bachiller s. c. industrial unidad de aprendizaje … · concepto de límite, tratando de proponer...

Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 1

Tel.: 958-5804

República de Panamá Ministerio de Educación

DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA

Instituto Profesional y Técnico de Veraguas

Nombre del Alumno(a): __________________________________________ Grupo: 12º _________

Sección: Bachiller S. C. Industrial Especialidad: _______________________________

11.0 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Que el alumno o la alumna sea capaz de:

Comprender el concepto de límite de una función en un punto.

Calcular, en caso de que exista, el límite de una función mediante la aplicación de reglas y

procedimientos algebraicos.

Determinar el límite de una función de ciertos puntos a partir de su gráfica.

11.1 INTRODUCCIÓN

El concepto de límite es sin duda uno de los conceptos matemáticos que trae consigo mayor

cantidad de dificultades de aprendizaje, dificultades inherentes al propio concepto. El nuevo

sistema educativo español ha modificado los contenidos relativos a funciones y límites,

proponiendo una metodología más activa. Este artículo presenta una muestra de la investigación

que los autores están desarrollando alrededor de las dificultades de aprendizaje asociadas al

concepto de límite, tratando de proponer una secuencia metodológica adaptada al nuevo

currículo, que tenga en cuenta dichas dificultades. En primer lugar se presentan algunas

investigaciones anteriores, que sitúan el trabajo en un marco teórico; a continuación se hace un

pequeño estudio de la situación del concepto de límite en el currículo del nuevo sistema educativo

español, junto con la propuesta de una definición alternativa y la secuencia didáctica que la

desarrolla; finalmente, se describe un sistema de categorías que se ha construido para

desentrañar las dificultades de aprendizaje que surgen de la puesta en práctica de dicha

secuencia.

La importancia del estudio de las dificultades del concepto de límite se justifica por varias razones.

Por una parte, este es uno de los conceptos más importantes del Análisis, ya que es necesario

para introducir otros conceptos (continuidad, derivada, integral) y, por lo tanto, su estudio se hace

necesario. Por otra parte, para los alumnos es un concepto árido, poco atractivo, demasiado

abstracto, que olvidan totalmente con demasiada facilidad y, en suma, es uno de los más difíciles

de enseñar y aprender.

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 11

Límites de Funciones


11.2 LA DEFINICIÓN DE LÍMITE

El vocablo límite es una palabra que procede etimológicamente del latín, y que en concreto deriva

del sustantivo “limes” que al traducirse es “frontera o borde o extremo”.

La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos

territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación, es

decir, la palabra límite tiene un carácter estático.

Pero para la Matemática, el concepto de límite es un concepto dinámico, un límite es una

magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de

magnitudes.

11.3 INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE

El límite tiene que ver con la idea de acercarse lo más posible

a un valor finito o un valor infinito. Consideremos el siguiente

ejemplo: para hallar el área de una figura poligonal

simplemente se divide en triángulos y se suman sus áreas

321 AAAA .

Es mucho más difícil hallar el área de una región con lados curvos como el círculo. Una manera

de realizar este procedimiento fue el que empleo Arquímedes, que consistía en aproximar el área

inscribiendo polígonos en la región (Método Exhaustivo 1) si:

Si nA es el área del polígono regular inscrito con n lados, entonces se puede observar que

cuando n aumenta, nA se aproxima cada vez más al área del círculo.

nn

Alímcírculodelárea

En caso de hallar un patrón para las áreas nA , entonces se podría

determinar el límite A de manera exacta.

Arquímedes tuvo esta idea hace más de dos mil años y es la base del

concepto de límite de una función desarrollado en el siglo XVII por

Newton.

1 Es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en

la medida en que avanza el Cálculo. También se le conoce como método por agotamiento, de exhaución o

exhausción.


11.3.1 CONCEPTO Y DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

El límite de una función es el valor al cual se aproxima la función cuando x tiene un valor

determinado, así: LxfLímax

11.3.2 CONCEPTO DE LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE

Decimos que f es una función real de una variable, cuando el dominio y codominio (rango o

imagen) de la función son subconjuntos de números reales, y además la función posee una

variable independiente, que con mucha frecuencia se considera como la variable x . Si y es la

variable dependiente que se relaciona, por medio de la función f , con la variable x , entonces la

función se denotará: xfy en cuyo caso decimos que “ y es la imagen de x ” por medio de la

función f . Consideremos que ax es un punto sobre el eje X , que puede o no pertenecer al

dominio de la función. Si ax pertenece al dominio de la función, entonces la función puede ser

evaluada en dicho punto, es decir, af existe.

El hecho de que la función pueda o no ser evaluada en el punto ax no es un aspecto relevante

para el concepto que hoy nos ocupa, lo verdaderamente esencial para el concepto de límite, es

que la función se pueda evaluar en cualquiera vecindad del punto ax . Identifiquemos que

sobre la recta real R una vecindad del punto ax puede ser considerada como un intervalo

abierto del tipo aa , para R y ,0 donde es un número real positivo

suficientemente pequeño como se quiera. En el Cálculo cuando trabajamos con , éste se

considera un número que se aproxima o tiende a cero “0”, de manera que a es un número

real que se encuentra por la derecha de “ a ”, y si se aproxima da cero, entonces a se

aproxima a “ a ” por la derecha; por lo contrario, a es un número real que se encuentra por la

izquierda de “ a ”, y si se aproxima a cero, entonces a se aproxima a “ a ” por la izquierda.

Supongamos que aax , , entonces tenemos que:

axa , si en cada miembro de esta desigualdad, restamos a nos resultará:

aaaxaa , luego aplicando la eliminación de términos, obtenemos:

ax , luego aplicando una propiedad de valor absoluto, obtenemos que:

ax , esto significa que la vecindad o entorno del punto ax se constituye por todos los

valores de x muy cercanos a dicho punto, y éstos valores de x se van a encontrar por la

izquierda y por la derecha del punto “ a ”.

Si una función se puede evaluar en un punto, entonces se dice que ella está

definida en dicho punto.


Para indicar que x se aproxima a “ a ” por la derecha, lo escribimos así: ax Mientras que

para indicar que x se aproxima a “ a ” por la izquierda, lo escribimos así: ax

Supongamos que al asignarle valores a “ x ” muy cercanos a “ a ” por la derecha, entonces las

imágenes de estos valores por medio de la función f se encuentran muy cercanos a cierto valor

finito L por arriba; y además, al asignarle valores a “ x ” muy cercanos a “ a ” por la izquierda,

entonces las imágenes de estos valores por medio de la función f se encuentran muy cercanos

al mismo valor L por abajo.

En consecuencia bajo estas condiciones, se dice que el límite de la función f cuando x tiende a

“ a ” es igual a L y se escribe, así: Lxflímax

, existe.

Pero está existencia está obligando al cumplimiento de tres (3) condiciones necesarias para la

existencia del límite de una función f en el punto ax , las cuales son las siguientes:

1) Lxflímiax

, existe

2) Lxflímiiax

, existe

21) LLiii

11.4 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El límite de una función xfy en un punto “ a ” es el valor que tiende la función en puntos muy

próximos a “ a ”.

La presentación de los ejemplos siguientes pretende dar una idea del significado del límite de una

función en un punto.

Ejemplo 1: Consideremos la función lineal 12 xxf . ¿A qué valor se aproxima la función,

cuando x se aproxima o tiende al valor 3 ?

Solución: Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando 3x , hay que ver los valores

que toma la función en puntos muy próximos a 3 . Para ello se puede hacer la siguiente tabla de

valores:

x 8,2 9,2 99,2 999,2 1,3 01,3 001,3 0001,3

xf 6,6 8,6 98,6 998,6 2,7 02,7 002,7 0002,7

Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3 , ya sean mayores o menores que él, sus

imágenes se aproximan al valor 7 . Cuanto mayor es la proximidad de x a 3 , mayor es la

proximidad de xf a 7 . Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3 , el límite de la

función 12 xy es 7 , y se escribe, así: 7123

xlímx


Ejemplo 2: Consideramos la función definida por 12 xxf con

dominio en R.

La representación gráfica es como se muestra a la derecha:

Nos interesa observar el comportamiento de la función f para

valores de x cercanos a 2 pero no iguales a 2 .

Veamos las tablas siguientes:

Tabla a

x 25,1 5,1 75,1 9,1 99,1 999,1 9999,1 99999,1

12 xxf 5625,0 25,1 0625,2 61,2 9601,2 996,2 9996,2 99996,2

Tabla b

x 75,2 5,2 25,2 1,2 01,2 001,2 0001,2 00001,2

12 xxf 5625,6 25,5 0625,4 41,3 0401,3 004,3 0004,3 00004,3

Puede observarse de ambas tablas que conforme x se aproxima más a 2 , xf toma, cada vez,

valores más próximos a 3 .

En otras palabras, al restringir el dominio de la función a valores cada vez "más cercanos a 2 ", el

conjunto de imágenes o sea, los valores que toma la función, se "acercan cada vez más a tres".

En este caso se dice que cuando x tiende a 2 , que se simboliza 2x , entonces 3xf , o

sea xf tiende a 3. Esto puede escribirse como: 3xf y 2x

y utilizando la notación de

límites escribimos 32

xflímx

que se lee: el límite de xf cuando x

tiende a 2 , es igual a 3 .

Ejemplo 3: Nos interesa calcular el área de región limitada

por la parábola con ecuación 2xy , el eje x y la recta de

ecuación 1x .

La representación gráfica de esta región es como se muestra

a la derecha:

Dividimos el intervalo 1,0 en partes iguales señaladas por

los valores: 1,1

,,3

,2

,1

,0n

n

nnn

formando sobre cada una

de las partes, un rectángulo cuyo lado vertical izquierdo toca a

la parábola en un punto, y cuya base mide n

1 en cada caso.

Luego, el área de cada uno de estos rectángulos podemos

expresarlas como sigue:

22

4

2

3

2

21

11,,

31,

21,

11,

10

n

n

nA

nnA

nnA

nnA

nA n


Así, la suma nS de todas las áreas de los rectángulos está dada por la siguiente igualdad:

222112111

01

n

n

nnnnnnSn de donde

3

222 1321

n

nSn

Como 1216

11321

2222 nnnn , cuya prueba está al final del capítulo,

entonces:

36

121

n

nnnSn

de donde

nnSn

2

1

6

1

3

12

Tomando nn

rn2

1

6

12 entonces nn rS

3

1

Observemos que si a " n " se le asignan valores positivos cada vez más grandes, entonces nr se

aproxima a cero.

Si en la figura anterior se aumenta el número n de divisiones del intervalo, entonces crece el

número de rectángulos y la suma nS de las áreas de ellos se aproxima al área de la figura

curvilínea. Como nr se aproxima a cero cuando n crece indefinidamente, puede decirse que

nn rS 3

1 se aproxima al número

3

1, y así el área de la región tiende a

3

1. La expresión " n "

toma valores positivos cada vez mayores puede sustituirse por n , ( n tiende a más infinito)

y como 3

1nS , ( nS tiende a

3

1 cuando n ), volviendo a utilizar la notación de límites

escribimos:

n

nn

nrlímSlím

3

1 que se lee: el límite de nS , cuando n es

3

1.

Es importante señalar que al estudiar el límite de una función, no se menciona el valor que toma

la función exactamente en el punto. Así como en el ejemplo 2 , no importa cuál es el valor de

2f , sino el valor de xf cuando x tiende a 2 .

Esto se debe a que el concepto de límite de una función en un punto es independiente del valor

que toma la función en ese punto.

Puede suceder que en dicho punto la función no esté definida y aun así

exista el límite. El siguiente ejemplo presenta esta situación:

Ejemplo 4: Sea f la función definida por la ecuación

2

232 2

x

xxxf para toda x R, 2x

La representación gráfica de f es como se muestra a la derecha: De la

gráfica puede observarse que aunque la función f no está definida para

2x , cuando x toma valores muy cercanos a 2 la función se aproxima

a 5 , lo que escribimos como: 52

xflímx


11.4.1 FORMALIZACIÓN DE LA IDEA INTUITIVA DE LÍMITE

En el ejemplo 2 se analizó el comportamiento de la función f con ecuación 12 xxf en las

proximidades de 2 .

Expresamos como 32

xflímx

, el hecho de que para acercar los valores de la función tanto

como se quisiera a 3 , era suficiente acercar adecuadamente x al valor 2 , 2x .

De otra forma, puede decirse que 3xf es tan pequeño como se quiera, siempre que 2x

sea suficientemente pequeño, aunque no igual a cero.

Utilizaremos las letras griegas (épsilon) y (delta) para escribir en forma más precisa lo

anterior. y Son números reales positivos que indican qué tan pequeño queremos hacer el

valor absoluto de la diferencia entre xf y 3, y el valor absoluto de la diferencia entre x y 2

respectivamente. Se dice entonces que 3xf será menor que , siempre que 2x sea

menor que y 02 x . Luego, si para cada 0 puede encontrarse un 0 tal que

3xf si 20 x , entonces se dice que 32

xflímx

Observe que se establece la condición 20 x , ya que

únicamente nos interesa saber cómo es xf para valores de x

cercanos a 2 , no en 2 mismo, en cuyo caso 2x sería igual a

cero.

Gráficamente tenemos la figura a la derecha:

Se tiene que, en el eje Y , los valores xf están entre 3 y

3 , siempre que los valores de x , en el eje de X , se localicen entre 2 y 2 , o sea

3xf sí 20 x .

En general, el valor de es escogido arbitrariamente, pero la elección de depende de la

elección previa de .

No se requiere que exista un número "apropiado" para todo , si no que, para cada existe

un específico.

Entre, más pequeño sea el valor que se escoja de , más pequeño será el valor del

correspondiente .

Luego, para el ejemplo 2, decimos que 32

xflímx

, pues para cada 0 , existe 0 , tal que

3xf , siempre que 20 x . En general, para una función f cualquiera, el

Lxflímbx

significa que "la diferencia entre xf y L puede hacerse tan pequeña como se

desee, haciendo simplemente que x esté suficientemente próximo a b , bx ".


11.5 DEFINICIÓN DE LÍMITE

Sea f una función definida en una vecindad del punto 0,b .

Definición: Se dice que Lxflímbx

, si para cada número positivo , por pequeño que este sea,

es posible determinar un número positivo , tal que para todos los valores de x , diferentes de b ,

que satisfacen la desigualdad bx , se verificará la desigualdad Lxf .

Luego, Lxflímbx

si y solo si para cada 0 , existe 0 tal que si bx0 , entonces

Lxf . En forma gráfica se tiene:

También el Lxflímbx

puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad

bx se deduce que Lxf , entonces todos los puntos en la gráfica de la función

con ecuación b xfy , que corresponden a los puntos x que se localizan a una distancia no

mayor que del punto b , se encontrarán dentro de una franja de ancho 2 , limitada por las

rectas LyLy , , como se muestra en la siguiente figura a la derecha:

Puede decirse entonces que la definición de límite dada

anteriormente, establece que los valores de la función xf se

aproximan a un límite L , conforme x se aproxima a un

número b , sí el valor absoluto de la diferencia entre xf y L

se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando

suficientemente cercana a "b ", pero no igual a "b ".

Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la

definición de límite:

Ejemplo 5: Probar que 3122

xLímx

Solución: Debe probarse que dado 0 , existe 0 tal que 312x siempre que

20 x . Vamos a establecer una relación entre 312 x y 2x .

Como 222242312312 xxxxx o sea 22312 xx .


Entonces, para hacer 312 x menor que , es suficiente que 2

2

x , por lo que puede

tomarse 2

. Luego, dado 0 , existe

2,0

tal que si 20 x entonces

312x .


xLímx

Solución: Dada 0 , debe encontrarse 0 tal que 1114x siempre que

30 x .

Como 343412411141114 xxxxx entonces para que

1114 x sea menor que es suficiente que 4

3

x por lo que podemos tomar 4

.

Luego, dado 0 , existe

4,0

tal que 1114x siempre que 30 x .


1

xxLím

x

Solución: Debe encontrarse en términos de , ( 0 dada), tal que 322 xx sea menor

que cuando 10 x . Se tiene que 3131322 xxxxxx

Como lo que nos interesa es el límite cuando x tiende a 1, vamos a considerar los valores de x

que estén cerca de 1, pero que sean diferentes de 1.

Así, tomamos 11 x de donde 111 x y por tanto 20 x .

Vamos a determinar un número r para el que rx 3 cuando 11 x .

De la desigualdad 20 x se obtiene que 533 x por lo que 53 x y puede tomarse

5r .

Luego 1531 xxx cuando 11 x

Además 15 x es menor que si

51

x

Por tanto, si se toma como el menor de los números 1 y

5

entonces

322 xx cuando 10 x

Por ejemplo, si se toma 1 entonces 5

1 y 11531322 xxxxx

cuando 5

110 x

En general, el determinar el xflímbx

mediante el uso directo de la definición es difícil, por lo que

para hacerlo se contará con la ayuda de una serie de teoremas, que estudiaremos más adelante.


Hemos dado un vistazo intuitivo y otro más formal sobre la noción de límite en un punto. En

síntesis, lo que nos interesa saber es el comportamiento de una función cuando la variable

independiente tiende a un determinado valor en el eje X .

11.6 EVALUACIÓN DE LÍMITES EN FORMA ANALÍTICA

Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a , el límite de xf cuando

x tiende a a es L , y se escribe así: LxfLímax

Apliquemos esta definición para encontrar los

límites siguientes, por simple inspección (de manera intuitiva):

LxLímx

143

13

112

134

L

L

L

LxxxLímx

123

3

20

1030

13927

133323

L

L

L

L

Lx

xLímx

16

34

4

23

13

124

316

146

344

L

L

L

LxLímx

72

3

4

1679

732

L

L

L

LxxLímx

1072

10

180

1070100

10107102

L

L

L

LxLímx

151

4

15

115

L

L

L

11.7 TEOREMAS O PROPIEDADES ACERCA DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

Teorema 0: Propiedades de los límites

Antes de aplicar las propiedades básicas de los límites, debemos recordar dos propiedades

importantes de los límites, las cuales son:

El límite de la función constante es igual a la constante

El límite de la función identidad es igual al valor hacia donde tiende la variable x .

Dadas dos funciones xf y xg que tienen límite en un punto a , así: LxfLímax

y

MxgLímax

se cumplen las siguientes propiedades o leyes:

El límite de la suma de ambas funciones es igual a la suma de los límites.

El límite de la diferencia (resta) se calcula como la diferencia de los límites.

El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites.

El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los límites,

siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.


El límite del producto de una constante por una función viene determinado por la

multiplicación de la constante por el límite de la función.

El límite de la potencia, se da si los exponentes sean números reales.

Estas propiedades o leyes las mostramos en el siguiente esquema:

Ahora desglosaremos estas propiedades, es decir, entraremos más a detalle

Teorema 1 (sobre la unicidad del límite): Sea f una función definida en un intervalo I R tal

que Ia . Si Lxflímax

y Mxflímax

entonces ML . (Esto significa que el valor del

límite de una función en un punto es único).

Teorema 2: Si m y b son números reales entonces bambmxlímax

Ejemplos 8: 1156523532

xLímx

10212234243

xlímx

Teorema 3: Si k es una constante, entonces para cualquier número “ a ”, kklímax

Ejemplos 9: 772

x

Lím 553

x

lím 221000

xlím

Teorema 4: axlímax

Ejemplos 10: 22

xLímx

11

xlímx

5,05,0

xlímx

Teorema 5: Si Lxflímax

y k R, entonces se cumple que Lkxflímkxfklímaxax

.


Ejemplos 11: 2793543522352352322

xlímxLímxx

53

53

153

53

151

113

xlímxlímxlím

xxx

Teorema 6: Si xxf con 0x entonces axlímax

, con 0a

Ejemplos 12: 55

xLímx

2

23

2

2

2

3

2

13333

21

2

1

2

1

ylímylím

yy

Teorema 7: Si f y g son dos funciones para las que Lxflímax

y Mxglímax

entonces se

cumple que: MLxglímxflímxgxflímaxaxax

(Este teorema lo que nos dice es que

el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los límites de cada una de las

funciones.

Ejemplos 13: 3633222333

xlímxlímxxLímxxx

1331032535353522222

xxxxx

límxlímlímxlímxlím

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.

Teorema 8: Si f y g son dos funciones para las que Lxflímax

y Mxglímax

y entonces se

cumple que MLxglímxflímxgxflímaxaxax

Es decir, el límite del producto de dos

funciones es igual al producto de los límites de cada una de las funciones.

Ejemplos 14: 164422222 2

2

2

2

2

2

xlímxlímxxLím

xxx

84712181212243123123444

xlímxlímxxlímxxx

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones

Teorema 9: Si nxxf entonces nn

axaxlím

, con n N. Observe que xxxxxn ( n

factores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que:

xxxxlímxlímxxxxlímxlímaxaxax

n

ax

xxxxlímxlímxlímaxaxax

factoresn

axaxaxxlímxlímxlím

aaaa ( n Factores) na

Ejemplos 15: 243

32

3

2

3

25

55

5

3

2

xLím

x 2121222

88

1

8

1

xlímxlím

xx

Corolario: En particular, el límite de la enésima potencia de xf es igual a la enésima potencia

del límite de xf . Es decir n

ax

n

axxflímxflím


Ejemplos 16: 561771111565235353 6666

2

6

2

xlímxLím

xx

32231131335552

52

1

52

1

xxlímxxlím

xx

Teorema 10: Si f y g son dos funciones para las cuales Lxflímax

y Mxglímax

entonces

se tiene que:

M

L

xglím

xflím

xg

xflím

ax

ax

ax

siempre que 0M

Ejemplos 17:

4

3

28

21

127

392

13

332

1

32

1

32

1

323

2

3

3

3

3

2

3

3

3

2

3

3

2

3

xx

xx

x

x

x límxlím

límxlím

xlím

xlím

x

xLím

2

5

2

14

2

12212

12

2

2

2

xlím

xlím

x

xlím

x

x

x

Teorema 11: ax

límax

11

siempre que 0a

Ejemplos 18: 5

11

5

xLímx

3

4

3

14

14

14

4

333

xlím

xlím

xlím

xxx

Teorema 12: Si n N entonces nn

axaxlím

Si:

i) a es cualquier número positivo.

ii) 0a y n es impar.

Ejemplos 19: 33

55

xLím

x 2264 6 666

64

xlím

x

Teorema 13: Si Lxflímax

, entonces nn

ax

n

axLxflímxflím

si se cumple alguna de las

condiciones siguientes: i) 0L y n es cualquier entero positivo ( n R).

ii) 0L y n es un entero impar positivo

Ejemplos 20: 18335353533

xlímxLímxx

323 23

2

1

3 2

15323123232

xlímxlím

xx

Teorema 14: Si f , g y h , son funciones tales que xhxgxf para todo x de cierto

entorno reducido 1 de b y además xhlímLxflímbxbx

entonces se cumple que Lxglímbx

.

El teorema anterior nos dice que si para x próximo a b , la función g está comprendida entre dos

funciones que tienden a un mismo límite L , entonces xg también tiende a L .


Gráficamente podemos tener lo siguiente:

Por ejemplo, si g es una función tal que

22 xxgx para 0x y como 02

0

xlím

x y

02

0

xlím

x entonces se tiene que 0

0

xglím

x.

Sea ahora g una función tal que

3095 2 xxxgx para 5x

Se tiene que 1055

xlímx

y 103092

5

xxlím

x

Luego 105

xglímx

PRÁCTICA

Resuelve los siguientes problemas, aplicando los teoremas sobre límites.

1. 23x

Lím 2. 733

xLímx

3. xLímx 10

4. 1251

xLímx

5. xLímx 9

6. 273

3

xLím

x 7. 73

1

xLím

x 8. 423 2

1

xxxLím

x

9. 5

2xLím

x L 10. 2

573

xLím

x 11.

4

221

x

xLímx

12. x

Límx

1

2

13. yyyLímy

32 23

1

14. 3 2

31035

xxLím

x

15. 55

82

4

x

xLímx

16. 13

223

xx

xxLímx

11.8 LÍMITES UNILATERALES

Haciendo un análisis del primer teorema sobre la unicidad del límite, tenemos que: Sea “ a ” un

punto contenido en un intervalo abierto ( I R) y f una función definida en todo el intervalo,

excepto posiblemente en “ a ”, entonces: Lxflímax

si y sólo si Lxflímax

y Lxflímax

Este teorema implica que el límite de xf cuando x tiende a “ a ” existe si y sólo si los límites por

la derecha y por la izquierda existen y son iguales, a estos límites se les conocen como límites

unilaterales.

11.8.1 LÍMITES LATERALES

1. El límite por la izquierda de una función xfy , cuando x tiende a “ a ”, es el valor al tiende

la función para puntos muy próximos a “ a ” y menores que “ a ”. Para expresar el límite por la

izquierda, se escribe así: xflímax

2. El límite por la derecha de una función xfy , cuando x tiende a “ a ”, es el valor al tiende la

función para puntos muy próximos a “ a ” y mayores que “ a ”. Para expresar el límite por la

derecha, se escribe así: xflímax


Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo

es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen

algunas funciones que presentan algunas discontinuidades,

llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el

tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a

estudiar los límites en este tipo de funciones.

Consideremos la siguiente representación gráfica de una función

f , en la que existe una discontinuidad cuando, como se muestra

en la figura.

Notemos que cuando x tiende hacia " a " por la derecha de " a " la función tiende a 2 , pero cuando

x tiende hacia " a " por la izquierda de " a ", la función tiende hacia 1.

Escribimos ax para indicar que x tiende hacia " a " por la

derecha, es decir, tomando valores mayores que " a ".

Similarmente ax indica que x tiende hacia " a " por la

izquierda, o sea, tomando valores menores que " a ". Utilizando

ahora la notación de límites, escribimos 2

xflímax

y

1

xflímax

. Estos límites reciben el nombre de límites

laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda

es 1.

Ejemplo 21: Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función h cuya

representación gráfica es la siguiente: Se tiene que: 32

xhlímx

y 12

xhlímx

32

xhlímx

y 12

xhlímx

11.8.2 DEFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALES

Definición de límite por la derecha: Se dice que Lxflímax

si y solo si

para cada 0 existe 0 tal que si ax0 entonces

LLxf es el límite por la derecha de xf en " a ".

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de ax , pues

ax es mayor que cero ya que ax .

Definición de límite por la izquierda: Se dice que Rxflímax

si y solo

si para cada 0 existe 0 tal que si xa0 entonces

RRxf es el límite por la izquierda de xf en " a ".


Note que la expresión xa es mayor que cero, pues ax por lo que ax .

En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una

función cuya ecuación se da.

Ejemplo 22: Determinar los límites, en los puntos de

discontinuidad, de la función f definida por:

11

122 xsix

xsixxf

Primero hagamos la gráfica de la función:

El punto de discontinuidad se presenta cuando 1x

Luego: 31

xflímx

y 21

xflímx

Observe que el límite por la derecha es 3 , es diferente al límite por la izquierda es 2|.

11.8.3 RELACIÓN ENTRE EL LÍMITE Y LOS LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN

El límite de una función xfy en un punto “ a ”, existe si y sólo si existen los límites laterales y

coinciden: LxflímxflímLxflímaxaxax

Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente. En el ejemplo

anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden: 7121233

xlímxlímxx

PRÁCTICA

Resuelve los siguientes problemas, aplicando los límites laterales:

1) Dada la gráfica de la función xf , halle en caso que exista los

siguientes límites:

xflímxflímxflímx

xx

2

112

xflímxflímxflímx

xx

2

112

2) Dada la gráfica de la función xg , halle en caso que exista los

siguientes límites:

xglímxglímxglímxxx 2,228,1

xglímxglímxglímxxx 2,228,1


3) Dada la gráfica de la función xf , analiza los siguientes límites en 2

igualessonno

lateraleslímiteslosporqueexisteNoxflímxflím

xflím

xx

x

22

2

3

1

únicoesyexistexflímxflímxflímxxx

222000

________________222

xflímxflímxflímxxx

4) Sea xf una función, cuyos límites laterales en 2 y 3 en son:

existeNoxflímxflímxflímxxx

222

3131

9633

xflímxflímxx

Conteste ¿cuál es el xflímx 3

? y justifique.

5) Dada la gráfica de la función xf , halle en caso que exista los siguientes límites:

xflím

xflím

xflím

xflím

xflím

x

x

x

x

x

0

0

2

2

xflím

xflím

xflím

xflím

xflím

x

x

x

x

x

3

2

3

3

11.9 LÍMITES INFINITOS

Límite más infinito: una función xf tiene por límite “ ”, cuando ax , si fijado un

número real positivo 0k se verifica kxf para todos los valores próximos a “ a ” Es

decir:

xfLímax

si para cada k real 0 tal que kxfax 0

Límite menos infinito: una función xf tiene por límite “ ”, cuando ax , si fijado un

número real negativo 0k se verifica kxf para todos los valores próximos a “ a ” Es

decir:

xfLímax

si para cada k real 0 tal que kxfax 0


Se dice que xflímax

es un límite infinito si xf aumenta o

disminuye ilimitadamente cuando ax . Técnicamente, este

límite no existe, pero se puede dar más información acerca del

comportamiento de la función escribiendo:

xfLímax

si xf crece sin límite cuando ax

xfLímax

si xf decrece sin límite cuando ax

Una función es divergente cuando su límite es ó , es

decir son límites que tienen esta forma:

xfLímax

En la gráfica de la derecha, se tiene que:

xfLímx 4

xfLímx 4

Veamos algunas propiedades o teoremas sobre límites infinitos:

1. Si Zn entonces:

a)

nx xLím

1

0, b)

n

x xLím

1

0, para n par c)

n

x xLím

1

0, para n impar

Ejemplos 23: 1) x

Límx

1

0 2)

xLím

x

1

0 3)

3

0

1

xLím

x

4)

50

1

xLím

x 5)

6

0

1

xLím

x 6)

4

0

1

xLím

x

2. Si RM y 0M ,MxfLímax

y ,0

xgLímax

entonces:

a)

, xg

xfLím

ax Si 0m y 0xg c)

, xg

xfLím

ax Si 0m y 0xg

b)

, xg

xfLím

ax Si 0m y 0xg d)

, xg

xfLím

ax Si 0m y 0xg


Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 24: Calcular: 2

2

2 x

xLímx

0

4

22

22

2

2

2

x

xLímx

Analicemos los límites laterales:

0

4

22

22

2

2

2 x

xLímx

Como 2x entonces 2x por lo

que 02 x y se dice que 02x , lo que indica que el numerador x2 tiende a una constante

positiva y el denominador 2x tiende a 0 entonces: 2

2

2 x

xLímx

0

4

22

22

2

2

2 x

xLímx

Como 2x entonces 2x por lo que 02 x y se dice que

02x , lo que indica que el numerador tiende a una constante positiva y el denominador

tiende a 0 entonces: 2

2

2 x

xLímx

Como los límites laterales son diferentes, entonces decimos que 2

2

2 x

xLímx

no existe.


122

2

2

xx

xxLím

x

12

12

2

12 2

22

2

2

xx

xxlím

xx

xxLím

xx

Como 07122212 22

2

xxLím

x y

0122212

2xxLím

x

Entonces:

0

7

12

122

2 xx

xxLím

x


122

2

2

xx

xxLím

x

12

12

2

12 2

22

2

2

xx

xxlím

xx

xxLím

xx

Como 07122212 22

2

xxLím

x y

0122212

2xxLím

x

Entonces:

0

7

12

122

2 xx

xxLím

x

Como los límites laterales son diferentes, entonces decimos que 2

122

2

2

xx

xxLímx

no existe.


11.10 LÍMITES AL INFINITOS

Si los valores de la función xf tienden al número L cuando equis aumenta indefinidamente

x , se expresa así: LxfLímx

. De manera similar, los valores de la función xf

tienden al número M cuando equis disminuye indefinidamente ( x ), se expresa así:

MxfLímx

. Esto se muestra en la siguiente gráfica:

Límite de una función polinómica: cuando x (equis tiende a más o menos

infinito). Si xf es un polinomio de grado n (una función)

01

2

2

1

1 axaxaxaxaxf n

n

n

n

, entonces: su límite es n

nxx

xalímxfLím

. Si

xg es un polinomio de grado m (una función) 01

2

2

1

1 bxbxbxbxbxg m

m

m

m

,

entonces: su límite es m

m

n

n

xx xb

xalím

xg

xfLím

.

Veamos algunos ejemplos de estos límites, y más adelante veremos cómo se resuelven:

Ejemplo 27:

22 232 xlímxxLímxx

Ejemplo 28:

xlím

x

xlím

xx

xxLím

xxx2

2

4

123

4

23

4

Ejemplo 29:

323 3323 xlímxxxLímxx

Al aplicar los métodos para el cálculo de Límites, debemos recordar lo siguiente:

Existen siete casos de indeterminación, los cuales son:

1,,0,,,0,

0

0 00

La Aritmética y el Álgebra del infinito, si Ra y Rb , entonces:

0

a,

a, b


Para resolver los límites indeterminados, debemos levantar la indeterminación, haciendo

uso de los siguientes procedimientos matemáticos (factorización, racionalización, leyes de

los exponentes y cambio de variables):

Factorizar o simplificar, entre los casos tenemos: Factorizar del trinomio cbxx 2 ,

factorizar del trinomio cbxax 2 , factorizar el cuadrado de la suma o la diferencia de

dos cantidades 2222 bababa , factorizar la diferencia de cuadrados perfectos

bababa 22 , factorizar la suma o la diferencia de cubos perfectos

2233 babababa , factorizar el cubo de la suma o la diferencia de dos

cantidades 2222333 babbaaba .

Aplicar las leyes o reglas de los exponentes, y se pueden dar dos maneras de resolver

si el límite, si es del tipo 0

0, debemos factorizar por los polinomios de la expresión, pero

si la función contiene raíces, debemos multiplicar por su conjugado; pero si el límite es

del tipo

, existen tres posibilidades, como lo veremos más adelante.

Aplicar el cambio de variables.

11.11 LÍMITES INDETERMINADOS

Indeterminación del tipo : para el cálculo de estos límites, basta con efectuar las

operaciones indicadas, por ejemplo:

Ejemplo 30:

11

12

2

1 x

x

x

xLímx

Solución:

0

1

0

2

11

1

11

11

11

12

2

2

2

1 x

x

x

xlímx

Hay veces que aparecen radicales, en estos casos basta con multiplicar y dividir por la expresión

radical conjugada, por ejemplo:

12xxlímx

Indeterminación del tipo 0 : para el cálculo de estos límites, se resuelve efectuando las

operaciones indicadas, por ejemplo:

Ejemplo 31:

0

0

1

1

01

1 2

2

0 x

x

x

xLímx

Indeterminación del tipo 0

0: para el cálculo de estos límites, se hace necesario realizar

primero algunos procesos algebraicos o mecanismos matemáticos para levantar la


indeterminación, tales como los casos de factorización, la racionalización, las reglas o leyes

de los exponentes, el cambio de variables, etc. Por ejemplo:

Ejemplo 32: 0

0

11

11

11

11

1

12

3

2

3

1

x

xLímx

Solución: 2

3

11

111

1

1

11

11

1

1 22

1

2

12

3

1

x

xxlím

xx

xxxlím

x

xlím

xxx

Indeterminación del tipo

: para el cálculo de estos límites, basta con dividir el

numerador y el denominador por la mayor potencia de x del denominador, por ejemplo:

Ejemplo 33: 1

142

2

x

xxlím

x

Solución: 41

4

01

004

11

114

1

14

1

14

2

22

22

2

222

2

2

2

x

xxlím

xx

x

xx

x

x

x

límx

xxlím

xxx

Indeterminaciones del tipo 1,0, 00 : para el cálculo de estos límites, debemos aplicar

la definición de logaritmo natural y otros mecanismos matemáticos.

11.11.1 CÁLCULOS DE LÍMITES INDETERMINADOS

En algunos límites no es posible aplicar directamente los teoremas sobre límites, especialmente el

del límite de un cociente de funciones, ya que se presenta la forma indeterminada 0

0.

En estos casos se hace necesario realizar primero algún proceso algebraico, para luego levantar

la indeterminación y así determinar el valor del límite.

Es indispensable que para poder resolver estos límites, tenemos que tener muy en claro cómo se

resuelven los casos de factorización, como se aplica correctamente la racionalización, como se

aplica el cambio de variables y conocer el concepto de valor absoluto.

Por medio de ejemplos estudiaremos los siguientes límites:

a) Límites que involucran factorizaciones: veamos

Ejemplo 34: 253

12222

2

2

xx

xxLímx

. Si evaluamos el numerador se obtiene: 01222222

y si

evaluamos el denominador: 0225232

Luego se tiene la expresión 0

0 que no tiene

sentido, es una indeterminación.


Como 2 hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorización como sigue:

6221222 2 xxxx y 132253 2 xxxx

Luego el límite dado puede escribirse como 132

622

2

xx

xxlímx

, y simplificando se obtiene:

13

62

2

x

xlímx

que sí puede determinarse, pues 132

xlímx

es diferente de cero.

Luego: 7

10

16

64

123

622

13

62

253

1222

22

2

2

x

xlím

xx

xxlím

xx

De manera resumida, en este caso se aplica la factorización del trinomio de la forma: cbxax 2

tanto en el numerador como en el denominador, y se resuelve así:

.0

0

1212

1212

21012

1248

21043

12442

22523

122222

253

12222

2

2

2

2Ind

xx

xxLímx

7

10

16

64

123

622

13

62

132

262

253

1222

222

2

2

x

xlím

xx

xxlím

xx

xxLím

xxx

Ejemplo 35: 4

22

2

2

x

xxLímx

. En este caso se aplica la factorización del trinomio de la forma:

cbxx 2 en el numerador y en el denominador se aplica la factorización de la diferencia de

cuadrados, y se resuelve así:

.

0

0

44

44

44

224

42

222

4

22

2

2

2

2Ind

x

xxLímx

4

3

4

3

22

12

2

1

22

12

4

2

222

2

2

x

xlím

xx

xxlím

x

xxLím

xxx

Ejemplo 36: 145

492

2

7

xx

xLímx

. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de

cuadrados en el numerador y en el denominador se aplica la factorización del trinomio de la

forma: cbxx 2 , y se resuelve así:

.

0

0

4949

4949

143549

4949

14757

497

145

492

2

2

2

7Ind

xx

xLímx

9

14

27

77

2

7

27

77

145

49

772

2

7

x

xlím

xx

xxlím

xx

xLím

xxx

Ejemplo 37: xx

xLímx 3

272

3

3

. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de cubos

perfectos en el numerador y en el denominador se aplica la factorización de monomio común, y se

resuelve así:


.

0

0

99

2727

333

273

3

272

3

2

3

3Ind

xx

xLímx

9

3

27

3

999

3

933393

3

933

3

27

22

3

2

32

3

3

x

xxlím

xx

xxxlím

xx

xLím

x

xx

Ejemplo 38: xx

xLímx 3

272

3

3

. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de cubos

perfectos en el numerador y en el denominador se aplica la factorización de monomio común pero

teniendo en cuenta que de salir el factor 3x , y se resuelve así:

.

0

0

99

2727

333

273

3

272

3

2

3

3Ind

xx

xLímx

9

3

27

3

999

3

933393

3

933

3

27

22

3

2

32

3

3

x

xxlím

xx

xxxlím

xx

xLím

x

xx

Ejemplo 39: 2

83

2

x

xLímx

. En este caso se aplica la factorización de la suma de cubos perfectos

en el numerador y se resuelve así:

.0

0

22

88

22

82

2

833

2Ind

x

xLímx

124444222422

422

2

8 22

2

2

2

3

2

xxlím

x

xxxlím

x

xLím

xxx

Ejemplo 40: 8

163

4

2

x

xLímx

. En este caso se aplica la factorización de la resta de potencias de igual

grados, a través de una división de polinomios, en el numerador es la resta de potencias pares y

en el denominador es la resta de potencias impares se resuelve así:

.

0

0

88

1616

82

162

8

163

4

3

4

2Ind

x

xLímx

3

8

12

32

444

8888

444

88428

4222

824222

42

842

422

8422

8

16

2

23

2

23

22

23

23

4

2

xx

xxxlím

xxx

xxxxlím

x

xLím

xxx

Ejemplo 41:

x

xLímx

422

0

. En este caso se aplica la factorización del cuadrado de la suma de

dos cantidades en el numerador y se resuelve así:


.

0

0

0

44

0

4024222

0Ind

x

xLímx

4044

44

44444442

00

2

0

2

0

2

0

2

0

xlímx

xxlím

x

xxlím

x

xxlím

x

xxlím

x

xLím

xxx

xxx

Ejemplo 42:

h

xhxLímh

33

0

. En este caso se aplica la factorización del cubo de la suma de dos

cantidades en el numerador y se resuelve así:

.

0

0

00

0 333333

0Ind

xxxx

h

xhxLímh

22222

0

22

0

322

0

33223

0

33223

0

33

0

3003333

3333

3333

xxxhxhxlím

h

hxhxhlím

h

hxhhxlím

h

xhxhhxxlím

h

xhxhhxxlím

h

xhxLím

h

hh

hhh

Ejemplo 43:

2

12

23

1

xx

axxaxLímx

. En este caso se aplica la factorización común monomio y

polinomio. Evaluando nuevamente numerador y denominador se obtiene:

011111123

aaaa y 02112112

Como 1 hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorización como sigue:

axxxaxaxxaxxax 111 223 y 1222 xxxx

Puede escribirse el límite anterior ya factorizados los polinomios como: 12

1

1

xx

axxxlím

x, y

simplificando se obtiene:

21

x

axxlím

x y como puede determinarse pues 2

1

xlím

x es diferente de

cero.

Luego:

3

1

3

1

21

11

22

1

12

23

1

aaa

x

axxlím

xx

axxaxlím

xx

b) Límites que involucran racionalizaciones

Ejemplo 44: x

xLímx

2

42

2

.0

0

22

44

22

42

2

4 22

2Ind

x

xLímx


Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos, procedemos a

racionalizar el denominador de la forma siguiente:

xxlím

x

xxxlím

x

xxlím

x

x

x

xlím

x

x

xx

22

2

222

2

24

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

En este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremas respectivos se obtiene

como resultado:

282242222222

xxlímx

Ejemplo 45: 3

363 2

3

x

xxLímx

Recuerde que 3322 babababa

Como vuelve a presentarse la forma 0

0, procedemos a racionalizar como sigue:

96363

39

96363

276

96363

36

3636

3636

3

36

3 23223

3 2322

2

3

3 2322

33

3 2

323 2322

23 23223 2

3

xxxxx

xxlím

xxxxx

xxlím

xxxxx

xxlím

xxxx

xxxx

x

xxlím

x

x

xx

En este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremas respectivos se obtiene

como resultado:

9

4

27

12

9339

12

9273729

12

927327

12

91893189

12

93633363

93

9636

9

3333 2

33 23 23

223 23223

xxxx

xlímx

Ejemplo 46: 4

42

4

x

xLímx

.0

0

44

44

44

442

4

42

4Ind

x

xLímx


Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos, procedemos a

racionalizar el denominador de la forma siguiente:

2

1

8

4

44

4

422

4

442

4

42

4

424

44

424

164

2

42

42

42

4

42

4

42

22

2

22

244

xlím

xx

xlím

xx

xlím

x

xlím

x

x

x

xlím

x

xLím

xx

xxxx

Ejemplo 47: x

xLímx

42

0

.0

0

0

22

0

42

0

40242

0Ind

x

xLímx

4

1

4

1

22

1

42

1

402

1

42

1

4242

44

42

44

42

42

42

424242

0

000

22

000

xlím

xx

xlím

xx

xlím

xx

xlím

xx

xlím

x

x

x

xlím

x

xLím

x

xxx

xxx

Ejemplo 48: 1

1

1

x

xLímx

.0

0

11

11

11

11

1

1

1Ind

x

xLímx

2

1

11

1

11

1

1

1

11

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

22

111

xlím

xx

xlím

xx

xlím

x

x

x

xlím

x

xLím

x

xxxx

c) Límites que involucran la aplicación de la regla de los exponentes: veamos que existen

dos tipos:

1) Si es del tipo 0

0:

Cuando el límite es de este tipo

0

0, debemos analizar hacia donde tiende la variable equis,

así:

Si ax , el factor es: ax

Si ax , el factor es: ax

Si 0x , el factor es: x


Primero tenemos que localizar el factor en el límite, luego se analiza, generalmente se dan

dos posibilidades, las cuales son:

1. Factorizar por los polinomios de la expresión.

Ejemplo 49: xx

xLímx 3

92

2

3

. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de cuadrados

en el numerador y el denominador por factor común monomio, así:

.

0

0

99

99

333

93

3

92

2

2

2

3Ind

xx

xLímx

23

6

3

333

3

33

3

9

332

2

3

x

xlím

xx

xxlím

xx

xLím

xxx

Si la función contiene raíces, multiplicar por el conjugado.

Ejemplo 50: x

xLímx

2

0

11

.0

0

0

11

0

11

0

01111 22

0Ind

x

xLímx

0

2

0

11

0

11

0

011

0

11

1111

11

11

11

11

11

11

111111

220

2

2

02

2

02

2

0

2

222

02

22

0

2

0

x

xlím

xx

xlím

xx

xlím

xx

xlím

xx

xlím

x

x

x

xlím

x

xLím

x

xxx

xxx

2) Si es del tipo

:

Estos límites se resuelve al dividir el numerador y el denominador por la mayor potencia de x del

denominador, y existen las tres posibilidades:

El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, es decir:

DdegradoNdegrado

Ejemplo 51:

1

12

3

x

xLím

x

Solución:

0

1

00

01

11

11

1

1

1

1

3

3

33

2

33

3

2

3

xx

xlím

xx

x

xx

x

límx

xlím

xxx

El grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir:

0 DdegradoNdegrado


Ejemplo 52:

34

13

2

xx

xxLím

x

Solución: 01

0

001

000

341

111

34

1

34

1

32

32

333

3

333

2

3

2

xx

xxxlím

xx

x

x

x

xx

x

x

x

límxx

xxlím

xxx

El grado del numerador es igual al grado del denominador, es decir:

DdelprincipaleCoeficient

NdelprincipaleCoeficientDdegradoNdegrado

Ejemplo 53:

44

5232

2

x

xxLím

x

Solución: 4

3

4

3

04

003

44

523

44

523

44

523

2

2

22

2

222

2

2

2

x

xxlím

xx

x

xx

x

x

x

límx

xxlím

xxx

Ejemplo 54:

54

2323

23

xx

xxLímx

Solución: 2

1

4

2

004

002

514

232

54

232

54

232

32

3

333

3

33

2

3

3

3

23

xx

xxlím

xx

x

x

x

xx

x

x

x

límxx

xxlím

xxx

Ejemplo 55:

100

100

502

1

x

xLímx

Solución:

100

100

100

100

100

100

100

100

502

1

502

1

502

1

x

x

x

x

lím

x

x

x

x

límx

xlím

xxx

100100

100

100

100

100

100

2

1

2

1

502

11

502

1

x

xlím

xx

x

xx

x

límxx

d) Límites que involucran un cambio de variable

Ejemplo 56: y

yLímy

11

113

0 Al evaluar numerador y denominador en 0y se obtiene

0

0.

Aunque en este caso podría efectuarse una racionalización, el procedimiento sería muy largo

pues hay que racionalizar tanto el numerador como el denominador. Por tanto, vamos a hacer un

cambio de variable en la forma siguiente.


Se desea sustituir la expresión y1 por otra que tenga tanto raíz cúbica como raíz cuadrada.

Luego, sea 61 uy (observe que 36 uu y 23 6 uu ).

Además cuando 0y se tiene que 16 u y por tanto 6 1u , es decir, 1u en el límite

original se sustituye 0y por 1u

Sustituyendo se tiene que: 3

2

16

3 6

1

3

0 1

1

1

1

11

11

u

ulím

u

ulím

y

ylím

uuy

Aunque vuelve a presentarse la forma 0

0, la expresión ahora es fácilmente factorizable. Así:

3

2

111

11

1

1

11

11

11

11

1

1

221

21

21

3

2

1

uu

ulím

uuu

uulím

uuu

uulím

u

ulím

u

uuu

Ejemplo 57: x

xLímx

1

1235

1

Nuevamente, evaluando el numerador y el denominador en 1 se obtiene 0

0

En este caso vamos a sustituir x23 por una expresión que posea raíz quinta. Tomamos

entonces 523 ux pues uu 5 5 .

Cuando x tiende a 1 se tiene que x23 también tiende a 1 y por tanto 15 u y 5 1u de donde

1u Sustituyendo se obtiene que:

5

2

11111

2

11111

2

1

2

11

12

1

12111

1

1

1

123

234

2341

2341

51

2

112

112

3212

3

5 5

1

5

15555

uuuulím

uuuuu

ulím

u

ulím

ulím

ulím

ulím

ulím

x

xlím

uu

uuuuuuuuux

Ejemplo 58: 1

13

1

x

xLímx

.0

0

11

11

11

11

1

1 33

1Ind

x

xLímx

Hacemos un cambio de variable, para levantar la indeterminación, si xt 6 entonces 66 6 xt

6 xt es decir 6

1

xt y si lo elevamos al cuadrado, tendremos: 2

6

12

xt y

3

6

13

xt

Luego, 3

1

2 xt 2

1

3 xt


32 xt xt 3

Como 1x 16 t es decir: 1t

Luego:

3

2

111

11

1

1

11

11

1

1

1

1221213

2

1

3

1

tt

tlím

ttt

ttlím

t

tlím

x

xLím

tttx

PRÁCTICA

I. Resuelve los siguientes problemas sobre límites indeterminados, aplicando la factorización:

1. 4

162

4

x

xLímx

2. 3

62

3

x

xxLímx

3. 2

42

2

x

xLímx

4. 153

252

5

x

xLímx

5. 9

323

x

xLímx

6. 1252

424

xx

xLímx

7. 3

322

3

x

xxLímx

8. 187

929

xx

xLím

x

9. 22

18126 2

1

x

xxLímx

10. 20

151322

2

5

xx

xxLímx

11. xx

xxLímx 82

862

2

4

12.

127

1582

2

3

xx

xxLímx

13. 124

362

2

6

xx

xLímx

14. 2

322

2

1

xx

xxLímx

15. 49

8272

3

3

2

x

xLímx

16. 14

182

3

2

1

x

xLímx

II. Resuelve los siguientes problemas sobre límites indeterminados, aplicando racionalización:

17. 1

12

1

x

xLímx

18. 21

3

3

x

xLímx

19. 81

9

81

x

xLímx

20. 4

42

4

x

xLímx

21. 22

2

2

x

xLímx

22. x

xLímx

55

0

23.

5

5

5

x

xLímx

24. 1

1

1

x

xLímx

25. 3

9

9

x

xLímx

26. 2

4

4

x

xLímx

27. 5

34

5

x

xLímx

28. x

xLímx

42

0

III. Resuelve los siguientes problemas sobre límites al infinito:

29. 253

322

2

xx

xxLímx 30. 14

152

23

xx

xxxLímx 31.

3

23

82

524

xx

xxLímx

32. xxx

xxxLímx 42

2223

245

33. 63

3252

24

xx

xxxLímx 34. xxx

xxLímx 33

1231624

2

35. 526

4672

35

xx

xxLímx 36. 23

9624

23

xx

xxxLímx

37. xxx

xxxLímx 243

13223

46

38. xxx

xxxLímx

52

23 325

39. 47

3

54

82

xx

xxLímx

40. 3

23

21

23

xx

xxxLímx

Respuesta:

I. 1) 8 2) 5

3) 4

4) 3

10

5) 61

6) 111

7) 4

8) 111

9) 12

10) 97

11) 41

12) 2 13) 23

14) 34

15) 3

16)

23

II. 17) 4 18) 4

19)

181

20) 21

21) 4 22) 0 23) 52

24)

21

25) 6

26) 4 27) 61

28) 41

III. 29) 31

30)

31)

21

32)

33)

34) 0 35)

36)

0

37)

38) 0 39) 0

40) 3

bachiller s. c. industrial unidad de aprendizaje … · concepto de límite, tratando de proponer...

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