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Modelo Hardening-Soil

Introduccin y formulacin del modelo

El modelo elasto-plstico de Mohr-Coulomb involucra nicamente cinco parmetros, el mdulo de Young E y el coeficiente de Poisson para la elasticidad del suelo, el ngulo de rozamiento interno y la cohesin c para la resistencia y plasticidad, y como el ngulo de dilatancia. En contraste con un modelo elasto-plstico perfecto, la superficie de fluencia de un modelo de plasticidad endurecible no es fija en el espacio de las tensiones principales, ya que sta puede expandirse debido a deformaciones plsticas.

Cuando una probeta de suelo se somete a una tensin desviadora, el suelo muestra un decrecimiento de rigidez y simultneamente se desarrollan deformaciones plsticas irreversibles. En el caso especial de un ensayo triaxial drenado, la relacin observada entre la deformacin axial y la tensin desviadora puede ser bastante aproximada a una hiprbola. Esta relacin fue formulada en primer lugar por Kondner (1963) y usada posteriormente en el modelo de Duncan & Chang (1970). El modelo Hardening-Soil supera a este primer modelo hiperblico en tres aspectos: -por usar la teora de la plasticidad en vez de la teora de la elasticidad, -por incluir la dilatancia del suelo y -por introducir un yield cap (cierre de la superficie de fluencia sobre el eje de tensin istropa p del espacio de Cambridge).

La idea bsica para la formulacin del modelo Hardening-Soil es la relacin hiperblica entre la deformacin axial a y la tensin desviadora q, que se muestra en la figura 1. En los ensayos triaxiales consolidados drenados esta relacin puede ser descrita mediante la siguiente expresin.(1)

Figura 5.1. Relacin hiperblica tensin-deformacin para ensayos triaxiales consolidados drenados.

En la expresin anterior qa es el valor asinttico de resistencia y E50 es el mdulo de Young correspondiente al alcanzar el 50 % de la tensin desviadora de rotura qf. La expresin para determinar la tensin desviadora de rotura qf se deriva del criterio de rotura de Mohr-Coulomb, que implica los valores de resistencia de c y ', mientras que qa es una fraccin de qf, tal como se muestra en las siguientes expresiones: (2)(3)

Cuando q = qf, el criterio de rotura se satisface y ocurre la plasticidad perfecta de acuerdo con el criterio de Mohr-Coulomb.En la expresin (1), el valor de E50 es dependiente de la tensin de cmara 3 segn la siguiente expresin donde E50 es el mdulo de rigidez de referencia correspondiente a la tensin de cmara de referencia ref : (4)La dependencia potencial de la rigidez respecto de la tensin es una caracterstica bsica del modelo Hardening-Soil. Adems, para describir la rigidez del suelo de forma mucha ms precisa que el modelo de Mohr-Coulomb, Hardening-Soil tiene en cuenta la rigidez que presenta el suelo en las trayectorias de descarga-recarga mediante el mdulo elstico Eur

(5)Las componentes elsticas de las deformaciones axial a y radial r, de acuerdo con la expresin (3.7) se calculan mediante las siguientes expresiones [12], donde ur es el coeficiente de Poisson para la descarga-recarga.

(6) (7)

Figura 5.2. Determinacin del valor de E refoed

en ensayos edomtricos [11].

La misma dependencia potencial se presenta de nuevo para obtener la rigidez respecto a compresiones unidimensionales mediante el mdulo edomtrico Eoed, tal como se muestra a continuacin [12], donde hay que notar que se utiliza la variable 1 en vez de 3, pues en un ensayo edomtrico sta es la tensin conocida. El valor del parmetro Eoedref, segn se muestra en la figura 2, la pendiente de la recta tangente a la curva 1-a para una tensin de ref.

(8)Como valores tpicos promedios en varios suelos se tienen las siguientes relaciones orientativas entre E50, Eur y Eoed [11], aunque suelos muy rgidos o muy blandos pueden presentar otras relaciones.

(9) (10)

Al igual que en el resto de modelos de plasticidad, Hardening-Soil mantiene una relacin entre la deformacin plstica volumtrica y la deformacin plstica de corte , a modo de ley fluencia. Esta relacin entre implica un ngulo de dilatancia que viene determinado mediante la siguiente expresin:p

Un ltimo parmetro dentro del modelo Hardening-Soil es el coeficiente de presin lateral de tierra para suelos normalmente consolidados K0 cuyo valor se estima igual a 0.5.

Recapitulando, el modelo Hardening-Soil implica un total de 11 parmetros que quedan sintetizados y agrupados en la siguiente tabla 1. Tabla 1. Parmetros del modelo Hardening-Soil de Plaxis.

Obtencin de parmetros

Un buen modelo implica, con la invariabilidad del valor de los parmetros que lo definen, la capacidad para representar diferentes situaciones sin alejarse de los resultados observados previamente.

Es decir, con un mismo set de parmetros del modelo Hardening-Soil se deberan simular correctamente diferentes trayectorias triaxiales sin que los resultados de estas simulaciones distasen apreciablemente de los resultados obtenidos en los ensayos de laboratorio.

En el captulo anterior ya quedaron definidos algunos de los 11 parmetros de los que consta el modelo Hardening-Soil. Entre ellos, por ejemplo, estn los englobados en la categora de resistencia c, , .

Los valores para la cohesin c y del ngulo de friccin quedaran fijados del criterio de rotura de Mohr-Coulomb. Sin embargo, para el ngulo de dilatancia no se obtuvo un valor fijo, sino una funcin logartmica del OCR segn la expresinTabla 2. Valores determinados para los parmetros c, y del modelo Hardening-Soil de Plaxis.

En la figura 4.16 quedo reflejada la relacin entre el mdulo de Young E y la tensin istropa p. Utilizando los mismos datos obtenidos de los resultados de los ensayos triaxiales, se obtienen los parmetros Eurref y m definidos en la expresin (5.4), donde para ref se toma el valor por defecto de 100 kPa.

Figura 5.3. Comparacin entre las relaciones E-p segn la expresin de Janbu y la formulacin de Plaxis.

Como puede observarse en la figura 5.3 no existe una diferencia apreciable entre las relaciones E-p propuestas por Janbu y por la formulacin de Plaxis, sin embargo, esto permitir un cierto ajuste de los parmetros Eurref y m entre los valores que ambos criterios proporcionan.

En la tabla 3 se recogen los valores para los parmetros E50ref, Eoe ref determinndose los dos primeros a continuacin. Eur ref y m d

Tabla 5.3. Valores determinados para los parmetros E ref50, E

ref oed

, Eur

ref

y m del modelo Hardening-Soil de Plaxis.

Manteniendo el rango de variacin del parmetro m, se analiza el valor del parmetro E ref analizando las trayectorias IS-4 y IS-6, se excluyen las trayectorias AS-6 por no ajustarse a la definicin marcada por la figura 5.1.50

Como puede observarse en la figura 5.4, no existe una diferencia sustancial entre las curvas E50-p para los diferentes valores del exponente m.

Figura 4. Obtencin del parmetro E ref50

segn la formulacin de Plaxis.

El no haber realizado, durante la ejecucin del programa experimental, ningn ensayo edomtrico para conseguir caracterizar el parmetro Eoedref no supone impedimento alguno, pues utilizando la relacin entre los incrementos de la tensin desviadora q y de la tensin istropa efectiva p, resulta que al aplicar una K igual K0, cuyo valor se estima igual a 0.5, resultara una trayectoria de consolidacin unidimensional en el espacio de Cambridge.

Estas trayectorias corresponden a las consolidaciones anistropas efectuadas sobre las probetas de arena limosa de Diagonal Mar, con lo que de stas podra extraerse el valor del parmetro Eoedref, segn se muestra en la figura 2, como el valor de la recta tangente a la curva en el espacio 1-a para una determinada tensin de referencia ref.

No obstante, en un ensayo edomtrico no es posible que se den deformaciones radiales r, por lo que la existencia de estas deformaciones en las trayectorias de consolidacin anistropas realizadas, indica que stas no son exactamente unidimensionales.

Por este motivo, para la obtencin del parmetro Eoedref se opta por escoger aquella trayectoria de consolidacin anistropa que presente la menor relacin r/a, que en este caso corresponde a la trayectoria AS-6/3.0.

En dicha trayectoria de consolidacin, como puede apreciarse en la figura 5, la curva p-a se ajusta muy bien sobre la ecuacin de una parbola, y a partir de sta es sencillo obtener el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva para una tensin de referencia ref igual a 100 kPa.

urCoeficiente de Poisson en descarga-recarga0,3-

'refTensin de referencia para las rigideces100[kPa]

ncK0RfCoeficiente de presin lateral de tierrasRelacin entre qf y qa0,5?--

Tabla 4. Valores determinados para el resto de parmetros del modelo Hardening-Soil de Plaxis.

Para el resto de parmetros del modelo Hardening-Soil de Plaxis quedan definidos mediante los valores que se muestran en la tabla 5.4, con la excepcin de Rf que permitir ajustar las curvas q-a al ir variando su valor.

Figura 5.5. Obtencin del parmetro E ref segn la formulacin de Plaxis.oed

3. Simulacin de algunas trayectorias

Previo a la simulacin de algunas de las trayectorias realizadas sobre las arenas limosas de Diagonal mediante el modelo Hardening-Soil del software Plaxis, es necesario definir una geometra y una discretizacin del material a modelar.

En este caso se opta por un modelo axisimtrico como el mostrado en la figura 5.6 donde los lados inferior e izquierdo actan como ejes de simetra, y por lo tanto las dimensiones del modelo son 19 mm de base por 38 mm de altura.

La simetra descrita implica que en lo referente a las condiciones de contorno, en el lado inferior se impida el movimiento en la direccin vertical, y en el lado izquierdo en la direccin horizontal. Estas condiciones se completan con la imposicin de unas tensiones perpendiculares al contorno en los lados superior y derecho, tensiones A y B respectivamente.

El modelo se completa con la discretizacin de la geometra en una malla de elementos finitos triangulares con seis nodos para el clculo de desplazamientos y tres puntos de Gauss para el clculo de tensiones.

Como se coment en el apartado anterior, para simular diferentes trayectorias sera optimo tener un nico set de valores para los parmetros que definen el modelo Hardening-Soil de Plaxis. Figura 5.6. Modelizacin y discretizacin de las probetas de arena limosa de Diagonal Mar.

Tabla 5. Valores utilizados para los parmetros del modelo Hardening-Soil de Plaxis en las simulaciones.

La necesidad de utilizar una funcin del OCR para determinar el ngulo de dilatancia en las simulaciones, responde al hecho de la variabilidad que presenta este parmetro a la vista de los resultados obtenidos con anterioridad.

A continuacin se presentan los resultados de las simulaciones realizadas mediante el modelo Hardening-Soil correspondientes a las trayectorias IS-4/1.0, IS-6/1.5, IS-6/1.0, AS-6/2.0, AS-6/6.0 y AL-6/1.2. Para cada una de ellas se indica en la tabla 5.6 el valor del parmetro ngulo de dilatancia utilizado en la modelizacin.

trayectoriaIS-4/1,0IS-6/1,5IS-6/1,0AS-6/2,0AS-6/6,0AL-6/1,2

[]35,537134

Tabla 6. Valor del ngulo de dilatancia utilizado en cada trayectoria simulada.

2400

IS-4/1.0

2400

IS-6/1.5

2400

IS-6/1.0

2200

2200

2200

2000

2000

2000

1800

1800

1800q [kPa]

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

1600

1400

1200q [kPa]

1000

800

600

400

200

0

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

-1.00

-1.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

0.00

1.00p [%]

2.00

0.00

1.00p [%]

2.00

3.00

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0

a [%]

3.00

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0

a [%]

3.00

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0

a [%]

q [kPa]p [%]Figura 7. Simulacin de algunas trayectorias triaxiales realizadas mediante el modelo Hardening-Soil.

trayectoria ensayada simulacin

1200

AS-6/2.0

1000

AS-6/6.0

1000

AL-6/1.2

1000

800

600

400

200

0

800

600q [kPa]

400200

0

800

600q [kPa]

400

200

0

-4.00

-3.00

-2.00

p [%]

-1.00

0.00

-4.00

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

-1.00

-0.50

0.00 p [%]

0.50

1.00

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0

a [%]

1.00

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0a [%]

1.00

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

a [%]

q [kPa]p [%]Continuacin Figura 7.

trayectoria ensayada simulacin

Tras una observacin detenida de los resultados de las simulaciones mostrados en las figuras anteriores, donde pueden compararse con las trayectorias que intentan simular, se deduce que el modelo Hardening-Soil, con los valores para los parmetros utilizados que quedan reflejados en la tabla 5.5, recogen de manera satisfactoria las principales caractersticas de las trayectorias triaxiales realizadas.

El resultado de la simulacin esta muy bien ajustado al comportamiento observado en las trayectorias de consolidacin istropa para un grado de sobreconsolidacin OCR bajo, donde la relacin hiperblica entre la deformacin axial a y la tensin desviadora q quedan muy bien recogidas por el modelo.

Sin embargo, en las curvas p-a, a pesar de que la tendencia principal de las trayectorias realizadas queda bien reflejada en los resultados del modelo, se observa un cierto desfase axial que implica que la tendencia a la dilatacin del modelo quede desplazada hacia la derecha de los resultados observados en el laboratorio.

En cuanto a los resultados de las simulaciones para las trayectorias que implican una consolidacin anistropa, se observa como el modelo no recoge de forma tan exacta la relacin hiperblica entre la deformacin axial a y la tensin desviadora q, durante las fases de compresin simple, aunque no obstante adoptan los trazos principales de las trayectorias. En estos casos las curvas p-a vuelven a mostrar el desfase comentado.

La utilizacin de diferentes ngulos de dilatancia parece ser una buena eleccin, pues de lo contrario, las curvas p-a no alcanzaran de ningn modo el incremento de volumen que experimentan las arenas limosas de Diagonal Mar.

Por ltimo, la simulacin de la trayectoria con consolidacin anistropa y compresin lateral puede considerarse bastante satisfactoria, si se tiene en cuenta que el eje de abscisasaa ha sido considerablemente aumentado en escala, pues recoge las direcciones adoptadas en la trayectoria triaxial observada.

Debido a que la formulacin de Plaxis no incluye un posible reblandecimiento en la relacin tenso-deformacional, tras alcanzar la resistencia de pico el modelo no recoge suficientemente la tendencia hacia la resistencia de estado crtico observada en los ensayos triaxiales realizados sobre las arenas limosas de Diagonal Mar.