articulo resistencias

Wilson Rodríguez, Pedro León, John Esquivel. Comportamiento real de elementos pasivos y resistencias anti-inductivas

.

Comportamiento real de resistencias de hilo bobinado

y anti-inductivas.

Wilson Fernando Rodríguez, Pedro Josías León Garzón, John Freddy Esquivel

Ingeniería eléctrica, Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Bogotá, Colombia [email protected]

[email protected]

[email protected]

Abstract- Los dispositivos pasivos reales tienen un

comportamiento que se aleja del ideal cuando se

trabaja en alta frecuencia, es por ello que se utilizan

modelos equivalentes para tener en cuenta estas

desviaciones. A lo largo de estas páginas se

analizaran dos configuraciones básicas de

resistencias y sus parámetros más habituales como

sus elementos parásitos, frecuencia de resonancia y

resistencia equivalente serie (ESR) que pueden

resultar perjudiciales en el modelo y técnicas de

fabricación de los elementos.

I. INTRODUCCIÓN

Este documento analiza el modelo equivalente y la

respuesta en alta frecuencia de dos tipos de resistencias:

la de hilo bobinado y una anti inductiva tipo Airton-

Perry, mediante la variación de la impedancia con la

frecuencia. Para este fin se describe el comportamiento

de tales elementos: la parte reactiva, la resistiva y los

demás elementos que corresponden a estas mediante una

simulación en PSpice y mediciones hechas en el

laboratorio, además de los cálculos aproximados de los

parámetros mencionados mediante tablas y graficas.

II. RESISTENCIAS

Ya que la resistencia es la oposición de un conductor al

flujo de electrones, esta puede variar al experimentar

ciertos cambios en su temperatura y frecuencia de

operación, dependiendo del material empleado; en

general son lineales si su valor de resistencia es

constante y está predeterminado por el fabricante; son

variables si tal valor esta dentro de unos límites y no

lineales si la magnitud de la resistencia está en función

de la temperatura, tensión, luz, campos magnéticos, etc.

Independiente a la forma de construcción de una

resistencia que teóricamente es lineal, su

comportamiento en frecuencias elevadas no es resistivo

como el modelo ideal, si no que se comporta como una

impedancia compleja ya que la predominancia de

elementos parásitos es evidente.

II.1 Resistencia de Hilo bobinado

Están realizadas con hilos de aleaciones metálicas como

el kanthal (aleación compuesta principalmente por

hierro y cromo (20–30 %), aluminio (4–7,5 %)) material

utilizado en la fabricación de la resistencia de hilo

bobinado para este análisis, utilizando un soporte

aislante sobre el que se enrolla el hilo conductor (en este

caso aire). Cs representa la capacidad distribuida que hay

entre las distintas espiras de alambre y el cuerpo del

resistor. Ls modela la inductancia que aparece por tener

un conductor enrollado por el que circula corriente.

Fig. 1. Modelo equivalente de una resistencia de hilo bobinado en alta

frecuencia.

El circuito de la Figura 1 se puede modelar como una

impedancia compleja [1] dependiente de la frecuencia Z

(ω) formada por una resistencia equivalente serie (ESR)

y una parte reactiva X (ω). Modelo mostrado en la

Figura 2.

Fig. 2. Impedancia compleja del modelo equivalente de resistencia en

alta frecuencia

mailto:[email protected]




. Donde:

𝐸𝑆𝑅 ≈𝑅0

1 + 𝜔2𝐶𝑠 𝐶𝑠𝑅02 − 2𝐿𝑠

𝑍 𝜔 = 𝐸𝑆𝑅 𝜔 + 𝑗𝑋(𝜔)

Donde la dependencia de la frecuencia es clara, y la

discrepancia respecto a R de L y de C.

Los valores típicos de estos componentes [1] son:

inductancia del devanado de 100nH a 25µH

capacidad equivalente que hay entre espiras de

2 a 14pF

III. CARACTERÍSTICAS DE LA

RESISTENCIAS

A. Resistencia de hilo bobinado

Resistencia en dc: 27Ω

Longitud l=300 mm

Diámetro del solenoide D=9,5 mm

Numero de espiras N= 173

Distancia entre espiras p =1,8 mm

Diámetro del conductor d=0,8 mm

Inductancia calculada Ls =8.98 𝜇𝐻

Un método numérico aproximado para calcular

inductancias para alta frecuencia [2] utiliza la siguiente

expresión para espiras espaciadas:

Donde

Siendo K el factor de NAGAOKA

Cuando l >> 0.33D, K se expresa con un error menor al

1% con la formula:

Los valores calculados para estas expresiones son:

𝑘 = 0.9859

𝐴 = −0.6044

𝐵 = 0.331

El valor corregido de la inductancia es 8.98 𝜇𝐻.

La capacidad distribuida de una bobina puede estimarse

fácilmente con los datos que tomados del trabajo de

Medhurst [3] que también dependen fundamentalmente

de consideraciones puramente geométricas.

𝐶𝑑 [𝑝𝐹] = 𝐾 𝐷, donde D se expresa en mm

Y K depende de la relación longitud a diámetro (l/D) de

la bobina de acuerdo a la tabla siguiente:

l/D 0,1 0,3 0,5 0,8 1 2 4 10 20 25 30

K 0,096 0,06 0,05 0,05 0,046 0,05 0,072 0,132 0,236 0,29 0,34

La relación l/D para el caso de estudio es 250/9,5= 31

K =0,34 y empleando la fórmula indicada. Cd = 3,23 pF

Tantos los valores de inductancia y capacidad caen

dentro los rangos establecidos en [1].

B. resistencia ayrton-perry

Resistencia en dc: 27Ω

Longitud l=35 mm

diámetro D= 9,5 mm

Inductancia teórica L=0 H

Numero de espiras N=15

Diámetro del conductor d= 0,15 mm

IV. MEDIDA DE IMPEDANCIA

DEPENDIENTE DE LA FRECUENCIA

A. Instrumentación utilizada:

Osciloscopio Rigol:

Impedancia de entrada: 10𝑀Ω ∥ 15 𝑝𝐹

Generador de señales:

Impedancia de salida: 50 Ω

Corriente de salida máxima 100 mA

Tensión máxima de salida pico a pico 10 V


.

Frecuencia máxima 2Mhz

B. Sistema de media

El circuito de medición planteado es el siguiente:

Fig. 3. Circuito de medida de impedancia

Donde la impedancia a determinar es:

𝑍 𝜔 =𝑽

𝑰= 𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠 = 𝐸𝑆𝑅 𝜔 + 𝑗𝑋(𝜔)

Para establecer los rangos de frecuencias donde se harán

las pruebas y medidas es importante determinar

aproximadamente las frecuencias de corte y resonancia,

mediante:

Frecuencia de corte

𝑅 = 𝑋𝐿 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 ∗ 𝐿

𝑓𝑐 =𝑅

2 ∗ 𝜋 ∗ 𝐿=

27

2 ∗ 𝜋 ∗ 8.98 𝜇𝐻= 478.52 𝐾𝐻𝑧

La frecuencia de resonancia asumiendo la capacidad

parasita calculada es:

𝑓𝑟 =1

2 ∗ 𝜋 𝐿𝐶= 32.026 𝑀𝐻𝑧

Luego se harán medidas a frecuencias como se indica

en la tabla 1.

La impedancia equivalente entre la impedancia a medir

y la impedancia de sonda del osciloscopio es como se

muestra en la figura 4.

Fig. 4. Impedancia equivalente sistema de media

𝒇(𝑯𝒛) 1 2 3 4 5 6 7 8

100 27 0,02 578M 10M -0,54 26,99 0,021 -0,04

1k 27 0,13 57M 10M -5,38 26,99 0,12 -0,04

10k 27,01 1,19 57M 727K -43,30 27 1,18 -0,04

20k 27,02 2,4 2,8M 468K -62,05 27 2,39 -0,07

50k 27,15 5,96 1,1M 207K -78,02 27,14 5,95 -0,04

100k 27,58 11,8 578K 105K -83,94 27,5 11,78 -0,29

150k 28,29 17,4 385K 70,5K -85,95 28,28 28,97 -0,04

200k 29,26 22,67 289K 52,9K -86,96 29,29 22,64 0,10

250k 30,46 27,59 231K 42,4K -87,57 30,46 27,55 0,00

300k 31,87 32,09 192K 35,3K -87,97 31,88 32,04 0,03

350k 33,45 36,18 165K 30,3K -88,26 33,47 36,12 0,06

400k 35,19 39,89 144K 26,5K -88,48 35,21 39,83 0,06

450k 37,06 43,24 128K 23,5K -88,65 37,09 43,17 0,08

500k 39,05 46,26 115K 21,2K -88,78 39.1 46.18 0.13

600k 43,3 51,42 96K 17,6K -88,99 43,38 51,33 0,18

700k 47,85 55,65 82K 15,1K -89,13 47,97 55,54 0,25

1 M 62,55 64,43 57K 10,6K -89,39 62,88 64,27 0,53

1,5 M 88,83 72,31 38K 7K -89,59 89,9 72,08 1,20

2M 116 76,54 28K 5,3K -89,70 118,51 76,23 2,13

3M 171,4 80,94 19K 3,5K -89,80 180 80,47 5,01

5M 283,4 84,53 11K 2,1K -89,88 326,8 83,67 15,31

10M 564,9 87,26 5,7K 1K -89,94 1,2K 84,09 112,53

Tabla 1. Comparación de gráficas para visualizar la zona donde la

impedancia del circuito de medida afecta.

En la tabla 1, en la primera fila de izquierda a derecha la

convención1 es:

1 es magnitud de la impedancia de 𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠

2 es el ángulo de la impedancia de 𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠

3 es la magnitud de impedancia aproximada de

𝐶𝑠 capacidad parasita

4 es la magnitud de la impedancia de la sonda

del osciloscopio 10𝑀Ω ∥ 15 𝑝𝐹

5 es el ángulo de la impedancia de la sonda del

osciloscopio 10𝑀Ω ∥ 15 𝑝𝐹

6 es la magnitud de la impedancia equivalente

𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠 ∥ 10𝑀Ω ∥ 15 𝑝𝐹

7 es el ángulo de la impedancia equivalente

8 es el error relativo del valor calculado de la

impedancia equivalente y la real

1 Esta misma convención se utiliza para las figuras siguientes


.

Fig. 5. Comparación entre la magnitud de la impedancia de 𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠

y la impedancia equivalente2 (figura 4) para visualizar la zona donde

la impedancia del circuito de medida afecta la impedancia real.

Fig. 6. Zona de medida de la impedancia con respecto a la frecuencia

hasta donde el circuito de media afecta el valor real de la impedancia

en un 5% para las mismas referencias de la figura5.

V. RESULTADOS

Los resultados de la medida de la impedancia de la

resistencia de hilo bobinado en el laboratorio están

tabulados en la tabla 2.

𝑓(𝐻𝑧) |𝑍| Angulo (grados)

100 22,24 3,60

1000 24,91 4,32

10000 25,68 5,76

20000 25,81 10,08

50000 28,28 14,49

100000 34,58 23,04

150000 42,73 29,16

200000 51,41 36,00

250000 61,75 35,10

300000 75,71 39,42

350000 85,09 40,32

2 No se tiene en cuenta el valor de la impedancia de 𝐶𝑠 ya que

según la tabla 1 tiene valores muy grandes en comparación a la

magnitud de la impedancia equivalente 𝑅𝑠 + 𝑗𝜔𝐿𝑠 ∥ 10𝑀Ω ∥ 15 𝑝𝐹

400000 100,55 43,92

450000 122,18 46,98

478500 133,40 48,23

500000 140,85 49,50

600000 221,19 51,84

Tabla 2. Datos de la impedancia de la resistencia de hilo bobinado

medidos en el laboratorio.

Fig. 7. Magnitud de impedancia Vs Frecuencia medidos en la

resistencia de hilo bobinado.

Fig. 8. Angulo de impedancia Vs Frecuencia medidos en la resistencia

de hilo bobinado.

Los resultados de la medida de la impedancia de la

resistencia anti inductiva Ayrton Perry en el laboratorio

están tabulados en la tabla 3.

𝑓(𝐻𝑧) |𝑍| Angulo (grados)

100 23,18 0,00

1000 24,38 0,00

10000 26,25 0,00

20000 26,76 0,00

50000 25,13 0,00

100000 26,38 0,00

150000 25,62 0,00

200000 25,88 0,00

250000 25,13 0,00

300000 24,38 0,00


.

350000 24,38 0,00

400000 22,88 0,00

450000 22,88 0,81

478500 23,63 0,90

500000 23,63 1,72

600000 23,70 1,26

700000 23,63 3,24

1000000 21,63 11,96

1500000 24,48 12,96

2000000 21,08 18,00

Tabla 3. Datos de impedancia con la resistencia Ayrton Perry medidos

en el laboratorio.

Fig. 9. Magnitud de impedancia Vs Frecuencia en la medida de la

resistencia Ayrton Perry.

Fig. 8. Angulo de impedancia Vs Frecuencia con resistencia Ayrton

Perry medidos en el laboratorio.

Posteriormente se comparó la respuesta en frecuencia de

la impedancia de la resistencia de hilo bobinado con la

impedancia Ayrton Perry y se obtuvo:

Fig. 9. Magnitud de impedancia Vs Frecuencia. Resistencia de hilo

bobinado Vs Ayrton Perry. Datos medidos en laboratorio.

Fig. 10. Angulo de impedancia Vs Frecuencia. Resistencia de hilo

bobinado Vs Ayrton Perry. Datos medidos en el laboratorio.

Fig. 10. Modulo y fase de una resistencia de hilo bobinado de

construcción propia


.

Fig. 10. Modulo y fase de una resistencia Ayrton Perry de baja

inductancia de construcción propia

VI. CONCLUSIONES

Los circuitos en alta frecuencia que incluyan

componentes pasivos, se caracterizan por los efectos

parásitos que aparecen con el incremento de frecuencia;

alterando de forma considerable la respuesta ideal que se

puede esperar. Es así que el comportamiento real de una

resistencia de hilo bobinado es completamente

dependiente de la frecuencia, a diferencia del

comportamiento casi lineal en el intervalo de frecuencias

de trabajo de la resistencia Ayrton Perry. Esto se

evidencia en el ángulo de la impedancia de esta última,

pues no aumenta más de 5 grados en la misma zona, lo

cual implica que la inductancia es muy baja en

comparación con la de hilo bobinado que aumenta casi

hasta 50 grados en el mismo intervalo. En consecuencia

en nuestro caso con un modelo Ayrton-Perry se reduce

la inductancia hasta en un 90% a cierta frecuencia

máxima.

VII. BIBLIOGRAFÍA

[1] Interferencias electromagnéticas en sistemas

electrónicos. Josep Balcells. Pág. 15,16

[2] Harold A. Wheeler, "Simple Inductance Formulas

for Radio Coils," Proceedings of the I.R.E., October

1928, pp. 1398-1400

[3] Medhurst, R G., HF Resistance and Self

Capacitance of Single-Layer Solenoids, Wireless

Engineering, número de Marzo de 1947, pag 80

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