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Actividad Asesora: Geometra para educadores de I y II Ciclo

Unidad Didctica IVta Sesin Lectiva: Los Slidos (jueves 7 de diciembre de 2006)

Autor: Eduardo Chaves Barboza

Gua didctica

La sesin plantea los siguientes objetivos:

i. Construir las frmulas para calcular el volumen de algunos slidos.

ii. Resolver problemas mediante la aplicacin de frmulas volumen de slidos.

A-) Pregunta generadora: Qu es la estereometra?

Segn el Diccionario de la Real Academia la palabra estereometra, se forma a partir de dos palabras griegas:

(estreo) que significa slido, y

(metra) que significa medida.

Ejercicio: Deduzca, a partir de sus races griegas, el significado de la palabra estereometra.

R/ ...................................................................................................................................

B-) Pregunta generadora: De quin es la biografa?

La siguiente informacin se refiere a un insigne matemtico e inventor griego que naci en Siracusa, Sicilia, en 287 y muri en 212 a.C. (fechas aproximadas).

a-) Se educ en Alejandra, Egipto.

b-) En el campo de la geometra estudi reas y volmenes de figuras slidas y de reas de figuras planas. Prob, con un mtodo muy interesante denominado fisicista, que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.

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c-) En el campo de la aritmtica escribe El arenario (que recoga el antiguo proverbio incontable como la arena del mar), obra dedicada a demostrar la posibilidad de expresar por escrito un nmero cualquiera, lo cual era un problema muy difcil en su poca a causa del sistema de numeracin utilizado entre los griegos, y que impeda llegar ms all de un determinado nmero. Esta obra contiene la primera referencia histrica de una teora heliocntrica, la de Aristarco de Samos.

d-) Invent la polea compuesta, la cclea (el tornillo sin fin) para elevar el agua de nivel, el rgano hidrulico, el planetario (modelo mecnico que reproduce los movimientos de los cuerpos celestes) y la catapulta.

e-) Estableci la ley de la palanca y la ley de la hidrosttica.

f-) Se cuenta que el rey Hiern le entreg a un orfebre una determinada cantidad de oro para que con l hiciese una corona. Cuando el artesano hubo entregado al rey su trabajo, se comprob que el peso de la corona corresponda al del oro entregado, y fue colocada en un templo como ofrenda a los dioses. Pero el rey se preocup por saber si la corona era de la calidad solicitada y le encarg a nuestro notable matemtico que determinara si el orfebre haba aleado en la corona el oro que se le encarg. El sabio logr descubrir el engao del taimado artesano mientras se baaba, al comprobar cmo su cuerpo desplazaba el agua.

g-) Al ser conquistada Siracusa por los romanos, durante la segunda Guerra Pnica, un soldado trat de arrestarlo mientras estaba absorto en un diagrama trazado en la arena, el sabio le ofendi al decirle No desordenes mis diagramas, el soldado lo asesin en el acto.

Ejercicios:

1-) Determine a quin pertenecen los anteriores datos biogrficos.

R/.........................................................................................................................................

2-) Realice un comentario sobre la relacin que puede haber entre la cantidad de oro contenida en la corona del rey Herin y el agua desplazada por el matemtico al entrar en la baera.

C-) Pregunta generadora: Qu es un poliedro?

Ejercicios:

1-) Con ayuda de una lupa seleccione una coleccin de cristales de un puado de sal o de azcar sin refinar.

2-) De su coleccin de cristales, separe aquellos que estn delimitados por superficies planas.

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3-) Los cristales, cuyas caras o lados son superficies planas, son poliedros Cuntas caras, aristas y vrtices tiene el poliedro ms grande de su coleccin?

4-) Comente con el grupo su criterio para identificar el cristal ms grande de su coleccin.

D-) Pregunta generadora: Qu es el volumen?

Comente con el grupo su respuesta a las siguientes preguntas:

Un objeto de 15 kilos tiene necesariamente mayor volumen que un objeto de 1 kilo?

Un kilogramo de plasticina en forma de cubo tiene necesariamente el mismo volumen que un kilogramo de plasticina en forma de esfera?

Si una sustancia gaseosa pasa de un recipiente a otro, necesariamente mantiene constante su volumen?

Si una cantidad de agua se calienta hasta que cambia a un estado gaseoso necesariamente cambia su volumen?

Ejercicio:

1-) Anote el nombre de tres unidades para medir el volumen de un objeto.

2-) Existe diferencia entre el volumen de una caja de cartn y su capacidad?.

3-) Escriba, segn su opinin, el significado de la palabra volumen.

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4-) Enriquezca su respuesta al ejercicio 3 con algunas palabras de la siguiente lista: magnitud fsica, extensin, cuerpo, espacio, dimensiones, largo, grosor, alto.

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E-) Pregunta generadora: Cmo se calcula el volumen de un cuerpo?

Considere la siguiente lista de frmulas:

El volumen de un paraleleppedo recto es igual al producto de sus dimensiones.

El volumen de un paraleleppedo es igual al producto del rea de uno de sus lados por la altura correspondiente a es lado.

El volumen de un prisma es igual al producto del rea de su base por su altura

El volumen de una pirmide es igual al producto de un tercio del rea de su base por su altura.

Ejercicios:

1-) Construya, con plasticina, una pirmide de base triangular.

2-) Calcule su volumen aproximado aplicando la frmula correspondiente.

3-) Utilizando un recipiente para medir mililitros, aproxime la cantidad de agua colorada que desplaza la pirmide.

4-) Sabiendo que un litro equivale a aproximadamente 1 decmetro cbico calcule el volumen de la pirmide de una forma alternativa (1 decmetro cbico es 1000 centmetros cbicos, es decir 1 centmetro cbico es aproximadamente igual a 1 mililitro)

5-) A partir de la pirmide que se tiene, construya una pirmide truncada a media altura.

6-) Calcule el volumen de la pirmide truncada.

Considere las frmulas para calcular el volumen de otros slidos que no son poliedros:

El volumen del cilindro es igual al rea de la base por la altura.

El volumen de un cono es igual a un tercio del rea de la base por la altura.

Prctica:

1-) Si una caja plstica tiene 16 cm de alto, 12 cm de largo y 6 cm de ancho,

a-) cuntos cubos de 1 cm de artista caben en la caja?,

b-) cuntos cubos de 2 cm de arista?,

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c.-) cuntos de 5 milmetros de alto, 3 de largo y 2 de ancho?

d-) Cunto mide la arista de un cubo con el mismo volumen que la caja?

e-) Cuntos litros de agua caben en la caja?

2-) Una de las Siete Maravillas del mundo antiguo, La Gran Pirmide de Keops, meda 147 metros de altura. El reportero ingls John Taylos y el astrnomo Charles Piazzi, en 1830, establecen que dividiendo el permetro de la base cuadrada por el doble de la altura, se obtiene el nmero Pi. Cunto es el volumen de esta imponente construccin egipcia?

3-) Si un cubo mide x metros de arista, entonces mide x3 metros cbicos de volumen. Si la longitud de la arista se duplica, cunto aumenta el volumen?

4-) Un prisma triangular recto tiene de base un tringulo rectngulo de catetos 3 y 4 centmetros. La altura del prisma es igual a la hipotenusa. Calcule el volumen del prisma.

5-) Un recipiente tiene forma cilndrica con 8 cm de dimetro y 2,3 cm de altura. Calcule su volumen.

6-) Redacte un ejercicio que implique el clculo del volumen de un cono.

F-) Evaluacin sumativa de la actividad asesora

Redacte un ejercicio que involucre a los tres objetos que se muestran en la imagen adjunta.