Autor: Rafael Quintero

Transformaciones geométricas

Tema 4-1º BACH

objetivos:        Contactar con la geometría proyectiva como ampliación de la conocida g. euclediana.       Realizar transformaciones en el plano, tales como la homología y sus casos particulares, afinidades e inversiones.       Ampliar dichas transformaciones a otros tipos de problemas.       Conocer las relaciones de las transformaciones con la geometría descriptiva que se estudiará mas adelante.

En el ámbito de Segmentos proporcionales.

•Teorema de Thales •Razón simple •Razón doble •Cuaterna armónica

En el ámbito de Operaciones en el plano.

•Transformaciones proyectivas: •Homografías•Homotecia •Homología afín - Simetría axial •Homología especial - Traslación

•Transformaciones no proyectivas:• inversión (las veremos el próximo curso)•Equivalencia (las veremos el próximo curso).

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

•La GEOMETRÍA PROYECTIVA observa las propiedades que se conservan en una proyección.

•EJEMPLO: Si desde un punto trazamos rectas que unan puntos rectas o planos y cortamos a éstas con otro plano, éste tipo de Geometría estudiará las propiedades de los puntos de corte.

•No se interesa por medidas de segmentos o ángulos, sino por las posiciones relativas d los elementos en el espacio o en el plano.

•Aunque representa conceptos tridimensionales es posible su empleo sobre un plano.

•También aparece el concepto de infinito en las resoluciones

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PROYECTIVA

RECTA ORIENTADA:

Se designa así a la recta en la cual ha sido fijado un sentido como positivo

P A B +

Elementos geométricos fundamentales. Son el punto, la recta y el plano.

Formas geométricas. Son las formadas con los elementos geométricos.

Razón simple de tres puntos

Dados dos puntos fijos A y B) en una recta r orientada (que tiene sentido positivo y negativo), la razón simple Es el cociente o razón de distancias entre el primero a los otros dos fijos, se llama razón simple de tres puntos P, A Y B a la relación:

h = (PAB) = PAPB

P A B +

SI SE VARÍA EL ORDEN DE NOTACIÓN, SE VARIÁ EL VALOR DE LA RAZÓN.

Puntos fijos

+aclaraciones

10 1

530

p A B

K=PAB=PAPB;

aritméticamente: 2030 ,de donde

podemos afirmar, mn=1015=

2030

20

Valor de la razón simple, imaginate un valor

Se refiere a los puntos que están en razón simple

m

n

Es el punto de origen

K, es un valor. En una recta donde hay tres puntos alineados, si consideramos a uno de ellos, el P por ejemplo el origen de esa recta, el segmento formado desde este punto P al siguiente punto A dividido por la distancia de P al ultimo punto nos va a dar un valor =k. En geometría ese valor viene expresado como PA/PB. Es decir, se interesa mas por la relación entre el primer segmento/segundo segmento.

Ese valor se expresa mediante la fracción

CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE UNA RAZÓN SIMPLE

•Sean A Y B los puntos fijados sobre una recta.

•Para construir el punto P cuya razón h es conocida, se trazan por A y B dos rectas paralelas cualesquiera, tomando sobre ellas dos segmentos que están en la relación m/n = , al mismo o a distinto lado, según que el valor de h sea positivo o negativo.

•El segmento que une los extremos obtenidos determina sobre la recta el punto buscado (P1 para + y P2 para -)

El ejercicio consistírá en hallar la ubicación de P en la recta para que la razón simple de estos tres puntos estuvieran en la misma relación que m/n.

n

m

+datos

Razón doble de cuatro puntos

Dados dos puntos fijos A y B en una recta r orientada se llama razón doble de cuatro puntos M, N, A y B al cociente de las razones simples de los dos primeros respecto a los otros dos:

k = (MNAB) =(MAB)

(NAB)

MA/MB

NA/NB=

A cada grupo de cuatro puntos que se puede elegir se denomina cuaterna anarmónica.

Cuaterna armónica

MAMB

NANB

=

Si la razón doble de cuatro puntos vale -1, entonces se dice que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica:

k = (MNAB) =(MAB)

(NAB)

MA/MB

NA/NB= =-1

MN están separados armónicamente por AB

Para construir el cuarto conjugado armónico de un punto M respecto a un par dado AB se trazan por A y B dos líneas paralelas cualesquiera y por M una recta secante arbitraria que determina sobre las paralelas los segmentos f y r , cuya razón es precisamente, la razón (MAB). Trácese sobre la prolongación de la paralela trazada por A un segmento igual a f y su unión con el extremo de r determina el cuarto armónico N.

Construcción geométrica de una cuaterna armónica

Se trataba de ubicar un punto tal que la razón doble de los cuatro, diera como valor –1, es decir, que los cuatro puntos formen o estén en una relación de cuaterna armónica

Invariante proyectivo.

La razón simple de tres puntos no varía al proyectar sus puntos paralelamente sobre otra recta, puesto que los segmentos son proporcionales y su razón no varía. De aquí que la razón doble de cuatro puntos no varía al proyectar sus puntos sobre una recta, puesto que se trata del cociente de dos razones fijas.

Esta proyección puede ser paralela o desde un punto exterior, como

vemos a continuación.

Transformaciones geométricas.

Una transformación geométrica es una correspondencia (o aplicación) entre elementos de dos formas geométricas.El concepto de transformación en geometría es equivalente al concepto de función en álgebra.

•Transformaciones proyectivas. Es una transformación tal que cuatro puntos en línea recta se transforman en cuatro puntos en línea recta, siendo la razón doble de los cuatro primeros igual a la razón doble de los cuatro segundos.

Existen también transformaciones entre haces de rectas, haces de planos, etc.

En geometría se dice que dos formas son proyectivas si una puede obtenerse de la otra mediante proyecciones y secciones.

•Homografía. Se denomina así a la correspondencia entre dos formas geométricas tal que a un elemento de una forma le corresponde un elemento de la misma especie de la otra forma (a un punto le corresponde un punto, a una recta le corresponde una recta, etc.), según una determinada ley.

•Correlación. Es la correspondencia entre elementos de distinta especie (a un punto le corresponde una recta, a una recta le corresponde un plano, etc.).

•Son transformaciones homográficas: la homología, la afinidad, la homotecia, la traslación, la simetría y el giro.

HOMOGRAFÍAS

Las transformaciones que pasamos a tratar a continuación están incluidas en la homografía, que podemos definir como la relación espacial existente entre figuras planas. Estas se relacionan con sus homólogas, punto a punto y recta a recta, mediante la proyección desde un elemento vértice, de modo que las figuras pertenecen a las secciones planas de los haces proyectivos.

Dos secciones planas de la misma radiación se llaman perspectivas y son homográficas;

Aplicaciones de la homología

HOMOLOGÍA

Homología plana es una transformación homogrráfica que cumple las siguientes leyes :

1. Dos puntos homólogos están alineados con un punto fijo llamado centro de homología.

2. Dos rectas homólogas se cortan siempre en una recta fija llamada eje de homología.

3. El eje, por tanto, es el lugar geométrico de los puntos que son homólogos de sí mismos (puntos dobles).

Coeficiente de homología

Es la razón doble que forman dos puntos homólogos A y A', el centro O y el punto P de intersección de la recta AA' con el eje e.

k = (OPAA´) = (OAA')

(PAA') =OA/OA

PA/lPA'

EjercicioHallar el homólogo B' de B , conociendo el centro O, el eje e y un par de puntos homólogos A y A'.

1 Se unen los puntos A y B mediante la recta r que

corta al eje en el punto C-C'.

2 El punto C-C' se une con el punto A' mediante la

recta r', homóloga de la recta r.

3 Se une el centro O con el punto a hasta cortar a la

recta r' en el punto B' solución.

RECTAS LÍMITE Es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito. Son dos: I y I´, paralelas al eje.

r´

r

e

O

r´

r

e

K

O

J ´

Ejercicio

Dadas dos rectas homólogas r y r', el centro O y el eje e, hallar las rectas límites:

1 Por el centro de homología O se traza la paralela a la recta r hasta cortar a la otra recta (en el punto K.

2 Por K se traza la recta límite I paralela al eje.

3 Por el centro de homología O se traza la paralela a la recta r hasta cortar a la otra recta r' en el punto J'.

4 Por J' se traza la recta límite l' paralela al eje.

a) Propiedades de las rectas límites

e

O

P i

e

O

r s

P i

Todas las rectas que se cortan en un mismo punto P de la recta límite) tienen sus homólogas . paralelas a OP.

b) Propiedades de las rectas límites

1. La distancia de una de las rectas límite al centro de homología es la misma que hay desde la otra recta límite al eje de homología.

2. Las rectas límite están siempre entre el centro O y el eje e , o bien fuera de ellos.

Determinación de una homología

Una homología queda determinada conociendo los siguientes datos:

A´

e

O

Ar

r´

O

s´

s

A´

A

d-d´

B'

B

e

O IO I

B'

B

O

I´

I

•a) El eje, el centro y un par de puntos homólogos. •b) El centro y dos pares de rectas homólogas.•c) Un punto doble y dos pares de puntos homólogos.• d) El centro, el eje y una recta límite.•e) El centro, una recta límite y dos puntos homólogos.•f) El centro, el eje y el coeficiente de homología.(X)•g) El centro y las dos rectas límite.•h) Dos figuras homólogas.

EJERCÍCIOS

Hallar el homólogo A' de un punto A conociendo el centro de homología O, el eje e y la recta límite l

•1 Se traza una recta r cualquiera que pase por A;

•dicha recta corta al eje en P ya la recta límite en K.

•2 Se une el centro O con K y por el punto P se traza la paralela r' (homóloga de r) a OK.

•3 Donde la recta OA corta a r' se obtiene el punto A'.

Construir la figura homóloga del polígono ABCDE conociendo el centro O, el eje e y un punto A'.

•1 Aplicando el procedimiento general, se une el punto A con cualquier otro, el B por ejemplo, hasta cortar al eje en el punto M.

•2 El punto M se une con A' mediante una recta que corta al rayo OB en el punto B'.

•3 Se une el punto C con el punto B, o con cualquier otro del que ya se conozca su homólogo, y se siguen las mismas operaciones anteriores hasta determinar los homólogos de todos los vértices.

Hallar el homólogo B' de un punto B conociendo el centro O, el eje e y un par de puntos homólogos A y A' alineados con B.

•1 Se elige un punto C, arbitrario, y se une con A mediante la recta r que corta al eje en R.

•2 Se une R con A' mediante la recta r' (homóloga de r).

•3 Se traza la recta que une el centro O con el punto C hasta cortar a r' en C´.

•4 Se une C con B hasta cortar al eje en S.•5 Se traza la recta s' (homóloga de s) uniendo S y C'. •6 Donde la recta s' corta a la recta OB se obtiene el punto B' buscado

AFINIDAD

La afinidad es una homología de centro impropio, es decir, que está en el infinito.

DIFERENCIA TRIDIMENSIONAL

ENTRE LA HOMOLOGÍA Y LA

AFINIDAD

e

C-C´B-B´

œ

A´

r

r´

APor tanto, la afinidad es una transformación homográfica que cumple las siguientes leyes.

       La recta que une dos puntos afines es paralela a una dirección d de afinidad.

       Dos rectas afines se cortan en un punto del eje de afinidad.

En afinidad no existen rectas límite.

d

œA/œA' PA'

k = (ŒPAA´) = PA/PA' = PA'

P

Si el coeficiente de afinidad es positivo, los dos puntos A y A' están al mismo lado del eje, y si es negativo están a distinto lado.

Nota:œ =infinito

Hallar el afín B' de un punto B , conociendo la dirección de afinidad d, el eje e y un par de puntos afines A y A':

1 Se unen los puntos A y B mediante la recta r que corta al eje en el punto C-C'.

2 El punto C-C´se une con el punto A' mediante la recta r', afín de la recta r.

3 Por el punto B se traza una recta paralela a la dirección d de afinidad hasta cortar a la recta r' en el 'punto B' solución.

CONSTRUCCiÓN DE FIGURAS AFINES

Una afinidad queda determinada conociendo los siguientes datos:

a) El eje y dos puntos afines.b) La dirección de afinidad y el coeficiente.c) Dos figuras afines.

No es necesario dibujarlo de momento

CONS

TRUC

CiÓ

N DE

FIG

URAS

AFI

NES

Construir la figura afín del polígono ABCDE conociendo la dirección d de afinidad, el eje e y un punto afín A'.

1 Aplicando el procedimiento general, se une el punto A con cualquier otro, el B por ejemplo, hasta cortar al eje en el punto M.

2 El punto M se une con A' mediante una recta que corta al rayo paralelo a la dirección de afinidad trazado por B, en el punto B´.

3 Se une el punto C con el punto B, o con cualquier otro del que ya se conozca su afín, y se siguen las mismas operaciones anteriores hasta determinar los afines de todos los vértices.

A´

Hallar el afín B' de un punto B , conociendo la dirección de afinidad d, el eje e y un par de puntos afines A y A' alineados con B.

dA

A´

B

dA

A´

B

Cd

A

A´

B

C

R

r

dA

A´

B

C

R

r´

r

dA

A´

B

C

R

r´

r

C´

dA

A´

B

C

R

r´

r

S

C´

1 Se elige un punto C, arbitrario, y se une con A mediante la recta r que corta al eje en R.

2 Se une R con A' mediante la recta r' (afín de r)

3 Por el punto C se traza la paralela a la dirección de afinidad hasta cortar a r' en C´.

4 Se une C con B hasta cortar al eje en S.

5 Se traza la recta s' (afín de s) uniendo S y C´

6 El corte de s' y AA' es el punto B' buscado.

homotecia