Ayudanta 2

Estructuras Algebraicas MAT-214Entrega: 02/04/15 Ayudante: Yerko Torres

P1) Sea G un grupo, pruebe que:

a) Si a, c G entonces |a| = |a1| y |a| = |cac1|.b) Si x G tiene orden impar entonces x = (x2)k para algun k Z+ .c) Si |G| = 2k para algun k natural, entonces G contiene un elemento de orden 2.(Ver Ayudanta 1).P2) Sea G un grupo abeliano de orden pq con mcd(p, q) = 1 y asuma que existen a, b G tales que|a| = p y |b| = q, entonces pruebe que G debe ser cclico.

P3) Diga si es verdadera o falsa la siguiente proposicion :

Si el orden de dos elementos de un grupo es finito El producto de estos es de orden finito.

P4) Si G es cclico de orden n y k|n, entonces G tiene un unico grupo de orden k.

P5) Definamos el grupo multiplicativo de Z/nZ

(Z/nZ) = {[a] Z/nZ : [c] Z/nZ tal que [a][c] = [1]}

a) Pruebe que efectivamente (Z/nZ) es un grupo bajo la multiplicacion de clases.

b) Sean a, n Z tales que mcd(a, n) = 1 entonces puebe que existe un c Z tal que ac 1 (mod n).c) Pruebe que si p es un numero primo entonces Z/pZ {[0]} = (Z/pZ).d) Muestre que (Z/2nZ) para n 3 no es cclico.[Hint] En b) puede ser util investigar sobre la identidad de Bezout y para d) encuentre dos gruposdistintos de orden 2.

TAREA

I) [Entrega] Consideremos Q Q = {(p, q) : p, q Q} y definamos una operacion suma de forma quepara (p1, q1), (p2, q2) QQ,

(p1, q1) + (p2, q2) = (p1 + p2, q1 + q2)

ademas es facil ver que esta operacion esta bien definida, de este modo pruebe que:

a) QQ bajo la suma definida anteriormente es un grupo.b) Pruebe que Z Z es subgrupo de QQ.c) Pruebe que el grupo QQ no es cclico.

II) [Expone] Sea G un grupo con una cantidad finita de subgrupos.

a) Pruebe que el orden de todo elemento de G es finito.

b) Pruebe que G debe ser un grupo finito.

1