ay t mod5
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56
57Álgebra y trigonometría
El número es una conquista del pensamiento humano.
2Potenciación yradicación
Módulo 5 Leyes de los exponentes y los
radicales Racionalización
EjerciciosCapítulo 2, módulo 5
Capítulo 2
Presentación
En álgebra es esencial manejar cierto tipo de operaciones con el fin de cambiar oreducir determinadas expresiones algebraicas.
Se entenderá por expresión algebraica una expresión que está formada por constan-tes y variables y por operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, divi-sión, potenciación y radicación.
Se entenderá por constante cualquier símbolo que se utiliza para nombrar exacta-mente una cosa; una variable es cualquier símbolo usado como concepto válidopara constantes tomadas de un conjunto de referencia.
En este capítulo se definirán los conceptos de exponenciación y radicación en losnúmeros reales.
Contenido breve
58
59Álgebra y trigonometría
Leyes de los exponentes y los radicales Racionalización
Introducción
En este módulo se le dará significado a expresiones como ,p
qa donde a, p, q sonnúmeros, y se enunciarán las leyes que los rigen. Esta nueva notación nos permiteobtener «economía» de símbolos al expresar grandes números. Con esta notación,
10010 es una representación breve para un número que en la notación usual requiere
de 101 cifras. Se estudiará también el concepto de racionalización.
Objetivos
1. Definir el concepto de base y exponente en los números reales.2. Establecer las propiedades de los exponentes.3. Definir el concepto de raíz enésima.4. Definir el concepto de racionalización.
Preguntas básicas1. ¿Qué significa racionalizar una expresión?2. ¿Qué es la raíz cuadrada de un número?3.¿ Qué es base y qué es exponente?4. ¿Cuáles son las principales leyes de los exponentes?
Contenido
5.1 Exponentes5.2 Propiedades de los exponentes5.3 Raíz enésima5.4 Exponentes racionales5.5 Radicales5.6 Racionalización5.7 Factor racionalizador
Vea el módulo 5 delprograma de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/
5Alejandría
Por el año 300 a. C. la ciudad griega de Alejandría, fundadapor Alejandro Magno en la costa mediterránea de Egipto,era la urbe más grande del mundo. Tenía avenidas de 30metros de ancho, un magnífico puerto y un gigantesco faropara anunciar a los marinos que allí se dirigían que seacercaban a su destino. El faro fue una de las siete maravillasdel mundo antiguo.
Alejandría era una ciudad cosmopolita donde convivían enpaz ciudadanos de muchas nacionalidades; era el lugar idealpara un centro internacional de investigación. Ese centroera la biblioteca y museo de Alejandría. El museo, un lugardedicado a las especialidades de las nueve musas, era elcentro de investigaciones propiamente dicho. La bibliotecase guiaba por el ideal de reunir una colección de libros delmundo con obras griegas y traducciones al griego de obrasescritas originalmente en otras lenguas del Mediterráneo,el Medio Oriente y la India.
60
5.1 Exponentes
Sean a un número real y n un entero positivo, entonces:
1. · · ... ,na a a a a n= veces.
2. 0 1a = , con 0,a ≠ 00 no está definido.
3.1
,n
na
a− = con 0.a ≠
5.2 Propiedades de los exponentes
Si m y n son enteros y a y b son números reales, entonces:
1. · .m n m na a a +=
2. ( ) . .mn n ma a=
3. , con 0.m m
m
a ab
b b⎛ ⎞ = ≠⎜ ⎟⎝ ⎠
4. ( )· · .m m ma b a b=
5. , con 0.1
m nm
n
n m
aa
aa
a
−
−
⎧⎪= ≠⎨⎪⎩
Para que las definiciones anteriores sean razonables, no se define 00 . Si se tratara de
definir se llegaría a situaciones como las que denota el siguiente ejemplo:0 2 0 2 20 · 0 0 0 0 0 0.+= = = × = O sea que como 20 0,= entonces 00 podría ser cual-
quier número real y por tanto no estaría determinado de forma única.
Ejemplo 1
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16; 230 = 1.
33
17 .
7− = ;
5 7 5 72
1· .a a a
a− −= =
55
1.a
a− = ; ( ) 32
6
1.a
a
−=
( )3 3 3· · .a b a b= ;7 7
7.
a a
b b⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
5.3 Raíz enésima
La raíz cuadrada de un número b es un número r tal que r2 = b. La raíz cúbica de unnúmero b es un número r tal que r3 = b. Se dirá, en general, que r es una raíz enésimade b si rn = b.
Capitulo 2: Potenciación y radicación
Escuche La historia deAlejandría en su multimedia de
Álgebra y trigonometría
61Álgebra y trigonometría
Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - RacionalizaciónEjemplo 2
2 y –2 son dos raíces cuartas de 16.
4− no tiene raíz cuadrada real porque no existe ningún número real a que cumpla
que 2 4.a = −
Si n N∈ y ,b R∈ se dice que 1/ nb en una raíz enésima de b.
Si n es par y b es positivo, entonces 1/ nb representa la raíz enésima real positiva de
b, y 1/ nb− representa la raíz enésima real negativa de b. Hay que hacer notar que
1/( ) nb− no representa un número real.
Si n es impar y b es positivo o negativo, entonces 1/ nb representa la raíz enésima real
de b. Para todo n perteneciente a los enteros positivos, 1/0 0.n =
Ejemplo 3
¿Cómo podría definirse un símbolo como 2/ 37 ?
Solución
Como las propiedades de los exponentes son válidas para exponentes racionales,se tiene que:
( )22 / 3 1/ 37 7 .=
O sea que la expresión anterior representa el cuadrado de la raíz cúbica de 7. Loanterior motiva la siguiente definición:
5.4 Exponentes racionales
Sean m y n enteros positivos y b cualquier número real, con excepción de que b nopuede ser negativo cuando n es par, entonces:
1. ( ) ( )1/1/ .m
m nn mnb b b= =
2.1
.m
nm
n
b
b
−=
5.5 Radicales
Para n mayor que 1 y entero y b número real, excepto que b sea negativo cuando n
es par, se define la raíz enésima de b como b1/n y se denota como .n b
62
Capitulo 2: Potenciación y radicación
El símbolo se llama radical.El símbolo n se llama índice.El símbolo b se llama radicando.
De lo anterior se concluye que:
1. ( )1
.m
nm mn nb b b= =
2. ( )1
.
mm mnn nb b b
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
Las expresiones radicales gozan de las siguientes propiedades:
1. .n nx x=2. · .nn nxy x y=
3. .n
nn
x x
y y=
4. . .m n m nx x=
Las propiedades de los radicales proporcionan medios para cambiar gran variedadde expresiones algebraicas que contienen radicales a formas equivalentes. Se diceque una expresión algebraica que contiene radicales está simplificada o en la formaradical más simple, si se satisfacen las siguientes condiciones:
1. El radicando no contiene ningún factor con exponente mayor o igual alíndice del radical.
2. El exponente del radicando y el índice del radical no tienen otro factor comúnaparte del 1.
3. No aparece ninguna fracción dentro del radical.4. No aparece ningún radical en el denominador.
Ejemplo 4
Escriba en la forma radical más simple la expresión 3 5 212 .x y z
Solución
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 23 5 2 2 4 2 2 2 212 4 3 2 3 2 3 2 3 .x y z x y z xy xy z xy xy z xy xy z xy= = = =
5.6 Racionalización
Racionalizar una expresión algebraica que contiene radicales en un denominadorconsiste en eliminar los radicales en un denominador.
63Álgebra y trigonometría
Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización
Escuche Los grandes números ensu multimedia de Álgebra y
trigonometría
Las expresiones algebraicas que contienen denominadores se suman, se restan ymultiplican siguiendo las mismas reglas empleadas para las operaciones con frac-ciones de números reales, es decir:
· ·,
a c a d b c
b d bd
++ = con b y d diferentes de cero.
·· ,
·
a c a c
b d b d= con b y d diferentes de cero.
·,
·
a c a d
b d b c÷ = con b y c diferentes de cero.
· · .a c
a d b cb d
= ⇔ =
·,
·
k a a
k b b= con k diferente de cero.
En las anteriores igualdades, a , b, c, d representan expresiones algebraicas.
Ejemplo 5
Racionalice la expresión 2
3
6.
9
x
x
Solución
32 2 2
3 3 3 2
6 6 3·
9 9 3
x x x
x x x= (¿Por qué?).
( )
3 3 32 2 2 2 2 2
3 3 33
6 3 6 3 6 3
327 3
x x x x x x
xx x= = =
3 22 3 .x x=
Ejemplo 6
Simplifique 4 43 3 5 327 3 .a b a b
64
Capitulo 2: Potenciación y radicaciónSolución
( )( )
( )( )
( )
4 43 3 5 3 3 3 5 34
4 8 6
42 24
4 42 24
1/ 442 2 2 2
2
27 3 27 3
81
3
3
3 3
3
a b a b a b a b
a b
a b b
a b b
a b b a b b
a
=
=
=
=
= =
= 1/ 2
2
·
3 .
b b
a b b=
5.7 Factor racionalizador
Una expresión con radicales se llama factor racionalizador de otra expresión conradicales, si su producto es libre de radicales.
Ejemplo 7
3 1− es factor racionalizador de 3 1+ porque ( )( )3 1 3 1 2.− + =
a x b y+ es factor racionalizador de a x b y− (¿Por qué?).
Ejemplo 8
3 3x y− es factor racionalizador de 3 2 23 33x x y y+ + porque su producto es
.x y−
Ejemplo 9
Racionalice la siguiente expresión: .a b
a b
+−
Solución
Notemos que a b+ es un factor racionalizador del denominador, pues
( )( ) .a b a b a b+ − = −
Multiplicando el numerador y el denominador por el factor racionalizador se obtiene:
( )( ) 2.
( )( )
a b a b a b a a b b
a ba b a b a b
+ + + + += =−− − +
65Álgebra y trigonometría
Ejemplo 10
Simplifique y exprese con exponentes positivos
1112 432
2 2 2.
ay bx y
x y a b
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Solución
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 21 1 1 2 2 23 3 32 2 2 4 4 4
1 1 1 1 1 2 11 1 1 1 13 2 3 2 2 3 22 2 6 6 3
13
16
1112 432
2 2 2
.
ay bx ya y x b x y y a b
x y a b
a b x y b x y
y
xb
−− − −
− − − +− − −
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =
=
Ejemplo 11
Simplifique y exprese con exponentes positivos
312 1 4
1 3.
n n
n
a a b
a ab
+
+
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Solución31 31 34
84 1 3 118 82 2
1 1 14 4
2 1 2
1 3.
n n
n
n
n
a a b a a a baa b a b
a ab a baa
+
+
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ejemplo 12
Simplifique y exprese con exponentes positivos
( )1
2 2
2
2
.
ab
a b
b
a b
ab b
x y
x
y
+
−
−
+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Solución
( ) 2
1 2 22 2
2
22 2
.
aab bb
a b
a ba b a b
bba b a b b b
a b ba b
ab b
x y x y y x y y x x
yx yxx
y
++
−+ +
−− −
−−
+
⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización
66
Ejemplo 13
Simplifique y exprese con exponentes positivos
3
1
2 2 7 3 9.
2 2 1 9 27
n n a a
an n a a
+
+
− + +÷
− + +
Solución
( )( )
( )( )
( )
1
1
3 3
1 1
3
2 2 7 3 9 2 2 7 9 27
2 2 1 9 27 2 2 1 3 9
2 2 1 7 9 1 3
2 2 1 1 3 1 3
7 2 1 97 3 21.
32 1
a
a
n n a a n n a a
an n a a n n a a
n a a
n a a
n
n
+ +
+ +
⎛ ⎞− + + − + +÷ = ⋅⎜ ⎟− + + − + +⎝ ⎠
⎛ ⎞− + +⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟− + +⎝ ⎠
+= ⋅ = ⋅ =
+
Ejemplo 14
Simplifique y exprese con exponentes positivos
( ) ( )
( )
2 2
22
.
1
x x x x
x xx x
x x
a a a a
a aa a
a a
− −
−−
−
+ − −
⎛ ⎞−+ − ⎜ ⎟+⎝ ⎠
Solución
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2 22 2 2 2
2 2 2 2 222
2
22
2 2
2 21
4 2 2.
2 1
x x x x x x x x
x x x xx xx xx x
x x x x
x
x x xx x
x x
a a a a a a a a
a a a aa a a aa aa a a a
a
a a aa aa a
− − − −
− −− −−− −
−−
−
+ − − + + − + −=+ + − + −⎛ ⎞− ++ − ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
= = =+ ++
+
Ejemplo 15
Simplifique y exprese con exponentes positivos
2 2
2 2
2.
a b a b a ba b
a b a b a b
− + +⋅ + ⋅ −+ − −
Capitulo 2: Potenciación y radicación
67Álgebra y trigonometría
Solución
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 22 2
2 2
2
.
a b a b a b a a b b a b a ba b
a b a b a b a b a b a ba b
a a b b a b a b
a b a b
b b a b
a ba b
− + + − + +⋅ + ⋅ − = + −+ − + − − +−
− + + − −=
− +
− −= = −−−
Ejemplo 16
Simplifique y exprese con exponentes positivos
3 2 52
3 3 5 7
2 18 50 32.
5
a b a b aa
ab ab b b+ + −
Solución
3 2 5 2 2 22
3 3 5 7 2 3
2
2 2 2
2
2 18 50 32 2 3 2 5 2 4 2
5 5
2 3 2 2 4 2
2 3 2 2 4 2
2 2.
a b a b a a a a b a a b aa
ab ab b b b b b ab b b ab b
a a a a a a
b b b ab b b b b
a a a a
b ab
a ab
bb ab
+ + − = + + −
= + + −
+ + −=
= =
Ejemplo 17
Racionalice
2 2
2 2
1 1.
1 1
x x
x x
+ − −
+ + −
Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factorracionalizador:
2 21 1x x+ − − .
Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización
68
Entonces,
( ) ( )( )( )
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 4
2 2
1 1 1 11 1
1 1 1 1 1 1
1 1 2 (1 )(1 )
1 (1 )
2 2 1 1 1.
2
x x x xx x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x x
+ − − + − −+ − − =+ + − + + − + − −
+ + − − + −=
+ − −
− − − −= =
Ejemplo 18
Racionalice
2
2
9 3.
9 3
x
x
+ −
+ +
Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factorracionalizador:
29 3x+ − .
Entonces,
( )( )( )( )
2 22
2 2 2
2 2 2 2
2 2
9 3 9 39 3
9 3 9 3 9 3
9 9 6 9 6 9 18.
9 9
x xx
x x x
x x x x
x x
+ − + −+ − =+ + + + + −
+ + − + − + += =+ −
Ejemplo 19
Racionalice
2 6.
2 3 5+ −
Solución. Utilizando como factor racionalizador ( 2 3) 5+ + se obtiene:
Capitulo 2: Potenciación y radicación
69Álgebra y trigonometría
( )( ) ( ) ( )2
2 6 2 3 52 6 4 3 6 2 2 30
2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5
4 3 6 2 2 30 4 3 6 2 2 30
2 3 2 6 5 2 6
4 18 6 12 2 180 12 2 12 3 12 52 3 5.
12 12
+ + + += =+ − + − + + + −
+ + + += =+ + −
+ + + += = = + +
Ejemplo 20
Racionalice
3 2 23
1.
x y+
Solución. En este caso para hallar el factor racionalizador se utiliza la fórmula de lasuma de cubos:
( ) ( )3 3 2 2 .a b a b a ab b+ = + − +
En ocasiones también es necesario usar la fórmula de la diferencia de cubos:
( ) ( )3 3 2 2 .a b a b a ab b− = − + +
Utilizando entonces como factor racionalizador:
( )3 34 2 2 43 3 ,x x y y− +
se obtiene
( )( ) ( )
3 34 2 2 43 3
3 2 2 3 3 32 2 4 2 2 43 3 3 3
3 4 2 2 43 3
2 2
1
.
x x y y
x y x y x x y y
x x y y
x y
− +=
+ + − +
− +=
+
Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización
70
1. Simplifique ( )163 1 2 1 2 4 .ab c a b c
−− − − − − RTA: 12a .
2. Simplifique 1 1
1 1
3 2.
2 3
− −
− −
+−
3. Simplifique ( )2 212
1 .n
nn n
n n nxx x x
x
−− +⎡ ⎤
⎡ ⎤+ ÷ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ RTA: 1.
4. Simplifique
12 1 1
2 1 1
·.
·
a a b
a a b
−− − −
− − −
⎛ ⎞+⎜ ⎟−⎝ ⎠
5. Simplifique
1
9 27.
3 9
nn n
n n
⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠
RTA: 3.
6. Simplifique ( ) ( )1 1
1 11
2 4.
2 2
n n
n nn n
+ +
− +−÷
7. Simplifique
12 2
3 2
3( ) .a
n
a ba b
a a ab
xa
x
−+
−
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
RTA: 3 ( )n a ba + .
8. Simplifique
12 1
.2 1
mmxmx
⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
9. Simplifique
14
13 2 2 2
52 3 2 2
.a b b a
b a a b
− −− −
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ RTA:
1 15 5 .a b
10. Racionalice la siguiente expresión:2
.3
m
m n+
11. Simplifique ( ) ( )1 1
1 11
2 4.
2 2
n n
n nn n
+ +
− +−÷ RTA:
1.
4
12. Racionalice la siguiente expresión: 3
1.
0.008
13. Simplifique 4 1
2
3 6 3.
7 3
n n
n
+ +
+
− ⋅⋅
RTA: 1.
14. Racionalice la siguiente expresión: 2
.3 2−
Capítulo 3: Potenciación y radicación
Ejercicios del capítulo 2 (módulo 5)
71Álgebra y trigonometría
15. Simplifique ( )1 4
322 4 3 362 4 .
163 8 81
x x xx x
x x
+ −⋅ ⋅ ⋅ +⋅
RTA: 6 3
3.
2 x+
16. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:2
1
3 · 2 4 · 2.
2 2
n n
n n
−
−
−−
17. Simplifique ( ) ( )( )
( ) ( )
1122 2
4 4
2 22 .
x xx x
x x x x x x x x
e eae ae
e e ae ae e e e e
−−
− − − −
⎡ ⎤⎡ ⎤ +− ⎢ ⎥⎢ ⎥+ ÷⎢ ⎥− +⎢ ⎥ + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
RTA: 2.
18. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:( )
( )
2 2 2
1
2
·.
x y x y
x y
+ −
−
19. Simplifique ( ) ( )
( )
1 22 ( 1)
1 11
3 81 243.
3 27
a aa a a a
a aa
− − −
+ +−⋅ RTA: 9.
20. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:4 1
2
3 6 · 3.
7 · 3
n n
n
+ +
+
−
21. Simplifique ( )
( )( )
( )( )
( )
2
2
2 12 2 1
1 3 1 22
5 5 3 5.
3225 5 3 3
nn n n n
n n nn n
−+
+ −
⎡ ⎤÷ ⎡ ⎤⎢ ⎥÷ ⎢ ⎥⎢ ⎥÷ ⎣ ⎦⎣ ⎦ RTA: 2.025.
22. Simplifique completamente ( ) ( )( ) ( )
1 1
1 1.
m n m n
m n m n
− −
− −
+ − −
+ + −
23. Simplifique y racionalice ( )
2 23
23
( )( ).
b c b c
b c
− −
+ RTA:
( )22 23
.( )
b c
b c
−
+
24. Demuestre que .1 1n n
n nn
x x−+ =− −
25. Simplifique y racionalice 3 3
.3 3
x y x y
x y x y
− +++ − RTA:
2 2
2 2
2 9.
9
x x y
x y
−−
26. Demuestre que 2 1 4 1
4 · 6 1.
44 2
n
nn n+ + =
+
27. Racionalice
2
2 2.
y
x x y+ − RTA: 2 2 .x x y− −
28. Demuestre que 3
1
2 2 77.
2 2 1
n n
n n
+
+
− + =− +
72
29. Racionalice 2 3
.2
a b a b
a b a b
+ + −+ − −
RTA: ( )2 27 8
.3 5
a b a b
a b
+ + −
+
30. Racionalice 2 5 7
.2 5 7
− −+ +
31. Racionalice 2 2 3
.1 2 3
++ +
RTA: 1 2 3.− +
32. Demuestre que 1 1
1.1 1m n n mx x− −+ =
+ +
33. Racionalice 3 6
.5 3 2 12 32 50
+− − +
RTA: 3.
34. Simplifique completamente 3 8 5 18
.2
+
35. Racionalice 2 3 5
.2 3 5
− ++ −
RTA: 6 15
.3
+
36. Simplifique completamente 4 4
2 2.
m n
m n
x x
x x
−+
37. Racionalice 3
1.
2 3− RTA: 3 32(4 3 9)
.5
+ +
38. Simplifique completamente 1 1
1 1
( ) ( ).
( ) ( )
m n m n
m n m n
− −
− −
+ − −+ + −
39. Racionalice 3 2 233
1.
x xy y+ + RTA:
3 3
.x y
x y
−−
40. Escriba en la forma más simple
11.
49 · 3 · 3.
3 · 3
n nn
n
+
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
41. Racionalice 33 3
1.
9 6 4+ + RTA: 33 3 2.−
42. Demuestre que
112 2
. .p q p q p p q p
p qp q p q
−− ⎡ ⎤⎡ ⎤+ − − + −⎢ ⎥ =⎢ ⎥
+ + − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦