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252
La integral10UNIDAD
a integración y la derivación son las más potentesherramientas de las que jamás hayan dispuestolas ciencias, tanto naturales como sociales, y las
ingenierías, para la resolución de infinidad de problemas.Ambas están englobadas en lo que se conoce comoCálculo Infinitesimal, Cálculo o Análisis matemático. Algunosautores sostienen que lo comienza Arquímedes de Siracusa(c. 287 a. C. – c. 212 a. C.), con la intención de obtener unmétodo para el cálculo de cualquier área. Sin embargo,como en el resto de la materia del Análisis que hemos visto,hubo que esperar al siglo XIX para encontrarle unajustificación rigurosa: la noción actual de integral de unafunción continua es obra del matemático alemán G. F. B.Riemann (1826 – 1866).
Alteramos el desarrollo histórico con fines didácticos.En primer lugar introducimos el concepto de función primitivay lo usamos para hacer aparecer la integral indefinida comooperación inversa a la derivada. Es muy importante queaprendas los rudimentos de la integración y que seas capazde resolver con soltura integrales inmediatas, a partir de la tabla de dichas integrales y casi-inmediatas, bien por ajuste directo de constantes, bien usando el método de sustitución. Aparecendespués el método de integración por partes y la integración de funciones racionales. Con todoello se adquieren notables conocimientos del cálculo integral, que permiten enfrentarse con éxitoa su posible ampliación.
Si el cálculo del área hizo aparecer la integral, tenemos que estudiar de dónde surge la ideay cómo la relacionamos con el área. Aparecen la integral definida, el teorema fundamental delcálculo y la Regla de Barrow. En este punto, hemos de mostrar que, aunque la integral se inventecomo herramienta para el cálculo de áreas, hay que distinguir entre dicho cálculo y la integraldefinida. Una vez aclarada la diferencia, abordamos el cálculo del área encerrada por una funcióny el eje OX, y también el cálculo del área encerrada por dos o más funciones.
A partir de lo señalado, esta Unidad tiene como objetivos los siguientes:
1. Calcular la función primitiva de una función.
2. Calcular integrales inmediatas y casi-inmediatas.
3. Calcular integrales por los métodos de sustitución e integración por partes.
4. Calcular integrales de funciones racionales sencillas.
5. Calcular integrales definidas.
6. Calcular áreas encerradas por funciones.
L
● Arquímedes de Siracusa.(Wikipedia.org. Dominio público)
253
Función primitiva
Integral indefinida
Integrales inmediatas
Integrales casi -inmediatas
Integración por partes
Ajuste de constantes
Método de sustitución
Integración de funciones racionales
Integral definida
Teorema Fundamental del Cálculo
Regla de Barrow
Cálculo de áreas encerradas por funciones
Cálculo de la longitud de arco
Cálculo de la superficie y del volumen de uncuerpo de revolución
Aplicaciones a la Física
1. INTEGRAL INDEFINIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
1.1. Función primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
1.2. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
1.3. Cálculo de integrales indefinidas inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
2. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
2.1. Integración por sustitución o cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
2.2. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
2.3. Integrales racionales sencillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
3. INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
3.1. Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
3.2. Teorema fundamental del Cálculo. Regla de Barrow. Derivada de una integral. Cálculo de integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.3. Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
3.4. Aplicaciones de la integral en la Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Í N D I C E D E C O N T E N I D O S
254
1. Integral indefinida
1.1. Función primitivaSe dice que F es una función primitiva o primitiva de f si F' (x) = f (x). Por lo tanto, intentamos reconstruir una
función F a partir del conocimiento de su derivada f.
Por ejemplo, como es una primitiva de f (x) = x . También (sen x)' = cos x ⇒
F(x) = sen x es una primitiva de f (x) = cos x. Observa que hay que retroceder usando como guía las reglas de laderivación.
Un hecho importante es que la primitiva no es única, pues si sumamos una constante cualquiera a la primitiva,
la nueva primitiva sigue siendo primitiva de la misma función: . Por ello hay
que escribir siempre F(x) + k, k ∈R, donde k designa a la constante. Esta constante tiene distintas interpretacionesy toma diferentes valores, dependiendo del contexto en el que aparezca la primitiva.
La siguiente tabla muestra las primitivas que se obtienen directamente:
La primera primitiva es el resultado de la regla : la derivada baja
el grado en una unidad; al retroceder hay que sumar uno y, como el exponente
multiplica al derivar, hay que dividir por él:
Esta fórmula sirve también para exponentes negativos y fraccionarios, salvo paran= –1. Si intentas aplicársela queda como primitiva x
0__0 , que no es válida. En este caso
f (x) = 1_x , que procede de derivar F(x) = ln |x|. Es necesario el valor absoluto porque
Las otras primitivas son una aplicación directa de la derivada de las funciones
conocidas. Hay que hacer notar la similitud entre las primitivas de y de
. Podríamos escribir también –arc cos x y –arc sen x, respectivamente,
aunque mantendremos los resultados escritos en la tabla anterior.
−
−
11 2x
11 2− x
lnln ,ln ,
ln , .xx si x
x si xx
xx=
−( ) <>
⎧⎨⎪
⎩⎪⇒ ( )′ = ≠
00
1 0si
x x x x23
13
13
232
3 23
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟′= ⇒ =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
′− −
.
x x x x3 2 23
33( )′ = ⇒ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟′
.
x nxn n( )′ = −1
x x senx x2
21 7+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟′= −( )′ =; cos
x x F x x2 2
2 2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟′= ⇒ =( )
LA INTEGRAL
10UNIDAD
Función Primitiva
x n, n∈ R–{–1} xn
nn+
+≠ −
1
11,
1_x ln x
cos x sen x
sen x – cos x
ex ex
1 122+ =tg x
xcostg x
11 2− x
arc sen x
−
−
11 2x
arc cos x
11 2+ x
arc tg x
255
1.2. Integral indefinidaUsando la idea de función primitiva, definimos la integración como la inversa de la derivación:
la integral deshace lo que la derivada hace y viceversa (ver gráfico). Al no ser la primitiva única,se vuelve a una familia de funciones que difieren en una constante, no a la función de partida.
Aunque en el gráfico hemos representado la integral indefinida con I, en la práctica se usa el símbolo ∫, que
semeja una S alargada. Escribimos la integral como El término dx (que se lee
diferencial de x) indica únicamente cuál es la variable respecto de la que integramos; procede de la notación de
Leibniz . Esta segunda notación, más antigua, es la que usaremos, pues tiene ventajas a la hora de
enfrentarse a integrales complicadas. Todo lo que aparece bajo el símbolo ∫, salvo el diferencial, se denominaintegrando. No podemos quitar este símbolo hasta que no demos la primitiva del integrando.
Hay una tabla de integrales inmediatas, que consiste en la tabla de primitivas rescrita con la notación paralas integrales. Hay que aprendérsela de memoria:
f x dfdx
'( ) =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
f F k f x dx F x k= + = +∫ ∫ ó ( ) ( ) .
Derivada
Integral
Integrales inmediatas
x dx xn
k n Rnn
∫ =++ ∈ − −{ }
+1
11,
dxx
x k∫ = +ln
e dx e kx x∫ = + senx dx x k∫ = − +· cos
1 22+( ) = = +∫ ∫tg x dx dx
xtgx k
coscos ·x dx senx k∫ = +
dxx
arc sen x k arc x k1 2−
= + = − +∫ cos dxx
arc tg x k1 2+
= +∫
a)
b)
c)
dx x k
x dx x k x k
x dx x
= +
=++ = +
=++
∫
∫+
+
.
.22 1 3
99 1
2 1 3
9 1kk x k
dxx
x dx x k x kx
k
= +
= =− +
+ =−+ = − +
∫
∫∫ −− + −
10
55
5 1 4
4
10
5 1 41
4
.
.d)
ee)
f)
dxx
x dx x k x k x k
x
6
16
16
1 56 56
27
16 1
65
65
= =− +
+ = + = +−
− +
∫∫ .
∫∫ ∫= =++ = + = +
+
dx x dx x k x k x k27
27
1 97 97
27 1
79
79
.
E j e m p l oE j e m p l o
1. Calcula las siguientes integrales:
256
LA INTEGRAL
10UNIDAD
Hay que escribir los radicales como potencias fraccionarias y las x del denominador como potencias negativas.Derivando la primitiva comprobamos que la integral está bien resuelta.
1.3. Cálculo de integrales indefinidas inmediatasLas propiedades de linealidad sirven para calcular integrales más complicadas, haciendo las veces del álgebra
de derivadas. Sólo hay dos:
● La integral de una suma es igual a la suma de las integrales.
● La integral del producto de una constante λ por una función es igual a la constante
por la integral de la función.
Estas propiedades suelen abreviarse escribiendo . Es decir, sacamos las constantes
multiplicativas e integramos las funciones. Observa que son las propiedades recíprocas a las derivadas de unasuma de funciones y del producto de una constante por una función. Sólo se escribe una constante k en la primitiva.
λ μ λ μf g f g+( ) = +∫ ∫∫
λ λ λf f R( ) = ∈ ≡∫∫ ,
f g f g+( ) = + ≡∫ ∫∫
a)
b)
.
x x dx x dx xdx x x k
x dx x dx
2 23 2
3 25 5
+( ) = + = + +
=
∫∫∫cos · cos · == +
= = +
= =
∫∫∫∫
−
5
818
18
7 7 733
senx k
dxx
dxx
x k
xdx x dx x
.
.
c)
d)
ln
−−
−+ = − +
= = + =
∫∫2
2
38 38
118
27
2
11111
111 11
8
8121
kx
k
x dx x dx x k x
.
e) 1118
6 7 6 7 6 7 6 7
+
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + = + = +
∫∫ k
ex
dx e dxx
dx e dx dxx
ex x x x
.
f) lnn x k
xdx
xdx dx
xdx x k
+
++⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=+
+ =+
+ +
∫∫∫∫∫
∫∫ ∫
.
g) 31
1 31
3 112 2 2 == + +∫ 3arc tg x x k.
Se calcula la integral directamente, sin esccribir detalladamente la propiedad:
h) 3 71
952 2x
x x−
−+
cos⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = + + +
− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
∫ dx x arc x tgx k
ex x
dx ex
6
4
27 9
8 53
2 8
cos .
i) xx xx
k
senxx x
dx x ar
− − +
+−
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = − +
∫53
23
2 111
5 2 11
3
2 2
ln
cos
.
j) cc sen xx
k+ +∫5 .
E j e m p l oE j e m p l o
2. Calcula las siguientes integrales:
257
2. Métodos de integración
2.1. Integración por sustitución o cambio de variableSe habla de integrales casi-inmediatas cuando la función que debemos integrar puede convertirse de forma
sencilla en una integral inmediata. Podemos distinguir dos tipos:
● Un primer tipo en el que efectuando las operaciones indicadas (sumas, restas, productos, divisiones …)pasamos a tener integrales inmediatas.
● Un segundo tipo en el que habitualmente se reconoce la derivación siguiendo la regla de la cadena, es decir,aparece una función y su derivada, salvo constantes que multiplican.
1. a) b) Calcula: x x x dx x x dx3 2 35 24 7 9 1+ +( ) − + +( )∫ ∫; ..
Halla: 2. a) b) 3 23
14
6 51
73 2− + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
−∫ x x xdx
x; ccos
cos
x ex
dx
x x
x+ −−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− −
∫ 9 81
7 1
2
2 78
.
Averigua: 3. a) 22 3 7 8 473 2
xdx x x x dx
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − + −( )∫ ∫; b)
4. a)
.
Calcula: b) 9 5 31
8 5 9 625
2x senx
xdx e
xx dxx+ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟∫ ∫; .
55. a) b) Halla: 6 6 5 37
4 32 35+ − +( ) + −∫ tg x x x dx
x xsen; xx dx⎛
⎝⎜⎞⎠⎟∫ .
A c t i v i d a d e s
3.
a)
Calcula las siguientes integrales:
3 52 3x x x−( ) ++( ) = − + −( ) = − + − +∫∫ 2 3 5 6 102
32
103
5 4 3 26
54 3
x dx x x x x dx x x x x k.
b)) 2 5 1 2 5 1 23
51
23
4 2
22
2
3 1 3x xx
dx xx
dx x x x k x− + = − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − +−+ =∫
−
−− − +
+ − = + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∫−
5 1
4 3 72
2 32
72
2 32
12
12
xx
k
x xx
dx x x x d
.
c) xx x x x k∫∫ = + − +45
75
3 .
Al efectuar los productos y cocientes, see obtienen integrales inmediatas.
Calcula: 4. a) e dxx7∫ ;; ; ; ; b) c) d) 5 4 71
3 722 5
cos xdx xx
dx x x dx∫ ∫ ∫+−( ) .e) tg xdx
Solución
2∫:
E j e m p l o sE j e m p l o s
258
Fíjate en que hemos de tener cierta idea sobre la posible primitiva. Además, conforme se complica el integrando,el ajuste de constantes se vuelve más difícil. Por esta razón se usa el método de sustitución o de cambio devariable, que consiste en cambiarle el nombre a la función cuya derivada aparece, de modo que tras dicho cambio
quede una integral inmediata. También hay que cambiar el diferencial: si hacemos
Al hacerlo, debe
desaparecer la variable x, quedando una integral inmediata en z, que se integra tal y como hemos hecho con lasde x. Al final, se deshace el cambio, volviendo a la variable original.
dz z dx dx dzz
= ⇒ = . El cambio de var''
iiable lo escribimos simbólicamente como: f z
dx dzz
→
→
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫
'⎬⎬⎪
⎭⎪.
z f x z dzdx
= ( ) = ⇒ entonces '
LA INTEGRAL
10UNIDAD
: hay que
a) e ex x7 77( )′ = mmultiplicar por 7 para que sea inmediata. Para no cambiar el valor, si multiplicamos por
7 dividimos tammbién por 7: e dx e dx e k
sen x
x x x7 7 717
7 17
4
= = +
( )′ =
∫∫ .
b) 44 4cos x: falta multiplicar por 4. Como antes, multiplicamoss y dividimos por un mismo número:
5 4 5cos xdx =44
4 4 54
4
1 21
22
cos
ln
xdx sen x k
x xx
= +
+( )( )′ = +
∫∫ .
: falta c) multiplicar por 2. Se multiplica y se divide por 2: 72
xx ++
=+
=
= +( ) +∫ ∫1
72
21
72
1
2
2
dx xx
dx
x k . No es necesaln rrio el valor absoluto para el argumento del neperiano, porrque siempre es positivo.
: d) x x x2 6 2 57 12 7−( )( )′ = −( ) falta multiplicar por 12. Se multiplica y se divide por 112:
.3 7 312
12 7 14
72 5 2 5 2 6x x dx x x dx x k−( ) = −( ) = −( ) +∫∫
e) Este es un ejemplo de idea feliz: como tgx( )′ = 11 2+ tg x, falta un 1 sumando en el integrando para que sea iinme-
diata. Pues se lo sumamos y, para no cammbiar el valor, se lo restamos:
tg xdx tg x dx2 21 1= + −( ) =∫∫ = +( ) − = − +∫∫ 1 2tg x dx dx tgx x k
Calcula: ; .
a) b)
a)
8 1 723 3 52x x dx xe dx
Solución
x⋅ −∫ ∫ −
:
1 2 1 8 11 2
2
2 2 23
2
−( )′ = − ∝ ⇒ = − ⇒ − == − ⇒ = −
=−
⎧⎨∫x x x z x x x dx
z x z x
dx dzx
'⎪⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= ⋅ ⋅
−=
= − = − + = − −( )
∫ 8 2
4 3 3 1
13
13
43 2 4
3
x z dzx
z dz z k x ++∫ k.
E j e m p l o sE j e m p l o s
5.
259
El símbolo se usa para indicar la proporcionali∝ ddad. Fíjate en que, al hacer el cambio, en z sólo va la fuunción, no el exponente, que ya pondremos después..
b) e xe xe z e xe dxz e
x x x x x3 5 3 5 3 5 3 5 3 52 2 2 2 26 7− − − − −( )′ = ∝ ⇒ = ⇒ =
=∫
33 5 3 5
3 5
2 2
2
6
6 67
6
x x
x
z xe
dx dzxe
dzxz
xz dzxz
− −
−
⇒ =
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= =∫
' 776
76
76
6 3 2
3 5
2 3 2
2
dz
z k e k
x x
x
=
= + = +
+( )
∫
− .
Calcula: a) ddx xx
dx
Solución
x x x z x
∫ ∫
+( )′ = ∝ ⇒ = + ⇒
; .
b)
a)
ln
:
3 2 9 3 23 2 2 3 66 3 23 2 9
9
6
2 3 23 2
2
x x dxz x z x
dx dzx
+( ) == + ⇒ =
=
⎫⎬⎪
⎭⎪=
⎧⎨⎪
⎩⎪
=
∫'
xx z dzx
z dz z kx
k
xx
z
2 22
23 3 3
923
29
2 3 29
1
⋅ ⋅ = = + =+( )
+
( )′ = ⇒ =
∫∫ .
b) ln lln lnln '
x xx
dx
z x zx
dx dz
x
xdzzx
xdz zdz⇒ =
= ⇒ =
= =
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
= =
1
1== + =
( )+∫∫∫
z kx
k2 2
2 2ln
. No puede
escribirse el valor absoluto del argumento, pues el integrando sólo existe paara los valores de x positivos.
Calcula: ; a) b41 3+∫ x
dx ))
a)
.
Solución:
−+
+( )′ = ∝ = + ⇒+
==
∫5
4 7
1 3 3 1 3 41 3
2xx
dx
x k z xx
dxz
;11 3 3
3
43
43
43
43
1 3+ ⇒ =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= = = + = +∫∫∫
x z
dx dz zdz dz
zz k x
'ln ln ++
+( )′ = ∝ ⇒ = + ⇒ −+
== + ⇒ =
k
x x x z x xx
dxz x z x
dx
.
'b) 4 7 17 4 7 5
4 7
4 7 142 2
2
2
==
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= − = − =
= − +
∫ ∫∫dzx
xz
dzx
dzz
z k
14
514
514
514
ln == − +( )+514
4 7 2ln x k. No es necesario el valor absoluto para eel argumento del neperiano, porque
siempre es posiitivo. Los ejemplos anteriores se pueden hacer ajuustando constantes y sería conveniente que así fuera para adquirir agili-
dad en el cálculo de primitivas. OObserva que el responde a y el 5 b) e f x ef x f x( ) ( )( )′ = ( )' 77
7
a .
El se generaliza como
ln'
f xf xf x
( )( )′ = ( )( )
:: . Este resultado se usa para integrar dxax b
ax b k+
= + +∫ ln ffunciones racionales.
A veces hay que operar en el integrando, incluso después de haber hecho el cambio.
6.
7.
260
LA INTEGRAL
10UNIDAD
Calcula: ; .
a) b)
a
75 3
3 252++
∫ ∫xdx x
x xdx
Solución
lnln
:)) Se parece a un arco tangente. Hay que llevar a que el ddenominador sea :
1
5 3 5 1 35
5 1 35
2
22
+
+ = +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜
z
x x x⎞⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⇒
+=
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∫∫2
2 27
5 375
1 35
dxx
dx
x
. Ahora podemos hhacer el cambio
o ajustar constantes. En ambz x= 35
oos casos queda 75
53
35
7 1515
35
· arc tg x k arc tg x⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ + =
⎛
⎝⎜⎜
⎞⎞
⎠⎟⎟ +
( )′ = ⇒ = ⇒ + == ⇒ =
=
k
xx
z x xx x
dxz x z
x
dx d
.
b) ln ln lnln
ln '1 3 2
5
1
zz
xxdz
zxz
xdzz
dz dz
1
3 25
35
25
3
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
= + = + =
=
∫ ∫ ∫∫
55
25
35
25
ln ln ln lnz z k x x k+ + = ( )+ + . No puede escribirse el valorr absoluto del argumento, pues el
integrando sólo existe para los valores de x positivos.
Calcula: a) sen2xx xdx sen xdx xdx
Soluciónz se
cos cos
:∫ ∫ ∫
=
; ; . b) c)
a)
3 5
nnx z x
dx dzz
dzx
z x dzx
z dz z⇒ =
= =
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= = = +
' cos
' coscos
cos2 2
3
3kk sen x k
sen xdx sen xsenxdx x senxdx s
= +
= = −( ) =
∫∫
∫
13
1
3
3 2 2
.
b) cos eenxdx xsenxdx x x k− =− + +∫∫∫∫ cos cos cos2 313
.
Observa que tennemos la fórmula (la funcf x n f x f xn n( )⎡⎣ ⎤⎦( )′ = ( )⎡⎣ ⎤⎦ ( )−1· ' iión elevada a una potencia multipli-
cada por su derrivada). Por ello, , sen x xdx sen x k xsenxdx5 6 716
cos cos= + =∫ −− +∫18
8cos x k.
Cuando el exponente de la razón trigonoméétrica es impar (2 1), se descompone en el producto de ln + aa razón elevada a par (2 ) por la razón. Así, todas n sson inmediatas, sin más que seguir la pauta del presente eejemplo.
c) cos cos cos cos5 4 2 2 21 1 2xdx x xdx sen x xdx sen∫ = = −( ) = − xx sen x xdx
xdx sen x xdx sen x xdx se
+( ) =
= − + =
∫∫∫ 4
2 42
cos
cos cos cos nnx sen x sen x k
sen xdx
− + +∫∫∫
∫
23
15
3 5
4
.
Calcula: ; a) b) cos66 xdx
Solución∫ .
:
8.
9.
10.
261
a) Aquí no sirve el método anterior. Ahora hay que quitarr el exponente recurriendo al ángulo doble:
sen x2 == − = +
= −
1 22
1 22
1
2
4
cos ; cos cosx x x
sen xdx
. En este caso:
ccos cos cos co22
14
1 2 2 2 14
14
2 14
22x dx x x dx x sen x⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= − +( ) = − +∫∫∫ ss2 2xdx∫ . Volvemos a
aplicar la fórmula, teniendo een cuenta que cada vez que la usemos tenemos que duplicar el ángulo de partida.
cos cos2 2 1 42
12
18
xdx x dx x se= + = + nn x
sen xdx x sen x x
4
14
14
2 18
4
∫∫
∫ = − + +
. La integral queda:
1132
4 38
14
2 132
4sen x k x sen x sen x k+ = − + + .
Dado que la integgral de partida ni lleva ángulos dobles ni cuádruples, debbemos operar para que la primitiva quede en funcióón de : x sen x senx x sen x sen x x x x2 2 4 2 2 2 2 2 2= = = −cos , cos , cos cos 11 1
38
38
2 2
4
, cos
cos
sen x x
sen xdx x senx
= −
= −∫
.
Se obtiene: xx sen x x k
xdx x dx x
− +
= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + +
14
1 22
18
1 3 2
3
63
cos
cos cos cos
.
b) 33 2 2 2 1 42
12
1
2 3 2cos cos cos cosx x dx xdx x dx
x
+( ) = + =
+
∫∫∫ ∫∫;
88
4 2 2 2 1 2 2 23 2 2sen x xdx x xdx sen x xdx xd; cos cos cos cos cos= = −( ) =∫∫∫ xx sen x xdx
sen x sen x
− =
−
∫∫ 2
3
2 2
12
2 16
2
cos
. La integral qqueda:
cos6 18
316
2 316
364
4 116
2xdx x sen x x sen x sen x∫ = + + + + −
.
Igual que antes, se obtiene operan
− +148
23sen x k
ddo: .cos cos cos cos6 3 5516
516
524
16
xdx x senx x senx x senx x k∫ = + + + +
CCalcula: .
En este tipo de integrales se
1 2−∫ x dx
Solución :uusan las funciones trigonométricas seno o coseno:
x sentd=
xx tdtsen t t dt tdt t dt t
=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭= − = = + = +∫cos
·cos · cos cos1 1 22
12
14
2 2 ssen t k
t arc sen x x dx arc sen
2
1 12
2
+
= ⇒ − =
∫∫ .
Deshacemos el cambio xx sent t k arc senx x x k
x dx
So
+ + = + − +
−
∫∫
12
12
12
1
3 7
2
2
cos .
Calcula: .
llución
x dx x dxx sent t arc sen x
:
3 7 3 1 73
73
732
2
− = −⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
= ⇒ =⎛
⎝∫⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= ⇒ =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=
= =
∫73
37
37
32
dx tdt dx tdt
tdt
cos cos
cos22 7
32 7
73
3 72
2
t sent t k arc sen x x x k+( ) + =⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ +
− +∫ cos .
11.
12.
262
2.2. Integración por partes¿Cómo podremos integrar cuando hay un producto, pero una función no es la derivada de la otra? Recordemos
que la derivada de un producto de funciones es o, usando los diferencialesy sobreentendiendo que tanto u como v son funciones de la variable x, d (u · v) = v · du + u · dv, por lo que u ·dv = d (u ·v) - v ·du e integrando queda . Ésta es la fórmula habitual de lo que se conoce
como integración por partes. El quid está en que la integral de la derecha sea más sencilla que la de la izquierdao directamente inmediata. Para ello, hay que elegir las funciones u y dv convenientemente. Como du se obtienederivando y v integrando, la pauta habitual es elegir dv como una integral inmediata. Con u y dv tenemos querecoger todos los términos del integrando. Veamos los casos habituales:
udv u v v du= ⋅ − ⋅∫∫
u v x u x v x u x v x⋅( ) ( ) = ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )' ' '
LA INTEGRAL
10UNIDAD
Calcula: ; ; .a) b) c)xe dx xdx arc tgxdx
Solución
x∫ ∫ ∫ln
:
aa) Aquí se integran bien tanto como . Sin embargo, lx ex aa primitiva de es , lo que nos complicaría la integrx x 2
2aal
de la derecha. Por lo tanto, procederemos así:
xe dxu x du u dx dx
dv e dx v e dx exex
x x xx=
= ⇒ = =
= ⇒ = =
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪=
∫∫'·
−− = − + = −( ) +∫e dx xe e k x e kx x x x1 .
En este caso sólo tenemos lb) aa posibilidad siguiente:
lnln '·
xdxu x du u dx dx
xdv
== ⇒ = =
= ddx v dx xx x x dx
xx x x k x x k
⇒ = =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= − = − + = −( )+
∫∫ ∫ln ln ln 1 .
c) IIgual que en : b) arc tgxdxu arc tgx du dx
xdv dx v dx
∫∫
== ⇒ =
+= ⇒ = =
1 2
xxxarc tgx x
xdx xarc tgx x k
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= −
+= − +( )+∫ 1
12
122ln .
Calcula:: ; ; .a) b) c)x e dx x xdx arc senx dx
Soluc
x2 3 23−∫ ∫ ∫ ( )cos
iión
x e dxu x du xdxdv e dx v e
xxx x
:
a) 22 2−− −∫ =
= ⇒ == ⇒ = −
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= − 22 2e xe dxx x− −+ ∫ . La integral de la derecha también hay que rresol-
verla por partes, pero no podemos llamar u a lo que antes llamamos dv, pues llegaríamos a que la integgral es
igual a ella misma. xe dxu x du dxdv e dx
xx
−−
== ⇒ == ⇒⇒ = −
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭= − + =− −
= −
−− − − −
−
∫ ∫
∫v e
xe e dx xe e
x e dx x e
xx x x x
x
;
2 2 xx x x xxe e k x x e k
x xdx u x du x d
− − + = − + +( ) +
== ⇒ =
− −
∫
2 2 2 2
3 3
2
33 2
.
b) cos xxdv xdx v senx
x senx x senxdx= ⇒ =
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭= − ∫cos
3 93 2 ;
E j e m p l o sE j e m p l o s
13.
14.
263
x senxdx u x du xdxdv senxdx v x
x22
22∫ = = ⇒ == ⇒ = −
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭= −
coscos xx x xdx
x xdxu x du dxdv xdx v senx
+
== ⇒ == ⇒ =
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
∫2 cos
coscos
;
== − = +∫∫ xsenx senxdx xsenx xcos . Agrupando adecuadamente
los datos obtenidos se tiene que: 3 33 3x xdx x secos∫ = nnx x x xsenx x k x x senx x x k+ − − + = −( ) + −( ) +9 18 18 3 6 9 22 2 2cos cos cos .
c) arc senx dxu arc senx du arc senx
xdx
dv dx v x( ) =
= ( ) ⇒ =−
= ⇒ =
⎧⎨∫ 2
2
2
21
⎪⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= ( ) −
−
−
∫x arc senx xarc senxx
dx
xarc senxx
2
2
2
21
1
;
∫∫∫
== ⇒ =
−
=−
⇒ = − −
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
= −u arc senx du dx
x
dv xdxx
v x
1
11
12
22
−− +
( ) = ( ) +
∫
∫
x arc senx dx
arc senx dx x arc senx
2
2 2 2 1
· . Queda:
−− − +
∫ ∫x arc senx x k
e senxdx e xdxx x
2
4
2
5
·
cos
.
Calcula: ; a) b) ;; .
c)
a)
e xdxSolución
e senxdxu senx du
x
x
−∫
∫ == ⇒ =
2 7cos:
cos xxdxdv e dx v e
e senx e xdx
e xdxu
x xx x
x
= ⇒ =⎧⎨⎩
⎫⎬⎭= −
==
∫ cos
cosc
;
oos
cosx du senxdx
dv e dx v ee x e senxdxx x
x x⇒ = −= ⇒ =
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭= +∫ ∫ .
¡Llegamos a la misma integral! No obstante, se resuelve ssin problemas. Llamando , se tiene que
I e senxdx
I
x= ∫== − − ⇒ = −( )⇒ =
−( )+e senx e x I I e senx x I
e senx xkx x x
x
cos coscos
22
.
Estas integrales son cíclicas, pues las dos funciones, ee senx
e xdxu e
x
x
x
y , se repiten al derivar.
b) 4
4
5cos∫ == ⇒ ddu e dx
dv xdx v sen xe sen x e sen
xx
x=
= ⇒ =
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= −
4
5 55
55
45
44
4
cos55
54
5 54
4 4
xdx
e sen xdxu e du e dx
dv sen xdx v xx
x x
∫
== ⇒ =
= ⇒ = −
;
cos55
55
45
54
4⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪=− +
=
∫ ∫e x e xdx
I e
xxcos cos . Llamamos
444 4
5 55
4 525
1625
4125
xx x
xdx I e sen x e x I Icos cos∫ = + − ⇒ y se tiene ==
+( )⇒
⇒ =+( )
+
5 5 4 525
5 5 4 541
4
4
sen x x e
Isen x x e
k
x
x
cos
cos .
c) Como conocemos la estructura de la solución, podemos deccir que .
Si deriva
e xdx Asen x B x ex x− −∫ = +( )2 27 7 7cos cos
mmos ambos miembros tendremos: e x e A x Bsenx x− −= −2 27 7 7 7cos cos 77 2 7 2 77 2 12 7 0
x Asen x B xA BA B
− −( )⇒
⇒− =+ =
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
cos
. Resolvieendo el sistema se obtiene A B Isen x x
= = − ⇒ =−( )7
53253
7 7 2 7,
cos eek
x−
+2
53.
Repite los apartados y usando este pa) b) rrocedimiento.
15.
264
LA INTEGRAL
10UNIDAD
2.3. Integrales racionales sencillasSe habla de integrales de funciones racionales cuando el integrando es un cociente de polinomios p(x)___
q(x) . Tienenuna ventaja: hay un método que conduce al resultado. También un inconveniente: el cálculo puede ser muy pesado.Dependiendo de los resultados de la factorización del denominador, hay 5 posibilidades:
1. El denominador tiene raíces reales sencillas.2. El denominador tiene raíces reales simples y múltiples.3. El denominador tiene raíces complejas.4. El denominador tiene raíces reales simples y complejas.5. El denominador tiene raíces reales simples y múltiples, así como complejas.
El grado del numerador siempre ha de ser menor que el del denominador. Si no es así, se divide quedando
. Veamos con ejemplos cada uno de los casos:p xq x
c xr xq x
( )( )
= ( ) + ( )( )
Calcula: ; ; Te ofa) b) c)xx x
dxx x
dx−− +( ) −( )∫ ∫
14
61 33 2 rrecemos este otro ejemplo para profundizar:
3 54 72
xx x
dx++ +∫∫ .
En primer lugar resolvemos la ecuación Solución
DE:
a) NN x x x x( ) = ⇒ − = ⇒ = ±0 4 0 0 23 , . Después planteamos la
ecuacióón . Observa que xx x
Ax
Bx
Cx
xx x
dx Ax
dx Bx
−−
= +++
−−−
= +∫14 2 2
143 3 ++
+−
=
= + + + − +
∫∫∫ 2 22 2
dx Cx
dx
A x B x C x k
. La ecuación esln ln ln . Tenemos dos caminos
A x x Bx x Cx x x+( ) −( ) + −( )+ +( ) = −2 2 2 2 1:: plantear y resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 inccógnitas o dar valores conve-
nientes (las raíces dell denominador) a la para hallar los coeficientes. x x = ⇒ −0 44 1 14
2
8 3 38
2 8 1 18
A A x
B B x C C
= − ⇒ = = − ⇒
= − ⇒ = − = ⇒ = ⇒ =
;
; . Por lo tannto,
Fíjate en
xx x
dx x x x k−−
= − + + − +∫14
14
38
2 18
23 ln ln ln .
que hay tantas fracciones como factores tenga el denominaador y que la primitiva es una suma de lo- garitmos neeperianos.
Como el denominador está factorizado, este pb) aaso lo saltamos. Ahora hay que plantear la ecuación
661 3 1 3 3
612 2x x
Ax
Bx
Cx x x+( ) −( )
=++
−+
−( ) +( ). Observa que ahora
−−( )=
++
−+
−( )= + + − −
∫ ∫ ∫
∫
3 1 3
31 3
2
2
dx Ax
dx Bx
dx
Cx
A x B x C + ln lnxx
k A x B x x C x−+ −( ) + +( ) −( ) + +( ) =
33 1 3 1 62. La ecuación es .
SSólo tenemos dos raíces, con las que determinamos dos coeeficientes. Para el tercero damos otro valor a la :
x
Luegx A A x C C x A B C B= − ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = ⇒ − + = ⇒ = −1 16 6 38
3 4 6 32
1 4 4 2 6 38
; ; . oo
.61 3
38
1 38
3 32 32x x
dx x xx
k+( ) −( )
= + − − −−( )
+∫ ln ln
E j e m p l o sE j e m p l o s
16.
265
c) tiene dos raíces complejas conjugadas. Recordx x2 4 7 0+ + ≠ ⇒ aando los trinomios cuadrados perfectos podemos escribir:
. Por lo tantox x x x2 22
4 7 2 3 3 1 23
+ + = +( ) + = + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
,, en la primitiva va a haber un arco tangente. Si el numerrador fuera sólo un número,
la primitiva sería ese arcco tangente, pero, al tener también , aparecerá un neperx iiano, porque siempre podremos tener la derivada del denomii- nador en el numerador. Para ello, como x x2 4 7+ +( ) =' 22 2 2x x x+( ) +, cambiamos la del nume rador por y ajustamos el término indepen-
diente: 3 2 3 6 3 5 3 2 1x x x x+( ) = + ⇒ + = +( )− .. 3 54 7
3 2 14 7
3 24 7
12 2 2
xx x
dxx
x xdx
xx x
dxx
++ +
=+( )−+ +
=+( )
+ +−∫ ∫ ∫ 22
2
22
4 732
4 7
13
1 23
32
4
+ += + +( )−
−+ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= +
∫
∫x
dx x x
dxx
x x
ln
ln ++( )− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +7 3
32
3arc tg x k
Calcula: ; ; a) b) c)xx x x
dx xx x
dx+− − −
+−( )∫ ∫
23 11 2 8
5 143 2 2
a)
.
Usando Ruffini se obtiene
7 22 3 32
xx x
dx
Solución
−+ +∫
:qque . Hacemos
3 11 2 8 4 3 22
3 11
3 2 2
3
x x x x x xx
x x
− − − = −( ) + +( )+
− 22 22 8 4 3 2− −=
−+ +
+ +xA
xMx Nx x
. El numerador del polinomio irreduucible de 2º grado debe ser un bi-
nomio de primer grrado . De esta segunda fracción obtendremos un neperiMx N+ aano y un arco tangente.
La ecuación es ahora: A x x3 2 + ++( )+ +( ) −( ) = + = ⇒ = = ⇒ − = ⇒
= − =
2 4 2 4 19
0 2 4 2
49
1
Mx N x x x A x A N
N x
; ;
; ⇒⇒ − − = ⇒ = − =6 3 3 3 13
0A M N M x. Como no es raíz, puede usarse paraa calcular .
En caso de que lo fuera, tanto el se
N
ggundo como el tercer valor serían arbitrarios. Ya tenemos que
. xx x x
dx x xx x
dx+− − −
= − − ++ +∫ ∫
23 11 2 8
19
4 19
3 43 23 2 2ln HHay que operar la integral de la derecha:
3 22x x+ +( )) = + = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⇒ + = +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟+ ⇒ +
+ +=
+' 6 1 6 1
63 4 3 1
672
3 43 2
3 16
2x x x x xx x
x(( )+ +
++ +
+ +
3 2
72
3 212
3
2 2
2
x x x x
x x
.
El primer término da ln 22 3 2( ) +. Para el segundo hay que operar el denominador: x x ++ =
= + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟+ −
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥=
2
3 13
23
3 16
23
136
3 222
x x x · 3336
16
236
2312
6 123
1
22x x+⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥⎥
. Aparece como
derivada del argumento, luego
623
hhabrá que dividir por él: 7
223
12
236
623
1 6 123
72. ·
+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⇒x
22323
6 123
23 13
arc tg x
xx
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+−
.
Resumiendo se tiene: 11 2 8
19
4 118
3 2 7 23207
6 1232
2
x xdx x x x arc tg x
− −= − − + +( )− +⎛
⎝⎜
⎞
⎠∫ ln ln ⎟⎟ + k.
Ahora, para cada factor necesitamos tantas fracciones como sea la multiplicidad de la raíz. Si la raíz es doble, dos(ejemplo resuelto); si la raíz es triple, tres… Observa que si todas las raíces son simples, necesitamos una fracción porraíz (caso a)).
17.
266
LA INTEGRAL
10UNIDAD
Aunque es preferible aprender el procedimiento para cconvertir el polinomio irreducible en arco tangente, hay uuna
fórmula que reduce el trabajo: dxax bx c
ar22
+ +=
−Δcc tg ax b b ac2 42+
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −∫ ΔΔ, con (discriminante)
A la vista del presente ejercicio, puedes imaginarte lo que suupone la última posibilidad: raíces reales simples y múltiples aderezadas con raíces complejas. Como muestra te ponemos el ejemplo:
5 31 2 1 12 2
xx x x
Ax
B+−( ) −( ) +( )
=−+
xxC
xMx Nx−
+−( )
+ ++2 2 12 2 .
Observa que el coeficiente de laa raíz múltiple es un número , mientras que el del polinC oomio irreducible es un binomio . El procedimieMx N+ nnto es el mismo, sólo cambia la cantidad de cálculos a reaalizar.
b) 5 14 4 4
4 42 22x
x xAx
Bx
Cx
A x Bx x Cx+−( )
= +−+
−( )⇒ −( ) + −( )+ == + ⇒ = =( ) = =( )
= − =( )⇒ +−( )
5 1 116 0 21
4 4
116 1 5 1
4 2
x A x C x
B x xx x
, ,
ddx x xx
k
x x x x
∫ = − − −−( )
+
+ + ≠ + +( )
116
116
4 214 4
2 3 2 0 2 3 22 2
ln ln
, '
.
c) == + = +( ) − = − = +( )− − =4 3 4 34 7 7 2 7 3
421
4 2x x x x, Δ . Por lo tanto,
= +( )− ⇒+( )+ +
−+ +
===
7 34
294
7 34
2 3 2294 2 3 2
74
22 2
23
xx
x xdx dx
x x
ab
ln xx x arc tg x
x x xx
2
3 2
3 2 292 7
4 37
2 1
+ +( )− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− + −
∫∫ .
Calcula: a) 22
2
23 23 3
11
1− ++ ++
++∫ ∫ ∫x
dx x xx
dx xx
dx
Solución
; ; . b) c)
::
: ;a) x x x x x x xx x
x x x3 2 22
22 1 3 2 1 2 33 2
3 2 1− + −( ) − +( ) = + + −− +
− + = −( ) xx
xx x
Ax
Bx
A x B x x
−( )
−− +
=−+
−⇒ −( )+ −( ) = −
2
2 33 2 1 2
2 1 2 32
. Así,
⇒⇒= ⇒ == ⇒ =
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭⇒
⇒ − + −− +
= + +∫
x Ax B
x x xx x
dx x x
1 12 1
2 13 2 2
3 2
2
2
lln ln
:
x x k
x x x xx
x xx
dx
− + − +
+ +( ) +( ) = ++⇒ + +
+=∫
1 2
3 3 1 31
3 31
2 22
2
2
.
b) 33 12
1
11 2
1 21
2
2 2
x x k
xx
dx x tdx tdt
t t
+ +( )+++
===
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭=
+( )∫
ln .
c)++
+( ) +
∫ tdt
t t t
. Efectuamos la división obteniendo
2 2 13 : (( ) = − + −+⇒ +
+= − + − + +∫2 2 4 4
12 2
123
4 4 123 3
2t tt
t tt
dt t t t t kln .
Deeshaciendo el cambio se tiene que 11
23
4 43+
+= − + −∫
xx
dx x x x ln 11
3 3 2 33 6 3
+( )+
− − − − − +∫ ∫
x k
dxx x x
e dxe e
x
x x
.
Calcula: ; .a) b)
SSolución :
a) Como el índice común de las raíces es 6, haccemos el cambio . Se obtiene3
6
6
5
− == −
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪
x tdx t dt
18.
19.
267
, qI dxx x x
t dtt t t
t dtt t
=− − − − −
= −− −
=−− −∫ ∫ ∫3 3 2 3
62
623 6
5
3 2
4
2 uue es una integral racional.
Efectuamos la división . Como et t t t t tt t
t t t t4 2 22
22 3 5 62
2 1 2: − −( ) = + + + +− −
− − = +( ) −( ) sscribiremos
5 62 1 2
13
1632
4
2t
t tA
tB
tA B t
t t+− −
=++−⇒ = − = ⇒
− −,
22 3 23 1
31 16
32
3 2
dt t t t t t= + + − + + −∫ ln ln .
Al deshacer el cammbio y multiplicar por 6, se tiene:
−
= − + −I x2 3 16ln 22 3 3 3 18 3 32 3 23 6 6− − − − − − − − +
=
x x x x k
e t e dx x
ln
,
.
Con el cambio b) xx dt dx dtt
dtt t
= ⇒ =+∫ pasamos a . El denominador factorizad2 3 oo es ,
luego
t t
t tAt
Bt
Ct
A B C
2
2 3 2
1
11
1 1 1
+( )
+= + +
+⇒ = − = =, , ⇒⇒
+= +∫
. Deshaciendo el cambio tenemos:
e dxe e
ex
x xx
2 3 1ln(( ) − − +xe
kx1 .
6. a) b) c)Calcula: ; ; x x dx x x dx3 2 2 31 1 4 7 5+( ) −( ) −( )∫ ∫ .
Halla: ; ;
74 3
5 1 9 45 8
2
23
xx
dx
x x dxx
dx
+
−+
∫
∫ ∫7. a) b) cc)
8. a) b)
.
Averigua: ;
3
28 1
3
2
23
2
x x dx
xx
dx xe x
cos∫
∫+
− ddx xsenx
dx
e dxx
∫ ∫
∫
−
+
; .
Calcula: ;
c)
9. a) b)
35 8
7 3 4
cos
; .
Halla: ;
3 73 5
5 156 42
e dxx
dx
xx x
dx
x−∫ ∫
∫−
++ −
c)
10. a) ; .
Averigua:
b) c)
11. a)
8 97 3 2xe dx
e edx
sen
xx x
−−∫ ∫ +
33 2 2 34 7 3 3xdx xdx sen x xdx∫ ∫ ∫; ; .
Calcul
b) c)
12.
cos ·cos
aa: ; .
Halla:
a) b)
13. a)
cos4 2
2 2
5 36 9
5
xdx x dx
e xx
∫ ∫ −
−− (( ) ( )∫ ∫ ∫dx x xdx arc x dx; ; .
Calcula:
b) c)
14. a)
3 2ln cos
; ; .
Aver
x arc tgxdx xx
dx e sen xdxx2
53
5 3∫ ∫ ∫ b) c)
15.
ln
iigua: ; .
Halla:
a) b)
16.
xx x
dx xx x
dx+− +
−− +∫ ∫
22 1
15 42
2
2
aa) b) c) ; ; coxx x
dx xx x x
dx dxex
3
3 2 3 22
42
1 1++
+− + − +∫ ∫ ∫ nn el cambio .
Calcula: ; ;
z e
dxx
xe dx
x
x
=
−∫ ∫17. a) b)34
1 .
Averigua: .
c)
18.
xx
dx
xx x
dx
4
2
2
94
5 6
++
− +
∫
∫
A c t i v i d a d e s
268
LA INTEGRAL
10UNIDAD
3. Integral definida y sus aplicaciones
3.1. Integral definidaHistóricamente, la integral surge como herramienta para el cálculo de áreas de figuras planas y es anterior a la
derivación. El procedimiento es el siguiente: llamamos al área encerrada por la función continua f, el eje
OX, y las rectas x = a , x = b (zona coloreada). Los puntos a, b que aparecen en laintegral son sus extremos o límites de integración e indican desde y hasta dondequeremos calcular el área. Por comodidad, suponemos f positiva en el intervalo [a,b].Más adelante veremos qué hay que hacer cuando no sea así.
Para calcular el área de la figura, podemos descomponerla en n rectángulos ysumar el área de todos ellos. Este troceamiento del intervalo de integración se llamapartición P, que está caracterizada por su . Obtene-
mos n subintervalos [xi-1, xi ], con x0 = a, xn = b. Si la función es continua, siempre tendrá un mínimo y un máximoen cualquier intervalo [ xi-1, xi ] de la partición P, a los que llamaremos mín (f, [ xi-1, xi ]) y máx (f, [ xi-1, xi ]),respectivamente. Los rectángulos tienen de base b – a____
n y pueden tener de altura:
● mín (f, [ xi-1, xi ]); la Suma inferior (L de Lower, inferior) es la suma del
área de todos estos rectángulos. Es un área por defecto.
● máx (f, [ xi-1, xi ]); la Suma superior (U de Upper, superior) da un área
por exceso.
Claramente , estando acotada la diferencia entre el máximo y el mínimo de la
función en cada trozo de la partición.
Como con toda aproximación, podemos mejorarla volviendo a dividir el intervalopor la mitad. El primer mínimo quedará en uno de los dos nuevos trozos, por loque en el otro el nuevo mínimo es mayor o igual que el antiguo. Por ello, aumentala suma inferior. Si subdividimos, otra vez ocurrirá lo mismo, siendo el nuevo mínimode alguno de los trozos mayor que el antiguo. Se tiene una sucesión monótonacreciente: L (f, P1) ≤ L (f, P2) ≤ L (f, P3) ≤....
El primer máximo quedará en uno de los trozos, por lo que en el otro el nuevomáximo es menor o igual que el antiguo. Así, disminuye la suma superior, sucediendoesto cada vez que subdividimos. Se obtiene una sucesión monótona decreciente: U (f, P1) ≥ U (f, P2) ≥ U (f, P3) ≥....
Además, la diferencia entre ambas sumas se hace cada vez menor, pues, aldisminuir el diámetro de la partición (cuando n →∞, b – a____
n →0), el mínimo y elmáximo se acercan, aproximándose ambos a f (xi). De este modo, si el área por
diámetro anchuran de trozos
b an
= = −º
L f P f x dx U f Pa
b
, ,( ) ≤ ( ) ≤ ( )∫
U f P b an
máx f x xi ii
n
, , ,( ) = − [ ]( )−=∑ 1
1
L f P b an
mín f x xi ii
n
, , ,( ) = − [ ]( )−=∑ 1
1
f x dxa
b
( )∫
a b
f
El área por defecto aumenta
El área por exceso disminuye
269
defecto aumenta y disminuye el área por exceso, y, parece claro que el área existe, tendrán que coincidir. En ese
momento tendremos calculada el área de la figura, definida también como .
Este procedimiento que hemos descrito tan brevemente es en realidad más complicado, tanto en la teoría comoen la práctica:
● A nivel teórico hacen falta varias comprobaciones para demostrar que el límite de las sumas inferiores ysuperiores coincide; éstas exceden del nivel de nuestro libro.
● A nivel práctico, se busca una expresión para L y U como sucesiones; las sumas de estas sucesiones,que se denominan series, pueden ser tremendamente complicadas, incluso para funciones muy sencillas.
Como es una suma, es posible trocearla, de modo que se verifica que
tal que a ≤ c ≤ b. Además, , pues la base de nuestro rectángulo
vale cero. Estos resultados permiten ampliar la integral definida a las funciones que no sean continuas, siempreque las discontinuidades sean de salto finito y el número de discontinuidades sea finito. Para ello, se trocea elintervalo de integración, aislando los puntos en los que aparecen dichas discontinuidades. Del mismo modo,
pues la constante se saca como factor común en todo el proceso de sumas.k f x dx k f x dxa
b
a
b
· ( ) = ( )∫∫
f x dxa
a
( ) =∫ 0f x dx f x dx f x dx ca
b
a
c
c
b
( ) = ( ) + ( ) ∀∫ ∫ ∫ ,
f x dxa
b
( )∫
f x dxa
b
( )∫
Calcula el área encerrada por la función y las rectf x x( ) = aas y
La figura es un triángulo rectáng
x xSolución
= =0 4.:
uulo de área 8 . Dividiendo en trozos obtenemos los inu n2 ttervalos
, cada uno0 4 4 8 4 4 4, , , , , ,n n n
nn
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
−⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
… con un diámetro de . Al ser la recta creciente, el mín4n
iimo de un trozo coincide
con el máximo del anterior. Se tiiene entonces que: mín f
n
máx fn
, ,
, ,
0 4 0
0 4
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥⎥
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜⎞⎠⎟=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜
fn n
mín fn n
fn
4 4
4 8 4
,, , ⎞⎞
⎠⎟=
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
⎛⎝⎜⎞⎠⎟=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
4
4 8 8 8n
máx fn n
fn n
, ,, ,…
mín f , 44 4 4 4 4 4 4
4 4 4
nn
f nn
nn
máx f nn
−⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= −
−⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎛
,
, ,⎝⎝⎜
⎞⎠⎟ = ( ) =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪ f 4 4
. Usando la fórmula de la suma de una
pprogresión aritmética (se pone como denominador común a n)) se obtiene:
L f Pn n n
nn n
n
, · .( ) = + + + + −( )⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
+ −4 0 4 8 4 4 4
0 4 4
… nn nnn
U f Pn n n
nn
n
nn n
n
28 1 4 4 8 4
44 4
28 1
· , ·
· ·
=−( ) ( ) = + + +( ) =
=
+
=+( )
, …
nnL f P U f P
n n. Al tomar límites tenemos: lim , lim , .
→∞ →∞( ) = ( ) = 8
E j e m p l oE j e m p l o
20.
4
4
270
Una cuestión de notación: si llamamos Δxi = xi – xi -1, y suponemos que mín (f, [xi-1, xi ]) = máx (f, [xi-1, xi ])= f(xi) (lo que
ocurre si la anchura del intervalo es suficientemente pequeña), las sumas se escriben como , por lo que
3.2. Teorema fundamental del Cálculo. Regla de Barrow.Derivada de una integral. Cálculo de integrales definidas
Dado lo tedioso del cálculo del área mediante el procedimientode las sumas superior e inferior, averiguaremos el valor de laderivada del área . Observa que como A es función
de x se escribe otra variable en la integral. En el gráfico vemos que:
es calcular primitivas.
Algunas apreciaciones:
● La función dibujada es decreciente en [x, x + h], pero el que fuese creciente en dicho intervalo no cambiael resultado.
● Para poder tomar el límite, y obtener el resultado obtenido, la función f ha de ser continua y la función Aderivable.
Gracias al resultado anterior, conocido como el Teorema fundamental del cálculo, podemos escribir que
. La Regla de Barrow permite que el área no quede en función de una constante arbitraria k;
su demostración es sencilla:
El segundo igual no es más que otra forma de escribir dicha regla usando la barra de las particularizaciones.
Hay que tener cuidado al aplicar el teorema fundamental del cálculo para hallar la derivada de una integral.
Sabemos que ; además , lf t dt F x k f t dt F a ka
x
a
a
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫= + = + = 0 uuego . Como
entonces
k F a f t dt F x F a
f x dx
a
x
a
b
= − = −
=
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )
( ) FF b F a F x x a
x b( ) ( ) ( )− ==
= ( ). Regla de Barrow
f t dt F x ka
x
( ) ( )∫ = +
f x h h A x h A x f x h f x h A x h A xh
f xh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim+ ⋅ ≤ + − ≤ ⋅ ⇒ + ≤ + − ≤ ⇒→00 0
0
f x h A x h A xh
f x f x A x f x Ah
h
( ) lim ( ) ( )
lim ( ) ( ) '( ) ( ) '
+ ≤ + − ≤
≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒→
→(( )x f x= ( )⇒ El área encerrada por la función es su primitiva:: calcular áreas
A x f t dta
x
( ) ( )= ∫
, estableciéndose las equivlimn i i
i
n
a
b
f x x f x dx→∞ =
( ) = ( )∑ ∫Δ1
aalencias , cuando (que es
lo que sucede c
∑→ ∫ → →Δ Δx dx x 0
uuando ).n→∞
f x xi ii
n
( )=∑ Δ
1
LA INTEGRAL
10UNIDAD
f(x+h)
x x+ha
271
Aunque empezamos definiendo la integral definida como el área encerrada por una función,el eje OX y las rectas x=a y x=b, no podemos usarla para esta tarea sin más, pues la integraldefinida es el área si la función es positiva. Por ejemplo, para la función f (x) = x3, el eje OX y
las rectas x=–1, x=1, no podemos decir que su área sea
pues un área no puede ser nula. Encontramos la explicación al representar gráficamentef (x) = x3 en el intervalo [–1, 1]: la función tiene una parte negativa, con su área, y otra positiva,con la suya. Da la casualidad (nada casual, pues no lo habríamos puesto como ejemplo) deque ambas son iguales, pero tienen signos distintos, por lo que se anulan.
Es decir, la integral por sí sola no es capaz de calcular correctamente el área, de ahí que se distinga entreintegral definida, que puede tomar cualquier valor (positivo, negativo o nulo), y el área, que sólo puede ser positiva.
Cuando escribimos entendemos que es una integral definida, por lo que, una vez calculada la primitiva,
usaremos directamente la Regla de Barrow, sin preocuparnos por el signo del resultado. En el siguiente apartadoveremos cómo se calculan las áreas.
Hay dos formas de aplicar la Regla de Barrow si resolvemos la integral mediante el método de sustitución:1. La usamos después de haber deshecho el cambio.2. Cambiamos los límites de integración, escribiendo z1 = z (a), z2 = z (b), con lo que tendríamos que
= F(z2) – F(z1).f x dxa
b
( )∫
f x dxa
b
( )∫
A x dx x u= = = − =− −∫ 3
1
1 4
1
12
414
14
0
En general, ; al derivf t dt F g x F g xg x
g x
( ) = ( )( ) − ( )( )( )
( )
∫1
2
2 1 aar, usando la regla de la cadena, f t dtg x
g x
( )⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠( )
( )
∫1
2
⎟⎟⎟
′=
= ( )( )( )′ − ( )( )( )′ = ( )( ) ( ) − ( )( )F g x F g x F g x g x F g x g2 1 2 2 1' · ' ' · 11 ' '
'
x F x f x
F g x f g x f t d
( ) ( ) = ( )⇒
⇒ ( )( ) = ( )( ) ( )
. Como
, entonces tt f g x g x f g x g xg x
g x
1
2
2 2 1 1( )
( )
∫⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = ( )( ) ( ) − ( )( ) ( )' · ' · ' .
-1
1-+
a) 4 5 1 43
52
16
1232
3686
12
3
1 3 2
3
1
x x dx x x x− +( ) = − + = − − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= =
− −∫
8843
6 9 2 3 2 0 2 2
3
5 2
1
16 3
1
1
1
.
.
b)
c)
x x dx x x x
xdx
e
− +( ) = − + = − = −−
−∫
∫ == = − = − =
= + = +∫
3 3 3 1 3 0 3
1 22 2
1
2
0
2
ln ln ln
cos cos
x e
xdx x dx x sen
e .
d) π 22
4
1 232
0
2
0
2
21
1
11
x
dxx
arc senx
π π
π
π ππ
∫
∫
=
−= = − = −
−−
.
.e)
E j e m p l o sE j e m p l o s
21. Calcula las siguientes integrales:
272
LA INTEGRAL
10UNIDAD
Halla la primitiva de que en vale 7.f xx
x x
Solu
( ) =+− = −6
46 3
cción :Al conocer alguna condición que cumple la función, ess posible calcular : k
xx dx x x k F6
46 6 4 3 32
+−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= +( )− + ⇒ −ln ( )) ln
( ) ln
= − + = ⇒ =
= +(∫ 6 1 27 7 34
6 4
k k
F x x
.
La primitiva buscada es )) − +3 342x .
Averigua la expresión de la velocidad y del espaccio recorrido, en función del tiempo, por un móvil que see desplaza con aceleración constante , si inicialmente a llleva una velocidad y ha recorrido un espacio .v sSoluc
0 0
iión
v t a v x dx adx v t v at v t v at st t
:
' ' '( ) = ⇒ ( ) = ⇒ ( )− ( ) = ⇒ ( ) = +∫ ∫0 0
00 ; tt v t s x dx
v ax dx s t s v t at s t
t
t
( ) = ( )⇒ ( ) =
= +( ) ⇒⇒ ( )− ( ) = + ⇒
∫
∫
'0
00
020 1
2(( ) = + +
−( )−−
∫
s v t at
x x dx senx
0 02
2 4
2
3
12
6 1 31
.
Calcula: ; a) b)ccos
:
xdx
Soluciónπ
π
2
∫ .
Vamos a hacerlo por los dos métodoa) ss que mencionamos:
i) 6 11 2
2 42
x x dxz x z x
dx dz−( ) == − ⇒ =
=
'
226
235
3 15
2 35
3 965
45 2 5
xx z dz
xz x F
F
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= ⋅ ⋅ = =
−( )⇒
−( ) =( ) =
∫∫⎧⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⇒
⇒ −( ) = ( ) − −( ) = −−∫ 6 1 3 2 96
532 4
2
3
x x dx F F55
935
6 1
1 22
2 4
2
3
2
1
=
−( ) =
= − ⇒ = ⇒ =
=−∫
.
ii) x x dx
z x z x dx dzx
z z
'
−−( ) = −( ) − =
= ( ) = ( ) − =
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
= ⋅ ⋅2 2 1 1
3 3 1 2
62
2
2
4
z z
x z dz22
3 35
1 35
2 965
1
24
1
2 5
xz dz F z z
F
F
∫ ∫= ⇒ = ⇒
⇒=
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
( )
( )
( )
⎫⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⇒ = − =∫3 2 1 935
4
1
2
z dz F F( ) ( ) .
Fíjate en que si cambbiamos los límites, lo escribimos en el cambio.
Ajustab) nndo constantes: 1 31
3 1−( ) = ⇒−
= −( )∫cos 'cos
ln cosx senx senxxdx
x ⇒⇒( ) =⎛⎝⎜⎞⎠⎟=
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒
⇒−
= ( )−
F
F
senxx
dx F F
π
π
π
3 2
20
31
ln
cos ππ
π
π
23 2
2
⎛⎝⎜⎞⎠⎟=∫ ln .
22.
23.
24.
273
Calcula: ; .
a) b)
a)
x xdx x e dx
Solución
x
exln
:1
2
1
1
3∫ ∫ −( )−
lln ln lnxdx x xdx x xF e e
F
e por partes
1
3
3
29
3 2
29
1 49
∫ ∫⇒ = −( )⇒( ) =
( ) = −
⎧
⎨⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⇒ = +( )
−( ) ⇒ −( )
∫
∫−
x xdx e
x e dx x
e
x
ln1
3
2
1
1
29
2
3 3
.
b) ee dx x eF e
F ex
por partesx2 2
2
2274
1 54
1 94
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⇒( ) = −
−( ) = −
⎧⎨⎪
⎩⎪−
⎫⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ −( ) = −
∫ ∫−
−
x e dx e e
f
x3 9 54
2
1
1 2 2
.
Halla la función definidda para que verifica y .R f xx x
f
Solu
−{ } ( ) − + = −( ) =0 3 2 0 1 02 3'
cción :Se calcula la primitiva y se sustituye la condición ppara averiguar el valor de :k
f xx x
f xx x
' ( ) = − ⇒ ( ) = −⎛⎝
3 2 3 22 3 2 3⎜⎜
⎞⎠⎟
= − + + ⇒ −( ) = + + = ⇒ = − ⇒ = − −∫ dxx x
k f k k f xx x
3 1 1 3 1 0 4 1 3 42 2( ) .
Determiina el valor del parámetro a de modo que e
edx
x
x
a
1142
0 +( )=∫∫
∫+( )
= −+
.
Solución
e
edx
x
x ajuste de cons tes
sustitución
:
tan11
12 ee
F ae
FF a F e
ex
aa
a⇒
( ) = −+
( ) = −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⇒ ( )− ( ) = ⇒ −
+( )
11
0 12
0 14
12 1
== ⇒ − = + ⇒
⇒ = ⇒ =
14
2 2 1
3 3
e e
e a
a a
a ln .
Calcula la derivada de la funciiones: ; .
a) b)
a)
e dt t t dt
Solución
tx x− + − +( )∫ ∫3
3 1
25
3 22
:
ee dt F x F F x f x etx x− −+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟′= ( ) − ( )( )′ = ( ) = ( ) = +
∫3
3
325
3 25
' , pues es constante.
F
t t dt F x Fx
( )3
3 2 11
22
b) − +( )⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′= ( ) − (∫ ))( )′ = ( ) = ( ) = − +( )F x x xf x x x x' ·2 2 2 2 3 2 .
25.
26.
27.
28.
274
LA INTEGRAL
10UNIDAD
Calcula la derivada de la funciones a) ln t dtx
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−
533 5
ee
x
sen xx
arc sen udu
Solución
t
∫ ∫
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
; .b)
a)
cos
:
ln
2
2
53
ddt F e F x F e e F xx
ex x x
x
3 5
3 5 3 5 3−∫
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′= ( ) − −( )( )′ = ( ) − −( ) =' · ' · ee f e f x
e e x
arc sen u
x x
xx
· ·
·ln ln
( ) − −( ) =
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
3 3 5
53
3 .
b) ddu F sen x F x F sen x Fx
sen x
cos
cos ' ' c2
2
2 2 2∫⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
′= ( ) − ( )( )′ = ( ) + oos · cos
cos · cos
2
2 2
2
2
x senx x
f sen x f x senx
( )⎡⎣ ⎤⎦ =
= ( )+ ( )⎡⎣ ⎤⎦ xx x arcsen x sen x
f
= + ( )⎡⎣ ⎤⎦cos · .2
a) Si es una función continuua, obtener siendo .
Si
F x F x f t t t dtx
' ( ) ( ) = ( ) + +⎡⎣ ⎤⎦∫ 2 3
0
b) ff f t dt1 1 10
1
( ) = ( ) =∫ y además , halla la ecuación de la rectaa tangente a la gráfica de en el punto .F x F
Solu
( ) ( )( )1 1,
cción
F x f t t t dt G x G Gx
:
' 'a) ( ) = ( ) + +⎡⎣ ⎤⎦⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟′= ( ) − ( )( ) =∫ 2 3
0
0 '' x g x f x x x F( ) = ( ) = ( ) + +2 3 . No se puede usar en ambos
mieembros, por lo que llamamos a la primitiva que usamos eG nn la Regla de Barrow.
b) x y F f t t t dt f t0 02 31 1= ⇒ = ( ) = ( ) + +⎡⎣ ⎤⎦ = (( ) + + = + + = ( ) = ( ) + = ⇒∫∫ dt t t F f
0
1
0
1 3
0
1 4
0
1
3 41 1
314
1912
1 1 2 3; '
.
Sea una función deriva
⇒ − = −( )⇒ = −
( )
r y x r y x
f x
: :1912
3 1 3 1712
bble en (0,1) y continua en [0,1], tal que y f xf x1 0 2( ) = ' (( ) =∫ dx0
1
1. Utiliza la fórmula de
integración por partes paara hallar .f x dx
Solución
f x dxu f x du f x dx
( )
( ) == ( )⇒ = ( )
∫
∫
0
1
0
1
:
'ddv dx v x
xf x xf x dx xf x dx= ⇒ =
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪= ( ) − ( ) = − ( ) = −∫0
1
0
1
0
12
2 12
' '11
0
1 1 1 0 0 0
∫
( ) = ( ) − ( ) =
.
Observa que .xf x f f· ·
29.
30.
31.
275
3.3. Cálculo de áreasHemos visto que la integral definida da el valor del área encerrada por una
función, el eje OX y las rectas x = a y x = b, sólo si la función es positiva. ¿Será el
área ? Recordando el ejemplo de f (x) = x 3, vemos que no resuelve
el problema: sigue saliendo cero. Observa el gráfico; en él suponemos quex1, x2 y x3 son los puntos de corte de la función con el eje OX que verifican
a <x1 < x2 < x3 < b (puede haber más). Si calculamos directamente,
a las partes positivas (de x1 a x2 y de x3 a b) le restamos las negativas (de a a x1 y de x2 a x3), y no obtenemos el
área buscada. Sin embargo, si sumamos el área de cada trozo calculada como o asignándole
el signo correcto , sí obtendremos el área total. Por lo tanto, para calcular el área seguiremos
los siguientes pasos:
1. calculamos los puntos de corte con el eje OX : f ⋂ OX ⇒ f (x) = 0; 2. troceamos el intervalo de integración, si dichos puntos de corte pertenecen al citado intervalo:
[a,b]→ [a,x1]⋃[x1,x2]⋃[x2,x3]⋃[x3,b];
3. calculamos el área como
Si usamos el valor absoluto sólo calculamos una primitiva, pues en todos los integrandos está la misma función,que evaluamos en diferentes puntos. Sólo hay que efectuar las operaciones con orden para simplificarnos el trabajo.
ÁÁrea f x dx f x dx f x dx f x dxa
x
x
x
x
x
x
b
= − + − +∫ ∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) .1
1
2
2
3
3
Área f x dx f x dx f x dx f x dxa
x
x
x
x
x
x
b
= + + +∫ ∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )1
1
2
2
3
3
ó como
A f x dxtrozoa
x
= − ( )∫1
A f x dxtrozoa
x
= ( )∫1
f x dxa
b
( )∫
f x dxa
b
( )∫
Halla el área encerrada por la curva , el eje OX yy x x= + −2 6 las rectas y .
Hallamos los puntos de
x xSolución
= − =4 1:
ccorte de la función con el eje OX: ; y x x x= ⇒ + − = ⇒ = −0 6 0 3 22 , ddescomponemos el intervalo de integración [ 4,1] en tanto− ss trozos como ceros +1 tenga la función en su interior: −44 1 4 3 3 1
62
4
32
, , ,[ ]→ − −[ ] −[ ]
= + −( ) +−
−
∫
∪ .
El área es: Área x x dx x ++ −( ) = − − − + − −−∫ x dx F F F F6 3 4 1 33
1
( ) ( ) ( ) ( ) .
Hallamos la primitiva,, la evaluamos y hacemos los cálculos:
F x x x x
F
( )
(
= + − ⇒3 2
3 26
−− =
− =
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⇒
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
= − + −
4 323
3 272
1 316
272
323
31
)
( )
( )
F
F
A66
272
1296
2− = u .
E j e m p lE j e m p l
32.
fa
bx1 x2 x3
o s
276
LA INTEGRAL
10UNIDAD
3=y xHalla el área encerrada por la función , el eje OX y las rectas .
1º)
x xSolución
f x x
= − =
= ⇒ =
2 2
0 03
,:
( ) ⇒⇒ =−[ ]→ −[ ] [ ]
= + =−∫ ∫
x
A x dx x dx F
02 2 2 0 0 2
03
2
03
0
2
; 2º) ;
3º)
, , ,
( )
∪
−− − + −
= ⇒− ===
⎫⎬⎪
⎭⎪
⎧⎨⎪
F F F
F x xFFF
( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
2 2 0
4
2 40 02 4
4
;
4º)
⎩⎩⎪⇒ = − + − = + =
=+
A u
yx
0 4 4 0 4 4 8
37
2.
Halla el área encerrada por , eel eje OX y las rectas , .
1º)
x x
Solución
f x pue
= = −
≠
1 6
0
:
( ) ss Ax
dx
F x xFF
3 0 37
3 7 1 3 86 3 1 0
6
1
≠ ⇒ =+
= +( )⇒ =− = =
−∫ ;
( ) ln ( ) ln( ) ln
2º) ⎫⎫⎬⎭
⎧⎨⎩
⇒ = − − =A F F u( ) ( ) ln .1 6 3 8 2
Calcula el área del recinto limmitado por la gráfica de la función y el eje dy x x= − + −2 5 6 ee las .
Si no se dan los límites, éstos son los
xSolución :
ppuntos de corte de la función con el eje .1º)
OXf x x( ) = ⇒ −0 22
2
2
3
3 2
5 6 0 2 3
5 6
35
+ − = ⇒ = =
= − + −( )
= − +
∫
x x x
A x x dx
F x x x
,
;
( )
;
2º)
3º) 22
63 9
2
2 143
3 2 92
143
16
2− ⇒= −
= −
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⇒ = − = − + =
⎧
⎨⎪
xF
FA F F u
( )
( )( ) ( )⎪⎪
⎩⎪⎪
.
Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según un ritmo dado por la función m t t( ) , ,= −0 01 0 23 tt t m t t2 1+ + , siendo la cantidad de material en kg y la ( ) hhora del día. ¿Cuánto material arroja cada día?
PSolución :
aara calcular la cantidad de material, debemos calcular el valor de para todo valor de entre 0 y 24 h, y despuém t ss sumarlos. Como la suma de una gran cantidad de valores ees una integral, tendremos:
C m t dt t t t= = − + +∫ ( ) , ,0
243 20 01 0 2 11 0 01
40 2
3 224 219 84
0 00
24 4 3 2
( ) ⇒ ( ) = − + + ⇒( ) =( ) =
⎧⎨⎪∫ dt F t t t t t
F
F, , ,
⎩⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒
⇒ = ( )− ( ) =C F F kg24 0 219 84, .
⎧
33.
34.
35.
36.
277
Halla el área del recinto acotado por la gráfica de la funcción , las rectas y el eje .f x x x x x OXSolución
( ) = − = =2 4 0 5,:
ff xx x si xx x si x
f OX x Área x x( ) = − >− ≤
⎧⎨⎪
⎩⎪⇒ = ⇒ = −
2 8 48 2 4
0 4 8 22
22,
,; ,∩ (( ) + −( )
( ) = − ⇒( ) =
( ) =
⎧⎨⎪
⎩
∫ ∫dx x x dx
F x x x F
F
0
42
4
5
12
31
1
2 8
4 23
4 643
0 0
.
⎪⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪( ) = − ⇒
( ) = −
( ) = −
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⇒; F x x xF
F2
32
2
2
23
45 50
3
4 643
ÁÁrea
g xx
g x dtex
= + =
( ) ( ) =+→
643
143
26
10
u .
Calcula , siendo
2
lim tt
x
t x
L H
Solución
g dte
g xx
gind
0
00
10
00
00
∫
( ) =+
= ⇒( )
=( )
= ( ) =→
.
:
lim' ôôpital
xg x
0
0
0∫ →( )lim ' . Usando el teorema fundamental del cáálculo:
.g xe
g xex x x x' lim ' lim( ) =
+⇒ ( ) =
+=
→ →
11
11
120 0
Halla el área limitada por la función f xx
si x
x x si x
x si x
( )
,
,
,
=
< −
− + − ≤ ≤
+ >
⎧
⎨
⎪⎪⎪
1 12
3 12 3
3 3
2
⎩⎩
⎪⎪⎪
= =, el eje OX y las rectas y .
Al ser un
x x
Solución
0 3
:aa función definida a trozos, debemos integrar la función oo funciones que estén en el intervalo de integración.
En este caso, dicho intervalo es [0,3], con lo cual f x x( ) = − 22
2
3
0
+
= ⇒ −
x
f x x
. Ahora seguimos el procedimiento habitual:
( ) ++ = ⇒ = ⇒ = − +( ) ⇒ = − + ⇒
=
=
⎧
∫3 0 0 3 33
32
3 92
0 0
2
0
3 3 2
x x A x x dx F x x x
F
F
, ( )
( )
( )⎨⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ = − =
>
A F F u
c
( ) ( )3 0 92
0
2 .
Para cada valor de , caa) llcula el área de la región acotada comprendida entre la grráfica de la función
, el eje y laf x cxc
x OX( ) = + +4 21 1 ss rectas .
Halla el valor de para el cual el
x x
c
= =0 1,
b) áárea obtenida en el apartado es mínima.
co
a)
a)
Solución :
mmo Área c f x cxc
x dx cx xc
x c> ( ) > ⇒ = + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + + =∫0 0 1 15 3
4 2
0
1 5 3
0
1
,55
13
1
15
13
0 53
232 3
+ +
( ) = − ⇒ ( ) = ⇒ = ( ) = ⇒
c
A cc
A c c A cc
A
u .
2
b) ' ' , '' '' 553
0 53
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ > ⇒ =el área es mínima para .c
37.
38.
39.
40.
278
¿Cómo podemos calcular el área encerrada por dos funciones? Si las dos funciones se cortan en más de unpunto, determinan una o varias regiones que tienen un área, sin necesidad de rectas verticales que la delimiten.Si no se cortan, necesitaremos de rectas verticales para poder averiguar el área encerrada por las dos funciones.
Lógicamente, el área encerrada por f y g se calcula averiguando primero la de f y después restándole la de g.Aplicando las propiedades de linealidad, podemos calcular la integral de la diferencia de f y g, pues dará el mismoresultado. Por ello, se usa una función auxiliar definida como h(x) = f (x)–g(x) o h(x) = g(x)– f(x), con lo que pasamosa calcular el área encerrada por una función h(x) y el eje OX, ya que en los puntos en los que f (x) = g(x) tenemosque h(x) = 0 , que son los puntos de corte de h con el eje OX. Así, al usar h, no hay más que seguir los pasos yavistos. Es conveniente hacer un gráfico de la situación.
f
ax =
g
bx =
f
g
1x 2x
3x
LA INTEGRAL
10UNIDAD
Halla el área encerrada por las funciones e y x x x y= − + =3 24 4 −− +3 62x xSolución
.
Al usar el valor absoluto, es indiferent:
ee a cuál llamemos y a cuál . Si y f g f x x x x g x( ) ( )= − +3 24 4 == − +
= − = − −
3 62
2
3 2
x x
h x f x g x x x x
, entonces . Por lo tanto:( ) ( ) ( ) hh x x x x x
A h x dx h x dx H x
( ) , , .
( ) ( )
= ⇒ − −( ) = ⇒ = −
⇒ = + ( )−∫ ∫
0 2 0 1 0 22
1
0
0
2
; == − − ⇒
−( ) = −
( ) =
( ) = −
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⇒ =x x x
H
H
H
A4 3
2
4 3
1 512
0 0
2 83
HH H H H u0 1 2 0 3712
2( ) − −( ) + ( ) − ( ) = .
Halla el área encerrada por laas funciones e .
,
y x y x xSoluciónf x x g x x
= = − +
( ) = ( ) = − +
2 2
2 2
4
4:
xx h x f x g x x x h x x
A x x dx H x
⇒ ( ) = ( ) − ( ) = − ( ) = ⇒ = ⇒
⇒ = −( )∫
2 4 0 0 2
2 4
2
2
0
2
; ,
; (( ) = − ⇒( ) = −
( ) =
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ = ( ) − ( ) =2
32
2 83
0 02 0 8
3
32 2x x
H
HA H H u .
E j e m p l oE j e m p l o
41.
42.
¿Cómo se puede calcular el área encerrada por tres funciones? Aquí sí hay que representar las funciones para poderaveriguar los extremos de integración y la función que hay que integrar en cada trozo. Observa el gráfico adjunto: hayque integrar p(x) – g(x) desde el punto x1 = p (x)⋂g(x) hasta el punto x2 = p (x)⋂ f (x); después se integra f (x) – g(x) desdex2 hasta x3 = f (x)⋂g(x). Ahora hay dos primitivas y dos intervalos de integración distintos.
Para saber más...
1x 2x 3x
gpf
s
279
Calcula el área determinada por la curva y la recta y x= 4 3 yy xSolución
h x x x h x x A h x dx h x
=
( ) = − ( ) = ⇒ = ± ⇒ = ( ) + ( )−∫
.:
; ,4 0 0 12
3
12
0
ddx H x x x
H H H
0
12
42
2
12
116
0 0 12
116
∫ ( ) = − ⇒
⇒ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= − = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟= −
;
, ( ) , ⇒⇒ = ( )− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟− ( ) =A H H H H u0 1
212
0 18
2 .
Determina el área encerrada por las tres rectas y la gráfica dy x x= = =8 0 2, , ee .f xx si x
x si xSolución
h x f x yx
( ) = −( ) ≤
>
⎧⎨⎪
⎩⎪
( ) = ( ) − =−
2 1
1
2
2
2
,
,:
(( ) − ≤
− >
⎧⎨⎪
⎩⎪=
− − ≤
− >
⎧⎨⎪
⎩⎪⇒
2
2
2
2
8 1
8 1
4 4 18 1
,
,
,,
si x
x si x
x x si x
x si xh ∩∩OX h x
x x x x x
⇒ ( ) = ⇒
− − = ⇒ = ± − = ⇒ = ±
0
4 4 0 2 2 2 8 0 2 22 2; . Como ninguno dee los puntos está en el intervalo
[0,2] y lim lix
h x→ −
( ) =1
mm*xh x h h x A x
→( ) = ( ) = − = =
1
21 7 1, es continua en , el área es: −− −( ) + −( )
( ) = − −
( ) = −
⎧
⎨⎪⎪
∫ ∫4 4 8
32 4
38
0
12
1
2
1
32
2
3
x dx x dx
H x x x x
H x x x
;
⎩⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⇒( ) = −
( ) =
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪
( ) = −
( ) = −H
H
H
H
1
1
2
2
1 173
0 0
2 403
1;
2233
1 0 2 1
173
173
343
1 1 2 2
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⇒ = ( )− ( ) + ( ) − ( ) =
= + =
A H H H H
u22 .
Calcula y para que las gráficas de las funciones a b f x(( ) = − + ( ) = +x x g x ax b2 22 3 y sean tangentes en el punto de absccisa . Para esos valores, dibuja las gráficas de ambasx = 2 y calcula el área limitada por dichas gráficas y el eje vvertical.
Que sean tangentes significa que se corSolución :
ttan y que sus derivadas en el punto coinciden (pendientes de la recta tan-
gente), luego f g a b f g2 2 4 3 2 2( ) = ( )⇒ + = ( ) = =; ' '' ,2 4 12
12
12
( ) = = = ⇒ ( ) = +a a b g x x. Se obtiene . Para
representarllas, al ser parábolas, calculamos sus vértices y las coorddenadas de otros dos puntos: f V g V→ ( ) ( ) ( ) → (1 2 0 3 2 3 0 1, , , , , ; , )) −( ) ( )
= ( ) − ( )( )
, , , ,2 3 2 3
0
2
.
A la vista del gráfico, A f x g x dx∫∫ ∫= − +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
= − + =
x x dx
x x x
2
0
2
32
0
2
22 2
62 4
3 u .2
E j e m p l oE j e m p l o
43.
44.
45.
f
g
280
LA INTEGRAL
10UNIDAD
Calcula el área del recinto plano acotado limitado por la ggráfica de la función f x
x xx
si x
xx
si x( ) =
+ + ≥ −
−< −
⎧
⎨⎪
2 3 1 1
21
1
,
,
⎪⎪
⎩⎪⎪
= = =
y las rectas
.
No hay dos funcio
y x x
Solución
0 1 2, ,:
nnes, pues la recta es el eje . Además, es continuy OX f= 0 aa en [1,2] (no está el 0 en dicho intervalo).
El área es AA xx
dx F x x x x F F A= + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⇒ ( ) = + + ( ) = + ( ) = ⇒ =∫ 3 12
3 2 8 2 1 72
1
2 2
ln ; ln , FF F2 1 92
2( ) − ( ) = + ln u .
Calcula el área limitada por las gráf
2
iicas de las funciones , y las rectasf x x g x x x( ) ( )= − = − −2 29 6 .
Hay qu
x x
Solución
h x f x g x x h x x
= − =
= − = − ⇒ = ⇒ = ⇒
2 6
3 0 3
,:
( ) ( ) ( ) ( ) ee dividir el intervalo [ en 2 trozos ,
c
− −[ ] [ ]2 6 2 3 3 6, ] , ,∪
oon lo que el área queda: A x dx x dx F x x= −( ) + −[ ] ⇒ =−∫ ∫3 32
3
3
6 2
( )22
3
2 8
3 92
6 0
3 2 6
− ⇒
− =
= −
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⇒
= − − +
x
F
F
F
A F F F
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )) ( )− = − − + − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + =F u3 92
8 0 92
252
92
17 2.
f
g h
Representa gráficamente la región acotada limitada por la ggráfica de las funciones
f x x g x x h x( ) = ( ) = +( ) ( ) =54
12
5 20 12
2 , , −− +( )5 20x
Solución
y obtén su área.
Se trata de una parábol:
aa y de dos rectas f V g→ ( ) −( ) ( )( ) → ( ) −( )0 0 2 5 2 5 0 10 4 0, , , , , , , ,(( ) → ( ) ( )( ), .
Los puntos de corte de las tres fun
h 0 10 4 0, , ,
cciones entre sí son: ; f g x x x
f h x
∩
∩
⇒ − − = ⇒ = −
⇒ +
54
52
10 0 2 4
54
5
2
2
,
2210 0 2 4x x
A g x f x
− = ⇒ = − −
= ( ) −
, . Sólo valen 2 y 2. Del gráfico:
(( )( ) + ( ) − ( )( ) = + −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + − + −∫∫
−
dx h x f x dx x x dx x
0
2
2
0 252
10 54
52
10 5xx dx H x x x x
H
H
2
0
2
2
0
1
2 3
1
2
452
10 512
0 0
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ( ) = + − ⇒
⇒( ) =
−( )
∫∫−
;
== −⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪( ) = − + − ⇒
( ) =
( ) =
⎧⎨⎪
203
52
10 512
2 203
0 02
2 32
2
; H x x x x H
H⎩⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪⇒ = ( ) − −( ) + ( ) − ( ) =A H H H H1 1 2 20 2 2 0 40
3u .2
Para saber más...
46.
47.
48.
281
19. Calcula , donde indica el valor absolutx x dx x+ +( )−∫ 11
1
oo de .
. Halla el área de la región acotada por la gráf
x
20 iica de y el eje .
. Calcula:
g x x x OX
xx
dx
( ) = −
−
3
3
2
4
34
21 a)−−∫ ∫
++( )
−( )+
5
5 2
1
2
2
2
11
2 14 1
; .
. Calcula:
b)
22 a)
xx x
dx
xx
dxx xx x
dx−∫ ∫ +2
2 3
30
1
; .
. Halla el área de la región pl
b)
23 aana acotada limitada por la gráfica de la función f x( ) =−2xx si xx si xx si x
,,
,
≤− < ≤− >
⎧
⎨⎪
⎩⎪
01 0 2
3 5 2, el eje de
abscissas y las rectas x = 1, x = 3.. Calcula el valor de a >24 0 en los siguientes casos:
; a) b)11
10
3
xdx a
+=∫ xx
dxx a
dxa
+=
+=∫ ∫1
3 1 50 0
3
; .
. Calcula el área del reci
c)
25 nnto plano acotado limitado por la gráfica de paf x xex( ) =2
rra , el eje y la recta .
. Se considera la func
x OX x≥ =0 2
26 iión real de variable real definida por .
f xx
( ) =+1
32
a)) Halla la ecuación de la recta tangente en el punto de iinflexión de abscisa positiva de la gráfica de .
fb) Representa gráficamente y calcula el área del recinto pllano acotado limitado por la gráfica de , la recta anterf iior
y el eje .
. Representa gráficamente y
x = 0
27 halla el área acotada por la gráfica de f xx si x( ) = −( ) ≤1 2 , 11
11
ln ,x si xy
>
⎧⎨⎪
⎩⎪= y la recta .
. Calcula el área del re28 ccinto limitado por las curvas e .
. Determina
y x y x= =22
2
29 eel valor de para que el área de la región plana acotaa > 0 dda limitada por las gráficas de las curvas e y x y= =3 aax sea igual a 4 u .
. Averigua el área encerrada por la
2
30 gráfica de y el eje .. Halla una pr
f x x x x OX( ) = + + −3 25 2 831 iimitiva de la función tal que f x x e Fx( ) ,= − + ( ) =−27 3 1 26 73 2 1 55
1
3
20
2
.
. Calcula el valor de aplicando el camb32 I xx
dx=+
∫ iio de variable .
. Halla el área de la región lim
t x= +1 2
33 iitad por las gráficas y .
. Calcula:
f x x x g x x x( ) ( )= − = +3 2
34 33 12
0
1
x e dxx+( ) −∫ .
. Halla el área del recinto plano delim35 iitado por , .y x y= + =2 1 3
A c t i v i d a d e s
282
3.4. Aplicaciones de la integral en la FísicaEl uso de la integral en la Física es muy habitual. Aparece al intentar calcular el
campo magnético creado por un hilo conductor, el campo gravitatorio creado por unabarra o cuando se calcula un momento de inercia, que se define como .
Como ejemplo, vamos a calcular el momento de inercia de una barra plana uniforme
de masa M y longitud L (densidad lineal constante ), que gira respecto
de un eje perpendicular que pasa por el centro de dicha barra. Para el planteamiento,y al haber sólo una dimensión, pues la barra es plana, se descompone en trozos de longitud dx y de masa dm,relacionadas a través de la densidad.
Se tiene:
r x dm dx I x dx x L MLL
L ML
L
L
= = ⇒ = ⋅ = = =−
=
−∫, · ·ρ ρ ρ ρ
ρ2
3
2
2 32
2
2
3 121
12
ρ = =ML
dmdx
I r dm= ∫ 2
LA INTEGRAL
10UNIDAD
36 a). Calcula las siguientes integrales: e x dxx− −( )2 2
0
1
1∫∫ ∫+
+( ); .
Determina el valor de pa
b)
37.
e ee
dx
a
x x
x
2
20
1
1
rra que el área comprendida entre la parábola y lay x ax= +2 recta sea 36 u .
Calcula el área encerrada por
2y x+ = 0
38. lla función y las rectas y .
f x xx x
y x x( ) =+ +
= = =2
2 4 30 0 3,
39. aa) Halla los extremos relativos y puntos de inflexión de lla función . Calcula el área del recint
f x x x( ) = −3 9 b) oo plano acotado limitado por la gráfica de , el eje f x O( ) XX x x y las rectas verticales .
Sean las funcione
= − =3 3,
40. ss , . Represéntalas y determina el áry x x x y x x= − + = − +3 2 24 4 3 6 eea encerrada por ambas.
Calcula las coordenadas de 41. a) llos máximos y mínimos relativos de la función f x xx
( ) = − −3 2 ..
Halla el área de la región limitada por la gráf b) iica de y el semieje positivo .
Determina y
f OX
a b42. a) , sabiendo que las gráficas de las funciones c f x x ax( ) = + +2 bb g x x c, se cortan en los puntos
( )( , )
= − +− −
2
2 3 yy (1,0). Halla la ecuación de la recta tangente b) aa la gráfica de en el punto . Calcula
g x( ) ( , )− −2 3 c) el área de la región limitada por las gráficas de yf x( ) .g x( )
x dx
2L− 2
LdmY
Z X
283
Aplicaciones al cálculo de longitudes de arco de curvas, áreas y volúmenes de cuerpos de revolución.La longitud que recorre una función desde un punto (a,f(a)) a otro (b,f(b)) se llama
longitud de arco. Para su cálculo, podemos hacer una partición en n trozos y aproximarla curva mediante una línea poligonal. Por convención, x0 = a, xn = b . Cada uno delos segmentos de la línea tiene una longitud (teorema de Pitágoras):
Un cuerpo de revolución es aquel que se obtiene al girar una curva respecto deun eje. El eje que usaremos será el eje OX, pues las fórmulas quedan más directas.Después mostraremos cómo queda si se usa el eje OY.
Si usamos como eje de giro el eje OY, x e y cambian sus papeles. Para ello, x = g(y) (usando la inversa f -1 ) y seintegra en y, no en x.
Como se ve en las fórmulas, lo más sencillo de calcular es el volumen, convirtiéndose en ardua tarea el cálculo dela longitud y de la superficie.
Para calcular el volumen podemos hacer rodajas el sólido. CCada rodaja es un tronco de cono, cuyo volumen está compreendido entre los volúmenes de dos cilindros de
igual alturra y radios , luego x x f x f x f x xi i i i i i+ + +( ) ( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦ −1 12
1, π xx
V f x x x x x V
i
TC i i i i i TC
( ) ≤≤ ≤ ( )⎡⎣ ⎤⎦ −( ) − → →
→
+ + +π 12
1 1 0. Cuando ,
VV f x x xCilindro i i i= ( )⎡⎣ ⎤⎦ −( )+π2
1 . Sumamos todos los troncos de cono, mejoramos la aproximación y obtenemos que:
V f=π xx dx
rg
a
b
( )⎡⎣ ⎤⎦
=
∫2
2
.
El área lateral del tronco de cono es π 22 1 21π f x f c x x
gi i i( ) + ( )⎡⎣ ⎤⎦ −( )+· ' ,
pues es la longitud de laa línea poligonal que usamos para la longitud de arco.
Sigguiendo el mismo proceso, se obtiene: S f x f x= ( ) + ( )⎡⎣ ⎤⎦2 1π ' 22 dxa
b
∫ .
l x x f x f xf x f x
x xi i i i ii i
i i
= −( ) + ( ) − ( )( ) = +( ) − ( )
−⎛
⎝⎜⎜
⎞+ +
+
+1
21
2 1
1
1⎠⎠⎟⎟ −( )
( ) −
+
+
2
1
1
x x
f x f x
i i
i
. Por el teorema del valor medio,
ii
i ii i i i ix x
f c l f c x x( )
−= ( )⇒ = + ( )⎡⎣ ⎤⎦ −( )
++ +
11
211' ' . La longitudd de arco es la suma de todas estas longitudes:
L larco ii
==11
2
11
n
i ii
n
if c x n x dx∑ ∑= + ( )⎡⎣ ⎤⎦ →∞ ∑→ ∫ →=
' ·Δ Δ. Cuando , , y , sse obtiene que: .L f x dxarcoa
b
= + ( )⎡⎣ ⎤⎦∫ 1 2'
Para saber más...
a b
f
f
( )1+ixf
( )ixf
g
( )ixf
( )1+ixf
f1+ix
ix
g
284
LA INTEGRAL
10UNIDAD
Halla la longitud de arco de la parábola de ecuación ,y x= 3 desde hasta . Averigua también el volumen del par
x x= =0 4aaboloide de revolución que se obtiene al girar ese trozo dde parábola respecto al eje .OX
Solución
yx
Larco
:
' = ⇒ = +32
1 94xx
dx xx
dxx
xdx
x
= + =+
+
∫ ∫ ∫0
4
0
4
0
44 94
34
9 14
49
.
Se hace el cambio: 11
4
49
23
92
22
xdx
x sh t sht x
dx sht cht dt
sh t∫ =
= ⇒ =
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⇒· ·
++ = =
= = =
∫∫
∫
19
92
32
32
32
2
2
sh tsht chtdt cht
shtsht cht dt
ch t dt c
· · · ·
· hh t dt sh t t sht cht t x x x x2 1 3 28
34
34
9 46
34
2 9 43
+( ) == + = +( ) = + + + + =∫ · ln FF x
L F F Farco
( )
= ( ) − ( )( ) = + ≅ ( ) =
.
Luego u, pues 3 4 0 5 94
3 7 472 0ln , 00 9 92
72 226 1952
0
4
0
4
. u .
En la evaluación de
3V xdx x= = = ≅∫ππ
π ,
eestas expresiones es de gran ayuda la calculadora científiica, más si es del tipo , pues, usando las memorias
S VPAM-,, permite escribir la expresión en la calculadora casi commo en el papel. Por ejemplo, si introducimos
un número en la memoria A, con la secuencia Shift RCL (tecla STO ) A ,, el cálculo de ( ) sería:F A
A X X A X X A X A( ) / / ( ( (9 4 6 3 4 2 9 4+ + + +ln )) ) / )3
2Halla la longitud de arco de la curva (lchx e ex x
= + −
llamada catenaria), entre y . Averigua también la sx X= =0 ! uuper-
ficie y el volumen del sólido engendrado al girar el trozo de curva alrededor del eje .OXSolución
chx shx
:
'( ) = ⇒ LL sh xdx chxdx shx sh e e
S c
arco = + = = = = − ≅
=
−
∫∫ 1 12
1 175
2
201
1
0
1
0
1
, u.
π hhx sh xdx ch xdx ch x dx sh x x1 2 2 1 22
2 2
0
1
0
1
0
1
0
1
+ = = +( ) = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟∫∫∫ π π π ⇒⇒ = +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟≅
= = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=∫
S sh
V ch xdx sh x x
π
ππ
22
1 8 839
222
2
0
1
0
1
, u ;2
44 419
12
2
2
2
, u .
Dada la elipse , halla el volumen eng
3
xa
yb
+ = eendrado al girar la semielipse positiva alrededor del eje .OX
Solución y ba
a x V ba
a x ba
a x x
a
a
a
: = − ⇒ = −( ) = −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−−
2 2 2 2 23
3π πaa
V a b∫ =; u .343
2π
E j e m p l o sE j e m p l o s
49.
50.
51.
43. Halla la longitud de la circunferencia , así x y r2 2 2+ = ccomo la superficie y el volumen de la esfera engendrada aal girar la semicircunferencia positiva alrededor ddel eje .
Representa gráficamente y halla la longit
OX
44. uud de arco de la curva comprendido entre shx e e xx x
= − =−
20 yy .
Averigua también la superficie y el volumenx = 1
del sólido engendrado al girar dicho trozo de curva alreddedor del eje .Halla el volumen del hiperboloide d
OX45. ee revolución que se obtiene al hacer girar el trozo de la hipérbola comprendido entre y .
yx
x x=
= =
1
1 5
A c t i v i d a d e s
4
-a a
285
R e c u e r d a
F f F x f x es una de si .función primitiva o primitiva '( ) ( )=
IIntegral indefinida
: ó .f F k f x dx F x k= + = +∫ ∫ ( ) ( )
Integrales inmediatas
Integración por partes
: .
udv u v v du
f g f g
= −
• +( ) = +
∫∫
∫
· ·
Propiedades de linealidad :
∫∫∫ ≡ La integral de una suma es igual a la suma de las inteegrales.
La integral del producto de una co• ( ) = ≡∫∫ λ λf f nnstante por una función es igual a la constante por la inttegral de
a función. Las dos propiedades anteriorres pueden resumirse como: .λ μ λ μf g f g+( ) = +∫ ∫∫Teorema fundammental del cálculo :
Regla de Barrow :
f t dt F x k
f
a
x
( ) ( )
(
∫ = + .
xx dx F b F a F xa
b
x a
x b) ( ) ( ) ( )∫ = − ==
= .
Área encerrada por una funcióón y la parte positiva del eje OX : Área f x dx f x dxa
x
= +∫ ( ) ( )1
xx
x
x
x
x
b
f x dx f x dx1
2
2
3
3
∫ ∫ ∫+ +( ) ( ) .
Área encerrada por dos funcioones y : f g se define la función y se calch x f x g x( ) ( ) ( )= − uula el área encerrada por y la parte positiva del eje
hOXX .
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Longitud de arco :
Volumen de un só
.L f x dxarcoa
b
= + ( )⎡⎣ ⎤⎦∫ 1 2'
llido de revolución :
Superficie de un só
.V f x dxa
b
= ( )⎡⎣ ⎤⎦∫π2
llido de revolución : .S f x f x dxa
b
= ( ) + ( )⎡⎣ ⎤⎦∫2 1 2π '
x dx xn
k n Rnn
∫ =++ ∈ − −{ }
+1
11,
dxx
x k∫ = +ln
e dx e kx x∫ = + senx dx x k∫ = − +· cos
1 22+( ) = = +∫ ∫tg x dx dx
xtgx k
coscos ·x dx senx k∫ = +
dxx
arc sen x k arc x k1 2−
= + = − +∫ cos dxx
arc tg x k1 2+
= +∫