b2015 cap1 1.1 análisisvectorial

7/23/2019 B2015 Cap1 1.1 AnlisisVectorial

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1 1 ANLISIS VECTORIAL

TEORA ELECTROMAGNTICA 1


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Escalares

Escalar: Cantidad cuyo valor puede representarse con

nmero real (positivo o negativo).

EjemplodecantidadesEscalares

Temperatura

Tiempo

Espacio o distancia


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Vectores

Vector: Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como

y sentido. Ser de inters los espacios de dos y tres dimaunque hay aplicaciones en espacios de n dimensiones.

Ejemplode

cantidadesVectoriales

Fuerza

Velocidad

Aceleracin


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Campos escalares y vectoriales

Un campo escalar o un campo vectorial puede

matemticamente como la funcin del vector que conectaarbitrario con un punto cualquiera en el espacio.

Es posible asociar algn efecto fsico con un campo: la fuerzaguja de una brjula en el campo magntico de la Tierra.

El concepto de campo invariablemente se relaciona con una


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Campos escalares

Ejemplodecamposescalares

La temperatura de un tazn de sopa

La densidad en cualquier punto de la Tierr


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Campos vectoriales

Ejemplode camposvectoriales

Campos gravitacional y magntico de la Tierra

Gradiente de voltaje de un cable y el gradientde temperatura en la punta de un cautn


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Campo Vectorial

En general, el valor de un campo vara tanto con la posicin ctiempo.


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lgebra Vectorial

Suma o resta de vectores: Para sumar o restar vectores exisgrficos y mtodos analticos.

Mtodos grficos: Mtodo del Paralelogramo y Mtodo del P

Mtodo del Paralelogramo


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lgebra Vectorial

Mtodo del Polgono


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lgebra Vectorial

La suma de vectores tiene la propiedad conmutativa:

A+ B = B + A

La suma de vectores tambin tiene la propiedad asociativa:

A+ ( B + C) = (A + B) + C


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lgebra Vectorial

La sustraccin de vectores se define fcilmente con respecto a

A - B = A + (-B)


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Sistema de coordenadas rectangulare

o cartesianas

En el sistema de coordenadas cartesianas se

utilizan tres ejes coordenados perpendicularesentre s, llamados eje ,,.

Se acostumbra elegir un sistema decoordenadas de mano derecha en el cual unarotacin del eje hacia el eje causara queun tornillo derecho avanzara en la direccindel eje .


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o cartesianas

La localizacin de un punto se hace por medio

de sus coordenadas ,,.

stas son respectivamente, las distanciasdesde el origen a cada una de lasintersecciones de una proyeccin

perpendicular desde el punto de los ejes,,.


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o cartesianas

Si se considera un elemento diferencial de

volumen en coordenadas cartesianas, seobtiene lo que se muestra en la grfica:


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Componentes vectoriales y vectores

unitarios

Para describir un vector en un sistema de coordenadas cutilizan los tres componentes vectoriales con los vectores un


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unitarios

Por ejemplo, para el punto P(1,2,3), se define el vector posel vector que va desde el origen al punto P; el vector posici

vector que va desde el origen al punto Q.


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unitarios

El vector es el vector dirigido de P a Q y se lo puede ovectores posicin de los puntos P y Q:

Del grfico, la suma de vectores: + = , deobtiene: =


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Magnitud de un vector

Sea el vector: = + + , entonces la

calcula: = = 2

+ 2

+ 2

Vector unitario: para que cualquier vector se lo transformunitario, se calcula de la siguiente forma:

=


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Campo Vectorial

El campo vectorial es una funcin vectorial de un vector posic

La magnitud y direccin de la funcin cambiarn confomoviendo a travs de la regin, y el valor de la funcin vdeterminarse a partir de los valores de las coordenadas dcuestin.

Sea el vector posicin como :

Entonces el campo vectorial se puede expresar como ()

Entonces el campo escalar , se puede expresar como ()


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Campo Vectorial

Un ejemplo, la velocidad del agua de mar en alguna reginsuperficie donde las mareas y las corrientes son importantes,

representar por medio de un vector velocidad: = + +


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Producto Punto

El producto punto o escalar entre dos vectores se define como:

. = cos

El producto punto cumple con la propiedad conmutativa:

. = .

Si se tiene dos vectores: = + + = + +

Entonces el producto punto est dado por: . = +


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Componente escalar de un vector sobr

otro

La componente o proyeccin escalar del vector sobre el vectoobtiene:

proyeccin escalar = .


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Componente vectorial de un vector

sobre otro

La componente o proyeccin vectorial del vector sobre el vese obtiene:

proyeccin vectorial = .


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PRODUCTO CRUZ

El producto cruz o vectorial da como resultado un vector que esa los dos vectores multiplicados y se define:

=


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PRODUCTO CRUZ

Sean los vectores: =

+

+

= + +

Para realizar el producto cruz se debe de utilizar el mtodo siguie

=

Sistema de Coordenadas Cilndricas


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Circulares

Es una versin en tres dimensiones de las coordenadas

la geometra analtica plana.



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Circulares Para transformar funciones

escalares dadas de un sistema de

coordenadas cartesianas acilndricas se utilizan lasfrmulas:



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Circulares Para transformar funciones

escalares dadas de un sistema de

coordenadas cilndricas acartesianas se utilizan lasfrmulas:


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Transformacin de sistemas de coorden


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Transformacin de sistemas de coorden

cartesianas a coordenadas cilndricas de una

vectorial

Una funcin vectorial en un sistema de coordenadasdos pasos para transformarla a otro sistema de coorde

Si se tiene un vector cartesiano: = + +

Se necesita un vector en coordenadas cilndricas: = + +


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Para encontrar cualquier componente deseada de urealiza el producto punto del vector con un vector udireccin deseada (proyeccin):

= . = .


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Sistema de Coordenadas Esfrica


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Para transformar escalares de unsistema de coordenadas

cartesianas a esfricas se utilizanlas frmulas:



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Para transformar escalares de unsistema de coordenadas

esfricas a cartesianas se utilizanlas frmulas:

Transformacin de sistemas de coordenadas


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Transformacin de sistemas de coordenadas

a coordenadas esfricas de una funcin ve

La transformacin de vectores requiere la determinproductos de los vectores unitarios en coordenadas cesfricas;


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Referencia Bibliogrfica

Hayt, W., Teora Electromagntica, 7ma. ed., Mc

Mxico 2006

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