automática. apéndice: transformada de laplace · manipulación de bloques y en cuanto al...
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DepartamentodeTecnologíaElectrónicaeIngenieríadeSistemasyAutomáca
JoséRamónLlataGarcíaEstherGonzálezSarabiaDámasoFernándezPérezCarlosTorreFerrero
MaríaSandraRoblaGómez
Apéndice:TransformadadeLaplace
Automáca
Apéndice: Transformada de Laplace
Apéndice Transformada de Laplace
A.1. INTRODUCCIÓN
Los sistemas dinámicos lineales y tiempo invariantes pueden ser modelados mediante ecuaciones integro-diferenciales lineales, de coeficientes constantes. La resolución de este tipo de ecuaciones no presenta gran complejidad, y pueden obtenerse las respuestas del sistema ante diferentes tipos de entradas de forma sencilla. Sin embargo, tal y como se puede ver a lo largo de todo el presente texto, los sistemas de control están formados por numerosos elementos interconectados entre sí, de los que se conoce la ecuación que define a cada uno de ellos. Esto hace que aparezca un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas con el que es más difícil trabajar. Por el contrario, cuando se trabaja en el plano s, al aplicar la transformación de Laplace, se obtiene una serie de ventajas en cuando a facilidad de manipulación de bloques y en cuanto al análisis de sistemas que hacen de la transformada de Laplace y del análisis y diseño de sistemas en el plano complejo s, hoy por hoy, insustituible.
El presente apéndice pretende, únicamente, proporcionar un breve repaso de las características y propiedades más importantes de la transformada de Laplace, aplicada al análisis de sistemas dinámicos.
1
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
A.2. DEFINICIÓN
0
dt)t(fste)s(F
EJEMPLO A.1.
Transformada de un escalón de amplitud A.
A)t(f
s
A
s
10A
0
stes
1A
0Adtste)s(F
A.3. PROPIEDADES
1- Multiplicación por una constante:
)s(AF)t(Af L
2- Linealidad:
)s(F)s(F)t(f)t(f 2121 L
3- Traslación en el tiempo:
)s(Fe)Tt(f sT0
0L
4- Multiplicación por una exponencial:
)as(F)t(fe at L
5- Cambio de escala de tiempos:
)s(Ft
f
L
6- Derivación:
)0(x)s(sF)t(fdt
d
L
)0(x)0(sx)s(Fs)t(fdt
d 22
2
L
2
Apéndice: Transformada de Laplace
)0(x....)0(xs)0(xs)s(Fs)t(fdt
d 1n2n1nnn
n
L
7- Integración:
s
)0(f
s
)s(Fdt)t(f
1
L
0t en
1 dt)t(f)0(f
8- Convolución:
t
02121 d)(f)t(f)t(f*)t(f
)s(F)s(F)t(f*)t(f 2121 L
9- Teorema del valor final:
)s(sFlim)t(flim0st
10- Teorema del valor inicial:
)s(sFlim)0(fs
A.4. TRANSFORMADA INVERSA
A.4.1. Definición:
jc
jcds)s(Fste)t(f
c : Abscisa de convergencia
A.4.2. Polos reales simples
)ps(
a...
)ps(
a
)ps(
a
)s(A
)s(B)s(F
n
n
2
2
1
1
Multiplicando, a ambos lados, por )ps( i y particularizando para ips :
ipsii )ps(
)s(A
)s(Ba
)ps(
a...
)ps(
a
)ps)(ps(
asa
)s(A
)s(B)s(F
n
n
3
3
21
21
3
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Multiplicando, a ambos lados, por )ps)(ps( 21 y particularizando para 1ps :
1ps2121 )ps)(ps(
)s(A
)s(Basa
ipsii )ps(
)s(A
)s(Ba
A.4.3. Polos reales múltiples
)ps(
b...
)ps(
b
)ps(
b
)s(A
)s(B)s(F
0
11r
0
1rr
0
r
)ps(
a...
)ps(
a
)ps(
a
n
n
2
2
1
1
Multiplicando, a ambos lados, por r0 )ps( y particularizando para 0ps :
rps
r0r )ps(
)s(A
)s(Bb
Multiplicando, a ambos lados, por r0 )ps( , derivando y particularizando para 0ps :
rps
r01r )ps(
)s(A
)s(B
ds
db
Multiplicando, a ambos lados, por r0 )ps( , derivando dos veces y particularizando para
0ps :
rps
r02
2
2r )ps()s(A
)s(B
ds
d
2
1b
De forma general sería:
rps
r0j
j
jr )ps()s(A
)s(B
ds
d
!j
1b
4
Apéndice: Transformada de Laplace
A.4.4. Tabla de transformadas de Laplace
f(t) F(s)
( )t 1
1(t) 1
s
t 12s
t
nn
n
1
11 2 3
( )!, , ,...
1
sn
e at 1
s a
te at 12( )s a
1
11 2 31
( )!, , ,...
nt e nn at
1
( )s a n
1
b ae eat bt
1
( )( )s a s b
11
1
ab a bbe aeat bt
1
s s a s b( )( )
sent s2 2
cost s
s2 2
e tat sen ( )s a 2 2
e tat cos s a
s a
( )2 2
t1sene1
2n
t
2
n n
n
n ns s
2
2 22
2
2n
t
2
1arctg
t1sene1
1n
s
s sn n2 22
2
2n
t
2
1arctg
t1sene1
11 n
)s2s(s 2nn
2
2n
5
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJEMPLO A.2.
Calcular la transformada de f(t).
A
T0 T1
f(t)
t
)Tt(1 A)Tt(1 A)t(f 10
s
e)Tt(1
s
1)t(1
sT
LL
1010
sTsTsTsT
ees
A
s
e
s
eA)s(F
EJEMPLO A.3.
Calcular la transformada de f(t), conocida la transformada del seno.
)wtsen(e)t(f t
22 ws
w)wtsen(
L
22
t
w)s(
w)wtsen(e
L
EJEMPLO A.4.
Calcular la transformada de f(t). te)t(f
1s
1)t(1e
s
1)t(1 t
LL
6
Apéndice: Transformada de Laplace
EJEMPLO A.5.
Calcular la transformada de f(t).
5
t
e)t(f
1s5
15)t(1e
1s
1)t(1e 5
tt
LL
EJEMPLO A.6.
Obtener la transformada inversa de F(s):
)2s)(1s(
3s)s(F
)2s(
a
)1s(
a)s(F 21
221
31)1s(
)2s)(1s(
3sa
1s1
112
32)2s(
)2s)(1s(
3sa
2s2
)2s(
1
)1s(
2)s(F
Acudiendo a las tablas:
t2t ee2)t(f
EJEMPLO A.7.
Obtener la transformada inversa de F(s):
)1ss(s
1s)s(F
2
Las raíces del denominador son: ;0p ;866.0j5.0p 32,1
)ps(
a
)ps)(ps(
asa)s(F
3
3
21
21
7
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
866.0j5.0s21 s
)1s(asa
1866.0j5.0866.0j5.0a866.0j5.0a 22
1
Igualando partes reales e imaginarias entre sí:
;1aa 21
;1aa 21
;0a ;1a 21
Para el polo real:
11ss
1sa
0s23
Entonces:
)s(F)s(Fs
1
1ss
s)s(F 212
;1)t(f ?;)t(¿f 21
)s(F)s(F866.0)5.0s(
5.0
866.0)5.0s(
5.0s)s(F 1122221
?)t(f¿ );t866.0(Cose)t(f 1t5.0
1
221866.0)5.0s(
866.0
866.0
5.0)s(F
)t866.0(Sene866.0
5.0)t(f t5.0
1
La transformada inversa total:
)t866.0(Sene866.0
5.0)t866.0(Cose1)t(f t5.0t5.0
8
Apéndice: Transformada de Laplace
EJEMPLO A.8.
Obtener la transformada inversa de F(s).
3
2
)1s(
3s2s)s(F
)1s(
b
)1s(
b
)1s(
b)s(F 1
22
33
23s2sb 1s2
3
02s23s2sds
db 1s
1s
22
122
13s2s
ds
d
2
1b 1s
1s
22
2
1
)1s(
1
)1s(
2)s(F
3
Entonces, desde las tablas:
tt2 eet2)t(f
9