aspecto metodolÓgicos en el aprendizaje de funciones en secundaria

Autoría

Ediciones El Nocedal S.A.C.Coordinador

Rubén Hildebrando Gálvez ParedesElaboración pedagógica

Felipe Eduardo Doroteo PetitItala Esperanza Navarro MontenegroEdgar Justo Chacón NietoDaniel José Arroyo GuzmánColaboración especial

María Amparo Vega AguilarRevisión pedagógica

Hno. Marino La Torre MariñoRevisión académica

Armando Zenteno RuizDiseño y diagramación

Virginia Rosalía Artadi León

Ilustraciones

Patricia Nishimata OishiBrenda Román GonzálezFotografía

Enrique BachmannCorrector de estilo

Marlon Aquino Ramírez

MatemáticaSerie 2 para docentes de SecundariaDidáctica de la MatemáticaFascículo 3: ASPECTO METODOLÓGICOS EN EL APRENDIZAJE DE FUNCIONES EN SECUNDARIA

© Ministerio de EducaciónVan de Velde 160, San Borja

Primera edición, 2007Tiraje: 14 000 ejemplaresImpreso en Empresa Editora El Comercio S.A.Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,Chacra Ríos Sur, Lima 01

Hecho el Depósito Legal en laBiblioteca Nacional del PerúNro. 2007-00263

Coordinación y supervisión general MED

Antonieta Cubas MejíaSupervisión pedagógica MED

Luis Enrique Eyzaguirre EspinoVerificación de estilo MED

Miguel Humberto Fuentes Huerta

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Z_Creditos S2_F3_ D.indd 1Z_Creditos S2_F3_ D.indd 1 5/31/07 7:49:46 PM5/31/07 7:49:46 PM

El concepto de función está presente en toda la Educación Secundaria, sin

embargo, aún subsisten defi ciencias en la comprensión de este concepto en

los estudiantes cuando llegan a la universidad. Prevalecen los conocimientos

aprendidos con procedimientos bien determinados, pero se les difi culta

transferir estos saberes a otras situaciones.

En este contexto, se trata de encontrar las condiciones que favorezcan el

aprendizaje en tal sentido, que se promueva la refl exión de los docentes

y la interrelación con los estudiantes, puesto que la formación de la idea

y el concepto de función son fundamentales en los estudiantes del nivel

secundario. Observamos un crecimiento progresivo de la importancia del

concepto de función en conexión con el análisis de relaciones entre las

operaciones sobre la variable x y el comportamiento de una variable y

dependiente de x.

El fascículo desarrolla los principios, estrategias y algoritmos que rigen

los procesos de desarrollo de capacidades para comprender la teoría y

aplicaciones existentes sobre funciones, sus grafos y sus gráfi cas. Incluye,

asimismo, sugerencias para la construcción de material educativo basado en

juegos.

El objetivo de este fascículo es tratar aspectos importantes de la introducción,

defi nición y representación de las funciones, así como la verifi cación en la

práctica didáctica de aspectos como: la formación de obstáculos causados

por la identifi cación de una función, reconociéndola en muchos aspectos

de la vida cotidiana, llevándola al modelo matemático para establecer su

generalización y su representación gráfi ca, como también su tratamiento,

utilizando recursos como la prensa y los juegos.

Complementamos el fascículo con logros de aprendizaje, recuperación de

saberes previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación,

chistes matemáticos, curiosidades matemáticas, bibliografía y enlaces web.

PRESENTACIÓN

Z Fasc Funciones.indd 1Z Fasc Funciones.indd 1 5/31/07 7:50:18 PM5/31/07 7:50:18 PM

ÍNDICE

Presentación ............................................................................................................................ 1

Índice ....................................................................................................................................... 2

Organizador visual de contenidos ........................................................................................... 3

Motivación .............................................................................................................................. 4

Logros de aprendizaje ............................................................................................................. 4

Recuperación de saberes previos ............................................................................................ 4

1. FUNDAMENTOS DE LA ENSEÑANZA DE LAS FUNCIONES ......................................................... 5

1.1 La enseñanza de las funciones ................................................................................. 5

1.2 Los estándares matemáticos y las funciones ............................................................ 6

1.3 Las funciones en la Educación Secundaria .............................................................. 7

Actividad 1 ........................................................................................................................ 8

2. FUNCIONES MATEMÁTICAS .................................................................................................. 9

2.1 ¿Qué es una función? ............................................................................................... 9

2.2 Defi nición de términos básicos ................................................................................ 9

2.3 Los cuatro lenguajes de las funciones ..................................................................... 11

2.4 El modelo matemático y las funciones .................................................................... 12

2.5 Las funciones en la realidad ..................................................................................... 14

Actividad 2 ........................................................................................................................ 22

3. RECURSOS METODOLÓGICOS Y MATERIALES ........................................................................ 23

3.1 Resolución de problemas ......................................................................................... 23

3.2 Aplicación de la prensa en matemática .................................................................... 23

3.3 Uso de la computadora en la enseñanza de las funciones ........................................ 24

3.4 El juego en la enseñanza de las funciones ............................................................... 24

Actividad 3 ........................................................................................................................ 28

4. EVALUACIÓN ...................................................................................................................... 29

5. METACOGNICIÓN ................................................................................................................ 30

Bibliografía comentada ........................................................................................................... 31Enlaces web ............................................................................................................................. 32


3

Fascículo 3 / ASPECTOS METODOLÓGICOS EN EL

APRENDIZAJE DE FUNCIONES EN SECUNDARIA

y

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4

Serie 2 / DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOSLOGROS DE APRENDIZAJE

Motivación

En nuestra vida diaria, nos encontramos con una variedad de situaciones en las que se evidencia una relación de la dependencia de una variable con otra: el salario en función de las horas trabajadas, el recibo telefónico en función de los minutos utilizados, el aumento de peso con relación a las calorías que consumimos. Algunas de estas relaciones pueden ser tratadas como funciones.

El análisis de la realidad y el empleo de tecnología como un software o una calculadora facilita que el estudiante comprenda y adquiera conceptos específi cos, en lugar de dedicarse a realizar procedimientos mecánicos y tediosos para la tabulación y posterior representación gráfi ca de una función, quedando tiempo para el análisis y la exploración de conceptos.

Lee con atención las siguientes preguntas y responde:

¿Qué formas de representar las funciones conoces?

¿Qué situaciones de la vida diaria podrían representarse a través de cada una de las siguientes funciones: Lineal, Cuadrática, Exponencial, Logarítmica?

¿Será posible establecer una relación entre las variables que intervienen en un hecho real y representarla a través de una función? Escribe un ejemplo.

¿Qué materiales y recursos didácticos has utilizado para el desarrollo de las funciones en tus clases?

Analiza y discute el porqué de la enseñan-za de las funciones, de manera crítica y consciente.

Identifi ca estrategias y/o métodos de presentar las funciones a través de la lectura, análisis e interpretación de la información proporcionada, de manera creativa y refl exiva.

Aplica los recursos metodológicos para la enseñanza de las funciones, elaborando estrategias didácticas y mostrando perse-verancia en el trabajo.

en elASPECTOS METODOLÓGICOS

APRENDIZAJEFUNCIONES en SECUNDARIA

de


5



1. FUNDAMENTOS

1.1 La enseñanza de las funciones

La práctica educacional basada en repeticiones y utilización de reglas, entrena y conduce a un aprendizaje mecánico de las funciones, y provoca en el estudiante la sensación de incapacidad, cuando se enfrenta a situaciones funcionales no entrenadas en el aula. Hasta hace poco tiempo se preparaba al estudiante para adoptar ciertos procedimientos, los cuales lo llevaban a la respuesta esperada por el docente.

Sin embargo, hay que tener presente que el aprendizaje de las funciones como parte de la Matemática, es un proceso social y activo; por ello, nuestro instrumento principal debe consistir en el estímulo de la acción del propio estudiante, junto con sus compañeros, colocándolos en situaciones que fomenten el análisis de actividades que puedan conducirlos a la adquisición de actitudes que contribuyan a un aprendizaje de largo tiempo y que promuevan la transferencia. De este modo, quizás, nuestros estudiantes adquieran y mantengan habilidades; entiendan los conceptos que están detrás de las funciones y adquieran un pensamiento independiente.

Siempre que sea posible debemos guiar a nuestros estudiantes a explorar ideas por sí mismos, y estimularlos a que formulen generalizaciones, enfatizando los patrones y las relaciones funcionales que surjan del análisis de la realidad, dando más importancia al razonamiento y a la iniciativa que a la simple memorización.

Como las funciones son muy cercanas al entorno del estudiante, contamos con una oportunidad extraordinaria de “matematizar” la realidad y hacerle ver al estudiante el proceso de construcción de modelos, así como la diferencia entre “modelo y realidad”. Es importante tomar en cuenta que el interés por la creación de modelos matemáticos aumenta cuando los datos los generan los propios estudiantes, de allí que el estudio de las funciones puede iniciarse analizando situaciones en las que los estudiantes se encuentren involucrados y, a partir del análisis de estas situaciones, se pueden presentar los conceptos básicos.

Al desarrollar el tema de funciones en nuestras clases, es conveniente que presentemos a los estudiantes situaciones desafi antes que tengan sentido para

de la ENSEÑANZAde las

FUNCIONES

El estudio de las funciones

es el tema central en

el aprendizaje de la

Matemática.


6


ellos. El solo hecho de intentar solucionar estas situaciones los motivará a desarrollar una variedad de estrategias y utilizar sus conocimientos previos, lo que los llevará a desarrollar razonamientos y adquirir conocimientos signifi cativos para ellos.

Muchos investigadores han abordado la problemática del aprendizaje de las funciones en la escuela, la mayoría de ellos coinciden en la importancia que tiene el enfatizar los siguientes puntos durante su desarrollo:

• El modelo de eventos y fenómenos reales.

• La resolución de problemas en el desarrollo de las capacidades cognitivas del los estudiantes.

• La formulación (lenguaje matemático).

• La validación (demostración y razonamiento de las ideas matemáticas).

• La institucionalización (puesta en común acuerdo social en la construcción del conocimiento).

Como el docente ya no transmite el conocimiento, sino gestiona los medios, instrumentos y situaciones que permita al estudiante avanzar en sus aprendizajes, debe tomar en cuenta que existen diferentes propuestas de actividades para el desarrollo de las funciones, y con el apoyo de diversas estrategias que van desde la aplicación del modelo, el uso de los diarios, juegos matemáticos, hasta la utilización de la computadora mediante un software determinado.

Tengamos en cuenta que una de las difi cultades fundamentales que manifi estan los estudiantes se plantea al tratar de compatibilizar la adquisición de unos procedimientos básicos relativos a las funciones, principalmente, al lenguaje numérico y gráfi co (fundamentalmente interpretar y construir, así como traducir de un lenguaje a otro). Estos procedimientos son indispensables para cualquier estudiante, donde las funciones se encuentran todavía en un estado primitivo, y son tratadas principalmente como procesos, como una introducción al concepto de función y al conjunto de conceptos matemáticos relacionados con éste.

Es esta difi cultad la que tenemos que intentar solucionar, de allí la importancia de trabajar en nuestras clases las formas de representar una función y realizar actividades en la que los estudiantes tengan la posibilidad de traducir una función en sus diversos lenguajes o representaciones, así como actividades en las que los estudiantes tengan que traducir de un lenguaje a otro una misma función.

1.2 Los estándares matemáticos y las funciones

Según la Federación Norteamericana de Sociedades de Profesores de Matemáticas, National Council of Teachers of Mathematic (NCTM), las relaciones funcionales pueden expresarse usando la notación simbólica, lo que permite expresar sucintamente ideas matemáticas complejas y analizar el cambio con efi cacia. Muchas situaciones reales pueden presentar en su estructura, relaciones funcionales, de allí la importancia de analizar casos de la vida cotidiana.

Para el aprendizaje de las

funciones es fundamental

el uso de calculadoras o

computadoras.


7


APRENDIZAJE DE FUNCIONES EN SECUNDARIAEs importante considerar que una experiencia sistemática con patrones puede

ayudar a entender la idea de función. Cuando los estudiantes aprenden que las situaciones pueden describirse frecuentemente utilizando la Matemática, pueden empezar a adquirir nociones elementales de la modelización matemática.

Es así como los estudiantes, a medida que avanzan en sus estudios en el nivel secundario, deberían desarrollar un repertorio de muchos tipos de funciones. Centrándose en la comprensión de las relaciones funcionales, podrían ampliar el repertorio cognitivo que poseen y estudiar las características de diferentes tipos de funciones.

Se ha demostrado que muchos estudiantes, al pasar al nivel universitario, poseen la idea de que la función es sólo una regla o fórmula, cuando deberían ser capaces de comprender las relaciones entre tablas, gráfi cas y símbolos, y considerar las ventajas y desventajas de cada una de estas formas de representar las relaciones. De allí la vital importancia que tiene el trabajo con los estudiantes de las diversas representaciones (numéricas, verbales, gráfi cas y simbólicas), puesto que es a través de éstas que desarrollarán una comprensión más amplia de las funciones.

La NCTM afi rma que es a través del estudio de las funciones que los estudiantes estarán capacitados para:

• Generalizar patrones usando funciones defi nidas explícitamente y recursivamente.

• Comprender relaciones y funciones, seccionar y utilizar varias formas de representarlas y pasar con fl exibilidad de unas a otras.

• Comprender y comparar las propiedades de las clases de funciones, incluyendo las siguientes: exponencial, polinomial, racional, logarítmica y periódica.

• Interpretar representaciones de funciones de dos variables.

• Utilizar una variedad de representaciones simbólicas para las funciones y relaciones.

• Identifi car relaciones cuantitativas fundamentales en una situación, y determinar la clase o clases de funciones que podrían modelar estas relaciones.

1.3 Las funciones en la Educación Secundaria

Al ayudar a los estudiantes a aprender sobre las características de determinadas clases de funciones, los docentes pueden encontrar una ocasión para comparar y contrastar las situaciones modelizadas por funciones de varias clases. Se espera que al fi nalizar la secundaria, los estudiantes se encuentren capacitados para elaborar y utilizar representaciones tabulares, simbólicas, gráfi cas y verbales, y para analizar y comprender patrones, relaciones y funciones.

UnUn mate... mate...

El sábado por la noche se está dando la fiesta de las funciones. Están las funciones bailando

y divirtiéndose con música de discoteca,

pero la función ex está sentada, aburrida en un rincón. Se acerca una de las funciones y le dice: “Pero, ¿qué

haces ahí, tan aburrida? ¡Vamos! ¡Intégrate, mujer,

intégrate!”. Entonces le responde la función

ex: “¿Integrarme? ¿Para qué? Si me voy a quedar

igual...”∫ ex dx = ex


8


En este proceso de aprendizaje aparecen numerosas difi cultades de índole muy diversa, que en la actualidad los resultados de las investigaciones realizadas en los últimos veinte años nos permiten conocer con bastante precisión, pero cuya superación dependerá, en buena parte, de las propuestas didácticas que se presenten a los estudiantes y de la gestión en el aula.

Actividad 1

Analiza y discute el porqué de la enseñanza de las funciones, de manera crítica y consciente.

Reúnanse con sus compañeros de área del colegio y, si es posible, con sus colegas de otras comunidades para realizar un pequeño taller sobre el tratamiento de las funciones en la Educación Secundaria. Tengan presente lo siguiente:

• Elijan a un moderador y secretario que anote los comentarios y/o conclusiones a las que se lleguen.

• Todas las opiniones son valiosas. Deben ser escuchadas con respeto.

• Si se encuentran dos ideas opuestas, discutir para llegar a un consenso al respecto.

• Todas las personas tienen algo valioso que compartir. Aceptemos con agrado lo que tengan que decir y compartamos con los demás nuestras experiencias.

• Elaboren un resumen de los puntos tratados y den una copia a cada participante.

Actividades:

1. Comparte con tus compañeros de área las capacidades que la NCTM considera que se desarrollan en los estudiantes con el estudio de las funciones.

2. ¿Cuáles de estas capacidades crees tú que les serán más útiles a los alumnos cuando sean adultos y se enfrenten al mundo laboral?

en grupo...investiga con tus colegas

3. ¿Cuál crees que es el mayor reto de un docente al desarrollar el tema de las funciones en clase?

4. ¿Cuál ha sido la estrategia que más satisfacciones te ha dado al desarrollar el tema de funciones en tus clases?

Suma de números consecutivos.

Muchos números naturales pueden expresarse como suma de dos o más números consecutivos.

Por ejemplo: 17 = 8 + 9, o bien,

10 = 1 + 2 + 3 + 4. Pero no todos los números admiten una descomposición de esta naturaleza (como suma de dos o más números consecutivos). ¿Qué números pueden expresarse de esta manera y cuáles no? ¿Por qué? Determina una ley de formación para estos números.

Comparte con tus colegas la solución que has elaborado y compárala con la solución que ellos desarrollaron.

Para este próposito, considera la bibliografía y enlaces web sugeridos y analiza sucesiones diversas, como por ejemplo la sucesión de Fibonacci: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13, ...


9



2.1 ¿Qué es una función?

Una función es, en matemáticas, el término usado para indicar la relación de correspondencia o dependencia entre dos o más cantidades. Como dependencia, se entiende la conexión entre las características de las cantidades. Así, un cambio de una generará un efecto en las otras. Este es un elemento muy importante en la noción de función.

Por otra parte, la idea de dependencia está intrínsecamente ligada a la de variación y variable, pues la manera de predecir que una cosa depende de otra es hacer variar cada una a su turno y constatar cuál es el efecto de la variación. Se considera, pues, que los principales elementos de las funciones son la variación, la dependencia y la correspondencia.

Las funciones numéricas proporcionan una manera de cuantifi car y descubrir la dependencia entre variables y también un modelo para el estudio del comportamiento de la situación analizada. Una función, que resulte de la modelación de un hecho, posibilita hacer previsiones y tomar las precauciones necesarias cuando la magnitud que se estudia se acerca a valores que se consideran críticos. Es por eso que resulta muy importante hacer un análisis de las características globales de la función: dónde crece, dónde decrece, cuán rápidamente lo hace, dónde toma valores extremos, qué valor toma en cada punto, etc.

Así como los números surgen de la necesidad de contar, las funciones surgen a partir de la observación de la relación existente entre cantidades que varían, una en dependencia de otras. Cuando realizamos mediciones de magnitudes físicas observamos que existen muchas situaciones en las que una cantidad depende de otra. Por ejemplo: la estatura de una persona depende de su edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de enviar un paquete por correo, de su peso. Todos estos son ejemplos de funciones, decimos que la estatura es una función de la edad y que el costo de enviar un paquete por correo es una función de la masa del paquete. Aunque no existe una regla simple que relacione la estatura con la edad, sí existe una que relaciona el costo de enviar un paquete por correo con su masa (de hecho, ésta es la que utiliza la ofi cina de correos).

2.2 Definición de términos básicos

Es importante que defi namos de manera precisa cada uno de los siguientes términos:

2. FUNCIONES MATEMÁTICAS

El término “función” es utilizado en obras

de matemáticos como Leibnitz (en sus trabajos durante los años 1673 a 1694) y Leonhard Euler

en Introductio in Analysin Infi nitorum. Ambos

coincidían en defi nirla como: “Una función de

cantidad variable es una expresión analítica en

general compuesta por esa cantidad variable y por algunos números o cantidades constantes”.

1,81,51,20,90,6

Est

atur

a (e

n m

etro

s)

Edad (en años)La estatura es una función de la edad

0 5 10 15 20 25

5040302010C

osto

(en

S/.)

Masa (en g)El costo es una función de la masa

0 50 100 150 200 250


10


• Relación: es la correspondencia entre dos conjuntos, de modo que a cada miembro del conjunto de partida le correspondan uno o más miembros del conjunto de llegada.

• Dominio: elementos del conjunto de partida que se corresponden por lo menos con un elemento del conjunto de llegada.

• Rango: elementos del conjunto de llegada que se corresponde con un elemento del conjunto de partida.

• Función: es una relación tal que a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del rango.

En términos formales:

Si ( x ; y ) ∈ f ∧ ( x ; z ) ∈ f ⇒ y = z

• Variable independiente: se refi ere a la variable que representa a los posibles valores del dominio.

• Variable dependiente: se refi ere a la variable que representa a los posibles valores del rango.

Por otro lado, si defi nimos a una relación como un conjunto de pares ordenados (x ; y), los valores de x forman el dominio y los valores de y forman el rango.

Cabe recordar que toda función tiene un Dominio natural a menos que se especifi que lo contrario. El dominio natural es el conjunto de números reales para el cual la ecuación o fórmula está defi nida y que produce valores reales en el rango. Observemos un ejemplo:¿La siguiente ecuación defi ne a y como una función de x? Si este es el caso, determinar dominio y el rango.

yx

=+

4

12

Verifi quemos que esta ecuación defi ne una función, aplicando la defi nición anterior:

Podemos afi rmar que todo valor de x determina un solo valor de y. Por lo tanto, esta ecuación defi ne a y como una función de x.Para determinar su dominio despejamos y en función de x para analizar las restricciones de x para que y sea un número real.Consideramos dos operaciones que presentan restricciones en los reales: la división (el divisor debe ser diferente de cero) y la radicación (si el índice de la raíz es un número par, la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero).

yx

=+

4

12

Como la operación principal en el segundo miembro es la división, analizamos si existen valores de x que hagan cero al denominador:Si x ∈ R entonces x2 será mayor o igual que cero. Luego x2 + 1 es mayor que cero para todo valor real de x. Entonces el dominio será todos los reales.

El matemático y fi lósofo francés René Descartes (1596-1650) mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de “variable’’ y “función’’, al realizar una clasifi cación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones que las representan.

Interesante

http://redescolar.ilce.edu.mx/

redescolar/act_permanentes/

mate/anecdotas/mate4c/img/

descartes-photo.jpg


11



matemáticascuriosidades

Para determinar el rango despejamos x en función de y para analizar las restricciones de y para que x sea un número real. Observemos:

xy

xy

xy

xy

x

2 41 0

41

41 0

41 0

− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = → + −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+ − = ∨ −− − =

= − − ∨ = −

41 0

41

41

y

xy

xy

Como la operación principal en el segundo miembro es la radicación, analizamos si existen valores de y para que x sea real. Entonces tendremos que:

41 0

40

40

y

y

y

y

y− ≥ → − ≥ → − ≤

Resolvemos la inecuación aplicando puntos críticos:

Como: y

y

− ≤40

Entonces el rango de la función es: ⟨0 ; 4].

2.3 Los cuatro lenguajes de las funciones

Sin duda, la formación del concepto de función pasa en gran medida por la relación que se establece entre los distintos lenguajes de representación de las funciones, de los cuales, el numérico (presentación de las funciones en forma de tablas), es el más elemental (aunque también el más limitado) y el gráfi co es el que permite un tratamiento más amplio y versátil.

Por otra parte, una de las tareas que se debería abordar es la de caracte-rizar las modelos elementales de crecimiento: lineal, cuadrático, exponen-cial y logarítmica, tanto en situaciones contextualizadas como estrictamente matemáticas. Esta caracterización, que en general se realiza tanto a partir del gráfi co como de la expresión algebraica asociada a la función, no suele abordarse a partir del uso de tablas, y resulta especialmente interesante ver qué ocurre con los sucesivos incrementos de la variable dependiente, para incrementos iguales (por ejemplo, unitarios, aunque no es necesario) de la variable independiente.

Para describir una función específi ca, los estudiantes deben ser capaces de utilizar cada una de los cuatro lenguajes siguientes:

• Verbal (mediante una descripción con palabras).• Algebraica (por medio de una fórmula explícita o modelo).

El índice de masa corporal

El grado de obesidad suele definirse clínicamente con el Índice de Masa Corporal

(BMI) también llamado índice de Quetelet. Se calcula con

la siguiente operación:

Donde:

M = Masa en kilogramos

E = Estatura en metros

El índice aparece por primera vez en la obra de Alphonse

Quetelet. Sur l’homme

et le développement de

ses facultés. Essai d’une

physique sociale (1835), que resume sus investigaciones

en estadística aplicada a variables antropométricas y del comportamiento social.

Es probable que como antropómetra, Quetelet

(profesor de matemáticas) se sintiera atraído por

la relación entre peso y estatura (un interés que

comenzara en su periodo juvenil de pintor) que suponía

debía ser constante para los sujetos de contextura

normal. Expresa que “si el hombre creciera igualmente en las tres dimensiones, la

masa debería ser función cúbica de la estatura”.

+ +–

0 4


12


VerbalEl recibo mensual de una línea telefónica fi ja está basada en una cuota básica de S/. 30 y a esta cuota se le adiciona el precio de consumo por minutos a S/. 0,20 por minuto.

Algebraica

C(t) = 30 + 0,2 · t

Numérica

• Gráfi ca (a través de un dibujo).• Numérica (a través de una tabla de valores).

Una función puede ser representada de estas cuatro formas. Si ofrecemos a los estudiantes actividades en las que puedan representar una función en sus cuatro formas, así como pasar de una a otra, podremos lograr que comprendan mejor una función.

Sin embargo, algunas funciones se representan mejor en un lenguaje que en otro.• Población como función del tiempo: P(t) es “la población del mundo en

el momento t ”. Esta función se representa mejor con palabras.• Área del círculo como función del radio: A(r) = p · r2. Esta función se representa mejor con una fórmula.• Temperatura en función del día. Esta función se representa mejor a través

de una gráfi ca.

Veamos el siguiente cuadro en que se muestra una función representada con cada uno de los tipos de lenguaje:

2.4 El modelo matemático y las funciones

Uno de los usos más poderosos de la Matemática es la modelización. Los estudiantes de todos los niveles deberían tener oportunidades de modelar matemáticamente una amplia variedad de situaciones en la forma apropiada para cada nivel. Estos usos de modelos irán aumentando en complejidad.

En los niveles iniciales, pueden utilizar objetos, dibujos y símbolos para modelar situaciones relativas a la adición y sustracción de números naturales, más adelante, los estudiantes deberían usar modelos para entender mejor las situaciones cuantitativas.

30252015105

Tem

pera

tura

(en

ºC)

Fecha (abril 2005)La temperatura

es una función de la fecha

0 5 10 15 20 25 30

Minutos consumidos

Facturación

0 3010 3220 3430 3640 3850 40

Gráfi ca

Fact

urac

ión

(en

sole

s)

0 10 20 30 40 50

30

40

20

10

Minutos consumidos


13


APRENDIZAJE DE FUNCIONES EN SECUNDARIAUna defi nición de modelo matemático es la siguiente: un modelo matemático

es una construcción matemática abstracta y simplifi cada, relacionada con una parte de la realidad y creada para un propósito particular. Así, por ejemplo, un gráfi co, una función, o una ecuación pueden ser modelos matemáticos de una situación específi ca.

Por ejemplo, la siguiente gráfi ca nos muestra cómo ha ido evolucionando el calentamiento global en nuestro planeta en los últimos 100 años, una situación que se está tornando preocupante y nos debe motivar a la acción para revertir este fenómeno.

Un modelo matemático se defi ne como una descripción desde el punto de vista de la Matemática, de una situación del mundo real en la que se involucren magnitudes, como por ejemplo: el crecimiento de la población en función del tiempo, el costo de los arbitrios municipales en función del costo real del inmueble, el costo del agua en función del volumen consumido, la subida de peso en función de las calorías consumidas al día, la talla de las personas en función de la edad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente la situación real y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

A través del modelo matemático de una situación real se pueden obtener relaciones funcionales expresadas en forma algebraica, con la posibilidad de generalizar lo observado en otras situaciones similares. Por ejemplo, la situación en la que el espacio recorrido se relaciona con el tiempo se puede plasmar en la siguiente gráfi ca:

Existen muchas estrategias para aplicar el modelo matemático en nuestras clases. Una de estas estrategias es la siguiente:

1. Encontrar un problema del mundo real.

2. Formular un modelo matemático acerca del problema, identifi cando va-riables (dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo sufi -cientemente simples para tratarse de manera matemática.

3. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclu-siones matemáticas.

14,6

14,4

14,2

14,0

13,8

13,6

13,4

Temperatura media terrestre en el periodo 1900 - 2004.

1900 1920 1940 1960 1980 2000

Esta gráfi ca nos muestra que hay una relación estrecha entre el calentamiento global y el tiempo. Este hecho puede ser relacionado con los avances tecnológicos que se han ido sucediendo a lo largo de estos años y la contaminación ambiental que esto origina.

4,03,22,41,60,8

Esp

acio

rec

orri

do (

en m

)

Tiempo (en s)El espacio recorrido

es una función del tiempo

0 5 10 15 20 25

ºC


14


4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con los datos reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.

En otras palabras, para modelar una situación real podemos identifi car y seleccionar las características relevantes mediante la observación, representarlas algebraicamente, y considerar la precisión y limitaciones del modelo.

Se debería estudiar la construcción de modelos de manera profunda, generando o usando datos; investigando qué tipo de funciones se ajustan mejor a estos datos.

Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización. Existe una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraica como gráfi camente.

De allí la importancia que tiene el iniciar el estudio de las funciones considerando que los aspectos funcionales resultan de la modelización matemática de fenómenos en los que aparece una relación entre magnitudes, y, por lo tanto, hay puntos en común tanto en las situaciones reales como en los lenguajes de representación utilizados, en particular, tablas y gráfi cas.

Analicemos el siguiente ejemplo:

Una familia desea cercar el jardín que tiene delante de su casa, tal como se muestra en la fi gura:

Sea P (x,y) el perímetro, entonces:

Determine un modelo matemático para representar el perímetro solicitado.

Resolución:

El siguiente diagrama representa la superfi cie del jardín y la línea roja representa el cerco.

Jardínx

y

x

Entonces, sea P (x ; y) el perímetro del cerco del jardín, donde:x : longitud de ancho del jardín y : longitud del largo del jardínLuego, el modelo matemático será: P (x; y) = 2x + y

2.5 Las funciones en la realidad

Cuando hablamos de modelos matemáticos de la vida real nos estamos refi -riendo a una función que describe por lo menos de una manera aproximada, la dependencia de una cantidad con otra.

x

y

Jard

ín

x

Representación del jardín.


15

Reglas para obtener funciones de uso práctico

Para que los estudiantes puedan obtener funciones de uso práctico deben seguir las siguientes reglas:

- Introducir notación: asignar un símbolo o letra a la cantidad buscada y luego seleccionar símbolos para las demás incógnitas. Ayuda el utilizar letras que sugieran lo que se representa en la variable: A para el área, t para el tiempo, etc.

- Dibujar un diagrama: en el cual se aprecien la variable y las cantidades dadas. Nos ayuda a visualizar mejor la situación.

- Relacionar las cantidades: obtener ecuaciones que relacionen la cantidad buscada con las demás variables.

- Eliminar las variables innecesarias: utilizar las relaciones existentes entre variables para eliminar todas, excepto una variable para que la cantidad buscada quede expresada en función de ésta.

Función lineal

La función lineal está defi nida por:

Es conveniente mostrar a los estudiantes las variantes de esta función. Veamos:

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Matemático alemán. Cursó sus estudios en

París, relacionándose con matemáticos como Fourier.

Después de graduarse, fue profesor en las

universidades de Breslau (1826-1828), Berlín

(1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra

dejada por Gauss tras su muerte. Sus aportaciones

más relevantes se centraron en el campo de la teoría

de los números, prestando especial atención al estudio

de las series, y desarrolló la teoría de las series de Fourier. Consiguió una

demostración particular del problema de Fermat, aplicó

las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció

criterios de convergencia para las series. En el campo

del análisis matemático perfeccionó la defi nición

y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del

equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial

newtoniano.

Verbal

El recibo mensual de agua para un establecimiento comercial está basado en una cuota básica de S/. 3,84 y a esta cuota se le adiciona el precio de consumo a S/. 4,28 por m3.

Exprese la facturación del recibo de agua en función de la cantidad de m3 consumidos.

Algebraica

Sea x: cantidad de m3 consumidos

C(x): facturación en nuevos soles

C(x) = 4,28x + 3,84

Numérica

m3

consumidosFacturación S/. (sin IGV)

0 3,845 25,2410 46,6415 68,0420 89,4425 110,84

Gráfi ca

Fact

urac

ión

(en

sole

s)

m3 consumidos

C(x)

X0 10 20 30 40 50

30

40

20

10

70

80

60

50

90

100

110

http://staatsbibliothek-berlin.de/deutsch/abteilungen/

musikabteilung/mendelssohn_gesellschaft/peter_lejeune_

dirichlet.jpg


16


- Si a = 0 y b ≠ 0 entonces se dirá que es una función constante:

f f x b: / ( )° °→ =

- Si a ≠ 0 y b = 0 entonces se dirá que es una función afín:

f f x ax: / ( )° °→ =

- Si a = 1 y b = 0 entonces se dirá que es la función identidad:

f f x x: / ( )° °→ =

- Si a > 0 entonces se dirá que es una función lineal creciente.

- Si a < 0 entonces se dirá que es una función lineal decreciente.

Propuesta de algunas aplicaciones de función lineal

a. Se contrata a una persona para que venda revistas y se le informa que se le pagará S/. 10 fi jos y S/. 0,50 soles por cada revista vendida. Expresa la ganancia diaria como una función del número de revistas vendidas.

b. Un comerciante compra 100 kg de naranjas a S/. 30. Expresa la ganancia en función del precio de venta por kg.

Función cuadrática

La función cuadrática está defi nida por:

f: R ⇒ R / f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0

Es conveniente mostrar a los estudiantes las variantes de esta función. Veamos:

Si b = 0 ∧ c = 0 ⇒ f(x) = ax2

Verbal

Exprese el área de una región cuadrangular en función de su perímetro.

Algebraica

Sea P: Perímetro de la región cuadrangular.

A(P): Área de la región cuadrangular.

A(P) = (P/4)2

Numérica

P = Perímetro en metros

A(P): Área de la región

cuadrangular en m2

0 04 18 412 916 1620 25

Gráfi ca

25

16

9

4

1

Áre

a en

m2

Perímetros en m0 4 8 12 16 20

Yb

X

Función constante

Y

X

Función afín

Y

X

Función identidad

Recuerda

Yf (b)

X

Función continua

f (a)

a b

Podemos decir que una función es continua en un intervalo, si en su gráfi ca, el trazo no posee “saltos”.


17


APRENDIZAJE DE FUNCIONES EN SECUNDARIALa gráfi ca quedará determinada de la siguiente manera:

Si b = 0 > c ≠ 0 ⇒ f (x) ax2 + c

En este caso, la gráfi ca quedará determinada de la siguiente manera:

Si b ≠ 0 ∧ c = 0 ⇒ f (x) = ax2 + bx

Luego, completando cuadrados, se obtiene: y – k = a(x – h)2

El vértice queda defi nido por los puntos: V = (h; k)

La gráfi ca queda determinada de la siguiente manera:

Si a > 0 Si a < 0

Ejemplo:

Dada la función: f : ° ⇒ ° / f (x) = x2 – 4x, determina su gráfi ca.

Y Y

X

a < 0

X

a > 0

Y

X

a > 0

c

Y

X

a < 0

c

Y

Xk

Y

Xh

V(h; k)

V(h; k)k

h

Función crecienteUna función es crecienteSi: x

1 < x

2 ⇒ f(x

1) < f(x

2)

Recuerda

Yf (x

2)

Xx1

x2

f (x1)

Yf (x

2)

Xx1

x2

f (x1)

Función decrecienteUna función es decreciente

Si: x1 < x

2 ⇒ f(x

1) > f(x

2)

Recuerda

Yf (x

1)

Xx1

x2

f (x2)

Yf (x

1)

Xx1

x2

f (x2)


18


Resolución:

f (x) = x2 – 4x

y = (x – 2)2 – 4

y + 4 = (x – 2)

∴ V = (2; –4)

Propuesta de algunas aplicaciones de la función cuadrática

a. Una plataforma petrolera está derramando petróleo en el océano, creando una mancha circular de petróleo en la superfi cie del mar. Suponga que el diámetro está creciendo con una razón constante de 8 metros/minuto. Exprese el área de la mancha como función de t, el tiempo en minutos desde que inició el derrame.

b. Una superfi cie rectangular de 2 500 metros cuadrados debe cercarse. Dos lados opuestos de la cerca costarán S/. 10 el metro; los otros dos lados costarán S/. 8 el metro. Si x representa la longitud de los lados que requieren la cerca más cara, expresar el costo total de la cerca como una función de x.

Función exponencial

Y

X2

V(2; –4)–4

40

VerbalÓscar se propone ahorrar para comprar unas zapatillas que cuestan S/. 256. Decide ahorrar S/. 2 el primer día y duplicar la cantidad que ahorra al día siguiente y así sucesivamente en el resto de días.Escribir una expresión que represente la cantidad ahorrada en función de los días.

Algebraica

Sea x: número de días

C(x) = dinero ahorrado en x días

C(x) = 2x ,

Numérica Gráfi ca

x: número de días C(x): dinero ahorrado en x días

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

6 64

7 128

8 256

9 512

dine

ro a

horr

ado

en n

uevo

s so

les

días0 2 4 6 8 X248

16

32

64

128

256

Una función será inyectiva o univalente si:

x1 ≠ x

2 ⇒ f (x

1) ≠ f (x

2)

f (x1) = f (x

2) ⇒ x

1 = x

2

Recuerda

Yf (x

2)

Xx1

x2

f (x1)

f (x)


19


APRENDIZAJE DE FUNCIONES EN SECUNDARIALa función exponencial está defi nida por:

f : ° ⇒ ° + / f (x) = ax ; a >0 ∧ a≠1

Es conveniente mostrar a los alumnos las características de esta función. Veamos:

• La función intersecta siempre al eje Y en el punto (0; 1) y queda determinada de la siguiente manera:

• Es una función continua para todo su dominio.• Es una función inyectiva.• Como se aprecia en la gráfi ca, es decreciente cuando a ∈ <0; 1> y

creciente cuando a > 1.

Propuesta de algunas aplicaciones de la función exponencial

• Interés compuesto

Se invierte una suma de $ 1 000 a una tasa de interés del 12 % anual. Determina el monto que se pagará después de 3 años si el interés se calcula anualmente, semestralmente, trimestralmente, mensualmente y diariamente.

• Crecimiento exponencial

Los biólogos han observado que la población de una especie siempre duplica su tamaño en un periodo fi jo. Por ejemplo, en condiciones ideales cierta población de bacterias se duplica de tamaño cada tres horas. Si el cultivo se inicia con 1 000 bacterias, entonces después de tres horas habrán 2 000 bacterias, después de otras tres horas habrán 4 000 y así sucesivamente. ¿Después de cuánto tiempo habrá 128 000 bacterias?

Función logarítmica

Y

X(0; 1)

a > 1

Y

X

0 < a < 1

(0; 1) Fórmula del interés compuesto

Donde:

A = monto después de t años

P = capital

r = tasa de interés

n = veces que se calcula el interés al año

t = número de años

Verbal

Si S/. 1 000, invertidos a 6% anual, se componen mensualmente, establesca una expresión que represente el tiempo que ha de transcurrir para que el monto se triplique.

Algebraica

SeaM : Monto obtenido N : Fracciones anualesC

0 : Capital inicial T : Tiempo en años

R : Tasa de interés

M = C0 (1 + r/n)nt

M/C0 = (1 + r/n)nt

Tomando logaritmos naturales (ln) en ambos miembros, tenemos:


20


matemáticascuriosidades

La función logarítmica está defi nida por:f : R+ ⇒ R / f(x) = loga

x, a > 0 ⇒ a ≠ 1

Es conveniente mostrar a los estudiantes las características de esta función:

• La gráfi ca de la función intersecta siempre al eje X en el punto (1; 0) y queda determinada de la siguiente manera:

• Es una función continua para todo su dominio.• Es una función univalente.• Como se aprecia en la gráfi ca, es una función decreciente si a <0; 1> y

creciente si a > 1.

Propuesta de algunas aplicaciones de la función logarítmica• La intensidad del sonido El sonido es una vibración recibida por el oído y procesada por el cerebro.

La intensidad del sonido es una medida de la “fuerza” de la vibración y puede ser medida utilizando logaritmos.

Por ejemplo, el sonido de menor intensidad que puede detectar un oído humano a una frecuencia de 100 hertz está alrededor de los 1 012 W/m2. El volumen es medido en decibeles. La palabra decibel se abrevia dB. El prefi jo deci signifi ca “décima”, un decibel es un décimo de un bel. La palabra bel es en honor a Alexander Graham Bell. El volumen V(x) de un sonido de intensidad x, medido en vatios por metro cuadrado, W/m2, se defi ne por:

El Gateway Arch en San Luis, Missouri, tiene la forma de la gráfica de una combinación de funciones exponenciales (no de una parábola como pudiera parecer a primera vista). Específicamente se trata de una catenaria, que es la gráfica de una ecuación de la forma

y = a(ebx + e-bx)

Numérica

M: monto obtenido en

“t” años

T: tiempo en años

1 000 01 500 4,762 000 4,992 500 5,183 000 5,33

Gráfi ca

5,33

5,18

4,99

4,76

tiem

po e

n añ

o

Monto en nuevos soles0 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000

t

M

X

Y

a > 1

X

Y

0 < a < 1

1 1http://www.finnmoller.dk/tr-usa/

mo/stlouis-gateway-arch02.jpg


21



V xx

I( ) log=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟10

0

Donde: I0 = 10-12 vatios por metro cuadrado es el sonido de menor intensidad

que puede ser detectado por el oído humano. Para tener una referencia, el sonido del disparo de una pistola es de alrededor de 140 decibeles y una conversación normal, alrededor de 50 decibeles.

• La magnitud de un terremoto

Los terremotos, a lo largo de la historia, han causado daños severos y pérdidas invaluables. El Perú fue estremecido por uno de los más severos terremotos de su historia en la mañana del 31 de mayo de 1970. El terremoto comenzó a sentirse en forma repentina a las 10:14 am. De acuerdo con los datos ofi ciales fueron varios miles de personas que perdieron sus vidas, y la pérdida en propiedades fue de varios millones de dólares, cifra cuantiosa para la época. La ciudad de Huaraz fue la más afectada por el terremoto dada su proximidad al epicentro. Se estima que la magnitud del terremoto alcanzó 7,3 en la escala de Richter. Un terremoto de 7,3 en la escala de Richter se considera un evento de gran magnitud.

La siguiente tabla nos ofrece información acerca de algunos terremotos.

Un sismógrafo, derivado de la palabra griega seismos que signifi ca terremoto, es un instrumento que registra la cantidad de movimiento que produce la onda sísmica de un terremoto, el registro se conoce como un sismograma. La amplitud del sismograma es la distancia vertical entre los “picos” y los “valles” producidos por la lectura de la onda sísmica y una recta horizontal si no hay movimiento. Esta distancia es usualmente medida en micrómetros (μm). Richter quería desarrollar una escala que refl ejara sólo la intensidad del terremoto. La escala de Richter es una de las maneras de convertir lecturas sismográfi cas a números que provean una fácil referencia para medir la magnitud M de un terremoto.

Todos los terremotos son comparados con un terremoto de “nivel-cero” cuya lectura sismográfi ca mida 0.001 milímetros a una distancia de 100 kilómetros del epicentro, éste es el metro con el que se miden todos los terremotos. En general, un terremoto que tiene una lectura sismográfi ca que mida x milímetros tiene magnitud M(x), que está dada por:

Funciones logarítmicas

Es importante mencionar que son las funciones

inversas a las funciones exponenciales; por lo tanto:

su dominio es <0, ∞> y su rango es <-∞, ∞>.

Recuerda

Año Medida en escala de Richter Lugar

1918 7.3 Puerto Rico 1960 9.5 Chile 1970 7.3 Perú1985 8.1 México1988 6.9 Armenia 1999 7.8 Turquía

M xx

( ) log= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−10 3


22


Actividad 2Identifi ca estrategias y/o métodos al presentar las funciones a través de la lectura, análisis e interpretación de la información proporcionada, de manera creativa y refl exiva.1. Elabora una fi cha de actividades en las que los estudiantes puedan hacer uso de los 4 lenguajes

en que se puede representar una función. Cada actividad debe empezar con una representación diferente. Veamos algunos ejemplos:• Carlos consiguió un préstamo en el banco “Te apoyo”. Por cada día que se atrase en pagar la

cuenta del mes, el Banco le cobra el 0,02% del préstamo total por mora. El préstamo que se hizo asciende a S/. 10 000 y ya tiene 15 días de deuda.Responde:a. ¿Cuál es la variable dependiente?b. ¿Cuál es la variable independiente?c. Escribe una fórmula para calcular el monto de la mora.d. Elabora una tabla para determinar el monto de la mora si ya han pasado: 3 días, 7 días, 9

días, 15 días.e. Elabora la gráfi ca con el monto de la mora en nuevos soles versus el número de días

atrasados (para este caso sugerimos emplear la fórmula del interés compuesto).• Dada la siguiente función: f (x) = x2 + 20

Responde:a. ¿Cuál es la variable dependiente?b. ¿Cuál es la variable independiente?c. Escribe una situación real que pueda ser representada por esta función.d. Elabora una tabla para determinar el valor numérico de la función cuando x = 0; x = 1; x = 2;

x = 3; x = 4.e. Elabora la gráfi ca de esta función.

2. Dado el siguiente gráfi co- Determina el volumen de la fi gura en función de x.- Traza la gráfi ca del volumen en función de x.- Clasifi ca el tipo de expresión funcional que se obtiene.- Calcula el volumen máximo y el volumen mínimo de la fi gura.

3. Si el ruido en una biblioteca mide una intensidad de 10-12 vatios por centímetro cuadrado, ¿cuántos decibeles mide el sonido?

4. Este gráfi co se refi ere al movimiento de un corredor, siendo V la velocidad (km/h) y t el tiempo (h). ¿Qué información podemos extraer de este gráfi co?

He aquí algunas respuestas:a. La velocidad inicial es V

0 = 5 km/h

b. El corredor parte con esa velocidad inicial y luego acelera de tal manera que la velocidad se incre-menta proporcionalmente al tiempo. Por lo tanto, hay una aceleración constante positiva igual a 3/2 (km/h2) = 1,5 km/h2

c. Al cabo de 2 h, pasa una velocidad constante igual a 8 km/h y así sigue durante 3 h.

Reto: ¿cómo es el movimiento en las tres horas posteriores?

x xx

x

x

x

x x

6cm

10cm

10cm

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8t(h)

v(km/h)Movimiento de un corredor


23



3. RECURSOS METODOLÓGICOS

y MATERIALES3.1 Resolución de problemasEn la resolución de problemas matemáticos se investiga en varias direccio-nes o tendencias. Según (Shoenfeld, A.H., 1992) se pueden distinguir cuatro tendencias principales sobre la investigación en Resolución de Problemas Matemáticos:

1. Resolución de Problemas para los primeros años escolares, los cuales se presentan de forma escrita,

2. Resolución de Problemas de la vida real, éstos son resueltos empleando modelos matemáticos,

3. Resolución de Problemas desde el punto de vista de los procesos cogniti-vos, pensamiento matemático,

4. Resolución de Problemas analizando los procesos de enseñar y entender los tipos de habilidades y estudios de estrategias de resolución conocido como el método heurístico.

Una forma de llevar a cabo el aprendizaje mediante la activación de proce-sos cognitivos y por descubrimiento es mediante la resolución de proble-mas por parte del estudiante. No se trata de problemas rutinarios, más bien se requiere una verdadera actividad de resolución por parte del estudiante quien, al resolverlo, ha aprendido algo nuevo, aunque no está claro que haya transferencia de este aprendizaje a otros problemas diferentes.

3.2 Aplicación de la prensa en Matemática La prensa como recurso en el aula es poco habitual en el campo de la Mate-mática, pero sí se están realizando experiencias que tratan de ello. Aunque a nivel bibliográfi co es una parcela poco explorada, hemos encontrado referen-cias específi cas sobre la posible utilización de los periódicos en esta área.

La prensa se convierte en una fuente muy importante que suministra cono-cimientos más o menos detallados, sobre una gran cantidad de fenómenos o hechos sociales y naturales. Dichos fenómenos incluyen datos cuantitativos, establecen relaciones lógicas o se organizan especialmente.

Podemos hacer uso de la prensa para desarrollar el tema de las Funciones con nuestros alumnos . Sugiere que traigan recortes periodísticos en los que se evidencie una relación de funcionalidad entre dos variables, de preferen-cia que tengan gráfi cos y a partir del análisis de éstos se puede presentar algunos conceptos básicos, reconocer variables, determinar la fórmula que mejor represente la situación, etc. Podemos realizar actividades de análisis

Pólya ha sido uno de los impulsores de la

resolución de problemas, recomendando el uso de

estrategias generales y su método en cuatro fases:

• Comprensión del problema.

• Concepción de un plan de resolución.

• Ejecución del plan.• Examen retrospectivo

de la solución hallada.

Las posibilidades de la Prensa (Cheyney, 1982)

con la Matemática se resumen en:

1. Enriquecen signifi cados matemáticos.

2. Se vincula problemas matemáticos con

realidades de la vida.3. Informa del desarrollo

científi co.4. Se comprenden los

gráfi cos y datos expuestos en tabla.

Referencia: hay 10 fascículos para los estudiantes en los

cuales se desarrollan la aplicación de la prensa a

la Matemática.


24


de recortes periodísticos en los que los estudiantes hagan uso de las cuatro representaciones de una función.

3.3 Uso de la computadora en la enseñanza de las funciones Las herramientas tecnológicas ofrecen al docente de Matemática la opor-tunidad de crear ambientes de aprendizaje enriquecidos para que los estu-diantes perciban la Matemática como una ciencia experimental y un proceso exploratorio signifi cativo dentro de su formación. Se ha observado que los estudiantes realizan fácilmente operaciones simples en las que se involucran una o dos variables, pero presentan problemas cuando deben relacionar va-riables complejas y deben leer, incorporar o elaborar gráfi cos en la resolu-ción de problemas. La Matemática está cargada de conceptos abstractos y de símbolos. En este sentido, la imagen cobra un valor muy importante en esta asignatura ya que permite que el estudiante se acerque a los conceptos, sacándolos de lo abstracto mediante su visualización, y transformándolos realizando cambios en las variables implícitas.

En relación al tema de “funciones matemáticas”, diversos autores coinciden en que los enfoques tradicionales para su enseñanza, a partir de los cuales ésta es desarrollada en forma abstracta, aunque formal y matemáticamente perfecta, no alcanzan a tener un verdadero signifi cado para la mayoría de los estudiantes. Estos enfoques, alejados de las aplicaciones, propenden por lo general, a un aprendizaje memorístico, carente de signifi cación. Tampoco se promueve el desarrollo de procedimientos generales relacionados con el quehacer matemático ni los procesos de pensamiento que se ponen en juego ante la resolución de problemas en diversas ciencias.

Junto a la propuesta de incorporación de recursos computacionales como herramientas para el aprendizaje, el proceso de refl exión adquiere una sig-nifi cación adicional para que no se adopten “fórmulas” pedagógicas ni se apliquen “modas” que se imponen sin fundamentos. El docente de Matemá-tica debe tomar contacto con la computadora, encontrar la posibilidad de su utilización dentro de su disciplina, y entender hasta dónde es ella asistente dentro y fuera del aula.

Mencionemos algunos software que pueden ser de mucha utilidad en nues-tras clases y que son de uso sencillo: el Excel y el Winplot. En la siguiente dirección electrónica puedes descargar de manera gratuita algunos grafi ca-dores de funciones, entre ellos el Winplot:

http://www.pnte.cfnavarra.es/~iesozizu/departamentos/matematicas/recursos/infos/index3.html#32

3.4 El juego en la enseñanza de las funcionesA. El juego de la ocaEl juego de la oca es un juego de mesa donde intervienen dos o más jugadores. Cada uno de ellos avanza su fi cha por un tablero en forma de espiral con 63 casillas. Las casillas están numeradas del 1 al 63 y en cada una hay un dibujo. Dependiendo de la casilla en la que se caiga se puede lograr avanzar o por el contrario retroceder y en algunas de ellas está indicado un castigo.

Temas matemáticos que con cierta frecuencia aparecen en la prensa escrita:1. Mapas y planos, lo

relacionamos con proporciones, escalas.

2. Diagramas lineales, lo relacionamos con estadística y magnitudes.

3. Fotos, que nos permiten estudiar la geometría plana y cuerpos geométricos.

4. Relación de precios; para vincularlos con la aritmética.

5. Sondeos, resultados electorales, para analizar proporciones.

6. Pictogramas, diagramas circulares, etc., lo relacionamos con estadística.


25

Origen del juego de la OCA

Cuenta una leyenda griega que durante el sitio

de Troya los guerreros griegos se aburrían tanto que inventaron distintos juegos para mantenerse

entretenidos. Uno de estos juegos fue precisamente

“el Juego de la Oca” y cuentan que quien lo

inventó fue Palámedes, hijo del rey de Eubea y

nieto de Poseidón. En el año 1908 se descubrió

en Creta una pieza arqueológica que data

del año 2000 a.C. y que fue llamada el “Disco de

Phaistos”, los historiadores piensan que probablemente

era un tablero para jugar el Juego de la Oca. Es un

disco hecho de arcilla que mide aproximadamente

20 cm. de diámetro y que tiene grabada una espiral

con 31 casillas en una cara y 30 en la otra; en 8 de

las casillas hay, también grabadas, las fi guras de

pájaros muy grandes.

interesante

http://es.wikipedia.org/wiki/

Imagen:Tablero_oca.jpg

En su turno, cada jugador tira dos dados que le indican el número de casillas que hay que avanzar. La oca En las casillas 5; 9; 18; 23; 27; 32; 36; 41; 45; 50; 54 y 59, están dibujadas las ocas. Cuando se cae en una de estas casillas se puede avanzar hasta la siguiente casilla en la que hay una oca y volver a tirar. La posadaEn la casilla 19 está el dibujo de una posada; cuando se cae en esta casilla se pierde un turno. El pozoEl dibujo del pozo está en la casilla 31; cuando se cae en esta casilla no se puede volver a jugar hasta que no pase otro jugador por esa casilla. El laberinto En la casilla 42 hay dibujado un laberinto, al llegar a esta casilla se está obligado a retroceder a la casilla 30. La cárcel La cárcel está en la casilla 56; caer en esta casilla signifi ca quedarse dos turnos sin jugar. La calavera La casilla 58 es la “casilla de la calavera” al caer en esta casilla hay que volver a la casilla 1.El juego lo gana el primer jugador que llega a la casilla 63 “el jardín de la oca”.

El Juego de la oca con funcionesTiene las mismas reglas que el juego de la oca pero en las casillas que no están marcadas aparecen funciones. Los estudiantes pueden calcular el valor numérico de las funciones, clasifi car las funciones, determinar el dominio o rango, determinar la función que representa una gráfi ca, cambiar de forma de representación, etc.Los pasos en el desarrollo del juego son:1. Cada jugador, en su turno, tira el dado una vez.2. Responde la pregunta que se pide.3. Si responde correctamente lanza el dado otra vez y avanza tantos

números como indica el dado.4. Si responde incorrectamente lanza el dado otra vez y retrocede tantos

números como indica el dado.Ganará el juego el jugador que realice más rápido dos vueltas completas del tablero. Las ventajas que se observaron con la implementación de este juego en la enseñanza de funciones son:• Permite que el alumno adquiera destreza y agilidad en el cálculo del valor

de la función en un punto.• Posibilita la participación de grupos de dos a cuatro alumnos (cantidad

de estudiantes que usualmente comparten una computadora en la sala de computación).


26


• Cada estudiante interactúa con el juego en su turno, evitando que un solo estudiante tenga el manejo del juego todo el tiempo.

• El estudiante se ve motivado a participar y efectuar cálculos en forma permanente, no sólo cuando le corresponde su turno, sino que también debe controlar los resultados obtenidos por sus compañeros para evitar que hagan “trampa”.

Para elaborar el tablero en que jugarán los estudiantes basta con hacer un camino en espiral hacia adentro y ubicar en cada casillero, que no esté ocupado según las reglas, diferentes funciones cuidando que haya las cuatro formas de expresarlas.Luego se preparan por separado varias tarjetas de colores en las que se indicará al estudiante lo siguiente:Los colores pueden variar y las indicaciones también. Procura que los estudiantes no piensen que el color es el que determina la acción. Se colocan las tarjetas sobre la mesa, con la indicación hacia abajo.El estudiante escoge al azar una tarjeta y ejecuta lo que se le indica.

Lanza el dado y determina el valor numérico de la función para x igual al número que salga en el dado.

Expresa de manera diferente la función mostrada en el casillero.

Clasifi ca la función mostrada en el casillero.

Juego de la oca con

funciones.

1

23 4

ƒ (x) = 2x

78

10

12131415

17

...

63

ƒ (x) = x2

ƒ (x

) = x2

+2

f (x) = x2 - 2x

f (x) = x + 3

f (x) = |x - 1|

f (x) = 3

f (x) = 3 - x

f (x) = 2x

f (x) = - x2 + 2x f (x) = - 2 f (x) = log2 x

y

x

B. Juego de la Casita robada con funcionesSe elaboran pares de cartas, con diferentes expresiones matemáticas y sus correspondientes gráfi cas, como se muestra en la fi gura. Con el objeto de tener más cartas, se confeccionarán dos mazos de cartas idénticos.

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x


27

Los pasos en el desarrollo del juego son:

1. Sorteado el jugador que dará las cartas, éste reparte tres a cada jugador, de una en una y de izquierda a derecha, descubriendo luego cuatro cartas boca arriba sobre la mesa. Cuando todos los jugadores hayan jugado sus tres cartas, deberá repartir otras tres a cada uno.

2. El juego es iniciado por el jugador situado a la derecha del que da las cartas, quien, si tiene entre sus cartas alguna que se corresponda con las de la mesa, la reúne con la suya explicando por qué puede “robar” la carta. Si hubiera sobre la mesa dos cartas de la misma función (considerando que se tienen dos mazos idénticos), sólo podrá robar una de ellas. Las dos cartas que así reúne las coloca hacia arriba a su lado, iniciando así, su “pozo” y pasa el turno al siguiente.

3. El siguiente jugador podrá, con alguna de sus cartas, robar cualquiera de las de la mesa o el “pozo” de alguno de los otros jugadores. Si la carta superior del “pozo” de un contrario tuviera una función que se encuentra también sobre la mesa, no podrá robarle al jugador, debiendo limitarse a robar la de la mesa.

4. Acabado el mazo y jugadas las tres últimas cartas por cada jugador, fi naliza la partida, resultando ganador aquél que más cartas haya logrado reunir en su “pozo”. Después que se hubo implementado esta actividad en el aula, a medida que los alumnos fueron interactuando con el juego, surgieron propuestas de mejoras en las reglas, que ya fueron incluidas en la descripción anterior.

La aplicación de este juego en la enseñanza de funciones presenta las siguientes ventajas:

- Permite que el estudiante establezca la relación entre los diferentes tipos de funciones (lineales, cuadráticas, trigonométricas, etc.) y su representación gráfi ca.

- Cada estudiante interactúa con el juego en caso de requerirlo, evitando que uno solo tenga el manejo del juego todo el tiempo.

- Los participantes se ven motivados a atender en forma permanente, no sólo cuando le corresponde su turno, sino que también deben controlar los resultados obtenidos por sus compañeros para evitar que hagan “trampa”.

Se observaron mejores resultados cuando se constituyeron parejas de estudiantes que competían entre ellas, en vez de jugadores individuales.

UnUn mate... mate...

Jesús se encontraba junto al lago de Galilea

rodeado de sus discípulos y se dirigió a ellos y les dijo: “En

verdad os digo que y es igual a x al cuadrado”.

Y Pedro, que se encontraba más cerca

le preguntó: “Señor, no te entendemos”. Y

Jesús le contestó: “Esto, hermanos míos, es una

parábola...”.


28


Actividad 3

Aplica los recursos metodológicos para la enseñanza de las funciones, elaborando estrategias didácticas y mostrando perseverancia en el trabajo.

1. Elabora un juego matemático como el de “Casita robada con funciones”, pero con la siguiente variante:

- Elaborar cuatro cartas por función, una para cada forma de representar las funciones.

- Pedir a los estudiantes que enuncien conclusiones acerca de la forma de las expresiones de las funciones lineales, cuadráticas, y otras.

2. Aplica los juegos matemáticos propuestos y los que has elaborado. Observa las reacciones de tus estudiantes, toma nota. Compara el resultado de sus evaluaciones para ver si encuentras diferencias significativas. Comparte la información con tus colegas de área.

3. Si tuvieses que graficar en papel milimetrado la función exponencial f (x) = 2x para x entre 0 y 30, considerando que un mm es una unidad en el valor numérico de la función, ¿cuántas hojas de papel milimetrado oficio serían necesarias para trazar la gráfica?

4. Supón que te ofrecen un trabajo de un mes, donde te pagarán bien. ¿Cuál de las siguientes formas de pago es la más rentable? Explica por qué.

a. Un millón de nuevos soles al fin de mes.

b. Dos nuevos soles el primer día, 4 el segundo, 8 el tercero, y así sucesivamente.

Navegación con retorno

Un barco navega en aguas tranquilas a 20 nudos (un nudo equivale a una velocidad de una milla por hora). Sale de una ciudad situada en un río cuyas aguas bajan a una velocidad de 5 nudos. ¿Cuántas millas podrá recorrer río abajo, para estar seguro de poder regresar a la ciudad si el combustible que tiene le permite navegar durante 4 horas? ¿Cómo afecta la velocidad de las aguas a la distancia que puede recorrer?

Reúnete con tus colegas de área para solucionar el problema.

Para este caso sugerimos emplear el modelo matemático de: velocidad en función al tiempo y espacio.

en grupo...investiga con tus colegas


29

Desarrolla cada una de las siguientes actividades. Comparte con tus colegas los procedimientos que has utilizado y verifi ca tus resultados con los de ellos.

1. ¿Por qué es importante el aprendizaje de las funciones en nuestros estudiantes?

2. Fundamenta la importancia de iniciar el estudio de las funciones partiendo del análisis de situaciones reales.

3. ¿Cuáles son las cuatro formas de representar una función?

4. Elabora cuatro ejemplos didácticos en los que expreses las funciones en sus cuatro representaciones.

5. ¿Consideras que introducir juegos en nuestras clases de funciones podría ser benefi cioso para los estudiantes? ¿Por qué?

6. Plantea situaciones problemáticas para desarrollar la función exponencial.

7. Escribe cinco situaciones de la vida real que puedan ser representadas a través de funciones.

8. Crea un juego matemático tomando como base el juego de la oca o el juego de la casita robada.

9. ¿Por qué el aprendizaje de las funciones es el tema central del aprendizaje de la Matemática?

10. Con tus propias palabras, compara y contrasta la escala Richter y la escala de decibeles. ¿Por qué son tan parecidas las fórmulas? ¿Por qué piensas que ambas son funciones logarítmicas? Comparte con tus compañeros de área tus respuestas y comentarios al respecto.

11. Un brindis muy numeroso.

Al fi nal de una celebración, los asistentes realizaron un brindis, de manera que cada uno de los presentes brindó con todos los demás. Si se produjeron en total 190 brindis, ¿cuántas personas habían en la fi esta?

Desarrolla por escrito la solución a este problema y comparte con tus colegas.

12. Problemas de optimización.

Son aquellos problemas en los que intentamos maximizar o minimizar cierta cantidad.

Supongamos que una persona desea construir una casa de verano en una superfi cie rectangular de 150 metros cuadrados. Supongamos que los códigos de construcción locales requieren que el largo y ancho de la construcción sea al menos de 6 metros. ¿Cuáles pueden ser se las dimensiones de la casa para minimizar el perímetro de la construcción?

Para este caso sugerimos hacer uso de las funciones cuadráticas.

4. EVALUACIÓN


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Responde en una hoja aparte:

1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades

propuestas?

2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?

3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?

4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?

5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor difi cultad?

6. ¿Cómo lograste superar estas difi cultades?

7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor difi cultad?

8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas difi cultades?

9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este

fascículo?

10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al fi nalizar este

fascículo?

5. METACOGNICIÓNMetacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.

Muy bueno Bueno Regular Defi ciente

¿Por qué?

11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo?

Explica.

12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas?

¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

N O E S C R I B I R


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1. Arthur Goodman y Lewis Hirsch. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México. Prentice Hall Hispanoamericano, S.A., 1996.

Resultado de investigaciones realizadas por matemáticos durante diez años. En este texto se puede encontrar la base teórica para preparar a los estudiantes en la introducción al cálculo. Es muy didáctico, presenta las funciones de manera sencilla y brinda una serie de actividades con las que podemos trabajar en clase.

2. Espinoza Ramos, Eduardo. Álgebra. Lima. Editorial Servicios Gráfi cos JJ., 2004. Constituye un interesante libro con un amplio contenido sobre ecuaciones exponenciales

y logarítmicas que le servirán para enriquecer sus conocimientos.

3. Palacio Peña, Joaquín. Didáctica de la Matemática: Búsqueda de relaciones y contextualización de problemas. Lima. Fondo Editorial del Pedagógico de San Marcos, 2003.

Interesante recopilación de problemas rutinarios contextualizados. Puede ser de gran utilidad cuando se traten de modelar situaciones reales para determinar relaciones funcionales entre las variables que intervienen en las situaciones.

4. Stewrt, J.; Redlin, L.; Watson, S. Precálculo. Matemática para el cálculo. México. Tercera edición. International Thomson Editores, 2001.

Este texto brinda a los estudiantes y docentes una gama de estrategias y conceptos que le ayudarán a adquirir las nociones básicas para el cálculo. Encontrarán una ágil lectura sobre las funciones, así como una variedad de ejercicios resueltos y propuestos.

5. National Council of teachers of Mathematics (NCTM). Los Estándares Curriculares y Evaluación para la Educación Matemática. Andalucía. Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES, 1993.

Texto de gran utilidad para los docentes de Matemática de todos los niveles. En él se pueden encontrar los objetivos de la educación matemática, sus principios y estándares, así como una visión diferente de la evaluación.

6. Schoenfeld, Alan. Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense Making in Mathematics. New York. Grouws, 1992.

El autor propone que las actividades metacognitivas constituyen un componente esencial del experto en la solución de un problema matemático.

BIBLIOGRAFÍAcomentada


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1. http://descartes.cnice.mecd.es/indice_aplicaciones.php.htm#ALGEBRA%20LINEAL

Portal matemático en el que se presentan diversas actividades sobre análisis de funciones con las cuales los alumnos y alumnas podrán trabajar con simuladores, ya sea de manera individual o en equipo.

2. http://es.geocities.com/dferiagomez/webquest_3.htm

Página de una WebQuest diseñada por el Lic. Diego Feria Gómez. En esta WebQuest los alumnos y alumnas aprovecharán algunos recursos disponibles en la web, para identifi car las características de una función que ha servido para modelar diversos fenómenos de la vida cotidiana, de la vida científi ca y social: la función lineal.

3. http://www.educ.ar/educar/docentes/matematica/polimodal/contenidos.jsp?nivel=5&area=14&contenido=239

Portal educativo argentino. En él podrás encontrar actividades sobre funciones para ser trabajas en las aulas.

4. http://sec21.ilce.edu.mx/matematicas/calculadoras/construc-lect-grafi cas.html

Portal en que encontrarás actividades diseñadas para utilizar calculadoras con grafi cador. Las actividades ayudan al alumno a la construcción y lectura de la gráfi ca de funciones. A través de estas actividades los alumnos ejercitarán tres formas de representar una función: gráfi ca, algebraica y tabular.

5. http://www.recursosmatematicos.com/examen.html

Portal en el que encontrarás enlaces web muy interesantes, que pueden ser de mucha ayuda para el desarrollo de tus actividades pedagógicas.

6. http://thales.cica.es./rd/

Considera temas didácticos diversos de matemática en general y de las funciones en particular.

7. http://utenti.quipo.it/bases/introduz/guzmanjuegos.html

Contiene aportes en la didáctica de la Matemática y de las funciones, desde la perspectiva del matemático Miguel de Guzmán.

ENLACESweb


aspecto metodolÓgicos en el aprendizaje de funciones en secundaria

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