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HIDRAULICA DE

TUBERIAS Y CANALES

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Arturo Rocha FelicesConsultor de Proyectos Hidráulicos

Profesor Emérito de la Universidad Nacional de Ingeniería

HIDRAULICA DE

TUBERIAS Y CANALES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

i v

Primera Edición Enero 2007

Facultad de Ingeniería CivilUniversidad Nacional de IngenieríaAv. Túpac Amaru 210 Rímac LimaTeléfono 481 9845

Derechos Reservados®

Prohibida la reproducción total oparcial de este libro por cualquiermedio sin permiso expreso del autor.

Impreso en el Perú

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PRESENTACION

La Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Ingeniería se complace en presentara la comunidad universitaria y a la ingeniería nacional el Libro Hidráulica de Tuberías y Canalesdel Profesor Emérito de nuestra Universidad Dr.- Ing. Arturo Rocha Felices.

El Dr. Arturo Rocha Felices es Ingeniero Civil titulado en la UNI, Diplomado en IngenieríaHidráulica en Delft, Holanda y Doctor en Ingeniería en Hannover, Alemania. Es Profesor Eméritode la Universidad Nacional de Ingeniería y ejerce actualmente la docencia en la Sección dePostgrado de la Facultad de Ingeniería Civil en la Maestría en Ciencias con mención en IngenieríaHidráulica. El Laboratorio de Mecánica de Fluidos y Medio Ambiente de nuestra Facultad, quetiene fines principalmente de docencia, lleva el nombre del distinguido profesor Dr. Arturo RochaFelices. El Dr. Rocha es Miembro Titular de la Academia Peruana de Ingeniería.

El Dr. Rocha ha realizado una destacada labor profesional como consultor de ProyectosHidráulicos, habiendo participado en los principales proyectos de aprovechamiento y control delos recursos hidráulicos a nivel nacional. Es además un prolífico autor, en distintos temasrelacionados a la Ingeniería Hidráulica, tales como: Agua y Recursos Hidráulicos, Embalses,Estructuras Hidráulicas, Fenómeno de El Niño, Hidráulica Fluvial, Hidráulica General, Irrigaciones,Modelos Hidráulicos y Transporte de Sedimentos. El autor ha publicado ocho libros y más deochenta de artículos, folletos, ponencias en congresos y conferencias.

En una entrevista reciente el Dr. Rocha indica que estamos pagando las consecuencias de notener un Plan de Desarrollo, que involucre el aprovechamiento de los recursos hidráulicos. Endicha entrevista establece lo alarmante que es la poca relación que existe entre la ocupaciónterritorial en el Perú y la disponibilidad del agua. En la Costa, que es un inmenso desierto, habitael 53% de la población peruana y en ella sólo se dispone del 2% de los recursos hidráulicossuperficiales del país.

Los temas del agua y de su aprovechamiento son de suma importancia en el Perú. Por estarazón la obra Hidráulica de Tuberías y Canales es una gran contribución del autor al conocimientode la ingeniería hidráulica, tanto para los estudiantes de ingeniería civil cuanto para los profesionalesde la especialidad.

Dr. Jorge Alva HurtadoDecano (a.i.)

Facultad de Ingeniería CivilUniversidad Nacional de Ingeniería

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PROLOGO

Los proyectos de ingeniería hidráulica son muy importantes para el desarrollo de los pueblos.En el Perú, país que tiene características geográficas físicas muy variables a lo largo de suterritorio, la ingeniería hidráulica ha jugado un papel muy importante en su desarrollo desdela época preincaica. Dentro de este campo, el conocimiento de la hidráulica de tuberías ycanales es esencial para el diseño de muchas estructuras hidráulicas.

Este libro de Hidráulica de Tuberías y Canales, por su contenido, tiene como principalobjetivo servir de texto básico para preparar debidamente en esta área a los futuros ingenierosy estudiantes de postgrado. También es un libro muy valioso para los ingenieros que realizansus actividades en el campo de la ingeniería hidráulica

El autor, Dr. Arturo Rocha Felices, Profesor Emérito de la Universidad Nacional de Ingeniería,basándose en su vasta experiencia profesional, de docente e investigador, ha escrito estelibro el cual es preciso y fundamental, donde la explicación de las teorías hidráulicas estánsimplificadas de tal manera que es fácil su entendimiento.

Respecto al contenido, el libro tiene nueve capítulos, los dos primeros capítulos tratan de lahidráulica de canales y tuberías en general, los capítulos del tercero al quinto tratan sobrehidráulica de tuberías, los capítulos del sexto al octavo tratan sobre hidráulica de canales, yel capítulo noveno trata sobre vertederos. En cada capítulo se dan ejemplos ilustrativos y sepresenta una relación de problemas para ejercicios.

Felicito al prestigioso Dr. Arturo Rocha Felices, autor de muchos libros sobre la IngenieríaHidráulica y de quien tengo el honor de ser su amigo, por haber escrito este valioso libro quenos servirá a nosotros los profesores universitarios de ingeniería como texto base en laenseñanza de la mecánica de fluidos.

Ing. Edgar Rodríguez ZubiateDirector del Laboratorio Nacional de Hidráulica

i x

PALABRAS PRELIMINARES DEL AUTOR

Este es un libro que pretende ser muy sencillo, en el que presento los conceptos fundamentalesacerca del flujo en tuberías y canales y que está dirigido fundamentalmente a los estudiantesuniversitarios de los cursos de Hidráulica y de Mecánica de Fluidos. He buscado una redacciónclara, una exposición detallada y un fortalecimiento de los conceptos fundamentales delflujo en conductos. El libro pretende tener un carácter propedéutico con respecto a cursosaplicados y al ejercicio profesional. Es un libro pensado y escrito en castellano desde laperspectiva de nuestra realidad universitaria y profesional.

La preparación de este libro ha tomado muchos años, pues es el producto de las clases deMecánica de Fluidos II que he dictado en la Facultad de Ingeniería Civil de la UniversidadNacional de Ingeniería. El libro tiene deducciones detalladas, ejemplos resueltos y problemaspropuestos. Todos ellos inspirados en su mayor parte en el ejercicio profesional de cada día.

El libro consta de nueve capítulos. Los siete primeros aparecieron publicados en forma defolletos a partir de 1971. El texto que ahora se presenta ha sido íntegramente revisado,actualizado, cuando ha sido necesario, y complementado debidamente. Al publicar estelibro no puedo dejar de recordar y agradecer a mis numerosos alumnos quienes fueron mifuente principal de inspiración. Con sus preguntas e inquietudes contribuyeron en suoportunidad a la búsqueda de claridad en la redacción y en la exposición de los conceptos.

Agradezco también a los varios jefes de práctica que me acompañaron durante el dictadode clases, en especial a los ingenieros Edgar Rodríguez Zubiate y Guillermo Maisch Molina,cuya contribución en la preparación de los problemas fue muy importante. Agradezcoasimismo a las autoridades universitarias que han hecho posible la aparición de este libro. Aldoctor Javier Piqué del Pozo, quien cuando fue decano de la Facultad acogió la idea de ladirección de la Escuela de Ingeniería Civil de publicar el libro y dispuso las labores necesariaspara la composición del texto, la cual, así como los dibujos, diagramación general y preparaciónde la edición en su presentación final, fueron realizados en una meritoria y paciente laborpor el bachiller en ingeniería civil Marlon Gala García y terminados en el año 2003.

Merece un especial agradecimiento el Dr. Jorge Alva Hurtado, decano a.i. de la Facultadde Ingeniería Civil, a la fecha, quien ordenó la impresión del libro que ahora se presenta a lacomunidad universitaria y el ingeniero Edgar Rodríguez Zubiate, Director del LaboratorioNacional de Hidráulica, por la preparación del prólogo y por sus esfuerzos continuados porlograr su publicación.

A.R.F.

Enero, 2007

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CAPITULO I INTRODUCCION

1.1 Objetivo del libro

1.2 Esquema del contenido general

1.3 Diferencias entre canales y tuberías

1.4 Tipos de flujo

1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía

1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal

1.7 Efecto de la viscosidad

1.8 Efecto de la gravedad

1.9 Concepto de distribución de velocidades

1.10 Coeficiente de Coriolis

1.11 Coeficiente de Boussinesq

1.12 Discusión de los valores de α y β1.13 Relación entre los coeficientes α y β1.14 Otros estudios sobre los coeficientes α y β1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal

Problemas propuestos

1

1

3

4

7

9

11

15

15

21

23

24

25

27

32

38

CONTENIDO

Presentación v

Prólogo vii

Palabras Preliminares del Autor ix

Indice de Figuras xvi

Indice de Tablas xxi

Lista de Símbolos Principales xxiii

xii

43

46

52

55

62

69

72

75

76

79

82

87

91

94

95

98

101

103

104

109

CAPITULO II MOVIMIENTO UNIFORME

2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías

2.2 Relación entre el corte y la inclinación

2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad

media para un canal muy ancho con movimiento laminar

2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad

media para una tubería con movimiento laminar

2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para el

movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso

2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en

conductos lisos

2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para el

movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso

2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en

conductos rugosos

2.9 Obtención de la ecuación de Chezy

2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e

hidráulicamente rugosos

2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl


CAPITULO III LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO

UNIFORME

3.1 Ecuación de Darcy

3.2 Significado del coeficiente f de Darcy ( en tuberías circulares)

3.3 Tuberías hidráulicamente lisas

3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de

Nikuradse

3.5 Introducción del coeficiente f de Darcy en las ecuaciones de

distribución de velocidades

3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de

Colebrook - White

3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales.

Errores

3.8 Tuberías de sección no circular

xiii

3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades

3.10 Concepto de capa límite

3.11 Espesor de la capa límite

3.12 Desarrollo de la capa límite

3.13 La separación. Expansión de un conducto


CAPITULO IV DISEÑO DE TUBERIAS

4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea

piezométrica

4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo

4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento)

4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales

4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar)

4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes

4.7 Tuberías en serie

4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación

4.9 Tubería con boquilla convergente final

4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo


CAPITULO V DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES

5.1 Tuberías en paralelo

5.2 El problema de los tres reservorios

5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos

5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente

5.5 Conducto que da servicio (filtrante)

5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo

5.7 Fórmula de Hazen y Williams

5.8 Diseño de una conducción

5.9 Diámetro más económico

5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross


Problemas complementarios

111

121

123

125

126

130

135

138

150

163

166

168

170

174

177

180

186

193

199

205

210

211

215

218

223

228

229

237

249

xiv

CAPITULO VI CALCULO DE CANALES

6.1 Condiciones normales

6.2 Fórmulas antiguas

6.3 Fórmula de Manning

6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n a

emplearse en la fórmula de Manning

6.5 Determinación de la sección transversal

6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)

6.7 Concepto de borde libre

6.8 Cálculo de canales de sección compuesta

6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno


CAPITULO VII ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA

7.1 Energía específica

7.2 Energía específica a gasto constante

7.3 Sección rectangular

7.4 Sección parabólica

7.5 Sección triangular

7.6 Sección trapecial

7.7 Sección circular y otras secciones

7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica

7.9 Pendiente crítica mínima (pendiente límite, SL )

7.10 Transiciones

7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la

energía específica

7.12 Fuerza Específica (Momenta)

7.13 Salto hidráulico

7.14 Descarga por una compuerta de fondo


CAPITULO VIII MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO

8.1 Introducción

8.2 Definiciones fundamentales

257

260

265

271

272

281

288

292

296

317

323

325

335

347

350

353

361

365

369

371

377

378

382

387

389

395

399

x v

8.3 Ecuación general del movimiento gradualmente variado

8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico

8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado

8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)

8.7 Curva de remanso


CAPITULO IX VERTEDEROS

9.1 Objeto de los vertederos. Tipos

9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga

9.3 Fórmula de Francis

9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares

9.5 Vertederos triangulares

9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti

9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos

9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)

9.9 Vertederos laterales

9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error

en la medición de la carga

9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero

9.12 Vertedero sumergido


Tablas Generales

Referencias Bibliográficas

401

407

409

418

423

451

455

466

469

471

478

483

485

487

490

492

493

497

502

506

509

512Otras publicaciones del autor

xvi

INDICE DE FIGURASFigura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías 3

Figura 1.2 Esquema de un piezómetro 4

Figura 1.3 Tipos de flujo 5

Figura 1.4 Movimientos variados 6

Figura 1.5 Teorema de Bernoulli 8

Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal 10

Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho 10

Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para

varios fluidos 13

Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de la temperatura para

diferentes gases y líquidos 14

Figura 1.8c Viscosidad dinámica en función de la temperatura para

varios tipos de aceite 14

Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal 16

Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería 17

Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento 17

Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar 18

Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal) 18

Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial 19

Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales 19

Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo 20

Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos 20

Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss 28

Figura 1.19 Ecuación de la energía 33

Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (mediciones) 35

Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal 44

Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería 45

xvii

Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho 46

Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal 48

Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería 49

Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y

(b) en una tubería 51

Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar 53

Figura 2.8 Subcapa laminar 65

Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la

distribución de velocidades 67

Figura 2.10 Flujo a través de un anillo 71

Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso 73

Figura 2.12 Coeficiente C de Chezy 78

Figura 2.13 Aspereza del contorno 80

Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse 80

Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería 91

Figura 3.2 Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas 98

Figura 3.3 Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas 99

Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse 100

Figura 3.5 Flujo paralelo 122

Figura 3.6 Generación de una capa límite 122

Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite 123

Figura 3.8 Espesor de la capa límite 124

Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta 126

Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones 127

Figura 3.11 Fenómeno de la separación 127

Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión 128

Figura 3.13 Aparición de contracorrientes 128

Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería 135

Figura 4.2 Abaco de Moody 140

Figura 4.3 Pérdida de carga local 150

Figura 4.4 Gráfico de Gibson (ensanchamiento gradual) 155

xviii

Figura 4.5 Contracción brusca 157

Figura 4.6 Tuberías en serie (dos tramos) 170

Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos) 171

Figura 4.8 Esquema de un sifón 175

Figura 4.9 Tubería con boquilla convergente final 178

Figura 4.10 Presencia de una bomba 180

Figura 4.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo 181

Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo 193

Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo 194

Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo 194

Figura 5.4 Tubería ramificada 196

Figura 5.5 Tres reservorios 199

Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular) 200

Figura 5.7 Cuatro reservorios 202

Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos 206

Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente 210

Figura 5.10 Conducto que da servicio 211

Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante 214

Figura 5.12 Diseño de una conducción 223

Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción 224

Figura 5.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8 227

Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías 230

Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que se

caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m 274

Figura 6.2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow) 278

Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation 290

Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales 291

Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno 297

Figura 6.6 Características geométricas en una sección circular 301

Figura 6.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular 302

Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica 324

xix

Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante 326

Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante 334

Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular 336

Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal

rectangular 339

Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante 342

Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3 344

Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico 348

Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular 351

Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow) 358

Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas 363

Figura 7.11 Grada positiva en un río 373

Figura 7.12 Grada negativa en un río 373

Figura 7.13 Grada positiva en un torrente 374

Figura 7.14 Grada negativa en un torrente 374

Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva 375

Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales 375

Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la

Energía Específica 378

Figura 7.18 Gráfico para la deducción de la ecuación de la Fuerza

Específica 378

Figura 7.19 Fuerza Específica 380

Figura 7.20 Salto hidráulico 382

Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo 387

Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo 396

Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente 397

Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida 399

Figura 8.4 Ríos y torrentes 400

Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes 400

Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado 402

Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con cyy = 408

x x

Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso 426

Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante

maxy determinado por la condición de entrega al lago. 427


miny determinado por la grada. 427

Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada 456

Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre 457

Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida 459

Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente

en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada. 460

Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet 461

Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos 463

Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c) 464

Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente 464

Figura 9.9 Otros tipos de vertederos 465

Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un

vertedero rectangular 466

Figura 9.11 Gráfico para la determinación de LK 473

Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial 474

Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares 481

Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti 485

Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en

cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones. 486

Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa 488

Figura 9.17 Vertedero lateral 491

Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero 493

Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido 497

Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de

un vertedero sumergido 498

xxi

INDICE DE TABLAS

Tabla 1.1 Valores aproximados de α y β (Kolupaila) 25

Tabla 1.2 Factores adimensionales para las ecuaciones de Strauss 30

Tabla 2.1 Valores de la rugosidad absoluta κ 74

Tabla 4.1 Valores de f para el agua 144

Tabla 4.2 Coeficientes de Weisbach para contracciones bruscas 158

Tabla 4.3 Pérdidas de carga locales 160

Tabla 4.4 Valores de la rugosidad absoluta k 185

Tabla 5.1 Intensidad de aumento de la rugosidad 216

Tabla 5.2 Coeficientes de Hazen y Williams 219

Tabla 5.3 Cálculos del ejemplo 5.9 236

Tabla 6.1 Valores de la rugosidad absoluta k 259

Tabla 6.2 Valores del coeficiente n de Kutter que generalmente se

usan en los diseños 262

Tabla 6.3 Valores del coeficiente m de rugosidad a usarse en la

fórmula de Kutter para pendientes mayores que 0,0005 263

Tabla 6.4 Valores del coeficiente G de rugosidad a utilizarse en la

fórmula de Bazin 264

Tabla 6.5 Tabla de Cowan para determinar la influencia de diversos

factores sobre el coeficiente n 273

Tabla 6.6 Secciones circulares parcialmente llenas 304

Tabla 6.7 Propiedades hidrálicas de conductos circulares 309

Tabla 6.8 Propiedades hidráulicas de conductos en herradura 311

Tabla 6.9 Sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica 313

Tabla 6.10 Secciones de máxima eficiencia hidráulica 315

Tabla 6.11 Elementos geométricos de diversas secciones 316

xxii

Tabla 7.1 Ejemplo 7.3 (q = 1 m3/s/m) 345

Tabla 7.2 Secciones críticas ( E = yc + Vc /2g ) 360

Tabla 8.1 Resumen de la discusión de los seis casos del movimiento

gradualmente variado 416

Tabla 8.2 Función de flujo variado para pendientes positivas y negativas 436

Tabla 9.1 Coordenadas características de una napa vertiente libre 458

Tabla 9.2 Coeficientes en vertederos triangulares 481

Tabla 9.3 Coeficientes en vertederos de cresta ancha 490

Tabla 9.4 Ejemplo 9.2 496

Tabla 9.5 Valores de N para usarse en la fórmula 9-41 499

2

xxiii

LISTA DE SIMBOLOS PRINCIPALES

A Area de la sección transversal

AS Area de la sección transversal de salida

α Rugosidad absoluta

α Altura de una grada

B Ancho de fondo

b Ancho

b Longitud de la cresta de un vertedero

b.l Borde libre

C Coeficiente de Chezy

C Coeficiente de Hazen y Williams

c Coeficiente de descarga en vertederos

c Coeficiente de contracción

c Coeficiente de velocidad

D Diámetro de la tubería

d Tirante hidráulico

E Energía

e Constante de los logaritmos neperianos

F Número de Froude

F Fuerza debida a la fricción

f Coeficiente de Darcy

G Coeficiente de rugosidad de Bazin

H Carga de agua

H Energía total con respecto a un plano de referencia

H Energía suministrada por una bomba

H Altura de succión

H Altura de impulsión

hf Pérdida de carga o energía

f

bomba

c

v

H

S

i

xxiv

Altura del salto hidráulico

Pérdida de carga local

Pérdida de carga por rozamiento

Pérdida de carga por la formación de vórtices

Energía de velocidad o cinética

Coeficiente de pérdida de carga

K Factor de capacidad

K Factor de capacidad para condiciones normales

Rugosidad absoluta

Rugosidad inicial (al ponerse en servicio el conducto)

Rugosidad después de transcurrido el tiempo t

L Longitud de un vertedero

L Longitud equivalente

L. E. Línea de energía

L. P. Línea piezométrica o de gradiente hidráulica

Exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas

m Relación de máxima eficiencia hidráulica

m Coeficiente de rugosidad para la fórmula de Kutter

N Exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme

N Coeficiente de reducción de carga en un vertedero sumergido

n Coeficiente de Kutter

n Parámetro característico de la curva de distribución de velocidades

P Umbral de un vertedero

P Perímetro

P Fuerza hidrostática

P Presión

P Presión absoluta de vaporización

Potencia

Caudal o gasto

Gasto para un flujo normal

n

e

v

loch

rozh

vorth

VhK

k

0k

tk

M

Pot

Q

nQ

GRABACION02

Cuadro de texto

hi

xxv

cQ Gasto crítico

q Caudal o gasto específico

Radio hidráulico

Número de Reynolds

r

, Radio de la tubería

S

Pendiente

S Pendiente media

cS Pendiente crítica

ES Pendiente de la línea de energía

LS Pendiente límite

WS Pendiente de la superficie libre

0S Pendiente del fondo

Ancho superficial

Temperatura

Velocidad media

Velocidad crítica

Velocidad a la distancia h del contorno

maxV Velocidad máxima

*V Velocidad de corte

W Peso

w Velocidad de caida de una partícula

Tirante

Eje de coordenadas

Tirante crítico

ny

Tirante normal

y Profundidad del centro de gravedad

Z Factor de sección

Factor de sección para flujo crítico

z

Elevación con respecto a un plano de referencia

R

Re

or

T

TV

cV

hV

yy

cy

cZ

GRABACION02

Sello

GRABACION02

Sello

GRABACION02

Cuadro de texto

S

GRABACION02

Sello

GRABACION02

Sello

GRABACION02

Cuadro de texto

.

xxvi

α Coeficiente de Coriolis

α1 Velocidad de aumento de la rugosidad

β Coeficiente de Boussinesq

δ Espesor de la subcapa laminar

δL

Espesor de la capa límite laminar

δ T

Espesor de la capa límite turbulenta

κ Constante de Karman

ρ Densidad del fluido

γ Peso específico

η Eficiencia de una bomba

μ Viscosidad dinámica o absoluta

ν Viscosidad cinemática

τ Esfuerzo de corte

τ 0 Esfuerzo de corte sobre el fondo o el contorno

τh Esfuerzo de corte a la distancia h del contorno

τ 0 Esfuerzo medio de corte sobre el fondo

θ Angulo

ΔΕ Variación de energía

Δp Diferencia de presiones

1

IntroducciónCapítulo I

1.1 Objetivo del libro

El objetivo de este libro es proporcionar al lector los conocimientos fundamentales de Hidráulicay Mecánica de los Fluidos que se requieren para el diseño de tuberías y canales y para otrasaplicaciones de Hidráulica General. En este libro se presenta el modo de predecir elescurrimiento y los fenómenos de corriente para ciertas condiciones dadas. De otro lado, seofrece también los conocimientos básicos para el estudio posterior de Hidráulica Fluvial,Irrigación, Drenaje, Abastecimientos de Agua, Hidroelectricidad, etc.

El desarrollo de los temas se apoya en conceptos básicos de Mecánica de Fluidos adquiridosanteriormente en los siguientes temas: Hidrostática, Cinemática de los Fluidos, Ecuacionesde Euler, Navier-Stokes y Bernoulli, Semejanza Hidráulica y Análisis Dimensional.

En la Hidráulica de tuberías y canales trabajaremos con fluidos reales como agua, aceite opetróleo. Al tener estos fluidos viscosidad habrá que admitir la existencia de tensiones tangencialesen el interior de la masa fluida y tendremos que apartarnos de la Hidrodinámica clásica.

1.2 Esquema del contenido general

Este libro consta de nueve capítulos cuyo contenido sintético es el siguiente

Capítulo I: Introducción.Objetivos. Tipos de flujo. Efecto de la gravedad y de la viscosidad. Concepto de distribuciónde velocidades. Coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Comparación entre tuberías y canales.

CAPITULO IINTRODUCCION

2

Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales

Capítulo II. Movimiento uniforme.Ecuaciones de distribución de velocidades para el flujo laminar y turbulento. Conceptos derugosidad, contorno liso y subcapa laminar. Fórmulas de la velocidad media. Ecuación deChezy.

Capítulo III. La resistencia en el movimiento uniforme.Ecuación de Darcy, Ecuación de Blasius. Ecuaciones de resistencia de Karman-Prandtl.Gráfico de Nikuradse. Ley exponencial de distribución de velocidades. Errores. Conceptode capa límite. El fenómeno de separación.

Capítulo IV. Diseño de tuberías.Abaco de Moody. Cálculo de la pérdida de carga, diámetro y gasto. Cambio de la rugosidadcon el tiempo. Pérdidas de cargas locales. Tubería equivalente, Tubería en serie. Sifón.Bombeo.

Capítulo V. Diseño de conducciones y redes.Tuberías en paralelo. Fórmula de Hazen y Williams. Problema de los tres reservorios.Conducto que da servicio. Otros sistemas indeterminados. Redes. Método de Hardy Cross.

Capítulo VI. Cálculo de canales.Flujo normal. Fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin y Manning. Discusión del coeficiente

n . Cálculo de la sección de un canal. Sección de máxima eficiencia hidráulica. Conceptosde borde libre. Rugosidad compuesta. Sección circular parcialmente llena.

Capítulo VII. Energía específica y Momenta.Significado de la energía específica. Régimen crítico: ríos y torrentes. Cálculo de la velocidadcrítica. Ecuación de la cantidad de movimiento. Concepto de momenta. Salto hidráulico.Su uso como disipador de energía.

Capítulo VIII. Movimiento gradualmente variado.Hipótesis general para su estudio. Ecuación del eje hidráulico. Pendiente suave y pendientefuerte. Discusión de la ecuación del eje hidráulico y presentación de los seis casos delmovimiento gradualmente variado. Cálculo de la curva de remanso.

Capítulo IX. Vertederos. Su objeto y uso. Tipos.Su objeto y uso. Tipos. Fórmula General. Vertederos rectangulares, triangulares y trapeciales.Vertedero de cresta ancha. Vertedero Sumergido.

3


1.3 Diferencias entre canales y tuberías

Son varias las diferencias que pueden establecerse entre el flujo en un canal y en una tubería.

El canal tiene una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. En la tubería ellíquido está confinado. Es un conducto cerrado. Hay presión ejercida por el fluido sobre elcontorno. (Figura 1.1).

La diferencia entre un canal y una tubería no está, pues, en la forma de la sección transversal,sino en el comportamiento hidráulico.

Superficie libre

TUBERIA CANAL

Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías

En las tuberías la presión ejercida por el fluido en cada punto está representada gráficamentepor la altura que alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) conectado a la tubería,tal como puede verse en la Figura 1.2 en la que p es la presión y γ es el peso específicodel fluido. La altura que alcanza el fluido en el piezómetro, referida a un plano horizontal,se denomina cota piezométrica.

ãpz caPiezométri Cota += (1-1)

(1-2)

γp

h =

En los canales por lo general el flujo es agua, en cambio en las tuberías puede tratarse decualquier fluido (líquido o gaseoso).

El flujo en un conducto cerrado, que pueda tener la forma de una tubería, no esnecesariamente un escurrimiento a presión. Tal sería el caso de un túnel o un conducto dedesagüe en el que, por estar parcialmente lleno, haya una superficie libre (Figura 1.15c). Alhaber contacto con la atmósfera, a través de la superficie libre, el conducto es hidráulicamenteun canal.

hz caPiezométri Cota +=

4


Piezómetro

Plano de referencia

h

z

Figura 1.2 Esquema de un piezómetro

En lo que respecta a tuberías la forma más común es la circular, pero no es la única. Haytuberías de diferentes formas: sección cuadrada, rectangular, etc. Otra de las diferenciasentre ambos conductos está en la calidad de paredes; es decir en el grado de rugosidad delcontorno. Las tuberías suelen ser de acero, hierro fundido, asbesto cemento, policloruro devinilo, polietileno o poliester reforzado con fibra de vidrio, materiales cuyos grados deaspereza no son muy diferentes. En cambio los canales pueden tener superficies lisas comolas anteriores o muy rugosas como aquellos con revestimiento de albañilería de piedra.

En general se puede decir que los problemas en canales son más complejos que losproblemas en tuberías. En una tubería dada la sección transversal es rígida y determinada.Un aumento en el gasto conlleva un aumento en la velocidad.

En cambio en un canal hay una superficie libre. Un aumento en el gasto representa unavariación en la sección.

La sección de una tubería es en la mayor parte de los casos circular. Un canal puede serde ordinario rectangular, trapecial, semicircular o de forma cualquiera.

A pesar de las diferencias que han sido expuestas entre tuberías y canales es posibleestudiar en conjunto su funcionamiento hidráulico.

1.4 Tipos de flujo

Se denomina movimiento permanente a aquél que, en una sección determinada, no presentavariaciones de sus características hidráulicas con respecto al tiempo. Es decir, que en una

5


sección dada el gasto, presión, velocidad, etc. permanecen constantes a lo largo del tiempo.Se dice que durante dicho intervalo el movimiento es permanente.

El movimiento permanente es fácil de comprender, pero difícil de encontrar en la naturaleza.

Si observamos un río durante varias horas, quizá tengamos la impresión que su caudal nocambia, pero en realidad hora a hora, minuto a minuto, se están produciendo variaciones-aumentos o disminuciones- en el gasto y por lo tanto en la velocidad y en todas lascaracterísticas hidráulicas. Hay impermanencia.

Podemos encontrar movimiento permanente en la descarga de una tubería que se alimentade un estanque cuyo nivel permanece constante (Figura 1.3).

Nivel de la superficie libre

Q

Figura 1.3 Tipos de flujo

Se denomina movimiento impermanente a aquel que, en una sección determinada, presentavariaciones de sus características hidráulicas a lo largo del tiempo. Así por ejemplo, siobservamos la descarga de una tubería, como la de la Figura 1.3, en la que ahora suponemosque el nivel de la superficie libre es variable (un nivel descendente correspondería a uncaso real) se tendría que el gasto, presión, velocidad, etc. en una sección cualquiera de latubería también serán variables con respecto al tiempo: se dice entonces que el flujo no espermanente. Es impermanente. Es variable.

Hay otros casos de movimiento no permanente que podrían presentarse. Por ejemplo, enuna tubería en la que bruscamente cerramos una válvula situada en su extremo se produciráuna onda de sobrepresión que se propaga hacia aguas arriba. En una sección cualquierahabrá impermanencia porque las condiciones hidráulicas son variables con el tiempo. Estefenómeno de sobreelevación súbita de la presión se denomina golpe de ariete.

Se dice que un tramo de canal o tubería tiene movimiento uniforme cuando las característicashidráulicas son las mismas -es decir, son constantes- para cualquier sección de dicho

6


tramo. Así por ejemplo, una tubería de sección transversal constante que se alimenta de unestanque en el que el nivel se mantiene invariable, se dice que tiene movimiento uniformeporque en todas las secciones transversales son constantes la presión, velocidad, área, etc.

El movimiento es variado cuando en un tramo cambia la sección transversal, velocidad,presión o cualquier otra característica hidráulica.

Si la variación se produce en una pequeña longitud se dice que el movimiento es rápidamentevariado. Ejemplo típico sería la presencia de una grada en un canal. Sobre la grada hayfuerte curvatura de las líneas de corriente y rápida variación de la velocidad: es unmovimiento rápidamente variado, M. R. V. (Ver Figura 1.4).

Se llama movimiento gradualmente variado a aquel en el que la variación de lascaracterísticas hidráulicas se produce suavemente, lentamente a lo largo de una granlongitud. De acá su nombre de gradual.

Si tenemos un canal con movimiento uniforme en el que hay una grada o caída habrá unacierta extensión en la que se desarrolla un movimiento que es una especie de transición oempalme entre el movimiento uniforme, que hay en el canal fuera de la zona de influenciade la grada, y el movimiento rápidamente variado que, como se señaló anteriormente, seproduce sobre la grada. Ese tramo de transición o empalme es un movimiento gradualmentevariado M. G. V. (Figura 1.4)

M. uniforme M. G. V. M. R. V.

y

Figura 1.4 Movimientos variados

En el ejemplo de la Figura 1.4, el movimiento deja de ser uniforme cuando hay un cambio

en el tirante y , por pequeño que sea este cambio. A partir de ese cambio el movimiento es

gradualmente variado.

No se puede establecer con precisión la sección en la cual un movimiento deja de sergradualmente variado para convertirse en rápidamente variado (M. R. V.).

7


Hay muchos movimientos que estrictamente considerados son impermanentes o variados,pero que desde el punto de vista del ingeniero, interesado en la solución de un problemapráctico y real, se pueden considerar como permanentes y uniformes. El movimientorápidamente variado se estudiará para algunos casos específicos.

Nuestro estudio incidirá preferentemente en el movimiento permanente y uniforme. Eséste el más frecuente en los problemas de ingeniería.

Resumiendo los conceptos anteriores señalamos que la no uniformidad es la variación delrégimen de corriente con respecto al espacio y que la variabilidad es el cambio del régimende corriente con respecto al tiempo.

Debe tenerse presente que en cualquier caso en el que se hable de cambio de velocidad, éstepuede ser tanto en magnitud como en dirección.

En los ejemplos anteriores caudal o gasto Q significa el volumen de fluido que pasa en launidad de tiempo por una sección determinada. Sus dimensiones son L3 T-1. Cuando secalcula el gasto por unidad de ancho se llama gasto específico. Sus dimensiones son L2 T-1.

Para los fluidos compresibles la ley de conservación de la materia exige que la cantidad defluido que pasa por cada sección en la unidad de tiempo sea constante

constanteAV =ρ

siendo ρ la densidad del fluido, A el área de la sección transversal y V la velocidadmedia de la corriente. En el flujo incompresible la densidad es constante y la ecuación decontinuidad es

constanteQVAVA === 2211 (1-3)

A la relación entre el gasto y el área de una sección se le denomina velocidad media

AQ

V = (1-4)

1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía

La forma más conocida del teorema de Bernoulli es

constantezp

gV =++

γ2

2

(1-5)

8


La suma de los tres términos es constante a lo largo de una línea de corriente en un movimientopermanente e irrotacional (para un fluido ideal).

Cada uno de los tres términos tiene las dimensiones de una energía por unidad de peso delfluido.

V 2

g21

2V2

p

γ1

2p

γ

1z z 2

E

g2

Línea de corriente

Plano de referencia

1 2

Figura 1.5 Teorema de Bernoulli

Al primer término gV 22 , se le conoce con el nombre de energía de velocidad o energía

cinética y representa la altura desde la que debe caer libremente un cuerpo, que parte delreposo, para adquirir la velocidad V .

Los otros dos términos son la altura de presión y la elevación. Su suma representa laenergía potencial y constituye la cota piezométrica.

El teorema de Bernoulli significa que para una línea de corriente la suma de la energíacinética y la potencial es constante.

En una tubería o en un canal cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma deBernoulli. Su representación gráfica a lo largo de una línea de corriente se aprecia en la Figura1.5. En un fluido ideal (es decir, sin viscosidad), la energía E es igual en 1 y en 2.

Para un fluido real habría una pérdida de energía entre 1 y 2. En realidad no es energíaperdida, sino transformada en calor debido a la fricción.

La ecuación de la energía para un fluido real es entonces

2122

22

11

21

22 −+++=++ fhz

pg

Vz

pg

Vγγ (1-6)

9


o bien,

2121 −+= fhEE (1-7)

V es la velocidad de la corriente, p la presión, z la elevación con respecto a un plano

horizontal de referencia (los subíndices 1 y 2 corresponden a cada una de las dos seccionesconsideradas), γ es el peso específico del fluido, g la aceleración de la gravedad.

E es la energía total, 21−fh es la disipación (pérdida) de energía entre las secciones 1 y 2.

En un flujo paralelo se tendrá que la energía potencial (presión más elevación) es constantepara toda la sección transversal. La diferencia de energía entre una línea de corriente yotra se debe a la variación de la velocidad. En un flujo paralelo la distribución de presioneses hidrostática.

1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal

Hemos señalado que hidráulicamente se denomina canal al contorno en el que elescurrimiento tiene una superficie libre en contacto con la atmósfera.

Los canales pueden ser fundamentalmente de dos tipos: naturales y artificiales.

Los canales naturales son los ríos, torrentes, arroyos, etc. Tienen sección transversal irregulary variable y su estudio corresponde a la hidráulica fluvial. El fondo está constituido por partículassólidas en movimiento (arenas, limos, piedras, etc), y se le denomina lecho móvil. Ver Figura1.15d.

Los canales artificiales son construidos por el hombre. Tienen sección transversal regular. Sisu alineamiento es recto se denominan canales prismáticos.

Las tuberías son conductos a presión que pueden tener cualquier sección transversal.

Radio hidráulico ( R ). Es la relación que existe entre el área transversal y el perímetromojado de un conducto hidráulico.

PA

R = (1-8)

Para una tubería de sección circular se tiene

4D

R = (1-9)

10


es decir, que el radio hidráulico es la cuarta parte del diámetro, lo que puede obtenersefácilmente a partir de la definición general de la ecuación 1-8.

En un canal se debe tener en cuenta que sólo interviene el perímetro mojado, tal como semuestra en la Figura 1.6

A

T

P (Perímetro mojado)

y

Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal

Tirante hidráulico (d ) Es la relación que existe en un canal entre el área de la sección A

y el ancho superficial T .

TA

d = (1-10)

Tirante ( y ) Es la distancia vertical del punto más bajo del fondo del canal hasta la superficie

libre.

Radio hidráulico en un canal muy ancho

Cuando el ancho b de un canal o río es mucho mayor que el tirante, se dice que es uncanal muy ancho. Esto permite hacer un cálculo más rápido y fácil del radio hidráulico.

Figura 1.7 Radio hidráulico en un canalmuy ancho

byA =

ybP 2+=

(1-11)

y

b

by

yyb

byR

212 +=

+=

11


En un canal muy ancho la relación by es muy pequeña y se puede considerar que

yR = (1-12)

Es decir, que en un canal muy ancho el radio hidráulico es igual al tirante.

1.7 Efecto de la viscosidad

El efecto de la mayor o menor viscosidad del fluido sobre las condiciones del escurrimiento seexpresa por el parámetro adimensional denominado número de Reynolds.

El número de Reynolds (Re ) tiene por expresión

νVL=Re (1-13)

siendo

V : velocidad media del escurrimiento

L : longitud característica

ν : viscosidad cinemática que es igual a la relación que existe entre la viscosidad

dinámica o absoluta (µ ) y la densidad del fluido (ρ )

En una tubería se considera generalmente como longitud característica el diámetro de latubería

νVD=Re

Algunos autores, especialmente europeos, consideran como longitud característica el radiohidráulico

νVR=Re

y otros consideran como longitud característica el radio r de la tubería.

En los canales se considera el radio hidráulico para la definición del número de Reynolds.

La elección de la longitud característica es, pues, un asunto convencional. Cuando se mencionael número de Reynolds debe señalarse la forma en la que queda definido, o sea que se debeseñalar cual es la longitud característica.

12


El número de Reynolds representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas.Se dice que el flujo es laminar cuando las fuerzas viscosas son más fuertes que las deinercia. Caso contrario el flujo se denomina turbulento.

El valor del número de Reynolds que separa los escurrimientos laminares de los turbulentosse llama crítico y para una tubería cuyo número de Reynolds se define según el diámetrotiene un valor aproximado de 2 300. Si tuviéramos una tubería con flujo turbulento en la quepaulatinamente se va disminuyendo la velocidad llegará un momento en el que el flujo se hacelaminar. Esto ocurre con un número de Reynolds de 2 300. Si tuviéramos el caso inverso, unatubería con flujo laminar en la que progresivamente se va aumentando la velocidad, llegará unmomento en el que el flujo se haga turbulento. Para este caso no hay un límite definido; puedeocurrir para un número de Reynolds de 5 000, 10 000, o más, dependiendo de la naturaleza delas perturbaciones exteriores.

En un canal el número de Reynolds crítico está alrededor de 600, que correspondeaproximadamente a la cuarta parte del señalado para las tuberías. La explicación está enla ecuación 1-9.

El flujo laminar se presenta con más frecuencia en los fluidos muy viscosos (aceite, petróleo).En el agua (que tiene pequeña viscosidad) es poco frecuente, salvo en el flujo a través demedios porosos. El movimiento turbulento es el más frecuente en los problemas deingeniería.

La viscosidad absoluta µ o coeficiente de viscosidad dinámica, mide la relación entre un

esfuerzo y una velocidad de deformación. Sus dimensiones son ML-1 T-1 en el sistemaabsoluto y FL-2 T en el sistema gravitacional.

En el sistema gravitacional se mide en kg.s/m2. En el sistema absoluto se mide en gr-masa, centímetros y segundos. La unidad es el poise

scmmasagr 1poise 1−

−=

La viscosidad cinemática ν es la relación entre la viscosidad absoluta µ y la densidad ρ .

Sus dimensiones son L2 T-1. Su unidad es el stoke

scm 1stoke 1 2=

En las Figuras 1.8, se muestra para diferentes fluidos la variación de la viscosidad con latemperatura.

Las Figuras 1.8a, 1.8b y 1.8c han sido tomados del libro de Rouse, Hidráulica , EditorialDossat.

13


Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para variosfluidos (p.e. es el peso específico relativo)

Glicerina Fuel Oil(p.e. = 0,97)

Fuel Oil(p.e. = 0,94)

SAE 30 Helio

Hidrógeno

SAE 10

Petróleo crudo (p.e. = 0,93)

Metano

Aire y oxígeno

Amoníaco

Anhidrido carbónico

Salmuera (20% NaCl)

Petróleo crudo(p.e. = 0,86)

Benceno

Kerosene

Alcohol etílico

Agua

Tetracloruro de carbono

Gasolina(p.e. = 0,68)

Mercurio10

-7

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

8

6

4

2

4

2

6

8

4

2

6

8

4

2

6

8

4

2

6

8

6

2

4

8

6

2

4

8

6

2

4

8

0o o50 o100

50o0 o 100o

2

sm

ν

T º C

14


Fig

ura

1.8

bV

isco

sida

d di

nám

ica

en fu

nció

n de

la t

empe

ratu

ra p

ara

dife

rent

esga

ses

y líq

uido

s

Fig

ura

1.8

cV

isco

sida

d di

nám

ica

en f

unci

ón d

ela

tem

pera

tura

par

a va

rios

tipos

de

acei

te

10-4

10-5

10-6

10-6

10-5

10-4 8 64 2684 2684 2

4 2 6 248 6 248 68

0o

o5

0o

100

50

o0

o10

0o

2

kg -

s

mµ

55

55

SA

E 1

0

Pet

róle

o cr

udo

(p.e

. = 0

,86)

Mer

curio

Ker

osen

e

Sal

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0% N

aCl)

Alc

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etí

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car

bono

Agu

a

Ben

ceno

Gas

olin

a(p

.e. =

0,6

8)

Hel

ioO

xíge

no

Anh

idrid

o ca

rbón

ico

Aire

Met

ano

(Gas

nat

ural

)A

mon

íaco

Hid

róge

no

T º C

10-1

10-2

10-3

10-3

10-2

10-1 8 64 2684 2684 2

4 2 6 248 6 248 68

0oo

50

o1

00

50

01

005

5

55

Fue

l - O

il(p

.e.

= 0

,97)

Glic

erin

a

Fu

el -

Oil

(p.e

. = 0

,94

)S

AE

30

SA

E 3

0P

etr

óle

o

c

rud

o

(p.

e. =

0,9

3)

Pe

tróle

o cr

udo

(p.e

. =

0,8

6)

m

kg -

s 2

T º C

15


1.8 Efecto de la gravedad

El efecto de la mayor o menor influencia de las fuerzas gravitacionales sobre las condicionesdel escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Froude.

El número de Froude ( F ) tiene por expresión

gLV

F = (1-14)

siendo

V : velocidad media del escurrimiento

g : aceleración de la gravedad

L : longitud característica

El número de Froude se utiliza en canales y generalmente se considera como longitud

característica el tirante hidráulico d . Por lo tanto

gdVF = (1-15)

Siempre que el escurrimiento se produzca con superficie libre, es decir que alguna zona de lacorriente no esté delimitada por el contorno, habrá influencia de la gravedad sobre todo elescurrimiento.

El número de Froude representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzasgravitacionales. Los valores altos del número de Froude corresponden a pequeña influenciade la gravedad. Los autores franceses llaman a este parámetro adimensional número deReech-Froude.

1.9 Concepto de distribución de velocidades

En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada puntode la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones.

Para analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de lasección transversal, pues la naturaleza y características geométricas del contorno definenbásicamente la curva de distribución de velocidades.

16


En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia del contornoes simétrica y perfectamente definida.

En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Sólo hay influenciadel fondo.

Empezaremos por analizar este último caso. Consideremos que el flujo es bidimensional.

En cada punto de la sección hay una velocidad particular ( hV ). La velocidad es máxima en

la superficie. En el fondo la velocidad es mínima. El esquema característico de la distribuciónde velocidades es el siguiente

Denominamos hV a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este caso del

fondo). La curva que expresa la relación entre hV y h se llama curva de distribución de

velocidades. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación.

En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Pero en un canalrectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparece debajode la superficie. Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de los lados y lavelocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. Valores usuales para

ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre y95,0 y y75,0 . Ver Figura 1.15b.

En una tubería la velocidad es máxima en el eje y mínima en el contorno, tal como se muestra

en el esquema de la Figura 1.10. Para 2Dh = se obtiene la velocidad máxima.

Las Figuras 1.9 y 1.10 tienen algo en común: la velocidad es mínima cerca del contorno. Estose debe a que hemos considerado fluidos reales (con viscosidad).

Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal

Vy

h

h

17


La distribución de velocidades depende, entre otros factores, del grado de turbulencia.Otros factores determinantes son el grado de aspereza (rugosidad) del contorno y elalineamiento del canal.

Para números de Reynolds elevados se dice que existe turbulencia plenamente desarrolladay la distribución de velocidades tiende a hacerse uniforme, salvo en la zona próxima alcontorno donde los esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades son muy grandes.

Así por ejemplo, en una tubería cuyo número de Reynolds fuera del orden de 1 ó 2 millonespodría tenerse la siguiente distribución de velocidades

En cambio, en un escurrimiento laminar el gradiente de velocidades es muy grande en toda lasección transversal y se tendrá una curva de distribución de velocidades de tipo parabólico(ver Figura 1.12).

Para un fluido ideal, sin viscosidad, cuyo número de Reynolds sea infinito, la distribución develocidades sería uniforme (Ver Figura 1.13).

Para números de Reynolds muy altos, como el de la Figura 1.11, la distribución de velocidadesde un fluido real puede calcularse sin cometer mayor error, como si fuera un fluido ideal salvoen la zona próxima a las paredes.

h = D

2

D

Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería

Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento

D

18


Debe tenerse presente que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se obtieneturbulencia plenamente desarrollada; entonces un aumento en el número de Reynolds noconlleva un aumento del grado de turbulencia.

En la Figura 1.9 se presentó la distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho.Este es un caso particular. Tratándose de canales el caso más frecuente es el de lassecciones trapeciales o rectangulares, en las que no puede dejarse de considerar la influenciade las paredes, en las que la velocidad debe también ser nula. Se tendrá entonces unadistribución transversal de velocidades.

Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquemade la Figura 1.14 la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen lospuntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidadmedia. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidadque es el doble de la velocidad media.

En la Figura 1.15 se presentan con carácter ilustrativo las distribuciones de velocidadtípicas para diferentes secciones transversales, según Ven Te Chow.

El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantesde la curva de distribución de velocidades.

D

Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar

Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal)

D

19


Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial

Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales

2,01,5

1,00,5

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

2,5

2,0

1,51,00,5

2,52,0

1,5

1,0

0,5

(a)Canal circular poco profundo

(d)Canal natural (río)

(b)Canal rectangular angosto

(c)Canal circular parcialmente lleno

1,5

1,0 0,5

2,0

20


La asimetría de la sección transversal produce corrientes secundarias, que se llaman así porno seguir la dirección general de la corriente. Si el movimiento principal es a lo largo delconducto, entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamiento sedesarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujo principalda lugar a un movimiento espiral o "en tornillo".

Analicemos el caso que corresponde al cambio de dirección (codo) en una tubería. Laresistencia viscosa reduce la velocidad en el contorno dando como resultado que allí la energíasea menor que en las capas adyacentes. Debido a la fuerte caída de presión que se produceen el contorno exterior hay un flujo secundario que se dirige hacia el exterior y que debe sercompensado por otro que se dirija hacia el interior.

La aspereza (rugosidad) de las paredes y su influencia sobre la distribución de velocidadesserá analizada en el capítulo siguiente. Damos una idea de su significado a través de laFigura 1.17 en la cual se presentan para una misma tubería dos distribuciones de velocidad,según que el contorno sea liso o rugoso.

Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo

Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos

A

A

SECCION A - A

Liso

Rugoso D

21


A partir de la ecuación de distribución de velocidades se calcula el gasto

dAVQ h∫= (1-16)

1.10 Coeficiente de Coriolis

El teorema de Bernoulli fue establecido para una línea de corriente. La ecuación 1-5 estableceque la suma de Bernoulli es constante a lo largo de una línea de corriente. Esto significaque cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli.

Para cada línea de corriente, en una sección determinada, el valor de la velocidad es hV

y la energía cinética correspondiente es gVh 22 . Pero, al ingeniero no le interesa trabajar

con líneas de corriente aisladas, sino con la totalidad del escurrimiento.

Consideremos un flujo paralelo. En el flujo paralelo hay una distribución hidrostática de

presiones y por lo tanto la suma zp +γ

, o sea la cota piezométrica, es idéntica para todas

las líneas de corriente y la variación que hay entre la suma de Bernoulli para las diferentes

líneas de corriente se debe al gradiente de velocidades.

Para extender el teorema de Bernoulli a toda la sección transversal, habría que tomar el

promedio de los valores de gVh 22 . Como esto es difícil de hacer en la práctica, pues se

tendría que considerar un número infinito, o muy grande, de filetes, se busca unaequivalencia, o una aproximación, mediante el cálculo de la energía que corresponde a lavelocidad media.

Evidentemente que esto no es exacto, por cuanto no es lo mismo el promedio de loscuadrados, que el cuadrado del promedio. De acá que el valor de la energía para toda lasección transversal, obtenido con la velocidad media, debe corregirse por medio de un

coeficiente que generalmente se designa con la letra α y que recibe el nombre de coeficiente

de Coriolis ó coeficiente de energía.

Para calcular el valor de α pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es hV , que

tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ .

La energía en general se expresa por QH γ

Ahora bien, para dicho tubo de corriente se puede aplicar la ecuación de continuidad 1-3

dAVdQ h=

22


y el valor de la energía cinética es

gV

H h

2

2

=

para el tubo de corriente la energía resulta

gV

dAV hh 2

2

γ

que equivale a

dAVh3

2ρ

y la energía de toda la sección transversal se obtiene integrando la expresión anterior

∫ dAVh3

2ρ

Si hiciéramos un cálculo aproximado de la energía de toda la sección, considerando lavelocidad media se tendría

AV 3

2ρ

para que este valor aproximado sea igual al correcto debe multiplicarse por un factor o

coeficiente de corrección al que se denomina α

∫= dAVAV h33

22ρρα

de donde,

AV

dAVh

3

3∫=α (1-17)

que es la expresión del coeficiente de energía o de Coriolis.

Obsérvese que α representa la relación que existe, para una sección dada, entre la energía

real y la que se obtendría considerando una distribución uniforme de velocidades.

dQ H

23


Para canales prismáticos se tiene usualmente

36,103,1 <<α (1-18)

1.11 Coeficiente de Boussinesq

El cálculo de la cantidad de movimiento (momentum) de una corriente también se ve afectadopor la distribución de velocidades.

El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal a partir de lavelocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se designacon la letra β y que recibe el nombre de coeficiente de Boussinesq o coeficiente de lacantidad de movimiento.

Para calcular el valor de β pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es hV que tiene

una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ . Sabemosque en general la cantidad de movimiento se expresa por QV ρ

y para el tubo de corriente es

dAVh

2ρ

La cantidad de movimiento de toda la sección transversal se obtendrá por integración de laecuación anterior

∫ dAVh2ρ

Si hiciéramos un cálculo aproximado de la cantidad de movimiento total a partir de lavelocidad media se tendría

AV 2ρ

para que este valor aproximado sea igual al verdadero debe multiplicarse por un factor o

coeficiente de corrección al que se denomina β

∫= dAVñAâñV 2h

2

luego,

AV

dAVâ

2

2h∫= (1-19)

24


que es la expresión del coeficiente de cantidad de movimiento o de Boussinesq.

El producto QV βρ representa el caudal o flujo de la cantidad de movimiento en una seccióndada.

Para canales prismáticos se tiene usualmente

12,101,1 << β (1-20)

1.12 Discusión de los valores de α y β

De acuerdo a lo expuesto anteriormente el coeficiente α se usará en los cálculos en los queintervenga la energía y el coeficiente β en los cálculos en los que intervenga la cantidad demovimiento.

Así por ejemplo, si extendemos la ecuación de la energía a toda la sección transversalconsiderando como velocidad la velocidad media se obtiene

2122

22

211

21

1 22 −+++=++ fhz

pg

Vz

pg

Vγ

αγ

α (1-21)

Cada sección transversal en función de su distribución de velocidades tiene un valor de α .

Es evidente que el uso de los coeficientes α y β depende de la exactitud con la que seestén haciendo los cálculos. Ambos son siempre mayores que la unidad. En muchos casosse justifica, considerar

1== βα (1-22)

Obsérvese que para la Figura 1.13 se cumple exactamente esta condición.

A medida que el grado de turbulencia es mayor, o sea para números de Reynolds altos, la

distribución de velocidades se hace más uniforme y es más cierta la suposición 1== βα .

En lo sucesivo y salvo que se indique lo contrario se considerará la ecuación 1-22.

Siempre se tendrá que βα > puesto que en la expresión de α VVh interviene al cubo yen la expresión de β interviene al cuadrado.

En el flujo laminar, dado el fuerte gradiente de velocidades, los valores de α y β son grandes.

Se demuestra fácilmente que en una tubería con escurrimiento laminar

25


2=α34=β (1-23)

Para un canal muy ancho con fondo rugoso, se han obtenido las siguientes expresiones paralos valores de α y β

32 231 εεα −+= (1-24)

21 εβ += (1-25)

siendo

1−=V

Vmaxε (1-26)

expresión en la que maxV es el valor de la velocidad máxima.

Como hemos señalado anteriormente los valores de α y β dependen del tipo de curva dedistribución de velocidades, específicamente de la relación que existe entre la velocidad máximay la media tal como se expresa en las ecuaciones 1-24, 1-25 y 1-26.

Según estudios hechos por Kolupaila se pueden considerar los siguientes valores aproximadosde α y β

TABLA 1.1VALORES APROXIMADOS DE α Y β (KOLUPAILA)

α β Tipo de cauce Min. Prom. Max. Min. Prom. Max.

Canales y acueductos 1,10 1,15 1,20 1,03 1,05 1,07

Ríos y torrentes 1,15 1,30 1,50 1,05 1,10 1,17

Ríos con áreas de inundación 1,50 1,75 2,00 1,17 1,25 1,33

1.13 Relación entre los coeficientes α y β

Consideremos que la velocidad puntual hV correspondiente a la distancia h del contorno, sepuede expresar en función de la velocidad media de la siguiente manera

26


VVVh ∆+= (1-27)

siendo V∆ el exceso o defecto de la velocidad puntual sobre la media. Debe cumplirse que

∫ =∆ 0VdA (1-28)

Para que esta última expresión sea evidente, consideremos que

∫= dAVQ h

Si reemplazamos el valor de la velocidad puntual se obtiene

∫ ∆+= dAVVQ )(

∫ ∆+= VdAVAQ

de donde se concluye que la integral es nula.

Para calcular el valor de α evaluaremos la integral

dAVV

Ah

31 ∫

que es la ecuación 1-17.

dAVV

AdA

VVV

AdA

VV

A h

333

1111 ∫∫∫

∆+=

∆+=

dAVV

VV

VV

A ∫

∆+

∆+

∆+=

32

3311α

dAVV

AdA

VV

AdA

VV

A ∫∫∫

∆+

∆+

∆+=

32 1331α

Ahora vamos a analizar el segundo miembro. La primera integral no puede ser nula y essiempre positiva. La segunda integral es siempre nula en virtud de la ecuación 1-28. Latercera integral es generalmente muy pequeña y se desprecia, pues las diferencias con

27


respecto a la velocidad media están al cubo y tienden a compensarse entre los valores positivosy negativos. Luego

dAVV

A ∫

∆+=

231α (1-29)

Para calcular el valor β hacemos un desarrollo similar y evaluamos la integral que se obtiene

de la ecuación 1-19

dAVV

AdA

VV

AdA

VV

A h ∫∫∫

∆+

∆+=

22 1211

La primera integral del segundo miembro es evidentemente nula. Luego,

dAVV

A ∫

∆+=

211β (1-30)

Eliminando la integral común a las ecuaciones 1-29 y 1-30 se obtiene la relación entre α y

β

( )131 −=− βα (1-31)

Expresión que evidentemente es aproximada.

1.14 Otros estudios sobre los coeficientes α y β

Strauss estudió el efecto de la forma de la sección transversal sobre los coeficientes α y

β . Consideró que la distribución vertical de velocidades se expresa por una ecuación del

tipo

nh khV

1

= (1-32)

expresión en la que k y n son parámetros característicos de la curva. h es la distancia al

contorno. Esta ecuación expresa todas las distribuciones posibles de velocidad para

valores de n comprendidos entre 1 e infinito, de modo que para cualquier distribución

28


real de velocidades se puede encontrar un valor apropiado de n . El valor de k no tiene

ninguna influencia sobre los valores de α y β .

Combinando la ecuación 1-32 con un desarrollo basado en la consideración de tres factoresadimensionales descriptivos de la forma de la sección transversal Strauss obtuvo lasecuaciones genéricas de α y β (ecuaciones 1-33 y 1-34)

Los factores adimensionales son

HH1=ξ

1BB=η

1

2

BB=ω

definidos de acuerdo al esquema de la Figura 1.18, que muestra la mitad de una seccióntransversal cualquiera de un canal. Obsérvese que se incluye la posibilidad de que el taludesté formado por dos pendientes diferentes.

H1H

B

1BB2

Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss

Según la sección transversal se determinan los valores de ξ , η y ω con ayuda de laTabla 1.2.

Las conclusiones a las que llega Strauss son las siguientes

1. Para canales triangulares y rectangulares los valores de α y β son independientes deltamaño de la sección. Su valor es una función exclusiva de la distribución de velocidades.

2. Para canales trapeciales los valores de α y β están influenciados además de ladistribución de velocidades, por la relación η entre el ancho en el fondo B y el ancho

superficial 1B .

29

IntroducciónC

apítulo I

( ) ( )

( )3121211

24

222323233

32

21119924

2132311132

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−++

−++−−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−++

=++++

++++

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nnnnn

nnnn

ξξξηξξωξ

ωξηξωξηξξηξξξηξξωξ

α

Ecuación (1-33)

( ) ( )

( )2121211

22

222222222

22

21114622

2122211132

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−++

−++−−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−++

=++++

++++

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nnnnn

nnnn

ξξξηξξωξ

ωξηξωξηξξηξξξηξξωξ

β

Ecuación (1-34)

30


TABLA 1.2

FACTORES ADIMENSIONALES PARA LAS ECUACIONES DE STRAUSS

θ

Factores adimensionales

FORMASECCION

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

01 =H ; 21 BB = ; 1BB =

01 =H ; 0=B ; 21 BB =

01 =H ; 21 BB = ; 1BB <

HH <1 ; 1BB < ; 21 BB =

HH <1 ; 1BB = ; 12 BB >

HH <1 ; 0=B ; 21 BB =

HH <1 ; 0=B ; 21 BB <

HH <1 ; 1BB < ; 21 BB <

'3022º tg==ηξ ; 21 BB =

θξ tg> ; θη tg= ; 21 BB =

H

H1=ξ1B

B=η

1

2

B

B=ω

0 1 1

0 0 1

0 10 <<η 1

10 << ξ 10 <<η 1

10 << ξ 1 1>ω

10 << ξ 0 1

10 << ξ 0 1>ω

10 << ξ 10 <<η 1>ω

0,4142 0,4142 1

1414,0 << ξ 0,4142 1

Rectángulo

Triángulo

Trapecio

Trapecio + Rectángulo

Rectángulo + Trapecio

Triángulo + Rectángulo

Triángulo + Trapecio

Trapecio + Trapecio

Semicírculo (sustituye al semioctógono)

Semicírculo + Rectángulo

31


3. Para canales de sección combinada (doble trapecio, trapecio más rectángulo, etc), losvalores de α y β dependen de la forma de la sección expresada a través de los

parámetros ξ , η y ω y de la distribución de velocidades en función de n .

4. De las secciones estudiadas se encuentra que los menores valores de α se presentanpara secciones rectangulares y los mayores para la sección triangular.

5. Teniendo en cuenta que en canales la distribución de velocidades es tal que puede

describirse con la ecuación 1-32, para valores de n comprendidos entre 2 y 4, se tiene

que los valores de α están comprendidos entre 1,12 y 1,50.

6. Valores experimentales para α obtenidos en el río Danubio llegan a 1,34 y en canales

con pequeña pendiente a 1,85.

Papasov y Botcheva estudiaron los valores de α y β en ríos de Bulgaria de fondo móvil y

determinaron sus valores para diversas descargas y pendientes. Aunque el estudio de loslechos móviles corresponde a la Hidráulica Fluvial, damos una breve noticia sobre estasinvestigaciones.

Los autores llegan a la conclusión que las deformaciones del fondo al alterar la distribución develocidades modifican los valores usuales de α y β . Después de estudiar tres ríos búlgarosllegan a

97,4

056,01

+=

VVmaxα

82,4

047,01

+=

VV xmaβ

Ferrer y Fuentes estudiaron la variación del coeficiente β de Boussinesq en un canal de

gasto variable realizando experiencias en un canal de laboratorio en la Universidad deChile. Llegaron a la conclusión que para este caso

byc29,01+=β

expresión en la que cy es el tirante crítico para el gasto total y b es el ancho del canal.

32


1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal

Como una ilustración de la extensión del teorema de Bernoulli a toda la corriente, se presentacomparativamente en la Figura 1.19 el escurrimiento en una tubería y un canal.

Se ha considerado que fh es la energía perdida en el tramo considerado, con lo que en

realidad estamos usando la ecuación de la energía. El teorema de Bernoulli sólo es aplicablepara un fluido ideal. Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.

En la Figura 1.19, L. E. significa línea de energía y L. P. línea piezométrica o de gradientehidráulica.

Ejemplo 1.1 Calcular el radio hidráulico y el tirante hidráulico para un canal de sección trapecialcuyo ancho en la base es de 3 m. El tirante es de 0,80 m y el talud 0,5. (El talud es la inclinación delos lados).

Solución.

0,5

1

= 3 mb

= 0,80 my

T

Ancho superficial 80,340,0200,3 =×+=T m

Perímetro mojado 79,4894,0200,3 =×+=P m

Area 72,2=A m2

Radio hidráulico 57,079,472,2 === PAR m

Tirante hidráulico 72,080,372,2 === TAd m

Ejemplo 1.2 Obtener los coeficientes α y β para un canal rectangular muy ancho, aceptando una

distribución vertical de velocidades dada por la siguiente ecuación

nh khV

1

=

k es una constante, h es la distancia al contorno (ecuación 1-32).

0,5

1

= 3 mb

= 0,80 my

T

33


2V 2

pγ2

2z

L. E.hf

L. P.

2V

g12

pγ

1

1z

L. P.

2V1

z1

pγ

V22

2z

L. E. h f

= y

y1

y2

p = 0

Plano de referencia

Plano de referencia

2g

2g

2g

1 2

Figura 1.19 Ecuación de la energía

(a) Tubería

(b) Canal

Ecuación de la energía:

fhg

Vz

pg

Vz

p +++=++22

22

22

21

11

γγ

34


Solución. Si aceptamos un ancho unitario se tendrá para el gasto específico la expresión

dhVdq h=

reemplazando la velocidad,

dhkhdq n1

=

El gasto es

∫= dhVq h

∫=y

n dhhkq0

1

La velocidad media se obtiene dividiendo el gasto entre el área,

y

dhhk

yq

V

y

n∫== 0

1

Reemplazando en la ecuación 1-17

yy

dhhk

dhhk

AV

dhV

y

n

y

nh

3

0

1

0

33

3

3

==

∫

∫∫α

211

313

3

11

1

131

+

+−+

+

+= nny

n

nα

De donde,

( )( )nn

n+

+=3

12

3

α

Haciendo un desarrollo similar se obtiene

( )( )nn

n+

+=2

1 2

β

35


Ejemplo 1.3 La distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho es la siguiente

h (m) hV (m/s)

0,05

0,10

0,30

0,50

0,70

0,90

1,06

1,24

1,52

1,65

1,73

1,80

El tirante es y = 0,95 m.

Calcular

a) el gasto específico qb) la velocidad media V

c) gráficamente la distancia h del fondo a la que la velocidad es igual a la velocidad media.d) el coeficiente α de Coriolise) el coeficiente β de Boussinesqf) los valores de α y β aplicando las ecuaciones 1-24 y 1-25 y comparar con los resultados

anteriores.g) el número de Reynolds (ν = 10-6 m2/s)

Solución. En primer lugar dibujaremos en un papel milimetrado la curva de distribución de velocidades

Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (medición)

1,52

0,125

0,075

0,20

1,061,24

h

0,20

0,20

0,15

1,73

1,65

(m)

1,80

V (m/s)

0,95 m

36


El gasto se obtiene aplicando la siguiente expresión

∑=

=

∆=yh

hh hVq

0

En el momento de dibujar la curva es necesario extrapolar ligeramente los valores recordando dosconceptos fundamentales: en un canal muy ancho la velocidad máxima está en la superficie y lavelocidad mínima siempre está en el fondo.

Dividimos luego la vertical en 6 partes, para cada una de las cuales suponemos un valor constante dela velocidad. Mientras mayor sea el número de partes, mayor será la exactitud; pero a su vez para quetenga sentido real la división en un número elevado de partes debe haber datos muy confiables. Laspartes no tienen que ser necesariamente iguales.

a) Según la figura

15080120073120065120052112502410750061 ,,,,,,,,,,,,q ×+×+×+×+×+×=

48,1=q m3/s/m

b) 56,195,048,1 ====

yq

Aq

V m/s

c) De la Figura 1.20 se obtiene h = 0,35 m

d) Para calcular α hacemos el siguiente cuadro

hV 3hV A AVh .3

1,06

1,24

1,52

1,65

1,73

1,80

1,19

1,91

3,51

4,49

5,18

5,83

0,075

0,125

0,200

0,200

0,200

0,150

0,089

0,238

0,702

0,898

1,036

0,875

∑ AVh3 = 3,838

06,195,056,1

838,33 =×

=α α = 1,06

37


e) Para el cálculo de β hacemos un cuadro similar

hV 2hV A AVh .2

1,06

1,24

1,52

1,65

1,73

1,80

1,12

1,54

2,31

2,72

2,99

3,24

0,075

0,125

0,200

0,200

0,200

0,150

0,084

0,192

0,462

0,545

0,599

0,486

∑ AVh2 = 2,368

024,195,056,1

368,22 =

×=β â = 1,02

f) Para la aplicación de las fórmulas aproximadas, empezaremos por calcular el valor de ε para loque obtenemos del gráfico que, aproximadamente, la velocidad máxima es 1,80 m/s.

15,0156,180,11 =−=−=

VVmaxε

15,0=ε

061,1231 32 =−+= εεα 06,1=α

0225,11 2 =+= εβ â = 1,02

g) 18=T ºC; 610−=ν m2/s

66 10482,1

1095,056,1

Re ×=×

== −νVR

38


PROBLEMAS PROPUESTOS

(Capítulo I)

1. Demostrar a partir de la Figura 1.19 que el gasto teórico en un canal se puede expresar por

2

1

2

2

1

)(2

−

−∆=

AA

hygAQ f

En donde 1A y 2A representan las áreas de las secciones transversales respectivas. Ladiferencia de cotas piezométricas es y∆ . La pérdida de energía entre 1 y 2 es fh .

2. Calcular el valor de β si α = 1,2

3. Demostrar que suponiendo una distribución lineal de velocidades en un canal se obtiene

α = 2 β = 4/3

4. Demostrar que en una tubería de diámetro D con régimen laminar, cuya ecuación dedistribución de velocidades es

−=

44

2hDhgSVh ν

siendo h la distancia al contorno, ν la viscosidad cinemática del fluido y S la pendiente dela línea de energía; se cumple que

α = 2 β = 4/3

5. Demostrar que en una tubería cuyo radio es r y cuya distribución de velocidades es

71

231

=

rh

VVh ,

se cumple que α = 1,07. Hallar el valor de β .

39


6. Genéricamente la distribución de velocidades en una tubería de radio r se expresa por

n

maxh rh

VV

1

=

A medida que aumenta el número de Reynolds aumentan los valores de n . ¿Qué ocurrirácon los valores de α ?

7. Un líquido fluye entre paredes paralelas. La ley de distribución de velocidades es

n

maxh dhVV

−= 1

La separación entre las placas es 2 d . La velocidad V está medida a la distancia h del eje.Calcular los valores de α y β

8. Resolver el problema anterior para una tubería con la misma ley de distribución de velocidades.

9. En una tubería de radio or , por la que circula aceite, la distribución de velocidades es

−= 2

2

1o

maxh rr

VV

r es la distancia del eje a la que la velocidad es hV . Hallar los valores de α y β

10. En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45 m en A a 0,30 men B. En B se bifurca. La tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25 m dediámetro. C y D descargan a la atmósfera. La velocidad media en A es 1,80 m/s y la velocidadmedia en D es 3,60 m/s. Calcular el gasto en C y D y las velocidades en B y C.

11. En una tubería de 6" de diámetro fluye aceite de densidad relativa 0,8. La viscosidad delaceite es 1 poise. El gasto es de 200 l/s. Calcular el número de Reynolds.

12. Describir como varía el coeficiente de Coriolis con el número de Reynolds.

13. Una tubería horizontal AB de 0,40 m de diámetro conduce 300 l/s de agua (T = 20°C). Lapresión en el punto A es de 5 kg/cm2 y en el punto B es de 3,5 kg/cm2. La longitud de la tuberíaes de 850 m. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número deReynolds.

40


14. Una tubería horizontal de 8" de diámetro y 500 m de largo conduce 100 l/s de aceite deviscosidad 1 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 kg/cm2

y en el punto final de 3 kg/cm2. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular elnúmero de Reynolds.

15. Una tubería AB de 0,80 m de diámetro conduce 1 m 3/s de agua. La elevación del punto inicial A es25,8 m y su presión es de 5 kg/cm2. La elevación del punto final B es 20,2 m y su presión es de 2kg/cm2. La longitud de la tubería es de 1 km. La temperatura es de 20 °C. Dibujar la línea piezométricay la línea de energía. Calcular la presión de la tubería en el punto medio de la distancia AB.

16. Una tubería tiene en su primertramo 6" de diámetro y unavelocidad de 3 m/s. Elsegundo tramo tiene 8" dediámetro. Calcular el gasto yla velocidad en el segundotramo.

17. Demostrar que en un estanque la energía por unidad de masa es constante para cualquierpunto.

18. Calcular para el ejemplo 1.3 cuál es la celeridad de una pequeña onda superficial que seforme en el canal. ¿Podrá esta onda remontar la corriente? Calcular el número de Froude einterpretar los resultados (La celeridad ó velocidad relativa es gy ).

19. Un tubo cónico vertical tiene entre susextremos 1 y 2 una pérdida de carga fh ,igual a

( )gVVh f 2

2502

21 −= ,

1V es la velocidad en el punto 1, es igual a 6m/s. La velocidad en el punto 2 es 2 m/s.

La longitud del tubo es de 8 m. La presión enel punto 2 equivale a 10 m de agua. Calcularla presión en kg/cm2 en el punto 1.

20. Se tiene una línea de conducción cuya sección inicial tiene un diámetro de 8" y una presiónde 2 kg/cm2. La sección final tiene un diámetro de 6", una presión de 1 kg/cm2 y está 1,20 mpor encima de la sección inicial. Calcular la pérdida de energía fh , entre ambas secciones.El fluido es petróleo crudo de peso específico relativo 0,93 y la temperatura es de 25°C.

8"6"

8 m

2

1

D1

D2

41


21. Una tubería vertical de sección variableconduce agua. El diámetro en la partesuperior es de 12 cm y en la parte inferiorde 6 cm. La longitud es de 10 m. Cuandoel gasto es de 80 l/s la diferencia de presiónentre los manómetros instalados en lassecciones 1 y 2 es de 2,5 kg/cm2.Determinar cual es el gasto que deberíapasar en esta tubería para que la diferenciade presiones entre 1 y 2 sea cero.

Considerar que la perdida de carga fh

entre 1 y 2 es proporcional a la velocidad.

22. Las Figuras 1.10, 1.11, 1.12 y 1.13 presentan diferentes distribuciones de velocidad.Ordenarlas según valores crecientes del coeficiente de Boussinesq.

23. Hacer un esquema que muestre la distribución vertical de velocidades en el eje delcanal cuya sección se muestra en la Figura 1.14.

24. Demostrar que para un canal triangular cuya distribución de velocidades está dada porla ecuación 1-32 se cumple que

)992(4)132(

24

32

++++=nnn

nnα

calcular el valor de α para n = 7. Comparar con las ecuaciones de Strauss.

25. Calcular el gasto en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es de 4". Las

pérdidas de energía en el sistema equivalen a gV 24 2.

10 m

2

1

6 cm

12 cm

H = 10 m

42


26. Una tubería se estrecha de 12" en la sección 1 a 6" en la sección 2. La diferencia de presiónentre ambas secciones equivale a 20 cm de mercurio. La pérdida de energía entre 1 y 2 es de

gV 2150 21, . Calcular el gasto. ¿Cuál sería el gasto si se despreciasen las pérdidas de

carga?

27. La sección transversal de una tubería circular se ha dividido en 10 áreas iguales por medio decírculos concéntricos. Se ha medido las velocidades medias en cada área, empezando por lavelocidad en el centro. Los resultados en m/s son: 1,71; 1,70; 1,68; 1,64; 1,58; 1,49; 1,38; 1,23;1,02; 0,77. Calcular los valores de α y β . Si el diámetro fuese de 0,80 m calcular el caudal.

43

Movimiento UniformeCapítulo II

2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías

El movimiento uniforme es el que se presenta más frecuentemente, tanto en los cálculos detuberías como en los de canales.

En el capítulo anterior hemos señalado que cada punto de la corriente tiene su propiavelocidad. Esto significa que existe una distribución de velocidades en la sección transversal.En este capítulo se establecerán las ecuaciones de distribución de velocidades y se obtendrápor integración las expresiones correspondientes a la velocidad media.

En un canal con movimiento uniforme la profundidad y , el área A , la velocidad media V

y el gasto Q son constantes en todas las secciones y la línea de energía, la superficie libre

y el fondo son líneas paralelas, de modo que sus pendientes son iguales (Figura 2.1)

SSSS WE === 0 (2-1)

ES es la pendiente de la línea de energía

WS es la pendiente de la superficie libre

0S es la pendiente del fondo

Una de las condiciones para que se desarrolle un movimiento uniforme en un canal es quela pendiente no sea excesivamente grande.

CAPITULO IIMOVIMIENTO UNIFORME

44


En la práctica es muy difícil encontrar un movimiento que sea estrictamente uniforme. Muchasveces el flujo en canales y ríos se considera, desde el punto de vista del ingeniero, comouniforme.

2Vg2

S E

y

Sw

S o

Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal

Si la pendiente de un canal es muy fuerte aparecen ondulaciones superficiales y el movimientodeja de ser uniforme. Las altas velocidades dan lugar a que el agua atrape y arrastre partículasde aire, que constituyen el aire incorporado y que alteran la uniformidad del escurrimiento.

En una tubería con movimiento uniforme el área, la velocidad y gasto son constantes en todaslas secciones y la línea de energía es paralela a la línea piezométrica (obsérvese que estaslíneas no son paralelas al eje de la tubería) (Figura 2.2). A la línea piezométrica se le denomina

también línea de gradiente hidráulica y se designa como WS . θ es el ángulo formado por el

eje de la tubería y el plano horizontal de referencia, p es la presión, γ el peso específico del

fluido, z la elevación con respecto al plano horizontal de referencia. E es la energía total.Los subíndices se refieren a cada una de las dos secciones.

En una tubería se denomina ES , pendiente de la línea de energía, a la relación entre la

diferencia de energía entre dos secciones y la distancia entre las mismas, medida a lolargo de la tubería.

L

h

LEE

S fE

2121 −=−= (2-2)

45


p

γ2

2z

h f2Vg

2

p

γ1

1z

S = SE

Sw

2 gV 2

Lθ

1-2

E 2

1E

1

2

1 2

Plano de referencia

1

2

Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería

En el movimiento uniforme, por ser la velocidad constante, se considera como diferencia deenergía la correspondiente a la diferencia entre las cotas piezométricas. La línea de energía yla línea piezométrica son paralelas.

SSS WE ==

L

zp

zp

S

+−

+=

22

11

γγ (2-3)

El fluido en movimiento ejerce fricción sobre el contorno. Para la obtención de las ecuacionesde distribución de velocidades se buscará, en primer lugar, establecer una relación entre elesfuerzo de corte y la inclinación de la línea de energía. Luego, una relación entre lavelocidad y el esfuerzo de corte, para obtener finalmente, eliminando el corte, una funciónque relacione la velocidad con la inclinación de la línea de energía. En este desarrollo sesigue el método presentado por el Profesor Thijsse, en Delft (Holanda).

Todo el desarrollo de este capítulo se refiere al movimiento permanente y uniforme. En

este capítulo se considera que el coeficiente α de Coriolis es igual a 1.

46


2.2 Relación entre el corte y la inclinación

a) Canal muy ancho

En la Figura 2.3 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimientouniforme.

Recordemos que en el movimiento uniforme las tres pendientes son iguales y se designan

con la letra S (ecuación 2-1). F es la componente del peso, de la parte achurada, en la

dirección del escurrimiento, h es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior de

la porción achurada, cuya longitud es s∆ .

Como es un canal muy ancho consideramos el escurrimiento por unidad de ancho (medidoperpendicularmente al plano del dibujo).

Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es

shy ∆− )(

y su peso es

shyg ∆− )( ρ

El producto de la densidad ρ por la aceleración g de la gravedad es igual al peso

específico γ .

Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho

2Vg2

S E

y

Sw

S o

θ

∆ s

hτh

F

47


La componente del peso en la dirección del escurrimiento es

shyg ∆− )( ρ θsen

Como el ángulo θ , formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeño se

considera que Ssen =θ luego,

shyg ∆− )( ρ S

En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática.Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la direccióndel escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es el producto del esfuerzo

unitario de corte hτ por el área en que actúa

sShygsh ∆−=∆ )( ρτ

De donde, la relación entre el corte y la inclinación es

Shyh )( −= γτ (2-4)

El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para h =0

Syo γτ = (2-5)

Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico

SRo γτ = (2-6)

Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto delpeso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía).

b) Canal de cualquier sección transversal

El caso anterior es hipotético pues corresponde a un canal de ancho infinito. En la prácticalos canales son rectangulares, trapeciales, circulares, etc. Todas estas formas diversas seesquematizan en la Figura 2.4.

Se muestra en la figura dos secciones transversales de un canal, ubicadas a una distancia

s∆ . Para las mismas condiciones anteriores se tiene que la componente del peso de la

masa fluida, en la dirección del escurrimiento es

sSAg ∆ ρ

48


ρ es la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad, A la sección transversal, Sla pendiente.

Esta fuerza debe ser equilibrada por el corte total (en este caso el esfuerzo de corte sobreel fondo no es constante), que tiene por expresión

sdPP

∆

∫

0τ

P es el perímetro mojado, 0τ es el esfuerzo de corte sobre el fondo.

O bien, aproximadamente

sP ∆0τ

Igualando la componente del peso y el corte total se obtiene

SPA

g ρτ =0

De donde,

RS γτ =0 (2-7)

Observamos que las ecuaciones 2-6 y 2-7 son iguales. Esto significa que el esfuerzo mediode corte sobre el fondo en un canal es igual al producto del peso específico del fluido, porel radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía.

Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal

A

∆s

τ o

P

49


c) Tubería de sección circular

En la Figura 2.5 se muestra un corte longitudinal en una tubería de sección circular dediámetro D .

Consideremos el cilindro coaxial mostrado en la figura. è es el ángulo que forma el eje dela tubería con la horizontal.

La fuerza debida al corte (fricción) es igual a la fuerza debida a la diferencia de presiones y alpeso. La fuerza debida al corte es

shDh ∆

−

22 πτ

expresión en la que hτ es el esfuerzo de corte a la distancia h del contorno (en este caso,

de la pared de la tubería).

La fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso es

Äs senèhDhDpp

22

21 22)(

−+

−− πγπ

Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería

p

γ2

p

γ1

SE

Sw

2 gV 2

θ

D

s∆

1p

p2

h

h

50


operando,

∆+−

− s senè

pph

D

γγγπ 21

2

2

pero,

21 zzÄs senè −=

luego,

+−

+

− 2

21

12

2z

pz

ph

Dγγ

γπ

teniendo en cuenta que,

Sszp

zp

∆=

+−

+ 22

11

γγ

se obtiene para la fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso

SshD ∆

−

2

2γπ

que debe ser igual a la fuerza de corte,

SshDshDh ∆

−=∆

−

2

222 γππτ

de donde, la relación entre el corte y la inclinación es

ShDh

−=

24 γτ (2-8)

El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para 0=h

SD

o 4γτ =

pero la expresión 4D representa el radio hidráulico de la tubería circular. Luego,

RSo γτ = (2-9)

51


Para una tubería de cualquier sección transversal se obtiene mediante consideracionesanálogas

RS γτ =0

En resumen, tanto para canales como para tuberías el corte medio sobre el fondo es

RS γτ =0 (2-10)

Obsérvese que esta ecuación es válida tanto para el flujo laminar como para el turbulento.

Examinemos brevemente la distribución transversal del esfuerzo de corte.

La distribución del esfuerzo de corte en un canal es lineal: máximo en el fondo y nulo en lasuperficie.

En una tubería el esfuerzo de corte es máximo en las paredes y nulo en el eje y correspondea la ecuación 2-11 en la que r es el radio de la tubería.

Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería

Dhτ

h

τ o

oτ

h

τo

hτ

(a)

(b)

52


La ecuación de distribución de corte es

−=

rh

oh 1ττ (2-11)

que se obtiene combinando las expresiones 2-8 y 2-9.

Se observa que si 2Drh == (eje de la tubería), entonces .0=hτ Si 0=h se tiene que

0ττ =h (contorno).

2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad mediapara un canal muy ancho con movimiento laminar

En un canal como el presentado en la Figura 2.7 se tiene que a una distancia h del

contorno existe un valor de la velocidad ( hV ) y un valor del corte ( hτ ). La relación entre

hV y hτ depende de que el flujo sea laminar o turbulento.

Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conociday corresponde a la definición de viscosidad.

dhdVh

h µτ = (2-12)

Combinando esta ecuación con la 2-4,

dhdV

Shy hµγ =− )(

dividiendo por ρ ,

dhdV

Shyg hν=− )(

separando variables,

( )dhhygS

dVh −=ν

e integrando, se obtiene

Kh

yhgS

Vh +

−=

2

2

ν

53


Expresión en la que hV es la velocidad a la distancia h del fondo, S es la pendiente de la

línea de energía, ν es la viscosidad cinemática, y es el tirante, K es una constante de

integración.

El valor de la constante de integración se obtiene para la condición que la velocidad es

nula en el contorno ( 0=h ; 0=hV ; 0=K ), luego,

−=

2

2hyh

gSVh ν (2-13)

que es la ecuación de distribución de velocidades en un canal muy ancho con flujo laminar.Es una curva parabólica.

La velocidad máxima corresponde a la superficie ( yh = )

2

2y

gSVmax ν

= (2-14)

La velocidad media se puede obtener a partir del gasto, calculado por integración de laecuación de distribución de velocidades. Sin embargo, como la curva de distribución esparabólica se puede obtener la velocidad media por simple aplicación de las propiedadesgeométricas de la parábola.

Según la Figura 2.7

yVq max 32=

Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar

V

y

max

Parábola

h

hVdh dq

54


Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito. q es el gasto

específico (por unidad de ancho).

Pero también se tiene que,

Vyq =

Luego,

maxVV32=

2

232

ygS

Vν

=

ν3

2gSyV = (2-15)

Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal muy ancho con flujolaminar y que evidentemente equivale a

ν3

2gSRV = (2-15a)

Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potencia dela pendiente.

En la Figura 2.7 se observa que la velocidad superficial corresponde a la condición

0=dhdVh

Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración.

∫=

==

yh

h hdhVq

0

calculado q se obtiene por división entre el área y , el valor de la velocidad media, que es el

de la ecuación 2-15.

55


2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad mediapara una tubería con movimiento laminar

Combinado las ecuaciones 2-8 y 2-12 se obtiene

ShDdhdVh

−=

24 γµ

de donde, luego de separar variables e integrar, se llega a

KhDhgS

Vh +

−=

44

2

ν

El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno ( 0=h ;

0=hV ; 0=K ). Luego,

−=

44

2hDhgSVh ν (2-16)

que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar.

La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a

16

2DgSVmax ν

= (2-17)

La velocidad media puede obtenerse por integración de la ecuación 2-16, aplicando la propiedadgeométrica que dice que el volumen de un paraboloide es la mitad del cilindro circunscrito.

Luego,

maxVV21=

En una tubería con flujo laminar la velocidad media es igual a la mitad de la velocidadmáxima; es decir,

32

2DgSV

ν= (2-18)

2Dh =

56


que es la conocida ecuación de Hagen - Poiseuille. Si expresamos esta ecuación en funcióndel radio hidráulico, tenemos

2

2R

gSV

ν= (2-19)

expresión que es muy parecida a la ecuación 2-15, que fue establecida para un canal. En uncaso el denominador es 2 y en otro 3. Podríamos concluir que cualquier otra sección transversalintermedia entre los dos casos extremos estudiados (canal muy ancho y tubería circular)debe tener en el denominador un valor comprendido entre 2 y 3.

ν)32(

2

á gSR

V =

La velocidad media también podría haberse obtenido por integración de la ecuación 2-16

∫=

=

−=

2/

0 22

Dh

h h dhhDVQ

π

de donde,

νπ128

4SDgQ

=

y,

4/2DQ

AQ

V π

==

obteniéndose el valor de la ecuación 2-18

Mediante sencillas transformaciones de la ecuación 2-18 se obtiene que la diferencia de

cotas piezométricas separadas por la longitud L a lo largo de la tubería es

232

DVL

γµ

(2-19a)

Ejemplo 2.1 Se bombea petróleo crudo (p. e. r.= 0,86) en una tubería horizontal de 6 cm de diámetro. Elgasto es de 25 litros por minuto. Se ha verificado que entre dos manómetros colocados en la tubería auna distancia de 788 m hay una diferencia de presión de 0,103 kg/cm2 . Calcular la viscosidad delpetróleo. Determinar aproximadamente cual sería la variación en el gasto si la temperatura aumentase10 ºC. Considerar que la diferencia de presiones permanece constante.

57


Solución. Por ser una tubería horizontal en la que supondremos un régimen laminar,

(2-19a) 221

32D

VL pp

µ=−

1p y 2p son las presiones en las dos secciones de la tubería.

21 pp − = 0,103 kg/cm2 = 1030 kg/m2

Q = 25 l/min = 0,000417 m3/s

4

2D A

π= = 0,00283 m2

A

QV = = 0,147 m/s

Luego,

41036

7880,147 320301

ì−×

××=

De donde,µ = 10-3 kg-s/m2

Ahora debemos verificar el número de Reynolds para comprobar que el flujo es laminar. La viscosidaddinámica que hemos obtenido corresponde a un petróleo crudo cuya densidad relativa es 0,86. Luego,

ν = 1,14 x 10-5 m2/s

7741014,1

0601470í

VDRe5

=××==

−

,,

El flujo es, pues, efectivamente laminar y corresponde a una temperatura de 10 ºC (aprox.)

Si la temperatura aumentase a 20 ºC, entonces

µ = 8 x 10-4 kg-s/m2

Aplicando nuevamente la ecuación 2-19a

4

4

1036788V108320301 −

−

×××××=

Se obtiene,

V = 0,184 m/s

que es la nueva velocidad media al aumentar la temperatura (y disminuir la viscosidad).

El flujo sigue siendo laminar. El gasto aumentaría en 25,2 %.

58


Ejemplo 2.2 Demostrar que en un canal con flujo laminar se puede calcular la velocidad mediapromediando las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante.

Solución. Partimos de la ecuación 2-13, que nos da la distribución de velocidades en un canal conflujo laminar

−=

2

2hyh

gSVh ν

Luego aplicamos esta ecuación a los dos tirantes mencionados

22

28,0 48,0

264,08,0 y

gSyy

gSV

νν=

−=

22,0 18,0 y

gSV

ν=

El promedio de estos dos valores es 233,0 ygS

ν, expresión que es prácticamente igual a la ecuación

2-15 que nos da la velocidad media en un canal con flujo laminar

2

3y

gSV

ν=

Ejemplo 2.3 Se bombea aceite a razón de 14 l/s en una tubería de 10 cm de diámetro. La densidadrelativa del aceite es 0,92 y la viscosidad es 0,01 kg-s/m2. ¿Cuál será la diferencia entre las lecturasde los manómetros de los puntos A y B mostrados en la figura?. ¿Cuál es la velocidad máxima quese presenta en la tubería?

0,8 y

0,2 y

300 m

A

B

3 m

59


Solución. Supongamos que el flujo es laminar (ecuación 2-19)

ν2

2gSRV =

Para aplicar esta ecuación tenemos los siguientes datos

A

QV = = 1,78 m/s

ν = 1,07 x 10-4 m2/s

Luego,

νVD

=Re = 1 664

con lo que se confirma que el flujo es laminar. Despejamos ahora la pendiente S

2

2R V

Sγµ= = 0,0619

o bien,

L

hf = 0,0619 ; fh = 0,0619 x 300 = 18,57 m

La diferencia de cotas piezométricas es, pues, de 18,57 m. Como la diferencia de elevaciones es de 3 mse concluye que la diferencia de presiones debe equivaler a 15,57 m Luego,

p∆ = 920 x 15,57 x 10-4 = 1,43 kg/cm2

La velocidad máxima, según la ecuación 2-17, es

16

2DgSVmax ν

=

maxV = 3,55 m/s

Valor que efectivamente corresponde al doble de la velocidad media (como debe ser en el régimenlaminar).

Ejemplo 2.4 Demostrar que en una tubería circular con flujo laminar se cumple que,

dx

dpr

dr

dVr

dr

d h

µ1

=

expresión en la que hV es la velocidad a la distancia r del eje x , µ es la viscosidad dinámica y dx

dp

es el gradiente de presiones.

60


Luego, integrando la expresión anterior, demostrar que si se desarrolla un flujo laminar en el espacio

comprendido entre dos tuberías concéntricas de radios 1r y 2r , entonces la velocidad máxima se

presenta al radio r

a

arr

ln212

1

−=1

2

r

ra =

Solución. Consideremos un elemento anular de espesor dr , ubicado al radio r y cuya velocidad es

hV . Consideremos también, longitudinalmente, una distancia x∆ , en cuyos extremos hay presiones

1p y 2p cuya diferencia es p∆ . Se cumple así que,

dx

dpxp ∆=∆

La fuerza debida a la diferencia de presiones es igual al área del anillo por la diferencia de presiones

dx

dpx rdr ∆π2 (1)

La fuerza de corte sobre el anillo es igual a su área por el esfuerzo de corte

h xr τπ ∆2

o bien,

dr

dVxr h

µπ ∆2

Como el flujo es laminar se ha introducido la ec. 2-12.

La variación de la fuerza de corte con el radio r es

∆

dr

dVr

dr

dx h

µπ2

1rr2r1

drr

r2

∆ x

r1

r2

61


y la fuerza total sobre el anillo se obtiene multiplicando esta expresión por dr

drdr

dVr

dr

dx h

∆πµ2 (2)

Las ecuaciones 1 y 2 deben ser iguales

drdr

dVr

dr

dx

dx

dpxrdr h

∆=∆ πµπ 22

de donde,

dx

dpr

dr

dVr

dr

d h

µ1

=

Integrando dos veces la ecuación obtenida se encuentra la velocidad hV

Adx

dpr

dr

dVr h +=

µ2

2

rA

dxdpr

drdVh +=

µ2

BrAdx

dprVh ++= ln

4

2

µ

Por condición de contorno se obtiene dos ecuaciones

Si 1rr = , entonces 0=hV

Si 2rr = , entonces 0=hV

dx

dprBrA

µ4ln

21

1 −=+

dx

dprBrA

µ4ln

22

2 −=+

de donde,

dx

dprrrrA

µ4)ln(ln

22

21

12

−=−

1

2

22

21

ln

14

r

rdx

dprrA

µ−

=

La velocidad es máxima cuando 0=dr

dVh

62


02

=+=rA

dxdpr

drdVh

µ

0ln

142

1

2

22

21

2

=−

+

r

rdx

dprr

dx

dpr

µµ

1

22

1

22

212

ln

112

r

rr

rrr

−=

obteniéndose finalmente

a

arr

ln212

1

−= siendo 1

2

r

ra =

2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para elmovimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso

El desarrollo que se presenta a continuación corresponde al expuesto por el profesor Thijsse,en Delft.

La determinación de la distribución de velocidades en el flujo laminar se hace, como lohemos visto, recurriendo únicamente a consideraciones teóricas.

Para hallar las ecuaciones correspondientes al movimiento turbulento habrá que recurrir ademása información experimental.

Así pues, las ecuaciones de distribución de velocidades en el flujo turbulento se calculan enbase a estudios teóricos y experimentales de algunos investigadores hidráulicos, entre losque los más importantes son Prandtl, von Karman y Nikuradse.

Para obtener la ecuación de distribución de velocidades debemos establecer previamente unarelación entre el corte y la velocidad.

Se parte de la expresión de Reynolds, que nos da la tensión tangencial adicional presente enel flujo turbulento y que es

''Vuh ρτ =

'u y 'V son las fluctuaciones de la velocidad en un punto (flujo bidimensional), ρ es la

densidad del fluido.

Prandtl introduce una longitud característica L , a la que llama longitud de mezcla. Estalongitud representa la distancia media que tiene que recorrer una partícula para transferir o

63


perder su exceso de cantidad de movimiento. Este concepto de longitud de mezcla es análogoal de recorrido libre medio de la teoría cinética de los gases.

Prandtl consideró que

'u es proporcional a dhdVh

oo

odhdV

Lu h='

'V es proporcional a dhdVh

oo

odhdV

LV h='

y por lo tanto,

22

=

dhdV

L hh ρτ (2-20)

expresión para el flujo turbulento, que consideramos correspondiente a la ecuación 2-12,que es para el flujo laminar.

De la ecuación 2-20 obtenemos

dhdV

L hh =ρτ

(2-21)

Examinaremos a continuación lo que ocurre en un canal y en una tubería.

a) Canal muy ancho

Debemos establecer para este caso una relación entre L y la profundidad. La condición esque la longitud de mezcla debe ser cero tanto en el fondo como en la superficie. Estopuede expresarse por medio de

21

1

−=yh

h L κ (2-22)

κ es la constante de Karman, para la que aceptamos el valor de 0,4 (sin sólidos ensuspensión).

Reemplazando este valor de la longitud de mezcla en la ecuación 2-21, obtenemos

dhdV

yh

h hh21

1

−=κρτ

64


sustituyendo ahora el valor de hτ según la ecuación 2-4

dhdV

yh

h Shy h

21

1)(

−=− κρ

γ

simplificando,

dhdV

h gyS hκ=

separando variables,

hdh gyS

dVh κ= (2-23)

Hemos llegado a esta ecuación a partir de una definición de la longitud de mezcla, dada porla ecuación 2-22. Hay otras definiciones para la longitud de mezcla, que buscan también unaconcordancia entre los resultados teóricos y las mediciones observadas. Sin embargo acános limitamos a presentar la teoría de Karman – Prandtl.

La expresión gyS que es igual a ρτ0

recibe el nombre de velocidad de corte,

gySV ==ρτ0

* (2-24)

Luego reemplazando en 2-23

hdhV

dVh κ*=

integrando

KhV

Vh += ∗ lnκ (2-25)

Evidentemente que esta ecuación no es válida hasta el fondo porque allí para 0=h ,

−∞=0ln , lo que es inadmisible. Aceptaremos que la ecuación 2-25 sólo es válida hasta

una cierta distancia muy próxima al fondo.

Consideremos entonces que la constante de integración, cuyo valor estamos tratando dehallar, tiene la forma

65


0* ln h

VK

κ−=

0h representa la distancia del fondo a la cual, según la ecuación 2-25, la velocidad es cero.

Reemplazando en la ecuación 2-25 el valor propuesto para la constante de integración seobtiene

0

* lnhhV

Vh κ= (2-26)

La imposibilidad de llevar hasta el contorno la validez de la ecuación 2-25 nos hace pensarque algo ocurre cerca de las paredes. Se supuso y esta es la esencia de la teoría dePrandtl, que para el caso de un fondo liso se desarrolla cerca al fondo una delgada capa enla que el flujo es laminar. Es decir, que la distribución de velocidades en esta subcapa esdiferente a la que estamos aceptando para el resto de la sección.

En el capitulo III presentamos con más detalle el concepto de capa límite y la aparicióndentro de ella de una subcapa laminar.

El espesor de esta subcapa laminar se designa con la letra δ

Vamos a admitir que dentro de esta subcapa laminar el esfuerzo de corte es constante e igual

al esfuerzo de corte sobre el fondo ( 0ττ =h , para δ≤h ).

Figura 2.8 Subcapa laminar

ho

Ecuación 2-26

Ecuación 2-27

Fondo liso

δ

66


En el flujo laminar el corte es

dhdVh

h µτ =

reemplazando 0ττ =h y separando variables,

νρµρτ

µτ 2

*00 VdhdVh ===

integrando,

KhV

Vh +=ν

2*

La condición de velocidad nula en el fondo determina que 0=K

Luego,

hV

Vh ν

2*= para δ≤≤ h0 (2-27)

Tenemos ahora dos ecuaciones de distribución de velocidades: la 2-26, que es para el flujoturbulento y la 2-27 que es para el flujo laminar que se desarrolla cerca al fondo en una

capa cuyo espesor, muy delgado, es δ , y se designa con el nombre de subcapa laminar. En

este caso particular y por ser muy delgada la capa, la consecuencia de haber consideradoque dentro de ella el corte es constante es que la distribución de velocidades es lineal y noparabólica (como correspondería a un movimiento laminar). Ver Figura 2.8.

Evidentemente que para δ=h ambas ecuaciones deben coincidir

äí

VäV

2*= (flujo laminar)

0

*

hä

lnê

VäV = (flujo turbulento)

igualando estos dos valores se obtiene

0

*2

* lnh

VV δκ

δν

= (2-27a)

Para determinar el valor de δ se realizó una combinación de consideraciones teóricas y

67


experimentales a partir de la aceptación que la distribución de velocidades en un conductoliso es una relación entre dos parámetros adimensionales

*V

Vh ; í

hV∗

tal como se ha visto en la ecuación 2-27 para el flujo dentro de la subcapa laminar. Si llevamosestos valores a un gráfico semilogarítmico representando para el flujo laminar los valores de laecuación 2-27 y para el flujo turbulento valores experimentalmente medidos se tiene

Obviamente la intersección de las dos curvas marca el límite de aplicación de cada una deellas y resulta ser 11,6; luego

11,6 =

νhV*

a ese valor de h se le denomina δ . Luego

11,6 =νδ*V

(2-28)

Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para elcálculo de la distribución de velocidades

350

150 10511,6

2520 30

LAMIN

AR10

10 000

1 000

V*

hVTU

RBU

LEN

TO

100

v*V h

100 000

68


Reemplazando este valor en el primer miembro de la ecuación 2-27a

0

*

*

2* ln6,11

hV

VV δ

κν

ν=

κδ 6,11ln0

=h

El valor de κ , constante de Karman es de 0,4

644ln0

,h

=δ

1040δ=h (2-29)

si reemplazamos este valor en la ecuación 2-26 se obtiene

δκhV

Vh

104ln*= (2-30)

que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente liso.Posteriormente señalaremos cuando se dice que un contorno es hidráulicamente liso.

Para la distribución de velocidades en una tubería se obtendrá una expresión idéntica,como se demuestra a continuación.

b) Tubería

En este caso la longitud de mezcla tiene por expresión

21

21

−=

Dh

h L κ (2-31)

reemplazando este valor y el de la distribución del esfuerzo de corte en una tubería, ecuación2-8, en la ecuación 2-21, se obtiene luego de algunas sustituciones una ecuacióncorrespondiente a la 2-23, con lo que el desarrollo continúa igual.

La ecuación 2-30 es, pues, de carácter general para un conducto, canal o tubería, cuyasparedes sean hidráulicamente lisas, demostrándose así que la distribución de velocidadesen el flujo turbulento es logarítmica.

69


Se observa que la ecuación 2-30 corresponde a una relación entre dos parámetrosadimensionales.

*VVh

; äh

que guarda correspondencia con lo expuesto anteriormente, por cuanto,

=

νϕ

δhVh *

2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductoslisos

En general los contornos pueden ser lisos o rugosos. El contorno hidráulicamente liso esaquel que permite el desarrollo de una subcapa laminar.

a) Canal muy ancho

Por integración de la ecuación 2-30 obtenemos el gasto específico para un canal muyancho. Luego, dividiendo el gasto entre el área obtendremos la velocidad media.

∫=superficie

contorno h dhVq

Los límites de la integral los fijamos de acuerdo a la extensión de la validez de la ecuación

de hV . Es decir, para el flujo turbulento despreciamos la pequeñísima porción que

corresponde al flujo laminar.

∫=

==

yh

h dh

hV q

δ δκ104ln*

[ ] y

dh dh hdh

Vq

δδ

κ ∫ ∫ ∫−+= lnln104ln*

[ ] y h hh hh V

qδ

δκ

lnln104ln* −−+=

Reemplazamos los límites

70


δ==

h

yh

se obtiene

( ) ( )

+−−−=

δδδ

κyyyyVq ln104ln*

Consideramos ahora que,

yy →− δ

+−=

δκyyVq ln1104ln*

δκδκy

yV

ey

yV

q3,38ln104ln ** ==

δκyV

yq

V3,38ln*==

δκyV

V3,38ln*=

que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho con fondohidráulicamente liso y que evidentemente equivale a

δκRV

V3,38ln*= (2-32)

En el desarrollo que nos ha permitido llegar a esta expresión se ha hecho, entre otras, lasimplificación de suponer yy =−δ , lo que, naturalmente, no es rigurosamente exacto.

De otro lado debemos recordar que al fijar los límites de integración hemos despreciado elflujo a través de la subcapa laminar.

b) Tubería

El gasto es

dhhDVQcentro

contorno h

−= ∫ 2

2

π

71


el gasto total se obtiene por integración a partir del flujo a través de un pequeño anillo de

espesor dh , cuya distancia al contorno es h . El perímetro es

− hD

22 π y el área

elemental correspondiente es dhhD

−

22 π .

dhhVhD QDh

h δκπ

δ

104ln2

22/

*∫=

=

−=

∫

−=

2/* 104ln

22

D

dhhhDVQ

δ δκπ

Como límites de la integral fijamos δ=h (despreciando así el flujo a través de la subcapa

laminar) y 2/Dh = (eje de la tubería). Obsérvese que se ha determinado los límites de

integración en función del campo de validez de la fórmula (flujo turbulento).

2* 104ln104ln

22

D

dhh

hdhhDV

Qδδδκ

π

−= ∫∫

la primera integral ya ha sido evaluada, luego,

2* lnln104lnln

22ln

2104ln

22

D

dh hdh hhdh hh D

hD

hhD

hDV

Qδ

δδκ

π

+−−−−+= ∫ ∫∫

Figura 2.10 Flujo a través de un anillo

dh

rD

D2

- h

h

72


desarrollando y simplificando convenientemente obtenemos

=

δκπ 2/3

2*

2104ln

82

eDDV

Q

δκπ 2/3*

2 2104ln

4/ eDV

D Q

AQ

V ===

sustituyendo RD 4=

δκRV

V4,46ln*= (2-33)

que es la ecuación que nos da la velocidad media de una tubería hidráulicamente lisa.

Obsérvese que las ecuaciones 2-32 y 2-33 son muy similares. Representan un conceptofundamental, la relación entre dos parámetros adimensionales.

=δ

ϕ RVV

*

Lo mismo ocurre con la ecuación de distribución de velocidades (2-30)

=δ

ϕ hVVh

*

En ambos casos la función es logarítmica por ser un flujo turbulento.

2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para elmovimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso

En un contorno hidráulicamente rugoso las asperezas del fondo, o sea las protuberanciasde su superficie, son tan grandes comparativamente con δ que no permiten el desarrollode una subcapa laminar.

Vamos a partir de la ecuación 2-26 cuya validez es genérica e independiente de la naturalezadel fondo (liso o rugoso)

0

* lnhhV

Vh κ=

Exagerando el tamaño de las asperezas del fondo tendríamos

73


Se observa en la Figura 2.11 que no es posible que se desarrolle la subcapa laminar.

El estudio experimental del comportamiento de las tuberías rugosas fue hecho por Nikuradse,quien utilizó en realidad rugosidad artificial y homogénea. Trabajó con tuberías en cuyasuperficie interior colocó una capa de arena de diámetro uniforme k . Repitiendo lasexperiencias para diversos diámetros y valores de k llegó a la conclusión que la validezde la ecuación 2-26 puede extenderse hasta

300k

h = (2-34)

siendo k el tamaño absoluto promedio de las irregularidades (asperezas) del fondo y que

tiene un valor particular para cada material. A veces se usa la mitad de este valor comorepresentativo, entonces

ak 2= oo

o 150a

h = (2-35)

Reemplazando el valor de oh en la ecuación genérica de distribución de velocidades (2-26)

se obtiene

khV

Vh

30ln*

κ= (2-36)

que es la ecuación de distribución de velocidades en un contorno rugoso (tubería o canal).

Las ecuaciones 2-30 y 2-36 son las ecuaciones de la distribución de velocidad de Karman-Prandtl.

En la Tabla 2.1 se presentan los tamaños de la rugosidad absoluta para diversos materiales.

Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso

Ecuación 2-26

δ

74


TABLA 2.1

VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA k

Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por supropia naturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodosindirectos.

En las tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concreto elacabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menoresa los presentados en la esta Tabla.

La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande.

MATERIAL k (m)

Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero

nuevo con superficie pintada, plástico, etc.)

Fierro forjado

Acero rolado nuevo

Acero laminado, nuevo

Fierro fundido, nuevo

Fierro galvanizado

Fierro fundido, asfaltado

Fierro fundido oxidado

Acero remachado

Asbesto cemento, nuevo

Concreto centrifugado nuevo

Concreto muy bien terminado, a mano

Concreto liso

Concreto bien acabado, usado

Concreto sin acabado especial

Concreto rugoso

Duelas de madera

1,5 x 10-6

4,5 x 10-5

5 x 10-5

4 x 10 -5 – 10-4

2,5 x 10-4

1,5 x 10-4

1,2 x 10-4

1 x 10 -3 – 1,5 x 10-3

0,9 x 10-4 – 0,9 x 10-3

2,5 x 10-5

1,6 x 10-4

10-5

2,5 x 10-5

2 x 10-4 – 3 x 10-4

10-3 – 3 x 10-3

10-2

1,8x10-4 – 9 x 10-4

75


2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductosrugosos

a) Canal muy ancho

Obtenemos el gasto específico por integración.

∫=superficie

fondo hdhVq

considerando como distribución de velocidad la ecuación 2-36 y reemplazando se obtiene

∫=

==

yh

hh dh

khV

q0

30ln*

κ

[ ] y

h dhkhdhdh

Vq

0lnln30ln* ∫ ∫ ∫−+=

κ

[ ] y

hkhhhhh

Vq

0lnln30ln* −−+=

κ

→

−+−−−= ∗

3210

lnln)(ln)(30ln 0000 e

hheyyhykhyVq

κ

pero, yhy 0 →−

ekyyV

eyykyyVq 30lnlnln30ln **

κκ=

+−=

ekyV

yq

V30ln*

κ== →

kyV

V11ln*

κ=

que evidentemente equivale a

kRV

V11ln*

κ= (2-37)

que es la ecuación que nos da la velocidad media en un canal muy ancho de fondohidráulicamente rugoso.

76


b) Tubería

Se procede como en los casos anteriores. El gasto, de acuerdo a la Figura 2.10, es

∫

−=

centro

contorno h dhhDVQ

22π

Reemplazando el valor de hV según la ecuación 2-36,

∫

−= 2 *

0 2230ln

D

h dhh

D

khV

Q πκ

integrando y simplificando se obtiene

kRV

V4,13ln*

κ= (2-38)

que es la ecuación de la velocidad media en una tubería de contorno hidráulicamente rugoso.

2.9 Obtención de la ecuación de Chezy

Hasta el momento hemos obtenido dos fórmulas para el cálculo de la velocidad media enconductos lisos: una para canales (2-32) y otra para tuberías (2-33).

δκRV

V3,38ln*= (canales)

δκRV

V4,46ln*= (tuberías)

La ecuación 2-32, que fue establecida para un canal muy ancho, se ha expresado enfunción del radio hidráulico, puesto que para ese caso el radio hidráulico es igual al tirante.

Se observa que ambas ecuaciones son muy parecidas. Difieren sólo en el valor numérico

del coeficiente de δR .

Con el objeto de obtener una fórmula aproximada que comprenda tanto a tuberías como acanales tomamos el promedio aproximado de los coeficientes y se obtiene

Conductoslisos

77


δκRV

V42ln*= (2-39)

Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto liso (canal muyancho, tubería o cualquier otra sección intermedia). Para la solución de problemas prácticosusaremos la ecuación 2-39; para demostraciones, las ecuaciones 2-32 y 2-33.

Para los conductos rugosos también hemos obtenido dos fórmulas: una para canales (2-37) yotra para tuberías (2-38)

kRV

V11ln*

κ= (canales)

kRV

V4,13ln*

κ= (tuberías)

Ambas ecuaciones son también muy parecidas y pueden reemplazarse por otra que

considere el promedio aproximado de los coeficientes de kR

kRV

V12ln*

κ= (2-40)

Esta es la fórmula aproximada para la velocidad media en cualquier conducto rugoso (canalmuy ancho, tubería o cualquier otra sección intermedia).

Un conducto puede tener paredes hidráulicamente lisas o hidráulicamente rugosas. En elsegundo caso se entiende que el tamaño de la rugosidad absoluta y de las característicasdel escurrimiento no permiten que se desarrolle una subcapa laminar. En cambio en elprimer caso, conductos lisos, si existe una subcapa laminar y la velocidad es función de suespesor. Eventualmente pueden presentarse casos intermedios o de transición.

Con fines prácticos estableceremos una fórmula que involucre ambos casos, combinandolas ecuaciones 2-39 y 2-40. Obsérvese que no se trata de una operación algebraica, sinode una adaptación

72

6ln*

δκ +=

kRV

V (2-41)

Conductosrugosos

78


R = Radio hidráulico

k = rugosidad (según Tabla 2.1)

δ = espesor de la subcapa laminar (ec. 2.28)

Re = ν

VR (referido al radio hidráulico)

(Este diagrama ha sido tomado de las Lecciones de Clase del Profesor Thijsse, de Delft,Holanda)

Figura 2.12 Coeficiente C de Chezy

Re = 10

5 x 10

2 x 10

5 x 10

Re = 10

2 x 10

Re = 10

2 x 10

5 x 10

Re = 10

5 x 102 3

3

43

4

4 5

5

5

6

C = 45

C = 25

C = 30

C = 40

C = 35

50201052

CONTORNOS

HIDR. L

ISOS

1 000

CONTORNOS

HIDR. R

UGOSOS

C = 65

C = 55

C = 50

C = 60

C = 70

2

5

10

20

kR200

50

100

500

10 000

5 000

2 000

5 000 10 0001 000500200100 2 000

C = 80

C = 75

C = 85

C = 90

δR

79


Si el valor k de la rugosidad no tiene significación, entonces la fórmula 2-41 se convierte enla de los conductos lisos; caso contrario si δ no tiene significación entonces es la ecuaciónde los conductos rugosos.

Haremos ahora algunos reemplazos en esta ecuación para darle otra forma

RS k

Rgk

RgRSV

72

6log10ln

72

6ln δκδκ +=

+=

RSk

RgV

72

6log3,25,2 δ+××=

Pero

183,25,2 =×× g

Luego,

RSk

RV

72

6log18 δ+= (2-41a)

RSCV = (2-42)

que es la ecuación de Chezy, en la que

72

6log18 δ+=

kR

C (2-43)

C es el coeficiente de Chezy. Sus dimensiones son L1/2 T-1.. Sus unidades son m1/2/s puesto

que corresponde a g .

Para facilitar el cálculo y verificar los resultados se usa la Figura 2.12.

2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos ehidráulicamente rugosos

Cada contorno tiene su propia aspereza o rugosidad que depende del material de que estáhecho y de su estado de conservación. Así por ejemplo, una tubería de concreto es másrugosa que una de acero. Un canal de tierra es más rugoso que un canal de concreto.

80


Si pudiéramos ver con una luna de aumento el contorno de una tubería o de un canal, veríamosalgo así como lo mostrado en la figura siguiente

Las asperezas tienen diferente forma y tamaño. Dan lugar a la aparición de pequeñas corrientessecundarias (vorticosas). Estas asperezas producen una modificación en las condiciones delescurrimiento.

Con el objeto de estudiar la influencia de la rugosidad, Nikuradse hizo experiencias en tuberíascon rugosidad artificial. Para ello cubrió las paredes con granos de arena de diámetro uniforme.

Se designa por k el diámetro y por a el radio de los granos.

Al valor de k (o al de a ) se le llama rugosidad absoluta. La influencia de la rugosidad en elescurrimiento depende del tamaño del conducto, es decir del radio de la tubería, tirante ocualquier otra característica del flujo y del fluido.

Se denomina rugosidad relativa a cualquiera de las relaciones siguientes

Da

Dk

; Ra

, Rk

; ra

, rk

; ha

, hk

( 2-44)

Figura 2.13 Aspereza del contorno

Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse

k = 2a

81


o sus inversas,

Determinar cual es la rugosidad absoluta de un conducto dado es un problema difícil. Existentablas, gráficos y descripciones, pero en última instancia el factor principal es la experienciadel ingeniero diseñador. De otro lado, debe tenerse en cuenta, como lo estudiaremos luego endetalle, que la rugosidad cambia con el tiempo.

Las experiencias que realizó Nikuradse y que fueron publicadas en 1933 son para el siguienterango de rugosidades relativas

014130 <<kD

Un conducto en el que la rugosidad relativa es de 30 se caracteriza porque es muy grandela influencia de la rugosidad en el escurrimiento.

Como resultado de la combinación de las características del escurrimiento (velocidad,viscosidad, etc.) y del tamaño, forma y espaciamiento de la rugosidad puede ser que sedesarrolle o no, una subcapa laminar.

La posibilidad de existencia de la subcapa laminar es lo que define la naturaleza de lasparedes. Dicho en otras palabras, la naturaleza de las paredes depende del tamaño relativo

de k y δ .

Cuando es posible que esta subcapa laminar exista se dice que las paredes sonhidráulicamente lisas; caso contrario son hidráulicamente rugosas.

El valor de la rugosidad se determina por medio de la Tabla 2.1 en la que aparece para cadamaterial el valor de la rugosidad absoluta. Debe entenderse que por la propia naturaleza de larugosidad y por la necesaria aproximación con la que se hacen los cálculos, estos valores nopueden ser rigurosamente exactos.

Se dice que un conducto es hidráulicamente liso (ecuación 2-39) cuando

δ4,0≤k

Lo que equivale aproximadamente a

5* ≤ν

kV

Se dice que un conducto es hidráulicamente rugoso (ecuación 2-40) cuando

δ6≥k

82


lo que equivale aproximadamente a

70* ≥ν

kV

Para valores intermedios

705 * <<ν

kV (2-45)

se dice que el contorno es una transición entre liso y rugoso y se aplica la ecuación 2-41.

2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl

La ecuación 2-30 que da la distribución de velocidades en un contorno hidráulicamente lisopuede transformarse de la manera siguiente

δκhV

Vh

104ln*=

Combinando con 2-28, 6,11* =νδ V

se obtiene

νκhVV

V

h** 97,8ln=

Luego

97,8log3,2log3,2 *

* κνκ+= hV

VV h

de donde,

5,5log75,5 *

*

+=ν

hVVVh

(2-46)

expresión equivalente a la 2-30.

Reemplazo similar puede hacerse para la ecuación 2-32, que nos da la velocidad media en uncanal muy ancho de fondo hidráulicamente liso

δκyV

V3,38ln*=

83


νκyVV

V ** 3,3ln=

3log75,5 *

*

+=ν

yVVV

(2-47)

expresión equivalente a la 2-32.

Si de la ecuación 2-46 restamos la 2-47 obtendremos para cada punto, es decir, para cada

valor de h , la diferencia entre la velocidad a esa distancia del fondo y la velocidad media

5,2log75,5*

+=−yh

VVVh (2-48)

Con la idea de obtener una expresión análoga para el caso de canales rugosos hacemosun desarrollo similar.

La ecuación 2-36 que da la distribución de velocidades en un contorno rugoso se transformaen

5,8log75,5*

+=kh

VVh (2-49)

y la que corresponde a la velocidad media (2-37) se trasforma en

6log75,5*

+=ky

VV

(2-50)

efectuando la resta de estas dos expresiones se obtiene

5,2log75,5*

+=−yh

VVVh

expresión que es igual a la 2-48.

Luego, aceptaremos que en un canal sea liso o rugoso se cumple que

5,2log75,5*

+=−yh

VVVh (2-51)

o bien, 5,2log75,5*

+=−Rh

VVVh (2-52)

84


Para las tuberías se puede hacer un desarrollo similar.

La ecuación 2-33 se reemplaza, mediante sencillas transformaciones, por su equivalente

5,3log75,5 *

*

+=ν

RVVV

(2-53)

Si restamos esta ecuación de la 2-46 se obtiene,

2log75,5*

+=−Rh

VVVh

(2-54)

Si la tubería fuera rugosa, se trasformaría la ecuación 2-38 en

5,6log75,5*

+=kR

VV

(2-55)

que restada de la 2-49 nos da

2log75,5*

+=−Rh

VVVh

(2-56)

obtenemos así las expresiones 2-54 y 2-56 que son iguales. Se puede entonces aceptar queen una tubería el exceso de velocidad en un punto con respecto a la velocidad media referidaa la velocidad de corte, es

2log75,5*

+=−Rh

VVVh

(2-57)

Ejemplo 2.5 En una tubería circular de acero (k =10-4 m) de 0,60 m de diámetro fluye aceite (pesoespecífico relativo 0,8). La viscosidad del aceite es de 1 poise. La elevación del punto inicial es 20,2 my la presión en dicho punto es de 5 kg/cm2. La elevación del punto final es de 22,10 m y la presión esde 2 kg/cm2. La longitud de la tubería es 1 000 m Calcular

a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosab) el espesor de la subcapa laminarc) el coeficiente de Chezyd) la velocidad mediae) el gasto

Solución. La altura de presión en el punto inicial es

m50,62kg/m800

kg/m000503

2

=

85


La cota piezométrica en dicho punto es 62,5 + 20,2 = 82,7 m. Similarmente, la cota piezométrica en elpunto final es 47,1 m.

Luego calculamos la pendiente según la ecuación 2-3

2103,56000 1

47,182,7 −×=−

==L

hS f

que es la pendiente de la línea piezométrica. Por ser movimiento uniforme es igual a la de la líneade energía.

Calculamos ahora la velocidad de corte (2-24)

m/s 0,229103,560,159,8 2* =×××== −gRSV

Consideremos, m/s 0,23* =V

a) Para saber si las paredes se comportan como hidráulicamente lisas o rugosas aplicamos laecuación 2-45,

50,184101,25100,23

4

4* <=

××

= −

−

νkV

Luego las paredes se comportan como hidráulicamente lisas.

b) Espesor de la subcapa laminar (2-28).

m 0,00636,11

*

==V

νδ

c) Coeficiente de Chezy (2-43).

Como las paredes son hidráulicamente lisas no interviene la rugosidad,

/sm 5442

log18 1/2==δ

RC

d) Velocidad media (2-42)

m/s 3,95 103,560,15 54 2 =××== −RSCV

e) Gasto

/sm 1,12 3,954

32

=×==D

AVQ π

86


Para resolver este ejercicio se partió de la suposición de que el flujo es turbulento. Luego de calcularla velocidad media verificamos que 3002Re > ( 96018Re = ).

A modo de verificación usamos el diagrama de la Figura 2.12. Para usar este diagrama recuérdese que

el número de Reynolds debe referirse al radio hidráulico R .

2400630150 ==

,

,

ä

R

500110

1504

,

k

R== −

310747404496018

Re ×==== ,

í

VR

/sm 54 1/2=C

Se observa que todos los valores coinciden en un punto.

Para el cálculo de C hemos empleado la ecuación 2-39, que es válida para conductos lisos, seantuberías o canales.

Podría haberse hecho el cálculo con la ecuación 2-33, que es exclusivamente para tuberías lisas. Elresultado habría sido prácticamente el mismo.

87



(Capítulo II)

1. En un conducto circular de 0,75 m de diámetro, de acero ( k = 0,0001 m), fluye aceite cuyaviscosidad es de 1 poise. Su peso específico relativo es de 0,8. Las características de latubería se muestran en el esquema adjunto. Calcular el gasto. ¿Cuál es la naturaleza de lasparedes?.

2. Demostrar que el coeficiente C de Chezy se puede expresar para conductos hidráulicamentelisos, mediante la siguiente ecuación implícita

CmC

Relog18=

Calcular el valor de m para canales y tuberías. Calcular también un valor promedio paraambos conductos.

3. A partir de la ecuación de distribución de velocidades en un canal de fondo rugoso deducir lasexpresiones siguientes

32 231 εεα −+=21 εβ +=

siendo

1−=V

Vmaxε

3 kg / cm

1 000 m

2

2 kg / cm 2

8 m6 m

A

B

88


α es el coeficiente de Coriolis, β es el coeficiente de Boussinesq, maxV es la velocidadmáxima y V es la velocidad media.

4. Se tiene una tubería de 0,40 m de diámetro por la que circula agua. Su viscosidad es de 1centipoise. La longitud de la tubería es de 600 m. Se inicia en el punto A, en el que la presiónes 5 kg/cm2 y termina en el punto B, cuya presión es de 3 kg/cm2 y cuya elevación es de 5 msuperior a la del punto inicial. Considerar k = 0,0001 m. Calcular

a) si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosab) el coeficiente de Chezyc) el gastod) la pérdida de energía entre A y B

5. Demostrar que el promedio de las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante en un canal muy anchocon flujo turbulento es igual a la velocidad a 0,6 del tirante (midiendo el tirante a partir de lasuperficie).

6. Calcular cuál es el error que se comete al considerar que la velocidad a 0,6 del tirante(medido a partir de la superficie) es igual a la velocidad media, para un canal con flujoturbulento y paredes rugosas.

7. Demostrar que si 1−=V

Vmaxε

entonces en un canal

CVV 83,75,2 * ==ε

8. Una tubería de concreto liso, de 0,80 m de diámetro conduce agua con una velocidad de 4 m/s. Laviscosidad es de 1,2x10-6 m2/s. Calcular el coeficiente C de Chezy. Definir la calidad de laparedes. Calcular la pendiente de la línea piezométrica.

9. Demostrar que en una tubería con turbulencia plenamente desarrollada se cumple que

73,3*

=−V

VVmax

10. Calcular el valor de *V

VVmax −

para un canal con turbulencia plenamente desarrollada.

89


11. Calcular para un flujo turbulento a que distancia del contorno la velocidad es igual a lavelocidad media: a) en un canal, b) en una tubería. Demostrar que esa distancia esindependiente de que el contorno sea liso o rugoso (comparar con el ejemplo 1.3).

12. Un canal de concreto ( k = 4x10-4 m) conduce agua. El ancho en el fondo es de 4 m y el anchosuperficial es de 12 m. El tirante es de 3 m. La pendiente del fondo es 0,2 m por 100.Considerando que la viscosidad cinemática del agua es 1,4x10-6 m2/s, a) decir si las paredesson lisas o rugosas, b) calcular el gasto, c) calcular el esfuerzo de corte medio sobre el fondo.

13. Una tubería de sección circular de 0,80 m de diámetro conduce agua que ocupa la mitad desu sección transversal. La viscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s. ¿Qué inclinación debe dárselepara que se establezca un flujo uniforme con una velocidad media de 0,80 m/s? La rugosidad esde k = 10-4 m. Si después resultara que la rugosidad es en realidad 10 veces mayor, cuál seríala reducción del gasto, conservando la pendiente? ¿Qué porcentaje representa estadisminución?

14. Se sabe que en una tubería con flujo laminar la velocidad máxima es el doble de la velocidadmedia. Verificar que esto se cumple para el ejemplo 2.1 de este capítulo.

15. La tubería AB de 300 m de largo y 0,80 m de diámetro lleva agua que tiene una viscosidad de1,2x10-6 m2/s. La tubería tiene una rugosidad uniforme k = 4x10-4 m. La presión en el punto Adebe ser de 4 Kg/cm2 y en el punto B de 3,8 Kg/cm2. ¿Cuál es la máxima diferencia deelevación que puede existir entre A y B para que la tubería se comporte como hidráulicamentelisa? ¿Cuál sería la velocidad en este caso?

16. En un río muy ancho, cuyo fondo se supone constituido por partículas de diámetro uniformek , el tirante es de 2 m. El gasto por unidad de ancho es de 4 m3/s/m. Se ha medido lavelocidad superficial encontrándose que su valor es de 2,50 m/s. Calcular la rugosidad absolutak y la velocidad de corte.

17. Se tiene una tubería de 1,60 m de diámetro que conduce aire. Por medio de un tubo de Pitotse ha medido la velocidad en el eje y en un punto ubicado a la distancia 4/D del contorno.Los valores leídos son 5,0 y 4,2 m/s. Hallar la velocidad media y el gasto.

18. Demostrar que en una tubería de radio r se cumple que

73,3log75,5*

+=−rh

VVVh

19. Demostrar que la condición para que un contorno se comporte como hidráulicamente liso sepuede expresar por

90


VgC

k ν5<

20. En una tubería la distribución de velocidades está dada por

x

maxh rh

VV

1

=

Demostrar que si por medio de un tubo de Pitot se mide la velocidad a la distancia 0,25 r delcontorno, se obtiene la velocidad media correcta con un error de 0,5% para valores de xcomprendidos entre 4 y 10.

21. Calcular a que radio debe colocarse un tubo de Pitot en una tubería para obtener con una solalectura la velocidad media, a) si el flujo es laminar, b) si el flujo es turbulento.

22. Demostrar que

Re

12log18C

Rk

C+

=

23. ¿Qué valor habría que usar en lugar de 18, en la expresión anterior, para aplicar la fórmula enel sistema inglés?

24. Calcular en el ejemplo 2.3 a que distancia del contorno la velocidad es igual a la velocidadmedia. Dibujar la distribución de velocidades.

91

La resistencia de superficie en el movimiento uniformeCapítulo III

3.1 Ecuación de Darcy

Consideremos el flujo en un cilindro de longitud L . Las fuerzas que actúan son la diferencia

de presiones, la fricción y el peso del fluido. Entre estas fuerzas debe haber equilibrio.

La suma de la fuerza debida a la diferencia de presiones y la componente del peso es igual a

la resistencia que ofrece el contorno

( ) PLALApp 021 sen τθγ =+− (3-1)

CAPITULO IIILA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL

MOVIMIENTO UNIFORME

Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería

p2

2z

p1

1z

L

θ

Plano de referencia

τo

92


A es la sección transversal, P el perímetro y 0τ el corte medio sobre el contorno.

Consideremos que el flujo es turbulento. Tomando en cuenta las ecuaciones 2-10 y 2-42 se

tiene,

(ec. 2-10) RS γτ =0

oo

o 2

20 VCγτ =

(ec. 2-42) RSCV =

si dividimos ambos miembros de la ecuación 3-1 por A γ y se reemplaza el valor obtenido

para 0τ se tiene

LAP

CVLsenè

ãpp

2

221 =+

−

de donde,

LAP

CVz

ãpz

ãp

2

2

22

11 =

+−

+

luego,

DCV

Lh f

42

2

=

Multiplicando y dividiendo por g2 el segundo miembro se llega a la expresión de la pérdida

de carga

2

2 82 C

gg

VDL

h f =

Denominaremos f , coeficiente de Darcy a la relación entre g8 y el cuadrado de C

2

8C

gf = (3-2)

Sustituyendo, g

VDL

fh f 2

2

= (3-3)

93


que es la ecuación de Darcy. También se le conoce con el nombre de Darcy - Weisbach. En

algunos textos el coeficiente f de Darcy se designa con la letra λ .

La ecuación de Darcy es en esencia igual a la ecuación de Chezy. Esto puede demostrarse

utilizando los conceptos hasta ahora expuestos y haciendo simples transformaciones

algebraicas.

La ecuación de Darcy permite calcular la pérdida de carga fh que se presenta en un tramo

de tubería de longitud L , diámetro D y velocidad media V .

El desarrollo anterior ha sido hecho para un movimiento turbulento. Para el flujo laminar se

puede hacer un desarrollo análogo utilizando la velocidad media que corresponde a la ecuación

de Poiseuille (flujo laminar, ec. 2-19), en lugar de la ecuación de Chezy.

(ec. 2-10) RS γτ =0

oo

o

RVµτ 2

0 =

(ec. 2-19)µ

γ2

2SRV

=

Reemplazando en la ecuación 3-1 el valor obtenido para 0τ ,

( ) PLRV

ALAppµθγ 2sen21 =+−

dividiendo ambos miembros por A γ y luego multiplicando y dividiendo el segundo miembro

por V ,

RVL

APh f

µγ

2=

RVgV

RL

h f

µρ

2

2=

Sustituyendo el radio hidráulico y haciendo algunas operaciones se llega a

gV

DL

h f 2

Re64 2

=

94


o bien,

g

VDL

fh f 2

2

=

que es la ecuación de Darcy, en la que consideramos que para el flujo laminar,

Re64=f (3-4)

el número de Reynolds esta referido al diámetro.

3.2 Significado del coeficiente f de Darcy (en tuberías circulares)

En lo que respecta al flujo laminar, f es simplemente una función del número de Reynolds.

En el flujo turbulento, que estudiaremos a continuación, el significado de f es más complejo.

En general, es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.

=

Dkf Re, ϕ (3-5)

La rugosidad relativa es la relación entre la rugosidad absoluta y el diámetro de la tubería (ec.

2-44).

La rugosidad absoluta depende de la calidad de las paredes expresada por

a) Altura media de las irregularidades de la superficie

b) Variación de la altura con respecto a la media

c) Forma de las irregularidades del contorno

d) Separación entre irregularidades adyacentes

Dada la compleja naturaleza de la rugosidad absoluta y su difícil representación es que

Nikuradse usó rugosidad artificial de diámetro uniforme. Es útil el concepto de rugosidad

equivalente k . Según este concepto, k es una longitud que mide el grado de rugosidad, y tal

que para dos conductos diferentes tiene valores proporcionales a los diámetros de los mismos,

cuando para valores iguales del número de Reynolds los valores correspondientes de f son

los mismos para ambos conductos.

95


Si bien es cierto que en el flujo turbulento, f es, en el caso más general, función tanto del

número de Reynolds como de la rugosidad relativa, también lo es que puede ser función de

sólo uno de ellos.

En una tubería hidráulicamente lisa se desarrolla una subcapa laminar, cuyo espesor es

bastante mayor que la rugosidad. De acá que las irregularidades del contorno quedan dentro

de la subcapa laminar y, por lo tanto, no tienen significado para el cálculo de f .

En una tubería lisa,

( )Re ϕ=f (3-6)

En cambio, en una tubería hidráulicamente rugosa los valores de k son tan grandes con

respecto al espesor que tendría la subcapa laminar,que ésta no puede desarrollarse. Entonces,

=

Dkf ϕ (3-7)

Para la transición entre contornos lisos y rugosos es aplicable una ecuación como la 3-5.

3.3 Tuberías hidráulicamente lisas

Blasius estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías lisas estableciendo

que,

41

Re

316,0=f (3-8)

Esta ecuación de Blasius es válida para números de Reynolds (referidos al diámetro) menores

que 105, aproximadamente.

Para números de Reynolds mayores, que correspondan a turbulencia plenamente desarrollada,

el valor de f se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo siguiente.

Partimos de la ecuación 2-33,

δκRV

V4,46ln*=

96


luego sustituimos el valor de δ (ec. 2-28)

∗

=V

νδ 6,11

y reemplazamos el radio hidráulico por el diámetro, obteniendo

νκDVV

V ∗∗= ln (3-9)

Necesitamos ahora una relación entre ∗V y f . Para ello combinamos las siguientes

ecuaciones, ya conocidas

gRSV =∗

RSCV =

Dividiendo,

Cg

VV =∗ (3-10)

De otro lado, a partir de la ecuación 3-2 obtenemos,

fg

C8= (3-11)

De las dos últimas se llega a

8f

VV =∗ (3-12)

Reemplazando este último valor en la ecuación 3-9,

νκ

DfVf 8

ln811 =

efectuando operaciones y haciendo algunas sustituciones,

92,0)log(Re03,21−= f

f (3-13)

97


y ajustando los coeficientes con valores experimentales obtenidos por Nikuradse se llega

finalmente a

8,0)log(Re21−= f

f (3-14)

ecuación que tiene gran importancia, pues, es una relación analítica entre f y el número de

Reynolds. Tiene el inconveniente de ser implícita. Nikuradse estableció también la siguiente

relación empírica,

2370Re221000320 ,

,,f += (3-15)

en la que el número de Reynolds está referido al diámetro y que da prácticamente los mismos

resultados que la ecuación 3-14 para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107.

Se puede citar también la fórmula de Konakov que da el valor de f en el flujo turbulento,

( )251Relog8111

, -,f

= (3-16)

que es aplicable para números de Reynolds mayores que 2 300 y hasta de varios millones

(con respecto al diámetro).

Comparando, por ejemplo, las expresiones 3-4 y 3-8 se observa que en el flujo laminar, f

depende linealmente de la viscosidad, en cambio en el flujo turbulento depende de la potencia

un cuarto de la viscosidad.

Es conveniente llevar a un solo gráfico las ecuaciones 3-4, 3-8 y 3-14, usando papel logarítmico.

Obviamente la primera ecuación corresponderá a una línea recta.

Este gráfico muestra la relación completa entre el coeficiente f de Darcy y el número de

Reynolds para tuberías lisas. Abarca el flujo laminar, el flujo turbulento (Blasius y Nikuradse)

y la transición entre ambos escurrimientos.

98


3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico deNikuradse

Como hemos señalado antes, en las tuberías hidráulicamente rugosas no puede desarrollarse

una subcapa laminar. El valor de la velocidad y el coeficiente de Darcy dependen exclusivamente

de la rugosidad relativa. El valor de f se obtiene analíticamente de acuerdo al desarrollo

siguiente.

Partimos de la ecuación 2-38,

k13,4Rln

êVV ∗=

e introducimos la ecuación 3-12,

8f

VV =∗

de donde

kD

f

35,3log03,21= (3-17)

Figura 3.2 Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas

f =

2 300

0,08

10

0,02

0,01

0,04

0,06

210

3

Laminar

f

0,10

0,20

= 2 log (Re

410

f =Re 4

0,3161

1f

105

106

Turbulento

Re =

f ) − 0,8

107

vDV

64Re

99


Ajustando los coeficientes de acuerdo a los resultados experimentales de Nikuradse

kD

f71,3log21 = (3-18)

Se observa, pues, que ahora f es función exclusiva de la rugosidad relativa. Es independiente

del número de Reynolds.

Si quisiéramos hacer un gráfico similar o compatible con el de la Figura 3.2 tendríamos que

considerar una familia de rectas paralelas al eje horizontal. Para cada valor de Dk se

obtiene el de f (ó de kD , según el gráfico)

Como hemos visto, Nikuradse estudió experimentalmente el comportamiento de las tuberías

lisas y rugosas introduciendo algunos ligeros ajustes en los coeficientes de las expresiones

analíticas. Pero también estudió experimentalmente la fase que corresponde a la transición

entre paredes lisas y rugosas.

El gráfico de Nikuradse representa en conjunto el comportamiento de las tuberías lisas, rugosas

y a la transición entre ambas. Aparece en la Figura 3.4, que es una síntesis de las Figuras

3.2 y 3.3.

Debe tenerse presente que el gráfico de Nikuradse corresponde a tuberías de rugosidad

artificial (ver apartado 2.10 y Figuras 2.13 y 2.14).

0,01

0,06

0,04

0,02

104

105

106

0,03

0,0530,

61,2

120,

252,504,

1014,

vVD

kD

Re =

f

Figura 3.3 Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas

100


Analizando el gráfico de Nikuradse se encuentra lo siguiente

a) En el régimen laminar (Re ≤ 2 300), la rugosidad de las paredes no tiene ninguna

influencia sobre la resistencia.

b) Una tubería con un valor determinado de la rugosidad relativa, se comporta como

hidráulicamente lisa hasta un valor correspondiente del número de Reynolds. Se observa

en el gráfico que a medida que la tubería es relativamente más lisa se requiere un número

de Reynolds mayor para que la tubería se aparte de la curva que corresponde a las

tuberías lisas.

c) Al aumentar el número de Reynolds y/o la rugosidad, aparece una zona en la que el

coeficiente f es función tanto del número de Reynolds como de la rugosidad relativa.

Es la transición.

d) Para valores altos del número de Reynolds el coeficiente f es función exclusiva de la

rugosidad relativa.

Si se pretendiera aplicar el diagrama de Nikuradse a tuberías comerciales, cuya rugosidad no

es artificial sino natural y tiene las características de la Figura 2.13, entonces en la zona de

transición se encontrarían fuertes diferencias. Para tuberías comerciales se utilizará el diagrama

de Moody (Capítulo IV).

Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse

103

104

105

vVD

kD

Re =10

60,016

0,020

0,025

0,032

0,040

0,050

0,063

f

30

61,2

120

252

504

1 014

101


3.5 Introducción del coeficiente f de Darcy en las ecuaciones dedistribución de velocidades

En el Capítulo II establecimos la ecuación 2-57

2log 75,5 +=−

∗ Rh

VVVh

Expresión en la que

hV : velocidad a la distancia h del contorno

V : velocidad media

∗V : velocidad de corte

R : radio hidráulico

La ecuación 2-57 nos muestra que en una tubería la diferencia entre la velocidad puntual y la

media depende de la distancia al contorno. Es independiente de que el contorno sea

hidráulicamente liso o rugoso.

Vamos a introducir la ecuación 3-12 en la ecuación 2-57

8f

VV =∗

obteniendo así

171,0log03,2 +

+=

Rhf

VVh

Si se reemplaza 2,03 por 2,15 y 0,71 por 0,783 para ajustar con los resultados experimentales,

se obtiene

1783,0log15,2 +

+=

Rhf

VVh (3-19)

De acá se puede obtener la relación entre la velocidad máxima y la velocidad media. La

velocidad máxima, que se desarrolla en el eje, corresponde a Rh 2= . Luego,

143,1 += fV

Vmax (3-20)

La expresión 3-19 es muy útil para la obtención del coeficiente f de Darcy y de la velocidad

102


media a partir del conocimiento de la distribución de velocidades. Si en una tubería se miden

los valores puntuales de la velocidad a diferentes distancias del eje, se obtiene

experimentalmente, para un caso particular, la ley de distribución de velocidades. Esto puede

hacerse por medio de un tubo de Pitot. Tal es el caso del problema 27 del Capítulo I.

A partir de los valores obtenidos para hV en función de h es posible calcular f y V por

medio de la ecuación 3-19.

Si los valores medidos hubieran sido obtenidos con gran precisión y alta confiabilidad, bastaría

con tomar dos de ellos y obtener dos ecuaciones con dos incógnitas y resolver el sistema,

hallando así f y V . Sin embargo, toda medición implica un error. Es preferible obtener f y

V a partir de todos los valores medidos, haciendo un gráfico en papel semilogarítmico.

La expresión 3-19 puede escribirse de la siguiente manera (refiriéndola al radio r de la tubería)

que representa una línea recta cuya ecuación es de la forma

Siendo,

VfVrhfVVh ++= 43,1log15,2

y m x b

bmxy +=

GRABACION02

Sello

103


VfVb += 43,1

Los valores de m y b se obtienen del gráfico. Resolviendo las dos ecuaciones se consigue

los valores de f y V .

3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook- White

Hemos señalado y discutido ampliamente el concepto relativo a la naturaleza del contorno.

Desde el punto de vista hidráulico no podemos decir que un determinado contorno es en sí

liso o rugoso. Depende también de las características del escurrimiento. Un contorno puede

comportarse como liso frente a un flujo, pero como rugoso frente a otro flujo. Todo depende de

la relación entre el tamaño de la rugosidad y el espesor de la subcapa laminar que podría

desarrollarse. Esto fue expuesto en el capítulo II, apartado 2.10.

En el gráfico de Nikuradse, Figura 3.4, se ve claramente que las tuberías más lisas requieren

de un número de Reynolds mayor para apartarse de la ecuación general de las tuberías lisas.

Podríamos, pues, decir que las tuberías dejan de comportarse como lisas para el mismo valor

de la relación de δk .

En las tuberías de rugosidad natural (no homogénea, diferente de la que usó Nikuradse), el

fenómeno de la transición es diferente. Esto se debe a que en una superficie con rugosidad

natural las irregularidades del fondo son de diferente tamaño. Basta la presencia de algunas

protuberancias mayores que la media para alterar la subcapa laminar.

Los valores de f en la zona de transición entre tuberías lisas y rugosas se obtienen por

medio de la fórmula de Colebrook y White. Sabemos que en

Tuberías rugosas (ec. 3-18) kD

f71,3log21 =

Tuberías lisas (ec. 3-14) 51,2Re

log21 ff

=

Combinando ambas expresiones se obtiene la ecuación de Colebrook y White.

104


+−=f

Dk

f Re51,2

71,3log21

(3-21)

Esta ecuación es prácticamente igual a la 2-41a del Capítulo II.

3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales.Errores

Hasta ahora hemos estudiado todas las variables involucradas en el escurrimiento en tuberías

y su estudio nos permitirá, en el capítulo siguiente, presentar las modalidades de

dimensionamiento.

Conviene ahora recapitular y ordenar algunos conceptos fundamentales.

Como consecuencia de la fricción, que a su vez se debe a la viscosidad, se desarrolla en un

contorno liso una subcapa laminar. Esto determina un consumo de energía, una disipación de

energía. Esto es lo que denominamos una pérdida de carga.

Si las paredes no son lisas, sino rugosas, no se forma la subcapa laminar, pero hay pérdida

de energía por rozamiento y formación de vórtices en el contorno.

Además hay pérdida de carga (de energía) por frotamiento interno entre los filetes fluidos, la

misma que depende del grado de turbulencia.

Con el objeto de dimensionar un conducto, debemos disponer de una ley de pérdida de carga.

Bruschin, de la Escuela Politécnica de Lausanne, Suiza, ha hecho reflexiones muy interesantes

sobre este problema, señalando que una ley de pérdida de carga debe ser una ley “de

comportamiento”, vale decir, una ley de tipo descriptivo.

Así, pues, la ley de Darcy lo que hace es relacionar un parámetro característico del escurrimiento

-la velocidad media- con la pérdida de energía tomando en cuenta la calidad de las paredes y

las constantes características del fluido: densidad y viscosidad.

Señala Bruschin que las condiciones que debe reunir una ley de pérdida de carga son las

siguientes

105


a) Base racional, compatible con los principios generales de la Mecánica de Fluidos

b) Explicación clara del fenómeno de disipación de energía

c) Caracterización e intervención de los parámetros principales descriptivos del fenómeno

d) Verificación experimental. Sus parámetros deben ser susceptibles de medida

e) Facilidad de uso en los problemas de ingeniería

La fórmula general de Colebrook y White satisface todas estas condiciones. Haciendo ligeras

transformaciones en la ecuación 3-21 se obtiene

+−=

RSRgRkRSgV

8451,2

8,14log 82 ν

expresión que es prácticamente igual a la que obtuvimos en el capítulo II,

RSk

RV

72

6log18 δ+= → RSCV =

y que es mucho más simple. En ambas

V : velocidad media de escurrimiento

R : radio hidráulico

S : pendiente de la línea de energía

k : rugosidad absoluta

δ : espesor de la subcapa laminar

ν : viscosidad cinemática

C : coeficiente de Chezy

Si en la última ecuación sustituimos,

fg

C8=

se obtiene

RSfg

V 8=

que es prácticamente la ecuación de Chezy, o la de Darcy.

106


Por lo general el cálculo de una tubería tiene un objetivo preciso: determinar cuál es el diámetro

requerido para transportar un cierto gasto bajo condiciones dadas (pérdida de carga admisible,

rugosidad, viscosidad, etc.)

Haremos algunos cálculos para apreciar cuantitativamente la influencia relativa de los diversos

factores.

Analizaremos la influencia que tiene sobre el gasto una variación en el diámetro y una variación

en la pendiente (de la línea de energía) para tuberías lisas y rugosas.

Tuberías lisas

La fórmula de Colebrook y White para paredes lisas es

DSDgDSg

DQ

251,2log2

42

2 νπ−=

de acá se obtiene que la relación entre una variación en el gasto y una variación en el diámetro

es

DdD

DSDgQdQ

−=

251,2log

65,05,2ν

Similarmente la relación entre una variación en el gasto y una variación en la pendiente es

SdS

DSDgQdQ

−=

251,2log

217,05,0 ν

Tuberías rugosas

La fórmula de Colebrook y White para paredes rugosas es

Dk

DSgD

Q71,3

log24

22

π−=

107


Haciendo cálculos similares a los anteriores, se obtiene que,

DdD

kDQ

dQ

+= 71,3log

43,05,2

y, SdS

QdQ 5,0=

Con el objeto de apreciar el significado físico de las cuatro fórmulas obtenidas, conviene

aplicar valores numéricos, correspondientes a casos usuales. Por ejemplo, diámetros

comprendidos entre 0,3 m y 1 m, pendientes entre 0,1 % y 10 % y agua a 10 °C de temperatura.

Como las cuatro fórmulas obtenidas corresponden a los casos extremos de calidad de paredes

(lisas y rugosas), es evidente que para la transición se tendrá valores intermedios.

Se obtiene finalmente que,

DdD

QdQ 5,2≈ (1)

y SdS

QdQ 5,0≈ (2)

Estas ecuaciones nos dan la variación que se produce en el gasto, como consecuencia de

una variación en el diámetro ó de una variación en la pendiente (los coeficientes son valores

medios, para condiciones usuales y cualquier naturaleza de paredes).

Para el cálculo de la influencia de la rugosidad, partimos de

Dk

f 71,3log21 −=

de donde,

21

21

2

−

−

−=f

fd

fdf

108


y con respecto a la rugosidad relativa,

Dk

DkDk

d

fdf

71,3log

43,02

−=

A partir de la ecuación de Chezy (expresando C en función de f )

RSfg

V8=

se obtiene

fdf

VdV

21−=

importante relación que nos muestra la variación de la velocidad en función de las variaciones

del coeficiente f de Darcy..

Combinado las dos últimas expresiones, se obtiene

=

Dk

DkDkd

VdV

71,3log

43,0

Para valores usuales de la rugosidad relativa, comprendidos entre 10-2 y 10-5 m se encuentra

que,

DkDkd

0,174) a 0,0775(V

dV

−−=

o bien,aproximadamente,

DkDkd

121 a

61

VdV

−≈ (3)

109


Este desarrollo ha sido hecho para tuberías hidráulicamente rugosas. Para la transición, la

influencia de la rugosidad es mucho menor.

Teniendo a la vista las ecuaciones 1, 2 y 3, se podría concluir, a manera de ejemplo, que para

las condiciones dadas

- Una variación del 10 % en el diámetro produce una variación del 25 % en el gasto.

- Una variación del 10 % en la pendiente produce una variación del 5 % en el gasto.

- Una variación del 10 % en la rugosidad absoluta produce una variación del 1 % en el

gasto.

Combinado (1) y (2), se obtiene

DdD

SdS 5−=

lo que significa, por ejemplo, que una disminución del 10 % en el diámetro representaría un

aumento del 50 % en la pérdida de carga.

3.8 Tuberías de sección no circular

En el capítulo II hemos estudiado las ecuaciones de distribución de velocidades y la velocidad

media, para dos tipos de conductos que corresponden a casos extremos: canal de ancho

infinito y sección circular.

En la primera parte de este capítulo hemos hecho la aplicación correspondiente a las tuberías

circulares. Obtuvimos ecuaciones del coeficiente f de Darcy en función del diámetro.

Sin embargo, a veces, se presentan tuberías (conductos a presión) de sección diferente a la

circular, como por ejemplo cuadradas, rectangulares, ovales, etc.

Si tomamos como ejemplo una sección rectangular vemos que el esfuerzo de corte no es

constante en todo el contorno. Allí donde el gradiente de velocidades es muy grande el corte

será mayor al valor medio. También debe tenerse presente que en secciones diferentes de las

circulares es fácil que aparezcan corrientes secundarias transversales.

Evidentemente que nuestra ecuación fundamental para la determinación del coeficiente f de

Darcy (3-5)

110


=

Dkf Re, ϕ

tendría que ser ampliada de modo de incluir también el factor “forma de la sección”

= forma

Dkf ,Re, ϕ

Sin embargo, los errores que se pueden cometer en la determinación de la rugosidad tienen

una influencia mayor que la que resulta de ignorar el factor forma.

Aceptaremos que en tuberías no circulares la pérdida de carga puede calcularse con la fórmula

de Darcy. Para esto se debe introducir dentro de la fórmula el concepto de radio hidráulico, tal

como se hizo en la deducción de la fórmula (apartado 2.12).

El radio hidráulico de una sección circular es 4/D . De acá que la ecuación de Darcy se

transforma en

gV

RL

fh f 2

4

2

=

Para el cálculo de f se seguirá el mismo procedimiento que en las tuberías circulares,

considerando

νRV 4Re =

Rk

Dk

4=

Por extensión se aplican los ábacos y fórmulas de las tuberías circulares, siempre que las

secciones no se aparten demasiado de la forma circular.

En la primera parte de este capítulo se obtuvo la ecuación de f en tuberías lisas (ecuación

3-13), partiendo de la ecuación 2-33. Si quisiéramos obtener una expresión análoga a la 3-13,

pero para un canal muy ancho, habría que partir de la ecuación 2-32 y se llegaría a

05,1log03,21 += ∗

νRV

f

111


3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades

A partir de la ecuación de Blasius (3-8), Prandtl estableció una expresión para la distribución

de velocidades, que por su forma exponencial es muy útil y conviene conocer.

La deducción de Prandtl se basa en las siguientes suposiciones

- La distribución de velocidades en las proximidades del contorno no depende del diámetro

de la tubería.

- La distribución de velocidades en las proximidades del contorno está determinada por la

viscosidad, la densidad y el corte sobre el contorno.

- Las curvas de distribución de velocidades permanecen similares al variarse la velocidad.

Esto significa, por ejemplo, que si la velocidad media se triplica, entonces la velocidad

máxima también se triplica y las velocidades en todos los puntos varían en una misma

proporción.

- La velocidad a la distancia h del contorno se describe según la siguiente expresión

x

maxh rh

VV

= (3-22)

Siendo x la potencia cuyo valor debe determinarse; r es el radio de la tubería.

Partiremos de la conocida expresión (2-7) que nos da el corte

RS γτ =0

que al combinarse con la ecuación de Chezy (2-42) nos da

220 V

Cγτ = (3-23)

De otro lado, según Blasius (3-8)

41

Re

316,0=f

Reemplazando la ecuación 3-2, 2

8C

gf = , y reemplazando el número de Reynolds de la

ecuación de Blasius

112


41

41

41

2

316,0

8

ν

DgVC

=

Reemplazando este valor en la ecuación 3-23

41

474

1

0 8316,0

−

= DVνρτ

Luego sustituimos el radio r en lugar del diámetro D y se tiene,

41

41

474

1

0 28

316,0

−−= rV

νρτ

Consideremos que la velocidad máxima es proporcional a la velocidad media

KVVmax =

Sustituyendo en 3-22

x

h rhKVV

=

De donde,

xh

rh

K

VV

=

Ahora reemplazamos este valor de la velocidad media en la ecuación última obtenida para 0τy se obtiene

Para que 0τ sea independiente del radio de la tubería se requiere que el exponente del radio

sea nulo. Luego,

41

41

x 47

x47

4

7

h

47

41

0 2rhV8K

í 0,316ñô−−−

=

113


041

47 =−x → 7

1=x

Por lo tanto, la distribución exponencial de velocidades, en una tubería es

71

=

rh

VV maxh (3-24)

Esta ecuación tiene, además de las hipótesis que se expusieron al iniciarse su deducción,

las limitaciones que corresponden a la fórmula de Blasius (tuberías lisas y números de Reynolds

menores que 105).

Para números de Reynolds mayores que 105 el exponente x tiende a disminuir. Prandtl

menciona que para un número de Reynolds de 200 000, la curva de distribución de velocidades

queda mejor representada por el exponente 1/8 y para un número de Reynolds 10 veces

mayor, el exponente es 1/10.

Experimentalmente se ha establecido que en una tubería

VVmax 235,1= (3-25)

Luego,

71

=

rh

VVh 235,1 (3-26)

Ejemplo 3.1 Calcular el valor de f en una tubería lisa de 0,60 m de diámetro en la que fluye aceite con

una viscosidad de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad es de 3,95 m/s. Hacer el cálculo por dos métodos

diferentes. Con el valor de cada uno hallar la pérdida de carga para una longitud de tubería de 1 200 m.

Solución. En primer lugar calculamos el número de Reynolds,

9601810251

600953Re4

,

,,

í

VD =××==

−

Como Re < 105, y la tubería es lisa se aplica la fórmula de Blasius (3-8)

( )0,027

960 18

0,316

Re

0,316f41

41 ===

114


Si aplicamos la fórmula de Konakov (3-16),

2)5,1Relog81,1(1

−=

f

21,5)4,277 x (1,811

f−

=

026,0=f

Valor aproximadamente igual al de Blasius. La pérdida de carga es

m99422953

6002001

02702

22

,g

,

,

,

g

V

D

Lfh f ===

o bien,

m39412953

6002001

02602

,g

,

,

,h f ==

Ejemplo 3.2 Calcular el valor de f y luego el valor de C en una tubería lisa cuyo diámetro es 0,75 m.

Fluye aceite con una viscosidad cinemática de 1,25x10-4 m2/s. La velocidad media es 2,76 m/s. Verificar

la ecuación 3-14.

Solución. Calculamos el número de Reynolds,

560161025,1

75,076,2Re 4 VD =

××== −ν

Como Re < 105 y la tubería es lisa es aplicable la fórmula de Blasius (3-8)

( )028002790

34113160

56016

3160

Re

3160

41

41 ,,

,

,

,,f ≈====

A modo de verificación calculamos el valor de C (ecuación 3-11)

538 ==fg

C m1/2/s

Obsérvese que los valores obtenidos coinciden con los del problema propuesto 1 del capítulo II. Esto

se debe a que el problema es idéntico.

115


Se puede observar también que los resultados obtenidos satisfacen la ecuación 3-14.

5,99 = 2 log (16 560 x 0,167) - 0,8

5,99 ≈ 6,08

Ejemplo 3.3 Demostrar que en un canal muy ancho de turbulencia plenamente desarrollada y fondo

hidráulicamente rugoso se cumple que

f 884,0=ε

Siendo 1−=V

V maxε . Considerar que la ecuación 3-12 es aplicable

Solución.

k

h

VVh

30ln

κ∗=

La velocidad máxima corresponde a yh =

k

y

VVmax

30ln

κ∗=

La velocidad media es

k

y

VV

11ln

κ∗=

Luego,

V

eV

V

V

VkyV

k30y

ln V ln

1130ln11ln

κκκκε

∗∗∗∗

==−

=

Pero, V

V

V

V

∗

∗

==5,2κε f

VV8

∗=

Luego,

f,f,

fV

V,å 8840

852

852 ===

∗

∗

80(Relog21 ,f f

−= )

116


Ejemplo 3.4 Se tiene una tubería de 1 000 m de largo, diámetro 0,20 m, rugosidad artificial k = 0,001 m,

velocidad 4 m/s, ν = 10-6 m2/s. Calcular la pérdida de carga.

Solución. Calculamos en primer lugar el número de Reynolds

56 108

1020,04

Re ×=×

== −νVD

Luego la rugosidad relativa

005,020,0001,0 ==

Dk

Entrando con estos dos valores al diagrama de Nikuradse (por ser la rugosidad artificial) se obtiene

f = 0,030.

Obsérvese que corresponde a tuberías hidráulicamente rugosas, luego podemos calcular f utilizando

la fórmula 3-18,

=

k

D ,

f713log21

=

0010200713log21

,

, ,

f

0303,0=f

valor bastante próximo al calculado con el abaco.

La pérdida de carga es

m45122216

2000001

03002

2

,g

,

,

g

V

D

Lfh f ===

Ejemplo 3.5 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menores

que 105 se cumple que

87

Re

A

r=δ

El número de Reynolds está referido al radio r de la tubería. Hallar el valor de A . En la deducción debe

utilizarse la ecuación de δ anteriormente establecida (ec. 2-28).

117


Solución. Sabemos que

41

Re

316,0=f y V

fV

8=∗

Combinando estas dos ecuaciones,

81

Re8

316,0

V V =∗

Reemplazando este valor de la velocidad de corte en la ecuación 2-28 de δ

V

316,0Re86,11 8

1

νδ =

V

DV

,

, ν

νδ

81

81

81

31608611

=

Multiplicando y dividiendo por r y reemplazando rD 2= .

V

r

r

rV ν

νδ

81

81

81

81

237,58=

87

87

87

81

237,58r V

r ν

δ =

87

Re65,63 r =δ

Luego,

87

Re

65,63=r

δ

El valor de A es 63,65.

Ejemplo 3.6 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa con números de Reynolds menoresque 105 se cumple que

87

Re

A

r=δ

El número de Reynolds está referido al radio r de la tubería. Hallar el valor de A . La deducción debe

hacerse sin utilizar la ecuación de δ anteriormente establecida (ec. 2-28).

118


Solución. Sabemos que el esfuerzo de corte en el contorno es

41

47

41

410 r V í ñ

2 x 8

0,316ô

−=

o bien,

El número de Reynolds está referido al radio de la tubería.

Sabemos también que dentro de la subcapa laminar se puede aceptar que el corte es constante e igual

a 0τ ,

ääV

ìô0 =

Igualando,

VäV

är

Reí

Vr0,033 4

1

=−

VäV

är

0,033Re 43

=

Pero, según la ecuación 3-26,

71

rä

V 1,235äV

=

Reemplazando,

är

rä

V 1,235V Re 0,03371

43

=

76

43

rä

1,235Re 0,033−

=

Elevando a la potencia 7/6,

ärRe

1,2350,033 8

767

=

41

20 Re0330

−= ñV,τ

119


De donde,

87

Re

45,68=r

δ

Luego, A = 68,45

Ejemplo 3.7 Demostrar que en una tubería hidráulicamente lisa, cuyo número de Reynolds, referido al

diámetro, es menor que 105, se cumple que

71

99,6

= ∗

∗ νr V

V

V

Solución. Por las condiciones del problema es aplicable la ecuación de Blasius

41

Re

316,0=f

Sabemos también que

2

2

8V

Vf ∗=

Al combinar estas dos ecuaciones se obtiene la expresión buscada.

Ejemplo 3.8 Demostrar que el esfuerzo de corte sobre el contorno se puede expresar por

20 8

1Vf ρτ =

Solución. Partimos de la ecuación de Darcy

g

V

D

Lfh f 2

2

=

Reemplazando el diámetro en función del radio hidráulico y despejando la pendiente, se obtiene,

2181

VRg

f

S =

Combinando con

S R γτ =0

Se obtiene finalmente

20 8

1Vf ρτ =

120


Ejemplo 3.9 Una fórmula racional para las pérdidas de presión en los flujos en tuberías geométricamente

similares es

=∆µ

ρϕρ VDDLV

p

2

Para una tubería de 4” de diámetro, que lleva agua a una velocidad media de 0,50 m/s la pérdida de

carga es de 0,25 m en un tramo de 40 m.

Calcular la pérdida de carga en metros de agua en otra tubería de 150 m de longitud y 10” de diámetro

en la que circula aire a la velocidad correspondiente para que ambas tuberías sean similares.

Asumir que ambas tuberías tienen rugosidades absolutas iguales. Considerar

Peso específico del aire : 1,25 kg/m3

Peso específico del agua : 1 000 kg/m3

Viscosidad del aire : 1,8x10-4 poises

Viscosidad del agua : 1,2x10-2 poises

Solución. Si ambas tuberías son hidráulicamente similares debe cumplirse que el número de Reynolds

es el mismo para ambas

=

2

222

1

111

µρ

µρ DVDV

Luego al aplicar la fórmula racional, dato del problema, a ambas tuberías y al obtener la relación entre

las pérdidas de carga se llega a

1

22

2

21

2

1

2

1

2

1

D

D

V

V

L

L

p

p

ρρ

=∆∆

De la igualdad de los números de Reynolds obtenemos

2

4

1

2

2

1

2

112 1021

1081104

2510001

500 −××

==,

,

,

,

ì

ì

D

D

ñ

ñ VV

-

m/s422 ,V =

calculamos ahora la relación entre las pérdidas de carga

148234

1042

50015040

2510001

2

2

1 ,,

,

,

p

p =

=

∆∆

121


Luego,

m0108014823250

2 ,,

,p ==∆

la pérdida de carga en la tubería de aire equivale a una altura de 0,0108 m de agua.

3.10 Concepto de capa límite

En el primer capítulo habíamos señalado que la distribución de velocidades en la sección

transversal depende del número de Reynolds. Para decirlo en otras palabras, el gradiente

transversal de velocidades depende del grado de turbulencia. Cuando el flujo es laminar (o sea

cuando no hay turbulencia) el gradiente de velocidades es muy grande. Al aumentar la velocidad,

y por consiguiente el número de Reynolds y el grado de turbulencia, el gradiente de velocidades

disminuye, tiende a uniformizarse. Llega un momento en el cual la turbulencia está plenamente

desarrollada. En estas condiciones un aumento en el número de Reynolds no conlleva un

aumento en el grado de turbulencia.Esto es muy importante en los modelos hidráulicos.

En un flujo con turbulencia plenamente desarrollada la distribución de velocidades es casi

uniforme en la sección. La influencia del contorno se limita a una capa próxima a las paredes.

Allí los esfuerzos viscosos son grandes y el gradiente de velocidades es intenso. A esta

capa, se le denomina capa límite. Toda la teoría sobre la capa límite es muy compleja, pero

conviene presentar acá los conceptos fundamentales, incidiendo principalmente en el aspecto

físico del problema.

Imaginemos un flujo paralelo que se desarrolla en un espacio infinito, sin obstáculo o contorno

alguno (Figura 3.5).

Si en este flujo colocamos un obstáculo, es decir, un cuerpo, se producirá fricción entre el

fluido y la superficie del cuerpo. En el contorno mismo las velocidades del fluido y del contorno

deben ser iguales. Luego, en el contorno la velocidad debe ser cero. En las inmediaciones del

cuerpo la distribución de velocidades estará determinada por los esfuerzos viscosos. Aparecerá

un gradiente de velocidades. Al alejarnos del cuerpo, normalmente a su superficie, la velocidad

aumenta desde cero en el contorno hasta alcanzar, a una distancia δ del contorno la velocidad

que tendría en ausencia del cuerpo (Figura 3.6).

122


Consideremos que el cuerpo está constituido por una placa lisa y delgada con borde de

ataque agudo y que el flujo es bidimensional. Para facilitar la interpretación del dibujo la

escala vertical aparece considerablemente ampliada.

Esta zona de espesor variable δ que se inicia en el borde de ataque y que crece hacia aguas

abajo se denomina capa límite.

La teoría de la capa limite planteada por Prandtl en 1904 es uno de los aportes más

significativos a la Mecánica de Fluidos.

La esencia de la teoría de Prandtl consiste en separar el escurrimiento en dos regiones: una

interior y otra exterior a la capa límite.

Figura 3.5 Flujo paralelo

Figura 3.6 Generación de una capa límite

δ

123


Dentro de la capa limite los esfuerzos viscosos son intensos y determinan un fuerte gradiente

de velocidades. Fuera de la capa límite el fluido se comporta como perfecto e irrotacional con

energía constante y, por la tanto, son aplicables las ecuaciones de Euler y la teoría del flujo

potencial.

La consecuencia práctica de esto es que el movimiento de un fluido puede describirse como

si correspondiera a un fluido ideal, salvo en una capa, próxima al contorno, que es la capa

límite.

El espesor de esta capa es más pequeño mientras mayor es el número de Reynolds. Para un

número de Reynolds infinito, que corresponde a un fluido ideal, sin viscosidad, es evidente

que el espesor de la capa límite sería nulo (ver Figura 1.13).

3.11 Espesor de la capa límite

De lo anteriormente expuesto se desprende que la distancia del contorno a la cual la velocidad

sería la misma que habría de no existir el cuerpo o placa, sólo puede alcanzarse asintóticamente.

Por lo tanto, las definiciones para el espesor de la capa límite son más o menos arbitrarias.

Utilizaremos el concepto de espesor nominal de la capa límite.

La definición más generalizada considera como espesor de la capa límite la distancia a la

cual la velocidad es el 99 % de la que existiría en ausencia del contorno.

Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite

δ δ

(a) (b)

124


Otra manera de definir el espesor nominal de la capa límite se presenta en la Figura 3.7 (a), en

la cual se traza la asíntota y una recta que partiendo del origen intercepta a la asíntota de

modo que las áreas achuradas sean iguales.

En la Figura 3.7 (b) se presenta otra definición similar. Se intercepta la asíntota con una

tangente a la curva de origen.

Otra forma de definición es la que considera el “espesor de desplazamiento”. El espesor de

desplazamiento es la distancia en la que se considera desplazado el flujo como consecuencia

de la disminución de velocidad en la capa límite. Debido al gradiente de velocidades dentro de

la capa límite hay una disminución en el flujo cuyo valor sería

dhVVh

h h∫∞=

=−

0)(

El resultado de esta integral debe ser igual al producto de la velocidad que hay fuera de la

capa límite por el espesor de desplazamiento *δ .

dhVVVh

h h

∫

∞=

=∗ −=0

)(δ

o bien,

dhVVh

h

h∫∞=

=∗

−=

01δ (3-27)

Figura 3.8 Espesor de la capa límite

hVdh

hVV-

δ

*

V0,99

δ

125


3.12 Desarrollo de la capa límite

En la Figura 3.9 el flujo que se aproxima a la placa puede ser laminar o turbulento. En

cualquier caso, sin embargo, si es que la placa es suficientemente lisa, la capa límite es

laminar hasta una cierta distancia del borde de ataque. Luego de una transición, se vuelve

turbulenta. Aparece entonces dentro de la capa límite turbulenta una subcapa laminar. Esta

subcapa laminar es la que hemos estudiado en la capítulo II (ec. 2-28).

La transición entre el flujo laminar y turbulento dentro de la capa límite se produce para

valores del número de Reynolds comprendidos entre 2x105 y 106, siendo

νxV =Re

Se denomina x a la distancia variable medida desde el borde de ataque y a lo largo de la

placa en la dirección del escurrimiento.

Obsérvese que este número de Reynolds para la capa límite se define de un modo diferente al

número de Reynolds de una tubería o un canal.

El espesor de la capa límite laminar Lδ viene dado por,,

21

21

21 5

Re

5x

Vx

L

== νδ (3-28)

El espesor de la capa límite turbulenta Tδ viene dado por,,

54

51

51 38,0

Re

38,0x

Vx

T

== νδ (3-29)

Comparando ambas expresiones se observa que el espesor de la capa límite turbulenta crece

con el exponente 4/5 de x , mientras que el de la capa límite laminar crece con el exponente

1/2. Es decir, que la capa límite turbulenta crece más rápidamente que la laminar.

Las expresiones que dan el espesor de la capa límite se derivan a partir de considerar el

cambio de la cantidad de movimiento, la fricción con el contorno y el gradiente de presiones.

126


3.13 La separación. Expansión de un conducto

Si la capa límite se desarrolla en una tubería que arranca de un estanque, se presentarán lasfases descritas en la Figura 3.9. Para un determinado valor de x la capa límite turbulenta sehabrá desarrollado íntegramente en la sección transversal y su valor será igual al radio. Si las

paredes son suficientemente lisas se desarrolla una subcapa laminar de espesor δ .

Hasta ahora hemos considerado que el flujo exterior a la capa límite se caracteriza por tener

energía constante, sin embargo normalmente la presión disminuye en la dirección del

escurrimiento, lo que implica

0<∂∂xp

Puede ocurrir también que por las características del contorno la presión aumente en la

dirección del escurrimiento,

0>∂∂xp

Se trata entonces de una expansión y la capa límite aumenta de espesor rápidamente. En el

primer caso la capa límite aumenta de espesor lentamente.

El efecto del gradiente de presiones del escurrimiento sobre el espesor de la capa límite se

δ

x

V

ecuación 3-28

ecuación 3-29

subcapalaminar

laminar transición turbulento

T

δLδ

Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta

127


ilustra en el siguiente dibujo esquemático.

La condición 0>∂∂xp corresponde a líneas de corriente divergentes. Si esta condición se

presenta en el escurrimiento, su efecto será muy fuerte en la capa límite puesto que allí se

tiene el efecto de fricción del contorno. Las partículas fluidas de la capa límite se mueven muy

lentamente, y al haber presión adversa van perdiendo velocidad hasta que se detienen. Luego,

por efecto del gradiente de presiones positivas se produce dentro de la capa límite una

contracorriente. Aparece una separación que se inicia en el punto S.

Capa límite

0<∂∂

xp 0>

∂∂

xp

Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones

Figura 3.11 Fenómeno de la separación

Contracorriente

S

128


Cuando el flujo se aleja de la pared se produce el fenómeno llamado separación. Queda una

porción en la que hay fluido, pero no flujo, en la dirección principal de la corriente. Puede

haber movimiento en dirección contraria a la del escurrimiento principal (contracorriente).

Lo anteriormente expuesto se puede resumir señalando que siempre que por una razón u otra

haya un incremento de presión, las partículas de la capa límite perderán velocidad hasta

detenerse y, si la diferencia de presión es muy fuerte, las partículas avanzan en dirección

contraria a la del escurrimiento.

Este problema se presenta en una expansión, en un flujo de líneas de corriente divergentes

(Figuras 3.12 y 3.13). Podría ser el caso de un difusor o un canal de sección creciente (una

expansión).

Si el gradiente de presiones es muy grande se produce la separación.

Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión

Capa límite

Capa límite

Figura 3.13 Aparición de contracorrientes

Contracorriente

Contracorriente

Corriente principal

129


Ejemplo 3.10 Fluye agua con una viscosidad de 10-6 m2/s a una velocidad uniforme de 2,5 m/s. El flujo

es paralelo. Se coloca una placa delgada y lisa paralela a la corriente. Calcular la longitud de la porción

laminar de la capa límite formada. Calcular el espesor de la capa límite a 5 cm y 1 m del borde de ataque.

Solución. La transición se produce para

5105×=νVx

Luego,

m2,05,2

10105 65

x =××

=−

La longitud de la porción laminar de la capa límite es de 20 cm.

Luego para x = 5 cm la capa límite es laminar..

21

Re

5xL =δ

4105,12Re ×==ν

xV

a) m1007,7105,12

1055 42

2

L−

−

×=×

××=δ

b) A la distancia de 1 m el flujo es turbulento

51

Re

38,0=Tδ

El número de Reynolds es

6105,2Re ×==ν

xV

y,

cm21938,0

T ==δ

130



(Capítulo III)

1. Discutir como varía en una tubería la relación entre la velocidad máxima y la media

a) Para números de Reynolds crecientes.b) Para rugosidad relativa creciente (en tuberías de rugosidad artificial).

2. Explique teóricamente por qué no hay exactamente el mismo valor para A en los ejemplos3.5 y 3.6.

3. Si admitimos que en la ecuación de Darcy el valor de f viene dado por la ecuación deBlasius, y hacemos los reemplazos correspondientes, demostrar que el exponente de lavelocidad sería 1,75.

4. Demostrar que 23

55,193,21 ff −+=α

f98,01 +=β

5. Se han efectuado mediciones puntuales de la velocidad en una tubería con flujo turbulento yse encontró que la velocidad a la distancia 4/D del contorno es igual a 0,89 maxV Calcular el valor del coeficiente f de Darcy y la rugosidad relativa.

6. Calcular para el ejemplo 2.1, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería,aplicando la ecuación de Darcy. Comparar resultados.

7. Calcular para el ejemplo 2.3, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería,aplicando la ecuación de Darcy. Comparar resultados.

8. Calcular para el ejemplo 2.5, cuál es la pérdida de carga que se produce en la tubería,aplicando la ecuación de Darcy. Calcular el valor de f a partir del coeficiente C de Chezyy a partir de la ecuación de Blasius. Comparar resultados.

9. A partir del valor de C obtenido en el problema propuesto 1 del segundo capítulo, calcular el

valor de f y comparar con el obtenido a partir de la ecuación de Blasius. Calcular la pérdida

de carga.

10. Se tiene dos tuberías de igual diámetro por las que circula el mismo gasto. En la primera elflujo es laminar. En la segunda, que es de paredes lisas, el número de Reynolds es de 80 000

131


(referido al diámetro). Demostrar que la relación entre las velocidades máximas respectivases de 1,67.

11. Partiendo de que en una tubería rugosa con flujo turbulento la resistencia 0τ por unidad deárea del contorno depende de la viscosidad µ , de la densidad ρ , de la velocidad V delfluido, del diámetro D y de la rugosidad absoluta k de la tubería, demostrar que

=

DkVD

V,2

0

µρϕ

ρτ

12. Mediante consideraciones dimensionales puede demostrarse que,

=

µρϕ

ρVD

VF

2

expresión en la que F es la fuerza de fricción por unidad de área del contorno, ρ es ladensidad, V es la velocidad media, D el diámetro y µ la viscosidad dinámica.Se trata de simular el flujo del aire en una tubería en un modelo a la escala 1/4 en el que fluyeagua. La velocidad del aire es de 25 m/s. Calcular

a) Cuál debe ser la velocidad correspondiente del agua en el modelo para que existasimilitud, b) Cuál sería la pérdida de carga por unidad de longitud en la tubería para aire sien el modelo para agua la pérdida de carga por unidad de longitud es de 0,20 kg/cm2.

Peso específico del agua : 1 000 kg/m3

Peso específico del aire : 1,25 kg/m3

Considerar que la viscosidad dinámica del agua es 60 veces la viscosidad dinámica del aire.

13. Según Nikuradse la relación entre el coeficiente f de Darcy y el número de Reynolds Re ,referido al diámetro, es

237,0Re221,00032,0 +=f

para números de Reynolds comprendidos entre 105 y 107 (ec. 3-15). Calcular cuál es el valorde f y el correspondiente número de Reynolds, para los que esta fórmula da los mismosresultados que la ecuación de Blasius.

14. Demostrar que en un conducto hidráulicamente liso se cumple que

132


f

Vk 14<

ν

15. Demostrar que la expresión para la velocidad media obtenida a partir de la fórmula de Colebrooky White

+−=

RSRgRk

RSgV

8451,2

8,14log82 ν

tiene la forma de la ecuación de Chezy,

RSk

RV

72

6log18 δ+=

Calcular el valor numérico de los coeficientes que resulten de la transformación. ¿Por qué noson exactamente iguales a los de la ecuación de Chezy?

16. La distribución de velocidades en una tubería circular esta dada por

71

235,1

=

rh

VVh

Calcular a qué distancia del contorno la velocidad ) ( hV es igual a la velocidad media.

17. En una tubería AB de 20” de diámetro, cuyo gasto es de 1 200 l/s, se ha verificado una pérdidade presión de 4 kg/cm2 entre los puntos A y B, cuya separación es de 1 km. El punto B está2 m por encima del punto A. La temperatura del agua es de 8 ºC. Suponer que la rugosidadde las paredes es uniforme. Calcular

a) El coeficiente f de Darcyb) La calidad de las paredes (lisa o rugosa)c) El valor de la rugosidad absoluta (supuesta uniforme), analítica y gráficamented) La velocidad máxima

18. En una tubería de 6” de diámetro hay un escurrimiento cuyo número de Reynolds (referido aldiámetro), es de 22 000. Calcular el coeficiente f de Darcy..

19. Comparar los ejemplos 2.5 y 3.1 y demostrar que se trata de una misma tubería, (con la única

133


diferencia en la longitud).

20. Demostrar que el ejemplo 2.5 satisface los resultados del ejemplo 3.5.

21. En una tubería el valor de α es 1,08. Calcular la relación entre la velocidad máxima y lamedia.

22. Calcular los valores de α y β para la tubería del problema 5 propuesto en este capítulo.

23. En una tubería de 0,75 m de diámetro fluye aceite cuya viscosidad cinemática es de1,25x10-4 m2/s. La rugosidad absoluta es de un décimo de milímetro. Cada 100 m derecorrido se pierde una energía equivalente a 1,45 m de columna fluida. Calcular cuál seríael porcentaje de disminución en el gasto si resultara que el diámetro de 0,75 m es exterior yno interior, como se supuso en los cálculos.

El espesor de la tubería es de 2 cm.

24. Demostrar que los valores del problema 23 satisfacen la ecuación 3-14.

25. Se tiene una tubería de 1 m de diámetro. La rugosidad de las paredes es de 1 mm. Semantiene un movimiento uniforme por medio de la energía equivalente a 2 m de columna deagua por cada 100 m de tubería. La viscosidad del agua es de 10-6 m2/s.Después de algunos años de uso, la rugosidad aumentó a 1,5 mm. Calcular los valoresiniciales y finales de la velocidad media y del coeficiente f de Darcy..Calcular cuál sería la energía requerida para mantener la velocidad inicial cuando se tenga elnuevo valor de la rugosidad.

135

Diseño de tuberíasCapítulo IV

CAPITULO IVDISEÑO DE TUBERIAS

4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y líneapiezométrica

Sea una tubería de sección variable como la mostrada en la Figura 4.1. Si aplicamos laecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene

Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería

pγ

2

2z

h f

2Vg

2

pγ

1

1z

L. E.

2 gV 2

1 2

Plano de referencia

1

2L. P.

1α

α2

Σ1-2

136


∑ −+++=++

2122

22

211

21

1 22 f hzãp

gV

ázãp

gV

á (4-1)

Es decir, que al pasar de 1 a 2 hay una parte de la energía que “se pierde”: que no setransforma en presión, velocidad o elevación. Es la energía consumida en forma de fricción y

que denominamos fh , pérdida de energía o pérdida de carga.

Para el movimiento uniforme, la sección transversal es invariable, por lo tanto la velocidadtambién lo es y la energía de velocidad es constante

gV

gV

22

22

2

21

1 αα =

α es el coeficiente de Coriolis estudiado en el capítulo I.

Entonces, la ecuación de la energía es simplemente

∑ −++=+

2122

11

fhzp

zp

γγ

A la línea que resulta de unir las elevaciones a las que sube el fluido en una serie de piezómetrosinstalados a lo largo de la tubería se le denomina línea piezométrica o línea de gradientehidráulica (L. P.).

Si en cada sección se adiciona a la cota piezométrica el valor correspondiente a la energía develocidad se obtiene la línea de energía. En el movimiento uniforme la línea de energía y lalínea piezométrica son paralelas.

Con respecto a la línea de gradiente o piezométrica conviene ordenar los siguientes conceptos

a) La línea de gradiente indica por medio de su altura sobre el eje de la tubería la presión encualquier punto de ella.

b) En una tubería, o en tuberías de igual rugosidad y diámetro, cuanto mayor es la pendienteo inclinación de la línea de gradiente, tanto mayor será la velocidad del fluido.

c) La línea de gradiente hidráulica indica por su descenso vertical la energía perdida entredos secciones (para el movimiento uniforme).

d) La gradiente hidráulica es recta para tuberías rectas de sección transversal constante ypara tuberías cuya longitud sea aproximadamente igual a la línea que une sus extremos.

La línea de energía siempre desciende en la dirección del escurrimiento, salvo que se coloqueuna bomba.

137


La línea de gradiente hidráulica no siempre desciende en la dirección del escurrimiento.

La línea de energía y la de gradiente coinciden con la superficie libre para un líquido enreposo. Tal sería el caso de un estanque.

En la ecuación de la energía 4-1 se ha designado como ∑ −21fh a la suma de todas las

pérdidas de carga (de energía) que ocurren entre 1 y 2.

Estas pérdidas de carga son fundamentalmente de dos tipos: continuas y locales.

Las pérdidas de carga continuas se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmulade Darcy (ecuación 3-3).

gV

DL

ffh2

2

=

Las pérdidas de carga locales dependen de las características de cada singularidad, válvula,codo, etc.; y en el apartado 4.3 se presentarán sus valores.

Potencia

Se llama potencia de una corriente líquida a su energía por unidad de tiempo.

HQPot γ= (4-2)

γ es el peso específico del fluido en kg/m3, Q es el gasto en m3/s, H es la energía total con

respecto al plano de referencia, en metros, Pot es la potencia en kg-m/s (teórica). Para

obtener esta potencia en

HP (Horse Power) 76 HQ

Potγ=

CV (Caballos de vapor) 75 HQ

Potγ=

KW (Kilowatts) 102 HQ

Potγ=

138


Ejemplo 4.1 De un estanque sale una tubería de 10” de diámetro que termina en una boquilla de 4” dediámetro. La velocidad de salida del agua es de 15 m/s. Calcular la potencia teórica del chorro.

Solución. El gasto es

=×= SVAQ 0,1216 m3/s

La energía en la boquilla es

=g

VS

2

2

11,48 m ( SV es la velocidad de salida)

La potencia teórica del chorro, según la ecuación 4-2, es

=Pot 1 396 kg m/s

o bien,

18,4 HP = 13,7 KW

4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo

En el apartado 3.2 se señaló la naturaleza compleja e irregular que tiene la rugosidad de lastuberías comerciales. De acá que Nikuradse usó en sus experiencias rugosidad artificialconstituida por esferas de diámetro uniforme (granos de arena).

Pero las tuberías comerciales tienen rugosidad natural. El estudio experimental de la pérdidade carga fue hecho, entre otros, por Moody, estableciendo un gráfico similar al de Nikuradse

y que relaciona el coeficiente f de Darcy, el número de Reynolds y los valores de la rugosidad

relativa (Figura 4.2). Las características de este gráfico son similares al de Nikuradse.

Las tuberías comerciales son de diferentes materiales: fierro fundido, acero, asbesto-cemento,concreto, plomo, plásticos, etc. Cada material tiene una rugosidad característica propia, cuyovalor forma parte de la descripción técnica de la tubería. De otro lado debe tenerse presenteque la rugosidad cambia con el tiempo. Después de varios años de uso una tubería es másrugosa de lo que era inicialmente. Este fenómeno de envejecimiento de las tuberías serádescrito mas adelante.

La selección del material de una tubería depende de varios factores: costo inicial, costo dereposición y mantenimiento, capacidad inicial, cambio con el tiempo, resistencia, duración,

calidad y características químicas del fluido, etc. Los valores de la rugosidad absoluta k se

obtienen de la Tabla 2.1 ó de la 4.4.

139


Los problemas que pueden presentarse en el cálculo de tuberías son los siguientes

a) Cálculo de la pérdida de carga fh

Es el caso más simple, los datos son

Q : gasto

L : longitud

D : diámetro


k : rugosidad

Con estos datos se determina inmediatamente los dos parámetros necesarios para aplicarel diagrama de Moody, que son el número de Reynolds y la rugosidad relativa

νVD

Dk

Con ellos se determina el valor de f y aplicando la ecuación de Darcy se calcula la

pérdida de carga fh .

b) Cálculo del gasto Q

Los datos son

L : longitud

D : diámetro


k : rugosidad

fh : pérdida de carga

Con estos datos no es posible calcular el número de Reynolds. Debe procederse poraproximaciones sucesivas. Primero se calcula la rugosidad relativa y observando eldiagrama de Moody se supone un valor para f (podría ser, por ejemplo, el que correspondea turbulencia plenamente desarrollada). Con este valor de f incorporado a los datos secalcula un valor tentativo para la velocidad, en base a la cual se halla un número deReynolds.

Con el número de Reynolds y la rugosidad relativa se calcula un valor para f , el cual secompara con el supuesto inicialmente. Si la diferencia fuera grande debe hacerse unnuevo cálculo hasta conseguir igualdad en las dos primeras cifras significativas. Obtenidoslos valores de f y de V se debe verificar que satisfacen la ecuación de Darcy. Con elvalor correcto de la velocidad se calcula el gasto.

140

Arturo RochaH

idráulica de tuberías y canales

Figura 4.2 Abaco de Moody

10 102

43

0,01

0,10

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,015

0,025

0,009

0,008

0,05

0,02

0,01

0,002

0,001

0,0004

0,0002

0,0001

0,00005

0,004

0,00001

105 6

107

10 108

Crítica

Turbulencia plenamente desarrollada (Tuberías rugosas)

Tuberías lisas

FlujoLam

inar, ƒ = 64/Re

0,04

0,03

0,015

0,006

0,00080,0006

0,008

3 4 5 6 7 976 9 32 754 6 9 32 754 6 9 32 754 6 9 32 754 6 9

0,0000010,000005

Re = DV

D

f Zona deTransición

Laminar

RekDf

= 200

k

141


Ejemplo 4.2 Se tiene una tubería nueva de fierro fundido (k = 0,00025 m) de 10” de diámetro. Lalongitud es de 1 000 m. Conduce agua cuya viscosidad es de 10-6 m2/s. La pérdida de carga (de energía)en el tramo considerado es de 10 m. Calcular el gasto.

Solución. La rugosidad relativa es

Dk = 0,001

Si suponemos que la turbulencia está plenamente desarrollada

f = 0,0198

Calculamos ahora la velocidad a partir de la ecuación de Darcy,

g

V

,,

g

V

D

Lf

225400001

019802

1022

==

De acá se obtiene,

V = 1,59 m/s

Luego,

56 10044

102540591

Re ×=×

== − ,,,

í

DV

Consideramos ahora como datos el número de Reynolds y la rugosidad relativa y hallamos f en eldiagrama de Moody,

f = 0,0205

Valor que difiere del supuesto. A partir del nuevo valor de f hacemos un nuevo cálculo para lavelocidad y se obtiene

V = 1,56 m/s

de donde,

Re = 3,96x105

y en el diagrama de Moody encontramos,

f = 0,0205

Valor igual al supuesto. Luego la velocidad es de 1,56 m/s y el gasto

56,14

2DAVQ

π== = 0,079 m3/s = 79 lps

Los valores de f y V satisfacen la ecuación de Darcy..

142


c) Cálculo del diámetro D

Los datos son

L : longitudν : viscosidad

k : rugosidad

fh : pérdida de carga

Q : gasto

Si expresamos la ecuación de Darcy reemplazando la velocidad en función del gasto y delárea se tiene

22

2

42

=

Dg

QDL

fh f

π

De donde,

fhLf

gð

QD

2

285 =

o bien,

2082705 QSf

,D = (4-3)

Para la solución se recomienda el siguiente procedimiento

1. Escoger tentativamente un diámetro. Este valor debe corresponder a los valorescomerciales, que se expresan generalmente en pulgadas y podrían ser: 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 3/4, 1, 1 1/4, 1 1/2, 2, 2 1/2, 3, 3 1/2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 24 y 30”. Para hacerun diseño debe conocerse cuales son los diámetros comerciales disponibles.Eventualmente su número puede ser muy restringido.

2. Calcular la velocidad media y el número de Reynolds.

3. Calcular la rugosidad relativa.

4. Con el diagrama de Moody hallar el valor de f .

5. Con la ecuación de Darcy calcular la pérdida de carga.

6. Verificar que la pérdida de carga así calculada es igual o menor que la pérdida de cargaadmisible (dato).

7. Caso contrario, repetir el procedimiento

8. Si la pérdida de carga está entre los valores que corresponden a dos diámetros comercialessucesivos, tomar el diámetro mayor.

143


Otro procedimiento para resolver el problema es el siguiente

1. Suponer un valor para f .

2. Calcular el diámetro a partir de la ecuación 4-3.

3. Calcular el número de Reynolds considerando que

νDV =Re

y que, por la ecuación de continuidad

πQ

DV 2

4=

se expresa como,

D14Re

νπQ=

4. Calcular la rugosidad relativa.

5. Con el diagrama de Moody hallar el valor de f .

6. Si este valor es diferente al supuesto repetir el procedimiento con el nuevo valor hallado.

7. Si el valor de f es igual al supuesto el problema está resuelto, pero como seguramenteel diámetro obtenido no es comercial se toma el inmediato superior.

Para el agua se presentan, en la Tabla 4.1, valores usuales del coeficiente de Darcy. Estatabla es muy útil para aligerar los cálculos.

Los métodos acá presentados no son los únicos para resolver problemas de tuberías. Existendiversos procedimientos de cálculo que última instancia lo que tratan de establecer es el valordel coeficiente de Darcy que corresponde a una rugosidad relativa y a un número de Reynoldsdados.Hasta acá el método desde el punto de vista de la Mecánica de los Fluidos. El ingenierohidráulico que se enfrenta a un problema real introduce una condición adicional: la velocidadmedia en la tubería. Al ingeniero no le basta que los valores de la rugosidad relativa y elnúmero de Reynolds sean compatibles con el coeficiente de Darcy. Requieren además que lavelocidad esté comprendida entre ciertos valores, máximos y mínimos, que garantizarán uncomportamiento hidráulico mejor; sin considerar por ahora, el problema de costos y de diámetromás económico, lo que será analizado posteriormente.

Las velocidades grandes pueden significar la aparición de fenómenos inconvenientes, comoel golpe de ariete, por ejemplo.

El ingeniero que busca el diámetro que debe tener una conducción, piensa generalmente entérminos de la velocidad media. Es usual empezar los cálculos fijando el rango de velocidadesadmisibles. De allí se deduce el diámetro y se continúa con el método antes señalado.

144


TABLA 4.1

VALORES DE f PARA EL AGUA

Temperatura 10 ºC a 24 ºC. Valores de f x 104

(Tomada del libro ’’Theory and Problems of Hydraulics and Fluid Mechanics’’ de Ronald V. Giles, de la Colección Shaum)

D Velocidad

m/s Calidad

0,30 0,60 0,90 1,20 1,50 1,80 2,40 3,00 4,50 6,00 9,00

4”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

435 355 300 240

415 320 265 205

410 310 250 190

405 300 240 180

400 290 230 170

395 285 225 165

395 280 220 155

390 270 210 150

385 260 200 140

375 250 190 130

370 250 185 120

6”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

425 335 275 220

410 310 250 190

405 300 240 175

400 285 225 165

395 280 220 160

395 275 210 150

390 265 205 145

385 260 200 140

380 250 190 130

375 240 180 120

365 235 175 115

8”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

420 320 265 205

405 300 240 180

400 285 225 165

395 280 220 155

390 270 210 150

385 265 205 140

380 260 200 135

375 250 190 130

370 240 185 120

365 235 175 115

360 225 170 110

10”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

415 315 260 200

405 295 230 170

400 280 220 160

395 270 210 150

390 265 205 145

385 260 200 135

380 255 190 130

375 245 185 125

370 240 180 115

365 230 170 110

360 225 165 105

12”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

415 310 250 190

400 285 225 165

395 275 210 150

395 265 205 140

390 260 200 140

385 255 195 135

380 250 190 125

375 240 180 120

365 235 175 115

360 225 165 110

355 220 160 105

16”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

405 300 240 180

395 280 220 155

390 265 205 140

385 260 200 135

380 255 195 130

375 250 190 125

370 240 180 120

365 235 175 115

360 225 170 110

350 215 160 105

350 210 155 100

20”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

400 290 230 170

395 275 210 150

390 265 200 135

385 255 195 130

380 250 190 125

375 245 180 120

370 235 175 115

365 230 170 110

360 220 165 105

350 215 160 100

350 205 150 95

24”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

400 285 225 165

395 265 200 140

385 255 195 135

380 250 190 125

375 245 185 120

370 240 180 120

365 230 175 115

360 225 170 110

355 220 165 105

350 210 155 100

345 200 150 95

30”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

400 280 220 160

385 255 195 135

380 250 190 130

375 245 185 120

370 240 180 115

365 230 175 115

360 225 170 110

355 220 165 110

350 210 160 105

350 205 155 100

345 200 150 95

36”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

395 275 215 150

385 255 195 135

375 245 185 125

370 240 180 120

365 235 175 115

360 230 170 110

355 225 165 110

355 220 160 105

350 210 155 100

345 200 150 95

340 195 145 90

48”

Rugosa Media Nueva

Muy lisa

395 265 205 140

385 250 190 125

370 240 180 120

365 230 175 115

360 225 170 110

355 220 165 110

350 215 160 105

350 210 155 100

345 200 150 95

340 195 145 90

335 190 140 90

145


Ejemplo 4.3 Calcular el diámetro que debe tener una tubería nueva, de cemento enlucido ( k = 0,0004 m)para conducir 2 m3/s. La viscosidad del agua es de 1,2 x 10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 1 000 m.La pérdida de carga admisible es de 25 m.

Solución.

1. Supongamos f = 0,02

2. Calculamos el diámetro.

265,00827,05 2 == QS

f D

m7670 ,D =

3. Calculamos el Número de Reynolds

61077214

Re ×== ,Díð

Q

4. La rugosidad relativa es

5. Con el ábaco de Moody hallamos el valor de f

f = 0,0168

6. Repetimos el procedimiento, con el nuevo valor de f .

5D = 0,222

D = 0,74 m

Re = 2,87 x 106

D

k= 0,00054

f = 0,0168

7. Como el valor que hemos encontrado para f es igual al último valor supuesto éste es el valor

correcto. Los valores de f y de V satisfacen la ecuación de Darcy. Luego,

D = 0,74 m

D = 29,13’’’

00052,0767,00004,0

==D

k

146


En este caso escogemos

D = 30’’’

Este problema se ha resuelto según el método segundo propuesto para el cálculo del diámetro.No se ha calculado la velocidad media. Hemos obtenido el diámetro y no sabemos, si estavelocidad es, por ejemplo, muy grande. Si lo fuera habría que verificar que esa alta velocidad nonos traerá dificultades.

Hubiera sido más práctico, desde el punto de vista del ingeniero, empezar por fijar el valor máximopara la velocidad.

Posteriormente se verá que el problema es también económico.

Ejemplo 4.4 Determinar qué presión se requiere para impulsar 20 l/s a lo largo de una tubería lisa,horizontal, de 2” de diámetro, de 300 m de longitud. La viscosidad del agua es 10-6 m2/s.

Solución. Por ser una tubería horizontal

ãpp

h f21 −=

Para calcular la presión requerida ( 21 pp − ) debemos establecer la pérdida de carga.

El número de Reynolds es 5x105 y para el coeficiente f de Darcy se obtiene 0,013 (Diagrama de

Moody). Aplicando la ecuación de Darcy se obtiene

fh = 381,6 m

y por lo tanto

=∆=− ppp 21 38,2 kg/cm2

Este ejemplo se ha presentado con el objeto de mostrar que un diámetro pequeño puede dar lugar auna alta velocidad y a una gran pérdida de carga.

Ejemplo 4.5 Calcular el gasto delsistema mostrado en la figura. Laviscosidad del agua es 1,2x10-6 m2/s.La tubería es lisa. Considerarúnicamente las pérdidas de cargacontinuas. El diámetro de la tuberíade descarga es de 2 cm.

0

4 m

1 2

5 m

147


Solución. Aplicamos la ecuación de la energía entre los puntos 1 y 2

2122

22

11

21

22 −+++=++ fhz

ã

p

g

Vz

ã

p

g

V

Pero,

21 zz = ; VVV == 21

Luego,

g

V

D

Lfh

pp f 2

2

2121 ==

−−γ

Ahora aplicamos el teorema de Bernoulli entre 0 y 1

11

21

00

20

22z

ã

p

g

Vz

ã

p

g

V ++=++

020 == pp

Combinando las dos ecuaciones, Energía y Bernoulli, se obtiene

g

V

D

Lf

g

Vzz

22

221

10 +=−

Obsérvese que la energía disponible se usa una parte para imprimir energía cinética y otra para vencerla fricción.

De acá,

( )1

2 1021

+

−=

D

Lf

zzgV

Reemplazando valores,

120010

10204

5221 +

=+

×=fg

,f

gV

(1)

De otro lado sabemos que el número de Reynolds es

161 1 V 667 16

10 x 1,2V0,02

íD VRe ===

−

148


Aplicamos ahora un método de tanteos, asumiendo valores para la velocidad.

=1V 4,51 m/s

=Q 0,00142 m3/s

Los valores de f se han obtenido aplicando la ecuación de Blasius. Podrían haberse obtenido del

diagrama de Moody.

Como se señaló antes la energía disponible es de 5 m. Esta energía se usa, una parte para imprimirenergía cinética y otra para vencer las fuerzas de fricción.

En este problema particular no se ha tomado en cuenta las pérdidas locales.

Energía de velocidadg

V

2

2

= 1,04 m

Fricción fh = 3,96 m

Energía E = 5,00 m

V1 (supuesto) Re f

(según Blasius) V1

1,0

2,0

2,5

4,0 4,2

4,3

4,4

4,5

4,51

16 667

33 334

41 667,5

66 668 70 001,4

71 668,1

73 334,8

75 001,5

75 168,2

0,0278

0,0234

0,0221

0,0197 0,0194

0,0193

0,0192

0,0191

0,0191

3,87

4,16

4,25

4,46 4,48

4,49

4,50

4,51

4,51

E

149


Ejemplo 4.6 Calcular el gasto que fluye en elsistema mostrado en la figura. La tubería es lisa,de 10 cm de diámetro. La viscosidad del agua es1,25x10-6 m2/s.

No considerar pérdidas de carga locales.

Solución. Aplicando el teorema de Bernoullientre 1 y 2

g

Vzz

pp

2

22

2112 −−=

−γ

Análogamente entre 3 y 4 se obtiene

g

Vzz

pp

2

23

3443 −−=

−γ

Se ha considerado que 041 == VV

Aplicamos ahora la ecuación de la energía entre 2 y 3

g

V

D

Lfzz

ã

pp

2

2

2332 +−=

−

puesto que VVV == 32 .

Observando que =− 41 pp 0 se llega a

)()( 342132 zzzz

pp −−−=−γ

Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

g

V

D

Lfzz

2

2

41 =−

(Esta expresión podría haberse obtenido mediante un rápido análisis de la figura)

Reemplazando los datos del problema

fV

289,22 =

El número de Reynolds es 80 000V .

Resolveremos las dos últimas ecuaciones por aproximaciones sucesivas. Para un valor supuesto de lavelocidad se calcula el correspondiente número de Reynolds. Luego, en el ábaco de Moody se

1

5 m

2 m

1 m

3

4

2

150


encuentra el valor de f . Con este valor se calcula la velocidad (utilizando la expresión deducida para

este problema). Si la velocidad es igual a la supuesta, el problema está resuelto. Caso contrario debenproseguirse los tanteos. Se obtiene finalmente

V = 14,17 m/s f = 0,0114

y el gasto es

Q = 111 l/s

Se observa que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 3-14, 3-15 y 3-16 (estas ecuacionespodrían haberse utilizado como método alternativo de solución). Se verifica que los valores obtenidosde f y de V satisfacen la ecuación de la energía.

4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento)

En una tubería las pérdidas de carga son continuas y locales. Las pérdidas de carga continuasson proporcionales a la longitud, se deben a la fricción y se calculan por medio de la fórmulade Darcy.

Las pérdidas de carga locales o singulares ocurren en determinados puntos de la tubería y sedeben a la presencia de algo especial que se denomina genéricamente singularidad: un codo,una válvula, un estrechamiento, etc.

En la figura 4.3 se observa una tubería mostrando la línea de energía y la súbita caída queexperimenta como consecuencia de una singularidad, que produce una pérdida de carga

local a la que designamos como loch .

Figura 4.3 Pérdida de carga local

Línea de energía L. E.

loch

Singularidad

151


Las pérdidas de carga locales se expresan genéricamente en función de la altura de velocidaden la tubería

g

VKhloc 2

2

= (4-5)

expresión en la que loch es la pérdida de carga local expresada en unidades de longitud, Kes un coeficiente adimensional que depende de las características de la singularidad quegenera la pérdida de carga (codo, válvula, etc) así como del número de Reynolds y de larugosidad, V es la velocidad media en la tubería.

A las pérdidas de carga locales también se les denomina pérdidas menores. Esto se debe aque en tuberías muy largas la mayor parte de la pérdida de carga es continua. Sin embargo,en tuberías muy cortas las pérdidas de carga locales pueden ser proporcionalmente muyimportantes.

Analizaremos las principales pérdidas locales en flujo turbulento.

A. Entrada o embocadura

Corresponde genéricamente a una tubería que sale de un estanque

A la entrada se produce una pérdida de carga loch originada por la contracción de la vena

líquida. Su valor se expresa por, (ec. 4-5),

gV

Khloc 2

2

=

Expresión en la que V es la velocidad media en la tubería.

El valor de K está determinado fundamentalmente por las características geométricas de laembocadura. Las que se presentan más frecuentemente son

Entrada (embocadura)

152


a) Bordes agudos

b) Bordes ligeramente redondeados (r es el radio de curvatura)

En esta embocadura el valor de K depende de la relación Dr . El valor 0,26 corresponde a

una relación de 0,04. Para valores mayores de Dr , K disminuye hasta llegar a 0,03

cuando Dr es 0,2.

c) Bordes acampanados (perfectamente redondeados). El borde acampanado significa queel contorno tiene una curvatura suave a la que se adaptan las líneas de corriente, sin producirseseparación.

d) Bordes entrantes (tipo Borda)

D

Zona de separación

K = 0,5

D = 0,26K

D = 0,04K

D = 1K

153


Los valores aquí presentados para K son valores medios, que pueden diferir según lascondiciones de las experiencias realizadas. Se observa que los valores sólo se hacen dependerda las características geométricas y no del número de Reynolds o de la rugosidad.

En una conducción normalmente se desea economizar energía. Conviene entonces dar aestas embocaduras la forma más hidrodinámica posible. A modo de ejemplo cabe indicar quepara una velocidad media de 2,5 m/s en una tubería, la pérdida de carga es de 0,159 m si laentrada es con bordes agudos y sólo 0,013 m, si la entrada es acampanada.

B. Ensanchamiento del conducto

En ciertas conducciones es necesario cambiar la sección de la tubería y pasar a un diámetro

mayor. Este ensanchamiento puede ser brusco o gradual.

a) Ensanchamiento brusco

La pérdida de carga en el ensanchamiento brusco se calcula analíticamente a partir de laecuación de la cantidad de movimiento. Entre las secciones 1 y 2 la ecuación de la energía es

loc hãp

gV

ãp

gV ++=+ 2

221

21

22 (4-6)

154


Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1.

Para el volumen ABCD comprendido entre las secciones 1 y 2, debe cumplirse que la resultantede las fuerzas exteriores es igual al cambio de la cantidad de movimiento.

)()( 12221 VVQApp −=− ρ

Considerando que el coeficiente de Boussinesq es 1.

Dividiendo esta última expresión por 2A γ se obtiene

gVV

gVpp 2 1

2221 −=−

γ

Haciendo algunas transformaciones algebraicas se llega a

gV

gV

gVV

gV

gVpp

2222

22

21

212 1

22

2221 −+−+=−

γ

agrupando se obtiene,

gVVp

gVp

gV

2)(

22

2212

221

21 −++=+

γγ

Comparando esta expresión con la ecuación de la energía (4-6) se concluye que la pérdida de

carga en el ensanchamiento brusco es

gVV

hloc 2)( 2

21 −= (4-7)

expresión que se conoce también con el nombre de fórmula de Borda. Aplicándole la ecuaciónde continuidad se obtiene

gV

AA

gV

AA

h loc 21

21

22

2

1

22

1

2

2

1

−=

−= (4-8)

Este resultado teórico está confirmado por los experimentos.

155


Si la superficie 2A es mucho mayor que

1A , como podría ser la entrega de unatubería a un estanque, se tiene que

VV =1

g

Vhloc 2

2

= (4-9)

puesto que 0/ 21 →AA

Esto significa que toda la energía cinética del flujo se disipa en forma de energía térmica.

b) Ensanchamiento gradual

La pérdida de energía en un ensanchamiento gradual (cónico) ha sido estudiadaexperimentalmente, entre otros, por Gibson. En una expansión gradual se producen torbellinosy vórtices a lo largo de la superficie de separación, que determinan una pérdida de cargaadicional a la que corresponde por fricción con las paredes. Este fenómeno fue descrito en elcapítulo III al estudiar la teoría de la capa límite. La pérdida de carga en el ensanche graduales la suma de la pérdida por rozamiento con las paredes, más la pérdida por formación detorbellinos. En un ensanche gradual hay mayor longitud de expansión que en un ensanchebrusco.

1A

A2

0º 20º 100º0

0,2

D2D

= 1,5

40º 60º 80º 120º 140º 160º 180º

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1

2D

D1= 3

1V V2

K

1 2V - V( )h = Kloc 2 g

2

θ

θFigura 4.4 Gráfico de Gibson (Ensanchamiento gradual)

156


En la Figura 4.4 se muestran gráficamente los resultados experimentales de Gibson. El valorobtenido del gráfico para K se reemplaza en la fórmula 4-10

gVV

Khloc 2)( 2

21 −= (4-10)

Obteniéndose así la pérdida de carga en un ensanchamiento gradual.

Observando el gráfico de Gibson (Figura 4.4) se obtienen las siguientes conclusiones

a) Hay un ángulo óptimo de aproximadamente 8° para el cual la pérdida de carga es mínima.

b) Para un ángulo de aproximadamente 60° la pérdida de carga en la expansión gradual esmayor que en la brusca.

Con el objeto de disminuir la pérdida de carga en un cambio de sección se puede recurrir auna expansión curva.

En algunos casos se usa una expansión mixta o escalonada combinando una expansióngradual y una brusca.

C. Contracción del conducto

La contracción puede ser también brusca o gradual. En general la contracción brusca produceuna pérdida de carga menor que el ensanchamiento brusco.

La contracción brusca significa que la corriente sufre en primer lugar una aceleración (de 0 a 1)en la Figura 4.5 hasta llegar a una zona de máxima contracción que ocurre en la tubería de

D1 D2

1D 2D

157


menor diámetro. Se produce consecuentemente una zona de separación. Luego se inicia ladesaceleración (de 1 a 2) hasta que se restablece el movimiento uniforme.

Una contracción significa la transformación de energía de presión en energía de velocidad. Lamayor parte de la pérdida de carga se produce entre 1 y 2 (desaceleración). La energíaperdida entre 0 y 1 es proporcionalmente muy pequeña. La pérdida de energía entre 1 y 2 secalcula con la expresión 4-8

gV

AA

h loc 21

22

2

1

2

−=

en la que 1A es el área de la sección transversal en la zona de máxima contracción y 2A es

el área de la tubería menor (aguas abajo). 2V es la velocidad media en la tubería de menordiámetro (aguas abajo). La ecuación 4-8 puede adoptar la forma siguiente

gV

cgV

AcA

hc c

loc 211

21

22

222

2

2

2

−=

−= (4-11)

Siendo cc el coeficiente de contracción cuyos valores han sido determinados

experimentalmente por Weisbach (Tabla 4.2)

h loc2Vg

21

D1 D2

L. E.

L. P.2V

2 g2

0 1 2

Figura 4.5 Contracción brusca

158


TABLA 4.2COEFICIENTES DE WEISBACH PARA CONTRACCIONES BRUSCAS

Si Kcc

=

−

2

11, entonces

gV

Khloc 2

22= (4-12)

Si 12 / DD es cero esto significa que 2A

es mucho menor que 1A y se interpreta como una

embocadura con bordes agudos .

Para el estrechamiento gradual la pérdida de carga es mínima, pues se reduce o casi eliminala formación de vórtices, dado que el contorno sirve de guía o soporte a las líneas de corriente.Consideraremos que su valor es cero.

Según Idelchik el coeficiente K para la pérdida de carga en una contracción brusca se puedecalcular con la fórmula semiempírica

−=

2

1

2121

DD

K (4-13)

1D es el diámetro de la tubería mayor (aguas arriba) y 2D es el diámetro de la tubería menor

(aguas abajo).

D. Cambio de dirección

Un cambio de dirección significa una alteración en la distribución de velocidades. Se producenzonas de separación del escurrimiento y de sobrepresión en el lado exterior. El caso másimportante es el codo de 90°. La pérdida de carga es

[ ] 212 / DD

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

cc 0,586 0,624 0,632 0,643 0,659 0,681 0,712 0,755 0,813 0,892 1

159


gV

hloc 29,0

2

= (4-14)

Para el codo a 45° la pérdida de carga es

gV

hloc 242,0

2

= (4-15)

Para el codo de curvatura fuerte la pérdida de carga es

gV

hloc 275,0

2

= (4-16)

Para el codo de curvatura suave la pérdida de carga es

gV

hloc 26,0

2

= (4-17)

E. Válvulas y Boquillas

Una válvula produce una pérdida de carga que depende del tipo de válvula y del grado de

abertura. Los principales valores de K son

Válvula globo (completamente abierta) 10Válvula de compuerta (completamente abierta) 0,19Válvula check (completamente abierta) 2,5

Los valores aquí señalados son meramente referenciales pues varían mucho con el diámetrode la tubería y el grado de abertura. En una boquilla la pérdida de carga es

gV

ch S

vloc 2

11 2

2

−=

vc es el coeficiente de velocidad y SV es la velocidad de salida.

loch es la pérdida de carga en la boquilla.

160


TABLA 4.3PERDIDAS DE CARGA LOCALES

ENTRADAg

VK

2

22 (V : velocidad media de la tubería)

Bordes Agudos K = 0,5

Bordes ligeramente redondeados K = 0,26

Bordes Acampanados K = 0,04

Bordes Entrantes K = 1

ENSANCHAMIENTO( )

gV

AA

KgVV

K 2

12

22

2

1

22

21

−=−

( 1V : velocidad aguas arriba; 2V : velocidad aguas abajo)

Brusco K = 1

Gradual Gráfico de Gibson

CONTRACCION gV

Kg

Vc

c 2211 2

22

2

2

=−

( 2V : Velocidad aguas abajo)

Brusca Tabla de Weisbach

Gradual K = 0

CAMBIO DE DIRECCIONg

VK

2

2

(V : velocidad media)

Codo de 90º K = 0,90

Codo de 45º K = 0,42

Codo de curv. fuerte K = 0,75

Codo de curv. suave K = 0,60

VALVULAS (V : velocidad media)

Válvulas de globo (totalmente abierta) K = 10,0

Válvula de compuerta (totalmente abierta) K = 0,19

Válvula check (totalmente abierta) K = 2,5

161


Ejemplo 4.7 Calcular el gasto que escurreen el sistema mostrado en la figura. Latubería es de fierro fundido bastante oxidado.El diámetro es de 10 cm . La temperatura delagua es de 25 °C. La embocadura es conbordes agudos.

Solución. De la ecuación de la energía seobtiene

g

VK

g

VK

g

V

D

Lf

2227

2

2

2

1

2

++=

Por ser la embocadura con bordes agudos, 1K = 0,5 (ec. 4-5), 2K es igual a 1 por corresponder a la

entrega de una tubería en un depósito. (ec. 4-9). Sustituyendo

g

V

g

V

g

Vf

225,0

21,06

7222

++=

Operando,

5,160142

+=

fg

V

La rugosidad se obtiene de la Tabla 2.1. Luego,

015,0=D

k

Si suponemos turbulencia plenamente desarrollada, se obtiene en el ábaco de Moody (Figura 4.2) que

f = 0,044

Con este valor de f , que es todavía tentativo por cuanto no sabemos si efectivamente hay turbulenciaplenamente desarrollada, se calcula la velocidad.

V = 5,76 m/s

Verificamos ahora el número de Reynolds. La viscosidad se obtiene de la Figura 1.8a o de la Tabla depropiedades mecánicas del agua.

5104,6Re ×=

confirmándose así que la turbulencia está plenamente desarrollada. Esto significa, como sabemos, queel valor de f es función exclusiva de la rugosidad relativa (es independiente del número de Reynolds).Con el valor obtenido para la velocidad calculamos el gasto.

5 m

2 m

1 m

162


Q = 45 l/s

A modo de verificación calculamos cada una de las pérdidas de carga

Embocadurag

V,

250

2

0,85 m

Continuag

V

D

Lf

2

2

4,47 m

Entrega g

V

2

2

1,69 m

Energía total 7,01 m

Ejemplo 4.8 En el sistema mostrado en lafigura, la bomba impulsa gasolina cuyo pesoespecífico relativo es 0,68. La gasolina debepermanecer en el depósito con una cargaconstante de 1,0 m. En el depósito la presiónmanométrica es de 1,8 kg/cm2. A la salida dela bomba el diámetro de la tubería es de 3” yluego de una contracción gradual continúapor medio de un codo de curvatura suavede 2” hasta entregar al depósito. Elmanómetro ubicado inmediatamentedespués de la bomba indica 2 kg/cm2 .Calcular el gasto.

Solución. Planteamos la ecuación de la energía entre el punto 1 (ubicado inmediatamente después dela bomba) y el punto 0 (ubicado en la superficie del líquido). La pérdida de carga en la contraccióngradual se desprecia.

g

V

g

VKz

ã

p

g

Vz

ã

p

g

V

2222

22

22

00

20

11

21 ++++=++

Por continuidad se tiene que,

21V = 0,1975 2

2V

Reemplazando se obtiene

94,12

402,12

=g

V

1 m

B

0

1

163


Luego,

2V = 5,2 m/s

Q = 10,5 l/s

4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales

En el ejemplo 4.7 se observa que las pérdidas de carga locales (por embocadura y por entrega)representan el 36 % de la energía total. El 64 % restante corresponde a la pérdida de cargacontinua. Este es un sistema en el que las pérdidas de carga locales son proporcionalmentemuy elevadas. Si la tubería tuviera una longitud bastante mayor, el valor de la pérdida de cargacontinua crecería. Para una longitud muy grande podría darse que las pérdidas de cargalocales sean despreciables.

Se dice que una tubería es larga cuando las pérdidas de carga locales pueden despreciarsesin que resulte un error significativo en el resultado de los cálculos. Corresponde a valores

grandes de la relación entre la longitud L y el diámetro D ( DL ).

Se dice que una tubería es corta cuando las pérdidas de carga locales son importantes conrespecto a la energía total y, por lo tanto, no pueden despreciarse en los cálculos. Corresponde

a valores pequeños de la relación ( DL ).

A fin de examinar con algo de generalidad la importancia relativa de las pérdidas de cargalocales consideremos que en la figura del ejemplo 4.7 la longitud de la tubería es L , eldiámetro D y la energía H . Entonces,

g

VK

g

VK

g

V

DLf H

222

2

2

2

1

2

++=

Admitamos que 1K es 0,5, 2K es 1 y f = 0,024 (son valores escogidos arbitrariamente,pero que se presentan frecuentemente. En este cálculo se usan a fin de poder establecercomparaciones).

Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene,

gV

DL

H2

024,05,12

+=

Examinemos varias posibilidades

164


a)DL

= 100, luego g

VH

29,3

21

=

Pero, si despreciamos las pérdidas de carga locales, entonces

gV

H2

4,22

2 =

La relación entre las velocidades calculadas, según que se desprecie o no, las pérdidasde carga locales, sería

27,14,29,3 =

Luego, el error en el cálculo de la velocidad sería del 27 %. Evidentemente esto significaque al despreciar las pérdidas de carga locales la velocidad obtenida en los cálculos es27 % mayor que la que se obtendría de haberlas considerado.

b)DL

= 1 000

Siguiendo el mismo procedimiento se encuentra que el error en el cálculo de la velocidadsería del 3 %

c)DL

= 10 000

El error en el cálculo de la velocidad sería del 0,3 %

Los cálculos anteriores se expresan en el siguiente cuadro.

DL / (con loch ) (sin loch ) 12 /VV Error

100

1 000

10 000

1,5 + 2,4

1,5 + 24

1,5 + 240

2,4

24

240

1,27

1,03

1,003

27 %

3 %

0,3 %

165


Estos valores son sólo indicativos, pues no corresponden a un sistema absolutamente general

(por ejemplo, 1K podría no ser 0,5). Sin embargo, el cuadro precedente ilustra claramente

para que orden de valores de DL el error es muy pequeño.

A continuación examinaremos otro procedimiento para apreciar la importancia relativa de laspérdidas de carga locales.

En un sistema cualquiera las pérdidas de carga continuas se expresan en función de laecuación de Darcy, o su equivalente

LDQ

f 5

2

0827,0 (4-18)

Las pérdidas de carga locales usualmente corresponden a

∑ 2g

2

V

K

que equivale a

4

2

0827,0DQ

K∑

La pérdida total de energía es entonces la suma de ambas

4

2

5

2

0827,00827,0DQ

KLDQ

fH ∑+=

La importancia relativa de cada uno de los dos términos del segundo miembro significa que latubería sea larga o corta. Transformando,

4

2

082700827,0DQ

K,DL

fH

∑+=

Según lo expuesto en el Capítulo III se tiene que se aceptamos un error del 20 % en la

estimación de la rugosidad k (lo que es perfectamente posible), esto representará un error

del 4 % en el cálculo del valor del coeficiente f de Darcy (lo que equivale al 2 % de error en

el cálculo de la velocidad).

De acá se desprende que la condición límite corresponde a

166


4 % de ∑= K,DL

f, 0827008270

∑= KDL

f ,040

Examinemos el mismo sistema anterior (∑ == y 024,05,1 fK ). Reemplazando se

obtiene,

=DL

1 562,5

≈DL

1 500

En lo sucesivo se considerará, para fines prácticos, que si

>DL

1 500 (4-19)

la tubería es larga y, por lo tanto, las pérdidas de carga locales son despreciables.

4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar)

Por lo general en el flujo laminar las perdidas de carga locales son muy pequeñas comparadascon las pérdidas de carga continuas.

Empecemos por examinar la pérdida de carga en un caso particular que es suceptible detratamiento analítico. Se trata de la pérdida de carga que ocurre en una expansión brusca(ensanchamiento del conducto).

Tal como se mostró en la figura del ensanchamiento brusco, las dos ecuaciones fundamentalespara el cálculo son

loc2

22

21

21

1 hã

p2gV

áã

p2gV

á ++=+

( ) ( )1 12 2 2 21 VVQApp ββρ −=−

167


α es el coeficiente de Coriolis, β es el coeficiente de Boussinesq, V es la velocidadmedia, p es la presión, γ el peso específico del fluido, ρ su densidad, Q el gasto, A elárea de la sección transversal. Los subíndices 1 corresponden al tramo ubicado aguas arribay los subíndices 2 al tramo ubicado aguas abajo.

Para el flujo laminar consideramos

221 ==αα

3/421 == ββ

Haciendo las sustituciones y operando se llega finalmente a la expresión que da la pérdida de

carga local loch

( )( )g

VVVVhloc 33 21 21 −−= (4-20)

Esta expresión puede compararse con la obtenida para el flujo turbulento, ec. 4-7.

En el caso más general una pérdida de carga local está formada por dos componentes: a) lapérdida de energía por rozamiento con el contorno, b) la pérdida de energía por disipación enla formación de vórtices

vortrozloc hhh +=

Para el flujo laminar, (según ecuaciones de Darcy)

gV

DL

hroz 2Re64 2

=

que para longitud y diámetro constantes equivale a

gVA

hroz 2Re

2

=

La pérdida de carga por formación de vórtices se considera que es

gV

Bhvort 2

2

=

168


se tiene que

BA

K +=Re (4-21)

Naturalmente que si el flujo es turbulento

K → B

A y B son dos constantes.

4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes

Se dice que dos sistemas hidráulicos son equivalentes cuando requieran la misma energíapara que circule en cada uno de ellos el mismo gasto. Lo que significa decir que dos sistemashidráulicos son equivalentes cuando el mismo gasto produce en ambos la misma pérdida decarga.

Así por ejemplo, los dos sistemas mostrados en la figura son equivalentes

Siempre que los valores de la energía H y del gasto Q sean iguales en ambos sistemas.

Ejemplo 4.9 ¿Cuál es la longitud que debe tener una tubería de 0,10 m de diámetro, 0,020 de coeficiente

f de Darcy para ser equivalente a otra tubería de 100 m de largo, del mismo diámetro y rugosidad, en

la que las pérdidas de cargas locales tienen un valor de ∑ K = 2 ?

Solución. La pérdida de carga debe ser igual en ambos sistemas

∑+=g

VK

g

V

D

Lf

g

V

D

Lf

e

222

222

H

Q

Q

H

169


22

2

+= D

Lf

g

V

D

Lf

e

Reemplazando los valores conocidos se obtiene eL = 110 m.

Ejemplo 4.10 Determinar el gasto que circula en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de latubería es de 4”. Está hecha de fierro fundido, nuevo. La viscosidad del agua es 1,4x10-6 m2/s. Losbordes de la entrada son ligeramente redondeados. El chorro descarga libremente a la atmósfera.Verificar por el método de la tubería equivalente.

Solución. Aplicando el teorema de Bernoulli entre 0 y 1 y la ecuación de la energía entre 1 y 2 seobtiene

+++=− 12

2 21

2

20 KKD

Lf

g

Vzz

Reemplazando los valores conocidos y siguiendo el método general

V = 3,6 m/s Q = 0,029 m3/s ≈ 29 l/s

La longitud de tubería equivalente del mismo diámetro y rugosidad es 212,24 m.

Luego,

( ) m08,3526,3

1016,024,2120254,0

2

g

h f ==

Con lo que queda verificado el problema.

H

0

1

5 m40 m

2

120 m 75 m

170


4.7 Tuberías en serie

Se dice que dos o más tuberías, de diferente diámetro y/o rugosidad, están en serie cuandose hallan dispuestas una a continuación de la otra de modo que por ellas escurre el mismocaudal.

En esta figura se presenta un caso particular de tuberías en serie. Corresponde a un sistemaformado por dos tramos que conecta dos estanques. La carga o energía disponible H debeser igual a la suma de todas las pérdidas de carga que ocurren en el sistema (continuas ylocales). Esta condición se expresa por la ecuación de la energía

∑++= lochg

VDLf

gV

DLf H

22

22

2

22

21

1

11 (4-22)

Los subíndices 1 corresponden al primer tramo, los subíndices 2 corresponden al segundotramo. Esta ecuación podría extenderse a cualquier número de tramos. Dentro de las pérdidasde carga locales se está considerando, operativamente, la energía de velocidad del chorrofinal. La ecuación de la energía junto con la de continuidad, constituyen las dos ecuacionesfundamentales para resolver un sistema de tuberías en serie.

QQQ == 21

Para la resolución del sistema mostrado en la figura se presentan dos casos. El primero, quees el más simple, tiene por incógnita la energía H . Son datos básicos los diámetros,longitudes, rugosidades y el gasto. La solución es inmediata.

H

Q

L. E.

L. P.

1

2

1Q

2=

Figura 4.6 Tuberías en serie (dos tramos)

171


El segundo caso es más laborioso. La incógnita es el gasto. Los datos son la energía disponibleH , los diámetros, longitudes y rugosidades.

Hay varios métodos para resolver este problema. Uno podría ser suponer sucesivamentevalores para el gasto y verificar si la suma de todas las pérdidas de carga es igual a la energíadisponible H . Con los valores obtenidos se hace un gráfico gasto-energía y se determinapara el valor de H , dato del problema, cual es el valor correspondiente de Q .

Otro método es el siguiente. Por medio de la ecuación de continuidad se expresa la ecuación

de la energía en función de una de las dos velocidades ( 1V ó 2V ). Conviene luego iniciar los

cálculos haciendo la siguiente suposición

fff == 21

Se debe entonces suponer un valor para f . Esto puede hacerse, aproximadamente, teniendo

en cuenta la Tabla 4.1 y/o las rugosidades relativas y luego obteniendo un valor para f porobservación del Diagrama de Moody, Figura 4.2 (se puede suponer inicialmente que laturbulencia está plenamente desarrollada).

Con el valor supuesto para f se calcula las velocidades y luego los números de Reynolds

para cada tramo, y se determina con las rugosidades relativas los valores 1f y 2f .

Con estos valores obtenidos para el coeficiente de Darcy, se rehace el cálculo hallándose

nuevos valores para 1V , 2V , Re , 1f y 2f .

Si estos valores obtenidos para f son iguales a los dos últimos, esto significa que se hadeterminado los verdaderos valores de f y de las velocidades. Se puede entonces calcular elgasto y cada una de las pérdidas de carga. Siempre se debe verificar la ecuación de la energía.

Puede darse también un sistema en serie que descarga a la atmósfera.

H

Q

L. E.

L. P.1 2

1Q

2=

3

3Q=

Vs

Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos)

172


Se mantiene el concepto general. La energía disponible H es igual a la suma de todas laspérdidas de carga continuas y locales, más la energía de velocidad correspondiente al chorrofinal.

La otra ecuación fundamental es la invariabilidad del gasto.

QQQQ === 321

Si tuviéramos una tubería compuesta por varios tramos de diferente diámetro, el último de los

cuales descarga a la atmósfera con una velocidad SV (velocidad de salida), se demuestrafácilmente que

∑=

++

=n

i i

Si

i

S

i

ii

S

AA

KAA

DLf

HgV

12

2

2

2

2

1

(4-23)

el gasto es evidentemente

SS AVQ =

Ocurre a veces que en un sistema de tuberías en serie los tramos son tan largos que laspérdidas de carga locales resultan insignificantes con respecto a las pérdidas de cargacontinuas. En estos sistemas se desprecian las pérdidas de carga locales.

Ejemplo 4.11 Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros6 m y 9” en los 15 m restantes. La embocadura es con bordes agudos y el cambio de sección es brusco.La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 6 m. La tubería es de fierrofundido, nuevo. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto. Calcular cada una de laspérdidas de carga.

Solución. La ecuación de la energía es

( )g

Vg

VDL

fgVV

gV

DL

fg

V

222225,06

22

22

2

22

221

21

1

11

21 ++−++= (1)

De la ecuación de continuidad se obtiene 21 25,2 VV =

Reemplazando los valores conocidos,

( )g

Vff

262,6521,19909,56

22

21 ++= (2)

173


Por tratarse de una tubería de fierro fundido, que conduce agua, podríamos suponer inicialmente02,021 == ff . Se puede tener una idea aproximada de este valor calculando las rugosidades relativas

y observando el valor de f para turbulencia plenamente desarrollada. El objetivo de esta suposiciónes obtener el orden de magnitud del valor 2V . Reemplazando se obtiene

2V = 3,36 m/s

Lo que significa

1V = 7,56 m/s

Para 20 °C, la viscosidad cinemática es 10-6 m2/s.

Los números de Reynolds son,

1Re = 1,15x106 2Re = 7,7x105

y las rugosidades relativas,

1D

k = 0,0016

2D

k = 0,0011

Para la rugosidad absoluta se ha tomado el valor 0,00025 m, según la Tabla 2.1 o la 4.4.

Del diagrama de Moody (Figura 4.2) se obtiene el valor de f

1f = 0,022 2f = 0,0205

Estos valores difieren ligeramente del que habíamos supuesto (0,02). Usando estos valores calculamosun nuevo valor para las velocidades en (2)

1V = 7,42 m/s 2V = 3,3 m/s

Luego se calculan los números de Reynolds y los valores de f . Se obtienen valores iguales a los

supuestos. Por lo tanto,

== 11VAQ 135 l/s

Verificación de la ecuación de la energía

==g

Vh loc 2

5,02

1 1,40 m

==g

V

D

Lf h f 2

21

1

111

2,43 m

174


( ) =−=gVV

hloc 2

221 0,87 m

==g

V

D

Lf h f 2

22

2

222

0,75 m

=g

V 2

22 0,56 (Energía total: 6,01 m)

Con lo que queda verificada la ecuación (1). Obsérvese que en este problema las tuberías sonrelativamente cortas. La importancia de las pérdidas de carga locales es grande. Constituyen el 47 %de la energía total.

4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación

Siempre que la tubería queda por encima de la línea de gradiente (línea piezométrica) haypresión negativa.

En la figura se observa un estrechamientoen la tubería. Se produce aumento de lavelocidad y por consiguiente debe haberdisminución de la presión. Si elestrechamiento es muy grande, como elmostrado en la figura, la línea de gradientequeda por debajo de la tubería y se producepresión negativa.

En la Figura 4.8 se observa una tubería que une dos estanques y que por alguna razón, quepodría ser de tipo topográfico, tiene un tramo alto que queda sobre la línea de gradiente. Aeste sistema hidráulico se le denomina sifón. H es la carga.

La línea de gradiente está representada aproximadamente por la línea recta que une lassuperficies libres de los estanques (en realidad la línea de gradiente no es recta, pues latubería no lo es).

Todo el tramo de la tubería que está sobre la línea de gradiente tiene presión negativa. En lospuntos de intersección entre la línea de gradiente y la tubería la presión es cero.

Debe tenerse presente que hablamos de presiones relativas. Por lo tanto “presión cero” significa“presión atmosférica” y “presión negativa” significa “presión menor que la atmosférica”.

L. P.

175


En el tramo de tubería en el que la presión es menor que la atmosférica se libera al aire

contenido en el agua y, si la velocidad

no es suficientemente grande, el aire

queda retenido en la parte superior de

la tubería impidiendo la normal

circulación del agua.

Si la presión disminuye mucho aparece vapor de agua y el problema se agrava. Por lo tanto,un sifón debe diseñarse de modo que la presión esté siempre por encima de la correspondientea la formación de vapor a la temperatura del agua.

Para el cálculo del sifón se aplica la ecuación de la energía entre A y C (Figura 4.8).Considerando para mayor facilidad de cálculo presiones absolutas, se tiene

ACfhzp

gV +++=++

γ

2

2033,100

siendo,

V : velocidad media en la tubería

H

A

B

D

C

z

p = 0= 0p

Figura 4.8 Esquema de un sifón

176


γp

: altura correspondiente a la presión absoluta

z : sobreelevación del eje de la tubería en su punto más alto, con respecto al nivel de lasuperficie libre en el reservorio de alimentación

ACfh : pérdidas de carga entre A y C (continuas y locales según el caso)

El máximo valor de z depende del valor que se admite para la presión absoluta en C. A fin deevitar la discontinuidad en el escurrimiento por desprendimiento de vapor, esta presión nodebe ser inferior a la de vaporización del fluido a la temperatura de operación del sistema. EnC se debe tener un valor de la velocidad que sea lo suficientemente alto como para arrastrarlas burbujas de aire.

Se debe procurar que en el tramo ascendente de la tubería las pérdidas de carga sean mínimas.Si hubiera que instalar una válvula de control debe hacerse en el tramo descendente.

Se denomina cavitación al fenómeno de formación y desaparición rápida de burbujas(cavidades) de vapor en el seno del líquido. Las burbujas se forman en las zonas de reducciónde presión. Al ser conducidas a zonas de mayor presión explotan provocando un ruidocaracterístico.

En un sistema hidráulico debe evitarse la aparición de cavitación por las siguientes razones

a) La cavitación significa una discontinuidad en el escurrimiento y por lo tanto una reducciónde la eficiencia de conducción.

b) La cavitación significa inestabilidad en el escurrimiento y puede dar lugar a ruido ovibraciones.

c) La ruptura de las burbujas produce tensiones muy fuertes que pueden conducir a la fallaestructural de la tubería.

La posibilidad de cavitación se describe por medio de un parámetro adimensional denominadoParámetro de Cavitación

22 /Vñpp v

−(4-24)

p es la presión absoluta en el punto considerado, vp es la presión absoluta de vaporización

del líquido a la temperatura existente, ρ es la densidad del líquido y V es la velocidadmedia.

Se observa que el Parámetro de Cavitación es una forma del Número de Euler.

177


La presión absoluta de vaporización varía, como es sabido, con la temperatura. Hay curvas ygráficos que expresan la presión absoluta de vaporización en función de la temperatura. Sinembargo, debe tenerse en cuenta que el agua contiene impurezas, sales, que obligan aaceptar valores prácticos diferentes. Para temperaturas normales se acepta que la presiónabsoluta de vaporización del agua es el orden de 0,2 a 0,3 kg/cm2.

Ejemplo 4.12 Dos estanques A y B (Figura 4.8) están conectados por una tubería que pasa por unpunto C, ubicado por encima de la superficie libre del estanque A. Calcular la máxima elevación quepuede tener el punto C de modo que la presión absoluta en el punto C sea el equivalente a 2,4 m decolumna de agua (esta condición es impuesta a fin de evitar la cavitación). La longitud total de latubería es de 1 000 m. La longitud entre A y C es 400 m. La diferencia de nivel entre ambos estanques

es 15 m. El diámetro de la tubería es 0,4 m. Considerar que el coeficiente f de Darcy es 0,04. Calcular

además el gasto.

Solución. Se aplica la ecuación de la energía entre A y B (despreciando las pérdidas de carga locales

por ser tubería larga). Se obtiene V = 1,71 m/s.

Luego aplicamos la ecuación de la energía entre A y C

g

V

D

Lfz

p

g

V

AC

220

22

+++=γ

Reemplazando,

z = 1,78 m

La máxima elevación que puede tener la tubería en el punto C es 1,78 m, con respecto a la superficielibre del estanque A.

El gasto es Q = 215 l/s

4.9 Tubería con boquilla convergente final

Si al final de una tubería se coloca una boquilla tronco-cónica convergente disminuye elgasto, pero aumenta la potencia del chorro.

La pérdida de carga en la boquilla viene dada por

gV

ch S

vloc

2

11 2

2

−= (4-25)

178


vc : es el coeficiente de velocidad propio de la boquilla

SV : es la velocidad de salida del chorro

Para el sistema mostrado en la figura la ecuación de la energía es

gV

gV

cgV

DL

fg

VKH

S

S

v

2211

22

22

2

22

+

−++= (4-26)

Esta ecuación se resuelve combinándolacon la de continuidad

SS VAVA =

Los subíndices corresponden a la salida.

La potencia del chorro es

gV

QPot S

2

2

γ= (4-27)

Ejemplo 4.13 De un estanque sale una tubería de 1,20 m de diámetro y de 840 m de longitud. La tuberíaes de fierro forjado y termina en una boquilla que reduce el diámetro a la mitad. La energía disponiblees de 40 m. Calcular y comparar la potencia generada por el chorro con boquilla y sin ella. El coeficientede velocidad en la boquilla es 0,9. La temperatura del agua es 10 °C. La embocadura es ligeramente

redondeada ( K = 0,2).

Figura 4.9 Tubería con boquilla convergente final

H

L. E.

L. P.

g2

2sV

179


Solución. Examinemos en primer lugar las condiciones cuando la descarga se produce sin boquilla.

g

V

gV

DL

fg

VKH

222

222

++=

Reemplazando los valores conocidos

fg

V7002,1240

+×=

La rugosidad relativa es 0,00004. Se obtiene finalmente

f = 0,010

V = 9,78 m/s

Q = 11,06 m3/s

La potencia del chorro es

m/s-kg02973532789

061100012

22

, g

, ,

g

VQãPot

=== ××

Pot = 710 HP

Si la descarga se produce con boquilla, entonces

g

V

g

V

cg

V

D

Lf

g

VKH

S

S

v

2211

22

22

2

22

+

−++=

Por la ecuación de continuidad

VV S 4=

Reemplazando los valores conocidos se obtiene

fg

V70088,19240

+×=

encontrándose finalmente

f = 0,011

V = 5,33 m/s

180


SV = 21,32 m/s

Q = 6,03 m3/s

Pot = 1 840 HP

Concluimos así que al colocar la boquilla la potencia del chorro es 2,59 veces mayor, pero el gasto sereduce al 54,5 %

4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo

Las máquinas hidráulicas son de dos tipos: bombas y turbinas. Las bombas aportan energía.Las turbinas absorben, toman, energía. Las bombas están accionadas por un motor. Lasturbinas están accionadas por la fuerza de la corriente líquida.

La presencia de una bomba significa una elevación de la línea de energía.

El aumento E∆ en la energía dela corriente depende del gasto, delpeso específico del fluido y de lapotencia

QPotE

γ=∆ (4-28)

1E es la energía inmediatamente

antes de la bomba y 2E es laenergía inmediatamente después.

Para una turbina cambia el signo de la expresión anterior. Vale decir que en una turbina seusa la energía de la corriente para producir potencia. Se aprovecha la energía de elevaciónpara obtener energía mecánica.Si de un estanque sale una tubería que descarga por mediode un chorro libre, este chorro tiene una potencia que es aprovechable. La potencia es untrabajo por unidad de tiempo. La altura de velocidad del chorro, obtenida a partir de su velocidad

de salida SV , es un trabajo por unidad de peso del fluido. Luego, la potencia del chorro, talcomo lo vimos en el apartado anterior, es igual al producto del gasto por el peso específico delfluido y por la altura de velocidad.

gV

QPot S

2

2

γ=

E 1

L. E.

Tubería

2E

∆ E

B

Figura 4.10 Presencia de una bomba

181


Se llama rendimiento de una bomba a la relación entre la energía útil aportada a la corriente yla energía que acciona la bomba.

La eficiencia de una turbina es la relación entre la energía útil que se obtiene y la energíatomada de la corriente.

Esquema genérico de un suministro por bombeo

En la Figura 4.11 se presenta esquemáticamente el caso más general de un suministro porbombeo de M a N. B representa una bomba. En M el líquido está confinado y sometido a una

presión 0p . El tramo 0-1 (M-B) se denomina de aspiración (succión). El tramo 2-3 (B-N) sedenomina de impulsión. Las alturas correspondientes se llaman de succión y de impulsión.En la Figura 4.11 el líquido descarga por medio de un pitón (boquilla) en un recipiente N, queestá a presión.

Si aplicamos la ecuación de la energía a la tubería de succión entre 0 y 1 se obtiene

∑ −+++=

10

12

11

0

2 fS

hHp

gVp

γα

γ

HS

iH

B

0

21

0p

3

p3

M

N

Figura 4.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo

182


El último término representa la suma de las pérdidas de carga (continuas y locales, según seconsidere) entre 0 y 1. La presión 1p debe ser lo suficientemente grande como para que nose produzca cavitación en la bomba.

De modo similar se aplica la ecuación de la energía a la tubería de impulsión entre 2 y 3.Obsérvese que el diámetro de ambas tuberías, succión e impulsión, no es necesariamenteigual (ver ejemplo 4.14).

∑ −+++=+

32

32

33

22

22

22 fi

hHp

gV

gVp

γαα

γ

La energía suministrada por la bomba debe ser ( )12 EE −

+−

+==∆

gVp

gVp

HE bomba

22

21

11

22

22 α

γα

γ

o bien,

−−−+++=∆ ∑∑ −− 100

32

23

33

2 fSf

i hHp

hg

VpHE

γα

γ

∑ −++−++=∆

30

23

303

2 f

iS hg

VppHHE α

γ (4-29)

Si los recipientes M y N estuvieran en contacto con la atmósfera ( )030 == pp

La ecuación anterior se reduce a

∑ −+++=∆

30

23

3 2 f

iS hg

VHHE α (4-30)

Esta expresión representa la energía que debe suministrar la bomba. Evidentemente que E∆es la energía necesaria para establecer el flujo.

La potencia teórica de la bomba en HP debe ser

76EQ

Pot∆= γ

(HP) (4-31)

183


Si introducimos el coeficiente η de eficiencia de la bomba, entonces la potencia real es

76

ηγ EQPot

∆= (4-32)

Ejemplo 4.14 De acuerdo a la figura ¿qué potencia debe tener la bomba para elevar 70 l/s? Las tuberíasson de fierro fundido, nuevas. El fluido es agua con una viscosidad de 1,4x10-6 m2/s . No considerarpérdidas de carga locales. La eficiencia de la bomba es 0,8. Hallar la presión a la entrada y salida de labomba.

Solución. En primer lugar calculamos las velocidades en cada una de las tuberías, designándolas porel subíndice que corresponde al diámetro.

8V = 2,16 m/s 6V = 3,84 m/s

y luego los números de Reynolds respectivos

8Re = 3,14x105 6Re = 4,18x105

Las rugosidades relativas son

0,0012 0,0016

En el diagrama de Moody se encuentran los valores del coeficiente f de Darcy..

8f = 0,021 6f = 0,023

Se puede entonces calcular la pérdida de carga en cada tramo

B

3,0 m

0 m

33,0 m

D = 8"L = 300 m

= 600 mLD = 6"

184


8fh = 7,38 m

6fh = 68,12 m

La energía que debe suministrar la bomba es (ec. 4-30)

m25,1062

302

668

g

VhhE

ff =+++=

(no se ha considerado pérdidas de carga locales).

La potencia teórica es ( )EH ∆=

76HQ

Pot γ

= = 97,86 HP

La potencia efectiva es 122,3 HP

La presión a la entrada de la bomba ( Ep ) se obtiene aplicando la ecuación de la energía

8

28

00

20

22 fEE hz

p

g

Vz

p

g

V+++=++

γγ

Reemplazando,

0 + 0 + 3 = 0,24 + γEp

+ 0 + 7,38

Se llega finalmente a

γEp

= - 4,62 m (- 0,46 kg/cm2)

La presión a la salida de la bomba ( Sp ) es

Ep

g

Vp

g

V S

E

∆−+=+

γγ 22

26

28

0,24 - 4,62 = 0,75 + γ

Sp - 106,25

γSp

= 101,12 m (10,11 kg/cm2)

Obsérvese que en el tramo de succión (8”) el diámetro es mayor que en el de impulsión (6”). De estamanera se evita presiones negativas excesivas a la entrada de la bomba.

185


TABLA 4.4


Cemento enlucido 4 x 10-4

Los valores anteriores se refieren a conductos nuevos o usados, según el caso. Por su propianaturaleza son valores aproximados. Su determinación se ha hecho por métodos indirectos.

En el caso de tuberías es importante la influencia de las uniones o empalmes. En el concretoel acabado puede ser de naturaleza muy variada y a veces ocurren valores mayores o menoresa los presentados en esta tabla.

La variación de estos valores con el tiempo puede ser muy grande. (Esta tabla es igual a la

Tabla 2.1).

MATERIAL k (m)



Fierro forjado

Acero rolado nuevo



Fierro galvanizado


Fierro fundido oxidado

Acero remachado


Concreto centrifugado nuevo


Concreto liso



Concreto rugoso

Duelas de madera

1,5 x 10 -6

4,5 x 10 -5

5 x 10-5

4 x 10-5 – 10-4

2,5 x 10 -4

1,5 x 10 -4

1,2 x 10 -4

1 x 10-3 – 1,5 x 10-3

0,9 x 10 -4 – 0,9 x 10-3

2,5 x 10 -5

1,6 x 10 -4

10-5

2,5 x 10 -5

2 x 10 -4 – 3 x 10-4

10-3 – 3 x 10-3

10-2

1,8x10-4 – 9 x 10-4

186



(Capítulo IV)

1. Calcular el diámetro que debe tener una tubería de acero rolado para conducir 1 500 l/s, deaceite cuya viscosidad es 1 poise (peso específico 910 kg/m3). El acero es nuevo.

La pérdida de carga por fricción es de 1 m por cada 100 m de tubería.

2. En el tanque mostrado en la figura hay un líquido cuyo peso específico es de 900 kg/m3. Estásometido a una presión de 0,12 kg/cm2.Descarga por medio de la tuberíamostrada, que tiene 4 cm de diámetro yes muy lisa, de cobre. Determinar laviscosidad del líquido sabiendo que elgasto es de 4 l/s. La embocadura esperfectamente redondeada, por lo quepuede despreciarse la pérdida de cargalocal. La carga H es 0,90 m y lalongitud L es 8 m.

3. El sistema mostrado en la figuradescarga agua a la atmósfera.Calcular el gasto. La embocaduraes con bordes agudos. La tuberíade 6 cm de diámetro es de fierrofundido nuevo. La temperatura delagua es de 20 °C.

4. Calcular el gasto en el problema 3 si se coloca en la tubería una válvula de globo completamenteabierta.

5. Calcular cual debe ser el valor de la carga H en el sistema mostrado en la figura para que elgasto sea de 10 l/s. La tubería es de fierro forjado, de 3” de diámetro. La longitud total es de 75 m.La viscosidad del aceite es 0,1 poise y su peso específico relativo es 0,9. La entrada es con b ordesagudos. El codo es a 90°. Calcular cada una de las pérdidas de carga.

H

p

L

100 m80 m

0

1

2

187


( k = 4,5 x 10-5 m)

6. Se tiene una tubería de fierro fundido, asfaltado, de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tuberíaarranca de un estanque cuya superficie libre está 5 m por encima del punto de descarga dela tubería. A lo largo de la tubería hay dos codos standard de 90° y una válvula de globocompletamente abierta. La embocadura es con bordes agudos. Calcular el gasto. Considéreseque la viscosidad cinemática del agua es 10-6 m2/s.

7. La pérdida de presión p∆ debida a una válvula, codo o cualquier otra obstrucción en unatubería depende de la forma de la obstrucción, del diámetro D de la tubería, de la velocidadmedia V del escurrimiento, de la densidad ρ del fluido y de su viscosidad dinámica µ .Determinar la forma más general de una ecuación dimensionalmente homogénea para obtener

p∆ . ¿Qué forma particular tomaría esta ecuación cuando la viscosidad es despreciable?

8. En el tanque mostrado en la figura del problema 2, hay un líquido cuyo peso específico es de750 kg/m3. Está sometido a una presión de 0,04 kg/cm2. Descarga por medio de la tuberíamostrada que tiene 4 cm de diámetro y es muy lisa, de cobre. Determinar la viscosidad dellíquido sabiendo que el gasto es de 1 l/s. La embocadura es perfectamente redondeada, porlo que puede despreciarse la pérdida de carga local. La carga H es 0,30 m y la longitud L es20 m.

9. Se tiene una tubería de fierro fundido de 6” de diámetro y 80 m de largo. La tubería arranca deun estanque que tiene 5 m de carga con respecto al punto de descarga. A lo largo de la tuberíahay 2 codos standard de 90° y una válvula ( K = 10). La embocadura es con bordes agudos.Calcular el gasto (T = 20 °C).

10. Dos estanques cuya diferencia de nivel es de 25 m están unidos por una tubería de 6” de diámetroy 1 550 m de longitud (asbesto - cemento, nuevo). La viscosidad del agua es 10 -6 m2/s. Calcular elgasto.

11. ¿Cuál es la diferencia de nivel que debería existir entre los dos estanques del problemaanterior para que el gasto sea de 50 l/s?.

H

188


12. Dos estanques están conectados por una tubería de 12” de diámetro y 915 m de largo. Ladiferencia de nivel entre ambos estanques es de 24,5 m. A una distancia de 300 m del primerestanque se ha colocado en la tubería una válvula de 3” que descarga libremente a la atmósfera.Esta válvula está 15 m debajo del nivel del estanque. Para los efectos de este problema sepuede considerar a la válvula como un orificio circular de coeficiente de descarga igual a0,95. Considerando que el coeficiente f de fricción es constante e igual a 0,032. Calcular elgasto: a) cuando la válvula está cerrada, b) cuando la válvula está abierta.

13. Dos reservorios están conectados por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” en losprimeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 25,1 m. La embocadura es con bordesligeramente redondeados y el cambio de sección es brusco. Calcular cual debe ser ladiferencia de nivel entre las superficies libres de ambos reservorios para que el gasto sea de123,5 l/s. Dibujar la línea de energía y la línea de gradiente hidráulica, calculando previamentecada una de las pérdidas de carga. La viscosidad cinemática del agua es 1,3x10-6 m2/s.

14. Dos estanques tienen una diferencia de nivel de 34,7 m. El primer tramo de la tubería que losune tiene 3” de diámetro y 100 m de longitud. Calcular que longitud debe tener el segundotramo, cuyo diámetro es de 2”, para que el gasto sea 8 l/s. La embocadura es acampanada( K = 0,04). La transición es gradual. La temperatura es de 20 °C. La tubería es de fierroforjado.

15. Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6” de diámetro enlos primeros 15 m y 8” de diámetro en los siguientes 20 m. La embocadura es con bordesligeramente redondeados y el cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre lassuperficies libres de ambos estanques es de 8 m. La viscosidad del agua es de 1,3x10-6 m2/s.Calcular el gasto y cada una de las pérdidas de carga. Dibujar la línea de gradiente hidráulica.

16. Dos estanques están conectados por una tubería cuyo diámetro es de 6” en los primeros 20pies y de 9” en los otros 50 pies. La embocadura es con bordes agudos. El cambio de secciónes brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 20pies. Calcular cada una de las pérdidas de carga y el gasto. Considerar f = 0,04 en ambastuberías.

17. Dos reservorios cuya diferencia de nivel es de 6 m están unidos por una tubería de aceroremachado nuevo, que tiene un primer tramo de 80 m de largo y 6” de diámetro. El segundotramo, unido al primero por una expansión gradual (10°) tiene 120 m de largo y 8” de diámetro.La embocadura es con bordes ligeramente redondeados. En el segundo tramo se ha colocadouna válvula, cuyo valor de K debe calcularse para que el gasto quede reducido al 90 %. Latemperatura del agua es de 15 °C.

189


18. Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 6” de diámetro en los primeros 25m y 8” en los 40 m restantes. La embocadura es perfectamente redondeada. El cambio desección es brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 20 m. Las tuberías sonde fierro fundido, nuevo. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto y cada una delas pérdidas de carga. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica.

19. Dos estanques están conectados por una tubería que tiene 8” de diámetro en los primeros 20m y 6” en los 30 m restantes. La embocadura es ligeramente redondeada. El cambio desección es brusco. La diferencia de nivel entre ambos estanques es de 15 m. La tubería es defierro fundido. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular el gasto. Dibujar la línea deenergía y la línea piezométrica.

20. De un estanque sale una tubería de 2 400 m de largo y 18” de diámetro. Descarga librementea la atmósfera 350 l/s. La carga es de 40 m. Calcular el coeficiente f de Darcy..

Si a la tubería se le adiciona una boquilla tronco cónica convergente, en la que suponemosque la pérdida de carga es despreciable, determinar cual debe ser el diámetro de la boquillapara que la potencia del chorro sea máxima. Calcular la potencia.

21. Calcular el gasto para el sifón mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es 0,20 m, surugosidad es de 1,5x10-4 m, la viscosidad es de 10-6 m2/s.

D

3,0 m

3,0 m4,0 m

7,0 m

D1,5

10°

8,0 m

190


22. En el sistema mostrado en la figura circulan 60 l/s. La bomba tiene una potencia de 10 HP. Laeficiencia de la bomba es 0,85. La presión manométrica inmediatamente antes de la bombaes de 0,06 kg/cm2. Determinar cual es la energía disponible inmediatamente después de labomba. El agua está a 20 °C. Dibujar la línea de energía y la línea piezométrica. Calcular lalongitud de cada uno de los tramos.

23. Calcular la potencia que debe tener la bomba, cuya eficiencia es del 80 %, para bombear 15

l/s. La succión se efectúa por medio de la válvula de pie mostrada en la figura ( K = 0,8). Hay

una válvula check ( K = 2) y una válvula de compuerta ( K = 0,17). El codo es de curvaturasuave. La tubería es de 4” de diámetro. Es de fierro galvanizado. La viscosidad del agua es10-6 m2/s.

B

22,0 m

10,0 m

D = 4"


= 4"D

50 m

250 m

90,0 m

B

11,5 m

10,0 m

1,5 m

191


24. Si no existiera la bomba circularían 150 l/s en el sistema mostrado en la figura. Calcular lapotencia teórica requerida en HP de la bomba para mantener el mismo gasto, pero endirección contraria.

25. Una tubería conduce 200 litros por minuto de aceite. La longitud es de 2 km y el diámetro de0,18 m. El peso específico relativo del aceite es 0,9 y su viscosidad 4x10-3 kg-s/m2. La viscosidadaumenta como consecuencia de una variación de la temperatura a 4x10-2 kg-s/m2 Si lapotencia se mantiene constante se pregunta cual es la variación en el caudal.

BD = 12"L = 300 m

= 600 mLD = 12"

12 m

193

Diseño de conducciones y redesCapítulo V

CAPITULO VDISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES

5.1 Tuberías en paralelo

Sea una tubería AD como la mostrada en la Figura 5.1. En el punto B esta tubería se ramifica.Se produce una bifurcación, dando lugar a los ramales BMC y BNC, los que concurren en elpunto C. La tubería continúa a lo largo de CD.

Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo

Se dice que las tuberías BMC y BNC están en paralelo. Ambas tienen en su origen (B) lamisma energía. Lo mismo ocurre con su extremo (C) en el que ambas tienen la mismaenergía. Se cumple entonces el siguiente principio

Energía disponible para BMC = Energía disponible para BNC

La diferencia de energía entre B y C es la energía disponible. La energía disponible determina,de acuerdo a la naturaleza del contorno y del fluido, las características del escurrimiento. La

A B C D

M

N

194


energía disponible se transforma en energía de velocidad, de presión y elevación. En unconducto horizontal muy largo con velocidad relativamente pequeña se puede considerar quela energía disponible da lugar íntegramente a la pérdida de carga continua. Nótese que laramificación puede ser en la forma de dos o más tuberías, cada una de las cuales tiene supropio diámetro, longitud y rugosidad.

A modo de ilustración se ha efectuado el trazo de la línea de gradiente hidráulica (L. P.) parael sistema mostrado en la Figura 5.2

Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo

Como las tuberías en paralelo se caracterizan por tener la misma energía disponible se produciráen cada una de ellas la misma pérdida de carga.

Sea una representación esquemática de varias tuberías en paralelo

Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo

Se cumplirá que

BCffffff hhhhhh =====54321 (5-1)

A B C D

1

2

3

4

5

h f

A B C D

B - C

L. P.

195


fh representa la pérdida de carga en cada uno de los tramos.

La suma de los gastos parciales de cada una de las tuberías es igual al gasto total Q de latubería AB (y de la tubería CD).

54321 QQQQQQ ++++= (5-2)

La ecuación de continuidad debe verificarse para el nudo B y para el nudo C.

Para el cálculo de tuberías en paralelo se presentan básicamente dos casos. En ambossuponemos conocidas las características de las tuberías, diámetro, longitud y rugosidad, asícomo las propiedades del fluido.

1. Se conoce la energía disponible fh entre B y C y se trata de calcular el gasto en cadaramal.

2. Se conoce el gasto total Q y se trata de determinar su distribución y la pérdida decarga.

El primero corresponde al caso general de cálculo de tuberías. Se puede proceder, por ejemplo,con la ecuación de Darcy o con cualquier otra, al cálculo del gasto en cada ramal. Serecomienda el siguiente procedimiento.

Combinando las ecuaciones de Darcy y continuidad ( VAQ = ) se obtiene

250827,0 Q

DLf

h f

= (5-3)

expresión en la que,

fh : pérdida de carga en el tramo considerado

f : coeficiente de Darcy

L : longitud del tramo considerado

D : diámetro de la tubería

Q : gasto

de la que obtenemos inmediatamente

215

477,3

fhLf

DQ = (5-4)

Para una tubería dada los valores del diámetro y la longitud son constantes. En muchoscasos se puede considerar que f también es constante, por lo menos para un determinado

196


rango de velocidades. Luego,

21

fhKQ = (5-5)

A esta ecuación la denominaremos “ecuación de descarga de la tubería”. En ella

Lf

DK

5

477,3= (5-6)

si usamos la ecuación de Darcy.

Aplicando la ecuación de descarga 5-5 a cada ramal se obtiene el gasto respectivo.

La ecuación 5-5 es un caso particular de una ecuación general que toma la forma

xfKhQ = (5-7)

en donde los valores de K y de x dependen de la ecuación utilizada. Podrían fácilmente

obtenerse los valores de K y de x para la ecuación de Chezy, ya estudiada. Posteriormente

se obtendrán, por ejemplo, para la ecuación de Hazen y Williams.

Para el segundo caso se empieza por aplicar la ecuación de descarga a ambos ramales y se

obtiene así la relación entre 1Q y 2Q . Combinando con la ecuación de continuidad se obtieneun sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se halla así los gastos parciales.

Otro método consiste en plantear las ecuaciones de descarga para cada ramal y luego sumarlas

∑ = QhK xfi (5-8)

Esta ecuación permite la resolución inmediata del sistema, pues fh o Q es un dato.

Hay un sistema de conducción que secaracteriza porque se produce unaramificación, pero los ramales noconcurren en un punto. Este sistemapuede tener un caso particular: que enlas bocas de descarga de los ramales laenergía sea la misma. Este sistema seconsidera como un sistema de tubería enparalelo.

Figura 5.4 Tubería ramificada

A B

E 1

2E

3E

1 2 3E = E = E

197


Ejemplo 5.1 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos

1L = 1 000 m 2L = 750 m

1D = 16’’’ 2D = 12’’’

1f = 0,018 2f = 0,018

El gasto total es de 100 l/s. Calcular el gasto en cada una de las tuberías.

Solución. Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en ambas. Aplicamos laecuación 5-3

225

2

22215

1

11 0827008270 QD

Lf,Q

D

Lf,

=

de donde,

16,31216

1000750 55

2

1

1

222

21 =

=

=

D

D

L

L

Q

Q

Se llega así a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

21 78,1 QQ = 1,021 =+ QQ

Obteniéndose finalmente

2Q = 36 l/s 1Q = 64 l/s

El método alternativo de solución consiste en aplicar a cada ramal la ecuación de descarga 5-4

215

477,3 f hLf

DQ

=

obteniéndose

21

0863,01 f hQ = 21

0485,02 f hQ =

sumando

21

1348,0 f hQ =

que es la ecuación de descarga del sistema. Para Q = 0,1 m3/s se obtiene fh = 0,55 m. Al reemplazar este

valor en cada una de las dos ecuaciones se obtiene el gasto en cada ramal. El método es extensible acualquier número de ramales.

198


Ejemplo 5.2 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos

1L = 100 m 2L = 156 m

1D = 14’’’ 2D = 12’’’

1f = 0,018 2C = 80 m1/2/s

Si con la energía disponible el gasto total es de 1 m3/s, calcular el gasto en cada ramal, teniendo en

cuenta que en el ramal 1 hay una válvula ( K = 2,5).

Solución. En primer lugar aplicamos la ecuación 3-2

22

8C

gf = = 0,0122

Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en cada ramal

g

V

D

Lf

g

V

g

V

D

Lf

225,2

2

22

2

22

21

21

1

11 =+

Reemplazando valores y operando se obtiene

12 1,1 VV =

Por continuidad,

144 2

22

1

21 =+ V

DV

D ππ

Se obtiene así

1V = 5,57 m/s 2V = 6,13 m/s

1Q = 553 l/s 2Q = 447 l/s

A modo de verificación se calcula la pérdida de carga en cada tramo obteniéndose fh = 11,97 m, que es

la energía disponible.

En este problema también se pueden aplicar los métodos alternativos de solución descritosanteriormente.

199


5.2 El problema de los tres reservorios

En la Figura 5.5 se muestran tres estanques (reservorios) ubicados a diferentes niveles y queestán comunicados entre sí por un sistema de tuberías que concurren en un punto P.

Figura 5.5 Tres reservorios

Los valores de z corresponden a las cotas piezométricas. En los estanques corresponden a

la elevación de la superficie libre. Para el nudo P, Pz representa la suma de la elevación

topográfica del punto P más la altura correspondiente a la presión.

Usualmente los datos son: diámetros, longitudes y rugosidades de cada ramal y cotaspiezométricas (elevaciones de la superficie libre) de cada estanque. Se busca el gasto encada ramal y la cota piezométrica del punto P. Para determinados problemas puedenpresentarse combinaciones entre los datos e incógnitas mencionados.

El sentido del escurrimiento en cada tubería dependerá de la diferencia entre la cotapiezométrica del nudo P y la del estanque respectivo.

Evidentemente que la cota piezométrica del punto P no puede ser superior a la de los tresreservorios, pues en este caso el punto P debería comportarse como un punto alimentadordel sistema. Tampoco puede ser que el punto P tenga una cota inferior a la de los tresestanques, pues entonces todo el caudal concurriría allí lo que implicaría que P fuese unpunto de desagüe. La cota del punto P determinará el sentido del escurrimiento en cadaramal. La discusión anterior excluye el caso de un sifón.

Así por ejemplo, si la cota de P está por encima de los estanques 1 y 2, pero debajo delestanque 3, los sentidos del escurrimiento serán los mostrados en la Figura 5.6.

1z

z PP

z 2

z 3

1

2

3

12

3

200


Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular)

En este caso particular la ecuación de continuidad es

321 QQQ =+

Esto significa que el estanque 3 es alimentador. Podrían hacerse dibujos análogos para otrascombinaciones de cotas piezométricas. Debe verificarse siempre la ecuación de continuidaden el nudo: la suma de los gastos en el nudo, con su propio signo, es cero.

Para resolver el problema de los tres reservorios, conociendo los diámetros, longitudes yrugosidades de cada tubería, así como las cotas piezométricas de cada estanque, se sugiereel método siguiente

1. Suponer un valor para la cota piezométrica del punto P.

2. Calcular, por simple diferencia, las energías disponibles en cada tramo. Corresponden a

las pérdidas de carga 1fh , 2fh y 3fh .

Determinar luego el sentido del flujo en cada ramal y plantear tentativamente la ecuaciónde continuidad.

3. Calcular el gasto en cada tubería por medio de la ecuación 5-4

215

477,3 fhLf

DQ

=

1z

z P

z2

3z

Q1

3Q

Q2

P

z P z 1

z P z 2

z P z 3

201


Esta ecuación toma para cada tubería la forma

21

fhKQ =

Si en lugar de la ecuación de Darcy se quiere usar otra ecuación, como, por ejemplo, lade Hazen y Williams que estudiaremos más adelante, entonces la ecuación genérica esde la forma

xfKhQ =

determinándose los valores de K y de x para la ecuación particular que se está

empleando.

Calculado el valor de K es fácil hacer sucesivos reemplazos y tanteos.

4. Verificar la ecuación de continuidad en el nudo.

5. Si la ecuación no quedara verificada, lo que es lo más probable, hay que hacer nuevostanteos, reiniciando el cálculo a partir del punto 1.

6. A fin de no aumentar el número de tanteos conviene auxiliarse con un gráfico. Así porejemplo, para la última figura se tiene que la ecuación de continuidad debe ser

321 QQQ =+

Como en un tanteo cualquiera lo más probable es que esta ecuación no se verifique, setiene que hay un error, que es

( )213 QQQ +−

El gráfico sería

- +0

z P

Q - ( Q + Q )3 1 2

202


Cada punto de la curva corresponde a un tanteo. Los puntos se unen con una curvasuave. La intersección con el eje vertical significa que

( )213 QQQ +− = 0

con lo que queda verificada la ecuación de continuidad y se obtiene los gastos en cadaramal.

Para hacer este gráfico es necesario definir previamente el sentido del escurrimiento encada ramal y escribir la ecuación de continuidad en su forma correspondiente.

Se puede obtener una rápida información sobre el sentido del flujo en el ramal 2 asumiendo en

P una cota piezométrica igual a la del estanque 2. Esto implica 2Q = 0. Comparando 1Q y

3Q se deduce el sentido del escurrimiento en cada tubería.

Una variante de este problema es el de los cuatro reservorios.

Figura 5.7 Cuatro reservorios

El método general se basa en aproximaciones sucesivas. Debe tenerse cuidado de hacer unasola suposición cada vez. Se puede, por ejemplo, iniciar el cálculo suponiendo una cotapiezométrica en el nudo P1. Esto determina el flujo en los ramales 1 y 2. Habrá luego quecalcular la cota piezométrica en P2. Evidentemente que el flujo entre P1 y P2 es igual a

21 QQ + . La pérdida de carga se calcula por ejemplo con la ecuación 5-3

250827,0 Q

DLf

h f

=

u otra similar si no se estuviera empleando la ecuación de Darcy.

1

P1

1

2

3

4

2

3 4

P2

203


La forma genérica de esta ecuación es

xf KQh =

en donde los valores de K y x dependen de la ecuación particular empleada (Chezy, Darcy,,

Hazen y Williams, etc.). Para el cálculo de K se ha supuesto que el coeficiente de resistencia

(C , f , HC , etc.) es constante. Conviene limitar esta constancia del coeficiente a un rango

de valores de la velocidad.

Habiendo calculado la cota piezométrica de P2 se calcula los gastos 3Q y 4Q y se verifica

luego la ecuación de continuidad. Si ésta no quede satisfecha deberá repetirse el procedimientoy recurrir a un método gráfico.

Ejemplo 5.3 Sea un sistema de tres reservorios. Los datos son

1z = 120 m 2z = 100 m 3z = 80 m

1L =1 000 m 2L = 2 000 m 3L = 1 200 m

1D = 8’’’ 2D = 10’’’ 3D = 6’’’

1f = 0,02 2f = 0,018 3f = 0,015

Calcular el gasto en cada uno de los ramales.

Solución. A partir de la ecuación

215

477,3 f hLf

DQ

=

determinamos la ecuación de descarga de cada ramal

21

11 0145,0 f hQ = 21

22 0188,0 f hQ = 21

33 0074,0 f hQ =

Iniciamos el cálculo suponiendo para el nudo P la cota 110 m

pz = 110 m

1fh = 10 m; 1Q = 45,9 l/s

2fh = 10 m; 2Q = 59,5 l/s ( )321 QQQ +− = - 54,1 l/s

3fh = 30 m; 3Q = 40,5 l/s

204


Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada se hace un nuevo tanteo

pz = 105 m

1fh = 15 m; 1Q = 56,2 l/s

2fh = 5 m; 2Q = 42 l/s ( )321 QQQ +− = - 22,8 l/s

3fh = 25 m; 3Q = 37 l/s

Haremos algunos tanteos adicionales

pz = 101 m

1fh = 19 m; 1Q = 63,2 l/s

2fh = 1 m; 2Q = 18,8 l/s ( )321 QQQ +− = 10,5 l/s

3fh = 21 m; 3Q = 33,9 l/s

pz = 100,5 m

1fh = 19,5 m; 1Q = 64 l/s

2fh = 0,5 m; 2Q = 13,3 l/s ( )321 QQQ +− = 16,4 l/s

3fh = 21,5 m; 3Q = 34,3 l/s

pz = 100 m

1fh = 20 m; 1Q = 64,8 l/s

2fh = 0 ; 2Q = 0 ( )321 QQQ +− = 31,7 l/s

3fh = 20 m; 3Q = 33,1 l/s

Llevando estos valores a un gráfico se obtiene el resultado

1Q = 62 l/s 2Q = 27 l/s 3Q = 35 l/s

y la cota piezométrica del punto P es 102 m.

205


5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos

En la Figura 5.8 se muestra un reservorio alimentador 1, una tubería de succión 1, una bombaB, una tubería de impulsión 2, que se bifurca en las tuberías 3 y 4 para alimentar dos estanques.

Considerando que se conoce los diámetros, longitudes y coeficientes de rugosidad de cadatubería, así como las elevaciones de los estanques y la potencia de la bomba, se trata decalcular el gasto en cada ramal. Se sugiere el siguiente método

1. Suponer un valor para el gasto Q impulsado por la bomba ( QQQ == 21 ).

2. Calcular la pérdida de carga 1f

h en la tubería 1.

3. Calcular la cota piezométrica Ez a la entrada de la bomba.

4. Calcular la energía H teórica suministrada por la bomba, a partir de la ecuación 4-2,

QPotH

γ76=

H es la energía en metros, Pot es la potencia en HP, , γ es el peso específico del

fluido en kg/m3 y Q es el gasto en m3/s.

0 +10 +20 +30 +40 +50 +60100101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

-10-20-30-40-50-60

-22,8

+10,5+16,4

+31,7

-54,1

z P

Q - ( Q + Q )1 2 3

206


Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos

5. Calcular la cota piezométrica Sz a la salida de la bomba.

Hzz ES +=

6. Calcular la pérdida de carga 2f

h en el tramo 2.

7. Calcular la cota piezométrica del nudo P

2fSP hzz −=

8. Calcular la energía disponible 3fh para el tramo 3

33zzh Pf −=

9. Calcular el gasto en la tubería 3 aplicando una ecuación de la forma

xfKhQ =

10. Aplicar los pasos 8 y 9 a la tubería 4.

11. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo

z3

4

z4

zp

3

21

B

z1P

1

3

4

207


432 QQQ +=

Caso contrario reiniciar el cálculo suponiendo otro valor para el gasto impulsado por labomba.

Para no aumentar el número de tanteos se recurre a un método gráfico similar al descrito enel apartado anterior.

Ejemplo 5.4 En el sistema mostrado en la figura hay una bomba que suministra a la corriente una

potencia de 40 HP. Calcular el gasto en cada tubería. Considerar f = 0,02 en todas las tuberías. (Para

los efectos del problema considerar para la bomba una eficiencia del 100 %).

Solución. La pérdida de carga en las tuberías 1 y 2 viene dada por la ecuación 5-3

250827,0 Q

D

Lfh

f =

La ecuación de descarga en las tuberías 3 y 4 viene dada por la ecuación 5-4

215

477,3

f

hLf

DQ =

Reemplazando los datos de cada tramo se obtiene

211

67,14 Qh f = 21

33 0188,0 fhQ =

222

63,107 Qh f = 21

44 0326,0 fhQ =

43

2

1 B

P

100 m20"

300 m

18"

1 300 m

10"1 800 m

12" 1 500 m

125 m

120 m

208


Iniciemos el cálculo suponiendo un gasto Q = 100 l/s (en la bomba).

La pérdida de carga en el tramo 1 es

211

67,14 Qh f = = 0,15 m

La cota piezométrica a la entrada de la bomba es 99,85 m.

La energía teórica suministrada por la bomba es

100001407676

,QãPot

H

××== = 30,4 m

La cota piezométrica a la salida de la bomba es 130,25 m.

La pérdida de carga en el tramo 2 es

222

63,107 Qh f = = 1,08 m

La cota piezométrica en el nudo resulta ser 129,17 m.

La energía disponible (que suponemos se consume íntegramente en fricción) en el tramo 3 es

3fh = 129,17 - 125 = 4,17 m

y el gasto resultante es

21

33 0188,0 fhQ = = 38,4 l/s

La energía disponible para el tramo 4 es 9,17 m y el gasto resultante es

21

44 0326,0 fhQ = = 98,7 l/s

Para que se verifique la ecuación de continuidad se requeriría que

432 QQQ +=

o bien,

( ) 0432 =+− QQQ

sin embargo encontramos que para el gasto supuesto

( )432 QQQ +− = -37,1 l/s

Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada debemos proseguir con los tanteos.

209


Hacemos un nuevo cálculo con Q = 110 l/s y obtenemos

( )432 QQQ +− = 8,9 l/s

Hacemos un nuevo tanteo con Q = 108 l/s y obtenemos

( )432 QQQ +− = -1,2 l/s

con Q = 108,7 l/s se obtiene,

( )432 QQQ +− = 2,1 l/s

Llevando estos valores a un gráfico se obtiene finalmente Q = 108,3 l/s. Redondeando los valores (l/s) se

obtiene

Q = 108 l/s 3Q = 24 l/s 4Q = 84 l/s

0 +10 +20

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

-10-20-30-40

Q

Q - ( Q + Q )2 3 4

210


5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente

Sea un estanque alimentador del que sale una tubería de longitud 1L , diámetro 1D y coeficiente

de resistencia 1f . Esta tubería se bifurca en los ramales 2 y 3. Se conoce la elevación del

estanque y las cotas de descarga. Se trata de calcular el gasto en cada ramal.

Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente

El método de cálculo sugerido es el siguiente

1. Suponer una cota piezométrica en el punto P.

2. Calcular las energías disponibles para cada ramal

3. Calcular el gasto en cada tubería. Se puede usar la ecuación de Darcy (5-4).

215

477,3 fhLf

DQ

=

o bien otra ecuación de la forma

xfKhQ =

4. Verificar si se cumple la ecuación de continuidad en el nudo

321 QQQ +=

5. Caso contrario repetir el procedimiento y/o recurrir a un gráfico auxiliar hasta encontrar elvalor de la cota piezométrica del punto P necesaria para satisfacer la ecuación decontinuidad.

1z

z PP

1 1 2

3z 3

z 2

211


5.5 Conducto que da servicio (filtrante)

Se dice que un conducto es filtrante cuando a lo largo de su recorrido pierde parte del gastoque transporta. Es el caso de una tubería que da servicio y que cada cierta distancia tiene unatoma (salida de agua). Podría ser una tubería de agua potable que a lo largo de una calle daservicio a cada casa.

Figura 5.10 Conducto que da servicio

Resulta evidente que en estas condiciones el gasto de la tubería va disminuyendo, lo mismoque la velocidad, puesto que el diámetro permanece constante.

Si admitimos la validez de la fórmula de Darcy y la constancia del coeficiente f se tendríaque, en general, dicha fórmula nos indica que la pérdida de carga es proporcional al cuadradodel gasto y a la longitud.

gV

DL

fh f 2

2

=

de donde,

LKQh f2=

expresiones en las que

fh : es la pérdida de carga

f : es el coeficiente de Darcy

L : es la longitud de la tubería

D : es el diámetro

V : es la velocidad media

Q : es el gasto

K : es igual a 0,0827 5Df

(ec. 5-3)

Q0

212


En el conducto de la Figura 5.10 el gasto inicial es 0Q . Consideremos que el gasto que sale

a lo largo del conducto es q m3/s por metro lineal de tubería. Supondremos que este gasto q

es constante. El gasto en cualquier sección es

qLQQ −= 0 (5-9)

siendo L la distancia desde el punto inicial.

La pérdida de carga en un tramo muy pequeño es

dLKQdh f2=

y por lo tanto

dLKQhL

f ∫=

0

2

Introduciendo la ecuación (5-9)

( ) dLqLQKhL

f

2

0 0∫ −=

−+= LqQ

LqQKLh f 0

2220 3

( ) ( )

−−−+= QQQ

QQQKLh f 00

202

0 3

( )20

203

QQQQKL

h f ++= (5-10)

que es la ecuación que nos da la pérdida de carga para un tramo de longitud L en cuyoextremo el gasto es Q . Para el caso particular que el gasto final Q sea cero

203

QKL

h f = (5-11)

Significa esta ecuación que en este caso la pérdida de carga sería la tercera parte de la queocurriría si el gasto fuera constante.

213


Ejemplo 5.5 De un estanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 300 m de longitud. Esta tubería sebifurca en ramales de 6’’ de diámetro y 150 m de largo cada uno. Los extremos descargan libremente ala atmósfera. Uno de los ramales es un conducto filtrante que tiene bocas de descarga distribuidasuniformemente a lo largo de la tubería de modo que la suma de las descargas de todas ellas es igual ala mitad del gasto inicial en ese ramal (la otra mitad descarga por la boca final).

Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel (15 m debajo de la superficie libre del estanque).Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidas de carga locales. Considerar f = 0,024,constante e igual para todas las tuberías.

Solución.

En un conducto filtrante la pérdida de carga es según la ec. 5-10

( )20

203

QQQQKL

h f ++=

En este caso particular Q = 2

0Q. Luego,

205

20 0827,0

127

47

3Q

D

LfQ

KLh

f ==

Sustituyendo los datos f , L y D para el conducto filtrante se obtiene

200

52,1122 Q h f =

La pérdida de carga entre el estanque y el nudo es

Debe cumplirse que

(1)

1

0

0

300 m8"

6"; 150 m

6"; 150 m

15 m

P

225 78,71810827,0 Q Q

DfLh f == 8 8

m1552,112278,7181 20

2 Q Q =+8

214


La pérdida de carga en el otro ramal es

21

2151

46,62130827,0 Q QD

Lfh

f ==

Debe cumplirse que(2)

Luego2

120 46,621352,1122 Q Q =

10 31,1 Q Q =

Este problema particular se hubiera podido resolver más rápidamente, puesto que de antemano sehubiera podido establecer la ecuación

10 712

QQ =

Continuando,

Reemplazando en (2)

1 718,78(2,31)2 21Q + 3 621,46 2

1Q = 15

De donde,

1Q = 34,2 l/s = 79 l/s 0Q = 44,8 l/s

La pérdida de carga fh en el ramal principal es 10,73 m. En cada uno de los dos ramales la pérdida decarga es 4,24 m, lo que hace un total de 14,97 m, que es prácticamente igual a la energía disponible.

Hay otra forma de calcular un conducto filtrante y es a partir de la variación de velocidades.Examinemos el caso particular en el que la velocidad final sea cero.

Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante

V0

xV

x

L

11110 31,231,1 QQQQQQ =+=+=8

m1546,621378,7181 21

2 Q Q =+8

8Q

215


En la Figura 5.11 se ha hecho una representación gráfica de la disminución de velocidad para

un tramo de longitud L y velocidad inicial 0V . Se denomina xV a la velocidad a la distancia

x del punto inicial. Se cumple que

LxL

VVx

−= 0

La expresión para la pérdida de carga se obtiene aplicando la ecuación de Darcy a la longitud

dx y luego integrando

gV

Ddx

fdh xf 2

2

=

( )dx

LxL

gV

Df

hL

f ∫−=

0 2

220

2

+−= 2

3220

32 Lx

Lx

xg

VDf

h f

para Lx = se obtiene

gV

DL

fh f 231 2

0= (5-12)

Significa esta ecuación que en un conducto que da servicio y cuyo gasto final es cero secumple que la pérdida de carga es la tercera parte de la que ocurriría si el gasto fuera constante.

Para el caso en que la velocidad final sea la mitad de la inicial se obtendría.

gV

DL

fh f 2127 2

0= (5-13)

5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo

Con el uso y el paso de los años aumenta la rugosidad de los conductos y disminuye el gastoque pueden conducir. Este problema está íntimamente vinculado al de la calidad del agua ypara su conocimiento se requieren observaciones de muchos años.

216


Básicamente el fenómeno de envejecimiento de las tuberías tiene dos aspectos: aumento dela rugosidad y disminución de la sección útil. La consecuencia es la disminución de lacapacidad. La variación de la rugosidad con el tiempo se expresa así

tkk t 10 α+= (5-14)

siendo

tk : rugosidad después de transcurrido el tiempo t

0k : rugosidad inicial (al ponerse en servicio la tubería)

1α : velocidad de aumento de la rugosidad

Esta expresión debida a Colebrook y White supone que la rugosidad se incrementa linealmentecon el tiempo.

Lamont ha propuesto la Tabla 5.1 para describir la intensidad de aumento de rugosidad

TABLA 5.1

INTENSIDAD DE AUMENTO DE LA RUGOSIDAD

Cuando se diseña una conducción no debe tenerse en cuenta exclusivamente la rugosidadinicial, sino la que se espera se presente, según la calidad de agua y otros factores, dentro deun cierto número de años. De no hacerse esta previsión nos encontraríamos en el futuro frentea una disminución de la capacidad de la tubería.

La corrosión es una acción química. Por lo tanto depende de la calidad del agua y de lacalidad o naturaleza de la tubería.

Las tuberías de fierro fundido, que son sensibles a la corrosión, suelen recubrirse interiormentecon una sustancia bituminosa protectora a fin de disminuir la corrosión y mantener la capacidadde diseño de la conducción.

I N T E N S I D A D 1α , m m / a ñ o

P e q u e ñ a

M o d e r a d a

A p r e c i a b l e

S e v e r a

0 , 0 1 2

0 , 0 3 8

0 , 1 2

0 , 3 8

217


Ejemplo 5.6. Una ciudad se abastece de agua por medio de una tubería de 20’’ de diámetro. Despuésde 1 año de la puesta en servicio se requiere de 40 HP por kilómetro de conducción, para bombear 400 l/s.Después de 4 años de servicio la potencia requerida para transportar el mismo caudal aumentó en 10 %¿Cuál será la potencia necesaria después de 8 años, sabiendo que entonces el caudal requerido será de600 l/s? (ν = 1,1x10-6 m2/s, eficiencia 100 %).

Solución. Después de 1 año de servicio la pérdida de carga es

6,74,00001

7640 =×

×==

f QPot

hγ

m

250827,0 Q

D

Lfh

f = oo

o f = 0,0194 m

5109Re ×==ν

VD

En el ábaco de Moody se obtiene D

k1 = 0,0009. Luego,

1k = 0,00046 m

Un aumento del 10 % en la potencia supone un aumento del 10 % en el valor de f . Luego f = 0,0213

y para el mismo número de Reynolds la rugosidad relativa es

D

k 4 = 0,0014 oo

o 4k = 0,00071 m

Sabemos que según la ecuación 5-14

104 4α+= kk

0,00071 = 10 4α+k 0k = 0,00038 m

Por consiguiente oo

o

0,00046 = 10 α+k 1α = 0,000083 m/año

Después de 8 años de servicio

108 8α+= kk oo

o 8k = 0,001044 m

002055,08 =D

k

Re = 1,37 x 106

oo

o f = 0,0236

218


250827,0 Q

D

Lfh

f = = 20,77 m

7677,206,00001

76××

== QH

Potγ

= 164 HP

que es la potencia teórica requerida.

5.7 Fórmula de Hazen y Williams

La fórmula de Hazen y Williams tiene origen empírico. Se usa ampliamente en los cálculos detuberías para abastecimiento de agua. Su uso está limitado al agua en flujo turbulento, paratuberías de diámetro mayor de 2’’ y velocidades que no excedan de 3 m/s.

La ecuación de Hazen y Williams usualmente se expresa así

54,063,2000426,0 SDCQ H = (5-15)

expresión en la que

Q : gasto en litros por segundo

HC : coeficiente de Hazen y Williams

D : diámetro en pulgadas

S : pendiente de la línea de energía en metros por km

Para una tubería dada, la longitud, el diámetro y el coeficiente de resistencia son constantes,luego

54,0fhKQ = (5-16)

siendo

54,063,2000426,0

−= LDCK H (5-17)

La expresión 5-16 es similar a la ecuación 5-5.

Los valores de la constante HC de Hazen y Williams han sido determinadosexperimentalmente. Son función de la naturaleza de las paredes. (Obsérvese que este

coeficiente HC es diferente del de Chezy). Los valores usuales son los de la Tabla 5.2

219


TABLA 5.2

COEFICIENTES DE HAZEN Y WILLIAMS

Hagamos una breve discusión de la fórmula.

- Si el Diámetro D y la pendiente de la línea de energía S se mantienen constantes setiene que

2

1

2

1

H

H

C

C

QQ = (5-18)

Significa esto que si el coeficiente HC varía, el gasto variará en la misma proporción.Podría también aplicarse este concepto a dos tuberías, que tengan el mismo diámetro yel mismo valor de S . Sus gastos estarán en la misma proporción que sus respectivoscoeficientes de Hazen y Williams.

- Si el diámetro y el gasto permanecen constantes, entonces

54,022

54,011

SCSC HH =

85,1

2

1

1

2

=

H

H

C

C

S

S (5-19)

Así por ejemplo si dos tuberías tienen el mismo diámetro y el mismo gasto, pero la primera

tiene HC igual a 100 y la segunda igual a 120, entonces

NATURALEZA DE LAS PAREDES HC

Extremadamente lisas y rectas

Lisas

Madera lisa, cemento pulido

Acero ribeteado

Fierro fundido viejo

Fierro viejo en mal estado

Fuertemente corroído

140

130

120

110

95

60-80

40-50

220


85,1

1

2

120100

=

SS

= 0,714

Conviene obtener la expresión de la pérdida de carga a partir de la ecuación de Hazen yWilliams.

63,254,0

000426,0 DCQ

SH

=

866,485,17

85,1

10813,5 DCQ

SH

−×=

866,485,17

85,1

10813,5 DCLQ

hH

f −×=

Para una tubería particular se cumple que

85,1KQh f = (5-20)

Así por ejemplo, si D = 10’’, HC = 120 y L = 1,25 km se obtiene

85,185,147 00417,0

10345,74,022710813,525,1 QQh f =

××××= −

85,100417,0 Qh f =

Que es la ecuación de descarga para la tubería.

221


Ejemplo 5.7 Determinar el gasto que fluye en cada uno de los ramales del sistema de abastecimientode agua mostrado en la figura y hallar la presión en el punto P.

La elevación del punto P es 10 m.

Inicialmente la válvula está completamente abierta.

1L = 5,2 km 1D = 16’’’1HC = 100 (acero usado)

2L = 1,25 km 2D = 10’’’2HC = 120 (cemento pulido)

3L = 1,5 km 3D = 10’’’3HC = 120 (cemento pulido)

Si se aumenta la presión en el punto P hasta 20 m de columna de agua (cerrando la válvula ubicada enel ramal 2), determinar el nuevo valor de gasto en cada tubería y la pérdida de carga en la válvula.

Solución. La ecuación de Hazen y Williams es

54,063,2000426,0 SDCQ H =

de donde,

54,0

54,063,2000426,0L

hDCQ fH

=

54,0fKhQ =

siendo K característico de cada tubería e igual a

54,0

63,2000426,0L

DCK H

=

Se puede calcular la ecuación respectiva para cada ramal hallando los correspondientes valores de K

54,0

11 68,25 f hQ = 54,0

22 33,19 f hQ = 54,0

33 52,17 f hQ =

50 m

P

1

1 2

3

20 m

10 m

10 m

válvula

222


Empecemos por la segunda parte del problema. Si la presión en el nudo P es 20 m, entonces

1fh = 20 m

2fh = 10 m 3f

h = 20 m

que son las energías disponibles en cada tramo.

Reemplazando se obtiene el gasto en los ramales 1 y 3. La ecuación de descarga no es aplicable altramo 2 por tener una válvula.

1Q = 129,5 l/s 3Q = 88,3 l/s

2Q será simplemente la diferencia, 2Q = 41,2 l/s

Para el tramo 2 la energía necesaria para vencer las fuerzas de fricción es

85,122

004173,0 Qh f =

2fh = 4,06 m

Como la energía disponible es de 10 m resulta que la pérdida de la carga en la válvula es 5,94 m.

Para la primera parte del problema el método más simple consiste en tantear valores para la presión enP, calculando luego las energías disponibles en cada tramo y los gastos. Cuando la ecuación decontinuidad quede satisfecha se ha encontrado la respuesta.

Con una presión de 17,5 m en P prácticamente queda satisfecha la ecuación de continuidad. Si secontinúan los cálculos se obtiene

Pp = 17,3 m

1Q = 139 l/s 2Q = 57 l/s 3Q = 82 l/s

1fh = 25 m 1Q= 146,04

2fh = 5 m 2Q = 46,1 Pp = 15 m

3fh = 15 m 3Q= 75,6 ( ) 24,3=+− 321 QQQ

1fh = 22,5 m 1Q= 138

2fh = 7,5 m 2Q = 57,4 Pp = 17,5 m

3fh = 17,5 m 3Q= 82,2 ( ) 1,6−=+− 321 QQQ

223


5.8 Diseño de una conducción

Esencialmente el problema de un diseño de tuberías consiste en encontrar el diámetro másadecuado para transportar un gasto dado. La selección del diámetro implica un estudio de

a) Velocidadesb) Presionesc) Costo

Las velocidades excesivas deben evitarse. No sólo pueden destruir la tubería por erosión, sinotambién hay la posibilidad del golpe de ariete.

Las presiones pueden ser negativas o positivas. Las presiones negativas ya fueron estudiadasanteriormente al examinar el comportamiento de un sifón (apartado 4.8). Deben evitarse, puesdan lugar a discontinuidad en el escurrimiento y a cavitación.

Tampoco se puede aceptar cualquier presión positiva. Las tuberías, según el material de queestán hechas, soportan determinadas presiones. La máxima presión admisible forma partede la descripción técnica de una tubería.

El costo es muy importante. Las condiciones a y b pueden satisfacerse con más de undiámetro. Debe escogerse el más económico. Este concepto será analizado más adelante.Por cierto que en el diseño de una conducción debe tenerse en cuenta los diámetroscomerciales disponibles. Hay otros factores que intervienen como la calidad de agua y otros,que escapan a los alcances de este curso.

Examinemos el caso genérico de laFigura 5.12. La tubería AB une losdos estanques. Se t rata dedeterminar el diámetro que debe tener,conociendo la carga disponible H yel gasto Q .

El dibujo muestra el perfil de latubería de acuerdo al terreno sobreel que debe apoyarse.

Se ha trazado aproximadamente lalínea de gradiente hidráulica (sobrela hipótesis de diámetro uniformeentre A y B) y, como se observa enel dibujo, se anticipa la presencia depresión negativa en N y quizá unapresión muy fuerte en M (positiva).

Figura 5.12 Diseño de una conducción

A

B

L. P.

M N H

224


La inclinación de la línea de gradiente sería

LH

S =

Siendo H la diferencia de nivel entre los estanques y L la longitud total de la conducción,

supuesta de diámetro uniforme.

Se puede fácilmente verificar la intensidad de las presiones en M y N. Si fueran muy grandeshabría que utilizar un diámetro diferente para cada tramo y constituir un sistema de tuberíasen serie, como se muestra en la Figura 5.13

Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción

Se observa que la línea de gradiente (L. P.) aparece quebrada. La conducción está formadapor varios tramos de diferentes diámetros. Como una ilustración de lo anteriormente expuestopodemos examinar el ejemplo 4.14. Se evita así las presiones positivas muy grandes y laspresiones negativas excesivas.

Al desarrollar dicho ejemplo no se mencionó por qué hay dos diámetros diferentes (8’’ y 6’’).La razón es simple. Si el primer tramo tuviera un diámetro de 6’’, la pérdida de carga seríamuy grande y se produciría una fuerte presión negativa al ingreso de la bomba. Para evitaresto se introdujo un tramo con un diámetro mayor (8’’) con lo que disminuyó la velocidad y porconsiguiente la pérdida de carga.

Siempre debe tenerse presente que en el diseño de una conducción uno de los primerosproblemas que debe analizarse es el número de tuberías a usarse (en paralelo). Acá intervienenrazones de seguridad, costo y disponibilidad en el mercado.

A

B

L. P.

MN

H

225


Ejemplo 5.8 Proyectar la línea de conducción entre los estanques A y B siguiendo el perfil del terrenomostrado en la figura. El caudal debe ser de 500 l/s. Se dispone de tuberías de 14’’, 16’’, 18’’ y 20’’ dediámetro, para presiones de un máximo de 75 lb/pulg2, HC = 100.

Solución. Si usáramos un diámetro constante entre A y B se tendría que

74265

,S = = 56,4 m/km

La pérdida de carga entre A y N sería

197,43,556,4 =×=ANfh m

La cota piezométrica en N es

Nz = 1 027,6 m

La presión en N es

Np = - 22,4 m

Es una presión negativa inadmisible. Pensemos entonces en descomponer la tubería en dos tramos:AN y NB. Supongamos que entre A y N el diámetro es constante.

5,3175=S = 50 m/km

La pérdida de carga entre A y M es

653,150 =×=AMfh m

1 225 m

1 100 m 1 050 m

A

M

N

B

1 300 m

960 m

2 200 m

1 200 mB'

226


La cota piezométrica en M es

Mz = 1 160 m

La presión en M resulta ser

Mp = 60 m

Esta presión es excesiva. Sólo disponemos de tuberías para 75 lb/pulg2, lo que equivale a una altura de52,7 m de columna de agua. Aceptaremos para M una presión máxima de 52,7 m con lo que su cotapiezométrica resulta ser 1 152,7 m. La pérdida de carga entre A y M es entonces 72,3 m y la pendienteS es 55,6 m/km. Veamos cuál debe ser teóricamente el diámetro. De la fórmula de Hazen y Williamsobtenemos

54,063,2

000426,0 SC

QD

H = o

oo D = 15,5’’’

Si usáramos un diámetro de 16’’ la pérdida de carga sería menor y la presión en M resultaría mayor quela admisible. Con un diámetro de 14’’ la pérdida de carga sería notablemente mayor y resultaría en Muna presión pequeña, mucho menor que la admisible (lo que en principio es aceptable), pero nosinteresa tener en el punto M la presión más alta posible (52,7 m) a fin de disminuir el problema de lapresión negativa en N.

Utilizaremos para el tramo AM dos diámetros diferentes 14’’ y 16’’ (constituyendo así un sistema de

tuberías en serie). Para 14’’ de diámetro la pendiente S es 89,98 m/km y para 16’’ la pendiente es46,96 m/km. Sea L la longitud de tubería de 14’’. Debe cumplirse que

89,98 L + 46,96 (1,3 - L ) = 72,3

De donde la longitud L es 0,262 km. La tubería AM queda así descompuesta en dos tramos: 262 m de14’’ y 1 038 m de 16’’.

Ensayemos diámetros para el tramo MN. Si usáramos 14’’ de diámetro la presión resultante en N seríamuy baja (negativa). Con 16’’ de diámetro se tendría para el tramo MN una pérdida de carga de 103,3 m,lo que representa para el tramo AN una pérdida de carga de 175,6 m y la presión para el punto N es - 0,6 m,valor que es admisible. La cota piezométrica del punto N es 1 049,4 m y la pendiente para el tercer tramoes

2,14,89=S = 74,5 m

De la fórmula de Hazen y Williams obtenemos que el diámetro debería ser 14,6’’. Tal como se hizo con

el tramo AM descompondremos en un tramo L de 14’’ y otro de 16’’ de modo que

89,98 L + 46,96 (1,2 - L ) = 89,4

227

Diseño de conducciones y redes

Capítulo V

1 225 m

A

B

960 m

1 201,4 m

72,3 m

1 152,7 m

1 100 m52,7 m

1 050 m

1 029,1 m

1 049,4 m

14"

M'

16"

16"16"

14"265 mM

N

B'

Figura 5.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8

228


De acá se obtiene que L es 0,768 km.

Los 4 700 m de conducción se descomponen finalmente así

262 m de 14’’ (A - M’)1 038 m de 16’’ (M’ - M)2 200 m de 16’’ (M - N)

432 m de 16’’ (N - B’)768 m de 14’’ (B’ - B)

Lo que significa 1 030 m de tubería de 14’’ y 3 670 m de tubería de 16’’. En la Figura 5.14 se presenta eltrazo de la línea piezométrica.

5.9 Diámetro más económico

Cuando se diseña una conducción por tubería no hay solución única. Tanto un diámetro comootros pueden satisfacer las condiciones hidráulicas. De todos los diámetros posibles, quedesde el punto de vista puramente hidráulico constituyen soluciones, hay uno que es eldiámetro más económico.

Se entiende por “diámetro más económico” aquel para el cual resulta mínima la suma de loscostos de instalación, operación y servicios del sistema.

Si se trata, por ejemplo, de una conducción por bombeo el problema puede ser más complejo,pues hay que empezar por examinar el número de tuberías, en paralelo o en serie, queconformarán la conducción. Por razones de seguridad en el servicio puede convenir tener másde una tubería conformando así un sistema en paralelo. Un análisis nos dirá cuál es la soluciónmás económica.

En una instalación por bombeo los costos principales son

a) Adquisición e instalación de la tubería. Este costo aumenta con el diámetro. A mayordiámetro, mayor costo.

b) Instalación y operación del equipo de bombeo. Este costo es inversamente proporcionalal diámetro. Los diámetros pequeños representan una gran pérdida de carga y porconsiguiente requieren de gran potencia. Con los diámetros grandes ocurre lo inverso.

Para la obtención del diámetro más económico de una conducción por bombeo normalmentelos datos están constituidos por

- Diámetros disponibles en el mercado

- Costo de las tuberías

- Gasto requerido

229


- Coeficientes de rugosidad de las tuberías

- Costo del KW hora

- Tiempo de amortización

- Interés

- Costo de la bomba y el motor, etc

El procedimiento de cálculo es el siguiente

a) Escoger tentativamente un diámetro

b) Calcular la pérdida de carga fh

c) Calcular la energía necesaria

d) Calcular la potencia necesaria

e) Calcular el costo anual de la potencia necesaria

f) Calcular el costo del motor y de la bomba

g) Calcular el costo de la tubería (teniendo en cuenta el diámetro y espesor requeridos)

h) Calcular el costo de la inversión inicial: tubería, motor y bomba y luego determinar la

amortización (en base al número de años útiles del sistema)

i) Determinar el costo total por año sumando la amortización anual de la inversión inicial

(h ) y el costo anual de la potencia (e )

Si el procedimiento anterior se repite para varios diámetros diferentes se encontrará finalmenteel diámetro más económico.

5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross

Una red es un sistema cerrado de tuberías. Hay varios nudos en los que concurren las tuberías.La solución de una red es laboriosa y requiere un método de tanteos y aproximacionessucesivas.

Representemos esquemáticamente la red muy simple de la Figura 5.15. Esta red consta dedos circuitos. Hay cuatro nudos.

En la tubería MN tenemos un caso típico de indeterminación: no se puede saber de antemanola dirección del escurrimiento. En cada circuito escogemos un sentido como positivo. Seescoge una distribución de gastos respetando la ecuación de continuidad en cada nudo, y seasigna a cada caudal un signo en función de los circuitos establecidos. Se determina entonceslas pérdidas de carga en cada tramo, que resultan ser “positivas” o “negativas”.

230


Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías

Las condiciones que se deben satisfacer en una red son

1. La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito debe ser cero. Ejemplo

0=++NBfMNfBMf hhh

2. En cada nudo debe verificarse la ecuación de continuidad.

3. En cada ramal debe verificarse una ecuación de la forma

xf KQh =

en donde los valores de K y de x dependen de la ecuación particular que se utilice.

Como los cálculos son laboriosos se recurre al método de Hardy Cross. En este método sesupone un caudal en cada ramal, verificando por supuesto que se cumpla la ecuación decontinuidad en cada nudo.

Si para un ramal particular se supone un gasto 0Q este valor será, en principio, diferente algasto real que llamaremos simplemente Q , luego

QQQ ∆+= 0

En donde Q∆ es el error, cuyo valor no conocemos.

Si tomamos, por ejemplo, la fórmula de Hazen y Williams se tiene que la pérdida de carga encada tubería es

85,1KQh f =

Si esta ecuación se aplica a los valores supuestos se obtiene

B C

M

N

I II

231


85,100

KQh f =

La pérdida de carga real será

( ) 85,10 QQKh f ∆+=

Desarrollando y despreciando los términos pequeños se llega a

QQ

hKQh

f

f ∆+=0

085,10 85,1

QQ

hhh

f

ff ∆+=0

0

085,1

De donde, para cada circuito

∑ ∑ ∑ =∆+= 085,10

00 Q

hQhh

f

ff

De acá obtenemos finalmente el valor de Q∆

∑

∑−=∆

0

0

0

85,1Q

h

hQ

f

f

(5-21)

Esta es la corrección que debe hacerse en el caudal supuesto. Con los nuevos caudaleshallados se verifica la condición 1. Si no resulta satisfecha debe hacerse un nuevo tanteo.

Ejemplo 5.9 Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar HC = 100 en

todas las tuberías.

B C

M

N

8"500 m

700 m

8"

600 m

6"600 m

8"

6"

50

0 m

200 l/s

6’’

500

m

232


Solución. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación dedescarga en cada tubería es

85,1KQh f =

siendo

866,485,1

61072,1DC

LK

H

×=

Estas ecuaciones corresponden a la fórmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado queel coeficiente de resistencia está en los datos referido a dicha fórmula. Si éste no fuera el caso seutilizaría las ecuaciones correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cadauno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de lasagujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario.

Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. Enconsecuencia, cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Porconsiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondientesigno. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se tratasolamente de algo convencional para expresar la condición 1 que debe satisfacer una red. Se obtieneasí

La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan sóloque se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente).

Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de cargacon los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final.

CIRCUITO I CIRCUITO II

BN 0,03367 CM 0,00969NM 0,02806 MN 0,02806MB 0,00692 NC 0,00830

M

N

-130 -110

+70 +90

200 l/s

I II

+ +

-20 +20B C

233


Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga 0f

h en cada circuito aplicando la ecuación de

descarga.BN + 87,23 CM - 57,93NM - 7,16 MN + 7,16MB - 56,35 NC + 34,23

∑ 0fh = + 23,72 ∑ 0f

h = - 16,54

Aplicamos ahora la ecuación

∑∑−

=∆

0

0

0

85,1Q

h

hQ

f

f

para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. Se obtiene para cadacircuito

3,604,285,1

72,23 −=×

−=∆Q 1,726,185,1

54,16 =×

=∆Q

6−=∆Q 7=∆Q

Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga fh son los siguientes

Calculamos nuevamente la corrección Q∆

37,115,285,1

44,5 +=×

=∆Q 28,245,185,1

12,6 −=×

−=∆Q

1+=∆Q 2−=∆Q


Tramo Caudal fh Tramo Caudal fh

BN

NM

MB

+70 - 6 = +64

-20 - 6 - 7 = -33

-130 - 6 = -136

+73,91

-18,09

-61,26

CM

MN

NC

-110 + 7 = -103

+20 + 7 + 6 = +33

+90 + 7 = +97

-51,29

+18,09

+39,32

∑ −= 5,44fh ∑ += 6,12fh

234


Los nuevos caudales y los correspondientes valores de fh son

Calculamos ahora nuevamente la corrección Q∆

12,012,285,1

47,0 −=×

−=∆Q 06,041,185,1

16,0 =×

=∆Q

0=∆Q 0=∆Q

En consecuencia los caudales son

Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.

Obsérvese que la condición 1, ∑ fh = 0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del

flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja elcomportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuación.


Tramo Caudal fh Tramo Caudal fh

BN

NM

MB

+ 64 + 1 = + 65

- 33 + 1 + 2 = -30

- 136 + 1 = - 135

+76,06

-15,16

-60,43

CM

MN

NC

-103 - 2 = -105

+33 - 2 - 1 = +30

+97 - 2 = +95

-53,15

+15,16

+37,83

∑ += 0,47fh ∑ −= 0,16fh

M

N

135 105

65 95

200 30 200

235


Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental

BNfMNfBMf hhh =+

como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos.

Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones

NCfMNfMCf h hh =+

BMCfBNCf hh =

La condición 3 queda también satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).

D = 8’’

HC = 100 540632 05638100004260 ,, ,,Q ×××=

L = 0,6 km 7,94=Q l/s

fh = 37,83 m Valor que está dentro del error aceptado.

Naturalmente que existen programas de cálculo que permiten resolver los problemas de redes muyrápidamente. Sin embargo, el objetivo de este libro es el de profundizar en los conceptos fundamentales,para lo cual es indispensable conocer el cálculo manual de las redes. Posteriormente, en cursos dediseño se podrá aplicar programas que faciliten los cálculos.

M

B

N

I

236


Al a

plic

ar e

l mét

odo

de H

ardy

-Cro

ss s

e su

gier

e re

aliz

ar u

na ta

bula

ción

com

o la

aqu

í pre

sent

ada,

que

cor

resp

onde

al e

jem

plo

5.9.

TAB

LA 5

.3

CA

LCU

LOS

DE

L E

JEM

PLO

5.9

237



(Capítulo V)

1. Se tiene dos tuberías en paralelo de 3 000 m de longitud cada una. El diámetro de la primeraes de 10’’ y el de la segunda de 20’’. La diferencia de nivel entre los estanques comunicadospor el sistema en paralelo es de 18 m. Considerar f = 0,02 para ambas tuberías. Calcular elgasto en cada una.

2. Se tiene dos tuberías en paralelo. Ambas tienen 2 500 m de longitud. El diámetro de la primeraes de 8’’ y el de la segunda de 14’’. Calcular cuál es la energía necesaria para que el gastototal sea de 200 l/s. Considerar f = 0,025 en ambas tuberías.

3. ¿Cual sería el gasto en cada una de las tuberías del ejemplo 5.2, si no estuviera la válvula y semantuviera la misma energía disponible?

4. ¿Cuál sería la energía necesaria para transportar el gasto total del ejemplo 5.2, considerandoque no existiera la válvula? ¿Cuales serían los gastos en cada tubería?

5. Dos estanques están conectados por tres tuberías en paralelo cuyos diámetros son D , 2 Dy 3 D . Las tres tuberías tienen la misma longitud y el mismo valor de f de Darcy. ¿Cuál es elgasto en la tubería mayor si el gasto en la tubería menor es de 30 l/s?

6. Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura

1L = 80 m 1D = 4’’ 1f = 0,018

2L = 120 m 2D = 6’’ 2f = 0,018

3L = 300 m 3D = 10’’ 3f = 0,025

La elevación del punto B es 112,80 mLa elevación del punto C es 115,10 mLa presión del punto B es 4 kg/cm2

La presión del punto C es 2,5 kg/cm2

B C

2

3

1

238


7. Hallar el gasto en cada uno de los ramales del sistema en paralelo mostrado en la figura

Q = 0,400 m3/s 1L = 220 m 1D = 8’’ 1f = 0,025

2L = 280 m 2D = 10’’ 2f = 0,020

3L = 390 m 3D = 6’’ 3f = 0,028

8. Determinar el gasto en cada ramal del sistema para Q = 2 m3/s

1L = 100 m 1D = 10’’ 1f = 0,030

2L = 120 m 2D = 8’’ 2f = 0,025

3L = 120 m 3D = 8’’ 3f = 0,025

4L = 100 m 4D = 10’’ 4f = 0,030

9. La tubería de alimentación mostrada en la figura tiene una longitud de 500 m, un diámetro de8’’ y un coeficiente f de 0,025. Calcular cuál debe ser la presión p para que el gasto en elramal 2 sea de 50 l/s.

B C

2

3

1

1

2

3

4

p

100 m

80 m

123

239


1L = 250 m 1D = 4’’ 1f = 0,02

2L = 300 m 2D = 6’’ 2f = 0,022

3L = 100 m 3D = 4’’ 3f = 0,015

10. En la figura se muestran dos sistemas de tuberías ¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad (parauna misma energía disponible)?. Considerar f = 0,02 en todas las tuberías.

11. Para el sistema mostrado en la figura se tiene que cuando el gasto es de 700 l/s la presión enel punto 3, de empalme con una tubería, es de 1 kg/cm2. Se trata de aumentar el caudal a900 l/s. La presión en el punto 3 debe ser 1,5 kg/cm2. Determinar cuál es el diámetro que debetener una tubería de 400 m de largo, colocada paralelamente a la anterior para cumplir con loseñalado ( f es 0,025 en todas las tuberías).

Tramo 1-2 :800 m, 24’’Tramo 2-3 :400 m, 18’’

12. Dos estanques están conectados por dos tuberías en paralelo. Los datos son

1L = 1 200 m 1D = 12’’ 1f = 0,022

2L = 800 m 2D = 10’’ 2f = 0,03

Si el gasto en la primera tubería es de 50 l/s. ¿Cuál es el gasto en la segunda?

(a)

(b)

Q 2

20"800 m

16"500 m

12"300 m

14"18" 12"

1 000 m600 m

200 m

10"

800 m

Q1

z 1

12

3

240


13. Entre dos estanques hay una diferencia de nivel de 6 m. Están conectados por un sistema queconsta de un primer tramo formado por una tubería de 20’’ de diámetro y 2 500 m de longitud.Esta tubería se bifurca dando lugar a ramales de 10’’ y de 2 500 m de longitud cada uno. Estosramales concurren en paralelo en el segundo estanque. Considerar f = 0,03 para todas lastuberías. Hallar el gasto.

14. Para un sistema de tuberías en paralelo se tiene

1L = 100 m 1D = 14’’ 1f = 0,018

2L = 156 m 2D = 12’’ 2f = 0,0122

Al colocar una válvula en el primer ramal hay una disminución del 11 % en el gasto total.Calcular el valor K de la válvula.

15. Calcular el gasto en cada ramal.

1L = 120 m 1D = 6’’

2L = 130 m 2D = 4’’

3L = 130 m 3D = 4’’

4L = 120 m 4D = 6’’

Considerar f = 0,02 para todas las tuberías. En el ramal 2 hay una válvula check totalmente

abierta.

16.

1L = 200 m 1D = 4’’ 1f = 0,02

2L = 250 m 2D = 6’’ 2f = 0,025

3L = 400 m 3D = 8’’ 3f = 0,030

1

2

3

H = 30 m

4

válvula

H2 3

1

241


Si la diferencia de nivel H entre ambos estanques es de 10 m, calcular el gasto en cadaramal. ¿Cuál debe ser el valor de H para que el gasto sea de 300 l/s?

Determinar la longitud de una tubería equivalente que reemplace al sistema (para H = 10 m).

17. La tubería 1 tiene 300 m de longitud y 4’’ de diámetro. Suponiendo que esta sea la únicatubería de desagüe, determinar la longitud que debe tener una tubería en paralelo (2) delmismo diámetro para que el gasto en la tubería 1 aumente en 50 %. Calcular cuál sería elporcentaje de aumento en el gasto, si además del tubo anterior se coloca una tubería (3) enparalelo de 50 m de largo y 3’’ de diámetro. ( f = 0,02 en todas las tuberías)

18. Calcular la elevación que debe tener el estanque para que el gasto que ingrese a él sea de 10 l/s.

1L = 150 m 1D = 6’’

2L = 80 m 2D = 4’’ f = 0,025

3L = 40 m 3D = 4’’

19. Dos reservorios tienen una diferencia de nivel constante de 220 ft. Están unidos por medio deuna tubería de 9’’ de diámetro y 2,5 millas de largo. A una milla del reservorio más alto latubería tiene una salida que descarga 1,5 ft3/s.

Asumiendo para f un valor constante de 0,036 calcular la velocidad con la que el agua entraal segundo reservorio. No se consideren pérdidas de cargas locales .

1

H2

3

válvula

p = 4 kg/cm 2

0

?

1 3

2

10 l/s

242


20. En la tubería 1 la velocidad es 1,5 m/s. Calcular el gasto en cada ramal y el valor que debe

tener H .

1L = 300 m 2L = 300 m 3L = 300 m 4L = 600 m 5L = 800 m

1D = 8’’ 2D = 12’’ 3D = 18’’ 4D = 12’’ 5D = 12’’

Considerar f = 0,018 en todas las tuberías.

21. En el sistema de tres reservorios mostrados en la figura las tuberías tienen un coeficiente deDarcy igual a 0,025. Se sabe que 21 HH + = 10 m; 1L = 150 m; 2L = 70 m; 3L = 90 m;

321 DDD == = 6’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de 1H y 2H para que

2Q sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de 1Q y 2Q si 1H fuera cero?.

22. En el sistema de 3 reservorios mostrado en la figura del problema anterior las tuberías tienenun coeficiente HC = 100. Se sabe que 12 HH − = 5 m; 1L = 800 m; 2L = 600 m; 3L = 1 200m; 321 DDD == = 12’’. Se pregunta: a) ¿Cuáles deben ser los valores de 1H y 2H paraque 2Q sea cero?, b) ¿Cuáles serían los valores de 1Q y 2Q si 1H fuera cero?.

H

2

3 4

5

1

1z

P

z 2

z 3

1

1

2

3

H 1

H2

243


23. En la figura se muestra una sistema de 3 reservorios. En la tubería 1 hay una válvula check,completamente abierta de modo que para un gasto de 250 l/s produce una pérdida de cargade 0,80 m. Calcular la longitud que debe tener la tubería 2.

24. Calcular el gasto en cada uno de los ramales del sistema mostrado en la figura.

1z = 100 m 2z = 90 m 3z = 80 m

1L = 4 km 2L = 6 km 3L = 5 km

1D = 10’’ 2D = 8’’ 3D = 6’’

Considerar HC = 120 para todas las tuberías.

25. Hallar el caudal en cada uno de los ramales del sistema

Considerar f = 0,028 en todas las tuberías.

1 1

2

14"; 1 000 m14"; 3 000 m

10"

180 m

120 m

150 m

1z

P

z 2z3

12

3

1P

2P600 m

600 m 1 000 m

300 m

300 m

24"

18"

18"

18"

18"

350 l/s

0,30 m

100 m103 m

244


26. Calcular la potencia a la salida de la turbina mostrada en la figura (eficiencia 0,9)

27. El estanque 1 alimenta al sistema mostrado por medio de dos tuberías que totalizan 600 |/s.Las tuberías se juntan en el punto P en el que reciben a otra tubería que viene del estanque 2.Del nudo P sale una tubería en cuyo extremo hay una turbina. En el punto B la presión es de –2,5 m ( HC = 100 para todas las tuberías). Determinar la potencia teórica suministrada por laturbina.

28. Calcular la potencia que debe tener la bomba para que el caudal en la tubería 3 sea de40 l/s (ν = 10-6 m2/s). Eficiencia 0,75

P6"; 800 m; 0,019

18"; 1 500 m; 0

,02

12"; 550 m; 0,019

100 m

125 mT

Q = 300 l/s

150 m

218 m

150 m

140 m

100 m

12

18" 2 500 m

24" 1 200 m

P 36" 4 000 mA B

20" 4 000 m

P

124 m

0

B1

3

2

4

100 m

126 m

245


Tubería 1 : L = 300 m; D = 18’’; k = 0,00015 mTubería 2 : L = 1 500 m; D = 18’’; k = 0,00015 mTubería 3 : L = 600 m; D = 10’’; k = 0,000045 mTubería 4 : L = 600 m; D = 12’’; k = 0,000045 m

29. En el sistema mostrado en la figura la bomba B suministra a la corriente una potencia de 76HP. El gasto es de 250 l/s. Calcular cuál es la elevación de la superficie libre en el estanque C.Eficiencia 0,8.

1L = 20 m; 1D = 16’’; 1f = 0,025

2L = 180 m; 2D = 14’’; 2f = 0,018

30. Se tiene una red de distribución de agua.

Los puntos P1 y P2 se encuentran al nivel 0,0 m.

En los puntos A, B y C la presión debe ser de 15 m de columna de agua y el gasto de 8 l/s.

1L = 200 m

2L = 50 m

3L = 30 m

4L = 80 m

5L = 100 m

18 m

C

5 m

B1

2

A

válvulaK = 2,5

+ 0,40 m

B1

2 + 0,20 m

- 0,30 m

0 m

3

4

5P1

P2

A

B

C

Considere f = 0,018 para todos los tubos. Calcular lapotencia que debe tener la bomba (eficiencia del 85 %).

246


31. Una tubería de abastecimiento de agua tiene una longitud de 1 200 m y un diámetro de 24’’.El coeficiente de Darcy es 0,022. La energía disponible es de 12 m.

Por razones del servicio que da la tubería se requiere aumentar su caudal en 30 %. Hay dosposibilidades. Una, es instalar una bomba. La otra, es instalar una tubería en paralelo deiguales características a la existente. Cuál de las alternativas es más económica.La eficiencia de la bomba es 0,8. Para el costo de la tubería y del HP instalado considerarvalores del mercado. (Comparar sólo los costos iniciales).

32. Se tiene una tubería de 20’’ de diámetro. Su longitud es de 2 000 m. La energía disponible esde 10 m. Calcular el gasto usando: a) La fórmula de Darcy, b) La fórmula de Hazen y Williams.La tubería es muy lisa.

33. El gasto entregado por el sistema mostrado en la figura debe ser 800 l/s. Determinar lapotencia que debe tener la bomba, cuya eficiencia es de 0,8. Para todas las tuberías HC =120.

34. De acuerdo a la figura, ¿Qué diámetro debe tener la conducción para elevar 70 l/s?. Lastuberías son de fierro fundido, nuevas. La potencia de la bomba es 122,3 HP (eficiencia 0,8).El fluido es agua con una viscosidad de 1,4 x 10-6 m2/s. Se dispone de tuberías de 6’’, 8’’ y 10’’de diámetro. La máxima presión negativa admisible es –6 m.

90 m

P

85 m

B

0 m70 m

18"5 000 m14 "

6 000 m

5 000 m

30"18"

6 000 m

3 m

33 m

B300 m

600 m

247


35. Una tubería de 18’’ de diámetro, fuertemente corroída, tiene una rugosidad de 1 mm. Con lapotencia instalada se bombea en la actualidad un caudal de 300 l/s. Se trata ahora de bombearun caudal mayor con la misma potencia instalada, cambiando la tubería por una más lisa( k = 0,00025 m). ¿En cuanto aumentará el caudal?

36. Una tubería de abastecimiento de agua debe entregar uniformemente a lo largo de su recorrido0,5 l/s por metro de recorrido. La longitud total es de 2 000 m y debe llegar al extremofinal 140 l/s. La cota piezométrica inicial es de 42 m y la presión final es de 34 m. La tuberíatiene una rugosidad k = 2,5 x 10-4 m. La temperatura del agua es de 20 °C. Calcular eldiámetro, y la presión que existirá en el punto medio.

37. De un tanque sale una tubería de 8’’ de diámetro y 1 000 ft de longitud. Esta tubería se bifurcaen ramales de 6’’ de diámetro y 500 ft de largo. Los extremos descargan libremente en laatmósfera. Uno de los ramales tiene bocas de descarga distribuidas uniformemente a lo largode la tubería de modo que la descarga de todas ellas es igual a la mitad del gasto en la tubería(la otra mitad descarga por la boca final). Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel(50 ft debajo de la superficie libre del tanque). Calcular el gasto en cada ramal. Despreciar laspérdidas de carga locales. Considerar f = 0,024 (constante).

38. Al cabo de 6 años de uso una tubería de fierro fundido ha duplicado el valor de su rugosidadabsoluta.Calcular la pérdida de carga que tendrá esta tubería, de 12’’ de diámetro, para un gasto de250 l/s, después de 20 años de servicio. La longitud de la tubería es 1 800 m.

39. Una tubería nueva de 30’’ de diámetro tiene un valor de f igual a 0,0168 para una velocidadde 4,6 m/s. Después de 10 años de servicio tiene un valor de f igual a 0,022, para unavelocidad de 3,5 m/s. Calcular cuál será el valor de f al cabo de 15 años de servicio, parauna velocidad de 4 m/s.

40.

Calcular el caudal en cada una de las tuberías de la red. Se sabe que

248


En los puntos B, C y D las descargas son de 80, 120 y 200 l/s, respectivamente.

Tramo L D HC

AB

AC

BC

BD

CD

320 m

810 m

1 200 m

1 000 m

300 m

8”

6”

6”

6”

6”

90

120

120

120

110

249


PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

(Capítulos I al V)

Problema 1

En una tubería de radio r la distribución de velocidades se expresa por

x

maxh rhVV

1

=

Encontrar las expresiones para el cálculo de los coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Hallar losvalores particulares para x igual 7.

Problema 2

La longitud de un tubo cónico vertical es de 10 m. La velocidad en el punto 1 (extremo superior) esde 9 m/s y en el extremo inferior es de 3 m/s (punto 2). La presión en el punto 2 equivale a 15 m decolumna de agua. Encontrar la presión en el punto 1, en kg/cm2.

El fluido es petróleo de peso específico relativo 0,93. Entre los extremos 1 y 2 del tubo existe unapérdida de carga fh cuyo valor es

( )gVV

298,0

221 −

Problema 3

Una tubería horizontal de 10’’ de diámetro y 500 m de largo conduce 0,20 m 3/s de aceite de viscosidad1,5 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 kg/cm2 y en el punto finales de 3 kg/cm2.

Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds.

Problema 4

De un estanque sale una tubería de 4’’ de diámetro cuyo punto de descarga está 10 m por debajode la superficie libre del estanque.

Las pérdidas de carga en el sistema equivalen a cuatro veces la carga de velocidad. Calcular elgasto y dibujar las líneas de energía y de gradiente hidráulica.

250


Problema 5

En una tubería hidráulicamente lisa de 0,75 m de diámetro se ha determinado que la distribución

de velocidades es hV = 0,937 log h + 3,81

Calcular el gasto.

Problema 6

En una tubería horizontal el gasto es de 0,5 l/s. El diámetro es de 6 cm. La viscosidad del fluido es8 x 10-4 kg-s/m2 y su densidad relativa es 0,86. Calcular el valor de la velocidad máxima.

Problema 7

En un canal muy ancho, cuyo fondo está constituido por partículas de diámetro uniforme y cuyotirante es de 2 m, se ha determinado que la distribución vertical de velocidades es

hV = 0,499 ln 75,38 h

La temperatura del agua es de 15 °C, Calcular

a) La rugosidad absolutab) La velocidad mediac) La velocidad máximad) El gasto específicoe) El coeficiente C de Chezyf) La pendiente de la superficie libreg) A que distancia del fondo la velocidad es igual a la velocidad mediah) La velocidad a una profundidad 0,6 y (a partir de la superficie)i) El promedio de las velocidades a las profundidades 0,2 y 0,8 del tirante (a partir de la superficie).j) El esfuerzo de corte sobre el fondo.

Problema 8

En un canal muy ancho cuyo tirante es de 1,5 m se ha medido la velocidad a dos profundidadesdiferentes.

A 0,50 m del fondo se encontró 1,41 m/s y a 1,00 m del fondo la velocidad fue 1,49 m/s. Calcular

a) La velocidad mediab) La velocidad máximac) La pendiente de la superficie libre

251


Problema 9

Se tiene una tubería de 1 000 m de largo y 8’’ de diámetro que lleva agua a 20 °C. La tubería es defierro fundido bastante oxidado. El punto inicial está en la cota 218,50 m y tiene una presión de 2,5kg/cm2. El punto final está en la cota 219,20 y tiene una presión de 1 kg/cm2.

a) Decir si la tubería es hidráulicamente lisa o rugosab) Calcular el coeficiente C de Chezyc) Calcular la velocidad máximad) Calcular el coeficiente f de Darcye) Calcular la velocidad media y el gasto

Problema 10

En un canal muy ancho la velocidad superficial es 2,5 m/s y la velocidad media es 2,2 m/s. El gastoes de 4 m 3/s/m. Calcular la pendiente de la superficie libre y la rugosidad del fondo. La temperaturadel agua es 20 °C.

Problema 11

Demostrar que en una tubería lisa de 30’’ de diámetro en la que circula petróleo de viscosidad10-4 m2/s, la pérdida de carga por kilómetro está dada por la expresión siguiente

75,1KVh f =

siendo fh la pérdida de carga, V la velocidad media y K una constante. La validez de la fórmulapropuesta está limitada a un rango de velocidades comprendido entre 0,5 y 4 m/s. Hallar el valornumérico de K .

Problema 12

Se requiere conducir a través de una tubería de fierro galvanizado de 1 200 m de longitud, uncaudal de 3,5 m3/s de aire, a 15 °C. La viscosidad es 1,451 x 10-5 m2/s. ¿Qué diámetro de tuberíacomercial se necesita si la pérdida de carga es de 200 mm de columna de agua?. El pesoespecífico del aire es 1,226 kg/m3 .

Problema 13

Se tiene una tubería de 1 000 m de longitud y 0,20 m de diámetro. La rugosidad absoluta es de 1mm. Circula agua a una velocidad de 4 m/s. La viscosidad es 10-6 m2/s. Calcular la pérdida decarga considerando que las paredes son hidráulicamente rugosas.

252


Problema 14

Por una tubería lisa de 0,40 m de diámetro fluye agua de viscosidad 10 -6 m2/s. El caudal es de 400 l/s.

a) Hallar la pendiente de la línea piezométrica.b) Hallar el espesor de la subcapa laminar.c) ¿Cuál sería la rugosidad máxima aceptable en la tubería para que siga comportándose como

hidráulicamente lisa?

Problema 15

Sabemos que el flujo turbulento en una tubería da lugar a una distribución de velocidades quepuede ser descrita por

71

1

−=

rhVV maxh

expresión en la que hV es la velocidad a la distancia h del contorno, maxV es la velocidad en eleje, r es el radio de la tubería.

Si el gasto en la tubería es Q calcular la energía cinética total en función de Q , r y la densidaddel fluido. Comparar esta energía con la que se obtendría para el mismo gasto Q si el flujo fuesellaminar. ¿Cómo se explica la diferencia en energía cinética?.

Problema 16

En una tubería fluye agua (20 °C) con una velocidad media de 2,4 m/s. El coeficiente f de Darcyes 0,019. Hallar el esfuerzo medio de corte sobre el contorno.

Problema 17

En una tubería de 4’’ de diámetro fluye agua con una velocidad de 0,8 m/s (20 °C). El coeficiente fde Darcy es 0,025. Hallar la velocidad de corte.

Problema 18

Calcular el diámetro que debe tener una tubería de fierro fundido nuevo para llevar 0,240 m3/s. Laviscosidad del agua es de 1,2x10-6 m2/s. La longitud de la tubería es de 800 m. La pérdida de cargano debe ser superior a 15 m. La velocidad media no debe ser superior a 3 m/s ni inferior a 1 m/s. Sedispone de tubos de 12’’, 14’’ y 16’’.

253


Problema 19

De un estanque sale una tubería de 0,80 m de diámetro en sus primeros 200 metros y luego0,60 m de diámetro en los últimos 50 m. La embocadura es redondeada ( K = 0,2). La contracciónes brusca. La energía disponible es de 10 m. La temperatura es de 20 °C. La tubería es defierro fundido nuevo.

a) Hallar el caudalb) Hallar la potencia del chorroc) ¿Qué potencia tendría el chorro si se colocara una boquilla convergente que reduce el

diámetro a la mitad? ¿Cuál es el nuevo caudal?. Considerar Vc = 0,9

Problema 20

Dos estanques están unidos por una tubería de fierro galvanizado que tiene 6’’ de diámetro en susprimeros 10 m, 8’’ en sus segundos 10 m y 6’’ en los terceros 10 m. La diferencia de nivel entre losreservorios es de 10 m. La embocadura es de bordes agudos. Los cambios de sección sonbruscos. Calcular al caudal, y cada una de las pérdidas de carga. Fluye agua a 20 °C.

Problema 21

Hallar la longitud que debe tener una tubería de 10’’ de diámetro, cuyo punto de descarga está10 m por debajo de su estanque alimentador, para que la pérdida de carga continua sea el 50 % dela energía disponible. La embocadura es con bordes agudos. La tubería es de fierro fundido nuevo.La temperatura del agua es 15 °C.

Problema 22Calcular el gasto y la pérdida de carga en cada tubería. Considere HC = 100.

600 l/s

18" 1

800 m 14" 1 600 m

16" 1 500 m

16" 1 700 m

12" 2 200 m

254


Problema 23

De un estanque sale una tubería de abastecimiento de agua de 3 200 m de longitud. El primertramo es de 10’’ y mide 1 200 m. El segundo tramo es de 12’’ y mide 1 300 m. El tercer tramo es de10’’.

Toda la tubería es de fierro fundido viejo. Dibujar una curva gasto-energía disponible para valoresde la energía comprendida entre 15 y 40 m. (Se sugiere usar la fórmula de Hazen y Williams y elmétodo de la tubería equivalente)

Problema 24

Un depósito de almacenamiento de agua descarga por medio de una tubería de 24’’ de diámetro(acero ribeteado) la que recorre 1 800 m y se bifurca en ramales de 12’’ y 14’’. El primero tiene800 m de longitud y descarga libremente a la atmósfera en un punto ubicado 25 m debajo de lasuperficie libre del estanque alimentador.

El ramal de 14’’ tiene una longitud de 1 600 m; de su punto medio sale un ramal de 6’’ y 500 m delargo. Ambas bocas de descarga se encuentran 10 m por debajo del punto de descarga de latubería de 12’’. Los ramales son de fierro fundido viejo. Calcular el gasto en cada boca de descarga.

Problema 25

Se tiene una tubería de 1 m de diámetro que da servicio a lo largo de su recorrido de modo quecada 0,5 m tiene una salida que descarga 25 litros por segundo.

El gasto inicial es de 1 m3/s. Calcular la pérdida de carga que se producirá en el tramo de longitudL , que es necesario para que el gasto inicial haya disminuido a la mitad. Considere que f esconstante e igual a 0,025.

Problema 26

De un estanque sale una tubería compuesta de dos tramos en serie. El primero tiene un diámetrode 0,20 m y una rugosidad absoluta k de 10-4 m. El segundo tiene una longitud de 800 m, undiámetro de 0,40 m y una rugosidad absoluta k de 5x10-5 m. La carga disponible es de 50 m. Laviscosidad del agua es de 10-6 m2/s.

Calcular la longitud mínima que debe tener el primer tramo para que el segundo tramo se comportecomo una tubería hidráulicamente lisa. No considerar pérdidas de carga locales.

255


Problema 27

Para el sistema mostrado en la figura, calcular el gasto

p = 2 atmósferas

EK = 0,5 (entrada)

VK = 2 (válvulas)

CK = 0,2 (codo)

L (total) = 100 m

k = 3x10-5 m

D = 25 mm

ν = 10-6 m2/s

p

3 m

3 m

1 m

257

Cálculo de canalesCapítulo VI

CAPITULO VICALCULO DE CANALES

6.1 Condiciones normales

Los aspectos teóricos más importantes del flujo uniforme en canales han sido ya presentadosen los capítulos I y II. Ahora, en este capítulo VI, se expone esencialmente el cálculo decanales. Es decir, el dimensionamiento de la sección transversal para conducir un gasto dadoen determinadas condiciones.

Supongamos que en un canal escurre libremente un caudal Q . El movimiento es permanentey uniforme. La profundidad del agua (tirante) está determinada por la pendiente, la rugosidad,la forma de la sección transversal y por el caudal Q , que según hemos dicho antes sesupone que es constante. El tirante con el que escurre el agua (o cualquier otro líquido) enestas condiciones se llama tirante normal. El tirante normal es, pues, el que caracteriza almovimiento permanente y uniforme. Si el movimiento fuera, por ejemplo, gradualmente variadohabría para cada sección un tirante diferente del normal (mayor o menor según el caso). Alrespecto se puede observar la Figura 1.4.

En el capítulo II hemos establecido la ecuación general para el cálculo de la velocidad mediaen un conducto

RSCV = (6-1)

en el cual V es la velocidad media, C el coeficiente de Chezy, , R el radio hidráulico y S la

pendiente.

258


Esta ecuación corresponde a una sección determinada cuyo radio hidráulico R implica un

tirante " y " que es el tirante normal. Esta ecuación (6-1) llamada de Chezy fue establecida en

el capítulo II (ec. 2-42) mediante consideraciones teóricas basadas en las ecuaciones deKarman-Prandtl. Lo esencial en esta ecuación es que el coeficiente C de Chezy tiene unaestructura que es función de las características del escurrimiento y de la naturaleza de lasparedes. La expresión general del coeficiente C es

72

6log18 δ+=

kR

C (6-2)

R es el radio hidráulico, k la rugosidad absoluta y δ el espesor de la subcapa laminar..

Según los valores relativos de k y de δ el contorno puede considerarse hidráulicamente lisoo hidráulicamente rugoso. Esta es la forma presentada por Thijsse. La ecuación de Chezyresulta ser entonces,

RSk

RV

72

6log18 δ+= (6-3)

El gasto se obtiene inmediatamente a partir de la ecuación de continuidad.

Los valores de la rugosidad absoluta k pueden obtenerse de la Tabla 6.1 que es una ampliación

de la Tabla 2.1 (o de la Tabla 4.4).

La velocidad media puede expresarse también por medio de la ecuación de Colebrook White,estudiada el capítulo III

+−=

RSRgRkRSgV

8451,2

8,14log82 ν

(6-4)

Esta ecuación es equivalente a la de Chezy.

Muchas veces el canal es hidráulicamente rugoso, entonces las ecuaciones 6-3 ó 6-4, que

son generales, pueden fácilmente reducirse a este caso particular.

259


TABLA 6.1


NOTA: Téngase presente que el valor de k señalado para los contornos muy rugosos (roca,

fondo de arena, etc.) es absolutamente referencial y sujeto a grandes variacionessegún las circunstancias de cada caso particular.

MATERIAL k (m)



Fierro forjado

Acero rolado, nuevo



Fierro galvanizado


Fierro fundido, oxidado

Acero remachado

Cemento enlucido


Concreto centrifugado, nuevo


Concreto liso



Concreto rugoso

Duelas de madera

Piedra asentada y bien lisa

Revestimiento de piedra

Grava

Piedra pequeña

Piedra grande

Roca

Tierra (lisa)

Fondo con transporte de arena

Acequia con vegetación

1,5 x 10-6

4,5 x 10-5

5 x 10-5

4 x 10-5 – 10-4

2,5 x 10-4

1,5 x 10-4

1,2 x 10-4

1 x 10-3 – 1,5 x 10-3

0,9 x 10-4 – 0,9 x 10-3

4 x 10-4

2,5 x 10-5

1,6 x 10-4

10-5

2,5 x 10-5

2 x 10-4 – 3 x 10-4

10-3 – 3 x 10-3

10-2

1,8 x 10-4 – 9 x 10 -4

5 x 10-4

2 x 10-3

10-2

2 x 10-2

5 x 10-2

0,1

3 x 10-3

10-2 – 5 x 10-2

0,1

260


6.2 Fórmulas antiguas

Desde el siglo XVIII se conocía la ecuación de Chezy (6-1), pero se ignoraba la naturaleza y

estructura del coeficiente C . La fórmula se originó en 1768 cuando Chezy recibió el encargo

de diseñar un canal para el suministro de agua a París.

Hubo una larga época en la que se consideró que el coeficiente C era constante e igual a 50,

para cualquier río.

Examinaremos brevemente algunas de las numerosas fórmulas de origen experimental que

en el pasado se establecieron para el coeficiente C .

Las fórmulas que presentaremos a continuación son las de Ganguillet-Kutter, Kutter y Bazin.

Las tres fórmulas se caracterizan por corresponder a la siguiente expresión genérica

RY

XC+

=1

(6-5)

Los valores de X e Y corresponden a cada fórmula particular. . R es el radio hidráulico. Ces el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy.

a) Fórmula de Ganguillet-Kutter

La fórmula, establecida en 1 869 por los ingenieros suizos E. Ganguillet y W. R. Kutter, sebasó en numerosas mediciones, incluyendo el río Mississippi. Durante muchos años estuvobastante extendido el uso de esta fórmula. Su expresión es

Rn

S

SnC

++

++=

00155,0231

00155,0123 (6-6)

C es el coeficiente de Ganguillet-Kutter a usarse en la fórmula de Chezy (6-1), S es la

pendiente, R el radio hidráulico y n un coeficiente de rugosidad (de Kutter), cuyos valores

aparecen en la Tabla 6.2.

261


Conviene comentar algunas particularidades de esta fórmula. Si el radio hidráulico es igual a

1 entonces C resulta ser independiente de la pendiente y la fórmula se reduce a

nC

1= (6-7)

Según señala King, la pendiente S fue introducida en la fórmula de Ganguillet-Kutter para

lograr concordancia con las mediciones efectuadas por Humphreys y Abbott en el río

Mississippi. Sin embargo, parecería que los errores (10 a 15 %) que tuvieron esas mediciones

orientaron erróneamente a Ganguilllet y Kutter. Algunos piensan que si no se hubiera introducido

la influencia de la pendiente, los resultados de la fórmula serían más precisos.

Se observa que la fórmula de Ganguillet-Kutter corresponde a la forma genérica de la ecuación6-5.

La fórmula de Ganguillet-Kutter en el sistema de unidades inglesas es

Rn

S

nSC

++

++=

00281,065,411

811,100281,065,41 (6-8)

b) Fórmula de Kutter

Para pendientes mayores que 0,0005 (1/2 000) la fórmula de Ganguillet-Kutter tiene unaforma particular establecida por Kutter y que es independiente de la fórmula (6-6). La fórmulaes

RmR

C+

= 100 (6-9)

Los valores del coeficiente de rugosidad m son diferentes de los valores de n (Kutter). R es

el radio hidráulico. C es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy. Los valores de m

aparecen en la Tabla 6.3.

262


TABLA 6.2

VALORES DEL COEFICIENTE n DE KUTTER QUE GENERALMENTESE USAN EN LOS DISEÑOS.

SUPERFICIE n

Superficie metálica, lisa, sin pintar

Superficie metálica, lisa, pintada

Superficie metálica, corrugada

Cemento liso

Mortero de cemento

Madera cepillada

Madera sin cepillar

Tablones sin cepillar

Concreto liso


Concreto frotachado

Concreto sin terminar

Gunita (sección bien terminada)

Gunita (sección ondulada)

Superficie asfáltica lisa

Superficie asfáltica rugosa

Tierra, limpia, sección nueva

Tierra, limpia, sección antigua

Tierra gravosa

Tierra, con poca vegetación

Tierra, con vegetación

Tierra, con piedras

Tierra, con pedrones

Para secciones circulares (trabajando como canal)

Metal, liso

Acero soldado

Acero ribeteado

Fierro fundido

Cemento

Vidrio

0,012

0,013

0,025

0,011

0,013

0,012

0,013

0,014

0,013

0,014

0,015

0,017

0,019

0,022

0,013

0,016

0,018

0,022

0,025

0,027

0,035

0,035

0,040

0,010

0,012

0,016

0,013 – 0,014

0,011 – 0,013

0,010

263


TABLA 6.3

VALORES DEL COEFICIENTE m DE RUGOSIDAD A USARSE EN LA FORMULA DEKUTTER PARA PENDIENTES MAYORES QUE 0,0005

CATEGORIA

FORMA

DESCRIPCION

m

I

II Semicircular

Superficie muy lisa. Cemento muy pulido

Superficie bastante lisa. Madera cepillada

0,12

0,15

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

Rectangular

y

Otras

Superficie bien terminada

Superficie usada. Tuberías de abastecimiento

de agua con mucho tiempo de servicio, pero

sin grandes incrustaciones

Piedra labrada bien acabada

Piedra no bien terminada, usada

Piedra rústica, fondo con poco lodo

Piedra mal terminada, fondo fangoso

Piedra antigua, sin vegetación, fangoso

0,20

0,25

0,30 - 0,35

0,45

0,55

0,75

1,00

Xa

Xb

XIa

XIb

XII

Trapecial

Fondo rocoso. Ancho inferior a 1,50 m. Poca

vegetación

Sección definida, en tierra sin vegetación

En tierra con fondo pedregoso o fangoso.

Poca vegetación. Ancho superior a 2 m

(corresponde a algunos arroyos y ríos)

En tierra o piedra, lecho fangoso, con

vegetación abundante (corresponde a

algunos arroyos y ríos)

En tierra con vegetación muy abundante. Con

mal mantenimiento, lecho fangoso. Arrastre

de fondo

1,25

1,50

1,75

2,00

2,50

264


c) Fórmula de Bazin

Esta fórmula fue establecida por Bazin en 1897

RG

C+

=1

87 (6-10)

C es el coeficiente a usarse en la fórmula de Chezy, R el radio hidráulico, G el coeficiente

de rugosidad de Bazin.

Los valores del coeficiente G aparecen en la Tabla 6.4 determinada por el autor de la fórmula.

TABLA 6.4

VALORES DEL COEFICIENTE G DE RUGOSIDAD A UTILIZARSE

EN LA FORMULA DE BAZIN

Además de las tres fórmulas presentadas ha habido desde fines del siglo XIX una cantidadenorme de ellas. Sólo a título ilustrativo podríamos mencionar las siguientes.

Knauff, quién en realidad presentó un conjunto de fórmulas, cada una de las cuales se aplicasegún la forma de la sección y la naturaleza de las paredes. Utilizó el concepto de rugosidadde Kutter.

CATEGORIA DESCRIPCION G

1 Contorno muy liso, perfectamente ejecutado. Plancha

metálica. Cemento liso, madera muy cepillada. 0,06

2 Contornos lisos. Concreto bien acabado. 0,16

3 Concreto sin pulir. Albañilería de piedra bien terminada. 0,46

4 Canales en tierra, sin vegetación. 0,85

5 Canales en tierra con hierbas. Ríos de cauce irregular,

sin vegetación. 1,30

6

Canales en tierra con vegetación. Fondo de cantos

rodados. Canales en tierra muy erosionados e

irregulares.

1,75

265


Siedek publicó en Viena en 1901 "una nueva fórmula para el cálculo de canales" que es enrealidad bastante complicada. Al igual que muchas fórmulas de esa época está basada enmodificaciones de las ideas de Kutter y Bazin.

Lindboe publicó en 1910 una "nueva fórmula" para el cálculo de la velocidad media en corrientesnaturales.

Matakiewiez publicó en 1910 otra nueva fórmula para cursos naturales (ríos).

Hay muchas otras más como la de Christen (1903), Forchheimer (1915), Groeger (1914),Scobey, etc.

Respecto a las fórmulas empíricas para el cálculo de la velocidad media es conveniente citarlo escrito por el profesor Francisco Javier Domingez.

"Una crítica razonada y científica de las fórmulas anteriores no puede hacerse, pues, enprimer lugar, no descansan en base científica, sino que son fórmulas empíricas de resultadosexperimentales y hay, además, dificultades de otro orden, que impiden una comparaciónjusta. En efecto, ¿Cómo pretender comparar las categorías fijadas por un experimentadorcon las de otro?. Es evidente que en la primera categoría, que es la mejor definida, cabe unacomparación y en ella parece adaptarse mejor a las experiencias la de Bazin que la deGanguillet y Kutter y Manning; pero pasando a otras categorías, mientras más áspera es lapared, más difícil es comparar. Hay otra dificultad y es determinar por simple inspección quecategoría de una fórmula que se quiere usar, corresponde a un canal existente, y es aún másdifícil proyectar un canal dándose a priori la categoría que debe asignársele. Por otra parte, larugosidad de pared de un lecho cambia si está sujeto a posibles embancamientos,deformaciones y vegetaciones, variables de una estación a otra: estamos lejos de haberexpresado en fórmulas la asperidad de la pared de los canales, variable desde un cementoliso hasta una roca’’.

6.3 Fórmula de Manning

Es la fórmula cuyo uso se halla más extendido en la actualidad. Proviene de considerar que

en la fórmula de Chezy el coeficiente C es

nR

C61

= (6-11)

de donde al sustituir en 6-1 se obtiene la fórmula de Manning

266


nSR

V21

32

= (6-12)

y el gasto es

nSAR

Q21

32

= (6-13)

Los valores del coeficiente de rugosidad son los de Kutter (Tabla 6.2), los mismos que seutilizan en la fórmula de Ganguillet-Kutter (6-6).

Se observa que las dimensiones de n son 31

−TL . En consecuencia, al tener n unidades

debería de cambiar de un sistema de unidades a otro. Sin embargo, desde el principio se

impusieron los valores de n determinados por Kutter (sistema métrico decimal) y se halló

una solución práctica que consiste en considerar a n como adimensional e incorporar en la

ecuación de Manning, en unidades inglesas, un factor de corrección que es parte de la fórmula.

Así se tiene, que en el sistema de unidades inglesas, la ecuación de Manning es

21

32486,1SR

nV = (6-14)

Las unidades de 1,486 son ft1/3 /sec. (1,486 = 3,28081/3). En el sistema métrico decimal laconstante vale 1 y sus unidades son m1/3/s.

Dado el carácter empírico de la fórmula de Manning debe esperarse que su validez estélimitada a determinadas condiciones.

Rouse, en su "Hidráulica" señala que: "La fórmula de Manning es aceptable para valoresintermedios de la rugosidad relativa. Tampoco hay que olvidar que una expresión de este tipono puede englobar la acción de la viscosidad. Es, pues, de suponer que su poca exactituddisminuya con números de Reynolds bajos".

En la literatura europea es frecuente que la fórmula aparezca con el nombre de Strickler o deManning-Strickler y con la siguiente forma

21

32

SkRV = (6-15)

siendo,

267


nk

1= (6-16)

La ecuación de Strickler se conoce frecuentemente en los libros técnicos franceses con elnombre de fórmula de Gauckler, quien fue un ingeniero que en 1868 publicó en "Annales desPonts et Chaussées" la fórmula en cuestión, la misma que en 1891 fue atribuida en su formaactual al irlandés Manning.

Algunos autores soviéticos consideran que en lugar de la fórmula 6-11 debería usarse otrasimilar, pero con exponente variable. En 1925 Pavlovski presentó la expresión siguiente

nR

Cx

= (6-17)

Siendo,

( )10,075,013,05,2 −−−= nRnx (6-18)

C es el coeficiente de Chezy en unidades métricas. Esta fórmula es válida para radios

hidráulicos comprendidos entre 0,1 m y 3 m y para valores de n comprendidos entre 0,011 y

0,040.

La ecuación 6-18 se puede simplificar para fines prácticos, con las siguientes ecuaciones

Para R < 1 m x = 1,5 n (6-19)

Para R > 1 m x = 1, 3 n (6-20)

Para el cálculo de un canal, o sea para el dimensionamiento de la sección transversal, deberá

tomarse en cuenta todos los factores que afecten al coeficiente n de Kutter, los mismos queserán analizados más adelante.

Ejemplo 6.1 Se tiene un canal rectangular de 10 m de ancho y 3 m de tirante que conduce agua. Lasuperficie es de concreto, bien acabado, pero con varios años de uso. La pendiente es 0,0008. Calcularel gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Kutter, Bazin, Manning, Chezy y Pavlovski.Comparar los resultados. (T = 20 °C)

Solución. En primer lugar se calcula de inmediato el radio hidráulico que resulta ser

R = 1,875 m

268


a) Fórmula de Ganguillet-Kutter. La descripción del contorno corresponde a n = 0,014. Entonces,

875,1

014,0

0008,0

00155,0231

0008,0

00155,0

014,0

123

++

++

=C = 77 m1/2/s

de donde,

RSCV = = 2,98 m/s

AVQ = = 89,4 m3/s

b) Fórmula de Kutter (S > 0,0005). La descripción del contorno corresponde a m = 0,25

875,125,0

875,1100

+=C = 85 m1/2/s

V = 3,29 m/s

Q = 98,7 m3/s

c) Fórmula de Bazin. La descripción del contorno corresponde a G = 0,16

875,1

16,01

87

+=C = 78 m1/2/s

V = 3,02 m/s

Q = 90,6 m3/s

d) Fórmula de Chezy. La descripción del contorno corresponde a k = 3x10-4 m

*V = 0,121 m/s δ = 0,000096 m

νkV* = 36 (transición) C = 87 m1/2/s

por lo tanto,V = 3,37 m/s

Q = 101,1 m3/s

269


e) Fórmula de Manning. (n = 0,014)

n

SRV

21

32

= = 3,07 m/s

Q = 92,1 m3/s

(Corresponde a un valor de C igual a 79 m1/2/s, que se obtiene aplicando la ecuación 6-11)

f) Fórmula de Pavlovski. (n = 0,014)

( )10,0014,0875,175,013,0014,05,2 −−−= x = 0,147

n

RC

x

= = 78 m1/2/s

RSCV = = 3,02 m/s

Q = 90,6 m3/s

COMPARACION DE LOS RESULTADOS

Ejemplo 6.2 ¿Cuáles serían los valores del gasto en el canal del ejemplo anterior según las mismasfórmulas y considerando que el canal fuera de tierra con fondo pedregoso, en buen estado. Compararlos resultados de ambos ejemplos.

Solución.

a) Ganguillet-Kuttern = 0,025C = 45 m1/2/sV = 1,74 m/sQ = 52,2 m3/s

FORMULA C V Q

Ganguillet – Kutter

Kutter

Bazin

Chezy

Manning

Pavlovski

77

85

78

87

79

78

2,98

3,29

3,02

3,37

3,07

3,02

89,4

98,7

90,6

101,1

92,1

90,6

Promedio 81 3,13 93,8

270


b) Kutterm = 1,75C = 44 m1/2/sV = 1,70 m/sQ = 51 m3/s

c) BazinG = 1,3C = 45 m1/2/sV = 1,74 m/sQ = 52,2 m3/s

d) Chezyk = 5x10-2 mC = 48 m1/2/sV = 1,86 m/sQ = 55,8 m3/s

e) Manningn = 0,025V = 1,72 m/sQ = 51,6 m3/s

f) Pavlovskin = 0,025x = 0,206C = 46 m1/2/sV = 1,78 m/sQ = 53,4 m3/s

COMPARACION DE LOS GASTOS CALCULADOS (m3/s)

SUPERFICIE

FORMULA

CONCRETO BIEN ACABADO

CON VARIOS AÑOS DE USO

EN TIERRA CON FONDO

PEDREGOSO, BUEN ESTADO

Ganguillet - Kutter

Kutter

Bazin

Chezy

Manning

Pavlovski

89,4

98,7

90,6

101,1

92,1

90,6

52,2

51

52,2

55,8

51,6

53,4

271


De este ejemplo obtenemos algunas conclusiones importantes.

En primer lugar, las diversas fórmulas no dan una gran dispersión en los resultados, para una mismanaturaleza del contorno. En segundo lugar, y esto es muy importante, la velocidad está fuertementeinfluenciada por la naturaleza del contorno. En el diseño de un canal será de primerísima importanciala correcta estimación de la rugosidad de las paredes.

De acá vemos la importancia que tiene el revestimiento. Al obtenerse una superficie más lisa se logradisminuir el tamaño de la sección transversal ó aumentar la capacidad de descarga del canal.

6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n aemplearse en la fórmula de Manning

Básicamente se presentan dos problemas de naturaleza diferente

a) Dado un curso de agua existente calcular el gasto Q que puede escurrir, aplicando la

fórmula de Manning. Para ello se requiere estimar el valor de n que corresponde al

cauce.

b) Dado un problema de diseño hay que considerar para la superficie (revestimiento) que va

a tener el canal, cual es el valor de n que se le asigna.

Las tablas consideran los valores usuales del coeficiente n para condiciones que podríamos

llamar normales. Sin embargo, lo normal es que un canal tenga uno o varios de los problemas

que a continuación se señalan y que modifican el valor original que podía haberse asignado a n .

El coeficiente n depende, pues, esencial, pero no exclusivamente de la aspereza de lasuperficie. También interviene lo siguiente

a) Curvas. No es correcto considerar el coeficiente de rugosidad, que estrictamente es uncoeficiente de resistencia, como independiente del alineamiento del canal. La presenciade curvas aumenta la resistencia. Especialmente si estas son numerosas y de pequeñoradio de curvatura.

b) Vegetación. Es particularmente importante en canales pequeños. Su crecimiento puedealterar esencialmente los valores supuestos en base únicamente a la rugosidad. Esfrecuente en canales en tierra. Su crecimiento desmedido puede dar lugar fácilmente a

aumentos del orden del 50 % en el valor de n .

c) Irregularidades. Los canales en tierra se caracterizan por no tener una seccióntransversal invariable. Las pequeñas irregularidades que pueden ocurrir como consecuenciade bancos, depósitos de sedimentos, etc. alteran el valor de la rugosidad supuesta.

272


Esto se agrava cuando el canal tiene transporte sólido, que motiva una configuraciónvariable del lecho.

d) Tirante. En general al aumentar el tirante se tendrá, de acuerdo a la teoría, que la

rugosidad relativa disminuye y por lo tanto también debe disminuir el coeficiente n .

Cowan determinó que el valor de n a considerarse en los cálculos debería tomar en cuenta

los factores anteriormente señalados, según la ecuación siguiente

( ) 543210 mnnnnnn ++++=

siendo

0n : el valor básico que depende de la rugosidad (aspereza)

1n : es un valor adicional para tomar en cuenta las irregularidades

2n : es un valor adicional para tomar en cuenta las variaciones en la forma y tamaño de la

sección transversal

3n : es para tomar en cuenta las obstrucciones

4n : es para tomar en cuenta la vegetación

5m : es un factor para tomar en cuenta los meandros

Al respecto se incluye la Tabla 6.5 tomada del libro de Ven Te Chow.

6.5 Determinación de la sección transversal

En el cálculo de la sección de un canal debe partirse del hecho siguiente: desde el punto devista hidráulico hay, en principio, un número infinito de soluciones. Si se va a construir uncanal el gasto o caudal está dado por las condiciones de diseño; no proviene de un cálculohidráulico, sino de la función del canal, de la naturaleza del servicio que presta y por cierto delanálisis que se ha hecho de las disponibilidades de agua. El caudal de diseño Q es un datoimpuesto al que debe adecuarse el cálculo de la sección del canal.

Un canal puede servir para abastecer de agua a una ciudad, servir a una irrigación, a unacentral hidroeléctrica o tener un uso múltiple.

Para transportar un gasto Q podemos, dentro de las limitaciones topográficas, adoptar unadeterminada pendiente compatible con la naturaleza del revestimiento, que escogeremos enfunción de varios factores: costo, seguridad, disponibilidad de materiales, etc.

273


TABLA 6.5TABLA DE COWAN PARA DETERMINAR LA INFLUENCIA DE DIVERSOS FACTORES

SOBRE EL COEFICIENTE n

( ) 543210 mnnnnnn ++++=

Tierra 0,020

Roca 0,025

Grava fina 0,024 Superficie del Canal

Grava gruesa

0n

0,028

Suave 0,000

Menor 0,005

Moderada 0,010 Irregularidad

Severa

1n

0,020

Gradual 0,000

Ocasional 0,005 Variación de la Sección

Frecuente

2n

0,010 – 0,015

Despreciable 0,000

Menor 0,010 – 0,015

Apreciable 0,020 – 0,030 Efecto de la Obstrucción

Severo

3n

0,040 – 0,060

Bajo 0,005 – 0,010

Medio 0,010 – 0,025

Alto 0,025 – 0,050 Vegetación

Muy alto

4n

0,050 – 0,1

Menor 1,000

Apreciable 1,150 Intensidad de Meandros

Severo

5m

1,300

274


En esas condiciones podemos diseñar diversas secciones transversales: rectangular, trapecial,semicircular, etc. En la Figura 6.1 se observa varias secciones transversales que se caracterizanpor tener todas un radio hidráulico de 1 m.

Veamos, con un poco más de detenimiento, cuales son los factores limitantes para el diseño.

No siempre un canal conduce agua totalmente libre de partículas sólidas (sedimentos).Debemos admitir, pues, que en muchos casos el agua contendrá partículas en suspensión(arenas, limos, arcillas) de diferente diámetro.

Si la velocidad del canal es pequeña hay la posibilidad de que estas partículas sedimentenformando bancos o depósitos. Dado que la sección transversal se caracteriza por tener unadistribución de velocidades, hay zonas en las que la velocidad es notablemente menor que lavelocidad media.

4 m

1,5 m

6 m

3 m

3 m

4 m

2 m

2,4 m

6 m

1,095 m

20 m

45°

Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que secaracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m

275


Sin embargo, se considera que, por lo menos en primera aproximación, la velocidad media esun parámetro útil para examinar la posibilidad de sedimentación. Cada partícula sólida se

mantiene en suspensión en función de la relación que existe entre su velocidad de caída wy la velocidad V de la corriente.

Valores altos de esta relación indican tendencia a la sedimentación. A veces las partículasactúan como proyectiles y si la velocidad es alta pueden destruir el revestimiento.

El problema de erosión y sedimentación es más serio en tramos en curva, pues en unamargen la velocidad es muy grande y en la otra muy pequeña.

Según la naturaleza de las paredes hay tablas que dan las velocidades límites.

La velocidad ideal es la que para las características del agua y del revestimiento no produceerosión ni sedimentación y da lugar a un costo mínimo de construcción.

El talud de la sección depende de la naturaleza del terreno. Desde el punto de vista puramentehidráulico se puede lograr los mismos resultados con un canal de cualquier forma.

Los taludes que generalmente se recomienda son los siguientes (en seco)

Los valores consignados en esta tabla deben considerarse meramente referenciales. Siempreconsideramos que el talud se define como 1 vertical y z horizontal.

1z

MATERIAL TALUD z

Roca dura y sana

Roca fisurada

Suelos cementados, firmes

Tierra arcillosa

Tierra arenosa

Arena

0

0,5

1

1,25

1,5

2 ó más

V

wwV

276


La sección hidráulica de un canal debe satisfacer la fórmula de Manning (o alguna de las otrasfórmulas).

nSAR

Q21

32

=

de donde,

21

32

S

QnAR = (6-21)

El miembro de la izquierda describe la geometría de la sección transversal. El valor 3/2AR

generalmente crece al aumentar el tirante. Para un valor del gasto y una rugosidad y pendiente

dadas hay un valor de 3/2AR que corresponde al tirante normal.

Para realizar un buen diseño, debemos tener una idea clara de como varía el gasto con eltirante, lo que se logra efectuando el cálculo respectivo y graficando como se ve en la figuraadjunta.

( )Qfy = (6-22)

Empezaremos por analizar como se realiza el cálculo cuando hay una condición impuesta.Esta puede ser el ancho en la base o el tirante. Si ninguna de estas dos condiciones esimpuesta, entonces tenemos mayor libertad para escoger la sección transversal.

CASO A: Se conoce el ancho b en la base

Los datos son

b : ancho en la base

Q : gasto

S : pendiente

z : talud

n : rugosidad

y

Q

277


La incógnita es el tirante y

Este caso se presenta con alguna frecuencia dado que por razones constructivas se puederequerir para el canal un ancho determinado.

Para la solución de este caso Ven Te Chow ha preparado un gráfico al que se entra con los

valores de 3/8

3/2

bAR

y se obtiene el valor de by

, para cada talud (Figura 6.2), tal como se ve en

el esquema adjunto. El gráfico de Ven Te Chow ha sido ampliado de modo de incluir laMáxima Eficiencia Hidráulica, que más adelante se presentará.

Para el cálculo de 32

AR basta con recordar que (6-21)

Ejemplo 6.3 Se tiene un canal trapecial revestido en tierra en regulares condiciones de conservación.El ancho en la base es de 4 m. El talud de 45°. La longitud de canal entre los puntos A y B es de 1 000m. La cota del punto A es 836,5 m y la cota del punto B es 835,8 (ambas cotas están medidas en lasuperficie libre). El gasto es de 8 m3/s.Calcular el tirante normal. Dibujar la función gasto-tirante.

8/3

2/3

b

AR

by

z

21

32

S

QnAR =

278

Arturo RochaH


Figura 6.2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow)

0,00019

0,001 0,01 0,10,2 0,5

1432 765

0,01

10

0,02

0,030,04

0,060,080,1

0,2

1,00,80,6

0,40,3

2

1086

43

109

0,0001 0,0010,2

0,01 0,15 6 72 3 40,5

1

8/3

2/3

b

AR

D8/3

2/3ARó

z = 1,5z = 2,0z = 2,5z = 3,0z = 4,0

z = 1,0

z = 0,5

z = 0

(recta

ngular)

circular

MEH

Dy

y

b

1z

0,040,03

0,02

0,01

43

2

0,30,4

0,60,81,0

0,2

0,10,080,06

68

10

óyD

yb

D

óy

by

279


Solución.

Q = 8 m3/sb = 4 mz = 1S = 0,0007n = 0,02 (Tabla 6.2)

21

32

S

QnAR = = 6,04 oo

o 38

32

b

AR= 0,15

De la Figura 6.2 se obtiene b

y = 0,315

de dondey = 1,26 m

Luego el tirante normal es 1,26 m y se puede calcular toda la sección transversal (para 8 m3/s).

Examinemos ahora el método de tanteos, tanto para resolver este ejemplo sin la ayuda del gráfico deVen Te Chow, como para obtener la función gasto - tirante (ec 6-22). Consideremos una seccióntrapecial como la mostrada en la figura

Aplicando ecuaciones conocidas se obtienen las expresiones siguientes

( )yzybA += (6 -23)

212 zybP ++= (6-24)

( )212 zyb

yzybR

++

+= (6-25)

De donde,

( )

( )

n

Szyb

yzyb

yzybQ

213

2

212

++

+

+= (6-26)

1z

b

y

280


Reemplazando los datos del ejemplo se tiene

( )yyA += 4

yP 224 +=

( )y

yyR

2244+

+=

( )

( ) ( )

02,0

0007,0224

4

4

213

2

++

+=y

yy

yyQ

Tenemos así una ecuación con una incógnita, que puede ser resuelta por el método de tanteos.

( ) ( ) 32

22444323,1

+++=

y

yyyyQ

Dando valores al tirante y se obtiene lo siguiente

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0 1 2 3 4 5 6 7 9 10 118

y (m)

Q (m /s)

1,26

3

y(m) Q(m3/s)

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

4,48

5,37

6,34

7,37

8,48

9,66

10,92

281


CASO B: Se conoce el tirante y

Los datos son

y : tirante

Q : gasto

S : pendiente

z : talud

n : rugosidad

La incógnita es el ancho en la base.

Esta condición se presenta cuando por razones de servicio se requiere un tirante determinado.

Para la solución se puede recurrir al método de tanteos descrito anteriormente.

CASO C: Se desconoce los valores de b e y

Para la solución se pueden escoger libremente los valores del ancho en la base y el tirante.Se suele usar entonces el concepto de máxima eficiencia hidráulica que se estudia acontinuación.

6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)

Como se ha visto anteriormente hay muchas secciones transversales que satisfacen lasecuaciones de la velocidad media en movimiento uniforme.

Como normalmente los datos son Q , n , z y S hay muchas combinaciones de las incógnitas

b e y , que satisfacen la fórmula de Manning.

Anteriormente hemos visto los casos en los que hay una condición impuesta: Por ejemplo, elancho en la base. Entonces se calcula el tirante que satisface la condición hidráulica. O bienal revés.

También puede darse que haya libertad para escoger los valores del ancho en la base y eltirante.

En estos casos puede buscarse la sección de máxima eficiencia hidráulica.

Se dice que una sección es de máxima eficiencia hidráulica cuando para la misma área,pendiente y calidad de paredes deja pasar un gasto máximo. O bien, es aquella que para elmismo gasto, pendiente y calidad de paredes tiene un área mínima.

282


La sección de M. E. H. se puede interpretar a la luz de la fórmula de Manning

nSAR

Q21

32

=

Luego,

32

21

35

PS

QnA =

525

3

21 P

S

QnA

=

Como en un canal dado, Q , n y S son constantes

52

KPA =

La sección de M. E. H. es aquella que para la misma área tiene el perímetro mínimo. Enconsecuencia la sección de máxima eficiencia hidráulica es la semicircular.

Esto, basándose en la propiedad geométrica de ser el círculo la figura que para la misma áreatiene el perímetro mínimo.

En condiciones normales la sección de M. E. H. involucra la mínima sección de excavación,de revestimiento y de superficie de infiltración. También debe tenerse presente que el perímetromínimo involucra menor rozamiento. Sin embargo, los canales circulares son poco usados.

Naturalmente que en un canal en media ladera la sección de M. E. H. no da la mínimaexcavación.

Hay una patente española, Barragán, para la construcción de canales circulares. Más adelantenos ocuparemos de este tipo de canales.

283


Para obtener la sección de máxima eficiencia hidráulica en la práctica se reemplaza la secciónsemicircular por una trapecial.

Lo que nos interesa es la relación que debe haber entre b e y para que la sección sea de

máxima eficiencia hidráulica. Llamemos m a esta relación

ybm = (6-27)

Mediante simples consideraciones geométricas se obtiene

( ) 2yzmA +=

de donde,

zmA

y+

=

El perímetro es

212 zymyP ++=

Mediante transformaciones sucesivas se obtiene

( )22222 4414 zzmmAzPmP ++++=+

Derivando el perímetro P con respecto a m se obtiene

1z

b

y

T

z y

284


0)(2)12(2 22

=+

−++=zmP

PzmAdmdP

De donde,

( )zzm −+= 212 (6-28)

Se concluye que para cada talud hay una relación m , que es la que da la máxima eficiencia

hidráulica.

Así por ejemplo, en un canal rectangular z = 0, de donde m = 2. Significa esto que en un

canal rectangular la máxima eficiencia hidráulica se obtiene cuando el ancho es igual al dobledel tirante.

Para las diferentes secciones trapeciales la relación m se obtiene para cada talud, aplicando

la ecuación 6-28.

Los valores más comunes son

En una sección de M. E. H. el radio hidráulico es

( )2

2

12 zymy

yzmR

+++= (6-29)

reemplazando el valor de m de la ecuación 6-28 se obtiene, luego de simplificar

b = 2 y

y

z 0 0,25 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4

m 2 1,56 1,24 0,83 0,61 0,47 0,39 0,32 0,25

285


2y

R = (6-30)

Lo que demuestra que en una sección de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico esigual a la mitad del tirante (sección trapecial).

También puede obtenerse las condiciones de máxima eficiencia hidráulica para talud variable.Se busca así el llamado "talud más eficiente". Para este caso el perímetro es

( )212 zmyP ++=

por condición de M. E. H.

( )zzm −+= 212

sustituyendo se obtiene que el perímetro mínimo es

yzzyPmin 214 2 −+=

0=dz

dPmin

de donde

33=z (6-31)

En las Tablas 6.9 y 6.10 se presentan cuadros auxiliares para el cálculo de canales enmáxima eficiencia hidráulica.

Ejemplo 6.4 Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) impuesta por lanaturaleza del terreno es 60° con la horizontal. Determinar las dimensiones de la sección transversalcon la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficientede rugosidad de Kutter se ha considerado de 0,025.

Solución.

tg 60° = z

1 = 1,732. Luego, z = 0,577

286


Para máxima eficiencia hidráulica se tiene que,

( )zzm −+= 212 = 1,155 oo

oy

b = 1,155

Para utilizar el gráfico de la Figura 6.2 debemos entrar con la inversa del valor anterior

b

y= 0,866

y obtenemos que,

38

32

b

AR= 0,74

pero,

21

32

S

QnAR = = 2,74 o

oo b = 1,63 m

luego los otros valores sony = 1,41 mA = 3,45 m2

V = 1,74 m/sR = 0,705 m

El cálculo podría haberse hecho de otra manera. A partir de la ecuación

( ) 2yzmA += se obtiene 273,1 yA =

aplicando la fórmula de Manning

( )

025,0

003,0273,1

213

2

2

=

y

yQ

se obtiene

Q = 2,39 38

y

para Q = 6 m3/s se encuentra y = 1,41 m

(Este problema se podría haber resuelto usando la Tabla 6.9)

287


Con lo que la sección transversal queda así,

Q = 6 m3/s V = 1,74 m/s R = 0,705 mA = 3,45 m P = 4,89 m y = 1,41 m

Se observa que por ser una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico es iguala la mitad del tirante y, la longitud de cada talud es igual a la mitad del ancho superficial.

El talud, por la naturaleza del terreno es de 60°. Casualmente resulta ser el talud que da el perímetromínimo (talud más eficiente). Al respecto se puede ver la ecuación 6-31. En este caso particular lasección hidráulica obtenida es la mitad de un hexágono.

Si resolviéramos este mismo problema para un talud diferente de 60° obtendríamos siempre una secciónde máxima eficiencia hidráulica (para el talud respectivo), pero el perímetro sería mayor que 4,89 m.

Con la ecuación Q = 2,39 38

y obtenida, se puede hacer un gráfico

1,63

m1,63 m

1,63 m

3,26 m

1,41 m

60º

Q (m /s)30

10642 8 12 14 16 2018

0,5

1,0

1,5

2,0

y (m)

288


La ecuación que se ha obtenido gasto-tirante es muy importante. Así por ejemplo, si el gasto fuera 10 %mayor (6,6 m3/s). Entonces

y = 1,46 m

6.7 Concepto de borde libre

Se denomina borde libre (freeboard) a la altura (tirante) adicional que se da a fin de absorberlos niveles extraordinarios que puedan presentarse por encima del caudal de diseño de uncanal.

¿Por qué puede presentarse en un canal un tirante mayor que el correspondiente al del gastode diseño?. Por ejemplo, si se diseña un canal para 30 m3/s y se encuentra que el tirante(normal) es 3,20 m ¿Por qué hemos de esperar un tirante mayor?

Las razones podrían ser. entre otras, las siguientes

a) Cuando se calcula la sección transversal de un canal hay que suponer un valor para larugosidad, pero, en el momento de la construcción y por causas que escapan al ingenierodiseñador puede ser que la superficie tenga una mayor rugosidad. En consecuencia, serequerirá de un tirante mayor para que escurra el mismo caudal.

También puede ocurrir que con el paso de los años el revestimiento del canal se deteriorey tienda a hacerse más rugoso. Si este fenómeno fuera más intenso que el previsto, ladiferencia es tomada por el borde libre.

b) Una mala operación en las compuertas de entrada al canal puede dar lugar a que ingresea éste un caudal mayor que el de diseño.

c) A lo largo de la conducción pueden presentarse ingresos de agua no previstos.

d) Puede ocurrir una obstrucción parcial a lo largo de la conducción. Por ejemplo, caída deun tronco. El borde libre sirve para absorber los incrementos en el tirante que se produzcancomo consecuencia de lo anterior.

e) Por una razón u otra puede presentarse una onda en el canal. El borde libre debe absorberla altura de ola correspondiente.

borde libre

y

289


El borde libre es, pues, una seguridad que toma el ingeniero diseñador contra fenómenos quetienen una cierta probabilidad de ocurrencia.

Entonces la magnitud del borde libre depende esencialmente del grado de seguridad que sedebe dar al canal como consecuencia de su importancia y de una estimación de la posibilidadque ocurra algún fenómeno extraordinario.

En consecuencia, en la determinación de la magnitud del borde libre juega un gran papel lanaturaleza del terreno en que está construido el canal. Si el canal rebalsa y está en zonaarenosa las consecuencias pueden ser mucho más graves que en otro tipo de suelo.

Para dimensionar el borde libre (entendido como una altura vertical adicional al tirante) debemostener en cuenta la forma de la sección transversal y esencialmente la curva gasto-tirante.

Supongamos que se tiene dos secciones transversales como las mostradas a continuación

Si ambas tienen similares velocidades, es evidente, y puede demostrarse mediante el cálculo,que un borde libre igual en ambas, representará en la primera un pequeño aumento de caudaly en la segunda un aumento de caudal bastante mayor.

El análisis de la curva gasto-tirante nos permite visualizar el problema del borde libre bajo unaperspectiva diferente. No pensemos únicamente en centímetros adicionales para el tirante,sino en su equivalente en metros cúbicos por segundo.

Por último, podríamos señalar que en zonas en las que los estudios hidrológicos no ofrecenuna gran confiabilidad, tanto en la estimación de la oferta como de la demanda, y en las quesea cara el agua, es conveniente dimensionar con generosidad el borde libre. Naturalmenteque hay que tener presente como varía el costo de un canal con el tirante. Esta función no eslineal, de modo que es frecuente que un aumento en el tirante produzca un aumento pequeñoen el costo del canal.

Ven Te Chow señala que el borde libre varía entre menos del 5 % y más del 30 % del tirante.Indudablemente se trata de valores extremos.

8 m3 m

290


Para canales en tierra, donde dicho sea de paso es mayor la incertidumbre con respecto alcoeficiente de rugosidad, el Bureau of Reclamation señala que el borde libre varía entre 1 ft(0,30 m) para canales pequeños y poco profundos, hasta 4 ft (1,20 m) para canales grandes,profundos y con caudales de 85 m3/s ó más. Para cálculos preliminares el Bureau recomiendala fórmula siguiente

cylb =.. (6-32)

.. lb : es el borde libre en metros

y : es el tirante en metros

c : es un coeficiente que varía así

0,46 para Q = 0,60 m3/s

0,76 para Q = 85 m3/s

El Bureau of Reclamation recomienda el gráfico de la Figura 6.3

Hay también unas curvas que dan el borde libre en función del tirante y la velocidad, tal como

aparece en la Figura 6.4.

,2 ,3 ,4 ,5 52 3 4 20 5030 40100 m /s,1 1,0 10

0

0,3

0,6

0,9

1,2

Altura del Terraplén sobre la Superficie Libre

Altura del Revestimiento sobre la Superficie Libre

3

ALT

UR

A E

N M

ET

RO

S

GASTO

Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation

291


Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales revestidos(Tomada de Engineering News Record)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00

1

2

3

4

5

6

TIR

AN

TE y

EN

ME

TRO

S

BORDE LIBRE EN METROS

veloc

idad

0,80

m

/s1,0

m

/s

1,4

m/s

1,2

m/s

1,6

m/s

1,8

m/s

2,0

m/s

2,2 m

/s2,4

m/s

2,6 m

/s2,8

m/s

3,6 m

/s

3,4 m

/s

3,2 m

/s

3,0 m

/s

0

292


6.8 Cálculo de canales de sección compuesta

Puede haber canales que tengan una sección transversal como esta

Se dice entonces que es una sección compuesta. Está formada por la suma de dos figurasgeométricas.

También puede ocurrir algo similar en un cauce natural. Un río tiene en época de estiaje uncaudal pequeño, pero en época de abundancia tiene un caudal grande que ocupa las áreasadyacentes.

Una sección compuesta se puede dividir en N secciones parciales de modo que el gasto

total Q es igual a la suma de los gastos parciales

NQQQQQ ........321 +++= (6-33)

Cada parte de la sección tiene su propia rugosidad: 1n , 2n ,......, Nn

Para cada parte de la sección se tendrá que

i

ii n

SRV

21

32

=

Areas deinundación

Q 1 Q 2 3Q

293


212

132

SKn

SRAQ i

i

iii ==

siendo,

i

iii n

RAK

32

=

El gasto total es

( ) 21

1

SKQi

i ∑=

= (6-34)

de donde,

( )A

SKV i∑=

21

(6-35)

que es la expresión de la velocidad media en una sección compuesta.

Rugosidad compuesta

Un canal puede ser construido de modo que el fondo y las paredes tengan rugosidadesdiferentes. Habrá así dos valores para el coeficiente de rugosidad. Uno para el fondo y otrapara las paredes. Se dice entonces que el canal es de rugosidad compuesta.

Estas figuras muestran dos ejemplos característicos de rugosidad compuesta.

Si cada parte de la sección tiene un coeficiente in de Kutter, entonces el problema consiste

en hallar un valor de n que sea representativo de todo el perímetro.

concretopiedravidrio

madera

294


Consideremos que hubiera N rugosidades diferentes. A cada una le corresponde una parte

del perímetro mojado.

Rugosidades: 1n 2n 3n ..... Nn

Perímetros: 1P 2P 3P ..... NP

Supongamos, por facilidad operativa, que sólo hubiera dos rugosidades diferentes. Para cadauna de ellas habrá un radio hidráulico correspondiente y se puede calcular cada velocidadparcial

1

21

32

11 n

SRV =

2

21

32

22 n

SRV =

o bien,

23

21

111

=

S

nVR

23

21

222

=

S

nVR

en consecuencia, y aplicando la ecuación RPA = se tiene que

1

23

21

111 P

S

nVA

= 2

23

21

222 P

S

nVA

=

El área total es igual a la suma de las áreas parciales

21 AAA +=

2

23

21

221

23

21

11

23

21 P

S

nVP

S

nVP

S

Vn

+

=

La pendiente es la misma. Horton y Einstein hicieron la suposición de que la velocidad es unasola.

NVVV ........21 ==

295


Luego,

32

23

2223

11

+=P

nPnPn (6-36)

que es coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección transversal.

Ejemplo 6.5 Se tiene un canal trapecial de 4 m de ancho en la base. El talud es de 45°. La pendiente es0,07 %. Originalmente las paredes eran lisas y para un gasto de 6 m3/s el tirante normal era 0,88 m.Luego el mismo canal se reviste con mortero preparado a base de arena gruesa, con lo que la rugosidadaumenta, determinándose que para un caudal de 10 m3/s el tirante normal es 1,44 m.

a) Determinar el gasto para un tirante normal de 1,10 m, si el fondo tuviera un acabado rugoso y lasparedes el acabado liso original.

b) Determinar el gasto para el mismo tirante normal, si el fondo fuera liso y las paredes rugosas.

Solución. Si el canal es liso entonces

( ) ( )6

0007,066,029,4 213221

32

1 ==Q

SARn = 0,014

Si el canal es rugoso entonces,

( ) ( )10

0007,097,083,7 2132

2 =n = 0,020

a) Si el fondo es rugoso y las paredes lisas

32

23

2223

11

+=

P

nPnPn

( ) ( )[ ]( ) 32

322323

11,702,04014,011,3

+

=n = 0,0175

296


el gasto es

( ) ( )0175,0

0007,079,061,5 213221

32

==n

SARQ = 7,25 m3/s

b) Si el fondo es liso y las paredes rugosas

( ) ( )[ ]( ) 32

322323

11,702,011,3014,04

+

=n = 0,017

Luego,

( ) ( )017,0

0007,079,061,5 2132

=Q = 7,46 m3/s

6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno

Es frecuente tener un conducto cerrado llevando un fluido que no ocupa totalmente la seccióntransversal. Podría ser, por ejemplo, un túnel, una tubería de desagüe o una alcantarilla.

El conducto no trabaja a presión e hidráulicamente es un canal.

Examinemos un tubo circular parcialmente lleno

yD y

Dy

297


Mediante simples consideraciones geométricas se puede determinar el área, perímetro y

demás elementos de la sección transversal ocupada por el fluido. Sin embargo, los cálculos

se pueden simplificar con el gráfico de la Figura 6.6 "Características geométricas en una

sección circular" que nos da para cada valor de la relación Dy el correspondiente valor del

área, perímetro, tirante hidráulico y radio hidráulico.

La tubería que trabaja parcialmente llena se caracteriza por la posibilidad de tener una velocidadmedia y un gasto mayores a los que corresponderían a tubo lleno.

Examinemos en primer lugar las condiciones para tener velocidad máxima en un tuboparcialmente lleno.

Consideremos una tubería cuyo diámetro es D y cuyo radio es r . El flujo corresponde a un

tirante y .

Se trata de hallar la relación Dy que da la máxima velocidad para el flujo. AB es la superficie

libre, θ es el ángulo en el centro.

Las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado y radio hidráulico son

( )θθ sen2

2

−= rA (6-37)

θrP = (6-38)

Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno

Dy

A B

θ

298


( )θθθ

sen2

−= rR (6-39)

Si consideramos las fórmulas de Manning o de Chezy, o cualquier otra para el cálculo de lavelocidad media encontramos que siempre se cumple que

xkRV = (6-40)

Para pendiente y rugosidad constantes, k y x dependen de la fórmula particular empleada.

Por lo tanto, para que la velocidad sea máxima se requiere que el radio hidráulico sea máximo

0=θd

dR (6-41)

0cossen2 2 =−

θθθθr

de donde,

èè tg= (6-42)

4934,4=θ rad

θ = 257º 27‘ 10’’ ≈ 257º 30’

θ es el ángulo que corresponde a la velocidad máxima.

Se determina inmediatamente que

θπ −2 = 102º 30’

El tirante es

−=

2cos1 θry (6-43)

De dondeDy

= 0,8128 ≈ 0,81 (6-44)

Por lo tanto, cuando el tirante es D81,0 , la velocidad es máxima.

299


Se observa que el resultado obtenido es independiente de la fórmula con la que se calcule lavelocidad media.

Calculemos ahora cual es el valor de Dy que hace que el gasto sea máximo.

De la Figura 6.5 se obtiene que

( )θθ sen2

2

−= rA

θrP =

( )θθθ

sen2

−= rR

El gasto, si usamos la fórmula de Manning, tiene por expresión

nSAR

Q21

32

=

Se observa que para S y n constantes el máximo valor del gasto corresponde al máximo

valor de 32

AR

0

32

=

θd

ARd

(6-45)

θθ ddA

RddR

AR 32

31

32 +

− = 0

θθ ddA

RddR

A =−32

( ) ( ) ( ) ( )θθθ

θθ

θθθθθ sen2

cos12

cossen2

sen23

2 2

2

2

−−=−−− rrrr

De donde,

300


03sen2cos5 =−− θθθθ (6-46)

θ = 5,278 rad

θ = 302º 24’ 26’’ ≈ 302º 30’

que es el ángulo que corresponde al gasto máximo. Se determina inmediatamente que

θπ −2 = 57º 30’

El tirante es

−=

2cos1 θry

de donde,

Dy

= 0,938 ≈ 0,94 (6-47)

Por lo tanto, cuando se usa la fórmula de Manning para los cálculos, el gasto es máximo

cuando y = 0,94 D .

Si se hubiera empleado la fórmula de Chezy, entonces la condición hubiera sido

θd

ARd

32

= 0

y se habría obtenido

θ = 5,3784 rad

θ = 308º 09’ 35’’ ≈ 308º

Dy

= 0,95 (6-48)

Por lo que cuando se usa la fórmula de Chezy para los cálculos, el gasto es máximo cuando

Dy 95,0= .

En la Figura 6.7 se muestra el gráfico de elementos hidráulicos proporcionales que sirve paraaligerar los cálculos de tubos circulares trabajando parcialmente llenos (como canales).

301

Cálculo de canales

Capítulo VI

Figura 6.6 Características geométricas en una sección circular 0A

A,

0PP

, 0D

d, etc.

0,9

1,0

0,8

0,7

0,6

0,4

0,5

0,3

0,2

0,1

00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3

0,2

0

0,1

0,3

0,4

0,5

0,6

0,9

0,8

0,7

1,0T D0

DZ

02,5

Dd

0

AA 0

RR 0

PP 0

Dy

0

d =

0

AT

Z = A d =AT

A =π . D

40

P = π . D0 0

R =0 4D 0

T

0

2

El subindice "0" correspondea tubo lleno

A

D y

302

Arturo RochaH


Figura 6.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular parcialmente llena.

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3

0,2

0

0,1

0,3

0,4

0,5

0,6

0,9

0,8

0,7

1,0

Q Q ; ; ; etc.0

Dy

0

* El subindice "0" corresponde a tubo lleno

1,30,30 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

V V0 0RR

Q0Q (n

variable)

Q (n constante)

Q0

A0A N

n

RR 0

V (n constante)

V 0

* N es el coeficiente de Kutter

V

0V (n v

ariab

le)

D0

y

0,9

1,0

0,8

0,7

0,6

0,4

0,5

0,3

0,2

0,1

00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

303


Gráfico de elementos hidráulicos proporcionales

La Figura 6.7 muestra para cada relación tirante-diámetro de una sección circular parcialmente

llena, la relación existente entre el gasto Q correspondiente a dicha sección y el gasto 0Q

correspondiente al tubo lleno. Hay también una curva que da la relación entre las velocidades

( 0VV ).

Para cada variable (gasto, velocidad) hay en realidad dos curvas, una para coeficiente de

rugosidad constante y otra para coeficiente de rugosidad variable en función de la altura. N

es el coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección (podría expresarse como 0n ).

En cambio, n es el coeficiente de rugosidad (variable) para la sección parcialmente llena. Así

por ejemplo, si un tubo tiene un coeficiente de rugosidad (a tubo lleno) de 0,013, cuando esté

trabajando a 0,7 D tendrá un coeficiente

015,085,0013,0

85,0=== Nn

puesto que del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene que para 7,0=Dy

la relación nN es 0,85.

Examinemos las curvas de gasto y velocidad que corresponden a un coeficiente de rugosidadconstante.

La curva de gastos tiene un máximo que corresponde a Dy igual a 0,94 si se usa la

fórmula de Manning y a 0,95 si se usa la fórmula de Chezy. En el primer caso la relación

0QQ es 1,07 y en el segundo es 1,05.

La curva de velocidades tiene un máximo que se presenta para 81,0=Dy . Corresponde a

0VV igual a 1,14 (según Manning).

Todos estos valores se pueden obtener fácilmente a partir de las ecuaciones anteriormenteestablecidas. Un cuadro comparativo de todos los valores aparece en la Tabla 6.6.

En la Figura 6.7 se observa que para 82,0>Dy (aprox.) hay para cada valor del gasto dos

tirantes posibles. También se cumple que para 5,0>Dy se tiene dos tirantes posibles

para cada valor de la velocidad (uno por encima y otro por debajo de D81,0 ).

304

Arturo RochaH

idráulica de tuberías y canalesTABLA 6.6

SECCIONES CIRCULARES PARCIALMENTE LLENAS

CONDICION

VARIABLES TUBO LLENO

GASTO MAXIMO

(Manning)

GASTO MAXIMO

(Chezy)

VELOCIDAD MAXIMA

A ( )θθ sen2

2

−=rA 0,785 2D 0,765 2D 0,771 2D 0,684 2D

P θrP = 3,142 D 2,639 D 2,689 D 2,247 D

R ( )θθθ

sen2

−=rR 0,25 D 0,29 D 0,287 D 0,304 D

Dy _ 1 0,94 0,95 0,813

θ _ π2 rad

360º

5,278 rad

302º 24’ 26’’

5,3784 rad

308º 09’ 36’’

4,4934 rad

257º 27’ 10’’

0max QQ _ 1 1,07 1,05 _

0max VV _ 1 _ _ 1,14 (Manning)

1,10 (Chezy)

0AA _ 1 0,97 0,98 0,87

0PP _ 1 0,84 0,86 0,72

0RR _ 1 1,15 1,14 1,22

305


Obsérvese que para coeficiente de rugosidad constante, que es el caso que estamos analizando,se cumple que la velocidad media es la misma para medio tubo y para tubo lleno. En cambio,si consideráramos que la rugosidad es variable, entonces la velocidad media en medio tuboes sólo el 80 % de la correspondiente a tubo lleno.

En la práctica no conviene diseñar para la condición de gasto máximo porque entonces lasuperficie libre está tan cerca del extremo superior que cualquier eventualidad tendería a queel escurrimiento sea a tubo lleno, disminuyendo así la capacidad de conducción. Es usualdiseñar para un ángulo de 240°.

Las Tablas 6.7 y 6.8 sirven como ayuda para el cálculo de secciones circulares.

Expresión del caudal máximo para cualquier conducto abovedado

Anteriormente hemos examinado las condiciones de máximo caudal para un conducto circularparcialmente lleno. Ahora examinaremos la misma condición, pero para cualquier conductoabovedado. Siempre se tendrá por continuidad que

AVQ =

de donde

0=+= VdAAdVdQ

que es la condición de máximo caudal. De acá

A

dAVdV −= (6-49)

También debe cumplirse la ecuación de Chezy

RSCV =

o bien,

SPA

CV =

Si reemplazamos este valor de la velocidad en la ecuación 6-49 y además se reemplaza el

valor de dV obtenido de la ecuación de Chezy se llega a

AdPPdA =3 (6-50)

306


Que es la ecuación diferencial que fija la condición de gasto máximo en cualquier conductoabovedado en el que se calcule el gasto con la fórmula de Chezy. Obsérvese que la ecuación6-50 al combinarse con las ecuaciones 6-37 y 6-38 nos daría la condición de gasto máximoen un conducto circular

0sencos3 =+− θθθθ (6-51)

cuya solución es precisamente 3784,5=θ rad que corresponde al resultado de la ecuación 6-

48. Si hubiéramos usado la fórmula de Manning se habría obtenido que el gasto máximo paracualquier conducto abovedado está dado por

AdPPdA 25 = (6-52)

Si reemplazamos en esta ecuación las ecuaciones 6-37 y 6-38 se obtendría la ecuación 6-46.

Expresión de la velocidad máxima para cualquier conducto abovedado

En cualquier conducto abovedado debe cumplirse que

21

SPA

CRSCV ==

de donde,

021

2

21

21

=−

=

−

PAdPPdA

PA

CSdV

0=− AdPPdA (6-53)

que es la condición de máxima velocidad en cualquier conducto abovedado. Esta ecuación nodepende de la fórmula empleada para el cálculo de la velocidad.

Canales cubiertos de hielo

A veces ocurre que en un canal construido en zonas frías se presenta un fenómenoinconveniente: se hiela la parte superior y el canal trabaja como tubería, con la consiguientedisminución en el gasto. Este fenómeno es frecuente en zonas andinas elevadas, especialmentesi el canal tiene pequeña velocidad. Esta circunstancia debe tomarse en cuenta en los cálculosy verificar la capacidad del conducto como si fuese una tubería.

307


Canales circulares

Un canal semicircular es el más conveniente desde el punto de vista exclusivo de la eficienciahidráulica. Sin embargo, este tipo de canales es poco usado por las dificultades constructivasque conlleva. El método español de Barragán considera la construcción mecánica de seccionescirculares. Según dicho ingeniero las secciones circulares representan una economíaimportante frente a las secciones trapeciales (del orden del 22 %). Nuestra opinión es quees difícil una generalización y en cada caso debe hacerse un análisis técnico- económico.

Secciones en herradura

Es frecuente que los túneles se construyan con una sección diferente de la circular. Una delas secciones más empleadas es la sección en herradura. La Tabla 6.8 sirve como ayudapara el cálculo de las secciones en herradura (horseshoe).

Ejemplo 6.6 Por una alcantarilla de 60 cm de diámetro fluye un caudal de 80 l/s. La pendiente es de0,0008. El coeficiente n de Kutter es 0,015. Calcular la velocidad.

Solución. Si el flujo fuera a tubo lleno se tendría que

( ) ( )

015,0

0008,0460,0

460,0

213

22

0

=π

Q = 0,1505 m3/s ≈ 151 l/s

Luego,

53,015180

0

==Q

Q

del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene

D

y = 0,52 o

oo y = 0,31 m

para Dy = 0,52 se obtiene

0V

V = 1,02

la velocidad a tubo lleno es

( )20 60,04150,0

π×

==A

QV = 0,53 m/s

308


o bien, (para verificar)

( ) ( )015,0

0008,015,0 2132

0 =V = 0,53 m/s

LuegoV = 1,02 x 0,53 = 0,54 m/s

La velocidad esV = 0,54 m/s

Ejemplo 6.7 Hallar el tirante y que corresponde a la condición de caudal máximo en una seccióncuadrada, de lado a, en la que una de las diagonales es vertical. Usar la fórmula de Chezy.

Solución.

Mediante consideraciones geométricas seobtiene

MPABaA 212 −=

( )yaABaA −−= 2212

Considerando la semejanza de los triángulosMAB y MRS se obtiene

( )yaAB −= 22

luego,

2222 yayaA −−=

similarmente se obtiene para el perímetro

yP 22=

tomando en cuenta la ecuación 6-50,

AdPPdA =3

se obtiene

0245 22 =−− ayay

de dondey = 1,287 a

que es la respuesta buscada.

y

A BP

a

R S

N

M

309


TABLA 6.7PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS CIRCULARES

Dy

2DA

DP

DR

Dy

2DA

DP

DR

0,01 0,02

0,03 0,04 0,05

0,06 0,07

0,08 0,09 0,10

0,11 0,12

0,13 0,14 0,15

0,16 0,17

0,18 0,19 0,20

0,0013 0,0037

0,0069 0,0105 0,0147

0,0192 0,0242

0,0294 0,0350 0,0409

0,0470 0,0534

0,0600 0,0668 0,0739

0,0811 0,0885

0,0961 0,1039 0,1118

0,2003 0,2838

0,3482 0,4027 0,4510

0,4949 0,5355

0,5735 0,6094 0,6435

0,6761 0,7075

0,7377 0,7670 0,7954

0,8230 0,8500

0,8763 0,9020 0,9273

0,0066 0,0132

0,0197 0,0262 0,0326

0,0389 0,0451

0,0513 0,0574 0,0635

0,0695 0,0754

0,0813 0,0871 0,0929

0,0986 0,1042

0,1097 0,1152 0,1206

0,21 0,22

0,23 0,24 0,25

0,26 0,27

0,28 0,29 0,30

0,31 0,32

0,33 0,34 0,35

0,36 0,37

0,38 0,39 0,40

0,1199 0,1281

0,1365 0,1449 0,1535

0,1623 0,1711

0,1800 0,1890 0,1982

0,2074 0,2167

0,2260 0,2355 0,2450

0,2546 0,2642

0,2739 0,2836 0,2934

0,9521 0,9764

1,0003 1,0239 1,0472

1,0701 1,0928

1,1152 1,1373 1,1593

1,1810 1,2025

1,2239 1,2451 1,2661

1,2870 1,3078

1,3284 1,3490 1,3694

0,1259 0,1312

0,1364 0,1416 0,1466

0,1516 0,1566

0,1614 0,1662 0,1709

0,1755 0,1801

0,1848 0,1891 0,1935

0,1978 0,2020

0,2061 0,2102 0,2142

Dy

P Perímetro mojado

R Radio hidráulico

A Area

D Diámetro

y Tirante

310


Dy

2DA

DP

DR

Dy

2DA

DP

DR

0,41 0,42

0,43 0,44

0,45

0,46

0,47 0,48

0,49 0,50

0,51 0,52

0,53 0,54

0,55

0,56 0,57 0,58

0,59 0,60

0,61 0,62

0,63 0,64

0,65

0,66 0,67

0,68 0,69 0,70

0,3032 0,3130

0,3229 0,3328

0,3428

0,3527

0,3627 0,3727

0,3827 0,3927

0,4027 0,4127

0,4227 0,4327

0,4426

0,4526 0,4625 0,4723

0,4822 0,4920

0,5018 0,5115

0,5212 0,5308

0,5404

0,5499 0,5594

0,5687 0,5780 0,5872

1,3898 1,4101

1,4303 1,4505

1,4706

1,4907

1,5108 1,5308

1,5508 1,5708

1,5908 1,6108

1,6308 1,6509

1,6710

1,6911 1,7113 1,7315

1,7518 1,7722

1,7926 1,8132

1,8338 1,8546

1,8755

1,8965 1,9177

1,9391 1,9606 1,9823

0,2181 0,2220

0,2257 0,2294

0,2331

0,2366

0,2400 0,2434

0,2467 0,2500

0,2531 0,2561

0,2591 0,2620

0,2649

0,2676 0,2703 0,2728

0,2753 0,2776

0,2797 0,2818

0,2839 0,2860

0,2881

0,2899 0,2917

0,2935 0,2950 0,2962

0,71 0,72

0,73 0,74

0,75

0,76

0,77 0,78

0,79 0,80

0,81 0,82

0,83 0,84

0,85

0,86 0,87 0,88

0,89 0,90

0,91 0,92

0,93 0,94

0,95

0,96 0,97

0,98 0,99 1,00

0,5964 0,6054

0,6143 0,6231

0,6318

0,6404

0,6489 0,6573

0,6655 0,6736

0,6815 0,6893

0,6969 0,7043

0,7115

0,7186 0,7254 0,7320

0,7384 0,7445

0,7504 0,7560

0,7642 0,7662

0,7707

0,7749 0,7785

0,7816 0,7841 0,7854

2,0042 2,0264

2,0488 2,0714

2,0944

2,1176

2,1412 2,1652

2,1895 2,2143

2,2395 2,2653

2,2916 2,3186

2,3462

2,3746 2,4038 2,4341

2,4655 2,4981

2,5322 2,5681

2,6061 2,6467

2,6906

2,7389 2,7934

2,8578 2,9412 3,1416

0,2973 0,2984

0,2995 0,3006

0,3017

0,3025

0,3032 0,3037

0,3040 0,3042

0,3044 0,3043

0,3041 0,3038

0,3033

0,3026 0,3017 0,3008

0,2996 0,2980

0,2963 0,2944

0,2922 0,2896

0,2864

0,2830 0,2787

0,2735 0,2665 0,2500

311


TABLA 6.8PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS EN HERRADURA

Dy

2DA

DP

DR

Dy 2D

A

DP

DR

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0,06 0,07 0,08

0,0886

0,09 0,10

0,11 0,12 0,13 0,14 0,15

0,16 0,17 0,18 0,19 0,20

0,0019 0,0053 0,0097 0,0150 0,0209

0,0275 0,0346 0,0421 0,0491

0,0502 0,0585

0,0670 0,0753 0,0839 0,0925 0,1012

0,1100 0,1188 0,1277 0,1367 0,1457

0,2830 0,4006 0,4911 0,5676 0,6351

0,6963 0,7528 0,8054 0,8482

0,8513 0,8732

0,8950 0,9166 0,9382 0,9597 0,9811

1,0024 1,0236 1,0448 1,0658 1,0868

0,0066 0,0132 0,0198 0,0264 0,0329

0,0394 0,0459 0,0524 0,0578

0,0590 0,0670

0,0748 0,0823 0,0895 0,0964 0,1031

0,1097 0,1161 0,1222 0,1282 0,1341

0,21 0,22 0,23 0,24 0,25

0,26 0,27 0,28 0,29

0,30

0,31 0,32 0,33 0,34 0,35

0,36 0,37 0,38 0,39 0,40

0,1549 0,1640 0,1733 0,1825 0,1919

0,2013 0,2107 0,2202 0,2297

0,2393

0,2489 0,2586 0,2683 0,2780 0,2878

0,2975 0,3074 0,3172 0,3271 0,3370

1,1078 1,1286 1,1494 1,1702 1,1909

1,2115 1,2321 1,2526 1,2731

1,2935

1,3139 1,3342 1,3546 1,3748 1,3951

1,4153 1,4355 1,4556 1,4758 1,4959

0,1398 0,1454 0,1508 0,1560 0,1611

0,1662 0,1710 0,1758 0,1804

0,1850

0,1895 0,1938 0,1981 0,2023 0,2063

0,2103 0,2142 0,2181 0,2217 0,2252

y

D/2

D

D

D

y Tirante

D Diámetro

A Area

R Radio hidráulico

P Perímetro mojado

312


Dy

2DA

DP

DR

Dy

2DA

DP

DR

0,41

0,42 0,43

0,44 0,45

0,46

0,47 0,48 0,49

0,50

0,51 0,52

0,53 0,54 0,55

0,56 0,57 0,58

0,59 0,60

0,61 0,62 0,63

0,64 0,65

0,66

0,67 0,68 0,69

0,70

0,3469

0,3568 0,3667

0,3767 0,3867

0,3966

0,4066 0,4166 0,4266

0,4366

0,4466 0,4566

0,4666 0,4766 0,4865

0,4965 0,5064 0,5163

0,5261 0,5359

0,5457 0,5555 0,5651

0,5748 0,5843

0,5938

0,6033 0,6126 0,6219

0,6312

1,5160

1,5360 1,5561

1,5761 1,5962

1,6162

1,6362 1,6562 1,6762

1,6962

1,7162 1,7362

1,7562 1,7763 1,7964

1,8165 1,8367 1,8569

1,8772 1,8976

1,9180 1,9386 1,9592

1,9800 2,0009

2,0219

2,0431 2,0645 2,0860

2,1077

0,2287

0,2322 0,2356

0,2390 0,2422

0,2454

0,2484 0,2514 0,2544

0,2574

0,2602 0,2630

0,2657 0,2683 0,2707

0,2733 0,2757 0,2781

0,2804 0,2824

0,2844 0,2864 0,2884

0,2902 0,2920

0,2937

0,2953 0,2967 0,2981

0,2994

0,71

0,72 0,73

0,74 0,75

0,76

0,77 0,78 0,79

0,80

0,81 0,82

0,83 0,84 0,85

0,86 0,87 0,88

0,89 0,90

0,91 0,92 0,93

0,94 0,95

0,96

0,97 0,98 0,99

1,00

0,6403

0,6493 0,6582

0,6671 0,6758

0,6844

0,6929 0,7012 0,7094

0,7175

0,7254 0,7332

0,7408 0,7482 0,7554

0,7625 0,7693 0,7759

0,7823 0,7884

0,7943 0,7999 0,8052

0,8101 0,8146

0,8188

0,8224 0,8256 0,8280

0,8293

2,1297

2,1518 2,1742

2,1969 2,2198

2,2431

2,2666 2,2906 2,3149

2,3397

2,3650 2,3907

2,4170 2,4440 2,4716

2,5000 2,5292 2,5595

2,5909 2,6235

2,6576 2,6935 2,7315

2,7721 2,8160

2,8643

2,9188 2,9832 3,0667

3,2670

0,3006

0,3018 0,3028

0,3036 0,3044

0,3050

0,3055 0,3060 0,3064

0,3067

0,3067 0,3066

0,3064 0,3061 0,3056

0,3050 0,3042 0,3032

0,3020 0,3005

0,2988 0,2969 0,2947

0,2922 0,2893

0,2858

0,2816 0,2766 0,2696

0,2538

313

Cálculo de canales

Capítulo VI

TABLA 6.9SECCION TRAPECIAL DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA

ybm =

nSARQ

2132

=1z

b

yθ

θ 90º 75º 58’ 71º 34’ 63º 26’ 60º 56º 19’ 53º 08’ 45º

z 0 0,250 0,333 0,500 0,577 0,667 0,750 1,000

m 2 1,562 1,442 1,236 1,155 1,070 1,000 0,828

zzm −+= 212

m1

0,5

0,640

0,694

0,809

0,866

0,934

1,000

1,207

bym =1

A 2 2y

1,812 2y

1,775 2y

1,736 2y

1,732 2y

1,737 2y

1,750 2y

1,828 2y

( ) 2yzmA +=

P 4 y

3,623 y

3,550 y

3,472y

3,464y

3,474y

3,500 y

3,657 y

yzmP 212 ++=

R

2y

PAR =

32

AR

1,260 38

y

1,141 38

y

1,118 38

y

1,094 38

y 1,091 3

8

y 1,094 3

8

y

1,102 38

y

1,152 38

y

2132

SQ

AR n=

( )

( )

θ =

z1z =

314

Arturo RochaH


ybm =

nSARQ

2132

=1z

b

yθ

z1z =

θ =

θ 38º 40’ 33º 41’ 30º 29º 45’ 26º 34’ 21º 48’ 18º 26’ 14º 02’

z 1,250 1,500 1,732 1,750 2,000 2,500 3,000 4,000

m 0,702 0,606 0,536 0,531 0,472 0,385 0,325 0,246 ( )zzm −+= 212

m1 1,425 1,651 1,866 1,883 2,118 2,596 3,081 4,062 bym =1

A 1,952 2y 2,106 2y 2,268 2y 2,281 2y 2,472 2y 2,885 2y 3,325 2y 4,246 2y ( ) 2yzmA +=

P 3,903 y 4,211 y 4,536 y 4,562 y 4,944 y 5,770 y 6,649 y 8,492 y ( )yzmP 212 ++=

R 2y PAR =

32

AR 1,230 38

y 1,327 38

y 1,429 38

y 1,437 38

y 1,557 38

y 1,817 38

y 2,095 38

y 2,675 38

y 2132

SQ

AR n=

315

Cálculo de canales

Capítulo VI

TABLA 6.10SECCIONES DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA

(Este cuadro ha sido tomado del libro Open-Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

SECCION AREA

A

PERIMETRO MOJADO

P

RADIO HIDRAULICO

R

ANCHO SUPERFICIAL

T

TIRANTE HIDRAULICO

d

FACTOR HIDRAULICO

Z

TRAPECIO

(Mitad de un hexágono) 23y y32

2y y3

34 y

43 2

5

23 y

RECTANGULO

(mitad de un cuadrado) 22y y4

2y y2 y 2

5

2y

TRIANGULO

(Mitad de un cuadrado) 2y y22 y2

41

y2 2y

25

22 y

SEMICIRCULO 2

2yπ

yπ y21

y2 y4π

25

4yπ

PARABOLA

yT 22=

2234 y y2

38

y21

y22 y32

25

398 y

CATENARIA 239586,1 y y9836,2 y46784,0 y917532,1 y72795,0 25

19093,1 y

316

Arturo RochaH


ELEMENTOS GEOMETRICOS DE DIVERSAS SECCIONES

* Aproximación satisfactoria para el intervalo 10 ≤≤ x , siendo Tyx 4

= , para 1>x , la expresión exacta es ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++= 22 1ln11

2xxxxTD

( Esta tabla ha sido tomada del libro Open-Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

T

y

bz

1

T

yz

1

D yθ

T

1z

T

r y

b

T

y

y

T

b

rr

T

y

SECCION AREA A

PERIMETRO MOJADO P

RADIO HIDRAULICO R

ANCHO SUPERFICIAL T

TIRANTE HIDRAULICO d

FACTOR HIDRAULICO Z

RECTÁNGULO

by yb 2+ yb

by2+

b y 23

by

TRAPECIO

( )yzyb + 212 zyb ++ ( )

212 zybyzyb

++

+ zyb 2+

( )zyb

yzyb2+

+ ( )[ ]

zybyzyb

223

++

TRIANGULO

2zy 212 zy + 212 zzy+

zy2 2y

25

22 zy

CIRCULO

( ) 2sen81 D− D

21

Dθθ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

sen141

D⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2sen , ó

( )yDy −2

D⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

2sen

sen81

( ) 2

5

5,0

23

232

2 Dsen

sen

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

PARÁBOLA

Ty32

TyT

2

38

+ * 22

2

832

yTyT

+

yA

23

y3

2 5,16

92 Ty

RECTÁNGULO CON ESQUINAS REDONDEADAS

( )yrbr 222

2 ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π ( ) ybr 22 ++−π

( )

( ) ybr

yrbr

22

222

2

++−

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π

π

rb 2+ y

rb

r+

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2

22

2π

( )

rb

yrbr

2

222

5,12

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π

TRIANGULO CON FONDO

REDONDEADO

( )zzz

rz

T 122

cot14

−−− ( )zzzrz

zT 12 cot121 −−−+

PA

( )[ ]212 zrryz ++− TA

TAA

θθ θ θ

θθθ θ θ

θ

317



(Capítulo VI)

1. Hallar una expresión para la pérdida de carga fh en un canal de longitud L , en función dela carga de velocidad y del radio hidráulico.

2. Un canal tiene un ancho en el fondo de 2,5 m. El tirante es 0,8 m y el talud es de 60°. Lavelocidad media es 1,80 m/s. ¿Cuál es el gasto? ¿Cuál es el radio hidráulico? Dibujar lasección transversal.

3. Un canal rectangular tiene un ancho en el fondo de 2 m y un coeficiente de rugosidad deKutter de 0,014. El tirante es 1,20 m y la pendiente 0,0012. Calcular el gasto.

Calcular el tirante con el que fluirá el mismo gasto en un canal triangular, de 90º, que tiene lamisma rugosidad y la misma pendiente.

4. Hallar el radio que debe tener la sección sem icircular de un canal para transportar 3 m 3/s. Lapendiente del canal es 1 en 2 500. Considerar que el coeficiente C de Chezy es 49 m1/2/s.

Si el canal tuviera forma rectangular, pero el mismo ancho y profundidad total que la secciónanterior, ¿Cuál sería el gasto con el mismo valor de C y la misma pendiente?

5. El canal mostrado en la figura tieneuna pendiente de 0,0009. Elcoeficiente n de Kutter es 0,013.Calcular el gasto.

¿En cuánto aumentará el gasto si lapendiente fuera el doble?

6. ¿Qué sucede con el gasto en un canal si se cuadruplica la pendiente y el contorno se hace deuna rugosidad doble?. Explicar detalladamente la respuesta.

7. En el problema número 2 la pendiente del canal es 0,003. Calcular

a) el coeficiente n de Kutterb) el coeficiente C de Ganguillet-Kutterc) la velocidad media a partir del coeficiente de Ganguillet-Kutter. Comparar con la velocidad

media dato del problemad) el coeficiente k de Stricklere) el coeficiente C de Chezy a partir de la fórmula de Pavlovski

90º 1,0 m

1,5 m

318


8. Un canal tiene una rugosidad n = 0,035 (Kutter). Calcular el coeficiente C de Chezy usandolas fórmulas de Ganguillet-Kutter y Manning. El canal es muy ancho y el tirante es 1 m.

9. Hallar los valores de X e Y , a que se refiere la ecuación 6-5, correspondientes a lasecuaciones de Ganguillet-Kutter, Kutter y Bazin.

10. Calcular el gasto en un canal que tiene 1,80 m de tirante. La pendiente es 0,0018. La rugosidadde Kutter a considerarse es 0,018,a) para una sección rectangular de 6 m de anchob) para una sección triangular con un ángulo de 60°c) para una sección circular de 4 m de diámetrod) para una sección parabólica que tiene 4 metros de ancho a la profundidad de 1 m

11. Un canal de sección trapecial, en tierra sin vegetación, debe transportar un gasto de10 m 3/s, con una velocidad no mayor de 1 m/s. El talud es de 30° (con la horizontal). Lapendiente es de 8 en 10 000. Calcular las dimensiones de la sección transversal. Usar lafórmula de Bazin.

12. Un canal trapecial tiene 24 ft de ancho superficial, un talud de 45° y un ancho en la base de8 ft. El canal es de concreto frotachado. La pendiente es 0,0006. Calcular el gasto. Usar lafórmula de Ganguillet-Kutter y la de Manning (en unidades inglesas).

13. Se tiene un canal trapecial de 8 m de ancho en la base y de 2 m de tirante. El talud es de 1,5.El canal es de tierra, sin vegetación, y varios años de uso. La pendiente es 0,0004. Calcularel gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin, Manning y Chezy. Compararresultados (la temperatura del agua es 15 °C)

14. En un canal de 0,80 m de ancho y 0,30 m de tirante fluye petróleo. La pendiente del canal es0,0008. El canal es de fierro galvanizado. La viscosidad del petróleo es 10-5 m2/s y su pesoespecífico relativo es 0,86. Calcular el gasto.

15. Un canal trapecial de concreto frotachado tiene una capacidad de 4 m3/s. La pendiente es0,006. El talud es 0,5. Si el ancho en el fondo es de 1 m ¿Cuáles son las dimensiones de lasección transversal y la velocidad media? Si el borde libre fuera de 30 cm ¿Qué caudaladicional podría ser absorbido? (en porcentaje).

16. Se quiere construir un canal con una pendiente de 0,0035 para conducir 4 m3/s ¿Quédimensiones debe tener el canal para que la velocidad no sea superior a 1,5 m/s ? El talud es1,5. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,025.

17. Se tiene un canal trapecial de 5 m de ancho superficial y 3 m de ancho en el fondo, taludde 60° y coeficiente de rugosidad de Kutter de 0,030. La capacidad del canal es de 10 m3/s.

319


Calcular

a) ¿Cuánto habría que profundizar el canal, conservando el mismo ancho superficial y taludes,para aumentar su capacidad en 50 %?

b) ¿Cuánto habría que ensanchar el canal, conservando la misma profundidad y taludes,para aumentar su capacidad en 50 %?

18. Demostrar que en un canal de máxima eficiencia hidráulica se cumple que la suma de lostaludes es igual al ancho superficial.

19. Demostrar que en una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica se cumple que

( ) 21221

zyzyb +=+

20. Demostrar que en un canal trapecial de máxima eficiencia hidráulica, cuyo talud es de 45°,

se cumple que 38

32

b

AR = 1,90

21. Demostrar que para un canal que está en máxima eficiencia hidráulica se cumple para lasección más eficiente que

83

21968,0

=

S

Qy n

;

83

21118,1

=

S

Qb n

22. Demostrar que en un canal con una velocidad V dada, la condición de máxima eficienciahidráulica (M. E. H.) corresponde a pendiente mínima.

23. En un canal de M. E. H. el ancho en el fondo es de 3 m y el ancho superficial es 8 m. Lapendiente es 0,006 y el coeficiente n de rugosidad de Kutter es 0,025. Hallar el gasto.

24. El gasto del canal de alimentación de una central hidroeléctrica es de 60 m3/s. El talud es1,25.a) Calcular las dimensiones de la sección transversal para un tirante de 2 m y una pendiente

de 0,0008 (el coeficiente de rugosidad G de Bazin es 0,30).b) Conservando la velocidad del caso anterior ¿Cuáles serían las dimensiones del canal en

condiciones de máxima eficiencia hidráulica? ¿Cuál deberá ser la pendiente del canal?

320


c) ¿Cuál sería la sección de máxima eficiencia hidráulica y la velocidad, manteniendo unapendiente de 0,001?

25. Un canal debe transportar 8 m 3/s. El talud es de 45°. Determinar las dimensiones de lasección transversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendientees 0,002 y el coeficiente de Kutter es 0,022. Si se reviste el contorno con concreto ( n = 0,016)determinar cuáles serían las nuevas dimensiones de la sección transversal.

26. Un canal debe transportar 10 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es 60°. Determinarlas dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener la máxima eficienciahidráulica. La pendiente del canal es 0,005. El canal es de concreto frotachado.

27. Un canal debe conducir 750 l/s. El talud es 2. Determinar las dimensiones de la seccióntransversal con la condición que la pendiente sea mínima. La velocidad no debe ser mayor de1 m/s. (a fin de prevenir erosiones). Considerar que n es 0,03.

En el caso de revestir el canal ( n = 0,022) ¿Con qué tirante fluirá el mismo gasto, manteniendola pendiente y la forma de la sección calculada anteriormente?

28. Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes es de 60° con la horizontal.Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máximaeficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficiente de Kutter es 0,025. Si sereviste el canal con concreto frotachado ¿Cuáles serían las nuevas dimensiones de la sección?

29. Un canal trapecial debe transportar 12,5 m3/s. El talud es 0,5. Determinar las dimensiones dela sección transversal de modo de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es0,0015. El coeficiente C de Chezy es 55 m1/2/s.

30. Se trata de diseñar un canal para 8 m 3/s que debe ser construido en media ladera (inclinaciónmedia 30°). El ancho en el fondo es de 4 m. La pendiente del canal debe ser 0,00025 y elcoeficiente de rugosidad de Kutter 0,025. El talud será de 45°. El borde libre se obtendrá dela Figura 6.4. Se pregunta si, desde el punto de vista del costo de excavación, habría resultadomás económico un canal de máxima eficiencia hidráulica.

31. Determinar el talud que debe tener un canal triangular para que sea de máxima eficienciahidráulica.

32. A igualdad de pendiente y calidad de paredes ¿En cuál de los siguientes diseños se obtendráuna mayor velocidad de flujo para el escurrimiento de un mismo gasto?a) Usando un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulicab) Usando un canal triangular da máxima eficiencia hidráulica

321


33. Un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 3,80 m tiene un talud igual a 0,75. La pendientees 1 por 1 000. Si el canal estuviera completamente revestido de albañilería de piedra, entoncespara un gasto de 45 m3/s el tirante sería 3,06 m. Si el mismo canal estuviera revestido conconcreto frotachado se tendría para un gasto de 40 m3/s un tirante de 2,60 m.a) ¿Cuál será el gasto, si el fondo fuese de concreto y las paredes de albañilería de piedra,

siendo el tirante de 3,0 m?b) ¿Cuál será el gasto si el fondo fuese de albañilería y las paredes de concreto, para un tirante de

3 m?

34. Hallar las dimensiones que debe tener un canal trapecial en máxima eficiencia hidráulicapara llevar un gasto de 70 m3/s. La pendiente es de 0,0008 y el talud es de 1,5. El fondo es deconcreto frotachado y los taludes están formados de albañilería de piedra bien terminados.

35. Un canal trapecial transporta 12 m3/s y posee un talud de 60°. El ancho en el fondo es de3 m y el tirante de 1,5 m. Si se necesita transportar 20 m3/s, se desea saber ¿Cuántos metroshabría que profundizar la base del canal manteniendo el talud? Considerar para el concretoantiguo que el coeficiente de Kutter es 0,018 y para el nuevo revestimiento es 0,014. ¿Quédimensión tendría la nueva base del canal?

36. Calcular el radio hidráulico de una sección triangular, a partir de la ecuación 6-29.

37. Hallar las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado, radio hidráulico, anchosuperficial, tirante hidráulico y factor hidráulico para un canal circular parcialmente lleno en elque el tirante es el 60 % del diámetro. Hallar también el ángulo en el centro. Hallar luego lasexpresiones correspondientes al gasto y velocidad máximos, para n igual constante y paran igual variable.Como aplicación, calcular todos los valores para D = 16’’, S = 0,001 y n = 0,014. ¿Cuáles el máximo gasto que podría haber en esta tubería y cuál es la máxima velocidad que puedepresentarse?

38. Hallar cual es la relación Dy que corresponde a un ángulo de 240° en una tubería circularparcialmente llena.

39. Determinar el diámetro mínimo de un colector de desagüe para conducir cada uno de losgastos siguientes: 160, 200 y 250 l/s. La velocidad no debe ser menor de 0,60 m/s ¿Cuál es eltirante correspondiente a cada diámetro? La cota del colector en el punto inicial es 100 m yen el punto final es 99,85. La longitud es de 200 m. El coeficiente n de Kutter es 0,014.Dibujar la curva de variación entre Q y D .

40. Determinar el diámetro que debe tener un túnel de sección circular ( n = 0,030) para conducir

322


b/2

b/2

b

un gasto de 20 m3/s de modo que sea la mínima sección posible. La pendiente es 0,0008.Calcular también el tirante y velocidad respectivos.

41. Calcular la pendiente mínima con la cual se podrá tender un conducto circular para queconduzca un gasto de 500 l/s. El diámetro debe ser de 36’’ y a fin de evitar sedimentaciones lavelocidad debe ser superior a 0,60 m/s ( n = 0,014). Determinar también con que tirante seproducirá el escurrimiento.

42. Un conducto oval está formado por arcos circulares. La parte superior es un semicírculo deradio r . El área y el perímetro mojado de la sección debajo del diámetro horizontal delsemicírculo son 3 2r y 4,82 r , respectivamente. Demostrar que la máxima descarga sepresenta cuando la superficie libre subtiende un ángulo de 305° en el centro de curvatura delsemicírculo (usar la ecuación de Chezy).

43. La porción superior de la sección transversal de un canal es un semicírculo de radio r . Laporción inferior es una semielipse de ancho 2 r , profundidad 2 r y perímetro 4,847 r , cuyoeje menor coincide con el diámetro horizontal del semicírculo. El canal debe llevar 15 m3/strabajando a 3/4 ( Dy = 0,75). La pendiente es 1 en 1 000, n = 0,014. Hallar las dimensionesde la sección y el tirante que daría un gasto máximo.

44. Un acueducto tiene la forma que se muestraen la figura

S = 0,0005

Q = 800 l/s

n = 0,012

Calcular el tirante, la velocidad mediacorrespondiente y determinar cual sería eltirante para las condiciones de gasto máximoy de velocidad máxima.

45. Se tiene un conducto de la forma siguiente

maxQ = 100 l/s

S = 0,2%

n = 0,013

Calcular el valor del ancho b , el tirante y lavelocidad media.

1,5 m

0,3 m

0,3 m

1,5 m

323

Energía específica y momentaCapítulo VII

CAPITULO VIIENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA

7.1 Energía específica

La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma deltirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal dereferencia arbitrariamente escogido y se expresa así

Energía = zg

Vy ++

2

2

α (7-1)

y es el tirante, α el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la

sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia.

Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina

energía específica y se designa con la letra E . Esta definición significa z = 0.

gV

yE2

2

α+= (7-2)

La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como estáreferida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda.

Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales.Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un

324


movimiento gradualmente variado, siempre y cuando el flujo pueda considerarse como paraleloy aceptarse una distribución hidrostática de presiones, que son los supuestos fundamentalesde la ecuación 7-1.

La energía específica se interpreta gráficamente así

Estamos considerando que la pendiente del canal es cero (horizontal), o muy pequeña. Enconsecuencia, es indiferente que el tirante se mida vertical o normalmente al fondo.

Hemos visto en el capítulo I que en muchos casos se justifica considerar que el coeficiente deCoriolis es igual a la unidad. Entonces,

gV

yE2

2

+= (7-3)

es la ecuación de la energía para este caso particular.

Esta ecuación puede también expresarse en función del gasto Q y el área A de la sección

transversal, que es una función del tirante y ( AQV = ).

2

2

2gAQ

yE += (7-4)

En esta ecuación se ve con claridad que hay tres variables involucradas: energía específica,gasto y tirante

2Vg2

Línea de energía

yFondo (plano de referencia)

α

E

Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica

325


( )QE,öy = (7-5)

Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia decada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5.

Así, si aceptamos que el gasto es constante

( )Ey φ= (7-6)

Pero si la energía es constante,

( )Qy φ= (7-7)

7.2 Energía específica a gasto constante

Discusión de la curva yE −

La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el

eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante y ,

tal como se ve en el Figura 7.2.

Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4,

2

2

2gAQ

yE +=

que evidentemente son

0=− yE ; 0=y

Es decir, que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( yE = ) y por el eje deabscisas. Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no estáa 45º. Es decir, que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerseque tomar en cuenta, entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente alfondo.

Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a

0=dydE

326


Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva yE − )

Tirante

y

g2V2

2

2y RIO

CRISIS

TORRENTE

VcV < F < dEdy

0 < < 11

Q = CONSTANTEdE

= 0dy

2 gcV

2

yc

2 g1V 2

y1

y2

Emin

1V

g2

2

y1= + = + 2y2 2 g

V 2

E

TORRENTE RIO

y1

= +E y2 gV 2

Energía Específica

F =V = cV 1 = 1g

Q 2 T

A3

F >VV > c

dE < 01 dy45º

E = y

= +E2Vy

g2

y1 e son tirantes alternos

Vg2

2

F > 1

y2

V1

g2

2c

E E1 2( = )

> (flujo supercrítico) ( < )y y1 c

y y( > )VV2 c< (flujo subcrítico) F < 1g2 2 g 2

2 2

c

Si < no hay flujo posible del gastoE E Qmin

Q

g

T2

< 13A

A

2

g

Q> 13

T

327


y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene

dydA

gAQ

dydE

3

2

1−= (7-8)

Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera, como la que se ve en lafigura

Para cada valor del tirante y , que es

variable, hay un valor del área A y un

valor del ancho superficial T . El áreaes

( ) ( )∫=y

dyyTyA

0

Al diferenciar esta expresión se llega a

TdydA =

Luego,

dydAT = (7-9)

Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial.Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado. Obsérveseen el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6.11) que para todas lassecciones se cumple la ecuación 7-9. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene

3

2

1gA

TQdydE −= (7-10)

Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir

un gasto Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas

01 3

2

=−=gA

TQdydE

y

dy

T

A

328


o bien,

TA

gQ 32

= ó 13

2

=gA

TQ (7-11)

que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal.

Es interesante notar que la ecuación 7-11, de condición general de crisis, puede hacerse

adimensional al dividir ambos miembros por 5L .

5

3

5

2

TLA

gLQ = (7-11a)

siendo L una magnitud lineal característica de la sección (ancho, diámetro, etc.).

Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dosasíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7.2.

La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En él siempre se cumple que

13

2

<gA

TQ

La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. En él siempre se cumpleque

13

2

>gA

TQ

El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes, corresponde a (ec. 7-11)

13

2

=gA

TQ

La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos.

De esta última ecuación se obtiene

TAgAQ =

329


El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como,

TA

d =

es decir, como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. Luego,

gdAQ =

o bien,

gdTAgV ==

que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina

velocidad crítica cV (en cualquier sección transversal).

cc gdTAgV == (7-12)

Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en

las ecuaciones 7-11, 7-12 y otras se escriba en lugar de A , cA y en lugar de T , cT , etc. Por

comodidad se omiten los subíndices, pero debe entenderse claramente que los valores de

A , T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos.

Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1, entonces la velocidadcrítica sería

cc dg

Vα

= (7-13)

De la ecuación 7-12, para 1=α , se obtiene que

22

2cc d

gV = (7-14)

Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitaddel tirante hidráulico (para cualquier sección). Es claro que las expresiones 7-11, 7-12 y 7-14son absolutamente equivalentes.

330


Se observa en la Figura 7.2 que para un valor dado de la energía específica, superior a lamínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes.

El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. Se caracteriza porque la velocidad siemprees menor que la crítica. Por eso se llama régimen subcrítico. El menor de ellos correspondea un régimen de torrente. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayor que la crítica.Por eso se llama régimen supercrítico.

De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que

gV

yE ccmin 2

2

+= (7-15)

Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entretirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal.

Los tirantes 1y e 2y , uno de torrente y otro de río, que corresponden a la misma energía

específica se denominan alternos.

Introducción del Número de Froude

Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormentepresentados.

El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de lasfuerzas gravitacionales e inerciales. Su definición general es

TAgV

gdVF == (7-16)

Si la velocidad V de la corriente es igual a la crítica, entonces

1==c

c

gd

gdF (7-17)

Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude esigual a 1.

331


En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y, por lo tanto, el número deFroude es menor que 1.

En un torrente la velocidad de la corriente es mayor que la crítica y, por lo tanto, el número deFroude es mayor que 1.

Examinemos nuevamente la ecuación 7-10

3

2

1gA

TQdydE −=

Al introducir AQV = se obtiene

TA

g

VdydE 2

1−= (7-18)

Pero, (ec. 7-16)

TA

g

VF =

De donde,

21 FdydE −= (7-19)

Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces,

0=dydE

(7-20)

Condición que es precisamente la de energía mínima.

Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces,

10 <<dydE

(7-21)

332


Propagación de una onda superficial

Examinemos otra interpretación de los regímenes de corriente antes descritos

Si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial ésta adquiere una celeridad

c , es decir, una velocidad con respecto a la corriente que aproximadamente es igual a

gyc = (7-22)

Siendo y la profundidad de la corriente.

Resulta evidente que la condición paraque un onda pueda remontar la corrientees que su celeridad sea mayor que lavelocidad de la corriente.

En un torrente siempre se cumple quela velocidad media de la corriente es

mayor que gy (sección rectangular).

De acá que los torrentes se caracterizan porque una onda superficial no puede remontar lacorriente.

En cambio, en los ríos si es posible que un onda superficial remonte la corriente.

En el régimen crítico la velocidad de la corriente es igual a la celeridad de la onda y ésta

permanece estacionaria, ( Vc = ).

Ríos y torrentes

Los ríos se caracterizan por tener pequeña velocidad y gran tirante (régimen subcrítico).

En cambio, en los torrentes la velocidad es grande y el tirante pequeño (régimen supercrítico):la mayor parte de la energía específica corresponde a energía de velocidad.

La conclusión que obtenemos es que la relación E

gV 22

describe el régimen de la corriente.

La relación E

gV 22

es fija para el régimen crítico, pero depende de la forma de la sección.

En los torrentes la variación del tirante y la energía específica es de signo contrario: si aumentael tirante disminuye la energía específica. Esto se ve claramente en la Figura 7.2 y en laFigura 7.2a.

yV

c - V c + V

333


En cambio en los ríos la variación es del mismo signo.

Esta es una propiedad importante de ríos y torrentes que será muy útil para la discusión delos perfiles de la superficie libre cuando se presente, por ejemplo, pequeñas gradas de fondoque implican un cambio en la energía específica.

Propiedades de la curva de la Energía Específica (Figura 7.2)

Aunque las características de la ecuación de la Energía Específica, a gasto constante, hansido analizadas y discutidas en las páginas anteriores, se presenta a continuación, en formade resumen, sus principales características.

i) La curva yE − (energía específica – tirante, a gasto constante) tiene dos ramas: una

superior que corresponde al régimen de río y otra inferior que corresponde a los torrentes.

ii) En un torrente, dydE es negativo, y en un río es positivo, (menor que 1).

iii) La curva yE − tiene dos asíntotas que son yE = ; 0=y .

iv) La curva yE − tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía,

0=dydE . Se define por las ecuaciones 7-11, 7-12, ó 7-14.

El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energía se denominancríticos.

v) Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre lacurva: uno corresponde a un río y el otro a un torrente. Los tirantes respectivos, que secaracterizan por tener la misma energía específica, se denominan alternos.

vi) Para la energía específica mínima sólo hay un flujo posible: el crítico.

vii) En la zona superior de la curva yE − la velocidad siempre es menor que la crítica (flujo

subcrítico).En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la crítica (flujosupercrítico).

viii) En un río el número de Froude es menor que 1. En un torrente, mayor que 1. En la crisises 1.

ix) Una onda superficial puede remontar la corriente en un río, pero no en un torrente.

334


x) En un río un aumento del tirante implica un aumento de la energía específica 0>dydE .

En cambio, en un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía

específica 0<dydE

.

Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante

Ejemplo 7.1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en laforma siguiente

g

Qyx

32

232 =

Donde “x” es la mitad del ancho superficial e “y” es la distancia de la superficie del agua a la línea deenergía.

Solución. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. Entonces,

2T

x = g

Vy

2

2

=

Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11

y

E

RIO

TORRENTE

∆y

∆E

∆Ey∆

En un río las variaciones de

E e y son del mismo signo y

del mismo orden de magnitud.

En un torrente las variaciones de

E e y son de diferente signo y

de diferente orden de magnitud.45º

T

A

g

Q 32

=

335


Siendo en este caso,

xT 2= gy

Q

V

QA

2==

Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica laexpresión propuesta.

Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12.

7.3 Sección rectangular

Condiciones críticas

En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11ó la 7-12, ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación

TA

gVc =

expresión en la que cV es la velocidad crítica, A el área de la sección transversal, T el

ancho superficial.

Tal como lo señalamos antes, siendo el flujo crítico se sobreentiende que A es cA y T es

cT .

En una sección rectangular la relación TA (tirante hidráulico) es igual al tirante. Luego,

cc gyV = (7-23)

que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación seobtiene de inmediato

22

2cc y

gV = (7-24)

Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía develocidad es igual a la mitad del tirante crítico.

336


La energía que corresponde a las condiciones críticas es

gV

yE cc 2

2

+=

Este valor de la energía es el mínimo en la curva yE − , tal como se ve en la Figura 7.2.

Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

Eyc 32= (7-25)

Eg

Vc

31

2

2

= (7-26)

Esta es, pues, la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en uncanal rectangular. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después depresentar la ecuación 7-15.

Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordandoque

Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular

yE

c

c

31

E

3 E2

2Vg2

337


cc y

qAQ

V ==

cc gyV =

q es el gasto específico, es decir, el gasto por unidad de ancho. La última expresión

corresponde al sistema métrico.

En general, la energía específica de un canal rectangular es

gV

yE2

2

+=

Si dividimos ambos miembros por el tirante y , se llega a

gyV

yE

21

2

+=

Introduciendo el número de Froude gyV

F = se obtiene

21

2FyE += (7-28)

Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19, se obtiene,

yE

dydE 23−= (7-29)

Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos 1=F esto significa condiciones críticas, y se

obtiene cyE23= , tal como se demostró anteriormente.

Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. Las condiciones críticas están dadas por

oo

o32

3

2

467,0 qgq

yc == (7-27)

338


0=dydE , obteniéndose también cyE

23= .

Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7.4)

La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico

es q , se obtiene de inmediato a partir de 7-4

2

2

2gyq

yE += (7-30)

Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico cy se obtiene

ccc ygyq

yy

yE

2

2

2+=

Pero, en una sección rectangular

3

2

gq

yc =

ó lo que es lo mismo,

32cgyq = (7-31)

Reemplazando se obtiene

2

2

2yy

yy

yE c

cc

+= (7-32)

que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular. La ecuación7-32 puede también tomar la forma siguiente

2

2

31

32

yy

yy

EE c

cmin

+= (7-32a)

339


Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular

RIO

CRISIS

TORRENTE

45º

E = ycyy

Ec

y

Ecy yc

yyc

y 2

22= +

yc E= 3

2

0 1 21,5 3

1

2

3

340


Variación del gasto con el tirante a energía específica constante

El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específicavariable en función del tirante.

Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7

( )Qy φ= , para energía constante

La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es

2

2

2gyq

yE +=

De acá podemos despejar el gasto específico q

( )yyEgq −= 2 (7-33)

Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante y hay un

valor correspondiente del gasto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gastomáximo

0=dydq

( ) ( ) 0212 2

121

=

−−−= − yyEyEg

dydq

De donde,

Ey32=

Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica.Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en uncanal rectangular. Luego, pues, el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas.

El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas

23

cccc byggybyAVQ ===

341


Pero, en un canal rectangular Eyc 32=

Luego,como bQ

q = se obtiene

23

23

32

Egq

= (7-34)

En el sistema métrico

23

704,1 Eq = (7-35)

Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específicadado. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.5.

Ejemplo 7.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficialesremontan la corriente con una velocidad de 2,2 m/s y son arrastradas por la corriente con una velocidadde 3,0 m/s. Hallar el gasto en el canal.

Solución. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales.

Entonces,c - V = 2,2

c + V = 3

De donde,

c = 2,6 m/s y V = 0,4 m/s

A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que

g

cy

2

= = 0,69 m

El gasto es Q =AV = 2,76 x 0,4 = 1,10 m3/s

Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica, como puede fácilmente comprobarse.(F= 0,15).

Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad sería de 2,6 + 0,4 = 3,0 m/s, pero si laonda se produce contra la corriente su velocidad sería 2,6 - 0,4 = 2,2 m/s.

342


Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante

RIO

CRISIS

TORR

ENTE

= 1F

R < 1F

F>

1T

= 0dy

dq

q = 2g(E - y) y

3q = 1,704 E 2

qmax

q2V

2 gR

Vc

2g

2

VT

2g

2

23c

y = y

(sección rectangular)

yR

E

q

max

maxq < q

q = 1,704 E 23

(sección rectangular)

y

q

= (1 + 1 + )y

T

Ty

4FR

28FR

2yR

y

y= (1 + 1 + )8

T4 FT

2FR T

2

Los subíndices R y T se

refieren a río y torrente

343


Ejemplo 7.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m3/s/m. Presentar una tabla quemuestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente enfunción del tirante, para valores comprendidos entre 1,50 m y 0,10 m.

Solución. Asignaremos sucesivamente valores al tirante. Para cada uno de ellos se puede calcular elárea, la velocidad media, la energía de velocidad y la energía específica.

Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación7-27

3

2

gqyc = = 0,4673 m (0,47 aprox.)

En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores. (Ver Figura 7.6y Tabla 7.1). La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área, o usando la ecuación 7-23

cc gyV = = 2,14 m/s

La energía mínima es 0,7009 m. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de1 m3/s/m en un canal rectangular.

( ) 7009,0214,24673,0

2

=+g

cy gVc 22 E (mínima)

Para cualquier valor de la energía superior a 0,7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento(ríos y torrentes).

Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico).

Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica (régimensupercrítico).

Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos.

Así por ejemplo, con una energía de 1,48 m puede haber dos escurrimientos

a) Un río, con un tirante de 1,46 m y una velocidad de 0,685 m/s (como esta velocidad es menor quela crítica el régimen es subcrítico).

El número de Froude es menor que 1 y los valores de dydE son positivos, pero menores que 1.

344


b) Un torrente, con un tirante de 0,20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor quela crítica el régimen se denomina supercrítico). El número de Froude es mayor que 1 y los valores

de dy

dE son negativos.

Como los tirantes 1,46 m y 0,20 m corresponden a la misma energía específica (1,48 m) se dice que sontirantes alternos. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4.

En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica.

En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica.

Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,30 m a otro 0,20 la energía específica aumenta de 0,87 m a 1,48 m.

En cambio en un río al disminuir el tirante de 1,46 m a 1,00 m la energía específica disminuye de 1,48 a1,05 m.

Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3

yc

1 m

Tirantes alternos

RIO

CRISIS

TORRENTE45º

E = y

y

E

cy

0 1,00 2,001,50 2,50

1,00

2,00

(m)

0,50

1,50

0,50

(0,20)

(1,46)

0,7009

1,48

(m)

2gcV

2

0,4673 0,2336

q = 1 m /s/m3

0,17 (Número de Froude)0,18

0,32

0,69

1,001,26

1,94

3,57

345

Energía específica y momentaCapítulo VIITA

BLA

7.1

EJE

MP

LO 7

.3 (

= 1

m3 /s

/m)

346


Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante, la celeridad de unapequeña onda superficial.

En la Tabla 7.1 se muestra para el rango de valores solicitado, la variación de la energía específica y deotros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante.

Ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y2 y eltirante crítico yc la siguiente relación

3

21

22

212

cyyy

yy=

+

Solución. Por ser y1 e y2 tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica

g

Vy

g

Vy

22

22

2

21

1 +=+

Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene

22

2

221

2

1 22 gy

qy

gy

qy +=+

Pero en un canal rectangular

3

2

g

qyc =

Luego,

22

3

221

3

1 22 y

yy

y

yy cc +=+

Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a

3

21

22

212

cyyy

yy=

+

En el ejemplo 7.3 hay 2 tirantes alternos, 0,20 m y 1,46 m (pues ambos corresponden a la misma energíaespecífica). A modo de comprobación

( ) ( )1027,0

66,146,120,02 22

=

que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico.

347


7.4 Sección parabólica

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (ola 7-12 que es su equivalente)

TA

gVc =

Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3del área del rectángulo circunscrito

TyA c32=

reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) seobtiene

cc gyV32= (7-36)

o bien,

cc gyV32=

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. De acá se obtiene

32

2cc y

gV = (7-37)

yc

T

A

348


Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con ladefinición de energía específica en condiciones críticas se obtiene

Eyc 43= (7-38)

Eg

Vc

41

2

2

= (7-39)

En la Figura 7.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico, encondiciones críticas.

El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a lascondiciones críticas. Su expresión para un canal parabólico es

cc gyTyQ32

32=

A cV

23

21

23

32

cyTgQ

= (7-40)

Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene

TQ

q =

Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico

2Vg2

yE

c

c

41 E

4 E3

349


23

21

23

32

cygq

= (7-41)

De donde, en el sistema métrico

32

701,0 qyc = (7-42)

El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condicionescríticas

23

1067,1 Eq =

(7-43)

Ejemplo 7.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es

41

21

41

41

16427

g

Q

pyc

= (7-44)

Considerar que la ecuación de la parábola es pyx 22 =

Solución.

La expresión general para las condicionescríticas viene dada por la ecuación 7-11

T

A

g

Q 32

=

Por ser una parábola el área es

TyA c32=

Por condición de parábola

( )cc y

T

y

T

y

xp

822

2

222

===

c

2T

py= 2

cy( , )

y

T

x

2xy

23

43

7039,1

= Eq

350


De donde,

cpyT 8=

cc pyyA 832=

Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. 7-44)

41

21

41

41

16427

g

Q

pyc

=

que es la expresión propuesta.

7.5 Sección triangular.

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (ola 7-12 que es su equivalente).

TA

gVc =

En el triángulo el área es

TyA c21=

Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) seobtiene

yc

T

A1

z

351


cc gyV21= (7-45)

o bien,

cc gyV21=

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular. De acá se obtiene

42

2cc y

gV = (7-46)

ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37.

Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticasse obtiene

Eyc 54= (7-47)

Eg

Vc

51

2

2

= (7-48)

ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica encondiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7.8.

Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular

yc

2 gV 2

c

54 E

E

51

E

352


El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.

cc gyTyAVQ21

21==

23

21

23

21

cyTgQ

= (7-49)

Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial TQq =

23

21

23

21

cygq

=

de donde, en el sistema métrico

23

7920,0 Eq = (7-50)

o bien,

32

9346,0 qyc = (7-51)

Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es

4,02,02

=zQ

gyc (7-52)

siendo z el talud.

Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante críticoen el sistema métrico es

4,07277,0 Qyc =

Veamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las condiciones críticas en uncanal triangular.

La energía específica es

gV

yE2

2

+=

De donde,

353


( )yEgV −= 2

Designemos por z el talud de la sección triangular. Su área es

2zyA =

Luego,

( )yEgzyAVQ −== 22

Para las condiciones críticas el gasto es máximo. Luego

0=dydQ

De acá se obtiene inmediatamente

Eyc 54=

verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que lascondiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo paraenergía constante.

Nota.En algunas de las ecuaciones en las que aparece la aceleración de la gravedad se hareemplazado ésta por su valor 9,8 m/s2, restringiendo así su uso al sistema métrico.

Sin embargo, como las fórmulas genéricas están dadas, es posible utilizarlas en cualquiersistema de unidades. Debe, sin embargo, observarse en que casos se ha reemplazadopreviamente el citado valor de la gravedad.

7.6 Sección trapecial

c

T

A1z

b

y

354


En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. 7-12)

TA

gVc =

En una sección trapecial se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones

( )yzybA +=

zybT 2+=

que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan

( )c

ccc zyb

yzybgV

2++= (7-53)

o bien,

cc

cc gy

zybzyb

V2+

+=

Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidadcrítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante.

Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si

b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad

crítica en una sección rectangular.

Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11

TA

gQ 32

=

se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por

( )g

Qzyb

yzyb

c

cc233

2=

++

(7-54)

Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Para resolver cualquiera de ellas se debe

355


recurrir a tanteos. Si el ancho en la base b y el talud z son datos, entonces se debe suponer

valores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54).

Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el áreadel trapecio de la siguiente manera

cyTb

A2+=

valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da

cc yTTb

gV2+= (7-55)

De donde,

EbT

Tbg

Vc

++=

52

2

(7-56)

EbT

Tyc +

=5

4 (7-57)

Obsérvese que siempre se cumple

EEbT

TE

54

54

32 <

+<

cy : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo)

Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial encondiciones críticas. (Se observa que es función del talud).

cy

E

E

g2

2Vc

b + T

4T

5T + b

5T + bE

356


Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenidaa partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo.

La energía específica es

gV

yE2

2

+=

La velocidad es

( )yEgV −= 2

El gasto es

( ) ( )yEgyzybQ −+= 2 (7-58)

La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía)

0=dydQ

Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene

( ) 02435 2 =−−+ bEyzEbzy cc (7-59)

que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Si en esta

expresión hacemos b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si

hacemos z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular..

Si z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a

zbzEbEzbzE

yc 109161634 222 +++−= (7-60)

Abaco de Ven Te Chow

Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7.9) quepermite el cálculo rápido del tirante crítico. La precisión es la que corresponde a un métodográfico. Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximadoy luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54.

Para el cálculo, Ven Te Chow introduce una variable auxiliar Z que es

357


gQ

Z = (7-61)

Se entra al gráfico con el valor de 5,2b

Z y se obtiene el valor de

byc para cada valor del talud

z , (Figura 7.9).

Ejemplo 7.6 Hallar el tirante crítico para un caudal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en labase es de 0,50 m. El talud es 3.

Solución. Si partimos de la expresión general g

Q

T

A 23

= se tiene, luego de reemplazar el gasto, que

TA 2,103 =

Luego,

( ) ( ) cccc yyyzybA 35,0 +=+=

cyT 65,0 +=

( ) ( )ccc yyy 65,02,1035,0 32 +=+

Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndoel valor del tirante crítico yc = 1,098 ≈ 1,10 m. Luego se puede calcular, a modo de comprobación yanálisis, otros valores:

2,5b

Z

b

yz

cy

bc

358

Arturo RochaH


A = 4,18 m2

Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow)

0,00019

0,001 0,01 0,1 1432 765

0,01

10

0,02

0,030,04

0,060,080,1

0,2

1,00,80,6

0,40,3

2

1086

43

100,001 0,01 0,1 1

2,5D

Z

z = 2,0z = 2,5z = 3,0z = 4,0

z = 1,0z = 0,5

z = 0

(rectangular)

circular

Dy

y

b

1z

D

ób

y

100

(Secciones circulares)

(Secciones trapeciales)2,5b

Z

5 6 72 3 4 9 976432 5 976432 5 976432 5

z = 1,5

c

yc

359


A = 4,18 m2

Vc = 2,39 m/s,

g

Vc

2

2

= 0,29 m

g

VyE c

c 2

2

+= = 1,39 m

Obsérvese que también se cumple que cc gdV =

T

Ad c = = 0,59 m 59,08,9 ×=cV = 2,40 m/s

Se aprecia que Eyc 79,0= valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0,8) y casi igual a

este último, pues la figura es casi triangular.

También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow.

Entonces,

19,3==g

QZ 18

5,2=

b

Z

De donde, (Figura 7.9),

2,2=b

yc yc = 1,10 m

A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47,7-48 y 7-60.

0,29 m

1,10 m

0,50 m

31

21 % E

79 % E

Línea de energía

E = 1,39 m

360

Arturo RochaH


SECCIONES CRITICAS (g

VyE cc 2

2

+= )

(Sistema métrico)

RECTANGULO PARABOLA TRIANGULO TRAPECIO

E32 E

43 E

54 E

bTT+5

4

32

467,0 q 32

701,0 q 32

935,0 q 322467,0 q

TbT+

TIRANTE CRITICO cy

214

1

1456,0 Qp ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

52

728,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

zQ

zbzEbEzbzE

109161634 222 +++−

ENERGIA DE VELOCIDAD g

Vc

2

2

E31

E41

E51

EbTbT++

5

VELOCIDAD CRITICA cV cgy cgy816,0 cgy707,0 cgyT

bT2+

GASTO MAXIMO maxq 23

704,1 E 23

107,1 E 23

792,0 E 232

3

5854,8 E

bTTb⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

cy = 2x 2 py

T

b1

zz

1

T T T

yc

yc

yc

q =QT

361


7.7 Sección circular y otras secciones

Como en cualquier sección transversallas condiciones críticas vienen dadas porla ec. 7-11 ó 7-12. Consideremos laprimera de ellas

TA

gQ 32

=

En una sección circular el área es (ec.6-37)

( )θθ sen2

2

−= rA

Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene

( )

2sen

cos1θ

θ−== rdydA

T (7-62)

Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6.11.

Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene

( )( )

( )( ) 2

sencos1sen

82sen

cos1sen

8

35362 θθθθθ

θθθ

−−=

−−= r

rr

gQ

Haciendo 2D

r =

( )

( )θ

θθθ

cos12

sensen

2

3

8

52

−

−

= Dg

Q (7-63)

Esta ecuación puede compararse con la ec. 7-11a

Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir

D

θyc

362


2sen2

2sen

cos1 θθθ =−

(7-64)

Luego,

( ) 25

21

23

4

2sen2

sen2

Dg

Q

−=θ

θθ (7-65)

En el sistema métrico

( ) 25

21

23

2sen

sen1383,0 DQ

−=θ

θθ (7-66)

Esta última expresión, en el sistema métrico, es la que da las condiciones críticas en unatubería circular parcialmente llena, la que hidráulicamente es un canal.

Dada una tubería de diámetro D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente

ángulo θ que da condiciones críticas.

El tirante crítico es

−=

2cos1

2θDyc (7-67)

La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función

( )θφ=25

D

Q (7-68)

El gráfico de la Figura 7.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. Este gráfico datambién las condiciones críticas para otros conductos abovedados.

También puede emplearse el gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.9) .

363

Energía específica y mom

entaC

apítulo VII

Ejem

plo 7.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s, el diám

etro es 1 m. C

alcular

Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas

D/2

DD/2

D

y y y

31 2 4

DD/2

y

0 1 2 3 4 5 6

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

0

0,10

0,20

0,30

0,10 0,20 0,30

12

34

4

3

2

1

yc

D

D

Q5/2

4 5 6

D

364


a) tirante críticob) velocidad críticac) energía mínimad) ángulo en el centro

Solución. Vamos a usar la Figura 7.10

225 =

D

Qo

oo yc = 0,81 m

A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente

−=

2cos1

2θD

yc

2cos1

5,081,0 θ

−= θ = 256º 38’

θ = 4,4791 rad

El área es

( ) ( )9729,04791,4225,0

2

2

+=−= θθ senr

A

A = 0,6815 m2

Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6.7

D

y = 0,81, 2D

A = 0,6815 o

oo A = 0,6815 m2

La velocidad crítica es

6815,02

==A

QVc = 2,93 m/s o

oo

g

Vc

2

2

= 0,44 m

La energía mínima es E = 0,81 + 0,44 = 1,25 m

Hay también la posibilidad de usar el gráfico de Ven Te Chow

g

QZ = = 0,64 ;

25

D

Z= 0,64 o

oo yc = 0,80 m

Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados. Siempre esaplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no existagráficos especialmente preparados.

7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica

365


Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de lascondiciones críticas.

Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puedeconseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas.

En principio no hay inconveniente, desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener unrégimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimientoy, por ejemplo, dar servicio a lo largo del canal.

Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igualal tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica.

Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variacionesde la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Seproduce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”.

Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables, pues obligan a un borde libremayor.

Este problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien recomienda que unacondición de diseño sea

+≥

+

c

cc T

Ay

gV

y2

05,12

2

(7-69)

Cambiando la notación se podría escribir

+≥

205,1 c

c

dyE (7-70)

La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. 7-12) con una ecuación de lavelocidad normal. (Manning, Chezy, etc).

TAgVc =

nSR

V21

32

=

Igualando ambas expresiones se obtiene

366


TAgnSR c =

21

32

de donde,

34

2

R

nTA

gSc = (7-71)

que es la ecuación de la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning.

Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de Chezy, entonces la pendiente críticasería

TP

Cg

Sc 2= (7-72)

En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al

ancho superficial, TP = .

entonces la ec. 7-72 queda reducida a

2Cg

Sc =

pero, 2

8C

gf = , de donde,

fgC 82 = , siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. Luego,

8f

Sc = (7-73)

Ejemplo 7.8 En un canal rectangular de 1,80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3/s. La rugosidad es de0,018 (Kutter). ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal?

Solución. Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es

cc gyV = (ec. 7-19)

Como el flujo debe ser normal, su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning, la que debeser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea críticoy sea normal.

367


cgyn

SR =21

32

De donde,

El tirante crítico es según la ec. 7-27

3

2

g

qyc = = 0,92 m

El radio hidráulico correspondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene

( )( )3

4

2

34

2

46,0

018,092,08,9 ×==

R

ngyS c

c = 0,0082

cS = 0,0082

Esta pendiente se denomina pendiente crítica. Es la que separa los ríos de los torrentes.

Lo que significa que en este canal se establece, con una pendiente de 0,0082, un movimiento uniforme,cuyo tirante es igual al tirante crítico.

Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0,0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico).

Ejemplo 7.9 En un canal de concretofrotachado el gasto es de 3,86 m3/s. Lasección transversal es la mostrada en lafigura. Calcular: a) el tirante crítico y laenergía específica correspondiente, b) lapendiente para que se establezca un flujocrítico normal.

Solución.

a) La condición general de crisis es 5204,123

==g

Q

T

A

2

21

21

cc yTyA ==cyT =

De donde,

88

563c

c

c y

y

y

T

A==

c

T

A

45º

y

368


8

5cy

= 1,5204 ooo yc = 1,648 ≈ 1,65 m

358,186,3

==A

QVc = 2,84 m/s

g

V

2

2

= 0,412 ≈ 0,41 m

E = 1,65 + 0,41 = 2,06 m

Podría emplearse la ecuación 7-52,

4,02,04,02,0

5,086,322

=

=

gz

Q

gyc = 1,648 ≈ 1,65 m

siendo,

5,02

102

21 =+

=+

=zz

z

b) S es Sc cuando la velocidad correspondiente es la crítica

n

SRVV c

c

21

32

==

2cc yyP += = 3,9835 m

9835,33613,1

==P

AR = 0,3417 m

( )

015,0

3417,084,2

21

32

==c

c

S

V

Obteniéndose finalmente,

Sc = 0,0076

369


7.9 Pendiente crítica mínima (Pendiente límite, LS )

En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente críticacorrespondiente. De todas las pendientes críticas posibles hay, para determinada sección,

una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( LS ).

Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interéspráctico se presenta acá para favorecer el esclarecimiento teórico.

Examinemos en primer lugar un canal rectangular.

En general la pendiente crítica es (ec. 7-71)

34

2

R

nTA

gSc =

Para un canal rectangular es

( )31

34

34

2 2

c

cc

y

yb

b

gnS +==(7-74)

La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de 0=c

c

dydS

Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a y , igualar a cero y resolver se obtiene

cyb 6= (7-75)

de donde,

cyP 8= (7-76)

cyb

R43

8== (7-77)

que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente

límite LS .

Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a

31

2

38

b

gnS L = (7-78)

370


Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces

234Cg

SL =

(7-79)si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. 3-2),

2

8C

gf = se llega a

6f

SL = (7-80)

El gasto que corresponde a la pendiente límite es

25

6 cygQ = (7-81)

Examinemos ahora una sección trapecial. La expresión general de la pendiente crítica es(ec. 7-71)

TA

PgnSc

31

34

2=

La pendiente límite se obtiene a partir de 0=c

c

dydS , teniendo en cuenta que

cyzbP 212 ++=

( ) cc yzybA +=

czybT 2+=

Reemplazando, derivando e igualando a cero, se obtiene después de algunas simplificaciones

dydT

dydP

PT

TA

34

2

−= (7-82)

que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. Si en

esta última expresión se hace z = 0 se obtiene 26 cyA = que es lo correcto para un canal

rectangular.

371


Ejemplo 7.10 Para un canal rectangular de 2,4 m de ancho, cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es0,014, calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones.

Solución. La pendiente límite SL, es decir la menor pendiente crítica posible es

(ec. 7-78)31

2

67,2b

gnSL = = 0,0038

Luego,

6b

yc = = 0,40 m

g

qyc

2

= ooo 3

cgyq = = 0,792 m3/s/m

(ec. 7-81) Q = 1,9 m3/s

cc gyV = = 1,98 m/s

Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales)

n

SRV

21

32

= = 1,98 m/s

n

RC

61

= = 58,4 m1/2/s

2

8C

gf = = 0,0229

60229,0=LS = 0,0038

7.10 Transiciones

Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de lasuperficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambiopuede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondoascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho delcanal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para elestudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es

372


despreciable. En consecuencia, cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dossecciones 1 y 2 la ecuación de la energía es

ag

Vy

gV

y ++=+22

22

2

21

1 (7-83)

siendo a la altura de una grada (positiva o negativa). Si no existiera una grada de fondo,

entonces 0=a . La grada positiva significa una disminución de la energía específica y la

grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirse la ecuación de continuidad.

QAVAV == 2211

Si el ancho es constante y el cambio de la superficie libre se origina en una grada se observaen las Figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14 los perfiles, esquemáticos, de la superficie libre envarios casos.

La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específicasignifica una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. Porel contrario, un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos yuna disminución en los torrentes.

El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el quecorresponde a un flujo crítico sobre ella. (Figura 7.15)

Curva yE − para diferentes caudales

Obsérvese en la Figura 7.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una

familia de curvas yE − . Es evidente que para un canal rectangular la recta que une el origen

con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada vértice corresponde a la

condición crítica del respectivo caudal).

373


Figura 7.11 Grada positiva en un río

Figura 7.12 Grada negativa en un río

1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E2

a

Línea de energía

qE1 y1 y

2

E2

E 1

a

y

Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c

E (Energía específica antes de la grada) y +1

1Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2

Luego, E < E2 1

Del gráfico de la energía específica y < y2 1

En un río una disminución de la

energía específica, a gasto constante,

implica una disminución del tirante.

45º

E

1

y

y1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E 2

a

Línea de energía

qE 1

y2

y1

E1

E 2

a

y

Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c


1Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2

Luego, E > E2 1

Del gráfico de la energía específica y > y2 1

En un río un aumento de la


implica un aumento del tirante.

45º

E

1

E y +2 g2 2

2V 2

374


Figura 7.13 Grada positiva en un torrente

Figura 7.14 Grada negativa en un torrente

1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E 2

a

Línea de energía

q

E1

y1

y2

E1

E2

a

y

Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c


1Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2

Luego, E > E2 1

Del gráfico de la energía específica y < y2 1

En un torrente un aumento de la


implica una disminución del tirante.

45º

E

1

y

y1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E 2

a

Línea de energía

q

E 1

y2 y

1

E 2

E 1

a

y

Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c

E (Energía específica antes de la grada) y +11Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2

Luego, E < E2 1

Del gráfico de la energía específica y > y2 1

En un torrente una disminución de la


implica un aumento del tirante.

45º

E

1

375


Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva

Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales

2 gV 2

1

cVg2

2

yc

E min

a

Línea de energía

q

E

E min

E

a

y

Si a es máximo, la energía específica E = E + aC min max

sobre la grada debe ser mínima E = y + cVg2

2

El máximo valor de la grada, sin alterar

las condiciones aguas arriba, corresponde

a condiciones críticas (energía mínima).

45ºmax

V2 g

22

1y

y2

RIO

TORRENTE

RIO

max

TORRENTE

E

min c

y

45º

q < q < qE = y

V2 g

2

E = y +

1q

min

q2

3q

1 2 3

pendiente = 2/3(canal rectangular)

E (1)

321

E (2)min

E (3)min

376


Ejemplo 7.11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0,25 m (gradapositiva). Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2,80 m. En la zona contraída la superficie libredesciende 0,10 m. Calcular el caudal, dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energíaespecífica. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismogasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?

Solución.

Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m,respectivamente

25,02

45,22

80,22

22

1 ++=+g

V

g

V

Por continuidad,

2,114 111

Q

y

Q

A

QV ===

35,73 22

Q

y

QV ==

Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene

Q = 13,64 m3/s

Efectuando las operaciones indicadas se tiene que

1V = 1,22 m/s; 2V = 1,86 m/s;g

V

2

21 = 0,08 m;

g

V

2

22 = 0,18 m

4,0 m 3,0 mq = 3,41 m /s/m1

3 q = 4,55 m /s/m23

Línea de energía0,08 m

0,10 m

y = 1,28 mc2

2,45 m2,63 m

0,25 m

cy = 1,06 m1

2,88 m 2,80 m3Q = 13 ,64 m /s

45º

2,80 m

2,88 m

1,06 m

1,59 m

1,06 m 0,53 m

E

y

377


De donde,

g

VyE

2

21

11 += = 2,88 m

g

VyE

2

22

22 += = 2,63 m

Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos

1F = 0,23 ; 2F = 0,38 ; 1cy = 1,06 m ; 2cy = 1,28 m

Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída.

El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. Como el tirante crítico es

1,28 m y la sección es rectangular la energía específica es cy23

, o sea, 1,92 m. La ecuación de la energía

es

maxmin1 aEE +=

2,88 = 1,92 + maxa

maxa = 0,96 m

La depresión de la superficie libre es 0,56 m

7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energíaespecífica

Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7.17, hay uncambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado,y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado.

En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es E . Al desplazarnos hacia la

caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a minE , (lo que ocurre teóricamente

sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas).

Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento deenergía.

Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante críticoque se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobreel plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable lasuposición de una distribución hidrostática de presiones.

378


Rouse, determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1,4 vecesel tirante sobre la grada.

El tirante crítico, calculado con las fórmulas usuales, se ubica a una distancia de cy3 a cy4 ,

aproximadamente, aguas arriba de la grada.

7.12 Fuerza Específica (Momenta)

La segunda Ley del movimientode Newton dice que el cambiode la cantidad de movimiento porunidad de tiempo es igual a laresultante de las fuerzasexteriores.

Consideremos un canal con unflujo permanente cualquiera y unvolumen de control limitado pordos secciones transversales 1 y2, la superficie libre y el fondodel canal, tal como se ve en laFigura 7.18.

Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton)entre las secciones 1 y 2 se obtiene

( ) fFWsenPPVVQ −+−=− θββρ 211122 (7-84)

Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la EnergíaEspecífica

L

y1

y2

Wsenθ

P1 P2

Q

Ff

1 2

Figura 7.18 Gráfico para la deducción de la ecuaciónde la Fuerza Específica.

y

E

yc

≈ 3,5yc

ENERGIAMINIMA

E min

379


expresión en la que: ρ densidad del fluido; Q gasto; β coeficiente de Boussinesq; Vvelocidad media; P fuerza hidrostática; W peso; fF fuerza debida a la fricción; θ ángulo

que corresponde a la pendiente del canal; L longitud; W senθ componente del peso en la

dirección del escurrimiento; y es el tirante.

En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que esválido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmentevariado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cadauna de ellas sea aplicable la ley hidrostática.

Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía.

En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores, entanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna.

Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el

volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que 121 == ββ . Entonces la

ecuación 7-84 se reduce a

( ) 2112 PPVVQ −=− ρ (7-85)

La fuerza hidrostática P es Ayγ , siendo y la profundidad del centro de gravedad.

Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos

reemplazos se llega a

222

2

111

2

AygAQ

AygAQ +=+ (7-86)

Como los dos miembros son análogos se puede escribir

AygAQ +

2

= constante = Fuerza Específica = Momenta (7-87)

que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta.

Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmenteuna fuerza por unidad de peso de agua.

380


gAQ 2

es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y

por unidad de peso.

Ay es la fuerza hidrostática por unidad de peso.

A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta

El gráfico de la Fuerza Específica es

Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles 1y e 2y . Los

tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados.

En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo

( ) ( ) 0..2

2

=+−=dy

AyddydA

gAQ

dyEFd

De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que

Figura 7.19 Fuerza Específica

RIO

TORRENTE

y2

F. E.Fuerza específica

(Momenta)

yc

y1

M

yTirante F. E. mínima

ec. 7-87

381


22

2 dg

V =

que se puede comparar con la ecuación 7-14.

Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde acondiciones críticas.

Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puedeexaminar un canal rectangular en el que

bqQ = ; 11 byA = ; 22 byA =

21

1y

y = ; 2

22

yy =

siendo b el ancho del canal.

Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunassimplificaciones a

( )2121

2

21

yyyygq += (7-88)

Pero, en un canal rectangular el tirante crítico es

3

2

gq

yc =

valor que sustituido en 7-88 nos da

( )21213

21

yyyyyc += (7-89)

Siendo 1y e 2y tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).

382


7.13 Salto hidráulico

El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con grandisipación de energía. También se le llama resalto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7.20.

fhEE += 21 ( ) ( )21 .... EFEF =

La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Por lo tanto 1y e 2y

son tirantes conjugados. La energía específica disminuye de 1E a 2E .

Salto hidráulico en un canal rectangular

Partimos de la ecuación 7-88

( )2121

2

21

yyyygq +=

Se divide ambos miembros por 31y , y luego de algunas sustituciones se llega a

+=

1

2

1

2

1

21 1

21

yy

yy

gyV

De donde,

+=

1

2

1

221 1

21

yy

yy

F

Figura 7.20 Salto hidráulico

2 g

2E

2V2

y2

fh = (∆E)1-2

RIO

TORRENTESALTO

1y

g2

2V1

E1

Línea de energía

383


De acá se obtiene una ecuación en 1

2

yy

02 21

1

2

2

1

2 =−+

F

yy

yy

Resolviendo esta ecuación se obtiene

( )18121 2

11

2 −+= Fyy

(7-90)

Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. La relación entre los

tirantes conjugados 1

2

yy es función exclusiva del número de Froude incidente

( )11

2 Fyy ϕ=

Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico.

Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que, si es quehay suficiente turbulencia en el modelo, haya similitud.

El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado, con fuerte curvatura de las líneas decorriente. Se caracteriza por la gran disipación de energía. Se puede describir como el pasoviolento de un régimen supercrítico a uno subcrítico.

El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de lavelocidad y de la presión en cada punto; es decir que tiene un alto grado de turbulencia, lo quese traduce en una alta capacidad de mezcla. En un salto hidráulico se produce también laincorporación de aire a la masa líquida.

El salto produce oleaje, que se propaga hacia aguas abajo.

Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchassimplicaciones. Así por ejemplo, la ecuación 7-90 es sólo una aproximación, una representaciónesquemática, del modo como ocurren los fenómenos.

Sin embargo, cuando se estudia estructuras muy grandes, no se puede despreciar los efectosde las fluctuaciones instantáneas de la presión. Las presiones consideradas como un promediotemporal son en este caso de poca utilidad.

384


En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valorestan altos, que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de laestructura.

Lopardo, investigador argentino, cita lo ocurrido con las presas: Blustone, Calyton, Alamogordo,Glendo, Bonneville, señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar laatención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación lassolicitaciones variables”.

Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se pueden describir por medio de su frecuenciay amplitud.

Tipos de salto

En función del número de Froude y según el U. S. Bureau of Reclamation se distingue lossiguientes tipos de salto

1=F Flujo crítico, no hay salto

7,11 << F “salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones)

5,27,1 << F “salto débil”. La disipación de energía es pequeña

5,45,2 << F “salto oscilante”. Se produce el efecto de chorro. Hay ondas superficiales

95,4 << F “salto permanente o fijo”. Buena disipación de energía (45 - 70 %)

9>F “salto fuerte”. Gran disipación de energía (85 %)

Pérdida de energía en el salto

La perdida de energía en el salto hidráulico se define así

+−

+=

gV

yg

Vyh f 22

21

1

22

2 (7-91)

expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñastransformaciones a

( )21

312

21 4 yyyy

EEhE f

−=−==∆ (7-92)

385


Eficiencia

Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica despuésdel salto y la que hay antes de él.

( )( )2

12

1

21

23

21

1

2

281418

FFFF

EE

++−+=

(7-93)

La pérdida de energía relativa es

11

21EE

EE ∆=− (7-93a)

Altura del salto ( ih )

La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto

( 12 yyhi −= )

Se demuestra fácilmente que

2381

21

21

1 +−+

=F

F

Ehi

(7-94)

Longitud del salto ( L )

La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal, número de Froude,etc.). Aproximadamente se tiene que

( )129,6 yyL −= (7-95)

En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques.

Oleaje

En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. Sus alturas y

periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como SH a la altura

significativa (promedio del tercio superior). Lopardo y Vernet han encontrado que

( )161

11

−= Fy

H S (7-96)

Para 71 ≤F

386


Ejemplos de salto hidráulico

Línea de energía

g2V1

2

y1

h = E - Ef 1 2

g2V 2

2

2y

L

Canal

ColchónDispipador

Rápida

1y 2

y

Vertedero Oleaje

yn

yn

yn

Línea de energía

y1ay2

E

Compuerta

y1

yny

S

Para vencer un desnivel se construye una

rápida. Al final de ella debe disiparse

la energía. El salto hidráulico actúa como

un disipador de energía

a)

b)

En un río se costruye una presa derivadora

(barraje) para elevar el nivel del agua

en época de estiaje. La energía se disipa

por medio de un salto hidráulico.

c)

Si en un canal se coloca una compuerta

que deja una abertura en la parte inferior

se produce aguas abajo un salto hidráulico.

En la figura se observa el llamado

salto hidráulico libre.

d)

Si el tirante normal aguas abajo es mayor

que y se produce el llamado salto

hidráulico ahogado.2

(y es el tirante normal aguas abajo)n

387


7.14 Descarga por una compuerta de fondo

Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo através de una compuerta plana de fondo.

Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga.

La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuertadebe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo.

Sea a la abertura de la compuerta, cc el coeficiente de contracción. Entonces acy c=2 . La

ecuación de la energía específica es

gV

yg

Vy

22

22

2

21

1 +=+

Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad

QAVAV == 2211

Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta.

Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta

fhg

Vy

gV

y ++=+22

22

2

21

1

En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1.

La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las

Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo

Línea de energía

a y2

E

21

g2V

V 2

g22

y1

388


condiciones de aguas abajo. Ellas son

a) No se forma salto

b) Se forma un salto libre

c) Se forma un salto sumergido (ahogado)

Ejemplo 7.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para elanálisis de un salto hidráulico sumergido, como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta enun canal rectangular, demostrar que se cumple la siguiente expresión

−+=

1

222

2

121yy

Fyys

Siendo ys el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta, y1 la abertura de la compuerta, y2 eltirante aguas abajo del salto, q el gasto por unidad de ancho, F2 el número de Froude aguas abajo delsalto. Despréciese la fricción en el canal.

Solución. Por continuidad, 2211 yVyV = . Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 7-

85) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d, ejemplos de salto hidráulico).

( )1221 VVQPP −=− ρ

Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene

( ) ( )122222

2

21

VVyVg

yys −=−γ

γ

Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a

( )122

222

2

121

VVy

V

gy

y s −=

− γγ

−=−

2

1222

2

2

121V

VF

y

y s

Obteniéndose finalmente la expresión propuesta.

389



(Capítulo VII)

1. En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirantecrítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones7-25 y 7-26.

2. Demostrar que un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas, debetener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.

3. En un canal rectangular se tiene los siguientes datos

Q = 12 m3/s ; b = 6 m ; S = 0,315 n = 0,0125

Calcular

a) el tirante normalb) la energía específica correspondiente al flujo uniforme

c) el gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b

Verificar que se cumple la ecuación 7-14.

4. En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentesvalores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente paraq = 4 m3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido?

5. Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será lapendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando elgasto sea de 6 m3/s?

Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería enél? (¿Río o torrente?) ¿Por qué?

6. En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer unapiedra en el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguasabajo, de las ondas superficiales producidas.

7. Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos 1y e 2y la

siguiente relación 22

21

22

2

1

++=

FF

yy

390


8. Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente

crítica es 24,6943

1

2 f

y

n

c

= ( g = 9,8 m/s2)

9. Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistemamétrico, las siguientes ecuaciones

a) 23

13,3 cmax yq = b) 21

21

56,213,3 mincc EyV ==

c) d)

e)

10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m3/s. ¿Cuál es laecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44.

11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es yx 162 = , la energíaespecífica mínima es 0,3611 21Q .

12. Hallar el tirante crítico para elcanal de la figura. El gasto es de8 m3/s. ¿Cuál es la energía quecorresponde a las condicionescríticas? Demostrar que secumplen las ecuaciones 7-14,7-56 y 7-57.

13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente C de Chezy igual a 55 m1/2/s yconduce un gasto de 10 m 3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para qué pendientese establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estascondiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m3/s, ¿qué tipo de flujose establecerá?

14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial (b = 3 m, z = 2, n = 0,017). Calcular lapendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a laenergía cinética? Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.

yc

45º 60º

2,20 m

3 27,0 maxmin qE =

3max c q2,14V =

3 2467,0 maxc qy =

391


15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canalmostrado en la figura para que seproduzca un movimiento uniformecon el mínimo contenido de energíapara un gasto de 3,5 m3/s, y sabiendoque la rugosidad del contornocorresponde a G = 0,46 en la fórmulade Bazin?.

Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujose presentaría con la pendiente crítica calculada.

16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud delcanal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del puntoB es 863,70 m. El gasto es de 10 m3/s. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,020.

Calcular

a) el tirante normal

b) el tirante crítico

c) la pendiente crítica

d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente

(Las cotas están medidas sobre la superficie libre).

17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máximaeficiencia hidráulica, hallar

a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía

b) la energía específica cuando el gasto sea de 15 m3/s

18. Un canal trapecial revestido en concreto ( C = 60 m1/2/s) conduce un gasto de 8 m3/s

a) establecer si este flujo es un río o un torrente

b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico?

(Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m)

19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60.

20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m 3/s.Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.

c

45º

3,00 m

y

392


21. Calcular la altura de río y de torrente quepodrían producirse en el canal cuya secciónaparece en la figura, para un gasto de 6,5m3/s y una energía específica de 3,14 m.Calcular también para cada uno de los dosregímenes, el número de Froude y elcorrespondiente valor de dydE en la curva

yE − . Dibujar la curva yE − y verificartodos los valores calculados, así como lascondiciones críticas.

22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de30 m3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m?

23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es

(ec. 7-52)4,02,0

2

=zQ

gyc

24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s.¿Cuál es la energía específica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la mismaenergía el gasto es máximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gastomáximo sea de 321,8 l/s?.

25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es

2,08883,1 QVc =

26. Para el canal mostradoen la figura ¿Cuál es eltirante crítico para ungasto de 12 364 l/s?¿Cuál debe ser elcoeficiente n de Kutterpara que con unapendiente de 0,0022 seestablezca un flujocrítico normal?

c

1:2

1,50 m1:1

1:1

90º

y

1

1,00 m

0,25

393


27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m3/s, con un tirantede 1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de losregímenes, el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gastomencionado. Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobaciónhacer el cálculo con la Figura 7.10.

28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de6 m 3/s con un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadradopara que el tirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía?

29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río ytorrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que

++=

2

2 8114 R

R

R

T

FF

yy

o bien,

++=

2

2 8114 T

T

T

R

FF

yy

RF y TF son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando RF = TF =1?

30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho,por medio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ningunaalteración. El gasto es de 2,1 m3/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar eltirante en la primera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico.Dibujar el perfil de la superficie libre.

31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es2,75 m/s se desea saber cual debe ser la sobreelevación de una grada de fondo para que seproduzca un régimen crítico.

32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es lamáxima sobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condicionesde aguas arriba. El tirante normal es 2,50 m.

33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal seproduce un resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayorque el que hay después del resalto, hallara) el tirante crítico b) el tirante antes del resaltoc) el tirante después del resalto d) la fuerza específica (momenta)e) la energía disipada en el resalto f) la potencia del resalto en HP

394


34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipaciónde energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirantedespués del salto y el gasto.

35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % dela energía. Si el gasto es de 20 m3/s, hallar los tirantes antes y después del salto.

36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en elque se produce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son 1y e 2y , se cumple que

2381

21

21

1

12

+−+

=−F

FE

yy

siendo 1E y 1F la energía específica y el número de Froude antes del salto.

37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que dejaen el fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuertaes de 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. Noconsiderar la fricción.

38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana verticalque descarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma unresalto. Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular

a) el caudal b) la fuerza sobre la compuertac) la altura conjugada del resalto d) la energía disipadae) la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015)f) la altura y la eficiencia del salto

No considerar la fricción.

39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas

a) yE − para q = 5 m3/s/mb) yEF −.. para q = 5 m3/s/mc) yq − para E = 4 m

Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 80,20 ≤≤ y m,valores de y∆ = 0,50 m.

40. Demostrar que en un canal rectangular la Fuerza Específica (Momenta) es

22

21

ygyq +

395

Movimiento gradualmente variadoCapítulo VIII

CAPITULO VIIIMOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO

8.1 Introducción

El movimiento gradualmente variado (M. G. V.) es un flujo permanente cuya profundidad (caladoo tirante) varía suavemente a lo largo del eje de un canal. En consecuencia, la velocidad varíade una sección a otra. A diferencia de lo que ocurre en el movimiento uniforme, en el que laspendientes del fondo, de la superficie libre y de la línea de energía son iguales, en el movimientogradualmente variado estas tres pendientes son diferentes.

El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. No ocurre ni aun en los canaleshechos por el hombre, en los que el flujo sólo se aproxima al movimiento uniforme. Lo real esque a lo largo de una conducción abierta (canal) hay cambios de pendiente, sección, rugosidady alineamiento que determinan la aparición de un movimiento, que siendo permanente no esuniforme. Es variado. En este capítulo examinaremos el caso particular del movimientogradualmente variado.

La teoría del movimiento gradualmente variado empezó a desarrollarse en 1828 con losestudios de Belanger y recién está completándose. Siguiendo a Ven Te Chow se presenta acontinuación los aspectos generales del movimiento gradualmente variado (M. G. V.).

La hipótesis general para el estudio del movimiento gradualmente variado es la siguiente

La pérdida de carga en una sección es la misma que

correspondería a un flujo uniforme que tuviese la misma

velocidad y radio hidráulico que la sección mencionada.

La aceptación de esta hipótesis implica que las fórmulas del flujo uniforme (Manning, Chezy,

396


etc.) pueden usarse para calcular la pendiente de la línea de energía en una sección de unmovimiento gradualmente variado. Además de la hipótesis general es necesario hacer otras.Las principales son las siguientes

i) La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. Esto implica unflujo paralelo. Para que esta hipótesis no se aleje de la realidad se requiere que la variacióndel tirante sea efectivamente gradual (suave) y, en consecuencia, la curvatura debe serpequeña. Cuando el radio de curvatura de la superficie libre es pequeño, menor que eltirante, ya el movimiento no es gradualmente variado, sino rápidamente variado.

Cuando las líneas de corriente tienen curvatura, la distribución de presiones se diferenciade la del movimiento uniforme y debería ser como aparece en la Figura 8.1.

Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo

En cambio, en un movimiento uniforme la distribución de presiones es hidrostática, talcomo se aprecia en la Figura 8.1. Este tipo de flujo se llama paralelo. Las líneas decorriente no tienen curvatura y, por lo tanto, no hay componentes de la aceleraciónnormales a la dirección de la corriente.

Los flujos convexos y cóncavos son curvilíneos. Hay una aceleración normal a la direcciónde la corriente. Si el flujo fuera paralelo la distribución de presiones correspondería a lalínea MP. En cambio, en el flujo convexo la fuerza centrífuga actúa en sentido contrario ala gravedad y la presión resultante es menor que la correspondiente al flujo uniforme. Enel flujo cóncavo ocurre lo contrario, tal como puede verse en la Figura 8.1.

P' P

N

M

Flujo convexo

M

Flujo cóncavo

P'PN

M

N

P

Flujo uniforme

397


ii) El canal es prismático. Esto significa que el canal tiene una sección transversal geométricadefinida (rectángulo, trapecio, triángulo, etc.) y que su alineamiento es recto. Un río noes un ‘‘canal prismático’’.

iii) El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente deltirante.

iv) La distribución de velocidades es invariable, lo que significa que el coeficiente de Coriolises constante, es el mismo, en todas las secciones transversales a pesar de que lavelocidad media varía.

v) La pendiente del canal es pequeña, de modo que

a) La profundidad es la misma, sea que se considere una vertical o la normal al fondodel canal.

b) No se considera aire incorporado. Cuando la pendiente es grande, la alta velocidadda lugar a que el agua atrape aire, incorporándolo al escurrimiento y produciéndose,eventualmente, un aumento del tirante. Este fenómeno se presenta generalmentepara velocidades mayores de 6 m/s.

En una canal de pendiente grande se tendría la siguiente expresión de la presión en unpunto de la corriente.

Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente.

Cuando la pendiente se supone pequeña desaparecen los problemas de aire incorporadoy, además, la profundidad a considerarse es la misma, ya sea que se mida vertical onormalmente al fondo.

vi) El factor de sección Z y el factor de capacidad K , que se definen a continuación, sonfunciones exponenciales del tirante.

y cosθy cos θy

θ

2

398


El factor de sección Z se define de la siguiente manera

dAZ = (8-1)

siendo TAd = , de acá que el factor de sección pueda también expresarse así

TA

Z3

=(8-2)

A es el área de la sección transversal y T es el ancho superficial.

Para la definición del factor de capacidad K hay que recordar que en el cálculo del

movimiento uniforme pueden usarse las expresiones genéricas siguientes

YX SCRV = (8-3)

YX SCARQ = (8-4)

Tanto en la ecuación de Manning como en la de Chezy el exponente de la pendiente Ses 1/2. Luego,

21

SCARQ X= (8-5)

K

Se denomina K , factor de capacidad, a la expresión XCAR . En consecuencia,

XCARK = (8-6)

Como K es directamente proporcional al gasto se considera que es una medida de lacapacidad de conducción de la sección transversal. De las últimas expresiones se deduceinmediatamente que

21

KSQ = (8-7)

Luego,21

S

QK = (8-8)

Si se utiliza la ecuación de Chezy, entonces,

399


21

CARK = (8-9)

Si se utiliza la ecuación de Manning,

n

ARK

32

= (8-10)

8.2 Definiciones fundamentales

Cuando en una corriente el tirante está determinado exclusivamente por el gasto, pendiente,rugosidad y geometría de la sección se dice que hay condiciones normales. El tirante se

denomina normal ( ny ).

En un canal, o río, pueden presentarse ciertas singularidades que alteran el tirante normal (y,por lo tanto, la velocidad media de la corriente).

Así por el ejemplo, cuando se construye un vertedero en un canal, o una presa en un río, lacorriente se eleva y, por lo tanto, se aparta de las condiciones normales. Su tirante se hacemayor que el normal. Si esa variación de tirante no es brusca se genera un movimientogradualmente variado. A este caso particular se le llama una corriente peraltada porque sutirante es mayor que el normal. Aguas arriba de la presa o vertedero aparece una curva deremanso, (Figura 8.3).

Podría ser también que en un canal o río haya una caída brusca. En el plano de la caída laenergía es mínima, y en sus inmediaciones hay un tirante crítico. El río que viene de aguasarriba con un tirante normal disminuye su tirante para aproximarse al crítico. Aparece así unacorriente deprimida porque el tirante es menor que el tirante normal, tal como se ve en laFigura 8.3.

Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida

y

Eje Hidráulico

Vertedero

Corriente peraltada y > y

y

Corriente deprimida y < y

yn ynyc

n n

400


Hay muchas otras formas en las que puede generarse un movimiento gradualmente variado.Cuando un canal o río desemboca en el mar, las mareas producen alternadamente corrientesperaltadas y deprimidas. También un cambio de pendiente da lugar a una curva de ‘‘empalme’’,entre los respectivos tirantes normales, produciéndose así un movimiento gradualmente variado.

Antes de establecer la ecuación del movimiento gradualmente variado conviene precisar otrasdefiniciones.

Ríos y torrentes. Esta es una clasificación que se refiere a la corriente.

En un río, el tirante (del movimiento gradualmente variado) es mayor que el crítico. En cambio,en un torrente es menor.

Figura 8.4 Ríos y torrentes

En un río la velocidad de propagación de una onda superficial es menor que la velocidad media dela corriente. Lo contrario ocurre en los torrentes. Por lo tanto, los ríos dependen de las condicionesde aguas abajo. En cambio los torrentes no dependen de las condiciones de aguas abajo.

Pendientes suaves y fuertes. Esta es una clasificación que se refiere al lecho. Son pendientessuaves los lechos en los que el tirante normal es mayor que el crítico. Son pendientes fuerteslos lechos en los que el tirante normal es menor que el crítico.

A las pendientes suaves se les denomina también tipo M, del ingles mild, y a las pendientesfuertes se les denomina tipo S, del ingles steep.

Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes

Pendiente suave (tipo M) y > y Pendiente fuerte (tipo S) y < y

cy

yn

n c n c

ny

yc

y

Río ( y > y )

y

Torrente ( y < y )

yc cy

c c

401


Son pendientes suaves los lechos que en movimiento uniforme dan ríos y son pendientesfuertes los que dan torrentes.

Si varía la rugosidad del contorno, conservándose constantes las otras características, unlecho de pendiente suave puede convertirse en fuerte, o viceversa.

Nótese que fuera del movimiento uniforme, en cualquier clase de pendiente (fuerte o suave),puede escurrir un río o un torrente.

La pendiente crítica es la que separa las pendientes suaves de las fuertes y da escurrimientocrítico en movimiento uniforme.

Zonas

En función de las posiciones relativas (magnitud) que tienen el tirante crítico cy , el normal

ny , así como el del movimiento gradualmente variado y , se distingue tres zonas

Zona 1n

c

yy

yy

>>

Zona 2cn

nc

yyy

yyy

<<<<

Zona 3n

c

yy

yy

<<

8.3 Ecuación general del movimiento permanente gradualmentevariado

Sea una sección longitudinal cualquiera de un movimiento permanente gradualmente variado,que se presenta en un canal prismático con gasto constante Q , tal como se aprecia en laFigura 8.6. La energía total H es

zyg

VH ++=

2

2

(8-11)

Estamos suponiendo que el coeficiente de Coriolis es igual a 1 y que la pendiente del fondoes pequeña.

El tirante del movimiento gradualmente variado y es mayorque el tirante crítico y también es mayor que el tirante normal.

El tirante del movimiento gradualmente variado y estácomprendido entre el crítico y el normal.

El tirante del movimiento gradualmente variado y es menor

que el tirante crítico y también es menor que el tirante normal.

402


2 g

2V

y

H

(1)

(2)

z

dx

SE

Línea de energía

Superficie libre

SW

θ0S

Fondo

x

Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado

La variación de esta energía a lo largo del canal es dxdH

, siendo x la ordenada en la dirección

de la corriente. Derivando la energía total H con respecto a x se tiene

dx

zyg

Vd

dxdH

++

=2

2

(8-12)

La pendiente 0S del fondo se define como el seno del ángulo θ .

La pendiente ES de la línea de energía se obtiene a partir de la ecuación de Chezy o de la deManning.

La pendiente se asume como positiva si desciende en la dirección del flujo y como negativa siasciende en la dirección del flujo. La variación de energía H∆ es siempre negativa en ladirección del flujo, pues lo contrario implicaría que se añadiese energía al sistema. La variaciónde la elevación del fondo z∆ puede ser positiva o negativa. En la Figura 8.6, z∆ es negativa.Como ambas pendientes deben ser positivas, pues descienden en la dirección deescurrimiento, se tendrá que

dxdz

S −== θsen0

403


34

22

2

2

R

nVRC

VdxdH

SE −=−=−=

Luego,

ESSdx

yg

Vd

−=−

+

0

2

2 ( 8-12a)

Pero

+ y

gV2

2

es la energía específica E (ver la ecuación 7-2). Por lo tanto,

ESSdxdE −= 0 (8-13)

Pero, anteriormente hemos establecido (capítulo VII, ec. 7-19) que

21 FdydE −=

Luego, combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

20

1 FSS

dxdy E

−−= (8-14)

que es una de las formas de la ecuación general del movimiento gradualmente variado.

Como el cuadrado del número de Froude es

3

22

gATQ

F = (8-15)

se tiene que,

3

20

1gA

TQSS

dxdy E

−

−= (8-16)

404


Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuación, a fin de introducir el factor de

capacidad ( K ) y el factor de sección ( Z ).

Según la definición de factor de capacidad

21

ES

QK = para cualquier sección del M. G. V.

21

0S

QKn = para el movimiento uniforme

Luego,

2

0

=

KK

SS nE

Según la definición de factor de sección

TA

Z3

= para cualquier sección

gQ

Zc = para condiciones críticas

Esta última expresión se obtiene a partir de la consideración de que para condiciones críticasel número de Froude es igual a 1, por lo tanto

TA

ggdV cc == ;TA

gAQ

Vc ==

TA

gAQ =2

2

;2

32

cZTA

gQ ==

Luego,

3

22

gATQ

ZZc =

Introduciendo en la ecuación 8-16 los valores obtenidos para K y Z se llega a

405


2

2

0

1

1

−

−

=

ZZKK

Sdxdy

c

n

(8-17)

que es otra de las formas de la ecuación general del movimiento permanente gradualmentevariado.

Las ecuaciones de movimiento gradualmente variado, 8-14, 8-16 y 8-17 representan la variaciónde la superficie libre con respecto al fondo del canal.

Aplicación a una sección rectangular muy ancha

Si usamos la fórmula de Manning (8-10) se tiene

ny

nAR

K nn

35

32

== (para condiciones normales)

ny

nAR

K35

32

== (para cualquier sección del M. G. V.)

32

ccc ydAZ == (para flujo crítico)

23

ydAZ == (para cualquier sección del M. G. V.)

Reemplazando estos valores en la ecuación general (8-17) se obtiene

3

310

0

1

1

−

−=

yy

yy

Sdxdy

c

n

(8-18)

que es la ecuación de eje hidráulico para un canal rectangular muy ancho (fórmula de Manning)en movimiento gradualmente variado.

Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy (8-9), entonces la ecuación general del movimientogradualmente variado sería

406


3

3

0

1

1

−

−

=

yy

yy

Sdxdy

c

n

(8-19)

Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad, habríamos tenido que introducir su valor(constante) en la ecuación 8-11 y proseguir con el desarrollo.

La ecuación general del movimiento gradualmente variado también puede expresarse así

2

2

0

1

1

−

−

=

c

n

QQ

QQ

Sdxdy

(8-20)

siendo Q el gasto del movimiento gradualmente variado, nQ es el gasto para un flujo normal

cuyo tirante y fuese igual al del movimiento gradualmente variado, cQ es el gasto crítico

para una profundidad .y

Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el M. G. V. la siguienteecuación

dgAQ

RACQ

S

dxdy

2

2

22

2

0

1−

−= (8-21)

siendo d el tirante hidráulico TA

Ejemplo 8.1 Demostrar que para un canal rectangular de ancho variable b y pequeña pendiente laecuación del movimiento gradualmente variado es

3

2

3

2

0

1gA

bQdxdb

gAyQ

SS

dx

dy E

α

α

−

+−=

(8-22)

407


Solución. A partir de la ecuación 8-12a y de la introducción del coeficiente de Coriolis obtenemos

dx

g

Vd

dx

dySS E

++−=−2

2

0 α (1)

Pero,

( )dx

dAA

g

Q

dx

dA

g

Q

dx

gAQ

d

dx

gV

d3

2222

22

222

22 −−

−==

=

+−=

dx

dby

dx

dyb

gA

Q3

2

Reemplazando en (1)

+−+−=−

dx

dby

dx

dyb

gA

Q

dx

dySS E 3

2

0 α

De donde,

3

2

3

2

0

1gA

bQdxdb

gAyQ

SS

dx

dy E

α

α

−

+−=

que es la expresión buscada.

8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico

El signo de dxdy

en la ecuación del M. G. V. nos da una indicación sobre algunas características

del eje hidráulico. Así,

Si 0>dxdy

,

entonces el tirante y aumenta

en la dirección de la corriente.La superficie libre se levanta.Esta condición se da en losríos peraltados y en lostorrentes deprimidos.

S 0

y

La superficie libre se levanta ( )0>dxdy

SW

408


Si 0<dxdy

,

entonces el t irante y

disminuye en la dirección dela corriente. La superficie libredesciende. Se da en los ríosdeprimidos y en los torrentesperaltados.

Para comprender mejor la discusión de la ecuación del eje hidráulico examinemos algunoscasos especiales.

¿Qué ocurre cuando el tirante y del movimiento gradualmente variado se hace

igual al tirante crítico?

Esto implica que en la ecuación 8-17 se cumple que cZZ = , por lo tanto en la ecuacióndiferencial del eje hidráulico se tendrá que como el denominador tiende a cero, entonces

→dxdy

infinito

lo que implicaría que para cyy = el eje hidráulico debería ser vertical, tal como se aprecia en

la Figura 8.7.

Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con cyy =

Esto significa que en las proximidades del tirante crítico ( cyy = ) el eje hidráulico tiene una

gran curvatura y por lo tanto ya no es válida la hipótesis del movimiento gradualmente variadode considerar que las líneas de corriente son paralelas y de aceptar, por lo tanto, una distribuciónhidrostática de presiones. La consecuencia de este hecho es que la ecuación establecidapara el eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado no puede usarse en las

inmediaciones de cyy = .

S 0 y

La superficie libre desciende ( )dxdy 0

WS

yyc

y = yc

409


¿Qué ocurre cuando el tirante se acerca a cero?

En el caso más general el valor de dxdy

se hace indeterminado.

Examinemos algunos casos particulares. Si fuera un canal rectangular muy ancho en el que

se aplica la fórmula de Manning, (8-18), entonces para 0=y se obtiene que →dxdy

infinito,

lo que implicaría que el eje hidráulico fuese vertical. En cambio, si hubiéramos usado lafórmula de Chezy (8-19) se tendría que

3

3

0c

n

yy

Sdxdy =

lo que significaría que el eje hidráulico hace un cierto ángulo con el fondo.

¿Qué ocurre si el tirante es igual al tirante normal?

Entonces 0=dxdy

lo que significa que la superficie es paralela al fondo y se trata, por lo tanto,

de un movimiento uniforme ( )WSS =0 .

¿Qué ocurre si el tirante y crece indefinidamente?

Entonces,

0Sdxdy →

o sea que la superficie libre tiende a ser horizontal.

8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado

Partimos de la ecuación 8-17 y consideramos dos posibilidades con respecto al signo delprimer miembro. Para cada una de ellas se presenta esquemáticamente la forma en la que,algebraicamente, se podría obtener el signo (positivo o negativo) del primer miembro.

La ecuación del eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado, según la ecuación 8-17es

410


2

2

0

1

1

−

−

=

ZZKK

Sdxdy

c

n

En esta ecuación pueden presentarse las siguientes posibilidades

Numerador y denominador positivosNumerador y denominador negativos

Numerador positivo y denominador negativoNumerador negativo y denominador positivo

Con base en las posibilidades planteadas en este esquema general haremos la discusión decada uno de los seis casos del movimiento gradualmente variado, que son los siguientes

- Río peraltado en pendiente suave (M1)

- Río peraltado en pendiente fuerte (S1)

- Torrente deprimido en pendiente suave (M3)

- Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)

- Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)

- Río deprimido en pendiente suave (M2)

PRIMERA POSIBILIDAD

0>dxdy

Numerador y denominador positivos

Como el numerador es positivo esto significa que

01 2

2

>−KKn

lo que necesariamente implica nKK > . Es decir, que el tirante es mayor que el tirante

normal ( nyy > ).

Se trata por lo tanto de una corriente peraltada. Esta es una conclusión de carácter general:siempre que el numerador sea positivo se tiene una corriente peraltada.

0>dxdy

0<dxdy

411


Como el denominador también es positivo, esto significa que

01 2

2

>−ZZc

Lo que necesariamente implica cZZ > ( cyy > ). Se trata por lo tanto de un río. Esta es

también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea positivo setiene un río.

Por lo tanto, numerador y denominador positivos implican necesariamente un río peraltado.

Este río peraltado puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. Tenemos así los dosprimeros casos del movimiento gradualmente variado.

Caso 1 Río peraltado en pendiente suave (M1)

Por tratarse de un río el tirante delmovimiento gradualmente variadoes mayor que el tirante crítico ypor tratarse de una corrienteperaltada el tirante es mayor queel normal y por ser pendientesuave el tirante normal es mayorque el crítico. Por lo tanto,

cn yyy >>

Como el tirante es mayor que el normal y que el crítico, se dice que el eje hidráulico está enla ZONA 1.

Como la pendiente es suave la curva es tipo M1. Es una curva cóncava.

Obsérvese que en cada sección transversal las velocidades son menores que las quecorresponderían al movimiento uniforme. Por lo tanto, las pérdidas de carga también seránmenores.

Esta curva es la más conocida y estudiada, pues se presenta frecuentemente. Usualmente

se le llama curva de remanso. Se observa que el eje hidráulico es asintótico a la recta nyy = ,

de la que se separa gradualmente. Crece hacia aguas abajo.

Esta curva puede aparecer cuando se coloca un vertedero en un canal. También cuando hayuna presa vertedora en el lecho del río, cuando hay una diminución de pendiente, un aumentoen la rugosidad, un cambio de sección, en la entrega de un canal al mar o a un reservorio, etc.

Río peraltado en pendiente suave

M1

yy

c

yn

412


Caso 2 Río peraltado en pendiente fuerte (S1)

Por tratarse de un río el tirante delmovimiento gradualmente variadoes mayor que el tirante crítico ypor tratarse de una corrienteperaltada el tirante es mayor queel normal y por ser pendientefuerte el tirante normal es menorque el crítico. Luego,

nc yyy >>

Es una curva tipo S1, pues la pendiente es fuerte y el eje hidráulico está siempre por encimadel tirante crítico y del normal (ZONA 1).

Este eje hidráulico crece hacia aguas abajo a partir de su separación de cyy = , que larealiza normalmente. Esta curva empieza con un salto y tiende asintóticamente hacia aguasabajo. Es una curva convexa.

Este tipo de perfil se origina de un modo similar al anterior, es decir, en un vertedero, presa ocompuerta que produzca una sobreelevación de la superficie libre, variando en que la pendientees fuerte. Esta curva es de longitud limitada.

Prosiguiendo con la discusión tenemos que

SEGUNDA POSIBILIDAD

0>dxdy

Numerador y denominador negativos

Como el numerador es negativo esto implica que

01 2

2

<−KKn

lo que nos conduce a KKn > ( yyn > ). Es decir que el tirante es menor que el tirante normal.

Se trata por lo tanto de una corriente deprimida. Esta es una conclusión de carácter general:siempre que el numerador es negativo se trata de una corriente deprimida.

Como el denominador también es negativo se tiene que

01 2

2

<−ZZc

Río peraltado en pendiente fuerte

yycy

n

S1SALTO

413


Lo que implica ZZc > . Es decir, que el tirante es menor que el crítico ( cyy < ). Se trata porlo tanto de un torrente. Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que eldenominador sea negativo se trata de un torrente.

Por lo tanto, numerador y denominador negativos implican un torrente deprimido, que porcierto puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte, dando así lugar a otros doscasos de movimiento gradualmente variado.

Caso 3 Torrente deprimido en pendiente suave (M3)

Por tratarse de un torrente el tirantedel movimiento gradualmentevariado es menor que el tirantecrítico y por tratarse de unacorriente deprimida el tirante esmenor que el normal y por serpendiente suave el tirante normales mayor que el crítico. Luego,

yyy cn >>

Como el tirante es menor que el crítico y que el normal se dice que el eje hidráulico está en laZONA 3. La curva es tipo M3. Es una curva cóncava.

Este perfil debería empezar teóricamente en el fondo, lo que es físicamente imposible.

Se puede originar en una compuerta de fondo como en la figura, también en una grada, en unestrechamiento o, en una disminución de pendiente de fuerte a suave. Esta curva no llega en

realidad a alcanzar el tirante crítico, sino que salta al nivel ny que está determinado por las

condiciones de aguas abajo.

Caso 4 Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)

Por tratarse de un torrente eltirante del movimientogradualmente variado es menorque el crítico y por tratarse de unacorriente deprimida el tirante esmenor que el normal y por serpendiente fuerte el tirante normales menor que el crítico, Por lotanto,

Torrente deprimido en pendiente suave

M3

nyy

c

SALTO

y

Torrente deprimido en pendiente fuerte

S3

yn

ycy

414


yyy nc >>

Es un perfil tipo S3. Se trata de una curva convexa, asintótica hacia aguas abajo. Es muypoco frecuente.

Puede ocurrir aguas abajo de la descarga de una compuerta de fondo de pequeña abertura,que entrega a un canal de pendiente fuerte, o bien, por ejemplo, en un cambio de pendiente demuy fuerte a fuerte.

Examinemos ahora los casos en los que la superficie libre desciende (se acerca al fondo) en

la dirección del escurrimiento, lo que implica la condición 0<dxdy

TERCERA POSIBILIDAD

0<dxdy

Numerador positivo y denominador negativo

Según lo que hemos examinado anteriormente, numerador positivo significa corriente peraltaday denominador negativo significa torrente. Esta combinación de signos da un torrente peraltado.

Este torrente peraltado podría darse en principio en una pendiente suave o en una pendientefuerte.

Para que se dé en una pendiente suave se requeriría lo siguiente

Corriente peraltada nyy >

Torrente cyy < No hay solución posible

Pendiente suave cyy >

Por lo tanto, no existe un torrente peraltado en pendiente suave. Para la combinación designos sólo hay una solución posible que es la que se presenta en el caso siguiente.

Caso 5 Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)

Por tratarse de un torrente el tirantedel movimiento gradualmentevariado es menor que el tirantecrítico y por tratarse de unacorriente peraltada el tirante esmayor que el normal y por serpendiente fuerte el tirante normales menor que el crítico. Luego,

Torrente peraltado en pendiente fuerte

yn

yc

S2

y

415


nc yyy >>

Como el tirante y es intermedio entre el crítico y el normal el eje hidráulico se desarrolla en

la ZONA 2.

La curva es del tipo S2. A veces a esta curva se la llama un remanso de depresión. Es unacurva cóncava, asintótica hacia aguas abajo.

Nótese que al corresponder este caso a 0<dxdy

la superficie libre desciende en la dirección

del escurrimiento.

El eje hidráulico debe ser normal a cyy = . Este perfil puede originarse, por ejemplo, en un

cambio de pendiente o como consecuencia de un ensanchamiento de la sección.

CUARTA POSIBILIDAD

0<dxdy

Numerador negativo y denominador positivo

El numerador negativo significa corriente deprimida y denominador positivo equivale a un río.Luego, esta combinación de signos significa río deprimido. En principio puede darse en pendientesuave o en pendiente fuerte. De esta consideración se origina el caso siguiente.

Caso 6 Río deprimido en pendiente suave (M2)

Por tratarse de un río el tirante delmovimiento gradualmente variadoes mayor que el tirante crítico ypor tratarse de una corrientedeprimida el tirante es menor queel normal y por ser pendientesuave el tirante normal es mayorque el crítico. Luego,

cn yyy >>

Como el tirante y es intermedio entre el normal y el crítico, el eje hidráulico está en la ZONA 2.

Es una curva convexa del tipo M2.

Río deprimido en pendiente suave

yn

yc

M2

y

416


El eje hidráulico desciende en la dirección del escurrimiento y se acerca normalmente a

cyy = . El eje hidráulico es asintótico a nyy = .

Este perfil se puede originar de varias maneras: una grada, una expansión en la sección, uncambio de pendiente, etc.

Se demuestra fácilmente que la otra posibilidad (río deprimido en pendiente fuerte) es imposible.

Resumen de la discusión de los seis casos del M. G. V.

Hay varias maneras de resumir esquemáticamente la discusión de los seis casos delmovimiento gradualmente variado.

En el libro de Domínguez se encuentra una tabla que resume la discusión de la ecuación

TABLA 8.1

RESUMEN DE LA DISCUSION DE LOS CASOS DEL

MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO

+ 0

NUMERADOR

DENOMINADOR

CORRIENTE PERALTADA

MOVIMIENTO UNIFORME

CORRIENTE DEPRIMIDA

RIO CRISIS TORRENTE

general del M. G. V. que se presenta en la Tabla 8.1.

417

Movim

iento gradualmente variado

Capítulo VIII

Pendiente Suave

cn yy >

nyy > RIO PERALTADO M1 (CONCAVA) 0>dxdy

cn yyy >> RIO DEPRIMIDO M2 (CONVEXA) 0<dxdy

cyy < TORRENTE DEPRIMIDO M3 (CÓNCAVA) 0>dxdy

cyy > RIO PERALTADO S1 (CONVEXA) 0>dxdy

nc yyy >> TORRENTE PERALTADO S2 (CONCAVA) 0<dxdy

nyy < TORRENTE DEPRIMIDO S3 (CONVEXA) 0>dxdy

yn

yc

CASO 6

CASO 1

CASO 3

Pueden sintetizarse los seis casos en el siguiente esquema

Obsérvese que los únicos perfiles que descienden en la dirección del escurrimiento ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ < 0

dxdy

son los ubicados en la ZONA 2.

yn

ycCASO 5

CASO 2

CASO 4

Pendiente fuerte

nc yy >

418


ynyc

2ny

1

10S

S02

M1P

Río uniformeque empieza en el punto P

S > >c 10S S02

y

8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)

Como una ilustración del movimiento gradualmente variado se presenta una breve discusiónde diez perfiles del eje hidráulico (seis generales y cuatro especiales) generadosexclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se supone que todas lasotras características permanecen constantes.

Los seis casos generales son

- De pendiente suave a pendiente más suave

- De pendiente suave a pendiente menos suave

- De pendiente suave a pendiente fuerte

- De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte

- De pendiente fuerte a pendiente más fuerte

- De pendiente fuerte a pendiente suave

Los cuatro casos especiales son

- De pendiente suave a pendiente crítica

- De pendiente crítica a pendiente suave

- De pendiente crítica a pendiente fuerte

- De pendiente fuerte a pendiente crítica

1. De pendiente suave a pendiente más suave

Sean 1ny e

2ny los tirantes

normales en cada uno de los dostramos.

En el primer tramo, por ser

pendiente suave, cn yy >1

.

En el segundo tramo, por serpendiente suave también se

cumple que cn yy >2

El tirante normal del segundotramo es mayor porque supendiente es menor que la del

primero. Por lo tanto, 12 nn yy >

419


El quiebre del fondo, de pendiente suave a más suave, da lugar a una curva de empalme tipoM1, río peraltado en pendiente suave que se desarrolla en el primer tramo.

2. De pendiente suave a pendiente menos suave

Por consideraciones similares alas anteriores se tiene que

12 nn yy <

En ambos tramos se cumple que

cn yy >1

(pendiente suave)

cn yy >2

(pendiente menos

suave)

Como 2ny está más cerca de cy que

1ny , se dice que la pendiente es menos suave.

El perfil de empalme es del tipo M2, río deprimido en pendiente suave. A partir del punto Pempieza un río uniforme.

3. De pendiente suave a pendiente fuerte

En el tramo de aguas arriba hayun río que al aproximarse alcambio de pendiente se deprime(M2) y tiende a acercarse

normalmente a cyy = , como un

río deprimido en pendiente suave.

Inmediatamente aguas abajo delcambio de pendiente el torrentese peralta (S2), arrancando

normalmente a cyy = como un

torrente peraltado en pendientefuerte.

yn

yc

2

ny

1

10SS02

M2

P

Río uniforme

S < <20S Sc01

yc

y

yn

yc

2

ny

1

10S

S02S < <cS S01

yc

M2

S2

20

(río deprimido en pendiente suave)

(torrente peraltado en pendiente fuerte)

SUAVE FUERTE

yy >n1 c y < y2n c

420


4. De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte

Desde el punto P se desarrolla un torrente deprimido en pendiente fuerte tipo S3.

5. De pendiente fuerte a pendiente más fuerte

El torrente aguas arriba no es influenciado por las condiciones de aguas abajo.

El torrente de aguas abajo se peralta a partir del cambio de pendiente, continuando en pendientemás fuerte que la de aguas arriba.

6. De pendiente fuerte a pendiente suave

Este es el caso más importante y corresponde al salto hidráulico. Normalmente en un salto

yn

yc

2

ny

1

10S

S 02

S > > cS S02

yc

S2 (torrente peraltado en pendiente fuerte)

yy <n1 c y < y2n c

P

10

ny >1

y2n

FUERTE MAS FUERTE

yn1

yc

y2n

S > >S10 S

c

01S

20S

20

P

S3

y

FUERTE MENOS FUERTE

y <1n c yy <n2 c

ny <1

yn2

Este torrente no puede ser modificado por las condiciones de aguas abajo.

Un torrente si puede ser modificado por las condiciones de aguas arriba.

421


hidráulico hay dos tirantes conjugados: 21 yy < (al respecto se puede ver la ecuación 7-90).

En el presente caso de cambio de pendiente, 1ny es el tirante 1y del salto.

Para el tirante 1y (1ny ) existe un tirante conjugado 2y que puede ser igual, mayor o menor

que 2ny .

Si 22 nyy < el salto se produce en el tramo 1, es decir, que el salto se desplaza hacia aguas

arriba.

Si 22 nyy > entonces el salto queda rechazado y se produce dentro del tramo 2.

Ambas posibilidades están presentadas en la figura adjunta.

7. De pendiente suave a pendiente crítica

El eje hidráulico se aparta suavemente del movimiento uniforme, se desarrolla íntegramente entre

el tirante crítico y el normal y termina con una tendencia a hacer un ángulo de 90º con cyy = .En el segundo tramo hay un río uniforme en el que el tirante normal coincide con el tirante crítico.

8. De pendiente crítica a pendiente suave

yn1

y2n

cy

yc

c

FUERTE SUAVE

1ny < y

y >2n 1n

y2 cn

y > y

01S >

02S

S02

10S

yn1

S < S10

01S

cSc

ySUAVE CRITICA

y >1n c yy =n2 c

cy

M2

y = yc n2

422


Antes del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido enpendiente suave y fuerte.

9. De pendiente crítica a pendiente fuerte

Se compara al cambio de pendiente fuerte a más fuerte

10. De pendiente fuerte a pendiente crítica

Aguas abajo del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimidoen pendiente suave y fuerte.

8.7 Curva de remanso

Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimiento

y = yn1

y

CRITICA SUAVE

y =1n c yy >n2 c

c

Sc

10S

n2y

yc

y >n2y

1n

y = yn1 c

n 2y y

c

S2

CRITICA FUERTE

y = yn2 c

yy

n1

c

FUERTE CRITICA

423


gradualmente variado (M. G. V.). El cálculo de la curva de remanso significa básicamente lasolución de la ecuación dinámica del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitudde la curva de remanso debemos integrar la ecuación general del M. G. V. La longitud de lacurva de remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo, que actúacomo sección de control, en la que el tirante es calculable, y otro ubicado en el extremo delescurrimiento en el que el tirante es igual, o prácticamente igual al tirante normal. La definiciónde longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. Podríamos, por ejemplo, decirque la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmentevariado es inferior a un valor dado (por ejemplo, 1 cm).

No siempre es posible integrar directamente la ecuación diferencial del movimientogradualmente variado. En consecuencia es necesario proceder con métodos aproximados,indirectos o gráficos. El uso de un programa de cómputo resulta particularmente útil.

Para la obtención de la curva de remanso presentaremos, siguiendo a Ven Te Chow, tresmétodos

- Integración gráfica

- Aproximaciones sucesivas

- Integración directa

Método de la integración gráfica

Como su nombre lo indica este método consiste en integrar gráficamente la ecuación diferencialdel movimiento gradualmente variado.

Examinemos la siguiente figura

Consideremos dos secciones transversales próximas 1 y 2. Evidentemente que

Eje hidráulico (M. G. V.)y

1y

2y

x1

x2

x

0

424


dydydxdxxxx

y

y

x

x ∫∫ ==−= 2

1

2

1

12

Nótese que dydx es igual a la inversa del primer miembro de la ecuación general del M. G. V..

Para el cálculo de una curva de remanso, es decir, la longitud de la curva del movimientogradualmente variado, es indispensable conocer un punto de dicha curva, lo que siempre esposible.

Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este método consideraremos que seconoce el valor de y en una sección de control. Luego se determina el tipo de curva que sepresentará (M1, por ejemplo) y, a continuación, se procederá de la manera que se señala acontinuación.

i) Suponer un valor para el tirante

ii) Calcular el valor correspondiente de dxdy

a partir de la ecuación general del M. G. V..

iii) Calcular dydx , que es la inversa del valor anterior..

iv) Construir una curva, como la mostrada a continuación, con los valores de y (tirantes

supuestos) y los valores obtenidos para dydx .

El valor de x es el área achurada comprendida entre la curva, el eje y , y las ordenadas

1

dydx

2

dx dy

yy1

2y

x

dxdy

Eje hidráulico (M. G. V.)

425


dydx correspondientes a los valores de y . Luego,

Area dydydxx

y

y∫== 2

1

Al medir esta área se tiene el valor de x .

v) Finalmente se obtendrá una curva de este tipo

dxdy

y

∆ A

12∆

A∆ A

3

De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de A ∆ .

Para una sección transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla

d yd x

y A P R K Z ∆ A xd yd x

Es decir, que para cada sección se calcula a partir de un valor de y , el área, perímetro,

radio hidráulico, factor de capacidad, factor de sección, inclinación del eje hidráulico, su

inversa, el valor del área comprendida en el gráfico y el correspondiente valor de x . Los

valores acumulados de A ∆ dan la longitud x de la curva de remanso.

Por último se dibuja x e y y se obtiene la curva de remanso.

Método de subdivisión en tramos

426


Se divide el canal en pequeños tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos,considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme.

En la Figura 8.8 se muestra un tramo de un canal prismático de longitud x∆ en el que

aparecen las secciones 1 y 2.

1αg2

V12

SE

WS2V

2 g2

2α

h =f

1y y

2S0

S ∆ x0

S ∆ xE

∆ xz1

2zPlano de referencia

Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso

Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene

xSg

Vy

gV

yxS E∆++=++∆22

22

22

21

110 αα

de donde,

( ) EEESSx E ∆=−=−∆ 120

y por lo tanto,

ESSE

x−

∆=∆0

El valor de ES se puede obtener, para una sección determinada, a partir de la fórmula de

Manning

427


34

22

R

VnSE =

Para un tramo (de longitud x∆ ) el valor de ES es el promedio de los respectivos valores de

ES al principio y al final del tramo. A continuación se presentan las situaciones típicas de

cálculo.Si se trata de la entrega a un lago, el cálculo se puede empezar por la secciónextrema de aguas abajo, en la cual el tirante alcanza su máximo valor, o mínimo según elcaso. (Ver las figuras 8.9 y 8.10 como casos típicos).

Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante maxydeterminado por la condición de entrega al lago.


miny determinado por la grada.

Si se trata de un canal que termina en una grada, para hacer el cálculo asignaremos valores

al tirante y de modo de acercarnos lentamente del valor extremo al normal.

Cada valor del tirante determina una sección para la que es posible calcular lo siguiente

M. G. V.

ny Lagomaxy y

ny

ymin

x = 0y = y

min

M. G. V.

y

428


A : Area (en función de la geometría de la sección)

R : Radio hidráulico PAR =

V : Velocidad media AQV =

Vh : Energía de velocidadg

VhV 2

2

=

E : Energía específicag

Vy

2

2

+

E∆ : Diferencia de energía específica

entre dos secciones 12 EEE −=∆ ó ( 21 EE − )

ES : Pendiente de la línea de energía

en esa sección2

32

=RVnSE

ES : Pendiente media de la línea de energía

para un tramo dado2

21 EEE

SSS

+=

x∆ : DistanciaESS

Ex

−∆=∆

0

Acumulando los valores de x∆ se obtiene la distancia desde el origen escogido.

Metodo de la integración directa

En el apartado 8.3 se estableció que la ecuación general del movimiento permanentegradualmente variado (8-17) es

2

2

0

1

1

−

−

=

ZZKK

Sdxdy

c

n

Para la presente exposición de la integración de la ecuación 8-17 se sigue el procedimientode Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.

429


En primer lugar es necesario recordar la suposición hecha por Bakhmettef de que el cuadradodel factor de capacidad K (ec. 8-6) es proporcional a una cierta potencia del tirante, es decir

NycK 12 = (8-23)

1c es una constante de proporcionalidad. N es el exponente hidráulico para el cálculo del

movimiento uniforme. Sus características se establecen a continuación.

Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 8-23 se obtiene

( ) ( )NycK 1lnln2 =

Derivando con respecto a y se llega a

( )N

N

ycdydyNyc

dyKd

1

11ln2

−

=

De donde,

( )y

Ndy

Kd2

ln = (8-24)

Pero, al aplicar la fórmula de Manning, se obtiene que el factor de capacidad K es

nAR

K32

=

tal como aparece en la ecuación 8-10.

Tomando logaritmos en esta última expresión se obtiene

=

nAR

K32

lnln

Derivando con respecto a y se llega a

( )dydA

AdydR

RdyKd 11

32ln +=

Introducimos ahora, las conocidas expresiones,

(ec. 7-9) TdydA =

430


(ec. 1-8)PA

R =

y se obtiene,

( )AT

dydR

RdyKd += 1

32ln

Pero,

PdydP

RT

dyPA

d

dydR

−=

=

Reemplazando se llega a

( )AT

PdydP

RT

RdyKd +

−

= 132ln

( )

−=dydP

RTAdy

Kd 2531ln

Introduciendo la ecuación 8-24 se obtiene

−=dydP

RTAy

N 2531

2

De donde,

−=dydP

RTAy

N 2532

(8-25)

que es la expresión general del exponente hidráulico N para cualquier sección transversal.

Para una sección trapecial se obtiene a partir de la ecuación 8-25 que

++

+

−

+

+

=

by

z

by

z

by

z

by

zN

2

2

121

1

38

1

21

310 (8-26)

siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal.

431


Para una sección rectangular ( 0=z ) se obtiene

+

−=

by

by

N213

83

10 (8-27)

Si se tratase de una sección muy ancha, entonces la relación by es muy pequeña y tiende

a cero, con lo que 310=N (8-28)

Para obtener el exponente hidráulico M se puede hacer un desarrollo similar a partir de la

suposición de que el cuadrado del factor de sección Z (ec. 8-1) es proporcional a una

potencia M del tirante

MycZ 22 = (8-29)

M es el exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas. Sus característicasse establecen a continuación

Tomando logaritmos

( ) ( )MycZ 2lnln2 =

Derivando con respecto a y ,

( )dydy

yM

dyZd =ln2

se llega a

( )y

Mdy

Zd2

ln = (1)

Pero, TAZ 3= (ec. 8-2). Luego, tomando logaritmos en la ecuación 8-2 y derivando con

respecto a y se obtiene

( )dydT

TAT

dyZd

21

23ln −= (2)

Igualando (1) y (2) se obtiene

−=dydT

TA

TAy

M 3 (8-30)

432


que es la expresión del exponente hidráulico M para cualquier sección transversal (condicionescríticas). Para un canal trapecial,

+

+

+−

+

=

by

zby

z

by

zby

zby

zM

121

122132

(8-31)

siendo b el ancho en el fondo y z el talud del canal.

Para el caso particular de una sección rectangular ( 0=z ), se obtiene

3=M (8-32)

Para efectos de integrar la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variadose considerará, a partir de la ecuaciones 8-23 y 8-29, lo siguiente

NycK 12 =

Nn ycK 12 =

MycZ 22 =

Mc ycZ 22 =

Reemplazando estos valores en la ecuación 8-17 se obtiene

M

c

N

n

yy

yy

Sdxdy

−

−

=

1

10

(8-33)

que es la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado para cualquiersección transversal, en función de los exponentes hidráulicos.

Obsérvese que si en la ecuación 8-33 se reemplaza 310=N (ec. 8-28) y 3=M (ec. 8-32)se obtiene la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado, para uncanal muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning, y que es la ecuación 8-18,previamente establecida.

Si se considera que entre el tirante y del movimiento gradualmente variado y el tirante

normal ny existe la relación u , se tiene

433


nyy

u = (8-34)

Como se recuerda, si u es mayor que 1 se trata de corrientes peraltadas y si es menor que

1 se trata de corrientes deprimidas. Introduciendo la ecuación 8-34 en la 8-33 se llega a

M

c

N

yy

uSdxdy

−

−

=1

110

De acá se obtiene

duu

uyy

uSy

dx N

MNM

n

cN

n

−

+

−−=

−

1111

0

Para integrar esta ecuación se supone que los exponentes N y M son constantes para el

tramo considerado. Luego,

(8-35)

Para obtener el resultado es necesario resolver dos integrales. A la primera de ellas, Ven TeChow la denomina función del flujo variado y la representa como

(8-36)

Para la segunda integral Ven Te Chow introduce una variable auxiliar

J

N

uv = (8-37)

siendo

1+−=

MNN

J (8-38)

Con lo que la segunda integral del segundo miembro de la ecuación 8-35 queda así

(8-39)( )JvFNJ

vdv

NJ

duu

u v

J

u

N

MN

,11 00

=−

=− ∫∫

−

( ) ∫ −=

u

Nudu

NuF0 1

,

cduu

uyy

udu

uSy

xu

N

MNM

n

cu

Nn +

−

+

−−= ∫∫

−

000 11

434


De donde,

(8-40)

Introduciendo en la ecuación 8-35 la nueva notación de ambas integrales se llega a

( ) ( ) cJvFNJ

yy

NuFuSy

xM

n

cn +

+−= ,,

0 (8-41)

Ven Te Chow usa la siguiente notación,

( ) ( )[ ] cJvFBNuFuAx ++−= ,, (8-42)

siendo,

0Sy

A n=

NJ

yy

BM

n

c

=

nyy

u =

J

N

uv =

1+−=

MNN

J

A partir de la ecuación 8-42 se obtiene la longitud L de la curva de remanso entre dossecciones 1 y 2, de modo que

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ,,,, 12121212 JvFJvFBNuFNuFuuAxxxL −+−−−==−= (8-43)

Los exponentes hidráulicos N y M dependen de la ecuación particular que se use (Chezy

o Manning, por ejemplo), de la forma de la sección transversal (rectangular, parabólica, etc.)y del tirante.

A partir del conocimiento del factor de capacidad K y del respectivo tirante se puede calcular

( ) ∫ −=

v

Jvdv

JvF0 1

,

435


el valor correspondiente del exponente hidráulico N .

Si bien es cierto que el exponente hidráulico N es variable, también lo es que su rango devariación no es muy amplio. Bakhmettef señala que N varía entre 2 y 5,5 para diferentessecciones transversales.

Bakhmettef, quien fue profesor de Hidráulica en San Petersburgo, preparó hacia 1914 unastablas con diversos valores de N . En la revolución rusa estas tablas se perdieron durantemuchos años. Más tarde se recalcularon para 4,58,2 << N y fueron publicadas porBakhmettef en 1932.

La Tabla 8.2 que se adjunta fue preparada por Ven Te Chow entre 1952 y 1954, para valores deN comprendidos entre 2 y 5,5 y aparece en su conocido libro sobre canales, del que se hatomado.

En la Tabla 8.2 se presenta para diversos valores de u y de N los correspondientes a la

función ( )NuF , . La Tabla 8.2 sirve también para la función ( )JvF , reemplazando u por vy N por J .

Para el cálculo se suponen conocidos el caudal, la pendiente, la rugosidad y las caracterísicasde la sección transversal.

El procedimiento de cálculo para aplicar el método de integración directa es el siguiente

1. Seleccionar una fórmula para el cálculo del flujo (Chezy o Manning, por ejemplo) y

determinar el tirante normal ny

2. Calcular el tirante crítico cy

3. Se supone que para un tramo determinado ( x ∆ ) los exponentes hidráulicos N y M son

constantes. Se calcula N (ec. 8-26, o alguna de sus simplificaciones) y M (ec.8-30, oalguna de sus simplificaciones)

4. Se calcula J , con la ecuación 8-38

5. Se calcula, para las secciones extremas (inicial y final) del tramo considerado, los valoresde u (ec. 8-34) y v (ec. 8-37)

6. Se entra a la Tabla 8.2 y se obtiene ( )NuF , , ingresando con los valores previamente

calculados de u y N . Suele ser necesario hacer interpolaciones.

7. Se ingresa a la Tabla 8.2 y se obtiene ( )JvF , , ingresando con los valores de v y de Jpreviamente calculados

8. Se calcula la longitud x ∆ correspondiente mediante la ecuación 8-43

436


TABLA 8.2FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS Y NEGATIVAS

(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS

N u

2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

0,20 0,22 0,24 0,26 0,28

0,30 0,32 0,34 0,36 0,38

0,40 0,42 0,44 0,46 0,48

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

0,60 0,61 0,62 0,63 0,64

0,65 0,66 0,67 0,68 0,69

0,70 0,71 0,72 0,73 0,74

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,161 0,181

0,202 0,223 0,244 0,265 0,286

0,307 0,329 0,351 0,372 0,395

0,418 0,442 0,465 0,489 0,514

0,539 0,565 0,592 0,619 0,648

0,676 0,691 0,706 0,722 0,738

0,754 0,771 0,787 0,804 0,822

0,840 0,858 0,878 0,898 0,918

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,161 0,181

0,201 0,222 0,243 0,263 0,284

0,305 0,326 0,348 0,369 0,392

0,414 0,437 0,460 0,483 0,507

0,531 0,557 0,582 0,608 0,635

0,663 0,678 0,692 0,707 0,722

0,737 0,753 0,769 0,785 0,804

0,819 0,836 0,855 0,874 0,892

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,181

0,201 0,221 0,242 0,262 0,283

0,304 0,325 0,346 0,367 0,389

0,411 0,433 0,456 0,479 0,502

0,525 0,550 0,574 0,599 0,626

0,653 0,667 0,680 0,694 0,709

0,724 0,738 0,754 0,769 0,785

0,802 0,819 0,836 0,854 0,868

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,201 0,221 0,241 0,262 0,282

0,303 0,324 0,344 0,366 0,387

0,408 0,430 0,452 0,475 0,497

0,521 0,544 0,568 0,593 0,618

0,644 0,657 0,671 0,684 0,698

0,712 0,727 0,742 0,757 0,772

0,787 0,804 0,820 0,837 0,854

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,221 0,241 0,261 0,282

0,302 0,323 0,343 0,364 0,385

0,407 0,428 0,450 0,472 0,494

0,517 0,540 0,563 0,587 0,612

0,637 0,650 0,663 0,676 0,690

0,703 0,717 0,731 0,746 0,761

0,776 0,791 0,807 0,823 0,840

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,241 0,261 0,281

0,302 0,322 0,343 0,363 0,384

0,405 0,426 0,448 0,470 0,492

0,514 0,536 0,559 0,583 0,607

0,631 0,644 0,657 0,669 0,683

0,696 0,709 0,723 0,737 0,751

0,766 0,781 0,796 0,811 0,827

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,261 0,281

0,301 0,322 0,342 0,363 0,383

0,404 0,425 0,446 0,468 0,489

0,511 0,534 0,556 0,579 0,603

0,627 0,639 0,651 0,664 0,677

0,689 0,703 0,716 0,729 0,743

0,757 0,772 0,786 0,802 0,817

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,260 0,281

0,301 0,321 0,342 0,362 0,383

0,403 0,424 0,445 0,466 0,488

0,509 0,531 0,554 0,576 0,599

0,623 0,635 0,647 0,659 0,672

0,684 0,697 0,710 0,723 0,737

0,750 0,764 0,779 0,793 0,808

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,301 0,321 0,341 0,362 0,382

0,403 0,423 0,444 0,465 0,486

0,508 0,529 0,551 0,574 0,596

0,620 0,631 0,643 0,655 0,667

0,680 0,692 0,705 0,718 0,731

0,744 0,758 0,772 0,786 0,800

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,300 0,321 0,341 0,361 0,382

0,402 0,423 0,443 0,464 0,485

0,506 0,528 0,550 0,572 0,594

0,617 0,628 0,640 0,652 0,664

0,676 0,688 0,701 0,71 3 0,726

0,739 0,752 0,766 0,780 0,794

( ) ∫ −=

u

Nudu

NuF0 1

,

437


FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

N u 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

0,75 0,76 0,77 0,78 0,79

0,80 0,81 0,82 0,83 0,84

0,85 0,86 0,87 0,88 0,89

0,90 0,91 0,92 0,93 0,94

0,950 0,960 0,970 0,975 0,980

0,985 0,990 0,995 0,999 1,000

1,001 1,005 1,010 1,015 1,020

1,03 1,04 1,05 1,06 1,07

1,08 1,09 1,10 1,11 1,12

1,13 1,14 1,15 1,16 1,17

0,940 0,961 0,985 1,007 1,031

1,056 1,083 1,110 1,139 1,171

1,201 1,238 1,272 1,314 1,357

1,401 1,452 1,505 1,564 1,645

1,737 1,833 1,969 2,055 2,164

2,294 2,477 2,792 3,523 ∞

3,317 2,587 2,273 2,090 1,961

1,779 1,651 1,552 1,472 1,404

1,346 1,295 1,250 1,209 1,172

1,138 1,107 1,078 1,052 1,027

0,913 0,933 0,954 0,976 0,998

1,022 1,046 1,072 1,099 1,129

1,157 1,192 1,223 1,262 1,302

1,343 1,389 1,438 1,493 1,568

1,652 1,741 1,866 1,945 2,045

2,165 2,333 2,621 3,292 ∞

2,931 2,266 1,977 1,807 1,711

1,531 1,410 1,334 1,250 1,195

1,139 1,089 1,050 1,014 0,981

0,950 0,921 0,892 0,870 0,850

0,890 0,909 0,930 0,950 0,971

0,994 1,017 1,041 1,067 1,094

1,121 1,153 1,182 1,228 1,255

1,294 1,338 1,351 1,435 1,504

1,582 1,665 1,780 1,853 1,946

2,056 2,212 2,478 3,097 ∞

2,640 2,022 1,757 1,602 1,493

1,340 1,232 1,150 1,082 1,026

0,978 0,935 0,897 0,864 0,833

0,805 0,780 0,756 0,734 0,713

0,872 0,890 0,909 0,929 0,94 9

0,970 0,992 1,015 1,039 1,064

1,091 1,119 1,149 1,181 1,216

1,253 1,294 1,340 1,391 1,449

1,518 1,601 1,707 1,773 1,855

1,959 2,106 2,355 2,931 ∞

2,399 1,818 1,572 1,428 1,327

1,186 1,086 1,010 0,948 0,896

0,851 0,812 0,777 0,746 0,718

0,692 0,669 0,647 0,627 0,608

0,857 0,874 0,892 0,911 0,930

0,950 0,971 0,993 1,016 1,040

1,065 1,092 1,120 1,151 1,183

1,218 1,257 1,300 1,348 1,403

1,467 1,545 1,644 1,707 1,783

1,880 2,017 2,250 2,788 ∞

2,184 1,649 1,419 1,286 1,191

1,060 0,967 0,896 0,838 0,790

0,749 0,713 0,681 0,652 0,626

0,602 0,581 0,561 0,542 0,525

0,844 0,861 0,878 0,896 0,914

0,934 0,954 0,974 0,996 1,019

1,043 1,068 1,095 1,124 1,155

1,189 1,225 1,266 1,311 1,363

1,423 1,497 1,590 1,649 1,720

1,812 1,940 2,159 2,663 ∞

2,008 1,506 1,291 1,166 1,078

0,955 0,868 0,802 0,748 0,703

0,665 0,631 0,601 0,575 0,551

0,529 0,509 0,490 0,473 0,458

0,833 0,849 0,866 0,883 0,901

0,919 0,938 0,958 0,979 1,001

1,024 1,048 1,074 1,101 1,131

1,163 1,197 1,236 1,279 1,328

1,385 1,454 1,543 1,598 1,666

1,752 1,873 2,079 2,554 ∞

1,856 1,384 1,182 1,065 0,982

0,866 0,785 0,723 0,672 0,630

0,595 0,563 0,536 0,511 0,488

0,468 0,450 0,432 0,417 0,402

0,823 0,839 0,855 0,872 0,889

0,907 0,925 0,945 0,965 0,985

1,007 1,031 1,055 1,081 1,110

1,140 1,173 1,210 1,251 1,297

1,352 1,417 1,501 1,554 1,617

1,699 1,814 2,008 2,457 ∞

1,725 1,279 1,089 0,978 0,900

0,790 0,714 0,656 0,608 0,569

0,535 0,506 0,480 0,457 0,436

0,417 0,400 0,384 0,369 0,356

0,815 0,830 0,846 0,862 0,879

0,896 0,914 0,932 0,952 0,972

0,993 1,015 1,039 1,064 1,091

1,120 1,152 1,187 1,226 1,270

1,322 1,385 1,464 1,514 1,575

1,652 1,761 1,945 2,370 ∞

1,610 1,188 1,007 0,902 0,828

0,725 0,653 0,598 0,553 0,516

0,485 0,457 0,433 0,411 0,392

0,374 0,358 0,343 0,329 0,317

0,808 0,823 0,838 0,854 0,870

0,887 0,904 0,922 0,940 0,960

0,980 1,002 1,025 1,049 1,075

1,103 1,333 1,166 1,204 1,246

1,296 1,355 1,431 1,479 1,536

1,610 1,714 1,889 2,293 ∞

1,508 1,107 0,936 0,836 0,766

0,668 0,600 0,548 0,506 0,471

0,441 0,415 0,392 0,372 0,354

0,337 0,322 0,308 0,295 0,283

( ) ∫ −=

u

Nudu

NuF0 1

,

438



N u

2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

1,18 1,19 1,20 1,22 1,24

1,26 1,28 1,30 1,32 1,34

1,36 1,38 1,40 1,42 1,44

1,46 1,48 1,50 1,55 1,60

1,65 1,70 1,75 1,80 1,85

1,90 1,95 2,00 2,10 2,20

2,3 2,4 2,5 2,6 2,7

2,8 2,9 3,0 3,5 4,0

4,5 5,0 6,0 7,0 8,0

9,0

10,0 20,0

1,003 0,981 0,960 0,922 0,887

0,855 0,827 0,800 0,775 0,752

0,731 0,711 0,692 0,674 0,658

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( ) ∫ −=

u

Nudu

NuF0 1

,

439



N u

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( ) ∫ −=

u

Nudu

NuF0 1

,

440



N u

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0,092 0,082 0,074 0,067 0,062

0,056 0,052 0,048 0,045 0,041

0,037 0,034 0,032 0,028 0,024

0,810 0,822 0,833 0,845 0,858

0,870 0,883 0,897 0,911 0,925

0,940 0,957 0,975 0,994 1,016

1,040 1,063 1,100 1,122 1,150

1,183 1,228 1,302 1,476 ∞

0,519 0,350 0,278 0,237 0,209

0,170 0,143 0,124 0,106 0,094

0,084 0,075 0,067 0,060 0,055

0,050 0,046 0,043 0,040 0,036

0,033 0,030 0,028 0,024 0,021

0,809 0,820 0,831 0,844 0,856

0,868 0,881 0,894 0,908 0,922

0,937 0,953 0,970 0,989 1,010

1,033 1,053 1,087 1,108 1,132

1,165 1,208 1,280 1,447 ∞

0,494 0,331 0,262 0,223 0,196

0,159 0,134 0,115 0,098 0,086

0,077 0,069 0,062 0,055 0,050

0,045 0,041 0,038 0,035 0,032

0,029 0,027 0,025 0,021 0,018


( ) ∫ −=

u

Nudu

NuF0 1

,

444



N u

8,2 8,6 9,0 9,4 9,8

1,26 1,28 1,30 1,32 1,34

1,36 1,38 1,40 1,42 1,44

1,46 1,48 1,50 1,55 1,60

1,65 1,70 1,75 1,80 1,85

1,90 1,95 2,00 2,10 2,20

2,3 2,4 2,5 2,6 2,7

2,8 2,9 3,0 3,5 4,0

4,5 5,0 6,0 7,0 8,0

9,0 10,0 20,0

0,028 0,025 0,022 0,020 0,018

0,016 0,014 0,013 0,011 0,010

0,009 0,009 0,008 0,006 0,005

0,004 0,003 0,002 0,002 0,002

0,001 0,001 0,001 0,001 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,024 0,021 0,019 0,017 0,015

0,013 0,012 0,011 0,009 0,008

0,008 0,007 0,006 0,005 0,004

0,003 0,002 0,002 0,001 0,001

0,001 0,001 0,001 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,021 0,018 0,016 0,014 0,012

0,011 0,010 0,009 0,008 0,007

0,006 0,005 0,005 0,004 0,003

0,002 0,002 0,002 0,001 0,001

0,001 0,001 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,018 0,016 0,014 0,012 0,010

0,009 0,008 0,007 0,006 0,006

0,005 0,004 0,004 0,003 0,002

0,002 0,001 0,001 0,001 0,001

0,001 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

0,016 0,014 0,012 0,010 0,009

0,008 0,007 0,006 0,005 0,005

0,004 0,004 0,003 0,003 0,002

0,001 0,001 0,001 0,001 0,001

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000

( ) ∫ −=

u

Nudu

NuF0 1

,

445


FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

N u

2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

0,20 0,22 0,24 0,26 0,28

0,30 0,32 0,34 0,36 0,38

0,40 0,42 0,44 0,46 0,48

0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

0,60 0,61 0,62 0,63 0,64

0,65 0,66 0,67 0,68 0,69

0,70 0,71 0,72 0,73 0,74

0,75 0,76 0,77 0,78 0,79

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,099 0,119 0,139 0,158 0,178

0,197 0,216 0,234 0,253 0,272

0,291 0,308 0,326 0,344 0,362

0,380 0,397 0,414 0,431 0,447

0,463 0,479 0,494 0,509 0,524

0,540 0,547 0,554 0,562 0,569

0,576 0,583 0,590 0,597 0,603

0,610 0,617 0,624 0,630 0,637

0,643 0,649 0,656 0,662 0,668

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,119 0,139 0,159 0,179

0,198 0,217 0,236 0,255 0,274

0,293 0,311 0,329 0,347 0,355

0,384 0,401 0,419 0,437 0,453

0,470 0,485 0,501 0,517 0,533

0,548 0,556 0,563 0,571 0,579

0,585 0,593 0,599 0,607 0,613

0,620 0,627 0,634 0,641 0,648

0,655 0,661 0,667 0,673 0,680

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,159 0,179

0,199 0,218 0,237 0,256 0,275

0,294 0,313 0,331 0,350 0,368

0,387 0,405 0,423 0,440 0,458

0,475 0,491 0,507 0,523 0,539

0,555 0,563 0,571 0,579 0,586

0,592 0,600 0,607 0,615 0,621

0,629 0,636 0,643 0,650 0,657

0,664 0,670 0,677 0,683 0,689

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,199 0,219 0,238 0,257 0,276

0,295 0,314 0,333 0,352 0,371

0,390 0,407 0,426 0,444 0,461

0,479 0,494 0,512 0,528 0,545

0,561 0,569 0,578 0,585 0,592

0,599 0,607 0,614 0,622 0,629

0,637 0,644 0,651 0,659 0,665

0,671 0,679 0,685 0,692 0,698

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,219 0,239 0,258 0,277

0,296 0,316 0,335 0,354 0,373

0,392 0,409 0,429 0,447 0,464

0,482 0,499 0,516 0,533 0,550

0,566 0,575 0,583 0,590 0,598

0,606 0,613 0,621 0,628 0,635

0,644 0,651 0,658 0,665 0,672

0,679 0,687 0,693 0,700 0,705

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,259 0,278

0,297 0,317 0,337 0,356 0,374

0,393 0,411 0,430 0,449 0,467

0,485 0,502 0,520 0,537 0,554

0,571 0,579 0,578 0,595 0,602

0,610 0,618 0,626 0,634 0,641

0,649 0,657 0,664 0,672 0,679

0,686 0,693 0,700 0,707 0,713

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,259 0,278

0,298 0,318 0,338 0,357 0,375

0,394 0,412 0,432 0,451 0,469

0,487 0,505 0,522 0,540 0,558

0,575 0,583 0,591 0,599 0,607

0,615 0,622 0,631 0,639 0,646

0,654 0,661 0,669 0,677 0,684

0,691 0,699 0,705 0,713 0,719

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,260 0,279

0,298 0,318 0,338 0,357 0,376

0,395 0,413 0,433 0,452 0,471

0,489 0,507 0,525 0,543 0,561

0,578 0,587 0,595 0,603 0,611

0,619 0,626 0,635 0,643 0,651

0,659 0,666 0,674 0,682 0,689

0,696 0,704 0,711 0,718 0,724

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,299 0,319 0,339 0,358 0,377

0,396 0,414 0,434 0,453 0,472

0,491 0,509 0,527 0,545 0,563

0,581 0,589 0,598 0,607 0,615

0,623 0,630 0,639 0,647 0,655

0,663 0,671 0,679 0,687 0,694

0,701 0,709 0,715 0,723 0,729

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

0,100 0,120 0,140 0,160 0,180

0,200 0,220 0,240 0,260 0,280

0,299 0,319 0,339 0,358 0,377

0,396 0,415 0,435 0,454 0,473

0,492 0,511 0,529 0,547 0,567

0,583 0,592 0,600 0,609 0,618

0,626 0,634 0,643 0,651 0,659

0,667 0,674 0,682 0,691 0,698

0,705 0,713 0,719 0,727 0,733

( ) ∫ +=−

u

NS udu

NuF0 1

,0

446


FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

N u

2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8

0,80 0,81 0,82 0,83 0,84

0,85 0,86 0,87 0,88 0,89

0,90 0,91 0,92 0,93 0,94

0,950 0,960 0,970 0,975 0,980

0,985 0,990 0,995 1,000 1,005

1,010 1,015 1,020 1,03 1,04

1,05 1,06 1,07 1,08 1,09

1,10 1,11 1,12 1,13 1,14

1,15 1,16 1,17 1,18 1,19

1,20 1,22 1,24 1,26 1,28

0,674 0,680 0,686 0,692 0,698

0,704 0,710 0,715 0,721 0,727

0,732 0,738 0,743 0,749 0,754

0,759 0,764 0,770 0,772 0,775

0,777 0,780 0,782 0,785 0,788

0,790 0,793 0,795 0,800 0,805

0,810 0,815 0,819 0,824 0,828

0,833 0,837 0,842 0,846 0,851

0,855 0,859 0,864 0,868 0,872

0,876 0,880 0,888 0,900 0,908

0,685 0,691 0,698 0,703 0,709

0,715 0,721 0,727 0,733 0,739

0,744 0,750 0,754 0,761 0,767

0,772 0,777 0,782 0,785 0,787

0,790 0,793 0,795 0,797 0,799

0,801 0,804 0,807 0,811 0,816

0,821 0,826 0,831 0,836 0,840

0,845 0,849 0,854 0,858 0,861

0,866 0,870 0,874 0,878 0,882

0,886 0,891 0,898 0,910 0,917

0,695 0,701 0,707 0,713 0,719

0,725 0,731 0,738 0,743 0,749

0,754 0,760 0,766 0,772 0,777

0,783 0,788 0,793 0,796 0,798

0,801 0,804 0,806 0,808 0,810

0,812 0,815 0,818 0,822 0,829

0,831 0,837 0,841 0,846 0,851

0,855 0,860 0,864 0,868 0,872

0,876 0,880 0,884 0,888 0,892

0,896 0,900 0,908 0,919 0,926

0,703 0,710 0,717 0,722 0,729

0,735 0,741 0,747 0,753 0,758

0,764 0,770 0,776 0,782 0,787

0,793 0,798 0,803 0,805 0,808

0,811 0,814 0,816 0,818 0,820

0,822 0,824 0,828 0,832 0,837

0,841 0,846 0,851 0,856 0,860

0,865 0,870 0,873 0,878 0,881

0,886 0,890 0,893 0,897 0,901

0,904 0,909 0,917 0,927 0,934

0,712 0,719 0,725 0,731 0,737

0,744 0,750 0,756 0,762 0,767

0,773 0,779 0,785 0,791 0,795

0,801 0,807 0,812 0,814 0,818

0,820 0,822 0,824 0,826 0,829

0,831 0,833 0,837 0,841 0,846

0,851 0,855 0,860 0,865 0,870

0,874 0,878 0,882 0,886 0,890

0,895 0,899 0,902 0,906 0,910

0,913 0,917 0,925 0,935 0,945

0,720 0,727 0,733 0,740 0,746

0,752 0,758 0,764 0,770 0,776

0,781 0,787 0,793 0,799 0,804

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0,940 0,944 0,948 0,951 0,954

0,957 0,960 0,963 0,965 0,968

0,970 0,976 0,981 0,986 0,990

( ) ∫ +=−

u

NS udu

NuF0 1

,0

450



N u

4,0 4,2 4,5 5,0 5,5

1,30 1,32 1,34 1,36 1,38

1,40 1,42 1,44 1,46 1,48

1,50 1,55 1,60 1,65 1,70

1,75 1,80 1,85 1,90 1,95

2,00 2,10 2,20 2,30 2,40

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

0,979 0,985 0,990 0,994 0,998

1,001 1,005 1,009 1,014 1,016

1,020 1,029 1,035 1,041 1,047

1,052 1,057 1,061 1,065 1,068

1,071 1,076 1,080 1,084 1,087

1,090 1,092 1,094 1,096 1,098

1,099 1,103 1,106 1,108 1,110

1,111 1,111 1,111 1,111 1,111

0,978 0,986 0,992 0,996 1,000

1,004 1,008 1,013 1,016 1,019

1,021 1,029 1,035 1,040 1,046

1,051 1,055 1,059 1,060 1,064

1,068 1,071 1,073 1,079 1,081

1,083 1,085 1,087 1,088 1,089

1,090 1,093 1,097 1,098 1,099

1,100 1,100 1,100 1,100 1,100

0,985 0,990 0,995 0,999 1,003

1,006 1,010 1,014 1,017 1,020

1,022 1,029 1,034 1,039 1,043

1,047 1,051 1,054 1,057 1,059

1,062 1,065 1,068 1,071 1,073

1,075 1,076 1,077 1,078 1,079

1,080 1,082 1,084 1,085 1,085

1,085 1,086 1,086 1,086 1,086

0,991 0,995 0,999 1,002 1,006

1,009 1,012 1,016 1,018 1,020

1,022 1,028 1,032 1,036 1,039

1,042 1,045 1,047 1,049 1,051

1,053 1,056 1,058 1,060 1,061

1,062 1,063 1,063 1,064 1,065

1,065 1,066 1,067 1,067 1,068

1,068 1,068 1,068 1,068 1,068

0,994 0,997 1,001 1,005 1,008

1,011 1,014 1,016 1,018 1,020

1,022 1,028 1,030 1,034 1,037

1,039 1,041 1,043 1,045 1,046

1,047 1,049 1,050 1,051 1,052

1,053 1,054 1,054 1,054 1,055

1,055 1,055 1,056 1,056 1,056

1,056 1,056 1,056 1,056 1,056

( ) ∫ +=−

u

NS udu

NuF0 1

,0

451



(Capítulo VIII)

1. En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en una caída libre.En una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, talcomo se aprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libreconsiderando dos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítico, b) flujo supercrítico.

2. Un canal muy ancho tiene una pendiente de 0,00038. El tirante normal es de 3,20 m. Secoloca un vertedero a todo lo ancho del canal y el tirante se eleva a 6,80 m. Si el coeficienteC de Chezy es 40 m 1/2/s, calcular las características de la curva de remanso originada por elvertedero. ¿Cuáles serían las características de dicha curva si la pendiente fuese 0,12?

3. Se tiene un canal trapecial de concreto ( n =0,014). La pendiente es 0,001. El ancho en elfondo es de 1,5 m. El talud es de 45º. El caudal es de 10 m3/s. En cierta sección el tirantecorrespondiente al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en unasección ubicada 40 m aguas abajo de la sección mencionada.

4. Se tiene un canal trapecial de 20 m de ancho en la base y un talud 1:2. El gasto es de 12,7 m 3/s.La pendiente es 0,0003 y la rugosidad de Kutter es n =0,028.Este canal desemboca en el mar. Cuando hay marea alta el pelo de agua alcanza en ladesembocadura un nivel que está 1,75 m por encima del tirante normal. Cuando hay mareabaja el nivel de la superficie libre está 0,75 m por debajo del que correspondería al tirantenormal. Calcular la curva de remanso en cada caso.

5. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 1 m. El coeficiente de rugosidad n de Kutteres 0,025. La pendiente del fondo es 0,0001 y el gasto es de 1 m3/s.a) Calcular el tirante normalb) Determinar cuál de los seis casos del movimiento gradualmente variado se presentará al

colocar un vertedero cuyo umbral es de 1,60 m.

yn

452


6. Un canal rectangular de 3,7 m de ancho toma agua de un embalse. La toma es suave yredondeada. El nivel de agua sobre la cresta de entrada es de H =1,85 m. El canal deconcreto, con n =0,013, es recto y largo. La pendiente es 0S =0,001. Calcular el caudal y eltipo de perfil superficial en la entrada del canal si se supone que las pérdidas son despreciables.

7. El canal rectangular de descarga de una turbina desemboca en un río. Los datos son lossiguientes

Cota del fondo del canal en la desembocadura 575,80 m

Cota del fondo del canal en su iniciación 575,85 m

Longitud del canal 275,00 mAncho del canal 8,00 m

Coeficiente de Kutter (supóngase constante) 0,014

Gasto en el canal 5,0 m3/s

Nivel del agua en el río 576,80 m

Calculara) El nivel de la superficie libre en la iniciación del canal

b) Cota de la línea de energía en la iniciación del canal

c) Tipo de perfil correspondiente al movimiento gradualmente variado que se presenta en elcanal.

8. Determinar el exponente hidráulico N de un canal trapecial cuyas características son las

S0

H

575,85 m

575,80 m

576,80 m

453


siguientes

9. Determinar el exponente hidráulico M de un conducto circular de 0,90 m de diámetro quetiene un tirante de 0,60 m.

10. Un canal rectangular de 2,40 m de ancho tiene una pendiente de 1/500. En su extremo hayun vertedero que eleva la corriente a 1,20 m de tirante. Existe una compuerta de fondo a300 m aguas arriba del vertedero, que permite la salida de un chorro de agua de 0,15 m detirante. El coeficiente de Chezy es 49,7 m1/2/s y el tirante normal es 0,90 m.

Calcular el perfil de la superficie (con un mínimo de 6 puntos) entre la compuerta de fondo yel vertedero.

Si existiera un salto hidráulico, ¿dónde ocurriría y cuál sería su altura? Indicar igualmente lostipos de curva y sus características.

b

T

T = 12 m

b = 5 m2

1

455

VertederosCapítulo IX

CAPITULO IXVERTEDEROS

9.1 Objeto de los vertederos. Tipos

El vertedero ha sido definido por Balloffet como ‘‘una abertura (o mejor, escotadura) de contornoabierto, practicada en la pared de un depósito, o bien en una barrera colocada en un canal orío, y por la cual escurre o rebasa el líquido contenido en el depósito, o que circula por el ríoo canal’’. Una escotadura es el entrante que resulta en una cosa cuando está cercenada, ocuando parece que lo está, como si le faltara allí algo para completar una forma más regular.

En la Figura 9.1 se aprecia una escotadura rectangular de longitud L .

En general, un vertedero suele tener una de las dos finalidades siguientes: a) medir caudalesy b) permitir el rebose del líquido contenido en un reservorio o del que circula en un río o canal.Estas funciones no son excluyentes.

Los vertederos resultan muy útiles para medir caudales. Los que tienen el objetivo exclusivode medir, lo hacen por lo general con caudales relativamente pequeños.

También puede construirse un vertedero para permitir el rebose del líquido al llegar a un ciertonivel. A esta estructura se le denomina aliviadero.

En realidad en un vertedero siempre están presentes ambas funciones. En las obras deingeniería hidráulica, por ejemplo en una presa, se construyen vertederos para que cumplan lafunción de aliviaderos. Sin embargo, son a la vez estructuras aforadoras, es decir, que midencaudales.

Existen diferentes tipos de vertederos. Pueden clasificarse por el tipo de cresta, por losniveles de aguas abajo, por su forma, por las condiciones laterales, por su inclinación conrespecto a la corriente y por otras circunstancias.

456

Arturo RochaH


Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada

2Vg

2

P : es el umbralα : es el coeficiente de CoriolisH : es la cargaL : es la longitud del vertederoB : es el ancho del canal de aproximaciónV : es la velocidad de aproximación

0α

HV0

P

H

0V 2

g2

P

h = αVA

B

4H B

> 3H > 3H

M. G. V. M. R. V.

Aguas muertas

Paramento

Escotadura

L

Napa vertiente

0

457


Para una mejor comprensión de los aspectos teóricos vinculados a la descarga por vertederoses necesario que el lector recuerde y tenga presente algunos conceptos de descarga pororificios, estudiados en un curso anterior de Hidráulica o de Mecánica de Fluidos.

Un vertedero da lugar a un chorro, es decir, a una napa vertiente, tal como se aprecia en laFigura 9.1. Sobre el vertedero y en sus inmediaciones hay un movimiento rápidamente variado(M. R. V.). Es un ‘‘remanso de depresión’’ originado en la transformación de energía potencialen energía cinética. Hacia aguas arriba, en una sección AB, hay un movimiento gradualmentevariado (M. G. V.). Se acepta que en la sección AB rige la ley hidrostática. Esta sección seencuentra a una cierta distancia del vertedero. Referencialmente se considera que estadistancia es igual a 4 H , siendo H la carga sobre el vertedero. Obsérvese que inmediatamenteaguas arriba del umbral de vertedero hay una zona de estancamiento o de aguas muertas.

Se denomina carga sobre el vertedero a la altura H con respecto a un plano horizontal quepasa por la cresta, medida en la sección AB.

En la Figura 9.1 se muestra también la altura del umbral P del vertedero (paramento), que esla distancia entre el fondo y la cresta del vertedero.

Existen fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en función de la presión que la rodea.

En la napa libre la presión que hay en el espacio comprendido entre el paramento del vertedero(umbral), las paredes del canal inmediatamente aguas abajo de él y la parte inferior de la napavertiente es igual a la atmosférica. En consecuencia, en todo el contorno de la napa la presiónes igual a la atmosférica. En estas condiciones se forma el perfil, o trayectoria de la napa,representado en la Figura 9.1. En la Figura 9.2 se observa la red de corriente correspondiente aesas condiciones (chorro libre).

Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( HP >>> )

pγh

V

pγ

Vh

H

P

458


En la Tabla 9.1 se aprecia las coordenadas típicas correspondiente a un chorro libre, segúnFranke, siempre que la altura del umbral sea mucho mayor que la carga sobre el vertedero

( HP >>> ).

Para conseguir la condición de chorro libre puede ser necesario ventilar debidamente el espacioantes mencionado ubicado debajo del chorro. Para ello, si es necesario, se colocan tomas deaire que garantizan la comunicación con la atmósfera.

Cuando el chorro es libre las condiciones de descarga (la napa) se mantienen bastanteconstantes y el vertedero es así confiable para medir caudales. Esto es deseable en unvertedero.

TABLA 9.1

COORDENADAS CARACTERISTICAS DE UNA NAPA VERTIENTE LIBRE ( HP >>> )

P > H

H

x

1,00

z

z z

x PARTE

INFERIOR

PARTE

SUPERIOR

x PARTE

INFERIOR

PARTE

SUPERIOR

- 3,00

- 2,00

- 1,00

0

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,75

-

-

-

- 0,125

- 0,035

- 0,005

0

- 0,010

- 0,030

- 0,060

- 0,105

- 0,125

1,000

0,985

0,950

0,830

0,805

0,775

0,745

0,705

0,665

0,620

0,570

0,540

0,75

0,80

0,90

1,00

1,20

1,40

1,54

1,60

1,80

2,00

2,50

3,00

- 0,125

- 0,155

- 0,210

- 0,270

- 0,41

- 0,59

- 0,74

- 0,80

- 1,05

- 1,31

- 2,10

- 3,11

0,540

0,510

0,450

0,380

0,22

0,03

- 0,125

- 0,19

- 0,43

- 0,70

- 1,50

- 2,50

459

VertederosC

apítulo IX

Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida

La presión en el espacio comprendido entre el

paramento del vertedero y la napa vertiente es

menor que la atmosférica y dicho espacio se

encuentra lleno de aire.

La napa vertiente (el chorro) no es estable: es

oscilante.

El espacio comprendido debajo de la napa está

lleno de agua y aire. El aire se ha ido arrastrando.

El chorro es inestable.

Desaparece el aire en el espacio ubicado debajo

de la napa y éste queda lleno de agua. La lámina

queda adherida al paramento del vertedero.

460


Cuando el espacio antes descrito, ubicado debajo de la napa vertiente, tiene una presiónmenor que la atmosférica el chorro no tiene descarga libre y se acerca al paramento delvertedero. Se dice entonces que la napa está deprimida. En estas condiciones el chorro sevuelve inestable y el vertedero no resulta adecuado para medir caudales.

Puede darse que el espacio debajo de la napa, en el que se produzca una presión menor quela atmosférica, esté libre de agua, parcialmente con agua o totalmente lleno de agua, talcomo se aprecia en la Figura 9.3. Finalmente, la napa pasa de deprimida a adherente yadquiere una trayectoria vertical, pegada (adherida) al paramento. Esto se produce con caudalespequeños.

Las condiciones de lámina vertiente adherida o deprimida deben evitarse, pues inducen aerror en la medición del caudal.

Clasificación de los vertederos por el tipo de cresta

Por el tipo de cresta se distingue dos grandes tipos: vertederos en pared delgada y vertederosen pared gruesa. La diferencia está en el tipo de contacto entre la napa vertiente y el paramento.

En los vertederos en pared delgada el contacto entre el agua y la cresta es sólo una línea, esdecir, una arista. Para que un vertedero se considere en pared delgada no es indispensableque la cresta sea delgadísima como la de la Figura 9.1. La pared puede tener un cierto

espesor. Si éste es menor que 3/2H se considera que el vertedero es en pared delgada,

como se deduce de la observación de la Figura 9.4 que corresponde a una napa vertiente encresta delgada.

Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero enpared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1

Ventilación

H23

H0,23

H0,11

H0,66

P >> H

p

H p

P

0,85 H

0,27 H0,15 H

461


En cambio, en los vertederos en pared gruesa el contacto es un plano. El flujo se adhiere a lacresta. En la Figura 9.5 se observa tres vertederos en pared gruesa. El vertedero tipo c seconsidera en pared gruesa propiamente dicha, en tanto que los tipos a y b se llaman de paredintermedia.

En la Figura 9.1 se observa las características generales de la descarga sobre un vertederoen pared delgada. Se aprecia como se forma la napa vertiente, cuyas dimensiones relativasaproximadas se dan en la Figura 9.4. La cresta del vertedero es aguda (de umbral achaflanado)y el contacto es sólo una línea. En los vertederos en pared delgada la napa se caracterizaporque en todo su contorno la presión es igual a la atmosférica, lo que es indispensable parala correcta medición de caudales.

Velocidad de aproximación

Se denomina velocidad de aproximación (velocidad inicial o de llegada) a la velocidad mediaque corresponde a la sección AB (Figura 9.1) en la que el escurrimiento se produce en toda lasección. Obsérvese que hacia aguas abajo de la sección AB la sección transversal que

participa del escurrimiento es menor. La velocidad de aproximación 0V es

( )HPBQ

AQ

V+

==0 (9-1)

siendo B el ancho del canal de aproximación. Si el umbral P fuese mucho mayor que H

entonces 0V tendería a cero.

Esta velocidad inicial da lugar a una energía cinética Vh cuya expresión es

gV

hV 2

20α= (9-2)

Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet

(a) (b) (c)

462


Siendo α el coeficiente de Coriolis.

Clasificación de los vertederos por los niveles de aguas abajo

Este es un criterio de clasificación muy importante. En el vertedero libre el nivel de aguasabajo es inferior al de la cresta.

En cambio, el vertedero sumergido o incompleto se caracteriza porque el nivel de aguas abajoes superior al de la cresta, tal como se ve en la Figura 9.19. Esto no significa necesariamente,como ha sido claramente señalado por Domínguez, que ‘‘dicho nivel tenga influencia en elescurrimiento sobre el vertedero, porque puede suceder que no lo tenga y en cambio otro,aun inferior a la cota del umbral, la puede tener en otras circunstancias. Un vertedero, pues,definido como incompleto o ahogado por la cota del escurrimiento de aguas abajo, no essinónimo de vertedero influenciado por dicho nivel’’.

Clasificación por las condiciones laterales de descarga

Los vertederos pueden ser con contracciones laterales o sin ellas.

Los vertederos con contracciones laterales son aquellos en los que la longitud L del vertederoes menor que el ancho B del canal de aproximación. Para que se produzca contraccioneslaterales completas es necesario que la distancia entre cada extremo del vertedero y la pareddel canal sea por lo menos de H3 . Es recomendable también que la altura P del umbralsea por lo menos igual a H3 , tal como se ve en la Figura 9.1.

Naturalmente que si LB = es un vertedero sin contracciones laterales.

Clasificación de los vertederos según su forma

Según la forma hay diferentes tipos de vertederos: rectangulares, triangulares, trapeciales,circulares, parabólicos, poligonales y muchas otras posibilidades geométricas, tal como seobserva en la Figura 9.6.

Clasificación de los vertederos por la inclinación del paramento

El paramento de los vertederos suele ser vertical, pero puede estar inclinado hacia aguasarriba o hacia aguas abajo, tal como se ve en la Figura 9.7. El vertedero inclinado hacia aguasabajo disminuye la contracción. En consecuencia, para una misma carga H el gasto aumentacon la inclinación hacia aguas abajo. Si la inclinación fuese hacia aguas arriba ocurriría locontrario. Existe también el llamado vertedero entrante, que aparece en la misma figura.

463


Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos

(a) Rectangular (b) Triangular (c) Trapecial

(d) Circular (e) Parabólico

(f) Parábola semicúbica (g) Mixto

(h) Hiperbólico (i) Proporcional

464


Vertederos inclinados con respecto a la dirección de la corriente

Los vertederos suelen estar ubicados normalmente a la corriente. Sin embargo, eventualmente,forman un cierto ángulo con ella, tal como se ve en la Figura 9.8.

Otros tipos de vertederos

Existen otros tipos de vertederos como

- Desarrollados- Abatibles- Inflables- Laterales- De Planta Circular (Morning Glory), etc.

Algunos de ellos se aprecian en la Figura 9.9.

Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)

Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente

B L

θ

(a) (b) (c)

H

465


Figura 9.9 Otros tipos de vertederos

Vertedero de planta circular

Vertedero proporcionalEl caudal es proporcional a la

carga H

Combinación de orificio y vertedero

Vertedero desarrollado Vertedero Inflable

cámara inflable

466


9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga

A continuación se presenta la deducción de la fórmula general de descarga de un vertederorectangular. En la Figura 9.10 se muestra parcialmente un estanque en una de cuyas paredeshay un orificio rectangular de ancho L . Los otros elementos característicos se muestran en lafigura.

2Vg

20α

h2

h1

yL

dy

Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular

Para efectos de cálculo consideramos que en el orificio hay una pequeña franja de áreaelemental, de ancho L y espesor dy , a través de la cual pasa el siguiente caudal

VLdyVdAdQ ==

siendo V la velocidad correspondiente. Para el cálculo de esta velocidad se aplica el

teorema de Bernoulli y se obtiene

+=

gV

ygV2

22

0α

Por lo tanto,

Ldyg

VygdQ

+=

22

20α

467


Integrando se obtiene el caudal a través del orificio

Lg

Vh

gV

hgQ

+−

+=

23

20

2

23

20

1 222

32 αα

Esta fórmula es para un orificio. Para un vertedero debe darse que 2h = 0. Si, además,llamamos H a 1h , que es la carga, se tiene

Lg

Vg

VHgQ

−

+=

23

20

23

20

222

32 αα (9-3)

que es la fórmula teórica de descarga de un vertedero. Esta fórmula no toma en cuenta lafricción, ni los efectos debidos a la contracción vertical de la napa. En consecuencia, para

obtener el gasto real se debe aplicar un coeficiente c de descarga. Entonces el gasto real es

Lg

Vg

VHcgQ

−

+=

23

20

23

20

222

32 αα (9-4)

El coeficiente de descarga c se obtiene experimentalmente.

Si tuviésemos un vertedero en el que la velocidad de aproximación fuese tan pequeña quepudiese despreciarse, entonces, para 0V = 0 se obtiene la descarga teórica

23

232

LHgQ = (9-5)

La descarga real se obtiene aplicando un coeficiente de descarga c y se llega a

23

232

cLHgQ = (9-6)

∫g

Vh

2

20

1 α+

g

Vh

2

20

2 α+

Ldyg

Vy

21

20

2

+αgQ 2=

468


que es la ecuación de descarga característica de los vertederos rectangulares. La posibilidadde despreciar la velocidad de aproximación depende de su valor y de la precisión con la queestemos trabajando. Referencialmente se señala que si la sección transversal del canal deaproximación es mayor que LH8 se puede despreciar la velocidad de aproximación.

Obsérvese que en un vertedero rectangular el caudal es directamente proporcional a la longituddel vertedero y a la potencia 3/2 de la carga.

La determinación del coeficiente de descarga c ha sido objeto desde el siglo XIX de numerosos

estudios experimentales. En general, el coeficiente de descarga c de un vertedero dependede varios factores: carga H , naturaleza de los bordes, altura del umbral, propiedades delfluido, etc.

Las diversas investigaciones experimentales para determinar el coeficiente de descarga sehan desarrollado para diferentes condiciones. Cada investigación tiene, en consecuencia, uncampo de aplicación. Si nos salimos de él no hay seguridad en los resultados.

La aproximación que da cada fórmula es bastante buena, siempre que se aplique dentro delos límites fijados en los trabajos experimentales. En las Figuras 9.1 y 9.4 se aprecia lascaracterísticas generales de la napa vertiente en un vertedero rectangular.

Los estudios experimentales han partido de la fórmula teórica 9-3 y han seguido diversoscaminos. En algunas investigaciones simplemente se introduce un coeficiente, en otras seintroduce una longitud o una carga ficticia para tomar en cuenta los efectos originados enfenómenos no considerados en la deducción de la fórmula teórica.

En lo que respecta a vertederos rectangulares hay dos grandes grupos de ellos: sincontracciones y con contracciones laterales.

De las numerosas fórmulas existentes se presenta las siguientes: Francis (1852), Rehbock(1911), Bazin-Hegly (1921), Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924) y Kindsvater-Carter (1959).

Obsérvese que si en la fórmula 9-3 consideramos VhgV =220 y tomamos factor común

H , entonces se obtiene

−

+=

23

23

23

1232

Hh

HhLHgQ VV αα (9-7)

si comparamos esta fórmula con la 9-6 se obtiene una interpretación de un coeficiente dedescarga que toma en cuenta el efecto de la velocidad de llegada y cuyo valor es

469


23

23

1

−

+

Hh

Hh VV αα (9-8)

9.3 Fórmula de Francis

James B. Francis realizó más de 80 experimentos, entre 1848 y 1852, en vertederosrectangulares en pared delgada con el objetivo de encontrar una expresión para el coeficientede descarga.

Francis realizó sus experiencias en Lowell, Massachusetts, dentro de determinadascondiciones, las que constituyen los límites de aplicación del coeficiente de descarga queobtuvo.

La mayor parte de las experiencias las hizo con un vertedero de 10 ft de longitud (3,05 m); sinembargo, experimentó también con otras longitudes.

En lo que respecta a la carga, ésta estuvo comprendida entre 0,18 m y 0,50 m, que constituyenlos límites de aplicación de la fórmula. Se recomienda también que la altura del umbral Pesté comprendida entre 0,60 m y 1,50 m. Se recomienda también que la relación HL / seamayor que 3.

La fórmula obtenida por Francis considera la velocidad de aproximación 0V y la posibilidad de

contracciones laterales.

La fórmula de Francis es

−

+

−=

23

20

23

20

2210622,02

32

gV

gV

HnH

LgQ (9-9)

En el sistema métrico se considera

84,1836,1622,0232 ≈= g (9-10)

Obsérvese que el coeficiente 0,622 es adimensional, en cambio el coeficiente 1,84 esdimensional.

En el sistema de unidades inglesas se tendría

470


33,3622,0232 = g (9-11)

En el sistema métrico la fórmula general de Francis queda así

−

+

−=

23

20

23

20

221084,1

gV

gVHnHLQ (9-12)

en la que el caudal Q está en m3/s, la longitud del vertedero L en metros, la carga H en

metros, la velocidad de aproximación 0V en m/s. Se designa como n el número decontracciones (0, 1, 2).

Se observa que el criterio que usa Francis para considerar el efecto de las contracciones esel de considerar que como consecuencia de ellas se produce una reducción de la longitud del

vertedero. Aparece así una longitud efectiva

−

10nHL en función del número n de

contracciones. Obsérvese que si HL 2,0≤ aparecería cero o un valor negativo para el caudal.

Si se considera que la velocidad de aproximación es muy pequeña y que puede despreciarse,

entonces 0V = 0 y la fórmula de Francis queda así

23

1084,1 H

nHLQ

−= (9-13)

Si, además, no hubiese contracciones laterales, entonces 0=n y la fórmula de Francis

quedaría reducida a

23

84,1 LHQ = (9-14)

Para aplicar la fórmula general de Francis (Fórmula 9-9) es necesario recurrir a un método de

tanteos y aproximaciones sucesivas, puesto que para calcular 0V se requiere conocer la

carga H .

Lo que se recomienda es hacer un cálculo preliminar a partir de la fórmula (9-14), asumiendo

que la velocidad 0V de aproximación fuese cero y que no hubiese contracciones. Con ese

valor preliminar obtenido se aplica la ecuación general, se compara los resultados obtenidosy se prosigue hasta lograr la aproximación deseada.

471


Si la fórmula es aplicada correctamente y el vertedero fue bien colocado se puede lograraproximaciones de ± 3 %. Si se usase el vertedero para medir caudales que den lugar acargas muy pequeñas, fuera de los límites de aplicación de la fórmula de Francis, se obtendríaresultados menores que los reales.

9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares

a) Fórmula de Bazin, ampliada por Hégly

En 1886 Bazin luego de una larga serie de cuidadosos experimentos, estableció una fórmulapara calcular la descarga en vertederos rectangulares sin contracciones.

En 1921 Hégly publicó, a partir de las investigaciones de Bazin, una nueva fórmula para elcálculo de la descarga de un vertedero rectangular en pared delgada con contracciones o sinellas. La llamó ‘’fórmula completa de Bazin’’. También se le conoce con el nombre de fórmulade Bazin-Hégly.

La fórmula de Bazin-Hégly se aplica a vertederos cuyas cargas estén comprendidas entre0,10 m y 0,60 m, cuyas longitudes estén entre 0,50 m y 2,00 m y en los que la altura delumbral se encuentre entre 0,20 m y 2,00 m.

La fórmula de Bazin-Hégly parte de la ecuación 9-6, de descarga de un vertedero

23

232

cLHgQ =

en la que para un vertedero con contracciones laterales el valor de c es

+

+

+−−=

22

55,0100405,0045,06075,0PH

HBL

HBLB

c (9-15)

en la que B es el ancho del canal.

Si el vertedero fuese sin contracciones, entonces LB = y el coeficiente de descarga sería

++

+=

2

55,0100405,06075,0PH

HH

c (9-16)

472


b) Fórmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos

Esta fórmula de descarga para vertederos rectangulares en pared delgada fue adoptada en1924. La fórmula parte de la ecuación 9-6 de descarga de un vertedero

23

232

cLHgQ =

En esta fórmula también hay dos coeficientes, según que haya contracciones o no.

El coeficiente c para un vertedero con contracciones es

++

+

−

+

+=

2

2

2

21

16,11000

3615,3037,0578,0

PHH

BL

HBL

BL

c (9-17)

B es el ancho del canal.

Los límites de aplicación de esta fórmula para el coeficiente de descarga en vertederosrectangulares con contracciones son

80,0025,0 ≤≤ HBL

m

BL 30,0≥ m

BP 30,0≥

1≤PH

El coeficiente de descarga c para un vertedero sin contracciones es

++

++=

2

211

6,1100011615,0

PHH

Hc (9-18)

La carga H está en metros. Los límites de aplicación de este coeficiente son

0,025 m ≤< H 0,80 m

473


≥P 0,30 m

≤PH

1

c) Fórmula de Kindsvater - Carter

Es una de las fórmulas de mayor confiabilidad. Se aplica a todos los vertederos rectangulares,con contracciones o sin ellas. Fue establecida por C. E. Kindsvater y R. W. Carter y data de1959.

La fórmula es

( )( )23

232

HLe KHKLgcQ ++= (9-19)

Como puede apreciarse, en lugar de la longitud del vertedero se usa la ‘‘longitud efectiva’’, quees la suma de la longitud L del vertedero más un valor LK que se encuentra a partir de unaexpresión obtenida experimentalmente y que aparece en la Figura 9.11. HK es un valor iguala 0,001 m, que se adiciona a la carga para constituir la ‘’carga efectiva’’. ec es el coeficientede descarga propio de la fórmula. Tiene origen experimental y aparece en la Figura 9.12.

Entre los requerimientos para una correcta aplicación de la fórmula están los siguientes.

La carga H debe medirse a una distancia igual a 4 ó 5 veces la máxima carga.

El vertedero debe ser propiamente en pared delgada. La cresta debe ser de 1 ó 2 mm deespesor.

0

L

KL

(mm

)

0,2 0,4 0,6 0,8 1

5

4

3

2

1

0

-1

B

Figura 9.11 Gráfico para la determinación de LK

0

L

KL

(mm

)

0,2 0,4 0,6 0,8 1

5

4

3

2

1

0

-1

B

474


El nivel de la superficie libre de aguas abajo debe estar por lo menos 6 cm debajo de la crestadel vertedero.

La carga debe ser superior a 3 cm. El umbral debe ser por lo menos de 10 cm.

La longitud del vertedero y el ancho del canal deben ser superiores a 15 cm.

La relación entre la carga H y la altura P del umbral debe ser menor que 2,5.

Si la longitud del vertedero es igual al ancho del canal ( BL = ), entonces no hay contracciones.

Ejemplo 9.1 En un canal de 6 m de ancho se ha instalado un vertedero rectangular en pared delgada,de 2 m de longitud. La altura del umbral es 1,50 m. Calcular el caudal para una carga de 0,50 m.

Solución. Se observa que se trata de un vertedero con dos contracciones y que la distancia de cadaextremo del vertedero a las paredes del canal es apropiada para asegurar buenas condiciones decontracción. Así mismo, la altura del umbral también garantiza una buena contracción.

Dadas las dimensiones del vertedero y la carga que se presenta son varias las fórmulas que podríanusarse.

Fórmula de Francis

Para iniciar el cálculo se puede usar la ecuación 9-14 considerando como que no hubiese contraccionesni velocidad de acercamiento importante

Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial

H0,5

P

0 1 1,5 2,52

ISO (1980) LMNO

00,4

0,6

0,7

0,8

0,9

= 1LB

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

Coe

ficie

nte

de d

esca

rga

ec

475


( ) =××== 23

23

50,0284,184,1 LHQ 1,301 m3/s

Esta sería la descarga del vertedero para las condiciones señaladas ( 0=n ; 00 =V ). A partir del caudal

encontrado se puede calcular la velocidad de aproximación (ec. 9-1)

( ) 108,026

301,10 =

×=

+==

HPB

Q

A

QV m/s

Aplicando la ecuación 9-2, para 1=α , se obtiene

Se trata de un valor bastante pequeño, sin embargo vamos a considerarlo y aplicamos la ecuación 9-12

( )

−+

−= 2

323

1084,1 VV hhH

nHLQ

( ) ( )

−+

×

−= 23

23

0006,00006,050,010

50,02284,1Q

238,1=Q m3/s

Obsérvese que este valor del caudal es casi 5 % menor del que se obtuvo suponiendo que no habíacontracciones y que la velocidad de aproximación era despreciable. Podría hacerse un nuevo cálculode la velocidad de aproximación y repetir todo el procedimiento, pero como en este caso es tanpequeña no vale la pena hacerlo.

Se hubiera podido partir de la ecuación 9-13, entonces

( ) 236,150,09,184,110

84,1 23

23

=××=

−= H

nHLQ m3/s

103,012236,1

0 ==V m/s

( ) ( ) 238,10005,00005,050,09,184,1 23

23

=

−+×=Q m3/s

m 0,00062gVh

20

V ==

m

0,00052gVh

20

V ==

476


Por lo tanto, según la fórmula de Francis el caudal es 1,238 m3/s. Si quisiéramos calcular el coeficientede descarga con la ecuación 9-8, se obtendría

0015,150,0

0005,050,0

0005,011

23

23

23

23

=

−

+=

−

+=

H

h

H

hc VV αα

que es prácticamente igual a la relación entre 1,238 y 1,236 m3/s.

Fórmula de Bazin

El coeficiente c de descarga para la fórmula de Bazin está dado por la ecuación 9-15

+

+

+

−−=

22

55,0100405,0

045,06075,0PH

H

B

L

HB

LBc

reemplazando los valores conocidos se obtiene

+

+

+

−−=

22

50,150,050,0

62

55,0150,0

00405,06

26045,06075,0c

588,0=c

y el gasto es

227,1232 2

3

== LHgcQ m3/s

Fórmula de la Sociedad Suiza

Para un vertedero con contracciones el coeficiente de descarga viene dado por la ecuación 9-17

++

+

−

+

+=

2

2

2

211

6,11000

3615,3037,0578,0

PH

H

B

L

H

BL

B

Lc


+

+

−

+

+=

2

2

2

00,250,0

62

211

6,11000623615,3

62037,0578,0

Hc

477


De donde,

595,0=c

El caudal es

( ) 242,150,02595,02322

32

23

23

=×××== gcLHgQ m3/s

Fórmula de Kindsvater

Se aplica la ecuación 9-19

( )( )23

232

H Le KHKLgcQ ++=

HK es 0,001 m. Para el cálculo de LK se usa la Figura 9.11 y a partir de 33,0=B

L se obtiene

LK = 0,025 m.

Para el cálculo de ec se usa la Figura 9.12 y para 33,0=P

H se obtiene ec = 0,59

Por lo tanto,

( )( ) 237,1001,050,00025,02232

59,0 23

=++= gQ m3/s

CUADRO COMPARATIVO

INVESTIGADOR Q (m3/s) ε (m3/s) %

Francis 1,238 + 0,002 0,16 %

Bazin 1,227 - 0,009 0,73 %

Sociedad Suiza 1,242 + 0,006 0,48 %

Kindsvater 1,237 - 0,001 0,08 %

Promedio 1,236 0 0

Al haber aplicado estas cuatro fórmulas se observa que, independientemente del error que cada unade ellas tiene, los resultados son bastante coincidentes y las diferencias con respecto al promedio soninferiores al 1 %.

478


d) Fórmula de Rehbock

Rehbock realizó desde 1911 numerosas experiencias en el Laboratorio de Hidráulica deKarlsruhe con vertederos rectangulares. Sus experiencias fueron muy cuidadosamente hechasy trató de disminuir la influencia de las condiciones de aproximación.

La fórmula de 1929 para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares en pareddelgada sin contracciones es

23

0011,0100009,00813,06035,0

+

++=

HPPH

c (9-20)

H y P están en metros. El coeficiente c se aplica a la ecuación 9-6.

Se recomienda usar la fórmula para cargas comprendidas entre 0,025 m y 0,60 m.

9.5 Vertederos triangulares

Para deducir la fórmula de descarga en un vertedero triangular se plantea la siguiente figura

Consideremos el gasto a través de

la pequeña franja elemental dx .

La longitud de la franja es

( )H

xHb −

El área de la franja es

( )dx

HxHb −

Considerando a esta franja como un orificio y despreciando la velocidad de aproximación seobtiene el caudal

( ) dxxHxgHb

dxgxxHHb

dQ

−=−= 2

121

22

Integrando entre 0=x y Hx = se obtiene

2 α

b

dx H

x

479


23

2154

HgbQ =

Pero, αtan2Hb = , de donde

25

2tan158

HgQTEORICO α= (9-21)

25

2tan158

HgcQREAL α= (9-22)

La fórmula de descarga para un vertedero triangular de un ángulo dado y para coeficiente cconstante puede expresarse así

25

KHQ =

siendo,

gcK 2tan158 α=

La necesidad de este coeficiente de descarga c se justifica porque en la deducción de la

fórmula no se ha tomado en cuenta la contracción de la napa y otros efectos que si estánpresentes en el flujo real.

Otra forma de calcular la descarga a través de un vertedero triangular verticalmente simétricoes considerar que la ecuación de uno de los dos lados del triángulo es

αtanyx =

αdy H

y

de donde, el caudal es

( )∫ −α=H

ydyyHcgQ

021

tan22

integrando se obtiene

480


25

tan2158

HcgQ α=

que es la ecuación de descarga de un vertedero triangular.

De un modo similar se puede obtener la descarga para vertederos de otras formas geométricas.La dificultad está en conocer los correspondientes coeficientes de descarga.

Si el vertedero estuviese formado por un triángulo asimétrico en el que los ángulos con respecto

a la vertical fuesen 1α y 2α se puede considerar el promedio respectivo.

Entre las ventajas de los vertederos triangulares se puede citar las siguientes. Como la descargadepende de la potencia 5/2 de la carga se puede tener mayor precisión en la medición decaudales pequeños. Así mismo, en los vertederos triangulares es muy pequeña la influenciade la altura del umbral y de la velocidad de llegada. Para ello se requiere que el ancho delcanal de aproximación sea igual o mayor a 5 veces la carga sobre el vertedero.

HB 5≥ (9-23)

A los vertederos triangulares se les suele conocer por su nombre en ingles: V-notch, queliteralmente significa escotadura en V .

Los vertederos triangulares son muy sensibles a la rugosidad de la cara de aguas arriba y a laexactitud en la medición de la carga. Para cargas pequeñas influye la viscosidad y la tensiónsuperficial.

El coeficiente c depende de varios factores; entre ellos están el ángulo del vertedero y la

carga. La forma de conocer el coeficiente de descarga es mediante estudios experimentales.

En el Laboratorio de Hidráulica de la Universidad de Chile los ingenieros L. Cruz - Coke, C.Moya y otros realizaron entre 1923 y 1924 una amplia investigación experimental del flujo envertederos de 15º, 30º, 45º, 60º, 90º y 120º. En la Figura 9.13, tomada de la Hidráulica deDomínguez, se aprecia los resultados. Para cada ángulo del vertedero y para cada valor de

la carga se obtiene el coeficiente m que es 8/15 del coeficiente de descarga c . Por lo tanto,

mc8

15=

El gasto se calcula con la fórmula 9-22. Se determinó, como parte del estudio, que los erroresno son superiores al 5 %.

481


Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares

Es interesante analizar la Figura 9.13. Se observa claramente que para cada ángulo elcoeficiente aumenta al aumentar la carga, mientras éstas sean pequeñas. A partir de uncierto valor de la carga, alrededor de 3 ó 4 cm, el aumento de la carga implica una disminucióndel coeficiente. Finalmente, para valores mayores de la carga (mayores, mientras más pequeñosea el ángulo) se llega a un valor prácticamente constante. Estos valores prácticamenteconstantes hacia los que tiende el coeficiente de cada vertedero y las cargas respectivas sonpara cada ángulo los que aparecen en la Tabla 9.2

TABLA 9.2

COEFICIENTES EN VERTEDEROS TRIANGULARES

ANGULO ( α2 ) 15º 30º 45º 60º 90º 120º

>H 0,25 0,205 0,185 0,17 0,14 0,12

m 0,343 0,33 0,325 0,32 0,313 0,322

c 0,643 0,619 0,609 0,6 0,587 0,604

K 0,2 0,392 0,596 0,818 1,386 2,471

CRUZ COKE Y MOYA

H

MIGUEL Y FIGARI

otros ángulos120º

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,250,25

0,30

0,35

0,40

m

α15º2

30º45º

90º

120º 60º

482


Aplicando la Tabla 9.2 se podría tener una fórmula simple para cada vertedero de un ciertoángulo, la que se podría aplicar para valores de la carga H mayores que un cierto valor. Así,se tendría

Para 15º 25

2,0 HQ = (para 25,0≥H m)

Para 30º 25

392,0 HQ = (para 205,0≥H m)

Para 45º 25

596,0 HQ = (para 185,0≥H m)

Para 60º 25

818,0 HQ = (para 17,0≥H m)

Para 90º 25

386,1 HQ = (para 14,0≥H m)

Para 120º 25

471,2 HQ = (para 12,0≥H m)

Para el caso particular de los vertederos triangulares de 90º se tiene que º902 =α ( )º45=αy el gasto teórico es

25

25

3612,22158

HHgQT == (9-24)

James Thomson (1861) realizó experiencias con vertederos triangulares. Es muy conocida sufórmula para vertederos triangulares de º902 =α . Sus experimentos abarcaron cargas entre5 y 18 cm. Posteriormente (1908) James Barr demostró experimentalmente que la fórmula deThomson podía extenderse hasta 30=H cm. La fórmula es

25

2158593,0 HgQ =

o bien,

25

4,1 HQ =

que es la conocida fórmula de Thomson para vertederos de 90º. H está en metros y el

caudal Q en m3/s.

A partir de las mediciones de Thomson y Barr, M. A Barnes presentó la siguiente fórmula

48,237,1 HQ =

que es equivalente a la de Thomson y para la cual su autor señala que el error es inferior a 1/5 de1 %.

Obsérvese que fórmulas como la de Thomson y de Barnes sólo son aplicables a partir de uncierto valor de la carga H obtenido experimentalmente.

483


9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti

Los vertederos trapeciales son muy poco usados para medir caudales. En consecuencia,casi no hay información sobre sus coeficientes de descarga.

Para el cálculo de la descarga teórica se suele considerar que la sección está conformadapor tres partes: una central, que es rectangular, y dos laterales, que son triangulares. Seobtiene así que la descarga en un vertedero trapecial isósceles es

25

223

1 tan21582

32

HgcLHgcQ α+=

H

L

αα

Se tiene muy poca información experimental sobre los valores de los coeficientes de descarga

de estos vertederos. Balloffet señala que es frecuente considerar 6,021 == cc , a pesar de

la falta de justificación teórica o experimental.

En 1887 el ingeniero Italiano Cipolletti estudió y propuso un tipo especial de vertedero trapecial,cuyas características se señalan a continuación.

Vertedero de Cipolletti

Es un vertedero trapecial dedeterminadas característicasgeométricas.

El gasto se considera formado de dospartes

- Una parte a través de la aberturarectangular.

- Otra parte a través de lostriángulos.

L

H

d

d2

α

L

H

d

d2

α

484


Por consideraciones geométricas se cumple que

Hd=αtan

Los taludes deben calcularse de modo que el aumento del gasto producido por ellos seaprecisamente igual a la disminución del gasto causado por las contracciones en un vertederorectangular de longitud L . Consideremos que el gasto teórico a través de los triángulos es

23

2158

HgdQ =

La disminución del gasto en un vertedero rectangular con dos contracciones se obtiene apartir de una fórmula tipo Francis

( ) 23

2,0232

HHgQ =

Igualando

( ) 23

23

2,02322

158

HHgHgd =

se obtiene

14=

dH

Es decir, 41tan =α que es la condición de un vertedero tipo Cipolletti. Esto implica '2 º14=α .

Experimentalmente se ha determinado que el coeficiente de descarga de un vertedero Cipolletties 0,63.

El gasto en el vertedero Cipolletti es el correspondiente a un vertedero rectangular de longitudL , sin contracciones

23

23263,0 LHgQ =

L es la base del trapecio. O bien, en el sistema métrico

23

86,1 LHQ =

Para una correcta operación del vertedero Cipolletti se debe cumplir las siguientes condiciones.

La carga debe ser mayor que 6 cm, pero debe ser inferior a 3L . La altura P del umbral debeser mayor que el doble de la máxima carga sobre el vertedero. La distancia b , señalada en la

485


Figura 9.14, debe ser mayor que el doble de la máxima carga. El ancho del canal deaproximación debe estar comprendido entre H30 y H60 . La carga debe medirse a unadistancia de 4 H del vertedero.

L

0,25

1

P

B

b

H

Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti

La corrección por velocidad de aproximación puede hacerse de un modo similar al que se hizocon la fórmula de Francis.

El vertedero Cipolletti se usa en mediciones de campo, en distribución de aguas y otrossistemas compatibles con la aproximación de este vertedero. No se recomienda su uso enlaboratorios o en mediciones de precisión. Si se cumplen las condiciones de instalación el

error puede ser ± 5 %.

9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos

Los vertederos instalados para medir caudales deben reunir una serie de condicionesindispensables para garantizar su confiabilidad. Entre ellas están las siguientes

1. El primer y más importante punto para una buena y confiable medición de caudalescon un vertedero es la apropiada selección del tipo de vertedero. Así por ejemplo, unvertedero triangular es muy indicado para medir caudales pequeños (puesto que enellos el caudal depende de la potencia 5/2 de la carga). En cambio, para medircaudales relativamente altos, un vertedero rectangular sin contracciones podría serel más indicado. Más adelante se señala los errores que se pueden producir en elcálculo del caudal como consecuencia de un error en la medición de la carga.

486


2. Luego viene la correcta selección de la fórmula. Para cada tipo de vertederos existennumerosas fórmulas de origen experimental. Cada una de ellas tiene un rango deaplicación. Mientras estemos dentro de esos rangos se puede tener una altaaproximación en la medición de caudales. Si estamos fuera de los rangos deexperimentación, la confiabilidad del resultado es dudosa.

3. Para un vertedero rectangular con contracciones existen ciertas recomendacionesde carácter general, además de las que pueden originarse en cada fórmula, las queaparecen en la Figura 9.15, debida a G. E. Russell, y que es producto de larecomendación de varios investigadores.

H

H>3>3H>3H

H>3

L

P

Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en cuentapara instalar un vertedero rectangular con contracciones.

Se observa que la longitud L del vertedero, el umbral P y la distancia a las paredesdel canal debe ser por lo menos igual al triple de la máxima carga sobre el vertedero.En estas condiciones la velocidad de aproximación será despreciable.

4. En los vertederos en pared delgada la cresta debe ser aguda, recta y horizontal. Elvertedero debe colocarse normalmente a la dirección de las líneas de corriente.

Para efectos de una buena conservación se recomienda que la cresta sea de bronce.

El vertedero debe colocarse perfectamente vertical y su cara de aguas arriba debemantenerse lisa.

El vertedero debe instalarse en un tramo recto, que lo sea en una longitud no inferior

a 10 veces la longitud L de la cresta del vertedero.

487


5. La altura del umbral P no debe ser inferior a 0,30 m ni a 3 veces la máxima cargasobre el vertedero.

6. La velocidad de aproximación debe mantenerse pequeña. La sección transversal

del canal de aproximación ( )[ ]PHB +× debe ser por lo menos igual a 6, o mejor

8 veces, la sección de la napa vertiente LH .

7. Debe tomarse las medidas pertinentes para que la napa vertiente quede perfectamenteaireada. En todo su contorno la presión debe ser igual a la atmosférica. Si fuesenecesario, debe instalarse dispositivos de aireación.

8. Si las condiciones de aproximación del flujo no son tranquilas debe colocarseelementos disipadores de energía, es decir tranquilizadores, como pantallas, ladrilloshuecos, mallas, etc.

9. La carga debe medirse cuidadosamente, fuera del agua en movimiento, medianteuna toma adecuada (principio de vasos comunicantes), a una distancia deaproximadamente cuatro veces la carga ( H4 ) de modo que no haya influencia delmovimiento rápidamente variado que se origina sobre la cresta del vertedero. Tampocose debe medir la carga a mayor distancia del vertedero, porque entonces apareceríala influencia debida a la pendiente de la superficie libre del canal.

10.Las condiciones de aguas abajo (nivel del agua) deben ser tales que no influyan enla napa.

11. Los vertederos de dimensiones especiales, que no cumplen las condiciones antesseñaladas, deben ser cuidadosamente calibrados.

9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)

En la Figura 9.16 aparece un vertedero de cresta ancha en el que la longitud de la cresta,

plana y horizontal, es b . El vertedero es de descarga libre, es decir, no influenciado por las

condiciones de aguas abajo.

Para que el vertedero se comporte como de pared gruesa es necesario que el espesor b dela cresta sea mayor que los dos terceras partes de la carga

Hb32≥ (9-25)

puesto que si no se cumple esta condición el vertedero podría ser de pared delgada (verFigura 9.4) o de pared intermedia.

488


Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa

Se considera que la longitud máxima de b debe estar alrededor de H15

En el vertedero en pared gruesa mostrado en la Figura 9.16 se aprecia el perfil característico

de la superficie libre. La energía específica aguas arriba es gVH 220+ , la que debe ser

igual a la energía sobre la cresta, suponiendo que no haya fricción ni pérdidas de carga y que

el coeficiente α de Coriolis sea igual a 1. Por lo tanto,

gV

yg

VH

22

220 +=+

siendo V la velocidad media del flujo sobre la cresta. De la última ecuación se obtiene que la

velocidad media sobre la cresta es

−+= y

gV

HgV2

22

0

Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcrítico ( 1<F ). En la seccióncorrespondiente a la caída, al final de la cresta, se produce un flujo supercrítico 1>F . Enalgún lugar intermedio, como el mostrado se produce un flujo crítico.

2V

g

20

y

P

b

H

g2

2V

cy =

489


El flujo sobre el vertedero es crítico ( )cyy = . Es decir, que el flujo resuelve el cruce del

vertedero haciéndolo con el mínimo contenido de energía.

Si se tratase de una sección rectangular de ancho L , entonces

+==

gV

Hyy c 232 2

0 (9-26)

Por lo tanto, el gasto teórico sobre el vertedero es

−+

+== c

20

20

c y2gVH 2g

2gVH

32LVLyQ

De donde,

23

23

13,3 cc yLyLgQ == (9-27)

Esta fórmula se suele expresar en función de la energía de aguas arriba

23

20

23

2gV

HLg32Q

+

=

Si la velocidad de aproximación es muy pequeña y/o su efecto se considera indirectamente,entonces el gasto teórico es

23

23

32

LHgQ

= (9-28)

En el sistema métrico el gasto teórico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es

23

7,1 LHQ = (9-29)

En el sistema inglés sería

490


23

09,3 LHQ = (9-30)

Para obtener el gasto real deberá introducirse en la ecuación 9-29 un coeficiente de descarga

c . Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores

23

7,1 LHcQ = (9-31)

George E. Russell, presenta algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores,para diversos valores de longitud L del vertedero, del umbral P y de las condiciones delborde de aguas arriba del vertedero. Los resultados aparecen en la Tabla 9.3.

Si el nivel del flujo aguas abajo del vertedero fuese mayor que el de la cresta de éste, lascondiciones de cálculo serían diferentes.

TABLA 9.3COEFICIENTES EN VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA

EXPERIMENTADOR L P CARGA 1,7c

BORDE DE AGUAS ARRIBA REDONDEADO

Bazin

U.S. Deep Waterways Board

Woodburn

2

2

3

0,75

1,40

0,53

0,09 a 0,50

0,25 a 1,50

0,15 a 0,45

1,42 a 1,61

1,55

1,53 a 1,57

BORDE DE AGUAS ARRIBA AGUDO

Bazin

U.S. Deep Waterways Board

Woodburn

2

2

3

0,75

1,40

0,53

0,06 a 0,45

0,27 a 1,50

0,15 a 0,45

1,33 a 1,45

1,31 a 1,38

1,44 a 1,45

(Todas las dimensiones en metros)

9.9 Vertederos laterales

Los vertederos laterales son aberturas (escotaduras) que se hacen en una de las paredes(taludes) de un canal. Su función es la de evacuar el exceso de caudal. En consecuencia, sonaliviaderos. A continuación se presenta algunas nociones sobre estos vertederos.

En la Figura 9.17 se aprecia el esquema característico de un vertedero lateral de longitud Lpracticado en un canal con flujo subcrítico ( 1<F )

491


h0

H0 H1

h1h

HQ0 QP

L

i

Q1

Q 0

Q

1Q

x

Figura 9.17 Vertedero lateral

Se observa las líneas de corriente y su desvío como consecuencia del vertedero lateral, cuyo

caudal es conducido fuera del canal. En la Figura 9.17 se observa la longitud L del vertedero

y el umbral P . El caudal inicial en el canal es 0Q . El caudal que pasa por el vertedero es Qy el caudal remanente es 1Q . Evidentemente que Q es el exceso de caudal que se quiereeliminar del canal.

10 QQQ −=

0V es la velocidad correspondiente al caudal 0Q y 1V lo es del caudal 1Q , 0H es la carga

en el punto inicial del vertedero y 1H , es la carga en el punto final. H es la carga (variable)

en cualquier punto del vertedero a la distancia x del punto inicial. Como se trata de un

régimen subcrítico el valor de la carga h aumenta desde 0H hasta 1H en el punto final delvertedero, lo que puede comprobarse experimental y teóricamente suponiendo que la energíaes constante a lo largo de la cresta, tal como lo señala Balloffet. Se supone en la siguientededucción que la variación de la carga es lineal a lo largo del vertedero. Por lo tanto, la carga

492


a la distancia x del punto inicial es

xL

HHHH 01

0−+= (9-32)

El gasto es

dxxL

HHHgcQ

L 23

0

0102

32

∫

−+=

(9-33)

De donde,

01

25

025

1

HHHHL2gc

154Q

−−= (9-34)

Como longitud del vertedero puede considerarse la longitud efectiva, la que siguiendo el criterio

de Francis es 10nH

L − . Si el vertedero es muy largo, más de H10 , puede despreciarse el

efecto de las contracciones. El coeficiente c se obtiene experimentalmente.

9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error enla medición de la carga

a) Vertedero rectangular

La ecuación de descarga de un vertedero rectangular es

23

KHQ =

La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior

21

5,1 KHdHdQ =

de donde,

dHKHdQ 21

5,1=

comparando con el gasto se obtiene,

HdH

QdQ 5,1= (9-35)

493


Luego, un error, por ejemplo del 1 % en la medición de H , produciría un error de 1,5 % en elcálculo de Q .

b) Vertedero triangular

La ecuación de descarga de un vertedero triangular es

25

KHQ =

La variación del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuación anterior

dHKHdQ 23

5,2=

de donde,

HdH

QdQ 5,2= (9-36)

En consecuencia, un error del 1 % en la medición de H representará un error del 2,5 % en

el cálculo de Q .

9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero

El vaciamiento de un depósito se puede producir por medio de un vertedero de cualquier formay características. La condición de vaciamiento implica que el nivel de la superficie libre seadescendente. Se trata entonces de la descarga de un vertedero con carga variable. El caudalva disminuyendo paulatinamente. Este tipo de vertedero puede presentarse como aliviaderode presas.

Depósito

2H

H

H1

L

2H

H

H1

dH

Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero

Depósito

2H

H

H1

L

2H

H

H1

dH

494


En la Figura 9.18 se aprecia un vertedero rectangular de longitud L que realiza el vaciamiento

de un estanque, entre los niveles 1H (nivel inicial) y 2H (nivel final). H es una carga variable

comprendida entre 1H y 2H .

Consideremos que durante un intervalo de tiempo infinitamente pequeño dt , la carga H se

puede asumir, para efectos de aplicación de una de las fórmulas de vertederos, como si fuese

constante. El volumen descargado por el vertedero durante el tiempo dt debe ser

dtLHgcdV 23

232=

Este volumen descargado debe ser igual al producto del área de la sección transversal A del

depósito por dH , que es la variación de niveles. Luego,

AdHdtLHgc =23

232

(9-37)

Se está suponiendo que el área transversal A del estanque es constante. Sin embargo, en

muchos casos no lo es. El área A puede ser una función de la carga. Una posibilidad es queesta función pueda expresarse matemáticamente de un modo simple. Tal sería el caso, porejemplo, de paredes inclinadas 45º u otro ángulo. En los embalses naturales no existe esafunción matemática. Se recurre entonces a una sumatoria. También se está suponiendo queel coeficiente de descarga es constante. De la expresión 9-37 se obtiene por integración

∫∫∫ ==2

1

2

123

230 2

32

232

H

H

H

H

t

H

dH

Lgc

A

LHgc

AdHdt

Por lo tanto, el tiempo requerido para que el nivel de la superficie libre baje de 2H a 1H es

−=

12

11

232

2HHLgc

At

(9-38)

495


Obsérvese que si 2H tiende a cero, el tiempo requerido tenderá a infinito, lo que no concuerdacon la realidad. Esto se debe a que tanto la carga H como el área de descarga estaríanaproximándose a cero simultáneamente. En todo caso hay que recordar que las fórmulaspara el cálculo de la descarga de un vertedero sólo son aplicables a partir de una cierta cargamínima.

Cuando por una razón u otra no es posible integrar se debe recurrir a una sumatoria aplicandolas fórmulas conocidas en intervalos muy pequeños. Este método se emplea también cuando

el depósito tiene además el aporte de un caudal Q que a su vez puede ser función del

tiempo. La magnitud de los intervalos dependerá de la precisión buscada y de las característicasde la información disponible.

Ejemplo 9.2 Un depósito profundo tiene paredes verticales. La sección transversal es de 30 por 50metros. En una de las paredes se ha instalado un vertedero rectangular de 0,50 m de longitud. La crestadel vertedero es aguda y se encuentra en la cota 122,30 m. Considerar que el coeficiente de descargaes constante e igual a 0,6. Calcular: a) el tiempo necesario para que el nivel de la superficie libredescienda de la cota 122,50 m a la cota 122,35 m, b) el gasto instantáneo al principio y al final delintervalo, c) el caudal medio durante el intervalo.

Solución.

a) Aplicando la ecuación 9-38 se obtiene

−

×××

×=

−=

20,01

05,01

5,026,032

500 1211

232

2

12 gHHLgc

At

t = 7 576,7 segundos

b) La ecuación de descarga por el vertedero es (considerando 00 =V y sin contracción).

23

23

885,0232

HLHgcQ ==

Para la condición inicial H = 0,20 m y Q = 0,0792 l/s

Para la condición final H = 0,05 m y Q = 0,0099 l/s

c) El volumen total descargado es

( ) 22515,0503021 =××=− HHA m3

496


El caudal medio es

0297,07,576 7

225 ==TiempoVolumen m3/s

Para realizar el cálculo del tiempo de vaciamiento de un estanque mediante una sumatoria seprocede a elaborar una tabla como la 9.4 en la que sólo se ha presentado, como ejemplo, lasprimeras filas del cálculo correspondiente al ejemplo 9.2.

Se procede así

1. Se empieza por considerar n valores de la carga comprendidos entre 1H y 2H(columna 1). Para el ejemplo 9.2 estos valores podrían ser 0,20 m, 0,19 m, 0,18 m,etc.

2. Luego se calcula los correspondientes valores de H∆ , es decir, ( )12 HH − paracada dos valores sucesivos de la carga (columna 2).

3. A continuación se calcula la carga media del intervalo, que es ( )2121

HH +

(columna 3).

4. A partir de la carga media obtenida se calcula el correspondiente caudal de descarga,y se considera los coeficientes que resulten más apropiados (columna 4).

5. Ahora se calcula el volumen descargado que es igual al producto del área transversalcorrespondiente del estanque, la que puede ser variable, por la diferencia de carga(columna 5).

6. Para obtener el intervalo de tiempo correspondiente se encuentra la relación entreel volumen descargado y el correspondiente caudal (columna 6).

7. Finalmente, se acumula los tiempos parciales y se obtiene el tiempo total.

TABLA 9.4

EJEMPLO 9.2

1 2 3 4 5 6 7

H H∆ H Q Volumen t∆ t

0,19

0,18

0,17

0,01

0,01

0,01

0,195

0,185

0,175

0,0762

0,0704

0,0648

15

15

15

196,9

213,0

231,5

196,9

409,9

641,4

etc.

497


9.12 Vertedero sumergido

Se dice que un vertedero está sumergido cuando el nivel de aguas abajo es superior al de lacresta del vertedero. La condición de sumergencia no depende del vertedero en sí, sino de lascondiciones de flujo. Un mismo vertedero puede estar sumergido o no, según el caudal que sepresente. Las condiciones de aguas abajo, por ejemplo un remanso, pueden determinar queun vertedero quede sumergido. El vertedero sumergido puede ser de cualquier tipo o forma.

En la Figura 9.19 se observa un vertedero sumergido en el cual H es la diferencia de nivelentre la superficie libre de aguas arriba y la cresta del vertedero; h es la diferencia de nivelentre la superficie libre de aguas abajo y la cresta del vertedero. Se denomina sumergencia ala relación que existe entre h y H .

H

h

Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido

Los vertederos sumergidos se presentan en diversas estructuras hidráulicas. En ellas elvertedero actúa como un aliviadero, más que como un elemento de aforo. Las fórmulas para elcálculo de la descarga de un vertedero sumergido son menos precisas que las correspondientesa un vertedero libre, razón por la cual no se les usa para medir caudales.

Si la relación Hh , es decir la sumergencia, está próxima a la unidad o cuando es muy

pequeña, suele presentarse aguas abajo un flujo ondulado, como se aprecia en la Figura9.20. Es por eso que se recomienda hacer el cálculo sólo para

8,02,0 ≤≤Hh

(9-39)

498


Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajode un vertedero sumergido

Uno de los criterios más antiguos para determinar el caudal en un vertedero sumergido es elDu Buat, de 1816. Este método considera que el gasto total está formado por dos gastos

parciales. 1Q que es el que escurre a través de un vertedero libre virtual cuya cresta se

supone que coincide con el nivel de aguas abajo y 2Q que es el que escurre por un orificio

virtual cuya altura es la diferencia de nivel entre el de aguas abajo y la cresta del vertedero. Enconsecuencia, para un vertedero sumergido rectangular, de cresta aguda el gasto es

21

20 2

23

20

23

20 1 2

222

232

−++

−

−+= hg

VHLhgcg

Vhg

VHLgcQ (9-40)

1Q = vertedero libre 2Q = orificio

La precisión de esta fórmula dependerá de la precisión con la que se pueda determinar los

coeficientes 1c y 2c para este caso particular. Numerosos investigadores trataron de encontrar

dichos coeficientes, pero los resultados no fueron satisfactorios ni coincidentes. Se suele

considerar que 62,021 == cc , lo que si bien no tiene mayor justificación teórica resulta útil

para los cálculos prácticos.

Algunos autores, como Herschel, resuelven el problema de hallar la descarga en un vertederosumergido a partir de una modificación de la fórmula de Francis

( )23

84,1 NHLQ = (9-41)

499


en donde H es la carga del vertedero considerado como si fuese libre y N es un coeficiente

de reducción de la carga del vertedero supuesto libre, que depende de la sumergencia. Losvalores experimentales obtenidos aparecen en la Tabla 9.5.

TABLA 9.5

VALORES DE N PARA USARSE EN LA FORMULA 9-41

Hh

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0

0,1

1,000

1,005

1,004

1,003

1,006

1,002

1,006

1,000

1,007

0,998

1,007

0,996

1,007

0,994

1,006

0,992

1,006

0,989

1,005

0,987

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,985

0,959

0,929

0,892

0,846

0,787

0,982

0,956

0,926

0,888

0,841

0,780

0,980

0,953

0,922

0,884

0,836

0,773

0,977

0,950

0,919

0,880

0,830

3,766

0,975

0,947

0,915

0,875

0,824

0,758

0,972

0,944

0,912

0,871

0,818

0,750

0,970

0,941

0,908

0,866

0,813

0,742

0,967

0,938

0,904

0,861

0,806

0,732

0,964

0,935

0,900

0,856

0,800

0,723

0,961

0,932

0,896

0,851

0,794

0,714

0,8

0,9

0,703

0,574

0,692

0,557

0,681

0,539

0,669

0,520

0,656

0,498

0,644

0,471

0,631

0,441

0,618

0,402

0,604

0,352

0,590

0,275

Villemonte en 1947, en la Universidad de Wisconsin, estableció una fórmula genérica paravertederos sumergidos de diferente forma

385,0

1 1

−=

n

Hh

QQ (9-42)

n depende del tipo de vertedero (3/2 para vertedero rectangular, 5/2 para vertedero triangular,,

etc.), 1Q es el caudal que se produciría si el vertedero fuese libre.

500


Ejemplo 9.3 En un canal de 6,20 m de ancho en el que el tirante normal es de 1,10 m se instala unvertedero rectangular sin contracciones y con borde agudo de 0,80 m de umbral. La superficie libre sesobreeleva en 1 m. Determinar el caudal.

Solución.

H = 1,30 m

2,10 m

1,00 m

0,30 m

0,80 m

h = 0,30 m

1,10 m

g

V

2

20

Como no se conoce el caudal no se puede calcular 0V . Supongamos inicialmente que su valor es cero.

El gasto se obtiene a partir de la ecuación

21

23

)(262,0)(232

62,0 hHLhghHLgQ −+−=


Q = 11,35 (1,30 - 0,30) 3/2 + 5,11 (1,30 - 0,30)1/2

Q = 16,46 m3/s

Ahora se puede introducir el efecto de la velocidad de aproximación

26,110,220,6

46,160 =

×=V m/s o

oo 08,0

2

20 =g

V m

Q = 11,35 (1 + 0,08)3/2 + 5,11 (1 + 0,08)1/2

Q = 18,05 m3/s

Si usamos la fórmula de Francis con los coeficientes de Herschel se tiene

23,030,130,0 ==

Hh oo

o 977,0=N (Tabla 9.4)

501


77,17)38,1977,0(35,11)(84,1 23

23

=×== NHLQ m3/s

Si usamos la fórmula de Villemonte

[ ] 956,0)23,0(11 1385,0 2/3

1

385,0

1 ×=−=

−= QQ

Hh

QQn

4,1838,120,683,184,1 23

23

1 =××== LHQ m3/s

59,17956,04,18 =×=Q m3/s

CUADRO COMPARATIVO

FORMULA RESULTADO

Fórmula completa

Francis – Herschel

Villemonte

18,05 m3/s

17,77 m3/s

17,59 m3/s

Promedio 17,8 m3/s

502



(Capítulo IX)

1. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Deducir una expresión para lavelocidad media, en función de la carga, para una sección transversal correspondiente a lazona de máxima contracción.

2. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Calcular la carga que debe tener elvertedero para que la velocidad en el eje de la napa vertiente en la zona de máxima contracciónsea de 0,80 m/s.

3. En un canal de 7,20 m de ancho se ha colocado un vertedero rectangular en pared delgadade 3,20 m de largo. El umbral es de 2,0 m.

Si la carga es 0,61 m calcular el caudal usando varias fórmulas; discutir su aplicabilidad,preparar un cuadro comparativo de los resultados considerando el efecto de la contracción.

Calcular la longitud adicional que debería tener el vertedero para compensar el efecto de lascontracciones.

4. En un canal de 3,20 m de ancho se ha instalado a todo lo ancho un vertedero rectangular enpared delgada de 2 m de alto. Se ha medido la carga y se obtuvo 0,61 m. Calcular el caudal.Usar varias fórmulas, discutir su aplicabilidad y preparar un cuadro comparativo de losresultados.

5. Calcular el ancho que debe tener un canal rectangular que tiene un caudal de 12 m3/s, paraque al colocar un vertedero cuyo umbral tiene una altura de 1 m , la superficie libre se eleve0,20 m por encima de la cresta. Considerar que el vertedero es de cresta aguda y que el flujode aguas abajo no influye en la descarga sobre el vertedero.

¿Si la sobreelevación fuese de 0,70 m cuál debería ser el ancho? Comentar las diferenciasen el cálculo de ambos casos a propósito de la consideración de la velocidad de aproximación.

6. Un canal rectangular de 2 m de ancho tiene una pendiente de 0,0007 y un coeficiente C deChezy de 53 m1/2/s.

Si se coloca un vertedero, sin contracciones, de 1,20 m de umbral y cresta aguda, la cargasería de 0,60 m. ¿Cuál debería ser el ancho del canal para que conservando el mismo tirantenormal se comporte como de máxima eficiencia hidráulica?

503


7. En un canal de 1,20 m de ancho que tieneun caudal de 500 l/s se va a instalar unaplaca como la mostrada en la figura, la queda lugar a un orificio y a un vertedero. Si laplaca tiene 0,75 m de alto, calcular laabertura a del fondo para que el orificio yel vertedero descarguen el mismo caudal.

8. En la figura se muestra dos tanques comunicados por un orificio. El sistema es alimentado demodo que ingresan 500 l/s. El tanque A tiene un vertedero rectangular en pared delgada de0,80 m de longitud, que descarga libremente. El tanque B tiene un vertedero triangular de 60º.Las cotas respectivas se muestran en el dibujo. Se pide: a) ¿cuál es la descarga de cadavertedero, si el diámetro del orificio es de 8’’?; b) ¿cuál debe ser el diámetro del orificio paraque ambos vertederos descarguen el mismo caudal?

109,00

108,00

100,80100,00

A B

9. El agua que pasa a través de un vertedero triangular de 90º es recogida en un tanque cilíndricode 0,80 m de diámetro. Se encontró que para una carga de 0,25 m sobre el vertedero el niveldel agua en el tanque cilíndrico aumenta 0,352 m en 4 segundos. Hallar el coeficiente dedescarga del vertedero.

10. La expresión general del flujo por un vertedero triangular es del tipo

= θ

νφ ,

2 gHHgHHQ

expresión en la que

H : es la carga, ν : la viscosidad cinemática, θ : es el ángulo del vertedero.

0,75

H

a

504

Experimentos llevados a cabo para el agua en un vertedero de 90º dieron la fórmula

5,2386,1 HQ =

Aplicando la similitud dinámica demostrar que el porcentaje de error que representa el uso dela fórmula práctica para medir el gasto, cuando el fluido es un líquido cuya viscosidad cinemáticaes 12 veces la del agua, será del 5 % por defecto.

11. Un fluido de viscosidad cinemática ν pasa a través de un vertedero triangular, de un cierto

ángulo, con el objeto de calcular la descarga Q conociendo la altura H .

Demostrar por medio del análisis dimensional que

=

νϕ

21

23

21

25

gH

gH

Q

Para un vertedero con un ángulo de 30º la descarga viene dada por la expresión

5,2392,0 HQ =

Hallar el gasto en un vertedero similar por el que pasa un fluido que tiene una viscosidadcinemática seis veces mayor que la del agua, cuando la carga H es de 25 cm.

12. Se tiene un vertedero triangular en el que el caudal viene dado por la expresión 2/56,0 HQ = .

Determinar la precisión con la que debe medirse la carga para que el error resultante norepercuta en un error superior al 1 % al calcular el gasto.

13. Determinar la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura

45º

0,90 m

60º0,50 m

45º

0,90 m

60º0,50 m

505

14. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura, para una carga de0,12 m.

0,12 m

0,25 m

30º

15. Calcular la descarga teórica del vertedero mostrado en la figura, cuyo ancho en la base es1,23 m.

1,23 m

60ºH = 1 m

x

y

2y = x

16. Deducir la ecuación del gasto en función de la carga para un vertedero de sección parabólica.

17. La fórmula de descarga teórica de un vertedero es 27cHQ = . Establecer la forma del

vertedero y la ecuación respectiva.

18. Un vertedero rectangular y un vertedero triangular de 90º están colocados en serie en uncanal. El vertedero rectangular tiene 2,0 m de longitud. Calcular la carga sobre el vertederotriangular, si para un caudal de 50 l/s la carga sobre el vertedero rectangular es de 0,1 m.

19. En un canal de 9 m de ancho hay un caudal de 18 m 3/s. Se va a colocar un vertedero a todo loancho del canal, de modo de producir una sobreelevación de 0,40 m en el nivel del agua. Lavelocidad de aproximación al vertedero debe ser de 0,50 m/s. Calcular la altura que debetener el umbral del vertedero.

1,23 m

60ºH = 1 m

x

y

2y = x

506

TABLAS GENERALES

TABLA 1

TABLA DE DIMENSIONES

SISTEMA

ABSOLUTO

SISTEMA

GRAVITACIONAL CANTIDADES

MLT FLT

LONGITUD

AREA

VOLUMEN

TIEMPO

VELOCIDAD

VELOCIDAD ANGULAR

ACELERACIÓN LINEAL

VISCOSIDAD CINEMATICA

GASTO

MASA

FUERZA

DENSIDAD

PESO ESPECIFICO

VISCOSIDAD DINAMICA

TENSION SUPERFICIAL

MODULO DE ELASTICIDAD

PRESION

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

ENERGIA (Y TRABAJO)

POTENCIA

L

L2

L3

T

LT -1

T-1

LT -2

L2 T-1

L3 T-1

M

MLT-2

ML-2 T-2

ML-1 T-1

MT-2

ML-1 T-2

ML-1 T-2

MLT-1

ML2 T-2

ML2 T-3

L

L2

L3

T

LT -1

T-1

LT -2

L2 T-1

L3 T-1

FT2 L-1

F

FT2 L-4

FL -3

FTL -2

FL -1

FL -2

FL -2

FT

LF

LFT -1

507

TABLA 2

PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA

Temperatura

T

(ºC)

Densidad ρ

(Kg - s2/m4)

Peso

específico γ

(Kg/m3)

Viscosidad

dinámica µ

(Kg - s/m2)

Viscosidad

cinemática

ν

(m2/s)

0,0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

101,94

101,94

101,94

101,94

101,74

101,63

101,53

101,33

101,12

100,92

100,71

100,51

100,31

100,00

99,69

99,39

98,98

98,67

98,37

98,06

97,66

1 000

1 000

1 000

1 000

998

997

996

994

992

990

988

986

984

981

978

975

971

968

965

962

958

1,81 x 10 -4

1,55 x 10 -4

1,33 x 10 -4

1,17 x 10 -4

1,04 x 10 -4

0,909 x 10-4

0,815 x 10-4

0,732 x 10-4

0,663 x 10-4

0,606 x 10-4

0,552 x 10-4

0,508 x 10-4

0,468 x 10-4

0,439 x 10-4

0,410 x 10-4

0,381 x 10-4

0,356 x 10-4

0,336 x 10-4

0,317 x 10-4

0,298 x 10-4

0,287 x 10-4

1,78 x 10 -6

1,52 x 10 -6

1,30 x 10 -6

1,15 x 10 -6

1,02 x 10 -6

0,894 x 10-6

0,803 x 10-6

0,722 x 10-6

0,656 x 10-6

0,600 x 10-6

0,548 x 10-6

0,505 x 10-6

0,467 x 10-6

0,439 x 10-6

0,411 x 10-6

0,383 x 10-6

0,360 x 10-6

0,341 x 10-6

0,322 x 10-6

0,304 x 10-6

0,294 x 10-6

508

TABLA 3

PROPIEDADES FISICAS DEL AIRE(a la presión atmosférica)

Temperatura

T

(ºC)

Densidad ρ

(gr - masa/cm3)

Viscosidad

absoluta µ

(dina - s/cm2)

Viscosidad

cinemática

ν

(cm2/s)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1,293 x 10-3

1,093

0,946

0,834

0,746

0,675

0,616

0,567

0,525

0,488

0,457

1,709 x 10 -4

1,951

2,175

2,385

2,582

2,770

2,946

3,113

3,277

3,433

3,583

0,1322

0,1785

0,2299

0,2860

0,3461

0,4104

0,4782

0,5490

0,6246

0,7035

0,7840

509

BIBLIOGRAFIA

AGUIRRE PE, Julián Hidráulica de canales CIDIAT, Mérida, Venezuela, 1974.

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WEYRAUCH, R. Hydraulisches Rechnen Stuttgart, 1912.

512

ARTURO ROCHA FELICES

PUBLICACIONES

LIBROS

- Introducción a la Hidráulica Fluvial, publicado por la Facultad de IngenieríaCivil de la Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, 1998.

- Agua para Lima en el Siglo XXI, publicado por el Consejo Departamental deLima del Colegio de Ingenieros del Perú, junio, 1996.

- Recursos Hidráulicos, publicado por el Colegio de Ingenieros del Perú, Capítulode Ingeniería Civil. Colección del Ingeniero Civil (Libro 16), Lima, 1993.

- Seminario: Diseño de Presas de Tierra, con otros autores. Capítulocorrespondiente a Sedimentación dentro del Embalse, publicado por el ComitéPeruano de Grandes Presas, Lima, 1993.

- Transporte de Sedimentos Aplicado al Diseño de Estructuras Hidráulicas,publicado por el Colegio de Ingenieros del Perú, Capítulo de Ingeniería Civil.Colección del Ingeniero Civil (Libro 1), Lima, 1990.

- Wasserableitungen aus Flüssen mit Sedimentbewegung, tesis doctoral.Universidad de Hannover. Memorias del Instituto Franzius, Hannover, Volumen35, 1970.

- Transporte de Sedimentos, coautor, publicado por el Departamento deHidráulica e Hidrología, Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, 1969.

FOLLETOS

- Curso Corto sobre Sedimentos, publicado con ocasión del curso organizadopor el Instituto Interamericano de Ciencias Agrícolas (IICA), Buenos Aires, 1978.

- Introducción Teórica al Estudio de Bocatomas. Lima, 1978.- Control de Avenidas, publicado por la Dirección General de Aguas con ocasión

del Segundo Curso Nacional sobre Operación, Conservación y Desarrollo deDistritos de Riego, Lima, 1973.

- Modelos Fluviales de Lecho Móvil, publicado como Boletín Técnico 4-007por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, Lima, noviembre de 1966.

- Selección de Escalas para un Modelo de Lecho Móvil por medio de laComputación Electrónica, ponencia presentada al II Congreso Latinoamericanode Hidráulica (Caracas, 1966) y publicada en las Memorias del Congreso yreproducida como Boletín Técnico 4-006, por el Laboratorio Nacional deHidráulica, Lima, agosto de 1966.

513

- Sobre la Influencia de la Aceleración Complementaria de Coriolis en losModelos Hidráulicos, publicado como Boletín Técnico 4-003, por el LaboratorioNacional de Hidráulica, Lima, febrero de 1966.

- Consideraciones Generales sobre los Modelos Hidráulicos, publicado comoBoletín Técnico 4-002, por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, Lima, diciembrede 1965.

- Incorporador de Sedimentos a un Modelo de Lecho Móvil, publicado comoBoletín Técnico 4-001, por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, Lima, noviembrede 1965.

PONENCIAS EN EVENTOS INTERNACIONALES

- La problemática de la sedimentación de embalses en el aprovechamientode los ríos peruanos, aplicada al embalse de Poechos. Primer CongresoInternacional de Hidráulica, Hidrología, Saneamiento y Medio Ambiente, HIDRO2006. Lima, 2006.

- Aspectos sedimentológicos del Manejo de Cuencas en zonas áridassujetas al Fenómeno de El Niño. II Simposio Latinoamericano de Control dela Erosión. Lima 2004.

- Las Grandes Obras de Riego en la Costa Peruana, ponencia presentada alI Encuentro de las Ingenierías Civiles Iberoamericanas, publicada en lasMemorias, Cáceres, España, mayo, 1992.

- Problemática de la Sedimentación en los Proyectos de Irrigación, ponenciapresentada al VII Seminario Latinoamericano de Riego y Drenaje (Santiago deChile, diciembre 1983), publicada en las Memorias del Seminario y reproducidaen la revista El Ingeniero Civil, Nº 46, Ene-Feb. 1987.

- Parámetros Descriptivos de la Distribución de Sólidos en una Bifurcación,publicada en las Memorias Post Congreso del V Congreso Latinoamericano deHidráulica, Lima, 1972.

- Discurso Inaugural del V Congreso Latinoamericano de Hidráulica,publicado en las Memorias del Congreso, Lima, 1972.

- Distribution de Materiel Solide dans le Bifurcations des lits alluvionnaires,ponencia presentada al XIV Congreso Mundial de la Asociación Internacional deInvestigaciones Hidráulicas (I.A.H.R.), publicada en las Memorias del Congreso,París, 1971.

- Sobre la Determinación del Coeficiente de Rizos, coautor, ponenciapresentada al III Congreso Latinoamericano de Hidráulica (Buenos Aires, 1968),publicada en las Memorias del Congreso y reproducida como Boletín Técnico 4-009, por el Laboratorio Nacional de Hidráulica, enero de 1969.

514

PONENCIAS EN EVENTOS NACIONALES

- El dinamismo fluvial y la seguridad de las obras viales frente a eventoshidrometeorológicos extremos: Meganiños y sequías. V Congreso «Obrasde Infraestructura Vial» I. C. G. Julio, 2006.

- La inundación de Zaña de 1720. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil.Iquitos, 2003.

- Aspectos sedimentológicos del manejo de cuencas en zonas áridas sujetasal Fenómeno de El Niño. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos,2003.

- Caracterización hidrometeorológica de los Meganiños en la costa norteperuana. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003 y reproducidoen la revista El Ingeniero Civil N° 135 Set.-Oct. 2004.

- El Riesgo Sedimentológico (E.R.S.) en los proyectos de embalse. XICongreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003.

- Consideraciones de diseño de estructuras hidráulicas sujetas al Fenómenode El Niño. XI Congreso Nacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003 y reproducidoen la revista COSTOS Año 09 Edición 118 Enero 2004.

- Algunas reflexiones sobre la formación del ingeniero civil. XI CongresoNacional de Ingeniería Civil. Iquitos, 2003.

- Interacción del comportamiento fluvial y las obras viales durante elFenómeno de El Niño. II Congreso Nacional de Obras de Infraestructura Vial.ICG. Lima, 2003.

- Los modelos como herramienta valiosa para el diseño hidráulico.Conferencia dictada en el ciclo organizado por el Laboratorio Nacional deHidráulica y publicada en las Memorias. Febrero 2003.

- El Impacto del Fenómeno de El Niño en las Estructuras Hidráulicas,conferencia dictada en el I Foro Regional de Ingeniería Civil del Norte Peruano,publicada en El Ingeniero Civil N° 116, mayo-junio del 2000.

- Bases para la Formación del Ingeniero Civil del Futuro, ponencia presentadaal X Congreso Nacional de Ingeniería Civil, con otros autores, publicada en ElIngeniero Civil, Nº 94, Ene-Feb. 1995.

- El Desarrollo de la Región Grau y el Convenio Peruano-Ecuatoriano deAprovechamiento Hidrográfico Conjunto , ponencia presentada al VIIICongreso Nacional de Ingeniería Civil (setiembre, 1990), publicada en lasMemorias del Congreso y reproducida en la revista El Ingeniero Civil, Nº 69,Nov-Dic. 1990.

- ¿Qué pasa con los Grandes Proyectos de Irrigación de la Costa Peruana?,ponencia presentada al Fórum Ingeniería Civil para el Desarrollo Nacional.Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Nacional de Ingeniería, marzo, 1987Revista El Civil, N° 3 Agosto, 1988.

- Los Recursos Naturales en la Constitución Política del Perú, ponenciapresentada al VI Congreso Nacional de Ingeniería Civil (1986) y expuesta en elFórum Los Recursos Naturales y la Ingeniería en el Desarrollo del País,organizado por el Colegio de Ingenieros del Perú, abril, 1985.

515

- Sedimentación Acelerada de Embalses, ponencia presentada al IV CongresoNacional de Ingeniería Civil (noviembre 1982), publicada en las Memorias delCongreso y reproducida en la revista El Ingeniero Civil, Nº 25, Jul-Ago. 1983.

- Algunos Aspectos de la Erosión, Transporte y Control de Sedimentos enel Río Amarillo (China), Aplicables a la Realidad Peruana, ponenciapresentada al II Congreso Nacional de Ingeniería (marzo, 1981), publicada enlas Memorias del Congreso y reproducida por la revista Ingeniería, Nº 12, delColegio de Ingenieros del Perú (mayo, 1982).

- El problema de los sedimentos en los ríos peruanos. II Congreso Nacionalde Ingeniería Civil, Arequipa 1978.

- Aspectos Hidráulicos del Control de Avenidas, Simposium Deslizamientos(Huaicos) e Inundaciones, Colegio de Ingenieros del Perú, Lima, 1972.

ARTICULOS EN REVISTAS

- La costa norte peruana y su vulnerabilidad frente al Fenómeno de El Niño.Revista Técnica del Capítulo de Ingeniería Civil del Colegio de Ingenieros delPerú-CDL, Año 8 N° 29, 2006.

- Análisis del comportamiento de los sólidos en una bifurcación. RevistaTécnica de la Facultad de Ingeniería Civil, UNI, Año 2, N° 3- Noviembre 2005.

- La bocatoma, estructura clave en un proyecto de aprovechamientohidráulico. Revista Técnica de la Facultad de Ingeniería Civil, UNI, Año 01, N° 2,Noviembre 2005.

- La Ingeniería frente al Fenómeno de El Niño, Revista Técnica de la Facultadde Ingeniería Civil, UNI, Año 01, N° 3, 2003.

- El Meganiño de 1578 Revista Técnica del Capítulo de Ingeniería Civil del Colegiode Ingenieros del Perú-CDL, Año 6-N° 28, 2002.

- El agua, recurso vital propiedad de todos, Revista Técnica del Capítulo deIngeniería Civil del Colegio de Ingenieros del Perú-CDL, Año 6 N° 27, 2002.

- El impacto del Fenómeno de El Niño en las estructuras hidráulicas, I ForoRegional de Ingeniería Civil del Norte Peruano, Colegio de Ingenieros del Perú.Publicado en la revista El Ingeniero Civil, Nº 116, May-Jun. 2000.

- Ingeniería y Recursos Hidráulicos, publicado en el Boletín N°1 de la AcademiaPeruana de Ingeniería, enero del 2000.

- Como se aprende en Hidráulica, publicado en la revista Presas y Reservorios,órgano del Comité Peruano de Grandes Presas. Año 3, N° 003, diciembre 1996.

- Agua para Lima el año 2025, publicado en la revista El Ingeniero Civil, Nº 103,Jul-Ago. 1996.

- La explosión demográfica, publicado en la revista El Ingeniero de Lima, órganodel Consejo Departamental de Lima del Colegio de Ingenieros del Perú, año 3N° 8, julio 1996.

- Regularización y Control de Ríos, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 95, Mar-Abr. 1995.

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- Aguas e Irrigación, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 90, May-Jun. 1994.- Algunas Reflexiones sobre el Censo del 11 de julio de 1993, publicado en

El Ingeniero Civil, Nº 88, Ene-Feb. 1994.- El Hombre y el Agua, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 85, Jul-Ago. 1993.- Editorial, Comité Peruano de Grandes Presas, Boletín Nº 2. Lima, 1992.- El Desembalse de Poechos, publicado en El Ingeniero Civil, Nº 81, Nov-Dic.

1992.- I Encuentro de las Ingenierías Civiles Iberoamericanas, publicado en la

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- Puyango-Tumbes Veinte Años Después, publicado en El Ingeniero Civil, Nº79, Jul-Ago 1992 y, Nº 80, Set-Oct. 1992.

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b-htc-completo.pdf

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