asintotas
DESCRIPTION
Calculo 1TRANSCRIPT
-
Grfico de funciones a partir de asntotas
ASE.ase. Pgina 1
Definicin: Una funcin racional f tiene la forma
Donde g (x) y h (x) son funciones polinmicas.
El dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales excepto los valores de x que hacen
que el denominador h (x) a cero.
En lo que sigue, suponemos que g (x) y h (x) no tienen factores comunes.
Asntotas verticales.
Dejar:
El dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales, excepto 3, desde el 3 de cero hace
que el denominador y la divisin por cero no est permitido en las matemticas. Sin embargo,
podemos tratar de averiguar cmo la grfica de f se comporta cerca de 3.
Vamos a evaluar la funcin f en los valores de x cerca de 3 tal que x 3.
x 5 4 3,5 3,2 3,1 3,01 3,001 3,00001
f (x) 1 2. 4 10 20 200 2000 2 * 10 5
La grfica de f se muestra a continuacin.
-
Grfico de funciones a partir de asntotas
ASE.ase. Pgina 2
Notas
1 - Cuando x se aproxima a 3 de la izquierda o por valores inferiores a 3, f (x) decrece sin
lmite.
2 - Cuando x se aproxima a 3 de la derecha o por valores superiores a 3, f (x) crece sin lmite.
Decimos que la recta x = 3, lnea quebrada, es la asntota vertical de la grfica de f.
En general, la lnea x = a es una asntota vertical de la grfica de f si f (x) aumenta o disminuye
sin lmite cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda. Como se simboliza por escrito
como:
Horizontal asntotas
Dejar
1 - Sea x aumento y encontrar los valores de f (x).
x 1 10 10 3 10 6
f (x) 3 2.1 2,001 2,000001
2 - Sea x disminucin y encontrar los valores de f (x).
x -1 -10 -10 3 -10 6
f (x) 1 1,9 1,999 1,999999
Como | x | aumenta, el numerador est dominado por el trmino 2x y el numerador slo tiene
un plazo x. Por lo tanto f (x) toma valores cercanos a 2x / x = 2. Vase el comportamiento
grfico de abajo.
-
Grfico de funciones a partir de asntotas
ASE.ase. Pgina 3
En general, la recta y = b es una asntota horizontal para la grfica de f si f (x) se aproxima a
una constante b como x aumenta o disminuye sin lmite.
Cmo encontrar la asntota horizontal?
Sea f una funcin racional se define de la siguiente manera
Teorema
m es el grado del polinomio en el numerador y n es el grado del polinomio en el numerador.
Caso 1: Para m
-
Grfico de funciones a partir de asntotas
ASE.ase. Pgina 4
muestran en la tabla siguiente:
x 1 2 2,5 2,8 2,9 2,99 2,999 2,99999
f (x) -1 -2 -4 -10 -20 -200 -2000 -2 * 10 5
Veamos ahora evaluar f en los valores de x cerca de 3 tal que x> 3.
x 5 4 3,5 3,2 3,1 3,01 3,001 3,00001
f (x) 1 2. 4 10 20 200 2000 2 * 10 5
La grfica de f se muestra a continuacin.
Notas
1 - Cuando x se aproxima a 3 de la izquierda o por valores inferiores a 3, f (x) decrece sin
lmite.
2 - Cuando x se aproxima a 3 de la derecha o por valores superiores a 3, f (x) crece sin lmite.
Decimos que la recta x = 3, lnea quebrada, es la asntota vertical de la grfica de f.
En general, la lnea x = a es una asntota vertical de la grfica de f si f (x) aumenta o
disminuye sin lmite cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda. Como se simboliza por
escrito como:
Horizontal asntotas
Dejar
-
Grfico de funciones a partir de asntotas
ASE.ase. Pgina 5
1 - Sea x aumento y encontrar los valores de f (x).
x 1 10 10 3 10 6
f (x) 3 2.1 2,001 2,000001
2 - Sea x disminucin y encontrar los valores de f (x).
x -1 -10 -10 3 -10 6
f (x) 1 1,9 1,999 1,999999
Como | x | aumenta, el numerador est dominado por el trmino 2x y el numerador slo tiene
un plazo x. Por lo tanto f (x) toma valores cercanos a 2x / x = 2. Vase el comportamiento
grfico de abajo.
En general, la recta y = b es una asntota horizontal para la grfica de f si f (x) se aproxima a
una constante b como x aumenta o disminuye sin lmite.
Cmo encontrar la asntota horizontal?
Sea f una funcin racional se define de la siguiente manera
Teorema
m es el grado del polinomio en el numerador y n es el grado del polinomio en el numerador.
Caso 1: Para m n, no hay asntota horizontal.
-
Grfico de funciones a partir de asntotas
ASE.ase. Pgina 6
Ejemplo 1: Sea f una funcin racional definida por
a - Encontrar el dominio de f.
Encuentra la x , y intercepta de la grfica de f.
c - Encuentre las asntotas vertical y horizontal para la grfica de f si los hay.
d - Utiliza tus respuestas a las partes a, b y c por encima de para trazar la grfica de la funcin
f.
Respuesta a la Ejemplo 1
a - El dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales excepto x = 1, ya que este valor
de x cero hace que el denominador.
b - La x intercepte se encuentra por la solucin de f (x) = 0 x +1 = 0. x La interseccin est
en el punto (-1, 0).
La interseccin est en el punto (0, f (0)) = (0, -1).
c - La asntota vertical est dada por el cero en el denominador x = 1.
El grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 1. Son iguales y de acuerdo con el
teorema anterior, la asntota horizontal es la recta y = 1 / 1 = 1
e - Aunque las partes a, b y c dan informacin importante sobre la grfica de f, todava
tenemos que construir una tabla de seal para la funcin f con el fin de ser capaz de dibujar
con facilidad.
El signo de f (x) los cambios en los ceros del numerador y el denominador. Para encontrar la
tabla de signo, se procede como en la solucin de las desigualdades racionales. Los ceros del
numerador y el denominador que son -1 y 1 divide la lnea nmero real en 3 intervalos:
(- Infinito, -1), (-1, 1), (1, + infinito).
Hemos seleccionado un valor de prueba dentro de cada intervalo y encontrar el signo de f (x).
En (- infinito, -1), -2 seleccionar y encontrar f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0.
En (-1, 1), 0 seleccionar y encontrar f (0) = -1
-
Grfico de funciones a partir de asntotas
ASE.ase. Pgina 7
En (1, + infinito), 2 seleccionar y encontrar f (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3> 0.
Vamos a poner toda la informacin acerca de f en una tabla.
x - Inf -1
1 + Inf
f (x) +
0
x-
intercepta
-- AV +
En el cuadro anterior significa VA asntota vertical.
Para dibujar la grfica de f, se comienza por esbozar el X e intercepta y y las asntotas
verticales y horizontales en las lneas rotas. Vase el croquis.
Ahora empezar a dibujar la grfica de f a partir de la izquierda.
En el intervalo de inf (-, -1) f (x) es positiva por lo tanto, el grfico est por encima del eje
x. Comenzando desde la izquierda dibujo, que f teniendo en cuenta el hecho de que y = 1 es
una asntota horizontal: la grfica de f est cerca de la lnea de la izquierda. Vase el croquis.
-
Grfico de funciones a partir de asntotas
ASE.ase. Pgina 8
Entre -1 y 1, f (x) es negativa, por lo tanto, la grfica de f est por debajo del eje x. (0, -1
interseccin) es ay y x = 1 es una asntota vertical: cuando x se aproxima a 1 de izquierda f (x)
Difuntos sin lmite porque f (x) 1, f (x)> 0 por lo tanto, el grfico est por encima del eje x. Cuando x se aproxima a 1
por la derecha, la grfica de f aumenta sin lmite (f (x)> 0). Tambin a medida que aumenta x,
la grfica de f enfoques y = 1, la asntota horizontal. Vase el croquis.
Ahora ponemos todas las "piezas" de la grfica de f en conjunto para obtener la grfica de f.
-
Grfico de funciones a partir de asntotas
ASE.ase. Pgina 9
Igualados Problema: Sea f una funcin racional definida por
f (x) = (-x + 2) / (x + 4)
a - Encontrar el dominio de f.
Encuentra la x , y intercepta de la grfica de f.
c - Encuentre las asntotas vertical y horizontal para la grfica de f si los hay.
d - Utiliza tus respuestas a las partes A, B y C por encima de para trazar la grfica de la funcin
f.