Asntotas. Construccin de la grfica de una funcin de una variable real.

Contenido:5.1 Asntotas verticales .5.2 Asntotas no verticales.5.3Construccin de la grfica de una funcin de una variable real.

5.1 Asntotas verticales

Definicin 1: Si la distancia entre una recta A y el punto M que se desplaza por la curva tiende a cero, cuando el punto tiende al infinito, esta recta se denomina asntota de la curva.

Definicin 2: La recta x = x0 es asntota vertical de la grfica de la funcin y = f(x) si por lo menos uno de los valores lmites: es + o -.

Para determinar los puntos donde el grfico de una funcin tiene una asntota vertical debemos proceder de la siguiente forma: Hallamos los puntos de discontinuidad de la funcin.2. Clasificamos dichas discontinuidades.

EJEMPLO 1:Determine las asntotas verticales de la funcin: La funcin es discontinua en los puntos x = 2 y x = 3.

x = 2 NO es una asntota vertical de la funcin dada.

Por lo tanto, x = 3 ES una asntota vertical de la funcin dada.

5.2 Asntotas no verticales

Veamos a continuacin un mtodo prctico para la determinacin de las asntotas oblicuas.

Sea y = mx + b una asntota de la funcin y = f(x), entonces en virtud de la definicin de asntota se tiene que:

Y en virtud de la definicin de lmite podemos escribir:f(x) - (mx + b) = (x), donde ;

Dividiendo por x se tiene:

Si y = mx + b es asntota de y = f(x) entonces se tiene que: y si este lmite existe !

EJEMPLO 2: Determine las asntotas oblicuas de la funcin:

Entonces y = x + 1 es la asntota oblicua buscada.

Un caso particular de asntota oblicua es cuando m = 0, en este caso es usual llamarla ASNTOTA HORIZONTAL.

y = b es una ASNTOTA HORIZONTAL.

EJEMPLO 3: Sea y = 1/x. La recta y = 0 es una asntota horizontal.

5.3 Construccin de la grfico de una funcin de una variable real.

ALGORITMO DE TRABAJO1). Determinacin del dominio de la funcin.2). Puntos de discontinuidad, clasificacin y asntotas verticales.

3). Paridad, periodicidad de la funcin.4). Puntos de interseccin de la grfica con los ejes de coordenadas.5). Caractersticas de la funcin en el infinito, asntotas oblicuas (horizontales).

6). Intervalos de monotona, puntos de mximo y mnimo.7). Concavidad y convexidad, puntos de inflexin.8). Grfica de la funcin.

EJEMPLOS 4I. Realiza el anlisis de la funcin y = x3 - 8x1). El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales.

2). No existen puntos de discontinuidad y por lo tanto el grfico no tiene asntotas verticales.La funcin es continua en todo .

3). f(x) = x3 - 8x f(-x) = -x3 + 8x. La funcin no es par.-f(-x) = -[(-x)3 8(x)] = x3 8x = f(x). La funcin es impar.f(x + t) = (x + t)3 - 8(x + t) f(x). La funcin no es peridica.

Interseccin con el eje y. f(0) = x3 - 8x = 0. P1 (0; 0).

No tiene asntota oblicuaNo tiene asntota horizontal

6). f'(x) = 3x2 - 8. 3x2 - 8 = 0

7). f''(x) = 6x, 6x = 0, x = 0.Entonces x = 0, posible punto de inflexin

(-; 0)0(0; + )x-101f(x)-606signo de f(x)+f(x)cncavapto. inflexinconvexa

II. Realiza el anlisis de la funcin: y = x2 + 1/x. (Tridente de Newton)1). El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales diferentes de cero (R*)

2). La funcin es discontinua en x = 0. La recta x = 0 es una ASNTOTA VERTICAL.

3). La funcin no es par, ni impar ni peridica.4). Interseccin con el eje X.x3 + 1 = 0 x = -1 P1(-1; 0).

La funcin no tiene interseccin con el eje y pues en x = 0 la funcin es discontinua.No tiene asntotas horizontales.

Como el lmite anterior no existe, el grfico no tiene asntotas oblicuas

Mnimo local:

f(x), no existe en x = 0

1). El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales.

2). No hay puntos de discontinuidad, por lo tanto el grfico no tiene asntotas verticales.3). La funcin no es par, ni impar ni periodica.

2x2 - x3 = 0 x2(2 - x) = 0 x = 0 o x = 2. P1(0; 0) y P2(2; 0)P1(0; 0)

No hay asntota horizontal.

La recta y = -x + 2/3 es una asntota oblicua.

f(4/3) = 0f(x), no existe en x = 0 y x = 2

(-;0)0(0;4/3)4/3(0;4/3)2(2;)x-1014/31,522,5f(x)-1,1NO0,30-0,2NO-0,8sig.-+--f(x)de.Micre.Made.de.

En x = 0, no existe f(x), no obstante f(x) tiene un MNIMO LOCAL.2. En x = 2 no cambia el signo de f(x).

Esto indica que la recta x = 2 es una TANGENTE VERTICAL a la curva.Mnimo local: (0; 0)

f(x), no se anula para ningn valor real, pero no existe en x= 0 y x = 2

Punto de inflexin: (2; 0).

(-;0)0(0; 2)2(2;+)x-113f (x)-0,9NO-0;1NO0,2signo--+f(x)cn.cn.P.I.cov.

PREGUNTAS DE COMPROBACIN. Cundo por un punto de discontinuidad de una funcin pasa una asntota vertical a su grfica?

2. Cmo se calcula la pendiente y la traza de una asntota oblicua al grfico de una funcin?3. Cules son los pasos para realizar el anlisis de una funcin?