Grandes ideas de la cienciaIsaac Asimov

Alianza Editorial

Título original: Great Ideas of Science. Traductor: Miguel Paredes Larruca

©  1996 by Isaac Asimov©  Ed. cast.: Alianza Editorial, S. A., Madrid

ISBN: 84­206­3981­8 Depósito Legal: M. 13.268­2004Impreso en Closas­Orcoyen, S.L. Polígono Igarsa Paracuellos de Jarama (Madrid)Printed in Spain

Capítulo 2Pitágoras y el nú mero

Pitágoras y el nú meroNo   mucho   después   de   la   época   en   que   Talescavilaba sobre los misterios del universo, hace unos2.500 años, había otro sabio griego que jugaba concuerdas. Pitágoras, al igual que Tales, vivía en unaciudad   costera,   Crotona,   en   el   sur   de   Italia;   y   lomismo que él,  no era precisamente un hombre delmontón.   Las cuerdas con las que jugaba Pitágoras no erancuerdas comunes y corrientes, sino recias, como lasque se utilizaban en los instrumentos musicales deltipo de la lira. Pitágoras se había procurado cuerdasde   diferentes   longitudes,   las   había   tensado   y   laspulsaba   ahora   una   a   una   para   producir   distintasnotas musicales.

Nú meros musicales

    Finalmente   halló   dos   cuerdas   que   daban   notasseparadas por una octava; es decir, si una daba eldo bajo, la otra daba el do agudo. Lo que cautivó aPitágoras es que la cuerda que daba el do bajo eraexactamente   dos   veces   más   larga   que   la   del   doagudo.  La razón de  longitudes de  las dos cuerdasera de 2 a 1.   Volvió a experimentar y obtuvo otras dos cuerdascuyas  notas  diferían  en  una  «quinta»;  una  de   lasnotas era un do,  por ejemplo,  y  la otra un sol.  Lacuerda  que  producía   la   nota  más   baja   era  ahoraexactamente vez y media más larga que la otra. Larazón de las longitudes era de 3 a 2.    Como es  lógico,   los músicos griegos  y  de otrospaíses sabían también fabricar cuerdas que diesenciertas   notas   y   las   utilizaban   en   instrumentosmusicales.   Pero   Pitágoras   fue,   que   se   sepa,   elprimer   hombre   en   estudiar,   no   la   música,   sino   eljuego de longitudes que producía la música.   ¿Por qué eran precisamente estas proporciones denúmeros sencillos —2 a 1, 3 a 2,  4 a 3— las queoriginaban   sonidos   especialmente   agradables?Cuando   se   elegían   cuerdas   cuyas   longitudes

guardaban proporciones menos simples —23 a 13,por   ejemplo—   la   combinación   de   sonidos   no   eragrata al oído.    Puede   ser,   quién   sabe,   que   a   Pitágoras   se   leocurriera aquí  una idea luminosa: que los númerosno eran simples herramientas para contar  y medir,sino que gobernaban la música y hasta el universoentero.   Si los números eran tan importantes, valía la penaestudiarlos   en   sí   mismos.   Había   que   empezar   apensar, por ejemplo, en el número 2 a secas, no endos   hombres   o   dos   manzanas.   El   número   2   eradivisible por 2; era un número par. El número 3 no sepodía   dividir   exactamente   por   2;   era   un   númeroimpar.   ¿Qué   propiedades   compartían   todos   losnúmeros pares? ¿Y los impares? Cabía empezar porel hecho de que la suma de dos números pares o dedos impares es siempre un número par, y la de unpar y un impar es siempre impar.    O   imaginemos   que   dibujásemos   cada   númerocomo   una   colección   de   puntos.   El   6   vendríarepresentado  por seis puntos;  el  23,  por veintitrés,etc.   Espaciando   regularmente   los   puntos   secomprueba   que   ciertos   números,   conocidos   pornúmeros   triangulares,   se   pueden   representarmediante   triángulos   equiláteros.   Otros,   llamadoscuadrados,   se   pueden   disponer   en   formacionescuadradas.

Nú meros triangulares

    Pitágoras   sabía   que   no   todos   los   números   depuntos se podían disponer en triángulo. De los quesí  admitían esta  formación,  el  más pequeño era elconjunto  de  un  solo  punto,  equivalente  al   númerotriangular 1.   Para construir triángulos más grandes bastaba conir añadiendo filas adicionales que corrieran paralelasa   uno   de   los   lados   del   triángulo.   Colocando   dospuntos más a un  lado del   triángulo de 1 punto  se

obtenía el triángulo de tres puntos, que representa elnúmero 3. Y el triángulo de seis, que representa elnúmero 6, se obtiene al  añadir   tres puntos más altriángulo de tres.    Los   siguientes   triángulos   de   la   serie   estabanconstituidos   por   diez   puntos   (el   triángulo   de   seis,más cuatro puntos), quince puntos (diez más cinco),veintiuno   (quince   más   seis),   etc.   La   serie   denúmeros triangulares era, por tanto, 1, 3, 6, 10, 15,21, ...    Al formar la serie de triángulos a base de añadirpuntos,   Pitágoras   se   percató   de   un   hechointeresante, y es que para pasar de un triángulo alsiguiente  había que  añadir  siempre  un  punto  másque la vez anterior (la letra cursiva así  lo indica enlos dos párrafos anteriores).   Dicho con otras palabras, era posible construir lostriángulos, o los números triangulares, mediante unasucesión de sumas de números consecutivos: 1=1;3=1 +2; 6=1 + 2 + 3; 10 =1 + 2 + 3 +4; 15 = 1+2 +3+4 + 5; 21 = 1+2 + 3+4 + 5 + 6; etcétera.

Nú meros cuadrados

    Si el  triángulo tiene tres lados, el cuadrado tienecuatro (y cuatro ángulos rectos, de 90 grados), por locual era de esperar que la sucesión de los númeroscuadrados   fuese   muy   distinta   de   la   de   lostriangulares.   Ahora   bien,   un   solo   punto   aisladoencajaba  igual  de bien en un cuadrado que en untriángulo, de manera que la sucesión de cuadradosempezaba también por el número 1.    Los   siguientes   cuadrados   se   podían   formarcolocando orlas de puntos adicionales a lo largo dedos   lados   adyacentes   del   cuadrado   anterior.Añadiendo   tres   puntos   al   cuadrado   de   uno   seformaba   un   cuadrado   de   cuatro   puntos,   querepresentaba el número 4. Y el de nueve se obteníade forma análoga, orlando con cinco puntos más elcuadrado de cuatro.    La   secuencia   proseguía   con   cuadrados   dedieciséis  puntos   (el  cuadrado de nueve,  más sietepuntos),   veinticinco   puntos   (dieciséis   más   nueve),treinta y seis (veinticinco más once), etc. El resultadoera la sucesión de números cuadrados: 1, 4, 9, 16,

25, 36, ...   Como los triángulos crecían de manera regular, nole   cogió   de   sorpresa   a   Pitágoras   el   que   loscuadrados hicieran  lo propio.  El número de puntosañadidos  a   cada   nuevo   cuadrado   era   siempre  unnúmero impar, y siempre era dos puntos mayor queel   número   añadido   la   vez   anterior.   (Las   cursivasvuelven a indicarlo.)    Dicho   de   otro   modo,   los   números   cuadradospodían  formarse mediante  una sucesión de sumasde números impares consecutivos: 1 = 1; 4 = 1 + 3;9=1 + 3 + 5; 16 = 1 + 3 + 5 + 7; 25 = 1 + 3 + 5 + 7 +9; etcétera.   Los cuadrados también se podían construir a basede   sumar   dos   números   triangulares   consecutivos:4=1+3;   9   =   3   +   6;   16   =   6+10;   25=10+15;   ...   Omultiplicando un número por sí mismo: 1 = 1x1; 4 =2x2; 9 = 3x3; ...   Este último método es una manera especialmenteimportante   de   formar   cuadrados.   Puesto   que   9   =3x3, decimos que 9 es el cuadrado de 3; y lo mismopara 16, el cuadrado de 4, o para 25, el cuadrado de5,  etc.  Por otro  lado,  decimos que el  número máspequeño —el que multiplicamos por sí mismo— es laraíz cuadrada de su producto: 3 es la raíz cuadradade 9, 4 la de 16, etcétera.

Triángulos rectángulos

   El interés de Pitágoras por los números cuadradosle   llevó   a   estudiar   los   triángulos   rectángulos,   esdecir, los triángulos que tienen un ángulo recto. Unángulo   recto   está   formado   por   dos   ladosperpendiculares,   lo   que   quiere   decir   que   sicolocamos uno  de ellos en posición perfectamentehorizontal, el otro quedará perfectamente vertical. Eltriángulo   rectángulo   queda   formado   al   añadir   untercer lado que va desde el extremo de uno de loslados del ángulo recto hasta el extremo del otro. Estetercer  lado,  llamado «hipotenusa», es siempre máslargo que cualquiera de los otros dos, que se llaman«catetos».    Imaginemos   que   Pitágoras   trazase   un   triángulorectángulo al azar y midiese la longitud de los lados.Dividiendo   uno   de   ellos   en   un   número   entero   de

unidades,   lo   normal   es   que   los   otros   dos   nocontuvieran   un   número   entero   de   las   mismasunidades.Pero había excepciones. Volvamos a imaginarnos aPitágoras ante un triángulo cuyos catetos midiesenexactamente   tres   y   cuatro   unidades,respectivamente.   La   hipotenusa   tendría   entoncesexactamente cinco unidades.    Los   números   3,   4   y   5   ¿por   qué   formaban   untriángulo   rectángulo?  Los  números  1,   2  y  3  no   loformaban,   ni   tampoco   los   números   2,   3   y   4;   dehecho, casi ningún trío de números elegidos al azar.   Supongamos ahora que Pitágoras se fijara en loscuadrados  de   los  números:   en   lugar   de  3,   4   y   5tendría ahora 9, 16 y 25. Pues bien, lo interesante esque   9+16=25.   La   suma   de   los   cuadrados   de   loscatetos   de   este   triángulo   rectángulo   resultaba   serigual al cuadrado de la hipotenusa.   Pitágoras fue más lejos y observó que la diferenciaentre dos números cuadrados sucesivos era siempreun número impar: 4­1 = 3; 9­4 = 5; 16­9 = 7; 25 ­ 16= 9;  etc.  Cada cierto  tiempo,  esta  diferencia   imparera a su vez un cuadrado, como en 25— 16 = 9 (quees lo mismo que 9 + 16 = 25). Cuando ocurría esto,volvía a ser posible construir un triángulo rectángulocon números enteros.   Puede ser, por ejemplo, que Pitágoras restase 144de 169,  que son dos cuadrados sucesivos: 169 —144 = 25. Las raíces cuadradas de estos númerosresultan ser 13, 12 y 5, porque 169 = 13 X 13; 144 =12 X 12 y 25 = 5 X 5. Por consiguiente,  se podíaformar un triángulo rectángulo con catetos de cinco ydoce   unidades,   respectivamente,   e   hipotenusa   detrece unidades.

El teorema de Pitágoras

    Pitágoras tenía ahora gran número de triángulosrectángulos en los que el cuadrado de la hipotenusaera igual a la suma de los cuadrados de los catetos.No tardó en demostrar que esta propiedad era ciertapara todos los triángulos rectángulos.   Los egipcios, los babilonios y los chinos sabían ya,cientos   de   años   antes   que   Pitágoras,   que   esarelación se cumplía para el triángulo de 3, 4 y 5. Y es

incluso   probable   que   los   babilonios   supiesen   aciencia cierta que era válida para todos los triángulosrectángulos.   Pero,   que   sepamos,   fue   Pitágoras   elprimero que lo demostró.    El  enunciado  que  dio  es:  En cualquier   triángulorectángulo la suma de los cuadrados de los catetoses igual al cuadrado de la hipotenusa. Como fue élquien primero lo demostró, se conoce con el nombrede «teorema de Pitágoras». Veamos cómo lo hizo.

Prueba de deducció n

   Para ello tenemos que volver a Tales de Mileto, elpensador griego de que hablamos en el Capítulo 1.Dice la tradición que Pitágoras fue discípulo suyo.    Tales   había   elaborado   un   pulcro   sistema   parademostrar razonadamente la verdad de enunciadoso teoremas matemáticos. El punto de arranque eranlos   «axiomas»   o   enunciados   cuya   verdad   no   seponía en duda. A partir de los axiomas se llegaba auna   determinada   conclusión;   aceptada   ésta,   sepodía  obtener  una   segunda,   y  así   sucesivamente.Pitágoras   utilizó   el   sistema   de   Tales   —llamado«deducción»—, para demostrar el teorema que llevasu   nombre.   Y   es   un   método   que   se   ha   aplicadodesde entonces hasta nuestros días.    Puede   que   no   fuese   realmente   Tales   quieninventara el sistema de demostración por deducción;es posible que lo aprendiera de los babilonios y queel nombre del verdadero inventor permanezca en lapenumbra. Pero aunque Tales fuese el inventor de ladeducción   matemática,   fue   Pitágoras   quien   le   diofama.

El nacimiento de la geometría

    Las  enseñanzas   de   Pitágoras,   y   sobre   todo   sugran éxito al hallar una prueba deductiva del famosoteorema,   fueron   fuente   de   inspiración   para   losgriegos, que prosiguieron trabajando en esta  línea.En  los 300 años siguientes erigieron una complejaestructura de pruebas matemáticas que se refierenprincipalmente  a   líneas  y   formas.  Este  sistema  sellama «geometría» (véase el Capítulo 3).   En los miles de años que han transcurrido desdelos griegos ha progresado mucho  la ciencia.  Pero,

por mucho que el hombre moderno haya logrado enel   terreno  de  las matemáticas  y  penetrado  en susmisterios, todo reposa sobre dos pilares: primero, elestudio   de   las   propiedades   de   los   números,   ysegundo,   el   uso   del   método   de   deducción.   Loprimero nació con Pitágoras y lo segundo lo divulgóél.   Lo que Pitágoras había arrancado de sus cuerdas

no fueron sólo notas musicales: era también el vastomundo de las matemáticas.