banco de preguntas pre cálculo ii

VECTORES EN R2

1. En los ejercicios siguientes, halla el vector v donde 2, 1u y 1, 2w . Ilustrar geométricamente

las operaciones vectoriales.

A. 3

2v u

B. v u w

C. 2v u w

D. 5 3v u w

2. En los ejercicios siguientes se dan el vector v y su punto inicial. Hallar el punto final.

A. 1, 3v ; punto inicial: 4, 2

B. 4, 9v ; punto inicial: 5, 3

3. En los ejercicios siguientes, representar gráficamente , .u v y u v

A. 2, 1 , 5, 4u v

B. 3, 2 , 1, 2u v

4. En los ejercicios siguientes, hallar el vector v de la magnitud dada y en la misma dirección de .u

Magnitud Dirección

A. 6v 0, 3u

B. 4v 1, 1u

C. 5v 1, 2u

D. 2v 3, 3u

5. En los ejercicios siguientes, hallar un vector unitario a) paralelo y b) normal a la gráfica de f en el punto

dado. Después representar gráficamente los vectores y la función. Magnitud Dirección

A. 2f x x 3, 9

B. 2 5f x x 1, 4

C. 3f x x 1, 1

D. 3f x x 2, 8

E. 225f x x 3, 4

F. tanf x x , 14

6. Desarrollo de conceptos A. Explicar, con sus propias palabras, la diferencia entre un escalar y un vector. Dar ejemplos de cada

uno. B. Describir geométricamente las operaciones de suma de vectores y de multiplicación de un vector

por un escalar.

PRE CÁLCULO II

BANCO DE PREGUNTAS 2015-II Página 2

PRE CÁLCULO II

7. Identificar la cantidad como escalar o como vector. Explicar el razonamiento. A. La velocidad en la boca de un cañón de un arma de fuego. B. El precio de las acciones de una empresa.

8. Identificar la cantidad como escalar o como vector. Explicar el razonamiento. A. La temperatura del aire en un cuarto. B. El peso de un automóvil.

9. Fuerza resultante. Tres fuerzas de magnitudes de 75 libras, 100 libras y 125 libras actúan sobre un objeto a ángulos de 30°, 45° y 120°, respectivamente, con el eje x positivo. Hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.

10. Fuerza resultante. Tres fuerzas de magnitudes de 400 newtons, 280 newtons y 350 newtons, actúan sobre un objeto ángulos de -30°, 45° y 135°, respectivamente, con el eje x positivo. Hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante.

11. Para pensar. Considera dos fuerzas de la misma magnitud que actúan sobre un punto. A. Si la magnitud de la resultante es la suma de las magnitudes de las dos fuerzas, hacer una conjetura

acerca del ángulo entre fuerzas. B. Si la resultante de las fuerzas es 0, hacer una conjetura acerca del ángulo entre las fuerzas. C. ¿Puede ser la magnitud de la resultante mayor que la suma de las magnitudes de las dos fuerzas?

Explicar la respuesta.

VECTORES EN R3

12. En los ejercicios 1 y 2, aproximar las coordenadas de los puntos.

13. En los ejercicios, representar los puntos en el mismo sistema de coordenadas tridimensional. A. (5, -2, 2) B. (5, -2, -2) C. (0, 4, -5) D. (4, 0, 5)

14. En los ejercicios, hallar las coordenadas del punto.

A. El punto se localiza siete unidades delante del plano yz, dos unidades a la izquierda del plano xz y una unidad debajo del plano xy.

B. El punto se localiza en el eje x, 12 unidades delante del plano yz.

15. En los ejercicios, hallar la distancia entre los puntos. A. (1, -2, 4), (6, -2, -2) B. (2, 2, 3), (4, -5, 6)


PRE CÁLCULO II

16. En los ejercicios siguientes, hallar las longitudes de los lados del triángulo con los vértices que se indican y determinar si el triángulo es un triángulo rectángulo, un triángulo isósceles, o ninguna de ambas cosas. A. (0, 0, 4), (2, 6, 7), (6, 4, -8) B. (3, 4, 1), (0, 6, 2), (3, 5, 6) C. (-1, 0, -2), (-1, 5, 2), (-3, -1, 1) D. (4, -1, -1), (2, 0, -4), (3, 5, -1)

17. En los ejercicios siguientes, se dan el vector v y su punto inicial. Encontrar el punto final. A. v = ‹ 3, -5, 6 › ; Punto inicial: (0, 6, 2)

B. v = ‹

› ; Punto inicial: (0, 2,

)

18. En los ejercicios siguientes, encontrar el vector z, dado que:

u = ‹1, 2, 3›, v = ‹2, 2, -1› y w =‹4, 0, -4›. A. z = u – v + 2w

B. z = 5u – 3v -

w

19. En los ejercicios siguientes, usar vectores para determinar si los puntos son colineales.

A. (4, -2, 7), (-2, 0, 3), (7, -3, 9) B. (1, 2, 4), (2, 5, 0), (0, 1, 5)

20. En los ejercicios siguientes, usar vectores para demostrar que los puntos son vértices de un paralelogramo. A. (2, 9, 1), (3, 11, 4), (0, 10, 2), (1, 12, 5) B. (1, 1, 3), (9, -1, -2), (11, 2, -9), (3, 4, -4)

21. En los ejercicios siguientes, hallar la longitud de v.

A. v = 3j – 5k B. v = 2i + 5j – k

22. En los ejercicios, halla un vector unitario

En la dirección de v. En la dirección opuesta a u. A. v = ‹2, -1, 2› B. u = ‹3, 2, -5›

23. En los ejercicios siguientes, encontrar el vector v con la magnitud dada y en dirección de u.

MAGNITUD DIRECCIÓN

A.

u = ‹2, -2, 1›

B. 7 u = ‹-4, 6, 2›

24. Soportes de cargas. Hallar la tensión en cada uno de los cables de soportes mostrados en la figura si el peso de la caja es de 500 Newton.


PRE CÁLCULO II

PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL

25. En los siguientes ejercicios, determine: I. u.v

II. u.u III. ‖ ‖ IV. ( ) a) u.(2v)

A. u = <3; 4> v = <-1; 5> B. u = <4; 10> v = <-2; 3> C. u = <2; -3; 4> v = <0; 6; 5> D. u = 2i + j – 2k v = i – 3j + 2k

26. Determine el ángulo “θ”, entre los vectores:

A. u = <1; 1> v = <2; -2> B. u = 3i + j v = -2i + 4j

C. (

) (

)

D. (

) (

)

E. u = 3i + 2j + k F. v = i – 2j + k G. u = <2; -3; 1> v = <-1; -1; -1>

27. Determine si u y v son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos cosas.

A. u = <4; 3> v = <

>

B. u = -2i + 3j – k v = 2i + j – k C. u = <2; -3; 1> v = <-1; -1; -1> D. u = <cosθ; senθ; -1> E. v = <senθ; -cosθ; 0>

28. En los siguientes ejercicios encontrar los cosenos directores de u y demostrar que la suma de los

cuadrados de los cosenos directores es 1. A. u = i + 2j + 2k B. u = 5i + 3j – k C. u = <0; 6; -4> D. u = <2; 4; -7>


PRE CÁLCULO II

29. Para los siguientes ejercicios, determinar: I. La proyección de u sobre v.

II. La componente del vector de u ortogonal a v. A. u = <6; 7> v = <1; 4> B. u = <9; 7> v = <1; 3> C. u = <8; 2; 0> v = <2; 1; -1> D. u = 2i + j + 2k v = 3j + 4k

30. Para pensar: en los ejercicios usar la figura para determinar mentalmente la proyección de u en v (se

dan las coordenadas de los puntos finales de los vectores en la posición estándar). Verificar los resultados analíticamente.

31. Un camión de 48 000 libras está estacionado sobre una rampa inclinada de 10° (ver la figura). Si se supone que la única fuerza a vencer es su peso. Hallar: A. La fuerza requerida para evitar que el camión ruede cuesta abajo. B. La fuerza perpendicular a la rampa.

32. Trabajo: Un objeto es jalado 10 pies por el suelo, usando una fuerza de 85 libras. La dirección de la fuerza es 60° sobre la horizontal (ver la figura). Calcular el trabajo realizado.


PRE CÁLCULO II

33. Trabajo: Un coche de juguete se jala ejerciendo una fuerza de 25 libras sobre una manivela que forma un ángulo de 20° con la horizontal (ver la figura). Calcular el trabajo realizado al jalar el coche 50 pies.

34. Trabajo: Se tira de un trineo ejerciendo una fuerza de 100 N en una cuerda que hace un ángulo de 25º

con la horizontal. Encontrar el trabajo efectuado al jalar el trineo 40 metros.

35. Calcula los siguientes productos vectoriales: u v; v u; v v.

A. u 2i 4j

v 3i 2j 5k

B. u 3i 5k

v 2i 3j 2k

C. u 3; 2; 2

v 1;5;1

D. u 2; 1;0

v 1;2;0

36. En los siguientes ejercicios, calcular u v , probar que es ortogonal tanto a u como a v.

A. u 12; 3;0

v 2;5;0

B. u 2; 3;1

v 1; 2;1

C. u i j k

v 2i j k

D. u i 6j

v 2i j k

37. Área: En los siguientes ejercicios, verificar que los puntos son los vértices de un paralelogramo y calcular

su área: A. A(0,3,2); B(1,5,5); C(6,9,5); D(5,7,2)

B. A(2, 3,1); B(6,5, 1); C(7,2,2); D(3, 6,4)


PRE CÁLCULO II

38. Para pensar: En los siguientes ejercicios, usar los vectores u y v mostrados en la figura para dibujar en un sistema dextrógiro un vector en la dirección del producto vertical indicado.

A. u v

B. ( v) u

C. v u

D. u u v

39. Momento: Un niño frena en una bicicleta aplicando una fuerza dirigida hacia debajo de 20 libras sobre

el pedal cuando la manivela forma un ángulo de 40° con la horizontal (ver la figura). La manivela tiene 6 pulgadas de longitud. Calcular el momento respecto a P.

40. Momento: La magnitud y la dirección de la fuerza sobre un cigüeñal cambian cuando éste gira. Calcular el momento sobre el cigüeñal usando la posición y los datos mostrados en la figura.

41. Volumen: Usar el triple producto escalar para encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene aristas adyacentes u, v y w.


PRE CÁLCULO II

u 1,3,1

v 0,6,6

w 4,0, 4

42. Calcular: u.(v w)

A.

u 1,1,1

v 2,1,0

w 0,0,1

B.

u 2,0,1

v 0,3,0

w 0,0,1

C.

u 2,0,0

v 1,1,1

w 0,2,2

LA RECTA

43. De los puntos dados: A (-4;-5), B(3;10), C6;12). a) Grafique el triángulo en el plano coordenado. b) Calcule la distancia entre el vértice C y el lado AB. c) Calcule el área del triángulo ABC.

44. Un techo sube 5 metros por cada cambio horizontal de 8 metros. Determine la inclinación del techo;

también determine la elevación total del techo si tiene una longitud inclinada de 25 m.

45. Encuentre la pendiente y la intersección “y” (si es posible) de la ecuación de la recta. Trace la recta. x +2y -8 = 0

46. Halla la ecuación de la recta perpendicular a la recta 4x+3y-12 = 0 y que dista 5 unidades de la longitud del origen de coordenadas.

47. Se dan las rectas 2x – 3y – 6 = 0; 2y – x + 4 = 0. Halla los puntos en la primera recta que disten

4 5 unidades, de la segunda recta.


PRE CÁLCULO II

48. Los puntos representan los vértices de un triángulo A(-4,-5), B(3,9) y C(8,6) determina la ecuación

y la longitud de la altura del vértice B al lado AC.

49. Determine el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:

a. r: x – y – 3 = 0, s: x – 3y – 5 = 0 b) )1(2

13: xyr , s: y = x + 2

50. En el triángulo de vértices A(2, -3), B(-1, 4) y C(0, 5). Calcule: a. La altura correspondiente al vértice C, b. La ecuación de la mediatriz del lado AB, c. Su área.

51. Los puntos representan los vértices del triángulo ABC; A(-6; -2), B(3; 10) y C(6; 12).

Determina: A) El área de la región triangular. B) Ecuación de la recta que pasa por los vértices A y B. C) La altura trazada desde el vértice B al lado AC.

52. Un triángulo rectángulo en A tiene dos vértices en los puntos A(2;5) y C(3;-2). Halle las coordenadas

del vértice B sabiendo que está situado en la recta .

53. Dada los siguientes puntos A(-0.5;0.5), B(2;3) y C(5;-2). a) Dibuje el triángulo ABC en el plano coordenado. b) Encuentre la altura del vértice B del triángulo al lado AC. c) Encuentre el área del triángulo.

54. Pendiente de un camino. Un camino recto sube con una inclinación de 0.10 radianes a partir de la

horizontal (vea la figura). Determine la pendiente del camino y el cambio en elevación en un tramo de

tres kilómetros del camino.

55. Inclinación de un techo. Un techo sube 3 metros por cada cambio horizontal de 5 metros (vea la

figura). Determine la inclinación del techo.

56. Dado el punto P(

) y la recta 3x + 4y = 7, determine la ecuación de la recta paralela y recta

perpendicular a dicha recta que paso pasa por el punto P.

57. Dado el punto P(

) y la recta 5x + 3y = 0, determine la ecuación de la recta paralela y recta



PRE CÁLCULO II

58. Dado el punto P( ) y la recta y = -3, determine la ecuación de la recta paralela y recta


59. Calcular los ángulos interiores al triangulo de vértices P(8,2), Q(3,8) y R((2,-2).

60. La recta determinada por los puntos A(3,2) y B(-4,-6) es perpendicular a la recta definida por los

puntos P(-7,1) y Q(x,6). Calcular el valor numérico de “x”.

61. Determina la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto P (x, y) equidista de los dos

puntos A (2, 2) y B (9, 9).

62. Dos vértices de un triángulo son A(3,1), B(6,4) y el tercero está sobre la recta de ecuación

. El área del triángulo es 9. Hallar el tercer vértice.

63. Un vértice de un cuadrado es el punto P(3,11) y una de sus diagonales se halla sobre la recta de

ecuación . Calcular las coordenadas de los otros vértices.

64. Un triángulo ABC tiene sus lados sobre las rectas de ecuaciones: ;

. Calcular el perímetro y el área.

65. Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la recta 4x + 3y – 12 =0 y que dista 5 unidades de

longitud del origen de coordenadas.

66. Un triángulo rectángulo en A tiene dos vértices en los puntos A(1,3) y C(3,0). Halla las coordenadas

del vértice B sabiendo que está situado en la recta 2x + y + 2 = 0.

67. Determinar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (1;-6) y cuyo producto de

coordenadas en el origen es 1.

68. Determinar la ecuación de la recta de abscisa en el origen -3/7 y que es perpendicular a la recta 3x +

4y – 10 = 0.

69. Determinar la ecuación de la perpendicular a la recta 2x + 7y – 3 = 0, en su punto de intersección con

3x – 2y + 8 = 0.

LA CIRCUNFERENCIA

70. De la gráfica mostrada escriba la ecuación general de la circunferencia.


PRE CÁLCULO II

71. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-4; -3), B(5;10) y cuyo centro está

sobre la recta 3x + y – 5 = 0. 72. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(2; 5) y Q(3; 12), sabiendo que la

distancia del centro de la circunferencia a la cuerda PQ es igual a 5

2

73. Dada la ecuación, determine que representa:(un punto, una circunferencia o un conjunto vacío.

A. 095108243636 22 yxyx

B. 058121622 22 yxyx

C. 06082844 22 yxyx

D. 0178641616 22 yxyx

74. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: M(0, 4), N(6, 0) y P(3, 8).

75. Hallar la ecuación de la circunferencia que pase por el punto (0,0), tenga de radio igual a 13 y la abscisa de su centro es -12.

76. Hallar la ecuación de la circunferencia, de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos (5, -1) y (-3, 7).

77. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (-4, 2) y que sea tangente a la recta 3x + 4y – 16 = 0.

78. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(-1; 4) y es tangente a la recta que pasa por los puntos A(3; -2) y B(-9; 3).

79. Diseño Industrial. Al diseñar matrices para punzonar una lámina metálica se utiliza la configuración

que se muestra en la figura. Escriba la ecuación de la circunferencia pequeña con centro en B

tomando como origen el punto marcado con A. Utilice los siguientes valores: r = 3 pulgadas, a = 3.25

pulgadas, b = 1 pulgada y c = 0.25 pulgadas.

80. Diseño industrial. Un volante de 26 cm de diámetro va a montarse de modo que su eje esté a 5cm por

arriba del nivel del piso, como se muestra en la figura. a) Escriba la ecuación de la trayectoria seguida

por un punto en el borde. Utilice la superficie del piso como el eje horizontal y la recta perpendicular

que pasa por el centro como el eje vertical. b) Encuentre el ancho de la apertura en el piso,

permitiendo un juego de 2cm a ambos lados del volante.


PRE CÁLCULO II

81. Dadas las circunferencias:

018y16x12y2x2

0y8x6yx

22

22

se pide: a) Comprobar que son concéntricas. b) Calcular el área de la corona circular que determinan.

82. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: M(0;4), N(6;0) y P(3;8).

83. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0;0) y B(8;6) y tiene el centro

en la recta: y = x – 1.

84. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro (1;-4) y tangente a la recta: y = -x +2.

85. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-1;3), B(7;4), obtén la ecuación en

su forma ordinaria y general.

86. Obtener la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación: x2 + y2 + 2x – 2y – 39 = 0. En

el punto (4;5).

87. Determinar la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro el segmento de recta: 3x + 4y + 12

= 0. Comprendiendo entre los ejes coordenados.

88. Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje “x” y pasa por los puntos

A(2;2) y B(6;-4).

89. Determinar la ecuación de la circunferencia de radio 5 que sea tangente a la recta 3x + 4y – 16 = 0 en

el punto A(4,1).

90. Determinar la ecuación del diámetro de la circunferencia x2 + y2 + 4x –6y – 17 = 0 que es perpendicular

a la recta 5x + 2y –13 = 0.

91. Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de coordenadas P(1,2), Q(1,4) y

R(2,0).

LA PARÁBOLA

92. Se lanza una pelota desde la cima de una torre de 33 m de altura con una velocidad de 19,6 m/s.

Determine la ecuación de la trayectoria parabólica; ¿Cuál es la distancia que recorre la pelota

horizontalmente antes de golpear el suelo? Utilice:

( ) .

93. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa por (-2; 4). Halle la

ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.

94. La entrada de una iglesia tiene la forma de parábola de 9m de alto y 12m de base. Toda la parte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y mide 8m. ¿Cuál es la altura máxima de la ventana?


PRE CÁLCULO II

95. Un arco parabólico tiene una altura de 20m y 20m de ancho. ¿Cuál es la altura del arco a 5m del centro?

96. Un cable suspendido por soportes a la misma altura (70 m), que distan 240 m. entre sí, cuelga en el centro 30 m. Si el cable tiene forma de parábola:

a) Grafique el puente, colocando el origen de coordenadas en el centro del puente, e identificando las coordenadas conocidas.

b) Modele la ecuación que genera el cable. c) Calcule la longitud de un cable de suspensión a una distancia horizontal de 20 m del centro del

puente.

97. La trayectoria de un proyectil disparada desde el piso está modelada por: ( ) ( ) Donde las coordenadas “x” y “y” están medidas en metros y el eje “x” coincide con el suelo. Determine la altura máxima de su trayectoria y su alcance horizontal máximo.

98. Ingreso. El ingreso, R (en dólares), generado por la venta de “x” unidades de un juego de muebles de

patio se da por: ( )

( ), Grafique y aproxime el número de ventas que

hagan máximo el ingreso.

99. Diseño de un camino. Con frecuencia los caminos se diseñan con superficies parabólicas para permitir

que escurra la lluvia. Un camino con 10 metros de ancho está 0.12 metros más alto en el centro, que

en uno de los lados. a) Encuentre la ecuación de una parábola que modele la superficie del camino

(suponga que el origen está en el centro del camino), b) ¿Qué tan lejos del centro del camino está la

superficie 0.03 metros más baja que en el centro?

100. Hallar la ecuación de la recta de pendiente -3 que pasa por el foco de la parábola con vértice en

(-2;2) y directriz la recta: 2y – 1 = 0.

101. Determinar los puntos de intersección de la recta: 6x – y – 2 = 0 y la parábola x2 + 4x – y – 5 = 0.

102. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x, pasa por (-2,4). Halle la

ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado

recto.

103. Una cuerda de la parábola y2 – 4x = 0 es un segmento de la recta x – 2y +3 = 0. Halle su longitud.

104. Dadas las parábolas siguientes:

y2 – 4y +6x – 8 = 0

3x2 – 9x – 5y – 2 = 0

y2 – 4y –6x + 13 = 0


PRE CÁLCULO II

Determinar: a) Las coordenadas del vértice b) Las coordenadas del foco

c) La longitud del lado recto

d) La ecuación de la directriz.

105. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares

que lo soportan tienen una altura de 60 metros y están separados una distancia de 500 metros,

quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 metros y sobre la calzada del puente.

Tomando como eje “x” la horizontal que define el puente y como eje “y” el de simetría de la parábola,

determinar la ecuación de ésta. Calcular la altura de un punto situado a 80 metros del centro del

puente.

106. Un arco parabólico tiene una altura de 25 metros y una luz de 40 metros. Determinar la altura de los

puntos del arco situados 8 metros a ambos lados de su centro.

LA ELIPSE

107. La parte inferior del puente “GIRALDEZ EN HUANCAYO” es un arco semielíptico, el cual está en su parte más alta con referencia a la pista que pasa por debajo del puente a 320 cm. Además el nivel de esa pista coincide con el eje mayor de la elipse que es aproximadamente 2600 cm. En una situación caótica, un camión decide pasar por debajo del puente; ¿Logrará pasar por dicho espacio, si el camión

es de 260 cm de ancho y 315 cm de alto? (√ ).

108. Identifique la cónica como una circunferencia o una elipse. Después encuentre el centro, los radios, los

vértices, los focos y la excentricidad de la cónica y trace su gráfica. 2 24 6 20 2 0x y x y

109. Un satélite se mueve alrededor de la tierra describiendo una órbita elíptica, donde la tierra es un foco y la excentricidad es 1/3. La distancia más corta a la que se acerca el satélite a la tierra es 450km. Determina la distancia más grande a la que se aleja el satélite de la tierra.

110. Dada la ecuación determine: a) La ecuación estándar de dicha cónica. b) Su excentricidad. c) La ecuación de sus directrices.

111. El arco de un paso subterráneo es una semielipse de 90 m. de ancho y 30 m. de altura.

a) Halle el ancho situado a 10m de altura b) Obtenga la altura de un punto situado a 20m. de la orilla.

112. Identifique la cónica como una circunferencia o una elipse. Después encuentre el centro, los radios,

los vértices. Los focos y la excentricidad de la cónica (si es aplicable) y trace su gráfica.

113. Determine la forma estándar de ecuación de la elipse con las características dadas:


PRE CÁLCULO II

a) Focos: (0;0) y (4;0); eje mayor con longitud 8.

b) Centro: (3;2); a = 3c; focos: (1;2) y (5;2)

c) Vértices: (0;2) y (4;2), puntos extremos del eje menor (2;3) y (2;1)

11.4. Arquitectura. Un arco semieliptico sobre un túnel, para un camino en un sentido a través de una

montaña, tiene un eje mayor de 50 pies y una altura en el centro de 10 pies. a) Dibuje un sistema

coordenado rectangular sobre el bosquejo del túnel con el centro del camino entrando al túnel en el

origen. Identifique las coordenadas de los puntos conocidos. b) Encuentre una ecuación del arco

semieliptico sobre el túnel. c) Usted conduce un camión que tiene un ancho de 8 pies y una altura de

9 pies. ¿Pasará el camión por la abertura del arco?

11.5. Arquitectura. Se construye un arco de chimenea en forma de semielipse. La abertura tiene una altura

de 2 pies en el centro y un ancho de 6 pies a lo largo de la base (vea la figura). El contratista hace un

bosquejo de la elipse empleando tachuelas, como se describió al inicio de esta sección. Proporcione

las posiciones requeridas de las tachuelas y la longitud de la cuerda.

116. Un carpintero construirá la cubierta de una mesa elíptica a partir de una hoja de madera contrachapada (triplay), de 4 por 8 pies. Trazará la elipse con el método de “tachuelas e hilo" que se ve en las figuras 2 y 3 . ¿Qué longitud de cordón usará, y a que distancia clavará las tachuelas si la elipse debe tener el tamaño máximo que admita la hoja de madera contrachapada?

114. Un frontón de una puerta se construye con la forma de la mitad superior de una elipse, como se ve en la siguiente figura. El frontón tiene 20 pulgadas de alto en su punto de máxima altura, y 80 pulgadas de ancho en su base. Calcule la altura del frontón a 25 pulgadas del centro de la base.


PRE CÁLCULO II

115. Dada la elipse de ecuación 2 29x 16y 36x 96y 36 0 , hallar:

a) Las coordenadas del centro

b) El semieje mayor.

c) El semieje menor.

d) Las coordenadas del foco.

e) Longitud del lado recto.

116. Hallar la ecuación de la elipse (forma general) de centro (4; -1), uno de los focos en (1; -1) y que pase por el punto (8; 0).

117. Hallar la ecuación de la elipse en forma general, coordenada del foco (-1; -1), ecuación de la

directriz x = 0, y excentricidad 2

e .2

LA HIPÉRBOLA 118. Los focos de la gráfica de la ecuación

2 214 8 28 64 30 0x y x y son los vértices de una

hipérbola y a su vez los focos de esta última coincide con los vértices de la primera gráfica. Determina la ecuación de la hipérbola.

119. De la gráfica mostrada determine su ecuación general si tiene como focos ( √ ).

120. Encuentre los centros, los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola y trace

su gráfica empleando las asíntotas como una ayuda. 2 29 36 6 18 0x y x y

121. Halle la ecuación de la hipérbola si te dan los siguientes datos. a) V(3, 4), V’(3, 0) F(3,5), F’(3, -1). b) V(2, 4), V’(6, 4), excentricidad = 3/2 c) V(3, 3), V’(3, -3), LR = 8/3


PRE CÁLCULO II

122. Se tienen los vértices (0;2); (6;2) y las asíntotas

; identifique la cónica y luego

determine la ecuación general de la misma.

123. Determine los centros, vértices, focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola y trace su gráfica empleando las asíntotas como ayuda.

a) 2 29x y 36x 6y 18 0

b) 2 2x 9y 36y 72 0

c) 2 29y x 2x 54y 62 0

d) 2 29x y 54x 10y 55 0

124. Determine la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con las características dadas:

a) Vértices (-2; 1) y (2; 1); pasa por el punto (5;4) b) Vértices (3; 0) y ( 3; 6); asíntotas y = 6 - x; y =x.

c) Vértices (0; 2) y (6; 2); asíntotas: 2

y x3

; 2

y 4 x3

.

d) Vértices (3; 0) y (3; 4); asíntotas: 2

y x3

; 2

y 4 x3

.

125. Arte: Una escultura tiene una sección transversal hiperbólica (ver la figura)

a) Determine la ecuación que modele los lados de la curva.

b) Cada unidad en el sistema coordenado representa 1 pie. Determine el ancho de la escultura a una

altura de 5 pies.

126. De 2 29x 16y 36x 32y 124 0 , determine:

a) La coordenada del centro.

b) Las coordenadas de los focos.

c) Las coordenadas de los vértices.

d) Ecuaciones de las asíntotas.

127. Hallar la ecuación de la hipérbola de centro (0; 0), un vértice (3; 0) y ecuación de una asíntota 2x –

3y = 0.


PRE CÁLCULO II

ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS 128. Determine la gráfica de la siguiente ecuación, después de haber eliminado el término “xy”:

a) Ángulo de giro. b) Ecuación “ x’y’ ”. c) Grafique la cónica.

129. Gire los ejes para eliminar el término xy en la ecuación. Después escriba la ecuación en forma estándar. Trace la gráfica de la ecuación resultante, mostrando ambos conjuntos de ejes. 2 22 1 0x xy y

130. En los siguientes ejercicios gire los ejes para eliminar el término xy en la ecuación. Después escriba

la ecuación en forma estándar. Trace la gráfica de la ecuación resultante, mostrando ambos conjuntos

de ejes.

a) xy 1 0 .

b) 2 2x 2xy y 1 0 .

c) xy x 2y 3 0

131. Dada la cónica 2 216 24 9 85 30 175 0x xy y x y , resuelva según sea el caso:

a. Identifique la cónica. b. El ángulo de rotación que elimine el término xy c. La ecuación reducida, luego de eliminar el término xy

132. Transforme las siguientes ecuaciones mediante una rotación para que desaparezca el término Bxy.

a) 083 22 yxyx

b) 02245 22 yxyx

ECUACIONES PARAMÉTRICAS 133. Trace la curva representada por la ecuación paramétrica (indique la orientación de la curva) y elimine

el parámetro. Escribe la ecuación rectangular correspondiente. Ajuste el dominio de la ecuación rectangular resultante si es necesario.

1

x t

y t

134. El balón se mueve con MRU, y trayectoria rectilínea (vea el gráfico). Determine la ecuación

rectangular de la trayectoria del balón, si se tiene como datos las velocidades horizontal y vertical del mismo.

X

Y

vx = 6 m/s

vy = 8 m/s


PRE CÁLCULO II

COORDENADAS POLARES

135. Trace los siguientes puntos en coordenadas polares y encuentre tres representaciones polares

adicionales de los puntos, empleando: . Además determine la distancia entre dichos puntos.

a) b) (

) (

)

c) (

) (

)

136. Convierta la ecuación rectangular a polar.

a)

b)

c) ( ) ( )

d)

137. Dada la ecuación rectangular: y2 – 8x – 16 = 0. Al convertir a su forma polar, una de las ecuaciones es:

138. Transforme las ecuaciones rectangulares a polares.

a) 05462 xyy

b) 2xy

139. Transforme las ecuaciones polares a rectangulares e indica de que curva se trata.

a) cos32

4

r

b) sen23

2

r

c) sen4r

140. Convierta la ecuación polar a rectangular.

a)

b)

c)

d)

e)

141. Determine la ecuación polar de las directrices de la siguiente cónica:

142. Convierte la ecuación rectangular a su forma polar:

143. Deduzca la ecuación polar de la distancia entre dos puntos.

2 2

52; 1;

2 4

9r

3 2cos

4 2 2y x (4 y )


PRE CÁLCULO II

ECUACIÓN POLAR DE LAS CÓNICAS

144. Determine una ecuación polar de la cónica, si el polo coincide con el foco: a) Parábola; e=1; directriz: x=-2.

b) Elipse; Vértices: (20;

); (4;

).

145. Dada la cónica de ecuación polar 3

2 4cosr

determina:

a) Determina el tipo de cónica al que pertenece la ecuación b) Traza la gráfica correspondiente a dicha cónica c) Determina las coordenadas polares de los vértices y del centro d) Determina la ecuación polar de la directriz más próxima al polo. e) Determina las longitudes de los semiejes.

146. Determina la ecuación polar de:

a) Cónica: Elipse Vértices: (20; 0) (4; π) b) Cónica: Hipérbola Vértices (4; π/2), (1; π/2)

147. Identifique la cónica, determine la ecuación de las directrices en su forma polar y rectangular;

asíntotas (según sea el caso) y trace la gráfica.

a)

b)

c)

d)

148. Determine la ecuación polar de la cónica con su foco en el polo.

a) Parábola (

)

b) Parábola ( )

c) Parábola (

)

d) Elipse (

) (

)

e) Elipse ( ) ( )

f) Hipérbola ( ) ( )

g) Hipérbola (

) (

)

h) Hipérbola (

) (

)

149. Determine los puntos de intersección de las gráficas del par de ecuaciones polares:

MATRICES 150. Un agricultor cultiva manzanas y duraznos. Cada cosecha envía a tres mercados distintos. El Mercado

de Granjeros; El Puesto de Frutas y la Granja de Fruta. Los números de cajas de manzanas enviados a

los tres mercados son 125; 100 y 75, respectivamente. El número de cajas con duraznos enviados a los

tres mercados son 100; 175 y 125, respectivamente. La ganancia por caja de manzanas es de 3,5

dólares y la ganancia por caja de durazno es de 6,00 dólares.

r 3 3cos r 3cos


PRE CÁLCULO II

a) Escriba una matriz A; que represente el número de cajas de cada cultivo, “i”, que se envían a

cada mercado “j”. Indique lo que represente cada entrada, , de la matriz.

b) Escriba una matriz B; que represente la ganancia por caja de cada fruta. Indique lo que

representa cada entrada, , de la matriz.

c) Determine el producto BA e indique lo que representa cada entrada de la matriz.

151. Un fabricante de artículos electrónicos produce tres modelos de reproductores portátiles de CD, que

se envían a dos bodegas. El número de unidades del modelo “i” enviado a la bodega “j”, esta

representado por en la matriz.

[

]

Los precios por unidad están representados por la matriz.

[ ]

Calcule BA e interprete el resultado.

152. Una compañía vende cinco modelos de computadoras por medio de tres mercados al menudeo. Los

inventarios están representados por S.

Los precios al mayoreo y al menudeo están representados por T.

Calcule ST e interprete el resultado.

153. En una tienda local de productos lácteos los números de galones de leche descremada, de o leche con

2% de grasa y de leche natural, vendidos el fin de semana, están representados por A.

Los precios de venta (en dólares por galón) y las ganancias (en dólares por galón) para los tres tipos de

leche vendidos en la tienda de productos lácteos están representados por B.

𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑬 𝑴𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐

𝟏𝟐𝟑 𝑴𝒆𝒓𝒄𝒂𝒅𝒐 𝑆 [

]

𝑴𝒂𝒚𝒐𝒓𝒆𝒐 𝑴𝒆𝒏𝒖𝒅𝒆𝒐 𝑴𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐

𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬

𝑴𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐 𝑇

𝐿𝑒𝑐ℎ𝑒𝐷𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒 𝑚𝑎𝑑𝑎

𝐿𝑒𝑐ℎ𝑒 % 𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑠𝑎

𝐿𝑒𝑐ℎ𝑒𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎

𝑉𝑖𝑒𝑟𝑛𝑒𝑠𝑆á𝑏𝑎𝑑𝑜𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑔𝑜

𝐴 [

]

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎

𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

𝐿𝑒𝑐ℎ𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑚𝑎𝑑𝑎𝐿𝑒𝑐ℎ𝑒 𝑐𝑜𝑛 % 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑠𝑎

𝐿𝑒𝑐ℎ𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝐵 [

]


PRE CÁLCULO II

a) Calcule AB e interprete el resultado.

b) Encuentre la ganancia total de la tienda de productos lácteos por las ventas de leche durante

el fin de semana.

154. Los números de calorías consumidas por individuos de distintos pesos corporales, realizando

diferentes tipos de ejercicios aeróbicos, para un período de 20 minutos, se encuentran en la matriz A.

a) Una persona que pesa 54 Kg y una persona que pesa 68 Kg practicaron ciclismo durante 40

minutos, trotaron durante 10 minutos y caminaron durante 60 minutos. Organice el tiempo

empleado ejercitándose en una matriz B.

b) Calcule BA e interprete el resultado.

INVERSA DE UNA MATRIZ

155. Determina la matriz inversa de A: A=

1 3 0

3 12 2

2 10 2

156. Determina la inversa de la matriz

1 3 1 1

2 5 2 2

1 3 8 9

1 3 2 2

A

157. Halle la inversa de

1 5 0

4 3 1-

0 1 2

A

158. Encuentre la inversa de la matriz si existe por el método que crea conveniente.

[

]

159. Determine la inversa (si existe). Por el método esquemático y por gauss.

a) *

+

b) *

+

c) [

]

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑎 𝐾𝑔

𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑎 𝐾𝑔

𝑴𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐

𝐶𝑖𝑐𝑙𝑖𝑠𝑚𝑜𝑇𝑟𝑜𝑡𝑒

𝐶𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎 𝐴 [

]


PRE CÁLCULO II

d) [

]

e) [

]

f) [

]

160. Determine la inversa (si existe). Por el método esquemático o gauss.

a) [

]

b) [

]

c) [

]

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

161. Encuentre el determinante de: A = [

]

162. Calcule el determinante de:

0 1- 1 1

1 0 1- 2

0 1 0 1

1 1 0 1

163. Desarrolle la determinante por cofactores o gauss.

a) [

]

b) [

]

c) [

]

d) [

]


PRE CÁLCULO II

e)

f) [

]

g) [

]

h)

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 164. Resuelve el siguiente sistema por Gauss Jordan:

{

165. Sea A una matriz de 3 x 3, tal que donde D es una matriz en la cual todos los elementos

de su diagonal principal son ceros y los demás unos. Halla de manera que ( )

166. Calcule el determinante de la siguiente matriz

4 4 0 4

1 1 0 1

3 0 3 1

6 14 3 6

A

167. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando eliminación gausiana con sustitución hacia atrás o eliminación de Gauss – Jordan

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 4 32

7 2 9 14

3 11

4 2 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

168. Utilizando la regla de Cramer, resuelva para “y” sin resolver para x; z y w

⬚ ⬚ ⬚ ⬚

⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚


PRE CÁLCULO II

2 5 8

3 6 9

2 2 5

4 7 6 0

x y z w

x y w

y z w

x y z w

169. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.

170. Expresa y resuelve el siguiente sistema de forma matricial:

171. Expresa y resuelve el siguiente sistema por Gauss-Jordan.

172. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres.

a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. b) Resolver el problema.

173. Resuelve, por el método de Gauss, los sistemas:

174. Una persona invierte bonos clasificados A; bonos B y bonos C. Los rendimientos promedio son 6,5% en bonos A, 7% en bonos B y 9% en bonos C. La persona invierte el doble en bonos C que en bonos B. Sean “x”, “y” y “z” las cantidades invertidas en bonos A, B y C respectivamente.

{

Determine el valor de “x”, “y” y “z”, que satisface el sistema de ecuaciones. (Utilice inversa de una matriz ó reducción de gauss ó sustitución hacia atrás).

175. Resolver el sistema por el método de Cramer:

{

42

1

022

yx

zyx

zyx

42

1

022

yx

zyx

zyx

1827

12

32b)

03

625

43a)

tzyx

tyx

tzyx

zyx

zyx

zyx


PRE CÁLCULO II

176. Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de: Gauss, inversa o Cramer.

a) {

b) {

c) {

d) {

177. Red Eléctrica. Las corrientes es una red eléctrica, están dadas por la solución del sistema.

{

178. Fracciones Parciales. Use un sistema de ecuaciones para escribir la descomposición en fracciones

parciales de la expresión racional. Resuelva el sistema empleando matrices.

( ) ( )

( )

179. Finanzas. Una corporación pequeña de zapateros solicitó un préstamo por 1 500 000 dólares para

ampliar su línea de zapatos. Parte del dinero se recibió al 7%, parte al 8% y parte al 10%. Utilice un

sistema de ecuaciones para determinar cuánto se pagó a cada tasa, si el interés anual fue 130 000

dólares y la cantidad prestada al 10% fue 4 veces mayor que la cantidad prestada al 7%. Resuelva el

sistema empleando matrices.

180. Parábola. Use un sistema de ecuaciones para encontrar la ecuación especificada que pasa por los

puntos de la gráfica.

181. Resuelva (si es posible); el sistema de ecuaciones lineales.

a) {

b) {

banco de preguntas pre cálculo ii

Documents