balance de energÍa: terminos a...
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1
sistema el sobre salrededore lospor
comunicado trabajode neta cidad velo
salrededore los a sistema elpor
comunicado trabajode neta cidad velo
conducciónpor calor deadición de
neta ad velocid+
convectivo movimientopor
interna e cinéticaenergía de salida
de ad velocid
convectivo movimientopor
interna e cinéticaenergía de entrada
de ad velocid
interna e cinéticaenergía de
nacumulació de ad velocid
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+−
+−=
GENERACIÓNSALIDAENTRADANACUMULACIÓ +−= )(
Δx
Δy
Δz
BALANCE DE ENERGÍA: TERMINOS A CONSIDERAR
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2
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+∂
∂ΔΔΔ=+ΔΔΔ∂
∂=+∂
∂≈ 2 21ˆ ˆˆ)(
interna e cinéticaenergía de
nacumulació de ad velocid
vUt
zyxKUzyxt
KUt
ρρρρ
ΔxΔz
( )( )zzzqzzqyx Δ+−ΔΔ+
++−++−= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ΔyyyqyyqΔxΔzΔxxxqxxqΔyΔz :
conducciónpor calor deentradade neta Velocidad
BALANCE DE ENERGÍA: TERMINOS DE ACUMULACIÓN Y CONDUCCIÓN
dS n qdQ rr•=
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3
KρUρ QiónConcentrac entra Caudal
elemento del cara unapor convecciónpor interna
e cinética energía de salida o entrada de ad velocid
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+•=•=
EJEMPLO: Cara situada en posición y de dimensiones Δx -ΔzΔx
Δz( ) zxzx 0 1 0 zx vndS vn ΔΔ=ΔΔ=ΔΔ•=⇒•=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
yv
zvyvxv
QdQ rrrr
y
2v2
1U
aconsiderad cara lapor convección movimientopor
interna e cinética energía de entrada de ad velocid
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +•ΔΔ=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
ρρzxyv
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Δ++−+ΔΔ+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Δ++−+ΔΔ+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Δ++−+ΔΔ
=
zzvUzv
zvUzvyx
yyvUyv
yvUyvzx
xxvUxv
xvUxvzy
)221ˆ()2
21ˆ(
)221ˆ()2
21ˆ(
)221ˆ()2
21ˆ(
convección movimientopor
interna e cinéticaenergía de entradade velocidad
ρρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
BALANCE DE ENERGÍA: ENTRADA-SALIDA POR CONVECCIÓN*
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4
BALANCE DE ENERGÍA: TRABAJO COMUNICADO AL/POR EL SISTEMA
CONSIDERACIONES PREVIAS:
FUERZAS QUE ACTÚAN:
vdtdr dr •=•=⇒•= FF
dtdWFdW
rrr
La fuerza de la gravedad (de los alrededores sobre el sistema):
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== zgygxggF ρρ rr
Esfuerzos viscosos (del sistema hacia los alrededores): dSπrrrr
•= nFd
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+==p
pp
zzzyzxyzyyyxxzxyxx
zzzyzxyzyyyxxzxyxx
000000
τττττττττ
πππππππππ
πrr
EJEMPLO: Cara situada en posición y + Δ y de dimensiones Δx -Δz
( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
ΔΔ
ΔΔ+
ΔΔ
=ΔΔ+
++
=Δ•=
zxyz
zxpyy
zxyxzx
pzzzyzxyzpyyyxxzxypxx
nFτ
τ
τ
τττττττττ
π 010S rrrr
( )010=nr
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5
VELOCIDAD DE TRABAJO COMUNICADO POR LOS ALREDEDORES SOBRE SISTEMA
La fuerza de la gravedad:
Esfuerzos viscosos:⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++==•= zvzgyvygxvxg
zvyvxv
zgygxgvgdt
dW ρρρ rr
( ) ( )yyzzvxyzyzvxpyyxzvxyx
zvyvxv
zxyzzxpyyzxyxydtdW
Δ+ΔΔΔΔ+ΔΔ=ΔΔΔΔ+ΔΔ= ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ττττττ
EJEMPLO: Cara situada en posición y + Δ y de dimensiones Δx -Δz
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++−Δ+++ΔΔ+
+++−Δ+++ΔΔ+
+++−Δ+++ΔΔ
zzvzzyvzyxvzxzzzvzzyvzyxvzxyx
yzvyzyvyyxvyxyyzvyzyvyyxvyxzx
xzvxzyvxyxvxxxxzvxzyvxyxvxxzy
)()(
)()(
)()(
ττττττ
ττττττ
ττττττ=dt
dW
( )010=nr
La contribución total de todas las caras:
BALANCE DE ENERGÍA: TRABAJO COMUNICADO AL/POR EL SISTEMA
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6
)()()(
)zvyvx(v+
)221ˆ()2
21ˆ()2
21ˆ()2
21ˆ(
⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++++++++−
−++−++++−
−+++++−=+
zvzzyvzyxvzxzzvyzyvyyxvyxyzvxzyvxyxvxxx
zpvzypvyxpvxzgygxgzzq
yyq
xxq
vUzvzvUyvyvUxvxvUt
τττ∂∂τττ∂
∂τττ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ρ∂
∂∂
∂∂
∂
ρρ∂∂ρρ∂
∂ρρ∂∂ρρ∂
∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⋅∇− vUv rr)ˆ2
21( ρρ
qrr
⋅∇−)( vpr
r⋅∇−
[ ]vrrrr•• τ∇−
[ ])••()()()()()221ˆ())2
21ˆ(()2
21ˆ( vvpgvqvtvUvUvvUt
rrrrrrrrrrrrrr τρρ∂∂ρρ∂
∂ρ ∇−⋅∇−⋅+⋅∇−=⋅∇++++∇⋅++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
[ ])••()()()()221ˆ( vvpgvqvUDt
D rrrrrrrrrrτρρ ∇−⋅∇−⋅+⋅∇−=+
Dividiendo por el volumen del elemento considerado(ΔxΔyΔz) y haciendo Δx,Δy,Δz 0
GENERACIÓNSALIDAENTRADANACUMULACIÓ +−= )(
Ecuación de continuidad
( )gvρ rr ⋅
BALANCE DE ENERGÍA
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7
[ ] ):()()()()(221 vvgvvpvpvDt
D rrrrrrrrrrrrrr∇+⋅⋅∇−⋅+⋅∇−⋅∇=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ττρρ
=DtUD ˆρ )•( qr
r∇− ( )vp rr
•∇−):( vrrrr ∇− τ
[ ])••()()()()221ˆ( vvpgvqvUDt
D rrrrrrrrrrτρρ ∇−⋅∇−⋅+⋅∇−=+
Ecuación energía mecánica
dTvCVdVdT
dpTpdTVT
UVdTV
UUd ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ ++−=+=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
U
pdVTdSUd −=ˆ
pTV
STTV
U −∂∂=
∂∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ˆ
TVS
VTP
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂=
∂∂
TERMODINÁMICA
DtDT
vCDtVD
VdTdpTpDt
UD ˆˆˆ
ˆ ρρρ ++−=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
)(11ˆ vDtD
DtD
DtVD rr
⋅∇=−== ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ρρρρρ
):()(ˆ
)(ˆ vvVT
pTqDtDT
vC rrrrrrrr∇−⋅∇−⋅∇−= ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ τ∂∂ρ
BALANCE DE ENERGÍA
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8
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN SISTEMAS NO ISOTERMOS
Radiación
Radiación
Convección
Convección
Conducción
Conducción
1. Las características de flujo están determinadas por el efecto de flotación del fluido caliente.
2. Los perfiles de velocidad y temperatura están íntimamente relacionados.
3. El número de Nusselt depende de los números de Grashof y Prandtl.
Convección LIBRE
1. Las características de flujo estás determinadas fundamentalmente por una fuerza externa.
2. Primeramente se hallan los perfiles de velocidad, que se utilizan después para calcular los perfiles de temperatura (procedimiento general para fluidos cuyas propiedades físicas son constantes).
3. El número de Nusselt depende de los números de Reynolds y Prandtl.
Convección FORZADA
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9
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN SISTEMAS NO ISOTERMOS
gpDtvD rrrrrr
ρτρ +⋅∇−∇−= ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
gp rrρ=∇
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= TV
V ∂∂β 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )TTTTTV
VTT
TVTT
T−−=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂−=−
∂
∂+=−
∂∂+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛βρρρρρρρρ 11
Convección forzada
Convección natural:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+⋅∇−=−++⋅∇−−= TTgTTgggDt
vD βρτβρρτρρrrrrrrrrr
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10
∂∂
∂
∂vx
vy
x y+ = 0Balances materia
vvx
vvy
vy
xx
yx x∂
∂∂∂
υ∂
∂+ =
2
2
vv
vv
x y
∞ ∞= = 0 v
vx
∞= 1Balance cantidad de movimiento
v Tx
v Ty
Ty
x y∂∂
∂∂
α∂
∂+ =
2
2Balance energía∞=∞→
==TT ,y
TsT 0,y
1TsT
Ts-T ,y
0Ts-T
Ts-T 0,y
=−
∞→
==
∞
∞
ANÁLISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE
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11
SOLUCIÓN AL ANÁLISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE
f '= =−−∞ ∞
2 2vv
T TT T
x s
sη
υ υ= = =∞ ∞y v
xyx
xv yx x2 2 2
Re
dd
d v v
d y x
d T T T T
d y xy
x
x y
s s
x y
f f' ' ' ( )( / )
( / ) Re
( ) / ( )
( / ) Re.
η =
∞
=
∞
=
= = =− −
=0 0 0
02
2
2
21 328
[[ ]( )
[ ]( ) ( ) ( )sxsx
yy
s TTx
TTxyd
Tdyd
TTd−=−==
−∞∞
==
Re332.0Re4328.1)(
00
qQA
h T T k Tyy
yx s
y= = − = −∞
=( ) ∂
∂ 0h k
T TTy
kxx
s yx= −
−=
∞ =( ). Re /∂
∂ 0
1 20 332
h xk
Nuxx x= = 0 332 1 2. Re / Pr=1
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12
δδ t
= Pr /1 3 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=
∂∂
∞=
3/12/1xs
0yPrRe
x332.0)TT(
yT
h kxx x= 0 332 1 2 1 3. Re Pr/ / h x
kNux
x x= = 0 332 1 2 1 3. Re Pr/ /
dA)TT(h)TT(AhQ A sxsLy ∫ −=−= ∞∞ dxx
Re)TT(PrkW332.0)TT)(WL(h L0
2/1x
s3/1
sL ∫−=− ∞∞
2/13/12/12/1
3/10
2/12/1
3/1 RePr0.664Pr664.0Pr332.0 LL
L kLv
kdxxv
kLh =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∞−∞ ∫ μ
ρμ
ρ
Nu =h L
k= 0.664L
L Pr Re/ /1 3 1 2L
SOLUCIÓN AL ANÁLISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE
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13
ANALOGÍAS ENTRE TRANSFERENCIAS DE ENERGÍA Y MOMENTO
Ts
T∞v∞
ddy
vxv
ddy
T TsT T
y s y∞ = ∞ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0 0
kμCp1Pr =⇒=00 =∞=∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ysyTTsTT
dydk
vxv
dydCpμ
( ) ( ) ( ) 0ys
0y sTTdyd
TTk
xvdyd
vμCp
=∞
=∞
−−
=
( ) )(0
∞−==
−− TsT
fkh
ydysTTd
( ) ( ) ( )ss
0y TTTTxv
dyd
vμCp
−−
= ∞∞
=∞ f
f
khk ( ) h=
=∞
0yxvdyd
vμCp
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14
Cv v
dvxdyD
y= =
∞ ∞ =
τ
ρ
μ
ρ02 2
022
/
ANALOGÍAS ENTRE TRANSFERENCIAS DE ENERGÍA Y MOMENTO
( ) h==
∞0yxv
dyd
vμCp
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∞∞
∞∞DD CC
2ρvCp
2ρv
vCphτ
vCp 2
0 2C
vρ Cph D=
∞Pr=1
h xk
Nuxx x= = 0 332 1 2 1 3. Re Pr/ / 2/1
xxD
Re
664.0C =
32
31
31 Pr
2PrReRe
2PrReStCNuCNu DxDx ==⇒=
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15
LA ECUACIÓN DE ENERGÍA EN RÉGIMEN TURBULENTO
T
t
T’T'TT +=
v
t
v’'v vv+=
ρ∂∂
∂∂
ρ∂∂
ρ∂∂
ρ$ $ $ $CTt x
C v Ty
C v Tz
C v Tp p x p y p z= − + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ++ k
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2T
xT
yT
x+ +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ +
+ 2vx
vy
vy
vx
x x x yμ
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
2 22 ...
( )( ) ( )T''vT'vT'vTvCρx
T'T'vvCρx
TvCρx xxxxpxxpxp +++=++=
∂∂
∂∂
∂∂
( ) ( )T''v00TvCρx
T''vT'vT'vTvCρx
TvCρx xxpxxxxpxp +++=+++=
∂∂
∂∂
∂∂
Promedio con el tiempo:
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16
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=Φzv
yv
xv
xv
zv
zv
yv
yv
xv
zv
yv
xv zyxzxyxxyzyx
v ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
322
222222
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
++
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 '''kkx
TTy
TTx
TTxT
yT
xT
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
Promedio con el tiempo:
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2kk
xT
yT
xT
xT
yT
xT
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
( )0
'' 2222
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛x
vxv
xvv
xv xxxxx
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
xvv
yvv
yvv
xvv
yvv
xvv
yv
xv yyxxxxyyxxyyxy
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ''
2'''' 2222
LA ECUACIÓN DE ENERGÍA EN RÉGIMEN TURBULENTO
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17
( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
yvvvvvvvv
yv
yv
xv
xv
yv
xv yxyxyxyxxxyyxy
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ''''
2''' 22222
( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
yvvvv
yv
yv
xv
xv
yv
xv yxyxxxyyxy
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ''00
2''' 22222
2xy
2xy
2xy
y'v
x'v
yv
xv
yv
xv
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
++
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
zv
yv
xv
z'vv
y'vv
x'vv
zv
yv
xv zyxzzyyxxzyx
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
vt
vl
v Φ+Φ=Φ
LA ECUACIÓN DE ENERGÍA EN RÉGIMEN TURBULENTO
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18
( )(t)v
(l)v
z(l)
y(l)
x(l)
zpypxpzpypxpp
ΦΦμz
qy
qx
q
T''vCρz
T''vCρy
T''vCρx
TvCρz
TvCρy
TvCρxt
TCρ
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
q C v T' q C v T' q C v T'xt
p x yt
p y zt
p z( ) ( ) ( )$ ' ; $ ' ; $ '= = =ρ ρ ρ
( )(t)v
(l)v
ztl)
ytl)
x(t)
z(l)
y(l)
x(l)
zpypxpp
ΦΦμz
qy
qx
q
zq
yq
xqTvCρ
zTvCρ
yTvCρ
xtTCρ
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
+∂
∂−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
+∂
∂−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ρ μΦ μΦ$ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )CDTDt
q qpl t
vl
vt= − ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + +
r r r r
( )r r∇ ⋅ =v 0 [ ] [ ]ρ τ τ ρ
DvDt
p gl tr
r r r r r r= −∇ − ∇ ⋅ − ∇ ⋅ +( ) ( )
LA ECUACIÓN DE ENERGÍA EN RÉGIMEN TURBULENTO
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19
yyLy dy
TdLTT ±+=±
DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA A PARTIR DE LA TEORÍA DE LONGITUD DE MEZCLA
T
t
T’T'TT +=
T
y
L
T T LdTdyy L y
y± − = ± T L dT
dy'= ±
=== )T''(vCρA
Qq yp
turb
y(t)y dy
TdL'vCρdyTdL'vCρ ypyp =
α ( )t
Pr/
'
/
/
( )
( )turbt
tx
y
x
x
L dv dy
Lv
L dv dy
L dv dy= = = =
υ
α
2 2
2 1
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20
DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURA A PARTIR DE LA TEORÍA DE LONGITUD DE MEZCLA
qQA
CdTdyy
yp
t= = − +ρ α α$ ( )( )
− = =τ ρυ τdvdy
x0 dv dyx
v x0
00ξ
τρυ
ξ∫ = ∫ vx ξτ ξρυ
= 0
SUBCAPA LAMINAR
dTq
CdyT
T y
psξ
ρ αξ∫ = − ∫$ 0q
QA
CdTdyy
yp= = −ρ α$ T T
q
Csy
p− =ξ
ξ
ρ α$
ρυ
τ
ρ αξξ
v Cq
T Tx p
ys
0= −
$( )
NÚCLEO TURBULENTO
hC v v
C
p x
Dρ
ξ$ ( )∞ −
=2
q
C v v T T v vy
p x xρ
τ
ρξ ξ ξ$ ( )( ) ( )∞ ∞ ∞− −
=−
02
ρ
τρ
ξ ξ( )
$( )v v
CT T
q
xp
y
∞ ∞−=
−
0
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21
ρυ
τ
ρ αξξ
v Cq
T Tx p
ys
0= −
$( )
ρ
τρ
ξ ξ( )
$( )v v
CT T
q
xp
y
∞ ∞−=
−
0
ρτ
υα
ρξ0
1v v CT T
qx ps
y∞
∞+ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
−$ ( )
Cv
D =∞
τ
ρ02 2/
( )hq
T Ty
s=
− ∞
v v
v C
Ch
x
D
p∞
∞
+ −=
ξυ α ρ( / )
/
$1
22
hC v
Cv vp
D
xρ υ αξ
$/
( / )( / )∞ ∞=
+ −
21 1
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22
hC v
Cv vp
D
xρ υ αξ
$/
( / )( / )∞ ∞=
+ −
21 1
5== ++ yv
5)2/()/( 0 D
xx
Cv
vvv
∞
+ == ξξ
ρτ 25
)(Dx C
v
v=
∞
ξ
St CC
D
D=
+ −/
/ (Pr )2
1 5 2 1
Analogía de Prandtl
[ ]{ })1(Pr1ln1Pr2/C512/CSt
65
D
D−++−+
=
Analogía de Von KarmanSubcapa laminarCapa de transiciónNúcleo turbulento