arquitas

CAPITULO II

Trabajos cientficos de Arquitas

En el proceso histrico del pitagorismonunca falt la dualidad ciencia-religin. Amboselementos se matizaban y entretejan con resul-tados positivos y eficaces para el movimientomismo. Sin embargo, no se presenta una equi-valencia en el desarrollo de ambos elementos.En la mayora de las ocasiones se enfatizaba enla religin, aunque nunca se dej de trabajar enciencia. En la poca de Arquitas, el pitagorismoperdi su fuerza religiosa, no porque no se tra-tara de revivir, sino porque Pitgoras ya nopoda influir tanto a casi un siglo de su muerte.De ah que podamos considerar que personajespitagricos, como Arquitas y Filolao, no sontanto lderes religiosos como filsofos y cient-ficos, y a pesar de ser personalidades de unamstica atrayente, no llegaran a tener las mis-mas cualidades del viejo maestro.

Por eso, se marca una diferencia fundamen-tal entre las dos principales generaciones delpitagorismo, siendo la segunda el fruto de unaevolucin importante del movimiento. As, lacomunidad tarentina, a pesar de mantener cier-

tas rigurosidades, no tendr las caractersticasreligiosas del grupo establecido en Crotona,sino, ms bien, constituir una especie decomunidad cientfico-filosfica, cuyas principa-les conquistas sern atribuidas a la figura deArquitas.

La ciencia que nos entrega este pitagoris-mo no se puede considerar fuera del procesogriego. Problemas como el de la duplicacindel cubo no se entienden sin conocer los plan-teamientos de matemticos anteriores. Poreso, Arquitas no es sino un elemento ms enel engranaje de la ciencia griega, siendo unode los ms importantes pitagricos cientfi-cos.

Sus aportes se dieron en distintos niveles ytuvieron una importancia relativamente grande,sin que se le llegara a reconocer como el mxi-mo exponente en una u otra rama, quizs por-que penetra en casi todos los campos del saberde su poca: desde la geometra hasta la msi-ca, pasando por la aritmtica, la mecnica y laastronoma.

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En este trabajo no podemos considerar ple-namente los logros del tarentino en este campo;a lo sumo, nos asomamos con cuidado a ellos,sin pretender jams que nuestra exposicin seala nica posible. Aunque s se debe reconocerque, generalmente, sto que en seguida presen-tamos es lo que ms se suele citar de su labor,quizs explicado ahora con un poco ms dedetalle.

A. Logstica pitagrica

Arquitas, en un texto citado por Porfirio(In Ptolem. Harm.pg. 56), nos presenta unenlistado de las ciencias desarrolladas hastasu poca, que sirve para enfrentamos al pano-rama cientfico del siglo IV, el que apenasestaba inaugurando los grandes desarrollos enciencia.

Garca Bacca menciona este texto' con elsubttulo de "quadrivio pitagrico''. Tal ttulo esatractivo; sin embargo, no lo queremos utilizarde inmediato, ya que no est tan claro el nme-ro de ciencias mencionadas. Al afirmar "quadri-vio", se suponen solo cuatro ciencias y ya vere-mos como esto parece ampliarse en el texto, elque no se limita a sealar las cuatro cienciaselementales del pitagorismo -aritmtica, geo-metra, astronoma y msica-, sino que tambinparece presentar la esfrica como una cienciaaparte.

Ms apropiado es el nombre de "logstica",mencionado por Garca Junceda' por cuanto lasciencias todas remiten en algn sentido a losnmeros. Este trmino, que es usado en lasDiatribas de Arquitas, casi se podra hacerequivaler al clculo lgico, pero, esencialmen-te, nos remite a las condiciones fundamentalesdel nmero. Para el pitagrico, TO: llaOTllamno es un conjunto de ciencias dispersas, sino elgrupo de ciencias matemticas, en el que elnmero es el instrumento lgico que hace posi-ble investigar desde la esencia de las cosashasta sus relaciones y potencias. Porque, comoseala Garca Junceda,

el nmero era el principio formal del Cosmos,cobraba sentido el estudio de sus relaciones en losaspectos particulares y concretos de la realidad',

Por medio del nmero, las ciencias no slodiscurran alrededor de totalidades, sino tam-bin sobre los distintos detalles de cada una.Esto es lo que nos aclara Arquitas en el primerfragmento que de l se conserva.

Dice Arquitas:

KaAWS- uot 60KOUVTt TOl TTEpl TO: llaOTllaTa6tayvllEVat. Kal OU6Ev (lTOTTOV aUTos-, otEvTt, TTEpl KaTWV

TRABAJOS CIENTIFICOS DE ARQUITAS

Esto resulta semntica y sintcticamente dis-tinto del texto griego, lo cual muestra o que nose entendi o que es demasiado libre y, porello, se aleja irremediablemente de la literali-dad del texto.

Arquitas quiere sealar la importancia de lasciencias que se han desarrollado hasta sumomento y, parahacerlo, utiliza el adverbioKaAWs-, cuya traduccin puede ser un tanto libre 1.Para l era .evidente que muchos pensadoresanteriores haban juzgado en forma convenien-te no solo sobre la totalidad de la fsica (TTEplnis TWV OAWV olOS), sino tambin sobrecada detalle de todo (TTEpl TWV KaTC! I1pOS).

Inmediatamente despus de estas primerasafirmaciones, presenta las ciencias que le trans-mitieron aquellos estudiosos anteriores. Cita,en primer lugar, la astronoma, que trata de larapidez de los astros, su puesta y su salida(TTEpl TO: TWV aOTpwv TaXUTlToS Kal ETTl-TOAciv Kal 8uotwv). En segundo lugar, la geo-metra, a la que l mismo dedica bastante tiem-po en su trabajo. En tercer lugar, la ciencia delos nmeros, es decir, la aritmtica. En cuartolugar, la esfrica o ciencia de los cuerpos celes-tes, y, aunque sta debe considerarse dentro dela astronoma, Arquitas prefiere su separacin.Finalmente, cita la msica.

Cada una de stas se presenta, fundamental-mente, como ciencia matemtica. La mismamsica se trabaja con clculos exactos y pro-porciones bien formadas. Por eso, quizs, todasestas mismas ciencias son hermanas (~I1EVd:6EAE), como afirma Arquitas. Esta es unahermandad que se presenta desde el mismo prin-cipio del ser, cuyas dos formas primarias, proba-blemente, la cantidad y la dimensin, poseen elmismo modo de ser y, por ello, son de cercanoparentezco. Como del ser se pasa perfectamenteal conocer, si las dos formas primarias del serson hermanas, con mucha ms razn, las cien-cias, que tratan de las cosas verdaderas (oaij),es decir, del ser, sern hermanas.

Es problemtica la mencin de las susodi-chas formas primarias del ser, puesto que porlos antecedentes pitagricos tenderamos acreer que se trata de la mnada y la diada.Pero Timpanaro Cardini nos aclara de otromodo el asunto. Dice ella" que Ymblico (enNicom., pg. 6,26 pist) afirma que las dos for-

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mas primarias del ser son TO TTOOV (la canti-dad) y TO TTT1AiKov (la dimensin o grande-za). As, la aritmtica considera TO TTOOOVKa8' auT (la cantidad en s misma); lamsica, en cambio, considera T TTOOOV TTpSTt (la cantidad con relacin a algo), refirin-dose con Tt probablemente, a los intervalos.La geometra y la astronoma consideran TOTTT1AtKOVen distinta forma: la primera lo anali-za en reposo, la segunda en movimiento. Aquse encuentra el sentido de esa hermandad delas ciencias.

Arquitas, en sus Diatribas" citadas porEstobeo (1, pro 4), presenta una importanteseparacin de la logstica respecto a las cuatrociencias fundamentales. A sta la convierte enciencia superior, casi en una ciencia de cien-cias, por cuanto se ocupa de cosas a las que lasotras no pueden llegar. Se podra sostener quese ocupa de los principios epistemolgicos delas otras, de ah que sea factible afirmar queella constituye el centro de unin del quadrivio,siendo un presupuesto fundamental. Por esomismo, afirma Garca Junceda,

la logstica, ajena por principio de todo matizprctico, constituy la ciencia de las ciencias, elsaber primario y fundamental sobre el cual ha deasentarse cualquier otro saber'0.

El objeto de la logstica es AyoS, que esla expresin numrica relativa, como bien nosdice Garca Junceda", Por ello, el "logos" esproporcin, en cuanto concepto relacionantedel tipo matemtico. Ella misma remite a un"legos" que explica la realidad, una realidadanalgica, proporcional, cuyas relaciones sonnumricas. Estas ltimas constituirn el puntofundamental de estudio de esta ciencia.

Pareciera que aqu Arquitas nos est presen-tando un pequeo esbozo de lo que constituirnlos Segundos Analiticos de Aristteles, almenos hay una analoga en el planteamiento dela "lgica" de la ciencia. De ser esto cierto, elestagirita estara recogiendo de fuentes pitag-ricas algunos principios y doctrinas que siem-pre se han atribuido directamente a l, con loque mostrara un cierto grado de dependenciarespecto de una filosofa que l mismo rechazay refuta.

LUIS A. FALLAS262

. Por supuesto, esto es un signo del gradointelectual alcanzado por la escuela tarentina, laque probablemente sera la primera que vioclara la necesidad de establecer esta "logstica"como fundamento del conocimiento cientfico.

B. Principios epistemolgicos

Fundamentalmente, las ciencias tratan delnmero, entendido como "legos", encontradoen las relaciones expresadas por la realidad.Pero el medio de encuentro con tal objeto deestudio no nos ha sido del todo aclarado. Esdecir, no es evidente an cmo conocemos.Recordemos que no es extrao a los griegos eldudar del conocimiento. Son muchas las discu-siones alrededor de este problema, especial-mente, en lo que respecta al conocimientoemprico. Sin embargo, no se trata de una"duda metdica" del tipo cartesiano, ya que nose rechazan todas las fuentes exteriores delconocimiento, sino que se censuran unas pararesaltar las otras. As, por ejemplo, hubo entreellos mismos corrientes filosficas, como laparmendea, que presentaron fuertes acusacio-nes a la confianza depositada por los hombresal mundo que les rodea, para resaltar el "verda-dero conocimiento", en el que slo se piensa el"ser". El mismo Platn sostiene una filosofaque p~t~nde ser, en muchas ocasiones, ajena alconocmuento de los sentidos, considerando queste es doxstico, habiendo fundamentado su"~erdad" en la inteleccin de las ideas arquet-picas,

Arquitas nos presenta algunas de sus ideas~especto al conocimiento y la investigacin,I~eas q~e nos hemos atrevido a llamar "princi-pIOS epistemolgicos" y que fueron, segura-~ente, aplicados por su escuela. Estos princi-pIOSestn presentes en un probable libro suyollamado Ilepi /1a8r/1anKwJI, que a su vezEstobeo cita fragmentariamente. DiceArquitas:

SEl yap ~ ~aeVTa rrcp' aAAw ~ atITOv EeEU-povr, WV civEmoT~wv ~oea, EmoT~ovaYEV' e ,,1" , "EO al. TO ~EV WV ~aeEV nap' aAAW KatciAAOTplat, TO SE EeEupev St' aUTauTov Kat

\.61at' EeEUpElV SE ~i C;;aTovTu anopov KUtcrrdvtov, C;;aTovTu SE Eunopov Kal. pq.StoV,~i EmoT~EvOV SE C;;TjTElVci6vUTOVI2.

(Es necesario, pues que ya sea el aprender deotros o el mismo descubrir, de los que eras desco-nocedor, hayan llegado a ser medios de conoci-miento. Por consiguiente, no solo se aprende deo~ros.y por extr~os, sino tambin se descubre porSI mismo y pnvadamente. Descubrir sin haberinvestigado es difcil y raro, habindolo hecho esaccesible y fcil, investigar sin haber entendido esimposible).

Segn esto, el aprender de otros (~a6vTarrnp' aAAw) y el descubrir (EeEUpvTa) debenllegar a constituir medios de conocimiento(E.moT~ova). De modo que el aprovecha-miento de la tradicin es fundamental, as comoel reconocimiento del valor de lo logrado porotros. Slo de este modo se puede empezar aexplotar sus posibilidades. Por otro lado, hayque tener claro que para descubrir (EeEUpElV) esnecesario investigar (C;;TJTElV);sin esto, el des-cubrimiento es difcil y raro (anopov'Kat on-viov), mas, con tal medio, se vuelve accesible y~cil !E.'nopo.v Kat pq.Stov). Y, por supuesto, elmvesngar s10 haber entendido, es imposible(~i EmoT~EVOV Be C;;TJTElVaBvaTov).

Con esto, Arquitas est proclamando unanueva forma de conocer en el pitagorismo.Cuando l plantea la necesidad de retomar elconocimiento alcanzado por otros, no pareceestar hablando necesariamente de su escuelasino que supone, en cierto modo, el desarrollode otros grupos intelectuales, que en su tiempofluian por doquier. Por otra parte, al buscar elconocimiento, se hace una investigacin con unmarco interp~etativo, marco esencial para quelos datos pudieran entenderse y ubicarse en unal~~a coherente. Por eso, esos elementales prin-CIpIOSdan a conocer un mtodo cientfico en elque la realidad se acepta, mas con un sentidoracional.

De ah que, segn dice Arquitas,

oTotV ~ev EnuuoEV, ~VOtaV SE aUeTJOEVAOytO~Os EpEeElSI3.(~n p~ncipio racional encontrado apacigu ladisensin y acrecent la concordia).


Ese principio racional (AoyWIlS-) es, proba-blemente, el centro vital del conocimiento, por-que con l ya no hay disensin (o-rrou-), sinoconcordia (IlVOWV) en los principios epist-micos y en los mismos datos logrados.

Sin duda alguna, la escuela pitagrica taren-tina reflej una gran vitalidad y rigurosidadintelectual, producto de una direccin fuerte,pues cont con un maestro que fundament,mientras pudo, el trabajo cientfico con princi-pios epistemolgicos suficientemente claros yespecficos.

c. Las medias proporcionalesEntre las ciencias que desarrollaron los pita-

gricos sobresale la msica, sobre todo en susaspectos puramente tericos. Arquitas siguielaborando los temas iniciados por Pitgoras, yque haba continuado, especialmente, Filolao.La escuela pitagrica se haba dedicado a labsqueda del clculo matemtico de los inter-valos musicales y haba encontrado una seriede consonancias fundamentales. Aunque ellogro ms importante de esta bsqueda fueronlos principios elementales de concordancia, quese conocen como medias proporcionales (alIlEOTTjTES-). Estos no se aplican nicamente enmsica, sino que tienen un trascendental valorpara el conocimiento en general. Su importanciaepistemolgica, que est ntimamente unida a lametafsica general que explica el movimiento,. debe ser analizada con cuidado, puesto que aquse da la primera referencia directa al conceptode media proporcional o analgica.

El texto que cita Porfirio (In Ptol. harm.pg. 92 Dring) estaba en un supuesto libroescrito por Arquitas llamado IlEpl. 1l0UOlKfjS-,sobre cuya validez no podemos discutir, porfalta de evidencia. Sin embargo, hay que teneren cuenta que no se pierde en absoluto el hilocre lOS' rcrzmranntrtt1S' prtgrfriC'C1S' Y' que S'erefuerzan puntos fundamentales del desarrollofilosfico y cientfico de este movimiento.

Nos dice Arquitas, al principio del mismo:

I1oal B EvTl TptS- T~ 1l0UOlK~, Illa IlEvapl9111JTlK, BEuTpa BE yEwllETplK, TpTa5' TTEvaVTta, v KaAoVTl PJ.LOVlKvI4

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(Las medias -proporcionales- en msica son tres:la primera, la aritmtica, la segunda, la geomtri-ea y la tercera, la subcontraria, que llaman arm-nica).

Como podemos ver, el tarentino seala queen msica hay tres medias (proporcionales),que son: la aritmtica (apl8IlTjTlK), la geom-trica (yEwIlETplK), y la subcontraria(TTEvaVTla) tambin llamada pllovlK Laaritmtica es aquella en la que dados tres trmi-nos (poi), el primero supera al segundo en lamisma proporcin en que el segundo supera altercero. En esta proporcin, el intervalo de tr-minos mayores es menor y el de trminosmenores es mayor, si vemos en nmeros dequebrados tales intervalos. As, dados dosnmeros, para dos trminos extremos: 12 y 6;el medio aritmtico es lgicamente 9. La rela-cin sera as: 12:9 :: 9:6. Y, en esta proporcin,12/9 < 9/6.

Por su parte, la geomtrica es aquella en laque el intervalo del primer trmino al segundoes igual al intervalo del segundo al tercero. Enestas proporciones, ambos intervalos son igua-les. As, con una media proporcional de 6, sepresentan estas relaciones: 12:6 :: 6:3, siendoevidente que 12/6 = 6/3.

Finalmente, la subcontraria o armnica sepresenta cuando sea tal que en las partes delmismo en que el. primer trmino supera alsegundo, en esas mismas partes del tercero elmedio (o segundo) supera al tercero. En estasproporciones el intervalo de trminos mayoreses mayor, mientras que el de trminos menoreses menor. Tomemos como ejemplo dos nme-ros extremos: 12 y 6, quedando una media pro-porcional de 8, con lo que la analoga se esta-blece as: 12:8 :: 8:6 y resulta claro que 12/8 ::8/6.

La aplicacin de estas medias proporciona-les en msica lleva al reconocimiento de los)JT~.aW iD.wYAlJM&lJn.&JW.1WJ ~/como afirma Garca Junceda,

la media aritmtica y la media armnica dividan,pues, a la octava en los valores absolutos de lascoerrJas de la lira, que prodllcian el intervalo decuarta y de quinta. Con lo cual Arquitas dabaexpresin logstica completa a la intuicin inicialde Pitgoras",

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Recordemos que el padre del movimientodividi el monocordio, estableciendo los princi-pales y ms armoniosos intervalos, es decir, laoctava, la cuarta y la quinta.

Es necesario considerar, respecto a estasmedias proporcionales, que con ellas

llegamos a la cspide de la aritmtica pitagricaprimitiva",

Pero hay que reconocer que ya se conocanantecedentes de estas progresiones. Su creacinse atribuye a Pitgoras, segn refiere Nicmaco(en Theologumena arithmetica, pg. 61)17, y casitodos los discpulos de este debieron tener encuenta al menos un par de ellas. Abel Rey citan-do otros antecedentes bien interesantes, dice:

algunas progresiones aritmticas y geomtricasson estudiadas en el Rhind y un ejemplo de cadauna se encuentra en una antigua tablilla caldea alos crecientes diarios de la parte iluminada de laLuna entre el novilunio y el plenilunio".

A pesar de los antecedentes mencionados, laclaridad y la exactitud del texto de Arquitas notiene igual entre los pensadores que se refierenal tema. Por ello, este texto es citado una y otravez por los estudiosos que analizan las propor-ciones o medias proporcionales en el pensa-miento griego.

CH. El problema de la duplicacindel cubo

En la mayora de las referencias sobreArquitas que aparecen en las obras generales(como en enciclopedias o en diccionarios) semenciona que el tarentino es el fundador de lamecnica cientfica. Tal atribucin se debe a susolucin de un problema geomtrico de interesesprcticos para la arquitectura. Al parecer, era unproblema ya resuelto a nivel prctico. Pero elgriego siempre busc el fundamento terico delas cosas que haca y, especficamente, este pro-blema no haba podido ser comprendido, debidoa un uso an elemental de instrumentos tcnicos.

Arquitas responde tericamente al problemade la duplicacin del cubo mucho tiempo des-pus de que su planteamiento fundamental

fuera presentado. Casi medio siglo antes, esdecir, a mediados del V, el matemticoHipcrates de Quos haba planteado de estaforma el problema:

si se logra encontrar en dos lneas rectas, de lasque la ms grande es el doble de la menor, dosmedias proporcionales en analoga continua, elcubo se dobla",

Si se lograba encontrar solucin a tal cons-truccin, el problema estaba resuelto. De modoque se trataba de construir geomtricamentedos medias proporcionales.

Para ello, Arquitas,

parte de la geometra del crculo, ... y su mspoderoso esfuerzo, la geometra de las superficiespoligonales y de sus transformaciones unas enotras, por construccin de superficies equivalenteso iguales",

Hasta el momento en que vive nuestro pen-sador, la geometra estaba limitada al uso delcomps y la regla. Su desarrollo en el siglo Vse vio muy beneficiado por la introduccin delestudio de los irracionales, los que haban moti-vado un desarrollo fundamental para la mate-mtica. En el siglo IV, la misma geometra severa radicalmente cambiada por la teora de lassecciones cnicas y las construcciones al mar-gen del comps, todas las cuales tuvieron suorigen en la introduccin de los irracionales enlas construcciones geomtricas. Arquitas es,quizs, uno de los que realiza tal introduccin.

Para resolver el problema de Hipcrates, lageometra del comps era, parcialmente, intil.Por eso, en los das de Arquitas, como afirmaRey,

el esfuerzo inventivo se inclina naturalmentehacia mquinas ms complejas que la regla y elcomps, al utilizar varias reglas que se muevenunas en relacin con las otras, y compases devarios brazos",

Segn esto, se da una superacin que siguela lnea de la misma geometra. Sin embargo,esta solucin fue, probablemente, consideradaamorfa y fuera de toda racionalidad, ya que era


una propuesta muy revolucionaria en su poca.Para comprenderla el griego gemetra tenaque ensanchar sus posibilidades racionales,porque solo as

la inteligencia ensancha los conceptos y el campode los conceptos crea cosas nuevas".

El problema de la duplicacin del cubo erade ndole arquitectnico. Los constructores yalo haban resuelto en la prctica con la ayudade la regla y el comps; pero, tericamente, sebuscaban medios nuevos. Su solucin habasido intentada por la mayora de los matemti-cos, como lo muestra un texto en el quePlutarco dice que Platn criticaba la utilizacinde la matemtica en tales problemas": De estosintentos, el primero que da buen fruto es el deArquitas, quien presenta su solucin

menos complicada desde el punto de vista de losmedios constructivos (sin que sea, ni muchomenos, la ms fcil analticamente), y que se rela-ciona con los instrumentos ms sencillos (reglascorredizas de la misma clase de ciertos utensiliosa los que conducen casi naturalmente determina-das medidas usuales)",

Dada la naturaleza especializada de la expli-cacin ofrecida por el tarentino, presentamosaqu los juicios de algunos especialistas que sehan ocupado del problema. Ofrecemos, tam-bin, en el apndice, la traduccin completa deltexto correspondiente, citado por Eutocio (inArchim. sphaer. et cyl. 11), que presenta Rey.Este historiador de la ciencia recurre no al textogriego sino a una traduccin e interpretacin deAllman, quien s trabaja con el griego directa-mente. Por otro lado, el interesado en la plenacomprensin de esta solucin, se puede dirigira la traduccin del lenguaje moderno de lamatemtica, que es presentada por T. Heath, ensu libro A Manual ofGreek Mathematics, pgs.136-138.

En general, esta solucin muestra claridaden la interpretacin de las superficies y, ade-ms, la posible relacin de Arquitas con lageneracin de los cilindros y de los conos.Segn seala Allman, Arquitas deba tener

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una concepcin correcta de los lugares geomtri-cos y de su aplicacin a la determinacin de unpunto en el medio de su interseccin".

Por otra parte, para Abel Rey, el msimportante aspecto en esta solucin es el vira-je que da la geometra, replanteando la utiliza-cin de instrumentos como la regla y el com-ps. Dice:

Se trata de la recta y el crculo concebidos por elespritu, y de los que todas las propiedades y lasde sus combinaciones hasta el infinito las ve ycomprende el espritu",

La regla y el comps se subordinan, por ello,a los mandatos de la razn, con lo que los grie-gos empiezan a dar un gran paso hacia unamatemtica superior. La inteligencia griegasigue siendo visual, no se pueden librar de losinstrumentos; pero el proceso est en plenamarcha.

La solucin del tarentino, sin embargo, no escompleta para la matemtica, ya que, en senti-do estricto, es mecnica por su apelacin amovimientos materiales y su construccin sen-sible. De ah que

se trata de un artificio emprico que proporcionala solucin: no es un encadenamiento lgico depropiedades demostrativas".

No se puede reducir a una construccin est-tica, inteligible. Es emprica, con movimientosy actos operatorios en el espacio, y, sin embar-go, de esta misma se parti hacia un ensancha-miento intelectual, que pronto llevara a lassecciones cnicas. Esto por la insistencia endirigirse hacia las intersecciones de superficiesy el empleo de los slidos construidos sobre elcrculo: el cilindro y el cono.

Segn el mismo Rey, dos mritos ms sepueden otorgar a esta solucin. En primerlugar, Arquitas aborda la visin intelectual enel espacio y, por eso mismo,

probaba realmente que, para los progresos de lageometra, haca falta salir de la geometra plana.Inauguraba los estudios sobre los lugares slidosy los problemas de tercer grado",

266 LUIS A. FALLAS

a lo cual se dedicara la teora de los cnicos. Yen segundo lugar,

Arquitas fue el primero que vio claramente la sig-nificacin del problema del slido y lo querequiere para su solucin, al enlazar la investiga-cin de las dos medias proporcionales con la este-reometra. Est en la lnea fronteriza de las inves-tigaciones que desembocaran en la teora de loscnicos"

Por eso, quizs, sea l quien comienza estateora, de la cual dependen toda la geometraposterior y moderna dependen.

Esa es la relevancia de un problema que, almenos para nuestros intereses, no pareceraimportar tanto, tal vez debido a que en el terre-no filosfico es muy discutible su aplicabilidad.Veremos, sin embargo, cmo se introduce entoda una lnea de pensamiento fundamental-mente analogista.

D. Arquitas y la msica griega

Entre todas las culturas antiguas, la griega sedistingue por su extraordinario apego a larazn. Eso pudo haber provocado que algunosde sus trabajos puramente culturales no fuerantan impresionantes como los de otros gruposhumanos, sobre todo si pensamos que el arte estambin producto de la sensibilidad y, por ello,no puede contenerse o encasillarse necesaria-mente en esquemas racionalistas. Sin embargo,detrs de toda obra artstica hay un supuestoracional que le da sentido. Ese es, quizs, el queesta civilizacin va a desarrollar ms.

Contrariamente a lo que parece suponerse, laracionalidad no les afect. Ellos lograron trans-portar a su quehacer artstico los modelos idea-les empregnados por una razn casi genrica,que los convirti ante la historia en los "clsi-cos".

El problema de cmo se reconocen los ras-gos racionales de su arte es, en la mayora delas ocasiones, difcil de apreciar, sobre todoporque se conjugan muy diversos aspectos. Sinembargo, es una tarea que no podemos obviar.Para nuestro caso, es una obligacin entrar enel estudio de la msica griega, debido a que

Arquitas fue uno de sus tericos ms importan-tes, habiendo sido uno de los baluartes de lalnea racionalista pitagrica.

La msica en la cultura griega es el fruto nosolo del trabajo al interior de la civilizacinmisma, sino tambin de una gran cantidad deinfluencias orientales. Las invasiones ilirias,que trajeron despus del ao 1000 a. C. a tesa-lios, dorios y beocios, introdujeron en todasaquellas costas e islas sus esquemas meldicos,armnicos y rtmicos. Pero a todo ello los grie-gos, en la madurez de su cultura, sumaron unainteligibilidad que los hizo convertirse en verda-deros genios del arte, imponiendo una prcticamusical probablemente sin precedentes, que slose vuelve a ver entre los romanos imperiales.

Segn un cuadro sinptico que presenta unexcelente texto de Adolfo Salazar", se puedensealar tres modos del quehacer musical. Estosson: ESos, en las formaciones musicales;TXVT), en cuanto a las leyes del sonido y npa-~lS, en lo que respecta a la ejecucin instru-mental. Por otro lado, se pueden marcar tresperiodos fundamentales en el desarrollo de estearte: pre-clsico (de los orgenes al siglo V),clsico (siglos V y IV) Y post-clsico (siglos IDa. C hasta el 11d. C).

Nos interesa fundamentalmente la TXVTj Yel periodo clsico, porque en estos se presentanlos aportes de Arquitas. Adems, el aspectopuramente racional de la msica se encuentraen este "modo", que, por cierto, se empieza adesarrollar por el trabajo de los pitagricos,quienes en las dos primeras etapas son esencial-mente los que se preocuparn ms por el asun-to. De ah que Salazar cite a Pitgoras y aFilolao como los principales tericos de laTXVT) pre-clsica y a Arquitas entre los teri-cos del periodo clsico, al lado de los ms gran-des personajes de la msica griega: Aristoxenoy Aristteles. En el perido post-clsico, lostericos son todos verdaderos especialistas queno se ligan necesariamente a ninguna escuelafilosfica.

Los pitagricos fueron los nicos, hastaAristteles, que fundamentaron cientficamenteesta ciencia. La teora musical se dedicaba alreconocimiento de las propiedades de los soni-dos, al clculo de las proporciones musicales y,por supuesto, al establecimiento de los interva-


los musicales. Todo reducido al establecimien-to de parmetros matemticos, segn los que secalculaban aquellos aspectos. Esto mostrabaserias deficiencias tericas, por cuanto el movi-miento no se haba dedicado a una rigurosarevisin de todos los aspectos de la msica,cosa que 'slo llevara a cabo Aristoxeno deTarento, quien haba sido discpulo de Arquitasen su juventud.

En el siglo IV, el pitagorismo haba plantea-do sus ms grandes logros en materia musical.Su ms importante terico fue Arquitas, quientuvo como ms enconado rival en esta discipli-na precisamente a su ex discpulo, Aristoxeno.Fundamentalmente, el pitagorismo haba plan-teado una posicin terico-matemtica, mien-tras que la escuela de Aristoxeno, que vendrade inmediato, fue la terico-emprica por exce-lencia. Segn afirma Salazar,

la escuela aristoxeniana representa el empirismoen la entonacin de los intervalos y su cmputoaproximadopor dozavos de tono (que permiten ladivisin del tono en tercios y cuartos) frente a laescuela pitagrica en la cual se calculaba ladimensin de los intervalos segn minuciosasoperaciones",

Al pitagrico le interesaba un clculo exactoy armnico de los intervalos, en cambio el aris-toxeniano pona como elemento fundamentadorel odo. Por eso, las teoras de Arquitas, msque en el nivel cotidiano y prctico de la msi-ca, se deben comprender como el esfuerzo te-rico por proporcionar las exactas magnitudesdel sonido musical, esfuerzo que representatodo el trabajo que, desde el mismo Pitgoras,se vena realizando. Y, juzgando desde unapoca posterior a la escuela de Aristxeno, esdecir, despus de que se haba teorizado alrede-dor de todos o casi todos los aspectos de lamsica, es evidente que los estudios pitagricosse enmarcan en la ciencia acstica. No obstan-te, no se les puede dejar de reconocer susimportantes aportes en cuanto al clculo deintervalos, que ellos sistematizan especfica-mente.

Arquitas, segn un texto de Ptolomeo(Harm. 1,13, pg. 30,9. Dring)", se preocupde la msica mucho ms que la mayora de los

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pitagricos. Sus trabajos principales son el cl-culo de las proporciones musicales, la descrip-cin de las consonancias y una teora de lanaturaleza del sonido. Especialmente importan-te es el primero, puesto que es lo ms significa-tivo que el pitagorismo entreg en este aspecto,al menos en sus dos primeras etapas. De todosmodos, trataremos con cierto cuidado los otrosaspectos, que no dejan de ser trascendentespara el movimiento.

1. El clculo de las proporciones musicales

Afmna Ptolomeo que Arquitas

se esforz por mantener la continuidad (TO UKOUAou90v) segn proporcin (KQTO: TOV AYOV), nosolo en las consonancias, sino tambin en lasdivisiones de los tetracordos, como es propio dela simetra de las proporcionalidades (o interva-los) por la naturaleza de las cosas armoniosas",

As pues, Arquitas propone tres gneros: elenharmnico, el cromtico y el diatnico", alos que determina por medio de diversas distan-cias exactas. El texto se puede ver completo ennuestro apndice, sin embargo es necesario querevisemos el resumen que expone Ptolomeo alfinal del mismo".

El cuadro que presenta el clculo de las pro-porciones hecho por.Arquitas, es el siguiente:

'Evap~VlOV xpW~aTlKV ~la'TOVtKV

LA 1512 1512 1512J 5/4 J 32/27 J 9/8

SOL 1890 1792 1701J 36/35 J 243/224 J8/7

FA 1944 1944 1944J 28/27 J 28/27 J 28/27

MI 2016 2016 2016

5/4 * 36/35 * 28/27) = 4/39/8 * 8/7 * 28/27 = 4/3

32/27 * 243/224 * 28/27 = 413

Pongamos en claro, en primer lugar, que lascuatro notas citadas no corresponden en formareal al clculo. Es preferible el uso de los nom-bres utilizados por los griegos, que, en el casode la OtO: TEaapwv baja (o cuarta inferior)

LUIS A. FALLAS268

del sistema de Pitgoras", son: lOT] (la), AtXa-vs- (sol), TTapUTT'TT] (fa) e TT'TT] (mi). Estascuatro notas corresponden al tetracordo drico,el que, por influencia de la cultura de losdorios, se us casi hegemnicamente para eltemplado de la lira, en sus tres formas o modos,es decir, en los tres gneros citados. Por otrolado, la distancia que hay entre la nota ms altay la ms baja es la de la actual "cuarta justa",que era considerada por los pitagricos comouno de los intervalos armnicos por excelencia,junto a la quinta y a la octava. Recordemos quedos 6Ul Hoopwv (dos cuartas) conforman elsistema de la octava (6to: TTaowv) del pitagoris-m031, y que el tetracordo constituye la escalams elemental y fundamental. De modo que,una vez establecidas las proporciones dentrodel tetracordo, se puede considerar que todasellas estn dadas con una distancia de cuatro6tEOtS- (un tono) entre la nota ms alta de la6to: Hoopwv baja y la nota ms baja de la6to: Hoopwv alta.

Arquitas establece para la 6to: Hoopwv,cuyo intervalo se establece en 4/3, tres notasinalterables en los tres gneros. Por eso, laliOT], en esos tres, corresponde a. un solonmero, 1512, establecido convencionalmentepara ejemplificar el clculo exacto de las pro-porciones, de modo que calce en todos losintervalos que l presenta. Igualmente, laTT'TT] corresponde, segn el clculo conven-cional que hace, al nmero 2016. Entre estosdos nmeros, hay una distancia de 4/3. Lo msimportante de esta propuesta de Arquitas es queestablece para la TTapUTT'TT]la misma distanciarespecto a la TT'TT],esto es, 28/27, que corres-ponde a una 6tEOtS- (o sea un cuarto de tono).Esto es completamente anormal con respecto alos clculos de los tetracordos que se hacenposteriormente e, incluso, a los que podanconocerse en su tiempo. De aqu se ha deducidoel muy probable hecho de que en la poca deArquitas el caracterstico grado del gneroenharmnico (la TT'TT] ms una 6tEOts-) ser-va de TTapUTT'TT] para todos los gneros. Locual, segn Salazar, .

se traduce en la notacin de los tonoi hasta tiem-pos despus de que la parhypate enharmnicahaba sido abandonada en los gneros cromtico y

diatnico, con lo cual puede pensarse que la fija-cin del sistema de notacin (cualquiera que fuesela antigedad de la invencin) se debera aArquitas (400-360) o a sus coetneos".

Establecidas estas tres notas, no quedabams que plantear las diferencias entre los gne-ros por la nota Atxavs-. Para el gnero enhar-mnico, propone una distancia de 5/4 entre laIiOT] y la AtXavs-, lo cual equivale, segn losclculos pitagricos, a una tercera mayor natu-ral y, segn los nmeros establecidos para lasotras notas, la AtxaVs- corresponde al nmero1890. Es importante resaltar que para este casoespecfico es extraa la proposicin de una ter-cera mayor natural, puesto que los pitagricosrechazaron su uso, habiendo creado la llamada"tercera mayor pitagrica", que calculaban en81/64 y que se obtena por el clculo de la seriede quintas, segn seala Salazar". En estemismo gnero, queda una distancia de 36/35entre la AtxaVs- y la TTapUTT'TT], esto corres-ponde a una 6tEOtS- o, lo que es lo mismo, uncuarto de tono. Este es otro punto interesante ycaracterstico, puesto que se diferencian dostipos de 6tEOtS-' una, la inferior o baja, que sepresenta entre la TTapUTT'TT]y la TT'TT], y otra,la superior, que se da entre la AtxaVs- y laTTapUTT'TT]. La primera, a la que se propone28/27 de distancia, es mayor que la segunda,cuyo intervalo es de 36/35.

En el gnero cromtico se presenta un inter-valo de 32/27 entre la IiOT] y la AtxaVs-, loque equivale a la llamada "tercera menor pita-grica", que fue obtenida por medio del clculode quintas hecho por los pitagricos. Segnesta distancia y conforme a la numeracin con-vencional establecida, la AtXavs- correspondeal nmero 1792. Queda un intervalo de 243/224entre la AtxaVs- y la TTapUTT'TT],lo cual equi-vale a tres 6tEOtS-.

Finalmente, en el gnero diatnico, se plan-tea una distancia de 9/8 entre la IiOT] y laAtxaVs-, que los pitagricos consideran comouna segunda mayor, esto es, un intervalo decuatro 6tEOtS- (un tono). Como consecuencia deese clculo, la AtxaVs- corresponde al nmero1701, Y queda una distancia de 8n entre estanota y la TTapUTT'TT], lo que corresponde acinco 6tEOtS- (un tono y cuarto).

TRABAJOS CIENTIFICOS DE ARQUITAS 269

Todo esto, trasladado al lenguaje modernode la msica, se podra presentar as:

Enharmnico Cromtico Diatnico

~aT] la la la} 2T } I 1/2T } IT

AtXavS" fa fa# sol} 1/4T }4!3T }11/4T

1Tapun'TT] fa fa fa} 1/4T+ } 1/4T+ }1/4T+

1TTT] mi mi mi

Nota: T = Tono, - = menor, + = mayor, = nota enharmnica(llamamos as a las que corresponden a cuartos detono)

Desde esto podemos analizar posibilidades ylogros de todos estos clculos tan exactos, quetiempo despus tambin otros matemticos vana realizar".

En primer lugar, Arquitas es el terico queexpone por primera vez con exactitud los inter-valos tetracordales en los tres gneros. Incluso,el recopilar estos mismos gneros, que anterior-mente eran cuestin puramente prctica, consti-tuye una evolucin terica que solo ser reto-rnadaalrededor de dos siglos despus, por partede los pensadores alejandrinos.

En segundo lugar, los clculos expuestosdeban servir de base para la correcta afmacinde la lira, aunque la posibilidad de tan grandeexactitud era muy difcil. Por eso, las teoraspitagricas se han considerado poco practica-bles. Recordemos, en ese sentido, que hay unadiferencia bien marcada frente a los aristoxe-nianos, quienes teorizan a partir, casi exclusiva-mente, de la prctica.

A pesar de eso, algunas evidencias de estosclculos pueden probar que su creador no esta-ba lanzando teoras al aire. Por ejemplo, elhecho de que utilice la tercera mayor natural yno la pitagrica, y, por otro lado, la proposicinpara la distancia entre la napunTTl y la imn)de una misma proporcin para los tres gneros.Ambos asuntos nos hacen pensar que Arquitasdebi conocer muy bien no solo las posibilida-des de la lira, sino tambin la utilizacin prcti-ca que se le daba. En ese sentido, se puede afir-mar, aunque con reservas, que el esquema pre-

sentado por el tarentino depende de la realidadmusical que le rodeaba. Por eso afirma Tim-panaro:

Arquitas es el hombre de ciencia, que, sin embar-go, conoce, y lo habamos visto ya en varias oca-siones, la necesidad del dato experimental. Conl, la experiencia entra a formar parte de los cono-cimientos cientficos, como control y confirma-cin de la teora, que ser en lo que resta porsiempre preminente".

Aunque aqu no se trata de un empirismo, encierta forma se supone, por un lado, que laciencia no necesariamente se hace a partir delucubraciones especulativas y, por otro, que eldato experimental lleva un papel determinanteen el desarrollo de las teoras. Con esto,Arquitas est mostrando un presupuesto episte-molgico que, probablemente, ser fundamen-tal, no slo para su escuela, sino tambin paralos grandes cientficos que habran de venir, y,tal vez, est abriendo el camino para el mismoaristoxenianismo, el que, a pesar de presentarsecomo escuela adversante, depende en mucho delos desarrollos tericos del pitagorismo.

En tercer lugar, vale la alusin de Platn(Rep. 349c) sobre los msicos. Dice el famosofilsofo:

-y te parece a ti, varn ptimo, que el msico,cuando afina la lira, quiere rebasar al msico entender o aflojar las cuerdas o pretende sacarleventaja?".

Supone esta pregunta de S6crates a su inter-locutor (Trasmaco), que el msico lo nicoque tiene que hacer para ejercer su arte conexcelencia es tender o aflojar las cuerdas de sulira. Esto es, precisamente, lo que Arquitasparece proponer, aunque el tarentino no planteaque eso mismo sea lo nico que en este arte sepueda hacer. Al pitagrico no le interesa, direc-tamente, practicar un instrumento: l no esmsico sino terico. El problema de la msicacomo praxis es otro: implica una serie deaspectos.con caracteres muy distintos. Por eso,lo que Arquitas hace es plantear una teora paraque se den las condiciones de la posibilidad deQue se logre afinar la lira--y otros instrumentos

270 LUIS A. FALLAS

semejantes. De ah que Arquitas, en realidad,proporcione un esquema acstico y no unesquema musical.

Y, finalmente, resulta evidente a todas lucesque Arquitas fue un hombre de una gran luci-dez de pensamiento, que lo hace poder plantearuna esquematizacin exacta y justa del fenme-no que le interesa teorizar. Esta descripcin quehace de las proporciones musicales va en lamisma lnea de la de las medias proporcionales,ambos son dos esquemas fundamentales para lamsica y las matemticas de este siglo IV.

11.La descripcin de los intervalos

El descubrimiento de los intervalos conso-nnticos se atribuye a Pitgoras, aunque, proba-blemente, ya se conocan en la prctica musicaldesde mucho antes", Sin embargo, la escuelapitagrica fue la que ms reflexion sobre elasunto. La misma descripcin de dichos inter-valos se la debemos a ella.

Sabemos que Pitgoras haba encontradoque, partiendo o presionando la cuerda endeterminados lugares del monocordio, seencontraba con distintos sonidos que, con res-pecto a la nota ms grave, eran intervalos dedistintas caractersticas. Los intervalos conside-rados armnicos eran los siguientes: el de octa-va, que se lograba presionando la cuerda en sumitad y, por ello, lo indicaron con la relacin2: 1. El de cuarta, que se consegua presionandoen el sitio preciso de las tres cuartas partes de lacuerda y tena la relacin 4:3. Finalmente, el dequinta, que parta la cuerda en su segundo ter-cio y tena una relacin de 3:2.

La mayora de los pitagricos posterioresprcticamente repetan esta misma descripcin.Por ejemplo, Filolao presenta los intervalos dn-doles, incluso, valores propios". Arquitas tam-bin ofrece su explicacin al respecto, sin questa presente grandes innovaciones. Aunque se lepueden reconocer, al menos, dos mritos funda-mentales: uno, claridad y distincin; dos, simpli-ficacin matemtica, en busca de una mayorcomprensin. Veamos con ms cuidado el texto,que lo puede encontrar traducido completo en elapndice, y que fue conservado por Porfirio (inPtolem. harm. 16 pg. 107D)45.

Se nos dice que Arquitas, as como Ddimo,pitagrico muy posterior, trabaja en la descrip-cin de las consonancias, o intervalos, y lasconfronta tratando, quizs, de mostrarlas conmayor claridad. Esencialmente, Arquitas tratade substraer una unidad (uovd) de las pro-porciones intervlicas". Por eso, la octava (OtO:TTaawv), cuya relacin es 2: 1, queda con unadiferencia de uno. La relacin 4:3, que repre-senta la cuarta (OtO: TEaapwv), queda conver-tida en 3:2, y, al sumar estos, se establece paraella el nmero 5. Por su parte, el intervalo dequinta (OlO: TTVTE), cuya relacin es 3:2, alserie restada una unidad queda con una propor-cin de 2:1, que sumados dan 3.

Segn el texto que comentamos, las mna-das eliminadas fueron llamadas "similares"(Oll0ta), mientras que las otras, es decir, las quequedaron como diferencia en estas restas, sellamaron "diferentes" (avIl0ta). Con esto sequiere mostrar que las diferencias permanecenevidentes y con mayor sencillez, por cuanto susnmeros son ms pequeos. As se estableceuna -especie de conclusin:

Las proporciones mltiples y epimorias, en lasque se vieron las armonas (consonancias), seconformaron en trminos desiguales; el resto, delque se substrajeron los iguales (las mnadas igua-les) es absolutamente desigual".

Segn la reduccin, se establece que la octa-va tendr por nmero 1; la cuarta, 5; y la quin-ta, 3. Y se establece como principio que cuantomenor sea el nmero de los intervalos "dismi-les", mayor su consonancia; es decir, quemayor ser la armona para los intervalos, si sunmero es bajo. De modo que la ms armnicaes la octava, despus, la quinta y, por ltimo, lacuarta.

En lo que respecta a otros intervalos,Arquitas prefiere no referirse a ellos. Todavaen su tiempo se considera que los dems no sonconsonnticos, y, que por tanto, son indignos deser usados, de ah que no se los deba introduciren la teora. Para encontrar en la msica griegauna clasificacin completa de los intervalos,hay que esperar varios siglos, cuando Ptolomeoregistra la totalidad de los conocidos, dividin-

TRABAJOS CIENTIFICOS DE ARQUITAS 271

dolos en intervalos Il

272 LUIS A. FALLAS

que se mueve el sonido; por eso empieza utili-zando ejemplos en los que el aire es un elemen-to fundamental. Afirma, nuestro pensador,

cuando nosotros ya sea hablando o cantando dese-amos emitir un sonido fuerte y agudo, al emitirlodebemos hacerlo con un aliento fuerte",

Se podra entender mejor este aspecto con laimagen -que el mismo Arquitas utiliza- de pro-yectiles que son lanzados y se propagan en sumedio, de modo que

los enviados fuertemente son transportados lejos,mas los que lo son dbilmente, lo son cerca",

As, presenta la idea primordial,

TOtS' yap tcrxupwS' !jlEpO~1vOlS' ~J.(H."ovTTa~OEl chp' TOlS' SE' cXcrBEvwS', ~crcrov55.(es decir, que el aire se somete ms ante un sonidoms fuerte, mientras que ante uno dbil se sometemenos).

Prestemos atencin a esta ltima afirmacin.Ya no se trata de pensar slo en las cualidadesinherentes al instrumento y a sus posibilidadesacsticas, sino tambin de comprender cmo elsonido se transporta. Arquitas parece estarcerca de la idea de ondas de propagacin opequeas partculas que se propagan a travsdel aire. As, el punto que diferencia los soni-dos unos de otros es su velocidad en el medio,de modo que el agudo depende de una veloci-dad mayor que la del grave, el que se distinguepor una propagacin, al parecer, menor. Se dis-tingue notablemente esta observacin de aque-lla en que se deca que por el golpe rpido yfuerte se distinguan los sonidos agudos".Contrario a esto, a nuestro pensador pareceimportarle ms la velocidad con que el sonidose mueve en el aire.

Arquitas presenta tambin, en este texto, elhecho de que una propagacin sonora provoca-da por un viento fuerte, produce un sonidoagudo, en contraposicin de la que lo es poruno dbil, que produce uno grave. Habla delcaso de un alejamiento del punto de emisin;en esta situacin, nosotros

escucharamos de lejos el sonido mayor de losemitidos".

En cambio, el menor ni de ms cerca podra-mos percibirlo, ya que su propagacin es distin-ta. Despus de esto, presenta el ejemplo del au-"S', luego el de los tambores que se taan enlas fiestas, y, enseguida, el de una caa. Esteltimo ejemplo es el apropiado para afirmar que

TO yO: p alho TTVEU~a SlO: ~Ev TW ~aKpwTTTW cXcrBEVES' EK!jlpETal, SlO: SE no ~E(OVOS'cr!jloSpVSB(El mismo aliento en un lugar extenso consigueuno dbil, mas en uno ms pequeo consigue unofuerte).

El lugar (TTTOS') determina que un sonidosea dbil o fuerte. As, se considera al sonidoen los aspectos dimensionales de que dependey, adems, segn reporta Porfirio, Arquitas

ElTTWV SE Kal. a""a TTEpl. TOU SlacrT1waTlK~VEtval T~V rs !jlwvfjS' K(VT)crlV S9.(Haba hablado diversas cosas sobre el movimien-to del sonido del que dice que tiene dimensiones).

Esta concepcin del sonido le da un altovalor a la teora del tarentino, ya que marca untrnsito de una fsica de cualidades a una fsicamucho ms elaborada, sobre todo en el ordenmatemtico. El hecho de que se diga que elsonido tiene dimensiones obliga a una medi-cin compleja del mismo, puesto que deberntomarse en cuenta no slo sus caractersticasintrnsecas, sino tambin las posibilidades depropagacin en el medio.

Ten de Esmirna hace una referencia aArquitas que nos puede ayudar a reafirmar laidea. En ella menciona al tarentino junto aEudoxo, quien, probablemente, segua las doc-trinas acsticas de la escuela de Tarento. Aquune la teora de los intervalos a la teora delsonido, repitiendo la idea acstica fundamental.El texto completo dice:

En relacin con Eudoxo y Arquitas, ellos pensa-ban la proporcin ("yov) de las consonancias(ouueoveov) en nmeros y ellos mismos concor-daban en que las proporciones se dan en los movi-


mientos, y en que no slo el movimiento rpidoes agudo puesto que es golpeado sin cesar y elaire es fustigado ms rpidamente; sino tambinque el lento es bajo, ya que se da ms lentamen-te60

A esto aade una idea fundamental al decirque las proporciones de las consonancias musi-cales se estudian en su movimiento y que, porello, se entienden numricamente. Por esta afir-macin, es evidente que la acstica pitagrica,al menos en la escuela tarentina, trata de mediry entender numricamente el movimiento quese presenta al emitirse un sonido.

Segn sostiene Mara Timpanaro en sucomentario a estos textos, esta teora del sonidocomo movimiento constituye una innovacinfundamental. Para ella, est casi supuesto alconcepto moderno de onda sonora.

Arquitas deba entender que el aire, golpeado porla cuerda (o por el soplido en el aulos), se mova,mas no sin resistencia, transportando las partculasdel sonido; y llegaba al odo con varias gradacio-nes de fuerza, segn la fuerza del golpe inicial 61.

Nuestro pensador,

tuvo que abandonar la teora tradicional, tal vezinducido por la observacin de que la misma notapoda ser producida por longitud o tensiones ocapacidades diversas, y se lanz a la bsquedaterica de un principio que explicase la esenciadel sonido independientemente de la estructuradel cuerpo resonante. En un segundo momento,este principio fue reconocido en el movimientoque es condicin indispensable para que se pro-duzca sonido o rumor".

Por eso, Arquitas presenta una perspectivacompletamente distinta. A l no solo le interesael sonido como cualidad, sino tambin que locomprende a partir del movimiento del aire. Eneste sentido, el pitagrico se estara enfrentan-do a la fsica ms dominante de la antigedad,fsica que tendr como principal terico aAristteles. Desgraciadamente, la nueva pers-pectiva no prosper, habindose perdido, qui-zs, uno de los ms grandes aportes cientftcosdel pitagorismo. No es sino en la Edad Moder-

273

na en la que se replantea el problema del soni-do como lo hizo Atquitas, con lo que se inau-gur la acstica moderna.

Un ltimo punto debemos analizar: la brevemencin que hace el mismo Porfrrio en la pg.104 del texto citado, donde afirma:

EAEyOV SE oi TTEpl. Tav 'Apxmv vas cjl6y-yO\J ytvEa6at KaTcl Tcl a\JllcjlwVtas TiV av-Tl14JtV .Tfj aKofj63.(Dicen que es de Arquitas el que por el odo unsolo sonido en la consonancia llega a ser una exi-gencia)

Es decir, que, cuando se da un acorde, stese escucha, a pesar de tener dos o ms soni-dos, como un solo sonido. Esto presenta unproblema, por cuanto, si el sonido es movi-miento y los sonidos agudos son ms rpidosque los graves, es lgico que se nos estaranpresentando dos velocidades al mismo tiempoy que dos movimientos diferentes pareceranunificarse. Pero el hecho de que sea una exi-gencia (TiV o:vTt"l1Qnv) del odo (Tfj O:KOfj)le da una perspectiva distinta. La consonanciaes efectivamente la manifestacin de dos soni-dos, pero el cognoscente slo percibe uno y,por ello, el problema no es del fenmeno ens, sino en cuanto es percibido, es un problemadel sujeto.

En caso de no aceptarse esta explicacin, sepresentara efectivamente un argumento encontra de la concepcin del sonido como movi-miento. Pero an aceptndola, subsiste el pro-blema de cmo explicar la percepcin de talfenmeno, cuestin a la que Arquitas no da res-puesta.

Entre los mismos antiguos surgieron solu-ciones; por ejemplo, sta, que refiere Rey:

La consonancia se explicaba porque los sonidossimultneos, emitidos a velocidades diferentespor definicin, llegaban al odo con la mismavelocidad, ya que el ms rpido se haba retrasadohasta quedar a la velocidad del segundo".

Con esto terminamos nuestro rpido anlisisde la seccin de msica de los trabajos cientfi-cos de Arquitas.

274 LUIS A. FALLAS

E. Otros aportes particulares

Arquitas es el tpico pensador que lograresumir en s los caracteres de un hombre queconoce, entiende y desarrolla todo el conoci-miento que encuentra en su poca. Por eso,hemos recorrido desde geometra hasta msica,sin haber olvidado la aritmtica, y aunque noconozcamos sus trabajos .astronmicos, se sabeque fue un importante baluarte en este sentido.

Pero, por otro lado, se debe reconocer quedetrs de todas estas ciencias est el nmero-AyOS- como elemento esencial para su desarro-llo. Por eso, al principio considerbamos que,para el grupo de ciencias, la logstica constituyeel ncleo fundamental del que provienen laspautas que condicionan la posibilidad de hacerciencia. De ah que sea primordial un trabajoexhaustivo en aritmtica, ya que sta debaconstituir la ciencia bsica en el orden de lasmatemticas. Mas Arquitas, por lo visto hastael momento, no parece haber enfatizado muchoen ello; a lo sumo nos entrega las medias pro-porcionales, que no slo son aplicadas a lamsica, sino que tambin son principios aritm-ticos elementales.

Sin embargo, la escuela tarentina debi tratararitmtica en sus ms importantes puntos y, a lavez, desarrollarla hasta altos grados de comple-jidad. De esto nos queda un texto en el que sepresenta un trabajo puramente numrico, esdecir, sin plantear su aplicacin a otras ciencias.Se trata de una referencia que hace Boecio, ende mus. I1I, 11 65,donde se habla de la propor-cin epimoria o superparticular. En sta sedemuestra con bastante complejidad cmo nose puede introducir un medio proporcional enuna proporcin del tipo citado.

Esto demuestra que no hubo un descuidorespecto de la aritmtica por parte de Arquitas.Ms bien sucede lo contrario. La escuela taren-tina constituye, como lo hemos expresadoantes, una comunidad cientfica que trabaja enel desarrollo ms profundo de la ciencia griega.Su apertura a. otras comunidades filosficas ycientficas -que hemos comprobado por suestrecha relacin con Platn y la Academia-, lehace tener una actitud ms cientfica que la decualquier otro grupo pitagrico anterior. Sus

trabajos no presentan, en lo ms mnimo, laaparente sencillez de muchas de las antiguasciencias. Son, ms bien, el signo de un esfuerzorealmente extraordinario que se plasma en gran-des hallazgos y en buena cantidad de teoras deprimer orden para este siglo IV.

Lo que hemos analizado hasta el momentoes el fruto no slo del tesonero trabajo deArquitas, sino tambin de esa serie de discpu-los fieles que a su lado impulsaban el desarrollode la ciencia. Sin embargo, ahora podemos pre-sentar algo que es un aporte muy particular denuestro tarentino: se trata de sus inventos, entrelos que sobresale la paloma mecnica.

Arquitas, al parecer, lleg a fabricar unapaloma voladora con principios mecnicos,segn relata Gelio, (X 12,8)66. Tal paloma sesostena por medio de contrapesos y se movamediante la presin del aire encerrado en suinterior. Sin embargo, esta explicacin de Geliono aclara bien el verdadero funcionamiento delmecanismo. Segn nos aclara TimpanaroCardini:

Sobre el funcionamiento de la paloma voladora deArquitas son varias las tentativas de explicacin.Desgraciadamente, los datos que poseemos sonmuy escasos, y cada tentativa ha tenido mucho dearbitraria".

Entre las explicaciones destaca la deWilhelm Schmidt, que nos cita esta mismaautora". Se imaginaba una paloma de maderarepleta en su interior de aire comprimido, conun contrapeso disimulado.

Abierta una vlvula, al salir el aire comprimidopondra de inmediato en movimiento las alas, y lapaloma, que haba sido hecha ms ligera que elcontrapeso, se elevara hasta una rama ms alta,donde se detendra",

Lo que nos interesa de este invento no es sufuncionamiento, sino el hecho de que se lebusc una aplicacin tcnica al conocimientocientfico. Esta paloma es el fruto de los cono-cimientos mecnicos y geomtricos, es elesfuerzo creativo por desarrollar en forma prc-tica la ciencia. Arquitas, como nos recuerdaTimpanaro:


Es el iniciador de aquella tendencia hacia la tcni-ca que anduvo desarrollndose y perfeccionndo-se fuera de la pura exigencia prctica",

Esta tendencia llegar a dar interesantes fru-tos, como, por ejemplo, el elevador y el teatroautomtico de Hiern de Alejandra.

Segn parece, Arquitas produjo un inventode singular significado: el cascabel y el sonaje-ro. Adems se citan la polea y el tornillo; aun-que estas ltimas atribuciones no parecen justi-ficarse entre los principales bigrafos y estu-diosos. De todos modos, de ser ciertas talesafirmaciones, se reafmnara an ms la geniali-dad creativa del tarentino. Su espritu prctico,posiblemente, influir no slo en otros invento-res, sino tambin en el mismo Platn, a quiencon su ejemplo, segn opina Mondolfo,

pudiera haber influido ..., impulsndolo a la inven-cin de un despertador mecnico".

Esa apertura tcnica de la ciencia, tan propiade nuestros das, no era nada comn en aque-llos tiempos. Aunque los pitagricos siemprehaban tratado de proporcionar salidas empri-cas a muchas de sus doctrinas, pocos o casininguno se interesaron por desarrollar algo msaparte de lo terico.

El esfuerzo de Arquitas pudo ser ejemplarpara su poca, pero el griego era menos tcnicode lo que parece y no trat de desarrollar sucreatividad tanto en este campo, como en elterreno especulativo. Tal vez el pueblo que srecogi este tipo de iniciativas fue el romano,el que con su actitud pragmtica cambi, com-pletamente, la perspectiva teoricista griega,yndose a una accin 'prctica constante.

Mas lo cierto es que Arquitas se nos presen-ta como un personaje muy particular de la his-toria. Como dice Robert Baccou

ainsi, therecien, ingnieur, philosophe, Archytasnous offre la figure d' un savant universel".

Notas

1. Juan O. Garcfa B., Textos clsicos para la histo-ria de la ciencia. Mxico, UNAM, 1963, pgs. 15-16.

275

2. Jos A. GarcfaL, "El pitagorismoantiguo",conclu-sin.En: Estudiosfilosficos, v. 18,n. 47,1969, pg. 83.

3. Ibidem.4. O-K 47B, 1,36.5. Marcas claras de este dialecto son los vocablos:

60KOUVTl (3a pero pl. preso ind. de 60KW -w, TO{(nom. plur. mas. del artculo) y EvTl (3a. per. sing.presoind. de E\..t{)

6. Garcfa Bacca, op. cit., pgs. 15-16.7. Mara Timpanaro, PitoTest. e Fram., lo traduce

como "ottime", influenciada probablemente por O-K,quien lo traslada al alemn con la palabra "Treffliche".Otra traduccin italiana, de Antonio Maddalena, en [Presocratici, Testimonianze e Frammenti, EditoriLaterza, 1975, repite el "ottime". Garcfa Junceda dice"el mejor conocimiento" (op. cit., pg. 83). Quizsnuestro "convenientemente" no sea tan efusivo, peroalgo eficaz.

8. M. Timpanaro, op. cit., pg. 362.9. O-K,47B,4.10. Garca Junceda, op. cit., pg. 84.11. [bid, pg. 85.12. Stob. FL. IV 1, 139. Cita O-K 47B, 3.13. Ibidem.14. O-K 47B, 2.15. Garcfa Junceda, op. cit., pg. 109.16. Abel Rey, La Ciencia en la antigedad: La

juventud de ciencia griega. Mxico, UTEHA, 1961,pg.215.

17. Cita Rey, ibidem.18. Rey, ibidem.19. Pseuderatosth. Epist. ad Ptolem (Eutoc. in

Archim. ID 104, 11Heib) O-K, 4.20. Abel Rey, La ciencia en la antigedad: El apo-

geo de la ciencia tcnica griega. Mxico, UTEHA,1962,pgs.177-178.

21. Ibidem, pg. 179.22. lbidem.23. En Plut. Quaest. conv. VID 2,1. pg. 718 E.

Cita O-K 47A, 15.24. Rey, op. cit., pg. 183.25. En pg. 115. Cita Rey, op. cit., pg. 185.26. Rey, op. cit., pg. 186.27. [bid, pgs. 187-188.28. [bid, pg. 191.29. [bid, pg. 192.30. Adolfo Salazar, La msica en la cultura griega.

Mxico. El Colegio de Mxico, 1954, pgs. 36-37.31. ldem, pg. 399.32. O-K 47A, 16.33. Ptolem, Harm. 1, 13, pg. 30, 9 Dring (O-K;

47A, 16).34. Se entiende el gnero musical como el tipo de

intervalos dados en los tetracordos, los que constituyen

276 LUIS A. FALLAS

la escala griega. En el gnero diatnico la BUl TEO-OplV (cuarta) baja (la. sol. fa. mi) los intervalos. gene-ralmente. se plantean as: De la I1OT] (la) a la AlxavS"(sol) hay cuatro 8EOlS" de distancia (en lenguajeactual. sera un tono). Por otro lado. de la AlxavS" a lanapvnTTl (fa) hay de nuevo cuatro 8lEOlS". mientrasque de la ncpundr n a la nTT] (mi) hay dos BlEOlS"(o sea medio tono). En el gnero cromtico se presen-tan de esta forma: De la I1OT] a la AlxavS" (sol b) hayseis BlEOlS". de la AlxavS" a la napvnTTI dos BleOlS" y. finalmente. de la napvnTT] a la nTT] semantienen las dos BlEolS".

El gnero enharmnico, cuyas caractersticas eranmuy alabadas. a pesar de ser poco desarrolladas. pre-senta estas distancias: De la I1Oll a la AlxavS" (fa).ocho 8lEOlS". de la AlxavS" a la napvnTll (fa enhar-rnnico, o sea en el cuarto de tono abajo de fa). una BlE-OlS" y. por ltimo. de la napVnTll a la ~nTll. una BlE-OlS".

Estas distancias podan variar segn la regin. o elinters del intrprete. As. se conocen el "diatnicomedio" y el "relajado". adems del "tenso" que fue el quedescribimos. En el cromtico se presentaba. adems del"tenso". el "hemiolio" y el "relajado". Finalmente. elenharmnicogeneralmente era estable.

Vase: Salazar, op. cit . pgs. 392-403 (captulosobre los Genos y Khroai).

35. En una valoracin primaria de estos clculos.debe tomarse en cuenta que. an para este tiempo. losgriegos no contaban con un buen sistema numrico.Para designar los nmeros se usaban las letras del alfa-beto y algunos otros signos.

Esto no slo complica la teorizacin matemtica.sino tambin la retarda. Sin embargo. no fue obstculopara que sus grandes matemticos presentaran semejan-tes exactitudes. habiendo mostrado su extraordinariacapacidad racional y su gran desarrollo intelectual.

36. Citado por Salazar, pg. 579.37. Cf. "El sistema de Pitgoras'', copiado en el

apndice.38. Salazar, op. cit. pg. 592. El trmino TVOl

corresponde a la introduccin en la octava drica detodas las armonas que confluan en Grecia. No sepuede confundir con los TVOl que corresponden a losmodos griegos. ya que estos ltimos estaban determina-dos por costumbres primitivas y no por una teorizacinrigurosa.

39. tu pg. 587.40. Salazar cita a Eratstenes y a Ddimo como te-

ricos que realizan el mismo trabajo de Arquitas, plante-

ando clculos distintos. Adems se presentan otros cl-culos. segn el gnero. como. por ejemplo. el diatnicosynton, el cromtico rnalakn, etc. Cf. pg. 591.

41. M. Timpanaro, op. cit.pg. 310.42. Platn, La Repblica. Madrid. Centro de

Estudios constitucionales. 1981. 349c. pg. 45.43. Los intervalos llamados consonnticos son utili-

zados probablemente en todas las culturas antiguas.puesto que son de los primeros fenmenos acsticos queimpresionan el odo del msico. Por eso. en la mayorade las ocasiones. determinaron las primeras escalasmusicales. Cf. A. Rey. op. cit. "El apogeo.,", pg. 9.

44. Cf. D-K 44B. 6.45. D-K47A. 17.46. Es particular el uso de la palabra l1ovBa.

Segn parece no se utiliza el trmino sino mucho tiem-po despus del siglo IV. Por eso la forma de redaccindepende de un autor muy posterior. probablementeDdimo o Porfirio.

47. Porphyr; in Ptolem. harm. 1. 6 pg. 107D.48. Cf. Salazar. op. cit.pg. 584-585.49. A. Rey. op. cit. "El apogeo.;.", pg. 13.50. D-K 47B. l.51. D-K 47A. 18.52. D-K 47A. 19a.53. D-K 47B. l. 3-5. pg. 434. Para verificar el

texto completo se puede confrontar el apndice.54. ldem.Ii-'],55. ldem.7-8.56. ldem, 13-16. pg. 433.57. Idem, 12-14. pg. 434.58. ldem, 8-10. pg. 435.59. ldem.II-12.60. Theo. Srnym.pg. 61. 11Hill. D-K47A. 19a.61. Timpanaro, op. cit.pg. 332.62. ldem, pg. 327.63. D-K.47A. 18.64. Rey. op. cit. "El apojeo.;", pg. 13.65. D-K.47A. 19.66. D-K 47A. lOa.67. Timpanaro, op. cit.pg. 290.68. lbidem.69. lbidem.70. lbid. pg. 291.71. Rodolfo Mondolfo, La comprensin del sujeto

humano en la cultura antigua. Buenos Aires. EUDE-BA. 1968. pg. 364.

72. Robert Baccou, Historie de la Scienze Grecque(De Thales a Socrate) Aubier, Editions Montaigne,Pars, 1951. pg. 256.

arquitas

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