baldor algebra

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  • Baldor, A. (2). lgebra, (2. reimpr. de la 2. Ed.). Mxico: Grupo Editorial Patria. Pp. 446-462.

  • lgebra de BaldorF CD-ROM de regalo lleno de: 1tiles ejemplos paso a paso, ejercicios,

    herramientas y autoeualuaciones

    Exige con esta edicin tu CD-ROM!

    GRUPOEDITORIAL 1

    PATRIA

  • ~

    ALGEBRA

    DR. AURELIO BALDOR Fundador, Director y Jefe de la

    Ctedra de Matemticas del Colegio Baldor, La Habana, Cuba.

    Jefe de la Ctedra de Matemticas, Stevens Academy, Hoboken,

    New-Jersey, U.S.A. Profesor de Matemticas,

    Saint Peter's College, Jersey City, New-Jersey.

    Con grficos y 6,523 ejercicios y problemas con respuestas

    SEGUNDA REIMPRESIN 2009

  • Para establecer comunicacin con nosotros puede hacerlo por:

    correo: Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, Mxico, D.F.

    fax pedidos: (01 55) 5354 9109 5354 9102

    e-mail: info@editorialpatria.com.mx

    home page: www.editorialpatria.com.mx

    Direccin editorial: Javier Enrique Callejas Coordinacin editorial: Alma Smano Castillo Revisin tcnica:Alex Polo Velzquez Diseo: Juan Bernardo Rosado Sols Ilustracin: Jos Luis Mendoza Monroy Diagramacin: Seditograf 1 Carlos Snchez

    lgebra Derechos reservados: Dr. Aurelio Baldor

    Esta obra se termin de imprimir en febrero del 2009 en los talleres de

    Compaa Editorial Ultra S.A. de C.V. Centeno No. 162 Local 2, Col. Granjas Esmeralda

    C.P. 09810, Mxico, D.F.

    1983, Compaa Editora y Distribuidora de Textos Americanos, S.A. (CCEDT A) Cdice Ediciones y Distribuciones, S.A. (Cdice Amrica, S.A.)

    1983, Publicaciones Cultural, S.A. de C.V. 2000, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V.

    Derechos reservados: 2004, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V. 2007, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Delegacin Azcapotzalco, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F.

    Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro nm. 43

    ISBN: 978-970-817-000-0 (segunda edicin) ISBN: 970-24-0779-6 (primera edicin) Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

    Impreso en Mxico Printed in Mexico

    Primera edicin: Publicaciones Cultural, S.A. de C.V.: 1983 Primera edicin: Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V.: 2005 Segunda edicin: Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.: 2007

    Primera reimpresin: 2008 Segunda reimpresin: 2009

  • NDICE PGINA Captulos 5 Preliminares 40 Suma 46 11 Resta 58 111 Signos de agrupacin 63 IV Multiplicacin 79 V Divisin 97 VI Productos y cocientes notables 112 VIl Teorema del residuo 122 VIII Ecuaciones enteras de primer grado con una incgnita 131 IX Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con

    una incgnita 143 X Descomposicin factorial 180 XI Mximo comn divisor 188 XII Mnimo comn mltiplo 193 XIII Fracciones algebraicas. Reduccin de fracciones 210 XIV Operaciones con fracciones 236 XV Ecuaciones numricas fraccionarias de primer grado con

    una incgnita 243 XVI Ecuaciones literales de primer grado con una incgnita 246 XVII Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado 270 XVIII Frmulas 276 XIX Desigualdades. Inecuaciones 282 XX Funciones 291 XXI Representacin grfica de funciones y relaciones 301 XXII Grficas. Aplicaciones prcticas 311 XXIII Ecuaciones indeterminadas 319 XXIV Ecuaciones simultneas de primer grado con dos incgnitas

  • 576 BALDOR LGEBRA ~' ~~ !!I_J! m!~!!!!!

    PGINA Captulos 340 XXV Ecuaciones simultneas de primer grado con tres o ms

    incgnitas 356 XXVI Problemas que se resuelven por ecuaciones simultneas 370 XXVII Estudio elemental de la teora coordinatoria 376 XXVIII Potenciacin 389 XXIX Radicacin 401 XXX Teora de los exponentes 418 XXXI Radicales 437 XXXII Cantidades imaginarias 446 XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incgnita 460 XXXIV Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo

    grado. Problema de las luces 467 XXXV Teora de las ecuaciones de segundo grado.

    Estudio del trinomio de segundo grado 483 XXXVI Ecuaciones binomias y trinomias 490 XXXVII Progresiones 508 XXXVIII Logaritmos 520 XXXIX Inters compuesto. Amortizaciones. Imposiciones

    529 APNDICE 530 Tabla de inters compuesto 532 11 Tabla de inters compuesto decreciente 534 111 Cuadro de las formas bsicas de descomposicin factorial 536 IV Tabla de potencias y races

    537 Respuestas a los ejercicios del texto

  • Nlels Henrik Abel (1802-1829). Matemtico noruego. Vivi durante toda su vida en extrema pobreza. Trat de abrirse paso entre los matemticos del continente, pero no lo logr. Obtuvo con Jacobi el Gran Premio de Matemticas del Instituto de Francia, por su trabajo sobre las funciones elpticas. Fue

    _c_aP-tulo XXX///_

    uno de los ms grandes algebristas del siglo XIX. Demostr el teorema general del binomio. Llev a cabo la demostracin de la imposibilidad de la resolucin de las ecuaciones de quinto grado. Muri desconocido.

    ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCGNITA

    ECUACIN DE SEGUNDO GRADO es toda ecuacin en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incgnita es 2.

    As,

    es una ecuacin de segundo grado. Ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax2 + bx +e = O,

    que tienen un trmino en x2, un trmino en x y un trmino independiente de x. As, 2x2 + 7x- 15 = O y x2 - 8x = -15 o x2 - 8x + 15 = O son ecuaciones completas de

    segundo grado. Ecuaciones incompletas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax2 + e = O que

    carecen del trmino en x. o de la forma ax2 + bx = O que carecen del trmino independiente. As, x2 - 16 = O y 3x2 + 5x = O son ecuaciones incompletas de segundo grado.

    RACES DE UNA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO son los valores de la incgnita que satisfacen la ecuacin.

    Toda ecuacin de segundo grado tiene dos races. As, las races de la ecuacin x2 - 2x- 3 =O son x1 = 3 y x2= - 1; ambos valores satisfacen esta ecuacin.

    Resolver una ecuacin de segundo grado es hallar las races de la ecuacin.

  • CAPTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

    ECUACIONES COMPLETAS MTODO DE COMPLETAR EL CUADRADO PARA RESOLVER LA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO ax2 + bx + e = O

    Para comprender mejor este mtodo, consideremos primero la ecuacin del tipo X2 +bX+C = 0

    Podemos escribir esta ecuacin del siguiente modo:

    x2 +bx=-c

    Si observamos el primer miembro veremos que al binomio x2 + bx le falta un trmino para ser un trinomio cuadrado perfecto. Tal trmino es el cuadrado de la mitad del coeficiente del

    segundo trmino (~r , o lo que es lo mismo b: . En efecto, formamos as un trinomio cuyo primer trmino es el cuadrado de x; su segundo

    trmino es el doble producto de x por %; y su tercer trmino es el cuadrado de la mitad del

    coeficiente del segundo trmino (~r o sea b: . Para que no se altere la ecuacin le agrega-mos al segundo miembro la misma cantidad que le agregamos al primer miembro.

    As tendremos: x2 + bx +(b42)=( ~) -e

    En el primer miembro de esta ecuacin tenemos un trinomio cuadrado perfecto.

    Factorizamos: ( x + %f = b: -e

    Extraemos la raz cuadrada a ambos miembros: ~(x+%f = ~ b: -e

    Cuando el coeficiente de x2 es mayor que 1, el procedimiento es esencialmente el mismo, slo que como primer paso dividimos los tres trminos de la ecuacin entre a, coeficiente de x2 Pondremos un ejemplo numrico.

    447

  • 448 BALDORLGEBRA

    1) Sea la ecuacin 4x2 + 3x- 22 =O. Transponiendo el trmino independiente: x2 + 3x = 22 Dividiendo por el coeficiente del primer trmino: x2 + ~ x = ~ Agregando el cuadrado de la mitad de ~: x2 + ~ x + (~) 2 = ~ + {~) 2

    Factorizando el primer miembro: ( x + ~r = ~ + ~ Extrayendo la raz cuadrada a los dos miembros: )(x + ~r = J~ + ~ Resolviendo: X+= + ~ 8 -.. 64

    X=- ~ a 'V 64

    X=- + 19 a- a X=-+ 19= 16=2

    1 8 8 8

    X =-- 19= 22=-2 2 8 8 8 4 {

    X = 2 R. x1 =-2

    2 4

    DEDUCCIN DE LA FRMULA PARA RESOLVER LA ECUACIN GENERAL DE SEGUNDO GRADO ax2 + bx + e = O La ecuacin es ---------------1~ ax2 + bx +e= O

    Multiplicando por 4a: 4a 2x2 + 4abx + 4ae = O Sumando b2 a los dos miembros: 4a 2x2 + 4abx + 4ae + b2 = b2 Pasando 4ae al 2 miembro: 4a 2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ae Descomponiendo el primer miembro, que es un trinomio cuadrado perfecto: ----- (2ax + b)2 = b2 - 4ae Extrayendo la raz cuadrada a los dos miembros: -+ 2ax + b = ~ b2 - 4ae Transponiendo b: 2ax =- b ~ b2 - 4ae

    Despejando x: --------------~ -b~b2 -4ac X=--7-2a--frmula que me da las dos races de la ecuacin ax2 + bx + e = O (porque de esta frmula salen dos valores de x segn se tome ~ b2 - 4ae con signo+ o-) en funcin de a, coeficiente del trmino en x2 en la ecuacin, b coeficiente del trmino en x y e el trmino independiente.

    Obsrvese que en la frmula aparece el coeficiente del segundo trmino de la ecuacin b con signo distinto al que tiene en la ecuacin.

  • CAPTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

    RESOLUCIN DE ECUACIONES COMPLETAS DE SEGUNDO GRADO SIN DENOMINADORES APLICANDO LA FRMULA GENERAL

    1) Resolver la ecuacin 3x2 - 7x + 2 =O. - bJb2 - 4ac Aplicamos la frmula x = 28 _ ~u a = 3, b = -7, e = 2, luego sustituyendo y teniendo presente que al sustituir b

    / ;~pone con signo cambiado, tendremos: - 7J72- 4(3)(2) 7~ 7$ 75

    X- 2(3) 6 _ 6 _ _ _ 6_ Entonces:

    X= 7+5= 12=2 1 6 6

    {

    X1 = 2 R. x =1

    2 3 X = 7-5=.?_= 1 2 6 6 3

    2 y ~ son las races de la ecuacin dada y ambas anulan la ecuacin. Sustituyendo x por 2 en la ecuacin dada 3x2 - 7x + 2 = O, se tiene:

    ' 3(22)- 7(2) + 2 = 12-14 + 2 =o