l a c i ó n d e u n c o n j u n t o A y d e l í m i t e d e u n a s u c e s i ó n .

V a m o s a h o r a a d e n i r e l c o n c e p t o d e l í m i t e d e u n a f u n c i ó n e n u n p u n t o .

D e n i c i ó n 6 . 1 . 5 ( D e n i c i ó n

−δ d e l í m i t e ) S e a

f : A → Ru n a f u n c i ó n

y s e a a u n p u n t o d e a c u m u l a c i ó n d e A. E n t o n c e s , u n n ú m e r o r e a l L e s e l

l í m i t e d e f (x) e n a, L = lımx→a

f (x), s i p a r a t o d o > 0, e x i s t e δ () > 0 t a l

q u e

x ∈ (A \ {a}) ∩ I (a, δ ()) ⇒ f (x) ∈ I (L, ).




E s d e c i r , s i x e s u n p u n t o d e A d i s t i n t o d e a y c o n t e n i d o e n u n e n t o r n o

a b i e r t o d e c e n t r o

ay r a d i o

δ (),l a i m a g e n d e

x, f (x),e s u n p u n t o d e l

e n t o r n o a b i e r t o d e c e n t r o L y r a d i o .

E n l a g u r a ( 6 . 2 ) s e r e p r e s e n t a l a f u n c i ó n f (x) = x3 − 2x + 5. E l l í m i t e d e

f (x)e n e l p u n t o

a = 1e s

L = 4.A s i g n a d o e l v a l o r

= 0.5s e p u e d e e n c o n t r a r

u n e n t o r n o a b i e r t o d e 1 t a l q u e l a r e s t r i c c i ó n d e f a e s t e e n t o r n o d e 1 t i e n e

v a l o r e s e n t r e 4 − = 3.5

y 4 + = 4.5.

E j e m p l o s 6 . 1 . 6 1 ) S i f (x) = c e s u n a f u n c i ó n c o n s t a n t e e n R , e s t á c l a r o

q u e s u l í m i t e e n t o d o p u n t o a e s s i e m p r e i g u a l a c.2 ) S i f (x) = x e n

R, e n t o n c e s p a r a t o d o a ∈ R, lımx→a

f (x) = a. ( E n e s t e

c a s o , a s i g n a d o

> 0,e s s u c i e n t e e l e g i r

δ () = e n l a d e n i c i ó n d e l í m i t e . )

E j e r c i c i o 6 . 1 . 1 U t i l i z a n d o l a d e n i c i ó n d e l í m i t e , v e r i c a r q u e

lımx→1

x − 1√ x − 1

= 2.

C o m o p a r a l í m i t e s d e s u c e s i o n e s ( v e r p r o p o s i c i ó n ( 5 . 1 . 9 ) ) , s i e l l í m i t e d e

u n a f u n c i ó n e n u n p u n t o e x i s t e , e n t o n c e s e s ú n i c o .

P r o p o s i c i ó n 6 . 1 . 7 S i f : A → R t i e n e l í m i t e e n u n p u n t o a d e a c u m u l a c i ó n

d e A, e n t o n c e s e s t e l í m i t e e s ú n i c o .

L a d e m o s t r a c i ó n d e e s t a p r o p o s i c i ó n e s m u y s i m i l a r a l a d e m o s t r a c i ó n d e l a

p r o p o s i c i ó n ( 5 . 1 . 9 ) : s i L y M s o n d o s l í m i t e s d i s t i n t o s d e f e n a, e x i s t e n d o s

e n t o r n o s a b i e r t o s d i s j u n t o s d e L y d e M. P o r t a n t o u n o d e l o s d o s n ú m e r o s

n o p u e d e s e r e l l í m i t e d e f e n a.

6 . 2 C r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a

E n e s t a s e c c i ó n v a m o s a e m p l e a r l o s r e s u l t a d o s v i s t o s p a r a s u c e s i o n e s d e

n ú m e r o s r e a l e s e n e l c o n t e x t o d e l í m i t e s d e f u n c i o n e s .

P a r a l í m i t e s d e f u n c i o n e s v a l e u n r e s u l t a d o d e l t o d o s i m i l a r a l a p r o p o -

s i c i ó n ( 5 . 1 . 1 1 ) . S i f

t i e n e l í m i t e e n u n p u n t o a,

e n t o n c e s f

e s l o c a l m e n t e

a c o t a d a , e s d e c i r , e x i s t e u n e n t o r n o a b i e r t o I (a, r) d e c e n t r o a y r a d i o r > 0

t a l q u e l a r e s t r i c c i ó n d e f

a e s t e e n t o r n o e s u n a f u n c i ó n a c o t a d a ( e x i s t e u n a

c o n s t a n t e M > 0 t a l q u e |f (x)| ≤ M p a r a t o d o x ∈ I (a, r).)



6 . 2 . C R I T E R I O S D E C O N V E R G E N C I A 9 7

P r o p o s i c i ó n 6 . 2 . 1 S e a f : A → R u n a f u n c i ó n q u e t i e n e l í m i t e e n u n p u n t o

ad e a c u m u l a c i ó n d e

A,e n t o n c e s

f e s t á a c o t a d a e n u n e n t o r n o a b i e r t o d e

a.

L a d e m o s t r a c i ó n d e e s t a p r o p o s i c i ó n s e s i g u e d e l a d e n i c i ó n d e l í m i t e : s i

lımx→a

f (x) = L, y > 0, e n t o n c e s l a r e s t r i c c i ó n d e f a l e n t o r n o a b i e r t o I (a, δ ())

t i e n e i m a g e n c o n t e n i d a e n e l e n t o r n o I (L, ). P o r t a n t o f e s l o c a l m e n t e a c o -

t a d a .

E j e m p l o 6 . 2 . 2 L a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r s e p u e d e u t i l i z a r c o m o u n p r i m e r

c r i t e r i o d e d i v e r g e n c i a p a r a f u n c i o n e s . S i s a b e m o s q u e u n a f u n c i ó n f n o e s t á a c o t a d a e n n i n g ú n e n t o r n o d e u n p u n t o a d e a c u m u l a c i ó n d e s u

d o m i n i o , e n t o n c e s

lımx→a f (x)n o e x i s t e . P o r e j e m p l o , l a f u n c i ó n

f (x) =

1

xd e

l a g u r a ( 6 . 1 ) n o e s t á a c o t a d a e n n i n g ú n e n t o r n o a b i e r t o d e l p u n t o 0. E n

e f e c t o s e a M > 0, y s e a 0, I (0, δ ) = (−δ, δ ), u n e n t o r n o c u a l q u i e r a d e 0.P o r l a p r o p i e d a d d e A r q u í m e d e s d e N s e p u e d e s i e m p r e e n c o n t r a r u n n ú m e r o

n a t u r a l n t a l q u e n > M y 0 < 1n

< δ. E n t o n c e s f ( 1n

) = n > M, y M n o

p u e d e s e r u n a c o t a p a r a l a r e s t r i c c i ó n d e f a l e n t o r n o I (0, δ ).

T e o r e m a 6 . 2 . 3 ( C r i t e r i o d e c o n v e r g e n c i a b a s a d o e n s u c e s i o n e s )

S e a n f : A → Ru n a f u n c i ó n , a u n p u n t o d e a c u m u l a c i ó n d e A y L u n

n ú m e r o r e a l . E n t o n c e s lımx→a

f (x) = L s i y s ó l o s i p a r a t o d a s u c e s i ó n {an}n∈N

e n

A \ {a} t a l q u e

lımn→∞an = a,l a s u c e s i ó n {f (an)}n∈ N

c o n v e r g e a

L.

D e l t e o r e m a a n t e r i o r s e s i g u e i n m e d i a t a m e n t e e l s i g u i e n t e c r i t e r i o d e d i -

v e r g e n c i a .

T e o r e m a 6 . 2 . 4 ( C r i t e r i o d e d i v e r g e n c i a b a s a d o e n s u c e s i o n e s )

S e a n f : A → Ru n a f u n c i ó n , a u n p u n t o d e a c u m u l a c i ó n d e A y L u n

n ú m e r o r e a l . E n t o n c e s lımx→a

f (x) = L s i y s ó l o s i e x i s t e u n a s u c e s i ó n {an}n∈N

e n A \ {a} t a l q u e lımn→∞

an = a, p e r o l a s u c e s i ó n {f (an)}n∈N

n o c o n v e r g e a L.

O b s e r v a c i ó n 1 5 P o r e l c r i t e r i o a n t e r i o r , lımx→a

f (x) = L s i e x i s t e n d o s s u c e -

s i o n e s {an}n∈ N

y {bn}n∈ N

q u e c o n v e r g e n a l p u n t o a, p e r o s o n t a l e s q u e l a s

s u c e s i o n e s {f (an)}n∈N

y {f (bn)}n∈N

c o n v e r g e n a l í m i t e s d i s t i n t o s .




E j e m p l o s 6 . 2 . 5 1 ) V e r i c a r q u e lımx→1

ln(x) = 0.

V a m o s a u t i l i z a r e l c r i t e r i o d e c o n v e r g e n c i a b a s a d o e n s u c e s i o n e s . S e a {an}n∈N

e n A \ {a} = (0, ∞) \ {1} t a l q u e lımn→∞

an = 1. E n t o n c e s

lımn→∞

ln(an) = ln( lımn→∞

an) = ln(1) = 0.

S e s i g u e q u e lımx→1

ln(x) = 0.

2 ) S e a f : R \ {1} → R l a f u n c i ó n d e n i d a p o r

f (x) =

x s i x < 1,

x + 1 s i x > 1.

Q u e r e m o s v e r i c a r s i e x i s t e lımx→1

f (x). Y a q u e l o s v a l o r e s f (x) s o n e s t r i c t a -

m e n t e m e n o r e s q u e 1 s i x < 1 y e s t r i c t a m e n t e m a y o r e s q u e 2 s i x > 1,u t i l i z a m o s e l c r i t e r i o d e d i v e r g e n c i a b a s a d o e n s u c e s i o n e s p a r a d e m o s t r a r

q u e lımx→1

f (x) n o e x i s t e . P o r t a n t o , h a c e f a l t a d e n i r u n a s u c e s i ó n {an}n∈N

e n R \ {1} t a l q u e lımn→∞

an = 1, p e r o l a s u c e s i ó n {f (an)}n∈N

n o c o n v e r g e .

S e a an =

1 + 1

ns i n e s i m p a r ,

1 − 1n

s i n e s p a r . E n t o n c e s

f (an) = f (1 + 1

n) = 2 + 1n

s i n e s i m p a r ,

f (1−

1

n

) = 1−

1

n

s i n e s p a r .

S e s i g u e q u e {f (an)}n∈N

c o n t i e n e d o s s u b s u c e s i o n e s , {f (a2n)}n∈N

y

{f (a2n−1)}n∈N

, q u e t i e n e n l í m i t e s d i s t i n t o s . P o r t a n t o , {f (an)}n∈N

d i v e r g e y

lımx→1

f (x) n o e x i s t e .

3 ) ( F u n c i ó n d e D i r i c h l e t ) S e a f : R → R l a f u n c i ó n c a r a c t e r í s t i c a d e

l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s , d e n i d a p o r

f (x) =

1 s i x ∈ Q,

0 s i x ∈ R \Q.

V a m o s a v e r i c a r , p o r m e d i o d e l c r i t e r i o d e d i v e r g e n c i a b a s a d o e n s u c e s i o n e s ,

q u e é s t a f u n c i ó n n o t i e n e l í m i t e e n n i n g ú n p u n t o

ad e l a r e c t a r e a l .

P o r e l t e o r e m a d e d e n s i d a d d e Q e n R, p a r a t o d o n ∈ N e x i s t e u n n ú m e r o

r a c i o n a l rn t a l q u e a < rn < a + 1n .

P o r e l t e o r e m a d e d e n s i d a d d e R\Q

e n R, p a r a t o d o n ∈ N

e x i s t e u n n ú m e r o

i r r a c i o n a l sn t a l q u e a < sn < a + 1n .



6 . 2 . C R I T E R I O S D E C O N V E R G E N C I A 9 9

–1

–0.5

0.5

1

–1 – 0. 8 – 0. 6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

F i g u r a 6 . 3 : f (x) = sen(π

x).

P o r e l t e o r e m a d e l s a n d w i c h , lımn→∞

rn = lımn→∞

sn = a. S e s i g u e q u e ( v e r i c a r )

l a s u c e s i ó n d e n i d a p o r an = rn s i n e s i m p a r ,

sns i

ne s p a r ,

e s t a l q u e lımn→∞

an = a,

p e r o

f (an) =

f (rn) = 1 s i n e s i m p a r ,

f (sn) = 0 s i n e s p a r .

P o r t a n t o , l a s u c e s i ó n {f (an)}n∈ N

d i v e r g e y lımx→a

f (x) n o e x i s t e .

4 ) E n l a g u r a ( 6 . 3 ) e s t á r e p r e s e n t a d a l a g r á c a d e l a f u n c i ó n f (x) =sen(π

x) e n u n e n t o r n o d e 0. S e a {an}n∈N

= { 22n+1

}n∈N

. E n t o n c e s lımn→∞

an =

0, p e r o l a s u c e s i ó n {f (an)}n∈N

= {f ( 22n+1

)}n∈N

= {sen(nπ + π2

)}n∈N

={−1, 1, −1, 1, −1, 1, · · · } n o e s c o n v e r g e n t e . S e s i g u e q u e lım

x→0f (x) n o e x i s t e .

C o m o c o n s e c u e n c i a d e l c r i t e r i o d e c o n v e r g e n c i a b a s a d o e n s u c e s i o n e s s e p u e -

d e n v e r i c a r i n m e d i a t a m e n t e l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s d e l o s l í m i t e s d e f u n -

c i o n e s .

P r o p i e d a d e s d e l o s l í m i t e s d e f u n c i o n e s



1 0 0 C A P Í T U L O 6 . L Í M I T E S D E F U N C I O N E S R E A L E S

S e a n f : A → Ry g : A → R

d o s f u n c i o n e s r e a l e s t a l e s q u e lımx→a

f (x) = L y

lımx→a g(x) = M,d o n d e

ae s u n p u n t o d e a c u m u l a c i ó n d e

A.E n t o n c e s

P 1 ) ( P r o p i e d a d d e l i n e a l i d a d

) S i r y s s o n d o s n ú m e r o s r e a l e s , l a f u n c i ó n

(r f +s g)(x) = r f (x)+s g(x) t i e n e l í m i t e e n a y lımx→a

(r f +s g)(x) = r L+s M.

P 2 ) ( M u l t i p l i c a c i ó n

) L a f u n c i ó n (f g)(x) = f (x) g(x) t i e n e l í m i t e e n a y

lımx→a

(f g)(x) = L M.

P 3 ) ( D i v i s i ó n

) S i p a r a t o d o x ∈ A g(x) = 0 y M = 0, l a f u n c i ó n

( f g )(x) = f (x)

g(x) t i e n e l í m i t e e n a y lımx→a

(f g )(x) = L

M .

P 4 ) S i p a r a t o d o x ∈ A f (x) ≥ 0, e n t o n c e s L ≥ 0.( L n o p u e d e s e r n e g a t i v o , y a q u e e x i s t i r í a u n e n t o r n o a b i e r t o I (L, ) d e

n ú m e r o s n e g a t i v o s . )

P 5 ) S i p a r a t o d o x ∈ A f (x) ≥ g(x), e n t o n c e s L ≥ M.( S e s i g u e d e l a p r o p i e d a d a n t e r i o r a p l i c a d a a l a f u n c i ó n

(f − g)(x).)

P 6 ) lımx→a

f (x) = L ⇒ lımx→a

|f (x)| = |L|.( S e s i g u e d e l a d e s i g u a l d a d

||f (x)| − |L| | ≤ |f (x) − L|.)

P 7 ) S e a c > 0, c = 1. S i p a r a t o d o x ∈ A, f (x) > 0y

lımx→a

f (x) = L > 0, e n t o n c e s lımx→a

logc(f (x)) = logc(L).

P 8 ) S e a c > 0. S i lımx→a

g(x) = M, e n t o n c e s lımx→a

cg(x) = cM .

P 9 ) S i lımx→a

f (x) = L > 0 y lımx→a

g(x) = M > 0, e n t o n c e s

lımx→

af (x)g(x) = LM .

E j e m p l o s 6 . 2 . 6 1 ) P o r l a s p r o p i e d a d e s P 1 ) , P 2 ) y P 3 ) , lımx→1

3x4−22x2+1 = 1

3 .

2 ) P a r a c a l c u l a r lımx→2

x3−82x−4

n o p o d e m o s u t i l i z a r l a p r o p i e d a d P 3 ) d e l o s

l í m i t e s , y a q u e lımx→2

2x − 4 = 0. P e r o p o d e m o s s i m p l i c a r l a e x p r e s i ó n

x3−82x−4 :

s e a x = 2 u n p u n t o d e l d o m i n i o d e

x3−82x−4

, e n t o n c e s

x3 − 8

2x − 4=

(x − 2)(x2 + 2x + 4)

2(x − 2)=

x2 + 2x + 4

2.

A h o r a , p o r l a p r o p i e d a d P 3 ) lımx→2

x3−8

2x−4= lım

x→2

x2+2x+4

2= 6.

E j e r c i c i o s 6 . 2 . 1 1 ) S e a f : R → Rd e n i d a p o r

f (x) =

x2−13x−3

s i x = 1,

−2 s i x = 1.



6 . 2 . C R I T E R I O S D E C O N V E R G E N C I A 1 0 1

–0.1

–0.05

0.05

0.1

–0.1 – 0. 08 – 0. 06 –0.04 –0.02 0.02 0.04 0 .0 6 0 .0 8 0.1x

F i g u r a 6 . 4 : f (x) = xsen(x).

C a l c u l a r , s i e x i s t e , lımx→1

f (x).

2 ) C a l c u l a r , s i e x i s t e , lımx→0

√ x2+9−3

x2 .

T a m b i é n e l t e o r e m a d e l s a n d w i c h y e l c r i t e r i o d e C a u c h y p a r a s u c e s i o n e s

t i e n e n s u s e x t e n s i o n e s a l c a s o d e l í m i t e s d e f u n c i o n e s .

T e o r e m a 6 . 2 . 7 ( T e o r e m a d e l e n c a j e o d e l s a n d w i c h )

S e a n f : A → R, g : A → R y h : A → R t r e s f u n c i o n e s r e a l e s t a l e s q u e p a r a

t o d o x ∈ A, f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) y lımx→a

f (x) = lımx→a

h(x) = L, d o n d e a e s u n

p u n t o d e a c u m u l a c i ó n d e A. E n t o n c e s lımx→a

g(x) = L.

E j e m p l o s 6 . 2 . 8 1 ) L a f u n c i ó n f (x) = xsen(x) ( r e p r e s e n t a d a e n l a g u r a

( 6 . 4 ) ) e s t a l q u e , p a r a t o d o x

∈R,

|f (x)| = |x| |sen(x)| ≤ |x|,e s d e c i r , −|x| ≤ f (x) ≤ |x|. Y a q u e lım

x→0− |x| = lım

x→a|x| = 0, p o r e l t e o r e m a

d e l s a n d w i c h s e s i g u e q u e lımx→0

xsen(x) = 0.




2 ) L a f u n c i ó n f (x) = −x2 cos(20 π x) e s t a l q u e , p a r a t o d o x ∈ R,

|f (x)| = x2 |cos(20 π x)| ≤ x2,

e s d e c i r , −x2 ≤ f (x) ≤ x2. Y a q u e lımx→0

− x2 = lımx→0

x2 = 0, p o r e l t e o r e m a d e l

s a n d w i c h s e s i g u e q u e lımx→0

− x2 cos(20 π x) = 0.

D e n i c i ó n 6 . 2 . 9 S e a f : A → Ru n a f u n c i ó n y s e a a u n p u n t o d e a c u m u -

l a c i ó n d e A. f v e r i c a l a c o n d i c i ó n d e C a u c h y e n a s i p a r a t o d o > 0e x i s t e δ () > 0 t a l q u e

|f (x) − f (y)| < s i x, y ∈ I (a, δ ()) \ {a}.

T e o r e m a 6 . 2 . 1 0 ( C r i t e r i o d e C a u c h y )

S e a f : A

→R u n a f u n c i ó n y s e a a u n p u n t o d e a c u m u l a c i ó n d e A. E n t o n c e s

f t i e n e l í m i t e e n a s i y s ó l o s i f v e r i c a l a c o n d i c i ó n d e C a u c h y e n a.

E j e m p l o 6 . 2 . 1 1 V e r i c a r q u e l a f u n c i ó n f (x) = x2e s d e C a u c h y e n a = 0.

S e a > 0. T e n e m o s q u e v e r i c a r q u e e x i s t e u n e n t o r n o I (0, δ ()) t a l q u e p a r a

t o d o s x, y ∈ I (0, δ ()) s e s i g u e q u e |x2 − y2| < . A h o r a ,

|x2 − y2| ≤ |x|2 + |y|2 < δ ()2 + δ ()2 = 2 δ ()2 < s i 0 < δ () <

2

.

6 . 3 D o s l í m i t e s i m p o r t a n t e s

E n e s t a s e c c i ó n v a m o s a c a l c u l a r , c o m o a p l i c a c i ó n d e l t e o r e m a d e l e n c a j e y

u t i l i z a n d o a l g u n a s p r o p i e d a d e s g e o m é t r i c a s d e l a s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s ,

d o s l í m i t e s q u e r e s u l t a n s e r m u y ú t i l e s :

limx→0

sen(x)

x= 1

y limx→0

1− cos(x)

x= 0

( 6 . 1 )

Y a q u e l o s l í m i t e s q u e n o s i n t e r e s a c a l c u l a r s o n l í m i t e s e n e l p u n t o x = 0,v a m o s a e s t u d i a r e l e n t o r n o (−π

2, π2

). A d e m á s v a m o s a m e d i r e l á n g u l o a g u d o

x e n r a d i a n e s .

N o e s d i f í c i l v e r i c a r q u e s i 0 < x < π2

, e n t o n c e s 0 < sen(x) < x < tan(x) :e l s e g m e n t o A B d e l a g u r a ( 6 . 5 ) t i e n e l o n g i t u d sen(x), e l a r c o A D t i e n e

l o n g i t u d x,

e l á r e a d e l s e c t o r O A D e s

x

2

,y e l á r e a d e l t r i á n g u l o O C D e s

tan(x)

2. P o r t a n t o ,

1 =sen(x)

sen(x)<

x

sen(x)<

tan(x)

sen(x)=

1

cos(x).



6 . 3 . D O S L Í M I T E S I M P O R T A N T E S 1 0 3

B

A

tan(x)sen(x)

x

D

C

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.60.8

1

1.2

–1 –0.6 –0.2 0.20.40.60.8 1 1.2

F i g u r a 6 . 5 : E l á n g u l o x, sen(x) y tan(x).

D e f o r m a s i m i l a r , s i

−π

2< x < 0, e n t o n c e s 0 > sen(x) > x > tan(x) y ,

1 =sen(x)

sen(x)<

x

sen(x)<

tan(x)

sen(x)=

1

cos(x).

S e s i g u e q u e p a r a t o d o x ∈ (−π2 , π

2 ) \ {0}

cos(x) <sen(x)

x< 1. ( 6 . 2 )

L a p r i m e r a c o n s e c u e n c i a d e l a s d e s i g u a l d a d e s ( 6 . 2 ) e s q u e s e p u e d e a p l i c a r

e l t e o r e m a d e l e n c a j e p a r a v e r i c a r q u e limx→0

cos(x) = 1. E n e f e c t o , y a q u e

p a r a t o d o

x ∈ (−π

2 ,

π

2 ) \ {0}0 ≤ |cos(x) − 1| = 1 − cos(x) = 2 [sen(

x

2)]2 ≤ 2 (

x

2)2 =

x2

2,

( 6 . 3 )

s e s i g u e q u e 1− x2

2≤ cos(x) ≤ 1. S i e n d o lım

x→01− x2

2 = 0, e l t e o r e m a d e l e n c a j e

i m p l i c a q u e lımx→0

cos(x) = 1.

V a m o s a h o r a a v e r i c a r q u e lımx→0

sen(x)x

= 1. P o r l a s d e s i g u a l d a d e s ( 6 . 2 ) ,

p a r a t o d o x ∈ (−π2

, π2

) \ {0}, cos(x) < sen(x)x

< 1.

S i e n d o lımx→0

cos(x) = 1, p o r e l t e o r e m a d e l e n c a j e lımx→0

sen(x)x = 1.

F i n a l m e n t e , p a r a c a l c u l a r lımx→01−cos(x)x , o b s e r v a m o s q u e l a s d e s i g u a l d a d e s

( 6 . 3 ) i m p l i c a n q u e −x2

2 < cos(x) − 1 < 0. E n t o n c e s

−x

2<

cos(x) − 1

x< 0

s i x > 0,

y




0 <cos(x) − 1

x< −x

2s i x < 0.

Y a q u e lımx→0

− x2

= 0,p o r e l t e o r e m a d e l e n c a j e s e s i g u e q u e

lımx→0

1−cos(x)x

= 0.

E j e r c i c i o 6 . 3 . 1 C a l c u l a r l o s s i g u i e n t e s l í m i t e s :

lımx→0

tan(x)

xy lım

x→0

sen(16x)

2x.

6 . 4 L í m i t e s l a t e r a l e s

S e a f : R → Rl a f u n c i ó n d e n i d a p o r

f (x) =

x s i x < 1,

x + 1 s i x ≥ 1.

V e r i c a m o s e n e l e j e m p l o 2 ) ( 6 . 2 . 5 ) q u e e s t a f u n c i ó n n o t i e n e l í m i t e e n e l

p u n t o a = 1. P e r o , s i m i r a m o s a s u s r e s t r i c c i o n e s a l o s i n t e r v a l o s [1, ∞) y

(−∞, 1), o b t e n e m o s l a s d o s f u n c i o n e s f |[1,∞)(x) = x + 1 y f |(−∞,1)(x) = x,r e s p e c t i v a m e n t e , q u e s í t i e n e n l í m i t e e n e l p u n t o 1 : lım

x→1x +1 = 2 y lım

x→1x =

1.E s t a s i t u a c i ó n j u s t i c a l a s i g u i e n t e d e n i c i ó n d e l í m i t e s l a t e r a l e s .

D e n i c i ó n 6 . 4 . 1 S e a f : A → R u n a f u n c i ó n y s e a a ∈ R u n p u n t o d e

a c u m u l a c i ó n d e A ∩ (a, ∞). S e d i c e q u e L ∈ R e s e l l í m i t e l a t e r a l p o r l a

d e r e c h a d e f e n a, lımx→a+

f (x) = L, s i p a r a t o d o > 0, e x i s t e δ () > 0 t a l

q u e |f (x) − L| < s i 0 < x − a < δ ().D e f o r m a s i m i l a r , S e d i c e q u e L ∈ R

e s e l l í m i t e l a t e r a l p o r l a i z q u i e r d a

d e f e n a, lımx→a−

f (x) = L, s i p a r a t o d o > 0, e x i s t e δ () > 0 t a l q u e

|f (x) − L| < s i 0 < a − x < δ ().

L o s r e s u l t a d o s d e u n i c i d a d d e l l í m i t e y e l c r i t e r i o d e c o n v e r g e n c i a b a s a d o

e n s u c e s i o n e s t i e n e n s u s n a t u r a l e s c o r r e s p o n d i e n t e s e n e l c a s o d e l í m i t e s l a -

t e r a l e s . P a r a e l c r i t e r i o d e c o n v e r g e n c i a , l a s s u c e s i o n e s q u e s e p u e d e n c o n s i -

d e r a r s o n l a s q u e e s t á n c o n t e n i d a s e n e n t o r n o s a l a d e r e c h a o a l a i z q u i e r d a

d e l p u n t o a.L a r e l a c i ó n e n t r e l í m i t e s l a t e r a l e s y l í m i t e s d e u n a f u n c i ó n e n u n p u n t o

ae s t á d a d a p o r e l s i g u i e n t e t e o r e m a .



6 . 5 . L Í M I T E S I N F I N I T O S Y E N E L I N F I N I T O 1 0 5

0

2000

4000

6000

8000

10000

y

–0.001 –0.0006 0.0002 0.0006 0.001x

F i g u r a 6 . 6 : f (x) = 1|x|

T e o r e m a 6 . 4 . 2 S e a f : A → R u n a f u n c i ó n y s e a a ∈ R u n p u n t o d e a c u m u -

l a c i ó n d e l o s d o s c o n j u n t o s (−∞, a)∩A y (a, ∞)∩A. E n t o n c e s lımx→a

f (x) =

L ⇔ lımx→a+

f (x) = lımx→a−

f (x) = L.

E j e m p l o 6 . 4 . 3 S e a f : R \ {0} → R l a f u n c i ó n d e n i d a p o r f (x) = |x|x

.E n t o n c e s , f (x) = 1 s i x > 0 y f (x) = −1 s i x < 0. P o r t a n t o , lım

x→0+f (x) = 1,

lımx→0−

f (x) = −1 y f n o t i e n e l í m i t e e n a = 0.

6 . 5 L í m i t e s i n n i t o s y e n e l i n n i t o

E n a n a l o g í a c o n e l c o n c e p t o d e s u c e s i ó n p r o p i a m e n t e d i v e r g e n t e , s e p u e d e

d e n i r e l c o n c e p t o d e l í m i t e i n n i t o d e u n a f u n c i ó n f e n u n p u n t o a.

P o r e j e m p l o , q u e r e m o s p o d e r a r m a r q u e l a f u n c i ó n f (x) = 1|x| , r e p r e s e n t a d a

e n l a g u r a ( 6 . 6 ) , t i e n e l í m i t e i g u a l a ∞

e n e l p u n t o a = 0 y q u e l a f u n c i ó n

f (x) = 1x d e l a g u r a ( 6 . 5 ) t i e n e , e n e l p u n t o a = 0, l í m i t e l a t e r a l d e r e c h o

i g u a l a ∞

y l í m i t e l a t e r a l i z q u i e r d o i g u a l a −∞.

D e n i c i ó n 6 . 5 . 1 ( L í m i t e s i n n i t o s ) S e a f : A

→R u n a f u n c i ó n y s e a

a ∈ R u n p u n t o d e a c u m u l a c i ó n d e A. L a e x p r e s i ó n lımx→a

f (x) = ∞ s i g n i c a

q u e p a r a t o d o C > 0 e x i s t e δ (C ) > 0 t a l q u e f (x) > C s i x ∈ I (a, δ (C )) ∩ A.D e f o r m a s i m i l a r , l a e x p r e s i ó n lım

x→af (x) = −∞ s i g n i c a q u e p a r a t o d o C > 0

e x i s t e δ (C ) > 0 t a l q u e f (x) < −C s i x ∈ I (a, δ (C )) ∩ A.




L a s d e n i c i o n e s c o r r e s p o n d i e n t e s p a r a l í m i t e s l a t e r a l e s i n n i t o s s e o b t i e n e n

s u s t i t u y e n d o l o s i n t e r v a l o s

I (a, δ (C ))p o r s e m i n t e r v a l o s a l a d e r e c h a o a l a

i z q u i e r d a d e l p u n t o a.S i u n a f u n c i ó n f t i e n e u n l í m i t e l a t e r a l i g u a l a i n n i t o ( o a m e n o s i n n i t o )

e n u n p u n t o a, e n t o n c e s l a r e c t a v e r t i c a l x = a e s u n a a s í n t o t a v e r t i c a l

d e

l a g r á c a d e f.

E j e m p l o s 6 . 5 . 2 1 ) L a f u n c i ó n f (x) = 1x

d e l a g u r a ( 6 . 5 ) n o t i e n e l í m i t e

e n e l p u n t o a = 0 y l a f u n c i ó n f (x) = 1|x| t i e n e l í m i t e i g u a l a ∞ e n a = 0.

P a r a l a d o s f u n c i o n e s l a r e c t a v e r t i c a l x = 0 e s u n a a s í n t o t a v e r t i c a l .

2 ) S e a f (x) = x2+2x−8x2−4 . E l d o m i n i o d e f e s dom(f ) = R \ {−2, 2}. S i m -

p l i c a n d o l a e x p r e s i ó n f (x) , s e o b t i e n e q u e , s i x = −2, 2,

f (x) =x2 + 2x − 8

x2 − 4=

(x − 2)(x + 4)

(x − 2)(x + 2)=

x + 4

x + 2.

E n t o n c e s

lımx→2+

f (x) = lımx→2−

f (x) =3

2y

lımx→−2+

f (x) = ∞y lım

x→−2−f (x) = −∞.

L a r e c t a x = 2 n o e s u n a a s í n t o t a v e r t i c a l , p e r o l a r e c t a x = −2 s í l o e s .

E j e r c i c i o 6 . 5 . 1 S e a f (x) = x2−3xx−1 . C a l c u l a r l o s l í m i t e s l a t e r a l e s d e f e n e l

p u n t o a = 1 y v e r i c a r q u e l a r e c t a v e r t i c a l x = 1 e s u n a a s í n t o t a v e r t i c a l d e

l a f u n c i ó n .

V a m o s a h o r a a e s t u d i a r l a c o n v e r g e n c i a d e u n a f u n c i ó n f e n e l i n n i t o ,

e s d e c i r , c u a n d o s u d o m i n i o c o n t i e n e u n i n t e r v a l o n o a c o t a d o y s e c o n s i d e r a n

l o s v a l o r e s f (x) p a r a x a r b i t r a r i a m e n t e g r a n d e e n v a l o r a b s o l u t o .

D e n i c i ó n 6 . 5 . 3 ( L í m i t e s e n e l i n n i t o ) S e a f : A → R u n a f u n c i ó n y

s e a L u n n ú m e r o r e a l .

S i A e s u n s u b c o n j u n t o n o a c o t a d o s u p e r i o r m e n t e , lımx→∞ f (x) = L

s i p a r a t o d o > 0 e x i s t e δ () ∈ R t a l q u e |f (x) − L| < s i x ∈ (δ (), ∞) ∩ A.S i A e s u n s u b c o n j u n t o n o a c o t a d o i n f e r i o r m e n t e , lım

x→−∞f (x) = L

s i p a r a t o d o > 0 e x i s t e δ () ∈ R t a l q u e |f (x)−L| < s i x ∈ (−∞, δ ())∩A.



6 . 5 . L Í M I T E S I N F I N I T O S Y E N E L I N F I N I T O 1 0 7

S i lımx→∞

f (x) = L o s i lımx→−∞

f (x) = L, l a r e c t a h o r i z o n t a l y = L e s u n a

a s í n t o t a h o r i z o n t a l d e l a f u n c i ó n

f.

P a r a l í m i t e s d e f u n c i o n e s e n e l i n n i t o v a l e n r e s u l t a d o s a n á l o g o s a l o s

c r i t e r i o s d e c o n v e r g e n c i a y d i v e r g e n c i a b a s a d o s e n s u c e s i o n e s ( 6 . 2 . 3 ) y ( 6 . 2 . 4 ) .

E j e m p l o 6 . 5 . 4 V a m o s a v e r i c a r q u e lımx→∞

1x

= 0 u t i l i z a n d o l a d e n i c i ó n d e

l í m i t e e n e l i n n i t o y q u e lımx→−∞

1x = 0 p o r m e d i o d e l c r i t e r i o d e c o n v e r g e n c i a

b a s a d o e n s u c e s i o n e s . P o r t a n t o l a r e c t a y = 0 e s u n a a s í n t o t a h o r i z o n t a l d e

l a f u n c i ó n f (x) = 1x

.A = R \ {0} e s e l d o m i n i o d e f (x) = 1

xy n o e s t á a c o t a d o s u p e r i o r m e n t e .

A s i g n a d o u n v a l o r > 0, t e n e m o s q u e d e t e r m i n a r u n v a l o r δ ()

∈R t a l q u e

|f (x) − 0| = | 1x | < s i x > δ (). P e r o |f (x) − 0| = | 1x | < | 1δ() | < s i x > δ ()y h e m o s e l e g i d o δ () > 1

.S e a a h o r a {an}n∈

N

u n a s u c e s i ó n c u a l q u i e r a c o n t e n i d a e n (−∞, 0) y t a l q u e

lımn→∞

an = −∞. E n t o n c e s lımn→∞

f (an) = lımn→∞

1an

= 0.

E j e r c i c i o 6 . 5 . 2 C a l c u l a r lımx→∞

3x−2√ 2x2+1

y lımx→−∞

3x−2√ 2x2+1

.

S u g e r e n c i a :

√ x2 = |x|, e n t o n c e s e s i g u a l a x s i x > 0 y a −x s i x < 0.

L a s r e c t a s y = lımx→∞

3x−2√ 2x2+1

e y = lımx→−∞

3x−2√ 2x2+1

s o n d o s a s í n t o t a s h o r i z o n t a l e s

d e f (x).

F i n a l m e n t e , u n a f u n c i ó n f,

p o r e j e m p l o l a f u n c i ó n f (x) = x2,

p u e d e t e n e r

l í m i t e s i n n i t o s e n e l i n n i t o :

D e n i c i ó n 6 . 5 . 5 ( L í m i t e s i n n i t o s e n e l i n n i t o ) S e a f : A → R u n a

f u n c i ó n .

S i A e s u n s u b c o n j u n t o n o a c o t a d o s u p e r i o r m e n t e , lımx→∞

f (x) = ∞ [ o −∞ ]

s i p a r a t o d o C > 0 e x i s t e δ (C ) ∈ R t a l q u e f (x) > C [ o f (x) < −C ] s i

x ∈ (δ (C ), ∞) ∩ A.S i A e s u n s u b c o n j u n t o n o a c o t a d o i n f e r i o r m e n t e , lım

x→−∞f (x) = ∞ [ o −∞ ]

s i p a r a t o d o C > 0 e x i s t e δ (C )

∈R t a l q u e f (x) > C [ o f (x) <

−C ] s i

x ∈ (−∞, δ (C )) ∩ A.

O b s e r v a c i ó n 1 6 L o s r e s u l t a d o s d e c o m p a r a c i ó n d e l í m i t e s d e l a s e c c i ó n

( 5 . 1 . 3 ) d e l c a p í t u l o 5 p a r a s u c e s i o n e s p r o p i a m e n t e d i v e r g e n t e s v a l e n , c o n l o s

c a m b i o s a d e c u a d o s , p a r a f u n c i o n e s q u e t i e n e n l í m i t e s i n n i t o s e n u n p u n t o .




6 . 6 I n n i t é s i m o s e i n n i t o s

A c o n t i n u a c i ó n s e i n t r o d u c e n u n a d e n i c i o n e s ú t i l e s a l a h o r a d e c o m p a r a r

l í m i t e s d e f u n c i o n e s , e s p e c i a l m e n t e c u a n d o s e t r a t e d e f o r m a s i n d e t e r m i n a d a s

d e l t i p o 0/0

o ∞/∞

.

D e n i c i ó n 6 . 6 . 1 S e d i c e q u e

• u n a f u n c i ó n f (x) e s u n i n n i t é s i m o e n e l p u n t o a ∈ R ∪{±∞} s i

limx→a

f (x) = 0,

•u n a f u n c i ó n f (x) e s u n i n n i t o e n e l p u n t o a

∈R

s i

1

f (x)

e s u n

i n n i t é s i m o e n a, e s d e c i r , s i limx→a

|f (x)| = ∞.

• d o s i n n i t é s i m o s f (x) y g(x) e n u n p u n t o a ∈ R ∪{±∞} s o n i n n i -

t é s i m o s c o m p a r a b l e s s i e x i s t e limx→a

f (x)

g(x).

D e n i c i ó n 6 . 6 . 2 ( O r d e n y e q u i v a l e n c i a d e i n n i t é s i m o s ) S i f (x) y

g(x) s o n i n n i t é s i m o s c o m p a r a b l e s e n u n p u n t o a ∈ R ∪{±∞} s e d i c e q u e

•f (x) y g(x) s o n d e l m i s m o o r d e n e n e l p u n t o a

∈R

∪ {±∞}s i

limx→a

f (x)g(x)

∈ R \ {0},

• f (x) e s d e o r d e n s u p e r i o r q u e g(x) e n e l p u n t o a ∈ R s i limx→a

f (x)

g(x)= 0.

P a r a i n d i c a r e s t a s i t u a c i ó n s e u t i l i z a l a e x p r e s i ó n f (x) = o(g(x)) e n ay s e l e e : f ( x ) e s o p e q u e ñ a d e g ( x ) e n x = a.

• f (x) y g(x) s o n i n n i t é s i m o s e q u i v a l e n t e s e n e l p u n t o a ∈ R ∪{±∞}

y s e e s c r i b e f ∼ g, s i limx→a

f (x)

g(x)= 1.

O b s e r v a c i ó n 1 7 C o m o c o n s e c u e n c i a d e l a s d e n i c i o n e s a n t e r i o r e s , s e t i e n e

q u e

• f (x) = o(1) s i g n i c a q u e limx→a

f (x) = 0.



6 . 6 . I N F I N I T É S I M O S E I N F I N I T O S 1 0 9

• f (x) = o(x) s i g n i c a q u e limx

→0

f (x)

x= 0.

• S i g(x) e s u n i n n i t é s i m o e n a y h(x) e s u n a f u n c i ó n , u n a e c u a c i ó n

d e l a f o r m a f (x) = h(x) + o(g(x)) s i g n i c a f (x) − h(x) = o(g(x)), e s

d e c i r , limx→a

f (x) − h(x)

g(x)= 0.

E j e r c i c i o 6 . 6 . 1 1 ) V e r i c a r q u e l a r e l a c i ó n ∼ e n t r e i n n i t é s i m o s e n u n

p u n t o a e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a .

2 ) V e r i c a r q u e sen(x) ∼ x e n a = 0 y q u e 1 − cos(x) = o(x). ( V e r l a

s e c c i ó n 6 . 3 . )

N o e s d i f í c i l v e r i c a r q u e , e n a = 0 :

• sen(x) ∼ x ∼ arcsen(x),

• tan(x) ∼ x ∼ arctan(x),

• 1 − cos(x) ∼ x2

2,

• ln(1 + x) ∼ x,

• cx − 1 ∼ xln(c) (c > 0).



C a p í t u l o 7

C o n t i n u i d a d

7 . 1 F u n c i o n e s c o n t i n u a s

S e a f : R → Rl a f u n c i ó n d e n i d a e n l a s e c c i ó n ( 6 . 4 ) p o r

f (x) =

x s i x < 1,

x + 1 s i x ≥ 1.

V i m o s q u e f (x) t i e n e l í m i t e s l a t e r a l e s d i s t i n t o s e n e l p u n t o a = 1 y q u e

lımx→1+

f (x) = 2 = f (1), p e r o lımx→1−

f (x) = 1 = f (1). P o r e s t a s r a z o n e s s e d i c e

q u e

f (x)n o e s c o n t i n u a e n e l p u n t o

1.I n t u i t i v a m e n t e , u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e s u n a f u n c i ó n q u e t i e n e u n a g r á c a

" s i n i n t e r r u p c i o n e s " : e n c a d a p u n t o d e s u d o m i n i o t i e n e l í m i t e y e s t e l í m i t e

e s e x a c t a m e n t e i g u a l a s u v a l o r e n e s e p u n t o .

7 . 1 . 1 D e n i c i ó n y e j e m p l o s

D e n i c i ó n 7 . 1 . 1 S e a f : A → R u n a f u n c i ó n y s e a a u n p u n t o d e a c u m u -

l a c i ó n d e A. S e d i c e q u e f e s c o n t i n u a e n e l p u n t o a s i s e v e r i c a n l a s

s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s :

1 . a ∈ A,

2 . lımx→a

f (x) e x i s t e ,

3 . lımx→a

f (x) = f (a).

1 1 1



1 1 2 C A P Í T U L O 7 . C O N T I N U I D A D

S i f e s c o n t i n u a e n t o d o p u n t o a d e A s e d i r á q u e f e s c o n t i n u a e n A.

O b s e r v a c i ó n 1 8 f e s c o n t i n u a e n a ∈ A s i y s ó l o s i , p o r d e n i c i ó n d e

l í m i t e , p a r a t o d o > 0, e x i s t e δ () > 0 t a l q u e

x ∈ (A \ {a}) ∩ I (a, δ ()) ⇒ f (x) ∈ I (f (a), ).

T a m b i é n , f e s c o n t i n u a e n a ∈ A s i y s ó l o s i , p o r e l c r i t e r i o d e c o n v e r g e n c i a

b a s a d o e n s u c e s i o n e s , p a r a t o d a s u c e s i ó n {an}n∈ N

e n A\{a} t a l q u e lımn→∞

an =

a, l a s u c e s i ó n {f (an)}n∈N

c o n v e r g e a f (a).

E j e m p l o s 7 . 1 . 2 1 ) L a f u n c i ó n f (x) = 1x

e s c o n t i n u a e n t o d o s l o s p u n t o s d e

s u d o m i n i o . N o p u e d e s e r c o n t i n u a e n a = 0, y a q u e 0 n o e s u n e l e m e n t o d e

s u d o m i n i o .

2 ) L a f u n c i ó n d e D i r i c h l e t , e j e m p l o 3 ) ( 6 . 2 . 5 ) , e s u n e j e m p l o d e f u n c i ó n

t a l q u e s u d o m i n i o e s t o d o R, p e r o n o e s c o n t i n u a e n n i n g ú n p u n t o r e a l y a

q u e n o t i e n e l í m i t e e n n i n g ú n p u n t o .

3 ) S e a f l a f u n c i ó n d e n i d a p o r

f (x) =

0 s i x = 0,

xsen( 1x) s i x = 0.

f e s t á d e n i d a s o b r e R y t i e n e l í m i t e i g u a l a 0 = f (0) e n x = 0. P o r t a n t o f e s c o n t i n u a e n

0.N o t a r q u e l a f u n c i ó n

f s e o b t i e n e e x t e n d i e n d o l a d e n i c i ó n

d e l a f u n c i ó n xsen( 1x), c u y o d o m i n i o e s R\{0}, a u n a f u n c i ó n c u y o d o m i n i o

e s t o d o R. E n e s t e e j e m p l o l a f u n c i ó n r e s u l t a n t e , l a f u n c i ó n f, r e s u l t a s e r

c o n t i n u a y a q u e s u v a l o r e n 0 e s i g u a l a l l í m i t e d e xsen( 1x) ( q u e e x i s t e y e s

n i t o ) e n e l p u n t o 0. L a p o s i b i l i d a d d e e x t e n d e r l a f u n c i ó n xsen( 1x

) a u n a

f u n c i ó n c o n t i n u a s e e x p r e s a d i c i e n d o q u e xsen( 1x) t i e n e u n a d i s c o n t i n u i d a d

e v i t a b l e e n 0.4 ) S e a f l a f u n c i ó n d e n i d a p o r

f (x) =

5 s i x = 2,

1(x

−2)2

s i x

= 2.

f e s t á d e n i d a s o b r e R y t i e n e l í m i t e i g u a l a ∞ e n e l p u n t o a = 2. E n e s t e

c a s o , a p a r t i r d e f n o e s p o s i b l e , m o d i c a n d o e l v a l o r d e f e n e l p u n t o 2,d e n i r u n a n u e v a f u n c i ó n q u e s e a c o n t i n u a e n t o d o

R. P o r e s t a r a z ó n s e

d i c e q u e l a d i s c o n t i n u i d a d n o e s e v i t a b l e e n a = 2.



7 . 1 . F U N C I O N E S C O N T I N U A S 1 1 3

5 ) S e a f l a f u n c i ó n f (x) = 1 − √ 1 − x2

c o n d o m i n i o [−1, 1]. P a r a t o d o

a ∈ [−1, 1] lımx→a f (x) = lımx→a 1 −√

1 − x

2

= 1 −√

1 − a

2

= f (a).E n t o n c e s f e s c o n t i n u a e n t o d o [−1, 1].

7 . 1 . 2 P r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s

C o m o c o n s e c u e n c i a d e l a s p r o p i e d a d e s d e l o s l í m i t e s d e f u n c i o n e s ( y d e s u -

c e s i o n e s ) s e o b t i e n e n l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s .

S e a n f : A → Ry g : A → R

d o s f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n u n p u n t o a ∈ A.E n t o n c e s

C 1 ) ( P r o p i e d a d d e l i n e a l i d a d

) S i r y s s o n d o s n ú m e r o s r e a l e s , l a f u n c i ó n

(r f + s g)(x) = r f (x) + s g(x)e s c o n t i n u a e n

a.C 2 ) (

M u l t i p l i c a c i ó n ) L a f u n c i ó n (f g)(x) = f (x) g(x) e s c o n t i n u a e n a.

C 3 ) ( D i v i s i ó n

) S i g(a) = 0

l a f u n c i ó n (f g

)(x) = f (x)g(x) e s c o n t i n u a e n

a.

C 4 ) ( C o m p o s i c i ó n

) S e a f u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n a y s e a h u n a f u n c i ó n

c o n t i n u a e n f (a). E n t o n c e s l a f u n c i ó n c o m p u e s t a h ◦ f e s c o n t i n u a e n a.( E s t a p r o p i e d a d s e v e r i c a y a q u e lım

x→a(h ◦ f )(x) = h(lım

x→af (x)) = h(f (a)).)

C 5 ) S i f e s c o n t i n u a e n a, e n t o n c e s l a f u n c i ó n |f | e s c o n t i n u a e n a.

C 6 ) S e a c > 0, c = 1. E n t o n c e s l a f u n c i ó n logc(x) e s c o n t i n u a e n (0, ∞).C 7 ) S e a c > 0. E n t o n c e s l a f u n c i ó n cx

e s c o n t i n u a e n R.

C 8 ) S i b ∈ R, l a f u n c i ó n xbe s c o n t i n u a e n (0, ∞).

C 9 ) L a f u n c i ó n

xx

e s c o n t i n u a e n

(0, ∞).

E j e m p l o s 7 . 1 . 3 1 ) L a s f u n c i o n e s p o l i n o m i a l e s s o n f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n

R.2 ) L a s f u n c i o n e s r a c i o n a l e s f (x) = p(x)

q(x)d o n d e p(x) y q (x) s o n p o l i n o m i o s

s o n c o n t i n u a s e n s u s d o m i n i o s .

3 ) P a r a v e r i c a r q u e l a f u n c i ó n f (x) = cos(x) e s c o n t i n u a e n t o d o R,t e n d r e m o s q u e u t i l i z a r l a i d e n t i d a d t r i g o n o m é t r i c a

cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b).

H a c e f a l t a v e r i c a r q u e s i a∈R

e n t o n c e s lımx→a

cos(x) = cos(a). A h o r a ,

lımx→a

cos(x) = lımx→a

cos(x − a + a) =

= lımx→a

cos(x − a) cos(a) − sen(x − a) sen(a).




Y a q u e lımx→0

cos(x) = 1, ( c o m o v e r i c a m o s e n l a s e c c i ó n ( 6 . 5 ) ) , d e l a p r o p i e d a d

C 4 ) s e s i g u e q u e

lımx→a cos(x−a) = 1.A h o r a t e n e m o s q u e c a l c u l a r

lımx→a sen(x−a). U t i l i z a n d o o t r a v e z l o s r e s u l t a d o s d e l a s e c c i ó n ( 6 . 5 ) , p o d e m o s e s c r i b i r

q u e |sen(x)| ≤ |x| s i x ∈ (−π2 , π

2 ). S e s i g u e q u e lımx→0

sen(x) = 0 y , p o r C 4 ) ,

lımx→a

sen(x − a) = 0. F i n a l m e n t e ,

lımx→a

cos(x) = lımx→a

cos(x − a) cos(a) − sen(x − a) sen(a) = cos(a).

4 ) A h o r a , p a r a v e r i c a r q u e l a f u n c i ó n sen(x) e s t a m b i é n c o n t i n u a e n t o d o

Rb a s t a c o n e s c r i b i r q u e sen(x) =

1 − cos(x)2 y a p l i c a r l a s p r o p i e d a d e s d e

l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s .

E j e r c i c i o s 7 . 1 . 1 E s t u d i a r l a c o n t i n u i d a d d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s :

1 ) f (x) = tan(x).

2 ) f (x) =

x2+2x−3

x−1s i x = 1,

4 s i x = 1.

3 ) f (x) =

x+3x−1

s i x = 1,

6 s i x = 1.

7 . 2 C o n t i n u i d a d e n i n t e r v a l o s

L a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s q u e e s t á n d e n i d a s s o b r e i n t e r v a l o s d e l a r e c t a r e a l

t i e n e n p r o p i e d a d e s i m p o r t a n t e s . E n p a r t i c u l a r , e n e s t a s e c c i ó n s e e s t u d i a n l o s

v a l o r e s m á x i m o s y m í n i m o s d e f u n c i o n e s c o n t i n u a s d e n i d a s s o b r e i n t e r v a l o s

c e r r a d o s y a c o t a d o s y s e a p r o x i m a n r a í c e s d e f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n i n t e r v a l o s

p o r e l m é t o d o d e b i s e c c i ó n .

7 . 2 . 1 A c o t a b i l i d a d

S e a f l a r e s t r i c c i ó n d e l a f u n c i ó n

1x

a l i n t e r v a l o (0, 1]. E s t á c l a r o q u e f n o

e s t á a c o t a d a s u p e r i o r m e n t e y n o t i e n e u n v a l o r m á x i m o . P e r o l a r e s t r i c c i ó n

d e

1x

a u n i n t e r v a l o c e r r a d o y a c o t a d o c u a l q u i e r a c o n t e n i d o e n

R \ {0} t i e n e

v a l o r e s a c o t a d o s p o r u n v a l o r m á x i m o y u n v a l o r m í n i m o .

T e o r e m a 7 . 2 . 1 S e a I = [a, b] u n i n t e r v a l o c e r r a d o y a c o t a d o . S i u n a f u n -

c i ó n f e s c o n t i n u a e n I e n t o n c e s e s t á a c o t a d a e n I.



7 . 2 . C O N T I N U I D A D E N I N T E R V A L O S 1 1 5

D e m o s t r a c i ó n P o r c o n t r a p o s i t i v o : s i f n o e s t á a c o t a d a e n I, e n t o n c e s

p a r a t o d o

n ∈ N,p o d e m o s e n c o n t r a r u n p u n t o

xnd e l i n t e r v a l o

I t a l q u e

|f (xn)| > n. Q u e d a d e n i d a u n a s u c e s i ó n {xn}n∈

N

d e p u n t o s d e I. S i e n d o I u n i n t e r v a l o a c o t a d o , t a m b i é n l a s u c e s i ó n

{xn}n∈ N

e s t a r á a c o t a d a y , p o r e l

t e o r e m a d e B o l z a n o - W e i e r s t r a s s , c o n t i e n e u n a s u b s u c e s i ó n {xrn}n∈

N

c o n v e r -

g e n t e a u n l í m i t e x. A d e m á s , y a q u e p a r a t o d o n ∈ N, a ≤ xrn ≤ b, e l

p u n t o x e s u n p u n t o d e I. S e s i g u e q u e l o s v a l o r e s d e f e n l o s t é r m i n o s d e l a

s u c e s i ó n {xrn}n∈

N

s o n t a l e s q u e p a r a t o d o n ∈ N, |f (xrn)| > rn ≥ n. P o r

t a n t o l a s u c e s i ó n {f (xrn)}n∈

N

d i v e r g e y f n o p u e d e s e r c o n t i n u a e n x. 2

D a d a u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e s a m e n u d o i m p o r t a n t e d e t e r m i n a r s i e s t a

f u n c i ó n t i e n e u n v a l o r m á x i m o o u n v a l o r m í n i m o . E n l o s p r o b l e m a s d e

o p t i m i z a c i ó n d o n d e s e p u e d e e s c r i b i r u n m o d e l o m a t e m á t i c o p o r m e d i o d e

u n a f u n c i ó n c o n t i n u a , e s i m p o r t a n t e p o d e r d e t e r m i n a r s i e s t a f u n c i ó n t i e n e

u n v a l o r m á x i m o o m í n i m o . U n e j e m p l o p o d r í a s e r e l s i g u i e n t e .

E j e m p l o 7 . 2 . 2 U n a p á g i n a r e c t a n g u l a r h a d e c o n t e n e r 312 cm2d e t e x t o ,

c o n m á r g e n e s s u p e r i o r e s e i n f e r i o r e s d e 3 cm y l a t e r a l e s d e 4 cm. ¾ Q u é d i -

m e n s i o n e s d e l a p á g i n a r e q u i e r e n l a m í n i m a c a n t i d a d d e p a p e l ?

S e t r a t a d e d e n i r l a f u n c i ó n " á r e a d e l a p á g i n a " y e n c o n t r a r s u v a l o r m í -

n i m o . S i x e y s o n l a s d i m e n s i o n e s d e l a a l t u r a y d e l a b a s e d e l r e c t á n g u l o

q u e c o n t i e n e e l t e x t o , e n t o n c e s x y = 312 y l a s d i m e n s i o n e s d e l a p á g i n a

s o n x + 6 e y + 8. P o r t a n t o e l á r e a d e l a p á g i n a e s t á d a d a p o r l a f u n c i ó n

A(x, y) = (x +6)(y + 8). Y a q u e y = 312x

, p o d e m o s e s c r i b i r e l á r e a c o m o f u n -

c i ó n d e u n a s o l a v a r i a b l e : A(x) = (x +6)(312x + 8). S i e n d o x n e c e s a r i a m e n t e

m a y o r q u e 0, l a f u n c i ó n A(x) e s u n a f u n c i ó n c o n t i n u a y q u e r e m o s c a l c u l a r

s u v a l o r m í n i m o .

D e n i c i ó n 7 . 2 . 3 S e a f : A → R u n a f u n c i ó n . S e d i c e q u e a ∈ A e s u n

m á x i m o a b s o l u t o d e f e n A s i p a r a t o d o x ∈ A f (x) ≤ f (a). S e d i c e q u e

a ∈ A e s u n m í n i m o a b s o l u t o d e f e n A s i p a r a t o d o x ∈ A f (x) ≥ f (a).

E n t o n c e s u n m á x i m o a b s o l u t o a e s u n p u n t o d e A t a l q u e f (a)e s e l m á x i m o

d e l c o n j u n t o i m a g e n d e

f, f (A),y u n m í n i m o a b s o l u t o e s u n p u n t o d e

At a l q u e

f (a)e s e l m í n i m o d e

f (A).

E j e m p l o s 7 . 2 . 4 1 ) S e a f l a f u n c i ó n f (x) = 1x

. L a i m a g e n d e l i n t e r v a -

l o (0, 100] n o t i e n e m á x i m o ( p e r o t i e n e m í n i m o ) , l a i m a g e n d e l i n t e r v a l o




(100, 500) t i e n e s u p r e m o e í n m o ( p e r o n o t i e n e m á x i m o y m í n i m o ) y l a

i m a g e n d e l i n t e r v a l o

[−50, −2]t i e n e m á x i m o y m í n i m o .

2 ) S e a f (x) = sen(x) d e n i d a e n e l i n t e r v a l o [0, 3π]. E n t o n c e s x = π2

y

x = 5π2

s o n d o s p u n t o s d e m á x i m o a b s o l u t o . E l p u n t o x = 3π2

e s u n m í n i m o

a b s o l u t o .

S i A e s u n i n t e r v a l o c e r r a d o y a c o t a d o , e l t e o r e m a a n t e r i o r i m p l i c a q u e f (A),s i e n d o a c o t a d o , t i e n e u n s u p r e m o y u n í n m o . E l s i g u i e n t e t e o r e m a a r m a

q u e e s t o s v a l o r e s d e l s u p r e m o e í n m o s o n u n m á x i m o y u n m í n i m o . E n

p a r t i c u l a r l a f u n c i ó n A(x)

d e l e j e m p l o ( 7 . 2 . 2 ) t e n d r á u n v a l o r m í n i m o s i

l i m i t a m o s l o s v a l o r e s d e x a v a l o r e s d e u n i n t e r v a l o c e r r a d o y a c o t a d o .

T e o r e m a 7 . 2 . 5 ( T e o r e m a d e W e i e r s t r a s s ) S i f : [a, b] → R e s u n a f u n -

c i ó n c o n t i n u a , e n t o n c e s f a l c a n z a e l m á x i m o y e l m í n i m o a b s o l u t o s e n e l

i n t e r v a l o [a, b].

D e m o s t r a c i ó n P a r a d e m o s t r a r e s t e t e o r e m a s e p u e d e u t i l i z a r u n p r o c e -

d i m i e n t o s i m i l a r a l q u e h e m o s e m p l e a d o e n l a d e m o s t r a c i ó n d e l t e o r e m a

a n t e r i o r . Y a q u e f (A)

e s u n c o n j u n t o a c o t a d o , p o r e l a x i o m a d e c o m p l e t i t u d

d e R

e x i s t e n e l s u p r e m o s y e l í n m o i d e f (A). E n t o n c e s s e t r a t a d e v e r i c a r

q u e s e s u n m á x i m o y q u e i e s u n m í n i m o .

S i e n d o i e l í n m o d e f (A), p a r a t o d o n ∈ Ne x i s t e yn ∈ f (A) t a l q u e i ≤ yn <

i +1n .

P o r e l t e o r e m a d e l e n c a j e

lımn→∞ yn = i.S e s i g u e q u e e x i s t e u n a s u c e s i ó n

{xn}n∈N

e n [a, b]

t a l q u e p a r a t o d o n ∈ N f (xn) = yn.

Y a q u e l a s u c e s i ó n

{xn}n∈N

e s t á a c o t a d a ( e s t á c o n t e n i d a e n [a, b]) , p o r e l t e o r e m a d e B o l z a n o -

W e i e r s t r a s s c o n t i e n e u n a s u b s u c e s i ó n {xrn}n∈ N

c o n v e r g e n t e a u n p u n t o x d e

[a, b]. S i e n d o f c o n t i n u a , n e c e s a r i a m e n t e e s i = lımn→∞

f (xrn) = f (x). P o r t a n t o

x e s u n m í n i m o a b s o l u t o d e f.P a r a v e r i c a r q u e

se s u n m á x i m o a b s o l u t o d e

f s e e m p l e a u n p r o c e d i m i e n t o

s i m i l a r a l a n t e r i o r . 2

7 . 2 . 2 L o c a l i z a c i ó n d e r a í c e s

O t r a c a r a c t e r í s t i c a d e u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n u n i n t e r v a l o c e r r a d o y a c o t a d o

[a, b]e s q u e s i s u s v a l o r e s e n l o s e x t r e m o s t i e n e n s i g n o s o p u e s t o s , e n t o n c e s

e x i s t e u n p u n t o d e l i n t e r v a l o d o n d e l a f u n c i ó n e s i g u a l a c e r o . E n l a g u r a



7 . 2 . C O N T I N U I D A D E N I N T E R V A L O S 1 1 7

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

12

–2 –1 1 2x

F i g u r a 7 . 1 : f (x) = x3 + 2x + 1.

( 7 . 1 ) s e p u e d e v e r e l e j e m p l o d e l a f u n c i ó n f (x) = x3 + 2x + 1e n e l i n t e r v a l o

[−2, 2]. E x i s t e u n p u n t o x e n t r e −2 y 2 t a l q u e f (x) = 0, e s d e c i r , u n a r a í z

d e f.

P a r a l o c a l i z a r l a r a í z d e u n a f u n c i ó n f c o n t i n u a e n u n i n t e r v a l o [a, b] s e

p u e d e e m p l e a r e l s i g u i e n t e m é t o d o d e b i s e c c i ó n

.

S i n p e r d e r e n g e n e r a l i d a d , p o d e m o s s u p o n e r q u e , c o m o e n l a g u r a ( 7 . 1 ) ,

f (a) < 0 y f (b) > 0. L a i d e a e s c o n s t r u i r u n a s u c e s i ó n e n c a j a d a d e i n t e r v a l o s

c e r r a d o s y a c o t a d o s

{I n}n∈N

,t a l q u e

n∈ N

I ns e a u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n

f (x) = 0. P o r t a n t o , l o s e x t r e m o s d e c a d a i n t e r v a l o I n s o n u n a a p r o x i m a c i ó n

d e x

q u e m e j o r a c u a n d o n

c r e c e .

E n t o n c e s d e n i m o s I 1 = [a1, b1] = [a, b]. A h o r a , s e a x = a1+b12 e l p u n t o

m e d i o d e I 1.

S i f (x) = 0,

e n t o n c e s x

e s l a r a í z b u s c a d a . S i f (x) > 0

s e

d e n e I 2 = [a2, b2] = [a2, x]. S i f (x) < 0 s e d e n e I 2 = [a2, b2] = [x, a2].E n l o s d o s c a s o s I 2 ⊂ I 1 y l a l o n g i t u d d e I 2 e s l a m i t a d d e l a l o n g i t u d

d e I 2. P o r m e d i o d e e s t e p r o c e s o i t e r a t i v o s e c o n s i g u e d e n i r u n a s u c e s i ó n

{I n}n∈N

= [an, bn] t a l q u e bn − an = b−a2n−1 y , p o r t a n t o , t a l q u e

n∈N

I n = {x},d o n d e

x = lımn→∞

an = lımn→∞

bn.A d e m á s , p a r a t o d o

n ∈ N, f (an) < 0y

f (bn) > 0. S i e n d o f c o n t i n u a , 0

≥f ( lım

n→∞an) = f (x) = f ( lım

n→∞bn)

≥0.

E n t o n c e s f (x) = 0.

E l m é t o d o d e b i s e c c i ó n d e m u e s t r a e l s i g u i e n t e t e o r e m a .

T e o r e m a 7 . 2 . 6 ( T e o r e m a d e l a r a í z ) S e a I u n i n t e r v a l o y s e a f : I → R




u n a f u n c i ó n c o n t i n u a . S i e x i s t e n d o s p u n t o s a y b e n I t a l e s q u e f (a) y f (b)t i e n e n s i g n o o p u e s t o , e n t o n c e s e x i s t e u n p u n t o

ce n t r e

ay

bt a l q u e

f (c) = 0.

O b s e r v a c i ó n 1 9 E l m é t o d o d e b i s e c c i ó n s e p u e d e u t i l i z a r c o m o a l g o r i t m o

p a r a a p r o x i m a r e l v a l o r e x a c t o d e u n a r a í z x d e u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n u n

i n t e r v a l o [a, b]. L a a p r o x i m a c i ó n q u e s e o b t i e n e a l p a s o n e s e l v a l o r d e an

c o n u n e r r o r |x − an| t a l q u e

|x − an| <1

2n(b − a).

T r a b a j a r e m o s c o n d i s t i n t o s m é t o d o s d e a p r o x i m a c i ó n d e r a í c e s e n l a p r á c t i c a

4 c o n M a p l e V .

E j e m p l o 7 . 2 . 7 S e a f : [0, 3] → Rl a f u n c i ó n d e n i d a p o r

f (x) =

x − 2 s i 0 ≤ x < 1,

ln(x) + 1 s i 1 ≤ x ≤ 3.

L a f u n c i ó n f n o e s c o n t i n u a e n [0, 3], f (0) = −2 < 0 y f (3) = ln(3)+1 > 0.p e r o n o e x i s t e n i n g ú n p u n t o c e n t r e 0 y 3 t a l q u e f (3) = 0.

E j e r c i c i o s 7 . 2 . 1 1 ) S e a f (x) = 2sen(x) − √ 3. V e r i c a r q u e e x i s t e u n a r a í z

d e f e n e l i n t e r v a l o (0, π).2 ) H a l l a r u n i n t e r v a l o q u e c o n t e n g a u n a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n

x3 + 1 = −3x.

U n a g e n e r a l i z a c i ó n i n m e d i a t a d e l t e o r e m a d e l a r a í z e s e l s i g u i e n t e t e o r e m a .

T e o r e m a 7 . 2 . 8 ( T e o r e m a d e l v a l o r i n t e r m e d i o d e B o l z a n o ) S e a I u n

i n t e r v a l o y s e a f : I → R u n a f u n c i ó n c o n t i n u a . S u p o n g a m o s q u e e x i s t e n

d o s p u n t o s

ay

be n

I t a l e s q u e

f (a) < f (b).E n t o n c e s p a r a t o d o n ú m e r o r e a l

y t a l q u e f (a) < y < f (b) e x i s t e u n p u n t o c e n t r e a y b t a l q u e f (c) = y.

( E l t e o r e m a d e l v a l o r i n t e r m e d i o s e o b t i e n e a p l i c a n d o e l t e o r e m a d e l a

r a í z a l a f u n c i ó n c o n t i n u a g(x) = f (x) − y. )



7 . 3 . F U N C I O N E S M O N Ó T O N A S E I N V E R S A S 1 1 9

O b s e r v a c i ó n 2 0 E l t e o r e m a d e l v a l o r i n t e r m e d i o t i e n e v a r i a s i n t e r e s a n t e s

c o n s e c u e n c i a s :

1 ) S i l a f u n c i ó n f e s c o n t i n u a e n u n i n t e r v a l o c e r r a d o y a c o t a d o [a, b],e n t o n c e s t i e n e u n v a l o r m í n i m o m y u n v a l o r m á x i m o M. P o r e l t e o r e m a

d e l v a l o r i n t e r m e d i o , l a f u n c i ó n f a l c a n z a e n p u n t o s d e [a, b] t o d o l o s v a l o r e s

i n t e r m e d i o s e n t r e m y M. P o r t a n t o , s e s i g u e t a m b i é n q u e f ([a, b]) = [m, M ].2 ) ( C o n s e r v a c i ó n d e i n t e r v a l o s ) M á s e n g e n e r a l , s i I e s u n i n t e r v a l o

c u a l q u i e r a y f e s u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n I, e l c o n j u n t o i m a g e n f (I ) e s

t a m b i é n u n i n t e r v a l o . ( E s t a p r o p i e d a d s e v e r i c a f á c i l m e n t e u t i l i z a n d o e l

h e c h o d e q u e u n s u b c o n j u n t o A d e l a r e c t a r e a l e s u n i n t e r v a l o s i y s ó l o s i

p a r a t o d o p a r d e p u n t o s a y b d e A t a l e s q u e a < b, t o d o e l i n t e r v a l o c e r r a d o

[a, b] e s t á c o n t e n i d o e n A.)

E j e m p l o s 7 . 2 . 9 1 ) L a f u n c i ó n d e D i r i c h l e t n o e s c o n t i n u a e n n i n g ú n p u n t o

d e R. T i e n e m á x i m o i g u a l a 1 y m í n i m o i g u a l a 0 y l a i m a g e n d e l i n t e r v a l o

[−1, 2] e s e l c o n j u n t o {0, 1}, q u e n o e s u n i n t e r v a l o .

2 ) L a f u n c i ó n d e l e j e m p l o ( 7 . 2 . 7 ) n o e s c o n t i n u a e n [0, 3] y f ([0, 3]) n o

e s u n i n t e r v a l o .

3 ) S i f : [0, 1] → Q e s c o n t i n u a , e n t o n c e s f t i e n e q u e s e r c o n s t a n t e .

7 . 3 F u n c i o n e s m o n ó t o n a s e i n v e r s a s

E l r e s u l t a d o p r i n c i p a l d e e s t a s e c c i ó n e s q u e u n a f u n c i ó n c o n t i n u a y e s t r i c -

t a m e n t e m o n ó t o n a e n u n i n t e r v a l o t i e n e u n a i n v e r s a c o n t i n u a d e n i d a s o b r e

s u i m a g e n .

D e n i c i ó n 7 . 3 . 1 S e a f : A → R u n a f u n c i ó n d e n i d a s o b r e u n s u b c o n j u n t o

A d e R.

• f e s c r e c i e n t e [ d e c r e c i e n t e ] e n A s i p a r a t o d o p a r x, y d e e l e m e n t o s

d e A,

x ≤ y i m p l i c a f (x) ≤ f (y) [ f (x) ≥ f (y)].

• f e s e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e [ e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e ] e n A s i

p a r a t o d o p a r x, y d e e l e m e n t o s d e A,

x < y i m p l i c a f (x) < f (y) [ f (x) > f (y)].




E j e m p l o s 7 . 3 . 2 1 ) L a f u n c i ó n f (x) = x e s e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e y l a

f u n c i ó n

f (x) = −xe s e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e .

U n a f u n c i ó n q u e e s a l m i s m o t i e m p o c r e c i e n t e y d e c r e c i e n t e s o b r e u n c o n j u n t o

A t i e n e q u e s e r c o n s t a n t e .

2 ) L a f u n c i ó n

x2 + 5 s i x > 0,

1 s i x = 0,

x s i x < 0

e s e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e , a d e m á s s u s l í m i t e s l a t e r a l e s e n e l p u n t o a = 0s o n

lımx→0−

f (x) = 0 = sup{f (x) : x < 0} y lımx→0+

f (x) = 5 = inf {f (x) : x > 0}.

E l ú l t i m o e j e m p l o i l u s t r a l a s i g u i e n t e p r o p i e d a d d e l a s f u n c i o n e s m o n ó t o -

n a s e n i n t e r v a l o s :

P r o p o s i c i ó n 7 . 3 . 3 S e a f : I → R u n a f u n c i ó n d e n i d a s o b r e u n i n t e r v a l o

I d e R y s e a a u n p u n t o i n t e r i o r

d e I ( u n p u n t o d e u n i n t e r v a l o e s u n p u n t o

i n t e r i o r s i e x i s t e u n e n t o r n o a b i e r t o d e c e n t r o a c o m p l e t a m e n t e c o n t e n i d o e n

e l i n t e r v a l o ) .

•S i f e s d e c r e c i e n t e e n I, e n t o n c e s lım

x→a−f (x) = inf

{f (x) : x

∈I, x < a

}y lım

x→a+f (x) = sup{f (x) : x ∈ I, x > a},

• S i f e s c r e c i e n t e e n I, e n t o n c e s lımx→a−

f (x) = sup{f (x) : x ∈ I, x < a}y lım

x→a+f (x) = inf {f (x) : x ∈ I, x > a}.

L a p r o p o s i c i ó n a n t e r i o r i m p l i c a e l s i g u i e n t e c r i t e r i o d e c o n t i n u i d a d

P r o p o s i c i ó n 7 . 3 . 4 ( C r i t e r i o d e c o n t i n u i d a d ) S e a f : I → R u n a f u n -

c i ó n d e n i d a s o b r e u n i n t e r v a l o I d e R

y s e a a u n p u n t o i n t e r i o r d e I.

• S i f e s d e c r e c i e n t e e n I, e n t o n c e s f e s c o n t i n u a e n a s i y s ó l o s i

inf {f (x) : x ∈ I, x < a} = f (a) = sup{f (x) : x ∈ I, x > a},

•S i f e s c r e c i e n t e e n I, e n t o n c e s f e s c o n t i n u a e n a s i y s ó l o s i sup{f (x) :x ∈ I, x < a} = f (a) = inf {f (x) : x ∈ I, x > a}.



7 . 3 . F U N C I O N E S M O N Ó T O N A S E I N V E R S A S 1 2 1

O b s e r v a c i ó n 2 1 S i a e s e l e x t r e m o d e r e c h o [ i z q u i e r d o ] d e l i n t e r v a l o I, e l

c r i t e r i o d e c o n t i n u i d a d s e p u e d e e n u n c i a r c o m o s i g u e :

• S i f e s d e c r e c i e n t e e n I, e n t o n c e s f e s c o n t i n u a e n a s i y s ó l o s i

inf {f (x) : x ∈ I, x < a} = f (a) [ sup{f (x) : x ∈ I, x > a} = f (a) ] .

• S i f e s c r e c i e n t e e n I, e n t o n c e s f e s c o n t i n u a e n a s i y s ó l o s i sup{f (x) :x ∈ I, x < a} = f (a) [ inf {f (x) : x ∈ I, x > a} = f (a) ] .

E j e m p l o 7 . 3 . 5 L a f u n c i ó n

−x s i − 1 ≤ x ≤ 1,

−x − 1s i

1 < x ≤ 2,e s e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e y n o e s c o n t i n u a e n e l p u n t o i n t e r i o r a = 1 d e l

i n t e r v a l o I = [−1, 2] y a q u e

inf {f (x) : x ∈ I,x < 1} = −1 = f (1) = −2 = sup{f (x) : x ∈ I, x > 1}.

S i f : I → Re s u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e s t r i c t a m e n t e m o n ó t o n a ( c r e c i e n t e o

d e c r e c i e n t e ) e n t o n c e s l a i m a g e n d e l i n t e r v a l o I e s u n i n t e r v a l o f (I ). A d e m á s

l a f u n c i ó n f e s u n a f u n c i ó n i n y e c t i v a , y a q u e p a r a f u n c i o n e s e s t r i c t a m e n t e

m o n ó t o n a s

x = y → f (x) = f (y).P o r t a n t o l a f u n c i ó n

f : I → f (I )e s u n a

f u n c i ó n b i y e c t i v a y s e p u e d e d e n i r s u i n v e r s a f −1 : f (I ) → I q u e e s t a m b i é n

b i y e c t i v a .

T e o r e m a 7 . 3 . 6 S e a f : I → R u n a f u n c i ó n d e n i d a s o b r e u n i n t e r v a l o I d e

Rc o n t i n u a y e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e [ e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e ] e n I. E n -

t o n c e s l a f u n c i ó n f −1 : f (I ) → I e s e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e [ e s t r i c t a m e n t e

c r e c i e n t e ] y c o n t i n u a .

D e m o s t r a c i ó n S i

f e s e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e , t e n e m o s q u e v e r i c a r q u e

f −1e s e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e y c o n t i n u a .

f −1e s e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e : s e a n

b1 y b2 d o s e l e m e n t o s d e

f (I )t a l e s

q u e b1 < b2. E n t o n c e s e x i s t e n d o s p u n t o s a1 y a2 e n I t a l e s q u e f (a1) = b1 <b2 = f (a2).

S i e n d o f

e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e t i e n e q u e s e r f −1(b1) = a1 >

a2 = f −1(b2). P o r t a n t o f −1e s e s t r i c t a m e n t e d e c r e c i e n t e .




f −1e s c o n t i n u a : p o r r e d u c c i ó n a l a b s u r d o , s e a b ∈ f (I ) u n p u n t o d e d i s c o n t i -

n u i d a d d e

f −1

.S i e n d o

f −1

d e c r e c i e n t e , p u e d e p a s a r s ó l o u n a d e l a s s i g u i e n t e s

c i r c u n s t a n c i a s :

1 ) f −1(b) < inf {f −1(y) : y ∈ f (I ), y < b} : e n e s t e c a s o u n p u n t o ac u a l q u i e r a e n e l i n t e r v a l o (f −1(b),inf {f −1(y) : y ∈ f (I ), y < b}) ⊆ I n o

p o d r í a t e n e r i m a g e n c o n t e n i d a e n f (I ) y e s t o e s i m p o s i b l e .

2 ) f −1(b) > sup{f −1(y) : y ∈ f (I ), y > b} : e n e s t e c a s o u n p u n t o ac u a l q u i e r a e n e l i n t e r v a l o (sup{f −1(y) : y ∈ f (I ), y > b}, f −1(b)) ⊆ I n o

p o d r í a t e n e r i m a g e n c o n t e n i d a e n f (I ) y e s t o t a m p o c o e s p o s i b l e .

S i f e s e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e l a d e m o s t r a c i ó n e s s i m i l a r . 2

A c a b a m o s e s t e c a p í t u l o c o n u n e j e m p l o q u e i l u s t r a q u e u n a f u n c i ó n

f :A → R

c o n t i n u a y e s t r i c t a m e n t e m o n ó t o n a s o b r e u n c o n j u n t o A q u e n o e s

u n i n t e r v a l o p u e d e t e n e r u n a i n v e r s a d i s c o n t i n u a .

E j e m p l o 7 . 3 . 7 S e a

f (x) =

x s i x ∈ [0, 1),

x − 1 s i x ∈ [2, 3].L a f u n c i ó n f e s c o n t i n u a y e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e e n e l c o n j u n t o

A = [0, 1) ∪ [2, 3] e Im(f ) = [0, 2]. S i n e m b a r g o s u i n v e r s a e s l a f u n c i ó n

f −1(y) = y s i y ∈ [0, 1),

y + 1s i

y ∈ [1, 2]q u e e s d i s c o n t i n u a e n y = 1.



C a p í t u l o 8

D e r i v a c i ó n

E l c o n c e p t o d e d e r i v a d a d e u n a f u n c i ó n e n u n p u n t o e s u n a d e l a s a p l i c a c i o n e s

m á s i m p o r t a n t e s d e l a t e o r í a d e l o s l í m i t e s .

A n t e s d e l a i n t r o d u c c i ó n d e l c á l c u l o d i f e r e n c i a l ( e s d e c i r , d e l e s t u d i o d e l a s

d e r i v a d a s d e f u n c i o n e s ) s e p o d í a e s t u d i a r e l m o v i m i e n t o d e u n c u e r p o s ó l o

s i s u v e l o c i d a d e r a c o n s t a n t e y s e p o d í a d e n i r l a p e n d i e n t e d e u n a c u r v a

e n u n p u n t o s ó l o s i l a c u r v a e r a u n a r e c t a . E l c o n c e p t o d e r e c t a t a n g e n t e

e n u n p u n t o a u n a c u r v a e r a c o n o c i d o p a r a u n a c i r c u n f e r e n c i a ( c o m o r e c t a

p e r p e n d i c u l a r a l r a d i o p o r e s e p u n t o ) p e r o n o p a r a c u r v a s m á s g e n e r a l e s .

E n é s t e y e n e l s i g u i e n t e c a p í t u l o v a m o s a e s t u d i a r l a s p r o p i e d a d e s b á s i c a s

d e l a s f u n c i o n e s d i f e r e n c i a b l e s y a l g u n a s d e l a s a p l i c a c i o n e s m á s i m p o r t a n t e s

d e l c á l c u l o d i f e r e n c i a l .

8 . 1 R e c t a t a n g e n t e y d e n i c i ó n d e d e r i v a d a

S e a f u n a f u n c i ó n r e a l d e n i d a e n u n i n t e r v a l o a b i e r t o I = (a, b) y s e a c u n

p u n t o d e I.S i a h o r a

xe s u n p u n t o d e

(a, b)d i s t i n t o d e

c,a l a v a r i a c i ó n ( i n c r e m e n t o )

x − c l e c o r r e s p o n d e u n a v a r i a c i ó n ( i n c r e m e n t o ) d e l o s v a l o r e s d e l a f u n c i ó n

f (x) − f (c). P o r e j e m p l o , e n l a g u r a ( 9 . 2 ) s e p u e d e o b s e r v a r l a f u n c i ó n

f (x) = x4

e n u n e n t o r n o d e l p u n t o

c = 3.S i

x = 5,e n t o n c e s

x−c = 5 −3 = 2y f (x) − f (c) = 54 − 34 = 625 − 81 = 544. L a p e n d i e n t e d e l a r e c t a s e c a n t e

q u e p a s a p o r l o s p u n t o s (c, f (c)) = (3, f (3)) y (x, f (x)) = (5, f (5)) e s i g u a l a

m = f (x)−f (c)x−c

= 5442

= 272.E n g e n e r a l , s i f e s u n a f u n c i ó n r e a l d e n i d a e n u n i n t e r v a l o a b i e r t o I = (a, b)

1 2 3



1 2 4 C A P Í T U L O 8 . D E R I V A C I Ó N

–400

–200

0

200

400

600

800

2 3 4 5x

F i g u r a 8 . 1 : U n a s e c a n t e a l a g r á c a d e f (x) = x4.

y c, x

s o n d o s p u n t o s d e I, l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a s e c a n t e a l a g r á c a

d e f

e n l o s p u n t o s P = (c, f (c)) y

Q = (x, f (x)) e s t á d a d a p o r l a f ó r m u l a

m =f (x) − f (c)

x − c= tg(αPQ),

( 8 . 1 )

d o n d e tg(αPQ) e s l a t a n g e n t e d e l á n g u l o

αPQ f o r m a d o p o r l a r e c t a P Q

y e l

e j e d e l a s x.

E j e m p l o s 8 . 1 . 1 1 ) S i l a f u n c i ó n f e s u n a r e c t a , p o r e j e m p l o f (x) = 3x − 2,e n t o n c e s p a r a t o d o c, x ∈ R f (x) − f (c) = 3x − 2 − (3c − 2) = 3(x − c) y

m = f (x)−f (c)x−c = 3 : l a p e n d i e n t e d e t o d a s e c a n t e a l a g r á c a d e f e s i g u a l a

l a p e n d i e n t e d e f, s i e n d o t o d a s e c a n t e i g u a l a l a g r á c a d e f.

2 ) S i u n c u e r p o s e m u e v e c o n d e s p l a z a m i e n t o d a d o p o r l a f u n c i ó n d e l

t i e m p o ( e n m i n u t o s ) s(t) = t2, e n t o n c e s e l c o c i e n t e d e i n c r e m e n t o s m =s(t)

−s(c)

t−c =t2

−c2

t−c = t + cr e p r e s e n t a s u v e l o c i d a d m e d i a d u r a n t e e l i n t e r v a l o d e

t i e m p o t − c. P a r a p o d e r c a l c u l a r l a v e l o c i d a d i n s t a n t á n e a d e l c u e r p o e n e l

t i e m p o c h a y q u e c o n s i d e r a r v a l o r e s d e t a r b i t r a r i a m e n t e c e r c a n o s a l v a l o r c.G r á c a m e n t e e s t o s e c o r r e s p o n d e a e s t u d i a r r e c t a s s e c a n t e s a l a g r á c a d e

se n l o s p u n t o s (c, s(c)) y (t, s(t)) c u a n d o t t i e n d e a c.



8 . 1 . R E C T A T A N G E N T E Y D E F I N I C I Ó N D E D E R I V A D A 1 2 5

–400

–200

0

200

400

600

800

2 3 4 5x

F i g u r a 8 . 2 : U n a r e c t a t a n g e n t e a l a g r á c a d e f (x) = x4.

S i m i r a m o s a l a g u r a ( 8 . 2 ) , l a s r e c t a s s e c a n t e s a s u g r á c a e n p u n t o s

(x, f (x))t a l e s q u e

xt i e n d e a l v a l o r

3( p o r l a d e r e c h a ) , s e a p r o x i m a n a l a r e c t a

q u e p a s a p o r e l p u n t o (3, f (3)) y q u e t i e n e p e n d i e n t e i g u a l a lım

x→3+

f (x)−f (3)x−3

.

D e n i c i ó n 8 . 1 . 2 S e a f u n a f u n c i ó n r e a l d e n i d a e n u n i n t e r v a l o a b i e r t o

I = (a, b)y s e a

cu n p u n t o d e

I.S i e x i s t e

m = lımx→c

f (x)

−f (c)

x−c ,l a r e c t a d e

e c u a c i ó n

y(x) = m (x − c) + f (c)

e s l a r e c t a t a n g e n t e a l a g r á c a d e f e n e l p u n t o (c, f (c)).

E j e m p l o s 8 . 1 . 3 1 ) C o m o e s d e e s p e r a r , l a r e c t a t a n g e n t e a l a g r á c a d e l a

f u n c i ó n f (x) = 3x − 2 e n e l p u n t o (c, f (c)) t i e n e e c u a c i ó n y(x) = 3 (x − c) +3c − 2 = 3x − 2.

2 ) L a r e c t a t a n g e n t e a l a g r á c a d e l a f u n c i ó n s(t) = t2 e n e l p u n t o

(c, f (c)) t i e n e p e n d i e n t e i g u a l a m = lımt→c

f (t)−f (c)

t−c= lım

t→ct + c = 2c. S u

e c u a c i ó n e s y(t) = 2c(t − c) + c2 = 2ct − c2.

D e n i c i ó n 8 . 1 . 4 S e a f u n a f u n c i ó n r e a l d e n i d a e n u n i n t e r v a l o a b i e r t o

I = (a, b) y s e a c u n p u n t o d e I. S i e x i s t e lımx→c

f (x)−f (c)x−c

s e d i c e q u e f e s




d e r i v a b l e e n e l p u n t o c y e l v a l o r f (c) = lımx→c

f (x)−f (c)x−c

e s l a d e r i v a d a d e

l a f u n c i ó n

f e n e l p u n t o

c.

S i f e s d e r i v a b l e e n t o d o p u n t o d e u n i n t e r v a l o I = (a, b) e n t o n c e s l a f u n c i ó n

d e n i d a e n I q u e a s o c i a a t o d o x ∈ I e l v a l o r f (x) e s l a f u n c i ó n d e r i v a d a

d e f e n I.

N o t a c i ó n : p a r a i n d i c a r l a f u n c i ó n d e r i v a d a d e f e n u n p u n t o x s e p u e d e n

u t i l i z a r l o s s í m b o l o s

f (x),df

dx(x) Df (x).

E j e m p l o s 8 . 1 . 5 1 ) E n r e l a c i ó n a l o s e j e m p l o s 8 . 1 . 1 , l a f u n c i ó n d e r i v a d a d e

f (x) = 3x

−2 e s l a f u n c i ó n c o n s t a n t e f (x) = 3. L a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n

s(t) = t2 e s s(t) = 2t y r e p r e s e n t a l a v e l o c i d a d i n s t a n t á n e a d e l c u e r p o e n e l

t i e m p o t.2 ) S e a f (x) = x3

y s e a c u n n ú m e r o r e a l . E n t o n c e s

f (c) = lımx→c

f (x) − f (c)

x − c= lım

x→c

x3 − c3

x − c= lım

x→cx2 + cx + c2 = 3c2.

L a f u n c i ó n d e r i v a d a d e f (x) e s f (x) = 3x2.3 ) T o d a f u n c i ó n c o n s t a n t e e s d e r i v a b l e e n s u d o m i n i o y s u d e r i v a d a e s l a

f u n c i ó n c o n s t a n t e i g u a l a 0 : f (x) = k ∈ R ⇒ f (x) = 0.

O b s e r v a c i ó n 2 2 S e p u e d e d e m o s t r a r q u e , d a d a u n a f u n c i ó n f (x) c o n t i n u a

e n

x0 y d e r i v a b l e e n t o d o

x = x0,s i e x i s t e e l l í m i t e

lımx→x0 f (x)e n t o n c e s

f (x)e s d e r i v a b l e e n x0 y f (x0) = lım

x→cf (x).

E s i m p o r t a n t e n o t a r q u e s i lımx→x0

f (x) n o e x i s t e , l a f u n c i ó n f (x) p u e d e s e r

d e r i v a b l e e n x0, c o m o e s e l c a s o d e l a f u n c i ó n

f (x) =

x2sen( 1

x) s i x = 0,

0 s i x = 0.

D e n i c i ó n 8 . 1 . 6 S e a f (x) d e r i v a b l e e n I = (a, b). S i s u f u n c i ó n d e r i v a d a

f (x) e s t a m b i é n d e r i v a b l e e n I, e x i s t e s u f u n c i ó n d e r i v a d a , q u e e s l a d e r i v a d a

s e g u n d a ( o d e o r d e n 2 ) d e

f (x)y s e e s c r i b e c o m o

f (2)

(x).D e e s t a f o r m a , s e

p u e d e s e g u i r d e r i v a n d o l a s f u n c i o n e s o b t e n i d a s a p a r t i r d e f (x), h a s t a q u e s e

l l e g u e a u n a f u n c i ó n n o d e r i v a b l e .

U n a f u n c i ó n f (x) s e d i c e d e r i v a b l e d e c l a s e k , k ∈ N∪ {0}, e n I s i e s

c o n t i n u a e n I y t i e n e d e r i v a d a s c o n t i n u a s e n I h a s t a e l o r d e n k.



8 . 2 . P R O P I E D A D E S B Á S I C A S D E L A D E R I V A D A 1 2 7

8 . 2 P r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l a d e r i v a d a

8 . 2 . 1 C o n t i n u i d a d y d e r i v a b i l i d a d

E s n a t u r a l p r e g u n t a r s e s i t o d a s l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s s o n d e r i v a b l e s . L o s

s i g u i e n t e s e j e m p l o s c o n t e s t a n d e f o r m a n e g a t i v a a n u e s t r a p r e g u n t a .

E j e m p l o s 8 . 2 . 1 1 ) L a f u n c i ó n f (x) = |x| e s c o n t i n u a p e r o n o e s d e r i v a b l e

e n e l p u n t o a = 0. E n e f e c t o

lımx→0

+

|x| − |0|x − 0

= 1

= lım

x→0−

|x| − |0|x − 0

=

−1.

G r á c a m e n t e , f (x) = |x|n o e s d e r i v a b l e e n a = 0 y a q u e l a g r á c a p r e s e n t a

u n " p u n t o a n g u l o s o " e n (0, 0).

2 ) L a f u n c i ó n f (x) = 3√

x e s c o n t i n u a e n R p e r o n o e s d e r i v a b l e e n e l

p u n t o a = 0. E n e f e c t o lımx→0+

3√

x− 3√ 0x−0

= lımx→0+

13√ x2

= ∞.

G r á c a m e n t e , f (x) = 3√

x n o e s d e r i v a b l e e n a = 0 y a q u e l a g r á c a p r e s e n t a

u n a t a n g e n t e v e r t i c a l e n (0, 0).

L o q u e e s c i e r t o e s q u e t o d a f u n c i ó n d e r i v a b l e e n u n p u n t o ( i n t e r v a l o ) e s

t a m b i é n c o n t i n u a e n e s e p u n t o ( i n t e r v a l o ) .

T e o r e m a 8 . 2 . 2 S e a n I = (a, b) u n i n t e r v a l o y f : I → R u n a f u n c i ó n

d e r i v a b l e e n u n p u n t o c ∈ I. E n t o n c e s f e s c o n t i n u a e n c.

D e m o s t r a c i ó n T e n e m o s q u e v e r i c a r q u e lım

x→cf (x) = f (c) o , d e f o r m a

e q u i v a l e n t e , q u e lımx→c

f (x) − f (c) = 0. Y a q u e f e s d e r i v a b l e e n c,

lımx→c

f (x) − f (c) = lımx→c

f (x) − f (c)x − c

(x − c) = f (c) lımx→c

(x − c) = 0.

2




8 . 2 . 2 D e r i v a d a s d e f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s

Y a q u e l a e x i s t e n c i a d e l a d e r i v a d a d e u n a f u n c i ó n e n u n p u n t o c o i n c i d e c o n

l a e x i s t e n c i a d e u n l í m i t e , e s n a t u r a l q u e l a s p r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s

d e r i v a b l e s ( q u e s o n t a m b i é n f u n c i o n e s c o n t i n u a s ) s e s i g a n d e l a s p r o p i e d a d e s

d e l o s l í m i t e s .

O p e r a c i o n e s c o n f u n c i o n e s d e r i v a b l e s

S e a n f y g d o s f u n c i o n e s d e r i v a b l e s e n u n i n t e r v a l o a b i e r t o I.D 1 ) (

P r o p i e d a d d e l i n e a l i d a d ) S i r y s s o n d o s n ú m e r o s r e a l e s , l a f u n c i ó n

(r f + s g)(x) = r f (x) + s g(x)e s d e r i v a b l e e n t o d o a ∈ I y

(r f + s g)(a) =r f (a) + s g(a).

D 2 ) ( M u l t i p l i c a c i ó n

) L a f u n c i ó n (f g)(x) = f (x) g(x)

e s d e r i v a b l e e n t o d o

a ∈ I y (f g)(a) = f (a) g(a) + f (a) g(a).

D 3 ) ( D i v i s i ó n

) S i g(a) = 0l a f u n c i ó n

(f g

)(x) = f (x)g(x) e s d e r i v a b l e e n t o d o

a ∈ I y ( f g

)(a) = f (a) g(a)−f (a) g(a)g2(a)

.P a r a v e r i c a r l a s a r m a c i o n e s a n t e r i o r e s s e u t i l i z a l a d e n i c i ó n d e d e r i v a d a .

P o r e j e m p l o , l a r e g l a d e l a m u l t i p l i c a c i ó n D 2 s e s i g u e d e l a s i g u a l d a d e s

(f g)(x) − (f g)(a)

x − a=

f (x) g(x) − f (x) g(a) + f (x) g(a) − f (a) g(a)

x − a=

= f (x)g(x) − g(a)

x

−a

+ g(a)f (x) − f (a)

x

−a

.

E j e m p l o s 8 . 2 . 3 1 ) S e a f (x) = xnc o n n ∈ N y s e a a ∈ R. V e r i q u e m o s p o r

i n d u c c i ó n q u e f e s d e r i v a b l e e n a y q u e f (a) = n an−1 :s i n = 1, e n t o n c e s l a f u n c i ó n x e s d e r i v a b l e s e n a y s u d e r i v a d a e s l a f u n c i ó n

c o n s t a n t e 1 = 1 a0.S e a l a f u n c i ó n xn

d e r i v a b l e e n a c o n d e r i v a d a i g u a l a n an−1. E n t o n c e s l a

f u n c i ó n xn+1 = xn x e s e l p r o d u c t o d e d o s f u n c i o n e s d e r i v a b l e s y , p o r l a r e g l a

d e l a m u l t i p l i c a c i ó n D 2 , s u d e r i v a d a e n a e s i g u a l a

(n an−1) a + an 1 = (n + 1) an.

D e f o r m a s i m i l a r y a p l i c a n d o l a r e g l a d e l a d i v i s i ó n D 3 , s e p u e d e v e r i c a r

q u e l a f u n c i ó n f (x) = xne s d e r i v a b l e e n a = 0 p a r a t o d o n ∈ Z.

2 ) D e l e j e m p l o 1 ) y d e l a p r o p i e d a d D 1 s e s i g u e q u e t o d a f u n c i ó n p o l i -

n o m i a l e s d e r i v a b l e e n t o d o a ∈ R. P o r e j e m p l o , l a f u n c i ó n d e r i v a d a d e l a

f u n c i ó n f (x) = 5x7 − 3x4 + x − 3 e s l a f u n c i ó n f (x) = 35 x6 − 12 x3 + 1.




3 ) T o d a f u n c i ó n r a c i o n a l e s d e r i v a b l e e n s u d o m i n i o . P o r e j e m p l o , s e a

f (x) =

3x2

−1

x+1 .L a f u n c i ó n

f (x)e s t á d e n i d a e n

R \ {−1}y e s i g u a l a

f (x) =6x(x + 1) − (3x2 − 1)

(x + 1)2=

3x2 + 6x + 1

(x + 1)2.

D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n l o g a r i t m o : p a r a t o d o x ∈ (0, ∞), s e a f (x) =

ln(x) y s e a a ∈ (0, ∞). E n t o n c e s

ln(x) − ln(a)

x − a

=1

x − a

ln(x

a

) =1

x − a

ln(x − a + a

a

) =

= ln[(1 +x − a

a)

ax−a ]

1a =

1

aln(1 +

x − a

a)

ax−a .

S e s i g u e q u e

lımx→a

ln(x) − ln(a)

x − a=

1

alımx→a

ln(1 +x − a

a)

ax−a =

=1

aln(lım

x→a(1 +

x − a

a)

ax−a ) =

1

aln(e) =

1

a.

E n t o n c e s

dln

dx(x) =

1

x.

M á s e n g e n e r a l , s i e n d o logc(x) = ln(x)ln(c) , (c > 0, c = 1),

dlogc

dx(x) =

1

ln(c)x.

8 . 2 . 3 D e r i v a d a s d e f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s

S i v e r i c a m o s q u e l a s f u n c i o n e s sen(x)

y cos(x)

s o n d e r i v a b l e s e n R

y c a l c u -

l a m o s s u s f u n c i o n e s d e r i v a d a s , e n t o n c e s p o d e m o s d e d u c i r e n q u é p u n t o s s o n

d e r i v a b l e s l a s d e m á s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s q u e s e d e n e n e n t é r m i n o s d e

sen(x) y cos(x).




D e r i v a d a s d e l a s f u n c i o n e s sen(x) y cos(x) : s e a a ∈ R, e n t o n c e s

sen(x) − sen(a)x − a

= sen((x − a) + a) − sen(a)x − a

=

=sen(x − a)cos(a) + cos(x − a)sen(a) − sen(a)

x − a=

=sen(x − a)

x − acos(a) − 1 − cos(x − a)

x − asen(a).

A h o r a , lımx→a

sen(x−a)x−a = 1 y lım

x→a

1−cos(x−a)x−a = 0, p o r t a n t o

lımx

→a

sen(x) − sen(a)

x−

a= 1 cos(a) − 0 sen(a) = cos(a).

H e m o s v e r i c a d o q u e p a r a t o d o x ∈ R,

dsen

dx(x) = cos(x).

U t i l i z a n d o u n m é t o d o s i m i l a r a l a n t e r i o r s e v e r i c a q u e p a r a t o d o x ∈ R,

dcos

dx(x) = −sen(x).

E j e r c i c i o 8 . 2 . 1 V e r i c a r q u e p a r a t o d o x ∈ R\{x ∈ R : x = π2 +k π, k ∈ Z},

dtg

dx (x) = 1 + tg2

(x) =1

cos2(x) = sec2

(x)

y q u e e n s u s d o m i n i o s d e d e n i c i ó n :

dcosec

dx(x) = −cosec(x)cotg(x),

dsec

dx(x) = sec(x)tg(x),

dcotg

dx(x) = −cosec2(x),

d o n d e

cosec(x) =1

sen(x)(x ∈ R \ {kπ : k ∈ Z}),

sec(x) =1

cos(x)(x ∈ R \ {π

2+ kπ : k ∈ Z}),

cotg(x) =1

tg(x)(x ∈ R \ {k

π

2: k ∈ Z}).




8 . 2 . 4 R e g l a d e l a c a d e n a

L a r e g l a d e l a c a d e n a p e r m i t e c a l c u l a r l a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n c o m p u e s t a

d e d o s f u n c i o n e s d e r i v a b l e s .

R e g l a d e l a c a d e n a : s e a n I y J d o s i n t e r v a l o s y s e a n f : I → R

y g : J → Rd o s f u n c i o n e s t a l e s q u e f (I ) ⊆ J. S e a n a ∈ I y f (a) ∈ J

d o s p u n t o s i n t e r i o r e s t a l e s q u e f e s d e r i v a b l e e n a y g e s d e r i v a b l e e n f (a).E n t o n c e s l a f u n c i ó n g ◦ f e s d e r i v a b l e e n a y

(g ◦ f )(a) = g(f (a)) f (a).

D e m o s t r a c i ó n O b s e r v e m o s q u e s i e x i s t e (g

◦f )(a) = lım

x→

a

g(f (x))−g(f (a))x

−a y

f e s d e r i v a b l e e n a y g e s d e r i v a b l e e n f (a), s e r í a c o n v e n i e n t e e s c r i b i r :

g(f (x)) − g(f (a))

x − a=

g(f (x)) − g(f (a))

f (x) − f (a)

f (x) − f (a)

x − a.

C a l c u l a n d o e l l í m i t e c u a n d o x t i e n d e a l p u n t o a d e l a e c u a c i ó n a n t e r i o r s e

o b t e n d r í a l a r e g l a d e l a c a d e n a .

E l ú n i c o p r o b l e m a e s q u e s i f (x) = f (a), e n t o n c e s n o p o d e m o s u t i l i z a r e s -

t e m é t o d o . P a r a s o l u c i o n a r e l p r o b l e m a s e r e c u r r e a u n a f u n c i ó n a u x i l i a r

d e n i d a p o r

G(y) = g(y)−g(f (a))

y−

f (a) s i y

= f (a),

g(f (a)) s i y = f (a).

S i e n d o g d e r i v a b l e e n f (a), l a f u n c i ó n G e s c o n t i n u a e n J y

g(f (x)) − g(f (a)) = G(f (x)) (f (x) − f (a)).

E n t o n c e s , s i x = a,

g(f (x)) − g(f (a))

x − a= G(f (x))

f (x) − f (a)

x − a.

C a l c u l a n d o e l l í m i t e d e e s t a ú l t i m a e x p r e s i ó n c u a n d o x t i e n d e a l p u n t o a s e

o b t i e n e q u e

(g ◦ f )(a) = g(f (a)) f (a).

2




E j e m p l o s 8 . 2 . 4 1 ) S e a f : I → R u n a f u n c i ó n d e r i v a b l e e n u n i n t e r v a l o

a b i e r t o

I.S i

f (x) = 0p a r a t o d o

x ∈ I,e n t o n c e s p o d e m o s d e n i r e n

I l a

f u n c i ó n

1f (x) = 1

f (x) . P a r a c a l c u l a r s u d e r i v a d a s e p u e d e u t i l i z a r l a r e g l a d e

l a d i v i s i ó n o t a m b i é n l a r e g l a d e l a c a d e n a :

(1

f )(x) = − 1

f 2(x)f (x) = − f (x)

f 2(x).

P o r e j e m p l o , s e a f (x) = 13x4+1

( p a r a t o d o x ∈ R) . E n t o n c e s ,

f (x) = − 12x3

(3x4 + 1)2.

2 ) S e a x

∈R

\ {0

}. E n t o n c e s

ln(|x|) =

ln(x) s i x > 0,

ln(−x) s i x < 0.

A p l i c a n d o l a r e g l a d e l a c a d e n a s e o b t i e n e q u e

dln

dx(|x|) =

1x

s i x > 0,1−x(−1) = 1

xs i x < 0.

P o r t a n t o

dln

dx(|x|) =

1

x

p a r a t o d o x ∈ R \ {0}.3 ) S e a f (x) u n a f u n c i ó n d e r i v a b l e e n u n i n t e r v a l o a b i e r t o I.

E n t o n c e s |f (x)| =

f (x) s i f (x) ≥ 0,

−f (x) s i f (x) < 0.

L a f u n c i ó n |f (x)| e s d e r i v a b l e e n t o d o x t a l q u e f (x) = 0 y

d|f (x)|dx

= sgn(f (x))df

dx(x).

S e s i g u e q u e s i x t a l q u e f (x) = 0,

dln

dx (|f (x)|) =

sgn(f (x)) f (x)

|f (x)| =

f (x)

f (x) .

E j e r c i c i o s 8 . 2 . 1 1 ) C a l c u l a r l a d e r i v a d a d e f (x) = ln(|sen(3x2 + 1)|), s i

x2 = kπ−13

, k ∈ Z.2 ) C a l c u l a r l a d e r i v a d a d e f (x) = sen(cos(tg(x))).



8 . 3 . D E R I V A D A D E L A F U N C I Ó N I N V E R S A 1 3 3

8 . 3 D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n i n v e r s a

T e o r e m a 8 . 3 . 1 ( D e r i v a d a d e l a f u n c i ó n i n v e r s a ) S e a f : I → f (I ) u n a

f u n c i ó n c o n t i n u a y b i y e c t i v a e n e l i n t e r v a l o a b i e r t o I. S i f e s d e r i v a b l e e n

u n p u n t o a ∈ I y f (a) = 0, e n t o n c e s l a f u n c i ó n i n v e r s a f −1 : f (I ) → I e s

d e r i v a b l e e n e l p u n t o b = f (a) ∈ f (I ) y

(f −1)(b) =1

f (a).

O b s e r v a c i ó n 2 3 L a d i c u l t a d d e l a d e m o s t r a c i ó n d e l t e o r e m a ( 8 . 3 . 1 ) e s t á

e n v e r i c a r q u e l a f u n c i ó n

f −1

e s d e r i v a b l e , y a q u e l a f ó r m u l a

(f −1

)(b) =1f (a) s e s i g u e d i r e c t a m e n t e a l d e r i v a r p o r m e d i o d e l a r e g l a d e l a c a d e n a l a

c o m p o s i c i ó n (f −1 ◦ f )(x) = x y c a l c u l a r e l r e s u l t a d o e n a.S i l a f u n c i ó n f d e l t e o r e m a ( 8 . 3 . 1 ) e s d e r i v a b l e e n u n p u n t o a ∈ I p e r o

f (a) = 0, l a f u n c i ó n i n v e r s a n o e s d e r i v a b l e e n b = f (a). P o r e j e m p l o , l a

f u n c i ó n f (x) = x3e s b i y e c t i v a y c o n t i n u a e n (−1, 1) y f (0) = 0. S u f u n c i ó n

i n v e r s a , f −1(y) = 3√

y, n o e s d e r i v a b l e e n 0 = f (0).

E j e m p l o s 8 . 3 . 2 1 ) Y a q u e l a f u n c i ó n ln(x) e s b i y e c t i v a y c o n t i n u a e n (0, ∞),l a f u n c i ó n i n v e r s a f (y) = ey

e s d e r i v a b l e e n (−∞, ∞) y s i y = ln(x),

dey

dy= 1f (x)

= x = ey.

2 ) P o r e l e j e m p l o 1 ) , p o d e m o s a h o r a c a l c u l a r l a s d e r i v a d a s d e l a s f u n c i o -

n e s e x p o n e n c i a l e s f (x) = ax, d o n d e a > 0 : y a q u e ax = eln(ax) = ex ln(a),

dax

dx= ex ln(a) ln(a) = ax ln(a).

3 ) P a r a c a l c u l a r l a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n f (x) = xa( a ∈ R y x > 0) , s e

u t i l i z a l a t é c n i c a a n t e r i o r : xa = eln(xa), y

dxa

dx= ea ln(x) a

x= axa−1.

E j e r c i c i o s 8 . 3 . 1 1 ) H a l l a r l a s d e r i v a d a s d e l a s f u n c i o n e s f (x) = x√

x( x >

0) y g(x) = etg(x)( x ∈ R \ {π

2 + kπ : k ∈ Z}) .




2 ) V e r i c a r q u e p a r a l a s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s i n v e r s a s v a l e n l a s s i -

g u i e n t e s f ó r m u l a s :

d

dx(arcsen(x)) =

1√ 1 − x2

d

dx(arccosec(x)) = − 1

x√

x2 − 1d

dx(arccos(x)) = − 1√

1 − x2

d

dx(arcsec(x)) =

1

x√

x2 − 1d

dx(arctg(x)) =

1

x2 + 1

d

dx(arccotg(x)) = − 1

x2 + 1

L a s f ó r m u l a s a n t e r i o r e s v a l e n s ó l o s i x e s u n p u n t o d e l d o m i n i o d e l a c o -

r r e s p o n d i e n t e f u n c i ó n . ( U t i l i z a r l a i d e n t i d a d : sen2(x) + cos2(x) = 1.)

8 . 4 D e r i v a c i ó n i m p l í c i t a y l o g a r í t m i c a

8 . 4 . 1 D e r i v a c i ó n i m p l í c i t a y t a s a s d e c a m b i o

r e l a c i o n a d a s

E n t o d o s l o s e j e m p l o s v i s t o s h e m o s c a l c u l a d o l a d e r i v a d a d e u n a f u n c i ó n , p o r

e j e m p l o d e l a f u n c i ó n y(x) = 1x , d e n i d a e n

f o r m a e x p l í c i t a e n t é r m i n o s

d e u n a v a r i a b l e x. E n l a p r á c t i c a , e s a m e n u d o i m p o r t a n t e p o d e r c a l c u l a r l a

d e r i v a d a d e u n a f u n c i ó n y(x)s i n l a n e c e s i d a d d e c o n o c e r l a e x p r e s i ó n d e y(x)

e n t é r m i n o s d e

x :l a e c u a c i ó n

y x = 1d e n e

i m p l í c i t a m e n t e l a v a r i a b l e

yc o m o f u n c i ó n d e

xy e n l o s s i g u i e n t e e j e m p l o s s e i l u s t r a r á c o m o s e p u e d e

h a l l a r y(x).

E j e m p l o 8 . 4 . 1 S i x2 + y2 = 25, p a r a h a l l a r

dydx

d e r i v a m o s a m b o s l a d o s d e l a e c u a c i ó n r e s p e c t o d e x:

2x + 2ydy

dx= 0 y

d e s p e j a m o s

dy

dx:

dy

dx = −x

y .

S i a h o r a q u e r e m o s c a l c u l a r l a e c u a c i ó n d e l a r e c t a t a n g e n t e a l a c i r c u n f e r e n c i a

x2 + y2 = 25 e n e l p u n t o P = (3, 4), s a b e m o s q u e s u p e n d i e n t e e s i g u a l a

dydx(3) = −3

4 . S e s i g u e q u e l a e c u a c i ó n e s y(x) = −34(x − 3) + 4 = −3

4x + 254 .



8 . 4 . D E R I V A C I Ó N I M P L Í C I T A Y L O G A R Í T M I C A 1 3 5

P a r a h a l l a r l a s e g u n d a d e r i v a d a

d2y

d2xd e y r e s p e c t o d e x, e m p l e a m o s o t r a

v e z l a d e r i v a c i ó n i m p l í c i t a y l a s e c u a c i o n e s

x2

+ y2

= 25y

dy

dx = −x

y :

d2y

d2x=

d

dx(

dy

dx) =

d

dx(−x

y) =

−y + xdydx

y2=

= −1

y+

x

y2

−x

y= −1

y− x2

y3= −y2 + x2

y3= −25

y3.

P o d e r d e r i v a r i m p l í c i t a m e n t e u n a e c u a c i ó n d a d a e n l a s v a r i a b l e s x e y e s

t a m b i é n i m p o r t a n t e c u a n d o s e t r a t a d e c a l c u l a r t a s a s ( r i t m o s ) d e c a m b i o

r e l a c i o n a d a s : x(t) e y(t) s o n d o s f u n c i o n e s d e u n a t e r c e r a v a r i a b l e t q u e

e s t á n e n r e l a c i ó n s e g ú n u n a e c u a c i ó n c o n o c i d a y q u e r e m o s e s t u d i a r c ó m o

v a r í a n s u s v a l o r e s r e s p e c t o d e u n a v a r i a c i ó n d e t.

E j e m p l o s 8 . 4 . 2 1 ) S e i n t r o d u c e a i r e e n u n g l o b o d e f o r m a t a l q u e s u v o -

l u m e n c a m b i a c o n u n a t a s a d e 100cm3/s. D e t e r m i n a r l a t a s a d e c a m b i o d e l

r a d i o d e l g l o b o c u a n d o e l d i á m e t r o e s i g u a l a 50cm.

S e a n r(t) y V (t) e l r a d i o y e l v o l u m e n d e l g l o b o e n e l i n s t a n t e t. S e s a b e

q u e

dV dt

= 100cm3/s y s e q u i e r e c a l c u l a r e l v a l o r d e

drdt

c u a n d o r = 25cm.L a r e l a c i ó n e n t r e r(t) y V (t) e s t á d a d a p o r l a e c u a c i ó n V = 4

3π r3, e n t o n c e s

dV

dt=

4

3π

dr3

dt=

4

3π 3r2

dr

dt= 4π r2

dr

dt.

d e s p e j a n d o

drdt

s e o b t i e n e q u e

dr

dt=

1

4π r2dV

dt=

25

π r2.

P o r t a n t o , s i r = 25cm, drdt = 25

(25)2 π = 125πcm/s y e l r a d i o d e l g l o b o

c r e c e c o n u n a t a s a d e c a m b i o i g u a l a

125πcm/s.

2 ) U n a v i ó n v u e l a p o r u n a t r a y e c t o r i a h o r i z o n t a l d e a l t u r a 9Km, q u e l e

l l e v a r á a l a v e r t i c a l d e u n a e s t a c i ó n r a d a r . S i l a d i s t a n c i a s(t) e n t r e e l a v i ó n

y l a e s t a c i ó n e s t á d e c r e c i e n d o a r a z ó n d e 600Km/h c u a n d o s(t) = 15km,¾ c u á l e s l a v e l o c i d a d d e l a v i ó n ?

S e a x(t) l a d i s t a n c i a e n t r e l a e s t a c i ó n d e r a d a r y e l p u n t o d e p r o y e c c i ó n

d e l a p o s i c i ó n d e l a v i ó n s o b r e l a s u p e r c i e t e r r e s t r e . E n t o n c e s

x2 + 81 = s2 y




l a v e l o c i d a d d e l a v i ó n e s t á d a d a p o r l a f u n c i ó n

dxdt .

D e l a e c u a c i ó n

x

2

+ 81 = s

2s e d e d u c e q u e

2xdx

dt= 2s

ds

dty q u e

dx

dt=

s

x

ds

dt.

C u a n d o s = 15km, e s

dsdt

= −600km/h y

dx

dt= −15

12600 = −750km/h.

8 . 4 . 2 D e r i v a c i ó n l o g a r í t m i c a

L a d e r i v a c i ó n l o g a r í t m i c a s e e m p l e a p a r a s i m p l i c a r e l c á l c u l o d e l a d e r i v a d a

d e u n a f u n c i ó n f (x) q u e t e n g a u n a e x p r e s i ó n c o m p l e j a : s e t r a t a d e a p l i c a r l a

f u n c i ó n l o g a r i t m o n e p e r i a n o a l a f u n c i ó n |f (x)| ( c u a n d o f (x) = 0) , d e r i v a r y

d e s p e j a r f (x).

E j e m p l o 8 . 4 . 3 D e r i v a r l a f u n c i ó n f (x) = x34√

x2+1(3x+2)5 (x > 0).

ln(f (x)) = ln(x

34

√ x2 + 1

(3x + 2)5) =

3

4ln(x) +

1

2ln(x2 + 1) − 5ln(3x + 2),

ln(f (x))

dx=

f (x)

f (x)=

3

4x+

1

2

2x

x2 + 1− 5

3

3x + 2,

f (x) =x

34

√ x2 + 1

(3x + 2)5(

3

4x+

x

x2 + 1− 15

3x + 2).

E j e r c i c i o 8 . 4 . 1 D e r i v a r l a f u n c i ó n f (x) = (x3+1)4 sen2(x)3√

x(x = 0).

8 . 5 T e o r e m a s f u n d a m e n t a l e s

E n e l p r ó x i m o c a p í t u l o s e e s t u d i a r á n l a s p r i n c i p a l e s a p l i c a c i o n e s d e l c á l c u l o

d i f e r e n c i a l e n u n a v a r i a b l e . E n p a r t i c u l a r , p a r a p o d e r a n a l i z a r l a g r á c a

d e u n a f u n c i ó n s e r á i m p o r t a n t e p o d e r d e t e r m i n a r s u s m á x i m o s y m í n i m o s

l o c a l e s .



8 . 5 . T E O R E M A S F U N D A M E N T A L E S 1 3 7

–30

–20

–10

10

20

30

40

y

–1 1 2 3 4x

F i g u r a 8 . 3 : L a g r á c a d e f (x) = 3x4 − 16x3 + 18x2.

E x t r e m o s r e l a t i v o s ( o l o c a l e s ) : s e a

f : I → Ru n a f u n c i ó n d e n i d a s o b r e

u n i n t e r v a l o I.

L a f u n c i ó n f (x) t i e n e u n

m á x i m o [ m í n i m o ] l o c a l e n

a ∈ I s i e x i s t e u n e n t o r n o a b i e r t o

I (a, r) d e a

t a l q u e

p a r a t o d o x ∈ I (a, r) ∩ I, f (x) ≤ f (a) [f (x) ≥ f (a)].

L a f u n c i ó n f (x) = 3x4 − 16x3 + 18x2

d e l a g u r a ( 8 . 3 ) d e n i d a e n e l

i n t e r v a l o

[−1, 4]t i e n e u n m í n i m o l o c a l e n e l p u n t o

x = 0y u n m í n i m o

a b s o l u t o e n x = 3.

L o s p u n t o s x = 1 y

x = 4 s o n m í n i m o s l o c a l e s y e l

p u n t o x = −1 e s u n m á x i m o a b s o l u t o . S e p u e d e o b s e r v a r q u e l a d e r i v a d a d e

l a f u n c i ó n e n l o s e x t r e m o s r e l a t i v o s q u e s o n i n t e r i o r e s a l i n t e r v a l o [−1, 4] e s

s i e m p r e i g u a l a 0 y q u e l o s e x t r e m o s d e l i n t e r v a l o s o n e x t r e m o s r e l a t i v o s ( o

a b s o l u t o s ) .

U n a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a p a r a q u e u n p u n t o s e a u n e x t r e m o r e l a t i v o e s t á

d a d a p o r e l s i g u i e n t e t e o r e m a .

T e o r e m a 8 . 5 . 1 ( d e F e r m a t ) S i f e s u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n u n i n t e r v a l o

I y t i e n e u n e x t r e m o r e l a t i v o e n u n p u n t o i n t e r i o r

c ∈ I,e n t o n c e s l a d e r i v a d a

d e f

e n c

o b i e n n o e x i s t e , o b i e n e s i g u a l a 0.

L o s p u n t o s i n t e r i o r e s d e I

t a l e s q u e l a d e r i v a d a d e f

o b i e n n o e x i s t e , o

b i e n e s i g u a l a 0 s e d e n o m i n a n p u n t o s c r í t i c o s

.




L a c o n d i c i ó n d e l t e o r e m a a n t e r i o r e s n e c e s a r i a y n o e s s u c i e n t e

, e s

d e c i r , u n p u n t o c r í t i c o n o t i e n e q u e s e r u n e x t r e m o r e l a t i v o : l a f u n c i ó n

f (x) =x3t i e n e d e r i v a d a i g u a l a 0 e n x = 0 s i n q u e é s t e s e a u n e x t r e m o r e l a t i v o .

E j e m p l o s 8 . 5 . 2 1 ) L a f u n c i ó n f (x) = |x| s o b r e e l i n t e r v a l o [−1, 1] n o e s

d e r i v a b l e e n 0. E l p u n t o 0 e s u n m í n i m o a b s o l u t o y l o s p u n t o s −1 y 1 s o n

m á x i m o s a b s o l u t o s .

2 ) S e a f (x) = x35 (4 − x). L a f u n c i ó n f (x) n o e s d e r i v a b l e e n e l p u n t o

x = 0 y , s i x = 0,

f (x) =3

5x−

25 (4 − x) − x

35 =

3(4 − x) − 5x

5x25

=12 − 8x

5x25

= 0

s i y s ó l o s i x = 32 . L o s p u n t o s c r í t i c o s s o n 0 y

32 .

E n t o n c e s , p a r a c a l c u l a r l o s m á x i m o s y m í n i m o s a b s o l u t o s

d e u n a

f u n c i ó n f c o n t i n u a e n u n i n t e r v a l o I = [a, b], h a y q u e

•c a l c u l a r l o s v a l o r e s d e f e n l o s p u n t o s c r í t i c o s d e (a, b),

•c a l c u l a r f (a) y f (b)

•d e t e r m i n a r e l m á x i m o y e l m í n i m o d e l c o n j u n t o d e l o s v a l o r e s a n t e r i o r e s .

E j e m p l o s 8 . 5 . 3 1 ) E n e l e j e m p l o ( 7 . 2 . 2 ) d e l c a p í t u l o 7 , s e p e d í a c a l c u l a r

e l m í n i m o a b s o l u t o d e l a f u n c i ó n c o n t i n u a A(x) = (x + 6)(312x

+ 8), s i e n d o

x > 0.

A(x) =312

x+ 8 + (x + 6)(−312

x2) =

312x + 8x2 − 312x − 1872

x2= 8 − 1872

x2.

e l ú n i c o v a l o r c r í t i c o p o s i t i v o d e A(x) e s x =√

234 = 3√

26. Y a q u e e s t e v a -

l o r p e r t e n e c e a l i n t e r v a l o [13, 18], A(x) e s c o n t i n u a y A(13) = A(18) = 608 >604.7529368 ∼ A(

√ 234), s e s i g u e q u e x =

√ 234 e s u n m í n i m o a b s o l u t o d e

A(x).2 ) S e a f (x) = x3 − 3x2 + 1 e n e l i n t e r v a l o [−1

2, 4]. L a f u n c i ó n f e s

d e r i v a b l e e n e s t e i n t e r v a l o y f (x) = 3x2−6x = 0 s i x = 0 o s i x = 2. A h o r a ,

f (0) = 1, f (2) = −3, f (−12

) = 18

y f (4) = 17. P o r t a n t o x = 2 e s u n

m í n i m o a b s o l u t o y x = 4 e s u n m á x i m o a b s o l u t o d e f (x).




–1

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4x

F i g u r a 8 . 4 : L a g r á c a d e f (x) = x3 − 6x2 + 8x + 2.

E n l a g u r a ( 8 . 4 ) e s t á r e p r e s e n t a d a l a f u n c i ó n f (x) = x3 − 6x2 + 8x + 2,

q u e e s c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o [0, 4] y d e r i v a b l e e n (0, 4).S e p u e d e n o t a r q u e

f (0) = f (4) = 2 y q u e e x i s t e n d o s p u n t o s t a l e s q u e l a r e c t a t a n g e n t e a l a

g r á c a e n e s t o s p u n t o s e s h o r i z o n t a l . E s t a s i t u a c i ó n i l u s t r a e l c o n t e n i d o d e l

s i g u i e n t e t e o r e m a .

T e o r e m a 8 . 5 . 4 ( T e o r e m a d e R o l l e ) S e a f : [a, b] → R c o n t i n u a e n [a, b]y d e r i v a b l e e n (a, b). S i f (a) = f (b) e x i s t e a l m e n o s u n p u n t o c

∈(a, b) t a l

q u e f (c) = 0.

D e m o s t r a c i ó n S i e n d o c o n t i n u a e n [a, b], l a f u n c i ó n

f t i e n e u n v a l o r m á -

x i m o ( a b s o l u t o ) M

y u n v a l o r m í n i m o ( a b s o l u t o ) m

e n e s t e i n t e r v a l o . A h o r a ,

s i f

e s c o n s t a n t e , e s M = m

y f (x) = 0 p a r a t o d o

x ∈ [a, b]. S i f

n o e s

c o n s t a n t e , e s M > m

y n o p u e d e v e r i c a r s e q u e f (a) = f (b) = m = M.

P o r t a n t o e x i s t e u n p u n t o i n t e r i o r d e [a, b]

q u e e s u n m á x i m o o u n m í n i m o

a b s o l u t o . 2

O b s e r v a c i ó n 2 4 S i f

n o e s c o n t i n u a e n t o d o [a, b] e s p o s i b l e q u e l a s c o n -

c l u s i o n e s d e l t e o r e m a a n t e r i o r n o s e v e r i q u e n . P o r e j e m p l o l a f u n c i ó n

f (x) =

x s i 0 < x < 1

2 s i x = 0, 1, e s d e r i v a b l e e n (0, 1) p e r o n o e s c o n t i n u a e n

[0, 1] y n o e x i s t e n i n g ú n p u n t o x ∈ (0, 1) t a l q u e f (x) = 1 s e a n u l a .




–6

–4

–2

0

2

4

6

8

1 2 3 4x

F i g u r a 8 . 5 : L a g r á c a d e f (x) = x3 − 6x2 + 11x − 4.

E n l a g u r a ( 8 . 5 ) l a g r á c a r e p r e s e n t a d a e s l a g r á c a d e l a f u n c i ó n f (x) =

x3 − 6x2 + 11x − 4,q u e t a m b i é n e s c o n t i n u a e n [0, 4] y d e r i v a b l e e n (0, 4).

E s t a v e z f (0) = −4 = 8 = f (4),

s i n e m b a r g o p o d e m o s n o t a r q u e e x i s t e u n

p u n t o t a l q u e l a r e c t a t a n g e n t e a l a g r á c a p o r é l e s p a r a l e l a a l a r e c t a q u e

p a s a p o r (0, −4) y (4, 8),e s d e c i r e x i s t e u n a r e c t a t a n g e n t e a l a g r á c a q u e

t i e n e p e n d i e n t e i g u a l a l a v a r i a c i ó n m e d i a d e l a f u n c i ó n f (x)

e n e l i n t e r v a l o

[0, 4].

E l s i g u i e n t e t e o r e m a e s u n a c o n s e c u e n c i a i n m e d i a t a d e l t e o r e m a d e R o l l e .

T e o r e m a 8 . 5 . 5 ( T e o r e m a d e l v a l o r m e d i o d e L a g r a n g e ) S e a f : [a, b] →

R c o n t i n u a e n [a, b] y d e r i v a b l e e n (a, b). E n t o n c e s e x i s t e a l m e n o s u n p u n t o

c ∈ (a, b) t a l q u e

f (c) =f (b) − f (a)

b − a.

D e m o s t r a c i ó n L a e c u a c i ó n d e l a r e c t a p o r l o s p u n t o s (a, f (a)) y (b, f (b))

e s

y(x) = f (b) − f (a)b − a

(x − a) + f (a)

y l a f u n c i ó n g(x) = f (x) − y(x) = f (x) − f (b)−f (a)

b−a (x − a) − f (a) r e p r e s e n t a

l a d i f e r e n c i a e n t r e l o s v a l o r e s d e f (x) y d e

y(x) e n t o d o p u n t o x ∈ [a, b].




L a f u n c i ó n g(x) e s c o n t i n u a e n [a, b], d e r i v a b l e e n (a, b) y t a l q u e g(a) =

g(b) = 0.P o r e l t e o r e m a d e R o l l e s e s i g u e q u e e x i s t e u n p u n t o

c ∈ (a, b)t a l

q u e g(c) = 0, e s d e c i r , t a l q u e 0 = g(c) = f (c) − f (b)−f (a)b−a . S e s i g u e q u e

f (c) = f (b)−f (a)b−a . 2

E j e r c i c i o s 8 . 5 . 1 1 ) E x p l i c a r p o r q u é s i u n c o c h e h a v i a j a d o u n a d i s t a n c i a

d e 180km e n d o s h o r a s , e n t o n c e s s u t a q u í m e t r o t i e n e q u e h a b e r i n d i c a d o

90km/h a l m e n o s u n a v e z .

2 ) S e a f (x) d e r i v a b l e e n R, f (0) = −3, y p a r a t o d o x ∈ R, s e a f (x) ≤5. E n c o n t r a r u n a c o t a s u p e r i o r p a r a f (2).

E l t e o r e m a d e l v a l o r m e d i o t i e n e l a s i g u i e n t e s i m p o r t a n t e s c o n s e c u e n c i a s .

C o r o l a r i o 8 . 5 . 6 S e a f u n a f u n c i ó n d e r i v a b l e e n e l i n t e r v a l o (a, b). S i f (x) =0 p a r a t o d o x ∈ (a, b), e n t o n c e s f e s c o n s t a n t e e n (a, b).

C o r o l a r i o 8 . 5 . 7 S e a n f y g d o s f u n c i o n e s d e r i v a b l e s e n e l i n t e r v a l o (a, b).S i f (x) = g(x) p a r a t o d o x ∈ (a, b), e n t o n c e s f − g e s c o n s t a n t e e n (a, b).

E j e r c i c i o s 8 . 5 . 2 1 ) D e m o s t r a r l o s d o s c o r o l a r i o s a n t e r i o r e s .

2 ) S e a f (x) = x|x| e n R \ {0}. V e r i c a r q u e p a r a t o d o x ∈ R \ {0}

f (x) = 0 p e r o f n o e s c o n s t a n t e .



C a p í t u l o 9

A p l i c a c i o n e s d e l a d e r i v a d a

9 . 1 A n á l i s i s d e g r á c a s : c r i t e r i o d e l a p r i m e r a

d e r i v a d a

E n l o s p u n t o s t a l e s q u e u n a f u n c i ó n f (x) e s d e r i v a b l e , e l e s t u d i o d e f (x) n o s

p e r m i t e d a r u n a d e s c r i p c i ó n d e a l g u n a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l a g r á c a d e f (x),

e n p a r t i c u l a r d e s u m o n o t o n í a

.

T e o r e m a 9 . 1 . 1 ( C r i t e r i o d e m o n o t o n í a ) S e a f : (a, b) → R u n a f u n c i ó n

d e r i v a b l e e n (a, b). E n t o n c e s

1 ) f e s c r e c i e n t e s i y s ó l o s i f (x) ≥ 0 p a r a t o d o x ∈ (a, b).2 ) f e s d e c r e c i e n t e s i y s ó l o s i f (x) ≤ 0 p a r a t o d o x ∈ (a, b).

D e m o s t r a c i ó n S i f e s c r e c i e n t e e n (a, b), e n t o n c e s p a r a t o d o x, y ∈ (a, b),

x < y ⇒ f (x) ≤ f (y).

S e s i g u e q u e

f (x) − f (y)

x − y≥ 0,

y a q u e e l n u m e r a d o r y e l d e n o m i n a d o r t i e n e n e l m i s m o s i g n o .

S i , v i c e v e r s a , f (x) ≥ 0

p a r a t o d o x ∈ (a, b),

p o d e m o s v e r i c a r q u e f (x)

e s

c r e c i e n t e e n (a, b) a p l i c a n d o e l t e o r e m a d e l v a l o r m e d i o : p a r a t o d o x, y ∈(a, b)

t a l e s q u e x < y, f (x)

e s c o n t i n u a e n [x, y]

y d e r i v a b l e e n (x, y),

p o r

t a n t o e x i s t e c ∈ (x, y) t a l q u e

f (y)−f (x)y−x = f (c) ≥ 0. S e s i g u e q u e f (y) ≥ f (x).

1 4 3



1 4 4 C A P Í T U L O 9 . A P L I C A C I O N E S D E L A D E R I V A D A

E l c a s o f (x) d e c r e c i e n t e s e d e m u e s t r a d e f o r m a s i m i l a r . 2

C o r o l a r i o 9 . 1 . 2 ( T e s t d e l a p r i m e r a d e r i v a d a ) S e a f : [a, b] → R c o n -

t i n u a y s e a c ∈ (a, b) u n p u n t o c r í t i c o d e f. E n t o n c e s

1 ) c e s u n m á x i m o l o c a l s i e l s i g n o d e f c a m b i a d e p o s i t i v o a n e g a t i v o

e n c.2 ) c e s u n m í n i m o l o c a l s i e l s i g n o d e f c a m b i a d e n e g a t i v o a p o s i t i v o

e n c.3 ) c n o e s u n e x t r e m o r e l a t i v o s i e l s i g n o d e f n o c a m b i a e n c.

O b s e r v a c i ó n 2 5 S i f e s d e r i v a b l e e n (a, b) y f (x) > 0 [f (x) < 0] p a r a

t o d o x∈

(a, b), e n t o n c e s f e s e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e [ e s t r i c t a m e n t e d e c r e -

c i e n t e ] e n (a, b). L a c o n d i c i ó n f (x) > 0 [f (x) < 0] p a r a t o d o x ∈ (a, b)e s s u c i e n t e p e r o n o e s n e c e s a r i a . P o r e j e m p l o l a f u n c i ó n f (x) = x3

e s

e s t r i c t a m e n t e c r e c i e n t e e n t o d o R y f (0) = 0.

E j e m p l o s 9 . 1 . 3 1 ) H a l l a e l r e c t á n g u l o d e á r e a m á x i m a q u e s e p u e d e

i n s c r i b i r e n u n a s e m i c i r c u n f e r e n c i a d e r a d i o r.P a r a d e t e r m i n a r l a s d i m e n s i o n e s d e u n r e c t á n g u l o R i n s c r i t o e s s u c i e n t e

d e t e r m i n a r l a s c o o r d e n a d a s (x, y) d e s u v é r t i c e q u e e s t á s o b r e l a c i r c u n f e -

r e n c i a y e n e l p r i m e r c u a d r a n t e . L a b a s e d e l r e c t á n g u l o s e r á i g u a l a 2x y

s u a l t u r a s e r á y. P o r t a n t o s u á r e a e s A(x, y) = 2xy. Y a q u e x2 + y2 = r2,s e s i g u e q u e y =

√ r2

−x2

y q u e A(x, y) = A(x) = 2x√

r2

−x2. L a f u n c i ó n

A(x) e s c o n t i n u a e n [0, r], A(0) = 0, A(r) = 0 y

A(x) = 2√

r2 − x2 − 2x(−2x)

2√

r2 − x2=

2(r2 − 2x2)√ r2 − x2

.

S e s i g u e q u e x = r√ 2

e s u n p u n t o c r í t i c o t a l q u e A(x) p a s a d e s e r p o s i t i v a a

s e r n e g a t i v a . P o r t a n t o A( r√ 2

) = r2 e s e l á r e a m á x i m a d e R.

2 ) L a f u n c i ó n f (x) = 3x4 − 16x3 + 18x2d e l a g u r a ( 8 . 3 ) d e l c a p í t u l o 8

e s c o n t i n u a e n [−1, 4] y d e r i v a b l e e n (−1, 4). S u d e r i v a d a e s

f (x) = 12x3

−48x2 + 36x = 12x(x2

−4x + 3) = 12x(x

−1)(x

−3).

S u s p u n t o s c r í t i c o s s o n 0, 1 y 3. E s t u d i a n d o e l s i g n o d e f (x) s e p u e d e v e -

r i c a r q u e 0 e s u n p u n t o d e m í n i m o r e l a t i v o , 1 e s u n m á x i m o r e l a t i v o , 3 e s

u n m í n i m o a b s o l u t o . E l e x t r e m o −1 d e l i n t e r v a l o d e d e n i c i ó n e s u n m á x i m o

a b s o l u t o .



9 . 2 . R E G L A D E L ' H Ô P I T A L 1 4 5

E j e r c i c i o 9 . 1 . 1 S e t r a n s p o r t a h o r i z o n t a l m e n t e u n t u b o d e a c e r o a l o l a r g o d e

u n p a s i l l o d e a n c h u r a

108cm.P e r p e n d i c u l a r a e s t e p r i m e r p a s i l l o s e e n c u e n t r a

u n s e g u n d o p a s i l l o d e a n c h u r a 72cm. ¾ C u á l e s l a l o n g i t u d m á x i m a d e l t u b o

q u e p e r m i t e d o b l a r a l a d e r e c h a e n e l s e g u n d o p a s i l l o p r o v i n i e n d o d e l p r i m e r o ?

( N o t a : e n r e a l i d a d e s t e e s u n p r o b l e m a d e m í n i m o ) .

9 . 2 R e g l a d e l ' H ô p i t a l

O t r a a p l i c a c i ó n d e l c á l c u l o d i f e r e n c i a l e s l a r e g l a d e L ' H ô p i t a l , q u e n o s p e r -

m i t e c a l c u l a r , e n a l g u n o s c a s o s , l í m i t e s d e f u n c i o n e s p a r a l o s c u á l e s n o e s

p o s i b l e e m p l e a r l a s t é c n i c a s e s t u d i a d a s h a s t a a h o r a . L a r e g l a d e L ' H ô p i t a l

e s u n a c o n s e c u e n c i a d e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o , q u e e s u n a g e n e r a l i z a c i ó n d e l

t e o r e m a d e l v a l o r m e d i o .

T e o r e m a 9 . 2 . 1 ( T e o r e m a d e l v a l o r m e d i o d e C a u c h y ) S e a n f, g :[a, b] → R d o s f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n [a, b] y d e r i v a b l e s e n (a, b). S i p a r a

t o d o x ∈ (a, b) e s g(x) = 0, e n t o n c e s e x i s t e c ∈ (a, b) t a l q u e

f (b) − f (a)

g(b) − g(a)=

f (c)

g(c).

L a d e m o s t r a c i ó n d e l t e o r e m a a n t e r i o r e s u n a a p l i c a c i ó n n o t r i v i a l d e l t e o r e m a

d e R o l l e . T a m b i é n d e l t e o r e m a d e R o l l e s e s i g u e q u e s i p a r a t o d o x ∈ (a, b)

e s g(x) = 0,

n o p u e d e s e r g(a) = g(b).

P o r t a n t o l a e x p r e s i ó n

f (b)−f (a)g(b)−g(a) t i e n e

s e n t i d o .

9 . 2 . 1 F o r m a s i n d e t e r m i n a d a s

0

0y

∞∞

E n e l c á l c u l o d e l l í m i t e d e u n a f u n c i ó n s e p u e d e n p r e s e n t a r f o r m a s i n -

d e t e r m i n a d a s d e v a r i o s t i p o s . L a r e g l a d e L ' H ô p i t a l s e a p l i c a a f o r m a s

i n d e t e r m i n a d a d e t i p o

00 y

∞∞ .U n a

i n d e t e r m i n a c i ó n d e t i p o

00

s e p r e s e n t a c u a n d o s e q u i e r e c a l c u l a r

lımx→a

f (x)g(x)

, d o n d e f, g : A → Rs o n d o s f u n c i o n e s t a l e s q u e a e s u n p u n t o d e

a c u m u l a c i ó n d e A y lımx→a

f (x) = lımx→a

g(x) = 0.




U n a i n d e t e r m i n a c i ó n d e t i p o

∞∞ s e p r e s e n t a c u a n d o s e q u i e r e c a l c u l a r

lımx→a

f (x)

g(x) ,d o n d e

f, g : A → Rs o n d o s f u n c i o n e s t a l e s q u e

ae s u n p u n t o d e

a c u m u l a c i ó n d e A y lımx→a

f (x) = lımx→a

g(x) = ∞.

E s t a s d e n i c i o n e s s e e x t i e n d e n t a m b i é n a l c á l c u l o d e l í m i t e s l a t e r a l e s .

E j e m p l o s 9 . 2 . 2 1 ) U n a i n d e t e r m i n a c i ó n d e t i p o

00

e s , p o r e j e m p l o , e l l í m i t e

lımx→1

x2 − x

x2 − 1.

E n e s t e c a s o s e p u e d e c a l c u l a r s u v a l o r p o r m e d i o d e s i m p l i c a c i o n e s a l g e -

b r a i c a s :

lımx→1

x2

− xx2 − 1

= lımx→1

x(x − 1)(x − 1)(x + 1)

= 12

.

O t r a s f o r m a s d e l t i p o

00

s o n lımx→0

sen(x)x = 1 y lım

x→0

1−cos(x)x = 0, q u e h e m o s

c a l c u l a d o g e o m é t r i c a m e n t e .

2 ) U n a i n d e t e r m i n a c i ó n d e t i p o

∞∞ e s , p o r e j e m p l o , e l l í m i t e

lımx→∞

x2 − 1

2x2 + 1.

T a m b i é n e n e s t e c a s o s e p u e d e c a l c u l a r s u v a l o r p o r m e d i o d e s i m p l i c a c i o n e s

a l g e b r a i c a s :

lımx→∞

x2 − 1

2x2 + 1= lım

x→∞1 − 1

x2

2 + 1x2

=1

2.

3 ) L o s l í m i t e s lımx→∞

ln(x)x

y lımx→∞

ex

x2s o n f o r m a s d e l t i p o

∞∞ .

4 ) E l l í m i t e lımx→0

2x−1x , e s u n a f o r m a d e l t i p o

00 .

T e o r e m a 9 . 2 . 3 ( R e g l a d e L ' H ô p i t a l ) S e a c u n p u n t o d e l i n t e r v a l o a b i e r t o

I y s e a n f, g : I →R d o s f u n c i o n e s d e r i v a b l e s e n I

\ {c}

. S i g(x)= 0 p a r a

t o d o x ∈ I \ {c} y s i s e c u m p l e u n a d e l a s d o s s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s :

i) lımx→c

f (x) = 0 y lımx→c

g(x) = 0

ii) lımx→c

f (x) = ±∞ y lımx→c

g(x) = ±∞,




e n t o n c e s

lımx→c

f (x)

g(x) = lımx→c

f (x)

g(x) ,

d o n d e e l ú l t i m o l í m i t e t i e n e q u e s e r n i t o o i g u a l a ±∞.A d e m á s e l t e o r e m a v a l e p a r a l í m i t e s l a t e r a l e s e n c o s i c = ±∞.

I d e a d e l a d e m o s t r a c i ó n : l a d e m o s t r a c i ó n c o m p l e t a d e l a r e g l a d e

L ' H ô p i t a l e s b a s t a n t e l a b o r i o s a . A q u í s e d e s a r r o l l a r á l a d e m o s t r a c i ó n d e l

c a s o c o r r e s p o n d i e n t e a l a c o n d i c i ó n i ) y c

n i t o o i n n i t o .

S i c e s n i t o , s e a L = lımx→c

f (x)g(x) ( L e s n i t o o i n n i t o ) . H a y q u e v e r i c a r

q u e L = lımx

→c

f (x)g(x) .

L a s f u n c i o n e s

F (x) =

f (x)

s i x = c,

0 s i x = cy G(x) =

g(x)

s i x = c,

0 s i x = c

s o n c o n t i n u a s e n e l i n t e r v a l o I y p a r a t o d o x ∈ I \{c} s e v e r i c a q u e F (x) =f (x)

y G(x) = g(x).S i x > c s e s i g u e q u e F y G s o n c o n t i n u a s e n [c, x], d e r i v a b l e s e n (c, x) y

G(y) = 0p a r a t o d o

y ∈ (c, x).P o r e l t e o r e m a d e l v a l o r m e d i o d e C a u c h y ,

e x i s t e d ∈ (c, x) t a l q u e

F (d)G(d)

= F (x) − F (c)G(x) − G(c)

= F (x)G(x)

.

E n l a ú l t i m a f r a c c i ó n , G(x) = 0 = G(c),

p o r l a o b s e r v a c i ó n s i g u i e n t e a l

t e o r e m a d e l v a l o r m e d i o d e C a u c h y .

S i x t i e n d e a c p o r l a d e r e c h a , t a m b i é n d t e n d e r á a c p o r l a d e r e c h a y

lımx→c+

f (x)

g(x)= lım

x→c+

F (x)

G(x)= lım

d→c+

F (d)

G(d)= lım

d→c+

f (d)

g(d)= L,

d o n d e l a ú l t i m a i d e n t i d a d s e v e r i c a y a q u e lımx→c

f (x)g(x) = L.

U n a s e g u n d a a p l i c a c i ó n d e l t e o r e m a d e l v a l o r m e d i o d e C a u c h y p e r m i t e v e -

r i c a r q u e t a m b i é n lımx→c−

f (x)g(x)

= L. P o r t a n t o

lımx→c

f (x)

g(x)= L.




S i a h o r a c = ∞, s e a t = 1x . E n t o n c e s , a p l i c a n d o l a r e g l a d e L ' H ô p i t a l p a r a

e l c a s o n i t o , s e o b t i e n e q u e

lımx→∞

f (x)

g(x)= lım

t→0+

f (1/t)

g(1/t)= lım

t→0+

f (1/t)(−1/t2)

g(1/t)(1/t2)= lım

t→0+

f (1/t)

g(1/t)= lım

x→∞f (x)

g(x).

E l c a s o c = −∞e s s i m i l a r .

2

N O T A I M P O R T A N T E : a n t e s d e a p l i c a r l a r e g l a d e L ' H ô p i t a l h a c e

f a l t a v e r i c a r q u e t o d a s l a s h i p ó t e s i s s e c u m p l a n . P o r e j e m p l o s e p o d r í a

e s c r i b i r

lımx→π−

sen(x)

1 − cos(x)= lım

x→π−

cos(x)

sen(x)= −∞,

o b t e n i e n d o u n r e s u l t a d o f a l s o , y a q u e

lımx→π−

sen(x)

1 − cos(x)=

0

2= 0.

E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r t a m b i é n q u e e x i s t e n f u n c i o n e s f (x)y g(x)

t a l e s

q u e lımx→a

f (x)g(x) e x i s t e , p e r o lım

x→a

f (x)g(x) n o e x i s t e . P o r e j e m p l o , s i c o n s i d e r a m o s l a s

f u n c i o n e s f (x) = x2sen( 1x) y g(x) = x c o n a = 0. ( V e r i c a r . )

E j e m p l o s 9 . 2 . 4 1 ) L o s l í m i t e s lımx→∞

ln(x)x

y lımx→∞

ex

x2s o n f o r m a s d e l t i p o

∞∞ .

f (x) = ln(x) y g(x) = x s o n f u n c i o n e s d e r i v a b l e s e n (0,

∞) y g(x) = 1 p a r a

t o d o x ∈ (0, ∞). A p l i c a n d o l a r e g l a d e L ' H ô p i t a l s e o b t i e n e q u e

lımx→∞

ln(x)

x= lım

x→∞1/x

1= 0.

f (x) = exy g(x) = x2

s o n f u n c i o n e s d e r i v a b l e s e n R y g(x) = 2x = 0,g(x) = 2 = 0, p a r a t o d o x ∈ (0, ∞). A p l i c a n d o l a r e g l a d e L ' H ô p i t a l d o s

v e c e s s e o b t i e n e q u e

lımx→∞

ex

x2= lım

x→∞ex

2x= lım

x→∞ex

2= ∞.

2 ) E l l í m i t e lımx→0

2x−1

x

e s u n a f o r m a d e l t i p o

0

0

.

f (x) = 2x −1 y g(x) = x s o n f u n c i o n e s d e r i v a b l e s e n R y g(x) = 1 p a r a t o d o

x ∈ R. A p l i c a n d o l a r e g l a d e L ' H ô p i t a l s e o b t i e n e q u e

lımx→0

2x − 1

x= lım

x→0

2xln(2)

1= ln(2).




3 ) U n e j e m p l o d e u n l í m i t e q u e e s u n a f o r m a i n d e t e r m i n a d a d e l t i p o

∞∞

y p a r a e l c u á l l a a p l i c a c i ó n d e l a r e g l a d e L ' H ô p i t a l n o e s d e u t i l i d a d e s e l

s i g u i e n t e :

lımx→∞

ex + sen(x)

ex + cos(x).

L a s f u n c i o n e s f (x) = ex + sen(x) y ex + cos(x) s o n d e r i v a b l e s e n R

y g(x) =ex − sen(x) = 0 s i x > 0. E n e s t e c a s o l a a p l i c a c i ó n d e l a r e g l a d e L ' H ô p i t a l

n o s i m p l i c a e l c á l c u l o d e l l í m i t e , q u e e s i g u a l a 1 ( v e r i c a r ) .

9 . 2 . 2 O t r a s f o r m a s i n d e t e r m i n a d a s

L a r e g l a d e L ' H ô p i t a l s e p u e d e u s a r e n o t r o t i p o d e i n d e t e r m i n a c i o n e s , h a -

c i e n d o l a s o p e r a c i o n e s a d e c u a d a s q u e l a s c o n v i e r t e n e n u n a i n d e t e r m i n a c i ó n

d e l a s r e c o g i d a s e n e l e n u n c i a d o d e l t e o r e m a ( 9 . 2 . 3 ) .

P r o d u c t o s d e l t i p o 0 · ∞.

E s t o e s , s e t r a t a d e c a l c u l a r lımx→c

f (x)g(x) y s e t i e n e q u e lımx→c

f (x) = 0 y

lımx→c

g(x) = ∞(−∞) , c o n c ∈ Ro c = ±∞

.

P a r a e s t o s e u s a n l a s i g u a l d a d e s

f (x)g(x) =f (x)

1/g(x)o f (x)g(x) =

g(x)

1/f (x).

E j e m p l o s 9 . 2 . 5 1 ) lımx→∞

e−xln(x)

S e p u e d e e s c r i b i r c o m o lımx→∞

ln(x)ex

y e n e s t a e x p r e s i ó n s e p u e d e a p l i c a r l a

r e g l a d e L ' H ô p i t a l :

lımx→∞

ln(x)

ex= lım

x→∞1

xex= 0.

2 ) lımx→0+

xln(x) = lımx→0+

ln(x)1/x = lım

x→0+

1/x−1/x2 = 0

I n d e t e r m i n a c i o n e s d e l t i p o ∞ − ∞.

S e t r a t a d e c a l c u l a r lımx→c

f (x)− lımx→c

g(x) c u a n d o f (x) y g(x) s o n f u n c i o n e s q u e

t i e n d e n a i n n i t o c u a n d o x

t i e n d e a c

. D e n u e v o h a y q u e c o n s e g u i r e s c r i b i r

f (x) − g(x) c o m o u n c o c i e n t e e n l a s c o n d i c i o n e s d e l a R e g l a d e L ' H ô p i t a l .




E j e m p l o 9 . 2 . 6

lımx→(π/2)−

sec(x) − tg(x) = lımx→(π/2)−

1

cos(x)− sen(x)

cos(x)=

= lımx→(π/2)−

1 − sen(x)

cos(x)= lım

x→(π/2)−

cos(x)

sen(x)= 0

I n d e t e r m i n a c i o n e s d e l t i p o 00, ∞0

y 1∞ .

S e u t i l i z a n l a s i g u a l d a d e s

lımx→c f (x)g(x)

= e

lımx→cg(x)ln(f (x))

.

E j e m p l o s 9 . 2 . 7 1 ) lımx→0+

(1 + sen(4x))cotg(x) =

e( lımx→0+

cotg(x)ln(1+sen(4x)))= e

( lımx→0+

ln(1+sen(4x)tg(x)

)=

= e( lımx→0+

4cos(4x)cos2(x)1+senx

)= e4

2 ) lımx→0

+xsen(x) = e

( lımx→0+

sen(x)ln(x))= e

( lımx→0+

ln(x)1/sen(x)

)= 1.

3 )

lımx→0+

(−ln(x))x = e( lımx→0+

x ln(−ln(x))=

= e−( lım

x→0+

xln(x)

)= e0 = 1.

9 . 3 A p r o x i m a c i ó n d e T a y l o r

E n e s t a s e c c i ó n a b o r d a m o s l a c u e s t i ó n d e c ó m o a p r o x i m a r f u n c i o n e s p o r

f u n c i o n e s p o l i n o m i a l e s . E s t o e s , d a d a u n a f u n c i ó n

f y u n p u n t o

x0e n s u

d o m i n i o e n c o n t r a r u n p o l i n o m i o q u e s e a u n a b u e n a a p r o x i m a c i ó n p a r a l a

f u n c i ó n f e n u n e n t o r n o d e d i c h o p u n t o . V e r e m o s q u é c o n d i c i o n e s d e b e

c u m p l i r l a f u n c i ó n f

p a r a q u e s e p u e d a c o n s t r u i r u n p o l i n o m i o a d e c u a d o e n

d i c h o p u n t o d e m a n e r a q u e a d e m á s p o d a m o s c o n t r o l a r e l e r r o r q u e s e c o m e t e .



9 . 3 . A P R O X I M A C I Ó N D E T A Y L O R 1 5 1

9 . 3 . 1 P o l i n o m i o d e T a y l o r

P a r t i m o s d e u n e j e m p l o p a r a v e r c u á l d e b e r í a s e r l a d e n i c i ó n d e l p o l i n o m i o

q u e p r e s e n t a m o s e n e l p á r r a f o a n t e r i o r .

E j e m p l o 9 . 3 . 1 S e a l a f u n c i ó n f (x) = sen(x) y e l p u n t o x0 = 0. P a r a

a p r o x i m a r l a f u n c i ó n c o n p o l i n o m i o s d e d i s t i n t o g r a d o v a m o s i m p o n i e n d o

c o n d i c i o n e s .

S i e l p o l i n o m i o e s d e g r a d o 0 e n t o n c e s s e r á P 0(x) = a0 y c o m o q u e r e m o s

q u e a p r o x i m e e l v a l o r d e l a f u n c i ó n f e n 0, s e t i e n e q u e :

a0 = f (0) = 0.

S i e l p o l i n o m i o e s d e g r a d o 1 e n t o n c e s s e r á

P 1(x) = a0 + a1xy p a r a

d e t e r m i n a r a1 i m p o n e m o s q u e e l v a l o r d e l a p r i m e r a d e r i v a d a d e f e n 0 s e a

i g u a l a l a p r i m e r a d e r i v a d a d e P 1(x) e n e l m i s m o p u n t o :

a1 = f (0) = 1.

S i e l p o l i n o m i o e s d e g r a d o 2 e n t o n c e s s e r á P 2(x) = a0 + a1x + a2x2y

p a r a d e t e r m i n a r a2 i m p o n e m o s q u e e l v a l o r d e l a s e g u n d a d e r i v a d a d e f e n

0 s e a i g u a l a l a s e g u n d a d e r i v a d a d e P 2(x) e n e l m i s m o p u n t o :

a2 =f (0)

2

= 0.

S i e l p o l i n o m i o e s d e g r a d o 3 e n t o n c e s s e r á P 3(x) = a0 +a1x+a2x2 +a3x3

y p a r a d e t e r m i n a r a3 i m p o n e m o s q u e e l v a l o r d e l a t e r c e r a d e r i v a d a d e f e n

0 s e a i g u a l a l a t e r c e r a d e r i v a d a d e P 3(x) e n e l m i s m o p u n t o .

a3 =f (3)(0)

3!=

−1

6.

Y a s í s u c e s i v a m e n t e v a m o s a p r o x i m a n d o e l sen(x) p o r u n p o l i n o m i o p a r a

e l c u a l t e n e m o s c o i n c i d e n c i a c o n e l v a l o r d e l a f u n c i ó n y s u s d e r i v a d a s e n

x0 = 0. E n p a r t i c u l a r e n g r a d o 3 s e t i e n e :

P 3(x) = x − x3

6.

C o n l a s i d e a s o b t e n i d a s d e l e j e m p l o p o d e m o s d a r l a d e n i c i ó n g e n e r a l :




D e n i c i ó n 9 . 3 . 2 S e a u n a f u n c i ó n f y u n p u n t o x0 d o n d e e x i s t e n l a s d e r i -

v a d a s d e l a f u n c i ó n

f h a s t a e l o r d e n

n, c o n

nu n n ú m e r o n a t u r a l , e n t o n c e s

e l p o l i n o m i o d e T a y l o r d e o r d e n n d e f e n x0 s e d e n e c o m o :

P n(x; x0) = f (x0) +f (x0)(x−x0)+f (2)(x0)

2(x−x0)2+ ...+

f (n)(x0)

n!(x−x0)n.

9 . 3 . 2 T e o r e m a d e T a y l o r

U n a v e z q u e t e n e m o s e l p o l i n o m i o d e T a y l o r d e b e m o s e s t u d i a r l a b o n d a d d e

l a a p r o x i m a c i ó n d e f p o r d i c h o p o l i n o m i o . E s t e e s t u d i o l o d a e l s i g u i e n t e

t e o r e m a .

T e o r e m a 9 . 3 . 3 ( T e o r e m a d e T a y l o r ) S e a u n n ú m e r o n a t u r a l n, u n a f u n -

c i ó n f : [a, b] → R( a, b ∈ R

) y u n p u n t o x0 ∈ I = [a, b] d e m o d o q u e f,f , . . . , f (n) s e a n f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n I y f (n+1)

e x i s t a e n (a, b) . E n t o n c e s

p a r a c a d a p u n t o x d e I e x i s t e c e n t r e x0 y x d e m o d o q u e :

f (x) = P n(x; x0) +f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − x0)n+1.

A l a e x p r e s i ó n Rn(x; x0) = f (n+1)(c)(n+1)! (x−x0)n+1

s e l e l l a m a r e s i d u o d e o r d e n

n e n s u f o r m a d e L a g r a n g e .

E s q u e m a d e l a d e m o s t r a c i ó n :

P a r a c a d a p u n t o x ∈ I \ {x0} d e n i m o s l a f u n c i ó n :

Rn(x; x0) = f (x) − P n(x; x0).

L a d e m o s t r a c i ó n e s s i m i l a r a l a d e m o s t r a c i ó n d e l t e o r e m a d e l v a l o r m e d i o : s e

c o n s t r u y e u n n u e v a f u n c i ó n G a l a q u e s e p u e d e a p l i c a r e l t e o r e m a d e R o l l e .

S e a e n t o n c e s J = [x0, x] ( e s t a m o s s u p o n i e n d o x > x0 e n c a s o c o n t r a r i o

h a y q u e t o m a r e l i n t e r v a l o [x, x0]) y s e a l a f u n c i ó n

G : [x0, x]→R

d e n i d a p o r l a e x p r e s i ó n

G(t) = f (x) − [P n(x; t) + Rn(x; x0)(x − t)n+1

(x − x0)n+1].



9 . 3 . A P R O X I M A C I Ó N D E T A Y L O R 1 5 3

E n t o n c e s e s t á e n l a s h i p ó t e s i s d e l t e o r e m a d e R o l l e y a q u e e s c o n t i n u a e n

[x0, x],d e r i v a b l e e n

(x0, x)y

G(x) = f (x) − f (x) = 0

G(x0) = f (x) − (P n(x; x0) − Rn(x; x0)) = 0.

D e e s t e m o d o , p o r e l t e o r e m a d e R o l l e , e x i s t e c ∈ (x0, x)

t a l q u e G(c) = 0

.

E s u n a v e r i c a c i ó n c o m p r o b a r q u e

0 = G(c) = −f (n+1)(c)

n!(x − c)n + (n + 1)Rn(x; x0)

(x − c)n

(x − x0)n+1.

Y d e s p e j a n d o e n e s t a e x p r e s i ó n s e o b t i e n e e x a c t a m e n t e :

Rn(x; x0) =f (n+1)(c)

(n + 1)! (x − x0)n+1

.

A n a l i c e m o s u n e j e m p l o d e a p l i c a c i ó n d e e s t e t e o r e m a . S e p u e d e u t i l i z a r

p a r a a p r o x i m a r n ú m e r o s n o r a c i o n a l e s c o n l a p r e c i s i ó n q u e s e n e c e s i t e .

E j e m p l o 9 . 3 . 4 A p r o x i m a r e l n ú m e r o e c o n u n e r r o r m e n o r q u e 10−5.

T o m a m o s l a f u n c i ó n f (x) = ex. S a b e m o s q u e f (0) = 1 , f (1) = e y a d e m á s

c o n o c e m o s e l v a l o r d e l a s d i s t i n t a s d e r i v a d a s e n e l 0 . V a m o s a c o n s t r u i r

e n t o n c e s e l p o l i n o m i o d e T a y l o r e n e l p u n t o 0 c o n u n o r d e n n s u c i e n t e m e n t e

g r a n d e d e m o d o q u e e l e r r o r s e a m e n o r q u e 10−5.

T o m a m o s p o r e j e m p l o e l i n t e r v a l o

[−2, 2]y c o m o p a r a c a d a

k ∈ Ns e

t i e n e q u e f (k)(0) = e0 = 1 e n t o n c e s e l p o l i n o m i o d e T a y l o r d e o r d e n N e n 0

e s :

P n(x; 0) = 1 + x +x2

2+ ... +

xn

n!= Σn

k=0

xk

k!.

P o r e l t e o r e m a d e T a y l o r e x i s t e c ∈ (0, 1) t a l q u e :

Rn(1, 0) =f (n+1)(c)

(n + 1)!(1 − 0)n+1 =

ec

(n + 1)!.

P o r t a n t o c o m o c ∈ (0, 1) y , c o m o q u e r e m o s q u e e l e r r o r s e a m e n o r q u e 10−5,e n t o n c e s :

ec

(n + 1)! <e

(n + 1)! <3

(n + 1)! <1

10−5 .

Y b a s t a t o m a r n = 8. D e e s t e m o d o

e ≈ P 8(1; 0) = 1 + 1 +1

2+

1

3!+ ... + +

1

8!= 2.71828.




E j e r c i c i o s 9 . 3 . 1 1 ) C a l c u l a e l p o l i n o m i o d e T a y l o r d e g r a d o n d e l a f u n c i ó n

ln(x + 1)e n u n e n t o r n o d e l p u n t o

x0 = 0.2 ) A p r o x i m a e l v a l o r d e

3√ 1, 1 p o r m e d i o d e l p o l i n o m i o d e T a y l o r d e g r a d o

3 d e a l g u n a f u n c i ó n y e s t i m a e l e r r o r c o m e t i d o .

9 . 4 A p l i c a c i o n e s d e l T e o r e m a d e T a y l o r

E s t u d i e m o s p a r a n a l i z a r e s t e c a p í t u l o o t r a s d o s a p l i c a c i o n e s d e l t e o r e m a d e

T a y l o r . L a p r i m e r a p a r a d i s t i n g u i r s i u n p u n t o c r í t i c o e s v e r d a d e r a m e n t e u n

e x t r e m o r e l a t i v o y l a s e g u n d a p a r a e s t u d i a r l a c o n c a v i d a d y c o n v e x i d a d d e

u n a f u n c i ó n .

9 . 4 . 1 D e r i v a d a s d e o r d e n s u p e r i o r y e x t r e m o s r e l a t i v o s

T o m e m o s u n a f u n c i ó n f : I → R( I u n i n t e r v a l o a b i e r t o ) y u n p u n t o x0 ∈ I

d e m o d o q u e :

i ) f , f , . . . , f (n) s o n f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n I .

i i ) f (x0) = f (x0) = ... = f (n−1)(x0) = 0 y f (n)(x0) = 0.

E n t o n c e s p o r e l t e o r e m a d e T a y l o r e x i s t e c e n t r e x0 y x d e m o d o q u e p a r a

c a d a p u n t o x ∈ I s e t i e n e q u e :

f (x) = P n−1(x; x0) + Rn−1(x; x0) = f (x0) +f (n)(c)

n!(x − x0)n.

C o m o n u e s t r o p r o b l e m a e s d e t e r m i n a r e l s i g n o d e f (x)−f (x0), d e l a i g u a l d a d

f (x) − f (x0) =f (n)(c)

n!(x − x0)n

s e s i g u e q u e e l s i g n o d e p e n d e r á d e l a p a r i d a d d e n y d e l s i g n o d e l a d e r i v a d a

e n é s i m a e n c

.

O b s e r v a c i ó n 2 6 Y a q u e f (n) e s c o n t i n u a e n x0 y f (n)(x0) = 0 e x i s t e u n

e n t o r n o d e x0 , d i g a m o s (x0 − δ, x0 + δ ) ( δ ∈ R+) d e m o d o q u e e n t o d o s e s o s

p u n t o s e l s i g n o d e l a d e r i v a d a e n é s i m a e s i g u a l ( y p o r t a n t o i g u a l a l s i g n o d e

f (n)(x0)) .



9 . 4 . A P L I C A C I O N E S D E L T E O R E M A D E T A Y L O R 1 5 5

E s t a s e n c i l l a o b s e r v a c i ó n y l a s i g u a l d a d e s d e l o s p á r r a f o s a n t e r i o r e s p e r -

m i t e n c o n c l u i r e l s i g u i e n t e c r i t e r i o :

C o n d i c i ó n s u c i e n t e p a r a e x t r e m o s r e l a t i v o s . E n l a s h i p ó t e s i s a n t e -

r i o r e s i ) y i i ) .

S i n e s p a r y f (n)(x0) > 0 e n t o n c e s x0 e s u n m í n i m o r e l a t i v o

.

S i n e s p a r y f (n)(x0) < 0 e n t o n c e s x0 e s u n m á x i m o r e l a t i v o .

S i n e s i m p a r e n t o n c e s x0 n o e s u n e x t r e m o r e l a t i v o .

E j e m p l o s 9 . 4 . 1 1 ) f (x) = x3e s u n a f u n c i ó n d e r i v a b l e t o d a s l a s v e c e s q u e

u n o n e c e s i t e e n t o d o R. T o m a m o s e l p u n t o x0 = 0 d o n d e s e t i e n e :

f (0) = f (0) = 0 y f (3)

(0) = 6 > 0.

C o m o n = 3 e s i m p a r e n t o n c e s e l 0 n o e s u n e x t r e m o r e l a t i v o .

2 ) f (x) = x4 − 4x3. E n e s t e c a s o

f (x) = 4x3 − 12x2

d e m o d o q u e e l c o n j u n t o d e p u n t o s c r í t i c o s e s {0, 3}. C o m o l a d e r i v a d a

s e g u n d a e s :

f (x) = 12x2 − 24x

E n t o n c e s e n e l p u n t o x = 3 s e t i e n e f (3) = 0 y f (3) = 36 > 0 p o r t a n t o ,

c o m o n = 2 e s p a r , 3 e s u n m í n i m o r e l a t i v o .

P o r o t r o l a d o f (0) = 0 y f (3)(x) = 24x − 24 p o r l o q u e f (3)(0) = −24 < 0d e m o d o q u e x = 0 n o e s u n e x t r e m o d e l a f u n c i ó n .

E j e r c i c i o 9 . 4 . 1 H a l l a r l o s e x t r e m o s d e f (x) = |x2/(x + 1)|.

9 . 4 . 2 F u n c i o n e s c o n v e x a s y p u n t o s d e i n e x i ó n

L a ú l t i m a a p l i c a c i ó n d e l t e o r e m a d e T a y l o r q u e p r e s e n t a m o s h a c e r e f e r e n c i a

a l a c o n c a v i d a d o c o n v e x i d a d d e u n a f u n c i ó n , e s t o e s , a l a p o s i c i ó n d e l a

g r á c a c o n r e s p e c t o a s u s r e c t a s s e c a n t e s o t a n g e n t e s . S o b r e l o s n o m b r e s

f u n c i ó n c ó n c a v a y

f u n c i ó n c o n v e x a n o h a y u n i c i d a d e n l a s d e n i c i o n e s y a

v e c e s s e u s a n l o s n o m b r e s c a m b i a d o s a c o m o l o s v a m o s a p r e s e n t a r a q u í .

U n a f u n c i ó n s e r á c o n v e x a ( v e r g u r a 9 . 1 ) e n u n i n t e r v a l o s i a l t o m a r d o s

p u n t o s d e d i c h o i n t e r v a l o x0 y x1 e l s e g m e n t o d e l a r e c t a s e c a n t e a l a g r á c a




20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

3 4 5 6 7 8x

F i g u r a 9 . 1 : F u n c i ó n c o n v e x a

e n t r e l o s p u n t o s (x0, f (x0)) y (x1, f (x1)) c a e p o r e n c i m a d e l a g r á c a d e l a

f u n c i ó n . S i p a r a m e t r i z a m o s a d e c u a d a m e n t e l o s p u n t o s d e d i c h o s e g m e n t o

p o d e m o s d a r l a d e n i c i ó n f o r m a l .

D e n i c i ó n 9 . 4 . 2 S e a I u n i n t e r v a l o a b i e r t o , f : I → R s e d i c e c o n v e x a e n

I s i p a r a c a d a x0, x1

∈I y p a r a c a d a t

∈[0, 1] s e v e r i c a q u e :

f ((1 − t)x0 + tx1) ≤ (1 − t)f (x0) + tf (x1).

E l t e o r e m a d e T a y l o r p e r m i t e d a r u n c r i t e r i o p a r a l a c o n v e x i d a d d e u n a

f u n c i ó n a n a l i z a n d o s u s e g u n d a d e r i v a d a . L a i d e a e s a n a l i z a r c u á l e s l a p o s i -

c i ó n d e l a r e c t a t a n g e n t e e n u n a f u n c i ó n c o n v e x a .

T e s t d e c o n v e x i d a d . S e a n

I y

f c o m o e n l a d e n i c i ó n a n t e r i o r t a l q u e e x i s t e

f (x)p a r a c a d a

x ∈ I . E n t o n c e s

f e s c o n v e x a s i y s o l a m e n t e s i

f (x) ≥ 0p a r a c a d a

xe n

I .

E j e m p l o 9 . 4 . 3 E s t u d i e m o s l a c o n v e x i d a d d e f (x) = x4

−4x3

. L a d e r i v a d a

s e g u n d a e s :

f (x) = 12x(x − 2).

Y p o r t a n t o e s p o s i t i v a e n e l c o n j u n t o (−∞, 0) ∪ (2, +∞), d o n d e l a f u n c i ó n

e s c o n v e x a , y n e g a t i v a e n e l i n t e r v a l o (0, 2) . P o r t a n t o l o s p u n t o s x = 0 y



9 . 4 . A P L I C A C I O N E S D E L T E O R E M A D E T A Y L O R 1 5 7

–26

–24

–22

–20

–18

–16

–14

–12

–10

–8

–6

–4

–2

2

4

x

F i g u r a 9 . 2 : G r á c a d e f (x) = x4 − 4x3.

x = 2 s o n p u n t o s d o n d e e l s i g n o d e l a s e g u n d a d e r i v a d a c a m b i a , q u e l l a m a m o s

p u n t o s d e i n e x i ó n .



C a p í t u l o 1 0

I n t e g r a c i ó n

E n e s t e c a p í t u l o s e i n t r o d u c e l a n o c i ó n d e i n t e g r a l d e u n a f u n c i ó n e n u n

i n t e r v a l o , c o n c e p t o q u e p e r m i t e c a l c u l a r e l á r e a e n c e r r a d a p o r l a g r á c a d e

l a f u n c i ó n y e l e j e d e a b s c i s a s e n t r e d o s v a l o r e s r e a l e s . L a d e n i c i ó n q u e

s e p r e s e n t a r á e s l a d e i n t e g r a l d e R i e m a n n , e s t a b l e c i é n d o s e c i e r t o s t e o r e m a s

f u n d a m e n t a l e s , e n t r e e l l o s e l T e o r e m a F u n d a m e n t a l d e l C á l c u l o I n t e g r a l , q u e

r e l a c i o n a e l c o n c e p t o d e i n t e g r a l c o n e l d e d e r i v a d a .

A c o n t i n u a c i ó n s e p r e s e n t a n l a s t é c n i c a s d e i n t e g r a c i ó n c l á s i c a s y n a l -

m e n t e s e i n t r o d u c e n l a s i n t e g r a l e s i m p r o p i a s , q u e a p a r e c e n c o m o l í m i t e d e

i n t e g r a l e s d e R i e m a n n .

L a s a p l i c a c i o n e s d e l a t e o r í a d e l a i n t e g r a c i ó n a l c á l c u l o d e á r e a s y v o -

l ú m e n e s s e r á n d e s a r r o l l a d a s d u r a n t e l a p r á c t i c a d e l a b o r a t o r i o c o n M a p l e V

s o b r e l a t e o r í a d e l a i n t e g r a c i ó n .

E l a l u m n o e s t u d i a r á t é c n i c a s d e i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a d u r a n t e l a a s i g n a -

t u r a d e C á l c u l o .

1 0 . 1 I n t e g r a l d e R i e m a n n

L a i n t e g r a l d e R i e m a n n r e c o g e l a i d e a i n t u i t i v a d e a p r o x i m a r e l á r e a q u e

e n c i e r r a l a g r á c a d e u n a f u n c i ó n y e l e j e d e a b s c i s a s e n t r e d o s v a l o r e s r e a l e s

p o r m e d i o d e r e c t á n g u l o s c u y a s b a s e s s e v a n h a c i e n d o c a d a v e z m á s p e q u e ñ a s

( v e r P r á c t i c a 5 y g u r a s ( 1 0 . 1 ) y ( 1 0 . 2 ) ) .

1 5 9



1 6 0 C A P Í T U L O 1 0 . I N T E G R A C I Ó N

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

F i g u r a 1 0 . 1 : S u m a s i n f e r i o r e s

1 0 . 1 . 1 S u m a s s u p e r i o r e s e i n f e r i o r e s

P a r a a p r o x i m a r e l v a l o r d e l á r e a e n c e r r a d a p o r u n a c i e r t a f u n c i ó n a c o t a d a

f : [a, b] → Ry e l e j e d e a b s c i s a s e n t r e

ay

b, p o d e m o s p r i m e r o d i v i d i r e l

i n t e r v a l o [a, b] e n s u b i n t e r v a l o s y c o n s t r u i r c i e r t o s r e c t á n g u l o s c u y a s b a s e s

s o n d i c h o s s u b i n t e r v a l o s y l a s a l t u r a s e s t á n r e l a c i o n a d a s c o n l o s v a l o r e s d e l a

f e n c a d a s u b i n t e r v a l o . L a s u m a d e l a s á r e a s d e d i c h o s r e c t á n g u l o s n o s d a r á

u n a a p r o x i m a c i ó n p a r a d i c h a á r e a .

D e n i c i ó n 1 0 . 1 . 1 S e a I = [a, b] ⊂ R u n i n t e r v a l o . S e d e n e u n a p a r t i c i ó n

P = {x0, x1,...,xn} d e I c o m o u n c o n j u n t o d e p u n t o s o r d e n a d o s x0 < x1 <... < xn t a l q u e x0 = a y xn = b .

A l c o n j u n t o d e t o d a s l a s p a r t i c i o n e s d e I l o d e n o t a r e m o s P (I ).

E j e m p l o 1 0 . 1 . 2 E l c o n j u n t o P = {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1} e s u n a p a r t i c i ó n d e l

i n t e r v a l o [0, 1] y d e s c o m p o n e d i c h o i n t e r v a l o e n u n i ó n d e 4 s u b i n t e r v a l o s d e

l o n g i t u d 1/4:

[0, 1] = [0, 1/4]

∪[1/4, 1/2]

∪[1/2, 3/4]

∪[3/4, 1].

A p a r t i r d e u n a p a r t i c i ó n s e t i e n e n d i s t i n t a s f o r m a s d e d e n i r f a m i l i a s

d e r e c t á n g u l o s c u y a á r e a t o t a l a p r o x i m a e l á r e a d e l a r e g i ó n R

d e l a q u e

q u e r e m o s c a l c u l a r s u á r e a .

S e a n e n c a d a s u b i n t e r v a l o [xk−1, xk] ( k = 1,..,n

) l o s s i g u i e n t e s n ú m e r o s :



1 0 . 1 . I N T E G R A L D E R I E M A N N 1 6 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

F i g u r a 1 0 . 2 : S u m a s s u p e r i o r e s

mk = inf {f (x) : x ∈ [xk−1, xk]}M k = sup{f (x) : x ∈ [xk−1, xk]}.

C o n e s t o s n ú m e r o s c o n s i d e r a d o s c o m o a l t u r a s d e l o s r e c t á n g u l o s p o d e m o s

d e n i r d o s a p r o x i m a c i o n e s a l á r e a d e R

a s o c i a d a s a l a p a r t i c i ó n .

D e n i c i ó n 1 0 . 1 . 3 C o n l a s n o t a c i o n e s d e l o s p á r r a f o s a n t e r i o r e s s e d e n e

l a s u m a i n f e r i o r d e f a s o c i a d a a l a p a r t i c i ó n P d e l i n t e r v a l o I c o m o :

L(P, f ) = Σnk=1mk(xk − xk−1).

Y l a s u m a s u p e r i o r d e f a s o c i a d a a P c o m o :

U (P, f ) = Σnk=1M k(xk − xk−1).

E j e m p l o 1 0 . 1 . 4 S e a f : [0, 1] → R l a f u n c i ó n f (x) = x2y l a p a r t i c i ó n

P = {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1} e n t o n c e s ( v e r g u r a s ( 1 0 . 1 ) y ( 1 0 . 2 ) ) :

L(P, f ) = 14

(02 + (1/4)2 + (1/2)2 + (3/4)2)

U (P, f ) =1

4((1/4)2 + (1/2)2 + (3/4)2 + 12).




E s c l a r o q u e l a s s u m a s s u p e r i o r e s s o n a p r o x i m a c i o n e s p o r e x c e s o d e l á r e a

d e

Ry l a s i n f e r i o r e s p o r d e f e c t o . P a r a i r h a c i e n d o a p r o x i m a c i o n e s c a d a v e z

m á s p r e c i s a s s e t r a t a d e i r s u b d i v i d i e n d o l a s p a r t i c i o n e s q u e s e t o m a n , l o q u e

f o r m a l m e n t e q u e d a d e n i d o e n e l s i g u i e n t e p á r r a f o .

D e n i c i ó n 1 0 . 1 . 5 S e a n Q y P p a r t i c i o n e s d e u n i n t e r v a l o I = [a, b]. S e

d i c e q u e Q e s u n r e n a m i e n t o d e P s i P ⊆ Q.

E j e m p l o 1 0 . 1 . 6 S e a P = {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1} u n a p a r t i c i ó n d e [0, 1] e n t o n -

c e s Q = {0, 1/4, 1/2, 3/4, 7/8, 1}e s u n r e n a m i e n t o s d e P .

P r o p o s i c i ó n 1 0 . 1 . 7 S e a f : [a, b] → Ra c o t a d a y s e a n P y Q d o s p a r t i c i o n e s

d e

[a, b]t a l e s q u e

Qe s u n r e n a m i e n t o d e

P e n t o n c e s :

i ) L(P, f ) ≤ U (P, f );

i i ) L(P, f ) ≤ L(Q, f ) ≤ U (Q, f ) ≤ U (P, f ).

L a s i g u i e n t e o b s e r v a c i ó n e s u n a c o n s e c u e n c i a d e q u e t o d a p a r t i c i ó n d e

u n i n t e r v a l o [a, b] e s u n r e n a m i e n t o d e l a p a r t i c i ó n {a, b} y d e l a a n t e r i o r

p r o p o s i c i ó n .

O b s e r v a c i ó n 2 7 E l c o n j u n t o L = {L(P, f ) : P ∈ P ([a, b])} e s t á a c o t a d o

s u p e r i o r m e n t e .

E l c o n j u n t o

U =

{U (P, f ) : P

∈ P ([a, b])

}e s t á a c o t a d o i n f e r i o r m e n t e .

P o r t a n t o e s u n a c o n s e c u e n c i a d e l a x i o m a d e l s u p r e m o q u e e l c o n j u n t o

Lt i e n e s u p r e m o , q u e d e n o t a r e m o s L, y e l c o n j u n t o

Mt i e n e í n m o , q u e

d e n o t a r e m o s U .

E s t o p e r m i t i r á d e n i r e l c o n c e p t o d e i n t e g r a b i l i d a d d e R i e m a n n y e l c o n -

c e p t o d e i n t e g r a l d e R i e m a n n .

1 0 . 1 . 2 C r i t e r i o d e i n t e g r a b i l i d a d d e R i e m a n n

D e n i c i ó n 1 0 . 1 . 8 C o n l a s n o t a c i o n e s a n t e r i o r e s , s e a f : [a, b] → Ru n a

f u n c i ó n a c o t a d a . S e d i c e q u e

f e s i n t e g r a b l e ( R i e m a n n - i n t e g r a b l e ) e n

[a, b] s i L = M y a d i c h o v a l o r c o m ú n s e l e l l a m a i n t e g r a l d e f d e a a b y

s e l e d e n o t a :

M = L =

ba

f (x)dx.



1 0 . 1 . I N T E G R A L D E R I E M A N N 1 6 3

O b s e r v a c i ó n 2 8 P o r d e n i c i ó n ,

a

a

f (x)dx = 0

b

a

f (x)dx = −

a

b

f (x)dx.

E j e m p l o s 1 0 . 1 . 9 1 ) U n a f u n c i ó n c o n s t a n t e f : [a, b] → R d e n i d a p o r

f (x) = c ( c ∈ R) e s s i e m p r e i n t e g r a b l e y a q u e p a r a t o d a p a r t i c i ó n P s e

t i e n e q u e :

L(P, f ) = U (P, f ) = c(b − a).

Y d i c h o v a l o r e s p o r t a n t o e l v a l o r d e l a i n t e g r a l .

2 ) L a f u n c i ó n d e D i r i c h l e t e n [0, 1] d e n i d a c o m o f (x) = 1 s i x ∈ Q y

f (x) = 0 e n c a s o c o n t r a r i o v e r i c a q u e p a r a c a d a p a r t i c i ó n P :

L(P, f ) = 0 U (P, f ) = 1

y p o r t a n t o n o e s i n t e g r a b l e .

L a d e n i c i ó n d e i n t e g r a l e s u n c o n c e p t o q u e i n v o l u c r a a l a s s u m a s s u -

p e r i o r e s e i n f e r i o r e s o b t e n i d a s a p a r t i r d e c u a l q u i e r p a r t i c i ó n d e l i n t e r v a l o

e n c u e s t i ó n . L a s i g u i e n t e p r o p o s i c i ó n p e r m i t e r e s t r i n g i r n o s a u n a s c i e r t a s

p a r t i c i o n e s c o n c r e t a s , s i m p l i c a n d o l a d e n i c i ó n .

P r o p o s i c i ó n 1 0 . 1 . 1 0 ( C r i t e r i o d e i n t e g r a b i l i d a d d e R i e m a n n ) S e a f :[a, b] → R a c o t a d a . P a r a c a d a n ∈ N s e a P n l a p a r t i c i ó n u n i f o r m e d e [a, b]d e l o n g i t u d n, e s d e c i r :

P n = {a, a +b − a

n, a + 2

b − a

n,...,b}.

E n t o n c e s f e s i n t e g r a b l e s i y s o l a m e n t e s i :

lımx→∞

L(P n, f ) = lımx→∞

U (P n, f ).

Y d i c h o l í m i t e c o m ú n e s e l v a l o r d e l a i n t e g r a l .

E j e m p l o 1 0 . 1 . 1 1 S e a l a f u n c i ó n f (x) = x2e n e l i n t e r v a l o [0, 1] y l a p a r t i -

c i ó n u n i f o r m e d e l o n g i t u d n ∈ N

P n = {0, 1/n, 2/n, ..., 1}




e n t o n c e s s e s i g u e q u e :

L(P n, f ) = f ( 0n

) 1n

+ f ( 1n

) 1n

+ ... + f ( n − 1n

) 1n

=

=1

n3(12 + 22 + ... + (n − 1)2) =

(n − 1)n(2n − 1)

6n3.

Q u e c o n v e r g e a 1/3 c u a n d o n t i e n d e a i n n i t o .

D e m a n e r a s i m i l a r s e t i e n e q u e

U (P n, f ) = f (1

n)

1

n+ f (

2

n)

1

n+ ... + f (1)

1

n=

=1

n3

(12 + 22 + ... + n2) =n(n + 1)(2n + 1)

6n3

.

Q u e t a m b i é n c o n v e r g e a 1/3 c u a n d o n t i e n d e a i n n i t o .

P o r t a n t o : 10

x2dx =1

3.

1 0 . 1 . 3 Á r e a c o m o l í m i t e d e u n a s u m a

V e a m o s o t r a m a n e r a d e d e n i r l a i n t e g r a l q u e n o s p e r m i t e s i m p l i c a r e l

c á l c u l o d e l a m i s m a : p a r a d e t e r m i n a r l o s r e c t á n g u l o s q u e s e u s a r á n p a r a

a p r o x i m a r e l á r e a s e u t i l i z a n a l g u n o s v a l o r e s d e f s i n n e c e s i d a d d e c a l c u l a r

l o s n ú m e r o s M k y mk .

D e n i c i ó n 1 0 . 1 . 1 2 S e a f : [a, b] → R y P = {x0, x1, ....xn} u n a p a r t i c i ó n

d e [a, b]. S e a a h o r a u n c o n j u n t o d e n p u n t o s (c1,...,cn) d e m o d o q u e ck ∈[xk−1, xk] p a r a t o d o k ∈ {1,...n}. E n t o n c e s s e d e n e l a s u m a d e R i e m a n n

c o r r e s p o n d i e n t e a f , P y l a e l e c c i ó n d e l o s ck c o m o :

S (P, f ) = Σnk=1f (ck)(xk − xk−1).

C a b e o b s e r v a r q u e l a s u m a d e R i e m a n n r e p r e s e n t a l a s u m a d e l a s á r e a s

d e l o s r e c t á n g u l o s d e b a s e l a d e n i d a p o r l a p a r t i c i ó n y d e a l t u r a l a i m a g e n

p o r f d e l o s ck . D e m o d o q u e c o m o p o r d e n i c i ó n :

mk ≤ f (ck) ≤ M k,

e n t o n c e s s e t i e n e :

L(P, f ) ≤ S (P, f ) ≤ U (P, f ).



1 0 . 2 . P R O P I E D A D E S B Á S I C A S D E L A I N T E G R A L 1 6 5

O b s e r v a c i ó n 2 9 E n g e n e r a l l a s s u m a s i n f e r i o r e s y s u p e r i o r e s n o s o n s u -

m a s d e R i e m a n n y a q u e e l s u p r e m o y e l í n m o d e u n a f u n c i ó n n o s o n

n e c e s a r i a m e n t e u n v a l o r m á x i m o y u n v a l o r m í n i m o d e l a m i s m a . S e a

p o r e j e m p l o u n a f u n c i ó n f d e n i d a c o m o f (x) = x s i x ∈ [0, 1), c o m o

f (1) = 5 y c o m o f (x) = (x − 1)2 + 2 s i x ∈ (1, 2]. P a r a e s t a f u n c i ó n e l

inf {f (x) : x ∈ [1, 2]} = 1 n o e s u n v a l o r m í n i m o .

T e o r e m a 1 0 . 1 . 1 3 ( I n t e g r a l c o m o l í m i t e d e s u m a s d e R i e m a n n ) S e a

f : [a, b] → R u n a f u n c i ó n a c o t a d a y s e a P n u n a p a r t i c i ó n u n i f o r m e d e [a, b].

E n e s t a s c o n d i c i o n e s f e s i n t e g r a b l e s i y s o l a m e n t e s i e x i s t e lımx→∞

S (P n, f ) y

e s i n d e p e n d i e n t e d e l a e l e c c i ó n d e l o s p u n t o s c1,...,cn .

E j e m p l o 1 0 . 1 . 1 4 S e a l a f u n c i ó n f (x) = x2e n e l i n t e r v a l o [0, 1]. C o n s i d e -

r a m o s l a p a r t i c i ó n P n = {0, 1/n, 2/n,..., 1}. T o m a m o s l o s p u n t o s m e d i o s d e

l o s s u b i n t e r v a l o s q u e d e n e l a p a r t i c i ó n :

(c1, c2,...,cn) = (1

2n,

3

2n,...,

2n − 1

2n).

L a c o r r e s p o n d i e n t e s u m a d e R i e m a n n e s :

S (P n, f ) = Σnk=1f (

1

2(

k − 1

n+

k

n))

1

n=

=1

nΣn

k=1f (2k − 1

2n) =

1

4n3(4Σn

k=1k2 − 4Σnk=1k + Σn

k=11) =

=n(n + 1)(2n + 1)

6n3− n(n + 1)

2n3+

1

4n2.

D e m o d o q u e a l c a l c u l a r e l l í m i t e

lımx→∞

S (P n, f ) = lımx→∞

2n3 + ...

6n3=

1

3=

10

x2dx.

1 0 . 2 P r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l a i n t e g r a l

E n e s t a s e c c i ó n s e p r e s e n t a r á n a l g u n a s p r o p i e d a d e s b á s i c a s d e l a i n t e g r a l ,

c u y a v a l i d e z e s c o n s e c u e n c i a d e l a d e n i c i ó n d e i n t e g r a l c o m o l í m i t e d e s u m a s

d e R i e m a n n .




1 0 . 2 . 1 F u n c i o n e s i n t e g r a b l e s s o b r e u n i n t e r v a l o [a, b]

U n a v e z d e n i d o e l c o n c e p t o d e i n t e g r a l , a d e m á s d e v a r i a s m a n e r a s e q u i v a l e n -

t e s , e l o b j e t i v o d e e s t a s e c c i ó n e s p r e s e n t a r a l g u n a s f u n c i o n e s i n t e g r a b l e s . E l

s i g u i e n t e t e o r e m a a r m a q u e l a s f u n c i o n e s m o n ó t o n a s y l a s f u n c i o n e s c o n t i -

n u a s e n u n i n t e r v a l o [a, b] ( e n a m b o s c a s o s f u n c i o n e s a c o t a d a s ) s o n f u n c i o n e s

i n t e g r a b l e s .

T e o r e m a 1 0 . 2 . 1 i ) T o d a f u n c i ó n f : [a, b] → R m o n ó t o n a e s i n t e g r a b l e e n

e l i n t e r v a l o [a, b].

i i ) T o d a f u n c i ó n f : [a, b] → R c o n t i n u a e s i n t e g r a b l e e n e l i n t e r v a l o [a, b].

I d e a d e l a d e m o s t r a c i ó n .

i ) S e a

P nu n a p a r t i c i ó n u n i f o r m e d e

[a, b]. S i

f e s c r e c i e n t e ( u n r a z o n a -

m i e n t o a n á l o g o s e r v i r á s i f e s d e c r e c i e n t e ) e n t o n c e s :

U (P n, f ) − L(P n, f ) = Σnk=1M k(

b − a

n) − Σn

k=1mk(b − a

n) =

=b − a

nΣn

k=1(f (xk) − f (xk−1)) =b − a

n(f (b) − f (a)).

D e e s t a m a n e r a s e t i e n e q u e

lımx→∞

(U (P n, f ) − L(P n, f )) = 0

L o q u e d e m u e s t r a q u e e s i n t e g r a b l e .

i i ) S i f e s c o n t i n u a e n t o n c e s l a f u n c i ó n a l c a n z a e l m á x i m o y e l m í n i m o

e n c a d a s u b i n t e r v a l o d e m o d o q u e p a r a t o d o k ∈ {1,...,n}e x i s t e n ck, dk ∈

[xk−1, xk] t a l e s q u e :

M k = max{f (x) : x ∈ [xk−1, xk]} = f (ck)

mk = min{f (x) : x ∈ [xk−1, xk]} = f (dk).

D e e s t e m o d o U (P n, f ) e s l a s u m a d e R i e m a n n a s o c i a d a a l o s p u n t o s c1,...,cn

y l o m i s m o p a r a L(P n, f ) c o n l o s p u n t o s d1,...,dn . P o r t a n t o

U (P n, f ) − L(P n, f ) =b − a

nΣn

k=1(f (ck) − f (dk)).

Y a s í s i n t i e n d e a i n n i t o , c o m o max{f (ck) − f (dk)} t i e n d e a 0 , s e t i e n e q u e

lımx→∞

(U (P n, f ) − L(P n, f )) = 0

L o q u e d e m u e s t r a q u e e s i n t e g r a b l e .



1 0 . 2 . P R O P I E D A D E S B Á S I C A S D E L A I N T E G R A L 1 6 7

E j e m p l o 1 0 . 2 . 2 S e a f (x) =√

4 − x2e n [−2, 2]. C o m o f e s c o n t i n u a e n

d i c h o i n t e r v a l o e n t o n c e s e s i n t e g r a b l e . C o m o s e t r a t a d e l á r e a e n c e r r a d a p o r

u n a s e m i c i r c u n f e r e n c i a d e c e n t r o e n e l o r i g e n y r a d i o 2 s e t i e n e : 2−2

√ 4 − x2dx = 2π.

1 0 . 2 . 2 I n t e g r a l e s y o p e r a c i o n e s c o n f u n c i o n e s

S e a n f, g : [a, b] → R

d o s f u n c i o n e s i n t e g r a b l e s . E n t o n c e s ,

I 1 ) ( P r o p i e d a d d e l i n e a l i d a d )

P a r a c a d a c, d ∈ Rs e t i e n e q u e

ba (cf (x) + dg(x))dx = c

ba f (x)dx + d

ba g(x)dx.

I 2 ) ( P r o p i e d a d d e m o n o t o n í a )

S i f (x) ≤ g(x) p a r a t o d o p u n t o x ∈[a, b] e n t o n c e s b

a

f (x)dx ≤ b

a

g(x)dx.

I 3 ) ( P r o p i e d a d d e a c o t a c i ó n )

S i m, M s o n r e s p e c t i v a m e n t e c o t a i n f e r i o r

y s u p e r i o r d e f e n t o n c e s

m(b − a) ≤ b

a

f (x)dx ≤ M (b − a).

E n p a r t i c u l a r l a i n t e g r a l d e u n a f u n c i ó n p o s i t i v a e s p o s i t i v a .

I 4 ) ( P r o p i e d a d d e a d i t i v i d a d r e s p e c t o d e l i n t e r v a l o ) S e a c ∈ (a, b).

L a f u n c i ó n f e s i n t e g r a b l e e n [a, b] s i y s o l a m e n t e s i l o e s e n [a, c] y [c, b] y

a d e m á s : ba

f (x)dx =

ca

f (x)dx +

bc

f (x)dx.

Y a q u e p o r d e n i c i ó n aa f (x)dx = 0

y ba f (x)dx = − ab f (x)dx,

l a p r o p i e d a d

d e a d i t i v i d a d v a l e p a r a t o d o α, β, γ ∈ [a, b], e s d e c i r , β

α

f (x)dx =

γ α

f (x)dx +

β

γ

f (x)dx.




E j e m p l o 1 0 . 2 . 3 S e a l a f u n c i ó n f : [0, 5] → R d e n i d a p o r f (x) = |2x − 3|.

E n t o n c e s l a f u n c i ó n s e p u e d e d e n i r c o m o

f (x) = 2x − 3s i

x ≥ 3/2y

f (x) = −2x + 3 s i x ≤ 3/2 . E n t o n c e s p o r l a p r o p i e d a d d e a d i t i v i d a d : 50

f (x)dx =

3/20

(−2x + 3)dx +

53/2

(2x − 3)dx =

= −2

3/20

xdx + 3

3/20

dx + 2

53/2

xdx − 3

53/2

dx.

Y n a l m e n t e u s a n d o l a s f ó r m u l a d e l á r e a d e u n t r a p e c i o y d e u n r e c t á n g u l o

s e d e t e r m i n a e l v a l o r d e l a i n t e g r a l .

I 5 ) ( C o m p o s i c i ó n d e f u n c i o n e s ) S e a n f : [a, b] → Ry g : [c, d] → R

d o s

f u n c i o n e s t a l e s q u e f ([a, b]) ⊆ [c, d] ( p a r a q u e t e n g a s e n t i d o l a c o m p o s i c i ó n ) .

S i f e s i n t e g r a b l e y g e s c o n t i n u a e n t o n c e s l a c o m p o s i c i ó n g ◦ f e s i n t e g r a b l e

e n [a, b].

I 6 ) ( V a l o r a b s o l u t o )

E n p a r t i c u l a r , c o m o e l v a l o r a b s o l u t o e s u n a f u n c i ó n

c o n t i n u a , e n t o n c e s s i f : [a, b] → R

e s i n t e g r a b l e t a m b i é n l o e s |f |

y

| b

a

f (x)dx| ≤ b

a

|f (x)|dx.

I 7 ) ( P o t e n c i a s e n t e r a s p o s i t i v a s )

S e a n ∈ N, c o m o l a f u n c i ó n g(x) = xn

e s c o n t i n u a , e n t o n c e s , u s a n d o I 5 s e t i e n e q u e s i f : [a, b] → R

e s i n t e g r a b l e

e n t o n c e s f n(x) e s i n t e g r a b l e .

I 8 ) ( P r o p i e d a d d e l p r o d u c t o )

S i f, g : [a, b] → Rs o n f u n c i o n e s i n t e g r a -

b l e s e n t o n c e s , c o m o e l p r o d u c t o f g s e p u e d e e s c r i b i r c o m o

f g =(f + g)2 − f 2 − g2

2,

d e l a s p r o p i e d a d e s a n t e r i o r e s s e d e d u c e q u e f g e s i n t e g r a b l e e n [a, b].

I 9 ) ( P o t e n c i a s e n t e r a s n e g a t i v a s )

S i f : [a, b] → R e s i n t e g r a b l e y c u n a

c o n s t a n t e p o s i t i v a d e m o d o q u e f (x) ≥ c > 0 p a r a t o d o x ∈ [a, b] e n t o n c e s

l a f u n c i ó n 1/f e s i n t e g r a b l e e n

[a, b]y a q u e e s l a c o m p o s i c i ó n d e f c o n l a

f u n c i ó n c o n t i n u a 1/x.



1 0 . 3 . T E O R E M A S F U N D A M E N T A L E S 1 6 9

E j e m p l o s 1 0 . 2 . 4 1 ) L a f u n c i ó n f (x) = 1ln(x2+2)

e s i n t e g r a b l e e n [0, 3] p o r

s e r

ln(x2

+ 2) ≥ ln(2) > 0p a r a t o d o

x ∈ [0, 3].

2 ) C o m o f (x) = √ x e s u n a f u n c i ó n m o n ó t o n a c r e c i e n t e e n [1, 4] e n t o n c e s

e n d i c h o i n t e r v a l o 1 ≤ √ x ≤ 2 d e m o d o q u e

3 ≤ 41

√ xdx ≤ 6.

3 ) C o m o e n e l i n t e r v a l o [4, 6] s e v e r i c a q u e

1x

≤ 18−x

( y a q u e d i c h a

d e s i g u a l d a d e s e q u i v a l e n t e a 8 − x ≤ x) e n t o n c e s s e t i e n e q u e

6

4

1

xdx ≤

6

4

1

8−

xdx.

1 0 . 3 T e o r e m a s f u n d a m e n t a l e s

P r e s e n t a m o s e n e s t a s e c c i ó n a l g u n o s t e o r e m a s b á s i c o s r e f e r i d o s a l c á l c u l o

i n t e g r a l , e n e s p e c i a l e l T e o r e m a F u n d a m e n t a l e n q u e s e r e l a c i o n a e l c á l c u l o

d e i n t e g r a l e s c o n e l c o n c e p t o d e d e r i v a d a .

1 0 . 3 . 1 T e o r e m a d e l v a l o r m e d i o p a r a i n t e g r a l e s

E l p r i m e r t e o r e m a e s u n a a p l i c a c i ó n d e l t e o r e m a d e l v a l o r i n t e r m e d i o d e

f u n c i o n e s c o n t i n u a s .

T e o r e m a 1 0 . 3 . 1 ( T e o r e m a i n t e g r a l d e l v a l o r m e d i o ) S e a n f, g : [a, b] →R d o s f u n c i o n e s q u e v e r i c a n :

i ) f e s c o n t i n u a e n [a, b];

i i ) g e s i n t e g r a b l e e n [a, b] y g(x) ≥ 0 p a r a t o d o x d e [a, b].

E n t o n c e s e x i s t e c ∈ (a, b) t a l q u e : ba

f (x)g(x)dx = f (c)

ba

g(x)dx.

O b s e r v a c i ó n 3 0 E n e l c a s o p a r t i c u l a r e n q u e g e s l a f u n c i ó n c o n s t a n t e 1 e l

t e o r e m a s e l e e c o m o q u e e x i s t e u n p u n t o c ∈ (a, b) d e m o d o q u e ba

f (x)dx = f (c)(b − a).




E s d e c i r , q u e s i l a f u n c i ó n f e s p o s i t i v a , e x i s t e c ∈ (a, b) d e m o d o q u e e l

á r e a d e t e r m i n a d a p o r l a g r á c a d e

f y e l e j e d e a b s c i s a s e n

[a, b]e s e l á r e a

d e l r e c t á n g u l o d e b a s e b − a y a l t u r a f (c) .

E j e m p l o 1 0 . 3 . 2 S e a l a f u n c i ó n F d e n i d a c o m o :

F (x) =

x2+1

x2e−t2dt.

P a r a c a l c u l a r e l l í m i t e d e e s t a f u n c i ó n c u a n d o x t i e n d e a i n n i t o u s a m o s e l

t e o r e m a d e l v a l o r m e d i o p a r a i n t e g r a l e s , e n l a v e r s i ó n s e ñ a l a d a e n l a o b s e r -

v a c i ó n , e n t o n c e s e x i s t e c ∈ (x2, x2 + 1) d e m o d o q u e :

lımx→∞

F (x) = lımc→∞

e−c2 = 0.

1 0 . 3 . 2 T e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l c á l c u l o

E l s i g u i e n t e t e o r e m a e s t a b l e c e u n a r e l a c i ó n f u n d a m e n t a l e n t r e l a t e o r í a d e

l a i n t e g r a c i ó n y l a t e o r í a d e l a d e r i v a c i ó n , p e r m i t i e n d o e l c á l c u l o d e m u c h a s

i n t e g r a l e s .

T e o r e m a 1 0 . 3 . 3 ( T e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l c á l c u l o i n t e g r a l ) S e a n

f, F : [a, b] → Rd o s f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n [a, b]. L o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s

s o n e q u i v a l e n t e s :

1 )

F e s d e r i v a b l e e n

(a, b)y p a r a c a d a

x ∈ (a, b) F (x) = f (x).

2 ) F (x) − F (a) = xa

f (t)dt p a r a c a d a x ∈ [a, b]. ( R e g l a d e B a r r o w )

D e n i c i ó n 1 0 . 3 . 4 U n a f u n c i ó n F (x) e s u n a f u n c i ó n p r i m i t i v a d e f (x) s i

F (x) = f (x) p a r a t o d o p u n t o x e n e l d o m i n i o d e f .

Y d a d a u n a f u n c i ó n f s e l l a m a i n t e g r a l i n d e n i d a d e f a l c o n j u n t o d e

t o d a s s u s f u n c i o n e s p r i m i t i v a s y s e e s c r i b e ( v e r C o r o l a r i o ( 8 . 5 . 7 ) ) f (x)dx = F (x) + C

d o n d e C e s c u a l q u i e r n ú m e r o r e a l y F (x) e s u n a p r i m i t i v a c u a l q u i e r a d e f .

E n t o n c e s e l T e o r e m a F u n d a m e n t a l d e l C á l c u l o I n t e g r a l ( T F C I ) i m p l i c a

q u e s i F (x) e s u n a p r i m i t i v a d e f (x) e n t o n c e s p a r a c a d a x ∈ [a, b]:

F (x) − F (a) =

xa

f (t)dt.



1 0 . 3 . T E O R E M A S F U N D A M E N T A L E S 1 7 1

E j e m p l o s 1 0 . 3 . 5 1 ) S i f (x) = a ∈ R e s u n a f u n c i ó n c o n s t a n t e , e n t o n c e s

F (x) = axe s u n a p r i m i t i v a y d e e s t e m o d o

adx = ax + C

50

adx = 5a.

2 ) S i f (x) = xrc o n r ∈ R\{−1} e n t o n c e s F (x) = xr+1

r+1e s u n a p r i m i t i v a :

xrdx =

xr+1

r + 1+ C

20

xrdx =2r+1

r + 1(r > 0).

3 )

e

x

dx = e

x

+ C 50 e

x

dx = e

5

− 1. axdx =

ax

ln(a)+ C

20

axdx =a2

ln(a)− 1

ln(a).

4 ) cos(x)dx = sen(x) + C

sen(x) = −cos(x) + C.

5 ) U t i l i z a n d o l o s r e s u l t a d o s d e l o s e j e r c i c i o s 8 . 2 . 1 y 8 . 3 . 1 s e o b t i e n e p o r

e j e m p l o q u e :

1

1 + x2dx = arctg(x) + C

sec(x)tg(x)dx = sec(x) + C.

E l T F C I e s u n a c o n s e c u e n c i a d e l s i g u i e n t e t e o r e m a , e n e l c u a l l a h i p ó t e s i s

s o b r e f e s s ó l o l a i n t e g r a b i l i d a d .

T e o r e m a 1 0 . 3 . 6 S e a f : [a, b] → R i n t e g r a b l e y s e a F l a f u n c i ó n d e n i d a

p a r a c a d a x ∈ [a, b] c o m o

F (x) =

xa

f (t)dt.

E n e s t a s c o n d i c i o n e s s e t i e n e q u e :

1 ) F e s c o n t i n u a e n [a, b].

2 ) S i f e s c o n t i n u a e n c ∈ (a, b) s e v e r i c a q u e F e s d e r i v a b l e e n c y

F (c) = f (c) .




E n l a s a p l i c a c i o n e s r e s u l t a ú t i l e s s i g u i e n t e c o r o l a r i o q u e e s u n a c o n s e -

c u e n c i a d e l T F C I y d e l a r e g l a d e l a c a d e n a .

C o r o l a r i o 1 0 . 3 . 7 S e a f : [a, b] → Ru n a f u n c i ó n c o n t i n u a y s e a n g y h d o s

f u n c i o n e s d e r i v a b l e s e n u n p u n t o x0 t a l q u e g(x0), h(x0) ∈ (a, b) . E n t o n c e s

l a f u n c i ó n

F (x) =

g(x)h(x)

f (t)dt

e s d e r i v a b l e e n x0 y d i c h a d e r i v a d a e s

F (x0) = f (g(x0))g(x0) − f (h(x0))h(x0).

E j e m p l o s 1 0 . 3 . 8 1 ) S e a f : [0, 1]

→R

u n a f u n c i ó n i n t e g r a b l e . S e a l a

s u c e s i ó n {an}n∈N

d e n i d a p o r

an =

1/n0

f (t)dt.

C o m o l a f u n c i ó n F (x) = x0

f (t)dt e s c o n t i n u a y l a s u c e s i ó n { 1n}n∈

N

c o n v e r g e

a 0 , e n t o n c e s l a s u c e s i ó n {an}n∈N

c o n v e r g e a F (0) = 00 f (t)dt = 0 .

2 ) C a l c u l a m o s l a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n

F (x) =

sen(x)−1

tsen2(t)dt.

C o m o f (t) = tsen2(t) e s u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n t o d a l a r e c t a r e a l , e n t o n c e s ,

a p l i c a n d o e l t e o r e m a a n t e r i o r :

F (x) = sen(x)sen2(sen(x))cos(x).

3 ) C a l c u l a m o s l a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n

F (x) =

ln(x2+1)

−x2t2cos(3t − 1)dt.

C o m o f (t) = t2cos(3t − 1) e s u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n t o d a l a r e c t a r e a l ,

e n t o n c e s , a p l i c a n d o e l c o r o l a r i o a n t e r i o r :

F (x) = (ln(x2+1))2cos(3ln(x2+1)−1)2x

x2 + 1−(−x2)2cos(3(−x2)−1)(−2x) =

= (ln(x2 + 1))2cos(3ln(x2 + 1) − 1)2x

x2 + 1+ 2x5cos(3x2 + 1).



1 0 . 4 . T É C N I C A S B Á S I C A S D E I N T E G R A C I Ó N 1 7 3

1 0 . 4 T é c n i c a s b á s i c a s d e i n t e g r a c i ó n

E n e s t a s e c c i ó n r e p a s a r e m o s a l g u n a s t é c n i c a s b á s i c a s d e i n t e g r a c i ó n , s i n p r e -

t e n s i ó n d e s e r e x h a u s t i v o s , s ó l o m o s t r a n d o t é c n i c a s e s e n c i a l e s q u e s e d e d u c e n

d e l o s t e o r e m a s a n t e r i o r e s .

1 0 . 4 . 1 I n t e g r a c i ó n p o r p a r t e s

L a t é c n i c a d e i n t e g r a c i ó n p o r p a r t e s s e c o r r e s p o n d e c o n l a r e g l a d e d e r i v a c i ó n

d e u n p r o d u c t o :

(f g) = f g + f g.

P r o p o s i c i ó n 1 0 . 4 . 1 ( I n t e g r a c i ó n p o r p a r t e s ) S e a n f, g : [a, b]→R d o s

f u n c i o n e s d e r i v a b l e s e n (a, b) c o n d e r i v a d a c o n t i n u a . E n e s t a s c o n d i c i o n e s : ba

f (x)g(x)dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) − b

a

f (x)g(x)dx.

E j e m p l o s 1 0 . 4 . 2 1 )

31

x2ln(x)dx.

T o m a m o s g(x) = ln(x) y f (x) = x2, e n t o n c e s f (x) = x3/3. D e e s t e

m o d o u s a n d o i n t e g r a c i ó n p o r p a r t e s s e t i e n e :

3

1

x2ln(x)dx = f (3)g(3) − 3

1

x3

3

1

xdx =

9ln(3) − 31

x2

3dx = 9ln(3) − 1

3(9 − 1

3).

2 )

xexdx = xex − exdx = xex − ex + C .

3 )

10

arcsen(x)dx = arcsen(1) − 0 − 10

x√ 1−x2

dx =

π

2+

√ 1 − 12 −

√ 1 − 02 =

π

2− 1.

4 )

x2sen(x)dx = −x2cos(x)− 2x(−cos(x))dx = −x2cos(x)+2

xcos(x)dx =

= −x2cos(x) + 2(xsen(x) −

sen(x)dx) = (2 − x2)cos(x) + 2xsen(x) + C.




E j e r c i c i o s 1 0 . 4 . 1 1 ) V e r i c a l a s s i g u i e n t e s i g u a l d a d e s :

a ) e

x

sen(x)dx =

1

2 [e

x

sen(x) − e

x

cos(x)] + C,b )

(x2 − 3x + 2)exdx = (x2 − 5x + 7)ex + C,

c )

8x3arctan(x)dx = (2x4 − 2)arctan(x) − 2

3x3 + 2x + C.2 ) E n c u e n t r a u n a f ó r m u l a d e r e c u r r e n c i a p a r a l a s i g u i e n t e p r i m i t i v a :

Ln =

(1 − x2)ndx (n ∈ N, n ≥ 2).

1 0 . 4 . 2 I n t e g r a c i ó n p o r c a m b i o d e v a r i a b l e

L a t é c n i c a d e i n t e g r a c i ó n p o r c a m b i o d e v a r i a b l e s e c o r r e s p o n d e c o n l a r e g l a

d e l a c a d e n a , p a r a d e r i v a r l a c o m p o s i c i ó n d e d o s f u n c i o n e s .

P r o p o s i c i ó n 1 0 . 4 . 3 ( I n t e g r a c i ó n p o r c a m b i o d e v a r i a b l e ) S e a f : [a, b] →R d e r i v a b l e c o n d e r i v a d a c o n t i n u a e n [a, b] y g : [c, d] → R c o n t i n u a d e m o d o

q u e f ([a, b]) ⊆ [c, d]. E n t o n c e s s i t = f (x) s e t i e n e q u e :

ba

g(f (x))f (x)dx =

f (b)f (a)

g(t)dt.

E j e m p l o s 1 0 . 4 . 4 1 )

2

0x3cos(x4 + 2)dx.

H a c e m o s e l c a m b i o d e v a r i a b l e t = x4+2. E n t o n c e s l a i n t e g r a l s e c o n v i e r t e

e n :

1

4

182

cos(t)dt =1

4(sen(18) − sen(2)).

2 )

√ 1 + x2x5dx.

H a c e m o s e l c a m b i o d e v a r i a b l e t = 1 + x2. E n t o n c e s l a i n t e g r a l i n i c i a l s e

t r a n s f o r m a e n :

1

2

√ x(t2 − 2t + 1)dt =

1

2(

t5/2dt − 2

t3/2dt +

t1/2dt) =

1

7t7/2

−2

5t5/2

+1

3t3/2

+ C.

Y d e s h a c i e n d o e l c a m b i o d e v a r i a b l e s e o b t i e n e :

1

7(1 + x2)7/2 − 2

5(1 + x2)5/2 +

1

3(1 + x2)3/2 + C.




3 ) sen2(3x)cos(3x)dx.H a c e m o s e l c a m b i o

t = sen(3x)d e m o d o q u e e n t o n c e s l a i n t e g r a l e s :

t2

3dt =

t3

9+ C =

sen3(3x)

9+ C.

4 )

10

1(9−6x)2

dx.H a c e m o s e l c a m b i o t = 9 − 6x y e n t o n c e s :

−1

6

39

dt

t2=

1

6

39

−dt

t2=

1

18 −1

54 .

O b s e r v a c i ó n 3 1 P a r a n, m ∈ N, s e a

I =

senm(x)cosn(x)dx.

E l c á l c u l o d e e s t e t i p o d e i n t e g r a l d e p e n d e d e l a p a r i d a d d e n y m :C a s o m i m p a r : s e u t i l i z a e l c a m b i o d e v a r i a b l e t = cos(x).C a s o n i m p a r : s e u t i l i z a e l c a m b i o d e v a r i a b l e t = sen(x).C a s o m y n p a r e s : s e u t i l i z a n l a s f ó r m u l a s

cos2(x) =1 + cos(2x)

2, sen2(x) =

1 − cos(2x)

2.

S e a a h o r a

I =

R(sen(x),cos(x))dx,

d o n d e R(sen(x),cos(x)) e s u n a f u n c i ó n r a c i o n a l e n s e n o y c o s e n o ( o u n a

f u n c i ó n r a c i o n a l d e f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s r e e s c r i t a s e n t é r m i n o s d e s e n o s

y c o s e n o s ) .

P a r a c a l c u l a r e s t e t i p o d e i n t e g r a l d i s t i n g u i m o s e n t r e v a r i o s c a s o s :

C a s o R e s i m p a r e n s e n o , e s d e c i r ,

R(−sen(x),cos(x)) = −R(sen(x),cos(x)).

S e u t i l i z a e l c a m b i o d e v a r i a b l e t = cos(x).




C a s o R e s i m p a r e n c o s e n o , e s d e c i r ,

R(sen(x), −cos(x)) = −R(sen(x),cos(x)).

S e u t i l i z a e l c a m b i o d e v a r i a b l e t = sen(x).C a s o R e s p a r e n s e n o y c o s e n o s i m u l t á n e a m e n t e , e s d e c i r ,

R(−sen(x), −cos(x)) = R(sen(x),cos(x)).

S e u t i l i z a e l c a m b i o d e v a r i a b l e t = tan(x).E n e l r e s t o d e l o s c a s o s , s e u t i l i z a e l c a m b i o d e v a r i a b l e t = tan(x

2 ), c o n

sen(x) = 2t1 + t2 , cos(x) = 1 − t

2

1 + t2 , dx = 21 + t2 dt.

E j e r c i c i o 1 0 . 4 . 1 C a l c u l a l a s s i g u i e n t e s i n t e g r a l e s :

a )

10

e6x

e2x+1dx.

b )

1√

ex+1dx.

c )

sen3(x)1+cos2(x)

dx.

1 0 . 4 . 3 I n t e g r a l e s r a c i o n a l e s

T a m b i é n a p o r t a m o s a l g u n o s e j e m p l o s d e i n t e g r a l e s r a c i o n a l e s , e s d e c i r i n -

t e g r a l e s d e c o c i e n t e s d e p o l i n o m i o s , d o n d e l a i d e a c l a v e e s d e s c o m p o n e r l a

f r a c c i ó n e n f r a c c i o n e s s i m p l e s c u y a d e r i v a d a s e a i n m e d i a t a ( o c a s i ) , o b t é n i e n -

d o s e u n l o g a r i t m o , u n a a r c o t a n g e n t e o u n a p o t e n c i a .

E j e m p l o s 1 0 . 4 . 5 1 )

3

x−2dx = 3

1

x−2dx = 3ln|x − 2| + C .

2 )

x+5

x2+x−2dx =

x+5(x−1)(x+2)dx.

P o d e m o s e n t o n c e s d e s c o m p o n e r e n f r a c c i o n e s s i m p l e s , e s t o e s ,

x + 5

(x

−1)(x + 2)

=A

x

−1

+B

x + 2.

E s t a i g u a l d a d p l a n t e a u n a i g u a l d a d d e p o l i n o m i o s y p o r t a n t o u n s i s t e m a d e

e c u a c i o n e s , a t e n d i e n d o a c a d a c o e c i e n t e d e c a d a g r a d o . E n t o n c e s :

A = 2 B = −1.




P o r t a n t o n u e s t r a i n t e g r a l e s : 2

x − 1dx − 1

x + 2dx = 2ln|x − 1| − ln|x + 2| + C.

3 )

2x2−x+4x3+4x

dx.

D e n u e v o d e s c o m p o n i e n d o e n f r a c c i o n e s s i m p l e s s e t i e n e :

2x2 − x + 4

x3 + 4x=

A

x+

Bx + C

x2 + 4.

L o q u e r e s o l v i e n d o l a i g u a l d a d d e p o l i n o m i o s d a :

A = 1 B = 1 C = −1.

P o r t a n t o n u e s t r a i n t e g r a l e s 1x

dx +

x − 1x2 + 4

dx =

= ln|x| +1

2

2x

x2 + 4dx −

1

x2 + 4dx =

= ln|x| +1

2ln(x2 + 4) − 1

4

1

(x2 )2 + 1

dx =

= ln|x| +1

2ln(x2 + 4) − 1

2arctg(x/2) + C.

4 )

√

x−2(x−2)(x+3)dx.

H a c e m o s p r i m e r o e l c a m b i o d e v a r i a b l e

t =

√ x − 2

d e m o d o q u e l a i n t e -

g r a l e s a h o r a : 2

(t2 + 5)dt =

2

5

1

( t2

5+ 1)

dt =2√

5arctg(

√ x − 2√

5) + C.

E j e r c i c i o 1 0 . 4 . 2 C a l c u l a l a s s i g u i e n t e s i n t e g r a l e s :

a )

2x2 − 5x + 6

(x − 1)3dx.

b )

3x2 + 8x − 1

x + 2dx.

c ) cos(x)

4 − sen(

x)

dx.

d )

1

x2 + x + 1dx.

( S u g e r e n c i a :

1

x2 + x + 1=

1

(x2 + x + 14

) − 14

+ 1=

1

(x + 12

)2 + 34

.)




1 0 . 5 I n t e g r a l e s i m p r o p i a s

E n e s t a s e c c i ó n s e d e n e u n a g e n e r a l i z a c i ó n d e l c o n c e p t o d e i n t e g r a l d e R i e -

m a n n : u n a i n t e g r a l e s i m p r o p i a

s i o b i e n e l i n t e r v a l o d e i n t e g r a c i ó n e s n o

a c o t a d o o b i e n l a f u n c i ó n q u e q u e r e m o s i n t e g r a r e s n o a c o t a d a .

1 0 . 5 . 1 I n t e g r a l e s i m p r o p i a s d e p r i m e r a e s p e c i e

U n i n t e g r a l e s i m p r o p i a d e p r i m e r a e s p e c i e

s i e l i n t e r v a l o d e i n t e g r a c i ó n

e s u n i n t e r v a l o n o a c o t a d o , e s d e c i r , d e l t i p o (−∞, a), (a, ∞),

o (−∞, ∞).

S i l a f u n c i ó n f (x) e s i n t e g r a b l e e n t o d o s u b i n t e r v a l o a c o t a d o d e l i n t e r v a l o d e

i n t e g r a c i ó n , e n t o n c e s s u i n t e g r a l i m p r o p i a s e d e n e p o r m e d i o d e u n p a s o a l

l í m i t e . L a c o n v e r g e n c i a d e e s t a i n t e g r a l i m p r o p i a c o i n c i d i r á c o n l a e x i s t e n c i a

d e e s t e l í m i t e . V a m o s a e s t u d i a r l o s d i s t i n t o s c a s o s p o r m e d i o d e e j e m p l o s .

E j e m p l o s 1 0 . 5 . 1 1 ) L a i n t e g r a l

∞1

1xp

dx ( p ∈ R) e s i m p r o p i a d e p r i m e r a

e s p e c i e y a q u e e l i n t e r v a l o (1, ∞) n o e s a c o t a d o .

S i c > 1, l a f u n c i ó n f (x) = 1xp

e s c o n t i n u a e n t o d o i n t e r v a l o d e l a f o r m a [1, c].P o r d e n i c i ó n , s u i n t e g r a l i m p r o p i a

∞1

1xp dx c o n v e r g e s i e x i s t e e l l í m i t e ( y

e s n i t o )

lımc→∞

c1

1

x pdx.

S i p = 1, l a i n t e g r a l e s i g u a l a ln(|c|) y lımc

→∞

ln(|c|) = ∞, p o r t a n t o l a i n t e g r a l

i m p r o p i a

∞1 1xdx d i v e r g e .

S i p = 1,

lımc→∞

c1

1

x pdx =

c− p+1

− p + 1− 1

− p + 1.

E n t o n c e s lımc→∞

c1

1xp dx c o n v e r g e a

1 p−1

s i p > 1 y d i v e r g e a ∞ s i p < 1.

2 ) L a i n t e g r a l

0−∞ x exdx e s i m p r o p i a d e p r i m e r a e s p e c i e y a q u e e l i n t e r -

v a l o (−∞, 0) n o e s a c o t a d o . S i c < 0, l a f u n c i ó n f (x) = x exe s c o n t i n u a

e n [c, 0]. P o r d e n i c i ó n , s u i n t e g r a l i m p r o p i a

0−∞ x exdx c o n v e r g e s i e x i s t e

n i t o e l l í m i t e

lımc→−∞ 0

c x ex

dx.

A h o r a , i n t e g r a n d o p o r p a r t e s , 0c

x exdx = 0 − c ec − 0

c

exdx = −c ec − 1 + ec = (1 − c)ec − 1



1 0 . 5 . I N T E G R A L E S I M P R O P I A S 1 7 9

y lımc→−∞

0

cx exdx = lım

c→−∞(1 − c)ec − 1 = 0 − 1 = −1, d o n d e h e m o s a p l i c a d o

l a r e g l a d e L ' H ô p i t a l a l a f o r m a i n d e t e r m i n a d a d e l t i p o ∞ · 0 :

lımc→−∞

(1 − c)ec = lımc→−∞

1 − c

e−c= lım

c→−∞−1

−e−c= lım

c→−∞ec = 0.

3 ) C o n s i d e r e m o s a h o r a l a i n t e g r a l i m p r o p i a ∞−∞

1

1 + x2dx.

E n e s t e c a s o s e e l i g e u n n ú m e r o c ∈ Ry s e e s c r i b e

∞−∞

11 + x2

dx = c−∞

11 + x2

dx + ∞

c

11 + x2

dx.

L u e g o s e c a l c u l a n l a s i n t e g r a l e s i m p r o p i a s c o r r e s p o n d i e n t e s a l o s i n t e r v a l o s

(−∞, c) y (c, ∞). S i e s t a s d o s i n t e g r a l e s c o n v e r g e n a d o s n ú m e r o s r e a l e s ,

e n t o n c e s l a i n t e g r a l i m p r o p i a i n i c i a l t a m b i é n c o n v e r g e y s u v a l o r e s i g u a l a

l a s u m a d e e s o s d o s n ú m e r o s . S i u n a d e l a s i n t e g r a l e s d e l a s u m a d i v e r g e

l a i n t e g r a l i m p r o p i a i n i c i a l t a m b i é n d i v e r g e . E n n u e s t r o e j e m p l o , s e a c = 0.E n t o n c e s

lımc→−∞

0

−c

1

1 + x2

dx = lımc→−∞

(arctg(0)

−arctg(c)) = 0 +

π

2

=π

2y

lımc→∞

c0

1

1 + x2dx = lım

c→−∞(arctg(c) − arctg(0)) =

π

2− 0 =

π

2.

S e s i g u e q u e ∞−∞

1

1 + x2dx =

π

2+

π

2= π.

1 0 . 5 . 2 I n t e g r a l e s i m p r o p i a d e s e g u n d a e s p e c i e

U n i n t e g r a l

ba f (x)dx,

c o n

a, b ∈ R,e s

i m p r o p i a d e s e g u n d a e s p e c i e s i l a

f u n c i ó n f (x)

n o e s t á a c o t a d a e n e l i n t e r v a l o d e i n t e g r a c i ó n [a, b].

T a m b i é n e n

e s t e c a s o , l a i n t e g r a l i m p r o p i a s e d e n e p o r m e d i o d e u n p a s o a l l í m i t e . C o m o

a n t e s , l a c o n v e r g e n c i a d e e s t a i n t e g r a l i m p r o p i a c o i n c i d i r á c o n l a e x i s t e n c i a

d e e s t e l í m i t e . V a m o s a e s t u d i a r l o s v a r i o s c a s o s p o r m e d i o d e e j e m p l o s .




E j e m p l o s 1 0 . 5 . 2 1 ) S e a p ∈ R. E s t u d i e m o s l a c o n v e r g e n c i a d e l a i n t e g r a l 1

0

1x p

dx :

s i p ≤ 0, l a f u n c i ó n f (x) = 1xp

e s c o n t i n u a e n [0, 1] y l a i n t e g r a l

10

1xp

dx = 11− p

e s u n a i n t e g r a l d e R i e m a n n ;

s i p > 0, l a f u n c i ó n f (x) = 1xp

t i e n e u n a a s í n t o t a v e r t i c a l e n x = 0 y l a

i n t e g r a l e s i m p r o p i a d e s e g u n d a e s p e c i e . E n e s t e c a s o s e e s c r i b e 10

1

x pdx = lım

c→0+

1c

1

x pdx

y l a c o n v e r g e n c i a d e l a i n t e g r a l i m p r o p i a d e p e n d e d e l a e x i s t e n c i a d e l l í m i t e

a l a d e r e c h a d e l s í m b o l o d e i g u a l d a d .

A h o r a , s i p = 1,

lımc→0+

1c

1

xdx = lım

c→0+ln(|1|) − ln(|c|) = ∞

y l a i n t e g r a l d i v e r g e .

S i p > 0 y p = 1, 10

1

x pdx = lım

c→0+

1c

1

x pdx = lım

c→0+

1

− p + 1− c− p+1

− p + 1.

E l ú l t i m o l í m i t e e s i g u a l a

1

1− ps i 1

− p > 0 y e s i g u a l a

∞s i 1

− p < 0. S e

s i g u e q u e 10

1

x pdx =

∞ s i p ≥ 1,1

1− p s i p < 1.

2 ) L a i n t e g r a l

0−π

4

cos(x)√ sen(−x)

dx e s i m p r o p i a d e s e g u n d a e s p e c i e y a q u e l a

f u n c i ó n f (x) = cos(x)√ sen(−x)

t i e n e u n a a s í n t o t a v e r t i c a l e n x = 0. E n e s t e c a s o

s e e s c r i b e 0−π

4

cos(x)

sen(−x)dx = lım

c→0−

c−π

4

cos(x)

sen(−x)dx.

U s a n d o e l c a m b i o d e v a r i a b l e t =

sen(−x), dtdx = −cos(−x)2√ sen(−x) = −cos(x)

2√ sen(−x) ,

s e t i e n e q u e c−π

4

cos(x) sen(−x)

dx =

√ sen(−c)

√ sen(π

4)

−2dt =



1 0 . 5 . I N T E G R A L E S I M P R O P I A S 1 8 1

=−

2( sen(−

c)−

√ 2

2) =

−2( sen(

−c)

−1

4√ 2).

S e s i g u e q u e

0−π

4

cos(x) sen(−x)

dx = lımc→0−

c−π

4

cos(x) sen(−x)

dx =

= lımc→0−

− 2(

sen(−c) − 14√

2) = 2

14√

2.

3 ) L a i n t e g r a l 2

0x−32x

−3dx e s u n a i n t e g r a l i m p r o p i a d e s e g u n d a e s p e c i e y a

q u e l a f u n c i ó n f (x) = x−32x−3t i e n e u n a a s í n t o t a v e r t i c a l e n x = 32 . E l p u n t o

x = 32

e s u n p u n t o i n t e r i o r d e l i n t e r v a l o [0, 2] y s e e s c r i b e

20

x − 3

2x − 3dx =

32

0

x − 3

2x − 3dx +

232

x − 3

2x − 3dx =

= lımc→ 3

2

−

c0

x − 3

2x − 3dx + lım

d→ 32

+

2d

x − 3

2x − 3dx.

A h o r a ,

lımc→ 3

2

−

c0

x − 32x − 3

dx = lımc→ 3

2

−12

c0

2x − 62x − 3

dx =

= lımc→ 3

2

−

1

2

c0

1 − 3

2x − 3dx = lım

c→ 32

−

c

2− 3

4[ln(|2c − 3|) − ln(| − 3|)] = ∞.

P o r t a n t o , l a i n t e g r a l

20

x−32x−3dx d i v e r g e .

1 0 . 5 . 3 I n t e g r a l e s i m p r o p i a s d e t e r c e r a e s p e c i e

U n a i n t e g r a l e s i m p r o p i a d e t e r c e r a e s p e c i e

s i l a f u n c i ó n

f (x)n o e s t á

a c o t a d a e n u n i n t e r v a l o d e i n t e g r a c i ó n n o a c o t a d o . P a r a e s t u d i a r l a c o n -

v e r g e n c i a d e u n a i n t e g r a l i m p r o p i a d e t e r c e r a e s p e c i e s e u t i l i z a n l a s t é c n i c a s

v i s t a s p a r a i n t e g r a l e s d e p r i m e r a y s e g u n d a e s p e c i e , c o m o i l u s t r a e l s i g u i e n t e

e j e m p l o .




E j e m p l o 1 0 . 5 . 3 L a i n t e g r a l ∞0

e−x√ x

dx e s d e t e r c e r a e s p e c i e : e l i n t e r v a l o

(0, ∞)n o e s t á a c o t a d o y l a f u n c i ó n

f (x) =e−x

√ x t i e n e u n a a s í n t o t a v e r t i c a l

e n x = 0. P a r a c a l c u l a r e s t a i n t e g r a l s e e s c r i b e ∞0

e−x

√ x

dx = lımc→0+

1c

e−x

√ x

dx + lımd→∞

d1

e−x

√ x

dx.

L a s i n t e g r a l e s d e l l a d o d e r e c h o d e l a i g u a l d a d s o n i n t e g r a l e s i m p r o p i a s d e

s e g u n d a e s p e c i e . L a i n t e g r a l i n i c i a l e s c o n v e r g e n t e s i y s ó l o s i a m b a s i n t e g r a l e s

d e l s e g u n d o m i e m b r o d e l a i g u a l d a d s o n c o n v e r g e n t e s .



A p é n d i c e A

R e p a s o d e f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s

E s t a a p é n d i c e e s u n a a d a p t a c i ó n d e l c a p í t u l o 3 d e [ G G ] y e s u n r e p a s o d e l a s

f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s y a l g u n a s d e s u s p r o p i e d a d e s .

A . 1 F u n c i o n e s p o t e n c i a , p o l i n ó m i c a y r a c i o n a l

A . 1 . 1 F u n c i ó n p o t e n c i a

L a f u n c i ó n p o t e n c i a e s l a f u n c i ó n f (x) = xn, d o n d e n ∈ N ∪ {0}.

dom(f ) = R, Im(f ) =

R

s i n e s i m p a r ,

R+ ∪ {0}s i n e s p a r y n > 0,

{1}s i n = 0.

0

1

2

3

4

–2 –1 1 2x

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

–2 2x

F i g u r a A . 1 : G r á c a s d e x2

y x3

1 8 3



1 8 4 A P É N D I C E A . R E P A S O D E F U N C I O N E S E L E M E N T A L E S

A . 1 . 2 P o l i n o m i o s

U n p o l i n o m i o r e a l d e g r a d o n e s u n a f u n c i ó n d e l a f o r m a

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

c o n n ∈ N ∪ {0}, ∀i = 0 · · · n, ai ∈ Ry an = 0.

dom(f ) = Ry Im(f ) = d e p e n d e d e an y n.

U n a r e c t a f (x) = ax + b

e s u n p o l i n o m i o d e g r a d o 1 y u n a p a r á b o l a

f (x) = ax2 + bx + c e s u n p o l i n o m i o d e g r a d o 2 .

A . 1 . 3 F u n c i o n e s r a c i o n a l e s

U n a f u n c i ó n r a c i o n a l

e s e l c o c i e n t e d e d o s p o l i n o m i o s r e a l e s P (x)

y Q(x)

:

f (x) =P (x)

Q(x).

dom(f ) = Rm e n o s l a s r a í c e s r e a l e s d e Q(x) y

l a Im(f ) n o s e p u e d e d e t e r m i n a r a p r i o r i .

L a s f u n c i o n e s d e l t i p o f (x) = xn, c o n n ∈ N−s o n f u n c i o n e s r a c i o n a l e s

c o n P (x) = 1

y Q(x) = x−n.

P o r e j e m p l o , f (x) = x−3 = 1

x3.

A . 1 . 4 D e s c o m p o s i c i ó n e n f r a c c i o n e s s i m p l e s

E l t e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l á l g e b r a

d i c e q u e u n p o l i n o m i o c o n c o e c i e n -

t e s c o m p l e j o s d e g r a d o n t i e n e n r a í c e s e n e l c u e r p o d e l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s

( o t r a f o r m a d e e n u n c i a r l o e s d e c i r q u e e l c u e r p o d e l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s e s

a l g e b r a i c a m e n t e c e r r a d o ) .

E n p a r t i c u l a r , u n p o l i n o m i o r e a l f (x)d e g r a d o n t i e n e n r a í c e s e n e l

c u e r p o d e l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s .

E s t a p r o p i e d a d n o s p e r m i t e d e s c o m p o n e r u n a f u n c i ó n r a c i o n a l f (x) =P (x)

Q(x)e n u n a s u m a d e f r a c c i o n e s m á s s i m p l e s . E s t a s d e s c o m p o s i c i o n e s f a c i -

l i t a n , p o r e j e m p l o , e l c á l c u l o d e i n t e g r a l e s d e f u n c i o n e s r a c i o n a l e s .

S i P (x) y Q(x) t i e n e n u n a ( o m á s ) r a í z a e n c o m ú n , e n t o n c e s e x i s t e n d o s

p o l i n o m i o P 1(x)

y Q1(x)

t a l e s q u e P (x) = (x−a)P 1(x)

y Q(x) = (x−a)Q1(x).

E n e s t e c a s o p o d e m o s s i m p l i c a r l a f u n c i ó n f (x)

c o m o

P 1(x)

Q1(x).



A . 1 . F U N C I O N E S P O T E N C I A , P O L I N Ó M I C A Y R A C I O N A L 1 8 5

P o r t a n t o , s i n p é r d i d a d e g e n e r a l i d a d , p o d e m o s s u p o n e r q u e l a f u n c i ó n

r a c i o n a l f (x) =P (x)

Q(x)e s t a l q u e P (x) y Q(x) n o t i e n e n r a í c e s c o m u n e s , e s

d e c i r , s o n p r i m o s e n t r e s i .

E j e m p l o A . 1 . 1 S e a

f (x) =3x3 − 10x2 + 9x − 2

2x2 − 2x − 4=

3(x − 13

)(x − 2)(x − 1)

2(x − 2)(x + 1)

(x=2)=

3(x − 13

)(x − 1)

2(x + 1)

S i e l g r a d o d e P (x)

e s m a y o r o i g u a l q u e e l g r a d o d e Q(x),

e x i s t e n d o s

p o l i n o m i o s A(x) y R(x) ( q u e s e o b t i e n e n d i v i d i e n d o P (x) p o r Q(x)) t a l e s

q u e :

f (x) = P (x)Q(x)

= A(x) + R(x)Q(x)

c o n grado(R(x)) < grado(Q(x)).

E j e m p l o A . 1 . 2 E n e l e j e m p l o a n t e r i o r , s i x = 2,

f (x) =3(x − 1

3)(x − 1)

2(x + 1)=

3x2 − 4x + 1

2x + 2= (

3

2x − 7

2) +

4

x + 1.

P o d e m o s e n t o n c e s l i m i t a r n o s a c o n s i d e r a r f u n c i o n e s r a c i o n a l e s f (x) =P (x)

Q(x)t a l e s q u e P (x) y Q(x) s o n p r i m o s e n t r e s i , grado(P (x)) < grado(Q(x))

y Q(x) t i e n e c o e c i e n t e d e g r a d o m á x i m o i g u a l a 1 .

S e a Q(x)

d e g r a d o n

y s e a n a1, a2, · · · , an s u s r a í c e s c o m p l e j a s .

V a m o s a i l u s t r a r l o s p o s i b l e s c a s o s p o r m e d i o d e e j e m p l o s :

C a s o 1 : a1, a2, · · · , an s o n t o d a s r e a l e s y d i s t i n t a s .

f (x) =x

x2 − 3x + 2=

x

(x − 1)(x − 2).

E n e s t e c a s o d e t e r m i n a m o s d o s c o n s t a n t e s A y B t a l e s q u e

f (x) =x

(x−

1)(x−

2)=

A

x−

1+

B

x−

2=

(A + B)x − (2A + B)

(x−

1)(x−

2).

E n t o n c e s t i e n e q u e s e r x = (A + B)x − (2A + B), e s d e c i r A + B = 1

2A + B = 0,

A = −1

B = −2A = 2.




P o r t a n t o , f (x) = − 1

x−

1+

2

x−

2.

C a s o 2 : a1, a2, · · · , an s o n t o d a s r e a l e s p e r o h a y a l g u n a s c o n m u l t i p l i c i -

d a d m a y o r q u e 1 .

f (x) =x

(x − 1)3.

E n e s t e c a s o d e t e r m i n a m o s t r e s c o n s t a n t e s A, B y C t a l e s q u e

f (x) =A

x − 1+

B

(x − 1)2+

C

(x − 1)3=

Ax2 + (−2A + B)x + (C − B + A)

(x − 1)3.

E n t o n c e s t i e n e q u e s e r x = Ax2 + (

−2A + B)x + (C

−B + A), e s d e c i r ,

A = 0

−2A + B = 1

C − B + A = 0,

A = 0

B = 1

C = 1.

P o r t a n t o , f (x) =1

(x − 1)2+

1

(x − 1)3.

C a s o 3 : h a y r a í c e s c o m p l e j a s , t o d a s c o n m u l t i p l i c i d a d 1 .

f (x) =1

(x−

1)(x2 + 1).

E n e s t e c a s o l a s r a í c e s c o m p l e j a s s o n i y −i y d e t e r m i n a m o s t r e s c o n s -

t a n t e s A, B

y C

t a l e s q u e

f (x) =A

x − 1+

Bx + C

x2 + 1=

(A + B)x2 + (C − B)x + (A − C )

(x − 1)(x2 + 1).

E n t o n c e s t i e n e q u e s e r 1 = (A + B)x2 + (C − B)x + (A − C ), e s d e c i r ,

A + B = 0

C − B = 0

A − C = 1,

C = −12

B = C = −12

A = C + 1 = 12 .

P o r t a n t o , f (x) =

1

2(x − 1)− x + 1

2(x2 + 1).

C a s o 4 : h a y r a í c e s c o m p l e j a s c o n m u l t i p l i c i d a d m a y o r q u e 1 .



A . 2 . F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L E S Y L O G A R Í T M I C A S 1 8 7

f (x) =

x

(x2 + 1)(x2 + 4)2 .

E n e s t e c a s o l a s r a í c e s c o m p l e j a s

√ 2i y

−√ 2i t i e n e n m u l t i p l i c i d a d 2 .

D e t e r m i n a m o s s e i s c o n s t a n t e s A, B, C, D, E, y F t a l e s q u e

f (x) =Ax + B

x2 + 1+

Cx + D

(x2 + 4)+

Ex + F

(x2 + 4)2.

O p e r a n d o c o m o u s u a l , s e o b t i e n e u n s i s t e m a d e t e r m i n a d o d e s e i s e c u a -

c i o n e s e n s e i s i n c ó g n i t a s c u y a s o l u c i ó n s o n l o s v a l o r e s d e l a s e i s c o n s t a n t e s

b u s c a d a s .

N o t a : e n t o d o s l o s c a s o s , e l n ú m e r o d e c o n s t a n t e s q u e t e n e m o s q u e

d e t e r m i n a r e s i g u a l a l g r a d o d e l p o l i n o m i o Q(x).

A . 2 F u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s y l o g a r í t m i c a s

A . 2 . 1 F u n c i ó n e x p o n e n c i a l

U n a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l

e s u n a f u n c i ó n f (x) = ax, d o n d e a e s u n n ú m e r o

r e a l p o s i t i v o .

dom(f ) = Ry

Im(f ) =R+

s i a

= 1,

{1}s i a = 1.


1 ) a0 = 1,2 ) p a r a t o d o

x, y ∈ Rs e v e r i c a q u e

ax ay = ax+y,

3 ) p a r a t o d o x ∈ R, a−x =1

ax.

A . 2 . 2 F u n c i ó n l o g a r í t m i c a

U n a f u n c i ó n l o g a r í t m i c a d e b a s e

a > 0e s u n a f u n c i ó n

f (x) = loga(x),d o n d e a e s u n n ú m e r o r e a l p o s i t i v o d i s t i n t o d e 1 . E s l a f u n c i ó n i n v e r s a d e l a

f u n c i ó n e x p o n e n c i a l ax.

dom(f ) = R+y Im(f ) = R.




0

2

4

6

8

–2 –1 1 2x

0

2

4

6

8

–2 –1 1 2x

F i g u r a A . 2 : G r á c a s d e 3xy 3−x

–2.5

–2

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

x

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.5 1 1 .5 2 2 .5 3x

F i g u r a A . 3 : G r á c a s d e ln(x) y ln 1e

(x)

S i a = e e l l o g a r i t m o s e l l a m a n e p e r i a n o y s e r e p r e s e n t a c o m o ln(x).S i

a = 10e l l o g a r i t m o s e l l a m a d e c i m a l .


1 ) loga(1) = 0,2 ) p a r a t o d o x, y ∈ R+

s e v e r i c a q u e

loga(xy) = loga(x) + loga(y) y loga(xy) = yloga(x).

E n t o n c e s , p a r a t o d o x, y ∈ R+s e v e r i c a q u e loga(

x

y) = loga(x)−loga(y).

3 ) p a r a t o d o x ∈ R+s e v e r i c a q u e

logb(x) =loga(x)

loga(b)y

ax = bxlogb(a).

A . 3 F u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s y s u s i n v e r s a s

A . 3 . 1 S e n o y a r c o s e n o

L a f u n c i ó n s e n o d e u n á n g u l o x ( e n r a d i a n e s ) , f (x) = sen(x), e s l a

o r d e n a d a d e l p u n t o P d e l a c i r c u n f e r e n c i a u n i t a r i a t a l q u e e l s e g m e n t o OP



A . 3 . F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S Y S U S I N V E R S A S 1 8 9

P=(cos(x),sen(x))

x

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1 –0.8 –0.4 0.2 0.4 0.60.8 1 1.21.4

F i g u r a A . 4 : P u n t o s d e l a c i r c u n f e r e n c i a u n i t a r i a ( x e n r a d i a n e s )

f o r m a u n á n g u l o

xc o n e l e j e d e l a s a b s c i s a s . E s u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a d e

p e r í o d o 2π. ( V e r g u r a s A . 4 y A . 5 . )

dom(f ) = Ry Im(f ) = [−1, 1].

L a f u n c i ó n a r c o s e n o , f (x) = arcsen(x), e s l a i n v e r s a d e l a f u n c i ó n

b i y e c t i v a q u e s e o b t i e n e a l c o n s i d e r a r l a f u n c i ó n sen(x) c o n d o m i n i o [−π2

, π2

].E n t o n c e s ( v e r g u r a A . 5 ) ,

dom(f ) = [−1, 1]y

Im(f ) = [−π

2,

π

2].

A . 3 . 2 C o s e n o y a r c o c o s e n o

L a f u n c i ó n c o s e n o d e u n á n g u l o x ( e n r a d i a n e s ) , f (x) = cos(x),

e s l a

a b s c i s a d e l p u n t o P d e l a c i r c u n f e r e n c i a u n i t a r i a t a l q u e e l s e g m e n t o OP f o r m a u n á n g u l o

xc o n e l e j e d e l a s a b s c i s a s . E s u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a d e

p e r í o d o 2π. P a r a t o d o x ∈ Rs e v e r i c a q u e cos(x) = sen(x + π

2 ). ( V e r

g u r a s A . 4 y A . 6 . )

dom(f ) = Ry Im(f ) = [−1, 1].

L a f u n c i ó n a r c o c o s e n o , f (x) = arccos(x), e s l a i n v e r s a d e l a f u n c i ó n

b i y e c t i v a q u e s e o b t i e n e a l c o n s i d e r a r l a f u n c i ó n cos(x)c o n d o m i n i o

[0, π].E n t o n c e s ( v e r g u r a A . 6 ) ,

dom(f ) = [−1, 1] y Im(f ) = [0, π].




A . 3 . 3 T a n g e n t e y a r c o t a n g e n t e

L a f u n c i ó n t a n g e n t e

e s t a d e n i d a p o r f (x) = tan(x) = sen(x)

cos(x).

P o r t a n t o ,

e s p e r i ó d i c a d e p e r í o d o π ( v e r g u r a A . 7 ) y

dom(f ) = R \ {(2k − 1)π

2: k ∈ Z}

y Im(f ) = R.

L a f u n c i ó n a r c o t a n g e n t e , f (x) = arctan(x), e s l a i n v e r s a d e l a f u n c i ó n

b i y e c t i v a q u e s e o b t i e n e a l c o n s i d e r a r l a f u n c i ó n tan(x)

c o n d o m i n i o (−π

2, π2

).E n t o n c e s ( v e r g u r a A . 7 ) ,

dom(f ) = Ry

Im(f ) = (−π

2 ,

π

2 ).

A . 3 . 4 C o s e c a n t e y a r c o c o s e c a n t e

L a f u n c i ó n c o s e c a n t e ,

e s l a f u n c i ó n f (x) =1

sen(x). E s u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a

d e p e r í o d o 2π.

( V e r g u r a A . 8 . )

dom(f ) = R \ {kπ : k ∈ Z}y Im(f ) = (−∞, −1] ∪ [1, ∞).

L a f u n c i ó n a r c o c o s e c a n t e , f (x) = arccosec(x), e s l a i n v e r s a d e l a f u n -

c i ó n b i y e c t i v a q u e s e o b t i e n e a l c o n s i d e r a r l a f u n c i ó n cosec(x) c o n d o m i n i o

[−π2

, 0) ∪ (0, π2

]. E n t o n c e s ( v e r g u r a A . 8 ) ,

dom(f ) = (−∞, −1] ∪ [1, ∞) y Im(f ) = [−π

2, 0) ∪ (0,

π

2].

A . 3 . 5 S e c a n t e y a r c o s e c a n t e

L a f u n c i ó n s e c a n t e ,


cos(x)

. E s u n a f u n c i ó n p e r i ó d i c a

d e p e r í o d o 2π. ( V e r g u r a A . 9 . )

dom(f ) = R \ {(2k − 1)π

2: k ∈ Z}

y Im(f ) = (−∞, −1] ∪ [1, ∞).




L a f u n c i ó n a r c o s e c a n t e , f (x) = arcsec(x), e s l a i n v e r s a d e l a f u n c i ó n

b i y e c t i v a q u e s e o b t i e n e a l c o n s i d e r a r l a f u n c i ó n

sec(x)c o n d o m i n i o

[0,

π

2 ) ∪(π2 , π]. E n t o n c e s ( v e r g u r a A . 9 ) ,

dom(f ) = (−∞, −1] ∪ [1, ∞) y Im(f ) = [0,π

2) ∪ (

π

2, π].

A . 3 . 6 C o t a n g e n t e y a r c o c o t a n g e n t e

L a f u n c i ó n c o t a n g e n t e ,


tan(x). E s u n a f u n c i ó n p e -

r i ó d i c a d e p e r í o d o π. ( V e r g u r a A . 1 0 . )

dom(f ) = R \ {kπ : k ∈ Z} y

Im(f ) = R.L a f u n c i ó n

a r c o c o t a n g e n t e , f (x) = arccotan(x), e s l a i n v e r s a d e l a

f u n c i ó n b i y e c t i v a q u e s e o b t i e n e a l c o n s i d e r a r l a f u n c i ó n cotan(x) c o n d o m i n i o

[−π2 , 0) ∪ (0, π

2 ]. E n t o n c e s ( v e r g u r a A . 1 0 ) ,

dom(f ) = Ry Im(f ) = [−π

2, 0) ∪ (0,

π

2].




–1

1

–6 –4 –2 2 4 6x

–1.5

–1

–0.5

0.5

1

1.5

–1 –0.5 0.5 1x

F i g u r a A . 5 : G r á c a s d e sen(x) y arcsen(x)

–1

1

–6 –4 –2 2 4 6x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

–1 –0.5 0.5 1x

F i g u r a A . 6 : G r á c a s d e cos(x)

y arccos(x)

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

y

2 4x –1

1

–8 –6 –4 –2 2 4 6 8x

F i g u r a A . 7 : G r á c a s d e tan(x)

y arctan(x)




–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–3 –2 –1 1 2 3x

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

y

–3 –2 –1 1 2 3x

F i g u r a A . 8 : G r á c a s d e cosec(x) y arccosec(x)

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–1 1 2 3 4x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

–3 –2 –1 1 2 3x

F i g u r a A . 9 : G r á c a s d e sec(x)

y arcsec(x)

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–3 –2 –1 1 2 3x

–1.5

–1 –0.5

0

0.5

1

1.5

y

–3 –2 –1 1 2 3x

F i g u r a A . 1 0 : G r á c a s d e cot(x)

y arccot(x)




A . 4 A l g u n a s r e l a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s

1 . sen2(x) + cos2(x) = 1,

2 . sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y),sen(2x) = 2sen(x)cos(x),

3 . cos(x + y) = cos(x)cos(y) − sen(x)sen(y),cos(2x) = cos2(x) − sen2(x),

4 . tan(x + y) =tan(x) + tan(y)

1 − tan(x)tan(y),

tan(2x) =2tan(x)

1 − tan2(x),

5 . sen(x) + sen(y) = 2sen(x + y

2)cos(

x − y

2),

6 . cos(x) + cos(y) = 2cos(x + y

2)cos(

x − y

2),

7 . cos(x) − cos(y) = −2sen(

x + y

2)sen(

x − y

2),

8 . sen2(x) =1 − cos(2x)

2, cos2(x) =

1 + cos(2x)

2,

9 . sen2(x) =tan2(x)

1 + tan2(x), cos2(x) =

1

1 + tan2(x),

1 0 . sen(x) =2tan(x

2)

1 + tan2(x2 )

, cos(x) =1 − tan2(x

2)

1 + tan2(x2 )

.

A . 5 F u n c i o n e s h i p e r b ó l i c a s y s u s i n v e r s a s

A . 5 . 1 S e n o h i p e r b ó l i c o y a r g u m e n t o s e n o h i p e r b ó l i c o

L a f u n c i ó n s e n o h i p e r b ó l i c o

e s l a f u n c i ó n d e n i d a p o r senh(x) = ex − e−x

2( v e r g u r a A . 1 1 ) .

dom(f ) = Ry Im(f ) = R.



A . 5 . F U N C I O N E S H I P E R B Ó L I C A S Y S U S I N V E R S A S 1 9 5

L a f u n c i ó n a r g u m e n t o s e n o h i p e r b ó l i c o , f (x) = argsh(x) = ln(x +√

x

2

+ 1),e s l a f u n c i ó n i n v e r s a d e

senh(x)( v e r g u r a A . 1 1 ) .

dom(f ) = Ry Im(f ) = R.

A . 5 . 2 C o s e n o h i p e r b ó l i c o y a r g u m e n t o c o s e n o h i p e r b ó -

l i c o

L a f u n c i ó n c o s e n o h i p e r b ó l i c o

e s l a f u n c i ó n d e n i d a p o r cosh(x) =ex + e−x

2( v e r g u r a A . 1 2 ) .

dom(f ) = Ry

Im(f ) = R.L a f u n c i ó n

a r g u m e n t o c o s e n o h i p e r b ó l i c o , f (x) = argch(x) = ln(x+√ x2 − 1), e s l a f u n c i ó n i n v e r s a d e l a f u n c i ó n b i y e c t i v a q u e s e o b t i e n e a l

c o n s i d e r a r l a f u n c i ó n cosh(x)

c o n d o m i n i o R+ ∪ {0}

( v e r g u r a A . 1 2 ) .

dom(f ) = [1, ∞) y Im(f ) = [0, ∞).

A . 5 . 3 T a n g e n t e h i p e r b ó l i c a y a r g u m e n t o t a n g e n t e h i -

p e r b ó l i c a

L a f u n c i ó n t a n g e n t e h i p e r b ó l i c a

e s l a f u n c i ó n d e n i d a p o r

th(x) =senh(x)

cosh(x)=

ex − e−x

ex + e−x=

e2x − 1

e2x + 1.

( v e r g u r a A . 1 3 ) .

dom(f ) = Ry

Im(f ) = (−1, 1).

L a f u n c i ó n a r g u m e n t o t a n g e n t e h i p e r b ó l i c a , f (x) = argth(x) =

ln( 1 + x

1

−x

), e s l a f u n c i ó n i n v e r s a d e l a f u n c i ó n th(x) ( v e r g u r a A . 1 3 ) .

dom(f ) = (−1, 1)y Im(f ) = R.

S e p u e d e n d e n i r t a m b i é n l a s f u n c i o n e s c o s e c a n t e , s e c a n t e y c o t a n -

g e n t e h i p e r b ó l i c a s :




cosech(x) = 1senh(x)

sech(x) = 1cosh(x)

cotanh(x) = 1tanh(x)

y s u s i n v e r s a s .

–3

–2

–1

0

1

2

3

–2 –1 1 2x

–2

–1

1

2

–3 –2 –1 1 2 3x

F i g u r a A . 1 1 : G r á c a s d e senh(x) y argsenh(x)

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

0 0 .4 0 .8 1 1. 2 1 . 6 2x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

00.2 0.6 11. 2 1. 6 2 2 .2 2 . 6 3 3 . 2 3 .6x

F i g u r a A . 1 2 : G r á c a s d e cosh(x) y argcosh(x)

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–2 –1 1 2x

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

–1 – 0.5 0 .5 1x

F i g u r a A . 1 3 : G r á c a s d e tanh(x)

y argtanh(x)



A . 5 . F U N C I O N E S H I P E R B Ó L I C A S Y S U S I N V E R S A S 1 9 7

A . 5 . 4 P r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s h i p e r b ó l i c a s

1 . cosh2(x) − senh2(x) = 1,

2 . senh(x + y) = senh(x)cosh(y) + cosh(x)senh(y),senh(2x) = 2senh(x)cosh(x),

3 . cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + senh(x)senh(y),cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x),

4 . tanh(x + y) =

tanh(x) + tanh(y)

1 + tanh(x)tanh(y),

tanh(2x) =2tanh(x)

1 + tanh2

(x)

,

5 . senh(x) + senh(y) = 2senh(x + y

2)cosh(

x − y

2),

6 . cosh(x) + cosh(y) = 2cosh(x + y

2)cosh(

x − y

2),

7 . cosh(x) − cosh(y) = 2senh(

x + y

2)senh(

x − y

2),

8 . senh2(x) =cosh(2x) − 1

2, cosh(x) =

1 + cosh(2x)

2,

9 . senh2(x) =tanh2(x)

1 − tanh2(x), cosh(x) =

1 1 − tanh2(x)

.



B i b l i o g r a f í a

[ A ] T . J . A p o s t o l , C a l c u l u s ,

v o l . 1 . E d . R e v e r t é , 1 9 9 8 .

[ A B G M ] J . A m i l l o , F . B a l l e s t e r o s , R . G u a d a l u p e , L . J . M a r t í n , C á l c u l o

( C o n c e p t o s , E j e r c i c i o s y S i s t e m a s d e C o m p u t a c i ó n M a t e m á t i -

c a ) . E d . M c G r a w - H i l l , 1 9 9 6 .

[ B ] J . d e B u r g o s R o m á n , C á l c u l o I n n i t e s i m a l d e u n a V a r i a b l e .

E d .

M c G r a w - H i l l , 1 9 9 7 .

[ B S ] R . G . B a r t l e y D . R . S h e r b e r t , I n t r o d u c c i ó n a l a n á l i s i s m a t e m á -

t i c o d e u n a v a r i a b l e . E d . L i m u s a (

2aE d i c i ó n ) , 1 9 9 6 .

[ B S m ] G . L . B r a d l e y y K . J . S m i t h , C á l c u l o d e u n a v a r i a b l e ,

v o l . 1 .

E d . P r e n t i c e H a l l , 1 9 9 9 .

[ D ] B . P . D e m i d ó v i c h , 5 0 0 0 p r o b l e m a s d e a n á l i s i s m a t e m á t i c o .

E d .

P a r a n i n f o , 1 9 9 8 .

[ G ] J . L . G a r c í a V a l l e , M a t e m á t i c a s e s p e c i a l e s p a r a c o m p u t a c i ó n .

E d . M c G r a w - H i l l , 1 9 8 8 .

[ G G ] A . G a r c í a , F . G a r c í a , A . G u t i é r r e z , A . L ó p e z , G . R o d r í g u e z , A . d e

l a V i l l a , C á l c u l o I . E d . C L A G S A , 1 9 9 3 .

[ L H E ] R . E . L a r s o n , R . P . H o s t e t l e r , B . H . E d w a r d s , C á l c u l o y G e o -

m e t r í a A n a l í t i c a , v o l . 1 . E d . M c G r a w - H i l l , 1 9 9 5 .

[ N P S ] A . Ñ e v o t , J . M . P o n c e l a y J . S o l e r , A p u n t e s y P r o b l e m a s d e M a -

t e m á t i c a S u p e r i o r . E d . T a u r u s U n i v e r s i t a r i a , 1 9 9 4 .

[ K ] M . K r a s n o v e t a l . , C u r s o d e m a t e m á t i c a s s u p e r i o r e s p a r a i n g e -

n i e r o s , v o l . 1 . E d . M i r - R u b i ñ o s , 1 9 9 4 .

1 9 9



2 0 0 B I B L I O G R A F Í A

[ P ] D . P e s t a n a , J . M . R o d r í g u e z , E . R o m e r a , E . T o u r i s , V . Á l v a r e z ,

A . P o r t i l l a , C u r s o p r á c t i c o d e C á l c u l o y P r e c á l c u l o

, E d i t o r i a l

A r i e l , 2 0 0 0 ,

[ S ] J . S t e w a r t , C a l c u l u s .

E d . B r o o k s / C o l e P u b l i s h i n g C o m p a n y ,

1 9 9 5 .

bases de matemática. ingeniería técnica en informática de sistemas y de gestión. escet....

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