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Apuntes recogidos del EPV. Fuente Nueva

B) SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

Tema 8.-INTRODUCCIÓN AL SISTEMA DIÉDRICO

8.1.- CLASES DE PROYECCIÓN

La. geometría descriptiva es la parte de la geometría que desarrolla la

representación en el plano de objetos del espacio. Para ello, es preciso

proyectar el cuerpo en el espacio sobre un plano, obteniendo así su dibujo. Esta

operación se llama proyección. Así, proyectar un objeto tridimensional sobre un

plano consiste en obtener su imagen sobre ese plano.

En cualquier proyección debemos tener en cuenta: el objeto, los rayos

proyectantes, el plano de proyección y la proyección del objeto.

Las clases de proyección son el fundamento de las distintas clases de sistemas de proyección.

Estos sistemas se caracterizan por su reversibilidad, es decir, podemos determinar las proyecciones sobre

un plano de un objeto en el espacio, y a partir de esas proyecciones en el plano, podemos reconstruir el

objeto en el espacio. Existen dos clases de proyección: cilíndrica y cónica.

Proyección cilíndrica Proyección cónica

a) Proyección cilíndrica: los rayos proyectantes son paralelos entre sí. El centro de proyección es

impropio, situado en el infinito: la proyección sería semejante a la sombra de un objeto producida los rayos

solares al mediodía. Existen dos tipos de proyección cilíndrica: ortogonal y oblícua.

Proyección cilíndrica ortogonal: los rayos proyectantes son paralelos

entre sí y perpendiculares al plano de proyección.

Proyección cilíndrica oblícua: los rayos proyectantes son paralelos entre

sí y oblIcuos al plano de proyección.

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b) Proyección cónica: los rayos proyectantes tienen un punto en común o

centro de proyección y forman un haz de rayos proyectantes. La proyección es

semejante a la sombra de un objeto producida por un foco de luz artificial.

Partiendo de estos tipos de proyección, la geometría descriptiva ofrece diferentes sistemas de

representación, que permiten obtener imágenes de un objeto sobre un plano de modos diversos.

TIPO DE SISTEMA

CLASE DE PROYECCIÓN

-Sistema acotado

-Sistema diédrico

-Sistema axonométrico

(Isométrico, dimétrico, trimétrico)

Proyección cilíndrica ortogonal

-Perspectiva caballera

-Perspectiva militar

Proyección cilíndrica oblícua

-Perspectiva cónica (frontal y oblícua) Proyección cónica

8.2.-FUNDAMENTOS DEL SISTEMA DIÉDRICO

Sistema de dos proyecciones cilíndricas ortogonales. Constituido por dos planos, uno horizontal (H) y otro

vertical (V), perpendiculares entre sí. La intersección entre ambos se denomina Línea de Tierra (LT). Cada

uno de los planos queda dividido en otros tantos semiplanos, dividiendo el espacio en cuatro espacios

denominados diedros.

Para representar sobre un único plano (el del papel) las dos proyecciones, abatimos el plano horizontal

sobre el vertical en el sentido de las agujas del reloj (Importante: primero proyectamos, luego abatimos)

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P

Alejamiento -3

Cota 1

P’

ALEJAMIENTO

COTA

COTA

ALEJAMIENTO

Alejamiento -3

Cota -1

P

8.3.-EL PUNTO

Un punto se define por sus dos proyecciones (puntos también). El segmento que los une es siempre

perpendicular a la línea de tierra y se denomina línea de referencia.

La cota u ordenada es la distancia del punto al plano horizontal (nos da la proyección vertical)

El alejamiento o distancia es la distancia del punto al plano vertical (nos

da la proyección horizontal).

Todos los puntos situados por encima del plano horizontal tienen cota

positiva (si pertenecen a dicho plano, nula). Los que están por debajo, negativa.

Todos los puntos situados por delante del plano vertical, tienen alejamiento

positivo. Los situados en él, nula. Por detrás, negativo.

Cuando la cota es positiva (3, por ej.) la proyección vertical estará por encima de la LT. Cuando es

negativa (-3), por debajo.

Cuando el alejamiento es positivo, la proyección horizontal se situará por debajo de la LT. Si es

negativo, por encima. Así:

P’

cota positiva

+ +

- -

cota negativa

- +

- +

Alejamiento 3

Cota 1 P’

P

ale

jam

iento

negativo

ale

jam

iento

positiv

o

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Criterios de notación y designación

-Los puntos se designan con letras mayúsculas, notándose como primera proyección a la proyección horizontal y como segunda a la vertical. Así, el punto A se representará por su proyección AA’.

-Las rectas se designan con letras minúsculas, siguiendo el

mismo criterio de notación para sus proyecciones que en el punto. -Los planos se designan con mayúsculas

Plano bisector es el que divide cada diedro en dos partes

iguales. Hay dos, el primero y el segundo. Y dividen el sistema

en 8 octantes. Todos los puntos situados en los bisectores

tienen la misma cota que alejamiento.

Representación de distintos puntos en el espacio y en proyección

8.4.-LA RECTA

Las proyecciones de una recta

son dos rectas, una en el plano horizontal

y otra en el vertical. Se obtienen

efectuando la proyección de dos de sus

puntos sobre cada uno de los planos de

proyección. Para definirla, se utilizan sus

trazas: puntos en los cuales la recta

corta a los planos de proyección. Aunque

hay algunas posiciones de rectas que

solo tienen una, o incluso ninguna traza,

la mayoría tienen dos, una traza vertical

(v’)y otra horizontal (h). El punto de

corte de la recta con el plano vertical será

la traza vertical (v’) y el punto de corte

con el plano horizontal la traza horizontal (h). Una vez que conocemos las trazas v’ y h de la recta R, para

obtener sus proyecciones vertical y horizontal, hemos de obtener las proyecciones de estos puntos. v’ es él

mismo y v se obtiene trazando una perpendicular a LT. La proyección horizontal r se obtendrá uniendo v

con h, que ya la teníamos. La proyección vertical r’ igual: h ya la tenemos y h’ se obtiene trazando una

perpendicular a LT; sólo queda unir h’ con v’.

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Trazamos desde las trazas (v’ y h) perpendiculares a la línea de tierra, y, donde corte con la línea de tierra,

lo unimos con la otra traza, obteniéndose así las dos proyecciones de la recta: r’ y r. h h’ y vv’ son las trazas,

puntos (por lo que forman siempre una perpendicular con la línea de tierra) donde la recta corta a los planos

de proyección.

Así, si nos dan las trazas v’ y h de una recta R, para obtener sus proyecciones:

Para determinar las trazas si conocemos las proyecciones, se procede a la inversa: se trazan

perpendiculares a la LT por los puntos en que se corta la proyección con la LT (v y h’). La intersección de

las proyecciones con estos puntos serán las trazas.

Las trazas con los bisectores son puntos notables de la recta: el punto en que la recta corta al primer

bisector tendrá igual cota que alejamiento y sus proyecciones estarán situadas sobre las proyecciones de la

recta, una a cada lado de la LT. En el caso del 2º bisector, aparecerán confundidos en un solo punto.

Partes vistas y ocultas de una recta

Para determinar la parte vista y oculta de una recta, hay que tener presente que al observador se le

supone situado en el primer diedro, por lo que sólo serán vistas las figuras situadas dentro de él.

Resumiendo:

-Si son vistas las dos trazas de una recta, el segmento determinado por ellas será visto (recta r)

-Si una traza es vista y la otra oculta (por no pertenecer al primer semiplano), quedará oculta la

semirrecta que contiene a su traza oculta y vista la otra (rectas s y t)

-Si las dos trazas son ocultas, toda la recta quedará oculta. (recta u)

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Posiciones relativas entre dos rectas

Dos rectas pueden:

a) Ser paralelas entre sí (Se cortarían en un punto en el infinito, impropio). Sus proyecciones en el

plano serán paralelas entre sí. Pero esto es condición necesaria, pero no suficiente: puede haber dos

proyecciones paralelas de dos rectas sin que éstas lo sean. Para que dos rectas sean paralelas, sus

proyecciones sobre los dos planos deben ser paralelas (el paralelismo se conserva en diédrico).

b) Cortarse, por lo que deben tener un punto en común: deben coincidir los dos puntos b y b’ en su

proyección, en una misma perpendicular a LT.

c) Cruzarse: no tienen ningún punto en común, ni propio ni impropio (aunque “ sus proyecciones en

el plano se corten).

Corte Cruce

Posiciones de la recta respecto al plano de proyección

La recta con respecto al plano puede ser paralela, perpendicular y oblicua.

a) Paralela al plano horizontal (recta horizontal): la proyección vertical sería una recta horizontal,

paralela a la LT y la horizontal, que se proyecta en verdadera magnitud, oblicua. Solo tiene traza vertical.

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b) Paralela al plano vertical (recta frontal): aquí

es al revés, la horizontal sería horizontal y paralela

a LT y la vertical oblícua y en verdadera magnitud.

Solo tiene traza con el plano horizontal.

c) Paralela a los dos planos de proyección

(paralela a LT): serían dos rectas horizontales y

paralelas

d) Recta perpendicular al plano horizontal: su

proyección horizontal es un punto y la vertical

una recta perpendicular. Sólo tiene traza

horizontal, que se confunde con el punto que es

la propia proyección.

e) Recta perpendicular al plano vertical

(Recta de punta): su proyección vertical es un

punto y la horizontal una recta perpendicular. Solo

tiene traza vertical.

Estas dos últimas, cortan a los bisectores en un punto (traza con los bisectores)

f) Rectas oblicuas a los planos de proyección: tienen una traza vertical y otra horizontal

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Las rectas contenidas o paralelas a los planos horizontal, vertical o de perfil se proyectan con respecto a cada uno

de ellos respectivamente en verdadera magnitud

g) Rectas de perfil: es la contenida en un

plano perpendicular al horizontal (plano de

perfil). Su proyección siempre es una recta

perpendicular a LT.

Las trazas de una recta de perfil no pueden obtenerse por el procedimiento indicado para una recta oblicua

cualquiera, debiéndose realizar un abatimiento:

Tenemos la recta de perfil rr’, definida por los puntos aa’ y bb’. Estos puntos se refieren sobre las

trazas de un plano auxiliar de perfil (PP’), obteniéndose la tercera proyección (r’’) de la recta al trazar arcos

de circunferencia con centro en el corte entre el plano y LT. Sus trazas v’ 1 y h1, referidas a la recta rr’, nos

dan v’h.

h) Recta contenida en el PH: la proyección

horizontal r, que se proyecta en verdadera

magnitud, se confunde con ella misma. La

proyección vertical r’ y su traza vertical están

sobre la LT.

i)Recta contenida en el PV: La proyección

vertical, que se proyecta en verdadera

magnitud, se confunde con ella misma. La

proyección horizontal y su traza horizontal

están sobre la LT.

v’1

h1

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R

r’

r

R r’

r

Pertenencias y relaciones con los planos bisectores

a) Recta contenida en el primer bisector

que corta a la LT: sus proyecciones r y r’,

que concurren en un punto de la LT, son

simétricas respecto a ésta

b) Recta contenida en el segundo bisector que corta a la LT: sus proyecciones se confunden,

concurriendo en un punto de la LT, donde coinciden las dos trazas

c) Recta paralela al primer bisector: una recta paralela al primer bisector es paralela a cualquier recta

contenida en él: trazamos la paralela contenida en el bisector, siendo la proyección horizontal paralela a la

simétrica de la vertical

d) Recta paralela al segundo bisector: una recta paralela al segundo bisector es paralela a cualquier recta

que esté contenida en él. Las proyecciones son siempre paralelas entre sí.

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e) Recta perpendicular al primer bisector: sus proyecciones son perpendiculares a la LT, una por encima

y otra por debajo de ésta, siendo sus trazas equidistantes de la misma.

f) Recta perpendicular al segundo bisector: sus proyecciones son perpendiculares a la LT, y se

confunden, así, con sus trazas

8.5.EL PLANO

Un plano se puede representar por medio de sus trazas, es decir, por sus intersecciones con cada

uno de los planos de proyección. Éstas son rectas, cuyas proyecciones respectivas, una coincidirá con el

mismo plano vertical u horizontal, y otra se situará siempre en la LT, por lo que se prescinde de ella. Cada

una de las trazas vertical y horizontal se designan con la misma letra que el plano (’).

Tercera proyección sobre un plano

de perfil: se puede obtener una tercera

proyección del plano, que sería una

recta de perfil, obteniéndose la traza de

perfil ’’, que se cortaría con las trazas

y ’ en m y m’.

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Posiciones del plano: un plano puede adoptar diferentes posiciones respecto a los planos de proyección:

Planos proyectantes: son todos aquellos perpendiculares a uno de los planos de proyección y

oblicuos a los otros.

-Plano vertical: es un plano proyectante

horizontal, es decir, perpendicular al

plano horizontal. Su traza vertical es

perpendicular a LT. Todos los puntos,

rectas o figuras contenidos en este plano

tienen su proyección horizontal

confundida con la traza horizontal del

plano.

-Plano de canto: es un plano

proyectante vertical, es decir,

perpendicular al plano vertical, su traza

horizontal es perpendicular a LT.

Cualquier elemento contenido en él tiene

su proyección vertical confundida con la

traza vertical del plano.

Plano horizontal: es un plano paralelo al

plano horizontal y perpendicular al

vertical. Su traza vertical es paralela a LT.

No tiene traza horizontal. Por ser

perpendicular al PV, todo elemento

contenido en este plano se proyectará

verticalmente sobre su traza vertical.

-Plano frontal: plano paralelo al vertical.

Solo tiene traza horizontal. Todo elemento

contenido en él se proyecta

horizontalmente sobre su traza horizontal.

-Plano de perfil: perpendicular a LT y a

los dos planos de proyección. Sus dos

trazas son perpendiculares a LT. Por

ser perpendicular a ambos planos, todo

elemento contenido en él se proyecta

horizontal y verticalmente sobre sus

trazas y ’ respectivamente.

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-Plano paralelo a LT: tiene sus

dos trazas paralelas a LT

-Plano que pasa por la LT: al

coincidir sus trazas con la LT, no

podemos definirlo por éstas. Para

definirlo, se utilizan las proyecciones

de un punto contenido en él y en un

plano de perfil.

-Plano paralelo al primer bisector: sus proyecciones vertical y horizontal son paralelas a la LT y siempre

confundidas en una misma recta

-Paralelo al segundo bisector: sus trazas son dos rectas paralelas a LT

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-Plano perpendicular al primer bisector: sus trazas son simétricas

respecto a LT, por lo que los ángulos formados por las trazas y LT son iguales.

-Plano perpendicular al segundo bisector: las trazas vertical y horizontal se confunden, formando el

mismo ángulo a uno y otro lado de la LT

Pertenencias

Recta contenida en un plano: para que una recta esté contenida en un plano, sus trazas han de ser

puntos de las trazas del plano, por lo que hay que hallar las proyecciones de estos puntos (v’h), de la forma

ya vista, trazando perpendiculares a LT desde v’ y h respectivamente, con lo que obtenemos las

proyecciones v y h’ de la recta.

Punto contenido en un plano: para que un punto pertenezca a un plano, debe pertenecer a una recta

contenida en este plano, es decir, debe estar contenido en sus dos proyecciones: el punto M (m’m) está

contenido en el plano por estar situado en las dos proyecciones r y r’ de la recta r, perteneciente a dicho

plano.

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RECTAS NOTABLES DEL PLANO

Recta horizontal: recta

situada en un plano y paralela al

plano horizontal. Su proyección

vertical es paralela a LT y la

horizontal paralela a la traza

horizontal del plano.

Recta frontal: recta paralela al plano vertical. Su proyección vertical es paralela a la traza vertical y

la horizontal paralela a LT.

Línea de máxima pendiente: Es la recta contenida en un plano que forma el mayor ángulo posible

con el plano horizontal. Es perpendicular a la traza horizontal, y su proyección horizontal también es

perpendicular a esa traza, en el punto h. Para hallarla, trazamos, por un punto de la traza horizontal (h), una

perpendicular a ésta, que corta a LT en v. Dibujamos una perpendicular a LT por v que nos da v’ en el corte

con ’, y una perpendicular a LT por h, obteniéndose h’. Sólo nos resta hallar las proyecciones r y r’,

uniendo v’h’ y vh.

Recta de máxima inclinación: aquella recta contenida en un plano que forma el mayor ángulo posible con

el plano vertical. Se halla igual que la anterior: hallando la perpendicular a la proyección vertical de la recta

frontal, y después su proyección horizontal.

de 1

Apellidos: Nombre:

Etapa: Nivel: Grupo: Número:

Actividad:

Fecha de entrega: jueves, 2 de abril de 2020 Fecha de recogida: lunes, 6 de abril de 2020

1. Revisa los apuntes que se adjuntan a este documento. Los primeros apartados son de repaso de

sistema diédrico: el punto y la línea. El último de estos apartados pertenece AL PLANO, que es donde

nos quedamos cuando terminaron las clases. Con calma, lee los apuntes, hazte algunas anotaciones al

igual que hacíamos en clase, y cuando termines de leerlos, accede al siguiente enlace para que puedas

ver un vídeo explicativo sobre el tema.

ENLACE AL VÍDEO:

Canal: Profesor de Dibujo PDD

https://www.youtube.com/watch?v=4WFsyjvJ2wY

- Apunta todas las dudas que te surjan tras ver el vídeo y tras leer los apuntes. Recuerda, que solamente

estamos haciendo una pequeña introducción para recordar la primera parte del tema, y para avanzar

un poquito más. No te agobies!

https://www.youtube.com/watch?v=4WFsyjvJ2wY

b) sistemas de representaciÓn · 2 days ago · - 53 - apuntes recogidos del epv. fuente nueva b)...

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